SECCIÓN 4.12 2. Un borracho camina de forma aleatoria de la siguiente forma: cada minuto da un paso hacia adelante o hacia atrás con igual probabilidad y con independencia de los pasos anteriores. Cada paso es de 50 cm. Calcule la probabilidad de que en una hora avance más de 5 metros. Dado que tenemos solo dos posibilidades, “avanza hacia adelante” y “avanza hacia atrás” las cuales tienen igual probabilidad es una distribución binomial .
~60,0.5
La sucesión (aritmética) que siguen las diferentes distancias a las que puede estar el borracho en función del número de minutos transcurridos viene dada por la expresión: d (t, k) = 50 (2k - t), donde k es un número entero que varía entre 0 y t. Una hora son 60 minutos, luego hagamos t = 60. 5 metros son 500 cm, luego d (60, k) > 500 50 (2k - 60) > 500 2k - 60 > 10 2k > 70 k > 35 Entonces podemos aproximar la Probabilidad por una distribución normal así:
> 35 35 = 1− ≤ 35 35 = 1 −Φ −Φ35−60×0,5 0,5√ 6060 = 1− Φ1,299 = 0,0985 En resumen, la probabilidad de que en una hora avance más de 5 metros es de 0,0985
4. Los vehículos que cruzan un puente tienen pesos cuya media es de 4675 kg y cuya desviación estándar es de 345 kg. Si hay 40 vehículos sobre el puente en un instante dado, hallar el número a tal que la probabilidad (aproximada) de que su peso total no supere a o s ea del 99%. Debemos hallar un peso “a “a” tal que:
Pr ≤ = 0,99 Pr Pero podemos aproximar la Probabilidad por una distribución normal así:
Como
Φ2,327 27 = 0,99
40 × 4675) = 0,99 Pr ≤ = Φ ( −345 Pr √ 4040
debemos resolver la ecuación:
− 40 × 4675 = 2,327 345√ √ 4040 345 − 40 × 4675 = 2,327 327 × 343455√ 4040 1 De donde
= 2,327×345√ 4 0+40×4675 = 192077,45
192077,45
El número tal que la probabilidad (aproximada) de que su peso total no supere a o sea del 99% es
Kg
6. El propietario de una copiadora ha determinado que el número diario de copias que se realizan en su local tiene una media de 1250 con una desviación estándar de 350. Halle la probabilidad de que en un mes de trabajo (25 días) el total de copias: a) sea menor a 30000 Podemos aproximar la Probabilidad por una distribución normal así:
≤ 30000 = Φ(30000−25×1250 350√ 25 ) = Φ−0,7143 = 0,2375 b) Se encuentre entre 25000 y 32000. Se cumple que:
25000 ≤ ≤ 32000 = ≤ 32000− ≤ 25000 Podemos aproximar estas probabilidades por una distribución normal así:
25000−25×1250) ≤ 32000− ≤ 25000 = Φ(32000−25×1250 )−Φ( 350√ 25 350√ 25 = Φ(37)−Φ(− 257 ) = 0,6659−0,0002 = 0,6657
8. El número de personas que acuden a una agencia bancaria, es una semana, para abrir una cuenta sigue una distribución de Poisson de parámetro λ=10. ¿Cuál es la probabilidad de que
en dos años (es decir, 104 semanas) se hayan abierto más de 1000 cuentas?
> 1000
Debemos calcular normal, tenemos que:
, pero aproximando esta probabilidad por una distribución
> 1000 = 1− ≤ 1000 = 1−Φ(1000−104×10 √ 1 0×104 ) = 1−Φ−1,24 = 0,8925 La probabilidad de que en dos años (es decir, 104 semanas) se hayan abierto más de 1000 cuentas es de 0,8925
10. La resistencia de un hilo metálico es una variable aleatoria cuya media es 3 kg y su desviación estándar 1 kg. Suponiendo que la resistencia de un cable es igual a la suma de las resistencias de los hilos que lo forman. a) Calcule la probabilidad de que un cable de 100 hilos sostenga 280 kg
Pr > 280 = 1−Φ(280−100×3 √ 100 ) = 1−Φ−2 = 0,97725 La probabilidad de que un cable de 100 hilos sostenga 280 kg es de 0,97725 b) ¿Cuántos hilos se necesitan para que el cable sostenga 300kg con un 99% de seguridad?
Debemos hallar un peso “n” tal que, al aproximar la probabilidad por una distribución normal, cumpla que:
Como
×3) = 0,99 Pr > 300 = 1−Φ(300− √ ×3) = 0,01 Φ(300− √ Φ−2,309 = 0,01 300− ×3 = −2,309 √ debemos resolver la ecuación:
De donde
300−×3 = −2,309√ −2,309√ +3 −300 = 0 = 108 Se necesitan más de 108 hilos para que el cable sostenga 300kg con un 99% de seguridad.
12. Un jugador de baloncesto encesta un lanzamiento de 3 puntos con una probabilidad de 0,3. a) Aproxime la distribución del número de canastas conseguidas en 25 lanzamientos Dado que tenemos solo dos posibilidades, “Encesta” y “No encesta” donde la probabilidad de
~25, = = 7,5 = = 5,25 (152 , 214 ) > 10 = 1− ≤ 10 = 1− Φ10−7,5 = 1− Φ1, 0 91 = 0, 1 376 5,25
encestar es 0,3 decimos que es una distribución binomial
.
Entonces tenemos que y por lo que podemos aproximar la distribución del número de canastas conseguidas en 25 lanzamientos con:
b) Calcule la probabilidad de encestar más de 10 canastas.
La probabilidad de encestar más de 10 canastas es de 0,1376
14. En promedio, de las personas que ingresan a una librería solo el 25% realiza una compra. Si en un día entraron 80 clientes, calcule la probabilidad aproximada de que se hagan al menos 28 compras. Dado que tenemos solo dos posibilidades, “Compra” y “No compra” donde la probabilidad de
~80, = = 20 = = 15 20,15
compren es 0,25 decimos que es una distribución binomial Entonces tenemos que
y
.
por lo que podemos aproximar la
distribución del número de canastas conseguidas en 25 lanzamientos con:
> 28 = 1− ≤ 28 = 1−Φ(28−20 √ 15 ) = 1−Φ2,06 = 0,019434 0,019434
La probabilidad aproximada de que se hagan al menos 28 compras es de
16. En una fábrica microcircuitos se ha comprobado que el 4% de estos son defectuosos. Un cliente compra un paquete de 500 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determine: a) el número esperado de microcircuitos no defectuosos Dado que tenemos solo dos posibilidades, “Es defectuoso” y “No es defectuoso” donde la probabilidad de que sea defectuoso es de 0,04 decimos que es una distribución binomial
~500,
.
Entonces tenemos que
= = 20
El número esperado de microcircuitos no defectuosos es de 20. b) la probabilidad de que se encuentre más de 25 microcircuitos defectuosos; Por un lado calculamos que
= = 19,2 =
Entonces podemos aproximar la probabilidad así:
> 25 = 1− ≤ 25 = 1−Φ(25−20 √ 19,2 ) = 1−Φ1,141 = 0,1269 c) la probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 16 y 30. Podemos aproximar la probabilidad así:
16−20) 16 ≤ ≤ 30 = ≤ 30− ≤ 16 = Φ(30−20 )−Φ( 1 9, 2 1 9, 2 √ √ = Φ2,28218−Φ−0,91287 = 0,808105 0,808105
La probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 16 y 30 es de
18. Se conoce, por estudios previos, que la proporción de vacas que enfermarán después de suministrarles la vacuna contra la fiebre aftosa es del 2%. Una granja tiene 600 vacas que son vacunadas. Determine: a) el número esperado de animales que no enfermarán;
= = 600×0,02 = 12 = Esto es animales enfermos, para los que no enferman: 600-12=588 Entonces el número esperado de animales que no enfermarán es de 588 b) Ia probabilidad de que el número de reses que enferman sea, como máximo, 17;
= 1− = 11,76 Entonces podemos aproximar la probabilidad así:
≤ 17 = Φ(17−12 √ 11,76 ) = Φ1,458 = 0,92758
La probabilidad de que el número de reses que enferman sea, como máximo, 17 es de 0,92758 c) la probabilidad de que el número de reses que no enferman sea como mínimo, 590.
> 590 = 1− ≤ 590 = 1−Φ(590−588 √ 11,76 ) = 1−Φ0,5832 = 0,279875 La probabilidad de que el número de reses que no enferman sea, como mínimo, 590 es de
0,279875
20. Sea el número de fracasos que preceden al 45º éxito en un proceso de Bernoulli con probabilidad de éxito . Sea , donde representa el número de fracasos que preceden al primer éxito, es el número de fracasos entre el primer y el segundo éxito, y así sucesivamente. Las son independientes.
= , = + ⋯+ 0,36 = 0,136 = 2,77 = 1 − = 4,938 = 45 1− = 80 = 45 1− = 222,22 Pr ≤ 100 = Φ(100−80 √ 22,22 ) = Φ1,34164 = 0,910143753
a) Dé el nombre de la distribución de una única
, obtenga también su media y su varianza
Se trata de distribuciones geométricas de la forma
b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de
c) Aproxime la probabilidad de que
?;
esté a una distancia no superior a 20 de su media.
