º
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CURSO:
L ambayeque, ambayeque, noviembre noviembre del 2011. 2011.
1
I.- INTRODUCCION El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor especifico de ella por minúscula. Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a x b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a,b). Si conocemos la probabilidad P(a x b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x. Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X x): F(x)= P(X x): y llamamos F(x) la función de distribución acumulada.
II.- OBJETIVOS Objetivo General:
Obtener las precipitaciones máximas en 24 horas para diferentes tiempos de retorno con ayuda de distribuciones confiables.
Objetivos Específicos:
Analizar la confiabilidad de cada una de las distribuciones (Normal, Gumbell, y Log Normal de 2 parámetros) con respecto al indicador de Smirnov Kolmogorov.
Graficar las curvas de las precipitaciones máximas en 24 horas de distintos tiempos de retorno, para cada distribución estudiada.
2
III.- MARCO TEORICO PARÁMETROS ESTADISTICOS
Los estadísticos extraen información de una muestra, indicando las características de la población. Los principales estadísticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden correspondiente a la media, varianza, y asimetría respectivamente. Media : Es el valor esperado de la variable misma. Primer momento respecto al origen. Muestra la tendencia central de la distribución
x f ( x) dx
el valor estimado de la media a partir de la muestra es x
1
n
n
xi i 1
Varianza ²: Mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media. 2
( x ) 2 f ( x)dx
el valor estimado de la varianza a partir de la muestra es s2
1
n
( xi x) n 1
2
i 1
en el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadística de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviación estándar es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media y simplemente es la raíz cuadrada de la varianza, se estima por s. El significado de la desviación estándar se ilustra en la siguiente figura Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar. Coeficiente de variación Cv
1.00 0.80 ) 0.60 x ( f
0.40
es
0.20
una medida adimensional de la variabilidad su estimado es
Cv
0.00
s
0
2
4
6
8
x
x 0.50
3
1.00
1.30
2.00
10
DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, también conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribución normal. Función de densidad:
La función de densidad está dada por f ( x)
1 2
1 ( x ) 2
exp 2
x
2
Los dos parámetros de la distribución son la media y desviación estándar para los cuales x (media) y s (desviación estándar) son derivados de los datos. Estimación de parámetros: x
1
n
n
xi i 1
1
2 1 2 ( ) x x i n 1 i 1 n
s
Factor de frecuencia:
1. Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como
K T
xT
este factor es el mismo de la variable normal estándar K T F 1 (1 Tr 1 )
4
DISTRIBUCION GUMBEL
Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos). Función de densidad: f ( x)
1
( x )
exp
( x ) exp
En donde y son los parámetros de la distribución.
( x )
F ( x) f ( x)dx exp exp
Estimación de parámetros
6
s
x 0.5772
donde x
y
s
son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra.
Factor de frecuencia: T r 6 K T 0.5772 ln ln 1 T r
Donde Tr es el periodo de retorno. Para la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 2.33 años es igual a la media de los caudales máximos.
5
DISTRIBUCION LOGNORMAL DE DOS PARAMETROS
Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se distribuye normalmente. Esta distribución es muy usada para el cálculo de valores extremos por ejemplo Qmax, Qmínimos, Pmax, Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores. Limitaciones: tiene solamente dos parámetros, y requiere que los logaritmos de la variables estén centrados en la media Función de densidad: f ( x)
1 x 2
1 ( y y )
exp
2
y
2
x 0
y = ln x donde, y : media de los logaritmos de la población (parámetro escalar), estimado y y : Desviación estándar de los logaritmos de la población, estimado s y. Estimación de parámetros: y
1
n
n
ln( xi ) i 1
1
2 1 2 s y (ln( xi ) y) n 1 i 1 n
6
IV.- ANÁLISIS DE DATOS
Datos:
Cálculos:
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Xi 2 2.4 3 3 3 3 3.6 4.5 5 6 6 7 9 9.1 15.2 21 24 28 32 40.8
DATOS OBTENIDOS CON AYUDA DEL EXCEL
A) DISTRIBUCION NORMAL DISTRIBUCION NORMAL m
Xi
P(x)=m/(N+1)
Z=(Xi-X¨)/S
F(Z)
A=IF(Z)-P(x)I
1
2
0.0476
-0.8146
0.2077
0.1601
2
2.4
0.0952
-0.7798
0.2178
0.1225
3
3
0.1429
-0.7277
0.2334
0.0905
4
3
0.1905
-0.7277
0.2334
0.0429
5
3
0.2381
-0.7277
0.2334
0.0047
6
3
0.2857
-0.7277
0.2334
0.0523
7
3.6
0.3333
-0.6756
0.2497
0.0837
8
4.5
0.3810
-0.5975
0.2751
0.1059
9
5
0.4286
-0.5541
0.2898
0.1388
10
6
0.4762
-0.4672
0.3202
0.1560
7
11
6
0.5238
-0.4672
0.3202
0.2036
12
7
0.5714
-0.3804
0.3518
0.2196
13
9
0.6190
-0.2067
0.4181
0.2009
14
9.1
0.6667
-0.1980
0.4215
0.2451
15
15.2
0.7143
0.3317
0.6299
0.0843
16
21
0.7619
0.8354
0.7982
0.0363
17
24
0.8095
1.0959
0.8634
0.0539
18
28
0.8571
1.4433
0.9255
0.0684
19
32
0.9048
1.7907
0.9633
0.0586
20
40.8
0.9524
2.5549
0.9947
0.0423
Max=
0.2451
Nivel de Significancia: 0.05 ∆máx.= 0.2451 ∆S-K = 0.29 Luego: comparando ∆máx calculado y el ∆S-K critico se obtiene que 0.2451 < 0.29, por lo tanto los datos procesados son confiables para la distribución normal , con un intervalo de confianza de 0.05. Se puede entonces utilizar dicha distribución para distintos periodos de diseño.
B) DISTRIBUCION DE GUMBELL DISTRIBUCION GUMBELL m
Xi
P(x)=m/(N+1)
Z=(Xi-u)/a
G(y)
A=IG(y)-P(x)I
1
2
0.0476
-0.4676
0.2027
0.1551
2
2.4
0.0952
-0.4230
0.2173
0.1220
3
3
0.1429
-0.3562
0.2398
0.0970
4
3
0.1905
-0.3562
0.2398
0.0493
5
3
0.2381
-0.3562
0.2398
0.0017
6
3
0.2857
-0.3562
0.2398
0.0459
7
3.6
0.3333
-0.2894
0.2630
0.0703
8
4.5
0.3810
-0.1891
0.2987
0.0822
9
5
0.4286
-0.1335
0.3189
0.1096
10
6
0.4762
-0.0221
0.3598
0.1164
11
6
0.5238
-0.0221
0.3598
0.1640
12
7
0.5714
0.0893
0.4007
0.1707
13
9
0.6190
0.3121
0.4810
0.1381
14
9.1
0.6667
0.3232
0.4849
0.1818
15
15.2
0.7143
1.0026
0.6929
0.0214
16
21
0.7619
1.6486
0.8250
0.0631
17
24
0.8095
1.9828
0.8714
0.0618
18
28
0.8571
2.4283
0.9156
0.0584
8
19
32
0.9048
2.8738
0.9451
0.0403
20
40.8
0.9524
3.8539
0.9790
0.0266
Max=
0.1818
Nivel de Significancia: 0.05 ∆máx.= 0.1818 ∆S-K = 0.29 Luego: comparando ∆máx calculado y el ∆S-K critico se obtiene que 0.1818 < 0.29, por lo tanto los datos procesados son confiables para la distribución Gumbell , con un intervalo de confianza de 0.05. Se puede entonces utilizar dicha distribución para distintos periodos de diseño.
C) DISTRIBUCION LOGNORMAL DE 2 PARÁMETROS LOG NORMAL DE 2 PARAMETROS m
xi
P(x)
Zi=(Y-Uy)/σy
F(Z)
F(Z)-P(x)
1
2
0.047619
-1.36207
0.0866
0.03898095
2
2.4
0.095238
-1.17016
0.12097
0.0257319
3
3
0.142857
-0.93527
0.17483
0.03197286
4
3
0.190476
-0.93527
0.17483
0.01564619
5
3
0.238095
-0.93527
0.17483
0.06326524
6
3
0.285714
-0.93527
0.17483
0.11088429
7
3.6
0.333333
-0.74336
0.22864
0.10469333
8
4.5
0.380952
-0.50848
0.30556
0.07539238
9
5
0.428571
-0.39758
0.34547
0.08310143
10
6
0.476190
-0.20567
0.41852
0.05767048
11
6
0.523810
-0.20567
0.41852
0.10528952
12
7
0.571429
-0.04341
0.48269
0.08873857
13
9
0.619048
0.22113
0.58750
0.03154762
14
9.1
0.666667
0.23276
0.59202
0.07464667
15
15.2
0.714286
0.77277
0.78017
0.06588429
16
21
0.761905
1.11300
0.86714
0.10523524
17
24
0.809524
1.25355
0.89499
0.08546619
18
28
0.857143
1.41581
0.92158
0.06443714
19
32
0.904762
1.55637
0.94019
0.0354281
20
40.8
0.952381
1.81209
0.96501
0.01262905
X=
11.38
Δmax=
0.11088429
Nivel de Significancia: 0.05 ∆máx.= 0.11088 ∆S-K = 0.29
9
comparando ∆máx calculado y el ∆S-K critico se obtiene que 0.11088 < 0.29, por lo tanto los datos procesados son confiables para la distribución Log Normal de dos Parámetros, con un intervalo de confianza de 0.05. Se puede entonces utilizar dicha distribución para distintos periodos de diseño. Luego:
DATOS OBTENIDOS CON AYUDA DEL PROGRAMA HIDROESTA
A) DISTRIBUCION NORMAL m
X
P(X)
F(Z) Ordinario
F(Z) Mom Lineal
Delta
1
2.0
0.0476
0.2077
0.1871
0.1600
2
2.4
0.0952
0.2177
0.1975
0.1225
3
3.0
0.1429
0.2334
0.2136
0.0905
4
3.0
0.1905
0.2334
0.2136
0.0429
5
3.0
0.2381
0.2334
0.2136
0.0047
6
3.0
0.2857
0.2334
0.2136
0.0523
7
3.6
0.3333
0.2496
0.2306
0.0837
8
4.5
0.3810
0.2751
0.2573
0.1059
9
5.0
0.4286
0.2898
0.2728
0.1388
10
6.0
0.4762
0.3202
0.3051
0.1560
11
6.0
0.5238
0.3202
0.3051
0.2036
12
7.0
0.5714
0.3518
0.3391
0.2196
13
9.0
0.6190
0.4181
0.4108
0.2009
14
9.1
0.6667
0.4215
0.4145
0.2451
15
15.2
0.7143
0.6300
0.6413
0.0843
16
21.0
0.7619
0.7983
0.8189
0.0364
17
24.0
0.8095
0.8634
0.8841
0.0539
18
28.0
0.8571
0.9255
0.9423
0.0684
19
32.0
0.9048
0.9633
0.9746
0.0586
20
40.8
0.9524
0.9947
0.9973
0.0423
Ajuste con momentos ordinarios:
Como el delta teórico 0.2451, es menor que el delta tabular 0.3041. Los datos se ajustan a la distribución Normal, con un nivel de significación del 5%
Parámetros de la distribución normal: Con momentos ordinarios:
Parámetro de localización (Xm)= 11.38 Parámetro de escala (S)= 11.5151 Con momentos lineales:
Media lineal (Xl)= 11.38 Desviación estándar lineal (Sl)= 10.5564
10
B) DISTRIBUCION DE GUMBELL G(Y) Ordinario
G(Y) Mom Lineal
Delta
0.0476
0.2027
0.1877
0.1551
2.4
0.0952
0.2173
0.2026
0.1221
3
3.0
0.1429
0.2398
0.2256
0.0970
4
3.0
0.1905
0.2398
0.2256
0.0494
5
3.0
0.2381
0.2398
0.2256
0.0017
6
3.0
0.2857
0.2398
0.2256
0.0459
7
3.6
0.3333
0.2630
0.2494
0.0703
8
4.5
0.3810
0.2988
0.2864
0.0822
9
5.0
0.4286
0.3190
0.3074
0.1096
10
6.0
0.4762
0.3598
0.3499
0.1164
11
6.0
0.5238
0.3598
0.3499
0.1640
12
7.0
0.5714
0.4007
0.3927
0.1707
13
9.0
0.6190
0.4810
0.4768
0.1380
14
9.1
0.6667
0.4849
0.4809
0.1817
15
15.2
0.7143
0.6929
0.6977
0.0214
16
21.0
0.7619
0.8251
0.8325
0.0632
17
24.0
0.8095
0.8714
0.8787
0.0619
18
28.0
0.8571
0.9156
0.9221
0.0585
19
32.0
0.9048
0.9451
0.9503
0.0403
20
40.8
0.9524
0.9790
0.9819
0.0266
m
X
1
2.0
2
P(X)
Ajuste con momentos ordinarios:
Como el delta teórico 0.1817, es menor que el delta tabular 0.3041. Los datos se ajustan a la distribución Gumbel, con un nivel de significación del 5%
Parámetros de la distribución Gumbel: Con momentos ordinarios:
Parámetro de posición (µ)= 6.1976 Parámetro de escala (alfa)= 8.9783 Con momentos lineales:
Parámetro de posición (µl)= 6.4203 Parámetro de escala (alfal)= 8.5924 11
m 1
X
P(X)
F(Z) Ordinario
F(Z) Mom Lineal
Delta
2.0
0.0476
0.0866
0.0920
0.0390
2
2.4
0.0952
0.1210
0.1269
0.0257
3
3.0
0.1429
0.1748
0.1808
0.0320
4
3.0
0.1905
0.1748
0.1808
0.0157
5
3.0
0.2381
0.1748
0.1808
0.0633
6
3.0
0.2857
0.1748
0.1808
0.1109
7
3.6
0.3333
0.2286
0.2342
0.1047
8
4.5
0.3810
0.3056
0.3100
0.0754
9
5.0
0.4286
0.3455
0.3491
0.0831
10
6.0
0.4762
0.4185
0.4205
0.0577
11
6.0
0.5238
0.4185
0.4205
0.1053
12
7.0
0.5714
0.4827
0.4831
0.0887
13
9.0
0.6190
0.5875
0.5854
0.0315
14
9.1
0.6667
0.5920
0.5898
0.0746
15
15.2
0.7143
0.7802
0.7745
0.0659
16
21.0
0.7619
0.8671
0.8611
0.1052
17
24.0
0.8095
0.8950
0.8893
0.0855
18
28.0
0.8571
0.9216
0.9163
0.0644
19
32.0
0.9048
0.9402
0.9355
0.0354
20
40.8
0.9524
0.9650
0.9614
0.0126
C) DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL DE 2 PARÁMETROS
12
TR (Años)
Ajuste
VALORES DE PREC. MÁX. EN 24 HORAS DISTRIBUCIONES NORMAL GUMBELL LOG NORMAL DE 2 PAR.
5 10 25 50 100 200
21.07
19.66
16.22
26.14
26.40
24.65
31.54
34.92
38.50
35.03
41.23
51.35
38.17
47.50
66.53
41.05
53.75
84.32
con
momentos ordinarios:
Como el delta teórico 0.1109, es menor que el delta tabular 0.3041. Los datos se ajustan a la distribución logNormal 2 parámetros, con un nivel de significación del 5%
Parámetros de la distribución logNormal: Con momentos ordinarios:
Parámetro de escala (µy)= 1.9871 Parámetro de forma (Sy)= 0.95 Con momentos lineales:
Parámetro de escala (µyl)= 1.9871 Parámetro de forma (Syl)= 0.9741 Debido a que los tres métodos son confiables, procedemos a utilizar los mismos para calcular los valores de precipitación máxima en 24 horas, para distintos tiempo de retorno con ayuda del programa HIDROESTA:
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VII.- BIBLIOGRAFIA
“FUNDAMENTOS DE HIDROLOGÍA DE SUPERFICIE”; Aparicio Mijares, Francisco J., Edt LIMUSA
http://es.wikipedia.org
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