UNIDAD II.- TORNILLOS DE SUJECION Y DE POTENCIA. 2.1.- INTRODUCCIÓN Y NOMENCLATURA. Un torn tornil illo lo es un disp dispos osit itiv ivo o que que se util utiliz iza a en la ma maqu quin inar aria ia para para conv co nver erti tirr un giro giro o despl desplaz azam amie ient nto o angu angula larr en un despl desplaz azam amie ient nto o rectilíneo, y transmitir así, la acción de una fuerza o potencia mecánica. Cada uno de los elementos de máquinas tiene una terminología única. En la figura (3.1) se describen la terminología y las dimensiones de las partes roscadas.
Figura (2.1).- Parámetros que se emplean para definir la terminología de un perfil roscado. De la figura anterior se tiene que:
d = diámetro mayor d c = diámetro de la cresta d p =
diámetro de paso d r = diámetro de la raíz ht = altura más grande de la
rosca
β =
ángulo de la rosca
Dos términos importantes son: a).- Paso ( p ).- Es la distancia desde un punto sobre una rosca hasta el mismo punto en una rosca adyacente. En la nomenclatura americana 60
p
=
1 n
---------------------------- (2.1)
en donde p = paso en pulgadas. n = número de roscas por pulgada. b).- Avance ( l ).- Es la dist distan anccia que que se desp despllaza aza una una tue tuerca rca paralelamente al eje de la rosca de un perno, cuando se le da una vuelta completa. l =mp
---------------------------- (2.2)
De ésta manera para un tornillo tornillo de rosca sencilla l = p y para un tornillo de rosca doble l = 2 p , etc. En la figura (2.2) se observan las diferencias entre tornillos de rosca sencilla, doble y triple.
Figura (2.2).- Tornillos de rosca a) simple, b) doble, c) triple. Se pueden usar diferentes perfiles de rosca para una amplia variedad de aplicaciones. En la figura (2.3) se presentan dos tipos. El perfil Acme se utiliza en los tornillos de potencia y en roscas de máquinas herramientas. Otro perfil es el unificado (UN) que se utiliza también con mucha frecuencia. El perfil Acme tiene un ángulo de rosca de 29 o , mientras que el unificado (UN) tiene un ángulo de rosca de 60 o . El perfil métrico (M) es popular y muy similar al perfil UN.
Figura (2.3).- Perfiles Perfiles de rosca. a) Acme; Acme; b) UN.
61
p
=
1 n
---------------------------- (2.1)
en donde p = paso en pulgadas. n = número de roscas por pulgada. b).- Avance ( l ).- Es la dist distan anccia que que se desp despllaza aza una una tue tuerca rca paralelamente al eje de la rosca de un perno, cuando se le da una vuelta completa. l =mp
---------------------------- (2.2)
De ésta manera para un tornillo tornillo de rosca sencilla l = p y para un tornillo de rosca doble l = 2 p , etc. En la figura (2.2) se observan las diferencias entre tornillos de rosca sencilla, doble y triple.
Figura (2.2).- Tornillos de rosca a) simple, b) doble, c) triple. Se pueden usar diferentes perfiles de rosca para una amplia variedad de aplicaciones. En la figura (2.3) se presentan dos tipos. El perfil Acme se utiliza en los tornillos de potencia y en roscas de máquinas herramientas. Otro perfil es el unificado (UN) que se utiliza también con mucha frecuencia. El perfil Acme tiene un ángulo de rosca de 29 o , mientras que el unificado (UN) tiene un ángulo de rosca de 60 o . El perfil métrico (M) es popular y muy similar al perfil UN.
Figura (2.3).- Perfiles Perfiles de rosca. a) Acme; Acme; b) UN.
61
En la figura (2.4) se muestran detalles de los perfiles de rosca M y UN:
Figura (2.4).- Detalles de los perfiles de rosca M y UN. Por medio de la figura anterior se obtiene lo siguiente: ht
=
0.5 p = tan30 o
p 0.866
------------------------- (2.3)
(altura máxima posible de la
rosca ) dr d c
=−
p 1.0825
------------------------------------------------------ (2.4) (2.4)
(diámetro (diámetro de la raíz raíz de la
rosca) d p d c
= −
0p .6495
----------------------------- (2.5) (diámetro de paso)
El término “series de rosca” se puede aplicar a las roscas de cualquier tamaño. Cada una de las series de rosca tiene el mismo número de roscas por pulgada. Las ocho series series de rosca UN de paso constante son 4, 6, 8, 12, 16, 20, 28 y 32 roscas por pulgada.
62
Además de las series de rosca, los perfiles de rosca se clasifican por la basteza, la cual se refiere a la calidad y al número de roscas por pulgada producidas sobre un diámetro común del sujetador. Las designaciones que siguen después de las siglas UN significan lo siguiente: 1.- C = roscas de paso basto 2.- F = roscas de paso fino 3.- EF = roscas de paso extrafino Después de la designación de la basteza se continúa con el diámetro medio en pulgadas y con el número de roscas por pulgada. Por ejemplo, UNF 1/2 x 16 significa un perfil de rosca UN con roscas de paso fino, un diámetro de cresta de 1/2 pulgada, y 16 roscas por pulgada. En el caso de las roscas métricas generalmente se consideran solo las designaciones basta o fina. Por ejemplo, MF 6x1 significa un perfil de rosca M con roscas de paso fino, un diámetro de cresta de 6 mm y una distancia de paso de 1 mm. Las clasificaciones anteriores solo son aplicables para roscas individuales pero no se toma en cuenta como se ajustan las partes macho y hembra del sujetador. En las unidades inglesas las roscas externas se designan por medio de la letra A, mientras que las internas por la letra B. Existen tres clases de ajuste: 1 (ajuste más suelto), 2 (ajuste normal) y 3 (ajuste apretado). Por ejemplo UNC 2x8 - 1B significa un perfil de rosca UN con rosca de paso basto, un diámetro de cresta de 2 pulgadas, 8 roscas de paso constante por pulgada y un ajuste suelto, especificando la parte interna del sujetador.
2.2.- TORNILLOS DE POTENCIA. Los tornillos de potencia son dispositivos que transforman un movimiento angular en un movimiento lineal y se utilizan generalmente para transmitir potencia. Estos dispositivos se utilizan para: a).- Obtener una ventaja mecánica mayor al levantar una carga. b).- Ejercer fuerzas de gran magnitud, como en compactadores. c).- Obtener un posicionamiento preciso de un movimiento axial. En los tornillos de potencia se usa el perfil de rosca Acme el cual se detalla más ampliamente en la siguiente figura:
63
Figura (2.5).- Detalles del perfil de rosca Acme.
En la tabla (2.1) que se muestra a continuación, se proporciona el diámetro de la cresta, el número de roscas por pulgada, y las áreas de esfuerzo de tensión y compresión para las roscas de tornillos de potencia Acme. Diámetro de cresta, d c , pul
Número de roscas por pulgada, n
Área del esfuerzo de tensión, At , pul2
1/4 5/16 3/8 7/16 1/2 5/8 3/4 7/8 1 11/8 11/4 13/8 11/2 13/4 2
16 14 12 12 10 8 6 6 5 5 5 4 4 4 4
0.02632 0.04438 0.06589 0.09720 0.1225 0.1955 0.2732 0.4003 0.5175 0.6881 0.8831 1.030 1.266 1.811 2.454 64
Áreas, de los esfuerzos cortantes, As , pul2 0.3355 0.4344 0.5276 0.6396 0.7278 0.9180 1.084 1.313 1.493 1.722 1.952 2.110 2.341 2.803 3.262
21/4 21/2 23/4 3 31/2 4 41/2 5
3 3 3 2 2 2 2 2
2.982 3.802 4.711 5.181 7.330 9.985 12.972 16.351
3.610 4.075 4.538 4.757 5.700 6.640 7.577 8.511
Tabla (2.1).- Diámetros de cresta, roscas por pulgada y esfuerzos para rosca Acme. El área del esfuerzo de tensión es: d r +d p 2 At = 4 2 π
-------------------------------- (2.6)
El diámetro de paso de una rosca de tornillo de potencia Acme es: d p d c
=−
p0.5
−
0.01
-------------------------- (2.7.) para
d c
y
p
en pulgadas.
En la figura siguiente se muestra una carga W dentro de la cual se rosca el tornillo de soporte y la cual se puede elevar o bajar girando el tornillo. En ésta figura se muestra también el ángulo de la rosca de un tornillo Acme β , el cual es de 29o, y el ángulo de avance α .
Figura (2.6).- Dimensiones y ángulos de un tornillo de potencia con collarín.
65
El ángulo de avance α relaciona el avance con la circunferencia de paso por medio de la siguiente expresión: α
= tan −1 π d l p
Donde
----------------------------- (2.8) l = avance = mp m = 1, tornillo de m = 2, tornillo de m = 3, tornillo de
roscado sencillo roscado doble roscado triple d p = diámetro de paso La distancia recorrida en la dirección axial se determina como sigue: d s no l nomp ==
no =
(
)
--------------------------- (2.9)
número de revoluciones
La figura (2.7) nos muestra las fuerzas que actúan al levantar una carga con un tornillo de potencia.
66
(c)
Figura (2.7).- Fuerzas para elevar una carga con un tornillo de potencia. En esta figura se tiene: (a)Fuerzas que actúan sobre el paralelepípedo. (b)Fuerzas que actúan sobre la sección axial. (c) Fuerzas que actúan sobre un plano tangencial. 2.2.1.- Elevación de la carga. Observando las figuras (2.7a) y (2.7b) obtenemos la siguiente relación:
= cos θ n cos α tan β / 2 ∴
senθ n
------------------------------- (2.10) Sumando las fuerzas verticales de la figura (2.7c) se obtiene la siguiente expresión: 1 tan (c os tan /2) αβ
θn
=
P n
=
−
W α sen cos θncosα µ −
------------------------------------- (2..11)
El par de torsión que se requiere para elevar la carga es, (d p/ 2)(cos
T =W
en donde
tan α µ )+ nθ
+
cos θn − µtan α
r
c µ c
-------------------- (2.12)
µ = coeficiente de fricción entre las roscas µ c = coeficiente de fricción para el collarín r c =
radio del collarín
67
2.2.2.- Bajada de la carga. Al sumar las fuerzas verticales debe tenerse en cuenta el signo de las componentes de la fuerza de fricción, ya que éstas cambian de signo. La expresión que se obtiene es: P n
=
----------------------------------- (2.13)
W + sen cos θn cosαµ α
El par de torsión que se requiere para bajar la carga es, − θntanα ) (d p/ 2)( µcos + r cos θn + µtanα
T =W
c µ c
----------------- (2.14)
2.2.3.- Potencia y eficiencia. 2.2.3.1.- Potencia. Una vez que se conoce el par de torsión T , podemos determinar la potencia que se transfiere por el tornillo mediante la siguiente expresión: --------------------------- (2.15)
H = Tn
63025
en donde
= potencia en hp n = rpm del tornillo T = par de torsión en lb-pul
H
En el sistema internacional, ----------------------------------- (2.16)
H T
=
en donde
H = potencia en Watts T = par de torsión en N–m
ω = velocidad angular en rad/seg
2.2.3.2.- Eficiencia. La eficiencia de un mecanismo de tornillo es la razón entre el trabajo de salida y el trabajo de entrada, o e = Wl × 100 2π T
----------------------------- (2.17) 68
en donde
e = eficiencia en % l = avance, m, pul W = carga, N, lb
2.2.3.1.- Tornillos de autobloqueo. Si la rosca de un tornillo es muy pronunciada (es decir, tiene un ángulo de avance grande), quizá la fuerza de fricción no sea capaz de parar la tendencia de la carga a deslizarse hacia abajo del plano, y la gravedad causará que la carga caiga. Generalmente, en los tornillos de potencia el ángulo de avance es pequeño y la fuerza de la interacción de la rosca es lo bastante grande para oponerse a la carga y evitar que ésta se deslice. Un tornillo como éste se denomina de “autobloqueo ”, característica deseable en un tornillo de potencia. Si la fricción en el collarín es cero, de la ecuación (2.14) el par de torsión que se requiere para bajar la carga es negativo si µ − cosθ n tan α ≥ 0 .De esta forma, bajo condiciones estáticas el autobloqueo ocurre si µ > cos θ α tan = n
l cos θ n π d p
------------- (2.18)
2.3.- SUJETADORES ROSCADOS. Un sujetador es un dispositivo que sirve para conectar o unir dos o más elementos. El sujetador más común es el roscado, el cual se utiliza para sujeciones no permanentes; es decir, que puede ser desensamblado fácilmente sin recurrir a su destrucción como ocurriría con otro tipo de uniones tales como las remachadas o soldadas. 2.3.1.- Tipos de sujetadores roscados. La siguiente figura representa tres tipos de sujetadores roscados: a).- De perno y tuerca, b).- Tornillo de cabeza, c).- Birlo. 69
Figura (2.8).- Tres tipos de sujetadores roscados. (a) Perno y tuerca; (b) Tornillo de cabeza; (c) Birlo. 2.3.2.- Análisis de carga de pernos y tuercas. El perno y la tuerca se pueden considerar como un sistema de resortes como se presenta en la figura siguiente:
Figura (2.9).- Ensamble de perno y tuerca, simulado mediante un resorte de perno y junta. El perno se considera como un resorte de tensión con una rigidez k b . La junta que une varios miembros, se considera como un resorte de rigidez k j . Cuando se aplica una carga externa a la junta se tiene lo siguiente:
70
(extensión del perno = reducción en la contracción de
la junta)
Figura (2.10).- Fuerzas contra deflexión del perno y junta cuando se aplica una carga externa. De la figura (2.10) se tiene que: P b =
carga sobre el perno P j = carga sobre la junta P i = precarga P = incremento en P b más la disminución en P j De acuerdo con la figura (2.10) se obtiene lo siguiente: P + Pi − k j ek ek =
P kb +k j
− Pi − kb ek = 0∴ ------------------------ (2.19)
La carga sobre el perno es: Pb =Pi +kbe= Pi k +
Pk b Pi CkP kb + k j
= +
---------------------- (2.20)
en donde C k =
k b kb +k j
--------------------------- (2.21)
rigidez) 71
(parámetro adimensional de la
La carga sobre la junta es: P j
Pk j
= Pi − k j ek = Pi − k
= Pi − (1− Ck ) P ∴
------------- (2.22)
C (1k P )
P j Pi
j + k b
=− −
2.3.3.- Rigidez del perno. Parámetros de rigidez.
La constante de resorte se determina dividiendo la carga normal entre la deflexión elástica, esto es k = P δ
P ∴ = PL
k AE =
L
AE
------------------ (2.23)
El perno se trata como un resorte en serie cuando se consideran el cuerpo y la sección roscada. El perno también puede tener diámetros diferentes debido a otras especificaciones, por lo que su rigidez se determina como sigue: 1 kb
1 kb
=
+
1
1+ 1 + kb kb 2
3
L
------- (2.24)
La siguiente figura representa el ensamble de un perno y una tuerca.
72
Figura (2.11).- Ensamble de perno y tuerca De acuerdo con la figura (2.11) la rigidez del perno se calcula mediante la expresión 1 kb
L = π 4E s2+ dc
en donde
Lt
-------------------- (2.25)
d r 2
d c =
diámetro de la cresta, m o pul d r = diámetro de la raíz, m o pul L s = longitud sólida en la junta Lr = longitud roscada en la junta
Para roscas estandarizadas la longitud roscada total se calcula por las siguientes expresiones:
Lt
2d c +6 mm = 2d c + 12 mm 2d c +25 mm
L≤ 125, d ≤c 48 mm
< ≤L 125
200 mm
L> 200 mm
(roscas métricas) -------------------------
(2.26) ≤ 6 pul 2dc +0.25 pul L > 6 pul 2dc +0.50 pul L
Lt =
en donde
(serie en pulgadas) ----------------------- (2.27)
Lt =
longitud total roscada en el tornillo L = longitud total del perno d c = diámetro de la cresta
2.3.4.- Rigidez de la junta. El cálculo de la rigidez de la junta es mucho más complicado que la determinada para el perno. Una de las aproximaciones más frecuentes es que el esfuerzo que se induce en la junta es uniforme en toda la región que rodea al agujero del perno, con un esfuerzo nulo fuera de esa región. Con frecuencia se emplean dos troncos cónicos simétricos alrededor del plano medio de la junta; cada uno con un ángulo del vértice α . En la figura siguiente se representa el esfuerzo del tronco cónico de la junta en un ensamble de perno y tuerca. Debemos notar que d w es el diámetro de la arandela.
73
Figura (2.12).- Ensamble de perno y tuerca con representación del esfuerzo del tronco cónico de la junta. Para determinar la rigidez de la junta, se recomienda la siguiente expresión: Eid c tan α
π
=
k ji
(2 Li tan +di −d c )(d i d+ c ) (2 Li tan +di +dc)( di− d c) α
ln
en donde Con k ji
------------------------- (2.28)
α
Li =
longitud axial del tronco cónico, m d i = diámetro del tronco cónico, m
α = 30o ,
la ecuación (2.28) queda
0.577 π Eid c
=
(1.15 Li +di−d c )(d i +dc ) (1.15 Li +di+d c)( di− d c)
ln
Siempre se usa el más pequeño de los diámetros de los troncos cónicos. Para el miembro más cercano a la cabeza del perno o de la tuerca di = d w = 1.5d c . La rigidez resultante de la junta es 1
k j
=
1
kj
+
1
1+
kj
2
1
+
kj
.......
3
---------------------- (2.29)
2.3.5.- Resistencia. Carga de prueba de un perno ( P p ) .- Es la carga máxima que un perno
puede soportar sin adquirir una deformación permanente.
74
Resistencia de prueba ( S p ) .- Es el valor límite del esfuerzo que se
determina usando la carga de prueba y el área de esfuerzo de tensión; esto es, S p
=
P p At
------------------------- (2.30)
La resistencia de prueba define los grados de los pernos o clases en la que se especifica el material, el tratamiento térmico y la resistencia de prueba mínima para el perno o el tornillo. En las tablas (2.2) y (2.3) se proporciona la información de la resistencia para pernos grados SAE y métricos respectivamente.
Grado SAE
1 2 4 5 7 8
Rango de Resistencia Resistenci Resistenc los a la rotura a a la ia de diámetros por tensión, fluencia, prueba, S ut , kpsi S y , S p , de la cresta d c , kpsi kpsi pul ¼ - 11/2 60 36 33 ¼-¾ 74 57 55 1 > ¾ - 1 /2 60 36 33 1 ¼ - 1 /2 115 100 65 ¼-1 120 92 85 1 > 1 - /2 105 81 74 1 ¼ - 1 /2 133 115 105 1 ¼ - 1 /2 150 130 120
Tabla (2.2).- Resistencia de pernos de acero para varios tamaños en pulgadas. Diámetro Resistencia Resistenci Resistenc Grado de la a la rotura a a la ia de métrico cresta d c , por tensión, fluencia, prueba, S ut , MPa S y , S p , mm MPa MPa 75
4.6 4.8 5.8 8.8 9.8 10.9 12.9
M5-M36 M1.6-M16 M5-M24 M17-M36 M1.6-M16 M6-M36 M1.6-M36
400 420 520 830 900 1040 1220
240 340 415 660 720 940 1100
225 310 380 600 650 830 970
Tabla (2.3).- Resistencia de pernos de acero para varios tamaños en milímetros. En la tabla (2.4) se dan las dimensiones y las áreas de esfuerzo de tensión para roscas bastas y finas UN. La ecuación para las áreas de esfuerzo es At
=
(
(0.784)d − c
en donde
0.9743 n
)
2
--------------------------- (2.31)
d c = diámetro de la cresta n = número de roscas por
pulgada
Roscas bastas Roscas finas (UNF) (UNC) Número Área del Número Área del Diámetro de esfuerzo de esfuerzo de la cresta roscas de roscas de por tensión, por tensión, d c , pul pulgada, pulgada, At , At , n n pul2 pul2 0.0600 80 0.00180 0.0730 64 0.0026 72 0.00278 3 0.0860 56 0.0037 64 0.00394 0 0.0990 48 0.0048 56 0.00523 7 0.1120 40 0.0060 48 0.00661 4 0.1250 40 0.0079 44 0.00830 6
76
0.1380
32
0.1640 0.1900 0.2160 0.2500 0.3125 0.3750 0.4735 0.5000 0.5625 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000 1.1250 1.2500 1.3750 1.5000 1.7500 2.0000
32 24 24 20 18 16 14 13 12 11 10 9 8 7 7 6 6 5 41/2
0.0090
9 0.0140 0.0175 0.0242 0.0318 0.0524 0.0775 0.1063 0.1419 0.182 0.226 0.334 0.462 0.606 0.763 0.969 1.155 1.405 1.90 2.50
40
0.01015
36 32 28 28 24 24 20 20 18 18 16 14 12 12 12 12 12 -
0.01474 0.0200 0.0258 0.0364 0.0580 0.0878 0.1187 0.1599 0.203 0.256 0.373 0.509 0.663 0.856 1.073 1.315 1.581 -
Tabla (2.4).- Dimensiones y áreas del esfuerzo a tensión para roscas UN bastas y finas. En la tabla (2.5) se dan las dimensiones y las áreas de esfuerzo de tensión para perfiles de rosca M. La ecuación correspondiente para las áreas de esfuerzo es At
(0.7854d )(c
=
−
0.938 p2 )
2
--------------------------------- (2.32)
En ésta ecuación tanto el diámetro de la cresta en milímetros.
Roscas bastas (MC)
77
d c como
el paso p están
Roscas finas (MF)
Diámetro Área de la Paso p del Paso p mm esfuerzo mm cresta d c de tensión mm At , mm2 1 0.25 0.460 1.6 0.35 1.27 0.20 2 0.40 2.07 0.25 2.5 0.45 3.39 0.35 3 0.50 5.03 0.35 4 0.70 8.78 0.50 5 0.80 14.20 0.50 6 1.00 20.10 0.75 8 1.25 36.6 1.00 10 1.50 58.0 1.25 12 1.75 84.3 1.25 16 2.00 157 1.50 20 2.50 245 1.50 24 3.00 353 2.00 30 3.50 561 2.00 36 4.00 817 3.00 42 4.50 1121 48 5.00 1473 -
Área del esfuerzo de tensión At , mm2 1.57 2.45 3.70 5.61 9.79 16.1 22 39.2 61.2 92.1 167 272 384 621 865 -
Tabla (2.5).- Dimensiones y áreas de esfuerzo a tensión para roscas métricas bastas y finas. 3.3.6.- Perno precargado (Carga estática). La ecuación (2.20) se puede escribir en términos del esfuerzo como sigue: P P i σ b = b= + At
At
k C A
P
t
---------------------------- (2.33)
La resistencia límite se determina por P At
S p = i+
PmáxnsC k At
en donde
------------------------------ (2.34)
At =
área del esfuerzo de tensión P i = Precarga
78
A partir de la ecuación (2.34) se obtiene el factor de seguridad de la falla del perno: n sb
A S p −P i
= P t
b ,máxC k
en donde
--------------------------------- (2.35) P b,máx =
carga máxima aplicada sobre el perno
2.3.6.1.- Separación de la junta. La separación ocurre cuando en la ecuación (2.22) P j = 0. De esta forma, el factor de seguridad que protege contra la separación es n sj =
P i P j ,máx (1− C k )
en donde
--------------------------- (2.36) P j , máx =
carga máxima aplicada a la junta
La cantidad de precarga que se aplica a los pernos bajo condiciones estáticas, es un término medio entre la sobrecarga del perno y la separación. La precarga se da para conexiones reutilizables y permanentes como 0.75 P p para conexiones reutilizables P i = 0.90 P p para conexiones permanentes
------------------- (2.37)
en donde P p = S p At = carga límite En la práctica las precargas raramente se especifican debido a que éstas son muy difíciles de medir durante el ensamble de las conexiones con pernos; sin embargo se tienen dos alternativas: 1.- Se especifica un par de torsión para su aplicación durante el apriete, el cual se controla mediante un torquímetro. 2.- Se define un número de rotaciones de un “ estado ajustado”, como el de una media vuelta. 2.3.7.- Perno precargado (Carga dinámica). 79
El efecto de la precarga es mayor para las juntas cargadas dinámicamente que para las cargadas estáticamente. Como es más probable que la falla por carga cíclica ocurra para el perno, solo se analiza éste elemento. Las cargas alternante y media que actúan sobre el perno se determinan por las expresiones siguientes: Pba
=
Pbm
Pbmáx P − , b,min = 2
=
------------------------------ (2.38)
Ck P ( máx P − m ) = CkP ain 2
Pbm + , áx P b ,min Pi = + 2
---------------- (2.39)
Ck P ( máx P + m )in Pi CkP m 2
= +
Los esfuerzos alternante y medio se expresan como =
σ a
σ m
Ck Pans At
=
----------------------------------- (2.40)
Pi +Ck Pmns At
------------------------------ (2.41)
El factor de seguridad no se aplica a la precarga. El factor de seguridad se determina mediante el criterio de falla por fatiga de Goodman. La teoría de Goodman se expresa como sigue: K f σ a Se
n s
=
K f =
σ
+S m= ut
--------------------------------- (2.42)
1
S ut −σ i
P C k K f a At
( SSute ) +P Amt
-------------------- (2.43)
factor de concentración de esfuerzos por fatiga
Grado Grado Roscas Roscas Filet SAE métrico laminad cortada e as s 0 - 2 3.6 – 5.8 2.2 2.8 2.1 4-8 6.6 – 3.0 3.8 2.3
80
10.9 Tabla (2.6).- Factores de concentración de esfuerzos por fatiga K f para elementos roscados.
Altura H Tamañ Anch o o nomin W al pul 1/4 7/16 5/16 ½ 3/8 9/16 7/16 11/1 6 1/2 ¾ 9/16 7/8 5/8 15/1 6 3/4 11/8 7/8 15/16 1 11/2 11/8 111/16 11/4 17/8 13/8 21/16 11/2 21/4
Hexago nal regular
Gruesa Contrao tuerca ranura da
7/32 17/64 21/64 3/8
9/32 21/64 13/32 29/63
5/32 3/16 7/32 ¼
7/16 31/64 35/64
9/16 39/64 23/32
5/16 5/16 3/8
41/64 ¾ 55/64 31/32 11/16 111/64 19/32
13/16 29/32 1 5 1 /32 11/4 13/8 11/2
27/64 31/64 35/64 39/64 23/32 25/32 27/32
Altura H Tamañ Anch o o nomin W al mm
Hexago nal regular
81
Gruesa Contrao tuerca ranura da
M5 M6 M8 M10 M12 M14 M16 M20 M25 M30 M36
8 10 13 16 18 21 24 30 36 46 55
4.7 5.2 6.8 8.4 10.8 12.8 14.8 18.0 21.5 25.6 31.0
5.1 5.7 7.5 9.3 12.0 14.1 16.4 20.3 23.9 28.6 34.7
2.7 3.2 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 10.0 12.0 15.0 18.0
Tabla (2.7).- Dimensiones de tuercas hexagonales
Problema 2.1- Un tornillo de potencia Acme de rosca doble se usa para levantar una carga de 1350 lb. El diámetro exterior del tornillo es de 1.25 pul y el diámetro medio del collarín es de 2 pul. Los coeficientes de fricción son 0.13 para la rosca y 0.16 para el collarín. Determinar lo siguiente: a).- El par de torsión requerido para levantar y bajar la carga. b).- Las dimensiones geométricas del tornillo. c).- La eficiencia al levantar la carga. d).- La carga correspondiente a la eficiencia, si la eficiencia al levantar la carga es de 18 %. Solución: b).- De la tabla (2.1) para un diámetro de la cresta de 1.25 pul, N = 5 roscas por pulgada. El paso p = 1/N = 1/5 = 0.2 Para rosca doble el avance es l = mp = 2(0.2) = 0.4 pul El diámetro de paso es d p = dc − 0.5 p − 0.01 = 1.25 – 0.5(0.2) – 0.01 =1.14 pul
0.4 = 6.373o Ec (2.8): α = tan −1 π d l = tan −1 ( 1.14 π ) p
Ec (2.10): θn = tan −1(cos α tan β / 2) = tan −1 (cos 6.373 o)(tan14.5 o) = 14.414o
82
a).- Para elevar la carga:
Ec (2.12):
T
( d /2)(cosθ tan α + µ ) = W p cosθ − µn tan α + r c µ c ∴ n
( 1.14 ) (cos14.41o tan 6.373o + 0.13) 2 T = 1350 + (1)(0.16) = 408 lb-pul ∴ cos14.414o − 0.13tan 6.373o
T
408lb-pu l
=
(d p / 2)( µ − cos θn tan α ) = W Para bajar la carga: Ec (2.14): cosθn + µ tan α + r c µ c ∴ ( 1.14 ) (0.13− cos14.41o tan6.373o ) 2 T = 1350 + (1)(0.16) = 233 lb-pul ∴ cos14.414o + 0.13tan 6.373o T
T
c).- Ec (2.17):
e = Wl × 100 = 1350 x 0.4 ×100 = 21.06 % ∴ 2π T 2π (408)
d).- e = Wl ×100 ∴W = 2π (408)(18) = 1153.59 lb ∴ 2π T 100 x 0.4
W
e
233lb-pu l
=
2 1 . 0 6 %
=
1 1 5 3 .5 9 lb
=
Problema 2.2.- Un perno M12 de paso basto, clase 5.8 ensamblado con una tuerca hexagonal sirve para mantener unidas dos partes de una máquina, como se muestra en la figura., determinar: a).- La rigidez del perno y el miembro. b).- La carga externa máxima que el conjunto puede soportar para un factor de seguridad de la carga de 2.5. c).- El factor de seguridad que protege contra la separación de los miembros.. d).- El factor de seguridad que protege contra la fatiga si una carga externa repetida de 10 KN se aplica al conjunto de ensamble.
83
Solución: (a). Rigidez del perno y el miembro: Los módulos de elasticidad son: Para el aluminio: E al = 72 GPa Para el acero: E ac = 207 GPa, De la tabla (2.5) de tiene que: d c =12mm, p = 1.75 mm , De la figura del problema: Lt = 20 mm, L s = 40 mm 0.5 p ht = = 0.866 p = 1.5155 mm o
At =
84.3 mm2
tan30
De la figura (2.4) se obtiene el diámetro de la raíz: dr
= dc − 2(0.625ht ) = 12 − 2(0.625 x1.5155) = 10.1056 mm
La rigidez del perno se obtiene como sigue: Lt + 0.4d r 1 4 Ls +0.4d c = + ∴ 2 π E kb d r dc2 0.04+ 0.4(0.012) + 0.02+ 0.4(0.0101056) ∴ 1 4 = 9 2 2 k b (0.012) (0.0101056) π (207 x10 )
kb
=297.4M 6N 8 m/
La rigidez de la junta se obtiene a partir de la ecuación (2.26): k ji
=
π Ei d c tan α
( 2 Li tan α + di −d c )(di + dc ) (2 Li tan α + di +dc )(di −d c )
ln
---------------- (a)
84
Tramo I, E1 = E al = 72 GPa , m
d1 = 1.5d c
= 1.5(12) = 18 mm,
L1 =
30 mm = 0.03
En la ecuación (a) se tiene: k j1 =
π (72 x109 )(0.012)tan30o
(0.06tan30o +0.018−0.012)(0.018 +0.012) = o (0.06tan30 +0.018+0.012)(0.018 −0.012)
1,368.226 MN/m
ln
Tramo II, m k j 2
E II = E 1 = 72 GPa ,
d 2 =
2(25)tan30o + 18 = 46.87 mm = 0.04687
π (72 x109 )(0.012)tan30o
=
(0.01tan 30o +0.04687 −0.012)(0.04687 +0.012) = o (0.01tan 30 +0.04687 +0.012)(0.04687 −0.012)
ln
Tramo III, E III = E ac = 207 Gpa, k j 3
1 k j
=
d3
26,269.07 MN/m
= d 1 = 18 mm = 0.018 m
π (207 x109 )(0.012) tan30o
(0.05tan30o +0.018−0.012)(0.018 +0.012) ln o (0.05tan30 +0.018+0.012)(0.018 −0.012)
=
4,149.80 MN/m
1 1 1 ∴ = k1 + k 1 + k 1 = 1,368.226 + 26,269.07 + 4,149.8 j1
j2
j3
k j
990.18M N/m
=
El parámetro de la rigidez de la unión es: C k =
k b kb + k j
297.468 = 297.468 + 990.18 = 0.231
(b).- Carga externa máxima que puede soportar el conjunto : Tabla (2.3) para un perno de grado 5.8, = 415 MPa
85
S p =
380 MPa,
S ut =
520 MPa,
S y
Pi
= 0.75P p = 0.75(380x10 6)(84.3x10 -6) = 24.025 KN
n sb
At S p − P i
= P
b,máx Ck
∴ P b, máx =
(84.3 x10−6 )(380 x106 ) − 24,025 = 13868.4 N 0.231x2.5
∴
13.868kN
P bm , áx
=
(c).- Factor de seguridad contra la separación de la junta: n sj
P i j , máx (1−Ck )
24,025 = 13,868.4 ∴ x(1−0.231) =2.25
= P
n s
2.25
=
(d).- Factor de seguridad que protege contra la fatiga: Pa At
= Pmáx2−AP min =
10,000−0 6 2 x84.3x10−
= 59.31 MPa
Pm At
=
Pmáx + P min 2 At
10,000+0 2 x84.3 x10−6
= 59.31 MPa
σ i
= A P i =
Se
= ka kb kc k r kd S e′ = (1)(1)(1)(1)(1)(0.45x520) = 234 Mpa
t
t
=
24,025 6 84.3 x10 −
= 285 MPa
Tabla (2.6) para roscas laminadas K f = 2.2 n s
=
S ut −σ i
P Ck K f a At
( ) Sut Se
P + m At
=
520 −285 (0.231) 2.2 x59.31( 520 ) +59.31 234
= 2.9 ∴
n s = 2.9
Problema 2.3.- Un perno ISO M12x1.75, clase = 12.9 se usa para sujetar tres miembros, como se observa en la figura. El primer miembro es hierro fundido ( E = 172 GPa ); el segundo, de acero de bajo carbono ( E = 207 GPa ), y el tercero, de aluminio ( E = 69 GPa ). El factor de seguridad
86
para carga estática es de 2.5. Las dimensiones se dan en milímetros. Determine a).- La longitud total, la longitud roscada y la longitud roscada en la junta. b).- La rigidez del perno y la junta usando un cono de 30o. c).- La precarga para conexiones permanentes. d).- La carga estática máxima que el perno puede soportar.
Solución: Suponer una longitud total del tornillo L = 80 mm . De la tabla (2.5) para un diámetro de la cresta d c = 12 mm , área de esfuerzo de tensión At = 84.3 mm 2 y paso p = 1.75 mm Ecuación (2.3) altura máxima posible de la rosca: ht =
0.5 p tan 30
o
Ecuación dr
=
0.5(1.75) tan 30
o
(2.4)
diámetro
de
la
raíz:
= dc − 1.0825 p = 12 − 1.0825(1.75) = 10.1056 mm
Tabla (2.3)
para tornillos M1.6-M36, la resistencia de prueba es
= 970 MPa
S p
Rigidez Lt
= 1.5155 mm
del
tornillo:
Longitud
roscada:
ecuación
= 2d c + 6 mm = 2(12) + 6 = 30 mm Longitud no roscada: L s = L − Lt = 80 − 30 = 50 mm
Ecuación (2.25) 1 kb
k b
0.05+0.4×(0.012) + 0.015+0.4(0.010105) ∴ dc Lt +0.4 d r 1 = π 4E L s +0.4 + = 2 2 9 2 d r (0.010105) dc π (207×10 ) (0.012) 2 =289.62MPa
87
(3.26)
k ji
Rigidez de la junta:
π Eid c tan α
=
( 2 Li tan α + di − d c)( di + dc ) i tan α + di + dc )( di − d c )
ln (2 L
Tramo I.- di = 1.5d c = 18 mm = 0.018 m , Li = 0.024 m , E i = 172 GPa k jI
π (170×109 )(0.012) tan30 o
=
(2×0.025×tan30 o +0.018−0.012)(0.018 +0.012) ln (2×0.025×tan30 +0.018 +0.012)(0.018 −0.012)
Tramo E i
II.-
= 3.4079 GN/m
= 0.018 + 2 × 0.025 × tan 30 o = 0.0468675 m ,
d i
, Li = 0.0075 m
= 207 GPa π (207×109 )(0.012)tan30 o
k jII =
(2×0.0075×tan 30o +0.0468675 −0.012)(0.0468675 +0.012) ln (2×0.0075×tan 30 +0.0468675 +0.012)(0.0468675 −0.012)
Tramo III.k jIII =
d i
= 53.2596 GN/m
= 0.018 + 2(0.030) tan 30 o = 0.05264 m , Li = 0.0025 m , E i = 207 GPa π (207×109 )(0.012)tan30 o
(2×0.0025×tan30 o +0.05264 −0.012)(0.05264 +0.012) ln (2×0.0025×tan30 +0.05264 +0.012)(0.05264 −0.012)
= 180.7 GN/m
Tramo IV.- d i = 0.018 m , Li = 0.030 m , E = 69 GPa k jIV =
π (69×109 )(0.012)tan30 o
(2×0.030×tan30 o +0.018 −0.012)(0.018 +0.012) ln (2×0.030×tan30 +0.018 +0.012)(0.018 −0.012)
= 1.31121 GN/m
Rigidez de la junta: 1 k j
1 1 1 + 1 = k1 + k 1 + k 1 + k 1 = 3.4079 + 53.2596 + 180.7 = 1.0804∴ 1.31121
k j
jI
jII
jIII
jIV
0.9256G N/m
=
C k
=
k b = kb + k j
0.28962 = 0.2896 2 0.9256 +
0.2383
Carga de prueba: P p = At S p = 84.3 × 10−6 × 970 × 10 6 = 81, 771 N ∴ P p = 81.771 KN c).Precarga para conexiones permanentes: ec.(2.37) Pi = 0.9 P p = 0.9(81.771) = 73.6 KN ∴ P i
73.6K N
=
d).n sb
Carga A S p − Pi
= P t
b , máxCk
estática
∴ P b,máx =
AtS p − P i Ck nsb
máxima
∴
88
en
el
perno:
ec.(2.35)
