Diseño Geométrico de Carreteras 2da Edición James Cárdenas Grisales

INTRODUCCIÓN El problema matemático que tratamos en este capítulo es el siguiente: dada una función continua f(x), encontrar el valor x0 de x, para el cual f(x0) = 0. Suponemos que tanto x como f(x) son reales, aunque algunos de los algoritmos que veremos son válidos para funciones complejas analíticas de variable compleja. Los valores x0 para los que se cumple f(x0) = 0

METODO NUMERICOS

MÉTODO DE BISECCIÓN. El método de bisección se basa en la aplicación directa del Teorema de Bolzano: Si tenemos x ) y dos puntos a y b tales que f (a) · f (b) < 0, entonces existe un punto una función continua f ( x c ! [a,b] tal que f (c) = 0. Para aplicar el método de la bisección hace falta encontrar dos puntos en los que la función tome valores opuestos, lo cual se consigue en general mediante exploración exploración de la función mediante, por ejemplo, un programa de representación gráfica. 1.

 =0.4 2.24.7

Determine las raíces reales de

a) Gráficamente b) Empleando la fórmula cuadrática c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplee como valores iniciales x1 = 5 y xu = 10. Calcule el error estimado εo y el error verdadero ε1 para cada iteración. f(x) = −0.4 ² + 2.2 + 4.7

Solución:

10

a) Gráficamente, Gráficamente, se realiza la tabulación en base a la función dada:

b)

x

f(x)

x

f(x)

1 2 3 4 5

6.5 7.5 7.7 7.1 5.7

6 7 8 9 10

3.5 0.5 -3.3 -7.9 -13.3

Formula Cuadrática:

5

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 11

-5

-10

-15

f(x)

 ±√  = 2 4 ,  = 0.4,  = 2.2,  = 4.7  2. 2 ± ± 2.  2. 2  40. 4 4. 7    = 20.4  = 2.2± √ 0.4.4.8847.52,  = 2.2±0.√ 812.12.36,  = 2.2±3.0.8 52  = 2.23.0.8 52,  = 5.0.582,  =.  = 2.23.0.8 52,  = 1.0.832,  =1.650 I

3

METODO NUMERICOS

c)

Método Bisección

i

Xo

Xm

X1

(Xm-Xo)

f(Xo)

f(Xm)

f(Xo).f(Xm)

0 1 2 3

5 5 5 6.25000

--7.5 6.25

10 10 7.5 7.5

--2.50000 1.25000 0.62500

--5.70000 5.70000 2.82500

---1.30000 2.82500 0.91880

--(-) (+) (+)

6.875

Cálculo de error estimado

Cálculo de error verdadero

1  7.50000 – 5.00000 = 2.50000 2  6.25000 – 5.00000 = 1.25000 3  6.87500 – 6.25000 = 0.62500

1 7.15000 – 7.50000 = 0.35000 2 7.15000 – 6.25000 = 0.90000 3 7.15000 – 6.87500 = 0.27500

Por lo tanto la raíz más grande viene a ser el valor de 6.875

2.

 = 275 6³

Determine las raíces reales de : a) Gráficamente b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores iniciales x1 = 0 y xo = 1 iterando hasta que el error estimado εo se encuentre debajo de εs = 10%. f(x) = −2 + 7 − 5 ² + 6 ³

Solución:

400


x

f(x)

x

f(x)

-5 -4 -3 -2 -1

-912 -494 -230 -84 -20

0 1 2 3 4

-2 6 40 136 330

200 0 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-200 -400 -600 -800

f(x)

-1000

b)

5

Método Bisección

i

Xo

Xm

X1

(Xm-Xo)

f(Xo)

f(Xm)

f(Xo).f(Xm)

E%

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0.25 0.25 0.3125

--0.5 0.25 0.375 0.3125

1 1 0.5 0.5 0.375 0.375

--0.50000 0.25000 0.12500 0.06250 0.03125

---2.00000 -2.00000 -0.46880 -0.46880 -0.11770

--1.00000 -0.46880 0.23830 -0.11770 0.05910

--(-) (+) (-) (+) (-)

100.00 100.00 33.33 20.00 9.09

0.34375

Por lo tanto la raíz más pequeña viene a ser el valor de 0.34375.

I

4

METODO NUMERICOS

3.

 = 2682.388 45.4  9 0.65

Determine las raíces reales de a) Gráficamente b) Usando el método de bisección para localizar la raíz r aíz más grande con εs = 10%. Utilice como valores iniciales x1 = 0.5 y xo = 1.0 c) Realice el mismo cálculo en b), pero con el método de la falsa posición y εs = 0.1% f(x) = −26 + 82.3 − 88

Solución:

2

+ 45.4

3

−9

4+

0.65

5

2000


x

f(x)

x

f(x)

-5 -4 -3 -2 -1

-15968.75 -7638.40 -3177.65 -1070.60 -251.35

0 1 2 3 4

-26.00 5.35 26.60 63.65 162.40

-6

-5

-4

-3

-2

0 -1 0 -2000

1

2

3

4

5

-4000 -6000 -8000 -10000 -12000 -14000 -16000

b)

f(x)

-18000

Método Bisección

i

Xo

Xm

X1

(Xm-Xo)

f(Xo)

f(Xm)

f(Xo).f(Xm)

E%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5 0.5 0.5 0.5 0.56250 0.56250 0.57813 0.57813 0.57813 0.57813 0.57910

--0.75 0.625 0.5625 0.59375 0.57813 0.58594 0.58203 0.58008 0.57910

1 1 0.75 0.625 0.625 0.59375 0.59375 0.58594 0.58203 0.58008 0.58008

--0.25000 0.12500 0.06250 0.03125 0.01563 0.00781 0.00391 0.00195 0.00098 0.00049

---1.71720 -1.71720 -1.71720 -0.33420 -0.33420 -0.02340 -0.02340 -0.02340 -0.02340 -0.00440

--2.68470 0.83520 -0.33420 0.27470 -0.02340 0.12720 0.05230 0.01460 -0.00440 0.00510

--(-) (-) (+) (-) (+) (-) (-) (-) (+) (-)

33.33 20.00 11.11 5.26 2.70 1.33 0.67 0.34 0.17 0.08

0.57959

Por lo tanto la raíz más grande viene a ser el valor de 0.57959 c) Método de la falsa posición:

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5 0.5 0.62149 0.55742 0.59092 0.57324 0.58254 0.57764 0.58022 0.57886 0.57957

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

--0.62149 0.55742 0.59092 0.57324 0.58254 0.57764 0.58022 0.57886 0.57957

--0.12149 0.06407 0.03350 0.01768 0.00930 0.00490 0.00258 0.00136 0.00071 0.00037

--0.77450 -0.43810 0.22170 -0.11910 0.06210 -0.03280 0.01730 -0.00910 0.00470 -0.00250

24.30 10.31 6.01 2.99 1.62 0.84 0.45 0.23 0.12 0.06

0.57920

I

Por lo tanto la raíz viene a ser el valor de 0.57920

5

METODO NUMERICOS

MÉTODO DE LA FALSA POSICION. x ) a la hora El método de bisección no tiene en cuenta el comportamiento comportamiento de la función f ( x de calcular el punto x 2. 2. El método de la régula falsi determina x 2 como el punto de corte con x 0 , f ( x x 0)) x 1 , f ( x x 1)). el eje de abscisas de la recta que pasa por los puntos ( x 0)) y ( x 1)). Esta recta, que

es la secante a la curva que pasa por estos dos puntos, la escribimos como y = mx + p, y los parámetros m y p vienen determinados por las condiciones f ( x x 0) 0) = mx 0+ 0+ p f ( x x 1) 1) = mx 1+ 1+ p

4.

 = 112217 2.5³

Calcule las raíces reales de : a) Gráficamente b) Empleando el método de la falsa posición con un valor de εs correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más pequeña. f(x) = −11 − 22 + 17 ² − 2.5 ³

Solución:

10


x

f(x)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1

4.5625 0.6800 -2.8025 -5.9000 -8.6275

x

5

f(x)

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0

-11.0 -13.0325 -14.7400 -16.1375 -17.2400

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

5.

0

0.1

0.2

0. 3

0. 4

0.5

-5

-10

-15

Tomando los valores iniciales [-0.3, -0.4] b)

-0.1

f(x)

-20

Método de la falsa posición:

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3

-0.3 -0.3 -0.38047 -0.38132

-0.4 -0.4 -0.4 -0.4

---0.38047 -0.38132

--0.08047 0.00085 0.00001

---0.03110 -0.00050 -0.00010

21.15 0.22 0.00

-0.38133

Por lo tanto la raíz más grande viene a ser el valor de -0.381 Localice la primera raíz no trivial de , donde x está en radianes. Use una técnica gráfica y bisección con un intervalo inicial de 0.5 a 1. Haga el cálculo hasta que εa sea menor que εs = 2%. Realice también una prueba de error sustituyendo la respuesta final en la ecuación original.

    = ²

f(x) = x² -

Solución:

x

0.06


0.05 0.04

x

f(x)

x

f(x)

0.03

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01

0.05248 0.04159 0.03090 0.02040 0.01010

0 0.01 0.02 0.03 0.04

0 -0.00990 -0.01960 -0.02910 -0.03839

0.02

I

0.01 0 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 -0.01

0.01

0. 02

0.03

0.04

0.05

-0.02 -0.03 -0.04 -0.05

f(x)

6

METODO NUMERICOS

b)

Método de Bisección

i

Xo

Xm

X1

(Xm-Xo)

f(Xo)

f(Xm)

f(Xo).f(Xm)

E%

0 1 2 3 4 5

0.5 0.5 0.75 0.875 0.9375 0.96875

--0.75 0.875 0.9375 0.96875

1 1 1 1 1 1

--0.25000 0.12500 0.06250 0.03125 0.01563

---0.22940 -18.99220 -18.90920 -18.74350 -18.63130

---0.11910 -18.90920 -18.74350 -18.63130 -18.56800

--(+) (+) (+) (+) (+)

33.33 14.29 6.67 3.23 1.59

0.98438

Por lo tanto la raíz viene a ser el valor de 0.98438 6.

  =0.7

Determine la raíz real de: a) Gráficamente b) Empleando tres iteraciones, el método de bisección con los valores iniciales x1 = 0.5 y xa = 2. c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición, con los mismos valores iniciales de b) f(x) =

Solución:

² - 0. 0.7 7 3


x

f(x)

x

f(x)

-5 -4 -3 -2 -1

2.51888 2.07259 1.49722 0.68629 -0.70000

0 1 2 3 4

Error -0.70000 0.68629 1.49722 2.07259

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-0.5

b)

-1

Método de Bisección:

i

Xo

Xm

X1

(Xm-Xo)

f(Xo)

f(Xm)

f(Xo).f(Xm)

E%

0 1 2 3

0.5 0.5 1.25 1.25

--1.25 1.625

2 2 2 1.625

--0.75000 0.37500 0.18750

---2.08630 -0.25370 -0.25370

---0.25370 0.27100 0.02580

--(+) (-) (-)

60.00 23.08 13.04

1.43750

Por lo tanto la raíz viene a ser el valor de 1.43750 c) Método de la falsa posición:

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3

0.5 0.5 1.62871 1.37959

2 2 2 2

--1.62871 1.37959

--1.12871 0.24912 0.04713

--0.27558 -0.05643 0.01076

69.30 18.06 3.30

1.42672

Por lo tanto la raíz viene a ser el valor de 1.42672.

I

7

METODO NUMERICOS

7.

=  = 0.9  0.4/

Determine la raíz real de a) Analíticamente b) Gráficamente. c) Empleando tres iteraciones en el método de la falsa posición. Con valores iniciales de 1 a 3. Calcule el error aproximado aproximado εa y el error verdadero εt en cada iteración. i teración. Solución:

a) Analíticamente:

 = 0.90. 4 → 0 = 0.90. 4 → 0=0.90. 0=0. 9 0.44  0.9 = 0.4 →  = 0.0.94 → =. f(x) = (0.9 - 0.4x 0.4x)/x )/x 0.6 0.4

b) Gráficamente, Gráficamente, se realiza la tabulación en base a la función dada:

x

f(x)

x

f(x)

-5 -4 -3 -2 -1

-0.58000 -0.62500 -0.70000 -0.85000 -1.30000

0 1 2 3 4

Error 0.50000 0.05000 -0.10000 -0.17500

0.2 0 -6

-4

-2

-0.2

0

2

4

6

-0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4

c)


i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3

1 1 2.66667 2.11111

3 3 3 3

--2.66667 2.11111

--1.66667 0.55556 0.18519

---0.06250 0.02632 -0.00806

62.50 26.32 8.06

2.29630


Calcular la raíz cuadrada positiva de 15 usando el método de la falsa posición con εs = 0.5% Emplee como valores iniciales xl = 3 y xa = 4 Solución:

 =√15

a) Método de la falsa posición:

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2

3 3 3.87298

4 4 4

--3.87298

--0.87298 0.00000

--1.96799 1.96799

22.54 0.00

3.87298

I


8

METODO NUMERICOS

9.

| ̅| = 5

Encuentre la raíz positiva más pequeña de la función (x está en radianes) , usando el método de la falsa posición. Para localizar el intervalo en donde se encuentra la raíz. Grafique primero esta función para valores de x entre 0 y 5. Realice el cálculo hasta que εa sea menor que εs = 1%. Compruebe su respuesta final sustituyéndola en la función original. Solución:

f(x) = ² |

̅ |-5

2

3

20


x

f(x)

0 1 2 3 4 5

-5 -4.15853 -1.38261 -3.72992 7.10884 18.97311

16 12 8 4 0 0

1

4

5

-4

f(x) -8

b) Método de la falsa posición:

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3 4

3 3 3.34413 3.52710 3.54759

4 4 4 4 4

--3.34413 3.52710 3.54759

--0.34413 0.18297 0.02049 0.00187

---2.75044 -0.32203 -0.02958 -0.00271

10.29 5.19 0.58 0.05

3.54946


10.

3.54946 4946 =3.54946| 3.54946| 4946|  5 3.54946 4946 =0.00271≈0.00  =   8 36 4621010

Calcule la raíz real positiva de , utilizando el método de la falsa posición. Use una gráfica para escoger el valor inicial y realice el cálculo con εs = 1.0%. f(x) =

Solución:

f(x)

-2 -1 0 1 2 b)

x

-1998 -1499 -1010 -591 -278

3 4 5 6 7

8

3−

36

2+

462 − 1010

500


x

4−

0

f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-500

-83 6 25 34 117

-1000 -1500 -2000

f(x) -2500


i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3 4

3 3 3.93258 3.87619 3.88137

4 4 4 4 4

--3.93258 3.87619 3.88137

--0.93258 0.05639 0.00518 0.00046

--5.99656 5.07105 5.15570 5.14815

23.71 1.45 0.13 0.01

3.88091

I


9

METODO NUMERICOS

11.

. = 79

Determine la raíz real de : a) Analíticamente Analíticamente b) Con el método de falsa posición para εs = 0.1%. Use como valores iniciales de 3.0 a 4.0. Solución:

a) Analíticamente:

. =79

= .√ 7979

=.  

b) Método de la falsa posición

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3 4 5

3 3 3.69720 3.75432 3.75840 3.75869

4 4 4 4 4 4

--3.69720 3.75432 3.75840 3.75869

--0.69720 0.05712 0.00408 0.00029 0.00002

---4.18609 -0.30383 -0.02147 -0.00151 -0.00011

18.86 1.52 0.11 0.01 0.00

3.75871


La velocidad de caída de un paracaidista está dada por:

 =  1−/

Donde g = 9.8 para el paracaidista con un coeficiente de arrastre c = 14 Kg/s. Calcule la masa m de éste de tal forma que la velocidad sea de v = 35 m/s en t = 7 s. Con el método de la falsa posición determine “m” a un nivel de εs = 0.1%. Solución:

35= 35 = 9.148 (1−)  =0. 7 (1−)35 Buscando los valores iniciales mediante una tabulación: tabulación:

x

f(x)

x

61 -0.86463 66 62 -0.53355 67 63 -0.20827 68 64 0.11132 69 65 0.42537 70 Método de la falsa posición:

f(x) 0.73400 1.03734 1.33549 1.62859 1.91674

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

0 1 2 3

63 63 63.65169 63.64969

64 64 64 64

--63.65169 63.64969

--0.65169 0.00200 0.00001

--0.00064 0.00000 0.00000

63.64969

E% I

1.02 0.00 0.00


10

METODO NUMERICOS

MÉTODOS ITERATIVOS DE UN PUNTO FIJO. x ) = 0 como x = g( x x ). estos métodos se basan en escribir la ecuación f ( x ). esto es siempre x ), x ) = x − f ( x x ). posible, pues podemos poner x = x − f ( x ), con lo que g( x ). la filosofía del método

es que la ecuación x = g( x x ) (2.1)

que sólo se se cumple para la raíz , sirve para definir la serie serie xr +1 xr ) +1 = g( xr x ) partiendo de un punto inicial x 0, 0, que converge a la raíz. por supuesto, esto sólo ocurre si g( x cumple una serie de condiciones. sea la raíz. entonces g( ) = . las diferencia diferenciass entre los

elementos de la serie xr y la raíz viene dada por: xr −

14.

xr −1)−g( ) = g&( )( xr xr −1− ). = g( xr

 =√   

con el método método de iteración iteración simple de punto punto fijo fijo localice localice la raíz raíz de valor inicial de xo = 0.5 y haga iteraciones hasta que εs ≤ 0.01%.

. use un

Solución:

 =√  Resolviendo se obtiene el siguiente cuadro:

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5 0.64964 0.72152 0.75090 0.76210 0.76625 0.76777 0.76833 0.76853 0.76861

0.64964 0.72152 0.75090 0.76210 0.76625 0.76777 0.76833 0.76853 0.76861

0.14964 0.07189 0.02938 0.01120 0.00415 0.00152 0.00056 0.00020 0.00007 0.00003

23.03 9.96 3.91 1.47 0.54 0.20 0.07 0.03 0.01 0.00

0.76863

I

11

METODO NUMERICOS

MÉTODO DE NEWTON de Newton-Raphson -Raphson o En análisis En análisis numérico, el numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton el método de Newton-Fourier) es un algoritmo un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. primera derivada.

15.

Utilice a) la iteración iteración de punto fijo fijo y b) el método de Newton-Raphson Newton-Raphson para determinar la raíz de

 =0.9 1.72.5

usando xo = 5. Efectué el cálculo hasta que εo sea menor que εs =

0.01%

También realice una prueba de error en su respuesta final. Solución:

a) Método del punto fijo:

= 0.91. 72.5 ′= 1.1.87  ′= 1.1.87 5 ′=  = 5.2941    5 1. 7     =  1.1.72.   = ′=  = 0.2701 70155    0.9 1. 10..79 2.5 7  = 0.92.1.5 7  = 0.91.  = 7.0268268    Resolviendo se obtiene el siguiente cuadro:

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 3.49603 3.06291 2.92631 2.88188 2.86729 2.86248 2.86089 2.86036 2.86019

3.49603 3.06291 2.92631 2.88188 2.86729 2.86248 2.86089 2.86036 2.86019

1.50397 0.43312 0.13660 0.04442 0.01460 0.00481 0.00159 0.00052 0.00017 0.00006

43.02 14.14 4.67 1.54 0.51 0.17 0.06 0.02 0.01 0.00

2.86013

b) Método de Newton-Raphson:

I

 =0.9 1.72.5 ′ =1.81.7 Fórmula para hallar la raíz por el método de Newton-Raphson:

12

METODO NUMERICOS

 =   ′ Resolviendo se obtiene el siguiente cuadro:

16.

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5

5 3.42466 2.92436 2.86115 2.86010

3.42466 2.92436 2.86115 2.86010

1.57534 0.50030 0.06321 0.00104 0.00000

46.00 17.11 2.21 0.04 0.00

2.86010

 =2. 0 64 0.5³

Determine las raíces reales de a) Gráficamente b) usando el método de Newton-Raphson que cumpla con εs = 0.01%. f(x) = −2.0 + 6 − 4 ² + 0.5 ³

Solución: 100


x

f(x)

x

f(x)

-2 -1 0 1 2 3

-34.00 -12.50 -2.00 0.50 -2.00 -6.50

4 5 6 7 8 9

-10.00 -9.50 -2.00 15.50 46.00 92.50

80 60 40 20 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-20

f(x)

-40

b) Método de Newton-Raphson:

 =2. 0 64 0.5³ ′ =681. 5 ²  =   ′

Fórmula para hallar la raíz por el método de Newton-Raphson:

Resolviendo se obtiene el siguiente cuadro:

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5

7 6.34043 6.16811 6.15638 6.15633

6.34043 6.16811 6.15638 6.15633

0.65957 0.17231 0.01174 0.00005 0.00000

10.40 2.79 0.19 0.00 0.00

6.15633

I

13

METODO NUMERICOS

17.

 =2. 0 64 

0.5³

Emplee el método de Newton-Raphson para determinar la raíz real de usando valores iniciales de a) 4.2 y b) 4.43. Discuta y use métodos gráficos y analíticos para explicar las peculiaridades de los l os resultados.

Solución:

a) Método de Newton-Raphson con valor inicial: x o = 4.2

 =2. 0 64 0.5³ ′ =681. 5 ²  =   ′



i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.2 -4.84912 -2.57392 -1.13753 -0.27274 0.20283 0.41535 0.47057 0.47455 0.47457

-4.84912 -2.57392 -1.13753 -0.27274 0.20283 0.41535 0.47057 0.47455 0.47457

9.04912 2.27520 1.43639 0.86479 0.47557 0.21252 0.05522 0.00398 0.00002 0.00000

-186.61 -8 8.39 -88.39 -126.27 -317.08 234.47 51.17 11.73 0.84 0.00 0.00

0.47457

b) Método de Newton-Raphson con valor inicial: x o = 4.43

 =2. 0 64 0.5³ ′ =681. 5 ²  =   ′



i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4.43 -3939.13472 -2625.20145 -1749.24620 -1165.27643 -775.96384 -516.42299 -343.39709 -228.04847

-3939.13472 -2625.20145 -1749.24620 -1165.27643 -775.96384 -516.42299 -343.39709 -228.04847 -151.15235

3943.56472 1313.93327 875.95525 583.96977 389.31259 259.54084 173.02590 115.34862 76.89612

-100.11 -50.05 -50.08 -50.11 -50.17 -50.26 -50.39 -50.58 -50.87

I

14

METODO NUMERICOS

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

-151.15235 -99.89269 -65.72615 -42.95819 -27.79384 -17.70508 -11.00904 -6.58671 -3.69475 -1.83890 -0.68821 -0.01805 0.32526 0.45303 0.47400 0.47457

-99.89269 -65.72615 -42.95819 -27.79384 -17.70508 -11.00904 -6.58671 -3.69475 -1.83890 -0.68821 -0.01805 0.32526 0.45303 0.47400 0.47457

0.47457

51.25966 34.16654 22.76797 15.16435 10.08876 6.69603 4.42233 2.89196 1.85585 1.15069 0.67016 0.34331 0.12776 0.02097 0.00057 0.00000

Gráficamente, Gráficamente, se realiza la tabulación en base a la función dada:

x

f(x)

x

f(x)

-2 -1 0 1 2 3

-34.00 -12.50 -2.00 0.50 -2.00 -6.50

4 5 6 7 8 9

-10.00 -9.50 -2.00 15.50 46.00 92.50

-51.31 -51.98 -53.00 -54.56 -56.98 -60.82 -67.14 -78.27 -100.92 -167.20 -3,712.74 105.55 28.20 4.43 0.12 0.00 f(x) = −2.0 + 6 − 4 ² + 0.5 ³

100 80 60 40 20 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 En esta función existe una peculiaridad en -20 cuanto a las raíces reales, como se puede f(x) observar el intervalo [0,1], como el -40 intervalo [6,7], como se muestra en en el, gráfico y el cuadro, que hay cambio de signos, considerando los valores inicial de 4.2 y 4.43, las raíces son 0.47457, la primera con 10 iteraciones y la segunda con 25 iteraciones. iteraciones. -2

-1

I

15

METODO NUMERICOS

MÉTODO DE LA SECANTE El método de la secante es en cierta forma similar al método de la régula falsi, en el sentido de que calcula la sucesión xr +1 +1 = xr − f ( xr xr ) f ( xr xr )− f ( xr xr −1) xr − xr −1) ( xr a partir de dos valores iniciales x 0 y x 1. 1. La diferencia esencial es que no se requiere horquillado, simplemente se calcula la sucesión hasta que se alcanza la convergencia. Frecuentemente el

método de la secante es más rápido que el método de la régula falsi, aunque algo menos robusto. Esto sucede en particular cuando hay un cambio brusco de pendiente a uno de los lados de la raíz. La convergencia es más rápida si todos los puntos de la sucesión xr están en la zona de x ). mayor pendiente de la función f ( x ). En determinadas determinadas ocasiones el método de la secante converge

rápidamente mientras que el de la régula falsi converge lentamente. En otras, el método de la secante puede diverger, lo que no ocurre nunca con el método de la régula falsi. 18.

 =112217 25³

Determine la menor raíz real de : a) gráficamente y b) usando el método de la secante para un valor de εs con tres cifras significativas. f(x) = − 11 − 22 + 17 ² − 25 ³

Solución:

300


x

f(x)

x

f(x)

-3 -2 -1 0 1

275.50 121.00 30.50 -11.00 -18.50

2 3 4 5 6

-7.00 8.50 13.00 -8.50 -71.00

f(x)

250 200 150 100 50 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-50

Tomando los valores iniciales [-1,0]

-100

b)

Método de la Secante:

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3 4 5

-1 0 -0.26506 -0.41227 -0.37928

0 -0.26506 -0.41227 -0.37928 -0.38130

-0.26506 -0.41227 -0.3 7928 -0.37928 -0.3 8130 -0.38130

35.71 8.70 0.53 0.008

-0.38133

Por lo tanto la menor raíz viene a ser el valor de -0.38133. I

16

METODO NUMERICOS

19.

 =    1    1,

Localice la primera raíz positiva de: donde x está en radianes. Use cuatro iteraciones con el método de la secante con valores iniciales de a) xi-1 = 1.0 y xi = 3.0, b) xi-1 = 1.5 y xi = 2.5. Para localizar la raíz c) Use el método grafico para verificar los resultados. Solución:

a) Método de la Secante con valores iniciales Xo = 1 y X1 = 3:

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3 4

1 3 -0.023214 -1.226347

3 -0.023214 -1.226347 0.233951

-0.023214 -1.226347 0.233951

98.11 624.19 40.98

0.396366

b) Método de la Secante con valores iniciales Xo = 1.5 y X1 = 2.5:

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3 4

1.5 2.5 2.356929 2.547287

2.5 2.356929 2.547287 2.526339

2.356929 2.547287 2.526339

7.47 0.83 0.23

2.532107

f(x) = sen x + Cos(1 + x²) - 1 0.50

c) Gráficamente, Gráficamente, se realiza la tabulación en base a la función dada:

20.

x

f(x)

x

f(x)

-3 -2 -1 0 1

-1.98 -1.63 -2.26 -0.46 -0.57

2 3 4 5 6

0.19 -1.70 -2.03 -1.31 -0.51

0.00 -3

-1

1

3

5

-0.50

-1.00

-1.50

-2.00

f(x) -2.50

. = 79

Calcule la raíz real de , con el método de la secante modificado que cumpla con εs = 0.1%. Intente diferentes valores de  y analice los resultados. Solución:

  =    ..   


I

Método de la secante modificado con  = 0.001 y al εs = 0.1%:

i

Xo

Xo + Xo

X1

Es%

1 2 3

3.5 3.7811 3.7589

3.5035 3.7849 3.7626

3.7811 3.7589

0.59 0.005

3.7587

17

METODO NUMERICOS


i

Xo

Xo + Xo

X1

Es%

1 2 3 4

3.5 3.7782 3.7590 3.7587

3.535 3.816 3.7966 3.7963

3.7782 3.7590 3.7587

0.51 0. 009 0.009 0.000

3.7587


i

Xo

Xo + Xo

X1

Es%

1 2 3 4

3.5 3.7513 3.7579 3.7586

3.85 4.1264 4.1337 4.1345

3.7513 3.7579 3.7586

0.18 0. 019 0.019 0.002

3.7587


i

21.

Xo

Xo + Xo

Es%

X1

1 3.5 5.25 3.6651 2 3.6651 5.4977 3.7217 1.54 3 3.7217 5.5825 3.7437 0. 591 0.591 4 3.7437 5.6155 3.7525 0. 237 0.237 5 3.7525 5.6288 3.7562 0. 097 0.097 6 3.7562 5.6342 3.7577 0. 040 0.040 7 3.7577 5.6365 3.7583 0. 016 0.016 8 3.7583 5.6374 3.7585 0. 007 0.007 9 3.7585 5.6378 3.7586 0. 003 0.003 3.7587 10 3.7586 5.6380 0.001 Determine la mayor raíz real de : a) Gráficamente b) con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x i = 3.5) c) Utilizando el método de la secante (tres iteraciones, xi-1 = 2,5 y xi = 3.5) d) utilizando el método de la secante modificado (tres iteraciones xi = 3.5 y  = 0.02)

 =   6 116. 1

f(x) = ³ − 6 ² + 11 − 6.1

Solución: 130 110


90

x

f(x)

x

f(x)

70

-2 -1 0 1 2

-60.1 -24.1 -6.1 -0.1 -0.1

3 4 5 6 7

-0.1 5.9 23.9 59.9 119.9

50 30 10 -2

-1

-10 0

1

2

3

4

5

6

7

-30 -50

f(x)

-70

I


 =6. 1 116  ³ ′=  = 11 11  1212 3² 18

METODO NUMERICOS


 =   ′ Resolviendo se obtiene el siguiente cuadro:

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3

3.5 3.19130 3.06870

3.19130 3.06870

0.30870 0.12261 0.02138

9.67 4.00 0.70

3.04732

c) Método de la Secante con valores iniciales Xo = 2.5 y X1 = 3.5:

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3

2.5 3.50000 2.71111

3.5 2.71111 2.87109

2.71111 2.87109

5.57 10.89

3.22193

d) Método de la secante modificado con  = 0.02 y Xo = 3.5:

22.

i

Xo

Xo + Xo

X1

Es%

1 2 3

3.5 3.48538 3.47112

3.57 3.55509 3.54055

3.48538 3.47112

0.41 0.400

3.45723

 = 7−    1

Determine la menor raíz positiva de : a) gráficamente b) con el método de Newton- Raphson (tres iteraciones, xi = 0.3) c) utilizando secante (tres iteraciones, xi-1 = 0.5 y xi = 0.4) d) Usando el método de la secante modificado (cinco iteraciones iteraciones xi = 0.5 y  = 0.03). f(x) = 7

Solución:

(− )

( )−1

10.000


x

f(x)

x

f(x)

-2 -1 0 1 2

-48.032 -17.011 -1.000 1.167 -0.139

3 4 5 6 7

-0.951 -1.097 -1.045 -1.005 -0.996

0.000 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-10.000

-20.000

-30.000

-40.000

f(x) -50.000


 = 7−    1 ′ = 7−       =   ′

I


19

METODO NUMERICOS


i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3

0.3 0.14438 0.16941

0.14438 0.16941

0.15562 0.02503 0.00077

107.79 14.78 0.45

0.17018

c) Método de la Secante con valores iniciales Xo = 0.5 y X1 = 0.4:

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3

0.5 0.4 0.00278

0.4 0.00278 0.21824

0.00278 0.21824

98.73 21.93

0.17899

d) Método de la secante modificado con  = 0.03 y Xo = 0.5:

23.

i

Xo

Xo + Xo

X1

Es%

1 2 3

0.5 -0.13333 0.09535

0.515 -0.13733 0.09821

-0.13333 0 .09535 0.09535

171.51 72.390

0.16438

  2 53

La función tiene una raíz doble en x = 1. Use a) el método estándar de NewtonRaphson b) el método de Newton-Raphson modificado de la ecuación para resolver en la raíz x = 1. Compare y analice la velocidad de convergencia usando x o = 0.2.

Solución:

a) Método de Newton-Raphson con valor inicial: x o = 1

 =   2 53 ′=  = 3 45  =   ′



i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3

1 0.5 1

0.5 1

0.50000 0.50000 0.50000

100.00 50.00 100.00

0.5

b) Método de Newton-Raphson Modificado con valor inicial: xo = 1

 =   2 53 ′=  = 3 45 ′ =  = 6 6  4

I

20

METODO NUMERICOS

.′.′   =   ′′   

Fórmula para hallar la raíz por el método de Newton-Raphson Modificado:

Resolviendo se obtiene el siguiente cuadro: i Xo f(Xo) f’(Xo) 1 1 1 2 2 0.97959 0.96126 1.79717 3 0.96157 0.93046 1.62009 4 0.94552 0.90572 1.46409 5 0.93114 0.88567 1.32565 6 0.91820 0.86931 1.20210 7 0.90651 0.85591 1.09133 8 0.89592 0.84487 0.99166 9 0.88629 0.83576 0.90172 26.

f’’(Xo) 10 9 .87755 9.87755 9 .76940 9.76940 9 .67311 9.67311 9 .58686 9.58686 9 .50922 9.50922 9 .43907 9.43907 9 .37550 9.37550 9.31776

X1

(X1-Xo)

Ea%

0.97959 0 .96157 0.96157 0 .94552 0.94552 0 .93114 0.93114 0 .91820 0.91820 0 .90651 0.90651 0 .89592 0.89592 0 .88629 0.88629

0.02041 0. 01803 0.01803 0. 01605 0.01605 0. 01438 0.01438 0. 01294 0.01294 0. 01169 0.01169 0. 01060 0.01060 0. 00962 0.00962 0.00876

2.08 1.87 1.70 1.54 1.41 1.29 1.18 1.09 1.00

0.87754

El método de “divide y promedia”, es un antiguo método para aproximar la raíz cuadrada de

cualquier número positivo a. se puede formular como

 = +/   = √ 

equivalente al algoritmo de Newton-Raphson para resolver

. Demuestre que esta fórmula es .

Solución:

 = √   =     = 2    + =   2 

Derivando se obtiene:

Aplicando el método de Newton-Raphson:

Expresando la siguiente forma:

  + =  /  I

21

METODO NUMERICOS

27.

 =ℎ  9

a) Aplique el método de Newton-Raphson Newton-Raphs on a la función para evaluar su raíz real ya conocida en x = 3. Con valor inicial use x o = 3.1 y realice un mínimo de 4 iteraciones b) ¿El método muestra convergencia hacia su raíz real? Dibuja una gráfica con los resultados para cada iteración efectuada. Solución:

a) Método de Newton Raphson, con valor inicial de Xo = 3.1:

 =ℎ =ℎ  9  =2.ℎ²  9  =   ′



i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4

3.1 2.9954 3.00000 3.00000

2.99540 3.00000 3.00000

0.10460 0.00461 0.00000 0.00000

3.49 0.15 0.00 0.00

3.00000

b) Graficando se obtiene lo siguiente: f(x) = Tanh(x²-9) 1.5

1.0

0.5

-11

-9

-7

-5

-3

0.0 -1

1

3

5

7

9

11

-0.5

-1.0

f(x) -1.5

I

22

METODO NUMERICOS

28.

 =0.0074 0.28 3.355 12.1835

El polinomio , tiene una raíz real entre 15 y 20. Aplique a esta función el método de Newton Raphson usando como como valor inicial xo = 16.15 Explique sus resultados. Solución:

Método de Newton Raphson, con valor inicial de Xo = 16.15:

 =0.0074 0.28 3.355 12.1835 ′=  = 0.0296 0.84 6.7112.183  =   ′



30.

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4

16.15 12.05433 19.63899 17.63866

12.05433 19.63899 17.63866

4.09567 7.58466 2.00033 1.87721

33.98 38.62 11.34 11.91

15.76145

Los reactores reactores de flujo tipo tapón (es decir, aquellos aquellos que en el fluido va de un extremo extremo al al otro con una mezcla mínima a lo largo del eje longitudinal) se usan para convertir reactantes en producto. Se ha determinado que la eficiencia de la conversión algunas veces se mejora recirculando una porción de la corriente del producto, de tal forma que regrese a la entrada para un paso adicional a través del reactor (ver figura inferior). La razón de recirculando se define como:

       =    

Suponga que se está procesando una sustancia química A para generar un producto B. Para el caso en que A forma a B de acuerdo con una reacción auto catalítico (es decir, en la cual uno de los productos actúa como catalizador o estimulante en la reacción). Es posible demostrar que una razón óptima de recirculación debe satisfacer:

A  =  R  1  Ln 1R1X 1XA  R 1R1XA 

Donde XAf es es la fracción del reactante A que se convierte en el producto B. La razón óptima de recirculación corresponde a un reactor de tamaño mínimo necesario para alcanzar el nivel deseado de conversión. Utilice un método numérico para determinar la razón de recirculación necesaria, de manera que se minimice el tamaño del reactor para una conversión fraccional de X Af = = 0.9 Alimentación

Reactor de flujo Tipo Tapón

I

Producto

Reciclaje Representación esquemática esquemática de un reactor de flujo tipo tapón con recirculación

23

METODO NUMERICOS

Solución:

9  R  1 Ln 1R10. = 10.9 R1R10.9 1  R  1 Ln 1R0. = 0.1 R1R0.1 fR= R0.R 11R Ln10R Tabulamos la función para encontrar el intervalo

R

f(R)

R

f(R)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

8.57855 3.55996 1.87497 1.02357 0.50576

0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.15486 -0.10055 -0. 10055 -0.29621 -0. 29621 -0.45196 -0. 45196 -0.57971

Método de la Secante con valores iniciales R o = 0.6 y R1 = 0.7:

31.

i

Ro

R1

R2

Es%

1 2 3 4 5

0.6 0.7 0.66063 0.65694 0.65715

0.7 0.66063 0.65694 0.65715 0.65715

0.66063 0.65694 0.65715 0.65715

0.56 0.03 0.00 0.000

0.65715

En un proceso de ingeniería ingenierí a química el vapor de agua (H2O) se calienta a temperaturas lo suficientemente altas para que una porción significativa del agua se disocie, o se rompa, para formar oxigeno (O 2) e hidrogeno (H2):

 ⇌   12   = 1    22

Si se asume que esta es la única reacción que se lleva a cabo la fracción molar x de H 2O que se disocia se representa por:

Donde k = la constante de equilibrio de la reacción y Pt = la presión total de la mezcla. Si Pt = 3 atm y k = 0.05, determine el valor de x que satisfaga la ecuación anterior. Solución:

23  0.05= 1    223

I

0.051 6 0. 0 51 6     =   =   2  2 24

METODO NUMERICOS

Tabulamos la función para encontrar el intervalo

x

f(x)

x

f(x)

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

-3.050 -3.462 -4.291 -6.786 Error

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

3.222 0.727 -0.103 -0.515 -0.761

Método de la Secante con valores iniciales Xo = -0.01 y X1 = 0.01:

32.

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.01 0.01 0.00356 0.01230 0.01430 0.02036 0.02434 0.02715 0.02810 0.02824

0.01 0.00356 0 .01230 0.01230 0 .01430 0.01430 0.02036 0 .02434 0.02434 0.02715 0.02810 0.02824 0.02825

0.00356 0.01230 0.01430 0.02036 0.02434 0.02715 0.02810 0.02824 0.02825

71.04 14.03 29.76 16.366 10.35 3.36 0.52 0.02 0.00

0.02825

 = 1  −.  −.

La siguiente siguiente ecuación ecuación permite permite calcular calcular la concentración concentración de un químico químico en un reactor reactor donde donde se tiene una mezcla completa: Si la concentración inicial es Co = 4 y la concentración de entrada es Cent = 10. Calcule el tiempo requerido para que C sea el 93% de Cent. Solución:

9. 3 =10 =101  −.  4−.  = 10101  −.  4−. 9.3  =1010−.  4−. 9.3  =0. 7 6−. Tabulamos la función para encontrar el intervalo

t

f(t) f (t)

x

f(t)

51 52 53 54 55

-0.08017 -0.04958 -0.02019 0.00805 0.03518

56 57 58 59 60

0.06125 0.08629 0.11036 0.13348 0.15569

Método de la Secante con valores iniciales t o = 53 y t1 = 54:

i

to

t1

t 2

Es%

1 2 3 4 5

53 54.00000 53.71496 53.71084 53.71086

54 53.71496 53.71084 53.71086 53.71086

53.71496 53.71084 53.71086 53.71086

0.01 0.00 0.00 0.000

53.71086

I

25

METODO NUMERICOS

33.

Una reacción química reversible:

2⇌ K = CaCeCb

se caracteriza por la relación r elación de equilibrio

Donde la nomenclatura Cn representa la concentración del componente N. Suponga que se define una variable x que representa el número de moles de C producido. La conservación de la masa se utiliza para reformular la relación de equilibrio como:

K = Cao 2xCco Cxbo  x Donde el subíndice o indica la l a concentración inicial de cada componente. Si K = 0.015, Cao = 42, Cbo = 30, Cco = 4, calcule x. Solución:

x x 0.015 0.015= 422x4 30x f x = 422x4 30x Tabulamos la función para encontrar el intervalo

x

f(x)

x

f(x)

11 12 13 14 15

-0.01303 -0.01226 -0.01109 -0.00926 -0.00620

16 17 18 19 20

-0.00071 0.01024 0.03593 0.11568 0.58500


39.

i

Xo

X1

X2

(X2-Xo)

f(X2)

E%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

16 16 16.06520 16.08466 16.09044 16.09215 16.09266 16.09281 16.09286

17 17 17 17 17 17 17 17 17

--16.06520 16.08466 16.09044 16.09215 16.09266 16.09281 16.09286

--0.06520 0.01945 0.00578 0.00172 0.00051 0.00015 0.00004 0.00001

---23.77958 -23.76618 -23.76220 -23.76101 -23.76066 -23.76056 -23.76053 -23.76052

0.41 0.12 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00

16.09287

La ecuación ecuación de Ergun, que se da abajo sirve para describir el flujo de un líquido a través de un lecho lecho empacado. P es caída de presión,  es la densidad del fluido, Go es la velocidad másica (el cociente del flujo de masa dividido entre el área de la sección transversal), Dp es el diámetro de las partículas dentro del lecho,  es la viscosidad del fluido, L es la longitud del lecho y  es la fracción vacía del lecho.

I

 =150 1 1.75 ∆.  .  .   .  1 (. ) 26

METODO NUMERICOS

Dados los siguientes valores para los parámetros encuentre fracción vacía  del lecho

. =1000 ∆. . = 10  Solución:

Reemplazando Reemplazando en las ecuaciones se obtiene

 =150 1 1.75 10. =0. 1 511. 7 5 10.  1 1000 1000 1 10. = 1  0.0.150.151.755 10. = 1  1.1.90.155 10. =1.90.151.90.15 10. =1.92.050.15  =10.  0.15 2.051.9 ′ =30 0.32.05 Tabulamos la función para encontrar el intervalo

f( ) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-1.9 -1.6865 -1.416 -1. 416 -1.0285 -0.464 -0. 464

f( ) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.3375 1.436 2.8915 4.764 7.1135

Método de Newton – Raphson:

i 1 2 3 4 47.

o

0.5 0.46410 0.46186 0.46186

1

0.46410 0.46186 0.46186

0.46186

( 1- o)

Ea%

0.03590 0.00223 0.00001 0.00000

7.74 0.48 0.00 0.00

En ingeniería ambiental, la siguiente ecuación sirve para para calcular calcular el nivel nivel de oxígeno en un rio aguas abajo desde una descarga de aguas residuales:

=1020−.  −. Donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros. Determine la distancia aguas abajo donde el nivel de oxigeno se encuentra a una lectura de 5. ( Sugerencia: este valor está dentro de los 2 km de la descarga) Determine Determine una respuesta con un 1% de error. I Solución:

5=1020−.  −. =  = 5  20−.  −.

′=  = 4−. 15−.

27

METODO NUMERICOS

El intervalo se encuentra entre 0 y 2 Km Método de Newton – Raphson:

48.

i

Xo

X1

(X1-Xo)

Ea%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 -3.92453 -2.68960 -1.54620 -0.56636 0.14799 0.51297 0.59826 0.60235

-3.92453 -2.68960 -1.54620 -0.56636 0.14799 0.51297 0.59826 0.60235

5.92453 1.23493 1.14340 0.97985 0.71435 0.36498 0.08529 0.00409 0.00001

150.96 45.92 73.95 173.01 482.69 71.15 14.26 0.68 0.00

0.60236

La concentración concentraci ón de bacterias contaminantes “c” en un lago decrece de acuerdo con la relación

=70−. 25−. Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 usando a) el método gráfico y b) el método de Newton-Raphson Solución:

9=70−. 25−.  =70−. 25−.  9 ′=  = 105−. 1.875−. Tabulamos la función para encontrar el intervalo

t

f(t)

t

f(t)

11 12 13 14 15

1.9558 1. 9558 1.1642 1. 1642 0.4298 0. 4298 -0.2515 -0.8836

16 17 18 19 20

-1.4701 -2.0142 -2.5189 -2.9872 -3.4217

Método de Newton – Raphson:

49.

i

to

t1

(t1-to)

Ea%

1 2 3

14 13.61661 13.62202

13.61661 13.62202

0.38339 0.00541 0.00000

2.82 0.04 0.00

13.62202

En ingeniería ingeniería marítima, marítima, la ec ecuación uación de una ola estacionaria estacionaria reflejada en un puerto está está dada dada por por

=16,=12,=48, ℎ=ℎ     −

Encuentre el valor positivo más

I

bajo de x si: h = 0.4ho Solución:

0.4ℎ = ℎ [(216 )(2.4168.12)  −]

28

METODO NUMERICOS

0.4=  .3926 926 226.18989  −  =  .3926 926 226.18989  − 0.4 Tabulamos la función para encontrar el intervalo

x

f(x)

x

f(x)

16 17 18 19 20

-0.40158 -0.01887 0.30583 0. 30583 0.52314 0. 52314 0.59999 0. 59999

21 22 23 24 25

0.52465 0.30863 -0.01218 -0.39762 -0.78038

Método de Secante, tomando los valores iniciales menores:

52.

i

Xo

X1

X2

Es%

1 2 3 4 5

17 18 17.05814 17.05156 17.05224

18 17.05814 17.05156 17.05224

17.05814 17.05156 17.05224 17.05224 17.05224

0.04 0.00 0.00 0.000

17.05224

     1    =   1

El valor acumulado acumulado de una cuenta cuenta de ahorros puede calcularse calcularse con la ecuación de anualidad anualidad vencida vencida

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual?. Solución:

    1 500 1   750750 000 000==   1

    1 500 1    =   1  750 750 000000

Tabulamos la función para encontrar el intervalo

i

f(i)

i

f(i)

0.2250 0.2375 0.2500 0.2625 0.2750

-370628.259 -308260.306 -235582.957 -150945.055 -52443.318

0.2875 0.3000 0.3125 0.3250 0.3375

62113.972 195248.188 349857.076 529267.660 737296.107

Método de la Secante con valores iniciales i o = 0.275 y i1 = 0.2875:

i

io

i1

i2

Es%

1 2 3 4 5

0.275 0.28750 0.28014 0.28036 0.28037

0.2875 0.28014 0.28036 0.28037 0.28037

0.28014 0.28036 0.28037 0.28037

0.08 0.00 0.00 0.000

0.28037

I

El interés tiene el siguiente resultado i = 0.28037

29

METODO NUMERICOS

I

30

Diseño Geométrico de Carreteras 2da Edición James Cárdenas Grisales

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