1. OB OBJE JETI TIVOS VOS
•
Conocer los tres métodos de diseño en estructuras de concreto armado por los métodos de: Diseño a Rotura, Diseño Agrietado, Diseño no Agrietado.
•
Aprender los criterios que se debe tener en cuenta al momento de diseñar una estructura de Concreto Armado Armado
•
Investigar sobre la Historia del Concreto armado en el Per, sus usos ! metodolog"a que e#isten actualmente en el pa"s
•
Aprender mediante e$emplos, los % tipos de diseño con los que se puede construir una estructura de concreto Armado
2. INTROD INT RODUCC UCCION ION
Para pro!ectar una estructura de concreto armado se debe tener un claro conocimiento de las &ormas de diseño que aseguren un comportamiento satis&actorio del material. Para que una estructura cumpla sus prop'sitos debe ser segura contra el colapso ! &uncional en condiciones de servicio. (a &uncio &uncional nalida idad d requi requier ere e que las de)e# de)e#ion iones es sea sean n pequeñ pequeñas, as, que las *suras, si e#isten, se mantengan en l"mites tolerables, que las vibraciones se minimicen, etc. (a seguridad requiere que la resistencia de la estructura sea la adecuada para todas las cargas que puedan llegar a actuar sobre ella. +i la resistencia de la estructura, construida tal como se diseñ', pudiera pred predec ecir irse se en &or &orma prec precis isa, a, ! si las las ca carrgas gas ! sus sus e&ec e&ecto toss inte interrnos nos momen momentos tos,, cortan cortantes tes,, &uer-a &uer-ass a#iale a#iales s se conoci conociera eran n con preci precisi' si'n, n, la seguri seguridad dad podr"a podr"a garant garanti-a i-ars rse e propo proporc rcion ionand ando o una capaci capacidad dad portan portante te ligeramente superior a la que se requiere para las cargas conocidas. +in embargo, e#isten diversas &uentes de incertidumbre en el an/lisis, diseño ! cons co nstr truc ucci' ci'n n de es estr truc uctu tura rass de co conc ncrreto eto re&or e&or-a -ada das. s. 0sta 0stass &uen &uente tess de incert incertidu idumbr mbre, e, que requier equieren en un margen margen de segur segurida idad d de*nid de*nido, o, pueden pueden enumerarse como sigue:
3. MARCO MARCO TEORIC TEORICO O 3.1 3. 1
CONO CONOCI CIMI MIEN ENTO TOS S PREV PREVIO IOS S
%.1.1 02I304CIA+ D0 (A 45R6A +I+65RR0+I+70470 0.8%8 Recordando un concepto importante de la 4or orm ma 0.8%8 Dis Diseño +ism +ismo orres esis iste tent nte. e. 0n su ar art" t"cculo ulo % dice dice que la *los loso&"a o&"a del dis diseño eño +ismorresistente +ismorresistente consiste en:
a. 0vitar pérdidas de vidas b. Asegurar la continuidad de los servicios b/sicos c. 6inimi-ar los daños a la propiedad 0sto signi*ca que la estructura no debe colapsar, ni causar daños graves a las personas debido a movimientos s"smicos severos que puedan ocurrir en el sitio ! que se pueden producir daños dentro de l"mites aceptables. Par ara a que que una una estr structur ctura a res esis istta un sis sismo sever evero o co con n es este te tipo ipo de comportamiento es necesario que cumpla dos condiciones:
Para pro!ectar una estructura de concreto armado se debe tener un claro conocimiento de las &ormas de diseño que aseguren un comportamiento satis&actorio del material. Para que una estructura cumpla sus prop'sitos debe ser segura contra el colapso ! &uncional en condiciones de servicio. (a &uncio &uncional nalida idad d requi requier ere e que las de)e# de)e#ion iones es sea sean n pequeñ pequeñas, as, que las *suras, si e#isten, se mantengan en l"mites tolerables, que las vibraciones se minimicen, etc. (a seguridad requiere que la resistencia de la estructura sea la adecuada para todas las cargas que puedan llegar a actuar sobre ella. +i la resistencia de la estructura, construida tal como se diseñ', pudiera pred predec ecir irse se en &or &orma prec precis isa, a, ! si las las ca carrgas gas ! sus sus e&ec e&ecto toss inte interrnos nos momen momentos tos,, cortan cortantes tes,, &uer-a &uer-ass a#iale a#iales s se conoci conociera eran n con preci precisi' si'n, n, la seguri seguridad dad podr"a podr"a garant garanti-a i-ars rse e propo proporc rcion ionand ando o una capaci capacidad dad portan portante te ligeramente superior a la que se requiere para las cargas conocidas. +in embargo, e#isten diversas &uentes de incertidumbre en el an/lisis, diseño ! cons co nstr truc ucci' ci'n n de es estr truc uctu tura rass de co conc ncrreto eto re&or e&or-a -ada das. s. 0sta 0stass &uen &uente tess de incert incertidu idumbr mbre, e, que requier equieren en un margen margen de segur segurida idad d de*nid de*nido, o, pueden pueden enumerarse como sigue:
3. MARCO MARCO TEORIC TEORICO O 3.1 3. 1
CONO CONOCI CIMI MIEN ENTO TOS S PREV PREVIO IOS S
%.1.1 02I304CIA+ D0 (A 45R6A +I+65RR0+I+70470 0.8%8 Recordando un concepto importante de la 4or orm ma 0.8%8 Dis Diseño +ism +ismo orres esis iste tent nte. e. 0n su ar art" t"cculo ulo % dice dice que la *los loso&"a o&"a del dis diseño eño +ismorresistente +ismorresistente consiste en:
a. 0vitar pérdidas de vidas b. Asegurar la continuidad de los servicios b/sicos c. 6inimi-ar los daños a la propiedad 0sto signi*ca que la estructura no debe colapsar, ni causar daños graves a las personas debido a movimientos s"smicos severos que puedan ocurrir en el sitio ! que se pueden producir daños dentro de l"mites aceptables. Par ara a que que una una estr structur ctura a res esis istta un sis sismo sever evero o co con n es este te tipo ipo de comportamiento es necesario que cumpla dos condiciones:
•
9ue 9ue se sea a r"gi r"gida da,, para para que que los los desp despla la-a -ami mien ento toss ori ori-o -ont ntal ales es se sean an pequeños.
•
9ue 9ue se sea a dct dctil, il, para para que que en dete deterrmina minada dass -ona -onass pued pueda a tene tenerr un comportamiento inel/stico, lo que signi*ca *suraci'n, sin perder su resistencia ni de que se produ-ca una &alla &r/gil.
0l cumplimiento de la condici'n ; necesita que se cumplan las e#igencias de la norma norma de concr concreto eto armad armado, o, partic particular ularmen mente te los art"cu art"culos los re&er re&erido idoss al diseño sismorresistente. 0sto trata principalmente del tipo de estribos, su espaciamiento, longitudes de ancla$e, longitudes de traslape ! detalles sobre la colocaci'n de las armaduras dentro de las vigas. Adem/s de cumplir estas condiciones, para tener un buen comportamiento ante sismos severos nuestros edi*cios deben tener en lo posible: •
+imetr"a, tanto en la distribuci'n de masas como la de rigideces., para reduc educir ir e#ce e#cent ntri rici cida dade dess que que prod produc ucen en rota rotaci cion ones es que que incr increm emen enta tan n los los despla-amientos ori-ontales produciendo ma!ores daños en los elementos estructurales ! no estructurales
•
Peso m"nimo, especialmente en los pisos altos. 0sto lleva a la recomendaci'n que estamos aplicando en &orma general en el diseño de nuestros edi*cios, de evitar los tanques elevados en las a-oteas de los edi*cios. 0s muco m/s conveniente emplear equipos idroneum/ticos o de presi'n constante para asegurar el suministro adecuado de agua en todo el edi*cio
•
+elecci'n ! uso adecuado de los materiales de construcci'n. 0n las &otos < ! = se ven los daños producidos en n edi*cio en Pisco, donde el muro de relleno entre las columnas ! vigas que se muestran, a sido construido con ladrillo pandereta en lugar de ladrillo maci-o o de paños de concreto armado. armado. 0l ladrillo pandereta es mu! poco resistente a &uer-as ori-ontales de corte ! los casos de &alla an sido mu! numerosos en este sismo. +e recomienda que se redu-ca su empleo, empleando en su lugar ladrillos maci-os.
•
Resi esiste stenci ncia a adecua adecuada. da. 0sto 0sto es aplica aplicable ble princi principal palmen mente te a los ele elemen mentos tos verticales, !a que su &alla puede producir el colapso del edi*cio como se ve en la &oto >.
•
Continuidad en la estructura, tanto en planta como en elevaci'n. 0s mu! importante que lo elementos verticales, particularmente los m/s r"gidos, que
toma toman n una una part parte e impo import rtan ante te de la &uer &uer-a -a ori ori-o -ont ntal al no desa desapa parre-ca e-can, n, creando lo que se denomina un piso blando.
•
Inclusi'n de l"neas sucesivas de resistencia. 0sto lleva a considerar como m/s adecuado el sistema dual, empleando p'rticos de columnas ! vigas con un sist sistem ema a de muro muross de co cort rte. e. 0sta 0sta co comb mbin inac aci' i'n n le per permite mite al edi* edi*cio cio controlar los despla-amientos ori-ontales de manera que estén dentro de lo admi admissible ible por el Regla eglame men nto ! en el posi posib ble ca casso que que se e#ce ceda da la resistencia de los muros de corte, tener una segunda l"nea de resistencia en los p'rticos, los que deben tener la ductilidad necesaria para entrar a un régimen inel/stico, con *suraci'n en las -onas donde se &ormen las r'tulas pl/sticas, pero sin pérdida de resistencia ! evitando &allas &r/giles.
?oto 1 @ 0di*cios en buen estado
?oto ; @ 0di*cio demoliéndose en Ica
?oto % @ 0di*cio con columnas cortas, Pisco
?oto @ Detalle de columnas cortas, Pisco
?oto < @ 0di*cio con daño graves, Pisco
?oto = @ Detalle de daños en edi*cio, Pisco
?oto > @ 0di*cio colapsado, Pisco
?oto B @ ?alla de columna corta, Ica
3.1.2 EXIGENCIAS DE LA NORMA DE CONCRETO ARMADO (ACI 318-0! (a 4orma Peruana de Concreto Armado 0.8=8 &ue aprobada en ?ebrero de 1B ! por lo tanto es mu! antigua, particularmente cuando la investigaci'n ! el an/lisis de las e#periencias de daños s"smicos a nivel mundial se an incrementado muco. Por esta ra-'n, aunque es nuestra le! ! tenemos que cumplirla, las e#igencias para una adecuada resistencia s"smica que presentamos a continuaci'n est/n re&eridas a la 4orma ACI %1B aprobada el año ;88<. 1. (A R0+I+704CIA R09E0RIDA P5R (A 45R6A 0.8=8 0n su art"culo 18.;.1 tiene que modi*carse en lo re&erente a cargas de sismo, !a que como indica la 4orma 0.8%8 en su art"culo 1;, FPara el diseño por resistencia ltima las &uer-as s"smicas internas deben combinarse con &actores de carga unitariosG. De acuerdo con esto, las combinaciones de carga indicadas en 18.;.1 de la 4orma 0.8=8 son:
U
= 1,5CM + 1,8CV
U
= 1,25(CM + CV ) ± CS
U
=
0,9 CM
± CS
Donde E: (a resistencia requerida C6: Carga 6uerta C: Carga iva C+: Carga de +ismo ;. (5+ R0CERI6I0475+ 6J4I65+ D0 C54CR075 PARA PR57030R 0( AC0R5 D0 R0?E0RK5 +54 (5+ +I3EI0470+:
•
Concreto vaciada contra el terreno ! e#puesto permanentemente a él >
•
Concreto en contacto con el suelo o a la intemperie: barras de
•
Concreto no e#puesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: losas, muros ! viguetas 8mm vigas ! columnas <8m
%. ARRA+ 0+7M4DAR A+76. N
Denominaci 'n
dbmm
Asmm;
PesoOgLm
%
%LBG
,<
>1
8,<=
G
1;,>
1;
1,81
<
1=
;88
1,<>
=
QG
1
;B
;,;%
>
>LBG
;;
%B>
%,8
B
1G
;<
<18
,88
11LBG
;
=<
<,8=
18
11LG
%;
B1
=,%
11
1%LBG
%=
188=
>,8
. (J6I70+ D0 0+PACIA6I0475 047R0 ARRA+ Consideramos el caso en que el agregado grueso del concreto tiene piedra de un tamaño nominal QG. Para vigas el m"nimo espacio libre entre barras, en sentido ori-ontal ! vertical, es igual al di/metro db mm de la barra, pero no menor a ;
A s ,min
=
0.8 f c' f y
bwd
≥
14 f y
bwd
Para &Sc U ;18 OgLcm; ! acero grado =8, &! U ;88 OgLcm;, se obtiene:
A s ,min = 0.00333bw d (a cuant"a del acero de re&uer-o en tracci'n no debe e#ceder de 8.8;<.
".- EXIGENCIAS PARA EL RE#UER$O TRANSVERSAL DE ELEMENTOS SOMETIDOS A #LEXI%N. Deben colocarse estribos cerrados de con*namiento en una longitud igual a dos veces la altura de la viga, medida desde la cara del nudo acia el centro de la lu-, en ambos e#tremos de la viga. 0l primer estribo cerrado debe estar a no m/s de <8mm de la cara del nudo ! los restantes deben tener un espaciamiento que sea el menor valor entre dL ' 188mm. 0n la viga deben colocarse estribos de acuerdo a la necesidad por es&uer-o cortante. 0n mi pr/ctica pro&esional, acostumbro colocar en la parte central de la viga como m"nimo estribos de %LBG cada ;8cm.
&.- RESISTENCIA A #UER$A CORTANTE. (a resistencia de diseño a &uer-a cortante, e, se debe determinar a partir de las reacciones isost/ticas de las cargas de gravedad entre las caras de los nudos, en los e#tremos de la viga, m/s la &uer-a cortante iperest/tica producida por los momentos probables 6pr que actan en la parte superior de la viga en un e#tremo ! en la parte in&erior de la viga en el otro e#tremo, como se aprecia en la *gura ad$unta. 0stos momentos se calculan con el /rea de acero que se a colocado en la viga, con un es&uer-o de )uencia real estimado de 1,;<&! ! con un &actor VU1,8. 0l re&uer-o de estribos necesario en la -ona determinada en el ac/pite = anterior, se debe calcular suponiendo c U 8 cuando se produ-can simult/neamente las dos condicione siguientes: •
(a &uer-a cortante inducida por el sismo representa la mitad o m/s de la resistencia m/#ima a cortante requerida en esas -onasW
3.2
'ISTORIA DEL CONCRETO ARMADO 0l concreto &ue usado por primera ve- en Roma alrededor de la tercera centuria antes de Cristo. 0staba constituido por agregados unidos mediante un aglomerante con&ormado por una me-cla de cal ! ceni-a volc/nica. 0ste material pod"a sumergirse en agua manteniendo sus propiedades a di&erencia de los morteros de cal usados siglos antes en la antigua isla de Creta.. 0l primer registro del uso del concreto en los tiempos modernos, se remonta a 1>=8 cuando, en Inglaterra, Xon +meaton descubrio, mientras pro!ectaba
el &aro 0ddistone, que la me-cla de la cali-a calcinada ! arcilla daba lugar a un conglomerante idr/ulico resistente al agua. 0n 1B; $osep Aspdin elaboro cemento me-clando arcilla ! cali-a de di&erentes canteras ! calent/ndolo en un orno. 0l concreto obtenido con este aglomerante se aseme$aba a las piedras propias de la isla de Portland, al sur de Inglaterra, motivo por el cual se le llamo cemento Portland, material que comen-' a &abricarse con ma!or &uer-a desde entonces. 0n ocasiones, la me-cla era calentada en e#ceso ! se endurec"a, siendo desecada por considerase inutil. 0n 1B<, I C. Xonson descubri' que el me$or cemento proven"a de la pulveri-aci'n de esta sustancia Y inutil Y denominada clinOer .0ste es el cemento que se conoce o! en dia.
3.3
VENTAJAS DESVENTAJAS DEL CONCRETO ARMADO
+e le da este nombre al concreto simple ! sumado m/s el acero de re&uer-o, b/sicamente cuando tenemos elementos que traba$an a comprensi'n o a tracci'n tensi'n . 0#isten varias categor"as del concreto como por e$emplo el concreto pretensado ! concreto postensado, el concreto armado est/ constituido por venta$as ! desventa$as que &avorecen a la construcci'n de edi*cacionesW que a continuaci'n se presentan:
V)*+a,a • • • •
•
• • •
0s durable a lo largo del tiempo ! no requiere de una gran inversi'n para su mantenimiento. 7iene una vida til e#tensa 7iene gran resistencia a la compresi'n en comparaci'n con otros materiales. 0s resistente al e&ecto del agua 0n &uegos de intensidad media el concreto armado su&re daños super*ciales si se provee un adecuado recubrimiento de acero. 0s mas resistente al &uego que la madera ! el acero estructural +e le puede dar &orma que uno desee aciendo uso del enco&rado adecuado (e con*ere un car/cter monol"tico a sus estructuras lo que les permite resistir m/s e*cientemente las cargas laterales del viento o sismo. 4o requiere mano de obra mu! cali*cada +u gran rigide- ! masa evitan problemas de vibraciones en las estructuras erigidas con el.
• •
0n la ma!or"a de lugares, es el material m/s econ'mico Por su gran peso, la in)uencia delas variaciones de cargas m'viles es menor.
D)/)*+a,a: •
7iene poca resistencia a la tracci'n apro#imadamente la décima parte de su resistencia a la compresi'n. Aunque el acero se coloca de modo que absorba estos es&uer-os, la &ormaci'n de grietas es inevitable.
•
Requiere de enco&rado lo cual implica su abilitaci'n, vaciado, esperar asta que el concreto alcance la resistencia requerida ! desenco&rado, con el tiempo que estas operaciones implican. 0l costo del enco&rado puede alcan-ar entre un tercio ! dos tercios del costo total de la obra
•
+u relaci'n resistencia a la compresi'n versus peso est/ mu! por deba$o que la correspondente al acero, el cual es m/s e*ciente cuando se trata de cubrir grandes luces,el concreto requiere ma!ores secciones ! por ende el peso propio es una carga mu! importante en el diseño.
•
Requiere de un permanente control de calidad, pues estase ve a&ectada por las operaciones de me-cla, colocaci'n, curado etc.
. METODOS DE DISEO CONCRETO ARMADO 0n la actualidad e#isten, b/sicamente dos métodos de diseño en concreto armadoW diseño el/stico Agrietado ! no Agrietado o por cargas de servicio ! diseño a la rotura o por resistencia ultima. 0l primero &ue utili-ado con
muca &uer-a acia mediados del siglo ! el segundo a adquirido impulso en los ltimos cuarenta años.
E 4)56 )7+4c6 que es posible predecir la distribuci'n del es&uer-os en el re&uer-o ! el concreto, al ser sometida a cargas de servicio. Asume un comportamiento el/stico de ambos materiales, el diseño consiste en conseguir que los es&uer-os no e#cedan los es&uer-os admisibles que son una &racci'n de la resistencia del concreto ! del es&uer-o de )uencia del acero. 0n el diseño de estructuras, es importante considerar el tipo de &alla, dctil o &r/gil, que presenta un elemento ba$o determinadas solicitaciones !, en medida de lo posible orientar la &alla segn sea conveniente. 0l método el/stico no considera este punto el método el/stico tampoco determina la carga que ocasiona la rotura de la pie-a ! por ello, su &actor de seguridad no es considerada.
E 4)56 69 96+:9a se &undamenta en la predicci'n de la carga que ocasiona la &alla del elemento en estudio ! anali-a el modo de colapso del mismo. 0n pruebas de laboratorio se a podido comprobar que es posible predecir estas cargas con precisi'n su*ciente este método toma en consideraci'n el comportamiento inel/stico del acero ! el concreto ! por lo tanto, se estima me$or capacidad de carga de la pie-a
+e nota la gran distinci'n de la *loso&"a de ambos métodos en los gr/*cos b 6étodo 0l/stico ! c 6étodo Pl/stico.
.1
DISEO ELASTICO (AGRIETADO NO AGRIETADO! .1.1CONCEPTOS Parte de la ip'tesis que es posible predecir la distribuci'n de es&uer-os en el concreto ! el re&uer-o, al ser sometidos a cargas de servicio. 0l ob$etivo es conseguir que los es&uer-os no e#cedan los es&uer-os admisibles que son una &racci'n de la resistencia del concreto ! de la )uencia del acero, mediante pruebas de laboratorio an comprobado el comple$o comportamiento del concreto con el paso del tiempo, que conlleva a una constante redistribuci'n de es&uer-os entre éste ! el acero. 0n este diseño se considera s'lo una de estas distribuciones ! las condiciones no consideradas puede ocasionar la &alla. 0l 6étodo 0l/stico no considera el tipo de &alla, dctil o &r/gil, es decir, no orienta la &alla segn sea conveniente. 7ampoco determina la carga que ocasiona la rotura de la pie-a ! por esto no tienen &actores de seguridad establecidos. +e entender/ que a la ora de someter un material a es&uer-o, en este caso el ormig'n ! el acero, estos primero pasar/n por una etapa de elasticidad antes de alcan-ar su rango pl/stico. (a teor"a el/stica se &undamenta en que nuestro elemento estructural deber/ permanecer en el rango el/stico. /sicamente se plantea una linealidad entre las de&ormaciones m/#imas a compresi'n ! las m/#imas a tensi'n, ! de aqu" en adelante los libros utili-an le!es de tri/ngulos b/sicas ! varios artilugios matem/ticos para obtener las &'rmulas de an/lisis ! diseño segn la teor"a el/stica. 0ste método se basa en los conceptos de teor"a el/stica, el cual se &undamenta en: • •
(as secciones planas antes de la )e#i'n permanecen planas después de ella. ;. (as tensiones son proporcionales a las de&ormaciones, dependiendo de la distancia al e$e
• •
neutro, a e#cepci'n de las vigas de gran altura ! no deben soportar los valores de los valores admisibles. %. (a resistencia a la atracci'n del ormig'n. (a aderencia per&ecta entre el acero ! el ormig'n. +in desli-amientos
0l momento interior resistente, igual al e#terior actuante, ser/:
0n donde
e#presi'n similar a la obtenida en la aplicaci'n de la &'rmula de )e#i'n:
0sta &'rmula nos permite diseñar obtener b# en una secci'n omogénea ! el/stica a partir del momento actuante 6, si se conoce el es&uer-o admisible o de traba$o &.
PREDISEO Dentro de esta estimaci'n se presenta dos criterios: ZResistencia Z?leca. (os requerimientos de servicio tienden acer los m/s cr"ticos, por ello se recomienda usar el siguiente criterio: (a )eca m/#ima de una viga semirr"gida con cargas uni&ormes es:
Puede establecerse la condici'n de )eca como un valor m"nimo de inercia requerido para la viga
AN;LISIS EL;STICO +e de*ne la rigide- de cada una de las uniones segn la rigide- 'ptima, la cual debe ser introducida en el modelo estructural con los métodos equivalentes. Después de aber compuesto el modelo estructural, se reali-a el an/lisis de la estructura. 0l valor m/#imo del momento )ector, presente en cada una de las uniones para la envolvente de las combinaciones, e#presa la resistencia m"nima requerida en cada una de las uniones. Ambos requerimientos de las uniones rigide- ! resistencia puede ser veri*cado para cada uni'n en cada punto. De este modo se asegura la e#istencia de una uni'n satis&actoria. Para esto se requieren métodos de prediseño de la uni'n. +i en algn caso no es satis&actorio, se requiere su inicio nuevamente.
DISEO DE LA UNI%N Por la virtud de los métodos del prediseño, puede estimarse una geometr"a v/lida para los requerimientos rigide- ! resistencia. 0s decisi'n del pro!ectista el grado de optimi-aci'n al cual llegar en el diseño de la uni'n. (as comprobaciones previas simpli*can el proceso de diseño, aciendo necesaria las iteraciones.
DISEO DE RESISTENCIA.
+e reali-a un ensa!o de an/lisis el/stico del p'rtico, por lo que no se permite una &ormaci'n de r'tulas pl/sticas. 0l criterio resulta sencillo:
DISEO DE LA RIGIDE$. Resulta di&"cil dar con precisi'n el valor requerido de la rigide-, por ello e#isten unos l"mites de intervalo las cuales modi*can el comportamiento estructural en un valor in&erior al <[. 0sta variaci'n resulta di&"cil de cuanti*car a partir del valor cuantitativo de la rigide-. 0l rango admitido es el correspondiente a una variaci'n m/#ima es correspondiente a una variaci'n m/#ima del "ndice de \ 8.<. 0l valor 'ptimo &ue *$ado en r ] 8.=<. Por ello el rango de rigide- admisible es: +i la rigide- obtenida para la uni'n cumple los l"mites señalados, es obvio que la uni'n resulta v/lida, ! puede procederse a a*nar el diseño de la misma, sino se debe volver a diseñar.
METODO DE LA RESISTENCIA
Para el caso del acero, éste alcan-a su resistencia ltima en el pico de la curva para de&ormaciones unitarias del orden de 8.8B ?orma de re&or-amiento del acero. Por otro la do el concreto &alla por aplastamiento para de&ormaciones unitarias muco m/s ba$as, ! tal como se parecia en la *gua anterior, alcan-a su resistencia ltima para de&ormaciones unitarias en el rago de 8.88; a 8.88%. Debido a que las de&ormaciones unitarias en el acero ! en el concreto son iguales para compresi'n a#ial, se puede calcular la carga para la cual el acero comien-a a )uir utili-ando la in&ormacion de la *gura anterior. +i se desprecia la pequeña curvatura antes de la )uencia del acero, es decir, si el acero se supone per&ectamente el/stoplastico, la de&ormaci'n unitaria de )uencia ser/:
(a teor"a pl/stica es un método &undado en las e#periencias ! teor"as correspondientes al estado de ruptura de las teor"as consideradas.
0sta teor"a utili-a un &actor de carga, el cual es un nmero por el cual a! que &actori-ar la carga real o de servicio para determinar la carga ltima que puede resistir un miembro en la ruptura. (os &actores que en el reglamento del ACI se denominan E, son los siguientes:
Para combinaciones de carga muerta ! carga viva: E U 1.D ^ 1.>( Para combinaciones de carga muerta, carga viva ! carga accidental: E U 8.>< 1.D ^ 1.>( ^ 1.>_ ' E U 8.>< 1.D ^ 1.>( ^ 1.B>0 Cuando la carga viva sea &avorable se deber/ revisar la combinaci'n de carga muerta ! carga accidental con los siguientes &actores de carga: Z E U 8.8D ^ 1.%8_ Z E U 8.8D ^ 1.%80
#ALLAS
•
Ena de ellas se presenta cuando el acero de re&uer-o alcan-a su l"mite el/stico aparente o l"mite de )uencia ?!W sin que el concreto llegue an a su &atiga de ruptura 8.B< ?`c.
•
0l segundo tipo de &alla se presenta cuando el concreto alcan-a su l"mite 8.B< ?`c mientras que el acero permanece por deba$o de su &atiga ?!.
a. +i su$etamos una viga de concreto re&or-ado ! le aplicamos una carga de )e#i'n progresiva, distinguiremos etapas distintas: a. +i la carga que le aplicamos a la viga es pequeña, traba$ar/ el concreto como si &uera una viga omogénea, a compresi'n ! a tensi'n. P^P1^P;
b.
. Al irle aplicando m/s carga a la viga ésta empe-ar/ a de&ormarse aumentando las &atigas de compresi'n ! de tensi'n asta que llegar/ un momento en que el material alcan-a su l"mite el/stico. (a primera grieta aparece en el centro de la viga ! se van multiplicando en nmero ! pro&undidad con&orme se va incrementando la carga. 0stas grietas se van abriendo cada ve- m/s.
0l e&ecto de las cargas sobre una viga no depende s'lo de la intensidad de las mismas, sino que también del lugar donde se encuentran aplicadas. +in duda, una misma carga puede ser soportada por la viga si dica carga se coloca en el e#tremo ! provocar la ruptura si la carga se coloca en el centro de ella. (a teor"a convencional del concreto armado se deriva del eco de que en condiciones normales de traba$o, los es&uer-os de los materiales no pasan de
sus l"mites el/sticos, es decir que e#iste proporcionalidad entre los es&uer-os ! las de&ormaciones. (e! de HooOe
DEL DIAGRAMA DE DE#ORMACIONES OdL%
0.4.
C1
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C
$d Ast n As b
Del diagrama de de&ormaciones, se deducen las &atigas para cualquier punto de la secci'n una ve- conocidos los m'dulos de la elasticidad del acero 0s ! del concreto 0c. 0l valor de la compresi'n total ser/ igual al volumen del prisma triangular ! est/ representado por: (a tensi'n total ser/ igual al volumen del cilindro de es&uer-os ! est/ representado por: 0l bra-o del par que se de&orma entre la tensi'n ! la compresi'n ser/:
EJEMPLOS METODO ELASTICO 1.1SECCI%N NO AGRIETADA. Para la secci'n dada en la *gura ad$unta, encontrar los es&uer-os en el concreto ! el acero. Asumir % barras N6. 8 ! una relaci'n modular n = Es / Ec = 10. 7omar un momento de diseño M = .0 T* > ?.
30 cm
50 cm
Eje Neutro
45 cm (n-1)*As/2
(n-1)*As/2
3 No. 8 5 cm
At = 1500 + (10 – 1)* 3 * 5.1 = 1637.70 cm2
_
y =
I t
=
1500 * 25 + (10 −1) * 3 * 5.1 * 5 1500 + (10 −1) * 3* 5.1
30 * 50 3 12
+ 1500 *
( 25 − 23.32) 2
= 23.32 cm
+
; y t
= 50 − 23.32 = 26.68 cm
(10 − 1) * 3 * 5.1* ( 23.32 − 5)
=
362,948.8 cm 4
5
M *Y t fc = c I t
=
5 * 10 * 26.68 362948.8
= 36.75 Kg / cm 2
M *Y b fc = t I t
2
Compresi'n en el concreto
5
=
5 *10 * 23.32 362948.8
= 32.12 Kg / cm 2 7ensi'n en el concreto
= *
f s
M * Y bs I t
= 10*
5 * 10 5 * 18.32 362948.8
= 252.38 Kg / cm 2
1.2SECCI%N AGRIETADA.
Para la secci'n dada en la *gura, encontrar los es&uer-os de )e#i'n en el concreto ! el acero. Asumir 3 ba99a N6. 8 ! una relaci'n modular n = Es / Ec = 9 . Esar un momento de diseño M = 10.0 Tn – mt .
30 cm
30 cm
! Eje Neutro
50 cm
= 44 cm 44 - ! n*As = 9*15.30 =137.7
3 No. 8 6 cm
Inicialmente usamos el concepto de momento de /rea alrededor del e$e neutro:
" 30 * y ! * " y / 2 ! = 9 * 3 * 5.1 * " 44 − y !
15 * y 2
y 2
= 6058.8 − 13# .# y
+ 9.18 * y − 403.92 = 0.0 ⇒
y = 16.03 cm
7ambién podemos encontrar el mismo valor encontrando la ubicaci'n del centroide con respecto al e$e neutro de la secci'n:
y =
30 * y * " y / 2 ! 30 * y
+
+
9 * 3* 5.1 * 44
9 * 3* 5.1
⇒
Resolviendo,
y = y t = 16.03 cm
y bs = 27.97 cm
Calculamos seguidamente la inercia trans&ormada:
I t
=
30 * (16.03) 3 3
+
9 * 3* 5.1* ( 44.0 −16.03)
2
= 148,916.4
cm 4
(a inercia trans&ormada se puede calcular también de la siguiente manera:
I t
=
30 * (16.03) 3 12
M * y t fcc = I t
2
16.03 2 + 30 * 16.03* 16.03 − + 9 *15.3* ( 44 − 16.03) = 148916.4 cm 4 2
=
10 * 10 5 *16.03 148916.4
= 107.6 Kg / cm 2
M * ybs f s = * I t
= 9*
10* 10 5 * " 44 − 16 .03 ! 148916 .4
Compresi'n en el concreto
= 1690.# Kg / cm 2
.2
DISEO PLASTICO O DE ROTURA
0l método de diseño de vigas pl/stico o de rotura a di&erencia del método el/stico utili-a la resistencia ltima de los materiales, es decir nos permite diseñar secciones muco m/s econ'micas, !a que usamos la m/#ima resistencia de la secci'n antes de &allar. 0sta metodolog"a se basa &undamentalmente en utili-ar &actores de reducci'n de resistencia de los elementos estructurales debido principalmente a la variabilidad que e#iste entre las resistencias que podemos obtener en obra ! las que obtenemos comnmente en obra ! para asegurarnos que no &alle por una sobrecarga en la estructura se usa &actores de ampli*caci'n de cargas. Hasta el año ;88; el ACI propon"a al diseño el/stico como un método alternativo de diseño ! veri*caci'n, pero ediciones posteriores an eliminado totalmente esta metodolog"a de$ando solamente al método pl/stico como método de diseño. 0n el presente in&orme ! para continuar con la presentaci'n del traba$o encargado reali-amos el diseño de un p'rtico de una vivienda por el método pl/stico.
VENTAJAS DEL DISEO PL;STICO •
•
0n la pro#imidad del &en'meno de ruptura, los es&uer-os no son proporcionales a las de&ormaciones unitarias, si se aplica la teor"a el/stica, esto llevar"a errores asta de un <8[ al calcular los momentos resistentes ltimos de una secci'n. 0n cambio, si se aplica la teor"a pl/stica, obtenemos valores mu! apro#imados a los reales obtenidos en el laboratorio. (a carga muerta en una estructura, generalmente es una cantidad invariable ! bien de*nida, en cambio la carga viva puede variar m/s all/ del control previsible. 0nla teor"a pl/stica, se asignan di&erentes &actores de seguridad a ambas cargas tomando en cuenta sus caracter"sticas principales.
•
0n el c/lculo del concreto pre es&or-ado se ace necesario la aplicaci'n del diseño pl/stico, porque ba$o cargas de gran intensidad, los es&uer-os no son proporcionales a las de&ormaciones.
'IP%TESIS DEL DISEO PL;STICO Para el diseño de los miembros su$etos a carga a#ial ! momento )e#ionante, rompiendo cumpliendo con las condiciones aplicables de equilibrio ! compatibilidad de de&ormaciones, las ip'tesis son: • (as de&ormaciones unitarias en el concreto se supondr/n directamente proporcionales a su distancia del e$e neutro. 0#cepto en los ancla$es, la de&ormaci'n unitaria de la varilla de re&uer-o se supondr/ igual a la de&ormaci'n unitaria del concreto en el mismo punto. • (a de&ormaci'n unitaria m/#ima en la *bra de compresi'n e#trema se supondr/ igual a 8.88% en la ruptura. • 0l es&uer-o en las varillas, in&erior al l"mite el/stico aparente ?!, debe tomarse igual al producto de ;.8B% # 18= OgLcm; por la de&ormaci'n unitaria de acero. Para de&ormaciones ma!ores que corresponden al l"mite el/stico aparente, el es&uer-o en las barras debe considerarse independientemente de la de&ormaci'n igual el l"mite el/stico aparente ?!. +e desprecia la tensi'n en el concreto en secciones su$etas a )e#i'n. • 0n la ruptura, los es&uer-os en el concreto no son proporcionales a las de&ormaciones unitarias. 0l diagrama de los es&uer-os de compresi'n puede suponerse rectangular, trape-oidal, parab'lico, o de cualquier otra &orma cu!os resultados concuerden con las pruebas de los laboratorios. M@TODO DE C'ARLES S. 'ITNE 0ste método consiste en suponer una distribuci'n uni&orme de los es&uer-os de compresi'n de intensidad 8.B< &c actuando sobre un /rea rectangular limitada por los bordes de la secci'n ! una recta paralela el e$e neutro, locali-ada a una distancia a U 1 c de la *bra de m/#ima de&ormaci'n en compresi'n.
#4:9a 1.1. C:5a 9)c+a*:a9 ) ):)96 ):4/a)*+) )* :*a /4a.
(a ip'tesis ? ace que la compresi'n total como volumen de la cuña rectangular tenga el valor: Para una secci'n rectangular. +i se designa por 1 la relaci'n entre el /rea real del diagrama de compresiones ?ig. 1.1 ! el /rea del rect/ngulo circunscrito a ese diagrama, el volumen de la cuña real de compresiones puede escribirse as":
Por lo que igualando las ecuaciones anteriores para que cumpla la primera condici'n: De donde:
a = ß1
!omo "o e#$a%"ee "a &i$e#i# () a i$ada. +a #e-nda ondiin -e de%en -m"i "a# e#-"$an$e# de "o# do# diaama# (e" ea" e" e$an-"a, #e -m"en on "a ee#in):
# dei:
o "o $an$o:
n on#e-enia: ß2 #e $oma i-a" a 0.425 aa one$o# on
! disminuir/ a ra-'n de 8.8;< por cada >8 gLcm; en e#ceso de los ;B8 OgLcm. 0n el diagrama real de es&uer-os de la *gura 1.1 se a asignado a los es&uer-os de compresi'n un valor m/#imo de 8.B
?AC75R0+ D0 CAR3A ?actor de carga es el nmero por el cual a! que multiplicar el valor de la carga real o de servicio para determinar la carga ltima que puede resistir un miembro en la ruptura. 3eneralmente la carga muerta en una estructura, puede determinarse con bastante e#actitud pero no as" la carga viva cu!os valores el pro!ectista solo los puede suponer !a que es imprevisible la variaci'n de la misma durante la vida de las estructurasW es por ello, que el coe*ciente de seguridad o &actor de carga para la carga viva es ma!or que el de la carga muerta. (os &actores que en el reglamento del ACI se denominan E, son los siguientes: 1. aa om%inaione# de aa m-e$a aa ia: = 1.4D 1.7+
Donde: D = a"o de "a aa m-e$a + = a"o de "a aa ia 2. aa om%inaione# de aa m-e$a, aa ia aa aiden$a": = 0.75 (1.4D 1.7+ 1.7) o = 0.75 (1.4D 1.7+ 1.87) Donde: = a"o de "a aa de ien$o = a"o de "a aa de #i#mo
A. Factores de Reducción # -n nmeo meno -e 1, o e" -a" &a -e m-"$i"ia "a e#i#$enia nomina" a"-"ada aa o%$ene "a e#i#$enia de di#eo. "
o#in 0.75 d&eenia 0.85 !ome#in on o #in <"ein o"-mna# on e<-e?o &e"ioida" 0.75 !o"-mna# on #$i%o# 0.70
"
B. Vigas Rectangulares Simplemente Armadas AC0R5
C. D. AC0R
na ia de one$o e# e$an-"a, -ando #- #ein $an#e#a" en ome#in $iene e#a
" #e-ndo $io de
o "o $an$o:
+"amando:
De" diaama de de
o "o $an$o: +a ee#in ee#en$a e" a"o de" oen$aBe de e<-e?o en "a #ein %a"aneada de -na ia. " e"amen$o !G 318H02 "imi$a e" oen$aBe mimo a"ia%"e a miem%o# #-Be$o# a <"ein, a 75I de e#e a"o o "a# a?one# a e"iada#.
(2.3) " momen$o "$imo e#i#$en$e de -na ia e$an-"a -ede ded-i#e de "a #i-ien$e manea: !=> en on#e-enia:
Fig. 2.1. Deformaciones y esfer!os en na "iga rectang#ar.
" a#ina a <# e" a"o . e e#$ on#ideando -e e" aeo <"-e "a ia e# #o%ee
i ""amamo#:
J-e e# "a o<-ndidad e" eBe ne-$o en "a -$-a. " momen$o "$imo de" a e#:
n donde: K #-#$i$-endo a"oe# de ! :
K #e de#ina o:
n$eiomen$e &a%@amo# e#$a%"eido -e
o "o $an$o:
#$a%"eiendo e" momen$o "$imo en <-nin de" aeo de e<-e?o #e od-e de "a #i-ien$e manea, e
o "o $an$o:
MOMENTO PL;STICO Para &ormali-ar el concepto de r'tula pl/stica demostrado anteriormente, emos de entender que es una simpli*caci'n del comportamiento pl/stico de los elementos tipo barra, partiendo de la teor"a general pl/stica. eremos las ip'tesis que permiten modeli-ar la )e#i'n de la barra pasado el l"mite
el/stico como un elemento unidimensional, reduciendo as" su naturale-a tridimensional. (a viga de 0ulerernoulli permite encontrar una relaci'n sencilla carga de&ormaci'n )eca a partir de la teor"a de la elasticidad lineal le! de HooOe gracias a la ip'tesis de secci'n plana ! al concepto de curvatura que representa el comportamiento de toda la secci'n. 0n el caso de una secci'n genérica, la determinaci'n del momento pl/stico es mu! simple. Partiendo de la *gura anterior encontramos que si en el régimen el/stico la tensi'n es nula en la *bra neutra, al completarse la r'tula pl/stica la tensi'n se anula en la l"nea de igualdad de /reas, dado que la le! de tensiones no es proporcional al bra-o sino constantemente igual a s. 0n ese caso, el momento pl/stico es: A
6p U s
2
y ' U s+#
y ' 1
2
1
+# U
∫ ± y' dA A
Donde !f1, !f; son los centros de gravedad de las /reas AL; a tracci'n ! compresi'n respectivamente, ! +# es el primer momento del /rea. Para automati-ar el c/lculo, es conveniente dividir la secci'n en pol"gonos de /rea Ai con bra-o l"nea de igualdad de /reas centro de gravedad del pol"gono !i: 1
Ai y ' i M = ∑ i
0l momento pl/stico también se suele denominar momento pl/stico completo o total, para distinguirlo del momento pl/stico de inicio, que es aquél en el que comien-a a plasti*car la secci'n, el cual viene descrito por la inercia el/stica medida desde la *bra neutra: 1
MF = $ =
∫ A
2
y d
A
M p
?inalmente e#iste el denominado &actor de &orma α U M y que suele variar entre 1.1< ! 1.; para secciones en doble 7, indicando la pro#imidad entre ambos momentos 6! ! 6p. Para ilustrar el c/lculo completo en el caso sencillo de una secci'n rectangular de dimensiones b, el momento )ector en la secci'n en la que la *bra m/s cargada alcan-a la tensi'n de plasti*caci'n, se deduce del equilibrio de /reas de tensiones como:
+i continuamos ba$o la ip'tesis de ernouilli, en el momento en el que toda la secci'n a plasti*cado asta tener una tensi'n constante s, el momento )ector resulta:
0n cualquier situaci'n intermedia, de*nida por una porci'n el/stica del canto e, el momento )ector sigue la le!:
D)+)9?4*ac4* ) ?6?)*+6 7+4c6
D4a9a?a ?6?)*+6 > c:9/a+:9a )* :*a 9+:a +impli*caci'n de la curva de momentocurvatura en una r'tula a, por la que la ésta se apro#ima a un diagrama bilineal eliminando la di&erencia entre 6! ! 6p b. Ena simpli*caci'n ulterior es la de considerar nicamente comportamiento pl/stico c, lo cual simpli*ca enormemente el c/lculo ! lo ace generalmente m/s simple que el c/lculo el/stico tradicional.
G)*)9a4ac46*) C6*4c46*) ) ):44b946H ?)ca*4?6 F a+4cac4* E:44b946 (os momentos )ectores an de representar una le! en equilibrio entre
las
&uer-as
internas
!
las
&uer-as
aplicadas.
M)ca*4?6 0n el colapso, el momento )ector a de igualarse al momento pl/stico 6U 6p en un nmero su*ciente de secciones como para constituir un
mecanismo
en
toda
la
estructura
o
una
parte.
Pa+4cac4* 0n ninguna secci'n el momento )ector puede superar al momento pl/stico. 0s interesante comprobar que en c/lculo pl/stico no e#isten condiciones de compatibilidad en las r'tulas, con lo cual el colapso de una parte de la estructura no a&ecta a las dem/s partes. 0sto simpli*ca especialmente el c/lculo de vigas continuas.
T)69)?a ) ?*4?6 $n e# an%#isis &e na estrctra' na e#eccin aritraria &e mecanismo &e co#aso roorcionar% na estimacin &e #a carga &e co#aso (o factor &e carga) mayor o iga# e #a correcta.
0ste teorema permite deducir una metodolog"a que vamos a aplicar a un caso sencillo de viga como a, de momento pl/stico 6p U >BO4m. (as condiciones de equilibrio quedan aplicadas al dibu$ar los momentos )ectores b. Puesto que la estructura tiene dos grados de iperestatismo, el equilibrio de*nir/ la le! de momentos )ectores salvo dos constantes, 6A ! 6D.
(a inc'gnita de traba$o va a ser la elecci'n de mecanismo de colapso. amos a estudiar los dos m/s probables, que constan de tres r'tulas pl/sticas nmero necesario para reducir el iperestatismo de grado ; a mecanismo, que son la combinaci'n de r'tulas en los puntos A, ! D, ! la combinaci'n A,
C
!
D,
dibu$ados
en
a
!
b.
Al imponer la condici'n de mecanismo segn el primer modo de colapso: 6A U 6 U 6D U >B
(e! de momentos valga el momento pl/stico en las
tres
r'tulas
+e obtiene que =λ U ;6p U 1<=O4m, con lo que
λU
1,=;<.
+i repetimos el procedimiento con el segundo modo de colapso: 6A U 6C U 6D U >B, en este caso λ U 1,<, que resulta ser el m"nimo ! por tanto
el
mecanismo
correcto.
T)69)?a ) ?7K4?6 ,na con&icin &e ei#irio aritraria e satisfaga #a con&icin &e #asti-cacin roorcionar% na estimacin &e #a carga &e co#aso menor o iga# a #a correcta.
0sto signi*ca que encontrar un estado que satis&aga las condiciones de equilibrio ! plasti*caci'n pero sin asegurarse de la de mecanismo nos de$a del lado de la seguridad. (a metodolog"a que proporciona este teorema se ilustra sobre el mismo e$emplo anterior. 0l caso descrito por el modo de colapso en las r'tulas A, ! D genera una le! de momentos que en el punto C tiene un valor de h6p^18 λ tomando el valor absoluto, ! puesto que en ese caso =λ U ;6p, resulta que el momento vale 1%L1;6p, que es superior a 6p ! por tanto no se cumple el criterio de plasti*caci'n, ! por tanto el teorema del m/#imo. En caso en el que s" que se cumplir"a ser"a aquel en el que la le! de momentos se de*niera por 6A U 8, 6D U 8, 6C U 6p, con lo que 18λ U 6p ! λ U 8,><. 0ste caso cumple con los criterios de equilibrio ! de plasti*caci'n, lo que nos permite asegurar que 8,>< λc. amos a de*nir como inc'gnitas de traba$o los es&uer-os que de*nen el estado
de
equilibrio,
6A
!
6D,
como
se
indica
en
la
*gura:
Para que se cumpla el criterio de plasti*caci'n a la ve- que a!a tres r'tulas pl/sticas, no a! m/s alternativa que imponer que en los tres e#tremos de la le! de )ectores éstos alcancen el momento pl/stico, 6A U 6C U 6D U 6p.
Por tanto, 18λ U ;6p U 1<=O4m, con lo que λc U 1,<, ! la le! de &uer-as ! es&uer-os en colapso queda resumida en la *gura:
Hemos visto que cualquier otra combinaci'n que cumpla la condici'n de plasti*caci'n, por e$emplo la anteriormente descrita, 6A U 6D U 8, 6D U 6p, generar/ un &actor de carga menor.
T)69)?a ) :*4c4a 0l valor de la carga de colapso que satis&ace simult/neamente las tres condiciones
de equilibrio,
M)ca*4?6 ) aa
mecanismo
!
plasti*caci'n
es
nico.
Ena viga est/ticamente determinada &alla si se desarrolla en ella una articulaci'n pl/stica, visto anteriormente. Para ilustrar este eco, se considera la viga mostrada en la *gura de secci'n transversal constante, solicitada por una carga concentrada a la mitad del claro. +i se incrementa la carga asta producir una articulaci'n pl/stica en el punto de momento m/#imo en este caso aba$o de la carga, se dar"a lugar a una estructura inestable, como se muestra. Cualquier incremento adicional de la carga causar"a la &alta. n representa la carga m/#ima nominal o te'rica que la viga puede
soportar.
Para que una estructura est/ticamente indeterminada &alle, es necesario que se &orme m/s de una articulaci'n pl/stica. +e demostrar/ que el nmero de articulaciones pl/sticas necesarias para que &allen las estructuras est/ticamente indeterminadas, var"a de estructura a estructura, pero nunca pueden ser menos de dos. (a viga empotrada en sus dos e#tremos, que se muestra en la *gura no puede &allar si no se an &ormado las tres articulaciones pl/sticas indicadas.
Aun cuando en una estructura est/ticamente indeterminada se a!a &ormado una articulaci'n pl/stica, la carga puede an incrementarse sin que ocurra la &alla, siempre que la geometr"a de la estructura lo permita. (a articulaci'n pl/stica actuar/ como una articulaci'n real,
por lo que respecta al incremento de carga. A medida que la carga se incrementa, a! una redistribuci'n de momentos, pues la articulaci'n pl/stica no puede soportar ma!or momento. Al ir apareciendo en la estructura otras articulaciones pl/sticas, llegar/ el momento en que abr/ el nmero su*ciente de ellas, para causar la &alla de la estructura.
DS!"# D! V$AS %#R !& '()#D# %&*S)C# # D! R#)+RA L 2H2:
)ramo AB, C$%&ICI%'(%) 1/16
!M!>MN>G! D + GO: P=0.9 & (m)=50 % (m)=35 <'=210 Q/m2 < =4200 Q/m2 +n (m) =5 R1=0.85 !MO: !aa m-e$a (>n):2.958 !aa ia (>n):1.364 !aa "$ima: !aa "$ima:6.459
Somen$o "$imo: Somen$o "$imo: 10.092>nHm DGTU: 1.H ea"$e e
V=0.0954 3.H!-an$ia: W=0.00477
Xmin=0.00242
X%=0.02125 Xm= 0.75* X% Xm = 0.01594 !omo%amo#: 0.00242Y0.00477Y0.01594 !omo "a -an$@a e# meno a "a -an$@a mima eo mao -e "a m@nima odemo# dei -e n-e#$o di#eo e# oe$o. na e? omo%ado e#$o a"-"amo# e" aeo: 4.HZea de aeo: #=7.347 eo: #e nee#i$a 3[5/8\ 1[3/4\ #min=3.719 eo: #e nee#i$a2[5/8\
]. S>UDU D G>M!GU^: Somen$o "$imo:16.148 >n Hm &(m)=50 %(m)=35 <'=210 Q/m2 <=4200 Q/m2 d=44 m +a imea i$eain #e ea"i?a $omando a=d/3; "a #e-nda i-a" -e "a an$eio a#@ &a#$a -e "a# do# "$ima# i$eaione# #ean i-a"e#. #$o# "-"o# #e e#-men en "a #i-ien$e $a%"a:
As =
M u a φ∗fy (d − ) 2
#=6.379m2 #min=3.719 m2
!. S>UDU D >]+: Somen$o "$imo:16.148 >nHm &(m)=50 %(m)=35 <'=210 Q/m2 <=4200 Q/m2 d=44 m
K u=
Q-=14.894
M u b∗d
2
