FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA ORIENTAL DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Diseño Estructural
Diseño de muros de contención
“
”
Ing. Mauricio Perla
Br. Luis Eduardo Benítez Hernández
Ciudad universitaria de oriente, 14 de Noviembre No viembre de 2011
Contenido Análisis de estabilidad del muro ..........................................................................................................3 Método de los Esfuerzos Admisibles o Estado Límite de Servicio ............ ..................... .................. .................. .................. ................4 .......4 Método del Estado Límite de Agotamiento Resistente ................... ............................ .................. .................. .................. .................. ................6 .......6 INCUMPLIMIENTO DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD ......... .................. .................. .................. .................. .................. .................. ..........7 .7 EVALUACION DEL EMPUJE DE TIERRAS ...............................................................................................9 Empuje Activo ................................................................................................................................... 10 Ecuación de Coulomb.................................................................................................................... 11 PRESION FORZADA ............................................................................................................................ 14 Empuje Pasivo ............................................................................................................................... 14 INCREMENTO DINAMICO DE PRESION POR EL EFECTO SISMICO ................. .......................... ................... ................... ................. ........ 15 Incremento Dinámico del Empuje Activo ..................................................................................... 16 Incremento Dinámico del Empuje Pasivo ..................................................................................... 17 MUROS CON SOBRECARGA UNIFORME ........................................................................................... 18 MUROS CON PRESENCIA P RESENCIA DE AGUA EN EL RELLENO ......................... .................................. .................. .................. .................. ................... ............ .. 21 Ejemplo ............................................................................................................................................. 24
Contenido Análisis de estabilidad del muro ..........................................................................................................3 Método de los Esfuerzos Admisibles o Estado Límite de Servicio ............ ..................... .................. .................. .................. ................4 .......4 Método del Estado Límite de Agotamiento Resistente ................... ............................ .................. .................. .................. .................. ................6 .......6 INCUMPLIMIENTO DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD ......... .................. .................. .................. .................. .................. .................. ..........7 .7 EVALUACION DEL EMPUJE DE TIERRAS ...............................................................................................9 Empuje Activo ................................................................................................................................... 10 Ecuación de Coulomb.................................................................................................................... 11 PRESION FORZADA ............................................................................................................................ 14 Empuje Pasivo ............................................................................................................................... 14 INCREMENTO DINAMICO DE PRESION POR EL EFECTO SISMICO ................. .......................... ................... ................... ................. ........ 15 Incremento Dinámico del Empuje Activo ..................................................................................... 16 Incremento Dinámico del Empuje Pasivo ..................................................................................... 17 MUROS CON SOBRECARGA UNIFORME ........................................................................................... 18 MUROS CON PRESENCIA P RESENCIA DE AGUA EN EL RELLENO ......................... .................................. .................. .................. .................. ................... ............ .. 21 Ejemplo ............................................................................................................................................. 24
Análisis de estábilidád del muro E la n á l i s i sd el ae s t r u c t u r ac o n t e m p l al ad e t e r m i n a c ió nd el as f u e r z a sq u e a c t ú a np o re n c i m ad el ab a s ed ef u n da c i ó n ,t a l e sc o m oe m p u j ed et i e r ra ,p es o p r o p i o ,p e s od el at i e r r ad er e l l e n o, c a r g a sys o b r e c a r g a sc o nl af i n a l i d a d d ee s t u d i a rl ae s t a b i l i d a da lv o l c a mi e n t oy yd d e s l i z a m i e n t o ,a s íc o m oe lv a l o r d el a sp r e s i o n e sd ec o n t a c t o . E lp e s op r o p i od e lm u r o :e s t af u e r z aa ct ú ae ne lc e n t r od eg r a v e d a dd el a s e c c i ó n ,yp u e d ec a l c u l a r s ed em a n e r af á c i ls u b d i v i d i e n d ol as e c c i ó nd e l m u r oe oe ná r e a sp a r c i a l e ss e n c i l l a syd ep r o p i e d a d e sg e o m é t r i c a sc o n o c i d a s . L ap r e s i ó nq u el at i e r r ae j e r c es o b r ee lm u r oq u el ac o n t i e ne m a n t i e n eu n a r e l a c i ó nd i r e c t ac ac o ne ld e s p l a z a m i e n t od e lc o n j u n to ,e ne le s t a d on a t u r a ls i e lm u r on os em u e v es ed i c eq u ee xi s t ep r e s i ó nd er e p o s o ;s ie lm u r os e m u e v e a l e j á n d o s e d e l a t i e r r a o c e d e , l a p r e s i ó n d i s m i n u y e h a s t a u n a c o n d i c i ó nm í n i m ad e n o m i n a d ap r e s i ó na na c t i v a .S ie lm u r os ed e s p l a z ac o n t r al a t i e r r a ,l ap r e s i ó ns u b eh a s t au nm á x i m od e n o m i n a d op r e si ó np a s i v a . E ld i s e ñ os u e l ee m p e z a rc o nl as e l e c c i ó nd ed i m e n s i o n e st e n t a t i va sp a r a l u e g o v e r i f i c a r l a e s t a b i l i d a d d e e s a c o n f i g u r a c i ó n . P o r c o n v e n i e n c i a , c u a n d oe lm u r oe sd ea l t u r ac o n s t a n t e, p u e d ea n a l i z a r s eu nm u r od el o n g i t u d u n i t a r i a , d e n o r e s u l t a r l a e s t r u c t u r a s e l e c c i o na d a s a t i s f a c t o r i a , s e m o d i f i c a nl a sd i m e n s i o n e sys ee f e c t ú a nn u e v a sv e r i f i c a c i o n es h a s t al o g r a r l ae s t a b i l i d a dyl ar e s i s t e n c i ar e q u e r i d a . E nu nm u r op u e d e nf a l l a rl a sp a r t e si n d i v i d u a l e sp o rn os er s u f i c i e n t e m e n t e f u e r t e sp a r ar e s i s t i rl a sf u e r z a s q u ea c t ú a n ,p a r ad i s e ñ a rc o n t r a e s t a p o s i b i l i d a ds er e q u i e r el ad ad e t e r m i n a c i ó nd ee s p e s o r e syr e f u e r z o sn e c e s a r i o s p a r ar e s i s t i rl o sm o m e n t o syc o r t a n t e s .
Método de los Esfuerzos Admisibles o Estado Límite de Servicio L a se s t r u c t u r a sye l e m e n t o se s t r u c t u r a l e ss ed i s e ñ a r á np a r at e n e re nt o d a s l a ss e c c i o n e su n ar e s i s t e n c i am a y o roi g u a lal ar e s i s t e n c i ar e q u e r i d a
,l a
c u a ls ec a l c u l a r áp a r ac a r g a syf u e r z a sd es e r v i c ios e g ú nl a sc o m b i n a c i o n e s q u es ee s t i p u l e ne nl a sn o r m a s . E n e l m é t o d o d e l o s e s f u e r z o s a d m is i b l e s , s e d i s m i n u y e l a r e s i s t e n c i a n o m i n a ld i v i d i e n do p o ru nf a c t o rd es e g u r i d a d
e s t a b l e c i d op o rl a sn o r m a s
oe s p e c i f i c a c i o n e st é c n i c a s .
R e s i s t e n c i an o m i n a l ,c o r r e s p o n d i e n t ea le s t a d ol í m i t ed ea g o t a m i e n t o n= R r e s i s t e n t e ,s i nf a c t o r e sd em i n o r a c i ó n .E s t ar e s i s t e n c i ae sf u n c i ó n de l a s c a r a c t e r í s t ic a sm e c á n i c a sd el o sm a t e r i a l e syd es ug e o m e t r í a . R e s i s t e n c i aa d m i s i b l e . a d m= R S ee s t u d i al ae s t a b i l i d a da lv o l c a m i e n to ,a ld e s l i z a m i e n t oyl a sp r e s i o n e s d ec o n t a c t oo r i g i n a d a se nl ai n t e r f a s es u e l o m u r o . E sb u e n ap r á c t i c al o g r a rq u el ar e s u l t a n t es el o c a l i c ed e n tr od e lt e r c i o m e d i o ,y aq u el a sp r e s i o n e sd ec o n t a c t os o nm á su n i f o r m e s ,d i s m i n u y e n d oe l e f e c t od ea s e n t a m i e n t o sd i f e r e n c i a l e se n t r el ap u n t e r aye lt a l ó n .
E ng e n e r a ld o sc r i t e r i o sp u e d e ns e rú ti l e sp a r ad i m e n s i o n a rl ab a s e : 1 .L ae x c e n t r i c i d a dd el af u e r z ar e s u l t a n t e ,m e d i da r e s p e c t oa lc e n t r od el a b a s e ,n od e b ee x c e d e re ls e x t od ee l l a . 2 .L ap r e s i ó nm á x i m ad ec o n t a c t om u r os u e l od ef u n d a c i ó n ,n od e b ee x c e d e rl a p r e s i ó na d m i s i b l eoc a p a c i d a dd ec a r g ad e ls u e l od ef u n d a c i ó n. S e g ú nr e c o m e n d a c i on e sd el an o r m aA A S H T O2 0 0 2 ,l ap r o f u n d i d a dd ef u n d a c i ó n ,n os e r ám e n o rd e6 0c m( 2p i e s )e ns u e l o ss ó li d o s ,s a n o s ys e g u r o s .E n o t r o sc a s o sye nt e r r e n o si n c l i n a d o sl a
n os e r ám e n o rd e1 2 0c m( 4p i e s) .
L a b a s e d e b e e n c o n t r a r s e d eb a j o d e l a z o n a d e c a m b i o s de v o l ú m e n e s o c a s i o n a d o s p o r l a s v a r i a c i o n e s d e h u m e d a d d e l s u e l o , e s p e c i a l m e n t e s i e x i s t e n a r c i l l a s e x p a n s iv a s . E n m u c h o s c a s o s e s n e c e s a r i o f u n d a r a p r o f u n d i d a d es m a y o r e sq u el o sv a l o r e sm í n i m o s , do n d ee le s t r a t od es u e l o t e n g a u n a c a p a c i d a d d e c a r g a a d e c u a d a p a r a r e s i s t i r l a s p r e s i o n e s d e c o n t a c t oq u eo r i g i n ae lm u r od ec o n t e n c i ó n .
L o ss i s m o sa p l i c a nc a r g a sd i n á m ic a sd ec o r t ad u r a c i ó nal a sf u n d a c i o n e s ,l a s a l t a sr a t a sd ed e f o r m a c i ó nu n i t a r i aa s o c ia d a sae s t et i p od ec a r g a ,p u e d e n i n d u c i r e f e c t o s q u e m o d i f ic a n l a r e s i s t e n c i a a l c o r t e . E n g e n e r a l , l a r e s i s t e n c i aa le s f u e r z oc o r t a nt ea u m e n t ac o nl ar a t ad ea p l i c a c i ó nd el a c a r g a ,p o rl oq u el ac a p a c i d a da d m i s i b l ee sm a y o rp a r ac a r g a sd i n á m i c a sq u e p a r ac a r g a se s t á t i c a s ,e s t ap r o p i e d a dp u e d es e ru t i l i z a d ae ne la n á l i s i sy d i s e ñ od em u r o sd ec o n t e n c i ó nc u a n d os ee m p l e e nc a r g a ss í s m i c a s . P a r t i c u l a r a t e n c i ón d e b e t e n e r s e c u a n d o s e t r a t e d e a r e n a s s ue l t a s s a t u r a d a s ,e lp r o b l e m ad e l i c u a c i ó n o l i c u e f a c c i ó ne sp r e c e d e n t ea ld e c a p a c i d a d d e c a r g a . C u a n d o s e v i b r a u n a a r e n a s e c a o h ú m e d a , é s t a s e d e n s i f i c a , p e r o s i e s t á s a t u r a da , l a t e n d e n c i a a d i s m i n u i r e l v o l u m e n i n c r e m e n t al ap r e s ió nd ep o r o s ,s ie s t as eh a c ei g u a lal ap r e s i ón t o t a l r e s u l t ae ne s f u e r z o se f e c t i v o sn u l o s ,e nc o n s e c u e n ci al ar e s i s t e n c i aa l c o r t es ep i e r d ec o m p l e t a m e n t e ,t r a n s f o r m á n d o s el aa r e n ae nu nf l u i d o( a r e n a m o v e d i z a ) . E lf e n ó m e n od el al i c u a c i ó ne su n ad el a sc a u s a sd ed a ñ o sae s t r u c t u r a s d u r a n t el o st e r r e m o t o s ,h u n d i é n d o s eoa s e n t á n d o s ee s t r u c t u r a sc o m p l e t a se n e ls u b s u e l o .E s t ef e n ó m e n oo c u r r ee na r e n a sf i n a sp o c od e n s a s ,c o nv al o r e s d e le n s a y od ep e n e t r a c i ó nn o r m a l(
)m e n o r e sd e2 5g o l p e s/p ie ,yc o nu n
1 0 %d es u sg r a n o sc o nd i á m e t r o se n t r e0 , 0 1y0 , 2 5m m . S er e c o m i e n d aq u el a sc a p a sd es u e l op o t e n c i a l me n t el i c u a b l e sn os e a nu s a d a s d i r e c t a m e n t ec o m oc a p a sd es o p o r t e ,am e n o sq u es e a nt r a t a d a sd e b i d a m e n t e p a r am i n i m i z a rd i c h o e f e c t o .U n at é c n i c ac o m ú n m e n t eu t i l i z ad ae sl ad e d e n s i f i c a ci ó nd el a sc a p a sd es u e l o, o e lu s od ef u n d a c i o n e sp r o f u n d a st i p o p i l o t e s ,q u ee v i t a nl o sa s e n t a m i en t o sof a l l a sd u r a n t eu nt e r r e m o t o .
Método del Estado Límite de Agotamiento Resistente L a se s t r u c t u r a sye l e m e n t o se s t r u c t u r a l e ss ed i s e ñ a r a np a ra t e n e re nt o d a s l a ss e c c i o n e su n ar e s i s t e n c i ad ed i s e ñ om a y or o i g u a lal ar e s i s t e n c i a r e q u e r i d a ,l ac u a ls ec a l c u l ar áp a r ac a r g a s y fu e r z a sm a y o r a d a sys e g ú nl a s c o m b i n a c i o n esq u es ee s t i p u l e ne nl a sn o r m a s .
E lm é t o d od ed i s e ñ od e lC ó d i g oA C Ie se ll l a m a d od i s e ñ oal ar o t u r a od e l E s t a d o L í m i t e d e A g o t a m i e n t o R e s i s t e n t e , e l c u a l m a y o ra l a s c a r g a s d e s e r v i c i op a r ao b t e n e rl ar e s i s t e n c i ar e q u er i d a ,q u ed e b es e rm e n o rq u el a r e s i s t e n c i an o m i n a lr e d u ci d ap o ru nf a c t o rd em i n o r a c i ó nd el a sr e s i s t e n c i a .
INCUMPLIMIENTO DE CONDICIONES DE ESTABILIDAD
LAS
E n c a s o d e n o c u m p l i r c o n l a e s t a b i li d a d a l v o l c a m i e n t o y / o c o n l a s p r e s i o n e sd ec o n t a c t o ,s ed e b er e d i m e n s i o n a re lm u r o ,a u m e n t a n d oe lt a m a ñ o d el ab a s e . S in os ec u m p l ec o nl ae s t a b i l i d a da ld e s l i z a m i e n t o ,d e b em o d i f i c a r s ee l p r o y e c t od e lm u r o ,p a r ae l l oh a yv a r i a sa l t e r n a t i va s :
1 .C o l o c a rd e n t e l l ó nod i e n t eq ue s ei n c r u s t ee ne ls u e l o, d et a lm a n e r aq u e l af r i c c i ó ns u e l o – m u r oc a m b i ee np a r t ep o rf r i c c i ó ns u e l os u e l o ,g e n e r a n d o e m p u j ep a s i v of r e n t ea ld e n t e l l ó n .E nl af i g u r a1 4 ,s em u e s t r au n mu r od e c o n t e n c i ó nc o nd e n t e l l ó ne nl ab a s e .S er e c o m i e n d ac o l o c ar e ld e n t e l l ó na u n ad i s t a n c i a
m e d i d ad e s d ee le x t r e m od el ap u n t e r a ,
e sl aa l t u r ad e l
d e n t e l l ó nys u e l ee s c o g e r s ee nl am a y o r í ad el o sc a s o sm a y o roi g u a lq u ee l e s p e s o rd el ab a s e . 2 .A u m e n t a re lt a m a ñ od el ab a s e ,p a r ad ee s t am a n e r ai n c r e m e n t ar e lp e s o d e lm u r oyl af r i c c i ó ns u e l od ef u n d a c i ó n –m u r o . 3 .H a c e ru s od e l e m p u j ep a s i v o c o n s i d e r a c i ón ,
p u e s t o
q u e
p a r a
, s u u t i l i z a c i ó n d e b e s e r o b j e t o d e q u e
é s t e
a p a r e z c a
d e b e n
o c u r r i r
d e s p l a z a m i e nt o si m p o r t a n t e sd e lm u r oq u ep u e d e ns e ri n c o m p a t i b l es c o nl a s c o n d i c i on e s d e s e r v i c i o , a d e m á s s e d e b e g a r a n t i z a r l a p e r m a n e n c i a d e l r e l l e n oc o l o c a d os o br el ap u n t e r ad e lm u r o ,d en op o d e r s eg a r a n t i z a rd u r a n t e
t o d al av i d aú t i ld e lm u r o ,s o l os ep o d rá c o n s i d e r a re l e m p u j ep a s i v o c o r r e s p o n d i en t eal aa l t u r ad e ld e n t e l l ó n .
G e n e r a l m e n t es ec o n s i d e r am á se f e c t iv oe lu s od e ld e n t e l l ó nq u ee la u m e n t o d e lt a m a ñ od el ab a s e .P a r ae lm i s m ov o l u m e nd ec o n c r et o ,r e s u l t al as e g u n d a a l t e r n a t i v am á se c o n ó m i c a . L ae x c a v a c i ó np a r ae ld e n t e l l ón ,e sp o s i b l eq u es ea l t e r ee l s u b s u e l o , o r i g i n a n d oe na l g u n o sc a s o sm á sd a ñ oq u ep r o v e c h o .
S ie ld e n t e l l ó ne sm u yc o r t o ,s ec o r r ee lr i e s g od es o br e s t i ma rl af u e r z ad e r o c ea d i c i o n a l ,p o re s t ar a z ó n ,l af u e r z ad er o c ea d i c io n a ll o g r a d ap o re l u s od e ld e n t e l l ó n ,n op u e d es e rm a y o rq u ee le m p u j ep a s i v og e n e r a d of r e n t e é l ; b a j o é s t a ci r c u n s t a n c i a , e s t a f u e r z a p u e d e d e t e r m i n a r s e s o l a m e n t e e v a l u a n d ol ar e s i s t e n c i ap a s i v a .
S i e l m u r o d e c o n t e n c i ón s e a p o y a s o b r e u n s u e l o r o c o s o, el u s o d e l d e n t e l l ó n r e s u l t a s e r u n m e d i o m u y e f e c t i v o p a r a g e n e r a r r e s i s t e n c i a a d i c i o n a la ld e s l i z a m i e n t o .
EVALUACION TIERRAS
DEL
EMPUJE
DE
L o s m u r o s s o n e s t r u c t u r a s c u y o p r i n c i p a l o b j et i v o e s e l d e s e r v i r d e c o n t e n c i ó nd et e r r e n o sn a t u r a l e sod er e l l e n o sa r t i f i c i a l e s .L ap r e s i ó nd e l t e r r e n o s o b r e e l m u r o e s t á f u n d a m e n t a l m e n te c o n d i c i o n a d a p o r l a d e f o r m a b i l i da dd eé s t e . P a r al ae v a l u a c i ó nd e le m p u j ed et i e r r a sd e b e nt o m a rs ee nc u e n t ad i f e r e n t e s f a c t o r e sc o m ol ac o n f i g u r a c i ó nyl a sc a r a c t e r í s t i c a sd ed e f o r ma b i l i d a dd e l m u r o ,l a sp r o p i e d a d e sd e lr e l l e n o ,l a sc o n d i c i o n e sd ef r i c c i ó ns u e l om u r o , d el ac o m p a c t a c i ó nd e lr e l l e n o ,d e ld r e n a j ea s íc o m ol ap o s i c i ó nd e ln i v e l f r e á t i c o . L am a g n i t u dd e le m p u j ed et i e r r a sv a r í aa m p l i a m e n te e n t r ee le s t a d oa c t i v oy e lp a s i v od e p e n d i e n d od el ad e f o r m a b i l i da dd e lm u r o .E nt o d o sl o sc a s o ss e d e b ep r o c u r a rq u ee lm a t e r i a ld er e l l e n os e ag r a n u l ar y d ed r e n a j el i b r e p a r ae v i t a re m p u j e sh i d r o s t á t i c o sq u ep u e d e no r i g i n a rf u e r z a sa d i c i o n a l e sn o d e s e a b l e s . L a s p r e s i o n e s l a t e r a l e s s e e v a l u a r á n t o m a n d o e n c u e n t a l o s s i g u i e n t e s c o m p o n e n t e s : P r e s i ó ne s t á t i c ad e b i d aac a r g a sg r a v i t a t o r i a s . P r e s i ó nf o r z a d ad e t e r m i n a d ap o re ld e s p l a z a m i e n to d e lm u r oc o n t r ae l r e l l e n o . I n c r e m e n t od ep r e s i ó nd i n á m i c ao r i gi n a d op o re le f e c t os í s m i c o .
L a sp r e s i o n e sq u ee ls u e l oe j e r c es o br eu nm u r oa u m e n t a nc o m ol a sp r e s i o ne s h i d r o s t á t i c as e nf o r m al i n e a lc o nl ap r o f u n d i d a d .P a r al ad e t e r m i n a c i ó nd e l e m p u j e d e t i e r r a
s e u t i l i z a r á e l m é t o d o d e l f l u i d o e q u i v a l e n t e , c o n
e x p r e s i o n e sd e lt i p o :
e sl aa l t u r ad e lm u r o ,γ e se lp e s oe s p e c í f i c od e ls u e l oc o n t e n i d op o re l m u r o ,e lc o e f i c i e n t ed ee m p u j ed et i e r r a ,s ed e f i n ec o m ol ar e l ac i ó ne n t r e e le s f u e r z oe f e c t i v oh o r i z o n t al y e le s f u e r z oe f e c t i v ov e r t i c a le nc u a l q u i e r p u n t od e n t r od el am a s ad es u e l o .
P a r aq u es ep r o d u z c ae le m p u j ea c ti v oop a s i v oe ne ls u e l o ,l o sm u r o sd e c o n t e n c i ó nd e b e n e x p e r i m e n t a r t r a s l a c i o n e s o r o t a c i o n e s a l r e d e d o r d e s u b a s e ,q u ed e p e n d e nd el a sc o n d i c i o n e sd er i g i d e z( a l t u r ayg e o m e t r í a )d e l m u r oyd el a sca r a c t e r í s t i c a sd e ls u e l od ef u n d a c i ó n . L o se m p u j e sl a t e r a l e se s t á nr e f e r i d o sa lm o v i m i e n t oe ne s t ad i r e c c i ó nq u e p e r m i t ee lm u r o ,s ié s t es em u e v ea l e j á n d o s ed el am a s ad es u el oo r i g i n a c o n d i c i o n e s d e e m p u j e a c t i v o , s i p e r m a n ec e s i n m o v i m i e n t o o r i g i n a c o n d i c i o n e sd ee m p u j ed er e p o s o ,e s t o sd o sc a s o sr e p r e s en t a ne le s t a d od e p r e s i ó ne s t á t i c a, y s is em u e v eh a c i aa d e n t r od el am a s ad es u e l oo r i g i n a u n ac o n d i c i ó nd ee m p u j ep a s i v o ,q u er e p r e s e n t au ne s t a dod ep r e s i ó nf o r z a d a .
Empuje Activo C u a n d ol ap a r t es u p e r i o rd eu nm u r ooe s t r i bo s em u e v es u f i c i e n t e m e n te c o m o p a r aq u es ep u e d ad e s a r r o l l a ru ne st a d od ee q u i l i b r i op l á s t i c o ,l ap r e s i ó n e s t á t i c ae sa c t i v ayg e n e r au ne m p u je t o t a l i n f e r i o rd el aa l t u r a .
a p l i c a d ae ne lt e r c i o
e se lc o e f i c i e n t ed ep r e s i ó na c t i v a . E lc o e f i c i e n t ed ep r e s i ó na c t i v as ep u e d ed e t e r m i n a rc o nl a st e o r í a sd e C o u l o m boR a n k i n ep a r as u e l o sg r a n u l a r e s ;e na m b a st e o r í a ss ee s t a b l e c e n h i p ó t e s i sq u es i m p l i f i c a ne lp r o b le m ayc o n d u c e nav a l o r e sd ee m p u j eq u e e s t á nd e n t r od el o sm á r g e n e sd es e g u r i d a da c e p t a b l e s .
Ecuación de Coulomb E ne la ñ o1 7 7 3e lf r a n c é sC o u l o m bp u b l i c ól ap r i m e ra t e o r í ar a c i o n a lp a r a c a l c u l a re m p u j e sd et i e r r aym e c a n i sm o sd ef a l l ad em a s a sd es u e l o ,c u y a v a l i d e zs em a n t i e n eh a s t ah o yd í a ,e lt r a b a j os et i t u l ó : “Ensayo sobre una aplicación de las reglas de máximos y mínimos a algunos problemas de Estática, relativos a la
Arquitectura”.
L at e o r í as u p o n eq ue e le m p u j es ed e b eau n ac u ñ ad es u e l o li m i t a d ap o rl a c a r ai n t e r n ad e lm u r o ,l as u p e rf i c i ed er e l l e n oyu n as u p e r f i c i ed ef a ll a q u es eo r i g i n ad e n t r od e lr e l l e n oq u es es u p o n ep l a n a .
L at e o r í ad eC o u l o m bs ef u n d a m e n t ae nu n as e r i ed eh i p ó t e s i sq u es ee n u n c i a n ac o n t i n u a c i ó n : 1 .E ls u e l oe su n am a s ah o m o g é n e aei s o t r ó p ic ays ee n c u e n t r aa d e c u a d a m e n t e d r e n a d oc o m op a r an oc o ns i d e r a rp r e s i o n e si n t e r s t i c i a l ese né l . 2 .L as u p e r f i c i ed ef a l l ae sp l a n a r . 3 .E ls u e l op o s e ef r i c c i ó n ,s i e n d oφ e lá n g u l od ef r i c c i ó ni n t e r n ad e l s u e l o ,l af r i c c i ó ni n t e r n as ed i s t r i b u y eu n i f o r m em e n t eal ol a r g od e lp l a n o d ef a l l a . 4 .L ac u ñ ad ef a l l as ec o m p o r t ac o m ou nc u e r p or í g i d o . 5 .L af a l l ae su np r o b l e m ad ed e f o r m a c i ó np l a n a( b i di m e n s i o n a l ) , y s e c o n s i d e r au n al o n g i t u du n i t a r i ad eu nm u r oi n f i n i t a m e n t el a r g o . 6 .L ac u ñ ad ef a l l as em u e v e a lo l a r g od el ap a r ed i n t e r n ad e lm u r o , p r o d u c i e n d of r i c c i ó ne n t r eé s t eye ls u e l o ,δ e se lá n g u l od ef r i c c i ó ne n t r e e ls u e l oye lm u r o . 7 .L ar e a c c i ó n
d el ap a r e di n t e r n ad e lm u r os o b r ee lt e r r e n o ,f o r m a r áu n
á n g u l oδ c o nl an o r m a la lm u r o ,q u ee se lá n g u l od er o z a m i e n t oe n t r ee lm u r o ye lt e r r e n o ,s il ap a r e di n t e r n ad e lm u r oe sm u yl i s a( δ
,e le m p u j e °)
a c t i v oa c t ú ap e r p e n d i c u l a rae l l a . 8 .L ar e a c c i ó nd el am a s ad es u e l os o b r el ac u ñ af o r m au ná n g u l oφ c o nl a n o r m a la lp l a n od ef a l l a . E lc o e f i c i e n t e
s e g ú nC o u l o m be s :
A n g u l od el ac a r ai n t e r n ad e lm u r oc o nl ah o r i z o n t a l . β
A n g u l od e lr e l l e n oc o nl ah o r i z o n t a l .
δ
A n g u l od ef r i c c i ó ns u e l om u r o .
S i g u i e n d or e c o m e n d a c i on e sd eT e r z a g h i ,e lv a l o rd eδ p u e d et o m a r s ee nl a p r á c t i c ac o m o :
L at e o r í ad eC o u l o m bn os p e r m i t ec o n o c e rl ad i s t r i b u ci ó nd ep r e s i o n e ss o b r e e lm u r o ,p o r q u el ac u ñ ad et i e r r aq u ee m p u j as ec o n s i d e r au nc u e r p or í g i d o s u j e t oaf u e r z a sc o n c e n t r a d a s ,r e s u l t a n t e sd ee s f u e r z o sa c t u a n t e se ná r ea s , d ec u y ad i s t r i b u c i ó nn oh a ye s p e c i f i c a ci ó nn i n g u n a ,p o rl oq u en os ep u e d e d e c i rn a d ad e n t r od el at e o r í ar e s p e c t oa lp u n to d ea p l i c a c i ó nd e le m p u j e a c t i v o . C o u l o m bs u p u s oq u et o d op u n t od el ac a r ai n t e r i o rd e lm u r or e p r e s e n t ae lp i e d eu n as u p e r f i c i ep o t e n c i a ld ed e s l i z a m i e n t o ,p u d i é n d o s ec a lc u l a re le m p u j e s o b r ec u a l q u i e rp o r c i ó ns u p e r i o rd e lm u r oΔ ,p a r ac u a l q u i e rc a n t i d a dd e s e g m e n t o sd ea l t u r ad em u r o . E s t e p r o c e d i m i e n t o r e p e t i d o c o n v e n i e n t e m en t e , p e r m i t e c o n o c e r c o n l a a p r o x i m a c i ó nq u es ed e s e el ad i s t r i b u c ió nd ep r e s i o n e ss o b r ee lm u r oe nt o d a s u a l t u r a . E s t a s i t u a c i ó n c o n d u c e a u n a d i s t r i b u ci ó n d e p r e s i o n e s h i d r o s t á t i c a, c o ne m p u j eal aa l t u r a
e nm u r o sc o nc a r ai n t e r i o rp l a n ay
c o nr e l l e n ol i m i t a d ot a m b i é np o ru n as u p e r f i ci ep l a n a .P a r al o sc a s o se nq u e
n os ec u m p l a nl a sc o n d i c i o n e sa n t e r i o r e se lm é t o d or e s u l t as e rl a b o r i o so , p a r af a c i l i t a r l o T e r z a g h ip r o p u s ou np r o c e d i m i en t oa p r o x i m a d o ,q u ec o n s i s t ee nt r a z a rp o re l c e n t r od eg r a v e d a dd el ac u ñ ac r í t i c au n ap a r a l e l aal as u p e r f i c i ed ef a l l a c u y a i n t e r s e c c i ó n c o n e l r e s p a l d o d e l m u r o d a e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e s e a d o . E nl at e o r í ad eC o u l o m be l
a c t ú af o r m a n d ou ná n g u l oδ c o nl an o r m a la l
m u r o ,p o re s t ar a z ó ne s t af u e r z an oe sh o r i z o n t a lg e n e r a l m e n t e .E l h o r i z o n t a ls o l oc u a n d ol ap a r e dd e lm u r os e av e r t ic a l( δ á n g u l o(
s e r á
°) y e l
°) E nt a ls e n t i d o ,l a sc o m p o n e n t e sh o r i z o n t a lyv e r t i c a ld e l
s eo b t i e n e na d e c u a n d ol ae x pr e s i ó nd eC o u l o m bd el as i g u i e n t em a n e r a :
y
s o ne sl a sc o m p o n e n t e sh o r i z o n t a lyv e r t i c a ld e l
P a r av a l o r e sd e :
yδ
r e s u l t a :
,
. =
y
= 0 .
PRESION FORZADA Empuje Pasivo C u a n d ou nm u r ooe s t r i b oe m p u j ac o n t r ae lt e r r e n os eg e n e r au n ar e a c c i ó nq u e s el ed ae ln o m b r ed ee m p u j ep a s i v od el at i e r r a
,l at i e r r aa s íc o m p r i m i d a
e n l a d i r e c c i ó n h o r i z o n t a l o r i gi n a u n a u m e n t o d e s u r e s is t e n c i a h a s t a a l c a n z a rs uv a l o rl í m i t es u p e r i o r
,l ar e s u l t a n t ed ee s t ar e a c c i ó nd e l
s u e l os ea p l i c ae ne le x t r e m od e lt e r c i oi n f e r i o rd el aa l t u r a .
e se lc o e f i c i e n t ed ep r e s i ó np a s i v a . L a p r e s i ó n p a s i v a e n s u e l o s g r a n u l a r e s , s e p u e d e d e t e r m i n a r c o n l a s s i g u i e n t e se x p r e s i o n e s : E lc o e f i c i e n t e
a d e c u a n d ol ae c u a c i ó nd eC o u l o m be s :
S ie lá n g u l oδ e sg r a n d el as u p e r f i c i ed ed e s l i z a m i en t or e a ls ea p a r t a c o n s i d e r a b l em e n t ed e lp l a n ot e ó r i c oc o n d u c i e n d oae r r o r e sd ei m p o r t a n c i a .
INCREMENTO DINAMICO DE PRESION POR EL EFECTO SISMICO L o s e f e c t o s d i n á m i c o s p r o d u c id o s p o r l o s s i s m o s s e s i m u l a r á n m e d i a n t e e m p u j e sd et i e r r ad e b i do sal a sf u e r z a sd ei n e r c i ad el a sm a s a sd e lm u r oy d e lr e l l e n o .L a sf u e r z a sd ei n e r c i as ed e t e r m i n a r á nt e n i e n d oe nc u e n t al a
m a s ad et i e r r aa p o y a d ad i r e c t a m e nt es o b r el ac a r ai n t e r i o ryz a p a t ad e lm u r o c o na d i c i ó nd el a sm a s a sp r o p i a sd el ae s t r u c t u r ad er e t e n c i ó n . E l e m p u j e s í s m i c o g e n e r a d o p o r e l r e l l e n o d e p e n d e d e l n i v e l d e d e s p l a z a m i e nt oq u ee x p e r i m e n t ee lm u r o .S ec o n s i d e r a r áu ne s t a d oa c t i v od e p r e s i ó nd et i e r r a sc u a n d oe ld e s p l a z a m i e nt or e s u l t a n t ep e r m i t ae ld e s a r r o l l o d el ar e s i s t e n c i aa lc o r t ed e lr e l l en o .S ie ld e s p l a z a m i e n t od el ac o r o n a d e lm u r oe s t ár e s t r i n g i d o ,e le m p u j es í s m i c os ec a l c u l a r ác o nl ac o n d i c i ó n d et i e r r a se nr e p o s o .E le s t a d op a s i v o de p r e s i ó nd et i e r r a ss o l op u e d e g e n e r a r s ec u a n d oe lm u r ot e n g at e n d e n ci aam o v e r s eh a c i ae lr e l l e n oye l d e s p l a z a m i e nt os e ai m p o r t a n t e .
Incremento Dinámico del Empuje Activo C u a n d o e l m u r o d e c o n t e n c i ó n e s s u f i c i e n t e m e n t e f l e x i b l e c o m o p a r a d e s a r r o l l a r d e s p l a za m i e n t o s e n s u p a r t e s u p e r i o r , l a p r e s i ó n a c t i v a s e i n c r e m e n t ab a j ol aa c c i ó nd eu ns i s m o .E s t ea u m e n t od ep r e s i ó ns ed e n o m i n a i n c r e m e n t od i n á m i c od e le m p u j ea c t i v oΔ
.
E lE u r o c ó d i g o8p r o p o n ec a l c u l a re lc o e f i c i e n te d ep r e s i ó nd i n á m i c aa c t i v a ap a r t i rd el af ó r m u l ad eM o n o n o b eO k a b e ,e s t ec o e f i c i e n t ei n c l u y ee l e f e c t oe s t á t i c om á se ld i n á m i c o ,a p l i c a n d ol af u e r z at o t a le nu nm i s m o s i t i o ,s i ne m b a r g o ,c o n s i d e r a n d oq u el ac u ñ am o v i l i z a d ae ne lc a s od i n á m i c o e su nt r i á n g u l oi n v e r t i d oc o nc e n t r od eg r a v e da du b i c a d oa2 / 3d el aa l t u r a , m e d i d o sd e s d el ab a s e ,s es e p a r ae le f e c t oe s t á t i c od e ld i n á m i c op o rt e n e r d i f e r e n t e sp u n t o sd ea p l i c a c i ó n. E li n c r e m e n t od i n ám i c od e le m p u j ea c t i v os e p u e d ed e t e r m i n a rm e d i a n t el as i g u i e n t ee x p r e s i ó n :
C o e f i c i e n t ed ep r e s i ó nd i n á m i c aa c t i v a . C o e f i c i e n t es í s m i c oh o r i z o n t a l C o e f i c i e n t es í s m i c ov e r t i c a l
Incremento Dinámico del Empuje Pasivo E le m p u j ep a s i v os ei n c r e m e n t ac ua n d oo c u r r eu ns i s m o ,e s t ea u m e n t od e p r e s i ó n s e d e n o m i n a i n c r e m e n t o d i n á m i c o d e l e m p u j e p a s i v o Δ
, l a
r e s u l t a n t ed ee s t ei n c r e m e n t od ee m p u j es ea p l i c aa u nt e r c i od el aa l t u r a d er e l l e n oe nc o n d i c i ó np a s i v a ,m e d i d ad e s d el aba s ed e lm u r o .
e se lc o e f i c i e n t ed ep r e s i ó nd i n á m i c ap a s i v a .
MUROS CON SOBRECARGA UNIFORME E nc i e r t a so c a s i o n e sl o sm u r o sd ec o n t e n c i ó nt i e n e nq u es o p o r t a rs o b r e c a r g a s u n i f o r m e s
o r i g i n a d a sp o re lt r á f i c oop o rd e p ó s i t o sd em a t e r i a l e se nl a
s u p e r f i c i e ,i n c r e m e n t a n d ol ap r e s i ó ns o b r ee lm u r o . E l p r o c e d i m i e n t o u s u a l p a ra t o m a r e n c u e n t a l a s o b r e c a r g a u n i f o r m e e s t r a n s f o r m a r la e nu n ap o r c i ó nd et i e r r ae q u i v a l e n t ed ea l t u r a e s p e c í f i c os i m i l a ra ld e ls u e l od er e l l e n o γ. L aa l t u r a e n c i m ad e ln i v e ld e ls u e l oc o n t e n i d op o re lm u r o .
c o np e s o
s ec o l o c ap o r
F r e c u e n t e m e nt es eh au s a d ou n aa l t u r ad er e l l e n oe q u i v a l e n t eac a r g av i v ad e 6 1c mo2p i e s ,i n d i c a d ap o rl an o r m aA A S H T O2 0 0 2 ,l an o r m aA A S H T O2 0 0 5L R F D i n d i c av a l o r e sd er e l l e n oe q u i v a l e n te sas o b r e c a r g av e h i c u l a rq u ev a r í a nc o n l aa l t u r ad e lm u r o . E le m p u j ea c t i v ood er e p o s od e ls u e l oc on s o b r e c a r g a
,p a r ac u a l q u i e r ad e
l a st e o r í a se s t u d i a d a s ,r e s u l t as e r :
E s t e e m p u j e e s t a r á a p l i c a d o e n e l c e n t r o i d e d e l á r e a d el t r a p e c i o d e p r e s i o n e soe ns ud e f e c t oe nc a da u n od el o sc e n t r o i d e sp a r t i c u l a re sd ec a d a f i g u r aq u ec o n f o r m ae lp r i s m ad ep r e s i o n e s . E lm o m e n t od ev o l c a m i e n t oc o ns o b r e c a rg aM : v s
E l p r o c e d i m i e n t o d e s c r i t o s o l o s i r v e p a r a s o b r e c a r g a s u n i f o rm e m e n t e d i s t r i b u i d a s, p a r as o b r e c a r g a sn ou n i f o r m e sol i n e a l e ss ed e b er e a l i z a ru n e s t u d i od e t a l l a d os e g ú ns e ae lc a s o . S ie lr e l l e n ot r a se lm u r oe s t áf o r m a d op o rv a r i o se s t r a t o sd es u e l od e e s p e s o rc o n s t a n t e yp a r a l e l o sal as u p e r f i c i ed er e l l e n o ,l ap r e s i ó nl a t er a l t o t a lp o d r ác a l c u l a r s ec o n s i d e r a n d ol ac a r g at o t a ls o b r ec a d ae s t r a t oc o m o s o b r e c a r g au n i f o r m e .
P a r ac o n t e n e ru nv o l u m e nd et i e r r a sd ef o r m ae s t a b l e ,e sn e c e s a ri oc o n o c e r l a sp r o p i e d a d e syc a r a c t e r í s t i c a sd e ls u e l o ,l ac a p a c i d a dr e s i s t e n te d el o s
m a t e r i a l e sq u ec o n f o r m a nl ae s t r u c t u r a ,l a sc a r g a sa c t u a n t e s ,l ap r e s e n c i a d ea g u a ss u b t e r r á n e a syt o d al ai n f o r m a c i ó nq u ei n v o l u c r ee ll u g a rd o n d es e c o n s t r u i r áe lm u r oys u sa d y a c e n c i a s .
MUROS CON PRESENCIA DE AGUA EN EL RELLENO L ap r e s e n c i ad ea g u ae ne lr e l l e n oc o m oc o n s e c u e n c i ad ei n f i l t ra c i o n e s s u b t e r r á n e a syp o ra c c i ó nd el al l u v i ad e b em i n i m i za r s ee nl op o s i b l e m e d i a n t ee le m p l e od eo b r a sa d e c ua d a sd ed r e n a j e .S ie lm a t e r i a ld er e l l e n o d e lm u r od ec o n t e n c i ó ne sp e r m e a b l e( g r a v a sya r e n a s) ,e la p o r t ed ea g u ap o r i n f i l t r a c i o ne ss u b t e r r á n e a syd el l u v i a ,e se v a c u a d om e d i a n t ef i l t r a c i ó n p r e d o m i n a n t em e n t ev e r t i c a l ,d ee s t am a n e r ae la g u an or e b a s a r ál ac o t ad e l s i s t e m ad ed r e n a j e .L a se c u a c i o n e sv i s ta sh a s t aa h o r as o nv á l i d a syp u e d e n s e ru t i l i z a d a sp a r al ad e t e r m i n a c i ó nd e le m p u j ed et i e r r a . D en os e rp o s i b l ed r e n a re la g u ar e t e ni d ap o re lm u r o ,e lc á l c ul od el o s e m p u j e sd e b ea f e c t a r s ed em a ne r ai m p o r t a n t e ,s u m a n d oal o se m p u j e sd et i e r r a l ap r e s i ó nh i d r o s t á t i c a . S ie lm a t e r i a ld er e l l e n oe sd eb a j ap e r m e a b il i d a d ,c o m oe se lc a s od el a s a r c i l l a s ,l a sa r e n a sf i n a syl a sa r e n a sl i m o s a s ,a u n q u ee x i st au ns i s t e m ad e d r e n a j ep a r ae v a c u a rl o sa p o r t e sd ea g u a ,s ep r o d u c eu na u m e n t od ep r e s i o n e s yd el o se m p u j e sr e s p e c t oal o sc a s o se s t u d i a d o sa n t e r i o rm e n t ed e b i d oal a b a j ap e r m e a b i l i d ad d e ls u e l o ,e ne s t o sc a s o sp a r ad e t e r m i n a rl a sp r e s i o n es y e m p u j e ss ed e b eu t i l i z a re lp e s oe s p e c í f i c od e ls u e l oh ú m e d o . S ie ln i v e ld e la g u ap u e d ea l c a n za rl ac o t ad ec o r o n ad e lm u r oou n a i n t e r m e d i a ,l a sp r e s i o n e se ne s t ec a s op u e d e ns e re s t i m a d a ss u s t i tu y e n d oe l p e s oe s p e c í f i c oγ p o re lp e s oe s p e c í f i c od e ls u e l os u m e r g i d oγ
a ñ a d i e n d ol a
p r e s i ó nh i d r o s t á t ic a ,e s t aú l t i m aa c t ú ae nd i r e c c i ó np e r p e n d i c u l a ral ac a r a i n t e r i o rd el ap a n t a l l a .E nt od oc a s ol ap r e s i ó nh i d r o s t á t i c ad e b es e r c o n s i d e r a d as i e m p r ep a r an i v e l e si n f e r i or e sa ln i v e lm á sb a j od e ls i s t e m ad e d r e n a j e .
γ
e se lp e s oe s p e c í f i c od e ls u e l os a t u r a d oy γ
e se lp e s oe s p e c í f i c od e l
a g u a( 1 . 0 0 0K g / m ) .P a r ae lc a s oi n d i c a d oe nl as i g u i e n t ef i g u r a, l ap r e s i ó n 3 au n ap r o f u n d i d a d
d el ac o r o n ad e lm u r o ,r e s u l t a :
e sl ap r o f u n d i d a dd e ln i v e ld ea g u a . U n av e zd e t e r m i n a d a sl a sp r e s i o n e ss ep u e d ec a l c u l a rl o se m p u je sa c t i v o so d er e p o s os e g ú ns e ae lc a s o .E nl at a b l aq u es ee n c u e n t ra a c o n t i n u a c i ó ns e i n d i c a na l g u n o sv a l o r e sd ep e s oe s p e c í f i c os u m e r g i d oγ
d ed i f e r e n t e st i p o s
d es u e l o sg r a n u l a r e s . D el ai n f o r m a c i ó nr e c o p i l a d ayd e lu s oa d e c u a d od el a sd i f e r e n t e st e o r í a s e s t u d i a d a sd e p e n d e r ál ae s t a b i l i d a dyl av i d aú t i ld el o sm u r o su t i l i z a d o s c o m oe s t r u c t u r a sd ec o n t e n c i ó nd et i e r r a s .
Ejemplo
Para el siguiente muro determinar:
El Empuje activo gravitacional
El empuje activo combinado
Verificar si cumple con el facto de seguridad por deslizamiento y volcamiento para las condiciones de gravedad y gravedad + sismo. 1.0 mts 4
4.0 mts
5
2 3 1.8 mts
0.40 mts
1
1.3 mts
3.3 mts
() ) (
Elemento 1 2 3 4 5 Total
Wi 3036 9200 1380 960 11520 26096
Xi 1.65 0.70 1.30 1.40 2.40 ---
WiXi 5009.4 6440 1794 1344 27648 42235.4
∑ ∑ [ ] [] [ ]
[ ]
Combinación 1 (Gravedad)
Combinación 2 (Gravedad + Sismo)
[ ]
Analizando la capacidad del suelo
o
Gravedad
o
Gravedad + Sismo
Para el problema anterior supongamos una sobrecarga equivalente a 0.76 mts de relleno sobre el ya colocado (según AASHTO 2005) debido a carga vehicular 1.0 mts 4
4.0 mts
5
2 3 1.8 mts
0.40 mts
1
1.3 mts
3.3 mts Elemento 1 2 3 4 5 Total
Wi 3036 9200 1380 1324.8 13708.8 28649.6
Xi 1.65 0.70 1.30 1.40 2.40 ---
WiXi 5009.4 6440 1794 1854.72 32901.12 47999.24
∑ ∑
Empuje activo con sobrecarga gravitacional
( ) [ ]
Empuje activo con sobrecarga gravitacional + Sismo
( ) [ ]
Combinación 1 (Gravedad)
Como no cumple el factor por deslizamiento procedemos a aumentar la dimensión de la zapata para incrementar el rozamiento, y nos queda asi:
1.0 mts 4
4.0 mts
5
2 3 2.1 mts
0.40 mts
1
1.3 mts
3.6 mts Elemento 1 2 3 4 5 Total
Wi 3312 9200 1380 1324.8 15993.6 31210.4
Xi 1.80 0.70 1.30 1.40 2.55 ---
WiXi 5961.6 6440 1794 1854.72 40783.68 56834
∑ ∑
Combinación 1 (Gravedad)
Combinación 2 (Gravedad + Sismo)
[ ]
Analizando la capacidad del suelo
o
Gravedad
o
Gravedad + Sismo
Para el problema original suponer que existe suelo con estado saturado presenta una densidad de
y en
, y
consideremos un nivel de agua de 1.0 mts sobre la base. Con estos datos diseñar el muro ce contención.
1.0 mts 4
4.0 mts
5
2 3 1.8 mts
0.40 mts
1
1.3 mts
3.3 mts o
Entonces:
Elemento 1 2 3 4 5 Total
Wi 3036 9200 1380 1080 12960 27656
Xi 1.65 0.70 1.30 1.40 2.40 ---
WiXi 5009.4 6440 1794 1512 31104 45859.4
∑ ∑
Presión del agua por efecto de la gravedad
Presión del agua por efecto de la gravedad + Sismo
Calculamos empujes
Observamos que el empuje a incrementado drásticamente por lo cual es seguro que tenemos que aumentar las dimensiones del muro de la siguiente manera:
1.7 mts 4
4.0 mts
5
2 3 2.8 mts
0.40 mts
1
1.3 mts
5.0 mts
Elemento 1 2 3 4 5 Total
Wi 4600 15640 1380 1080 20160 42860
Xi 2.50 1.05 2.0 2.1 3.60 ---
WiXi 11500 16422 2760 2268 72576 105526
∑ ∑
Combinación 1 (Gravedad)
