PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
DISEÑO DE ESTRUCTURAS ESPECIALES Laboratorio 3 HORARIO
1001
GRUPO
1
Jefes de práctica: Giancarlo Samuel Enrique Aza Santillan Cesar Isidoro Vargas Bejarano ALUMNO Kevin Arca Rojas
20101693
Zayuri Ivonne Rodrigez Maza
20111190
Frank Cristhian Pozo Mercado
20112405
Luis Alonzo Martin Arias Takahashi
20082048
2017 - 2
DISEÑO DE CUPULA Para el diseño de la cúpula tenemos el diámetro otorgado en el laboratorio el cual es de 22.5m. Diámetro de la tapa de la cúpula: El diámetro de la tapa t apa se puede encontrar con la siguiente limitación. Do= es el 5% a 10% del diámetro, por temas prácticos asumimos que es un 6% del diámetro Do =
( 6 %).22.5 Do
1.4
Do =
≈
2
m
22.5 m Figura 1.
Como se puede ver la figura 1, esta cúpula no es una forma semiesférica, más bien es parecida a la superficie de un casquete esférico.
1. Características geométricas: Como se podrá ver en la figura 2. La L a cúpula esférica tiene una flecha (f), el cual se recomienda una relación con L, con rango, como se muestra la siguiente ecuación.
f
=
L
1
hasta
6
Elegimos : f L
f
1 5
1
=
5
a-f a
a
Como: L= D =
22.5
m
L
Figura 1.1
Entonces: Límite menor, para f/L = 1/6, tenemos: f= 22.5 x (1/6) m f= 3.75 m Límite mayor, para f/L = 1/5, tenemos: f= 22.5 x (1/5) m f= 4.50 m Verificamos que esté dentro de los límites el valor elegido: f/L = 1/5 f= 22.5 x (1/5) m f=
4.50 m
≈
4
m
Como podemos ver el valor elegido se encuentra entre los límites recomendados. Calculo de Radio de la cúpula (a): De la figura 1.1, se puede deducir por Pitágoras la siguiente relación L2 + 4f 2
a=
8f
a
=
570.25 32
=
17.820
m
D0 f
Calculo del ángulo ᶲ k y ᶲ 0: Donde:
ᶲ k: Ángulo de Abertura de la Tapa ᶲ 0: Ángulo al borde de la Cúpula
a-f a ᶲ0
f: Flecha
ᶲk
a: Radio de la cúpula L: Diámetro de la Base de la cúpula(D) L Figura 1.2
De la figura 1.2 podemos obtener los siguientes valores: 22.5/2
ɸk =
tg -1 (
ɸk =
0.68323
ɸ0 =
tg -1 (
ɸ0 =
)
13.82 m
rad
0.07223
=
39.146
2/2 13.82 m
rad
°
)
=
4.1386
°
Espesor de la Cascara: Para la determinación del espesor de la cascara, tendremos que asumir el espesor y verificar con las condiciones dadas por las dimensiones de la cúpula. Asumimos: t= 7.0cm = 0.070 m Para comprobar vemos que tenemos la siguientes condiciones las cuales podemos ver que se esta cumpliendo donde a= 17.82 m :
1
<
1000
t a
=
1 254.58
<
1 50
Con los limites dados podemos concluir que se trata de una cascara delgada, en las cuales 1/1000 es para asegurar que la cascara no se aproxime a una membrana y 1/50 es para verificar que no se comporte como cascara gruesa.
Espesor de cálculo para aplicar la TEORÍA DE FLEXIÓN En el borde libre, la cáscara tiene un espesor usualmente doble, por lo tanto, para aplicar la teoría de flexión hay que definir un espesor de cálculo.
Cuando la longitud de transición tiene una longitud menor de ' 50.t ‘, se considera
aceptable usar el promedio, o sea '1.5 t' Reemplazando obtenemos: Longitud de transición menor a:
50 t = 50 x 0.07 =
3.50 m
Espesor de cálculo: t1= 1.5 t = 0.105m = 10.50cm
Cuando la longitud de transición es mayor a 50t, se usará 1.75t Reemplazamos y obtenemos lo siguiente: Longitud de transición mayor a: Espesor de cálculo:
50 t =3.50m
t1=1.75 t =0.1225 cm t1= 12.25 cm
Longitud de transición: Esta longitud en cáscaras medianas y pequeñas suele ir de '16 t' a '20 t'. Reemplazando obtenemos: *
16 t = 16 x 0.07 =
1.12
m
*
20 t = 20 x 0.07 =
1.40
m
Finalmente elegimos la longitud de transición elegida= 3.50 m Selección de concreto para la cascara: Para la selección del concreto, se recomienda para la cascara es de una resistencia cilíndrica en 28 días que son los siguientes. f'c = 175 kg/cm2; En pequeñas.
cáscaras Cáscaras de grandes dimensiones. En elementos de borde y en cáscaras si co ntienen elementos
f'c = 280 kg/cm2
postensados, esto para aumentar el módulo de elasticidad y disminuir el riesgo de pandeo, dado las grandes l uces de esta cáscara.
f'c = 350 kg/cm2
selección de la calidad del concreto de la cascara (cúpula esférica) f'c =
280
2
kg/cm
Cálculo de Parámetros y Coeficientes a Usarse en los Cálculos de la TEORIA DE FLEXIÓN: Módulo de Elasticidad del concreto (E): E=
E=
ɤc1.54000(f'c)1/2
248860.44
kg/cm2
Finalmente comparamos con: E = 15 000 . (f'c) 1/2
E=
250998.01
kg/cm2
Obteniendo finalmente un E= 255500.00 kg/cm2 Módulo de extensión de la cáscara (D) D=
Et 1 - u2
Por simplificación consideramos u=0, obteniendo D=E.t D=
E. t1
D= 255500 x 10.5 D=
2682750.00
kg/cm
Rigidez de flexión de la cáscara (K): E t3
K=
12
E t13 12
K=
K=
K=
=
255500 x 10.5^3 12
295773187.5 12 24,647,765.6 kg . cm
Parámetro que define las características de amortiguamiento de la cúpula esférica (λ):
λ =
[3^(1/4)] . [a/t]^(0.5)
λ = [3^ (1/4)]. [1782.03/10.5]^(0.5) λ =
17.1452
Características del Anillo de Borde
Cúpula
Anillo de Borde
Como podemos ver en la figura en el borde de anillo es la base de la cúpula las cuales utilizaremos las siguientes dimensiones recomendadas. C= b=
45.0 40.0
cm cm Cáscara
C
Anillo de Borde b
Para el anillo de borde se considerara la misma calidad de concreto de f'c = 280 kg/cm2 y para el esfuerzo de acero de considera un Fy= 4200 kg/cm2, considerando que generalmente para cascaras pequeñas se utilizan diámetros de ¼’’, 3/8´´ y ½’’ .
Excentricidad entre el Anillo de Borde y la Cáscara: Para que no haya excentricidad en el anillo de borde, verificamos que la carga que se transmite a través de la cúpula se transmita al centro de la Viga de Borde según se grafica en las siguientes figuras:
Ver Detalle Cúpula
ɸ
Superficie Superior de Cúpula
Viga de Borde
h/2
Superficie Media
C.G. Sup.t/2 inferior de Cúpula t/2
h/2
Viga de Borde
b/2
ɸ
ɸ
ɸ
ɸ C.G.
Fig. 1.3: Sección Viga de Borde y parte de Cúpula
Vig a de Bor de
b/2 O
Donde: C.G. = Centroide de la sección de la Viga de Borde O = Centro geométrico de la Cúpula Esférica
Centro de la Superficie de la Cúpula Esférica
Fig. 1.4: Detalle de la fig. 1.3.
ɸk = Ángulo al borde de la
Cúpula Esférica t= Espesor de la cáscara
Para determinar la posición de la cáscara respecto al anillo, tomaremos como distancia característica la distancia "g", que se grafica en la siguiente figura: Superficie Superior de Cúpula
ɸk Viga de Borde
Superficie Media
Sup. inferior de Cúpula t/2
h/2
(t/2) sec ɸk
t/2
y = (b/2) tg ɸk
g ɸk C.G.
b/2
Viga de Borde
ɸ Hacia “O" (centro de la Superficie de la Cúpula
Hacia “O" (centro de la Superficie de la Cúpula Esférica)
De manera por geometría obtenemos que g se puede expresar de la siguiente manera : g = (b/2) . tan ɸk - (t) / (2 cos ɸk) Reemplazando obtenemos:
g = ( 40/2 ). tan (39.15) - (7) / [2. cos(39.15) ] g = 11.77 cm
Además, obteniendo el Brazo de Palanca desde el eje del C.G. hacia el punto de aplicación de Nɸk que lo llamaremos y, el cual se obtiene de a siguiente ecuación. y = (b/2). tan ɸk y = (40/2). tan (39.15°) y = 16.28 cm
Propiedades Geométricas del Anillo de Borde: Como definimos anteriormente las dimensiones de c= 45.0 cm y b= 40.0 cm obtenemos la área y la inercia: Tenemos: Área = A = ( 45 x 40 ) A= Inercia = I =
I=
1800
2
cm
40x [ (45) ^3 ] 12 303750.00
= cm4
303750.00
cm4
PARTE B: METRADO DE CARGAS: CARGA MUERTA: Peso propio= t x ɤc Donde: ɤ = c
t:
2400 kgf/m
ɤc
:
Espesor de la cúpula (m) Peso específico del concreto en Kgf/m3 1m
1m
1m
t (m)
1m
1m
Fig. B.2: Bloque tridimensional de concreto de 1m x 1m xtm Fig. B.1: Bloque Tridimensional de concreto de 1m x 1m x 1m Peso Propio = 0.07x 2400 = 168.0 kg/m2 Impermeabilizante: Pasteleros más torta de barro = 100.0 kg/m2 Mortero Asfáltico = 0.0 kg/m2 Por lo tanto D = 168 + 100 D = 268.00 kg/m2 Carga Viva (L): Por concepto de mantenimiento consideramos una sobrecarga mínima de = 50.00 kg/m2 L = 50.00 kg/m2 Presión de viento (W): Consideramos una presión de viento de = 30.00 kg/m2
W = 30.00 kg/m2 Cargas de Servicio (P): P = D + L = 268 + 50 P = 318.00 kg/m2 Donde: D = Cargas Muertas L = Cargas Vivas P = Carga de Servicio Carga Última (PU): Según el Reglamento Nacional de Edificaciones, usaremos la siguiente combinación: PU = 1.5 D + 1.8 L PU = 1.5 (268) + 1.8 (50) = 492 kg/m2 Donde: L = Cargas Vivas P = Carga de Servicio PU = Carga Última D = Cargas Muertas
RESÚMEN DE FÓRMULAS: ESFUERZOS SOBRE UNA CÁSCARA (CÁSCARA ORIGINADA POR UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN), PARA EL CASO DE CARGAS SIMÉTRICAS
N
1
. r 1.r 2 . sen . p . sen pr . cos d (IV)
r 2 . sen2 o
N r 2 . pr
r 2 r 1
Donde: .N
(V)
δ H = Deformación en s entido
horizontal. χ= Giro.
D= Módulo de extensión de la cáscara. ( μ =0)
DEFORMACIONES SOBRE UNA CÁSCARA (CÁSCARA ORIGINADA POR UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN)
D=
PARA EL CASO DE CARGAS SIMÉTRICAS
H
r 2 sen D
Et 1-μ
2
≈
Et
(VI.a)
ɸ = Ángulo e ntre la normal a
. N
(VI)
la s uperficie y el eje de rev lución. ɵ = Ángulo hacia un meridiano
r 2 ctg 1 d . r 2 .N N . N D r 1 D.r 1 d
de origen, esto dentro de
(VII) un círculo paralel o r 1 = Radio de curvatura de la curva meridia na (OA).
r = Radio del círculo parale lo (BA).
r 2 = 2do Radio de curvatura de la curva meridiana (AC).
Nɵ , N ɸ = Esfuerzos por unidad de longitud. ɸ0 = Ángulo entre la normal a
la s uperficie en el borde d la abertura y el eje de revolución. pɵ, p ɸ, p r = Cargas externas paralela ,
ridiana y radia l respectiva.
Caso Combinado de Cargas Concentradas en el Vértice Superior y Cargas Simétricas de la Cáscara (Cáscara Originado por una Superficie de Revoluc Revolución) ión) ESFUERZOS SOBRE LA CÁSCARA (CÁSCARA ORIGINADA POR UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN), PARA EL CASO COMBINADO DE CARGAS CONCENTRADAS EN EL VERTICE SUPERIOR Y CARGAS SIMÉTRICAS
Por el principio de superposición de efectos y simple i nspección, nspección, sumaremos ambos resultados obtenidos en (IV) (IV),, (V) (V) refer referidos idos a Esfuerzos de la Cáscara.
N
1
N 2
∑=Nɸ1 + Nɸ2 = N
1
.
r .r . sen . p . sen p .cos d
r 2 . sen2 o
P .
1
sen 0 sen2
.
r 2 0 r 2
1
r
2
r 2 sen 0
r .r . sen . p . sen p . cos d P . . r sen r . sen 2
.
1
2
r
0
L
2
(X)
2
o
2
Según la ec. (III) (III) obtenido obtenido por equilibrio, y despejando Nɵ , nos dio la s gte. ecuación ecuación numerada como (V) , donde , donde Nɵ depende de Nɸ : N r 2 . p r
r 2 r 1
. N
(V)
Reemplazando (X) (X) en en (V) (V),, obtenemos: N
r 2 . pr .
r 2 r 1
.
r 20 sen 0 . r 1.r 2 . sen . p . sen pr . cos d P . L . 2 2 r r 2 . sen o sen 2
1
DEFORMACIONES SOBRE LA CÁSCARA (CÁSCARA ORIGINADA POR UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN), PARA EL CASO COMBINADO DE CARGAS CONCENTRADAS EN EL VERTICE SUPERIOR Y CARGAS SIMÉTRICAS
Las deformaciones deformaciones según las ecuaciones (VI) (VI) y y (VII) (VII) dependen dependen exclusivamente de los esfuerzos Nɸ y Nɵ más NO de los estados de carga carga a la que es s ometida la cáscara. Las deformaciones que nos interesan, están en el borde opuesto al lucernario, y prácticamente no se van a ver afectados por éste. Por ende :
r 2 sen
H
r ctg 1 d r 2 .N . N 2 . N D r 1 D.r 1 d
D
. N
(VI)
(VII)
(XI)
DEFORMACIONES DE UNA CÚPULA ESFÉRICA CON LUCERNARIO, PARA EL CASO COMBINADO DE CARGAS CONCENTRADAS EN EL VÉRTICE SUPERIOR Y CARGAS UNIFORMEMENTE REPARTIDA. Las deformaciones s egún las ecuaciones (VI) y (VII) dependen exclusivamente de los es fuerzos N ɸ y Nɵ más NO de los estados de carga a la que e s sometida l a cáscara. Las deformaciones que nos interesan, están e n el borde opuesto al lucernario, y prácticamente no se van a ver afectados por éste. Por ende :
r 2 sen
H
1 d r ctg N 2 . N . r 2 .N D r 1 D.r 1 d
D
. N
(VI)
(VII)
Reemplazando (XII), (XIII) y (XIV) en (VI) obtenemos:
a. sen
H
H
H
H
cos cos sen a. P . cos P L . sen sen 0
.
D
0
2
a 2 P . sen D a 2 P . sen D 2
a P D . sen
. cos
.
cos cos sen
cos . sen
2
. cos . sen 2
a. sen
0
2
cos 0
2
cos
2
sen
cos 0
cos
sen P L . sen
a
.
D
a. P L
D
0
.
D
2
sen P L . sen 0
sen 0 sen
(XVII)
Reemplazando (XII), (XIII) y (XIV) en (VII) obtenemos: r 2 ctg 1 d . r 2 .N N . N D r 1 D . r d 1
sen 0 (a) cos 0 cos a. P sen 0 .cos 0 cos P L . (a) . a. P . cos P L . sen sen sen sen
ctg D
2
2
2
cos 0 cos sen 0 1 d cos P L . . (a). a. P . 2 D.(a) d sen sen2
sen 0 a. P cos 0 cos sen 0 L . L . sen .cos 0 cos P a. P . cos P sen sen sen
ctg D
2
2
2
2
2
sen
1 d sen 0 cos 0 cos . a. P . cos 2 P L . sen2 D d sen
a. P .cos cos sen sen P . a. P .cos P .
ctg a. P . cos 0 cos D
2
0
L
sen 2
0
2
sen
0
L
1 cos 0 cos d . cos a. P . D sen2 d
sen 2
d sen 0 P L . d sen2
2.a. P .cos . cos 0 2.a. P . cos2 a. P . cos2 . sen2 2. P L . cos . sen D. sen
a . P . sen 4 2 .a . P . cos . cos 0 2 .a . P . cos Dsen
2.a. P .cos .cos 2.a. P .cos
2
0
3
2
2 a . P . sen 2 P L . sen 0 . cos
2 2 4 . cos . sen 0 a. P . sen 2.a. P . cos . cos 0 a. P . cos . sen 2. P L
2.a. P .cos
2
. sen 0. cos a. P . sen 2 P L 2
3
D. sen
0
3
a. P . cos 2 . sen 2 a. P . sen 4 a. P . sen 2 D. sen 3
a. P . sen2 1 cos2 a. P . sen4 3
D. sen
a. P . sen
2
sen 2 a. P . sen 4 D . sen 3
2 .a . P . sen D . sen
3
4
2 .a . P . sen D
(XVIII)
RESÚMEN DE FÓRMULAS: ESFUERZOS DE UNA CÚPULA ESFÉRICA CON LUCERNARIO PARA EL CASO COMBINADO DE CARGAS CONCENTRADAS EN EL VÉRTICE SUPERIOR Y CARGAS UNIFORMEMENTE REPARTIDA.
sen 0 a. P N . cos 0 cos P L . 2 sen2 sen
N a. P .cos
cos
0
(XV)
sen 0 cos L . P 2 2 sen
sen
(XVI)
DEFORMACIONES DE UNA CÚPULA ESFÉRICA CON LUCERNARIO PARA EL CASO COMBINADO DE CARGAS CONCENTRADAS EN EL VÉRTICE SUPERIOR Y CARGAS UNIFORMEMENTE REPARTIDA.
H
a 2 P D . sen
. cos . sen 2
cos 0
2 .a . P . sen D
Donde: ɸ = Ángulo entre la normal a
la s uperficie y el eje de revolución. ɸ 0 = Ángulo entre la normal a
la s uperficie en el borde de la a bertura y el eje de revolución.
a = Radio de la Cúpula Esférica P =
Carga externa vertical repartida por unidad de área.
P L =
Carga externa vertical repartida por unidad de longitud.
Nɵ , N ɸ = Esfuerzos por unidad de longitud en dirección ɵ,ɸ r espectivam. δ H = Deformación en sentido
horizontal, δH+ dirigido hacia a dentro de la cúpula. χ= Giro.
D= Módulo de extensión de la cáscara. D=
Et 1-μ
2
≈
Et
(VI.a)
cos
(XVIII)
a . P L D
sen 0 sen (XVII)
Tabla Nº 01: Constantes K1, K2 y K3 en función del ángulo ɸ
º
Ángulo ɸ ° '
K1
K2
K3
0.0
0
0
0.0000
0.0000
0.0000
2.5
2
30
0.0109
0.0109
0.0327
5.0
5
0
0.0218
0.0218
0.0654
7.5
7
30
0.0325
0.0328
0.0980
10.0
10
0
0.0432
0.0439
0.1305
12.5
12
30
0.0537
0.0550
0.1628
15.0
15
0
0.0640
0.0662
0.1949
17.5
17
30
0.0740
0.0776
0.2267
20.0
20
0
0.0837
0.0891
0.2583
22.5
22
30
0.0931
0.1008
0.2896
25.0
25
0
0.1021
0.1127
0.3205
27.5
27
30
0.1107
0.1248
0.3511
30.0
30
0
0.1188
0.1372
0.3812
32.5
32
30
0.1264
0.1499
0.4109
35.0
35
0
0.1334
0.1629
0.4402
37.5
37
30
0.1398
0.1762
0.4689
40.0
40
0
0.1456
0.1900
0.4972
42.5
42
30
0.1506
0.2042
0.5250
45.0
45
0
0.1548
0.2190
0.5523
47.5
47
30
0.1582
0.2342
0.5791
50.0
50
0
0.1607
0.2501
0.6053
52.5
52
30
0.1623
0.2666
0.6311
55.0
55
0
0.1628
0.2838
0.6564
57.5
57
30
0.1622
0.3018
0.6812
60.0
60
0
0.1604
0.3208
0.7057
62.5
62
30
0.1573
0.3406
0.7297
65.0
65
0
0.1528
0.3616
0.7535
67.5
67
30
0.1469
0.3838
0.7770
70.0
70
0
0.1393
0.4073
0.8004
72.5
72
30
0.1300
0.4323
0.8237
75.0
75
0
0.1188
0.4590
0.8471
77.5
77
30
0.1055
0.4875
0.8708
80.0
80
0
0.0900
0.5180
0.8949
82.5
82
30
0.0719
0.5509
0.9195
85.0
85
0
0.0511
0.5864
0.9451
87.5
87
30
0.0273
0.6249
0.9718
90.0
90
0
0.0000
0.6667
1.0000
Aplicación de las Fórmulas de la Teoría Membranal para una Cúpula Esférica con Lucernario en Estado Combinado de Cargas (Carga en Lucernario + Carga Repartida) : Esfuerzos Sobre una Cúpula Esférica con Lucernario para el caso Combinado de Cargas Concentradas en el Vértice Superior y Cargas Uniformemente Repartida. La siguiente fórmula nos dá el esfuerzo por unidad de l ongitud en dirección de ɸ:
sen 0 a. P N .cos 0 cos P L . sen sen 2
Donde:
(XV)
ɸ = Ángulo entre la normal a
2
la s uperficie y el eje de revolución. ɸ0 = Ángulo entre la normal a
Pero se desea conocer el es fuerzo en ɸk , para un pos terior
la s uperficie en el borde de
análisis que se detallará en el paso D, la llamaremos N ɸk :
la a bertura de lucernario y el e je de
N k
a. P sen k 2
.cos 0
sen 0 cos k P L . sen k 2
revolución.
(XXII)
a = Radio de la Cúpula Esférica (m) P =
Carga externa vertical repar-
P L =
Carga externa vertical repar-
Donde: ɸk =
tida por unidad de Área. (kg/m2) Ángulo en el extremo de la cúpula Esférica.
tida por unidad de l ongitud. (kg/m) Nɸ = Esfuerzos por unidad de
Observamos que se requiere de un análisi s de PL, que se detall ará
longitud en dirección ɸ (kg/m)
a continuación:
PL =
360
kg/m
a. P sen 0 N k . cos 0 cos k P L . 2 2 k sen sen k
Donde:
(XXII)
ɸk =
Ángulo en el extremo de la cúpu Esférica
Reemplazando valores en Nɸk :
N ɸ k =
17.83 x 318
-[
. ( cos 4.14° - cos 39.15° )
(sen 39.15° )^2
-3154.55 -3219.74
N ɸ k =
]- [
360 .
kg/m
sen 4.14° (s en 39.15°)^2
]
65.19 kg/m
kg/m
Se des ea conocer N ɵ en ɸk de la e cuación (XVI), al que lla maremos Nɵk : N
a. P .cos
Donde:
cos
sen 0 cos P . sen sen 0
L
2
(XVI)
2
ɸk =
Ángulo en el extremo d la cúpula Esférica.
N k a. P . cos k
cos
N ɵ k =
-17.83 x 318 x
[
sen 0 0 cos k P L . sen 2 k sen 2 k
cos 39.15
-
( cos 4.14° - cos 39.15° )
-1240.30
N ɵ k
-1175.12
kg/m
(sen 39.15° )^2 kg/m
]+ [
(XXIII)
360 .
sen 4.14° (se n 39.15°)^2 65.19 kg/m
]
Deformaciones de una Cúpula Esférica con Lucernario para el Caso Combinado de Cargas Concentrada s en e l Vértice Supe rior y Cargas Uniformemente Repartida.
H
a 2 P D . sen
.cos . sen 2
cos 0 cos
sen 0 (XVII) D sen
a . P L
ɸk = Ángulo en el extre
Se dese a conocer N ɵ en ɸk de l a ecuación (XVII), al que lla maremos N ɵk : 2
Hk
δHK =
-
a P D. sen k
2
. cos k . sen k
.[
(17.83)^2 x 318 x 2682750 x sen 39.15°
cos 0
cos k
D
sen 0 sen (XXIV) k
D=
2682750.00
a . P L
+
cm
mo de la cúpula Esférica.
kg/cm
cos 39.15° . (se n 39.15° )^2 - cos 4.14° + cos 39.15°
-0.0052012
Donde:
]+
17.83 x 360 2682750.00
.[
se n 4.14° (sen 39.15°)
]
0.000273369 cm δHK =
-0.004927798
cm Donde:
2 .a . P . sen (XVIII)
D
ɸk = Ángulo en el extre
mo de la cúpula Se dese a conocer χ en ɸk de la ecuación (XVIII), al que lla maremos N ɵk :
k
2.a. P . sen k
χ k =
χ k =
D
Esférica.
(XXV)
D=
2682750.00
-2 x (17.83 x 318/100) x sen 39.15° 2682750.00
-0.00002667039419
ra d
Aplicación de las Fórmulas de la Teoría Membranal para una Cúpula Esférica con Lucernaria en Estado de Cargas Debido al Viento: Esfuerzos de una Cúpula Esférica con Lucernario Sometido a Cargas de Viento Se conoce: Nɸ = - p . a. K1. cos ɵ
(XIX)
N ɸɵ = - p . a. K2. sen ɵ
(XX)
Nɵ = - p . a. K3. cos ɵ
(XXI)
Determinamos l os es fuerzos en el borde extremo de la cúpula debido a l viento, es decir para un ɸk= 39.146° , Para es te cometido hacemos uso de la Tabla Nº 01, partiendo del ángulo
ɸk=
39°
8'
46.51''
Cuyo fragmento lo extraemos e interpolamos para un ɸk =39.147° a continuación:
ɸ1
ɸk
ɸ2
37.50°
39.15°
40.00°
K1
0.1398
0.1436193
0.1456
K2
0.1762
0.18528731
0.1900
K3
0.4689
0.48753557
0.4972
30.00 kg/m2
Para una carga de vi ento de :
Las fórmulas de esfuerzo definidas para ɸk quedan como:
(XXVI)
Nɸk = - p . a. K1. cos ɵ
Nɸɵk = - p . a. K2. sen ɵ
Nɵk = - p . a. K3. cos ɵ
(XXVII)
(XXVIII)
Y reemplazando en (XXVI), (XXVII) y (XXVIII) : Nɸk = - p . a. K1. cos ɵ Nɸk = -76.780226
Nɸɵ = - p . a. K2. sen ɵ Nɸɵ k = -99.056333
- 30 x 17.83 x 0.14362 cos ɵ
=
- 30 x 17.83 x 0.185288 sen ɵ
sen ɵ
Nɵ = - p . a. K3. cos ɵ Nɵk = -260.64109
=
cos ɵ
=
- 30 x 17.83 x 0.487536 cos ɵ
cos ɵ
Deformaciones de una Cúpula Esférica con Lucernario Sometido a Cargas de Viento Las deformaciones que produce el efecto de viento las hall amos proporcionalmente a la s de carga repartida tal y como si gue: δHK = δ HK (xxiv) x Nɵk (xxviii) / Nɵk (xxiii)
δHK =
-0.00493 cm
δHK =
χ k =
x
-0.0011
cm
0
(XXX)
rad.
-260.641 -1175.12
(XXIX)
PARTE D: EFECTOS MEMBRANALES APLICADOS SOBRE EL ANILLO DE BORDE:
A continuación, veremos cómo se llega a exigir el uso del Anillo de Borde. Condiciones de Borde: Para examinar lo que sucede en el borde libre consideremos los esfuerzos y deformaciones existentes en el borde, cuyos esfuerzos y deformaciones son: Nɸk, Nɵk y δHk, χk respectivamente. El esfuerzo Nɵk se equilibra a lo largo del círculo paralelo, y no exige condiciones especiales de borde. Sin embargo, para que la teoría membranal sea una expresión real de lo que sucede en la cáscara, es necesario que los apoyos permitan que se presenten las otras condiciones. Esto significa que necesitamos un apoyo de las siguientes características:
Un caso usual es que la cúpula esférica anterior esté apoyada sobre un elemento vertical, que le permite deformarse libremente, pero sólo puede resistir la componente vertical de N ɸk, quedando en todo el círculo de borde una fuerza horizontal uniforme que exige la presencia de un anillo de borde trabajando en tracción.
Anillo de borde:
Efecto sobre e anillo de borde de la componente horizontal de Nɸk H:
Como observamos en las Fig. D.4, D.5, la componente horizontal aislada de Nɸk produce un esfuerzo de tracción en el anillo y por ende un desplazamiento horizontal, pero no produce giro (dado que actúa en su centro de gravedad). Para conocer estos valores seguiremos las secuencias de las Figuras que se muestran a continuación:
Según la Fig. D.6.: H = Nɸk. cos (ɸk)
(XXXI)
H= (3219.75/100) x cos (39.15°) H= 24.9703 kg/cm Vimos en las Fig. secuenciales D.6, D.7, D.8 y D.9 la manera como llega a traccionarse el Anillo de Borde debido a la sola acción de la componente horizontal de N ɸk (H: Esfuerzo por unidad de longitud), con la que efectuando la sumatoria de las componentes "Y" de las diferenciales de Cargas (H.r. dɵ) para un solo cuadrante obtenemos: Operando: T = H. r (XXXII) T = 24.97 x (1145)
T = 28591.00 kg Acotacion: r = (22.5/2) + (0.4 /2) =11.4500 m r = 1145.0 cm Donde: T = Fuerza de Tracción H = Componente horizontal de N ɸk
r = Radio del círculo paralelo, situado en el límite de la cúpula y el Anillo de Borde ¡Ok!! El Anillo de Borde está traccionándose en el plano del paralelo de la Cúpula Esférica Se sabe que: δ = (P.L) / (E.A)
Para una deformación horizontal y conocidos los valores de "P" y "L" según (XXX) queda: δH = -H. r2 (XXXIII) δH =
- (24.98) x 1145^2
δH =
-0.0712 cm
Donde: r = Radio del círculo paralelo en el límite de la cúpula y el Anillo. H = Componente horizontal de N ɸk. E =Módulo de Elasticidad del material del Anillo de Borde 255500x1800 A = Área de la sección de la Viga de Borde. δH = Deformación total horizontal del Anillo de Borde. δH+ es hacia el centro del plano que da origen al Anillo de Borde.
Además, que esta componente horizontal (H) de Nɸk no produce giro en el Anillo de Borde, queda expresado como: Donde: χ = Giro del Anillo de Borde, re specto a su C.G. χ =0 (XXXIV)
χ=0
Efecto sobre el Anillo de Borde del Momento generado por la componente Horizontal de Nɸk (H) y un brazo de palanca (y): La componente horizontal de Nɸk produce un Momento Transversal a la sección, que esta a su vez produce un Momento Longitudinal de Flexión, un Giro que también desencadena una Deformación Horizontal del Anillo de Borde. Para comprenderlo veremos la secuencia de Fig. que se presentan a continuación:
Visto la secuencia de las figuras antecesoras El Momento Longit udinal queda expresado como: De la figura: y= 16.28 cm Operando: Mf = - M.r (XXXV)
Mf = - (H.y).r Mf = - (24.97x100x16.28/100) x 11.45 Mf = -4654.72 kg-m Donde: Mf = Momento Longitudinal del Anillo de Borde. M = Momento producido por la traslación de la componente "H" hacia el C.G. del Anillo de Borde. r = Radio del círculo paralelo, situado en el límite de la cúpula y el Anillo de Borde. Así también el Giro del Anillo de Borde queda como: χ = - M.r/EI (XXXVI) χ = -(24.97x16.28) x1145^2/(255500x303750) χ = -0.006867399 rad
Donde: χ = Giro del Anillo de Borde, respecto a su C.G.
M = Momento producido por la traslación de la componente "H" hacia el C.G. del Anillo de Borde. r = Radio del círculo paralelo, situado en el límite de la cúpula y el Anillo de Borde. E = Módulo de Elasticidad del material del Anillo de Borde. I = Momento de Inercia de la sección del Anillo de Borde. Y la Deformación horizontal del Anillo queda expresado como: δH = χ.y (XXXVII) δH = -0.01x16.28 δH = -0.112 cm
Donde: χ = Componente horizontal de Nɸk
y = Brazo de Palanca desde el eje del C.G. hacia el punto de aplicación de Nɸk. δH = Deformación total horizontal de la Viga de Borde.
Efecto del Viento en las Deformaciones del Anillo de Borde:
El efecto del viento no producirá Giro, pero sí una Deformación Horizontal que se la puede aproximar usando solamente la Deformación Horizontal producida por la carga y no el momento que sí genera algún Giro, de la siguiente manera: δH viento = δHK (xxxiii) x Nɵk (xxvi) / Nɵk (xxii) (XXXVIII) δH viento =-0.07 x (-76.78) x (-3219.74) δH viento = -0.0017 cm
Ok!! , deformación hacia afuera del Anillo de Borde
Incompatibilidad de Deformaciones Entre el Anillo de Borde y la Cúpula Esférica: La relación entre las deformaciones horizontales del anillo de la cúpula debido solo a las cargas combinadas es: δH anillo/δH cúpula = -0.0712/-0.004927798 ≈ 14.4
La deformación del anillo de borde, en este caso es de 14 veces la deformación de la cúpula, creándose una incompatibilidad de deformaciones que para eliminarse exige la presencia de momentos de flexión, que se verá en el acápite "f".
DETERMINACIÓN DE LAS INCOMPATIBILIDADES DE E. DEFORMACIÓN. Antes de emplear la teoría de flexión debemos definir las incompatibilidades de deformación que requiere dicha teoría para poder entenderla y encontrar las otras ecuaciones que solucionen la incompatibilidad.
Deformación producto de la Carga Repartida (Sin viento) en la cúpula esférica y su efecto en el Anillo de Borde : Deformación Horizontal (δH) : δH = δH Po r carga repartida, efecto en borde libre cupula + δH Por carga repartida, efecto en Anillo
δH = δH =
δH (xxiv) + δH (xxxiii) (-0.005) + (-0.071) δH =
-0.076
cm
Giro (χ) : χ = χ Por carga repartida, efecto en bo rde libre cupula + χ Por carga repartida, efecto en Anillo
χ=
χ (xxv) + χ (xxxiv)
χ=
(-0.00002667) + (0)
χ=
-2.66704E-05
rad
Deformación producto de la Carga Repartida + Viento en la cúpula esférica y su efecto en el Anillo de Borde : Deformación Horizontal (δH) : δH = δH P or carga repart., efecto en cup ula + efecto en Anillo + δH Por viento, efecto en cúpula+ δH Por viento, efecto en Anillo
δH = δH (xxxix) + δH (xxix) + δH (xxxviii) δH = (-0.07611) + (-0.00109) + (- 0.0017) δH =
-0.079
cm
Giro (χ) : χ = χ Po r carga repart., efecto en cupu la + efecto en Anillo + χ Por viento, efecto en Cúpula + χ Por viento, efecto
en Anillo
χ = χ (xL) + χ (xxx) + χ (xxxiv) χ = (-0.00002667) + (0) + (0) χ = -2.66704E-05 rad
Relación entre ambos tipos de deformaciones horizontales: ζ =
-0.079 -0.076
Es decir, sólo representa el: 4%
de 0.076
=
1.04
G. ESFUERZOS RESULTANTES EN LA CÚPULA: Cálculo de Mɸ: Para el cual utilizaremos la siguiente ecuación: a M f 1. M o sen k . f 2 .H o
Donde: Mo =
43.256
kg-cm /cm
Ho =
-6.876
kg/cm
a = 1782.03 cm λ = 17.1452
ɸk = 0.68323 rad
Mɸ=
43.256 f 1 +
Mɸ=
43.256
1782.03
f 1 +
0.68323098 ) x
sen(
17.1452
-451.18
-6.876
x f 2
f 2
Preparamos una tabla para el cálculo de M ɸ. Usaremos un incremento de 0.5, o sea λα=0.5 para el empleo de la tabla N° 02, que nos dará como resultado los valores de f1 y f2 con el fin de determinar los valores de M ɸ. Donde: α:
s
Ángulo (con origen en el centro de la cúpula) medido des del Borde Libre de la cúpula.
Δs
s: Longitud de arco correspondiente a la superficie media de la cáscara, medido desde el Borde Libre.
Cúpula Esférica
Δs: Incremento constante de Longitud de arco.
a: Radio de la Cúpula Esférica.
a
λ: Parámetro que define las características de
α
amortiguamiento de la cúpula esférica.
O
Según el incremento elegido tenemos:
λ.α =
0.5
α =
=> 0.02916263 rad
α =
0.5 λ
α =
0.5 17.1452
=
0.029163 rad
Δs
Atreves de la figura obtenemos Δs = a. α
Δs =
=
1782.03 x 0.02916 51.969
Sabemos además que:
cm =
λ =
=
0.520 m
17.1452
Con los valores conocidos de "α", "Δs" y "λ" construimos la siguiente tabla para calcular la
variación de Mɸ. Donde:
Mɸ=
43.256
f 1 +
f 2
-451.18
En el cual para el cálculo de f1 y f2 se utilizan las siguientes ecuaciones: f 1
2 . cos
.e 4
f 2
sen .e
Mɸ (kg-m/m)
β=λα
s (metros)
f 1
f 2
0
0.00
1.000000
0.00000
43.256
0.0000
43.25571
0.5
0.52
0.823067
-0.29079
35.602
131.1978
166.80017
1
1.04
0.508326
-0.30956
21.988
139.6681
161.65615
1.5
1.56
0.238355
-0.22257
10.310
100.4203
110.73055
2
2.08
0.066741
-0.12306
2.887
55.5226
58.40950
2.5
2.60
-0.016636
-0.04913
-0.720
22.1646
21.44501
3
3.12
-0.042263
-0.00703
-1.828
3.1700
1.34188
3.5
3.64
-0.038871
0.01059
-1.681
-4.7793
-6.46067
4
4.16
-0.025833
0.01386
-1.117
-6.2540
-7.37143
4.5
4.68
-0.013201
0.01086
-0.571
-4.8996
-5.47059
5
5.20
-0.004550
0.00646
-0.197
-2.9152
-3.11198
5.5
5.72
0.000013
0.00288
0.001
-1.3009
-1.30038
6
6.24
0.001687
0.00069
0.073
-0.3125
-0.23950
6.5
6.76
0.001792
-0.00032
0.077
0.1459
0.22342
7
7.28
0.001287
-0.00060
0.056
0.2703
0.32595
7.5
7.80
0.000711
-0.00052
0.031
0.2341
0.26480
8
8.31
0.000283
-0.00033
0.012
0.1497
0.16199
8.5
8.83
0.000040
-0.00016
0.002
0.0733
0.07503
9
9.35
-0.000062
-0.00005
-0.003
0.0229
0.02028
9.5
9.87
-0.000080
0.00001
-0.003
-0.0025
-0.00601
10
10.39
-0.000063
0.00002
-0.003
-0.0111
-0.01386
10.5
10.91
-0.000037
0.00002
-0.002
-0.0109
-0.01254
43.256 x f 1
-451.18 x f 2
11
11.43
-0.000017
0.00002
-0.001
-0.0075
-0.00825
11.5
11.95
-0.000004
0.00001
0.000
-0.0040
-0.00417
12
12.47
0.000002
0.00000
0.000
-0.0015
-0.00141
12.5
12.99
0.000003
0.00000
0.000
-0.0001
0.00004
13
13.51
0.000003
0.00000
0.000
0.0004
0.00056
13.5
14.03
0.000002
0.00000
0.000
0.0005
0.00058
Obteniendo el siguiente gráfico de: "s" vs "M ɸ"
Mɸ (kg-m/m) 3500.00 3000.00 2500.00 2000.00 1500.00 1000.00 500.00 0.00 0.918230853 1.836461706 2.754692559 3.672923412 4.591154265 5.509385118 6.427615971 7.345846824 8.264077677 9.18230853 10.10053938 11.01877024 11.93700109 12.85523194 13.77346279 14.69169365 15.6099245 16.52815535 17.44638621 18.36461706 19.28284791 20.20107877 21.11930962 22.03754047 22.95577132 23.87400218 24.79223303
-500.00
Cálculo de Nɵ: Hallamos los valores de Nɵ a partir de la siguiente ecuación: Donde: Mo = 43.256 kg-cm /cm Ho = -6.876 kg/cm N
a= 1782.03 cm
2 a
. M o . f 3 . sen k . H o . f 4
λ = 17.140152
ɸk = 0.6832 rad
Reemplazando obtenemos lo siguiente: 17.145^2 Nɵ=
Nɵ=
43.3
1782.03
7.135
f 3 +
.f 3 +
-74.426
17.1452
f 4
.sen(
0.68323098 °) x
-6.876
x f 4
Obtenemos los valore de "s" y "Δs" con la misma grafica utilizada anteriormente para hallar Mɸ, de manera que encontramos los siguientes valores: Según el incremento elegido tenemos : 0.5
λ.α =
=> 0.0291626 3
α =
α =
0.5
α =
λ
0.5
=
0.029163
17.1452
rad
Observando la Fig. G.15, vemos que: Δs = a . α
=
Δs =
1782.03 x 0.02916 51.969
Sabemos además que:
cm =
λ =
=
0.520
m
17.1452
Con los valores conocidos de "α", "Δs" y "λ" construimos la siguiente tabla para calcular la variación de Nɵ. Nɵ=
f 3 +
7.135
f 4
-74.43
En el cual para el cálculo de f3 y f4 se utilizan las siguientes ecuaciones:
f 3 2 2. sen(
) .e 4
f 4 2 cos .e
β=λα
s (metros)
f 3
f 4
0
0.00
2.00000
-2.00000
14.271
148.8518
16312.25
0.5
0.52
0.48299
-1.06456
3.446
79.2309
8267.72
1
1.04
-0.22159
-0.39753
-1.581
29.5867
2800.56
1.5
1.56
-0.41358
-0.03157
-2.951
2.3494
-60.16
2
2.08
-0.35876
0.11264
-2.560
-8.3832
-1094.31
2.5
2.60
-0.22977
0.13152
-1.640
-9.7888
-1142.83
3
3.12
-0.11263
0.09858
-0.804
-7.3367
-814.04
3.5
3.64
-0.03537
0.05656
-0.252
-4.2093
-446.17
4
4.16
0.00378
0.02394
0.027
-1.7820
-175.51
4.5
4.68
0.01704
0.00468
0.122
-0.3486
-22.70
5
5.20
0.01674
-0.00382
0.119
0.2845
40.40
5.5
5.72
0.01156
-0.00579
0.082
0.4311
51.36
6
6.24
0.00615
-0.00476
0.044
0.3543
39.81
7.135 x f 3
-74.43 x f 4
N ɵ (kg/m)
ra d
6.5
6.76
0.00229
-0.00294
0.016
0.2186
23.49
7
7.28
0.00018
-0.00137
0.001
0.1023
10.36
7.5
7.80
-0.00065
-0.00038
-0.005
0.0285
2.39
8
8.31
-0.00076
0.00010
-0.005
-0.0073
-1.27
8.5
8.83
-0.00057
0.00024
-0.004
-0.0182
-2.23
9
9.35
-0.00033
0.00022
-0.002
-0.0167
-1.91
9.5
9.87
-0.00014
0.00015
-0.001
-0.0111
-1.21
10
10.39
-0.00003
0.00008
0.000
-0.0057
-0.59
10.5
10.91
0.00002
0.00003
0.000
-0.0019
-0.18
11
11.43
0.00003
0.00000
0.000
0.0000
0.03
11.5
11.95
0.00003
-0.00001
0.000
0.0007
0.09
12
12.47
0.00002
-0.00001
0.000
0.0008
0.09
12.5
12.99
0.00001
-0.00001
0.000
0.0006
0.06
13
13.51
0.00000
0.00000
0.000
0.0003
0.03
13.5
14.03
0.00000
0.00000
0.000
0.0001
0.01
14
14.55
0.00000
0.00000
0.000
0.0000
0.00
Obteniendo una gráfica de "s" vs "N ɵ" Nɵ (kg/m) 300000.00
250000.00
200000.00
150000.00
100000.00
50000.00
0.00 0.918230853 0 1.836461706 2.754692559 3.672923412 4.591154265 5.509385118 6.427615971 7.345846824 8.264077677 9.18230853 10.10053938 11.01877024 11.93700109 12.85523194 13.77346279 14.69169365 15.6099245 16.52815535 17.44638621 18.36461706 19.28284791 20.20107877 21.11930962 22.03754047 22.95577132 23.87400218 24.79223303 25.71046388 -50000.00
Cálculo de Q ɸ: Calculamos el valor de Q ɸ con la siguiente ecuación: Donde: Mo = 43.256 kg-cm /cm Ho =-6.876 kg /cm a =1782.03 cm λ =17.1452
Q
a
. M o . f 5
sen k H o . f 6
ɸk =0.6832 rad
17.145 Qɸ=
Qɸ=
43.3
1782.03
0.416
.f 5 +
f 5 +
sen(
0.68323098
-6.876
°) x
x f 6
f 6
-4.34091
Obtenemos los valore de "s" y "Δs" con la misma grafica utilizada anteriormente para hallar Mɸ y Nɵ, de manera que encontramos los siguientes valores:
Según el incremento elegido tenemos : 0.5
λ.α =
α =
α =
0.5
=>
λ
0.0291626 3
0.5
α =
=
0.029163
17.1452
rad
Observando la Fig. G.15, vemos que: Δs = a . α
=
Δs =
1782.03 x 0.02916
51.969
Sabemos además que:
λ =
cm =
=
0.520
m
17.1452
Con los valores conocidos de "α", "Δs" y "λ" construimos la siguiente tabla para calcular la
variación de Nɵ. Qɸ=
En el cual se emplearán la siguiente ecuación:
0.416
f 5 +
-4.3409
Donde los valores de f5 y f6 lo encontramos con las siguientes ecuaciones: f 5 2. sen .e
.e 4
f 6 2. sen
Además, para encontrar el valor de N ɸ (kg/m) utilizamos la siguiente ecuación N ctg ( k ).Q Para en el cuadro tendremos las siguientes variaciones que son λ.α = {0 , 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 …19, 19.5}
sabemos que α = ɸk-ɸ ==> λ.(ɸk-ɸ) = {0 , 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 …19, 19.5}
f 6
ra d
finalmente obtenemos la siguiente ecuación:
ɸ =
-
ɸk
β=λα
s (metros)
0
0.00
0.5
0.52
1
1.04
1.5
1.56
2
2.08
2.5
2.60
3
3.12
3.5
3.64
4
4.16
4.5
4.68
5
5.20
5.5
5.72
6
6.24
6.5
6.76
7
7.28
7.5
7.80
8
8.31
f 5 0.0000 0 0.5815 7 0.6191 2 0.4451 4 0.2461 2 0.0982 5 0.0140 5 0.0211 9 0.0277 2 0.0217 2 0.0129 2 0.0057 7 0.0013 9 0.0006 5 0.0012 0 0.0010 4 0.0006 6
{0 , 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 …19, 19.5}
λ
f 6
Qɸ (kg/m)
ɸk -α (°)
0.416 x f 5
-4.34 x f 6
1.00000
0.000
-4.3409
-434.09
0.24149
0.242
-1.0483
-80.63
-0.11079
0.258
0.4809
73.86
-0.20679
0.185
0.8976
108.29
-0.17938
0.102
0.7787
88.11
-0.11489
0.041
0.4987
53.96
-0.05631
0.006
0.2445
25.03
35.80446 34.13356 5 32.46266 9 30.79177 4 29.12087 8
-0.01769
-0.009
0.0768
6.80
0.00189
-0.012
-0.0082
0.00852
-0.009
0.00837
39.14625 2 37.47535 6
- ctg(ɸk -α)
N ɸ (kg/m)
-1.22847
533.27
-1.30439
105.17
-1.38631
-102.39
-1.47513
-159.74
-1.57194
-138.50
-1.67806
-90.55
-1.79511
-44.93
27.44998 2
-1.92508
-13.08
-1.97
25.77908 7
-2.07053
4.09
-0.0370
-4.60
24.10819 1
-2.23467
10.28
-0.005
-0.0363
-4.17
22.43729 6
-2.42171
10.10
0.00578
-0.002
-0.0251
-2.75
20.7664
-2.63718
7.25
0.00307
-0.001
-0.0133
-1.39
-2.88856
4.02
0.00114
0.000
-0.0050
-0.47
-3.18621
1.50
0.00009
0.000
-0.0004
0.01
-3.54485
-0.04
-0.00033
0.000
0.0014
0.19
-3.98623
-0.74
-0.00038
0.000
0.0017
0.19
-4.54375
-0.88
19.09550 4 17.42460 9 15.75371 3 14.08281 8 12.41192 2
Estos son los esfuerzos más importantes, y vemos que el momento M ɸ alcanza valores importantes a 0.52 m del borde con un valor en (kg/cm) de 166.8, además tiene un valor inverso máximo de: -7.4 kg/cm a una distancia del borde de: 4.16 m, no siendo tan significativo el valor en el borde mismo con: 43.3 kg/cm. El esfuerzo Nɵ sufre una perturbación total, pasando a adquirir en el borde valores sumamente elevados de tracción: 16312 kg/m a una distancia de 0.00m del borde. Anulándose las tracciones recién a 2.683 m del borde libre igualmente las compresiones alcanzan su valor máximo a 2.60 m del borde libre con un valor máximo de: -1143 kg/m, pero como veremos estos valores no son importante. Nɸ sufre una disminución de su valor (533.3 kg/m), llegando a invertir los esfuerzos con valores insignificantes ( -159.7 kg/m) , esto a una distancia de: 1.56m del borde libre.
El aumento que sufre que sufre un poco mas lejos del borde es de poca importancia.
H.
ESFUERZOS RESULTANTES EN EL ANILLO DE BORDE :
Las fuerzas actuantes producen los siguie ntes efectos:
*
H=
H=
H
24.9703
H=
*
(XXXI)
+
H
)+(
18.0942
(LXXX)
(LXXVIII)
-6.876
) =
18.09
kg/cm
kg/cm
M=
M (LXXIX)
+
(H
M= (
43.26
)+(
-6.8761
(LXXVIII)
. y) =
) x(
16.28
) =
-68.690175 kg x m/m
M= -68.69018 kg x m/m
Los esfuerzos producidos son :
T=
H .r = (
T=
20717.8
Mf = - M. r = (
Mf =
18.094
) x
1145.0
)x(
11.5
=
20717.8
kg
kg
-68.69
)=
-786.5025
kg-m
-786.5025 kg-m
Con estos es fuerzos ya se puede proceder al di seño de las armaduras correspondientes y las verificaciones de las dimensiones de la sección.
I.
DISEÑO DE ARMADURAS EN LA CÚPULA: Mɸ: Examinemos e n primer lugar los es fuerzos M ɸ. En este sentido la s se cciones de la cúpula es tán sometidas a fle xo-compresión, pero siendo l os es fuerzos de compresión muy pequeños, mucho menores que l a fuerza de compresi ón bal anceada, los despreciamos y diseñamos el elemento como sometido sólo a flexión, condición que es a ceptada por el Reglamento E.060.
0.52 m
El momento máxi mo s e pres enta en una s ecci ón a
<
del borde l ibre.
Long. Transición = 3.50 m
El espes or de la cáscara en es e punto es: Es pes or cá s ca ra
De l a geometría :
7.0 cm
t - (7 cm )
=
14 cm - 7 cm
3.5 m - 0.52 m 3.50 m
3.50 m Long. Transición t
0.52 m t =
7
+
7
3.50
-
0.52
3.50 m 14.00 cm Es pes or us ua l mente dobl e
El peralte efectivo para es te espesor de
t =
7.0 cm
12.96
cm
que requiere de 1 sol a capa de refuerzo: Recubrimiento + Dist. Centroide a Refuerzo = 2.50 cm
d=
12.96
-
d=
10.46
cm
2.50
=
10.46
=
258.0682
El Momento de flexión último es :
Mu =
Mɸmax
x
Mu =
166.8
x
Pu P
492.00 318.00
Mu = 258.06819 kg-m =
0.258
tn-m
Determinamos el acero mediante iteraciones con estas dos fórmulas :
Mu = ɸ.As.fy.(d - a/2) Despejando As: Mu
As =
--- (*)
ɸ. fy . (d - a/2)
y a=
As . fy
--- (**)
0.85 . f'c . b
Damos un "a" tentativo inicial : a=
1.5 cm ;
un ɸ =
0.9
; b=
100
cm
=
En (*): 0.258 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (10.46 - 1.5/ 2 )
As =
2
cm /m
0.703
As en (**) : 0.703x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.124
cm
Nuevo "a" en (*) 0.258 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (10.46 - 0.12/ 2 )
As =
2
cm /m
0.657
Nuevo "As" en (**) 0.657x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.116
cm
Queda
Que con Acero de Refuerzo de di ámetro :
ɸ
=
"
1/2
=
1.270
cm
==> A ɸ =
y cuya área de vari l l a es :
cm
1.27
As (cm2) ----------1 (m)
Es decir la se paración ''s''calculada para un ɸ = 1.27 cm es :
Aɸ (cm2) ----------s s=
Aɸ
1.27
=
As
s=
O sea :
1.9294
m
=
192.943
cm
1/2
"@
(m)
0.657
192.943
ɸ
=
2
1/2
cm
"@
192.94
cm
<>
ɸ
9.00
cm
As nuevo=
As nuevo=
As nuevo=
Aɸ s nuevo
1.267 0.09
14.075
2
cm /m
OK!!, Refuerzo ade cuado, verificar cuantía
Los puntos más cercanos al borde requieren menos acero, por tener más peralte y menos momento.
1.04 m
Veri fi camos el momento que s e pres enta en una s ecci ón a
del borde l ibre.
<
Long. Transición = 3.50 m
El espes or de la cáscara en es e punto es:
Es pes or cá s ca ra
De l a geometría :
7.0 cm
t - (7 cm )
=
14 cm - 7 cm
3.5 m - 1.04 m 3.50 m
3.50 m Long. Transición t
1.04 m t =
7
+
7
3.50
-
1.04
3.50 m 14.00 cm Es pes or us ua l mente dobl e
El peralte efectivo para es te espes or de
t =
7.0 cm
11.92
cm
que requiere de 1 sol a capa de refuerzo: Recubrimiento + Dist. Centroide a Refuerzo = 2.50 cm
d=
11.92
-
d=
9.42
cm
2.50
=
9.42
=
250.1095
El Momento de fl exión último es : Mu =
Mɸ (1.84)
x
Mu =
161.7
x
Pu P
492.00 318.00
Mu = 250.10951 kg-m =
0.250
tn-m
Determinamos el acero mediante iteraciones con estas dos fórmulas :
Mu = ɸ.As.fy.(d - a/2) Despejando As: Mu
As =
--- (*)
ɸ. fy . (d - a/2)
y As . fy
a=
--- (**)
0.85 . f'c . b Damos un "a" tentativo inicial : a=
1.5 cm ;
En (*): 0.25 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (9.42 - 1.5/ 2 )
As =
0.763
2
cm /m
As en (**) : a=
0.763x4200 0.85 x 280 x 100
a=
0.135
cm
un ɸ =
0.9
; b=
100
cm
=
Nuevo "a" en (*) 0.25 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (9.42 - 0.13/ 2 )
As =
2
cm /m
0.707
Nuevo "As" en (**) 0.707x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.125
cm
Queda
Que con Acero de Refuerzo de di ámetro :
ɸ
=
"
1/2
=
1.270
cm
==> A ɸ =
y cuya área de vari l l a es :
cm
1.27
As (cm2) ----------1 (m)
Es decir la se paración ''s''calculada para un ɸ = 1.27 cm es :
Aɸ (cm2) ----------s s=
Aɸ
1.267
=
As
s=
O sea :
1.7908
m
=
179.082
cm
1/2
"@
(m)
0.707
179.082
ɸ
=
2
1/2
cm
"@
179.08
cm
<>
ɸ
7.00
cm
As nuevo=
As nuevo=
As nuevo=
Aɸ s nuevo
1.267 0.07
18.097
2
cm /m
OK!!, Refuerzo ade cuado, verificar cuantía
1.56 m
Veri fi camos el momento que s e pres enta en una s ecci ón a
del borde l ibre.
<
Long. Transición = 3.50 m
El espes or de la cáscara en es e punto es:
Es pes or cá s ca ra
De l a geometría :
7.0 cm
t - (7 cm )
=
14 cm - 7 cm
3.5 m - 1.56 m 3.50 m
3.50 m Long. Transición t
1.56 m t =
7
+
7
3.50
-
1.56
3.50 m 14.00 cm Es pes or us ua l mente dobl e
El peralte efectivo para es te espes or de
t =
7.0 cm
10.88
cm
que requiere de 1 sol a capa de refuerzo: Recubrimiento + Dist. Centroide a Refuerzo = 2.50 cm
d=
10.88
-
d=
8.38
cm
2.50
=
8.38
El Momento de fl exión último es : Mu =
Mɸ (2.75)
x
Mu =
110.7
x
Pu P
492.00
=
171.319
318.00
Mu = 171.31896 kg-m =
0.171
tn-m
Determinamos el acero mediante iteraciones con estas dos fórmulas :
Mu = ɸ.As.fy.(d - a/2) Despejando As: Mu
As =
--- (*)
ɸ. fy . (d - a/2)
y As . fy
a=
--- (**)
0.85 . f'c . b Damos un "a" tentativo inicial : a=
1
cm ;
En (*): 0.171 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (8.38 - 1/ 2 )
As =
0.575
2
cm /m
As en (**) : 0.575x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.101
cm
Nuevo "a" en (*) 0.171 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (8.38 - 0.1/ 2 )
As =
0.544
2
cm /m
un ɸ =
0.9
; b=
100
cm
=
Nuevo "As" en (**) 0.544x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.096
cm
Queda
Que con Acero de Refue rzo de diá metro :
ɸ
=
"
1/2
=
1.270
cm
==> A ɸ =
y cuya á rea de va ri l l a es :
cm
1.27
As (cm2) ----------1 (m)
Es decir la se paración ''s''calculada para un ɸ = 1.27 cm es :
Aɸ (cm2) ----------s s=
Aɸ
1.267
=
As
s=
O sea :
2.3286
m
=
232.856
cm
1/2
"@
(m)
0.544
232.856
ɸ
=
2
1/2
cm
"@
232.86
cm
<>
ɸ
8.00
cm
As nuevo=
As nuevo=
As nuevo=
Aɸ s nuevo
1.267 0.08
15.835
2
cm /m
OK!!, Refuerzo ade cuado, verificar cuantía
2.08 m
Verificamos el momento que se presenta en una se cción a
<
del borde libre.
Long. Transición = 3.50 m
El espes or de la cáscara en es e punto es:
Es pes or cá s ca ra
De l a geometría :
7.0 cm
t - (7 cm )
=
14 cm - 7 cm
3.5 m - 2.08 m 3.50 m
3.50 m Long. Transición t
2.08 m t =
7
+
7
3.50
-
2.08
3.50 m 14.00 cm
t =
9.84
cm
t =
9.84
cm
Espesor usualmente doble \
El peralte efectivo para es te espes or de
7.0 cm
que requiere de 1 sol a capa de refuerzo: Recubrimiento + Dist. Centroide a Refuerzo = 2.50 cm
d=
9.84
-
d=
7.34
cm
2.50
=
7.34
=
90.36942
El Momento de fl exión último es : Mu =
Mɸ (3.67)
x
Mu =
58.4
x
Mu =
Pu P
492.00 318.00
90.36942 kg-m =
0.090
tn-m
Determinamos el acero mediante iteraciones con estas dos fórmulas :
Mu = ɸ.As.fy.(d - a/2) Despejando As: Mu
As =
--- (*)
ɸ. fy . (d - a/2)
y As . fy
a=
--- (**)
0.85 . f'c . b Damos un "a" tentativo inicial : a=
2
cm ;
En (*): 0.09 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (7.34 - 2/ 2 )
As =
0.377
2
cm /m
un ɸ =
0.9
; b=
100
cm
=
As en (**) : 0.377x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.067
cm
Nuevo "a" en (*) 0.09 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (7.34 - 0.07/ 2 )
As =
2
cm /m
0.327
Nuevo "As" en (**) 0.327x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.058
cm
Queda
Que con Acero de Refuerzo de di ámetro :
ɸ
1/2
=
=
"
1.270
cm
==> A ɸ =
y cuya área de vari l l a es :
cm
1.27
As (cm2) ----------1 (m)
Es decir la se paración ''s''calculada para un ɸ = 1.27 cm es :
Aɸ (cm2) ----------s s=
Aɸ
1.267
=
As
s=
O sea :
3.8729
m
=
387.293
cm
1/2
"@
(m)
0.327
387.293
ɸ
=
2
1/2
cm
"@
387.29
cm
<>
ɸ
10.00
cm
As nuevo=
As nuevo=
As nuevo=
Aɸ s nuevo
1.267 0.10
12.668
2
cm /m
OK!!, Refuerzo ade cuado, verificar cuantía
0.00 m
Veri fi camos el momento que s e pres enta en una s ecci ón a
del borde l ibre.
El espes or de la cáscara en es e punto es:
Es pes or cá s ca ra
De l a geometría :
7.0 cm
t - (7 cm )
=
14 cm - 7 cm
3.5 m - 0 m 3.50 m
3.50 m Long. Transición t
0.00 m t =
7
+
7
3.50
-
0.00
3.50 m 14.00 cm Es pes or us ua l mente dobl e
El peralte efectivo para es te espes or de
t =
7.0 cm
14.00
cm
que requiere de 1 sol a capa de refuerzo: Recubrimiento + Dist. Centroide a Refuerzo = 2.50 cm
d=
14.00
-
d=
11.50
cm
2.50
=
11.50
=
66.92394
El Momento de fl exión último es : Mu =
Mɸ (Borde)
x
Mu =
43.3
x
Pu P
492.00 318.00
Mu = 66.923936 kg-m =
0.067
tn-m
Determinamos el acero mediante iteraciones con estas dos fórmulas :
Mu = ɸ.As.fy.(d - a/2) Despejando As: Mu
As =
--- (*)
ɸ. fy . (d - a/2)
y As . fy
a=
--- (**)
0.85 . f'c . b Damos un "a" tentativo inicial : a=
1
cm ;
En (*): 0.067 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (11.5 - 1/ 2 )
As =
0.161
2
cm /m
un ɸ =
0.9
; b=
100
cm
=
As en (**) : 0.161x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.028
cm
Nuevo "a" en (*) 0.067 x ( 10^5)
As =
0.9x 4200x (11.5 - 0.03/ 2 )
As =
2
cm /m
0.154
Nuevo "As" en (**) 0.154x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.027
cm
Queda
Que con Acero de Refuerzo de di ámetro :
ɸ
=
"
1/2
=
1.270
cm
==> A ɸ =
y cuya área de vari l l a es :
cm
1.27
As (cm2) ----------1 (m)
Es decir la se paración ''s''calculada para un ɸ = 1.27 cm es :
Aɸ (cm2) ----------s s=
Aɸ
1.267
=
As
s=
O sea :
8.2181
m
=
821.805
cm
1/2
"@
(m)
0.154
821.805
ɸ
=
2
1/2
cm
"@
821.81
cm
<>
ɸ
35.00
cm
As nuevo=
As nuevo=
As nuevo=
Aɸ s nuevo
1.267 0.35
3.619
2
cm /m
OK!!, Refuerzo ade cuado, verificar cuantía
Examinemos ahora lo que resi ste la s ección más a llá de la "transición", con una sól a capa de armadura mínima :
As min = ρmin x b x d
ρmin =
0.0018
As min = 0.0018 x 100 x (7 - 2.5) As min =
2
cm /m
0.810
Que con Acero de Refuerzo de di ámetro :
ɸ
=
"
3/8
=
0.953
cm
==> A ɸ =
y cuya área de vari l l a es :
cm
0.71
2
Es decir la se paración ''s''calculada para un ɸ = 0.9525 cm es:
s=
Aɸ
0.713
=
As
s=
O sea :
=
0.8797
m
=
87.970
cm
3/8
"@
0.810
87.970
ɸ
cm
"@
3/8
87.97
cm
<>
ɸ
85.00
cm
Aɸ
As 1=
s nuevo
0.713
As 1 =
0.85
As 1 =
0.838
2
cm /m
OK!!, Refuerzo ade cuado, verificar cuantía
Pero el Regl amento Nacional de Edificaciones i ndica que el espaciamie nto máximo entre varilla s para armaduras secundarias (zonas de esfuerzos de compresión y momentos mínimos), es: S ma x = 5 t Smax = 5 x ( 7 )
<
Smax = 35 cm
s=
85.00
cm
Por lo tanto : s=
35
cm
Quedando entonces :
ɸ
3/8
"@
35.00
cm
As
As min nuevo =
min nuevo =
Aɸ s nuevo
0.713 0.35
As min nuevo =
As min =
2.0359
2
cm /m
Para repartir el acero mínimo de refuerzo hal lado en el paso anterior fuera de l a l ongitud de transi ción, se procede como si gue :
As min =
d=
7.0 cm 2
cm /m
0.953 cm
-
=
2
d=
Vemos que :
2
2.0359
d = t/2 - ɸ/2
t/2
3.02 cm b = 100
;
3.02 cm
ɸ = 0.9
(tracción)
;
b=
100 cm
"b", " f'c ", "fy", "As min" en : As . fy
a=
0.85 . f'c . b
2.0359x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
0.3593
cm
"As min" , "d", "fy", "ɸ", "a" en : Mu
As =
==>
Mu = ɸ. fy . (d - a /2) . As
ɸ. fy . (d - a/2)
Mu = 0.9x4200 x ( 3.02 - 0.3593 / 2 ) x 2.0359
Mu = 21887.2177 kg-cm =
218.872177 kg-m
Pero: Mɸ =
Mu x
P
==>
x
Mɸ = 218.8721768
Pu
318.00 492.0
Mɸ = 141.466 kg-m
Interpolando es te valor de M ɸ en la tabla N° 03 (M ɸ), determinamos que este momento se presenta en Sx : Pa ra :
Sx =
s1
( Mɸ2 > Mɸ > Mɸ1
Mɸ2 - M ɸ
+
ó
Mɸ1 > Mɸ > Mɸ2 )
x
(s 2 - s1 )
Mɸ2 - M ɸ1
(s2 > s >s1 )
y
Donde : Mɸ2, Mɸ1 : Valores de la tabla N° 04: "Mɸ" ; s 2 : Longitud de arco correspondiente a M ɸ2 s 1 : Longitud de arco correspondiente a M ɸ1
Buscando y Reemplazando valores tenemos : Sx =
2.60
21.445
+
21.445
Sx =
\
-0.504
-
141.4662 1.34
x(
3.12
-
2.60
)
m
A partir de -0.504 m del borde hacia la cúspide de l a cúpula s e usa rá la mal la mínima.
Para determinar el Momento y por ende el refuerzo, donde termina la transición (3.5 m), interpolamos como sigue:
Pa ra :
( Mɸ2 > Mɸ > Mɸ1
ó
Mɸ1 > Mɸ > Mɸ2 )
y
(s2 > s >s1 )
(s 2 >s1 )
Donde: Mɸ =
Mɸ1
s - s1
+
x
s 2 - s 1
Mɸ2,Mɸ1 : Valores de la tabla N° 04: "Mɸ" ;
( Mɸ2 - M ɸ1 )
Mɸ2 > Mɸ > Mɸ1
s 2 : Longitud de arco correspondiente a M ɸ2 s 1 : Longitud de arco correspondiente a M ɸ1 s : Longitud de arco correspondiente a M ɸ
Buscando y Reemplazando valores tenemos : Mɸ =
110.73
-
3.500
+
2.079
1.56
x(
1.56
-
58.41
110.7
)
Mɸ = -84.67919 kg-m
Pero : Mu =
Pu
Mɸ x
==>
Mu = -84.6791866
P
x
492.00 318.00
Mu = -131.01 kg-m
El peralte efectivo para es te espes or de
7.0 cm
que requiere de 1 sol a capa de refuerzo: Recubrimiento + Dist. Centroide a Refuerzo = 2.50 cm
d=
7.00
-
d=
4.50
cm
2.50
=
4.50
Determinamos el acero mediante iteraciones con estas dos fórmulas :
Mu = ɸ.As.fy.(d - a/2)
Despejando As: Mu
As =
--- (*)
ɸ. fy . (d - a/2)
y As . fy
a=
--- (**)
0.85 . f'c . b Damos un "a" tentativo inicial : a=
1
cm ;
En (*): -131.013 x ( 10^2)
As =
0.9x 4200x (4.5 - 1/ 2 )
As =
-0.87
2
cm /m
As en (**) : -0.866x4200
a=
0.85 x 280 x 100
a=
-0.153
cm
Nuevo "a" en (*) As =
-131.013 x ( 10^2) 0.9x 4200x (4.5 - -0.15/ 2 )
As =
-0.757
2
cm /m
un ɸ =
0.9
; b=
100
cm
(s 2 >s1 )
