CABLES
Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras obras de ingeniería. Pensemos en los puentes colgantes, colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, eléctrica, los cables para postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc. Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a tracción del elemento. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar a una parábola. Para el análisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que en toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y siempre tangenciales a la curva del cable.
La forma de la catenaria se puede suponer parabólica siempre y cuando sea pequeña. (¿Qué tan pequeña?, se justifica hacer un estudio de la flecha en función de la longitud cuando un cable está sometido a carga uniforme en proyección horizontal y compararla con la flecha para peso propio para poder sacar un límite en esta relación). 1. Cables sometidos a cargas puntuales
Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicación.
¿Por qué se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se trabaja con cables? Siempre la reacción será contraria a la acción ejercida por el cable, ley d e acción y reacción, por lo tanto solo se ejercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del último tramo de los cables. Con la articulación como apoyo se asegura que la reacción tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas. Note que la dirección de las reacciones depende de la geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.
Si en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la geometría del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal. Para este caso especial la cuarta ecuación sería: y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan en función de θ.
Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e i nversamente proporcional a la flecha. En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una d e las flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el cable a plicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte.
De esta manera se despeja la componente horizontal de la reacción. Tenga en cuenta que para apoyos alineados horizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio externo. A continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el método de los nudos. En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo d e cable resulta una incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de este.
Se deja al lector efectuar este cálculo por nudos. Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha:
Este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de P.
(Ecuación 1) Cortando por m y realizando equilibrio en la sección izquierda:
Donde m. Despejando Ay*X
representa los momentos de las cargas externas con respecto al punto
(Ecuación 2) Igualando la ecuación 1 por X con la ecuación 2:
Donde B se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde el extremo izquierdo del cable. Note que en esta ecuación no están involucradas las reacciones verticales, solo las cargas externas. Esta ecuación relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: ·”En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensión por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que actúa en esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada”.
En el caso de que el apoyo en B esté por encima del apoyo A, la ecuación
se conserva. (Realice equilibrio y despeje)
Para despejar H o Ym de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. En el diseño de estructuras con cables, el diseñador tiene la opción de fijar la flecha deseada o fijar la componente horizontal de la tensión, la cual permanece constante en toda la longitud. EJERCICIO (Ejercicio 5-9 del libro de Hibbeler). Determine la fuerza P necesaria para mantener el cable en la posición mostrada. Calcule también la flecha Y B y la tensión máxima del cable.
Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones máximas serán aquellas cuya componente vertical sea máxima, esta se presentará siempre en los apoyos. Como una de las incógnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente horizontal.
Aplicando el método de los nudos podemos despejar Ay : Equilibrio en el nudo B por equilibrio en A, T BAy =Ay=4kN si tomamos momentos en C podemos expresar Ax en función de Ay conocida:
Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P: Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal: Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E:
Aplicando de nuevo la ecuación del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese punto:
La tensión máxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendrá mayor reacción que el apoyo A, ¿por qué?
2. Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal
Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este. Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la pará bola en el centro o considerarlo desde un extremo.
a.
Desde el centro
Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:
Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola. Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos:
, en esta ecuación podemos observar que el momento máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada. Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada:
El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:
La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:
La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H. b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente:
Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos con respecto a m:
Igualando Ay y despejando la H*ym
Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida desde el extremo izquierdo. Para xm=L/2
Que corresponde al valor del momento máximo desarrollado en una viga horizontal con la misma carga w. La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo izquierdo:
Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa y m en función de H, se deriva e iguala a cero:
Constituye la tangente en cualquier punto del cable Para dy/dx=0 Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o y m. Longitud del cable necesaria:
Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos: Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical:
Se conoce la expresión dy/dx
Reemplazando:
Integrando esta función se puede obtener la longitud del cable. En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de dy/dx es:
dx Haciendo una sustitución de variables:
, donde X es el valor de la proyección horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero. En el libro “Mecánica vectorial para ingenieros, estática” de Beer, Johnston y Eisenberg se plantea
otra solución para esta integral expandiendo el radical por medio del teorema del binomio. Esta solución está en términos de la flecha máxima y la distancia X desde el punto de flecha máxima a uno de los apoyos. Ejemplo: Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm 2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable. Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón.
En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable. La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros. Reacciones verticales:
Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión:
Área de cable mínima:
3. Caso de cargas distribuidas a lo largo de la longitud del cable.
La tensión en cualquier punto de la cuerda es: Haciendo w/H=c, una constante Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que relacione la longitud S de un tramo de cable con su proyección horizontal x
Integrando esta ecuación de 0 a S, se obtiene
Y
Integrando la función de y se obtiene (ver desarrollo en el libro de Beer, Johnston, Eisenberg
Que corresponde a la ecuación de una catenaria con eje vertical.
http://w3.mecanica.upm.es/~goico/mecanica/libro/cap14.pdf
Obtención de la catenaria conocidos los puntos de amarre y la longitud [Procedimiento][11/07/2006 ]
Denominaremos A y B a los puntos de amarre de la catenaria, cuya posición es conocida. Por otro lado, SAB será la longitud de la catenaria, también conocida, entre dichos puntos. Utilizaremos un sistema de referencia con origen en el punto A, tal como se muestra en la siguiente figura, de este modo, el desnivel entre los dos puntos de amarre será igual a yB (en módulo) y, la distancia horizontal entre dichos puntos, XB :
Al no estar (en general) los dos puntos de amarre a la misma altura, no se conoce la situación de los ejes reducidos (ver entrada catenaria). Por ello, habrá que utilizar la ecuación de la catenaria referida a unos ejes cualesquiera.
Así pues, para que dicha ecuación esté definida, es necesario obtener 3 constantes: a, x0 e y0 . Es decir, hay que plantear 3 ecuaciones para obtener las anteriores incógnitas. La primera ecuación es la condición de paso de la catenaria por el punto A:
En el segundo término, se ha utilizado el hecho de que el coseno hiperbólico es una función par. La segunda ecuación es la condición de paso de la catenaria por el punto B:
La tercera, y última, ecuación será la de la longitud del cable. Para ello, se ha de trabajar con los ejes reducidos, ya que en dichos ejes se demostró la ecuación de la longitud de la catenaria (ver entrad alongitud de la catenaria ). Pues bien, utilizando los ejes reducidos mostrados en la figura inicial, se tiene que la longitud SAB vendrá dada por:
Donde O es el punto más bajo de la curva de equilibrio. En el primer sumando de esta ecuación, hay que tener la precaución de introducir x0 con signo positivo, ya que el seno hiperbólico es una función impar. De este modo, se tiene un sistema no lineal formado por 3 ecuaciones con 3 incógnitas ( x0, y0 y a). A continuación, se va a trabajar con dichas ecuaciones de tal modo que se llegue a una ecuación con una sola incógnita (el parámetro de la catenaria, a).
En primer lugar, restaremos, a la segunda ecuación, la primera ecuación:
A este resultado, le sumaremos la tercera ecuación (longitud del cable):
Utilizando las definiciones de las funciones hiperbólicas seno y coseno (ver entrada catenaria), la anterior ecuación puede escribirse como sigue:
Análogamente a como se ha obtenido este resultado, puede llegarse al siguiente (restando la longitud del cable, en lugar de sumarla):
Finalmente, multiplicando las dos últimas ecuaciones obtenidas, llegamos a una ecuación con una sola incógnita, a:
La última igualdad puede comprobarse a partir de la definición del seno hiperbólico (ver entrada catenaria). La ecuación obtenida es una ecuación trascendente , es decir, una ecuación no lineal que no tiene solución analítica y que debe resolverse por métodos numéricos. Para obtener gráficamente el parámetro a, dicha ecuación puede escribirse de la siguiente forma:
Realizando el siguiente cambio de variable:
La anterior ecuación queda como sigue:
Siendo k una constante. Es decir, podremos obtener el valor del parámetro de la catenaria, a, a partir de la intersección de una recta que pase por el origen, y con pendiente conocida, y la función seno hiperbólico. Por ejemplo, para el caso de que la longitud del cable fuera de 50 m, la distancia horizontal entre los puntos de amarre igual a 30 m, y el desnivel entre ellos de 10 m, tendríamos la siguiente solución gráfica:
A partir del punto de intersección, obtendríamos el valor del parámetro de la catenaria:
Una vez obtenido el valor de a, obtendríamos el valor de la constante x0 restando las ecuaciones de condición de paso por los puntos de amarre para eliminar a y0, con lo que habría que resolver otra ecuación trascendente. Finalmente, y0 se obtendría a partir de la condición de paso por un punto de amarre. Podría haberse obtenido el siguiente forma:
solución escribiendo
la ecuación trascendente de la
De este modo, se transforma el problema de obtener la intersección de dos curvas, en uno del tipo resolución de la ecuación f(x) = 0. Esta ecuación podría resolverse gráficamente como la anterior, o empleando métodos numéricos, por ejemplo, el método de la bisección.
