UNIVERSIDAD DE EL S SALVA ALVADOR DOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA I CICLO II, AÑO 2013
DISCUSIÓN DE PROBLEMAS No UNIDAD VII! DINÁMICA DE ROTACIÓN
.
A " DEFINICIONES Y CONCEPTOS No#$! El estudiante debe comprender el significado que se le da en Física a cada uno de los términos listados a continuación, ya que son el fundamento para resolver las secciones B, C y D.
D%&'('), %*+'-$) o -o.%(#$) o/ /''%(#%/ #).'(o/ . Energía cinética de rotación #. $nercia rotacional (. Equilibrio rotacional +. $nercia rotacional de un sistema de partículas -. $nercia rotacional de un cuerpo rígido . &eorema de los e'es paralelos
!. "omento de torsión o torca %. &raba'o rotacional ). *otencia rotacional . Cantidad de movimiento angular . Conservación de la cantidad de
movimiento angular
B OPCIÓN M4LTIPLE /
0na rueda e1perimenta un torque ba'o la acción de una fuer2a de una magnitud dada. El torque ser3 m31imo si la fuer2a se aplica4 a/ Cerca del e'e, ale'3ndose radialmente. b/ *ró1imo al borde, ale'3ndose radialmente. c/ Cerca del e'e, paralela a una línea tangente a la superficie. d/ En el borde, tangente al borde. e/ Cerca del borde, perpendicular a éste.
#/
0na sola fuer2a act5a sobre una partícula situada en el punto 1 sobre el e'e positivo de las 1. El torque resultante con respecto al origen es en la dirección 2 negativa. 6a fuer2a podría ser4 a/ En la dirección positiva de las y. b/ En la dirección negativa de las y. c/ En la dirección positiva de las 1. d/ En la dirección negativa de las 1. e/ En la dirección negativa de las 2.
(/
0n torque neto aplicado a un ob'eto rígido siempre tiende a producir4 a/ aceleración lineal b/ equilibrio rotacional c/ aceleración angular d/ inercia rotacional
+/
0na piedra de #. 7g se ata a una cuerda de .- m de longitud y se le 8ace describir un círculo con una rapide2 angular de # rad9s. El torque neto de la piedra con respecto al centro del círculo en :.m, es4 a/ b/ . c/ # d/ !# e/ +
2
-/
;8ora, la piedra del problema anterior describe un círculo vertical
/
0n bloque de #. 7g arranca desde el reposo sobre el e'e >1 a (. m del origen, 8asta llegar a una aceleración dada por a ? <+. m9s/ i = <(. m9s/ j . El torque relativo al origen, actuando sobre el bloque, al final de #. s es4 a/ b/ =% :.m k $
$
$
!/
%/
)/
c/ d/
>#+ :.m k @ ++ :.m k
e/
>++ :.m k
$
$
$
0na polea de radio A puede girar libremente alrededor de un e'e fi'o 8ori2ontal. e 8ace pasar sobre la polea una cuerda que tiene en un e1tremo una masa m y en el otro e1tremo una masa m #. 6a porción de la cuerda unida a m tiene una tensión & y la porción unida a m # una tensión & #. 6a magnitud del torque e1terno total, con respecto al centro de la polea, actuando sobre las masas y la polea, considerados como un sistema es4 a/
<& = &#/A d/ m @ m# gA > <& = &#/A e/ m @ m# gA > <& > &#/A Cuatro partículas idénticas, cada una de masa m, est3n arregladas en el plano 1=y tal y como se muestra en la figura y est3n conectadas por barras ligeras para formar un cuerpo rígido. Si m ? #. 7g y a ? . m. 6a inercia rotacional de este arreglo con respecto al e'e y es4 a/ +. 7g.m # b/ # 7g.m# c/ ). 7g.m # d/ +.% 7g.m #
&res ob'etos idénticos, cada uno de masa ", est3n fi'os a una barra sin masa de longitud 6, tal como se muestra en la figura. 3
6a inercia rotacional con respecto a uno de los e1tremos de la barra en este arreglo, es de4 a/ "6#9# b/ "6# c/ ("6#9# d/ -"6#9+ e/ ("6# / 6a inercia rotacional de una rueda con respecto a su e'e, no depende de4
a/ El di3metro. b/ 6a masa. c/ 6a distribución de la masa. d/ 6a rapide2 de rotación. e/ 6a densidad del material. / *ara un cuerpo en rotación, es correcto afirmar que4
a/ 6a cantidad de movimiento angular se conserva siempre. b/ 6a energía cinética de rotación est3 dada por $ #. c/ El traba'o desarrollado es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular. d/ 6a torca es igual al producto del momento de inercia por la aceleración tangencial. #/ De las siguientes afirmaciones seleccione la correcta4
a/ 6a energía cinética de un cuerpo rígido girando alrededor de un e'e depende 5nicamente de la masa y de la rapide2 angular del cuerpo b/ i la cantidad de movimiento angular es constante, la torca neta de las fuer2as que act5an sobre el cuerpo debe de ser cero. c/ 6a torca es igual al cambio de la energía cinética de rotación d/ 6a cantidad de movimiento angular se mide en 7g m9s (/ Dos partículas de masas m ? . 7g y m # ? +. 7g est3n unidas por una varilla ligera y rígida de .( m de longitud. El momento de inercia del sistema respecto a un e'e perpendicular que pase por m en 7g m # es4 a/ .-+ b/ .( c/ .#-# d/ .#
+/ 0na varilla delgada uniforme de masa " y longitud 6 tiene una inercia de rotación $
? 9# "6 cuando un e'e de rotación pasa por su centro de masa. *ara un e'e de rotación paralelo que pase por uno de sus e1tremos, su inercia de rotación ser34 C"
#
4
a/ b/ c/ d/
$ ? 9# "6# $ ? (9# "6# $ ? 9( "6# $ ? "6#
-/ *ara un cilindro sólido < $ ? " A # / que rueda sin resbalar, la relación entre su energía
cinética de traslación y su energía cinética de rotación < G tras 9 Grot/ es4 a/ #. b/ .- c/ .!d/ . / 0na esfera y un cilindro de igual masa y radio se sueltan simult3neamente desde el reposo
en un mismo plano inclinado y ruedan sin desli2ar a lo largo del plano inclinado. Entonces, podemos afirmar que4 a/ 6a esfera alcan2a el nivel inferior primero porque tiene su inercia m3s grande b/ El cilindro alcan2a el nivel inferior primero porque tiene mayor energía cinética rotacional c/ 6os dos llegan al nivel inferior 'untos. d/ :inguno de los anteriores literales es cierto. !/ 0na esfera uniforme, un aro y un disco uniforme, todos con la misma masa y radio e1terno,
arrancan con la misma velocidad y ruedan sin desli2arse a lo largo de un plano inclinado idéntico. Hrdene los ob'etos de acuerdo al orden en que ellos llegan al final del plano, del primero al 5ltimo. a/ ;ro, disco, esfera b/ Disco, aro, esfera c/ Esfera, aro, disco d/ Esfera, disco, aro %/ 0n aro tiene una masa de # g y radio #- cm, el aro rueda sin desli2arse a lo largo de
una superficie 8ori2ontal a -. m9s. u energía cinética total en 'oules es4 a/ #.b/ -. c/ . d/ #-.
)/ Dos cilindros uniformes tienen masas diferentes e inercia de rotación distintas. ;mbos
arrancan simult3neamente desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado y ruedan sin desli2arse 8acia aba'o del plano. El cilindro que logra llegar primero es4 a/ El de mayor masa. b/ El de menor masa. c/ El que tiene la mayor energía cinética rotacional. 5
d/ :inguno, porque llegan 'untos. #/ 0na varilla puede girar alrededor de su centro. 0na fuer2a de - : es aplicada a + m del e'e
de rotación
. -. %.! -. #.
C 5 CUESTIONARIO / Ie puede considerar a la masa de un cuerpo, como sí se encontrara concentrada en su centro de masa, con el propósito de calcular su inercia de rotaciónJ #/ IKué ubicación y dirección deber3 tener un e'e que atraviesa un cubo 8omogéneo para que su inercia de rotación sea mínimaJ (/ i dos discos circulares del mismo peso y espesor est3n construidos de metales que tienen densidades diferentes. IKué disco tiene la inercia de rotación m3s grande con respecto a su e'e centralJ +/ En la figura se indican las secciones transversales de cinco sólidos. Estas tienen la misma altura y el mismo anc8o m31imo. 6os e'es de rotación son perpendiculares a las secciones en los puntos que se indican. 6os sólidos tienen masas iguales. ICu3l de ellos tiene la inercia de rotación m3s grande con respecto a un e'e que pasa por su centro de masaJ ICu3l la menorJ
-/
0na esfera maci2a de madera rueda 8acia aba'o, primero lo 8ace sobre un plano inclinado y después sobre otro plano inclinado de la misma altura, pero de diferente 3ngulo de inclinación. I6legar3 a la parte inferior con la misma rapide2 en ambos casosJ I&ardar3 m3s en rodar en un plano inclinado que en el otroJ si su respuesta es sí en cualquiera de las preguntas, e1plique por qué. / &res cuerpos rígidos 8omogéneos
6
!/ 0sted est3 mirando la rueda de un automóvil que se traslada con rapide2 constante. ;lguien le dice4 LEl punto m3s alto de la rueda se traslada con una rapide2 el doble que el e'e, pero el punto m3s ba'o no se mueve en absolutoM, I*uede 0sted aceptar esta proposiciónJ E1plique por qué sí o por qué no. %/ :ormalmente, Cuando un clavadista quiere 8acer un giro en el aire, recoge sus piernas sobre su pec8o. I*or qué esto lo 8ace girar m3s r3pidoJ IKué debe 8acer para girar m3s lentamenteJ )/ 0n volante giratorio s5bitamente se rompe en muc8os fragmentos. Dibu'e las trayectorias de algunos de estos. / 6os motores de combustión interna usados en ve8ículos tienen volantes
D PROBLEMAS PROPUESTOS Co(#%('6o 71 E(%)8$ -'(#'-$ 6% )o#$-'9( % '(%)-'$ )o#$-'o($ / 0na tornamesa antigua de fonógrafo
#/ 6as masas y coordenadas de cuatro partículas son las siguientes4 m ? .- 7g, R ? #. cm y S ? #. cmQ m # ? .#- 7g, R # ? y S # ? +. cmQ m ( ? .#- 7g, R ( ? −(. cm y S( ? −(, cmQ m+ ? .( 7g, R + ? −#. cm y S+ ? +, cm. Calcule la inercia rotacional de este con'unto de partículas con respecto a los e'es a/ R, b/ S y c/ T.
(/ El centro de masa de una pelota de béisbol lan2ada se mueve a (% m9s. 6a pelota tiene un radio de (.% cm y gira en torno a un e'e que pasa por su centro de masa con una rapide2 angular de #- rad9s. Calcule la relación entre la energía cinética rotacional y la energía cinética trasnacional, asuma que la pelota es 8omogénea.
Co(#%('6o 72 T%o)%.$ 6% o/ %:%/ +$)$%o/ +/ Calcule el momento de inercia de un aro
$?
#
"6# y b/ ; partir de esta
5ltima e1presión obtener el momento de inercia alrededor de un e'e perpendicular a uno de sus e1tremos.
Co(#%('6o 73 Mo.%(#o 6% #o)/'9( o #o)-$ %/ Dadas las magnitudes vectoriales4
r ? 1 i > y j > 2 k $
$
$
y
F ? F1 i > F y j > F 2 k $
$
$
a/
Determine la torca entonces,
? r 1 F Q b/ Demuestre que si r y F quedan en un plano dado, no tiene componentes en ese plano.
)/ 6as fuer2as aplicadas a la rueda que se muestra en la figura son de magnitud F ? : y F # ? :, y el radio de ésta es A ? - cm calcular el momento de torsión neto
8
/
0n ventilador de tec8o funciona .- 8p para mantener una frecuencia de rotación de - rpm IKué torca e'erce el motorJ
11) Calcular el momento de torsión neto
Co(#%('6o 7; Mo.%(#o 6% #o)/'9( < $-%%)$-'9( $($) 6% ( -%)+o )8'6o #/
0na regla graduada de m se sostiene verticalmente con un e1tremo sobre el piso y después se de'a caer. Determinar la rapide2 del e1tremo superior cuando llega al piso, suponiendo que el e1tremo que se encuentra sobre el piso no se resbala.
(/ e construye un cuerpo rígido usando tres varillas delgadas idénticas unidas entre sí en forma de una letra W. El cuerpo gira libremente alrededor de un e'e 8ori2ontal que pasa por una de las piernas de la W. El cuerpo se de'a caer del reposo en la posición en la que el plano de la W es 8ori2ontal. ICu3l es la rapide2 angular del cuerpo cuando el plano de la W es verticalJ
+/
0na esfera 8ueca gira alrededor de un e'e vertical montado sobre un co'inete sin fricción seg5n la figura. ;lrededor del ecuador de la esfera pasa una cuerda ligera, la que también pasa por una polea unida en su e1tremo inferior a un pequeOo ob'eto que puede caer ba'o la influencia de la gravedad. ICu3l es la rapide2 del ob'eto después de caer una distancia 8 desde el reposoJ 0se los métodos de c3lculo basados en la energía.
9
-/ En la figura, el cilindro y la polea giran sin fricción en torno a e'es 8ori2ontales estacio = narios que pasan por su respectivo centro. e enrolla una cuerda ligera en el cilindro, la cual pasa por la polea y tiene una ca'a de (. 7g suspendida de su e1tremo libre. :o 8ay desli2amiento entre la cuerda y la superficie de la polea. El cilindro uniforme tiene masa de -. 7g y radio de +. cm. 6a polea es un disco uniforme con masa de #. 7g y radio de #. cm. 6a ca'a se suelta desde el reposo y desciende mientras la cuerda se desenrolla del cilindro. Calcule la rapide2 que tiene la ca'a cuando 8a caído .- m.
/
0na cuerda se enrolla alrededor de un disco uniforme de .#- m de radio y %. 7g de masa. El disco gira sin fricción alrededor de su e'e partiendo del reposo. El e1tremo de la cuerda se 'ala con una fuer2a constante de # :. *ara t ? #. s, después de que la fuer2a se aplica determine4 a/ 6a torca que la fuer2a e'erció sobre el disco. b/ 6a aceleración angular del disco. c/ 6a aceleración del e1tremo de la cuerda. d/ 6a velocidad angular del disco. e/ 6a velocidad del e1tremo de la cuerda. f/ 6a energía cinética del disco. g/ El traba'o reali2ado sobre el disco. 8/ El 3ngulo que el disco 8a girado. i/ 6a longitud mínima de cuerda que 'aló al disco.
Co(#%('6o 7= Mo>'.'%(#o/ 6% )o#$-'9( < #)$/$-'9( -o.?'($6o/ !/
0na esfera de radio +.!# cm rueda sin desli2ar 8acia arriba por un plano inclinado con el 3ngulo de (V. En la base del plano inclinado el centro de masa de la esfera tenía una rapide2 de traslación de -.% m9s. a/ IKué distancia recorrer3 la esfera 8acia arriba en el planoJ b/ ICu3nto tiempo le toma regresar al pie del planoJ c/ ICu3ntas rotaciones completa la esfera durante el via'e completoJ %/ *or cuestiones de estabilidad direccional, la bala disparada con un rifle adquiere una velocidad angular de giro en torno a su e'e, para lo cual se le 8acen surcos 8elicoidales al caOón. e dispara una bala de un rifle y sale con una velocidad traslacional de #% m9s y una rapide2 angular de #+! rev9s #. Considere la bala como un cilindro uniforme de (.% cm de longitud, .!) cm de di3metro y (.) g de masa. a/ Calcule la energía cinética de traslación de la bala, b/ determine la energía cinética de rotación, c/ IKué fracción de la energía es rotacionalJ
10
)/
0na pequeOa esfera rueda sin desli2arse en el interior de un 8emisferio, cuyo e'e de simetría es vertical. 6a esfera parte del borde superior desde el reposo a/ ICu3l es su energía cinética en el fondoJ IKué fracción de esta energía es de rotaciónJ ICu3l es de traslaciónJ b/ IKué fuer2a normal e'erce la pequeOa esfera sobre el 8emisferio en el fondoJ Considere que el radio de la esfera pequeOa es r, el del 8emisferio A y que m sea la masa de la esfera.
#/ 0na rueda de ()# : se desprende desde un camión en movimiento, rueda sin resbalar por una carretera y al llegar al pie de una colina est3 girando a -. rad9s. El radio de la rueda es de . m y su momento de inercia alrededor de su e'e de rotación es .%"A #. 6a fricción efect5a ( P de traba'o sobre la rueda al subir la colina 8asta parar a una altura 8 sobre el pie de la colina. Calcule 8. Dos cuerdas est3n enrolladas sobre un cilindro uniforme de longitud 6, radio A y masa ". 6os e1tremos de las cuerdas est3n fi'as en ganc8os en el tec8o. El cilindro se suelta desde el reposo 8ori2ontalmente con las cuerdas verticales tal como se muestra en la figura. ; medida que desciende el cilindro, demuestre que4 a/ 6a tensión en cada una de las cuerdas es un se1to del peso del cilindro. b/ 6a aceleración del centro de
21)
masa es <#g/9(, c/ 6a velocidad del centro de masa, X C" es ?
4 g ∆y 3÷
, donde ∆y es la
magnitud del despla2amiento del centro de masa desde que se movió el cilindro. Xerifique la respuesta
##/ 0na canica maci2a de masa m y radio r rueda sin desli2arse a lo largo de un canal de vuelta completa como se indica en la figura, 8abiendo partido del reposo desde un lugar de la sección recta del carril. a/ IDesde qué altura mínima sobre la parte inferior del carril se debe soltar la canica con el fin de que 'ustamente llegue a la parte m3s alta de la vueltaJ El radio de la vuelta es AQ suponga que A YY r. b/ i la canica se suelta desde A ICual es la componente 8ori2ontal de la fuer2a que act5a en el punto KJ
11
#(/ 0n automóvil tiene una masa total de ! 7g. ;celera desde el reposo 8asta + 7m98 en s. Cada rueda tiene una masa de (# 7g y un radio de giro de ( cm. Determine, para el intervalo de s a/ 6a energía cinética de rotación de cada rueda con respecto a su e'e, b/ 6a energía cinética total de cada rueda. c/ 6a energía cinética total del automóvil, despreciando la energía cinética de los pistones, e'es y otras partes que giran en su interior.
Co(#%('6o 7@ T)$?$:o < +o#%(-'$ %( % .o>'.'%(#o )o#$-'o($ #+/ 0n anillo con radio de (. m tiene una masa de - 7g. Aueda a lo largo de un piso 8ori2ontal de tal manera que su centro de masa tiene la rapide2 de .- m9s. IKué traba'o debe 8acerse para detenerloJ #-/
0n autob5s ecológico usa un volante para almacenar energía e impulsar al bus. En cada parada, este bus se conecta brevemente a una línea de corriente eléctrica dando energía a un motor eléctrico 8asta llevar al volante a ( rpm, i el volante es un disco de . m de radio y - 7g de masa, y el bus requiere un promedio de + 8p para propulsarlo a una rapide2 promedio de # 7p8, ICu3nto puede avan2ar con la energía cinética almacenada en el volanteJ
#/ 0n tiovivo
#!/ IKué potencia en 8p tiene un motor eléctrico que gira a ( rpm y genera un momento de torsión de +.( :.mJ #%/ 0n autob5s est3 diseOado para e1traer su potencia de un volante que se lleva a su m31ima rapide2 de ( rev9min por medio de un motor eléctrico. El volante es un cilindro sólido de 7g de masa y . m de di3metro. i el autob5s necesita una potencia promedio de . 7Z, Icu3nto debe girar el volanteJ
Co(#%('6o 7 C$(#'6$6 6% .o>'.'%(#o $($) 12
#)/ 0na partícula * con masa igual a #, 7g tiene la posición r y la velocidad V como se indica en la figura, sobre la partícula act5a una fuer2a F . los tres vectores quedan en un plano com5n. uponga que r ? (, m, X ? +. m9s y F ? #. :, Calcule4 a/ 6a cantidad de movimiento angular de la partícula. b/ 6a torca que act5a sobre la partícula. c/ ICu3l es la dirección de estos dos vectoresJ
(/ 0n ob'eto de #. 7g se mueve en un plano con una velocidad cuyas componentes son4 XR ? ( m9s, X S ? m9s cuando pasa por el punto
0na partícula de #.)( 7g se encuentra en R ? (. m, S ? %. m con una velocidad de
V
? <-
i = j / m9s. obre ella act5a una fuer2a de !. : en la dirección R negativa.
$
$
a/ ICu3l es la cantidad de movimiento angular de la partículaJ b/ IKué torca act5a sobre la partículaJ e/ ICon qué rapide2 cambia la cantidad de movimiento angular de la partícula con el tiempoJ
(#/ Dos poleas ; y B, forman un sistema al unirse con una banda, como se ve en la fig. El radio de B es el triple del de ;. ICu3l ser3 la relación de las inercias de rotación $ ;9$B a/ i ambas poleas tienen la misma cantidad de movimiento angular b/ í ambas poleas tienen la misma energía cinética de rotaciónJ
Co(#%('6o 7 Co(/%)>$-'9( 6% $ -$(#'6$6 6% .o>'.'%(#o 13
((/
0n volante gira con una rapide2 angular de % rev9min sobre una flec8a
(+/ 0na persona se encuentra sobre una plataforma sin fricción, girando a una velocidad angular de .## rev9s, sus bra2os est3n en cru2 y en cada mano sostiene una pesa tal como se muestra en la figura
(-/ 0n 8ombre parado sobre una plataforma giratoria sin fricción est3 girando con una rapide2 angular de . rev9minQ sus bra2os se encuentran e1tendidos y sostienen un peso en cada mano. Con los bra2os en este posición la inercia total de rotación del 8ombre, los pesos y la plataforma es de , 7g.m# í moviendo los pesos del 8ombre disminuye su inercia de rotación a #. 7g.m #. a/ ICu3l es la rapide2 angular que adquiere la plataformaJ b/ IEn qué porcenta'e aumenta su energía cinéticaJ (/ 6os bra2os estirados de un patinador que prepara un giro pueden considerarse como una varilla delgada que pivotea sobre un e'e que pasa por su centro
E" PROBLEMA RESUELTO 14
Calcular el momento de torsión neto
So-'9( El momento de torsión neto < / con respecto al punto o ser3 igual a la suma de los momentos producidos por cada una de las fuer2as con respecto a dic8o punto. ;sí4
ustituyendo los valores4
:.m 8acia adentro del plano de la p3gina.
DISCUSIÓN No SEMANA 1@ TIEMPO minutos
ACTIVIDAD El docente inicia la actividad dando lugar a la participación de los estudiantes. e recomienda el orden que se presenta en la columna de contenidos.
CONTENIDOS B4 . !, %, ), , , (,-, %, # C4 , #, (, +, -, , !, % D4 +, , #, #!, (+
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