Universidad Nacional de Ingenier Ingenie r´ıa Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Matem´ atica
Ciclo 2017-2
[Curso [Curso codigo: CM-322 CM-322 Introducc Introducci´ i´ on a las Estructuras Algebraicas] on 29 de noviembre noviembre.. [Prof: [Prof: Joe Palacios Palacios][Ayud ][Ayudant ante e Alumno: Alumno: Jhon Astoquillca] Astoquillca]
Sexta Sext a Pr´ actica acti ca Dirigi Dir igida da
√ √
1. Mostrar que el cuerpo Q[ 2, 3] es separable en Q 2. Un cuerpo es perfecto si toda extensi´ on on finita es una extensi´on on separable (a) Mostrar que todo cuerpo de caracter´ caracter´ıstica cero es perfecto (b) Mostrar que todo cuerpo finito es perfecto (c) Muestre que si E es E es una extensi´on on algebraica de un cuerpo perfecto F , F , entonces E es es perfecto 3. Mostrar que si α, si α, β F son F son ambos separables sobre F sobre F ,, entonces entonces α α si β = 0, son todas separables sobre F . F .
∈ ∈
α/β , ± β , αβ y α/β ,
4. Sea E Sea E una una extensi´on on algebraica de un cuerpo F cuerpo F .. Mostrar que el conjunto de todos los elementos de E de E que que son separables en F en F forman forman un subcuerpo de E de E , la clausura separable de F en E .
√ √
5. Mostrar que si K = Q( 2, 3) entonces K es K es una extensi´on on normal de Q 6. Mostrar que las siguientes condiciones en un cuerpo F son F son equivalentes: (a) Todo polinomio no constante f F [ F [x] tiene tie ne ra´ız ız en F . F .
∈ ∈ (b) Todo polinomio no constante f ∈ F [x] descompone en F . F . ∈ F [ (c) Todo polinom p olinomio io irreductible irreductible en f ∈ ∈ F [ F [x] tiene grado uno.
(d) No existen extensiones algebraicas cuerpo de F F (excepto F F mismo). (e) Existe un subcuerpo K subcuerpo K de F tal F tal que F que F es es algebraico en K en K y y todo polinomio en K [x] descompone en F [ F [x]. 7. Una extensi´on on algebraica F algebraica F de K de K es es normal en K en K si si y solo si para todo irreductible f K [x], f se f se factoriza en F [ F [x] como un producto de factores irreductibles los cuales tienen el mismo grado.
∈
8. Sea F F una extensi´ on on cuerpo del cuerpo K , si [F [F : K ] = 2, entonces F F es normal en K 9. Sea F Sea F una una extensi´on on cuerpo del cuerpo K cuerpo K ,, suponga [F [F : K K ]] es finito. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) F es F es Galois en K . (b) F es F es separable en K y y una descomposi´on on cuerpo de un polinomio f polinomio f K K [[x]
∈ ∈
(c) F es una descomposi´ on cuerpo en K de un polinomio f K [x] cuyos factores irreductibles son separables.
∈
10. Aplicaci´on del Teorema de Artin: Sea K un cuerpo y C Aut(K ) un subconjunto, representamos por F (C ) al conjunto de puntos fijos por C , i.e.
⊂
F (C ) = x K σ(x) = x, σ
∀ ∈ C }
{ ∈ |
(a) Mostrar que F (C ) es un subcuerpo de K (b) Mostrar que si C 1
⊂ C , entonces F (C ) ⊂ F (C ) 2
2
1
(c) Si G es una extensi´on cuerpo de K , representaremos por Gal(G K ) al con junto de automorfismos de G que dejan fijos a los elementos de K . Demostrar K F (Gal(G K ))
⊂
|
|
(d) Con el Teorema de Artin, demostrar
|Gal(G|K )| ≤ |G : K | , la igualdad se cumple si K es el cuerpo fijo de Gal(G K )
|
(e) Sea L un subgrupo finito de Aut(K ) Entonces L = Gal(K F (L)), i.e. todo automorfismo de K que deje fijo a F (G) est´a en G.
|
(f) Si G1 y G2 son dos subgrupos finitos de Aut(K ), entonces F (G1 ) = F (G2 ) implica G1 = G 2 .
