UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES ACTIVIDAD 1
IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL EN EL DESARROLLO DE SOFTWARE UNIDAD 3 MODELOS DE PROGRAMACION NO LINEAL DOCENTE: CHRYSTIAN ORANGE BERNAL CARRERA: INGENIERIA EN DESARROLLO DE SOFTWARE
ALUMNO: RODRIGO ORNELAS GUZMAN
1. Analiza y explica el concepto de programación no lineal. La optimización no lineal o programación no lineal se utiliza para la resolución de problemas de optimización en los que la función objetivo o las restricciones no son lineales (cuadráticas, cúbicas,etc), pero también son diferenciables las veces en que es necesaria para el establecimiento de herramientas teóricas. 2. Identifica los tipos de métodos de programación no lineal. Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al contrario del método símplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que resuelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos para algunas clases (tipos especiales) de problemas de programación no lineal. Se introducirán las clases más importantes y después se describirá cómo se pueden resolver algunos de estos problemas. Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal. Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.
Los tipos de problemas de programación no lineal son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Optimización no restringida. Optimización linealmente restringida. Programación cuadrática Programación convexa. Programación separable. Programación no convexa. Programación geométrica. Programación fraccional. Problema de complementariedad.
3. Lee el siguiente planteamiento e identifica el método de programación no lineal a utilizar para obtener los requerimientos solicitados: Una empresa de software produce aplicaciones web y sistemas informáticos, obteniendo ingresos de 100x2 + 100y2 unidades monetarias, siendo “x” el número aplicaciones web producidas e “y” el de sistemas informáticos. Para producir una aplicación web se necesitan una unidad de software y dos horas de trabajo, y para producir un sistema informático se necesitan dos unidades de software y 3 horas de trabajo. Se dispone de 40 unidades de software y de 50 horas de trabajo. Se requiere al jefe del proyecto que calcule el número de aplicaciones web y de sistemas informáticos que se deben producir para maximizar los ingresos y que se calcule la cantidad que estaría dispuesta a pagar la empresa por una unidad adicional de software y por una hora más de trabajo. 4. Menciona y explica el método de programación no lineal que utilizarás para obtener los resultados solicitados. Este ejercicio es de programación no lineal con restricción lineal La descripción de los datos están contenidos en la siguiente tabla:
Unidades
Horas trabajo
cantidad
software Aplicación web
1
2
1
Sistemas
2
3
1
Disponibilidad
40
50
5. Describe el algoritmo de solución a utilizar para resolver el modelo. Queremos maximizar f(x,y) = 100x2+100y2 Sujeto a 1x+2y ≤40 2x+3y ≤50 Tenemos las siguientes condiciones, bajo el esquema de matriz hessiana que nos sirve para saber si la función es convexa o cóncava:
Z = 100 x2+ 100 y2 [xy] [ 200
0
0
[ x
] [x]
200
y
y ] [ 200 x ] = 200x2 +200 y2 200 y
Tenemos entonces que : x=1s+2h y=2s+3h Donde x = Aplicación Web y = Sistema s =unidad de software h= hora trabajo. Sustituyendo : 100(1 s + 2 h ) 2 + 100 (2 s + 3 h ) 2 = Z (x,y) MAX
Donde se aprecia la uniformidad del modelo , podemos definir que la función es convexa y razón de ello solo debemos explorar los puntos de la restricciones dadas : F [0,0] F[50,0] F[0,40] F[50,40] 6. Utiliza un programa (los que seleccionaste en la unidad 2 o un programa de hoja de cálculo) donde puedas introducir datos del modelo y te ayude a calcularlo. Para este caso el programa que usare será Wolfram Matematica
7. Resuelve el ejercicio con ayuda del programa seleccionado y describe la solución y Describe el procedimiento realizado para llegar a la solución e imprime las pantallas donde se muestre el proceso en forma clara y detallada.
Primero verificamos que la función sea convexa :
Luego verificamos el área de distribución de los posibles valores dentro de la función objeto:
Y finalmente iteramos dentro de la distribución de valores límite del máximo de unidades de software y horas de trabajo
Conclusiones: El valor máximo optimo se comprende en el cuarto resultado que es de 6 530 000 cuyo valor contempla en la asignación de 𝒇[𝟓𝟎, 𝟒𝟎]
Bibliografía
Taha, A.(2012). Investigación de operaciones. México: Pearson Educación. Capítulo 3, pp.699-720
F. S.Hillier & G.J. Liberman. (2015). Investigación de Operaciones 10 Edición . México : McGrawHill. Capítulo 12, pp.500-545.
