RIGIDECES DE ENTREPISO FORMULAS DE WILBUR-BIGGS
Hipótesis: 1) Los giros en todos los nudos de un piso y los dos pisos adyacentes son iguales. 2) Los cortantes en los dos pisos adyacentes al piso de análisis son iguales al cortante de éste.
Aplicabilidad: a) Pórticos regulares con elementos de sección constante. b) Deformaciones axiales no importantes. c) Las columnas tienen puntos de inflexión (doble curvatura)
RIGIDEZ DE PISO TÍPICO : K =
24 E
2 1 1 H + + k k k ∑ ∑ ∑ Vs C Vi 2
E = módulo de elasticidad H = altura de entrepiso k C C = rigidez relativa de columnas del entrepiso (I/L) k V V = rigidez relativa de vigas (i = inferior; s = superior)
COLUMNAS EMPOTRADAS .
Rigidez del Primer Piso:
K =
COLUMNAS ARTICULADAS .
24 E
2 1 H 2 + k C ∑ k C ∑ ∑ k V + 12
Rigidez del Primer Piso: K 1 =
H 3
24 E
8 H 1
H 1
∑ k C1
+
2 H 1 + H 2 ∑ k V
Rigidez del Segundo Piso: K 2 =
k V2 V2
H 2 2
k C2 C2
k V1 V1
k C1 C1
H 1
48 E
4 H 2 H 2 + H 3 2 H 1 + H 2 + + H 2 k k k ∑ ∑ ∑ C2 V2 V1
RIGIDEZ DE UN PISO TÍPICO CON ALTURAS DE ENTREPISO DIFERENTES :
K i =
48 E
4 H i H i -1 + H i H i + H i +1 + + H i ∑ k Vi ∑ k Ci ∑ k V(i -1)
H i+1 i+1 k Vi Vi H i i k V(i-1) V(i-1) H i-1 i-1
SISTEMAS DE VARIOS GDL - VIBRACIÓN LIBRE El problema es:
&& + K U = 0 M U
U ( t ) = X Sen ( ω t + φ )
Sea:
&&( t ) = − X ω 2 Sen ( ω t + φ ) ⇒ U La ecuación se transforma a:
− M X ω 2 Sen ( ω t + φ ) + K X Sen ( ω t + φ ) = 0 K X − ω 2 M X ) Sen ( ω t + φ ) = 0
0
⇒
K X = ω 2 M X
Este problema es de la forma:
A X = λ B X
( Problema de Valores Característicos ) X = vector característico λ = valor característico
Debe cumplirse: K − ω 2 M = 0
⇒ polinomio en ω 2 .
• Para un sistema de “n” GDL, se tendrán “n” pares de 2
ω i y X i .
• ω i = frecuencia circular de vibración, modo “i”. • X i = forma de vibrar del modo “i” = forma de modo.
Ejemplo: Modelo de Cortante – 3 niveles. m
m = 2 kg L = 200 mm
L
m
Columnas: (4 por nivel) b = 10 mm
L
m
h = 1 mm
k =
I =
3
L
⇒
u3
bh3 12
m 0 0 M = 0 m 0 0 0 m PVC:
u2
L
E = 200 GPa 48EI
u1
k − k 0 K = − k 2 k − k 0 − k 2 k
K X = ω 2 M X .... (1) K − ω 2 M = 0 .... (2)
Donde debe resolverse: De (2): ω 1 = 9.95 rad/s
f 1 = 1.58 Hz
Luego de (1):
1.000 . = 0 802 1 0.445
ω 2 = 27.9 rad/s
ω 3 = 40.3 rad/s
f 2 = 4.44 Hz
X =
2
1
1.000 = − 0.555 − 1.247
f 3 = 6.41 Hz
2
3
1.000 . = − 2 247 3 1.802
Interpretación de los resultados: 1.000 . = 0 802 1 0.445
2
1.000
1.000 = − 0.555 − 1.247
1.000
− 1.247
0.445
ω 1 = 9.95 rad/s
f 1 = 1.58 Hz
1.000
− 2.247
− 0.555
0.802
1.000 2 247 . = − 3 1.802
1.802
ω 2 = 27.9 rad/s
f 2 = 4.44 Hz
ω 3 = 40.3 rad/s
f 3 = 6.41 Hz
Si la vibración libre es iniciada mediante un juego de desplazamientos iniciales correspondiente a un modo “i”, la vibración de cada nivel será armónica con una frecuencia circular wi y la estructura vibrará con una forma constante proporcional a la forma de modo “i”.
PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS
Si K y M son simétricas y una de ellas es positivamente definida, tal que: K X = ω 2 M X : 1) Si el sistema tiene “n” GDL, la ecuación característica 2 2 tendrá “n” raíces reales de ω 1 a ω n . 2) Para cada valor característico ω i de multiplicidad 1, hay una forma modal X i , definida en función de un valor constante. 3) Las formas modales X i , X j correspondientes a ω i, ω j (i ≠ j) son tales que: T
X i M X j = 0 T
X i K X j = 0 4) Cualquier raíz de multiplicidad “r” tiene asociadas “r” formas de modo independientes. 5) El juego de “n” formas de modo, desde X 1 a X n , constituyen un juego completo que define un espacio vectorial. En consecuencia, cualquier vector V con “n” componentes puede ser expresado como una combinación modal de las “n” formas de modo: X3
n
V = ∑ ai X i = a1 X 1 + a2 X 2 + .... + an X n i =1
a3 X 3
n
V
V = ∑ ai X i
a2 X 2
i =1
a1 X 1
n
M V = ∑ ai M X i i =1
T X j M V =
X1 n
T a X ∑ i j M X i i =1
T
=
T ai X i M X i
⇒ ai =
X i M V T
X i M X i
Demostración de la Propiedad de Ortogonalidad.K X i =
ω
2
fuerza elástica
M X i
fuerza de inercia
De acuerdo al Teorema de Betti: P1
P2
T
P 1
δ1
δ 2 =
T
P 2 δ 1
Forma de modo i-ésima:
δ2
Forma de modo j-ésima:
X3i
FI3i
X3j
X2i
FI2i
FI2j
X1i
FI1i
FI1j
FI3 X2j X1j
Aplicando el Teorema de Betti: T T F Ii X j = F Ij X i 2
(M X i )T X j = ω j 2 (M X j )T X i
2
X i M X j = ω j 2 X j M X i
ω i ω i
2
T
2
ω i − ω j
De K X i = T
T
T
X i M X j = 0 2
ω i
X j K X i =
T
X i M X j = 0
M X i 2
ω i
T
X j M X i
T
X i K X j = 0
COCIENTE DE RAYLEIGH 2 i M X i
K X i =
ω
T
Premultiplicando por X i : T
X i K X i = 2 ω i
ω
2
T
X i M X i
T
=
X i K X i T
X i M X i
Conociendo aproximadamente una forma de modo: X i ⇒ V (aproximado) T
ω
Pero
2 i
V K V
≈=
T
V M V
K V = F (fuerzas aplicadas) T
2 ω i
ω
≈
T =
V F
≈
T
=
V M V ∑ F j u j 2 ∑ M j u j
2 π ω
∑ F j u j 2
∑ M j u j
=
g ∑ F j u j 2
∑ W j u j 2
≈ 2 π
∑ W j u j
g ∑ F j u j
CÁLCULO DE MODOS Y FRECUENCIAS MÉTODO ITERATIVO DE STODOLA-VIANELLO De: Suponiendo
X O :
K X
=
ω
K X
=
ω
2
2
M X
M X O
>> Con
X 1 :
ω
2
M X 1
K X
Con
X n
:
ω
2
X 1
= F 1
= F 1
M X n
K X
= F O
>>
X 2
>>
X n + 1
= F n
= F n
X n + 1
El proceso converge a:
≅ X n
Estimación de la frecuencia, primer modo: Para el cálculo de F O se consideró
2
ω
=1. Habiendo
calculado X 1 , se estima aproximadamente : ω
2
≈
X O X 1
En la iteración m-ésima: ω
ω
2
≈
X m −1 X m
converge a su valor exacto.
MÉTODO ITERATIVO DE STODOLA-VIANELLO Estimación de la frecuencia, segundo modo: 0
Suponiendo un vector para el 2º Modo, V 2 , y conocido X 1 ,
se sabe: n
0
V 2
= ∑ ai X i = a1 X 1 + a2 X 2 + a3 X 3 + .... + an X n . i =1 0
Para que
V 2
sea ortogonal a X 1 , se debe eliminar la
componente ortogonal a X 1 : V 2
0
= V 2 − a1 X 1 = a2 X 2 + a3 X 3 + .... + an X n . T
Donde:
a1
=
0
X 1 M V 2 T
X 1 M X 1
Luego se procede a la iteración.
Estimación de la frecuencia, tercer modo: 0
Suponiendo 0
V 3
V 3 ,
y conocidos X 1 y X 2 , se sabe:
= a1 X 1 + a2 X 2 + a3 X 3 + .... + an X n .
Luego:
V 3
0
= V 3 − a1 X 1 − a2 X 2 = a3 X 3 + .... + an X n . T
Donde:
a1
=
0
T
X 1 M V 3 T 1
X M X 1
,
a2
=
0
X 2 M V 3 T
X 2 M X 2
Luego se procede a la iteración.
VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO a)
U o = ao X i Desplazamiento Inicial: (proporcional a una forma de modo i)
El problema es:
&& + K U = 0 M U
U ( t o ) = U o
& ( t ) = 0 U o Solución: U ( t ) = ao X i Cos ω i (t − t o ) = U o Cos ω (t − t o ) b)
& o = b X i U Velocidad Inicial: o (proporcional a una forma de modo i) Solución:
&o bo U U ( t ) = X i Sen ω i (t − t o ) = Sen ω i (t − t o ) ω i ω i c)
Caso general. Desplazamiento y Velocidad Inicial arbitrarios: Aplicando una propiedad de las formas de modo: T X i M U o U o = ∑ ai X i ai = T X i M X i T
& o = ∑ b X i U i
bi =
&o X i M U T
X i M X i
Solución:
bi U ( t ) = ∑ ai Cos ω i (t − t o ) + Sen ω i (t − t o ) X i ω i i =1 n
VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO El problema es:
&& + K U = F ( t ) = F . f ( t ) M U n
Sea la solución: U = ∑ ai ( t ) X i i =1
n
&& = ∑ a&& ( t ) X i ⇒ U i i =1
Reemplazando en la ecuación de movimiento: n
∑ [M X i a&&i ( t ) + K X i ai ( t )] = F . f ( t )
i =1
T
Premultiplicando por X j n
T T T ∑ [ X j M X i a&&i ( t ) + X j K X i ai ( t )] = X j F . f ( t )
i =1
Usando:
T
X i M X j = 0 i ≠ j T
X i K X j = 0 i ≠ j T
T
T
&&i ( t ) + X i K X i a ( t ) = X i F . f ( t ) X i M X i a T
&&i ( t ) + a
X i K X i T X i M X i
T
ai ( t ) =
X i F T X i M X i
.f ( t )
Es de la forma: &&i ( t ) + ω i 2 ai ( t ) = Γ .f ( t ) a Γ i = factor de participación estática del modo i. ai = factor de participación dinámica del modo i. ω i = frecuencia circular del modo i.
VIBRACIÓN SIN AMORTIGUAMIENTO MOVIMIENTO EN LA BASE y 3
Sea el sistema de 3 GDL (modelo cortante):
u1 = uG + y 1
y 2
u2 = uG + y 2 y 1
u3 = uG + y 3 u1 u2 = uG u 3
1 y 1 1 + y 2 1 y 3
uG
Aplicando el Principio de D’Alembert:
− m1u&&1 − K 1 y 1 + K 2 (y 2 − y 1 ) = 0
m1 u&&1
− m1 (u&&G + y &&1 ) − K 1 y 1 + K 2 (y 2 − y 1 ) = 0
K 2 (y 2 – y 1 )
K 1 y 1
&&1 + (K 1 + K 2 ) y 1 − K 2 y 2 = −m1 u&&G m1 y
− m2 u&&2 − K 2 (y 2 − y 1 ) + K 3 (y 3 − y 2 ) = 0
m2 u&&2
− m2 (u&&G + y &&2 ) − K 2 (y 2 − y 1 ) + K 3 (y 3 − y 2 ) = 0
K 3 (y 3 – y 2 )
K 2 (y 2 – y 1 )
&&2 − K 2 y 1 + (K 2 + K 3 ) y 2 − K 3 y 3 = −m2 u&&G m2 y
− m3 u&&3 − K 3 (y 3 − y 2 ) = 0 − m3 (u&&G + y &&3 ) − K 3 (y 3 − y 2 ) = 0 &&3 − K 3 y 2 + K 3 y 3 = −m3 u&&G m3 y
m3 u&&3 K 3 (y 3 – y 2 )
Matricialmente: &&1 K 1 + K 2 − K 2 m1 0 0 y &&2 + − K 2 K 2 + K 3 0 m 2 0 y 0 0 m y 0 − K 3 3 &&3
0 y 1 m1 − K 3 y 2 = − m2 u&&G
K 3 y 3
m1 m1 0 0 1 donde: − m = − 0 m 0 1 = − M 1 2 2 0 0 m 1 m 3 3
Luego el problema es de la forma:
&& + K y = −M 1 u&&G M y
m 3
VIBRACIÓN SIN AMORTIGUAMIENTO MOVIMIENTO EN LA BASE El problema es:
&& + K y = −M 1 u&&G M y n
Sea la solución: y = ∑ ai ( t ) X i i =1
n
&& = ∑ a&&i ( t ) X i ⇒ y i =1
Luego: n
&&i ( t ) + K X i ai ( t )] = − M .1 u&&G ∑ [M X i a
i =1
T
Premultiplicando por X j n
&& ( t ) + X K X a ( t )] = − X M .1 u&& ∑ [ X M X a T j
i
i =1
T j
i
i
T j
i
T
X i M X j = 0 i ≠ j
Usando:
T
X i K X j = 0 i ≠ j T
T
T
&&i ( t ) + X i K X i ai ( t ) = − X i M .1 u&&G X i M X i a Es de la forma:
&&i (t) + ωi 2 ai (t) = − Γ i .u&&G a Γ i =
factor de participación estática del modo i. ω i = frecuencia circular del modo i. T
T
Γ i
=
X i M 1 T i
X M X i
2 ω i
=
X i K X i T
X i M X i
G
SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO El problema es:
&& + C U & + K U = F ( t ) = F . f ( t ) M U
En sistemas de acoplamiento cercano (tipo cortante):
− c 2 c 1 + c 2 C = − c 2 c 2 + c 3 0 − c 3
0
m3 K3
c3
m2
− c 3 c
K2
c2
m1
3
K1
c1
La matriz de amortiguamiento tiene la misma forma de K Puede afirmarse entonces:
X i C X j = 0 T
i ≠ j
VIBRACIÓN LIBRE && + C U & + K U = 0 M U Sea la solución: U = X Sen ( ω t + φ ) El problema de valores característicos (PVC) es cuadrático: λ 2 M + λ C + K ) X = 0
El PVC se simplifica suponiendo que C no influye en los valores de λ , entonces: λ 2 M + K ) X = 0
ANÁLISIS POR SUPERPOSICIÓN MODAL && + C U & + K U = F . f ( t ) M U n
n
n
i =1
i =1
& = ∑ a& ( t ) X i , U && = ∑ a&& ( t ) X i ⇒ U i i
Sea : U = ∑ ai ( t ) X i =1
Reemplazando en la ecuación de movimiento: n
&&i ( t ) + C X i a& i ( t ) + K X i ai ( t )] = F . f ( t ) ∑ [M X i a
i =1
T
Premultiplicando por X j n
[
T
T
]
T
T
&&i ( t ) + X j C X i a& i ( t ) + X j K X i ai ( t ) = X j F . f ( t ) ∑ X j M X i a
i =1
Usando: T T T X i M X j = 0 , X i C X j = 0 , X i K X j = 0 T
T
T
,
i ≠ j
T
&&i ( t ) + X i C X i a& i ( t ) + X i K X i a ( t ) = X i F .f ( t ) X i M X i a T
&&i ( t ) + a
X i C X i T X i M X i
T
a& i ( t ) +
X i K X i T X i M X i
T
ai ( t ) =
X i F T X i M X i
.f ( t )
&&i ( t ) + 2 β i ω i a& ( t ) + ω i 2 a ( t ) = Γ i . f ( t ) a n
Si : U = ∑ d i ( t ) Γ i X i =1
ai ( t ) = Γ d i ( t )
&& ( t ) + 2 β ω d & ( t ) + ω 2 d ( t ) = f ( t ) d i i i i i i T
X i F
Γ i = factor de participación estática del modo i. Γ i = T X i M X i d i = factor de participación dinámica del modo i.
ANÁLISIS POR SUPERPOSICIÓN MODAL MOVIMIENTO EN LA BASE && + C y & + K y = −M 1 u&&G M y n
Sea la solución: y = ∑ ai ( t ) X i i =1
Luego: T
T
T
T
&&i ( t ) + X i C X i a& i ( t ) + X i K X i a ( t ) = − X i M .1 u&&G X i M X i a Es de la forma:
&&i ( t ) + 2 β i ω i a& ( t ) + ω i 2 a ( t ) = − Γ i .u&&G ( t ) a T
Γ i = n
Si : y = ∑ d i ( t ) Γ i X i i =1
X i M 1 T
X i M X i
ai ( t ) = Γ d i ( t )
&& ( t ) + 2 β ω d & ( t ) + ω 2 d ( t ) = − u&& ( t ) d i i i G En esta ecuación, d i representaría un “desplazamiento modal” respecto a la base. Contribución modal al desplazamiento: y i = d i ( t ) Γ i X i Desplazamiento modal máximo: y i MAX = d MAX Γ i X i y i MAX = Sdi Γ i X i
Sdi = valor de desplazamiento máximo (del espectro de respuesta Sd )
ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL (COMBINACIÓN MODAL) MOVIMIENTO EN LA BASE && + C y & + K y = −M 1 u&&G M y n
Si : y = ∑ d i ( t ) Γ i X i i =1
ai ( t ) = Γ d i ( t )
&& ( t ) + 2 β ω d & ( t ) + ω 2 d ( t ) = − u&& ( t ) d i i i G d i = “desplazamiento modal” respecto a la base. Contribución modal al desplazamiento: y i = d i ( t ) Γ i X i Desplazamiento modal máximo: y i MAX = Sdi Γ i X i
y i MAX = d MAX Γ i X i
Sdi = valor de desplazamiento máximo (del espectro de respuesta Sd )
La respuesta y MAX se obtiene combinando las respuestas máximas de cada modo: Además, se sabe:
y MAX = COMB y i MAX u&&MAX = ω 2 y MAX
u&&i MAX = ω i 2 Sdi Γ i X i = Sai Γ i X i Sai = valor de aceleración absoluta máxima (del espectro de respuesta de aceleraciones Sa )
COMBINACIÓN MODAL METODOS DE COMBINACIÓN
1. 2. 3.
SUMA DE VALORES ABSOLUTOS (ABS)
Y MAX = ∑ Y i MAX
RAÍZ CUADRADA DE SUMA DE LOS CUADRADOS (RCSC)
Y MAX =
i
2
∑ Y i MAX i
COMBINACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA (COMPLETE QUADRATIC COMBINATION – CQC)
Y MAX =
∑ ∑ Y Ki ρ ij Y Kj
8 β 2 (1 + r ) r 3 / 2 ρ ij = 2 2 (1 − r ) + 4 β 2 r (1 + r )2 4.
r =
ω j ω i
ρ ij = Coeficiente de correlación entre el modo i y el modo j
NORMA E-030-2003 Y MAX = 0 ,25 ∑ Y i MAX + 0 ,75 i
2
∑ Y i MAX i
La respuesta modal Y i a combinar no solamente puede ser el desplazamiento respecto a la base, también se combinan las aceleraciones, fuerzas sísmicas, cortantes de piso, cortantes de la base, momentos flectores, momentos de volteo, desplazamientos relativos de entrepiso, etc.
SUPERPOSICION MODAL
COMBINACION MODAL
uG ,u&&G : variación en el tiempo
uG ,u&&G : espectros de respuesta espectros de diseño uG MAX ⇒ Sd
u&&G MAX ⇒ Sa Respuestas modales:
Respuestas modales máximas :
Desplazamiento relativo: y i = d i ( t ) Γ i X i
y i MAX = d i MAX
Aceleración absoluta: u&&i = ω i 2 y i = Γ i ω 2 d i ( t ) X i
u&&i MAX = Γ i ω 2 d i MAX X i = Γ i Sai X i
Γ i X i
= Sdi Γ i X i
Respuestas totales máximas:
Respuestas totales:
y = ∑ y i
y MAX = COMB y i MAX
u&& = ∑ u&&i
u&&MAX = COMB u&&i MAX
Fuerzas sísmicas: && F = ∑ F i = ∑ M U i
(
Cortantes:
V = ∑V i
Momentos flectores, Momentos de volteo:
M = ∑ M i M V = ∑ M Vi
)
F MAX = COMB (F i MAX ) V MAX = COMB V i MAX M MAX = COMB M i MAX M V MAX = COMB M Vi MAX
