Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad Facultad de Ingeniería Mecánica
Carrera: Licenciatura Licenciatura en Ingeniería Industrial Asignatura: Dinámica - Laboratorio Instructor: Eric Solano Grupo: 1II11 ! C Tema: “Sistema Masa - Resorte”
"la#orado por: Alvarez, Iveth Galdámez, Cind !ineda, Sils Suarez, Sergio Sánchez, "enia
I -emestre
.iernes (& de ma/o de ('10
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MarcoTeórico
Marco Teórico Los sistemas mecánicos cuentan con medios para almacenar energía cinética (masas o inercias), para almacenar energía potencial (elementos elásticos y por su posición en el campo gravitacional) y elementos para disipar energía (amortiguadores o fricción). Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza F y la deformación estádada por la siguiente ecuación!
F =kx
(".#)
Figura $. %epresentación &ráfica Ley de 'ooe La energía potencial de un resorte está dada por la ecuación ($.). 1 2 E P= k x 2
(".)
*al como se esta+lece en la ecuación ($.#) eiste una proporción directa entre la fuerza aplicada al resorte y la deformación producida al mismo, la constante de proporcionalidad, ue es la pendiente de la curva fuerza-deformación representa la constante del resorte. Para una masa o inercia, la relación entre la fuerza F y la aceleración
x´
está
dada por!
F =m x´
(".)
La energía cinética de una masa con movimiento de traslación está dada por la ecuación ($./). 1 2 EC = m x´ 2
("./)
0sumiendo desprecia+le el amortiguamiento en el sistema, la energía total se conserva. Por lo tanto,
ET = E P + EC
1 2 1 2 ET = k x + m ´ x 2 2
(".1)
(".2)
La ecuación diferencial de movimiento de la masa suspendida de un resorte puede determinarse por varios métodos entre los cuales podemos mencionar!
∑ F =m ´ x
(".3)
d ( E ) =0 dt T
(".$4)
La ecuacióndiferencial de movimientoresultante es : m x´ + kx =0
(".$$)
La solución de la ecuación ( 1.11 ) es lasiguiente : x ( t )= A sin ( ωt ) + B cos ( ωt )
(".$")
5onde las constantes 0 y 6 se o+tienen a partir de las condiciones iniciales!
x 0= x ( t =0 ) y v 0 =´ x 0=´ x ( t =0 ) Podemos resolver este pro+lema gráficamente de la siguiente manera! 7n integrador está representado por la figura ($.").
(".$#)
Figura $." 8ntegrador 0plicando integradores para resolver la ecuación ($.$) resulta el diagrama de la Figura ($.#)! x´ =
−1
m
Figura $.# 5iagrama de +loue de la 9cuación ($.$)
( kx )
(".$)
Procedimiento Para cada uno de los tres resortes estudiados en la experiencia de laboratorio No.1: 1. Asegure un extremo del resorte de tensión al marco s oporte. Coloque la base de los discos en el extremo libre del resorte. Mida la longitud del resorte entre sus extremos. Escoja el punto central de la región lineal y coloque discos asta logra la de!exión del resorte correspondiente a este punto. ". #esplace ligeramente la base con los discos y libere el mismo para que oscile dentro del rango lineal de la gr$%ca. Con la ayuda del cronómetro tome el tiempo en que demora dar & oscilaciones el sistema. &. Mida el periodo natural y calcule la 'recuencia circular natural resultante. f n=
1
τ n ()* o ciclos+s,
ω n=2 π f n
(".1,
(rad+s,
(".",
-. #etermine analticamente la 'recuencia natural del sistema masa resorte.
5. Presente los resultados experimentales y analticos en la siguiente tabla.
Resultados Resorte k 1=¿
136.8
9 N/m k 2=¿
108.3
1 N/m k 3 =¿
311.7
Masa m1=¿
1.
/ 0g m2=¿
1.
" 0g m3=¿
1.
8 N/m / 0g Tiempos para 3 oscilaciones τ exp !esorte 1=1.93 s τ exp 1=
1.93 s =0.64 s 3
τ exp
τ teór
ω nexp
ω nteo
./- s
./2" s
3.4" rad+s
3.&5 rad+s
./& s
.//1 s
3.32 rad+s
3.5 rad+s
./ s
.-5 s
1-.52 rad+s
1&.3/ rad+s
τ exp !esorte 2=1.88 s τ exp 1=
1.88 s =0.63 s 3
τ exp !esorte 3=1.80 s τ exp 1=
1.80 s =0.60 s 3
ω n =√ k / m teo
ω n1 = teo
√
139.92 " / m 1.6 kg
ω n1 =9.35 #$ teo
τ teo =
ω n2 =9.50 #$ teo
ω n3 = teo
√
108.31 " / m 1.2 kg
ω n3 =9.50 # teo
2 π 9.35 #$
τ 2 teo=
2 π 9.50 #$
τ 2 teo= 0.661
τ 1 teo=
2 π 13.96 #$
τ 1 teo= 0.450
1
t
f n1 =
1 0.64 s
f n2 =
f n1 =1.5625 #$
exp
√
108.31 " / m 1.2 kg
ωn
τ 1 teo= 0.672
ωn
teo
2 π
τ 1 teo=
f n=
ω n2 =
1 0.63 s
f n3 =
1 0.60 s
f n2 =1.5873 #$
f n3 =1.6667 #$
ω n =2 π ( 1.5873 #$ )
ω n =2 π ( 1.6667 #$ )
=2 π f n
ω n =2 π ( 1.5625 #$ ) exp1
ω n =9.82 exp1
rad s
exp2
ω n =9.97 exp2
rad s
exp3
ω n =10.47 exp3
rad s
Preguntas 1. Determine las frecuencias naturales de oscilación, para los sistemas Masaresorte de forma e!perimental " anal#tica. $resente los porcenta%es de error. Error1=
%alor real −%alor ex&erimental x 100 %alor real
Error1=
9.35 −9.82 x 100 9.35
Error1= 5.03
Error2 =
%alor real−%alor ex&erimental x 100 %alor real
Error2 =
9.5 −9.97 x 100 9.5
Error2 =4.95
Error3 =
%alor real −%alor ex&erimental x 100 %alor real
Error3 =
13.96 −10.47 x 100 13.96
Error3 =25
&. '!pli(ue las posi)les fuentes de error en la reali*ación del la)oratorio. El error m$s posible es la mal utili*ación del cronómetro. Este tiempo medido (que ni siquiera 'ue medido6 sino aproximado mediante una di7isión6 lo cual engrandece el error, 'ue utili*ado para calcular la 'recuencia natural experimental6 de a el error.
3. +u- suposiciones son necesarias para la simplicación del modelo matemtico estudiado en el la)oratorio Para la simpli%cación del modelo matem$tico usado en el laboratorio6 primero ay que suponer que el sistema mec$nico es de tipo armónico simple6 y que por lo tanto no ay amortiguamiento6 cosa que es 'alsa ya
que en la 7ida real todo sistema mec$nico masa8resorte est$ amortiguado asta cierto punto.
. +De (u- parmetros depende la ri2ide* de un sistema, '!pli(ue 9a rigide* del sistema 0 depende de:
9a sección trans7ersal6 cuanto m$s gruesa sea la sección m$s 'uer*a ser$ necesaria para de'ormarla. Eso se re!eja en la necesidad de usar cables m$s gruesos para arriostrar debidamente los m$stiles de los barcos que son m$s largos6 o que para acer 7igas m$s rgidas se necesiten 7igas con mayor sección y m$s grandes.
El material del que est 'abricada la barra6 si se 'abrican dos barras de idnticas dimensiones geomtricas6 pero siendo una de acero y la otra de pl$stico la primera es m$s rgida porque el material tiene mayor módulo de ;oung (E,.
9a longitud de la barra el$stica (9,6 %jadas las 'uer*as sobre una barra estas producen de'ormaciones proporcionales a las 'uer*as y a las dimensiones geomtricas. Como los despla*amientos6 acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de de'ormaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección trans7ersal y
. +De (u- parmetros depende la frecuencia natural de oscilación del sistema masa resorte, '!pli(ue. 9a 'recuencia natural depende de la constante de rigide* 0 y de la masa aplicada sobre el resorte. Como ya emos 7isto6 esta relación es de: ' n=
√
k m
A esta 'recuencia se le llama 'recuencia natural de oscilación del sistema. #epende de la elasticidad del resorte (constante de rigide* 0, y de la masa suspendida. #e eso se puede 7er que si la rigide* aumenta6 la 'recuencia natural tambin aumentar$6 y si la masa aumenta6 la 'recuencia natural disminuye. Normalmente las rigideces se calculan como la ra*ón entre una 'uer*a aplicada y el despla*amiento obtenido por la aplicación de esa 'uer*a.
Conclusiones
Conclusiones •
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El tiempo de oscilación de un resorte es directamente proporcional a la masa que se suspende de ste6 es decir6 a mayor masa suspendida la longitud de oscilación es mayor y por consiguiente6 sta 7a a ser m$s lenta. 9a masa e'ect
Infografía http://www.sabelotodo.org/fsica/recuencianatural.html http://www.azimadli.com/ibman!spanish/recuenciasnaturales.htm http://html.rincondelago.com/elasticidad!de!resortes.html
