Dimensionamento de Elementos Estruturais de Aço enformados a frio de acordo com o Eurocódigo 3

RESUMO

DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE AÇO ENFORMADOS A FRIO DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO 3 DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

OUTUBRO DE 2008

ORIENTADOR: PROF. NUNO SILVESTRE CO-ORIENTADOR: PROF. DINAR CAMOTIM LICENCIADO: HUGO VERÍSSIMO

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DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE AÇO ENFORMADOS A FRIO DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO 3

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UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO


HUGO ALEXANDRE GONÇALVES VERÍSSIMO (LICENCIADO)

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Estruturas

Orientador: Co-Orientador:

Presidente: Vogais:

Doutor Nuno Miguel Rosa Pereira Silvestre Doutor Dinar Reis Zamith Camotim Júri: Doutor Dinar Reis Zamith Camotim Doutor João Carlos Gomes Rocha de Almeida Doutor João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida Doutor Nuno Miguel Rosa Pereira Silvestre

OUTUBRO DE 2008


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RESUMO

VERÍSSIMO, HUGO: “Dimensionamento de elementos estruturais de aço enformados a frio de acordo com o Eurocódigo 3”. Lisboa, 2007 – Dissertação de mestrado – Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa

RESUMO

Este trabalho versa sobre a análise e dimensionamento de estruturas de aço enformadas a frio, ou estruturas de “aço leve” como frequentemente são designadas. Em virtude de serem estruturas muito esbeltas, tanto do ponto de vista local (das secções) como global (das barras), as estruturas de aço enformadas a frio são muito susceptíveis a fenómenos de instabilidade. Do ponto de vista regulamentar, o Eurocódigo 3 permite tratar este tipo de estruturas recorrendo às Partes 1-1, 1-3 e 1-5, cuja compreensão e inter-ligação das suas disposições nem sempre é a mais fácil e adequada. Desta forma, o presente trabalho tem como principais objectivos (i) apresentar, explicar e sistematizar as disposições do Eurocódigo 3, em particular a sua Parte 1-3, para dimensionar e verificar a segurança de elementos estruturais de aço enformados a frio, bem como (ii) “fazer a ponte” entre as disposições do EC3-1-1 (regras gerais) e do EC3-1-5 (regras para placas e estruturas laminares). Inicialmente, efectua-se uma breve alusão à origem e aplicação corrente de perfis de aço enformados a frio na indústria da construção civil, salientando as principais vantagens da sua aplicação em comparação com perfis laminados a quente de aplicação corrente e, em particular, caracteriza-se sucintamente o seu comportamento estrutural. Em seguida, abordamse os principais conceitos teóricos subjacentes à estabilidade de estruturas com secção de parede fina, nomeadamente, os fenómenos da instabilidade (i) local de placa, (ii) distorcional e (iii) global. Em virtude dos perfis de aço enformados a frio apresentarem correntemente secções de alguma complexidade, nomeadamente com dobras (cantos) arredondados, descrevem-se metodologias para obtenção de propriedades geométricas de secções brutas com as propriedades geométricas da secção. Posteriormente, introduz-se a filosofia de classificação de secções de acordo com o EC3 e, no caso de secções de classe 4 (maioria das secções de aço enformadas a frio), abordam-se os conceitos de (i) largura efectiva associada à resistência devido a modos de instabilidade local de placa e (ii) espessura reduzida associada à resistência ao modo distorcional. Em ambos os casos, apresentam-se e sistematizam-se as metodologias prescritas pelo Eurocódigo 3 para a sua obtenção e descrevem-se as diversas regras de verificação de segurança de secções (a tensões directas) estipuladas pelo EC-1-3. Finalmente, explica-se a filosofia do EC3 para contabilizar a influência das instabilidades globais (flexão e flexão-torção) e descreve-se a metodologia do EC3 para a obtenção de resistência de barras à encurvadura global, nomeadamente de colunas, vigas e vigas-coluna. Palavras-chave: dimensionamento e verificação de segurança, Eurocódigo 3, aço enformado a frio, instabilidade local, instabilidade distorcional, instabilidade global, secção efectivap.

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VERÍSSIMO, HUGO: “Design of cold-formed steel members according to Eurocode 3”. Lisbon, 2007 – Dissertation for the degree of Master of Science – Instituto Superior Técnico, Technical University of Lisbon.

ABSTRACT

The present work is focused on the analysis and design of cold-formed steel structures (frequently designated as light gauge steel structures). Due to their high local (from the crosssection point of view) and global (from the member point of view) slenderness, cold-formed steel structures are very sensitive and highly prone to buckling phenomena. The Eurocode 3 enables the design and safety checking of cold-formed steel structures using the Parts 1.1, 1.3 and 1.5, which are not easy to follow and sometimes is very complex to “build the bridge” between these three documents. Therefore, this thesis is aimed at (i) providing a systematic presentation and explanation of all the Eurocode 3 rules and, in particular, those related with Parts 1.3 and 1.5 for the design of cold-formed steel members and plated structures, respectively. Initially, a brief review of the origin and current applications of cold-formed steel structures in the civil engineering and construction framework is provided and the major advantages of their use in comparison with hot rolled steel profiles are highlighted. After that, the structural behaviour of cold-formed steel members is described and the main theoretical concepts regarding instability issues of thin-walled structures are presented. In particular, the behaviour of cold-formed steel members buckling in (i) local, (ii) distortional and (iii) global modes is characterized. Given the high complexity of the cross-section geometry (e.g., rounded corners and folds) of cold-formed steel members, some methodologies to obtain the gross section geometric properties are described. After that, the main concepts behind the EC3 classification of cross-sections are presented and, for the case of class 4 cross-sections (the great majority of cold-formed steel sections belong to this class), the methodologies to determine (i) the effective width associated with local buckling modes and (ii) the reduced thickness associated with distortional buckling modes are explained in great detail. In both cases, the rules stipulated by EC3-1-3 to safety check the cross-section strength against direct stresses (normal and shear) are presented. Finally, the EC3 procedure to take into account the influence of global (flexural and flexural-torsional) buckling effects on the design of cold-formed steel members is described in detail and the safety checking rules of members (columns, beams and beam-columns) against global buckling are presented. Keywords: design and safety checking, Eurocode 3, cold-formed steel, local buckling, distortional buckling, global buckling, effective section.

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PREFÁCIO

PREFÁCIO

O trabalho conducente à elaboração deste documento foi efectuado entre Setembro de 2005 e Julho de 2008 no Instituto Superior Técnico, Lisboa. Este largo período de tempo deveu-se sobretudo a três factores. Em primeiro lugar, o tema abordado no trabalho versa quase sempre sobre a instabilidade de estruturas, sendo constituído por matérias que na minha opinião são abordadas de uma forma muito superficial nos curricula da Licenciatura em Engenharia Civil do IST. Para atingir um estado de maturidade neste domínio foi necessário dispender bastante tempo. Por outro lado, refere-se ainda a exaustiva pesquisa bibliográfica e consequente descoberta de novos e admiráveis documentos, aos quais tive de dedicar uma grande parte do tempo para contextualizar o regulamento “Eurocódigo” dentro de um conjunto muito mais lato de trabalhos (muitos deles originais). Finalmente, a minha vida profissional sobrepôs-se não raras vezes ao presente trabalho, os quais são frequentemente de difícil conciliação. Efectuado este preâmbulo, gostaria de deixar umas palavras de agradecimento ao Prof. Nuno Silvestre pela sua orientação e correcta condução do meu esforço, evitando assim a dispersão por outros temas paralelos e ao Prof. Dinar Camotim pela motivação que me incutiu relativamente ao “mundo fascinante” da instabilidade de estruturas. Foi também com enorme agrado que constatei, durante a minha participação na conferência SDSS’06 - International Colloquium on Stability and Ductility of Steel Structures (IST, Lisboa), a excelência da investigação que ambos (os meus orientadores) conduzem no domínio das estruturas de parede fina e, em particular, das estruturas de aço enformadas a frio. Finalmente, quero expressar aos meus pais um agradecimento especial pelo apoio incondicional e total ao longo do período de desenvolvimento da dissertação, os quais nunca deixaram de acreditar na minha capacidade, mesmo quando acusei o “peso” do trabalho de investigação em determinados períodos. Sem eles, a realização desta dissertação não teria sido impossível, mas certamente teria sido muito mais difícil.

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iv

ÍNDICE

ÍNDICE

RESUMO ....................................................................................................................................................... i ABSTRACT .....................................................................................................................................................II PREFÁCIO ....................................................................................................................................................III SIMBOLOGIA ...............................................................................................................................................XI 1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 1 1.1. Considerações Gerais ......................................................................................................................... 1 1.2. Elementos estruturais ........................................................................................................................... 3 1.2.1. Tipos de elementos estruturais ....................................................................................................... 3 1.2.2. Processos de fabrico ..................................................................................................................... 4 1.2.3. Comportamento estrutural ............................................................................................................ 6 1.3. Âmbito, objectivos e organização do trabalho ....................................................................................... 8 1.3.1. Âmbito e objectivos do trabalho .................................................................................................... 8 1.3.2. Organização da dissertação.......................................................................................................... 9 2. CONCEITOS TEÓRICOS........................................................................................................................ 11 2.1. Resumo ............................................................................................................................................ 11 2.2. Conceito de estabilidade do equílibrio ................................................................................................ 11 2.3. Tipos de instabilidade estrutural.......................................................................................................... 12 2.3.1. Instabilidade bifurcacional........................................................................................................... 13 2.4. Estabilidade de barras com secção de parede fina aberta .................................................................... 14 2.4.1. Análise Linear de Estabilidade (ALE) ............................................................................................. 15 2.4.1.1. Tensões de Bifurcação e Modos de Instabilidade................................................................. 16 2.4.1.2. Estabilidade Linear de Barras (modos globais)..................................................................... 23 2.4.1.3. Estabilidade Linear de Placas............................................................................................. 32 2.4.1.4. Estabilidade linear de secções (modos locais) ..................................................................... 37 2.4.2. Análise de Pós-Encurvadura (ANLE) ............................................................................................. 40 2.4.2.1. Comportamento de Pós-Encurvadura ................................................................................. 40 2.4.2.2. Pós-Encurvadura de Barras (modos globais) e de Placas...................................................... 43 2.4.2.3. Pós-encurvadura de secções (modos locais)........................................................................ 47 2.4.3. Interacção entre Modos de Instabilidade. Fenómenos de Plasticidade............................................. 48

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3. CÁLCULO DE PROPRIEDADES DE SECÇÕES........................................................................................... 49 3.1. Resumo ............................................................................................................................................ 49 3.2. Dados gerais .................................................................................................................................... 49 3.2.1. Geometria e dimensões .............................................................................................................. 49 3.2.2. Propriedades do material ............................................................................................................ 50 3.2.2.1. Tensão de cedência média do material (fya) ........................................................................ 50 3.2.3. Limitações ................................................................................................................................. 51 3.3. Secção bruta aproximada .................................................................................................................. 52 3.3.1. Cálculo de propriedades – Método do anexo C do EC3-1-3 ......................................................... 55 3.3.2. Tensões axiais associadas a esforços máximos na secção bruta (sem instab.) .................................. 56 3.4. Propriedades “exactas”...................................................................................................................... 57 3.5. Organigramas .................................................................................................................................. 58 4. RESISTÊNCIA DE SECÇÕES .................................................................................................................... 61 4.1. Resumo ............................................................................................................................................ 61 4.2. Classificação de secções ................................................................................................................... 61 4.3. Secções de classe 4 - propriedades efectivasp ...................................................................................... 66 4.3.1. Secção efectivap para a instabilidade local – cálculo das larguras efectivasp .................................... 68 4.3.1.1. Cálculo da largura efectivap de um elemento...................................................................... 69 4.3.2. Secção efectivap para a instab. distorcional – cálculo de espessuras reduzidas ................................ 74 4.4. Resistência de secções....................................................................................................................... 79 4.4.1. Esforço axial de tracção.............................................................................................................. 79 4.4.2. Esforço axial de compressão ....................................................................................................... 79 4.4.3. Momento-flector em torno dos eixos principais de inércia .............................................................. 81 4.4.3.1. Definições auxiliares ......................................................................................................... 81 4.4.3.2. Flexão simples.................................................................................................................. 84 4.4.3.3. Flexão desviada ............................................................................................................... 86 4.4.4. Esforço transverso ...................................................................................................................... 86 4.4.5. Forças Concentradas.................................................................................................................. 88 4.4.5.1. Secções com uma única alma não reforçada...................................................................... 89 4.4.5.2. Secções com múltiplas almas não reforçadas ..................................................................... 93 4.4.6. Flexão composta desviada com tracção ....................................................................................... 95 4.4.7. Flexão composta desviada com compressão ................................................................................ 95 4.4.8. Flexão composta e esforço transverso .......................................................................................... 96 4.4.9. Flexão composta e força concentrada ou reacção de apoio .......................................................... 96 4.5. Organigramas .................................................................................................................................. 97 5. RESISTÊNCIA DE BARRAS...................................................................................................................... 103 5.1. Resumo .......................................................................................................................................... 103 5.2. Introdução...................................................................................................................................... 103 5.3. Esforços críticos de encurvadura global............................................................................................. 105 5.3.1. Comprimento de encurvadura de colunas comprimidas .............................................................. 105 5.3.1.1. Factores de distribuição de rigidez ................................................................................... 106 5.3.1.2. Comprimentos encurvadura ............................................................................................ 108 vi

ÍNDICE

5.4. Resistência de barras ....................................................................................................................... 110 5.4.1. Esforço axial de compressão ..................................................................................................... 111 5.4.2. Momento-flector em torno dos eixos principais de inércia ............................................................ 113 5.4.3. Flexão composta desviada com compressão .............................................................................. 114 5.4.4. Flexão composta desviada com tracção ..................................................................................... 115 5.5. Organigramas ................................................................................................................................ 116 6. CONCLUSÃO...................................................................................................................................... 117 6.1. Considerações finais ....................................................................................................................... 117 6.2. Alguns comentários finais................................................................................................................. 119 ANEXO A. CÁLCULO APROXIMADO DE PROPRIEDADES ........................................................................... 123 A.1. Método do anexo C do EC3-1-3...................................................................................................... 123 A.1.1. Ângulo (positivo) do elemento k com a horizontal ....................................................................... 123 A.1.2. Cálculo do comprimento do elemento k..................................................................................... 124 A.1.3. Cálculo da área da secção ....................................................................................................... 124 A.1.4. Cálculo do centro geométrico do elemento k.............................................................................. 124 A.1.5. Momento estático da secção em torno de y0 no ponto O............................................................ 124 A.1.6. Momento estático da secção em torno de z0 no ponto O............................................................ 124 A.1.7. Coordenadas do centro de gravidade da secção segundo os eixos y0 e z0................................... 124 A.1.8. Coordenadas do elemento k segundo os eixos y e z no centro de gravidade ................................. 124 A.1.9. Inércia do elemento k em torno dos seus eixos principais de inércia ............................................. 124 A.1.10. Inércia da secção em torno de y no seu centro de gravidade..................................................... 125 A.1.11. Inércia da secção em torno de z no seu centro de gravidade..................................................... 125 A.1.12. Inércia da secção em torno de yz no seu centro de gravidade ................................................... 125 A.1.13. Inércia aproximada da secção em torno de y0 no seu centro de gravidade ................................ 125 A.1.14. Inércia aproximada da secção em torno de z0 no seu centro de gravidade................................. 126 A.1.15. Inércia aproximada da secção em torno de yz no seu centro de gravidade ................................. 126 A.1.16. Eixos principais de inércia da secção ....................................................................................... 126 A.1.17. Inércia de torsão de Saint-Venant da secção ............................................................................ 127 A.1.18. Coordenadas sectoriais .......................................................................................................... 127 A.1.19. Coordenadas sectoriais médias............................................................................................... 127 A.1.20. Constantes sectoriais.............................................................................................................. 127 A.1.21. Coordenadas do centro de corte da secção segundo os eixos y0, z0, y e z ................................. 128 A.1.22. Constante de empenamento da secção ................................................................................... 128 A.1.23. Coordenadas sectoriais em relação ao centro de corte ............................................................. 128 A.1.24. Coordenadas dos nós do elem. k segundo os eixos u e v no centro de gravidade ....................... 128 A.1.25. Momento de Inércia Polar em relação ao centro de corte ......................................................... 128 A.1.26. Coordenadas das fibras extremas do elemento k segundo os eixos u e v .................................... 128 A.1.27. Coordenadas das fibras extremas da secção segundo os eixos u e v .......................................... 129 A.1.28. Factores uj e vj para o cálculo de esforços críticos elásticos da secção ....................................... 129 A.1.29. Tensões axiais para esforços máximos no nós do elem. k segundo os eixos u e v ........................ 130 A.1.30. Tensões axiais para esforços máximos nas fibras extremas segundo os eixos u e v....................... 130 ANEXO B. SECÇÕES SEM REFORÇOS...................................................................................................... 131 B.1. Dados iniciais ................................................................................................................................. 131 B.1.1. Secção real ............................................................................................................................ 131 B.2. Métodos aproximados ..................................................................................................................... 131 vii


B.2.1. Propriedades da secção bruta...................................................................................................131 B.2.2. Propriedades de secções efectivas .............................................................................................137 ANEXO C. SECÇÕES COM REFORÇOS SIMPLES .......................................................................................141 C.1. Dados iniciais................................................................................................................................. 141 C.1.1. Secção real .............................................................................................................................141 C.2. Métodos aproximados..................................................................................................................... 142 C.2.1. Propriedades da secção bruta...................................................................................................142 C.2.2. Propriedades de secções efectivas .............................................................................................147 ANEXO D. SECÇÕES COM REFORÇOS DUPLOS.......................................................................................151 D.1. Dados iniciais................................................................................................................................. 151 D.1.1. Secção real .............................................................................................................................151 D.2. Métodos aproximados..................................................................................................................... 152 D.2.1. Propriedades da secção bruta...................................................................................................152 D.2.2. Propriedades de secções efectivas .............................................................................................157 ANEXO E. SECÇÕES EFECTIVAS – PROCESSOS ITERATIVOS ......................................................................163 E.1. Resumo .......................................................................................................................................... 163 E.2. Secções de classe 4 - propriedades efectivasp .................................................................................... 163 E.2.1. Secção efectivap para a instabilidade local – cálculo das larguras efectivasp .................................163 E.2.2. Secção efectivap para a instab. distorcional – cálculo de espessuras reduzidas..............................164 E.2.3. Secções efectivasp – encadeamento dos processos iterativos........................................................166 ANEXO F. EXEMPLO NUMÉRICO ..............................................................................................................169 F.1. Resumo .......................................................................................................................................... 169 F.2. Dados gerais .................................................................................................................................. 169 F.3. Cálculo de propriedades.................................................................................................................. 170 F.3.1. Propriedades da secção bruta...................................................................................................170 F.3.1.1. Secção e linha média.........................................................................................................170 F.3.1.2. Tensão de cedência média do material (fya)..........................................................................181 F.3.1.3. Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta (sem instab.)......................................182 F.3.2. Classificação de secções ..........................................................................................................184 F.3.2.1. Alma.................................................................................................................................184 F.3.2.2. Banzos ..............................................................................................................................184 F.3.2.3. Reforços............................................................................................................................185 F.3.3. Propriedades de secções efectivasp ............................................................................................186 F.3.3.1. Secções efectivasp – instabilidade local ................................................................................186 F.3.3.2. Secções efectivasp – instabilidade distorcional ......................................................................202 F.4. Resistência de secções ..................................................................................................................... 225 F.4.1. Esforço axial de tracção ...........................................................................................................225 F.4.2. Esforço axial de compressão.....................................................................................................226 F.4.2.1. Desvios do centro geométrico das secções efectivasp em relação à secção bruta ....................226 F.4.3. Momento flector em torno dos eixos principais de inércia............................................................226 F.4.3.1. Definições auxiliares...........................................................................................................226 viii

ÍNDICE

F.4.3.2. Flexão simples .................................................................................................................. 228 F.4.3.3. Flexão desviada ................................................................................................................ 229 F.4.4. Flexão desviada composta com tracção.................................................................................... 230 F.4.5. Flexão desviada composta com compressão ............................................................................. 231 F.5. Resistência de barras ....................................................................................................................... 233 F.5.1. Esforços críticos de encurvadura global .................................................................................... 233 F.5.1.1. Esforço axial crítico elástico ............................................................................................... 233 F.5.1.2. Momento flector crítico elástico .......................................................................................... 234 F.5.2. Esforço axial de compressão.................................................................................................... 235 F.5.3. Flexão simples ........................................................................................................................ 236 F.5.4. Flexão desviada composta com compressão ............................................................................. 238 F.5.4.1. Factores de interacção ...................................................................................................... 240 F.5.5. Flexão desviada composta com tracção.................................................................................... 241 REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................... 243

ix


x

SIMBOLOGIA

SIMBOLOGIA

LISTA DE SIMBOLOS h, b, c e d

Larguras ou alturas medidas pelo exterior da secção bruta;

t

Espessura das paredes da secção bruta;

αn

Ângulos entre paredes da secção;

rn

Raios interiores de dobragem dos cantos curvos da secção;

E

Módulo de elasticidade do material que compõe o perfil;

ν

Coeficiente de poisson do material que compõe o perfil;

G

Módulo de distorção do material que compõe o perfil;

fyb, fya

Tensão de cedência base e média do material que compõe o perfil;

fu

Tensão última do material que compõe o perfil;

γM0

Coeficientes parciais de segurança de resistência;

γM1

Coeficientes parciais de segurança de resistência com instabilidade associado a verificação de barras;

γM2

Coeficientes parciais de segurança de resistência na rotura de secções à tracção;

Δn

Correcção do comprimento medido pelo exterior das paredes da secção para comprimento da linha média idealizada;

φn

Ângulo entre uma linha perpendicular à linha média e a bissectriz do ângulo entre as paredes da secção;

grn

Correcção do comprimento da linha média das paredes da secção para comprimento da linha média nominal;

δ

Factor de correcção de propriedades para ter em conta os cantos curvos; Deslocamento;

y0, z0

Sistema de coordenadas auxiliar inicial; xi


s

Comprimento da secção ou de uma parede da secção;

A

Área da secção ou de uma parede da secção;

y0.cg, z0.cg

Coordenadas do centro de gravidade no referencial y0 e z0;

Sy0, Sz0

Momentos estáticos em torno de y0 e z0 da secção ou de uma parede da secção;

y, z

Sistema de coordenadas paralelo a y0 e z0 no centro de gravidade;

yθl, zθl

Eixos principais de inércia de uma parede da secção, respectivamente, perpendicular e paralelo à sua linha média;

Iyθl, Izθl

Momentos de inércia de uma parede da secção em torno dos seus eixos principais de inércia no seu centro de gravidade;

Iy0l, Iz0l

Momentos de inércia de uma parede da secção em torno de um referencial paralelo a y0 e z0 no seu centro de gravidade;

Iyz0l

Produto de inércia de uma parede da secção em torno de um referencial paralelo a y0 e z0 no seu centro de gravidade;

Iy0, Iz0

Momentos de inércia de uma parede da secção em torno y0 e z0 no centro de gravidade da secção;

Iyz0

Produto de inércia de uma parede da secção em torno y0 e z0 no centro de gravidade da secção;

Iy, Iz

Momentos de inércia de uma parede da secção em torno y e z no centro de gravidade da secção;

Iyz

Produto de inércia de uma parede da secção em torno y e z no centro de gravidade da secção;

β

Ângulo dos eixos principais de inércia u e v com os eixos y e z;

u, v

Eixos principais de inércia;

Iu, Iv

Momentos de inércia de uma parede da secção em torno dos seus eixos principais de inércia;

It

Inércia de torção de Saint-Venant da secção ou de uma parede da secção;

Wt

Módulo de torção da secção;

ω0

Coordenadas sectorial de uma parede da secção;

ωi

Coordenadas sectorial no nó i de uma parede da secção;

Sω0

Coordenadas sectoriais da secção;

ωmean

Coordenada sectorial média da secção;

Iyω0, Izω0, Iωω0

Constantes sectoriais associadas aos eixos y0 e z0;

Iyω, Izω, Iωω

Constantes sectoriais associadas aos eixos y e z;

Iw

Constante de empenamento da secção;

ωs

Coordenada sectorial em relação ao centro de corte;

ωmax

Máxima coordenada sectorial em relação ao centro de corte;

xii

SIMBOLOGIA

Ww

Módulo de empenamento;

Ip

Momento de inércia polar em relação ao centro de corte;

Δu , Δv

Diferença de coordenadas das extremidades de uma parede de uma secção em relação aos eixos principais de inércia u e v;

uj, vj

Factores de não simetria uj e vj para o cálculo de esforços críticos elásticos;

σ

Tensão longitudinais presentes na secção;

σcom,Ed

Máxima tensão longitudinais de compressão presente na secção;

λ, λ

Esbeltezas e esbeltezas normalizadas;

ρ

Factor de redução para obtenção das larguras efectivasp;

kσ

Factor de encurvadura associado à tensão crítica elástica de placa;

χ

Factor de redução de resistências por instabilidade;

ψ

Relação entre tensões ou extensões;

ε

Coeficiente dependente de fy. Extensões;

Wpl

Módulo plástico da secção;

Wel,min

Menor módulo elástico da secção;

Wel,max

Maior módulo elástico da secção;

NOTAÇÃO s

Grandeza associada à secção idealizada;

p

Grandeza associada à secção nominal;

eff

Grandeza associada a secção efectiva;

NL

Grandeza associada instabilidade local devido a esforço axial de compressão;

ND

Grandeza associada instabilidade distorcional devido a esforço axial de compressão;

MuL+

,

MuD+

,

MvL+

,

MvD+

,

MuL-

Grandeza associada instabilidade local devido a momento flector em torno do eixo principal de maior inércia;

MuD-

Grandeza associada instabilidade distorcional devido a momento flector em torno do eixo principal de maior inércia;

MvL-

Grandeza associada instabilidade local devido a momento flector em torno do eixo principal de menor inércia;

MvD-

Grandeza associada instabilidade distorcional devido a momento flector em torno do eixo principal de menor inércia;

xiii


xiv

INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 1

1. INTRODUÇÃO

1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS Na construção metálica são utilizados três tipos de elementos estruturais de aço [1.2]: (i) perfis laminados a quente, (ii) perfis de chapa soldada e (iii) perfis de chapa fina enformados a frio. Este último tipo de elementos estruturais metálicos, com uma crescente utilização na indústria da construção, é obtido a partir de chapas de pequena espessura (0.4mm a 6.0mm) através da dobragem desta por meios mecânicos (quinagem e laminagem a frio) obtendo-se assim a forma desejada, tipicamente definida por dobras principais que definem almas e banzos, e dobras intermédias ou de extremidade que definem reforços que aumentam a rigidez das suas paredes. As principais vantagens da utilização de perfis de aço enformados a frio são: • Elevada eficiência estrutural, expressa pela óptima relação entre a elevada resistência mecânica e o reduzido peso (ver Figura 1.1); • Os elementos estruturais de aço enformados a frio podem ser fabricados para suportarem cargas reduzidas e, desta forma, optimizar o material empregue. Pelo contrário, os elementos de aço laminados a quente têm geometrias mínimas (limite) pré-definidas, o que obriga muitas vezes ao sobredimensionamento das peças para cargas reduzidas; • Grande versatilidade de fabrico, traduzida pela possibilidade de produzir economicamente elementos com uma gama variadíssima de geometrias e dimensões; • Algumas secções são produzidas com a possibilidade de encaixarem sucessivamente umas nas outras, permitindo uma maior economia no seu armazenamento e transporte; • Possibilidade de pré-fabricação em larga escala; • Elevada rapidez de montagem (ver Figura 1.1); • Grande facilidade de manutenção; • Inexistência de retracção e/ou fluência à temperatura ambiente; • Inexistência de susceptibilidade ao ataque de fungos, xilófagos e térmitas; • Apresentação de uma qualidade uniforme; • Constituição de um material (aço) totalmente reciclável e, por isso, exibindo uma elevadíssima sustentabilidade.

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Figura 1.1 – Facilidade e rapidez de montagem. Peso próprio reduzido.

As principais desvantagens da utilização de perfis de aço enformados a frio são: • Comportamento estrutural que envolve vários fenómenos de instabilidade, alguns inexistentes ou pouco relevantes nos perfis de aço laminados a quente; • Cálculo de resistência de secções e barras mais complexo que noutros tipos de elementos estruturais de aço; • As relações geométricas cobertas por ensaios associadas incluem secções relativamente tipificadas e limitadas. O desenvolvimento de tecnologias que permitiram a enformagem a frio deve-se, em primeiro lugar, às indústrias automóvel e aeronáutica. Na indústria da construção, a sua utilização remonta à primeira metade do século XX mas apenas a partir de 1940 ocorre a sua aplicação em edifícios com um carácter mais sistemático. Este facto coincide com a publicação em 1946 pelo AISI (American Iron and Steel Insitute) das primeiras disposições regulamentares relativas ao comportamento estrutural deste tipo de elementos, que tiveram como base o trabalho de investigação desenvolvido pelo Prof. George Winter na Universidade de Cornell, desde 1939. Nas últimas décadas, a construção com estrutura de aço leve tem sido uma séria competidora da construção mais tradicional em países como os Estados Unidos da América, Canadá, Austrália e em vários países da Europa. Em Portugal, este tipo de estruturas tem sido utilizada essencialmente em substituição de perfis laminados a quente correntemente utilizados como madres de sistemas de suporte de coberturas ou fachadas. No entanto, a sua aplicação na construção de moradias residenciais unifamiliares tem aumentado substancialmente nos últimos anos. A sua procura por parte dos projectistas produziu um efeito colateral traduzido no aumento do número de fabricantes e empreiteiros especializados na construção em aço leve. Por outro lado, a aplicação de elementos estruturais de aço enformados a frio em remodelação e reabilitação de estruturas antigas (Figura 1.2) tornou-se bastante interessante e competitiva relativamente a outras soluções tradicionais. Tal facto é devido à sua baixa relação peso/resistência (Figura 1.1) e por não sofrer das patologias tipicamente associadas às estruturas de madeira (aumento da deformação ao longo do tempo por efeito da fluência; ataque de fungos e xilófagos; apodrecimento, etc.). 2

INTRODUÇÃO

Figura 1.2 – Aplicação a intervenções de remodelação e reabilitação.

Em Portugal, a verificação da segurança de estruturas de aço enformadas a frio começou por ser regida através da utilização de regras empíricas “importadas” dos Estados Unidos da América (“Método Prescritivo” [1.3, 1.4]), apesar de já existirem algumas versões regulamentares provisórias e posteriormente as pré-normas europeias (versões preliminares dos denominados Eurocódigos estruturais). Ao envolver fenómenos de instabilidade complexos, o cálculo da resistência de elementos estruturais de aço enformados a frio constitui um processo moroso, envolvendo em alguns casos procedimentos de dimensionamento iterativos. Durante a fase de desenvolvimento do Eurocódigo 3 [1.10-1.14] (presentemente, diversas partes foram já aprovadas como normas europeias) foram sendo apresentadas sistemáticas correcções e alterações no processo de cálculo de resistência de secções e barras. Apesar de se ter mantido inalterada a filosofia de dimensionamento, aparentemente não se produziram suficientes trabalhos de síntese sobre o dimensionamento de estruturas de aço enformadas a frio nem foram desenvolvidos algoritmos e programas de cálculo automático que facilitem a sua utilização e adopção pela comunidade técnica. 1.2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS 1.2.1. Tipos de elementos estruturais Relativamente à sua configuração, os elementos de aço enformados a frio podem ser classificados em dois tipos: (i) perfis e (ii) painéis. Os perfis (ver Figura 1.3) são peças lineares (barras prismáticas) fabricados com chapas de aço de espessura entre 1.2 e 6.4mm. As configurações geométricas das secções mais comuns são em U, C, Z, “Hat” e “Rack”. Os painéis de chapa e chapas perfiladas (ver Figura 1.4) são peças laminares cuja superfície média é, normalmente, poligonal, são fabricados a partir de chapas de aço com espessura entre 0.5 e 1.9mm, e são utilizados em lajes mistas de aço-betão ou em estruturas de suporte de paredes, pavimentos e coberturas.

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Figura 1.3 – Perfis de aço enformados a frio.

Figura 1.4 – Painéis de chapa e chapas perfiladas de aço enformados a frio.

1.2.2. Processos de fabrico No que diz respeito à produção de elementos estruturais de aço enformados a frio, existem essencialmente duas tecnologias de fabrico: (i) a laminagem a frio (“Cold Rolling” – – Figuras 1.5a e 1.5b) e (ii) a quinagem (“Press braking” – Figura 1.6).

Figura 1.5a – Laminagem a frio (“Cold Rolling”).

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INTRODUÇÃO

Figura 1.5b – Laminagem a frio (“Cold Rolling”).

Figura 1.6 – Quinagem (“Press braking”).

A laminagem a frio é o processo de fabrico mais correntemente utilizado, pois conduz a uma produção sistematizada, normalizada e extremamente eficiente. Utiliza-se sempre que se pretendem atingir grandes quantidades de produção e perfis com elevada complexidade. Por outro lado, a quinagem é um processo menos industrializado e por isso essencialmente utilizado para a realização de secções relativamente simples e associado a pequenas quantidades de produção. 5


1.2.3. Comportamento estrutural Como se referiu anteriormente, o comportamento estrutural dos perfis de aço enformados a frio é bastante complexo e susceptível a um certo número de fenómenos, os quais se citam em seguida: a) Instabilidades de natureza local e/ou global, as quais são devidas à elevada esbelteza das chapas (paredes) que constituem as paredes deste tipo de perfis e, no caso das secções de parede fina aberta, à baixa rigidez de torção, ocorrem diversos de tipos de instabilidade (ver Figura 1.7). b) Elevada deformabilidade à torção, devido à baixa rigidez de torção mencionada no ponto anterior, e ao facto de, para diversos tipos de secções, o centro de corte não coincidir com o centro de gravidade (ver Figura 1.7). c) Empenamento, que afecta diversos tipos de secção de parede fina aberta quando sujeitas a torção. Tal como referido por Prola [1.1], o tipo de condições de fronteira de uma barra relativamente a este modo de deformação, têm grande influência na sua resistência mecânica (ver Figura 1.7). d) Existência de Reforços (de extremidade e/ou intermédios), os quais permitem melhorar o comportamento estrutural das secções limitando a sua susceptibilidade à deformação local. Estes asseguram pontos de apoio elástico das paredes da secção, diminuindo o comprimento livre para as mesmas flectirem e aumentando o valor da tensão crítica de instabilidade local (ver Figura 1.8). e) Endurecimento do aço junto dos bordos longitudinais na zona de dobragem da chapa, facto que se traduz por um aumento da tensão de cedência e diminuição da ductilidade do aço nesses bordos (ver Figuras 1.9 e 1.10). f) Colapso da alma (“web crippling”) nas secções onde estão aplicadas forças concentradas ou nas zonas dos apoios, fenómeno que se deve à elevada esbelteza das paredes que constituem as almas (ver Figuras 1.11 e 1.12). Este comportamento pode ser evitado pela aplicação de reforços nessas zonas. No processo construtivo aplicado a edifícios de pequeno porte é corrente aplicar chapas na zona dos apoios que servem simultaneamente para conferir rigidez à torção e aumentar a resistência da alma para cargas concentradas.

Figura 1.7 – Instabilidade local, torção e empenamento.

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INTRODUÇÃO

Figura 1.8 – Evolução da tensão crítica com o n.º de reforços.

Figura 1.9 – Distribuição das tensões ao longo da linha média da secção.

Figura 1.10 – Processo de endurecimento: aço antes e depois da laminagem a frio

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Figura 1.11 – Colapso da alma junto aos apoios.

Figura 1.12 – Colapso da alma na zona de aplicação de cargas concentradas.

1.3. ÂMBITO, OBJECTIVOS E ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 1.3.1. Âmbito e objectivos do trabalho Esta dissertação tem como principal objectivo produzir um trabalho de análise, síntese e sistematização sobre as regras de dimensionamento e verificação de segurança estipuladas no Eurocódigo 3 (Parte 1.3) de elementos de aço enformados a frio. Pretende-se apresentar um conjunto de algoritmos de cálculo necessários à obtenção das resistências de secções e barras de aço de parede fina enformadas a frio, com as diversas variantes e abordagens presentes nas várias versões [1.10-1.14] do Eurocódigo 3. Paralelamente, pretende-se também clarificar os conceitos teóricos e os fenómenos específicos de instabilidade associados a este tipo de elementos, cujo conhecimento por parte da comunidade técnica é ainda muito reduzido. Por essa razão, estes fenómenos são frequentemente ignorados na aplicação as regras dispostas no Eurocódigo 3. Dada a grande versatilidade ao nível do processo de fabrico podem obter-se secções de formas muito distintas. Em virtude de ser possível produzir qualquer secção (forma e dimensões), torna quase impraticável estudar uma gama completa de secções de aço enformadas a frio. Assim, optou-se por desenvolver metodologias que pudessem ser aplicadas de forma genérica às secções mais correntemente utilizadas. As secções consideradas neste trabalho, todas sem reforços intermédios, podem (ou não) apresentar reforços de extremidade, são: • Secções sem reforços de extremidade (ex: C’s e Z’s); • Secções com reforços de extremidade simples (ex: C’s, Z’s e “Hat’s”); • Secções com reforços de extremidade duplos (ex: C’s, Z’s, “Hat’s” e “Rack’s”);

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INTRODUÇÃO

1.3.2. Organização da dissertação Após se ter apresentado as vantagens da utilização de perfis de aço enformados a frio na construção e se ter caracterizado brevemente o seu comportamento estrutural, abordam-se, no Capítulo 2, os principais conceitos relativos à instabilidade de estruturas de parede fina. Julga-se que este capítulo permitirá uma base de apoio para as matérias de carácter mais prático (dimensionamento e verificação de segurança) a apresentar nos capítulos posteriores. No Capítulo 3, descrevem-se algumas metodologias para o cálculo de propriedades de secções, nomeadamente, a apresentada na norma europeia prEN 1993-1-3 [1.8]. No Capítulo 4, explicam-se as metodologias propostas em [1.8] para a obtenção da resistência de secções de elementos estruturais de aço enformados a frio tendo em consideração instabilidades de natureza local e distorcional, para a qual são necessários alguns procedimentos de cálculo de larguras efectivas e de espessuras reduzidas. No Capítulo 5, apresenta-se a metodologia proposta em [1.8] para a obtenção das resistências à encurvadura (instabilidade global) de elementos estruturais de aço enformados a frio. Finalmente, no Capítulo 6 apresentam-se as conclusões do trabalho efectuado. Em virtude do presente trabalho ser muito vocacionado para a explicação das regras regulamentares do EC3-1-3, por vezes um pouco complexas e de difícil compreensão, adoptou-se uma abordagem que consiste em apresentar em anexo tudo o que se considere um pouco excêntrico relativamente aos conceitos principais (descrito no corpo desta dissertação). Assim, existem alguns anexos cujo conteúdo resumido se expõe de seguida. No Anexo A descreve-se a metodologia proposta pelo Eurocódigo para o cálculo aproximado de propriedades de secções, acrescentando algumas fórmulas e possíveis correcções. Nos Anexos B, C e D apresentam-se expressões analíticas para o cálculo de propriedades geométricas de secções abertas compostas por três paredes (i.e., sem reforços), cinco paredes (i.e., com reforços de extremidade simples) e sete paredes (i.e., com reforços de extremidade duplos), respectivamente. Finalmente, no Anexo E apresenta-se um exemplo ilustrativo bastante desenvolvido com todos os resultados parciais envolvidos na verificação de segurança à encurvadura de uma barra composta por uma secção de aço de parede fina enformada a frio sujeita a flexão desviada com compressão.

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CONCEITOS TEÓRICOS

CAPÍTULO 2

2. CONCEITOS TEÓRICOS

2.1. RESUMO No presente capítulo abordam-se os principais conceitos subjacentes à Estabilidade de Estruturas, com especial ênfase no comportamento de estruturas com secção de parede fina. Nos pontos 2.2 e 2.3, apresenta-se o conceito de estabilidade do equilíbrio e descrevem-se os tipos de instabilidade estrutural (instabilidade bifurcacional e instabilidade por ponto limite), analisando a instabilidade bifurcacional com maior detalhe. No ponto 2.4 são abordados diversos conceitos necessários para a caracterização do comportamento de estabilidade e pósencurvadura de barras com secção de parede fina. Em primeiro lugar, apresentam-se e caracterizam-se os tipos de instabilidade que ocorrem em barras com secção de parede fina aberta, nomeadamente os modos de instabilidade local de placa, distorcional e global. Em seguida, apresentam-se algumas deduções de (i) cargas e momentos críticos de instabilidade global (instabilidade por flexão-torção de colunas e instabilidade lateral de vigas) e (ii) tensões críticas de bifurcação de placas. A dedução destas expressões julga-se útil para posterior utilização nos Capítulos 4 e 5, aquando da resistência de elementos estruturais. Finalmente, aborda-se sumariamente o comportamento de pós-encurvadura dos mesmos elementos estruturais referidos anteriormente. Em particular, descreve-se o conceito de “largura efectiva” de placas comprimidas. Por último, refere-se que muitos dos conceitos descritos neste capítulo foram objecto de pesquisa bibliográfica, para a qual muito contribuíram a tese de Prola [2.1] e o livro de Reis e Camotim [2.2]. 2.2. CONCEITO DE ESTABILIDADE DO EQUÍLIBRIO Uma estrutura sujeita a um sistema de forças exteriores exibe uma configuração de equilíbrio caracterizada pelos valores dos deslocamentos dos seus pontos. O comportamento da estrutura, após sofrer uma “perturbação” causada por uma pequena acção exterior (arbitrária), permite avaliar a estabilidade da sua configuração de equilíbrio. A configuração de equilíbrio diz-se: (i) “estável” se a estrutura regressar à sua posição inicial após cessar a perturbação; (ii) “instável” se nunca regressar à sua posição inicial; (iii) “neutro” se mantiver a sua posição independentemente da acção. O conceito de estabilidade do equilíbrio é aplicável quer ao estudo da mecânica (cinemática e dinâmica) dos corpos rígidos como ao estudo do equilíbrio de sistemas estruturais deformáveis (comportamentos elástico, elasto-plástico, rigido-plástico). Para ilustrar este conceito, observe-se a Figura 2.1, a qual contém uma esfera rígida submetida à acção do seu peso próprio e em repouso sobre:

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• Uma superfície côncava: a esfera está em equilíbrio estável; • Uma superfície convexa: a esfera está em equilíbrio instável; • Uma superfície horizontal: a esfera está em equilíbrio neutro;

(a)

(b)

(c)

Figura 2.1 – Conceito de estabilidade do equilíbrio [2.2]: (a) equilíbrio estável; (b) equilíbrio instável; (c) equilíbrio neutro

2.3. TIPOS DE INSTABILIDADE ESTRUTURAL A transição entre configurações de equilíbrio estáveis e instáveis de uma determinada trajectória de equilíbrio (relação carga-deslocamento) corresponde à instabilidade dessa mesma estrutura, a qual pode surgir de dois modos distintos: (i) Ocorrência de uma bifurcação de equilíbrio, fenómeno designado por instabilidade bifurcacional (ver Figuras 2.2 e 2.3);

(a)

(b)

(c)

Figura 2.2 – Tipos de estruturas sujeitas a instabilidade bifurcacional: (a) coluna; (b) placa; (c) coluna tubular

Figura 2.3 – Trajectória de equilíbrio associada a instabilidade bifurcacional.

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CONCEITOS TEÓRICOS

(ii) Ocorrência de um ponto limite, i.e., de um ponto onde a trajectória de equilíbrio (não linear) tem derivada nula. Se a carga for aumentada, a estrutura “passa”, dinamicamente, para uma configuração de equilíbrio afastada (ver Figuras 2.4 e 2.5). Este fenómeno designa-se por instabilidade por ponto limite ou instabilidade por “snapthrough”.

(a)

(b)

Figura 2.4 – Estruturas sujeitas a instabilidade por “snap-through”: (a) arco abatido (h/l <<1); (b) calote esférica.

Figura 2.5 – Trajectória de equilíbrio associada a instabilidade por “snap-through”.

Os elementos estruturais que serão abordados no desenvolvimento deste trabalho (colunas, vigas, vigas-coluna) estão sujeitas a instabilidade bifurcacional, pelo que apenas se descreve mais detalhadamente este tipo de instabilidade. 2.3.1. Instabilidade bifurcacional Tipicamente um problema de instabilidade bifurcacional é caracterizado (tal como apresentado na Figura 2.3) pela existência de: • Uma trajectória de equilíbrio fundamental (linear ou não linear), que se inicia na origem do diagrama carga-deslocamento; • Uma trajectória de equilíbrio de pós-encurvadura, que não passa pela origem do diagrama carga-deslocamento; • Um ponto de bifurcação, que corresponde à intersecção das duas trajectórias e no qual as configurações de equilíbrio da trajectória fundamental passam de estáveis a instáveis. A análise de um problema deste tipo envolve a determinação: (i) Das coordenadas do ponto de bifurcação (em particular da ordenada, designada por “carga de bifurcação”);

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(ii) Da configuração deformada exibida pela estrutura quando ocorre a bifurcação (“modo de instabilidade”); (iii) Das propriedades da trajectória de pós-encurvadura (sobretudo na vizinhança do ponto de bifurcação). De referir que o diagrama de carga-deslocamento da Figura 2.3 é relativo a estruturas “ideais”, na medida em que não incorporam nenhumas imperfeições iniciais. Em estruturas “reais” (com imperfeições) não existe bifurcação e a aproximação das trajectórias de equilíbrio às da estrutura perfeita (fundamental e de pós-encurvadura) é tanto maior quanto menor for a amplitude da imperfeição. 2.4. ESTABILIDADE DE BARRAS COM SECÇÃO DE PAREDE FINA ABERTA O comportamento estrutural e a resistência última de barras com secção de parede fina aberta (colunas, vigas e colunas-viga) são fortemente afectados pela ocorrência de diversos fenómenos de instabilidade de natureza geometricamente não linear. Esses fenómenos de instabilidade podem ser de dois tipos: (i) Fenómenos de instabilidade “global” – são caracterizados pela ocorrência de deformação do eixo da barra, sofrendo as suas secções transversais unicamente deslocamentos de corpo rígido no seu próprio plano (1 rotação e 2 translações, no caso mais geral). São exemplos,bem conhecidos, (i1) a instabilidade de colunas (barras comprimidas), por flexão ou flexão-torção, e (i2) a instabilidade lateral de vigas (barras flectidas), por flexão-torção (Figura 2.6). (ii) Fenómenos de instabilidade “local” – envolvem, essencialmente, deformações das paredes da barra, permanecendo o seu eixo na configuração indeformada. Conforme se verá adiante, é ainda conveniente distinguir entre fenómenos de instabilidade local associados (ii1) apenas a deslocamentos de flexão das paredes (i.e., os bordos longitudinais do perfil permanecem indeformados) e (ii2) também a deslocamentos de membrana (i.e., que provocam deformações nos bordos longitudinais) – ver Figura 2.6. No que diz respeito ao comportamento de estabilidade, uma barra com secção de parede fina pode ser classificada de acordo com o seu comprimento: (i) “Barra curta” (“Secção” ou “Célula”), se a instabilidade ocorrer num modo local. (ii) “Barra longa”, se a instabilidade ocorrer, essencialmente, num modo global. (iii) “Barra intermédia”, se a instabilidade ocorrer numa combinação de um modo local com um modo global – interacção entre modos locais e globais. Para determinar o comportamento geometricamente não linear de um elemento estrutural recorre-se habitualmente a: (i) Análises Lineares de Estabilidade (ALE) – Determinação do valor da tensão crítica de bifurcação e a forma do respectivo modo de instabilidade; (ii) Análises Não Lineares de Estabilidade (ANLE) – Determinação do comportamento de pós-encurvadura (e.g., trajectórias de equilíbrio, distribuições de tensões); 14

CONCEITOS TEÓRICOS

(a)

(d)

(b)

(e)

(c)

(f)

(g)

Figura 2.6 – Viga de secção em C com reforços de extremidade: (a) MLP; (b) MD; (c) MGFT Coluna com secção em C com reforços de extremidade: (d) MLP; (e) MD; (f) MGF; (g) MGFT

Esta subdivisão em dois tipos de análise deve-se essencialmente ao facto de, do ponto de vista prático, não ser necessária a caracterização integral do comportamento de pós-encurvadura do elemento, bastando para isso os resultados de uma análise linear de estabilidade (e.g., conceito de largura efectiva). Na análise linear de estabilidade (ALE), admite-se que a barra é geometricamente perfeita (“ideal”) e, em rigor, é necessário resolver um problema de valores próprios (tensões de bifurcação) e funções próprias (modos de instabilidade). No entanto, numa grande maioria dos casos, o campo de deslocamentos da barra é discretizado num certo número de graus de liberdade e, então, é-se conduzido a um problema de valores e vectores (em vez de funções) próprios. Na análise não linear de estabilidade (ANLE), a determinação da trajectória de equilíbrio (comportamento de pós-encurvadura) obriga, invariavelmente, ao recurso a técnicas numéricas relativamente sofisticadas (métodos incrementais-iterativos). Finalmente, refere-se que os fenómenos de estabilidade podem ocorrer tanto em fase elástica como em fase elasto-plástica. No entanto, e dada a elevada esbelteza que caracteriza os elementos estruturais do aço enformados a frio, estes fenómenos ocorrem quase sempre em regime elástico (a plasticidade surge apenas na fase avançada de pós-encurvadura). 2.4.1. Análise Linear de Estabilidade (ALE) Em problemas de instabilidade bifurcacional em que a trajectória fundamental é linear e em que apenas se pretende determinar as cargas de bifurcação e os correspondentes modos de instabilidade, é suficiente efectuar uma “análise linear de estabilidade”. Concretamente, a realização de uma ALE corresponde (i) à identificação dos pontos da trajectória fundamental onde existe uma configuração de equilíbrio adjacente e (ii) à caracterização cinemática dessa nova configuração de equilíbrio [2.2] (ver Figura 2.7). 15


(a)

(b)

Figura 2.7 – (a) Instabilidade bifurcacional e (b) configuração adjacente.

Do ponto de vista matemático, efectuar uma ALE de um sistema estrutural contínuo corresponde a resolver um problema de valores e funções próprios. A formulação do problema da procura das configurações adjacentes à trajectória fundamental onde existe equilíbrio pode ser feita [2.1]: (i) Através do estabelecimento das equações diferenciais (sistemas contínuos) ou algébricas (sistemas discretos) de equilíbrio, com base em considerações e raciocínios efectuados directamente a partir da configuração deformada do sistema estrutural. (ii) Através da definição da energia potencial total do sistema estrutural e da utilização do principio de estacionariedade que lhe está associado (Principio da Estacionariedade da Energia Potencial - PEEP). Esta abordagem é apenas válida no caso de o trabalho das forças aplicadas ser conservativo e, por isso, poder ser traduzido pela variação de um potencial (e.g., estrutura ser constituída por um material elástico). Para qualquer um deles, a solução exacta do referido sistema de equações de equilíbrio é possível apenas em muito poucas situações, o que obriga a recorrer a métodos aproximados, a esmagadora maioria dos quais “substitui” a estrutura real por um sistema estrutural discreto (“discretização da estrutura”), o qual é, posteriormente, resolvido exactamente. Os métodos mais conhecidos são os métodos das Diferenças Finitas, dos Integrais Finitos, de Rayleigh-Ritz, Galerkin, dos Elementos Finitos (MEF), das Faixas Finitas (MFF) e a Teoria Generalizada de Vigas (GBT). O MEF, é sem dúvida o mais utilizado dos métodos numéricos, na medida em que permite modelar, adequadamente, os vários aspectos que influenciam o respectivo comportamento estrutural e simular com precisão fenómenos de instabilidade com elevado grau de complexidade. A crescente tendência para a realização de ALE em aplicações correntes (dimensionamento e projecto) e o facto de os elementos estruturais de aço enformados a frio serem, praticamente sempre, prismáticos, estão na origem do desenvolvimento de métodos numéricos especificamente destinados à análise deste tipo de sistemas estruturais, os quais apresentam uma elevada precisão e não requerem uma elevada capacidade computacional (como o MEF). Encontram-se nessa categoria o método das faixas finitas (MFF) e a Teoria Generalizada de Vigas (GBT). 2.4.1.1. Tensões de Bifurcação e Modos de Instabilidade Tal como referido anteriormente, do ponto de vista da estabilidade, uma barra composta por uma secção de parede fina aberta, está sujeita a fenómenos de instabilidade globais (secção 16

CONCEITOS TEÓRICOS

sofre movimentos de corpo rígido) e locais (secção sofre movimentos que envolvem distorção das suas paredes entre si). Por uma questão de simplicidade da exposição, estes fenómenos de instabilidade são usualmente apresentados em separado; no entanto, eles não são independentes uns dos outros (nomeadamente, pela ocorrência de modos mistos) e relacionam-se em função (i) do comprimento da barra, (ii) da forma e dimensões da sua secção transversal e (iii) das condições de fronteira, i.e., das restrições aos deslocamentos e rotações que existem nas secções (externas e/ou interiores). Actualmente, a utilização de programas de cálculo numérico torna possível analisar uma barra deste tipo, focando simultaneamente todos os aspectos que influenciam a estabilidade elástica da secção (valor da tensão crítica de bifurcação e forma do correspondente modo de instabilidade). A forma mais genérica de apresentar o comportamento de estabilidade de uma determinada secção consiste em mostrar a sua curva de estabilidade, a qual permite visualizar a variação tensão de bifurcação σb com o comprimento a da barra. Nas Figuras 2.8a-2.8c, apresentam-se qualitativamente curvas de estabilidade relativas ao comportamento de vigas com secção em C com reforços de extremidade com três espessuras diferentes, que descrevem, qualitativamente, a variação do “coeficiente de encurvadura” kσ, com a tensão de bifurcação σb através da expressão: π2 ⋅ E ⎛h⎞ σb = k σ ⋅ ⋅⎜ ⎟ 2 12 ⋅ (1 − ν ) ⎝ t ⎠

2

(2.1)

com a relação (a/h), representada em escala logarítmica. As dimensões h, e t são a largura da alma e a espessura da parede, e E e v são o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do aço. Estas curvas podem ser obtidas através do programa de faixas finitas CUFSM [2.21, 2.22] ou do programa baseado na teoria generalizada de vigas GBTUL [2.23]. Nesta análise admite-se que o modo de instabilidade exibe um único semi-comprimento de onda (n=1, a que estão associados os conceitos de barras “curtas”, “intermédias” e “longas” exposto no início do ponto 2.4). As secções transversais analisadas diferem entre si apenas na espessura da parede que tem sempre valor crescente entre as três secções analisadas (t1 < t2 < t3). Qualquer uma das curvas apresenta dois mínimos locais. Enquanto o primeiro mínimo local (para comprimentos curtos) corresponde a uma bifurcação no Modo Local de Placa (MLP), o segundo mínimo (para comprimentos intermédios) está associado à bifurcação no Modo Distorcional (MD). Para barras longas, existe sempre um último troço “descendente associado a uma bifurcação no Modo Global de Flexão-Torção (MGFT), correntemente designado de Modo Global de Instabilidade Lateral. Para o caso particular de uma barra com secção em C submetida a flexão (viga) ou a compressão uniforme (coluna), apresentam-se na Figura 2.6 [2.1] os modos de instabilidade relevantes: (i) modo local de placa (MLP), (ii) modo distorcional (MD), (iii) modo global de flexão (MGF) e (iv) modo global de flexão-torção (MGFT). Uma análise mais cuidada das curvas de estabilidade representadas nas Figuras 2.8a-2.8c permite concluir que: (i) Dependendo da espessura da chapa, o modo de instabilidade crítico pode variar. Assim para: -

t=t1, o valor da “tensão critica local” σcrit (i.e., de kcrit) está associado à ocorrência do MLP; t=t3, o valor da “tensão critica local” σcrit (i.e., de kcrit) está associado à ocorrência do MD;

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-

t=t2, o valor da “tensão critica local” σcrit (i.e., de kcrit) pode estar associado à ocorrência quer do MLP como do MD. É para este tipo de situações que podem ocorrer fenómenos de interacções entre modos locais (Local de placa vs. Distorcional);

Figura 2.8a – Variação do valor de kσ com a relação (aLG/h): t=t1 < t2 < t3

Figura 2.8b – Variação do valor de kσ com a relação (aLG/h): t3 ≥ t= t2 ≥ t1

Figura 2.8c – Variação do valor de kσ com a relação (aLG/h): t= t3 ≥ t2 ≥ t1

(ii) O conceito de coluna “suficientemente longa” está associado ao comprimento para o qual o valor de kσ, no último troço, se torna inferior a kcrit. Este comprimento (aLG) corresponde à transição do modo crítico de local (local de placa ou distorcional – – coluna “curta”) para global (neste caso, de flexão-torção – coluna “longa”). Deve notar-se, no entanto, que apesar de se ter considerado apenas um único semi-comprimento de onda (igual ao comprimento da barra), para comprimentos inferiores 18

CONCEITOS TEÓRICOS

a aLG (preponderância de um modo local), a tensão critica de bifurcação da coluna está, em geral, associada a um modo de instabilidade com vários semi-comprimentos de onda. De referir que a existência de reforços de extremidade implica necessariamente a ocorrência do modo distorcional. Neste trabalho, classifica-se sempre o modo distorcional como um “modo local”, inclusivamente porque a sua contabilização no dimensionamento segundo o Eurocódigo 3 [2.32-2.35] é efectuado no âmbito da análise da secção. Por exemplo, secções em C sem reforços de extremidade não exibem modos distorcionais (MD) e a curva de estabilidade exibe um único mínimo local, associado ao modo local de placa (MLP). Deve ainda mencionar-se que existem modos de instabilidade que combinam as características de mais do que um dos quatro modos identificados anteriormente, os quais se designam, genericamente, por “modos mistos”. Assim, as curvas de instabilidade nem sempre são tão bem “vincadas” como no exemplo apresentado, existindo muitas vezes modos mistos e fenómenos de interacção a que estão associadas curvas mais “esbatidas” (sem mínimos tão “claros”). Apresenta-se, em seguida, uma descrição sumária das características de cada um dos tipos de modos de instabilidade identificados: (i) Modo Local de Placa Configuração do modo de instabilidade Quanto à configuração do modo de instabilidade, pode verificar-se que: •

Os bordos longitudinais internos (i.e., que unem duas paredes adjacentes) sofrem apenas rotações, não tendo qualquer movimento de translação, conforme mostram as Figuras 2.6a e 2.6d.

•

A deformação das secções deve-se, exclusivamente, à flexão das paredes internas (as paredes externas têm um bordo livre e, por isso, sofrem, sobretudo, deslocamentos de corpo rígido).

•

Tal como para placas cuja relação comprimento/largura é superior a 4 (“placas longas”) submetidas a compressão uniaxial, o MLP exibe semi-comprimentos de onda longitudinais da mesma ordem de grandeza da largura da placa. Deste modo, as paredes da barra apresentam a configuração “ondulada” representada na Figura 2.9, respeitante a um troço de coluna (barra submetida a compressão uniforme) com secção tubular quadrada.

•

As condições de fronteira da barra apenas afectam a configuração do MLP junto das extremidades, não alterando significativamente o seu andamento global.

Análise de Estabilidade A estabilidade da barra é condicionada pelo comportamento da sua parede (chapa ou placa) mais susceptível de instabilizar por flexão, cuja localização depende das dimensões da secção transversal (esbelteza das várias placas) e da distribuição das tensões actuantes. Em termos físicos, é lícito dizer que [2.1]: •

A instabilidade da barra é “precipitada” pela encurvadura, por flexão, da chapa condicionante, sendo as restantes chapas “obrigadas”, por compatibilidade, a acompanhar a deformação. 19


•

O comportamento da barra pode ser assimilado ao de uma placa comprimida (total ou parcialmente) cujos bordos longitudinais estão na condição de “encastramento elástico”. É, então, válido utilizar modelos estruturais como o representado na Figura 2.10. Refira-se ainda que é habitual, na maior parte dos regulamentos desprezar as restrições à rotação, considerando que os bordos longitudinais da chapa estão simplesmente apoiados.

Figura 2.9 – Configuração do MLP num troço de coluna com secção tubular quadrada.

Figura 2.10 – Modelo estrutural para estudar a instabilidade no MLP (secção em C).

O modo local de placa é critico sempre que a instabilidade da chapa condicionante preceder todos os outros possíveis fenómenos de instabilidade ou, alternativamente, quando estes estiverem impedidos (i.e., se as barras possuírem reforços eficazes e estiverem adequadamente contraventadas). Dificuldades Em metodologias que tratam a secção como um todo (eg., MEF, MFF, GBT) nem sempre é fácil identificar o MLP nas curvas de instabilidade, na medida em que: •

O MLP pode ser difícil de distinguir do MD em alguns tipos de secção;

•

Em secções submetidas a flexão e/ou sujeitos a gradientes de tensão, nos quais o valor da tensão de tracção seja muito superior ao tensão de compressão;

(ii) Modo Distorcional Configuração do modo de instabilidade Quanto à configuração do modo de instabilidade, pode verificar-se que: •

20

Os bordos longitudinais internos da barra sofrem simultaneamente rotações e translações, conforme mostram as Figuras 2.6b e 2.6e.

CONCEITOS TEÓRICOS

•

Parte da secção sofre distorção e outra predominantemente deformação de corpo rígido (das paredes internas adjacentes aos reforços).

•

O MD exibe semi-comprimentos de onda 5 a 10 vezes superiores aos do MLP, o que está na origem de alguns autores o não classificarem como “modo local”. A Figura 2.11b mostra a configuração deformada no MD do troço de coluna com secção em C representado na Figura 2.11a.

•

Contrariamente ao MLP, o MD exibe elevados deslocamentos de empenamento, sobretudo nas zonas dos reforços.

•

Ao contrário do que sucede no MLP, o andamento do MD é razoavelmente sensível às condições de fronteira da barra, sobretudo no que diz respeito à restrição ao empenamento nas secções extremas.

(a)

(b)

Figura 2.11 – Configurações (a) indeformada e (b) do MD num troço de coluna em C.

Análise de Estabilidade A estabilidade da barra é condicionada pelo comportamento à torção, em torno de um bordo interno indeformado, das paredes (chapas ou placas) adjacentes ao bordo interno que se desloca. Em termos físicos, pode dizer-se que [2.1]: •

A instabilidade da barra é “precipitada” pela encurvadura, por torção em tomo de um bordo interno, de uma “sub-barra” (conjunto de chapas), e as restantes chapas exibem, por compatibilidade, deformações de flexão.

•

O comportamento da barra pode ser assimilado ao de um conjunto de placas comprimidas (total ou parcialmente) em que um dos bordos longitudinais está livre e o outro na condição de “encastramento elástico móvel”. Podem então utilizar-se modelos estruturais do tipo representado na Figura 2.12, inicialmente propostos por Lau e Hancock [2.1, 2.12, 2.13].

O modo distorcional é crítico sempre que a instabilidade da “sub-barra” preceder todos os outros possíveis fenómenos de instabilidade, o que implica, por um lado, a presença de reforços ineficazes e, por outro lado, a existência de contraventamentos adequados para impedir o modo global.

21


Figura 2.12 – Modelo estrutural para estudar a instabilidade no MD (secção em C).

Dificuldades Em metodologias que tratam a secção como um todo (eg., MEF, MFF, GBT) nem sempre é fácil identificar o MD nas curvas de instabilidade, na medida em que, pode não apresentar um mínimo do parâmetro de carga, mesmo quando os associados ao MLP e aos modos globais sejam claros. Por outro lado, em secções muito reforçadas, isto é, com vários reforços de extremidade e intermédios, podem ocorrer vários tipos de MD e nem sempre é fácil distinguir os correspondentes mínimos locais da curva de estabilidade. (iii) Modos Globais (de Flexão e Flexão-Torção) São exemplos “clássicos” da ocorrência deste tipo de modos, (i) a encurvadura, por flexão em tomo de um eixo principal central de inércia, da “coluna de Euler” e (ii) a instabilidade lateral, por flexão em torno do eixo de menor inércia e torção, de vigas (barras flectidas). Em geral, para os perfis laminados a quente, são estes os modos de instabilidade condicionantes, razão pela qual, são os mais conhecidos pela maior parte dos técnicos. Para além destes, existem outros menos conhecidos, em geral associados a perfis mais esbeltos, como os modos de instabilidade de torção pura de colunas com baixa rigidez de empenamento (colunas com secção em cantoneira, T e cruciforme). Configuração do modo de instabilidade Quanto à configuração do modo de instabilidade, pode verificar-se que:

22

•

As secções das barras praticamente não se deformam, sofrendo unicamente deslocamentos de corpo rígido (i.e.; translações e/ou rotações) no seu próprio plano. Nenhum dos elementos da secção sofre qualquer tipo de distorção.

•

Os modos críticos globais de flexão ou de flexão-torção exibem uma única semi-onda. No caso de uma barra simplesmente apoiada nas duas direcções, com rotação de torção impedida e empenamento permitido em ambas as extremidades, o comprimento da semi-onda corresponde ao comprimento da barra. Para outras condições de fronteira (i.e., barras com contraventamento laterais), estes modos podem exibir mais semi-comprimentos de onda.

•

Tal como o MD, os modos globais são bastante sensíveis às condições de fronteira da barra, pois também apresentam deslocamentos de empenamento apreciáveis.

CONCEITOS TEÓRICOS

•

Os modos de instabilidade globais são geralmente bem conhecidos da comunidade técnica e encontram-se bem disseminados na literatura (e.g., [2.2, 2.5, 2.29]).

Os modos globais são críticos sempre que as barras sejam “suficientemente longas” e não estejam adequadamente contraventadas. Dificuldades Em geral, é sempre mais fácil identificar os modos globais do que os modos locais, pois o troço da curva de estabilidade é sempre descendente. No entanto, podem existir algumas dificuldades na sua identificação, na medida em que podem ocorrer modos mistos resultantes da interacção dos modos globais com os MLP e/ou MD, podendo ser difícil de identificar modos globais puros para semi-comprimentos de onda médios a longos. 2.4.1.2.

Estabilidade Linear de Barras (modos globais)

Pode considerar-se que a Teoria Linear da Estabilidade teve o seu início com os trabalhos de Euler [2.1, 2.9] em 1744 sobre a instabilidade global, por flexão, de colunas elásticas simplesmente apoiadas e submetidas a compressão uniforme. Devido à inexistência de recursos computacionais eficientes, a esmagadora maioria dos resultados clássicos, tanto exactos como aproximados, foi calculada por via analítica (solução exacta da equação diferencial de equilíbrio, métodos de Galerkin ou Rayleigh-Ritz, etc.). No que respeita à instabilidade em modos que envolvem torção, para além das investigações baseadas no estudo analítico de torção uniforme publicado por Saint-Venant [2.1, 2.10], em finais do século XIX, a concepção de uma teoria geral para a instabilidade global de barras com secção de parede fina aberta, por parte de Vlassov [2.1, 2.11] em 1959, veio permitir o estudo completo da instabilidade por torção uniforme ou não uniforme, incluindo o efeito do empenamento. Limitações de natureza computacional impediram a aplicação em larga escala desta teoria geral, o que só viria a acontecer com o aparecimento e disseminação dos computadores na década de 80. Em seguida, apresenta-se a dedução de um conjunto de expressões para a determinação das cargas críticas de instabilidade de colunas e momentos críticos de instabilidade de vigas. Embora estas expressões se encontrem disseminadas na literatura, o autor entendeu apresentá-las de uma forma sistematizada e unificada em virtude de a versão EN do EC3 ser omisso relativamente a este aspecto. Para além disso, estas expressões revestem-se de uma enorme utilidade na medida em que serão utilizadas no Capítulo 5, no âmbito da determinação da resistência à encurvadura de barras, conforme preconiza o EC3. 2.4.1.2.a) Instabilidade Global de Colunas Considere-se a coluna na Figura 2.13a com as seguintes características: • Comprimento: L; • Rigidezes de flexão em torno dos eixos principais centrais de inércia: EI y (maior inércia)

e EI z (menor inércia); • Rigidez de torção: GI t ; • Rigidez de empenamento: EI w ; 23


• Rigidez axial: EA = ∞ (axialmente indeformável). É sobejamente reconhecido que a deformabilidade axial não afecta o valor da carga crítica de uma coluna nem a forma do modo crítico de instabilidade; A encurvadura da coluna ocorre por uma combinação de torção e flexão desviada, ou seja, a secção transversal sofre deslocamentos e rotações de corpo rígido como apresentado na Figura 2.13b.

Figura 2.13a – Coluna comprimida: Secção transversal arbitrária.

Figura 2.13b – Coluna comprimida: Deslocamentos sofridos por uma secção arbitrária.

Considere-se ainda que os eixos coordenados estão localizados no centro de corte e não no centro de gravidade e são paralelos aos eixos centrais principais de inércia, tendo o centro de gravidade G coordenadas y0 e z0. Relativamente às condições de fronteira, considerou-se que nos apoios: • As translações segundo y e z estão impedidas: v(0) = v(L ) = w (0 ) = w (L ) = 0

(2.2a)

• As rotações em torno de y e z estão livres: v ,xx (0 ) = v ,xx (L ) = w ,xx (0 ) = w ,xx (L ) = 0

(2.2b)

• As rotações de torção estão impedidas: φ(0 ) = φ(L ) = 0

(2.2c)

• Os deslocamentos de empenamento estão permitidos: φ,xx (0 ) = φ,xx (L ) = 0

(2.2d)

Por se tratar de um problema conservativo, é possível aplicar o Princípio da Estacionariedade da Energia Potencial (PEEP). Tal como referido anteriormente, é apenas preciso reter o termo quadrático da energia potencial que é dado por [2.2]: V2 ≡ V = U + Ve L

U=

[

(2.3a);

]

1 EI y ⋅ w ,2xx + EI z ⋅ v ,2xx + GIt ⋅ φ ,2x + EI w ⋅ φ ,2xx ⋅ dx ∫ 20 L

[

(2.3b);

]

P Ve = −P ⋅ Δ = − ∫ v ,2x + w ,2x + i02 ⋅ φ ,2x − 2 ⋅ z 0 ⋅ v ,x ⋅ φ ,x + 2 ⋅ y 0 ⋅ w , x ⋅ φ , x ⋅ dx 20 24

(2.3c);

CONCEITOS TEÓRICOS

em que: • Δ é o encurtamento da coluna; • I y e I z são os momentos principais centrais de inércia da secção em torno dos eixos de, respectivamente, maior e menor inércia; •

i0 é o raio de giração polar da secção em relação ao centro de corte, que vem definido por: i02 ⋅ A = ∫ y 2 + z 2 ⋅ dA ⇔ i02 = i 2y + i 2z + y 02 + z 02 (2.4)

(

)

A

A estacionarização do funcional (2.3a) permite obter as três equações de Euler-Lagrange, EI z ⋅ v , xxxx + P ⋅ (v , xx − z 0 ⋅ φ , xx ) = 0

(2.5a);

EIy ⋅ w ,xxxx + P ⋅ (w ,xx − y 0 ⋅ φ,xx ) = 0

(2.5b);

(

)

EIw ⋅ φ ,xxxx − GIt ⋅ φ ,xx + P ⋅ i02 ⋅ φ,xx − y 0 ⋅ w ,xx + z 0 ⋅ v ,xx = 0

(2.5c);

A solução das equações diferenciais de equilíbrio (2.5), correspondente à forma do modo crítico de instabilidade da coluna (Pcr), é da forma: ⎧ v ⎫ ⎧ C1 ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ π⋅x ⎨w ⎬ = ⎨C 2 ⎬ ⋅ sen L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ φ ⎪⎭ ⎪⎩C 3 ⎪⎭

(2.6)

Introduzindo a equação (2.6) em (2.5) e aplicando as condições de fronteira (2.2) obtém-se o seguinte sistema de equações lineares: ⎡(PEz − P ) 0 P ⋅ z 0 ⎤ ⎧ C1 ⎫ ⎢ (PEy − P) − P ⋅ y 0 ⎥⎥ ⎪⎨C 2 ⎪⎬ = ⎢ 0 ⎢ P ⋅ z0 − P ⋅ y 0 i02 ⋅ (Pφ − P )⎥⎦ ⎪⎩C 3 ⎪⎭ ⎣

⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎨0⎬ (2.7) ⎪0⎪ ⎩ ⎭

onde PEy =

PEz = Pφ =

π 2 ⋅ EI y

(2.8a)

L2

π 2 ⋅ EI z L2

π 2 ⋅ EI w 1 ⎛ ⎜ GI ⋅ + t i 02 ⎜⎝ L2

(2.8b)

⎞ ⎟⎟ ⎠

(2.8c);

são, respectivamente, a cargas críticas de flexão em torno dos eixo y e z e a carga crítica de torção em torno do eixo x. As soluções do sistema de equações (2.7) são: • C1=C2=C3=0 – trajectória fundamental; 25


• C1≠0, C2≠0, C3≠0 se o determinante do sistema for nulo (solução não trivial). Tal conduz à equação característica, i02 ⋅ (P − PEy ) ⋅ (P − PEz ) ⋅ (P − Pφ ) − P 2 ⋅ z 02 ⋅ (P − PEy ) − P 2 ⋅ y 02 ⋅ (P − PEz ) = 0

(2.9)

Esta equação geral pode tomar outras formas mais simplificadas para determinadas condições de simetria da secção. Analisam-se por isso as seguintes situações: (i) secções sem simetria (assimétricas), (ii) secções com um eixo de simetria (monosimétricas) e (iii) secções com dupla simetria (bi-simétricas). (i) Secções sem simetria (y0≠0 e z0≠0 – caso mais geral) Pcr é a menor raiz de (2.9) e tem-se Ci≠0 (i=1,2,3), ou seja, o modo crítico de instabilidade envolve simultaneamente flexão desviada e torção. A solução da equação (2.9), que envolve a solução de um polinómio do 3.º grau, será sempre inferior a qualquer uma das cargas críticas associadas aos modos puros de flexão ou torção ( Pcr < min{ PEy ; PEz ; Pφ } ). Na literatura, existem diversas metodologias para a obtenção de raízes de polinómios do 3.º grau. Estas podem ser resolvidas, em geral, de forma numérica / iterativa, ou através de expressões para as suas raízes [2.25, 2.26, 2.27]. Correntemente, a utilização de máquinas de calcular mais sofisticadas e de programas de manipulação simbólica facilita esta tarefa. (ii) Secções com um eixo de simetria (y0=0 ou z0=0 – secções em C, T, etc.) Admitindo que y é o eixo de simetria (z0=0) tem-se

(P − PEz ) ⋅ [i02 ⋅ (P − PEy ) ⋅ (P − Pφ ) − P 2 ⋅ y 02 ] = 0 cujas soluções são dadas por (Pcr )2 =

(Pcr )1 = PEz

1 ⎡ ⋅ (PEy + Pφ ) + 2 ⋅ β ⎢⎣

(Pcr )3 = Pcr ,TF =

(P

Ey

1 ⎡ ⋅ (PEy + Pφ ) − 2 ⋅ β ⎢⎣

(2.10a)

(2.10b)

+ Pφ ) − 4 ⋅ β ⋅ PEy ⋅ Pφ ⎤ ⎥⎦ 2

(P

Ey

+ Pφ ) − 4 ⋅ β ⋅ PEy ⋅ Pφ ⎤ ⎥⎦ 2

(2.10c)

(2.10d)

onde

⎛y β = 1− ⎜⎜ 0 ⎝ i0

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(2.10e)

constitui uma constante que inclui o efeito de assimetria da secção em relação ao eixo y. Como (Pcr)3 toma um valor mais pequeno que (Pcr)2, o valor da carga de flexão-torção Pcr,TF toma este valor. Assim, o valor da carga crítica é dado por Pcr = min{ PEz ; Pcr ,TF

}

(2.11f)

Caso o eixo z fosse o eixo de simetria (y0=0), então obter-se-ia (paralelamente ao caso anterior), Pcr = min{ PEy ; Pcr ,TF } (2.12a)

26

CONCEITOS TEÓRICOS

onde Pcr ,TF =

1 ⎡ ⋅ (PEz + Pφ ) − 2 ⋅ γ ⎢⎣

(P

Ez

⎛z γ = 1− ⎜⎜ 0 ⎝ i0

+ Pφ ) − 4 ⋅ γ ⋅ PEz ⋅ Pφ ⎤ ⎥⎦ 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

(2.12b)

2

(2.12c)

é uma constante que inclui o efeito de assimetria da secção agora em relação ao eixo z. (iii) Secções com dupla simetria (y0=0 e z0=0 – secção em I, etc.) Neste caso, o mais simples de todos, a expressão (2.9) simplifica-se,

(P − P )⋅ (P − P ) ⋅ (P − P ) = 0 Ey

Ez

φ

(2.13a)

e as suas soluções são, obviamente, PEy , PEz e Pφ . A carga crítica é fornecida por

Pcr = min{ PEy ; PEz ; Pφ

}

(2.13b)

Em primeiro lugar, deve notar-se que as expressões apresentadas anteriormente para o cálculo dos valores de PEy , PEz e Pφ , foram deduzidas para barras simplesmente apoiadas e com empenamento livre (comprimento de encurvadura igual ao comprimento da barra). Para diferentes condições de fronteira, e sem perda de generalidade, pode introduzir-se o conceito de comprimento de encurvadura, o qual corresponde ao comprimento fictício entre pontos de inflexão do modo de instabilidade em causa. Sendo assim, as equações (2.8) podem ser rescritas da seguinte forma, π 2 ⋅ EIy (2.14a) PEy = (k y ⋅ L )2

PEz = Pφ =

1 r02

π 2 ⋅ EI z

(k z ⋅ L )2

⎛ π 2 ⋅ EI w ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜ GI t + 2 ⎟ ( ) k L ⋅ w ⎝ ⎠

(2.14b)

(2.14c);

onde ky, kz e kw são factores que permitem ter em conta outras condições de fronteira. Por outro lado, se a carga P for aplicada fora do centro de massa ter-se-á um caso de compressão excêntrica. Considerem-se e y e e z as coordenadas y e z do ponto de aplicação da carga P em relação ao centro de gravidade, respectivamente. A solução do problema é idêntica à do caso de carga axial concêntrica, mas utilizando novos valores de z0 e y0. Assim, as constantes de assimetria (β e γ) e o raio de giração polar em relação ao centro de corte (i0) terão de ser corrigidos. As constantes a utilizar são dadas por [2.5]: y0 = y0 − e y

(2.15a)

z0 = z0 − ez

(2.15b)

27


⎛y β = 1 − ⎜⎜ 0 ⎝ i0

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎛z γ = 1− ⎜⎜ 0 ⎝ i0

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(2.15c)

i0 = i02 + β z ⋅ e y + β y ⋅ e z

(2.15d)

(2.15e)

onde βy =

1 ⋅ ∫ ( y 2 + z 2 ) ⋅ z ⋅ dA − 2 ⋅ z 0 Iy A

(2.15f)

βz =

1 ⋅ ∫ ( y 2 + z 2 ) ⋅ y ⋅ dA − 2 ⋅ y 0 Iz A

(2.15g)

são parâmetro de assimetria, respectivamente, em relação aos eixos y e z e, e y e e z , respectivamente, as coordenadas y e z do ponto de aplicação da carga P em relação ao centro de gravidade. 2.4.1.2.b) Instabilidade por Lateral de Vigas A instabilidade lateral por flexão-torção de vigas sujeitas a momento-flector reveste-se de diversas particularidades que caracterizam este fenómeno, tornando-o significativamente mais complexo que o da instabilidade por flexão, torção ou flexão-torção de colunas sujeitas a esforço axial. Assim, definiu-se o seguinte problema padrão: viga com secção monosimétrica, simplesmente apoiada nas duas direcções, com rotação de torção impedida e empenamento permitido em ambas as extremidades e submetida a momento uniforme em torno do eixo de maior inércia. Este caso, no qual é relativamente simples obter uma solução analítica, é posteriormente “complicado” por forma a fazer intervir outros fenómenos (cargas aplicadas, ponto de aplicação da carga). Para além das condições de apoio que também desempenhavam um papel importante na encurvadura de colunas (barras comprimidas), o cálculo do momento crítico de instabilidade também é significativamente afectado por outros factores como: • Tipo de carregamento – Outros tipos de carregamento diferentes do associado a um diagrama uniforme de momentos exibem gradientes de momentos bem como esforço transverso, os quais conduzem geralmente a soluções bem distintas das correspondentes aos valores do momento crítico sob flexão uniforme (no entanto, são sempre superiores). • Posição da linha de acção das cargas transversais – Se o ponto de aplicação de carga não coincidir com o centro de corte, tal como nas secções com algum tipo de assimetria, existem momentos torsores secundários que alteram as trajectórias de equilíbrio de pré-encurvadura. Neste caso, deixa de existir “fisicamente” o fenómeno de bifurcação”, existindo uma transição suave para um nível de carga correspondente ao momento crítico de instabilidade (este corresponde somente à solução matemática do problema de valores e vectores próprios). • Posição do ponto de aplicação das cargas transversais – Se a linha de acção da carga transversal passar sobre o centro de corte, coloca-se ainda a questão de saber se 28

CONCEITOS TEÓRICOS

o ponto de aplicação da carga está “abaixo”, coincidente ou “acima” do centro de corte (relativamente ao sentido da carga transversal). Este aspecto é importante na medida em que o efeito da carga transversal pode ser estabilizante (aumenta o valor do momento crítico), neutro (não influencia o valor do momento crítico) ou instabilizante (diminui o valor do momento crítico). Assim, aborda-se em seguida a instabilidade lateral de vigas com secção monosimétrica e sujeitas a momento uniforme. Note-se que o caso de vigas com secção bi-simétrica corresponde a uma simplificação do caso anterior (como se constatará adiante). Posteriormente, e de forma resumida, descreve-se o efeito do tipo de carregamento e da posição do ponto de aplicação das cargas transversais no valor do momento crítico. 2.4.1.2.b.1) Vigas sujeitas a momento-flector uniforme Considere-se a barra da Figura 2.14a (ou Figura 2.14b) com as mesmas características e condições de fronteira (equações 2.2) que as da coluna estudada anteriormente (Figura 2.13a). A instabilidade lateral da viga ocorre por uma combinação de torção e flexão desviada, ou seja, a secção transversal sofre deslocamentos e rotações de corpo rígido como apresentado na Figura 2.15.

Figura 2.14a – Viga flectida: Secção transversal em I (banzos desiguais).

Figura 2.14b – Viga flectida: Secção transversal em I (banzos iguais).

De salientar, que enquanto no caso da instabilidade de colunas com secção bi-simétrica, o centro de rotação da secção na posição deformada é o centro de corte, no caso da instabilidade lateral de vigas, o centro de rotação da secção na posição deformada é um ponto exterior à secção que não é necessariamente o centro de corte. Tal deve-se à contribuição da flexão na menor inércia (como se verá adiante), a qual conjuntamente com a torção, faz deslocar o centro de rotação “para baixo”. À semelhança das colunas, por se tratar de um problema conservativo, é possível aplicar o Princípio da Estacionariedade da Energia Potencial (PEEP), pelo que apenas se retém o termo quadrático da energia potencial que é dado por [2.2], V2 ≡ V = U + Ve L

U=

(2.16a)

[

]

1 EI y ⋅ w ,2xx + EI z ⋅ v ,2xx + GIt ⋅ φ ,2x + EI w ⋅ φ ,2xx ⋅ dx ∫ 20 L

[

]

Ve = M ∫ φ ⋅ v ,xx + w ,xx + β y ⋅ φ,2x ⋅ dx

(2.16b)

(2.16c)

0

29


sendo β y o “parâmetro de assimetria em relação ao eixo y” definido por (2.15). Aplicando o princípio de estacionariedade da energia potencial, e para as condições de fronteira particulares deste sistema, obtém-se as equações variacionais dos modos de instabilidade

EI y ⋅ w , xx = −M

(2.17a)

EI z ⋅ v , xx = −M ⋅ φ

(2.17b)

GI t ⋅ φ ,x − EI w ⋅ φ, xxx = M ⋅ v ,x − M ⋅ β y ⋅ φ ,x

(2.17c)

Figura 2.15 – Viga flectida: Deslocamentos sofridos pela secção.

Não tendo nenhum termo em v ou φ , a equação (2.17a) é independente de (2.17b) e (2.17c), pelo que pode ser resolvida separadamente (de facto, corresponde à solução fundamental do problema – flexão em torno do eixo de maior inércia y). Paralelamente ao papel desempenhado pela deformação axial na instabilidade de colunas [2.2], o deslocamento de flexão w também é pouco relevante no comportamento de instabilidade de vigas e é frequentemente desprezado (no entanto, a consideração deste efeito pode aumentar o valor do momento crítico em alguns casos). Rescrevendo a equação (2.17b) em função de v , xx e substituindo em (2.17c), obtém-se EIw ⋅ φ ,xxxx − (GIt + M ⋅ β y,x ) ⋅ φ ,xx

M2 − ⋅φ = 0 EIz

(2.18a)

cuja solução é da forma,

φ( x ) = A ⋅ sen(m ⋅ x ) + B ⋅ cos(n ⋅ x ) + C ⋅ e n⋅x + D ⋅ e −n⋅x = 0

(2.18b)

m = − a + a2 + b

(2.18c)

n = a + a2 + b

(2.18d)

com

a=

30

GIt 2 ⋅ EI w

(2.18e)

CONCEITOS TEÓRICOS

b=

M2 EIz ⋅ EIw

(2.18f)

Introduzindo as condições de fronteira (2.2) em (2.18b) obtém-se o sistema: ⎧ A ⋅ sen(m ⋅ L ) + 2 ⋅ D ⋅ senh(n ⋅ L ) = 0 ⎨ 2 2 ⎩ A ⋅ m ⋅ sen(m ⋅ L ) + 2 ⋅ D ⋅ n ⋅ senh(n ⋅ L ) = 0

(2.19a)

o qual tem soluções não triviais para:

sen(m ⋅ L ) = 0

⇔

m=

π (menor raíz) L

(2.19b)

obtendo-se então o momento crítico: M cr = C βy ⋅ Mcr

(2.20a)

onde Mcr =

C βy

π 2 ⋅ EI z L2

⎛ β y π 2 ⋅ EI z = 1+ ⎜⎜ ⋅ 2 ⎝ 2 L ⋅ Mcr

⎛ π 2 ⋅ EI w ⋅ ⎜⎜ GI t + L2 ⎝

⎞ ⎟ = i 0 ⋅ PEz ⋅ Pφ ⎟ ⎠

2

(2.20b)

2

β P β π 2 ⋅ EI z ⎛ β y PEz ⎞ ⎞ ⎟ + y ⋅ Ez ⎜ ⋅ ⎟ + y⋅ 2 1 = + ⎜ 2 M ⎟ ⎟ 2 L ⋅ Mcr 2 Mcr cr ⎠ ⎝ ⎠

(2.20c)

e o modo de instabilidade caracterizado por: π⋅x l π⋅x v = A'⋅sen l

φ = A ⋅ sen

(2.20d)

(2.20e)

Note-se que Mcr (expressão (2.20b) é o valor do momento crítico de instabilidade lateral de vigas com secção bi-simétrica (dupla simetria) – note-se também que o parâmetro de assimetria βy não surge obviamente na expressão de Mcr . Por outro lado o momento crítico pode ainda ser apresentado na forma seguinte, M cr =

π 2 ⋅ EIz

(k z ⋅ L z )2

⎡β ⎛ βy y ⋅⎢ + ⎜⎜ ⎢ 2 ⎝2 ⎣

2 ⎞ GI ⋅ (k ⋅ L ) ⎛ k z ⎟ + t 2 z + ⎜⎜ ⎟ π ⋅ EIz ⎝kw ⎠ 2

2 ⎤ ⎞ Iw ⎥ ⎟⎟ ⋅ = PEz ⎠ Iz ⎥ ⎦

⎡β ⎛ βy y ⋅⎢ + ⎜⎜ ⎢ 2 ⎝2 ⎣

2

P ⎞ ⎟ + i02 ⋅ φ ⎟ PEz ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(2.20f)

Na expressão anterior (2.20f) introduziram-se os coeficientes k do comprimento de encurvadura. Esta metodologia havia já sido referida a propósito da instabilidade de colunas. Nesta equação, a menos de algumas constantes, intervêm todas as grandezas que estão presentes na equação do momento crítico Mcr apresentada no anexo F da ENV 1993-1-1 [2.32]. Por outro lado, as últimas parcelas das expressões (2.20b), (2.20c) e (2.20f) estão apresentadas segundo a notação de [2.36] AISI, por se julgar mais simples de memorizar e de sistematizar.

31


2.4.1.2.b.2) Influência do tipo de carregamento A influência de tipos de carregamentos diferentes dos associados a distribuições uniformes de momentos, é de difícil formulação analítica, já que sendo variável o momento flector, os coeficientes da equação (2.18a) deixam de ser constantes e, logo, a sua solução tem de ser obtida por meios numéricos [2.2]. O resultado destas análises numéricas é depois aplicado na calibração de constantes que multiplicam o momento crítico associado ao “caso padrão” (momento uniforme, analisado anteriormente), as quais podem ser encontradas em diversos regulamentos, livros e artigos [2.2, 2.28 – 2.31] 2.4.1.2.b.3) Influência da posição do ponto de aplicação das cargas transversais Tal como referido anteriormente, a posição do ponto de aplicação das cargas transversais afecta o valor do momento crítico de instabilidade lateral. No caso mais geral, a carga transversal pode ser aplicada em qualquer ponto no plano da secção. Esse efeito, de difícil formulação do ponto de vista analítico, é usualmente obtido através de análises numéricas. Os resultados destas análises servem para calibrar factores inseridos nas expressões de momento crítico presentes nos regulamentos, como é o caso da expressão geral do Eurocódigo 3 [2.32, 2.33]. 2.4.1.3.

Estabilidade Linear de Placas

Em 1833, foi Saint-Venant [2.1 , 2.10] quem primeiro estabeleceu a equação diferencial que traduz o equilíbrio de uma placa numa configuração adjacente. A tensão crítica elástica de uma placa rectangular com condições de apoio e de carregamento simples pode ser obtida recorrendo a formulações analíticas. No caso de situações mais complexas de apoio e de carregamento é, em geral, necessário recorrer a metodologias aproximadas analíticas ou numéricas. Até meados da década de sessenta, a maior parte dos resultados foram obtidos por métodos analíticos aproximados, já que os recursos computacionais eram escassos e pouco eficientes. Dos diversos métodos utilizados refiram-se os métodos das Diferenças Finitas e de Galerkin (equação diferencial de equilíbrio) ou o método de Rayleigh-Ritz (energia potencial). Com o elevado acréscimo da capacidade de cálculo dos computadores, desenvolveram-se metodologias numéricas, que sendo aproximadas na sua génese, através da existência de discretizações muito refinadas, se podem considerar “exactas”. Este é o caso dos Métodos dos Elementos Finitos (MEF) e das Faixas Finitas (MFF), os quais contribuíram para que o número de problemas analisados aumentasse significativamente. De referir, que a maior parte dos elementos finitos (ou as faixas finitas) são formulados por meio de algumas das metodologias analíticas referidas anteriormente. 2.4.1.3.a) Instabilidade de uma placa rectangular submetida a compressão uniforme Considere-se a placa rectangular submetida a compressão axial uniforme conforme apresentado na Figura 2.16, com as seguintes características: • Largura b, comprimento a e espessura t; E⋅t ; 1− υ2 E ⋅ t3 • Rigidez de flexão D = ; 12 1− υ 2 • Rigidez de membrana C =

(

32

)

CONCEITOS TEÓRICOS

Figura 2.16 – Placa uniformemente comprimida.

Considerando que os bordos da placa são simplesmente apoiados (os deslocamentos são nulos e as rotações são livres segundo o eixo dos bordos), as condições de fronteira são W (0; y ) = W (a; y ) = W, xx (0; y ) = W, xx (a; y ) = 0

(2.21a)

W (x;0 ) = W (x; b ) = W, yy (x;0) = W, yy (x; b ) = 0

(2.21b)

Considerando uma configuração adjacente à configuração de equilíbrio fundamental, de acordo com a teoria geral da estabilidade linear de sistemas contínuos [2.2], o campo de deslocamentos da placa é caracterizado por:

U = Uf + u

V = Vf + v

W = Wf + w = w

(2.22)

onde (i) U f , V f e W f são os deslocamentos associados à trajectória fundamental (estado plano de tensão) associada a uma configuração plana da placa ( W f =0) e ao longo da qual as tensões, deformações e deslocamentos variam proporcionalmente a um parâmetro de carga e (ii) u, v e w são incrementos dos deslocamentos generalizados. Por outro lado, o estado plano (uniaxial) de tensão a que a placa está sujeita pode ser definido por,

N fx = −σ ⋅ t

N fy = N fxy = 0

(2.23)

Por se tratar de um problema conservativo, é possível utilizar o Princípio da Estacionariedade da Energia Potencial (PEEP). Aplicando a Teoria DMV (teoria geometricamente não linear formulada por Donnel, Mushtari e Vlasov para a análise de placas e cascas finas [2.2, 2.8] pode obter-se o termo quadrático da energia potencial, o qual é dado por, V2 = UN2 + UM2 =

C ⎡ 2 1− υ 2⎤ u, x + v ,2y + 2 ⋅ υ ⋅ u, x ⋅ v ,y + ⋅ (u, y + v , x ) ⎥ ⋅ dA + ∫ ⎢ 2 A⎣ 2 ⎦ 1 + ∫ N fx ⋅ w ,2x + N fy ⋅ w ,2y + 2 ⋅ N fxy ⋅ w , x ⋅ w , y ⋅ dA + 2A D + ∫ w ,2xx + w ,2yy + 2 ⋅ υ ⋅ w , xx ⋅ w , yy + 2 ⋅ (1 − υ) ⋅ w ,2xy ⋅ dA 2A

[

[

]

]

(2.24a)

Aplicando o princípio de estacionariedade da energia potencial, obtém-se as três equações de Euler-Lagrange: 33


1− υ ⎡ ⎤ C ⋅ ⎢(u, x + υ ⋅ v , y ), x + ⋅ (u, y + v , x ), y ⎥ = 0 2 ⎣ ⎦

(2.24b)

1− υ ⎡ ⎤ C ⋅ ⎢(v , y + υ ⋅ u, x ), y + ⋅ (u, y + v , x ), x ⎥ = 0 2 ⎣ ⎦

(2.24c)

(

)

D∇ 4 w − N fx ⋅ w , xx + 2 ⋅ N fxy ⋅ w , xy + N fy ⋅ w , yy = 0

(2.24d)

onde ∇ 4 w = w , xxxx + w , yyyy + 2 ⋅ w , xxyy . A trajectória fundamental (pré-encurvadura) da placa comprimida desenvolve-se em estado plano de tensão. Os esforços de membrana ao longo dessa trajectória são obtidos através de [2.2],

( = C ⋅ (V

N fx = C ⋅ U fx + υ ⋅ Vyf N fy

N fxy = C ⋅

f y

+ υ ⋅ U fx

) )

1− υ ⋅ U fy + Vxf 2

(

(2.25a) (2.25b)

)

(2.25c)

Pelo que, introduzindo as equações (2.25) nas equações (2.24) se obtém: N fx , x + N fxy, y = 0

(2.26a)

N fxy, x + N yf , y = 0

(2.26b)

D∇ 4 w − (N fx ⋅ w , xx + 2 ⋅ N fxy ⋅ w , xy + N fy ⋅ w ,yy ) = 0

(2.26c)

f f f em que N x , N y e N xy são esforços de membrana na fase de pré-encurvadura. As equações (2.26a) e (2.26b) não dependem de w, pelo que são independentes e exprimem apenas o equilíbrio no plano médio da placa. Por esta razão, estas equações não intervêm directamente na determinação das tensões de bifurcação e respectivos modos de instabilidade. Tal como no caso das colunas, apenas é necessário considerar a sua influência quando se pretende analisar o estado de pós-encurvadura. Utilizando as equações (2.26) em conjunto com as condições de fronteira (2.21) obtém-se a equação diferencial,

D∇ 4 w + σ ⋅ t ⋅ w , xx = 0

(2.27)

cujas soluções exactas, que satisfazem simultaneamente as condições de fronteira (2.21), são do tipo ∞ ∞ ⎛n⋅ π ⋅ y ⎞ ⎛m⋅ π ⋅ x ⎞ (2.28) w( x; y ) = ∑ ∑ w mn ⋅ sen⎜ ⎟ ⎟ ⋅ sen⎜ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ m=1 n =1 Introduzindo as equações (2.28) em (2.27) e obtém-se: w mn

34

⎡ ⋅ ⎢π 4 ⎢⎣

⎛ m2 n2 ⎞ σ ⋅ t m2 ⋅ π 2 ⎤ ⎥=0 ⋅ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ − ⋅ D b ⎠ a 2 ⎥⎦ ⎝a 2

(2.29)

CONCEITOS TEÓRICOS

As soluções de (2.29) são: •

w mn = 0 – trajectória fundamental;

•

w mn ≠ 0 – existe um modo de instabilidade com m semi-ondas longitudinais e n semi-

-ondas transversais, ao qual está associada uma tensão de bifurcação σ (bmn) = σ (crmn) , cujo valor corresponde ao anulamento de w mn . Pretendendo-se valores nulos de w mn , a solução da equação (2.29) é tal que σ

( mn ) b

π2 ⋅ E ⎛t⎞ = K mn ⋅ ⋅⎜ ⎟ 2 12 ⋅ 1− υ ⎝ b ⎠

(

2

)

(2.30a)

com K mn

⎛ b n2 a ⎞ = ⎜⎜ m ⋅ + ⋅ ⎟⎟ ⎝ a m b⎠

2

(2.30b)

O valor da tensão crítica corresponde ao menor valor de K mn , pelo que tem de se encontrar uma combinação de valores inteiros de m e n que o minimize. Se o valor de m que minimiza K mn não é directamente perceptível, no caso de n este valor é claramente n=1 (uma única onda transversal), pelo que se obtém ⎛ b 1 a⎞ K m = K m1 = ⎜ m ⋅ + ⋅ ⎟ ⎝ a m b⎠

2

(2.31)

Se se considerar K m como uma variável continua, o menor valor desta pode ser obtido por: dK m =0 dm

⇔

b2 2 a2 2⋅m⋅ 2 − 3 ⋅ 2 = 0 a m b

⇔

m=

a b

(2.32)

pelo que o menor valor de K m é 4. Obtém-se então a expressão que define a tensão crítica de instabilidade de uma placa simplesmente apoiada, σ cr

π2 ⋅ E ⎛t⎞ = ⋅⎜ ⎟ 2 3 ⋅ 1− υ ⎝ b ⎠

(

2

)

(2.33a)

a qual corresponde ao modo crítico de instabilidade com a forma ⎛π⋅y⎞ ⎛π⋅x⎞ w( x; y ) = sen⎜ ⎟ ⎟ ⋅ sen⎜ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠

(2.32b)

Se a relação do comprimento com a largura não corresponder a um número natural, o valor do coeficiente de encurvadura K m é diferente de 4. No entanto, e no caso de placas longas (a>4b), esta diferença tende a anular-se. Este comportamento é visível na Figura 2.17, onde se mostra a variação do coeficiente de tensão crítica K m com a relação a/b (relação comprimento vs. largura da placa). É por essa razão que a carga crítica se considera constante (com Kcr=4) no caso de placas longas. O modo crítico de instabilidade de uma placa longa está representado na Figura 2.18 (neste caso, para a/b=4). 35


Figura 2.17 – Variação do coeficiente de encurvadura com a relação a/b.

Figura 2.18 – Modo de instabilidade de uma placa longa.

2.4.1.3.b) Outros tipos de carregamento ou condições de apoio A determinação da tensão crítica de bifurcação de placas com outros tipos de carregamento ou condições de apoio é efectuada, em geral, recorrendo a metodologias aproximadas. De forma a obter soluções “exactas“, a grande maioria dos resultados disponíveis na literatura foi obtida através de métodos numéricos e discretizações muito refinadas. Os resultado obtidos encontram-se geralmente tabelados na forma do “factor de encurvadura”, que no EC3 (Partes 1.3 e 1.5) [2.34, 2.35] é designado por k σ . Valores semelhantes encontram-se divulgados em diversos documentos [2.2, 2.3, 2.5, 2.9, 2.10], dos quais se apresentam alguns na Figura 2.19 para diversas condições de apoio e vários tipos de carregamento. Note-se que as placas que constituem as paredes de colunas e vigas metálicas consideram-se normalmente placas longas. Como se referiu anteriormente, o comprimento das mesmas não influencia o valor da tensão crítica. O mesmo não se pode dizer das condições de apoio das paredes, as quais não são verdadeiramente simplesmente apoiadas mas são elasticamente restringidas à rotação pelas paredes adjacentes da secção. No entanto, este impedimento à rotação é quase sempre desprezado uma vez que a sua não consideração conduz a tensões críticas mais baixas e a soluções de dimensionamento mais conservativas (do lado da segurança). 36

CONCEITOS TEÓRICOS

Figura 2.19 – Coeficientes de encurvadura e Comprimento da semi-onda do modo de instabilidade.

2.4.1.4.

Estabilidade linear de secções (modos locais)

Os elementos estruturais de aço enformados a frio podem ser encarados como um conjunto de placas longas, ligadas entre si por meio dos respectivos bordos longitudinais. Como as placas longas exibem modos de instabilidade locais de placa (MLP) com semi-comprimentos de onda da ordem de grandeza da sua largura, a estabilidade linear desses elementos estruturais pode ser estudada através da análise de um segmento de barra, também designado por “barra curta”, “secção” ou “célula” com um comprimento semelhante às dimensões da sua secção transversal (Figura 2.20). No caso do MD, o semi-comprimento de onda, é em geral 5 a 10 vezes superior ao do MLP, razão pela qual nem sempre é considerado um modo de natureza local. No presente documento considera-se o MD como um modo local porque é abordado como tal na grande maioria dos regulamentos actualmente existentes. Sendo assim, a análise linear de estabilidade de secções, tanto em MLP como MD, é efectuada com base em modelos simplificados da parede condicionante, os quais tentam considerar as restrições de rotação dos bordos longitudinais.

37


Figura 2.20 – Instabilidade de uma barra em C num MLP. Paralelismo com a instabilidade de placas isoladas.

2.4.1.4.a) Modo local de placa (MLP) Em termos estruturais, a estabilidade de uma secção no MLP e a estabilidade de uma placa isolada são fenómenos semelhantes, o que se explica pelo facto de a instabilidade da secção ser, precisamente, condicionada e precipitada pela instabilidade de uma das placas (a condicionante) que a constitui. Na Figura 2.21 [2.1] representam-se as configurações deformadas no MLP de uma secção em C submetida (i) a flexão ou (ii) a compressão uniforme. No primeiro caso (viga), a instabilidade da secção pode ser despoletada (i) pela alma, mais larga mas submetida a um diagrama linear (compressão apenas na zona superior), ou (ii) pelo banzo superior, menos largo mas submetido a compressão uniforme. No segundo caso (coluna), a instabilidade da secção é claramente despoletada pela instabilidade da alma, a qual é mais larga e está submetida a um diagrama de compressão uniforme. Em qualquer dos casos, a instabilidade do elemento mais condicionante é sempre “retardada” pelas paredes adjacentes, os quais se deformam com menor amplitude devido à compatibilidade que as rotações de flexão têm que satisfazer nos bordos longitudinais da secção.

(a)

(b)

Figura 2.21 – Instabilidade no MLP de uma barra com secção em C submetida a: (a) flexão; (b) compressão uniforme.

A análise linear de estabilidade de uma secção, relativamente à de uma placa isolada, é dificultada pela necessidade de compatibilizar as rotações que ocorrem nos bordos 38

CONCEITOS TEÓRICOS

longitudinais. Em rigor, a instabilidade da secção pode ser analisada através do comportamento de uma qualquer das suas paredes (placas), desde que se conheça, com precisão, o grau de restrição às rotações existente nos bordos longitudinais dessa parede (i. e., a rigidez das molas elásticas que modelam essa restrição - ver Figura 2.10). Tal como se referiu anteriormente, uma abordagem conservativa, ainda presente na regulamentação internacional, consiste em considerar nula essa rigidez (i.e., os bordos longitudinais são articulados) o que simplifica consideravelmente o problema e permite tirar partido do vasto conjunto de resultados obtidos para as placas isoladas. Desta forma, a instabilidade de cada placa é independente das restantes e, portanto, admite-se que a tensão de bifurcação da secção é fornecida pela sua placa “mais susceptível”, suposta com os bordos longitudinais (internos) articulados. Por último refere-se que, apesar de apresentarem a metodologia simplificada anteriormente descrita, os regulamentos actuais [2.32-2.37] permitem a obtenção da tensão crítica de secções através de métodos numéricos nos quais se considera a secção “como um todo”, simulando o verdadeiro grau de restrição à rotação entre as diversas paredes (placas). 2.4.1.4.b) Modo distorcional (MD) Apesar de ter sido abordado nos anos 50 e 60, só a partir do final dos anos 70, a instabilidade de barras no modo distorcional (MD) começou a ser estudada de forma sistematizada e consistente. Começou-se por identificar que o MD está associado ao facto de o reforço não ser suficientemente rígido para impedir o deslocamento de membrana do bordo longitudinal da parede reforçada (Figura 2.6). Nos anos 80, e sobretudo devido ao trabalho desenvolvido por Hancock [2.13, 2.14] caracterizou-se em detalhe o MD. No entanto, apenas no princípio dos anos 90 foram incluídas disposições regulamentares relativas a este fenómeno de instabilidade característico de secções reforçadas [2.34 – 2.37]. Um modelo estrutural desenvolvido por Lau e Hancock [2.13] e utilizado na determinação aproximada da tensão crítica distorcional baseia-se no conceito de uma coluna com secção em L (conjunto banzo-reforço) elasticamente restringida à rotação no nó de ligação banzo-alma (ver Figura 2.12). No entanto, este modelo é válido unicamente para colunas simplesmente apoiadas. Mais recentemente, Silvestre e Camotim [2.15–2.17] utilizaram o carácter analítico da GBT para desenvolver um conjunto de fórmulas para a determinação aproximada da tensão crítica distorcional em barras com diversas secções (C, Z, “Hat”e “Rack”), carregamentos (colunas, vigas e colunas-viga) e condições de apoio (simplesmente apoiadas, encastradas, etc.). Os métodos de cálculo “exacto” frequentemente utilizados na análise de estabilidade que envolvem o modo distorcional, também aplicados estudo do modo local, são o MEF, o MFF e a GBT. Actualmente, existem disponíveis programas de cálculo automático para a determinação das tensões críticas no MLP e MD, as quais são bastante versáteis. De entre as ferramentas existentes, citam-se os programas CUFSM [2.21, 2,22] e GBTUL [2.23], os quais se baseiam no MFF e GBT, respectivamente.

39


2.4.2. Análise de Pós-Encurvadura (ANLE)

Em alguns tipos de sistemas estruturais, o conhecimento do seu comportamento de estabilidade (carga crítica e modo crítico de instabilidade) é suficiente para os dimensionar e verificar a sua segurança. É reconhecido que estes tipos de sistemas estruturais (e.g., instabilidade global de colunas e estruturas reticuladas, instabilidade local de cascas cilíndricas) possuem uma reduzida reserva de pós-encurvadura. No entanto, existem outros tipos de sistemas estruturais que são caracterizados por uma reserva de resistência durante a fase de pós-encurvadura, a qual deve ser considerada no seu dimensionamento e verificação de segurança. Encontram-se neste caso, a instabilidade de placas e instabilidade local de barras com secção de parede fina. Deve referir-se que até cerca de 1930, o conhecimento do comportamento de pós-encurvadura de estruturas foi considerado desnecessário. Na base desta assumpção estão: • As dificuldades de resolução analítica das equações de equilíbrio em estado de pósencurvadura; • O facto de o estudo de estabilidade de estruturas, ter incidido essencialmente sobre colunas, nas quais a carga crítica elástica tem um valor relativamente próximo ao da carga última em regime de pós-encurvadura (o declive da trajectória não linear de pósencurvadura é relativamente pequeno); Com o progresso da indústria aeronáutica esta situação alterou-se. De facto, com o estudo mais aprofundado da estabilidade de cascas e placas, rapidamente se percebeu que, ao contrário das colunas, a diferença entre a carga crítica elástica e carga última em regime de pós-encurvadura era significativa e que a sua não consideração conduzia a resultados excessivamente conservativos (placas) ou não conservativos (cascas). 2.4.2.1.

Comportamento de Pós-Encurvadura

O conceito de comportamento de pós-encurvadura no contexto deste trabalho, aplica-se apenas a sistemas estruturais, discretos ou contínuos, que exibam instabilidade bifurcacional (Figura 2.6a). Designa-se por “estado de pré-encurvadura” ao conjunto de configurações de equilíbrio da estrutura na trajectória fundamental “antes” de atingido o ponto de bifurcação crítico (a sua caracterização foi abordada nos pontos anteriores). Ao conjunto de configurações de equilíbrio da estrutura na trajectória bifurcada, designa-se por “estado de pós-encurvadura”, e a sua caracterização envolve a realização de uma “análise não linear de estabilidade” (ANLE), muitas vezes designada por “análise de pós-encurvadura”. Enquanto que para o estudo de estados física e geometricamente lineares de “pré-encurvadura”, por meio de Análises Lineares de Estabilidade (ALE), apenas é necessário reter os termos quadráticos da energia potencial de determinada estrutura, para o estudo de estados geometricamente não lineares de “pós-encurvadura” é necessário recorrer a termos de, pelo menos, uma ordem adicional. Como num grande número de sistemas estruturais, os termos de 3.ª ordem são nulos ou de pouca relevância, tem de prolongar-se o desenvolvimento em série de Taylor da energia potencial até aos termos de 4.ª ordem. De acordo com a teoria desenvolvida por Koiter [2.2 , 2.38], com base numa formulação energética, o andamento da trajectória bifurcada na vizinhança do ponto de bifurcação 40

CONCEITOS TEÓRICOS

(comportamento inicial de pós-encurvadura - Figura 2.22) de uma estrutura com um estado de pré-encurvadura linear é descrito pela expressão analítica (assimptoticamente exacta): λ = 1 + a ⋅ q + b ⋅ q 2 + ... λ cr

(2.33)

onde λ é um parâmetro de carga, λcr o respectivo valor crítico e q é a amplitude do modo de instabilidade.

Figura 2.22 – Comportamento inicial de pós-encurvadura de um sistema estrutural.

Consoante o valor das constantes a e b, o comportamento inicial de pós-encurvadura de um determinado sistema estrutural pode corresponder a um comportamento (i) assimétrico, se a≠0, (ii) simétrico estável, se a=0 e b>0 ou (iii) simétrico instável, se a=0 e b<0 (Figura 2.23).

(a)

(b)

(c)

Figura 2.23 – Tipos de comportamento inicial de pós-encurvadura: (a) assimétrico (a>0)

(b) simétrico estável

(c) simétrico instável

O comportamento de “pré-encurvadura” e de “pós-encurvadura” representado na Figura 2.23 corresponde ao comportamento de estruturas sem imperfeições iniciais (“ideais”). Como é reconhecido, as estruturas “reais” incorporam sempre (pelo menos do ponto de vista estatístico) imperfeições que podem ter as mais variadas origens (e.g., imperfeições geométricas, tensões residuais). As imperfeições podem ser caracterizadas através de um “parâmetro de imperfeição” ε que, incorporado nas equações de equilíbrio, implica que as trajectórias de equilíbrio fundamental e de pós-encurvadura sejam totalmente desacopladas (separadas). De facto, uma 41


estrutura imperfeita apresenta uma única trajectória de equilíbrio (curva) não linear que tende assimptoticamente para as trajectórias fundamental e de pós-encurvadura à medida que ε tende para 0 (observar Figura 2.24).

Figura 2.24 – Trajectória de equilíbrio de um sistema estrutural imperfeito (“real”).

A perda de estabilidade da trajectória de equilíbrio de uma estrutura “real” ocorre num ponto limite, no qual se verifica uma transição entre configurações de equilíbrio estáveis e instáveis [2.2]. Na apresentam-se as trajectórias “reais” de pós-encurvadura associadas aos comportamentos de pós-encurvadura ilustrados na Figura 2.23.

(a)

(b)

(c)

Figura 2.25 – Trajectórias de equilíbrio “reais” associadas aos comportamentos de pós-encurvadura: (a) assimétrico (a>0)

(b) simétrico estável

(c) simétrico instável

A observação das Figuras 2.25a e 2.25c permite concluir que a presença de imperfeições (ε≠0) faz baixar a “carga de instabilidade” de λcr (bifurcação de equilíbrio) para λlim (ponto limite). Diz-se, então, que estes comportamentos estruturais exibem “sensibilidade às imperfeições geométricas”. No caso de trajectórias de equilíbrio associadas a comportamentos de pós-encurvadura estáveis (ver Figura 2.25b) não há redução da carga crítica de instabilidade, pelo que se pode dizer que estruturas deste tipo não são “sensíveis às imperfeições geométricas”. Exceptuando alguns casos particulares (caso da coluna de Euler ou de uma placa apoiada nos seus bordos sujeitos a compressão uniforme em dois bordos paralelos), não é possível obter analiticamente as soluções analíticas do comportamento de pós-encurvadura. Nestes casos, torna-se necessário recorrer a métodos aproximados que discretizam a estrutura em sub-domínios “regulares” , tais como os métodos dos elementos finitos (MEF) e das faixas finitas (MFF), já abordados em 2.4.1). 42

CONCEITOS TEÓRICOS

2.4.2.2.

Pós-Encurvadura de Barras (modos globais) e de Placas

Muito embora a trajectória de encurvadura de uma coluna e de uma placa exibam um comportamento qualitativamente semelhante (i.e., estável), observa-se (Figura 2.26) que a curvatura inicial da trajectória de pós encurvadura das placas é significativamente superior à das colunas. Contrariamente às colunas, as placas exibem uma elevada reserva de resistência de pós-encurvadura.

Figura 2.26 – Pós-encurvadura de coluna e placa uniformemente comprimidas.

2.4.2.2.a) Barras Tal como a encurvadura por flexão, os outros fenómenos de instabilidade global de barras, nomeadamente (i) a instabilidade por flexão-torção de colunas e (ii) a instabilidade lateral de vigas, exibem habitualmente uma bifurcação simétrica estável e uma resistência de pós-encurvadura muito reduzida. Deste modo, carga (momento) crítica de bifurcação fornece uma razoável estimativa da resistência elástica da barra “perfeita”. Com excepção da encurvadura por flexão de uma coluna “ideal” submetida a compressão uniforme (e.g., a coluna de Euler) que constitui um dos raros casos de sistema estruturais contínuos para os quais é possível obter uma solução analítica “exacta”, a determinação precisa da trajectória de pós-encurvadura (não linear de equilíbrio) de uma barra requer a utilização de métodos numéricos (e.g., MEF), os quais podem ser mais ou menos sofisticados. No caso particular do comportamento global de barras com secção de parede fina, a obtenção de resultados precisos requer que a formulação dos EFs utilizados e as técnicas numéricas adoptadas contemplem diversos aspectos, nomeadamente [2.1]: (i) A consideração de relações cinemáticas tridimensionais válidas no domínio dos deslocamentos e rotações “moderados a grandes”. (ii) Um método de actualização da configuração deformada da barra, após a aplicação de cada incremento de carga, e a correspondente incorporação nas equações de equilíbrio não lineares. (iii) Uma modelação adequada do fenómeno do empenamento da secção.

43


2.4.2.2.b) Placas As equações diferenciais que traduzem o equilíbrio de uma placa “ideal”, em fase de pósencurvadura (configuração deformada envolvendo grandes deslocamentos), foram deduzidas por Von Kárman [2.1, 2.39], sendo mais tarde modificadas por Marguerre [2.1, 2.40], por forma a introduzir o efeito da presença de imperfeições geométricas iniciais. A obtenção de soluções analíticas exactas (rigorosas) para esse sistema de equações é bastante complexa, razão pela qual a consideração da resistência de pós-encurvadura de placas no seu dimensionamento apenas começa a ser abordada no fim da primeira metade do século XX. De entre as soluções analíticas exactas disponíveis na literatura, menciona-se o caso da placa rectangular simplesmente apoiada em todos os bordos (bordos rígidos), submetida a compressão axial uniforme – apresentada anteriormente, no contexto da estabilidade linear de placas (ponto 2.4.1.3). A Figura 2.27 mostra, respectivamente, a trajectória de equilíbrio (tensão aplicada vs. deslocamento de flexão do ponto médio) da placa perfeita (curva a traço continuo) e imperfeita (curva a tracejado), e a distribuição de tensões normais de membrana em fase de pós-encurvadura. O factos dos bordos longitudinais serem rígidos induz o aparecimento de uma distribuição de tensões normais transversais (auto-equilibrada) de compressão junto dos apoios e de tracção na zona central da placa, as quais são as principais responsáveis pelo acréscimo de resistência de pós-encurvadura. A distribuição das tensões normais longitudinais (nos apoios) tem um valor máximo instalado nas extremidades dos bordos transversais (junto aos bordos longitudinais). Esta distribuição não linear e a correspondente concentração de tensões (resistência) na zona junto dos bordos está intimamente ligada ao conceito de “largura efectiva”.

Figura 2.27 – Evolução da distribuição de tensões normais nos bordos transversais.

2.4.2.2.b.1) O Conceito de Largura Efectiva Considere-se uma placa submetida a compressão uniaxial uniforme e com todos os bordos simplesmente apoiados e rígidos. As Figuras 2.27 e 2.28 mostram a evolução, com o aumento do nível de tensão aplicada, da distribuição das tensões instaladas nos bordos transversais, a qual é uniforme até se atingir a tensão critica, evoluindo, na fase de pós-encurvadura, para uma distribuição de tensões não linear, com valores baixos na zona central e valores máximos ao longo dos bordos longitudinais. Pode dizer-se que, do ponto de vista físico, a capacidade resistente da placa se “concentra” em faixas adjacentes a esses bordos. 44

CONCEITOS TEÓRICOS

Figura 2.28 – Evolução da distribuição de tensões normais nos bordos transversais.

Como se referiu anteriormente, é este facto que está por detrás do conceito de “largura efectiva”. A “Largura Efectiva” (beff) constitui um parâmetro alternativo para caracterizar o comportamento de uma placa na fase de pós-encurvadura, foi proposto por Von Kárman [2.2, 2.41] em 1932 e pode ser definido como “... a largura de uma placa fictícia sujeita a uma distribuição uniforme de tensões, de valor σ e e estaticamente equivalente à distribuição de tensões efectivamente instalada na placa ...” [2.2]. A determinação de beff, ilustrada na Figura 2.29, pode ser efectuada através de b

σ e ⋅ b eff = ∫ σ x ( y ) ⋅ dy = σ m ⋅ b

com σ e = 2σ m − σ cr ( > 0 se compressão)

(2.34)

0

onde σx(y) é a distribuição das tensões normais instaladas no bordo transversal, de largura b, e σm é o respectivo valor médio.

Figura 2.29 – Conceito de largura efectiva beff.

A distribuição de tensões σx(y) é não linear e, à partida, apenas pode ser determinada por recurso a uma análise de pós-encurvadura da placa. Este problema foi também resolvido por Von Kárman [2.2, 2.41], o qual propôs um critério de resistência semi-analítico com grande 45


utilidade prática que consiste em: (i) Igualar a tensão máxima instalada na placa real (σe) à tensão critica de uma placa fictícia de largura beff o que conduz à relação b eff σ cr = b σe

(2.35)

a qual permite exprimir beff directamente em termos de σe e se designa por “fórmula de Von Kárman”. (ii) Admitir que o colapso da placa ocorre quando σ e = fy , onde fy é a tensão de cedência do aço que constitui a placa. Deste modo, tem-se: σ cr 1 ⎛b ⎞ ρ = ⎜ eff ⎟ = ≡ ≤1 fy λp ⎝ b ⎠ colapso

(2.36)

onde λ p é a conhecida esbelteza normalizada de placa. Alguns anos mais tarde, baseado num elevado número de resultados experimentais, incorporando implicitamente a influência das imperfeições e de tensões residuais, Winter [2.1, 2.42] propôs a modificação da fórmula de Von Kárman (2.35) para a seguinte forma ρ=

b eff σ cr = b σe

⎛ σ cr ⎞ ⎟ ⋅ ⎜1 − 0.25 ⋅ ⎜ ⎟ σ e ⎠ ⎝

(2.37)

Esta expressão corresponde ao critério de colapso, λ p − 0.25 σ cr ⎛b ⎞ ρ = ⎜ eff ⎟ = ≡ fy λ2p ⎝ b ⎠ colapso

(2.38)

O coeficiente 0.25, proposto por Winter, foi mais tarde alterado para 0.22 [2.1, 2.42] para obter um melhor ajuste aos resultados experimentais. Com esta alteração, a fórmula (2.38) tem sido incluída na grande maioria dos regulamentos de construção metálica (e.g., o Eurocódigo 3 [2.34, 2.35]). Apesar da mudança do coeficiente, a expressão (2.38) é frequentemente referida, e com justiça, como “fórmula de Winter”. As curvas de dimensionamento associadas aos diversos critérios referidos anteriormente estão apresentadas na Figura 2.30. Apesar de ter sido proposto para placas simplesmente apoiadas submetidas a compressão uniforme como as apresentadas nas Figuras 2.16 e 2.27, o critério subjacente à expressão (2.38) mostrou-se ser válido também para placas sujeitas a outras condições de apoio e de carregamento. A sua aplicação, nesses casos, consiste tão simplesmente em calcular o valor de λ p , fazendo intervir o valor de σ cr associado ao problema em análise (com influência das condições de apoio e tipo de carregamento), através da expressão π2 ⋅ E ⎛t⎞ σ cr = k σ ⋅ ⋅⎜ ⎟ 2 12 ⋅ 1 − υ ⎝b⎠

(

46

)

2

(2.39)

CONCEITOS TEÓRICOS

onde os valores k σ são do tipo dos apresentados no ponto 2.4.1.3.b).

Figura 2.30 – Comparação dos critérios de colapso de Von Kárman e Winter.

2.4.2.3.

Pós-encurvadura de secções (modos locais)

Tal como sucedia no caso da Análise Linear de Estabilidade (ALE) (ponto 2.4.1.4), o estudo do comportamento de pós-encurvadura de secções que instabilizam em modos “locais” (MLP e MD) é efectuado com base em modelos de placas inter-ligadas através dos bordos longitudinais (“folded-plate models”, na designação anglo-saxónica). Este facto explica a razão pela qual existe um grande número de trabalhos que abordam, conjuntamente, o comportamento geometricamente não linear de placas isoladas e secções (várias placas interligadas). Comparativamente à análise das placas isoladas, o estudo do comportamento de pós-encurvadura de secções requer a consideração adicional de aspectos ligados (i) à compatibilidade de deslocamentos e rotações e (ii) ao equilíbrio de forças e momentos, ao longo dos bordos longitudinais intemos [2.1]. Contrariamente à ALE de secções, o estudo do comportamento de “pós-encurvadura” de secções é bastante mais complexo. Por exemplo, a uma compatibilidade exacta entre deslocamentos transversais de membrana e de empenamento nos cantos da secção impede que a versão semi-analítica do Método das Faixas Finitas possa ser utilizada rigorosamente em análises de pós-encurvadura. À semelhança das ALE’s, a associação de elementos finitos ou faixas finitas (com funções b-spline) não lineares a técnicas numéricas incrementais-iterativas específicas para analisar problemas que envolvem grandes deslocamentos, permitiu que se investigasse um elevado número de problemas. Relativamente ao comportamento de secções propriamente dito, pode afirmar-se que ao modo de instabilidade local de placa (MLP) está sempre associado um comportamento estável das trajectórias de pós-encurvadura com elevada reserva pós-crítica, tal como no caso das placas isoladas. Por isso, também o conceito de largura efectiva é utilizado no caso das secções. Relativamente ao comportamento de secções no modo de instabilidade distorcional (MD), pode afirmar-se que a sua resistência de pós-encurvadura situa-se algures entre as correspondentes ao MLP (elevada) e ao MG (reduzida). Adicionalmente, refere-se que as condições de fronteira relativas ao empenamento desempenham um papel fundamental na resistência de pósencurvadura no MD. Deve ainda sublinhar-se que o conceito de “largura efectiva” não se aplica ao MD em virtude de o seu comportamento ser caracterizado sobretudo pela rotação do conjunto banzo-reforço (comportamento global) e não pela deformação da alma (comportamento de placa). Em termos regulamentares, existem diversas formas de abordar a resistência de barras no MD. Com o objectivo de assumir a preponderância do comportamento 47


do conjunto banzo-reforço, o EC3 utiliza o conceito de “espessura reduzida” das chapas deste conjunto. 2.4.3. Interacção entre Modos de Instabilidade. Fenómenos de Plasticidade.

A designação “interacção (ou acoplamento) entre modos de instabilidade” aplica-se a um conjunto de fenómenos que condicionam o comportamento geometricamente não linear de sistemas estruturais caracterizados pela ocorrência simultânea ou quase simultânea de mais do que um modo de instabilidade [2.2]. No caso dos perfis de aço enformados a frio, a elevada esbelteza das suas paredes e a progressiva utilização de aços de alta resistência potenciam a ocorrência de fenómenos de interacção entre modos de instabilidade. A grande dificuldade associada à análise deste tipo de fenómenos, prende-se com a determinação rigorosa do comportamento geometricamente não linear de um elemento estrutural, tanto no que respeita ao valor da tensão crítica de bifurcação como, sobretudo, ao comportamento de pósencurvadura. Tal como referido anteriormente, em geral, os fenómenos de instabilidade podem ocorrer tanto em fase elástica como em fase elasto-plástica; no entanto, dada a elevada esbelteza que caracteriza os elementos estruturais do aço enformados a frio, estes fenómenos ocorrem quase sempre em regime elástico (a plasticidade surge apenas na fase avançada de pósencurvadura). Por essa razão, considera-se que a ruptura destes elementos ocorre quando se verifica um valor de tensão igual ao da tensão limite de proporcionalidade (“tensão de cedência”) do material, embora alguns regulamentos (e.g., o Eurocódigo 3 [2.32–2.35]), incluam disposições que permitem considerar a presença de tensões superiores à de cedência, mesmo que apenas nas fibras traccionadas. A actual regulamentação de estrutura metálicas [2.32-2.37] toma em consideração os fenómenos de interacção entre modos de instabilidade de uma forma indirecta, no âmbito da verificação de segurança em relação a estados limites últimos.

48

CÁLCULO DE PROPRIEDADES DE SECÇÕES

CAPÍTULO 3

3. CÁLCULO DE PROPRIEDADES DE SECÇÕES

3.1. RESUMO

No presente capítulo far-se-á referência às metodologias disponíveis para obtenção de propriedades de secções, neste caso aplicado a secções brutas. A obtenção de propriedades efectivasp de secções segue uma metodologia de cálculo semelhante, mas por estar já associada ao cálculo da resistência de secções apresentar-se-á no capítulo seguinte. No ponto 3.2 são descritos os parâmetros caracterizadores de secções, o que contempla a geometria, os materiais e as limitações de esbeltezas que estão cobertas experimentalmente. No ponto 3.3 são apresentados os cálculos aproximados de propriedades de secções; descreve-se, nomeadamente, o processo para obtenção das linhas médias e a necessidade de contabilização da influência dos cantos curvos. No ponto 3.4 são descritos sucintamente os processos de cálculo “exactos” de propriedades. No ponto 3.5 são apresentados organigramas onde se expõem de forma sintética todos os procedimentos necessários ao cálculo de propriedades de secções. 3.2. DADOS GERAIS 3.2.1. Geometria e dimensões

Devido ao processo de fabrico, as secções de aço enformadas a frio exibem simultaneamente (i) um conjunto de paredes planas (placas) e (ii) um conjunto de cantos “arredondados” que correspondem às zonas de dobragem das chapas. Devido à existência destas zonas, a geometria das secções de aço enformadas a frio está longe de ser simples e existem algumas formas de abordar a sua geometria. Na Figura 3.1 apresentam-se duas geometrias comuns de secções em C e Z com reforços duplos. Em geral, os dados relativos à geometria de uma secção enformada a frio consistem em: • Dimensões medidas pelo exterior da secção (hg, bg1, bg2, cg1, cg2, dg1, dg2) • Espessura (tg) • Raios de dobragem interiores (r1, r2, r3, r4) •

Ângulos formados entre as paredes da secção (α1, α2, α3, α4)

49


bg2

bg2

r4 r6

r2

180-α4

tg

hg

hg

dg1

dg1

180-α3

180-α3

r5

cg1

cg1

r5

180-α4

dg2

tg

r3

r4 r6

dg2

r1

cg2

cg2

r2

bg1

r3

r1 bg1

Figura 3.1 – Dados geométricos de um C e de um Z – secção bruta real.

3.2.2. Propriedades do material

No que diz respeito ao material constitutivo das secções enformadas a frio, o Eurocódigo 3 [3.7; 3.8] considera as seguintes propriedades e factores de segurança: • Módulo de elasticidade: E = 210 GPa (ou N/mm2). • Coeficiente de poisson: ν = 0,30. E • Módulo de distorção: G = =80,77≈81 GPa (ou N/mm2). 2 ⋅ (1+ ν ) • Coeficientes parciais de segurança da resistência: γM0, γM1 e γM2. Estes podem variar em cada país de acordo com o respectivo D.N.A. (Documento Nacional de Aplicação). No entanto, o Eurocódigo 3 [3.7; 3.8] propõe os seguintes valores: - γ M 0 =1.00 é um factor parcial de segurança relativo à resistência de secções a esforços internos; - γ M1=1.00 é um factor parcial de segurança relativo à resistência de barras instabilidade; - γ M 2 =1.25 é um factor parcial de segurança relativo a resistência de ligações; No entanto, existem outras propriedades igualmente importantes que variam conforme o tipo de aço e processo de enformagem. Entre estas, sublinham-se as seguintes: • Tensões de cedência base (fyb) e média (fya) do aço. • Tensão de última do aço (fu). 3.2.2.1.

Tensão de cedência média do material (fya)

Tal como descrito em 1.2.3, o processo de fabrico das secções de parede fina enformadas a frio conduz à ocorrência de endurecimento nas zonas das dobras (cantos da secção), o que faz aumentar a tensão de cedência média da secção. Assim, é usual tirar partido deste “enrigecimento” do aço no dimensionamento das barras e, por isso, utiliza-se um valor médio 50


da tensão de cedência do aço (fya), cujo valor é superior à tensão de cedência base do aço (fyb). O valor da tensão de cedência média do aço pode ser obtido por k ⋅ n ⋅ t 2 fu + fyb fya = fyb + ( fu − fyb ) ⋅ ≤ Ag 2

(3.1)

onde •

A g é a área de secção bruta.

•

k é um factor que depende do tipo de enformagem, e que toma o valor de 7 para laminagem a frio (“cold forming”) e 5 para outros processos de fabrico (e.g., quinagem).

•

n é o número de dobras a 90º com um raio interno de dobragem r ≤ t g presentes na secção. Fracções de 90º deverão ser tidas em conta como fracções de n: n = ∑ ni i

•

⎧ 2φ i ⎪ ni = ⎨ 90º ⎪0 ⎩

se ri ≤ 5 ⋅ t g

(3.2)

se ri > 5 ⋅ t g

tg é a espessura das chapas de aço antes do processo de dobragem.

Finalmente refere-se que em barras onde não seja passível a ocorrência de fenómenos de instabilidade local, pode utilizar-se o valor da tensão de cedência média ( fya ) em vez da tensão de cedência base (fyb). 3.2.3. Limitações

Embora o processo de fabrico de secções enformadas a frio permita a concepção de secções de qualquer dimensão, o Eurocódigo 3 [3.7; 3.8] impõe algumas limitações às dimensões das mesmas. É óbvio que o dimensionamento e verificação de segurança de elementos estruturais de acordo com o Eurocódigo 3 apenas serão possíveis se tais limites forem satisfeitos. Por exemplo, o cálculo de larguras efectivasp (a apresentar no capítulo 4) é apenas válido para determinados valores das esbeltezas das paredes, os quais foram aferidos por resultados experimentais [3.9]. Para além da condição base relativa ao raio de dobragem r≤0,04E/fy, os restantes limites para os quais é válido o cálculo de resistência pelos métodos propostos no EC3 [3.8] são apresentados na Tabela 3.1. É ainda possível ao projectista utilizar dimensões fora destes limites; no entanto, o dimensionamento e verificação de segurança destes elementos estruturais deverá ser realizada através (i) da realização de ensaios experimentais e/ou (ii) de análises sofisticadas que tenham em conta todos os fenómenos do seu comportamento geometrica e fisicamente não linear (e.g., análises elasto-plásticas com elementos finitos de casca).

51


Tabela 3.1 – Esbeltezas máximas (EC3-1-3 – Quadro 5.1 [3.8]).

3.3. SECÇÃO BRUTA APROXIMADA

Entende-se por secção bruta a secção que não é corrigida por forma a ter em conta fenómenos de instabilidade local e/ou distorcional. Como se referiu anteriormente, e devido à existência das zonas de dobragem (cantos), a geometria das secções de aço enformadas a frio é complexa e existem algumas formas de obter uma geometria aproximada, apenas com partes rectas (paredes planas). O cálculo aproximado baseia-se numa linearização por troços rectos da linha média da secção. O EC3-1-3 [3.8] apresenta duas formas de obtenção desta secção aproximada: Secção bruta idealizada (“idealised gross cross-section”) − A intersecção das linhas médias dos troços rectos (paredes) conduz à identificação de um conjunto de pontos A nas zonas dos cantos da secção (ver Figura 3.2). A largura de cada uma das paredes rectas da secção bruta idealizada corresponde à distância entre dois pontos consecutivos do tipo A. Se as condições r≤5t e r≤0,10bp forem satisfeitas o EC3-1-3 [3.8] apenas exige a consideração das larguras idealizadas, obrigando, no entanto, a corrigir por um factor δ (ver 3.3.1) as propriedades assim obtidas que estejam relacionadas com rigidezes axiais, de flexão e constante de empenamento.

52


cg1

α1 /

2

c1s

α1 / 2

A tg / 2

φ1

φ1 Δ1

linha média

tg / 2

tg / 2

Δ1

b1s bg1

Figura 3.2 – Definição das larguras idealizadas (idealised flat widths).

Secção bruta nominal (“nominal gross cross-section”) − O raio de curvatura (segmento) dirigido de cada ponto A para o centro do respectivo circulo intersecta a linha média real da secção em pontos do tipo B (ver Figura 3.3). Fazendo a projecção destes pontos B na perpendicular à linha média idealizada, obtém-se os pontos do tipo C que constituem as extremidades dos elementos da secção bruta nominal. As larguras nominais de cada uma das paredes rectas da secção bruta nominal correspondem às distâncias entre dois pontos consecutivos do tipo C. As propriedades (área, inércia) da secção bruta nominal são calculadas sem recorrer a correcções posteriores.

tg / 2

b1p

C

B C

A

gr1

tg / 2

linha média

tg / 2

α1 /

c1s

2

c1 p

α1 / 2

gr1

b1s Figura 3.3 – Definição das larguras nominais (notional flat widths).

Refere-se ainda que as duas formas de obter as propriedades das secções brutas têm alguma precedência entre si, como se irá mostrar mais adiante. Com o objectivo de ilustrar as definições apresentadas anteriormente, descreve-se em seguida, e para o caso das secções em C e Z mostradas na Figura 3.1, as operações efectuadas para a determinação das dimensões da secção aproximada. 53


No caso da secção bruta idealizada (ver Figura 3.2 e 3.4), os valores da largura bruta idealizada de cada parede podem ser obtidos através de, • h s = hg − Δ 1 − Δ 2

• Δ1 = t g 2 ⋅ tan(φ1 )

• φ1 = (180º − α 1 ) 2

• b1s = b1g − Δ1 − Δ 3

• Δ 2 = t g 2 ⋅ tan(φ 2 )

• φ 2 = (180º − α 2 ) 2

• b 2 s = b 2g − Δ 2 − Δ 4

• Δ 3 = t g 2 ⋅ tan(φ 3 )

• φ 3 = (180º − α 3 ) 2

• c1s = c1g − Δ 3 − Δ 5

• Δ 4 = t g 2 ⋅ tan(φ 4 )

• φ 4 = (180º − α 4 ) 2

• c 2 s = c 2g − Δ 4 − Δ 6

• Δ 5 = t g 2 ⋅ tan(φ 5 )

• φ 5 = (180º − α 5 ) 2

• d1s = d1g − Δ 5

• Δ 6 = t g 2 ⋅ tan(φ 6 )

• φ 6 = (180º − α 6 ) 2

• d 2 s = d 2g − Δ 6

(3.3)

b3s

b2s

c2s

cg2

c2s

d2s

hs

hs

b4s

d1s

b1s

c1s

c1s

b1s

b2s Figura 3.4 – Secção bruta idealizada de secções em C e Z.

No caso da secção bruta nominal (ver Figuras 3.3 e 3.5), os valores da largura bruta nominal de cada parede podem ser obtidos através de, • hp = hs − gr1 − gr 2

• gr1 = ( r1 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ1 ) − sin(φ1 ) )

• b1p = b1s − gr1 − gr 3

• gr 2 = ( r2 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 2 ) − sin(φ 2 ) )

• b 2p = b 2s − gr 2 − gr 4

• gr 3 = ( r3 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 3 ) − sin(φ 3 ) )

• c1p = c1s − gr 3 − gr 5

• gr 4 = ( r4 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 4 ) − sin(φ 4 ) )

• c 2p = c 2s − gr 4 − gr 6

• gr 5 = ( r5 + t g 2 ) ⋅ ( tan( φ5 ) − sin(φ5 ) )

• d1p = d1s − gr 5

• gr 6 = ( r6 + t g 2 ) ⋅ ( tan( φ6 ) − sin(φ6 ) )

• d 2p = d 2s − gr 6

54

(3. 4)


b2p

b2p

c2p

c2p

d2p hp

d2p

d1p

d1p

c1p

c1p

b1p

b1p Figura 3.5 – Secção bruta nominal das secções em C e Z.

3.3.1. Cálculo de propriedades – Método do anexo C do EC3-1-3

O anexo C do EC3-1-3 [3.8] fornece uma forma aproximada e expedita para o cálculo das propriedades da secção (área, inércias, constante de empenamento). As fórmulas necessárias encontram-se no anexo A do presente documento. Caso a influência dos cantos curvos não seja elevada, é possível obter as propriedades da secção a partir da secção bruta idealizada corrigidas por factor dado por,

∑r δ = 0.43 ⋅ ∑b

m

m

(3. 5)

p,k

k

onde • rm é o raio interno do elemento curvo m. • bp,k é a largura do elemento plano k para uma secção idealizada. As propriedades aproximadas da secção (área, inércias, constante de empenamento) obtêm-se através de A ≈ As ⋅ (1 – δ) (3. 6a) Iu ≈ Iu,s ⋅ (1 – 2δ) onde

ou

Iv ≈ Iv,s ⋅ (1 – 2δ)

Iw ≈ Iw,s ⋅ (1 – 4δ)

(3. 6b) (3. 6c)

• A é a área da secção real (com cantos curvos). • Iu e Iv são os momentos principais centrais de inércia da secção real (com cantos curvos). • Iw é a constante de empenamento da secção real (com cantos curvos). • As é a área da secção idealizada (com cantos rectos).

55


• Iu,s e Iv,s são os momentos principais centrais de inércia da secção idealizada (com cantos rectos). • Iw,s é a constante de empenamento da secção idealizada (com cantos rectos). 3.3.2. Tensões axiais associadas a esforços máximos na secção bruta (sem instab.)

A escolha do tipo de secção bruta a adoptar (idealizada ou nominal) tem uma implicação directa nos valores das tensões normais devidas aos esforços internos na barra. Em função da geometria e das propriedades da secção, pode obter-se uma distribuição de tensões normais iniciais dada por (ver Figuras 3.6a e 3.6b) σ=

N Mu M + u− v v A Iu Iv

(3. 7)

É com base nesta distribuição de tensões normais que se classifica a secção e se calculam as larguras efectivas das paredes da secção, como se verá adiante no capítulo 4. No caso do esforço axial N actuar isolado na barra (tracção ou compressão), as tensões normais produzidas na secção são uniformes em todos os seus pontos e podem ser obtidas por σ N = N A . No caso de a barra estar submetida a flexão simples ou desviada (i.e., sujeita aos momentos Mu e/ou Mv), as tensões normais têm uma distribuição que varia linearmente com u e/ou v, tal que σ Mvu = Mu Iu ⋅ v ou σ uM v = M v Iv ⋅ u . No estado limite último, considera-se para valor máximo das tensões o valor de σ max .Ed = fyb / γ M 0 . No caso do estado limite de serviço, são necessários os esforços de serviço para se obter a distribuição de tensões, a qual deve ser razoavelmente inferior a fyb / γ M0 (caso contrário, o elemento estará muito provavelmente subdimensionado).

σumax Mv

σ0;13 Mv Mv 2a;11b σ5b;8a Mv σσ2b;11a Mv σ5a;8b Mv

σumin Mv

8a 8b

11a 11b

13

σ13 N

σvmax Mu σ8b;11a Mu σ11bMuMu σ8a σ13 Mu

σcg.p N

cg.p

0

5b 5a

σvmax N σ8b;11a N σ11bNN σ8a

2b 2a

σ0 N σ5b N σ2a N N σ2b;5a σvmin N

σ0 Mu σ5b Mu σ2a Mu σ2b;5a Mu σvmin Mu

Figura 3.6a – Tensões na secção bruta nominal de uma secção em C com reforços simples.

56


σ0 Mv

σumin Mv

σ2a σ2b Mv Mv

σ8a σ5b σ8b Mv σ5a Mv Mv

σ13 Mv

Mv

σ11a σ11b Mv Mv

11a 11b 8a 8b

v

13

cg.p

0 5a 5b 2a 2b

u

σumax Mv

σvmax N σ11a NN σ11bN σ8b σ8a N σ13 N

σvmaxMuMu σ11a Mu σMu 11b

σ8b Mu σ8aMu σ13

σcg.p N

σ0 N σ5b N σ5a NN σ2a N σ2b N σvmin

σ0 Mu σ5b Mu σ5a MuMu σ2a Mu σ2b Mu σvmin

Figura 3.6b – Tensões na secção bruta nominal de uma secção em Z com reforços simples.

3.4. PROPRIEDADES “EXACTAS”

As características geométricas da secção real (com cantos curvos – ver Figura 3.7) são calculadas através de métodos analíticos e/ou numéricos exactos ou que estejam associados a margens de erro muito reduzidas (secção bruta exacta ou “exact gross cross-section”). De entre os vários métodos existentes, referem-se os seguintes: a) Métodos analíticos, os quais são baseados em expressões analíticas específicas de cada configuração de secção. b) Métodos de natureza analítica, os quais são baseados em funções analíticas (e.g., funções TSP) e são generalizáveis a qualquer configuração de secção [3.2]. c) Métodos de natureza numérica, os quais recorrem à discretização da secções em elementos cuja contribuição para a propriedade global da secção é conhecida a priori e generalizáveis a qualquer configuração de secção (e.g., Autocad). As metodologias do tipo b) são bastante interessantes, por serem generalizáveis a qualquer tipo de secção e, comparativamente aos métodos numéricos, por serem computacionalmente mais leves. Destas metodologias, merece especial destaque a baseada nas funções TSP [3.2], a qual permite transformar o integral de linha (ao longo da linha média da secção) num integral de área, mediante a definição do perímetro da secção e através do teorema de Green. De referir ainda que o Eurocódigo 3 [3.8; 3.9], ao impor que a obtenção das larguras efectivasp seja feita com base em larguras do tipo idealizado/nominal, faz perder o interesse em metodologias “exactas” para obtenção de propriedades efectivasp. Isto deve-se ao facto de os nós do tipo A ou C, referidos anteriormente, serem nós fictícios que não se encontram em nenhum ponto da linha média da secção real, o que, caso se pretendesse fazer o cálculo “exacto” de propriedades, teria como consequências: (i) a distribuição de tensões obtidas na secção bruta exacta não ter relação directa com os pontos da secção bruta nominal ou 57


idealizada; (ii) as larguras efectivasp (ver capítulo 4) idealizadas/nominais terem de ser convertidas em larguras efectivasp equivalentes na secção real; (iii) existir um conjunto de grandezas auxiliares (e.g.: molas para o cálculo da tensão crítica devido a instabilidade distorcional – ver capítulo 4) que teriam de ser definidas alternadamente em secção real e em secção idealizada/nominal. z

z

cg.e

cg.e,sc.e

zcg.e,zsc.e

zcg.e,zsc.e

sc.e

y ysc.e

y

ycg.e Figura 3.7 – Secção real (com cantos curvos) de uma secção em C e Z.

Isto não acontece, nas abordagens das regulamentações Norte-Americana e Australiana/NeoZelandesa [3.10, 3.11] já que consideram os cantos curvos sempre efectivos e, como tal, a utilização de metodologias de cálculo de propriedades exactas torna-se bastante interessante. 3.5. ORGANIGRAMAS

Apresentam-se de seguida organigramas que resumem os procedimentos necessários aos cálculos de propriedades de secções brutas. Em alguns destes organigramas estão apresentados procedimentos que não foram aprofundados na presente dissertação, mas que se julgam ser importantes colocar para uma exposição clara do problema. Optou-se por apresentar o cálculo de propriedades sem correcções posteriores para incluir o efeito dos cantos curvos na Figura 3.8, considerando essas correcções na Figura 3.8, para que se possa fazer referência a estas figuras isoladamente para o caso de propriedades de secções efectivas que partilha com as propriedades de secções brutas bastantes procedimentos. Os valores b(*) k .p apresentados nas Figuras 3.8a e 3.8b, podem ser quaisquer das larguras nominais hp , b1p , b 2p , c1p , c 2p , d1p e d2p .

58


t ig , ri e α i hg , b ig , c ig e dig

Δ i e φi hs , b is , c is e dis

gri hp , b ip , c ip e dip

rk ≤ 5 ⋅ t g rk ≤ 0.10 ⋅ b(*)kp ?

y0.ik .p , z 0.ik .p , y0.jk .p , z 0.jk .p , y0.cg.p e z 0.cg.p yik .p , z ik .p , yjk .p , z jk .p , A p , Iy.p , Iz.p e Iyz .p βp , Iu.p , Iv.p , uik .p , vik .p , ujk .p e v jk .p

y0.ik .s , z 0.ik .s , y 0.jk .s , z 0.jk .s , y0.cg.s e z 0.cg.s yik .s , z ik .s , yjk .s , z jk .s , A s , Iy.s , Iz.s e Iyz .s βs , Iu.s , Iv.s , uik .s , vik .s , ujk .s e v jk .s

y 0.sc .s , z 0.sc .s , y sc .s , z sc .s , usc .s e v sc .s Iw.s , It.s , Ip.s , uj.s e v j.s

umin .s , umax .s , v min .s , v max .s Mu σ jkM.us σ jkM.vs σ ik .s σ Mv , , ik .s , σ max .Ed σ max .Ed σ max .Ed σmax .Ed u σ Mv min σ Mu σ Mv σ Mv .s , v max .s , umin .s , umax .s σ max .Ed σ max .Ed σ max .Ed σ max .Ed

y0.sc .p , z 0.sc .p , y sc .p , z sc .p , usc .p e v sc .p Iw.p , It.p , Ip.p , uj.p e vj.p

umin .p , umax .p , vmin .p , vmax .p σ

Mu ik .p

,

σjkM.up

,

σikM.vp

σmax .Ed σmax .Ed σmax .Ed u σMv min σM u σM v .p , v max .p , umin .p σmax .Ed σmax .Ed σmax .Ed

, ,

σjkM.vp σmax .Ed v σuMmax .p σmax .Ed

Figura 3.8a – Cálculo de propriedades de secções. 59


A aprox = A s ⋅ (1 − δ) In.aprox = In.s ⋅ (1 − 2 ⋅ δ) n = y, z, yz , u, v

Iw.aprox = Iw.s ⋅ (1− 4 ⋅ δ)

δ = 0.43 ⋅

∑r ∑b

m

m

(*) kp

k

Figura 3.8b – Correcção de propriedades para incluir cantos curvos.

60

RESISTÊNCIA DE SECÇÕES

CAPÍTULO 4

4. RESISTÊNCIA DE SECÇÕES

4.1. RESUMO

No presente capítulo apresenta-se a metodologia disposta no Eurocódigo 3 [4.4] para o cálculo de resistência de secções. No ponto 4.2 é feita uma abordagem sucinta da determinação da resistência de secções com inclusão dos efeitos dos diversos tipos de instabilidade, bem como da plasticidade. É introduzido o conceito de classes de secções em função da sua capacidade de atingir a resistência plástica e da sua capacidade de rotação. No ponto 4.3 introduz-se o conceito de larguras efectivasp e descreve-se a metodologia prescrita pelo Eurocódigo 3 para a obtenção das mesmas. Apresentam-se os diferentes métodos apresentados em várias versões do EC3 [4.3; 4.4; 4.5] e inclusivamente na mesma versão (método base e método do anexo D). No ponto 4.4 é descrita a metodologia prescrita pelo EC3 [4.2; 4.4] para a obtenção da resistência de secções com a consideração do efeito de instabilidades local e distorcional. No ponto 4.5 são apresentados organigramas onde se expõem de forma sintética todos os procedimentos necessários ao cálculo de resistência de secções 4.2. CLASSIFICAÇÃO DE SECÇÕES

Conceptualmente, uma barra é composta por um conjunto de infinitas secções transversais que evoluem ao longo do seu desenvolvimento axial (longitudinal) segundo uma determinada lei de variação (barras prismáticas e de secção variável). Por outro lado, e na ausência de fenómenos de instabilidade local ou global, é reconhecido que a capacidade resistente máxima de uma barra é igual à resistência plástica da sua secção mais fraca. No entanto, a ausência de fenómenos de instabilidade local ou global constitui uma situação ideal, que raramente se verifica. Por isso, é necessário reduzir frequentemente o valor da resistência plástica das secções para ter em conta aqueles efeitos. Essa redução de resistência é efectuada a dois níveis: (i) Ao nível das secções, reduzindo a resistência destas por forma a ter em conta os fenómenos de instabilidade local, os quais são condicionados pela deformação das paredes que constituem a barra. O cálculo desta resistência “reduzida” das secções será objecto de análise neste capítulo; (ii) Ao nível da barra, reduzindo a resistência da barra devido a fenómenos de instabilidade global, os quais são condicionados pelo comportamento da barra integrada num sistema estrutural. O cálculo desta resistência “reduzida” das barras será abordado no capítulo 5; A forma como o Eurocódigo 3 aborda a problemática das secções compactas e das secções esbeltas e a sua capacidade de desenvolver deformação plástica sem ocorrência de fenómenos de instabilidade baseia-se no conceito de classificação da secção. O objectivo da classificação de secções é o de identificar se a resistência e capacidade de rotação das secções pode ou 61


não ser limitada por fenómenos de instabilidade local. Deste modo, o EC3 permite definir quatro classes de secções (observar Figura 4.1), as quais se apresentam de seguida: • Classe 1: secções onde se pode atingir a resistência plástica e existe capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica. • Classe 2: secções onde se pode atingir a resistência plástica mas não se pode garantir capacidade de rotação suficiente para se formar (é necessário verificar – depende da ordem de formação da rótula plástica). • Classe 3: secções onde se pode atingir a resistência elástica (tensão de cedência na fibra mais solicitada), mas fenómenos de encurvadura local impedem que se atinja a resistência plástica. • Classe 4: secções onde a ocorrência de fenómenos de encurvadura local impede que se atinja sequer a tensão de cedência na fibra mais solicitada.

Momento / Momento Plástico (M/Mp)

R= k/kp-1

1.0 M/My

Classe 2 (Mmax≥Mp e R
Classe 3 (My≤Mmax
Classe 1 (Mmax≥Mp e R>Rreq)

Classe 4

0.5

(Mmax
0 0

2

4

6

8

10

Curvatura / Curvatura Plástica (k/kp) Figura 4.1 – Curvas momento-curvatura para as diversas classes de secção preconizadas pelo EC3.

A classificação de uma secção é efectuada com base na classificação dos seus elementos (paredes) comprimidos. Entende-se por elemento comprimido aquele que está submetido a compressão total ou parcial (e.g., basta que um ponto do elemento esteja comprimido para que a sua classificação seja obrigatória). Daqui em diante e por simplificação, um “elemento comprimido” passa a ser designado simplesmente por “elemento”. Assim, a classificação de uma secção depende dos seguintes parâmetros: • Esbelteza (c/t) dos elementos, em que t é a espessura do elemento e c é a sua largura livre, isto é, excluindo a largura dos cantos (raio de curvatura de secções enformadas a frio e laminadas a quente) ou a largura dos cordões de soldadura (no caso de secções soldadas). • Condições de apoio do elemento na secção. O elemento pode ser classificado como interior (se a parede possuir dois pontos de apoio na secção – elemento simplesmente apoiado) ou saliente (se a parede possuir apenas um ponto de apoio na secção – elemento em consola). • Tensão de cedência do aço ( fy ) que constitui a secção. Dependendo da classe do aço, assim se obtém o parâmetro ε=(235/ fy )0.5. • Posição da linha neutra (plástica ou elástica) na secção, a qual se reflecte nos parâmetros ψ (elástica) ou α (plástica). O parâmetro ψ relaciona as tensões nas fibras 62


extremas do elemento ( ψ = σ 2 / σ1 – Figura 4.2), em que, de acordo com o EC3, σ1 é sempre a sempre a máxima tensão de compressão no elemento (de acordo com o EC3, a compressão considera-se sempre com sinal positivo). Para facilitar a implementação numérica, considerou-se sempre, σ1 como a tensão do nó inicial do determinado elemento, pelo que para tensões σ1 de tracção, a relação ψ a utilizar é a inversa, ou seja, 1/ ψ = σ 1 / σ 2 (ver Equação 4.1). O parâmetro α corresponde à relação entre a largura da zona do elemento submetida a compressão (αc) e a largura total do elemento (c). Enquanto que secções de classe 1 ou 2 estão associadas a uma distribuição plástica de tensões normais, às secções de Classes 3 ou 4 corresponde sempre uma distribuição elástica de tensões normais. • Coeficiente de encurvadura (kσ) do elemento (neste caso, apenas para elementos salientes intersectados pela linha neutra elástica). σ1

σ2

Figura 4.2 – Distribuição de tensões num elemento interior.

Os diversos elementos que compõem uma secção (como banzos ou almas) podem ser de diferentes classes. A classe da secção é sempre a maior classe (i.e., a mais desfavorável) dos seus elementos comprimidos. A classe de uma barra é sempre a maior classe das suas secções transversais. Alternativamente, existe a hipótese, menos comum, de classificar a secção listando as classes dos seus componentes. A classificação nestes moldes, terá eventualmente interesse se se pretender aplicar o disposto nas alíneas (a), (b) e (c) no final do presente ponto e, que basicamente permite reduzir a classe da secção, devido à presença de uma tensão máxima inferior à de cedência ou apenas em função da classe dos banzos. A classificação de uma secção faz-se classificando os seus elementos comprimidos através dos Quadros 4.1 e 4.2 (semelhantes às tabelas 5.2 de [4.1] EC3-1-1) a partir dos diagramas de tensões normais actuantes e de condições limites aí dispostas. A um elemento que não respeite a condição limite associada a uma determinada classe, deve proceder-se à verificação da condição relativa à classe seguinte. Por exemplo, são de classe 4 todos os elementos que não verificarem as condições relativas à classe 3. No caso de secções de aço enformadas a frio, refere-se que a largura c, tal como está apresentada nos Quadros 4.1 e 4.2, deve ser tomada como a largura idealizada ou nominal do elemento, de acordo com a metodologia aplicada (tal adopção assegura total coerência com a posterior determinação de larguras efectivasp e de propriedades das secções). Para secções de Classe 4, devem usar-se larguras efectivasp para ter em conta as reduções de resistência devido ao efeito dos fenómenos de instabilidade local, como disposto no ponto 4.3 do presente documento. Como se referiu anteriormente, a classificação da secção deve ser baseada no diagrama de tensões normais da secção, as quais podem estar associadas a esforço normal e/ou a momento-flector. No que diz respeito à forma do diagrama de tensões normais a utilizar para a classificação da secção, existem duas abordagens possíveis: (i) considerar o diagrama de tensões normais resultante da actuação simultânea de esforço axial N e momento flector M ou (ii) considerar dois diagramas de tensões normais, um associado a esforço normal N e outro a momento flector M. Embora a primeira abordagem seja a mais complexa, na medida em que 63


envolve um diagrama misto N+M e exige o conhecimento a priori dos esforços na secção (ou pelo menos a sua relação), é também a mais rigorosa pois envolve o diagrama de tensões normais realmente existente. A segunda abordagem, sendo mais fácil pois não requer o conhecimento a priori dos esforços N e M, permite ainda uma classificação diferenciada para o esforço axial e para a flexão. Do ponto de vista do dimensionamento em projecto, será mais comum adoptar esta segunda abordagem devido à sua facilidade de implementação num código pois não requer o conhecimento da relação entre N e M. No entanto, a segunda abordagem constitui claramente uma solução mais conservativa e menos económica que a primeira abordagem. Neste último caso, a existência simultânea de compressão e flexão é sempre menos penalizante (a situação mais desfavorável para um elemento é estar submetido a compressão uniforme e a mais favorável é estar submetido a flexão simples). A consideração de tensões reais (primeira abordagem) permite, em geral, aumentar os valores limites das classes dos elementos, quando comparado com os obtidos para distribuições com os esforços isolados (segunda abordagem). Esta metodologia pode, no entanto, mostrar-se muito laboriosa para secções que se encontrem na fronteira entre as Classes 2 e 3, pois pode implicar a utilização de métodos iterativos para a determinação da linha neutra plástica.

Quadro 4.1 – [4.2] EC3-1-1 - Quadro 5.2 (folha 1): Elementos interiores à compressão.

64


Em virtude da reduzida espessura das chapas de aço com que são fabricadas as secções enformadas a frio, estas têm, em geral, paredes com elevadas esbeltezas e por isso são muito susceptíveis a instabilidades locais. Desta forma, a grande maioria dos elementos estruturais de aço enformados a frio (analisados neste documento) é, regra geral, de classe 3 ou 4.

Quadro 4.2 – [4.2] EC3-1-1 - Quadro 5.2 (folha 2): Elementos salientes à compressão.

A distribuição de tensões num elemento está directamente relacionada com a forma do diagrama de tensões normais na secção. O caso mais simples é o de uma secção submetida a compressão, no qual todos os elementos estão submetidos a compressão uniforme e a ψ=α=+1 (2ª coluna do Quadro 4.1 e 1ª coluna do Quadro 4.2). Do ponto de vista da classificação, este é o caso mais desfavorável (conduz à classe mais alta) pois também é o que mais favorece a instabilidade local da barra. Em seguida, surge o caso de uma secção monosimétrica (secção em C reforçada) submetida a flexão simples em torno do eixo de maior inércia. Neste caso, tem-se (i) ψ=-1 ou α=0.5 na alma (a linha neutra intersecta a alma a meio e as duas tensões extremas são iguais − 1ª coluna do Quadro 4.1), (ii) ψ=α=+1 nos banzos (1ª coluna do Quadro 4.2) e (iii) 0<ψ<1 (2ª/3ª coluna do Quadro 4.2) ou α=+1 (1ª coluna do Quadro 4.2) nos reforços. Um caso um pouco mais complexo é o de uma secção monosimétrica (secção em C reforçada) submetida a flexão simples em torno do eixo de menor inércia. Neste caso, os dois banzos estão submetidos a flexão composta (-1<ψ<0 ou 0< α<1 − 3ª coluna do Quadro 4.1) devido à ausência de simetria da secção em relação ao eixo de flexão, embora a secção esteja submetida a flexão simples.

65


No caso de elementos interiores de classe 3 e 4, as expressões apresentadas no Quadro 4.1 podem ainda escrever-se na forma mais geral, consoante: ⎧ ψ ≤ −1: ⎪σ 1 de compressão : ⎪ ψ > −1: ⎪ ⎨ ⎪ ψ < −1: ⎪σ 1 de tracção : ⎪ − 1≤ ψ < 0 : ⎩

(c / t )lim = 62ε ⋅ (1 − ψ ) ⋅ − ψ (c / t )lim = 42ε /(0.67 + 0.33 ⋅ ψ ) (c / t )lim = 42ε /[ 0.67 + 0.33 ⋅ (1/ ψ ) ] (c / t )lim = 62ε ⋅ [ 1 − (1/ ψ ) ] ⋅ − (1/ ψ )

(4.1)

Finalmente, e no que diz respeito à classificação de secções, [4.1] EC3-1-1 insere ainda alguns casos especiais: a) Os elementos de classe 4 podem ser tratadas como de classe 3 se as suas esbeltezas forem inferiores aos valores limites associadas a classe 3 (Quadros 4.1 e 4.2) multiplicados pelo factor fyb ( γ M0 ⋅ σ com,Ed ) , em que σ com,Ed é a máxima tensão de compressão presente no elemento obtida de uma análise de primeira, ou eventualmente segunda ordem (ver cláusula 5.5.2.(9) de [4.2]). No entanto, e para a verificação de segurança à instabilidade global da barra, os valores limite das esbeltezas para elementos de classe 3 devem ser obtidos directamente, sem recurso a nenhum tipo de correcção, a partir dos Quadros 4.1 e 4.2 (ver cláusula 5.5.2.(10) de [4.2]). b) As secções com alma de classe 3 e banzos de classe 1 ou 2, podem ser classificadas como sendo de classe 2 se se considerar uma alma efectivap de acordo com o art.º 6.2.2.4 de [4.2].

c) Quando a alma for considerada apenas para resistir a esforço transverso e os banzos para resistir aos momentos flectores e esforço axial, pode classificar-se a secção (classe 2, 3 ou 4) apenas em função da classe dos banzos. 4.3. SECÇÕES DE CLASSE 4 - PROPRIEDADES EFECTIVASp

Como se referiu anteriormente, a reduzida espessura das chapas de aço com que são fabricadas as secções enformadas a frio conduz a paredes com elevadas esbeltezas e a barras muito susceptíveis a encurvadura local. Por isso, uma grande maioria dos elementos estruturais de aço enformados a frio é de classe 4, isto é, possui secções onde a ocorrência de encurvadura local impede que se atinja a tensão de cedência na fibra mais solicitada. Por forma a ultrapassar esta dificuldade, é necessário substituir (i) a secção bruta submetida a uma tensão máxima na fibra mais solicitada inferior à tensão de cedência ( σ max < fy ) por (ii) uma secção efectiva (reduzida, isto é, inferior à bruta) submetida a uma tensão máxima na fibra mais solicitada igual à tensão de cedência σ max = fy ) – de facto, uma secção de classe 4 é tratada como uma secção efectiva mas de classe 3. Desta forma, só faz sentido falar de uma secção efectiva se esta for de classe 4. A obtenção de uma secção efectiva e as suas propriedades efectivasp pode ser obtida através de um procedimento simples (não iterativo) ou através de um procedimento iterativo. O procedimento simples envolve o cálculo de larguras e propriedades efectivasp iniciais com base na distribuição de tensões primária. No entanto, e em muito casos, a modificação da secção bruta para a secção efectiva gera uma distribuição de tensões secundária, a partir da qual se 66


obtêm as larguras e propriedades efectivasp finais. Segundo o EC3, o procedimento simples inclui sempre estas duas etapas. No entanto, podem ainda admitir-se distribuições de tensões de ordem superior (terciária, ...), facto que dá origem a um procedimento iterativo, o qual também é permitido pelo EC3. Em geral, a determinação de uma secção efectiva baseia-se no conceito de instabilidade local. Tal deve-se ao facto de grande parte das secções de aço não serem “reforçadas” (as secções laminadas a quente e, frequentemente, as secções soldadas, não possuem reforços). No entanto, as secções de aço enformadas a frio são geralmente “reforçadas”, apresentando frequentemente “reforços de extremidade” e/ou “reforços intermédios”. Como se viu no Capítulo 2, a adição de reforços induz o aparecimento de instabilidades do tipo distorcional. Desta forma, quando se aborda a secção efectiva há que discernir entre secção efectiva para o modo local e secção efectiva para o modo distorcional. Também do ponto de vista regulamentar esta diferença se faz sentir: enquanto a secção efectiva para o modo local se baseia nos procedimentos existentes em [4.5] EC3-1-5 (relativos a placas e estruturas laminares de aço), a secção efectiva para o modo distorcional se baseia nos procedimentos específicos de [4.4] EC3-1-3 relativos a elementos estruturais de aço enformados a frio. Assim, para uma secção não reforçada (secção em U e cantoneira) há que obter apenas a secção efectiva para a instabilidade local. Por outro lado, secções com reforços de extremidade (casos abordados neste trabalho) requerem o cálculo de uma secção efectiva que tenha em conta ambas as instabilidades (local e distorcional). Por outro lado, a metodologia de cálculo da secção efectiva para o modo local difere claramente da metodologia de cálculo da secção efectiva para o modo distorcional. Enquanto a primeira (local) se baseia no conceito de largura efectiva (a redução é efectuada na dimensão da largura do elemento), a segunda (distorcional) baseia-se no conceito de espessura reduzida (a redução é efectuada na dimensão da espessura do elemento). Nas secções seguintes, abordam-se separadamente os dois procedimentos referidos. Por outro lado, recorde-se que a classificação da secção é apenas baseada na tensão crítica de instabilidade local, não dependendo nunca da tensão crítica de instabilidade distorcional. Este facto pode afectar, de alguma forma, o conceito de classificação para uma secção “reforçada”. Por exemplo, uma secção “reforçada” pode ser de classe 3 e no entanto ser necessário a determinação da secção efectiva para a instabilidade distorcional, a qual envolverá apenas redução da espessura dos reforços. Embora a classificação da secção possa ser efectuada com base (i) no diagrama de tensões real (devido a N+M) ou (ii) nos diagramas de tensões individuais de N e de M (classificações diferenciadas), a determinação da secção efectiva é sempre efectuada com base nos diagramas de tensões individuais devidos a N e a M. Isto é, se a secção estiver submetida a flexão uniaxial (M) composta com compressão, devem determinar-se duas secções efectivas, uma para N e outra para M. Desta forma, e no caso mais geral, as verificações de segurança de secções de classe 4 requerem o conhecimento dos valores das seguintes propriedades geométricas: a) Área efectiva Aeff e excentricidades eNu e eNv. Os valores de Aeff, eNu e eNv são calculados com base numa secção efectiva obtida com base na secção bruta actuada apenas por Nc,Ed (compressão). As excentricidades são devidas à mudança do centro de massa da secção bruta para a secção efectiva. É óbvio que eNu=eNv=0 em secções bi-simétricas, eNu=0 ou eNv=0 em secções monosimétricas e eNu≠0 e eNv≠0 em secções sem qualquer simetria. 67


b) Módulo de flexão efectivo Weff,u,min. O valor de Weff,u,min é calculado com base numa secção efectiva obtida com base na secção bruta actuada apenas por Mu,Ed (flexão em torno do eixo u). c) Módulo de flexão efectivo Weff,v,min. O valor de Weff,v,min é calculado com base numa secção efectiva obtida com base na secção bruta actuada apenas por Mv,Ed (flexão em torno do eixo v). Desta forma, e no caso mais complexo (flexão bi-axial composta com compressão), é necessário o cálculo de três secções efectivas. 4.3.1. Secção efectivap para a instabilidade local – cálculo das larguras efectivasp

A primeira etapa na determinação de uma secção efectiva consiste no cálculo da tensão crítica de instabilidade local σcr.l. Este valor pode ser determinado de duas formas distintas: a) Exactamente (cláusula 5.5.1(6)-(7) de [4.4] EC3-1-3), recorrendo a métodos numéricos (método dos elementos finitos de casca [4.17], método das faixas finitas [4.14, 4.15], teoria generalizada de vigas [4.16]) para obter o valor da tensão correspondente ao mínimo local da curva σb(L) relativo ao modo de instabilidade local (ver Capítulo 2). b) Aproximadamente, considerando a tensão crítica local igual à tensão crítica (ou factor de encurvadura kσ) de cada elemento da secção considerado rotulado nos seus apoios laterais (cantos da secção) e submetido a um gradiente de tensões definido por ψ. Desta forma (em alguns casos, bastante conservativa), o valor da tensão crítica local é diferente de elemento para elemento. A segunda opção (procedimento aproximado) é adoptada muito frequentemente. Seguindo esta via, o primeiro passo na determinação de uma secção efectiva consiste no cálculo das larguras efectivas dos seus elementos comprimidos de classe 4. Em primeiro lugar, deve ter-se em atenção a distribuição de tensões a adoptar em cada elemento (parede) da secção. De acordo com o art.º 5.5.2.(3) do EC3-1-3 [4.4], define-se que ao aplicar o método disposto no art.º 4.4 de [4.5] EC3-1-5 se deve seguir o seguinte procedimento: • O parâmetro ψ a utilizar no cálculo da largura efectivap do banzo comprimido de uma secção submetida a flexão (relação de tensões na extremidades do banzo), deve ser baseado numa distribuição de tensões com propriedades da secção bruta (obtidas no Capítulo 3). • O parâmetro ψ a utilizar no cálculo da largura efectivap do alma de uma secção submetida a flexão (relação de tensões na extremidades da alma), deve ser baseado numa distribuição de tensões com propriedades de uma secção composta pela parte efectiva do banzo comprimido e pela parte bruta da alma. • A secção efectivap final pode ser optimizada utilizando distribuições de tensões baseadas em propriedades efectivasp calculadas após os passos anteriores, repetindo-os até as larguras efectivas convergirem. Os dois passos anteriores constituem o número mínimo de etapas iterativas para secções sujeitas a flexão (o processo iterativo é facultativo). De acordo com o referido anteriormente, e de uma forma mais geral, pode afirmar-se que o cálculo de uma secção efectiva sujeita a flexão deve seguir as seguintes etapas: (i) Determinação dos valores de ψ nos elementos paralelos ao eixo de flexão, com base no diagrama de tensões actuantes devidas a M e nas propriedades brutas da secção. 68


(ii) Determinação dos valores das larguras efectivas nos elementos comprimidos paralelos ao eixo de flexão. (iii) Determinação dos valores de ψ nos elementos perpendiculares ao eixo de flexão, com base no diagrama de tensões actuantes devidas a M e nas propriedades de uma secção constituída pelas (iii1) áreas brutas dos elementos perpendiculares ao eixo de flexão e (iii2) áreas efectivas dos elementos paralelos ao eixo de flexão (determinadas em (ii)). (iv) Determinação dos valores das larguras efectivas nos elementos perpendiculares ao eixo de flexão. (v) Cálculo das propriedades efectivas relevantes (Weff,y,min e/ou Weff,z,min). Os pontos (ii) e (iv), que incluem a determinação das larguras efectivas, serão abordados em detalhe na próxima secção. No caso de secções sujeitas a compressão uniforme, não existe qualquer gradiente de tensões na secção e, tem-se sempre ψ=1. Por isso, não é necessário cumprir nenhum dos pontos referidos anteriormente visto que a distribuição de tensões é constante em toda a secção. No entanto, e como se referiu anteriormente, pode ser necessário calcular as excentricidades eNu e/ou eNv devidas à mudança do centro de massa da secção bruta para a secção efectiva, existente em secções monosimétricas ou sem simetria. Finalmente, apresentam-se dois comentários. Em estado limite último todo o cálculo de secções efectivasp não depende da distribuição “real” de tensões, pois fixa-se o valor da máxima tensão em σmax .Ed = fyb / γ M0 . A distribuição de tensões reais, apenas será relevante em estado limite de serviço, caso se queira tirar partido da menor redução de propriedades devido aos valores mais baixos dos esforços em relação aos do estado limite último. Por outro lado, a distribuição “real” de tensões pode ser utilizada, para verificações ao estado limite último, apenas em casos em que os estados limites de encurvadura ou de instabilidade lateral não sejam relevantes na medida em que se vão gerar tensões inferiores ou iguais às de cedência (ver alínea (a) no fim do ponto 4.2 e ponto 4.3.1.1). 4.3.1.1.

Cálculo da largura efectivap de um elemento

Para a obtenção da largura efectivap de um elemento (parede) de uma secção de aço enformada a frio deve aplicar-se o disposto no art.º 5.5.2 do [4.4] EC3-1-3, que por sua vez remete para o art.º 4.4 de [4.5] EC3-1-5. Apesar do EC3 não ser explícito nos passos necessários à determinação da largura efectivap de um elemento de classe 4, pode afirmar-se que a mesma segue as seguintes etapas: (i) Com base no valor de ψ= σ2/σ1 (relação entre as tensões actuantes nas extremidades do elemento), calcula-se o valor do coeficiente de encurvadura local da parede kσ. Para tal, o Quadro 4.4 (elementos interiores) e o Quadro 4.5 (elementos salientes) apresenta expressões do tipo kσ=kσ(ψ). Note-se que o valor da tensão crítica de instabilidade local do elemento é obtida através de σ cr .k

⎛ t π2 ⋅ E = kσ ⋅ ⋅⎜ k 2 12 ⋅ (1− ν ) ⎜⎝ b p.k

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(4.2)

Recorde-se ainda que os elementos (interiores e salientes) se consideram simplesmente apoiados e, por isso, kσ=4 quando o elemento é interior e está submetido a 69


compressão uniforme. (ii) Com base no valor de kσ, calcula-se o valor da esbelteza normalizada local do elemento (placa), a qual é dada por λ p.k =

bp.k / t k

(4.3a)

28.4ε k σ

onde fyb é a tensão de cedência do aço, bp.k é a largura livre do elemento k e t é a sua espessura. Esta expressão tem origem numa outra mais geral, λ p.k =

fyb σ cr .k

=

b p.k

12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb

tk

π2 ⋅ E ⋅ k σ

(4.3b)

onde se substituiu E=210000MPa, ν=0.3 e fyb =235MPa/ε2. Note-se que o parâmetro de cedência do aço é dado por ε=(235/ fyb )0.5. (iii) Com base no valor da esbelteza normalizada local do elemento ( λp ), calcula-se o valor do factor de redução de largura efectiva (ρ), o qual é dado por ρk =

λ p.k − K ρ

λ2p.k ρ k = 1.0

se se

λ p.k > λ lim

(4.4)

λ p.k ≤ λ lim

onde (a) Kρ=0.055(3+ψ) e λ lim = 0.673 para elementos interiores e (b) Kρ=0.188 e λ lim = 0.748 para elementos salientes. (iv) Com base no valor do factor de redução de largura efectiva (ρ), calcula-se a largura efectiva da zona de compressão do elemento que é fornecida por b eff .k = ρ k bk

(4.5a)

no caso de todo o elemento estar submetido a compressão, ou por b eff.k = ρ k b c.k

(4.5b)

no caso de o elemento estar submetido parcialmente a compressão (na largura bc). No caso de um elemento interior e com base no valor da largura efectiva beff.k, determina-se subdivisão da largura efectiva total beff.k nas parcelas be1.k e be2.k, de acordo com a distribuição apresentada no Quadro 4.3. Para elementos salientes, o anexo D do EC3-1-3 [4.4] apresenta uma metodologia alternativa que consiste na utilização mista de larguras e espessuras efectivasp como disposto no Quadro 4.5. Utilizando este método, para além das larguras efectivasp, define-se uma largura teff que deverá substituir a espessura nula das parcelas inefectivasp em elementos salientes comprimidos. Com as larguras e/ou espessuras efectivasp definidas por elemento, é então possível calcular as propriedades efectivasp da secção.

70


O EC3-1-5 [4.5] permite ainda utilizar uma metodologia alternativa à apresentada anteriormente, a qual se baseia no cálculo de uma esbelteza normalizada reduzida do elemento (placa) dada por σ max .Ed = fyb / γ M0 λp.red.k = λp.k ⋅

σcom.Ed.k ⋅ γ M0 fyb

(4.6)

onde γM0 é factor parcial de segurança do aço para a resistência da secção e σcom.Ed.k é a tensão de compressão máxima na linha média do elemento k, obtida a partir da distribuição de tensões devida aos esforços de dimensionamento (NEd e MEd) e limitada a σ max .Ed = fyb / γ M0 nas fibras extremas da secção. No entanto, este procedimento é iterativo na medida em que obriga ao cálculo dos valores de ψ obtidos a partir do diagrama de tensões na secção efectiva determinada no passo anterior (obviamente, no primeiro passo a secção é bruta). Comparativamente à metodologia normal (utilização de λp ), esta metodologia é menos conservativa (menos do lado da segurança) mas conduz a um dimensionamento mais económico (a secção efectiva final é maior do que no caso da utilização de λp ) e é também mais rigorosa na medida em que se aproxima melhor da solução exacta (dimensionamento óptimo). Enquanto a metodologia normal com base na utilização da esbelteza normalizada de placa λp pode ser utilizada em todas as verificações de estabilidade de barras à encurvadura global, a metodologia baseada na esbelteza reduzida só pode ser aplicada na verificação de segurança de barras à encurvadura global se os valores de σ com.Ed.k e λ p,red forem calculados com base em esforços obtidos de análises de 2ª ordem com incorporação das imperfeições globais da estrutura (ver cláusula 4.4.(5) de [4.5] EC3-1-5). Isto entra parcialmente em confronto com o ponto 5.5.2.(10) de [4.2] EC3-1-1 onde se diz explicitamente que para verificação do Estado Limite de Encurvadura só se pode utilizar a esbelteza normalizada de placa λ p . Em relação ao factor de redução ρ para o cálculo da largura efectiva de um elemento, o Anexo E do EC3-1-5 também permite utilizar uma expressão modificada em relação à expressão (4.4), dada por ρk =

λ p.red.k − K ρ.k

ρ k = 1.0

λ2p.red.k

+ 0.18 ⋅ se

λ p.k − λ p.red.k λ p.k − 0.6 λ p.k ≤ λ lim

se

λ p.k > λ lim

(4.7)

onde (i) Kρ=0.055(3+ψ) e λ lim = 0.673 para elementos interiores e (ii) Kρ=0.188 e λ lim = 0.748 para elementos salientes. Basicamente, utilizando a equação (4.7), obtêm-se parcelas efectivasp maiores tanto no cálculo de larguras efectivasp devidas a instabilidade local como distorcional, e uma mais rápida convergência no caso de instabilidade distorcional. Em estado limite de serviço, o nível de tensões actuantes é necessariamente inferior ao da tensão de cedência. Por isso, e caso se queira tirar partido dos valores mais baixos dos esforços em serviço em relação aos do estado limite último, o Anexo E de [4.5] EC3-1-5 permite utilizar uma distribuição de tensões associada aos esforços em serviço, substituindo σ com.Ed.k por σ com.Ed.ser.k (máxima tensão de compressão em serviço na linha média do elemento k) e λp.red.k 71


por λp.ser.k (esbelteza normalizada em estado limite de serviço), dada através de λ p.ser.k = λ p.k ⋅

σ com.Ed.ser.k ⋅ γ M0 fyb

(4.8)

As disposições regulamentares do EC3-1-5 dizem respeito a elementos principais da secção (banzos e almas são considerados elementos principais da secção). Embora à luz do EC3-1-1 se possam aplicar as regras do EC3-1-5 para os “reforços de extremidade” de secções, considerando-os como elementos salientes, a verdade é que EC3-1-3 tem regras específicas para a determinação da largura efectiva de reforços. Tal é devido ao facto de o reforço constituir um elemento bastante peculiar: saliente, de largura bastante menor que os restantes elementos da secção, normalmente submetido a tensão variável e cuja função principal é acrescentar capacidade resistente à encurvadura local. Aliás, o EC3-1-3 considera que a largura c de um reforço de extremidade simples deve obedecer à condição 0.2b ≤ c ≤ 0.6b (b é a largura do banzo). Desta forma, e sempre que o reforço simples satisfaça esta(s) condição(ões), a determinação da sua largura efectiva deve ser efectuada de acordo com a cláusula 5.5.3.2(5). bg2

bg2

α4

r2

cg2

r4

cg2

r2

r4 r6

180-α4

tg

tg

hg

hg

dg2

dg1

180-α3 cg1

r3

r1

cg1

α3

r5 r3

r1 bg1

bg1

(a)

(b)

Figura 4.3 – Secções com: (a) reforços de extremidade simples e (b) reforços de extremidade duplos.

Em secções com reforços de extremidade simples (ver Figura 4.3a), a largura efectiva é fornecida por c eff = ρ c ⋅ c (4.9) onde c é a largura do reforço simples (considerado como elemento saliente) e ρc é o factor de redução de largura efectivap, obtido através equações (4.4) ou (4.7). No entanto, a principal diferença faz-se sentir ao nível do valor do factor de encurvadura kσ, o qual deve ser dado por, ⎧0.5 kσ = ⎨ 2 3 ⎩0.5 + 0.83 ⋅ (c/b − 0.35)

se c/b ≤ 0.35 se 0.35 < c/b ≤ 0.60

(4.10)

em vez dos valores fornecidos pelo Quadro 4.4. Em secções com reforços de extremidade duplos (Figura 4.3b), a largura efectivap dos dois reforços é fornecida por c eff = ρ ⋅ c 72

e d eff = ρ ⋅ d

(4.11)


onde c é a largura do elemento interior ligado ao banzo (1º elemento do reforço duplo), d é a largura do elemento saliente ligado ao 1º elemento do reforço duplo e ρ é o factor de redução de largura efectivap correspondente a cada um. Neste caso particular do reforço duplo, aplicam-se as regras gerais de [4.5] EC3-1-5 – o factor de redução é obtido através das equações (4.4) ou (4.7) usando valores de kσ obtidos do Quadro 4.3 caso se trate de um elemento interior (1º elemento do reforço duplo) e do Quadro 4.4 caso se trate de um elemento saliente (2º elemento do reforço duplo). Pode ainda utilizar-se o Quadro 4.5 caso se trate de um elemento saliente e do método disposto no anexo D de [4.4] EC3-1-3.

Quadro 4.3 – [4.5] EC3-1-5 - Quadro 4.1: Elementos interiores comprimidos.

kσ

Quadro 4.4 – [4.5] EC3-1-5 - Quadro 4.2: Elementos salientes comprimidos. 73


Quadro 4.5 – [4.4] EC3-1-3 - Quadro D.1 do anexo D: Elementos salientes comprimidos.

4.3.2. Secção efectivap para a instab. distorcional – cálculo de espessuras reduzidas

A primeira escolha a efectuar aquando da determinação de uma secção efectiva para a instabilidade distorcional consiste na opção para o cálculo da tensão crítica de instabilidade distorcional σcr.d. Tal como no caso da tensão crítica local σcr.l, o valor de σcr.d também pode ser determinado de duas formas distintas: a) Exactamente (cláusula 5.5.1(6)-(7) do [4.4] EC3-1-3), recorrendo a métodos numéricos (método dos elementos finitos de casca [4.17], método das faixas finitas [4.14, 4.15], teoria generalizada de vigas [4.16]) para obter o valor da tensão correspondente ao mínimo local da curva σb(L) relativo ao modo de instabilidade distorcional (ver Capítulo 2).

74


b) Aproximadamente, considerando a tensão crítica distorcional da secção igual à tensão crítica global do banzo comprimido σcr,s, modelado como uma coluna elasticamente restringida por uma mola de rigidez Kst equivalente ao reforço e à alma. Este método conduz a valores de σcr,s que podem ser muito conservativos mas também pouco não conservativos, dependendo muito da geometria da secção [4.18] Tal como na determinação da secção efectivap para a instabilidade local, também neste caso a segunda opção (procedimento aproximado, mas bastante complexo e moroso) pode ser adoptada. Seguindo esta via, pode afirmar-se que o cálculo de propriedades efectivasp devido à instabilidade distorcional inclui diversos procedimentos utilizados no cálculo das larguras efectivasp para a instabilidade local. A principal diferença ocorre na análise dos banzos comprimidos com reforços intermédios e/ou de extremidade. No presente trabalho, abordar-se-à apenas o caso de banzos com reforços de extremidade (excluem-se os reforços intermédios). Tal como no caso da definição da secção efectivap para a instabilidade local (cálculo de larguras efectivasp), também a determinação da secção efectivap para a instabilidade distorcional (cálculo de espessuras reduzidas) pode ser efectuada num só passo ou em vários passos (iterações). Embora neste trabalho se tenha implementado ambos os procedimentos, vai abordar-se em primeiro lugar o procedimento clássico (não iterativo) de [4.4] EC3-1-3 e, em seguida, explicar a sua extensão ao procedimento iterativo. No entanto, deve afirmar-se desde já que qualquer dos procedimentos é misto “local-distorcional”, no sentido em que é necessário calcular as larguras efectivasp em primeiro lugar para a seguir se poder determinar as espessuras reduzidas. Desta forma, pode afirmar-se que o processo não iterativo de determinação das espessuras reduzidas baseia-se nas seguintes etapas: (i) Determinação da secção efectiva para a instabilidade local, isto é, calcular as larguras efectivas dos elementos da secção de acordo com as regras referidas anteriormente (secção 4.3.1). A partir deste momento, designa-se por “reforço” ao conjunto composto pelo reforço de extremidade e pela parte efectiva do banzo junto do reforço de extremidade (ver Figura 4.4). Note-se ainda que o efeito dos cantos arredondados deve ser tido em conta utilizando as larguras nominais (hp , b1p , b 2p , c1p , etc.) . Para pequenos valores de r (raio do canto) podem utilizar-se as larguras idealizadas (hs, b1s, b2s, c1s, etc.) – – ver 3.3.1.

Figura 4.4 –Determinação da rigidez equivalente ao banzo reforçado. 75


(ii) Com base nas larguras efectivas calculadas em (i), deve proceder-se à determinação da rigidez equivalente do “reforço” Kst. Como se referiu anteriormente, o dimensionamento de elementos à compressão com reforços de extremidade é efectuado assumindo a hipótese de o elemento (banzo) estar restringido parcialmente ao deslocamento vertical na extremidade reforçada e à rotação junto à alma. A rigidez de uma mola equivalente depende das condições de apoio e da rigidez de flexão dos elementos adjacentes, sendo fornecida por [4.4], K st.i =

E ⋅ t3 1 ⋅ 2 2 4 ⋅ (1− ν ) y cg.i ⋅ [y cg.i + h ⋅ (1+ k *fi )]

(4.12)

onde (i) y cg.i é a distância desde a ligação banzo-alma ao centro de gravidade do “reforço” i (corresponde a b1 na ver Figura 4.4a), (ii) h é a largura da alma, (iii) e k *fi e kfi são coeficientes dados por ⎧ y cg.2 ⋅ k f1 se i = 1 ⎪0.5 ⋅ y cg.1 ⎪ * k fi = ⎨ (4.13a) ⎪0.5 ⋅ y cg.1 ⋅ k se i = 2 f2 ⎪ y cg.2 ⎩ ⎧ A st.eff .2 se i = 1 ⎪ A st.eff .1 ⎪compressão ou flexão em ⎪torno de um eixo paralelo à alma A st.eff .1 k fi = ⎨ (4.13b) se i = 2 A st.eff .2 ⎪ ⎪flexão em torno de um eixo 0 ⎪ ⎩perpendicular à alma e A st.eff .i é a área efectivap do “reforço” i. Note-se que se faz a distinção entre “reforço” 1 ou 2 pois, na grande maioria dos casos, qualquer secção de aço enformada a frio apresenta dois banzos e dois “reforços” (superior e inferior). (iii) Após o cálculo da rigidez Kst da mola equivalente, procede-se à determinação da tensão crítica do “reforço” i elasticamente restringido (σcr.st.i). Este valor é obtido através de σ cr.st.i =

2 ⋅ K st.i ⋅ E ⋅ Ist.i A st.i

(4.14)

onde (iii1) Kst.i é a rigidez da mola para o “reforço” i, (iii2) Ist.i é o momento de inércia do “reforço” i em torno do eixo a-a (ver Figura 4.5), (iii3) A st.i é a área do “reforço” i. No caso mais frequente (“reforços iguais”), obtém-se σcr.st.1=σcr.st.2= σcr.st (tensão crítica distorcional σcr.d). No entanto, em casos muito particulares (“reforços diferentes”), obtém-se dois valores σcr.st.1 e σcr.st.2 distintos, podendo: (a) Atribuir-se a σcr.st (tensão crítica distorcional σcr.d) o menor de ambos os valores σcr.st.1 e σcr.st.2. Embora tratando-se de uma abordagem conservativa, é a mais correcta na medida em que existe sempre um dos “reforços” (o mais fraco, i.e., o de menor σcr.st.i) que faz despoletar a instabilidade distorcional da secção. 76


(b) Prosseguir o cálculo com valores distintos para σcr.st.1 e σcr.st.2, como também para as quantidades a calcular subsequentemente. Esta abordagem, em princípio menos conservativa, irá conduzir a valores de espessuras reduzidas distintos nos dois “reforços”. Se em secções com banzos iguais (simétricas), as duas abordagens conduzem a resultados iguais, no caso de secções não simétricas o EC3-1-3 não é explicito em relação a qual destas abordagens se deve utilizar. (iv) Com base no valor de σcr,st, procede-se à determinação da esbelteza normalizada distorcional λd, a qual é dada por λd = fyb σ cr.st

(4.15)

(v) Com base no valor de λd e numa curva de dimensionamento proposta pelo EC3-1-3 [4.4] especificamente dedicada à instabilidade distorcional, determina-se o valor do factor de redução para a instabilidade distorcional χd, fornecido por

⎧1.0 ⎪ χ d = ⎨1.47 − 0.723 ⋅ λd ⎪0.66 λ d ⎩

se λd ≤ 0.65 se 0.65 < λd < 1.38

(4.16)

se λd ≥ 1.38

(vi) Tendo por base o valor de χd, deve proceder-se à determinação da espessura reduzida do “reforço” i dada por (4.17) t red.i = t i ⋅ χ d ≤ t i onde ti é a espessura do “reforço” i. (vii) Finalmente, e após o cálculo das larguras efectivas (ponto (i)) e das espessura reduzidas (ponto (vi)), obtém-se a secção efectivap final para a instabilidade local e distorcional (por isso se referiu anteriormente que este procedimento é misto “local-distorcional”) e podem determinar-se as propriedades efectivas da secção (área e/ou módulos de flexão). Em vez do conceito de espessura reduzida (tred), o EC3-1-3 permite utilizar o conceito de tensão de cedência reduzida ( χ d ⋅ fyb ) na secção do “reforço”. São conceitos totalmente equivalentes na medida em que se pode optar por ter o “reforço” (i) com uma espessura reduzida (tred) e submetido a uma tensão de cedência não reduzida ( fyb ) ou (ii) com uma espessura não reduzida (t) e submetido a uma tensão de cedência reduzida ( χ d ⋅ fyb ). Do ponto de vista da resistência, é perfeitamente igual utilizar um ou outro conceito. Embora a abordagem aqui explicada seja não iterativa (mas a mais conservativa), o EC3-1-3 permite efectuar uma abordagem mais rigorosa na medida em que torna possível efectuar várias iterações neste processo. Assim, as etapas (i) a (vi) podem ser repetidas iterativamente em virtude de, no final da etapa (vi) (cálculo das espessuras reduzidas dos “reforços”) existir uma mudança do centro de massa da secção devido às novas espessuras e, deste modo, o diagrama de tensões passar a ter uma forma diferente da utilizada na iteração anterior (designada por “iteração 0”). Após se ter calculado a nova posição do centro de massa da secção efectiva da iteração 0 e os novos valores do parâmetro ψ baseados no digrama de tensões, pode proceder-se ao cálculo das novas larguras efectivas dos elementos da secção 77


(ponto (i) na iteração 1). Com base nas novas larguras efectivas, percorrem-se os passos (ii) a (vi) na iteração 1 e, assim, sucessivamente. Após efectuadas algumas iterações, os valores das larguras efectivas e das espessuras reduzidas atingem a convergência desejada e o processo iterativo termina. Finalmente, procede-se ao ponto (vii), no qual se calculam as propriedades da secção efectiva final (área e/ou módulos de flexão). Este procedimento iterativo, é apresentado de uma forma mais pormenorizada no Anexo E. a) Secção bruta do conjunto banzo+reforço de extremidade e suas condições de apoio

b) Passo 1: Determinação da secção efectivap do conjunto banzo + reforço de extremidade (com K=∞ e σcom.Ed=fyb/γM0). O conjunto de largura be2 e ceff designa-se por “reforço”.

c) Passo 2: Cálculo da rigidez da mola e da tensão crítica σcr do “reforço”.

d) Passo 3: Cálculo do factor de redução para a instabilidade distorcional χd.

e) Passo 4: Cálculo da espessura reduzida do “reforço” e determinação da secção efectiva final. Figura 4.5 – Representação esquemática da determinação da secção efectiva para a instabilidade distorcional (método não iterativo).

Como se referiu anteriormente, a determinação da secção efectiva é sempre efectuada com base nos diagramas de tensões individuais devidos a N e a M, isto é, devem determinar-se duas secções efectivasp, uma para N e outra para M. No caso mais geral, as verificações de segurança de secções de classe 41 requerem o conhecimento dos valores (i) da área efectiva Aeff (N de compressão) e das excentricidades eNu e/ou eNv (secção sem dupla simetria), e (ii) dos módulo de flexão efectivos Weff,u,min e Weff,v,min.

1

A classificação de uma secção é apenas baseada na tensão crítica de instabilidade local, não dependendo nunca da tensão crítica de instabilidade distorcional. Por exemplo, uma secção “reforçada” pode ser de classe 3 e no entanto ter uma secção efectiva inferior à secção bruta por via da redução da espessura dos “reforços”.

78


De salientar ainda os seguintes aspectos particulares: • Para secções assimétricas ou com simetria radial (e.g., secção em Z), os eixos centrais principais de inércia u-v não têm a orientação do referencial central y-z (y e z são normalmente paralelos às paredes da secção). A distribuição de tensões normais na secção bruta para obtenção das propriedades efectivasp deverá ser obtida no referencial u-v; • Em secções monosimétricas (e.g., secção em C) de classe 4 submetidas a flexão em torno do eixo de maior inércia (eixo u) exibem uma distribuição assimétrica de larguras efectivas. Num procedimento iterativo, a configuração assimétrica da secção efectiva provoca simultaneamente (i) uma translação do centro de gravidade e (ii) uma rotação dos eixos principais de inércia em relação aos eixos da secção bruta. Este último efeito não se encontra explicitamente citado no Eurocódigo nem foi abordado em qualquer dos elementos bibliográficos pesquisadas. Isso deve-se, muito provavelmente, ao facto deste efeito não produzir alterações significativas na resistência das secções, pelo menos na gama de relações geométricas abrangidas pelo Eurocódigo. 4.4. RESISTÊNCIA DE SECÇÕES 4.4.1. Esforço axial de tracção

O valor de dimensionamento do esforço axial de tracção NEd em cada secção deve satisfazer: ηNt =

|NEd | ≤ 1.0 N t.Rd

(4.18a)

sendo o esforço axial resistente da secção dado por N t.Rd =

A g ⋅ fya γ M0

(4.18b)

em que (i) A g é a área de secção bruta, (ii) fya é a tensão de cedência média do material (ver 3.2.2.1) e (iii) γ M 0 é o factor parcial de segurança para a resistência de secções (ver 3.2.2). Em secções com furos, o esforço axial resistente de tracção Nt.Rd deve ser obtido de ⎫ ⎧ A g ⋅ fya N t.Rd = min ⎨ ; Fn.Rd ⎬ ⎭ ⎩ γ M0

(4.18c)

onde Fn.Rd é a força de resistência última da secção com furos para conectores, a qual depende do tipo de conector e se obtém ao abrigo do artigo 8.4 de [4.4] EC3-1-3. 4.4.2. Esforço axial de compressão

O valor de dimensionamento do esforço axial de compressão actuante (NEd) e o valor característico do esforço axial de compressão resistente (Nc.Rk) devem satisfazer a seguinte relação, | NEd | (4.19a) η c,Nc = ≤ 1.0 Nc.Rk / γ M0

79


O valor característico do esforço axial resistente de compressão Nc.Rk deve ser obtido por ⎧⎪ A eff ⋅ fyb Nc.Rk = ⎨ ⎪⎩ A g ⋅ fya−b

se A eff < A g se A eff = A g

(4.19b)

onde (i) A eff e A g são as áreas efectiva e bruta da secção, respectivamente, (ii) fyb é a tensão de cedência base do aço (ver 3.2.2.1), (iii) fya−b é uma tensão de cedência ponderada, a qual permite considerar o acréscimo de tensão, em relação a fyb , associado ao facto da secção poder desenvolver parcialmente a sua capacidade plástica resistente em virtude dos fenómenos de instabilidade local estarem ausentes. Note-se que tal só acontece se A eff = A g , isto é, não existindo qualquer redução da área bruta da secção (secções de classe 3 sem espessuras reduzidas). Caso contrário (secções de classe 4 ou de classe 3 com espessuras reduzidas), tem-se sempre A eff < A g em virtude dos fenómenos de instabilidade local e/ou distorcional poderem ocorrer. O valor da tensão de cedência ponderada é dado por, fya−b = fyb + ( fya − fyb ) ⋅ 4 ⋅ (1− λ rel,max )

(4.19c)

onde λ rel,max é a esbelteza relativa máxima da secção, a qual corresponde ao valor máximo das esbeltezas relativas de todos os elementos (parede) da secção, λ rel,max = max k λ rel,k

(4.19d)

A esbelteza relativa de cada elemento (parede) λrel corresponde à relação entre (i) a esbelteza normalizada de cada elemento λp e (ii) a esbelteza limite λ lim do tipo de elemento. Desta forma, podem adoptar-se as seguintes expressões para o cálculo da esbelteza relativa de um elemento, dependendo do seu tipo, ⎧ λp ⎪ ⎪ 0.673 ⎪ λp λrel = ⎨ ⎪ 0.748 ⎪ λd ⎪ 0.650 ⎩

para elementos interiores (não reforçados) para elementos salientes (não reforçados) para elementos reforçados

(4.19e)

Se Aeff=Ag, então os valores da esbelteza relativa λrel de todos os elementos (parede) são inferiores à unidade (λrel<1) e o valor da esbelteza relativa máxima da secção λ rel,max deverá ser o valor mais próximo da unidade. O valor de λ rel,max é um indicador da incapacidade da secção em desenvolver esforços plásticos devido à ocorrência de fenómenos de instabilidade local e/ou distorcional (quanto mais próximo de 1, mais “incapaz” é a secção). Obviamente, se λrel<1, então trata-se de (i) uma secção de classe 4 ou (ii) de classe 3 com espessuras reduzidas. De salientar ainda que os valores das esbeltezas limite ( λ lim ) para elementos não reforçados, apresentados anteriormente na expressão (4.19e) (0.673 e 0.748), não correspondem exactamente aos referidos no EC3-1-3 mas sim aos apresentados na versão definitiva do EC3-1-5. De facto o EC3-1-3 adopta os valores de esbelteza limite λ lim estipulados na versão anterior do EC3-1-5 e, de acordo com este, a expressão (4.19e) passaria a tomar a forma, 80


λ rel

⎧ λp ⎪ ⎪ 0.5 + 0.25 − 0.055 ⋅ (3 + ψ ) ⎪ ⎪ λ ⎪ p = ⎨ 0.673 ⎪ ⎪ λ ⎪ d ⎪ 0.650 ⎪ ⎩

para elementos interiores (não reforçados)

para elementos salientes (não reforçados) (4.19f)

para elementos reforçados

Note-se que para ψ=1, ambas as expressões conduzem a λlim=0.673 para elementos interiores não reforçados. No entanto, existe alguma disparidade entre os valores para elementos salientes nas expressões (4.19e) (λlim=0.748) e (4.19f) (λlim=0.673). Finalmente, abordam-se ainda alguns pontos de interesse muito particular: (i) Art.º 6.2.4.(3) de [4.2] EC3-1-1 – Excepto para furos de grandes dimensões, como definido em EN 1090, não é necessário considerar o efeito dos furos na resistência de compressão da secção desde que os mesmos estejam preenchidos por parafusos ou conectores. (ii) Art.º 6.2.4.(4) de [4.2] EC3-1-1 – No caso de secções que não sejam bi-simétricas de Classe 4, deve ter-se em consideração os momentos adicionais ΔMEd = NEd ⋅ eN devidos à presença de esforço axial de compressão excêntrica em relação ao centro de massa da secção efectiva (excentricidades e Nu e/ou e Nv ). No caso de existir apenas esforço axial de compressão numa secção de classe 4 não bi-simétrica, deve ser sempre efectuada uma verificação à flexão composta. (iii) Art.º 6.1.3.(3) de [4.4] EC3-1-3 – Quando as excentricidades e Nu e/ou e Nv originarem um efeito favorável dos momentos adicionais ΔMEd (sinal de ΔMEd contrário ao de MEd), os seus valores deverão ser (i) desprezados nas verificações de segurança se tiverem sido calculados para valores de tensão fyb / γ M0 nas fibras extremas e (ii) contabilizados se tiverem sido calculados para os valores “reais” das tensões nas fibras extremas. 4.4.3. Momento-flector em torno dos eixos principais de inércia 4.4.3.1.

Definições auxiliares

Ainda antes de apresentar a regra de verificação de segurança de secções submetidas a flexão, abordam-se algumas definições auxiliares relativas ao conceito de módulo de flexão. O módulo de flexão elástico ou efectivop em torno de um eixo principal corresponde à relação entre o momento de inércia em torno desse eixo e a distância desse eixo à fibra mais solicitada da secção. Para o cálculo do momento resistente no caso de flexão simples em torno de um eixo principal, o módulo de flexão a considerar corresponde ao menor dos módulos em torno dessa direcção e corresponderá forçosamente à fibra mais distante do eixo (fibra mais solicitada). Para se poder efectuar uma análise mais sistematizada dessas situações, definem-se em seguida as seguintes grandezas:

81


a) Módulos de flexão associados às fibras extremas da secção, em que Wu,v min e Wu,v max são os módulos de flexão em torno do eixo u associados, respectivamente, a pontos da secção com coordenadas v min e v max (ver figura 4.4), Wu,v min = Iu / v min

Wu,v max = Iu / v max

(4.20a)

(4.20b)

e onde Wv,umin e Wv,umax são os módulos de flexão em torno do eixo v associados, respectivamente, a pontos da secção com coordenadas umin e umax (ver Figura 4.6) Wv,umin = Iv / umin

Wv ,umax = Iv / umax

(4.20c)

(4.20d)

-

Iu e I v são, respectivamente, os momentos de inércia (elásticos ou efectivosp) em torno dos eixos principais de inércia u e v;

-

umin e umax são, respectivamente, a coordenada da fibra extrema com menor valor de u e a coordenada da fibra extrema com maior valor de u (ver Figura 4.6);

-

v min e v max são, respectivamente, a coordenada da fibra extrema com menor valor de v e a coordenada da fibra extrema com maior valor de v (ver Figura 4.6);

b) Módulos de flexão associados às máximas tensões de tracção e de compressão Os módulos de flexão associados às máximas tensões de tracção e de compressão dependem do sinal (combinação) dos momentos flectores actuantes, pelo que existem múltiplas combinações possíveis para as fibras sujeitas a maior tracção e compressão (ver Figura 4.6). Para as combinações de momentos flectores apresentadas na Figura 4.7, obtém-se as seguintes relações: +

u u = σ Mv min ⇔ Wu,com = Wu,vmin • σ Mcom

−

u u = σ Mv max ⇔ Wu,com = Wu,vmax • σ Mcom +

v v = σ uMmax ⇔ Wv,com = Wv,umax • σ Mcom −

v v = σ uMmin ⇔ Wv,com = Wv,umin • σ Mcom

(4.21a)

+

u ⇔ Wu,ten = Wu,vmax • σ Mtenu = σ Mv max

−

(4.21c)

u ⇔ Wu,ten = Wu,vmin • σ Mtenu = σ Mv min

(4.21e)

v ⇔ Wv,ten = Wv,umin • σ Mtenv = σ uMmin

(4.21g)

+

−

v ⇔ Wv,ten = Wv,umax • σ Mtenv = σ uMmax

(4.21b) (4.21d) (4.21f) (4.21h)

em que: σ com e σ ten são, respectivamente, as máximas tensões de compressão e de tracção para um determinado momento-flector;

82

-

Mv v σuMmin e σumax são as tensões nas fibras extremas para momento-flector em torno de v, associadas, respectivamente, a pontos com as coordenadas umin e umax ;

-

Mu u σ Mv min e σ v max são as tensões nas fibras extremas para momento-flector em torno de u, associadas, respectivamente, a pontos com as coordenadas v min e v max ;

-

Wu,com e Wu,ten são os módulos de flexão associados, respectivamente, às maiores tensões de compressão e de tracção, para momento-flector em torno de u;

-

Wv ,com e Wv ,ten são os módulos de flexão associados, respectivamente, às maiores tensões de compressão e de tracção, para momento-flector em torno de v;


umin

σumax Mv

σuminMv

umax

vmax

σvmax Mu v

v

u

u

vmin

cg

σvminMu Figura 4.6 – Distâncias do centro de gravidade às fibras extremas. Distribuição de tensões.

σcom Mv+

σten Mv+

σtenMv-

σcomMv-

σcom Mucompressão máxima

v

σcomMu-

compressão máxima

v u

tracção máxima

u

σten

Mu<0 e Mv>0 σtenMvσcom Mv-

σtenMu+

v

σtenMu+

tracção máxima

v u

Mu>0 e Mv<0

σtenMu-

Mu<0 e Mv<0 σcom Mv+ σtenMv+

tracção máxima

compressão máxima

tracção máxima

Mu-

u

σcom

Mu+

compressão máxima

σcom Mu+

Mu>0 e Mv>0

Figura 4.7 – Zonas de máxima compressão e tracção em função do sinal dos momentos flectores.

83


c) Módulos de flexão associados a flexão simples Em secções de classe 3 ou 4, assume-se em geral que a sua resistência máxima está associada ao aparecimento da tensão de cedência do aço nas fibras extremas da secção bruta (classe 3) ou secção efectivap (classe 4). Por esta razão, as equações de interacção que se irão apresentar nos pontos seguintes estão escritas em termos dos esforços actuantes e resistentes mas são equivalentes à verificação de segurança em termos de tensões actuantes e resistentes. Como referido anteriormente, a localização do(s) ponto(s) condicionante(s) é completamente dependente do sinal (combinação) dos momentos flectores em secções assimétricas. Para flexão simples, os módulos de flexão (elásticos ou efectivosp) são • Wu = min( Wu,v min ; Wu,v max ) = min( Wu,com ; Wu,ten ) • Wv = min( Wv,u min ; Wv,u max ) = min( Wv, com ; Wv, ten )

(4.22a) (4.22b)

em que Wu e Wv são, respectivamente, os módulos de flexão em torno dos eixo u e v, para flexão simples. eNu Como se verificará nos pontos seguintes, para situações muito particulares que envolvem invariavelmente a existência de pelo menos monosimetria da secção, os módulos de flexão a considerar no dimensionamento e verificação de segurança podem contemplar, de forma aproximada, a influência de alguma plasticidade da secção. 4.4.3.2.

Flexão simples

O valor de dimensionamento do momento-flector actuante (MEd,i) e o valor característico do momento flector resistente (Mc.Rk,i) devem satisfazer a seguinte relação, η c,Mi =

| M Ed,i | M c.Rk ,i / γ M0

≤ 1.0

(4.23a)

O valor característico do momento-flector resistente Mc.Rk,i deve ser obtido por ⎧⎪Wi,eff ⋅ fyb M c.Rk ,i = ⎨ ⎪⎩Wi,el−pl ⋅ fyb

se

Wi,eff < Wi,el.g

se

Wi,eff = Wi,el.g

(4.23b)

onde (i) Wi,eff e Wi,el.g são os módulos de flexão em torno do eixo i da secção efectiva e bruta, respectivamente, (ii) fyb é a tensão de cedência base do aço (ver 3.2.2.1), (iii) Wi,el−pl é o valor ponderado do módulo de flexão em torno do eixo i da secção bruta elástica e bruta plástica. A adopção de Wi,el−pl permite considerar o acréscimo do módulo de flexão, em relação a Wi,el.g , associado ao facto da secção poder desenvolver parcialmente a sua capacidade plástica resistente em virtude dos fenómenos de instabilidade local estarem ausentes. Note-se que tal só acontece se Weff = Wg , isto é, não existindo qualquer redução do módulo de flexão da secção bruta (secções de classe 3 sem espessuras reduzidas). Caso contrário (secções de classe 4 ou de classe 3 com espessuras reduzidas), tem-se sempre Weff < Wg em virtude dos fenómenos de instabilidade local e/ou distorcional poderem ocorrer.

84


O valor ponderado do módulo de flexão em torno do eixo principal de inércia i tem em conta o possível desenvolvimento de plasticidade para secções de classe 3 e assume um valor intermédio entre os módulos de flexão elástico e plástico, dado por Wi,el−pl = ( Wi,el.g + ( Wi,pl.g − Wi,el.g ) ⋅ 4 ⋅ (1− λ i,rel,max )) ≤ Wi,pl.g

(4.24)

onde (i) Wi,el.g é o módulo de flexão elástico em torno do eixo principal de inércia i, (ii) Wi,pl.g é o módulo de flexão plástico (para secções onde não ocorram fenómenos de instabilidade local e que possuam suficiente capacidade de rotação) em torno do eixo principal de inércia i e (iii) λ rel,max é a esbelteza relativa máxima da secção, a qual corresponde ao valor máximo das esbeltezas relativas de todos os elementos (parede) da secção, λ rel,max = max k λ rel,k

(4.25a)

A esbelteza relativa de cada elemento (parede) λrel corresponde à relação entre (i) a esbelteza normalizada de cada elemento λ e (ii) a esbelteza limite λlim do tipo de elemento. Desta forma, podem adoptar-se as seguintes expressões para o cálculo da esbelteza relativa de um elemento, dependendo do seu tipo,

λ rel

⎧ λp ⎪ ⎪ 0.5 + 0.25 − 0.055(3 + ψ ) ⎪⎪ λp =⎨ ⎪ 0.748 ⎪ λd ⎪ 0.650 ⎪⎩

para elementos interiores (não reforçados) para elementos salientes (não reforçados) para elementos reforçados

(4.25b)

onde ψ é a relação entre as tensões nas extremidades dessa parede interior não reforçada. No entanto, refere-se que a segunda expressão (4.23b) é aplicável se estiverem reunidas as seguintes condições: (i) O momento flector actua apenas segundo um dos eixos principais de inércia; (ii) A barra não está sujeita a torção ou a instabilidades por modos de torção, flexão-torção (devido a compressão ou a flexão) ou distorcionais; (iii) O ângulo entre a alma e os banzos é superior a 60º;

Relativamente às condições referidas anteriormente, deve referir-se que: -

Para perfis que não sejam pelo menos monosimétricos (os quais têm obrigatoriamente os eixos principais de inércia rodados em relação aos eixos centrais y-z), os momentos em torno de y ou z são decompostos em momentos em torno de u e de v, o que invalida automaticamente as condições referidas anteriormente. Caem nesta categoria perfis assimétricos em geral ou perfis em “Z”.

-

Perfis em “C” ou “U” (C’s, tipo “rack” e tipo “hat”) que tenham banzos desiguais são à partida assimétricos, no entanto, se essa diferença não for significativa, consideram-se razoáveis as condições referidas anteriormente. 85


Caso tais condições não sejam satisfeitas, deve aplicar-se a expressão seguinte: M c.Rk ,i = Wi,el ⋅ fya

se

Wi,eff = Wi,el.g

(4.26)

Claro que, dependendo do sinal do momento-flector, os módulos de flexão Wi,eff , Wi,el−pl ou Wi,el.g , podem assumir, respectivamente, (i) Wi,eff ,com ou Wi,eff ,ten , (ii) Wi,el−pl,com ou Wi,el−pl,ten , e (iii) Wi,el.g,com ou Wi,el.g, ten , caso as fibras extremas fiquem sujeitas às maiores tensões de compressão ou de tracção (ver ponto 4.4.3.1). 4.4.3.3.

Flexão desviada

No caso de se ter a secção submetida a flexão desviada, a segurança é satisfeita se seguintes equações de interacção forem satisfeitas: • η c,M, t = η c,Mu, t + η c,Mv, t ≤ 1.0

(4.27a)

com • η c,Mu,t =

| M Ed,u | M c.Rk ,u / γ M0

≤ 1.0

(4.27b)

• η c,Mv ,t =

| M Ed,v | M c.Rk ,v / γ M0

≤ 1.0

(4.27c)

em que, (i) M c.Rk ,u e M c.Rk ,v são, respectivamente, os momentos resistentes característicos em torno de u e v (eixos principais de inércia) (ver ponto 4.4.3.1). Finalmente, refere-se que qualquer momento flector actuante orientado segundo um dos eixos y ou z (eixos centrais de inércia, mas não principais) pode ser decomposto nas suas componentes segundo os eixos principais centrais de inércia – e.g., em secções monosimétricas (C’s), os sistemas de eixos u-v e y-z coincidem. 4.4.4. Esforço transverso

A segurança em relação ao corte é assegurada se o valor de dimensionamento do esforço transverso actuante na direcção do eixo i (VEd,i) e o valor característico do esforço transverso resistente na mesma direcção (Vb.Rk,i) satisfizerem a seguinte relação ηV =

VEd ≤ 1.0 Vb.Rk / γ M0

(4.28a)

O esforço transverso resistente característico Vb.Rk obtém-se por: Vb.Rk = s w ⋅ t ⋅ fbv

(4.28b)

onde (i) s w é a distância fictícia entre as extremidades da alma, (ii) t é a menor espessura dos elementos que compõem a alma e (iii) fbv é o valor da tensão resistente ao esforço transverso com a influência da encurvadura por corte. No caso particular de almas sem reforços intermédios longitudinais tem-se s w = h w / sin(φ) , em que h w é a altura da alma e φ é o ângulo que a linha que une as extremidades da alma faz com os banzos. Por outro lado, a tensão de cedência ao esforço transverso fbv depende (i) da esbelteza normalizada ao esforço transverso λ w e (ii) da existência (ou não) de reforços nos apoios (ver Quadro 4.6).

86


Esbelteza ao esforço transv.

s/ reforço dos apoios

c/ reforço dos apoios

λ w ≤ 0.83

fbv = fyb / 3

fbv = fyb / 3

0.83 < λ w < 1.40

fbv = 0.48 ⋅ fyb / λ w

fbv = 0.48 ⋅ fyb / λ w

λ w ≥ 1.40

fbv = 0.67 ⋅ fyb / λ2w

fbv = 0.48 ⋅ fyb / λ w

Quadro 4.6 – Tensão resistente ao esforço transverso em função da esbelteza.

A esbelteza normalizada para a instabilidade por esforço transverso λ w obtém-se através de λw =

fyb / 3 τ cr

=

fyb ⋅ 12 ⋅ (1 − ν 2 ) sw ⋅ t 3 ⋅ π2 ⋅ E ⋅ k τ

(4.29a)

Após a substituição das propriedades do aço (E, ν, fyb) pelos seus valores, obtém-se as seguintes expressões: • para almas sem reforços longitudinais, λw =

sw / t 86.4 ⋅ ε

(4.29b)

• para almas com reforços longitudinais, λw =

sd / t 37.4 ⋅ ε ⋅ k τ

≥

sp / t 86.4 ⋅ ε

(4.29c)

onde (i) k τ é o coeficiente de encurvadura local de placa para a instabilidade por esforço transverso ou corte dado por 2.10 ⎛⎜ ∑ I s ⋅ k τ = 5.34 + ⎜ s t ⎝ d

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ 3

(4.29d)

(ii) ε = 235 / fyb é o parâmetro de cedência do aço, (iii) s d é o comprimento total da linha média da alma, (iv) sp é o comprimento do maior elemento plano da alma e (iv) é a soma dos momentos de inércia individuais de cada reforço longitudinal em torno do eixo a-a, como definido no ponto 5.5.3.4.3(7) de [4.4] EC3-1-3 (ver também Figura 4.8). As expressões (4.29a) e (4.29c) permitem ter em conta situações de reforço mais complexas, utilizando diferentes valores do coeficiente k τ . Refere-se ainda que as expressões (4.29b) e (4.29c) correspondem às apresentadas em [4.5] EC3-1-5 no ponto 5.3, e são em tudo equivalentes às expressões do ponto 6.1.5 de [4.4] EC3-1-3: a única diferença consiste no facto de estas últimas não terem todas as propriedades dos materiais inseridas. Apenas as situações de barras com reforço nos apoios são consideradas na presente dissertação.

87


Figura 4.8 – Alma reforçada longitudinalmente.

Finalmente, refere-se que consideração do esforço transverso resistente com e sem influência da encurvadura por corte, apresentado em [4.2, 4.3 e 4.5], está presente implicitamente em [4.4] EC3-1-3: -

Para h w / t ≤ 72ε a tensão resistente ao corte não sofre qualquer redução devido a instabilidade da alma por esforço transverso. A utilização deste valor limite permite obter um valor da esbelteza normalizada para instabilidade de esforço transverso igual a 0.83, o qual está associado a uma tensão de cedência ao esforço transverso fbv sem redução para a instabilidade por corte.

-

O mesmo sucede para almas com reforços longitudinais e/ou transversais intermédios, para as quais se tem valor limite h w / t ≤ 31ε ⋅ k τ .

-

Os factores de redução χ w presentes em [4.5] EC3-1-5, que multiplicam o esforço transverso plástico resistente por forma a ter em conta a instabilidade, estão de acordo com os valores reduzidos da tensão de cedência ao esforço transverso (fbv) apresentado no EC3-1-3 [4.3, 4.4], existindo pequenas diferenças para as esbeltezas maiores e para almas apenas com reforços de extremidade.

4.4.5. Forças Concentradas

A elevada esbelteza das paredes que constituem os perfis de aço enformados a frio faz com que estes sejam muito susceptíveis a forças concentradas, em particular as almas das vigas que resistem ao esforço transverso. De entre os fenómenos mais condicionantes para o colapso de vigas de aço enformadas a frio submetidas a forças concentradas, descreve-se o fenómeno de esmagamento da alma, frequentemente designado por “web crippling”. A abordagem do EC3-1-3 [4.3, 4.4] para os perfis de aço de parede fina enformados a frio é completamente distinta da abordagem do EC3-1-5 [4.5] relativa a elementos laminares compostos por placas. Segundo o EC3-1-3 [4.3, 4.4], a segurança em relação ao esmagamento da alma é assegurada se o valor de dimensionamento da força concentrada actuante (FEd) e o valor de dimensionamento da força concentrada resistente (Rw.Rd) satisfizerem a seguinte relação η c,F =

FEd ≤ 1.0 R w.Rd

(4.30)

Note-se que na determinação da força concentrada resistente na alma ( R w.Rd ) de uma secção, existem três situações distintas: (i) secções com uma única alma não reforçada, (ii) secções com 88


múltiplas almas não reforçadas (incluindo chapas perfiladas e/ou painéis) e (iii) secções com alma reforçada (esta situação não será abordada no presente trabalho). Nas secções seguintes, abordam-se isoladamente as três situações. Em particular, referem-se ainda os seguintes casos: (i) Se a carga concentrada ou reacção de apoio forem aplicadas por meio de dispositivos que previnam a distorção da alma e que tenham sido dimensionados para resistir a essa força, a verificação de segurança da alma a forças concentradas considera-se satisfeita. (ii) Sempre que se obtenham secções compostas por ligação de secções simples (por exemplo, uma secção em “I” pode ser obtida por ligação de dois perfis em “C”), as suas ligações devem ser localizadas o mais próximo possível dos banzos das secções simples a ligar. 4.4.5.1.

Secções com uma única alma não reforçada

a) Almas susceptíveis à rotação sem qualquer dispositivo de restrição

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.9 – Secções com alma única com susceptibilidade de rotação sem dispositivos impeditivos

Para secções com uma única alma não reforçada (ver Figura 4.9), o valor da força concentrada resistente na alma ( R w.Rd ) de uma secção obtém-se através das expressões presentes nos Quadros 4.7a e 4.7b desde que se verifiquem as seguintes condições: • hw / t ≤ 200

• r/t≤6

• 45º ≤ φ ≤ 90º

onde (i) hw é a altura da alma entre as linhas médias dos banzos, (ii) t é a espessura da alma, (iii) r é o raio interno dos cantos, (iv) φ é o ângulo da alma em relação aos banzos. As constantes presentes nos Quadros 4.7a e 4.7b são fornecidas por, • k 1 = 1.33 − 0.33 ⋅ k

• 0.50 ≤ k 2 = 1.15 − 0.15 ⋅ r / t ≤ 1.0 • k 3 = 0.7 + 0.3 ⋅ (φ / 90)2

• k 4 = 1.22 − 0.22 ⋅ k

• k 5 = 1.06 − 0.06 ⋅ r / t ≤ 1.0

onde (i) k = fyb / 228 é um coeficiente adimensional, que tem em conta a tensão de cedência do aço e (ii) ss é a largura real do apoio. b) Almas não susceptíveis à rotação ou com dispositivo que lhe ofereça suficiente restrição Para secções com uma única alma não reforçada (ver Figura 4.10), o valor da força concentrada resistente ( R w.Rd ) obtém-se através das expressões presentes nos Quadros 4.8a e 4.8b.

89


(a)

(b)

Figura 4.10 – Secções com alma única sem susceptibilidade de rotação

(i) Uma carga concentrada ou reacção (i.1) c ≤ 1.5 ⋅ h w de uma extremidade livre • secção com banzos reforçados

R w.Rd

h / t⎤ ⎡ s ⎤ ⎡ k 1 ⋅ k 2 ⋅ k 3 ⋅ ⎢9.04 − w ⎥ ⋅ ⎢1+ 0.01⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb 60 ⎦ ⎣ t ⎦ ⎣ = γ M1

(4.31a)

• secção com banzos não reforçados -

ss / t ≤ 60:

s ⎤ h / t⎤ ⎡ ⎡ k 1 ⋅ k 2 ⋅ k 3 ⋅ ⎢5.92 − w ⎥ ⋅ ⎢1+ 0.01⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb 132 ⎦ ⎣ t ⎦ ⎣ R w.Rd = (4.31b) γ M1 - ss / t > 60: s ⎤ h /t⎤ ⎡ ⎡ k 1 ⋅ k 2 ⋅ k 3 ⋅ ⎢5.92 − w ⎥ ⋅ ⎢0.71+ 0.015 ⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb t⎦ 132 ⎦ ⎣ ⎣ (4.31c) R w.Rd = γ M1

(i.2) c > 1.5 ⋅ h w de uma extremidade livre -

ss / t ≤ 60:

R w.Rd -

h / t⎤ ⎡ s ⎤ ⎡ k 3 ⋅ k 4 ⋅ k 5 ⋅ ⎢14.7 − w ⎥ ⋅ ⎢1 + 0.007 ⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb 49.5 ⎦ ⎣ t ⎦ ⎣ = γ M1

ss / t > 60:

R w.Rd

h / t⎤ ⎡ s ⎤ ⎡ k 3 ⋅ k 4 ⋅ k 5 ⋅ ⎢14.7 − w ⎥ ⋅ ⎢0.75 + 0.011⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb 49.5 ⎦ ⎣ t ⎦ ⎣ = γ M1

Quadro 4.7a – Secções com uma alma única – Uma única carga ou reacção de apoio.

90

(4.31d)

(4.31e)


(ii) Duas cargas concentradas ou apoios opostos com afastamento inferior a 1.5 ⋅ h w (ii.1) c ≤ 1.5 ⋅ h w de uma extremidade livre

R w.Rd

h / t⎤ ⎡ s ⎤ ⎡ k 1 ⋅ k 2 ⋅ k 3 ⋅ ⎢6.66 − w ⎥ ⋅ ⎢1 + 0.01⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb 64 ⎦ ⎣ t ⎦ ⎣ = γ M1

(4.31f)

(ii.2) c > 1.5 ⋅ h w de uma extremidade livre

R w.Rd

h / t⎤ ⎡ s ⎤ ⎡ k 3 ⋅ k 4 ⋅ k 5 ⋅ ⎢21.0 − w ⎥ ⋅ ⎢1 + 0.0013 ⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb 16.3 ⎦ ⎣ t ⎦ ⎣ = γ M1

(4.31g)

Quadro 4.7b – Secções com uma alma única – Duas cargas ou reacções de apoio opostas.

As constantes presentes nos Quadros 4.8a e 4.8b são: • k *5 = 1.49 − 0.53 ⋅ k < 0.6

• k 9 = 0.82 + 0.15 ⋅ t / 1.9

• k 6 = 0.88 − 0.12 ⋅ t / 1.9

• k 10 = (0.98 − s s / t / 865) / k

⎧1+ s s / t / 750 s s / t < 150 • k7 = ⎨ s s / t ≥ 150 ⎩1.20

• k 11 = 0.64 + 0.31⋅ t / 1.9

s s / t < 66.5 ⎧1/ k • k8 = ⎨ ⎩(1.10 − s s / t / 665) / k s s / t ≥ 66.5

91


(i) Uma carga concentrada ou reacção (i.1) c ≤ 1.5 ⋅ h w (perto de uma extremidade livre)

R w.Rd

s ⎤ ⎡ k7 ⋅ ⎢8.8 + 1.1⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb t⎦ ⎣ = γ M1

(4.32a)

(i.2) c > 1.5 ⋅ hw (afastado de uma extremidade livre) s ⎤ ⎡ k *5 ⋅ k 6 ⋅ ⎢13.2 + 2.87 ⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb t⎦ ⎣ = γ M1

R w.Rd

(4.32b)

Quadro 4.8a – Secções com uma alma única – Uma única carga ou reacção de apoio.

(ii) Duas cargas concentradas ou apoios opostos com afastamento inferior a 1.5 ⋅ h w (ii.1) c ≤ 1.5 ⋅ h w (perto de uma extremidade livre)

R w.Rd

s ⎤ ⎡ k 10 ⋅ k11 ⋅ ⎢8.8 + 1.1⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb t⎦ ⎣ = γ M1

(4.32c)

(ii.2) c > 1.5 ⋅ h w (afastado de uma extremidade livre)

R w.Rd

s ⎤ ⎡ k 8 ⋅ k 9 ⋅ ⎢13.2 + 2.87 ⋅ s ⎥ ⋅ t 2 ⋅ fyb t⎦ ⎣ = γ M1

Quadro 4.8b – Secções com uma alma única – Duas cargas ou reacções de apoio opostas.

92

(4.32d)


4.4.5.2.

Secções com múltiplas almas não reforçadas

(a)

(c)

(b)

(d)

Figura 4.11 – Secções com múltiplas almas sem susceptibilidade de rotação

Para secções com múltiplas almas como as apresentadas na Figura 4.11, a resistência para forças concentradas em almas não reforçadas obtém-se pela expressão (4.33) e pelos Quadros 4.9a e 4.9b desde que (i) a distância livre (c) entre a face interna do apoio e uma extremidade livre seja maior ou igual a 40mm e (ii) as seguintes condições sejam satisfeitas: • hw / t ≤ 200 ⋅ sin φ

• r / t ≤ 10

• 45º ≤ φ ≤ 90º

O valor da força concentrada resistente (por cada alma) obtém-se através de, R w.Rd = α ⋅ t 2 ⋅ fyb ⋅ E ⋅ (1− 0.1⋅ r / t ) ⋅ (0.5 + 0.02 ⋅ la / t ) ⋅ (2.4 + (φ / 90)2 ) / γ M1

(4.33)

onde (i) la é a largura efectiva do apoio e (ii) α é um coeficiente que depende do carregamento. Ambos os valores dependem da categoria de secção (carga+apoio), a qual se identifica nos Quadro 4.9a (categoria 1) e Quadro 4.9b (categoria 2). O valor da largura efectiva do apoio (la) obtém-se de, ⎧Categoria 1: la = 10 ⎪ se βv ≤ 0.2 ⎧ss ⎪⎪ ⎪ 10 − ss ⎨ ⎪ ⎪Categoria 2 : la = ⎨ss + 0.1 ⋅ (βv − 0.2) se 0.2 < βv ≤ 0.3 ⎪ ⎪ ⎪⎩10 se βv ≥ 0.3 ⎪⎩

(4.34)

com os valores de la e ss em mm. Considere-se ainda o seguinte: (i) O máximo valor de la é 200 mm. (ii) Quando o apoio for constituído por perfis de aço de parede fina enformado a frio com uma única alma, ou por um tubo redondo, o valor a utilizar para ss deverá ser 10 mm.

93


Categoria 1

• Carga concentrada aplicada com e ≤ 1.5 ⋅ hw do apoio mais próximo.

• Carga concentrada aplicada com c ≤ 1.5 ⋅ hw de uma extremidade livre.

• Reacção de apoio com c ≤ 1.5 ⋅ hw de uma extremidade livre.

Quadro 4.9a – Secções com múltiplas almas – Categoria 1.

Categoria 2

• Carga concentrada aplicada com e > 1.5 ⋅ hw do apoio mais próximo

• Carga concentrada aplicada com c > 1.5 ⋅ hw de uma extremidade livre.

• Reacção de apoio com c > 1.5 ⋅ hw de uma extremidade livre.

• Reacção num apoio interior.

Quadro 4.9b – Secções com múltiplas almas – Categoria 2.

94


O coeficiente de distribuição do esforço transverso (βv) depende da distribuição esforço transverso na vizinhança da carga concentrada em análise e pode ser obtido através de βv =

| VEd,1 | − | VEd,2 | | VEd,1 | + | VEd,2 |

(4.35)

onde | VEd,1 | e | VEd,2 | são os valores absolutos dos esforços transversos de cada lado da carga concentrada ou apoio, sendo que | VEd,1 | ≥ | VEd,2 | e ss é a largura real do apoio. Finalmente, o coeficiente α que depende do carregamento, toma os seguintes valores, ⎧ ⎧⎪0.075 ⎪Categoria 1: α = ⎨ ⎪ ⎪⎩0.057 ⎪ ⎨ ⎪ ⎧0.15 ⎪Categoria 2 : α = ⎪⎨ ⎪ ⎩⎪0.115 ⎩

para chapas onduladas para perfis em " hat" e " liner trays" (4.36)

para chapas onduladas para perfis em " hat" e " liner trays"

4.4.6. Flexão desviada composta com tracção

Em secções submetidas a flexão desviada composta com tracção, as seguintes condições (equações de interacção) devem ser satisfeitas: η c,Nt + η c,M,t ≤ 1.0

(4.37)

onde (i) η c,Nt é a relação entre o esforço axial de tracção actuante e resistente (ver ponto 4.4.1) e (ii) η c,M,t é a soma das relações dos momentos flectores actuante e resistente para cada uma das direcções principais de inércia (ver ponto 4.4.3). Note-se ainda que, como o esforço axial é de tracção, não existem momentos adicionais devidos a eventuais desvios do centro geométrico da secção efectivap em relação à secção bruta. 4.4.7. Flexão desviada composta com compressão

Em secções submetidas a flexão desviada composta com compressão, as seguintes condições (equações de interacção) devem ser satisfeitas: com

η c,Nc + η c,M,c ≤ 1.0

(4.38a)

η c,M,c = η c,Mu,c + η c,Mv ,c ≤ 1.0

(4.38b)

η c,Mu,c = η c,Mv ,c =

| M Ed,u + ΔM Ed,u | M c.Rd,u | M Ed,v + ΔM Ed,v | M c.Rd,v

(4.38c)

(4.38d)

onde (i) η c,M,c é a soma das relações dos momentos flectores actuante e resistente para cada uma das direcções principais de inércia (ver ponto 4.4.3) considerando momentos adicionais devidos a compressão e eventuais desvios do centro geométrico da secção efectivap em relação

95


à secção bruta, (ii) ΔM Ed,u = NEd ⋅ e Nu é o momento adicional devido ao desvio segundo v (eNu) do centro de gravidade da secção efectivap devido à acção de esforço axial de compressão e (iii) ΔM Ed, v = NEd ⋅ e Nv é o momento adicional devido ao desvio segundo u (eNv) do centro de gravidade da secção efectivap devido à acção de esforço axial de compressão. Finalmente, refere-se que (i) segundo a nota (iii) do ponto 4.4.2, os valores de ΔM Ed,u e ΔM Ed, v , apenas deverão ser tidos em conta nas curvas de interacção se produzirem efeitos desfavoráveis, e (ii) segundo a nota (ii) do ponto 4.4.2, mesmo que não haja momentos flectores, se a secção for de classe 4 e tenha havido desvios do centro de gravidade da secção efectivap em relação à secção bruta, deve fazer-se uma verificação em flexão composta entrando em conta com ΔM Ed,u e ΔM Ed, v . 4.4.8. Flexão desviada composta e esforço transverso

Em secções submetidas a flexão composta com esforço axial (tracção ou compressão) e esforço transverso, as seguintes condições (equações de interacção) devem ser satisfeitas: Esforço axial de tracção

Esforço axial de compressão com,

η c,Nt + η c,M,t + η c,M+ V ≤ 1.0

(4.39a)

η c,Nt + η c,M,t + η c,M + V ≤ 1.0

(4.39b)

η c,M + V = η c,( M + V )u + η c,( M + V )v

(4.39c)

⎧⎪0 η c,( M + V )u = ⎨ 2 ⎪⎩(1− M f.Rd.eff ,u / M pl.Rd.eff ,u ) ⋅ (2 ⋅ η Vv − 1)

se η Vv ≤ 0.5

⎧⎪0 η c,( M + V )v = ⎨ 2 ⎪⎩(1− M f.Rd.eff ,v / M pl.Rd.eff ,v ) ⋅ (2 ⋅ η Vu − 1)

se η Vu ≤ 0.5

se η Vv > 0.5

se η Vu > 0.5

(4.39d)

(4.39e)

onde (i) M f.Rd.eff é o momento plástico resistente de uma secção composta pelas partes efectivasp dos banzos e (ii) M pl.Rd.eff é o momento plástico resistente de uma secção composta pelas partes efectivasp dos banzos e com a alma completamente efectivap. Note-se ainda que as secções efectivasp dos banzos utilizadas para o cálculo de M f.Rd.eff e M pl.Rd.eff obtém-se das secções efectivasp finais devido à acção de determinado momento flector. 4.4.9. Flexão desviada composta e força concentrada ou reacção de apoio

Para secções que estejam sujeitas a acção simultânea de momento flector e de uma carga concentrada ou reacção de apoio devem verificar-se simultaneamente as expressões (4.30), (4.37) ou (4.38) e (4.39) e as seguintes condições: Esforço axial de tracção

96

η c,Nt + η c,M,t + η c,F ≤ 1.25

(4.40a)


Esforço axial de compressão

η c,Nc + η c,M,c + η c,F ≤ 1.25

(4.40b)

Finalmente, refere-se que a verificação das condições (4.37), (4.38) e (4.39) e (4.40) implica que as condições (4.18), (4.19), (4.27), (4.28) e (4.30) também sejam satisfeitas. 4.5. ORGANIGRAMAS

Em seguida, apresentam-se alguns organigramas que resumem os procedimentos necessários ao cálculo da resistência secções de perfis de aço enformados a frio. Em alguns destes organigramas apresentam-se procedimentos que não foram aprofundados na presente dissertação, mas cuja incorporação se julgam relevante para uma exposição clara do problema.

Figura 4.12a – Cálculo de resistência de secções e verificação da segurança. 97


Figura 4.12b – Classificação de secções.

Figura 4.12c – Cálculo de propriedades efectivas.

98


INÍCIO

Figura 4.12c i=0

i=i+1 Sim

Distribuições de tensões obtidas na secção bruta.

i=0?

Não

i≥2? Não / / Sim (Não iterativo)

Distribuições de tensões obtidas em secções efectivas globais.

Não Instab. distorcional? (**)

n=0

Sim

Δρ(ki) ≈ 0

Não

e

Qρ(ki) ≤ 1?

Sim (iterativo) Sim Em cada conjunto banzo-reforço efectivo:

y(0i..ncg) .k , z (0i..ncg) .k , A (ki.n) , I(yi..kn) , I(zi..kn) , K (ki.n) , σ(cri.n.k) λ(di.n.k) , φ(di..nk ) , χ(di..nk ) Δχ(di..nk ) = χ(di..nk ) − χ(di.−k1.n) Qχ(di..nk ) = χ(di..nk ) / χ(di.−k1.n) i.n) ( i.n) ( i.n) ( i.n) σ(com .Ed .k , t e.k , t i.k , σ com .Ed .red .k

Calcular larguras efectivasp (ver 4.3)

ψ(ki) , k (σi).k , λp(i.)k , λp(i.)red .k , λp(i.)ser .k , ρ(ki) b(ei1)*.k , b(i.ik)* , b(ei)2*.k , t (ei.)k , t (i.ik) λ(eli) .k , λ(reli ) .k , λ(reli) .max Δρ(ki) = ρ(ki) − ρ(ki−1) e Qρ(ki) = ρ(ki) / ρ(ki−1)

n=n+1 Calcular propriedades do tipo 1 e 3 da secção com larguras efectivas obtida anteriormente (ver Figura 3.8a).

Não

n≥2?

FIM

Sim Não

Δχ(di..nk ) ≈ 0 e

Qχ(di..nk ) ≤ 1? Sim Figura 4.12c.1 – Cálculo de propriedades efectivas (método iterativo).

(*) Os valores b(ei1)*.k , b(i.ik)* e b(ei)2*.k apresentados nas Figuras 4.12c.1 e 4.12c.2, podem ser quaisquer das larguras efectivas nominais ou idealizadas associadas às larguras brutas: hg , b1g , b 2g , c1g , c 2g , d1g e d2g . (**) Consideram-se elegíveis para o cálculo de propriedades devido a instabilidade distorcional (i) secções aproximadamente monosimétricas com reforços de extremidade sujeitas a esforços axiais de compressão ( Nc ), de flexão em torno do eixo principal aproximadamente perpendicular à alma ( Mu+ e Mu− ) e de flexão em torno do eixo principal aproximadamente paralelo à alma para o qual ocorram tracções na alma e compressão nos reforços de extremidade ( M +v ) e (ii) secções em “Z” com reforços de extremidade sujeitas a Nc , Mu+ e Mu− . O cálculo das larguras e/ou espessuras efectivas, pode ser feito segundo diversas metodologias, como descrito no ponto 4.3.

99


y(0i..ncg) .k , z (0i..ncg) .k , A (ki.n) , I(yi..kn) , I(zi..kn) , K (ki.n) , σ(cri.n.k) λ(di.n.k) , φ(di..nk ) , χ(di..nk ) Δχ(di..nk ) = χ(di..nk) − χ(di.−k1.n) Qχ(di..nk) = χ(di..nk) / χ(di.−k1.n) i.n ) ( i.n ) ( i.n ) ( i.n ) σ(com .Ed .k , t e.k , t i.k , σ com .Ed .red .k

ψ(ki) , k (σi).k , λp(i.)k , λp(i.)red .k , λp(i.)ser .k , ρ(ki) b(ei1)*.k , b(i.ik)* , b(ei)2*.k , t (ei.)k , t (i.ik) λ(eli) .k , λ(reli) .k , λ(reli) .max Δρ(ki) = ρ(ki) − ρ(ki−1) e Qρ(ki) = ρ(ki) / ρ(ki−1)

Δχ(di..nk ) ≈ 0 Qχ(di..nk ) ≤ 1?

Figura 4.12c.2 – Cálculo de propriedades efectivas (método “standard”).

100


Figura 4.12d – Cálculo de resistência de secções.

101


102

RESISTÊNCIA DE BARRAS

CAPÍTULO 5

5. RESISTÊNCIA DE BARRAS

5.1. RESUMO

No presente capítulo apresenta-se a metodologia disposta no Eurocódigo 3 para o cálculo de resistência de barras simples ou integradas num sistema estrutural. No ponto 5.2 é feita uma pequena introdução relativamente à determinação da resistência de barras com inclusão dos efeitos dos diversos tipos de instabilidade, bem como da plasticidade. No ponto 5.3 são introduzidos alguns conceitos complementares ao escrito no capítulo 2 relativamente aos esforços críticos elásticos (associados a instabilidades globais). Nos pontos 5.4 é descrita a metodologia prescrita pelo Eurocódigo 3 para a obtenção de resistência de barras com inclusão do efeito de encurvadura (instabilidades globais), e dos efeitos de segunda ordem com não linearidades geométricas e físicas. No ponto 5.5 são apresentados organigramas onde se expõem de forma sintética todos os procedimentos necessários ao cálculo de resistência de barras. 5.2. INTRODUÇÃO

O comportamento dos sistemas estruturais reticulados (e.g., pórticos e treliças), constituídos por barras de aço com secção transversal de parede fina, é frequentemente afectado pela interacção e acoplamento entre fenómenos de instabilidade de diferente natureza, nomeadamente fenómenos de instabilidade (i) global da estrutura (deformação de várias barras da estrutura), (ii) global de uma barra – local da estrutura (deformação de uma única barra) e (iii) local de uma barra (deformação das suas paredes). Nos dois primeiros casos, os modos de instabilidade envolvem apenas a deformação do(s) eixo(s) longitudinal(ais) da(s) barra(s), sofrendo as respectivas secções transversais apenas deslocamentos de corpo rígido. No último caso, por outro lado, o modo de instabilidade local de uma barra envolve apenas a deformação das respectivas secções transversais (nos seus próprios planos), permanecendo o eixo longitudinal da barra indeformado. Assim, procede-se claramente à distinção entre a instabilidade local de uma barra (local de placa e distorcional) e a instabilidade global de uma estrutura. Como se observou nos capítulos anteriores, a instabilidade local de uma barra (local de placa e/ou distorcional) pode afectar unicamente os seus esforços resistentes (NRd, MRd), segundo o EC3. Verificou-se que a encurvadura local de placa podia implicar uma redução na largura efectiva das paredes da secção, enquanto a encurvadura distorcional podia conduzir a uma redução nas espessuras das paredes dos reforços da secção. Por outro lado, e segundo o EC3, a instabilidade global de uma estrutura pode influenciar tanto (i) os esforços actuantes (NSd, MSd) como (ii) os esforços resistentes (NRd, MRd). A influência da instabilidade global de uma estrutura nos esforços actuantes (NSd, MSd) é devida unicamente 103


à susceptibilidade que a estrutura pode ter para a deformabilidade lateral (efeitos P-Δ − ver capitulo 2). Por isso, os esforços actuantes (NSd, MSd) devem ser amplificados para ter em conta a susceptibilidade da estrutura a modos com deslocamentos laterais (“sway modes”, na designação anglo-saxónica – ver Figura 5.1). O EC3 prevê que a necessidade de amplificar os esforços depende do valor do parâmetro de carga crítica num modo “sway” αcr (relação entre o carregamento crítico e o carregamento de dimensionamento), o qual pode ser obtido (i) exactamente, através de uma análise linear de estabilidade do pórtico, ou (ii) aproximadamente, utilizando o Anexo E do EC3 [5.1] para calcular os comprimentos de encurvadura Lcr num modo “sway” – ver, adiante, secção 5.3.1.

Figura 5.1 – Modo de instabilidade com deslocamentos laterais (“sway mode”)

Note-se que é sempre possível determinar o valor de αcr através dos valores de Lcr, identificando a barra mais condicionante da estrutura. Definido o valor de αcr, o EC3 estipula que (i) se αcr>10, não é necessário amplificar os esforços de dimensionamento pois a susceptibilidade do pórtico à deformabilidade lateral é desprezável (efeitos P-Δ são insignificantes). (ii) se αcr<10, é necessário amplificar os esforços de dimensionamento pois o pórtico é susceptível à deformabilidade lateral em modos “sway” (os efeitos P-Δ podem ser significativos). Neste caso, pode ainda afirmar-se que (ii.1) se 3<αcr<10, é permitido obter os esforços aproximadamente através da seguinte amplificação: 1/(1− 1/ α cr ) ⋅ M Sd

de

dimensionamentos (5.1)

(ii.2) se αcr<3, é obrigatória a realização de uma análise geometricamente não linear exacta (incremental-iterativa), pois os efeitos P-Δ são muito relevantes neste caso. Em virtude da influência da deformabilidade lateral da estrutura (efeitos P-Δ) ter sido considerada nos esforços actuantes, tem agora de se considerar a influência da instabilidade global da barra inserida agora numa estrutura de nós fixos (sem efeitos P- Δ). Por isso, os valores de dimensionamentos dos esforços resistentes (NRd, MRd) são calculados com base na carga/momento crítico da barra (Ncr, Mcr) sem deslocamentos laterais das suas extremidades. Assim, os valores dos esforços resistentes da secção (NRd, MRd), já com a influência da instabilidade local (local de placa e/ou distorcional), devem ser reduzidos para ter em conta a instabilidade global da barra com as extremidades fixas (sem deslocamentos laterais). Como se observará mais à frente, esta redução será efectuada por meio da adopção de curvas de dimensionamento (a0, a, b, c, d) e da determinação de um factor de redução χ para a instabilidade global (flexão ou flexão-torção). Para tal requer-se a determinação de Ncr (flexão ou flexão-torção) e/ou Mcr (flexão-torção) num modo de instabilidade global da barra com as extremidades sem deslocamentos laterais. Por isso, é muito fácil determinar o valor de Ncr 104


(flexão) com base no valor do comprimento de encurvadura Lcr da barra num modo sem deslocamentos laterais (“non-sway modes”, na designação anglo-saxónica – ver Figura 5.2). Na secção seguinte, abordar-se-à a determinação dos comprimentos de encurvadura de barras comprimidas Lcr uma vez que, como se observou, podem ser úteis (i) no cálculo do parâmetro αcr num modo “sway” e (ii) no cálculo de Ncr num modo “non-sway”.

Figura 5.2 – Modos de instabilidade sem deslocamentos laterais (“non-sway mode”)

5.3. ESFORÇOS CRÍTICOS DE ENCURVADURA GLOBAL A obtenção dos valores dos esforços críticos é vital para a determinação dos esforços resistentes nas verificações de segurança de barras à encurvadura global. Em particular, pretende-se determinar o valor de Ncr (carga crítica) em modos de instabilidade (i) por flexão ou (ii) por flexão-torção, e/ou o valor de Mcr (momento crítico) num modo de instabilidade lateral por flexão-torção. O valor da carga crítica Ncr num modo de instabilidade por flexão corresponde ao caso de cálculo mais simples, pois pode obter-se directamente da fórmula de Euler

π 2EI Ncr = 2 L cr

(5.2)

Para uma barra inserida numa estrutura, pode calcular-se o comprimento de encurvadura da barra Lcr tendo em consideração a restrição devida aos elementos adjacentes (vigas e colunas), como se abordará na secção seguinte. O cálculo do valor da carga crítica Ncr e/ou momento crítico Mcr num modo de instabilidade por flexão-torção não é tão simples como para a flexão. No entanto, no capítulo 2 (secção 2.4.1.2) foi abordada aprofundadamente a determinação da carga crítica de flexão-torção Ncr bem como o cálculo do momento crítico para a instabilidade lateral por flexão-torção. Assim, neste capítulo apenas serão apresentadas expressões e conceitos complementares ao descrito no capítulo 2. De referir ainda que, para certas condições de fronteira (apoio) e determinadas situações de carga, não é possível obter expressões analíticas exactas para o cálculo de Ncr e/ou Mcr. No entanto, estes valores podem ser obtidos com o recurso a análise numéricas baseadas no (i) Método dos Elementos Finitos (MEF [5.10]), (ii) Método das Faixas Finitas (MFF [5.7, 5,8]) e (iii) Teoria Generalizada de Vigas (GBT [5.9]). 5.3.1. Comprimento de encurvadura de colunas comprimidas

O conceito de comprimento de encurvadura num modo global de uma barra comprimida inserida numa estrutura está invariavelmente presente no Eurocódigo 3 [5.1]. Designa-se por comprimento de encurvadura de uma barra num modo global (flexão) pelo comprimento fictício entre pontos de inflexão da configuração deformada associada ao modo de 105


instabilidade em causa. A versão provisória do EC3-1-1 [5.1] continha no seu Anexo E uma metodologia de cálculo dos comprimentos de encurvadura de barras comprimidas, a qual foi retirada na versão final do EC3-1-1 [5.2] e a sua determinação deixada ao critério do projectista. No entanto, e porque o cálculo dos comprimentos de encurvadura é quase sempre necessário quando se analisam estruturas metálicas reticuladas, apresenta-se, em seguida, a metodologia de cálculo dos comprimentos de encurvadura de colunas presentes no EC3-1-1 [5.1]. 5.3.1.1.

Factores de distribuição de rigidez

O primeiro passo na determinação do comprimento de encurvadura de uma coluna inserida num pórtico corresponde à determinação dos factores de distribuição de rigidez das suas secções extremas (apoios), as quais nem sempre são completamente rígidas (encastramento) ou rotuladas. Os factores de distribuição de rigidez (η1 e η2) permitem contabilizar a restrição à rotação providenciada pelas outras barras concorrentes nos nós extremos (1 e 2) da barra em análise e são calculados através de η1 =

Kc K c + K 11 + K 12

e

η2 =

Kc K c + K 21 + K 22

(5.3)

onde (i) K c = I c \ L é um coeficiente de rigidez de flexão da barra em análise e (ii) K ij = k ij ⋅ Iij \ L são coeficientes de rigidez de flexão das barras adjacentes nas extremidades da barra em análise. O valor do coeficiente kij depende da condição de fronteira das barras adjacentes na extremidade opostas aos nós 1 e 2 e pode ser obtido das Tabela 5.1 a Tabela 5.3. Para vigas onde o esforço axial é nulo (ou se considera desprezável), os coeficientes de rigidez de flexão podem ser calculados com base na Tabela 5.1. Em edifícios com estruturas reticuladas de pilares e vigas que apoiam lajes de betão armado, desde que a malha de elementos estruturais tenha uma distribuição regular e o carregamento seja uniforme, é razoavelmente rigoroso assumir os valores de k ij dispostos na Tabela 5.2. Sempre que as vigas estiverem sujeitas a esforços axiais de compressão não desprezáveis, os coeficientes de rigidez de flexão deverão ser minorados para ter em conta a degradação de rigidez devido à compressão. Apesar de se poder utilizar funções de estabilidade para contabilizar rigorosamente essa degradação, o Anexo E do EC3-1-1 [5.1] permite a utilização dos valores de k ij dispostos na Tabela 5.3. Claro que, o aumento da rigidez devido a esforço axial de tracção pode ser desprezado.

(a)

(b)

Figura 5.3 – Factores de distribuição para colunas sem continuidade: (a) modo de instabilidade sem deslocamentos laterais (“non-sway mode”); (b) modo de instabilidade com deslocamentos laterais (“sway mode”) [5.1, 5.6]

106


Note-se ainda que esta determinação depende da forma do modo de instabilidade global da estrutura que se pretende analisar. Esta configuração pode estar associada (i) a modos de instabilidade sem deslocamentos laterais dos nós (designado em língua inglesa por “non-sway mode” – ver Figura 5.3a) ou (ii) a modos de instabilidade com deslocamentos laterais dos nós (designado em língua inglesa por “sway mode” – ver Figura 5.3b). Condições de fronteira da viga na extremidade afastada do nó

(desde que a viga permaneça em fase elástica)

Encastrada

1.0

Rotulada

0.75

Factores kij

Rotação igual à do nó

1.5

(dupla curvatura)

Rotação igual, mas de sinal contrário à do nó

0.5

(curvatura simples)

Caso geral 1 + 0.5 ⋅

Rotação θa no nó e θb na extremidade afastada do nó

θ

b θa

Tabela 5.1 – Factores kij: esforço axial ausente ou desprezável [5.1, 5.6]

Factores kij

Condições de carregamento da viga

“Non-Sway Mode”

“Sway Mode”

Vigas que apoiam lajes de betão

1.0

1.0

Outras vigas com cargas directas

0.75

1.0

Vigas apenas com momentos de extremidade

0.5

1.5

Tabela 5.2 –Factores kij: grelha de vigas apoiando lajes de betão armado [5.1, 5.6]

Condições de fronteira da viga na extremidade afastada do nó

(desde que a viga permaneça em fase elástica)

Encastrada

1.0 ⋅ ( 1 – 0.4 ⋅ N / NE )

Rotulada

0.75 ⋅ ( 1 – 0.4 ⋅ N / NE )

Rotação igual à do nó

Factores kij

(dupla curvatura)

1.50 ⋅ ( 1 – 0.4 ⋅ N / NE )

Rotação igual, mas de sinal contrário à do nó

0.5 ⋅ ( 1 – 0.4 ⋅ N / NE )

(curvatura simples)

com NE = π² ⋅ E ⋅ I / L² Tabela 5.3 – Factores kij: esforço axial presente [5.1, 5.6]

107


Os modelos apresentados na Figura 5.3, podem ainda ser adaptados à situação de colunas com continuidade (ver Figura 5.4), assumindo que a rotação das extremidades (1 e 2) da coluna em análise estão restringidas pelas extremidades das colunas adjacentes superior e inferior. Neste caso, os factores de distribuição de rigidez definem-se na forma η1 =

K c + K1 K c + K 1 + K 11 + K 12

e

η2 =

Kc + K2 K c + K 2 + K 21 + K 22

(5.4)

onde K1 e K2 são coeficientes de rigidez de flexão das colunas superior e inferior.

Figura 5.4 – Factores de distribuição para colunas com continuidade [5.1, 5.6]

5.3.1.2.

Comprimentos encurvadura

Definindo por k=Lcr/L a relação entre o comprimento de encurvadura de uma coluna (Lcr) e o seu comprimento real (L), pode observar-se nas Figuras 5.5 e 5.6 dois ábacos que permitem obter o valor de k em função dos factores de distribuição de rigidez da coluna (η1 e η2). Notese que enquanto (i) o ábaco da Figura 5.5 diz respeito a modos de instabilidade sem deslocamentos laterais dos nós (“non-sway mode” – ver Figura 5.3a), (ii) o ábaco da Figura 5.6 diz respeito a modos de instabilidade com deslocamentos laterais dos nós (“sway mode” – ver Figura 5.3b). Observe-se que no ábaco da Figura 5.5 o valor de k varia entre 0 e 1 pois o modo de instabilidade não tem deslocamentos laterais dos nós (“non-sway mode” – ver Figura 5.3a). Contrariamente, no ábaco da Figura 5.6 verifica-se que o valor de k pode variar entre 1 e ∞ pois o modo de instabilidade tem deslocamentos laterais dos nós (“sway mode” – ver Figura 5.3b). Alternativamente à utilização dos ábacos, o Anexo E do EC3-1-1 [5.1] permite utilizar as seguintes expressões a) Modos de instabilidade sem deslocamentos laterais (“non-sway modes”) k=

ou alternativamente:

L cr = 0.5 + 0.14 ⋅ (η1 + η 2 ) + 0.055 ⋅ (η1 + η 2 )2 L

(5.5a)

L cr 1+ 0.145 ⋅ (η1 + η 2 ) − 0.265 ⋅ η1 ⋅ η 2 = L 2 − 0.364 ⋅ (η1 + η 2 ) − 0.247 ⋅ η1 ⋅ η 2

(5.5b)

k=

108


b) Modos de instabilidade com deslocamentos laterais (“sway modes”) k=

L cr 1− 0.2 ⋅ (η1 + η 2 ) − 0.12 ⋅ η1 ⋅ η 2 = L 1− 0.8 ⋅ (η1 + η 2 ) + 0.60 ⋅ η1 ⋅ η 2

(5.6)

Figura 5.5 – Comprimento de Encurvadura na forma k = Lcr/L para colunas num modo sem deslocamentos laterais (“non-sway mode”) [5.1, 5.6]

Figura 5.6 – Comprimento de Encurvadura na forma k = Lcr /L para colunas num modo com deslocamentos laterais (“sway mode”) [5.1, 5.6]

109


Estes valores de k, podem ser utilizados em conjunto com as expressões (2.14) para se obterem os esforços críticos elásticos para quaisquer condições de fronteira. De referir que os valores de k apresentados estão associados à rigidez de flexão; no entanto, podem utilizar-se raciocínios idênticos para modos de instabilidade que envolvam torção e empenamento. Na maior parte dos casos, é difícil avaliar o grau de restrição que as ligações ou rigidificadores conseguem conferir ao empenamento e torção da barra. Na parte 1-3 do Eurocódigo 3 [5.3, 5.4] são apresentados valores típicos para o comprimento de encurvadura de torção/empenamento. Dependendo da restrição à rotação por torção e empenamento de ligações de perfis enformados a frio, apresentam-se de seguida os valores sugeridos: • k w = L cr ,w / L =1.0 para ligações que promovam restrição parcial à rotação por torção e empenamento (ver Figura 5.7a); •

k w =0.7 para ligações que promovam restrição significativa à rotação por torção e empenamento (ver Figura 5.7b);

Figura 5.7a – Ligações que promovem restrição parcial à rotação por torção e empenamento [5.3]

Figura 5.7b – Ligações que promovem restrição significativa à rotação por torção e empenamento [5.3]

5.4. RESISTÊNCIA DE BARRAS

A resistência de uma barra submetida a compressão e/ou flexão é, em geral, condicionada por fenómenos de encurvadura global (flexão, flexão-torção). A forma como o EC3 permite verificar a segurança das barras a fenómenos de instabilidade global é apresentada na Parte 1 [5.1, 5.2], embora se possa aplicar a perfis laminados a quente, perfis soldados ou, neste caso, enformados a frio. A metodologia proposta baseia-se na determinação de factores de redução de resistência que têm em conta a susceptibilidade da barra à encurvadura global. Para tal, o EC3-1-1 propõe a utilização de curvas de dimensionamento devidamente calibradas com base 110


numa vasta quantidade de resultados experimentais de barras de diversas geometrias, processos de fabrico e classes de aço. Finalmente, e visto que apenas compressão e/ou flexão podem conduzir à encurvadura global, torna-se óbvio que barras submetidas unicamente a tracção não são susceptíveis a este fenómeno e por isso satisfazem automaticamente esta verificação, tendo de satisfazer apenas a resistência das suas secções (ver 4.4.1). 5.4.1. Esforço axial de compressão

O valor de dimensionamento do esforço axial de compressão actuante (NEd) e o valor característico do esforço axial de compressão resistente à encurvadura (Nb.Rk) devem satisfazer a seguinte relação, | NEd | η b,Nc = ≤ 1.0 (5.7a) Nb.Rk / γ M1 O esforço axial característico resistente à encurvadura Nb.Rd obtém-se de Nb.Rk = χ ⋅ Nc.Rk

⎧⎪ A eff ⋅ fyb Nc.Rk = ⎨ ⎪⎩ A g ⋅ fyb

(5.7b)


(5.7c)

em que (i) χ é o factor de redução de resistência devido a encurvadura global, (ii) A g e A eff são, respectivamente, as áreas bruta e efectivap da secção (ver capítulos 3 e 4), (iii) fyb e fya−b são tensões de cedência do aço (ver 4.4) e (iv) γ M1 é o factor parcial de segurança à encurvadura (ver 3.2.2), o qual se toma igual a 1.0 EC3-1-1 [5.2]. O factor de redução de resistência à encurvadura global deve ser obtido através de χ=

1 Φ + Φ 2 − λ2

≤ 1.0

(5.8a)

onde Φ = 0.5 ⋅ [1+ α ⋅ ( λ − 0.2) + λ2 ]

(5.8b)

representa um parâmetro adicional e (i) λ é a esbelteza normalizada da barra de instabilidade global e (ii) α é o parâmetro de imperfeição. A esbelteza normalizada da barra de instabilidade global é definida por Nc.Rk (5.9) λ= Ncr onde Ncr é a carga crítica associada ao modo de instabilidade global sem deslocamentos laterais das suas secções extremas. Se λ ≤ 0.2 ou NEd/Ncr≤0.04, os efeitos de encurvadura global podem ser ignorados, sendo necessário apenas verificar a resistência das secções. Refere-se que o modo crítico de instabilidade global pode ser de flexão, torção ou flexão-torção, dependendo da geometria e características da secção. Recorde-se que Ncr associado ao modo de flexão pode ser determinado através do conceito de comprimento de encurvadura enquanto o Ncr associado ao modo de torção ou flexão-torção pode ser obtido das expressões presentes no Capitulo 2. Adicionalmente, refere-se que o valor de Ncr deve ser calculado com base nas propriedades da secção bruta (ver capítulo 2 e ponto 5.3), independentemente da secção ser de Classe 3 ou 4.

111


Eixo de Encurvad.

Curva de Encurvad.

Se se usar fyb

Qualquer

b

Se se usar fya *)

Qualquer

c

u-u

a

v-v

b

Qualquer

b

Qualquer

c

Tipos de secção v

u

u

v

v

v

u

u

u

u

v

v

v

v u

u

u u

v

v v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

u

v

u

v

*) A tensão de cedência média fya só deverá ser utilizada se A eff = A g Quadro 5.1 – [5.4] EC3-1-3 - Quadro 6.3: Selecção da curva de encurvadura para determinada secção.

Por outro lado, a escolha do valor do parâmetro de imperfeição α está intimamente ligada à selecção de uma das cinco curvas de dimensionamento que o EC3-1-1 propõe (a0, a, b, c, d) – – ver Figura 5.8. No caso dos perfis de aço enformados a frio, esta escolha é efectuada com base no Quadro 5.1 e depende (i) da configuração da secção e (ii) do eixo em torno do qual ocorre a encurvadura. No caso dos perfis laminados a quente e soldados, o EC3-1-1 estipula que esta escolha deva ainda depender do processo de fabrico, da classe do aço e também de algumas dimensões da secção (espessura dos banzos). Após a escolha da curva de dimensionamento, selecciona-se o valor do parâmetro de imperfeição α a partir do 112


Quadro 5.2. Da observação conjunta dos Quadros 5.1 e 5.2, verifica-se que secções em cantoneira e em U e Z sem reforços são mais penalizadas (curva c) pois são mais susceptíveis às imperfeições. Contrariamente, secções reforçadas e compostas (almas interligadas) são menos susceptíveis e têm uma curva de dimensionamento menos gravosa (curvas a e b).

Figura 5.8 – [5.2] EC3-1-1: Figura 6.4 – Curvas de encurvadura.

Curva de Encurvadura Factor de imperfeição α

a0

a

b

c

d

0.13

0.21

0.34

0.49

0.76

Quadro 5.2 – [5.2] EC3-1-1 - Quadro 6.1: Factor de imperfeição para as curvas de encurvadura.

5.4.2. Flexão simples

Uma barra submetida a flexão em torno do eixo de maior inércia pode instabilizar lateralmente num modo global misto de flexão (menor inércia) e torção (“lateral-torsional”, na designação anglo-saxónica). A abordagem do Eurocódigo 3 para a verificação de segurança de barras flectidas à encurvadura lateral é, em muitos aspectos, semelhante à abordagem utilizada para a verificação de segurança à instabilidade de colunas. Como se observará adiante, a principal diferença prende-se com a maior complexidade exigida na determinação do momento crítico Mcr, uma vez que apenas é possível obter uma solução analítica exacta em casos muito particulares de secções, de carregamento e de condições de apoio. O valor de dimensionamento do momento flector actuante em torno do eixo i (MEd,i) e o valor característico do momento flector em torno do eixo i resistente à encurvadura lateral (Mb.Rk,i) devem satisfazer a seguinte relação, | MEd,i | ηb,Mi = ≤ 1.0 (5.10a) Mb.Rk ,i / γ M1 Os valores característicos dos momentos-flectores resistentes à encurvadura lateral em torno do eixo u (mair inércia – Mb.Rk,u) e em torno do eixo v (menor inércia – Mb.Rk,v) são determinado através de

113


⎧⎪Wi,eff ⋅ fyb M c.Rk ,i = ⎨ ⎪⎩ Wi,el.g ⋅ fyb

Mb.Rk ,u = χLT ⋅ M c.Rk ,u Mb.Rk , v = Mc.Rk , v

(5.10b)

se

Wi,eff < Wi,el.g

se

Wi,eff = Wi,el.g

(5.10c)

onde (i) χLT é o factor de redução de resistência devido a encurvadura lateral de vigas, (ii) Wi,el.g e Wi,eff , são, respectivamente, os módulo de flexão das secções bruta e efectivasp para momento flector em torno do eixo principal i (ver 4.4.3) e (iii) fyb e fya são tensões de cedência do aço (ver 3.2.2). O factor de redução de resistência devido à encurvadura lateral obtém-se de forma semelhante à da encurvadura de colunas, através da expressão, χ LT =

1 2 LT

Φ LT + Φ − λ

2 LT

≤ 1.0

(5.11a)

onde Φ LT = 0.5 ⋅ [1+ α LT ⋅ ( λLT − 0.2) + λ2LT ]

(5.11b)

é um parâmetro auxiliar e (i) λLT é a esbelteza normalizada relativa ao modo crítico de instabilidade lateral e (ii) α LT é o parâmetro de imperfeição, a que estão associadas as mesmas curvas de encurvadura das colunas (ver 5.4.1). Segundo o EC3-1-1, a escolha da curva de dimensionamento a utilizar depende do tipo de secção, do tipo de instabilidade e do processo de fabrico. No entanto, o EC3-1-3 [5.4] é pouco explicito relativamente às curvas a adoptar, referindo apenas que se deve escolher as curvas a ou b, não fazendo qualquer distinção entre o processo de escolha de uma ou outra. A esbelteza normalizada relativa ao modo de instabilidade lateral é dada por

λLT =

Mc.Rk,i Mcr

(5.12)

onde Mcr é o valor crítico do momento flector em torno do eixo de maior inércia) que conduz à instabilidade lateral da viga por flexão-torção, cujo cálculo deve ser sempre efectuado com base nas propriedades da secção bruta (ver capítulo 2 e ponto 5.3), independentemente de se tratar de uma barra de classe 3 ou 4. Como as secções de aço enformadas a frio possuem, na sua grande maioria, secções mono-simétricas (secção em L, U e C) ou com simetria radial em torno de um ponto (secção em Z), a existência de um solução analítica exacta é de muito difícil obtenção. Como as secções de aço de parede fina enformadas a frio podem, em geral, ter formas ainda mais complexas e apresentar assimetrias razoáveis, o recurso a métodos numéricos para a determinação dos momentos críticos será talvez a melhor opção. 5.4.3. Flexão desviada composta com compressão

A verificação de segurança à encurvadura lateral de uma viga sujeita a flexão desviada composta com compressão deve satisfazer as seguintes equações de interacção,

114

| M + ΔMEd,u | | M + ΔMEd, v | | NEd | + k uu ⋅ Ed,u + k uv ⋅ Ed, v ≤ 1.0 χu ⋅ Nc.Rk / γ M1 Mb.Rk ,u / γ M1 Mb.Rk , v / γ M1

(5.13a)

| M + ΔMEd,u | | M + ΔMEd,v | |NEd | + k vu ⋅ Ed,u + k vv ⋅ Ed,v ≤ 1.0 χ v ⋅ Nc.Rk / γ M1 Mb.Rk ,u / γ M1 Mb.Rk ,v / γ M1

(5.13d)


em que (i) Mb.Rk,u e Mb.Rk , v são, respectivamente, os momentos característicos resistentes à encurvadura lateral em torno de u e v (eixos principais de inércia – ver pontos 5.4.2 e 4.4.3.1), (ii) χu e χ v são, para cada direcção principal, o mínimo entre os factores de redução de resistência devido à encurvadura por flexão e a encurvadura por torção ou flexão-torção condicionante da coluna (ver 5.4.1) e (iii) kuu, kuv, kvu e kvv são factores de interacção apresentados nos anexos A e B do EC3-1-1 [5.2]. Finalmente, refere-se que ⎧⎪e N,i ⋅ NEd M Δ Ed,i = ⎨ ⎪⎩0


(5.14)

corresponde ao momento flector adicional devido à actuação do esforço de compressão NEd e à mudança do centro de massa da secção bruta para a secção efectiva (esta componente só é não nula em secções de classe 4). Refere-se ainda que, segundo a nota (iii) do ponto 4.4.2, os valores de ΔM Ed,u e ΔM Ed, v apenas devem ser tidos em consideração nas equações de interacção se produzirem efeitos desfavoráveis (i.e., adicionarem ao momento actuante). Segundo a nota (ii) do ponto 4.4.2, mesmo que não haja momentos flectores e tenha havido uma mudança do centro de gravidade da secção efectivap em relação à secção bruta (se a secção for de classe 4), deve fazer-se a verificação de segurança entrando em conta com ΔM Ed,u e ΔM Ed, v . As curvas de interacção presentes em [5.2] EC3-1-1 estão melhor ajustadas aos perfis laminados a quente, ou constituídos por chapas soldadas, em que os modos de instabilidade global sejam os clássicos modos de encurvadura e/ou encurvadura lateral. Para situações onde a instabilidade por torção e/ou flexão-torção seja relevante (bastante comuns nos perfis enformados a frio de parede fina), tem de se ter algum cuidado na aplicação destas curvas. Da forma como aí estão apresentadas, fazem intervir os factores de redução de resistência axial χ u e χ v devido a modos de instabilidade de flexão em torno dos eixos de, respectivamente, maior e menor inércia, o que se considera incorrecto nas situações referidas anteriormente, pelo que: • Na parcela associada a esforço axial, estes factores devem ser substituídos por χu e χ v , como apresentado na expressão (5.14); • No respeitante aos factores de interacção kuu, kuv, kvu e kvv, os esforços axiais críticos elásticos a considerar devem ser os indicados pelo [5.2] EC3-1-1. Dado tratarem-se de factores de amplificação de momentos, os modos de instabilidade a considerar devem ser de flexão, excepto onde se considerem explicitamente modos de torção. 5.4.4. Flexão desviada composta com tracção

A actual versão do Eurocódigo 3 [5.2] prEN EC3-1-1 é omissa em relação à verificação de segurança de barras submetidas a flexão desviada composta com tracção. Por esta razão, optou-se aqui por considerar uma formulação mista entre o disposto no [5.2] prEN EC3-1-1 para as equações de colunas-viga (flexão composta com compressão – ponto 5.4.3) assumindo o esforço axial igual a zero (dimensionamento conservativo) e um momento flector actuante reduzido como disposto na pré-norma europeia [5.1] DDENV EC3-1-1.

115


Para flexão desviada composta com tracção deve verificar-se a seguinte equação de interacção, | M eff ,u | | MEd,v | + ≤ 1.0 (5.15a) Mb.Rk ,u / γ M1 Mb.Rk ,v / γ M1 com

M eff ,u =| M Ed,u | − Ψvec ⋅ Wu,com ⋅|NEd | / A ≥ 0

(5.15b)

onde (i) Ψvec = 0.8 é um factor de redução que tem em conta a possibilidade de os esforços axiais e momentos flectores não serem o resultado de uma mesma acção, mas sim de uma envolvente de combinações de acções, (ii) Wu,com é o módulo de flexão associado à maior tensão de compressão quando a secção está sujeita a momento flector em torno de u e (iii) A é a área da secção efectivap devido a compressão. Para situações em que o momento MEd,u for nulo a equação de interacção a verificar será a referente à resistência de secções, já que não há instabilidade lateral de vigas para momentos em torno do eixo de menor inércia. 5.5. ORGANIGRAMAS

Apresentam-se de seguida alguns organigramas que resumem os procedimentos necessários ao cálculo de resistência de barras (à encurvadura). Em alguns destes organigramas estão apresentados procedimentos que não foram aprofundados na presente dissertação, mas que se julga ser importante colocar para uma exposição clara do problema.

λu , λv e λLT

Ncr , Mcr, u ou Mcr, v

χu , χ v e χLT

k uu , k uv , k vu e , k vv

Figura 5.9 – Cálculo de resistência de barras e verificação da segurança.

116

CONCLUSÃO

CAPÍTULO 6

6. CONCLUSÃO

6.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A forma como os Eurocódigos são apresentados e a ordenação das suas disposições regulamentares nem sempre é a mais fácil e directa para a compreensão de todos os utilizadores, sejam eles projectistas, investigadores ou alunos. Em particular, o Eurocódigo 3 relativo a estruturas de aço padece do mesmo problema. E quando os elementos estruturais a dimensionar (perfis de aço enformados a frio) não se encontram no grupo de maior utilização e uso (perfis laminados a quente), o problema supracitado aumenta e torna-se muito difícil ao projectista conciliar as disposições entre o documento base que contém as regras gerais (EC3-1-1 [6.7]) e o documento particular relativo a esse tipo de estrutura (EC3-1-3 [6.8]) que insere todas a regras de dimensionamento e verificação de segurança especificas dos perfis de aço enformados a frio. Desta forma, a realização do presente trabalho teve como principais objectivos (i) apresentar, explicar e sistematizar as disposições do Eurocódigo 3, em particular a sua Parte 1.3, para dimensionar e verificar a segurança de elementos estruturais de aço enformados a frio, bem como (ii) “fazer a ponte” entre as disposições do EC3-1-1 [6.7] (regras gerais) e do EC3-1-3 [6.8] (regras para estruturas de aço enformadas a frio). O capítulo 1 iniciou-se com uma breve retrospectiva histórica da origem e aplicação de perfis de aço enformados a frio na indústria da construção civil, salientando as principais vantagens da sua aplicação em comparação com perfis laminados a quente de aplicação corrente. Em particular, referiram-se os principais tipos de elementos estruturais de aço enformados a frio, os processos de fabrico correntemente utilizados e caracterizou-se, de forma sucinta, o seu comportamento estrutural típico. Em último lugar, apresentaram-se os objectivos e a organização da presente dissertação. No capítulo 2, abordaram-se os principais conceitos subjacentes à “estabilidade de estruturas”, com especial ênfase no comportamento de estruturas com secção de parede fina. Apresentou-se o conceito de estabilidade do equilíbrio e descreveram-se os tipos de instabilidade estrutural (instabilidade bifurcacional e instabilidade por ponto limite), analisando a instabilidade bifurcacional com maior detalhe. Apresentaram-se e caracterizaram-se os tipos de instabilidade que ocorrem em barras com secção de parede fina aberta, nomeadamente as instabilidades (i) local de placa, (ii) distorcional e (iii) global. Desenvolveram-se algumas expressões analíticas para o cálculo de (i) cargas e momentos críticos de instabilidade global (instabilidade por flexão-torção de colunas e instabilidade lateral de vigas) e (ii) tensões críticas de bifurcação local de placas. Em seguida, abordou-se sumariamente o comportamento de pós-encurvadura dos mesmos elementos estruturais referidos anteriormente e, em particular, explicou-se o 117


conceito de “largura efectiva” de placas comprimidas. Neste capítulo pôde concluir-se que as expressões analíticas apresentadas são válidas apenas para situações muito particulares de (i) geometria das secções, (ii) de tipos de carregamento e (iii) condições de apoio, verificando-se que para casos mais complexos (e.g., secções assimétricas, com vários reforços intermédios) torna-se necessário recorrer a análises rigorosas através de métodos numéricos “exactos”. Em virtude dos perfis de aço enformados a frio apresentarem correntemente secções de alguma complexidade, nomeadamente com dobras (cantos) arredondados, torna-se premente uma correcta avaliação das propriedades geométricas da secção. Desta forma, e no capítulo 3, estudaram-se as metodologias disponíveis para obtenção de propriedades de secções brutas com base em análises (i) exactas ou (ii) aproximadas, tendo em consideração as regras apresentadas no Eurocódigo 3 (EC3-1-3) [6.6–6.9]. No capítulo 4 introduziu-se a classificação de secções de acordo com o EC3 em função da sua capacidade de atingir a resistência plástica e da sua capacidade de rotação. No caso de secções de classe 4 (maioria das secções de aço enformadas a frio), abordou-se o conceito de largura efectivap associada à resistência devido a modos de instabilidade local de placa (MLP) e apresentou-se a metodologia prescrita pelo Eurocódigo 3 [6.6–6.9] para a obtenção das secções efectivas. No que diz respeito ao modo de instabilidade distorcional (MD), descreveu-se a metodologia estipulada pelo pelo Eurocódigo 3 para o cálculo das espessuras reduzidas que permite obter a resistência das secções a modos de instabilidade distorcionais. Em particular, refere-se que se apresentou o método “standard” para o cálculo de propriedades efectivas, o qual requer passos sequenciais e abordou-se, de forma sumária, o método “iterativo”, para o qual o EC3 permite vários níveis de iteração na obtenção das tensões críticas associadas ao MLP e ao MD. A utilização de metodologias “exactas” (ver ponto 3.4) para o cálculo de propriedades, nomeadamente, através das funções TSP, não terá muito interesse na medida em que o EC3 obriga à consideração das larguras nominais das paredes, as quais não têm qualquer correspondência directa com a secção real. Desta forma, concluiu-se que a utilização de larguras nominais segundo o EC3 torna o processo de implementação computacional bastante mais complexo do que no caso dos regulamentos Americanos [6.11], Autralianos e NeoZelandeses [6.12], os quais consideram os cantos (dobras) sempre efectivos. No capítulo 5, começou-se por explicar a filosofia do EC3 para contabilizar a influência das instabilidades globais. Para tal, explicou-se a diferença entre uma estrutura com e sem deslocamentos laterais e aludiu-se ao facto de, no primeiro caso, a instabilidade global poder aumentar os esforços actuantes. Em seguida, introduziram-se alguns conceitos complementares ao capítulo 2, nomeadamente o conceito de comprimento de encurvadura por flexão e o cálculo da carga crítica de flexão. Finalmente, descreveu-se a metodologia prescrita pelo EC3 [6.6–6.9] para a obtenção de resistência de barras à encurvadura global, nomeadamente de (i) colunas submetidas a compressão, (ii) vigas sujeitas a flexão e (iii) vigas-coluna. Como observação final conclui-se que a verificação de segurança à instabilidade global de barras segundo o EC3 está muito direccionada para os casos mais simples, nos quais a instabilidade global de colunas ocorre por flexão. Sabendo que a grande maioria das secções de aço enformadas a frio são mono-simétricas, a instabilidade global de colunas pode ocorrer por flexão-torção. Também no caso da instabilidade global de vigas o EC3 está muito vocacionado para secções bi-simétricas ou mono-simétricas em que o eixo de flexão é perpendicular ao eixo de simetria. As barras de aço enformadas a frio com secção mono-simétrica em que o eixo de flexão é perpendicular ao eixo de simetria (e.g., secções em C 118

CONCLUSÃO

flectidas em torno do eixo de maior inércia) instabilizam lateralmente por flexão-torção mas o formulário do EC3 (Anexo E [6.6]) não é directamente aplicável. Desta forma, conclui-se que o EC3-1-3 tem um âmbito muito restrito no que diz respeito às verificações de segurança à instabilidade global e, frequentemente, existe uma má interligação entre as suas partes 1 e 3. 6.2. ALGUNS COMENTÁRIOS FINAIS

Actualmente, na maior parte dos regulamentos e em aplicações práticas correntes, o cálculo da resistência de uma barra é efectuada em duas etapas: (i) o cálculo de resistência de secções com o recurso a esforços críticos de instabilidades locais (local de placa e distorcional) e aos conceitos de largura efectiva e espessura reduzida e (ii) o cálculo de resistência de barras com o recurso a esforços críticos de instabilidades globais e à utilização de curvas de dimensionamento. A metodologia de cálculo preconizada pelo Eurocódigo 3 [6.6–6.9] é muito dirigida à utilização de perfis de utilização corrente (secções em C, Z, “Rack” e “Hat”). No caso de perfis com secções fora deste grupo (como muitas secções que constantemente surgem no mercado com um crescente número de reforços), a utilização metodologia de cálculo preconizada pelo Eurocódigo 3 é deveras duvidosa e requer um elevadíssimo número de cálculos, tornando o processo muito complexo. Em muitos casos, será preferível recorrer a métodos numéricos e computacionais para o cálculo da resistência última “exacta” destes elementos, incorporando os efeitos das não linearidades físicas e geométricas bem como das imperfeições das barras. Foi precisamente por se ter considerado muito complexa toda a metodologia de cálculo de larguras efectivas e espessura reduzidas, que foi desenvolvida uma metodologia alternativa bastante mais simples, a qual se denomina por Método da Resistência Directa (DSM, “Direct Strenght Method”) [6.4, 6.5]. Este método, já incorporado na regulamentação Americana [6.10] e Australiana/Neo Zelandesa [6.12], tem a grande (enorme) vantagem de utilizar algumas curvas de dimensionamento devidamente calibradas com ensaios experimentais. A utilização destas curvas apenas requer o conhecimento das tensões/esforços críticos elásticos locais e globais, as quais são determinadas através da realização de análises lineares de estabilidade utilizando para tal programas de cálculo automático disponíveis livremente. Neste contexto, citam-se o programa CUFSM [6.1, 6.2] baseado no Método das Faixas Finitas (MFF) e o programa GBTUL [6.3] baseado na Teoria Generalizada de Vigas (GBT). Desta forma, a utilização do Método da Resistência Directa envolve um número incomparavelmente inferior de cálculos e permite obter estimativas tão precisas quanto as obtidas pelas metodologias do EC3. Apesar de ainda existirem reservas por parte de alguns investigadores europeus [6.13], acredita-se que o futuro da regulamentação Europeia no dominio das estruturas de aço enformadas a frio passe por contemplar metodologias do tipo do DSM.

119


120


ANEXOS

121


122

CÁLCULO APROXIMADO DE PROPRIEDADES

ANEXO A

A.CÁLCULO APROXIMADO DE PROPRIEDADES

A.1. MÉTODO DO ANEXO C DO EC3-1-3 Para o cálculo das propriedades de secções, o Eurocódigo 3 – parte 1-3, fornece uma forma aproximada e expedita no anexo C. Esta formulação pode ser aplicada quer para secções brutas (secções idealizadas e nominais com troços rectos) , quer para áreas e inércias de secções efectivas. A.1.1. Ângulo (positivo) do elemento k com a horizontal z'

β

y'

linha média

Figura A.1 – Ângulo da linha média dos elementos com a horizontal - θ.

•

⎧0 º ⎪arctg (( z 0.j.k ⎪ ⎪90 º ⎪ ⎪arctg (( z 0.j.k θk = ⎨ ⎪180 º ⎪arctg (( z 0.j.k ⎪ ⎪270 º ⎪arctg (( z 0.j.k ⎩

− z 0.i.k ) ( y 0.j.k − y 0.i.k )) − z 0.i.k ) ( y 0.j.k − y 0.i.k )) + 180 º − z 0.i.k ) ( y 0.j.k − y 0.i.k )) + 180 º − z 0.i.k ) ( y 0.j.k

se Δy > 0 e Δz = 0 se Δy > 0 e Δz > 0 se Δy = 0 e Δz > 0 se Δy < 0 e Δz > 0 se Δy < 0 e Δz = 0

se Δy < 0 e Δz < 0 se Δy = 0 e Δz < 0 − y 0.i.k )) + 360 º se Δy > 0 e Δz < 0

(A.1)

123


A.1.2. Cálculo do comprimento do elemento k •

s k = ( y 0.j.k − y 0.i.k )2 + ( z 0.j.k − z 0.i.k )2

(A.2)

A.1.3. Cálculo da área da secção •

A k = sk ⋅ t k

(A.3)

•

A = ∑ Ak

(A.4) –

– Área do elemento k Área da secção

k

A.1.4. Cálculo do centro geométrico do elemento k •

y 0.cg.k = ( y 0.j.k + y 0.i.k ) 2 (A.5) – Coordenada y0 do centro de gravidade do elemento k

•

z 0.cg.k = ( z 0.j.k + z 0.i.k ) 2 (A.6) – Coordenada z0 do centro de gravidade do elemento k

A.1.5.

Momento estático da secção em torno de y0 no ponto O

•

S y 0.k = A k ⋅ z 0.cg.k

•

S y 0 = ∑ S y 0.k

(A.7) –

(A.8) –

Momento estático do elemento k em torno de y0 no ponto O

Momento estático da secção em torno de y0 no ponto O

k

A.1.6. Momento estático da secção em torno de z0 no ponto O

•

S z 0.k = A k ⋅ y 0.cg.k (A.9) – Momento estático do elemento k em torno de z0 no ponto O

•

S z 0 = ∑ S z 0.k

(A.10) –

Momento estático da secção em torno de z0 no ponto O

k

A.1.7. Coordenadas do centro de gravidade da secção segundo os eixos y0 e z0

•

y 0.cg = S z 0 A

(A.11) –

Coordenada y0 do centro de gravidade da secção

•

z 0.cg = S y0 A

(A.12) –

Coordenada z0 do centro de gravidade da secção

A.1.8. Coordenadas do elemento k segundo os eixos y e z no centro de gravidade

•

y n.k = y 0.n.k − y 0.cg

(A.13) –

Coordenada y do nó n do elemento k

•

z n.k = z 0.n.k − z 0.cg

(A.14) –

Coordenada z do nó n do elemento k

•

y cg.k = ( y j.k + y i.k ) 2

(A.15) –

Coordenada y do centro de gravidade do elemento k

•

z cg.k = ( z j.k + z i.k ) 2

(A.16) –

Coordenada z do centro de gravidade do elemento k

A.1.9. Inércia do elemento k em torno dos seus eixos principais de inércia

• Iyθ.k = t k ⋅ sk3 12 124

(A.17) –

Inércia do emento k em torno de y θ.k no seu centro de gravidade


• Izθ.k = t k3 ⋅ sk 12

(A.18) –

Inércia do emento k em torno de z θ.k no seu centro de gravidade

•

y θ.k – Eixo (local) principal de inércia perpendicular à linha média do elemento k

•

z θ.k – Eixo (local) principal de inércia paralelo à linha média do elemento k

A.1.10. Inércia da secção em torno de y no seu centro de gravidade

• Iy 0l.k = Iyθ.k ⋅ sin2 (θk ) + Izθ.k ⋅ cos 2 (θk ) • Iy 0.k = Iy 0l.k + A k ⋅ z 02.cg.k • Iy 0 = ∑ Iy 0.k

(A.21) –

(A.20) –

(A.19) –

Inércia do emento k em torno de y0l no cgk

Inércia do emento k em torno de y0 no ponto O

Inércia da secção em torno de y0 no ponto O

k

• Iy = Iy 0 − A ⋅ z 02.cg

(A.22) –

Inércia da secção em torno de y (centro de gravidade)

•

y 0l.k – Eixo (local) paralelo ao eixo y0 (global) no centro de gravidade do elemento k

•

z 0l.k – Eixo paralelo ao eixo z0 (global) no centro de gravidade do elemento k

A.1.11. Inércia da secção em torno de z no seu centro de gravidade

• Iz 0l.k = Iyθ.k ⋅ cos 2 (θk ) + Izθ.k ⋅ sin2 (θk ) • Iz 0.k = Iz 0l.k + A k ⋅ y 02.cg.k • Iz 0 = ∑ Iz 0.k

(A.25) –

(A.24) –

(A.23) –

Inércia do emento k em torno de z0l no cgk

Inércia do emento k em torno de z0 no ponto O

Inércia da secção em torno de z0 no ponto O

k

• Iz = Iz 0 − A ⋅ y 02.cg

(A.26) –

Inércia da secção em torno de z (centro de gravidade)

A.1.12. Inércia da secção em torno de yz no seu centro de gravidade

• Iyz 0l.k = 1 2 ⋅ (Iyθ.k − Izθ.k ) ⋅ sin(2 ⋅ θk ) • Iyz 0.k = Iyz 0l.k + S y 0.k ⋅ S z 0.k / A k • Iyz 0 = ∑ Iyz 0.k

(A.29) –

(A.27) –

(A.28) –

Inércia do emento k em torno de yz0l no cgk

Inércia do emento k em torno de yz0 no ponto O

Inércia da secção em torno de yz0 no ponto O

k

• Iyz = Iyz 0 − S y 0 ⋅ S z 0 / A

(A.30) –

Inércia da secção em torno de yz (centro de gravidade)

A.1.13. Inércia aproximada da secção em torno de y0 no seu centro de gravidade

• Iy 0.k * = ( z 02.j.k + z 02.i.k + z 0.j.k ⋅ z 0.i.k ) ⋅ A k 3

(A.31)

– Inércia aprox. do elem. k em torno de y0

no ponto O • Iy 0 * =

∑I

y 0.k

*

(A.32) –

Inércia aproximada da secção em torno de y0 no ponto O

k

• Iy * = Iy 0 * − A ⋅ z 02.cg

(A.33) –

Inércia aprox. da secção em torno de y (centro de gravidade)

NOTA: No anexo C do Eurocódigo 3 – parte 1-3, as inércias em torno dos eixos y, z e yz, são aproximadas, e são as que têm de ser utilizadas no cálculo dos centros de corte, no 125


entanto, para além destas, optou-se por calcular as inércias exactas de paredes rectangulares como apresentado em 2.2.1.3.i) a k). A.1.14. Inércia aproximada da secção em torno de z0 no seu centro de gravidade

• Iz 0.k * = ( y 02.j.k + y 02.i.k + y 0.j.k ⋅ y 0.i.k ) ⋅ A k 3

(A.34)

– Inércia aprox. do elem. k em torno de z0

no ponto O • Iz 0 * = ∑ Iz 0.k *

(A.35) –

Inércia aproximada da secção em torno de z0 no ponto O

k

• Iz * = Iz 0 * − A ⋅ y 02.cg

(A.36) –

Inércia aprox. da secção em torno de z (centro de gravidade)

A.1.15. Inércia aproximada da secção em torno de yz no seu centro de gravidade

• Iyz 0.k * = (2 ⋅ y 0.i.k ⋅ z 0.i.k + 2 ⋅ y 0.j.k ⋅ z 0.j.k + y 0.i.k ⋅ z 0.j.k + y 0.j.k ⋅ z 0.i.k ) ⋅ A k 6

(A.37)

– Inércia aproxi-

-mada do elemento k em torno de yz0 no ponto O • Iyz 0 * = ∑ Iyz 0.k *

(A.38) –

Inércia aproximada da secção em torno de yz0 no ponto O

k

• Iyz * = Iyz 0 * −S y 0 ⋅ S z 0 / A

(A.39)

– Inércia aproximada da secção em torno de yz (centro

gravid.) A.1.16. Eixos principais de inércia da secção

•

⎧0 º ⎪ ⎛ ⎞ ⎪0.5 ⋅ arctg ⎜ 2 ⋅ I yz ⎟ ⎜I −I ⎟ ⎪ ⎝z y⎠ ⎪ ⎪0.5 ⋅ 90 º = 45 º ⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎛ 2 ⋅ I yz ⎞ ⎟ − 180 º ⎪⎬ ⎪0.5 ⋅ ⎨arctg ⎜ ⎜I −I ⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝z y⎠ βk = ⎨ 0º ⎪ ⎧⎪ ⎫ ⎪ ⎛ 2 ⋅ I yz ⎞ ⎟ + 180º ⎪⎬ ⎪0.5 ⋅ ⎨arctg ⎜⎜ ⎟ ⎪ ⎝ Iz − Iy ⎠ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪− 0.5 ⋅ 90 º = − 45 º ⎪ ⎛ 2 ⋅ I yz ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪0.5 ⋅ arctg ⎜ I − I ⎟ z y ⎝ ⎠ ⎩

[

• Iu = 1 2 ⋅ Iy + Iz + (Iz − Iy )2 + 4 ⋅ I2yz

]

se I z − Iy > 0 e 2 ⋅ I yz = 0 se I z − Iy > 0 e 2 ⋅ I yz > 0 se I z − Iy = 0 e 2 ⋅ I yz > 0 se I z − Iy < 0 e 2 ⋅ I yz > 0 se I z − Iy < 0 e 2 ⋅ I yz = 0 se I z − Iy < 0 e 2 ⋅ I yz < 0

Ângulo entre os eixos y e z e os − eixos principais de inércia u e v (1.º e 4.º quadrantes)

se I z − Iy = 0 e 2 ⋅ I yz < 0

(A.40)

se I z − Iy > 0 e 2 ⋅ I yz < 0 (A.41) –

Inércia do emento k em torno de u no centro de gravidade da secção

[

• Iv = 1 2 ⋅ Iy + Iz − (Iz − Iy )2 + 4 ⋅ I2yz

]

(A.42) –

Inércia do emento k em torno de v no centro de gravidade da secção

• u – Eixo principal de inércia – maior inércia • v – Eixo principal de inércia – menor inércia 126


A.1.17. Inércia de torsão de Saint-Venant da secção

• It.k = A k ⋅ t k2 3 • It = ∑ It.k

(A.43) –

(A.44) –

Inércia de torsão de Saint-Venant do elemento k

Inércia de torsão de Saint-Venant da secção

k

•

Wt = It min( t k )

(A.45) –

módulo de torsão

A.1.18. Coordenadas sectoriais

•

ω0.k = − ( y i.k ⋅ z j.k − y j.k ⋅ z i.k )

•

ωi.k = ωj.k −1

•

ωi.k

•

ωj.k = ωi.k + ω0.k

k =1

(A.47) –

(A.46) –

coordenada sectorial do elemento k

coordenada sectorial no nó i do elemento k

= ωi.1 = ωj.k −1 k =1 = ωj.0 = 0 (A.49) –

(A.48) –

coordenada sectorial no nó i do elemento 1

coordenada sectorial no nó j do elemento k

A.1.19. Coordenadas sectoriais médias

•

Sω0.k = (ωi.k + ωj.k ) ⋅ A k 2 (A.50)

•

Sω0 = ∑ Sω0.k

(A.51)

ωmean = Iω A

(A.52) –

k

•

coordenada sectorial média

A.1.20. Constantes sectoriais

• Iyω0.k = (2 ⋅ y i.k ⋅ ωi.k + 2 ⋅ y j.k ⋅ ωj.k + y i.k ⋅ ωj.k + y j.k ⋅ ωi.k ) ⋅ A k 6 (A.53) • Iyω0 = ∑ Iyω0.k (A.54) k

• Iuω = Iyω0 − S z 0 ⋅ Sω0 A (A.55) • Izω0.k = (2 ⋅ z i.k ⋅ ωi.k + 2 ⋅ z j.k ⋅ ωj.k + z i.k ⋅ ωj.k + z j.k ⋅ ωi.k ) ⋅ A k 6 (A.56) • Izω0 = ∑ Izω0.k

(A.57)

k

• Ivω = Izω0 − S y 0 ⋅ Sω0 A (A.58) • Iωω0.k = (ωj2.k + ωi2.k + ωj.k ⋅ ωi.k ) ⋅ A k 3 (A.59) • Iωω0 = ∑ Iωω0.k

(A.60)

k

• Iωω = Iωω0 − S2ω0 A (A.61)

127


A.1.21. Coordenadas do centro de corte da secção segundo os eixos y0, z0, y e z Izω ⋅ Iz * − Iyω ⋅ Iyz *

•

y 0.sc = −

•

z 0.sc =

•

y sc = y 0.sc − y 0.cg

(A.64) –

Coordenada y do centro de corte

•

z sc = z 0.sc − z 0.cg

(A.65) –

Coordenada z do centro de corte

(A.62) –

2

Iy * ⋅Iz * − Iyz *

Iyω ⋅ Iy * − Izω ⋅ Iyz *

(A.63) –

2

Iy * ⋅Iz * − Iyz *

Coordenada y0 do centro de corte da secção

Coordenada z0 do centro de corte da secção

A.1.22. Constante de empenamento da secção

• Iw = Iωω − z 0.sc ⋅ Iyω + y 0.sc ⋅ Izω

(A.66) –

Constante de empenamento da secção

A.1.23. Coordenadas sectoriais em relação ao centro de corte

•

ωs.n = ωn − ωmean − z 0.sc ⋅ ( y 0.n − y 0.cg ) − y 0.sc ⋅ ( z 0.n − z 0.cg )

•

ωmax = max n (| ωs.n |)

(A.68) –

•

Ww = Iw ωmax

módulo de empenamento

(A.69) –

(A.67) –

coord. sectorial do nó n

máxima coordenada sectorial em relação ao centro de corte

A.1.24. Coordenadas dos nós do elem. k segundo os eixos u e v no centro de gravidade

•

un.k = y n.k ⋅ cos( − β) − z n.k ⋅ sin(− β)

(A.70) –

Coordenada u do nó n do elemento k

•

v n.k = y n.k ⋅ sin(− β) + z n.k ⋅ cos(− β)

(A.71) –

Coordenada v do nó n do elemento k

•

ucg.k = (uj.k + ui.k ) 2

(A.72) –

Coordenada u do centro de gravidade do elemento k

•

v cg.k = ( v j.k + v i.k ) 2

(A.73) –

Coordenada v do centro de gravidade do elemento k

A.1.25. Momento de Inércia Polar em relação ao centro de corte

• Ip = Iy + Iz + A ⋅ ( y 2sc + z 2sc )

(A.74) –

Momento de Inércia Polar em rel. ao centro de corte

A.1.26. Coordenadas das fibras extremas do elemento k segundo os eixos u e v

128

tk ⋅ min (sin (θk + β) ; − sin (θk + β)) (A.75) – Menor coord. u do el. k 2 t = max (ui.k ; uj.k ) + k ⋅ max (sin (θk + β) ; − sin (θk + β)) (A.76) – Maior coord. u do el. k 2 t = min (v i.k ; v j.k ) + k ⋅ min (cos (θk + β) ; − cos (θk + β)) (A.77) – Menor coord. v do el. k 2 t = max (vi.k ; v j.k ) + k ⋅ max (cos (θk + β) ; − cos (θk + β)) (A.78) – Maior coord. v do el. k 2

•

uk.min = min (ui.k ; uj.k ) +

•

uk.max

•

v k.min

•

v k.max


NOTA: Por se terem considerado as inércias exactas de secções rectangulares na obtenção das inércias da secção global, as fibras extremas não são coincidentes com as extremidades da linha média, mas sim de um valor que tem em conta a contribuição da espessura do elemento k. z'

v'

θ k+ β

θk

d

θ k+ β du lin m ha éd ia

y'

β

tk / 2

β

u'

dz dv

dy

Figura A.2 – Fibras extremas segundo os eixos u e v.

A.1.27. Coordenadas das fibras extremas da secção segundo os eixos u e v

• umin = mink (uk.min )

(A.79) –

•

umax = max k (uk.max )

•

v min = mink (v k.min )

•

v max = max k (v k.max )

Menor coordenada u da secção

(A.80) –

(A.81) –

Maior coordenada u da secção

Menor coordenada v da secção

(A.82) –

Maior coordenada v da secção

A.1.28. Factores uj e vj para o cálculo de esforços críticos elásticos da secção

•

uj = usc −

0.5 ⋅ (u2 + v 2 ) ⋅ u ⋅ dA (A.83) I*z ∫A

⎡ 3 ⎡ Δuk2 Δv k2 ⎤ 2 ∫A (u + v ) ⋅ u ⋅ dA = ∑k ⎢uc.k + uc.k ⋅ ⎢⎣ 4 + v c.k + 12 ⎥⎦ + v c.k ⎣ 0.5 v j = v sc − * ⋅ ∫ (u2 + v 2 ) ⋅ v ⋅ dA (A.85) Iu A

⎡ Δu ⋅ Δv k ⎤ ⎤ ⋅⎢ k ⎥ ⎥ ⋅ A k (A.84) 6 ⎣ ⎦⎦

•

⎡ 3 2 2 ∫A (u + v ) ⋅ v ⋅ dA = ∑k ⎢v c.k + v c.k ⎣

⎡ Δu ⋅ Δv k ⎤ ⎤ ⋅⎢ k ⎥ ⎥ ⋅ A k (A.86) 6 ⎣ ⎦⎦

•

Δuk = uj.k − ui.k

(A.87) –

Distância em u das coordenadas das extremidades do elemento k

•

Δv k = v j.k − v i.k

(A.88) –

Distância em v das coordenadas das extremidades do elemento k

• •

2

2

⎡ Δv 2 Δu2 ⎤ ⋅ ⎢ k + uc2.k + k ⎥ + uc.k 12 ⎦ ⎣ 4

• uc.k = ucg.k − ucg

(A.89) –

Dist. em u entre os centros de gravidade da secção e do elem. k

v c.k = v cg.k − v cg

(A.90) –

Dist. em v entre os centros de gravidade da secção e do elem. k

•

129


A.1.29. Tensões axiais para esforços máximos no nós do elem. k segundo os eixos u e v

Obtêm-se as tensões axiais nos nós em função da relação com a tensão axial máxima na secção, apenas mediante considerações geométricas. •

σ nMu v n.k .k = σ max .Ed max(| v max |;| v min |)

(A.91) –

Tensão axial relat. devida a Mu no nó n do elem. k

•

σ nMv.k un.k = σ max .Ed max(| umax |;| umin |)

(A.92) –

Tensão axial relat. devida a Mv no nó n do elem. k

A.1.30. Tensões axiais para esforços máximos nas fibras extremas segundo os eixos u e v

130

•

Mu σ min v min = σ max .Ed max(| v max |;| v min |)

(A.93) –

Tensão axial relat. mínima devida a Mu da secção

•

Mu σ max v max = σ max .Ed max(| v max |;| v min |)

(A.94) –

Tensão axial relat. máxima devida a Mu da secção

•

Mv σ min umin = σ max .Ed max(| umax |;| umin |)

(A.95) –

Tensão axial relat. mínima devida a Mv da secção

•

Mv σ max umax = σ max .Ed max(| umax |;| umin |)

(A.96) –

Tensão axial relat. máxima devida a Mv da secção

SECÇÕES SEM REFORÇOS

ANEXO B

B. SECÇÕES SEM REFORÇOS

B.1. DADOS INICIAIS B.1.1. Secção real

bg2

r2

r2

tg

tg

hg

hg

bg2

r1

r1 bg1

bg1

Figura B.1 – Dados geométricos de C’s e de Z’s sem reforços – secção bruta real.

B.2. MÉTODOS APROXIMADOS B.2.1. Propriedades da secção bruta B.2.1.1.

Secção e linha média

B.2.1.1.a) Secção e linha média idealizada com troços rectos As larguras brutas idealizadas apresentadas nas Figuras B.2 e B.3, podem ser obtidas por: • hs = hg − Δ1 − Δ 2

• Δ1 = t g 2 ⋅ tan(φ1 ) = t g 2

• φ1 = (180º − α1 ) 2 = 45º

• b1s = b1g − Δ1

• Δ 2 = t g 2 ⋅ tan(φ 2 ) = t g 2

• φ 2 = (180º − α 2 ) 2 = 45º

• b 2 s = b 2g − Δ 2

(B.1)

131


cg1

α1 /

2

c1

α1 / 2

tg / 2

φ1

φ1 Δ1

linha média

tg / 2

tg / 2

Δ1

b1 bg1

Figura B.2 – Linha média e larguras idealizadas com troços rectos (idealised flat widths).

z0

b2s

3

5

7

6

z;v 4

2 z0.cg.s,z0.sc.s

hs

sc.s

y;u

cg.s

3

y0 1

2

y0.sc.s

b1s

y0.cg.s

0

1

z0;z

b2s

4

5

7

6

v

4

3 hs

z0.cg.s,z0.sc.s

β 3

y0 0

1

2

2

b1s Figura B.3 – Secção bruta idealizada de um C e de um Z sem reforços.

132

y

cg.s,sc.s

u


As coordenadas dos nós dos vários elementos são: •

y 0 = b1s ⋅ k c z0 = 0

y 2 = y 0 − b1s ⋅ k c z2 = z0

•

em que: C s/ reforço • C c/ reforço simples C s/ reforço duplo

•

y 5 = y 2 − hs ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 5 = z 2 − hs ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

kc = 1 kh = 1 kr = 1

ou

k c = −1

Z c/ reforço simples Z s/ reforço duplo

kh = 1 kr = 1

(B.2)

kc = 1

k h = −1

• " Hat" c/ reforço simples

y 7 = y 5 + b 2s z7 = z 5

Z s/ reforço

kc = 1

" Hat" s/ reforço

•

ou

kh = 1

" Rack"

kr = 1

(B.3)

k r = −1

Os elementos que constituem a linha média e a secção bruta idealizada são: • Elem.1: Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

• Elem.2: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 13 – (y13 ; z13)

• Elem.3: Nó 11 – (y11 ; z11)

B.2.1.1.b) Secção e linha média nominal com troços rectos

tg / 2

tg / 2 bp1

gr1

tg / 2

linha média

c1

α1 /

2

cp1

α1 / 2

gr1

b1 Figura B.4 – Larguras nominais (notional flat widths).

As larguras brutas nominais apresentadas nas Figuras B.4 e B.5, podem ser obtidas por:

(

)

• hp = hs − gr1 − gr 2

• gr1 = ( r1 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ1 ) − sin(φ1 ) ) = ( r1 + t g 2 ) ⋅ 1− 2 2

• b1p = b1s − gr1

• gr 2 = ( r2 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 2 ) − sin(φ 2 ) ) = ( r2 + t g 2 ) ⋅ 1− 2 2

• b 2p = b 2s − gr 2

(

)

(B.4)

133


As coordenadas dos nós dos vários elementos são: • •

y 0 = (b1p + gr1 ) ⋅ k c z0 = 0

•

y 2a = y 0 − b 1p ⋅ k c

•

z 2a = z 0

y 2b = y 2a + gr1 ⋅ ( −k c + cos(2 ⋅ φ1 )) z 2b = z 2a + gr1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1 )

y 5a = y 2a + hp ⋅ cos( 2 ⋅ φ1 ) z 5a = z 2a + hp ⋅ sin( 2 ⋅ φ1 )

•

y 5b = y 5a + gr 2 ⋅ (1+ cos( 2 ⋅ φ1)) z 5b = z 5a + gr 2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y 7 = y 5b + b 2p z 7 = z 5b

(B.5)

Os elementos que constituem a secção bruta nominal são: • Elem.1: Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

• Elem.2: Nó 2b – (y2b ; z2b)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

• Elem.3: Nó 5b – (y5b ; z5b)

a

Nó 7

– (y7 ; z7) z0

b2p

3

5a 5b

7

6

z;v 4

y;u

cg.p

2 z0.cg.p,z0.sc.p

hp

sc.p

3

y0 2b 2a

y0.sc.p

b1p

1

y0.cg.p

1

0

z0;z

b2p

3

5a 5b

7

6

v

hp

4

z0.cg.p,z0.sc.p

2

β

3

y0 0

1

1

2a 2b

b1p Figura B.5 – Secção bruta nominal de um C e de um Z sem reforços.

134

y

cg.p,sc.p

u


B.2.1.2.

Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta (sem instab.) σuminMv

σumax Mv

σ2;5 Mv

5

7

σvmax N

σvmax Mu

σ5;7 N

σ5;7 Mu

σcg.s N

cg.s

σ0;2 N 2

σumin Mv

σvminN

0

σvminMu

σumax Mv

σ7 Mv

σ0 Mv

σ0;2 Mu

σ5 Mv σ2 Mv

7

5

σvmax N σ7 N σ5 N

σvmax Mu σ7 Mu σ5 Mu

v

u

2 0

σcg.s N

σ2 N σ0 N σvmin N

σ2 Mu σ0 Mu σvmin Mu

Figura B.6 – Tensões na secção bruta idealizada de um C e de um Z sem reforços.

135


σumax Mv

σ2b;5a Mv σ2a;5b Mv

σumin Mv

7

5a 5b

2b 2a

σ0 Mv

0

σ5a σ2b σ5b Mv σ2a Mv Mv

σ7Mv Mv

7 5a 5b

v

cg.p

2a 2b 0

σvmax Mu σ5b;7 Mu

σ5a N

σ5a Mu

σcg.p N

cg.p

σuminMv

σvmax N σ5b;7 N

u

σ2b N

σ2b Mu

σ0;2a N σvmin N

σ0;2a Mu σvmin Mu

σumax Mv

σvmax N σ7b N σ5b N σ5a N

σvmax Mu σ7b Mu

σ5b Mu σ5a Mu

σcg.p N

σ2b N σ2a N σ0 N σvminN

σ2b Mu σ2a Mu σ0 Mu σvminMu

Figura B.7 – Tensões na secção bruta nominal de um C e de um Z sem reforços.

136


B.2.2. Propriedades de secções efectivas B.2.2.1.

Secção efectiva

B.2.2.1.a) Secção efectiva idealizada As larguras efectivasp idealizados apresentados na Figura B.8, podem ser obtidos por: N Mu Mv • hs.e1 = hs.e1 ; hs.e1 ; hs.e1

• hs.i = hs − hs.e1 − hs.e 2

• b is.i = b is − b is.e

N Mu Mv • hs.e2 = hs.e2 ; hs.e2 ; hs.e2

N Mu Mv • b is.e = b is.e ; b is.e ; b is.e

• i=1e2

(B.6)

z0

b2s.e

3e

hs.e2

5

6

2e2 z;v 4

hs.e1

z0.cg.seff

cg.seff y;u

3

2e1 y0

1e b1s.e

2

1e y0.cg.seff

1

z0;z

b2s.e

3e

5

6

hs.e2

v 2e2 4

y

cg.seff

hs.e1

z0.cg.seff,z0.sc.seff

β

1e b1s.e

1

1e

u

3

2e1 y0 2

Figura B.8 – Secção efectiva idealizada de um C em reforços.

137



y 0 = b1s ⋅ k c z0 = 0

•

y 3 = y 2 + hs.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) y 6 = y 5 + b 2s.e • z 3 = z 2 + hs.e1 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 ) z6 = z5

•

y 1 = y 0 − b1s.i ⋅ k c z1 = z 0

•

y 4 = y 3 + hs.i ⋅ cos(2 ⋅ φ1) y 7 = y 6 + b 2s.i • z 4 = z 3 + hs.i ⋅ sin(2 ⋅ φ1 ) z7 = z 6

•

y 2 = y 1 − b1s.e ⋅ k c z 2 = z1

•

y 5 = y 4 + hs.e 2 ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 5 = z 4 + hs.e 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

(B.7)

Os elementos que constituem a secção efectiva idealizada são: •

Elem.1i:

Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 1

– (y1 ; z1)

•

Elem.1e:

Nó 1

– (y1 ; z1)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

•

Elem.2e1: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2i:

Nó 3

– (y3 ; z3)

a

Nó 4

– (y4 ; z4)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

•

Elem.3e:

Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3i:

Nó 6

– (y6 ; z6)

a

Nó 7

– (y7 ; z7)

B.2.2.1.b) Secção efectiva nominal As larguras efectivasp nominais apresentados na Figura B.9, podem ser obtidos por: N Mu Mv • hp.e1 = hp.e1 ; hp.e1 ; hp.e1

• hp.i = hp − hp.e1 − hp.e 2

• b ip.i = b ip − b ip.e − b ip.e

N Mu Mv • hp.e 2 = hp.e 2 ; hp.e 2 ; hp.e 2

N Mu Mv • b ip.e = b ip.e ; b ip.e ; b ip.e

• i=1e2

(B.8)


138

y 0 = (b1p + gr1) ⋅ k c z0 = 0

•

y3 = y 2b + hp.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ1) z 3 = z 2b + hp.e1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y5b = y5a + gr 2 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ1)) z 5b = z 5a + gr 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1)

•

y 6 = y 5b + b 2p.e z 6 = z 5b

•

y1 = y 0 − b1p.i ⋅ k c z1 = z 0

•

y4 = y3 + hp.i ⋅ cos(2 ⋅ φ1) z 4 = z 3 + hp.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y 2a = y1 − b1p.e ⋅ k c z 2a = z1

•

y5a = y 4 + hp.e2 ⋅ cos(2 ⋅ φ1) y 7 = y 6 + b 2p.i • z 5a = z 4 + hp.e2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1) z7 = z6

•

y2b = y2a + gr1 ⋅ (−k c + cos(2 ⋅ φ1)) z 2b = z 2a + gr1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

(B.9)


z0

b2p.e

3e

hp.e2

5a 5b

7

6

2e2 z;v 4

cg.peff y;u

hp.e1

z0.cg.peff

3

2e1 y0 2b 2a

1e y0.cg.peff

b1p.e

1

0

z0;z

b2p.e

3e

5a 5b

7

6

hp.e2

v 2e2 4

y

cg.peff

hp.e1

z0.cg.peff,z0.sc.peff

β

0

1

u

3

2e1

1e

y0 2a 2b

b1p.e Figura B.9 – Secção efectiva nominal de um C e de um Z sem reforços.


Elem.1i:

Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 1

•

Elem.1e:

Nó 1

– (y1 ; z1)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

•

Elem.2e1: Nó 2b – (y2b ; z2b)

a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2i:

Nó 3

– (y3 ; z3)

a

Nó 4

– (y4 ; z4)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

•

Elem.3e:

Nó 5

– (y5b ; z5b)

a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3i:

Nó 6

– (y6 ; z6)

a

Nó 7

– (y7 ; z7)

– (y1 ; z1)

139


140

SECÇÕES COM REFORÇOS SIMPLES

ANEXO C

C. SECÇÕES COM REFORÇOS SIMPLES

C.1. DADOS INICIAIS C.1.1. Secção real bg2

r2

cg1

r3

cg1

r3

α4

α3

α3 r1

r4

tg

hg

tg

r1 bg1

cg2

bg1

r4 r2 hg

bg2

tg bg1 r1 r3

cg1

hg

α4

cg2

r4

cg2

r2

bg2

Figura C.1 – Dados geométricos de C’s e de Z’s com reforços simples – secção bruta real.

141


C.2. MÉTODOS APROXIMADOS C.2.1. Propriedades da secção bruta C.2.1.1.


C.2.1.1.a) Secção e linha média idealizada com troços rectos As larguras brutas idealizadas apresentadas na Figura C.2, podem ser obtidas por: • hs = hg − Δ1 − Δ 2

• Δ1 = t g 2 ⋅ tan(φ1 )

• φ1 = (180º − α 1 ) 2

• b1s = b1g − Δ 1 − Δ 3

• Δ 2 = t g 2 ⋅ tan(φ 2 )

• φ 2 = (180º − α 2 ) 2

• b 2 s = b 2g − Δ 2 − Δ 4

• Δ 3 = t g 2 ⋅ tan(φ 3 )

• φ 3 = (180º − α 3 ) 2

• c1s = c1g − Δ 3

• Δ 4 = t g 2 ⋅ tan(φ 4 )

• φ 4 = (180º − α 4 ) 2

• c 2 s = c 2g − Δ 4

(C.1)

z0

b2s

9

8

4

10

11

c2s

5 12

z;v

13

7

y;u

cg.s

3 z0.cg.s,z0.sc.s

hs

sc.s

6 0 1

c1s

1 5

4

y0.sc.s

b1s

y0.cg.s

2

3

y0

2

z0;z

b2s

8

4

9

10

11

c2s

5

v 12

13 7

3

hs

z0.cg.s,z0.sc.s

β 0 1

6

c1s

1

y0 2

3

2

4

5

b1s Figura C.2 – Secção bruta idealizada de um Z com reforços simples. 142

y

cg.s,sc.s

u



y 5 = y 4 − b1s.e 2 ⋅ k c y 0 = b1s + c1s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c • z 0 = 0 + c1s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h z5 = z4

•

y10 = y 9 + b 2s.i z10 = z 9

•

y 6 = y 5 + hs.e1 ⋅ cos( 2 ⋅ φ1) y1 = y 0 − c1s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c • z 6 = z 5 + hs.e1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1) z1 = z 0 − c1s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k h

•

y11 = y10 + b 2s.e 2 z11 = z10

•

y12 = y11 + c2s.e ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z12 = z11 − c2s.e ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ kh

•

y 2 = y1 − c1s.e ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c z 2 = z1 − c1s.e ⋅ sin(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k h

•

y7 = y 6 + hs.i ⋅ cos( 2 ⋅ φ1) z 7 = z 6 + hs.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y 3 = y 2 − b1s.e1 ⋅ k c z3 = z2

•

y 8 = y7 + hs.e 2 ⋅ cos( 2 ⋅ φ1) z 8 = z 7 + hs.e 2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y 4 = y 3 − b1s.i ⋅ k c z4 = z3

•

y 9 = y 8 + b 2s.e1 z9 = z8

y13 = y12 + c2s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z13 = z12 − c2s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ kh

(C.2)


Elem.1e:

Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

•

Elem.2e1: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

•

Elem.3e1: Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3e2: Nó 7

– (y7 ; z7)

a

Nó 8

– (y8 ; z8)

•

Elem.4e1: Nó 8

– (y8 ; z8)

a

Nó 9

– (y9 ; z9)

•

Elem.4e2: Nó 10 – (y10 ; z10)

a

Nó 11 – (y11 ; z11)

•

Elem.5e:

a

Nó 12 – (y12 ; z12)

Nó 11 – (y11 ; z11)

143


C.2.1.1.b) Secção e linha média nominal com troços rectos z0

b2p

8a 8b

9

4

11a 11b

10

c2p

5 12

z;v

13

7

y;u

cg.p

3 z0.cg.p,z0.sc.p

hp

sc.p

6 0 1

c1p

1 5b 5a

y0.sc.p

b1p

4

y0.cg.p

2

y0

2b 2a

3

z0;z

b2p

8a 8b

4

9

11a 11b

10

c2p

5

v 12

13 7

z0.cg.p,z0.sc.p

hp

0 1

β

6

c1p

1

y0 2a 2b

3

2

4

5a 5b

b1p Figura C.3 – Secção bruta nominal de um C e de um Z com reforços simples.

As larguras brutas nominais apresentadas na Figura C.3, podem ser obtidas por: • h p = h s − g r1 − g r 2

• gr1 = ( r1 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ1 ) − sin(φ1 ) )

• b1p = b1s − gr1 − gr 3

• gr 2 = ( r2 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 2 ) − sin(φ 2 ) )

• b 2p = b 2s − gr 2 − gr 4

• gr 3 = ( r3 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 3 ) − sin(φ 3 ) )

• c1p = c1s − gr 3

• gr 4 = ( r4 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 4 ) − sin(φ 4 ) )

• c 2p = c 2s − gr 4

144

y

cg.p,sc.p

3

(C.3)

u


As coordenadas dos nós dos vários elementos são: y 8a = y 5b + hp ⋅ cos(2 ⋅ φ1) • z = z + h ⋅ sin(2 ⋅ φ ) 8a 5b p 1

y 0 = ( b1p + gr1 + c1p ⋅ cos(2 ⋅ φ 3 ) + + gr 3 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ 3 )) ⋅ k c • z 0 = 0 + (c1p + gr 3 ) ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h •

y 2a = y 0 − c1p ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 2a = z 0 − c1p ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y 8b = y 8a + gr 2 ⋅ (cos(2 ⋅ φ1) + 1) z 8b = z 8a + gr 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y 2b = y 2a − gr 3 ⋅ (1 + cos( 2 ⋅ φ 3 )) ⋅ k c z 2b = z 2a − gr 3 ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y11a = y 8a + b 2p z 11a = z 8a

•

y 5a = y 2b − b1p ⋅ k c z 5a = y 2b

•

y11b = y11a + gr 4 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ 4 )) z 11b = z 11a − gr 4 ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 5b = y 5a + gr1 ⋅ ( −k c + cos(2 ⋅ φ1)) z 5b = z 5a + gr1 ⋅ sin(2 ⋅ φ1)

y13 = y11b + c 2p ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z 13 = z 11b − c 2p ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

(C.4)


– (y0 ; z0)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

• Elem.2: Nó 2b – (y2b ; z2b)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

• Elem.3: Nó 5b – (y5b ; z5b)

a

Nó 8a – (y8a ; z8a)

• Elem.4: Nó 8b – (y8b ; z8b)

a

Nó 11a – (y11a ; z11a)

• Elem.5: Nó 11b – (y11b ; z11b)

a

Nó 13a – (y13 ; z13)

145


C.2.1.2.

Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta (sem instab.) σumax Mv

σ0;13 Mv Mv 2a;11b σ5b;8a σσ2b;11a Mv σ5a;8b Mv Mv

σumin Mv

8a 8b

σvmax N σ8b;11a N σ11bNN σ8a

11a 11b

σ13 N

13

σ0 N

0

σ2a σ2b Mv Mv

σ5b Mu σ2a Mu σ2b;5a Mu σvmin Mu

σ13 Mv σumax Mv σ8a Mv σ5b Mv σ11a Mvσ11b Mv σ8b Mv σ5a Mv 11a 11b 8a 8b

v

13

cg.p

0 5a 5b 2a 2b

σ0 Mu

σ5b N σ2a N N σ2b;5a σvmin N

2b 2a

5b 5a

σ0 Mv

σ13 Mu

σcg.p N

cg.p

σumin Mv

σvmax Mu σ8b;11a Mu σ11bMuMu σ8a

u

σvmax N σ11a NN σ11bN σ8b σ8a N σ13 N

σvmaxMuMu σ11a Mu σMu 11b

σ8b σ8a Mu σ13 Mu

σcg.p N

σ0 N σ5b N σ5a NN σ2a N σ2b N σvmin

σ0 Mu σ5b Mu σ5a MuMu σ2a Mu σ2b Mu σvmin

Figura C.4 – Tensões na secção bruta nominal de um C e de um Z com reforços simples.

146


C.2.2. Propriedades de secções efectivas C.2.2.1.

Secção efectiva

C.2.2.1.a) Secção efectiva idealizada

b2s.e1

z0

b2s.e2

4e1

c2s.e

8

9

10

4e2

11

hs.e2

5e 3e2

12

z;v 7

6

3e1

1

5

b1s.e2

b1s.e1

b2s.e1

y0

1e

c1s.e

hs.e1


cg.seff y;u

2e2 4 y0.cg.seff

3

b2s.e2

2e1

2

z0;z

c2s.e

4e1

hs.e2

8

9

10

4e2

11

5e

v 3e2

12

7

y

cg.seff

hs.e1

z0.cg.seff

β

1

c1s.e

3e1 y0

1e

b1s.e1

b1s.e2

u

6

2

2e1

3

4

2e2

5

Figura C.5 – Secção efectiva idealizada de um Z com reforços simples.

As larguras efectivas idealizadas apresentadas na Figura C.5, podem ser obtidas por: N Mu Mv • hs.e1 = hs.e1 ; hs.e1 ; hs.e1

N Mu Mv • b is.e1 = b is.e1 ; b is.e1 ; b is.e1

N Mu Mz • c is.e = c is.e ; c is.e ; c is.e


N Mu Mv • b is.e 2 = b is.e 2 ; b is.e2 ; b is.e 2

• c is.i = c is − c is.e

• hs.i = hs − hs.e1 − hs.e 2

• b is.i = b is − b is.e1 − b is.e 2

• i=1e2

(C.5)

147



y 5 = y 4 − b1s.e 2 ⋅ k c y 0 = b1s + c1s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c • z 0 = 0 + c1s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h z5 = z4

•

y10 = y 9 + b 2s.i z10 = z 9

•

y 6 = y 5 + hs.e1 ⋅ cos( 2 ⋅ φ1) y1 = y 0 − c1s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c • z 6 = z 5 + hs.e1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1) z1 = z 0 − c1s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k h

•

y11 = y10 + b 2s.e 2 z11 = z10

•

y12 = y11 + c2s.e ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z12 = z11 − c2s.e ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ kh

•

y 2 = y1 − c1s.e ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c z 2 = z1 − c1s.e ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y7 = y 6 + hs.i ⋅ cos( 2 ⋅ φ1) z 7 = z 6 + hs.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y 3 = y 2 − b1s.e1 ⋅ k c z3 = z2

•

y 8 = y7 + hs.e2 ⋅ cos( 2 ⋅ φ1) z 8 = z 7 + hs.e2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1)

•

y 4 = y 3 − b1s.i ⋅ k c z4 = z3

•

y 9 = y 8 + b 2s.e1 z9 = z8

y13 = y12 + c2s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z13 = z12 − c2s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ kh

(C.6)

Os elementos que constituem a secção efectiva idealizada são:

148

•

Elem.1e:

Nó 1

– (y0 ; z0)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

•

Elem.2e1: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

•

Elem.3e1: Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3e2: Nó 7

– (y7 ; z7)

a

Nó 8

– (y8 ; z8)

•

Elem.4e1: Nó 8

– (y8 ; z8)

a

Nó 9

– (y9 ; z9)

•

Elem.4e2: Nó 10 – (y10 ; z10)

a

Nó 11 – (y11 ; z11)

•

Elem.5e:

a

Nó 12 – (y12 ; z12)

Nó 11 – (y11 ; z11)


C.2.2.1.b) Secção efectiva nominal

b2s.e1

z0

b2s.e2

4e1

c2s.e

8

9

10

4e2

11

hs.e2

5e 3e2

12

z;v 7

6

3e1

1

5

b1s.e2

b1s.e1

b2s.e1

y0

1e

c1s.e

hs.e1


cg.seff y;u

2e2 4 y0.cg.seff

3

b2s.e2

2e1

2

z0;z

c2s.e

4e1

hs.e2

8

9

10

4e2

11

5e

v 3e2

12

7

y

cg.seff

hs.e1

z0.cg.seff

β

1

c1s.e

3e1 y0

1e

b1s.e1

b1s.e2

u

6

2

2e1

3

4

2e2

5

Figura C.6 – Secção efectiva nominal de um Z com reforços simples.

As larguras efectivas nominais apresentadas na Figura C.6, podem ser obtidas por: N Mu Mv • hp.e1 = hp.e1 ; hp.e1 ; hp.e1

N Mu Mv • b ip.e1 = b ip.e1 ; b ip.e1 ; b ip.e1

N Mu Mz • c ip.e = c ip.e ; c ip.e ; c ip.e

N Mu Mv • hp.e2 = hp.e 2 ; hp.e 2 ; hp.e 2

N Mu Mv • b ip.e2 = b ip.e 2 ; b ip.e2 ; b ip.e 2

• c ip.i = c ip − c ip.e

• hp.i = hp − hp.e1 − hp.e 2

• b ip.i = b ip − b ip.e1 − b ip.e2

• i=1e2

(C.7)

149


As coordenadas dos nós dos vários elementos são: y 7 = y 6 + hp.i ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) • z = z + h ⋅ sin(2 ⋅ φ ) 7 6 p.i 1

y 0 = ( b1p + gr1 + c1p ⋅ cos(2 ⋅ φ 3 ) + + gr 3 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ 3 )) ⋅ k c • z 0 = 0 + (c1p + gr 3 ) ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h •

y1 = y 0 − c1p.i ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 1 = z 0 − c1p.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y 8a = y 7 + hp.e2 ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 8a = z 7 + hp.e2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y 2a = y1 − c1p.e ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 2a = z 1 − c1p.e ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y 8b = y 8a + gr 2 ⋅ (cos(2 ⋅ φ1 ) + 1) z 8b = z 8a + gr 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y 2b = y 2a − gr 3 ⋅ (1 + cos( 2 ⋅ φ 3 )) ⋅ k c z 2b = z 2a − gr 3 ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

•

y 3 = y 2b − b1p.e1 ⋅ k c z 3 = z 2b

•

•

y 4 = y 3 − b1p.i ⋅ k c z4 = z3

•


•

y 5a = y 4 − b1p.e2 ⋅ k c z 5a = z 4

•

y12 = y11b + c 2p.e ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z12 = z11b − c 2p.e ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 5b = y 5a + gr1 ⋅ ( −k c + cos(2 ⋅ φ1 )) z 5b = z 5a + gr1 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y13 = y12 + c 2p.i ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z 13 = z 12 − c 2p.i ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 6 = y 5b + hp.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 6 = z 5b + hp.e1 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

y 9 = y 8a + b 2p.e1 z 9 = z 8a y10 = y 9 + b 2p.i z 10 = z 9

(C.8)

Os elementos que constituem a secção efectiva nominal são:

150

•

Elem.1e:

•

Nó 1

– (y0 ; z0)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)


a

Nó 3

•

Elem.2e2: Nó 4

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

•


a

Nó 6

•

Elem.3e2: Nó 7

a

Nó 8a – (y8a ; z8a)

•


a

Nó 9

•

Elem.4e2: Nó 10 – (y10 ; z10)

a

Nó 11a – (y11a ; z11a)

•

Elem.5e:

– (y4 ; z4) – (y7 ; z7)

Nó 11b – (y11b ; z11b) a

– (y3 ; z3) – (y6 ; z6) – (y9 ; z9)

Nó 12 – (y12 ; z12)

SECÇÕES COM REFORÇOS DUPLOS

ANEXO D

D. SECÇÕES COM REFORÇOS DUPLOS

D.1. DADOS INICIAIS D.1.1. Secção real

bg2

r4 r6

r2

180-α4

tg

hg

hg

dg1

dg1

180-α3

cg1

180-α3

r5 r3

cg1

r3

180-α4

dg2

tg

r1

r4 r6

dg2

r5

cg2

cg2

r2

bg2

bg1

r1 bg1

dg2 bg2

α4

r6

α6

r4

cg2

r2

r4 r2

dg2

hg

tg

bg2

tg

dg1

bg1 r1

r3

r3

cg1

r1

r5

α5

α

3

cg1

hg

cg2

r6

r5 bg1

dg1 Figura D.1 – Dados geom. de C’s e Z’s e “Hat’s” c/ ref. duplos e “Racks” – secção bruta real.

151


D.2. MÉTODOS APROXIMADOS D.2.1. Propriedades da secção bruta D.2.1.1.


D.2.1.1.a) Secção e linha média idealizada com troços rectos As larguras brutas idealizados apresentadas na Figura D.2, podem ser obtidas por: • h s = hg − Δ 1 − Δ 2

• Δ1 = t g 2 ⋅ tan(φ1 )

• φ1 = (180º − α 1 ) 2

• b1s = b1g − Δ1 − Δ 3

• Δ 2 = t g 2 ⋅ tan(φ 2 )

• φ 2 = (180º − α 2 ) 2

• b 2 s = b 2g − Δ 2 − Δ 4

• Δ 3 = t g 2 ⋅ tan(φ 3 )

• φ 3 = (180º − α 3 ) 2

• c1s = c1g − Δ 3 − Δ 5

• Δ 4 = t g 2 ⋅ tan(φ 4 )

• φ 4 = (180º − α 4 ) 2

• c 2 s = c 2g − Δ 4 − Δ 6

• Δ 5 = t g 2 ⋅ tan(φ 5 )

• φ 5 = (180º − α 5 ) 2

• d1s = d1g − Δ 5

• Δ 6 = t g 2 ⋅ tan(φ 6 )

• φ 6 = (180º − α 6 ) 2

• d 2 s = d 2g − Δ 6

(D.1)


y0 = [b1s + c1s ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) − d1s ⋅ kr ] ⋅ kc z 0 = 0 + c1s ⋅ sin(2 ⋅ φ3 ) ⋅ kh

•

y11 = y 8 + hs ⋅ cos( 2 ⋅ φ1 ) z 11 = z 8 + hs ⋅ sin( 2 ⋅ φ1 )

•

y 2 = y 0 + d1s ⋅ k r ⋅ k c z2 = z0

•

y14 = y11 + b 2s z 14 = z 11

•

y 5 = y 2 − c1s ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c z 5 = z 2 − c1s ⋅ sin( 2 ⋅ φ3 ) ⋅ k h

•

y17 = y14 + c 2s ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z17 = z14 − c 2s ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ k h

•

y 8 = y 5 − b1s ⋅ k c z8 = z5

•

y19 = y17 − d2s ⋅ k r z19 = z17

(D.2)

Os elementos que constituem a linha média e a secção bruta idealizada são:

152

• Elem.1: Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

• Elem.2: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

• Elem.3: Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 8

– (y8 ; z8)

• Elem.4: Nó 8

– (y8 ; z8)

a

Nó 11 – (y11 ; z11)

• Elem.5: Nó 11 – (y11 ; z11)

a

Nó 14 – (y14 ; z14)

• Elem.6: Nó 14 – (y14 ; z14)

a

Nó 17 – (y17 ; z17)

• Elem.7: Nó 17 – (y17 ; z17)

a

Nó 19 – (y19 ; z19)


z0

b2s

11

12

5

13

14

c2s 19

z;v d2s

6

15 16

18

17

7

10

4

hs

sc.s z0.cg.s,z0.sc.s

d1s

y;u

cg.s

9

1 0

1

3 4

c1s

8

y0.sc.s

b1s

7

y0.cg.s

3

2

2

y0

5

6

z0;z

b3s

11

12

c2s

cg2

5

14

13

v 19

18

7 b4s

15 16

6 17

10

4

y

hs

cg.s,sc.s

1

2 3 4

c1s

2

0

1

5

z0.cg.s,z0.sc.s

β

b1s

u

9

y0 6

3

7

8

b2s Figura D.2 – Secção bruta idealizada de um C e de um Z com reforços duplos.

D.2.1.1.b) Secção e linha média nominal com troços rectos As larguras brutas nominais apresentadas na Figura D.3, podem ser obtidos por: • hp = hs − gr1 − gr 2

• gr1 = ( r1 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ1) − sin(φ1 ) )

• b1p = b1s − gr1 − gr 3

• gr 2 = ( r2 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 2 ) − sin(φ 2 ) )

• b 2p = b 2s − gr 2 − gr 4

• gr 3 = ( r3 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 3 ) − sin(φ 3 ) )

• c1p = c1s − gr 3 − gr 5

• gr 4 = ( r4 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ 4 ) − sin(φ 4 ) )

• c 2p = c 2s − gr 4 − gr 6

• gr 5 = ( r5 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ5 ) − sin(φ5 ) )

• d1p = d1s − gr 5

• gr 6 = ( r6 + t g 2 ) ⋅ ( tan(φ6 ) − sin(φ6 ) )

• d 2p = d 2s − gr 6

(D.3)

153


As coordenadas dos nós dos vários elementos são: y11a y 0 = ( b1p + gr1 + c1p ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) + • z 11a + gr 3 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ3 ) + • + gr 5 ⋅ (cos(2 ⋅ φ3 ) − k r ) − d1p ⋅ k r ) ⋅ k c y11b z 0 = 0 + (c1p + gr 3 + gr 5 ) ⋅ sin(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k h • z 11b

= y 8b + hp ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) = z 8b + hp ⋅ sin(2 ⋅ φ1 ) = y11a + gr 2 ⋅ (cos(2 ⋅ φ1 ) + 1) = z 11a + gr 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

y14a = y11a + b 2p z 14a = z 11a

•

y 2a = y 0 + d1p ⋅ k r ⋅ k c z 2a = z 0

•

y14b = y14a + gr 4 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ 4 )) y 2b = y 2a + gr 5 ⋅ (k r − cos( 2 ⋅ φ 3 )) ⋅ k c • z 2b = z 2a − g r 5 ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h z 14b = z 14a − gr 4 ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 5a = y 2b + c1p ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 5a = z 2b − c1p ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y17a = y14b + c 2p ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z 17a = z 14b − c 2p ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 5b = y 5a − gr 3 ⋅ (cos(2 ⋅ φ 3 ) + 1) z 5b = z 5a − gr 3 ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y17b = y17a + gr 6 ⋅ (cos(2 ⋅ φ 4 ) − k r ) z 17b = z 17a − gr 6 ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 8a = y 5b − b1p ⋅ k c z 8a = z 5b

•

y19 = y17b − b 2p ⋅ k r z 19 = z 17b

•


•

(D.4)


154

– (y0 ; z0)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

• Elem.2: Nó 2b – (y2b ; z2b)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

• Elem.3: Nó 5b – (y5b ; z5b)

a

Nó 8a – (y8a ; z8a)

• Elem.4: Nó 8b – (y8b ; z8b)

a

Nó 11a – (y11a ; z11a)

• Elem.5: Nó 11b – (y11b ; z11b)

a

Nó 14a – (y14a ; z14a)

• Elem.6: Nó 14b – (y14b ; z14b)

a

Nó 17a – (y17a ; z17a)

• Elem.7: Nó 17b – (y17b ; z17b)

a

Nó 19 – (y19 ; z19)


z0

b2p

11a 11b

12

5

14a 14b

13

c2p 19

z;v

d2p

6

15 16

18

17a 17b

7

10

sc.p

y;u

cg.p

4 z0.cg.p,z0.sc.p

d1p 9

1 0

2a

1

c1p

8b 8a

y0.sc.p

b1p

7

y0.cg.p

3

6

2b

3 4

2

y0

5b 5a

z0;z

b2p

11a 11b

12

5

14a 14b

13

c2p

v 19

18

7 d2p

15 16

6 17a 17b

hp

10

4

β

1

2a

c1p

2

3 4 5a 5b

0

1

z0.cg.p,z0.sc.p

d1p

2b

y

cg.p,sc.p

u

9

y0 6

3

7

8a 8b

b1p Figura D.3 – Secção bruta nominal de um C e de um Z com reforços duplos.

155


D.2.1.2.

Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta (sem instab.) Mv σ2a;17b MvMv σ2b;17a σumax Mv 5a;14b σ8b;11a Mv σσ5b;14a Mv σ8a;11b Mv Mv σ0;19

σumin Mv

11a 11b

σvmax N σ11b;14a N σ14b NN σ11a σ17a N σ17b;19 N

14a 14b

19

17a 17b

σ17a Mu σ17b;19 Mu

σcg.p N

cg.p

σ0;2a N σ2b N σ8b N σ5a N N σ5b;8a σvminN

2a 2b

0

8b 8a

σumin Mv

σvmax Mu σ11b;14a Mu σ14b Mu σ11a Mu

5b 5a

σ0;2a Mu σ2b Mu Mu σ8b Mu σ5a Mu σ5b;8a σvmin Mu

σ17b Mv σ17a Mv σ2b Mvσ2a Mv σumax Mv σ5a Mv σ11a Mv σ8b Mv σ14a Mvσ14b Mv σ5b Mvσ0 Mv σ11b Mv σ19 Mv σ8a Mv 14a 14b 11a 11b

17a

v

cg.p

0

2a 2b

8a 8b 5a 5b

17b

19

u

σvmax N σ14a NN σ14b σ11b NN σ17a N σ11b N σ17b σ19 N

σvmaxMuMu σ14aMu σ14b Mu

σ11bMu σ17a Mu σ11b σ17b Mu σ19 Mu

σcg.p N

σ0 N σ2a NN σ8b N σ2b N σ8a N σ5a N σ5b N σvmin

σ0 Mu σ2a Mu σ8b Mu σ2b Mu σ8a MuMu σ5a Mu σ5b Mu σvmin

Figura D.4 – Tensões na secção bruta nominal de um C e de um Z com reforços duplos.

156


D.2.2. Propriedades de secções efectivas D.2.2.1.

Secção efectiva

D.2.2.1.a) Secção efectiva idealizada As larguras efectivasp idealizadas apresentadas na Figura D.5, podem ser obtidos por: N Mu Mv • hs.e1 = hs.e1 ; hs.e1 ; hs.e1

N Mu Mv • b is.e 2 = b is.e 2 ; b is.e2 ; b is.e 2

• c is.i = c is − c is.e1 − c is.e2


• b is.i = b is − b is.e1 − b is.e 2

N Mu Mv • dis.e = dis.e ; dis.e ; dis.e

• hs.i = hs − hs.e1 − hs.e 2

N Mu Mz • c is.e1 = c is.e1 ; c is.e1 ; c is.e1

• d is.i = dis − dis.e

N Mu Mv • b is.e1 = b is.e1 ; b is.e1 ; b is.e1

N Mu Mv • c is.e 2 = c is.e 2 ; c is.e2 ; c is.e 2

• i=1e2

b2s.e1

(D.5)

z0

b2s.e2 c2s.e

5 e1

11

12

5 e2

13

14 11

1

19

4e2

2

h.s.e2

c2s.e

6 e1 18

z;v d2s.e

15 16

6 e2 17

7e

10

y;u

cg.seff

z0.cg.seff

c1s.e1

h.s.e1

d1s.e 9

1e 4e1

0

1

2

3 4

2 e1 y0

b1s.e2

c1s.e2

2e2 b1s.e1 b2s.e1

3e2 7 y0.cg.seff

8

3e1

6

z0;z

b2s.e2 c2s.e1

11

5e1

12

13

5e2

19

4e2

14

6e1

v

c2s.e2

hs.e2

5

18

15 16

7e d2s.e

10

y

cg.seff

β 1e

c1s.e1

hs.e1

2

2e1

3 4

0

1

z0.cg.seff

d1s.e

c1s.e2

5

u

9

4e1 y0

2e2 b1s.e1

6e2 17

3e1

6

7

3e2

8

b1s.e2 Figura D.5 – Secção efectiva idealizada de um C e de um Z com reforços duplos.

157



y0 = [b1s + c1s ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) − d1s ⋅ kr ] ⋅ kc z 0 = 0 + c1s ⋅ sin(2 ⋅ φ3 ) ⋅ kh

•

y10 = y 9 + hs.i ⋅ cos( 2 ⋅ φ1 ) z10 = z 9 + hs.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ1 )

•

y1 = y0 + d1s.i ⋅ kr ⋅ k c z1 = z 0

•

y11 = y10 + hs.e 2 ⋅ cos( 2 ⋅ φ1 ) z11 = z10 + hs.e 2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1 )

•

y 2 = y1 + d1s.e ⋅ kr ⋅ k c z 2 = z1

•

y12 = y11 + b 2s.e1 z12 = z11

•

y3 = y 2 − c1s.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c z 3 = z 2 − c1s.e1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ3 ) ⋅ kh

•

y13 = y12 + b 2s.i z13 = z12

•

y 4 = y3 − c1s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c z 4 = z 3 − c1s.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ3 ) ⋅ kh

•

y14 = y13 + b 2s.e 2 z14 = z13

•

y5 = y 4 − c1s.e2 ⋅ cos(2 ⋅ φ3 ) ⋅ k c z 5 = z 4 − c1s.e2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ3 ) ⋅ kh

•

y15 = y14 + c2s.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z15 = z14 − c 2s.e1 ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ k h

•

y 6 = y 5 − b1s.e1 ⋅ k c z6 = z5

•

y16 = y15 + c2s.i ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z16 = z15 − c 2s.i ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ k h

•

y 7 = y 6 − b1s.i ⋅ k c z7 = z6

•

y17 = y16 + c 2s.e2 ⋅ cos(2 ⋅ φ4 ) z17 = z16 − c2s.e2 ⋅ sin(2 ⋅ φ4 ) ⋅ k h

•

y 8 = y 7 − b1s.e 2 ⋅ k c z 8 = z7

•

y18 = y17 − d2s.e ⋅ k r z18 = z17

•

y 9 = y 8 + hs.e1 ⋅ cos( 2 ⋅ φ1 ) z 9 = z 8 + hs.e1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ1 )

•

y19 = y18 − d2s.i ⋅ k r z19 = z18

Os elementos que constituem a secção efectiva idealizada são:

158

•

Elem.1i:

Nó 0

– (y1 ; z1)

a

Nó 1

– (y1 ; z1)

•

Elem.1e:

Nó 1

– (y1 ; z1)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

•

Elem.2e1: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2i:

Nó 3

– (y3 ; z3)

a

Nó 4

– (y4 ; z4)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

•

Elem.3e1: Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3i:

Nó 6

– (y6 ; z6)

a

Nó 7

– (y7 ; z7)

•

Elem.3e2: Nó 7

– (y7 ; z7)

a

Nó 8

– (y8 ; z8)

•

Elem.4e1: Nó 8

– (y8 ; z8)

a

Nó 9

– (y9 ; z9)

•

Elem.4i:

– (y9 ; z9)

a

Nó 10 – (y10 ; z10)

•

Elem.4e2: Nó 10 – (y10 ; z10)

a

Nó 11 – (y11 ; z11)

Nó 9

(D.6)


•

Elem.5e1: Nó 11 – (y11 ; z11)

a

Nó 12 – (y12 ; z12)

•

Elem.5i:

Nó 12 – (y12 ; z12)

a

Nó 13 – (y13 ; z13)

•

Elem.5e2: Nó 13 – (y13 ; z13)

a

Nó 14 – (y14 ; z14)

•

Elem.6e1: Nó 14 – (y14 ; z14)

a

Nó 15 – (y15 ; z15)

•

Elem.6i:

Nó 15 – (y15 ; z15)

a

Nó 16 – (y16 ; z16)

•

Elem.6e2: Nó 16 – (y16 ; z16)

a

Nó 17 – (y17 ; z17)

•

Elem.7e:

Nó 17 – (y17 ; z17)

a

Nó 18 – (y18 ; z18)

•

Elem.7i:

Nó 18 – (y18 ; z18)

a

Nó 19 – (y19 ; z19)

D.2.2.1.b) Secção efectiva nominal b2p.e1

z0

b2p.e2 c2p.e

11a 11b 5 e1 12

5e2 14a 14b 2e2

13

1

2

hp.e2

c2p.e

19

4e2 z;v

d2p.e

15 16

18

2e1

17a 17b

1e

10

cg.peff y;u d1p.e

1e 4e1

c1p.e

1

hp.e1

z0.cg.peff

9

b1p.e1

b2p.e1

1

2a 2b

2e1

3 4

8b 8a

3e2 7 y0.cg.peff

3e1

6

c2p.e 1

11a 11b 5 e1 12

c2p.e

13

v

2

hp.e2

5b 5a

z0;z

b2p.e2

19

4e2

18

15 16

2e1

17a 17b

10

cg.peff

y

β 1e

2a 2b

1

c1p.e

2e1

3 4

0

1

z0.cg.peff

d1p.e hp.e1

5e2 14a 14b 2e2

1e

d2p.e

c1p.e2

5a 5b

u

9

4e1 y0

2e2

b1p.e1

y0

2e2 c1p.e2

b1p.e2

0

3e1

6

7

3e2

8a 8b

b1p.e2 Figura D.6 – Secção efectiva nominal de um C e de um Z com reforços duplos.

159


As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura D.6, podem ser obtidas por: N Mu Mv • hp.e1 = hp.e1 ; hp.e1 ; hp.e1

N Mu Mv • bip.e2 = bip.e 2 ; bip.e2 ; bip.e2

• cip.i = cip − cip.e1 − cip.e 2

N Mu Mv • hp.e 2 = hp.e 2 ; hp.e2 ; hp.e 2

• bip.i = bip − bip.e1 − bip.e 2

N Mu Mv • dip.e = dip.e ; dip.e ; dip.e

• hp.i = hp − hp.e1 − hp.e2

N Mu Mz • cip.e1 = cip.e1 ; cip.e1 ; cip.e1

• dip.i = dip − dip.e

N Mu Mv • bip.e1 = bip.e1 ; bip.e1 ; bip.e1

N Mu Mv • cip.e2 = cip.e 2 ; cip.e 2 ; cip.e 2

• i=1e2

(D.7)

As coordenadas dos nós dos vários elementos são: y 0 = ( b1p + gr1 + c1p ⋅ cos(2 ⋅ φ 3 ) + + gr 3 ⋅ (1+ cos(2 ⋅ φ 3 ) + • + gr 5 ⋅ (cos(2 ⋅ φ 3 ) − k r ) − d1p ⋅ k r ) ⋅ k c z 0 = 0 + (c1p + gr 3 + gr 5 ) ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

y10 = y 9 + hp.i ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 10 = z 9 + hp.i ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y11a = y10 + hp.e 2 ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 11a = z 10 + hp.e 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y1 = y 0 + d1p.i ⋅ k r ⋅ k c z1 = z 0

•

y11b = y11a + gr 2 ⋅ (cos(2 ⋅ φ1 ) + 1) z 11b = z 11a + gr 2 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

•

y 2a = y1 + d1p.e ⋅ k r ⋅ k c z 2a = z 1

•

y12 = y11a + b 2p.e1 z 12 = z 11a

•

y 2b = y 2a + gr 5 ⋅ (k r − cos( 2 ⋅ φ 3 )) ⋅ k c z 2b = z 2a − g r 5 ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y13 = y12 + b 2p.i z 13 = z 12

•

y 3 = y 2b + c 1p.e1 ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 3 = z 2b − c1p.e1 ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y14a = y13 + b 2p.e2 z 14a = z 13

•

y 4 = y 3 + c1p.i ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 4 = z 3 − c1p.i ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•


•

y15 = y14b + c 2p.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z 15 = z 14b − c 2p.e1 ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

160

•

y 5a = y 4 + c1p.e 2 ⋅ cos( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k c z 5a = z 4 − c1p.e 2 ⋅ sin( 2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y 5b = y 5a − gr 3 ⋅ (cos(2 ⋅ φ 3 ) + 1) z 5b = z 5a − gr 3 ⋅ sin(2 ⋅ φ 3 ) ⋅ k h

•

y16 = y15 + c 2p.i ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z 16 = z 15 − c 2p.i ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 6 = y 5b − b1p.e1 ⋅ k c z 6 = z 5b

•

y17a = y16 + c 2p.e2 ⋅ cos(2 ⋅ φ 4 ) z 17a = z 16 − c 2p.e2 ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 7 = y 6 − b1p.i ⋅ k c z7 = z6

•

y17b = y17a + gr 6 ⋅ (cos(2 ⋅ φ 4 ) − k r ) z 17b = z 17a − gr 6 ⋅ sin(2 ⋅ φ 4 ) ⋅ k h

•

y 8a = y 7 − b1p.e 2 ⋅ k c z 8a = z 7

•

y18 = y17b − d 2p.e ⋅ k r z 18 = z 17b

•


•

y19 = y18 − d 2p.i ⋅ k r z 19 = z 18

•

y 9 = y 8b + hp.e1 ⋅ cos(2 ⋅ φ1 ) z 9 = z 8b + hp.e1 ⋅ sin(2 ⋅ φ1 )

• (D.8)


Os elementos que constituem a secção efectiva nominal são: •

Elem.1i:

Nó 0

– (y1 ; z1)

a

Nó 1

•

Elem.1e:

Nó 1

– (y1 ; z1)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

•


a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2i:

Nó 3

– (y3 ; z3)

a

Nó 4

– (y4 ; z4)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

•


a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3i:

Nó 6

– (y6 ; z6)

a

Nó 7

– (y7 ; z7)

•

Elem.3e2: Nó 7

– (y7 ; z7)

a

Nó 8a – (y8a ; z8a)

•


a

Nó 9

•

Elem.4i:

a

Nó 10 – (y10 ; z10)

•

Elem.4e2: Nó 10 – (y10 ; z10)

a

Nó 11a – (y11a ; z11a)

•

Elem.5e1: Nó 11b – (y11b ; z11b) a

Nó 12 – (y12 ; z12)

•

Elem.5i:

Nó 12 – (y12 ; z12)

a

Nó 13 – (y13 ; z13)

•

Elem.5e2: Nó 13 – (y13 ; z13)

a

Nó 14a – (y14a ; z14a)

•

Elem.6e1: Nó 14b – (y14b ; z14b) a

Nó 15 – (y15 ; z15)

•

Elem.6i:

Nó 15 – (y15 ; z15)

a

Nó 16 – (y16 ; z16)

•

Elem.6e2: Nó 16 – (y16 ; z16)

a

Nó 17a – (y17a ; z17a)

•

Elem.7e:

Nó 17b – (y17b ; z17b) a

Nó 18 – (y18 ; z18)

•

Elem.7i:

Nó 18 – (y18 ; z18)

Nó 19 – (y19 ; z19)

Nó 9

– (y9 ; z9)

a

– (y1 ; z1)

– (y9 ; z9)

161


162

SECÇÕES EFECTIVAS – PROCESSOS ITERATIVOS

ANEXO E

E. SECÇÕES EFECTIVAS – PROCESSOS ITERATIVOS

E.1. RESUMO

No presente anexo, apresentam-se os métodos iterativos propostos pelo EC3 [E.1-E.5] para o cálculo das secções efectivas associadas às instabilidades devidas a modos locais e/ou distorcionais. Em relação ao exposto no capítulo 4 da presente dissertação, os procedimentos em cada passo são basicamente os mesmos, com a diferença de serem repetidos por meio de processos iterativos até se atingir um determinado critério de convergência. Salienta-se que qualquer um destes processos iterativos é facultativo. E.2. SECÇÕES DE CLASSE 4 - PROPRIEDADES EFECTIVASp E.2.1. Secção efectivap para a instabilidade local – cálculo das larguras efectivasp

A primeira etapa na determinação de uma secção efectiva consiste no cálculo da tensão crítica de instabilidade local σcr.l. Este valor pode ser determinado Exacta ou Aproximadamente, como descrito no capítulo 4. A segunda opção (procedimento aproximado) é adoptada muito frequentemente. Seguindo esta via, o primeiro passo na determinação de uma secção efectiva consiste no cálculo das larguras efectivas dos seus elementos comprimidos de classe 4. Em primeiro lugar, deve ter-se em atenção a distribuição de tensões a adoptar em cada elemento (parede) da secção. De acordo com o art.º 5.5.2.(3) do EC3-1-3 [E.4], define-se que ao aplicar o método disposto no art.º 4.4 de [E.5] EC3-1-5 se deve seguir o seguinte procedimento: • O parâmetro ψ a utilizar no cálculo da largura efectivap do banzo comprimido de uma secção submetida a flexão (relação de tensões na extremidades do banzo), deve ser baseado numa distribuição de tensões com propriedades da secção bruta (obtidas no Capítulo 3). • O parâmetro ψ a utilizar no cálculo da largura efectivap do alma de uma secção submetida a flexão (relação de tensões na extremidades da alma), deve ser baseado numa distribuição de tensões com propriedades de uma secção composta pela parte efectiva do banzo comprimido e pela parte bruta da alma. • A secção efectivap final pode ser optimizada utilizando distribuições de tensões baseadas em propriedades efectivasp calculadas após os passos anteriores, repetindo-os até as larguras efectivas convergirem. Os dois passos anteriores constituem o número mínimo de etapas iterativas para secções sujeitas a flexão (o processo iterativo é facultativo). 163


As grandezas e respectivas fórmulas e tabelas auxiliares envolvidas no cálculo das larguras efectivas devidas a instabilidade por modo local estão apresentadas no Capítulo 4. E.2.2. Secção efectivap para a instab. distorcional – cálculo de espessuras reduzidas

A primeira escolha a efectuar aquando da determinação de uma secção efectiva para a instabilidade distorcional consiste na opção para o cálculo da tensão crítica de instabilidade distorcional σcr.d. Tal como no caso da tensão crítica local σcr.l, o valor de σcr.d também pode ser determinado Exacta ou Aproximadamente, como descrito no capítulo 4. Tal como na determinação da secção efectivap para a instabilidade local, também neste caso a segunda opção (procedimento aproximado, mas bastante complexo e moroso) pode ser adoptada. Seguindo esta via, pode afirmar-se que o cálculo de propriedades efectivasp devido à instabilidade distorcional inclui diversos procedimentos utilizados no cálculo das larguras efectivasp para a instabilidade local. A principal diferença ocorre na análise dos banzos comprimidos com reforços intermédios e/ou de extremidade. No capítulo 4, abordou-se o método clássico não iterativo (“standard”), pelo que ir-se-á expôr de seguida alguma informação complementar que permita descrever melhor a metologia iterativa. Desta forma, pode afirmar-se que o processo iterativo de determinação das espessuras reduzidas baseia-se nas seguintes etapas: (i) Determinação da secção efectiva para a instabilidade local, isto é, calcular as larguras efectivas dos elementos da secção de acordo com as regras referidas anteriormente (secções 4.3.1 e E.2.1).

Figura E.1 –Determinação da rigidez equivalente ao banzo reforçado.

(ii) Com base nas larguras efectivas calculadas em (i), deve proceder-se à determinação da rigidez equivalente do “reforço” i (Kst.i). (iii) Após o cálculo da rigidez Kst.i da mola equivalente, procede-se à determinação da tensão 164


crítica do “reforço” i elasticamente restringido (σcr.st.i). (iv) Com base no valor de σcr,st.i, procede-se à determinação da esbelteza normalizada distorcional λd.i. (v) Com base no valor de λd.i e numa curva de dimensionamento proposta pelo EC3-1-3 [E.4] especificamente dedicada à instabilidade distorcional, determina-se o valor do factor de redução para a instabilidade distorcional χd.i. (vi) Caso se pretenda utilizar o método iterativo os pontos (i) a (v) repetem-se, com a diferença de no cálculo das larguras efectivas que constituem o “reforço” i se utilizar uma tensão de (n) compressão máxima com o valor de σ(n) com.Ed.i = χ d.i ⋅ σ com.Ed , onde a tensão σ com.Ed é a máxima tensão de compressão presente na secção (podendo ser inferior à tensão de cedência, em verificações de segurança ao estado limite de utilização ou ao estado limite último em que a encurvadura não seja relevante). Nos casos em que a encurvadura não é relevante, pode ainda tirar-se partido de tensões inferiores às tensões de cedência para obter propriedades efectivas mais favoráveis. Para isso, é necessário determinar as tensão de compressão no centro de gravidade de cada reforço, que pode ser obtida por considerações geométricas da distribuição de tensões para a secção bruta, através de: n) σ (com .Ed.cg.i

fyb / γ M 0

⎧− v (cgn).i / max( v max ;| v min |) se M uD + ⎪ ⎪ se M uD − = ⎨v (cgn).i / max( v max ;| v min |) ⎪ se ND ou M vD + ⎪⎩1.0

(E.1)

(n) (n) onde (vi1) ucg.i e v cg.i são, respectivamente, as coordenadas u e v do centro geométrico do “reforço” i no referencial principal de inércia da secção bruta, (vi2) v max e v min são, respectivamente, a maior e menor coordenada v (fibras extremas) da secção bruta no referencial central principal de inércia u-v, (vi3) fyb é a tensão de cedência base do aço (ver 3.2.2.1) e (vi4) γ M0 é o factor parcial de segurança para a resistência de secções (ver 3.2.2).

(vii) Tendo por base o valor de χ(n) d.i ,deve proceder-se à determinação da espessura reduzida do “reforço” i ( t red.i ) dada por: t

( n+1) red.i

⎧⎪t i ⋅ χ (dn.i) ≤ t i =⎨ (n) (n) ⎪⎩t i ⋅ χ d.i ⋅ ( fyb / γ M 0 ) / σ com.Ed.cg.i ≤ t i

ELU com encurvadur a caso contrário

(E.2)

onde ti é a espessura do “reforço” i. (vii) Finalmente, e após o cálculo das larguras efectivas (ponto (i)) e das espessura reduzidas (ponto (vi)), obtém-se a secção efectivap final para a instabilidade local e distorcional (por isso se referiu anteriormente que este procedimento é misto “local-distorcional”) e podem determinar-se as propriedades efectivas da secção (área e/ou módulos de flexão).

165


a) Secção bruta do conjunto banzo+reforço de extremidade e suas condições de apoio

b) Passo 1: Determinação da secção efectivap do conjunto banzo + reforço de extremidade (com K=∞ e σcom.Ed=fyb/γM0). O conjunto de largura be2 e ceff designa-se por “reforço”.

c) Passo 2: Cálculo da rigidez da mola e da tensão crítica σcr do “reforço”.

d) Passo 3: Cálculo do factor de redução para a instabilidade distorcional χd.

e) Passo 4: Opcionalmente, repetir passos 1 a 3, calculando as larguras efectivasp com uma tensão de compressão de valor (n) σ (n) com.Ed.i = χ d.i ⋅ σ com.Ed, com χd da iteração anterior, continuando até que χd(n) ≈ χd(n-1) mas χd(n) ≤ χd(n-1) f) Passo 5: Cálculo da espessura reduzida (n)

do “reforço” ( t red ) e determinação da secção efectiva final Figura E.2 – Representação esquemática da determinação da secção efectiva para a instabilidade distorcional (método iterativo).

E.2.3. Secções efectivasp – encadeamento dos processos iterativos

Os organigramas expostos no Capítulo 4 expõem de forma sistematizada o encadeamento dos processos iterativos para cálculo das propriedades efectivas, mas de forma simplificada pode dizer-se que a articulação das metodologias iterativas para as duas situações de instabilidade local e distorcional passam por: (i) Determinar os valores de ψ nos elementos paralelos ao eixo de flexão, com base no diagrama de tensões actuantes devidas a M e nas propriedades brutas da secção. (ii) Determinar os valores das larguras efectivas nos elementos comprimidos paralelos ao eixo de flexão. No caso de elementos salientes, caso possuam reforços de extremidade calculam-se as espessuras efectivas devidas a instabilidade por modo distorcional através quer do método “standard” sem iteração, quer pelo método “iterativo” que tem 166


determinados critérios de paragem (ver Capítulo 4). (iii) Determinar os valores de ψ nos elementos perpendiculares ao eixo de flexão, com base no diagrama de tensões actuantes devidas a M e nas propriedades de uma secção constituída pelas (iii1) áreas brutas dos elementos perpendiculares ao eixo de flexão e (iii2) áreas efectivas dos elementos paralelos ao eixo de flexão (determinadas em (ii)). (iv) Determinação dos valores das larguras efectivas nos elementos perpendiculares ao eixo de flexão. Tal como no ponto anterior, no caso de elementos salientes, caso possuam reforços de extremidade calculam-se as espessuras efectivas devidas a instabilidade por modo distorcional através quer do método “standard” sem iteração, quer pelo método “iterativo” que tem determinados critérios de paragem (ver Capítulo 4). (v) Cálculo das propriedades efectivas relevantes (Weff,y,min e/ou Weff,z,min). (vi) O método “standard” termina com a obtenção das propriedades efectivas de forma sequencial não iterativa segundo os pontos (i) a (v). Caso se pretenda utilizar o método iterativo, os pontos (i) a (v) repetem-se, com a diferença de se utilizar um diagrama de tensões actuante devido a M e as propriedades efectivas obtidas na iteração anterior em vez das propriedades da secção bruta. Percebe-se facilmente, que o método iterativo no seu conjunto, acaba por ser o resultado da articulação de dois sub-processos que podem ou não ser simultaneamente iterativos: (i) no cálculo das larguras efectivas e (ii) no cálculo das espessuras efectivas.

167


168

EXEMPLO NUMÉRICO 1

ANEXO F

F. EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.1. RESUMO

No presente anexo, determinar-se-á a resistência e far-se-á a verificação da segurança de uma barra com secção em “C” com reforços de extremidade simples de acordo com EC3 [F.1-F.5]. Listar-se-ão as propriedades de secções brutas idealizadas e nominais, no entanto, para classificação e cálculo de propriedades de secções efectivas e da resistência de barras apenas serão cobertas as secções aproximadas nominais por se tratar do processo mais abrangente. F.2. DADOS GERAIS

A secção em estudo foi analisasa por Batista na Universidade de Liège [F.6, F.7].

r4

tg

r1

r2

cg1

hg

r3

cg2

bg2

bg1 Figura F.1 – Dados geométricos – secção bruta real.

As dimensões da secção e o comprimento total da barra são: • hg = 155 mm;

• cg1 = cg2 = 31 mm;

• bg1 = bg2 = 77 mm;

• r1 = r2 = r3 = r4 = 2 mm; • L = 2.279m

• tg = 2 mm;

O que material que compõe a barra é um aço macio com: (i) fy = 360 MPa; (ii) fy. exp = 397 MPa e (iii) fu. exp = 540 MPa. A secção está sujeita aos seguintes esforços: |N| = 20.0 kN; |Mu|= 4.7 kN/m; |Mv|= 1.1 kN/m. Estudaram-se, todas as combinações possíveis destes esforços, quer de sinal, quer de simultaneadade. 169


F.3. CÁLCULO DE PROPRIEDADES

Pretendeu-se com este anexo, expôr da forma mais clara e completa possível os procedimentos e grandezas intermédias necessárias ao cálculo da resistência de barras. Por essa razão, foram apresentados, em alguns casos, de forma bastante exaustiva valores intermédios de cálculo, que tiveram, somente, o objectivo de permitir a alguém que consulte este documento confirmar se os valores que está a obter no seu próprio cálculo estão correctos. F.3.1. Propriedades da secção bruta F.3.1.1.


F.3.1.1.a)Secção e linha média idealizada As larguras brutas idealizadas apresentadas nas Figuras F.2 e F.3, podem ser obtidas por: • hs = 153.0 mm

• ∆1= ∆2= ∆3= ∆4= 1.0 mm

• b1s = b2s = 75.0 mm

• φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 45º

• c1s = c2s = 30.0 mm

• n=4

cg 1

α1 /

2

c1 s

α1 / 2

tg / 2

φ1

φ1 Δ1

linha média

tg / 2

tg / 2

Δ1

b1s bg1

Figura F.2 – Linha média e larguras idealizadas com troços rectos (idealised flat widths).

z

b2s

9

4

10

11

c2s

8

2 12

v

13

7

cg.s

3 zcg.s,zsc.s

c1s

hs

sc.s

6 0 1

1 5

b1s

ysc.s

4

ycg.s

Figura F.3 – Secção bruta idealizada.

170

u

2

3

2

y

EXEMPLO NUMÉRICO 1


•

y0 = 75.0 mm z0 = 30.0 mm y2 = 75.0 mm z2 = 0.0 mm

•

•

y5 = 0.0 mm

•

z5 = 0.0 mm y8 = 0.0 mm z8 = 153.0 mm

•

y11 = 75.0 mm z11 = 153.0 mm y13 = 75.0 mm z13 = 123.0 mm

Os elementos que constituem a linha média e a secção bruta idealizada são: • Elem.1: Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 2

– (y2 ; z2)

• Elem.2: Nó 2

– (y2 ; z2)

a

Nó 5

– (y5 ; z5)

• Elem.3: Nó 5

– (y5 ; z5)

a

Nó 8

– (y8 ; z8)

• Elem.4: Nó 8

– (y8 ; z8)

a

Nó 11 – (y11 ; z11)

a

Nó 13 – (y13 ; z13)

• Elem.5: Nó 11 – (y11 ; z11) Cálculo de propriedades Extremidades

y0.ik.s

z0.ik.s

y0.jk.s

z0.jk.s

y0.cg.k.s

z0.cg.k.s

θk.s

sk.s

tk.s

Ak.s

k

i

j

mm

mm

mm

mm

mm

mm

º

mm

mm

mm2

1s

0

1

75.0

30.0

75.0

30.0

1s

1

2

75.0

30.0

75.0

0.0

75.0

15.0

270.0

30.0

2.0

60.0

2s

2

3

75.0

0.0

37.5

0.0

56.25

0.0

180.0

37.5

2.0

75.0

2s

3

4

37.5

0.0

37.5

0.0

2s

4

5

37.5

0.0

0.0

0.0

18.75

0.0

180.0

37.5

2.0

75.0

3s

5

6

0.0

0.0

0.0

76.5

0.0

38.25

90.0

76.5

2.0

153.0

3s

6

7

0.0

76.5

0.0

76.5

3s

7

8

0.0

76.5

0.0

153.0

0.0

114.75

90.0

76.5

2.0

153.0

4s

8

9

0.0

153.0

37.5

153.0

18.75

153.0

0.0

37.5

2.0

75.0

4s

9

10

37.5

153.0

37.5

153.0

4s

10

11

37.5

153.0

75.0

153.0

56.25

153.0

00.0.0

37.5

2.0

75.0

5s

11

12

75.0

153.0

75.0

123.0

75.0

138.0

270.0

30.0

2.0

60.0

5s

12

13

75.0

123.0

75.0

123.0

Elem.

Quadro F.1 – Coordenadas de nós, ângulos com a horizontal, comprim., espessuras e área dos elementos da secção bruta idealizada.

NOTA: Rigorosamente, para a análise da secção bruta, apenas se tem que considerar 1 sub-elemento por cada elemento da secção; no entanto, como para a análise de secções efectivas se têm de considerar 3 sub-elementos (2 efectivos e 1 inefectivo) nos elementos interiores e 2 sub-elementos (1 efectivo e 1 inefectivo) nos elementos salientes, optou-se por se sub-dividir os elementos da secção bruta, para se poder utilizar a mesma base de cálculo quer para secções brutas como efectivas. O critério de sub-divisão da secção bruta foi o o seguinte: 171


⎧⎪biap,n = 0.5 ⋅ bn • Em almas interiores: ⎨ ⎪⎩bint,n = 0

sub - elementos junto a apoios sub - elementos interiores

⎧⎪biap,n = 0.5 ⋅ bn • Em banzos ou reforços interiores: ⎨ ⎪⎩bint,n = 0

sub - elementos junto a apoios sub - elementos interiores

⎧⎪biap,n = bn sub - elementos junto a apoios • Em banzos ou reforços salientes: ⎨ ⎪⎩blivre,n = 0 sub - elem. junto ao bordo livre

•

⎧ 1 ou 2 sub - elementos junto a apoios i=⎨ sub - elementos junto ao bordo livre ⎩1

• n = 1, 2, 3, 4… – elementos (banzos, almas, reforços) que compõem a secção. Elem.

Iyθ.k.s

Izθ.k.s

Iy0l.k.s

Iz0l.k.s

Iyz0l.k.s

Sy0.k.s

Iy0.k.s

Sz0.k.s

Iz0.k.s

Iyz0.k.s

4

mm

4

mm

4

mm

4

mm

4

mm

3

mm

4

mm

3

mm

4

mm

mm4

1s

4500

20

4500

20

0

900

18000

4500

337520

67500

2s

8789

25

25

8789

0

0

25

4219

246094

0

2s

8789

25

25

8789

0

0

25

1406

35156

0

3s

74616

51

74616

51

0

5852

298465

0

51

0

3s

74616

51

74616

51

0

17557

2089253

0

51

0

4s

8789

25

25

8789

0

11475

1755700

1406

35156

215156

4s

8789

25

25

8789

0

11475

1755700

4219

246094

645469

5s

4500

20

4500

20

0

8280

1147140

4500

337520

621000

k 1s

2s

3s

4s

5s Quadro F.2 – Momentos de inércia próprios, Momentos estáticos e de Inércia dos elementos da secção em torno do referencial base y0-z0.

y0.cg.s

z0.cg.s

Σsk.s

As

Sy0.s 2

3

Iy0.s 4

Sz0.s 3

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

27.8926

76.5000

363.0

726.0

55539

7064308

20250

Quadro F.3 –

172

Iz0.s 4

mm

Iyz0.s 4

mm

Iy0.s*

Iz0.s*

Iyz0.s*

4

4

mm4

mm

mm

1237642 1549125 7064208 1237500 1549125

Coordenadas do centro de gravidade no referencial y0-z0., Área, Momentos estáticos e de inércia em torno do referencial y0-z0 com e sem inércia própria da secção

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Elem.

It.k.s 4

k

mm

Iy0.k.s*

Iz0.k.s*

4

4

mm

Iyz0.k.s*

Elem.

4

mm

mm

It.k.s 4

k

1s

Iy0.k.s*

Iz0.k.s*

4

4

Iyz0.k.s*

mm

mm

mm

mm4

3s

1s

80

18000

337500

67500

3s

204

2089253

0

0

2s

100

0

246094

0

4s

100

1755675

35156

215156

2s

4s

2s

100

0

35156

0

4s

100

1755675

246094

645469

3s

204

298465

0

0

5s

80

1147140

337500

621000

5s Quadro F.4 –

Elem.

Extremidades

Inércia de torsão de Saint-Venant e Momentos de inércia dos elementos da secção em torno do referencial base y0-z0., sem a inércia própria

ω0k.s 2

ωik.s

ωjk.s

Iyω0.k.s

Izω0.k.s

4

6

6

Iωω0.k.s

mm

mm

mm

mm

mm

mm6

2

2250

0

2250

67500

5062500

675000

101250000

2

3

0

2250

2250

168750

9492188

0

379687500

2s

3

4

2s

4

5

0

2250

2250

168750

3164063

0

379687500

3s

5

6

0

2250

2250

344250

0

13167563

774562500

3s

6

7

3s

7

8

0

2250

2250

344250

0

39502688

774562500

4s

8

9

5738

2250

7988

383906

8542969

58737656

2170863281

4s

9

10

4s

10

11

5738

7988

13725

814219

47144531

124575469

9045105469

5s

11

12

2250

13725

15975

891000

66825000

122620500

13256662500

5s

12

13

i

j

1s

0

1

1s

1

2s

2

Sω0.k.s

mm

k

2

Quadro F.5 – Coordenadas e constantes sectoriais dos elementos da secção.

y0.sc.s

z0.sc.s

ysc.s

zsc.s

usc.s

vsc.s

mm

mm

mm

mm

mm

mm

-41.1327

76.5000

-69.0253

0.0000

-69.0253

0.0000

Quadro F.6 – Coordenadas do centro de corte nos referenciais y0-z0 , y-z e u-v.

173


Iuω.s

Ivω.s

6

Iωω.s

6

mm

6

mm

mm

51459685 115808063 12930450271

Sω0.s

Iyω0.s

Izω0.s

Iωω0.s

4

6

6

mm6

mm

mm

3182625

mm

140231250 359278875 26882381250

Quadro F.7 – Constantes sectoriais da secção.

Iy.s

Iz.s

Iyz.s

βs

Iu.s

Iv.s

Iw.s

It.s

Ip.s

mm4

mm4

mm4

º

mm4

mm4

mm6

mm6

mm4

2815575

672818

0

0.0000

2815575

672818

4230286307

968.00

6947409

Quadro F.8 –

Momentos de inércia em torno do referencial y-z, Ângulo β dos Eixos Principais de Inércia u-z com o referencial y-z e respectivos Momentos de Inércia, Constante de empenamento, Inércias de torsão de Saint-Venant e polar da secção.

Elem.

ωsik.s

ωsjk.s

yik.s

zik.s

yjk.s

zjk.s

uik.s

vik.s

ujk.s

vjk.s

ucg.k.s

vcg.k.s

k

mm²

mm²

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

1s

-9900

-8884

47.107

-46.5

47.107

-76.5

47.107

-46.5

47.107

-76.5

47.107

-61.5

2s

-8884

-6015

47.107

-76.5

9.607

-76.5

47.107

-76.5

9.607

-76.5

28.357

-76.5

2s

-6015

-3147

9.607

-76.5

-27.893

-76.5

9.607

-76.5

-27.893

-76.5

-9.143

-76.5

3s

-3147

0

-27.893

-76.5

-27.893

0.0

-27.893

-76.5

-27.893

0.0

-27.893

-38.25

3s

0

3147

-27.893

0.0

-27.893

76.5

-27.893

0.0

-27.893

76.5

-27.893

38.25

4s

3147

6015

-27.893

76.5

9.607

76.5

-27.893

76.5

9.607

76.5

-9.143

76.5

4s

6015

6015

9.607

76.5

9.607

76.5

9.607

76.5

9.607

76.5

9.607

76.5

8884

9900

47.107

76.5

47.107

46.5

47.107

76.5

47.107

46.5

47.107

61.5

1s

2s

3s

4s 5s 5s Quadro F.9 – Coordenadas sectoriais em relação ao centro de corte; Coordenadas dos nós nos referenciais y-z e u-v.

ωmean.s ωs,max.s mm2

mm2

4384

9900

Mu

Mu

Mv

Mv

uj.s

vj.s

us.min

us.max

vs.min

vs.max

∫(u2+v2)·u

∫(u2+v2)·v

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm5

mm5

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

0

1.0

-1.0

-0.6006

1.0

-92.993 0.00 -28.893 48.107 -77.50 77.50 32245552

σ min.s

σ max.s

σ min.s

σ max.s

Quadro F.10 – Coordenadas sectorial média e máxima, factores uj e vj ; Coordenadas das fibras extremas no referencial u-v, Integrais para cálculo dos factores uj e vj ;Tensões axiais nas fibras extremas devidas a momentos em torno de u e v como quociente com a máxima tensão.

174

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Mu

Mu

Mv

Mv

Elem.

∆uk.s

∆vk.s

∫k(u2+vz2)·u

∫k(u2+v2)·v

uk.s.min

uk.s.max

vk.s.min

vk.s.max

k

mm

mm

mm5

mm5

mm

mm

mm

mm

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

1s

0.0

-30.0

17174507

-22975271

46.107

48.107

-76.5

-46.5

0.6

0.9871

0.9792

0.9792

2s

-37.5

0.0

14904578

-38863426

9.607

47.107

-77.5

-75.5

0.9871

0.9871

0.9792

0.1997

2s

-37.5

0.0

-4311220

-34729225

-27.893

9.607

-77.5

-75.5

0.9871

0.9871

0.1997 -0.5798

3s

0.0

76.5

-11645088

-21677436

-28.893 -26.893

-76.5

0.0

0.9871

0.0

-0.5798 -0.5798

3s

0.0

76.5

-11645088

21677436

-28.893 -26.893

0.0

76.5

0.0

4s

37.5

0.0

-4311220

34729225

-27.893

9.607

75.5

77.5

-0.9871 -0.9871 -0.5798 0.1997

4s

37.5

0.0

14904578

38863426

9.607

47.107

75.5

77.5

-0.9871 -0.9871 0.1997

0.9792

5s

0.0

-30.0

17174507

22975271

46.107

48.107

46.5

76.5

-0.9871

0.9792

σ ik.s

σ jk.s

σ ik.s

σ jk.s

1s

2s

3s -0.9871 -0.5798 -0.5798

4s

-0.6

0.9792

5s Quadro F.11 – Diferença de dos valores u e v das coordenadas dos nós no referencial u-v; Integrais parciais para obtenção dos factores uj e vj; Coordenadas das fibras extremas no referencial u-v; Tensões axiais nos nós dos elementos da secção devidas a momentos em torno de u e v relativamente à máxima tensão.

A secção bruta idealizada possui as seguintes propriedades: • y0.cg.s = 27.893 mm

• Iy.s =

2815575 mm4

• βs =

0.0000 º

• z0.cg.s = 76.500 mm

• Iz.s =

672818 mm4

• Iu.s =

2815575 mm4

• ysc.s =

-69.025 mm

• Iyz.s =

0 mm4

• Iv.s =

672818 mm4

• zsc.s =

0.000 mm

• usc.s = -69.025 mm

• uj.s =

-92.993 mm

• As =

726.0 mm2

• vsc.s = 0.000 mm

• vj.s =

0.000 mm

• Iw.s =

4.230 x109 mm6 • It.s =

• Ip.s =

6.947 x106 mm4

• fya.s =

387.77 MPa

968.0 mm6

175


F.3.1.1.b)Secção e linha média nominal As larguras brutas idealizadas apresentadas nas Figuras F.4 e F.5, podem ser obtidas por: • hp = 151.243 mm

• b1p = b2p = 73.243 mm

• n=4

• gr1= gr2= gr3= gr4= 0.879 mm • c1p = c2p = 29.121 mm

tg / 2

gr1

tg / 2

linha média

tg / 2

α1 /

c1s

2

c1p

α1 / 2

gr1

b1p b1s

Figura F.4 – Larguras nominais (notional flat widths).

z

b2p

8a 8b

11a 11b

10

c2p

9

12

v

13

7

cg.p

zcg.p,zsc.p

c1p

hp

sc.p

u

6 0 1

y 5b 5a

ysc.p

b1p

4

3

2b 2a

ycg.p

Figura F.5 – Secção bruta nominal.


•

•

176

y0 = 75.0 mm z0 = 30.0 mm y2a = 75.0 mm z2a = 0.879 mm y2b = 74.121 mm z2b = 0.0 mm

•

•

•

y5a = 0.879 mm z5a = 0.0 mm y5b = 0.0 mm z5b = 0.879 mm y8a = 0.0 mm z8a = 152.121 mm

•

•

y8b = 0.879 mm z8b = 153.0 mm y11a = 74.121 mm z11a = 153.0 mm

•

•

y11b = 75.0 mm z11b = 152.121 mm y13 = 75.0 mm z13 = 123.0 mm

EXEMPLO NUMÉRICO 1


– (y0 ; z0)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

• Elem.2: Nó 2b – (y2b ; z2b)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

• Elem.3: Nó 5b – (y5b ; z5b)

a

Nó 8a – (y8a ; z8a)

• Elem.4: Nó 8b – (y8b ; z8b)

a

Nó 11a – (y11a ; z11a)

• Elem.5: Nó 11b – (y11b ; z11b)

a

Nó 13a – (y13 ; z13)

Cálculo de propriedades Elem.

Extremidades

y0.ik.s

z0.ik.s

y0.jk.s

z0.jk.s

y0.cg.k.s

z0.cg.k.s

θk.s

sk.s

tk.s

Ak.s

mm

mm

º

mm

mm

mm2

k

i

j

mm

mm

mm

mm

1p

0

1

75.0

30.0

75.0

30.0

1p

1

2a

75.0

30.0

75.0

0.879

75.0

15.439

270.0

29.121

2.0

58.243

2p

2b

3

74.121

0.0

37.5

0.0

55.811

0.0

180.0

36.621

2.0

73.243

2p

3

4

37.5

0.0

37.5

0.0

2p

4

5a

37.5

0.0

0.879

0.0

19.189

0.0

180.0

36.621

2.0

73.243

3p

5b

6

0.0

0.879

0.0

76.5

0.0

38.689

90.0

75.621

2.0

151.243

3p

6

7

0.0

76.5

0.0

76.5

3p

7

8a

0.0

76.5

0.0

152.121

0.0

114.311

90.0

75.621

2.0

151.243

4p

8b

9

0.879

153.0

37.5

153.0

19.189

153.0

0.0

36.621

2.0

73.243

4p

9

10

37.5

153.0

37.5

153.0

4p

10

11a

37.5

153.0

74.121

153.0

55.811

153.0

0.0

36.621

2.0

73.243

5p

11b

12

75.0

152.121

75.0

123.0

75.0

137.561

270.0

29.121

2.0

58.243

5p

12

13

75.0

123.0

75.0

123.0

Quadro F.12 – Coordenadas de nós, ângulos com a horizontal, comprimentos, espessuras e área dos elementos da secção bruta nominal.

y0.cg.p mm 27.7028

z0.cg.p

Ap

Σsk.p

mm

mm

76.5000 355.9706

Sy0.p 2

3

Iy0.p

Sz0.p

4

3

mm

mm

mm

mm

711.94

54463

6900224

19723

Iz0.p 4

mm

Iyz0.p

Iy0.p*

Iz0.p*

Iyz0.p*

4

4

4

mm4

mm

mm

mm

1198329 1508794 6900127 1198189 1508794

Quadro F.13 – Coordenadas do centro de gravidade no referencial y0-z0., Área, Momentos estáticos e de inércia em torno do referencial y0-z0 com e sem inércia própria da secção

Iy.p

Iz.p

Iyz.p

βp

Iu.p

Iv.p

Iw.p

It.p

Ip.p

mm4

mm4

mm4

º

mm4

mm4

mm6

mm6

mm4

2733767

651951

0

0.0000

2733767

651951

4112827571

949.25

6768148

Quadro F.14 – Momentos de inércia em torno do referencial y-z, Ângulo β dos Eixos Principais de Inércia u-z com o referencial y-z e respectivos Momentos de Inércia, Constante de empenamento, Inércias de torsão de Saint-Venant e polar da secção.

177


Elem.

Iyθ.k.p

Izθ.k.p

Iy0l.k.p

Iz0l.k.p

Iyz0l.k.p

Sy0.k.p

Iy0.k.p

Sz0.k.p

Iz0.k.p

Iyz0.k.p

4

mm

4

mm

4

mm

4

mm

4

mm

3

mm

4

mm

3

mm

4

mm

mm4

1p

4116

19

4116

19

0

899

18000

4368

327634

67442

2p

8186

24

24

8186

0

0

24

4088

236324

0

2p

8186

24

24

8186

0

0

24

1405

35156

0

3p

72074

50

72074

50

0

5851

298464

0

50

0

3p

72074

50

72074

50

0

17289

2048351

0

50

0

4p

8186

24

24

8186

0

11206

1714561

1405

35156

215038

4p

8186

24

24

8186

0

11206

1714561

4088

236324

625421

5p

4116

19

4116

19

0

8012

1106238

4368

327634

600892

k 1p

2p

3p

4p

5p Quadro F.15 – Momentos de inércia próprios, Momentos estáticos e de nércia dos elementos da secção em torno do referencial base y0-z0.

Elem.

It.k.p

Iy0.k.p*

Iz0.k.p*

Iyz0.k.p*

Elem.

It.k.p

Iy0.k.p*

Iz0.k.p*

Iyz0.k.p*

k

mm4

mm4

mm4

mm4

k

mm4

mm4

mm4

mm4

1p

3p

1p

78

18000

327615

67442

3p

202

2048351

0

0

2p

98

0

236324

0

4p

98

1714537

35156

215038

2p

4p

2p

98

0

35156

0

4p

98

1714537

236324

625421

3p

202

298464

0

0

5p

78

1106238

327615

600892

5p Quadro F.16 –

Inércia de torsão de Saint-Venant e Momentos de inércia dos elementos da secção em torno do referencial base y0-z0., sem a inércia própria

y0.sc.p

z0.sc.p

ysc.p

zsc.p

usc.p

vsc.p

mm

mm

mm

mm

mm

mm

-41.2246

76.5000

-68.9275

0.0000

-68.9275

0.0000

Quadro F.17 – Coordenadas do centro de corte nos referenciais y0-z0 , y-z e u-v.

Iuω.p 6

Ivω.p 6

Iωω.p

Sω0.p

Iyω0.p

Izω0.p

Iωω0.p

6

4

6

6

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm6

49863606

112694491

12573181808

3109562

136007303

350575968

26154887047

Quadro F.18 – Constantes sectoriais da secção. 178

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Elem.

Extremidades

ω0k.p

ωik.p

ωjk.p

Sω0.k.p

Iyω0.k.p

Izω0.k.p

2

2

2

4

6

6

Iωω0.k.p

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm6

2a

2184

0

2184

63604

4770289

673297

92611401

2b

3

0

2249

2249

164739

9194214

0

370536442

2p

3

4

2p

4

5a

0

2249

2249

164739

3161240

0

370536442

3p

5b

6

0

2248

2248

340062

0

13156790

764615289

3p

6

7

3p

7

8a

0

2248

2248

340062

0

38872757

764615289

4p

8b

9

5603

2382

7985

379664

8537907

58088656

2159665311

4p

9

10

4p

10

11a

5603

7985

13588

790047

45345469

120877264

8713633572

5p

11b

12

2184

13788

15972

866642

64998185

118907205

12918673302

5p

12

13

k

i

j

1p

0

1

1p

1

2p

Quadro F.19 – Coordenadas e constantes sectoriais dos elementos da secção.

Elem.

ωsik.p

ωsjk.p

yik.p

zik.p

yjk.p

zjk.p

uik.p

vik.p

ujk.p

vjk.p

ucg.k.p

vcg.k.p

k

mm²

mm²

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

1p

-9903

-8919

47.297

-46.5

47.297

-75.621

47.297

-46.5

47.297

-75.621

47.297

-61.061

2p

-8823

-6022

46.418

-76.5

9.797

-76.5

46.418

-76.5

9.797

-76.5

28.108

-76.5

2p

-6022

-3220

9.797

-76.5

-26.824

-76.5

9.797

-76.5

-26.824

-76.5

-8.514

-76.5

3p

-3117

0

-27.703

-75.621

-27.703

0.0

-27.703

-75.621

-27.703

0.0

-27.703

-37.811

3p

0

3117

-27.703

0.0

-27.703

75.621

-27.703

0.0

-27.703

75.621

-27.703

37.811

4p

3220

6022

-26.824

76.5

9.797

76.5

-26.824

76.5

9.797

76.5

-8.514

76.5

4p

6022

8823

9.797

76.5

46.418

76.5

9.797

76.5

46.418

76.5

28.108

76.5

5p

8919

9903

47.297

75.621

47.297

46.5

47.297

75.621

47.297

46.5

47.297

61.061

1p

2p

3p

4p

5p Quadro F.20 – Coordenadas sectoriais em relação ao centro de corte; Coordenadas dos nós nos referenciais y-z e u-v.

179


ωmean.p ωs,max.p mm2

mm2

4368

9903

uj.p

vj.p

up.min

up.max

vp.min

vp.max ∫(u2+v2)·u

mm

mm

mm

mm

mm

mm

∫(u2+v2)·v

mm5

σ min.p

Mu

σ max.p

Mu

σ min.p

Mv

σ max.p

Mv

mm5

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

0

1.0

-1.0

0.5943

-1.0

-93.301 0.00 -28.703 48.297 -77.50 77.50 31773567

Quadro F.21 – Coordenadas sectorial média e máxima; Factores uj e vj ; Coordenadas das fibras extremas no referencial u-v; Integrais para cálculo dos factores uj e vj ;Tensões axiais nas fibras extremas devidas a momentos em torno de u e v como quociente com a máxima tensão.

Elem.

∆uk.p

∆vk.p

∫k(u2+vz2)·u

∫k(u2+v2)·v

uk.p.min

uk.p.max

vk.p.min

vk.p.max

k

mm

mm

mm5

mm5

mm

mm

mm

mm

1p

0.0

-29.121

16627703

-21969034

46.297

48.297 -75.621

2p

-36.621

0.0

14364680

-37843415

9.797

46.418

2p

-36.621

0.0

-3903438

-33822827

-26.824

9.797

3p

0.0

75.621

-11202162

-20739815

-28.703 -26.703 -75.621

3p

0.0

75.621

-11202162

20739815

-28.703 -26.703

4p

36.621

0.0

-3903438

33822827

-26.824

4p

36.621

0.0

14364680

37843415

5p

0.0

-29.121

16627703

21969034

σ ik.p

Mu

σ jk.p

Mu

σ ik.p

Mv

σ jk.p

Mv

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

σ max.Ed

-46.5

0.6

0.9758

0.9793

0.9793

-77.5

-75.5

0.9871

0.9871

0.9611

0.2029

-77.5

-75.5

0.9871

0.9871

0.2029 -0.5554

0.0

0.9758

0.0

-0.5736 -0.5736

0.0

75.621

0.0

9.797

75.5

77.5

-0.9871 -0.9871 -0.5554 0.2029

9.797

46.418

75.5

77.5

-0.9871 -0.9871 0.2029

46.297

48.297

46.5

1p

2p

3p -0.9758 -0.5736 -0.5736

4p

75.621 -0.9758

-0.6

0.9793

0.9611 0.9793

5p Quadro F.22 – Diferença de dos valores u e v das coordenadas dos nós no referencial u-v; Integrais parciais para obtenção dos factores uj e vj; Coordenadas das fibras extremas no referencial u-v; Tensões axiais nos nós dos elementos da secção devidas a momentos em torno de u e v relativamente à máxima tensão.

A secção bruta nominal possui as seguintes propriedades: • y0.cg.p = 27.703 mm

180

• Iy.p =

2733767 mm4

• βp =

0.0000 º

• z0.cg.p = 76.500 mm

• Iz.p =

651951 mm

• Iu.p =

2733767 mm4

• ysc.p =

-68.928 mm

• Iyz.p =

0 mm4

• Iv.p =

651951 mm4

• zsc.p =

0.000 mm

• usc.p =

-68.928 mm

• uj.p =

-93.301 mm

• vsc.p =

0.000 mm

• vj.p =

0.000 mm

949.25 mm6

• Ip.p =

6.768 x106 mm4

2

• Ap =

711.94 mm

• Iw.p =

4.113 x109 mm6 • It.p =

• fya.p =

388.32 MPa

4

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.3.1.1.c) Comparação de resultados A secção bruta idealizada como apresentado anteriormente possui as seguintes propriedades: • y0.cg.s = 27.893 mm

• Iy.s =

2815575 mm4

• βs =

0.0000 º

• z0.cg.s = 76.500 mm

• Iz.s =

672818 mm4

• Iu.s =

2815575 mm4

• Iv.s =

672818 mm4

• As =

726.0 mm2

• fya.s = 378.91 MPa

A secção bruta idealizada tendo em conta os cantos curvos pelas expressões (3.5) e (3.6) tem as seguintes propriedades corrigidas: • δ=

0.0094766

• As,corr = 719.12 mm2

• fya.s.corr = 379.14 MPa

• Iu.s,corr = 2762210 mm4 • Iv.s,corr = 660066 mm

4

E as propriedades exactas para a mesma secção são: 27.754 mm

• Iy =

2754919 mm4

• β=

0.0000 º

• z0.cg = 76.500 mm

• Iz =

657185 mm4

• Iu =

2754919 mm4

• fya =

379.26 MPa

• Iv =

657185 mm4

• y0.cg = • A=

715.70 mm2

Conclui-se por isso que : • Ap =

99.47% ⋅ A

• Iu.p =

99.23% ⋅ Iu

• Iv.p =

99.20% ⋅ Iv

• As =

101.44% ⋅ A

• Iu.s =

102.20% ⋅ Iu

• Iv.s =

102.38% ⋅ Iv

• As,corr = 100.48% ⋅ A

• Iu.s,corr = 100.26% ⋅ Iu

• Iv.s,corr = 100.44% ⋅ Iv

• Ap =

98.06% ⋅ As

• Iu.p =

97.09% ⋅ Iu.s

• Iv.p =

96.90% ⋅ Iv.s

• Ap =

99.00% ⋅ As,corr

• Iu.p =

98.97% ⋅ Iu.s,corr

• Iv.p =

98.77% ⋅ Iv.s,corr

Existe uma grande aproximação entre todos os valores aproximados e os exactos, sendo que os obtidos da secção idealizada se aproximam por excesso, enquanto os obtidos da secção nominal por defeito. Salienta-se, no entanto, que as propriedades obtidas a partir da secção idealizada nem sempre se aproximam de forma tão precisa, variando bastante com o aumento do raio de curvatura dos cantos e com o aumento da inércia dos perfis.

F.3.1.2. Tensão de cedência média do material (fya)

fya.s = fyb + ( fu − fyb ) ⋅

k ⋅ n ⋅ t2 7 ⋅ 4 ⋅ 22 540 + 360 = 360 + (540 − 360) ⋅ = 387.77 ≤ = 450 2 As 726.00

(F.1)

fya.p = fyb + ( fu − fyb ) ⋅

k ⋅ n ⋅ t2 7 ⋅ 4 ⋅ 22 540 + 360 = 360 + (540 − 360) ⋅ = 388.32 ≤ = 450 2 Ap 711.94

(F.1)

181


F.3.1.3.

Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta (sem instab.)

F.3.1.3.a)Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta idealizada σumin

σ5;8

Mv

Mv

σumax Mv

σ11;13 Mv σ0;2 Mv

8

11

13

σvmax N

σvmax Mu

σ8;11N

σ8;11Mu

σ13 N

σ13 Mu

σcg.s N

cg.s

0

σ0 N

σ0 Mu

σ2;5 N 5

2

σ2;5 Mu

σvmin N

σvmin Mu

Figura F.6 – Tensões na secção bruta idealizada.

F.3.1.3.a.1) Devida a esforço axial de compressão •

N N σN0.s = σN2.s = σN5.s = σN8.s = σ11 .s = σ13.s = fy = 360.0 MPa

F.3.1.3.a.2) Devida a momento positivo em torno de u M • σ 0.us = 0.600·fy MPa

M • σ 8.us = -0.987·fy MPa

Mu • σ vmáx .s = -1.000·fy MPa

M • σ 2.us = 0.987·fy MPa

M • σ11u.s = -0.987·fy MPa

Mu • σ v min .s = 1.000·fy MPa

M • σ 5.us = 0.987·fy MPa

M • σ13u.s = -0.600·fy MPa

F.3.1.3.a.3) Devida a momento positivo em torno de v

182

M • σ 0.sv = 0.979·fy MPa

M • σ 8.sv = -0.580·fy MPa

Mv • σumáx .s = 1.000·fy MPa

M • σ 2.vs = 0.979·fy MPa

M • σ11v.s = 0.979·fy MPa

Mv • σ umin .s = -0.601·fy MPa

M • σ 5.sv = -0.580·fy MPa

M • σ13v.s = 0.979·fy MPa

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.3.1.3.b)Tensões axiais para esforços máximos na secção bruta nominal

σumin

σ11b;13 Mv σ0;2a Mv σ5b;8a σ2b;11a Mv Mv σ5a;8b

σumax Mv

Mv

Mv

8a 8b

11a 11b

13

σvmax N σ8b;11a N

σvmax Mu σ8b;11a Mu

σ8a;11b N

σ8a;11b Mu

σ13 N

σ13 Mu

σcg.p N

cg.p

0

σ0 N

σ0 Mu

σ2a;5b N

σ2a;5b Mu

σ2b;5a σvminN

σ2b;5a Mu σvminMu

N

5b 5a

2b 2a

Figura F.7 – Tensões na secção bruta nominal.

F.3.1.3.b.1) Devida a esforço axial de compressão •

N N N σN0.p = σN2a.p = σN2b.p = σN5a.p = σN5b.p = σN8a.p = σN8b.p = σ11 a.p = σ11b.p = σ13.p = fy = 360.0 MPa

F.3.1.3.b.2) Devida a momento positivo em torno de u M • σ 0.pu = 0.600·fy MPa

M • σ 5bu.p = 0.976·fy MPa

M • σ11ub.p = -0.976·fy MPa

M • σ 2au.p = 0.976·fy MPa

M • σ 8au.p = -0.976·fy MPa

M • σ13u.p =

M • σ 2bu.p = 0.987·fy MPa

M • σ 8bu.p = -0.987·fy MPa

Mu • σ vmáx .p = -1.000·fy MPa

M • σ 5au.p = 0.987·fy MPa

M • σ11ua.p = -0.987·fy MPa

Mu • σ v min .p = 1.000·fy MPa

-0.600·fy MPa

F.3.1.3.b.3) Devida a momento positivo em torno de v M • σ 0.pv = 0.979·fy MPa

M • σ 5bv.p = -0.574·fy MPa

M • σ11bv .p = 0.979·fy MPa

M • σ 2av.p = 0.979·fy MPa

M • σ 8av.p = -0.574·fy MPa

M • σ13v.p =

M • σ 2bv.p = 0.961·fy MPa

M • σ 8bv.p = -0.555·fy MPa

Mv • σ umáx .p = 1.000·fy MPa

M • σ 5av.p = -0.555·fy MPa

M • σ11va.p = 0.961·fy MPa

Mv • σ umin .p = -0.594·fy MPa

0.979·fy MPa

183


F.3.2. Classificação de secções

A distribuição de tensões a considerar é a que obtém considerando as propriedades brutas da secção, tal como apresentado Figura F.7. Ver-se-á mais adiante que se trata de uma secção de Classe 4. De referir que se entende por alma, um elemento (aproximadamente) perpendicular ao eixo de maior inércia e, por banzo, um elemento (aproximadamente) paralelo ao eixo de maior inércia. F.3.2.1. Alma

Como a secção é monosimétrica os eixos principais de inércia são paralelos e perpendiculares aos eixos da alma. A distribuição de tensões é linearmente variável com linha neutra a meia altura da alma para momentos em torno de u, constante para momentos em torno de v e para esforço axial, pelo que nem sequer seria necessário saber os valores das tensões. Para a classificação apenas interessam distribuições onde exista compressão, daí que apenas se considerem os esforços onde isso aconteça para cada elemento. A alma tem as seguintes relações geométricas: •

c = hp = 151.243 mm ⎫ ⎬ c / t = 75.6 t = t p = 2.0 mm ⎭

(a) Devido a esforço axial de compressão •

σ N5b.p = σ N8a.p = fy

•

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ A alma é da Classe 4 para esforço axial de compressão

⇒

ψ = 1.0

⇒

(c/t)elast. = 42ε = 33.9 (Quadro 4.1) lim

(b) Devido a momento em torno de u (dada a simetria é indiferente o sinal) • •

σ M5bu.p = 0.976 ⋅ fy σ

Mu 8a.p

= −0.976 ⋅ fy

⎫⎪ σ M8au.p ψ = = −1.0 ⎬ Mu σ 5b.p ⎪⎭

⇒ (c/t)elast. = 124ε = 100.2 (Quadro 4.1) lim

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ A alma é da Classe 3 para momento em torno de u

(c) Devida a momento negativo em torno de v (para momento positivo está à tracção) −

−

•

σ M5bv.p = σ M8av.p = 0.574 ⋅ fy

•

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ A alma é da Classe 4 para momento negativo em torno de v

⇒

ψ = 1.0

⇒


F.3.2.2. Banzos

A secção analisada é monosimétrica, ou seja, a análise para um dos banzos é igual à do outro, com excepção do sinal do momento flector que provoca instabilidade. A distribuição de tensões é linearmente variável com linha neutra sem ser a meia altura do banzo para momentos em torno de v, constante para momentos em torno de u e para esforço axial. No caso de momentos em torno de v, trata-se de uma situação de flexão composta (ver Figura F.7). 184

EXEMPLO NUMÉRICO 1

•

c = b p1 = 73.243 mm ⎫ ⎬ c / t = 36.6 t = t bp1 = 2.0 mm ⎭



•

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ O banzo é da Classe 4 para esforço axial de compressão

⇒

ψ = 1.0

⇒


(b) Devido a momento positivo em torno de u (dada a simetria é indiferente o sinal) +

+

•

σ M2bu.p = σ M5au.p = 0.987 ⋅ fy

•

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ O banzo é da Classe 4 para momento positivo em torno de u

⇒

ψ = 1.0

⇒


(c) Devida a momento em torno de v (c.1) Momento positivo +

•

σ M2bv.p = 0.961⋅ fy +

σ 5Mav.p = −0.555 ⋅ fy

+ ⎫ σ M5av.p 42ε ⎪ elast. (Quadro 4.1) ⎬ ψ = M v+ = −0.578 ⇒ (c/t) lim = 0.67 + 0.33 ⋅ ψ σ 2b.p ⎪⎭

elast . c / t < (c / t )lim = 70.81 ⇒ O banzo é pelo menos da Classe 3 para momento positivo em torno de v. (c.2) Momento negativo

•

+

• •

σ M2bv.p = −0.961⋅ fy +

σ 5Mav.p = 0.555 ⋅ fy

+ ⎫ σ 5Mav.p ⎪ ⎬ ψ = M +v = −0.578 ⇒ (c / t )lim = 62ε ⋅ [ 1 − (1/ ψ ) ] ⋅ − (1/ ψ ) σ 2b.p ⎪⎭

elast . c / t < (c / t )lim = 180.12 ⇒ O banzo é pelo menos da Classe 3 para momento negativo em torno de v.

NOTA: Em ambos os casos, poder-se-ia obter uma distribuição plástica de tensões para ver se o banzo ainda podia ser classificado como sendo de Classe 1 ou 2, no entanto, dado a alma ser de Classe 4, não há grande vantagem, pois a classe da secção não irá diminuir. F.3.2.3. Reforços

A secção analisada é monosimétrica, ou seja, a análise para um dos reforços é igual à do outro, com excepção do sinal do momento flector que provoca instabilidade. A distribuição de tensões é linearmente variável não sendo, por isso, uma situação de flexão pura para momentos em torno de u e, constante para momentos em torno de v e para esforço axial. No caso de momentos em torno de u, trata-se de uma situação de flexão composta (ver Figura F.7). •

c = c p1 = 29.121mm ⎫ ⎬ c / t = 14.6 t = t cp1 = 2.0 mm ⎭ 185



σ N0.p = σ N2a.p = fy

•

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ O reforço é da Classe 4 para esforço axial de compressão

⇒

ψ = 1.0

⇒


(b) Devida a momento positivo em torno de u +

• •

σ M0.pv = 0.600 ⋅ fy σ

M v+ 2a.p

= 0.976 ⋅ fy

+ ⎫ σ M2av.p ⎪ ⎬ ψ = M v+ = 1.626 ⇒ σ 0.p ⎪⎭

elast . c / t > (c / t )lim = 13.24 ⇒

k σ = 0.609 ⇒ (c/t)elast. = 21ε ⋅ k σ lim

O reforço é de Classe 4 para momento positivo em torno de u.

NOTA: O valor de kσ é obtido de forma diferente por se tratar de um reforço de extremidade simples (ver ponto 4.3.1.1).

(c) Devido a momento negativo em torno de v •

σ M0.pv = σ M2av.p = 0.979 ⋅ fy

•

elast . c / t > (c / t )lim ⇒ O reforço é da Classe 4 para momento negativo em torno de u

⇒

ψ = 1.0

⇒

(c/t)elast. = 14ε = 11.3 lim

A secção é da classe 4, pois é essa a pior classificação dos seus elementos. F.3.3. Propriedades de secções efectivasp

Apresenta-se de seguida o cálculo detalhado de propriedades por meio das larguras aproximadas nominais. F.3.3.1.

Secções efectivasp – instabilidade local

Calcular-se-ão as larguras efectivasp iniciais devido a instabilidade local para os elementos (aproximadamente) paralelos ao eixo de flexão (banzos*), que juntamente com as propriedades brutas dos elementos (aproximadamente) perpendiculares ao eixo de flexão (almas*), permitem calcular as propriedades efectivasp finais devido a instabilidade local da secção. Os reforços de extremidade consideram-se como parte dos elementos a que ligam. Para esforço axial e momento em torno da maior inércia (Mu), consideram-se como banzos* os elementos (aproximadamente) paralelos ao eixo de maior inércia e como almas* os elementos (aproximadamente) perpendiculares ao eixo de maior inércia. No caso de momento em torno da menor inércia (Mv), tem-se o inverso, consideram-se como banzos* os elementos (aproximadamente) perpendiculares ao eixo de maior inércia e como almas* os elementos (aproximadamente) paralelos ao eixo de maior inércia (ver Figura F.8).

186

EXEMPLO NUMÉRICO 1

banzo*

banzo*

alma*

Mu

banzo*

almas*

almas*

banzo*

Mv

almas*

banzo*

almas*

Figura F.8 – Definição de banzo* e de alma*.

F.3.3.1.a) Larguras efectivasp devido a esforço axial de compressão Para o caso de compressão, os desvios do centro de gravidade não afectam a distribuição de tensões que é sempre constante, pelo que não existe a necessidade de calcular uma secção inicial com os banzos* efectivos e alma* bruta à qual está associada uma distribuição de tensões secundária e que permite o cálculo da secção efectiva final. F.3.3.1.a.1) Larguras efectivasp iniciais e finais (a) Alma* Para compressão o elemento considerado como alma* corresponde à alma “real” da secção. •

hp = 151.243 mm ⎫⎪ h / t = 75.6 t = t hp = 2.0 mm ⎬⎪⎭ p

•

σ N5b.p = σN8a.p = fy

⇒

• hp.c = 151.243 mm ; •

λ p.hp =

ψ hp = 1

2

π ⋅ E ⋅ k σ,hp

t

k σ,hp =

8.2 = 4.0 1.05 + ψ hp

hp.t = 0.0 mm

12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb

hp

⇒

=

hp t 28.4ε ⋅ k σ,hp

=

75.6 22.95 ⋅ 4.0

= 1.647 = λ p.red.hp

• K ρ.hp = 0.055 ⋅ (3 + ψ hp ) = 0.055 ⋅ 4 = 0.22 λ p.red.hp − K ρ.hp

λ p.hp − λ p.red.hp

1.647 − 0.22 = 0.526 1.647 2

•

ρ hp =

•

hp.eff = ρ hp ⋅ hp.c = 0.526 ⋅ 151.243 = 79.55 mm

2 p.red.hp

λ

+ 0.18 ⋅

λ p.hp − 0.6

• hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp.eff = 39.787 mm

;

=

hp.i = hp.c − hp.eff = 71.668 mm

(b) Banzos* Para compressão os elementos considerados como banzos* correspondem aos banzos “reais” da secção. Para o banzo* correspondente ao banzo inferior “real” obtém-se:

187


•

b p1 = 73.243 mm ⎫ ⎬ b / t = 36.6 t = t bp1 = 2.0 mm ⎭ p1

•


•

b p1.c = 73.243 mm ;

•

λ p.bp1 =

⇒

ψ bp1 = 1

k σ,bp1 =

8.2 = 4.0 1.05 + ψ bp1

b p1.t = 0.0 mm

b p1 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb 2

π ⋅ E ⋅ k σ,bp1

t

⇒

=

b p1 t

=

28.4ε ⋅ k σ,bp1

36.6 22.95 ⋅ 4.0

= 0.797 = λ p.red.bp1

• K ρ.bp1 = 0.055 ⋅ (3 + ψ bp1 ) = 0.055 ⋅ 4 = 0.22 λ p.red.bp1 − K ρ.bp1

=

0.797 − 0.22 = 0.908 0.797 2

ρ b p1 =

•

b p1.eff = ρ bp1 ⋅ b p1.c = 0.908 ⋅ 73.243 = 66.508 mm

•

bp1.e1 = bp1.e 2 = 0.5 ⋅ bp1.eff = 33.254 mm

2 p.red.bp1

λ

+ 0.18 ⋅

λ p.bp1 − λ p.red.bp1

•

λ p.bp1 − 0.6

bp1.i = bp1.c − bp1.eff = 6.735 mm

;

De forma semelhante, para o banzo* correspondente ao banzo superior “ obtém-se: •

b p 2.e1 = b p 2.e 2 = 33.254 mm

;

b p 2.i = 6.735 mm

(c) Reforços Os reforços são sempre associados ao elemento a que ligam (banzos “reais da secção) pelo que para compressão se comportam como banzos*. No caso particular de secções com reforços de extremidade simples, o factor de encurvadura (kσ) é independente da distribuição de tensões. Por outro lado, pelo referido no ponto 4.3.1 a tensão a utilizar para a obtenção de larguras efectivasp (para verificação do Estado Limite de Encurvadura) tem de ser igual a σ max .Ed = fyb / γ M0 , mesmo que a tensão instalada seja inferior, pelo que as larguras efectivasp para a compressão e momentos em torno de u e v tomam o mesmo valor. Para o reforço inferior obtém-se: •

c p1 = 29.121mm ⎫ ⎬ c / t = 14.6 t = t cp1 = 2.0 mm ⎭ p1

•

σ N0.p = σ N2a.p = fy

⇒

ψ bp1 = 1

⇒

ψ cp1 = 1

• k σ,cp1 = 0.5 + 0.83 ⋅ (cp1 bp1 − 0.35)2 / 3 = 0.5 + 0.83 ⋅ (0.398 − 0.35)2 / 3 = 0.609 • •

c p1.c = 29.121mm ; λ p.cp1 =

c p1 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb t

• K ρ.cp1 = 0.188

188

c p1.t = 0.0 mm

2

π ⋅ E ⋅ k σ , c p1

=

c p1 t 28.4ε ⋅ k σ,cp1

=

14.6 22.95 ⋅ 0.609

= 0.813 = λ p.red.cp1

EXEMPLO NUMÉRICO 1

λ p.red.cp1 − K ρ.cp1

+ 0.18 ⋅

λ p.cp1 − λ p.red.cp1

ρ c p1 =

•

c p1.eff = ρ cp1 ⋅ c p1.c = 0.946 ⋅ 29.121 = 27.546 mm

•

c p1.e = c p1.eff = 27.546 mm

2 p.red.c p1

λ

λ p.cp1 − 0.6

;

=

0.813 − 0.188 = 0.946 0.813 2

•

c p1.i = c p1.c − c p1.eff = 1.575 mm

De forma semelhante, para o reforço superior obtém-se: •

c p 2.e = 27.546 mm

;

c p 2.i = 1.575 mm

(d) Cálculo de propriedades As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura F.9, podem ser obtidas por: NL • hp.e1 = 39.787 mm

NL NL NL NL • b1p.e1 = b 2p.e 2 = 33.254 mm • c1p.e = c 2p.e = 27.546 mm

NL • hp.i = 71.668 mm

NL NL • b1p.i = b 2p.i = 6.735 mm

NL • hp.e 2 = 39.787 mm

NL NL • b1p.e 2 = b 2p.e1 = 33.254 mm

NL NL • c1p.i = c 2p.i = 1.575 mm


•

•

•

•

y0= 75.0 mm z0= 30.0 mm y1= 75.0 mm z1= 28.425 mm y2a= 75.0mm z2a= 0.879 mm y2b= 74.121 mm z2b= 0.0 mm y3= 40.868 mm z3= 0.0 mm

•

•

•

•

•

y4= 34.132 mm z4= 0.0 mm y5a= 0.879 mm

•

•

z5a= 0.0 mm y5b= 0.0 mm

•

z5b= 0.879 mm y6= 0 mm z6= 40.666 mm y7= 0.0 mm z7= 112.334 mm

•

•

y8a= 0.0 mm z8a= 152.121 mm y8b= 0.879 mm z8b= 153.0 mm y9= 34.132 mm z9= 153.0 mm

• y11b= 75.0 mm z11b= 152.121 mm • y12= 75.0 mm z12= 124.575 mm • y13= 75.0 mm z13= 123.0 mm

y10= 40.868 mm z10= 153.0 mm y11a= 74.121 mm z11a= 153.0 mm

As parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta idealizada são: •

Elem.1i:

Nó 0

– (y0 ; z0)

a

Nó 1

– (y1 ; z1)

•

Elem.1e:

Nó 1

– (y1 ; z1)

a

Nó 2a – (y2a ; z2a)

•


a

Nó 3

– (y3 ; z3)

•

Elem.2i:

Nó 3

– (y3 ; z3)

a

Nó 4

– (y4 ; z4)

•

Elem.2e2: Nó 4

– (y4 ; z4)

a

Nó 5a – (y5a ; z5a)

•


a

Nó 6

– (y6 ; z6)

•

Elem.3i:

Nó 6

– (y6 ; z6)

a

Nó 7

– (y7 ; z7)

•

Elem.3e2: Nó 7

– (y7 ; z7)

a

Nó 8a – (y8a ; z8a) 189


•


a

Nó 9

•

Elem.4i:

a

Nó 10 – (y10 ; z10)

•

Elem.4e2: Nó 10 – (y10 ; z10)

a

Nó 11a – (y11a ; z11a)

•

Elem.5e:

Nó 11b – (y11b ; z11b) a

Nó 12 – (y12 ; z12)

•

Elem.5i:

Nó 12 – (y12 ; z12)

Nó 13 – (y13 ; z13)

Nó 9

b2p.e1

– (y9 ; z9)

a

– (y9 ; z9)

z

b2p.e2

4e1

9

10

4e2 11a 11b

hp.e2

c2p.e

8a 8b

5e 3e2

12

v 7

cg.peff,NL u

6

3e1

1

c1p.e

hp.e1

zcg.peff,NL

Δycg.peff,NL

1e 5b 5a

b1p.e2

2e2 4 ycg.peff,NL

b1p.e1

3

2e1

y

2b 2a

Figura F.9 – Secção efectiva nominal devida a N – instab. local.

A secção efectivap nominal devida a N (instab. local) possui as seguintes propriedades: NL • y 0.cg.p = 34.070 mm

NL • Ap =

NL • z 0.cg.p = 76.500 mm

NL NL NL • Iy.p ≡ Iu.p = 2500650 mm4 • Iyz.p =

535.36 mm2

NL NL • Iz.p ≡ Iv.p = 503412 mm4

0 mm4

F.3.3.1.b) Larguras efectivasp devido a momento em torno de u Para o caso de momento flector, os desvios do centro de gravidade afectam a distribuição de tensões, pelo é necessário calcular uma secção inicial com os banzos* efectivos e alma* bruta à qual está associada uma distribuição de tensões secundária e que permite o cálculo da secção efectiva final. F.3.3.1.b.1) Larguras efectivasp iniciais (a) Alma* Para momento em torno de u o elemento considerado como alma* corresponde à alma “real” da secção. Pelo descrito anteriormente, o cálculo de propriedades pressupõe um primeiro passo em que para a secção efectiva inicial a alma* é considerada toda bruta. •

190

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp = 75.617 mm

;

hp.i = 0 mm

EXEMPLO NUMÉRICO 1

(b) Banzos* Para momento em torno de u os elementos considerados como banzos* correspondem aos banzos “reais” da secção. Pelo referido a propósito da alma*, apesar da distribuição de tensões ser diferente para compressão e para momento em torno de u, a tensão a utilizar para a obtenção de larguras efectivasp tem de ser igual a σ max .Ed = fyb / γ M 0 , logo o apresentado para a compressão é também válido para momento em torno de u para os banzos*. (b.1) Momento positivo

Para momento positivo em torno de u, o banzo* superior é totalmente efectivo. Já o inferior não é, sendo as larguras efectivasp as mesmas que as obtidas para a compressão. •

bp1.e1 = b p1.e2 = 33.254 mm

•

bp 2.e1 = bp 2.e 2 = 0.5 ⋅ bp 2 = 36.621mm

;

bp1.i = 6.735 mm ;

bp 2.i = 0 mm

(b.2) Momento negativo

Para momento negativo em torno de u, a distribuição de tensões inicial é exactamente simétrica à de momento positivo, pelo que as larguras efectivas dos banzos* são também simétricas. • bp1.e1 = bp1.e 2 = 0.5 ⋅ bp1 = 36.621mm •

bp 2.e1 = bp 2.e2 = 33.254 mm

;

;

bp1.i = 0 mm

bp 2.i = 6.735 mm

(c) Reforços Os reforços são sempre associados ao elemento a que ligam (banzos “reais da secção) pelo que para momento em torno de u se comportam como banzos*. (c.1) Momento positivo

Para momento positivo em torno de u, o reforço superior é totalmente efectivo. Para o inferior, como para reforços simples o coeficiente de encurvadura (kσ) é independente da distribuição de tensões e a tensão a utilizar tem de ser σ max .Ed = fyb / γ M0 , os resultados obtidos para o esforço axial de compressão podem ser utilizados. •

c p1.e = 27.546 mm

;

c p1.i = 1.575 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm

(c.2) Momento negativo

Para momento negativo em torno de u, a distribuição de tensões inicial é exactamente simétrica à de momento positivo, pelo que as larguras efectivas dos reforços são também simétricas. •

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 27.546 mm

;

c p 2.i = 1.575 mm

191


(d) Cálculo de propriedades (d.1) Momento positivo + L • y M0.ucg 27.299 mm .p =

• IMy.pu+L = 2645883 mm4

• β pMu+L = -0.5040 º

+ L 78.196 mm • z M0.ucg .p =

• IMz.pu+L = 643447 mm4

• IuM.pu+L =

2646038 mm4

• A pMu+L = 695.32 mm2

• IMyz.u+pL = 17618 mm4

• IMv.pu+L =

643292 mm4

− L • y M0.ucg .p = 27.299 mm

• IMy.pu−L =

2645883 mm4

• βpMu−L = 0.5040 º

− L • z M0.ucg .p = 74.804 mm

• IMz.pu−L =

643447 mm4

• IuM.pu−L =

2646038 mm4

• A pMu−L = 695.32 mm2

• IMyzu.−pL =

-17618 mm4

• IMv.pu−L =

643292 mm4

(d.2) Momento negativo

NOTA: Como se pode observar nos resultados anteriores, dada a assimetria das larguras efectivas, para além da translação do centro de gravidade, ocorre uma rotação dos eixos principais de inércia da secção efectiva em relação aos da secção bruta. A abordagem do EC3 despreza estas rotações, assumindo os eixos principais da secção efectiva como paralelos aos eixos principais da secção bruta. Para secções onde ocorram valores muito grandes dessa rotação, a metodologia para o cálculo de resistência de secções e de barras definida em EC3-1-3 [F.4] perde validade. Por esta razão, consideram-se os momentos de inércia em torno dos eixos principais rodados como aproximadamente iguais aos momentos de inércia em torno de eixos principais paralelos aos da secção bruta.

F.3.3.1.b.2) Distribuição de tensões secundária A distribuição de tensões secundária obtém-se por meio de um processo sequencial, no qual as larguras efectivasp dos banzos são baseadas na distribuição de tensões associadas à secção bruta, mas as da(s) alma(s) são baseadas numa distribuição de tensões associada a uma secção com os banzos efectivos e alma(s) bruta(s). Como existe uma distribuição de tensões para cada secção efectivap, optou-se por não as apresentar integralmente no texto, mas dispondo os valores relevantes para a obtenção das larguras efectivasp finais. F.3.3.1.b.3) Larguras efectivasp finais (a) Alma* Tal como referido anteriormente o efeito da eventual instabilidade local nas paredes da alma* é contabilizado pelo cálculo de larguras efectivasp com base numa distribuição de tensões secundária numa secção com banzos* efectivos e almas* brutas. (a.1) Momento positivo

Apesar da distribuição de tensões na secção bruta ser simétrica (dada a simetria da secção em torno de u) a distribuição secundária de tensões pode não o ser, pois a existência de parcelas inefectivas no banzo inferior, provoca a subida de linha neutra. •

192

hp = 151.243 mm ⎫⎪ h / t = 75.6 t = t hp = 2.0 mm ⎬⎪⎭ p

EXEMPLO NUMÉRICO 1

•

⎫⎪ σ8Mau.p ψ = = −0.956 ⇒ k σ,hp = 7.81− 6.29⋅ ψhp + 9.78⋅ ψh2p = 22.765 ⎬ hp Mu σ5b.p ⎪⎭

σM5bu.p = 0.976⋅ fy σ8Mau.p = −0.933⋅ fy

• hp.c = hp (1− ψ hp ) = 77.318 mm ; 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb

hp

•

λ p.hp =

•

λ p.red.hp = λ p.hp ⋅

2


t

=

hp.t = hp - hp.c = 73.925 mm


σ com.Ed.hp ⋅ γ M0 fyb

=

75.6 = 0.690 22.95 ⋅ 22.765

= λ p.hp = 0.690

• K ρ.hp = 0.055 ⋅ (3 − 0.956) = 0.055 ⋅ 2.044 = 0.112 •

ρhp =

λ p.red.hp − K ρ.hp 2 p.red.hp

λ

como ρ hp > 1 ⇒

+ 0.18 ⋅


=

λ p.hp − 0.6

0.690 − 0.112 = 1.214 0.6902

ρ hp = 1.0

• hp.e1 = hp.e2 = 0.5 ⋅ 151.243 = 75.621 mm

;

hp.i = 0.0 mm

(a.2) Momento negativo

Dada a simetria da secção, a distribuição de tensões secundária da alma associada a momento positivo em torno de u é simétrica à distribuição de tensões associada a momento negativo em torno de u. As larguras efectivasp na alma têm o mesmo valor, mas posicionamento simétrico. • hp.e1 = hp.e2 = 0.5 ⋅ 151.243 = 75.621 mm

;

hp.i = 0.0 mm

(b) Banzos* Para ambos os banzos* inferior e superior, as larguras efectivasp iniciais determinadas anteriormente, são as que juntamente com as secundárias das almas* e dos reforços constituem a secção efectivap final para momento em torno de u. Por essa razão não é necessário fazer nenhum cálculo adicional de larguras efectivasp dos banzos* baseado na distribuição de tensões secundária. (b.1) Momento positivo

•

bp1.e1 = b p1.e2 = 33.254 mm

•

bp 2.e1 = bp 2.e 2 = 0.5 ⋅ bp 2 = 36.621mm

;

bp1.i = 6.735 mm ;

bp 2.i = 0 mm

;

bp1.i = 0 mm


• bp1.e1 = bp1.e 2 = 0.5 ⋅ bp1 = 36.621mm •

bp 2.e1 = bp 2.e2 = 33.254 mm

;

bp 2.i = 6.735 mm

193


(c) Reforços Tanto o reforço inferior como o superior, para momentos em torno de u são considerados como parte dos banzos*, logo, as larguras efectivasp iniciais determinadas anteriormente, constituem juntamente com as das almas* e dos banzos* a secção efectivap final para momento positivo em torno de u. Por essa razão não é necessário fazer nenhum cálculo adicional de larguras efectivasp dos reforços baseado na distribuição de tensões secundária. (c.1) Momento positivo

•

c p1.e = 27.546 mm

;

c p1.i = 1.575 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm


•

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 27.546 mm

;

c p 2.i = 1.575 mm

(d) Cálculo de propriedades Apenas será analisada o caso de momentos positivos em torno de u, para momentos negativos a distribuição de tensões é simétrica em torno de u e as propriedades semelhantes. As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura F.10, podem ser obtidos por: +

• b1Mp.ueL1 = 33.254 mm • b M2pu.Le1 = 36.621 mm • c1Mp.ueL = 27.546 mm

+

• b1p.ui = 6.735 mm

• hpM.eu1L = 75.621 mm • hpM.iu L = 0.0 mm

+

M+L

+

+

+

• b M2pu.Li = 0.0 mm

+

+

+

+

• c1Mp.uiL = 1.575 mm +

• hpM.eu L2 = 75.621 mm • b1Mp.ueL2 = 33.254 mm • b M2pu.Le2 = 36.621 mm • c M2pu.Le = 29.121 mm +

• c M2pu.Li = 0.0 mm As coordenadas dos nós dos vários elementos são: •

•

•

•

•

194


•

•

•

•

•

y4= 34.132 mm z4= 0.0 mm y5a= 0.879 mm z5a= 0.0 mm y5b= 0.0 mm z5b= 0.879 mm y6= 0 mm z6= 76.5 mm y7= 0.0 mm z7= 76.5 mm

•

•

•

•

•

y8a= 0.0 mm z8a= 152.121 mm y8b= 0.879 mm z8b= 153.0 mm y9= 37.5 mm z9= 153.0 mm y10= 37.5 mm z10= 153.0 mm y11a= 74.121 mm z11a= 153.0 mm


EXEMPLO NUMÉRICO 1

À semelhança, dos casos casos anteriores, a secção efectiva é constituída pelas parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta. A secção efectivap nominal devida a Mu+ (instab. local) possui as seguintes propriedades: +

• A pMu L =

+

• IMy.pu L ≈ IuM.pu L = 2645883 mm4 • IMyz.usL =

• y M0.ucgL .p = 27.299 mm • z M0.ucgL .p = 78.196 mm

+

+

+

+

• IMz.pu L ≈ IMv.pu L = 643447 mm4

695.32 mm2 +

+

17618 mm4

NOTA: Tal como referido anteriormente, a eventual rotação dos eixos principais de inércia da secção efectiva em relação aos eixos principais da secção bruta é desprezada. Para secções valores muito grandes dessa rotação, a metodologia para o cálculo de resistência de secções e de barras definida em [F.4] EC3-1-3 não é válida. b2p.e1

z

b2p.e2

4e1

4e2

9=10

11a 11b

c2p.e

8a 8b

Δzcg.peff,MuL+

hp.e2

5e

hp.e1

c1p.e

zcg.peff,MuL+

3e2

v

cg.peff,MuL+ u Δycg.peff,MuL+

β

7 1 6

1e

3e1 5b 5a

b1p.e2

12=13

2e2 4 ycg.peff,MuL+

b1p.e1

3

2e1

y

2b 2a

Figura F.10 – Secção efectiva nominal devida a Mu+ – instab. local.

F.3.3.1.c) Larguras efectivasp devido a momento em torno de v Para o caso de momento flector, os desvios do centro de gravidade afectam a distribuição de tensões, pelo é necessário calcular uma secção inicial com os banzos* efectivos e alma* bruta à qual está associada uma distribuição de tensões secundária e que permite o cálculo da secção efectivap final. F.3.3.1.c.1) Larguras efectivasp iniciais (a) Almas* Para momento em torno de v os elementos considerados como almas* correspondem aos banzos “reais” da secção. Por se considerarem como almas*, neste passo da metodologia, consideram-se as suas propriedades brutas. As larguras e propriedades efectivasp serão obtidas com base numa distribuição de tensões secundária. • bp1.e1 = bp1.e 2 = 0.5 ⋅ bp1 = 36.621mm

;

bp1.i = 0 mm

bp 2.e1 = bp 2.e2 = 0.5 ⋅ bp 2 = 36.621mm

;

bp 2.i = 0 mm

•

195


(b) Banzo* Para momento em torno de v o elemento considerado como banzo* corresponde à alma “real” da secção. Pelo descrito anteriormente, o cálculo de propriedades pressupõe um passo em que, para a secção efectiva inicial, a alma* é considerada toda bruta e os banzos* efectivos. Dada a falta de simetria em torno do eixo v, serão analisadas as situações de momentos positivos e negativos. (b.1) Momento positivo

Para momento positivo em torno de v, o banzo* está à tracção, logo é totalmente efectivo. •

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp = 75.617 mm

hp.i = 0 mm

;


•

hp = 151.243 mm t = t hp = 2.0 mm

•

σ 5Mbv.p = σ M8av.p = 0.574 ⋅ fy

•

hp.c = 151.243 mm ;

⎫⎪ ⎬ hp / t = 75.6 ⎪⎭ ⇒

λ p.hp =

•


2


t

⇒

k σ,hp =

8.2 = 4.0 1.05 + ψ hp

hp.t = 0.0 mm

hp 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb

•

ψ hp = 1

=



= λ p.hp ⋅

=

75.6 22.95 ⋅ 4.0

σ max .Ed.hp ⋅ γ M0 fyb

= 1.647

=λ p.hp = 1.647

• K ρ.hp = 0.055 ⋅ (3 + ψ hp ) = 0.055 ⋅ 4 = 0.22 λ p.red.hp − K ρ.hp


1.647 − 0.22 + 0 = 0.526 1.647 2

•

ρ hp =

•

hp.eff = ρ hp ⋅ hp.c = 0.526 ⋅ 151.243 = 79.575 mm

•

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp.eff = 39.787 mm

2 p.red.hp

λ

+ 0.18 ⋅

λ p.hp − 0.6

;

=


NOTA: Como referido no ponto 4.3.1 a tensão de compressão a utilizar para a obtenção de larguras efectivasp (para verificação do Estado Limite de Encurvadura) tem de ser igual a σ max .Ed = fyb / γ M0 mesmo que a tensão instalada seja inferior. Para momentos negativos em

torno de v que geram a cedência das fibras com maior coordenada u por tracção, as fibras à compressão (na alma) têm valores de tensão significativamente inferiores a σ max .Ed = fyb / γ M0 pois o centro de gravidade da secção não está equidistante de ambas) (c) Reforços Dado considerarem-se como parte do elemento a que ligam (neste caso os banzos “reais” da secção) para momento em torno de v são considerados como parte da alma*, pelo que neste passo de cálculo são considerados brutos quer para momentos negativos quer para positivos. 196

EXEMPLO NUMÉRICO 1

(c.1) Momentos positivo e negativo

•

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm

(d) Cálculo de propriedades (d.1) Momentos positivo + vL • y M0.cg 27.703 mm .p =

• IMy.p+v L = 2733767 mm4

• β pM +v L = 0.0000 º

+ vL 76.500 mm • z M0.cg .p =

• IMz.p+v L = 651951 mm4

• IuM.p+v L = 2733767 mm4

• A pM +v L = 711.94 mm2

• IMyz.+vpL = 0 mm4

• IMv.p+v L = 651951 mm4

(d.2) Momentos negativo −

• IMy.pv L =

−

• IMz.pv L =

vL • y M0.cg .p = 34.686 mm vL • z M0.cg .p = 76.5 mm

−

• A pM v L = 568.61 mm2

−

2672416 mm4

• β pM v L = 0.0000 º

−

514171 mm4

• IuM.pv L =

−

0 mm4

• IMv.pv L =

• IMyz.vpL =

−

−

2672416 mm4

−

514171 mm4

F.3.3.1.c.2) Distribuição de tensões secundária A distribuição de tensões secundária obtém-se por meio de um processo sequencial, no qual as larguras efectivasp dos banzos são baseadas na distribuição de tensões associadas à secção bruta, mas as da(s) alma(s) são baseadas numa distribuição de tensões associada a uma secção com os banzos efectivos e alma(s) bruta(s). Como existe uma distribuição de tensões para cada secção efectivap, optou-se por não as apresentar integralmente no texto, mas dispondo os valores relevantes para a obtenção das larguras efectivasp finais. F.3.3.1.c.3) Larguras efectivasp finais (a) Almas* Tal como referido anteriormente o efeito da eventual instabilidade local nas paredes da alma* é contabilizado pelo cálculo de larguras efectivasp com base numa distribuição de tensões secundária numa secção com banzos* efectivos e almas* brutas. Os elementos considerados como almas* correspondem aos banzos “reais” da secção. (a.1) Momentos positivo Qualquer uma das almas* podem ser parcialmente inefectivos. As larguras efectivas calculam-se da forma seguinte: • •

b p1 = 73.243 mm ⎫ ⎬ b / t = 36.6 t = t bp1 = 2.0 mm ⎭ p1 σM2bv.p = 0.961⋅ fy σ5Mav.p = −0.555⋅ fy

⎫⎪ σM5av.p ψ = = −0.578 ⇒ k σ,bp1 = 7.81− 6.29⋅ ψbp1 + 9.78⋅ ψb2p1 = 14.711 ⎬ bp1 Mv σ2b.p ⎪⎭

197


• •

bp1.c = bp1 (1− ψ bp1 ) = 46.419 mm ;

λ p.bp1 =

bp1 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb

=

2

π ⋅ E ⋅ k σ,bp1

t

bp1.t = bp1 - bp1.c = 26.824 mm

b p1 t

=

28.4ε ⋅ k σ,bp1

36.6 = 0.416 = λ p.red.bp1 22.95 ⋅ 14.711

• K ρ.bp1 = 0.055 ⋅ (3 + ψ bp1 ) = 0.055 ⋅ 2.422 = 0.133 •

ρbp1 =

λp.red.bp1 − K ρ.bp1 2 p.red.bp1

λ

como ρ bp1 > 1 ⇒

+ 0.18 ⋅

λp.bp1 − λp.red.bp1 λp.bp1 − 0.6

=

0.416 − 0.133 = 1.635 0.4162

ρ bp1 = 1.0

• bp1.e1 = bp1.e2 = 0.5 ⋅ 73.243 = 36.621 mm

;

bp1.i = 0.0 mm

Para a outra alma* (correspondente ao banzo superior “real” da secção) as larguras efectivas são iguais. • bp2.e1 = bp2.e2 = 0.5 ⋅ 73.243 = 36.621 mm

;

bp1.i = 0.0 mm

(a.2) Momentos negativo Para momento negativo o processo é semelhante. • •

b p1 = 73.243 mm ⎫ ⎬ b / t = 36.6 t = t bp1 = 2.0 mm ⎭ p1 σ M5av.p σ M2bv.p = −0.955 ⋅ fy ⎫⎪ = −0.857 ⇒ k σ,bp1 = 5.98 ⋅ (1− 1 ψ bp1 )2 = 28.067 ψ = ⎬ bp1 Mv Mv σ 5a.p = +0.818 ⋅ fy ⎪⎭ σ 2b.p

NOTA: Na implementação computacional feita no presente trabalho, a relação de tensões é sempre obtida por ψ = σ j σ i , em que σ i e σ j , são respectivamente, as

tensões no nó inicial e final do elemento em análise. Como no quadro 4.4, ψ EC3 = σ1 σ 2 e σ1 e σ 2 , são respectivamente, as tensões de compressão e de tracção nas extremidades do elemento em análise, para se obterem os valores correctos tem de se entrar com um valor de ψ EC3 = 1 ψ no cálculo de k σ,bp1 , bp1.c e K ρ,bp1 . •

b p1.c = b p1 (1− 1 ψ bp1 ) = 33.808 mm ;

•

λ p.bp1 =

b p1 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb π ⋅ E ⋅ k σ,bp1 2

t

=

b p1.t = b p1 - b p1.c = 39.435 mm

b p1 t

=

28.4ε ⋅ k σ,bp1

36.6 22.95 ⋅ 28.067

= 0.301 = λ p.red.bp1

• K ρ.bp1 = 0.055 ⋅ (3 + 1 ψ bp1 ) = 0.055 ⋅ 1.834 = 0.101 •

ρbp1 =

λ p.red.bp1 − K ρ.bp1 2 p.red.bp1

λ

como ρ bp1 ≤ 1 ⇒

+ 0.18 ⋅

λ p.bp1 − λ p.red.bp1 λ p.bp1 − 0.6

=

0.301− 0.101 = 2.209 0.3012

ρ bp1 = 1.0

• bp1.e1 = bp1.e2 = 0.5 ⋅ 73.243 = 36.621 mm

198

;

bp1.i = 0.0 mm

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Para a outra alma* (correspondente ao banzo superior “real” da secção) as larguras efectivas são iguais. • bp2.e1 = bp2.e2 = 0.5 ⋅ 73.243 = 36.621 mm

;

bp1.i = 0.0 mm

(b) Banzo* Para o banzo* (correspondente à alma “real” da secção) as larguras efectivasp iniciais determinadas anteriormente, são as que juntamente com as secundárias das almas* e dos reforços constituem a secção efectivap final para momento em torno de v. Por essa razão não é necessário fazer nenhum cálculo adicional de larguras efectivasp do banzo* baseado na distribuição de tensões secundária. (b.1) Momento positivo

•

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp = 75.617 mm

hp.i = 0 mm

;


• hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp.eff = 39.787 mm


;

(c) Reforços Tanto o reforço inferior como o superior, para momentos em torno de v são considerados como parte das almas* (banzos “reais” da secção), pelo que é necessário fazer o cálculo adicional de larguras efectivasp dos reforços baseado na distribuição de tensões secundária. (c.1) Momento positivo

Para momento positivo, como para reforços simples o coeficiente de encurvadura (kσ) é independente da distribuição de tensões e a tensão a utilizar tem de ser σ max .Ed = fyb / γ M0 , os resultados obtidos para o esforço axial de compressão podem ser utilizados. •

c p1.e = 27.546 mm

;

c p1.i = 1.575 mm

•

c p 2.e = 27.546 mm

;

c p 2.i = 1.575 mm


Para momento negativo em torno de v, ambos os reforços são totalmente efectivos. •

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm

(d) Cálculo de propriedades (d.1) Momento positivo

As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura F.11, podem ser obtidas por: +

• b1Mp.veL1 = 36.621 mm • b M2pv.Le1 = 36.621 mm • c1Mp.veL = 27.546 mm

+

• b1Mp.viL = 0 mm

• hpM.ev1L = 75.621 mm • hpM.iv L = 0 mm +

+

+

+

+

+

• b M2pv.Li = 0 mm +

+

+

• c1Mp.viL = 1.575 mm +

• hpM.ev L2 = 75.621 mm • b1Mp.veL2 = 36.621 mm • b M2pv.Le 2 = 36.621 mm • c M2pv.Le = 27.546 mm +

• c M2pv.Li = 1.575 mm

199


b2p.e1

z

b2p.e2

8a 8b

4e1

9

10 11a 11b

c2p.e

4e2

5e

hp.e2

3e2 v cg.peff,MvL+ u Δycg.peff,MvL+

c1p.e

hp.e1

zcg.peff,MvL+

6=7

1

3e1

2e1 1e 5b 5a

b1p.e2

2e2 ycg.peff,MvL+

b1p.e1

4

3

y

2b 2a

Figura F.11 – Secção efectiva nominal devida a Mv+ – instab. local.


•

•

•

•


•

•

•

•

•

y4= 37.5 mm

•

z4= 0.0 mm y5a= 0.879 mm z5a= 0.0 mm y5b= 0.0 mm z5b= 0.879 mm y6= 0 mm z6= 76.5 mm y7= 0.0 mm z7= 76.5 mm

•

•

•

•

y8a= 0.0 mm

• y11b= 75.0 mm

z8a= 152.121 mm y8b= 0.879 mm

z11b= 152.121 mm • y12= 75.0 mm

z8b= 153.0 mm

z12= 124.575 mm

y9= 37.5 mm

• y13= 75.0 mm

z9= 153.0 mm

z13= 123.0 mm

y10= 37.5 mm z10= 153.0 mm y11a= 74.121 mm z11a= 153.0 mm

À semelhança, dos casos casos anteriores, a secção efectiva é constituída pelas parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta. A secção efectivap nominal devida a Mv+ (instab. local) possui as seguintes propriedades: +

• A pM v L =

+

• IMy.pv L ≡ IuM.pv L = 2719678 mm4


+

+

705.64 mm2 +

+

+

• IMz.pv L ≡ IMv.pv L = 637731 mm4 +

• IMyz.vpL =

0.0 mm4

NOTA: À semelhança dos casos de momentos em torno do eixo u, a eventual rotação dos eixos principais de inércia da secção efectiva em relação aos eixos principais da secção bruta é desprezada. Para secções valores muito grandes dessa rotação, a metodologia para o cálculo de resistência de secções e de barras definida em [F.4] EC3-1-3 não é válida.

200

EXEMPLO NUMÉRICO 1

(d.2) Momento negativo b2p.e1

z

b2p.e2

8a 8b

10

4e2

11a 11b

4e1

c2p.e

hp.e2

9

5e

3e2 v 7

cg.peff,MvL-u zcg.peff,MvL-

c1p.e

hp.e1

Δycg.peff,MvL6

3e1 5b 5a

b1p.e2

1e

2e2 4

ycg.peff,MvL-

b1p.e1

y

2b 2a

2e1

3

Figura F.12 – Secção efectiva nominal devida a Mv- – instab. local.

As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura F.12, podem ser obtidas por: −

−

−

−

−

−

−

−

• hpM.ev1L = 39.787 mm • b1Mp.veL1 = 36.621 mm • b M2pv.Le1 = 36.621 mm • c1Mp.veL = 29.121 mm −

• hpM.iv L = 71.668 mm • b1Mp.viL = 0 mm

−

• b M2pv.Li = 0 mm

• c1Mp.viL = 0.0 mm

−

−

• hpM.ev L2 = 39.787 mm • b1Mp.veL2 = 36.621 mm • b M2pv.Le 2 = 36.621 mm • c M2pv.Le = 29.121 mm −

• c M2pv.Li = 0.0 mm As coordenadas dos nós dos vários elementos são: •

•

•

•

•


•

•

•

•

•

y4= 37.5 mm

•

z4= 0.0 mm y5a= 0.879 mm z5a= 0.0 mm y5b= 0.0 mm z5b= 0.879 mm y6= 0 mm z6= 40.666 mm y7= 0.0 mm z7= 112.334 mm

•

•

•

•

y8a= 0.0 mm

• y11b= 75.0 mm

z8a= 152.121 mm

z11b= 152.121 mm

y8b= 0.879 mm

• y12= 75.0 mm

z8b= 153.0 mm

z12= 123.0 mm

y9= 37.5 mm

• y13= 75.0 mm

z9= 153.0 mm

z13= 123.0 mm

y10= 37.5 mm z10= 153.0 mm y11a= 74.121 mm z11a= 153.0 mm

À semelhança, dos casos casos anteriores, a secção efectiva é constituída pelas parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta. A secção efectivap nominal devida a Mv– (instab. local) possui as seguintes propriedades: −

• A pM v L =

−

• IMy.pv L ≡ IuM.pv L = 2672416 mm4


−

−

568.61 mm2 −

−

−

• IMz.pv L ≡ IMv.pv L = 514171 mm4 −

• IMyz.vpL =

0.0 mm4 201


NOTA: À semelhança dos casos de momentos em torno do eixo u, a eventual rotação dos eixos principais de inércia da secção efectiva em relação aos eixos principais da secção bruta é desprezada. Para secções valores muito grandes dessa rotação, a metodologia para o cálculo de resistência de secções e de barras definida em [F.4] EC3-1-3 não é válida. Secções efectivasp – instabilidade distorcional

F.3.3.2.

Para a obtenção das larguras e espessuras efectivas que permitem considerar o efeito da instabilidade distorcional, pode optar-se (i) pelo método “standard” puro onde (i1) se usam as larguras efectivas associadas à instabilidade local, para posteriormente se obterem as tensões críticas devido a instabilidade distorcional do conjunto banzo-reforço e a espessuras reduzidas sem nenhum tipo de iteração e (i2) um método sequencial ao nível da secção como um todo, onde se obtêm num primeiro passo uma secção composta pelas propriedades efectivas dos banzos* (eventuais espessuras reduzidas incluídas) e respectiva distribuição de tensões secundárias e, num segundo passo a secção efectiva final baseada nessa distribuição de tensões composta pelas propriedades efectivas do primeiro passo para os banzos e das propriedades efectivas obtidas no segundo passo para as almas*; (ii) pelo método iterativo completo onde (ii1) se fazem diversas iterações ao nível dos conjuntos banzo-reforço para obtenção das tensões críticas de instabilidade distorcional e das correspondentes espessuras reduzidas e (ii2) se fazem iterações ao nível da secção no seu conjunto para, em função das propriedades efectivas da iteração anterior, se obterem novas distribuições de tensões a que irão corresponder novas larguras e espessuras efectivas; (iii) por um método iterativo parcial onde não se realiza uma das iterações referidas anteriormente. No exemplo numérico aqui realizado, optou-se por utilizar o método iterativo parcial onde apenas se fazem iterações do tipo (ii1).

F.3.3.2.a) Larguras efectivasp devido a esforço axial de compressão Para o caso de compressão, os desvios do centro de gravidade não afectam a distribuição de tensões que é sempre constante, pelo que não existe a necessidade de calcular uma secção inicial com os banzos* efectivos e alma* bruta à qual está associada uma distribuição de tensões secundária e que permite o cálculo da secção efectiva final. F.3.3.2.a.1) Larguras efectivasp iniciais e finais (a) Alma* Para compressão o elemento considerado como alma* corresponde à alma “real” da secção. As larguras efectivas a considerar para a instabilidade distorcional são as mesmas que as obtidas para a instabilidade local. •

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp.eff = 39.787 mm

;


(b) Banzos* e Reforços Para compressão os elementos considerados como banzos* correspondem aos banzos “reais” da secção. No caso da instabilidade distorcional, os conjuntos banzo-reforço “reais”, são analisados em conjunto.

202

EXEMPLO NUMÉRICO 1

(b.1) Propriedades efectivasp iniciais (iteração 0) Banzos* (banzos superior e inferior “reais”)

Obtém-se o mesmo valor das larguras efectivasp que para o caso da instabilidade local. • bp1.e1 = bp1.e2 = 33.254 mm

;

bp1.i = 6.735 mm

• b p 2.e1 = b p 2.e 2 = 33.254 mm

;

b p 2.i = 6.735 mm

Reforços superior e inferior

Obtém-se o mesmo valor das larguras efectivasp que para o caso da instabilidade local, pois, tal como referido anteriormente, o factor de encurvadura a utilizar em reforços de extremidade simples não depende da distribuição de tensões. •

c p1.e = 27.546 mm

;

c p1.i = 1.575 mm

•

c p 2.e = 27.546 mm

;

c p 2.i = 1.575 mm

Para os cálculos posteriores, apresentar-se-ão apenas os cálculos para o conjunto banzo-reforço inferior, já que para o conjunto banzo-reforço superior os resultados são equivalentes. Propriedades dos reforços equivalentes st1( 0 ) • y 0.cg.p = 65.426 mm

st1(0) • A p = 121.60 mm2

st1(0) • z 0.cg.p = 6.638 mm

st1(0) • Iy.p = 9975 mm4 st1(0) • I z.p = 15381 mm4

Mola equivalente a um apoio elástico

• K st.1.p

E ⋅ t3 1 = ⋅ 2 (0) = 2 (0) 4 ⋅ (1 − ν ) y 0.cg.st1 ⋅ [y 0.cg.st1 + hp ⋅ (1 + k *f.st1 )] =

210 ⋅ 10 3 ⋅ 2 3 1 ⋅ = 0.3689 2 2 4 ⋅ (1 − 0.3 ) 65.426 ⋅ [65.426 + 151.243 ⋅ (1 + 0.5)]

Tensão crítica de encurvadura do reforço inferior

•

σ(cr0.)st.1 =

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st0.)eff.1 A (st0.)eff.1

=

2 ⋅ 0.3689 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅ 9975 = 457.20 MPa 121.6

Esbelteza relativa do reforço de extremidade inferior

•

λ(d0.st) 1 = fyb σ (cr0.)st1 = 360 457.20 = 0.8874

Factor de redução para resistência à instabilidade distorcional do reforço inferior

•

χ (d0.st) 1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8874 = 0.8284

203


Tensão resistente reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 0)

•

0) (0) σ (com .Ed.st1 = χ d.st1 ⋅ σ max .Ed = 0.8284 ⋅ 360 = 298.24 MPa

Espessura efectivap reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 0)

•

1) (0) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed 360 = 2.0 ⋅ 0.8284 ⋅ = 1.6569 σ com.Ed.st1 360

NOTAS:

-

Tal como referido anteriormente a propósito da instabilidade local, pelo referido no ponto 4.3.1 a tensão a utilizar para a obtenção de larguras efectivasp (para verificação do Estado Limite de Encurvadura) tem de ser igual a σ max .Ed = fyb / γ M0 , mesmo que a tensão instalada seja inferior. A utilização de valores inferiores, é possível, desde que o elemento a analisar esteja suficientemente travado (por forma a que a instabilidade por encurvadura não seja relevante) ou que se estejam a analisar Estados Limites de Utilização.

-

Se o processo iterativo parasse aqui, as propriedades da secção efectivap devido a instabilidade distorcional, seriam obtidas com as larguras efectivasp dos reforços equivalentes e esta espessura e, com as larguras efectivasp e a espessura real das paredes do resto da secção. De salientar, que por imposição do método, a iterar, têm de se realizar pelo menos duas iterações;

(b.2) Propriedades efectivasp da iteração 1 Banzo* (banzos inferior “real”)

Calculam-se as novas propriedades efectivasp do conjunto banzo-reforço inferior, mantendo os valores ψ bp1 e k σ,bp1 obtidos para a distribuição de tensões associadas à secção bruta. De salientar, que apenas as larguras associadas ao reforço equivalente serão modificadas, ou seja, as parcelas efectivasp adjacentes à alma, mantêm-se inalteradas. •

ψ bp1 = 1

•

b p1.c = 73.243 mm ;

•

λ p.bp1 = 0.797

•

1) (0) σ (com .Ed.bp1 = σ com.Ed.st1

•

(1) p.red.bp1

λ

k σ,bp1 = 4.0

;

= λ p.bp1 ⋅

b p1.t = 0.0 mm

1) σ (com .Ed.bp1 ⋅ γ M 0

fyb

= 0.797 ⋅

298.24 ⋅ 1.0 = 0.726 360

• K ρ.bp1 = 0.055 ⋅ (3 + ψ bp1 ) = 0.055 ⋅ 4 = 0.22 •

ρ

(1) b p1

=

λ(p1).red.bp1 − K ρ.bp1 2 (1) p.red.bp1

λ

como ρ (b1p)1 > 1 ⇒ 204

+ 0.18 ⋅

) λ p.bp1 − λ2p(.1red .bp1

ρ (b1p)1 = 1.0

λ p.bp1 − 0.6

=

0.726 − 0.22 0.797 − 0.726 + 0.18 ⋅ = 1.023 2 0.797 − 0.6 0.726

EXEMPLO NUMÉRICO 1

•

b (p11) .eff = ρ (b1p)1 ⋅ b p1.c = 1.0 ⋅ 73.243 = 73.243 mm

•

b (p11) .e1 = 0.5 ⋅ b (p11) .eff = 36.621mm⎫⎪ ⎬ b (p11) .e 2 = 33.254 mm ⎪⎭

⇒

b (p11) .i = b p1.c − b (p11) .e1 − b (p11) .e 2 = 3.368 mm

Reforço inferior

Calculam-se as novas propriedades efectivas do banzo e do reforço, mantendo os valores ψ cp1 e k σ,cp1 obtidos para a distribuição de tensões associadas à secção bruta. De salientar, que apenas as larguras associadas ao reforço equivalente serão modificadas, ou seja, as parcelas efectivasp adjacentes à alma, mantêm-se inalteradas. •

ψ cp1 = 1

•

c p1.c = 29.121mm ;

•

λ p.cp1 = 0.813

•

1) (0) σ (com .Ed.c p1 = σ com.Ed.red.st1

•

(1) p.red.c p1

λ

;

k σ,cp1 = 0.609

= λ p.cp1 ⋅

c p1.t = 0.0 mm

1) σ (com .Ed.cp1 ⋅ γ M 0

fyb

= 0.813 ⋅

298.24 ⋅ 1.0 = 0.741 360

• K ρ.cp1 = 0.188 •

ρ

(1) cp1

=

λ(p1).red.cp1 − K ρ.cp1 2 (1) p.red.cp1

λ

+ 0.18 ⋅

=1.068 como ρ (c1p)1 > 1 ⇒

λ p.cp1 − λ(p1).red.cp1 λ p.cp1 − 0.6

=

0.813 − 0.741 0.741− 0.188 + 0.18 ⋅ 2 0.813 − 0.6 0.741

ρ (c1p)1 = 1.0

•

c (p11) .eff = ρ (c1p)1 ⋅ c p1.c = 1.0 ⋅ 29.121 = 29.121mm

•

c (p11) .e = c (p11) .eff = 29.121mm

;

c (p11) .i = c p1.c − c (p11) .eff = 0.0 mm

Propriedades do reforço equivalente st1(1) • y 0.cg.p = 64.311 mm

st1(1) • A p = 131.485 mm2

st1(1) • z 0.cg.p = 6.839 mm

st1(1) • I y.p = 11874 mm4 st1(1) • I z.p = 20152 mm4


• K st.1.p = 0.3689 – o mesmo valor que o da iteração 0. Tensão crítica de encurvadura do reforço inferior

•

σ(cr1).st.1 =

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st1).eff.1 A (st1).eff.1

=

2 ⋅ 0.3689 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅ 11874 = 461.33 MPa 131.485 205



•

λ(d1.)st1 = fyb σ(cr1).st1 = 360 461.33 = 0.8834


•

χ(d1.)st1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8834 = 0.8313

Critérios de paragem da iteração

•

Δχ(d1.)st1 = χ(d1.)st1 − χ(d0.st) 1 = 0.8313 − 0.8284 = 0.00288

•

Qχ(d1.)st1 = χ(d1.)st1 χ(d0.st) 1 = 0.8313 0.8284 = 1.00348

Os critérios de paragem apresentados na Figura E.2 podem também ser escritos da forma como χ(dn.st) 1 − χ(dn.−st11) ≤ 0 e χ(dn.st) 1 χ (dn.−st11) ≈ 1. Se o segundo critério é verificado, já o segundo não é, por isso tem de se continuar a iteração. Tensão resistente reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 1)

•

1) (1) σ (com .Ed.st1 = χ d.st1 ⋅ σ max .Ed = 0.8313 ⋅ 360 =299.275 MPa


•

2) (1) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed = 2.0 ⋅ 0.8313 = 1.6626 σ com.Ed.st1

(b.3) Propriedades efectivasp da iteração 2 Banzos* (banzos inferior “real”)

• •


( 2) p.red.bp1

λ

= λ p.bp1 ⋅


fyb

= 0.797 ⋅

299.275 ⋅ 1.0 = 0.727 360

• K ρ.bp1 = 0.22 •

( 2)

ρb = p1

λ(p2.)red.bp1 − K ρ.bp1 2 ( 2) p.red.bp1

λ

como ρ (b2) > 1 ⇒ p1

206

+ 0.18 ⋅

λ p.bp1 − λ(p2.)red.bp1 λ p.bp1 − 0.6

=

0.727 − 0.22 0.797 − 0.727 + 0.18 ⋅ = 1.023 2 0.797 − 0.6 0.727

ρ (b2) = 1.0 p1

•

b (p21).eff = ρ (b2p)1 ⋅ b p1.c = 1.0 ⋅ 73.243 = 73.243 mm

•

b (p21).e1 = 0.5 ⋅ b p1.eff = 36.621mm⎫⎪ ⎬ b (p21).e 2 = 33.254 mm ⎪⎭

⇒

b (p21).i = b p1.c − b (p21).e1 − b (p21).e 2 = 3.368 mm

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Reforço de extremidade inferior

• •


( 2) p.red.c p1

λ

= λ p.cp1 ⋅


fyb

= 0.813 ⋅

299.275 ⋅ 1.0 = 0.741 360

• K ρ.cp1 = 0.188 •

( 2) c p1

ρ

=

λ(p2.)red.c p1 − K ρ.c p1 2 ( 2) p.red.c p1

λ

+ 0.18 ⋅

λp.c p1 − λ(p2.)red.c p1 λp.c p1 − 0.6

= 1.068 como ρ (c2p1) > 1 ⇒

=

0.741− 0.188 0.813 − 0.741 + 0.18 ⋅ 2 0.741 0.813 − 0.6

ρ (c2p1) = 1.0

•

c (p21).eff = ρ (c2p1) ⋅ c p1.c = 1.0 ⋅ 29.121 = 29.121mm

•

c (p21).e = c (p21).eff = 29.121mm

;

c (p21).i = c p1.c − c (p21).eff = 0.0 mm

Propriedades do reforço equivalente st1( 2 ) • y 0.cg.p = 64.311 mm

st1(2) • A p = 131.485 mm2

st1(2) • z 0.cg.p = 6.839 mm

st1(2) • I y.p = 11874 mm4 st1(2) • I z.p = 20152 mm4



•

σ

( 2) cr .st .1

=

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st2.)eff.1 A (st2.)eff.1

=

2 ⋅ 0.3689 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅ 11874 = 461.33 MPa 131.485


•

λ(d2.st) 1 = fyb σ (cr2.)st1 = 360 461.33 = 0.8834


•

χ (d2.st) 1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8834 = 0.8313


•

Δχ (d2.st) 1 = χ (d2.st) 1 − χ (d1.)st1 = 0.8313 − 0.8313 = 0.0

•

Qχ(d2.st) 1 = χ(d2.st) 1 χ(d1.)st1 = 0.8313 0.8313 = 1.0

Por se terem efectuado as duas iterações mínimas e verificado os critérios de paragem, o processo iterativo termina aqui. Neste caso em particular, os resultados da iteração 1 são exactamente iguais aos da iteração 2, ou seja, há convergência total. 207



•

2) ( 2) σ (com .Ed.red.st1 = χ d.st1 ⋅ σ max .Ed = 0.8313 ⋅ 360 =299.275 MPa


•

3) ( 2) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed = 2.0 ⋅ 0.8313 = 1.6626 σ com.Ed.st1

(c) Cálculo de propriedades b2p.e1

z

b2p.e2

4e1

9

10

4e2 11a 11b

c2p.e

hp.e2

tred

8a 8b

5e 3e2

12

v 7

cg.peff,ND u

tred

6

3e1

1

c1p.e

hp.e1

zcg.peff,ND

Δycg.peff,ND

1e 5b 5a

b1p.e2

2e2 4 ycg.peff,ND

b1p.e1

3

2e1

y

2b 2a

Figura F.13 – Secção efectiva nominal devida a N – instab. distorcional.

As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura F.13, podem ser obtidas por: ND • hp.e1 = 39.787 mm

ND ND ND ND • b1p.e1 = b 2p.e 2 = 36.621 mm • c1p.e = c 2p.e = 29.121mm

ND • hp.i = 71.668 mm

ND ND • b1p.i = b 2p.i = 3.368 mm

ND • hp.e 2 = 39.787 mm

ND ND ND • b1p.e 2 = b 2p.e1 = 33.254 mm • t p.red = 1.663 mm

ND ND • c1p.i = c 2p.i = 0.0 mm


•

• • •

208


•

•

• • •

y4= 34.132 mm z4= 0.0 mm y5a= 0.879 mm z5a= 0.0 mm y5b= 0.0 mm z5b= 0.879 mm y6= 0 mm z6= 40.666 mm

•

•

• •

y8a= 0.0 mm z8a= 152.121 mm y8b= 0.879 mm z8b= 153.0 mm y9= 34.132 mm z9= 153.0 mm y10= 37.5 mm z10= 153.0 mm

y7= 0.0 mm y11a= 74.121 mm • z7= 112.334 mm z11a= 153.0 mm


EXEMPLO NUMÉRICO 1

Como referido anteriormente, a secção efectiva é constituída pelas parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta. A secção efectivap nominal devida a N (instab. distorcional) possui as seguintes propriedades: ND ND • I z.p ≡ I v.p = 464945 mm4

ND • y 0.cg.p = 32.084 mm

ND • Ap =

ND • z 0.cg.p = 76.5 mm

ND ND ND • I y.p ≡ Iu.p = 2374306 mm4 • Iyz.p =

510.78 mm2

0 mm4

F.3.3.2.b) Larguras efectivasp devido a momento em torno de u Para o caso de momento flector, os desvios do centro de gravidade afectam a distribuição de tensões, pelo é necessário calcular uma secção inicial com os banzos* efectivos e alma* bruta à qual está associada uma distribuição de tensões secundária e que permite o cálculo da secção efectiva final. Apenas será analisada o caso de momentos positivos em torno de u, já que para momentos negativos a distribuição de tensões é simétrica em torno de u e as propriedades semelhantes. F.3.3.2.b.1) Larguras efectivasp iniciais (a) Alma* Para momento em torno de u o elemento considerado como alma* corresponde à alma “real” da secção. Pelo descrito anteriormente, o cálculo de propriedades pressupõe um primeiro passo em que para a secção efectiva inicial a alma* é considerada toda bruta. •

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp = 75.617 mm

hp.i = 0 mm

;

(b) Banzos* e Reforços Para compressão os elementos considerados como banzos* correspondem aos banzos “reais” da secção. No caso da instabilidade distorcional, os conjuntos banzo-reforço “reais”, são analisados em conjunto. (b.1) Propriedades efectivasp iniciais (iteração 0) Banzos* (banzo superior e inferior “reais”)

Obtém-se o mesmo valor das larguras efectivasp que para o caso da instabilidade local. • bp1.e1 = bp1.e 2 = 33.254 mm •

;

bp1.i = 6.735 mm

b p 2.e1 = b p 2.e 2 = 0.5 ⋅ b p 2 = 36.621mm

;

b p 2.i = 0 mm



c p1.e = 27.546 mm

;

c p1.i = 1.575 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm 209


Para os cálculos posteriores, apresentar-se-ão apenas os cálculos para o conjunto banzo-reforço inferior, já que para o conjunto banzo-reforço superior, as larguras manter-se-ão sempre totalmente efectivas. Propriedades dos reforços equivalentes st1( 0 ) • y 0.cg.p = 65.426 mm

st1(0) • A p = 121.60 mm2

st1(0) • z 0.cg.p = 6.638 mm

st1(0) • Iy.p = 9975 mm4 st1(0) • I z.p = 15381 mm4


• K st.1.p = =

E ⋅ t3 1 ⋅ 2 (0) = 2 (0) 4 ⋅ (1− ν ) y 0.cg.st1 ⋅ [y 0.cg.st1 + hp ⋅ (1+ k *f.st1 )] 210 ⋅ 10 3 ⋅ 2 3 1 ⋅ = 0.4976 2 2 4 ⋅ (1− 0.3 ) 65.426 ⋅ (65.426 + 151.243)


•

σ

(0) cr .st .1

=

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st0.)eff .1 A (st0.)eff .1

=

2 ⋅ 0.4976 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅ 9975 = 531.02 MPa 121.60


•

λ(d0.st) 1 = fyb σ (cr0.)st1 = 360 531.02 = 0.823


•

χ (d0.st) 1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.823 = 0.8747


•

0) (0) σ (com .Ed.st1 = χ d.st1 ⋅ σ max .Ed = 0.8747 ⋅ 360.0 = 314.893 MPa


•

1) (0) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed = 2.0 ⋅ 0.8783 = 1.7494 σ com.Ed.st1

NOTAS:

-

210


EXEMPLO NUMÉRICO 1

-



Calculam-se as novas propriedades efectivasp do conjunto banzo-reforço inferior, mantendo os valores ψ bp1 e k σ,bp1 obtidos para a distribuição de tensões associadas à secção bruta. De salientar, que apenas as larguras associadas ao reforço equivalente serão modificadas, ou seja, as parcelas efectivasp adjacentes à alma, mantêm-se inalteradas. • •


(1) p.red.bp1

λ

= λ p.bp1 ⋅


fyb

314.893 ⋅ 1.0 = 0.746 360

= 0.797 ⋅

• K ρ.bp1 = 0.22 •

(1) bp1

ρ

=


λ

+ 0.18 ⋅

) λ p.bp1 − λ2p(.1red .bp1

λ p.bp1 − 0.6

0.746 − 0.22 0.797 − 0.746 + 0.18 ⋅ = 0.992 2 0.797 − 0.6 0.746

=

• b (p11) .eff = ρ(b1p)1 ⋅ b p1.c = 0.992 ⋅ 73.243 = 72.684 mm •

b (p11) .e1 = 0.5 ⋅ b (p11) .eff = 36.342 mm⎫⎪ ⎬ b (p11) .e 2 = 33.254 mm ⎪⎭

b (p11) .i = b p1.c − b (p11) .e1 − b (p11) .e 2 = 3.647 mm

⇒

Reforço inferior

Calculam-se as novas propriedades efectivas do banzo e do reforço, mantendo os valores ψ cp1 e k σ,cp1 obtidos para a distribuição de tensões associadas à secção bruta. De salientar, que apenas as larguras associadas ao reforço equivalente serão modificadas, ou seja, as parcelas efectivasp adjacentes à alma, mantêm-se inalteradas. • •


(1) p.red.c p1

λ

= λ p.cp1 ⋅


fyb

= 0.813 ⋅

314.893 ⋅ 1.0 = 0.760 360

• K ρ.cp1 = 0.188 •

ρ

(1) cp1

=


λ

como ρ (c1p)1 > 1 ⇒

+ 0.18 ⋅


=

0.760 − 0.188 0.813 − 0.760 + 0.18 ⋅ = 1.035 2 0.813 − 0.6 0.760

ρ (c1p)1 = 1.0 211


•

c (p11) .eff = ρ (c1p)1 ⋅ c p1.c = 1.0 ⋅ 29.121 = 29.121mm

•

c (p11) .e = c (p11) .eff = 29.121mm

;

c (p11) .i = c p1.c − c (p11) .eff = 0.0 mm


st1(1) • A p = 130.926 mm2

st1(1) • z 0.cg.p = 6.868 mm

st1(1) • I y.p = 11848 mm4 st1(1) • I z.p = 19752 mm4



•

σ

(1) cr .st .1

=

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st1).eff .1 A (st1).eff.1

=

2 ⋅ 0.4976 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅ 11848 = 537.51MPa 130.926


•

λ(d1.)st1 = fyb σ (cr1).st1 = 360 537.51 = 0.8184


•

χ (d1.)st1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8184 = 0.8783


•

Δχ (d1.)st1 = χ (d1.)st1 − χ (d0.st) 1 = 0.8783 − 0.8747 = −0.003607

•

Qχ (d1.)st1 = χ (d1.)st1 χ (d0.st) 1 = 0.8779 0.8783 =1.004123

Os critérios de paragem apresentados na Figura E.2 podem também ser escritos da forma como χ(dn.st) 1 − χ(dn.−st11) ≤ 0 e χ(dn.st) 1 χ (dn.−st11) ≈ 1. Ambos os critérios são verificados, no entanto, apresentam-se os resultados associados a convergência total, o que ocorre na 6.ª iteração. Tensão resistente reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 1)

•

1) (1) σ (com .Ed.red.st1 = χ d.st1 ⋅ σ com.Ed.st1 = 0.8783 ⋅ 360.0 = 316.191 MPa

Espessura efectivap reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 1) σ max .Ed 2) (1) = 2.0 ⋅ 0.8783 = 1.7566 • t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅ σ com.Ed.st1

212

EXEMPLO NUMÉRICO 1


• •

6) (5) σ (com .Ed.bp1 = σ com.Ed.red.st1

(6 ) p.red.bp1

λ

= λ p.bp1 ⋅


316.313 ⋅ 1.0 = 0.748 360

= 0.797 ⋅

fyb

• K ρ.bp1 = 0.22 ( 6) bp1

=

λ(p6.)red.bp1 − K ρ.bp1

+ 0.18 ⋅

λ p.bp1 − λ(p6.)red.bp1

=

0.748 − 0.22 0.797 − 0.748 = 0.990 + 0.18 ⋅ 2 0.797 − 0.6 0.748

•

ρ

•

b (p61).eff = ρ (b6p)1 ⋅ b p1.c = 0.990 ⋅ 73.243 = 72.48 mm

•

b (p61).e1 = 0.5 ⋅ b (p61).eff = 36.240 mm⎫⎪ ⎬ b (p61).e 2 = 33.254 mm ⎪⎭

2 ( 6) p.red.bp1

λ

λ p.bp1 − 0.6

⇒

b (p61).i = b p1.c − b (p61).e1 − b (p61).e 2 = 3.749 mm

Reforço inferior

• •

6) (5) σ (com .Ed.cp1 = σ com.Ed.red.st1

(6) p.red.c p1

λ

= λ p.cp1 ⋅


= 0.813 ⋅

fyb

316.313 ⋅ 1.0 = 0.762 360

• K ρ.cp1 = 0.188 •

ρ

(6) c p1

=

λ(p6.)red.cp1 − K ρ.cp1 2 (6 ) p.red.cp1

λ

como ρ (c6p1) > 1 ⇒

+ 0.18 ⋅

λ p.cp1 − λ(p6.)red.cp1 λ p.cp1 − 0.6

=

0.762 − 0.188 0.813 − 0.762 + 0.18 ⋅ = 1.032 2 0.813 − 0.6 0.762

ρ (c6p1) = 1.0

•

c (p61).eff = ρ (c6p1) ⋅ c p1.c = 1.0 ⋅ 29.121 = 29.121mm

•

c (p61).e = c (p61).eff = 29.121mm

;

c (p61).i = c p1.c − c (p61).eff = 0.0 mm


st1(6) • A p = 130.723 mm2

st1(6) • z 0.cg.p = 6.879 mm

st1(6) • I y.p = 11838 mm4 st1(6) • I z.p = 19608 mm4


• K st.1.p = 0.4976 – o mesmo valor que o da iteração 0.

213



•

σ

(6 ) cr .st .1

=

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st6.)eff.1 A (st6.)eff .1

2 ⋅ 0.4976 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅ 11838 = = 538.13 MPa 130.723


•

λ(d6.)st1 = fyb σ (cr6.)st1 = 360 538.13 = 0.8179


•

χ (d6.st) 1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8179 = 0.8786


•

Δχ (d6.st) 1 = χ (d6.st) 1 − χ (d5.st) 1 = 0.8786 − 0.8786 = 0.0

•

Qχ (d6.st) 1 = χ (d6.st) 1 χ (d5.st) 1 = 0.8786 0.8786 =1.0

Ambos os critérios são totalmente verificados e verifica-se a convergência total. Tensão resistente reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 6)

•

6) (6) σ (com .Ed.st1 = χ d.st1 ⋅ σ com.Ed.st1 = 0.8786 ⋅ 360.0 = 316.313 MPa


•

7) (6) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed = 2 .0 ⋅ 0.8786 = 1.7573 σ com.Ed.st1

NOTA: Como se pode verificar, os resultados obtidos para convergência total, são muito próximos, pelo que não é necessário continuar o processo iterativo desde que se verifiquem os critérios de paragem.

(c) Cálculo de propriedades (c.1) Momentos positivo +

• A pMu D =

+

• IMy.puD ≈ IuM.puD = 2607463 mm4 • IMyz.upD =

• y 0M.ucgD.p = 26.766 mm • z M0.ucgD.p = 78.937 mm

+

+

688.58 mm2

+

+

+

• IMz.puD ≈ IMv.puD = 626997 mm4 +

45789 mm4

(c.2) Momentos negativo −

• A pMuD =

−

• IMy.puD ≈ IuM.puD = 2607463 mm4 • IMyzu.pD =


−

−

688.58 mm2 −

−

−

• IMz.puD ≈ IMv.puD = 626997 mm4 −

-45789 mm4

NOTA: Tal como referido anteriormente, a eventual rotação dos eixos principais de inércia da secção efectiva em relação aos eixos principais da secção bruta é desprezada. Para secções valores muito grandes dessa rotação, a metodologia para o cálculo de resistência de secções e de barras definida em [F.4] EC3-1-3 não é válida. 214

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.3.3.2.b.2) Distribuição de tensões secundária A distribuição de tensões secundária obtém-se por meio de um processo sequencial, no qual as larguras efectivasp dos banzos são baseadas na distribuição de tensões associadas à secção bruta, mas as da(s) alma(s) são baseadas numa distribuição de tensões associada a uma secção com os banzos efectivos e alma(s) bruta(s). Como existe uma distribuição de tensões para cada secção efectivap, optou-se por não as apresentar integralmente no texto, mas dispondo os valores relevantes para a obtenção das larguras efectivasp finais. F.3.3.2.b.3) Larguras efectivasp finais (a) Alma* Tal como referido anteriormente o efeito da eventual instabilidade local nas paredes da alma* é contabilizado pelo cálculo de larguras efectivasp com base numa distribuição de tensões secundária numa secção com banzos* efectivos e almas* brutas. (a.1) Momento positivo

Apesar da distribuição de tensões na secção bruta ser simétrica (dada a simetria da secção em torno de u) a distribuição secundária de tensões pode não o ser, pois a existência de parcelas inefectivas no banzo inferior, provoca a subida de linha neutra. • •

hp = 151.243 mm t = t hp = 2.0 mm σ5Mbu.p = 0.976⋅ fy σM8au.p = −0.916⋅ fy

⎫⎪ ⎬ hp / t = 75.6 ⎪⎭

⎫⎪ σM8au.p ψ = = −0.938 ⇒ k σ,hp = 7.81− 6.29⋅ ψhp + 9.78⋅ ψh2p = 22.304 ⎬ hp Mu σ5b.p ⎪⎭

• hp.c = hp (1− ψ hp ) = 78.058 mm ; hp 12 ⋅ (1− ν 2 ) ⋅ fyb

•

λ p.hp =

•


2


t

=

hp.t = hp - hp.c = 73.184 mm



=

75.6 22.95 ⋅ 22.304

= 0.697

= λ p.hp = 0.697

• K ρ.hp = 0.055 ⋅ (3 − 0.938) = 0.055 ⋅ 2.062 = 0.113 •

ρhp =

λ p.red.hp − K ρ.hp 2 p.red.hp

λ

como ρ hp > 1 ⇒

+ 0.18 ⋅

λ p.hp − λ p.red.hp λ p.hp − 0.6

=

0.697 − 0.113 = 1.165 0.6972

ρ hp = 1.0

• hp.e1 = hp.e2 = 0.5 ⋅ 151.243 = 75.621 mm

;

hp.i = 0.0 mm

215


(a.2) Momento negativo

Dada a simetria da secção, a distribuição de tensões secundária da alma associada a momento positivo em torno de u é simétrica à distribuição de tensões associada a momento negativo em torno de u. As larguras efectivasp na alma têm o mesmo valor, mas posicionamento simétrico. • hp.e1 = hp.e2 = 0.5 ⋅ 151.243 = 75.621 mm

;

hp.i = 0.0 mm

(b) Banzos* e Reforços Para ambos os banzos* inferior e superior, as larguras efectivasp iniciais determinadas anteriormente, são as que juntamente com as secundárias das almas* e dos reforços constituem a secção efectivap final para momento em torno de u. Por essa razão não é necessário fazer nenhum cálculo adicional de larguras efectivasp dos banzos* baseado na distribuição de tensões secundária. (b.1) Momento positivo

•

b p1.e1 = 36.240 mm

b p1.e 2 = 33.254 mm

•

b p 2.e1 = b p 2.e 2 = 0.5 ⋅ b p 2 = 36.621mm

•

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm

•

t red.st1 = 1.7573 mm

;

;

b p1.i = 3.749 mm

;

b p 2.i = 0 mm

;

b p1.i = 0 mm


•

b p1.e1 = b p1.e 2 = 0.5 ⋅ b p1 = 36.621mm

•

b p 2.e1 = 33.254 mm

•

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm

•

t red.st 2 = 1.7573 mm

b p 2.e 2 = 36.240 mm

;

;

b p 2.i = 3.749 mm

(c) Cálculo de propriedades (c.1) Momento positivo

As larguras efectivasp nominais apresentadas na Figura F.14, podem ser obtidas por: +

+

+

+

+

+

+

+

• hpM.eu1D = 75.621 mm • b1Mp.ueD1 = 36.24 mm • b M2pu.De1 = 36.621 mm • c1Mp.ueD = 29.121 mm +

• hpM.iu D = 0.0 mm +

MD • b1p.ui = 3.749 mm • b M2pu.Di = 0.0 mm

+

• c1Mp.uiD = 0.0 mm +

• hpM.eu D2 = 75.621 mm • b1Mp.ueD2 = 33.254 mm • b M2pu.De 2 = 36.621 mm • c M2pu.De = 29.121 mm +

uD = 1.757 mm • t pM.red

216

+

• c M2pu.Di = 0.0 mm

EXEMPLO NUMÉRICO 1

b2p.e1

z

b2p.e2

4e1

4e2

9=10

11a 11b

c2p.e

8a 8b

Δzcg.peff,MuD+

hp.e2

5e

zcg.peff,MuD+

3e2

hp.e1

tred

c1p.e

tred

v

12=13

cg.peff,MuD+ u Δycg.peff,MuD+

7 1 6

1e

3e1 5b 5a

b1p.e2

β

2e2 4 ycg.peff,MuD+

b1p.e1

3

2e1

y

2b 2a

Figura F.14 – Secção efectiva nominal devida a Mu– – instab. distorcional.


•

•

•

•


•

•

•

•

•


•

•

•

•

•

y8a= 0.0 mm

• y11b= 75.0 mm

z8a= 152.121 mm y8b= 0.879 mm

z11b= 152.121 mm • y12= 75.0 mm

z8b= 153.0 mm y9= 37.5 mm

z12= 123.0 mm • y13= 75.0 mm

z9= 153.0 mm

z13= 123.0 mm

y10= 37.5 mm z10= 153.0 mm y11a= 74.121 mm z11a= 153.0 mm

À semelhança, dos casos casos anteriores, a secção efectiva é constituída pelas parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta. Cálculo de propriedades A secção efectivap nominal devida a Mu+ (instab. distorcional) possui as seguintes propriedades: +

• A pMu D =

+

• IMy.pu D ≈ IuM.pu D = 2607463 mm4 • IMyzu.pD =


+

+

688.58 mm2 +

+

+

• IMz.pu D ≈ IMv.pu D = 629997 mm4 +

45789 mm4

217


F.3.3.2.c) Larguras efectivasp devido a momento em torno de v A instabilidade distorcional apenas pode ocorrer se os reforços de extremidade estiverem sujeitos a compressão, o que só acontece para momentos positivos em torno de v. F.3.3.2.c.1) Larguras efectivasp iniciais (a) Almas* e Reforços Para momento em torno de v os elementos considerados como almas* correspondem aos banzos “reais” da secção. Por se considerarem como almas*, neste passo da metodologia, consideram-se as suas propriedades brutas. Os reforços de extremidade são considerados como parte dos elementos a que ligam (neste caso os banzos “reais” da secção), logo para momento em torno de v são considerados como parte da alma*, pelo que neste passo de cálculo são considerados brutos. As larguras e propriedades efectivasp serão obtidas com base numa distribuição de tensões secundária. •

bp1.e1 = bp1.e 2 = 0.5 ⋅ bp1 = 36.621mm

;

bp1.i = 0 mm

•

bp 2.e1 = bp 2.e 2 = 0.5 ⋅ bp 2 = 36.621mm

;

bp 2.i = 0 mm

•

c p1.e = 29.121mm

;

c p1.i = 0 mm

•

c p 2.e = 29.121mm

;

c p 2.i = 0 mm

(b) Banzo* Para momento em torno de v o elemento considerado como banzo* corresponde à alma “real” da secção. Pelo descrito anteriormente, o cálculo de propriedades pressupõe um passo em que, para a secção efectiva inicial, a alma* é considerada toda bruta e os banzos* efectivos. (b.1) Momento positivo

Para momento positivo em torno de v, a alma está à tracção, logo é totalmente efectiva. •

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp = 75.617 mm

hp.i = 0 mm

;

(c) Cálculo de propriedades (c.1) Momentos positivo +

• A pMv D =

+

• IMy.pv D ≡ IuM.pv D = 2733767 mm4 • IMyz.vpD =

vD • y M0.cg .p = 27.703 mm vD • z M0.cg .p = 76.500 mm

+

+

711.94 mm2 +

+

+

• IMz.pv D ≡ IMv.pv D = 651951 mm4 +

0 mm4

F.3.3.2.c.2) Distribuição de tensões secundária A distribuição de tensões secundária obtém-se por meio de um processo sequencial, no qual as larguras efectivasp dos banzos são baseadas na distribuição de tensões associadas à secção bruta, mas as da(s) alma(s) são baseadas numa distribuição de tensões associada a uma secção com os banzos efectivos e alma(s) bruta(s). Como existe uma distribuição de tensões para cada secção efectivap, optou-se por não as apresentar integralmente no texto, mas dispondo os valores relevantes para a obtenção das larguras efectivasp finais. 218

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.3.3.2.c.3) Larguras efectivasp finais (a) Almas* e Reforços Tal como referido anteriormente o efeito da eventual instabilidade local nas paredes da alma* é contabilizado pelo cálculo de larguras efectivasp com base numa distribuição de tensões secundária numa secção com banzos* efectivos e almas* brutas. Os elementos considerados como almas* correspondem aos banzos “reais” da secção. (a.1) Propriedades efectivasp iniciais (iteração 0) Almas* (banzo superior e inferior “reais”)

Obtém-se o mesmo valor das larguras efectivasp que para o caso da instabilidade local. • bp1.e1 = bp1.e2 = 0.5 ⋅ 73.243 = 36.621 mm

;

bp1.i = 0.0 mm

• bp2.e1 = bp2.e2 = 0.5 ⋅ 73.243 = 36.621 mm

;

bp1.i = 0.0 mm



c p1.e = 27.546 mm

;

c p1.i = 1.575 mm

•

c p 2.e = 27.546 mm

;

c p 2.i = 1.575 mm

Para os cálculos posteriores, apresentar-se-ão apenas os cálculos para o conjunto banzo-reforço inferior, já que para o conjunto banzo-reforço superior, as larguras efectivas são simétricas em relação ao eixo u. Propriedades dos reforços equivalentes st1( 0 ) • y 0.cg.p = 64.048 mm

st1(0) • A p = 128.335 mm2

st1(0) • z 0.cg.p = 6.29 mm

st1(0) • Iy.p = 10258 mm4 st1(0) • I z.p = 19782 mm4


Para a situação de momento em torno de v, não existe uma definição explícita de mola equivalente a um apoio elástico em EC3-1-3 [F.4], pelo que a alternativa conservativa é a de considerar uma mola equivalente como se de um problema de compressão se tratasse. • K st.1.p = =

E ⋅ t3 1 ⋅ 2 (0) = 2 (0) 4 ⋅ (1− ν ) y 0.cg.st1 ⋅ [y 0.cg.st1 + hp ⋅ (1+ k *f.st1 )] 210 ⋅ 10 3 ⋅ 2 3 1 ⋅ = 0.3867 2 2 4 ⋅ (1− 0.3 ) 64.048 ⋅ (64.048 + 151.243 ⋅ (1+ 0.5))


•

σ

(0) cr .st .1

=


=

2 ⋅ 0.3867 ⋅ 210 ⋅10 3 ⋅10258 = 449.82 MPa 128.335 219



•

λ(d0.st) 1 = fyb σ(cr0.)st1 = 360 449.82 = 0.895


•

χ (d0.st) 1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.895 = 0.8232


•

0) (0) σ (com .Ed.st1 = χ d.st1 ⋅ σ max .Ed = 0.8232 ⋅ 360.0 = 296.352 MPa


•

1) (0 ) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed = 2.0 ⋅ 0.8232 = 1.6464 σ com.Ed.st1

NOTAS:

-


-


(a.2) Propriedades efectivasp da iteração 1 Alma* (banzos inferior “real”)

Calculam-se as novas propriedades efectivasp do conjunto banzo-reforço inferior, mantendo os valores ψ bp1 e k σ,bp1 obtidos para a distribuição de tensões associadas à secção bruta. De salientar, que apenas as larguras associadas ao reforço equivalente serão modificadas, ou seja, as parcelas efectivasp adjacentes à alma, mantêm-se inalteradas. • •


(1) p.red.bp1

λ

= λ p.bp1 ⋅

• K ρ.bp1 = 0.133

220


fyb

= 0.416 ⋅

296.352 ⋅ 1.0 = 0.377 360

EXEMPLO NUMÉRICO 1

•

(1) bp1

ρ

=


λ

como ρ(b1p)1 > 1 ⇒

λp.bp1 − λp(1.)red.bp1

+ 0.18 ⋅

0.377 − 0.133 0.416 − 0.377 + 0.18 ⋅ = 1.679 2 0.416 − 0.6 0.377

=

λp.bp1 − 0.6

ρ(b1p)1 = 1.0

• bp1.e1 = bp1.e 2 = 0.5 ⋅ bp1 = 36.621mm

bp1.i = 0 mm

;

Reforço inferior

Calculam-se as novas propriedades efectivas do banzo e do reforço, mantendo os valores ψ cp1 e k σ,cp1 obtidos para a distribuição de tensões associadas à secção bruta. De salientar, que apenas as larguras associadas ao reforço equivalente serão modificadas, ou seja, as parcelas efectivasp adjacentes à alma, mantêm-se inalteradas. • •


(1) p.red.cp1

λ

= λ p.cp1 ⋅


fyb

= 0.813 ⋅

296.352 ⋅ 1.0 = 0.737 360

• K ρ.cp1 = 0.188 •

•

(1) cp1

ρ

=


λ

+ 0.18 ⋅


como ρ (c1p)1 > 1 ⇒

ρ (c1p)1 = 1.0

c p1.e = 29.121mm

;

=

0.737 − 0.188 0.813 − 0.737 + 0.18 ⋅ = 1.075 2 0.813 − 0.6 0.737

c p1.i = 0 mm


st1(1) • A p = 131.485 mm2

st1(1) • z 0.cg.p = 6.839 mm

st1(1) • I y.p = 11874 mm4 st1(1) • I z.p = 20152 mm4



•

σ (cr1).st.1 =

2 ⋅ K st.1 ⋅ E ⋅ I(st1).eff.1 A (st1).eff.1

=

2 ⋅ 0.3867 ⋅ 210 ⋅10 3 ⋅ 11874 = 472.37 MPa 131.485


•

λ(d1.)st1 = fyb σ (cr1).st1 = 360 472.37 = 0.8730 221



•

χ (d1.)st1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8730 = 0.8388


•

Δχ (d1.)st1 = χ (d1.)st1 − χ (d0.st) 1 = 0.8388 − 0.8232 = 0.015624

•

Qχ (d1.)st1 = χ (d1.)st1 χ (d0.st) 1 = 0.8388 0.8232 =1.018979

Os critérios de paragem apresentados na Figura E.2 podem também ser escritos da forma como χ(dn.st) 1 − χ(dn.−st11) ≤ 0 e χ(dn.st) 1 χ (dn.−st11) ≈ 1. Ambos os critérios são verificados, no entanto, apresentam-se os resultados associados a convergência total, o que ocorre na 2.ª iteração. Tensão resistente reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 1)

•

1) (1) σ (com .Ed.red.st1 = χ d.st1 ⋅ σ com.Ed.st1 = 0.8388 ⋅ 360.0 = 301.977 MPa

Espessura efectivap reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 1) σ max .Ed 2) (1) = 2.0 ⋅ 0.8388 = 1.6776 • t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅ σ com.Ed.st1 (a.3) Propriedades efectivasp da iteração 2 Alma* (banzos inferior “real”)

• •

2) (1) σ(com .Ed.bp1 = σ com.Ed.red.st1

( 2) p.red.bp1

λ

= λ p.bp1 ⋅

2) σ(com .Ed.bp1 ⋅ γ M 0

fyb

= 0.416 ⋅

301.977 ⋅ 1.0 = 0.381 360

• K ρ.bp1 = 0.133 •

( 2) bp1

ρ

=

λ(p2.)red.bp1 − K ρ.bp1 2 ( 2) p.red.bp1

λ

como ρ(b2p1) > 1 ⇒ •

+ 0.18 ⋅

) λp.bp1 − λp( 2.red .bp1

=

λp.bp1 − 0.6

0.381− 0.133 0.416 − 0.381 + 0.18 ⋅ = 1.674 2 0.381 0.416 − 0.6

ρ(b2p1) = 1.0

bp1.e1 = bp1.e2 = 0.5 ⋅ bp1 = 36.621mm

;

bp1.i = 0 mm

Reforço inferior

• •


( 2) p.red.cp1

λ

= λ p.cp1 ⋅

• K ρ.cp1 = 0.188

222

2) σ(com .Ed.cp1 ⋅ γ M 0

fyb

= 0.813 ⋅

301.977 ⋅ 1.0 = 0.744 360

EXEMPLO NUMÉRICO 1

•

•

ρ

( 2) c p1

=

λ(p2.)red.cp1 − K ρ.cp1 2 ( 2) p.red.cp1

λ

+ 0.18 ⋅

λ p.cp1 − λ(p2.)red.cp1 λ p.cp1 − 0.6

como ρ(c2p1) > 1 ⇒

ρ(c2p1) = 1.0

c p1.e = 29.121mm

;

=

0.813 − 0.744 0.744 − 0.188 + 0.18 ⋅ = 1.063 2 0.813 − 0.6 0.744

c p1.i = 0 mm


st1(2) • A p = 131.485 mm2

st1(2) • z 0.cg.p = 6.839 mm

st1(2) • I y.p = 11874 mm4 st1(2) • I z.p = 20152 mm4



•

σ

( 2) cr .st .1

=


=

2 ⋅ 0.3867 ⋅ 210 ⋅10 3 ⋅11874 = 472.37 MPa 131.485


•

λ(d2.st) 1 = fyb σ (cr2.)st1 = 360 472.37 = 0.8730


•

χ (d2.st) 1 = 1.47 − 0.723 ⋅ 0.8730 = 0.8388


•

Δχ (d2.st) 1 = χ (d2.st) 1 − χ (d1.)st1 = 0.8388 − 0.8388 = 0.0

•

Qχ (d2.st) 1 = χ (d2.st) 1 χ (d1.)st1 = 0.8388 0.8388 =1.0

Ambos os critérios são totalmente verificados e verifica-se a convergência total. Tensão resistente reduzida do reforço de extremidade inferior (iteração 2)

•

2) ( 2) σ (com .Ed.st1 = χ d.st1 ⋅ σ com.Ed.st1 = 0.8388 ⋅ 360.0 = 301.977 MPa


•

3) ( 2) t (red .st1 = t st1 ⋅ χ d.st1 ⋅

σ max .Ed = 2.0 ⋅ 0.8388 = 1.6776 σ com.Ed.st1

NOTA: Como se pode verificar, os resultados obtidos para convergência total, são muito próximos, pelo que não é necessário continuar o processo iterativo desde que se verifiquem os critérios de paragem. 223


(b) Banzo* Para o banzo* (correspondente à alma “real” da secção) as larguras efectivasp iniciais determinadas anteriormente, são as que juntamente com as secundárias das almas* e dos reforços constituem a secção efectivap final para momento em torno de v. Por essa razão não é necessário fazer nenhum cálculo adicional de larguras efectivasp do banzo* baseado na distribuição de tensões secundária. (b.1) Momento positivo

Para momento positivo em torno de v, a alma está à tracção, logo é totalmente efectiva. •

hp.e1 = hp.e 2 = 0.5 ⋅ hp = 75.617 mm

hp.i = 0 mm

;

(c) Cálculo de propriedades (c.1) Momento positivo

As larguras efectivasp nominais apresentados na Figura F.15, obtém-se por: +

• b1Mp.veD1 = b M2pv.De 2 = 36.621 mm • c1Mp.veD = c M2pv.De = 29.121 mm

+

• b1Mp.viD = b M2pv.Di = 0.0 mm

+

vD = 1.678 mm • b1Mp.veD2 = b M2pv.De1 = 36.621 mm • t pM.red

• hpM.ev 1D = 75.621 mm • hpM.iv D = 0.0 mm

+

+

+

+

+

• hpM.ev D2 = 75.621 mm

+

+

+

+

+

• c1Mp.viD = c M2pv.Di = 0.0 mm +


•

•

•

•


•

•

•

•

•


•

•

•

•

•

y8a= 0.0 mm

• y11b= 75.0 mm

z8a= 152.121 mm y8b= 0.879 mm

z11b= 152.121 mm • y12= 75.0 mm

z8b= 153.0 mm y9= 37.5 mm

z12= 123.0 mm • y13= 75.0 mm

z9= 153.0 mm

z13= 123.0 mm

y10= 37.5 mm z10= 153.0 mm y11a= 74.121 mm z11a= 153.0 mm

Como referido anteriormente, a secção efectiva é constituída pelas parcelas efectivas e inefectivas da secção bruta. A secção efectivap nominal devida a Mv+ (instab. distorcional) possui as seguintes propriedades: +

• A pMv D =

+

• IMy.pv D ≡ IuM.pv D = 2524250 mm4 • IMyz.vpD =

vD • y M0.cg .p = 25.386 mm vD • z M0.cg .p = 76.5 mm

224

+

+

669.56 mm2 +

+

+

• IMz.pv D ≡ IMv.pv D = 585049 mm4 +

0 mm4

EXEMPLO NUMÉRICO 1

z

b2p.e2

b2p.e1

4e1

9

10 11a 11b

c2p.e

4e2

5e

3e2

hp.e2

tred

8a 8b

v cg.peff,MvD+ u Δycg.peff,MvD+

zcg.peff,MvD+

tred

c1p.e

hp.e1

6=7

1

3e1

2e1 1e 5b 5a

b1p.e1

b1p.e2

2e2 ycg.peff,MvD+

4

3

y

2b 2a

Figura F.15 – Secção efectiva nominal devida a Mv+ – instab. distorcional.

F.4. RESISTÊNCIA DE SECÇÕES

Apresentaram-se os cálculos de propriedades, quer em secção idealizada como em secção nominal, no entanto, para o cálculo da resistência de secções, consideram-se apenas as propriedades nominais. F.4.1. Esforço axial de tracção ηNt ,a =

|NEd | 20.0 = = 0.072 ≤ 1.0 √ Nt.Rk ,a / γ M0 276.5

(F.2a)

Para esforço axial de tracção não há instabilidade local, podendo considerar-se o endurecimento do aço nas dobras em situações de tracção pura. O esforço axial resistente obtém-se por: 711.94 ⋅ 388.32 Nt.Rk ,a = A g ⋅ fya = = 276.5 kN (F.2b) 1.0 ⋅ 1000 Em situações de flexão desviada, deverá considerar-se alternativamente o esforço axial resistente sem consideração do endurecimento do aço dado por: Nt.Rk ,b = A g ⋅ fyb =

711.94 ⋅ 360.00 = 256.3 kN 1.0 ⋅ 1000

(F.2c)

Ao qual está associado um nível de utilização ηNt ,b dado por: ηNt ,b =

|NEd | 20.0 = = 0.078 ≤ 1.0 √ Nt.Rk ,b / γ M0 256.3

(F.2d)

F.4.2. Esforço axial de compressão

ηc,Nc =

|NEd | 20.0 = = 0.109 ≤ 1.0 √ Nc.eff.Rk / γ M0 183.9 ⋅ 1.0

(F.3a)

225


Como a secção efectiva é inferior à bruta o esforço axial resistente obtém-se por: Nc.eff .Rk = A eff ⋅ fyb = 510.78 ⋅ 360 / 1000 = 183.9 kN

(F.3b)

F.4.2.1. Desvios do centro geométrico das secções efectivasp em relação à secção bruta

Secção efectivap – NL (instabilidade local) eff .L NL • eNu = v cg,eff − v cg = 0.000 mm

(F.3c)

eff .L NL • eNv = ucg,eff − ucg = 6.367 mm

(F.3d)

Secção efectivap – ND (instabilidade distorcional) eff .D ND • eNu = v cg,eff − v cg = 0.000 mm

(F.3e)

eff .D ND • eNv = ucg,eff − ucg = 4.381 mm

(F.3f)

NOTA: Apresentaram-se os desvios dos centros geométricos das secções efectivas devidas a instabilidades local e distorcional em relação ao centro geométrico da secção bruta; no entanto, a existir secção efectiva devido a instabilidade distorcional, esta por ser mista local-distorcional será sempre inferior à secção efectiva devido a instabilidade local, por isso, os desvios do centro geométrico relevantes serão forçosamente os devido a instabilidade distorcional. F.4.3. Momento flector em torno dos eixos principais de inércia F.4.3.1. Definições auxiliares

a) Módulos de flexão associados às fibras extremas com menores e maiores valores das coordenadas segundo os eixos principais de inércia Secção bruta • Wu,v min = Iu / v min = 2733767 / 77.5 = 35274.4 mm³

(F.4a)

• Wu,v max = Iu / v max = 2733767 / 77.5 = 35274.4 mm³

(F.4b)

• Wv,umin = Iv / umin = 651951 / 28.7 = 22713.8 mm³

(F.4c)

• Wv ,umax = Iv / umax = 651951 / 48.3 = 13498.8 mm³

(F.4d)

Secção efectivap – MuL+ (instabilidade local) eff .L + • Wu,v min = (Iu / v min )eff.L + = 2645883 / 79.2 = 33409.2 mm³

(F.4e)

eff .L + • Wu,v max = (Iu / v max )eff .L + = 2645883 / 75.8 = 34904.4 mm³

(F.4f)

Secção efectivap – MuD+ (instabilidade distorcional)

226

eff .D + • Wu,v min = (Iu / v min )eff.D+ = 2607463 / 79.9 = 32619.0 mm³

(F.4g)

eff .D + • Wu,v max = (Iu / v max )eff .D+ = 2607463 / 75.1 = 34737.0 mm³

(F.4h)

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Secção efectivap – MuL– (instabilidade local) eff .L − • Wu,v min = (Iu / v min )eff.L − = 2645883 / 75.8 = 34904.4 mm³

(F.4i)

eff .L − • Wu,v max = (Iu / v max )eff.L − = 2645883 / 79.2 = 33409.2 mm³

(F.4j)

Secção efectivap – MuD– (instabilidade distorcional) eff .D − • Wu,v min = (Iu / v min )eff.D− = 2607463 / 75.1 = 34737.0 mm³

(F.4k)

eff .D − • Wu,v max = (Iu / v max )eff .D− = 2607463 / 79.9 = 32619.0 mm³

(F.4l)

Secção efectivap – MvL+ (instabilidade local) eff .L + • Wv ,umin = (I v / umin )eff .L + = 637731 / 28.3 = 22550.1 mm³

(F.4m)

eff .L + • Wv,umax = (I v / umax )eff.L + = 637731 / 48.7 = 13089.9 mm³

(F.4n)

Secção efectivap – MvD+ (instabilidade distorcional) eff .D + • Wv,umin = (Iv / umin )eff .D+ = 585049 / 26.4 = 22173.2 mm³

(F.4o)

eff .D + • Wv,umax = (I v / umax )eff.D+ = 585049 / 50.6 = 11558.9 mm³

(F.4p)

Secção efectivap – MvL– (instabilidade local) eff .L − • Wv ,umin = (I v / umin )eff .L − = 514171 / 35.7 = 14408.1 mm³

(F.4q)

eff .L − • Wv,umax = (I v / umax )eff.L − = 514171 / 41.3 = 12445.5 mm³

(F.4r)

b) Módulos de flexão associados às máximas tensões de tracção e de compressão Os módulos de flexão associados às máximas tensões de tracção e de compressão, são totalmente dependentes do sinal dos momentos flectores actuantes, pelo que existem múltiplas combinações possíveis para as fibras sujeitas a maior tracção e compressão. Obtém-se: Secção bruta +

u u = σ Mv min ⇔ Wu,+com = Wu,+vmin = Wu,vmin = 35274.4 mm³ • σ Mcom

−

u u = σ Mv max ⇔ Wu,−com = Wu,−vmax = Wu,vmax = 35274.4 mm³ • σ Mcom

+

v v = σ uMmax ⇔ Wv,+com = Wv,+umax = Wv,umax = 13498.8 mm³ • σ Mcom

−

v v = σ uMmin ⇔ Wv,−com = Wv,−umin = Wv,umin = 22713.8mm³ • σ Mcom

+

u ⇔ Wu,+ten = Wu,+vmax = Wu,vmax = 35274.4 mm³ • σ Mtenu = σ Mv max

−

u ⇔ Wu,−ten = Wu,−vmin = Wu,vmin • σ Mtenu = σ Mv min

(F.5a) (F.5b) (F.5c) (F.5d) (F.5e)

= 35274.4 mm³

(F.5f)

v ⇔ Wv,+ten = Wv,+umin = Wv,umin = 22713.8 mm³ • σ Mtenv = σ uMmin

(F.5g)

+

−

v ⇔ Wv,−ten = Wv,−umax = Wv,umax = 13498.8 mm³ • σ Mtenv = σ uMmax

(F.5h)

227


Secções efectivasp (mais desfavorável entre instabilidade local e distorcional) +

Mu + + u ⇔ Wu,effcom = Wu,effvmin = 32619.0 mm³ • σ Mcom ,eff = σ v min,eff −

Mu − − u ⇔ Wu,effcom = Wu,effvmax = 32619.0 mm³ • σ Mcom ,eff = σ v max,eff +

Mv + + v ⇔ Wv,effcom = Wv,effumax = 11558.9 mm³ • σ Mcom ,eff = σ u max,eff −

Mv − − v ⇔ Wv,effcom = Wv,effumin = 14408.1 mm³ • σ Mcom ,eff = σ u min,eff +

+ u = 34737.0 mm³ ⇔ Wu,efften+ = Wu,effvmax • σ Mtenu ,eff = σ Mv max, eff

(F.5i) (F.5j) (F.5k) (F.5l) (F.5m)

−

= 34737.0 mm³

(F.5n)

+

= 22173.2 mm³

(F.5o)

− v ⇔ Wv,efften− = Wv,effumax = 12445.5 mm³ • σ Mtenv ,eff = σ uMmax, eff

(F.5p)

− u ⇔ Wu,efften− = Wu,effvmin • σ Mtenu ,eff = σ Mv min, eff + v ⇔ Wv,efften+ = Wv,effumin • σ Mtenv ,eff = σ uMmin, eff −

c) Módulos de flexão associados a flexão simples Para flexão simples os módulo de flexão (elásticos ou efectivosp) vêm: Secção bruta • Wu = min( Wu,v min ; Wu,v max ) = min( Wu,com ; Wu,ten ) = 35274.4 mm³

(F.6a)

• Wv = min( Wv,u min ; Wv,u max ) = min( Wv, com ; Wv, ten ) = 13498.8 mm³

(F.6b)

Secção efectivap – Mu+ (mais desfavorável entre instabilidade local e distorcional) eff + eff + eff + eff + eff + • Wu = min( Wu,v min ; Wu,v max ) = min( Wu,com ; Wu,ten ) = 32619.0 mm³

(F.6c)

Secção efectivap – Mu– (mais desfavorável entre instabilidade local e distorcional) eff − eff − eff − eff − eff − • Wu = min( Wu,v min ; Wu,v max ) = min( Wu,com ; Wu,ten ) = 32619.0 mm³

(F.6d)

Secção efectivap – Mv+ (mais desfavorável entre instabilidade local e distorcional) eff + eff + eff + eff + eff + • Wv = min( Wv,umin ; Wv ,u max ) = min( Wv ,com ; Wv ,ten ) = 11558.9 mm³

(F.6e)

Secção efectivap – Mv– (mais desfavorável entre instabilidade local e distorcional) eff − eff − eff − eff − eff − • Wv = min( Wv ,umin ; Wv ,umax ) = min( Wv ,com ; Wv ,ten ) = 12445.5 mm³

(F.6f)

F.4.3.2. Flexão simples + | MEd ,u |

+

ηuc,M,t = η

u− c ,M , t

η

v+ c ,M , t

−

=

=

ηcv,M,t =

228

+

M uc.eff .Rk / γ M0 − | MEd ,u |

M

u− c.eff .Rk

/ γ M0

+ | MEd ,v |

M

v+ c.eff .Rk

/ γ M0

− | MEd ,v | −

M cv.eff .Rk / γ M0

=

| 4.7| = 0.400 ≤ 1.0 √ 11.74

(F.7a)

=

| 4.7| = 0.400 ≤ 1.0 √ 11.74

(F.7b)

=

|1.1| = 0.264 ≤ 1.0 √ 4.16

(F.7c)

=

|1.1| = 0.246 ≤ 1.0 √ 4.48

(F.7d)

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Como todos os módulos de flexão efectivos para momentos em torno dos eixos u e v são inferiores ao da secção bruta os momentos flectores resistentes obtém-se por: +

M uc.eff.Rk = Wueff + ⋅ fyb = 32619.0 ⋅ 360 / 10 6 = 11.74 kN.m −

M uc.eff.Rk = Wueff − ⋅ fyb = 32619.0 ⋅ 360 / 10 6 = 11.74 kN.m +

M cv.eff.Rk = Wveff + ⋅ fyb = 11558.9 ⋅ 360 / 10 6 = 4.16 kN.m −

M cv.eff .Rk = Wveff − ⋅ fyb = 12445.5 ⋅ 360 / 10 6 = 4.48 kN.m F.4.3.3.

(F.7e) (F.7f) (F.7g) (F.7h)

Flexão desviada

A parcela associada a flexão desviada, é composta pelas contribuições dos momentos actuantes em torno dos eixos u e v: + + | MEd | MEd ,u | ,v | u+ ,v + u+ v+ ηc,M,t = ηc,M,t + ηc,M,t = u+ + v+ = M c.eff.Rk / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0 | 4.7 | |1.10 | √ (F.8a) = + = 0.400 + 0.264 = 0.664 ≤ 1.0 11.74 4.16 u+ ,v − c ,M ,t

η =

u+ c ,M ,t

=η

+η

v− c ,M ,t

=

−

+

−

− | MEd ,u |

+

+

−


=

−

Muc.eff .Rk / γ M0

+

+ | MEd ,v | +


(F.8b)

=

| −4.7 | |1.10 | + = 0.400 + 0.264 = 0.664 ≤ 1.0 11.74 4.16

√

(F.8c)

| −4.7 | | −1.10 | + = 0.400 + 0.246 = 0.646 ≤ 1.0 √ 11.74 4.48

(F.8d)

−

−

−

− | MEd ,u |

−

ηuc,M,v,t = ηuc,M,t + ηcv,M,t = =

+

Muc.eff .Rk / γ M0

− | MEd ,v |

| 4.7 | | −1.10 | + = 0.400 + 0.246 = 0.646 ≤ 1.0 √ 11.74 4.48

ηuc,M,v,t = ηuc,M,t + ηcv,M,t = =

+ | MEd ,u |

−

Muc.eff.Rk / γ M0

+

− | MEd ,v | −

M cv.eff.Rk / γ M 0

=

F.4.4. Flexão desviada composta com tracção

As curvas de interacção considerando a simultaneidade de actuação de esforço axial de tracção e momentos em torno de u e v resultam em: Esforço axial de tracção + Flexão em torno do eixo u +

+

ηuc,M,Nt = ηc,Nt ,b + ηuc,M,t = =

|M+ | | NEd | + u+ Ed,u = Nt.Rk ,b / γ M 0 M c.eff .Rk / γ M0

20.0 | 4.7 | + = 0.078 + 0.400 = 0.478 ≤ 1.0 256.30 11.74

√

(F.9a)

229


−

−

ηuc,M,Nt = ηc,Nt ,b + ηuc,M,t = =

|M− | | NEd | + u+ Ed,u = Nt.Rk ,b / γ M 0 M c.eff .Rk / γ M0

20.0 | −4.7 | + = 0.078 + 0.400 = 0.478 ≤ 1.0 √ 256.30 11.74

(F.9b)

Esforço axial de tracção + Flexão em torno do eixo v +

+

ηcv,M,Nt = ηc,Nt ,b + ηcv,M,t = =

η =

|M+ | | NEd | + v + Ed,v = Nt.Rk ,b / γ M 0 M c.eff .Rk / γ M0

20.0 |1.10 | + = 0.078 + 0.264 = 0.342 ≤ 1.0 √ 256.30 4.16

v− c ,M ,Nt

= ηc,Nt ,b + η

v− c ,M ,t

(F.9c)

− | MEd | NEd | ,v | = + v− = Nt.Rk ,b / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0

20.0 | −1.10 | + = 0.078 + 0.246 = 0.324 ≤ 1.0 √ 256.30 4.48

(F.9d)

Esforço axial de tracção + Flexão desviada u+ ,v + c ,M,Nt

η =

u+ c ,M ,t

= ηc,Nt ,b + η

+η

v+ c ,M ,t

+

−

+

−

−

+

−

+

√

(F.9e)

√

(F.9f)

√

(F.9g)

|M+ | |M− | | NEd | + u+ Ed,u + v − Ed,v = Nt.Rk ,b / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0

20.0 | 4.7 | | −1.10 | + + = 0.078 + 0.400 + 0.246 = 0.724 ≤ 1.0 256.30 11.74 4.48

ηuc,M,v,Nt = ηc,Nt ,b + ηuc,M,t + ηcv,M,t = =

+

20.0 | 4.7 | |1.10 | + + = 0.078 + 0.400 + 0.264 = 0.742 ≤ 1.0 256.30 11.74 4.16

ηuc,M,v,Nt = ηc,Nt ,b + ηuc,M,t + ηcv,M,t = =

+

|M | |M | | NEd | = + u+ Ed,u + v + Ed,v = Nt.Rk ,b / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0

|M− | |M+ | | NEd | + u− Ed,u + v + Ed,v = Nt.Rk ,b / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0

20.0 | −4.7 | |1.10 | + + = 0.078 + 0.400 + 0.264 = 0.742 ≤ 1.0 256.30 11.74 4.16

− − | MEd | MEd | NEd | ,u | ,v | η = ηc,Nt ,b + η +η = + u− + v− = Nt.Rk ,b / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0 M c.eff.Rk / γ M0 20.0 | −4.7 | | −1.10 | √ = + + = 0.078 + 0.400 + 0.246 = 0.724 ≤ 1.0 256.30 11.74 4.48

u− ,v − c ,M ,Nt

230

u− c ,M ,t

v− c ,M ,t

(F.9h)

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.4.5. Flexão desviada composta com compressão

As curvas de interacção considerando a simultaneidade de actuação de esforço axial de compressão e momentos em torno de u e v resultam em: Esforço axial de compressão + Flexão em torno do eixo u u+ c ,M ,Nc

η =

u+ c ,M,c

= ηc,Nc + η

+ + | MEd | NEd | ,u + ΔM Ed,u | = + = + Nc.eff.Rk / γ M0 Muc.eff .Rk / γ M0

20.0 | 4.7 | + = 0.109 + 0.400 = 0.509 ≤ 1.0 183.88 11.74 −

−

ηuc,M,Nc = ηc,Nc + ηuc,M,c = =

√

(F.10a)

√

(F.10b)

√

(F.10c)

√

(F.10d)

− − | MEd | NEd | ,u + ΔM Ed,u | + = − Nc.eff.Rk / γ M0 Muc.eff .Rk / γ M0

20.0 | −4.7 | + = 0.109 + 0.400 = 0.509 ≤ 1.0 183.88 11.74

Esforço axial de compressão + Flexão em torno do eixo v +

+

ηcv,M,Nc = ηc,Nc + ηcv,M,c = =

η =

+ + | MEd | NEd | ,v + ΔMEd,v | + = + Nc.eff.Rk / γ M0 M cv.eff.Rk / γ M0

20.0 |1.188 | + = 0.109 + 0.285 = 0.394 ≤ 1.0 183.88 4.16 v− c ,M ,Nc

= ηc,Nc + η

v− c ,M,c

− − | MEd | NEd | ,v + ΔMEd,v | = + = − Nc.eff.Rk / γ M0 M cv.eff.Rk / γ M0

20.0 |1.10 | + = 0.109 + 0.246 = 0.355 ≤ 1.0 183.88 4.48

Esforço axial de compressão + Flexão desviada + + + + | MEd | NEd | ,u + ΔM Ed,u | | M Ed,v + ΔMEd,v | η = ηc,Nc + η +η = + + = + + Nc.eff.Rk / γ M0 Muc.eff.Rk / γ M0 M cv.eff.Rk / γ M0 20.0 | 4.7 | |1.188 | √ = + + = 0.109 + 0.400 + 0.285 = 0.794 ≤ 1.0 183.88 11.74 4.16

u+ ,v + c ,M ,Nc

u+ c ,M ,c

v+ c ,M ,c

+ + − − | MEd | NEd | ,u + ΔM Ed,u | | M Ed,v + ΔMEd,v | η = ηc,Nc + η +η = + + = + − Nc.eff.Rk / γ M0 Muc.eff.Rk / γ M0 M cv.eff.Rk / γ M0 20.0 | 4.7 | | −1.10 | √ = + + = 0.109 + 0.400 + 0.246 = 0.755 ≤ 1.0 183.88 11.74 4.48

u+ ,v − c ,M ,Nc

−

+

u+ c ,M ,c

−

v− c ,M ,c

+

ηuc,M,v,Nc = ηc,Nc + ηuc,M,c + ηcv,M,c = =

(F.10e)

(F.10f)

− − + + | MEd | NEd | ,u + ΔM Ed,u | | M Ed,v + ΔMEd,v | + + = − + Nc.eff.Rk / γ M0 Muc.eff.Rk / γ M0 M cv.eff.Rk / γ M0

20.0 | −4.7 | |1.188 | + + = 0.109 + 0.400 + 0.285 = 0.794 ≤ 1.0 183.88 11.74 4.16

√

(F.10g)

231


−

−

−

ηuc,M,v,Nc = ηc,Nc + ηuc−,M,c + ηcv,M,c = =

− − − − | MEd | NEd | ,u + ΔM Ed,u | | M Ed,v + ΔMEd,v | + + = − − Nc.eff.Rk / γ M0 Muc.eff.Rk / γ M0 M cv.eff.Rk / γ M0

20.0 | −4.7 | | −1.10 | + + = 0.109 + 0.400 + 0.246 = 0.755 ≤ 1.0 183.88 11.74 4.48

√

(F.10h)

Os momentos adicionais que surgem devido ao desvio do centro geométrico da secção efectiva em relação à secção bruta obtêm-se da seguinte forma: ΔM

ΔM

ΔM

ΔM

+ Ed,u

− Ed,u

+ Ed,v

− Ed,v

eff + eff + + + ⎧⎪se| MEd eNu ⋅| NEd | ,u + (eNu ⋅ | NEd |)| ≥ | MEd,u |: =⎨ eff + + + ⎪⎩se| MEd ,u + (eNu ⋅ | NEd |)| < | M Ed,u |: 0 + + ⇒ | 4.7 + 0| = 4.7 ≥ | MEd ,u | = 4.7 ⇒ ΔM Ed,u = 0 kN.m

eff − eff − − − ⎧⎪se| MEd ⋅ |NEd | eNu ,u + (eNu ⋅ | NEd |)| ≥ | MEd,u |: =⎨ eff − − − ⎪⎩se| MEd ,u + (eNu ⋅ | NEd |)| < | M Ed,u |: 0 − − ⇒ | -4.7 + 0| = 4.7 ≥ | MEd ,u | = 4.7 ⇒ ΔMEd,u = 0 kN.m

+ + eff + eff + ⎧⎪se| MEd eNv ⋅| NEd | ,v + (e Nv ⋅ | NEd |)| ≥ | M Ed,v |: =⎨ + + eff + ⎪⎩se| MEd,v + (eNv ⋅ |NEd |)| < | MEd,v |: 0 4.181 + + ⇒ |1.1+ ⋅ 20.0| = 1.188 ≥ | MEd ,v | = 1.1 ⇒ ΔM Ed,v = 0.088 kN.m 1000

− − eff − eff − ⎧⎪se| MEd eNv ⋅|NEd | ,v + (eNv ⋅ | NEd |)| ≥ | M Ed,v |: =⎨ − − eff − ⎪⎩se| MEd,v + (eNv ⋅|NEd |)| < | MEd,v |: 0 4.381 − − ⇒ | -1.1+ ⋅ 20.0| = 1.012 < | MEd ,v | = 1.1 ⇒ ΔM Ed,v = 0 kN.m 1000

(F.10i)

(F.10j)

(F.10k)

(F.10l)

NOTA: (i) Segundo a nota (iii) do ponto F.4.2, os valores de ΔM Ed,u e ΔM Ed, v , apenas deverão ser tidos em conta nas curvas de interacção se produzirem efeitos desfavoráveis; (ii) Segundo a nota (ii) do ponto F.4.2, mesmo que não hava momentos flectores, se a secção for de classe 4 e tenha havido desvios do centro de gravidade da secção efectivap em relação à secção bruta, deve fazer-se uma verificação em flexão composta entrando em conta com ΔM Ed,u e ΔM Ed, v ;

232

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.5. RESISTÊNCIA DE BARRAS F.5.1. Esforços críticos de encurvadura global

Para se poder comparar com os resultados obtidos por Batista [F.7], ir-se-ão considerar as mesmas condições de apoio, que as apresentadas no capítulo 2 de [F.6]. Os comprimentos de encurvadura considerados são tais que: • Lu = L = 2279mm – comprimento de encurvadura para flexão em torno do eixo u; • Lv = L = 2279mm – comprimento de encurvadura para flexão em torno do eixo v; • Lw = 0.5 · L = 1139.5mm – comprimento de encurvadura de torção. F.5.1.1.

Esforço axial crítico elástico

Tal como barra, na podendo, secção. A vem:

descrito no capítulo 2.4.1.2, a obtenção do esforço axial crítico elástico de uma situação mais geral, passa pela obtenção das raízes de um polinómio do 3.º grau no entanto, simplificar-se em situações em que haja algum eixo de simetria da barra em estudo, apresenta simetria em torno do eixo u, logo a carga crítica elástica Pcr = min{ PEv ; Pcr ,TF } = min{ 260.16 ; 494.15 } = 260.16 kN

(F.11a)

onde PEu =

π 2 ⋅ EIu

PEv = π 2 ⋅ EI w 1 ⎛⎜ Pφ = 2 ⋅ ⎜ GIt + i0 ⎝ (L w )2

(L u )2

π 2 ⋅ 210 ⋅ ⋅2733767 = = 1090.92 kN 2279 2

π 2 ⋅ EI v

(L v )2

⎞ ⎟= 1 2 ⎟ 97.5 ⎠

Pcr ,TF =

=

π 2 ⋅ 210 ⋅ ⋅651951 = 260.16 kN 2279 2

⎛ π 2 ⋅ 210 ⋅ (4.113 ⋅10 9 ) ⎞ ⎜ ⎟ = 698.63 kN ⋅ ⎜ 80.77 ⋅ 949 + 2 ⎟ ( ) 1139 . 5 ⎝ ⎠

1 ⎡ ⋅ (PEu + Pφ ) − 2 ⋅ β ⎢⎣ ⎛u β = 1− ⎜⎜ sc ⎝ i0

2

(P

Eu

+ Pφ ) − 4 ⋅ β ⋅ PEu ⋅ Pφ ⎤ = 494.15 kN ⎥⎦ 2

(F.11b)

(F.11c)

(F.11d);

(F.11e)

2

⎞ ⎛ − 68.928 ⎞ ⎟⎟ = 1− ⎜ ⎟ = 0.500 ⎝ 97.502 ⎠ ⎠

i0 = I0 / A = 6768148 / 711.94 = 97.5 mm

(F.11f)

(F.11g)

são, respectivamente, (i) a carga crítica elástica de flexão em torno do eixo u, (ii) a carga crítica elástica de flexão em torno do eixo v, (iii) a carga crítica elástica de torção, (iv) a carga crítica elástica de flexão-torção, (v) uma constante de assimetria da secção em relação ao eixo y e (vi) o raio de giração polar da secção bruta. Como facilmente se pode concluir, para as condições de apoio particulares deste problema, a carga crítica relevante ocorre num modo de flexão em torno do eixo v. Por curiosidade, caso as restrições à torção fossem muito pequenas e se considerasse o comprimento de encurvadura igual ao comprimento da barra, o modo crítico seria devido a flexão-torção.

233


No estudo realizado em [F.6] todas as tensões/cargas críticas obtidas são inferiores às obtidas no presente documento, mas suficientemente próximas para não interferirem no comportamento global da peça. A principal razão para estas diferenças prende-se com a metodologia utilizada para o cálculo de propriedades efectivas, que em [F.6] está associada à versão de 1996 do EC3-1-3 [F.3] que é mais conservativa do que a actual versão [F.4]. Como consequência, os esforços axiais resistentes serão também inferiores no estudo desenvolvido em [F.6], no entanto, o modo de instabilidade crítico mantém-se do mesmo tipo. F.5.1.2.

Momento flector crítico elástico

Tal como descrito no capítulo 2.4.1.2, a obtenção do momento flector crítico elástico de uma barra, consegue ser resolvido para problemas muito específicos onde exista invariavelmente pelo menos monosimetria. Para secções assimétricas, não é possível obter-se soluções analíticas, pelo que as expressões apresentadas no capítulo 2 perdem significado. Apesar disto, para barras com secções onde a assimetria seja pequena, e que estejam integradas em sistemas estruturais que lhes confiram diversas restrições à rotação, considera-se razoável a aplicação das expressões mencionadas.

Mu Mu

Figura F.16 –

Momento flector perpendicular à alma de secções em “I” ou perpendicular ao eixo de simetria de qualquer outra secção monosimétrica.

A expressão (2.20f) também presente no anexo da ENV 1993-1-1 [F.1] é deduzida para a actuação de momento flector perpendicular à alma de secções em “I” com banzos desiguais, no entanto, esta é também válida para a actuação de momento flector perpendicular ao eixo de simetria de qualquer outra secção monosimétrica (ver Figura F.16).

Mu

Mu

Figura F.17 – Momento flector paralelo ao eixo de simetria, ou perpendicular à alma de secções em “I” bisimétricas.

234

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Em qualquer secção pelo menos monosimétrica, para a actuação de momento flector paralelo ao eixo de simetria, deverá utilizar-se a expressão (2.20b) para a obtenção dos momentos críticos elásticos. Nesta situação, o parâmetro de simetria correspondente é nulo e a expressão referida anteriormente é a mesma que a utilizada para uma secção em “I” bisimétrica (ver Figura F.17). No problema em estudo, para além das condições de apoio e de simetria referidas anteriormente, pode constatar-se que o momento de inércia em torno de u é significativamente superior ao momento de inércia em torno de v, pelo que a instabilidade apenas irá ocorrer para momentos flectores em torno de u. Deverá por isso utilizar-se a expressão (2.20b) e logo: Mcr = i0 ⋅ PEz ⋅ Pφ = 97.5 / 1000 ⋅ 260.16 ⋅ 698.63 = 41.57 kN.m

(F.12a)

F.5.2. Esforço axial de compressão

| NEd | | 20.0 | = = 0.156 ≤ 1.0 Nb.eff.Rk / γ M1 128.54

(F.13a)

ηb,Nc,u =

|N | | 20.0 | = = 0.118 ≤ 1.0 N / γ M1 169.51

(F.13c)

ηb,Nc,v =

|N | | 20.0 | = = 0.156 ≤ 1.0 N / γ M1 128.54

(F.13d)

ηb,Nc,T =

|N | | 20.0 | = = 0.131 ≤ 1.0 N / γ M1 152.99

(F.13e)

ηb,Nc =

Ed u b.eff .Rk

Ed v b.eff .Rk

Ed T b.eff .Rk

Os esforços axiais característicos resistente à encurvadura Nb.Rk obtém-se de:

onde χ= χu = χv = χT =

Nb.eff .Rk = χ ⋅ Nc.eff.Rk = 0.70 · 183.88 = 128.54 kN

(F.13f)

Nub.eff.Rk = χu ⋅ Nc.eff.Rk = 0.92 · 183.88 = 169.51 kN

(F.13g)

Nbv.eff.Rk = χ v ⋅ Nc.eff.Rk = 0.70 · 183.88 = 128.54 kN

(F.13h)

NbT.eff.Rk = χ T ⋅ Nc.eff.Rk = 0.832 · 183.88 = 152.99 kN

(F.13i)

1 Φ + Φ 2 − λ2 1 2 u

2 u

Φu + Φ − λ 1

Φ v + Φ 2v − λ2v 1 2 T

2 T

ΦT + Φ − λ

=

1 0.962 + 0.962 2 − 0.84 2 1

=

0.620 + 0.0620 2 − 0.412

=

=

= 0.70 ≤ 1.0

1 0.962 + 0.962 2 − 0.84 2 1

0.756 + 0.756 2 − 0.610 2

(F.13j)

= 0.92 ≤ 1.0

(F.13k)

= 0.70 ≤ 1.0

(F.13l)

= 0.832 ≤ 1.0

(F.13m)

235


em que χ, χu, χv e χT são os factores de redução de resistência devido a encurvadura global, respectivamente, devido à instabilidade condicionante (que pode ser torção ou de flexãotorção) e devido às instabilidades por flexão em torno dos eixos u e v e de torção ou flexão-torção, Φ = 0.5 ⋅ [1+ α ⋅ ( λ − 0.2) + λ2 ] = 0.5 ⋅ [1+ 0.34 ⋅ (0.84 − 0.2) + 0.84 2 ] = 0.962

(F.13n)

Φ u = 0.5 ⋅ [1+ α u ⋅ ( λ u − 0.2) + λ2u ] = 0.5 ⋅ [1+ 0.34 ⋅ (0.41− 0.2) + 0.412 ] = 0.620

(F.13o)

Φ v = 0.5 ⋅ [1+ α v ⋅ ( λ v − 0.2) + λ2v ] = 0.5 ⋅ [1+ 0.34 ⋅ (0.84 − 0.2) + 0.84 2 ] = 0.962

(F.13p)

Φ T = 0.5 ⋅ [1+ α T ⋅ ( λ T − 0.2) + λ2T ] = 0.5 ⋅ [1+ 0.34 ⋅ (0.610 − 0.2) + 0.610 2 ] = 0.756

(F.13q)

são parâmetros adicionais e α é o parâmetro de imperfeição, que no presente caso toma o valor de 0.34 (associado à curva b). As esbeltezas normalizadas da barra de instabilidade global são definidas por: λ=

Nc.Rk 183.88 = = 0.84 Pcr 260.16

(F.13r)

λu =

Nc.Rk 183.88 = = 0.41 PEu 1090.92

(F.13s)

λv =

Nc.Rk 183.88 = = 0.84 PEv 260.16

(F.13t)

Nc.Rk.v 183.88 = = 0.610 min(Pφ ; Pcr ,TF ) 494.15

(F.13u)

λT =

onde (i) Pcr é a mínima carga crítica associada ao modo de instabilidade global sem deslocamentos laterais das suas secções extremas, (ii) PEu e PEv , são respectivamente as cargas críticas de flexão em torno de cada um dos eixos principais de inércia e (iii) Pφ e Pcr ,TF , são respectivamente as cargas críticas de torção e de flexão-torção. Como observação, no presente exemplo a mínima carga crítica corresponde a um modo de instabilidade por flexão, no entanto, existem casos onde esta pode estar associada um modo de instabilidade por flexão-torção. NOTA: É sempre necessário calcular todas as esbeltezas e respectivos factores de redução de resistência, pois se para a obtenção da carga axial apenas é relevante a menor carga crítica elástica, para flexão desviada composta, a amplificação de momentos é feita com base em esforços críticos de flexão para cada direcção.

236

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.5.3. Flexão simples

Os valores de dimensionamento dos momentos flectores actuantes em torno dos eixos u e v (MEd,i) e os valores característicos dos momentos flectores em torno dos eixo u e v resistentes à encurvadura lateral (Mb.Rk,i) devem satisfazer as seguintes relações, u+ b ,M

η

u− b ,M

η

+ | MEd ,u |

=

=

M

u+ b.eff .Rk

/ γ M1

− | MEd ,u |

M

u− b.eff .Rk

/ γ M1

+

+

−

−

| 4.7 | = 0.460 ≤ 1.0 √ 10.22

(F.14a)

| −4.7 | = 0.460 ≤ 1.0 √ 10.22

(F.14b)

=

=

ηbv ,M = ηcv,M = 0.264 ≤ 1.0 √

(F.14c)

ηbv ,M = ηbv ,M = 0.246 ≤ 1.0 √

(F.14d)

Os valores característicos dos momentos-flectores em torno dos eixos u e v resistentes à encurvadura lateral (Mb.Rk,i) são determinados através de +

+

+

−

−

−

u ⋅ M uc.eff.Rk = 0.87 ⋅ 11.74 = 10.22 kN.m M ub.eff .Rk = χ LT u M ub.eff .Rk = χ LT ⋅ M uc.eff.Rk = 0.87 ⋅ 11.74 = 10.22 kN.m +

+

−

−

M bv .eff .Rk = M cv.eff.Rk = 4.16 kN.m

(F.14f) (F.14g)

M bv .eff .Rk = M cv.eff.Rk = 4.48 kN.m u+

(F.14e)

(F.14h)

u−

onde (i) χ LT e χ LT são os factores de redução de resistência devido a encurvadura lateral de vigas para momentos positivos e negativos em torno do eixo u e (ii) Mc.Rk,i, são, respectivamente, os valores característicos dos momentos-flectores em torno dos eixos u e v resistentes da secção que compõe a barra. Os factores de redução de resistência devido à encurvadura lateral obtêm-se de forma semelhante à da encurvadura de colunas, através de: +

u χ LT =

−

u χ LT =

1 Φ LT ,u+ + Φ LT2 ,u+ − λ2LT ,u+ 1 Φ LT ,u− + Φ

2 LT ,u−

2 LT ,u−

−λ

=

=

1 0.70 + 0.70 2 − 0.53 1 0.70 + 0.70 2 − 0.53

= 0.87 ≤ 1.0

(F.14i)

= 0.87 ≤ 1.0

(F.14j)

onde Φ LT ,u+ = 0.5 ⋅ [1+ α LT ,u+ ⋅ ( λLT ,u+ − 0.2) + λ2LT ,u+ ] = 0.70

(F.14k)

Φ LT ,u− = 0.5 ⋅ [1+ α LT,u− ⋅ ( λLT,u− − 0.2) + λ2LT ,u− ] = 0.70

(F.14l)

são parâmetros adicionais e α LT,u+ e α LT,u− são os parâmetros de imperfeição, que no presente caso toma o valor de 0.34 (associado à curva b).

237


As esbeltezas normalizadas da barra de instabilidade global são definidas por: u+

λLT ,u+

M c.eff .Rk = M cr

u−

λLT ,u−

M c.eff .Rk = M cr

=

11.74 = 0.53 41.57

(F.14m)

=

11.74 = 0.53 41.57

(F.14n)

onde Mcr é o valor crítico do momento flector em torno do eixo de maior inércia que conduz à instabilidade lateral da viga por flexão-torção. NOTA: Para o caso da flexão, a instabilidade por flexão lateral de vigas apenas ocorre por actuação de momento em torno da maior inércia, por isso não faz sentido falar em momento crítico nem de esbeltezas na outra direcção. F.5.4. Flexão desviada composta com compressão

As curvas de interacção considerando a simultaneidade de actuação de esforço axial de compressão e momentos em torno de u e v resultam em: Esforço axial de compressão + Flexão em torno do eixo u η =

u+ b1,M ,Nc

= ηb1,Nc + η

u+ b1,M ,c

+ + | M Ed |NEd | ,u + ΔM Ed,u | = + k uu ⋅ = + min(Nub.eff .Rk ; NbT.eff.Rk ) / γ M1 M ub.eff.Rk / γ M1

| 4.7 | 20.0 + 0.978 ⋅ = 0.580 ≤ 1.0 min(169.51; 152.99) 10.22 −

−

ηbu1,M,Nc = ηb1,Nc + ηub1,M,c = =

+

+

=

η =

238

= ηb 2,Nc + η

u− b 2,M ,c

√

(F.15b)

+ + | MEd |NEd | ,u + ΔM Ed,u | + k vu ⋅ = + Nb.eff .Rk / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1

| 4.7| 20.0 + 0.991⋅ = 0.611 ≤ 1.0 min(128.54 ; 152.99) 10.22 u− b 2,M ,Nc

(F.15a)

− − | MEd |NEd | ,u + ΔM Ed,u | + k uu ⋅ = − Nb.eff .Rk / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1

| −4.7| 20.0 + 0.978 ⋅ = 0.580 ≤ 1.0 min(169.51; 152.99) 10.22

ηbu 2,M,Nc = ηb 2,Nc + ηub 2,M,c =

√

√

(F.15c)

√

(F.15d)

− − | MEd |NEd | ,u + ΔM Ed,u | = + k vu ⋅ = − Nb.eff .Rk / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1

| −4.7 | 20.0 + 0.991⋅ = 0.611 ≤ 1.0 min(128.54 ; 152.99) 10.22

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Esforço axial de compressão + Flexão em torno do eixo v +

+

ηbv1,M,Nc = ηb1,Nc + ηbv1,M,c = =

|1.188| 20.0 + 1.025 ⋅ = 0.423 ≤ 1.0 min(169.51; 152.99) 4.16 −

−

ηbv1,M,Nc = ηb1,Nc + ηbv1,M,c = =

η =

η =

+ | M + + ΔMEd |NEd | ,v | + k uv ⋅ Edv,+v = Nb.eff .Rk / γ M1 M b.eff .Rk / γ M1

= ηb 2,Nc + η

v+ b 2,M ,c

= ηb 2,Nc + η

v− b 2,M ,c

√

(F.15f)

+ + | M Ed |NEd | , v + ΔM Ed, v | = + k vv ⋅ = + Nb.eff.Rk / γ M1 M bv.eff.Rk / γ M1

|1.188| 20.0 + 1.025 ⋅ = 0.448 ≤ 1.0 min(128.54 ; 152.99) 4.16 v− b 2,M ,Nc

(F.15e)

− − | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | + k uv ⋅ = − Nb.eff .Rk / γ M1 M bv .eff .Rk / γ M1

| −1.10 | 20.0 + 1.025 ⋅ = 0.382 ≤ 1.0 min(169.51; 152.99) 4.48

v+ b 2,M ,Nc

√

√

(F.15g)

√

(F.15h)

− − | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | = + k vv ⋅ = − Nb.eff .Rk / γ M1 M bv .eff .Rk / γ M1

| −1.10 | 20.0 + 1.025 ⋅ = 0.407 ≤ 1.0 min(128.54 ; 152.99) 4.48

Esforço axial de compressão + Flexão desviada +

+

+

+

ηbu1,,Mv ,Nc = ηb1,Nc + ηbu1,M,c + ηbv1,M,c = =

+ + + + | MEd | MEd |NEd | ,u + ΔM Ed,u | , v + ΔM Ed, v | + ⋅ + ⋅ = k k + + uu uv min(Nub.eff .Rk ;NbT.eff .Rk ) / γ M1 M ub.eff.Rk / γ M1 M bv .eff.Rk / γ M1

=

|1.188| | 4.7| 20.0 + 0.978 ⋅ + 1.025 ⋅ = 0.873 ≤ 1.0 4.16 10.22 min(169.51; 152.99)

√

(F.15i)

| 4.7| | −1.10 | 20.0 + 0.978 ⋅ + 1.025 ⋅ = 0.832 ≤ 1.0 √ min(169.51; 152.99) 10.22 4.48

(F.15j)

+

−

+

−

ηbu1,,Mv ,Nc = ηb1,Nc + ηbu1,M,c + ηbv1,M,c = + + − − | MEd | MEd |NEd | ,u + ΔM Ed,u | , v + ΔM Ed, v | = + k uu ⋅ + k uv ⋅ = + − min(Nub.eff .Rk ;NbT.eff .Rk ) / γ M1 M ub.eff.Rk / γ M1 M bv .eff.Rk / γ M1

=

239


−

+

−

+

ηbu1,,Mv ,Nc = ηb1,Nc + ηbu1,M,c + ηbv1,M,c = − − + + | MEd | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | ,u + ΔM Ed,u | = + k uu ⋅ + k uv ⋅ = − + min(Nub.eff .Rk ; NbT.eff .Rk ) / γ M1 M bv .eff.Rk / γ M1 M ub.eff.Rk / γ M1

=

| −4.7| |1.188| 20.0 + 0.978 ⋅ + 1.025 ⋅ = 0.873 ≤ 1.0 √ min(169.51; 152.99) 10.22 4.16 −

−

−

(F.15k)

−

ηbu1,,Mv ,Nc = ηb1,Nc + ηbu1,M,c + ηbv1,M,c = − − − − | MEd | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | ,u + ΔM Ed,u | = + k uu ⋅ + k uv ⋅ = − − min(Nub.eff .Rk ; NbT.eff .Rk ) / γ M1 M bv .eff.Rk / γ M1 M ub.eff.Rk / γ M1

=

| −4.7| | −1.10 | 20.0 + 0.978 ⋅ + 1.025 ⋅ = 0.832 ≤ 1.0 √ min(169.51; 152.99) 10.22 4.48 +

+

+

(F.15l)

+

ηbu 2,,vM,Nc = ηb 2,Nc + ηbu 2,M,c + ηbv 2,M,c = + + + + | MEd | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | ,u + ΔM Ed,u | = + k vu ⋅ + k vv ⋅ = + + min(Nbv .eff .Rk ; NbT.eff .Rk ) / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1 M bv .eff .Rk / γ M1

=

| 4.7 | |1.188| 20.0 + 0.991⋅ + 1.025 ⋅ = 0.904 ≤ 1.0 √ min(128.54 ; 152.99) 10.22 4.16 +

−

+

(F.15m)

−

ηbu 2,,vM,Nc = ηb 2,Nc + ηbu 2,M,c + ηbv 2,M,c = + + − − | MEd | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | ,u + ΔM Ed,u | = + k vu ⋅ + k vv ⋅ = + − min(Nbv .eff .Rk ; NbT.eff .Rk ) / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1 M bv .eff .Rk / γ M1

=

| 4.7 | | −1.10 | 20.0 + 0.991⋅ + 1.025 ⋅ = 0.863 ≤ 1.0 √ min(128.54 ; 152.99) 10.22 4.48 −

+

−

(F.15n)

+

ηbu 2,,vM,Nc = ηb 2,Nc + ηbu 2,M,c + ηbv 2,M,c = − − + + | MEd | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | ,u + ΔM Ed,u | = + k vu ⋅ + k vv ⋅ = − + min(Nbv .eff .Rk ; NbT.eff .Rk ) / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1 M bv .eff .Rk / γ M1

=

| −4.7| |1.188| 20.0 + 0.991⋅ + 1.025 ⋅ = 0.904 ≤ 1.0 √ min(128.54 ; 152.99) 10.22 4.16 −

−

−

(F.15o)

−

ηbu 2,,vM,Nc = ηb 2,Nc + ηbu 2,M,c + ηbv 2,M,c = − − − − | MEd | MEd |NEd | , v + ΔM Ed, v | ,u + ΔM Ed,u | = + k vu ⋅ + k vv ⋅ = − − min(Nbv .eff .Rk ; NbT.eff .Rk ) / γ M1 M ub.eff .Rk / γ M1 M bv .eff .Rk / γ M1

=

240

| −4.7| | −1.10 | 20.0 + 0.991⋅ + 1.025 ⋅ = 0.863 ≤ 1.0 √ min(128.54 ; 152.99) 10.22 4.48

(F.15p)

EXEMPLO NUMÉRICO 1

F.5.4.1.

Factores de interacção

Os factores de interacção presentes nas curvas de interacção anteriormente apresentadas, foram obtidos considerando o método B de EC3-1-1 [F.2]. Assim sendo tem-se: k uu = C mu ⋅ (1+ 0.6 ⋅ λu ⋅ nu ) ≤ C mu ⋅ (1+ 0.6 ⋅ nu )

⇒

k uu = 0.977 ≤ 1.017

k uv = k vv = 1.025

(F.15q) (F.15r)

0.05 ⋅ λ v 0.05 ⋅ nu ≥ 1− ⋅ nu C mLT − 0.25 C mLT − 0.25

⇒

k vu = 0.991 ≥ 0.940

(F.15s)

k vv = C mv ⋅ (1+ 0.6 ⋅ λ v ⋅ n v ) ≤ C mv ⋅ (1+ 0.6 ⋅ n v )

⇒

k uu = 1.025 ≤ 1.038

(F.15t)

k vu = 1−

onde (i) Cmi são factores de momento equivalente que se obtêm da Tabela B.3 de EC3-1-1 [F.2] e para um diagrama parabólico com momentos de extremidade nulos tem-se α h =0, e ψ =0, ficam todos iguais e com o valor C mu = C mv = C mLT =0.95, (ii) ni são factores que contabilizam o nível de utilização da barra e tomam os seguintes valores: nu =

|NEd | 20.0 = = 0.118 u Nb.eff .Rk 169.51

nv =

e

20.0 |NEd | = = 0.156 v Nb.eff .Rk 128.54

(F.15u)

F.5.5. Flexão desviada composta com tracção

As curvas de interacção considerando a simultaneidade de actuação de esforço axial de compressão e momentos em torno de u e v resultam em: Esforço axial de tracção + Flexão em torno do eixo u u+ b ,M ,Nt

η

u− b ,M ,Nt

η

u+ b ,Meff ,t

=η

u− b,Meff ,t

=η

=

=

+ | M eff ,u |

M

u+ b.eff .Rk

/ γ M1

− | M eff ,u |

M

u− b.eff .Rk

/ γ M1

| 3.97 | = 0.388 ≤ 1.0 √ 10.22

(F.16a)

| −3.97 | = 0.388 ≤ 1.0 √ 10.22

(F.16b)

=

=

Esforço axial de tracção + Flexão em torno do eixo v Em torno do eixo da menor inércia não há instabilidade lateral, pelo que, na ausência de momento em torno do eixo de maior inércia, a curva de interacção de momento em torno da menor inércia com esforço axial de tracção reduz-se à curva de interacção da secção (ver ponto F.4.4).

241


Esforço axial de tracção + Flexão desviada +

+

+

+

ηub,M,v,Nt = ηbu,Meff ,t + ηbv ,M,t =

u+ , v − b ,M ,Nt

η

u+ b ,Meff ,t

=η

+η

v− b,M ,c

=

u− , v + b ,M ,Nt

η

u− b ,Meff ,t

=η

v+ b ,M ,t

+η

=

+

Mub.eff .Rk / γ M1

+

− | M eff ,u | −

M ub.eff .Rk / γ M1

+

| −3.97 | |1.10 | + = 0.653 ≤ 1.0 10.22 4.16 −

−

−

−

ηub,M,v,Nt = ηub,Meff ,t + ηbv ,M,t =

com

+ | M eff ,u |

| 3.97 | | −1.10 | + = 0.634 ≤ 1.0 10.22 4.48

=

=

+

Mub.eff .Rk / γ M1

+

| 3.97 | |1.10 | + = 0.653 ≤ 1.0 10.22 4.16

=

=

+ | M eff ,u |

− | M eff ,u | −

M ub.eff .Rk / γ M1

| −3.97 | | −1.10 | + = 0.634 ≤ 1.0 10.22 4.48

+

+ | MEd ,v | +

Mbv.eff.Rk / γ M1

− | MEd ,v | −

Mbv .eff .Rk / γ M1

+ | MEd ,v | +

M bv .eff.Rk / γ M1

− | MEd ,v | −

M bv .eff.Rk / γ M1

=

√

(F.16c)

√

(F.16d)

√

(F.16e)

√

(F.16f)

=

=

=

+ + u+ M eff ,u =| M Ed,u | − Ψvec ⋅ Weff ,com ⋅ | NEd | / A = 4.7 − 0.8 ⋅

32619 20 ⋅ = 3.97 ≥ 0 711.94 1000

(F.16g)

− − u− M eff ,u =| M Ed,u | − Ψvec ⋅ Weff ,com ⋅ | NEd | / A = 4.7 − 0.8 ⋅

32619 20 ⋅ = 3.97 ≥ 0 711.94 1000

(F.16h)

onde (i) Ψvec = 0.8 é um factor de redução que tem em conta a possibilidade de os esforços axiais e momentos flectores não serem o resultado de uma mesma acção, mas sim de uma envolvente de combinações de acções, (ii) Weffu+,com e Weffu−,com são os módulos de flexão associados à maior tensão de compressão quando a secção está sujeita a momento flector em torno de u, respectivamente, positivo e negativo e (iii) A é a área da secção efectivap devido a compressão.

242

REFERÊNCIAS

REFERÊNCIAS

CAPÍTULO 1

[1.1] PROLA, LUÍS: “Estabilidade Local e Global de Elementos Estruturais de Aço Enformados a Frio” (Dissertação de Doutoramento), Janeiro 2001, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa. [1.2] YU, WEI-WEN: “Cold-Formed Steel Design”, 3rd Edition, 2000, John Wiley & Sons, Inc. – ISBN: 0-471-34809-0 [1.3] North American National Association of Home Builders, NAHB: “Prescriptive Method for Residential Cold-Formed Steel Framing”, Second Edition, Washington DC, August 1997. [1.4] North American Steel Framing Alliance. NASFA: “Prescriptive Method for Residential Cold-Formed Steel Framing”, Year 2000 Edition, October 2000. [1.5] European Lightweight Steel-framed – ISBN: 2-9523318-2-0

Construction,

LSK,

November

2005

–

[1.6] European Lightweight Steel-framed Construction, LSK: “LSK, Jornada Técnica – – Utilização de produtos em aço enformados a frio na construção”, Outubro de 2006 [1.7] GHERSI, A.; LANDOLFO, R.; MAZZOLANI, F. M.: “Design of Metallic Cold-Formed Thin-walled Members”, 2002, Spon Press – ISBN: 0-415-24437-4 [1.8] HANCOCK, G. J.: “Design of Cold-Formed Steel Structures (To Australian/New Zealand Standard AS/NZS 4600:1996)”, 3rd Edition, 1998, Australian Institute of Steel Construction, AISC – ISBN: 0-909945-82-9 [1.9] HANCOCK, G. J.; MURRAY, THOMAS M.; ELLIFRITT, D. S.: “Cold-Formed Steel Structures to the AISI Specification”, 2001, Marcel Dekker – ISBN: 0-8247-9294-7 [1.10] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992). [1.11] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft 243


(December 2003). [1.12] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Draft for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, DDENV 1993-1-3 (April1996). [1.13] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). [1.14] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004). CAPÍTULO 2

[2.1] PROLA, LUÍS: “Estabilidade Local e Global de Elementos Estruturais de Aço Enformados a Frio”, Tese de Doutoramento, Janeiro 2001, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa. [2.2] REIS, ANTÓNIO; CAMOTIM, DINAR: “Estabilidade Estrutural”, 2001, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, McGraw-Hill – ISBN: 972-773-036-1. [2.3] YU, WEI-WEN: “Cold-Formed Steel Design”, 3rd Edition, 2000, John Wiley & Sons, Inc. – ISBN: 0-471-34809-0 [2.4] SCHAFER, B.W.: “Draft of Design Manual for Direct Strenght Method of Cold-formed Steel Design (including tutorials for the finite stripe method software CUFSM)”, January 2002, http://www.ce.jhu.edu/bschafer/direct_strength/2002-12-Spec/dsmanual2.pdf, referenced on 2008-10-14 [2.5] TIMOSHENKO, S.P., GERE J.M.: “Theory of Elastic Stability”, 2nd Ed., 1961, McGraw-Hill Book Company, New York. [2.6] BRUSH, D. O., ALMROTH, B. O.: “Buckling of Bars, Plates and Shells”, 1975, McGraw-Hill, New York [2.7] SAINT-VENANT, B.: “Théorie de L 'Elasticité des Corps Solides”, Clebsch, Paris, 1883. [2.8] BAMBACH, M. R.: “Thin-Walled Sections With Unstiffened Elements Under Stress Gradients”, Tese de Doutoramento, Junho 2003, The University of Sydney, Sydney. [2.9] EULER, L.: “Sur la Force des Colonnes”, Memóires de L’Académie Royale des Sciences et Belew Lettres, Vol.13, Berlin, 1759. (tradução em lingual inglesa: VAN DEN BROEK, J. – American Journal of Physics, Vol.15, pp. 309-318, 1947) [2.10] SAINT-VENANT, B.: “Sur la Stabilité des Systêmes Elastiques”, Collected Papers of Stephen P. Timoshenko, McGraw-Hill, New York, pp. 92-224, 1953. (artigo original publicado em 1905) [2.11] VLASOV, V. Z.: “Thin-Walled Elastic Bars”, Fizmatgiz, Moscow, 1959. (em russo – 244

REFERÊNCIAS

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245


[2.26] WIKIPEDIA: http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation, referenced on 2008-10-14 [2.27] INTERACTIVE DESIGN SERVICES: http://www.interactiveds.com.au/software/Quartic.zip, referenced on 2008-10-14 [2.28] BOISSONNADE, N.; GREINER, R.; JASPART, J.P.; LINDNER, J.: “Rules for Member Stability in EN 1993-1-1 – Background documentation and design guidelines”, n.º 119, 2006, ECCS – ISBN: 92-9147-000-84. [2.29] TRAHAIR, N. S.: “Flexural-Torsional Buckling of Strucutures”, 1993, E&FN Spon (Chapman & Hall), London – ISBN: 978-0849377631 [2.30] ALLEN, H. G., BULLON, P.S.: “Background to Buckling”, 1980, McGraw-Hill, London – ISBN: 978-0070841000 [2.31] CHEN, W. F., LUI, E. M.: “Structural Stability – Theory and Implementation”, 1987, Elsevier, New York – ISBN: 978-0444011190 [2.32] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992). [2.33] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003). [2.34] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). [2.35] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004). [2.36] American Iron and Steel Institute (AISI): “The Specification for the Design of Cold-Formed Steel Structural Members (part V of Cold-Formed Steel Design Manual)”, 1996 (published in 1997) [2.37] Standards Australia/Standards New Zealand – Committee BD-082 (Cold-formed Steel Structures): “Draft for Public Commentt Australian/New Zealand Standard”, AS/NZS 4600, (October 2003). [2.38] KOITER, W.T.: "Over der Stabiliteit van het Elastische Evenwicht", Tese de Doutoramento, 1945, Universidade de Delft, Holanda (tradução inglesa: "On the Stability ofElastic Equilibrium", NASA Report TT-F-I0833, 1967) [2.39] VON KÁRMAN, T. - "Festigkeitsprobleme iro Maschinenbau", Encyklopãdie der Matematisehen Wissensehaften, VoI. 4, Part 4, pp. 348-350, 1910. (em alemão) [2.40] MARGUERRE, T. - "Zur Theorie der Gekrümten Platte Grosser Formãnderung", Proceedings of the Fifth International Congress on Applied Meehanies, Cambridge, 246

REFERÊNCIAS

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[3.1] DUBINA, D.; VAYAS, I.: “TEMPUS 4502-94 – Seminar on Eurocode 3 – Part 1.3: Cold Formed Gauge Members and Sheeting”, July 1995, Klidarithmos – – ISBN: 960-332-038-2 [3.2] CHUNG, K. F.: “The State-of-the-Art of Section Property Calculation of Structural Members with Arbitrary Shape”, Journal of Construction Steel Research, n.º 32, pages 127-141, 1995, Elsevier Science Limited [3.3] ADANY, S.: “Calculation of the moment resistance of Z and C shaped cold-formed sections according to Eurocode 3”, worked examples – – http://www.ce.jhu.edu/bschafer/eurocode/ZC-demo-3.pdf (December 2003) [3.4] European Convention For Contructional Steelwork, ECCS: “European Recommendations for the Design of Light Gauge Steel Members”, Publication n.º 49, 1987 [3.5] European Convention For Contructional Steelwork, ECCS: “Preliminary worked examples according to Eurocode 3 part 1.3”, Publication n.º 114, August 2000 – – ISBN: 92-9147-000-61 [3.6] European Convention For Contructional Steelwork, ECCS: “Design Examples for the Use of Light Gauge Steel in Steel Framed Housing according to ENV 1993-1-3:1996”, Publication n.º 118, 2004 – ISBN: 92-9147-000-75 [3.7] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003). [3.8] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). [3.9] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004).

247


[3.10] American Iron and Steel Institute (AISI): “The Specification for the Design of Cold-Formed Steel Structural Members (part V of Cold-Formed Steel Design Manual)”, 1996 (published in 1997) [3.11] Standards Australia/Standards New Zealand – Committee BD-082 (Cold-formed Steel Structures): “Draft for Public Commentt Australian/New Zealand Standard”, AS/NZS 4600, (October 2003). CAPÍTULO 4

[4.1] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992). [4.2] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003). [4.3] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Draft for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, DDENV 1993-1-3 (April1996). [4.4] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). [4.5] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004). [4.6] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-8: Design of Joints”, prEN 1993-1-8: Final draft (December 2003). [4.7] DUBINA, D.; VAYAS, I.: “TEMPUS 4502-94 – Seminar on Eurocode 3 – Part 1.3: Cold Formed Gauge Members and Sheeting”, July 1995, Klidarithmos – – ISBN: 960-332-038-2 [4.8] ADANY, S.: “Calculation of the moment resistance of Z and C shaped cold-formed sections according to Eurocode 3”, worked examples – – http://www.ce.jhu.edu/bschafer/eurocode/ZC-demo-3.pdf (December 2003) [4.9] European Convention For Contructional Steelwork, ECCS: “European Recommendations for the Design of Light Gauge Steel Members”, Publication n.º 49, 1987 [4.10] European Convention For Contructional Steelwork, ECCS: “Preliminary worked examples according to Eurocode 3 part 1.3”, Publication n.º 114, August 2000 – – ISBN: 92-9147-000-61 [4.11] European Convention For Contructional Steelwork, ECCS: “Design Examples for the 248

REFERÊNCIAS

Use of Light Gauge Steel in Steel Framed Housing according to ENV 1993-1-3:1996”, Publication n.º 118, 2004 – ISBN: 92-9147-000-75 [4.12] TENG, J. G.; YAO, J.; ZHAO, Y.: “Distortional buckling of channel beam-columns”, Journal of Thin-Walled Structures, n.º 41, pages 595-617, 2003, Elsevier Science Limited [4.13] Standards Australia/Standards New Zealand – Committee BD-082 (Cold-formed Steel Structures): “Draft for Public Commentt Australian/New Zealand Standard”, AS/NZS 4600, (October 2003). [4.14] SCHAFER, B.W.: "CUFSM – Elastic Buckling Analysis of Thin-walled Members", October 2006, www.ce.jhu.edu/bschafer/cufsm/, referenced on 2008-10-14 [4.15] SCHAFER, B.W., ÁDÁNY, S. “Buckling analysis of cold-formed steel members using CUFSM: conventional and constrained finite strip methods”, Eighteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, Orlando, FL. October 2006 [4.16] BEBIANO, R.; PINA, P.; SILVESTRE, N.; CAMOTIM, D.: “GBTUL 1.0β – Stability and Vibration Analysis of Thin-Walled Members”, DECivil/IST, Universidade Técnica de Lisboa (http://civil.ist.utl.pt/gbt). [4.17] HIBBIT, KARLSSON AND SORENSEN INC.: ABAQUSStandard (Version 5.8), 1998. [4.18] KESTI, JYRKI; DAVIES, J. MICHAEL: “Local and distortional buckling of thin-walled short columns”, Thin-Walled Structures, n.º 34, pages 115-134, 1999, Elsevier Science Limited CAPÍTULO 5

[5.1] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992). [5.2] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003). [5.3] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Draft for Development of Eurocode 3 – Design of Steel Structures – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, DDENV 1993-1-3 (April1996). [5.4] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). [5.5] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004).

249


[5.6] BOISSONNADE, N.; GREINER, R.; JASPART, J.P.; LINDNER, J.: “Rules for Member Stability in EN 1993-1-1 – Background documentation and design guidelines”, n.º 119, 2006, ECCS – ISBN: 92-9147-000-84. [5.7] SCHAFER, B.W.: "CUFSM – Elastic Buckling Analysis of Thin-walled Members", October 2006, www.ce.jhu.edu/bschafer/cufsm/, referenced on 2008-10-14 [5.8] SCHAFER, B.W., ÁDÁNY, S. “Buckling analysis of cold-formed steel members using CUFSM: conventional and constrained finite strip methods”, Eighteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, Orlando, FL. October 2006 [5.9] BEBIANO, R.; PINA, P.; SILVESTRE, N.; CAMOTIM, D.: “GBTUL 1.0β – Stability and Vibration Analysis of Thin-Walled Members”, DECivil/IST, Universidade Técnica de Lisboa (http://civil.ist.utl.pt/gbt). [5.10] HIBBIT, KARLSSON AND SORENSEN INC.: ABAQUSStandard (Version 5.8), 1998. CAPÍTULO 6

[6.1] SCHAFER, B.W.: "CUFSM – Elastic Buckling Analysis of Thin-walled Members", October 2006, www.ce.jhu.edu/bschafer/cufsm/, referenced on 2008-10-14 [6.2] SCHAFER, B.W., ÁDÁNY, S. “Buckling analysis of cold-formed steel members using CUFSM: conventional and constrained finite strip methods”, Eighteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, Orlando, FL. October 2006 [6.3] BEBIANO, R.; PINA, P.; SILVESTRE, N.; CAMOTIM, D.: “GBTUL 1.0β – Stability and Vibration Analysis of Thin-Walled Members”, DECivil/IST, Universidade Técnica de Lisboa (http://civil.ist.utl.pt/gbt). [6.4] SCHAFER, B.W.: “Draft of Design Manual for Direct Strenght Method of Cold-formed Steel Design (including tutorials for the finite stripe method software CUFSM)”, January 2002, http://www.ce.jhu.edu/bschafer/direct_strength/2002-12-Spec/dsmanual2.pdf, referenced on 2008-10-14 [6.5] SCHAFER, B.W.: “Designing cold-formed steel using the Direct Strength Method”, Eighteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, Orlando, FL. October 2006 [6.6] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992). [6.7] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003). [6.8] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). 250

REFERÊNCIAS

[6.9] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004). [6.10] American Iron and Steel Institute (AISI): “Direct Strenght Method (DSM) Design Guide & 2004 Supplement”, 2004. [6.11] American Iron and Steel Institute (AISI): “The Specification for the Design of Cold-Formed Steel Structural Members (part V of Cold-Formed Steel Design Manual)”, 1996 (published in 1997) [6.12] Standards Australia/Standards New Zealand – Committee BD-082 (Cold-formed Steel Structures): “Draft for Public Commentt Australian/New Zealand Standard”, AS/NZS 4600, (October 2003). [6.13] RUSCH, A.; LINDNER, J.: “Remarks to the Direct Strenght Method”, Thin-Walled Structures, n.º 39, pages 807-820, September 2001, Elsevier Science Limited ANEXO A

[A.1] Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005). ANEXO E

[E.1]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992).

[E.2]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003).

[E.3]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Draft for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, DDENV 1993-1-3 (April1996).

[E.4]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005).

[E.5]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004).

251


ANEXO F

[F.1]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Dradt for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, DDENV 1993-1-1 (February 1992).

[F.2]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-1: General rules and rules for buildings”, prEN 1993-1-1: Final draft (December 2003).

[F.3]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Draft for Development of Eurocode 3 – – Design of Steel Structures – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, DDENV 1993-1-3 (April1996).

[F.4]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-3: General rules – Supplementary rules for cold-formed members and sheeting”, prEN 1993-1-3: Final draft (July 2005).

[F.5]

Comité Européen de Normalisation, CEN: “Eurocode 3 – Design of Steel Structures – – Part 1-5: General rules – Plated structural elements”, prEN 1993-1-5: Stage 49 draft (June 2004).

[F.6]

DUBINA, D.; VAYAS, I.: “TEMPUS 4502-94 – Seminar on Eurocode 3 – Part 1.3: Cold Formed Gauge Members and Sheeting”, July 1995, Klidarithmos – – ISBN: 960-332-038-2

[F.7]

BATISTA, E.: “Etude de la stabilite des profiles a parois minces et section ouverte de types U et C”, Doctoral Thesis, 1989, University of Liege.

252

Dimensionamento de Elementos Estruturais de Aço enformados a frio de acordo com o Eurocódigo 3

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