Agus Statistika 1 - 1
Purnomo
B AB I PENDAHULUAN 1.1
STATISTIK DAN STATISTIKA Pada mulanya, kata statistik diartikan sebagai keterangan-keterangan yang dibutuhkan oleh oleh nega negara ra dan dan berg bergun unaa bagi bagi nega negara ra.. Keter Keteran anga gan-k n-ket etera erang ngan an sede sedemi miki kian an itu itu umum umumny nyaa diguna digunakan kan untuk untuk memper memperlan lancar car penarik penarikan an pajak pajak dan mobil mobilisa isasi si rakya rakyatt ke dalam dalam angkat angkatan an perang. Sebenarnya keterangan-keterangan kuantitatif semacam itu kini lebih kita kenal sebagai data sensus. sensus. Lambat Lambat laun, statistik statistik diartika diartikann sebagai sebagai data kuantitatif kuantitatif baik baik yang masih masih belum tersusun maupun yang telah tersusun dalam bentuk tabel. Kata statistik berasal dari bahasa Yunani status yang berarti state atau negara. Pertama kali digunakan oleh Gottried chen!all "#$%# & #'$(). *igunakan istilah negara karena a!alnya hanya digunakan untuk kepentingan-kepentingan negara saja seperti data penduduk, kepemilikan tanah, tanah, kematia kematian, n, perka! perka!ina inann dan lain sebaga sebagainy inya. a. Seirin Seiringg dengan dengan perkem perkemban bangan ganny nya, a, kini kini statistik dipakai dalam berbagai aspek kehidupan dan kegiatan manusia. *alam *alam arti sempit sempit,, statis statistik tik berarti berarti data. data. Sedang Sedangkan kan dalam dalam penger pengertia tiann yang yang lebih lebih luas, luas, Statistik diartikan sebagai kumpulan data dalam bentuk angka maupun bukan angka ang ang disusu disusunn dalam dalam bentuk bentuk tabel tabel !da"tar !da"tar## dan atau atau diagra diagram m ang ang mengga menggamba mbarka rkann !berkaitan# dengan suatu keadaan$ peristi%a atau masala& tertentu serta menatakan 'uga ukuran atau karakteristik pada sampel seperti nilai rata(rata$ standar de)iasi$ )ariansi dan k*e"isen k*relasi. Examples : - Citizen statistic is a group of numbers which correspond to the citizen problems - Economy statistic is a group group of numbers which correspond correspond to the economy problems problems - Education statistic is a group of numbers which correspond to the education problems - The avarage mark of mathematics is 75 and its standard deviation !
Sedangkan dalam arti luas, Statistika adala& pengeta&uan ang berkaitan dengan met*de$ teknik atau +ara mengumpulkan data$ meng*la& data$ mena'ikan data$ menganalisis data dan menarik kesimpulan atau mengintepretasikan data. data . *engan demikian dapat disimpulkan bah!a statistika adalah pengetahun yang berkaitan dengan statistik atau statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang statistik. +erdasarkan perlakuan terhadap data, statistik dapat dikategorikan menjadi 1. Descriptive statistics (deductive statistics): is a statistical method which describes a set of nature data (there is, no attempt to generalize them). *engan kata lain, statistika deskriptif adalah statistika yang menggambarkan atau mendeskripsikan data menjadi sebuah informasi yang lebih jelas dan mudah dipahami. Statistika deskriptif mengacu pada bagaimana menata atau mengorganisasi, mengorganisasi, menyajikan dan menganalisis data dengan cara perhitungan-perhitungan statistik seperti rata-rata hitung, median, modus, standar deiasi dan lainnya dalam bentuk tabel-tabel, diagram-diagram atau grafik. ,. Inferential statistics statistics (inductive statistics) statistics) : is a statistical statistical method which infers infers a sample, what the information implies (there is, attempt to generalize from specific). *engan demikian dalam statistika inferensia dilakukan suatu generalisasi dari hal yang bersifat khusus "kecil) ke hal yang lebih luas "umum). Pada statistika inferensia dilakukan pengujian hipotesis dan pendugaan mengenai karakteristik "ciri) dari suatu populasi, seperti mean dan standar deiasi.
Agus Statistika 1 - 2
Purnomo
B AB I PENDAHULUAN 1.1
STATISTIK DAN STATISTIKA Pada mulanya, kata statistik diartikan sebagai keterangan-keterangan yang dibutuhkan oleh oleh nega negara ra dan dan berg bergun unaa bagi bagi nega negara ra.. Keter Keteran anga gan-k n-ket etera erang ngan an sede sedemi miki kian an itu itu umum umumny nyaa diguna digunakan kan untuk untuk memper memperlan lancar car penarik penarikan an pajak pajak dan mobil mobilisa isasi si rakya rakyatt ke dalam dalam angkat angkatan an perang. Sebenarnya keterangan-keterangan kuantitatif semacam itu kini lebih kita kenal sebagai data sensus. sensus. Lambat Lambat laun, statistik statistik diartika diartikann sebagai sebagai data kuantitatif kuantitatif baik baik yang masih masih belum tersusun maupun yang telah tersusun dalam bentuk tabel. Kata statistik berasal dari bahasa Yunani status yang berarti state atau negara. Pertama kali digunakan oleh Gottried chen!all "#$%# & #'$(). *igunakan istilah negara karena a!alnya hanya digunakan untuk kepentingan-kepentingan negara saja seperti data penduduk, kepemilikan tanah, tanah, kematia kematian, n, perka! perka!ina inann dan lain sebaga sebagainy inya. a. Seirin Seiringg dengan dengan perkem perkemban bangan ganny nya, a, kini kini statistik dipakai dalam berbagai aspek kehidupan dan kegiatan manusia. *alam *alam arti sempit sempit,, statis statistik tik berarti berarti data. data. Sedang Sedangkan kan dalam dalam penger pengertia tiann yang yang lebih lebih luas, luas, Statistik diartikan sebagai kumpulan data dalam bentuk angka maupun bukan angka ang ang disusu disusunn dalam dalam bentuk bentuk tabel tabel !da"tar !da"tar## dan atau atau diagra diagram m ang ang mengga menggamba mbarka rkann !berkaitan# dengan suatu keadaan$ peristi%a atau masala& tertentu serta menatakan 'uga ukuran atau karakteristik pada sampel seperti nilai rata(rata$ standar de)iasi$ )ariansi dan k*e"isen k*relasi. Examples : - Citizen statistic is a group of numbers which correspond to the citizen problems - Economy statistic is a group group of numbers which correspond correspond to the economy problems problems - Education statistic is a group of numbers which correspond to the education problems - The avarage mark of mathematics is 75 and its standard deviation !
Sedangkan dalam arti luas, Statistika adala& pengeta&uan ang berkaitan dengan met*de$ teknik atau +ara mengumpulkan data$ meng*la& data$ mena'ikan data$ menganalisis data dan menarik kesimpulan atau mengintepretasikan data. data . *engan demikian dapat disimpulkan bah!a statistika adalah pengetahun yang berkaitan dengan statistik atau statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang statistik. +erdasarkan perlakuan terhadap data, statistik dapat dikategorikan menjadi 1. Descriptive statistics (deductive statistics): is a statistical method which describes a set of nature data (there is, no attempt to generalize them). *engan kata lain, statistika deskriptif adalah statistika yang menggambarkan atau mendeskripsikan data menjadi sebuah informasi yang lebih jelas dan mudah dipahami. Statistika deskriptif mengacu pada bagaimana menata atau mengorganisasi, mengorganisasi, menyajikan dan menganalisis data dengan cara perhitungan-perhitungan statistik seperti rata-rata hitung, median, modus, standar deiasi dan lainnya dalam bentuk tabel-tabel, diagram-diagram atau grafik. ,. Inferential statistics statistics (inductive statistics) statistics) : is a statistical statistical method which infers infers a sample, what the information implies (there is, attempt to generalize from specific). *engan demikian dalam statistika inferensia dilakukan suatu generalisasi dari hal yang bersifat khusus "kecil) ke hal yang lebih luas "umum). Pada statistika inferensia dilakukan pengujian hipotesis dan pendugaan mengenai karakteristik "ciri) dari suatu populasi, seperti mean dan standar deiasi.
Agus Statistika 1 - 2
Purnomo
S/
P01G23P2L1 * K21445
P01G6L71, P01Y0*0/711 *1P01 P0 11 1 * K21445
S 4 S 4 K
P01Y841* Y1G 0L7 *4S0*0/71K1
* 0 S K / 4 P 4 5
*ata Sample 9
Ya
P0/G21K1* S3PL0 212K - 301KS4/ P/300/ - 301G284 S23S4 301G014 P/300/
+ukan
P01GG211* S01S2S "P6P2LS4) 212K1L4S K/K0/4S4K "P/300/) P6P2LS4Y1G 01G7 *4S0L4*4K4
P01/4K1 K0S43P2L1 011G K/K0/4S4K P6P2LS4 "P/300/) Y1G 01G7 *4S0L4*4K4
S 4 S 4 K 4 1 5 0 / 0 1 S
S6P
Gambar #.#. 7ubungan antara statistik deskriptif dengan statistik inferens inferens da keterkaitan yang erat antara statistika deskriptif dengan statistika inferensia "Gambar #.(), yaitu pada umumnya statistika deskriptif selalu mendahului:menga!ali tahapan statistika inferensia, karena sebelum dilakukan penarikan kesimpulan mengenai suatu keadaan yang sedang diteliti, maka datanya harus diuraikan dulu dalam bentuk statistika deskriptif sehingga diperoleh kesimpulan yang akurat guna memperoleh manfaat secara maksimal. 8adi, antara statistika deskriptif dan statistika inferensia dapat diibaratkan seperti sebuah mata uang logam yang mempunyai dua sisi, dimana kedua sisi itu tidak dapat dipisahkan satu dengan lainnya. Agus Statistika 1 - 3
Purnomo
6leh karena itu, untuk memperoleh penelitian yang baik, maka proses perhitungan statistika deskriptif dan statistika inferensia harus dilakukan dengan baik dan benar. 1., PE-ANAN STATISTIK STATISTIK DALA KEHIDUPAN KEHIDUPAN ANUSIA /DE-N Perkem Perkemban bangan gan statistik statistik sebaga sebagaii metode metode ilmiah ilmiah telah telah mempen mempengar garuhi uhi hampir hampir setiap setiap aspek kehidupan manusia moderen. Peranan metode statistik dalam pengambilan keputusan secara ekonomis di perusahaan-perusahaan maupun penelitian yang sifatnya non ekonomis makin besar. #.(. #.(.##
P0/1 P0/ 11 1 S S 4S4 4S4K K *L *L3 3 +4* +4*1G 1G 0K61 0K6163 6344 *1 *1 31 3180 8030 301 1 P0/2S71 +agi +agi pimp pimpin inan an peru perusa saha haan an,, meto metode de stat statis isti tikk meru merupak pakan an alat alat yang yang pent pentin ingg dalam dalam pros proses es pengambilan keputusan. Keputusan-keputusan sedemikian itu meliputi keputusan mengenai pembelian bahan, penggudangan, penentuan jumlah produksi, penga!asan administrasi, penaksiran olume penjualan dimasa mendatang dan lain-lain la in-lain persoalan yang berhubungan erat dengan kelangsungan hidup perusahaan yang bersangkutan. #) +ida +idang ng pro produ duks ksii ◊ Penetapan standar kualitas dan penga!asan kualitas Penetapan standar bagi kualitas produk merupakan tanggung ja!ab insinyur perusahaan. Persoa Persoalan lan ini melipu meliputi ti spesif spesifika ikasi si tekhni tekhniss yang yang menya menyarank rankan an kualit kualitas as produk produk yang yang dikehe dikehenda ndaki ki serta serta batas batas spesif spesifika ikasi si atas dan batas batas spesif spesifika ikasi si ba!ah. ba!ah. Kedua Kedua batas batas spesifikasi tersebut dipakai sebagai pedomanuntuk menentukan diterima atau tidaknya produk yang yang dihasilkan. 5ungsi penga!asan kualitas ialah menentukan secara statistik apakah proses pembuatan produk tersebut te rsebut betul-betul telah dijalankan sedemikian rupa sehingga kedua spesifikasi tersebut dapat dipenuhi. ◊ Penga!asan terhadap efisiensi kerja Penggunaan !aktu bagi kegiatan-kegiatan yang tertentu harus diteliti secara statistik agar dapat menetapkan !aktu standar guna menyelesaikan pekerjaan yang tertentu. est terhadap metode atau produk baru ◊ est Secara statistik kita dapat menguji berarti atau tidaknya perbedaan metode atau produk baru tersebut jika dibandingkan dengan yang lama . +ila perbedaannya memang sangat berarti, maka perubahan metode atau produk dapat dilaksanakan. dilaksanakan. () +ida +idang ng akun akunta tans nsii Sebagian besar guna guna statistik dibidang dibidang akuntansi bertalian dengan penilaian tentang aktia perusahaan. Penyesuaian yang bertalian dengan perubahan harga dan hubungan antara ongkos dan olume produksi juga membutuhkan peralatan statistik. ◊ Penyesuian yang bertalian dengan perubahan harga Penyesuaian sedemikian itu berlaku bagi penyusutan mesin-mesin, inestaris dan bahan baku perusahaan . Penyesuaian sedemikian itu umumnya umumnya menggunakan indeks harga. ujuan u juan penyesuaian penyesuaian tersebut tersebut ialah untuk mengurangi mengurangi penghasilan penghasilan bersih bila terdapat kenaikan harga-harga dan sebaliknya. ◊ 7ubungan antara ongkos dan olume produksi *ata historis umumnya dipakai guna menghitung secara statistik hubungan antara kedua ariabel diatas hubungan tersebut perlu diketahui karena pada suatu titik yang tertentu, ongkos keseluruhan produksi akan bertambah secara kurang sebanding dengan olume produksi. ;) +ida +idang ng pem pemas asar aran an Penggunaan statistik dalam bidang pemasaran ini berhubungan erat dengan analisa penjualan, analisa pasar dan analisa pemasaran. ◊ Penyelidikan tentang preferensi konsumen Agus Statistika 1 - 4
Purnomo
◊
◊
◊
◊
◊
+ila perusahaan perusahaan ingin memperkenal memperkenalkan kan produk produk baruny barunyaa kepada kepada konsumen konsumen,, peneliti penelitian an tentang tentang preferensi preferensi konsumen konsumen merupakan merupakan suatu hal yang yang mutlak, mutlak, penelitian penelitian semacam ini dapat dilakukan dengan sampel. Penaksiran potensi pasaran bagi produk baru Sejalan dengan soal diatas potensi potensi pasaran bagi produk baru harus diketahui. 7al ini membutuhkan pengamatan konsumen "consumer surey) yang bertalian antara lain dengan persoalan kebutuhan konsumen akan produk tersebut. Penelitian mengenai potensi pasaran di daerah baru *ata yang bersifat ekstern harus dipergunakan. pimpinan pimpinan perusahaan untuk menaksirkan nilai penjualan produknya dari nilai penjualan seluruh industri. *isamping itu pimpinan perusahaan harus dapat menaksirkan pengaruh barang substitusi maupun barang komplementer terhadap produknya. Penetapan harga Penetap Penetapan an harga harga akan akan memba! memba!aa pengar pengaruh uh yang yang besar besar terhada terhadapp jumlah jumlah penerim penerimaan aan penjualan . Pimpinan perusahaan harus dapat membentuk kura permintaan terhadap produknya secara statistik. 7al tersebut tidaklah mudah. mudah. Penelitian terhadap efektifnya cara mengiklankan produk Penila Penilaian ian terhadap terhadap efekti efektifny fnyaa cara mrngikl mrngiklank ankan an produk produk . Sampai Sampai berapa berapa jauh jauh cara cara mengiklankan produk baru atau lama yang dihasilkan oleh suatu perusahaan itu betul betul efektif. est est terhadap efektifnya metode penjualan yang berbeda 8ika kita memiliki beberapa cara penjualan hasil produksi, cara penjualan manakah yang ternyata lebih efektif 9
#.(.( P0/11 S4S4K S4S4K *4 +4*1G P010L441 P010L44 1 +agi +agi peneli peneliti ti di labora laborator torium ium,, metode metode statis statistik tik member memberikan ikan peralat peralatan an yang yang bergu berguna na bagi bagi perencanaan eksperimennya dan ealuasi hasil eksperimen itu sendiri. *alam merencanakan eksper eksperime imenn labora laborator torium ium peneli peneliti ti harus harus memper memperhit hitung ungkan kan kemung kemungkin kinan an adany adanyaa kesalah kesalahan an eksper eksperime imenn "e
Purnomo
4)
representatif tadi. 3isalnya kita tidak mungkin meneliti #>.>>> buah jeruk mengenai kekuatanny kekuatannyaa terhadap terhadap sinar matahari, tetapi cukup dengan sampelnya sampelnya misalnya misalnya #>> buah saja untuk setiap #>.>>> buah. Spesialisas Spesialisasii statistika statistika selalu bekerja bekerja dengan dengan angka-angka angka-angka "kuantitatif). "kuantitatif). 4stilah-isti 4stilah-istilah lah seperti pada umumnya, kira-kira, sekitar, kurang lebih dll harus dibobot terlebih dahulu agar dapat dikerjakan dengan metode-metode statistika.
1.2 DATA A. * 1* 4156/3461 *ata bersifat jamak, jamak, sedangkan sedangkan datum berbentuk berbentuk tunggal. 8adi data adalah sekumpulan sekumpulan datumdatum. Data adala& suatu ba&an menta& ang 'ika di*la& dengan baik melalui berbagai analis analisis is dapat dapat mela&i mela&irka rkann berbag berbagai ai in"*rm in"*rmas asii . *eng *engan an info inform rmas asii ters terseb ebut ut,, kita kita dapa dapatt mengambil suatu keputusan. *alam statistika dikenal istilah-istilah jenis data, tingkatan data, sumb sumber er data data,, peny penyaji ajian an data data dan dan anal analis isis is data data.. *ata *ata dian dianal alis isis is sesu sesuai ai deng dengan an jeni jeniss dan dan tingkatannya, karean itu masing-masing tingkatan data mempunyai analisis sendiri khususnya dalam analisis korelasi. *ata yang baik harus mutakhir, relean dengan masalah yang diteliti dan berasal dari sumber yang dapat dipertanggungja!abkan, lengkap, akurat, obyektif dan konsisten. +agaimanapun canggihnya suatu analisis jika tidak ditunjang oleh data yang baik, maka hasilnya kurang dapat bisa dipertanggungja!abkan. B. 4P0 *1 41GK1 * *alam kegiatan statistika, kita akan selalu berhubungan dengan data. Secara garis besar, data dibagi atas dua jenis yaitu #. Data dik*t*mi 3 disebut 3 disebut juga data diskrit, data kategorik atau data nominal adalah data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli dan tidak berbentuk pecahan yang diperoleh dari hasil menghitung. ?ontoh jumlah manusia, baju, mobil pohon dan lain sebagainya. (. Data k*ntinum 3 data data yang yang dipero diperoleh leh dari dari hasil hasil penguk pengukura urann menur menurut ut tingka tingkatan tan yang yang berariasi, sehingga satuan datanya memungkinkan dalam bentuk pecahan. *ata ini terdiri atas ; jenis, yaitu a. Data *rdinal 3 data 3 data yang berbentuk rangking atau peringkat, misalnya juara 4, 44 dan 444 dinyatakan dalam skala, maka jarak antara satu data dengan lainnya tidak sama. %' '@ $; A( 4 44 444 4= dst b. Data inter)al 3 data 3 data yang jaraknya sama tapi tidak mempunyai nilai nol absolut , misalnya skala termometer, !alaupun ada nilai > > ?, tetapi tetap ada nilainya. -( -# > # ( ; B c. Data rati* 3 data 3 data yang jaraknya sama dan mempunyai nilai nol mutlak, misalnya luas area, tinggi dan berat dll. Panjang > meter berarti tidak mempunyai panjang. *ata ratio ini adalah data yang paling teliti. Sedangkan tingkatan data jika diurutkan adalah dari urutan yang tertinggi ke yang terendah adalah #. *ata ratioC (. *ata interalC ;. *ata ordinalC dan B. *ata nominal. *alam analisis statistika, jiak diperlukan data yang tinggi dapat diturunkan ke tingkatan yang lebih rendah, namun tidak bisa untuk sebaliknya. Agus Statistika 1 - 6
Purnomo
4. P6P2LS4 *1 S3P0L Populasi dan sampel biasanya digunakan pada statistika inferensia, dimana hal itu berkaitan dengan penarikan kesimpulan berdasarkan data yang dihitung dari sampel untuk menggambarkan karakteristik dari suatu populasi. Penarikan kesimpulan seperti ini biasanya dilakukan pada penelitian atau studi dengan memakai metode surei yang memakai data dari sampel namun hasil perhitungan yang diperoleh diperluas untuk menggambarkan atau menyimpulkan karakteristik dari populasinya. 8adi antara sampel dan populasi ada keterkaitan yang sangat erat. 3eskipun demikian, suatu penelitian tidak selalu memakai sampel, melainkan langsung memakai populasi, dimana dalam hal demikian maka tidak ada generalisasi tetapi apa yang dihitung langsung menyimpulkan karakteristik populasi. P*pulasi dapat dide"inisikan sebagai suatu keseluru&an pengamatan atau *bek ang men'adi per&atian kita. Sedangkan Sampel adala& bagian dari p*pulasi ang men'adi per&atian kita. 8ika digambarkan secara himpunan, maka populasi adalah himpunan semesta dan sampel adalah himpunan bagian. 2 D populasi D E sample-sampel F 2 "populasi) Populasi menggambarkan sesuatu yang sifatnya ideal <, y, dan teoritis, sedangkan sampel menggambarkan sesuatu H yang sifatnya nyata atau empirik. Populasi dan sampel sampel masing-masing mempunyai karakteristik yang dapat diukur. Karakteristik yang diukur atau dihitung dari populasi disebut parameter, misalnya mean dilambangkan µ C standar deiasi dilambangkan σ C koefisien korelasi ρ. Sedangkan karakteristik yang dihitung dari sampel disebut statistik. 3eskipun populasi merupakan gambaran yang ideal, tetapi sangat jarang penelitian menggunakan populasi, namun yang umum digunakan adalah sampel karena beberapa alasan seperti
• • • •
!aktu yang diperlukan lebih singkat dana yang dibutuhkan lebih sedikit data yang diperoleh lebih akurat dengan statistika inferensia dapat dilakukan generalisasi.
D. 306*0 S3PL41G Sebelum memilih sampel, maka tahap a!al adalah menentukan populasinya, kemudain menentukan metode pengambilan sampel yang terdiri dari dua cara #. Sampel n*n pr*babilitas 3 disebut juga incidental yaitu pengambilan sample yang dilakukan dengan cara tidak acak. ?ara ini terdiri dari ; jenis a. 4*n)enien+e sampling 3 sampel yang diambil berdasarkan kesukaan peneliti, misalnya dengan cara menghadang pengunjung super market kemudian me!a!ancarainya, b. 5udgement sampling 3 pemilihan elemen sampel sangat tergantung pada peneliti dengan mempertimbangkan dasar-dasar tertentu, misalnya untuk meneliti peraturan lalu lintas, maka sampel yang dipilih adalah mereka yang memiliki dan tidak memiliki S43 saja. c. 6u*ta sampling 3 pemilihan sampel pada suatu tingkat diambil dengan jumlah tertentu "kuota) dengan ciri-ciri tertentu, misalnya peneliti mengendalikan karakteristik usia responden dengan cara menentukan @> dari respondennya berusia ;> tahun ke atas. (. Sampel Pr*babilitas 3 sampel yang diambil secara acak "random). ?ara ini terdiri dari ; jenis a. Simple rand*m sampling 3 pengambilan sampel yang dilakukan secara acak, dimana setiap anggota populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk menjadi sample. Agus Statistika 1 - 7
Purnomo
b. Strati"ied sampling 3 pengambilan sampel dilakukan dengan terlebih dahulu melakukan pengelompokan pada populasinya berdasarkan strata-strata tertentu. c. 4luster sampling 3 pengambilan sampel dilakukan dengan terlebih dahulu melakukan pengelompokan pada populasinya secara acak. E. 306*0 S2/=04 eknik atau metode pengambilan data adalah sebagai berikut #. Inter)ie% 3 a method of data collecting !here researcher interie!s respondent directly !hich be guided by an interie! guidance. he adantage of this method to researcher, he can get the data directly and can be responsibled. he !eakness of this method is that cannot be operated in big scale. (. 6uesti*nnaire 3 a method of data collecting !here researcher sends a Iuestions list to the people !ho become research object, so that the ans!er or data can not be got directly. 3any adantages !hich be got from this method, such as possibility to run in big scaleC need more little costC possibility to get the personality data. he !eakness of this method such as, possibility to get uncompleteness ans!ersC the accuracy of the ans!er cannot be responsibled at allC the Iuestionnaire is not returned. ;. /bser)ati*n 3 a method of data collecting !here researcher obseres the research object directly !hich be guided by an obseration guidance. he adantage of this method to researcher, he can get the data more acurately he !eakness of this method is misinterpretation to the research object. 7. ET/DE S4ALIN8 Seperti halnya jenis data, maka sifat skala pengukuran mempunyai sifat yang sama dengan kualitas atau jenis data yang dipakai. 8adi, skala pengukuran dibagi dalam empat tingkatan juga #. Skala nominal membedakan data tanpa tingkatan, misalnya Laras, pohon, mobil dll. (. Skala ordinal membedakan data dengan suatu urutan, tanpa jarak, misalnya mhs sem 4 berkode ;C mhs sem 44 berkode @C mhs sem 444 berkode %. ;. Skala interal membedakan data dengan tingkatan, ada jarak, misalnya umur ini #( thn, Sinta #; thn, 5ebri #B thn, Lina #@ thn. B. Skala ratio 3embedakan data dengan tingkatan, ada jarak dan ada nilai mutlak, misalnya uang di /p. #>.>>> dan uang +udi /p. @.>>>, jadi uang di dua kali uang +udi. Sedangkan metode skala yang biasanya atau sering digunakan dalam penelitian bisnis adalah #. Skala Likert digunakan untuk mengukur sikap, pendapat dan persepsi seseorang atau kelompok tentang fenomena sosial dengan memberi bobot pada elemen-elemen instrumen secara gradasi. ?ontoh - Sangat setuju D@ - Setuju DB - /agu-ragu D; - idak setuju D( - Sangat tdk setuju D # (. Skala Guttman digunakan untuk memperoleh ja!aban yang tegas terhadap suatu permasalahan yang ditanyakan. *engan demikian pada skala ini hanya ada dua ja!aban saja, Jya atau JtidakC Jsetuju atau Jtidak setuju. Agus Statistika 1 - 8
Purnomo
BAB II DIST-IBUSI 7-EKUENSI
*ata yang telah dikumpulkan harus dikelola dan diorganisir sebaik mungkin dan sistematis sehingga dapat menjadi sebuah informasi yang dapat digunakan untuk mengambil keputusan. Penyajian data bisa berbentuk tabel-tabel, diagram, grafik maupun gambar-gambar. *engan cara demikian maka data dapat menjadi lebih komunikatif dan mudah dimengerti. Secara garis besar data dapat diorganisir menjadi dua bagian ,.1 Data ang tidak dikel*mp*kkan. *ata yang jumlahnya tidak terlalu banyak seringkali tidak perlu dikelompokkan. 2ntuk data yang demikian penyajiannya tidak terlalu sulit. +iasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau dengan urut yaitu dari nilai terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. ?ontoh abel # *ata Penjualan Produk J di Milayah +andung +ulan 8anuari (>#> 1o. urut Milayah:?abang Penjualan "ribuan rupiah) # ?icaheum $> ( ?icadas A> ( ?isokan '> B ?iumbuleuit ;> @ Sukajadi ;> A Setra Sari @> $ Padasuka $> ' 2jung +erung B> % Kepatihan (@ #> ?ibeunying B> 823L7 B%@ ,., Data ang dikel*mp*kkan. *ata yang jumlahnya cukup banyak penyajian secara indiidual akan sangat sulit, oleh karena itu cara penyajiannya akan dikelompokkan menurut sifat atau kelas-kelas tertentu . iap-tiap kelas akan menunjukkan jumlah atau frekuensinya. ,.0 Limit Kelas9 Batas Kelas9 Nilai Tenga& dan Lebar Kelas ?ontoh +agian Litbang super market +rena ingin mengetahui seberapa besar pelanggannya berbelanja di super market tersebut untuk setiap kali kunjungan. 2ntuk itu pada tanggal #B 5ebruari (>#> dilakukan pendataan A> pengunjung. +erikut ini adalah data nilai jumlah belanjaan dalam ribuan rupiah. @> ;(
;( A#
Agus Statistika 1 - 9
;; $A
$; A@
B$ @A
B@ @B
$% @'
B> @B
$> $A
;' '@ Purnomo
@( @B @A (@
$B A( '' A;
B> $$ @$ AB
A' B@ @' ('
B( A$ @% @(
$@ AA @@ @B
B; A@ @A (;
B' AA B$ ;;
BB BA A# B'
'( ;@ A% ;A
*ata di atas masih merupakan data mentah "ra! data) atau data kasar "crude data). *ata tersebut belum diolah secara statistika, sehingga belum komunikatif. *ata tersebut perlu disusun atau ditabuklasi dalam bentuk tabel frekuensi. da beberapa tahapan atau langkah dalam menyusun tabel frekuensi, yaitu #. entukan nilai maksimum "terbesar) dan nilai minimum "terkecil) dari data mentah, kemudian tentukan range atau jangkauannya dengan menggunakan rumus r = nilai maks – nilai min
3aka range data tersebut adalah r D '' & (; D A@ (. entukan banyaknya kelas dengan memakai rumus "turgess dimana
k = 1 + 3,3 log n
k D # N ;,; log A> D # N @,% D A,%
dibulatakan
menjadi $
;. entukan lebar kelas "interal kelas D c) dengan memakai rumus c = r/k
2ntuk sekedar diingat bah!a penentuan lebar kelas dengan cara ini hanya bersifat pendugaan atau perkiraan saja. Lebar kelas pada seriap kelas biasanya dibuat sama dan diusahakan merupakan bilangan asli. c D r:k D A@:$ D %,; dibulatkan selalu ke atas menjadi #> "agar semua data bisa masuk range dari interal kelas. B. +uatlah tabulasi frekuensi dengan cara memasukkan semua data dalam satu tabel. ?ara memasukkan data biasanya menggunakan model stik Inter)al Kelas 7rekuensi 7rekuensi (> & (% 444 ; ;> & ;% 44444 44 $ B> & B% 44444 44444 44 #( @> & @% 44444 44444 44444 #@ A> & A% 44444 44444 44 #( $> & $% 44444 444 ' '> & '% 444 ; @. entukan batas kelas, yang terdiri dari • batas kelas bawah "nilai terendah dalam interal kelas) • batas kelas atas "nilai tertinggi dalam interal kelas). *ari data diatas maka dapat ditentukan Agus Statistika 1 - 10
Purnomo
-
batas kelas ba!ah (>, ;>, B>, @>, A>, $>, '> batas kelas atas (%, ;%, B%, @%, A%, $%, '% Inter)al Kelas 7rekuensi (> & (% ; ;> & ;% $ B> & B% #( @> & @% #@ A> & A% #( $> & $% ' '> & '% ; +atas kelas atas
+atas kelas ba!ah A. entukan tepi kelas atau batas kelas "class boundaries), yang juga terdiri dari • tepi kelas bawah "adalah O dari jumlah batas kelas ba!ah kelas tersebut dengan batas kelas atas kelas sebelumnya) • tepi kelas atas "adalah O dari jumlah batas kelas atas kelas tersebut dengan batas kelas ba!ah dari kelas sesudahnya). 3aka dari data di atas dapat dihitung - kelas pertama tepi kelas ba!ah D O "(> N #%) D #%,@ tepi kelas atas D O "(% N ;>) D (%,@ - kelas kedua tepi kelas ba!ah D O ";> N (%) D (%,@ tepi kelas atas D O ";% N B>) D ;%,@ - kelas ketiga tepi kelas ba!ah D O "B> N ;%) D ;%,@ tepi kelas atas D O "B% N @>) D B%,@ dst 8adi, tepi kelas atas dari suatu kelas merupakan tepi kelas ba!ah dari kelas berikutnya. Inter)al Kelas Tepi Kelas 7rekuensi (> & (% #%,@ & (%,@ ; ;> & ;% (%,@ & ;%,@ $ B> & B% ;%,@ & B%,@ #( @> & @% B%,@ & @%,@ #@ A> & A% @%,@ & A%,@ #( $> & $% A%,@ & $%,@ ' '> & '% $%,@ & '%,@ ; $. entukan nilai tengah "yaitu nilai yang terletak ditengah pada setiap kelas interal) dengan cara O dari jumlah batas kelas ba!ah dan batas kelas atas dari suatu kelas. - nilai tengah 4 D O "(> N (%) D (B,@ - nilai tengah 44 D O ";> N ;%) D ;B,@ C dst Inter)al Kelas (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% Agus Statistika 1 - 11
Nilai Tenga& (B,@ ;B,@ BB,@ @B,@ AB,@ $B,@
7rekuensi ; $ #( #@ #( ' Purnomo
'> & '%
'B,@
;
'. 7itunglah frekuensi relatif dan kumulatif, dengan cara • 5rekuensi relatif merupakan rasio antara jumlah frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi keseluruhan dikalikan #>> - 2ntuk kelas 4 "(> & (%) D ;:A> < #>> D @ - 2ntuk kelas 44 ";> & ;%) D $:A> < #>> D #> - 2ntuk kelas 444 "B> & B%) D #(:A> < #>> D (> - 2ntuk kelas 4= "B> & B%) D #@:A> < #>> D (@ C dst Inter)al Kelas (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% '> & '% 5umla&
7rekuensi ; $ #( #@ #( ' ; ;<
7rekuensi -elati" !:# @ ## (> (@ (> #B @ 1<<:
• 5rekuensi kumulatif ada (, yaitu frekuensi kumulatif
kurang dari
dan frekuensi
kumulatif lebih dari Inter)al Kelas (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% '> & '%
7rekuensi ; $ #( #@ #( ' ;
7rekuensi kumulati" kurang dari > ; #> (( ;$ B% @$ A>
7rekuensi kumulati" lebi& dari A> @$ @> ;' (; ## ; >
,. 8-A7IK DAN DIA8-A da ; jenis diagram dan grafik yang sering digunakan pada statistika deskriptie, yaitu #. Polygon diagram garis yang menghubungkan titik-titik koordinat dari nilai tengah dan frekuensi dari masing-masing kelas. Sumbu ertikal menunjukkan frekuensi dan sumbu horisontal menunjukkan nilai tengah. Inter)al Kelas (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% '> & '% Agus Statistika 1 - 12
Nilai Tenga& (B,@ ;B,@ BB,@ @B,@ AB,@ $B,@ 'B,@
7rekuensi ; $ #( #@ #( ' ; Purnomo
(. 7istogram diagram balok yang menunjukkan jumlah frekuensi dari setia kelas dengan menggunakan tepi kelas untuk setiap batasan kelasnya. Sumbu ertikal dari grafik "tinggi balok menunjukkan jumlah frekuensi setiap kelasnya dan sumbu horisontal menunjukkan tepi kelas. Inter)al Kelas (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% '> & '%
Agus Statistika 1 - 13
Tepi Kelas #%,@ & (%,@ (%,@ & ;%,@ ;%,@ & B%,@ B%,@ & @%,@ @%,@ & A%,@ A%,@ & $%,@ $%,@ & '%,@
7rekuensi ; $ #( #@ #( % ;
Purnomo
;. Kura 6gie adalah grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif dari setiap kelas. Sumbu ertikas menunjukkan frekuensi kumulatif dan sumbu horisontal menunjukkan tepi kelas. Inter)al Kelas (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% '> & '%
7rekuensi ; A #( #@ #( % ;
7rekuensi kumulati" kurang dari > ; % (# ;A B' @$ A>
6gi-elebih dari
7rekuensi kumulati" lebi& dari A> @$ @# ;% (B #( ; > 6gi-e kurang dari
A>
B@
;>
#@
#%.@
Agus Statistika 1 - 14
(%.@
;%.@
B%.@
@%.@
A%.@
$%.@
'%.@
Purnomo
BAB III PEN8UKU-AN 4ENT-AL TENDEN4=$ L/4ATI/N AND DISPE-SI/N 0.1 PENDAHULUAN Penyajian data dapat dilakukan dengan cara memakai ukuran pemusatan data "measures of central tendency) dan ukuran letak data "measures of location). #oth of measures of central tendency and measures of location consist of a data typicals$ #oth of them are a part of descriptive statistics$ % measure of central tendency which we learn consist of :
- rithmethic 3ean "/ata-/ata 7itung) - 3edian "3edian) - 3ode "3odus) - Geometric 3ean "/ata-/ata 2kur) - 7armonic 3ean "/ata-/ata 7armonis) Sedangkan ukuran letak data "a measure of location) terdiri atas - uartile "kuartil) - *ecil "desil) - Percentile "persentil) 2kuran pemusatan disebut juga sebagai rata-rata "aerage) menunjukkan di mana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat "mengelompok). +ila suatu kelompok data diurutkan "secara membesar atau mengecil) maka ada kecenderungan data itu akan memusat pada bagian tengah. Thus, measure of central tendency is a single value which representatives set of data or set of observation, wherein that value shows the data centralized.
0., A-ITHETI4 EAN !-ata(-ata Hitung# #. *ata yang tidak dikelompokkan 8ika nilai data adalah # , ( , ; , QQQ i , dimana n adalah banyaknya data "sampel), maka rata-rata hitung " < , baca J< bar) dirumuskan n
X =
X
1
+ X
2
+ X
3
, ………+ X
n
atau
n
X =
Xi
i =1 n
8ika datanya adalah populasi, maka pada rumus di atas, simbol < diganti R dan simbol n "sampel) diganti simbol 1 "populasi) ?ontoh 3isalkan diketahui data penjualan selama #> bulan adalah sbb Sale $> '> A> ;> ;> B> B> A> B> @> 3aka rata-rata penjualan selama #> bulan adalah $> + '> + A> + ;> + ;> + B> + B> + A> + B> + @> & = = @> #>
(. *ata yang dikelompokkan *ata yang berariasi, maka dapat dikelompokkan dalam tabel frekuensi, yang terdiri dari kelas-kelas tertentu, dimana nilai data yang dipakai adalah nilai yang me!akili tiap kelas, yaitu nilai tengah per kelas. 3isalnya suatu data n di mana masing-masing nilai data muncul dengan frekuensi f n maka nilai rata-rata hitungnya adalah Agus Statistika 1 - 15
Purnomo
n
X =
f i Xi
i =1
n
?ontoh 3isalkan penjualan toko disajikan dalam tabel frekuensi di ba!ah ini. +erapakah rata-rata penjualannya 9 Pen'ualan (> & (% ;> & ;% B> & B% @> & @% A> & A% $> & $% '> & '%
Nilai Tenga& (B,@ ;B,@ BB,@ @B,@ AB,@ $B,@ 'B,@
7rekuensi ; A #( #@ #( % ;
*engan menggunakan rumus di atas, maka didapat (3x24,5)+6(34,5)+12(44,5)+ ……….dst X=
3 + 6 + 12 + 15 + 12 + 9 + 3
3.330 =
60
= 55,5
7asil ini bisa dibaca bah!a penjualan rata-rata toko adalah /p.@@.@>>,- per hari. A. -ATA(-ATA HITUN8 EAKAI K/DE !U# ?ara lain untuk menghitung arithmetic mean menggunakan cara transformasi linier, di mana cara ini lebih sederhana dibandingkan dengan cara sebelumnya. Ketentuannya adalah • *igunakan untuk data berkelompok • Kode pengganti adalah 2 yang mempunyai nilai >, ± #, ± (, ± ;, ± B, QQ.dst. • ?aranya dengan membuat titik > baru ">T) dari titik > lama • entukan nilai tengah ">) dari kelas tengah, kemudian himpitkan nilai tsb dengan titik >T , sehingga > D >T D > • /umus yang digunakan adalah "U > ? >< @ + " di mana > D 1ilai tengah kelas dari kelas yang paling tengah c D Lebar kelas 2 D Kode ?ontoh hitunglah mean dari data di ba!ah ini Pen'ualan Nilai Tenga& 7rekuensi (> & (% (B,@ ; ;> & ;% ;B,@ A B> & B% BB,@ #( @> & @% @B,@ #@ A> & A% AB,@ #( $> & $% $B,@ % Agus Statistika 1 - 16
Purnomo
'> & '%
'B,@
8a!ab abel diubah dulu menjadi Pen'ualan Nilai Tenga& (> & (% (B,@ ;> & ;% ;B,@ B> & B% BB,@ @> & @% @B,@ A> & A% AB,@ $> & $% $B,@ '> & '% 'B,@
U -; -( -# > # ( ;
;
" ; A #( #@ #( % ; ∑f D A>
"U -% -#( -#( > #( #' % ∑f2 D A
3asukkan dalam rumus D > N c "∑ f2 : ∑ f) D @B,@ N #> "A : A>) D @@,@ "bandingkan dengan cara sebelumnya). 0.0 EDIAN !edian# edian can be defined as a mid value of a set of data which arranged according to size (either in ascending or descending order).
*engan kata lain, median adalah nilai paling tengah "jika jumlah data ganjil) atau rata-rata dari dua nilai tengah "jika jumlah data genap). 3edian ditulis dengan simbol J3ed. 3edian dari data yang tidak dikelompokkan dapat ditentukan langsung setelah datanya diurutkan. ?ontoh #. 3edian dari data ;, ;, B, @, A, ', ', %, #> adalah nilai ke-@, yaitu sama dengan A, karena banyaknya data "n) adalah % "ganjil). *itulis 3ed D A. (. D E@, @, $, %, ##, #(, #@, #'F mempunyai median D O "%N##) D #>, karena banyaknya data "n) D ' "genap). *alam hal ini mediannya adalah rata-rata dari nilai ke-B dan ke-@ 2ntuk data yang dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi, mediannya dihitung dengan memakai rumus
Med =
L0 + c
n/2 - F f
Di mana : Med = Median L0 = Batas bawa kelas median c = Lebar !elas "inter#al$ n/% = median dari data yang dikelom&okkan ' = ()mla *rek)ensi sem)a kelas sebel)m kelas yang mengand)ng median * = *rek)ensi kelas median
Sedangkan letak median ditentukan dengan rumus n:(. ?ontoh entukan median data modal B> perusahaan pada tabel di ba!ah ini
Agus Statistika 1 - 17
Purnomo
*dal ##( & #(> #(# & #(% #;> & #;' #;% & #B$ #B' & #@A #@$ & #A@ #AA & #$B
"rekuensi B @ ' #( @ B ( Med =
entukan dulu pada kelas interal mana mediannya terletak. 3edian terletak pada nilai n:( D B>:( D (>, atau pada kelas dengan interal #;% & #B$. *engan demikian maka kita peroleh L> D #;',@ C f D #( C 5 D B N @ N ' D #$ C c D #B$,@ & #;',@ D % C n D (>. *engan memakai rumus di atas , maka dapat dihitung 3edian dari modal-modal tsb
13!,5 + 9
20 - 1
= 140,5
12
0. /DE !*dus# 3odus adalah nilai data yang paling banyak muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus, tapi mungkin juga tidak mempunyai modus. It means a data set has always no mode, but a data set may has more than one mode.
?ontoh a. 2ntuk data yang tidak dikelompokkan - ;, A, ', #>, #;, #' tidak ada modus. - A, ', %, %, #;, % mempunyai # modus, yaitu 3od D % - %, ', %, $, A, ', #> mempunyai ( modus, yaitu 3od D ' dan 3od D % - A, A, A, A, A tidak ada modus b. 2ntuk data yang dikelompokkan, modus dihitung dengan menggunakan rumus
M"d =
L0 + c
#1 #1 + #2
Di mana : Mod = Mod)s L0 = Batas bawa kelas mod)s c = Lebar !elas "inter#al$ b1 = selisi antara *rek)ensi kelas mod)s dengan *rek)ensi te&at sat) kelas sebel)m kelas mod)s b% = selisi antara *rek)ensi kelas mod)s dengan *rek)ensi te&at sat) kelas ses)da kelas mod)s
?ontoh entukan modus dari tabel di ba!ah ini *dal 7rekuensi entukan dulu kelas interal yang mengandung modus, yaitu kelas interal yang mem## & (> ( punyai frekuensi terbesar. Pada tabel ini yg (# & ;> B mempunyai frekuensi terbesar adalah kelas ;# & B> @ B# & @> dengan f D #>. 8adi modusnya terB# & @> #> letak pada kelas B# & @>. 8adi L > D B>,@ C c D @# & A> ( #> C b# D #> & @ D @ C dan b ( D #> & ( D ' A# & $> B $# & '> ; *engan menggunakan rumus 3odus, maka dapat dihitung modus untuk modal ;> perusahaan adalah M"d =
Agus Statistika 1 - 18
40,5 + 10
5 5+ !
= 44,35
Purnomo
B. HUBUN8AN -ATA(-ATA HITUN8$ EDIAN DAN /DUS 7ubungan antara nilai rata-rata hitung, median dan modus ditentukan oleh simetri tidaknya kura distribusi data yang bersangkutan, yaitu #. Kura akan medekati simetri, jika 3od D 3ed D (. Kura asimetri ke kanan "mendekati sumbu ertikal), jika 3od U 3ed U ;. Kura asimetri ke kiri"menjauhi sumbu ertikal), jika < U 3ed U 3od
3od U med U
mod D med D <
< U med U mod
<
# ( ; *alam hal distribusi data asimetri ke kanan atau ke kiri, maka terdapat hubungan empirik antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu - – Mod = 3"- – Med$
0
. 5ind the mode of the data V. & 3od D ; " & 3ed) $@ & 3od D ; "$@ & $>) 3od D $@ & #@ D A> 0.2 8E/ET-I4 EAN !-ata(-ata Ukur# *ipakai untuk menggambarkan keseluruhan data, khususnya bila data mempunyai ciri khusus seperti antara beberapa data mempunyai kelipatan yang sama, sehingga perbandingan ( data yang berurutan hampir tetap. /umus yang digunakan pada rata-rata ukur adalah 2ntuk data yang jumlahnya kecil
=
-1 . -% . -3 .. -n
n
2ntuk data yg besar dan tidak berkelompok
= antilog "log 2$/n
2ntuk data yg besar dan berkelompok
= antilog "*.log 2$/ *
Agus Statistika 1 - 19
Purnomo
0.; HA-/NI4 EAN !-ata(rata Harm*ni+# *ipakai jika suatu kelompok datanya adalah bilangan pecahan atau desimal. 2ntuk data yang tidak berkelompok
45 = n/"1/ 2$
2ntuk data yg berkelompok
45 = */"*/ 2$
0. 6UA-TILES$ DE4ILES AND PE-4ENTILES 1.
!uartiles is a measurement which divide a data set distribution into four same portions. "elow are the #uartiles formulas :
6i = i"n + 1$/7 8 dimana i = 1,%,3
*ata tidak berkelompok
2ntuk data yang dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi, Iuartil dihitung dengan memakai rumus
$i = L0 + c
in/4 - F f
Di mana : = 6)artil ke i 6i L = Batas bawa kelas 9)artil c = Lebar !elas "inter#al$ in/7 = 9)artil dari data yang dikelom&okkan ' = )mla *rek)ensi sem)a kelas sebel)m kelas yang mengand)ng 9)artil * = *rek)ensi kelas 6)artil 6i
$roblem :
#. 5ind the Iuartil # , ( , ; of a data set of #; !orkers !ho hae monthly income, as follo! B>, ;>, @>, A@, B@, @@, $>, A>, '>, ;@, '@, %@, #>>
%olutions :
• rrange the data in ascending order as follo! ;>, ;@, B>, B@, @>, @@, A>, A@, $@, '>, '@, %@, #>> • 2se the formula i D i"n N #):B to sole the problem # D #"#; N #):B D #B:B D ;O nilai ke-;O D antara nilai ke-; dan nilai ke-B D nilai ke ; N O"nilai ke-B & nilai ke-;) D B> N O"B@ & B>) D B(,@ ( D ("#; N #):B D (':B D $ nilai ke-$ D A> ; D ;"#; N #):B D B(:B D #>O nilai ke-#>O D nilai ke-#> N O"nilai ke-## & nilai ke-#>) D '> N O"'@ & '>) D '(,@ (. 5ind the Iuartil # , ( , ; of a data set as follo! *dal ##( & #(> #(# & #(%
Agus Statistika 1 - 20
> ##A #(@
"rekuensi B @ Purnomo
#;> & #;' #;% & #B$ #B' & #@A #@$ & #A@ #AA & #$B
#;B #B; #@( #A# #$>
' #( @ B (
%olution :
*etermine class interal # , ( , ; # , is the point at or belo! !hich lie (@ and at or aboe !hich lie $@ of the data points ( , is the point at or belo! !hich lie @> and at or aboe !hich lie @> of the data points ; , is the point at or belo! !hich lie $@ and at or aboe !hich lie (@ of the data points +ecause of n D B>, then # lies at class #;> & #;'C ( lies at class #;% & #B$ and ; lies at class #B' & #@A. 2se the formula $i
=
L0 + c
in/4 - F f
5or # , L> D #(%,@ C 5 D B N @ D % and f D ', then # D #(%,@ N % E"B>:B & %):'F D #;>,A; 5or ( , L> D #;',@ C 5 D B N @ N ' D #$ and f D #(, then # D #;',@ N % E"'>:B & #$):#(F D #B>,$@ 5or ; , L> D #B$,@ C 5 D B N @ N ' N #( D (% and f D @, then # D #B$,@ N % E"#(>:B & (%):@F D #B%,; ,. De+iles 3 8ika sekelompok data dibagi menjadi #> bagian yang sama banyak, maka akan terdapat % pembagi yang masing-masing disebut nilai desil "*), yaitu * # , *( , *; , QQ *% . 1ilai desil ke 4, yaitu *i ditentukan dengan rumus 2ntuk data tidak berkelompok
Di = i"n + 1$/10 8 dimana i = 1,%,3..
2ntuk data berkelompok
%i = L0 + c
in/10 - F f
Di mana : = Desil ke i Di L 0 = Batas bawa kelas desil c = Lebar !elas "inter#al$ in/10 = desil dari data yang dikelom&okkan ' = )mla *rek)ensi sem)a kelas sebel)m kel as yan g meng and )n g d esil * = *rek)ensi kelas desil Di
?ontoh #. entukan desil *; dan *$ dari data ;>, ;@, B>, B@, @>, @@, A>, A@, $@, '>, '@, %@, #>> 8a!ab • *ata diurutkan sebagai berikut ;>, ;@, B>, B@, @>, @@, A>, A@, $@, '>, '@, %@, #>> • Gunakan rumus * i D i"n N #):#> *; D ;"#; N #):#> D B(:#> D B #:@ nilai ke-B #:@ D antara nilai ke-B dan nilai ke-@ D nilai ke-B N #:@"nilai ke-@ & nilai ke-B) Agus Statistika 1 - 21
Purnomo
D *$ D D D
B@ N #:@"@> & B@) D BA $"#; N #):#> D B(:B D %':#> nilai ke-% ':#> nilai ke-% N ':#>"nilai ke-#> & nilai ke-%) $> N ':#>"'> & $>) D $'
(. entukan desil *; dan *$ dari data *dal ##( & #(> #(# & #(% #;> & #;' #;% & #B$ #B' & #@A #@$ & #A@ #AA & #$B
> ##A #(@ #;B #B; #@( #A# #$>
" B @ ' #( @ B (
entukan dulu class interal *; dan *$ *; , membagi data ;> ke ba!ah dan $> ke atas *$ , membagi data ;> ke atas dan $> ke +a!ah Karena n D B>, maka * ; terletak pada kelas #;> & #;'C dan * $ terletak pada kelas #;% & #B$. Gunakan rumus % i =
L0 + c
in/10 - F f
5or *; , L> D #(%,@ C 5 D B N @ D % and f D ', then *; D #(%,@ N % E"#(>:#> & %):'F D #;(,'' 5or *; , L> D #(%,@ C 5 D B N @ N 'D #$ and f D #(, then *$ D #(%,@ N % E"('>:#> & #$):#(F D #BA,$@ 0. Per+entiles 3 8ika sekelompok data dibagi menjadi #>> bagian yang sama banyak, maka akan terdapat %% pembagi yang masing-masing disebut persentil "P), yaitu P # , P( , P; , QQ P%% 2ntuk data tidak berkelompok 2ntuk data berkelompok &i
=
L0 + c
in/100 - F
f
;i = i"n + 1$/100 8 dimana i = 1,%,3..
Di mana : = ;ersentil ke i ;i L0 = Batas bawa kelas &ersentil c = Lebar !elas "inter#al$ in/100 = &ersentil dari data yang dikelom&okkan ' = )mla *rek)ensi sem)a kelas sebel)m kelas yang mengand)ng &ersentil * = *rek)ensi kelas ;ersentil Di
0. DATA DISPE-SI/N !Dispersi Data# *ispersi data menggambarkan bagaimana suatu kelompok data menyebar terhadap pusat data. Kelompok data # @>, @>, @>, @>, @> C mempunyai D @> Kelompok data ( ;>, B>, @>, A>, $> C mempunyai D @> Kelompok data ; (>, ;>, @>, $>, '> C mempunyai D @> Ketiga kelompok data di atas mempunyai rata-rata hitung yang sama, yaitu @>, tetapi penyebaran nilainya pada mading-masing kelompok berbeda. Pada kelompok # nilainya tidak menyebar, karena semuanya sama, sedang pada kelompok ( dan ; menyebar terhadap pusat data, yaitu @>, tapi kelompok ; lebih menyebar daripada kelompok (, karena kelompok ( mempunyai Agus Statistika 1 - 22
Purnomo
nilai terkecil ;> dan terbesar $>, sedangkan kelompok ; mempunyai nilai terkecil (> dan terbesar '>. 8enis-jenis ukuran dispersi data #. 8angkauan "/ange) (. Simpangan /ata-rata "3ean *eiation) ;. =ariansi "=ariance) disebut dispersi mutlak B. Standar *eiasi "Standard *eiation) @. Simpangan Kuartil "uartile *eiation) A. Koefisien =ariasi "?oeficient of =ariation) disebut dispersi relatif 1. 5angkauan !-ange# 3 selisi& antara nilai maksimum dengan nilai minimum suatu kel*mp*k data. *irumuskan *ata tidak berkelompok
4ange "r$ = nilai maks – nilai min 4ange "r$ = nilai tenga maks – nilai tenga min
*ata berkelompok
3akin kecil jangkauan suatu data, maka makin baik kualitas data ituC sebaliknya semakin besar jangkauannya, maka semakin buruk kualitasnya. ,. Simpangan -ata(-ata !S- ? ean De)iati*n# 3 'umla& nilai mutlak dari selisi& semua nilai dengan nilai rata(rata dibagi 'umla& data. *ata tidak berkelompok
<4 = - -/ n
*ata berkelompok <4 = * - -/ n 8 di mana n = *
?ontoh #. entukan simpangan rata-rata kelompok data (>, ;>, @>, $>, '>. 8a!ab /ata-rata hitung D D @> dan n D @, maka S/ D
W(> & @>W N W;> & @>W N W@> & @>W N W$> & @>W N W'> & @>W
@ S/ D ";> N (> N > N (> N ;>):@ D #>>:@ D (> (. entukan simpangan rata-rata data modal B> perusahaan pada tabel berikut *dal ##( & #(> #(# & #(% #;> & #;' #;% & #B$ #B' & #@A #@$ & #A@ #AA & #$B
Agus Statistika 1 - 23
"rekuensi B @ ' #( @ B (
Purnomo
8a!ab entukan rata-rata hitungnya ") D ∑f:∑f D @.A(#:B> D #B>,@(@ Kemudian, buat tabel penolong sbb *dal ##( & #(> #(# & #(% #;> & #;' #;% & #B$ #B' & #@A #@$ & #A@ #AA & #$B
> ##A #(@ #;B #B; #@( #A# #$>
"rekuensi B @ ' #( @ B ( B>
C> ( >C (B,@(@ #@,@(@ A,@(@ (,B$@ ##,B$@ (>,B$@ (%,B$@
"C> ( >C %',#>> $$,A(@ @(.(>> (%,$>> @$,;$@ '#,%>> @',%@> B@@,'@>
S/ D ∑f W & W:∑f D B@@,'@>:B> D ##,;%A ;.
&ariance is defined as the arithmetic mean of the s#uares of the deviations. &ariance is symbolized by % ' (for sample) and for population is ' ( read tho). he formulas are
data tidak berkelompok
data berkelompok
<% = ∑ "- – - $% / "n – 1$
<% = ∑* "- – - $ % / "n – 1$ 8 dimana ∑* = n
7asil perhitungan ariansi akan menghasilkan dispersi data jauh lebih besar dibandingkan dengan perhitungan simpangan rata-rata, sehingga ariansi bukan merupakan ukuran dispersi yang baik untuk menggambarkan penyebaran data. Kelemahannya adalah bah!a ariansi menggunakan bentuk kuadrat dalam perhitungannya, sedangkan dispersi data sesungguhnya adalah merupakan ukuran linier. Kelebihannya ariansi melibatkan selisih dari semua nilai data. B. %tandard Deviation : is the positive s#uare root of the variance. Thus the variance and the standard deviation are closely related. The symbol for the standard deviation of a population is * and for the standard deviation of a sample is %.
/umusnya adalah data tidak berkelompok
data berkelompok
Agus Statistika 1 - 24
< = ∑ "- – - $% / "n – 1$
< =
∑* "- – - $% / "n – 1$ 8 dimana ∑* = n Purnomo
's nt* +ins dn stnd de+isi sein disi*n d #ent* in (n ini sein di*i) Data tidak berkel*mp*k Data berkel*mp*k ariansi
S, ? n >, F! > #, G n!n F 1# S, ? n ">, F! "> #, G n!n F 1#
Standar De)iasi
S ? Jn >, F ! >#, G n!n F 1#
S ? Jn ">, F ! ">#, G n!n F 1#
Selain menggunakan cara tersebut di atas, maka perhitungan ariansi dan standar deiasi juga dapatdigunakan cara koding atau trasformasi dari ariabel ke ariabel 2, khususnya hal ini digunakan untuk data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. *engan cara ini, maka nila data yang besar akan berubah menjadi nilai data 2 yang kecil, yaitu 2 D > C X # C X ( C X ; C X B C dst sehingga akan mempermudah perhitungan dan hasil yang diperoleh juga akan menjadi lebih teliti dan resiko salah hitung bisa diminimalisir. /umusnya adalah ariansi 3
Standar De)iasi 3
42 = c2 56n f72 8( f7 )2 / n(n 8 1):
4 = c 5;6n f72 8 ( f7)2 / n(n 8 1):
*imana c D lebar kelas dan n D ∑f ?ontoh entukan ariansi dan standar deiasi dari data modal B> perusahaan pada tabel berikut *dal "rekuensi ##( & #(> B #(# & #(% @ #;> & #;' ' #;% & #B$ #( #B' & #@A @ #@$ & #A@ B #AA & #$B ( 8a!ab +uatlah tabel penolong seperti berikut ini *dal > " U "U 7U, ##( & #(> ##A B -; - #( ;A #(# & #(% #(@ @ -( - #> (> #;> & #;' #;B ' -# -' ' #;% & #B$ #B; #( > > > #B' & #@A #@( @ # @ @ #@$ & #A@ #A# B ( ' #A #AA & #$B #$> ( ; A #' B> - ## #>; 3asukkan ke dalam rumus ariansi "cara koding) S( D c( En∑f2( &"∑ f2 )( F : n"n & #)Z Agus Statistika 1 - 25
Purnomo
? %( EB>"#>;) & "- ##)( F : B>";%)Z D '#EB#(> & #(#F:#@A> D '#";%%%):#@A> D (>$,AB Sedangkan standar deiasinya adalah S D [(>$,AB D #B,B#
@.
!uartile Deviation and $ecentile Deviation are other method to describe data dispersion. This method is better than range method.
heir formulas are
$d = < ($3 - $1 )
6uartile De)iati*n 3
# D kuartil ba!ah atau kuartil pertama ; D kuartil atas atau kuartil ketiga Per+entile De)iati*n 3
&d10-90 = &90 - &10
P#> D Persentil ke-#> dan P%> D Persentil ke-%> A.
+oeficient of &ariation is a measurement which be used to compare dispersion of two or more of data sets. This method is categorized as a relative dispersion. The formula is :
> = (4 / X).100?
0. TENDEN4= /7 DATA DIST-IBUTI/N Kemiringan distribusi data obserasi tercermin saat kita membahas hubungan antara mean, median dan modus "sebagai ukuran-ukuran nilai pusat). +entuk-bentuknya terdiri atas ; jenis, yaitu C • Kur)a N*rmal !Simetris# ang mempunai kemiringan n*l. 3enunjukkan bah!a ean ? edian ? *dus • Kur)a iring Ke Kanan !P*siti)e Ske%ed#. 3odus terletak diba!ah puncak yang menunjukkan bah!a *dus edian ean. 1ilai 3odus adalah yang paling kecil dan 1ilai 3ean adalah yang paling besar. • Kur)a iring Ke Kiri !Negati)e Ske%ed#. 3odus terletak diba!ah puncak yang menunjukkan bah!a *dus M edian M ean. 1ilai 3odus adalah yang paling besar. da ; cara "rumus) perhitungan derajat kemiringan distribusi data, yaitu /umus Pearson, /umus 3omen dan /umus +o!ley. Kita hanya membahas rumus Pearson yang banyak digunakan. /umus Pearson
= (X 8 M"d) / 4 t
= 3(X 8 Med) / 4
α D derajat kemiringan Pearson /umus ini dapat digunakan untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok. 2kurannya adalah • 5ika ? < atau mendekati nol, maka distribusi data simetri Agus Statistika 1 - 26
Purnomo
• 5ika < atau negatif, distribusi data asimetri ke kiri • 5ika M < atau positif, distribusi data asimetri ke kanan
Agus Statistika 1 - 27
Purnomo
BAB I ET/DE ANALISIS K/-ELASI .1 Analisis Hubungan. 3anusia adalah makhluk sosial, artinya manusia tidak dapat hidup sendiri. *ia memerlukan hubungan dengan yang lainnya, apakah itu di rumah "dengan tetangga), di kantor "dengan rekan sekerja), di sekolah "dengan teman sekolah), dan lain sebagainya. *alam melakukan hubungan ini, ada berbagai maksud atau kepentingan, namun pada dasarnya adalah untuk memenuhi kebutuhan sosialnya. *alam bidang bisnispun demikian adanya, adanya suatu kejadian pasti berhubungan dengan kejadian lainnya. Kejadian disebabkan oleh kejadian +. 3isalnya turunnya harga beras lokal disebabkan karena impor beras yang melimpahC menurunnya penjualan disebabkan karena biaya promosi yang kurang, menurunnya penerimaan deisa mungkin disebabkan mutu komoditi ekspor yang kurang baikC naiknya harga produk hasil bumi mungkin disebabkan kenaikan harga bbm dan masih banyak lagi kejadian lainnya. T&*se eamples ab*)e des+ribe t&at t&ere is a relati*n *r +*rrelati*n bet%een *ne p&en*men*n and an*t&er. It mig&t be de+lared b t&e "lu+tuati*n *" )ariable )alue. 7*r eample$ i" > is a )ariable *" pri+e t&en t&e "lu+tuati*n *" pri+e mig&t be de+lared b t&e "lu+tuati*n *" > )alue. I" = is a )ariable *" selling t&en t&e "lu+tuati*n *" selling mig&t be de+lared b t&e "lu+tuati*n *" = )alue. It means t&*se p&en*mena mig&t be de+lared in , )ariables relati*n "*rm. It +alled a +*rrelati*n *" )ariable. T&ere are , kinds *" +*rrelati*n 3 linier +*rrelati*n and n*n(linier +*rrelati*n. "?ontoh-contoh kejadian di atas mencoba menggambarkan bah!a ada suatu hubungan "korelasi) antara peristi!a atau gejala yang satu dengan peristi!a atau gejala yang lainnya. Peristi!a itu dapat dinyatakan dengan perubahan nilai ariabel. 3isalnya jika adalah ariabel harga, maka naik turunnya harga dapat dinyatakan dengan perubahan nilai . 8ika Y adalah ariabel hasil penjualan, maka naik turunnya hasil penjualan dapat dinyatakan dengan perubahan nilai Y. rtinya hubungan dua kejadian atau peristi!a dapat dinyatakan dalam bentuk hubungan dua ariabel. 8enis hubungan ariabel ini terdiri dari hubungan linier dan hubungan non-linier). *alam perencanaan bisnis, selain data masa lampau dan masa sekarang, juga dibutuhkan data hasil peramalan yang menggambarkan kemampuan untuk masa yang akan datang. 3isalnya perencanaan impor beras, pemerintah memerlukan ramalan produksi beras lokal. Suatu perusahaan dalam merencanakan produksi memerlukan ramalan hasil penjualan "kemampuan menjual di masa mendatang). 7al ini dimaksudkan untuk mencegah terjadinya oer produksi atau under produksi. I" )ariable *" > and = &a)e a +*rrelati*n t&en t&e )alue *" > )ariable mig&t be used t* "*re+ast *r t* estimate = )ariable. In "a+t$ t&e "*re+asting is an appraisal ab*ut t&e *++ur *" a +ase !)alue *" a )ariable# in t&e "uture$ su+& as pr*du+ti*n "*re+asting "*r , ears later$ pri+e "*re+asting "*r net m*nt&$ t&e "*r+asting *" +itiOen rate "*r 1< ears later$ et+. 8ika ariabel dan Y mempunyai hubungan , maka nilai ariabel yang sudah diketahui dapat dipergunakan untuk menaksir atau meramalkan Y. /amalan pada dasarnya merupakan perkiraan:taksiran mengenai terjadinya suatu kejadian "nilai suatu ariabel) untuk !aktu yang akan datang, seperti misalnya ramalan produksi ( tahun yang akan datang, ramalan harga bulan depan, ramalan jumlah penduduk #> tahun ke depan dan lain sebagainya. =ariabel Y yang nilainya akan diramalkan itu disebut sebagai ariabel terikat "dependent ariable) sedangkan ariabel yang nilainya digunakan untuk meramalkan nilai Y disebut ariabel bebas "independent ariable) atau ariabel peramal "predictor ariable). 8adi analisis korelasi memungkinkan kita untuk mengetahui terjadinya kejadian secara kualitatif " akan terjadi perang, akan turun hujan, akan lulus ujian, dan lain-lain) serta secara kuantitatif " indeks harga sembako naik $, penerimaan deisa turun #A, penjualan naik (;, dan lainnya). ?ara Agus Statistika 1 - 28
Purnomo
meramalkan ini digunakan metode analisis regresi). 8adi jika analisis korelasi digunakan untuk melihat adanya hubungan antara dua atau lebih kejadian, maka analisis regresi digunakan untuk melihat signifikansi antara dua kejadian dengan peramalannya tersebut. ., Diagram Pen+ar !S+atter Diagram#. 7ubungan antara ( ariabel ada yang positif dan ada yang negatif serta tidak mempunyai hubungan sama sekali atau kecil sekali. 7ubungan dan Y disebut positif, jika kenaikan atau penurunan juga diikuti oleh kenaikan atau penurunan Y. dan dikatakan mempunyai hubungan negatif, jika jika kenaikan atau penurunan akan diikuti oleh penurunan atau kenaikan Y. Sedangkan jika kenaikan atau penurunan tidak diikuti oleh kenaikan dan atau penurunan Y, maka dikatakan dan Y tidak berkorelasi. 2ntuk menganalisis hubungan tersebut digunakan alat yang disebut diagram pencar "scatter diagram), yaitu suatu diagram yang menunjukkan ada atau tidaknya korelasi antara riabel dan Y. *iagram pencar menggunakan sistem koordinat kartesius, di mana sumbu < diletakkan nilanilai ariabel bebas ") dan pada sumbu Y diletakkan nilai ariabel terikat "Y). Kemudian pada diagram tersebut ditarik sebuah garis yang membagi titik-titik koordinat, sehingga dari garis tersebut dapat diketahui korelasi anatara kedua ariabel. ujuan menggunakan diagram pencar adalah untuk mengetahui apakah titik-titik koordinat membentuk suatu pola tertentu. D D !@4ALB
!@4ALB
X
X D
D
!@4ALB
CDB!
BDB !@4ALB
X
X
@xnti"ns • ABe di (eft #"+e) sB"Cs tend ine "+e f" eft #e"C t" iBt #"+e (incesin) tB"B tBe idde "f sctte d"ts s" tBt X nd D B+e c"eti"n ("siti+e c"eti"n). ra*ik kiri atas men)n()kkan garis trend bergerak dari kiri bawa ke kanan atas "bergerak naik$ melintasi tengatenga diagram &encar seignga - > ? mem&)nyai korelasi "korelasi &ositi*$.
•
ABe di (iBt #"+e) sB"Cs tend ine "+e f" eft #"+e t" iBt #e"C (decesin) tB"B tBe idde "f sctte d"ts s" tBt X nd D B+e c"eti"n (neti+e c"eti"n). ra*ik kanan atas men)n()kkan grs trend bergerak dari kiri atas ke kanan bawa "bergerak t)r)n$ melintasi tengatenga diagram &encar seingga - > ? mem&)nyai korelasi "korelasi negati*$.
•
ABe di (eft #e"C) sB"Cs tend ine "+e e tB"B tBe idde "f sctte d"ts s" tBt XEs fctti"n d"es n"t ffect t" D +e, s" tBt X nd D B+e n"t c"eti"n. ra*ik kiri bawa men)n()kkan garis trend bergerak se(a(ar s)mb) -, seingga #ariasi nilai - tidak ber&engar) terada& nilai ?, maka - dan ? tidak ada korelasi.
•
ABe di (iBt #e"C) sB"Cs tend ine c"incide efect t" tBe c""dinte d"t, s" tBt X nd D B+e c"eti"n (efect c"eti"n). Diagram kanan bawa men)n()kkan garis trend te&at bersent)an dengan tititk koordinatnya, seingga - > ? mem&)nyai korelasi sem&)rna.
Agus Statistika 1 - 29
Purnomo
?ontoh korelasi positif dan negatif 5enis k*relasi ariabel > +iaya promosi Pendapatan Gaji:upah Positif 4nestasi 1asional Pupuk +erat +adan Pendapatan masyarakat 1egatif 8umlah akseptor 7arga barang
ariabel = Penjualan Konsumsi 7arga makanan Pendapatan 1asional Produksi +eras ekanan darah Kejahatan ekonomi 8umlah kelahiran Permintaan barang
4. K*e"isien K*relasi. Kuat dan tidaknya hubungan antara dan Y, jika hubungan dan Y dapat dinyatakan dengan fungsi linier "paling tidak mendekati), diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien Korelasi. 1ilai koefisien korelasi ini berkisar dari &# hingga N#. 8ika r "simbol koefisien korelasi). Secara matematis ditulis - # ≤ r ≤ #C di mana • r D -# , artinya kedua kejadian "ariabel dan Y) mempunyai hubungan negatif • r D N#, artinya kedua kejadian "ariabel dan Y) mempunyai hubungan positif • r D > , artinya kedua kejadian "ariabel dan Y) tidak ada hubungan. 4nterpretasi dari nilai r dapat disajikan dalam tabel berikut r > X">,># & >,(>) X">,(# & >,B>) X">,B# & >,A>) X">,A# & >,'>) X">,'# & >,%%) X#
4nterpretasi Korelasi idak ada korelasi Sangat rendah:sangat lemah /endah:lemah gak /endah:agak lemah ?ukup inggi:kuat Sangat tinggi:sangat kuat:sempurna
> a""e+t =s )alue %it& +*nditi*n i" t&e "lu+tuati*n *" > %ill +&ange )alue *" =. It means t&e "lu+tuati*ns *" > %ill a""e+t t&e up and d*%n *" = t**. S* t&at = )alue %ill "lu+tuate t* a)erage *" = and linier line t&at represent s+atter diagram . dikatakan mempengaruhi nilai Y, jika berubahnya nilai akan menyebabkan perubahan nilai Y, artinya naik turunnya akan membuat nilai Y naik turun juga. *engan demikian nilai Y ini akan berariasi, baik terhadap rata-rata Y maupun terhadap garis linier yang me!akili diagram pencar. 1amun harus diperhatikan juga bah!a ariasi nilai Y ini pada kenyataannya tidak hanya disebabkan oleh naik turunnya saja. 3isalnya jika Y adalah penjualan dan biaya promosi, maka naik turunnya penjualan tentu saja tidak saja dipengaruhi oleh naik turunnya biaya promosi saja. da faktor-faktor lain yang ikut berpengaruh seperti daya beli konsumen, harga produk, selera dan lain-lain. *engan demikian maka untuk melihat seberapa besar kontribusi saja terhadap Y, maka dihitunglah apa yang disebut sebagai Koefisien *eterminan "simbolnya *) yang merupakan kuadrat dari koefisien korelasi "dalam satuan persen) atau * D r ( . 3isalkan koefisien korelasi "r) adalah >,', maka * D ">,') ( D >,AB D AB. 7al ini berarti besarnya kontribusi ariabel terhadap naik turunnya Y adalah sebesar AB, sedangkan yang disebabkan faktor lainnya adalah sebesar ;A. Agus Statistika 1 - 30
Purnomo
8enis-jenis teknik korelasi adalah #. Korelasi Produk 3omen Pearson "r)C (. Korelasi /ank Spearman "ρ) ;. Korelasi /ank Kendall "τ) B. Korelasi +iserial "r bis) @. Korelasi +iserial Midespread "r !bs) A. Korelasi Point +iserial "r pbis) $. Korelasi entrachrois "Ss) '. Korelasi Phi "∅) %. Korelasi Kontigensi "ε) #>. Korelasi /asio otomatis "η) Kita akan membahas ; jenis korelasi yang banyak digunakan saja, yaitu Korelasi Pearson, Spearman dan Kendall. 1. K*relasi Pr*duk *men Pears*n Koefisien korelasi Pearson adalah indeks atau angka yang digunakan untuk mengukur hubungan antara dua ariabel yang datanya berbentuk data interal atau rasio. 2ntuk menghitung koefisien korelasi "r) digunakan rumus r ?
n >= F ,
,
ata)
>
=
r ? En >, F ! >#,G
En =, F ! =#,G
di mana 3 ? > ( > dan ? = ( =
/umus pertama di atas disebut Koefisien korelasi Pearson metode Product 3oment sedangkan rumus kedua Koefisien korelasi Pearson metode least sIuare. ?ontoh pemakaian rumus koefisien korelasi Pearson *iketahui adalah biaya promosi dan Y adalah tingkat penjualan, maka dari tabel berikut ini hitunglah koefisien korelasinya dan koefisien determinannya serta simpulkan dari perhitungan tersebut V. Y
# (
( B
B @
@ $
Penyelesaian +uatlah tabel penolong dengan rumus pertama "metode produk momen) & Y &Y Y "<) "y) # ( -@,(@ -@,$@ ( B -B,(@ -;,$@ B @ -(,(@ -(,$@ @ $ -#,(@ ->,$@ $ ' >,$@ >,(@ % #> (,$@ (,(@ #> #( ;,$@ B,(@ Agus Statistika 1 - 31
$ '
% #>
#> #(
#( #B
kolom-kolom yang sesuai dengan kebutuhan <(
y(
($,@A(@ ;;,>A(@ ;>,#'$@ #',>A(@ #B,>A(@ #@,%;$@ @,>A(@ $,@A(@ A,#'$@ #,@A(@ >,@A(@ >,%;$@ >,@A(@ >,>A(@ >,#'$@ $,@A(@ @,>A(@ A,#'$@ #B,>A(@ #',>A(@ #@,%;$@ Purnomo
#( @> A,(@
∑ 3ean
#B A( $,$@
∑ 2y
@,$@
A,(@ ;;,>A(@ ;%,>A(@ ;@,%;$@ > #>$,@ ##$,@ ###,@
>
111,G
r =
111,G
=
=
√ ∑2%√ ∑y%
√ 10H,G . √ 11H,G
= 0, "10,3IJ$ "10,J70$
Koefisien determinan D * D r ( D ">,%%) ( D >,%'># D %' Karena r D >.%%, maka korelasinya kuat, artinya bah!a kenaikan biaya promosi akan meningkatkan penjualan. Sedangkan koefisien determinan %', artinya bah!a biaya promosi mempengaruhi penjualan sebesar %', sedangkan ( nya lagi dipengaruhi faktor lainnya. *engan menggunakan rumus kedua "metode least sIuare), maka buatlah tabel pembantu untuk memudahkan perhitungan. # ( B @ $ % #> #( @>
∑
Y ( B @ $ ' #> #( #B A(
n∑ -? – r =
√
( # B #A (@ B% '# #>> #BB B(>
Y( B #A (@ B% AB #>> #BB #%A @%'
∑ - ∑ ?
n∑-% – "∑-$%3
Y ( ' (> ;@ @A %> #(> #A' B%% J "7$ – "G0$ "I%$
√ n∑? – "∑?$ 3 %
%
=
√
J "7%0$ – "G0$ %3
√ J"GJ$ – "I%$ 3
= 0,
%
Kedua rumus memberikan hasil yang sama, namun secara teknis, metode least sIuare lebih mudah digunakan dibandingkan dengan metode produk momen. ,. K*relasi -ank Spearman Koefisien korelasi rank Spearman adalah indeks atau angka yang digunakan untuk mengukur keeratan antara ( ariabel, di mana datanya merupakan data ordinal "data bertingkat:ranking). Simbolnya adalah ρ "baca Jrho) dan rumusnya adalah ; d, Q ?
1 – n !n , – 1#
di mana 3 Q ? k*e"isien k*relasi Spearman d ? selisi& dalam ranking n ? banakna pasangan ranking
Agus Statistika 1 - 32
Kara &erit)ngan : • Eilai dari ked)a #ariabel diranking, dari besar ke kecil ata) sebaliknya, (ika ada nilai sama maka rankingnya diambil ratarata. •
Purnomo
?ontoh *iketahui nilai matakuliah 3anajemen dan +isnis dari #> mahasis!a seperti tabel di ba!ah ini 3anajemen +isnis
'(
%$$@ '>
'@ '%
$> A@
$$ A$
A> A(
A; A#
AA A'
'> '#
'% 'B
7itunglah koefisien korelasi rank Spearman dan simpulkan artinya V. Penyelesaian Kita misalkan nilai manajemen adalah dan nilai +isnis adalah Y, maka buatlah tabel berikut ini '( $@ '@
Y $% '> '%
$> $$ A> A; AA '> '%
A@ A$ A( A# A' '# 'B
/anking ' @ %
B A # ( ; $ #> 8umlah 3asukkan dalam rumus Spearman
/anking Y A $ #>
d ( -( -#
d( B B #
; B ( # @ ' %
# ( -# # -( -# #
# B # # B # # ((
I∑ d% =
1 –
I "%%$ =1 –
%
n "n – 1$
= 0,JIH %
10 "10 – 1$
Korelasinya adalah korelasi positif dan kuat, berarti jika nilai manajemen tinggi maka nilai bisnis juga tinggi. 0. K*relasi -ank Kendall Korelasi /ank Kendall merupakan pengembangan dari koefisien Spearman. Simbolnya adalah τ "baca Jtau). Koefisien ini digunakan untuk pasangan ariabel atau pasangan data dan Y dalam hal ketidaksesuaian rank, yaitu untuk mengukur ketidakteraturan. /umusnya adalah ? 1H,N !N – 1# di mana 3 S 4 D N
8% ? 1H,N !N – 1#
? k*e"isien k*relasi Kendall ? 5umla& K*nk*rdansi dan Disk*rdansi ? k*nk*rdansi ? Disk*rdansi ? banakna pasangan > dan =
Agus Statistika 1 - 33
Kara &erit)ngan : • Eilai dari ked)a #ariabel diranking, dari besar ke kecil ata) sebaliknya, (ika ada nilai sama maka rankingnya diambil ratarata. • ent)kan nilai &atokan ber)r)t dengan meny) s)n sala sat) dari nilai ranking tsb secara ber )r)tan, dari &ertama, ked)a dan seter)snya. • ent)kan nilai konkordansi "+1$ dan nilai diskor dansi "1$ dari nilai ranking yang b)kan &atokan. Purnomo • ent)kan nilai < dengan men()mlakan nilai
S
8ika di antara nilai-
?
RN!N F 1# ( T
RN!N F 1# ( U
nilai yang di-amati
T ? 'umla& tied pada kel*mp*k > ? peringkat sama untuk data > U ? 'umla& tied pada kel*mp*k = ? peringkat sama untuk data =
terdapat nilai yang
T ? R t !t F 1#
sama maka di akai
9
U ? R u !u F 1#
?ontoh abel berikut ini adalah nilai statistika dan matematika dari @ orang mahasis!a poltekpos setelah mengikuti 2S 1ama 3ahasis!a 3atakuliah li ") +adu "+) ?ipluk "?) *udi "*) 0di "0) 3atematika % ' $ @ ; Statistika A ' @ $ B entukan nilai koefisien korelasi rank Kendall dan simpulkan artinya V. Penyelesaian a. Susunlah ulang tabel dengan cara memberi ranking 1ama 3ahasis!a 3atakuliah li ") +adu "+) ?ipluk "?) *udi "*) 0di "0) 3atematika % ' $ @ ; -ank 1 , 0 2 atematika Statistika A ' @ $ B -ank Statistika 0 1 , 2 b. entukan patokan berurut, yaitu 3atematika. c. 2ntuk menentukan nilai konkordansi dan diskordansi hanya dilihat satu mata kuliah saja. Karena nilai patokan berurut sudah ditentukan yaitu nilai matematika, maka nilai konkordansi dan diskordansi dihitung dari nilai statistika. *ilihat dari d:k + d:k ? d:k * d:k
" C +) -# "+ C ?) N# "? C *) -# "* C 0) N#
Kombinasi pasangan " C ?) " C *) N# -# "+ C *) "+ C 0) N# N# "? C 0) N# -
" C 0) N# -
?atatan " C +) D -# diskordansi "nilai + U ) " C ?) D N# konkordansi "nilai ? \ ) Agus Statistika 1 - 34
Purnomo
d. 8umlahkan nilai konkordansi dan diskordansi, maka akan didapat nilai S -# N# &# N# N# N# N# &# N# N# D D NB e. 1ilai koefisien Kendall τ D S : O 1"1 & #) D B : O @"@ & #) D >,B f. rtinya korelasinya positif tapi tidak cukup kuat berpengaruh. -ercises :
#. 8ika ariabel adalah prosentase kenaikan harga dan ariabel Y adalah prosentase kenaikan penjualan, maka hitunglah korelasi Pearson dengan metode produk momen dan least sIuare serta koefisien determinan untuk data di ba!ah ini Y
( #@
B #B
@ #(
A #>
' %
#> '
## A
#; B
#B ;
#@ (
(. *ari hasil penilaian terhadap #> distributor produk unileer untuk !ilayah ja!a diduga bah!a hasil pelatihan manajemen distribusi terhadap para distributor tersebut berpengaruh terhadap hasil penjualan produk-produk unileer. 3isalkan adalah nilai para distributor setelah mengikuti pelatihan dan Y adalah hasil penjualan produk tahun pertama setelah pelatihan, maka buktikan bah!a pelatihan tsb berpengaruh terhadap kinerja penjualan para distributor tersebut dengan menggunakan data pada tabel di berikut ini V. "Gunakan 3etode Spearman).
*istributor ?=. Lima 8aya 2*. Patra 2*. Kinerja ?=. Prima ?=. 7e
1ilai Pelatihan B' ;( B> ;B ;> @> (A @> (( B;
Kinerja Penjualan "ratusan juta rupiah) ;#( #AB ('> #%A (>> ('' #BA ;A# #B% (@(
;. abel di ba!ah ini menunjukkan perbandingan indeks harga ") dengan hasil penjualan "Y) selama $ tahun 4ndeks 7arga $B,; '(,' %>,B #>',$ ##%,@ #;@,> #@>,@
7asil Penjualan '#,( $@,@ @%,A B',' ;$,@ (@,> #@,@
7itunglah Agus Statistika 1 - 35
Purnomo
a. Koefisien korelasi Kendall dan Spearman kemudian bandingkan hasilnya V. b. Koefisien determinannya V c. +agaimanakah kesimpulannya 9.
BAB ANALISIS -E8-ESI LINIE- /egresi merupakan alat ukur yang digunakan untuk mengukur hubungan fungsional antara dua kejadian atau dalam bahasa matematis adalah untuk merepresentasikan bagaimana hubungan fungsional antara ariabel yang berhubungan dalam suatu bentuk persamaan matematis. 4stilah regresi berari ramalan, perkiraan atau taksiran. /egresi pertama kali diintrodusir oleh Sir 5rancis Galton pada tahun #'$$, dimana berhubungan dengan penelitian tentang tinggi manusia "yaitu hubungan antara tinggi anak dengan tinggi orang tua). Galton menemukan dalam penelitiannya, bah!a anak yang tinggi dari orang tua yang tinggi cenderung meningkat atau menurun dari berat rata-rata populasi. Garis yang menunjukkan hubungan itu, atau juga seperti garis lurus yang terdapat pada diagram pencar "scatter diagram) dikenal dengan garis regresi. /egression nalysis lebih akurat dalam melakukan correlation analysis karena pada analisa itu, kesulitan dalam menunjukkan slope:kemiringan "tingkat perubahan suatu ariabel terhadap ariabel lainnya dapat ditentukan). Lebih jelasnya, bah!a peramalan atau perkiraan nilai ariabel terikat "dependent ariable) pada nilai ariabel bebas "independent =ariable) dengan menggunakan regression analysis akan lebih akurat. /egresi linear adalah regresi yang independent ariable "ariabel <) berpangkat paling tinggi satu. 2ntuk simple regression linear, persamaan garis regresinya dapat ditulis dalam dua bentuk, yaitu sebagai berikut. 2.1 Persamaan -egresi Linear dari = ter&adap > Persamaan regresi linear dari y terhadap < dapat ditulis
YD a N b Keterangan Y D ariabel terikat D ariabel bebas a D intersep b ? koefisien regresi "slope) Persamaan regresi di atas dapat pula ditulis dalam bentuk
Y D "∑
Purnomo
diagram pencar "scatter diagram) disebut persamaan regresi, persamaan perkiraan atau persamaan ramalan. Persamaan garis regresi haruslah dapat dinyatakan oleh suatu persamaan yang dapat me!akili sebaran data yang ada. +erarti dalam hal ini diperlukan suatu kriteria bah!a persamaan regresi yang paling baik adalah regresi yang mempunyai total kuadrat selisih atau atau total kuadrat eror ∑ "Y & ]) yang paling minimum. Karenanya, met*de kuadrat terke+il "method of least sIuares) sekali lagi akan digunakan untuk menempatkan garis pada data yang diamati, sehingga bentuk persamaan regresi adalah ] D a N b . Keterangan a D Y pintasan, "nilai ] bila D >) b D kemiringan garis regresi "kenaikan atau penurunan ] untuk setiap perubahan ) atau koefisien regresi yang mengukur besarnya pengaruh terhadap Y kalau naik satu unit. D nilai tertentu dari ariabel bebas ] D 1ilai yang diukur:dihitung pada ariabel tidak bebas *engan metode kuadrat terkecil ini, maka persamaan regresi linier akan mempunyai total kuadrat eror minimum jika koefisien regresi a dan b dihitung dengn rumus a ? ! =. >,
b ? !n. >=
>. >=# n. >, ! >#,
b ? !n. >=
>. =# n. >, ! >#,
atau
>. =# n. >, ! >#,
a ? ! =n# b! >n #
2., Kesala&an baku dari penaksiran ? a @ b > Kesalahan baku penaksiran atau selisih taksir standar adalah angka indeks yang digunakan untuk mengukur ketepatan suatu penduga atau mengukur jumlah ariasi titik-titik obseasi diskitar garis regresi. 8ika semua titik obserasi berada tepat pada garis regresi, maka selisih taksir standar sama dengan nol. *engan demikian selisih taksir standar secara langsung menunjukkan tingkat pencaran data. Selisih taksir standar berguna untuk mengetahui batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam meramal data. /umus yang digunakan untuk mencari atau menentukan selisih taksir standar adalah S^.< D √ ∑ "Y & ])( : n
atau
S^.< D √"∑]( & a∑Y & b∑Y) : n
?ontoh abel berikut ini menunjukkan tinggi badanb "inch) dan berat badan "lb) dari #( mahasis!a inggi
badan
") $> A; $( A> AA $> $B A@ A( A$ A@ A' +erat badan "Y) #@@ #@> #'> #;@ #@A #A' #$' #A> #;( #B@ #;% #@( entukan dan hitunglah a. entukan persamaan regresi data tersebut V b. 7itunglah kesalah baku penaksiran ] V Agus Statistika 1 - 37
Purnomo
Penyelesaian +uat tabel perhitungan sebagai berikut Y ( Y( $> #@@ B,%>> (B,>(@ A; #@> ;,%A% ((,@>> $( #'> @,#'B ;(,B>> A> #;@ ;,A>> #',((@ AA #@A B,;@A (B,;;A $> #A' B,%>> (',((B $B #$' @,B$A ;#,A'B A@ #A> B,((@ (@,A>> A( #;( ;,'BB #$,B(B A$ #B@ B,B'% (#,>(@ A@ #;% B,((@ #%,;(# A' #@( B,A(B (;,#>B ∑ D '>( ∑ D #,'@> ∑ D @;,$%( ∑ D ('$,'A'
Y #>,'@> %,B@> #(,%A> ',#>> #>,(%A ##,$A> #;,#$( #>,B>> ',#'B %,$#@ %,>;@ #>,;;A ∑ D #(B,(@'
?oba nda 3asukkan angka-angka tsb ke dalam rumus-rumus yang ada sehingga didapat harga a dan b V
Agus Statistika 1 - 38
Purnomo
B A B I P-/BABILIT= !PELUAN8# ;.1 -UAN8 SAPEL !SAPLE SPA4E# Statistika!an biasanya berurusan dengan cacah atau pengukuran yang berbentuk bilangan. +ilangan seperti itu biasanya disebut suatu pengamatan 'observation(. )efinisi :
4nformasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk aslinya, baik dalam bentuk hitungan maupun pengukuran, disebut data mentah.
*alam statistika digunakan istilah percobaan 'experiment( untuk menyatakan tiap proses yang menghasilkan data mentah. Suatu contoh yang sederhana dari suatu percobaan dalam statistika berupa lantunan suatu mata uang logam. *alam percobaan ini hanya ada dua data yang mungkin, Jmuka "head) atau Jbelakang "tail). )efinisi :
Gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut *uang "ampel '"ample "pace( dan dinyatakan dengan lambang S.
iap hasil dalam ruang sampel disebut unsur 'elemen( atau anggota ruang sampel tersebut atau dengan singkat disebut titik sampel 'sample point( . +ila ruang sample mempunyai unsur yang hingga banyaknya "finite number), maka anggotanya dapat didaftar dengan menuliskan diantara dua akolade, masing-masing unsur dipisah oleh koma. ?ontoh # Perhatikan suatu percobaan melantunkan sebuah dadu. +ila yang diselidiki ialah nomor yang muncul di muka sebelah atas, maka ruang sampelnya S# D E#,(,;,B,@,AF +ila yang ingin diselidiki, apakah nomor genap atau ganjil yang muncul, maka ruang sampelnya S( D Eganjil,genapF ?ontoh ( /uang sampel yang besar atau yang anggotanya takhingga "infinite) banyaknya lebih mudah ditulis dengan suatu pernyataan atau aturan. 3isalnya S menyatakan kumpulan semua titik "<,y) pada batas atau bagian dalam suatu lingkaran berjari-jari (, dengan pusat di titik asal, maka dapat ditulis S D E "<,y) W <( N y( ≤ BF Garis tegak dibaca bila dan jika. ;., KE5ADIAN !EENT# *alam tiap percobaan mungkin yang ingin diketahui munculnya kejadian tertentu dan bukan hasil unsur tertentu dalam ruang sampel. 3isalnya ingin diketahui kejadian bah!a hasil lantuanan suatu dadu dapat dibagi ;, maka D E ;,AF dari ruang sampel S # contoh #. )efinisi :
Kejadian "eent) adalah himpunan bagian "subset) dari ruang sampel
?ontoh ; Agus Statistika 1 - 39
Purnomo
3isalkan D E t W t U @ F himpunan bagian dari ruang sampel S D E t W t ≥ > F, t menyatakan umur "dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan menyatakan kejadian bah!a komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima. )efinisi :
/uang nol atau ruang hampa ialah himpunan bagain ruang sampel yang tidak mengandung unsur. 7impunan seperti ini dinyatakan dengan lambang φ
?ontoh B +ila D E < W < pembagi $ yang bukan bilangan prima F, maka + D φ , karena pembagi $ yang mungkin hanya # dan $ dan keduanya bilangan prima. 7ubungan antara kejadian dan ruang sampel padanannya dapat digambarkan dengan diagram +enn. *alam suatu diagram =enn, ruang sampel dapat digambarkan dengan empat persegi panjang dan kejadian dinyatakan dengan lingkaran didalamnya. ;.0 /PE-ASI DEN8AN KE5ADIAN )efinisi : ,risan dua
kejadian dan + dinyatakan dengan lambang ∩ +, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam dan +. S
+
∩ + D E < W < ∈ dan < ∈ + F ∈ berarti Janggota atau Jtermasuk dalam. ?ontoh @ 3isalkan D E#,(,;,B,@F dan +D E (,B,A,' FC maka ∩ + D E(,BF )efinisi :
*ua kejadian dan + saling terpisah bila ∩ + D ∅ S
+
?ontoh A 3isalkan D Ea,e,i,o,uF dan + D Er,s,tF C maka ∩ + D ∅ . Yaitu dan + tidak mempunyai unsur persekutuan.
)efinisi : -abungan dua
kejadian dan +, dinyatakan dengan lambang ∪ +, ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk atau + atau keduanya.
Agus Statistika 1 - 40
Purnomo
S
+
∪ + D E < W < ∈ dan < ∈ + F
?ontoh $ D E < W ; U < U % F dan + D E y W @ U y U #( FC maka ∪ + D E H W ; U H U #( F
)efinisi : .omplemen
suatu kejadian terhadap S, ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk , dinyatakan dengan lambang _. S
_ D E < W < ∈ S dan < ∉ F
?ontoh ' 3isalkan ruang sampel SDEbuku,pulpen,pinsil, penggaris,penghapus,spidolF dan D Ebuku,pulpenF 3aka _ D Epinsil,penggaris,penghapus,spidolF
;. EN8HITUN8 TITIK SAPEL Salah satu masalah yang harus dihadapi dan dicoba diberi nilai oleh statistika!an ialah unsur kemungkinan yang berkaitan dengan munculnya kejadian tertentu bila suatu percobaan dilakukan. eorema +ila suatu operasi dapat dilakukan dengan n # cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n ( cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n#n( cara. ?ontoh % +erapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilantunkan sekali 9 8a!ab *adu pertama dapat menghasilkan salah satu dari enam kemungkinan. 2ntuk tiap posisi tersebut dadu kedua dapat pula menghasilkan enam kemungkinan. Sehingga pasangan dadu ini dapat Agus Statistika 1 - 41
Purnomo
menghasilkan "A) "A) D ;A kemungkinan. eorema +ila suatu operasi dapat dilakukan dengan n # cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n ( cara, dan untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n ; cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n#n(Q..nk cara. ?ontoh #> +erapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi, dan soto, bila tersedia B macam sop, ; macam nasi goreng, @ macam bakmi, dan B macam soto 9 8a!ab 8umlah hidangan semuanya "B) ";) "@) "B) D (B> *efinisi Suatu permutasi ialah suatu susunanyang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya eorema +anyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah nV n V D n"n-#)"n-()QQQ.";)"()"#) ?ontoh ## mbillah tiga huruf a, b, dan c. Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab dan cba. 8adi tiga benda dapat disusun dengan ; V D ";)"()"#) D A cara. eorema +anyaknya permutasi n benda yang berlainan bila diambil r sekaligus adalah P D
n r
nT !n
r #T
eorema +anyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n# diantaranya berjenis pertama, n( berjenis kedua, Q., nk berjenis ke k adalah nT n 1 T n , T........n k T
eorema +anyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing bersisi n # elemen dalam sel pertama, n( dalam sel kedua, dst. adalah !
n n 1 $ n , $...$ n 1
#
D
nT n 1 T n , T........n k T
eorema 8umlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah n
!r # D
nT rT ! n
r #T
;.2 PEN8E-TIAN TENTAN8 P-/BABILITAS Agus Statistika 1 - 42
Purnomo
eori probabilitas merupakan cabang ilmu matematika terapan 'applied mathemattics( dan yang menelaah perilaku faktor untung-untungan 'chance factor($ 5aktor untung-untungan tersebut umumnya dihubungkan dengan pengertian tentang peluang atau kemungkinan 'probability or likelihood($ Sebab, jika hasilnya tidak pasti karena hasil tersebut merupakan akibat faktor untung-untungan, maka kita hanya dapat menyatakan peluang atau tingkat kepastian 'degree of certainty( timbulnya suatu kejadian. Pcluang atau tingkat kepastian sedemikian itu tidak dapat diduga dengan pasti tetapi dapat dianalisa atas dasar logika ilmiah. eori probabilitas sebetulnya memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang peluang atau tingkat kepastian tentang terjadinya suatu peristi!a. Pada hakekatnya, dasar perumusan tentang probabilitas atau penentuan besaran yang dapat mengukur tingkat kepastian timbulnya suatu peristi!a dapat dibedakan dalam ; cara. a$ /erumusan .lasik
Probabilitas diinterprestasikan atas dasar pengertian tentang rangkaian peristi!a yang bersifat saling lepas dan yang memiliki kesempatan yang sama untuk ter!ujud 'mutually exclusive and e0ually likely sets of events(. etapi apakah patokan mengenai kesempatan yang sama 'e0ually likely( bagi timbulnya serangkaian kejadian9 *ari %rs Con1ectandi2 dapat disimpulkan bah!a ( kejadian yang mungkin timbul dianggap memiliki kesempatan yang sama untuk timbul jika sesudah mempertimbangkan segala bukti yang relean, timbulnya salah satu kejadian tersebut tidak dapat lebih diharapkan dari pada yang lain. Sebagai penjelasan yang sederhana, sebuah contoh tentang suatu percobaan pclemparan sebutir dadu yang memiliki sisi enarn. pakah kesempatan ter!ujudnya tiap mata D #, (, ... , A itu sama9 8ika dadu tersebut setimbang "misalnya berbentuk kubus umum, bahannya serba sama "homogen) dan sebagainya), maka atas dasar perumusan di atas, tiap mata dadu akan memiliki kesempatan untuk timbul yang sama sebesar #:A dari hasil keseluruhan. 7al yang sama akan berlaku bagi hasil pelemparan sekeping mata uang logam katakanlah @> rupiah. 8ika mata uang logam tersebut setimbang, maka sisi # "7ead) dan sisi > "ail) mata uang yang bersangkutan akan memiliki kesempatan untuk timbul yang sama sebesar #:(. )efinisi :
Pada kondisi-kondisi yang diketahui, jika terdapat sejumlah n kejadian yang mungkin timbul dan jika kejadian tersebut lengkap terbatas jumlahnya 'exhaustive(2 saling lepas dan memiliki kesempatan yang sama untuk timbul, maka jika sejumlah m dari kejadian di atas merupakan peristi!a 0, probabilitas peristi!a 0 tersebut dapat dirumuskan sebagai suatu rasio m3n atau secara umum dinyatakan sebagai P"0) D m:n ?ontoh #( *alam soal percobaan pclemparan sebutir dadu, kejadian yang mungkin timbul ialah mata dadu D #, (,..., A. 8ika 0 merupakan peristi!a munculnya mata dadu ; dan karena mata dadu ; mcrupakan satu dari ke enam kemungkinan kejadian, maka probabilita peristi!a menjadi P"0) D m:n D #:A. b. Perumusan atas dasar konsep 5rekuensi /elatif Perumusan secara klasik memiliki beberapa keterbatasan, karena dalam kenyataan banyak peristi!a atau kejadian sukar sekali diteliti apakah rangkaian peristi!a tersebut memiliki kesempatan yang sama untuk timbul. *alam hal demikian, perumusan probabilitas atas dasar peristi!a frekuensi relatif akan lebih bermanfaat. *efinisi 8ika m merupakan jumlah per!ujudan kejadian yang khusus, katakanlah peristi!a E dalam serangkaian n percobaan dalam jumlah yang tidak terhingga, maka probabilitas peristi!a 0 Agus Statistika 1 - 43
Purnomo
mcrupakan frekuensi relatif m:n dan dinyatakan sebagai P"0) D lim m:n n→∞ ?ontoh #; 3isalnya, dilakukan suatu percobaan yang terdiri dari serangkai pelemparan sebutir dadu yang bersisi enam sebanyak #.>>> kali. ndaikan dadu yang digunakan dalam percobaan tersebut setimbang, maka hasilnya sbg. berikut 5rekuensi timbulnya mata dadu D #, (, ..., A dalam serangkaian percobaan n D #>>>. # ( ; B @ A m #AA #A% #A@ #A$ #A% #AB 5rckuensi relatif kejadian D #, (, ..., A ialah nilai-nilai m dibagi jumlah pelemparan sebanyak n D #>>>, sehingga hasilnya sebagai berikut
m:n
5rekuensi relatif timbulnya mata dadu D #,(, ...A dalam serangkaian percobaan n D # >>>. # ( ; B @ #AA:#>>> #A%:#>>> #A@:#>>> #A$:#>>> #A%:#>>>
A #AB:#>>>
5rekuensi relatif tiap mungkin berbeda. etapi jelas sekali frekuensi f tiap berkisar sekitar #:A. 8ika percobaan random di atas dilakukan berkali-kali dalam jumlah besar sekali, katakanlah dalam jumlah tidak terhingga, maka m:n dari akan memiliki tendensi untuk berkonergensi ke suatu nilai konstanta yang kita anggap sebagai probabilita 0 atau yaitu sebesar #:A. c. Perumusan atas dasar Subyektiitas idak semua kejadian dapat timbul secara berulang-ulang seperti hasil serangkaian percobaan atau pemilihan sampel. da kalanya suatu kejadian atau peristi!a hanya timbul sekali saja. 3isalnya, berapakah probabilitas menteri diganti dengan Y 9 +erapakah probabilitas manajer perusahaan mau kompromi dengan serikat pekerja perusahaannya yang menuntut kenaikan gaji sebesar (> persen dari gaji asal9 Probabilita yang dirumuskan sebagai pengukuran keyakinan pribadi terhadap suatu hipotesis yang tertentu atau terjadinya suatu peristi!a tertentu, dinarnakan probabilita subyektif 'sub1ective probability($ 3isalnya, jika peristi!a dan + terjadi dalam suatu kondisi yang sama jika kita dua kali lebih yakin akan terjadinya peristi!a jika dibanding dengan terjadinya peristi!a +, maka probabilitas atau p") seharusnya menjadi (:; dan p"+) menjadi sebesar #:;. *ari ketiga perumusan di atas, kita dapat menarik suatu kesan bah!a probabilitas dirumuskan sebagai rasio atau proporsi$ ;.; AAS(AAS EN8HITUN8 P-/BABILITAS PE-ISTIVA )efinisi : /eristiwa yang saling lepas 'mutually exclusive(
*ua peristi!a merupakan peristi!a yang saling lepas bila kedua peristi!a tersebut tidak dapat terjadi pada !aktu yang bersamaan. Secara matematis, himpunan dan + dikatakan saling lepas atau terpisah "disjoint) bila dan hanya bila mereka tidak memiliki unsur yang sama dan ∩ + D ∅ #
( ;
Agus Statistika 1 - 44
P " ∪ +) D P") N P"+) ∩ + D ∅ Purnomo
B
P" ∩ +) D P"∅) D >
@ Peristi!a yang saling lepas ?ontoh #B +ila sebutir dadu dilempar sekali, berapakan probabilitas timbulnya mata dadu # atau mata dadu @9 D peristi!a timbulnya mata dadu #, + D peristi!a timbulnya mata dadu @ P " ∪ +) D P") N P"+) D #:A N #:A D #:; eorema +ila terdapat beberapa peristi!a yang saling lepas #, (, Q, m dalam sebuah ruang sampel, maka P "#∪(∪ Q m) D P "#) N P"() N QN P"m) )efinisi :
*ua persiti!a dikatakan tidak saling lepas bila kedua peristi!a tersebut tidak terpisah "joint)
∩ +
+
eorema Peristi!a dan + merupakan gabungan "union) dan tidak saling lepas, maka P " ∪ +) D P") N P"+) & P" ∩ +)
Peristi!a +ukan Saling Lepas ?ontoh #@ Probabilitas seorang mahasis!a lulus Statistik 4 (:; dan probabilitas lulus Statistik 44 B:%. +ila probabilitas lulus kedua mata kuliah #:B berapakah probabilitas lulus paling sedikit satu mata kuliah 9 +ila menyatakan kejadian Jlulus Statistik 4 ` + Jlulus Statistik 44, maka P " ∪ +) D P") N P"+) & P" ∩ +) D (:; N B:% & #:B D ;#:;A
+ ? +?
P " ∪ + ∪?) D P") N P"+) N P"?) & P" ∩+) & P"∩?) & P"+∩?) N P"∩+∩?)
+ +?
? Peristi!a , + dan ? yang tidak Saling Lepas P"∪+∪?∪*) D P") N P"+) N P"?) N P"*) & P" ∩+) & P"∩?) & P"∩*) & P"+∩?) & P"+∩*) & P"?∩*) N P"∩+∩?) N P"∩+∩*) N P"∩?∩*) N P"+∩?∩*) & P"∩+∩?∩*) SD2 Agus Statistika 1 - 45
)efinisi : Partisi
"Partition) Purnomo
# @
( B
;
Peristi!a +ukan Saling Lepas
+ila peristi!a yang saling lepas #, (, Q, m saling lepas dan lengkap terbatas "e
"oal4soal :
#. iga buah koin dilantunkan sekaligus, berapa probabilitas mendapatkan a. *ua 7 satu 9 b. *ua satu 79 c. idak satupun 9 (. Kantong berisi @ bola 3erah dan B bola Putih, sedangkan Kantong + berisi A bola 3erah dan ; bola 7itam. anpa melihat # buah bola diambil secara random dari Kantong , kemudian dimasukkan ke Kantong +. Selanjutnya # buah bola diambil secara random dari Kantong +. 7itunglah probabilitas a. *i Kantong mendapatkan bola Putih dan di Kantong + mendapatkan bola 7itamV b. *i kedua kantong mendapatkan bola yang ber!arna samaV ;. 8ika kita melemparkan dua buah dadu, ditanyakan a. Probabilitas jumlah angka yang dimunculkan oleh kedua buah dadu itu D ' 9 b. Probabilitas jumlah angka yang dimunculkan, antara $ dan ## 9 c. Probabilitas angka yang dimunculkan oleh dadu yang kedua lebih besar dari dadu yang pertama 9 d. Probabilitas sedikitnya sebuah dadu memunculkan angka D A 9 e. Probabilitas kedua dadu memunculkan angka ≥ @ 9 f. Probabilitas setidaknya sebuah dadu memunculkan angka ≥ @ 9 g. Probabilitas tidak sebuah dadupun memunculkan angka \ B 9 h. Probabilitas kedua memunculkan angka genap 9 i. Probabilitas paling tidak sebuah dadu memunculkan angka ganjil 9 B. *ua orang dan + berjanji akan bertemu di suatu tempat antara jam >$.>> & >'.>>, dengan ketentuan bah!a yang datang terlebih dahulu harus menunggu selama #> menit. +erpa probabilitas dan + akan bertemu 9 @. ? dan * berjanji ingin bertemu di suatu tempat dengan ketentuan yang datang terlebih dahulu harus menunggu yang lainnya selama #> menit. ? memastikan bah!a dia akan berada di tempat itu sekitar jam #;.>> & #B.>>. * mengatakan akan berada disitu sekitar jam #;.;> & #B.>>. +erpa probabilitas dan + bakal bertemu 9 A. iap mahasis!a baru harus mengambil matakuliah fisika, kimia, dan matematika. +ila seorang mahasis!a dapat memilih satu dari A kuliah fisika, satu dari B kuliah kimia, dan satu dari B kuliah matematika, berapa banyak cara dia dapat menyusun programnya9 $. Suatu perusahaan perumahan mena!arkan rumah dalam B pilihan model, ; macam sistem pendingin, dengan atau tanpa garasi, dan dengan atau tanpa beranda. +erapa macam pilihan yang berbeda tersedia bagi seorang pembeli9 '. *alam penelitian bahan bakar yang lebih murah, masing-masing dari ke ; mobil balap diuji menggunakan @ jenis bensin yang berlainan pada $ tempat percobaan di daerah yang berlainan. +ila ( pengemudi digunakan dalam penelitian tersebut, dan uji coba dikerjakan sekali pada setiap persyaratan, berapa banyak uji coba yang diperlukan9 Agus Statistika 1 - 46
Purnomo
%. Sembilan orang pergi ke gunung dengan tiga mobil, masing-masing dapat memba!a (, B dan @ penumpang. +erapa carakah dapat dibuat untuk memba!a kesembilan orang tersebut ke gunung9 #>. Suatu kotak berisi @>> amplop, $@ diantaranya berisi uang /p #>>, #@> berisi /p (@, dan ($@ berisi . uliskanlah /p #>. Sebuah amplop dijual seharga /p (@ ruang sampel untuk ketiga macam jumlah uang dan berilah peluang pada tiap titik sampel, kemudian hitunglah peluang bah!a amplop pertama berisi uang kurang dari /p #>>. %. Suatu dadu dibuat sedemikian rupa schingga angka # atau ( muncul dua kali lebih sering daripada @, angka # atau ( yang muncul tigakali lebih sering daripada ;, B, atau A. +ila dadu digulirkan sekali, cari peluang bah!a yang muncul a. angka genapC b. angka yang merupakan kuadrat murniC c. angka yang lebih besar dari B. #>. Peluang suatu lndustri akan membangun pabriknya di +ekasi >,$, peluang membangun pabriknya di +andung >,B, dan peluang membangun di +ekasi atau di +andung atau keduaduanya >,'. +erapa peluang pabrik itu dibangun a. di kedua kota9 b. tidak di salah satupun dari keduanya9
Agus Statistika 1 - 47
Purnomo
P/6++4L4S +0/SY/ Probabilitas terjadinya suatu kejadian + bila diketahui bah!a kejadian telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P"+). Lambang P"+) dibaca Jprobabilitas +, bila diketahui. Perhatikan ilustrasi berikut ini S ? 2<< A
,<
1< 2
D ;> ⇒
1 " ) 1 " + )
;2
B
P")
D ;>:@>>
D
>,>A
D #@ ⇒ P " + ) D #@:@>> D >,>; 1ilai probabilitas tergantung dari sample space-nya
1 " ∩+) D #> ⇒ P"+) D #>;>
P " ∩+ ) D #>:@>> D #:;
D
>,>(
I
,<
D
I 1<
1"* ∩ 4) 1"4) 1"* ∩ 4) : 1"S) P"* ∩ 4) P"*4) = = P"4) 1"4) : 1"S) P"* 4) =
Agus Statistika 1 - 48
Purnomo
*efinisi pabila dan + sembarangan eent di dalam S dan P"+) ≠ > , maka probabilitas bersyarat bila + diketahui "probabilitas bersyarat terhadap kondisi +) P" +) =
eorema
P" ∩ +) P"+)
pabila dan + sembarangan eents didalam S , maka P"∩+) D P") . P"+) jika P") ≠ > =
eorema
P"+) . P"+) jika P"+) ≠ >
pabila dan + adalah eent yang independent, maka P"∩+) D P") . P"+)
(.' 706/03 +Y0S_ Sebuah pabrik assembling alat elektronik memperoleh trao dari ; pemasok yang berbeda yaitu dari +#D A> , +( D ;> +; D #> diketahui bah!a %@ trao berasal dari +#, '> trao dari +( dan A@ trao dari +;, dapat berfungsi dengan baik bila diambil sebuah trao yang berfungsi dengan baik 9 3isalnya D trao yang berfungsi baik. +
#
>,%@
+
(
>,'>
;
>,A@
> A , >
>,;>
, > # >
+
Agus Statistika 1 - 49
Purnomo
+
+
#
∩
+#
+
∩
∩
rao yang berasal dari +# pasti bukan dari +( dan +;, jadi mutually e
;
+;
+(
(
D ∩ +# ∪ +( ∪ +;Z D" ∩ +#) ∪ " ∩ +() ∪ " ∩ +;) dan P " ∩ +#) N P " ∩ +() N P " ∩ +;) D >,A C P "+() D >,;
P") D P "+#) C P "+;) D >,#> P "+#) D >,%@ C P "+() D >,'> CP "+;) D >,A@ D rao yang tidak berfungsi dengan baik P " +#) D >,>@ C P " +() D >,'> C P " +;) D >,;@ P") D P " ∩ +#) N P " ∩ +() N P " ∩ +;) D P "+#) . P "+#) N P "+() . P "+() N P "+;) . P "+;) D ">,A>) . ">,%@) N ">,;>) . ">,'>) N ">,#>) . ">,>@) D >,'$@
eorema
#
(
n
pabila + , + , ..... , + adalah eent-eent yang bersifat mutually e
n
= ∑ P"+i) ⋅ P" +i) i =#
) + " P
#
" P +
(
+#
P"a+
#
)
) +(
P"a+
(
)
P " + n )
+n
P"a+n)
+erapa probabilitas sebuah trao yang berfungsi dengan baik berasal dari +; 9 Agus Statistika 1 - 50
Purnomo
P"+; : ) =
= P"+( : ) =
P" ∩ +) P")
P"+;) ⋅ P" +;) n ∑ P"+i) ⋅ P" +i) i=# ">,#>) ⋅ ">,A@) ">,A>) ⋅ ">,%@) N ">,;>) ⋅ ">,'>) N ">,#>) ⋅">,A@)
=
P" ∩ +() P")
eorema
=
#
= >,>$B
>,>A >,#(@
(
n
pabila + ,+ , ..... , + adalah eent-eent mutualy e
r D #, (, ... , n
oint ;robability able
∩+#
+#
@$ ∩ +#
>; >,A>
∩+( >, >,
+(
∩+;
+;
>,(B
>,>A@
∩ +(
∩ +;
>,>A
>,>;@ >,;>
>,#>
>,'$@ >,#(@ #,>>>
Contoh soal:
+erdasarkan data masa lalu seorang superisor dari sebuah perusahaan elektronik mengetahui bah!a program training pada saat diterjunkan dilapangan '( diantaranya akan memenuhi target produksi, sedangkan para pega!ai baru yang tidak mengikuti program training pada saat diterjunkan dilapangan hanya ;; yang memenuhi target produksi jika '> peg!aia baru mengikuti program training maka a) +erapa probabilitas seorang pega!ai baru pada saat diterjunkan dilapangan Agus Statistika 1 - 51
Purnomo
akan memenuhi target porduksi 9 b) +erapa probabilitas seorang pega!ai baru pada saat diterjunkan dilapangan akan dapat memenuhi target produksi ` telah mengikuti program training 9 c) +erapa probabilitas bah!a seorang pega!ai baru pada saat diterjunkan dilapangan akan dapat memenuhi target produksi tetapi tidak mengikuti program trainning 9 +# D mengikuti program training D memenuhi target produksi +( D tidak mengikuti program training D tidak memenuhi target produksi ( , > ' + a " P
, > > ' " P +
) #
> , ( > P " + ( )
>,A@A>
) #
> , #' P " a + # )
; , > ; + a " P
>,#BB> >,>AA>
>,#;B>
) (
> , A$ P " a + ( )
a) b)
P ") P "∩+#) >,>AA>
D D
>,A@A> N >,>AA> D >,$((> >,A@A> c) P "∩+()
D
"oal4soal :
#. Seorang pega!ai mempunyai dua mobil, satu sedan ` satu lagi oyota Kijang. 2ntuk pergi bekerja dia menggunakan sedan $@ ` Kijang (@ . +ila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba kembali di rumah pukul #$.;> sebanyak $@ "$@ dari #>> kali) sedangkan bila menggunakan Kijang dia tiba pukul #$.;> kira-kira A> . +ila suatu hari dia tiba di rumah pukul #$.;>, berapakah probabilitas dia memakai sedan 9 (. Suatu serum kejujuran yang diberikan kepada tertuduh diketahui %> terandalkan bila orang tersebut bersalah, dan %% terandalkan bila ia tidak bersalah. *engan kata lain, #> dari yang bersalah diketemukan tidak bersalah oleh serum dan # dari yang tidak bersalah ditemukan bersalah. +ila si tertuduh dipilih dari sekelompok tertuduh yang hanya @ yang pernah melakukan kejahatan dan serum menyatakan bah!a dia bersalah, berpakah probabilitas orang itu tidak bersalah 9 ;. Polisi merencanakan memantau batas kecepatan dengan menggunakan perangkap radar di B tempat yang berlainan di suatu kota. /adar di setiap tempat #, (, ;, ` B di pasang B> , ;> , (> , ` #> dari !aktu sehari, bila seseorang yang ngebut ke kantor berpeluang masing-masing >.(, >.#, >.@, Agus Statistika 1 - 52
Purnomo
dan >.( melalui tiap tempat, "a) berapa probabilitas dia akan kena tilang9 "b)berapa probabilitas dia mele!ati perangkap radar di tempat (9 B. *ari suatu daerah diketahui berdasarkan pengalaman masa lalu bah!a probabilitas memilih seorang de!asa di atas B> tahun yang kena kanker >.>(. +ila probabilitas seorang dokter dengan tepat mendiagnosa seseorang yang kena kanker sebagai terserang kanker >.$' dan probabilitas keliru mendiagnosa seseorang yang tdk. kena kanker sebagai terserang kanker >.>A "a) +erapa probabilitas seseorang didiagnosa sbg. terserang kanker 9 "b) +erapa probabilitas seseorang yang didiagnosa terserang kanker memang kena kanker 9 0KSP0KS4 3034K =/4+0L /1*63 *4SK/4 0kspektasi "harapan) dari suatu ariabel random dilakukan untuk memperoleh suatu pengukuran pusat dari distribusi probabilitas. )efinisi :
1ilai 0kspektasi, 0"), dari suatu ariabel random , didefenisikan 0"L) = ∑ < P <" <) <
1ilai 0kspektasi dari suatu ariabel random disebut juga mean, µ
?ontoh # 7asil pemeriksaan halaman suatu te
µ< = 0"L) = ∑ < P <"<) <
D > ">.'#) N #">.#$) N (">.>() D >.(# *apat disimpulkan dari keseluruhan halaman, ekspektasi ditemukannya kesalahan penulisan per halaman rata-rata >.(# >.'
>.B
> Agus Statistika 1 - 53
#
(
< Purnomo
µ
Gambar-(.# 5ungsi Probabilitas untuk jumlah kesalahan penulisan per halaman dari suatu te
3isalkan suatu ariabel random diskrit dengan fungsi probabilitas P "<), dan misalkan g"<) merupakan fungsi lain dari <. 1ilai 0kspektasi, 0g"<)Z, dari fungsi ini adalah 0Yg " < )Z =
∑ g" < ) P
<
"<)
<
?ontoh ( 3isalkan suatu ariabel random dengan distribusi probabilitas sbb < > # ( ; P"<) #:; #:( > #:A 7itunglah ekspektasi Y D " & # )( 8a!ab 0
0 " & # ) Z D (
!>
,
1# P! > #
> <
D "-#)( P<">) N ">)( P<"#) N "#)( P<"() N "()( P<";) D # "#:;) N > "#:() N # ">) N B "#:A) D # *efinisi 3isalkan merupakan suatu ariabel random diskrit. 0kspektasi penyimpangan kuadrat dari mean, " - µ)(, disebut =ariansi, , , ( " < - µ)( P"<) D 0 " - µ) Z D atau , ( , D <( P"<) - , D 0 " ) ?ontoh ; *ari ?ontoh # diperoleh µ D >.(#. 2ntuk memperoleh ariansi, maka pertama dicari dahulu 0 "() D <( P"<) D ">)( ">.') N "#)( ">.#$) N "()( ">.>() D >.(@ =ariansinya , ( , D >.(@ & ">.(#)( D >.(>@% D 0 " ) Standar deiasi σ D , D ,<2K D >.B@;' Agus Statistika 1 - 54
Purnomo
eorema 3isalkan ariabel random dengan mean µ dan ariansi , , dan misalkan a dan b merupakan konstanta. *idefenisikan ariabel random D a N b . 3aka mean dan ariansi dari adalah µ D 0 "a N b ) D a N b µ < ( , , dan U D =ar "a N b ) D b standar deiasi D b U
>
?ontoh B Sebuah kontraktor tertarik pada ongkos total suatu proyek yang akan dikerjakan. *iestimasi ongkos material (@,>>> dan ongkos pekerja %>> per hari. 8ika proyek dikerjakan selama hari, total ongkos pekerja adalah %>> dollar dan total ongkos proyek ") akan menjadi ? D (@,>>> N %>> Perkiraan "estimasi) kontraktor tentang probabilitas !aktu penyelesaian proyek Maktu penyelesaian "hari) #> ## #( #; #B Probabilitas >.# >.; >.; >.( >.# 7itunglah 3ean ` =ariansi !aktu penyelesaian V
µ< = 0"L) = ∑ < P <"<) <
D #> ">.#) N ## ">.;) N #( ">.;) N #; ">.() N #B ">.#) D ##.% hari
dan
D 0 " - µ)(Z D " < - µ)( P"<) D "#>-##.%)( ">.#) N "##-##.%)( ">.;) N Q. N "#B-##.%)( ">.#) D #.(% 3ean dan =ariansi ongkos total ? adalah µ? D 0"(@,>>> N %>> ) D (@,>>> N %>> µ D (@,>>> N %>> "##.%) D ;@,$#> D =ar "(@,>>> N %>> ) D "%>>)( , D '#>,>>> "#.(%) D #,>BB,%>> standar deiasinya D #,>((.(> σ? D ,
, 4
, 4
"oal4soal :
#. *alam suatu permainan seseorang mendapat /p. @ bila muncul semua muka atau semua belakang jika tiga uang logam dilantunkan dan membayar /p. ; bila muncul muka satu atau dua, berapakah harapan kemenangannya 9 (. Sebuah distribusi akan menerima keuntungan (> :unit jika produk yang dikirim baik #( :unit jika ada produk yang rusak. dari data masa lalu diperoleh bah!a '> barang yang dikirim berada dalam keadaan baik. +erapa ekspektasi Agus Statistika 1 - 55
Purnomo
"harapan) keuntungan : unit dari distributor 9 ;. Seorang inestor sedang mempertimbangkan ; strategi untuk menginestasikan uangnya sebesar #,>>>. Probabilitas return diestimasi sebagai berikut Strategi # Strategi ( Strategi ;
Profit #>,>>> dengan probabilitas >.#@ dan kerugian #,>>> dengan probabilitas >.'@ Profit #,>>> dengan probabilitas >.@, Profit @>> dengan probabilitas >.;, dan kerugian @>> dengan probabilitas >.( Pasti memperoleh profit B>> Strategi mana yang memberikan ekspektasi profit tertinggi 9 kankah anda menganjurkan inestor untuk memilih strategi tersebut 9
B. Suatu pengiriman pesa!at teleisi berisi dua yang rusak. Sebuah hotel membeli tiga pesa!at secara random "acak) dari kelompok tadi. +ila menyatakan banyaknya pesa!at yang rusak yang dibeli hotel tersebut, hitunglah nilai ekspektasi ariabel random . @. *engan membeli sejenis saham tertentu seseorang dapat memperoleh keuntungan setahun sebesar /p. ;>>>,- dengan probabilitas >.; atau rugi /p.#>>>,- dengan probabilitas >.$. +erapa ekspektasi keuntungannya 9 A. Seorang pembalap ingin mengasuransikan mobilnya selama musim balapan mendatang sebesar #>,>>>. Perusahaan asuransi mengestimasi terjadinya kerugian total #>,>>> dengan probabilitas >.>>(, kerugian @> dengan probabilitas >.>#, kerugian (@ dengan probabilitas >.#. 8ika kerugian lainnya diabaikan, berapa besar premi yang seharusnya ditagih oleh perusahaan asuransi tiap musim balapan agar mendapat keuntungan #>> 9 $. Seorang manager pabrik mempertimbangkan untuk menggantian mesin tempanya. *ari data masa lalu menunjukkan distribusi probabilitas untuk jumlah breakdo!n "keruskan) mesin ini dalam seminggu 8umlah Kerusakan > # ( ; B Probabilitas >.#> >.(A >.B( >.#A >.>A a. +erapa mean ` standar deiasi jumlah kerusakan 9 b. 8ika estimasi biaya setiap kerusakan #,@>> berapa mean ` standar deiasi biaya kerusakan mingguan dari mesin ini 9 '. nak panah diarahkan pada lingkaran yang beradius ' inchi. 8ika mengenai pusat sampai garis lingkaran berjari-jari # inchi, menang #>. 8ika mengenai daerah antara # dan ; inchi dari pusat, menang @. 8ika tidak mengenai salah satu daerah di atas, maka membayar B. +erapa nilai ekspektasi kemenangannya9 0KSP0KS4 3034K =/4+0L /1*63 K61412 Agus Statistika 1 - 56
Purnomo
1ilai 0kspektasi ariabel random Kontinu 0") D f "<) d< 8ika g"<) merupakan fungsi lain dari ariabel random kontinyu , maka ekspektasi dari fungsi ini merupakan rata-rata nilai dari fungsi dalam pengulangan percobaan independent dari jumlah percobaan yang sangat besar. 0kspektasinya adalah 0g")Z D g"<) f "<) d< ?ontoh # 3isalkan ariabel acak yang menyatakan umur dalam jam sejenis bola lampu. 5ungsi padat peluangnya f"<) =
(>>> <;
C
< \ #>>
D > untuk < lainnya +erapa ekspektasi umur bola lampu tersebut 9 ∞ (>.>>> 8a!ab 0"L) = ∫ < d< <; ∞ (>.>>> = ∫ < ( d< #>> < #>>
D (>> 8adi bola lampu tersebut dapat diharapkan berumur (>> jam. ?ontoh ( 3isalkan suatu ariabel random dengan fungsi padat f"<) D #:; <( C -# U < U ( D > C untuk < lainnya 7itunglah nilai ekspektasi g"<) D (< - # 8a!ab 0"(<-#) D
,
#:; "(<-#) <( d<
1
D #:;
,
" (<; & <( ) d<
1
D ;:( *efinisi 3isalkan merupakan ariabel random kontinyu "i) 3ean dari C µ C merupakan ekspektasi nilai µ D 0") "ii) =ariansi dari C , C merupakan ekspektasi dari penyimpangan kuadrat, " - µ )( , ( D 0 " - µ ) Z atau Agus Statistika 1 - 57
Purnomo
D 0"() - , "iii) Standar deiasi dari , σ C σ D , ,
3isalkan merupakan ariabel random kontinyu dengan mean µ dan ariansi , , dan misalkan a dan b merupakan konstanta. 3aka araibel random adalah DaNb 3ean dan arainsi dari adalah µ D 0 "a N b ) D a N b µ < dan , ( , U D =ar "a N b ) D b standar deiasi dari D b untuk kasus khusu dengan mean > dan ariansi #, ariabel randomnya U
D
>
>
> >
?ontoh ; Seorang pemilik rumah ingin mengestimasi dengan menggunakan temperatur dari tagihan rekening listrik terhadap penggunaan ? pada bulan 8uni. Persamaan tagihan rekening listriknya ") Y D (%> - @ *engan merupakan rata-rata temperatur " derajat ?elcius) bulan 8uni. 8ika ratarata temperatur pada bulan 8uni bisa dinyatakan sebagai ariabel random dengan mean ;( 6? dan standar deiasi B 6?, berapa mean ` standar deiasi tagihan rekening listrik pemilik rumah tersebut pada bulan 8uni 9 8a!ab =ariabel random mempunyai mean dan standar deiasi µ D ;( dan σ D B 0kspektasi mean tagihan listrik adalah µ Y D (@> - @µ D (%> & @ ";() D #;> 0kspektasi standar deiasi tagihan listrik σY D -@ σ D "@) "B) D (> "oal4soal :
#. 5ungsi padat ariabel random kontinu , jumlah jam, dalam satuan #>> jam, mesin pengisap debu digunakan setahun oleh keluarga berbetuk >U untuk < yang lainnya ?arilah rata-rata jumlah jam setahun keluarga tadi menggunakan mesin V (. 3isalkan menyatakan hasil yang muncul bila suatu dadu yang setangkup dilantunkan. 7itunglah Agus Statistika 1 - 58
Purnomo
µ g"<) , bila g"<) D ; <( N B ;. 3isalkan ariabel acak dengan distribusi probabilitas berikut < -; A % f"<) #:A #:( #:; ?arilah µ g"<) , bila g"<) D "( < N #)( B. Suatu perusahaan besar membeli beberapa mesin pada akhir tiap tahun, banyaknya tergantung pada seringnya perbaikan pada tahun sebelumnya. 3isalkan banyaknya mesin, , yang dibeli tiap tahun mempunyai distribusi probabilitas berikut < > # ( ; f"<) #:#> ;:#> (:@ #:@ +ila harga mesin dalam ribuan rupiah, tetap #(>> sepanjang tahun ini dan potongan @> <( ribu rupiah diberikan terhadap tiap pembelian, berapa banyak perusahaan tadi diharapkan membelanjakan uangnya membeli mesin baru pada akhir tahun ini 9
Agus Statistika 1 - 59
Purnomo
BAB II DIST-IBUSI P-/BABILITAS DISK-ET Sering lebih mudah bila semua peluang suatu ariabel random dinyatakan dalam suatu rumus. /umus seperti itu tentunya merupakan fungsi nilai numerik < yang akan dinyatakan dengan f"<), g"<), r"<), dst. 8adi ditulis f"<) D P" D <)C yaitu f";) D P" D ;). 7impunan pasang terurut "<,f"<)) disebut fungsi peluang "probabilitas) atau distribusi probabilitas ariabel random diskret . *efinisi
5ungsi 5"<) adalah suatu fungsi probalitias atau distribusi probabilitas suatu ariabel acak diskret bila , untuk setiap hasil yang mungkin #. f "<) ≥ >
∑ f " x) = #
(.
x
;. P" D <) D f"<)
?ontoh 7itunglah distribusi probabilitas banyaknya head yang muncul bila suatu mata uang yang setangkup dilantunkan ( kali.V
P" D >) P" D #) P" D ()
Kejadian yang mungkin
y
77
(
7
#
7
#
>
D D D
P") P"7∪7) P"77)
<
>
#
(
f"<)
#:B
#:(
#:B
Agus Statistika 1 - 60
D #:B D P"7) N P"7) D #:B N #:B D #:( D #:B
Purnomo
"!#
"!#
1,
1,
1
<
1
,
<
1
,
*istribusi Probabilitas *iskret *efinisi
*istribusi kumulatif 5"<) suatu ariabel acak dengan distribusi peluang f "<) dinyatakan oleh 5" x) = P"L ≤ x) =
∑ f"t) t≤<
?ontoh 7itunglah distribusi kumulatif ariabel random "acak) pada contoh # 5">)
D
f">)
5"#)
D
f">) N f"#)
5"()
D
f">) N f"#) N f"()
Agus Statistika 1 - 61
D #:B D
#:B N #:( D ;:B D
#:B N #:( N #:B D #
Purnomo
7!# 1 1 0 1,
1,
1 1 <
1
,
*istribusi Kumulatif *iskret $.# =/4+0L ?K " /1*63 =/4+L0 ) *efinisi
suatu fungsi bernilai real harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut ariabel acak.
Yang menarik perhatian bukan titik sampel melainkan gambaran numerik dari hasil. Suatu ariabel acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya , sedangkan harganya dinyatakan dengan huruf kecil yang berpadanan misalnya < ?ontoh # *ua bola diambil satu demi satu dikembalikan dari suatu kantong berisi empat bola merah dan bola hitam bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari ariabel Y adalah Kejadian yang mungkin
y
33
(
37
#
73
#
77
>
?ontoh ( Pak li , +adu dan ?okro menitipkan pecinya di pagi hari pada seorang anak. soreharinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani bila pak li , +adu dan ?okro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka tuliskan titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mengdapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai m dari ariabel acak 3 yang menyatakan jumlah urutan yang cocok V +ila , +, ? menyatakan masing-masing peci yang dibagikan berturut-turut pada pak li,
Agus Statistika 1 - 62
Purnomo
+adu, ?okro maka Kejadian yang mungkin
m
+?
;
?+
#
+?
#
+?
>
?+
>
?+
#
$.( +0+0/P *4S/4+2S4 P/6++4L4S *4SK/0 pakah distribusi peluang diskret disajikan secara grafik dalam bentuk histogram, dalam bentuk tabel, atau melalui rumus bukan masalah, yang ingin dilukiskan ialah kelakuan peubah acak tersebut. Sering, pengamatan yahg dihasilkan melalui percobaan statistika yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama. Karenanya, peubah acak diskret yang berkenaan.dengan percobaan tersebut pada dasarnya dapat dilukiskan dengan distribusi peluang yang sama dan karena itu dapat dinyatakan oleh rumus yang sama. 3alahan, kita hanya memerlukan beberapa distribusi peluang yang penting untuk menyatakan banyak peubah acak diskret yang ditemui dalam praktek. $.(.# *4S/4+2S4 S0/G3 "21456/3) *istribusi peluang diskret yang paling sederhana ialah yang peubah acaknya memperoleh semua nilainya dengan peluang yang sama. *istribusi peluang semacam itu disebut distribusi seragam diskret. +ila ariabel random "acak) mendapat nilai #, (, ......., k , dengan probabilitas yang sama, maka *istribusi 2niform "seragam) diskret f"
∑
dan
(
σ
=
k ∑ "
Contoh l :
+ila sebuah bola lampu dipilih secara acak dari sekotak bola lampu yang berisi # yang B>-!att, # yang A> !att, # yang $@-!att, dan # yang #>>-!att, maka tiap unsur ruang sampel DEB>, A>, $@, #>>F muncul dengan peluang . 8adi distribusinya seragam dengan f", A>, $@, #>> Contoh :
Seorang dipilih secara random dari #> karya!an untuk menga!asi suatu proyek. iap karya!an berpeluang sama untuk terpilih , yaitu #: #>. 3isalnya karya!an tersebut telah dinomori dari # Agus Statistika 1 - 63
Purnomo
sampai #> , distribusi adalah seragam dengan f " < C #> ) D #: #> , < D #, ( , ......, #>
.,., Distribusi Bin*mial Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal . 3isalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian atau usaha dapat menunjukkan apakah suatu barang cact atau tidak cacat. Kita dapat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai sukses. Proses seperti ini disebut proses #ernoulli, tiap usahanya disebut usaha #ernoulli.
Syarat Percobaan +ernoulli #. Pada setiap trial "percobaan ) hanya dimungkinkan terjadinya ( jenis out come yaitu sukses atau gagal. "Sukses atau gagal sesuai dengan definisi yang dikehendaki : sifat *ichotomi) (. Probabilitas terjadinya sukses pada setiap trial adalah sama "sifat /eplacement) ;. Percobaan terdiri atas n trial "usaha) yang berulang, dimana n D konstanta B. iap trial "usaha) bersifat independent "bebas dengan usaha lainnya)
Pandanglah suatu kelompok usaha +ernoulli yang berupa pengambilan B "empat) unit hasil produksi suatu pabrik, dan kemudian unit yang cacat dipisahkan dari yang baik. Produk yang cacat akan disebut "didefinisikan) sebagai sukses'"(. Produk yang baik didefinisikan sebagai gagal '6(. *efinisikan P "sukses) D p C P "gagal) D #-p ?ontoh salah satu outcome yang muncul dari percobaan di atas yaitu P"SS5S) D P"S) . P"S) . P"5) . P"S) → independent trial ; D p . p . "#-p). p D p " #- p) 7asil lengkap dari seluruh outcome yang mungkin dari percobaan di atas disajikan pada tabel berikut ini 6utcome 6bserasi Proba-bilitas 6utcome 6bserasi Proba-bilitas < < B SSSS B p 5S5S ( p( "#-p) ( SSS5 ; p; "#-p) 55SS ( p( "#-p) ( SS5S ; p; "#-p) 5SS5 ( p( "#-p) ( S5SS ; p; "#-p) S555 # p"#-p) ; 5SSS ; p; "#-p) 5S55 # p"#-p) ; SS55 ( p( "#-p) ( 55S5 # p"#-p) ; S5S5 ( p( "#-p) ( 555S # p"#-p) ; S55S ( p( "#-p) ( 5555 > "#-p) B
→
b "< C B , p) b "; C B , p) D P"5SSS)
P"SSS5)
b "< C B , p)
{ 8umlah outcome dengan < D ;} ⋅ { Probabilitas dari setiap outcome dengan < = ;}
D
N
< D >, #, (, ;, B P"SS5S) N
D
Bp; " # - p )
P"S5SS)
N
n Agus S S S . . . . S 5 5 5 . . . 5 Statistika 1 - 64
<
Purnomo
"n - <)
#
(
⇒
P "Sukses)D
p<
⇒
P "Gagal)D
"# - p) n - <
;
-#
#
(
-# ...
.....
"n- ()
...
< "n- #)
. . . "n-
#
"n-
n"n − #)"n − ()...."n − < + #) V #> . % . '. $ . A . @ "B . ; . ( . #) A .@ .B .; .( .#
D
"B . ; . ( . #) AV
AV AV
D
"#> - A) V
nV
"n - <) V
"#> - A) V
Sehingga b " < C n , p)D
nV ⋅ p< "# − p)n− <
C
< D >, #, .... , n
)efinisi )istribusi #inomial
Suatu usaha +ernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang I D #-p, maka distribusi peluang ariabel acak +inomial , yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas "Probability untuk mendapatkan < sukses dari n trial independent dengan probabilitas terjadinya sukses pada setiap trial D p dan probabilitas gagal D #- p) b"<n,p) =
b "< C n , p) b "< C n , p) + "< C n , p) b "< C n , p)
nV p< "# − p) n− < C
D D D D
< D >, #, ..... ,n
+ "< C n , p) + "< - # C n , p) b E"n - < C n , " # - p)F # - + E"n - < - #) C n , "# -p)F + "n - < C n , # - p) - + "n - < - # C n , # - p)
3ean =ariance Standard *eiation ?oefficient of Ske!ness ?oeffisient of Kurtosis Agus Statistika 1 - 65
µ D np σ ( = npI σ =
np0
0− p = ;
α
α
B
=
np0 # − A p0 ;+ np0
Purnomo
3oment Generating 5unction ?haracteristis 5unction
7 "t )
= "0 + pet )n
∅" w) = "0 + peiω )n
"oal4soal :
#. Sebuah perusahaan industri yang memproduksi alat-alat plastik mengetahui secara teknis bah!a (> dari alat-alat plastik yang diproduksi dengan mesin tertentu akan tidak memenuhi kualitas standar dan dianggap rusak. jika (> buah alat-alat plastik yang dihasilkan dengan mesin diatas dipilih secara random dari seluruh hasil produksi, berapakah probabilitas a. epat @ yang rusak 9 D tepat #@ yang baik9 b. idak lebih dari B yang rusak 9 tidak kurang #@ yang baik 9 c. Lebih besar dari $ yang rusak 9 kurang dari #; yang baik 9 d. idak kurang dari #> yang rusak 9 tidak lebih dari #> yang baik9 e. Semua yang diperiksa baik 9 semua yang diperiksa rusak 9 ◊ idak lebih dari < : sebanyak-banyaknya ⇒ ≤< U< ◊ Lebih kecil dari < : kurang dari < ⇒ \< ◊ Lebih besar dari < ⇒ ◊ idak kurang dari < : sekurang-kurang < ⇒ ≥< ◊ epat pada < ⇒ D< (. *alam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan (@ truk mengalami kegagalan karena ban pecah . +erapakah peluang @ sampai #> truk dari #@ yang diuji akan mengalami pecah ban 9 ;. Seorang petani jeruk mengeluh karena A> dari panen jeruknya terserang sejenis irus. ?ari peluangnya bah!a di antara B buah jeruk yang diperiksa dari hasil panen ini a. semuanya terserang irus tersebutC b. antara # sampai ; yang terserang irus tersebut. B. 3enurut suatu surey, >.; dari perusahaan di S memberi karya!annya cuti B minggu setelah bekerja di perusahaannya selama #@ tahun. ?ari peluangnya bah!a di antara A perusahaan yang disurey secara acak, banyaknya perusahaan yang memberi karya!annya cuti B minggu setelah #@ tahun kerja a. antara ( sampai @C b. kurang dari ;. @. 3enurut suatu penelitian yang dilakukan oleh sekelompok sosiolog dari 2niersitas 3assachusetts, sekitar A> pengguna =alium di negara bagian 3assachusetts mula-mula menggunakan =alium karena persoalan psikologi. ?ari peluangnya bah!a diantara ' pengguna yang di!a!ancarai selanjutnya dari negara bagian tersebut a. tepat ; mula-mula menggunakan =alium karena persoalan psikologi. b. paling sedikit @ mula-mula menggunakan =alium karena persoalan yang bukan psikologi. A. Suatu surey nasional di S pada mahasis!a tingkat empat yang dilakukan oleh 2niersitas 3ichigan menunjukkan bah!a hampir $> dari mereka yang tidak menyetujui merokok ganja tiap hari menurut laporan Parade, #B September #%'>. +ila #( mahasis!a tingkat empat dipilih secara acak dan ditanya pendapatnya, cari peluangnya bah!a banyaknya yang tidak setuju merokok ganja tiap hari a. dari $ sampai % orangC b. paling banyak @ orangC c. tidak kurang dari ' orang. $. Seorang lnsiyur penga!as lalu lintas melaporkan bah!a $@ kendaraan yang melintasi suatu daerah pemeriksaan berasal dari *K4. +erapakah peluang bah!a kurang dari B dari % kendaraan mendatang yang melalui pemeriksaan tersebut berasal dari luar *K4 9 Agus Statistika 1 - 66
Purnomo
'. Suatu penelitian yang dilakukan di 2niersitas George Mashington dan 4nstitut Kesehatan 1asional di S meneliti sikap masyarakat terhadap obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bah!a sekitar $> penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. 3enurut penelitian ini, berapa peluangnya bah!a paling sedikit ; dari @ penderita yang dipilih secara acak berpendapat sepertV itu 9 %. Suatu surey penduduk di suatu kota di S menunjukkan bah!a (> lebih menyenangi telepon ber!arna putih dari pada !arna lainnya. +erapakah peluang bah!a lebih dari setengah dari (> pesa!at yang akan dipasang di kota tersebut akan ber!arna putih 9 #>. *iketahul bah!a B> dari tikus yang disuntik dengan sejenis serum terlindung dari serangan sejenis penyakit. +ila @ tikus disuntik, berapakah peluang bah!a a. tidak ada yang terserang penyakit tersebutC b. kurang dari ( yang terserangC c. lebih dari ; yang terserang. ##. 3isalkan bah!a mesin pesa!at terbang bekerja bebas satu dari yang lain dalam penerbangan dan rusak dengan peluang >,B. +ila dimisalkan bah!a sebuah pesa!at terbang melakukan penerbangan dengan selamat jika paling sedikit, setengah mesinnya bekerja, tentukan apakah pesa!at bermesin empat atau bermesin dua yang lebih tinggi keselamatan penerbangannya 9 $.(.; *4S/4+2S4 74P0/G0630/4K ?ara paling mudah melihat perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik terletak pada cara pengambilan sampelnya. 3acam penggunaan distribusi hipergeometrik amat mirip dengan binomial. 2ntuk kasus binomial, diperlukan kebebasan antara usaha. kibatnya, bila binomial diterapkan, misalnya, pada pengambilan dari sejumlah barang "sekotak kartu, sejumlah barang produksi), sampel harus dikerjakan dengan pengembalian setiap barang setelah diamati. *ipihak lain, distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampel tanpa pengembalian$ Penggunaan distribusi hipergeometrik terdapat di banyak bidang, terbanyak pada penerimaan sampel 'acceptance sampling(2 pengujian elektronik, dan pengendalian mutu. entunya, dalam banyak bidang ini pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang mengakibatkan, pada akhirnya, barang yang diuji tersebut menjadi rusak, jadi tidak dapat dikembalikan. Penyampelan harus dikerjakan tanpa pengembalian. Sifat Percobaan 7ipergeometrik Populasi D 8umlah sukses D 8umlah sampel siHe D idak terjadi replacement Sifat dichotomous
n nV < =
1 → terbatas a n
= n n V "1 − n ) V
1 1V
Purnomo
N a sukses
sukses
!N ( a# gagal
!n ( # gagal n
)efinisi )istribusi 8ipergeometrik :
*istribusi probabilitas ariabel random 7ipergeometrik , yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari 1 benda yang mengandung a bernama sukses dan 1 & a bernama gagal.
h " < C n C a C 1) D
a 1−a < n−< 1 n
< D >, #, .... , n
eorema /ataan dan ariansi distribusi hipergeometrik h "
= n ⋅ a
µ
1
C
(
σ
= 1 − n ⋅ n ⋅ an # − 1a 1 − #
Contoh soal :
Suatu pabrik menggunakan rencana penerimaan dalam produksi barangnya sebelum pengiriman. Suatu kotak "dus) berisi B> suku cadang dikatakan dapat diterima bila dari sampel acak "random) ukuran @ suku cadang mengandung paling banyak # yang cacat. +erapa probabilitas mendapat Agus Statistika 1 - 68
Purnomo
tepat satu yang cacat dalam sampel bila kotak tersebut mengandung ; suku cadang yang cacat 9 n D @ C < D # C 1 D B> C a D ;
h " < C n C a C 1) D
Agus Statistika 1 - 69
a 1−a < n−< 1 n
Purnomo
h " # C @ C ; C B> ) D
; B>−; # @−# B> @
D >,;>##
"oal4soal :
#. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang sekarang dimana setiap lot berisi @> barang. cara ini mengambil sampel sebesar @ dan lolos pemeriksaan bila berisi tidak lebih dari dua yang cacat berapakah probabilitas lot yang mengandung (> cacat akan lolos pemeriksaan 9 (. Suatu lot berisi @> unit barang yang #> diantaranya cacat untuk dapat dipasarkan maka lot harus menjalani pemeriksaan dengan cara pengambilan sampel sebagai berikut sampel # +erukuran #> jika dari sampel ini dijumpai B unit atau lebih yang cacat maka lot ditolak jika ditemui cacat kurang dari ( unit, lot diterima jika ditemui cacat dari ( sampai ; unit maka pemeriksaan dilanjutkan dengan sampel kedua. sampel ( berukuran @ unit, jika tidak dijumpai barang cacat maka lot diterima. a. +erapa probabilitas lot ditolak di sampel kedua 9 b. +erapa Probabilitas lot diterima disampel ke satu 9 ;. Suatu pabrik menggunakan rencana pengiriman bertahap dua dari barang produksinya, sebelum dikirim sejumlah kotak masing-masing berisi (@ butir disiapkan untuk dikirim dan sampel berukuran ; butir barang dari setiap kotak diperiksa. +ila ada yang cacat dari ketiga butir barang tersebut maka kotak dikembalikan dan seluruh isinya diperiksa. bila dari ketiganya tidak ada yang cacat maka kotak dikirimkan. a. +erapa probabilitas sebuah kotak yang berisi @ butir barang yang cacat akan dikirm 9 b. +erapa probabilitas kotak yang berisi # butir barang yang cacat akan dikembalikan dan seluruh isinya diperiksa 9 B. 2ntuk mengelabui petugas pabean, seorang pelancong menaruh A tablet narkotik dalam sebuah botol yang berisi % pil itamin yang sama bentuk dan !arnanya. +ila petugas pabean Agus Statistika 1 - 70
Purnomo
memeriksa ; tablet secara acak untuk dianalisis, berapakah peluang pelancong tersebut akan ditahan karena memba!a narkotik 9 @. Seseorang menanam A bibit di pekarangannya, yang diambil secara acak dari sebuah kotak berisi @ bibit gladiol dan B daffodil. +erapakah peluang dia menanam ( bibit daffodil dan B gladiol 9 A. *ari kotak berisi #> peluru, diambil B secara acak dan kemudian ditembakkan. +ila kotak itu mengandung ; peluru yang cacat yang tidak akan meledak, berapakah peluang bah!a a. keempatnya meledak 9C b. paling banyak ( yang tidak akan meledak9 $. +erapakah peluangnya sebuah bar menolak menjual minuman beralkohol pada ( sis!a bila pelayan secara acak memeriksa KP @ sis!a dari % sis!a, yang B di antaranya di ba!ah umur 9 '. 3isalkan perusahaan di soal ; memutuskan mengganti rencana penerimaannya. 3enurut rencana baru ini seorang pemeriksa mengambil secara acak # barang, memeriksanya, kemudian mengembalikannya ke dalam kotakC pemeriksa kedua juga bekerja dengan cara yang sama. khirnya, pemeriksa ketiga juga mengikuti cara yang sama. Suatu kotak tidak akan dikirim bila salah satu dari ketiga pemeriksa menemukan # yang cacat. 8a!ablah pertanyaan a dan b pada soal ; menurut rencana baru. %. *isuatu kampung diperkirakan B.>>> dari #>.>>> penduduknya yang berhak memilih Pak li sebagai lurah. +ila #@ penduduk yang berhak memilih diambil secara acak dan pilihannya untuk lurah ditanya, berapakah peluang paling banyak $ diantaranya yang ingin memilih Pak li sebagai lurah 9 #>. Suatu kampung terdiri atas #(>> keluarga. +ila setengah dari seluruh keluarga di kampung itu memiliki pesa!at teleisi, berapakah peluang bah!a suatu sampel sebesar #> keluarga paling sedikit ; diantaranya memiliki teleisi 9 Pendekatan *istribusi +inomial +inomial terhadap terhada p *istribusi *istribusi 7ipergeometrik 7ipergeometrik +ila n kecil dibandingkan dengan 1 maka peluang tiap penarikan akan berubah sedikit. 8adi pada dasarnya percobaan adalah binomial dan dapat menghampiri distribusi hipergeometrikC dengan menggunakan distribusi binomial dengan
p D a : 1.
/ataan dan ariansinya
adalah µ = np
=
n ⋅ a 1
C σ( D npI D n "a:n ) "# & a:n)
?ontoh soal *alam suatu lot terdapat #>> trao dimana yang cacat ada (@ bila diperiksa #> berapa probabilitas tepat ( trao yang cacat 9 Solusi
Agus Statistika 1 - 71
Purnomo
< D ( C n D #> C a D (@ C 1 D #>> C h " (C #>C (@C #>> ) D
(@$@ ( ' >,(% #> #> =
*engan pendekatan +inomial
C pD(@:#>> D >,(@C b"(C #>C >,(@) D
#> ( ' ">,(@)⋅"#−>(,@)=>(,' (
"oal4soal :
#. *ari #@> petugas pajak disuatu kota hanya ;> !anita. +ila #> daripadanya yang dipilih secara acak untuk ditugaskan memeriksa pajak sebuah perusahaan, gunakan pendekatan "hampiran) binomial untuk menghitung peluangnya bah!a paling sedikit ; !anita yang terpilih 9 (. Suatu surey nasional di S pada #$.>>> mahasis!a tingkat empat yang dilakukan oleh 2niersitas 3ichigan menunjukkan bah!a hampir $> mereka tidak menyetujui merokok ganja tiap hari menurut laporan di /arade2 #B September #%%>. +ila #' dari mahasis!a ini diambil secara acak dan ditanya pendapatannya, berapakah peluangnya bah!a lebih dari % tapi kurang dari #B yang tidak menyetujui merokok ganja 9 $.(.B *4S/4+2S4 P64SS61 Percobaan yang menghasilkan ariabel acak yang bernilai numerik, yaitu banyaknya hasil selama selang !aktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut percobaan /oisson. Panjang selang !aktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, seminggu, sebulan, atau malah setahun . Agus Statistika 1 - 72
Purnomo
8adi percobaan Poisson dapat menghasilkan pengamatan untuk ariabel acak yang menyatakan banyaknya hubungan telepon per jam yang diterima suatu kantor, banyaknya hari sekolah ditutup karena banjir, banyaknya pertandingan sepakbola yang terpaksa diundurkan karena hujan selama musim hujan. *aerah yang dimaksud dapat berupa sepotong garis, suatu luas daerah, suatu isi benda, atau pun barangkali sepotong benda. *alam hal seperti ini mungkin menyatakan banyaknya tikus sa!ah per hektar, banyaknya bakteri dalam suatu kultur, ataupun banyaknya salah tik per halaman. Syarat Percobaan Poisson #. +anyaknya hasil yang terjadi dalam suatu selang !aktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh "bebas dari) apa yang terjadi pada selang !aktu atau daerah lain yang terpisah. *alam hubungan ini proses Poisson dikatakan tak punya ingatan. (. Peluang terjadinya suatu hasil "tunggal) dalam selang !aktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang !aktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang !aktu atau daerah tersebut. ;. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang !aktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan. +anyaknya hasil dalam suatu percobaan Poisson dlsebut suatu peubah acak Poisson dan distribusi peluangnya disebut distribusi Poisson. /ataan banyaknya hasil dihitung dari µ D λ t , bila t menyatakan !aktu atau daerah khas yang menjadi perhatian. Karena peluangnya tergantung pada λ, laju terjadinya hasil akan kita nyatakan dengan lambang p"
*istribusi peluang peubah acak Poisson , yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang !aktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh f " <, λ )
< e−λ
= λ
< D >, #, (, ....
eorema /ataan dan ariansi distribusi Poisson µD λ dan σ( D
C e D (,$#';
λ
<. <.;
P
$
"!
<.2
e
#
rata(rata kedatangan satuan %aktu
<$2
t <.
t
<.0
1
<.,
,
t <.1
Agus Statistika 1 - 73
<
1
,
0
2
;
Purnomo
)istribusi /robabilitas /oisson )istribusi /robabilitas Eksponensial
1$<
P!T
t#
/ P!T
t#
1
e
t
t
P!T
t#
pr*b. %aktu antar kedatangan T
suatu %aktu t tertentu
Ekspektasi %aktu antar kedatangan !kela&iran# 3 E!T#
1
t
•
"ifat emoryless
Kejadian suatu een tidak dipengaruhi oleh een sebelumnya. • "ifat emoryless dimiliki )istribusi )iskrit : /oisson /df /oisson 9 /df Eksponensial )istribusi .ontinu : Eksponensial
• 8ika jumlah kedatangan berdistribusi poisson maka !aktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial.
?ontoh soal #. Pemeriksaan lempengan timah dari suatu proses elektrolit yang kontinu, diperoleh cacat yang berupa bintik-bintik rata-rata permenit >,(. +erapa probabilitas cacat tersebut a) epat # yang cacat dalam ; menit 9 b) Sekurang-kurangnya ( yang cacat dalam @ menit9 c) Paling banyak # yang cacat dalam #@ menit 9 Solusi rata-rata permenit λ D >,( rata-rata jl. bintik:menit a) ; menit → λD n . p D ; < >,( D >,A f " #C >, A ) D 5 "#C >, A) - 5">C >, A) D >,'$' - >,@B% D >.;(% b) @ menit → λ D #,> f "< ≥ ( C #,> ) D # - 5 "#C #,>) D # - >.$;@' D >.(AB( c) #@ menitn → λ D #@ < >,( D ;,> f " < ≤ # C ;, > ) D 5 "#C ;,> ) D >,#%%# f "B ≤ < ≤ %C ;, >) D 5 "% C ;, >) - 5" ; C ;,>) Agus Statistika 1 - 74
Purnomo
(. /ata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah #>. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak #@ tanker sehari. +erapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya 9 3isalkan menyatakan banyaknya tanker yang tiba tiap hari dan λ D #> tanker:hari "ratarata jl tanker datang:hari) f " \ #@ ) D f " #A ) D # & f " ≤ #@) D #&
#@
∑
f "C #>) D # - >.%@#; D >.>B'$
x =>
Seperti distribusi +inomial, distribusi Poisson banyak digunakan dalam pengendalian mutu, pertanggungan mutu, dan penerimaan sampel. *isamping itu, beberapa distribusi kontinu yang penting yang digunakan dalam teori kehandalan dan teori antrian bergantung pada proses poisson. P01*0K1 P64SS61 0/7*P +41634L +ila n besar p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan dengan λDnp, untuk menghampiri peluang binomial. +ila p dekat dengan #, distribusi Poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang +inomial dengan mempertukarkan apa yang telah dinamai dengan sukses dan gagl, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan >. eorema 3isalkan ariabel acak +inomial dengan distribusi probabilitas b", dan λ D np tetap sama, maka b" dan p ≤ >,>@ C jika n ≥ #>> maka np ≤ #> Contoh soal :
#. *iketahui @ dari hasil penjilidan suatu buku mengandung cacat. +erapa probabilitas ( dari #>> buku yang dijilid akan mengandung cacat, pergunakan a) formulasi distribusi +inomial V b) pendekatan Poisson untuk +inomial V "olusi : Probabilitas sukses pD>,>@ C n D #>> dan sukses < D ( a)
b"
D
b " ( C #>> C >,>@ )
#> ( %' ⋅">, @) ⋅">,%@) (
D
nV p< "# − p) n− <
D >,>'#
λDn . p D">,>@) "#>>) D @ x − λ f " < C λ ) D λ ⋅ e
b) < D ( C
Agus Statistika 1 - 75
Purnomo
f"(C@)D
@( ⋅ e−@ (V
= >,>'B
dg. tabel D 5"(@) & 5"#C@) D >.#(B$ - >.>B>B D >.>'B;b (. *alam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. *iketahui bah!a rata-rata # dari #>>> barang yang dihasilkan mempunyai # atau lebih gelembung. +erapakah probabilitas bah!a sampel sebesar '>>> barang akan berisi kurang dari $ yang bergelembung 9 "olusi : Probabilitas sukses p D #:#>>> D >.>># C n D '>>> C λ D n p D ' + "AC '>>>C >.>>#) D 5 "AC ') D >.;#;B "oal4soal :
#. Pada suatu pompa bensin rata-rata datang ( kendaraan dalam #> menit. a) +erapa kemungkinan di dalam !aktu # jam akan datang tepat #> kendaraan 9 b) +erapa kemungkinan di dalam !aktu # jam akan datang paling sedikit #> kendaraan 9 c) +erapa kemungkinan di dalam !aktu # jam akan datang paling banyak #> kendaraan 9 (. *i suatu simpang jalan rata-rata terjadi ; kecelakaan seminggu. +erapakah peluang pada suatu minggu tertentu a. tepat @ kecelakaan akan terjadi 9 b. kurang dari ; kecelakaan akan terjadi 9 c. paling sedikit ( kecelakaan akan terjadi 9 ;. Seorang tukang tik rata-rata melakukan ( kesalahan per halaman. +erapakah peluang dia melakukan a. B atau lebih kesalahan pada halaman berikut yang dia ketik 9 b. tidak ada kesalahan 9 B. Suatu daerah di bagian timur merika Serikat, ratarata ditimpa A angin topan setahun. ?arilah peluang di suatu tahun tertentu a. tidak sampai B angin topan yang akan menimpa daerah tersebutC b. antara A sampai ' angin topan akan menimpa daerah tersebut. @. *alam suatu penelitian inentors "persediaan barang) diketahui bah!a permintaan rata-rata dari gudang terhadap suatu bahan tertentu @ kall sehari. +erapakah.peluang pada suatu hari tertentu bahan tersebut a. diminta lebih dari @ kali 9 b. tidak diminta sama,sekali 9 A. Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksi pernafasan adalah >,>>(. ?arilah peluang bila (>>> orang yang terserang infeksi tersebut, kurang dari @ orang yang akan meninggal. $. 3isalkan rata-rata l dari tiap #>>> orang melakukan salah perhitungan dalam menghitung pajaknya. +ila #>.>>> isian pajak diambil secara acak dan diperiksa, hitunglah peluangnya bah!a A, $, atau ' isian tersebut akan salah hitung. b"A) D b"$)D b"')D '. Peluang seorang murid gagal dalam pemeriksaan scoliosis "lengkungan tulang belakang) yang diadakan oleh sekolah diketahui sebesar >,>>B. *ari sebanyak #'$@ murid yang diperiksa, carilah peluangnya bah!a a. kurang dari @ yang gagal dalam pemeriksaanC b. ', %, atau #> yang gagal.
$.(.@ *4S/4+2S4 +41634L 10G45 Suatu percobaan yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan +inomial, kecuali usaha Agus Statistika 1 - 76
Purnomo
diulangi sampai tercapai sejumlah sukses tertentu. 8adi sebagai ganti mencari probabilitas < sukses dalam n usaha, bila n telah tertentu, sehingga akan dicari probabilitas sukses ke- k terjadi pada usaha ke- x. )efinisi )istribusi #inomial egatif :
+ila usaha yang saling bebas "independent) dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan probabilitas p sedangkan gagal dengan probabilitas I D # - p maka distribusi probabilitas ariabel random C yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke - k yaitu
b " < C k C p )
D
<−# k <−k p I k −#
C
< D k, k N #, k N (, ....
Contoh soal :
?arilah probabilitas bah!a seseorang yang melantunkan tiga uang logam sekaligus akan mendapat semuanya muka "7) atau semuanya belakang ") untuk kedua kalinya pada lantunan kelima V Solusi < D @ C k D ( C dan p D #:B
b "@C ( C#:B ) D
B # ( ; ; ( B) ( B) #
D >.#>@#
"oal4soal:
#. Probabilitas pembelian suatu t ber!arna di suatu toko t adalah >,; 7itunglah probabilitas bah!a pembelian t yang kesepuluh di toko tersebut akan merupakan pembelian t ber!arna yang ke lima 9 b " CkD@C pD>,;) D >,>@#@ (. Seorang peneliti menyuntik beberapa ekor tikus, satu demi satu dengan sejenis bibit penyakit sampai dia menemukan dua ekor yang telah terserang penyakit itu, bila probabilitas terserang penyakit itu #:A. +erapakah Probabilitas bah!a delapan ekor tikus yang perlu disuntik 9 ;. 3isalkan peluangnya >,' bah!a setiap orang akan percaya tentang desas-desus mengenai hubungan gelap seorang bintang terkenal. +erapakah peluangnya bah!a a. orang keenam yang mendengar desas-desus ini merupakan orang keempat yang mempercayainya 9 b. orang ketiga yang mendengar desas-desus ini merupakan orang pertama yang mempercayainya 9 B. ?arilah peluang seseorang yang melantunkan suatu uang logam mendapat a. muka yang ketiga pada lantunan ketujuhC b. muka yang pertama pada lantunan keempat.
Agus Statistika 1 - 77
Purnomo
$.(.A *4S/4+2S4 G0630/4 Tesis )istribusi -eometric :
J3enghitung Probabilitas "kemungkinan) terjadinya sukses:gagal yang pertama pada < trial "usaha) J sukses yang pertama #
(
; QQQQ "<-#)
<
gagal " # & p )-#
p
kemungkinan sukses pertama dalam < trial )efinisi -eometrik :
+ila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang I D # & p, maka distribusi peluang ariabel random , yaitu banyaknya usaha samapi saat terjadinya sukse yang pertama, yaitu g "< C p) D p " # - p ) < & # C < D #, (, ;, .... eorema /ataan dan ariansi ariabel random distribusi geometrik, adalah µ D #:p dan σ( D "# - p) : p( Contoh "oal :
#. *iketahui kemungkinan seorang lulusan S3 mendapat pekerjaan >,( +erapakah probabiitas seorang lulusan S3 mendapat pekerjaan pada saat lamaran ke- B 9 "olusi : g " B C >,( ) D >,( " # - >,( ) B - # D >,#>( (. *alam suatu proses produksi diketahui bah!a rata-rata diantara #>> butir hasil produksi, terdapat # yang cacat. +erapakah probabilitas bah!a setelah @ butir yang diperiksa baru menemukan cacat pertama 9 "olusi : < D @ dan p D >.># g " @ C >.># ) D >.># " # & >.># ) @ - # D >,>>%A "oal4soal :
#. Peluang bah!a seseorang lulus ujian praktek mengendarai mobil adalah >,$. ?arilah peluang seseorang yang lulus a) pada ujian yang ketigaC b) sebelum ujian keempat. (. Seorang jago tembak %@ dari tembakannya berhasil mengenai sasaran. +erapa Probabilitas tembakan yang ke-#@ merupakan tembakan yang pertama yang tidak mengenai sasaran 9 >,>(BB ;. Pada !aktu sibuk suatu sentral telepon hampir mencapai batas daya sambungannya, sehingga orang tidak mendapat sambungan. 4ngin diketahui banyaknya usaha yang diperlukan agar mendapat sambungan. 3isalkan probabilitas mendapat sambungan selama !aktu sibuk >.>@. +erapa probabilitas diperlukan @ usaha agar sambungan berhasil 9 Agus Statistika 1 - 78
Purnomo
$.(.$ *4S/4+2S4 32L41634L Percobaan +inomial menjadi percobaan 3ultinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari ( hasil yang mungkin. da k jenis out come yang mutually e
k
∑= i #
Pi D #
maka distribusi 3ultinomial akan memberikan probabilitas " peluang ) bah!a 0 # terjadi sebanyak <# kali , 0( sebanyak <( kali, ......, 0 k sebanyak
+ila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil 0 #, 0(,Q,0k dengan P#, P(, ......., Pk , maka distribusi probabilitas ariabel acak #, (,Q,k yang menyatakan banyak terjadinya 0#, 0(,Q,0k dalam n uasaha bebas ialah f "<#, <(, ... , < k ) D
nV
<# <(
dengan , # , ( , ....., n
k
∑
k
∑ pi = # i =#
Contoh "oal :
#. da ; merk kendaraan 1iaga yang sering dipergunakan masyarakat +andung 3erk Yang beredar di pasaran <# D *aihatsu B> <( D SuHuki B@ <; D 3itsubishi #@ 8ika kita mengamati #> mobil niaga yang sedang parkir di lun-alun +andung, maka berapa probabilitas terdapat *aihatsu ; , SuHuki B dan 3itsubishi ; 9 #>V ">,B); ">,B@)B ">,#@); ;V BV ;V D >,>;$ (. erdapat sebuah kotak yang berisi #>> buah bola (@ 7 , @> P, @ + , (> K. +ila dilakukan @ kali pengambilan bola dengan pengembalian, dan diperoleh #P, #K ,(7 , #+, berapa besarnya probabilitasnya 9 P "7) D #:B C P"P) D #:( C P"+) D #:(> C p"KP) D #:@ "olusi :
f " ;, B, ; )
Agus Statistika 1 - 79
D
Purnomo
P " (7 , #P , #K , #+ )
D
@ V "#: B)( "#: ()# "#: (>)# "#: @)# (V #V #V #V
"oal4soal :
#. Suatu papan sasaran anak panah berbentuk lingkaran mempunyai pusat berbentuk lingkaran kecil disebut lesan dan (> daerah berbentuk kue tar bernomor # sampai (>. iap daerah yang berbentuk tar terbagi lagi atas tiga bagj.an sehingga bila seseorang melempar anak panah dan mengenai nomor tertentu maka ia mendapat nilai sama dengan nomor tersebut, dua kali nomor tersebut, atau tiga kali nomor tersebut, tergantung pada bagian mana dari ketiga daerah yang kena. +ila peluang seseorang mengenal lesan >,>#, peluang mengenai nilai ganda adalah >,#>, peluang mengenai nilai ganda tiga adalah >,>@, peluang tidak mengenai papan adalah >,>(, berapakah peluangnya dalam $ lemparan menghasilkan tidak mengenai lesan, tidak mendapat nilai ganda tiga, mendapat nilai ganda dua kall, dan tidak mengenai papan satu kali 9 (. 3enurut teori genetika, persilangan tertentusejenis marmut akan menghasilkan keturunan ber!arna merah, hitam, dan putih dalam perbandingan ' B B. ?arilah peluang bah!a @ dari ' turunan akan ber!arna merah, ( hitam, dan # putih. ;. *elegasi ke suatu konferensi akan tiba dengan pesa!at terbang, bus, mobil sendiri, atau kereta api masing-masing dengan peluang >,B, >,(, >,;, dan >,#. +erapa peluangnya bah!a diantara % delegasi yang dipilih secara acak, ; tiba dengan pesa!at terbang, ; tiba dengan bus, # tiba dengan mobil sendiri, dan ( tiba dengan kereta api 9 >,>>$$
Agus Statistika 1 - 80
Purnomo
BAB III
DIST-IBUSI P-/BABILITAS K/NTINU .1 7UN8SI PADAT PELUAN8 !P-/BABILIT= DENSIT= 7UN4TI/N# Suatu ariabel acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik <. Karena itu, distribusi peluangnya tak mungkin disajikan dalam bentuk tabel. 7al ini mungkin mengejutkan pada permulaan, tetapi akan mudah dipahami dengan contoh berikut. Pandanglah suatu ariabel acak yang nilainya menyatakan tinggi badan semua orang di atas (# tahun. *i antara dua sembarang nilai, misalnya #A;,@ dan #AB,@ cm, ataupun antara #A;,%% dan #AB,>l cm terdapat tinggi yang takberhingga banyaknya, salah satu diantaranya ialah #AB cm. Peluang memilih secara acak seseorang yang tingginya tepat #AB cm tidak kurang atau lebih sedikit pun juga, tentunya sangatlah kecil dan karena ltu peluang kejadian tersebut diberi nilai nol. 1amun lain halnya, bila yang ditanya ialah peluang memilih seseorang yang tingginya paling sedikit #A; cm tetapi tidak lebih dari #A@ cm. Sekarang yang dipandang ialah nilai suatu selang dan bukan nilai suatu titik dari peubah acak. Selanjutnya akan dijelaskan perhitungan peluang untuk berbagai selang dari ariabel acak kontinu seperti /'a ; & U b), /'< = c), dan seterusnya. Perhatikan bah!a bila kontinu / 'a ; & ≤ b( 9 / 'a ; & ; b( > / '& 9 b( 4 /'a ; & ; b($
Yaitu, tidaklah menjadi soal apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak. 7al ini tidak benar, tentunya, bila diskret. Kendati distribusi peluang ariabel acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, mungkin dapat disajikan dalam bentuk rumus. /umus seperti itu tentunya merupakan fungsi dari nilai yang berbentuk bilangan "numerik) dari ariabel kontinu dan karena itu akan dinyatakan dengan lambang fungsi f"<). 8ika menyangkut ariabel yang kontinu, f"<) dinamakan fungsi padat peluang , atau disingkat fungsi padat dari . Karena didefinisikan pada ruang sampel yang kontinu, mungkin saja f"<) tidak kontinu pada beberapa titik yang terhingga banyaknya. kan tetapi, kebanyakan fungsi padat yang mempunyai penggunaan praktis dalam analisis data statistika bersifat kontinu dan grafiknya, beberapa di antaranya, dapat berbentuk salah satu dari bentuk pada gambar berikut ini. Karena peluang akan dinyatakan sebagai luas dan peluang merupakan bilangan positif maka fungsi padat haruslah seluruhnya terletak di atas sumbu . "!N#
"!N#
N
"!N#
N
"!N#
N
N
+entuk Khas 5ungsi Padat Agus Statistika 1 - 81
Purnomo
5ungsi padat peluang dituliskan sedemikian rupa sehingga luas daerah, di antara kura dan sumbu < yang dihitung atas semua rentangan harga pada daerah f"<) terdefinisi, adalah #. Kalau Kalau seluru seluruhh nilai nilai terleta terletakk pada pada selang selang berhin berhingga gga,, selalu selalu mungki mungkinn memperl memperluas uas selang selang tersebut sehingga mencakup seluruh himpunan bilangan real dengan mendefinisikan f"<) sama dengan nol pada semua titik pada selang perluasan tadi. Peluang mempunyai mempunyai nilai antara a dan b D Luas daerah yang yang diarsir yaitu b
P"aUUb)D
f "<) d< ∫ a
Karena Jtidak satu titik J C maka !a b# ? !a b# ? !a
b# ? !a b#
)efinisi :
5ungsi f "<) adalah fungsi padat peluang ariabel random random kontinu , yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real / , bila #. f "<) ≥ > C untuk semua < ∈ /
∞ ∫ f "<) −∞
(.
d d< <=#
;. P " a U U b ) D
∞ f "<) d< ∫ −∞ "!#
a
Contoh "oal :
b
<( : ; untu ntuk -# U < U (
← f "<) D
>
untuk < yang lainnya
pakah itu P*5 9 dan kontinu 9 8a!ab f "<) ≥ > → P*5 ( <( ∞ <; ( ' # f "<) d< = ∫ d< = Z = + = #→ ∫ % −# % % −∞ −# ;
#:B <
↑ f "<)
untuk
?*5 > ≤ < ≤ B
D
Agus Statistika 1 - 82
Purnomo
>
untuk
< lain
f "<) ≥ > B# # (B >
#:B <
→ f "<)
⇒ bukan kontinu "P*5) untuk
> ≤ < ≤ a
D
> untuk gar P*5 berapa harga a 9 f "<) ≥ >
< lain
a#
# (a ∫ B < d< = ' < W = # > > # D a( = # '
k<
↓ f "<)
(
a( D ' → a D untuk
'
( ≤ < ≤ B
D
> +erapa k agar P*5 9 f "<) ≥ >
untuk
< lain
B
∫ k <( d< = #
(
B # ; k < W =# ; ( ABk 'k − =# ; ; @Ak =# ; ; k = @A
° Saya Saya pergi pergi bekerja bekerja dengan dengan mengguna menggunakan kan bus dan setiap setiap @ menit menit bus tiba pada pada tempat tempat pemberhentian karena !aktu meninggalkan rumah !aktunya berariasi maka saya tidak selalu tiba pada pada pemberh pemberhentian entian pada !aktu !aktu yang sama, berarti !aktu menunggu menunggu < untuk untuk bus berikutnya berupa ariabel random kontinu dikatakan sekumpulan nilai < yang mungkin pada interal > , @ Z dengan pdf-nya pdf-nya #:@ untuk > ≤ < ≤ @ f"<) D > untuk < yang lainnya f"<)
#:@
>
Agus Statistika 1 - 83
S
<
Purnomo
a. Probabilit Probabilitas as saya saya menunggu menunggu antara # sampai sampai ; menit menit ; P "# ≤ < ≤ ;) D ∫ f"<) d< #
;
= ∫ # d< = #@
<; ( W = @# @
b. Probabilitas saya menunggu paling sedikit B menit P"< ≥ B) B)
∞# D ∫ @ d< B
@#
D ∫ d< @ B
∞ + ∫ > d< @
<@
D @W B # D @
"oal4soal :
#. *iket
(.
a) b) c) d)
f "<)
D
;:B "# - <()
untuk
-# ≤ < ≤ #
>
untuk
< lain
a) paka pakahh pdf pdf dan dan cdf cdf 9 b) +uat grafik f "<) 9 c) 7itu 7itung ng P "< \ >) >) V d) 7itung 7itung P " - >,@ U < U >,@ ) 9 Seor Seoran angg prof profes esor or suat suatuu 2ni 2nier ersi sita tass tida tidakk pern pernah ah meng menghe hent ntik ikan an kuli kuliah ahny nyaa sebe sebelu lum m bel bel berbunyi dan selalu mengakhiri kuliahnya diantara satu menit sesudah bel bel berbunyi. 8ika < D !aktu antara bel dan kuliah berakhir dan Pdf-nya k <( untuk > ≤ < ≤ # f "<) D > untuk < lain entuk ntukan an nila nilaii K 9 +erapakah prob. bah!a kuliah selesai #:( menit setelah bel berbunyi 9 +erapakah +erapakah probabil probabilitas itas bah!a bah!a kuliah kuliah berlanjut berlanjut antara antara #@ sampai sampai dengan dengan ;> detik setelah setelah bel berbunyi 9 +erapakah +erapakah probabilita probabilitass kuliah berlanjut berlanjut paling paling sedikit sedikit B> detik setelah setelah bel berbunyi berbunyi 9
)efinisi :
*istribusi kumulatif kumulatif 5 "<) suatu ariabel random kontinu dengan fungsi padat f"<) 5 "<) D P " ≤ < ) D
<
f"t) dt ∫ −∞
untuk
-∞U< U ∞
P " a U U b ) D 5 "b) - 5 "a) d 5 "<) dan f "<) D d< bila fungsi turunan ini ada Contoh "oal :
?arilah 5 "<) "<) dari fungsi padat peluang peluang
Agus Statistika 1 - 84
Purnomo
f "<) D Solusi
<( ;
, kemudian hitung P" > U < ≤ # )
< t( 5"<) D ∫ f"t) dt = ∫ dt −∞ −# ; <
jadi
=
t ; < <; + # W = % −# %
P" > U ≤ #) D 5"#) - 5">) D (:% - #:% D #:%
., DISTIBUSI N/-AL *istribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal . Grafiknya, disebut kurva normal2 berbentuk lonceng, yang menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, lndustri, dan penelitian. Pengukuran fisik di bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi sering dengan baik dapat diterangkan menggunakan distribusi normal. *i samping itu error dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan sangat baik oleh distribusi normal. Pada tahun #$;;, braham *e3oire menemukan persamaan matematika kura normal. 4ni merupakan dasar bagi banyak teori statistika lnduktif. *istribusi normal sering pula disebut distribusi -auss untuk menghormati Karl 5riedrich Gauss "#$$$-#'@@), yang juga menemukan persamaannya !aktu meneliti error dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter mean µ dan =ariansi σ(, yaitu rataan dan simpangan bakunya. )istribusi ormal : 5ungsi padat araibel acak normal
, dengan rataan µ dan =ariansi σ(
, ialah 5 "< C µ C σ) D
dengan
# e (πσ
(
(
− µ ) − # "<σ
π D ;,#B#@%
C - ∞ U < U ∞ dan
e D (,$#'('
ο 3empunyai ( parameter ◊ ? menun'ukkan letak titik tenga&. ◊ ? menun'ukkan seberapa 'au& sebaran. +egitu diketahui maka seluruh kura normal diketahui. ο *istribusi probabilitas normal dengan mean yang sama dan standar deiasi berbeda C
Agus Statistika 1 - 85
Purnomo
σ = # #
σ# U σ( U σ; σ = @ (
σ = #> ;
µ = #>>
ο *istribusi probabilitas normal dengan mean berbeda dan standar deiasi sama C 2
2
2
,<
<
;<
ο *istribusi probabilitas normal dengan mean berbeda dan standar deiasi yang berbeda C 1< ,<
0<
2<
1<<
12<
ο Sifat kura normal ◊ 3ean, median , mode terletak pada center line C < D µ ◊ Kura setungkup terhadap center line yang melalui 3ean µ ◊ Kura mempunyai titik belok pada < D µ ± σ, cekung dari ba!ah bila µ - σ U U µ N σ, dan cekung dari atas untuk nilai < lainnya. ◊ Kedua ujung kura normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai < bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun ke kanan. ◊ Seluruh luas diba!ah kura dan diatas sumbu datar D # ο Luas diba!ah kura normal
Agus Statistika 1 - 86
Purnomo
#
(
P"<# U U<() D luas daerah yang diarsir (
− µ ) − # "<σ
P"<# < L
x (
< <() = ∫ f"
x ( # ∫ e (πσ x#
(
d<
P "<# U U < () untuk kura normal yang berbeda 9 4ntegral dari fungsi diatas sulit dan tidak praktis karena itu dibuat distribusi normal standar , II I
,
1
1
1
,
,
yang memiliki µ 9 ! dan σ 9 *efinisi +ila merupakan ariabel random yang kemungkinan harga-harganya menyatakan bilangan bilangan riil - ∞ dan N ∞, maka dinamakan ariabel normal standar bila dan hanya bila probabilitas interal dari # ke ( menyatakan luas # ke ( antara sumbu dengan kura normalnya dan persamaan sebagai berikut f
= "C>,#) =
# ⋅e (π
− # ( (
1
<
Setiap ariabel random dapat di tranformasikan menjadi ariabel random L − µ dengan b =
σ
Agus Statistika 1 - 87
Purnomo
1 DIT-ANS7/-ASI
KE BENTUK STANDA> >1
>,
P"<# U U <()
1
,
<
( # " x − µ ) − # x( ( σ ∫ e (πσ x#
D
b( # ? ( − z ( : ( dH D ∫ f "b, >, #) dH ∫e (π ? # b#
D D
P " H# U U H( )
ο Perbandingan area diba!ah kura normal untuk satu, dua dan tiga standar deiasi dari mean. #A dari rea
#A dari rea A' /0
#
σ
#
(,(' dari rea
(,(' dari rea
%@,B /0
(
σ
(
σ
>,#@ dari rea
>,#@ dari rea
%%,$ /0
; σ
Agus Statistika 1 - 88
; σ
Purnomo
Contoh "oal :
*iketahui suatu distribusi normal dengan µ mendapatkan harga antara - ' dan B
D ( dan σ D B carilah probabilitas bah!a
σ = B B
#
P"-' U U B) D ∫
−' (πσ
-'
◊
µ = (
B
e
−"#: ()" x − µ ):σ (
<
< = µ = ( ( − ( b= => σ = B B
σ = #
-(,@
◊
◊
d<
>,@
b
<# = −' −'− ( b = = −(@, σ = B B <( = B B − ( b = = >@, σ = B B 8adi C P" -' U U B ) D P" -(,@ U U >,@ )
Soal-soal #. +ila diketahui distribusi normal dengan µ D B> dan σ D A maka rubahlah "tranformasikan ) kebentuk distribusi normal standar untuk C a. Luas lebih kecil dari ;( b. Luas lebih besar dari ($ c. luas antara B( dan @# (. +ila diketahui distribusi normal dengan µ D (>> dan σ( D #>> maka rubahlah kebentuk distribusi normal standar untuk a. Luas diba!ah (#B b. Luas diatas #$% c. Luas antara #'' dan (>A ;. inggi rata-rata mahasis!a 21PS adalah #A@ cm dan simpangan bakunya #> cm a.) +erapa kemungkinan mahasis!a 21PS yang tingginya lebih besar atau sama dengan #$> cm. b). +erapa kemungkinan mahasis!a 21PS yang tingginya antara #@@ cm - #$> cm 9 B. Sebuah pabrik memproduksi poros kendaraan bermotor dengan batas spesifikasi diameter
Agus Statistika 1 - 89
Purnomo
∅ = B> ± >,(> mm spesifikasi atau ";%,'> − B>,(>) mm *ari hasil penelitian sebelumnya diperoleh data mesin adalah sebagai berikut
untuk diameter poros yang dihasilkan
, mm µ = ;%%' hasil proses σ D >,>( mm
+erapa persenkah produk yg. memenuhi syarat "spesifikasi) dari proes produksi tsb. 9 @. *idalam proses pengantongan semen diperoleh berat satu sak semen D B> kg, dengan simpangan baku D >,( kg. +erapa kemungkinan didalam satu sak semen terdapat lebih kecil atau sama dengan ;%,@ kg 9 A. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rata-rata (>$ mililiter per cangkir bila banykanya minuman berdisttribusi normal dengan simpangan baku #@ mililiter C a. +erapa probabilitas cangkir akan berisi lebih besar dari (;# ml 9 b. +erapa peluang suatu cangkir berisi antara #%' dan (#A ml 9 c. +erapa cangkir yang akan kepenuhan "sehingga tumpah) bila digunakan #>>> cangkir berukuran (;$ ml 9 d. *iba!ah nilai berapakah terdapat (@ dari jumlah cangkir dengan isi terkecil 9 $. *iameter sebelah dalam suatu cincin torak berdistribusi normal dengan rata-rata #> cm dan simpangan baku >,>; cm a. +erapa proporsi cincin yang mempunyai diameter dalam melebihi #>,>$@ cm9 b. +erapa peluang suatu cincin torak berdiameter dalam antara %,%$ dan #>,>; cm 9 c. 8ika spesifikasi " #> ± d ) cm , tentukanlah harga d sehingga spesifikasi tersebut mencakup %> dari hasil produksi 9 '. 2mur rata-rata sejenis mesin #> tahun dengan simpangan baku ( tahun, pabriknya akan mengganti dengan gratis semua mesin yang rusak selama masa garansi. +ila pabrik tersebut bersedia hanya mengganti ; dari mesin rusak, berapa lamakah masa garansi yang seharusnya dita!arkan bila umur mesin berdistribusi normal 9 %. +ila nilai ujian statistik suatu kelas berdistribusi normal dengan rata-rata $B dan simpangan baku $,% hitunglah a. 1ilai lulus terendah bila mahasis!a dengan nilai #> terendah mendapatkan 0 " gagal) b. 1ilai + tertinggi bila mahasis!a dg. nilai @ tertinggi mendapat 9 c. 1ilai + terendah bila mahasis!a dengan nilai #> tertinggi mendapat dan (@ berikutnya mendapat + 9 #>. 4 A>> pelamar ke suatu perguruan tinggi berdistribusi hampiran normal dengan rataan ##@ dan simpangan baku #(. +ila perguruan tinggi itu hanya menerima yang mempunyai 4 paling rendah %@, berapa banyakkah pelamar yang akan ditolak jika hanya didasarkan atas ketentuan ini tanpa memandang kemampuan yang lain 9
P01*0K1 16/3L 0/7*P +41634L Syarat ◊ +aik sekali bila n besar ◊ ?ukup baik bila n kecil asalkan p cukup dekat dengan #:( Agus Statistika 1 - 90
Purnomo
+ila ariabel acak binomial dengan rata-rata µ D np dan ariasi σ( D npI maka bentuk limit distribusi Teorema :
=
L − np npI
bila n → ∞ ialah distribusi normal baku n " , >,# ) Contoh "oal :
Peluang seseorang penderita sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang muncul >.B. +ila diketahui ada #>> orang yang telah terserang penyakit ini, berapa peluangnya bah!a kurang dari ;> orang yang sembuh 9 "olusi : µ D np D #>> ">.B) D B> C σ D np0 D "#>> )">.A)" >.B) D B.'%% (%.@ − B> = −(.#B ? = B.'%%
P"U;>) D P"U -(.#B) D >.>#A( 0.014775
"oal4soal :
#. Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung adalah >,% berapakah peluang antara dan termasuk 'B dan %@ dari #>> orang yang dioperasi akan sembuh 9 (. Suatu perusahaan farmasi menyatakan bah!a suatu jenis obat dapat menyembuhkan rata-rata '> penderita suatu penyakit darah. 2ntuk memeriksa kebenarannya badan pengujian pemerintah mencoba obat tersebut pada sampel #>> penderita dan akan memutuskan obat itu baik bila $@ penderita atau lebih sembuh. a. +erapakah probabilitas bah!a obat itu akan ditolak padahal probabilitas sembuh sesungguhnya benar >,' 9 b. +erapakah peluang bah!a obat itu akan diterima badan pemerintah padahal peluang sembuh serendah >,$ 9 ;. Suatu proses produksi menghasilkan #> barang yang cacat. +ila #>> barang diambil secara acak dari proses tersebut, berapa peluang banyaknya yang cacat a. melebihi #; 9 b. kurang dari '9 B. Peneliti di George Mashington 2niersity dan 1ational 4nstitute of 7ealth menyatakan kirakira $@ orang percaya bah!a obat penenang amat membantu membuat orang menjadi lebih tenang dan santai. *ari '> orang yang di!a!ancarai, berapa peluangnya bah!a a. paling sedikit @> yang berpendapat demikian 9 b. paling banyak @A yang berpendapat demikian 9 @. Seperenam dari mahasis!a pria tahun pertama yang masuk ke suatu perguruan tinggi negeri di suatu propinsi berasal dari luar propinsi itu. +ila para mahasis!a dimasukkan secara acak ke asrama "semua harus masuk asrama) #'> orang dalam satu gedung, berapakah peluang bah!a dalam suatu gedung tertentu, seperlima mahasis!a berasal dari luar propinsi itu 9 A. Suatu perusahaan farmasi mengetahui bah!a rata-rata @ dari sejenis pil mempunyai campuran di ba!ah kekuatan minimum, sehingga tak memenuhi persyaratan. +erapakah peluang bah!a kurang dari #> dalam contoh (>> pil tak memenuhi persyaratan9 $. 3enurut statistik yang dikeluarkan 1ational 7igh!ay raffic Safety dministration dan 1ational Safety ?ouncil di S.pada malam 3inggu rata-rata # dari setiap #> pengemudi di jalan dalam keadaan mabuk. +ila B>> pengemudi diperiksa secara acak pada Sabtu malam, berapa peluangnya bah!a banyaknya pengemudi yang mabuk a. kurang dari ;( 9 b. lebih dari B% 9 c. paling sedikit ;@ tapi kurang dari B$ 9 Agus Statistika 1 - 91
Purnomo
'.; *4S/4+2S4 G33 *1 0KSP6101S4L *istribusi 0ksponensial dan Gamma memainkan peran yang penting dalam teori antrian dan teori keandalan "reliabilitas). 8arak antara !aktu tiba di fasilitas pelayanan "misalnya bank dan pintu jalan tol), dan lamanya !aktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik, sering menyangkut dsitribusi eksponensial. 7ubungan antara gamma dan eksponensial memungkinkan penggunaan distribusi gamma dalam jenis persoalan yang sama. *istribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas, dipelajari dalam banyak bidang matematika )efinisi : 6ungsi -amma
∞ α −# −< Γ"α ) = ∫ L ⋅ e d< >
C untuk α \ >
5ungsi gamma dipakai dalam mendefinisikan distribusi gamma )istribusi -amma : =ariabel acak kontinu berdistribusi gamma dengan parameter α dan β, bila fungsi padatnya berbentuk # α −# − < : β f"<) = < e untuk < \ > α β Γ "α ) D > untuk < lainnya bila α D > dan β \ > Teorema : /ataan dan ariansi distribusi gamma adalah 3ean " µ ) D αβ =ariansi " σ( ) D α β( 2ntuk setiap integer positif n
Γ "n) = "n − #) V Γ # = (
π
Γ"#) D #
Agus Statistika 1 - 92
Purnomo
"!# 1$<
1$
1
<$2
,$
1
$
1
<
1
,
0
2
;
)istribusi -amma )istribusi -amma yang khas :
*istribusi Gamma yang khusus dengan α D #, distribusi gamma berubah menjadi *istribusi 0ksponensial. )istribusi Eksponensial2 =ariabel acak kontinu berdistribusi 0ksponensial dengan parameter β, bila fungsi padatnya berbentuk # #−# −< : β f"<) = < e untuk < \ > # β "#)
D > sehingga
# − x :β e f "x) = β > dengan β \ > C
untuk yang lainnya
untuk < > > untuk < lainnya β D
# α
/ataan dan ariansi distribusi eksponensial adalah • 3ean " µ ) D β • =ariansi " σ( ) D β(
/EE*%/% ),"T*,#@", E."/AE",%B )% -%%
+erikut disajikan dasar bagi penerapan distribusi eksponensial dalam !aktu sampai tiba atau persoalan !aktu sampai kejadian Poisson. *i sini akan diberikan ilustrasi kemudian diteruskan dengan pembahasan peran distribusi gamma dalam penerapan ini. Perhatikan bah!a rataan Agus Statistika 1 - 93
Purnomo
distribusi eksponensial adalah parameter β, kebalikan dari parameter pada distribusi Poisson. Parameter β yang penting adalah rataan !aktu antara kejadian. eori keandalan "reliabilitas) yang menyangkut kegagalan peralatan sering memenuhi proses Poisson ini, di sini β disebut rataan waktu antara kegagalan$ +anyak kerusakan peralatan memenuhi proses Poisson, dan karena itu distribusi eksponenisal dapat diterapkan di situ. Pada contoh berikut diberikan suatu penerapan sederhana distribusi eksponensial pada soal dalam keandalan. *istribusi binomial juga berperan dalam penyelesaiannya. Contoh soal eksponensial:
#. 3isalkan suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh ariabel acak yang berdistribusi eksponensial dengan parameter !aktu rataan sampai gagal β D @. +ila sebanyak @ komponen tersebut dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah peluang bah!a paling sedikit ( masih akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan 9 awab
Peluang bah!a suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah ' tahun adalah t # ∞ −@ P" \ ') D ∫ e dt @ '
'
− D D >.( e @ 3isalkan menyatakan banyaknya komponen yang masih berfungsi setelah ' tahun. *engan menggunakan distribusi binomial diperoleh b " < ≥ ( C @ , >.( ) D # & +"#C @C >.() D >.(A($ (. /ata - rata ; truk yang datang perjam untuk membongkar muatan pada suatu gudang. +erapa probabilitas !aktu antar kedatangan truk-truk berikutnya a) Lebih kecil dari @ menit 9 β D #:; C @ menit D #:#( jam −# #:#( ; < − d< = # − e B = >,((# ∫ ;e >
b) Paling sedikit B@ menit 9 −% ∞ −;< d< = e B = >#>@ , ∫ ;e ;: B
Pentingnya distribusi gamma terletak pada kenyataan bah!a distribusi ini merupakan suatu keluarga distribusi yang distribusi lainnya merupakan hal khusus. etapi gamma sendiri mempunyai terapan penting dalam !aktu menunggu dan teori keandalan. 8ika distribusi eksponensial memberikan !aktu sampai terjadinya kejadian Poisson "atau !aktu antara kejadian Poisson) maka !aktu "atau ruang) terjadinya sampai se1umlah tertentu ke1adian /oisson ter1adi merupakan ariabel acak yang fungsi padatnya diperikan oleh distribusi gamma. 8umlah tertentu kejadian ini ialah parameter α dalam fungsi padat gamma. Karena itu mudah dipahami bah!a bila α D # hal khusus distribusi eksponensial berlaku. 5ungsi padat gamma dapat diperoleh dari hubungannya dengan proses Poisson mirip dengan cara memperoleh fungsi padat eksponensial. +erikut adalah contoh numerik penggunaan distribusi gamma dalam penerapan !aktu menunggu. Contoh soal :
Agus Statistika 1 - 94
Purnomo
3isalkanlah bah!a hubungan telepon tiba di suatu gardu "sentral) memenuhi proses Poisson dengan rata-rata @ hubungan masuk per menit. +erapakah peluangnya bah!a setelah semenit berlalu baru ( sambungan masuk ke gardu tadi9 "olusi : β D #:α D #:@ dan α D ( 3isalkan ariabel acak menyatakan !aktu dalam menit yang berlalu sebelum ( hubungan masuk. x
P " ≤ <) D ∫ >
# (
< e
−< : β
dx
β #
−@ < dx P " ≤ #) D (@ ∫ < e > D # & e &@"#) "#N@) Z D >.%A
'.B *4S/4+2S4 K74-K2*/ *istribusi Gamma khas yang kedua adalah distribusi Khi-Kuadrat " χ( ) jika αD ν:( C β D ( , ν D bilangan bulat positif. *istribusi ini mempunyai parameter tunggal yaitu ν D derajat kebebasan. )efinisi )istribusi .hi4.uadrat :
ariabel random kontinu berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan ν maka density function-nya
# ν :(−# − x :( ν :( < e ( Γ "ν : () f"<) = >
<>>
untuk < lainnya
dengan ν bilangan bulat positif /ataan dan =ariansi distribusi Khi-Kuadrat adalah " µ ) D ν • 3ean • ariansi " σ( ) D ( ν *istribusi Khi-Kuadrat tidak hanya dikaitkan dengan distribusi normal, tetapi juga digunakan Agus Statistika 1 - 95
Purnomo
untuk pengu1ian hipotesis dan penaksiran.
'.@ *4S/4+2S4 +0 Probability *ensity 5unction untuk suatu ariabel random yang mempunyai interal nilai dari > sampai dengan # didekati dengan distribusi +eta, probabilitas density-nya
Γ "α + β ) α −# β −# < "# − <) untuk > < < < #,α > >,β > > f"<) = Γ "α )Γ "β ) > untuk < yang lainnya • 3ean
" µ )
D
α α + β α ⋅ β
• =ariansi " σ( ) D
"α
+ β )( "α + β + #)
"!# ,
1
<
<$,
<$
<$;
<$
1$<
*istribusi +eta dengan α D ; dan β D ( Contoh )istribusi #eta :
8alan raya di suatu daerah memerlukan perbaikan setiap tahun diman ariabel randomnya merupakan distribusi beta dengan α D ; dan β D ( hitunglah 9 a) Persentase rata-rata perbaikan jalan raya setiap tahun α = ; = >,A> = A> G µ = α + β ; + ( b) Probabilitas sebanyak-banyaknya setengah dari jalan raya tersebut akan membutuhkan perbaikan setiap tahun 9 C Γ "() D # V D # Γ "@) D B V D(BC Γ ";)D ( V D ( Agus Statistika 1 - 96
Purnomo
sehingga #:(
( "# − <) d< = B<; − ; >
=
@ #A
= >,;#(@
'.A *4S/4+2S4 M04+2LL eknologi modern telah memungkinkan orang merancang banyak sistem yang rumit yang penggunaannya, atau barangkali keamanannya, bergantung pada keandalan berbagai komponen dalam sistem tersebut. Sebagal contoh, suatu sekering mungkin putus, tiang baja mungkin melengkung, atau alat pengindera panas tak bekerja. Komponen yang sama dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam !aktu yang berlainan yang tak dapat diramalkan. elah kita lihat peran yang dimainkan oleh distribusi gamma dan eksponensial dalam jenis persoalan seperti lni. Salah satu distribusi lain yang telah banyak sekali dipakai akhir-akhir ini dalam menangani masalah seperti ltu ialah distribusi Meibull yang diperkenalkan oleh fisika!an S!edia Maloddi Meibull pada #%;%. )efinisi )istribusi
=ariabel acak kontinu berdistribusi Meibull, dengan parameter α dan β , jika density function-nya
αβ < β −# −α <β f"<) = >
untuk < > >,α > >, β > >
e
untuk < lainnya
*istribusi Meibull "α D #)
,
1
0
t <$2
8ika
β D #
Agus Statistika 1 - 97
1$<
1$2
→ *istribusi 0ksponensial Purnomo
8ika
β \ #
3ean
" µ )
=ariansi " σ ) D (
→ 3endekati *istribusi 1ormal # α −#: β Γ # + D
β
( # − ( : ; α Γ# + − Γ # + β β (
Contoh "oal )istribusi
3asa hidup suatu batery " dalam jam ) merupakan ariabel random yang berdistribusi !eibull dengan αD >,# dan β D >,@ hitunglah a. 3ean masa hidup dari batterry tersebut µ D α −#: β Γ "# + # : β ) D ">,#)-( Γ ";) D (>> jam b. Probabilitas masa hidup battery akan lebih besar dari ;>> jam 9 f"t) =
∞ >,@e−>,# t >,@dt = e−>,#";>>) >,@ = >,#$$ − " > , >@) t ∫
;>> "oal4soal :
#. +ila peubah acak berdistribusi gamma dengan αD( dan β9#, hitunglah P"#,' U & U (,B). (. *i suatu kota, pemakaian air sehari "dalam jutaan liter) berdistribusi hampiran gamma dengan αD( dan β9;. +ila kemampuan menyediakan air % juta liter sehari, berapakah peluang pada suatu hari tertentu persediaan air tidak mencukupi 9 ;. 3isalkan !aktu, dalam jam, yang diperlukan untuk memperbaiki pompa panas berbentuk peubah acak berdistribusi gamma dengan parameter αD( dan β9#:(. +erapa peluangnya bah!a perbaikan berikutnya akan memerlukan a. paling lama # jam9 b. paling sedikit ( jam9 B. *i suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian, dalam jutaan kilo!att-jam, berbentuk ariabel acak yang berdistribusi gamma dengan rataan µ D A dan ariansi σ( D #(. a. ?ari nilai α dan β. b. ?ari peluangnya bah!a pada suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik akan melebihi #( juta kilo!att-jam. @. Lamanya !aktu untuk melayani seseorang di suatu kafetaria merupakan suatu ariabel acak berdistribusi eksponensial dengan rataan B menit. +erapakah peluang seseorang akan dilayani dalam !aktu kurang dari ; menit pada paling sedikit B dari A hari berikut9 A. 2mur dalam tahun suatu jenis tombol listrik berdistribusi eksponensial dengan tingkat kegagalan β D (. +ila #>> alat semacam ini dipasang dalam sistem yang berlaianan, berapakah peluang paling banyak ;> akan gagal selama tahun pertama 9 $. Para insinyur pabrik busi merk J S1 untuk kendaraan roda empat menyatakan bah!a umur pakai busi buatan "dalam jam ) memiliki random ariabel yang mengikuti distribusi !eibull, dengan α D >,( dan β D >,B kita sebagai konsumen busi tersebut ingin mengetahui berapa ekspektasi umur pakai dan standar deiasinya serta probabilitas busi tersebut akan berumur lebih dari $>> jam 9 Agus Statistika 1 - 98
Purnomo
'. 3isalkan bah!a panjang umur, dalam tahun, baterai alat bantu pendengaran berbentuk ariabel acak yang berdistribusi Meibull dengan αD#:( dan β9(. a. +erapa lama baterai tersebut dapat diharapkan tahan 9 b. +erapa peluangnya baterai tersebut masih dapat dipakai setelah ( tahun 9 %. =ariabel acak kontinu berdistribusi beta dengan parameter α dan β bila fungsi padatnya
Γ "α + β ) α −# β −# < "# − <) untuk > < < < #,α > >,β > > f"<) = Γ "α )Γ"β ) > untuk < yang lainnya +ila proporsi suatu teleisi merk tertentu membutuhkan perbaikan selama tahun pertama pemakaiannya merupakan suatu peubah acak berdistribusi beta dengan αD; dan β 9 (, berapakah peluang paling sedikit '> teleisi baru merk tersebut yang terjual memerlukan perbaikan dalam tahun pertama pemakaiannya 9 #>. 3enurut suatu penelitian yang diterbitkan oleh sekelompok sosiolog di 2niersity of 3assachusetts, sekitar B% pengguna =allum di negara bagian 3assachusetts adalah karya!an berkerah putlh. +erapakah peluangnya bah!a sebanyak B'( sampal @#> dari #>>> pengguna =alium yang dipilih secara acak adalah karya!an berkerah putih 9 ##. *istribusi eksponensial sering digunakan pada !aktu menunggu antara keberhasilan dalam proses Poisson. +ila banyaknya sambungan telepon per jam yang diterima oleh suatu sentral telepon berbentuk ariabel acak Poisson dengan parameter λD A, dan kita tahu bah!a !aktu, dalam jam, antara sambungan yang berhasil berdistribusi eksponensial dengan parameter β D #:A. +erapa peluangnya menunggu lebih dari #@ menit antara sembarang ( sambungan yang berturutan 9 #(. Suatu Pabrik mesin besar ingin membeli paku keling dari satu di antara dua pabrik yang ada. *iinginkan daya tahan tiap keling melebihi #>.>>> psi. *ua pabrik " dan +) memasukkan pena!aran. Keduanya mempunyai keling yang daya tahannya berdistribusi normal. /ataan daya tahan dari masing-masing dan + #B.>>> psi dan #;.>>> psi dengan simpangan baku (>>> psi dan #>>> psi. Pabrik yang mana yang menghasilkan, pada rata-ratanya, paling sedikit jumlah keling yang cacat 9 #;. 3enurut Consumers )igest terbitan 3ei:8uni #%'#, hsl. sensus menunjukkan bah!a di tahun #%$' hampir @; dari semua rumah tangga di S hanya terdiri atas # atau ( orang. 3isalkanlah bah!a persentasi ini masih berlaku sekarang, berapakah peluangnya sebanyak B%> sampai @#@ dari #>>> rumah tangga di S yang dipilih secara acak akan terdiri atas # atau ( orang 9 #B. 2mur sejenis alat menurut iklannya mempunyai tingkat kegagalan >,># per jam. ingkat kegagalannya tdk. berubah ` mengikuti dist. eksponensial. a. +erapa rataan !aktunya sampai gagal 9 b. +erapa peluangnya bah!a (>> jam berlalu sebelum suatu kegagalan diamati9 #@. *alam pabrik pemrosesan kimia penting dijaga agar kualitas dari gugusan hasil jenis tertentu berada di atas '> . +ila kualitasnya di ba!ah '> untuk jangka !aktu yang agak panjang maka perusahaan akan merugi. Gugus hasil yang cacat yang muncul sekalisekali tidak menimbulkan persoalan, jadi tidak perlu dirisaukan. etapi bila beberapa gugus yang cacat dihasilkan sehari maka pabrik diberhentikan dan perbaikan dilakukan. *iketahui bah!a hasilnya berdistribusi normal dengan simpangan baku B . Agus Statistika 1 - 99
Purnomo
a. +erapakah peluangnya lampu merah palsu menyala "hasil di ba!ah '>) padahal rataan hasilnya '@ 9 b. +erapa peluangnya bah!a iugus hasil berada di atas '> padahal rataan hasil $% 9 #A. Pandanglah tingkat kegagalan suatu komponen listrik sekali setiap @ jam. 4ngin diselidiki !aktu yang diperlukah agar ( komponen gagal. a. ndaikan di sini distribusi gamma berlaku, berapakah rataan !aktu yang diperlukan untuk kegagalan ( komponen 9 b. +erapakah peluangnya #( jam telah berlalu sebelum ( komponen gagal 9 #$. Pemuaian suatu batang baja bila diberi beban tertentu telah diketahui berdistribusi normal dengan rataan >,>@ cm dan σ D >,># cm. ?arilah peluangnya bah!a pemuaian a. lebih dari >,# cmC b. kurang dari >,>B cmC c. antara >,>(@ dan >,>A@ cm. #'. Suatu satelit terkendali diketahui mempunyai error "jarak dari sasaran) yang berdistribusi normal dengan rataan nol dan simpangan baku B m. Pembuat satelit tersebut menetapkan keberhasilan bila peluncuran menempatkan satelit dalam jarak #> m dari sasaran. 7itunglah peluangnya satelit gagal. #%. Seorang tukang merencanakan menguji sejenis damar yang dikembangkan di laboratorium untuk menentukan !aktu yang diperlukan sebelum perekatan terjadi. *iketahui bah!a rataan !aktu untuk merekat adalah ; jam dan simpangan baku >,@ jam. 7asil dianggap tidak memuaskan bila !aktu merekatnya kurang dari # jam ataupuh lebih dari B jam. +eri komentar tentang kegunaan damar tadi. +erapa seringkah hasilnya dianggap tidak memuaskan 9
8@#@-% T,#%B #%B,. %T%*% #E#E*%/% ),"T*,#@",
Agus Statistika 1 - 100
Purnomo
Negati" Bin*mial p$k
k?1
8e*metrik
Hperge*metrik N$n$k
p
p =
= n p n→∞
P*iss*n
k
n
1
1
≤ >,@
Bin*mial n.p
µ = n ⋅ p µ
(
= λ = σ
(
= npI n → ∞ σ
µ = >
N*rmal
N*rmal Standar
µ
,
σ = #
β = ( α =
ν
Bern*ulli p
= α ⋅ β ( ( σ = α ⋅ β α → ∞ 8amma
,
(
α = # 4&i ( sWuared Ep*nential
ν
=# Veibull
α , β
/%*%ETE*,"%", ),"T*,#@", .AT,@
Parameter distribusi kontinu bisa diklasifikasi berdasarkan interprestasi secara fisik atau Agus Statistika 1 - 101
Purnomo
