FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
RESUMEN
I.
OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS OBJETIVOS GENERALES 1.1.1 Describir el fenómeno de difusión como un mecanismo mecanismo de transferencia de masa en los sistemas gaseoso líquido y sólido. 1.1.2 ---1.1.3 ---1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.2.1 Deducir las ecuaciones ecuaciones que que rigen el fenómeno de difusión a partir partir de condiciones establecidas. 1.2.2 -----
1
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
II. 2.1
DIFUSIÓN MOLECULAR
2.1.1
Difusión
MARCO TEÓRICO
Un proceso de transporte fundamental en la mecánica de fluidos ambiental es la difusión. Difusión difiere de la advección en que es de naturaleza aleatoria (no necesariamente sigue un fluido partícula). Un ejemplo bien conocido es la difusión del perfume en una habitación vacía. Si una botella de perfume se abre y se deja evaporar en el aire, pronto toda la habitación será perfumado. Sabemos también por experiencia que el olor será más fuerte cerca de la fuente y más débiles a medida que nos alejamos, pero las moléculas de fragancia se habrán preguntado a lo largo del habitación debido a movimientos moleculares y turbulentos al azar. Por lo tanto, la difusión tiene dos principales propiedades: es de naturaleza aleatoria, y el transporte es de regiones de alta concentración a baja concentración, con un estado de equilibrio de concentración uniforme. 2.1.2
Ley de Fick para la difusión molecular Para derivar una ecuación de flujo difusivo, considere dos filas de moléculas una al lado de otra y centrado en x = 0, como se muestra en la Figura 1.1 (a.). Cada una de estas moléculas se mueve aleatoriamente en respuesta a la temperatura (en un proceso aleatorio llamado movimiento browniano). Aquí, para fines didácticos, se considera solo un componente de sus tres dimensiones movimiento: movimiento a la derecha o izquierda a lo largo del eje x. Definimos la masa de partículas en la izquierda como Ml, la masa de partículas a la derecha como Mr, y la probabilidad (tasa de transferencia por tiempo) que una partícula se mueve a través de x = 0 como k, con unidades [T 1].
2
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
a) Distribución inicial
b) Movimientos aleatorios
c) Distribución final
Fig.1.1 Esquema del movimiento molecular unidimensional (Browniano) de un grupo de moléculas que ilustra el modelo de difusión de Nick. La parte superior de la figura muestra las partículas mismas; la parte inferior de la figura proporciona el histograma correspondiente de la ubicación de la partícula, que es análogo a la concentración.
Después de un tiempo ∂t, un promedio de la mitad de las partículas ha dado pasos hacia la derecha y la mitad ha dado pasos a la izquierda, como se muestra en la Figura 1.1 (b) y (c). En los histogramas de partículas también en la Figura 1.1, se puede ver que este proceso aleatorio el máximo de las concentraciones disminuye, mientras que la región total que contiene partículas aumenta (la nube se extiende). Matemáticamente, el flujo promedio de partículas de la columna de la izquierda a la derecha es
, y el flujo promedio de partículas desde la columna de la
derecha a la izquierda es
, donde el signo menos se usa para distinguir
la dirección. Por lo tanto, el flujo neto de partículas
es
(1.1)
Para el caso unidimensional, la concentración es masa por segmento de línea unitario, y podemos escribir (1.1) en términos de concentraciones usando
/ / 3
(1.2)
(1.3)
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
donde
/ es el ancho,
Físicamente,
es la anchura, y
es la altura de cada columna.
es el paso promedio a lo largo del eje
molécula en el tiempo
tomado por una
x
. Para el caso unidimensional, queremos que
represente el flujo en la dirección x por unidad de área perpendicular a x; por lo tanto, tomaremos
= 1. A continuación, notamos que una aproximación de
diferencia finita para
(1.4)
es
−−
lo que nos da una segunda expresión para
es decir,
Sustituyendo (1.5) en (1.1)
2.1.3
Coeficientes de difusión
4
(1.5)
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
2.2
DIFUSIÓN EN GASES
2.3
DIFUSIÓN EN LÍQUIDOS
2.4
DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA
2.5
DIFUSIÓN EN SOLIDOS, APLICACIÓN
5
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
2.4 Difusión con reacción química
2.4.1 Difusión con Reacción Química Heterogénea Se lleva a cabo una reacción 2A → B. Un ejemplo de una reacción de este tipo seria la dimerización catalizada por un sólido de CH3CH → CH2. Se supone que cada partícula catalizadora está rodeada de una película gaseosa estancada a través de la cual A debe difundirse para alcanzar la superficie del catalizador, como se muestra en la figura
a)
Diagrama
esquemático
de
un
reactor catalítico en el que A se convierte en B. b)
Representación
idealizada
(o
"modelo") del problema de difusión cerca de la superficie de una partícula catalítica.
En la superficie del catalizador se supone que la reacción 2A + B ocurre instantáneamente, y que luego el producto B se difunde retiránd ose a través de la película gaseosa hacia la corriente turbulenta principal compuesta por A y B. Se desea obtener una expresión para la velocidad local de conversión de A a B cuando se conocen el espesor efectivo de la película de gas y las concentraciones XAo y XBo en la corriente principal. Se supone que la película de gas es isotérmica, aunque en muchas reacciones catalíticas no puede despreciarse el calor que se genera en la reacción.
6
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
Para la situación que se representa en la figura ‘b’, hay un mol de B que se mueve en la dirección z negativa por cada dos moles de A que se mueven en la dirección z positiva. Sabemos esto a partir de la estequiometria de la reacción. Por tanto sabemos que en estado estacionario
12
Para cualquier valor de z. Esta relación puede sustituirse en la ecuación de densidad de flujo combinado para el componente z,
Y luego de despejar NAz se obtiene:
112
Por tanto, la ecuación de densidad de flujo y la estequiometria de la reacción han conducido a una expresión para NAz en términos del gradiente de concentración. Ahora se hace un balance de materia para la especie A sobre una placa delgada de la película de gas de espesor z, donde:
0 11 0 1 2 2ln(1 12 ) 22
Al insertar en esta ecuación la expresión para (para
constante)
Y al integrar dos veces respecto a z se obtiene:
7
, que acaba de deducirse, se obtiene
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
Es un poco más fácil encontrar las constantes de integración K1 y K2 que C1 y C2. Las condiciones límite son:
, 0
Condición de limite 1:
en z = 0,
Condición de límite 2:
en z =
Asi, el resultado final para el perfil de concentración en la película de gas es:
− 1 1 (1 2 ) (1 2 ) 2 ln1 112
Ahora usando la ecuación donde se despejo el valor de
hallamos la densidad de flujo
molar de reactivo a través de la película:
La cantidad
también puede interpretarse como la velocidad local de reacción por
unidad de área de la superficie catalítica. Esta información puede combinarse con algún otro conocimiento sobre el reactor catalítico esquematizado en la figura ‘a’ para obtener la velocidad global de conversión en todo el reactor. Hay un aspecto que merece recalcarse. Aunque la reacción química ocurre instantáneamente en la superficie catalítica, la conversión de A a B procede a velocidad finita debido al proceso de difusión, que está "en serie" con el avance de la reacción. Por tanto, se dice que la conversión de A a B está controlada por la difusión.
8
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
2.4.2 Difusión con una Reacción Homogénea Como otra ilustración del planteamiento de un balance de materia, consideremos el sistema que se muestra en la figura. Aquí el gas A se disuelve en el líquido en un vaso de precipitado y se difunde isotérmicamente en la fase líquida. A medida que se difunde, A también experimenta una reacción química homogénea irreversible de primer orden: A +B AB. Este caso lo tratamos como una solución binaria de A y B, ignorando la pequeña cantidad de AB presente (la suposición seudobinaria). Entonces, el balance de materia para la especie A sobre un espesor z de la fase líquida se vuelve:
donde
′ ′
| |+∆ ′ ′∆0
es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición
química de A, y S es el área de la sección transversal del líquido. El producto
′ ′
representa el número de moles de A consumidos por la reacción por unidad de
volumen y por unidad de tiempo. Al dividir la ecuación anterior entre cuando
∆ →0
, se obtiene
∆
y tomar el límite
′ ′ 0
Si la concentración de A es pequeña, entonces la ecuación puede escribirse hasta una buena aproximación, como
Debido a que la concentración molar total c es virtualmente uniforme en todo el líquido. Al combinar las dos últimas ecuaciones, se obtiene:
′ ′ 0 0
Esta ecuación debe resolverse con las siguientes condiciones límite: C.L 1: en z = 0,
C.L 2: en z = L,
9
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
La primera condición límite establece que la concentración de A en la superficie del líquido permanece a un valor fijo
. La segunda establece que nada de A se difunde a
través del fondo del recipiente para z = L. Si la ecuación anterior se multiplica por
/
, entonces puede escribirse en variables adimensionales en la forma de la
ecuación:
Donde
ℸ ɸℸ0
ℸ ′ ′ ɸ √ / ′ ′ / ℸ ℸ cosℎɸ sinℎɸ cosℎ[ɸ1] ℸ cosℎɸcosℎɸsinℎɸsinℎɸ cosℎɸ cosℎɸ =
adimensional, y
/
es una concentración adimensional,
= z/L es una longitud
es un grupo adimensional, denominado módulo de
Thiele. Este grupo representa la influencia relativa de la reacción química difusión
y la
La ecuación anterior debe resolverse con las condiciones limite
adimensionales de que para = 0, = 1, y para = 1, d /d = 0. La solución general es
Una vez que se evalúan las constantes de integración, se obtiene
Entonces, volviendo a la notación original
′ ′ ′ ′ 1] cosℎ[cosℎ√ /
Una vez que se tiene comple.to el perfil de concentración, es posible evaluar otras cantidades, como la concentración media en la fase líquida
∫ ∫ tanɸɸ
10
FQIQ-Fenómenos de Transporte DIFUSIÓN
También puede encontrarse que la densidad de flujo molar en el plano z = O es
NA|= DAB dcdzA |= CALDAB ɸtanɸ
Este resultado muestra cómo la reacción química influye en la velocidad de absorción del gas A por el líquido B. Figura ‘c’ Reaccion quimica homogenea en fase liquida
11
