TUGAS FISIKA MATEMATIKA I “DIFFERENSIAL “DIFFERE NSIAL PARSIAL” PARSIAL”
Kelompok 5 : 1. Bud! Bud! No"#$%%! No"#$%%!&$'! &$'! (11)1 (11)11* 1*5)) 5))+, +, -. oe'ud oe'ud!% !% (11)1 (11)11* 1*5)) 5))/, /, *. S!0! S!0! F$$ F$$d$ d$ (11 (11)11 )11*5) *5)-), -), +. T$&!' T$&!'ul ul F$%%# (11)11 (11)11*5)-2, *5)-2, PENDIDIKAN FISIKA 3 *A FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNI4ERSITAS MUAMMADIA PR6F. DR. AMKA -)1*
DIFERENSIAL DIFERENSIA L PARSIAL PARSIAL
Pe'&$m$$% Pe'&$m$$% D!7e'e%&!$l P$'&!$l $d$l$ &u$0u pe'&$m$$% #$%8 mel!9$0k$% mel!9$0k$% 7u%8 7u%8&! &! du$ du$ peu9 peu9$ $ $0$u $0$u le9! le9! d$% d$% 0u'u 0u'u%$ %$% % $0$u $0$u d!7e' d!7e'e% e%&!$ &!$l%# l%#$. $. Pe'& Pe'&$m $m$$% $$% d!7e'e% d!7e'e%&!$l &!$l p$'&!$l p$'&!$l d!ump d!ump$! $! d$l$m d$l$m k$!0$% k$!0$% de%8$% de%8$% 9e'9$8 9e'9$8$! $! m$&$l$ m$&$l$ 7!&!k 7!&!k d$% 8eome0'!&. B!l$ 7u%8&! #$%8 0e'l!9$0 0e'8$%0u%8 p$d$ du$ $0$u le9! peu9$ 9e9$&. T!d$k 9e'le9!$% !k$ d!k$0$k$% 9$$ $%#$ &!&0em 7!&!k #$%8 p$l!%8 &ede'$%$ #$%8 d$p$0 d!modelk$% d!modelk$% de%8$% pe'&$m$$% d!7e'e%&!$l 9!$&$ mek$%!k$ mek$%!k$ 7lu!d$ 7lu!d$ d$% mek$%!k$ mek$%!k$ p$d$0; p$d$0; 0'$%&7e' 0'$%&7e' p$%$&; 0eo'! elek0'om$8%e elek0'om$8%e0!k 0!k d$% 9e'9$8$! 9e'9$8$! 9!d$%8 9!d$%8 7!&!k$
l$!%% l$!%%#$ #$ pe%u pe%u de%8 de%8$% $% m$&$l m$&$l$ $
y =b de%8 de%8$%
%$mempu%#$! 0u'u%$% d!
1.
y ; $%d$!k
%$ y d!9u$0 0e0$p;
b ko%&0$%0$. B$'u &e&ud$ !0ul$ k!0$ &e9e%$'%#$
me%! me%!% %$u $u 7u%8 7u%8&! &! "$'! "$'!$9 $9le le 0u%8 0u%88$ 8$ll
0e'$d$p x d!
x d
%$ x &$$ #$%8 9e'u9$
%$k!0$ m!&$lk$% $%#$ k$0$k k$0$k$%
%$f $d$l$ 7u%8&! 7u%8&! du$ "$'!$9le
x ; #$!0u
g ( x x ) = f ( ( x , b ) . ! !k$
a ; m$k$ k!0$ me%$m$k$%%#$ me%$m$k$%%#$ 0u'u%$% p$'&!$l d$'!
g f
( a , b ) d$% me%#$0$k$%%#$ de%8$% f x ( a , b ) . =$d!
' f x ( a ,b )= g ( a )
de%8
%$ ( x , b ) g ( x x ) =f (
Me%u'u0 de7!%!&! 0u'u%$%; k!0$ mempu%#$! ( a ,b ) f ( ( a + h , b )− f ( ' g ( a )= lim h h→ 0 Se!%88$ pe'&$m$$% %omo' 1 me%$d! 2. f x ( a , b ) =lim
h→ 0
( a , b ) f ( ( a + h , b )− f ( h
De%8 De%8$% $% >$'$ >$'$ &e'u &e'up$ p$;; 0u'u 0u'u%$ %$% % p$'& p$'&!$ !$ll d$'! d$'! d!%#$0$k$% d!%#$0$k$% de%8
%$f y ( a , y )
d$% me%>$'! 0u'u%$% 9!$&$ d!
3. f y ( a , b )= lim h →0
=!k$
f y
f
f 0e' 0e'$d $d$p $p
; d!pe'ole de%8$% de%8$% mem9u$0
b d$'! 7u%8&!
y
d!
(a , b ) ,
x 0e0$p ( x =a )
( a , y ) G ( y )=f (
f ( ( a , b + h )− f ( ( a ,b ) h
$d$l$ 7u%8&! du$ "$'!$9le; 0u'u%$% 0u'u%$% p$'&!$l%#$ p$'&!$l%#$ $d$l$ 7u%8&!
#$%8 d!de7!%!&!k$% ole
f x
d
%$ 4. f x ( x , y ) =lim
h→ 0
f y ( x , y ) = lim
h→ 0
f ( x + h , y )− f ( x , y ) h
f ( x , y + h )− f ( x , y ) h
?o%0o 1. Te%0uk$% 0u'u%$% p$'&!$l 0e'$d$ @ d$% 0u'u%$% p$'&!$l 0e'$d$p # 7u%8&! #$%8 d!'umu&k$% de%8$% 7(@;#, @ -# 5@ +. Sel$%u0%#$ 0e%0uk$% 0u'u%$% p$'&!$l 7 0e'$d$p @ d$% 0u'u%$% p$'&!$l 7 0e'$d$p # d! 0!0!k (-;*, Pe%#ele&$!$% f ( x o + ∆ x , y o )− f ( xo , y o ) ∂ f ( x , y ) = lim ∂x ∆x ∆ x→0
¿ lim
( x + ∆ x )2 y + 5 ( x + ∆ x ) + 4 ( x 2 y + 5 x + 4 ) ∆x
∆ x→ 0
2
2
2
x y + 2 x ∆ xy +( ∆ x ) y + 5 x + 5 ∆ x + 4 −( x y + 5 x + 4 ) ¿ lim ∆x ∆ x→ 0 2
2 x ∆ xy +( ∆ x ) y + 5 ∆ x ¿ lim ∆x ∆ x→ 0
¿ 2 xy +5 f ( x o , y 0 + ∆ y )− f ( x o , y o ) ∂ f ( x , y ) = lim ∂y ∆y ∆ x→0 2 2 x ( y + ∆ y )−5 x + 4 −( x y + 5 x + 4 ) ¿ lim ∆y ∆ x→ 0 2
¿ lim x ∆ y ∆ x→ 0 ∆ y
¿ x 2 Se!%88$
0u'u%
%$p$'&!$l
∂ f ( 2,3 ) =2 ( 2 ) ( 3 ) + 5 =17 ∂x
7
0e'$d$p
@
d!
0!0!k
(-;*,
$d$l$
d$% 0u'u%$% 7 0e'$d$p # d!0!0!k (-;*, $d$l$
∂ f ( 2,3 ) =22=4 ∂y
U%0uk memud$k$% me%e%0uk$% 0u'u%$% p$'&!$l d$'! 7u%8&! du$ "$'!$9el 7(@;#, m$k$ d$p$0 d!l$kuk$% $l 9e'!ku0. Ap$9!l$ 7u%8&! 7 d!0u'u%k$% 0e'$d$p "$'!$9el @ m$k$ # d!pe'l$kuk$% &epe'0! ko%&0$%0$ d$% $p$9!l$ 7 d!0u'u%k$% 0e'$d$p "$'!$9el # m$k$ @ d!pe'l$kuk$% &epe'0! ko%&0$%0$. ?o%0o -. Te%0uk$% 0u'u%$% p$'&!$l 0e'$d$p @ d$% 0u'u%$% p$'&!$l 0e'$d$p # 7u%8&! #$%8 d!'umu&k$% de%8$% 7 (@;#, *@ +#- @#- +# Pe%#ele&$!$% : ∂ f ( x , y ) =12 x 3 y 2+ y2 ∂x
∂ f ( x , y ) =6 x 4 + 2 xy + 4 ∂y
A. Notasi Diferensial Parsial =!k$ z = f ( x , y ) k!0$ 0ul!&k
%$f x ( x , y )= f x =
∂ f ∂ = f ( x , y )= ∂ z = f 1= D1 f = D x f ∂x ∂x ∂x
f y ( x , y ) =f y =
∂ f ∂ ∂ z = f ( x , y )= = f 2= D2 f = D y f ∂y ∂y ∂y
B. Deret Pangkat dengan 2 Variabel
Be%0uk
d$&$'
pe'&$m$$
%$de'e0
p$%8k$0
:
∞
∑= a
m
( x − x 0)m =a0 + a1 ( x − x 0 ) + a2 ( x − x 0)2 + … ( 1)
m 0
@ $d$l$ &e9u$ "$'!9el d$% $ o ;$1 ;$- C. $d$l$ ko%&0$%0$
∞
∑= a x
m
m
=a0 +a 1 x + a2 x2 + a 3 x 3 + … ( 2 )
m 0
Ide d$'! me0ode de'e0 p$%8k$0 } + p left (x right ) {y} ^ {'} + q left (x right ) y +0 ¿ PD 2 y •
K!0$ $&um&!k$% pe%#ele&$!$% d$l$m 9e%0uk de'e0 p$%8k$0 &e9$8$! 9e'!ku0 ∞
y =
∑= a x
m
=a 0+ a1 x + a 2 x 2+ a3 x3 + … ( 3 )
m
m 0
∞
y ' =
∑= ma x
m− 1
m
= a1+ 2 a 2 x + 3 a3 x2 + 4 a 4 x 3 + … ( 4 a )
m 1
∞
y ' ' =
∑= m( m−1) a x
m− 2
m
=2 a2 + 3.2 a3 x + 4.3 a4 x 2 + … ( 4 b )
m 1
Diferensial Deret Pangkat De'e0 p$%8k$0 d$p$0 d!0u'u%k$% 9$8!$% pe' 9$8!$%. ∞
y ( x )=
∑= a
m
( x − x 0)m
m 0
| x − x |
Ko%"e'8e% u%0uk
0
R d!m$%$ R); m$k$ de'e0 0u'u%$%%#$ u8$
ko%"e'8e%. ∞
'
y ( x ) =
∑= ma ( x − x ) − (| x − x |< R ) m 1
m
0
0
m 1 ∞
''
y ( x )=
∑= m ( m−1 ) a ( x − x ) − (| x − x |< R ) ,etc. m 2
m
0
0
m 2
C. Diferensial Total
D!7e'e%&!$l
0o0$l
$d$l$
pe'0$m9$$% &$l$ &$0u "$'!$9el%#$
pe'u9$
%$7u%8&!
f ( x , y ) 0e'$d$p
x $0$u y . M!&$lk$% 7u%8&!
f ( x , y )
mempu%#$! 0u'u%$% p$'&!$l d!
x d!0$m9$ me%$d!
( x , y ) . Pe'0$m9$$% 7u%8&!
x + ∆ x
d$% # me%$d!
f ( x , y ) !k$
y +∆ y $d$l$
∆ f = f ( x + ∆ x , y + ∆ y )− f ( x , y ) f ( x , y + ∆ y ) d! 'u$& k$%$%; d!pe'ole
=!k$ d!0$m9$ d$% d!ku'$%8!
∆ f =[ f ( x + ∆ x , y + ∆ y )− f ( x , y + ∆ y ) ] + [ f ( x , y + ∆ y )− f ( x , y ) ] pe'& (, pe'0$m9$$% x d$l$m 7u%8&! de%8$% mempe'0$$%k
%$f ( x , y + ∆ y )
y +∆ y 0e0$p.
Teorea nilai rata!rata kalk"l"s ( ) ( ) =!k$ f x mem!l!k! 0u'u%$% f ’ x p$d$ &e0!$p 0!0!k d$l$m &el$%8 [x - ∆x, x+
∆x] m$k$ : [ f ( x + ∆ x )−f ( x )]=f ’ ( ξ ) ∆ x
De%8
%$ξ = x + ∆ x (0 <¿ 1 ) &e9u$ 0!0!k d$l$m &el$%8
[ x − ∆ x , x +∆ x ] .
De%8$% dem!k!$%; [ f ( x + ∆ x , y + ∆ y ) – f ( x , y + ∆ y )]=f x ( x + 1 ∆ x , y + ∆ y ) ∆ x de%8$% ) θ1 1 De%8$% >$'$ #$%8 &$m$; u%0uk &uku kedu$ pe'&.(,; me%8$&!lk$% [ f ( x , y + ∆ y ) – f ( x , y )]= f y ( x , y + 2 ∆ y ) ∆ y de%8$% ) θ- 1 =!k$ 0u'u%$% p$'&!$l
f x ( x , y ) d
%$f y ( x , y ) ko%0!%u d!
( x , y ) ; m$k$
f x ( x + 1 ∆ x , y + ∆ y )= f x ( x , y )+ ε 1 f y ( x , y + 2 ∆ y )= f y ( x , y )+ ε 2 de%8$% l!m 1 ) d$% l!m - ) ; 9!l$ H@ d$% H# me%uu %ol. Pe'&.(, 0e'$l!k$% me%$d! : ∆ f = f x ( x , y ) ∆ x + f y ( x , y ) ∆ y + ε 1 ∆ x + ε 2 ∆ y De%8$% me%8$m9!l l!m!0 H@ 7(@;#, :
→)
d$% H#→); d!pe'ole 0u'u%$% 0o0$l 7u%8&!
df =
∂ f ∂ f dx + dy ∂x ∂y
f ( x , y , z , ...) ; 0u'u%$% 0o0$l%#$
U%0uk
df =
∂ f ∂ f ∂ f dx + dy + dz + … ∂x ∂y ∂z
?o%0o * !0u%8l$ d!7e'e%&!$l 0o0$l 7u%8&!
f ( x , y )= xy 2 – !i" ( xy ) .
Pe%#ele&$!$% : f x = y 2 – y #$! ( xy )
f y = 2 xy − x #$! ( xy )
d
%$Se!%88$ 0u'u%$% 0o0$l%#$ : 2 xy − x #$! ( xy ) dy df =( y 2 – y #$! ( xy )) dx +¿ D. At"ran Rantai A0u'$% R$%0$! u%0uk 7u%8&!<7u%8&! kompo&!&! &$0u peu9$ &ek$'$%8 &ud$
d!ke%$l ole &emu$ pem9$>$. =!k$ # 7(@(0,,; de%8$% 7 d$% @ kedu$%#$ 7u%8&! #$%8 d$p$0 d!d!7e'e%&!$lk$%; m$k$ dy ∂ y dx = dt ∂ x dt
y = f ( u ) d
%$u= (@,
y = f ¿ ; >ompo&!0e 7u%8&! *
7u%8&! :
dy ∂ y du = dx ∂ u dx
7u%8&! :
dy ∂ y du d! = dx ∂ u d! dx
Rumus 1
(A0u'$% R$%0$!,. A%d$!k$% x = x (t ) d$% d! 0 d$% $%d$!k$% z = f ( x , y ) d$p$0 d!d!7e'e%&!$lk$% d! d$p$0 d!d!7e'e%&!$lk$% d! 0; m$k$ :
y = y ( t ) d$p$0 d!d!7e'e%&!$lk
%$( x (t ) , y ( t )) . M$k$ z = f ( x (t ))
dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt Rumus 2
(A0u'$% R$%0$!,. M!&$lk$% 0u'u%
%$pee0$m$
d!d!7e'e%&!$lk
%$d!
d!
x = x ( " ,t ) d
%$( " , t )
d
%$ y = y ( " , t ) mempu%#$!
m!&$lk
%$( x ( " ,t ) , y ( " , t )) . M$k$
z = f ( x , y ) d$p$0
z = f ( x ( " ,t ) , y ( " , t ))
mempu%#$! 0u'u%$% p$'&!$l pe'0$m$ #$%8 d!9e'!k$% ole; =!k$; z = f ( x , y ) , x = x ( " , t ) , y = y ( " , t ) ; m$k$
(1,
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂" ∂x ∂" ∂ y ∂ "
(-,
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t
Rumus 3
=!k$;
# = f ( x , y , z ) , x = x ( $ , " , t ) , y = y ( $ , " , t ) , z =( $ , " , t ) m$k$
(1,
∂# ∂# ∂ x ∂# ∂ y ∂# ∂ z = + + ∂$ ∂ x ∂$ ∂ y ∂$ ∂z ∂$
(-,
∂# ∂# ∂ x ∂# ∂ y ∂# ∂ z = + + ∂" ∂ x ∂" ∂ y ∂" ∂z ∂ "
(*,
∂# ∂# ∂ x ∂# ∂ y ∂# ∂ z = + + ∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂t ∂ z ∂ t
AT#RAN RANTAI #NT#$ F#N%SI $&'P&SISI
1. M!&$l u d$% v 7u%8&!<7u%8&! #$%8 d!de7!%!&!k$% u u( x; y, d$% v v( x; y, de%8$% u d$% v ko%0!%u; mempu%#$! 0u'u%$% p$'&!$l pe'0$m$ d! ( x; y,. F 7u%8&! d$'! u d$% v #$%8 mempu%#$! 0u'u%$% pe'0$m$ #$%8 ko%0!%u d$l$m d$e'$ 0e'9uk$ D #$%8 memu$0 (u;v,; m$k$:
∂ % ∂ % ∂ u ∂ % ∂ ! = + ∂ x ∂u ∂ x ∂! ∂ x
d
%$∂ % ∂ % ∂u ∂ % ∂ ! = + ∂ y ∂u ∂ y ∂! ∂ y
-. M!&$l F 7u%8&! d$'! u; v d$% w de%8$% u; v d$% w 7u%8&!<7u%8&! ko%0!%u du$ "$'!$9le u u( x; y,; v v( x; y, d$% w w( x; y, #$%8 mempu%#$! 0u'u%$% p$'&!$l pe'0$m$ d$% &emu$ 0u'u%$% p$'&!$l pe'0$m$ 7u%8&! F ko%0!%u; m$k$:
∂ % ∂ % ∂ u ∂ % ∂ ! ∂ % ∂ # = + + ∂ x ∂u ∂ x ∂! ∂ x ∂# ∂x
∂ % ∂ % ∂u ∂ % ∂ ! ∂ % ∂ # = + + ∂ y ∂u ∂ y ∂! ∂ y ∂# ∂ y ?o%0o +. 2 2 z =4 xy + x − y de&ga& x =t #$! t,da& y =!i" t . Me%8!%8$0; 1.
∂z =4 y + 2 x ∂x
∂z = 4 x −2 y ∂y
dx = #$t−t !i" t dt
dy = !i" t − t #$! t dt
=$$9 : dz ∂ z dx ∂ z dy = + dt ∂ x dt ∂ y dt
¿ ( 4 y + 2 x ) ( #$t −t !i" t ) +( 4 y − 2 y )( !i" t −t #$! t ) ¿ ( 4 t −2 t 2 ) !i" 2 t + ( 2 t + 4 t 2 ) #$!2 t 2
-.
2
z = x + 4 xy − y de&ga& x =$ #$!2 t,da& y = $ !i" 2 t . Me%8!%8$0; ∂z =2 x + 4 y ∂x ∂x =#$!2 t ∂$
∂z = 4 x −2 y ∂y ∂y =!i"2 t ∂$
d
%$ ∂x =−2 $ !i"2 t ∂ t
∂y = 2 $ #$!2 t ∂ t
=$$9 : ∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + = ( 2 x + 4 y ) #$!2 t + ( 4 x −2 y ) !i"2 t ∂$ ∂x ∂$ ∂ y ∂$
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + = ( 2 x +4 y ) (−2 $ !i"2 t )+( 4 x −2 y )( 2 $ #$!2 t ) ∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t E. Diferensial I(lisit A0u'$% u9u%8$% &e9u$ 7u%8&! mu%8k! 0!d$k ek&pl!&!0. Se9$8$! >o%0o;
y = f ( x )
$0u'
%$2
$d$l !mpl!&!0 0e'$d$p pe'&$m$
%$5
x + 4 xy + 7 xy + %= 0.
Le9! l$%u0; 0!d$k $d$ $l$&$% u%0uk pe'>$#$ 9$$ pe'&$m$$% !%! d$p$0 d!&ele&$!k$% u%0uk # d$l$m 9e%0uk @. Ak$% 0e0$p!; de%8$% me%8$&um&uk$% dom$!% #$%8 &$m$ (#$%8 d!el$&k$% ole "$'!$9el 9e9$& @, $%888o0$ pe'&$m$$% d$'! 'u$& k!'! d$p$0 d!$'0!k$% &e9$8$! kompo&!&! 7u%8&!<7u%8&! d$% d!d!7e'e%&!$&! de%8$% 9e%$'. ($0u'$% d!7e'e%&!$&! 9e'!ku0 !%! d!0ul!& u%0uk u%0uk $%d$ >ek ke9e%$'$%%#$,. D$l$m >o%0o !%!; d!7e'e%&!$&! 0e'$d$p @ me%8$&!l$k
%$(
2 x + 4 y
5
) (
)
+ 5 xy 4 dy + 7 y + x dy = 0 dx
dx
Pe'$0!k$%l$ 9$$ pe'&$m$$% !%! d$p$0 d!&ele&$!k$% u%0uk
7u%8&! d$'!
x d$% y (0e0$p! 0!d$k u%0uk @ &em$0$,.
D!9e'!k$%; % ( x , y )= c m$k$
dy −( ∂ % / ∂ x ) = dx (∂ % / ∂ y )
dy dx &e9$8$!
dx −( ∂ % / ∂ y ) = ( ∂ % / ∂ x ) dy
!0u%8
,
dy dx d$'!
3 xy
M!&$lk$%; % ( x , y )
2
+ 3 y 3 = x3
3 xy
2
+ 3 y 3 = x3 ; m$k$ :
∂ % =3 y 2−3 x 2=3 ( y 2− x 2 ) ∂x
∂ % ∂ x @#
& y
2
Dem!k!$% pul$; !k$ % ( x , y , z )=c ; m$k$
∂ z −(∂ % / ∂ x ) = ( ∂ % / ∂ z ) ∂x ∂ z −(∂ % / ∂ y ) = ( ∂ % / ∂ z ) ∂y
M!&$l z F ( x; y, d$% y g ( x,; m$k$ z F ( x; g ( x,, me%#$0$k$% 7u%8&! &$0u "$'!$9le; &e!%88$ 9e'd$&$'k$% $0u'$% '$%0$! d!pe'ole:
∂ z ∂ % ∂ x ∂ % ∂ y ∂ z ∂ % ∂ % ∂ y = + = + ∂x ∂ x ∂ x ∂ y ∂x ∂x ∂ x ∂ y ∂x
=!k$ z ) m$k$ F ( x; y, ) me%de7!%!&!k$% y &e>$'$ !mpl!&!0 &e9$8$! 7u%8&! x d$% (, me%$d!
−∂ % 0=
∂ % ∂ % ∂ y ∂ y + = ∂ x ∂x ∂ y ∂x ∂x ∂ % ∂y
$&$lk
%$∂ % 0 ∂y
A%$lo8 de%8$% $l 0e'&e9u0; !k$ z 7u%8&! !mpl!&!0 "$'!$9el x d$% y #$%8 d!de7!%!&!k$% ole pe'&$m$$% F ( x; y; z , ) m$k$ :
−∂ % ∂z ∂x = ∂x ∂ % ∂z
−∂ % ∂z ∂y = ∂y ∂ % ∂z
d
%$ $&$lk
%$∂ % '0 ∂z
F. A(likasi Diferensial Parsial )"b"ngan 'a*+ell dala Terodinaika Te'mod!%$m!k$ me'up$k$% >$9$%8 F!&!k$ #$%8 p$l!%8 9$%#$k me%88u%$k
%$ pe'umu&$% 0u'u%$% d$% d!7e'e%&!$l p$'&!$l. M!&$l%#$; ukum I Te'mod!%$m!k$ d$p$0 d!0ul!&k$% d$l$m 9e%0uk d!7e'e%&!$l 9e'!ku0: d´ ( =d) + d´ * CCC....(1, de%8
%$d´ (
me%#$0$k$% ë$ ke>!l k$lo' #$%8 kelu$'Jm$&uk &!&0em; dU
me%#$0$k$% &el!&! !%7!%!0e&!m$l e%e'8! d$l$m &!&0em d
%$d´ *
me%#$0$k
%$ë$ ke>!l ke'$ #$%8 d!0e'!m$Jd!l$kuk$% &!&0em. Pe'lu d!>$0$0 9$$ d
%$d´ *
d´ (
9uk$% me%#$0$k$% &el!&!; &e!%88$ ope'$0o' d!7e'e%&!$l%#$
d!0ul!&k$% &e9$8$!
d´
. U%0uk &!&0em #$%8 9e'&!7$0 'e"e'&!9el $0$u p'o&e&%#$
d$p$0 d!9$l!k $'$%#$; m$k$ 9e'l$ku u9u%8$%: d´ (=+d CCCCCCC(-, De%8$% T $d$l$ 0empe'$0u' d
%$d $d$l$ &el!&! !%7!%!0e&!m$l e%0'op!
( )
&!&0em. Seme%0$'$ !0u; ë$ ke>!l u&$$ d$p$0 d!0ul!&k$% &e9$8$!: d´ * = Pd- CCCCCCC(*, de%8$% P $d$l$ 0ek$%$% d$% dV $d$l$ &el!&! !%7!%!0e&!m$l "olume
( - )
&!&0em. Be'd$&$'k$% u9u%8$% p$d$ pe'&$m$$% (-, d$% (*,; m$k$ pe'&$m$$% (1, d$p$0 d!0ul!&k$% kem9$l! &e9$8$!:
d) =+d− Pd- CCCCC(+, D$'! pe'umu&$% !%! el$& 0e'l!$0 9$$ e%e'8! d$l$m me'up$k$% 7u%8&! d$'! e%0'op! d$% "olume;
) =) ( ,- ) .
T!%$u kem9$l! de7!%!&! d!7e'e%&!$l 0o0$l #$%8 0el$ d!el$&k$% &e9elum%#$ #$%8 d!0ul!& ul$%8 &e9$8$! 9e'!ku0 :
( ) +( )
df =
( ) ∂ f ∂x
De%8
%$( ) ∂ f ∂y
∂ f dx ∂ x y
∂ f ∂y
dy
x
CC(5,
me%#$0$k$% 0u'u%$% p$'&!$l 7 0e'$d$p @ de%8$% # ko%&0$% d
%$ y
me%#$0$k$% 0u'u%$% p$'&!$l f 0e'$d$p y de%8$% x ko%&0$%. Sel$%u0%#$
x
k!0$ $&um&!k$% 9$$ k!0$ 9e'u9u%8$% de%8$% 7u%8&! f #$%8 9e'&!7$0 ko%&e'"$0!7 &e!%88$ meme%u! ko%d!&! 9e'!ku0: 2
2
∂ f = ∂ f … … … … … … … ( 6 ) ∂x ∂ y ∂ y∂ x M$k$ d$'! &!%! k!0$ d$p$0k$% d!7e'e%&!$l 0o0$l d$'! 7u%8&!
) =) ( ,- ) $d$l$ :
( ) ( )
d) =
∂ ) ∂ ) d + d- ∂ - ∂ -
B$%d!%8k$% de%8$% pe'&$m$$% + #$%8 k!0$ pe'ole :
( ) = ( )=− ∂) ∂
+,
-
∂ ) ∂-
P
Sel$%u0%#$ 9e'd$&$'k$% ko%d!&! d$% 0u'%$% p$'&!$l 9e'!ku0 :
( )
2
( )
∂ ∂ ) = ∂ ) = ∂+ ∂- ∂ ∂- ∂ ∂ -
( )
2
( )
∂ ∂ ) ∂ ) ∂ + = = ∂ ∂- ∂ ∂ - ∂
-
D!pe'ole u9u%8$% 9e'!ku0 :
( ) =−( ) ∂+ ∂-
∂P ∂
-
#$%8 d!ke%$l &e9$8$! &$l$ &$0u d$'! emp$0 9u$ “u9u%8$% M$@ell” ( Maxwell Relations, d$l$m Te'mod!%$m!k$. P$d$ u9u%8$% !%! d!pe'l!$0k$% 9$$ p$d$ p'o&e& 'e"e'&!9el; pe'u9$$% 0empe'$0u' 0e'$d$p "olume p$d$ e%0'op! 0e0$p &$m$ de%8$% %e8$0!7 pe'u9$$% 0ek$%$% 0e'$d$p e%0'op! p$d$ "olume 0e0$p.
%. Pe"ba, Variabel
$mp!' &emu$ 7e%ome%$<7e%ome%$ d! d$l$m F!&!k$ $'u& d!8$m9$'k$% mel$lu! pe'&$m$$% d!7e'e%&!$l. =!k$ 7e%ome%$ 0e'&e9u0 mel!9$0k$% 9e9e'$p$ "$'!$9el; 9$!k 9e'up$ 9e&$'$% pokok $0$upu% 9e&$'$% 0u'u%$%; m$k$ pe'&$m$$% d!7e'e%&!$l #$%8 0e'k$!0 $k$% 9e'9e%0uk pe'&$m$$% d!7e'e%&!$l p$'&!$l. Pe'&$m$$% d!7e'e%&!$l 0e'k$!0 0e'&e9u0 k$d$%8 3 k$d$% $k$% le9! mud$ d!>$'! &olu&!%#$ !k$ k!0$ me%#$0$k$% d$l$m 9e%0uk "$'!$9le 3 "$'!$9le 9$'u #$%8 me'up$k$% 7u%8&! d$'! "$'!$9el l$m$. U%0uk el$&%#$; 0!%$u &e9$8$! >o%0o pe'&$m$$% 8elom9$%8 9e'!ku0: 2
2
∂ 1 ∂ = 2 2 2 ∂x ! ∂ t
CCCCCCCC.(,
De%8$% Ψ me%#$0$k$% 7u%8&! 8elom9$%8 d$% v me'up$k$% l$u pe'$m9$0$% 8elom9$%8. D$l$m pe%8$l$m$% &e$'!<$'!; k!0$ &e'!%8 me%ump$! 8u%duk$% $!' #$%8 me'$m9$0 d! d$l$m kol$m $0$u pe'$m9$0$% 8elom9$%8 $!' l$u0 d! p$%0$!. Se>$'$ !de$l; ke&emu$%#$ d$p$0 d!$mp!'! ole pe'&$m$$% (1, d! $0$&. Pe'&$m$$% 8elom9$%8 (1, mem!l!k! &olu&! #$%8 d$p$0
me%88$m9$'k
%$ pe'$m9$0$% du$ 8elom9$%8 #$%8 &$l!%8 9e'l$$%$% $'$; ole k$'e%$ !0u u%0uk me%88$m9$'k$%%#$ k!0$ d$p$0 me%de7!%!&!k$% "$'!$9el 9$'u 9e'!ku0:
$ = x + !t CCCCCCCCCC..(/$, " = x – !t CCCCCCCCCCC.(/9,
=
Sek$'$8 k!0$ m!&$lk
%$" = " ( x , t )
( $ , " ) ; de%8
%$$ = $ ( x , t )
d
%$&epe'0! #$%8 d!9e'!k$% ole pe'&$m$$% (/,. D!7e'e%&!$l 0o0$l
;
d$% s $d$l$:
d =
d $=
d "=
∂ ∂ d$ + d" CCCCCC.;(2$, ∂$ ∂"
∂ $ ∂$ dx + dt CCCCCCC.. (29, ∂x ∂ t
∂ " ∂" dx + dt CCCCCCCCC.(2>, ∂x ∂ t
D$'! ke0!8$ d!7e'e%&!$l 0o0$l k!0$ d$p$0k$%:
d =
(
) (
)
∂ ∂ $ ∂ ∂ " ∂ ∂ $ ∂ ∂ " + + dx + dt CCC(1), ∂$ ∂ x ∂ " ∂ x ∂ $ ∂t ∂ " ∂ t
#$%8 &ek$'$%8 me'up$k$% d!7e'e%&!$l 0o0$l 0e'$d$p x d$% t ; &e!%88$ de%8$% dem!k!$% k!0$ pe'ole:
∂ ∂ ∂ $ ∂ ∂ " = + ∂ x ∂ $ ∂ x ∂ " ∂ x CCCCCCCCCCCCCCC..(11$,
∂ ∂ ∂ $ ∂ ∂ " = + ∂ t ∂ $ ∂ t ∂ " ∂ t
CCCCCCCCCCCCCCCC(119,
Be'd$&$'k$% pe'&$m$$% (/,:
∂$ ∂$ ∂ " ∂ " =1, = ! , =1, =−! ∂x ∂ t ∂x ∂t
CCCCCCCCCCCC. (12)
&e!%88$ pe'&$m$$% (11, mem!l!k! 9e%0uk &e9$8$! 9e'!ku0:
(
)
∂ ∂ ∂ = + ............................................................................... (1*$, ∂x ∂$ ∂"
(
)
∂ = ! ∂ − ∂ CCCCCCCCCCCCCCCCC(1*9, ∂ t ∂$ ∂"
Ak$% 9e'8u%$ !k$ k!0$ me%#$0$k$% ope'$0o' p$d$ pe'&$m$$% (1*, &e9$8$! 9e'!ku0:
∂ ∂x
∂ ∂ + ∂$ ∂ " CCCCCCCCCCCCCCCCCCC..(1+$,
(
∂ =! ∂ − ∂ ∂t ∂$ ∂"
)
CCCCCCCCCCCCCCCCCC..(1+9,
U%0uk me%>$'! 0u'u%$% p$'&!$l kedu$ d$'! 7u%8&!
0e'$d$p x d$% t ; k!0$ d$p$0
me%88u%$k$% pe%ul!&$% ope'$0o' p$d$ pe'&$m$$% (1+, &e9$8$! 9e'!ku0: 2
( )(
2
( ) (
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + 2 ∂ x ∂x ∂$ ∂ " ∂x
)(
)
2
2
2
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = 2 + 2 + ∂" ∂" ∂ $ ∂ " ∂ " 2 CCC....(15$, ∂$
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 = = − ! 2 ∂ x ∂ t ∂$ ∂" ∂ t
)(
) (
2
2
2
∂ ∂ ∂ ∂ − = !2 ∂ − + 2 2 ∂" ∂" ∂ $ ∂ " ∂ "2 ∂$
)
………
….(159,
Sel$%u0%#$ &u9&0!0u&!k$% pe'&$m$$% (15, ke d$l$m pe'&$m$$% 8elom9$%8 (, d!pe'ole 9e%0uk pe'&$m$$% d!7e'e%&!$l u%0uk 8elom9$%8 d$l$m "$'!$9el d$% s &e9$8$! 9e'!ku0: 2
∂ =0 ∂$∂" ……………………………………………………………………………(1,
Pe'&$m$$% 8elom9$%8 (1, el$& le9! &ede'$%$ d$'! pe'&$m$$% (,. Peme>$$% d$'! pe'&$m$$% (+, 0e'&e9u0 d$p$0 d!0ul!&k$% &e9$8$! 9e'!ku0:
+¿( x − !t ) = ( x +!t ) + ¿ …………………………………………..(1, #$%8 0!d$k l$!% me%88$m9$'k$% 8elom9$%8 #$%8 me'$m9$0 ke $'$ x %e8$0!7
−¿ (d!$k!l! ole 7u%8&!
¿ , d$% 8elom9$%8 #$%8 me'$m9$0 ke $'$ x po&!0!7
+¿ (d!$k!l! ole 7u%8&!
¿ ,.
). Diferensiasi Integral -at"ran Leibni/ %ottfried 0il,el Leibni $d$l$ &$l$ &eo'$%8 d$'! du$ pe%emu u0$m$
k$lkulu& (#$%8 l$!%%#$ $d$l$ I&$$> %e0o%,. ?$'$ pe%ul!&$%%#$ (%o0$&!%#$, u%0uk 0u'u%$% m$&! d!p$k$! &e>$'$ lu$&; ku&u&%#$ d$l$m 9!d$%8 0e'$p$% &epe'0! $l%#$ F!&!k$; k!m!$; d$% eko%om!. D$#$ 0$'!k%#$ 0e'le0$k d$l$m 9e%0uk%#$; &e9u$ 9e%0uk #$%8 &e'!%8me%8emuk$k$% $&!l<$&!l #$%8 9e%$' d$% k$d$%8
0e'&e9u0. Pe'0$m9$$% =!k$ %!l$! &e9u$ "$'!$9el
x
9e'8$%0! d$'!
x 1
ke
x 2 m$k$
x 2 – x 1 ; pe'u9$$% d$l$m x d!&e9u0 &u$0u pe'0$m9$$% d$'! @ d$% 9!$&$%#$ d!%#$0$k$% ole
∆ x . =!k$ x 1= 4,1 d$% x 2 =5,7 m$k$ ∆ x = x 2 – x 1=5,7 – 4,1=1,6
=!k$ @1 > d$% @ - >; m$k$ ∆ x = x 2 – x 1= c + h – c =h A%d$!k$% 9$$ d$'! x 1
ke x 2 m$k$
y = f ( x ) me%e%0uk$% &e9u$ 7u%8&!. =!k$ @ 9e'u9$
y 1 9e'u9$ d$'!
1= f ( x 1 ) /e y 2= f ( x 2 ) . =$d!
9e'&e&u$!$% de%8$% pe'0$m9$
%$∆ x = x 2 – x 1 d$l$m @; 0e'd$p$0 pe'0$m9$
%$d$l$m # #$%8 d!9e'!k$% ole ∆ y = y 2 – y 1= f ( x 2 ) – f ( x 1 ) ?o%0o 5. =!k$ # 7(@, - 3 @ -. ?$'!l$
∆ y !k$ @ 9e'u9$ d$'! );+ ke 1;*
Pe%#ele&$!$% :
∆ y = f ( 1,3 ) – f ( 0,4 )
¿[ 2 – ( 1,3 ) 2 ] – [2 – ( 0,4 ) 2 ] ¿ 0,31 – 1,%4 ¿−1,53 •
L$m9$%8 d#Jd@ 0u'u%$% A%d$!k$% "$'!$9el 9e9$& 9e'$l! d$'! x ke x + ∆ x . Pe'u9$$% #$%8
0e'$d! d$l$m "$'!$9el 0$k 9e9$& # $k$% 9e'up$ ∆ y ! f " x + ∆ x # $ f"x#
0y f ( x + ∆ x )− f ( x ) = 0x ∆x
Soal dan Peba,asan f ( 1,2 ) 1. ?$'!l$ x d
%$f y ( 1,2 )
f ( x , y ) = x y + 3 y 2
!k$
3
.
Pe%#ele&$!$%: U%0uk me%>$'!
f x ( x , y )
k!0$ $%88$p
d!7e'e%&!$lk$% 7u%8&! !%! 0e'$d$p
f x ( x , y ) =2 xy + 0 =$d!; f x ( 1,2 ) =2 1 1 1 2= 4 Dem!k!$% pul$; 2 2 f y ( x , y ) = x + & y Se!%88$;
y
x d!d$p$0
&e9$8$! ko%&0$%0$ d$% k!0$
f y ( 1,2 ) =1 + & 1 2 =37 2
2
=!k$ 7(@;#,; k!0$ 8u%$k$% >$'$ pe%ul!&$% l$!%. ∂ z ∂ f ( x , y ) ∂ z ∂ f ( x , y ) = f x ( x , y ) = = f y ( x , y ) = ∂x ∂x ∂y ∂y
f x ( x 0 , y 0 )=
|
∂ z ∂ x ( x
0
f y ( x 0 , y 0 )=
, y0 )
|
∂ z ∂ y ( x
0
, y0 )
∂ $d$l$ l$m9$%8 k$& d$l$m m$0em$0!k$ d$% d!&e9u0 0$%d$
L$m9$%8
0u'u%$% p$'&!$l. -. =!k$ z = x !i" ( xy ) , >$'! 2
2
Pe%#ele&$!$% : ∂z ∂ 2 = x 2 !i" ( xy ) ∂x ∂x
[
∂z ∂ x d
%$∂z ∂y .
] +!i" ( xy ) ∂∂x ( x ) 2
2
¿ x 2 #$! ( xy 2 ) ∂ ( xy2) + !i" ( xy 2) .2 x ∂x
¿
x #$! ( xy ) . y + 2 x !i" ( xy ) 2
2
2
2
¿ x 2 y 2 #$! ( xy 2 ) + 2 x !i" ( xy 2 ) ∂z = x 2 #$! ( xy 2 ) .2 xy = 2 x 3 y #$! ( xy 2 ) ∂y *. ?$'! keemp$0 0u'u%$% p$'&!$l kedu$ d$'! x y + x3 y 2 f ( x , y ) = x e −!i" y
()
Pe%#ele&$!$% : y
() + ( )+ ( )+
f x ( x , y )=e − y
f y ( x , y ) = xe
f xx ( x , y )=
1
y
2
1 x + 3 x 2 y 2 #$! y y
x
y
!i"
#$! 2
x y
x y
6 x y
3
2 x y 2
2
() ( )+ ( )+
() ( )+ ( )+
x x x 2 x − 3 #$! + 2 x 3 f yy ( x , y )= xe + 4 !i" y y y y y
y
f xy ( x , y )= e + y
f yx ( x , y )= e +
+. =!k$
x y
x y
!i"
3
3
!i"
x y
x y
1
y
2
1
y
2
#$!
#$!
x y
6 x y
x y
6 x y
f ( x , y , z )= xy + 2 yz + 3 zx ; >$'!
2
2
f x , f y , f z
Pe%#ele&$!$% :
f x
U%0uk mempe'ole
; k!0$ p$%d$%8
0u'u%k$% 0e'$d$p peu9$
y d$% z &e9$8$! ko%&0$%0$ d
%$x . =$d!;
f x ( x , y , z )= y + 3 z U%0uk me%>$'!
f y
; k!0$ $%88$p x d$% z &e9$8$! ko%&0$%0$ d
%$0u'u%k$% 0e'$d$p y :
f y ( x , y , z )= x + 2 z Se'up$ $l%#$; f z ( x , y , z ) =2 y + 3 x 5. Su$0u 0$%8k! &!l!%de' 9e'$'! ) $'! -;5 m d$% 0!%88!%#$ * m mempu%#$! lu9$%8 p$d$ $l$&%#$ de%8$% $'! 3 $'! -5 mm. D!ke0$u! 9$$ $!' $k$% me%8$l!' ke lu$'
mel$lu!
lu9$%8
&em$>$m
!%!
de%8
%$ke>ep$0
%$me%dek$0!
! =2,5 √ h m / " ; $d$l$ d$l$m%#$ $!' d$l$m 0$%8k!. ?$'!l$ $k0u #$%8 d!pe'luk$% u%0uk me%8o&o%8k$% 0$%8k! !0u le$0 lu9$%8 0e'& e9u0. Pe%#ele&$!$% : 4olume $!' #$%8 me%8$l!' ke lu$' pe' de0!k d$p$0 d!p!k!'k$% &e9$8$! "olume &!l!%de' #$%8 9e'$'! 3 $'! -5 mm d$% 0!%88!%#$ ". de%8$% dem!k!$% "olume #$%8 me%8$l!' kelu$' p$d$ &$$0 d0 de0!k $d$l$ 2 2 ( 0,025 ) ( 2,5 √ h ) dt
Pe'u9$$% pe'muk$$% $!' d! 0$%8k! d!%#$0$k$% de%8
%$dh ; "olume $!' #$%8
2 ( ) 2 d h . M$k$ : 2,5 me%8$l!' ke lu$' d!%#$0$k$% ole
2 ( 0,025 ) ( 2,5 √ h ) dt =−2 ( 2,5 ) dh 2
(
dt =−
2,5 0,025
2
)
2
dh 2,5 √ h
=−4000 dh
√ h
I%0e8'$&!k$% $%0$'$ 0); * d$% 00; ); t
0
0
0
3
3
∫ dt =∫−4000 ∫ √ dhh =−%000 √ h| =%000 √ 3 det3/ 0 3
¿ 3 4am 34 det3/
$0$u
