DIRECCIÓN GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓN INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE INSTITUTO SUPERIOR FUNDACIÓN SUZUKI DIPREGEP 3882
“FUNCIONES MATEMÁTICAS… ¿PARA QUÉ SE UTILIZAN? L! "#!$%&!& &# $! '()*%+) &# $!, '()*%-)#, $%)#!$#,.
TESINA PARA PARA OPTAR OPTAR AL T/TULO DE PROFESOR PR OFESOR DE MATEMÁTICA
PROFESOR CONSULTOR DE LA CÁTEDRA0 LIC. 1ÉCTOR CLAUDIO OGLIETTI PROFESOR CONSULTOR DE LA CÁTEDRA0 DRA. ELIZAET1 CALO CALO DE SUZUKI
ERÓNICA MANFREDI SAN MIGUEL4 UENOS AIRES 56 DE MAYO MAYO DE 2668
AGRADECIMIENTOS Para mucho de nosotros, agradecer a todas las personas que colaboraron en forma directa e indirectamente en la realización de un proyecto personal es una grata tarea. La dificultad se presenta a la hora de no olvidar a ninguna de ellas. El orden de las menciones no es por grado de importancia, todas ellas tienen un reconocimiento y cariño particular. particular. En primer lugar, agradecer a los profesores consultores: r. Elizabeth !alvo de "uzu#i y el Lic. $%ctor !laudio &glietti, que con su dedicación, conocimientos, calidez y e'periencia han sido una fuerte base de este traba(o. En segundo lugar, a una amiga, )erónica )aldez, que con sus conse(os logró enriquecer la labor y no permitirme flaquear en algunos momentos. * por +ltimo, a m amada familia, Luis y Lourdes, que son mi motor principal en cualquier emprendimiento que realice.
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“Las proposiciones matemática matem áticas, s, en cuan cuanto to tienen que ver con con la realidad, realidad, no son ciertas; cierta s; y en cuanto cuanto que son ciertas, cierta s, no tienen nada nada que ver con la realidad.”
Albert Einstein
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(1879-1955) (1879-1955) Científico estadounidense de origen alemán.1
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/NDICE 8esumen 9bstract escriptores ntroducción
arco histórico 9n-lisis teórico 9n-lisis de actividades !onclusiones ?ibliografa 9ne'os
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RESUMEN En el transcurso de nuestra vida escolar, directa o indirectamente, hemos observado como docentes de todos los niveles nos han dado e(ercitación en la cual la teora de con(untos era la base de toda la enseñanza matem-tica ya que posean un valor preponderante en la educación argentina. e m-s esta decir, que cuando m-s alto era el nivel de educación, m-s alto era el nivel de abstracción. La realidad de la función de las funciones no es m-s que buscar la relación que e'iste entre el concepto de función, en general, y el de lineal en particular con los hechos cotidianos que nos rodean.
ASTRACT n the course of our school, direct life or indirectly, 3e have observed as teachers of all the levels they have given us practice in 3hich the theory of sets 3as the base of the 3hole mathematical education since they 3ere possessing a preponderant value in the 9rgentine education. &f more saying this one, that 3hen more high place 3as the level of education, more high place 3as the level of abstraction. Bhe reality of the function of the functions is not any more that to loo# for the relation that e'ists bet3eenCamongD the concept of function, in general, and of linearly especially 3ith the daily facts that surround us.
DESCRIPTORES
>9BE>B!9.
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INTRODUCCIÓN En el transcurso de nuestra vida escolar, directa o indirectamente, hemos observado como docentes de todos los niveles nos han dado e(ercitación en la cual la teora de con(untos era la base de toda la enseñanza matem-tica ya que posean un valor preponderante en la educación argentina. La relación entre con(untos y sus distintas operaciones entre ellos eran dictados y analizados en todos los niveles. Las funciones, se analizaban desde la relación entre con(untos para luego introducirlas en los pares ordenados y en los e(es cartesianos para su futura graficación. e m-s esta decir, que cuando m-s alto era el nivel de educación, m-s alto era el nivel de abstracción. La realidad de la función de las funciones no es m-s que buscar la relación que e'iste entre el concepto de función, en general, y el de lineal en particular con los hechos cotidianos que nos rodean. En definitiva, en el desarrollo de este traba(o, se mostrar- o se intentar- mostrar la significación y alcance de un tema tan nombrado en la educación argentina. I"iguiendo a C7#!$$!"&, -,*7 y G!,*+) se pueden describir tres grandes tipos de actividades que podran considerarse como matem-ticas: IU9%$%:!" ;!9#;<9%*!, *-)-*%&!, : el primer gran tipo de actividad matem-tica consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matem-ticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar, como el plomero que a partir de sus conocimientos arregla una canilla que pierde. A="#)&#" > #),#!" ;!9#;<9%*! : frente a un problema que no se sabe resolver se puede recurrir a un matem-tico que lo resuelva o bien aprender la matem-tica necesaria para hacerlo. C"#!" ;!9#;<9%*!, )(#!, : en principio, se podra decir que sólo los matem-ticos producen matem-ticas nuevas, pero en realidad, a nivel de los alumnos se puede afirmar que todo aquel que aprende matem-tica participa de alguna manera en un traba(o creador. !on frecuencia, para resolver un problema tendr- que modificar sus conocimientos anteriores ligera o profundamente para adaptarlos a las peculiaridades de su problema. Los alumnos no crean matem-tica nuevas para la humanidad, pero s nuevas para ellos. La actividad matem-tica no puede reducirse a aprenderlas y enseñarlas, no son un fin en s mismo, sino un medio para responder a ciertas cuestiones.J Estas actividades matem-ticas est-n ntimamente ligadas a la relación o cone'ión que se le quiere dar en este conte'to a la matem-tica. La relación de realidad es fundamental.
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$acer matem-tica es producir actividades matem-ticas que involucren conceptos ya estudiados y debera ser posible para todos y no sólo para un grupo selecto. I$acer matem-tica es un traba(o del pensamiento, que construye conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos as construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matem-ticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.J / IEn una casa en construcción o en el molde que dibu(a una modista hay mucha matem-ticaM se la puede identificar pero no es necesario conocerla. El albañil no sabe que est- usando el teorema de Pit-goras para lograr que la esquina de la casa le quede en -ngulo rectoM tiene recursos pr-cticos, como la famosa escuadra de lados /, 6 y 7. * no est- nada claro que construira me(ores casas si supiera demostrar el teorema de Pit-goras. Est- claro que si el ob(etivo fuera lograr que los alumnos aprendan solamente esa matem-tica, es demasiado el tiempo asignado a su aprendiza(e en la escuela. Go se est- afirmando que no sea necesario que esos aprendiza(es se realicen en la escuela: se afirma que la escuela y la enseñanza de la matem-tica en ella no se puede (ustificar +nicamente por esos aprendiza(es. La matem-tica provee una manera particular de pensar y producir conocimientoM es un sistema teórico que permite conocer la realidad de una cierta manera y eso tiene un valor formativo si se piensa a la escuela como distribuidora de cultura.J 6 Es notable con que frecuencia distintos autores cuestionan o analizan el significado de estudiar matem-tica. En las distintas escuelas y en los distintos tiempos en los que transcurre el an-lisis de la importancia y la significación del estudio de la matem-tica, se destaca el papel fundamental del educador en un proceso de enseñanzaK aprendiza(e de vital importancia.
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FUNDAMENTACIÓN Las funciones matem-ticas son utilizadas en la vida cotidiana mucho m-s de lo que pensamos, analizaremos esta realidad. Luego de realizar una b+squeda de los distintos temas matem-ticos, se observó que uno de los m-s recurrentes son las funciones matem-ticas. Bambi%n, en la misma medida, de acuerdo con lo observado en varios te'tos de uso escolar, se dedu(o que muchos de los e(ercicios en ellos sugeridos no presentan una significación relevante para los alumnos. Esta situación, en nuestra realidad educativa, es la que lleva a que la utilización y la correcta comprensión de las funciones matem-ticas en el -mbito escolar requieran de la implementación de estrategias y significación para comprender su verdadero concepto y utilización. Beniendo en cuenta que +ltimamente, la ley educativa tuvo grandes cambios comparemos esta situación. !omo se observa en el siguiente cuadro, la educación polimodal posee fines bien marcados e interrelacionados.
FINES DE LA EDUCACIÓN POLIMODAL
Proporcionar una base cultural común que permita una participacin conciente! cr"tica # trans$orma%ora en la socie%a%
Preparar para la continuacin %e los estu%ios
Fa&orecer la empleabili%a%
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En el documento base de la educación polimodal se analizan una serie de fines que son importantes mencionar. 9 fines del siglo NN y principios del siglo NN la información y la comunicación son claves, la globalización cumple un doble papel. Por un lado, nos integra y comunica y por el otro, hace m-s marcados las desigualdades sociales imperantes en el mundo. 7
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Estas caractersticas hacen que la obtención y el desempeño del empleo cambian sustancialmente provocando desempleo y traba(o informal. Por estas razones, la formación de los (óvenes debe ser la estimulación de un pensamiento crtico y transformador. 9l reconocernos parte de una sociedad y ella es un con(unto, en la que las instituciones educativas poseen mucha labor por realizar al, no sólo conferirles el poder de transmitir conocimientos, sino tambi%n el de una educación integral de nuestros alumnos. Los fines de la educación polimodal se pueden resumir en tres: IPreparar para la incorporación conciente y responsable en una sociedad democr-tica y moderna Preparar para la continuación de los estudios superiores Cfunción proped%uticaD Preparar para cubrir las demandas del sistema productivo CempleabilidadDJ ; Pero como un capricho de la naturaleza humana, estamos en un nuevo cambio educativo. Esta nueva ley propone una secundaria de ; años que estar- completa en el año A1. *a se ha cambiado el s%ptimo y octavo año de la E"?, entonces convivimos con tres educaciones distintas: 1 ro y do de la nueva Educación "ecundaria, @ no de la E"? y 1ro, do y /ro de Polimodal. La nueva Educación "ecundaria tiene como propósitos: IO ofrecer situaciones y e'periencias que permitan a los alumnos y las alumnas la adquisición de saberes para continuar sus estudiosM O fortalecer la formación de ciudadanos y ciudadanasM O )incular la escuela y el mundo del traba(o a trav%s de una inclusión crtica y transformadora de los alumnos2as en el -mbito productivo.J 0
A&@(%"%" ,!#"#, =!"! *-)9%)(!" $-, #,9(&%-, La Educación "ecundaria tiene como función la de reorganizar, sistematizar y profundizar los saberes que fueron adquiridos en la Educación Primaria y continuar avanzando en la adquisición de nuevos saberes que sean bases para la continuación de los estudios IQRasegurando la inclusión, permanencia y continuidad de los alumnos y las alumnas en el sistema educativo provincial y nacional mediante una propuesta de enseñanza especfica, universal y obligatoria, que a la vez promueva la refle'ión y comprensión del derecho de acceso al patrimonio cultural de la Provincia, el pas y el mundoQR.J= ;
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F-"9!$#*#" $! '-";!*%+) &# *%(&!&!)-, > *%(&!&!)!, La ley busca fomentar el reconocimiento de IQRdistintas pr-cticas (uveniles y transformarlas en parte constitutiva de las e'periencias pedagógicas de la escolaridad para fortalecer la identidad, la ciudadana y la preparación para el mundo adulto, entendiendo que su inclusión en la escuela hace posible la formación de su(etos libres para e'presarse, actuar y transformar la sociedadQR.J @
%)*($!" $! #,*(#$! *-) #$ ;()&- &#$ 9"!!B>uchos de los adolescentes de la Provincia traba(an o traba(aron gracias a la situación económica de sus propias familias y son vctimas de empleadores sin escr+pulos que se aprovechan de su edad y necesidad. La escuela de incluir el traba(o como ob(eto de conocimiento para que los alumnos puedan analizar situaciones problem-ticas. 9 continuación est-n detallados, a modo de e(emplo, los contenidos de ntroducción al -lgebra y al estudio de funciones de 1T y T año de la Escuela "ecundaria para reconocer la importancia de este tema en los comienzos de la educación secundaria y base de los pró'imos a lo largo de la educación formal dentro de esta -rea.
I)9"-&(**%+) !$ Á$#"! > !$ #,9(&%- &# $!, F()*%-)#, 5 2 Lectura, interpretación y construcción de Estimar, anticipar y generalizar soluciones gr-ficos y tablas. Proporcionalidad. de problemas relacionadas con nociones de ntroducción al traba(o algebraico. la función lineal. En este e(e se traba(ar- con el pasa(e de la 8ealizar un uso din-mico de la aritm%tica al -lgebra permitiendo proporcionalidad y sus propiedades generalizar propiedades de los n+meros, superador de construcciones tales como Ia e'presar dependencia de variables en m-s...J o la regla de tres simple. fórmulas y organizar información a trav%s 8epresentar, mediante tablas, gr-ficos o del lengua(e de las funciones. fórmulas, regularidades o relaciones observadas entre valores. Fsar propiedades de la proporcionalidad para realizar estimaciones, anticipaciones y generalizaciones. >odelizar situaciones matem-ticas y e'tra matem-ticas mediante ecuaciones para obtener resultados que posibiliten resolverlas. 8epresentar funciones usando, cuando sea posible, soft3are como Sraphmatica, Uinplot o Seogebra. !ontrastar los resultados obtenidos en el marco de los modelos matem-ticos de las situaciones planteadas evaluando la pertinencia de los mismos. @
irección Seneral de !ultura y Educación. Sobierno de la Provincia de ?uenos 9ires. iseño !urricular para la Educación "ecundaria.
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IEs curioso, pero es tal la Idescone'iónJ entre la sociedad y la matem-tica que la mayora de la gente piensa Ccon razón, porque esos son los elementos con los que cuentaD que la matem-tica Iest- toda inventadaJ o que es algo IcuadradoJ que uno va, estudia y no aplica, salvo en contadsimas ocasiones Csuma, resta, división y multiplicación incluidasD. "in embargo, no sólo no es as, sino que la matem-tica anda por la vida como la mayora de las ciencias: sabiendo algunas cosas, pocas, e ignorando otras, muchsimas.J1A Esta breve cita describe una situación actual y porque no histórica de la matem-tica. En el cociente popular, la matem-tica, es muy +til pero a la hora de conectarla con la realidad suele ser muy complicada de lograrlo. Seneralmente, las personas sostienen: I*o no entiendo la matem-tica modernaJ o IEs muy +til saber sumar, restar, multiplicar y dividir.J !on esas dos e'presiones, muy com+n en las entrevistas con los padres de los chicos, podramos resumir la poca cone'ión que le estamos brindando a una materia que sostenemos es una construcción humana. IVWui%n di(o que se saba ItodoJ4 El solo hecho de que IaceptemosJ esto como posible demuestra qu% le(os estamos del contacto con la Imatem-tica realJ, la que investiga y no sabe, la que es curiosa y atractiva, la que es seductora y +til. La que hay que mostrar, la que hay que sugerir. * creo que ya es hora de empezar.J 11 IQR Bodo el mundo percibe de alguna manera la relación estrecha entre la matem-tica y la ingeniera pero hay muchos otros e(emplos simples donde imaginar la aplicación de la matem-tica parece m-s difcil. QRFno de los avances m-s notables de los +ltimos tiempos de la aplicación de la matem-tica computacional es la medicina. Go sospechamos en nuestra pr-ctica diaria la cantidad de teora matem-tica que est- involucrada en los modernos aparatos de diagnóstico, en el diseño de ciruga ocular u otras t%cnicas. QRPodemos citar tambi%n sin abundar en detalles, muchos otros e(emplos: El an-lisis y optimización del tr-fico de las redes de comunicación e nternet. La compresión y tratamiento de im-genes. dentificación de patrones en grandes masas de datos. La encriptación de datos para las transacciones seguras de bancos, tar(etas de cr%dito, etc. QRLa matem-tica no es una mera especulación intelectual, sino que estudia problemas concretos cuyos resultados representan un significativo aporte al acervo cultural y tecnológico de la humanidad y revelan el papel cada vez m-s importante que (uega esta ciencia en el mundo actual. 10 11
http:22333.pagina1.com.ar2diario2contratapa21/K=0@AKAA0KA6KA7.html http:22333.pagina1.com.ar2diario2contratapa21/K=0@AKAA0KA6KA7.html
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La capacidad de la matem-tica para modelar la realidad de manera simbólica la convierten en una herramienta indispensable para la comprensión de los ob(etos y procesos de estudio. Por m-s que se crea que I... en matemáticas nunca se sabe de qué se habla...J, la matem-tica es cada vez m-s fuerte y vivaz porque es una manera de hablar del mundo y es un ladrillo fundamental en la tecnologa moderna.J 1
SUPUESTOS Y LIMITACIONES Es importante enmarcar el material obtenido ya que la amplitud es notoria, por lo cual supongo que resultar- necesario realizar una correcta selección y discriminación del mismo. 8esulta de alg+n grado de complicación la obtención de material bibliogr-fico de educación superior, lo que limita de alguna manera un desarrollo did-ctico m-s e'tenso del presente traba(o.
MARCO 1ISTÓRICO 9polonio de Perge utilizaba la idea de las coordenadas. Gació en el año ; a.c. en Perge, Srecia onia Cahora BurquaD y fallecido alrededor del 1@A a.!. en 9le(andra, Egipto. IQR 9polonio fue conocido como XEl gran geómetraX, en su famoso libro 1
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X"ecciones !ónicasX introdu(o los t%rminos: par-bola, elipse e hip%rbola.J 1/ La famosa obra consta de = libros, del 1 al 6 introduce propiedades b-sicas sobre las cónicas ya conocidas por Eucldes, 9ristóteles y otros. Los libros 7 al 0 s son originales, en ellos discute y muestra como muchas de las cónicas pueden ser dibu(adas desde un punto. Proporciona proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. >uchos de sus otros libros est-n perdidos y otros sólo e'isten en traducción ar-biga. Bambi%n obtuvo una apro'imación de pi entre 20YpiY/201 conocido por 9rqumedes. &btuvo, tambi%n, una curva fundamental llamada par-bola. "us logros en la astronoma matem-tica griega fueron importantes por usar modelos geom%tricos para e'plicar la teora planetaria. 9polonio de Perge El traba(o de 9polonio IQR sirvió de base para el estudio de la geometra de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y cientfico franc%s 8en% escartes en el siglo N). Gicole &resme Csiglo N) d. !.D haba representado gr-ficamente las funciones usando las coordenadas. &resme fue un matem-tico arzo de 17@; en La $aye, Bouraine,
333.dav.sceu.frba.utn.edu.ar2homovidens28odriguezPatricia2proyectoZAfinal2historia.htm
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cartesianos. Fsó las coordenadas para representar los puntos. En realidad cabe destacar que el nombre de e(es cartesianos no se debe a escartes, sino a un matem-tico posterior llamado: >aurice, <8[!$EB qui%n las llamó as en su honor. aligny en el año 1=0= y fallecido en Pars, 1@0/. En sus estudios sobre los espacios abstractos describió el llamado espacio de
Sottfried Uilhelm Leibniz
En distintas publicaciones, el t%rmino función, aparece utilizado o introducido en la historia de distintas maneras y por distintos e'ponentes pero todas coinciden en destacar la importancia de escartes en este tema.
I QR Fna función, en matem-ticas, es el t%rmino usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o m-s cantidades. El t%rmino función fue usado por primera vez en 1;/0 por el matem-tico franc%s 8en% escartes para designar una potencia 'n de la variable '. En 1;@6 el matem-tico alem-n Sottfried Uilhelm Leibniz utilizó el t%rmino para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. $asta recientemente, su uso m-s generalizado ha sido el definido en 1=@ por el matem-tico alem-n, \.P.S. Le(euneK irichlet C1=A7K1=7@D, quien escribió: 16
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XFna variable es un smbolo que representa un n+mero dentro de un con(unto de ello. os variables N e * est-n asociadas de Peter Sustav Le(euneK irichlet tal forma que al asignar un valor a N entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna autom-ticamente un valor a *, se dice que * es una función CunvocaD de N. La variable N, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable *, cuyos valores dependen de la N, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de N constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma * constituye su recorridoX.J17 !omo se puede observar, en este breve desarrollo histórico, el concepto moderno del t%rmino función es muy actual ya que pertenece al siglo NN. >uchos docentes solemos tomar muy a la ligera ciertos conceptos y es muy interesante brindarle la importancia que merecen y el avance histórico de los mismos.
ANÁLISIS TEÓRICO Para una mayor de comprensión del siguiente traba(o revisaremos algunos conceptos b-sicos.
“Fna función f de 9 en ? es una relación que le hace corresponder a cada elemento ' E 9 uno y solo un elemento y E ?, llamado imagen de ' por f, que se escribe y5f C'D. En smbolos, f: 9 ] ? Es decir que para que una relación de un con(unto 9 en otro ? sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: Bodo elemento del con(unto de partida 9 debe tener imagen. La imagen de cada elemento ' E 9 debe ser +nica. Es decir, ning+n elemento del dominio puede tener m-s de una imagen. El con(unto formado por todos los elementos de ? que son imagen de alg+n elemento del dominio se denomina con(unto imagen o recorrido de f.
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&bservaciones: En una función f: 9] ? todo elemento ' E 9 tiene una y solo una imagen y E ?. Fn Elemento y E ? puede: Go ser imagen de ning+n elemento ' E 9. "er imagen de un elemento ' E 9 "er imagen de varios elementos ' E 9. La relación inversa f K1 de una función f puede no ser una función. ediante el uso de tablas: N * Sr-ficamente: cabe aclarar que real de variable real al con(unto de puntos K1 1 de e(es cartesianos ortogonales tienen 1; A A
llamamos gr-fica de una función del plano que referidos a un sistema coordenadas ', f C'DR donde ' E 9J
^ _ 1 1 8ecordemos entonces: Las funciones se utilizan para 6 describir distintos tipos de fenómenos y, en el caso de la matem-tica, para e'presar relaciones. "e representan en e(es cartesianos ortogonales. Encontramos dos variables, una dependiente C*D y otra independiente CND. Para que esta relación determinada sea considerada función debe cumplirse que a cada valor de INJ le corresponde un +nico valor de I*J. Seneralmente se designan con la letra f pero pueden utilizarse otras letras Cg, h, etc.D Fna función es creciente cuando al aumentar la variable independiente aumenta la dependiente y decreciente cuando al aumentar la variable independiente disminuye la dependiente. Podemos encontrar funciones con tramos crecientes y decrecientes. La función tiene m-'imos y mnimos, pueden ser relativos o absolutos. Las funciones pueden ser continuas o discontinuas. Fna función es continua cuando:
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Fna función es discontinua cuando alguno de los puntos anteriores no se cumple. "e llama discontinuidad esencial cuando no e'iste el lmite. "e llama discontinuidad evitable cuando f C'D ` f CaD "e llama dominio de una función al con(unto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. "e llama imagen de una función al con(unto de todos los valores que toma la variable dependiente. El con(unto de ceros o races es el compuesto por todos los valores que cumplen f C'D 5 A El con(unto de positividad es aquel en donde f C'D A El con(unto de negatividad es aquel en donde f C'D Y A Las funciones se pueden clasificar en: inyectivas, suryectivas o sobreyectivas y biyectivas. Fna función es inyectiva cuando a distintos elementos del dominio tienen distinta imagen. Fna función es sobreyectiva o suryectiva cuando todo elemento del codominio es imagen de alg+n elemento del dominio. Fna función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
F()*%+) $%)#!$ Iefinición: Fna función lineal es una función cuyo dominio son todos los n+meros reales, cuyo codominio son tambi%n todos los n+meros reales, y cuya e'presión analtica es un polinomio de primer grado. efinición f: 8 8 2 fC'D 5 a. ' b donde a y b son n+meros reales, es una función lineal Por e(emplo, son funciones lineales f: fC'D 5 '7, g: gC'D 5 K/'0, h: hC'D 5 6J 1= Llamamos función lineal a una ecuación del tipo y 5 m' b
1=
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1@
PeroQ Va qu% llamamos t%rmino dependiente e independiente, pendiente, constante y variables4 "e llaman variables a un smbolo el cual se le puede asignar un con(unto de valores. "e suele utilizar para ello las letras: u, v, 3 ', y, z. E'isten dos tipos: las dependientes y las independientes, en particular en nuestra e'presión I'J es la variable independiente ya que es ella la que adquiere un valor arbitrario dentro de un con(unto de n+meros, en cambio IyJ es la variable dependiente ya que su valor se encuentra condicionado al valor de I'J. La constante tambi%n es llamada ordenada al origen y de ella depender- en qu% lugar del e(e de las ordenadas ser- cortado por la gr-fica. Est- representado por el smbolo IbJ y posee un solo valor. En particular a las constantes se las suele asignar con letra: a, b, c. El t%rmino independiente es aquel que posee a la constante u ordenada al origen y el t%rmino dependiente es el otro. Las funciones lineales poseen, como su nombre lo indica, una gr-fica determinada por una recta y analticamente son ecuaciones de primer grado Crecordemos que el grado de un polinomio est- determinado por el mayor e'ponente al que se encuentra elevado su variableD La pendiente de una función lineal est- determinado por el valor que adopte la letra ImJ en nuestra ecuación y determina el grado de inclinación en la gr-fica y es un valor que permanecer- constante sin importar los valores que adopte I'J. 8ecordemos que tambi%n podemos determinar su crecimiento a partir de su ecuación. "i la pendiente es un valor positivo, la función ser- creciente. "i la pendiente es negativa, la función ser- decreciente y en caso en que este valor sea cero, la función no tendr- pendiente. La pendiente de una función lineal est- determinado por el cociente entre el desplazamiento en el e(e de las ordenadas CyD y el e(e de las abscisas C'D.
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“QR Fna función lineal cumple adem-s, que el %)*"#;#)9- de los valores de los elementos del dominio es proporcional al %)*"#;#)9- de los valores en el codominio, siempre que ! )- ,#! *#"-. Este n+mero ! se llama pendiente o coeficiente angular de la recta. )olvamos a esto e(emplos de funciones lineales f: fC'D 5 '7, g: gC'D 5 K/'0, h: hC'D 5 6 f: fC'D 5 '7 si ' es /, entonces fC/D 5 ./7 5 11 "i ' es 6, entonces fC6D 5 .67 5 1/ "i ' es 7, entonces fC7D 5 .77 5 17 !ada vez que la se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, 'H, se incrementa en 2 unidades. Preste atención en que los valores de P8&P&8!&G9LE".
y de
'H
G& "&G
Lo que son proporcionales son los incrementos. g: gC'D 5 K/'0 si '5 A, entonces gCAD 5 K/.CAD 0 5 A0 5 0 "i '5 1, entonces gC1D 5 K/.C1D 0 5 K/0 5 6 "i '5 , entonces gCD 5 K/.CD 0 5 K;0 5 1 !ada vez que la se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, H, disminuye en 3 unidades. h: hC'D 5 6
si '5 A , entonces hCAD 5 6 "i '5 @=, entonces hC@=D 5 6
!ada vez que la se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, 7H, G& aumenta. Es la función constante. "u gr-fica es una recta paralela al e(e &N.
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)eamos otro e(emplo: QRPara determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón. ominio !odominio ' 6 0 1/ 1;
y 1 6 @
ominio: de 6 a 0 aumenta en /
!odominio: de 1 a aumenta en 1
ominio: de 0 a 1/ aumenta en ; =!"#*# que si
!odominio: de a 6 aumenta en . Por ahora,
ominio: de 1/ a 1; aumenta en / la relación
!odominio: de 6 a @ aumenta en 7
"e rompió
!ada / unidades de aumento en ', aumentara en 1 en el codominio, pero el X@X no esta de acuerdo con esto. QR
RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya e'presión analtica es f: 8 8 2 fC'D 5 !.' con ! y n+meros reales. La representación gr-fica de dichas funciones es una recta, en un sistema de e(es perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente ! y la ordenada en el origen es .JA
“QR Las funciones se denominan tambi%n transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matem-ticas. "i el con(unto Y 1 es un subcon(unto propio de Y Cesto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y 1D, entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X 1 en Y M si Y 1 5 Y, F es una función, transformación o aplicación de X 1 sobre Y.”21 IQR A=$%*!*%-)#, &# $!, '()*%-)#, "#!$#, Seneralmente se hace uso de las funciones reales, Ca+n cuando el ser humano no se da cuentaD, en el mane(o de cifras num%ricas en correspondencia con otra, debido a que se est- usando subcon(untos de los n+meros reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economa, de estadstica, de ingeniera, de medicina, de qumica y fsica, de astronoma, de geologa, y de cualquier -rea social donde haya que relacionar variables. A 1
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!uando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un con(unto de determinados ob(etos o productos alimenticios, con el costo en pesos para as saber cu-nto podemos comprarM si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función X'X como el precio y la cantidad de producto como XyX. uchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. !iertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Fn e(emplo es el resultado del e'perimento psicológico de "tenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la formula y5m'b donde m y b son n+meros reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. "u gr-fica es una recta. ada la ecuación y5m'b: "i m5A, entonces y5b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gr-fica es una recta paralela al e(e ' que pasa por el punto CA,bD. "i b5A, entonces y5m'. Esta ecuación tiene por gr-fica una recta que pasa por el origen de coordenadas CA,AD.J 8ecordemos entones: La representación gr-fica de una función lineal es una recta. La ecuación es y 5 f C'D 5 m . ' b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. La ordenada al origen indica por qu% punto de I*J pasa la recta. La pendiente señala la inclinación de la recta. "i m Y A, entonces la función es decreciente. "i m A, entonces la función es creciente. "i m 5 A, entonces la función es constante. "e denomina función nula cuando f C'D 5 A y su gr-fica es coincidente con el e(e de las abscisas C'D "e denomina función identidad cuando f C'D 5 ' "e denomina función de proporcionalidad directa cuando f C'D 5 m. ', es decir, la ordenada es A y siempre pasa por el origen. En este caso, los valores de ' e y son magnitudes directamente proporcionales. os rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales. os rectas son perpendiculares cuando su pendiente son inversas y opuestas. La ecuación de la recta puede ser:
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>PL!B9: 9' ? y ! 5 A 9 5 b, ?5 Ka y ! 5 ay p K b' p "ES>EGB989:
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ANÁLISIS DE ACTIIDADES Bomando en cuenta la hipótesis que sostiene que muy poco tiene que ver la e(ercitación con la realidad y que es posible encontrar situaciones reales y cotidianas para traba(ar el tema, analizaremos algunos e(emplos: I"aque conclusiones sobre: aK El crecimiento de la función a partir del signo de m. bK El signo de la raz a partir de la combinación de valores entre m y b.
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!on las e'plicaciones dadas grafique las rectas que siguen, en el sistema de e(es de la p-gina siguiente y 5 ' y 5 KC12D ' K y 5 C12/D ' y 5K/' K y 5 '/ y 5 C12/D ' / 8ecuerde que la pendiente est- dada por la diferencia de y sobre la diferencia de '. Esto se puede e'presar tambi%n como XLa cantidad de unidades.......................... ................................................................................................X $alle las e'presiones que determinan las siguientes rectas y grafique. Fna recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro. Fna función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas C1=.1M /D y el \ de coordenadas C1.MK/.D Fna recta con m igual a K27 y t%rmino independiente igual a cinco. etermine todos los puntos de intersección entre estas tres rectas. 8esponda las siguientes cuestiones y grafique. "i y 5 C/2 D ' /', determine el valor de b. "i y 5 / C12 D ', determine el valor de m "i t5 27 ' /, determine el valor de m y b Las coordenadas de los v%rtices de una figura cuadrangular en el plano son: 9: CK/M 6D, ?: C;M 1D, !: CK12M K/D, y : CM K;D. etermine el punto dónde se cortan sus diagonales. Fn función lineal tiene raz en '5 /26 otra tiene t%rmino independiente igual a y la misma raz que la función anterior. etermine dónde se cortan. !omente.
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< C'D5 K627 ' ;20 y gC'D5 2/' b se cortan en el punto C=M yD. etermine las coordenadas de dicha intersección. !omente. $ C'D5 17' '2, determine para que valor de ' y vale 172 En el punto C/M 6D se cortan dos rectas. Fna de ellas tiene raz en ' igual a K127, la otra tiene t%rmino independiente en CAMK127D. etermine la e'presión que define ambas rectas. 8 C'D5 C121/' ' K/ 2/D2, sC'D5= K/2'. etermine y (ustifique si son o no perpendiculares. \ C'D5 ( ' /, dC'D5 CK1727D' c. etermine el valor de ( para que sean paralelas. E'plique si c tiene que tener alg+n valor particular. VWu% particularidad tienen dos funciones lineales que se cortan en el t%rmino independiente4 < C'D5 6 K/'12. etermine una paralela a ella que tenga t%rmino independiente igual a 1=26. S C'D5 =K ' C1A21/D. etermine la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento que determina su t%rmino independiente y su raz. /5 6' 1y. etermine fC'D. Benemos tres puntos: 9: CKM K/27D, ?: C6M 02=D, !: CK6M K627D. VPertenecen o no a la misma recta4 \ustifique. Benemos tres puntos: 9: CKM K/27D, ?: C6M 02=D, !: CaM bD. etermine valores de a y de b tal que los tres puntos est%n alineados. !omente sobre la2s posible2s soluciónJ / !omo podemos observar en este e(ercicio, la descone'ión con la realidad es total. gualmente creo necesaria la e(ercitación abstracta para el desarrollo de los alumnos pero no se puede sólo remitir este tipo de e(ercitación. !onsidero necesario buscar la cone'ión con la realidad y mezclar distintos tipos de actividades. Por otro lado, la b+squeda me llevo a un traba(o publicado por "ilvia "o#olovs#y para el desarrollo de las funciones lineales. Ella aborda el tema desde un (uego popular y muy utilizado por todos nosotros, la batalla naval.
“((#;-, ! $! !9!$$! )!!$0 Fbiquemos cada posición del barco poniendo adelante la letra y detr-s el n+mero. ?arco de un casillero: CM D ?arco de dos casilleros: CEM 6D CEM 7D ?arco de cinco casilleros: CSM 1D CSM D CSM /D CSM 6D CSM 7D /
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?arco de tres casilleros: C9M ;D C?M ;D C!M ;D "uplantemos las letras por n+meros V!ómo quedaran las coordenadas de los barcos4 ?arco de un casillero: C6M D ?arco de dos casilleros: C7M 6D C7M 7D ?arco de tres casilleros: C1M ;D C1M ;D C1M ;D ?arco de cinco casilleros: C;M 1D C;M D C;M /D C;M 6D C;M 7D !oloquemos los puntos en un par de e(es cartesianos Ccomo estaban en el (uegoD
Fno de los graves errores de nuestra educación al enseñar matem-tica es separar la aritm%tica de la geometra, como si fueran dos cosas totalmente distintas. Este error es, adem-s, ofensivo para todas aquellas personas que durante cientos de años trataron Cy con %'itoD de reunir ambas disciplinas ba(o un mismo techo, d-ndoles forma y orden. La geometra traba(a con conceptos primitivos, punto, recta, plano y espacio. El punto puede equipararse con un n+mero real y la recta con el con(unto de los n+meros reales. Boda relación geom%trica puede e'presarse mediante la misma simbologa que utilizamos para indicar las relaciones entre los n+meros. 9lgunas operaciones aritm%ticas deben su nombre a la geometra. )eamos un e(emplo.
ibu(emos un rect-ngulo cuyo v%rtice coincida con el centro de coordenadas de un e(e cartesiano. La base, que estar- sobre el e(e 4 lo llamaremos X xX, mientras que la altura podemos llamarla X mX, la que en este caso es tiene un valor arbitrario 6.
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XmX es una magnitud constante, por lo tanto, una vez que le has dado su valor, siempre tendr- el mismo. En cuanto a X xX, puede tener cualquier longitud. Entonces, los valores de la superficie cambian a medida que cambia el valor de X xX. El valor de la superficie est- dado en función de x. e aqu! en adelante estudiaremos las funciones en base al área que determina la "ráfica de la funci#n y los e$es. Función lineal : su ecuación es: f C xD % m x & b , donde XbX es un n+mero real al que se lo llama ordenada al ori"en y XmX Cque ya lo conocemosD se denomina pendiente.J6
Plantea una relación, no sólo, con una actividad creativa y llamativa como un (uego, sino, su relación con la geometra. Puede observarse la diferencia que e'iste entre esta actividad y la anterior a ella. 9+n as no se puede encontrar la relación con la vida real y las funciones. Por +ltimo, mi b+squeda tuvo, al fin, sus frutos. Es posible relacionar las matem-ticas, y en especial, las funciones lineales con situaciones problem-ticas que muestren variadas situaciones de la vida real. IQR Fna compaña de tel%fonos celulares esta equipada para realizar servicios a 1AA mil usuarios. En 1@@= tenia 0A mil, y su n+mero crece alrededor de 6 mil por año. aD Encuentra la e'presión de la función lineal que describe esta situación. bD V9 partir de que año la empresa necesitara comprar mas equipamiento4 QRLas ventas totales de un nuevo programa de cómputos fueron de 7AAAAA en el segundo ano y de 1AAAAAA en el cuarto. V!u-l es tu estimación de ventas totales durante el quinto año4 QRFn biólogo estudia la capacidad que tiene la especie de un insecto para soportar el efecto de arrastre de la corriente de un ro. !on una corriente e'perimental, cuya velocidad varia entre ,7 y A m 2 seg., se comprueba que: a una velocidad de 7 m 2seg., el 7Z de los animales es barrido del sustrato, y que a 1A m 2 seg., el numero asciende al 17Z. aD Encuentra una función lineal que estime para cada valor de velocidad el porcenta(e de la población que es arrastrado. bD VEntre que valores varia el porcenta(e de población que se pierde4 QRLa ecuación p21A q2/A 5 1 corresponde a una función de demanda CqD, asignando a la variable independiente p, el precio por unidad. aD )erifica que la e'presión corresponde a una función lineal. bD $alla los valores de la pendiente y ordenada al origen de la misma. cD nterpreta gr-ficamente y en el conte'to del problema los valores I1AJ y I/AJ.J 7
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Es decir, que es posible, relacionar las matem-ticas con situaciones de la vida real, por otro lado es posible relacionar las funciones lineales con distintas situaciones que podr-n adaptarse con actividades propias de la región en la que habitan los alumnos. Por e(emplo, para alumnos del elta se podr-n plantear situaciones que se relaciones con el consumo de combustible de las lanchas de pasa(eros, o los chicos que viven en la zona de !uyo podr-n relacionarse con la producción de la actividad vitivincola, etc. 9s, tambi%n es posible buscar una relación directa en la defensa del consumidor y la relación de las funciones lineales con el consumo de los distintos insumos Cpulso telefónico, metros c+bicos de gas, #ilo3ats, etc.D
CONCLUSIONES IQR Las matem-ticas est-n omnipresentes en todas las cosas que nos rodean. La realidad, de la que nosotros mismos formamos parte QR Boda actividad cientfica puede clasificarse seg+n el grado de formalización matem-tica con el que construye el modelo de la porción de realidad a la que estabocada. esde nociones tan elementales como la naturaleza del espacio y del tiempo fsicos, pasando por los comportamientos caóticos de ciertas reacciones qumicas, la turbulencia de nuestra atmósfera, la din-mica de sistemas biológicos tales como los microt+bulos celulares, los modelos geológicos de terremotos, hasta llegar a los
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algoritmos computacionalesM las matem-ticas constituyen la columna vertebral del entendimiento de %stos y muchos otros problemas de la ciencia. QRJ ; Luego de esta breve introducción es claro que no sólo la matem-tica es una construcción humana, adem-s, la encontramos en todo lo que nos rodea. La utilización de ella es necesaria por lo cual su correcta comprensión y cone'ión es fundamental. Por todo lo antes e'puesto podemos sostener:
La matem-tica es una construcción humana. La matem-tica es utilizada en variados aspectos de la vida, no solamente cotidianos. Las funciones lineales son de amplia utilización en situaciones reales. Los libros matem-ticos y los docentes no suelen encarar el tema desde la realidad. >uchos docentes creen ser creativos en sus actividades pero la realidad demuestra lo contrario.
ILIOGRAF/A 9ltman, "ilvia y otros. I>atem-tica polimodalJ. atem-tica = ES?J. Guevas Propuestas. 9rgentina. AAA. ;
ocente au'iliar del epartamento de <sica attei. Las >atem-ticas: el código de la realidad. E'actamente. GT 1A. 1@@0. http:22333.educ.ar http:22333.educ.ar2educar2servlet2o3nloads2"?EN9!B9>EGBE2E>@01AA6.P<
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Pisano, \uan Pablo, ILógicamenteJ Bomo . Ediciones Lógicamente. 9rgentina. AA;. "chifini, !laudio y otros. ISua de >atem-ticaJ Para el curso de aprestamiento universitario. FGS". nstituto del esarrollo $umano. 9rgentina. 1@@=. "chifini, !laudio y otros. I>atem-ticaJ Programa de 8econversión ocente para el Bercer !iclo de la ES?. !onvenio: .S.! y E de la Provincia de ?s. 9s. y FGS". 9rgentina. AAA. 9puntes de la Fniversidad Gacional de Seneral "armiento. AA1. &glietti, $. !laudio Profesor. atem-tico. aterial fotocopiado.D AA6. http:22so#o.com.ar2matem2matematica2funcionlineal.htm http:22333.unlu.edu.ar2mapco2apuntes2//A2mapco//A.htm http:22333/.fi.mdp.edu.ar2ingreso2bloque2practicontegrandobloque.pdf http:22333.fce.unam.edu.ar2pma2>odulo12EGBE2E>@01 AA6.P< http:22aportes.educ.ar2matematica2nucleoKteorico2recorridoKhistorico2matematicaK enKlaKescuelaKenKbuscaKdelKsentido2tiposdeactividadesmatematic.php4page5 http:22deptomat.unsl.edu.ar2!arreras2>atcv<res.htm http:22aportes.educ.ar2matematica2nucleoKteorico2recorridoKhistorico2matematicaK enKlaKescuelaKenKbuscaKdelK sentido2matematicaenlaescuelaenbu.php4page5/ http:22333.proverbia.net2citastema.asp4tematica567333.dav.sceu.frba.utn.edu .ar2homovidens28odriguezPatricia2proyectoZAfinal2historia.htm 333.areamatematica.cl28ecursos2traba(oalumnos2>odulosautoaprendiza(e2m oduloZA'()*%-)#,.pps http:22333.'.edu.uy2lineal.htm es.encarta.msn.com2encyclopedia0;1707A/2 F()*%+) C;!9#;<9%*!,D.html http:22es.3i#ipedia.org23i#i2magen:9polloniosofPerga.(peg http:22es.3i#ipedia.org23i#i2magen:
ANEJO
“F()*%-)#, E*-)+;%*!, INTRODUCCIÓN0
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En esta sección trataremos de introducir al alumno en conceptos elementales de economa, para luego a partir de la definición de función, poder desarrollar los problemas de aplicación matem-tica a las ciencias económicas.
Q( #)9#)&#;-, =-" E*-)-;!? En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma aislada como en su con(unto, tienen necesidades materiales Cvivienda, alimentación, etc.D y no materiales Csalud, recreación, etc.D.Pero, cómo las satisfacen si cuentan con recursos que son escasos o limitados4. El camino es el de realizar actividades productivas. En ese marco vamos a definir a la Economa como la ciencia que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos escasos de una sociedad, con el ob(eto de producir bienes que permitan satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades de los individuos. Los economistas son los encargados de encontrar las respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades ilimitadas, frente a recursos que son escasos. Para intentar entender como funcionan estas relaciones utilizaremos modelos matem-ticos.
M-&#$!*%+) ;!9#;<9%*! Los antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un an-lisis lógico. 9ristóteles desarrolló la teora que el mundo no era plano sino esf%rico, la que fue demostrada por sin moverse un solo paso de 9le(andra. Pero, cómo lo hizo4. 9 trav%s de suposiciones y simplificaciones creó el conte'to matem-tico en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometra que le permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia de la tierra. 9ctualmente cientficos y t%cnicos buscan representar la realidad en t%rminos matem-ticos, y es a este proceso al que denominaremos 'modelaci#n matemática' .
A=$%*!*%+) ! $!, C%#)*%!, E*-)+;%*!,0 En relación a esta sección que estamos desarrollando, el ob(etivo no es el de formar economistas, sino que pretendemos sirva de ayuda para enseñar matem-tica desde una perspectiva de las ciencias económicas. En Economa se plantean los problemas de tal modo que puedan responderse matem-ticamente, y que dichas respuestas puedan generalizarse. Entendemos por modelo a la simplificación y abstracción de la realidad, donde se identifican y par-metros, a partir de los cuales se postulan relaciones entre ellas en forma de leyes o teoras. !u-nto m-s sencillo sea el modelo económico propuesto, m-s f-cil ser- usarlo para dar respuestas de tipo general. La validez del mismo depender- de la validez de las consecuencias que de %l se deducen
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!omo no es posible controlar todas las variables, es frecuente introducir la condición de Xceteris paribusX , que nos permite suponer que todas las variables se mantienen constantes temporariamente, e'cepto la que estamos estudiando, y quiere decir: X"i todo lo dem-s no cambiaX. Por e(emplo, cuando analizamos como vara la demanda de la carne de vaca al variar su precio, estamos de(ando de considerar otros factores que influyen en la toma de decisión del consumidor como son el precio de productos substitutos Ccarne de pollo o de pescadoDM el gusto o preferencia de los consumidores por otras carnesM y la renta del consumidor en el mismo perodo de tiempo. Ging+n valor describe toda la información requerida, ya que la cantidad demandada de carne de vaca depender- entre otras cosas de su precio.
E="#,%+) !)!$9%*! &# () ;-&#$- #*-)+;%*En este curso nos referiremos a los modelos económicos, que ser-n las herramientas para entender la realidad en forma simplificada, esquem-tica y apro'imada. "u e'presión analtica se realiza a trav%s de una o varias funciones que nos indican las relaciones e'istentes entre las variables. En el desarrollo de este curso trataremos modelos económicos simples, formados en su mayora por una sola función que relaciona dos variables. 9s hablamos de la X
q: !antidad demandada del bien 9 p: Precio del bien 9 !antidad demandada 5 fCprecio del mercadoD
La gr-fica de la curva de demanda nos muestra las cantidades del bien 9 que ser-n demandadas durante un perodo de tiempo para cada posible precio. En el an-lisis P-gina /1 de /0
no incluimos ni precio de los bienes substitutos de 9, ni gusto de los consumidores, ni su renta. !ada punto de la curva de coordenadas Cq 9,p9D, nos muestra como se relacionan las variables precio y cantidad ba(o la condición de X ceteris paribusX . !9: f: 8 A KK 8 A es una función contnua y biyectiva, con dominio y codominio en los n+mero reales no negativos, que representa a un modelo económico.
onde a y b son n+meros reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el t%rmino independiente b es la ordenada al origen, que gr-ficamente representa la intersección de la recta con el e(e de las ordenadas en el punto de coordenadas CA, bD. La variable independiente es ', a la cual le asignamos valores para obtener y. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente C'D, provoca un cambio proporcional en la variable dependiente CyD. La tasa de cambio est- representada por la constante a.
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9nalicemos la relación funcional que e'iste entre la venta domiciliaria de tel%fonos celulares, y el sueldo del vendedor: Cfunción ingresoD
donde X yX es el sueldo del vendedor, y X'X es la cantidad de tel%fonos vendidos. Estamos frente a una función lineal, cuya representación gr-fica es:
Podemos observar: 1. . /.
Es función creciente 9l aumentar el n+mero de tel%fonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. CfD 5 8 A CfD 5
En otras ramas de las ciencias tambi%n se utilizan las funciones lineales, Por e(emplo: istancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo C>ovimiento rectilneo uniformeD Ley de enfriamiento de Ge3ton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo esten función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente. Longitud de la circunferencia en función del radio. Fnidad de riego en función de la superficie.
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)eamos un e(emplo de función lineal aplicado al !omercio E'terior. "eg+n la "ubsecretara de !omercio E'terior de una región 9, se e'portaron Cen miles de dólaresD, durante el perodo comprendido entre 1@@/ y 1@@0, los valores que se indican en la siguiente tabla: 9ño C'D
1@@/
1@@6
1@@7
1@@;
1@@0
E'portaciones CyD
1;6A
10;/
1=07
1@=0
AA;
G"<'%*- 5: Sraficamos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas:
G"<'%*- 2: En el siguiente gr-fico mostramos la lnea recta que se a(usta me(or Cen cierto sentidoD a la nube de puntos que aparecen en el gr-fico anterior. La lnea recta se denomina lnea de regresión, y est- dada por : !oeficiente de !orrelación: A.@0;1;= * 5 @6.6' K1=;606.@@@6
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EB#;=$- 2 La !omisión ?allenera nternacional formuló en 1@;A la relación lineal que e'iste entre la longitud L Cen piesD y el peso esperado U Cen toneladas brit-nicasD de las ballenas azules adultas. U 5 /,17 L K 1@ "i representamos gr-ficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:
R#="#,#)9!*%+) "<'%*! La representación gr-fica de las funciones permite reconocer r-pidamente la relación que e'iste entre las variables, detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos. "e pueden realizar dos tipos de gr-ficos seg+n la información que se vuelque en ellos: 1. 8epresentar gr-ficamente la relación que liga a las variables en forma emprica. 8etomando el e(emplo de las e'portaciones Ce(emplo 1D, volcamos los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas.
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Sr-fico 1: !ada punto del gr-fico representa un par ordenado C', yD, cuya primera componente corresponde al año en que se realizaron las e'portaciones, y la segunda a los miles de dólares e'portados en ese año. Sr-fico : Luego se busca y se grafica la lnea recta que se a(usta me(or Cen cierto sentidoD a la nube de puntos que aparecen en el gr-fico. La lnea recta se denomina lnea de regresión, y est- dada por: * 5 @6.6' K1=;606.@@@6 !oeficiente de !orrelación: A.@0;1;= . "e grafica la relación teórica dada por la función Para un determinado valor de ', se obtiene el valor de y. ?astar- graficar solo dos puntos, unirlos por medio de una curva continua, y obtenemos la recta que representa a la función lineal sobre la que se traba(a. En el e(emplo , que corresponde al peso y longitud de las ballenas, y tomamos el punto P C1AAM 11/D y el punto W C17AM 0A,7D, los unimos y obtenemos la gr-fica de la relación. /. &tra forma de obtener la misma gr-fica, es a trav%s de la pendiente y la ordenada al origen. Para la función lineal
Y La ordenada al origen CbD es ;, y gr-ficamente est- representado por el punto en que la recta corta al e(e de las ordenadas, punto de coordenadas C A,;D. La pendiente de la recta CaD est- dada por el valor .
En cuanto a la representación gr-fica, la inclinación que adopte la recta depender- del valor de la pendiente, y de la escala a la que le representen las magnitudes utilizadas.J 0
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