Matrices Semejantes y Diagonali Diagonalización zación Julio César Barraza Bernaola. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Lima - Perú
Febrero Febrero 2013
Definición de Matrices Semejantes
Definición Sean A y B y B dos dos matrices de orden n orden n n con elementos sobre el campo F campo F.. Si existe una matriz P matriz P de de orden n orden n n invertible tal que B = P 1 AP
decimos que A y B y B son son semejantes sobre el campo F campo F
Matriz Diagonalizable
Definición Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D del mismo orden tal que A es semejante a D
Matriz Diagonalizable
Definición Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D del mismo orden tal que A es semejante a D
Teorema Una matriz A de orden n es diagonalizable si y solo si A tiene n vectores propios linealmente independientes
Teorema Una matriz cuadrada A es diagonalizable si y solo si la multiplicidad aritmetica y geométrica de cada valor propio son iguales.
Polinomios Característicos de Matrices Semejantes
Teorema Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracteristico
Matrices Simétricas y Diagonalización Ortogonal
Teorema Sea A una matriz simétrica real de orden n. Entonces A tiene solo valores propios reales
Matrices Simétricas y Diagonalización Ortogonal
Teorema Sea A una matriz simétrica real de orden n. Entonces A tiene solo valores propios reales
Teorema Sea A una matriz simétrica real. Si u, v son vectores propios correspondientes a valores propios diferentes λ1 y λ2 . Entonces los vectores propios u, v son ortogonales.
Matrices Simétricas y Diagonalización Ortogonal
Teorema Sea A una matriz simetrica real. Entonces existe una matriz ortogonal P talque D = PT AP es una matriz diagonal.
Cálculo de la matriz que diagonaliza ortogonalmente una matriz simétrica
1
Encontrar una base para cada espacio propio de A
Cálculo de la matriz que diagonaliza ortogonalmente una matriz simétrica
1 2
Encontrar una base para cada espacio propio de A Ortonormalizar cada base utilizando el proceso de Gram-Schdmidt
Cálculo de la matriz que diagonaliza ortogonalmente una matriz simétrica
1 2 3
Encontrar una base para cada espacio propio de A Ortonormalizar cada base utilizando el proceso de Gram-Schdmidt Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores ortonormalizados en el paso anterior.
Definición de una ecuación cuadratica
Definición Una ecuación cuadrática en dos variables x, y es una ecuación de la forma ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
Nota 1
f es el término constante
Definición de una ecuación cuadratica
Definición Una ecuación cuadrática en dos variables x, y es una ecuación de la forma ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
Nota 1 2
f es el término constante dx + ey es el término lineal
Definición de una ecuación cuadratica
Definición Una ecuación cuadrática en dos variables x, y es una ecuación de la forma ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
Nota 1 2 3
f es el término constante dx + ey es el término lineal ax 2 + 2bxy + cy 2 es la forma cuadrática
Expresión matricial de la forma cuadrática
La forma cuadrática
ax 2 + 2bxy + cy 2
puede ser expresada como
x y A x y
donde A es una matriz simétrica definida por A =
a b b
c
Ecuación Cuadrática de n variables
Definición Una ecuación de la forma n
f (x) =
n
n
∑ ∑ aij xi x j + ∑ bi xi + c = 0 i=1 j=1
i =1
donde a ij , bi , c son reales, es llamado una ecuación cuadrática de n variables
Ecuación Cuadrática de n variables
Definición Una ecuación de la forma n
f (x) =
n
n
∑ ∑ aij xi x j + ∑ bi xi + c = 0 i=1 j=1
i =1
donde a ij , bi , c son reales, es llamado una ecuación cuadrática de n variables En forma matricial puede ser escrito como f (x) = x T Ax + b T x+c = 0
Diagonalización de una forma cuadrática Empezaremos por resolver el problema f (x) = x T Ax + c = 0 donde A es una matriz simetrica
Diagonalización de una forma cuadrática Empezaremos por resolver el problema f (x) = x T Ax + c = 0 donde A es una matriz simetrica
Teorema Sea x T Ax una
T
x forma cuadrática en x = x x donde A es una matriz simétrica real. Entonces existe un cambio de coordenadas y y = P x = y y tal que T
1
1
2
n
2
n
T
x T Ax = y T D y =λ1 y21 + λ2 y22 + + λn y2n
donde P es una matriz ortogonal y PT AP = D
Inercia de la matriz simétrica
Definición La inercia de una matriz simétrica es una tripleta de enteros denotado por In ( A) = ( p, q, r) donde p : es el número de valores propios positivos de A q : es el número de valores propios negativos de A r : es el número de valores propios nulos de A
Determinación de la sección conica asociada a la forma cuadrática
Considerando la ecuación cuadrática x T Ax = c, para n = 2 In ( A) ( p, q, r ) c > 0 (2,0,0) elipse (1,1,0) hipérbola (1,0,1) dos lineas paralelass
c = 0 un punto dos lineas intersectando en el origen una linea
Determinación de la sección conica asociada a la forma cuadrática
Considerando la ecuación cuadrática x T Ax = c, para n = 3 In ( A) ( p, q, r ) (3,0,0) (2,1,0) (2,0,1) (1,2,0) (1,1,1) (1,0,2)
c>0 elipsoide hipérboloide de una hoja cilindro eliptico hipérboloide de dos hoja cilindro hiperbolico dos planos paralelos
c = 0 un punto cono eliptico una linea cono eliptico dos planos que se intersectan un plano
