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GUIA PRÁCTICA DE ESTADÍSTICA

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CÁTEDRA CAPRIGLIONI

TEMA: ESTADISTICA DESCRIPTIVA 1.- Según los registros de una biblioteca pública, la cantidad diaria de libros consultados en su sala de lectura en los últimos 8 días fue: 103 – 124 – 89 – 76 – 132 – 94 – 115 – 99 a) Determinar el modo y la mediana de estos datos. b) Calcular la cantidad diaria promedio de libros consultados. c) Calcular la varianza y el desvío estándar. d) ¿Considera que el promedio diario de libros consultados es representativo? RESPUESTAS:

a) No hay Modo Mediana = 101 b) Promedio = 104 c) Varianza = 305 Desvío estándar = 17,46 d) No, porque el Coeficiente de Variación es mayor a 0,10 (CV = 0,1679)

2.- En un curso de Economía se ha tomado un examen consistente en 12 preguntas. Para aprobar el examen los alumnos deben tener como mínimo 6 respuestas correctas. A continuación se detalla la cantidad de respuestas correctas obtenidas por cada alumno: 4 6 5 4

7 2 8 3

5 6 9 6

6 7 5 5

8 10 4 8

3 6 9 5

11 5 12 7

7 5 4 6

a) Ordenar los datos anteriores en una distribución de frecuencias. b) Calcular las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias relativas simples y las frecuencias relativas acumuladas. c) Representar las frecuencias absolutas simples con un gráfico de bastones. d) Representar las frecuencias absolutas acumuladas con un gráfico escalonado. e) Calcular el modo, la mediana y el promedio. f) Calcular la varianza y el desvío estándar. g) Determinar si los datos son homogéneos. h) Calcular el porcentaje de alumnos aprobados. i) Calcular el porcentaje de alumnos con más de 7 respuestas correctas. j) ¿Qué porcentaje de alumnos aprobados contestaron correctamente más de 7 preguntas? k) ¿Qué porcentaje de los alumnos que no superó el Modo, respondió correctamente a lo sumo 4 preguntas? l) Calcular e interpretar los coeficientes de Asimetría y Curtosis. RESPUESTAS:

e) Modo = 5 Mediana = 6 Promedio = 6,1875 f) Varianza = 5,2148 Desvío estándar = 2,2836 g) No (CV = 0,369) h) 56,25% i) 25% j) 44,44% k) 50% l) As(x) = 0,6191 K(x) = 0,0657

3.- Los siguientes datos corresponden a las alturas en centímetros de un grupo de estudiantes secundarios: 174,3 171,7 165,7 168,6 173,8

160,2 160,2 173,1 178,5 166,9

172,0 177,4 169,4 175,1 172,8

175,9 168,1 183,8 171,3 170,8

164,1 174,8 175,5 174,5 167,5

173,5 171,4 165,3 172,5 174,9

166,0 169,0 167,2 179,6 170,3

a) Ordenar los datos anteriores en una distribución de frecuencias con intervalos. (Utilizar 6 intervalos de 4cm. de amplitud comenzando en 160cm.) b) Calcular las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias relativas simples y las frecuencias relativas acumuladas. c) Representar las frecuencias absolutas simples mediante un histograma y determinar gráficamente el modo. d) Representar las frecuencias absolutas acumuladas mediante una ojiva y determinar gráficamente la mediana. e) Calcular el modo, la mediana y la media. f) Calcular la varianza y el desvío estándar. g) Calcular la variabilidad relativa e interpretar su resultado. h) Calcular el porcentaje de estudiantes que mide: h.1) entre 168cm. y 172cm. h.2) entre 168cm. y 180cm. h.3) menos de 168cm.

Los derechos de autor de este trabajo, que pertenecen a la Est. Mirta Misevicius, están protegidos por la ley 11723 y están debidamente autorizados para ser distribuidos en forma gratuita únicamente a través de la página: www.estadistica-aplic.com.ar


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TEMA: ESTADISTICA DESCRIPTIVA h.4) al menos 172cm. h.5) como máximo 190cm. h.6) menos de 175cm. h.7) como mínimo 170cm. h.8) entre 165cm. y 173cm. h.9) como máximo 158cm. i) ¿Cuál es la altura no superada por el 12% de los estudiantes? j) ¿Cuál es la altura superada por el 25% de los estudiantes? k) El profesor de Educación Física desea preseleccionar a los estudiantes más altos para formar un equipo de basketball. Determinar la altura mínima que debe fijar como límite si pretende preseleccionar aproximadamente un 15% de los estudiantes. l) Calcular e interpretar los coeficientes de Asimetría y Curtosis. RESPUESTAS:

e) Modo = 173,14 Mediana = 171,78 Media = 171,257 f) Varianza = 20,868 Desvío estándar = 4,568 g) CV = 0,02667 (Los datos son homogéneos) h.1) 25,71% h.2) 71.43% h.3) 25,71% h.4) 48,57% h.5) 100% h.6) 79,29% h.7) 61,43% h.8) 50% h.9) 0% i) 165,2571 j) 174,5385 k) 175,6154 l) As(x) = -0,0583 K(x) = -0,3427

4.- Analizar la variabilidad de los siguientes datos calculando la amplitud total, una medida de la dispersión absoluta y una medida de la dispersión relativa de los mismos: 51 42 12 5 89 16 RESPUESTAS:

A = 84

S = 28,89

CV = 80,63%

5.- Basándose en los siguientes datos: x f

58 120

59 151

60 213

61 95

62 37

a) Calcular modo, mediana y promedio. b) Calcular varianza, desvío estándar y coeficiente de variación. c) ¿Qué proporción de los datos tomaron un valor superior al promedio? d) ¿Qué porcentaje de los datos que superaron el promedio, tomaron un valor de a lo sumo 61? RESPUESTAS:

a) Modo = 60 b) S2 = 1,24 c) 0,5601

Mediana = 60 S = 1,11 d) 0,8928

Promedio = 59,64 CV = 0,0186 (CV = 2%)

6.- Dados los siguientes datos: 10 20 30 40 50 60 70 80

X – – – – – – – –

20 30 40 50 60 70 80 90

f 12 19 28 36 25 17 14 9

a) Calcular modo, mediana y media. b) Calcular varianza, desvío estándar y coeficiente de variación. c) Calcular los siguientes percentiles: c.1) Percentil ( 63 ) c.2) Percentil ( 5 ) c.3) Percentil ( 75 ) d) Calcular la frecuencia absoluta acumulada hasta los siguientes valores de la variable: d.1) 40 d.2) 63,28


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TEMA: ESTADISTICA DESCRIPTIVA d.3) 17,25 e) Determinar el porcentaje de datos cuyos valores: e.1) son menores a 40 e.2) son mayores a 63,28 e.3) están comprendidos entre 17,25 y 63,28 f) ¿Qué porcentaje de los datos son menores a 63,28 y mayores a 40? g) ¿Qué porcentaje de los datos menores a 63,28 son mayores a 40? h) ¿Qué proporción de los datos superiores al Modo son inferiores a 63,28? i) Calcular e interpretar los coeficientes de Asimetría y Curtosis. RESPUESTAS:

a) Modo = 44,21 b) S2 = 354,59 c.1) 52,32 d.1) 59 e.1) 36,875% g) 53,016%

Mediana = 45,83 S = 18,83 c.2) 16,67 d.2) 125,576 e.2) 21,515% h) 0,5988

Promedio = 47,1875 CV = 0,399 (CV = 40%) c.3) 60 d.3) 8,70 e.3) 73,0475% f) 41,62% i) As(x) = 0,2218 K(x) = -0,6794

7.- Para estudiar la incidencia de las asignaciones familiares en los salarios, se tomó una muestra de obreros metalúrgicos para establecer la cantidad de hijos menores a cargo de cada obrero y se obtuvo la siguiente información: Cantidad de hijos menores a cargo 0 1 2 3 4 5

Cantidad de Obreros 1 8 16 10 3 2

Con el mismo fin se tomó otra muestra de ocho obreros de la construcción, y se encontró la siguiente cantidad de hijos menores a cargo de cada uno de ellos: 8 5 3 6 3 5 6 4 a) ¿En cuál de las dos actividades se observa menor variabilidad absoluta en lo que respecta a la cantidad de hijos menores por obrero? b) ¿Y en cuál se observa menor variabilidad relativa? c) Calcular e interpretar los coeficientes de Asimetría y Curtosis de la cantidad de hijos a cargo en los obreros metalúrgicos. RESPUESTAS:

a) La menor variabilidad absoluta corresponde a los obreros metalúrgicos, porque este grupo de datos tiene el menor desvío estándar: S (obreros metalúrgicos) = 1,10 S (obreros de la construcción) = 1,58 b) La menor variabilidad relativa corresponde a los obreros de la construcción, porque este grupo de datos tiene el menor coeficiente de variación: CV (obreros metalúrgicos) = 47,83% CV (obreros de la construcción) = 31,60% c) As(x) = 0,5139 K(x) = 0,1540

8.- Los salarios mensuales de los empleados de la empresa BIT S.R.L., tienen la siguiente distribución: Salarios mensuales Cantidad de ( en pesos ) empleados 800 – 1.000 51 1.000 – 1.200 87 1.200 – 1.400 37 1.400 – 1.600 22 1.600 – 1.800 12 1.800 – 2.000 6 a) Calcular el salario mensual promedio y su desvío estándar. b) A partir del próximo mes se retendrán impuestos a los salarios que superen los $1.500 mensuales. Determinar el porcentaje de empleados que se verán afectados por tal retención.



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TEMA: ESTADISTICA DESCRIPTIVA c) Debido a los continuos reclamos del personal y ante la imposibilidad de conceder un aumento general de salarios, la empresa decide otorgar un aumento de emergencia consistente en $120 mensuales que se abonarán a partir del próximo mes a los empleados que menos ganan. ¿En cuánto debe fijarse el salario máximo para obtener dicho aumento, si la empresa está dispuesta a otorgarlo únicamente al 12% de los empleados? d) ¿Y en cuanto debería fijarse dicho salario tope, si el sindicato negocia con la empresa y logra que el aumento de emergencia se otorgue a la cuarta parte de los empleados? e) Calcular el porcentaje de empleados que recibirá este aumento de emergencia, si finalmente se acuerda fijar en $1.000 el salario tope. f) Calcular e interpretar los coeficientes de Asimetría y Curtosis. RESPUESTAS:

a) Promedio = 1.183,72 b) 13,49% d) 1.006,32 f) As(x) = 0,9823 K(x) = 0,4326

Desvío estándar = 252,37 c) 901,18 e) 23,72%

9.- Un joven que desea adquirir un par de zapatillas deportivas, entra a un negocio donde tienen a la venta una gran variedad de tipos y marcas de dichas zapatillas. Consulta a un vendedor, quien le suministra una lista con todas las variedades y sus respectivos precios. El joven calcula rápidamente el promedio y el desvío estándar de dichos precios que resultan de $68 y $17 respectivamente. Luego consulta al vendedor acerca de las formas de pago posibles y éste le informa que los precios de la lista corresponden a pagos al contado en efectivo, pero que además puede pagar con tarjeta, o bien puede optar por un plan de pago en tres cuotas. Si paga con tarjeta, el precio de lista sufre un recargo de $2 en concepto de gastos administrativos, y si paga en cuotas el precio a abonar será igual al precio de lista más un 8% en concepto de intereses. a) Calcular el promedio y el desvío estándar de los precios de las zapatillas deportivas cuando el pago se efectúa con tarjeta. b) Calcular el promedio y el desvío estándar de los precios de las zapatillas deportivas cuando el pago se efectúa en cuotas. c) ¿En cuál de las tres formas de pago posibles la variabilidad relativa de los precios resulta menor? (Justificar claramente la respuesta). RESPUESTAS:

a) Promedio = 70 Desvío estándar = 17 b) Promedio = 73,44 Desvío estándar = 18,36 La menor variabilidad relativa corresponde al pago con tarjeta, porque al calcular los respectivos coeficientes de variación, se obtiene: Pago en efectivo: CV = 0,25 Pago con tarjeta: CV = 0,24 Pago en cuotas: CV = 0,25

10.- Cuatro amigos, a los que denominaremos A, B, C y D, están cursando el quinto año del secundario en el mismo colegio, pero mientras que A y B cursan en el turno mañana, C y D cursan en el turno tarde. Al finalizar el primer trimestre los cuatro comparan las notas que cada uno obtuvo en Historia. Por disposición del colegio los profesores deben evaluar en cada alumno, su participación en clase, los trabajos prácticos realizados y un examen general sobre los temas desarrollados durante el trimestre, y la calificación final del trimestre deben determinarla promediando estas tres notas parciales. Si bien los profesores deben cumplir estrictamente dicha disposición, tienen la facultad de asignar a cada nota parcial la importancia relativa que su criterio le indique. El profesor de Historia del turno mañana considera que la participación en clase tiene el doble de importancia con respecto a los trabajos prácticos, y a su vez al examen general le asigna el doble de importancia que a la participación en clase. En cambio, el profesor de Historia del turno tarde, asigna en 15% de importancia relativa a la participación en clase, un 40% a los trabajos prácticos y un 45% al examen general. Las notas parciales del primer trimestre de Historia, de los cuatro amigos son las siguientes: Notas parciales Participación en clase Trabajos prácticos Examen general

Alumno A 8 4 9

Alumnos B 6 6 6

Alumno C 10 2 6

Alumno D 0 5 10

a) Calcular la calificación final del primer trimestre que obtuvo cada uno de los cuatro amigos en Historia. b) Calcular la calificación final que hubieran obtenido, si los dos profesores hubieran asignado la misma importancia relativa a las tres notas parciales. RESPUESTAS:

a) A: 8 b) A: 7

B: 6 B: 6

C: 5 C: 6

D: 6,50 D: 5



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TEMA: ESTADISTICA DESCRIPTIVA 11.- Debido al incremento de los reclamos y quejas de los clientes, el jefe de producción de la fábrica ALFA S.A. decide controlar la calidad de todas las unidades producidas el día anterior. La causa de la mayoría de los reclamos es la elevada cantidad de unidades que deben desecharse porque su longitud cae fuera de los límites de tolerancia. La longitud especificada para estas unidades es de 0,99cm., con una tolerancia de 0,09cm., es decir que para que una unidad se considere dentro de los límites de tolerancia, debe medir entre 0,90cm. y 1,08cm. Los resultados obtenidos al controlar la longitud de las unidades producidas ayer, en cada uno de los dos turnos de trabajo de la fábrica, se vuelcan en la siguiente tabla: Longitud (en cm.) 0,78 – 0,84 0,84 – 0,90 0,90 – 0,96 0,96 – 1,02 1,02 – 1,08 1,08 – 1,14 1,14 – 1,20

Unidades producidas por el turno mañana 11 23 124 86 28 15 9

Unidades producidas por el turno tarde 12 25 101 87 46 28 21

a) Calcular la longitud promedio de las unidades producidas en el turno mañana y su variabilidad relativa. b) Calcular la longitud promedio de las unidades producidas en el turno tarde y su variabilidad relativa. c) Calcular la longitud promedio de todas las unidades producidas en la fábrica y su variabilidad relativa. d) Determinar el porcentaje de unidades desechadas producidas en: d.1) el turno mañana. d.2) el turno tarde. d.3) toda la fábrica. (unidad desechada: unidad cuya longitud está fuera de los límites de tolerancia) e) ¿Cuál fue la longitud superada por el 57% de las unidades producidas en el turno mañana? f) ¿Cuál fue la longitud no superada por el 72% de las unidades producidas en el turno tarde? g) ¿Qué porcentaje de las unidades cuya longitud está comprendida dentro de los límites de tolerancia, fue producida en el turno tarde? h) Calcular e interpretar los Coeficientes de Asimetría y Curtosis de la longitud de piezas producidas durante el Turno Mañana. RESPUESTAS:

a) Turno mañana : Promedio = 0,9661 CV = 7,6% b) Turno tarde : Promedio = 0,9859 CV = 8,7% c) Total fábrica : Promedio = 0,9764 CV = 8,2% d.1) 19,6% de unidades fuera de tolerancia en turno mañana d.2) 26,9% de unidades fuera de tolerancia en turno tarde d.3) 23,4% de unidades fuera de tolerancia en total fábrica e) Percentil (43) = 0,945 cm. (Turno mañana) f) Percentil (72) = 1,027 cm. (Turno tarde) g) 49,6% h) As(x) = 0,6166 K(x) = 0,8413

12.- En una universidad dónde la próxima semana se elegirán representantes estudiantiles entre los candidatos presentados por tres agrupaciones (A, B, y C), se entrevistó a 12 estudiantes y se obtuvieron los siguientes datos: ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO ALUMNO

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene Tiene

19 21 22 19 20 21 24 21 23 22 21 25

años años años años años años años años años años años años

de de de de de de de de de de de de

edad, edad, edad, edad, edad, edad, edad, edad, edad, edad, edad, edad,

4 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación A. 15 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación B. 24 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación A. 7 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación C. 10 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación A. 10 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación C. 22 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación A. 8 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación C. 19 materias aprobadas y aún no tiene decidido su voto. 15 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación B. 17 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación A. 28 materias aprobadas y piensa votar a los candidatos de la agrupación C.

a) Calcular mediana y modo de las edades de los estudiantes entrevistados. b) Calcular la cantidad promedio de materias que han aprobado.



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TEMA: ESTADISTICA DESCRIPTIVA c) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes entrevistados que: c.1) piensa votar a los candidatos de la agrupación A? c.2) tienen como mínimo 20 años de edad? c.3) han aprobado a lo sumo 15 materias? d) ¿Qué porcentaje de los estudiantes que piensan votar a los candidatos de la agrupación B, tienen más de 20 años de edad? e) ¿Qué porcentaje de los que no han decidido votar a la agrupación A: e.1) tienen menos de 15 materias aprobadas? e.2) tienen como máximo 21 años de edad? e.3) piensan votar a los candidatos de la agrupación B? RESPUESTAS:

a) Mediana = 21 b) Promedio = 14,92 c.1) 41,67% d) 100% e.1) 42,86%

Modo = 21 (aproximadamente 15 materias) c.2) 83,33% c.3) 58,33% e.2) 57,14%

e.3) 28,57%

13.- El jefe de la oficina que se ocupa de atender los reclamos de los clientes en la empresa SERVISUR, dedicada a la reparación de televisores, verificó que durante el mes pasado hubo 8 días en los que ingresaron 7 reclamos, 5 días en los que ingresaron 9 reclamos, 4 días en los que ingresaron 10 reclamos, 2 días en los que ingresaron 15 reclamos, 3 días en los que ingresaron 19 reclamos y 1 día en el que ingresaron 25 reclamos. Calcular: a) Cantidad promedio de reclamos que ingresa por día y su desvío estándar. b) ¿En cuantos de los días analizados ingresaron a lo sumo 8 reclamos? RESPUESTAS:

a) Promedio = 11

S = 4,98

b) En 8 días

14.- Los siguientes datos corresponden al tiempo que tardan los operarios de BETA S.A. para producir cierta pieza mecánica: Tiempo de producción (en minutos) 12 – 16 16 – 20 20 – 24 24 – 28 28 – 32 32 – 36

Cantidad de operarios 62 153 117 49 11 8

a) Calcular el tiempo medio de producción por operario y su desvío estándar. b) Para evitar despidos y suspensiones de personal por problemas económicos, la empresa acordó con el sindicato que agrupa a los operarios, reducir el premio por productividad, que asciende a $300 mensuales por operario, según las siguientes pautas: * Los operarios más ineficientes (es decir los que tardan más tiempo) no cobrarán más dicho premio, los operarios más eficientes (es decir los que producen en menor tiempo) seguirán cobrando el premio completo y el resto de los operarios cobrará la mitad de dicho premio. * Solamente se pagará el premio completo al 18% de los operarios y la mitad del premio al 41% de los operarios. Sabiendo que el operario A tarda 16,82 minutos para producir una pieza, y que el operario B tarda 22,25 minutos, determinar cuanto cobrará cada uno en concepto de premio por productividad. (Justificar la respuesta). c) ¿Qué proporción de operarios necesita un tiempo superior al Modo para producir una pieza? d) ¿Qué proporción de los operarios cuyo tiempo de producción supera al Modo, tardan menos de 28 minutos? e) ¿Qué porcentaje de los operarios que tardan menos de 30 minutos, superan el tiempo de producción modal? f) ¿Cuál es el tiempo de producción correspondiente al segundo quintil? ¿y al cuarto decil? RESPUESTAS:

a) Promedio = 20,18 Desvío estándar = 4,3963 b) El operario A cobrará $150 (la mitad del premio) El operario B cobrará $ 0 (no cobrará más el premio) Justificación: Percentil (18) = 16,26 minutos Percentil (59) = 20,72 minutos (59% = 18% +41%) Entonces, solamente cobrarán el premio completo ($300) los operarios que tarden menos de 16,26 minutos. Aquellos que tarden entre 16,26 y 20,72 minuto (como el operario A que tarda 16,82 minutos) cobrarán sólo la mitad del premio y los que tarden más de 20,72 minutos (como el operario B que tarda 22,25 minutos) no lo cobrarán. c) 0,57151 d) 0,9169 e) 55,65% f) 18,56 minutos


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