DESARROLLA TU AGILIDAD MENTAL ÍNDICE CAPÍTULO 1 – LOS NÚMEROS GOBIERNAN EL MUNDO 1.1
BREVE HISTORIA DE LOS NÚMEROS 1.1.1 El Hombre Primitivo 1.1.2 Los Egipcios 1.1.3 Los Griegos 1.1.4 Los Romanos
1.2
SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.2.1 Sistema de Numeración Decimal 1.2.2 La Invención del Cero 1.2.3 La Grafía de Nuestros Números 1.2.4 -
Otros Sistemas de Numeración Sexagesimal: Mesopotamia Binario: Las Computadoras Vigesimal: Los Mayas
1.3
TIPOS DE NÚMEROS 1.3.1 Números Naturales (N) 1.3.2 Números Enteros (Z) 1.3.3 Números Racionales (Q) 1.3.4 Números Irracionales ( I o R/Q) 1.3.5 Números Reales (R) 1.3.6 Números Imaginarios (i) 1.3.7 Números Complejos (C)
1.4
LOS NÚMEROS PRIMOS 1.4.1 Concepto de Número Primo 1.4.2 Historia de los números primos 1.4.3 Los números primos en criptografía 1.4.4 El curioso caso de la magicicada septendicim
1.5
OTROS NÚMEROS CURIOSOS 1.5.1 Números primos gemelos 1.5.2 Números primos de Mersenne 1.5.3 Números amigos
1.5.4 Números perfectos 1.5.5 Números sociables 1.5.6 Números omirp 1.5.7 Números Vampiro 1.5.8 Números apocalípticos 1.5.9 Números ambiciosos 1.5.10 Números felices 1.5.11 Números narcisistas 1.5.12 Números abundantes 1.5.13 Números raros o frikies
CAPÍTULO 2 – TÉCNICAS DE CÁLCULO MENTAL 2.1 EL CÁLCULO A LO LARGO DE LA HISTORIA 2.2 LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO MENTAL 2.2.1 El cálculo mental como gimnasia cerebral 2.2.2 Seguridad psicológica y desarrollo lógico-matemático 2.2.3 Convivencia con las calculadoras 2.2.4 La Leyenda del Ajedrez, el mejor ejemplo
2.3 SUMA O ADICIÓN 2.3.1 Concepto y propiedades 2.3.2 Simbología de sumas y restas 2.3.3 Técnica para sumar
2.4 RESTA O SUSTRACCIÓN 2.4.1 Concepto y propiedades 2.4.2 Técnica para restar
2.5 MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO 2.5.1 Concepto y propiedades 2.5.2 Simbología de la multiplicación 2.5.3 Técnicas de multiplicación
2.6 LA DIVISIÓN 2.6.1 Concepto y propiedades 2.6.2 Simbología de la división 2.6.3 Técnica para dividir
2.7 POTENCIAS 2.7.1 Concepto y propiedades 2.7.2 Simbología de las potencias
2.7.3 Algunos truquitos con potencias
2.8 RAÍCES CUADRADA Y CÚBICA 2.8.1 Concepto y propiedades 2.8.2 Simbología de la raíz cuadrada 2.8.3 Técnica para calcular raíces cuadradas 2.8.4 El truco de la raíz cúbica
CAPÍTULO 3 – EJERCICIO MENTAL 3.1 TRUCOS CON NÚMEROS * adivinar fechas de nacimiento * adivinar el dinero que una persona lleva, su número de hermanos y su número de hermanas * complementario a 9 * adivinar un número elegido * adivinar la edad * adivinar dos números pensados * adivinar números telefónicos * truco del mentalista
3.2 EJERCICIOS DE CÁLCULO MENTAL 3.2.1 Juegos de verdadero o falso
3.2.2 ¿Cuál número falta? 3.2.3 Seleccionar la respuesta correcta 3.2.4 ¿Cuál es el mayor? 3.2.5 Juegos con raíces
SOLUCIONES A TODOS LOS EJERCICIOS
PRÓLOGO Con el presente libro pretendo acercarte a los regidores de este mundo: los números. Y digo regidores, porque el lenguaje de la ciencia es puramente matemático, es puramente numérico. Y con esta premisa, lógico es pensar que el conocerlos es fundamental para poder manejarnos en nuestro día a día y entender mucho mejor los acontecimientos científicos que nos invaden. Una vez que nos acercamos a los números, con su historia y los tipos de números existentes, pasamos a ver lo que es la operación entre ellos y su importancia, es decir, analizaremos las distintas operaciones aritméticas y el
cálculo mental, exponiendo las técnicas más adecuadas para adquirir cierta habilidad con ellos. Por último, te planteo los mejores trucos con números para que puedas ejercitar tu cálculo y deslumbrar a tus amigos o familiares. Tras esto, veremos ejercicios y test de cálculo para que puedas poner en práctica las técnicas vistas. Muchos de estos juegos tienen un componente de “cálculo intuitivo”, por lo que tendrás que determinar la respuesta correcta aplicando también tu capacidad lógica. Hacer gimnasia mental es muy importante, y qué mejor que hacer este ejercicio a través del cálculo, dadas las numerosísimas aplicaciones que podemos dar a los números en nuestro día a día. Por último, no olvides que las tecnologías nacen para ayudarnos, y no para sustituirnos, por lo que no dejes de practicar, tu cerebro te lo agradecerá.
CAPÍTULO 1 – LOS GOBIERNAN EL MUNDO
NÚMEROS
1.1
BREVE HISTORIA DE LOS NÚMEROS 1.1.1 El Hombre Primitivo
Cuando hablamos de computadoras o celulares, por poner sólo dos ejemplos, parece que lo hacemos de algo que siempre ha estado ahí, al menos así lo interpretan las nuevas generaciones que han crecido entre ellos. Sin embargo, todo empezó mucho antes, en épocas pretéritas, donde el ser humano tuvo que darle forma al concepto de número (con cuyo lenguaje funcionan todos estos ingenios modernos), suponiendo todo esto un largo proceso de abstracción del pensamiento, tan largo como pueden representar varios milenios. Las formas más antiguas de expresar los números datan del Paleolítico, donde el hombre primitivo ya necesitaba contar objetos para poder reflejar el número de animales que, por ejemplo, había visto durante una cacería. Pero… ¿cómo lo hizo? Pues muy sencillo, se han encontrado algunos objetos de contar de aproximadamente 30 mil años de antigüedad que demuestran que utilizaban piedras o realizaban muescas en palos o huesos, por ejemplo: una muesca, un bisonte; dos muescas, dos bisontes, etc. La palabra cálculo deriva precisamente del latín calculus, que significa piedra o guijarro. Cuando oigas que alguien tiene cálculos en el riñón, precisamente quiere decir que tiene “piedrecitas” en ese órgano. Quedaba ahora el momento en que habría que escribir los números, darles una forma, y aquí cada civilización fue aplicando su propio código de representación. En un principio los números se expresaban de una forma muy sencilla, por signos iguales: uno (´) dos (´´)
tres (´´´) cuatro (´´´´) Y lo mismo para los siguientes.
1.1.2 Los egipcios Como te puedes imaginar, esto resultaba muy engorroso cuando se quería expresar un número grande, por lo que se empezó a separarlo en grupos, siendo lo más habitual que fuesen grupos de 10 –justamente y por ese motivo, por ser el número de dedos de las manos–. A este grupo de 10 se le asignaba una forma determinada y se volvía a empezar hasta acumular otros 10, hasta llegar a nuevos símbolos con 10 grupos de 10 (o sea 100), y así sucesivamente. Los antiguos egipcios, a través de sus escribas, empezaron a utilizar este sistema aditivo o de agrupamiento de 10 en 10, por lo que hubieron de desarrollar símbolos específicos. Así, la unidad se representaría con un trazo vertical, la decena con un trazo en forma de arco, las centenas venían representadas por un trazo similar al 9 actual, y para números que representaran millares y decenas de millares se utilizaría un jeroglífico específico.
1.1.3 Los griegos
Otras culturas como la sumeria, la hitita, cretense, hebrea, griega o romana, utilizaron también este sistema de representación aditiva, cada cual con sus correspondientes símbolos. En el caso de los griegos, tomaron de los egipcios su sistema y el acomodamiento a sus símbolos hacia el año 600 a.C. Para ello, utilizaron trazos verticales para representar los números hasta el 4, y letras para el 5 (penta), 10 (deka), 100 (hekatón) y 1,000 (khiloi). Dichas letras, que representaban al número, correspondían con la inicial de la palabra con la que se les denominaba.
1.1.4 Los romanos Los romanos también utilizaron letras mayúsculas, en concreto siete, a las que se les asigna valores numéricos. Letras
I V X
Valores 1 5
L
C
D
M
10 50 100 500 1.000
Aunque actualmente no se usa esta forma de numeración romana debido a las grandes desventajas con nuestro sistema actual, sí que hay situaciones excepcionales en las que se sigue haciendo, como por ejemplo: en los nombres de emperadores, reyes o papas; a la hora de numerar los capítulos de una obra; en los actos de una obra de teatro; a la hora de escribir algunos años o en los siglos; en la designación de congresos, certámenes varios, juegos olímpicos, etc. Dado este uso que aún se le sigue dando, vamos a comentar brevemente sobre las reglas de su funcionamiento: - Cuando se coloca a la derecha de una cifra romana otra igual o menor, el valor de esta se suma a la anterior Por ejemplo: VI = 6 XXXVIII = 38 LXXVII = 77 Si colocamos una cifra menor delante de una mayor, estaríamos restando el valor de la menor a la mayor Por ejemplo: IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900
En ningún caso se puede poner la misma letra más de tres veces seguidas. Por ejemplo: VIII = 8 IX = 9 XXIII = 23 XXIV = 24 DCXXVIII = 628 DCIXXX = 629 La “V”, la “L” y la “D” no pueden duplicarse, dado que las letras “X”, “C” y “M”, ya representan su valor duplicado. Esto es, “X” (10) es el doble de “V” (5) ; “C” (100) es el doble de “L” (50); y “M” (1000) es el doble de “D” (500) - Si entre dos cifras cualesquiera colocamos una menor, ésta restará su valor a la siguiente. Por ejemplo: XIX = 19 LXIV = 64 CLXXIX = 179 Cuando sobre el valor de los números romanos colocamos rayas horizontales, estaremos multiplicando ese valor por mil tantas veces como rayas haya (una raya por mil, dos rayas por un millón, etc). Por ejemplo: __ XXX = 30,000 __ LVII = 57,000 _
IV
= 4,000
1.2
SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.2.1 Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración o en base 10 es el que utilizamos en la actualidad y se llama así debido a que consta de 10 dígitos con los cuales se pueden formar todos los números: 0–1–2–3–4–5–6–7–8-9 El hecho de que conste de 10 dígitos se debe a que tenemos 10 dedos en las manos y, precisamente estas, han sido la primera “calculadora” con la que ha contado el ser humano. La principal ventaja de este sistema es el hecho de ser posicional, es decir, la posición de cada dígito determina el número del que estemos hablando (no es lo mismo 68 que 86). Esto que nos parece tan sencillo ni mucho menos lo es, puesto que se han necesitado siglos de evolución para llegar a este forma de numeración. Allá por el siglo V d. C. nació este sistema en la India, que posteriormente fue tomado por los árabes y transmitidos en Europa Occidental por la figura de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, ya en los inicios del Siglo XIII. Fibonacci tuvo la ocasión de viajar por el Norte de África con su padre, que era comerciante, y conocer de primera mano el sistema de numeración que se utilizaba en estos países. Viendo las grandes ventajas que tenían respecto a los vigentes por aquel entonces números romanos, decidió publicar en 1202 un libro titulado “Liber Abaci” (El (El libro del ábaco), en el que daba conocer estos números indo-arábigos. De todas formas aún tardaron como 3 siglos en imponerse, puesto que se encontraron con el rechazo de los contables de la época, que temían perder sus trabajos con un sistema que obviamente era mucho más accesible y que tildaban de demoníaco.
1.2.2 La invención del Cero Dentro de este nuevo sistema de numeración decimal, merece una especial atención lo que supuso para el mismo la invención del cero, y es que el hecho de su existencia implica que podamos crear el resto de números. Al ser humano le ha costado mucho tiempo admitir al cero como número, puesto que al no ser nada, tampoco debería de considerársela como tal, no cabía en la mente humana que a la nada se le pudiera considerar como número. Fueron los indios los que inventaron en cero, denominándolo sunya, que quiere decir “vacío”. Con este invento ya no se confundirían números tales como 408 con el 48, el primero se representaba antes de la invención del cero dejando un espacio (4_8), lo cual resultaba bastante caótico. Los árabes, tras “descubrir” el cero en la India, pasaron a denominarlo céfer, que también significa “vacío”, y que dio origen a las palabras cero y cifra. Independientemente de la India, también los mayas en América crearon el cero, lo que nos da una idea de los avanzados conocimientos matemáticos que poseían. Es más, ellos inventaron el cero antes que en la India, se cree que unos 40 años antes del nacimiento de Cristo.
1.2.3 La grafía de nuestros números Todos sabemos escribir los dígitos que conforman nuestro sistema de numeración decimal, pero poco conocido es el motivo por el que se “dibujan” de esta determinada forma. Pues bien, el hecho de que se escriban como lo hacen se debe al número de ángulos que se forma con cada uno de ellos, representando de esta forma su propio valor. Puedes apreciarlo en la siguiente figura, teniendo en cuenta la forma original de escritura.
El cero, como ves, no tiene ángulos
1.2.4 Otros sistemas de numeración Hemos visto el sistema de numeración decimal o en base 10, que es el que nosotros utilizamos, pero podrían crearse tantos sistemas de numeración como quisiéramos. No obstante, vamos a hacer una breve referencia, por su importancia, a tres de ellos: sexagesimal o de base 60, binario o de base 2 y el sistema vigesimal o en base 20. -
Sistema sexagesimal
En la antigua Babilonia surgió la civilización mesopotámica y, de ella, conservamos este sistema de numeración en base 60, sobre todo a la hora de hablar de ángulos o del paso de segundos a minutos y de minutos a horas ( que como bien sabemos un minuto son 60 segundos y una hora son 60 minutos). El motivo por el que utilizamos en estos dos contextos la base 60 es por la
buena divisibilidad de este número.
-
Sistema binario
El sistema binario o en base 2 es muy importante en nuestros días, y no porque nosotros mismos lo estemos usando de forma directa, si no porque es el lenguaje con el funcionan todo tipo de computadoras. Se utiliza este sistema de numeración binario, compuesto únicamente por ceros y unos, porque la información es almacenada en última instancia en un medio que sólo admite dos estados posibles (cargado o descargado) y estos dos estados se asocian al 0 y al 1. También en las computadoras se suele utilizar el sistema hexadecimal o en base 16, y esto es así porque este sistema es fácilmente convertible al sistema binario.
Lenguaje binario de las computadoras
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Sistema vigesimal
Al hablar del sistema vigesimal o en base 20 tenemos que hacerlo ineludiblemente de los mayas, cultura que trabajó con este sistema de numeración y en el que incluían el 0, algo realmente sorprendente y meritorio, puesto que ellos inventaron este número siglos antes de que se hiciera en la India y, por supuesto, más aún antes de que los árabes lo utilizaran y llegase a Europa.
Sistema de numeración Maya
Como puedes observar, es un sistema de numeración basado en puntos y rayas. Los mayas no usaban este sistema para hacer cálculos matemáticos que no tuvieran que ver con medir el tiempo, por esa razón asociaban los números
a los días, meses y años, relacionándolos con su calendario. Sus cálculos astronómicos fueron asombrosamente precisos.
1.3
TIPOS DE NÚMEROS 1.3.1 Números Naturales (N)
Ya vimos brevemente cómo el ser humano fue evolucionando en cuanto a la forma de contar objetos y hacer abstracción de esos objetos a símbolos numéricos y, por otra parte, la aceptación del número cero como ausencia de tales objetos. Pues bien, es con los números naturales “N” con los que contamos los elementos de un determinado conjunto. Por lo tanto, el conjunto de los números naturales está formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Algunas propiedades de los números naturales cuando operamos con ellos son: 1) La suma y multiplicación (o producto) de dos números naturales dan otro número natural 4+3=7 4 x 3 = 12 2) La resta (o diferencia) de dos números naturales dan otro número natural cuando el minuendo es mayor que el sustraendo: 7–5=2 2 Pero no sucede lo mismo cuando el sustraendo supera al minuendo: 5 – 7 = -2 -2
3) La división (o cociente) de dos números naturales sólo da como resultado otro número natural cuando esta división es exacta. 21 : 7 = 3 3 21 : 4 = 5.25 5.25 4) En cuanto a las potencias y raíces, si elevamos un número natural a cualquier exponente, siempre vamos a obtener otro número natural. Por su parte, la raíz de un número natural sólo da como resultado otro número natural cuando dicha raíz es exacta.
1.3.2 Números Enteros (Z) Los números enteros son aquellos formados por los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) y los negativos de los números naturales (-1, -2, -3, -4, -5, …) Al conjunto de todos los números enteros se les representa por la letra “Z” debido a que proviene del alemán Zahlen, que significa “números”. En la antigüedad ya se conocían estos números, sobre todo en los usos contables, puesto que cuando alguien debía una cantidad superior a la que poseía irremediablemente aparecían los “números negativos”. En épocas pasadas esta cantidad negativa o deuda se escribía en tinta roja “5”; por eso en la actualidad cuando alguien tiene deudas se habla de tener “números rojos”. Sin embargo, no fue hasta el siglo XVII cuando empezaron a aceptarse en trabajos científicos, si bien matemáticos del Renacimiento como los italianos Tartaglia o Cardano, ya los habían advertido en sus trabajos sobre la resolución de ecuaciones de tercer grado.
1.3.3 Números Racionales (Q) Nuestro tercer grupo de números es el de los racionales y a ellos pertenecen todos los números enteros más los números fraccionarios.
Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, esto es, en forma de fracción. Por lo tanto y con este concepto dado, los números enteros también son racionales, puesto que cuando los dividimos entre 1 dan el mismo número. A diferencia de los números enteros donde tras cada número sólo hay un siguiente (Después del 1 va el 2, después del – 7 va el – 8), tras cada número racional hay infinitos números. Al conjunto de los números racionales se le representa por la letra y, esto es así, por el inicio de la palabra “quotient” (cociente en varios idiomas).
1.3.4 Números Irracionales (R/Q) Un número irracional es aquel que no se puede expresar en forma de fracción, es decir, el que posee infinitos dígitos decimales. Al conjunto de números irracionales se le suele representar como R/Q, la notación “I” no es generalmente aceptada por no constituir ninguna estructura algebraica, aunque en ocasiones podamos verlos representados de esa forma. Un número irracional es = 1.414213 … también conocido como constante pitagórica. Fue el primer número irracional conocido y le trajo verdaderos quebraderos de cabeza a su descubridor, el gran Pitágoras, puesto que estaba “descubriendo”, sin quererlo, con su famoso teorema, este tipo de números. Aunque si hay un número irracional muy conocido este es el que representa el valor de PI ( π), cuyo valor es el resultado de la división entre la longitud de cualquier circunferencia y su propio diámetro. El valor lo solemos representar como 3.1416 para abreviar, puesto que en realidad sus decimales son infinitos. A continuación puedes ver los primeros decimales de π π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445 Otros números irracionales muy populares son:
e = 2.718281828459... que se suele ver en determinados procesos de crecimiento o en la desintegración radioactiva, por poner sólo dos ejemplos.
El número “e” es básico en cálculo, igual que π lo es para la geometría.
El número , se lee FI, se ve en muchísimas situaciones dentro de la naturaleza, en objetos cotidianos como las tarjetas de crédito (al dividir el lado superior entre el menor de ese rectángulo) o en la creación de muchos artistas para elaborar sus obras, tanto en pintura como escultura o arquitectura.
1.3.5 Números Reales (R) El conjunto de números reales es aquél formado por la suma del conjunto de números racionales más el de los números irracionales. Hacia el año 1000 a.C. los egipcios se sabe que ya utilizaban fracciones, mientras que los pitagóricos se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los indios sobre el años 600 d.C. idearon los números negativos, aunque no utilizados en Europa hasta entrado el Siglo XVII, si bien el gran matemático suizo Leonhard Euler descartó en el siglo XVIII las soluciones negativas de las ecuaciones. En el mismo siglo XVIII en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales pero sin definir de forma rigurosa, algo que hicieron Georg Cantor y Richard Dedekind ya en el siglo XIX, y es que se requiere tener amplios antecedentes y conocimientos en teoría de conjuntos y lógica matemática para poder sistematizar estos números.
1.3.6 Números Imaginarios (“i”) Un número imaginario es aquel número cuyo cuadrado es negativo: i2 = - 1 La definición de estos números parte de Leonhard Euler, que en 1777 le dio el nombre de “imaginarios” para dar a entender que no tenían una existencia real, visible. Los números imaginarios se representan por la forma bi, donde “b” es un número real e “i” es la parte imaginaria.
Los números imaginarios nos permiten calcular raíces de índice par y que tengan un radicando negativo. Por ejemplo: x2 + 9 = 0
Cuando el gran Leonhard Euler les dio este nombre, lo hizo de forma un tanto despectiva, pues no existían de una forma visible, aunque sí como concepto matemático y para dar solución a ecuaciones reales. No obstante, no se imaginó que la física, la ciencia en general, hasta la cartografía, están llenas de ejemplos de la existencia de estos números y, gracias a estos cálculos, se ha podido evolucionar en estos campos hasta el punto en donde nos encontramos.
1.3.7 Números Complejos (C) Un número complejo podemos definirlo como una entidad matemática que viene dada por un par de números reales. Al primero de ellos que llamaremos “x” se denominará parte real; y al segundo, que llamaremos “y” será la parte imaginaria. Estos números se representan entre paréntesis (x,y), al igual que hacemos con los puntos del plano, o bien en la forma x + yi, donde i es la unidad imaginaria (la raíz cuadrada de – 1). Los números complejos tienen mucha utilidad práctica, usándose en diferentes campos de la matemática, de la física (sobre todo en mecánica cuántica) y también son muy útiles para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica, por lo que su aplicación en la electrónica y las telecomunicaciones es esencial.
1.4
LOS NÚMEROS PRIMOS 1.4.1 Concepto de número primo
Un número primo es todo aquel número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, como por ejemplo lo son el 2, 3, 5, 7, 11,… Es una definición simple y sencilla que se aprende en los primeros años de la enseñanza. Lo contrario a número primo se denomina número compuesto (4, 6, 8, 9, 10,…). Está demostrada la infinitud de los números primos, por lo que periódicamente se va encontrando un número primo mayor al último conocido. Los números primos son los más importantes de todos, pues representan de alguna forma los átomos de la matemática ya que el resto de números pueden ser creados combinando multiplicaciones de varios números primos. Y esta importancia ya se les daba a estos números desde la antigua Grecia, pues se les consideraba indomesticables e impredecibles. Por poner un ejemplo de estas características, entre los números 2 y 1,000 encontramos un total de 168 números primos, sin embargo, entre los números 10,100 y 11,100 tan sólo encontramos dos números primos.
1.4.2 Historia de los números primos -
Los Pitagóricos
Los pitagóricos consideraban a los números como la esencia de todas las
cosas, por lo que no es difícil de imaginar que adoraban a los números primos, considerándolos como números místicos y mágicos (hay que decir que el paso de los tiempos les ha dado de alguna forma la razón). -
Euclides
El genio de Alejandría ya muestra estudios sobre los números primos en su obra “ Los Elementos” (300 a.C.), que dicho sea de paso es uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas. En este libro, Euclides ya habla del carácter de “infinitud” que tienen estos números. Esta deducción la hace a través de su método de “reducción al absurdo”, por el que se supone cierto lo contrario de lo que se quiere probar para llegar a una contradicción descubriendo falsa la suposición hecha. - Eratóstenes de Cirene: A lo largo de la Historia ha habido numerosos intentos por tratar de encontrar una forma precisa de calcular y obtener números primos que fuesen cada vez mayores, pero al final no se ha encontrado un método que pueda ser considerado como definitivo. Dentro de esta lucha, hay que destacar el método de Eratóstenes, al que se le denomina “ criba de Eratóstenes”. Este método consiste en colocar una lista con los números naturales e ir eliminando todos aquellos que no sean primos por ser divisibles por un número primo menor. Es decir, tomamos el número 2 y vemos que es divisible sólo entre sí mismo y la unidad, con lo cual es primo (primer número primo y único par que lo es). A continuación vamos eliminando de la consideración de primos a los múltiplos de 2, o sea, todos los pares. Luego tomamos el 3 y eliminamos a sus múltiplos. Repetimos el proceso con el 5, el 7, y los números que no han sido tachados hasta ese momento, porque todos ellos van siendo primos. Pues bien, una vez hecho este proceso, tenemos en negrita (dentro de los 100 primeros números) los que nos quedan como primos. El resto son números compuestos. Esta criba de Eratóstenes lo podemos utilizar para números pequeños, pero
cuando los números a explorar ya sean grandes se convertiría en una labor verdaderamente compleja y tediosa. A continuación puedes ver los 100 primeros números primos. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
1.4.3 Los números primos en criptografía La criptografía es el lenguaje de los códigos de seguridad, es decir, cuando queremos hacer que un mensaje sea secreto lo codificamos y de esta forma nadie que no nos interese podrá saber el contenido real, salvo que tenga la clave para descifrarlo. Pues bien, la teoría de los números primos ha encontrado en nuestros días un buen campo de aplicación en Criptografía, utilizada por los gobiernos a través de sus servicios secretos, por entidades bancarias o por cualquier seguridad en internet. Veamos de qué forma. Como es lógico el proceso de cifrado requiere el uso de una clave secreta; lo más corriente es que para descifrar el mensaje, al receptor sólo le hace falta aplicar la clave al revés. Con este procedimiento, la clave de cifrado y descifrado es el elemento más débil de la cadena de seguridad. En primer lugar, el emisor y el receptor han de ponerse de acuerdo sobre los detalles de la clave y la transmisión de esta información es un proceso arriesgado. Si un tercero, un enemigo, puede interceptar la clave mientras se está intercambiando, podrá traducir todo aquello que se comunique desde entonces. En segundo lugar se han de cambiar las claves de vez en cuando para preservar la seguridad de las transmisiones y cada vez que esto ocurre hay un nuevo riesgo de que la clave sea interceptada.
El problema de la clave gira en torno al hecho de que aplicarla en un sentido cifrará el mensaje y aplicarla en el sentido contrario lo descifrará; es decir, que descifrar un mensaje es casi tan fácil como cifrarlo. A pesar de ello, la experiencia nos dice que hay muchas situaciones cotidianas en que descifrar es mucho más difícil que cifrar. Durante la década de los setenta, Whitfield Diffie y Martin Hellman se propusieron encontrar un proceso matemático que fuese fácil de llevar a término en una dirección, pero muy difícil de realizar en la dirección opuesta. Un proceso como este formaría la clave perfecta para los mensajes cifrados. Por ejemplo, yo podría tener la clave dividida en dos partes y publicar la parte correspondiente al cifraje. Cualquiera podría enviarme mensajes cifrados, pero sólo yo conocería la parte descifradora de la clave. En 1.977 Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, un equipo de matemáticos y científicos informáticos del Massachusetts Institute of Technology, se dieron cuenta que los números primos eran la base ideal para un proceso de cifrado fácil y descifrado difícil. Cuando quisiera tener mi propia clave, tendría que tomar dos números primos muy grandes, de hasta 80 dígitos cada uno, y los multiplicaría para encontrar un número no primo más grande. Para cifrar el mensaje solo haría falta conocer el número grande no primo; para descifrarlo haría falta conocer los dos números primos originarios que fueron multiplicados, conocidos como factores primos. Ahora puedo publicar el número grande no primo (parte cifradora de la clave) y guardarme los dos factores primos (parte descifradora). Lo que cuenta es que aunque todo el mundo pueda conocer el número grande no primo, la dificultad de obtener los números primos sería inmensa. Ponemos el ejemplo del 589 (que yo podría hacer público como la parte cifradora de la clave), a un ordenador personal le haría falta menos de un segundo para encontrar que los dos números primos son el 31 y el 19 (31 x 19 = 589). Pero nos referimos a un número de más de 100 cifras, lo cual significaría varios años de trabajo para los ordenadores más potentes del mundo; por tanto, para hacer perder el rastro a los espías, sería suficiente con cambiar la clave una vez al año.
Los números primos guardan cualquier secreto
1.4.4 La curiosa historia de la “magicicada septendecim” El siguiente caso que aparece en la naturaleza y que tiene que ver con los números primos nos lo cuenta Simon Singh en su obra “ El Enigma de Fermat ”. ”. Es un ejemplo muy ilustrativo de la sabiduría matemática de la naturaleza. Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim , tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren. La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es tan largo? Qué quiere decir que el ciclo vital sea un número rimo de años? Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales que son un número primo de años dan algún tipo de ventaja para la conservación de la vida. Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo
vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital que sea divisible por 2, si no el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital divisible por 3, si no el parásito y la cigarra volverán a coincidir. Al fin, si se quiere evitar de encontrase con su parásito, la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá el 17, la Magicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años, solo se encontrarán cada 34 años, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años, por ejemplo, sólo se encontrarán cada 272 (16 x 17) años. El parásito, en su lucha por sobrevivir, sólo tiene dos ciclos vitales que incrementan la frecuencia de las coincidencias: el del ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito ueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las 16 rimeras apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaría que, en algún estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirán durante 272 años! En cualquier caso, el largo ciclo vital de las cigarras, y el número primo de años, las protege. ¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital, hasta conseguir traspasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su falta de coincidencia con las cigarras le habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo vital de 17 años; ciclo que a no le hace ninguna falta porque su parásito ya no existe.
Magicicada septendicim
1.5
OTROS NÚMEROS CURIOSOS
Dentro de las curiosidades numéricas vamos a hablar a continuación de una serie de números con características especiales porque, como siempre digo y huyendo de esa idea generalizada de que los números son “fríos”, cada número tiene su personalidad, unos más definida que otros.
1.5.1 Números primos gemelos Son números primos que están separados por dos unidades, y deben su nombre al matemático Paul Stackel. Aunque sin demostración matemática que lo corrobore, se ha conjeturado que los números primos gemelos han de ser infinitos. A continuación puedes ver algunos ejemplos: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), … Los primos gemelos más grandes conocidos son 16,869,987,339,975 × 2171.960 - 1 y 16,869,987,339,975 × 2 171.960 + 1. Esta pareja de primos gemelos tiene nada más y nada menos que 51,779 dígitos.
1.5.2 Números primos de Mersenne Los primos de Mersenne tienen la forma 2 p - 1 donde p es un número primo. Por ejemplo, 7 es un primo de Mersenne, ya que 2 elevado al cubo es = 8 y menos 1 = 7, siendo 7 número primo. Su nombre lo deben su nombre al filósofo del siglo XVII Marin Mersenne, que fue el primero que hizo trabajos sobre ellos. Tan sólo se conocen 42 primos de Mersenne, el primo de Mersenne más alto de todos, 225964951-1, tiene 8 millones de dígitos. Figúrate si son peculiares estos números que en la actualidad tan sólo se conocen 47. El menos de ellos es el 3, mientras que el más grande tiene más de 13 millones de dígitos, necesitaríamos más de 100 libros como el que estás leyendo para escribirlo, por lo que lo simplificamos de esta forma, resultando ser el numerito 243.112.609−1 Como ya vimos, estos números primos tan grandes son muy importantes para encriptar mensajes, por lo que están muy cotizados y el premio es suculento para quien encuentre un número mayor al último conocido. Como te puedes imaginar, la “caza” de estos números se hace a través de súper computadoras.
1.5.3 Números amigos Se llaman así a dos números naturales donde los divisores de uno suman el otro y viceversa. Por ejemplo, el par (220, 284) son dos números amigos, puesto que los divisores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110) suman 284; y los divisores de 284 (1, 2, 4, 71 y 142) suman 220. Hay más parejas de números amigos, como las siguientes: (6,232 y 6,368) (17,296 y 18,416) ó (9,363,584 y 9,437,056).
Los números amigos ya eran conocidos por los pitagóricos, que los veneraban y otorgaban cualidades místicas. Otros dos genios de la matemática, como René Descartes y Leonhard Euler, también realizaron estudios sobre estos peculiares números.
1.5.4 Números perfectos Un número perfecto es un número natural amigo de sí mismo, es decir, la suma de sus divisores dan el propio número. Esta propiedad fue descubierta por Pitágoras. El número perfecto más pequeño es el 6, puesto que sus divisores son 1, 2 y 3; cuya suma es igual a 6. Los siguientes 5números perfectos son el 28; 496; 8,128; 33,550,336; 8,589,869,056. Euclides también estudió ampliamente estos números, y conocía los 4 primeros números perfectos, dejando algunas preguntas abiertas que no han sido matemáticamente demostradas aún, como por ejemplo si sería posible encontrar algún número impar que fuese perfecto o si estos maravillosos números son infinitos. En la actualidad se conocen un total de 46 números perfectos, teniendo el mayor más de cien mil dígitos. Se representa de la siguiente forma: 2216090 . (2216091-1)
1.5.5 Números sociables Al igual que los números amigos, los números sociables cumplen la propiedad de que la suma de los divisores del primero da como resultado el segundo, pero en el caso de los números no sociables no van en parejas si no en grupos, es decir, la suma de los divisores del segundo número dan el tercero, y así sucesivamente, hasta que la suma de los divisores del último número de la lista da como resultado el primer número de la lista. Un ejemplo de números sociables es la “cadena” formada por estos cinco números: 12,496 – 14,288 - 15,472 - 14,536 y 14264
1.5.6 Números Omirp Otro tipo de números con mucha personalidad son los llamados Omirp, o lo que es lo mismo, aquellos números primos que al invertir el orden de sus dígitos se convierten en otro número primo. Por ejemplo, la pareja 13 y 31 son números Omirp. También lo son, entre otros muchos, las siguientes parejas: 37 y 73 1237 y 7321 1597 y 7951 3019 y 9103 915919 y 919519
1.5.7 Números Vampiro Estos números no fueron creados por el Conde Drácula en su gobernada Transilvania; la idea original partió de Herny Dudeney a través de un problema que planteó en su libro de 1917 “ Amusements in Mathematics”: ¿Qué dos números que tengan entre los dos los nueve dígitos, multiplicados uno por otro den un resultado que contenga también los nueve dígitos?
La respuesta es la siguiente: 8745231 x 96 = 839542176 Ya en 1994 Clifford A. Pickover definió más precisamente lo que se considera números vampiros, que habrían de cumplir las siguientes reglas: Los números vampiros verdaderos cumplen cuatro reglas:
- Tienen un número de dígitos par Se obtienen por el producto de dos números, llamados colmillos, los cuales tienen cada uno la mitad de dígitos que el número vampiro. Tienen los mismos dígitos que los colmillos( y en la misma cantidad) - Los colmillos no pueden terminar los dos en cero Existen un total de 7 números vampiros de cuatro dígitos, son los siguientes: 1260 = 21 · 60 1395 = 15 · 93 1435 = 35 · 41 1530 = 30 · 51 1827 = 21 · 87 2187 = 27 · 81 6880 = 80 · 86 Dentro de los números vampiros también los hay muy curiosos, por ejemplo aquellos que son primos y formados por dos colmillos igualmente números primos (definidos por primera vez por Carlos Rivera): 117067 = 167 · 701 124483 = 281 · 443 146137 = 317 · 461 371893 = 383 · 971 536539 = 563 · 953
También encontramos números primos que tienen más de un grupo de colmillos, sirvan los tres de ejemplo: 125460 = 204 · 615 = 246 · 510 11930170 = 1301 · 9170 = 1310 · 9107 134549287600 = 138650 · 970424 = 145700 · 923468 = 182900 · 735644
El más grande que se conoce es un vampiro de 70 dígitos que tiene 100.025 pares de colmillos. Ahí te dejo el numerito en cuestión: 10677813450461606929929795842159483353630569727831288814207213
1.5.8 Números apocalípticos "… Aquí hay sabiduría: El que tiene entendimiento, cuente el número de la bestia, pues es número de hombre. Y su número es seiscientos sesenta y seis " " Apocalipsis 13:16-18
La Biblia, en el Libro de las Revelaciones o Apocalipsis de San Juan, es quien identifica al 666 como al número de la bestia, siendo el sello o la marca del Anticristo. Pues bien, siendo el 666 un número demoníaco, acabamos definiendo a los números apocalípticos como a todo número natural n que cumple que 2n contiene la secuencia 666. Por ejemplo, los números 157 y 192 son números apocalípticos, dado que siendo exponentes de 2, en su resultado encontramos el número 666.
1.5.9 Números ambiciosos Otro tipo de números con personalidad bien definida está representado por lo que se conoce como números ambiciosos. Estos números tienen por cualidad que al sumar sus divisores propios obtenemos un número perfecto. Por ejemplo, el 25 es un número ambicioso, puesto que sus divisores son 1 y 5, siendo 1 + 5 =6 que, como hemos visto es un número perfecto, pues la suma de los divisores de 6 (1, 2 y 3) dan el mismo número 6.
1.5.10 Números felices
También hay números que se sienten felices dentro de sí mismos. Esto sucede cuando al sumar los cuadrados de sus dígitos, y continuando con el proceso con los sucesivos resultados obtenidos, el resultado final acaba siendo 1. Con un ejemplo todo se ve mejor, y el motivo de la felicidad del 203: 22+02+32 = 13 12+32 = 10 12+02 = 1
1.5.11 Números narcisistas También hay números que están enamorados de sí mismos, o narcisistas. Pues bien, se dice que un número es narcisista cuando el resultado de sumar las potencias de sus dígitos es el propio número. Por ejemplo, el número 153 es narcisista porque 1 3+53+33=153. Otros ejemplos de números narcisistas son: 370 8,208 9,474 54,748 94,204,591,914 Al citar al número 153 como el primero narcisista, no me resisto a comentar otras cualidades de este bonito número, que bien nos refleja el maestro matemático Martin Gardner en su obra “Los mágicos números del Doctor Matrix”: q ue, según se relata en el versículo 11 del último capítulo “ No es casual que, del Evangelio de San Juan, la red arrojada por Simón Pedro al mar de Tiberíades contuviera 153 peces. Es un número que posee importantes propiedades místicas. {...} -Si mal no recuerdo -dije- San Agustín hace
un complejo análisis numerológico para demostrar por qué había 153 peces. -Sí, San Agustín parte del 10, el número de los mandamientos y símbolo del antiguo designio divino según la ley mosaica. Le suma 7, el número de los dones del espíritu y símbolo del nuevo designio. El 17 simboliza, pues, la unión de lo antiguo con lo nuevo. Luego suma los números del 1 al 17 y obtiene 153. {...} También es interesante observar que 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! {...} El binario que corresponde a 153 es el palíndromo 10011001 “
1.5.12 Números abundantes Un número abundante es aquel número natural cuyos divisores sumados superan al propio número. El primero que habló de ellos fue Nicómaco de Gerasa allá por el siglo I d.C. El número 12 es el menor de ellos, siendo sus divisores 1, 2, 3, 4 y 6; y 1 + 2 +3 + 4 + 6 = 16, que supera al propio 12 Algunos de los siguientes números abundantes son: 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, … También hay números abundantes impares, siendo el más pequeño el 945. Por otra parte, está matemáticamente demostrado que los números abundantes son infinitos, tanto los pares como los impares.
1.5.13 Números raros o “frikies” Se define como número raro aquél que es abundante pero que no es igual a la suma de ningún subconjunto de sus divisores. Por ejemplo, el número 70 lo es, porque sus divisores son: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, que sumados darían 74, lo que le confiere como número abundante. Sin embargo, si agrupamos cualquier combinación de sus divisores y los sumamos, nunca llegaríamos a obtener 70. Son pocos los números abundantes que cumplen esta característica de ser
raros, el 835 es otro ejemplo de ello.
CAPÍTULO 2 – CÁLCULO MENTAL
TÉCNICAS
DE
2.1 EL CÁLCULO A LO LARGO DE LA HISTORIA Uno a veces puede pensar que las computadoras siempre han estado entre nosotros, pero nada más lejos de la realidad. Las computadoras son el producto de miles de años de evolución en los que el ser humano ha ido avanzando en sus técnicas para hacer cálculos de forma cada vez más rápida y precisa. Como ya hemos visto, en la Prehistoria el hombre contaba con aquello que tenía más próximo: dedos de la mano, palos y piedras, etc. El primer dispositivo manual de cálculo fue el ábaco, un instrumento con bolitas que al moverlas van dando unas determinadas posiciones que representan los resultados de los cálculos. Los ábacos aún se utilizan en países asiáticos y, por regla general, los niños que utilizan ábacos suelen tener mayor facilidad para realizar cálculos mentales, aun sin tener el instrumento presente. En la Edad Media, en Europa, llegó a través de Fibonacci lo que eran los
cálculos con los números decimales que ahora conocemos, empezando entonces a enseñarse a calcular con lápiz y papel. El avance continuaba en siglos sucesivos, donde grandes matemáticos como John Nappier (con el invento de los logaritmos), Blaise Pascal (con su máquina de cálculo), Leibnitz, Babbage, Burroughs, … iban creado máquinas sucesivas para hacer cálculos. Ya en el siglo XIX el matemático inglés George Boole publicó lo que sería el punto de partida del álgebra de proposiciones, es decir, creó la base de la lógica matemática por la que se produce el funcionamiento lógico de las computadoras, como habíamos visto con un lenguaje en sistema binario. A mediados del siglo XX figuras de la talla de Alan Turing (padre de la inteligencia artificial) o John Von Neumann (considerado el padre de las computadoras) generaron lo que iba a ser el desarrollo imparable de estas “herramientas” que tan familiares nos resultan en nuestros días. La primera computadora moderna recibió en nombre de ENIAC, data de 1947 y fue creada en la Universidad de Pennsylvania. Cabe decir que esta máquina ocupaba un sótano entero de dicha Universidad, componiéndose de más de 18,000 tubos de vacío. Y desde este momento, todo ha sido imparable, como bien sabemos, acercándonos en la actualidad a la llamada “quinta generación”, donde las computadoras sean capaces de aceptar instrucciones habladas e imitar el razonamiento humano. El futuro nos irá diciendo.
Duelo entre abacista y algorista
2.2 LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO MENTAL En no pocas ocasiones se me pregunta para qué sirve el hacer cálculos mentales si ya existen calculadoras, y la respuesta se puede afrontar al menos desde dos perspectivas:
2.2.1 El cálculo mental como gimnasia cerebral En primer lugar, sería equivalente a preguntar “para qué queremos hacer ejercicio físico si ya ponen deporte en la televisión”. Es decir, la gimnasia mental que estamos haciendo cuando hacemos cálculos mentales es pura vitamina para nuestras neuronas, pues nunca hemos de olvidar que nuestro cerebro funciona igual que un músculo y, si es muy importante el hacer gimnasia física, no lo es menos hacer gimnasia mental, siendo el calcular uno de los ejercicios más sanos y que más beneficios prácticos nos pueden dar.
Niños calculando en escuela rusa
2.2.2 Seguridad psicológica y desarrollo lógico-matemático Está plenamente demostrado que el ejercitar el cálculo mental es de importancia en el aprendizaje de las matemáticas, pero también con ello se desarrollan aspectos tales como la memoria, la concentración, la atención o la agilidad mental. En nuestra sociedad vemos a todas horas representaciones numéricas, todo de alguna forma es número: el espacio, el tiempo, cuando vamos a comprar a un supermercado, al hacer deporte, en el juego las mejores decisiones se toman cuando se calculan, etc. Todo está construido en formato numérico (ya vimos como funcionan las computadoras, por no hablar de los carros, los puentes, las carreteras, los edificios, …) Pues si todo se puede reducir a datos numéricos y estadísticas, es fácil deducir que una formación numérico-lógica aportará una visión correcta para la vida práctica, que no da ninguna otra disciplina.
Además, con el “mal uso” o abuso que se hace con frecuencia de las calculadoras y computadoras, se está demostrando que el nivel lógico matemático de los alumnos ha descendido alarmantemente. Por eso se está tratando de recuperar el trabajo en cuando al cálculo mental se refiere. refiere. Una buena formación matemática da a la persona la capacidad para valorar de forma adecuada todo este mundo repleto de números, estadísticas, porcentajes, proporciones, descuentos y operaciones, para interpretar en definitiva todo ese lenguaje engañoso que se esconde tras las cifras. John Alen Paulos nos advierte en su estupenda obra “ El hombre anumérico” de los peligros de una sociedad que camina hacia cierto analfabetismo numérico, en buena medida por el uso y abuso de las computadoras y calculadoras, algo que va acompañado de creencias ridículas y supersticiones sin un soporte lógico y razonable. No abogo yo porque todos nos convirtamos en una especie de “calculadoras humanas”, pues ese sería el beneficio menos importante que se obtienen practicando el cálculo mental; La seguridad psicológica y el desarrollo de ciertas formas de imaginación matemática son resultados más importantes y satisfactorios. Por todo ello, considero que debería de potenciarse el buen dominio de las distintas operaciones y la razón expresada numéricamente, ya que nunca una materia va a ser tan importante para la vida de cada persona.
2.2.3 Convivencia con las calculadoras No olvidemos que las máquinas nacieron para ayudarnos, por lo tanto no soy contrario a su uso, pero no nacieron para sustituirnos, por lo tanto no ha de ser incompatible con ejercitar nuestro cálculo mental. Mi opinión es que, como todo en la vida, el uso racional es lo que determina que algo se vea como positivo o no tanto. El usar el carro es positivo, pero si lo utilizamos para todo y dejamos de usar nuestras piernas para caminar, pues va a tener efectos bien negativos. Pues lo mismo con las calculadoras, si la utilizamos para todo, tendrá un efecto muy perjudicial.
Una de mis grandes aficiones es correr, pues bien, hace unas semanas compré unos tenis que costaban 90 dólares y tenían un 10% de descuento … la joven que me cobró utilizó la calculadora para calcular el 10 % de 90. Este tipo de ejemplos son cada vez más comunes, y quien cae en ese “error”, ten por seguro que va a ser muy fácil de engañar en el día a día. Personalmente veo muy negativo que en los años de escuela se enseñe a manejar la calculadora antes que a calcular y a dominar ese abstracto concepto de número de una forma natural. El cerebro tiene que ser siempre el que acompañe los resultados, no podemos someternos en torno a lo que la máquina diga (nos podemos equivocar en el tecleo y conviene contrastarlo mentalmente, al menos por aproximación). Por lo tanto, calculadora sí, pero sólo cuando sea estrictamente necesaria y, aún en estos casos, acostumbrándonos a ser críticos con los posibles resultados. Recordemos todos que siempre la máquina va a ser creación del hombre y, por tanto, no dejemos que nuestro cerebro se someta a lo que ella diga.
2.2.4 La Leyenda del Ajedrez, el mejor ejemplo Un ejemplo de la importancia del dominio de los números viene representado por la leyenda acerca de cómo el ajedrez fue inventado. Por ello, voy a utilizarla para ilustrar las “consecuencias” de la no correcta interpretación numérica. Hago además el inciso de recomendar la práctica del Rey de los juegos, un ejercicio extraordinario y que potencia de manera muy eficaz las capacidades lógicas y de cálculo de cada persona, además de la capacidad de concentración. Cuenta la leyenda, y lo recoge Malba Tahan en su extraordinaria obra “ El hombre que calculaba”, que el invento del ajedrez se lo debemos al joven
Lahur Sissa. Este personaje era un pobre y modesto brahmán (miembro de una casta sacerdotal hindú que reconoce a Brahma como su Dios) que vivió hace muchos siglos en la provincia de Taligana, al norte de la India, en el continente asiático. En aquellas lejanas tierras gobernaba un magnánimo Rey llamado Iadava. Cierto día, las huestes del aventurero Varangul invadieron el reino, desatándose una cruenta guerra. Iadava, que era un excelente estratega, derrotó a sus enemigos en los campos de Dacsina, pero en el fragor de la lucha perdió a su hijo, el príncipe Adjamir. Esta desgracia lo abatió profundamente y se pasó los días siguientes encerrado en Palacio reproduciendo, en una gran caja de arena, las alternativas del combate donde perdió al único heredero de la dinastía. Los sacerdotes elevaban sus plegarias y de todas partes llegaban obsequios y diversiones para tratar de sacar al rey de su aflicción; mas todo parecía en vano. Algún tiempo después, un inesperado visitante llegó al Palacio solicitando una audiencia con el Rey. Al interrogársele sobre el motivo de su petición, el oven se identificó como Lahur Sissa y dijo que había viajado durante treinta días desde la aldea de Namir, para entregarle a Su Majestad un modesto presente que lo sacaría de su tristeza, le brindaría distracción y abriría en su corazón grandes alegrías. Iadava al enterarse de las intenciones del desconocido ordenó que lo hicieran pasar de inmediato. Sissa presentó al Monarca un gran tablero dividido en 64 cuadritos y sobre éste colocó dos colecciones de diferentes piezas. Le enseñó pacientemente al rey, los ministros y los cortesanos de la Corte la finalidad del juego y sus reglas. Cada uno de los jugadores dispone de ocho piezas pequeñitas, llamadas Peones. Representan la infantería que avanza sobre el enemigo para dispersarlo. Secundando la acción de los peones vienen los elefantes de la guerra (las torres), representados por piezas mayores y más poderosas; la Caballería, indispensable en el combate, aparece igualmente en el juego,
simbolizada por dos piezas que pueden saltar como dos corceles sobre las otras, y para intensificar el ataque se incluyen – representando a los guerreros nobles y de prestigio- los dos visires (alfiles) del Rey. Otra pieza, dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representará al espíritu patriótico del pueblo y será llamada la Reina (la dama). Completa la colección una pieza que aislada poco vale, pero que amparada por las otras se torna muy fuerte: es el Rey.
En pocas horas el Soberano comenzó a jugar fascinado por el nuevo pasatiempo, consiguiendo derrotar a varios miembros de su Corte en partidas que se desenvolvían impecablemente sobre el tablero. En determinado momento el Rey hizo notar, con gran sorpresa, que la posición de las piezas, por las combinaciones resultantes de diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de Dacsina. Intervino entonces Sissa para decirle: Piensa que para el triunfo es imprescindible que sacrifiques a este Visir (alfil), pero te has empeñado inútilmente, Señor, en defenderlo y conservarlo.
Con esta aguda observación el Monarca comprendió que en ciertas circunstancias, la muerte de un Príncipe es una fatalidad que puede conducir a la libertad y la paz de un pueblo. Quiero compensarte por este magnífico obsequio, dijo el Rey. Mi mayor premio es haber recobrado la felicidad de Vuestra Majestad, respondió Sissa. Me asombra tu humildad y el desprecio por las cosas materiales, pero exijo que selecciones, sin demora, una retribución digna de tan valioso regalo. ¿Quieres una bolsa llena de oro?, ¿Deseas un arca llena de joyas?, ¿Pensaste en poseer un Palacio?, ¿Aspiras a la administración de una rovincia?. Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una
romesa. Aprecio vuestra generosidad, Majestad, y como obediente súbdito me veo en la obligación de escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses con granos de trigo, los cuales deberán ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la última casilla.
Iadava, al oír el extraño e ínfimo pedido del joven, lanzó una sonora carcajada y, tras burlarse de su modestia, ordenó que se le diera lo que había solicitado. Al cabo de algunas horas los algebristas más hábiles del reino le informaron al Soberano que se necesitarían: 18,446,744,073,709,551,615 granos de trigo!!! (2 elevado a la 64-1) Concluyeron los algebristas y geómetras más sabios, que la cantidad de trigo que debe entregarse a Lahur Sissa equivalía a una montaña que teniendo como base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos y destruídas todas sus ciudades, no bastaría para producir durante un siglo la cantidad de granos calculada. El Rey y su Corte quedaron estupefactos ante los cálculos estimados. Por primera vez el Soberano de Taligana se veía en la imposibilidad de cumplir una promesa. Acto seguido, Sissa renunció públicamente a su pedido y llamó la atención del Monarca con estas palabras: Los hombres más precavidos eluden, no sólo la apariencia engañosa de los números, sino también la falsa modestia de los ambiciosos (...). Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros los compromisos de honor por una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Más previsor es el que mucho pondera y poco promete.
Estas inesperadas y sabias palabras quedaron profundamente grabadas en el espíritu del Rey. Olvidando la montaña de trigo que, sin querer, prometiera al oven brahmán, lo nombró su Primer Ministro. Cuenta la leyenda que Sissa orientó a su Rey con sabios y prudentes consejos y, distrayéndolo con ingeniosas partidas de ajedrez, prestó los más grandes servicios a su pueblo. 1
2
4
8
16
256
512
…
…
…
32
64
128
264
18,446,744,073,709,551,615 = (264 – 1)
2.3 SUMA O ADICIÓN 2.3.1 Concepto y propiedades La suma consiste en añadir (o adicionar) a un número dado otro u otros, motivo por el que también se denomina adición. A los números que vamos adicionando se les llama sumandos y al resultado obtenido se le denomina suma o total. Alguna de las propiedades de la suma son: Propiedad conmutativa: conmutativa: El orden de los sumandos nunca va a alterar el resultado: a+b=b+a. Propiedad asociativa: asociativa: Cuando se suman tres o más números reales, el resultado siempre va ser el mismo al margen de los agrupamientos que se hagan : a+(b+c) = (a+b)+c. Elemento neutro: neutro: Cuando uno de los sumandos es 0, no se alterará el resultado : a + 0 = 0 + a = a. Propiedad distributiva: distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) · 4 = 6 · 4 + 3 · 4
2.3.2 Simbología Simbología de sumas y restas En el siglo XV empezaron a imponerse determinadas abreviaturas para indicar las diferentes operaciones matemáticas. Los matemáticos italianos utilizaban una p y una m para indicar la suma y la resta ( plus y minus, en latín). Sin embargo, acabó imponiéndose la abreviatura alemana + y -. Estos signos que triunfaron, se utilizaban originariamente para indicar exceso y defecto en la medida de las mercancías en los almacenes. De hecho, el texto más antiguo que se conoce en el que aparecen estos signos con el sentido de suma y resta es un libro de aritmética comercial del alemán Johann Widman publicado en 1489. Pese a ser usado por los alemanes, parece ser que tiene un origen latino, siendo una contracción de la palabra “et ” (conjunción copulativa “y”)
2.3.3 Técnica para sumar Por ser la operación aritmética básica es la que más debemos de entrenar. Recuerda que la práctica, unido a la aplicación de buenas técnicas, es con lo que conseguirás sumar cada vez más rápido y, la mejora en las sumas, hará que el resto de operaciones te resulten más fáciles. A la hora de dar un primer consejo para mejorar la velocidad y precisión en las sumas diría que lo más importante es la repetición. Repetir ejercicios constantemente nos ayudará a familiarizarnos con los números y poco a poco se ganará velocidad y soltura. No dudar en ningún momento de la vida diaria en practicar: cuando veas las placas de los autos juega con ellas, cuando vayas a un supermercado intenta sumar los productos … son pequeños ejercicios que te harán ganar velocidad y precisión. Siempre he sumado de izquierda a derecha, de lo grande a lo pequeño y, por tanto, es el método que te voy a recomendar. Ya cuando era pequeño lo hacía, y siempre terminaba bastante antes que mis compañeros de clase, el alcanzar rapidez ya es cuestión de práctica.
La ventaja de hacer las sumas de izquierda a derecha son fundamentalmente dos: por un lado no tenemos que llevar en cuenta el resultado de las unidades. Y por otra parte, aunque no diésemos el resultado correcto, siempre será mucho más fácil dar una aproximación si lo hacemos de izquierda a derecha. Las cosas siempre se ven mejor con un buen ejemplo, por lo que ahí va la explicación: Imagina que quieres sumar 65 y 23 La mejor estrategia será descomponer el número en grupos de decenas y unidades, es decir, 65 = 60 + 5; y 23 = 20 + 3, por lo que la descomposición a hacer sería: 65 + 23 = 60 + 5 + 20 + 3 = 88 En el momento en que empieces a practicarlo sólo aproximarás uno de los sumandos, es decir, harás 65 + 20 + 3 Para sumarlo sigue siempre el mismo proceso mental, nunca lo varíes, de esta forma irás adquiriendo velocidad sin dudar en la forma de hacerlo. 76 + 37 = 76 + 30 + 7 = 106 + 7 = 113 No te preocupes por el tiempo que tardes en resolver los ejercicios que vayas realizando, la cuestión es que practiques y pronto ganarás confianza y conseguirás superar ese “bloqueo psicológico” que el cálculo mental suele generar. Si quieres sumar números de tres dígitos utiliza la misma dinámica, sólo varía que tendrás que hacer más descomposiciones, pero la mecánica ha de ser la misma Por ejemplo, vamos a sumar 818 + 557 Descomponemos el 557 en partes: 500 + 50 + 7 y, partiendo del 818, lo vamos añadiendo paso a paso. Es decir: 818 + 500 = 1318 (ya que 8 + 5 = 13) 1318 + 50 = 1368 (puesto que 1 + 5 = 6) 1368 + 7 = 1375
Si la suma es 367 + 126; 126 = 100 + 20 + 6 367 + 100 = 467 467 + 20 = 487 487 + 6 = 493 Todos los problemas de sumas pueden ser resueltos por este método, la clave está en practicarlo muchas veces y en hacerlo siempre de la misma forma, adquirir un hábito de cálculo sin necesidad de pensar en cómo hacerlo. Buscar, en definitiva, que sea mecánico.
2.4 RESTA O SUSTRACCIÓN 2.4.1 Concepto y propiedades Restar (o sustraer) es quitar a una cantidad dada, que se denomina minuendo, otra cantidad, que se define como sustraendo. Al resultado se le llama diferencia. Por lo tanto, restar será lo contrario a sumar. Las propiedades fundamentales de la resta son las siguientes: Propiedad no interna. Esto significa que cuando restamos dos números naturales no siempre vamos a tener un resultado perteneciente a ese conjunto de números naturales. Esto sucede cuando el minuendo es menor que el sustraendo, pues en este caso obtenemos un número perteneciente al conjunto de números enteros, pero negativo.
3–7=-4 Propiedad no conmutativa: El orden de los números que intervienen en esta operación sí alteran el resultado. Como bien sabemos no es lo mismo 7 – 5 que 5 – 7 a–b≠b-a 7–5=2 5–7=-2 Elemento neutro: Al igual que en la suma, el elemento neutro de la resta es el 0, puesto que cuando restamos 0 no sucede absolutamente nada. Es decir: a–0=a 6–0=6
2.4.2 Técnica para restar Todo el mundo coincide en que restar es más difícil que sumar, y esto se debe a que la tendencia natural del ser humano es a sumar y no a restar. Sin embargo, dado que restar restar no deja de ser “sumar al revés”, quien logre una buena habilidad con las sumas también la va a desarrollar con las restas. En este sentido, con la resta seguiremos trabajando de izquierda a derecha y simplificando los cálculos, la práctica hará el resto.
Si queremos restar descompondremos el sustraendo, procediendo como en el ejemplo:
48 – 22 48 – (20 + 2) 48 – 20 = 28 28 – 2 = 26 Si nos encontramos ante la resta 67 – 29, podríamos usar dos tipos de estrategias y elegir la que nos resulte más fácil: fácil: 67 – (20 + 9) ó (30 – 1) a) 67 – 20 = 47 47 – 9 = 38 b) puedes hacerlo por la otra vía: 67 – 30 = 37 37 + 1 = 38 Cuando lleves unos días de entrenamiento empezarás a notar que cada vez lo
haces con más soltura y rapidez.
2.5 MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO
2.5.1 Concepto y propiedades La multiplicación o producto es la tercera de las operaciones aritméticas fundamentales y consiste en sumar reiteradamente un mismo mismo valor, de nombre multiplicando la cantidad de veces que indique un segundo valor, de nombre multiplicador. Es decir, 4 · 3 = 4 + 4 + 4 = 12 Propiedades de la multiplicación: Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto (igual resultado da 4 · 3 que 3 · 4) x·y=y·x Propiedad asociativa: También se cumple la propiedad asociativa por la que si tenemos 3 números cualesquiera: x, y , z: (x · y) z = x (y · z)
Esto es: (6 · 4) 3 = 6 (4 · 3) Cuando hay paréntesis siempre se hacen antes las operaciones que estén dentro de los mismos, por lo que nos quedaría que: 24 · 3 = 6 · 12 72 = 72 Propiedad distributiva: Se cumple la propiedad distributiva respecto a la suma. Esto es: x (y + z) = x · y + x · z 2 (5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3 2 · 8 = 10 + 6 16 = 16 Elemento neutro: En el caso de la multiplicación su elemento neutro es el 1, pues todo número multiplicado por el 1 da como resultado el mismo número: 1· x = x
1·7=7
El valor del 0: Todo número multiplicado por 0 da como resultado 0. Esto es: 0·x=0 0·5=0
2.5.2 Simbología de la multiplicación Oughtred, en unos escritos de 1631, eligió la cruz de San Andrés que hoy día conocemos (x), por haberla ya visto en textos antiguos sobre aritmética. Pronto otros autores siguieron su ejemplo. Sin embargo, Leibniz le escribía en 1998 a otro grande de las matemáticas, Johan Bernoulli: “ Definitivamente me desagrada el símbolo X para la multiplicación, pues se confunde demasiado con la incógnita “x” … por ello, personalmente prefiero utilizar un punto interpuesto entre dos cantidades para indicar la multiplicación (x · y) “
Descartes directamente evitaba símbolos para la multiplicación, ni siquiera ponía el punto, dándolo por sobreentendido, es decir, ponía directamente xy
La verdad es que algo que siempre me he preguntado, es por qué de pequeños en la escuela nos enseñan a utilizar el aspa (x) y luego vemos que se confunde con la incógnita “x” y empezamos a utilizar el punto … quizá fuese mejor poner el punto directamente, como sugería Leibniz, aunque en este libro lo podrás encontrar de ambas formas
2.5.3 Técnicas de multiplicación multiplicación Lo primero que hay que dominar a la perfección son las tablas de multiplicar, personalmente te recomiendo que las practiques hasta dominarlas y que sea hasta la tabla del 12, puesto que las del 11 y el 12 te harán desarrollar ventajas a la hora de afrontar cálculos más complejos:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
2 0 2
0
0
4 6 8 10 12 1 2 14 1 4 16 1 6 18 1 8 20 22 24
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11 0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144
Te voy a proponer dos técnicas diferentes aplicables una u otra dependiendo del tipo de multiplicación que se haga (si son, por ejemplo, de dos dígitos por 1 dígito; o si fuesen de dos dígitos por dos dígitos, etc)
El método de izquierda a derecha que te propongo va a implicar mantener la misma línea que hemos utilizado para las sumas y las restas, por lo que con el entrenamiento en las anteriores operaciones te va a resultar más fácil el aplicarlo a la multiplicación. Si queremos multiplicar 47 · 6 , te propongo la siguiente dinámica mental: 47 · 6 = 40 · 6 + 7 · 6 40 · 6 = 240 ; 7 · 6 = 42 240 + 42 = 282
Es decir, se trata de descomponer las multiplicaciones, hacerlo más sencillo e ir uniendo resultados, combinando multiplicaciones con sumas.
El Método cruzado de multiplicación se enseña en las escuelas de países
del Este de Europa y de Asia, lugares ellos donde las capacidades matemáticas están bien desarrolladas. También es un método que utilizamos la mayoría de calculistas mentales, personalmente me ha valido para poder establecer varios Records Guinness y otros títulos en multiplicación. El método consiste en lo siguiente:
Vamos a multiplicar 54 · 73
54 x 73
3942
Lo que hago es lo siguiente: 1) 3 · 4 =12 , coloco un 2 y llevamos 1 2) 1 + 3 · 5 = 1 + 15 = 16 ; 16 + 7 · 4 = 16 + 28 = 44, coloco un 4 y llevamos 4 3) 4 + 7 · 5 = 4 + 35 = 39, y coloco un 39 Ya hemos terminado, si lo practicas con papel y lápiz comprobarás que no es tan difícil.
Si lo hacemos con 3 dígitos por 3 dígitos, la cosa se complica un poquito. Por ejemplo: 258 · 847 258 · 847 218526 Pasos a seguir: 1) multiplico 7 · 8, coloco un 6 y llevamos 5 2) 5 + 4 · 8 = 5 + 32 = 37; 37 + 7 · 5 = 37 + 35 = 72, coloco un 2 y llevamos 7 3) 7 + 8 · 8 = 7 + 64 = 71; 71 + 4 · 5 = 71 + 20 = 91; 91 + 7 · 2 = 91 + 14 = 105, coloco un 5 y llevamos 10 4) 10 + 8 · 5 = 10 + 40 = 50; 50 + 4 · 2 = 50 + 8 = 58, coloco un 8 y llevamos 5 5) 5 + 8 · 2 = 5 + 16 = 21, coloco el 21, y ya terminamos la operación.
Como se puede ver, voy cruzando las multiplicaciones, corriendo un lugar a cada paso que se va dando.
Para poder desarrollar este método multiplicativo se necesita mucha rapidez y agilidad sumando, ya que combina las multiplicaciones con sumas sucesivas. Sin embargo, este método cuenta con la ventaja de que sólo se requiere una memorización a “corto plazo” (en mi caso particular muy útil porque me baso en la velocidad sumando, utilizando la memoria en menor medida). También es cierto que se requiere otra cualidad, que es básica: una gran concentración. Un gran calculista de mediados de siglo, el holandés Win Klein, conseguía acortar el número de pasos de este método gracias a que se sabía de memoria la tabla de multiplicar del 1 al 100 (algo que conocían la mayor parte de calculistas).
algunos truquitos o “tips” para multiplicar A continuación te voy a presentar algunos truquitos que te pueden funcionar para determinados cálculos que surjan. No son técnicas para que las entrenes pero sí que es muy útil que los conozcas.
Multiplicar por 11 Si queremos multiplicar un número por 11 añadiremos un 0 (multiplicar por 10) y sumaremos el multiplicando. Por ejemplo: 26 · 11 = 260 + 26 = 286
114 · 11 = 1140 + 114 = 1254
Multiplicar por 5 Multiplicar un número por 5 es lo mismo que multiplicarlo por 10 y dividirlo entre dos. Veamos un par de ejemplos: 36 · 5 ; 36 · 10 = 360 360/2 = 180 245 · 5 ; 245 · 10 = 2450 2450/2 = 1225
Multiplicar por 25 Para multiplicar por 25 multiplicamos por 100 (solo añadimos dos ceros al número) y luego lo dividimos por 4, ya que 100 = 25 · 4. Para dividir el número entre 4 podemos hacerlo dividiendo dos veces seguidas entre 2. Ejemplos: 72 · 25 = 7200 /4 = 3600/2 = 1800 122 · 25 = 12200/4 = 6100/2 = 3050 Multiplicar por 125 Para multiplicar un número por 125 lo multiplicaremos por mil y dividiremos entre 8 (ya que 8 por 125 es igual a 1000). Esto es, añadiremos tres ceros y dividiremos entre 2 tres veces. Veámoslo con un par de ejemplos: 32 · 125 = 32000/8 = 16000/4 = 8000/2 = 4000.
26 · 125 = 26000/8 = 13000/4 = 6350/2 = 3175 Multiplicaciones por 9 Toda multiplicación por 9 se puede resolver añadiendo un 0 al multiplicando (multiplicar por 10) y restando ese mismo multiplicando. Por ejemplo 27 · 9 = 27 · 10 – 27 270 – 27 = 243 135 · 9 = 1350 – 135 1215 Multiplicar por 99 Se hace de la misma forma pero añadimos dos ceros (multiplicamos por 100) Ejemplos: 28 · 99 = 28 · 100 – 28 2800 – 28 = 2772 243 · 99 = 24300 – 243 = 24057 Multiplicar por 999 De igual forma que los dos casos anteriores pero añadiendo tres ceros
Ejemplos: 48 · 999 = 48 · 1000 – 48 48000 – 48 = 47952 435 · 999 = 435000 – 435 = 434565
Multiplicar dos números de dos dígitos siendo el primer dígito el mismo y la suma de los segundos de 10 Vamos a verlo con un ejemplo, que es mucho más sencillo. Imagina que queremos multiplicar 57 por 53; donde el primer dígito o decena es el mismo (5) y la suma de los segundos dígitos o unidades suman 10 (7 + 3). Pues bien, lo que haremos será multiplicar el primer dígito por uno más que sí mismo para obtener la primera parte de la respuesta, es decir 5 · 6 = 30; mientras que la segunda parte de la respuesta la obtendremos multiplicando los dos dígitos finales, es decir, 7 · 3 = 21 Por lo tanto, 57 · 53 = 3021 Otro ejemplo: 28 · 22 = 616, puesto que 2 · 3 = 6 … y lo ponemos … y 8 · 2 = 16
Truco de multiplicar doblando y dividiendo entre dos
Cuando uno de los números es par se puede aplicar este truquito, dividiendo ese número entre 2 tantas veces consideremos, y doblando el otro miembro de la multiplicación el mismo número de veces. Vamos a verlo con un par de ejemplos: 24 · 17 = 12 · 34 = 6 · 68 = 3 · 136 = 408 56 · 34 = 28 · 68 = 14 · 136 = 7 · 272 = 1904
Multiplicar un número por potencias de 2 Si queremos multiplicar un número por otro que sea potencia de 2 (2, 4, 8, 16, 32, …) sólo tendrás que doblar el número tantas veces sea necesario (si es por 4 dos veces, si es por 8 tres veces, si es por 16 cuatro veces, etc.) Por ejemplo: 21 · 8 = 168 doblándolo tres veces (42-84-168) 53 · 16 = 848
(106-212-424-848)
2.6 LA DIVISIÓN
2.6.1 Concepto y propiedades La cuarta de las operaciones aritméticas fundamentales es la división, que podemos definir como averiguar la cantidad de veces (o cociente) que un número llamado divisor está contenido en otro, de nombre dividendo. Es la operación inversa a la multiplicación y también podemos considerarla como de restas repetidas. Existen divisiones exactas (cuando el residuo o resto es 0) e inexactas (cuando no lo es). Podemos expresar la división de la siguiente forma: DIVIDENDO = DIVISOR · COCIENTE + RESTO
Propiedades de la división: No cumple la propiedad interna El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero 4/7 4/7
Z
No es conmutativa a/b ≠ b/a
3/ 5 ≠ 5 / 3
Cero dividido entre cualquier otro número da 0 Si lo que tenemos es “nada”, no se puede dividir en partes, por lo tanto el resultado será el mismo 0 0/a=0 0/6=0
No se puede dividir por 0 No existe ningún cociente que multiplicado por un divisor igual a 0 nos de cómo resultado un dividendo.
2.6.2 Simbología de la división Dentro de la historia de la división, podemos decir que son varios los símbolos que se pueden utilizar para esta operación. La más típica es la de la barrita horizontal, utilizada por los árabes y usada en Europa por Fibonacci en el siglo XIII, generalizándose sobre el siglo XVI.
Para poder escribir en una sola línea De Morgan, en 1845, introdujo la barrita oblicua (/) En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la la división división el signo No tuvo mucho éxito en su país y otros de Europa, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos
Los dos puntos (:) los utilizó por primera vez Leibniz en textos de 1684, que los aconsejaba para cuando se escribiese la división en la misma línea, dado que aquí la notación con raya de fracción no era la más adecuada. Si bien recuerdas, fue Leibniz quien utilizaba el punto para la multiplicación, por lo que los dos puntos mantienen dicha estética. En cuanto al desarrollo del algoritmo de la división, parece ser que proviene de los indios, copiado de ellos por los árabes. Dicho método de “división larga” era conocido como el “método de la galera”, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas "Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto es muy probable que también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas”:
No es la división una operación fácil de resolver con exactitud de forma mental. Dado que es la operación inversa a la multiplicación, si mejoramos en ésta también obtendremos mayor soltura para dividir.
2.6.3 Técnica para dividir : La división se utiliza continuamente, al igual que el resto de operaciones, en nuestro día a día. Muy típico en situaciones en las que se compra algo entre varios amigos y queremos saber cuánto dinero ha de poner cada uno. No es una operación para la que haya trucos o métodos bien definidos, y menos exactos, pero al ser lo inverso de multiplicar siempre que mejoremos esto, vamos a hacerlo también con las divisiones. A continuación te planteo la técnica que considero más adecuada para trabajar las divisiones cuando queramos hacerlas mentalmente.
Imagina que tenemos que dividir 465 entre 8 (465 / 8) Lo primero que debemos de hacer es una valoración del posible resultado. Dado que 8 · 10 = 80; y 8 · 100 = 800, la respuesta va a ser un número de dos dígitos (un número entre 10 y 100). Ahora recurrimos a nuestra memorizada tabla de multiplicar de un dígito por un dígito, y vemos que 8 · 5 es 40 (400 es menor que 465), y que 8 · 6 es 48 (480 es mayor que 465). Como el resultado resultado tiene dos cifras o dígitos, va a ser un número entre 50 y 60. Ya tenemos hecha la aproximación, ya tenemos algo muy importante, no lo olvidemos. Ahora restamos 465 – 400 = 65, y lo dividimos entre 8; 65 / 8 = 8 (con un resto de 1)
Por lo tanto, nuestra respuesta será 58 y 1/8
En el capítulo 3 te propondré numerosos ejercicios para que puedas practicar estas técnicas, tanto de la división como de las otras operaciones aritméticas.
2.7 POTENCIAS 2.7.1 Concepto y propiedades Una potencia de base “a” y exponente “n” consiste en multiplicar tantas veces “a” por sí mismo, mismo, como indique “n”. Por lo tanto, es una forma abreviada de representar una multiplicación.
Propiedades de las potencias:
Potencias de exponente 0: su resultado será igual a 1
a0 = 1 40 = 1 Potencias de exponente 1: su resultado es igual a la base
a1 = a 41 = 4 Multiplicación de potencias de igual base: se coloca la misma base y se suman los exponentes
am · a n = am+n 43 · 45 = 43+5 = 48 División de potencias con la misma base: se coloca la misma base y se restan los exponentes
am / a n = am - n 45 / 42 = 45 - 2 = 43 Potencia de una potencia: en este caso se multiplica el exponente, por el exponente de este. (am)n=am · n (65)3 = 615 Multiplicación de potencias con el mismo exponente: se multiplican las bases y se mantiene el exponente. an · b n = (a · b) n 53 · 83 = 403 •
División de potencias con el mismo exponente: se dividen las bases y se mantiene el mismo exponente. an / b n = (a / b) n 63 / 33 = 23 •
En cuanto al signo:
Las potencias de exponente par son siempre positivas, independientemente del signo positivo o negativo de la base. (+)par = + (-)par = + 24 = 16 (−2)4 = 16 Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base. (+)impar = + (-)impar = 23 = 8 (−2)3 = −8
2.7.2 Simbología de las potencias En el siglo XVII fue James Hume quien publicó una obra sobre el álgebra de Viéte en la que utilizó una notación muy parecida al actual, situando al exponente con un numerito menor situado en posición elevada sobre la base. Sin embargo, el exponente lo escribía en números romanos:
Así, 5x2 lo escribía como 5x ii Fue Descartes quien definitivamente sustituyó los números romanos como exponentes por los números decimales, con una curiosa particularidad para los cuadrados: x2 lo representaba como xx. En notación informática se suele utilizar un angulito hacia abajo para referirse a “elevado a”. Esto es : x^2 para referirse a x 2
2.7.3 Algunos truquitos con potencias Memorizar algunos cuadrados Lo primero que te recomiendo es saber de memoria algunas cuadrados, te ayudará mucho al menos hasta el 15, si tú quieres profundizar sabiéndote más, pues mucho mejor. 12= 1 22= 4 32= 9 42= 16 52= 25 62= 36
72= 49 82= 64 92= 81 102= 100 112= 121 122= 144 132= 169 142= 196 152= 225
Método para elevar números al cuadrado Te propongo a continuación un método para elevar números al cuadrado, siendo la clave para tomar agilizar el practicarlo, como todo lo relacionado con el cálculo. Vamos con un ejemplo, hacer el cálculo de 94 2
Dado que es más sencillo elevar 100 al cuadrado, va a ser el ese el punto de arranque: Como 94 es 6 menos que 100, entonces vamos a restar 6 al número que queremos elevar al cuadrado (94 – 6 = 88)
-
A continuación multiplicamos 88 por 100, y nos da 8800
-
Como la diferencia de 94 a 100 es 6, procedemos a elevar 6 al cuadrado, cuyo resultado es 36
- Ahora hacemos la suma de estos dos pasos: 8800 + 36 = 8836 Y ya tenemos el resultado, 942 = 8836
Vamos con otro ejemplo, 42 2 proximamos a la decena más cercana (40) y calculamos la diferencia: 42 – 40 = 2, para a continuación seguir la misma dinámica que en el ejemplo anterior: 42 + 2 = 44 44 · 40 = 1760 22= 4
Y, por último, 1760 + 4 = 1764 422= 1764
Cuadrados terminados en 5 Cuando un número que termina en 5 se eleva al cuadrado, el resultado siempre terminará en 25. Para obtener el resultado completo, tomamos la decena y la multiplicamos por un número más qué el (si son más dígitos se hace igual). Ejemplo: 352 Acaba en … 25 Y hacemos 3 · 4 = 12 Resultado = 1225 Otro ejemplo: 1152 Terminación = 25 Y 11 · 12 = 132 Resultado = 13225
Cuadrados que terminan en 1: Aquí también tendremos un truquito para hacerlos rápidamente, veámoslo con un par de ejemplos: Ejemplo: 412 Hacemos el 402 = 1600 Y a continuación multiplicamos el mismo 40 por 2 y sumamos 1
40 · 2 + 1 =81 Y sumamos ambos resultados parciales 1600 + 81 = 1681 Por lo tanto, 41 2 = 1681 Ejemplo 2: Calcular 712 702 = 4900 70 · 2 +1 = 141 4900 + 141 = 5041 712 = 5041
Cuadrados con diferencia 2 Si te aprendiste los cuadrados de varios números te será muy fácil multiplicar dos números cuya diferencia sea dos. Para ello se efectúa el cuadrado que está entre esos dos números y se resta uno. Por ejemplo: 8 · 6 = 7 · 7 – 1 = 48 16 · 14 = 15 · 15 – 1 = 224
2. 8 RAÍCES CUADRADA Y CÚBICA 2.8.1 Concepto y propiedades Matemáticamente hablando la raíz cuadrada de un número representa al valor que multiplicado por sí mismo da ese número. Es decir, la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 · 3 = 9. Las raíces cuadradas fueron ampliamente estudiadas durante el periodo de los pitagóricos, en cuyo momento se descubrió que la raíz cuadrada de 2 era un número irracional (no existía ningún resultado que permitiera explicarla) algo que convulsionó el conocimiento matemático de la época. Cuando el concepto de raíz cuadrada fue ampliado, se propuso la existencia de otro tipo de números: los números imaginarios y los números complejos. 2.8.2 Simbología de la raíz cuadrada El símbolo actual de la raíz cuadrada “√ “ fue introducido por el matemático alemán Christoph Rudolf en el año 1525. Sobre el origen concreto del signo habló el propio Leonhard Euler en 1775, argumentando que se trataba de una forma estilizada de la letra “r”, por representar la inicial del término latino “radix”, que significa “radical”
2.8.3 Técnica para calcular raíces cuadradas El hacer raíces cuadradas siempre ha sido algo que ha asustado a los estudiantes, incluso me atrevería a decir que poca gente adulta recuerda aquél algoritmo que nos enseñaban en la escuela. A la hora de calcular mentalmente raíces considero mucho más interesante hacer aproximaciones. Obviamente, si necesitamos un cálculo más exacto pues ya es otro cantar, pero me interesa más que sepamos interpretar que la raíz cuadrada de 98 está muy cerca de 10, o que la raíz cuadrada de 905 supera por poquito a 30 Como ya expongo en mi libro “Entrenamiento Mental”, voy a contar cómo personalmente lo hago si se trata de raíces exactas con un resultado hasta el
100. -
Raíces con resultado de dos dígitos
Lo primero que tenemos que hacer es memorizar la siguiente tabla, con los cuadrados del 0 al 9: 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 La técnica es la siguiente: Nos preguntan, por ejemplo, √5329 La decena de la respuesta la obtenemos fijándonos en los dos primeros dígitos: 53 Vamos a la tabla y 53 está entre 7 2 = 49, y 82 = 64
La decena será el menor del intervalo: 7 La unidad la obtendremos fijándonos en la la terminación: 5329 termina en 9 Volvemos a la tabla y vemos que en 9 terminan el 3 2 y el 72 ¿Cómo saber si es uno u otro? Hacemos el cuadrado de 75 y nos da 5625 (recordar que termina en 25 y multiplicamos 7 · 8) 5625 es mayor que 5329, por lo tanto, la unidad va a ser un 3, y nuestra respuesta será 73 Ejemplo 2) √7056 Decena será 8 (entre 8 2 y 92) La unidad será 4 ó 6 (852 = 7225) Por ser 7056 menor que 7225 la respuesta será 84
- Cómo extraer decimales Vamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31. Voy a apuntarlos.
11 121 21 12 144 22 13 169 23 196 24
441 31 484 529 576
961
14 15 16 17 18 19
225 256 289 324 361
25 26 27 28 29
625 676 729 784 841
Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia. Como siempre se dice, vale más el ejemplo que mil palabras. Ejemplo 1 Queremos calcular la √240
Paso Cálculo Explicación 1 Raíz entera ( 240 ) = 15 Al conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31 no nos costará identificar el entero. 240 – 152 = 15 2 A 240 le restamos 152 3 ( 15 / 15 ) / 2 = 0.5 El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2. 15 + 0.5 = 15.5 4 El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.
2.8.4 El truco de la raíz cúbica
Para las raíces cúbicas yo utilizo un algoritmo que paso a exponer a continuación y que nos va a desmitificar un poco la complejidad de esta operación.
Para poder hacer raíces cúbicas hay que tener memorizada la tabla con los números del 0 al 9 elevados al cubo: 03 = 0 13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 =125 63 =216 73 =343 83 =512 93 =729 Conocida esta tabla, sería muy sencillo realizar las raíces exactas con resultado de dos dígitos. Se pide a alguien que eleve un número de dos cifras al cubo. Una vez elevado al cubo le pedimos que nos diga el resultado, y nosotros haremos la raíz cúbica (el inverso a elevar al cubo). Es decir, le calculamos el número de dos cifras dígitos. Ej. Nos dicen 10648
Sólo nos fijamos en la terminación (8), gracias a la cual obtenemos la unidad de la respuesta; y en la cantidad anterior a la coma de mil (10), gracias a lo que obtenemos la decena. Vamos a la tabla de los cubos: ¿Quién termina en 8? El que termina en 8 es el 2 , que será la unidad _2 ¿En qué intervalo está 10? Entre 8 y 27, o sea, entre 2 y 3 (tomamos siempre el anterior, en este caso el 2, que será la decena) Respuesta: 22
Ej. nº 2. Raíz cúbica de 91125 El 5 es el que termina en 5 ; _5 Y 91 está entre 4 y 5 Respuesta: 45
Ej. Nº 3. Raíz Cúbica de 571787 El 3 es el que termina en 7 ; _3 Y 571 está entre el 8 y el 9
Respuesta: 83 De esta misma forma y modificando tan sólo la tabla memorizada, podemos calcular raíces quintas de números de 10 cifras, séptimas de números de 14 cifras, o raíces 57 de números de 114 cifras. Y es que una de las propiedades de las potencias de índice impar es que cada uno de sus 10 dígitos tiene siempre una terminación distinta.
CAPÍTULO 3) EJERCICIO MENTAL En el siguiente capítulo te propongo una amplia variedad de juegos con números con los que podrás desarrollar tu capacidad de cálculo y también la lógica de los procesos. Con estos “tests” se trata de que te diviertas a la vez que compruebes tu “pericia” con los regidores del Universo: los números.
3.1 Trucos con números En este apartado te propongo una serie de trucos con números. Con un poquito de práctica y agilidad, podrás deslumbrar a tus familiares y amigos y, quién sabe, quizá con el tiempo convertirte en uno de los mejores calculistas mundiales.
Adivinar fechas de nacimiento Operaciones a realizar: 1) anotar el día de nacimiento 2) multiplicarlo x 2. 3) sumarle 4 4) multiplicar por 50. 5) Sumarle el número que indica el mes de nacimiento. 6) multiplicar x 100 7) Restar la edad que se tenía al terminar el año anterior. *) La persona nos dice el resultado y a nosotros nos queda por hacer: 1) Restar al resultado el número 20001 2) Sumar 100 3) Sumar las dos últimas cifras del año en curso.
Ejemplo: Supongamos que la persona ha nacido un 20 de junio de 1982. Al decirle que vaya haciendo las operaciones indicadas le irán dando los siguientes resultados (teniendo en cuenta que entre cada operación hay que pulsar el signo igual): 1) 20 (x 2) 2) 40 (+ 4) 3) 44 (x 50)
4) 5) 6) 7)
2200 (+ mes de nacimiento) 2206 (x 100) 220600 (- edad al terminar el año anterior) 220580 (si estuviésemos por ejemplo en 2.003)
La persona nos dice este resultado y a nosotros nos queda por hacer: 1) 200579 (menos 20001) 2) 200679 (más 100) 3) 200682 (más 03) Esto es: 20 – 06 – 82 (20 de junio de 1.982)
Adivinar el dinero que una persona lleva, su número de hermanos y su número de hermanas Este truco es más sencillo que los anteriores, pero recuerda que para poder hacerlo tienes que practicarlo. Le decimos a una persona que haga las siguientes operaciones: 1) Anotar la cantidad de dinero que lleva en el bolsillo. 2) Multiplicar esa cantidad por 10. 3) Sumar 25. 4) Sumar el número de hermanas que tiene. 5) Multiplicar el resultado por 10. 6) Sumar el número de hermanos que tiene.
A continuación le pedimos el resultado y nosotros hacemos lo siguiente: 1) Restamos al resultado que nos de 250. Una vez hecho esto, la última cifra del resultado final será el número de hermanos del jugador, la penúltima será el número de hermanas, y las primeras serán la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo. Si su resultado son 2361 esto significa que tendría 1 hermano, 1 hermana, y 21 euros.
Complementario a 9 Un truco sencillo es el del complemento a 9, y consiste en lo siguiente: Pedimos un número de tres dígitos al azar. Nos dicen, por ejemplo, el 643. Lo escribimos dos veces en la pizarra. 643
643
A continuación pedimos otro número de tres dígitos (nos dicen, por ejemplo, el 562) y lo colocamos debajo del primer 643. Debajo del segundo 643 colocamos el complemento a 9 de 562. Es decir, restamos de 999 el número 562. Y 999 – 562 = 437, que es el complemento a 9 de 562 643 562
643 437
Y ahora decimos que vamos a efectuar mentalmente las dos multiplicaciones
y sumar ambos resultados. Resolución: 643 – 1 = 642. Su complemento a 9 es 357, de tal forma que la suma de los dos productos es 642.357.
¿Cuál es el truco?: La suma de los dos productos es igual al producto de 642 x 999, que a su vez equivale al de 643 x 1000 menos 643.
Adivinar un número elegido Vamos con otro sencillo truco. Le pedimos a un amigo que piense un número y a continuación le pedimos que haga las siguientes operaciones: 1) 5 2) 3) 4) 5)
Multiplicar el número pensado por Sumar 6 Multiplicar el resultado por 4 Sumarle 9 Multiplicar el resultado por 5
Ahora pedimos que nos diga el resultado e inmediatamente podremos decirle el número que había pensado, sólo tendremos que restar 165 del resultado
que nos dé y quitarle los dos ceros finales. Veámoslo con un ejemplo: Supongamos que nuestro amigo piensa en el número 12 Siguiendo los pasos que le pedimos llegará a lo siguiente: 1) 12 x 5 = 60 2) 60 + 6 = 66 3) 66 x 4 = 264 4) 264 + 9 = 273 5) 273 x 5 = 1365 Y nosotros haremos lo dicho: 1365 – 165 = 1200 y quitándole los dos ceros = 12 , que era el número pensado.
Adivinar la edad Este truco nos permitirá adivinar la edad de una persona (y de su madre) de forma muy original. Para ello le pedimos que haga las siguientes operaciones: 1) Multiplicar su edad por 2 2) Sumar 5 3) Multiplicar x 50
4) Sumar la edad de su madre 5) Restar 365. A continuación pedimos que nos diga el resultado y haciendo lo siguiente obtendremos la edad de esa persona y la edad de su madre: 1) Sumamos 115 al número que nos han dado. 2) Los dos primeros dígitos serán la edad de esa persona y las dos últimas la edad de su madre. Vamos a verlo con un ejemplo: imaginemos que esa persona tiene 25 años y su madre tiene 57. 1) 2) 3) 4) 5)
25 x 2 = 50 50 + 5 = 55 55 x 50 =2750 2750 + 57 = 2807 2807 – 365 = 2442
El resultado resultado que nos darán será 2442, sólo tendremos que sumarle 115 2442 + 115 = 2557 De tal forma que nuestro amigo tiene 25 años y su madre 57.
Adivinar dos números pensados Con el siguiente truco podremos adivinar dos números con unos sencillos cálculos.
Decimos a una persona que piense dos números, uno de una cifra, y el otro de dos cifras. A continuación le pedimos que haga las siguientes operaciones: 1) Escribir el número de un dígito. 2) Multiplicarlo x 5 3) Sumar 5 al resultado. 4)Multiplicar x 10 5)Sumar 20 6)Multiplicar x 2 7)Restar 8 8)Sumar el número de dos dígitos elegido. Ahora tenemos que pedir el resultado y le restamos 132. Obtendremos entonces un resultado de tres dígitos, el primero es el número de un dígito, y los dos últimos son el número de dos digitos que había pensado. No dudes en comprobarlo por ti mismo.
Adivinar números telefónicos Este es uno de los trucos más divertidos, a través del que puedes adivinarle el número de teléfono a alguien. Pasos a seguir: 1) Dile a alguien que marque su número de teléfono en la calculadora (puede ser el fijo o el móvil) 2) Que multiplique por 10 3) Sumar 1998 4) Dividir entre 2 5) Restar 2001 En este momento le pides la calculadora y te entregará un resultado muy raro.
Tú resolverás el secreto haciendo lo siguiente: 1) Sumar 1002 2) Dividido entre 5 Si en lugar de pedirle la calculadora eres capaz de hacer estos dos últimos cálculos mentalmente o con papel y lápiz sorprenderás más aún.
Truco del mentalista Este es un truco para predecir resultados, al estilo de los mejores mentalistas. Para ello, tendrás que hacer lo siguiente: 1- Escribe en un papel el número 198 2- Que a la persona a quien se lo hagas escriba escriba cualquier número de tres dígitos consecutivos y en orden decreciente (432; 765; etc) 3- Que invierta invierta el orden de los los dígitos y escriba el número debajo del primero 4- Que reste los dos números Finalmente, muéstrale la predicción de tu papel. ( Cualquiera que sea el número que haya pensado tu amigo, la respuesta será siempre la misma) Este mismo truco lo puedes hacer con números de cuatro dígitos. En este caso el número que tú tendrás escrito será el 3087
3.2 Ejercicios de cálculo mental A continuación te propongo juegos variados de cálculo mental. Se trata de que los hagas en el menor tiempo posible y con la máxima precisión. Estos uegos están diseñados para que desarrolles tu capacidad de cálculo, pero también una forma de cálculo lógica o intuitiva, que no es menos importante que el desarrollar las operaciones de forma mecánica. Ten en cuenta siempre lo que representa la jerarquía en las operaciones, es
decir, que las operaciones de multiplicar y dividir siempre tienen preferencia sobre sumar y restar. Ejemplos de jerarquía en las operaciones:
Si te encuentras con un 15 + 7 · 2 lo primero que hay que hacer es 7 · 2 y al resultado sumarle 15 5 – 4 / 2 = 3 , es decir, se resuelve el 4 / 2 = 2 y se hace 5 – 2 = 3
3.2.1 Juegos de verdadero o falso En la siguiente sección te propongo una serie de cálculos con las opciones de Verdadero o Falso, en las que tienes que encontrar la respuesta correcta. Este tipo de ejercicios son muy útiles no sólo para potenciar tu capacidad de cálculo mental, sino también para trabajar lo que es el tanteo, una forma intuitiva de discernir si puede o no puede ser la respuesta dada la correcta. Tiempo recomendado: 6 minutos
1) 14 + 7 = 21 V F
2) 5 + 14 + 37 = 102 V F 3) 1 + 6 + 24 = 31 V F 4) 18 + 66 - 9 = 70 V F 5) 33 + 34 + 2 = 75 V F 6) 42 · 2 + 8 = 92 V F 7) 231 + 14 - 7 = 238 V
F 8) 44 · 5 + 31 = 501 V F 9) 66 – 12 - 7 = 47 V F 10)
9 · 11 + 62 = 160
11)
245 + 13 + 24 = 302
12)
13 · 3 + 7 = 46
13)
15 / 3 + 6 = 11
V F
V F
V F
V F 14)
831 + 27 + 18 = 976
15)
541 + 362 + 56 = 989
16)
244 · 2 + 13 = 501
17)
15 · 6 + 13 = 103
18)
44 / 4 + 13 = 26
V F
V F
V F
V F
V F
19)
25 · 6 · 3 = 450
20)
17 / 2 + 53 = 64
21)
34 / 3 + 6 = 118.3
22)
175 · 4 + 36 = 736
23)
42 · 6 + 9 = 417
V F
V F
V F
V F
V F
3.2.2 ¿Cuál número falta? El siguiente juego consiste en identificar el número que falta para que se cumpla la igualdad. Es un ejercicio que te hará agilizar mucho tu cálculo mental. Tiempo de realización recomendado: 8 minutos. Resolver todos los ejercicios por debajo de ese crono estaría muy bien. Por supuesto, trata de realizarlos correctamente.
Ejercicio 1) 47 + 4 + __ = 62 2) 22 + 13 + __ = 44 3) __ + 12 -15 = 12 4) 45 + __ + 8 = 66 5) 19 + 3 + __ = 34 6) 42 – 28 + 9 + __ = 39 7) 118 – 14 + __ = 132 8) 44 – 25 – 19 + __ = 11
9) 32 / 4 – 35 + __ = 63 10)
55 · 2 + 18 - __ = 105
11)
14 – 13 + __ = 48
12)
222 / 2 - __ = 108
13)
20 · 3 + __ = 78
14)
52 – 42 + __ = 97
15)
15 · 4 + __ = 93
16)
98 / __ + 17 = 66
17)
36 / 4 + 15 + __ = 32
18)
17 · __ + 15 = 49
19)
8 / 1 + 34 - __ = 27
20)
16 / 4 - __ = -5
21)
32 · 3 + __ - 3 = 98
22)
18 – 13 + 21 - __ = 12
23)
244 / 2 + 17 – __ = 131
3.2.3 Seleccionar la respuesta correcta En los siguientes ejercicios tienes que seleccionar la respuesta correcta entre las posibles soluciones que te vienen ya dadas. Este tipo de ejercicios has de resolverlos aplicando cálculo mental y, por supuesto, una buena dosis de lógica numérica, interpretando en cada momento que respuestas pueden o no pueden ser las correctas. De hecho, cuando veas que algún cálculo sea complicado, céntrate en determinar cuál deba ser la respuesta correcta, sin tratar de hacer el cálculo concreto, es la mejor forma de desarrollar tu intuición numérica. Tiempo recomendado: 5 minutos
1) 12 + 7 + 12 a) b) c) d)
30 31 32 110
2) 40 + 32 a) 74 b) 120
c) 72 d) 13
3) 67 + 15 - 8 a) b) c) d)
67 81 74 56
4) 56 – 8 + 11 a) b) c) d)
57 56 55 59
5) 640 + 18 + 7 a) b) c) d)
665 465 705 351
6) 32 + 8 + 24
a) b) c) d)
86 64 103 ninguna
7) 62 / 2 + 7 a) b) c) d)
48 38 28 36
8) 5 · 12 + 17 a) b) c) d)
80 78 69 77
9) 55 / 11 + 38 a) 40 b) 43
c) 33 d) 12
10) 47 · 2 + 19 a) b) c) d)
108 121 113 106
11) 13 · 7 + 18 a) b) c) d)
142 143 109 106
12) 115 – 32 + 19 a) b) c) d)
102 141 104 98
13) 22 – 35 + 18 a) b) c) d)
12 46 5 8
14) 412 + 68 – 433 a) b) c) d)
62 117 48 47
15) 91 · 2 + 18 a) b) c) d)
208 200 136 Ninguna es correcta
16) 14 / 2 + 34
a) b) c) d)
40 31 30 41
17) 49 – 62 – 354 a) b) c) d)
-365 -363 -367 -408
18) 23 · 3 + 15 a) 82 b) 85 c) 74 d) ninguna
19) 9 + 82 · 3 a) 286 b) 255 c) 431
d) 185
20) 43 – 38 – 17 a) – 12 b) – 9 c) 13 d) 4
21) 31 + 66 · 12 a) b) c) d)
1113 967 888 823
22) 13 · 13 · 11 a) b) c) d)
1859 2859 859 Ninguna
23) 42 + 35 / 7 a) 46
b) 57 c) 56 d) 47
3.2.4 ¿Cuál es el mayor? El siguiente ejercicio consiste en que digas entre las posibles opciones cuál de ellas representa el resultado mayor. El tiempo recomendado es de 5 minutos. 1) a) b) c) d)
14 · 2 7·4 13 + 16 43 / 2
a) b) c) d)
52 51 – 35 12 · 2 31 – 7
a) b) c) d)
34 15 · 4 18 · 3 21 · 4
2)
3)
4) a) b) c) d)
17 · 3 + 9 15 · 3 12 / 3 81 – 13
a) b) c) d)
92 83 17 · 3 34
a) b) c) d)
55 · 2 5 · 10 2 · 47 33
a) b) c) d)
12 + 6 · 4 7·8–3 91 + 15 / 3 8·8
5)
6)
7)
8) a) 7 · 4 + 6
b) 16 – 9 · 4 c) 3 + 7 d) 82 / 5 9) a) b) c) d)
- 52 - 53 5 2 - 1 171
a) b) c) d)
8 + 72 122 16 · 3 + 5 17 – 21 + 52
a) b) c) d)
22 + 7 13 + 14 6·4 5·5
a) b) c) d)
410 1·2 17 – 14 2 3 - 70
10)
11)
12)
13) a) b) c) d)
21 / 4 7·3–8 4+4·4 24 – 5
a) b) c) d)
19 1 – 7 6·3–5·4 5–5·3 16 - 60
a) b) c) d)
32 · 2 16 · 4 128 / 2 92 – 5
a) b) c) d)
2 / 6 + 15 31 / 4 – 2 53 – 28 / 2 7·6
14)
15)
16)
17) a) 3 · 5 + 5
b) 24 / 3 c) 6 · 3 – 7 d) 12 + 72 18) a) b) c) d)
63 53 + 15 43 + 100 / 2 34
a) b) c) d)
5–7·4 12 / 6 14 – 3 · 3 61 – 4
a) b) c) d)
8·8+8 8+8·8 82 + 8 + 8 8/8+8·8
a) b) c) d)
32 / 16 + 5 21 · 4 13 · 5 + 5 14 – 6 · 20
19)
20)
21)
22) a) b) c) d)
63 · 8 25 · 10 35 / 7 + 14 · 7 212
a) b) c) d)
6+6·6 14 · 2 + 12 13 + 3 · 3 7 · 5 + 10
23)
3. 2.5 Juegos con raíces Para que practiques con raíces te propongo que elijas el resultado correcto de las siguientes raíces cuadradas. Tiempo estimado de 3 minutos. 1) √25 a) b) c) d)
4 5 6 4.8
2) √144 a) 12.3
b) 11.9 c) 12.0 d) 14 3) √37 a) b) c) d)
6.08 5.99 4 8.03
4) √52 a) b) c) d)
7 7.88 7.99 7.21
5) √410 a) b) c) d)
18.03 21 20.24 13.78
6) √899 a) b) c) d)
30.03 29.98 40 32
7) √4225
a) b) c) d)
72 65 38 94
8) √12 a) b) c) d)
3.46 3.99 4.08 2.97
9) √83 a) b) c) d)
10 8.27 9.74 9.11
10) a) b) c) d)
√105 10.24 11.06 17.54 9.88
11) a) b) c) d)
√626 23.80 25.02 16.34 91.07
Soluciones
JUEGOS “VERDADERO O FALSO” SOLUCIONES: 1) V 2) F 3) V 4) F 5) F 6) V 7) V 8) F 9) V 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)
F F V V F F V V F
19) 20) 21) 22) 23)
V F F V F
JUEGOS “¿CUÁL NÚMERO FALTA?” SOLUCIONES 1) 11 2) 9 3) 15 4) 13 5) 12 6) 16 7) 28 8) 11 9) 90 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)
23 47 3 18 87 33 2 8 2 15 9 5 14 8
JUEGOS “SELECCIONAR LA RESPUESTA CORRECTA” SOLUCIONES 1) b 2) c 3) c 4) d 5) a 6) b 7) b 8) d 9) b 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)
c c a c d b d c d b a d a d
JUEGOS “¿CUÁL ES EL MAYOR?” 1) c
2) a 3) d 4) d 5) b 6) a 7) c 8) a 9) a 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)
b a d c d d d d a c c b a d
JUEGOS “RAÍCES CUADRADAS” 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
b c a d c b b a d
10) 11)
a b
Alberto Coto y el calculista alemán Ruediger Gamm
A.C. y el genio matemático inglés Andrew Robertshaw
Títulos en la Olimpiada del Deporte Mental (Estambul 2008) en sumar, multiplicar y raíz cuadrada
Alberto Coto con dos de sus Guinness (hasta en 15 ocasiones ha batido estos prestigiosos records)
AC con otra de sus pasiones: el Ajedrez
Alberto con un ábaco y su libro Entrenamiento Mental
