Antes de entrar en materia, hagamos unas observaciones y comentarios acerca del tema que nos ocupa, que nos servir´an an de presentaci´on on del mismo. Dada una funci´on on (x,y,z) x,y,z) f ( f (x,y,z), x,y,z), real de varias variables suficientemente regular, nos preguntamos si la ecuaci´on f on f ((x,y,z) x,y,z) = 0 tendr ´a soluci´ on on para la variable z variable z en funci´on on de las x las x e y; es decir , si existir´a una funci´on on (x, y) z = ϕ = ϕ (x, y) tal que f que f ((x,y,ϕ (x, y)) = 0, para todos los x e y . Cuando as´ı sea, se dir´ a que la ecuaci´on f on f ((x,y,z) x,y,z ) = 0 define impl´ıcitamente ıcitame nte a z = ϕ (x, y), aunque esta definici´on on precise de algunas matizaciones.
→
→
N´ otese, en primer lugar, que el problema planteado puede no tener soluci´on, como ocurre, por otese, ejemplo, en la ecuaci´on on x2 + y 2 + z 2 + 3 = 0, donde el primer miembro es mayor o igual que 3 (para cualesquiera x,y,z ). Para Para evitar evitar que ocurra ocurra lo anterio anteriorr , tomare tomaremo moss com comoo punto punto de parpartida que se verifica la igualdad f ( f (x0 , y0 , z0 ) = 0, para un cierto punto ( x0 , y0 , z0 ), y se buscar´a la z = ϕ (x, y) para (x, (x, y) en las proximidades de (x ( x0 , y0 ) y de manera que sea z0 = ϕ (x0 , y0 ). Es m´as, as, interesar´an an aquellas z = ϕ (x, y) que sean regulares en el supuesto que lo es f . Si, Si, por por ejemplo, ejemplo, la ecuaci´ ecuaci´ on f on f ((x,y,z) x,y,z) = 0 es ahora x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, ella tiene por soluci´ on on a la z = 1 x2 y2 , siempre que (x, ( x, y) sea un punto del c´ırculo x 2 + y 2 1. Si el punto de partida 1 1 1 es el (x (x0 , y0 , z0 ) = ( , ), la funci´on on impl´ im pl´ıcit ıc itaa busc b uscada ada ser´ se r´ıa ıa la z la z = = 1 x2 y2 que cerca 3 3 3 de (x ( x0 , y0 ) es de clase C clase C ∞ ; n´ otese, no obstante, que cerca de (x otese, ( x0 , y0 ) hay muchas soluciones como la
± −
−
−
≤ − − −
− √ √ √
−
z = s = s((x, y) 1
x2
− y2,
donde
s(x, y) =
1
si 1 si
−
x + y + y x + y + y
∈ Q , ∈ R\Q
si bien es verdad que ellas no son ni siquiera continuas en (x ( x0 , y0 ). La situa situaci´ ci´ on on se complica si se toma (x (x0 , y0 ) en la circunferencia x2 + y 2 = 1 , ya que entonces cerca de (x ( x0 , y0 , z0 ) hay dos soluciones (y no solo una) de la ecuaci´on x on x 2 + y 2 + z 2 = 1, pues ahora las dos z dos z = 1 x2 y 2 , conducen ambas , a puntos proximos al (x ( x0 , y0 , 0); pero es m´as, as, las soluciones z soluciones z = 1 x2 y2 no existen en todo un entorno de (x ( x0 , y0 ), sino si no solo sol o en la l a parte de ´el el que est´a dentro de la circunfer2 2 encia x encia x + y 1. Todas estas dificultades se presentan debido a que, en este punto, (x ( x0 , y0 , 0), el plano tangente tangente a la superficie superficie f f ((x,y,z) x,y,z) = 0, esto es, el plano tangente a la esfera x 2 + y2 + z 2 = 1, es paralelo al eje z, es decir, a causa de que f z (x0 , y0 , z0 ) = 0, por ello, cuando se estudian las funciones impl´ıcitas, ıcitas, se parte de la hip´otesis f otesis f z (x0 , y0 , z0 ) = 0. Si adem´ adem´ as de lo ya dicho, la funci as on f ´on f es diferenciable, diferenciable, se puede entonces entonces asegurar asegurar que la funci´ funci´on ϕ on ϕ,, definida impl´ıcitamente ıcitamente por la ecuaci´ on f on f ((x,y,z) x,y,z ) = 0, es diferenciable; si f si f fuese fuese de clase C clase C r , entonces ϕ entonces ϕ se ser´ r´ıa ıa tambi ta mbi´´en en de clas cl asee C r .
± − − ± − −
≤
Teorema 1 (de la funci´ on impl´ impl´ıcita caso de una sola variable)
Sea U U se denotar´ an R p+1 un entorno de un punto (a1 , . . . , a p , b) R p+1 ,los puntos de U poniendo (x ; y) con x = = (x1 , . . . , x p ) y en particular a = (a1 , . . . , a p ). Sea Sea dada una funci´ funci´ on real R tal que F ( F : U F (a ; b) = 0. Diremos Diremos que la ecuaci´ ecuaci´ on F ( F (x ; y ) = 0 define defin e impl´ıcitamente ıcitamen te a y R p de a y como funci´ on continua de x , en torno de x = a = a e y = b = b,, si existe un entorno U a a y una a R, x unica ´ funci´ on continua f : U a y = f = f ((x ) tales que a
⊂
∈
→ →
→
f ( f (a ) = b
⊂
→
y
F ( F (x ; f (x )) )) = 0
∈ U a a Si F : U → R, (x ; y) → F ( F (x ; y ) es una funci´ on para para todo x
I. Existenci Existencia a de la funci´ funci´ on impl´ im pl´ıcit ıc ita a . p+1 continua en el entorno U R del punto (a ; b), si es F ( F (a ; b) = 0 y F es F es estrictamente
⊂
1
mon´ otona respecto de y, entonces la ecuaci´ on F (x ; y) = 0 define impl´ıcitamente a una ´ unica funci´ on continua x y = f (x ) en torno de x = a e, y = b.
→
R, (x ; y) II. Diferenciabilidad de la funci´ on impl´ıcita . Si F : U F (x ; y) es una p+1 funci´ on continua en el entorno U R del punto (a ; b), si es F (a ; b) = 0, si la derivada parcial F y existe y no es nula en U y si F es diferenciable en (a , b), entonces la ecuaci´ on F (x , y) = 0 define impl´ıcitamente a una ´ unica funci´ on continua x y = f (x ) en torno de x = a e, y = b; las derivadas parciales de f (para x ) en un entorno de x =a valen:
→
⊂
→
→
∂f (x ) = ∂x i
(x ; f (x )) − F F (x ; f (x ))
xi
i = 1, . . . , p .
y
Ejemplo 1 La ecuaci´ on F (x,y,z) = 0 donde F es la funci´ on real definida por
F (x,y,z) = xe y+z + (z
− x)sin(y + 1) +
2xyz para (x,y,z)
∈ R × R × R+ −
−
define impl´ıcitamente a una ´ unica funci´ on continua z(z, y) en un cierto entorno del punto (x, y) = ( 2, 1) y tal que z( 2, 1) = 1. As´ı ocurre, en efecto: la funci´ on F est´ a definida y es diferenciable en un entorno de (x,y,z) = ( 2, 1, 1), se verifica que F ( 2, 1, 1) = 0 y en un entorno de ( 2, 1, 1), es no nula la derivada parcial F z , puesto que
− − − −
− −
− −
F z (x,y,z) = xe
y +z
− −
+ sin(y + 1) +
xy 2z
F z ( 2, 1, 1) =
− −
−1 = 0.
N´ otese que F z es continua en ( 2, 1) y que en este punto es no nula, de lo que se infiere que F z es no nula en un entorno de tal punto. Esto es, para la ecuaci´ on F (x,y,z) = 0 se verifican las hip´ otesis del teorema anterior, de lo que se infiere la existencia de la funci´ on diferenciable z = z (x, y) que es soluci´ on de la ecuaci´ on, es decir tal que F (x,y,z(x, y)) = 0 en torno de (x, y) = ( 2, 1) y z=1. Como las otras dos derivadas parciales de F (x,y,z) son:
− −
− −
F x (x,y,z) = e
F y (x,y,z) = xe
y +z
y +z
− sin(y + 1) +
+ (z
yz 2x
− x) cos(y + 1) +
F x ( 2, 1, 1) = 3/2
− −
xz 2y
F y ( 2, 1, 1) = 2
− −
resulta que las derivadas parciales de z (x, y) en el punto ( 2, 1) son
− −
− F F ((−−2,2, −−1,1, 1)) = 3/2 1)
zx ( 2, 1) =
− −
x
y
z
2
zy ( 2, 1) =
− −
− F F ((−−2,2, −−1,1, 1)) = 2. 1) y
z
Para fijar ideas, comenzemos con unos comentarios sobre el problema que nos ocupa, tomando como referencia un caso particular. Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones f (x,y,x,u,v) = 0 g(x,y,z,u,v) = 0 que liga las cinco variables x, y,z,u,v, donde f y g son funciones suficientemente regulares. Nos preguntamos si, por satisfacerse estas dos ligaduras, las u y v son entonces variables dependientes de las x,y, z (variables independientes). Si as´ı ocurriese, dir´ıamos que el sistema de ecuaciones define impl´ıcitamente a u y v como funciones de x, y y z. Salvo en casos sencillos, el problema planteado no suele tener soluci´on de tipo global; hay que conformarse con soluciones locales, esto es, en las que (x,y,z) se mueve en un entorno de un cierto punto ( x0 , y0 , z0 ) y a partir de una determinada soluci´on (x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ) del sistema. En concreto, podemos resumir la situaci´on diciendo que si f y g son funciones reales de clase C 1 en un entorno de un punto (x0 , y0 , z0 , u0 , v0 ), si f y g se anulan en dicho punto y si, en ´el, el determinante jacobiano de f y g respecto de u y v es no nulo, entonces existen dos funciones u = u(x,y,z) y v = v(x,y,z), que son de clase C 1 en un cierto entorno de (x0 , y0 , z0 ), tales que u0 = u(x0 , y0 , z0 ) v0 = v(x0 , y0 , z0 ) f (x,y,z,u(x,y,z), v(x,y,z)) = 0 g(x,y,z,u(x,y,z), v(x,y,z)) = 0 estas u ´ ltimas identidades lo son para todo (x,y,z) del referido entorno de (x0 , y0 , z0 ). Las expresiones de las derivadas y de las diferenciales de u(x,y,z) y v(x,y,z) se obtienen derivando y diferenciando en las identidades anteriores, siguiendo la regla de la cadena. Teorema 2 (de la funci´ on impl´ıcita caso de un sistema de ecuaciones) p+q R R p+q , los puntos de U se deSea U un entorno de un punto (a1 , . . . , a p ; b1 , . . . , bq ) p R e y = (y1 , . . . , yq ) Rq y en particular , notar´ an poniendo (x ; y ) con x = (x1 , . . . , x p ) a = (a1 , . . . , a p ) R p y b = (b1 , . . . , bq ) Rq . Sea dada una funci´ on F : U Rq , (x ; y ) F (x ; y ), a cuyas funciones componentes las denotaremos por F j : U R, para j = 1, . . . , q. Si F es de
⊂
∈
∈
∈
∈
∈ →
→
→
clase C 1 , si F (a ; b ) = 0 y si el determinante de la matriz jacobiana de F respecto a y es no nulo en (a ; b ) entonces la ecuaci´ on F (a ; b ) = 0 define implicitamente a y como funci´ on de clase C 1 de x en torno de x = a e y = b , esto es: existe una ´ Rq , donde U a R p es unica funci´ on f : U a 1 un cierto entorno de a , la cual es de clase C en U a , es tal que b = f(a) y satisface a la identidad F(x; f(x)) = 0 para x U a . f (x ) La derivada parcial ∂ ∂x y la diferencial d f(x), de la funci´ on impl´ıcita x y = f (x ) en un punto j x U a , quedan definidas por las siguientes relaciones (las matrices con una t de super´ındice, que significa transpuesta de, son matrices columna)
→
∈
→
∈
∂ F( x;y ) ∂x j t
t
+ J y F (x;y )
∂ f (x ) ∂x j
t
= 0. t
J x F (x;y ) [dx ] + J y F (x;y ) [df (x )(dx )] = 0.
3
⊂
Ejemplo 2 Mostraremos que cerca del punto (x,y,u,v) = (1, 1, 1, 1) podemos resolver
xu yvu 2 = 2 xu3 + y 2 v 4 = 2
−
de manera unica ´ para u y v como funciones de x y y. Para ello formemos las ecuaciones
− yvu 2 − 2 F 2 (x,y,u,v) = xu3 + y 2 v 4 − 22 F 1 (x,y,u,v) = xu
(1) (2)
y el determinante en (1,1,1,1) ∂F 1 ∂u
∂F 1 ∂v
∂F 2 ∂u
∂F 2 ∂v
=
x + 2yuv
yu2
3u2 x
4y 2 v 3
=
3
1
3
4
= 9 = 0,
por lo tanto por el teorema anterior es posible despejar del sistema (1)-(2) u y v como funci´ on de x y y .
4
