DERANGEMENT, SISTEM RELASI REKURSIF, RELASI REKURSIF MELIBATKAN KONVOLUSI
(Disusun dalam Rangka Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika diskrit di Pascasarjana Universitas Negeri Makassar)
OLEH : KELAS F KELOMPOK V ANA MARDIANI
161050701096 161050701096
A. TENRITTE
161050701115
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2017
A. Derangement (Pengacakan)
Misalnya, terdapat n elemen dijajar pada satu baris dan diberi label
1, 2 , 3 , . . ,
. Kemudian ke n elemen itu dipermutasikan pada baris yang sama,
sedemikian hingga tidak ada satu elemen menempati tempatnya semula. Sebuah
permutasi yang demikian disebut deragement. Contoh: 3142 atau 4321 adalah deragement dari 1234, akan tetapi 3124 bukan der agement dari 1234, sebab dalam 3124, elemen 4 menempati posisinya semula (posisi ke 4). Begitu juga 4213 bukan deragement dari 1234 sebabelemen 2 menempati posisinya semula. Mudah diselidiki bahwa hanya terdapat 9 derangement dari 1234. (selidiki!) Terdapat tepat 2 derangement dari 123; yaitu 231 dan 312. Ada berapa deragement dari 12345? Secara umum kita tertarik dengan permasalahan berikut:
Mi M i salka salkan n
menyatakan banyaknya derangement dari n elemen.
B er apakah apakah
?
Untuk menjawab pertanyaan ini, pertama-tama akan dicari hubungan rekursif untuk
dan selanjutnya kita akan selesaikan hubungan rekursif tersebut
dengan fungsi pembangkit eksponensial. 1. Relasi rekursif untuk
Karena hanya ada satu permutasi tanpa elemen, maka
n=1,
0
1
. Untuk
, sebab tidak ada permutasi dengan satu elemen elem en dimana elemen itu
tidak menempati tempatnya semula. Untuk n = 2 diperoleh
= 1, sebab hanya
ada satu permutasi dari dua elemen dimana setiap elemen tidak menempati tempatnya semula (21 adalah satu-satunya derangement dari 12). Untuk n ≥ 2, kita peroleh relasi rekursif untuk a)
sebagai berikut:
Pandangan sebuah elemen sebarang dari n elemen yang ada. Tanpa menghilangkan keumuman, misal elemen itu adalah elemen n (elemen dengan label n). Karena elemen n tidak boleh menempati posisi ke n; maka terdapat n-1 kemungkinan posisi dari elemen ini, yaitu mungkin pada posisi ke-1, atau ke-2, atau ke 3,... , atau ke-(n-1).
b)
Tanpa menghilangkan keumuman, misal elemen n ini menempati posisi ke 1. Sekarang ada dua kemungkinan posisi dari elemen 1. Elemen 1 mungkin menempati posisi ke n atau mungkin tidak.
Kasus 1. Elemen 1 menempati menempati posisi ke n Elemen
n
.
.
.
. . .
.
Posisi ke
1
2
3
4
. . .
n-1,
1 n
Sekarang kita mempunyai n-2 elemen yaitu elemen: 2, 3, ..., n-1 yang harus dijajar sedemikian hingga setiap elemen ini tidak boleh menempati tempatnya semula: artinya elemen i tidak boleh pada posisi ke i untuk
1
. Ini bisa dilakukan dengan
−
cara.
2≤≤
Kasus 2. Elemen 1 tidak menempati menempati posisi ke- n Elemen
n
.
.
.
Posisi ke
1 2 3 4
. . . . . .
. n-1,
(tdk 1) n
Dalam kasus ini, kita mempunyai n-1 elemen yaitu elemen-elemen
1, 2 , 3 , . . , 1 −
yang harus dijajar sedemikian hingga elemen 1 tidak pada
posisi ke-n, elemen 2 tidak pada posisi ke-2, elemen 3 tidak pada posisi ke-3 dan seterusnya, elemen n-1 tidak pada posisi ke-(n-1). Ini dapat dilakukan
dengan
cara. Jadi banyaknya deragement dari n elemen dimana elemen n
menempati posisi ke-1 adalah
− − +
. Telah disebut pada bagian (a)
bahwa ada n-1 kemungkinan kemungkinan posisi dari elemen n. Sehingga untuk n ≥ 2, diperoleh hubungan,
− − − − − − − − − = (n-1) (
+
)
Persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut, =
–
–
=
+ (n-1)
Ekivalen dengan
Misalkan
– (n-1) (n-1)
maka (1) menjadi,
)
(1)
−, 11 − 1, − 11,
(n ≥2)
Karena Maka
= 0 – 1 = -1,
=
= 1
=
= -1
. . .
Dengan demikian, relasi rekursif untuk = 1;
2.
=
adalah sebagai berikut:
+
n
≥
1.
Mencari Mencari formula untuk
Di atas telah ditunjukkan bahwa, untuk n ≥ 1 berlaku hubungan =
+
(2)
Kita akan selesaikan relasi rekursif ini dengan Fungsi Pembangkit Eksponensial. Untuk itu kita misalkan,
=∑ ! ∞
! ∞ ∞ ∞ ∑= ! =∑ − ! =∑11 ! ∞ ∞ ∑= ! =∑ ! 0!
Kalikan kedua kedua ruas dari (2) dengan
Dan “dan diambil sigmanya” untuk sigmanya” untuk
n ≥ 1, maka diperoleh:
Ruas kiri dari (2) dapat ditulis sebagai sebagai berikut:
1
3
Suku pertama ruas kanan (3) adalah :
∞ ∞ − ∑= − ! ∑ − = 1!
∞ ∞ ∑=1 ! =∑ ! 1 − 1 1 − 1 − 1 ∞ ∞ 1 − ∑ ! dan 1 x ∑ x
Suku kedua ruas kanan persamaan (3) adalah :
sehingga (3) dapat ditulis sebagai berikut:
Ekivalen dengan
Karena
=
Maka
∞ ∞ ∑= ! ∑x = ∞ 1 ∑∑ ! = =∞ 1 ∑!∑ = = ! !
=
Rumus Konvolusi
Dengan demikian;
1 1 !∑= !
1 1 1 1 1 ⋯ 1 1 ! 1! 2! 3! ! ≥0
Catatan :
Kalau kita coba menyelesaikan relasi rekursif untuk
ini dengan fungsi
pembangkit biasa, maka kita akan terbentur dengan persamaan deferensial yang tidak mudah untuk dipecahkan.
B. Sistem Relasi Rekursif
Adakalanya suatu permasalahan dapat dimodelkan kedalam bentuk sistem rekursif. Sistem rekursif melibatkan paling sedikit dua rekursif yang terkait satu sama lainnya. Sebagai ilustrasi, ikuti uraian berikut. Misal
a
, menyatakan banyaknya barisan binair n-angka n- angka yang memuat “0”
sebanyak bilangan genap dan “1” sebanyak bilangan genap ;
b
menyatakan
banyaknya barisan binair n-angka n-angka yang memuat “0” sebanyak genap dan “1” sebanyak ganjil;
c
adalah banyaknya barisan binair n-angka n- angka yang memuat “0”
sebanyak ganjil dan “1” sebanyak genap : dan
d
adalah banyaknya barisan binair
n-angka yang memuat “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak ganjil. Karena setiap barisan binair n-angka n-angka yang memuat “0” sebanyak genap dan “1” sebanyak genap dapat diperoleh dari : sebuah barisan binair (n -1)-angka yang memuat “0” sebanyak genap dan “1” sebanyak ganjil dengan menambah/ menyisipkan sebuah digit “1” ; atau sebuah barisan binair (n-1)-angka (n -1)-angka yang memuat
“0”
sebanyak
ganjil
dan
“1”
sebanyak
genap
dengan
menambah/menyisipkan sebuah digit “0”, maka diperoleh dip eroleh hubungan sebagai berikut:
a b− c− , n ≥ 1
Begitu pula, setiap barisan binair n-angka n-angka yang memuat “0” sebanyak genap dan “1” sebanyak ganjil dapat diperoleh dari : sebuah barisan binair (n -1)-angka yang memuat “0” sebanyak genap dan “1” sebanyak genap dengan menyisipkan sebuah digit “1” ; atau sebuah sebuah barisan binair (n-1)-angka (n-1)-angka yang memuat “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak ganjil dengan ‘menyisipkan’ sebuah digit “0”. Sehingga diperoleh sebagai berikut:
b a− d− , n ≥ 1
Dengan argumen yang serupa dapat ditunjukan bahwa untuk untuk
n≥1
dan
c a− d− d b− c− a a b c d 0 , b , c , d a b− c− , n ≥ 1 b a− d− , n ≥ 1 c a− d− , n ≥ 1 d b− c− , n ≥ 1 a b c d 0
Jelas bahwa dan
, berturut-turut berlaku hubungan sebagai berikut:
c d
dan
= 1 dan
. Jadi relasi rekursif untuk
diberikan oleh sistem rekursif berikut:
dengan kondisi awal
= 1 dan
.
Selanjutnya, kita gunakan fungsi pembangkit untuk menyelesaikan sistem rekursif tersebut. Misalkan A(x), B(x), C(x) dam D(x) berturut-turut adalah fungsi pembangkit biasa dari
a , b , c , d dan dan
. Diperoleh:
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .
= a0 + (b0+c0)x + (b1 + c1)x2 + . . . = a0 + x (b0 + b1x + b2x2 + . . . ) + x ( c 0 + c1 x + c2 x2 + . . . ) = 1 + xB(x) + xC(x) ;
B(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .
= b0 + (a0+d0)x + (a1 + d1)x2 + . . . = 0 + x (a 0 + a1x + a2x2 + . . . ) + x ( d 0 + d1 x + d2 x2 + . . . ) = xA(x) + xD(x) ;
C(x) = c0 + c1x + c2x2 + . . .
= C0 + (a0+d0)x + (a1 + d1)x2 + . . . = 0 + x (a 0 + a1x + a2x2 + . . . ) + x ( d 0 + d1 x + d2 x2 + . . . ) = xA(x) + xD(x) ;
D(x) = d0 + d1x + d2x2 + . . .
= d0 + (b0+c0)x + (b1 + c1)x2 + . . . = 0 + x (b 0 + b1x + b2x2 + . . . ) + x ( c 0 + c1 x + c2 x2 + . . . ) = xB(x) + xC(x) .
Dengan demikian, kita peroleh sistem persamaan dalam A(x), B(x), C(x), dan D(x) seperti berikut ini: A(x) = 1 + xB(x) + xC(x) B(x) = xA(x) + xD(x) C(x) = xA(x) + xD(x) D(x) = xB(x) + xC(x) Dengan penyelesaian,
12x Ax 14x Cx 14xx
Bx 14xx 2x Dx 14
Selanjutnya kita cari koefisien xn dalam Karena,
Ax,Bx,Cx,dan Dx
2 12x 14x2 1 2x 1 2x 1 2x
.
12 12 12 12 1 2 ∑∞ 2 12 ∑∞ 2 12 ∑∞ 2 12 ∑∞ 2 = = = = 1 2 ∑∞ 2 12 ∑∞ 2 12 ∑∞ 2+ 12 ∑∞ 2+ = = = = a 1 n≥1, 12 22 12 2 12 22− 12 2− 22− 2.2− 2− 2− 2− 2−
maka
atau
, dan untuk
diperoleh diperoleh
1 , j i k a n 0 a 20− , jikaka n gena genap, jpikdandaa nnganjn ≥i2l
Selanjutnya, karena
14xx 12x 12x
1 4 ∑∞ 2 ∑∞ 2} = = b 14 2 22 {02− jjiikkaa nn genap ganjil c b 2 2 142 − 12 12 ∞ 1∞ 1 2 =∑22 2 =∑2 2 } 1 2 ∑∞ 2+ 12 ∑∞ 2+ = = 12 2− 12 2− − 2 ganjganjil { 0 nn > 00 atauau n
maka
Perhatikan bahwa
, sehingga
.
Akhirnya,
dengan demikian,
C. Relasi Rekursif Melibatkan Konvolusi
Beberapa permasalahan dalam Kombinatorika dapat dimodelkan kedalam bentuk rekursif yang melibatkan konvolusi, konvolusi, seperti berikut ini. Misalkan diberi sebaris n bilangan x1, x2, x3,
... ,
xn. Kita perintahkan
“komputer” untuk mencari hasil kalinya. Terdapat banyak cara untuk mendapatkan hasil kali tersebut. Misalnya untuk
n3
; pertama-tama mungkin
komputer mengalikan x1 dan x2, kemudian mengalikan hasil kali ini dengan x3; atau mungkin x2 dan x3 dikalikan terlebih dahulu, kemudian hasil kali ini dikalikan dengan x1. Kita bisa bedakan kedua cara ini dengan menyisipkan tanda kurung yang sesuai di dalam deretan bilangan x1, x2, x3, sehingga cara pertama dan
kedua,
berturut-turut
(xxx) dan xxx
dapat
ditulis
sebagai
berikut:
.
Dalam hal ini, komputer tidak dapat mengalikan x1 dan x3 terlebih dahulu, karena dalam deretan tersebut terdapat bilangan x2 diantara x1 dan x3. Dengan kata lain, komputer hanya mampu mengoperasikan dua bilangan yang letaknya berdekatan setiap kali pengoperasian. Dengan demikian, untuk n = 4, terdapat 5 cara yang berbeda seperti berikut:
(xxx)x , xxxx , xxxx x(xxx) xxxx xx
(
,
dan
.
Sedangkan untuk n = 2 hanya terdapat 1 cara saja yaitu
. Jika diberikan
barisan n bilangan, pertanyaan yang muncul adalah sebagai berikut: dengan berapa cara berbeda menginstruksikan komputer untuk mendapatkan hasil dari barisan n nbilangan tersebut? Misalkan K n menyatakan banyak cara untuk mendapatkan hasil kali (dengan aturan di atas) dari barisan n bilangan. Jelas bahwa K 1 = 1, K 2 = 1, K 3 = 2, dan K 4= 5. Selanjutnya untuk cara berikut:
n≥2
, relasi rekursif untuk K n dapat diperoleh dengan
Perhatikan “perkalian terakhir” yang dilakukan untuk menentukan hasil kali dari n bilangan x1, x2, x3,
... ,
xn. Ini melibatkan hasil kali dari dua subperkalian
1≤r≤n1, x … xxx+ … x (xx … x)≡xx … x
yaitu x1, ... , xr dan xr+1 , xr+2 , ... , x n ; dimana
Di sini kita definisikan, untuk r = 1,
yaitu: yaitu:
dan untuk r = n-1
(x … x−xx) ≡ (x … x−x)
Karena ada K r r cara cara untuk mendapatkan hasil kali dari sub perkalian x1, ... , xr cara untuk mendapatkan hasil kali sub perkalian xr+1 , ... , x n serta dan K n-r n-r cara
r≤n1 −
, maka
∑= − untu untukk n ≥ 2 K 0 1 =∑ − untu untukk n ≥ 2 2 ∞ =∑ 2 ∞ ∞ ∑= ∑[∑ ] − = =
Kalau kita definisikan
, maka
1≤
11
menjadi:
Selanjutnya, kita selesaikan rekursif
22
dengan fungsi pembangkit. Untuk itu,
misalkan
Kalikan kedua ruas
dengan
dan “diambil sigmanya” untuk
diperoleh,
Perhatikan bahwa,
∞ ∞ ∑= =∑
3
n≥2
,
dan
∞ ∞ ∑[∑− ] ∑[∑ ] − = = = =
3 10 1 4 1 ± √ 214 4 1 4∞ √ 14 ∞ 4 1 4 14 14 =∑ 44 1∑ 4 √ 14 = ≥1 2 22 4 1 ∞ ∞ 2 22 1 4 1∑ 4 1∑ 1 ∑ √ 14 1 = = 4∞ =∑ 1 22 1 ≥1, 1 22 1
Sehingga
menjadi,
Selanjutnya kita ubah bentuk
.
Dari Teorema Binomial Umum, diperoleh, Untuk
, didapat
Sehingga,
Dengan demikian, dari
Ini berarti, untuk
dengan memilih “tanda negatif” diperoleh,
Soal : 1.
2.
3.
Selesaikan sistem rekursif berikut:
aa b a c b 1 c , n ≥ 1 − bc+ 44 bc,, n≥1 n≥1 + a 1, b c 0 a 2a− b− c− , n ≥ 1 b b− c= 4− , n≥1 c c− b− 4− , n≥1 Selesaikan sistem rekursif berikut:
