Demidovic - Reseni Integrali - Zbirka Zadataka



1031

 5a 2 x 6 dx  5a 2  x 6 dx  5a 2 x77 

5 7

a2x7  C 3

2

1033



x4 

bx 3 

ax 3 

1 2

abx 2  C

mn 1 2 x mn 12



 a  x 4 ax

1 7

abx 4 

 



dt 2p

1

3

1 2 2p 3

t2 

3

1 3p

t2 

1 3p

3

2px 2 

2 3

2 x px  C



1

n

x n  n  1n  nn

x



n1 n n1 n

 

nx  u

1

1

1 n



 u 1nn du 

1n

n

n

n

1 u n n n 1n  n



1

1 un n 1 n

3

3

3

3

dx x 2 7

1 7



arctan

2

 a 2 x  3a

dx x 2 10

1 10

 

dx 4x 2

1 7

1

2 5 a

a  5

 a 2  5 x2 5 2

1 x

3

3

a 2  4a 2  6 x a  4x a

1

3

4

2

2

x2 C

5 x3 5 3

4 3

 3a

2 3

7 x3 7 3



x3 3

 a2x 

9 5

4 3

5 3

a x 

1 2

dx 8x 2

 arcsinh

1 4

2x 2  2x 2 4x 2 1 2

dx   2x

9 7

2 3

a x 

1 3

x3  C

2xC

5 2

 x  1x  x  1dx   x  1 dx  x  x  C 2 5

dx   3 7

7 3

2

x3

dx   x

x  63 x  C

10 3

4 3

 x  2x

 23

dx  

dx 

sinh 2 cosh 2

cos 2 x sin 2 x

dx  

1 2x 2

dx  

1 2x 2

dx

xC

1cos 2 x cos 2 x

dx  

1 cos 2 x

dx   dx 

1 cos x

sin x  x  C



1cosh 2 x cosh 2



dx cosh 2

  dx 

sinh x cosh x

 x  tanh x  x  C

dx  

1sin 2 x sin 2 x

dx  

dx sin 2 x

  dx   cot x  x  C

1049b

 coth 2 xdx   x 4 x 2 2

2x 2  2x 2

1049a

1040



xC

2x 2 2x 2 arcsinh 12 2

sin 2 x cos 2 x

 tanh 2 xdx  

7 3

 cot 2 xdx   3 2

3 x2

xC

1048*b

4

1039

x 2 1x 2 2

1 10

3 13

x

13 3



3 7

7 3

x  2  3x

1 3

cosh 2 x sinh 2 x

1050

 3 x e x dx  3e x dx

dx  

1sinh 2 x sinh 2 x

dx  

dx sinh 2 x

3

 a  2 2a 2 x  4a 2 x  4ax 2  2x

xC

arctanh

 arcsinh

 tan 2 xdx  

a 3  x 3  3 dx   a 2  3a 3 x 3  3a 3 x 3  x 2 dx

x

2

a 2  4a 2 x  6a 23 x 2  4 x2

3

1048*a

1

1

 u n  nx n  C

1038

13 3

1

3

 1 1 x 2  1 1 2

 arcsin

ndx  du

3 13

C

1047

nx 1nn dx

2

2n 1 1 2

2n 1 1 2

1046

n1

 n xn1n  C

1037

du n

x

1045 1

 t 2 dt 

1 2p



  x  n dx 

 u 1nn

2

1043

b2x6  C

1036 dx x

mn 1 1

2 x  2 mn 1 1 

C

 2a 2 x  4ax  4 a x 2  2x 2 

2pdx  dt

n

2m 1 1

2 x 2m 12 1

1044

2px  t|  t

1

2 dx  ax  2 a  2 a x  x dx  ax  2 a 2  4a 2 x  6ax  4 a x 2 

3

1 2

1041

1

2n 1 x 2 2n 12

1

1042

1

 2px dx



2

 a 2

1035



2m 1 2 x 2m 12

1

a  bx 3  2 dx  a 2  2abx 3  b 2 x 6 dx  a 2 x  2ab x44  b 2 x76 



1

1

dx   x 2m x  2  2x mn x  2  x 2n x  2 dx

 a  2  x  2 a 2  4a 2 x  6ax  4 a x 2  x 2

1034 a2x 





 xx  ax  bdx   xx 2  xb  ax  ab  x 3  x 2 b  ax 2  xabdx 4 3 3 2   x 3 dx  b  x 2 dx  a  x 2 dx  ab  xdx  x4  b x3  a x3  ab x2 1 3

x 2m 2x mn x 2n x

1

6x 2  8x  3dx  6  x 2 dx  8  xdx  3  dx  6 x3  8 x2  3x  2x 3  4x 2  3x  C

1 3

dx  

  x 2m 2  2x mn 2  x 2n 2 dx 

1032

1 4

x m x n  2 x

  dx   coth x  x  C

x1

3e x  u x x

3 e 1  ln 3dx  du  3e x



du 3 x e x 1ln 3

du 1ln 3



1 1ln 3

3e x 1ln 3

u

2   xdx   dx  2 

C

 a

adx ax



dx ax

a  x  u|  a

du u

 

 a ln u  a lna  x  C

dx  

dx   dx  

2x12 2x1

2 2x1

dx  x  

2 2x1



dx



 x  ln u  x  ln2x  1  C



xdx bxdx  1b abx abx dx x  ab abx b

1 b







bxaa abx

1 b

dx 



a b

du b





bxaa abx

1 b

dx 

 dx 

a b



dx abx

  

a 

x b



a b2



du u



x b



a b2

ln u 

x b



a b2

 5  dx  15 

dx   dx 

x4 x1

dx  

b a

x axb xdx b  a x dx  a x  x dx x x x dx dx a a dx  b  dx  b x   x x x  a dx dx a a dx  b x  ax  dx      x x a ba dx dx ax ax       b  x x











ba 



 



b xa



du 

1x



2

ba xa

dx  

b2 xa 2

u

b2 t

ax 



ba 2



du u

 xa 2  2ab lnx  a 

  b

dx x

x x1 2

dx  

x11 x1 2

dx  

dx x1



dx x1 2



x 2 11 x1



dx  lnx  1

1

ax 



ba 2

b2 xa

x2 2

C

 lnx  1  

dx x1 2

x  1  t|  dx  dt dt t2

 lnx  1 

1 t

 lnx  1 

ln u  a x 

ba 2

lnx    C



bdy 1y

 b

dy 1y

1  y  t|  2 x1

dx  7 lnx  3

x

x4 4



dx  a 2 x  2ab lnx  a  b 2 

dt t2

1061 

x33 x3



 dx   a 2 dx  2 

 lnx  1  

x  1 : x  1  x  1  x2  x



1060*



1056 x 2 1 x1 2

dx  5 

 7 lnx  3



 a x  2ab lnx  a  b 2 







ax 

x 2 99 x3

4 11 dx x2 dx  x1  x x1 dx x1 x 2 1 lnx  1  x1 dx  lnx  1  lnx  x 2 1x1x1 x1x1 dx  dx  x1 x1 2

 xa 2  2ab lnx  a 

 

dx x3



 3  5x  15 lnx  3  7 lnx  3  3  C

2

dx  du



dx x3

dx x3

dx  dt

lna  bx  C

x    u|  

dx  7 

x3 3



x2 2

1059

1055 

x x3

x  a  t|  

u

dx  5 

2

bdx  du x b

x2 x3

 3 lnx  1  x2  x  x 3  x 2  x  1dx  3 lnx  1   14 x 4  13 x 3  x 2  2x  3 lnx  1  C

a  bx  u|  

 x  2 lnx  1  C

 3 lnx  1  x  1dx  x  1x  1dx

1054



x 4 x 2 1 x1 x 4 1 x1

 3 lnx  1

2dx  du du u

dx  

x2  3x  9 lnx 2 1 2 x  2x  lnx 2



2x  1  u|  x

x2 2

1058

1052** 2x3 2x1

x 2 5x7 x3

 x  3dx  9 



dx  du





1057

1051**



dx x1

dy  dt  b 

dt t

  2b t   2b 1  y  C

1062

 a  bx dx

1 x1

C

dx xa 2

x

a  bx  t| 

1071

bdx  dt  t

  1b  t dt  

dt b

2 3b

3 2

t

 



3 2

2 3b

a  bx  C

x



dx 

x 2 1

dx 75x 2

x 2  1  t| 

1073

2xdx  dt





dt 2x

x t



1 2



dt t



x2  1  C

t 

2x5 3x 2 2

dx x

dx  

1 x

dx  

1 x

ln xdx



 dt 1 2

2 x 

ln 2 x  C





1 3



dx x 2  53

1 3



15 5



15 5

arctan

15 15

x

15 5

arctan



1 7



dx x 2  87

1 7



1 4

14 arctanh

x 2

1 ab



1 4

14 28

 

x 14

14 4

arctanh

xC



ab ab ab



1 ab



arctanh

dx ab ab



x ab

ab

ab

ab



1

arctanh

ab ab

1 a 2 b 2

arctanh



x ab ab

x a 2 b 2 ab

x2 x 2 2

dx  

x3 a 2 x 2

   a3

x 2 22 x 2 2

dx   dx  2 

dx x 2 2

 x  2 arctan

1 a

a 3 1a

dx   

x 3 axax

axa 2 axx 2  axax

dx 

dx   

x 3 a 3 a 3 dx  axax x 3 1 a a arctanh a  

 

x

5 2

1 2 2

2



5 5

arcsin

1 3



2 14 7

arcsinh

2

2 4

x

arcsinh

2 14 7

xC

dx 7 5

x 2

2x5 x 2  23

dx 

35 7

xC

dx  5 

2x x 2  23

dx x 2  23

dt t

6 2

 5

2

2 3



dx 

1 5



7 5

 t| 

lnx 

6 2

arctanh 5 6

1 2

6 arctanh

1 3



x

ln t 

5 6

6 arctanh

1 2

x 6

x 6 C

32x x 2  75

dx 

3 5



dt t



dx x 2  75





1 5

2xdx x 2  75

3 35 35



arctan

35 7

x

35 7 35 7

arctan arctan

x

1 5

x

1 5

3 35 35



lnx 2 

7 5

dx 

3 5 5

35 7

arctan

x

1 5

ln t

C



a 2 axx 2  ax 2

arctanh

x a



arctanh

x a

 a lna  x   xdx  

dx  a 3

1 a

2 2

1 2

x a

2



a2 ax

2

dx  

 a3

1 a

dx  

a3 a 2 x 2

arctanh xxa ax 2



3 5 5



3 5 10

x 2 4

2

dx  

x 2 5x42 x 2 4

lnx  4  arctan

1 2

dx   dx  5  xC

xdx x 2 4



x a

x3 x 2 4

dx x 2 4





3x1 x 2  15



x x 2  15

5 5

dx 



dx x 2  15

 t| 



dt 2

t



2 t 

5 5

3 5 10

arcsinh 5 x  5 5

arcsinh 5 x 



dt t



5 5

arcsinh 5 x

1 5



3 5 5

x 



 3 ln x  x 2  4

2

5 5

arcsinh x 5  C

dx  

xdx x 2 4

 3

dx x 2 4

x 2  4  t| 

dx

x  a lna  x  a arctanh

 2

1 5

5 5

1076

dx

x a

2xdx  dt

C 

x 2 5x6

dx 

x2 

xC

a 3 x 3 axax

ax

arctanh

3x1 5x 2 1

2xdx  dt

a 2 axx 2 

1070





 t| 

3 35 35 3 35 35

C

1069





1075

dx ababx 2

1068



x 2

2xdx  dt

1067





2 3

x2  

dx 7x 2 8



5 5

1 3



32x 5x 2 7

xC

1066





dx 7 8

1074 1 2 t 2

1065 dx 3x 2 5

1 3 1 3





 2 x   tdt  2 x 





2xdx  dt

x ln x x

ln x  t|



1 8

dx 

x2 

1064





1072

1063**



dx 78x 2



1 2

1077

dt 2

t

 3 ln x  x 2  4

2 t  3 ln x  x 2  4



1 2



dt t

x 2  4  3 ln x  x 2  4

C

1 5



2xdx x 2  75



xdx x 2 5

1

x6  t2| 2

x 2  5  t| 

x 3  t| 

2xdx  dt

3x 2 dx  dt

dt 2





1 2



t

dt t

1 2



1 2

ln t 

1078



dt 3



lnx 2  5  C



t 2 1



1 3

dt



arcsin x 1x 2

dt 4





1 4



t

dt t

1 4



1 4

ln t 

axb a 2 x 2 b 2



1 a

dx a  0  ax

b2

ax 

 t|

a



b a2

dx 

2 ax 2  ba

2



1 a



axb 2

ax 2  ba

1 a

dx 



ax 2

ax 2  ba

dx 

b a2



1 a 1 2a

dx 1x 2

dt 2



b a2 b2 a

dx 

t

lnax 2 

2dx x 2 4

a

dx 2 x2  b2 a





a b



arctan x 1 a



arctan

a b a b



1 2a





dt t



1 a

arctan

a b

x

1086



2xdx  dt



dt



a 4 t 2

1 2

t

arctan

a 4 t 2 



1 2

arctan

x2 a 4 x 4 

du 8

u

 t

1t 2

1082 x 2 dx x 6 1



1 3

C

x 14x 2

1 2

arctan 2x 14x 2

dx  

dx

t 2dx 14x 2

dt 2



1 8

ln u 

3 2

 dt 1 2



2 3

3

t2 

1 8

ln u 

1 3

3

t2 

arctan 2x  C

lnx  1  x 2   u| 

C

dx

du u

 du

 2 u  2 lnx  1  x 2   C

1087

 ae mx dx

3x 2 dx  dt dt 3

x 2

dx



dx x 3  t| 



1 3

x 2 1

x6  t2|

arctan 2

1x 2  lnx 1x 2 

1081



dx  

ln1  4x 2  

x 2  t| 

x2 1x 6

1 4



8xdx  du 1 8

1 2

u2 4

1  4x 2  u| 

x4  t2| 2



3

u2 

 du

x arctan 2x 14x 2

xC

a 4 x 4

dt 2

2 3

 u| 

 udu 

1 2



a 4 t 2

  u du 

 du

1085

xdx



x 2

arctan 2

1



ln x 3  x 6  1

x 2 4

dx

1080



1 3

x 2

arctan

x2  b2

2axdx  dt 



1084

ln2x 2  3  C

1079



ln t  t 2  1

arcsin x  u| 

dx 

4xdx  dt



1 3

C

1083

xdx 2x 2 3

2x 2  3  t





t 2 1



mx  u|  dt 1t 2



1 3

arctan t 

1 3

mdx  du

arctan x 3  C

a u   ae u  du m    m  e du  

1088

 4 23x dx 

a m

eu  

a m

e mx  C

2 3

3

arcsin x 2  C

2  3x  t|  3dx  dt   4t

dt 3

  13  4 t

4 t  u| 

1095

4 ln 4dt  du



t

  13  4 t dt du

4 t ln 4

  3 ln1 4  du   3 ln1 4 u  

4t 3 ln 4

1

ex x2

1 x  dx x2

  3 ln1 4 4 23x  C

1089

1

1096

5

1090

e ax  e  ax  2 dx   e 2 ax dx  2  dx   2dx a

x dx x

x  t| 

dx x e2 a

dx 2 x

2 ax  t| 

 dt

  5 t 2dt  2  5 t dt 

 dt

  e t a2 dt  2x   a2 e t dt  a2  e t dt  2x  x x  12 ae 2 a  2x  12 ae 2 a  C

a 2

2 ln 5

2 ln 5

5t 

5

x

C

1097

 e t dt



ex e x 1

dx

e x  1  t| 

1091 a x b x  2 axbx



a b

dx   x

dx 

a 2x 2a x b x b 2x dx axbx x 2x   ba  dx



 

ax bx a b

ln

a b

dx   2dx   x

 2x 

x

b a

ln

b a

bx ax

C

1

1

3

3 x  u|  2 3 dx  du 2 2 3 ln a

1

2 ln a

 ln t  lne x  1  C

a  be x  t|  be x dx  dt

 dx2  dt at 

dt t

 e x a  be x dx

 12 x  t| 

2 ln a

au 

 1098

dx   a 2x 2 x dx   a  2 x dx   a 2 x dx   a  2 x dx   a u 23 du   a t 2dt

a 2x 1 ax

e x dx  dt

dx

1092



 dt

   e dt   e t   e x  C

t

t



 t| 

t

e t  e t dt  2  e e2 dt  2  sinh tdt  2 cosh t  C e t  e t dt   e t dt   e t dt  e t  e t  C



dx

3x 2

 t 1 2

 a 3  a x  C

1093

dt b

  1b  t dt  

2 3b

3

t2  

2 3b

3

a  be x  2  C

1099 1

e ax  1 3 e ax dx

e x 2 1 xdx  e x 2 1 xdx

x

e a  1  t| 

x 2  1  t| 

1 a

2xdx  dt

3 4

4

at 3 

3 4

4

x

ae a  1 3  C

1100*



1094

dx 2 x 3

2 x  3  t| 

 x7 x 2 dx

2 x ln 2dx  dt

2

x  t|





2xdx  dt dt 2

1

  t adt  a  t 3 dt 

dt   e t 2   12  e t dt   12 e t 1 x 2 1  2e C

  7t

x

e a dx  dt

1 3



1 2

 7 t dt 

1 2 ln 7

7t 

1 2 ln 7

2

7x  C



dt 2 x ln 2

1 ln 2

t





dt 2xt



1 ln 2

1

arctanh

9 4

 t 32 9 4

1 ln 2





dt t3t

2 3 ln 2



1 ln 2

arctanh

 2 3

dt t 2 3t

t1



1 ln 2





dt t 32  2  94

2 3 ln 2

2 3

arctanh

2 x  3  1  C

1107

1101



 cos x

a x dx 1a 2x

x z ax  u

dx 2 x

a x ln adx  du 

du ln a1u 2 

1 ln a





du 1u 2

1 ln a



1 ln a

arctan u 

arctan a x  C

1102



e bx 1e 2bx

1108

 sinlg x dxx   sin lnln 2x  dxx

dx

ln x ln 2 dx x ln 2

be bx dx  du du b

  1b 

1u 2

du 1u 2

 

1 b

arctanh u  

1 b

arctanh e bx  C

1103



 dz

  cos z2dz  2  cos zdz  2 sin z  2 sin x  C

e bx  u 

dx x

 z|   dz

  sinz ln 2dz  ln 2  sin zdz ln x   ln 2 cos lg x  C   ln 2 cos z   ln 2 cos ln 2 1109

et 1e 2t

dt

 sin 2 xdx  

t

e u

2x  z|

2dx  dz

du

 arcsin u  arcsin e t  C

1u 2



x 2

1 2



1 2



 dx 

1 2

 cos 2xdx



e t dt  du 

1cos 2x 2

 cos z 12 dz 

x 2



1 4

 cos zdz 

1 2

x

1 4

sin z 

1 2

dx  

1 2

cos 2xdx 

1 4

sin z 

x

1 4

sin 2x  C

1110*

1104

 cos 2 xdx  

 sina  bxdx



1 2

1 2

x

1 b

 sin zdz  

1 b

cos z  

1 b

cosa  bx  C



1 2

x

1 2

 cos z dz2 

1 2

1 4

x

 cos zdz 

1 2

x

1 2

x

1 4

 cos

x 2 dx 2

 cos 2xdx

sin 2x  C

1111

1105 x 2

1 2

2dx  dz

bdx  dz   sin z

1  cos 2x  2 dx  

2x  z| 

a  bx  z dz b

1 2

 sec 2 ax  bdx  

dx

dx cos 2 axb

ax  b  t

z

adx  dt

 dz

  cos z 2 dz 

2  cos zdz 

2 sin z 

2 sin

x 2

C

1106

cos ax  sin ax dx  sin ax  2 sin ax cos ax  cos axdx  1  2 sin ax cos axdx  1  sin 2axdx  x   sin 2axdx 2

2

2

2ax  z

cos 2 t

1 2a

 sin zdz  x 

1 2a

cos z  x 

1 2a

cos 2ax  C



1 a



dt cos 2 t



1 a

tan t 

1 a

tanax  b  C

1112

 cot 2 axdx  

cos 2 ax sin 2 ax

dx  

1sin 2 ax sin 2 ax

dx  

dx sin 2 ax

  dx

ax  t adx  dt 

2adx  dz dz  x   sin z 2a  x



dt a

1113

dt a

sin 2 t

x 

1 a



dt sin 2 t

x  

1 a

cot t  x  

1 a

cotax  x  C



dx sin ax

1119

x a dx a



t

 tan xdx  

 dt  a

adt sin t

dt sin t

 a ln tan

t 2

 a ln tan

x a

 a lntan

2

x 2a

 

C

 4



t

dt 5



dt  1 t  151 cos t  15 ln tan 2  4 3 cos t  1 1 1 1 lntan 2 5x  4   4   15 ln 15

 tan

5 2

1 8

x





C

sin 2x 1cos 2x



dt a

sin t

1cos 2x

dx 

dx



cos x sin x

dx  

1 2 1 2

1cos 2x 1cos 2x

dx  

1cos 2x 1cos 2x

dx  

1cos 2x

1cos 2x

1cos 2x

1cos 2x

dx  

1cos 2 2x 1cos 2x

dx



t

dt sin t

1 a



t 2

ln tan



1 a

ln tan

axb 2

 cot

C

2xdx  dt 



dt cos 2 t



1 2

tan t 

1 2



2

tan x  C

2xdx  dt

dx

 u|   du

sin u  t|

   sin t dt2   12  sin tdt 

1 2

cos t 

1 2

cos1  x 2   C

 5 2

dx  

1 sin 2 x 2



2 sin x 2

 1 dx  x  2 

dx sin x 2



dt t

 tan x

 5 ln t   5 lnsin u  5 ln sin dx x

x  u| 

2 dx  dt

 x  2 ln tan

du



1123

dx sin 2 x 2

x 2 t 

cos u sin u

cos udu  dt

1118 1

x 5

  cot u5du  5 

1x  t

sin t

 du

  cot

x 5 dx 5

2

dt 2

ln1  cos 2x  C

 u| 

dx tan 5x

 x sin1  x 2 dx

 x  2

dx

1 2

1122

1 2

1117

1 sin x 2

x ab

ln t 

  cot ua  bdu  a  b  cot udu  a  b lnsin u  a  b ln sin

x2  t

cos 2 t

1 2

x ab dx ab

xdx cos 2 x 2

dt 2



1121



1 a

dt 2

1116



1cos 2x

1cos 2x

2 sin 2xdx  dt

adx  dt



dx  

sin 2x 1cos 2x

1cos 2x

1  cos 2x  t| 

ax  b  t



sin 2 2x 1cos 2x

dx  

dx   12 ln t   12 ln1  cos 2x  C

 cot xdx  

dx sinaxb



1cos 2x

1120

1115



 dt2 t

 

5dx  dt 

dx  

1cos 2x

2 sin 2xdx  dt

dx 3 cos5x 4 

5x 

dx  

1  cos 2x  t|

1114



1cos 2 2x 1cos 2x

sin x cos x

dt 2 sin 2 t

x 2 2

 x  2  

2 2

dt sin t



cot x 2  C

2 2



dt sin 2 t

 x  2 ln tan

t 2



2 2

cot t

dx 2 x

 du

 2  tan udu  2  tan u  2 

sin u cos u

du

x 5

C

x ab

C

cos u  t| 

ax  t

 sin udu  dt

adx  dt

 2 

dt t

  2 ln t   2 lncos u   2 ln cos x  C



1 a



1124

 x cotx  1dx

cos tdt  dz 1 a

2

x 1  u 2xdx  du



dz z5

 cot udu 

1 2

1 2

lnsin u 

1 2



ln sinx 2  1  C

sin 3x 3cos 3x

1125

1 4a sin 4 t

 

 

1 4a sin 4 ax

C

dx

3  cos 3x  z| 

dx sin x cos x



dx sin 2x 2

 2

dx sin 2x

3 sin 3xdx  dz 

2x  u  2

du 2

sin u



sin 3x dz z 3 sin 3x

  13 

dz z

1 3

 

ln z  

1 3

ln3  cos 3x  C

1130

2dx  du du sin u

 ln tan

u 2



 lntan x  C

sin 2x 2

dx  

sin x cos x cos 2 xsin 2 x

1126

1 2

dx 

cos 2x



sin 2x cos 2x

dx

cos 2x  t| 

 cos sin dx x 2

x 2 dx 2

x 2

2 sin 2xdx  dt

u



 du

1131

 2  cos u sin udu 

1 2

C

1 2

cos 2x  C

1  3t 2  z 6tdt  dz

6x  t



6dx  dt   sin 3 t cos t dt6 

1 6

2 6

 tan 3 3x sec 2 3x dx   cos

cos tdt  dz z4 

1 24

sin t 4 

3

3

3

 z dz   29 z 2   29 1  3t 2  2   29 1  3 cos 2 x 2  C

1132

 sin 3 t cos tdt

sin t  z 1 24



sin 4 6x  C

1 3

 3 

1128 dx

t  

 2  t 1  3t 2 dt

 sin 3 6x cos 6xdx

cos ax sin 5 ax

1 2

 

 sin xdx  dt x 2

1127

1 24

dt t

cos x  t| 

cos udu  dz

 z 3 dz 

  14 

t

 1  3 cos 2 x sin 2xdx  2  sin x cos x 1  3 cos 2 x dx

 2  zdz  z 2  sin 2 u  sin 2

1 6

dt 2



sin u  z



1 4az 4

 

1129

  cot u du2 



dt

sin t  z 2



cos t sin 5 t

3

1 4t 4

3

1133

x 3

sin

1 2t 2



x 3 x 3

1 cos 2

x 3

dx  

sin 3 13 x cos 5 13 x

dx

 t|  x 3

 dt

sin 2 3x dt t5

sin 3 cos 3

 3 

3 4 cos 4

x 3



1t 2  t5 3 2 cos 2

dt  3  x 3

C

1 t5

dt  3 

1 t3

dt 



tan x cos 2 x

dx

1138

2 sinh 5x  3 cosh 5xdx  2  sinh 5xdx  3  cosh 5xdx

tan x  t dx cos 2 x

 dt

  t dt 

2 3

5x  t t

3 2



5dx  dt

3 2

2 3

tan x  C

2 5



1134 2

a 

2 cos 3 x 2 sin 3 x sin 2 x

dx  

cot 3 x sin 2 x

dx  

8 3

sin x

 sh 2 xdx   e e2  2 dx  

dx

x

 

cos xdx  dt

3 5



5 3

3t

dt 8 3

sin x

3 5





3 5

dt



5 3

sin x sin x

 35

5

3

  t  5   sin 3 x

5

2 cot 3 x sin 2 x

b 

cos x



3 5



2 3

1 sin x

 

3 5



dt t sin x



3 5



dt tt

3 5



3 5



dt t

8 5

C

t

5 3

 

3 5

5 3

cot x  C



dx cos 2 3x

3dx  dt

3 sin 3xdx  dz





dt sin t



 dz 3 z2



dx  

2 a

1 3



dt cos 2 t



1 3

 z 2 dz 

1 3

cot t 

1 3z

1 3



cot 3x 

12 sin ax cos ax sin ax

dx  

dx sin ax

 cos tdt 

1 a

csc 2 3x ba cot 3x

dx  

1 3 cos 3x

C

 2  cos axdx



bat



dx

1 4

dt 2





et

1 2

x

1 8e t



1 8

e 2x 

1 2

x

1 8e 2x

C

2 e x e x

dx  

dx  

2 e 2x 1 ex

2e x e 2x 1

dx 

  2 arctanh t   2 arctanh e x  C 

ln tan

t 2



2 a

sin t 

1 a

ln tan

ax 2

dt t 2 1

2 e x e x

dx  2 

dx e 2x 1 ex



2 a

sin ax  C





dx 1 2

cosh

x 2

1





lnb  at 

lnb  a cot 3x  C

1144

dt t

x 2

1



dx 1 4

x

sinh x cosh x

dx

cosh x  t 

cosh

cosh 2 2x 1

  2 arctanhe u    2 arctanhe 2   C

sinh xdx  dt 1 3a

1 2

 du

du sinh u

1143

ba cot 3x

1 3a

e x dx e 2x 1

u

 tanh xdx  

dx sin 2 3x

dt bat

 2

 2 arctan t  2 arctan e x  C

dx sinh x cosh x x 2 dx 2

3dx  sin 2 x  dt 1 3

et 

1 4e 2x



1142

cot 3x  t  dt3

2dt t 2 1

 2



1137



1 8

1 2

e dx  dt

adx  dt 1 a



dx cosh x

ax  t 

e 2x 

x

1136 cos axsin ax 2 sin ax

1 4

ex  t

cos 3x  z

cos 2 t

sinh 5x  C

1141

sin 3x cos 2 3x

3x  t dt 3

x

 e t dt2  12 x 

dx sinh x

 3 5





3 5

cosh 5x 

e x dx  dt

1135 

2 5

ex  t

   t dt   1sin 3x cos 2 3x

sinh t 

1140



2 3







 sindx2 x  dt



1 4

dx

cot x  t|

3 5

cosh t 

2dx  dt

2 3

dt

2 5

2x  t

sin x  t|  2 cos 3 x 8 sin 3 x

 cosh tdt 

3 5

1139

2

cos 3 x

5 3

5 3

 sinh tdt 

 ln t  ln cosh t  C



1 2

dx sinh

x 2

 2

dx sinh 2x

 coth xdx  

cosh x sinh x

dx

  13 3 ln t  t 2  2

sinh x  t



cosh xdx  dt 

dt t



5  x2  t 2xdx  dt   12  5 t dt   125 t 5   6

5 12

1 2

dx 



dt 4

1 4



t

1 4

ln t 

lnx 4  4x  1  C

1147 dx  x4  t 4x 3 dx  dt 

dt 4 t 2 5





1 4

x 3 1 x1 3

1 3

 dt t 2 5



5 20

arctan

t 5 5

5 20



arctan

x4

5



x 6 

1 3

3 3

3 arcsinh

1 2



1 2

dx x 2  23

1 2

eu  

1 2

2

e x  C

1sin x xcos x

2  3x  t

1  sin xdx  du

2



3xdx  tdt 1 3



t 2  z

dx

x  cos x  u

dx 2

3t tdt t 2 3x

1

  e  2 x dx

1152



3 23x 2

x 2  x  2 lnx  1  C

1

du   12  e u du  

23x 2

1 2

2

tdt  zdz



3t t2

t 2 2 3

tdt 

3 3



3t t t 2 2

dt 

3 3



3 t t 2 2



3 3



t t t 2 2



3

1 t t 2 2

du u

 ln u  lnx  cos x  C

1153



tan 3xcot 3x sin 3x

dx

3x  u 3dx  du

2

3 ln t  t  2 2 2



dx x1

 3 

1 2

3 3

1 2



2 2

2  3x 2  2

2 3xC dx x 2  23

1 z 2 2z

zdz

3 2 arctan

t2  2

3 2 arctan

x 6 

x 6 C

2 x1

1 2

1 3

3 2 arctan



arcsinh

 2  e u du   2e u   2e  2 x  C

1149

2

x 6 

dx 23x 2

 dx2  du

2xdx  du



dx  

 12 x  u

x 2  u



1 2

3 23x 2

1 2

dx   x 2 dx   xdx   dx  2 

x3 

dx ex

 xe x 2 dx

eu 2

dz  

3 2 arctan

1151

C

5

1148



1 2

x  1 : x  1  x 2  x  1  x3  x2 1  x 2 x 2  x 1  x x1 2

4x 3  4dx  dt

x3 x 8 5

dx  

1 2



2  3x 2  3 x 

6 arctan

6 arctan

 3

1 z 2 2

  13 3 ln t  t 2  2

1150

x 3 1

x 4 4x1

x 4  4x  1  t



1 2

1 zdz tz t

2  3x 2  2  3x 2  2

3 ln

3 23x 2 23x 2



6

5  x 2  5  C

1146



1 3

 

 x 5 5  x 2 dx



3 ln t  t  2

  13 3 ln

1145

dt 2

2

  13 3 ln t  t 2  2

 ln t  ln sinh x  C

  5 t

1 3

 3

1 2



1 3



tan ucot u sin u

sin u cos u

u  cos sin u sin u



1 3

du 

1 3

du 



1 cos u



1 3





cos u sin 2 u

xdx 1x 4

sin u  t

x 2  u| 

cos udu  dt  1 3

ln

2xdx  du



u dt 1 1 ln 1sin cos u   3 3 t2 1sin 3x 1  3 sin 3x  C cos 3x



1 3

ln

1sin u cos u



1 3t



1 3

ln

1sin u cos u



1 3 sin u





dx x dt t2

1 t

 

1 ln x

 



C

1 a

tan 2 x2

dx cos 2 x



dx  

dx cos 2 x



sin 2 u cos 2 u

du 

1 a



1cos 2 u cos 2 u

du 

1 a



du cos 2 u



1 a

 du 

1 a

tan u 

u 2

ax  C

 sin 2 2x dx

tan 2 x2

x 2 dx 2

 dt

dt

 ln t  t 2  2

t 2 2

 ln tan x  tan 2 x  2

 2

dx 2x 2 1



2 2x 2 1

dx  

x 2 2x 2 1



dx

sec 2 xdx 4tan 2 x

tan x  t

2x 2  1  t

dx cos 2 x

4xdx  dt dx

1  cos 2t  1  cos 2t  t 

1 2

1162

x 2x 2 1

x 2  12

t  dt

 2  sin 2 tdt  2 

C

1156



dt 4t 2



2 arctan x 2 

1 4t

1157



2 arctan x 2 

1 42x 2 1

C



  a t dt 

1 ln a

at 

4t 2

x a dx a 1 ln a

a sin x  C

 arcsin

t 2

 arcsin

tan x 2

C

dx cos ax

sin x  t cos xdx  dt

 dt

dt

1163



 a sin x cos xdx

 a

t  dt

dt cos t

 a lnsec t  tan t  a ln

1sin ax cos ax

1164

1158 x2 3 x 3 1



dx

3

dx x

3x 2 dx  du du 33u



1 2

3

1ln x x

dx

1  ln x  t

x 3  1  u| 

1159

1 2

tan ax 

1 a

1161 sec 2 x



 tan 2 udu 

1 a

tan x  t



arcsin x 2  C

adx  du

 dt

1155



1 2

ax  u| 

ln x  t



arcsin u 

 tan 2 axdx

dx x ln 2 x



1 2



1160

1154



du 2 1u 2

u2 

1 2

3

x 3  1 2  C

 dt

  t dt  3

1165

3 4

3

t4 

3 4

3

1  ln x 4  C

C

1 2

sin 2t 

x 2



1 2

sin x  C



 tan x  1

dx x1

x1  t dx 2 x1

 dt

 2  tan tdt   2 lncos t   2 ln cos x  1

C

1166





dt sin t

t ln 1cos  sin t

1 2



1 2

1cos x 2 sin x 2

ln

1x 2

dx 1x 2

dx  

e arctan x 1x 2

dx  

x ln1x 2  1x 2

dx  

dx 1x 2

ln1  x 2   t 2xdx 1x 2

 du

1 2 t 4

2t 1t 2

cos x 

1t 2 1t 2 2dt 1t 2

dx  2t 1t 2



1t 2 1t 2

2t  1t 2 1t 2 1t 2 t 2 2t1

2dt 1t 2

2t1t 2 1t 2 



1sin 2x cos 2x

dx   

  tan 2xdx

dx cos 2x

1 2

lncos t 

dx 2

2

dx t

 dt 1sin t 2 sin t

2

1sin t 2 sin t



2



t 2 ln 1cos   2t  cos t  sin t





2



2 ln

12 sin tsin 2 t sin t 1cos x 2

sin

x 2

2 

dt  2

x 2

dt sin t

 cos

 2  dt   sin t x 2

C

x2 x 2 2

dx  

x 2 22 x 2 2

dx   dx  2 

dx x 2 2

 x  2 arctanh

1 2

x 2 C

1171

 2

t 2 2t1 2t1t 2 1t 2 

atb 2t1t 2 





dt 

dt  

t1 2t1t 2 

dt  

1x 2 dx  x1x 2  x dx  1x 2 





ctd 1t 2  2

x 2 2x1 x1x 2 

dx  

2 arctan x  

x 1x 2  dx x1x 2 

dx  2 

dx 1x 2 



dx x1x 2 

1  x2  t 2xdx  dt 

dt 2

t

1 x1x 2 

ac  0 b  2c  d  1 a  c  2d  2 b  d  1 a  1, d  0, c  1, b  1 t 2 2t1 2t1t 2 1t 2 

x 2 x 2

1170

t 2  2t  1  at  b1  t   ct  d2t  1  t 2  t 2  2t  1  at  at 3  b  bt 2  2ct 2  ct  ct 3  2dt  d  dt 2 t 2  2t  1  t 3 a  c  t 2 b  2c  d  ta  c  2d  b  d



sin

 arctan x 

dx 

sin x 

1sin

x 2

1168 sin xcos x sin xcos x



 dt

  e u du  12  tdt  arctan x  e u   14 ln 2 1  x 2   arctan x  C



dx   

1 2

arctan x



1sin 2x cos 2x

1169

e arctan x x ln1x 2 1

arctan x  u

e

dx  

12 sin x cos x sin 2 xcos 2 x

dt 1sin t 1 1   12  cos t  2  tan tdt   2 ln cos t   1sin 2x 1  ln cos 2x  2 lncos 2x  C

C

1167



2tdt  du

2dx  dt

2xdx  dt 1 2

21  tdt  dz

2x  t

x2  t 

1  t2  u

 2   dz   du   22 ln z  22 ln u 2z 2u 2   ln2t  1  t   ln1  t 2    ln2 tan 2x  1  tan 2 2x   ln1  tan 2 2x   C 2 xcos x xcos x sin xcos x x cos xcos 2 x  sin dx   sin dx   sin x2sinsin dx 2 xcos 2 x sin xcos x sin xcos x sin xcos x



xdx sin x 2

2t  1  t 2  z

t 1t 2 

dt

 2 arctan x   

a x

dx x1x 2 



1 2

ln t  2 arctan x  

bxc 1x 2 



1  a1  x 2   xbx  c  a  ax 2  bx 2  xc 1  x 2 a  b  xc  a ab  0  a  1b  1c  0 bxc x  1x I 1   ax dx   1x 2  dx  a ln x  2  dx  ln x  I 1172

1 2

dx x1x 2 

2

ln1  x   2 arctan x  ln x 

1 2

2

1 2

ln1  x 2 

ln1  x   2 arctan x  ln x  C

 e sin 2 x sin 2xdx  2  e sin 2 x sin x cos xdx 2

sin x  t   e dt  e

sin 2 x

C

dx  

53x 43x 2

5 43x 2

dx  

dx  

3x 43x 2

: 3

5

43x 2 : 3

dx  

3x 43x 2

2t T 2 T



5 3



3



dx 4 3

x 2

1 2

3 arcsin

dt 6

5 3



t

1 2

arcsin

3x t 

5 3

3x

3 arcsin

1 2

1 2



3 x  4  3x 2  C



dt ext

t

dx x





 1 2



dt t 2 t



1cos 2ax sin 2ax

C

T 2

cos x  

cos 2t  0   C T

 dt 

xdt x4t 2 

arccos

x 2

dt 4t 2



1 4

ln

2t 2t



1 4

ln

ln x2 2ln x

C

dx

1x 2

dt t 12

2



 14

u

du u 2  14

1



1 4

2

ln

u u

1 2 1 2

 ln

u u

1 2 1 2

 ln2u  1  ln2u  1

1 2

 ln2t    1  ln2t    1  ln2t  2  ln 2t  ln2e x  1  2  ln 2e x  1  C 1175 dx ababx 2



1 ab



dx 1x 2



1 ab

e 2x 1

 

1 2

dx  dt

arccos 2

x 2

C

 e tan x sec 2 xdx   e tan x cos12 x dx  tan x  u  cos12 x dx  du



sin x cos x 2sin 4 x

dx

sin 2 x  t 2 sin x cos xdx  dt

e x dx  dt  ln t  t 2  1

 ln e x  e 2x  1

C



dt 2 2t 2



1 2



dt 2t 2



1 2

arcsin

1183

1177 dx sin ax cos ax

1 2 t 2

1 4x 2 

1181

ex  t

t 2 1

dx  

2

t

1182

dx

dt

x 2

1

x 2

   e u du   e u   e tan x  C

arctan x  C

1176 ex

1 2

   tdt  

1 2



1 T 2 

arccos

dt t1t

dt  du



ln

dx x4ln 2 x

e dx  dt



1 a



dt  dx

x



1cos t sin t

1180

ex  1  t



ln

ln x  t

dx e x 1



1 a



 0  x

 sin xdx  

T 2

dt t

1174



dx



6xdx  dt 5 3

dt sin t

1179

4  3x 2  t 



1 a

 sin 2t   0 dt   sin 2t   0 dt  T T

1173





sin t

1178

2 sin x cos xdx  dt t

dt 2a

 2



2ax  t 2adx  dt

dx sin 2ax 2

 2

dx sin 2ax



dx sin 2 x cos 2 x



2x  u 2dx  du

dx sin 2 2x 4

 4

dx sin 2 2x

2 2

t

1 2

arcsin

2 2

sin 2 x  C

du 2

 4

 2

sin 2 u

du sin 2 u

  2 cot u   2 cot 2x  C

ln x  x 2  1

1184



1

arcsin xx 1x 2

dx  



arcsin x 1x 2

arcsin x  u dx

  udu 

2

1x  t

 du

1x 2 



1 2

1x 2



1 2

1 2

u2  t 

sec 2 x1

sin x 1 cos x cos x

dx  

1 cos 2 x

1

sin x cos 2 x

dx  

1cos 2 x cos 2 x

sin x cos x

dx  

1cos 2 x

dx  

sin x cos x 1cos 2 x

dx





sin x tdt cos xt sin x cos x

dt cos 2 x

C

1 3

 cosh tdt 

sinh t 

1 3

sinhx 3  3  C

dt

  arctanh t   arctanh 1  cos 2 x  C

t 2 1



3 tanh x cosh 2 x

dx

tanh x  t

cos 2x 4cos 2 2x

dx

dx cosh 2 x

2x  t 1 2



cos t 4cos 2 t

1 2





cos t 51cos 2 t



1 2





du 5u 2 5 5

arctanh

5 10



5 5

u

5 10

5 5

arctanh

sin t





1 2

 t 10 dt 

:cos 2 x dx sin 2 xcos 2 xcos 2 x :cos 2 x



dx cos 2 x

tan 2 x2



1 cos 2 xtan 2 x2



arctan

t 2 2

x 2 1

2x  5 11  C

x2  2  t

dx

xdx



2 2

arctan

tan x 2 2

C



 ln x x 2 1

1 22

dx



1188



x x 2 2

x 2 2

 dt 2 2

1 11 t 22

1191a

tan x  t dt t 2 2

3 tanh x  C

2dx  dt arctanh



dx cos 2 x

1 ln 3

2x  5  t

sin 2x  C



3t 

 x2x  5 10 dx

1187* dx 1cos 2 x

1 ln 3

1192 cos t 5sin 2 t

sin t  u 1 2

 dt

  3 t dt 

cos tdt  du



1 3

1190 

2dx  dt



3

ln 2 x  x 2  1

x3  3  t

1186



2 3



 x 2 chx 3  3dx



2 sin x cos xdx  2tdt

5 10

t

dx  dt

3x 2 dx  dt

1  cos 2 x  t 2



2 3

3 2

dx  dt

1189

sec x tan x



x 2 1

  t dt 

arcsin 2 x  1  x 2  C

1  cos 2 x  t| 2



x 2 1 x

1

1185



1

x 2 1

dx  dt

2 x 2 1

x x 2 1

2xdx  dt

dt t

2x

1

x x 2 1

x

t

dt

 dt

x 2 2 x



x x 2 2 2 arctan 2 dx

x x 2 2

dx 

1 x dx x2

t  dt

2 2

dt x2



dt t 2 2



x2  2  C

2 2

arctan

2 2

t



1 t

 

x 2 dt 2

x  1t  2

dt

2t 2 t2

 

dt 2t 2 

  arcsin

2 2

t   arcsin

2 2x

C

x   ln t dx   dtt  dtt 1

e ln t 1

dt t

 

1 t

 

1

dt t 1t 1

 

dt 1t

  ln1  t   ln1 

1 ex

C

2

 x5x 2  3 dx



10xdx  dt

2 3

dt 10x



1 10

 t 7 dt 

1 8 t 80



1 80

8 5x 2  3  C



x1  t  2  xdt  2 t  1dt 

2 3 t 3

 2t 

2 3



3

x1 2 x1 C

x  x  4 x  4 ln1  x   C

dx 2x1

 dt

2x1

dt  

x 2x1

e x dx 2 e x 1

1sin 2 x



t  sin x

t 2 1 2

x dt x



dt t 2 1 2

 2

dt t 2 1

  2 arctanh t   2 arctanh 2x  1  C

 dt

2 e x 1 dt ex e x 1

 2

 2

dt ex

dt t 2 1

 2 arctan t  2 arctan e x  1  C

1196

dt  cos xdx



 arcsinh t  arcsinh sin x  C

ln 2xdx x ln 4x



ln 2xdx xln 2xln 2

ln 2x  t

1192

dx x

 x2x  5 10 dx 2x  5  t x 



t5 2

t5 10 dt t 2 2

1193 1x 1 x

dx

1 4

t  5t 10 dt 



1 12 t 48



5 11 t 44



1 48

2x  5 12 

5 44

2x  5 11  C

tdt tln 2 dt  tln 2



tln 2ln 2 tln 2

1197



arcsin x 2 1x 2

 dt

dx 1x 2

  t 2 dt 

dx

 dt 1 3 t 3



1 3

dt

t  ln 2 lnt  ln 2  ln 2x  ln 2 lnln 2x  ln 2  C

arcsin x  t

x t dx 2 x



t

txdt xtln 2

  dt  ln 2 

2dx  dt



 t 2  4t  4 ln1  t

ex  1  t

cos xdx



2 3 t 3

dx e x 1

1191e

1t 2



1195

 dt 2



dt t1

2

2x  1  t 2x  1  t 2

xdx x1

dt

3

dx x 2x1

1191d



dt

2 t1

1194

5x 2  3  t

dx 2 x1

tt 3 1t

t3  t2 t 2  t t 2  t 2t 2t  2 2



7



tdt  2 

 2  t 2 dt   tdt  2  dt  2 

1191c

  x5x 2  3 7

1t 2 1t

t  t : t  1  t  t  2 

dx e x 1



2 x dt  2 

1x 1 x

3

1191b





arcsin 3 x  C

cos t  u

1198



e 2x e x 1

 sin tdt  du  

ex  1  t e x dx 2 e x 1

x e 2x 2 e 1 t ex 3 x

2 3

dt  2 

t 2 1t t

dt  2 t 2  1dt 

2 3 t 3

x 2 a 2 x



sin 3 x cos x



5

2 5 t 5

 2t 

1200* dx

z 2 dz z 2 a 2



x 2  a 2  a arctan

2

 t|

2

dx

  dz  a 2 

dz z 2 a 2 x 2 a 2 a

 z  a arctan

z a

 sin t  a arctan

sin t a

C

tdt x

xt



1 x2

dx   dt t2

dt  

1 t 2 1





2

dt   arctanh t   arctanh 1  x  C

1201

1 t

 arcsin x2

1x 2

dx



cos 2 t 1cos 2 t

x3

sin tdt   

arccos x 

1 4

cos 2 t sin t sin t

dt    cos 2 tdt   

1cos 2t 2

 

dt t

 

1t 2 t2

1 t

1t 2 t2

 

dt t 1 t

1t 2

 

dt 1t 2

  arcsin t 

C dx

1 2

t

1 4

sin 2t

dx  cosh t sinh 2 t1

sin2 arccos x  C

sinh 2 t1

t t1   sinh t cosh t   sinh t cosh t   cosh   sinh   sinh t   sinh t sinh t t arcsinh x  cosh t  2 arctanhe   cosh arcsinh x  2 arctanhe C

dx

2

2

dt sinh t

1206*



2

2  x  cos t

dx x 2 4x 2

2xdx   sin tdt x3 cos t sin t cos t

1 x

1

dt t2

 

x  sinh t

1202 2x 2

1 t2

x 2 1 x

dx   sin tdt 1 2

dt t2

1205

x  cos t  

1 t

x

xdx  tdt



sin 2 t cos tdt sin 2 ta 2



x x 2 1

1  x2  t2





sin 2 t cos tdt x2





1x

 



1204*

x 1x 2



sin t sin t cos tdt x x

cos tdt  dz

cos x  2 cos x  C



dx

sin t  z

 2  sin 2 xdt  2 1  cos 2 xdt  2  1  t 4 dt 



3

2  x 2  2  C

xdx  sin t cos tdt

dx

x dx  dt  2 sin cos x



1 3

x  a 2  sin 2 t

cos x  t

2 5

3

3

 u du   2 u  13 u 2   2 cos t  13 cos t 2

2

1199



1 2

1203

 2t 

 2 ex  1  C

e 1



  2 2  x2 

 dt



du u



sin tdt 2x

dt 

1 2

x  2 sin t x2 cos t

sin tdt 2

 cos t sin tdt



2cos t sin tdt 2 cos t



2 sin tcos t sin t 2 cos t

dx  2 cos tdt

dt



2 cos tdt 2 sin t 2 42 sin t 2



2 cos t 8 sin 2 t cos t

dt 

 1 4



2 cos t 4 sin 2 t 44 sin 2 t dt sin 2 t

 

1 4

dt  

2 cos t 4 sin 2 t 44 sin 2 t

tan t  

1 4

dt  

tanarcsin

x 2

2 cos t 8 sin 2 t 1sin 2 t

C

dt  

2 cos t 8 sin 2 t cos 2 t



dx

1210

x 2 4x 2

x

dx  

 

dt t2

 1 t2

1 4

4



1 t dt t2 dt 4

1 t2

 

dt 1 t



4t 2 1

1 2



t t 2  14

dt  

1 2

1 2

2

4t  1



4t 2  1 2

1 4

 

4 1x   1  

1 4x

dx  a sinh tdt 

1x 2

dt    a x a

 a cosharccosh

1x 2

dx

a 2 cosh 2 t

a cosh 2 t1 dt a sinh t

dt  a 

cosh 2 t cosh 2 t1

dt

 sinh tdt  a cosh t  a ln tanh

  a ln tanh

arccosh 2

x a



 x  a lntanh

1 2

t 2

arccosh

x a

  C

 ln xdx

 ax  b 1  x  

1x 2



 ax  b 1  x 2

1x 2 1x 2

 a 1  x2 

1x 2

c

2

1x 2 1x 2

2xaxb 2 1x 2

1x 2

|



dx  dv ln x  u

1x 2 c



1x 2

1 2

I

x 1  x2 

1 2



dx 1x 2



1 2

 x ln x   x

| 1  x2

 du  x ln x  x  C

 arctan xdx arctan x  u dx  dv dx 1x 2

x 1  x2 

1 2

 du

 x arctan x  

arcsin x  C

xv x 1x 2

dx

1  x2  t 2xdx  dt

dx x1x

 x arctan x   2

x  sin t 2 sin t cos t sin 2 t1sin 2 t

dt  2 

sin t cos t sin t 1sin 2 t

dt  2 

sin t cos t sin t cos 2 t

dt  2 

sin t cos t sin t cos t

dt  2  dt  2t 

 x arctan x 

t

1 2

ln t  x arctan x 

1 2



1 2

ln1  x 2   C

 arcsin xdx arcsin x  u dx  dv

2 arcsin x  C

dx 1x 2

1209

 du

 x arcsin x  

 a 2  x 2 dx

xv x 1x 2

dx

1  x2  t

x  a sinh t

2xdx  dt

dx  a cosh t

 x arcsin x  

  a 2  a 2 sinh 2 t a cosh tdt  a 2  1  sinh 2 t cosh tdt  a 2  cosh 2 t cosh tdt  a 2  cosh 2 tdt  a 2  cosh22t1 dt  a2  cosh 2tdt   14 a 2 sinh 2t  12 a 2 t  14 a 2 sinh2 arcsinh ax   12 a 2 arcsinh ax 2

x x 2  a 2  

dt 2

1213

dx  2 sin t cos tdt

1 2

dx x

1212

1208



dx x

xv

c



1  x 2  a1  x 2   xax  b  c 1  x 2  a  2ax 2  xb  c 1  x 2  x 2 2a  xb  a  c a  12 , b  0 a  c  1. . . . c  12



a 2 cosh 2 ta 2 1sinh 2 t dt sinh t

1211

 1  x 2 dx  



a 2 cosh 2 t

 a

4  x2  C

1207



dx

x  a cosh t

 

1 t2

x2 x 2 a 2

1 2

a 2 arcsinh

x a

C

a2 2

 dt

1214

 x sin xdx

dt 2

t

 x arcsin x 

dt t

 x arcsin x  t  x arcsin x  1  x 2  C

xu

sin xdx  dv

tu

e t dt  dv

dx  du

 cos x  v

dt  du

et  v

 x cos x    cos xdx  x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C

 te t   e t dt  te t  e t 1 2 t 2 2 t I  271 t 2 e t  2I 1   271 t 2 e t  2te t  e t   27 t e  27 te t  27 e 2 3x 1 2 2 3x 1 2 3x 2 2 3x 3x 3x  27 3x e  27 3xe  27 e  3 x e  9 xe  27 e  C

1215

 x cos 3xdx

1219 

3x  t

x 2  2x  5e x dx   x 2 e x dx  2  xe x dx  5  e x dx

3dx  dt 

1 9

 t cos tdt tu

cos tdt  dv

dt  du

sin t  v

 19 t sin t   sin tdt  19 t sin t  19 cos t  19 3x sin3x   13 x sin 3x  19 cos 3x  C x ex

1 9

cos3x

 xe

x

e x  v

  e dx   xe x  e x  C

e x dx  dv

dx  du

e x  v

x

 x3e 3

 x2 x dx

 3x  t  dx3  dt

2 x dx  dv

xu

  27t 3 e t 3dt  81  t 3 e t dt  81I 1

dx  du  ln12 2 x  v   ln12 x2 x    ln12 2 x dx   ln12 x2 x  1218  

 x 2 e 3x dx

et

dt 3



1 27

 t 2 e t dt t2  u

et  v

2tdt  du

t 2 e t  2  e t tdt

I 1   e t tdt

1 ln 2

x2 x 

1 ln 2 2

2 x  C

I 1   t 3 e t dt e t dt  dv

t3  u

et  v

3t 2 dt  du t 2

I 2   e t t 2 dt

e t dt  dv 1 27

 2 x dx  

 t e  3  e t dt  t 3 e t  3I 2

3dx  dt t2 9

1 ln 2

3 t

3x  t

I

xu

1220*

x

1217



e x  v

I 12  e x   e x dx  e x x   e x dx  e x x  e x I 1  e x x 2  2e x x  e x    e x x 2  2e x x  2e x I 2  2  xe x dx  2e x x  e x    2e x x  2e x I 3  5e x I  I 1  I 2  I 3  e x x 2  2e x x  2e x  2e x x  2e x   5e x I   e x x 2  5e x  C

e x dx  dv

dx  du

2xdx  du

x

dx xu

e x dx  dv

I 1  e x x 2   e x 2xdx  e x x 2  2  xe x dx

1216



x2  u

e t dt  dv

t2  u

et  v

2tdt  du

I 2  t e  2  e t tdt  t 2 e t  2I 3 2 t

I 3   e t tdt e t dt  dv

tu

et  v

dt  du

 te t   e t dt  te t  e t

I 2  t 2 e t  2I 3  t 2 e t  2te t  e t   t 2 e t  2te t  2e t I 1  t 3 e t  3I 2  t 3 e t  3t 2 e t  2te t  2e t   t 3 e t  3t 2 e t  6te t  6e t I  81I 1  81t 3 e t  3t 2 e t  6te t  6e t  x x x x 3 2  81  3x e  3  243  3x e  3  486  3x e  3  486e  3   3x 3 e 

1 3

 27x 2 e 

x

1 3

x

 162xe 

1 3

x

 486e 

1 3

x

ln x  u x 2 dx  dv x3 3



1 2

 x sin 2xdx

ln 2 x  u 2 ln x x

2x  t

v 

x3 3

ln x 

1 3

 x 2 dx 

1 3

x 3 ln x 

1 9

x3  C

1 2

 x ln x   x

 sin t

dt 2

ut

dv  sin tdt

t 2



1 8

dx  dv

dx  du

2

2dx  dt

xv

2 ln x x

dx  x ln 2 x  2  ln xdx

I 1   ln xdx

 t sin tdt

ln x  u dx  dv dx x

du  dt v   cos t  t cos t    cos tdt  t cos t   cos tdt   t cos t    18 2x cos2x  18 sin2x   14 x cos 2x  18 sin 2x  C 1 8

1 8

1 8

1 8

sin t

 du

xv

I 1  x ln x   x dxx  x ln x  x I  x ln 2 x  2x ln x  x  x ln 2 x  2x ln x  2x  C 1225

1222*



x 2  5x  6 cos 2xdx

ln x x3

dx x

2dx  dt t2 4



 3 sin t 

5 t 2 1 8

 6 cos t

dt 2

 t 2 cos tdt 

 5 4

1 8

 t cos tdt  2

 t cos tdt

5 4

 t cos tdt  3  cos tdt

 ln x

cos tdt  dv

tu

cos tdt  dv

2tdt  du

sin t  v

dt  du

sin t  v



ln x x

I b  t sin t   sin tdt  t sin t  cos t I aa   t sin tdt sin tdt  dv

dt  du  cos t  v  t cos t    cos tdt   t cos t  sin t I a  t 2 sin t  2t cos t  sin t  t 2 sin t  2t cos t  2 sin t I  3 sin t  18 I a  54 I b  3 sin t  18 t 2 sin t  2t cos t  2 sin t  54 t sin t  cos t  sin t  18 t 2 sin t  14 t cos t  54 t sin t  54 cos t  114 sin2x  18 2x 2 sin2x  14 2x cos2x  54 2x sin2x  54 cos2x  114 sin 2x  12 x 2 sin 2x  12 x cos 2x  52 x sin 2x  54 cos 2x  C

 x 2 ln xdx

x 2 2



v

x 2 dx 2 x

  12

ln x x2



1 2



dx x3

 

1 ln x 2 x2

1 4x 2



C

dx

ln x  u

I a  t 2 sin t  2  t sin tdt

1223

x 2 2

 du

1226

t2  u

tu

dx

ln x  u x 3 dx  dv

2x  t

11 4

ln x  

x 3 dx 3 x

 ln 2 xdx

 x sin x cos xdx 



x3 3

1224

C

1221



 du

dx x

dx x

dx x

 dv

 du 2 x  v

 2 x ln x  2  x

dx x

 2 x ln x  2 

dx x

 2 x ln x  4 x  C

1227

 x arctan xdx arctan x  u xdx  dv dx 1x 2

 

x2 2 x2 2

x2 2

 du

arctan x   arctan x 

1228

 x arcsin xdx

1 2

v

x 2 dx 2 1x 2

 dx 

x2 2

 1 2



arctan x 

dx 1x 2



1 2

1 2



x2 1x 2

dx 

x 2 arctan x 

1 2

x2 2

x

arctan x  1 2

1 2



arctan x  C

x 2 11 1x 2

dx

 e x sin xdx

xdx  dv arcsin x  u 1 2

dx

x2  v

 du

1x 2



1 2

x 2 arcsin x  



1 2

x 2 arcsin x 



1 2

1 2

1 2 1 4

2

x arcsin x 

dx

x2

1x 2 1x 2 1



dx 

1x 2

2

x 1  x  

1 2

x 2 arcsin x 

1 4

arcsin x  C

1 2

 1  x 2 dx 

1 2



dx 1x 2

dx 1x 2

I 1   e x cos xdx

 x ln x  1  x

dx 1x 2 x



2

1x 2

 x ln x  1  x 2



x 1x 2

dx

dx

2xdx  dt 

2

 x ln x  1  x 2 

ex  u

sin xdx  dv

e x dx  du

 cos x  v

 e x cos x   cos xe x dx

t

 t  x ln x  1  x 2 

 1  x2  C

ex  u

cos xdx  dv

e x dx  du

sin x  v

I  e cos x  e x sin x   sin xe x dx I  e x cos x  e x sin x  I 2I  e x cos x  e x sin x x x sin x I  e cos xe C 2 x

xdx sin 2 x dx sin 2 x

xu

 dv

dx  du  cot x  v  x cot x    cot xdx

1233

 x cot x   cot xdx   x cot x  lnsin x  C

 3 x cos xdx

1231

3 x dx  dv

I

 e x sin x  e x cos x  I

 e cos x    cos xe x dx

dt 2

1230

x cos x sin 2 x

cos x sin 2 x

3x ln 3

dx  dv

 sin1 x  v I1  

xu



x

3 dx  dv

cos x sin 2 x

I  x

  1 sin x

 sin x  du



dx  du

3x ln 3

sin x  t dt t2

v

1 t

I

 

 

1 sin x

I

1 sin x

dx  

cos x  u

x x  ln3 3 cos x   sin x ln3 3 dx x I  ln3 3 cos x  ln13 3 x sin xdx

cos xdx  dt

1232

 sin xdx  du

x

 x ln x  1  x



cos x  u

ex  v

I  e x sin x  e x cos x   e x sin xdx 2I  e x sin x  e x cos x x x cos x I  e sin xe C 2 x  e sin xdx

1  x2  t



e x dx  dv

I 1  e x cos x   e x sin xdx

u

 du

 x

 x ln x  1  x 2

cos xdx  du

 e x cos x   e x  sin xdx

dx  dv ln x  1  x 2 xv

sin x  u

ex  v

I  e x sin x   e x cos xdx

1229

 ln x  1  x 2 dx

e x dx  dv

x sin x



dx sin x

 

x sin x

 ln tan

x 2

C

3x ln 3 3x ln 3

I 1

v cos x  cos x 

1 ln 2 3

sin x  u cos x  du



x 1 sin x ln3 3  ln 3 3x sin x  ln12 3 ln 2 3 x x 3 cos x  ln32 3 ln 3



3x ln 3

I sin x

cos x



3x ln 3

cos x 

3x ln 2 3

sin x 

1 ln 2 3

 3 x cos x

3x ln 3

I

3x ln 2 3

cos x

sin x



ln 2 31 ln 2 3

3x ln 3

cos x

3x ln 2 3

sin x

ln 2 3  3 x

ln 2 31

cos x ln 3sin x ln 2 31

C

1234

1236

 x 3 e x 2 dx x 2  t

 e ax sin bxdx

2xdx  dt

bx  t

  x3et

bdx  dt at

  e b sin t dtb  e

e cos t  e a b

I I I 1 I I

sin tdt  dv

at b

1 b

I

u

 

t

e a b dt  du  cos t  v

a b



at b

e

at b

a bt

 1b  1b  1b 2  ab 2 1 b

 e

t b

 e a cos tdt

a b

u

e cos t  at b

e cos t  at b

e cos t 

at b

a b2 a b2 a b2

e

b cos bxa sin bx a 2 b 2

sin t

1 b

e

a bt

at b

e sin t  a b2 t

2

e x  C

dx  2tdt

e sin t  aI

 ea b

1 2

x  t2

sin tdt

a2 b2

 2  e t tdt

I

at b

e sin t

b cos ta sin t a 2 b 2

 ea

bx b

b cosbxa sinbx a 2 b 2

e ax  C

tu

e t dt  dv

dt  du

et  v

 2 te t   e t dt

 2te t  2e t  2 x e

x

 2e

x

C

1238

x 2  2x  3 ln xdx

 sinln xdx

x 2  2x  3dx  dv ln x  u

ln x  t

x3 3

 dt

x3 3 x3 3



  x sin tdt   e t sin tdt



e t dt  dv

sin t  u

et  v

cos tdt  du

 x ln

I  e sin t   e t cos tdt

et  v

 sin tdt  du



I 1  e t cos t   e t  sin tdt  e t cos t   e t sin tdt I  e sin t  e cos t   e sin tdt  e sin t  e cos t  I 2I  e t sin t  e t cos t t t cos t ln x ln x cos ln x I  e sin te  e sin ln xe  12 x sinln x  12 x cosln x  C 2 2 t

t

 du

x3 3

 x 2  3x  dxx  

 x  3x ln x    x 2  3x ln x 

1x 1x

x3



9

x2 2

x3 3

 x 2  3x ln x  

 3x  C

t

t



x2 2 x2 2

ln ln

1240



ln 2 x x2

dx

1x 1x

2 x 2 1

cos t  u

dx x

2

ln

I 1   e t cos tdt e t dt  dv

 x 2  3x  v

1239

t

t

te t   e t dt  12 te t  12 e t 2 2 2 x 2 e x   12 e x    12 x 2 e x 

1 2 1 2

at b

1235

dx x

et  v

x  t| 2

e sin t  a

  1b e cos t  at b

dt  du

 te t dt

1 2

 e x dx

at b

at b

cos t a2 b a 2 b 2 b2

e t dt  dv

sin t  v

at b

 x 2 e t dt 

1237

cos tdt  dv

dt  du

1 2



tu

at

 e b sin tdt

1 b

dt 2x

dx

u

dv  xdx v

x2 2

x2 2 2 x 2 1



x2 2

dx x 2 1



dx  du 1x 1x 1x 1x



  dx  



2 1x  x 2x1 1x 1 2 x ln 1x x 2 1x

ln



x2 2

ln

1x 1x



 arctanh x  C

x 2 11 x 2 1

x2 3

 x  3 dx

ln 2 x  u 2 ln x x

 

1 x 1 x

dx x2  1x

dx  du v 

ln x   2

arctan 2 x  u

dv 

 1x  2 lnx x 2 lnx 2x dx

2 arctan x 1x 2

dx



ln x   2

ln x  u dx x

 du



dx x2

 

1 x

ln 2 x 

2 x

ln x 

2 x



C

x2 2 x2 2 x2 2

dx

lnln x  u dx x ln x

 du

 dv

ln x  v dx x

 ln x lnln x  ln x  C

dx  dv

dx  x  arctan x  v

arctan 2 x  x arctan x  arctan 2 x   2

x 1x 2

dx  

arctan x 1x 2

dx

2

1 2

ln1  x 2 

arctan x  t dx 1x 2

 

3dx  dt 

t2 9

arctan t dt3 

 t 2 arctan tdt

1 27

1 27 1 27

t3 3 t3 3

t3

 du arctan t 





dt

1 81

t 3 arctan t  

t3 1t 2

vx

dt

2tdt  dz

Iv   x



3 1 t 3 arctan t  tz dz 81 2t 2 1 1 t 3 arctan t  2 tz dz  811 t 3 arctan t  12 z1 z dz 81 dz 1 1 1 1 3 3 t arctan t  2 dz  2 z  81 t arctan t  12 z  12 81 1 t 3 arctan t  12 1  t 2   12 ln1  t 2  81 1 3x 3 arctan3x  12 1  3x 2  12 ln 1  3x 2 81 1 27x 3 arctan 3x  12  92 x 2  12 ln1  9x 2  81 1 3 1 1 x arctan 3x  162  181 x 2  162 ln1  9x 2   C 3

 x arctan 2 xdx

2

arcsin x 1x 2 

I  x arcsin 2 x   x2

1  t2  z

1243

arcsin 2 x  u

dv  dx

arctan t  

t 3 dt 3 1t 2 1 t3 3 1t 2

 

 12 arctan 2 x x2   C

I  arcsin x 2 dx 

v

3

1 2 t  12 arctan 2 x 2 x2 2 arctan x  x arctan x  arctan 2 x  12 ln1  x 2  2 1 2 x arctan 2 x  x arctan x  12 arctan 2 x  12 ln1  2

1244

arctan t  u t 2 dt  dv dt 1t 2

 dt

  tdt 

3x  t

    

x 2 arctan x 1x 2

dx arctan 2 x  x  arctan x arctan x  x  arctan x 1x 2

 dtt  12 ln t  x I 2   arctan dx 1x 2 

 x arctan 3xdx



arctan 2 x  

2xdx  dt

2





 du

1 2

1242



x2 1x 2 x 2 11 1x 2

x2 2



1  x2  t dx x

 ln x lnln x   ln x xdx  ln x lnln x   ln x



v

x 2 2 arctan x 2 1x 2

 arctan x  x arctan x  arctan x  I 1  I 2 I 1   1xx 2 dx

1241 lnln x x

arctan x   2

dx 1x 2

  1x ln 2 x  2  1x ln x  

x2 2

arctan x  u

dv  dx x2 v   1x

  1x ln 2 x  2  1x ln x   1x  dxx



x2 2

xdx  dv

dx  du



ln z

arcsin x 1x 2 

dx

arcsin x 1x 2 

arcsin x  u



dx  du

1 1x 2

x 1x 2 

dx  dv

dx  du  1  x 2  v

I v  uv   vdu   1  x 2 arcsin x    1  x 2 Iv  

x 1x 2 

1  x2  t 2xdx  dt

1 1x 2

dx   1  x 2  arcsin x  x



1 2

1

1

  12  t  2 dt   12  2t 2   t   1  x 2

dt t

1247

I  x arcsin 2 x  2 1  x 2 arcsin x  x  x arcsin 2 x  2 1  x 2 arcsin x  2x  C

 x tan 2 2xdx

1245



2x  t

arcsin x x2

dx

2dx  dt dx x2  1x

arcsin x  u dx

 du

1x 2



I1  

tdt x

 

xt

  1x arcsin x  

dx

 

x

I   1x arcsin x  I 1  

dt x2

1 x

 

dt 1t 2 

arcsin x 1x

dx x 1x 2

  arctanh t   arctanh 1  x 2



sin 2 x ex

dx

sin 2x  u tu

I  2 t 12 arcsin 2 t  

1 2

I 1   arcsin tdt

arcsin 2 t  u

cos 2x  u

 t arcsin 2 t   arcsin 2 tdt

arcsin 2 tdt

arcsin t  u dt 1t 2

1t 2

dt

tdt 1t 2

 dv

1249

 dv

 cos 2 ln xdx

 du v   1  t 2

I 2   1  t arcsin t    1  t 2

dx ex

I 2  e x cos 2x  2  e x sin 2xdx  e x cos 2x  2I 1 I 1  e x sin 2x  2e x cos 2x  2I 1   x x cos 2x  e x sin 2x  2e x cos 2x  4I 1  e sin 2x2e 5 x x cos 2x I  e x sin 2 x  I 1  e x sin 2 x  e sin 2x2e C 5

tv

t arcsin t

v

2 sin 2xdx  du e x  v

dt  dv

dt  du

 dv x

 e x sin 2x  2  e x cos 2xdx I 1  e x sin 2x  2I 2

2

 t arcsin 2 t  2 

dx ex

2 cos 2xdx  du e

dt  dv

arcsin 2 t  v dt  du

1t 2

sin 2 x  u

 dv

I 1   e x sin 2xdx

dt

1t 2

2 arcsin t

dx

I  e x sin 2 x   e x sin 2xdx  e x sin 2 x  I 1

t arcsin t

1t 2

ttan t  t  tan t  tdt  14 t tan t  t 2   tan tdt   tdt t tan t  12 t 2  lncos t  14 2x tan 2x  2x 2  lncos 2x  C

e x  v 2 sin x cos xdx  sin 2xdx  du

dx  2tdt

arcsin t

1 4 1 4

dx ex

x  t2

1 2

I I 1248

arcsin x  arctanh 1  x 2  C

x t

I  2

ut

tan t  t  v du  dt

1246



 t tan 2 tdt tan 2 t  dv

xdx  tdt

1x 2

dt x

1 4

1  x2  t2

v

  1x arcsin x    1x



1  x2  t

 dv

2

dt 1t 2

  arcsin t 1  t   dt 2

dx  dv

2 cos ln x sin ln x dxx  du

xv

I  x cos 2 ln x   x2 cos ln x sin ln x dxx  x cos 2 ln x   x2 cos ln x sin ln x dxx

2

I 2   arcsin t 1  t  t I 1  t arcsin 2 t  2  arcsin t 1  t 2  t

cos 2 ln x  u

 t arcsin 2 t  2 arcsin t 1  t 2  2t

I  x cos 2 ln x   sin2 ln xdx  x cos 2 ln x  I 1 sin2 ln x  u

I  t arcsin 2 t  I 1  t arcsin 2 t  t arcsin 2 t  2 arcsin t 1  t 2  2t 2

2

I   2 arcsin t 1  t  2t   2 arcsin x  1   x   2 x I   2 1  x arcsin x  2 x  C

2 x

cos2 ln xdx  du

dx  dv xv

I 1   sin2 ln xdx  x sin2 ln x   x 2x cos2 ln xdx

I 1  x sin2 ln x  2  cos2 ln xdx  x sin2 ln x  2I 2

  a 2  a 2 sin 2 t a cos tdt

I 2   cos2 ln xdx

 a 2  1  sin 2 t cos tdt  a 2  cos 2 tdt   a2 1  cos 2tdt

I2 I2 I1 I1

2

cos2 ln x  u

dv  dx

 2x sin2 ln xdx  du

vx

a2 2



 x cos2 ln x   x sin2 ln xdx  x cos2 ln x  2  sin2 ln xdx  x cos2 ln x  2I 1  x sin2 ln x  2x cos2 ln x  2I 1   x sin2 ln x  2x cos2 ln x  4I 1 x sin2 ln x2x cos2 ln x  5 2 x

x sin2 ln x2x cos2 ln x 5

I  x cos 2 ln x 



x

 dv



1 1x 2

 1 2

I

dx 1 2  a2 x 2 a 2   a13 arctan ax



x 2 a 2 x 2 1 2 dx  a 2 x 2 a 2  x2  a12 2 dx x 2 a 2 



dx x 2 a 2 



1 a2



x2 2 x 2 a 2 

dx

I I

1 a3

arctan arctan

x a

t 2 t 2 1



1 a2





1 a3



dt  dv

a2t2 2 a 2 t 2 a 2  t2 2 dt t 2 1

adt 

I

1 a3

arctan

x a



1 a3

I

1 a3

arctan

x a



1 2a 3

 1tt 2  arctan t

I

1 a3

arctan

x a



1 2a 3



dx  a cos tdt

 a

t2 2 a 4 t 2 1

1   21t 2 t 

 ax 

x A

sinh 2 arcsin



A 2

arcsin

x A

cosh 2t  1

C

Ax 2 Ax 2

2xaxb

 a A  x2 

1 2

dx Ax 2 c



2 Ax 2

A 2

,c 

I   12 x A  x 2  dt

1 2

I



 v dt  du

x  a sin t

arctan

x a



1 ax  2

Ax 2 Ax 2

A 4

t

A 2

Ax 2

|

| A  x2

A 2

x A  x2 

1 2



A 2



dx Ax 2

A ln x  A  x 2

C

1254*

1 21t 2 

 a 2  x 2 dx

1 a3

tu



1252**

A 2

 ax  b A  x 2  c 

Ax 2

b  0, a 

dx  adt x a

sinh 2t 

c  A  aA  A1  a 



x  at 1 a3

C

A  x 2  aA  x 2   xax  b  c A  x 2  aA  2ax 2  xb  c aA  c  A 2a  1

arctan x  C

1251*



A 4

Ax 2

x dx   22x 2 

x a

A cosh tdt

 A  x2  

1 1   21x   21x dx 2 x  2 1 2

a 2 sin2 arcsin

  A  A sinh 2 t A cosh tdt  A  1  sinh 2 t cosh tdt  A  cosh 2 tdt 

1 dx  du  21x 2  v

x   21x 2 

1 4

2

A sinh t

dx 

C

dx xdx 2 x 2 1



1 4

2

 A  x2



xu

 cos 2tdt   a t  a sin 2t  1 2

1253*

1250** x2 2 x 2 1

  t a 2 arcsin

1 2

a2 2 x a

1 21t 2 

dt



1 a3

 arctan ax   C

arctan

x a



1 2a 3

 1tt 2  

dt 1t 2

x2 9x 2 9x 2 9x 2 9x 2 9x 2

9  x2 9  x2 9  x2 c  9a a I1 

x 2

dx   

9x 2 9 9x 2

dx    9  x 2  9 

 ax  b 9  x 2    a 9  x2 

axbx



9x 2

c 9x 2 c 9x 2

dx 9x 2

   9  x 2  9 arcsin

dx|  | 9  x2

a9  x 2   ax  bx  c 9a  2ax 2  xb  c x 2 2a  xb  c  9a 9. . . c  92  9

    1 2

, b0 , c

9  x2 

I  9 arcsin

x 3

9 2



dx 9x 2

9 2



 I 1  9 arcsin

x 3

x 2



9  x2  x 2

9 2

arcsin

9  x2 

9 2

1 3

x

arcsin

x 3

x 3

9 2

I

x 3

arcsin



x 2

1255





dx x 2 2x14

dx x1 2 4

1 2



arctan

x1 2

C



x2 x 2 6x10



dx x 2 2x11

dx x1 2 1

  arctanhx  1  C

1 3







xdx x 2 7x13 7 2

x

dx x 2  13 x 13

1 3





dx x 16

2

1 3



1 1  36 3



dx 2

x 16

 11 36



2 11

arctan

2

x 72



xdx x 72

 49 13 4

x 72

2

dx 

 34

7 2





11

 x  3

C

t t 2  34



 34

t

 



dx 2

7 2

2

x 72

1 2



 34

ln4t 2  3 

7 3

1 2

ln 4x 

1 2

lnx 2  7x  13 

 3

 arctan 2x7 3 7 arctan 2x7  3 3

7 3

1 3

3 arctan















t 1  z

dx  dt

2tdt  dz

t t 2 1

dt  4 

dt t 2 1

 3

dx  

 x

5 2



 x

5 2



2x 65

x 2 2x1 x 2 3x4

x 2 3x4 2x3 x 2 3x4

 x

t



9 2



2

x  3x  4  t x  2x  3dx  dt  x

5 2



dt t



9 2





5 2



 3

2

dx  

 

xdx  x2 2 1 dx 6 x2 2 1

3 2

dt  4 arctanh t 

x 2 3x42x13x4 x 2 3x4 2x 65 33 x 32



dz z

dx x2 2 1 dx 2 x2 2 1

3 2

dt 33 16

1 2



dx 3 2

 32 xx 2



1 2

4t 33





dx 33 16

 x 34

2

1 2



t 2

arcsin

1 2

arcsin

4x3 33

C

dx 1 4

 x 12

2

t

dx  dt 

dt 1 4

 arcsin 2t  arcsin2x  1  C

t 2



2

 94 4

dx  

 x

5 2



2

p 2

x 2 3x4 x 2 3x4 2x3 95 x 32

2

dx  

 74

5x3 x 2 3x4

 ln

1 2

7 arctan

p2 4

q



dx p

x 2

2



p2 4

dx p

q

x 2

2



p 2 4q 4

t

dt t 2 z

z  ln t  t 2  z 2

p  x  x  xp  q 3x6 x 2 4x5

dx 

3 2



x 2  4x  5  t 9 7



2 7

z 7

 ln x 

C

1265



ln t 

2

dx  dt

z 5 2



dx p

x 2

p 2 4q 4

 74

 x



dx x 2 pxq

x 

dx  dz dz z 2  74

 x  3 ln t  8 arctan z

t



dx xx 2

x

 4 arctanh t

dx x 32

x3 2 1

1264

t 2 1

dx  

2x6 10 6 3

dx  dz

dz z 2 1

1 2



3 4



1 2



1260 x1 2 x 2 3x4

 8

dt t

dx

 32 ln z  4 arctanh t  32 lnt 2  1  4 arctanh t  ln x  2 2  1  4 arctanhx  2  32 lnx  1  32 lnx  3  4 arctanhx  2



dx  x  3 

1263

C

2

x2  t

6x10 x3 2 910

dx  dt

2x  7 3



3x2 3x2 3x2 dx  dx  dx x 2 4x3 x2 2 43 x2 2 1 dx x22 x2 3 dx  2 3 x2 2 1 x2 2 1 x2 2 1 dx x2 3 dx  4 x2 2 1 x2 2 1

 3 3 2



33x2x 2

x 7 2

dt 

  dx  

1262 2

1259



C

 x  3 lnx 2  6x  10  8 arctanx  3  C

dx x 72

6x1

dx  dt

ln 2 

x 2 6x106x10 dx x 2 6x10 2x6 dx dx  8 x 2 6x10 x3 2 1

2x  6dx  dt

dx 3x 2 x1



2x3 7

x 2  6x  10  t x  3  z

1258



arctan

dx  

 x  3 

dx x 2 2x

1257



9 7

lnx 2  3x  4 

1261 

dx x 2 2x5

1256



5 2

 x

9  x2  C

2x  4dx  dt

2x4 x 2 4x5

dx

p 2

 x 

p 2

2

 

p 2 4q 4



dx



3 2



dt t



dx  

2x8 1xx 2

5 4

5 4

 x

1 2

 x  1 2

2x   

 14

 x

2

dx  dt dz 5 4

x4 5 4

1 2

1 2

dx  2 

5 4

 x 12

2



dx



z 2 5

5 z   2 1  x  x 2  9 arcsin

2x1 5

x 5x 2 2x1

1 10

dx 



10x22



1 10

dt t

2x x 5

C

1 5



1

1 10

2t 2 



1 5 5



10x2 5x 2 2x1

dx 



1 5 5

dx x 15

2

1 1  25 5

x dz 4 z 2  25

2





 

5 25

arcsinh

5 2

z

5x 2 2x1 5



5 25

arcsinh

5x1 2

 

dt 1t 2

2

  arctanh t   arctanh 1  x  C

  arcsin

1x1 x1

2

  arcsin

  arcsin

2x x1

2

C dx

x1 x1 2 1

1 z

dz z2 1 z

2

 1z  1 1 t

 

dz z 2

 1z  1

  arcsin

1 x1

 

dz z 1z 2 z2

 

dz 1z 2

  arcsin z

C

1272

dx

 x 2  2x  5 dx   x 2  2x  1  4 dx   x  1 2  4 dx 1 t

x

x1  t

dx   dt t2 

dt t2

1 t2

 1t 1 1 2

dx  dt 

 dtt 1 t2

 1t 1



 dtt 1tt 2 t2

 

dt t 1 t

1tt 2

z

dz 5 4

z 2

 

dt 1tt 2

 

dt 1 t 12

2

 14



  t 2  4 dt t  2 sinh z dt  2 cosh zdz

dt  dz  



  arcsin

x x 2 x1

t

1

2

dz 2z1 2

dt

 

1269

1 t

1 x1

 

dt   dz z2

xdx  tdt  

  arcsin

2 2x 2 x1

dz 12zz 2

t t 2 1

t

1  x2  t2

xt

1

 

12zz 2 z2

dx  dt 

tdt x2t

1 t

 dzz



x1  t

1  x2  t



 2z 1

dx

1x 2

tdt x

dz z2

1 z2

x1 x 2 2x

C

dx x



1271

4 25

t 5

1 z

  arcsin

dx 1 5

1 z

  arcsin

z

dt t t 2 2t1

dt   dz z2

C

dx  dz



1 5 5

dx 

x 2  25 x 15

1 10



dt t t1 2 2

t

1268



 2x    arcsin 2x

dx  dt 



10x  2dx  dt



2 5

dx

dx  dz

5x 2  2x  1  t x 



   arcsin

x1  t

1267



1 2

x1 x 2 2

2

  2 t  9 arcsin

z 2

2

 x 12

x 12 4 12

dx 5 4

  t x

 9

dt t

2

dx  9 

2

1 2

dx  2 

2x8 1 x 12

x 12

 2



 1x 

1270

1266



2 5

  arcsin

 3 t  3 x 2  4x  5  C

  4 sinh 2 z  4 2 cosh zdz  4  sinh 2 z  1 cosh zdz  4  cosh 2 zdz   arcsin

2 5

z   arcsin

2 5

t 

1 2



 4

1 2

1  cosh 2zdz  2 1  cosh 2zdz  2  dz  2  cosh 2zdz

z1 2

2z  u

1276

2dz  du



 2z   cosh udu  2z  sinh u  2z  sinh 2z  2 arcsinh 2t  sinh2 arcsinh 2t   2 arcsinh

x1 2

 sinh2 arcsinh

1273

x1 2

x

1 2

1 4

 dx



1 4



1 4 1 4

t 2 t 2

t 2

1 4

1 4

 t 2 dt  

1 4

1 4

1 8

 t2  1 2

 t2  

1 4

2tatb 1 4

2

t 2

c 1 4

c



1 4

t 2

1 4

|



dt 1 4



t 2



1 4

t 1  4t 2 

1 8

arcsin 2t

1 8

arcsin 2x 

1 2



2

 



1 4

2x  1 x  x 2 

1 8

arcsin2x  1  C

 2  x  x 2 dx   2 

1 4





1 2

1 4

2

x 2x x 

9 8

t 9  4t 2 

 9  4x 



9 4

 x 

1 2

1 4

1 2

2

 

9 8

arcsin arcsin

2

2x x 

9 8

2 3 2 3

t x 

arcsin

1 2



dt t 2 1



2

 14

sin x cos x2 2 3

dt 3 4

 t 12

2

 arcsinh

2t1 3

 arcsinh

xdx x 4 4x 2 41



 

ln xdx

  ln cos x  2  cos 2 x  4 cos x  1



ln xdx x ln x2 2 41



ln xdx x 5ln x2 2

2

 du

I

udu 5u2 2

u2  z

2 3

x

z2 5z 2

1 3

C

arctanh t  

1 2

arctanhx 2  2  C

zdz 5z 2

 2

5  z2  t

zdz

2zdz  dt

5z 2

dz 5z 2



dt 2

t

  t   5  z2

I 1   5  u  2 2   1  u 2  4u   1  ln 2 x  4 ln x I2  

xdx 2 x 2 2 1

dz  

dz 5z 2

 arcsin

z 5

 arcsin

u2 5

 arcsin

I  I 1  2I 2   1  ln 2 x  4 ln x  2 arcsin 1280

1 2

2e x 1 3

C

dx 

  ln t  t 2  3

x 14 ln xln 2 x

I1  



2xdx  dt 1 2





x2  2  t 



dt 1 t 12

du  dz

 t 2 dt 

xdx x 4 4x 2 3

dt t 2 3

dx x

1275



sin xdx cos 2 x4 cos x1

t

1 2



ln x  u

 x  x 2 dx  

1 4

dt

I

dx  dt

x 

C

1279

1274

1 4

sin x3 3

dx

1tt 2

 

1 2



arctan

cos x  2  t

 1  4x 

9 4

1 3

 sin xdx  dt

x 





1278

 t2

1 4

1 2

ex



dt| 

t 2



x

t 3

e dx  dt

 t 2  a 14  t 2   tat  b  c  t 2  t 2 2a  tb  c  14 a a  12 , b  0 . c  14 a  14 . . . . c  18  14 c  18 t 2

arctan

x

1 4 1 4

I

1 3



1e x e 2x

dt

t 2

 t2 

dt t 2 3

ex  t

t 2

dt  at  b a

t 2

1 4

dx

1277

t

dx  dt 1 4

cos x sin x3 2 3

cos xdx  dt

2

1 2

 x 

dx  

sin x  3  t

C 

 x  x 2 dx  



cos x sin 2 x6 sin x12

I

dx xaxb

ln x2 5

ln x2 5

C

C

1 xaxb



A xa



B xb

41  a  5b  2c 91  12a  4b  3c

1  Ax  b  Bx  a 1  Ax  Ab  Bx  Ba 1  xA  B  Ab  Ba AB  0 Ab  Ba  1 .... Ba  Bb  1 Ba  b  1 1 1 B  ab , A  ba I I

1 ba



xa 1 lnx ba

1 ab

xb

 a 

43  4b  3c c  43  43 b 3 4 12a  4b  3 43  b   12a  43  91 3 3 55 7 4  b   b2 4  b  43 3 3 3 3 2  47c  3c b  7, c  5, a  4 dx dx dx  7  x3  5  x4  4 lnx  1  7 lnx  3  5 lnx  4  C I  4  x1 1284



1 ba

 1 ab

dx xa



1 ab



dx xb



lnx  b  C

 5

1281 I

x 2 5x9 x 2 5x6

1 x2x3



dx   dx  3  a x2



b x3

dx x 2 5x6

 x  3

dx x2x3

|x  2x  3

1  ax  3  bx  2  ax  3a  bx  2b  xa  b  3a  2b a  b  0. . . a  b 3a  2b  1 3b  2b  1 b  1, a  1 1 1 I  x   x2   x3  x  3 lnx  2  3 lnx  3  C 1282









dx dx dx dx  121 x1  13 x2  14 x3 x1x2x3  121 lnx  1  13 lnx  2  14 lnx  3 b c 1 a  x1  x2  x3 |x  1x x1x2x3

 2x  3

1  ax  2x  3  bx  1x  3  cx  1x  2 1  ax 2  5ax  6a  bx 2  2bx  3b  cx 2  cx  2c 1  x 2 a  b  c  x5a  2b  c  6a  3b  2c abc  0 5a  2b  c  0 6a  3b  2c  1 b   13 , a  121 , c  14 1283



2x 2 41x91 dx x1x3x4 2x 2 41x91 a  x1 x1x3x4 2





c x4

|x  1x  3x  4

2x  41x  91  ax  3x  4  bx  1x  4  cx  1x  3 2x 2  41x  91  ax 2  ax  12a  bx 2  5bx  4b  cx 2  2cx  3c 2x 2  41x  91  x 2 a  b  c  xa  5b  2c  12a  4b  3c 2  abc

dx  

5x 3 2 xx1x4

dx  5  dx  

xx1x4 b  ax  x1

25x 2 20x2 xx1x4 2



c x4

dx  5 

x 3  25 xx1x4

dx

25x 2 20x2 xx1x4

|xx  1x  4

2

25x  20x  2  ax  5x  4  bxx  4  cxx  1 25x 2  20x  2  ax 2  5ax  4a  bx 2  4bx  cx 2  cx 25x 2  20x  2  x 2 a  b  c  x5a  4b  c  4a 25  a  b  c 20  5a  4b  c 2  4a a  12  4a  3b  4 12   3b   2  3b  5 b   73 1  73  c  25 2 c  161 6 dx dx  x4 I 1  12  dxx  73  x1  161  12 ln x  73 lnx  1  6 7 1 lnx  4  C I  5x  I 1  5x  2 ln x  3 lnx  1  161 6

161 6

lnx  4

1285



dx xx1 2

x

1 t

dx   dt t2

 

b x3



3 2 5x 3 2 dx  xx5x2 5x4 x 3 5x 2 4x 2 3 2 2 x 5x 4x 5 5x 4x

 1 t

1 t

dt t2 2

 1 dt  1t

 





dt 2 t 1t t  dt  1t 2

 

t 1t 2

dt   

 ln1  t 

1 1t

t11 1t 2

dt

  ln x1 x 

x x1

C

1286



x 3 1 dx 4x 3 x x 1  4 4





3 1 4x 3 4 dx  14 4x 4xxx4 dx  14 3 x 4 4x 3 x x4 x 1 x4  dx  4  4 x2x12x1 dx x4x 2 1 b c x4 a  x  2x1  2x1 |x2x  12x x2x12x1





 dx 



 1

1 4



x4 4x 3 x

dx

x 2 8x7 x2 2 x5 2 2

x  4  a2x  12x  1  bx2x  1  cx2x  1 x  4  4ax 2  a  2bx 2  bx  2cx 2  cx x  4  x 2 4a  2b  2c  xb  c  a a  4 4a  2b  2c  0 bc  1 16  21  c  2c  0 c   92  b  1  c  1  92   72 I   4x dx  

 72

dx   2x1

 92

2x1

7 4

dx  4 ln x 

x 4 6x 3 12x 2 6 x 3 6x 2 12x8 3 2

dx  

x 4 6x 3 12x 2 6 x2 3 3 2

ln2x  1 

9 4

ln2x  1  C

x 4  6x 3  12x 2  8x 6  8x I   xdx  2  4x33 dx  

x2 2

 8

x2 dx  22 x2 2



x2 2

dx x2 3

 2 

4x838 x2 3 8 x2  x2 2

dx  

x2 2

11 x2 2



5x 2 6x9 2 x 2 2x3 2



ax 2 2x32x2axb

 8

x2 x2 3

dx  22 

dx x2 3

C

x 2 2x3 2

2



2

|x  2x  3

x 2x3

1289



x 2 8x7 2 x 2 3x10



x2

27 49

dx

x2 2



2x3 3 x 2 3x2



dx



dt t3

  2t12  

1 2 2x 2 3x2

x 2 8x7 x2 2 x5 2

dx

|x  2 2 x  5 2

8 dx  49



x5 2

27   49x2 

C

1291



  dx  

1 2

I  x  I 1  x  ln x 

dx xx 2 1

 1

1  ax  a  bx  cx ab  0 c  0a  1b  1 I 1   dxx   x 2x1 dx  ln x 

2

C

30 343

x5

1 2

lnx 2  1

2

lnx  1  C

1292



x4 dx  x 4 1 1 x 2 1x 2 1 3

 

 dx  x  

x 4 11 dx  x 4 1 axb cxd  x 2 1 x 2 1 2

2

2

dx x 4 1

 x  I1

|x  1x  1

1  ax  ax  bx  b  cx 3  cx  dx 2  d 1  x 3 a  c  x 2 b  d  xa  c  b  d ac  0 a  c bd  0 b  d ac  0  2c  0 c  0a  0 bd  1  2d  1 d   12 b  12  I1   Ix

1 2

dx  

 12

dx  

x 2 1 x 2 1  12 arctanh x  12

1 2

arctanh x 

arctan x  C

1293 dx  

d x5 2 2

dx

3 x 3 x1 dx  x xx1 3 x dx xx 2 1 bxc 1 a  x  x 2 1 |xx 2 xx 2 1 2 2

5x  6x  9  ax  2x  3  2x  2ax  b  cx  dx  2x  3 5x 2  6x  9   ax 2  3a  2xb  2b  cx 3  2cx 2  3cx  dx 2  2dx  3d 5x 2  6x  9  x 3 c  x 2 a  2c  d  x2b  3c  2d  3a  2b  3d c  0 a  2c  d  5  d  a. . . d  5  a 2b  3c  2d  6  2d  2b 9  3a  2b  3d

5x3 x 2 2x3

30 dx  343



2

15  2d  2b  3a  2b  3d   5d  3a 55  a  3a   8a  25  15 a  5, d  0 6  2b. . . b  3 2 0  x 2 2x3 I   5x2 6x92 dx  x 5x3 dx  2 2x3 

c x5



2x  3dx  dt

dx| 

cxd x 2 2x3

b x2 2 2

x 2  3x  2  t

I





1290

68x x 3 6x 2 12x8

1288 5x 2 6x9 dx x3 2 x1 2 5x 2 6x9 axb cxd I 2 dx  x 2 2x3  x 2 2x3 x 2 2x3  axb 5x 2 6x9  x 2cxd 2  2x3 x 2 2x3 x 2 2x3

I



dx

x 4  6x  12x  6 : x  6x  12x  8  x 

a x2 3

x  8x  7  ax  8ax  5ax  50a  bx  10bx  25b  cx 3  cx 2  16cx  20c  dx 2 x 2  8x  7  x 3 a  c  x 2 8a  b  c  d  x5a  10b  16c  4d  50a  25b  20c ac  0 8a  b  c  d  1 5a  10b  16c  4d  8 50a  25b  20c  4d  7 30 30 8 a   343 , c  343 , b  27 , d   49 49

1287 I





dx x 2 4x3x 2 4x5



dx x3x1x 2 4x5

1 2

arctan x

30 343

lnx  2 

8 49x5



30 343

ln

4 1612 2 42 3 2 42 1 2 1 x3x1x 2 4x5 3 2

x 12  x1  x2 

a x3



b x1



 3

cxd x 2 4x5 2

1

1

1

0

0

3 1

3

1

4

1

0



1

7

3

4 0

5 15

0

3

1

0

0

1

0 2 7



0 2



0

2

1

1



1

1

0 0

1  35

 15

1

1

0

0

0

2

7

1

0

0

8

2

4 0

:4

1294

0 10

5

3

: 5



1

0

0 2 7



0 2 0

0

1 2  12

0 0 3 5

0

1

1

0

0

0

0 2 7

1

0

1 2 1 2

1

0

 85

 15

1

0

 85

 15



0

2



0

0



1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0 2

7

1

0

0 2

7

1

0

2

0

 85

 15

1 2

7 

0

0

 12

1

1

1

0

0

0 2

7

1

0

0

0

 152

2

0

0

0

15 2

815 5

3

0

0

0 2

7

1

0

0

 152

0 d

0

2



1 

0

 152

2

0

0

0

 12

 85

 15

1

0

0

0 2

7

1

0

2

0

0

0

 152

0

0

15 2

0

26 3

dx x3



I

1 52

lnx  3 



1 20

dx  dz



 2  C



|x  1x 2  x  1

1 0 0

1 1 0 0 



0 2 1 0 2

0 1 2 1

1

1

0

0

0

2

1

0



0 2 4 2

1 1

0

0

0 2

1

0

0 0 3 2

15 b   13 , c  I



0 1 1

1 3

x1

dx  

2 , a  13 3  13 x 23

lnx  1

I I

1 3

lnx  1 

I I

1 3

lnx  1 lnx  1



dx  13 lnx  1  13 x 2x2 x 2 x1 x1 1  6 x 2x4 2 x1 dx 1  16 x 2x1 2 x1  2 x 2 x1 dx  16 lnx 2  x  1  12 2 x 12  14 1

1 3 1 3 1 3

lnx  1 

 





1 6 1 6

lnx 2  x  1  lnx 2  x  1 

1 2



3 3

dx x 12

2

arctan

 34 2x1 3

C

1295

, b   201 , a 

1 52



dx x 2 4x5



dx  x1xdx2 x1 x 3 1 1 a  x1  x 2bxc x1 x1x 2 x1 2 2

I

3 26

I

24 3



7 1 2 65

x2  z



1

0

1



dx

x 2 4x5

dt 7 1 dx 7 dz 1 1  65 ln t  130 t  2 65 65 z 2 1 x2 2 1 7 7 1 1 2 ln t  130 arctan z  65 lnx  4x  5  130 arctanx  2 65 7 1 1 1 2 lnx  3  lnx  1  lnx  4x  5  arctanx 52 20 65 130

1

0

0



1 1 1 0

0

0

x 2 4x5

2x4 x 2 4x5

2x 15 2



1  ax  bx  ax  bx  cx  c  a 1  x 2 a  b  xa  b  c  c  a ab  0 a  b  c  0 ca  1

 15

0

1 2  12

1

1 1 1 

1

0

1

1

0

1

I1  I

1

1

1

0





1 65

2x  4dx  dt I1 

1

0 2 7 0 2





1

1

1 2



2x4 72

1 65

lnx  1 

x 2  4x  5  t

|x  3x  1x 2  4x  5

5

1 20

lnx  3 

1 65

I1 

1  ax  3ax  ax  5a  bx  bx  7bx  15b  cx 3  4cx 2  3cx  dx 2  4dx  3d 1  x 3 a  b  c  x 2 3a  b  4c  d  xa  7b  3c  4d  5a  15b  3d

1

1 52

I



dx x1

1 20

1 52



,c 

2 65

2 x 3 65 26 x 2 4x5

lnx  1 

 dx

1 65



dx x 4 1



dx 2 x 2 1 2x 2 11

1 2x

3 26

65

x 2 4x5

dx

x 2  2 x1

x 2  2 x1







dx dx  2 x 2  2 x1 x 2  2 x1 x 2 1 2x 2 axb  2 cxd x 2  2 x1 x  2 x1

1  ax  b x 2  2 x  1  cx  d x 2  2 x  1 1  ax 3  ax  a 2 x 2  bx 2  b  b 2 x  cx 3  cx  c 2 x 2  dx 2  d  d 2 x

1  x 3 a  c  x 2 a 2  b  c 2  d  x a  b 2  c  d 2 ac  0 a 2 bc 2 d  0 ab 2 cd 2  0 bd  1 1

0

1

0

0

2

1

 2

1

0

1

2

1

0

1

0

1

0

0 

1 0

0

1

0

1 0

0

2 2

0



2

0

:

2 

0  2 0

1

1

1

0

0

4 2

1

0

0 0 

4 2

2

0 0 

4 2

0 1 

1 2

d



I

2 4

x 12

I

 2 4



I

 2 8



2 x1

1

0

1

1 1 0

0 1

2 8



dz z

0

x2

1 4

 2 x2





 2 8



 2 8



I   18 2 ln t 

1 8

2 ln z 

1 4



1 4





dx x 4 x 2 1

ln z 

2 4

0

0

1 0 0

1

0

0

0

1

0

0

0 1 0

0

1

0

0

0 0 1

0 0 1

0

0

1

0

1 0 0 1

0

0

1

0 1 0

0

1

0

0 0 1

0

0

1 2

2x2 2

2 8



x 2  2 x1



 2 2 x1 dx x 2  2 x1 dx x

2 2

2

2 8

 

2 8

 12 1

 

2 8

x 2 1 x 4 x 2 1x 2 1

dx  

dx  

1

0

0

0

1

0

0 0 0

0

2

0

0

1 1

0 0 0

0

0

2 1

 gauss 







dx 2

x 12

I  lnx  x  I  ln

 2



2 4

x 2 1 x 3 1x 3 1

dx

x 2 1 x 3 1



1 2



x 2 1 x 3 1



 34

x 2 x1 x 2 x1





2 3 3

dz z



x 2 1 x1x 2 x1 x1x1 dx x1x 2 x1 1 2





dx 

1 2



x 2 1 x1x 2 x1

dx





dx x 12

2

 14 1

2x1 3 3

arctan

 ln z  

2x1 3 1  arctan  lnx 2  3 2 3 2 3 2x1 arctan  3 arctan 2x1 3 3 3 2 3 3

dx x 12

2

 34

x  1 

2 3 3

arctan

2x1 3 3

C

1297 dx 2 2

arctan 2 4



?????????

x2

2 x1 dx x 2  2 x1 1  4 x

1 2

 



I  ln t  

x 2  2 x1

 x 2 1

x1 dx  12 x 3 1 dx  2x11 dx  12 x 2 x1 x 2 x1 dx 2x1 dx  x 2 x1  2x11 dx x 2 x1 x 2 x1 dt dx dx 2x1   dx  x 2 x1 2 2 t x x1 x 12  14 1

2

ln x 2  2 x  1  x 2 1 x 6 1

0

x 3 1

I  lnx  x  1 

x2

0

0 0 0 2

 12 x 2  12





1 2

I

2x2 2

x 2  12 x 3 1

2

arctan  2 x  1 

ln x 2  2 x  1  

0

0

I

2 x2 x 2  2 x1

1296



1

0 1 0

I



x 2  2 x1

|x 3  1x 3  1

1 0 0

2



I

~

2 x1

2 8

2 8

0

I

x 2  2 x1

2 ln z 

ln t 

1

2

2x 2  2

1 8

2 8 2 8

0

2 1

x 2

I   18 2 ln t 

I

1

2 4

2x  2 dx  dz



0

dx 2 exf x 3 1 3



e0 d   12  f  12 1 c 2  0 c   12  b  0 1 a 2  0 a  12 

2x  2 dx  dt dt t

0

~

0 0

x  2x1  z



0

ax 2 bxc x 3 1



x  1  ax  bx  cx  1  dx 2  ex  fx 3  1 x 2  1  ax 5  ax 2  bx 4  bx  cx 3  c  dx 5  dx 2  ex 4  ex  fx 3  f x 2  1  x 5 a  d  x 4 b  e  x 3 c  f  x 2 a  d  xb  e  c  f ad  0 be  0 cf  0 ad  1 be  0 c  f  1

1 1

0

x  2x1  t  2 8

4 2



2 0



2

I

1

0 0 

x 12



0

1 0

2 4

2 8



0

4 2

,a  



0



1

x 2 1 x 3 1x 3 1 2

0

2

4 2

1 2

2 4

0

1

2 2

0

1  2 1

0 1

0 0



1

1

2 2

0 1 

x 2  2 x1

x 2  2 x1 2x 2  2 x2

~

,b 

x 2

~

2

1 0

0



x 2  2 x1

2 2

1

0 1 2 4

,c 

1

1

0

1 

: 2 ~

 2 0

1

2 2

1

 b  d

2



 12 1

dx 2 1x 2 

x  tan t

2x1

arctan  2 x  1 

2 4

dx  1  tan 2 tdt

arctan 

1tan 2 tdt



1 2

1tan 2 t

2



dt 1tan 2 t

1  cos 2t 

1 2



 dt 

dt 1 1 2

sin 2 t cos 2 t



dt cos 2 tsin 2 t cos 2 t

 cos 2tdt 

1 2

t

 1 4

cos 2 tdt cos 2 tsin 2 t

sin 2t 

1 2



  cos 2 tdt

cos 2 tdt 1

arctan x 

1 4

sin2 arctan x

I1  

1298 I

dx  

3x5 x1 2 1

dx  3 

I  3

dx  5 arctanx  1 

I  3

x1 x1 2 1

dx  3 arctanx  1  5 arctanx 

x1  t

 3

dx  dt

t t 2 1



t2  1  u

dt 

2tdt  du





dx x 5 3 dx  x1 2 1 x1 2 1 dx dx  3  5 arctanx  1 x1 2 1 x1 1  3 dx  2 arctanx  1 x1 2 1

x dx x1 2 1 x1 3 x1 2 1

x11 x1 2 1

I1  3 2

3x5 x 2 2x2





 3

du 2u



3 2

ln u 

lnt 2  1 I 1  32 ln x  1 2  1  C I  32 ln x  1 2  1  2 arctanx  1  C

I1  I1   I2   I2  I2  

1299



x

1 2

 1 2  2 x1x x1 2

I2  a x1



bxc 2 x 2 x1



dxe x 2 x1

|x  1x 2  x  1

2

I2 

2

1  ax  x  1  bx  cx  1  dx  ex  1x 2  x  1 1  ax 4  2ax 3  3ax 2  2ax  a  bx 2  bx  cx  c  dx 4  2dx 3  2dx 2  dx  ex 3  2e x 2  2ex  e 1  x 4 a  d  x 3 2a  e  2d  x 2 3a  b  2d  2e  x2a  b  c  d  2e  a  c  ad  0 2a  e  2d  0 3a  b  2d  2e  0 2a  b  c  d  2e  0 ace  1 1 0 0 1 0 0

1 0 0

2 0 0 2 1 0 

3 1 0 2 2 0 2 1 1 1 2 0

Gaussova eliminacija

 lnx  1  

dx x 2 x1

 lnx  1  

dx x 2 x1 14  14

I  lnx  1  I 1  I 2

0 0 1



xdx 2 x 2 x1 dx 2 x 2 x1





dx 2 x 2 x1

xdx x 2 x1

0

0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0

x1x x1

0 0

0 1 0 1 2 0 

1 0 1 0 1 1 e  0d  1c  0 b  d  2e  0 b1  0 b  1a  1  dx dx   x1  2  2

1

0

1 0

I2  I2 

dx

2 3



dx 2 x 2 x1

x

1 2



 34



dx  dt dt t 2  34

2

x 12

t

2 3

arctan



t

2 3



2 3

arctan

x 

1 2





2 3

2x1 3

arctan

dx x 12

2

2

 34

t

dx  dt dt 2

t 2  34

u

dx 2 x1x 2 x1



dx x 2 x1 14  14



256t 3 4t 2 3

256t 2 3 4t 2 3

2

 64 

dt 2 4t 2 3

2

 I2  3 

t t 2  34

dt  du

 

t t 2  34

dt  dv

2

2

t t 2  34

1 t 2  34

tv dt   3 dt

t 2  34

3

t 2

t 2  34 dt t 2  34

3

 64  

4t 2 33 3 4t 2 3

t t 2  34

. . . . odusta san

2



dt dt t 2  34

2

 3

dt t 2  34

3