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RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN Deducción de

Javier García – GILAB / IFAE

EL PLAN 1.- PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD 2.- TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 3.- DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO 4.- DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO 5.- TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO 6.- CUADRIMOMENTO 7.- ENERGÍA 

Suposiciones previas: a) El espacio es homogéneo e isótropo. b) El tiempo es homogéneo.

PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD Suposiciones de la Relatividad de Einstein: c) Todos los observadores que se desplazan a velocidad constante uno de otro (observadores inerciales) son "equivalentes" en el sentido de que experimentan las mismas leyes generales de la naturaleza.

d) Todo observador mide la misma velocidad para la luz independiente de la velocidad de la fuente.

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ o Mismo evento descrito por dos observadores A y B con movimiento relativo a velocidad velocidad constante.

a), b) y c) implican:

p q r s

1



1 psqr

s q r p

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Imposición velocidad relativa v:

ps

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Imposición de d)

Substituyéndolo todo:

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ Pero c) obliga a que la transformación y su inversa tengan la misma forma excepto el cambio de signo en la velocidad relativa. Hemos de obligar a que:

p

1 2

p 1 v 2 c

La solución a esta ecuación es:

p

1 2

1 v 2 c

Sustituimos:

tB xB tA xA



1 2

1 v 2 c



1 2

1 v 2 c

1

v c2

tA

v

1

xA

1

v c2

tB

v

1

xB

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ Llegamos a las transformaciones de Lorentz:

tB  xB 

1 1

1 c2

v2

1 1

1 c2

v2

Normalmente se le llama  

t A  v2 x A c vt A  x A  1 1

1 c2

v2

y 

 tB   tA  c xA x B  ct A  x A 

v c

con lo que:

PRIMERA CONCLUSIÓN Cada punto del espacio tiempo representa un EVENTO. Cada observador inercial asigna un par de números (tiempo y posición) que deben estar relacionados por las transformaciones de LORENTZ para preservar los principios de relatividad y la homogeneidad y la isotropía del espacio.

¿Por qué no se detectó antes? Porque la velocidad de la luz es enorme c=3×10⁸m/s. Por lo que:

Galileo

tB  tA x B  vt A  x A

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO Dos puntos del espacio

x1

x2

y1

y2 PASOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA

1) Restamos x A y

A



x A2 y A2



x A1 y A1



x A2  x A1 y A2  y A1

2) Lo multiplicamos por él mismo x A y A

1 0

x A

0 1

y A

2

 x A1  x A2   y A1  y A2 

en donde la ’regla de multiplicación escalar es

2

1 0 0 1

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO

cos

R 

sin

 sin cos

Rotaremos los dos puntos y volveremos a calcular la distancia: sin

x A1

 sin cos

y A1

cos

sin

x A2

 sin cos

y A2

cos

 

x A1 cos  y A1 sin y A1 cos  x A1 sin x A2 cos  y A2 sin y A2 cos  x A2 sin

Restamos: x B y

B



x A2 cos  x A1 cos  y A1 sin  y A2 sin y A2 cos  y A1 cos  x A1 sin  x A2 sin

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO

Coinciden!

x B

y B

1 0

x B

0 1

y

B



x A1



A 2 x2 

CONCLUSIÓN Existe una cantidad númerica (distancia al cuadrado) asociada a dos puntos cualesquiera del espacio que es independiente del estado de rotación del observador, es decir, todo observador mide lo mismo.



y A1



A 2 y2 

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO

PREGUNTA ¿Existe alguna cantidad numérica asociada a dos puntos del espacio tiempo en la que estén de acuerdo todos los observadores inerciales? RESPUESTA SÍ, pero no es exactamente igual a la del espacio ordinario.

(se puede demostrar sustituyendo las transformaciones de Lorentz)

DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO ¿Cuál es la 'regla de multiplicación' (métrica)? Es decir, ¿qué matriz tenemos que poner entre dos 'eventos' para que al multiplicar dé la 'distancia al cuadrado’? M P

P Q

Desarrollando: Mt 2  Qx 2  2Ptx  c 2 t 2  x 2 Por lo que: Así pues la métrica del espacio tiempo es: M  c 2 Q1 P0

TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO

Dos observadores con velocidad relativa v c 2 t A  2  x A  2  c 2 t B  2  x B  2 Una mosca está en el origen de coordenadas de B todo el rato:

c 2 t A  2  vt A  2  c 2 t B  2  0 2 c 2  v 2 t A  2  c 2 t B  2 1

v2 c2

1

v2 c2

t A 

t A  2  t B  2 t A  t B 1 1

v2 c2

t B

TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO Ejemplo numérico

EX: Si el observador B va al 99% de la velocidad de la luz, y si el reloj de la mosca marca un entonces el reloj del observador A marca:

t A 

1 1

v2 c2

t B

t B  1s

t A 

1 10.99 2

 1  7. 088 8s

t A  t B

CUADRIMOMENTO c 2 t 2  x 2  IGUAL PARA TODO OBSERVADOR   t  IGUAL PARA TODO OBSERVADOR m  IGUAL PARA TODO OBSERVADOR con  

1 2

1 u2 c



2 2 2 2 c t x m  2

 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR Resulta que da: 2 2 2 2 c t x m  2

 m 2 c 2

Desarrollando un poco:

c 2 m 2  mu 2  m 2 c 2

CUADRIMOMENTO comparando:

c t  x 2

2



2

c 2 m 2  mu 2  m 2 c 2

Interpretación de sus componentes Velocidades pequeñas



1 1

u2 c2

 1

Ejemplo numérico

u2 2c2

1 10.1 2 1 10.1 2

mu 

mu 1

u2 c2

 mu

 1. 005  1

p  mu

0.1 2 2

 1. 005

ENERGÍA y MOMENTO RELATIVISTA 

1 1

u2 c2

 1

u2 2c2

m  m 

E  mc 2

mu 2 1 2 c2

mc 2  mc 2  Por lo que:

E

m2 c4  p2 c2

mu 2 2

ENERGÍA y MASA RELATIVIDAD

E

m2 c4  p2 c2

Si el objeto está en reposo u  0  p  0