Matemáticas Actuariales 2
Act. Aszael W. Picazo Sánchez
Decrementos múltiples
Hasta ahora se ha visto un ú ico decremento, es decir, las q x han represent do siempre la probabilidad de muerte de una persona en edad x , sin embargo ahora s decrementos, como se indica en la tabla inferior. (τ )
x
(1)
l x
30 31 32 33 34
d x
1,000 940 888 844 809
5 6 3 4 -
( 2)
tendrán más
(τ )
d x
d x
55 46 41 31 -
60 52 44 35 -
En este caso se tiene una pobla ción sujeta a dos decrementos (1) y ( 2 ) , sin embargo el símbolo
(τ )
implica que es el total de todos los decrementos, es decir, para los que han aído en ambos ( )
decrementos a edad x será, d x
(1)
( 2)
= d x + d x
Algunos ejemplos de decrementos pueden ser:
β β β β β
Muerte por alguna caus en especifico o por cualquiera Accidente de algún tipo en especifico o cualquier tipo Invalidez Enfermedad Ocurrencia de algún evento
2.1 Enfoque deterministico par decrementos múltiples
l x( +)n τ
(τ )
n
px =
Pr(de llegar a edad x + n y no caer en ningun decremento)
(τ )
l x
l x( +)m − l x( +)m + n τ
(τ )
m|n
qx =
τ
(τ )
l x
d x( +)m τ
=
n
(τ )
lx
Pr(de que x caiga en algún decremento entre edad x + m y x + m + n )
(1)
q x = (τ )
(1)
d x
(τ )
l x
(τ )
l x = la ( j )
Pr(de que x caiga en el decremento (1) entre edad x y x + 1 ) (τ )
x− a
pa Número de individuos de edad “x” que nunca han caído en algún ecremento
(τ )
d x = la
(τ ) ( j )
x−a
(τ ) ( j )
pa q x = l x q x
Número de individuos que han caído en el decre ento “j” entre
edad “x” y “x+1” 2.1.1
Algunas formulas útiles
(τ )
(1)
(τ )
(τ )
( 2)
q x = q x + q x p x + q x = 1
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Matemáticas Actuariales (1)
m|n
qx =
(τ )
m
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(1)
px
n
q x+ m
2.2 Enfoque probabilistico para decrementos múltiples Definición: Bajo decrementos
últiples, la fuerza de mortalidad de τ será la sum de las fuerzas n
∑ µ
j
de mortalidad de los j-ésimos de crementos, es decir µ x+t = τ
x+ t
j =1
Demostración
Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt | T ( x ) > t ) ≈ µ x +t por lo que similar ente para el
Recuérdese que
decremento j es Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt ∩ J ( x ) = j | T ( x ) > t ) ≈ µ
j
x+t
La v.a. T ( x ) ya es conocida, la v.a. J ( x ) es discreta siempre e indica el decre ento al cual se liga la fuerza de mortalidad, en llo radica su calidad de ser discreta siempre.
Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt ∩ J ( x ) = 1, 2,..., n | T ( x ) > t ) ≈
n
∑ µ
≈ Pr ( t < T ( x ) ≤ t + t | T ( x ) > t )
j
x +t
j =1 τ
Se sabe que µ
x +t
= Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt | T ( x ) > t ) (τ )
Con lo que se concluye µ
x +t
n j
=
µ
x +t
j 1
Con lo anterior se puede obte er la probabilidad de supervivencia a todos los d ecrementos en términos de la fuerza de mortalidad.
t (τ ) t p = exp − ∫ µ ds 0 τ
x +s
x
2.2.1
Obtención de la función de densidad para un decremento “j” fT , J ( t , j ) (τ
( j )
x
x +t
Definición: La densidad conjunt de las v.a.’s T ( x ) y J ( x ) será: fT , J ( t , j ) = t p µ Demostración Se partirá de Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt ∩ J ( x ) = j | T ( x ) > t ) ≈ µ x
j
/ / Pr ( A | B ) =
Pr ( A ∩ B ) Pr ( B )
/ /
Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt ∩ J ( x ) = j ) Pr (T ( x ) > t )
+t
≈ µ x+t ⇒ j
Pr ( t < T ( x ) ≤ t + dt ∩ J ( x ) = j ) ≈ µ x(+t) Pr (T ( x ) > t ) = t p (x j
τ )
( j)
µ
x +t
De aquí se concluye también qu e la probabilidad de caer en el decremento j-ésim o entre la edad “x” y edad “x+t” será:
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= t q x
∫
2.2.2
Obtención de las funciones de densidad marginales de fT , J ( t , j )
( j )
0
(τ )
s
( j)
p x µ x+ s ds
Se conoce que J ( x ) es v.a. discreta por lo que para la obtención de la funci n de densidad marginal de T ( x ) se debe hacer
Pr (T ( x ) = t ) = f X ( t ) =
n
∑f
(τ )
( t , j ) = t p x
(τ )
µ
X , J
x+t
j =1
Por el contrario, como T ( x )
s v.a. continua, entonces la densidad marginal d e J ( x ) podrá
obtenerse mediante: ( j)
( j )
Pr ( J ( x ) = j ) = f J ( j ) = ∞ qx = lim t qx = t →∞
2.2.3
∫
∞
o
f X , J ( t, j )dt =
∫
∞
o
(τ )
( j)
p x µ x+t dt
t
Asociaciones e indepen encia de los decrementos
Hasta ahora no se ha visto alg na probabilidad de “supervivencia” o “muerte” ´( j )
decremento sin importar los de ás decrementos, es decir t p x
´( j )
y t q
x
ajo un j-ésimo
.
Definición: La probabilidad abo suluta de unicamente superar el j-ésimo decremento entre edad “x” y edad “x+t” sin importar lo ue suceda con los demás decrementos e s: ´( j )
t p x
(∫
t
)
´( j )
( ) = exp − µ x+s ds y su c mpleto será t q x j
0
=
∫
t
0
p x( ) µ x(+s) ds = 1 − t px( ´ j
s
´ j)
j
Definición: La intersección de l s probabilidades de superar exclusivamente cada decremento “j” entre la edad “x” y “x+t”, es igual a la de superar todos los decrementos. n
(τ )
t
´( j )
p x = ∏ t p x j =1
Demostración Es posible realizar la prueba utili zando el principio de inducción. Otra forma es partir de
(∫
)
t
pτ = exp − µ τ x+s ds = exp t x 0
(∫
exp −
t
0
µ
1 x+ s
ds −
t
∫ µ 0
2 x+ s
(∫
t
0
ds − ... −
t
µ
1 x + s
)
)
∫ µ
(∫
+ µ x2+s + ... + µ xm+s ds = exp −
t
0
1
ds − x+ s
µ
∫
t
0
∫
t
0
m
ds = t p x t p x ... t p x = ∏ t p xj
m
x+ s
1
2
m
j =1
Bajo la igualdad anterior y i los decrementos actuan simultaneamente e la población (suponganse 2 decrementos), entonces es posible general las siguientes funcion es de densidad para cada uno de los dos decre entos. τ 1 '1 fT , J ( t ,1) = t p x µ x+t = ( t p x
i
τ 2 '1 fT , J ( t , 2 ) = t p x µ x+t = ( t p x
p x ) µ x+t '2
t
i
t
p
'2
1
) µ
2
x +t
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)
m ... µ ds ⇒ ds − − x +s x+s 2
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Con lo que: 1
∫ =∫
t q x = 2
t q x
t
fT , J ( u ,1) du
0 t
fT , J ( u , 2 ) du
0
Actividad: Suponganse dos fuer zas de mortalidad constantes y diferentes una de l otra, con esto como hipótesis, compruebe por contradicción que se cumple lo siguiente. ' q x j ≥ q xj para j = 1, 2
i.
1 2 q x + q x = qτ x
ii.
2.2.4
Propiedades en decrementos multiples con fuerzas de mortalidad consta tes
Para cualquier t ∈ [0,1] y una p rsona en edad “x” i.
(τ ) (τ ) = px t p x
j )
t
ii.
iii.
qx(
(τ )
( j)
=
t qx
µ x + s (τ )
µ x + s
p´x = t px ( j )
t
t
(τ )
j q x( )
(τ ) x
Demostración i.
Por ser la fuerza de mortalidad constante y por el punto 2.2, entonces e s p sible hacer
(∫
t
)
(∫
t
)
(
) ( )) ( ) ( ) p = exp ( − µ )
( ) ( ) ( p x( ) = exp − µ x( +)s ds = exp − µ x ds = exp −µ x t = t p x t τ
τ
0
τ
0
Si del resultado anterior se supone t = 1 , entonces t
Por lo que
p x(τ ) = e p ( − µ x(τ ) )
t
(τ ) ln p x = ln exp ( − t
(τ ) x
)
τ
τ
τ
τ
x
x
t
t
τ τ ln p x( ) = t ln exp − µ x( )
(
)
t
τ τ ln p x( ) = − µ x( )t
(
τ exp ln p x( )
ii.
t
)
(τ ) (τ ) (τ ) = exp − µ x t = t px = p x
(
)
t
j
Bajo fuerza de mortalid d constante y del punto 2.2.1, t q es posible definir como x j
t
q x =
∫
t
0
j
p x µ x+s ds = µ x τ
s
∫
t
0
τ
s
p x ds
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de manera similar
q x = τ
t
∫
t
0
τ
s
τ
p x µ x+s ds
τ
µ
x
∫
t
0
τ
s
p x ds
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∫ = ( ) q µ ∫ j
( j )
Por lo que
t qx
0 t
τ
x
t
x
0
τ
s
p x ds
=
µ µ
τ
s p x ds
j x
τ
=
µ
j
x +s
τ
µ
x +s
x
Tomando como partida la definición del punto 2.2.3 y la fuerza de mortalid d constante
(∫
´( j )
t
t
)
( j)
(
( j )
)
= exp − µ x+s ds = exp − µ x t de manera similar para t p xτ = exp ( − µ xτ t )
p x
0
Por lo que
(
( ln t p x
´ j )
(
´( j )
ln t p x
)
ln ( t p x )
j
=
τ
) = µ
j
x
ln ( t p x )
τ
τ
2.2.5
x
τ
t
iii.
µ
( j)
=
q x
x
− µ x t τ
suponiendo t = 1 y utilizando (ii), entonces ( j )
( j)
q x
qx
⇒ ln ( t p´( j ) ) = ln ( t pτ ) q( ) ⇒ t p´( j ) = ( t pτ ) q ( ) τ
(τ )
q x
µ
− µ x t
τ
x
x
x
x
x
x
Propiedades en decrementos multiples con fuerzas de mortalidad unifor e
Para cualquier t ∈ [0,1] y una p rsona en edad “x” j
i.
j
t
j )
ii.
iii.
t
qx(
(τ )
q x
j
j
p x µ x+t = q x o lo que e lo mismo µ x+t = τ
1 − tq x
τ
para t ≠ 1
( j)
=
t qx
µ x + s (τ )
µ x + s
(τ ) = t px t p´x ( j )
( j )
q x
(τ )
qx
(1)
iv.
Bajo dos decrementos,
x
v.
Bajo tres decrementos
(1) x
q x'2 ( 2) y respectivamente para q x = q 1 − 2 ( q x'2 + q x'3 ) ( qx' 2qx'3 ) '1 = qx 1 − + 2 3 '1 x
Demostración i.
(τ )
( j )
x
x+t
Por el punto 2.2.1 se c noce la densidad conjunta fT , J ( t , j ) = t p µ
sabe que para un sólo d cremento se tiene µ
x +t
=
fT ( t ) ST ( t )
=
FT ' (t ) ST ( t )
, además ya se
FT ( t )
=
d
dt , lo cual es 1 − FT ( t )
similar cuando se tr abaja con decrementos múltiples, de la si uiente forma j
µ
x +t
=
fT , J ( t , j ) ST ( t )
=
F T , J ' ( t , j ) S ( t )
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=
FT , J ( t , j )
d dt , resolviendo las derivada y conociendo
1 − FT ( t )
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que por ser uniforme se cumple / / t q x = tqx / / τ
t ( q x ) j
j
µ
x +t
=
j
dt = qx ⇒ τ τ t p x t px
j
µ
x +t
=
1 − FT ( t )
t =
qx
d dt ⇒
τ
t
p x
j
µ
j
Utilizando (i) se tiene
t x
(τ )
=
x+t
q x
1 − tq x
τ
( j)
qx
=
(τ )
=
qx
t x
iii.
⇒
j
t
d
( j )
ii.
τ
FT , J ( t , j )
s
⇒ t pτ x µ j = q xj x +t
τ
j
τ
τ
px µ x+t
s p x µ x+t
( j)
µ x + s
=
(τ )
µ x + s
Tomando como partida la definición del punto 2.2.3, la fuerza de mortalidad uniforme y el punto (i) se tendrá
qxj qxj τ τ exp µ exp exp ln 1 exp ln ds tq p = − = − = − = p ds ( ) ( ) t x t x ⇒ τ τ ∫0 ∫0 1 − sq xτ q q x x q q qx j ´( j ) τ τ τ q = exp τ ln ( t p x ) = exp ln ( t px ) = ( t p x ) q t p q x
(
´( j )
x
t
)
j
x +s
j
q x
t
j x
j x
τ
τ
x
x
x
iv.
Se deja como actividad.
v.
Del punto 2.2.1 se sab n
(τ )
´( j )
= ∏ t p x t p x
y
que
∫ ( ) q =∫ ( j )
= t q x
que
´ j
t
j =1
x
t
0
t
0
(τ )
s
´( j )
s
( j)
p x µ x+ s ds y del 2.2.3 también se conoce que ( j)
´( j )
p x µ x+s ds = 1 − t px
, ademá
por suponer
distribución uniforme, s e cumple / / t q x = tq x / / por lo que es posible ree cribir la primer τ
integral
de
l
forma
τ
siguiente
1 q x =
∫
1
0
p x t p x t p x µ x+t dt ⇒ '1
t
'2
'3
1
1
2 ( q x'2 qx'3 ) t 3 3 ( q x'2 + q x'3 ) t 2 '3 '1 q1 = qx'1 ∫ (1 − tq x'2 )(1 − tq x' ) dt = q x' − +t 0 6 6 0 1
x
( q x' 2 qx'3' ) ( q x' 2 + q x''3 ) t 2 − + 1 q =q 3 2 1 x
'1 x
Referencias Bibliograficas Casella, G., & L. Berger, R. (2002). Statistical Inference. Pacific Grove, CA: Thomson earning Academic Resource Center. Eric V. Slud, Mathematics Depar tment. (2001). Actuarial Mathematics and Life-Tabl e Statistics. University of Maryland: College Park, Maryland. Hassett, M. J. (2009). Actex Stud y Manual for Exam MLC SOA. Schaumburg, Illinois: Society of Actuaries. Jr., C. W. (1967). Life Contingencies. Chicago, Illinois: Society of Actuaries.
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Jr., N. L. (1997). Actuarial Mathematics. Schaumburg, Illinois: Society of Actuaries. Li, J. (2012). Actex MLC Study M nual. Schaumburg, Illinois: Society of Actuaries. Stephen G. Kellison, Georgia State University. (2000). The Theory of Interest. Boston, Burr Ridge II: Mc Graw-Hill.
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