La deconvolución o filtraje inverso puede definirse como un cier ci erto to pr proc oces eso o qu que e ne neut utra rali lizza un una a ac acci ción ón de co con nvo voluc lució ión n previa (o filtración). La principal aplicación de los filtros inversos es eliminar los efec ef ecto toss ad adve vers rsos os de un una a ope opera ració ción n de fil filtr trado ado pre previo vio qu que e suceden en el campo del procesado de datos sísmicos de reflexión. Por otro lado la deconvolución sirve para intentar elim el imin inar ar lo loss ef efec ecto toss qu que e ej ejer erce cen n ta tant nto o la fu fuen ente te co como mo el medio por el que se propagan las ondas sísmicas en la señal temporal registrada. La deconvolución vista como un proceso de filtrado cuenta con dos áreas básicas: estimación de parámetros e identificación de estado.
En
concreto, lo que se tiende a hacer con la deconvolución es minimizar el efecto de la convolución, pero no se puede suprimir del todo para llegar a la información pura. Los procedimientos matemáticos asociados a la deconvolución descansan por lo general sobre varias hipótesis en común con el modelo convucional: Modelo de capas horizontales con velocidades constantes e incidencia normal. Una onda sísmica estacionaria (su forma no cambia durante la propagación) La ondícula sísmica es de fase mínima, en el caso de la deconvolución spiking.
La deconvolución por lo general implica la convolución con un filtro inverso. La idea es que esto deshace los efectos de un filtro anterior, tales como la tierra o el sistema de grabación. La dificultad en el diseño de un filtro inverso es que casi nunca se conocen las propiedades del filtro, cuyos efectos estamos tratando de eliminar. La Tierra está compuesta por un conjunto de capas de diferente litología y propiedades físicas. Sísmicamente los estratos se definen por sus densidades y las velocidades de propagación de las ondas, o lo que es lo mismo, por la impedancia acústica (producto de ambas magnitudes). El contraste de impedancias es la razón de las diversas reflexiones que sufre la señal incidente. Así, la traza registrada puede considerarse como la convolución entre la fuente inicial que origina la onda y el efecto que la tierra ejerce sobre la misma.
Consideremos
una traza sísmica cualquiera, resultado de la convolución de la respuesta de la tierra por el impulso inicial creado por la fuente.
Si pasamos al dominio frecuencial con una transformada de Fourier (Fig. 2.16) podemos constatar dos cosas: Primero, que las amplitudes del espectro de la traza sísmica (sismograma) son muy similares a las amplitudes del impulso inicial (segundo y tercer panel de la Fig. 2.16), mientras que el espectro de frecuencias correspondiente a la respuesta de la Tierra es más parecido al espectro de una señal de tipo aleatorio. De hecho, generalmente se piensa que las rápidas fluctuaciones observadas en las amplitudes del sismograma (derecha de la Fig.2.16) son una manifestación de la respuesta de la tierra al impulso (izquierda de la Fig.2.16), mientras que la forma básica del sismograma se debe a la forma del impulso inicial (centro).
En
resumen, el sismograma tiene las características de la fuente ya que sus autocorrelaciones y sus espectros de amplitudes son similares, exceptuando el primer pico que lo consideraremos como el efecto de la respuesta de la Tierra.
Existen
varios tipos de ondículas sobre las cuales se opera; por ejemplo el tipo delta de Dirac (spike) que tiende a convertir los lóbulos de reflexión en picos.
En
la práctica el analista sísmico busca un razonable punto medio entre la agudización de los reflectores y el aumento del ruido. A continuación un caso real en el que se puede apreciar que la sección sísmica final (resultante de aplicar toda la secuencia de procesado, hasta el apilamiento o suma inclusive) da como producto una sección con mejor definición de reflectores pero también más ruidosa cuando se ha aplicado la deconvolución, una corrección que, como se indicó, no es obligatoria aunque sí muy frecuente.
EL CONCEPTO BÁSICO DE DECONVOLUCIÓN EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS
Para explicar la idea básica de deconvolución, podemos considerar la operación de convolución siguiente: y(t)=f(t)*h(t) (1) Donde f(t) y h(t) son dos funciones convolucionadas y y(t) es la función de salida de convolución. Ahora, suponga que y(t) y f(t) son dadas, entonces el proceso de encontrar h(t) se llama deconvolución, y el sistema que hace eso se llama el filtro inverso. Así, si h'(t) es la función que debe ser los convolucionada con y(t) para dar f(t), nosotros podemos escribir: f(t)=y(t)* h(t) (2) Sustituyendo por y(t) de la ecuación (1), nosotros conseguimos: f(t)=f(t)*h(t)* h(t) (3) Sin embargo, de la teoría de la función Dirac delta, nosotros tenemos: f(t)=f(t)* (t) (4) Haciendo uso de esta relación, ecuación (3) se reduce a: h(t)*h(t)= (t) El cual expresa el tipo de relación que existe entre el operador de convolución h(t) y el operador de deconvolución h'(t).
TIPOS DE DECONVOLUCIÓN
DECONVOLUCIÓN IMPULSIVA (SPIKING) La deconvolución spiking (o deconvolución de blanqueado) emplea un filtro inverso de mínimos cuadrados que se aplica a la ondícula sísmica para encontrar su inversa, que también será de fase mínima. Posteriormente la convolución de la inversa de la ondícula con la traza sísmica genera la serie de reflectividad. El carácter de spikes de la sección sísmica dependerá de la fase de la ondícula, mientras más se parezca a una ondícula de fase mínima mejores serán los resultados. El
principio general de la optimización de la ondícula es filtrar las muestras de serie de tiempo de un modo que la salida filtrada sea una función de impulso representando la deconvolución de la señal. Un filtro óptimo es aquel en el cual la energía de la diferencia entre el filtro actual y el deseado es minimizada. Dicho filtro se denomina óptimo o filtro de mínimos cuadrados y es conocido como el criterio de error de mínimos cuadrados medio de Wiener y se denomina filtro de Wiener.
DECONVOLUCIÓN PREDICTIVA Este
tipo de deconvolución hace uso de la hipótesis que establece que la reflexión es un proceso aleatorio, haciendo posible el cálculo y detección de ruido coherente como, múltiples, reverberaciones, entre otros. Las ecuaciones normales para el cálculo del filtro predictivo se pueden escribir conociendo la constante de predicción y una matriz que se conoce con el nombre de matriz de Toeplitz. A partir de estas ecuaciones, se puede escribir fácilmente una expresión para el filtro de predicción de error.
APLICACIONES DE LA DECONVOLUCIÓN
INGENIERÍA AUTOMÁTICA O DE CONTROL La excitación que se brinda a un sistema, permitirá dar una respuesta de éste en un intervalo de tiempo adyacente al de la excitación, ya que sufre un pequeño retardo, al ser procesada y en la mayoría de los casos, transformada de acuerdo a las operaciones que el sistema requiera hacer. El proceso para conocer cómo opera el sistema dada las señales de entrada y salida, se le conoce, como deconvolución
ÓPTICA La imagen g surge de la convolución de las fuentes reales de luz f (el objeto) y la función de dispersión del punto ( PSF ) h. Gráficamente, y considerando un corte longitudinal XZ de una imagen de fluorescencia tridimensional, la convolución actúa como sigue:
Al registrar una imagen, obtenemos solamente la distribución g. También podemos conocer cómo el microscopio degrada la imagen midiendo su PSF (por ejemplo mediante cuentas de calibración ) o con un cálculo teórico basado en algunos parámetros del microscopio . Por lo tanto la situación queda descrita con la siguiente ilustración:
La deconvolución ciega es un método de deconvolución que intenta obtener el objeto f y la PSF h simultáneamente a partir de la imagen g. Por lo tanto, en principio no requiere conocer a priori la PSF.
GRACIAS.
