DISCIPLINA DE CÁLCULO OPERACIONAL Trabalho sobre Aplicações das equações diferenciais na Engenharia DECAIMENTO RADIOATIVO 1. INTRODUÇÃO Equações
Diferenciais
Ordinárias
(EDOs)
representam
uma
parcela
importante na graduação de um curso de engenharia. Entretanto algumas vezes é difícil se perceber uma aplicação prática referente à esta teoria. Desta maneira, este relatório apresenta uma aplicação deste tipo de equações em uma parte muito importante na área da Engenharia Geológica, a geocronologia. A geocronologia baseia-se no conceito de decaimento radioativo dos elementos, onde o elemento com um núcleo instável emite energia a fim de atingir estabilidade. Esta energia é eliminada a partir de partículas alfa (α) e beta (β) e radiação gama (γ), gerando taxas exponenciais de decaimento radioativo. radioativo . A partir desta taxa de decaimento radioativo é possível se descobrir a idade dos elementos que compõe o objeto de estudo. E essa descoberta somente se torna possível através da utilização de EDOs. Este método é usual na área de Engenharia Geológica para determinar a idade de rochas e minerais, em estudos petrogenéticos para a identificação de processos geológicos e entendimento de fontes magmáticas e na determinação de áreas para prospecção p rospecção mineral. Desta maneira, o intuito do relatório é explicitar uma aplicação prática das EDOs na área de Engenharia Geológica através da datação por decaimento radioativo de isótopos radiogênicos, aliando estas equações com conhecimentos geológicos e químicos, bem como exemplificar a aplicação da teoria de EDOs na área da geocronologia.
2. DESENVOLVIMENTO 2.1. Processos de decaimento radioativo
O fundamento da geocronologia moderna foi elaborado no início do século XX por Rutherford e Soddy (1903) em elementos naturais radioativos. Eles mostraram que o processo de decaimento radioativo é exponencial e independente das
condições físicas e químicas do ambiente. As taxas de decaimento podem ser assim, usadas para medidas do tempo geológico. Isótopo é definido como uma variedade do mesmo elemento químico (átomos como o mesmo número atômico Z) que possuem uma variedade no número de nêutrons e variando o peso atômico (M). Alguns elementos leves possuem apenas poucos isótopos enquanto que os elementos pesados possuem vários. A radioatividade pode ser definida como um ajustamento espontâneo de um núcleo de átomos instáveis para um estado mais estável. A radiação é o resultado de mudanças no núcleo pelos átomos, processos nos quais há um rearranjo da configuração dos nucleons no núcleo. Alguns núcleos têm uma combinação de prótons e nêutrons que não leva a uma configuração estável. Núcleos instáveis tendem a se aproximar de uma configuração estável pela emissão de certas partículas alfa (α) e beta (β). Partículas α e β são partículas de alta velocidade, correspondendo ao núcleo do hélio e seus elétrons, respectivamente. Alguns átomos, que possuem um estado de grande energia, tendem a se transformar em átomos com estado de menor energia, liberando partículas α e β e emitindo radiação γ, decaindo para um estado mais estável. A radiação γ (raios gamma) consiste de ondas eletromagnéticas similares as características do raios-X, sendo de maior energia e menor comprimento de onda quando comparadas as do raios -X. Alguns exemplos de elementos instáveis, partículas e/ou raios liberados, meia vida e nuclídeos resultantes estão expostos na figura 1.
Figura 1. Etapas de estabilização de um elemento instável: modo de desintegração tempo de meiavida e nuclídeo resultante.
2.2. Modelo matemático utilizado
O modelo matemático deve ser formulado de acordo com a natureza do fenômeno ou situação analisada. Para descrever o decaimento de um nuclídeo radioativo qualquer, utiliza-se a equação diferencial deduzida, dada por Bassanezi e Ferreira Jr. (1978)
[1]
Utilizando um modelo linear, a equação diferencial que descreve o problema deve também, ser dita linear:
São descritas como lineares as equações
,
[2]
em que todos os
coeficientes são funções de x, função y e as suas derivadas têm exponenciais inteiras de no máximo 1 e no mínimo 0. Desta forma, satisfeitas tais condições, conclui-se que a E.D.O. [1] é linear, assim como o modelo a ser dedutível no presente trabalho. Em alguns casos particulares, esses modelos devem apresentar valores de contorno, ou problemas de valores iniciais (P.V.I.) bem definidos. Tais
valores de contorno influenciarão na precisão dos resultados encontrados, portanto desenvolvem importante papel nos estudos aplicados. Para execução da modelagem matemática foram utilizados conceitos de cálculo diferencial e integral para resolução das equações diferenciais deduzidas, além dos conceitos de Cálculo Numérico. A desintegração de um dado número de núcleos de qualquer nuclídeo radioativo (elemento radioativo em desintegração) pode ser expressa pela equação geral:
[3]
Onde: N = número de nuclídeos do instante t
= número de nuclídeos inicial do átomo = representa a constante de desintegração
O parâmetro (lambda) é denominado de constante de desintegração,
sendo que, depois de transcorrido um tempo igual a 1/ , o número de nuclídeos fica reduzido a 1/e
1/2,718, aproximadamente a metade do valor do número inicial.
Uma determinada quantidade de um elemento radioativo se reduz à metade depois
, denominado meia-vida.
de transcorrido um tempo t = ln2/
A partir daqui, serão realizadas duas abordagens para a modelagem do decaimento radioativo, a primeira resultará no sistema linear de três equações diferenciais de primeira ordem, enquanto a segunda será a clássica aplicação apresentada em [1].
Suponhamos que uma série radioativa é descrita esquematicamente por:
X
Onde
Y
Z
=< 0 e =< 0 são as constantes de decaimento da
substância X e Y, respectivamente, e Z representa o elemento estável.
Suponhamos também, que x(t), y(t) e z(t) denotem a quantidade das substâncias X, Y e Z, respectivamente, remanescente no instante t. O decaimento do elemento X é descrito por:
[4]
Já a taxa de decrescimento do elemento Y é dada por:
[5]
Percebe-se que Y está ganhando átomos do decaimento de X e ao mesmo tempo perdendo átomos em decorrência do próprio decaimento. Sendo Z um elemento estável, este está unicamente ganhando átomos do decaimento do elemento Y:
[6]
Finalmente, tem-se um modelo da série de decaimento radioativo dos três elementos, representado pelo sistema linear de três equações diferenciais de primeira ordem [4], [5] e [6]. A segunda maneira de abordagem do problema, parte da própria formulação matemática de Bassanezi e Ferreira Jr. (1978), que modela o processo de decaimento radioativo pelo número de átomos radioativos e pode ser descrita da seguinte forma:
[7]
Onde:
corresponde
ao número de átomos radioativos presentes na
amostra no instante T;
> 0 é a constante de desintegração radioativa, que pode ser obtida experimentalmente.
que representa o número de desintegração do elemento por tempo por massa do elemento no tempo . Como já Nesta abordagem consideremos o termo
definido anteriormente, a equação [7] é caracterizada como uma equação linear de
primeira ordem. Para chagarmos a solução dessa equação diferencial [1], utilizaremos o método de fatores integrantes:
1.
Observar a forma padrão:
2.
Fator integrante:
∫ ∫ 3.
Multiplicação da forma padrão pelo fator integrante:
∫ 4.
Integração:
Logo, tem-se:
( ) Se considerarmos que
[7]
temos a equação [1]:
[1]
Uma equação linear de ordem homogênea que pode ser resolvida por:
∫
Sendo P(x) =
e ∫
Resultando na equação [3] explanada no início da seção:
[3]
A equação [3] é solução analítica clássica de [1]. A partir dessa solução para
pode ser facilmente calculado tendo por base apenas a informação de , ou, ainda, a partir de informações de . a equação diferencial [1],
Utilizando a solução encontrada, aplica-se:
Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Deseja-se ter 30
gramas do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo. Solução:
Seja:
Para
a quantidade presente no instante t; a quantidade inicial;
, e Logo,
2.3. Aplicações
Existem diversas áreas do ramo das geociências onde as equações diferenciais podem ser aplicadas, sendo uma delas a geocronologia, mais especificamente datação de rochas por decaimento radioativo. Scheweidler em 1905 estabeleceu a lei capaz de reger os fenômenos radioativos baseado em hipóteses probabilísticas, determinando a lei da desintegração radioativa admitindo que:
1 - A desintegração é um processo probabilístico.
2 - A probabilidade de um átomo radioativo se desintegrar é igual para todos
os átomos de uma mesma espécie.
3 - A desintegração ou não independe de sua vida anterior.
4 - Probabilidade de se desintegrar em um Δt muito pequeno é proporciona a
ele p= λ Δt, portanto: q = 1 - λ Δt A partir desta equação pode-se chegar a conclusão que a equação diferencial deduzida para descrever o decaimento de um nuclídeo radioativo qualquer é dada por (Bassanezi e Ferreira Jr. (1978)):
Onde: =
constante de desintegração
Pela fórmula: dN = -dt dN/N = -dt Integrando: [ln N] = -[t]
e-t
N/N0 =
N = N0.e-
t
Com esta equação é possível fazer a datação de rochas através dos elementos radioativos presentes nela. Muitos trabalhos científicos se utilizam deste método de datação para montar uma coluna estratigráfica, demonstrando quais rochas são mais recentes e/ou mais antigas. Um exemplo que utiliza as equações diferenciais será mostrado conforme o enunciado a seguir: A análise espectrométrica dos átomos de potássio e argônio de uma amostra de rochas da Lua mostrou que a razão entre o número de átomos do 40 Ar (estável) presente e o número de átomos do
40
K (radioativo) é 10,3. Suponha que todos os
átomos do argônio foram produzidos pelo decaimento dos átomos do potássio e que a meia-vida, para este decaimento foi determinada como 1,25 10 9 anos. Qual a idade da rocha?
Solução:
Se Nk0 átomos de potássio estavam presentes no tempo em que a rocha foi formada pela solidificação de magma lunar, o número de átomos de potássio remanescentes no tempo da análise é:
Nk = Nk0 e- t Onde: t: idade da rocha
Para cada átomo de potássio que decai, um átomo de argônio é produzido. Assim, o número de átomos de argônio presentes no tempo da análise é: N A = Nk0 - Nk Não podemos medir o Nk0, mas
ou Agora
e- t Þ
e t .
Aplicando logarítmo de ambos os lados, temos:
) = ln e t = t.
ln ( (N A/Nk) é a razão medida. Assim, temos:
t = { ln (
)}/ = { ln (
)}/{ln 2/t} = {ln(10,3 + 1) x 1,25 10 9}/ ln 2 =
4,37 109 anos Ou seja, 4,37 bilhões de anos.
3. Considerações finais Observa-se então que apesar de algumas vezes perceber a aplicação prática referente à teoria das EDOs é um pouco complicado, este tipo de equação é bastante utilizada e muito relevante na pesquisa de um Engenheiro Geológico quando esta pesquisa depende da utilização da geocronologia, situação rotineira nesta profissão. A geocronologia tem embasamento no decaimento radioativo dos isótopos radiogênicos que possuem núcleos instáveis através da liberação de partículas alfa
e beta e raios gama. Esse decaimento, quando quantificado, permite que se descubra a idade dos elementos que compõe o alvo da pesquisa, geralmente rochas. As EDOs possuem uma significativa relevância porque são as equações utilizadas para que se quantifique este decaimento radioativo. Através das características próprias de cada elemento analisado, da quantidade deste elemento
e...., independentemente do local, nível de alteração e tipo de intemperismo que o material está exposto, as variáveis da EDO utilizada são atribuídas e, a idade do elemento pode ser descoberta. Uma aplicação prática disto é a datação de rochas oriundas da lua, que podem fornecer informações que ajudam a entender até mesmo a origem do Planeta Terra. Esta datação foi feita a partir da análise átomos de potássio radioativo (40K ) e argônio estável (40 Ar) com um espectrômetro de massa. Sabendo-se que os átomos de argônio provêm dos átomos instáveis de potássio, a meia vida dos elementos e a razão entre estes átomos, pode-se identificar a idade da rocha, de 4,37 bilhões de anos. Prova-se desta maneira, a importância da utilização das EDOs na profissão de um Engenheiro Geológico.
