Resolver los siguientes problemas 1. Enuncie la hipótesis nula y alternativa para cada una de las siguientes situaciones: a. Una organización que prueba productos duda sobre la aseveración de un fabricante, en la que establece que las pilas tienen una vida promedio de 25 horas de operación continua. Ho: µ = 25 H1: µ ≠ 25 b. La tubería galvanizada debe tener una media de 2 pulgadas de diámetro para que sea aceptable. Ho: µ = 2 H1: µ ≠ 2 c. Una empacadora quiere evitar que los frascos de mermelada de 12 onzas se llenen arriba del límite. Ho: µ ≥ 12 H1: µ < 12 2. Una compañía aseguradora empezará una extensa campaña publicitaria para vender seguros de vida si considera que el salario promedio obtenido por familia es menor de $ 10.000. Una muestra aleatoria de 50 familias en esa área tiene un ingreso promedio de $ 9.600 y una desviación estándar de $ 1.000. Tomando como base la evidencia de muestra, ¿se aceptará o rechazará la afirmación al nivel 0,05? Ho: µ ≥ 10.000 Salario promedio de una familia H1: µ < 10.000
z=
α=
´x −µ 9.600−10.000 = =−2,83 s 1.000 √n √ 50
Respuesta: Se rechaza la hipótesis nula μ ≥ 10.000
-2,83 Zona de Rechazo de Ho
0 Zona de Aceptación de Ho
3. Determine si es igual el promedio de quejas por día en estas dos oficinas
´x
S
S2
9
12
3,74
9
15
3,91
14,0 0 15,2
n Oficina A (µ1) Oficina B
(µ2)
5 Nivel de significancia del 5%
Ho: H1:
µ1 = µ2 µ1 ≠ µ2
tc , α/2 ; (n1 + n2 – 2) gl t 0,05/2 ; (9 + 9 – 2) gl t0,025 ; 16 gl = 2,120
( n1−1 ) S 12 +(n 2−1) S 22 ( 8 ) 3,742 +(8)3,912 S p= = =14,63 n 1+ n 2−2 16 2
t=
´x 1−´x 2
√
S2 p
( n11 + n12 )
=
12−15
√
14,63
( 19 + 19 )
=−1,66
α=
α=
tc1= 2,12
-1,66
Tc2=2,1 2
0
Respuesta: Ho se acepta. El promedio de quejas es igual de A y B
4. Una muestra aleatoria de 200 votantes registrados en dos distritos indicó que 45 de los 200 votantes urbanos están a favor del reavalúo de la propiedad mientras que 55 votantes suburbanos de un grupo de 200, están a favor de la misma propuesta. ¿Se podría decir, con un nivel de significancia del 5%, que la proporción de votantes que están en pro es la misma en estos distritos?
^p=
x^ n
45 ^ p 1= =0,225 200
Zp=
√
Ho:
^p 2=
55 =0,275 200
P1 = P2 H1: P1 ≠ P2
^ p 1+ ^ p2 0,225−0,275 = =−1,16 ^ 0,225( 1−0,225) 0,275(1−0,275) p 1(1− ^ p 1) ^ p 2(1− ^ p 2) + + 200 200 n1 n2
√
α=
α=
z1= 1,96
- 1,16
z2= 1,96
0
Respuesta: Ho se acepta. La proporción de votantes que están en pro es la misma en estos distritos.
5. Una empresa editora de periódicos considera que el porcentaje de lectores de periódico es la misma en ciudades grandes, medianas y pequeñas. Para responder a esta inquietud, se tomó una muestra aleatoria de 1486 personas, obteniéndose la siguiente información.
Utilice un nivel de significación del 5% Ho: Los lectores de periódico es “independiente” de la categoría de ciudad H1: Los lectores de periódico “dependen” de la categoría de ciudad
Grande F Obs 529 121 650
CIUDAD Mediana F Obs 373 137 510
Pequeña F Obs 237 89 326
Grande F Esper. 498,22 151,78 650
CIUDAD Mediana F Esper. 390,91 119,09 510
Pequeña F Esper. 249,87 76,13 326
LECTORES
Grande
CIUDAD Mediana
Pequeña
(F Obs - F Esper.)2/F Esper.
(F Obs - F Esper.)2/F Esper.
(F Obs - F Esper.)2/F Esper.
SI NO
1,90 6,24
0,82 2,69
0,66 2,18
LECTORES SI NO TOTAL
LECTORES SI NO TOTAL
CHI CUADRADO= PROB=
TOTAL 1139 347 1486
TOTAL 1139 347 1486
14,50 0,2699543987
g.l = (# filas – 1) (# columnas – 1) = (2 - 1) (3 - 1) = 2 Valor crítico 5,9914645 5
β=
χ2
χ2c=5, 99 Zona de aceptación
14,5
Zona de rechazo
Respuesta: Ho se rechaza. El porcentaje de lectores de periódico no es la misma en ciudades grandes, medianas y pequeñas.
6. Suponga que se tiene los siguientes datos de muestras de dos poblaciones: µ1
µ2
Utilizando un nivel de significación de 0,01, pruebe la afirmación de que las dos agencias presentan la misma razón media de respuesta. Nivel de significancia del 5%
Ho: H1:
µ1 = µ2 µ1 ≠ µ2
tc , α/2 ; (n1 + n2 – 2) gl t 0,01/2 ; (30 + 24 – 2) gl t0,005 ; 52 gl = 2,6737
( n1−1 ) S 12 +(n 2−1) S 22 ( 29 ) 12+(23)1,22 S p= = =1,1946 n 1+ n 2−2 52 2
t=
´x 1−´x 2
√
1 1 S2 p + n1 n2
(
=
)
4−5
√
1 1 1,19 + 30 24
(
=−3,34
)
α=
α=
3,3
tc1= 2,67
0
Tc2=2,6 7
Respuesta: Ho se rechaza. Las dos agencias no presentan la misma razón media de respuesta.
