2
Berreketak eta erroketak BERRETZAILE OSOKO BERREKETAK
IDAZKERA ZIENTIFIKOA
ERROKETAK
BALIOKIDEAK
ANTZEKOAK
ERAGIKETAK ERROKETEKIN
BATUKETA ETA KENKETA
BIDERKETA ETA ZATIKETA
BERREKETAK ETA ERROKETAK
ARRAZIONALIZAZIOA
IZENDATZAILEA ERROTZAILEAREKIN
48
IZENDATZAILEA BIONOMIO ERROTZAILEAREKIN
Balioaren froga Ez ziren garai onak jende arruntarentzat. Italiako hiri estatuak azpikeriatan, traiziotan eta gerra gogorretan murgilduta zeuden; ez ziren salbatzen ezta Pontifize Estatuak ere. Hiri haietako batean, Brescian, Nicolo Fontana bere zauriaren istorioa azaltzen hasi zen. Zauria, masailezurrean zehar zuen orbain itsusia zen. –Duela bi urte izan zen, 1512. urtean. Hiria erori zen eta kontrola galdutako soldadu-taldeak leku guztietatik zeuden, nahi zutena egiten. –Ama aurretik nuen korrika egiten elizarako bidean. –Kontaketa eten egin zen txikienei aholkatzen zien bitartean–. Ez ahaztu inoiz: Arriskurik baduzue leku ziur bakarra eliza da! Behartutako etenaren ondoren, Nicolok bere eszena dramatikoa azaltzen jarraitu zuen. –Bat-batean amak estropezu egin zuen eta soldadu bat harengana hurbildu zen ezpata astinduz. Bazirudien ezbeharra saihestezina zela. Une horretan, zalantzarik egin gabe, haren gainera joan nintzen ama babesteko eta lurretik pirritan ibili ginen. –Nicolok keinuak egiten zituen irudizko etsaiarekin borrokatzen ari izango balitz bezala–. Baina ni baino indartsuagoa zen, nigandik askatu eta ezpata-kolpe batez hemen ikusten duzuen moduan aurpegia ebaki zidan. Zauria osatzeko denbora behar izan nuen eta hitz-motel utzi ninduen, baina ez zait damutzen. Nicolo Fontana mutikoari Tartaglia ezizena jarri zioten eta XVI. mendeko matematikaririk garrantzitsuenetakoa bihurtu zen. Tartagliak ekuazio kubo baten emaitza aurkitu zuen errotzailen bideez. Eztabaidatu errotzaile hauen zenbakibalioa a-ren balioen arabera: 3 a eta a . a < 0 denean: a ez dago. 3
a balio bakarra du.
a = 0 denean: a =
3
a = 0
a > 0 denean: a bi balio ditu, aurkakoak direnak. 3
a balio bakarra du.
Berreketak eta erroketak ARIKETAK 001
Sinplifikatu eta kalkulatu. a) z ⋅ z ⋅ ... ⋅ z 14243 60 aldiz
b) x 150
1 32
d) −
1 32
1 2
d) −2−2
c) 22
b) −3 a)
1 3
b) −
c)
1 22
d) −22
Adierazi zatiki hauek berretzaile osoko berreketa gisa. a)
004
c)
Idatzi zenbakien alderantzizkoak, berretzaile osoko berreketa gisa. a) 2
003
d) −3−2
150 aldiz
a) z 60 002
c) (−3)−2
b) x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x 14243
225 64
b)
22 121
c) −
a)
32 ⋅ 52 = 32 ⋅ 52 ⋅ 2−6 26
b)
2 ⋅ 11 2 = = 21 ⋅ 11−1 112 11
c)
23 ⋅ 7 = 23 ⋅ 71 ⋅ 5−3 53
56 125
Adierazi zer balio dituen (−1)n adierazpenak n-ren balio positibo eta negatiboetarako. Horretarako, hasi balio txikiak ematen eta ondorioztatu arau orokorra. 1 n bikoitia bada n positiboa edo negatiboa den kontuan hartu gabe, (−1)n = −1 n bakoitia bada
005
Aplikatu berreketen propietateak, eta adierazi emaitza berretzaile positiboko berreketa gisa. −1
a) 8−3 ⋅ 8−6
5 e) − 2
c) (8 ⋅ 4)−4
−2
−3
5−8 b) −2 5
15 d) 72
f) (24−21)2
Adierazi zer propietate erabili duzun, kasu bakoitzean. a) 8−9 =
3
1 89
b) (5−8−(−2))−2 = (5−6)−2 = 512 c) (23 ⋅ 22 )−4 = (25 )−4 = 2−20 =
50
1 220
3
24 72 = d) 5 15 2 e) − 5 1 f) 24−42 = 24 42
ERANTZUNAK
006
2
Kalkulatu: a) (x 5 y −2) : (x 6 y −1)
b) (6x 4 y 2) : (3x 2 y −2)
−2− −1 a) x 5−6 y ( ) = x −1 y −1 =
1 xy
b) 2x 4−2y 2−(−2) = 2x 2y 4 007
Sinplifikatu eta adierazi emaitza berreketa gisa. a)
57 ⋅ 33 ⋅ 6 –4 6−2 ⋅ 3−3 ⋅ 5–14
c) 92 ⋅ 3−2 ⋅ 27 2
3 2–3 3 ⋅ 2 ⋅ b) 2 ⋅ 8 4 3
1 3 d) 5
–2
⋅ 25
a) 57−(−14) ⋅ 33−(−3) ⋅ (2 ⋅ 3)−4−(−2) = 521 ⋅ 36 ⋅ 2−2 ⋅ 3−2 = 521 ⋅ 34 ⋅ 2−2 = 521 ⋅ 34 = 22 3 2 3 1 3 3 b) 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 = 10 2 2 ⋅3 2 2 c) 34 ⋅ 3−2 ⋅ 33 = 35 d)
008
1 ⋅ 52 = 5 8 5−6
Adierazi idazkera zientifikoan. a) b) c) d) e) f)
9.340.000 0,000125 789.200 1 bilioi Hamarreko erdia 4 a) 9,34 ⋅ 106 b) 1,25 ⋅ 10
−4
c) 7,892 ⋅ 105
009
g) h) i) j) k) l)
0,0089 137 1 hamar milaren 5 ehunen 9 milaren 6 trilioi g) 8,9 ⋅ 10−3 h) 1,37 ⋅ 102 i) 1 ⋅ 10−4
6
d) 1 ⋅ 10
j) 5 ⋅ 10−2
e) 5 ⋅ 100
k) 9 ⋅ 10−3
f) 4
l) 6 ⋅ 1018
Beheko zenbakiak ez daude behar bezala adierazita idazkera zientifikoan. Zuzendu. a) 0,7 ⋅ 106 a) 7 ⋅ 105
b) 11,2 ⋅ 10−3 b) 1,12 ⋅ 10−2
51
Berreketak eta erroketak 010
Kalkulatu. a) 2,3 ⋅ 104 + 5 ⋅ 103
b) (5 ⋅ 10−2) ⋅ (3,1 ⋅ 10−4)
a) 2,8 ⋅ 104 = 28.000 b) 1,55 ⋅ 10−5 = 0,0000155 011
Egin eragiketak eta adierazi emaitza idazkera zientifikoan. a) b) c) d)
9,34 ⋅ 104 + 7,6 ⋅ 102 7,8 ⋅ 10−3 + 8 ⋅ 10−5 3 ⋅ 10−7 − 7 ⋅ 10−4 (9 ⋅ 104) ⋅ (8,5 ⋅ 102)
(5,2 ⋅ 10−4) ⋅ (8 ⋅ 10−5) (4 ⋅ 10−6) : (2 ⋅ 10−8) (7 ⋅ 104) : (1,4 ⋅ 105) (4 ⋅ 105) ⋅ (2 ⋅ 103) : (8 ⋅ 10−2)
a) 9,416 ⋅ 104
e) 4,16 ⋅ 10−8
b) 7,88 ⋅ 10
f) 2 ⋅ 102
c) 6,997 ⋅ 10−4
g) 5 ⋅ 10−1
−3
7
h) 1 ⋅ 1010
d) 7,65 ⋅ 10 012
e) f) g) h)
Mikroorganismo bat 3,5 mikra luze da. Jakinik 1 mikra metro baten milioiren bat dela, adierazi, metrotan eta idazkera zientifikoan, ilaran jarritako 4 milioi mikroorganismoren luzera. (4 ⋅ 106) ⋅ (3,5 ⋅ 10−6) = 1,4 ⋅ 101 = 14 metro
013
Egin, kalkulagailua erabiliz eta erabili gabe, batuketa hau: 9,23 ⋅ 1099 + 1,78 ⋅ 1099. Zer alde hauteman duzu batuketa egiteko bi moduen artean? Kalkulagailuak berretzailean bi zifra baino ez baditu onartzen, ez da gai izango egiteko eta errorea adieraziko du. Eskuz egiten bada, emaitza 1,101 ⋅ 10100 da.
014
Adierazi berreketak erroketa gisa. a) 163 = 4.096 b) 43 = 64 a) 16 = b) 4 =
015
4.096
64
c) −2 =
5
−32
d) −2 =
8
256
Kalkulatu erroketen zenbakizko balioa, baldin badute. a)
52
3
3
c) (−2)5 = −32 d) (−2)8 = 256
4
16
b)
3
c)
−8
4
−100
a) 2 eta −2
c) Ez dago
b) −2
d) 3
d)
5
243
ERANTZUNAK
016
2
Kalkulatu adierazpen hauen zenbakizko balioa kalkulagailua erabiliz. a) 1 +
6
b)
5
c) (−2) ⋅ 4 −16
15 − 7
a) 1 + 2,4494897 = 3,4494897 b) 1,7187719 − 7 = −5,2812281 c) Ez dago 017
Eman 3 eta −3 erroak dituzten erroketen bi adibide. Ba al dago 3 eta −5 erroak dituenetik? Adibideak: 9 eta 4 81 Errotzaile batek ezin ditu izan 3 eta −5 erroak errotzaile gisa, bi erro izatekotan aurkakoak izan behar dutelako.
018
Idatzi berreketak erroketa gisa eta kalkulatu zenbakizko balioa. 3
4
3
a) 5 2
c) 3 7
e) 4 4
1
1
4
b) (−2) 3
d) (−7) 6
f) (−6) 5
5 3 = 11,18033989
d)
6
−7 ez dago. 4 3 = 2,8284271 (−6)4 = 4,1929627
a)
019
b)
3
−2 = −1,2599210
e)
4
c)
7
34 = 1,8734440
f)
5
Idatzi erroketa bakoitzaren bi erroketa baliokide. a)
4
32 a)
020
b) 3 eta
8
5
63
c)
34
b)
10
7
66 eta 15 6 9
c)
14
520 eta 21 5 30
Arrazoitu ea erroketa baliokideak diren. a)
4
36 eta
33
c)
4
510 eta
b)
5
210 eta
2
d)
4
4 eta
6
3
10
54 2
10
a) 3 4 = 3 2 → Baliokideak
4
c) 5 4 Þ 5 2 → Ez baliokideak 1
1
2
1
d) 4 4 = 2 4 = 2 2 → Baliokideak
b) 2 5 Þ 2 2 → Ez baliokideak 021
510
Idatzi berreketa gisa. a)
3
b)
x
1 3
1
a) x 3
c)
3
d) 4 3 x 2
6 xy
x −
b) x
1
1
3
c) (6 xy ) 3
2
2
d) 4 x 3 = (8 x ) 3
53
Berreketak eta erroketak 022
Alderatu erroketak. 3
2, 215 3 = 310 → 5 = 30 56
5
023
30
5
512
b)
2 <
4
3
c)
4 b) 32 33
6 d) b 5 b 5
7
a 47
d)
6
b 35
Sartu biderkagaiak erroketen barruan. b) 2 3 6 62 ⋅ 2 =
b)
3
3
23 ⋅ 6 =
c) 4 4 7
d) 2 5 5
72
c)
4
44 ⋅ 7 =
4
1.792
48
d)
5
25 ⋅ 5 =
5
160
Sinplifikatu, ahal bada. a)
4
7.776 4
a)
b)
65 = 6 4 6
6
1.024
b)
6
210 =
Egin eragiketak eta sinplifikatu. a) 4 6 3 + 3 6 3 − b)
3 2
4
7 −
5 3
1 2
6
3
c)
4
7
d)
7 +
6
3 =
13 2
3 5 5 b) − + 1 ⋅ 4 7 = 2 3 6 c)
12 5
d)
4
33 ⋅ 12 4 4 = 25 ⋅ 72 2
4
5 4
1 a) 4 + 3 − ⋅ 2
54
3
311 7 c) a 6 a 5
a)
026
5 <
5 a) 52 52
a) 6 2
025
5
Sinplifikatu erroketak. a)
024
5
30
2 = 3
5
3 eta
2
3 ⋅2
=
12
6
4
3 ⋅
4
3
7
3⋅2
= 2 ⋅ 10
74 2 ⋅ 35 5
4
1.568
33 ⋅ 4 4
2 5 72
3
36
3
25 = 2 3 22
ERANTZUNAK
027
2
Kalkulatu. 2
a) 3 3 ⋅
5
5
b) (2 4 7 )
9 2
2
5
c)
22 ⋅ 3 11
d)
5
37 4
16
a) 3 3 ⋅ 3 5 = 3 15 =
15
316
4 b) 25 ⋅ 75 = 32 ⋅ 7 ⋅ 4 7 = 224 4 7 1
1
3
5
c) (2 ⋅ 11) 5 ⋅ 11 3 = (2 ⋅ 11) 15 ⋅ 11 15 = d) 028
5 7
35
4 ⋅ 37 =
4 ⋅ 37 =
35
15
23 ⋅ 118
8.748
Egin eragiketa. 2
2 5 9 − (7 5 3 ) + 2
2
2 5 9 − (7 5 3 ) + 029
2
9
2
2
9 = 2 ⋅ 3 5 − 7 ⋅ 3 5 + 3 5 = −4 ⋅ 3 5 = −4 5 32 = −4 5 9
Transformatu zatikiak izendatzailean erroketarik ez duten zatiki baliokideetan. a)
1 3
3
b)
5 3
a)
b)
3
5
5
5 ⋅ 52 5 5
32 ⋅ 2 2
=
e)
f)
2 5 24 5
5
2 ⋅ 2 4
4
4
2
=
2 2
5 2 ⋅
3
3 ⋅
3
2
4
e)
4
f)
64
5 2 3
2 2
10
3
2
2 5 24 = 2
=
5
35 ⋅ 36 310 3 = = 3 3
2 2 = 2
4
=
6
=
33
2
d)
2
52 5 10
33
2 ⋅ 2 d)
=
3
2
c)
9 3
52
3 ⋅
c)
030
5
5
5
=
24 2 2 2 ⋅ 2
=
2 2 = 2
2
5 6 3
=
Arrazionalizatu. a)
3 3
b)
3
a)
3 6
3
=
7 4
63
3 6 35 6
3 ⋅
6
35
=
3 6 35 = 3
6
35
b)
74 6 4
63 ⋅ 4 6
=
74 6 6
55
Berreketak eta erroketak 031
Ebatzi eta arrazionalizatu. a)
2 5
b)
b)
125 2
a)
032
2
−
−
5
(1 +
2 5 5
2)⋅ 2 2 ⋅ 2
5⋅2
=
5 5 =
2
−
5 5
1+
2 2
8
=
5 5
=
8 5 5 5 ⋅ 5
b)
2 +2 2
5
c)
2 − 5 2
5 − 2 6
d)
33 − 11
a) Konjokatua → 1 − 5
(1 +
5 ) ⋅ (1 − 5 ) = 1 − 5 = −4 5 + 6
b) Konjokatua →
2 −7 5 −2 = 2 = 6 6
5 5 + − 2 ⋅ 6 6 2 + 2
c) Konjokatua →
5 −18 2 −9 −5 = 5 = = 4 4 2
2 2 + − 5 ⋅ 2 2
33 + 11
d) Konjokatua →
( 33 − 11 ) ⋅ ( 33 + 11 ) = 33 − 11 = 22 Arrazionalizatu adierazpen hauek. a)
−3
b)
4− 3 a)
b)
56
8 5 25
Kalkulatu zenbaki hauen konjokatuak, eta biderkatu zenbaki bakoitza eta haren konjokatua. a) 1 +
033
=
−3 ⋅ (4 +
3)
(4 − 3 ) ⋅ (4 + 3 ) −3 ⋅ (4 − 3 )
(4 +
3 ) ⋅ (4 −
3)
−3 4+
=
−3 ⋅ (4 + 13
3)
=
−3 ⋅ (4 − 3 ) 13
3
2
ERANTZUNAK
034
Egin eragiketak eta arrazionalizatu emaitza, beharrezkoa bada. a)
2 + 3
035
b)
2 2 ⋅ 2
a)
b)
3
(1 + (1 −
9
+
3 2
13
=
3 2
2 ) ⋅ (1 +
2)
2 ) ⋅ (1 +
2)
2
1− 2 13 2
=
3 2
1+
=
3 2 ⋅ 2
13 2 6
1+ 2 2 + 2 = −3 − 2 2 1− 2
=
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren alderantzizkoa. a)
1
1
b)
d)
3
3
c)
100
d) 100 +
555
2
a)
c)
6 +
b)
2
6 +
6 − 3
( 3
1 3
=
3 =
100
3
3
555
=
=
6 − 3 3
3
10
100 ⋅ 10
1 100 +
3)⋅( 6 − 3)
6 +
10 10
=
100 − 555
(100 +
555 ) ⋅ (100 −
555 )
=
100 − 555 9.445
ARIKETAK 036 l
Kalkulatu berreketen emaitzak. c) 105 d) 8−2
e) (−3)−4 f) (−2)−5
1 1 = 3 2 8 1 1 b) 4 = 7 2.401
1 = 82 1 e) (−3)4 1 f) (−2)5
a) 2−3 b) 7−4 a)
c) 100.000
037
d)
g) (−12)−2 h) (−6)3 1 64
g)
1 81 1 =− 32
i) (−1)−3
1 1 = 2 (−12) 144
h) −63 = −216
=
i) −1
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren alderantzizkoa.
l
a) 3
b) − a)
1 3
1 3
b) −3
d) 33
c) −3 c) −
1 3
d)
e)
1 1 = 3 3 27
1 3
f) −3−3 e) 3
f) −33
57
Berreketak eta erroketak 038 l
Adierazi zatikiak zenbaki osoen berreketa gisa, berretzaile negatiboak erabiliz, behar izanez gero. −3 4 5 d) − 9
12 5 11 b) 65
a)
039 l
2 −5 −33 f) −55
c)
e)
a) 22 ⋅ 3 ⋅ 5−1
c) −3 ⋅ 4−1
e) −2 ⋅ 5−1
b) 11 ⋅ 13−1 ⋅ 5−1
d) −5 ⋅ 3−2
f) 3 ⋅ 5−1
Sinplifikatu eta adierazi berreketa bakar gisa. a) 2−5 ⋅ 23 ⋅ 2−4 b) (−3)−6 : (−3)5 ⋅ (−3)−7
c) (−4)−4 : (−4)5 : (−4)−6 d) 7−2 ⋅ 7−3 : 7−5
a) 2−5+3−4 = 2−6 b) (−3)−6−5−7 = (−3)−18 040 l
c) (−4)−4−5−(−6) = (−4)−3 d) 7−2−3−(−5) = 70 = 1
Egin eragiketak eta adierazi emaitza berreketa bakar baten bidez. −2
3 a) 2
−3
3 b) 10
−1
5 c) 4
−5
3 ⋅ 10
−2
5 : 4
−5
−1 d) 5
−5
4
3 3 ⋅ ⋅ 2 2
0
3 : 10 8
5 ⋅ 4 −4
−1 : 5
7
−1 ⋅ 5
−3
9
3 a) 2
5 c) 4
−8
6
−1 d) 5
3 b) 10 041 l
Egin eragiketak. a) b) c) d)
46 : 24 (−3)4 ⋅ (−34) (−26) : (−2−6) (−23)4 ⋅ (−24)−3 a) b) c) d)
58
e) f) g) h)
212 : 24 = 28 (−3)8 −26 : (−2−6) = 26−(−6) = 212 (−1)4 ⋅ 212 ⋅ (−1)−3 ⋅ 2−12 = −1
2−3 : (−2−3) [(−5)3]2 ⋅ 5−4 [(24 ⋅ 2−8)−1]−4 −(−23) : (−24) e) f) g) h)
2−3 : [(−1) ⋅ 2−3] = −1 (−5)6 ⋅ 5−4 = 56 ⋅ 5−4 = 52 [(2−4)−1]−4 = 2−16 −(−23) : [(−1) ⋅ 24] = −2−1
ERANTZUNAK
042
2
EGIN HONELA NOLA
EBAZTEN DIRA ERAGIKETAK BERREKETEKIN OINARRIAK FAKTORIZATUZ?
Ebatzi eragiketa hau berreketekin, eta sinplifikatu ahal duzun beste. 44−3 ⋅ 225 LEHENA.
Berreketen oinarriak zenbaki lehenetan deskonposatzen dira. 44 = 22 ⋅ 11 22 = 2 ⋅ 11
BIGARRENA.
Deskonposizio hori eragiketari aplikatzen zaio. 44−3 ⋅ 225 = (22 ⋅ 11)−3 ⋅ (2 ⋅ 11)5 = (2−6 ⋅ 11−3) ⋅ (25 ⋅ 115)
HIRUGARRENA.
Eragiketa ebazten da. (2−6 ⋅ 11−3 ) ⋅ (25 ⋅ 115 ) = 2−6+5 ⋅ 11−3+5 = 2−1 ⋅ 112 =
043
Egin eragiketak eta sinplifikatu emaitza.
ll
a) (30−5 : 10−5)3 b) (6−2 ⋅ 3−2)−1
c) (90 : 9−3)2 d) (10−10 ⋅ 10−6)−2
a) (3−5)3 = 3−15 b) (2−2)−1 = 22 c) (93)2 = 96
Kalkulatu eta sinplifikatu emaitza.
ll
−2 −4 : a) 5 8 −4
9 b) 4
e) (123 : 23)−4 f) (20−5 : 10−5)−3
d) (10−16)−2 = 1032 e) (33 ⋅ 26 : 23)−4 = (33 ⋅ 23)−4 = 6−12 f) (2−5)−3 = 215
044
2
121 2
3
−2
3
−3 5 ⋅ c) 2 4
−3
−2
3
−7 5 : d) 2 −2
6 ⋅ 10 2
3
−2 −1 = [(−2)2 ⋅ 5−2 ] : [(−2)−3 ] = (−2)5 ⋅ 5−2 : a) 5 2 b) (3−8 ⋅ 28) ⋅ (2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 23 ⋅ 53) = 28 ⋅ 3−11 ⋅ 53 c) [(−3)3 : 23] ⋅ (5−2 : 2−4) = (−3)3 ⋅ 21 ⋅ 5−2 d) [(−7)3 : 23] : [5−2 : (−2)−2] = (−7)3 ⋅ 2−5 ⋅ 52 045
Egin eragiketak eta sinplifikatu emaitza.
ll
16 a) 25
−2
3
4
125 10 : ⋅ 32 8 −2
24 a) 2 5 −3 26 b) 3 3
−3
64 b) 27
2
−2
9 6 : : 16 18
3
5 3 5 4 59 ⋅ 6 : 2 = 18 2 2 2 2 32 1 −2 : 4 : = 2−12 ⋅ 33 2 3
59
Berreketak eta erroketak 046 ll
Sinplifikatu. 36 ⋅ 28 ⋅ 53 93 ⋅ 252 ⋅ 4 4 3−4 ⋅ 16 ⋅ 9−1 b) 2 8 ⋅ 3−5 ⋅ 2−3 a)
c)
(−5)3 ⋅ (−8)4 ⋅ 9−2 (−3)−4 ⋅ 27 ⋅ 255
d)
32−1 ⋅ 36−2 ⋅ 18−2 8−5 ⋅ 6−3 ⋅ 94
a) 36−6 ⋅ 28−8 ⋅ 53−4 = 5−1 b) 3−4+5−2 ⋅ 24−6+3 = 3−1 ⋅ 21 c) −53−10 ⋅ 212−7 ⋅ 3−4−(−4) = −5−7 ⋅ 25 d)
047 ll
2−5 ⋅ 2−4 ⋅ 3−4 ⋅ 2−2 ⋅ 3−4 = 27 ⋅ 33 2−15 ⋅ 2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 3−8
Egin berreketen eragiketak; lehendabizi, egin kortxeteen barruan ageri diren eragiketak. Egiaztatu alderantziz eginez gero emaitza bera lortzen dela. a) b) c) d)
[24 ⋅ (−5)]−2 [(−3) ⋅ 8]−3 [4 : (−2)3]−4 [(−10)2 : (−5)]−5
e) f) g) h)
1 802 1 b) [−24]−3 = − 3 24 c) [−2−1]−4 = 24 a) [−80]−2 =
d) [−20]−5 = −
[103 : (−2)]−3 [92 : (−3)5]−1 [25−1 ⋅ 103]−2 [36−2 ⋅ 25]−4 e) [−500]−3 = −
1 500 3
f) [−3−1]−1 = −3 1 g) [40]−2 = 402 98 h) [9−2 ⋅ 2]−4 = 4 2
1 205
048
Egin eragiketak eta adierazi emaitza berretzaile osoko berreketa gisa.
ll
3 −4 2 3 2 6 a) ⋅ ⋅ 3 3 2 −1 : 43 : 1 b) 4 4 7 2 1 −2 : c) 2 2 −4
2 4+ 3+6 a) 3
−5
−1
3
−1
5 −1 5 −3 6 5 d) ⋅ ⋅ 5 6 6 2 − 2 − 6 8 25 : 25 ⋅ 2 e) 25 2 2 −2 2 1 f) 92 ⋅ : 2 3
−2
13
3 = 2
b) [44−3−5]−2 = (4−4)−2 = 48
3
27 5 −1−3−5 = 6 d) 5 6 2 −2−(−6)−8 8 25 = 2 e) 2 25 2
c) [2−2−(−2)]7 = 20 = 1
60
f) [34−2 ⋅ 2−1]−2 =
2 22 = 4 9 3
ERANTZUNAK
049
2
EGIN HONELA NOLA
EGITEN DIRA ERAGIKETA KONBINATUAK BERREKETEKIN?
Egin eragiketa hau. −2
5 − 3 2 4 LEHENA.
−1
−3 ⋅ 5
−2
17 − − 2 8
Kako artean dauden eragiketak egiten dira. −2
−1
−2
−2
−1
−2
5 − 3 ⋅ −3 − 17 − 2 = 7 ⋅ −3 − 1 2 8 8 4 5 4 5 BIGARRENA.
Berreketak kalkulatzen dira. −2
−1
−2
2
1
4 −5 7 −3 1 16 ⋅ − 82 = − = ⋅ 7 3 8 4 5 49 HIRUGARRENA.
ll
Eragiketak egiten dira, hierarkia errespetatuz. −5 −80 9.488 − 64 = − 64 = ⋅ 3 147 147
16 49
050
−5 − 64 ⋅ 3
Egin eragiketak. −2
−1
−2
3 5 −7 1 1 + 2 : − a) + ⋅ 5 3 2 2 6 −2
−1
1 3 5 b) − − − 1 3 2 4 −1
−2
1 3 2 −3 : 1 − − c) − 5 10 5 2 −2
−1
14 −7 +2 a) ⋅ 15 2
−2 32 ⋅ 52 ⋅ 2 2 ⋅ 72 7 + : = − 2 2 2 ⋅ 7 ⋅ 7 32 3
=− −2
=
32 ⋅ 5 2 2 ⋅ 72 −34 ⋅ 52 + 22 ⋅ 75 31.589 + = = 3 2 2⋅7 3 2 ⋅ 7 3 ⋅ 32 6.174
−1
1 2 3 19 = b) − − = 8 + 4 3 2 2 −1 1 3 22 : − 2 c) − 10 5 3
50 4 −154 = − − = 3 9 9
61
Berreketak eta erroketak 051 ll
Adierazi zein berdintza diren zuzenak, eta idatzi emaitza zuzena berdintza okerretan. a)
a 3 ⋅ b −4 ⋅ c 4 =1 a −3 ⋅ b 4 ⋅ c −4 −2
c)
3−3 ⋅ 2−4 ⋅ 5−2 1 = 3−4 ⋅ 2−5 ⋅ 5−3 3⋅2⋅5
−2 −2 d) 3
5
1 −1 =1 b) ⋅ 3−3 ⋅ 3 3
−3
2 2 = 3
3
a) Okerra → a 6 ⋅ b−8 ⋅ c 8 ≠ 1 −2
5
1 b) Okerra → ⋅ 3−3 3
−1 = −32−3+5 = −34 ≠ 1 ⋅ 3
c) Okerra → 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ≠
1 3⋅2⋅5
6
6
−2 2 = d) Zuzena → 3 3 052 l
Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan eta idatzi bakoitzaren magnitudeordena. a) b) c) d)
15.000.000.000 0,00000051 31.940.000 0,0000000009
e) f) g) h)
4.598.000.000 0,0967254 329.000.000 111.000
a) 1,5 ⋅ 1010 → Magnitude-ordena: 10 → Magnitude-ordena: −7 b) 5,1 ⋅ 10−7 c) 3,194 ⋅ 107 → Magnitude-ordena: 7 d) 9 ⋅ 10−10 → Magnitude-ordena: −10 e) 4,598 ⋅ 109 → Magnitude-ordena: 9 f) 9,67254 ⋅ 10−2 → Magnitude-ordena: −2 g) 3,29 ⋅ 108 → Magnitude-ordena: 8 h) 1,11 ⋅ 105 → Magnitude-ordena: 5 053 l
Garatu idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek. a) b) c) d)
4,8 ⋅ 108 8,32 ⋅ 10−11 5,659 ⋅ 10−6 7,925 ⋅ 109 a) 480.000.000
62
e) f) g) h)
6,23 ⋅ 10−18 3,5 ⋅ 10−12 2,478 ⋅ 1015 1,9385 ⋅ 10−7 e) 0,00000000000000000623
b) 0,0000000000832
f) 0,0000000000035
c) 0,000005659
g) 2.478.000.000.000.000
d) 7.925.000.000
h) 0,00000019385
ERANTZUNAK
054
Adierazi zein zenbaki dauden idazkera zientifikoan idatzita.
ll
a) b) c) d)
54 ⋅ 1012 0,75 ⋅ 10−11 243.000.000 0,00001
e) f) g) h)
2
7,2 ⋅ 10−2 0,5 ⋅ 1014 0,01 ⋅ 10−30 18,32 ⋅ 104
Bakarrik dago idatzita idazkera zientifikoan e) ataleko zenbakia: 7,2 ⋅ 10−2. 055 l
Egin eragiketak. a) b) c) d) e)
1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 a) 3,89 ⋅ 104
d) 2,303975 ⋅ 102
b) 1,0335 ⋅ 104 c) 3,620000585 ⋅ 10 056 l
e) 5,93830346 ⋅ 104 4
Kalkulatu. a) b) c) d) e)
9,5 ⋅ 104 − 3,72 ⋅ 104 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 a) 5,78 ⋅ 104 b) 8,055 ⋅ 10
d) 4,65261 ⋅ 106 3
e) 4,9977 ⋅ 102
c) 7,887 ⋅ 10−4 057 l
058
Egin eragiketak. a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014
c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103
a) 3,8325 ⋅ 102
c) 1,5456 ⋅ 104
b) 5,0787 ⋅ 1010
d) 2,9688 ⋅ 10−9
Sinplifikatu.
ll
a)
6,147 ⋅ 10−2 ⋅ 4, 6 ⋅ 103 7, 9 ⋅ 108 ⋅ 6, 57 ⋅ 10−5
b)
3, 92 ⋅ 104 ⋅ 5, 86 ⋅ 10−6 7 ⋅ 10−8 ⋅ 9, 2 ⋅ 1013
a) 5,448 ⋅ 10−3 b) 5,567 ⋅ 10−8
63
Berreketak eta erroketak 059 l
060 l
Kalkulatu erroketa hauen zenbakizko balioa, ahal bada. a)
4
b)
5
c)
3
81 32 −27
d)
5
e)
4
f)
3
−100.000 −256 −216
g)
4
625
h)
4
1.296
i)
7
−128
a) ±3
d) −10
g) ±5
b) 2
e) Ezin da
h) ±6
c) −3
f) −6
i) −2
Adierazi zein den erroketa bakoitzaren errotzailea eta errokizuna. Ondoren, adierazi zatikizko berretzailea duten berreketa gisa. a)
6
b)
7
3 −3
c)
9
d)
5
5
33
e) f)
−2
4
25
1
a) Indizea: 6, errokizuna: 3 → 3 6 1
b) Indizea: 7, errokizuna: −3 → (−3) 7 1
c) Indizea: 9, errokizuna: 5 → 5 9 1
d) Indizea: 5, errokizuna: −2 → (−2) 5 1
e) Indizea: 2, errokizuna: 33 → 33 2 1
f) Indizea: 4, errokizuna: 25 → 25 4 061 l
Adierazi erroketak berreketa gisa eta berreketak erroketa gisa. 1
3
a) 3 4
d) 7 5
g)
3
25
e) 10 7
h)
5
32
4
i)
6
75
2
2
b) 5 3 1
c) 2 6
f)
57
5
a)
4
3
d)
5
73
g) 2 3
b)
3
52
e)
7
102
h) 3 5
7
5
c)
6
2
f) 5 4
i) 7 6
2
062 l
Erroketen artean, zein dira baliokideak? 4
23 ,
5
32 ,
3
72 ,
8
26 ,
12
74 ,
10
Hauek dira baliokideak:
64
4
23 =
8
5
32 =
10
26 = 34
12
29 =
20
215
34 ,
12
29 ,
20
215 eta
10
32
ERANTZUNAK
063 ll
064
2
Atera biderkagaiak erroketetatik. a)
3
23 a 5
d)
5
b)
3
a 3b 5c 6
e)
26 a 4b 8
c)
4
24 a 7
f)
22 a 2b 4
a 6b10
3 a) 2a a 2
d) ab 2 5 a
3 b) abc 2 b 2
e) 23a 2b 4
c) 2a 4 a 3
f) 2ab 2
EGIN HONELA NOLA
ATERATZEN DIRA ERROTZAILE BATEN FAKTOREAK ERROKIZUNA FAKTORE LEHENETAN
DESKONPOSATUZ?
Sinplifikatu errotzailea. 3 10.800 LEHENA.
Errokizuna faktorizatzen da. 10.800 = 24 ⋅ 33 ⋅ 52
BIGARRENA.
Errotzailea berretzaile zatikiarreko berreketa gisa adierazten da. 1 3
4
3
2
10.800 = (24 ⋅ 33 ⋅ 52 ) 3 = 2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3
Berretzaileen zatikiren bat ez-jatorra bada, zenbaki oso baten eta zatiki baten batuketa gisa jartzen da.
HIRUGARRENA.
4
3
1 1+ 3
2
2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 = 2
2
⋅ 31 ⋅ 5 3
LAUGARRENA. Berreketen biderkadura gisa adierazten da, eta errotzaile bihurtzen da berriz. 1+ 1 3
2
2
1
2
⋅ 3 ⋅ 5 3 = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 3 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 3 52 = = 6 ⋅ 3 2 ⋅ 52 = 6 3 50
065 ll
Atera biderkagaiak erroketetatik. a) b) c)
8 18 50
d) e) f)
98 12 75
g)
3
1.000
h)
3
40
i)
3
320
a) 2 2
d) 7 2
g) 10
b) 3 2
e) 2 3
h) 2 3 5
c) 5 2
f) 5 3
i) 4 3 5
65
Berreketak eta erroketak 066 ll
067 ll
Sinplifikatu erroketak. a)
3
b)
3
c)
4
16 54 128
32
27
h)
8
625
i)
12
4
d) 3 3
g)
3
b) 3 3 2
e) 2 5 2
h)
5
4 c) 2 22
3 f) 2 22
i)
f)
1 2
4
a)
3
40
d)
b)
4
1.280
e)
c)
5
3.645
f)
4a − 1 2a
b) 5 + a)
2 4a 2 − a 2
b) Ezin da
6
2
g) 2 3 7 1 5
h) 5 3
1 2
i)
3 5
3
2 3
18 25
g)
3
56
4
3 8
h)
3
52
4
1 32
i)
3
18 125
c)
2 a
4ab c
4
c 2b 8a
3a 8
2 d) −a
c)
3
e)
2 f) −2ab
a 3 2a
3 d) − a 7
e)
4
3
ab
32a 3b 5 c2
3 f) − 8a 4b 7
Egin eragiketak. a) −4 5 + 5 5
c) 3 5 − 20
b) 17 2 − 9 8
d) 4 2 + 3 18
a)
66
128
6
Sartu biderkagaiak erroketetan, ahal bada. a) a
l
f)
3
Sartu biderkagaiak erroketetan. 3 2 a) 2 3 5 d) 5 14 6 b) 4 4 20 e) 2
ll
069
e)
5
g)
a) 2 3 2
c) 3 5 15
068
27
d)
5
b) − 2
c)
5
d) 13 2
ERANTZUNAK
070
2
Egin eragiketak.
l
a) 5 12 + 7 27 − 243 −
75
8 18 + 4 98 3
b) 4 8 − 7 50 + c) 12 3 16 −
1 2
33 128 + 7 3 54 5
a) 10 3 + 21 3 − 9 3 −
5 2
3 =
39 2
3
b) 8 2 − 35 2 + 8 2 + 28 2 = 9 2 c) 24 3 2 −
071 l
14 5
3
l
073 l
211 3 2 5
Egin eragiketak eta sinplifikatu. a)
2 ⋅
3
c)
3
2 ⋅
b)
3 ⋅
8
d)
4
3 ⋅
a)
6
c)
12
24 ⋅ 33
e)
6
d)
4
75
f)
20
b) 2 6
072
2 + 213 2 =
4
3
e)
3
3 :
5
f)
5
4 :
4
3
g)
6
5 :
7
h)
4
2 :
1 3
g)
6
1 52
28 75
h)
12
1 2
5 3
2
Kalkulatu. a) 2 ⋅ ( 2 +
3)
d) (5 3 − 8 2 ) ⋅ (−7)
b) 3 ⋅ ( 5 − 7 )
e) (−3 5 − 9 7 ) ⋅ 4
c) −5 ⋅ ( 3 − 2 )
f) (8 5 − 7 2 ) ⋅ 2 3
a) 2 2 + 2 3
d) −35 3 + 56 2
b) 3 5 − 3 7
e) −12 5 − 36 7
c) −5 3 + 5 2
f) 16 15 − 14 6
Egin eragiketak eta sinplifikatu. a)
(
3 +
2) ⋅( 3 − 2)
b) (5 2 − 3) ⋅ (5 2 + 3)
c) (6 7 +
5 ) ⋅ (6 7 − 5 )
d) (2 5 − 10 ) ⋅ (2 5 + 10 )
a) 3 − 2 = 1
c) 36 ⋅ 7 − 5 = 247
b) 50 − 9 = 41
d) 4 ⋅ 5 − 10 = 10
67
Berreketak eta erroketak 074
Kalkulatu eta sinplifikatu.
ll
a) (2 5 − 3 2 ) + (2 5 + 3 2 )
2
2
2
2
b) (3 2 + 1) − (3 2 − 1) 2
c) ( 4 6 − 2 ) − ( 4 6 +
2
2)
a) (4 ⋅ 5 + 9 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ) + (4 ⋅ 5 + 9 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ) = 146 b) (9 ⋅ 2 + 1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ) − (9 ⋅ 2 + 1 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ) = 12 2 c) (16 ⋅ 6 + 4 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 2 ) − (16 ⋅ 6 + 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 2 ) = −32 3 075
Egin eragiketak eta sinplifikatu.
ll
a) (3 2 − 5) ⋅ ( 4 2 − 3) b) (2 7 + 3 2 ) ⋅ (5 − 2 2 ) c) (7 5 + 4) ⋅ (5 5 − 3 6 ) d) (7 2 − 3) ⋅ (5 3 + 2) a) 3 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 39 − 29 2 b) 2 ⋅ 5 ⋅ 7 − 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = = 10 7 − 4 14 + 15 2 − 12 c) 7 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 6 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = = 175 − 21 30 + 20 5 − 12 6 d) 7 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅
3 +7⋅2⋅ 2 −3⋅5⋅
3 −3⋅2 = = 35 6 + 14 2 − 15 3 − 6
076 ll
Kalkulatu. a)
4
a3 ⋅
3
b)
3
3a 2b ⋅
2ab 3
c)
5
2a 3b 4 :
3
d)
3
ab ⋅ 3
a) a 4
68
a5 ⋅
+
6
a4
4ab 2
a3 b 5 3
+
4 6
37
= a 12 =
12
a 37
b)
6
32 a 4b 2 ⋅ 6 23 a 3b 9 =
c)
15
23 a 9b 12 : 15 210 a −5b 10 =
15
d)
6
ab ⋅ 6 a 3b =
a 2b
6
6
72a 7b 11 = ab 6 72ab 5
a 4b 2 =
3
2−7 a 4b 2
ERANTZUNAK
077
Egin eta sinplifikatu.
ll
a) (5 2 +
2 ⋅ (3 2 − 3 )
3) ⋅ 2
3 ) ⋅ (2 − 3 )
b) (2 +
3 ) − (2 +
c) (3 +
5 ) ⋅ (3 − 5 ) + (2 − 4 5 ) ⋅ (2 + 4 5 )
d)
(
2
5 −4 7)⋅( 3 − 5 + 4 7)
3 +
6 ) ⋅ (3 2 − 3 ) = 30 2 − 10 3 + 3 12 − 18 =
a) (10 +
= 27 2 − 4 3 b) (4 + 4 3 + 3) − (4 − 3) = 4 3 − 6 c) (9 − 5) + (4 − 80) = −72 d) 3 − 5 + 16 ⋅ 7 − 3 5 +
3 5 + 4 21 − 4 21 − 4 35 − 4 35 = = 110 − 8 35
078 ll
Egin eragiketak eta adierazi berreketa gisa. 6
a) ( 3 5 ⋅ b)
5
3 ⋅ a)
5) 5
3
c)
22 ⋅
32 3
( 6 52
d)
⋅ 6 53
6
)
2 3
8 5 81
= 55 7
b)
10
c)
6
32 ⋅ 10 35 = 3 10 11
22 ⋅ 8 2 =
24
28+ 3 = 2 24
4 15 d) 2 34 = 2 ⋅ 3 15
079
Idatzi erroketak zatikizko berretzailea duten berreketa gisa.
ll
−1
3
a) a 4
d) a
−1
7
b)
3
c)
4
a 4 a3 = 1
a2 = a4 a
12
a 7 = a 12
3
e) a
2
−1
g) a
4 5
h) a 4
3
3
f) a 2
i) a 4
69
Berreketak eta erroketak 080
Adierazi erroketa bakar baten bidez.
ll
a)
5
3 5
c)
3
d)
b)
081 ll
a)
10
32 ⋅ 5 =
b)
8
3
10
2 3
e)
2 1
2
1
f)
2
45
3 4
5 c) d)
23 22
6
4
= 12 2
1 2
e)
12
f)
4
2 1 5
Arrazoitu zuzenak ala okerrak diren berdintza hauek. a)
n
a ⋅mb =
n ⋅m
b)
n
a ⋅mb =
n +m
c)
n
a+b =
n d) a b m =
a)
n
n
n
ab a ⋅b n
a +
b
a2 + b2 = a + b
f)
a ⋅
g)
( a ⋅ b )m
4
a ⋅
a ⋅
a m ⋅ m·n b n =
n ·m
b = a a ⋅b
a 8b 2 = a b
h) a b + c =
n ·m
a ⋅mb =
e)
ab + ac
a m ⋅ b n Þ n ·m ab → Okerra.
n +m ab → Okerra. b) n a ⋅ m b = n ·m a m ⋅ m·n b n = n ·m a m ⋅ b n Þ c) Okerra, n = 1 denean izan ezik. Eta hori frogatzeko, a, b eta n-ren edozein balio erabiltzen da.
d) a n b m = n a nb m Þ n a mb m → Okerra, n = m denean izan ezik. e) Okerra, gaiak karratura jasotzen baditugu:
(
2
)
= a 2 + b 2 Þ a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2
a ⋅ a ⋅ a ⋅ b =
f) g)
a2 + b 2
4
a 8b 2 =
a 4b = a 2 b Þ a b → Okerra. a 2b + a 2c Þ
h) a b + c =
082
ab + ac → Okerra, a = 1 denean izan ezik.
Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.
l
a)
1
b)
6 a)
6 6 ⋅ 6
b)
−5 5 2 5 ⋅ 5
70
a 2 ⋅ a ⋅ b = a ab → Zuzena.
=
=
−5 2 5
c)
4 5
d)
2
3
6 6
c)
−5 5 − 5 = 2⋅5 2
d)
4 5 33 5
32 ⋅
5
33
−3 4 73 4
7 ⋅ 4 73
−6 24 7 =
=
4 5 33 3 −3 4 73 7
ERANTZUNAK
083
Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.
ll
a)
b)
1− 2
5 3 −4 3
d)
5 3
6 6 −6 6
(1 − 2 ) ⋅ 2 2 ⋅ 2
c)
4
d)
32
b)
7+
c)
2
a)
3
(7 + 4
3
3
5)⋅
4
32 ⋅
3 ⋅
4
33
33
(6 6 − 6) ⋅ 6
2 −2 2
=
(5 3 − 4) ⋅ 3 3
6 ⋅ 6 084
2
=
5 6 35 − 4 3 3 3
=
7 4 33 + 4 5 2 ⋅ 33 3
=
36 − 6 6 = 6− 6 6
Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.
ll
a)
b)
1
7
d)
2 +1
11 − 3
−5
−5
e)
6 +
3 −2 c)
4 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 −1
(
8
f)
3 2 − 5
2 + 1) ⋅ ( 2 − 1) −5 ⋅ ( 3 + 2)
( 3 − 2) ⋅ ( 3 + 2)
7
5( 10 − 6 )
=
2 −1
=
−5 3 − 10 = 5 3 + 10 −1
4 2 ⋅ (3 2 + 5 ) 24 + 4 10 = (3 2 − 5 ) ⋅ (3 2 + 5 ) 13 7 ⋅ ( 11 + 3)
( 11 − 3) ⋅ ( 11 + 3)
=
−5 ⋅ ( 6 − 7 )
(
6 +
7)⋅(
6 − 7)
8 ⋅ ( 10 +
7 11 + 21 2 =
−5 6 + 5 7 = 5 6 −5 7 −1
6)
5 ⋅ ( 10 − 6 ) ⋅ ( 10 +
6)
=
8 10 + 8 6 2 10 + 2 6 = 20 5
71
Berreketak eta erroketak 085
Arrazionalizatu.
ll
1
a)
3+6 b)
4 3 +
7
12 c)
5 6 − 2 18
d)
3 6 +2 2 2+3 3 a)
b)
c)
d)
086
1
1 3
=
9
(4
3 + 2 3 ⋅
3
3
(5 6 − 2 ) ⋅ 2 3 2 ⋅ 2
=
12 + 21 6
=
10 3 − 2 5 3 −1 = 6 3
(3 6 + 2 2 ) ⋅ (2 − 3 3 ) (2 + 3 3 ) ⋅ (2 − 3 3 )
=
6 6 − 27 2 + 4 2 − 6 6 = −23
=
−23 2 = −23
2
EGIN HONELA NOLA
EBAZTEN DIRA IZENDATZAILEAN ERROTZAILEA DUTEN ZATIKIEN ERAGIKETAK?
Ebatzi:
10
−
3 LEHENA.
6 2
Zatikiak arrazionalizatzen dira. 10 3 6 2
BIGARRENA.
= =
10 ⋅
3
3 ⋅
3
6 ⋅ 2 2 ⋅ 2
=
30 3
=
12 = 2
4⋅3 2 3 = = 2 2
Eragiketa ebazten da. 10 3
72
7)⋅
−
6 2
=
30 − 3 = 3
30 − 3 3 3
3
ERANTZUNAK
087
Arrazionalizatu eta egin eragiketak.
ll
a)
1
1
+
2
3
b)
5
5
−
3
9
c)
2
−
7
6
d)
8
1
2 12
5 2 2 3 −5 2 = 2 2
b)
3 3 5 2 − = 3 2
c)
9 7 6 8 9 7 3 2 18 7 − 21 2 − = − = 7 8 7 2 14
3 −
10 2 3 3 10 + 10 3 + = 10 2⋅3 30
d)
Arrazionalizatu eta egin eragiketak.
ll
a)
3
2
−
3 − 2 a)
3 +
2
3⋅( 3 +
2)
5 5
b)
( 3 − 2)⋅( 3 + 2)
−
9
+
8 − 6
5− 3
2⋅( 3 − 2)
(
2)⋅( 3 − 2)
3 +
=
= 3 3 +3 2 −2 3 +2 2 = b)
5 5 ⋅( 8 +
6)
( 8 − 6)⋅( 8 + 6) =
089
+
10
2 5 5 2 +2 5 + = 2 5 10
a)
088
2
+
9 ⋅ (5 +
3)
( 5 − 3 ) ⋅ (5 + 3 )
3 +5 2
=
10 10 + 5 30 45 + 9 3 110 10 + 55 30 + 45 + 9 3 + = 2 22 22
Arrazionalizatu eta egin eragiketak.
ll
a)
b)
32 3 50 − + 5 2
5
− 27 +
c)
18
48 + 5 75
2 75 − 3
3 8 + 18 − 2 72 4 8 + a) b)
2
4 2 15 2 5 2 24 2 − 225 2 + 25 2 −38 2 − + = = 5 2 3⋅2 30 15 6 2 + 3 2 − 12 2 8 2 +
c)
2
=
−3 3 + 4 3 + 25 3 10 3 − 3
−3 2 9 2 =
=
26 3 9 3
−1 3 =
26 9
73
Berreketak eta erroketak 090
EGIN HONELA n NOLA ARRAZIONALIZATZEN DIRA a (b +
Arrazionalizatu: LEHENA.
2
a n −1 -z biderkatzen da.
n
3
2 (2 − 3 )
BIGARRENA.
=
2 ⋅ 3 22 3
3
2
2 (2 − 3 ) ⋅ 2 3
2
2 ⋅ 3 22
3
2 (2 − 3 )
=
22
2− 3
=
22 ⋅ (2 +
3)
3
(2 − 3 ) ⋅ (2 + 3 )
=
22 ⋅ (2 + 3 ) = 22 − 3
3
22 ⋅ (2 +
3)
Arrazionalizatu adierazpen hauek.
ll
a)
4 3
3 ⋅( 2 + a)
3) 4⋅
3
3 ⋅
3
b)
3
32 ⋅ ( 2 +
= b)
3)
5 ⋅ 4 5 3 ⋅ (3 +
5 ⋅ (3 + =
4⋅
3
4⋅
3) 3
32
3⋅( 2 +
3)
=
32 ⋅ ( 2 − 3 )
3⋅( 2 +
3)⋅( 2 − 3)
=
4 6 34 ⋅ 23 − 4 6 37 = −3
−4 6 34 ⋅ 23 + 12 6 3 3
4 4 53 4
4 4
32
=
3)
=
=
74
=
Ateratzen den izendatzailearen konjokatuz biderkatzen da.
2
2− 3 091
MOTAKO IZENDATZAILEAK DITUZTEN ZATIKIAK?
2 (2 − 3 )
3
2
3
c)
4 4 53 5 ⋅ (3 +
3)
=
4 4 5 3 ⋅ (3 − 3 ) 5 ⋅ (3 +
3 ) ⋅ (3 − 3 )
=
12 4 5 3 − 4 4 5 3 ⋅ 32 6 4 5 3 − 2 4 5 3 ⋅ 32 = 30 15
092
Adierazi idazkera zientifikoan.
ll
a) Lurraren eta Ilargiaren arteko distantzia: 384.000 km. b) Lurraren eta Neptunoren arteko distantzia: 4.308.000.000 km. c) Elektroi baten diametroa: 0,0000000003 m. d) Lurraren azalera: 150.000.000 km2. e) Birus baten luzera (gripearena): 0,0000000022 m. f) Protoiaren erradioa: 0,00000000005 m. g) Estafilokoko baten pisua: 0,0000001 g. h) Argi-urte bat: 9.460.000.000.000 km. i) Ikus daitekeen unibertsoaren distantzia: 25.000 milioi argi-urte.
ERANTZUNAK
a) 3,84 ⋅ 105 km b) 4,308 ⋅ 109 km c) 3 ⋅ 10−10 m 093 ll
d) 1,5 ⋅ 108 km2 e) 2,2 ⋅ 10−9 m f) 5 ⋅ 10−11 m
2
g) 1 ⋅ 10−7 g h) 9,4 ⋅ 1012 km i) 2,5 ⋅ 1010 argi-urte
Informazio kantitatea neurtzeko erabiltzen ditugun neurri-unitateak hauek dira: Byte = 23 bit Kilobyte = 210 byte Megabyte = 210 Kilobyte Gigabyte = 210 Megabyte Adierazi berreketa gisa eta idazkera zientifikoan informazio kopuru hauek, bitetan eta byte-tan. a) 120 Gb-eko disko gogorra c) 1,44 Mb-eko diskete bat. b) 512 Mb-eko memoria-txartela. d) 650 Mb-eko CD-ROMa. a) 120 Gb = 120 ⋅ 230 byte = 1,2884901888 ⋅ 1010 byte = = 1,03079215104 ⋅ 1011 bit b) 512 Mb = 512 ⋅ 220 byte = 5,36870912 ⋅ 108 byte = = 4,294967296 ⋅ 109 bit 20 c) 1,44 Mb = 1,44 ⋅ 2 byte = 1,509949 ⋅ 106 byte = = 1,2079595 ⋅ 107 bit 20 d) 650 Mb = 650 ⋅ 2 byte = 6,815744 byte ⋅ 108 = = 5,4525952 ⋅ 109 bit
094 ll
Plutonen masa Eguzkiarena bide 6,6 ⋅ 10−9 da. Eta Eguzkiaren masa Lurrarena bider 3,3 ⋅ 106 da. Lurraren masa 6 ⋅ 1024 kg bada, kalkulatu Plutonen eta Eguzkiaren masa. Eguzkiaren masa: 6 ⋅ 1024 ⋅ 3,3 ⋅ 106 = 1,98 ⋅ 1031 kg Plutonen masa: 1,98 ⋅ 1031 ⋅ 6,6 ⋅ 10−9 = 1,3068 ⋅ 1023 kg
095 ll
Bakterio jakin batzuen populazioa bikoiztu egiten da ordubetean. Hasieran 8 ⋅ 1012 bakterio badaude: a) Zenbat bakterio egongo da 3 ordura? b) Eta 6 ordura? c) Zenbat ordu igaro beharko dira 1,024 ⋅ 1015 bakterio egoteko? a) 8 ⋅ 1012 ⋅ 23 = 6,4 ⋅ 1013 bakterio b) 8 ⋅ 1012 ⋅ 26 = 5,12 ⋅ 1014 bakterio c) 1,024 ⋅ 1015 : 8 ⋅ 1012 = 128, beraz, 2n = 128 → n = 7. 7 ordu igaro beharko dira.
75
Berreketak eta erroketak 096 ll
Zer luzera du kubo baten ertzak, bolumena 6 m3-koa bada? Adierazi emaitza erroketa gisa. Ertza3 = 6 m3 → Ertza =
097 ll
3
6 m
Zer azalera du 9 cm3-ko bolumena duen kubo baten aurpegi batek? Adierazi emaitza erroketa gisa eta berreketa gisa. Ertza3 = 9 m3 → Ertza =
3
9 m 4
Aurpegiaren azalera = 098 ll
3
9 ⋅
3
9 =
3
92 =
3
81 m2 = 3 3 m2
Kubo baten bolumena 20-cm3koa bada, kalkulatu ertzen arteko batura. Ertza3 = 20 cm3 → Ertza =
3
20 cm
3
Ertzen batura = 12 ⋅ 20 cm 099 ll
Aurreko ariketako datuak kontuan hartuta, kalkulatu kuboaren alboko aurpegien azalera. Ertza3 = 20 cm3 → Ertza = Aurpegiaren azalera =
3
3
20 cm
2
20 cm2
Alboko aurpegia = 6 3 202 = 12 3 50 cm2 100 ll
Orokortu aurreko ariketetako emaitzak, eta adierazi kubo baten ertzaren balioa eta alboko aurpegien azalera bolumenaren mende. Ertza3 = Bolumena → Ertza = Aurpegiaren azalera =
3
3
Bolumena
Bolumena2
Aldeen azalera = 6 3 Bolumena2 101 ll
Adierazi idazkera zientifikoan. b) 5−10 a) 2−30
c) 3−20
d) 7−15
a) 2−30 = 0,000000000931322574615478515625 = = 9,31322574615478515625 ⋅ 10−10 −10 b) 5 = 0,0000001024 = 1,024 ⋅ 10−7 c) 3−20 = 2,8679719907924413133222572312408 ⋅ 10−10 d) 7−15 = 2,1063444842276644111559866596517 ⋅ 10−13 102
Hausnartu eta erantzun.
ll
a) Zein kasutan gertatzen da
a < a?
b) Eta zein kasutan gertatzen da
76
a > a?
a)
a < a, 0 < a < 1 denean.
b)
a > a, a > 1 denean.
