INTRODUCCIÓN Física, Física, ciencia que se ocupa de los componentes componentes fundamental fundamentales es del Universo, de las fuerzas que éstos ejercen entre sí y de los efectos de dichas fuerzas. En ocas ocasio ione ness la físi física ca mo mode dern rnaa inco incorp rpor oraa elem elemen ento toss de los los tres tres aspe aspect ctos os mencionados, como ocurre con las leyes de simetría y conservación de la energía, el momento, la carga o la paridad. La física está estrechamente relacionada con las demás ciencias naturales, y en cierto modo las engloba a todas. La química, por ejemplo, se ocupa de la interacción de los átomos para formar moléculas; gran parte de la geología moderna es en esencia un estudio de la física de la Tierra y se conoce como geofísica; la astronomía trata de la física de las estrellas y del espacio exterior. Incluso los sistemas vivos están constituidos por partículas fundamentales que siguen el mismo tipo de leyes que las partículas más sencillas estudiadas tradicionalmente por los físicos. El hincapié que la física moderna hace en la interacción entre partículas (el ll llam amad adoo plan plante team amie ient ntoo mi micr cros oscó cópi pico co)) nece necessita mucha uchass vece vecess com como complemento un enfoque macroscópico que se ocupe de elementos o sistemas de partículas más extensos. Este planteamiento macroscópico es indispensable en la aplicación de la física a numerosas tecnologías modernas. Por ejemplo, la termodinámica, una rama de la física desarrollada durante el siglo XIX, se ocup ocupaa de dete determ rmin inar ar y cuan cuanti tifi fica carr las las prop propie ieda dade dess de un sist sistem emaa en su conjunto, y resulta útil en otros campos de la física; también constituye la base de las ingenierías química y mecánica. Propiedades como la temperatura, la presión o el volumen de un gas carecen de sentido para un átomo o molécula individual: estos conceptos termodinámicos sólo pueden aplicarse directamente a un sistema muy grande de estas partículas. No obstante, hay un nexo entre los enfoques microscópico y macroscópico: otra rama de la física, conocida como mecánica estadística, explica la forma de relacionar desde un punto de vista
estadístico la presión y la temperatura con el movimiento de los átomos y las moléculas (véase Estadística). Hasta principios del siglo XIX, era frecuente que los físicos fueran al mismo tiem tiempo po mate matemá máti tico cos, s, filó filóso sofo fos, s, qu quím ímic icos os,, biól biólog ogos os o inge ingeni nier eros os.. En la actu actual alid idad ad el ámbi ámbito to de la físi física ca ha crec crecid idoo tant tantoo qu que, e, con con mu muyy po poca cass excepciones, los físicos modernos tienen que limitar su atención a una o dos ramas de su ciencia. Una vez que se descubren y comprenden los aspectos fund fundam amen enta tale less de un nu nuev evoo camp campo, o, éste éste pasa pasa a ser ser de inte interé réss para para los los ingenieros y otros científicos. Por ejemplo, los descubrimientos del siglo XIX en electricidad y magnetismo forman hoy parte del terreno de los ingenieros electrónicos y de comunicaciones; las propiedades de la materia descubiertas a comienzos del siglo XX han encontrado aplicación en la electrónica; los descubrimientos de la física nuclear, muchos de ellos posteriores a 1950, son la base de los trabajos de los ingenieros nucleares. COMIENZOS DE LA FÍSICA Principales campos de la Física La física cubre una amplia gama de campos. Esta tabla proporciona una breve descripción de los temas tratados en los diferentes ámbitos.© Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Ampliar Aunque las ideas sobre el mundo físico se remontan a la antigüedad, la física no surgió como un campo de estudio bien definido hasta principios del siglo XIX.
Antigüedad Arquímedes Al matemático e inventor griego Arquímedes se le atribuyen importantes contribuciones a la física. Se le conoce por aplicar la ciencia a la vida diaria y desarrollar inventos prácticos de múltiples usos, como la palanca
estadístico la presión y la temperatura con el movimiento de los átomos y las moléculas (véase Estadística). Hasta principios del siglo XIX, era frecuente que los físicos fueran al mismo tiem tiempo po mate matemá máti tico cos, s, filó filóso sofo fos, s, qu quím ímic icos os,, biól biólog ogos os o inge ingeni nier eros os.. En la actu actual alid idad ad el ámbi ámbito to de la físi física ca ha crec crecid idoo tant tantoo qu que, e, con con mu muyy po poca cass excepciones, los físicos modernos tienen que limitar su atención a una o dos ramas de su ciencia. Una vez que se descubren y comprenden los aspectos fund fundam amen enta tale less de un nu nuev evoo camp campo, o, éste éste pasa pasa a ser ser de inte interé réss para para los los ingenieros y otros científicos. Por ejemplo, los descubrimientos del siglo XIX en electricidad y magnetismo forman hoy parte del terreno de los ingenieros electrónicos y de comunicaciones; las propiedades de la materia descubiertas a comienzos del siglo XX han encontrado aplicación en la electrónica; los descubrimientos de la física nuclear, muchos de ellos posteriores a 1950, son la base de los trabajos de los ingenieros nucleares. COMIENZOS DE LA FÍSICA Principales campos de la Física La física cubre una amplia gama de campos. Esta tabla proporciona una breve descripción de los temas tratados en los diferentes ámbitos.© Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Ampliar Aunque las ideas sobre el mundo físico se remontan a la antigüedad, la física no surgió como un campo de estudio bien definido hasta principios del siglo XIX.
Antigüedad Arquímedes Al matemático e inventor griego Arquímedes se le atribuyen importantes contribuciones a la física. Se le conoce por aplicar la ciencia a la vida diaria y desarrollar inventos prácticos de múltiples usos, como la palanca
o el tornillo. Según una leyenda muy conocida, Arquímedes descubrió una importante aplicación del empuje del agua mientras tomaba un baño, y gritó "¡Eureka!" ("lo encontré") al darse cuenta de que podía emplearlo para medir la densidad de un objeto de forma irregular.Culver Pictures Los Los chi chino noss, los los babi babillon onio ioss, los egip egipci cios os y los mayas ayas ob obsserva ervaro ronn los los movi mo vimi mien ento toss de los los plan planet etas as y logr lograr aron on pred predec ecir ir los los ecli eclips pses es,, pero pero no consiguieron encontrar un sistema subyacente que explicara el movimiento planetario. Las especulaciones de los filósofos griegos introdujeron dos ideas fundam fundament entale aless sobre sobre los compone componente ntess del Univer Universo, so, opuest opuestas as entre entre sí: el atomismo, propuesto por Leucipo en el siglo IV a.C., y la teoría de los elementos, formulada en el siglo anterior. Véase Filosofía occidental. En Alejandría, el centro científico de la civilización occidental durante el periodo helenístico, hubo notables avances. Allí, el matemático e inventor griego Arquímedes diseñó con palancas y tornillos varios aparatos mecánicos prácticos y midió la densidad de objetos sólidos sumergiéndolos en un líquido. Otros científicos griegos importantes de aquella época fueron el astrónomo Aristarco de Samos, que halló la relación entre las distancias de la Tierra al Sol y de la Tierra a la Luna, el matemático, astrónomo y geógrafo Eratóstenes, que midió la circunferencia de la Tierra y elaboró un catálogo de estrellas, y el astrónomo Hiparco de Nicea, que descubrió la precesión de los equinoccios (véase Eclíptica). En el siglo II d.C. el astrónomo, matemático y geógrafo Tolomeo propuso el sistema que lleva su nombre para explicar el movimiento planetario. En el sistema de Tolomeo, la Tierra está en el centro y el Sol, la Luna y las estrellas giran en torno a ella en órbitas circulares Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
CUERPOS EN CAÍDA LIBRE Se sabe bien que todos los objetos, al soltarse, caen hacia la Tierra con una aceración casi constante. Existe una leyenda acerca de que Galileo Galilei descubrió por primera vez este hecho al observar que dos pesos diferentes, al dejar-caer simultáneamente desde lo alto de la Torre inclinada de Pisa, chocaba otra el piso casi al mismo tiempo. Deje caer simultáneamente desde la misma altura una moneda y un trozo de papel hecho una bola pequeña. Si los efectos de rozamiento del aire son despreciables, los experimentarán el mismo movimiento y chocarán contra el piso al mismo tiempo. (En un experimento real, la resistencia del aire no se puede despreciar.) En el caso ideal, donde la resistencia del aire se desprecia, el movimiento de este tipo se conoce como caída libre. La aceleración debida a la gravedad se denotará por medio del símbolo g. El vector g está dirigido hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. En la superficie de la Tierra, la magnitud de g es aproximadamente de 9.80 m/s 2, 980 cm/s 2 Cuando se emplea la expresión objeto en caída libre, no necesariamente se refiere a un objeto que se dejó caer desde el reposo. Un Objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Todos aquellos objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo y los que se dejan caer a partir del reposo, caen libremente una vez que se dejan en libertad. Además es importante reconocer que cualquier objeto en caída libre experimento una aceleración dirigida hacia abajo. Esto es cierto sin importar el movimiento inicial del objeto. Un objeto lanzado hacia arriba o hacia abajo experimentara la misma aceleración que uno liberado desde el reposo, Una vez que se encuentran en caída libre, todos los objetos tendrán una aceleración hacia abajo igual a la aceleración debida a la gravedad Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración gravitacional no varía con la altitud, entonces el movimiento de un cuerpo en caída libre es equivalente al movimiento unidimensional bajo una aceleración constante. Por lo tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante. Se tomará la dirección vertical como el eje y, y se considerará a
y positiva la que va dirigida hacia arriba.
V = Vo – gt y-y0 = ½(v + v0)t y-y0 = v0t —½gt2 v2 =vo2 — 2g(y-yo )
(para a Constante a = -g)
EJERCICIO 1. Desde una altura de 500m se deja caer libremente un cuerpo. Determinar a)
Cuánto tardará en recorrer los 100m finales.
b)
Con qué velocidad Comenzó estos 100m
c)
Con qué velocidad salió de estos 100m
DATOS:
0m
Vo = 0
100m
∆
a)
r = 500m
Vo = 0 b) υ 1
200
=
υ 1 →
υ
300m
2∆r 2
g
2
t 2 =
− 1000m 2
− 9.8 m s
+ gt1
1 υ 1 υ 2
t2=10.1s
)9.03s
= -88.49m/s = (-88.49j)m/s
c) υ 1
400m
υ o
2
2 ∆r 2 = υ ot + 1 gt 2 2
2
=
υ 1 = (-9.8m/s
0
t 2
0
0 =
υ o
+ gt2
υ 2 = (-9.8m/s
)10.1s
2
υ 2 →
υ
= -98.98m/s = (-98.98j)m/s
2
∆
2
t =
r =υ 1 = + ½ gt2 2 ∆r
− 800 m
=
− 9.8m / s
g
∆
t =t -t
∆
t = 10.1 s- 9.03s
∆
t = 1.07s
2
2
⇒ t 1 = 9.03 s
1
El creador de la dinámica: construyó el primer termómetro: inventó un telescopio y lo usó para la observación astronómica por primera vez en el
mundo: descubrió los satélites de Júpiter y las manchas del Sol; dio las bases del método científico Por defender la teoría de Copérnico, según la cual la Tierra no es el centro del Universo, fue sometido a proceso por la inquisición y tuvo que abjurar en sus opiniones. 2.Un cuerpo es lanzado con una velocidad de (20j) m/s. Determinar. d)
la velocidad que lleva a los 1,5 s y 3s.
e)
La altura que tendrá en los tiempos anteriores
f)
La máxima altura alcanzada
g)
El tiempo del vuelo
h)
La velocidad con que regresa al suelo.
DATOS: = (20j) m/s
υ o υ
= 1,5 s
t2 = 3 s
a)
υ o
+ gu
υ 1
= (20j) m/s2 (1,5) s
υ 1
= (20j) m/s + (14,7j) m/s+ gt1
υ 1
(5,3j) m/s
El signo positivo indica que el cuerpo está subiendo υ 2
= υ o + g12 = (20j) m/s (1,5 s) + ½ (9,8j)
υ 2
m/s2 (3s2) υ 2
= (20j) m/s - (29.4) m/s
υ 2=
(+9.4j) m/s
El signo negativo indica que el cuerpo está bajando. c) υ 2
=
υ o
2
+ 2g ∆ tmax
∆t max =
− υ o
2
2 g
2
=
− 400m / s
2
− 19 − 6m / s
2
= 20.4 m
∆
tmax = (20.4j)m
∆
n = υ o t1 + ½ gn2
∆
n = (20j= m/s (1,5 s) + ½ (-9.8j) m/s (9s 2)
∆
n = (30j) m - (11.02 j)m
∆
n = (18,98 j) m
∆
n = υ ot2 + ½ gu2
∆
n = (20j= m/s (1,5 s) + ½ (-9.8j) m/s (9s 2)
∆
n = (60j) m
∆
n = (15,9 j) m
- (44,1 j)m
PROBLEMAS (Tómese para g el valor 9.8 nt/si) Una bomba lanzada desde un aviar. tarda 10 segundos en dar en el
1.
banco. ¿A que altura volaba el avión R490 m 2. Desde lo alto de una. torre de 150 metros de altura se deja caer una piedra de →
10 qg . ¿Cuanto tardará en llegar al suelo? ¿Cuánto tardaría si pasará 20
→
qg
?
R: 5.5 segundos
3. ¿Qué velocidad alcanza un cuerpo a cabo de 3 segundos de calda en el vacío? R 25.4m/s 4.
¿Cuántos segundos después de iniciada su caída la velocidad de un cuerpo es de 100km/h?
R: 2,85s 5. ¿Con qué velocidad inicial se debe lanzar uhacia arriba una piedra, para que alcance una altura de 4.9m? R: 9.3m/s 6. ¿Con qué velocidad llega al suelo un cuerpo arrojado desde una altura de 5m? ¿cuánto tarda en caer? m
R: 9.9 n 1.01 s 7. ¿Con qué velocidad inicial deberá usted lanzar una moneda para que roce el techo de su habitación? 8. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 98m/s. ¿Qué altura y qué velocidad alcanza al cabo de 9 segundos? R: 485m 9.-8m/s 9.
¿Qué altura máxima alcanza el cuerpo del problema anterior? R: 490m
10. Un observador situado a 40m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba y 5
segundos después lo ve pasar hacia abajo. ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo, y hasta qué altura llegó? R: 490 m 14.3 segundos 11.
Los puntos A y B están sobre la misma vertical, pero A 512 m más arriba. Desde A se deja caer un bola y 4.3 segundos más tarde se deja caer otra desde B. y ambas llegan al suelo simultáneamente. ¿A qué altura está B y cuánto duró la caída de A? R: 2 segundos: a 20.4m del origen de B
12.
Dos cuerpos A y B, situados sobre una. Misma vertical y separados por una distancia de 100 m son arrojados uno contra el otro con velocidades
de 30 y 20 m/s, respectivamente. ¿Cuánto y dónde se chocan? R: 2 segundos a: 20.4m del origen de B 13. Un cuerpo cae libremente desde cierta altura Es: el punto A de- su trayectoria tiene una velocidad de 30 m/s; en l B 79 m/s. ¿Cuánto tardó en recorrer la distancia AB, y cuál es ésta? R: 5 segundos 272,5 m 14. Dos cuerpos están situados en una misma vertical. El de arriba se deja caer en el mismo instante en que el de abajo es lanzado hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. ¿Desde qué altura deberá dejarse caer el de arriba para que ambos se encuentren justamente dónde el de abajo alcanza su altura máxima? R: 653m 15.
Desde un puente que cruza un río, se lana verticalmente una piedra con un avelocidad de 15 m/s. Demra 4 segundos en llegar al río. Calcular:
a) La altura del puente. b) La velocidad de la piedra al momento de tocar el agua. e) La velocidad y posición de la piedra luego de 2 segundos de haber sido lanzada 16.
Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad de 150 m/s. Calcular
a) La altura máxima a la que puede llegar el proyectil. b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. 17. Se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 200 m/s. Calcular a) La velocidad que tendrá luego de 20 y 40 segundos de haber sido lanzado
b) La posición del proyectil en esos instantes de tiempo 17. En qué instantes pasará un proyectil por un punto situado a metros de
altura, si la velocidad con la que fue lanzado es de 225 m de altura 18. Luego de 8 segundos de haber sido lanzada verticalmente hacia una bala,
regresa al lugar de lanzamiento. Calcular la cantidad con la que se lanzó la bala y la altura máxima que alcanzaó. 19. Desde un globo que está ascendiendo verticalmente a una velocidad de 8
m/s, se deja caer un cuerpo que tarda 25 segundos al llegar a la tierra. Calcular: a)
La altura ala que se encuentra el globo al momento de caer el cuerpo.
b)
El tiempo que tarda el cuerpo en volver a pasar por el lugar desde el que se dejó caer.
20.
Un helicóptero está ascendiendo verticalmente con una velocidad uniforme de 10 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 12m se deja caer un objeto. Calcular.
a) La altura máxima que alcanzará el objeto b) La posición y velocidad del objeto luego de 6 segundos de haberse dejado caer. c) El tiempo que tardará en llegar al suelo desde que fue abandonado en el aire. Qué distancia recorre un cuerpo que cae libremente durante el duodécimo después de empezar a caer? ¿Cuál es su velocidad media durante ese intervalo?
38 Una partícula A cae libremente desde una altura de 19,6 metros. Un segundo más tarde se lanza verticalmente hacia abajo otra partícula B desde la misma altura y ambas partículas tocan el suelo en el mismo instante. Calcular la velocidad con la que fue lanzada la partícula B. 39
Se deja caer una bomba desde un helicóptero suspendido en el aire a una altura de 200 metros. En el mismo instante se dispara una bala desde tierra con una velocidad de 100 m/s. A qué altura del suelo impactará la bala en la bomba.
40 Desde el cráter de un volcán se deja caer una piedra. Diez segundos más tarde se oye el impacto de la piedra. Cuál será la altura del volcán. 5-10 Desde un globo se deja caer un cuerpo. ¿Qué velocidad tendrá el cuerpo y qué distancia habrá caído al cabo de 10 s? Calcular estas mismas cantidades: a) si el globo sube a razón de 12 m/s, b) si deseiende con la misma velocidad. 5-11. Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29,4 m/s. Determinar el tiempo de calda y la altura del punto de partida. 5-12 Si un cuerpo cae en 4 s partiendo del reposo, calcular la velocidad con que llega al suelo y la altura del punto de partida. 5-13. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿En qué instante será su velocidad 6 m/s y a qué altura se encontrará? 514.¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo para que caiga 980 m en 10 s? ¿Cuál será su velocidad al cabo de 10 s?
5-15. Una piedra es lanzada en un pozo con una velocidad inicial de 32 m/s y llega al fondo en 3 s. Hallar la profundidad del pozo y la velocidad de la piedra al llegar al fondo. 5-16. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 49 m/s. A qué altura llegará y cuánto tardará en volver al suelo? 5-17. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba regresa al cabo de 8 s. ¿Cuáles fueron la velocidad inicial y la máxima altura alcanzada? 5-18. Desde lo alto de un edificio, un hombre tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12.5 m/s. La pelota llega a la tierra 4,25 s después. ¿Qué diferencia hay entre la altura que alcanzó la pelota y la del edificio? ¿Cual es la velocidad de la pelota cuando llega al suelo? 5-19 Si la pelota del problema anterior es lanzada hacia abajo, hallar la altura del edificio y la velocidad de la pelota al llegar al suelo. 5-20. Un cuerpo que cae recorre en el último segundo 68.3 m. Hallar la altura de donde cayó y el tiempo que duró la calda. 5-2 1. Una piedra se deja caer en un pozo’ y se oye el ruido producido al .chocar con el agua 3,2 s después. Averiguar la profundidad del pozo. (Velocidad del sonido: 340 m/s.) 5-22. Desde la azotea de un edificio se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad de 29,4 mis. ¿Qué altura alcanzará? 4s más tarde se deja caer otra piedra. Probar que la primera piedra alcanzará a la segunda cuando hayan transcurrido otros 4 s. 5-23. Se deja caer un cuerpo y, simultáneamente, se lanza hacia abajo otro
cuerpo con una velocidad inicial de 1 m/s. ¿En qué instante es la distancia entre ellos de 18 m? Con intervalo de 4 s se lanzan verticalmente hacia arriba dos cuerpos con la misma velocidad inicial 100m/s. ¿Cuándo se encontrarán a la misma altura? ¿Qué velocidad inicial de 8 m/s desde una altura de 30 m. ¿En qué momento golpea el suelo la pelota? 47 Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacía arriba a su compañera que se encuentra en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 s más tarde por la mano extendida de la compañera. a) ¿A qué velocidad fueron lanzadas las llaves? b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas? 48 Un globo de aire caliente viaja verticalmente hacia arriba a una rapidez constante de 5.0 m/s. Cuando está a 21.0 m sobre el suelo, se suelta un paquete desde el globo, a) ¿Cuánto tiempo está el paquete en el aire, después de que se ha soltado? b) ¿Cuál es la velocidad del paquete justo antes de su impacto con el suelo? c) Repita los incisos a y b para el caso en que el globo desciende a 5.0 m/s. 49.Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso con una rapidez inicial de 15m/s a) Cuánto tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es su altura máxima? e) Determine la velocidad y aceleración de la pelota en t = 2 s. 53
Se lanza una piedra hacia arriba desde el borde de un acantilado de 18 m de altura. En su camino hacia abajo libra justo el acantilado y golpea el piso con una rapidez de 18.8 m/s. a) ¿A qué velocidad fue lanzada la piedra? ¿Cuál es su distancia máxima desde el piso durante su vuelo?
55 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 10 m/s. Un segundo más tarde se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez lnicial de 25 m/s. Determine: a) el tiempo que tarda la piedra en alcanzar la misma altura que la pelota, b) la velocidad de la pelota y la de la piedra cuando se encuentran a la misma altura y e) el tiempo total que cada una está en movimiento antes de regresar a la altura original. 27. Dos puntos A y B están en una carretera recta y en la misma horizontal. Desde A parte del reposo hacia B un móvil con una aceleración de (—0,8 i + j) m/s2. Simultáneamente, y desde B, parte hacia A otro móvil con una rapidez de 5 m/s y una aceleración de módulo 1,2 m/s2. Si se cruzan a los 10 s, ¿cual es la distancia entre A y B? 28.
Se lanza un cuerpo con una velocidad de (-4j )m/s. Dos segundos después y desde el mismo punto se lanza otro cuerpo con una velocidad de ( -25j)m/s. con una velocidad de (20j)m/s.
Determinar: a) La altura alcanzada. b) Cuánto tarda en llegar al suelo. u) Con qué velocidad llega al suelo. d) El desplazamiento realizado cuando lleva una velocidad de (-5j)m/s. e) Qué velocidad lleva cuando se ha desplazado (-35j)m. 20. Desde un mismo punto parten simultáneamente dos móviles por una carretera recta. El móvil A parte del reposo con una aceleración de módulo 2,5 m/s2 y el móvil B palle con una rapidez constante de 15 m/s. Determinar qué distancia los separa a los 4 s. a) Cuando tienen la misma dirección.
b) Cuando tienen la misma dirección, pero sentido contrario. 21. Desde un mismo punto se dejan caer libremente dos cuerpos con un intervalo de 3 s. Determinar: a) Qué distancia los separa a los 8 s de salir el primero. b) Qué velocidad lleva cada uno en ese instante. 22.Un móvil parte del reposo en tina carretera recta con una aceleración de (l,44i – 1,388j)m/s2 que mantiene durante 5 s. A continuación desacelera a razón de 0,8m/s2 durante 10 s y finalmente frena bruscamente a razón de (2,16 1’ + 2,082 j) m/s 2 hasta que se detiene. Determinar: a) El espacio total recorrido. b) El desplazamiento total realizado e) El tiempo total empleado 23. Un móvil que a los dos segundos va con una velocidad de (50j)m/s. 24. Desde un mismo punto parten dos móviles en la misma dirección y sentido. A parte del reposo con una aceleración de (-1,4 i - 2,3 j) m/s 2 y B con una rapidez constante de 25 m/s. Si el móvil B sale 7 s antes que el móvil A, ¿dónde y cuándo se encuentran? 25. El punto A esta 140 m sobre el punto B. Desde A se lanza un móvil con una velocidad de (-10 j) m/s. Simultáneamente y desde B se lanza otro móvil con una velocidad de (40 j) mis. Calcular dónde y cuándo se encuentran. 26. Un observador situado a 36 m de altura respecto del piso, ve pasar un cuerpo hacia arriba y 6 s después lo ve pasar hacia abajo.
Determinar: a) Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo desde el piso. b) Hallar a qué altura llegó respecto del piso. e) El tiempo de vuelo. d) Qué velocidad llevaba el cuerpo cuando pasó frente al observador, a la ida y a la vuelta. 29. Dos puntos A y B están separados 120 m en línea recta. Desde A parte del reposo un móvil que tarda en llegar al punto B 10 s. Simultáneamente y desde B parte también del reposo otro móvil que tarda 8 s en llegar al punto A. Si la aceleración de cada móvil es constante, ¿dónde y cuando se encuentran? 30. Desde 15 m de altura se deja caer libremente una pelota. Cada vez que choca contra el suelo pierde 1/3 de su velocidad. Determinar: a) La altura máxima que alcanza después del tercer rebote. ti) Qué velocidad lleva a los 4 s.
MOVIMIENTOS EN UN PLANO
Entre los diversos movimientos que existen en la naturaleza, los contenidos en un plano son de interés para la humanidad, por sus aplicaciones y para la comprensión del Universo, como ejemplo de estos movimientos podemos citar el de los planetas en su traslación alrededor del Sol, el de los satélites, el de los proyectiles en la superficie terrestre, etc. De estos movimientos coplanares, estudiaremos el parabólico y el circular. MOVIMIENTOS PARABÓLICO.- Este curvilíneo plano, con trayectoria parabólica y aceleración total constante. El movimiento parabólico más importante lo constituye el lanzamiento de proyectiles en el que la aceleración total es la aceleración de la gravedad. a
=
= (-9.8j)ms2
g
y uo = velocidad inicial uo
r
a = ángulo de lanzamiento
a
x En el movimiento parabólico la velocidad inicial no puede ser nula y su dirección debe ser diferente a la de la aceleración: vo = 0 y uvo = ua las ecuaciones que permiten el estudio parabólico son las que se describieron anteriormente para el caso en que la aceleración es constante. r = ro + vot + ½ at2 v = vo + a.t Y para el caso en que a = g r = ro + vot + 1/2gt2 v = vo
+ g.t
El análisis del movimiento de un proyectil se realiza en función del vector velocidad inicial:
y v vo
g v
g
v
g
a
x
0 La velocidad inicial en función de sus componentes es: vo = vox
Y su dirección:
a
i + voy j
= tag-1 voy vox
La velocidad en cualquier punto de la trayectoria es: V = Vxi + Vyj Reemplazando V = V0 + g.t,
tenemos:
Vxi + Vyj = V oxi
+ V oyj + gtj
Igualando las componentes en x e y V x
= V ox
(MRU)
Vy
= V oy – gt
(MRUV)
De estos resultados se concluye que el movimiento parabólico es compuesto: resulta de la suma simultánea de un MRU en el eje horizontal x y un MRUV en el eje y: x
Vox = Vx
y
V X ( MRU )
0 En el eje x ax
= 0
V ox
= V o cos a= cte
x = Vx.t
En el eje y ay
= -g
V y = V oy – gt donde V oy = V o.sen x y = V oyt – 1/2gt2
Los parámetros más importantes del movimiento parabólico, a más de conocer el valor de la aceleración, son: el valor velocidad inicial V o = V oxi + V oy j (rapidez de lanzamiento Vo) y el ángulo que èsta hace con el eje x (ángulo de lanzamiento a). El valor de a puede ser cualquiera; generalmente un ángulo agudo, pero podría tener un valor de a = 90º a a = 0º Cuando a = 90º se tiene un lanzamiento vertical hacia arriba, analizando ya como un MRUV Si a = 0º, es un lanzamiento horizontal, donde Vo = V x y V oy = 0. Este caso aplicado al movimiento de un proyectil y analizado como la suma de dos movimientos, sería: en el eje x un MRU ( Vx = cte) y en el eje y una caída libre ( Voy = 0)
y x (MRU)
Vo = Vx
g
y
En el eje x:
En el eje y
ax = 0
ay = -g 0
Vo = Vox = Vox = cte
Vy = Voy -gt
X = Vo.t
Vy = -gt 0
(2.3.9)
y = Voyt - 1/2gt 2
y = -1/2gt 2
(2.3.10)
Las ecuaciones se denominan paramétricas de la trayectoria. Si en (2.3.6) despejamos t y remplazamos en (2.3.7), obtenemos la ecuación cartesiana x = V x.t t = x = x V x
V o co
y = V y.t - 1/2gt2 = a
x
- 1/2g
x
Vo cos a
y = (tag a) x -
Vo cos a
g 2Vo2cos2a
Esta ecuación es de forma: y = ax - bx 2, una ecuación de segundo grado, cuya representación gráfica corresponde a una parábola. El movimiento parabólico la velocidad varía simultáneamente en módulo y dirección. por consiguiente, se generan aceleraciones tangencial y centrípeta (normal) respectivamente. Estas aceleraciones son variables, pero en cada instante su suma (aceleración total) es constante.
Del análisis de las componentes de la aceleración a en los puntos A, B, C, se concluir que: a)
En el punto A la partícula está subiendo y la aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad, pero sentido contrario. Por ello, el movimiento es retardado la aceleración total es: a = ar + ac
b)
En el punto B la partícula alcanza la máxima altura y la velocidad es horizontal y perpendicular a la aceleración total. L aceleración tangencial es nula porque es la proyección de la aceleración total en la dirección del vector velocidad. La aceleración total es: a = ar + ac a = ac
c)
En el punto C la partícula esta descendiendo y la aceleración tangencial tiene la misma dirección y sentido que la velocidad. Entonces, el movimiento es acelerado. La aceleración total es: a = ar + ac
En cualquier posición la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la dirección de la velocidad. Por esta razón, si se conocen los vectores velocidad y aceleración, aplicando (1.5.9) tendremos: Av = cos 0 uv
Av = (A. uv). Uv, en donde AT = (a. uv). uv
Av = A . V
Y la aceleración será AC = A - aT
V
Las preguntas que pueden surgir son: a)
¿Cuál es la trayectoria del proyectil? De las ecuaciones paramétricas x, y, y eliminemos el tiempo: t = x V 0 cos 00
y = -1 g
x V 0 cos 00
- sen 00 x cos 00
tenemos una ecuación de la forma y = ax 2 + bx , que es la ecuación de una parábola b)
¿Cuál es la velocidad del proyectil en un momento dado? Por el teorema de Pitágoras, la magnitud es v = v2 + v2 y y el ángulo que forma con la horizontal es tan 0 = U v U x
c)
¿Cuál es su máxima altura? Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula U v = 0 –gt - U v sen 00 De aquí se despeja el tiempo t = U 0 sen 00 y los llevamos a la ecuación que nos da la ordenada y, que llamamos ahora la altura máxima Y. Y = V 20sen200 2g
d)
¿Cuál es el alcance? Es el valor de x cuando el proyectil ha llegado al suelo, es decir, para y = 0: esto nos da: 0 = - 1 gt 2 + v0 sen 00 = (-1 gt + v0 sen 00 ) t t = 200 sen00 g y lo llevamos a la ecuación de x, que llamamos ahora el alcance de x
X = 00 cos 00 200 sen00 y como sabemos que
2 cos 00 sen 00 = sen 200 , se tiene X = V 20 sen 200 g e)
¿Para qué el ángulo inicial 0 0 el alcance es máximo? El alcance es máximo cuando sen 200 es máximo es decir, cuando sen 200 = 1 Por lo tanto el ángulo 200 es igual a 90º y 0 0 = 45º
•
un avión vuela a 1.200 m. de altura con una velocidad de 180 Km. / h. ¿Cuánto tiempo antes de estar sobre el blanco deberá arrojar la bomba? ¿A que distancia antes de estar sobre el blanco deberá arrojar la bomba? ¿Con qué velocidad llegará la bomba al suelo? ¿Cuál será su velocidad cuando lleve 10 segs. cayendo? ¿Cuál será su velocidad cuando se encuentra a 200 m. del suelo? ¿Qué ángulo debe formar la mira con la vertical?
R 14.70 seg, 7.35 Km, 524
m./seg., 503 m./seg, 520 m./seg., 80º 44’ •
un proyectil es lanzado con una velocidad de 600 m./seg y un ángulo de tiro de 60º. Calcular (a) su alcance. (b) su máxima altura, (c) su velocidad total y su altura al cabo de 30 segs., (d) su velocidad total y el tiempo que lleva en el aire cuando su altura es de 10 km. R (a) 31.8., (b) 27.6 Km.,
•
qué inclinación deberá dársela a un cañón que lanza una bala con una velocidad inicial de 400 m./seg, para que de en un blanco situado a una distancia de 10 Km., ¿Cuál será la inclinación si el blanco esta a 20 Km. De distancia? ¿Cuál es su máximo alcance?
•
R 18º 52’, 15.8 Km.
Una piedra es lanzada desde lo alto de un alcantarillado con una velocidad inicla de 20 m./seg, dirigida hacia abajo formando un ángulo de a = 30º con la horizontal. Si la altura del alcantarillado es h = 130 m., ¿Qué tiempo tardará en caer y a qué distancia horizontal d, caerá?
•
Resolver el problema anterior suponiendo que la piedra es lanzada hacia arriba con la misma velocidad inicial y el mismo ángulo.
•
Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s, y a una inclinación de 30º con respecto al horizonte. Calcular a que distancia llega. R,: unos 883 m
•
Calcular la velocidad máxima alcanzada por el proyectil anterior. R.: 130m
•
Calcular a velocidad del proyectil a los 5 segundos del disparo.
R.: 86.5 m/s •
Un proyectil V-2, disparado verticalmente, alcanza una altura aproximada de 100 Km. Calcular su velocidad inicial suponiendo que después de la partida no se ejerciera ninguna fuerza sobre él. R.: 1400 m/s
•
Calcular el alcance del V-2 anterior, si se lo dispara formando un ángulo de 45º con la horizontal R.:200 km
•
Se lanza una bola con una velocidad cuya componente horizontal es 1.5 m/s y la vertical es 10 m/s. la altura alcanzada por la bola es. a) 3 m b) 5 m c) 10 m d) 15 m e) 20 m
•
El alcance de la bola es: a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 5 m e) 10 m
•
Un jugador de baloncesto lanza el balón con una velocidad de 10 m/s que forma un ángulo de 37º con la horizontal. El jugador, con movimiento uniforme se desplaza en la dirección del balón y lo coge. La velocidad del jugador es: a) 2 m/s b) 6 m/s c) 8 m/s d) 10 m/s e) 14 m/s
•
El tiempo de vuelo del balón es: a) 1 s b) 1.2 s
c) 1.6 s d) 2 s e) 4 s •
La distancia que recorre el jugador es: a) 5 m b) 9.6 m c) 10 m d) 12.8 m e) 20 m
•
La altura máxima que alcanza el balón es: a) 1.8 m b) 2 m c) 3.6 m d) 4 m e) 7.2 m
•
Dentro de un tren que viaja con velocidad de 8 m/s un niño se lanza perpendicularmente a la dirección del tren , una bola con velocidad de 6 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la bola, respecto a una persona situada sobre la Tierra? a) 2 m/s b) 6 m/s c) 8 m/s d) 10 m/s e) 14 m/s
Resp. 1. c; 2.b; 3. c; 4.. b; 5. c; 6. c; 7. b; 8. b; 9. a; 10.d •
Un jugador de naipe lanza una moneda que se desliza sobre una mesa de altura 0.8 m. La moneda golpea el suelo al 0.8 m, del pie de la mesa. ¿Qué velocidad salió disparada la moneda de la mesa? Resp. 2 m/s
•
Se lanza un objeto con velocidad vertical de 40 m/s y horizontal de 30 m/s a) Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto b) Cual es el alcance del objeto Resp. 80 m; 240 m
•
Se lanza una pelota de baloncesto con una velocidad inicial de 25 m/s que hace un ángulo de 53º con la horizontal. La canasta está situada a 6 m. del jugador y tiene una altura de 3 m. Podrá encestar. Resp. Si
•
En un concurso de tiro, un buen tirador, situado a 200 m. e distancia del blanco circular, de radio 0.8 m. apunta horizontalmente al centro del blanco y nota que la bala toca el borde inferior del mismo Qué velocidad tenían las balas. Resp. 500 m/s
•
Un cañón dispara proyectiles siempre con la misma rapidez inicial. Mostrar que el alcance del proyectil para dos ángulos complementarios iniciales (por ejemplo 30 y 60º) será siempre el mismo
•
Mostrar que entre la altura máxima Y y el alcance X de un proyectil, lanzado con el ángulo inicial 0, existe la relación tan 0 = 4y/x Resp. tan 0 = 4
•
Se lanza un proyectil con una velocidad inicial que forma un ángulo 0 con la velocidad horizontal. Calcular la altura máxima. Si se une el punto de partida con el de la altura máxima por medio de una recta que hace el ángulo a con la horizontal. Mostrar que tan 0 tan a
MOVIMIENTO CIRCULAR 5.1 Movimiento Circular Uniforme: Se define como aquel en el cual la trayectoria es una circunferencia. Si además el móvil recorre espacios o arcos iguales en tiempos iguales
cualesquiera se tendrá un movimiento circular uniforme. Si imaginamos el móvil A (Fig. 5.1) unido al centro O de la circunferencia que describe mediante el radio OA=R de esta, tendremos que como en toda circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos iguales el radio OA describirá ángulos iguales en tiempos iguales, propiedad que puede servirnos también para definir el m.c.u. Supongamos que en el tiempo t el móvil se ha desplazado desde A hasta B. El ángulo, usualmente medido en radianes, descrito por el radio es y suele llamarse ángulo de fase. Llamaremos velocidad angular al ángulo descrito por el radio en la unidad de tiempo. Designándola por la letra W tendremos pues:
=
rad. ó grados
W
t seg.
Seg.
(5.1-1)
La unidad de velocidad angular es pues el radián por segundo y es la velocidad angular de un móvil que con movimiento circular uniforme describe un ángulo de un radián en un segundo. Llamaremos período al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta o revolución completa con m.c.u. Designándolo por T, tendremos que como en una vuelta o circunferencia hay 2 radianes puede escribirse haciendo en rads., t segs., que
relación de gran utilidad entre la velocidad angular y el período de revolución basta dividir el tiempo t que ha estado girando el cuerpo entre el número n de vueltas que ha dado =2
W
Se llama frecuencia al número de revoluciones efectuadas por el móvil en la unida de tiempo. Designándola por n tendremos que si en el tiempo t el móvil da n vueltas la frecuencia de su movimiento es: N = n T
(5.1-4)
Si multiplicamos las ecuaciones (5-1-3) y (5-1-4) resulta después de simplificar: NT = I ó N = I T
(5.1-5)
De modo que la frecuencia es el inverso del período y recíprocamente Si e es la longitud del arco AB descrito por el móvil en el tiempo t tendremos, si el ángulo se mide en radianes. e=R
Dividiendo por t esta ecuación,
e =R t
t
Pero e / t es la velocidad v del móvil que aquí llamaremos velocidad lineal para distinguirla de la velocidad angular W además / t = W . v = R W
(5.1-6)
Luego importante resultado que nos indica que la velocidad lineal es proporcional al radio y a la velocidad angular, substituyendo en (5-1-6) y (5-1-2) se obtiene para la velocidad lineal v=2
R
T
(5.1-7)
Esta expresión pudo haberse obtenido directamente pues 2 dar una vuelta y T es el tiempo empleando en darla.
R es el espacio recorrido al
Su cociente debe ser pues la velocidad lineal del móvil. Igual la velocidad lineal, la velocidad angular es una magnitud de referencia, que generalmente es en x El ángulo , comúnmente se expresa en radianes recordando que: 180° =
rad.
Figura 4.4 Todo ángulo medido en grados se puede convertir en grados multiplicando el número de grados por 180 Todo ángulo medido en radianes se puede convertir en grados multiplicando el número de radianes por 180 /
- 5.3 Aceleración Centrípeta en el Movimiento Circular.- En el número 3.5 definimos la aceleración como el cambio experimentado por la magnitud de la velocidad en la unidad de tiempo. Sin embargo pudiera ocurrir que además de variar la magnitud variará también la dirección o fuera este elemento el único que variara. Para tener en cuenta este factor adicional es necesario ampliar un poco la definición de aceleración dada anteriormente. Sea Vo la velocidad del móvil en un momento dado, considerada vectorialmente, y sea V su velocidad al cabo del tiempo t, que supondremos que es un intervalo de tiempo muy pequeño, tan pequeño como podamos observarlo. Entonces definiremos la aceleración vectorial del móvil como el cambio que experimenta el vector velocidad en la unidad tiempo a = V-V o t
(5.3-1)
O sea bien entendido que t es pequeñísimo. De la expresión anterior concluimos que:
at = V-V o
(5.3-2)
Consideremos por ejemplo un móvil animado de movimiento circular uniforme (Fig. 5.5). Sea Vo su velocidad (vectorial) cuando se encuentra en la posición A y sea V su velocidad cuando ocupa la posición muy próxima B a la que llega después de un intervalo muy pequeño de tiempo t. Las magnitudes de ambos vectores serán iguales porque el movimiento es uniforme pero diferirán en dirección ya que el vector velocidad es tangente al a la trayectoria según señalamos en el número 4.4. El ángulo entre ambos vectores es igual al ángulo entre los radio OA y OB ya que sabemos por geometría que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio. Si el vector V le restamos el vector Vo obtendremos el vector BD, que por (5.3-1) será igual a at o sea at = BD = V-V o Como se observará este vector está dirigido hacia el centro del círculo en la dirección del radio BO. Por otra parte dada la pequeñez de t, el ángulo descrito en ese tiempo es también pequeño de modo que el arco AB puede suponerse aproximadamente que es igual a su cuerda. Como los triángulos OAB y BCD son semejantes (tienen sus lados perpendiculares) podemos pues escribir: BD = BC AB BO Pero BD = ac t, AB = R , BC = V, BO = R donde V y ac son las magnitudes de la velocidad y la aceleración respectivamente. ac t = V R R Luego de donde ac = V
= W V
(5.3-3)
t Si recordamos que
/t=
.- Pero por (5.1-6) tenemos que V =
W
W
R y
W
= V/R, de modo
que según distribuyamos una u otra de estas relaciones en (5.3-3) resultará: Ac = W 2 R
(5.3-4)
Ac = - V 2 R
(5.3-5)
La aceleración dada por estas fórmulas recibe el nombre de aceleración centrípeta ya que como indicamos anteriormente está dirigida hacia el centro. Ac = 4
2
T
R
Ejemplo 1: Un automóvil animado de m.c.u describe un ángulo de 2.25 Rad. en 7 seg. Si el radio de la circunferencia descrita es de 40 cm. Calcular: (a) Su velocidad angular (b) Su velocidad lineal (c) Su periodo (d) Su frecuencia = 2.25 rad, t = 7 seg., (a) W =
R = 40 cm.
= 2.20 rad = II rad t 7 seg seg
(b) V = R W = 40 cm. x II rad = 440 cm. seg. seg. (c) W = 2 T
T=2
= 6.28 rad. = 0.57 seg. II rad/seg
W
I
I
rev
Revoluciones por minuto (r.p.m) Calcular: (a) Su periodo, (b) Su frecuencia, (c) Su velocidad angular, (d) La velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 m n = 120 vueltas, t = 1 min. = 60 seg., R = 3 / 2 = 1.5 m
(a) T = 1 = n
60 seg. = 0.5 seg. 120 vueltas
(b) N = 1 = T
(c)
=2 T
W
1 = 2 rev. 0.5 seg. seg. = 6.28 rad = 12.56 rad 7 seg. Seg.
(d) V = R W = 12.56 rad. x 1.5 m. = 18.84 m. Seg.
-
Seg.
5.2 Movimiento Circular Uniformemente Variado: Si el radio OA (Fig. 5.1) no describe ángulos iguales en tiempos iguales se dice _ entonces que el movimiento circular es variado. En este caso llamaremos velocidad angular media W al cociente que resulta de dividir el ángulo total descrito por el radio ( ) entre el tiempo empleado en describirlo (t) o sea:
_
W
= / t
(5.2-1)
de donde:
_ =
t
W
La velocidad angular media representa por tanto la velocidad angular con la que debería girar el radio para describir con m.c.u y en el mismo tiempo el ángulo que ha descrito con movimiento variado. Si quisiéramos la velocidad angular instantánea sería necesario medir el ángulo descrito por el móvil durante un intervalo pequeñísimo, medido a partir del instante dado, y dividirlo entre dicho intervalo. Matemáticamente lo que se hace es medir la relación entre el ángulo infinitesimal descrito (d ) y el tiempo infinitesimal transcurrido (dt) de modo que la velocidad angular instantánea es: = d t dt
W
(5.2-3)
Entre todos los movimientos circulares variados es de particular interés el movimiento circula uniformemente variado (m.c.u.v) que es aquel en el cual la velocidad angular (instantánea) experimenta variaciones iguales en tiempos iguales cualesquiera. Si la velocidad angular aumenta el movimiento es acelerado. Si diminuye es retardo. (Compárese con las definiciones análogas expuestas en el N° (3-5). La variación que experimenta la velocidad angular en la unida de tiempo. Sea W o la velocidad angular del móvil en el momento que la observamos por primera vez (velocidad angular inicial) y sea a la velocidad angular que tiene al cabo del tiempo t (velocidad angular final). La variación de velocidad angular ha sido la W - W o de modo que la aceleración angular será: a
= W - W o rad t seg 2
(5.3-4)
Como el numerador de la expresión anterior viene dado en rad. /seg. y el denominador en segundos, la aceleración angular se representará en (rad./seg.)/ seg. O sea en rad./seg 2 La unidad de aceleración angular es la aceleración angular de un móvil con m.c.u.v. cuya velocidad angular aumenta un radián por segundo en cada segundo. Multiplicando por R la ecuación anterior obtenemos, teniendo en cuenta (5.1-6). Ra = RW - RW o = V – V o t t Donde V es la velocidad final y V o la inicial del móvil. Pero (V – V o )/ t es la aceleración a del móvil [fórmula (3.5-1)] y que llamaremos aceleración lineal. Por tanto a = Ra
(5.2-5)
Resultando que nos indica que la aceleración lineal es proporcional al radio y a la aceleración angular. Despejando W en (5.2-4) se obtiene: = W o + at
W
(5.2-6)
Igual que en el m.u.v. estudiando en 3.5, en el m.c.u.v. la velocidad angular media puede también expresarse por:
_ =
W
W + W o
2 De donde (5.2-2) se transforma en: =
W
+ W o t 2
(5.2-7)
Y si tenemos en cuenta (5.2-6) = W o t + ½ at 2
(5.2-8)
Expresión que nos permite calcular el ángulo girado en función de tiempo. Si multiplicamos ordenadamente (5.2-4) y (5.2-7) obtendremos:
= W - W o t . W + W o t = W 2 - W o2 t 2 2
a
De donde : 2
W
= W o2 + 2a
(5.2-9)
Si es el movimiento es retardado se cambiará el signo mas por menos en (5.2-6), (5.2-8) y (5.2-9) y si no hay velocidad angular inicial desaparecerán los términos en W o Obsérvese que el m.c.u.v no es periódico. * Desplazamiento angular: Es la variación neta de la posición angular de una partícula respecto de un sistema de referencia.
=
-
(2.3.17)
o
El desplazamiento angular Se expresa en radianes.
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA: Es la razón entre el desplazamiento angular efectuado por la partícula y el tiempo invertido en dicho desplazamiento: W m
= =
t
o
t - t o
Cuando la velocidad angular varía uniformemente, la velocidades angulares inicial y final: W m
= W o + W
(2.3.18) W m
es igual a semisuma de las
2
(2.3.19)
La velocidad angular W se expresa en rad/s pero en algunos casos es más cómodo utilizar el R.P.M = rev/min, teniendo en cuenta que: 1rev = 2 rad.
ACELERACIÓN ANGULAR: Es la razón entre la variación angular que experimenta una partícula y el intervalo de tiempo que se produjo: a
=
= W - W o
W
t
t - t o
(2.3.20)
La aceleración angular a se expresa en: rad/s = rad s s2 El lector habrá podido apreciar que existe una gran analogía entre los conceptos y las fórmulas del movimiento de traslación estudiado anteriormente y el de rotación que acabamos de estudiar ya que se pasa de un caso al otro con sustituir el espacio recorrido (e) por el ángulo girado ( ), la velocidad lineal (v) por la angular (W ). Esta analogía se ha recopilado en el siguiente cuadro las fórmulas correspondientes más importantes de ambos movimientos:
TRASLACIÓN
ROTACIÓN
MOVIMIENTO UNIFORME W
e = v t
=
/ t
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO a
a= (W
= (v - v o )/t
Wm
v m = (v + v o )/2
- Wo) /t
= (W - Wo )/2
Ejemplo 1 En 20 segundos la velocidad angular de un disco a aumentado de 30 rad/seg a 90 rad/seg. Calcular: (a) su aceleración angular, (b) el ángulo girado, (c) el número de revoluciones efectuadas, (d) la aceleración y la velocidad lineales de un punto de la periferia si el radio del disco es de 25 cm.
= W ot + 1/2 at 2
e = v ot + 1/2 at2
t = 20 seg. 90 rad/seg. v 2 = v o2 + 2 ae
2
W
= W o2 + 2 a
FÓRMULAS DE RELACIÓN
E=R
v = R W
a
= R a
= 30 rad/seg. R = 25 cm.
W o
W
=
(a) a = W - W o = (90 – 30) rad/seg. = 3 rad. [Formula (5.2-4)] t 20 seg. 2 seg (b) = W o t + ½ at 2 = 30rad/seg x 20seg + ½ x 3rad/seg 2 x (20 seg)2 = 1200 rad.
[Formula (5.2-8)] (c) Como en una revolución gira 2 1920
= 6.28 rad el número total de revoluciones habrá sido
(d) a = R a = 25 cm. x 3 rad/seg 2 = 75 cm/seg 2 v = R W = 25 cm. x 90rad/seg. = 2250 cm/seg.
[Formula (5.2-5)] [Formula (5.1-6)]
Ejemplo 2 La aceleración angular de un cuerpo animado de m.c.u.v es 2 rad/seg 2. Calcular su velocidad angular y el ángulo girado al cabo de 5 segundos si su velocidad angular inicial es de 40 rad/seg. yel movimiento es retardado.
a
= 2 rad/seg 2 ,
t = 5 seg.
W o
= 40 rad/seg.
= W o – at = 40 rad/seg – 2 rad/seg 2 x 5 seg. = 30 rad/seg. (5.2-6)] W
= W o t – ½ at2 = 40 rad/seg (5 seg.) – ½
[Formula
x 2 rad/seg 2 (5seg.) 2 = 175 rad.
PREGUNTAS 1.- ¿Qué es el m.c.u? 2.- ¿En qué se diferencia la velocidad lineal de la velocidad angular? 3.- ¿En una hélice de un avión que partículas tienen mayor velocidad angular: las que están próximas al extremo o las que están próximas al eje? 4.- En la pregunta anterior ¿qué partículas tienen mayor velocidad lineal? 5.- Si la frecuencia de un m.c.u aumenta ¿qué le ocurre al período y a la velocidad angular? 6.- ¿Qué es aceleración angular? 7.- ¿Qué es el m.c.u.v? 8.- ¿Qué aceleración hay en el m.c.u? ¿Por qué sabemos que hay esa aceleración? 9.- ¿Qué aceleraciones hay en el m.c.u.v? ¿Qué representa cada aceleración? 10.- En la pregunta 3 ¿Qué puntos tienen mayor aceleración centrípeta? 11.- Si la velocidad angular de un cuerpo se duplica Qué le ocurre a la aceleración centrípeta de cada una de las partículas? 12.- Si en una transmisión se quiere aumentar la velocidad angular ¿Qué rueda debe ser mayor, la motora o la movida? ¿Cuál si se quiere disminuir? 13.- ¿Existe algún movimiento en el cual la magnitud de la velocidad es constante y además se tiene una aceleración constante? PROBLEMAS 1.- ¿Cuál es la velocidad angular de un disco que gira 13.2 radianes en 6 seg? ¿Cuál es su período? ¿Cuál es su frecuencia? R. 2.2 rad/seg, 2.856 seg, 0.35 rev/seg. 2.- ¿Qué tiempo necesitará el disco anterior (a) para girar un ángulo de 780° (b) para dar 12 revoluciones? R. 6.188 seg. , 34.272 seg. 3.- Calcular la velocidad angular de cada una de las tres agujas del reloj. R. 6.28 rad/min, 0.1047 rad/min, 0.0087 rad/min. 4.- Calcular las velocidades angular y lineal de la Luna sabiendo que da una vuelta completa alrededor de la tierra en 28 días aproximadamente y que la distancia media entre estos dos planetas es 38.22 x 106 Km. R. 2.585 x 106 rad/seg, 987. 47 m/seg.
5.- Calcular las velocidades angular y lineal de la tierra sabiendo que da una vuelta completa alrededor del sol en 365 días y que su distancia media al Sol es 148 x 106 . R. 0.017 rad/día, 25.16 Km/día 6.- Un disco de 50 cm. De radio da 400 revoluciones en 5 minutos. Calcular (a) su frecuencia (b) su periodo (c) su velocidad angular y (d) la velocidad lineal de los puntos de su periferia. R. 13.3 rev/seg, 0.75 seg, 8.37 rad/seg, 418.7 cm/seg 7.- ¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas de un automóvil que va 72 Km/h si tienen un diámetro de 70 cm.? R: 57.14 rad/seg 8.- Hallar la velocidad angular de las ruedas de una locomotora que va a 90 Km/h si tienen un diámetro de 1.40 m R: 35.71 rad/seg 9.- Un disco cuyo radio es de 30 cm. Recorre rodando una distancia de 5 m en 6 seg. Calcular (a) la velocidad lineal en los puntos del borde (b) la velocidad angular del disco (c) su periodo, (d) el número de vueltas que dio R: 83.3 cm/seg, 2.77 rad/seg, 2.26 seg, 2.65 vueltas. 10.- La velocidad angular de un cuerpo que gira es 4 rad/seg. Calcular (a) el ángulo girado en 0.2 seg expresado en radianes y en grados (b) el tiempo necesario para girar 120°, (c) su período de rotación, (d) su frecuencia R: 0.8 rad, 45°51’; 1.91 seg, 0.630 rev/seg. 11.- Bajo la acción del viento una puerta gira un ángulo de 90° en 5 seg. Calcular su velocidad angular y la velocidad lineal de los puntos del borde si el ancho de la puerta es de 50 cm. R: 0.314 rad/seg, 15.7 cm/seg 12.- En 5 seg la velocidad angular de una rueda ha aumentado de 20 rad/seg a 30 rad/seg Calcular la aceleración angular y el ángulo girado R: 2rad/seg 2 , 125 rad. 13.- Si el radio de la rueda del problema anterior es 40 cm. Calcular la aceleración lineal de los puntos del borde. R: 80 cm/seg 2 14.- La velocidad angular de una rueda pasa de 40 rad/seg a 35 rad/seg en 0.5 seg. Determinar su aceleración angular y el ángulo girado. R: -10 rad/seg 2 , 18.75 rad. 15.- Una rueda comienza a girar con una aceleración angular de 0.2 rad/seg 2 ¿Qué tiempo necesitará para adquirir una velocidad angular de 150 revoluciones por minuto? ¿Qué ángulo habrá girado a ese tiempo? ¿Cuántas revoluciones habrá dado? R: 12.5 seg, 15.625 rad, 2.49 rev. 16.- ¿Qué ángulo deberá girar una rueda que parte del reposo con una aceleración angular de 0.8 rad/seg 2 para adquirir una velocidad angular de 16 rad/seg? R: 160 rad. 17.- ¿Qué velocidad angular tendrá una rueda cuando haya descrito un ángulo de 90 rad, si gira con una aceleración angular de 0.5 rad/seg 2 y su velocidad angular inicial es de 10 rad/seg? R: 14 rad/seg. 18.- La voladora de una máquina de vapor tiene un diámetro de 4 m. Al cortarse el vapor se observa que en 6 seg. Su velocidad angular disminuye de 140 revoluciones por minuto a 120 r.p.m ¿Cuál ha sido su aceleración angular? ¿Cuál es el ángulo girado? ¿Cuál la aceleración lineal de los puntos del borde? R: 0.349 rad/seg 2 , 26 rad, -1.396 rad/seg 2
19.- La velocidad de un automóvil aumenta en 10 seg. De 5 Km/h a 55 Km/h. Si el diámetro de sus ruedas es 70 cm. ¿Cuál es la aceleración angular de las mismas? R: 3.968 rad/seg 2
20.- Calcular la aceleración centrípeta de la Luna y de la Tierra empleando los datos de los problemas 4 y5. R: 0.152 cm/seg 2 , 0.592 cm/seg 2 21.- Calcular la aceleración centrípeta de los puntos del borde de la rueda del problema 6 y del disco del problema 7. R: 236.64 m/seg 2 , 3503. 72 cm/seg 2 22.- Calcular la velocidad angular de rotación de la Tierra sabiendo que da una vuelta en 24 horas. Si el radio de la tierra es 6.37 x 109 cm. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de los puntos del ecuador? R: 3 x 10-8 rad/seg, 0. 0057 cm/seg 2 23.- En la figura 5.6 el radio de A es 30 cm. Y gira a razón de 200 r. p. m. ¿Qué radio debe tener B para girar a razón de50 rad/seg? R: 12.56 cm. 24.- Una partícula animada de movimiento circular del punto (3,5) cm. Y gira antihorariamente con centro en el origen 1000° en 12 s. Determinar: a) b) c) d)
El desplazamiento angular. La velocidad angular media. La posición angular inicial. La posición final.
25.- Calcular la velocidad angular de cada una de las manecillas del reloj. 26.- El radio de una rueda de bicicleta gira con una velocidad angular de 0.7 rad/s durante 4 minutos. Determinar: a) El ángulo descrito en grados. b) Cuantas vueltas ha dado. 27.- Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular de 8 rad/s. Determinar: a) b) c) d)
El tiempo necesario para girar un ángulo de 1000°. El tiempo necesario para dar una revolución. El ángulo girado en un minuto. El número de revoluciones que da que da por minuto.
28.- Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6 s. Determinar: a) La velocidad angular media. b) El ángulo girado en 3 s. c) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1600° 29.- La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en 5 s. Determinar: a) La aceleración angular. b) La velocidad angular media. c) El desplazamiento angular. 30.- Un cuerpo parte del punto (4,7) cm. En sentido antihorario por una trayectoria circular y gira un ángulo de 800° en 7 segundos, alcanzando una velocidad angular de 25 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar:
a) b) c) d)
La velocidad angular media. La velocidad angular inicial. La posición angular final. La aceleración angular.
31.- Un cuerpo parte del punto (3,-6) cm. En sentido antihorario por una pista circular con centro en el origen, con una velocidad angular de 6 rad/s y se mueve durante 10 s con una aceleración angular de 2 rad/s 2. Determinar: a) b) c) d)
La velocidad angular final. La velocidad angular media. El desplazamiento angular. La posición final.
32.- Halle la aceleración de una partícula que se mueve con una rapidez constante de 8 m/s en una circunferencia de 2 m de radio. 33.- El joven David quien derribó a Goliat experimento con su honda antes de embestir al gigante. Descubrió que con una honda de 0.6 m de longitud, el podría hacerla girar a la razón de 8 rev/s. Si el aumenta la longitud a 0.9 m, entonces la podría hacer girar únicamente a 6 veces por segundo. (a) ¿Qué razón de rotación da una rapidez más grande? (b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 8 rev/s? (c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 6 rev/s? 34.- Un cazador utiliza una pequeña piedra sujeta al extremo de una cuerda como honda primitiva. Se hace girar la piedra por arriba de su cabeza en una circunferencia horizontal de 1.6 m de diámetro y con una rapidez de 3 revoluciones por segundo ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra? 35.- Da la información que se encuentra en la cubierta delantera de este libro, calcule la aceleración radial de un punto del Ecuador sobre la superficie de la Tierra. 36.- La órbita de la Luna respecto a la Tierra es aproximadamente circular, con un radio promedio de 3.84 x 108 m. A la Luna le toma 27.3 días para completar una revolución alrededor de la Tierra. Encuentre: (a) La rapidez orbital media de la Luna (b) Su aceleración centrípeta. 37.- En el ciclo de secado de una lavadora, el tubo de radio 0.30 m desarrolla una rapidez de 630 rpm. ¿Cuál es la rapidez lineal máxima con la cual el agua sale de la máquina? 38.- Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 0.4 m de radio con rapidez constante. Si la partícula hace 5 revoluciones en cada segundo de su movimiento, halle: (a) La rapidez de la partícula (b) Su aceleración. 39.- Un neumático que tiene 0.5 m de radio gira con una rapidez constante de 200 revoluciones por minuto. Determine la rapidez y la aceleración de una pequeña piedra incrustada en el dibujo de la llanta (en su corte exterior). 40.- En la figura 4.24 se representa la aceleración total de una partícula que se mueve en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj en una circunferencia de radio 2.5 m, y en un instante dado. En ese instante, calcule: (a) La aceleración centrípeta (b) La rapidez de la partícula (c) Su aceleración tangencial.
41.- La rapidez de una partícula que se mueve en una circunferencia de 2 m de radio aumenta a razón constante de 3 m/s 2. En cierto instante, calcule: (a) La aceleración centrípeta de la partícula y (b) Su rapidez. 42.- Un tren se va más despacio cuando pasa por una curva cerrada horizontal, retrasándose desde 90 km/h hasta 50 km/h durante los 15 s que le toma recorrer la curva. El radio de la curva es de 150 m. Calcule la aceleración en el momento en que la rapidez del tren llega a 50 km/h. 43.- Un péndulo de 1 m de longitud oscila en un plano vertical. Cuando el péndulo esta en las dos posiciones horizontales ( = 90° y = 270°), su rapidez es de 5 m/s. (a) Calcule la magnitud de la aceleración centrípeta y de la tangencial en estas posiciones. (b) Trace los diagramas vectoriales para determinar la dirección de la aceleración total en estas dos posiciones. (c) Calcule la magnitud y dirección de la aceleración total.
COMENTARIO Debería constar en el texto todas las ecuaciones y leyes que se van a utilizar en el desarrollo de los problemas par atenerlos siempre a la mano como:
Movimiento Circular Uniforme: Leyes a W
a
t desplazamiento angular directamente proporcional al tiempo
= 0 Velocidad angular constante y diferente de cero
const. = 0 Aceleración angular constante e igual a cero
Ecuaciones = W t =
-
=
yt t
W
W
=2
rad. T
T=2
W
V = W R d=
o
R
rad.
