CURVAS DE PERSECUSIÓN Se denomina curva de persecución a la curva que describe un objeto que se desplaza a velocidad w constante, y que persigue de manera óptima a otro que se desplaza en línea recta a velocidad también v constante.
Curva de persecución (en azul).
PROBLEMA N°01 ¿Qué ruta debe seguir un destructor para aniquilar a un submarino que huye en línea recta y en dirección desconocida, pero a velocidad constante? CASO 1:
El destructor avanza hasta que su distancia al origen iguale a la distancia del submarino al origen.
t1 =
( d1 ) vS t1 =
=
(x o - d1 ) vD xo
v D
vS
CASO 2:
El destructor avanza primero hasta llegar al origen, y sigue avanzando hasta que su distancia al origen sea igual que la distancia del submarino al origen.
t2 =
( d2 ) vS
=
(x o d 2 ) vD
t2 =
xo v D
vS
A partir de alguno de esos puntos, la estrategia consistirá en espiralear alrededor del origen, de tal modo que en todo tiempo la distancia del destroyer al origen sea la misma que la distancia del submarino al origen.
En coordenadas polares: Entonces:
Además:
Entonces:
La cual es una E.D de variables separables y cuya solución sería:
De donde se desprende que:
La trayectoria es una espiral logarítmic a y la constante c dependerá de cuál de los dos casos se elegirá como inicial.
Trayectoria del CASO 1
Trayectoria del CASO 2
Básicamente son la misma espiral pero con diferente comienzo.
PROBLEMA N 02 °
¿Qué trayectoria seguirá un perro al perseguir a un gato que corre en línea recta? Planteamiento
Un perro ve a un gato a una distancia xo
… el gato huye en línea recta
Escogemos un punto cualquiera (x,y) sobre la curva y calculamos la pendiente (m) de la recta tangente a la curva en tal.
Derivando la ecuación (1) :
Además:
puesto que x avanza en dirección negativa.
Y:
Haciendo:
entonces:
y
tendremos:
Evaluando las condiciones iniciales:
Cuando
Se entiende que
Es lógico, el perro debe ser más rápido para que algún día pueda alcanzar al gato. Así, la trayectoria de persecución será:
PROBLEMA N 03 °
¿Qué trayectoria se dibujará si cada hormiga persigue a la que está en el vértice siguiente?
Planteamiento
Asumir el lado del cuadrado = a
Calculamos la pendiente de la recta tangente a la trayectoria de una hormiga
Cuando
Entonces la trayectoria de una hormiga queda representada por:
Las trayectorias de las otras hormigas (en orden antihorario) ser án:
