Capítulo 1
Curvas dadas paramétricamente 1.1. 1.1.
Ecuaci Ecuaciones ones parame parametri tricas cas
Cuando la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano se ve como la curva de la figura, no podemos describirla con una fórmula cartesiana que exprese y directamente en función de x o x directamente en función de y . Si en una ecuación f ( f (x, y ) = 0, x y y son expresadas en términos de una sola variable en tal forma que la relación dada entre x y y sea válida, la tercera variable se llama parámetro. Las ecuaciones entre x y la tercera variable y y y la tercera variable se conocen como representación paramétrica de f ( f (x, y ) = 0 o de una parte de ella. Expresamos cada una de las coordenadas de la partícula en función del tiempo t y describimos la trayectoria con un par de ecuaciones x = f ( f (t) e y = g(t). Para estudiar el movimiento, son prefer preferibl ibles es ecuaci ecuacione oness com como o éstas éstas a una fórmu fórmula la cartes cartesian iana, a, porque porque nos dan la posició posición n de la partícula en cualquier tiempo t. Defini Definici ción ón 1.1 1.1
Curv Curva a para paramé métr tric ica a
f (t) e y = g (t). El conjunto de todos los Sea que en el conjunto I son dadas dos funciones x = f ( f (t), g(t)), t I, recibe el nombre de curva plana puntos del plano de coordenadas con coordenadas (f ( C . Las ecuaciones x = f ( f (t) e y = g (t) se denominan ecuaciones paramétricas C , donde a t se le conoce como parámetro.
∈
Sean P y Q los conjuntos de los valores de las funciones x = f ( f (t) e y = g (t), respectivamente, definidas sobre I. Para cada t I al valor de x = f ( f (t) contraponemos el valor de y = g(t).
∈
Con ello, puede suceder que al valor x P se ha contrapuesto más de un valor de y Q. Sea dada una regla de acuerdo con la cual, del conjunto de los valores de y, contrapuestos del modo indicado más arriba al valor de x, sólo se elige un valor. Las funciones x = f ( f (t) e y = g (t), t I, junto con la mencionada regla, definen la función y = f ( f (x), x P, de la que se dice que está prefijada paramétricamente.
∈
∈
∈
∈
Debemos entender, sin embargo, que puede ser difícil o imposible despejar la segunda variable. Este procedimiento puede conducir a una complicada función del parámetro, a menos que se elija cuidadosa y juiciosamente la función arbitraria del parámetro que se pone en ecuación con la primera variable. Una representación conveniente debe ser simple y debe dar la curva entera, a menos 1
CAPÍTULO 1. CURVAS DADAS PARAMÉTRICAMENTE
2
que se aclare de otro modo. Podemos obtener una representación paramétrica de una ecuación con dos variables en muchos casos, del siguiente modo: Igualando una de las variables a una función arbitraria del parámetro. Sustituyendo esta igualdad en la ecuación dada por la variable. Despejando la segunda variable en términos del parámetro. Ejemplo
1.1
Eliminando el parámetro t, obtenga la ecuación cuyo gráfico coincide con la
curva dada:
x = 2 + 3Cost x = Sent ; b) y = 3 + 4Sent y = (1 + Sent)Tant Solución a) Sabemos que Sen 2 t + Cos2t = 1, entonces a)
−
x = 2 + 3Cost
⇒
Cost =
2
2
x
− 2;
y=
3
Sen t + Cos t = 1
; c)
x = (t + 1)2 y = (t 1)2
−
−3 + 4Sent ⇒ 2
Sent =
2
y+3 4
+
3
y+3 4
2
− ⇒ x
.
= 1.
Reemplazando x en y, obtenemos
b)
y = (1 + Sent)Tant = (1 + x)
x Cost
⇒
Cost =
x(1 + x) y
Sabemos que Sen 2 t + Cos 2 t = 1, reemplazando Sent y Cost en esta ecuación, obtenemos: x2 + x2 y 2
−y
2
x2 (1 + x)2 =1 y2
+ x2 (1 + x)2 = 0
⇒ ⇒
x2 y2 + x2 (1 + x)2 = y 2 x2 (1 + x)2 + y 2(x2
− 1) = 0
Despejando el parámetro t en ambas ecuaciones, obtenemos:
c)
x = (t + 1)2
⇒
t=
√ x − 1;
y = (t
2
− 1) ⇒
t=
√ y + 1
Igualando ambas ecuaciones, tenemos
√ x − √ y − 2 = 0 1.2. 1.
Tarea Eliminando el parámetro t, obtenga la ecuación cuyo gráfico coincide con la curva dada:
a) b)
x = e−t , y = t3 .
c)
x = aCos2 t, y = bSen2 t.
d)
x = tet , y = te−t .
e)
x = et Cost, y = et Sent.
f)
x = e−t , y = e2t .
x = 2t + 3t2 , y = t2 + 2t3 .
CAPÍTULO 1. CURVAS DADAS PARAMÉTRICAMENTE
g)
h) i) j)
k)
l)
m)
1.3.
1 + ln t x= , t2 3 + 2ln t y= . t x = t3 + 3t + 1, y = t3 3t + 1.
n)
o)
− √ x = t + 1, t−1 y = √ . t +1 2
p)
2
x = ln Sen 2t , y = ln Sent. t 8 x= 2 , t 4 3 y= 2 . t(t 4) x = t2 + 6t + 5, t2 54 y= . t x = t ln t, ln t y= . t
q)
− − − −
r)
s)
− − − −−
x = a(t Sent), y = a(1 Cost). 1 x= , t+1 2 t y= . t+1 x = Cot2t, 2Cos2t 1 y= . 2Cost 3at x= , 1 + t3 3at2 y= . 1 + t3 x = Sen 2t, y = Cos 2 t. 2et x= , t 1 tet y= . t 1
3
t) u) v)
w)
x) y) z)
x = (t y = (t
2
− 1) (t − 2), − 1) (t − 3). x = t − 3π, y = t − bArcTant. 2
x = t + 2t2 + t3 , y = 2 + 3t t3 . 2at x= , 1 + t2 a(1 t2 ) y= . 1 + t2 x = t 1, y = t2 2t + 2.
−
−
−
− − x = 2 − 3Cost, y = 1 + 3Sent.
x = Tant, y = Sen2t + 2Cos2t.
Curvas paramétricas
Al dibujar una curva, dada por un par de ecuaciones paramétricas, seguiremos marcando los puntos en un plano XY . Cada par de coordenadas (x, y) queda determinado por un valor escogido para el parámetro t. Marcando los puntos en orden de t creciente, trazamos la curva en una dirección determinada. Nos referimos a ella como la orientación de la curva. El método simple de dibujo punto a punto para trazar la curva dada, es un proceso tedioso y puede simplificarse, a veces, hallando una ecuación rectangular que tenga la misma gráfica. Llamaremos a este proceso eliminación del parámetro. Si la función de t es una función trigonométrica, la eliminación de t se facilita mediante el uso de identidades trigonométricas. Los rangos de x e y involucrados en las ecuaciones paramétricas pueden verse alterados al cambiar a forma rectangular. En tal circunstancia, hay que ajustar el dominio de la ecuación rectangular de modo tal que su gráfica se adapte a la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Si las ecuaciones paramétricas representan la trayectoria de un objeto en movimiento, la gráfica por sí sola no es suficiente para describir el movimiento del objeto. Necesitaremos las ecuaciones paramétricas para saber la posición, dirección y velocidad en un instante dado. 1.
En este punto del esquema se pueden hallar las asíntotas de la curva. Para esto es necesario tener en cuenta lo siguiente: si para t si para t si para t
2.
→ t , x → x e y → ∞, entonces x = x es la asíntota vertical de la curva; → t , x → ∞ e y → y , entonces y = y es la asíntota horizontal de la curva; → t , x → ∞ e y → ∞, resulta que puede existir una asíntota oblicua. p
p
0
0
0
0
p
Se determina si la curva posee simetría, lo que permitirá reducir los cálculos. Al estudiar la simetría hace falta tomar en consideración cuatro casos, cuando en vez de todo el dominio D es suficiente examinar sólo su parte no negativa:
CAPÍTULO 1. CURVAS DADAS PARAMÉTRICAMENTE
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para todo t D: x(t) = x( t), y(t) = y( t) simetría con respecto al eje 0X ; para todo t D: x(t) = x( t), y(t) = y( t) simetría respecto al eje 0Y ; para todo t D: x(t) = x( t), y(t) = y( t) simetría respecto al origen de coordenadas; para todo t D: x(t) = x( t), y(t) = y( t) superposición.
∈ ∈ ∈
− − − − −
∈
− − −
−
− −
−
3.
Se hallan los valores nulos de las funciones x(t), y(t) y los intervalos donde estas funciones poseen signos constantes.
4.
Cuando a dos valores distintos t1 y t2 del parámetro t corresponde el mismo punto, a dicho punto se le denomina punto doble, pues p ertenece a dos ramas de la curva. Estos puntos son los correspondientes a valores a y b distintos que satisfacen x(a) = x(b) y y(a) = y(b). De forma análoga se definiría un punto de multiplicidad n.
Ejemplo 1.2 Graficar las curvas: t x = t3 + 3t + 1, x = t− , x = 2t3 3t2 + 1, 1 a) b) c) 1 y = t3 3t + 1. y=t− . y = t3 4t 1. t Solución a) Según la expresión, podemos darnos cuenta que el dominio es t R. Haciendo x(t) = x(k) y y(t) = y(k), obtenemos
−
2
2
− − −
∈
t3 + 3t + 1 = k 3 + 3k + 1
⇒
t=k k2 + 1 = 0
Como la primera ecuación no tiene raíces reales, entonces no tenemos valores de k. t3
3
− 3t + 1 = k − 3k + 1 ⇒
t=k k2 1 = 0
−
Resolviendo la segunda ecuación, tenemos que k = 1 y k = 1. Con estos nuevos valores y el dominio de la curva, construimos una tabla de la siguiente manera:
−
t x y
( ( (
−∞; −1) (−1; 1) (1; +∞) −∞; −3) (−3; 5) (5; +∞) −∞; 3) (3; −1) (−1; +∞)
De aquí podemos deducir que P ( 3, 3) es un punto de máximo y Q(5, 1) es un punto de mínimo. El intervalo ( ; 3) es creciente, (-3; 5) es decreciente y (5;+ ) es estrictamente creciente. b) Según la expresión, podemos darnos cuenta que el dominio es t R 0, 1 . Haciendo x(t) = x(k) y y(t) = y(k), obtenemos
−
−∞ −
t2 t
−1
− ∞ ∈ \{ }
=
k2 k
−1
⇒
t=k k(k 2) = 0
−
CAPÍTULO 1. CURVAS DADAS PARAMÉTRICAMENTE
5
De la primera ecuación obtenemos k = 0 y k = 2. t2
2
−1 = k −1 ⇒ t k
t=k k2 + 1 = 0
Resolviendo la segunda ecuación, obtenemos raíces imaginarias, por tanto no existen valores de k reales. Con estos nuevos valores y el dominio de la curva, construimos una tabla de la siguiente manera: El intervalo ( ; 0) es estrictamente decreciente, (0; ) es estrictamente decreciente, (+ ; 4) es creciente y (4;+ ) es estrictamente creciente. Podemos observar en el cuadro que y = 0 es asíntota horizontal.
∞
−∞ t x y
−∞
∞
( (
−∞; 0) (0; 1) −∞; 0) (0; −∞) (−∞; +∞) (−∞; 0)
(1; 2) (+ ; 4) (0; 3/2)
(2; + ) (4; + ) (3/2; + )
t=k k(k 1) = 0
∞ ∞ ∞ ∞ Según la expresión, podemos darnos cuenta que el dominio es t ∈ R. Haciendo x(t) = x(k) y
c) y(t) = y(k), obtenemos
2t3
2
− 3t
+ 1 = 2k 3
− 3k
2
+1
⇒
−
De la primera ecuación obtenemos k = 0 y k = 1. t3
3
− 4t − 1 = k − 4k − 1 ⇒
t=k 3k 2 4 = 0
−
√ √ Resolviendo la segunda ecuación, obtenemos k = 2 3 3 y k = 2 3 3 . Con estos nuevos valores y el dominio de la curva, construimos una tabla de la siguiente manera:
−
CAPÍTULO 1. CURVAS DADAS PARAMÉTRICAMENTE
−∞ −
El intervalo √ 0; 27−16 3
−
9
t x y
1.4. 1.
27+16 9
√
3
− ∞
es decreciente, √ 27−16 3 es decreciente y ;+ ;
( ( (
−
9
√
27+16 9
3
6
; 1 es decreciente, (1; 0) es decreciente,
es estrictamente creciente.
−∞; −1, 15) (−1, 15; 0) (0; 1) (1; 1, 15) (1, 15;+∞) −∞; −6, 08) (−6, 08; 1) (1; 0) (0; −0, 08) (−0, 08;+∞) −∞; −2, 08) (−2, 08; −1) (−1; −4) (−4; −4, 08) (−4, 08;+∞)
Tarea Graficar las curvas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
t2 x= , 1 + t3 t3 y= . 1 + t3 1 x= , t(t + 1) (t + 1)2 y= . t (t + 1)2 x= , t t+1 y= . t+2 t3 x= , 1 + t2 3 t 2t2 y= . 1 + t2 x = t3 3t, 2 t 1 y= . t 1 x= 3 , t t2 1 y= 2 . t t
− − − − −
g)
h)
i)
j)
k)
l)
x=
t2 1
,
− 2t t y= . 1 − 2t 1 x= , t−t 1 y= . t−t 3
2
x=
m)
n)
3
3
t+t , 1 + t4 t t3 y= . 1 + t4 t2 x= 2 , t 1 2 t +1 y= . t+2 t2 + 1 x= , t t3 + 1 y= . t2 t2 + 6t + 5 x= , 3 t3 54 y= . 2t x=
−
−
−
o)
p)
q)
r)
1
−t , t y= . 1−t t
5
4
4
2
5at , 1 + t5 5at3 y= . 1 + t5 3at x= , 1 + t3 3at2 y= . 1 + t3 at4 x= , 1 t3 3 at y= . 1 t3 2t x= , 1 t2 t2 y= . 1 t2 t3 x= 2 , t +1 t3 2t2 y= 2 . t +1 x=
− − − −
−
2.
Si una pelota es lanzada horizontalmente a 120 pies por segundo desde un punto a 4 pies sobre el terreno horizontal, ¿cuánto tiempo tardará la pelota para estar a sólo 1,44 pies sobre el terreno? ¿qué distancia recorrerá horizontalmente?
3.
Si una pelota es lanzada horizontalmente a 120 pies por segundo desde un punto a 4,5 pies sobre el terreno horizontal, ¿a qué distancia del terreno estará después de recorrer 60 pies?
4.
Una pelota es lanzada a 120 pies por segundo a un ángulo de 45◦ con la horizontal. ¿Cuánto tiempo tardará para estar a la misma altura sobre el terreno que al ser lanzada? ¿Qué distancia ha recorrido horizontalmente en este tiempo?
CAPÍTULO 1. CURVAS DADAS PARAMÉTRICAMENTE
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5.
Una pelota es lanzada a 96 pies por segundo a un ángulo de 30◦ sobre la horizontal. ¿Después de cuántos segundos estará a su distancia original sobre el nivel del terreno?
6.
Se dispara un cuerpo desde el origen con velocidad inicial v0 metros por segundo formando ángulo θ con el eje positivo X . Suponiendo que solo actúa la fuerza de gravedad sobre el cuerpo una vez disparado, obtener las ecuaciones paramétricas de su trayectoria tomando como parámetro el tiempo t, t mide los segundos transcurridos después del disparo.
7.
Se alcanza un pájaro de un tiro cuando va volando horizontalmente a 40 metros por encima del cazador. Si la velocidad que lleva es de 45 kilómetros por hora, hallar el tiempo que tarda en caer y la distancia a que caerá del cazador.
8.
Se lanza una bola hacia arriba desde el suelo con un ángulo de 60◦ con la horizontal y con velocidad inicial de 20 metros por segundo. Hallar: a) El tiempo que estará en el aire. b) Su alcance, es decir, la distancia horizontal que cubre. c) La máxima altura que alcanza.
9.
Una escalera de 10 metros se apoya sobre un suelo horizontal y está recostada en una casa. Un hombre se encuentra a 2/3 arriba de la escalera cuando el pie de ésta comienza a deslizarse. Hallar la trayectoria del hombre.
10.
Hallar el conjunto de los vértices de los triángulos rectángulos de hipotenusa 2a. Tómese la hipotenusa sobre el eje X con su punto medio en el origen y llámese θ un ángulo agudo del triángulo.
11.
Se arroja una piedra hacia arriba con velocidad inicial de 16 metros por segundo y formando 60◦ con la horizontal desde un montículo a 30 metros sobre el nivel de la superficie de un lago. Hallar: a) Su máxima altura sobre el lago. b) Cuándo caerá a la superficie del lago. c) Su distancia horizontal desde el punto en que se lanzó cuanto toca la superficie.
