CURSO_CONFIABILIDAD

CURSO DE CONFIABILIDAD

P. REYES / DIC. 2006


Elaboró: Dr. Primitio R!"!# A$%ilar Di&i!mbr! '! 2006

P($i)a 1



CON*ENIDO +. I)tro'%&&ió) a la &o),iabili'a'

2. Di#trib%&io)!# '! -robabili'a'

. o'!lo# '! 'i#trib%&io)!# '! -robabili'a' -ara !l ti!m-o '! ,alla

. E#tima&ió) '! -ar(m!tro# '!l mo'!lo

1. D!t!rmi)a&ió) '! la &o),iabili'a'

6. Pr%!ba# '! i'a a&!l!ra'a#

. Co),iabili'a' '! #i#t!ma#

3. a)t!)abili'a' " 'i#-o)ibili'a'

P($i)a 2



CON*ENIDO +. I)tro'%&&ió) a la &o),iabili'a'

2. Di#trib%&io)!# '! -robabili'a'

. o'!lo# '! 'i#trib%&io)!# '! -robabili'a' -ara !l ti!m-o '! ,alla

. E#tima&ió) '! -ar(m!tro# '!l mo'!lo

1. D!t!rmi)a&ió) '! la &o),iabili'a'

6. Pr%!ba# '! i'a a&!l!ra'a#

. Co),iabili'a' '! #i#t!ma#

3. a)t!)abili'a' " 'i#-o)ibili'a'

P($i)a 2



1. Introducción a la confiabilidad No !# #%,i&i!)t! 4%! %) -ro'%&to &%m-la la# !#-!&i,i&a&io)!# " &rit!rio# '! &ali' &ali'a' a' !#ta !#tabl bl!& !&i' i'o# o# #i)o #i)o 4%! 4%! a'!m a'!m(# (# !# )!&! )!&!#a #ari rio o 4%! 4%! t!)$ t!)$a a %) b%!) b%!) '!#!m-!5o '%ra)t! #% i'a til !# '!&ir 4%! #!a &o),iabl!. E#to &a'a !7 !7 &obra %)a im-orta)&ia ma"or 'a'o 4%! &ambia la t!&)olo$8a9 lo# -ro'%&to# #o) &a'a !7 !7 m(# m(# &om&om-l! l!o o#9 #9 lo# lo# &li! &li!)t )t!# !# #! tor) tor)a) a) &a'a &a'a !7 !7 m(# m(# !;i$ !;i$!) !)t! t!# # " la &om-!t!)&ia !# alta. Co),iabili'a' !# la -robabili'a' '! 4%! %) &om-o)!)t! o #i#t!ma '!#!m-!5! #ati# #ati#,a ,a&t &tor oria iam! m!)t )t! ! la ,%)& ,%)&ió ió) ) -ara -ara la 4%! 4%! ,%! ,%! &r!a &r!a'o 'o '%ra '%ra)t )t! ! %) -!rio -!rio'o 'o !#tabl!&i'o " bao &o)'i&io)!# '! o-!ra&ió) !#tabl!&i'o#. La &o),iabili'a' !# &ali'a' !) !l ti!m-o. Falla '! %) -ro'%&to #%&!'! &%a)'o '!a '! o-!rar9 ,%)&io)ar o )o r!ali7a #ati#,a&toriam!)t! la ,%)&ió) -ara la 4%! ,%! &r!a'o. El ti!m-o '! ,alla !# !l ti!m-o 4%! tra)#&%rr! tri&o " #!#$o -o#itio9 -or ta)to la# 'i#trib%&io)!# -ara mo'!lar !#to# ti!m-o# '! ,alla #o) la Weibull, Weibull, lognormal, lognormal, exponencial exponencial y gamma, gamma, la 'i#trib%&ió) )ormal &a#i )o #! %tili7a.

P($i)a 3



2. i!) i!)tr tra# a# 4%! 4%! !) !#ta !#ta'8 '8#t #ti& i&a a lo 4%! 4%! i)t! i)t!r! r!#a #a #o) #o) lo# lo# -ar( -ar(m! m!tr tro# o# '! la -obla&ió) m!'ia " '!#ia&ió) !#t()'ar9 !) la &o),iabili'a' lo 4%! i)t!r!#a #o) la# ta#a# '! ,alla9 la# -robabili'a'!# '! ,alla " lo# &%a)til!#. U) &%a)til !# !l ti!m-o t- # '! -r%!ba# la# 4%! !) al$%)a# o&a#io)!# #o) &o#to#a#. . A !&!# !l ti!m-o -ara ob#!rar la# ,alla# !# m%" lar$o " !# )!&!#ario &ortar !l ti!m-o '! -r%!ba9 'a)'o l%$ar a ob#!ra&io)!# &!)#%ra'a#. Normalm!)t! #! r!4%i!r! !;tra-olar lo# r!#%lta'o#9 -or !!m-lo al !#timar la ta#a '! ,alla a la# +09000
Datos censurados

Censura

P($i)a 4



S! ti!)!) 'ato# &!)#%ra'o# &%a)'o )o #! &o)o&!) lo# ti!m-o# '! ,alla '! la# %)i'a'!# '! ma)!ra !;a&ta9 #i)o #olo lo# i)t!ralo# '! ti!m-o 'o)'! o&%rri!ro) o <%bi!ra) o&%rri'o la# ,alla#. E# i),orma&ió) -ar&ial #obr! lo# ti!m-o# '! ,alla. Al$%)a# '! la# ,%!)t!# '! &!)#%ra #o) la# #i$%i!)t!#:   

*i!m-o ,io '! t!rmi)a&ió) '! la -r%!ba *i!m-o# '! i)#-!&&ió) l8mit!# #%-!rior!# ! i),!rior!# !) * o'o# '! ,alla mlti-l!# tambi>) &o)o&i'o# &omo ri!#$o# !) &om-!t!)&ia9 " 'a)'o -or r!#%lta'o &!)#%ra -or la '!r!&
*IPOS DE CENSURA 



C!)#%ra -or la '!r!&
C!)#%ra -or la i74%i!r'a: O&%rr! &%a)'o al i)#-!&&io)ar la# %)i'a'!# '!#-%># '! %) -!rio'o '! ti!m-o #! !)&%!)tra 4%! al$%)a# ,allaro)9 -!ro )o #! #ab! !l mom!)to '! #% o&%rr!)&ia.

P($i)a 5







C!)#%ra -or i)t!ralo &%a)'o #! i)#-!&&io)a !) i)t!ralo# '! ti!m-o " #! ob#!ra) ,alla# !) &i!rto i)t!ralo -!ro )o #! &o)o&! !;a&tam!)t! !) 4%! mom!)to o&%rri!ro)9 #! &!)#%ra) lo# -ro'%&to# #obr!ii!)t!#. C!)#%ra mlti-l!: C%a)'o !) !l mi#mo !#t%'io #! ti!)!) 'i,!r!)t!# ti-o# '! &!)#%ra.

E!m-lo: A B

X 



C  D

Fig. 1 Tipos de censura: A sin censura; B Censura por la izquierda; C Censura por la derecha; D censura por intervalo.

. Distribuciones de !robabilidad

P($i)a 6



"erosi#ilitud $!robabilidad de los datos% La !ro#imilit%' -ro-or&io)a %) m>to'o $!)!ral " !r#(til '! !#tima&ió)9 #! -r!,i!r!) la# &ombi)a&io)!# '! o'!lo/Par(m!tro# &o) !ro#imilit%' $ra)'!. P!rmit! &!)#%ra9 i)t!ralo#9 " 'ato# tr%)&a'o#. La ,orma '! la !ro#imilit%' '!-!)'!r( '!l: -ro-ó#ito '!l !#t%'io9 mo'!lo a#%mi'o9 #i#t!ma '! m!'i&ió) ! i'!)ti,i&a&ió) " -aram!tri7a&ió). La &o)trib%&ió) -or 'i,!r!)t!# ti-o# '! &!)#%ra !# &omo #i$%!:

Por !!m-lo -ara la ,%)&ió) '! 'i#trib%&ió):

La !ro#imilit%' !) &!)#%ra -or i)t!ralo !#:

Si %)a %)i'a' &o)ti)%a o-!ra)'o !) !l ti!m-o *?+.0 -!ro
Si %)a ,alla #! '!t!&ta !) la -rim!ra i)#-!&&ió) a %) ti!m-o t?0.19

P($i)a 7



Li ? F0.1 ? .261 La !ro#imilit%' '! &!)#%ra -or la '!r!&
Si %)a %)i'a' &o)ti)%a o-!ra)'o !) la %ltima i)#-!&&ió) !) !l ti!m-o *?2.09 Li ?+ = F2 ? 0.033 Para %)a tabla '! ti!m-o# '! i'a #! ti!)!: Lo# 'ato# #o): !l )m!ro '! la# ,alla# 'i9 &!)#%ra'a# -or la '!r!&
Si #! #%-o)! 4%! la &!)#%ra !# !) ti:

Tipo de censura

Característica

Numero de casos

Verosimilitud de los datos L(πi)

!"uierda de tnter'alo i

T # ti

li

$%(ti)& li

ti(1  T  ti

di

$%(ti)%(ti(1)&di

*erec+a de t i

T#ti

r i

$1%(ti)&ri

P($i)a 8



An&lisis no !ara#'trico de los tie#!os de falla Para la !#tima&ió) )o -aram>tri&a '! Fti &o) ba#! !) la t!or8a bi)omial -ara 'ato# &o) &!)#%ra #im-l! '! i)t!ralo #! ti!)!: Co) lo# 'ato#: ) ? tama5o '! m%!#tra Di ?  '! ,alla# !) !l i!#imo i)t!ralo D! la 'i#trib%&ió) bi)omial #! ti!)!:

Por !!m-lo #i !) %)a m%!#tra '! ) ? +009 !) !l -rim!r i)t!ralo #! obti!)!) '+ ? 2 ,alla#9 !) !l #!$%)'o -!rio'o #! obti!)!) '2 ? 2 ,alla# " !) !l -!rio'o ' ? 2 ,alla#9 !)to)&!#:

!#t( '!,i)i'a #ólo al ,i)al '!l i)t!ralo

P($i)a ,



E# !l !#tima'or '! m(;ima !ro#imilit%' '! Ft. El i)&r!m!)to !)

a &a'a alor '! ti !#

El )i!l '! &o),ia)7a !;-r!#a la &o),ia)7a )o -robabili'a' '! 4%! %) i)t!ralo !#-!&8,i&o &o)ti!)! la &a)ti'a' '! i)t!r>#. La -robabili'a' '! &ob!rt%ra !# la -robabili'a' '! 4%! !l -ro&!'imi!)to 'ar( l%$ar a %) i)t!ralo 4%! &o)ti!)! la &a)ti'a' '! i)t!r>#. U) i)t!ralo '! &o),ia)7a !# a-ro;ima'o #i !l )i!l !#-!&i,i&a'o '! la &o),ia)7a )o !# i$%al a la -robabili'a' r!al '! la &ob!rt%ra. Co) 'ato# &!)#%ra'o# la ma"or8a '! lo# i)t!ralo# '! &o),ia)7a #o) a-ro;ima'o#9 -ara m!orar la# a-ro;ima&io)!# #! r!4%i!r!) m(# &(l&%lo#. El i)t!ralo '! &o),ia)7a '! Fti &o) ba#! !) la 'i#trib%&ió) bi)omial !#:

Do)'!

!# !l &%a)til +00+=α/2 '!

"

la 'i#trib%&ió) F &o) γ +9 γ 2 $ra'o# '! lib!rta'. U#a)'o la a-ro;ima&ió) )ormal '!l i)t!ralo '! &o),ia)7a -ara Fti9 !l i)t!ralo a-ro;ima'o '!l &%a)til +00+=α !) J -ara Fti !#ta 'a'o -or:

E# !l &%a)til +00+= α/2 '! la 'i#trib%&ió) )ormal !#t()'ar.

E# %)a !#tima&ió) '! la '!#ia&ió)

!#t()'ar '! D!l !!m-lo -ara %) )i!l '! &o),ia)7a '!l 1J #! ti!)!:

P($i)a 1-



C%a)'o !l )m!ro '! i)#-!&&io)!# #! i)&r!m!)ta9 !l a)&tri&a '! Fti &o) ba#! !) 'ato# -or i)t!ralo " &!)#%ra mlti-l! -or la '!r!&
)?tama5o '! m%!#tra 'i ? )%m!ro '! ,alla# !) !l i)t!ralo i )i ? &o)%)to bao ri!#$o al ti!m-o t=+ ri ? )%m!ro '! ob#!ra&io)!# &!)#%ra'a# al ti!m-o ti E) !l l8mit!9 #i !l )%m!ro '! i)t!ralo# a%m!)ta9 !l a)&
P($i)a 11



P($i)a 12



Función de densidad de !robabilidad La ,%)&ió) '! '!)#i'a' ,t !# &o)ti)%a #i &%m-l! -ara ,t ? 0 !l (r!a bao la &%ra !# i$%al a +9 !) &o),iabili'a' !l i)t!ralo !# '! &!ro a i),i)ito o #!a: ∞

∫ f (t )dt =1 − ∞

Para !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial #! ti!)! 4%!: f (t )=λ e −λ . t ≥ t

Función de distribución acu#ulada E#ta ,%)&ió) #! '!,i)! &omo la i)t!$ral '! la ,%)&ió) '! '!)#i'a' '!#'! &!ro
P (T ≤ t ) = F (t )

= ∫ f ( x)dx =1 -

Para !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial #! ti!)!: t

P (T ≤ t )

= F (t ) = ∫ λ e −λ x dx = −e −λ x t - = 1 − e −λ t / t ≥ -

Función de confiabilidad E# %)a ,%)&ió) '!&r!&i!)t! '!)omi)a'a tambi>) ,%)&ió) '! #%-!ri!)&ia !# la -robabili'a' '! #obr!iir
ft!

#

1

tie$po

Fig.% Funci&n de densidad

Ft!

#

tie$po Funci&n de distri'uci&n P($i)a 13

1

"t!

#

tie$po Funci&n de



Acu$ulada

confia'ilidad

Función de ries(o ) *asa de ries(o ) *asa instant&nea de ries(o S! '!,i)! &omo: h (t )

=

f (t ) R (t )

E# !l r!#%lta'o '!l #i$%i!)t! l8mit!: h(t ) = lim

P (t < T < T + ∆ T > t )

∆→-

∆

R!-r!#!)ta la -robabili'a' '! ,alla i)#ta)t()!a !) !l ti!m-o t H ∆t 'a'o 4%! la %)i'a' "a #obr!iió
"ida +til de un !roducto La i'a til '! %) -ro'%&to #! -%!'! r!-r!#!)tar -or %)a &%ra '! la ba5!ra9 &omo #i$%!: ,t

tiempo (ortalidad -nfantil o Fallas te$pranas

)ida *til o fallas aleatorias

+nve,eci$iento o fallas por desgaste

Fi$.  La &%ra '! la ba5!ra &o) !l &i&lo '! i'a '! %) -ro'%&to 



La mortali'a' i),a)til r!-r!#!)ta la# ,alla# '!bi'a# a -robl!ma# '! 'i#!5o o !)#ambl! &o) ta#a '! ,alla '!&r!&i!)t! r!#-!&to al ti!m-o. Normalm!)t! #!
P($i)a 14





La 7o)a '! '!#$a#t! o !)!!&imi!)to r!-r!#!)ta la 7o)a '! ta#a '! ,alla &r!&i!)t! &%a)'o !l &om-o)!)t! !#t( ll!$a)'o a #% i'a til.

Función de ries(o acu#ulado E# la i)t!$ral
∫

H (t ) = h ( x ) dx

=1

-

Por m!'io '! !#ta ,%)&ió) tambi>) #! -%!'! &al&%lar la &o),iabili'a' &omo #i$%!: R (t )

= e − H ( t )

"ida !ro#edio o tie#!o #edio entre falla $,*BF% La i'a m!'ia !# !l alor !#-!ra'o o m!'ia '! la ariabl! * &omo #i$%!: t ∞

E (t )

= ∫ tf (t ) dt -

La i'a m!'ia -ara !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial !#:

Por ta)to -ara la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial la i'a m!'ia !# la i)!r#a '! la ta#a '! ri!#$o.

Función cuantil El cuantil p !# !l ti!m-o t- al &%al ,alla %)a -or&ió) '! la# %)i'a'!#. S! '!,i)! !) t>rmi)o# '! la 'i#trib%&ió) a&%m%la'a &omo: t p

= F −1 ( p)

La ,%)&ió) F=+- !# la ,%)&ió) i)!r#a '! Ft. E) !l &a#o !;-o)!)&ial r!#%lta '! '!#-!ar t &omo #i$%!: t p

= F −1 ( p) = − 1 ln(1 − F (t )) = − 1 ln(1 − p) λ

λ

Ejemplo: S! #om!t!) 20 &om-o)!)t!# a %)a -r%!ba '! i'a " la#
P($i)a 15


U)i'a' + 2   1 6  3  +0 ++ +2 + + +1 +6 + +3 + 20


ora# .0 .1 +2.+3 23.11 2. +.6+ 6.3 1+.+ +03.+ +21.2+ +21.1 ++.6 +13.6+ +2.6 +.+2 +31. 2+2.3 230.0 1+.23 +.

Si la#
t − 1 f (t )= e 133 043 133 043

La ,%)&ió) '! 'i#trib%&ió) a&%m%la'a !# la #i$%i!)t!: F (t )=1 − e

1 t 133 043

−

La -robabili'a' '! 4%! lo# &om-o)!)t!# ,all!) a)t!# '! la# 20
R (t )= e

−

1

133043

t

P($i)a 16



Y la ,%)&ió) '! ri!#$o !#: h (t )

=

1 133 043

-. ,odelos $distribuciones de !robabilidad% !ara el tie#!o de falla Lo# mo'!lo# 4%! #! %tili7a) -ara !l ti!m-o '! ,alla #o): !ib%ll9 alor !;tr!mo9 !;-o)!)&ial9 )ormal " lo$)ormal. A4%8 #! mo#trar() #%# ,%)&io)!# '! '!)#i'a' ,t9 'i#trib%&ió) a&%m%la'a Ft9 ,%)&ió) '! &o),iabili'a' Rt " ,%)&ió) o ta#a '! ri!#$o <t. *ambi>) #! i)&l%"!) la i'a m!'ia " la ,%)&ió) &%a)til '! &a'a 'i#trib%&ió). Distribución e!onencial de un !ar&#etro o'!lo '! &o),iabili'a' -ara ta#a '! ri!#$o &o)#ta)t!9 '! &om-o)!)t!# '! m%" lar$a i'a " alta &ali'a' 4%! )o !)!!&!)Q '%ra)t! #% i'a til. S! 'i&! 4%! !#ta 'i#trib%&ió) ti!)! falta de memoria "a 4%! )o im-orta !l ti!m-o 4%!
La ,%)&ió) &%a)til " la i'a m!'ia #o): t p

= −(1  λ ) ln(1 − p)/

E (T )

=1  λ

E) ,%)&ió) '! la m!'ia #! ti!)! *BF ? θ:

P($i)a 17



ft!

#

1

tie$po

Ft!

#

tie$po

Fig. Funci&n de densidad

Funci&n de distri'uci&n Acu$ulada

.003

Funci&n de riesgo

El !,!&to '! la ta#a '! ,alla !) la -', !#:

P($i)a 18

1

"t!

#

tie$po Funci&n de confia'ilidad



Distribución e!onencial de dos !ar&#etros Para:



γ !# %) -ar(m!tro Do)'! θ  0 !# %) -ar(m!tro '! !#&ala " lo&ali7a&ió) " ,ro)t!ra. C%a)'o γ ? 0 #! ti!)! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial '! %) -ar(m!tro.

Lo# &%a)til!# #o): *- ? γ = θ lo$ +=- Lo# om!)to# #o).

P($i)a 1,



Distribución /eibull de dos !ar&#etros E# %)a 'i#trib%&ió) ,l!;ibl! 'o)'! #% ta#a '! ,alla -%!'! #!r '!&r!&i!)t!9 &o)#ta)t! o &r!&i!)t! '!-!)'i!)'o '! #%# -ar(m!tro#. Normalm!)t! #! '!,i)! &o) 'o# -ar(m!tro#: !l '! ,orma β 4%! ti!)! !,!&to #obr! la ,orma '! la 'i#trib%&ió) " !l '! !#&ala η 4%! a,!&ta la !#&ala '!l ti!m-o '! i'a. La t!or8a '! alor!# !;tr!mo# '!m%!#tra 4%! la 'i#trib%&ió) '! !ib%ll #! -%!'! %tili7ar -ara mo'!lar !l m8)imo '! %)a $ra) &a)ti'a' '! ariabl!# al!atoria# -o#itia# i)'!-!)'i!)t!# '! &i!rta 'i#trib%&ió): tal!# &omo ,alla '! %) #i#t!ma &o) %)a $ra) &a)ti'a' '! &om-o)!)t!# !) #!ri! " &o) lo# m!&a)i#mo# '! ,alla a-ro;ima'am!)t! i)'!-!)'i!)t!# !) &a'a &om-o)!)t!. S%# ,%)&io)!# b(#i&a# #o): β −1

f (t ) =

β  t 

 

 η   η 

F (t ) =1 −

β  t   −  η e  

 t  β  −  η e  

Di#trib%&ió) '! '!)#i'a' Di#trib%&ió) a&%m%la'a

β

R (t ) =

 t  −   e  η 

F%)&ió) '! &o),iabili'a' β −1

β  t  h (t ) =    η   η 

F%)&ió) '! ri!#$o

La i'a m!'ia " la ,%)&ió) &%a)til #o) la# #i$%i!)t!#: E (T ) t p

=η Γ (1 +1  β )

=η [ − ln(1 − p) ]1  β

La ,%)&ió) $amma #! '!,i)! &omo: ∞ 1 −t x − Γ ( x) =∫ t e dt

!)!rali7a&ió) '!l ,a&torial '! %) )m!ro

-

Γ ( x) = ( x −1)Γ ( x −1)

Para &%al4%i!r )m!ro

Γ ( n) = (n −1)

Para )m!ro# !)t!ro#

P($i)a 2-


β?0.1


β?+

β?2

+

*i!m-o Figura /. Funciones de densidad

Funciones de riesgo

E) $!)!ral &%a)'o !l -ara alor!# '! b!ta 0 β+ la ,%)&ió) '! ri!#$o !# '!&r!&i!)t! " -ara alor!# '! β+ la ,%)&ió) '! ri!#$o !# &r!&i!)t!. β tambi>) #! &o)o&! &omo -!)'i!)t!.

P($i)a 21



P($i)a 22



P($i)a 23



E#ta 'i#trib%&ió) #! a-li&a a -ro'%&to# &o) ario# &om-o)!)t!# '! i'a #imilar9 'o)'! &%a)'o ,alla %) &om-o)!)t! ,alla !l -ro'%&to.

P($i)a 24



Distribución /eibull de tres !ar&#etros E) o&a#io)!# la# ,alla# )o !m-i!7a) a ob#!rar#! '!#'! !l ti!m-o &!ro #i)o # '!#-%># '! %) -!rio'o -!rio'o γ 9 !# '!&ir # '! !#t! ti!m-o la -robabili'a' '! ,alla !# ma"or a &!ro. Para !#to #! i)tro'%&! !) la 'i#trib%&ió) %) -ar( -ar(m! m!tro tro '! lo&a lo&ali7 li7a& a&ió ió) ) 4%! 4%! r!&o r!&orr rr! ! !l i)i& i)i&io io '! la 'i#t 'i#trib rib%& %&ió ió) ) a la '!r!&
β −1

f (t ) =

β  t −γ    η  η  

β

 t −λ   − η  e  

Di#trib%&ió) '! '!)#i'a'

β

F (t )

=1 −

 t −λ   −  e  η 

Di#trib%&ió) a&%m%la'a

β

R (t ) =

  − t −γ  η    e

F%)&ió) '! &o),iabili'a' β −1

β  t −γ  h(t ) =   η   η  

F%)&ió) '! ri!#$o

Do)'! t? γ La i'a m!'ia " la ,%)&ió) &%a)til #o) la# #i$%i!)t!#: E (T ) = γ +η Γ (1 +1  β )

t p

= γ +η [ − ln(1 − p) ]1  β

E) !l &a#o '! β?+ #! ti!)! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial.

P($i)a 25



Ejemplo: S!a la ,%)&ió) '! ri!#$o '! !ib%ll 'a'a -or: h (t ) = (-05  1---)(t  1---) −-05

t #! !;-r!#a !) a5o#

Si #! im-l!m!)ta %) -!rio'o '! 4%!ma'o (burn-in) '! (burn-in) '! 6 m!#!# (t b=0.5)9 =0.5)9 a 4%! ti!m-o la# %)i'a'!# #obr!ii!)t!# t!)'r() %)a &o),iabili'a' '! 0J. D! la ,%)&ió) '! ri!#$o9 !l -ar(m!tro '! ,orma β?0.1 " !l -ar(m!tro '! !#&ala !# η?+000. S%#tit%"!)'o !#to# alor!# !) la ,%)&ió) '! &o),iabili'a' '! !ib%ll #! ti!)!: -05

R (t ) = -0, =

t  −   1---   e

[ − ln(-0,-)] =1101

t =1---

2

A #!i# m!#!# la &o),iabili'a' '! la# %)i'a'!# #obr!ii!)t!# !#tar( 'a'a -or la -robabili'a' &o)'i&io)al #i$%i!)t!:

P($i)a 26


C (t t > t b ) = -0,- =

R (t + t b ) R(t b )


=

ep [ − ((t + -05)  1---) -05 ] ep [ − (-05)  1---) -05 ]

I$%ala)'o a 0J " '!#-!a)'o -ara t #! obti!)! t ? +1 a5o#9 !# '!&ir !l -!rio'o '! 4%!ma'o !limi)ar8a %)i'a'!# '>bil!# 4%! ,allar8a) -ro)to " la# %)i'a'!# #obr!ii!)t!# ti!)!) ma"or &o),iabili'a'.

Distribución "alor etre#o !ara #0ni#os S! %tili7a -ara '!#&ribir la i'a '! -ro'%&to# &%"a '%ra&iTTo) !#t( '!t!rmi)a'a -or la i'a m8)ima '! #%# &om-o)!)t!#: f (t ) =

 t − µ − ep t − µ   1 ep    σ  σ    σ  

F%)&ió) '! '!)#i'a'

 t − µ     σ  

F (t ) = 1 − ep − ep 

 

  t − µ     σ  

R(t ) = ep  − ep

h(t )

=

F%)&ió) '! 'i#trib%&ió)

F%)&ió) '! &o),iabili'a'

1 t − µ  ep  σ  σ 

F%)&ió) '! ri!#$o

La i'a m!'ia " la ,%)&ió) &%a)til #o) la# #i$%i!)t!#: E (T ) = µ + -05772σ t p

0.12 &o)#ta)t! '! E%l!r

= µ +σ ln[ − ln(1 − p)]

α?+

α?2

α?

+

*i!m-o Figura 0. Funciones de densidad

Funciones de riesgo

La 'i#trib%&ió) alor !;tr!mo #! r!la&io)a &o) la 'i#trib%&ió) !ib%ll 'o)'! #i la ariabl! * #i$%! %)a 'i#trib%&ió) !ib%ll  β9 η9 #% lo$artimao l)* #i$%! %)a

P($i)a 27



'i#trib 'i#trib%& %&ió) ió) alor alor !;tr!m !;tr!mo o &o) -ar(m -ar(m!tr !tro# o# '! !#&ala !#&ala σ?+/β " -ar(m!tro '! lo&ali7a&ió) µ?l)η. Para:

Do)'!

So) ,'- " ,'a -ara %)a )ormal !#t()'ar µ !# !l -ar(m!tro '! lo&ali7a&ió) " σ !# !l -ar(m!tro '! !#&ala. Lo# &%a)til!# #o):

Do)'!

!# !l &%a)til - '! %)a )ormal !#t()'ar.

Lo# om!)to# #o):

P($i)a 28



Distribución de los alores etre#os #&i#os Para

Do)'!:

So) ,'- " ,'a -ara %)a 'i#trib%&ió)

µ !# !l -ar(m!tro '! lo&ali7a&ió) " σ !# !l -ar(m!tro '! !#&ala. Lo# &%a)til!# #o):

La m!'ia " la aria)7a #o) la# #i$%i!)t!#:

P($i)a 2,



Distribución nor#al No !# m%" %tili7a'a !) &o),iabili'a' 'a'o #% &om-ortami!)to #im>tri&o9 !l &om-ortami!)to '!l ti!m-o '! i'a !# a#im>tri&o9 #i) !mbar$o !# %) mo'!lo a'!&%a'o &%a)'o m%&
1

f (t ) =

2πσ

e

1 t − µ  −    2  σ 

F%)&ió) '! '!)#i'a'

 t − µ    σ 

t

∫

F (t ) = f ( x) dx = Φ −∞


t − µ  = 1 − ∫ f ( x)dx =1 − Φ   σ   −∞ t

R (t )


La i'a m!'ia " la ,%)&ió) &%a)til !#ta) 'a'a# -or:

= µ = µ +σ Φ−1 ( p)

E (T ) t p

Do)'! Φ=+ !# la ,%)&ió) i)!r#a '! la 'i#trib%&ió) )ormal !#t()'ar a&%m%la'a.

α?+

α?2

α?

+

P($i)a 3-


*i!m-o Figura 0. Funciones de densidad


Funciones de riesgo

P($i)a 31



P($i)a 32



Distribución lo(nor#al E#ta 'i#trib%&ió) !# a-ro-ia'a &%a)'o lo# ti!m-o# '! ,alla #o) !l r!#%lta'o '! m%&&tri&o#. La 'i#trib%&ió) lo$)ormal !# %) mo'!lo &om) -ara lo# ti!m-o# '! la ,alla9 #! %#ti,i&a -ara %)a ariabl! al!atoria obt!)i'a &omo !l -ro'%&to '! %) )m!ro ariabl!# al!atoria# -o#itia#9 i)'!-!)'i!)t!# ! i'>)ti&am!)t! 'i#trib%i'a#. S! #! -%!'! a-li&ar &omo mo'!lo '! !l ti!m-o '! ,alla &a%#a'o -or %) -ro&!#o '! '!$ra'a&ió) &o) ta7a# al!atoria# 4%! #! &ombi)a) m%lti-li&atiam!)t!. La 'i#trib%&ió) lo$)ormal #! r!la&io)a &o) la )ormal "a 4%! #i * #i$%! %)a 'i#trib%&ió) lo$)ormal9 #% lo$aritmo #i$%! %)a 'i#trib%&ió) )ormal. O #i * ti!)! %)a 'i#trib%&ió) )ormal9 Y?!;-* #i$%! %)a 'i#trib%&ió) lo$)ormal. S%# ,%)&io)!# b(#i&a# #o) la# #i$%i!)t!#:

  f (t ) = σ t   1

1 2πσ

2 ln(t ) − µ  −1    σ  e 2 

=

F%)&ió) '! '!)#i'a'

ln(t ) − µ 

t

F (t )

  

∫ f ( x)dx = Φ 

−∞

t

∫

R (t ) =1 − f ( x ) dx −∞

σ

 


ln(t ) − µ  =1 − Φ    σ 


La i'a m!'ia " la ,%)&ió) &%a)til !#ta) 'a'a# -or: E (T ) = ep( µ +σ 2  2 ) t p

= ep( µ +σ Φ−1 ( p)

P($i)a 33



P($i)a 34



P($i)a 35



Do)'! !l &%a)til -ara la 'i#trib%&ió) )ormal !#

La m!'ia " !l &%a)til !#:

P($i)a 36



Distribución lo(0stica Para:

µ !# !l -ar(m!tro '! lo&ali7a&ió) " σ  0 !# !l -ar(m!tro '! !#&ala Do)'!

"

#o) ,'- " ,'a -ara %)a lo$i#ti&a !#ta)'ari7a'a 'a'a -or:

Lo# &%a)til!# #o):

Co)

!# !l - !#imo &%a)til -ara %)a 'i#trib%&ió) lo$8#ti&a !#t()'ar. La m!'ia " la aria)7a #o):

P($i)a 37



E!m-lo#:

Distribución Lo(lo(0stica Si

entonces

Co):

Do)'! " #o) ,'- " ,'a -ara %)a lo$i#ti&a !#t()'ar . E;- µ !# !l -ar(m!tro '! lo&ali7a&ió) " σ  0 !# !l -ar(m!tro '! !#&ala. La m!'ia -ara #i$ma  + !#:

Y -ara #i$ma   !#:

P($i)a 38



P($i)a 3,



2. Esti#ación de !ar&#etros del #odelo Lo# mo'!lo# -aram>tri&o# &om-l!m!)ta) a la# t>&)i&a# )o -aram>tri&a#. Lo# mo'!lo# -aram>tri&o# #! -%!'!) '!#&ribir &o) -r!&i#ió) &o) a-!)a# al$%)o# -ar(m!tro#9 !) !7 '! t!)!r 4%! r!-ortar %)a &%ra !)t!ra. E# -o#ibl! %tili7ar %) mo'!lo -aram>tri&o -ara !;tra-olar !) ti!m-o a la &ola i),!rior a o #%-!rior '! %)a 'i#trib%&ió). E) la -r(&ti&a a m!)%'o !# til &om-arar ario# a)(li#i# -aram>tri&o# " )o -aram>tri&o# '! %) &o)%)to '! 'ato#. Funciones de los !ar&#etros F%)&ió) '! 'i#trib%&ió) a&%m%latia

El - &%a)til !# !l alor ma# -!4%!5o '! t- tal 4%!

La ,%)&ió) '! Ri!#$o

El ti!m-o m!'io '! ,alla9 **F9 '! * tambi>) &o)o&i'a &omo !#-!ra)7a '! *.

Si !#ta i)t!$ral )o &o)!r$!9 #! 'i&! 4%! la m!'ia )o !;i#t!. La aria)7a o !l #!$%)'o mom!)to &!)tral '! * " la '!#ia&ió) !#t()'ar #o):

El &o!,i&i!)t! '! aria&ió) !#:

P($i)a 4-



Distribuciones con !ar&#etros de locali3ación 4 escala Para la# 'i#trib%&io)!# '! !#ta ,amilia #% ,'a #! -%!'! !;-r!#ar &omo.

Dó)'! =∞  V  ∞ !# %) -ar(m!tro '! lo&ali7a&ió) " Wσ 0 !# %) -ar(m!tro '! !#&ala.

Φ !# la ,'a '! Y &%a)'o V ? 0 " σ ? + " Φ )o '!-!)'! '! )i)$) -ar(m!tro '!#&o)o&i'o. Como !) la 'i#trib%&ió) '! X ? Y= V  / W σ 4%! )o '!-!)'! '! )i)$) -ar(m!tro '!#&o)o&i'o. La# 'i#trib%&io)!# !#ta'8#ti&a# '! !#ta &la#! '! 'i#trib%&io)!# #o) la# #i$%i!)t!#: 'i#trib%&io)!# !;-o)!)&ial!#9 )ormal!#9 !ib%ll9 lo$)ormal9 lo$lo$i#ti&a9 lo$8#ti&a#9 " '! alor !;tr!mo#. S% t!or8a !# r!latiam!)t! #im-l!.

Resu#en de #odelos de confiabilidad E) la tabla #i$%i!)t! #! r!la&io)a la 'i#trib%&ió) '! lo# ti!m-o# '! ,alla * &o): + La# tra)#,orma&io)!# i'ó)!a# -ara *- 9 " 2 La# 'i#trib%&io)!# 4%! #i$%!) lo# r!#i'%o#.

P($i)a 41



Es!ecificación de la distribución de ida 4 esti#ación (r&fica de sus !ar&#etros U) -rim!r -a#o !) %) !#t%'io '! &o),iabili'a' !# i'!)ti,i&ar la 'i#trib%&ió) 4%! m!or mo'!la lo# ti!m-o# '! ,alla o i'a '! lo# -ro'%&to#. Lineari3ación de la función de distribución acu#ulada $fda% E#to !# )!&!#ario -ara '!t!rmi)ar la &o),iabili'a' %#a)'o -a-!l '!-robaili'a' '! !ib%ll: Para !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial #! ti!)!: F (t )=1 −e

−

t

θ

S! '!'%&! 4%!: e

−

t

θ

=1 − F (t )

−ln[1 − F (t )] =

t

θ

E# la !&%a&ió) '! la r!&ta " ? a; &o) " ? =l)+=Ft " ; ? t. La -!)'i!)t! '! la r!&ta !# +/θ. Por ta)to #! -%!'!) $ra,i&ar lo# -ar!# or'!)a'o# ti9 =l)+= Fti &o) Fti ? i=0.1/)9 !) -a-!l or'i)ario o $ra,i&ar !) -a-!l !;-o)!)&ial lo# -ar!# ti9 i=0.1/).

 t    θ 

1 − ep −

E;-o)!)&ial

− lo(1 − p(i ) ) =

t ( i )

θ

Para !l &a#o '! !ib%ll '!la ,%)&ió) &%a)til: t p

=η [ − ln(1 − p) ]1  β

*oma'o lo$aritmo# )at%ral!# '! ambo# la'o# " #%#tit%"!)'o - -or F,t !# lo mi#mo9 #! obti!)!: ln(t )

= ln(η ) + 1

β

ln [ −ln(1 − F (t ) ]

R!a&omo'a)'o la !&%a&ió) 4%!'a &omo: ln

[ − ln(1 − F (t )] = −β ln(η ) + β ln(t )

E&%a&ió) '! la ,oirma " ? a; H b9 &o) " ? l) =l)+=Ft9 a ? = βl)η " ; ? l)t. S! -%!'! $ra,i&ar !) -a-!l or'i)ario l)ti9 l) =l)+=Ft9 o $ra,i&ar !) -a-!l lo$ar8tmi&o '! !ib%ll ti9 i=0.1/).

P($i)a 42



Ejemplo: S! -r%!ba) #!i# %)i'a'!# #imilar!# !) %) !#t%'io '! &o),iabili'a'9 la# &%al!# -r!#!)taro) ,alla# &omo #i$%!: *i!m-o '! ,alla r#. +6  1 1  +20

Or'!) '! ,alla#9 i + 2   1 6

Po#i&ió) !) $r(,i&a i=0.1/6 0.03 0.210 0.+6 0.13 0.10 0.+6

Utili7a)'o i)itab &o) la# #i$%i!)t!# i)#tr%&&io)!#: +. Stat  R!liabilit" / S%rial  Di#trib%tio) a)al"#i# Ri$
Estimate /)01'66 26)/*'6

Standard Error *)22**3/ 41)*663

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er *)*06*0 0)/*200 04)*4*6 /12)31

Log5Li"elihood  54')'22 7oodness5of58it 9nderson5$arling (adusted!  /)'3* Correlation Coefficient  *)''6 Characteristics of $istribution

Mean(MTTF) Standard $eviation Median 8irst ;uartile(;/!
Estimate 69.0792 03)2/6/ ')**14 14)*14' ')0'10 61)06*0

Standard Error 4/)6/'4 1/)6*33 /')/ /2)66* 1/)414 14)23'1

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er 12)0*2* /42)63 /1)62' /21)26 1*)3/'* //4)'64 /*)36'* '0)0*2* *)42'0 /3/)166 41)*/0 /20)2*2

')*+ ,ormal CI

P($i)a 43


&ercent / 4 1 0  6 2 3 ' /* 4* 1* 0* * 6* 2* 3* '* '/ '4 '1 '0 ' '6 '2 '3 ''

&ercentile 1)//2*1 )*64* 6)211/3 3)4/'6 ')62*42 //)*/' /4)1*6* /1)4/ /0)2646 /)'01 46)3// 12)/'/6 02)21/1 ')**14 2/)64 36)312 /*)'4 /1)301 /0*)/1/ /00)32 /*)/1 /6)/43 /61)*33 /2/)011 /3/)'16 /'6)1*4 4/')30


Error )0*1'1 2)0324* 3)'/' /*)/*1* //)*06 //)304 /4)102 /1)/13/ /1)62/ /0)/066 /6)'34* /3)/*/' /3)6211 /')/ 4/)3/0 46)'04 12)431 ')*'16 64)6// 66)6266 2/)4'1' 26)6306 31)/1*6 '/)/*01 /*/)0'1 //6)433 /0/)31

Lo-er *)/*041' *)423'4* *)0'6244 *)20333/ /)*1*64 /)11336 /)62/06 4)*463/ 4)0*162 4)3*/* 2)221/ /0)1463 44)/2/2 1*)3/'* 1')0432 02)*134 1)/16/ 2)'*'3 3)10* 3)2622 ')/'1 ')64*' 6*)*12 6*)0'3/ 6*)'604 6/)0241 64)*261

U..er '1)4*22 '/)3360 '/)46'6 '*)'433 '*)216/ '*)616 '*)6*/2 '*)6/1 '*)6624 '*)2* '4)2031 '6)026 /*4)26 //4)'64 /1*)//0 /')126 4//)/6 1/3)66 116)32 12)*6* 13*)2'4 0*3)302 004)3'3 03)233 04)'/ 646)364 223)6/

6robabilit4 6lot f or t O!ib%ll = 1J CI Com-l!t! Data = LS]Y E#timat!# 

*abl! o, Stati#ti&# S
0 30 0 60 10 0 t 0 n e c 20 r e 6

C!)#or AD \ Corr!latio)

0 +.30 0.6

+0 1  2 +

0.+

+.0

+0.0 t

+00.0

+000.0

La &o),iabili'a' a la# +1

&robabilit> *)'*3**3

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er *)426/1' *)''423'

P($i)a 44



Por &(l&%lo ma)%al #! ti!)! &o)

Sha.e

/)01'66

> Scale

26)/*'6:

1043,66

R (15) =

15  −   7601-,6   e

=

-0,-8-

Por ta)to !l 0.3J '! lo# &om-o)!)t!# '%ra) m(# '! +1
Esti#ador de 7a!lan ,e4er Si #! &o)#i'!ra) lo# 'ato# &!)#%ra'o# -or la '!r!&
R(t ( i ) ) = (1 −

f (1) n (1)

) x(1 −

f ( 2 ) n( 2)

)00000(1 −

f ( i ) n(i )

)

Do)'! , #o) la# %)i'a'!# 4%! ,alla) !) !l =>#imo i)t!ralo '! ti!m-o ti=+9 ti " ) #o) la# %)i'a'!# !) ri!#$o %#to a)t!# '!l ti!m-o . La# %)i'a'!# !) r!i#$o #o) i$%al!# al total '! %)i'a'!# m!)o# la# 4%!
i −1

i −1

∑ f − ∑r ( j )

j =-

j

j =-

Do)'! r '!)ota !l )m!ro '! %)i'a'!# 4%! ,%!ro) &!)#%ra'a# !) !l ti!m-o t9 " a'!m(# ,0 ? 0 " r0 ? 0. El !#tima'or '! Ka-la) !"!r toma !) &%!)ta la &!)#%ra &o)ta)'o la# %)i'a'!# !) ri!#$o %) i)#ta)t! a)t!# '!l ti!m-o  . Ejemplo: ti

Falla# ,

Po#i&ió) !) $r(,i&a i=0.1/6 +6 + 0.03  2 0.210 1  0.+6 1  0.13  1 0.10 +20 6 0.+6 D! a4%8 #i$%!) la# li!)ali7a&io)!#

Esti#ación !or #0ni#os cuadrados

P($i)a 45



E# %) m>to'o -ara !#timar lo# -ar(m!tro# '! la# 'i#trib%&io)!# '! -robabili'a' 4%! #! ba#a !) a%#tar %) mo'!lo '! r!$r!#ió) li)!al #im-l! a lo# 'ato#9 $ra,i&a'o# !) !l -a-!l '! -robabili'a' &orr!#-o)'i!)t!. La# !&%a&io)!# li)!ali7a'a# a&%m%la'a# #o) la# #i$%i!)t!#:

-ara

la#

'i#trib%&io)!#

'!

Di#trib%&ió)

,'a9 Ft

E;-o)!)&ial

1 − ep −

− lo(1 − p(i ) ) =

!ib%ll

  t β  1 − ep −     η    

lo

alor !;tr!mo

1 − ep  − ep 

,'a !) ,orma '! " ? a H b;

lo [ − lo(1 − p( i ) ) ] =

Normal

t − µ  Φ    σ 

Φ−1 ( p(i ) ) = − +

Lo$)ormal

lo(t ) − µ  Φ    σ 

Φ−1 ( p( i ) ) = − +

 t    θ 

 

-robabili'a'

t ( i )

θ

− lo(1 − p( i ) = −β lo(η ) + β lo(t (i ) )

t − µ      σ  

µ t ( i ) + σ σ

µ σ

t ( i )

µ σ

lo(t ( i ) )

σ

σ

E) la# !&%a&io)!# '! la ltima &ol%m)a #! a-r!&ia) la -!)'i!)t! '! la r!&ta " la or'!)a'a al ori$!). Por !!m-lo -ara la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial9 #!
*i!m-o '! ,alla r#. +6  1 1  +20

Or'!) '! ,alla#9 i + 2   1 6

Po#i&ió) !) $r(,i&a Pi ? i=0.1/6 0.03 0.210 0.+6 0.13 0.10 0.+6

P($i)a 46

L)+=Pi =0.03663+ =0.236320 =0.131 =0.36606 =+.3626 =2.633



Fitted Line 6lot Y ? 0.2 = 0.0220+ t S R=S4 R=S4a':

0.0

0.2630 2.6J 0.J

=0.1

=+.0 8

=+.1

=2.0

=2.1 20

0

60

30

+00

+20

t

A#8 +/θ ? =0.022 -or ta)to !l *BF ? 1.1 Para la 'i#trib%&ió) !ib%ll la# -ar!a# a a%#tar #o): lo$ti9 lo$=lo$+=-i. *i!m-o '! ,alla r#. +6  1 1  +20

Or'!) '! ,alla#9 i

Po#i&ió) !) Lo$ti $r(,i&a Pi ? i=0.1/6

lo$=lo$+=Pi

+ 2   1 6

0.03 0.210 0.+6 0.13 0.10 0.+6

=2.1013 =+.2132 =0.620+613 =0.+063 0.26626 0.002+

2.21332 .1266012 .02++ .+33++ .121 .3+

P($i)a 47



Fitt ed Line 6lot lo$=lo$+= Pi  ? = 6.11 H +.6++ Lo$ti +.0

S R=S4 R=S4a':

0.1

% % i $ 6 9 1 $ ( o l 9 $ ( o l

0.+03111 .J .2J

0.0 =0.1 =+.0 =+.1 =2.0 =2.1 .0

.1

.0 Lo($t$i%

.1

1.0

Y la -!)'i!)t! b !#tima a β " η #! obti!)! &o) !;-=a/b. Por ta)to β ? +.6++ " η ? .3 #imilar al obt!)i'o arriba.

,&i#a erosi#ilitud E# %) m>to'o -ara !#timar lo# -ar(m!tro# '!l mo'!lo 4%! -ro!! lo# !#tima'or!# 4%! ma;imi7a) la -robabili'a' '!
= cP ( E .θ )

& !# %)a &o)#ta)t! 4%! )o '!-!)'! '! θ.

Para !l &a#o '! %)a ariabl! al!atoria 'i#&r!ta &omo P*?ti la 'a la ,%)&ió) '! -robabili'a' P*?ti9 la ,%)&ió) '! !ro#imilit%' !#tar( 'a'a -or: L(θ / t i )

= P (T = t .θ ) = f (t i /θ )

Por !!m-lo -ara !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) bi)omial #! ti!)!: P($i)a 48



 n x n x− L p( x. ) = f x ( p. ) =  p (1 p− ) x Do)'! ; !# !l )m!ro '! >;ito# ob#!ra'o#9 - !# la -robaili'a'. Por lo 4%! 'a'o ;9 L- toma 'i#ti)to# alor!# !) ,%)&ió) '! -. El alor '! - 4%! ma;imi&! L- !# !l evm). Para !l &a#o '! %)a ariabl! &o)ti)%a9 #i #! ti!)!) ) ob#!ra&io)!# )o &!)#%ra'a# ! i)'!-!)'i!)t!#: t+9 t29 t9^.9 t)9 la i),orma&ió) 4%! -aorta) !#o# 'ato# #obr! θ lo -ro-or&io)a la ,%)&ió) '! !ro#imilit%' 'a'a -or: n

L (θ . datos ) = c f (t i .θ ) i =1

Lo# !#tima'or!# '! m(;ima !ro#imilit%' #o) lo# alor!# '! lo# -ar(m!tro# 4%! ma;imi7a) la ,%)&ió) Lθ9 4%! ma;imi7a) la -robabili'a' '! a t ) = P (T > t .θ ) = R (t .θ ) F%)&ió) '! &o),iabili'a'

Para !l &a#o '! %)a ob#!ra&ió) &!)#%ra'a -or la i74%i!r'a9 lo 4%! #! #ab! !# 4%! *  t9 -or ta)to la !ro#imilit%' '! !#t! !!)to !# -ro-or&io)al a la -robabili'a' '!l mi#moZ L(θ . T < t )

= P (T < t .θ ) = F (t .θ ) F%)&ió) '! 'i#trib%&ió) a&%m%la'a

Para !l &a#o '! &!)#%ra -or i)t!ralo9 o -or r!#ol%&ió) baa '!l i)#tr%m!)to9 #! #ab! 4%! !l !!)to o&%rrió !)tr!: t i −1 < T < t i " #% !ro#imilit%' !#t( 'a'a -or: ti

L(θ ) = P (t i −1

< t < t i ) = ∫ f (t .θ )dt = F (t i ) − F (t i −1) t =1

Si #! ti!)!) &%atro 'ato#: %)o &om-l!to ti9 %)o &!)#%ra'o -or la '!r!&
P($i)a 4,



E) $!)!ral la ma;imi7a&ió) '! !#ta ,%)&ió) -ara obt!)!r lo# !#tima'or!# '! m(;ima !ro#imilit%' -ara al$%)o# '! lo# mo'!lo# #!
i

i

a;imi7ar !#ta ,%)&ió) !4%ial! a ma;imi7ar #% lo$aritmo 'a'o -or:

1 n ln [ L(θ . datos ) ] = −n ln(θ ) − t i θ i =1

∑

D!ria)'o r!#-!&to a θ ! i$%ala)'o a &!ro #! ti!)!: d ln( L(θ )) d θ

= −n + θ

1

n

∑ t = -

θ 2 i =1

i

D!#-!a)'o θ -ara obt!)!r !l !#tima'o# '! m(;ima !ro#imilit%' #! ti!)!: 

θ =

n

∑ t i =1

i

"arios ti!os de falla La# %)i'a'!# '! -r%!ba '! %) !#t%'io '! &o),iabili'a' -%!'!) ,allar '! 'i!r#a# ma)!ra#9 )o #olo '!l ti-o '! ,alla 4%! m(# i)t!r!#a !) %) mom!)to 'a'o. Si lo# mo'o# '! ,alla #o) i)'!-!)'i!)t!#9 &a'a %)o '!b! a)ali7ar#! -or #!-ara'o9 -ara lo &%al la# otra# %)i'a'!# 4%! ,allaro) '!bi'o a otro# mo'o# '! ,alla #! toma) &omo &!)#%ra'a#. Si Rit !# la ,%)&ió) '! &o),iabili'a' -ara !l mo'o '! ,alla i9 !)to)&!# la &o),iabili'a' $lobal '!l -ro'%&to al ti!m-o t &o)#i%'!ra)'o lo# _ mo'o# '! ,alla '!l -ro'%&to !#: R g (t )

R1 (t ) xR2 (t ) x0000000 xRk (t )

=

O #!a 4%! -ara #obr!iir al ti!m-o t #! '!b! #obr!iir a to'o# lo# mo'o# '! ,alla. Ejemplo: Vida de conexiones con dos modos de falla Lo# 'ato# '! la tabal #i$%i!)t! #o) !#,%!r7o# '! r%-t%ra '! 20 &o)!;io)!# '! alambr!9 &o) %) !;tr!mo #ol'a'o #obr! %) #!mi&o)'%&tor " !l otro al -o#t! *!rmi)al. Ca'a ,alla &o)#i#t! !) la r%-t%ra '!l alambr! mo'o '! ,alla + ? A o '! %)a #ol'a'%ra mo'o '! ,alla 2 ? S. E) !#t! &a#o !l !#,%!r7o
o'o '! ,alla

P($i)a 5-


110 10 10 10 ++10 ++10 ++10 ++10 ++10 +210 +210 +10 +10 +10 +10 +110 +110 +110 +310 2010


S A S A A S S A A S S A S S A S A A A S

I)t!r!#a !#t%'iar la 'i#trib%&ió) '!l !#,%!r7o '! la# &o)!;io)!#9 &o)#i'!ra)'o 4%! #! r!4%i!r! 4%! m!)o# '!l +J '!b! t!)!r %) !#,%!r7o m!)or a 100 m$. O #!a 4%! al m!)o# !l J '! la# &o)!;io)!# r!#i#ta %) !#,%!r7o '! ma"or a 100 m$. S! '!#!a !#timar !l !#,%!r7o 4%! r!#%ltar8a '! !limi)ar %)o '! lo# mo'o# '! ,alla. Prim!ro #!
P($i)a 51



6robabilit4 6lot for Esfuer3o /L E#timat!#=Com-l!t! Data O!ib%ll

A)'!r#o)=Darli)$ a': O!ib%ll +.0++

Lo$)ormal 

0

Lo$)ormal +.+2 E;-o)!)tial 1.16+ Normal

0 10

t n e c r e +0 6

t n e c 10 r e 6

0.0

+0 +

100

+000 Esfuer3o

2000

+

+000 Esfuer3o

E;-o)!)tial

2000

Normal 

0 0 t 10 n e c r e +0 6

t n e c 10 r e 6

+0 +

+0

+00 +000 Esfuer3o

+0000

+

100

+000 +100 Esfuer3o

2000

. O-tio)#  E#timatio) L!a#t #4%ar!# 6robabilit4 6lot for Esfuer3o LS]Y E#timat!#=Com-l!t! Data O!ib%ll

Corr!latio) Co!,,i&i!)t O!ib%ll 0.3+

Lo$)ormal 

0

Lo$)ormal 0.13 E;-o)!)tial \ Normal

0 t 10 n e c r e +0 6

t n e c 10 r e 6

0.3+

+0 +

100

+000 Esfuer3o

2000

+

+000 Esfuer3o

E;-o)!)tial

2000

Normal 

0 0 t 10 n e c r e +0 6

t n e c 10 r e 6

+0 +

+0

+00 +000 Esfuer3o

+0000

+

100

+000 +100 Esfuer3o

2000

S! -%!'! ob#!rar 4%! la 'i#trib%&ió) )ormal " la '! !ib%ll 'a) %) a%#t! -ar!&i'o " lo# 'ato# -ar!&!) -ro!)ir '! %)a mi#ma -obla&ió) 'o)'! la# ,alla# #! -r!#!)ta) -or la li$a m(# '>bilQ 4%! ,aor!&! al mo'!lo !ib%ll 'o)'! . D!t!rmi)a'o lo# -ar(m!tro# '! la 'i#trib%&ió) !ib%ll -or m!'io '! i)itab:

P($i)a 52



+. Stat  R!liabilit" / S%rial  Di#trib%tio) a)al"#i# ri$
10

0.0003

t n e c r e +0 6

F D 6

0.000

C!)#or AD \ Corr!latio)

0.0000 100

+000 +100 Esfuer3o

+

2000

100

S%r i al F%)&tio)

+000 Esfuer3o

+23.1 6.06 +2 +. 1 10.30 20 0 0.3 0.3+

2000

a7ar' F%)&tio)

+00 0.001 t n e c r e 6

e t 0.0010 a R

10

0.0021 0

0.0000 100

+000 +100 Esfuer3o

2000

100

+000 +100 Esfuer3o

2000

S! obti!)! %)a 'i#trib%&ió) !ib%ll &o) -ar(m!tro '! ,orma o a#-!&to B!ta ? .663 " -ar(m!tro '! !#&ala Et
;. Deter#inación de la confiabilidad a&i!)'o %) a)(li#i# '! &o),iabili'a' &o)#i'!ra)'o lo# 'o# ti-o# '! ,alla #! ti!)!: I)#tr%&&io)!# '! i)itab:Z +. Stat  R!liabilit" / S%rial  Di#trib%tio) a)al"#i# ri$
P($i)a 53



. OK Lo# r!#%lta'o# #! m%!#tra) a &o)ti)%a&ió):

6robabilit4 6lot for Esfuer3o O!ib%ll = 1J CI Com-l!t! Data = LS]Y E#timat!# 

*abl! o, Stati#ti&# S
0 30 0 60 10 0 t 0 n e c 20 r e 6 +0

/!a) St D! / !'i a) I [R Fail%r! C!)#or AD \ Corr!latio)

1  2 + 0 0 .

0 0 

0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6  3 A + 0

0 0 1 +

0 0 0 2

Esfuer3o

E#tima'o la &o),iabili'a' -ara 100 m$. S! ti!)!: . E#timat!  E#timat! #%rial -robailiti!# ,or t
Count 4*

Estimation Method: Least Squares (failure time(! on ran"(#!! $istribution:

%eibull

&arameter Estimates

&arameter Sha.e Scale

Estimate 1)'6163 /0/6)2/

Standard Error *)2*3231 30)42'

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er 4)2'/34 )64201 /46*)3* /'/)'/

Log5Li"elihood  5/0)40 7oodness5of58it 9nderson5$arling (adusted!  *)''3 Correlation Coefficient  *)'3/

P($i)a 54

+23.1 6. 06 +2+. 1 10.30 20 0 0.3 0.3+



Characteristics of $istribution

Mean(M<<8! Standard $eviation Median 8irst ;uartile(;/!
Estimate /431)0 161)*06 /4'/)' /*10)6* /13)0* *1)3*'

Standard Error 3*)'630 1)/3* 3)1401 ')3*4 32)33'6 22)'/6'

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er //10)/2 /04)12 424)02 031)244 //10)21 /02*)/1 364)33* /40*)03 /12)00 /24*)63 124)*6' 634)/'6

&ercent / 4 1 0  6 2 3 ' /* 4* 1* 0* * 6* 2* 3* '* '/ '4 '1 '0 ' '6 '2 '3 ''

&ercentile 001)36 4')164 32)/1 614)/ 66')60/ 2*4)*'/ 21*)'*3 26)'6' 23*)36* 3*4)'' '2*)166 /*'4)46 //')36 /4'/)' /13)3/ /030)60 /'2)00 /203)* /263)1 /23')23 /3/1)4* /31')/6 /363)1 /'*4)2* /'00)40 /''3)66 4*34)61

Standard Error /*4)2*4 /*6)0* /*2)61 /*2)'31 /*2)'/* /*2)6*0 /*2)/' /*6)643 /*6)*04 /*)04* '3)3036 '1)*1/3 33)012 3)1401 30)/10' 3)661* '/)424 /*6)114 /*3)34* ///)610 //0)36 //3)6** /41)*00 /43)023 /1)00* /0)/*' /6/)/40

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er 434)*14 6'3)3 16)''* 230)'61 0*')'/ 30*)'21 04)4'6 331)1 033)432 '/3)11 /')'4* '03)*'/ 03)16/ '20)441 20)10' ''2)6 '3)134 /*/3)'3 64*)3/3 /*13)61 2'0)204 //30)3* '40)140 /4'*)2* /*10)/ /134)1' //10)21 /02*)/1 /41*)10 /6*)'4 /14)3' /664)0* /042)2 /232)4' /4)*1 /'6')30 /62)01 /'')*1 /31)31 4*44)4 /6*/)* 4*4)33 /64*)3* 4*36)'0 /604)43 4/4)'0 /666)30 4/2/)'0 /6'6)// 4443)63 /211)6 41*0)1* /23')6/ 4041)61

&robabilit> *)'30*/6

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er *)'4*06 *)''6324

Y !l -or&!)ta! '! ,alla #!r( +00 M 3.0 ? +.6J 4%! !# ma"or al ob!tio '!l +J9 -or lo 4%! #! tratar( '! !limi)ar %)o '! lo# mo'o# '! ,alla. Obt!)i!)'o !l a)(li#i# #!-ara'o -or mo'o '! ,alla #! ti!)!: I)#tr%&&io)!# '! i)itab:Z +. Stat  R!liabilit" / S%rial  Di#trib%tio) a)al"#i# ri$
P($i)a 55



2. E) ariabl!# E#,%!r7o B" ariabl! o'o '! ,alla A##%m!' 'i#trib%tio) = !ib%ll . O-tio)#  E#timatio) L!a#t #4%ar!# . OK Lo# r!#%lta'o# #o): Distribution Anal4sis5 Esfuer3o b4 ,odo de falla Variable: Esfuer?o Modo de falla  9 Censoring Information Uncensored value

Count /*


%eibull

&arameter Estimates


Estimate 0)42/04 /0/0)3

Standard Error /)4*10' //*)042

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er 4)03'4 2)0/'' /4/1)'* /603)0

Log5Li"elihood  52/)1 7oodness5of58it 9nderson5$arling (adusted!  /)1'2 Correlation Coefficient  *)'36


Estimate /432)*4 10*)44 /4'3)42 /*6)2* /42)** 02*)4'3

Standard Error /*2)112 2')0640 //4)'41 /11)*'4 //)'66 //6)2*1

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er /*'4)'0 //)2 4/)43 12)21' /*'0)23 /1')3 34)* /14)3 /1/)34 /224)*3 43')/63 260)33

&ercent / 4 1 0  6 2 3 ' /* 4* 1*

&ercentile 03/)30' 62)0/6 640)660 663)''* 2*)246 212)0* 26)0* 2'*)20 3/1)323 31)46 '')633 ////)40

Standard Error /')1*1 /64)463 /64)1'/ /6/)'' /6*)0/6 /')*06 /2)3 /6)*34 /0)6 /1)** /1')*33 /42)213

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er 44)*6 '4/)/0* 141)'0' ''1)364 12)432 /*1')2 0/6)630 /*20)*2 04)*/ //*/)30 031)/33 //4)12 //)1*1 //0)'4 12)*3 //60)46 6*)'42 //3*)'* 31)40' //'6)/2 22)4/0 /1*')42 332)*34 /1'4)*

P($i)a 56


0* * 6* 2* 3* '* '/ '4 '1 '0 ' '6 '2 '3 ''

/4*3)20 /4'3)42 /13)'1 /022)0/ /3/)1* /2/')6* /212)2/ /22)4 /223)2 /3*4)/' /343)33 /3')'* /3'2) /'06)2' 4*44)2


//3)'04 //4)'41 //*)104 //4)061 /4/)201 /00)'/0 /03)201 /1)*6 /2)'6' /61)60' /2*)1/ /23)0'2 /33)36/ 4*1)/13 446)13

''6)2/ /*'0)23 //3)6' /424)6 /1')34 /02)2' /06')14 /03/)02 /0'0)0/ /*3)12 /41)2* /0*)'3 /6/)4 /36)24 /641)'4

/06)36 /1')3 /6/')'3 /2/)/1 /313)36 4*43)01 4*)/4 4*30)16 4//6)22 4/1)4 4/')/3 4400)3/ 41*6)43 4133)6 4/')*3

Modo A
&robabilit> *)'334''

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er *)30/34' *)'''/'6

Distribution Anal4sis5 Esfuer3o b4 ,odo de falla Variable: Esfuer?o Modo de falla  S Censoring Information Uncensored value

Count /*


%eibull

&arameter Estimates


Estimate 1)14244 /04)'/

Standard Error *)'130* /04)'/

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er /)3'6'2 )3134 //2/)6* /21)01

Log5Li"elihood  521)6/0 7oodness5of58it 9nderson5$arling (adusted!  /)4' Correlation Coefficient  *)'64


Estimate /42')6* 041)3*/ /422)/3 '3*)03 /21)** '4)00'

Standard Error /11)/0* /*1)063 /0/)0* /2)01' /)/3' /0')6''

P($i)a 57

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er /*01)1 /6')*6 464)611 631)320 /*42)31 /32)*1 2/)3// /101)4* /4'6)01 /'*3)6 16/)*1 '24)/0


&ercent / 4 1 0  6 2 3 ' /* 4* 1* 0* * 6* 2* 3* '* '/ '4 '1 '0 ' '6 '2 '3 ''

&ercentile 12)3* 00/)10' 0'')1/1 0)4* 31)'31 6/2)30' 603)/22 62)3*4 2*/)433 24)*11 '*3)063 /*0)'' //6)40 /422)/3 /133)'0 /*2)21 /60)/6 /314)/1 /36)'0 /331)23 /'/1)/3 /'0)36 /'34)'1 4*46)4/ 4*2')*4 4/03)4 446)03

Standard Error /4)'10 /64)'/3 /62)1 /6')602 /2*)316 /2/)124 /2/)036 /2/)1/0 /2*)'1' /2*)0/6 /64)*02 /1)*32 /0)301 /0/)0* /0/)643 /03)4'1 /6)036 4*1)'0* 4/*)/6 4/2)/0/ 44)*34 410)4/ 40)*6 43)4/* 420)'0 4'3)*3* 116)/'1


')*+ ,ormal CI Lo-er U..er /0)3/' 346)'14 4/0)*23 '*')3' 43)366 '61)*'3 4'6)1/2 /**1)1/ 14')/* /*16)// 13)20 /*60)*' 13)'/2 /*33)66 0//)/'* ///*)2* 010)'42 //1*)23 02)1'* //0')4' 60*)013 /433)62 23)/0 /1'1)* '//)2/ /03')4* /*42)31 /32)*1 //12)11 /6'6)4* /401)13 /343)43 /1*)2' 4**1)6' /021)*4 4423)3* /032)4 41/3)*' /*4)3 416/)43 //')/' 40*')10 /16)33 4061)62 /6)1 446)0/ /23)13 46*/)/* /6*0)1* 46'0)4/ /616)'' 43/')'* /63)* 1*4/)2/

Modo S
&robabilit> *)'6'36

')*+ ,ormal CI Lo-er U..er *)264/3* *)''63

P($i)a 58



6robabilit4 6lot for Esfuer3o O!ib%ll = 1J CI Com-l!t! Data = LS]Y E#timat!# 

/o'o '! ,alla A S

0 30 0 60 10 0

*abl! o, Stati#ti&# S< a-! S&al! C orr F C .2+2 ++.13 0.36 +0 0

t 0 n e c 20 r e 6 +0

.222 +21.+ 0.62 +0 0

1  2 +

+00

+000 Esfuer3o

Combi)a'o lo# 'o# #! ti!)!: R$ ? RA ; RS ?*)'334''

@

*)'6'36



0.131+66+

E) !#t! &a#o #! ob#!ra 4%! -ara t!)!r m!)o# '! +J '! ,alla !) 100 m$. E# )!&!#ario !limi)ar lo# 'o# mo'o# '! ,alla9 %)o )o !# #%,i&i!)t!.

P($i)a 5,



<. 6ruebas de ida acelerada Lo# ,abri&a)t!# '!#!a) t!)!r r!#%lta'o# '! &o),iabili'a' -ara #%# -ro'%&to#9 m(# r(-i'am!)t!9 4%! bao &o)'i&io)!# '! ,%)&io)ami!)to )ormal. Para lo &%al9 #! trata '! a&!l!rar la# ,alla# #om!ti!)'o lo# -ro'%&to# a )i!l!# alto# '! !#,%!r7o9 -ara '!#-%>#9 !;tra-olar la &o),iabili'a' a &o)'i&io)!# )ormal!# '! o-!ra&ió). S! ti!)!) lo# ti-o# '! Pr%!ba# '! i'a a&!l!ra'a# &%alitatia# " &%a)titatia#: 6ruebas Cualitatias La# -r%!ba# '! i'a a&!l!ra'a# &%alitatia# tal!# &omo la# -r%!ba# '! tort%ra #! %tili7a) #obr! to'o -ara r!!lar lo# mo'o# '! ,alla -robabl!# -ara !l -ro'%&to &o) ob!to '! m!orar #% 'i#!5o. U)a -r%!ba a&!l!ra'a 4%! #ólo 'a I),orma&ió) '! Falla ó o'o# '! Falla9 &om)m!)t! #! llama Pr%!ba '! *ort%raQ9 Pr%!ba '! El!,a)t!Q9 Pr%!ba C%alitatiaQ9 !t&. Sobr!=!#,or7ar a lo# -ro'%&to# -ara obt!)!r ,alla# m(# r(-i'oQ !# la ,orma m(# a)ti$%a '! Pr%!ba# '! Co),iabili'a'. Normalm!)t! )o #! obti!)! i),orma&ió) #obr! la 'i#trib%&ió) '! la i'a Co),iabili'a'. Lo# ti-o# '! !#,%!r7o #o) !): *!m-!rat%ra9 olta!9 %m!'a'9 ibra&ió) o9 &%al4%i!r otro !#,%!r7o 4%! a,!&t! 'ir!&tam!)t! la i'a '!l -ro'%&to. La# -r%!ba# '! *ort%ra #! r!ali7a) #obr! m%!#tra# '! tama5o -!4%!5o " lo# -ro'%&to# #! #om!t!) a %) ambi!)t! a$r!#io )i!l!# #!!ro# '! !#,%!r7o Si !l -ro'%&to #obr!i!9 -a#ó la -r%!ba. %&
6ruebas Cuantitatias La# -r%!ba# '! i'a a&!l!ra'a# &%a)titatia# [AL* #! 'i#!5a) -ara &%a)ti,i&ar la i'a til '!l -ro'%&to. La Pr%!ba '! i'a a&!l!ra'a9 a 'i,!r!)&ia '! la Pr%!ba '! *ort%ra9 !#t( 'i#!5a'a -ara -ro!!r I),orma&ió) '! la Co),iabili'a' '!l -ro'%&to9 &om-o)!)t! o #i#t!ma9 &omo 'ato b(#i&o #! ti!)! !l *i!m-o '! Falla9 -%!'! !#tar !) &%al4%i!r m!'i'a &%a)titatia9 tal &omo:
P($i)a 6-



C%a)'o FA;+9 !l mo'!lo a&!l!ra !l ti!m-o9 !#to !# *; *;0Z !) &a#o &o)trario9 !l mo'!lo '!#a&!l!ra !l ti!m-o.

E) la $ra,i&a '! *;0 # *;: El mo'!lo *AEF #! r!-r!#!)ta -or l8)!a# r!&ta# a tra># '!l ori$!). El mo'!lo *AEF a&!l!ra'o #! r!-r!#!)ta -or li)!a# r!&ta# -or abao '! la 'ia$o)al. El mo'!lo *AEF '!#a&!l!ra'o #! r!-r!#!)ta -or l8)!a# r!&ta# -or arriba '! la 'ia$o)al.  



Para %) mo'!lo *FAE *; ? *;0/FA;9 ;  09 'o)'!: 







Si la &', ba#! !#t( !) ;0 FtZ ;0 !)to)&!# AF;0 ? + *i!m-o !#&ala'o: FtZ ; ? F cAF; tZ ;0G. E)to)&!# la# &',# FtZ ; " FtZ ;0 )o #! &r%7a). C%a)til!# -ro-or&io)al!#: t-; ? t-;0/AF;. E)to)&!# toma)'o Lo$aritmo# #! ti!)! lo$ct-;0G d lo$ct-;G ? lo$cAF;G. E#to m%!#tra 4%! &%al4%i!r $ra,i&a !) !#&ala lo$=ti!m-o t-;0 " t-; #o) !4%i'i#ta)t!#. E) -arti&%lar9 !) %)a $ra,i&a '! -robabili'a' !) !#&ala lo$=ti!m-o Ft9 ; !# %)a tra)#la&ió) '! Ft9 ;0 a lo lar$o '!l !! lo$t. P($i)a 61



ra,i&a '! Probabili'a' !ib%ll '! 'o# mi!mbro# '! %)a ,amilia *FAE '! mo'!lo# &o) 'i#trib%&ió) Lo$)ormal Not! 4%! -ara mo'!lo# &o) %)a #ola ariabl! '! la ,amilia lo$=lo&ali7a&ió) M !#&ala:

Por ta)to -!rt!)!&!) a la ,amilia '! mo'!lo# '! ti!m-o# '! i'a '! !#&ala a&!l!ra'a "9

P($i)a 62



,odelos de ida acelerada S!
,odelos de aceleración Lo# mo'!lo# '! a&!l!ra&ió) #! '!ria) a m!)%'o '! mo'!lo# ,8#i&o# o &i)>ti&o# r!la&io)a'o# al mo'!lo '! ,alla9 -or !!m-lo:        

Arr
L!" '! la -ot!)&ia i)!r#a

L ? m!'i'a &%a)ti,i&abl! '! i'a9 tal &omo la m!'ia9 la m!'ia)a &%a)til!#9 !t&.9 S ? )i!l '! !#tr># o !#,%!r7o K ? -ar(m!tro# '!l mo'!lo -or '!t!rmi)ar K '!b! #!r  09 "9 ) ? !# otro -ar(m!tro '!l mo'!lo. Para !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) '! !ib%ll9 #! ti!)!:

P($i)a 63



U)a !7 4%! #! !#tima) lo# -ar(m!tro# b9 K " )9 #! -%!'!)
R ? !lo&i'a' '! r!a&&ió)9 A ? &o)#ta)t! '!#&o)o&i'a9 EA ? !)!r$8a '! a&tia&ió) !9 K ? &o)#ta)t! '! Bolt7ma)9 " * ? t!m-!rat%ra ab#ol%ta K!li).

El mo'!lo '! E"ri)$ !# &omo #i$%!:

L ? m!'i'a &%a)ti,i&abl! '! i'a9 tal &omo la m!'ia9 la m!'ia)a9 &%a)til!#9 !t&.9  ? )i!l '! !#tr># t!m-!rat%ra m!'i'a !) $ra'o# _!li) A ? %)o '! lo# -ar(m!tro# '!l mo'!lo9 "9 B ? otro -ar(m!tro '!l mo'!lo

P($i)a 64



Lo# mo'!lo# '! r!$r!#ió) li)!al!# " lo$ li)!al!# i#to# a)t!riorm!)t! -%!'!) #!r til!# -ara mo'!lar 'i!r#o# !,!&to# '! !#tr>#. Para 'i#trib%&io)!# '! la ,amilia lo$=lo&ali7a&ió) !#&ala `!ib%ll9 !;-o)!)&ial9 lo$)ormal:

Co) m!'ia:

Y mo'!lo '! r!$r!#ió):

S%# r!#i'%o# #! '!,i)!) &omo:

Para 'i#trib%&io)!# '! la ,amilia lo&ali7a&ió)=!#&ala Normal9 Lo$8#ti&a9 alor!# !;tr!mo#:

Co) m!'ia:

Y *-:

S%# r!#i'%o# #! '!,i)!) &omo:

P($i)a 65



Como r!#%m!) '! lo# mo'!lo# #! ti!)!:

Lo# mo'!lo# m(# %tili7a'o# #o) lo# #i$%i!)t!#: 

El mo'!lo '! Arr


El mo'!lo '! E"ri)$ "



El mo'!lo '! la l!" '! la -ot!)&ia i)!r#a

P($i)a 66



=. Confiabilidad de siste#as C%a)'o #! !#t%'ia la &o),iabili'a' '! %) #i#t!ma &om-%!#to -or &om-o)!)t!#9 la ,alla '! al$%)o '! !llo# os El !#t%'io '! #i#t!ma# &om-l!o# im-li&a la #%b'ii#ió) '! %) -ro'%&to !) #%# &om-o)!)t!# i)'ii'%al!#. Al mo'!lar %) #i#t!ma &om-l!o !# &r%&ial !#-!&i,i&ar !l )i!l '!l '!tall! '!l mo'!lo. La o-!ra&ió) '!l #i#t!ma #! !;-r!#a !) ,%)&ió) '! la o-!ra&ió) '! lo# &om-o)!)t!#. La ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra '!#&rib! !l la7o !)tr! !l !#ta'o '!l #i#t!ma " !l !#ta'o '! lo# ) &om-o)!)t!# 4%! ,orma) !l #i#t!ma. El Estado del Siste#a El #i#t!ma #! a#%m! &omo %)a &ol!&&ió) '! )Q &om-o)!)t!#. *ambi>) #! a#%m! 4%!
-ara i ? +...9). Lo# !#ta'o# '! lo# ) &om-o)!)t!# #! -%!'!) !#&ribir &omo !l !&tor ]?]+...9 ]). a" ) &om-o)!)t!#9 &a'a %)o '! lo# &%al!# -%!'! tomar 2 alor!#9 !)to)&!#9
La ,orma '! la ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra '!-!)'! '!l 'i#!5o '!l #i#t!ma. La# !#tr%&t%ra# m(# &om%)!# 4%! !mo# #o) #i#t!ma# !) #!ri!# " #i#t!ma# !) -aral!lo. Co)#i'!r! %) #i#t!ma &o) _ &om-o)!)t!# " #!a la ariabl! ;i i?+9 29 9^.9 _ 4%! toma !l alor + #i !l i=>#imo &om-o)!)t! ,%)&io)a " !l alor 0 #i )o

P($i)a 67



,%)&io)a. E) &i!rto mom!)to !l !#ta'o '!l #i#t!ma !#t( '!t!rmi)a'o -or !l !&tor ] ? ;+9 ;29 ;9^.9 ;_ '! &!ro# " %)o#. La ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra '!l #i#t!ma !#t( '!,i)i'a !) !#t! !#-a&io '! !&tor!# " toma alor!#:

1/ φ ( x) =  -

+ #i !l #i#t!ma ,%)&io)aZ 0 #i )o ,%)&io)a

La ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra '! %) #i#t!ma #!ri! !#:

φ ( x) =

k

∏ x

i

i =1

La ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra '! %) #i#t!ma -aral!lo !#:

φ ( x) = 1 −

k

∏(1 − x ) i

i =1

Ca'a !&tor ] 'o)'! !l #i#t!ma ,%)&io)a #! '!)omi)a trayectoria " &a'a !&tor ] 'o)'! !l #i#t!ma )o ,%)&io)a #! '!)omi)a corte. E) total #! ti!)!) 2K -o#ibl!# !#ta'o# #%ma)'o lo# &ort!# " la# tra"!&toria#. E) !l #i#t!ma #!ri! #olo im-orta)&ia ti!)!) lo# &om-o)!)t!# !) la !#tr%&t%ra Si !l &om-o)!)t! i ,alla9 '!ar( '! o-!rar !l #i#t!ma C%()to# !#ta'o# -o#ibl!# e#!lo !ara el co#!onente 15 2

1

1

3

(1/ 1/ 1)

3

(1/ -/ 1)

2

1

2

1

3

1 1 -

2 3

1 - -

P($i)a 68



A
1

2 3

(1/ 1/ 1) 1

2

1

3

(-/ 1/ 1)

2

2

1

3

(1/ 1/ -)

3

(-/ 1/ -)

Si ,alla !l &om-o)!)t! 2: El #i#t!ma o-!rara !) !l !#ta'o +9+9+ " ,allar( !) lo# !#ta'o# 09+9+ " 09+90 " +909+. E)to)&!# la im-orta)&ia !#tr%&t%ral '!l &om-o)!)t! 2 !# +/. Por #im!tr8a9 la im-orta)&ia !#tr%&t%ral '!l &om-o)!)t!  !# +/.

P($i)a 6,



Siste#as en Serie U) #i#t!ma !) #!ri! ti!)! _ &om-o)!)t!#. S%-o)i!)'o 4%! trabaa) !) mo'o i)'!-!)'i!)t!9 la &o),iabili'a' '!l #i#t!ma !# la -robabili'a' '! 4%! to'o# lo# &om-o)!)t!# ,%)&io)!). E)to)&!# φ] ? + #i to'a# lo# alor!# ]i toma) !l alor + " φ] ? 0 '! otra ma)!ra. Por ta)to:

R!$la '! -ro'%&to '! -robabili'a'!#

Lo# 'ia$rama# '! blo4%! #o) %#a'o# -ara i#%ali7ar #i#t!ma# '! &om-o)!)t!#. El 'ia$rama '! blo4%! 4%! &orr!#-o)'! a %) #i#t!ma '! la #!ri! !#:

1

2

3

n

El 'ia$rama '! blo4%! r!-r!#!)ta !l la7o ló$i&o '! la o-!ra&ió) '! lo# &om-o)!)t!# " !l #i#t!ma. No r!-r!#!)ta #% 'i#-o#i&ió) ,8#i&a. La i'!a !# 4%! #i #! -%!'! tra7ar %) &ami)o '! i74%i!r'a a '!r!&# '!l #i#t!ma9 !l #i#t!ma ,%)&io)a.

Ejemplo: U) -ro'%&to !l!&tró)i&o ti!)! 0 &om-o)!)t!# !) #!ri!. La &o),iabili'a' '! &a'a %)o !# '! 0.9 -or ta)to la &o),iabili'a' '! -ro'%&to &om-l!to !# '!: Rs

= (-0,,,) 4- = -0,61

Si !l -ro'%&to #! r!'i#!5ara -ara t!)!r #olo 20 &om-o)!)t!#9 la &o),iabili'a' #!r8a '! R# ? 0.3.

A

B

C

X

Figura . 2iste$a con co$ponentes en serie Siste#as en !aralelo E) !#t! #i#t!ma9 #i ti!)! _ &om-o)!)t!#9 ba#ta &o) 4%! %)o ,%)&io)! -ara 4%! #i$a !) o-!ra&ió). S! r!4%i!r! 4%! to'o# lo# &om-o)!)t!# ,all!) -ara 4%! ,all! !l #i#t!ma9 o #!a:

P($i)a 7-



φ ( X ) = ma X 1 /000/  n / n

= 1 − ∏(1 − X i )0 i =1

Rs

= 1 − P (todos fallen ) = 1 − [ (1 − R1 ) x(1 − R2 ) x000000 x(1 − Rk ) ]

El 'ia$rama '! blo4%! -ara %)a !#tr%&t%ra !) -aral!la !#

1 2 3 n E)tr! m(# &om-o)!)t!# r!'%)'a)t!# ) !#t( -r!#!)t! !) lo# #!r!# io#9 &omo -or !!m-lo !) lo# ri5o)!#. Ejemplo: Co)#i'!r!  &om-o)!)t!# A9 B9 C " D '! %) -ro'%&to &o)!&ta'o# !) -aral!lo9 &o) &o),iabili'a'!# '! 0.9 0.339 0.33 " 0.2 r!#-!&tiam!)t!9 la &o),iabili'a' total !#: Rs

=1 − [(1 − -0,3)(1 − -088)(1 − -0,5)(1 − -0,2)] =1 − -0----336 = -0,,,,664

B A C D Fig. 3 2iste$a con  co$ponentes en paralelo Siste#as con co#!onentes en serie o en !aralelo $7 de n%

P($i)a 71



Lo# #i#t!ma# -%!'!) t!)!r &om-o)!)t!# !) #!ri! " !) -aral!lo9 !) al$%)o# &a#o# !# im-orta)t! i'!)ti,i&ar &%al!# &om-o)!)t!# #o) &la! -ara i)&r!m!)tar la &o),iabili'a' '!l #i#t!ma. U) #i#t!ma _ '! ) ,%)&io)a #i &%al!#4%i!r _ '! lo# ) &om-o)!)t!# '!l #i#t!ma ,%)&io)a). Lo# #i#t!ma# !) #!ri! " !) -aral!lo #o) &a#o# !#-!&ial!# '!l #i#t!ma _ !) ). U) #i#t!ma !) #!ri! !# %) #i#t!ma _ '! _. U) #i#t!ma !) -aral!lo !# %) #i#t!ma + '! ). Por !!m-lo: E) lo# -%!)t!# al$%)o# '! lo# &abl!# '! la #%#-!)#ió) -%!'!) ,allar9 " !l -%!)t! )o &a!. E) la# bi&i&l!ta# al$%)o# '! lo# ra"o# -%!'!) ,allar. La ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra !#:

U) !!m-lo '! 'ia$rama '! blo4%!# -ara %) #i#t!ma 2 '!  'o)'! &o) 'o# '!  &om-o)!)t!# 4%! o-!r!)9 !l #i#t!ma &o)ti)%ar( o-!ra)'o9 !# !l #i$%i!)t!:

1 2 1

2 3 3

Ejemplo: Para !l &a#o '! %) aió) &o)ti)%a ola)'o #i ,%)&io)a) 2 '!  motor!#. S% 'ia$rma '! blo4%!# !# !l #i$%i!)t!:

1

3

2

4

S% ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra !# la #i$%i!)t!:

P($i)a 72



Ejemplo: S! ti!)!) lo# #i$%i!)t!#  &om-o)!)t!# &o)!&ta'o# !) #!ri! " !) -a-ral!lo9 #%# &o),iabili'a'!# #o): RA?0.6Z RB?0.2Z RC?0.Z RD?0.3Z RE?0.1Z RF?0.33Z R?0.0.

A

 C

D E

F

B Figura 4. 2iste$a con  co$ponentes en serie 5 en paralelo R# ? Rab ; R& ; R' ; R!,$ Rab ? +=+=0.6+=0.2 ? 0.63 R!,$? +=+=0.1+=0.33+=0.0 ? 0.36 R# ? 0.63 ; 0. ; 0.3 ; 0.36 ? 0.32 ,'todo de tra4ectoria !ara calcular la confiabilidad de un siste#a Para &al&%lar la# &o),iabili'a'!# '! #i#t!ma# #im-l!# #! a-li&a) la# ,órm%la# '! !#tr%&t%ra# #!ri! o -aral!lo. Para #i#t!ma# m(# &om-l!o#9 !# )!&!#ario &o)o&!r la# r!$la# #i$%i!)t!#: R!$la +. S!a) 'o# #i#t!ma#9 %)o &o) ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra φ+;? φ0; φ A; " otro &o) ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra φ2;? φ0; φB;. Si #! &o)!&ta) !) #!ri!9 la ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra r!#%lta)t! !#: φ;? φ0; φ A; φB; -%!#to 4%! φ02;? φ0;. R!$la 2. Si lo# mi#mo# #i#t!ma# a)t!rior!# #! &o)!&ta) !) -aral!lo9 la ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra r!#%lta)t! !#: φ;? φ0;c+= φ A; += φB; G. S! #i$%!) lo# -a#o# #i$%i!)t!#: +. E)&o)trar to'a# la# tra"!&toria# m8)ima# -o#ibl!#.

P($i)a 73



2. Da'o 4%! -ara 4%! !l #i#t!ma ,%)&io)! !# )!&!#ario 4%! ,%)&io)! al m!)o# %)a '! la# tra"!&toria# m8)ima#9 #! a-li&a la '!,i)i&ió) '! #i#t!ma -aral!lo a 'i&
Ejemplo: Para !l #i#t!ma '! la ,i$%ra 9 la# tra"!&toria# m8)ima# #o): ACDEF9 ACD9 BCDEF " BCD. A-li&a)'o la ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra !) -aral!lo #! ti!)!:

φ#; ? + M +=ACDEF +=ACD+=BCDEF+=BCD ? ? BCDEF H  H EF H ACDEF M BEF H  MB M EF H BEF ? 0.32

P($i)a 74



Estructuras de !uente S% 'ia$rama '! blo4%!# !# !l #i$%i!)t!:

1

4 3

2

5

El #i#t!ma ,%)&io)ara #i al$%)o '! lo# #i$%i!)t!# &o)%)to# ,%)&io)a: e+991f e+9f e299f e291f. E#to# &o)%)to# #o) '!)omi)a'o# &o)%)to# '! r%ta m8)ima9 'a)'o %) 'ia$rama !4%ial!)t! a:

1

3 1

2

5 4

3 2

4 5

Redundancia La r!'%)'a)&ia a )i!l &om-o)!)t! !# #i!m-r! -ro-or&io)a %)a ma"or &o),iabili'a' 4%! a )i!l #i#t!ma. S!a φ] la ,%)&ió) '! !#tr%&t%ra -ara %) #i#t!ma &o
999999999

:istema 7 :istema ;

P($i)a 75

n n



Uso de ,initab S! &a-t%ra) 'o# &ol%m)a#9 %)a -ara lo# ti!m-o# '! ,alla ob#!ra'o# " otra -ara i)'i&ar &%al!# ti!m-o# #o) ,alla " &%al!# #o) &!)#%ra# -or la '!r!&tri&a o )o -aram>tri&a '! la 'i#trib%&ió) #!l!&&io)a'a9 !) la t!r&!ra o-&ió) #! tri&o '!talla'o " !) la &%arta !l a)(li#i# )o -aram>tri&o. E) !l -rim!r blo4%! #! &o)#i'!ra &!)#%ra -or la '!r!&
P($i)a 76



?. ,antenabilidad 4 dis!onibilidad Lo# #i#t!ma# r!-arabl!# r!&ib!) A&&io)!# '! ma)t!)imi!)to &%a)'o ,alla). E#ta# a&&io)!# #! '!b!) a) llama'a# ,alla# i)a&tia#.

,antenabilidad Es la &a-a&i'a' '! ma)t!)imi!)to #! '!,i)! &omo la -robabili'a' '! r!ali7ar %)a a&&ió) a&!rta'a '! r!-ara&ió) '!)tro '! %) ti!m-o 'a'o. E# '!&ir la &a-a&i'a' '! ma)t!)imi!)to mi'! la ,a&ili'a' " la !lo&i'a' &o) la# &%al!# %) #i#t!ma #! -%!'! r!#ta%rar al !#ta'o o-!ra&io)al '!#-%># '! 4%! ,allo. Por !!m-lo9 #! 'i&! 4%! %) &om-o)!)t! -arti&%lar ti!)! %)a ma)t!)abili'a' o &a-a&i'a' '! ma)t!)imi!)to '!l 0J !) %)a ;ito la &a%#a '! la ,alla. 2. El ti!m-o 4%! toma -ro&%rar o !)tr!$ar la# -i!7a# )!&!#aria# -ara r!ali7ar la r!-ara&ió). . El ti!m-o 4%! toma 4%itar lo# &om-o)!)t!# 'a5a'o# " #%b#tit%irlo# -or lo# b%!)o#. 1. El ti!m-o 4%! toma r!$r!#ar !l #i#t!ma a #% !#ta'o '! ,%)&io)ami!)to. 6. El ti!m-o 4%! toma !ri,i&ar 4%! !l #i#t!ma !#t( ,%)&io)a)'o '!)tro '! lo !#-!&i,i&a'o. . El ti!m-o a#o&ia'o '! a%#t! '! %) #i#t!ma -ara #% o-!ra&ió) )ormal. Para !l &a#o '! #i#t!ma# 'o)'! #% ma)t!)abili'a' #i$%! la 'i#trib%&ió) !;-o)!)&ial #! ti!)!: P($i)a 77



Do)'! µ? ta#a '! la r!-ara&ió). La m!'ia '! la 'i#trib%&ió) #! -%!'! obt!)!r &o):

Para !l &a#o '! la 'i#trib%&ió) '! !ib%ll #! ti!)!:

La ta#a '! r!-ara&ió) !#:

Dis!onibilidad La 'i#-o)ibili'a'9 #! '!,i)! &omo la -robabili'a' 4%! !l #i#t!ma !#t> ,%)&io)a)'o &orr!&tam!)t! &%a)'o #! #oli&ita -ara !l %#o. Crit!rio '!l ,%)&io)ami!)to -ara lo# #i#t!ma# r!-arabl!# 4%! &o)#i'!ra la# &ara&t!r8#ti&a# '! &o),iabili'a' " '! ma)t!)abili'a' o &a-a&i'a' '! ma)t!)imi!)to '! %) &om-o)!)t! o #i#t!ma. Por !!m-lo9 #i %)a l(m-ara ti!)! %)a 'i#-o)ibili'a' '!l .J9
U) #i#t!ma r!-arabl! 4%! ,%)&io)a a'!&%a'am!)t! %) -!rio'o '! ti!m-o9 '!#-%># ,alla " !# r!-ara'o -ara r!$r!#arlo a #% &o)'i&ió) o-!ra&io)al -%!'! t!)!r lo# #i$%i!)t!# &om-ortami!)to#:

P($i)a 78



El art8&%lo ,%)&io)ó &orr!&tam!)t! a -artir '! 0 a t &o) la -robabili'a' Rt o ,%)&io)ó &orr!&tam!)t! '!#'! la r!-ara&ió) -a#a'a !) !l ti!m-o %9 0  %  t9 &o) -robabili'a':

Co) m% #i!)'o la ,%)&ió) '! la '!)#i'a' '! la r!)oa&ió) '!l #i#t!ma. E)to)&!# la 'i#-o)ibili'a' '!l -%)to !# la a'i&ió) '! !#ta# 'o# -robabili'a'!#:

S! ti!)!) 'i!r#o# ti-o# '! 'i#-o)ibili'a' &omo #i$%!: Di#-o)ibili'a' i)#ta)t()!aZ Di#-o)ibili'a' m!'iaZ Di#-o)ibili'a' Limit!Z Di#-o)ibili'a' I)
P($i)a 7,



E#to !# m%" #imilar a la ,%)&ió) '! la &o),iabili'a' !) 4%! 'a %)a -robabili'a' 4%! %) #i#t!ma ,%)&io)! !) !l ti!m-o 'a'o9 t. La m!'i'a i)#ta)t()!a '! la 'i#-o)ibili'a' i)&or-ora la i),orma&ió) '! la ma)t!)abili'a'.

Di#-o)ibili'a' m!'ia La 'i#-o)ibili'a' m!'ia !# la -ro-or&ió) '! ti!m-o '%ra)t! %)a mi#ió) o %) -!r8o'o '! ti!m-o !) 4%! !l #i#t!ma !#t( 'i#-o)ibl! -ara !l %#o. R!-r!#!)ta !l alor m!'io '! la ,%)&ió) i)#ta)t()!a '! la 'i#-o)ibili'a' #obr! !l -!r8o'o 09 * G " !#ta 'a'a -or:

Di#-o)ibili'a' Limit!

Di#-o)ibili'a' i)
P($i)a 8-



La 'i#-o)ibili'a' i)
Di#-o)ibili'a' o-!ra&io)al La 'i#-o)ibili'a' o-!ra&io)al !# %)a m!'i'a '! la 'i#-o)ibili'a' m!'ia '%ra)t! !l ti!m-o ! i)&l%"! to'a# la# ,%!)t!# !;-!rim!)ta'a# '!l ti!m-o m%!rto9 tal!# &omo ti!m-o m%!rto a'mi)i#tratio9 ti!m-o m%!rto lo$8#ti&o9 !t&.

Ejemplo: U) $!)!ra'or '! !)!r$8a !#t( -ro!"!)'o !l!&tri&i'a'9 #i) !mbar$o !) lo# ltimo# #!i# m!#!#9
P($i)a 81



P($i)a 82



6roble#as +. E#&ribir " $ra,i&ar la ,%)&ió) '! ri!#$o <t -ara %)a 'i#trib%&ió) '! !ib%ll &o) -ar(m!tro# a B!ta ?+9 Et
2. U)a %)i'a' '! 'i#&o ti!)! %)a ,alla t!m-ra)a #i o&%rr! a)t!# '!l ti!m-o t ? al,a " %)a ,alla -or '!#$a#t! #i o&%rr! '!#-%># '! t ? b!ta. Si la i'a '!l 'i#&o #! -%!'! mo'!lar &o) la 'i#trib%&ió) ,t ? +/B!ta M al,a: a Obt!)!r la# !&%a&io)!# '! Ft " Rt b Cal&%lar la ta#a '! ri!#$o <t & ra,i&ar la ta#a '! ri!#$o #i Al,a ? +00 " B!ta ? +100
. S! r!ali7ó %) !#t%'io -ara !#timar la i'a m!'ia '! lo&omotora#. S! o-!raro) 6 m(4%i)a# '%ra)t! +19000 milla# o
1.1 66.1 63 6.1 6.1 

3.1 30.0 3+.1 32.0 3.0 3.0

+.1 .1 +02.1 +0.0 +03.1 ++2.1

P($i)a 83

++.1 ++6.0 ++.0 ++3.1 ++.0 +20.0

+22.1 +2.0 +2.1 ++.0 +2.1 +.0



a Utili7a)'o i)itab i'!)ti,i&ar la 'i#trib%&ió) 4%! m!or a-ro;im! a lo# 'ato#. b Com-arar la# !#tima&io)!# -or m8)imo# &%a'ra'o# " -or m(;ima !ro#imilit%'. & D!t!rmi)ar la i'a m!'ia)a '! la# lo&omotora#. ' C%(l !# la &o),iabili'a' '! la# lo&omotora# a la# 2009000 milla#. Dar %) i)t!ralo '! &o),ia)7a -ara !#ta &o),iabili'a' ! i)t!r-r!tarlo. . U) ,abri&a)t! '! balata# l! 'a #!$%imi!)to al ti!m-o '! ,alla '! la# mi#ma# !) _ilóm!tro# r!&orri'o#. Al ,i)ali7ar !l !#t%'io )o to'a# la# balata#
+01+2 +1++ +3103 +6++ 2+61

+232 +1120 +362 +03 21+

+1+ +1111 +36 20066 216+

+06 +1+2 +3+ 2016 21+

++23 +60 +3 206+0 2611

+0 +63+ ++26 2+1

+120 +6622 ++61 2+3

+63 +6626 +2 2+3

+66 +663 ++ 2236

+31 +61 +2 212

a Utili7a)'o !l i)itab9 i'!)ti,i&ar la 'i#trib%&ió) 4%! #i$%!) lo# 'ato#. b E#timar lo# -ar(m!tro# '! la 'i#trib%&ió) 4%! m!or #! a%#t! %tili7a)'o m8)imo# &%a'ra'o# " m(;ima !ro#imilit%'. Com-arar lo# !#tima'or!#. & C%(l !# la &o),iabili'a' '! la# balata# a lo# +09000 _m#. ' Si !l ,abri&a)t! )o !#t( 'i#-%!#to a r!!m-la7ar m(# '! 2J '! la# balata# !# ra7o)abl! otor$ar %)a $ara)t8a '! +09000 _m#. ! Pro-or&io)ar %) i)t!ralo '! &o),ia)7a al 1J -ara lo# _ilóm!tro# !) 4%! ,alla !l 2J '! la# balata# ! i)t!r-r!tarlo. 1. La i'a '! !)tila'or!# #! r!$i#tra &omo !)tila'or!# ,alla'o# " !)tila'or!# &o) &!)#%ra a la '!r!&
0 +

+310 +310

+ +

2200 000

+ +

10 +10

+ +

00 600

+ 0

6+00 6+00

+ -

300 300

+ +

310 310

+

++10 ++10 +160 +600 +660 +310 +310

0 0 + 0 + + +

+310 200 200 200 200 200 2030

+ + + + 0 0 0

000 000 000 +00 200 10 10

+ + + 0 + 0 +

+10 +10 +10 00 00 00

+ + + + + +

310 310 310 310 1000 1000 1000

+ + + + + + +

6+00 6+00 600 610 610 600 10

+ + + + + + +

3+00 3+00 3200 3100 3100 3100 310

+ + + + + + +

00 00 +0+00 +0+00 +0+00 ++100

+ + + + + +

El ob!tio !# '!t!rmi)ar la -ro-or&ió) '! !)tila'or!# 4%! ,alla) a)t!# '! ti!m-o '! $ara)t8a 4%! !# '! 39000
P($i)a 84

-



a E#timar !l mo'!lo a'!&%a'o -ara lo# 'ato# b E#timar lo# -ar(m!tro# '! la 'i#trib%&ió) 4%! m!or #! a%#t! %tili7a)'o m8)imo# &%a'ra'o# " m(;ima !ro#imilit%'. Com-arar lo# !#tima'or!#. & ra,i&ar !l !#tima'or )o -aram>tri&o '! la ,%)&ió) '! #%-!ri!)&ia. & C%(l !# la -ro-or&ió) '! !)tila'or!# 4%! ,alla) a)t!# '!l ti!m-o '! $ara)t8a '! 39000
S%-!r.  3 33 6 22 +0 6 2

a Utili7ar !l m>to'o '! m8)imo# &%a'ra'o# -ara obt!)!r B!ta " Et
Bal!ro# +3 ++ +0 6  2

ora# +2 + + + 2 1+ P($i)a 85

Bal!ro# 3 6   2 +

CURSO_CONFIABILIDAD

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