Curso Perfiles Laminados en Frio

Universidad de Sonora.

DISEÑO BASICO DE PERFILES LAMINADOS EN FRIO PRIMERA EDICION

M.C. CARLOS E. PEÑA RAMOS

PROLOGO El uso de los perfiles laminados en frío en México ha experimentado un incremento significativo en los últimos 10 años debido a la gran cantidad de edificaciones industriales y comerciales que los usan para estructurar sus sistemas de cubiertas y muros. Los fabricantes nacionales en respuesta a la demanda han producido una gran variedad de perfiles tanto para usos arquitectónicos como estructurales. Dichos fabricantes normalmente producen información referente a las propiedades de diseño que permiten hacer una selección preliminar del perfil, pero por consideraciones prácticas, no abundan en los procedimientos de análisis requeridos para definir la selección final del perfil. No obstante la creciente demanda en México en el uso de los perfiles laminados en frío, la bibliografía en español referente al comportamiento estructural desde el punto de vista teórico y experimental de dichos perfiles es prácticamente inexistente. Este libro fue preparado con el objetivo fundamental de presentar en detalle, tanto al ingeniero estructurista como al estudiante de ingeniería civil, los procedimientos de diseño y análisis de los perfiles laminados en frío que permitan generar un mejor entendimiento de su comportamiento para su aprovechamiento óptimo como miembro estructural. El libro fue desarrollado a partir de las notas de un curso de titulación impartido en la Universidad de Sonora en Hermosillo y de la investigación bibliográfica de las publicaciones del tema realizadas en Estados Unidos. Cabe mencionar que aun en Estados Unidos los libros de texto relacionados con el análisis y diseño de perfiles laminados en frío son muy escasos. De hecho, un solo libro de texto fue usado y sirvió de guía para la estructuración de este libro. Dicho libro fue escrito en 1991 por el Dr. Wei Wen Yu de la Universidad de Missouri-Rolla, basado en la Edición 1986 y en el Adendum 1989 de las Especificaciones de Diseño del Instituto Americano del Hierro y Acero (AISI) para Perfiles Laminados en Frío. La otra referencia fundamental del presente libro lo constituyó la Edición 1996 del Manual de Diseño del AISI, que contiene las Especificaciones de Diseño y su sección correspondiente de Comentarios Técnicos de la Especificación (de este punto en adelante abreviado como AISI 1996), así como el suplemento publicado en 1999 de las Especificaciones de Diseño del AISI (de este punto en adelante abreviado como Suplemento 1999). Otras publicaciones del AISI fueron consultadas y se encuentran enlistadas en la bibliografía de consulta. Por consiguiente, no es pretensión del autor el considerar el contenido del presente libro como de carácter original. Mas bien es una recopilación estructurada de la información publicada por otros, aunque a través del libro existen comentarios que pretenden enriquecer dicha información con la experiencia propia del autor. Es importante mencionar que las Especificaciones de Diseño del AISI son la Referencia Técnica Complementaria estándar en la mayoría de los Reglamentos de Construcción Municipales en México para el diseño de sistemas estructurales a base de perfiles laminados en frío. Por consiguiente, su consideración como referencia fundamental en el contenido del libro es obligada. Sin embargo, para efectos de mantener cierta independencia en el seguimiento del contenido del libro, previendo que dicha referencia podría no estar inmediatamente disponible, se incluyen en el texto la mayoría de las especificaciones vigentes del AISI aplicables al contenido. Con el propósito de minimizar confusiones, dichas especificaciones se presentan regularmente después de la presentación de la fundamentación teórica y experimental correspondiente. Las citas posteriores a la especificación se hacen a través de la sección correspondiente y las citas a la fundamentación se hacen a través del artículo correspondiente. Por ejemplo, la cita de la Sección E2, se refiere a la especificación y la cita al Art. 9.10, se refiere a la fundamentación. Se consideraron una cantidad razonable de ejemplos numéricos de la aplicación de las Especificaciones del AISI. Reflejando las preferencias del sistema de unidades de fuerza y longitud usado en México y Latinoamérica, todos los ejemplos fueron desarrollados en el sistema métrico. Así mismo, aunque gran parte del AISI 1996 y el Suplemento 1999 presentan sus ecuaciones de

diseño en formato adimensional, algunas conversiones del sistema inglés al sistema métrico fueron requeridas, sobre todo en los valores de los esfuerzos de fluencia y último del acero (Fy, Fu, respectivamente) y la resistencia de electrodos (Fxx). En estos casos se usaron criterios conservadores de redondeo. Dado que los perfiles laminados en frío presentan espesores muy pequeños, la gran mayoría de los cálculos de propiedades geométricas de los perfiles se realizaron en milímetros, presentando los resultados finales en centímetros, para efectos de minimizar la pérdida de precisión en dichos resultados. El Capítulo 1 introduce al lector a los perfiles laminados en frío, presentando comentarios generales referentes a los tipos comunes de perfiles encontrados en la práctica, asi como sus aplicaciones prácticas, sus métodos de fabricación y las ventajas mas importantes que ofrecen. También se presentan las consideraciones de diseño mas importantes, desde el punto de vista del comportamiento estructural, de los perfiles laminados en frío que dieron origen a la necesidad de producir especificaciones particulares. Debido a la importancia fundamental que tienen las propiedades mecánicas del acero en el comportamiento de los perfiles estructurales, se presentan en el Capítulo 2 las propiedades mecánicas relevantes de todos los tipos de acero reconocidos por el AISI 1996 y el Suplemento 1999. La curva esfuerzo-deformación y los conceptos de fluencia, falla última, fatiga, soldabilidad, ductilidad son discutidos en este Capítulo. Además, se presentan tratados sobre los efectos del laminado en frío y la temperatura en las propiedades mecánicas. En el Capítulo 3 se presentan los conceptos fundamentales y ecuaciones de diseño del Método ASD (Diseño por Esfuerzos Permisibles) y LRFD (Diseño por Factor de Carga y Resistencia). Ambos métodos de diseño son reconocidos en igualdad por el AISI 1996. Cabe mencionar que la mayoría de los ejemplos numéricos incluidos en el presente libro ilustran la aplicación de ambos métodos. Sin embargo, existe una clara tendencia del AISI a estandarizar al Método LRFD y relegar al Método ASD a una alternativa de diseño, siguiendo las mismas políticas establecidas por el Instituto Americano de Construcción en Acero (AISC), por lo que se sugiere al lector hacer énfasis en su estudio a las especificaciones relacionadas con LRFD, así como a sus aplicaciones en ejemplos numéricos. El Capítulo 4 presenta los conceptos fundamentales del comportamiento estructural de los perfiles laminados en frío. Se hace especial énfasis en los conceptos de resistencia al pandeo local y al postpandeo de elementos de pared delgada, así como en los criterios de diseño desarrollados a partir de éstos conceptos y que serán usados en capítulos posteriores. Los Capítulos 5 al 9 presentan la fundamentación teórica y experimental, así como las especificaciones correspondientes al diseño de miembros estructurales a base de perfiles laminados en frío. El Capítulo 5 trata los miembros sujetos a flexión y cortante, incluyendo aplastamiento del alma y la interacción de flexión y cortante y flexión y aplastamiento. Los miembros sujetos a compresión axial y a flexocompresión se presentan en los Capítulos 6 y 7, respectivamente. El Capítulo 8 presenta el diseño de elementos tubulares cilíndricos sujetos a compresión y flexión y el Capítulo 9 presenta el diseño de conexiones soldadas, atornilladas y pijeadas. Debido a la continua evolución de las opciones de perfiles que generan los fabricantes y a la escasa información presentada por éstos con respecto a las propiedades geométricas de diseño, se incluyen en el Apéndice A los procedimientos de cálculo de propiedades geométricas de perfiles requeridas por las ecuaciones de diseño del AISI 1996. Se incluyen las fórmulas de cálculo incluidas en el Manual de Diseño del AISI 1996, así como varios ejemplos numéricos de aplicación. Deseo agradecer las facilidades dadas por la División de Ingeniería de la Universidad de Sonora para la aprobación del Sabático que tuvo como proyecto la investigación bibliográfica y la redacción del presente libro. También deseo agradecer al M.I Julio Luna Rodríguez, Jefe del Departamento de Ingeniería Civil y Minas por su apoyo para la organización y aprobación del curso

de titulación que dio el impulso definitivo a su publicación. Así mismo, deseo agradecer a los Ingenieros Jesús Barrera Paredes y Víctor Martínez Yeomans, Maestros de Ingeniería Estructural de la Universidad de Sonora, por la revisión de la redacción del presente libro y sus valiosas sugerencias que permitieron maximizar la claridad de la presentación. También deseo expresar mi agradecimiento a las organizaciones e individuos que dieron su consentimiento para la reproducción de material tabular, gráfico y fotográfico. Se hacen referencias bibliográficas de dichos materiales en los lugares donde aparecen en el texto. Finalmente, deseo manifestar mi mas profundo agradecimiento a mi familia, en especial a mis hijos Carlos Enrique y Manuel Alejandro; su amor, apoyo y comprensión fueron un gran aliciente para culminación del presente trabajo.

M.C. Carlos E. Peña Ramos Hermosillo, Sonora. Noviembre del 2000

DISEÑO BASICO DE PERFILES LAMINADOS EN FRÍO TEMARIO DEL CURSO MODULO I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE DISEÑO (45 HRS.) Expositores: M.C. Carlos E. Peña e Ing. Jesús Barrera Paredes 1. Introducción 1.1 Comentarios Generales. 1.2 Ventajas Principales del Uso de los Perfiles Laminados en Frío. 1.3 Tipos y Usos de los Perfiles Laminados en Frío. 1.4 Métodos de Laminado en Frío. 1.5 Especificaciones de Diseño para Perfiles Laminados en Frío. 1.6 Consideraciones Generales de Diseño para Perfiles Laminados en Frío. 1.7 Método Lineal para el Cálculo de las Propiedades Geométricas de Perfiles. 2. Propiedades del Acero Usado en Laminado en Frío 2.1 Comentarios Generales. 2.2 Aceros Estructurales Reconocidos por el AISI. 2.3 Propiedades Mecánicas Relevantes del Acero. 2.4 Los Efectos de la Temperatura en las Propiedades del Acero. 2.5 Los Efectos del Laminado en Frío en las Propiedades del Acero. 2.6 Esfuerzos Residuales Debidos al Proceso de Laminado en Frío. 3. Criterios de Diseño para Perfiles Laminados en Frío 3.1 Comentarios Generales. 3.2 Método de Diseño por Esfuerzos Permisibles (ASD). 3.3 Método de Diseño por Factor de Carga y Resistencia (LRFD). 4. Comportamiento Estructural de Elementos de Acero de Pared Delgada 4.1 Comentarios Generales. 4.2 Definición de Términos Generales. 4.3 Comportamiento Estructural de Elementos Sujetos a Compresión. 4.4 Comportamiento Estructural de Elementos Perforados Bajo Esfuerzo Uniforme. MODULO II: DISEÑO BASICO DE MIEMBROS LAMINADOS EN FRIO (45 HRS) Expositor: M.C. Carlos E. Peña 5. Miembros Sujetos a Flexión y Cortante 5.1 Comentarios Generales. 5.2 Resistencia a Flexión y Deformaciones. LRFD y ASD. 5.3 Diseño de Almas en Vigas. LRFD y ASD. 5.4 Requisitos de Apoyos Laterales en Vigas. 6. Miembros Sujetos a Tensión y Compresión Axial 6.1 Comentarios Generales. 6.2 Fluencia en Miembros Sujetos a Tensión y Compresión Axial. 6.3 Miembros Sujetos a Tensión. 6.4 Pandeo por Flexión de Columnas. 6.5 Pandeo Torsional y Flexotorsional de Columnas. 6.6 Efecto del Laminado en Frío sobre el Pandeo de Columnas. 6.7 Ecuaciones de Diseño del AISI para Columnas. LRFD y ASD. 6.8 Factor de Longitud Efectiva, K. 6.9 Ejemplos de Diseño. LRFD y ASD.

7. Miembros Sujetos a Flexocompresión 7.1 Comentarios Generales. 7.2 Secciones con Simetría Doble y Secciones No Sujetas a Pandeo Torsional o Laterotorsional. 7.3 Secciones Abiertas de Pared Delgadas Sujetas a Pandeo Laterotorsional. 7.4 Secciones Abiertas con Simetría Simple. 7.5 Criterios de Diseño del AISI. LRFD y ASD. 8. Miembros Tubulares Cilíndricos 8.1 Comentarios Generales. 8.2 Tipos de Tubulares Cilíndricos. 8.3 Pandeo por Flexión. 8.4 Pandeo Local. 8.5 Criterios de Diseño del AISI. LRFD y ASD. 8.6 Ejemplos de Diseño. LRFD y ASD. MODULO III: TEMAS SELECTOS DE DISEÑO (45 HRS) Expositores: M.C. Carlos E. Peña e Ing. Victor Martínez Yeomans 9. Diseño de Conexiones 9.1 Comentarios Generales. 9.2 Tipos de Conexiones. 9.3 Conexiones Soldadas. LRFD y ASD. 9.4 Conexiones Atornilladas. LRFD y ASD. 9.5 Conexiones a Base de Pijas. LRFD y ASD. 9.6 Miembros a Compresión de Sección I o Cajón Formados con Secciones C Conectadas. 9.7 Vigas de Sección I Formadas con Dos Secciones C. 9.8 Espaciamiento de Conectores en Elementos a Compresión. 10. Láminas Corrugadas 10.1 Comentarios Generales. 10.2 Aplicaciones Prácticas. 10.3 Propiedades Geométricas y Diseño de Láminas Corrugadas. 10.4 Aplicaciones de Láminas Corrugadas en Diseño de Miembros Compuestos. 11. Diseño de Sistemas de Cubiertas Ligeras y Muros Metálicos 11.1 Tipos de Sistemas de Cubiertas y Muros 11.2 Análisis de Cargas 11.3 Diseño de Polinería y Lámina en Cubiertas y Muros 11.4 Ejemplos de Aplicación. MODULO IV: SEMINARIO DE TITULACIÓN (30 HRS) Expositor: Ing. Daniel Zaragoza 1. 1.1 1.2 1.3

Introducción Motivación para la selección del tema Explicación de condiciones, requisitos y procedimientos Repaso de metodología de la Investigación

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Selección del Tema Titulo tentativo Area Materia Cobertura

2.5 Campo de Interés 2.6 Entidad responsable 2.7 Asesores 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Planteamiento del Problema Antecedentes Objetivos Justificación Formulación del problema Tipo de investigación Inscripción del trabajo de disertación ante coordinación del programa

4. 4.1 4.2 4.3

Marcos Reseña y revisión bibliográfica básica Temario Formulación de Hipótesis

5. 5.1 5.2 5.3

Correcciones a Trabajos Escritos Correcciones Revisión final Defensa verbal.

CAPITULO 1

INTRODUCCION 1.1 COMENTARIOS GENERALES Las estructuras de acero usadas en grandes centros comerciales, hipermercados y plantas de manufactura, entre otras, requieren de grandes espacios entre columnas y de alturas libres considerables. Dichas estructuras deben ser ligeras y resistentes para que sean económicamente viables. En la gran mayoría de las estructuras de acero que deben cumplir con éstas restricciones se puede observar el uso de dos tipos de perfiles estructurales, clasificados en función de su proceso de formación: los perfiles laminados en frío y los perfiles laminados en caliente. Como su nombre lo indica, en los laminados en frío el proceso de formación de los perfiles estructurales se lleva a cabo a temperatura ambiente. Por el contrario, en los laminados en caliente, el proceso de formación se lleva acabo a altas temperaturas. Aunque ambos tipos de perfiles colaboran de manera integral para desarrollar la resistencia y rigidez de la estructura, su comportamiento individual bajo cargas suele ser significativamente diferente. El comportamiento estructural de perfiles laminados en frío se ve influido de manera determinante por los efectos del laminado en frío en el material, así como por el uso predominante de elementos esbeltos (espesores típicos de 0.4mm hasta 6.4mm). Esto, aunado a su creciente demanda en la construcción, a obligado a los profesionales e investigadores de la ingeniería estructural a desarrollar especificaciones de diseño para estos perfiles. En 1946 se publicaron las primeras especificaciones de diseño bajo el auspicio del Instituto Americano del Hierro y Acero (o AISI, por sus siglas del inglés: “American Iron and Steel Institute”). El AISI ha continuado realizado ediciones subsecuentes para reflejar el grado de avance tecnológico en los materiales y los resultados de las investigaciones en proceso. La edición más reciente de las especificaciones del AISI fue realizada en 1996 y actualizada en 1999. A menos que se indique lo contrario, dicha edición y su actualización será la especificación de referencia en los diversos capítulos que componen éste libro. El alcance del presente libro se limita a las aplicaciones de los perfiles laminados en frío en el diseño y construcción de estructuras para edificios. Otras aplicaciones, tales como el uso en carrocerías y fuselajes de aviones, donde los efectos dinámicos, de corrosión y fatiga son de gran relevancia, no serán considerados aquí. 1.2 VENTAJAS PRINCIPALES DEL USO DE LOS PERFILES LAMINADOS EN FRIO La capacidad de carga de los perfiles laminados en frío proviene del material constitutivo y de la configuración del perfil. Una lámina delgada de acero no puede soportar una carga considerable, pero si ésta lámina se dobla, formando un perfil estructural, los dobleces actúan como atiesadores, incrementando considerablemente la capacidad de carga de la lámina original. Debido a que gran parte de la resistencia y rigidez de la sección depende de su configuración y no de su espesor, las relaciones de resistencia-peso pueden llegar a ser muy favorables. En general, los perfiles laminados en frío proveen las siguientes ventajas: 1. En comparación con los perfiles laminados en caliente más pesados, los perfiles laminados en frío son más económicos para cargas livianas y/o claros cortos. 2. Se pueden producir económicamente secciones con configuraciones poco comunes para amoldarse a condiciones de uso muy particulares sin incremento en peso propio, obteniendo relaciones resistencia-peso más favorables. Esto puede resultar en reducciones considerables en peso por metro cuadrado de estructura, así como ahorros en material.

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3. Economía en el manejo y transporte. La ligereza de los perfiles reduce los costos de flete y evita el uso de grúas pesadas en las maniobras de descarga y almacenaje. Además, la mayoría de los perfiles se pueden estibar logrando empaques compactos para su transporte. 4. Producción en masa y control de calidad. Como los procesos de laminado en frío se realizan con maquinaria automatizada de producción en serie, los costos se minimizan y la calidad de fabricación es consistente. Esto permite minimizar la variabilidad de las propiedades geométricas y del material, obteniendo una mayor confiabilidad y precisión en la predicción del comportamiento estructural. 5. Facilidad de uso en construcción prefabricada. La industria de los edificios prefabricados esta basada prácticamente en el uso de perfiles laminados en frío. Se pueden fabricar en taller, a la medida necesaria, la polinería de cubierta y muro con todos los barrenos para la tornillería ya hechos. Así mismo, se pueden prefabricar sistemas de panel de muro a base de dos caras de lámina corrugada con aislamiento térmico integrado. Todo esto permite minimizar los trabajos de habilitado en campo y mantener un mejor control de calidad de la construcción. 6. El uso de láminas corrugadas en sistemas de piso y cubierta provee una capacidad de carga aceptable que permite su uso como plataformas para los trabajos de construcción de dichos sistemas. Por ejemplo, las láminas usadas como refuerzo primario para losas aligeradas de concreto (también conocidas como decks) pueden resistir sin problemas los procesos de colado, si se evitan las acumulaciones excesivas del concreto (montículos) durante el proceso de colocación. Así mismo, la cimbra puede reducirse al uso de puntales en vigas y/o decks. 7. Facilidad de montaje. La ligereza del material, el prehabilitado en taller de cortes y barrenos, así como la simplicidad típica de las conexiones usadas, permite acelerar el proceso de montaje. 8. Durabilidad. El acero laminado en frío no se contrae, no presenta flujo plástico, ni es susceptible al ataque de termitas. El uso de pinturas anticorrosivas aplicadas en taller o el uso de galvanizados minimiza los problemas de corrosión. El acero no propaga el fuego y puede recibir recubrimientos adicionales a prueba de fuego. 1.3 TIPOS Y USOS DE PERFILES LAMINADOS EN FRIO Existen dos grupos principales de perfiles laminados en frío usados en edificios: los miembros estructurales individuales y los paneles y decks. A continuación se describen ambos grupos. 1.3.1

Miembros Estructurales Individuales

Los perfiles comúnmente usados en arreglos estructurales típicos son los perfiles “C” o canal, los perfiles “Z”, los angulares, los perfiles “Sombrero”, los perfiles “I”, los perfiles “T” y los perfiles tubulares.

Fig 1.1 Tipos de miembros estructurales individuales

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La Fig. 1.1 muestra algunos de los perfiles típicos usados, incluyendo los antes mencionados. Una distinción comúnmente usada es la de clasificar a los perfiles en “abiertos” [Fig. 1.1 (a) a (j)], “cerrados” [Fig. 1.1 (p) a (r)] y “compuestos” [Fig. 1.1 (k) a (o), (s) y (t)]. Las dimensiones típicas de estos perfiles varían de 2 a 12 plg (51 a 305 mm) de peralte y de 0.048 a 0.25 plg (1.2 a 6.4mm) de espesor. Sin embargo, se producen en la actualidad perfiles con peraltes de hasta 18 pulgadas (457mm) y los espesores pueden llegar a 0.5 pulgadas (13mm). Los miembros estructurales suelen clasificarse en miembros primarios y secundarios, dependiendo de su importancia en la preservación de la integridad estructural. En general, se consideran miembros primarios las trabes y columnas que forman los marcos principales de la estructura y miembros secundarios a los polines, contravientos, contraflambeos (sag-rods), láminas de cubierta o muro, etc. Se han usado perfiles laminados en frío como elementos primarios en edificios de baja altura de uno a tres niveles (ver Fig. 1.2). En edificios industriales con claros libres considerables (ver Fig. 1.3), los elementos principales son típicamente perfiles laminados en caliente y los elementos secundarios (polines, joists, decks o paneles) son típicamente perfiles laminados en frío. En estos casos, los perfiles laminados en caliente y en frío trabajan en colaboración, aprovechando las ventajas de ambos para producir un diseño integral económico.

(a)

(b)

Fig. 1.2 Estructuras de baja altura compuestas en su (1), (2) totalidad por perfiles laminados en frío .

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Fig. 1.3 Edificio Industrial a base de marcos rígidos en la estructura primaria y (1) polines de sección C y lámina corrugada en la estructura secundaria .

El uso de perfiles con agujeros prefabricados en el alma es de uso cada vez mas común. Estos agujeros son realizados por el fabricante con dimensiones y espaciamientos estandarizados. La Fig. 1.2 (a) y (b) muestran dichos agujeros. Los agujeros son convenientes para paso de instalaciones que estarán ocultas en muros y pisos. En el caso de perfiles para formar estantes industriales o “racks” (ver Fig. 1.5), los agujeros se usan para efectos de ensamble. La Fig. 1.4 muestra el uso de perfiles agujerados por consideraciones arquitectónicas (nótese la variación en los diámetros de los agujeros) usados como estructura principal de la cubierta.

Fig. 1.4 Uso de perfiles agujerados como estructura principal de la cubierta

(2)

5

Fig. 1.5 Estantería industrial o “racks” formados con perfiles laminados en frío

(1)

Los perfiles laminados en frío se usan también como elementos en cuerdas y diagonales de estructuras triodéticas (ver Fig. 1.6) y estructuras principales en cubiertas cilíndricas (ver Fig. 1.7).

Fig. 1.6 Estructura triodética a base de perfiles laminados en frío

(1)

6

Fig. 1.7 Estructura para cubierta cilíndrica a base de perfiles laminados en frío

1.3.2

(2)

Paneles y Decks

Estos perfiles se usan comúnmente en sistemas de piso y cubierta y en paneles de muros. La Fig. 1.8 muestra perfiles típicos de este grupo. En esta figura se observa también la distinción entre paneles, decks y láminas corrugadas.

Fig. 1.8 Paneles y decks laminados en frío

(1)

Las dimensiones típicas de paneles y decks varían de 1.5 a 7.5 pulgadas (38 a 191mm) de peralte y de 0.018 a 0.075 pulgadas (0.5 a 1.9mm) de espesor. En láminas corrugadas la distancias típicas entre centros de valles de corrugaciones son de 1.5 a 3 pulgadas (32 a 76mm) y los peraltes varían de 0.25 a 1.0 pulgadas (6.4 a 25mm). Sin embargo, en la actualidad variaciones a estas dimensiones típicas son ya muy comunes. Como se mencionó anteriormente, éstos perfiles no son solo capaces de resistir cargas sino que también pueden servir como plataformas de trabajo para colar pisos. En estos casos el deck trabaja como refuerzo primario a flexión para sistema de piso de concreto. La Fig. 1.9 ilustra sistemas de pisos a base de deck y joist y deck y estructura laminada en caliente.

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(a)

(b)

Fig. 1.9 Sistemas de piso de concreto con deck de lámina actuando como refuerzo primario del concreto. (a) Sistema de piso con estructura de acero a base de joist laminado en frío; (b) Sistema de piso con estructura de acero (1), (2) laminado en caliente .

En el caso de decks para cubiertas, se han desarrollado sistemas a base de hipérbolas paraboloides (ver Fig. 1.10), de láminas cilíndricas (ver Fig. 1.7), láminas dobladas (ver Fig. 1.11) y láminas engargoladas con costuras sobresalientes (ver Fig. 1.12). Los sistemas a base de hipérbolas, láminas dobladas y algunas láminas cilíndricas se pueden diseñar para trabajar como membranas o cascarones. Es decir, pueden transmitir las cargas de la cubierta directamente a la los apoyos (columnas, muros, cimentación, etc.) sin necesidad de una estructura principal (marcos, armaduras, etc.) o secundaria (polinería).

Fig. 1.10 Cubierta de cascarón hiperbólico paraboloide a base de lámina de acero

(1)

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Fig. 1.11 Cubierta de cascarón a base de lámina de acero doblada

(a)

(1)

(b)

Fig.1.12 Sistemas de cubierta a base de lámina engargolada con costuras sobresalientes; (a) Vista en (2) detalle de las costuras; (b) Vista panorámica de edificaciones con cubiertas de lámina engargolada .

Los paneles de lámina pueden usarse para cubrir la totalidad de los muros de edificios como lo ilustra la Fig. 1.13 (a). También puede usarse el panel de lámina para cubrir parcialmente el muro, a partir de cierta altura como lo ilustra la Fig. 1.13 (b). La parte inicial del muro puede ser de otro material mas durable y que resista mejor el impacto como el concreto, block o ladrillo. Este tipo de muro se usa comúnmente en edificios de manufactura, donde el constante tráfico de montacargas y el continuo contacto del personal puede generar serios problemas de mantenimiento para muros de lámina que inician desde el piso. Los muros completos de lámina se recomiendan solo en los casos donde se puedan tomar medidas prácticas para evitar problemas de mantenimiento por el contacto de vehículos o personal. Al igual que las cubiertas, los muros de lámina pueden recibir aislamiento de colchoneta de fibra de vidrio que se instala en la cara interior de la lámina o del tipo rígido, que se instala en medio de dos láminas para formar un panel tipo “sandwich”.

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(a)

(b)

Fig 1.13. Edificios industriales con muros de panel de acero laminado en frío; (a) Edificio con muros completos a base de panel de lámina; (b) Edificio con muro fabricados parcialmente con panel de (2) lámina .

1.4 METODOS DE LAMINADO EN FRIO Existen básicamente dos tipos de métodos de laminado en frío: (1) El Método de Prensa y (2) El Método de Rolado. Se describen a continuación ambos métodos. 1.4.1

Método de Prensa

El Método de la Prensa es económico si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La sección tiene una configuración sencilla que no requiera mas de dos movimientos de la prensa para su formación definitiva. 2. La cantidad de producción requerida es menor de 92 metros por minuto. 3. La sección a producir es relativamente ancha [usualmente mayor de 18 pulgadas (457mm)]. Por ejemplo, secciones para decks y paneles. Este método consiste en el uso de una prensa donde la longitud de las plantillas o moldes es mucho mayor que el ancho. La plantilla usualmente se coloca en una cama estacionaria y la prensa baja sobre la lámina hasta formar la geometría indicada en la plantilla, aunque existen casos donde una parte de la plantilla se coloca sobre la prensa (ver Fig. 1.14). Secciones simples como perfiles “C”, “Z” y angulares se pueden formar con el método de prensa a partir de láminas, barras, placas o cintas en no más de dos movimientos de la prensa. Sin embargo, perfiles mas complicados pueden requerir de varias operaciones. 1.4.2

Método de Rolado

En este método el acero se alimenta longitudinalmente a través de una serie de rodillos, cada uno de los cuales dobla progresivamente la lámina hasta alcanzar la configuración deseada [ver Fig.

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1.15 (a)]. Una sección sencilla puede requerir de seis pares de rodillos, pero una sección complicada puede requerir de 15 a 20 pares. Los rodillos usualmente están hechos de acero endurecido y pueden ser colocados en disposición vertical y horizontal. La mayoría de las maquinas de rolado usan una combinación de ambas disposiciones.

(a)

(b)

Fig. 1.14 Método de Prensa: (a) Fabricación de recipiente; (b) Fabricación de perfiles y esquinas

(1), (2)

Usualmente, las maquinas roladoras tienen disponibles sets de rodillos para secciones estándar como las secciones “C” y “Z”. Normalmente el fabricante debe cambiar el set cada vez que quiera cambiar el tipo de sección a producir. Esto puede tomar varios días, por lo que el fabricante deberá tomar siempre en cuenta el volumen de producción requerido para minimizar el impacto de los costos de montaje del set de rodillos correspondiente sobre el costo por pieza producida. Esto es especialmente cierto en la fabricación de secciones complicadas. Obsérvese por ejemplo, el proceso de rolado de una columna arquitectónica ilustrado en la Fig. 1.15 (b). Aquí se observa claramente como cada paso de los rodillos va dando la configuración final. La pieza terminada será de 96 pulgadas (2.44 metros) de longitud. Si la velocidad de fabricación se establece en 26 metros/min, 305 metros pueden ser rolados en 1 hora y 33 minutos. Debido a que la maquina de rolado requiere de 6 horas con 48 minutos para colocar la disposición de rodillos correspondiente, miles de piezas deberán ser fabricadas para hacer al método de rolado el método económico de fabricación.

(a)

(b)

Fig. 1.15 (a) Máquina roladora; (b) Proceso de rolado de una columna arquitectónica

(2)

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Una de las ventajas principales del método de rolado es que el acero puede ser alimentado a través de carretes de hasta 96 pulgadas (244mm) de ancho y 3000 pies (915 metros) de longitud, lo cual acelera el proceso significativamente. La velocidad de rolado puede variar de 6 a 92 metros/min, aunque la velocidad usual es de 23 a 46 metros/min. En el extremo de acabado, la sección terminada usualmente se corta a la longitud requerida por una maquina de corte automática. Las longitudes máximas de corte en fábrica varían de 6 a 12 metros, aunque éstas pueden variar. Las dimensiones típicas de secciones que pueden ser fabricadas por el método de rolado se ilustran en la Fig. 1.16.

Fig. 1.16 Rango de dimensiones típicas para perfiles laminados en frío

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Las tolerancias de rolado están normalmente en función del tamaño y tipo de la sección y del espesor del material. A continuación se proporcionan límites representativos de la industria: 1. Longitud de pieza, usando maquina automática de corte: ± 1/64 a 1/8 plg. (0.4 a 3.2mm) 2. Rectitud o Torcedura: ± 1/64 a 1/8 plg. (0.4 a 3.2mm) en 10 pies (3 metros). 3. Dimensiones de la Sección: Fraccional: ± 1/64 a 1/16 plg. (0.4 A 1.6mm). Decimal: ± 0.005 a 0.015 plg. (0.1 a 0.4mm). 4. Angulos: ± 1 a 2 grados. La Tabla 1.1 muestra las tolerancias de fabricación aprobadas por la Asociación de Fabricantes de Edificios Metálicos de EEUU (MBMA por sus siglas del inglés: “Metal Building Manufacturers Asociation) para secciones “C” y “Z” laminadas en frío a ser usadas en edificios metálicos. Toda la simbología usada en la Tabla 1.1 se ilustra en la Fig. 1.17.

12 (1)

Tabla 1.1 Tolerancias de Fabricación de la MBMA Tolerancias, plg (mm) Dimensiones + Geometría D 0.188 (4.76) 0.188 (4.76) B 0.188 (4.76) 0.188 (4.76) D 0.375 (9.53) 0.125 (3.18) 3° 3° θ1 5° 5° θ2 Ubicación de Barrenos E1 E2 E3 S1 S2 F P L Deformación C (L en pies) Espesor mínimo t

0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.063 (1.59) 0.063 (1.59) 0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.025L (0.635L) 0.95 x t de diseño

Fig. 1.17 Simbología usada en la Tabla 1.1

0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.063 (1.59) 0.063 (1.59) 0.125 (3.18) 0.125 (3.18) 0.125 (3.18)

(1)

13 1.5 ESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA PERFILES LAMINADOS EN FRIO No obstante el uso de los perfiles laminados en frío tuvo su inicio a mediados del siglo IXX en Estados Unidos y Gran Bretaña, ya para 1930 su desarrollo se veía obstaculizado por la falta de especificaciones de diseño apropiadas. Los códigos de construcción vigentes de la época solo contenían especificaciones para los perfiles laminados en caliente. Las especificaciones de diseño para los perfiles laminados en frío eran necesarias ya que el comportamiento estructural bajo cargas de estos perfiles difiere en muchos aspectos importantes de los perfiles laminados en caliente. Además, los diferentes tipos de perfiles desarrollados, los tipos de conexiones y los procedimientos de fabricación de los perfiles laminados en frío contienen características muy particulares que no comparten los perfiles laminados en caliente. Por consiguiente, la aplicación de las especificaciones de diseño desarrolladas para los perfiles laminados en caliente a los perfiles laminados en frío resultaba poco práctica y hasta insegura en algunos casos. El Comité de Investigación y Tecnología del AISI se planteó el objetivo de patrocinar el desarrollo de la sustentación teórica y experimental requerida para la creación de las primeras especificaciones de diseño. En 1939 patrocinó proyectos de investigación en la Universidad de Cornell bajo la dirección del Dr. George Winter con el objetivo de desarrollar dicha sustentación. Las investigaciones del comportamiento estructural de los perfiles laminados en frío del Dr. Winter y sus colaboradores resultaron en el desarrollo de métodos para el cálculo del ancho efectivo de elementos a compresión atiesados, de la reducción de los esfuerzos de trabajo de los elementos a compresión no atiesados, del aplastamiento del alma, del pandeo lateral de vigas, del comportamiento estructural de puntales de muros, del pandeo de armaduras y marcos, de flexión asimétrica de vigas, de conexiones atornilladas y soldadas, de pandeo por flexión de columnas, de pandeo flexo-torsionante de columnas con cargas excéntricas y concéntricas en el rango elástico e inelástico, de los efectos del laminado en frío en las propiedades de los materiales, de la resistencia al cortante de diafragmas de acero, del comportamiento de columnas y vigas con apoyo lateral continuo por medio de diafragmas, de los requisitos de apoyo lateral de perfiles “C” y “Z” cargados en el plano del alma, de la interacción del pandeo local y global, de la capacidad inelástica de reserva en vigas, etc. Desde 1939, muchas empresas privadas y universidades en EEUU se han embarcado en proyectos de investigación en el comportamiento estructural de perfiles laminados en frío, sus conexiones y sus arreglos estructurales típicos. Los resultados de dichas investigaciones se han presentado en congresos en EEUU y otras partes y se han publicado en las minutas de dichos congresos y las revistas técnicas especializadas de las diversas sociedades profesionales de ingeniería de los Estados Unidos. Como resultado de todo lo anterior, en 1946 se publicó la primera edición del documento “Especificaciones de Diseño para Elementos Estructurales de Acero de Calibre Ligero” por el Subcomité Técnico de la AISI. Para reflejar los continuos avances tecnológicos y los resultados de los proyectos de investigación en proceso, el AISI realizó ediciones subsecuentes del documento en 1956, 1960, 1962, 1968, 1980, 1986 (con Addendum en 1989) y más recientemente en 1996 (con Suplemento en 1999). En la actualidad dicho documento se conoce como “Especificaciones para el Diseño de Miembros Estructurales Formados en Frío”. Es de esperarse que las especificaciones del AISI continúen actualizándose en ediciones subsecuentes para incorporar los avances futuros en el área de tecnología de materiales, comportamiento estructural y de procedimientos de diseño. Aun cuando diversas naciones han desarrollado sus propias especificaciones de diseño para los perfiles laminados en frío, las especificaciones editadas por el AISI son sin duda las de mayor difusión y reconocimiento internacional y han sido incorporadas como la referencia técnica base de muchos códigos de construcción regionales para el diseño de perfiles laminados en frío. En el caso

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específico de México, las especificaciones del AISI son reconocidas como Normas Técnicas Complementarias Estándar en la mayoría de los reglamentos de construcción vigentes en el país. Además de las especificaciones de diseño, el AISI edita desde 1949 el “Manual de Diseño del Acero Formado en Frío”, donde se incluyen las especificaciones de diseño, la sección de comentario de dichas especificaciones, tablas de propiedades geométricas de perfiles típicos, tablas y gráficas de ayuda para el diseñador, así como numerosos ejemplos de diseño. Este manual a sido revisado subsecuentemente en 1956, 1962, 1968-1972, 1977, 1983, 1986 y más recientemente en 1996. Es importante hacer mención que en la actualidad ni en Estados Unidos ni en México se han desarrollado perfiles estandarizados para el acero laminado en frío. Los fabricantes individuales generan sus propias dimensiones particulares y emiten generalmente las tablas de propiedades geométricas, así como tablas y gráficas para ayuda del diseñador que selecciona sus productos. Por consiguiente, las tablas de propiedades geométricas de perfiles típicos, así como las tablas y gráficas desarrolladas para los mismos contenidas en el Manual de Diseño de la AISI, tienen un carácter meramente ilustrativo de las aplicaciones de las especificaciones y procedimientos de diseño contenidos. Es innegable que la estandarización de perfiles, como se ha adoptado en el diseño de perfiles laminados en caliente, es conveniente para el diseñador, pero puede limitar considerablemente el desarrollo de aplicaciones nuevas y el uso de perfiles innovadores. Se debe considerar que el acero laminado en frío es mucho más flexible que el laminado en caliente para adoptar perfiles nuevos que permiten adaptarse con eficiencia a necesidades arquitectónicas y/o estructurales muy particulares. 1.6 CONSIDERACIONES GENERALES DE DISEÑO PARA LOS PERFILES LAMINADOS EN FRIO. El comportamiento estructural bajo carga de los perfiles laminados en frío presenta diversos problemas de diseño que difieren de los que se presentan normalmente en los perfiles laminados en caliente. A continuación se presentan algunos de los problemas más importantes: 1.6.1

Pandeo Local y Resistencia de Post Pandeo de Elementos a Compresión de Pared Delgada.

Debido a que los componentes individuales de los perfiles laminados en frío son muy esbeltos (es decir que sus espesores son muy delgados comparados con sus dimensiones longitudinales), estos pueden pandearse por inestabilidad a magnitudes de esfuerzo por debajo del esfuerzo de fluencia, si son sometidos a compresión, flexión, cortante o aplastamiento. Por consiguiente, el pandeo local de dichos componentes es una de las consideraciones principales que deben tomarse en cuenta para determinar la resistencia de diseño. Por otro lado, se ha demostrado experimentalmente que dichos componentes no necesariamente fallarán al alcanzar sus esfuerzos críticos de pandeo. Se han observado componentes que pueden resistir cargas adicionales hasta alcanzar esfuerzos de falla que exceden hasta 3.5 veces el esfuerzo de pandeo. A esta capacidad adicional para resistir carga después de ocurrir el pandeo inicial se le conoce como resistencia de post pandeo y puede ser aprovechada para calcular la resistencia de diseño. 1.6.2

Rigidez Torsionante y Pandeo Flexo-Torsionante 3

Debido a que la rigidez torsionante de perfiles abiertos es proporcional a t , donde t es el espesor del perfil, los perfiles laminados en frío de pared delgada son relativamente débiles a la torsión.

15

Además, es un caso muy común el de perfiles, como los perfiles “C”, donde el centro de cortante no coincide con el centroide del perfil y las cargas se aplican en el plano del alma. Si la acción de la resultante de dichas cargas no coincide por el centro de cortante, se genera una excentricidad de carga que induce a la torsión y flexión simultánea del perfil. Por consiguiente, debido a que los perfiles laminados en frío están constituidos por componentes esbeltos y en algunos de éstos perfiles no coincide el centro de cortante con el centroide, el pandeo flexo-torsionante es una de las consideraciones principales que deben tomarse en cuenta para determinar la resistencia de diseño. 1.6.3

Atiesadores en Elementos Sujetos a Compresión

La capacidad de carga y el comportamiento por pandeo de los componentes de vigas y columnas sujetos a compresión puede ser mejorada considerablemente si se usan atiesadores intermedios o de borde. En perfiles laminados en frío los atiesadores son dobleces en la lámina que forma al perfil. Ejemplos del uso atiesadores intermedios y de borde se pueden observar en la lámina de la Fig. 1.8(b) y en el perfil C de la Fig. 1.1(b), respectivamente. Debido a que los perfiles laminados en frío son especialmente susceptibles a problemas de pandeo, es muy común que se usen uno o ambos tipos de atiesadores. Por consiguiente, el efecto de la presencia de atiesadores debe ser considerado en la evaluación de la resistencia diseño. 1.6.4

Variabilidad de las Propiedades Geométricas de Perfiles con Elementos Atiesados y No Atiesados.

Para perfiles con elementos a compresión atiesados, parcialmente atiesados y no atiesados, el ancho total del elemento es 100% efectivo para resistir cargas cuando la relación ancho-espesor es pequeña o cuando los esfuerzos a compresión son relativamente pequeños. Sin embargo, al incrementar los esfuerzos a compresión en elementos con relaciones ancho-espesor grandes, las regiones cercanas a los atiesadores son más eficientes estructuralmente después de pandearse el elemento. Como resultado, la distribución de esfuerzos a compresión es no uniforme. Debido a que los modelos de diseño por flexión considerados requieren de distribuciones uniformes de esfuerzos, se han ideado distribuciones uniformes “equivalentes” proyectadas sobre un “ancho efectivo reducido”. Como se verá en capítulos posteriores, el ancho efectivo de un elemento a compresión no solo varía con respecto al nivel del esfuerzo aplicado sino que también depende de la relación anchoespesor. Es evidente que al variar las dimensiones de uno o varios elementos del perfil, variarán también el módulo de sección y el momento de inercia de todo el perfil. Como el nivel de esfuerzos en un miembro puede variar dependiendo de la sección del claro considerada, pueden presentarse casos donde las propiedades geométricas del miembro ya no serán constantes en todo el claro. 1.6.5

Conexiones

Los perfiles laminados en frío suelen ser de pared mucho más delgada que los perfiles laminados en caliente. Además, la relación entre el esfuerzo de fluencia y el esfuerzo último se ve afectada por el laminado en frío. Por consiguiente, el comportamiento de conexiones atornilladas en perfiles laminados en frío es diferente al de perfiles laminados en caliente. El AISI ha desarrollado especificaciones que toman en cuenta estas características especiales. Por otro lado, las conexiones soldadas son quizá la selección más común para unir perfiles laminados en frío. El AISI también ha desarrollado especificaciones para el diseño de conexiones soldadas. Se contemplan especificaciones para los tipos de soldadura más comunes.

16 1.6.6

Resistencia la Aplastamiento del Alma

El aplastamiento del alma suele ser crítico en perfiles laminados en frío por dos razones principales. Primero, el uso de atiesadores de placa bajo apoyos o cargas concentradas es en general poco práctico. Segundo, la relación peralte-espesor en perfiles laminados en frío es normalmente grande y en general excede la de los perfiles laminados en caliente, por lo que las almas de perfiles laminados en frío están más propensas a sufrir problemas de inestabilidad bajo esfuerzos de compresión. Tomando en cuenta lo anterior, el AISI ha desarrollado especificaciones de diseño especiales para prevenir el aplastamiento del alma. Es importante establecer la diferencia entre el atiesador de placa y el atiesador formado a partir de dobleces en la lámina. El atiesador de placa es un elemento rectangular que se solda al alma y patines de un miembro en regiones de alta concentración de esfuerzos cortantes (bajo los apoyos y cargas concentradas). Dichos elementos tienen como función distribuir los esfuerzos cortantes entre los atiesadores y el alma, dando como resultado una reducción en los esfuerzos en el alma. El atiesador de placa se usa normalmente en perfiles laminados en caliente con almas esbeltas. 1.6.7

Limitaciones del Espesor

Como se menciona en el Art. 1.3, el rango de espesores típicos de perfiles laminados en frío es muy amplio. Sin embargo, no existe en realidad en las especificaciones de diseño limitaciones en el espesor máximo o mínimo que deba usarse. Los espesores observados en los perfiles típicos obedecen a criterios prácticos de fabricación, de durabilidad y de eficiencia estructural. La Sección A3.4 del AISI hace referencia a espesores mínimos solo con el objetivo de garantizar que el espesor de los perfiles suministrados en campo, medido sin recubrimiento, sea cuando menos el 95% del espesor considerado en diseño. Sin embargo, esta restricción puede ignorarse en zonas de doblez debido al efecto del laminado en frío. Desde el punto de vista del diseño estructural de perfiles laminados en frío, los factores importantes son la relación ancho-espesor de los elementos sujetos a compresión y la resistencia de diseño considerada. El espesor por si mismo, no es un factor crítico. Las especificaciones del AISI son aplicables a elementos de cualquier espesor. 1.6.8

Efectos del Laminado en Frío

Como se verá más adelante, las propiedades mecánicas del acero se ven afectadas por el laminado en frío. Sin duda el efecto más importante es el incremento que experimenta el esfuerzo de fluencia del material. El aprovechamiento de este incremento para efectos de diseño está restringido por la Sección A7.2 del AISI (ver Capítulo 5). 1.6.9

Criterios de Diseño Plástico y de Estados Límites

Las especificaciones del AISI no consideran la aplicación de los criterios de diseño plástico, ya que la mayoría de los perfiles laminados en frío tienen relaciones ancho-espesor que exceden considerablemente los límites requeridos por dichos criterios. Dichos perfiles son normalmente incapaces de desarrollar articulaciones plásticas sin la ocurrencia de pandeo local. Sin embargo, desde 1980 las especificaciones del AISI incluyen procedimientos para considerar la capacidad inelástica de reserva de miembros a flexión (ver Art. 5.2.2.2). Cabe mencionar que el método de diseño plástico realmente no logró consolidarse como método alternativo aun en los perfiles laminados en caliente, los cuales en general si cumplen con las limitaciones del método, debido a que generaba complicaciones considerables de análisis sin generar mayor economía de diseño en comparación con el método tradicional de esfuerzos permisibles o ASD (por sus siglas del inglés: “Allowable Stress Design”). Sin embargo, un método basado en conceptos de estados límites ha estado ganando recientemente aceptación. El método

17

se conoce como Diseño por Factor de Carga y Resistencia o LRFD (por sus siglas del inglés: “Load and Resistance Factor Design”). Las especificaciones LRFD del AISI se publicaron por primera vez en 1991 y en 1996 el AISI publicó sus especificaciones dando un tratamiento igual a los métodos ASD y LRFD. Para mayor información sobre dichos métodos consultar el Capítulo 3. 1.6.10 Método Lineal para el Cálculo de Propiedades Geométricas de Perfiles Si el espesor del perfil es uniforme, los cálculos de las propiedades geométricas de dichos perfiles pueden ser simplificados usando el método lineal o de línea central. En este método se asume que el material de la sección se concentra a través de la línea central de la lámina de acero, por lo que los elementos “área” se convierten en elementos “línea”. La dimensión de espesor se introduce después de calcular de calcular las propiedades lineales. Por consiguiente, el área total será A = L x t y el momento de inercia será I = I’ x t, donde L es la suma de longitud de todos los elementos línea y I’ es el momento de inercia de los elementos línea. Las propiedades de elementos línea típicos, las ecuaciones de propiedades lineales de los perfiles mas usados, así como ejemplos de aplicación se incluyen en el Apéndice A. 1.6.11 Pruebas de Carga para Casos Especiales Debido a la gran versatilidad de perfiles que pueden ser fabricados a base de acero laminado en frío, pueden existir perfiles cuya complejidad geométrica requiera procedimientos de análisis y diseño sumamente difíciles y poco prácticos para los cuales las ecuaciones de diseño del AISI no sean aplicables. Para estos casos las especificaciones del AISI permiten la determinación del comportamiento y resistencia estructural mediante pruebas de carga realizadas por un laboratorio calificado o por el fabricante. Así mismo, la Sección F del AISI 1996 contiene los criterios necesarios para evaluar los resultados de las pruebas de carga y establecer la resistencia nominal de diseño. 1.7 CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO Como se mencionó en el Art. 1.5 no existe una estandarización de perfiles laminados en frío. Esta condición presenta el problema de la selección inicial del perfil más adecuado para una serie condiciones particulares de diseño. En el diseño de perfiles laminados en caliente, donde la estandarización de perfiles si existe, dicha selección inicial se realiza de un listado de perfiles disponibles, los cuales son producidos por una gran diversidad de fabricantes. En diseño de perfiles laminados en frío, el diseñador se ve obligado a seleccionar un fabricante particular para hacer uso de sus listados de perfiles para realizar la selección. En el caso de que el perfil requerido sea no convencional, el diseñador no tendrá acceso a las propiedades geométricas y deberá desarrollarlas. El Apéndice A fue incluido para auxiliar al diseñador en estos casos. Así mismo, es posible que deba realizar pruebas de carga para establecer la resistencia nominal de diseño. La Sección F del AISI 1996 fue desarrollada para normar dichas pruebas. Cualquiera que sea el caso, el diseñador deberá estar pendiente de cambios en el fabricante del perfil durante la etapa constructiva, ya que variaciones significativas en las propiedades materiales y/o geométricas pueden requerir una revisión del proyecto estructural. Por otro lado, como se verá más adelante, la revisión estructural de un perfil laminado en frío puede llegar a ser compleja si algunos de sus elementos resultan ser parcialmente efectivos, ya que requiere de una gran cantidad de cálculos numéricos para evaluar las propiedades geométricas efectivas del perfil (momento de inercia, módulos de sección, etc.). Esto ha hecho prácticamente indispensable el cálculo mediante programas de computadora de las propiedades efectivas de diseño de los perfiles. El diseñador deberá contar con dichos programas o deberá asegurarse que el fabricante seleccionado haya desarrollado dichas propiedades. (3)

El AISI publicó en 1993 el documento “Diseño Preliminar de Vigas a Base de Perfiles C y Z” que contiene procedimientos basados en versiones simplificadas de las ecuaciones de diseño de la

18

especificación para auxiliar al diseñador en la selección preliminar del perfil. Así mismo, el Manual de Diseño del AISI 1996 presenta en forma tabular y gráfica las resistencias nominales a flexión, cortante, combinación de flexión y cortante, aplastamiento y compresión axial de los perfiles estructurales seleccionados por el Manual. Sin embargo, las variaciones de las propiedades geométricas de los perfiles de fabricación mexicana con respecto a los perfiles seleccionados por el Manual limitan la aplicación en México de dicha información. Para resolver este problema, en la Universidad de Sonora se están desarrollando tablas y gráficas de diseño similares a las incluidas en el Manual para los perfiles de los principales fabricantes mexicanos. En general, las ayudas de diseño que permiten una selección preliminar del perfil son de gran utilidad práctica para el diseñador. Sin embargo, la revisión final de la selección debe realizarse por los procedimientos de diseño convencionales según las especificaciones vigentes del AISI. Los Capítulos 5 al 9 incluyen dichas especificaciones y procedimientos. Independientemente de que se pretenda usar perfiles laminados en frío o en caliente, el diseñador deberá estar siempre consiente de los aspectos económicos de su proyecto. Su objetivo deberá ser lograr la minimización del costo de la estructura satisfaciendo simultáneamente todos los requisitos de diseño, incluyendo las limitaciones que le impongan otros tipos de proyectos como el arquitectónico, electromecánico, hidrosanitario, etc. En general, la minimización del costo de la estructura está íntimamente ligada a la minimización el peso de los miembros estructurales, la cual se asocia también con la maximización de la eficiencia estructural. Dada la alternativa del uso del acero de alta resistencia y el mayor costo asociado a éste, el diseñador deberá considerar el modo de falla del miembro o estructura para poder hacer un uso eficiente de su resistencia mayor. Bajo ciertas condiciones, como el caso de miembros sujetos a compresión con relaciones de esbeltez considerables, el modo de falla gobernante suele ser el pandeo elástico global. Para este caso, el uso de acero de alta resistencia puede no resultar en un diseño económico, ya que el desempeño del miembro estructural bajo estas condiciones dependerá básicamente de sus propiedades geométricas y será el mismo para todos los grados de acero. El objetivo general del diseño económico deberá ser el de utilizar al máximo la resistencia de acero, diseñando el perfil del miembro para lograr máxima eficiencia estructural. La flexibilidad del proceso de laminado en frío para producir una variedad interminable de perfiles es ideal para cumplir con dicho objetivo.

CAPITULO 2

PROPIEDADES DEL ACERO USADO EN LAMINADO EN FRIO 2.1 COMENTARIOS GENERALES Las propiedades mecánicas del material constitutivo juegan un papel preponderante en el comportamiento de miembros estructurales y el diseñador debe estar familiarizado con dichas propiedades para los diversos tipos de acero que se usan para fabricar los perfiles laminados en frío. Las especificaciones del AISI 1996 hacen referencia expresa a los tipos de acero reconocidos para su uso en perfiles laminados en frío, así como las características de ductilidad y otras propiedades que deben cumplir los aceros no reconocidos por la especificación. 2.2 ACEROS ESTRUCTURALES RECONOCIDOS Las especificaciones del AISI 1996, Sección A3.1, reconocen los siguientes 14 tipos de acero de la Sociedad Americana de Pruebas y Materiales o ASTM (por sus siglas del inglés: “American Society for Testing and Materials”): 1. ASTM A36/A36M, Acero Estructural de Carbono. 2. ASTM A242/A242M, Acero Estructural de Alta Resistencia y Baja Aleación. 3. ASTM A283/A283M, Placas de Acero de Carbono de Resistencia a la Tensión Baja e Intermedia. 4. ASTM A500, Tubulares Estructurales Redondos y de Otros Perfiles Laminados en Frío de Acero de Carbono. 5. ASTM A529/A529M, Acero de Calidad Estructural de Manganeso y Carbono de Alta Resistencia. 6. ASTM A570/A570M, Acero de Calidad Estructural de Carbono para Láminas y Cintas Laminadas en Caliente. 7. ASTM A572/A572M, Acero Estructural de Columbio y Vanadio de Alta Resistencia y Baja Aleación. 8. ASTM A588/A588M, Acero Estructural de Alta Resistencia y Baja Aleación con Esfuerzo de 2 Fluencia Mínimo de 50 ksi (3514 kg/cm ) y espesor hasta 4 plg. (100 mm). 9. ASTM A606, Acero Estructural de Alta Resistencia y Baja Aleación para Láminas y Cintas Laminadas en Caliente y en Frío con Resistencia Mejorada a la Corrosión Atmosférica. 10. ASTM A607, Acero Estructural de Columbio o Vanadio, o ambos, de Alta Resistencia y Baja Aleación para Láminas y Cintas Formadas en Caliente y en Frío. 11. ASTM A611 (Grados A, B, C y D), Acero Estructural (SS, abreviación del inglés “Structural Steel”) de Carbono para Láminas Formadas en Frío. 12. ASTM A653/A653M (SS, Grados 33, 37, 40 y 50 Clase 1 y Clase 3; Alta Resistencia y Baja Aleación Tipos A y B, Grados 50, 60, 70 y 80), Láminas de Acero con Recubrimiento de Zinc (Galvanizado) o con Recubrimiento de Aleación Zinc-Hierro realizado por medio del Proceso de Inmersión en Caliente (Galvanizado y Endurecido). 13. ASTM A715 (Grados 50, 60, 70 y 80), Acero de Alta Resistencia y Baja Aleación para Láminas y Cintas Formadas en Caliente y de Acero de Alta Resistencia y Baja Aleación para Láminas y Cintas Formadas en Frío con Propiedades Mejoradas de Formabilidad. 14. ASTM A792/A792M (Grados 33, 37, 40 y 50A), Láminas de Acero con Recubrimiento de Aleación 55% Aluminio-Zinc realizado por medio del Proceso de Inmersión en Caliente. Las propiedades mecánicas relevantes de los 14 tipos de acero especificados se ilustran en la Tabla 2.1.

20 Tabla 2.1 Descripción y Propiedades Mecánicas Relevantes de los Aceros Reconocidos por el AISI Designación del ASTM. Descripción Producto A36/A36M-94 Esta especificación cubre perfiles, placas y barras Placas y de acero de carbono de calidad estructural para Barras construcción remachada, atornillada o soldada de puentes y edificios y para aplicaciones estructurales generales. Se proveen requisitos adicionales cuando la tenacidad de muesca sea importante. Estos requisitos aplicarán cuando se especifiquen por el comprador en su orden. Cuando el acero vaya a ser soldado, se presupone que será usado un procedimiento de soldado consistente con el tipo de grado de acero y el uso planeado de la estructura. A242-A242M-93ª Esta especificación cubre perfiles, placas y barras Placas y de acero de alta resistencia y baja aleación para Barras construcción remachada, atornillada y soldada a t ≤ 0.75 plg ser usados principalmente en miembros (19.05mm) estructurales cuando el ahorro en peso y la durabilidad adicional son importantes. La resistencia a la corrosión atmosférica de este tipo de acero en la mayoría de los ambientes es substancialmente mejor que el acero al carbono con o sin adición de cobre. Esta especificación está limitada a material de hasta 4 plg (10 cm) de espesor. A283/A283M-93ª Esta especificación cubre cuatro grados de acero Placa para placas de acero al carbono de calidad estructural para aplicaciones generales. Cuando el acero vaya a ser soldado, se presupone que será usado un procedimiento de soldado consistente con el tipo de grado de acero y el uso planeado de la estructura. A500-93 Esta especificación cubre tubos estructurales Tubos soldados sin costuras redondos, cuadrados y de Redondos configuraciones especiales de acero de carbono laminado en frío para construcción remachada, atornillada y soldada de puentes y edificios y para aplicaciones estructurales generales. Estos tubos se producen soldados y sin costuras Tubos para diámetros máximos de 64 plg. (1626 mm) y Cuadrados un espesor máximo de 0.625 plg. (15.88 mm). El Grado D requiere de tratamiento con calor. Nota: Los productos manufacturados con esta especificación pueden no ser recomendables para condiciones tales como carga dinámica en estructuras soldadas, donde las propiedades de tenacidad de muesca pueden ser importantes.

Grado

Fy (min) kg/cm2

Fu (min/max) kg/cm2

(4)

% elongación Fu/Fy en 5.08 cm (min) (min)

2530

4076/5622

23

1.61

3514

4919

21

1.40

A B C D

1686 1897 2108 2319

3162/4216 3514/4668 3865/5270 4216/5622

30 28 25 23

1.88 1.85 1.83 1.82

A B C D

2319 2951 3232 2530

3162 4076 4357 4076

25 23 21 23

1.36 1.38 1.35 1.61

A B C D

2740 3232 3514 2530

3162 4076 4357 4057

25 23 21 23

1.15 1.26 1.24 1.61

21

Designación del ASTM. Descripción Producto A529/A529M-94 Esta especificación cubre perfiles, placas y barras Placas y de acero de carbono y manganeso para Barras construcción remachada, atornillada y soldada de edificios y para aplicaciones estructurales generales. El material bajo esta especificación esta disponible en dos grados. Grado 42 para placas y barras de 0.50 plg (12.7 mm) de espesor y Grado 50 para placas y barras de 1.00 plg (25.4 mm) de espesor. Cuando el acero vaya a ser soldado, se presupone que será usado un procedimiento de soldado consistente con el tipo de grado de acero y el uso planeado de la estructura. A570/A570M-95 Esta especificación cubre láminas y cintas de Lámina y acero de carbono laminado en caliente en Cinta longitudes cortadas o en carretes. Este material puede usarse para propósitos estructurales cuando se requieran valores mecánicos de prueba, y está disponible en espesores máximos de 0.229 plg (6 mm) excepto por lo que se especifica para A568, A568M, A749 y A749M. A572/A572M-94c Esta especificación cubre perfiles, placas y barras Placas y de acero de alta resistencia y baja aleación. Los Barras Grados 42 y 50 se recomiendan sean usados en construcción remachada, atornillada y soldada de edificios, puentes y otras aplicaciones. Los Grados 60 y 65 se recomiendan sean usados para construcción remachada y atornillada de puentes y para construcción remachada, atornillada y soldada para otras aplicaciones. Para construcción soldada de puentes la tenacidad de muesca es un requisito importante. Para esta u otras aplicaciones donde los requisitos de tenacidad de muesca sean indicados, estos serán negociados entre el productor y comprador. El uso de columbio, vanadio y nitrógeno, o combinaciones de estos, bajo las limitaciones de la Sección 5 del ASTM, estarán bajo la opción del productor a menos que se especifique lo contrario. Cuando se desee usar uno de estos elementos o una combinación de ellos, se hace referencia al Requisito Suplementario S90 del ASTM en donde dichos elementos y sus combinaciones comunes se enlistan por su tipo. Cuando dicha designación sea deseada, tanto el grado como el tipo deberán ser especificados. A588/A588M-94 Esta especificación cubre perfiles, placas y barras Placas y de acero de alta resistencia y baja aleación para Barras construcción remachada, atornillada y soldada a t ≤ 4.0 plg ser usado principalmente en miembros (101.6 mm) estructurales cuando el ahorro en peso y la durabilidad adicional son importantes. La resistencia a la corrosión atmosférica del acero en la mayoría de los ambientes es substancialmente mejor que el acero al carbono con o sin adición de cobre. Cuando se expone apropiadamente a la atmósfera este acero puede ser usado sin pintura para muchas aplicaciones. Esta especificación está limitada a material de hasta 8 plg (20 cm) de espesor. Cuando el acero vaya a ser soldado, se presupone que será usado un procedimiento de soldado consistente con el tipo de grado de acero y el uso planeado de la estructura.

Grado

Fy (min) kg/cm2

Fu (min/max) kg/cm2

% elongación Fu/Fy en 5.08 cm (min) (min)

42

2951

4216/5973

22

1.43

50

3514

4919/7027

21

1.40

30 33 36 40 45 50

2108 2319 2530 2811 3162 3514

3443 3654 3724 3865 4216 4568

21 18 17 15 13 11

1.63 1.58 1.47 1.38 1.33 1.30

42

2951

4216

24

1.43

50

3514

4568

21

1.30

60

4216

5270

18

1.25

65

4568

5622

17

1.23

3514

4919

21

1.40

22

Designación del ASTM. Descripción A606-91ª Esta especificación cubre láminas y cintas de acero laminado en frío y en caliente de alta resistencia y baja aleación en longitudes cortadas o en carretes a ser usadas para propósitos estructurales o misceláneos, donde los ahorros en peso o la durabilidad adicional son importantes. Estos aceros tienen una resistencia mejorada a la corrosión atmosférica y se proveen en dos tipos: Tipo 2 contiene 0.20 mínimo de cobre (0.18 mínimo de Cu para revisión del producto). Tipo 4 contiene un nivel de resistencia a la corrosión substancialmente superior al acero de carbono con o sin adición de cobre. Cuando expuesto adecuadamente a la atmósfera, este acero puede ser usado sin pintura para muchas aplicaciones. A607-92ª Esta especificación cubre láminas y cintas de acero de alta resistencia y baja aleación de columbio o vanadio, o láminas de acero laminado en frío, o una combinaciones de ambos, ya sea en longitudes cortadas o carretes a usarse en aplicaciones donde una mayor resistencia y ahorros en peso son importantes. El material está disponible en dos clases: ambas clases son similares en nivel de resistencia excepto que la Clase 2 ofrece una mejor soldabilidad y mayor formabilidad que la Clase 1. La resistencia a la corrosión atmosférica de estos acero es equivalente al acero de carbono típico. Si se especifica aleación con cobre, la resistencia a la corrosión atmosférica es el doble que la del acero de carbono típico. La Clase 1 se denominaba como A607 sin una designación de clase.

A611-94 Esta especificación cubre láminas de acero de carbono en longitudes cortada o carretes. Incluye cinco niveles de resistencia designadas como Grado A con fluencia mínima de 1756 kg/cm2; Grado B con fluencia mínima de 2108 kg/cm2; Grado C tipo 1 y 2 con fluencia mínima de 2319 kg/cm2; Grado D tipo 1 y 2 con fluencia mínima de 2811 kg/cm2 y Grado E con fluencia mínima de 5622 kg/cm2. Los Grados A a D tienen ductilidad moderada mientras que el Grado E es un producto duro y poco dúctil sin una elongación mínima especificada.

Fy (min) kg/cm2

Fu (min/max) kg/cm2

% elongación Fu/Fy en 5.08 cm (min) (min)

Producto

Grado

Lámina y Cintas

L. en Cal. Longitud Cortada

3514

4919

22

1.40

L. en Cal. Carrete

3162

4568

22

1.44

L. en Cal. Endurecido o Normalizado.

3162

4568

22

1.44

L. en Frío

3162

4568

22

1.44

Clase 1 45

3162

4216

1.33

50

3514

4568

55

3865

4919

60

4216

5270

65

4568

5622

70

4919

5973

L. en Cal. 23 L. en Frío 22 L. en Cal. 20 L. en Frío 20 L. en Cal. 18 L. en Frío 18 L. en Cal. 16 L. en Frío 16 L. en Cal. 14 L. en Frío 15 L. en Cal. 12 L. en Frío 14

Clase 2 45

3162

3865

1.22

50

3514

4216

55

3865

4568

60

4216

4919

65

4568

5270

70

4919

5622

L. en Cal. 23 L. en Frío 22 L. en Cal. 20 L. en Frío 20 L. en Cal. 18 L. en Frío 18 L. en Cal. 16 L. en Frío 16 L. en Cal. 14 L. en Frío 15 L. en Cal. 12 L. en Frío 14

A

1756

2951

26

1.68

B

2108

3162

24

1.50

C Tipo 1 y 2

2319

3373

22

1.45

D Tipo 1 y 2

2811

3654

20

1.30

Lámina y Cinta

Lámina

1.30 1.27 1.25 1.23 1.21

1.20 1.18 1.17 1.15 1.14

23

Designación del ASTM. Descripción A653/A653M-95 Esta especificación cubre a láminas de acero con recubrimiento de zinc (galvanizado) o con aleación de zinc con hierro (galvanizado y endurecido) en longitudes cortadas o carretes. El galvanizado se realiza por el proceso de inmersión en caliente. Se incluyen varios grados basados en la resistencia por fluencia en acero estructural (SS) y en alta resistencia y baja aleación (HSLA). Las láminas HSLA están disponibles en Tipo I y II. HSLA Tipo I se recomienda cuando se requiere formabilidad mejorada en comparación con SS. El Tipo II tiene aun mayor formabilidad que el Tipo I. Los productos bajo la especificación A653/A653M-95 deben cumplir con las últimas modificaciones de A924/A924M, excepto cuando se indique lo contrario en la aplicación.

Producto

Grado

Fy (min) kg/cm2

Fu % elongación Fu/Fy (min/max) en 5.08 cm (min) kg/cm2 (min)

Lámina

SS 33 37 40 50 Clase 1 50 Clase 3

2319 2600 2811 3514 3514

3162 3654 3865 4568 4919

20 18 16 12 12

1.36 1.41 1.38 1.30 1.40

HSLA Tipo 1 50 60 70 80

3514 4216 4919 5622

4216 4919 5622 6325

20 16 12 10

1.20 1.17 1.14 1.13

HSLA Tipo II 50 60 70 80

3514 4216 4919 5622

4216 4919 5622 6325

22 18 14 12

1.20 1.17 1.14 1.13

A715-92ª Esta especificación cubre láminas y cintas de Láminas y 50 3514 4216 22 1.20 acero de alta resistencia y baja aleación y láminas Cintas de acero laminado en frío con formabilidad 60 4216 4919 18 1.17 mejorada comparada con A606 y A607. El producto se provee en longitudes cortadas o en 70 4919 5622 16 1.14 carretes y está disponible en cuatro niveles de resistencia, Grados 50, 60, 70 y 80 y ocho tipos 80 5622 6325 14 1.13 (de acuerdo con su composición química). No todos los grados están disponibles en todos los tipos. El acero es devastado y transformado en un material granular fino, e incluye elementos de microaleación como columbio, vanadio, titanio y zirconio, etc. El producto se recomienda para aplicaciones estructurales y misceláneas donde la ahorro en peso, alta resistencia, formabilidad mejorada y soldabilidad es importante. A792/A792M-95 Esta especificación cubre láminas de acero con Lámina 33 2319 3162 20 1.36 recubrimiento de aluminio con aleación de zinc mediante el proceso de inmersión en caliente. La 37 2600 3654 18 1.41 composición de la aleación de aluminio-zinc en relación nominal al peso es 55% aluminio, 1.6% 40 2811 3865 16 1.38 silicón y balance de zinc. El producto se recomienda para aplicaciones que requieran 50ª 3514 4568 12 1.30 protección contra la corrosión, resistencia al calor o ambos. Las láminas con recubrimiento de aluminio y aleación de zinc están disponibles en Calidad Comercial, Calidad de Formación y Calidad Estructural. Los grados disponibles en Calidad Estructural se dan en la tabla anexa. Nota: Las abreviaciones “L en Cal.” y “L en Frío” usadas en la Tabla significa laminado en caliente y frío, respectivamente.

En el Suplemento 1999 del AISI 1996 se establece el reconocimiento de dos tipos de acero adicionales: 15. ASTM A847 (Grado 50), Acero de Alta Resistencia y Baja Aleación para Perfiles Tubulares Estructurales Soldados sin Costuras con Resistencia a la Corrosión Atmosférica Mejorada. 16. ASTM A875/A875M (SS, Grados 33, 37, 40 y 50 Clase 1 y Clase 3; Alta Resistencia y Baja Aleación Tipos A y B, Grados 50, 60, 70 y 80), Láminas de Acero con Recubrimiento de Aleación Zinc-5% Aluminio realizado por medio del Proceso de Inmersión en Caliente. Las propiedades mecánicas relevantes de estos aceros se muestran en la Tabla 2.2

24 Tabla 2.2 Descripción y Propiedades Mecánicas Relevantes de los Dos Aceros Adicionales (1) Reconocidos por el Suplemento 1999 Designación del ASTM. Producto Descripción A847 Esta especificación cubre perfiles tubulares Tubos estructurales soldados, sin costuras, laminados en frío formados con acero de alta resistencia y baja aleación con resistencia a la corrosión atmosférica mejorada. A875/A875M Esta especificación cubre láminas con Láminas recubrimiento de aleación zinc-5% aluminio realizado mediante el proceso de imersión en caliente. Este acero se maneja en dos modalidades: 1. Acero Estructural (SS) en Grados 33, 37, 40 y 50 Clase 1 (C1) y Clase 2 (C2). 2. Acero de Alta Resistencia y Baja Aleación Tipo A (Grados 50, 60, 70 y 80) y Tipo B (Grados 50, 60, 70 y 80).

Grado

33 37 40 50 (C1) 50 (C2) Tipo A 50 60 70 80 Tipo B 50 60 70 80

Fy (min) kg/cm2

Fu (min/max) kg/cm2

% elongación Fu/Fy en 5.08 cm (min) (min)

3514

3162

19

1.40

2319 2600 2811 3514 3514

3162 3654 3865 4568 4919

20 18 16 12 12

1.36 1.41 1.38 1.30 1.40

3514 4216 4919 5622

4216 4919 5622 6325

20 16 12 10

1.20 1.17 1.14 1.13

3514 4216 4919 5622

4216 4919 5622 6325

22 18 14 12

1.20 1.17 1.14 1.13

De los 16 tipos de acero reconocidos hasta el Suplemento 1999, 6 son para placas, 5 son para láminas y cintas, 3 son para láminas y 2 son para productos tubulares. La clasificación de la ASTM de los productos de acero se ilustran en la Tabla 2.3 y 2.4. La Sección A3.2 del AISI 1996, no excluye el uso de otros tipos de acero no considerados dentro del grupo de los 16, siempre y cuando no excedan un espesor de 1.0 plg. (25.4 mm) y se acople a las propiedades químicas y mecánicas de uno de los aceros considerados. Además, condiciona su uso a que sea sujeto, ya sea por el fabricante o comprador, a pruebas, análisis y otros controles establecidos para uno de los aceros reconocidos y que cumpla con las disposiciones de la Sección A3.3 del AISI (ver Art. 2.3.3). (4)

Tabla 2.3 Clasificación de Productos de Acero Laminado en Frío Espesor, t (mm) Ancho, w (cm) Acero de Carbono Acero HSLA 5.08 ≤ w ≤ 30.48 0.356 ≤ t ≤ 2.08 0.483 ≤ t ≤ 2.08 30.48 < w 0.356 ≤ t 0.508 ≤ t Nota: la abreviatura HSLA significa alta resistencia y baja aleación (por sus siglas del inglés: “High Strength Low Alloy”). (4)

Tabla 2.4 Clasificación de Productos de Acero Laminado en Caliente Ancho, w Espesor, t (mm) (cm) 5.84 ≤ t 5.16 ≤ t ≤ 5.84 4.57 ≤ t ≤ 5.16 Barra Barra Cinta w ≤ 8.89 Barra Barra Cinta 8.89 ≤ w ≤ 15.24 Barra Cinta 15.24 ≤ w ≤ 20.32 Cinta Cinta 20.32 ≤ w ≤ 30.48 Cinta Placa (1) 30.48 ≤ w ≤ 121.92 Placa (2) Lámina Lámina Placa (3) 121.92 < w Placa (3) Placa (3) (1) Cinta cuando se pida en carretes (2) Lámina cuando se pida en carretes (3) Lámina cuando se pida en carretes Ancho Máximo, w: 187.96 cm.

1.19 ≤ t ≤ 4.57 Cinta Cinta Cinta Cinta Lámina Lámina

25 2.3 PROPIEDADES MECANICAS RELEVANTES DEL ACERO Desde el punto de vista estructural las propiedades más importantes del acero son: 1. El Esfuerzo de Fluencia 2. La Resistencia a la Tensión o Resistencia Ultima 3. Las Características de la Curva de Esfuerzo-Deformación 4. El Módulo de Elasticidad y el Módulo Tangente 5. La Ductilidad 6. La Facilidad para Soldarse 7. La Resistencia a la Fatiga 8. La Tenacidad 9. La Facilidad de Formado 10. La Durabilidad A continuación se tratarán con más detalle cada una de éstas propiedades: 2.3.1 Esfuerzo de Fluencia, Resistencia Ultima y Curva Esfuerzo-Deformación La resistencia de los perfiles laminados en frío depende del valor del esfuerzo de fluencia, excepto en conexiones y en aquellos casos donde el pandeo elástico local o global es crítico. Los valores estipulados del esfuerzo de fluencia (Fy) para los primeros 14 tipos de acero reconocidos se incluyen en la Tabla 2.1. Las curvas esfuerzo-deformación se pueden clasificar en dos tipos: Tipo 1, Curvas con Fluencia Pronunciada [ver Fig. 2.1(a)] y Tipo 2, Curvas con Fluencia Gradual [ver Fig. 2.1(b)].

(1)

Fig. 2.1 Curvas esfuerzo-deformación de acero de carbono para láminas y cintas ; (a) Fluencia pronunciada. (b) Fluencia gradual.

26

Las curvas esfuerzo-deformación de los aceros laminados en caliente son del tipo 1 y las curvas de los laminados en frío son del tipo 2. El valor del esfuerzo de fluencia en las curvas del tipo 1 se obtiene fácilmente del valor de esfuerzo correspondiente a donde la curva “quiebra” y adquiere su forma plana horizontal. Sin embargo, dicho “quiebre” no se presenta en las curvas del tipo 2, sino que se presenta una curva suave de transición a la parte plana horizontal, por lo que el valor del esfuerzo de fluencia no puede obtenerse directamente. Para estos casos, el esfuerzo de fluencia puede ser obtenido por el método de compensación o el método de deformación unitaria bajo carga. En el método por compensación, se traza una línea paralela a la parte recta inicial de la curva, “desfasada” o compensada hacia la derecha, cuyo origen es un valor especificado de 0.2% deformación unitaria [ver Fig. 2.2(a)] y se ubica la intersección con la curva esfuerzo-deformación con dicha recta. El valor de esfuerzo a la altura de la intersección será el valor buscado de Fy. Este método se usa predominantemente en los trabajos de investigación y en las pruebas del fabricante para aceros de aleación. En el método de deformación unitaria bajo carga, el valor del esfuerzo de fluencia se obtiene directamente de la curva para un valor especificado de 0.5% para la deformación unitaria [ver la Fig. 2.2(b)]. Este método lo usan comúnmente los fabricantes en pruebas para láminas y cintas de acero de carbono de baja aleación. Dos propiedades mecánicas relevantes adicionales también pueden obtenerse de la curva esfuerzo-deformación: La Resistencia Ultima (Fu) y el Límite de Proporcionalidad (fpr). La resistencia última es el valor máximo de esfuerzo que puede ser inducido en un elemento antes de alcanzar la falla, es decir el valor de máximo esfuerzo de la curva ilustrada en la Fig. 2.1(a). La resistencia última prácticamente no tiene aplicación en el diseño de elementos estructurales, ya que los modos de falla de dichos elementos son controlados por los esfuerzos de fluencia o por los esfuerzos críticos de pandeo. Esto es particularmente cierto para elementos de pared delgada sujetos a compresión con relaciones ancho-espesor grandes y para miembros a compresión (columnas) con relaciones de esbeltez grandes. Sin embargo, en el caso del diseño de conexiones atornilladas y soldadas, donde es común que se presenten concentraciones de esfuerzos considerables que pueden alcanzar la resistencia última de algunas fibras del material, el valor de la resistencia última es crítico. Por consiguiente, la especificación AISI contiene criterios de diseño que garantizan la seguridad de la conexión bajo resistencia última. Los valores de resistencia última se incluyen en la Tabla 2.1 y 2.2 para el grupo de los 16 aceros reconocidos por el AISI 1996 y Suplemento 1999. El límite de proporcionalidad es el valor máximo de esfuerzo para el cual las deformaciones son directamente proporcionales a los esfuerzos, es decir donde termina la parte recta de la curva, como se ilustra en la Fig. 2.1(b). Aunque el límite de proporcionalidad no se aplica directamente en las ecuaciones de diseño del AISI, si ha influido hasta cierto punto en el establecimiento de los valores de los factores de seguridad de diseño. El límite de proporcionalidad puede ser obtenido por el método de compensación usando un desfasamiento de 0.1%. 2.3.2 Módulo de Elasticidad y Módulo Tangente La resistencia de los elementos que fallan por inestabilidad depende no solo de su esfuerzo de fluencia, sino también del valor del módulo de elasticidad E o del módulo tangente Et, en el caso del pandeo elástico e inelástico, respectivamente. El módulo de elasticidad se define como la pendiente de la parte inicial recta de la curva esfuerzo-deformación. Los valores comúnmente utilizados de E para el acero se encuentran dentro 6 6 2 del rango de 2.038x10 a 2.108x10 kg/cm . Las especificaciones del AISI recomiendan un valor 6 2 de 2.073x10 kg/cm para su uso en diseño, el cual es ligeramente mas alto que el valor de 6 2 2.038x10 kg/cm recomendado por las especificaciones de diseño para perfiles laminados en caliente emitidas por el Instituto Americano de Construcción en Acero o AISC (por sus siglas del inglés: “American Institute of Steel Construction”). El valor de Et se define como el valor de la pendiente de la curva esfuerzo-deformación en cualquier punto, como lo ilustra la Fig. 2.1(b).

27

(1)

Fig 2.2 Determinación del esfuerzo de fluencia en acero con fluencia gradual . (a) Método de compensación; (b) Método de deformación unitaria.

Para las curvas con fluencia pronunciada, Et es igual a E hasta el punto de fluencia, pero para el caso de curvas con fluencia gradual, Et es igual a E hasta el límite de proporcionalidad. Una vez que el esfuerzo excede el límite de proporcionalidad, el valor de Et se reduce progresivamente con respecto al valor de E. Esta es la razón del porque los aceros con fluencia pronunciada con relaciones de esbeltez moderadas tienen una mayor resistencia al pandeo que los aceros con fluencia gradual. 2.3.3 Ductilidad La ductilidad es la habilidad de un material para poder sobrellevar deformaciones plásticas considerables sin fracturarse. Es una propiedad importante tanto como para los procesos de laminado en frío como para la seguridad estructural, ya que facilita la redistribución inelástica de esfuerzos en juntas y conexiones, donde pueden ocurrir concentraciones importantes de esfuerzos. La ductilidad de un acero puede ser establecida por medio de pruebas de tensión, de flexión o de muesca. La elongación permanente en longitudes calibradas de 2 plg y 8 plg. (51 mm y 203 mm) de un especímen de prueba a tensión se utiliza normalmente como una indicativo de ductilidad. La Tabla 2.1, muestra que la elongación permanente del acero en longitudes calibradas de 2 plg. varía de 12 a 27% y para una longitud calibrada de 8 plg. varía de 15 a 20%. A partir de 1968, debido al desarrollo de nuevos aceros de alta resistencia, pero en algunos casos de baja ductilidad, se inició un proyecto de investigación en la Universidad de Cornell con el objetivo de establecer hasta que punto es necesario la ductilidad en una estructura. Se desarrollaron en el proyecto requisitos de elongación de acero dúctiles. Se desarrollaron también

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los conceptos de ductilidad local y uniforme. La ductilidad local se define como la elongación local de la zona de eventual fractura. La ductilidad uniforme se define como la capacidad de un especímen de prueba de tensión a desarrollar elongaciones considerables en toda su longitud antes de desarrollar el “cuello” de fractura. En el proyecto también se encontró que en los diferentes aceros dúctiles investigados, la elongación en la longitud calibrada de 2 plg., no podía correlacionarse satisfactoriamente con la ductilidad local o uniforme. Para efectos de garantizar la habilidad de redistribución de esfuerzos requerida para evitar fallas frágiles prematuras y para poder lograr alcanzar la resistencia última en áreas netas de elementos a tensión con concentraciones de esfuerzos, se sugiere que (1) la mínima elongación local en una longitud calibrada de 0.5 plg. (12.7 mm) de un especímen a tensión estándar, incluyendo el cuello de fractura, sea cuando menos del 20%; (2) la mínima elongación uniforme en una longitud calibrada de 3 plg. (76.2 mm) menos la elongación en una longitud calibrada de 1 plg. (25.4 mm) que contenga el cuello y fractura sea cuando menos del 3%; y (3) que la relación de resistencia última a resistencia de fluencia, Fu/Fy, sea cuando menos de 1.05. En este método, la elongación local y uniforme se establecen de acuerdo al siguiente procedimiento: 1. Los especímenes de prueba a tensión se preparan de acuerdo a lo estipulado en la ASTM A370 “Métodos y Definiciones para Pruebas Mecánicas de Productos de Acero”, excepto que la longitud de la sección central reducida de 0.5 plg. (12.7 mm) del especímen debe ser cuando menos de 3.5 plg. (89 mm). Líneas de calibración deben ser indicadas a cada 0.5 plg. a través de toda la longitud del especímen. 2. Al terminar la prueba a tensión, dos elongaciones son medidas: a. La elongación lineal en una longitud calibrada de 3 plg., e3, medida en pulgadas, incluyendo la porción fracturada, y que ésta halla ocurrido de preferencia en el tercio medio de la longitud calibrada. b. La elongación lineal en una longitud calibrada de 1 plg., e1, medida en pulgadas, incluyendo la porción fracturada. 3. La elongación local ∈l y la elongación uniforme ∈u se calculan de la siguiente manera:

ε 1 = 50(5e1 − e3 )% ε u = 50(e3 − e1 )% Las especificaciones del AISI consideran que los aceros reconocidos (ver Art. 2.2 o la Sección A3.1 del AISI 1996) tienen ductilidad adecuada por lo que no se requiere aplicar las pruebas antes descritas para usarse en diseño. Los requisitos de ductilidad del AISI para los aceros no reconocidos se encuentran en la Sección A3.3. Estos requisitos incluidos en A3.3.1 y A3.3.2 del AISI 1996 se presentan a continuación: A3.3.1. La relación Fu/Fy no debe ser menor que 1.08 y la elongación total de un especímen estándar probado según ASTM A370 no debe ser menor de 10% en una longitud calibrada de 2 plg. (51 mm) o 7% en una longitud calibrada de 8 plg. (203 mm). Si estos requisitos no pueden ser cumplidos, se debe satisfacer los siguientes criterios: a) la elongación local en una longitud calibrada de 0.5 plg. (12.7 mm) a través de la fractura no deberá ser menor que 20%, b) la elongación uniforme por fuera de la fractura no deberá ser menor que 3%. Cuando la ductilidad del material es determinada en función de criterios de elongación local y uniforme, el uso de dicho material será restringido al diseño de polinería de cubierta y muros. Para polines sujetos a carga axial y momentos flexionantes, ΩcP/Pn no deberá exceder 0.15 para el Método ASD y Pu/(φcPn) no deberá exceder 0.15 para el Método LRFD (ver el Capítulo 3 para mas información sobre los Métodos ASD y LRFD). A3.3.2. Los aceros que cumplan con ASTM A653 SS Grado 80 y A611 Grado E, A792 Grado 80, A875 Grado 80 u otros acero que no cumplan con lo estipulado en la Sección A3.3.1, podrán

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usarse para perfiles con almas múltiples, como los perfiles de cubierta, muros y decks de piso, siempre y cuando a) el esfuerzo de fluencia Fy usando para calcular la resistencia nominal de elementos o arreglos estructurales se tome al 75% del valor mínimo de Fy especificado para el 2 material o 60 ksi (4216 kg/cm ), el que sea menor y b) la resistencia a tensión Fu, usada para calcular las resistencias nominales de conexiones, se tome al 75% del valor mínimo de Fu 2 especificado para el material o 62 ksi (4357 kg/cm ), el que sea menor. De manera alternativa, la viabilidad de dichos aceros para la fabricación de cualquier perfil podrá ser demostrada a través de las pruebas de carga estipuladas en la Sección F1 del AISI 1996. Las resistencias de diseño obtenidas de dichas pruebas no podrán exceder a las resistencias calculadas mediante las ecuaciones de diseño de elementos y arreglos estructurales del AISI 1996, usando el esfuerzo de fluencia mínimo especificado, Fsy, por Fy y el esfuerzo de tensión mínimo especificado, Fu. La Sección A3.3.2 fue modificada en el Suplemento 1999 para incorporar los dos nuevos tipos de acero reconocidos. Además, dicho Suplemento incorpora la siguiente cláusula de excepción en la Sección A3.3.2: Para perfiles con almas múltiples, se permitirá usar un esfuerzo de fluencia reducido, RbFy, para determinar la resistencia a flexión en la Sección C3.1.1(a) (ver Art. 5.2.2.1), donde el factor de reducción Rb se determina de la siguiente manera: (a) Patines de Compresión Atiesados y Parcialmente Atiesados. Para w/t ≤ 0.067E/Fy

Rb = 1.0

Para 0.067E/Fy < w/t < 0.974E/Fy

Rb = 1 − 0.26 wFy /(tE ) − 0.067

Para 0.974E/Fy ≤ w/t ≤ 500

Rb = 0.75

[

]

0.40

(2.1)

(b) Patines de Compresión No Atiesados Para w/t ≤ 0.0173E/Fy

Rb = 1.0

Para 0.0173E/Fy < w/t < 60

Rb = 1.079 − 0.6 wFy /(tE )

(2.2)

Donde E = módulo de elasticidad 2 Fy = esfuerzo de fluencia definido según la Sección A7 ≤ 80 ksi (5622 kg/cm ) t = espesor de la sección w = ancho plano del patín de compresión. La cláusula de excepción no es aplicable a perfiles a ser usados como deck en pisos compuestos, cuando dicho deck es usado como el refuerzo primario a tensión del piso. Esta limitación es para prevenir la posibilidad de falla frágil del piso compuesto debida a la falta de ductilidad del acero. Las Ecs. (2.1) y (2.2) fueron desarrolladas a partir de los resultados de investigaciones realizadas en la Universidad de Missouri Rolla en 1996 y 1988, respectivamente. Estas ecuaciones permiten el uso de resistencias nominales a flexión mayores comparadas con las ediciones previas de las especificaciones del AISI. Cuando el perfil con múltiples almas está compuesto por patines de compresión atiesados y no atiesados, el valor menor de Rb deberá ser usado para determinar el esfuerzo de fluencia reducido de todo el perfil. Se podrán usar valores diferentes del esfuerzo de fluencia reducido para las regiones del perfil sujetas a momento positivo y negativo. Los requisitos de la Sección A3.3.2 son una relajación de los requisitos de ductilidad del AISI para aceros usados en elementos secundarios (paneles, cubiertas, decks, etc.), ya que la demanda

30

de ductilidad en estos elementos es poca y no compromete la integridad de la estructura. Los elementos primarios como vigas, columnas y polines quedan excluidos de la Sección A3.3.2. Por otro lado, una investigación realizada en la Universidad de Missouri Rolla en 1997 demuestra que el esfuerzo de fluencia Fy puede ser usado para calcular la resistencia al aplastamiento del alma de decks. Sin embargo, el AISI 1996 adopta un criterio conservador en la 2 Sección C3.4.1 (ver Art. 5.3.6), ya que el menor de 0.75Fy y 60 ksi (4216 kg/cm ) es usado para determinar tanto la resistencia al aplastamiento del alma como la resistencia a cortante para acero de baja ductilidad. Otra investigación realizada en la Universidad de Missouri Rolla en 1997 confirmó que para el diseño de conexiones usando acero A653 SS Grado 80, el esfuerzo Fu usado en diseño deberá ser tomado como el menor valor de 75% de la resistencia a tensión mínima especificada o 62 ksi (4357 2 kg/cm ). Debe mencionarse que las especificaciones vigentes del AISI se limitan al diseño de miembros y conexiones sujetas a carga estática, sin considerar la resistencia a la fatiga del acero. 2.3.4 Facilidad para Soldarse Los aceros fácilmente soldables son aquellos que pueden formar sin dificultad uniones soldadas libres de grietas e íntegras en condiciones de taller o campo. La facilidad para soldarse de un acero depende en esencia de la composición química del mismo y varía con el tipo de acero y el proceso de soldado usado. Los procesos de soldado estructural comúnmente usados para unir perfiles laminados en frío son el SMAW (soldadura de arco con electrodos recubiertos), el SAW (soldadura de arco con electrodos sumergidos), el GMAW (soldadura de arco de gas metálico) y el FCAW (soldadura de arco con flujo recubierto). Las especificaciones de los procesos de soldadura antes mencionados se incluyen el AWS (Sociedad Americana de Soldadura). Las especificaciones para el diseño de conexiones soldadas para perfiles laminados en frío están incluidas en la Sección E2 del AISI 1996 (ver Capítulo 9). 2.3.5 Resistencia a la Fatiga y Tenacidad La resistencia a la fatiga se define como la capacidad de un material para soportar una gran cantidad de ciclos de carga antes de fallar. Cargas cíclicas pueden ser inducidas por vibraciones de maquinaria, cargas repetitivas producidas por tráfico vehicular, etc. La resistencia a la fatiga puede medirse en curvas S-N (donde S es el valor del esfuerzo y N el número de ciclos de carga) obtenidas a partir de pruebas. En general, la relación de resistencia a la fatiga con respecto a la resistencia a la tensión en aceros varía entre 0.35 a 0.60. Estos valores son aplicables a elementos simples individuales, ya que en arreglos estructurales se ha observado que la resistencia a la fatiga de los elementos es gobernada por los detalles o las conexiones. La resistencia a la fatiga es una consideración de importancia en elementos laminados en frío usados en carrocerías, fuselajes de aviones, etc., donde las solicitaciones dinámicas pueden ser de naturaleza cíclica. Sin embargo, para usos típicos en edificaciones, las solicitaciones dinámicas tales como sismos, vientos e impacto son de muy corta duración, por lo que las consideraciones de fatiga en este tipo de estructuras no son de importancia, salvo en casos excepcionales como puentes y bases para maquinaria. Por esta razón, AISI 1996 no contempla especificaciones para el diseño por fatiga de elementos. La tenacidad es la medida en la que un material puede absorber energía sin fracturarse. Se expresa normalmente en función de la energía que absorben especímenes con muescas en pruebas de impacto sobre las muescas. La cantidad de absorción de energía se correlaciona con la cantidad de deformación en las muescas generada por los impactos. Además, la tenacidad de un elemento liso bajo cargas estáticas puede ser medida como el área bajo la curva esfuerzodeformación. En general, no existe correlación entre las dos medidas de tenacidad.

31 2.3.6 La Facilidad de Formado y Durabilidad La facilidad de formado de un material se refiere a su capacidad para moldearse en una gran variedad de configuraciones geométricas sin sufrir desgarres o fallas. En el caso de los perfiles laminados en frío el acero requiere de facilidad de formado, de lo contrario las hojas de acero no podrían doblarse sin sufrir daños o desgarres. Como se verá en la siguiente sección, los procesos de formado en frío alteran las propiedades mecánicas del acero, pero no causan daños que comprometan la funcionalidad estructural de los perfiles terminados. La durabilidad del acero se refiere a su capacidad para resistir condiciones ambientales adversas en períodos de tiempo considerables sin menos cabo de sus funciones estructurales. Quizás el efecto ambiental o químico que más frecuentemente puede afectar a la funcionalidad del acero es la corrosión. Sin embargo, la aplicación de capas de galvanizado o de pintura anticorrosiva ha reducido significativamente el problema y ha minimizado la necesidad de procedimientos de mantenimiento. 2.4 LOS EFECTOS DE LA TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL ACERO Las propiedades mecánicas del acero son establecidas normalmente a temperatura ambiente. La Fig. 2.3 muestra la degradación de los valores de Fy, Fu y E al aumentar la temperatura. Como se puede observar en la Fig. 2.3 la reducción de estos valores es considerable hasta después de los o o 500 F (260 C), temperaturas que no se presentan por efectos climáticos, pero que si pueden presentarse en algunos procesos de manufactura o en incendios. o

Por otro lado, a temperaturas bajo cero F (temperaturas menores a –18 °C), los valores de Fy, Fu y E son mayores que a temperatura ambiente, pero el acero se vuelve frágil al reducirse su ductilidad y tenacidad. Por consiguiente, se deben tomar precauciones especiales al diseñar estructuras para ambientes de frío extremo, sobre todo cuando éstas estén sujetas a efectos dinámicos de consideración. Además, el acero responde a los efectos de gradientes de temperatura mediante cambios volumétricos de dilatación o contracción. Si las estructuras no se diseñan para disipar estos cambios, se inducirán esfuerzos térmicos que deberán ser considerados en las cargas de diseño.

Fig. 2.3 Efecto de la temperatura sobre las propiedades mecánicas del acero con bajo contenido de (1) carbono . (a) Placas de acero A36; (b) Láminas de acero.

32 2.5 LOS EFECTOS DEL LAMINADO EN FRIO EN LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL ACERO. Las propiedades mecánicas de los perfiles laminados en frío son a menudo diferentes a las de las láminas, cintas, placas o barras de aceros de las cuales fueron formados. Esto se debe a que el proceso de laminado en frío incrementa los valores de Fy y Fu y al mismo tiempo reduce la ductilidad. El incremento porcentual en el valor de Fu es mucho menor que el incremento del valor de Fy, por lo que la relación Fu/Fy se reduce. Además, debido a que las esquinas de los perfiles requieren un mayor trabajo de laminado que las parte planas, las propiedades mecánicas son diferentes en varias partes del perfil. La Fig. 2.4 ilustra la variación de las propiedades mecánicas en puntos específicos de un perfil canal y de la sección de la cuerda de un joist (viga tipo armadura con cuerdas paralelas) con respecto a las propiedades del material virgen (material antes de ser sujeto al proceso de laminado), de acuerdo a diversas pruebas realizadas. Como se puede observar en la Fig. 2.4, los valores máximos de Fy ocurren en las esquinas y los valores mínimos en las partes planas. Este hecho explica porque el pandeo y/o la fluencia de los perfiles ocurre primero en las partes planas y porque las cargas adicionales posteriores al pandeo o fluencia son transferidas a las esquinas. Es pertinente enfatizar que la transferencia de cargas a las esquinas que ocurre después del pandeo genera la distribución no uniforme de esfuerzos a compresión que obliga a considerar a los elementos correspondientes como parcialmente efectivos sujetos a esfuerzos uniformes para efectos de simplificar su diseño. Esta condición es la razón por la cual se desarrolló el concepto de ancho efectivo (ver Art. 4.3.1.1). Los resultados de diversas investigaciones sobre la influencia del laminado en frío en las propiedades mecánicas del acero, indican que los cambios en las propiedades son causados principalmente por el endurecimiento y envejecimiento por deformación del acero durante el proceso de laminado, como lo ilustra la Fig. 2.5. La curva A representa la curva esfuerzodeformación del material virgen, la curva B representa el proceso de descarga en el rango de endurecimiento por deformación, la curva C representa el proceso de recarga y la curva D representa la curva esfuerzo-deformación de la etapa de recarga después del envejecimiento por deformación. Se puede observar claramente que los valores de Fy de las curvas C y D son mayores que el valor de Fy de la curva A y que la ductilidad se reduce después de ocurrir el endurecimiento y envejecimiento por deformación. Otro factor que contribuye al cambio de las propiedades mecánicas durante el proceso de laminado es el efecto Bauschinger directo e inverso. El efecto Bauschinger directo describe el hecho de que el valor de Fy en compresión longitudinal de un especímen previamente elongado es menor que el valor de Fy a tensión longitudinal, como lo ilustra la Fig. 2.6(a). El efecto Bauschinger inverso produce la condición contraria en la dirección transversal, como lo ilustra la Fig. 2.6(b). El efecto del laminado en frío sobre las propiedades mecánicas de las esquinas depende normalmente de (1) el tipo de acero, (2) el tipo de esfuerzo (compresión o tensión), (3) la dirección del esfuerzo con respecto a la dirección de laminado en frío (longitudinal o transversal), (4) la relación Fu/Fy, (5) la relación del radio interior al espesor (R/t) y (6) la cantidad de trabajo de laminado en frío. De todos éstos factores los más importantes son las relaciones Fu/Fy y R/t. Materiales vírgenes con relaciones Fu/Fy grandes tienen un mayor potencial para el endurecimiento por deformación. Por consiguiente, al incrementar la relación Fu/Fy, se incrementa el efecto del laminado en frío sobre el incremento en Fy. Valores pequeños de la relación R/t corresponden a un mayor trabajo de laminado en frío en las esquinas. Por consiguiente, mientras más pequeña sea la relación R/t para un material dado, mayor será el incremento en Fy.

33

(1)

Fig. 2.4 Efecto del laminado en frío sobre las propiedades mecánicas de perfiles laminados en frío . (a) Sección Canal; (b) Cuerda de un Joist.

34

Fig. 2.5 Efecto del endurecimiento y envejecimiento por deformación en el comportamiento esfuerzo (4) deformación del acero .

Fig. 2.6 (a) Efecto Bauschinger; (b) Efecto Bauschinger (1) inverso

La siguiente ecuación puede usarse para expresar la correlación entre la relación R/t y la relación de esfuerzos de fluencia en las esquinas y en el material virgen:

Fyc Fy F F Donde: Bc = 3.69 u − 0.819 u F Fy  m = 0.192

=

Bc

(2.3)

( R t )m

2

  − 1.79  

(2.4)

Fu − 0.068 Fy

(2.5)

Fyc = esfuerzo de fluencia en la esquina Fy = esfuerzo de fluencia del material virgen Fu = esfuerzo último del material virgen R = radio interior en la esquina t = espesor de la lámina La Ec. (2.3) es aplicable solo si Fu/Fy ≥ 1.2, R/t ≤ 7 y θ ≤ 120 . Donde θ es el ángulo interno de la esquina. º

35 La Fig. 2.7 muestra la correlación entre Fyc/Fy y R/t para varios valores de Fu/Fy. El valor de Fy debido a tensión, con respecto a las propiedades de la sección completa, puede ser aproximado considerando un promedio ponderado mediante la siguiente ecuación:

Fya = CFyc + (1 − C ) Fyf

(2.6)

Donde: Fya = resistencia a la tensión de la sección completa m Fyc = resistencia a la tensión promedio en la esquina = BcFy / (R/t) Fyf = resistencia a la tensión promedio de las partes planas C = relación del área de las esquinas con respecto al área total de la sección

Fig. 2.7 Relación entre Fyc/Fy y R/t basada en varios valores de (1) Fu/Fy

La Sección A7 del AISI 1996 permite la substitución de Fy por Fya [Ec. (2.6)] en el diseño de elementos a tensión, elementos a flexión (excepto cuando se desee usar la capacidad inelástica de reserva), elementos sujetos a compresión axial, elementos sujetos a combinación de carga axial y flexión, elementos cilíndricos tubulares y puntales de muros. También permite la obtención de Fya mediante métodos alternativos como pruebas de tensión en la sección completa o pruebas de columnas cortas. El AISI 1996 limita el uso de Fya de la siguiente manera: (a) Fya puede ser determinado por la Ec. (2.6) o cualquiera de los métodos alternativos para elementos sujetos a compresión axial o elementos sujetos a flexión, cuyas dimensiones de la sección sean tales que el factor ρ , determinado conforme a lo estipulado en la Sección B2 del AISI 1996 (ver Art. 4.3.1.1), sea igual a la unidad para cada elemento constitutivo de la sección. (b) Para elementos sujetos a tensión axial, Fya puede ser determinado por la Ec. (2.6) o por el método alternativo de la prueba de tensión en la sección completa. (c) El efecto de cualquier soldadura en las propiedades mecánicas del elemento deberá ser determinado mediante pruebas sobre especímenes de sección completa conteniendo dentro de la longitud calibrada la soldadura que se planea usar en el diseño. Cualquier consideración de dicho efecto deberá hacerse en el uso estructural del elemento. Se acostumbra a denominar a los elementos que cumplen con la condición de ρ = 1 como “totalmente efectivos” o “compactos”. Aunque es importante mencionar que el término “compacto” para perfiles laminados en frío significa solamente que la dimensión total del elemento es efectiva para el cálculo de la resistencia. Contrario a la definición de “compacto” usada en las especificaciones del AISC para perfiles laminados en caliente. En este caso el término se usa para definir aquellos perfiles cuyas propiedades geométricas permiten alcanzar la plastificación completa bajo carga de la sección antes de que ocurran problemas de inestabilidad en los componentes sujetos a esfuerzos de compresión. Los criterios del AISC para definir una sección compacta son mucho más rigurosos que los de la AISI.

36

Los siguientes ejemplos ilustran el uso de las especificaciones del AISI 1996 para el cálculo de Fya: Ejemplo 2.1: Determine si Fya puede ser usada para el patín del perfil canal mostrado en la Fig. 2.8 2 y determine su valor mediante la Ec.(2.6). Considere acero A446 Grado C (Fy = 2811 kg/cm y Fu = 2 3865 kg/cm ).

(1)

Fig 2.8 Ejemplo 2.1(cotas en mm) .

1. Revisión de los Requisitos del AISI: A. El uso de la Ec. (2.6) para calcular el esfuerzo de fluencia a tensión promedio para el patín de la viga, la sección canal deberá tener un patín de compresión compacto, o sea ρ = 1.0. Asumiendo que el perfil cumple con los requisitos establecidos en los Arts. 4.3.1 a 4.3.3 para que ρ = 1, entonces la Ec. (2.6) puede ser usada para calcular Fya. B. Cuando se usa la Ec. (2.3) para determinar el esfuerzo de fluencia a tensión de las esquinas, Fyc, los siguientes tres requisitos deben cumplirse: Fu/Fy ≥ 1.2,

En este caso,

R/t ≤ 7,

θ ≤ 120°

Fu/Fy = 3865/2811 = 1.37 > 1.2, OK R/t = 4.763/3.429 = 1.389 < 7, OK θ = 90° < 120°, OK

Por lo tanto, la Ec. (2.3) puede ser usada para calcular Fyc. 2. Cálculo de Fyc, de acuerdo con las Ecs. (2.3) a (2.5): 2

Ec. (2.4): Bc = 3.69(1.37) – 0.819(1.37) – 1.79 = 1.735 Ec. (2.5): m = 0.192(1.37) – 0.068 = 0.196 Por lo tanto, Ec. (2.3): Fyc = [1.735/(1.389)

0.196

2

]2811 = 4572.89 kg/cm

3. Cálculo de Fya de acuerdo con la Ec. (2.6): Area de las esquinas del patín, Ae (ver Caso I, Art. A.2.2, Apéndice A): 2 Ae = 1.57rt = 1.57(R + t/2)t = 1.57(4.763 + 3.429/2)3.429 = 34.872 mm . 2 Por lo tanto para dos esquinas, ΣAe = 2(34.872) = 69.744 mm .

37 Area de la sección del patín, Ac, incluyendo las esquinas: 2 Ac = ΣAe + wt = 69.744 + 59.817(3.429) = 274.856 mm . Por lo tanto, el parámetro C de la Ec. (2.6) será: C = ΣAe/Ac = 69.744/274.856 = 0.254 2

Por lo tanto, Ec. (2.6): Fya = 0.254(4572.89) + (1 – 0.254)2811 = 3258.52 kg/cm

Este valor de Fya puede ser usado para los patines de tensión y compresión y representa un 2 incremento de 16% sobre el valor del esfuerzo de fluencia del acero virgen (Fy = 2811 kg/cm ). Ejemplo 2.2: Determine si Fya puede ser usada para el perfil sujeto a compresión axial mostrado en la figura 2.9 y determine su valor mediante la Ec. (2.6). Considere acero A570 Grado C (Fy = 2 2 2319 kg/cm y Fu = 3654 kg/cm ).

(1)

Fig 2.9 Ejemplo 2.2 (cotas en mm) .

1. Revisión de los Requisitos del AISI: A. Asumiendo que el perfil cumple con los requisitos establecidos en los Arts. 4.3.1 a 4.3.3 para que ρ = 1, entonces la Ec. (2.6) puede ser usada para calcular Fya. B. En este caso,

Fu/Fy = 3654/2319 = 1.576 > 1.2, OK R/t = 4.763/3.429 = 1.389 < 7, OK θ = 90° < 120°, OK

Por lo tanto, la Ec. (2.3) puede ser usada para calcular Fyc. 2. Cálculo de Fyc, de acuerdo con las Ecs. (2.3) a (2.5): 2

Ec. (2.4): Bc = 3.69(1.576) – 0.819(1.576) – 1.79 = 1.991 Ec. (2.5): m = 0.192(1.576) – 0.068 = 0.235 Por lo tanto, Ec. (2.3): Fyc = [1.991/(1.389)

0.235

2

]2319 = 4274.02 kg/cm

38 3. Cálculo de Fya de acuerdo con la Ec. (2.6): Como el perfil esta sujeto a compresión axial, los cuatro patines estarán sujetos a compresión. Area de las esquinas del patín, Ae (ver Caso I, Art. A.2.2, Apéndice A): 2 Ae = 1.57rt = 1.57(R + t/2)t = 1.57(4.763 + 3.429/2)3.429 = 34.872 mm . 2 Por lo tanto para ocho esquinas, ΣAe = 8(34.872) = 278.976 mm . Area de la sección total, Ac, incluyendo las esquinas y labios atiesadores: 2 Ac = ΣAe + wt = 278.976 + 4(3.429)[34.417 + 9.589] +2(3.429)[110.617] = 1641.174 mm . Por lo tanto, el parámetro C de la Ec. (2.6) será: C = ΣAe/Ac = 278.976/1641.174 = 0.170 2

Por lo tanto, Ec. (2.6): Fya = 0.170(4274.02) + (1 – 0.170)2319 = 2651.35 kg/cm

Este valor de Fya puede ser usado para los patines de tensión y compresión y representa un 2 incremento de 14% sobre el valor del esfuerzo de fluencia del acero virgen (Fy = 2319 kg/cm ). 2.6 ESFUERZOS RESIDUALES DEBIDOS AL PROCESO DE LAMINADO EN FRIO Los esfuerzos residuales se presentan en los perfiles como resultado del proceso de manufactura. En el caso de los perfiles laminados en caliente, los esfuerzos residuales se presentan debido un proceso de enfriamiento desigual que inicia después de salir de los molinos de laminado o después de ser soldados. En este caso, las partes de menor espesor de los perfiles como las puntas de los patines y el centro del alma alcanzan a enfriarse primero que las uniones de patín y alma que son las partes de mayor espesor. Galambos desarrolló patrones de distribución de esfuerzos residuales, los cuales aplicó a la derivación de una ecuación general para la curva esfuerzo-deformación para perfiles laminados en caliente con patín ancho. Galambos demostró que la presencia de los esfuerzos residuales es necesaria para explicar porque algunos perfiles alcanzaban la fluencia a magnitudes de esfuerzo menores a los esperados. La Fig. 2.10 muestra como los esfuerzos residuales reducen el valor del límite de proporcionalidad, induciendo a un comportamiento inelástico del material antes de lo que se esperaría si se despreciaran los esfuerzos residuales. También se puede observar que la presencia de los esfuerzos residuales no afecta el valor de Fu. En años recientes se ha estudiado la distribución de los esfuerzos residuales en los perfiles laminados en frío. La Fig. 2.11 muestra distribuciones típicas de esfuerzos residuales en la cara interna y externa de un perfil canal laminado en frío. La Fig. 2.12 muestra la distribución promedio de esfuerzos residuales para el mismo perfil. Aunque los esfuerzos residuales en perfiles laminados en frío se deben precisamente al proceso de laminado, se espera que los efectos de éstos esfuerzos sobre el comportamiento estructural de los perfiles sean similares al de los perfiles laminados en caliente. Esto es, se espera una reducción en el límite de proporcionalidad también en los perfiles laminados en frío debido a la presencia de los esfuerzos residuales. De hecho, las especificaciones del AISI referentes al pandeo de elementos han sido desarrolladas considerando un límite de proporcionalidad mucho menor que el valor de Fy del acero virgen, tomando así consideración de manera implícita de la presencia de esfuerzos residuales en el acero laminado en frío.

39

Fig. 2.10 Efectos de los esfuerzos residuales en la relación esfuerzo-deformación de perfiles W laminados en (1) caliente .

Fig. 2.11 Distribución de esfuerzos residuales longitudinales en (a) la superficie externa y (b) la superficie (1) interna de un perfil C laminado en frío .

40

Fig. 2.11 (Continuación)

Fig. 2.12 Distribución promedio de esfuerzos residuales longitudinales en un perfil C laminado en frío

(1)

CAPITULO 3

CRITERIOS DE DISEÑO PARA PERFILES LAMINADOS EN FRIO 3.1 COMENTARIOS GENERALES Hasta hace algunos años las estructuras de acero se diseñaban en México y Estados Unidos casi exclusivamente por Método de Esfuerzos Permisibles o ASD (por sus siglas del inglés: “Allowable Stress Design”). Este criterio de diseño establece que los esfuerzos actuantes, calculados a partir de combinaciones de las fuerzas internas máximas (cargas axiales, momentos, cortantes, etc.), no deben exceder a un cierto esfuerzo permisible para poder lograr una seguridad estructural adecuada de un miembro. ASD fue el único método de diseño avalado por las especificaciones del AISI desde 1946 a 1986. Por otro lado, las especificaciones del AISC para perfiles laminados en caliente incorporaron hace ya más de dos décadas un criterio alternativo a ASD conocido como Diseño Plástico. Sin embargo, este criterio no tuvo mucha aceptación entre los diseñadores, ya que no producía diseños más económicos que los obtenidos por ASD y si complicaba considerablemente el análisis estructural. Sin embargo, resultó ser un avance considerable desde el punto de vista racional, ya que permitió incorporar por primera vez de manera explícita el comportamiento inelástico de las estructuras en las ecuaciones de diseño. El AISI consideró innecesario incorporar el Diseño Plástico a sus especificaciones, debido que la gran mayoría de los perfiles laminados en frío son de pared delgada, por lo rara vez alcanzan a desarrollar la plastificación de sus secciones, ya que fallan normalmente primero por inestabilidad. El ASD asume un comportamiento elástico bajo cargas y aparentemente desprecia la capacidad de reserva inelástica del acero, aunque en realidad cuando el caso así lo requiere, la capacidad de reserva inelástica a sido incorporada de manera implícita en las ecuaciones de diseño de ASD. Además, los factores de seguridad de ASD tienen orígenes empíricos y son universales. O sea, para una condición de diseño dada, el factor de seguridad es el mismo siempre, independientemente del tipo de carga aplicada. En 1978, bajo la dirección de Galambos y Ravindra, se sentaron las bases de un nuevo criterio de diseño denominado Diseño por Factor de Carga y Resistencia o LRFD (por sus siglas del inglés: “Load and Resistance Factor Design”). En esencia, LRFD es muy parecido conceptualmente al Diseño por Resistencia Ultima incorporado en las especificaciones del Instituto Americano del Concreto o ACI (por sus siglas del inglés: “American Concrete Institute”) para el diseño de estructuras de concreto reforzado. En LRFD se abandona el concepto del cálculo de esfuerzos actuantes y se substituye por el cálculo de resistencias nominales (cargas axiales, momentos, cortantes). Los factores de seguridad desaparecen dando paso a los factores de carga y de resistencia. En LRFD la seguridad estructural se comprueba al lograr que las resistencias actuantes debidas a las combinaciones de cargas gobernantes (amplificadas por los factores de carga correspondientes) sean menores o iguales a las resistencias nominales (reducidas por los factores de resistencia correspondientes). La estrategia que actualmente desarrollan el AISC y el AISI es el establecimiento de un período de transición para poder consolidar a LRFD como el método estándar de diseño, desplazando a ASD como un método alternativo. El ACI ya consolidó hace varios años el paso de ASD a Resistencia Ultima para el diseño de estructuras de concreto. Una vez consolidado el paso de ASD a LRFD se habrá logrado finalmente uno de los objetivos universales de los autores de especificaciones de diseño: la unificación de criterios de diseño entre el ACI, AISC y AISI.

42

El AISC publicó en 1986 la primera edición de las especificaciones LRFD. En 1989 el AISC publicó tomos separados conteniendo la novena edición de las especificaciones de ASD y la segunda edición de las de LRFD. En 1993, el AISC publicó la tercera edición de las especificaciones de LRFD pero ya no editó las especificaciones de ASD, quedando la edición de 1989 de dichas especificaciones como la edición vigente, en un claro intento de consolidar a LRFD como el método estándar de diseño. Así mismo, la AISI publicó la primera edición de las especificaciones LRFD en 1991 y en 1996 las especificaciones de ASD y LRFD se presentaron en la misma publicación. Cabe mencionar que la presentación de las ecuaciones de diseño de ASD en las especificaciones del AISI 1996 fue cambiada. Ahora se calculan resistencias nominales en lugar de esfuerzos actuantes y posteriormente se transforman en resistencias permisibles al dividir las resistencias nominales entre los factores de seguridad tradicionales. De hecho, las ecuaciones para determinar las resistencias nominales son en general las mismas para ASD y LRFD. La intención del AISI es evidente, lograr una mayor compatibilidad entre los criterios de ASD y LRFD para permitir una transición más suave de un criterio al otro. A continuación se hace una presentación más detallada de los criterios de ASD y LRFD considerados en el AISI 1996. Se le dará igual importancia a ambos criterios a través de éste libro, siguiendo con el espíritu de los editores de las especificaciones del AISI 1996. 3.2 DISEÑO POR ESFUERZOS PERMISIBLES (ASD) El ASD ha sido desde 1946 el método de diseño para perfiles estructurales laminados en frío reconocido por el AISI. El AISI 1996 aun reconoce a ASD en igualdad con LRFD. En ASD, las resistencias requeridas (momentos flexionantes, fuerzas axiales, fuerzas cortantes, etc.) en los elementos estructurales son calculadas por procedimientos aceptados del análisis estructural a partir todas las combinaciones de carga aplicables consideradas en la Sección A5.1.2 del AISI 1996 (ver Art. 3.2.3). Estas resistencias requeridas no deben exceder las resistencias permisibles de diseño prescritas por el AISI. La resistencia permisible de diseño se determina dividiendo la resistencia nominal entre un factor de seguridad, o sea,

Ra =

Rn Ω

(3.1)

Donde Ra = Resistencia Permisible de Diseño. Rn = Resistencia Nominal Ω = Factor de Seguridad. El objetivo del factor de seguridad es el de compensar por las incertidumbres inherentes en los valores de las propiedades mecánicas y geométricas de los elementos estructurales, en la precisión de los modelos teóricos y/o experimentales que describen la resistencia nominal, así como en la estimación de valores y distribución de las cargas aplicadas. Los valores de los factores de seguridad para las diversas resistencias requeridas se encuentran prescritos en las especificaciones de diseño. La experiencia dicta que el uso de dichos factores de seguridad resulta en diseños satisfactorios. Como se mencionó anteriormente, el ASD considera un solo factor de seguridad por resistencia requerida. De acuerdo con la sección A5.1.1 del AISI 1996, un diseño satisface los requisitos de la especificación cuando el valor de la resistencia permisible, Ra, de cada componente estructural es mayor o igual a la resistencia requerida, R, determinada en base a las cargas nominales, para todas las combinaciones de carga aplicables, esto es,

Ra ≥ R

(3.2)

43

3.2.1 Cargas de Diseño Las cargas nominales de diseño normalmente se especifican en los códigos de diseño vigentes en la localidad donde se realizará la construcción de la estructura. En la ausencia de dichos códigos, la Sección A4.1 del AISI 1996 estipula el uso de las cargas dadas por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles o ASCE (por sus siglas del inglés: “American Society of Civil Engineers”) en el documento “Cargas Mínimas de Diseño para Edificios y Otras Estructuras”. Los siguientes símbolos y definiciones describen las cargas reconocidas por el AISI 1996: D=

E= F= L=

Lr = S= Rr = H= P= T= W=

Carga muerta, que consiste en: (a) el peso propio del elemento. (b) el peso de todo el material de construcción incorporado al edificio, el cual es soportado por el elemento, incluyendo muros fijos. (c) el peso de equipo permanente. Carga Sísmica. Cargas debidas a fluidos con presiones y alturas máximas bien definidas. Cargas vivas debidas al uso deseado del edificio, incluyendo las cargas debidas a objetos movibles, muros movibles y las cargas temporales a las que estará sujeta la estructura durante su mantenimiento. L puede incluir cualquier reducción permitida por la especificación de diseño. Si la resistencia al impacto debe considerarse en el diseño, tal efecto deberá incluirse en la carga viva. Carga viva de azotea o cubierta. Carga debido a acumulación de nieve. Carga debida a lluvia, excepto la debida al estancamiento de agua en cubiertas. Cargas debidas al empuje lateral de tierra y del agua incluida en la tierra. Cargas, fuerzas y efectos debidos al estancamiento de agua. Fuerzas y efectos debidos a cambios volumétricos producidos por gradientes de temperatura, cambios de humedad, flujo plástico de elementos constitutivos, asentamientos diferenciales de cimentaciones, u combinaciones de éstas. Cargas de viento.

3.2.3 Combinaciones de Carga En la ausencia de un código de diseño aplicable o si dicho código no incluye combinaciones de carga compatibles con ASD, la Sección A5.1.2 del AISI 1996 especifica que la estructura y sus componentes sean diseñados de tal manera que su resistencia permisible de diseño sea mayor o igual que el efecto de las cargas nominales para las siguientes combinaciones de carga: 1. 2. 3. 4.

D D + L + (Lr o S o Rr) D + (W o E) D + L + (Lr o S o Rr) + (W o E)

Nótese que el AISI permite solo la consideración de una de las cargas de techo, Lr, S o Rr, la que sea más crítica, al combinarse con la carga gravitacional (D + L). Así mismo, el AISI no permite la consideración simultánea de la carga sísmica E y de viento W en las combinaciones de carga estipuladas. Estas restricciones tienden a evitar diseños innecesariamente conservadores ocasionados por cargas cuyos efectos combinados tienen una probabilidad despreciable de ocurrir. Cuando los códigos de diseño aplicables incluyen cargas sísmicas o de viento en sus combinaciones de carga estipuladas, la Sección A5.1.3 permite que las fuerzas resultantes sean multiplicadas por un factor de reducción de 0.75. Además, cuando el modelo de carga sísmica estipulado por el código de construcción vigente está basado en criterios de estados límites (ver Art. 3.3), la carga sísmica resultante E se podrá reducir por un factor de 0.67. La Sección A5.1.3 no

44

permite la aplicación de estos factores de reducción cuando se evalúen diafragmas de acuerdo a lo estipulado en la Sección D5 de la especificación. El factor de reducción de 0.75 pretende tomar en cuenta la naturaleza altamente localizada y de corta duración que tienen las cargas sísmicas y de viento sobre las estructuras, así como la poca probabilidad de que todos los valores máximos de las cargas consideradas en combinación con las cargas sísmicas y/o de viento ocurran al mismo tiempo. Por otro lado, la reducción de 0.67 al valor de E pretende hacer a dicho valor compatible con las combinaciones de carga del método LRFD. La Sección A5.1.4 establece también la inclusión de las cargas F, H, P y T en las combinaciones de carga antes descritas, siempre y cuando sus efectos sean considerables y que tengan una probabilidad considerable de ocurrir simultáneamente con los otras cargas consideradas en dichas combinaciones. Se requiere considerar los efectos de estancamiento de agua en cubiertas o azoteas cuando las pendientes son muy bajas o nulas y/o cuando no se cuenta con un sistema de drenaje adecuado que permita el desalojo rápido del agua. La Sección K2 de las especificaciones del AISC 1989 y 1993 contienen procedimientos aceptables para el cálculo de dichos efectos, los cuales pueden ser usados para el diseño de perfiles laminados en frío. Finalmente, el Comentario del AISI 1996 recomienda que cuando los decks de acero sean usados en construcción compuesta de entrepisos y azoteas, éstos decks sean diseñados para soportar la carga muerta del concreto, el peso propio del deck y la carga viva de construcción. La carga de construcción está basada en la carga secuencial del concreto tal como lo estipula en el Estándar 3-91 del ANSI/ASCE y en el Manual de Diseño del Instituto del Deck de Acero o SDI 1995 (por sus siglas del inglés: “Steel Deck Institute”). 3.3 DISEÑO POR FACTOR DE CARGA Y RESISTENCIA (LRFD) El método LRFD está basado en el criterio de estados límites, de hecho, a éste método se le conoce también como método de diseño por estados límites o LSD (por sus siglas del inglés: “Limit States Design”). Un estado límite define la condición ante la cual un elemento o miembro estructural bajo carga se ve afectado a tal grado que deja de ser seguro para los ocupantes de la estructura, o dicho elemento deja de desarrollar la función para la cual fue diseñado. Estados límites típicos en perfiles laminados en frío incluyen el alcanzar la resistencia por fluencia, por pandeo, por postpandeo, desarrollar deformaciones o vibraciones excesivas, etc. Estos estados límites han sido establecidos por experiencia en la práctica profesional o en experimentos de laboratorio y han sido extensamente investigados y documentados en la literatura especializada. Este libro dedica gran parte de su contenido a la presentación de la información teórica y experimental relevante que define el conocimiento vigente de dichos estados límites. Cabe mencionar que gran parte de dicha información representa también la fundamentación del método ASD, por lo que en muchos casos las ecuaciones de diseño de ambos métodos representan solo versiones diferentes de los mismos conceptos fundamentales. El método LRFD establece dos tipos de estados límites: 1. Estados Límites de Resistencia: Define el alcance de la resistencia de un elemento estructural bajo cargas extremas. 2. Estados Límites de Servicio: Define el alcance del límite de la habilidad de un elemento estructural a desarrollar la función para la cual fue diseñado. El concepto del estado límite no es de uso exclusivo de LRFD. En ASD, la ecuación fundamental de diseño dada por la Ec. (3.2) define un estado límite de resistencia (permisible). En el caso de los estados límites de servicio, la Sección A8 del AISI 1996, no establece diferencias entre los métodos ASD y LRFD.

45

Como se mencionó anteriormente, a diferencia del método ASD, el método LRFD emplea diversos factores de carga y de resistencia que logran un refinamiento en el diseño al tomar en cuenta los diversos grados de incertidumbre y variabilidad en las propiedades de los materiales, en la estimación de cargas y en los procedimientos de análisis. La ecuación fundamental del método LRFD que define el estado límite de resistencia y que satisface los requisitos de seguridad estructural de las especificaciones del AISI 1996 es la siguiente:

φRn ≥ Σγ i Qi

(3.3)

Donde Rn = Resistencia nominal Qi = Efectos de carga φ = Factor de resistencia correspondiente a Rn γi = Factor de carga correspondiente a Qi φRn = Resistencia de diseño ΣγiQi = Resistencia requerida para las cargas factorizadas La resistencia nominal Rn es la resistencia de un elemento o miembro para un estado límite dado, calculada a partir de las propiedades nominales de la sección y para valores mínimos de las propiedades del material, de acuerdo al modelo analítico que define a la resistencia. El factor de resistencia φ toma en cuenta la incertidumbre y variabilidad inherente en Rn y es usualmente menor que la unidad. Los efectos de carga Qi son los elementos mecánicos en la sección transversal (momentos flexionantes, fuerzas axiales y cortantes) determinados a partir de las cargas nominales mediante procedimientos conocidos del análisis estructural y γi son los factores de carga correspondientes que toman en cuenta la incertidumbre y variabilidad inherente en la estimación de las cargas y/o sus efectos. Es evidente que el método LRFD representa un avance notable sobre el ASD, ya que permite tomar en cuenta en diseño los diversos grados de incertidumbre y variabilidad en la estimación de resistencias y cargas. El método LRFD permite el reconocimiento explícito en las ecuaciones de diseño del grado de incertidumbre y variabilidad en las cargas al prescribir factores de carga diferentes para cargas muertas, vivas, sísmicas y de viento. Inclusive prescribe valores distintos para los factores de cargas, dependiendo de la combinación de carga considerada, permitiendo establecer un modelo de carga más realista. Así mismo, el método LRFD puede considerar el grado de predicción de los diversos modelos analíticos usados para calcular la resistencia, al prescribir factores de resistencia menores a los modelos que muestran mayor grado de dispersión en sus pronósticos de resistencia que a los modelos que exhiben predicciones más consistentes. Otro avance importante del método LRFD sobre el ASD es la incorporación de modelos probabilísticos que permiten obtener una confiabilidad más consistente en diseño. Por consiguiente, LRFD provee una base más racional y refinada para el diseño que la que puede proveer el ASD. 3.3.1 Conceptos Probabilísticos de Seguridad Estructural La seguridad estructural se comprueba al comparar resistencias nominales R con los efectos de cargas nominales Q y constatar que R ≥ Q; un estado límite se alcanza si R = Q. Por consiguiente, si R y Q son variables deterministas, es decir si su valor puede ser establecido con precisión en cualquier momento, el problema de la seguridad estructural se resuelve al establecer un valor para R solo ligeramente mayor que Q, evitando así alcanzar un estado límite. La probabilidad de falla en este caso es cero. Sin embargo, la realidad es que R y Q son variables aleatorias y su valor se ve afectado significativamente por la variabilidad e incertidumbre de los parámetros que definen a dicho valor (sección transversal, propiedades del material, magnitud y distribución de las cargas, etc.). Por consiguiente, su valor solo puede ser modelado matemáticamente mediante funciones de probabilidad. La Fig. 3.1 muestra funciones de probabilidad idealizadas para R y Q. Dichas funciones definen un valor medio Qm y Rm y el grado de dispersión de valores que pueden alcanzar R y Q con respecto a sus valores medios dados por σR, σQ, las desviaciones estándar de R y Q,

46 respectivamente. En este caso, la condición Rm ≥ Qm no es garantía de que la estructura no fallará. De hecho, la probabilidad de falla siempre será mayor que cero, sin importar que tan alejados estén entre si los valores de Qm y Rm, ya que al ser asimptóticas las curvas con respecto al eje horizontal, estas curvas siempre alcanzarán a cruzarse, definiendo casos donde Q > R, o sea, la condición de falla estructural. En base a lo anterior, la probabilidad de falla estructural puede definirse como el área bajo la intersección de las curvas de Q y R.

(4)

Fig. 3.1 Definición de las funciones de probabilidad de Q y R

Otra manera comúnmente usada para representar las distribuciones de probabilidad de Q y R se ilustra en la Fig. 3.2. En este caso, se excede un estado límite cuando ln(R/Q) ≤ 0 y el área sombreada bajo ln(R/Q) ≤ 0 equivale a la probabilidad de exceder dicho estado límite. El tamaño de esta área depende de la distancia entre el origen y la media de ln(R/Q). Conocida la información estadística para Rm, Qm, σR, σQ, el área bajo ln(R/Q) ≤ 0 puede ser modificada cambiando el valor de β (ver Fig 3.2), ya que βσln(R/Q) = ln(R/Q)m, de donde se puede aproximar el siguiente valor para β:

β=

ln (Rm / Qm ) VR + VQ 2

2

(3.4)

Donde Rm = valor medio de la resistencia Qm = valor medio del efecto de cargas = Rn(Pm Mm Fm) VR = coeficiente de variación de la resistencia = σR / Rm 2 2 2 1/2 = (V P + V M + V F ) VQ = coeficiente de variación del efecto de cargas = σQ / Qm Pm = relación media entre el valor de la carga última determinada experimentalmente con respecto a la carga última teórica de un especímen de laboratorio. Mm = relación media entre las propiedad materiales probadas con respecto a los valores mínimos especificados. Fm = relación media de las propiedades de sección reales con respecto a los valores nominales. VP = coeficiente de variación de la relación P VM = coeficiente de variación de la relación M VF = coeficiente de variación de la relación F

47 A β se le conoce como el “índice de confiabilidad” y es una medida relativa de la seguridad del diseño. Cuando se comparan dos diseños, el diseño que tenga el mayor valor de β será el más confiable. El concepto de β a sido usado para determinar la confiabilidad relativa inherente en los procedimientos de diseño existentes. La Sección A6.1.1 de los Comentarios de la Especificación del AISI 1996 demuestra que β = 2.75 para el caso de un perfil laminado en frío sujeto a flexión, con apoyos simples y una relación de carga muerta con respecto a carga viva de 1/5, si el perfil es diseñado conforme a los criterios de diseño del ASD del AISI 1996.

Fig. 3.2 Definición del índice de confiabilidad β

(4)

La determinación de los valores de β para las especificaciones de LRFD del AISI fue presentada en diversas publicaciones de la Universidad de Missouri-Rolla. Diversos investigadores posteriormente revisaron dichos resultados, aplicando información estadística actualizada de cargas y métodos más avanzados de análisis probabilístico. Como resultado, se establecieron los siguientes valores base de βo: Caso Base: Carga Gravitacional, Para conexiones: Para carga por viento:

βo = 3.0 βo = 4.5 βo = 2.5

El AISI adoptó para la especificación de LRFD valores de βo = 2.5 y βo = 3.5 para miembros y conexiones, respectivamente. El valor de βo para conexiones es mayor que el de miembros para garantizar que las fallas no ocurran primero en conexiones. Los valores adoptados por el AISI son menores a los valores base recomendados, pero concuerdan esencialmente con los valores de la especificación LRFD del AISC 1993. En el caso de los valores βo para cargas de viento, el AISI especifica el valor base recomendado de βo = 2.5. 3.3.2 Combinaciones de Carga, ΣγiQi Las siguientes combinaciones de carga, adoptadas por el ASCE 1995 “Estándares de Carga”, fueron desarrolladas para lograr que β = βo: 1. 1.4D 2. 1.2D + 1.6L + 0.5(Lr o S o Rr) 3. 1.2D + 1.6(Lr o S o Rr) + (0.5L o 0.8W)

48 4. 1.2D + 1.3W + 0.5L + 0.5(Lr o S o Rr) 5. 1.2D + 1.0E + (0.5L o 0.2S) 6. 0.90D – (1.3W o 1.0E) La Sección A6.1.2 del AISI 1996 retoma esencialmente éstas mismas combinaciones de carga, salvo las siguientes excepciones: 1. Debido a que las cargas muertas para perfiles laminados en frío son normalmente menores que las de los perfiles laminados en caliente, la primera combinación de cargas es substituida por 1.4D + L. 2. En la tercera combinación de carga, el factor de 1.6 para Lr es substituido por 1.4 cuando la carga viva de cubierta o azotea es debida a la presencia de trabajadores o materiales durante procesos de reparación, ya que éste tipo de carga puede ser considerada como un tipo de carga de construcción. 3. Para la construcción de cubiertas y muros usando las combinaciones de carga (3), (4) y (6), el factor de carga para la carga nominal de viento W a ser usada en el diseño individual de polines y paneles de muro y cubierta debe ser multiplicado por un factor de reducción de 0.90, ya que estos elementos son elementos secundarios sujetos a cargas de viento de corta duración y por consiguiente, pueden ser diseñados para una confiabilidad menor que los elementos primarios tales como vigas y columnas. 4. El estándar del ASCE usa un factor de carga de 1.0 para la carga sísmica E si el modelo de carga sísmica está basado en criterios de estados límites. Sin embargo, debido a que la mayoría de los perfiles laminados en frío aun se diseñan bajo el criterio de diseño ASD, el AISI 1996 substituye éste valor por 1.5, pero permite usar 1.0 si el modelo de carga sísmica está basado en criterios de estados límites. Considerando las restricciones anteriores, las combinaciones de carga reconocidas por el AISI 1996 son: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1.4D + L 1.2D + 1.6L + 0.5(Lr o S o Rr) 1.2D + 1.6(Lr o S o Rr) + (0.5L o 0.8W) 1.2D + 1.3W + 0.5L + 0.5(Lr o S o Rr) 1.2D + 1.5E + 0.5L + 0.2S 0.90D – (1.3W o 1.5E)

Además de las combinaciones anteriores, el Comentario del AISI 1996 A6.1.2 recomienda el uso de la siguiente combinación de carga para el diseño de sistemas compuestos de pisos y azoteas: 1.2Ds + 1.6Cw + 1.4C Donde: Ds = peso del deck o lámina de acero Cw = peso del concreto fresco durante el colado C = carga de construcción incluyendo trabajadores, maquinaria y cimbra, pero excluyendo el peso del concreto fresco. La combinación anterior pretende garantizar la seguridad del deck de acero durante los procedimientos de colado. El uso del factor de carga de 1.6 para Cw pretende tomar en cuenta los procesos normales de colado que pueden ocasionar acumulación del concreto fresco (montículos) sobre una solo hoja de deck. El factor de 1.4 para C retoma la práctica común del método ASD de incrementar en un 33% las cargas concentradas.

49 3.3.3 Resistencia Nominal, Rn La resistencia nominal es la capacidad de un elemento o conexión estructural para resistir los efectos de carga (fuerzas axiales, momentos, cortantes, etc.). Se determina mediante el uso de criterios establecidos de la teoría estructural y/o de resultados experimentales a partir de las propiedades del material y de la sección, tomando en cuenta los efectos del proceso de manufactura y fabricación. Las Especificaciones del AISI proporcionan las ecuaciones necesarias para el cálculo de la resistencia nominal de elementos sujetos a tensión, flexión, compresión, de conexiones y juntas, así como de puntales de muro. Como se mencionó anteriormente, el ASD y el LRFD comparten las mismas ecuaciones para calcular la resistencia nominal. 3.3.4 Factor de Resistencia, φ El factor de resistencia es un factor de reducción que pretende tomar en cuenta el carácter aleatorio del valor de la resistencia que produce desviaciones con respecto al valor nominal. El factor φ considera en forma integral la variabilidad de las propiedades materiales (esfuerzo de fluencia, esfuerzo último, módulo de elasticidad, etc.), de la geometría de la sección (peralte, ancho, momento de inercia, área transversal, etc.) y del procedimiento de diseño (suposiciones, aproximaciones de fórmulas teóricas, etc.). Para establecer el valor de φ, el AISI considera un modelo probabilístico, la calibración de los criterios de LRFD a los de ASD y el ajuste de los criterios de LRFD por criterios de juicio estructural y experiencias pasadas, auxiliados por un estudio comparativo de los métodos de ASD y LRFD. El objetivo en éste caso, es el de garantizar que los diseños basados en LRFD no sean radicalmente diferentes a los obtenidos por ASD. El procedimiento general usado para establecer los valores de φ en perfiles laminados en frío es el siguiente: 1. Analizar la información disponible y los resultados de laboratorio para establecer valores estadísticos (medias y coeficientes de variación) de la resistencia y los efectos de carga. 2. Asumir los valores de las medias y coeficientes de variación para las variables donde no existe información estadística. 3. Calcular el índice de confiabilidad β implícito en el método ASD. 4. Seleccionar el valor base del índice de confiabilidad βo. 5. Determinar los valores de φ de acuerdo con el valor βo para los diferentes tipos de miembros estructurales, tomando en cuenta criterios de estados límites. Por ejemplo, se puede demostrar que el valor de φ para la combinación de carga 1.2D + 1.6L con un valor asumido de D/L = 1/5 es:

φ=

1521 . M m Fm Pm 2 2 exp βo VR + VQ   

(3.5)

El AISI 1996 en los Capítulos C al E proporciona los valores de diseño de φ, según la condición de diseño considerada.

CAPITULO 4

COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE PARED DELGADA

4.1 COMENTARIOS GENERALES En este capítulo se presentará la fundamentación teórica y experimental en la que se basa el entendimiento actual del comportamiento estructural de los perfiles laminados en frío. La presentación se centrará en el comportamiento de los elementos del perfil sujetos a compresión, particularmente en el fenómeno de inestabilidad debido a pandeo. Además, se desarrollará el concepto de ancho efectivo de diseño y se presentarán los procedimientos de cálculo correspondientes considerados en el AISI 1996. Los elementos estructurales individuales de los perfiles laminados en frío son generalmente de pared delgada y con una relación ancho espesor grande. Estos elementos pueden pandearse localmente a un nivel de esfuerzos menor al esfuerzo de fluencia del acero cuando son sometidos a esfuerzos de compresión debidos a flexión, cortante, aplastamiento o compresión axial. Por consiguiente, el pandeo local de elementos individuales es uno de los modos de falla principales que deben considerarse para establecer la resistencia nominal de los perfiles de acero laminados en frío. La Fig. 4.1 ilustra patrones de pandeo local de algunas vigas y columnas.

(1)

Fig. 4.1 Pandeo local de elementos a compresión . (a) Vigas; (b) Columnas

Se ha demostrado plenamente que las placas bidimensionales sujetas a compresión y bajo diferentes condiciones de apoyo no fallan como los elementos unidimensionales (columnas) cuando alcanzan el esfuerzo crítico de pandeo. La placa continua resistiendo carga adicional mediante la redistribución interna de esfuerzos después de ocurrir el pandeo local. Esta resistencia, conocida como resistencia de postpandeo de placas, puede ser significativamente mayor que la resistencia determinada con respecto a la carga crítica de pandeo local, tal como se mencionó en el Art. 1.6.1. Por consiguiente, dicha resistencia también deberá ser tomada en cuenta al establecer la resistencia nominal del perfil.

51 4.2 DEFINICION DE TERMINOS GENERALES Antes de proceder con la discusión del comportamiento de perfiles de pared delgada, es conveniente establecer la terminología usada generalmente en el diseño de dichos perfiles. A continuación se presentan las definiciones de los términos más comunes. Cabe aclarar que algunos términos ya fueron definidos en capítulos anteriores, pero debido a su importancia y/o uso predominante en este Capítulo, se repiten aquí en versión resumida: 1. Elementos a Compresión No Atiesados. Un elemento a compresión no atiesado es un elemento plano con una sola orilla atiesada paralela a la dirección del esfuerzo. Como se muestra en la Fig. 4.2, el elemento vertical de un perfil angular y el patín de compresión de un perfil C y de un perfil sombrero invertido son elementos a compresión no atiesados. Además, la porción de la cubreplaca del perfil armado mostrado en la Fig. 4.2 que se proyecta más allá de la línea de conectores es considerada un elemento a compresión no atiesado, si la separación entre conectores es lo suficientemente pequeña.

Fig. 4.2 Perfiles con elementos a compresión no atiesados

(1)

2. Elementos a Compresión Atiesados. Un elemento a compresión atiesado o parcialmente atiesado es un elemento plano donde ambas orillas paralelas a la dirección del esfuerzo están atiesadas por un alma, patín, labio atiesador, atiesador intermedio o algún otro medio equivalente (ver la Fig. 4.3). Para el perfil armado ilustrado en la Fig. 4.3, la porción del patín de compresión entre las dos líneas de sujetadores puede ser considerada un elemento a compresión atiesado si la separación entre sujetadores es lo suficientemente pequeña.

Fig. 4.3 Perfiles con elementos a compresión atiesados o parcialmente atiesados

(1)

3. Elementos con Múltiples Atiesadores. Un elemento con múltiples atiesadores es un elemento con atiesadores paralelos a la dirección del esfuerzo colocados entre almas, o entre un alma y

52

una orilla atiesada (ver Fig. 4.4). La porción del elemento entre atiesadores adyacentes o entre el alma y una orilla atiesada se le llama “subelemento”. Ver el Art. 4.5.3.3 para otras limitantes.

Fig. 4.4 Perfiles con elementos a compresión con atiesadores múltiples

(1)

4. Ancho Plano w. El ancho plano w usado en el diseño de perfiles laminados en frío es el ancho de la porción recta del elemento, excluyendo la porción doblada de la sección. Para patines no atiesados, el ancho plano w es la dimensión de la proyección plana del patín medida desde el final del doblez adyacente al alma hasta el extremo libre del patín. Para una sección armada, el ancho w del elemento no atiesado es la porción entre la línea de sujetadores y el extremo libre. Ambos casos se ilustran en la Fig. 4.5(a). El ancho w de un elemento atiesado es la dimensión entre orillas atiesadas libre de dobleces. Para la sección armada, el ancho w del patín de compresión atiesado es la porción entre la línea de sujetadores. Estos casos se ilustran en la Fig. 4.5(b).

(1)

Fig. 4.5 Definición de ancho plano . (a) Elementos a compresión no atiesados; (b) Elementos a compresión atiesados.

5. Relación Ancho Espesor w/t. La relación w/t es la relación de ancho w medido en el plano del elemento con respecto a su espesor t. A continuación se presentan los valores máximos de w/t para patines y h/t para almas dados la Sección B1.1 del AISI 1996 (se incorporan los cambios en la redacción dados en el Suplemento 1999): a) Valores Máximos de w/t para Patines. Los valores máximos de w/t, despreciando atiesadores intermedios y tomando como t al espesor real del elemento, deberán ser como sigue: 1. Elementos atiesados a compresión teniendo una orilla longitudinal conectada a un alma o patín y la otra orilla atiesada por: Labio Atiesador

(w/t)max = 60

Cualquier otro tipo de atiesador i) Cuando Is < Ia ii) Cuando Is ≥ Ia

(w/t)max = 60 (w/t)max = 90

2. Elementos atiesados a compresión con ambas orillas longitudinales conectadas a otros elementos atiesados 3. Elementos no atiesados a compresión (Ver Art. 4.3.3 para la definición de Is e Ia)

(w/t)max = 500 (w/t)max = 60

53 Nota: Los elementos a compresión no atiesados con w/t > 30 y los elementos a compresión atiesados con w/t > 250 son susceptibles a desarrollar deformaciones excesivas bajo cargas de diseño, sin que ello afecte la capacidad del perfil a desarrollar la resistencia requerida. Los elementos atiesados a compresión con w/t > 500 pueden ser usados con resistencia adecuada para resistir las cargas requeridas; sin embargo, las deformaciones significativas resultantes de dichos elementos invalidarán usualmente las ecuaciones de diseño de la Especificación del AISI. Si el rizado del patín (deformación del patín en dirección al eje neutro) es importante, el ancho w debe cumplir con la Sección B1.1(b) del AISI 1996 [ver Art. 5.2.5.2, Ec. (5.107)]. b) Valores Máximos de h/t para Almas. La relación h/t de almas de miembros a flexión deberá cumplir con las siguientes condicionantes: 1. Para almas no reforzadas

(h/t)max = 200

2. Para almas con atiesadores transversales que satisfacen los requisitos de la Sección B6.1 (ver Art. 5.3.2): (a) Cuando se usan solamente atiesadores de carga,

(h/t)max = 260

(b) Cuando se usan atiesadores de carga e intermedios,

(h/t)max = 300

Donde h es la porción recta del alma medida en el plano del alma y t el espesor del alma. Cuando el alma está compuesta de dos o más placas, la relación h/t deberá ser calculada para cada placa. 6. Ancho Efectivo de Diseño b. El ancho efectivo de diseño es el ancho reducido de un elemento usado para calcular las propiedades de flexión y compresión de perfiles estructurales cuando la relación w/t excede a cierto límite. Las Figs. 4.6 y 4.7 ilustran los anchos efectivos de diseño de perfiles a flexión y compresión con elementos atiesados y no atiesados, respectivamente. Las partes sombreadas corresponden a las porciones “no efectivas” de los elementos del perfil. 7. Espesor t. El espesor t usado en el cálculo de las propiedades del perfil y en el diseño de perfiles laminados en frío deberá ser el espesor del acero, sin considerar recubrimientos tales como pinturas o galvanizados. El AISI 1996 Sección A3.4 establece que el espesor mínimo sin recubrimiento de perfiles suministrados en obra no deberá ser menor al 95% del espesor usado en el diseño de los mismos, excepto en los dobleces, como esquinas, donde el espesor puede ser menor debido al efecto del laminado en frío. La reducción en espesor en éstas regiones suele ser del orden de 1 al 3% y puede ser ignorado en los cálculos de propiedades del perfil. 8. Pandeo Latero-Torsional. El pandeo latero-torsional es un modo de pandeo donde elementos a compresión presentan deformación lateral y torcimiento simultáneo. Este modo de pandeo es crítico sobre todo en perfiles donde el centro de cortante no coincide con el centroide. 9. Sección Simétricas con Respecto a un Punto. Perfiles cuya geometría es simétrica con respecto a un punto que normalmente coincide con el centroide de la sección. Un perfil Z con patines de idéntica dimensión es un ejemplo de dicha sección.

54

Fig. 4.6 Anchos efectivos de perfiles con elementos a compresión atiesados

(4)

55

Fig. 4.7 Anchos efectivos de perfiles con elementos a compresión no atiesados

(4)

10. Resistencia de Diseño. Es la resistencia factorizada, φRn o resistencia permisible, Rn /Ω (carga axial, momento, cortante, según el caso) provista para un perfil estructural según el Método LRFD o ASD, respectivamente (ver Capítulo 3). 11. Cargas Nominales. Magnitudes de carga sin factorizar dadas por los códigos aplicables. 12. Resistencia Nominal. La capacidad de una estructura o componente para resistir los efectos de las cargas, determinada a partir de cálculos basados en las propiedades materiales y geométricas y en ecuaciones derivadas a partir de teorías aceptadas de la mecánica estructural o mediante la generación de pruebas de campo o de laboratorio con modelos a escala. En general, las ecuaciones de diseño para calcular la resistencia nominal son independientes del método de diseño considerado (ASD o LRFD). El AISI 1996 provee dichas ecuaciones y los factores de seguridad Ω o de resistencia φ correspondientes a cada método.

56 13. Resistencia Requerida. Es el efecto de carga (carga axial, momento, cortante, según el caso) actuando en un componente estructural, determinado a partir de un análisis estructural basado en cargas factorizadas o nominales, según se trate del método LRFD o ASD, respectivamente, usando las combinaciones de carga más desfavorables que tengan una probabilidad no despreciable de ocurrir durante la vida útil del componente estructural. 14. Esfuerzo de Fluencia Mínimo Especificado. Es el valor mínimo del esfuerzo de fluencia, el cual debe ser igualado o excedido en una prueba de carga como requisito para aceptar un lote de acero estructural a ser usado en la fabricación de perfiles laminados en frío diseñados para dicho esfuerzo de fluencia. 15. Esfuerzo de Fluencia. El esfuerzo de fluencia, Fy o Fsy, tal como se usa en el AISI 1996. 16. Esfuerzo. La definición de esfuerzo aplicable para el AISI 1996 es fuerza por unidad de área. 17. Acero Virgen. Se refiere a la condición del acero recibido de los hornos o bodegas por las laminadoras, previo al laminado en frío. 18. Propiedades del Acero Virgen. Propiedades mecánicas del acero virgen, tales como el esfuerzo de fluencia, resistencia última, módulo de elasticidad, ductilidad, etc. 19. Pruebas de Confirmación. Tipo de prueba de carga realizada sobre un componente estructural, ensamble o conexión, diseñado conforme al AISI 1996, cuyo objetivo es comparar la capacidad real con la calculada. 20. Prueba de Desempeño. Tipo de prueba de carga realizada sobre un componente estructural, ensamble o conexión, cuya capacidad no puede ser determinada por las ecuaciones de diseño del AISI 1996. La Sección F del AISI 1996 contiene las especificaciones para realizar dichas pruebas. 4.3 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS SUJETOS A COMPRESION A continuación se presenta la fundamentación teórica y experimental requerida para comprender el comportamiento estructural de elementos de pared delgada sujetos a compresión. También se presentará el concepto de ancho efectivo de diseño y el efecto de la presencia de atiesadores sobre dicho ancho. 4.3.1 Elementos a Compresión Atiesados. 4.3.1.1 Elementos Atiesados Sujetos a Compresión Uniforme. A continuación se discuten los diferentes tipos de resistencias que deben considerarse en el diseño de elementos atiesados sujetos a compresión uniforme: Resistencia por Fluencia. Como se mencionó con anterioridad, los elementos de los perfiles laminados en frío son susceptibles a inestabilidad por pandeo debido a la gran esbeltez que los caracteriza. Sin embargo, si la esbeltez es pequeña, es decir, si la relación w/t del elemento es relativamente pequeña, el elemento podrá alcanzar la fluencia antes de pandearse. Por consiguiente, la resistencia por fluencia solo gobernará el diseño de elementos con relación w/t pequeña. Resistencia por Pandeo Elástico. Los elementos a compresión con relaciones w/t grandes se pandean antes de alcanzar su resistencia por fluencia. Por ejemplo, una placa cuadrada sujeta a esfuerzos de compresión en una dirección se pandeará en curvatura simple en ambas direcciones, como lo ilustra la Fig. 4.9(a). Sin embargo, los elementos individuales de un perfil estructural

57

normalmente no son cuadrados sino que tienen la particularidad de que su longitud es mucho más grande que su ancho. Esto genera modos de pandeo en forma de ondas como lo ilustra la Fig. 4.8.

Fig. 4.8 Pandeo local de un elemento a compresión atiesado (1) de un perfil sombrero

El esfuerzo crítico de pandeo de una placa como la ilustrada en la Fig. 4.9(b) puede ser determinado mediante la solución de la ecuación diferencial de Bryan. Esta ecuación basada en la teoría de deformaciones pequeñas, ya que la deformación de pandeo es del orden de magnitud del espesor de la placa, está dada por la siguiente expresión:

∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4 ω f x t ∂ 2ω + 2 + + =0 D ∂ω 2 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 Donde: D =

Et 3

(

12 1 − µ 2

)

(4.1)

(4.2) 6

2

E = módulo de elasticidad del acero = 2.041 x 10 kg/cm t = espesor de la placa. µ = relación de Poisson = 0.30 para el acero en el rango elástico. ω = deflexión de la placa perpendicular a la superficie. fx = esfuerzo de compresión en la dirección x.

(1)

Fig. 4.9 Placas sujetas a esfuerzos compresión uniforme . (a) Placa cuadrada; (b) Placa rectangular

Se ha encontrado que cada par ondas de pandeo puede ser modelada satisfactoriamente por la función del seno. Una onda convexa seguida por una onda cóncava representa un par, por lo que cada onda individual se puede representar entonces con media curva de la función del seno. Si m y n son el número de medias curvas de la función del seno en las direcciones de x y y, respectivamente, la configuración deformada de la placa rectangular ilustrada en la Fig. 4.9(b) puede ser representada por la siguiente expresión: ∞

∞

∑∑A

mn

m =1 n =1

sen

mπx nπy sen a w

Donde Amn representa la amplitud máxima de la onda de pandeo.

(4.3)

58

La ecuación anterior puede satisfacerse aplicando condiciones de frontera que establecen que 2 2 2 2 las deformaciones y curvaturas son cero en las orillas. Esto es ω = 0, ∂ ω/δx = 0 y ∂ ω/δy = 0, para x = (0, a) y y = (0, w), donde a y w son la longitud y ancho de la placa, respectivamente. Como consecuencia de que las curvaturas son cero en las orillas, la Ec. (4.3) también satisface la condición de que los momentos en las orillas sean cero, Mx = 0 y My = 0, ya que

 ∂ 2ω ∂ 2ω  M x = − D 2 + µ  ∂y 2   ∂x

(4.4)

 ∂ 2ω ∂ 2ω  M y = −D  2 + µ 2  ∂x   ∂y

(4.5)

Resolviendo la Ec. (4.1) mediante el uso de la Ec. (4.3) se puede obtener la siguiente expresión:

  m 2 n 2  2 f t m 2π 2   sen mπx sen nπy = 0 Amn π 4  2 + 2  − x 2 D a  a w  a w  m =1 n =1   ∞

∞

∑∑

(4.6)

Dos soluciones que satisfacen a la expresión anterior son Amn= 0 y que la expresión entre corchetes sea cero. La primera solución, Amn= 0, establece que la amplitud de la onda de pandeo es cero, es decir, el pandeo no ocurre, por lo que representa una solución trivial para éste caso. La segunda solución establece: 2

4

f t m 2π 2 m2 n2  π  2 + 2 − x =0 D a2 a w 

(4.7)

Despejando para fx se obtiene la siguiente expresión para el esfuerzo crítico de pandeo:

fcr

Dπ 2 = fx = tw 2

  w n2  a    m   +   a  m  w

2

(4.8)

El mínimo valor para n en la Ec (4.8) es n = 1 y representa la condición de la ocurrencia de solo una media curva de la función seno en la dirección y. Por lo tanto,

fcr =

kDπ 2

(4.9)

tw 2

donde

 w 1  a  k = m   +      a  m w

2

(4.10)

Substituyendo el valor de D dado por la Ec. (4.2) en la Ec. (4.9) se obtiene la expresión general para el esfuerzo crítico de pandeo de una placa rectangular sujeta a compresión en una dirección.

kπ 2 E f cr = 2 12 1 − µ 2 (w / t )

(

)

(4.11)

59 El valor de k de la Ec. (4.11) se ilustra en la Fig. 4.10 para diferentes relaciones de a/w. Se observa en la figura que siempre que el valor de a/w corresponde a un número entero, el valor de k es cuatro. Este valor de k se aplica también para valores relativamente grandes de la relación a/w.

Fig. 4.10 Coeficientes de pandeo para placas rectangulares

(1)

De la Ec. (4.11) y de la Fig. 4.10 se observa que la transición de la media curva de la función seno m a la m+1 ocurre cuando ambas curvas tienen el mismo valor de la ordenada, esto es,

1 a w w 1  a  m   +   = ( m + 1)  +    a  m + 1 w   a  m w Despejando para a/w se obtiene:

a = m ( m + 1) w

(4.12)

Para placas de gran longitud el número de medias curvas de seno en la dirección x es grande, o sea, el valor de m es grande. Por consiguiente, m ≈ m + 1. Substituyendo ésta aproximación en la Ec. (4.12) se obtiene:

a ≈ m2 = m w

(4.13)

a ≈w m

(4.14)

o

λ=

Donde λ es la longitud de la media curva de la función seno. La Ec. (4.14) indica que el número de medias curvas de la función seno incrementa con el incremento del valor de a/w. Para placas de gran longitud, la longitud de la media curva de la función seno es aproximadamente igual al ancho de la placa, por consiguiente, se forman ondulaciones cuadradas (ondas de igual longitud en dos direcciones), como se ilustra en la Fig. 4.9(b).

60 En diseño estructural, las placas de gran longitud con una relación a/w relativamente grande son de particular interés, ya que éstas mismas condiciones ocurren a menudo en miembros estructurales. Como se muestra en la Fig. 4.10, siempre que la relación de aspecto a/w exceda aproximadamente a 4, un valor de k = 4 puede ser usado. Por consiguiente, el esfuerzo crítico de pandeo de una placa rectangular o cuadrada con apoyos simples en las cuatro orillas y sujeta a compresión en una dirección estará dado por:

π 2E f cr = 2 3 1 − µ 2 (w / t )

(

)

(4.15)

Los valores de k para placas rectangulares de gran longitud sujetas a diferentes tipos de esfuerzos y sujeta a diferentes condiciones de apoyo se proporcionan en la Tabla 4.1.

En la Tabla 4.1, así como en el resto de las figuras de éste capítulo, “S.S.” significa simple apoyo, “F” significa fijo o empotrado y “L” significa libre, es decir, sin apoyo. Resistencia de Postpandeo y Ancho Efectivo de Diseño. Como se mencionó con anterioridad, los elementos atiesados sujetos a compresión no fallan al alcanzar el esfuerzo crítico de pandeo. El

61

elemento puede seguir resistiendo carga adicional mediante una redistribución interna de esfuerzos. Este fenómeno es conocido como la resistencia a postpandeo y es mayor para elementos con valores grandes de w/t. El mecanismo de la acción de postpandeo puede ser visualizado en el modelo de placa cuadrada mostrada en la Fig. 4.11. El modelo representa la porción abcd del patín de compresión del perfil sombrero ilustrado en la Fig. 4.8. Al iniciar el pandeo los elementos de la parrilla horizontal del modelo actuarán como tensores contrarrestando las deformaciones de los elementos de la parrilla vertical.

Fig. 4.11 Modelo de placa cuadrada para ilustrar la (4) acción de postpandeo

En la placa la distribución de esfuerzos es uniforme antes del pandeo, como se ilustra en la Fig. 4.12(a). Posterior al pandeo, se presenta una redistribución interna de esfuerzos cuando una porción de la carga de prepandeo actuando en la franja central es transferida a las orillas de la placa. Como se mencionó en el Art. 2.5, la transferencia de las cargas a las orillas se debe a la mayor resistencia por fluencia que exhiben éstas producto de los efectos del laminado en frío. Como resultado, se genera una distribución no uniforme de esfuerzos como lo ilustra la Fig. 4.12(b). La redistribución de esfuerzos continua hasta que los esfuerzos en las orillas alcanzan la fluencia. Solo hasta entonces se inicia la falla de la placa.

Fig. 4.12 Etapas consecutivas de distribución de esfuerzos en elementos a compresión atiesados

(1)

62

El comportamiento de postpandeo de la placa puede ser analizado mediante el uso de la ecuación diferencial de von Karman, basada en la teoría de grandes deformaciones.

∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4ω t  ∂ 2 F ∂ 2ω ∂ 2 F ∂ 2ω ∂ 2 F ∂ 2ω  + 2 + = − 2 +   D  ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2  ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

(4.16)

Donde F es una función de esfuerzo definiendo el esfuerzo en la fibra media de la placa, y

fx =

∂ 2F ∂ 2F f = ; y ∂y 2 ∂x 2

(4.17)

La solución de la ecuación diferencial de von Karman tiene muy poca aplicación práctica en diseño debido a su complejidad. Por ésta razón, von Karman introdujo el concepto de “ancho efectivo”. En este concepto, en lugar de considerar la distribución no uniforme de esfuerzos sobre la totalidad del ancho de placa w, se asume que la totalidad de la carga la resiste un ancho efectivo ficticio b, sujeto a una distribución uniforme de esfuerzos con una magnitud igual al esfuerzo en las orillas fmax, como lo ilustra la Fig. 4.13. El ancho b se selecciona de tal manera que el área bajo la curva de la distribución no uniforme real sea igual a la suma de las dos partes del área equivalente rectangular de ancho total b y con un valor de esfuerzo igual al esfuerzo de la orilla fmax, esto es, w

∫ fdx = bf 0

(4.18)

max

Fig. 4.13 Ancho efectivo de un elemento a compresión atiesado

(1)

También se puede considerar que el ancho efectivo b representa la magnitud del ancho de la placa que se pandea cuando el esfuerzo de compresión alcanza el punto de fluencia del acero. Por lo tanto, para una placa de gran longitud, el valor teórico de b puede ser determinado de la siguiente manera:

fcr = Fy =

π 2E

(

)

3 1 − µ 2 (b t )

2

(4.19)

o

E E = 19 . t Fy Fy

b = Ct

(4.20)

donde

C=

(

π

3 1− µ 2

)

= 19 . y µ = 0.30

(4.21)

La Ec.(4.20) es la ecuación de von Karman derivada para el diseño de elementos atiesados.

63 Cuando w > b,

fcr =

π 2E

(

)

3 1 − µ 2 (w t )

2

(4.22)

o

w = Ct

E fcr

(4.23)

De las Ecs. (4.20) y (4.23), la siguiente relación de b/w puede ser obtenida:

b = w

fcr Fy

(4.24)

Basado en una gran cantidad de investigaciones sobre el comportamiento de perfiles laminados en frío, Winter dedujo que la Ec. (4.20) es igualmente aplicable a elementos sujetos a esfuerzos menores que Fy. Por consiguiente, la Ec. (4.20) puede ser también expresada de la siguiente manera:

b = Ct

E f max

(4.25)

donde fmax es el esfuerzo máximo en la orilla de la placa, el cual puede ser menor que Fy. Además, como resultado de varias pruebas se dedujo que el término C usado en la Ec. (4.25) depende principalmente del siguiente parámetro adimensional:

E t   f max  w 

(4.26)

Se ha encontrado que existe una relación lineal entre éste parámetro y el término C, tal como se ilustra en la Fig. 4.14. Dicha relación puede ser expresada mediante la siguiente ecuación propuesta por Winter basado en sus investigaciones:

 t E  C = 19 . 1 − 0.475    w  f max  

(4.27)

Cabe mencionar que la línea recta de la Fig. 4.14 inicia en el valor de C = 1.9 cuando la Ec. (4.26) es igual a cero, la cual corresponde al caso de una placa de gran longitud con esfuerzos relativamente grandes. Para éste caso, los resultados experimentales concuerdan significativamente con la fórmula original de von Karman [Ec. (4.20)]. Considerando lo anterior, Winter desarrolló la siguiente expresión para calcular el ancho efectivo b para placas con apoyos simples en los bordes longitudinales:

b = 19 . t

E  t E  1 − 0.475    w  f max  f max 

(4.28)

64

Fig. 4.14 Determinación experimental del ancho efectivo

(1)

Cabe mencionar que la Ec.(4.28) establece que el valor del ancho efectivo b depende no solo del esfuerzo de orilla fmax, sino también de la relación w/t. La Ec. (4.28) puede ser expresada en función de la relación fcr / fmax obteniéndose

b = w

fcr  f  1 − 0.25 cr f max  f max

  

(4.29)

De la expresión anterior se puede demostrar que una placa sujeta a compresión es 100% efectiva, o sea b = w, cuando la relación w/t es menor que

E w   = 0.95  t  lim f max

(4.30)

En resumen, se puede considerar que las Ecs. (4.28) y (4.29) son generalizaciones de las Ecs. (4.20) y (4.24) en dos aspectos: (1) mediante la introducción de fmax en lugar de Fy, las ecuaciones pueden ser aplicadas a elementos sujetos tanto a cargas de servicio como a cargas de falla, y (2) mediante la introducción de factores de corrección empíricos, se toman en cuenta los efectos acumulados de varias imperfecciones, incluyendo desviaciones iniciales de planicidad. Durante el período de 1946 a 1968 las especificaciones de diseño del AISI para la determinación del ancho efectivo estuvieron basadas en la Ec. (4.28). Como resultado de una gran cantidad de investigaciones adicionales y la experiencia acumulada se llegó a la conclusión de que con la siguiente expresión se obtienen valores más realistas para b:

b = 19 . t

E  t E  1 − 0.415    w  f max  f max 

(4.31)

La Fig. 4.15 ilustra la correlación entre la Ec. (4.31) y los resultados de las pruebas conducidas por Sechler y Winter. Cabe mencionar que las pruebas de Sechler fueron realizadas en placas aisladas, no en perfiles estructurales, por lo que las imperfecciones en las orillas son las causantes de muchos de los valores bajos de las pruebas. La Ec. (4.31) puede expresarse en función de la relación fcr / fmax obteniéndose:

b = w

fcr  f  1 − 0.22 cr f max  f max

  

(4.32)

65

Fig. 4.15 Correlación entre resultados experimentales de elementos a compresión atiesados y los criterios de (1) diseño del AISI (U = perfil U e I = perfil I) .

Por lo tanto, el ancho efectivo b puede ser determinado de la siguiente manera:

b = ρw

(4.33)

donde ρ es un factor de reducción dado por:

ρ = (1 − 0.22 / λ ) / λ ≤ 1.0

(4.34)

y λ es el factor de esbeltez dado por:

λ=

f max = f cr

(

)

 12 1 − µ 2 (w / t )2 f max  kπ 2 E 

   

Substituyendo µ = 0.30 en la expresión anterior y reorganizando términos se obtiene:

 1052   w  f max . λ=    k  t  E

(4.35)

La Fig. 4.16 ilustra la correlación entre ρ y λ. Se puede observar que cuando λ ≤ 0.673, ρ = 1.0. Es decir, el elemento será 100% efectivo (b = w) bajo el esfuerzo a compresión fmax considerado. En base a las Ecs. (4.33) a la (4.35), el AISI 1996 incluye en la Sección B2.1 el procedimiento de cálculo del ancho efectivo de diseño b, para elemento atiesados sujetos a compresión uniforme. A continuación se presenta dicha sección: B2.1 Elementos Atiesados Sujetos a Compresión Uniforme

a. Determinación de la Capacidad de Carga. El ancho efectivo de diseño b se determinará en base a las siguientes expresiones: b = w cuando λ ≤ 0.673 b = ρw cuando λ > 0.673

66

Fig. 4.16 Correlación entre el factor de reducción ρ y el factor de esbeltez λ

(1)

donde: w = ancho plano del elemento como lo ilustra la Fig. 4.17. ρ = factor de reducción dado por:

ρ = (1 − 0.22 / λ ) / λ ≤ 1.0

(4.36)

λ = factor de esbeltez dado por:

 1052  w  f . λ=    k  t  E

(4.37)

donde: t = espesor del elemento sujeto a compresión uniforme. f = esfuerzo en el acero que se obtiene de la siguiente manera: Para Elementos Sujetos a Flexión (ver Capítulo 5): (1) Si el Procedimiento I de la Sección C3.1.1 (“Inicio de Fluencia”, ver Art. 5.2.2.1) es usado, entonces: •

Si la fluencia inicial del elemento es en compresión, considerar f = Fy

•

Si la fluencia inicial del elemento es en tensión, el esfuerzo a compresión del elemento, f, deberá ser calculado en base a la sección efectiva bajo My (momento de flexión que cause la fluencia inicial).

(2) Si el Procedimiento II de la Sección C3.1.1 es usado (ver Art. 5.2.2.2), f es el esfuerzo en el elemento considerado bajo Mn (momento nominal) determinado en base a la sección efectiva. (3) Si la Sección C3.1.1 no es usada, f = Mc / Sf , tal como se describe en dicha Sección al determinar Sc.

67 Para Elementos Sujetos a Compresión (ver Capítulo 6), f = Fn, tal como se define en la Sección C4 o D4.1, según el caso aplicable. E = módulo de elasticidad. k = coeficiente de pandeo de la placa. = 4 para elementos atiesados apoyados en almas en los bordes longitudinales. Los valores de k para otros tipos de elementos se dan mas adelante.

(4)

Fig. 4.17 Elementos a compresión atiesados . (a) Dimensiones reales; (b) Dimensiones efectivas

b. Determinación de Deformaciones El ancho efectivo, bd, usado para el cálculo de deformaciones deberá ser determinado mediante las siguientes expresiones: bd = w cuando λ ≤ 0.673 bd = ρw cuando λ > 0.673 donde: w = ancho plano ρ = factor de reducción dado por cualquiera de los siguientes procedimientos: (1) Procedimiento I Una estimación conservadora del ancho efectivo puede ser obtenida del las Ecs. (4.36) y (4.37), excepto que f es substituido por fd, donde fd es el esfuerzo de compresión calculado en el elemento bajo consideración. (2) Procedimiento II Para elementos atiesados apoyados en almas en ambos bordes longitudinales, una estimación más precisa del ancho efectivo puede ser obtenida, calculando ρ de la siguiente manera: Cuando λ ≤ 0.673:

ρ =1

(4.38)

Cuando 0.673 < λ < λc:

ρ = (1.358 − 0.461 / λ ) / λ

(4.39)

Cuando λ ≥ λc:

 Fy 0.22  1  ρ =  0.41 + 0.59 −  λ  λ fd 

(4.40)

donde:

λc = 0.256 + 0.328

w t

Fy E

(4.41)

y λ está dada por la Ec. (4.37), excepto que f es substituido por fd.

68 Ejemplo 4.1 Considere la placa delgada mostrada en la Fig. 4.18. Asumiendo que la placa está apoyada en sus dos bordes longitudinales, determinar los siguientes conceptos: 1. El esfuerzo crítico de pandeo. 2. La carga crítica de pandeo. 3. La carga última

(1)

Fig. 4.18. Ejemplo 4.1 (cotas en mm)

Dados: t = 1.524 mm. 6 2 E = 2.076 x 10 kg/cm 2 Fy = 3518 kg/cm µ = 0.30 1. Cálculo del Esfuerzo Crítico de Pandeo [Ec. (4.11)]: Relación de aspecto de la placa, a/w = 609.6/152.4 = 4, por lo que se puede usar k = 4.0. 2

6

2

2

2

Ec. (4.11): fcr = [(4.0)π (2.073 x 10 )]/{12[1 – (0.3) ](152.4/1.524) } = 749.44 kg/cm 2. Cálculo de la Carga Crítica. Pcr = Afcr = (wt)fcr = [15.24(0.1524)]749.44 = 1740.63 kg. 3. Cálculo de la Carga Ultima.

Para determinar la carga última debe considerarse la resistencia al postpandeo de la placa, lo cual implica el cálculo del ancho efectivo de diseño b. Considerando a la placa como un elemento atiesado sujeto a compresión uniforme, el procedimiento dado en la Sección B2.1 [Ecs. (4.36) y (4.37)] es aplicable. 2

Asuma que aplica el Procedimiento I “Inicio de Fluencia”; por lo tanto, f = Fy = 3518 kg/cm 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): λ = 1.052/(4) [(152.4/1.524)(3518/2.073x10 ) ] = 2.166 Como λ > 0.673, entonces el ancho w no será totalmente efectivo y deberá calcularse el ancho efectivo b = ρw. Se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/2.166)/2.166 = 0.415 Por lo tanto, el ancho efectivo será: b = ρw = 0.415(152.4) = 63.246 mm = 6.32 cm. La ecuación para la carga última será entonces: Pu = (bt)Fy = [6.32(0.1524)]3518 = 3389.16 kg

69

Se observa entonces que la carga última es casi el doble en magnitud que la carga crítica de pandeo, por lo que la resistencia al postpandeo es considerable en este caso y su desprecio conllevaría a un diseño muy conservador. Ejemplo 4.2 Calcule el ancho efectivo de diseño, b, del patín de compresión del perfil sombrero 2 mostrado en la Fig. 4.19. Considere Fy = 3514 kg/cm . 1. Para el cálculo de b a usarse en la determinación de la capacidad de carga, asuma que el 2 esfuerzo a compresión en el patín es f = 1760 kg/cm . 2. Para el cálculo de b a usarse en la determinación de las deformaciones, asuma que el esfuerzo 2 a compresión bajo cargas de servicio es f = 1060 kg/cm .

(1)

Fig. 4.19. Ejemplo 4.2 (cotas en mm)

El patín de compresión del perfil sombrero es un elemento atiesado sujeto a compresión uniforme, por lo que la Sección B2.1 es aplicable. 1. Cálculo de b para Determinar la Capacidad de Carga Los perfiles estructurales normalmente tienen relaciones de aspecto a/w mayores que 4, por lo que k = 4.0. Ancho plano, w = 381 – 2(R + t) = 381 – 2(4.763 + 2.667) = 366.14 mm. Relación w/t = 366.14/2.667 = 137.285 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): λ = 1.052/(4) [(137.285)(1760/2.073x10 ) ] = 2.102 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/2.102)/2.102 = 0.426 Por lo tanto, el ancho efectivo será: b = ρw = 0.426(366.14) = 155.96 mm = 15.60 cm 2. Cálculo de b para Determinar la Deformación 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): λ = 1.052/(4) [(366.14/2.667)(1060/2.073x10 ) ] = 1.633 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.633)/1.633 = 0.530 Por lo tanto, el ancho efectivo será: b = ρw = 0.530(366.14) = 194.01 mm = 19.40 cm Como el patín de compresión de la sección sombrero es un elemento a compresión apoyados en almas en ambas orillas, aplica Procedimiento II, Sección B2.1: 6 1/2

Ec. (4.41): λc = 0.256 + 0.328(137.285)(1060/2.073x10 ) = 1.274 Como λ = 1.633, entonces λ ≥ λc. Por lo tanto usar Ec. (4.40), 1/2 Ec. (4.40): ρ = [0.41 + 0.59(3514/1060) – 0.22/1.633)/1.633 = 0.826 Por lo tanto, el ancho efectivo será: b = ρw = 0.826(366.14) = 302.432 mm = 30.24 cm El valor de b calculado por el Procedimiento II es 56% mayor que el valor calculado en base al Procedimiento I. Por consiguiente, el Procedimiento I dará resultados muy conservadores para este caso.

70 Ejemplo 4.3 Calcular el ancho efectivo de diseño, b, para el patín de compresión de la sección cajón mostrada en la Fig. 4.20. Asuma que el perfil será usado como viga flexionada con respecto a su eje x. Asuma también que las almas del perfil son 100% efectivas y que el momento de flexión 2 está basado en inicio de fluencia. Considere Fy = 2319 kg/cm .

(1)

Fig. 4.20 Ejemplo 4.3 (cotas en mm)

El patín de compresión del perfil es un elemento atiesado sujeto a compresión uniforme por lo que la Sección B2.1 es aplicable. 2

Aplica el Procedimiento I “Inicio de Fluencia”; por lo tanto, f = Fy = 3518 kg/cm 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): λ = 1.052/(4) [(157.287/1.524)(2319/2.073x10 ) ] = 1.816 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.816)/1.816 = 0.484 Por lo tanto, el ancho efectivo será: b = ρw = 0.484(157.287) = 76.119 mm = 7.61 cm. 4.3.1.2 Almas de Vigas y Elementos Atiesados Sujetos a Gradiente de Esfuerzos Cuando una viga es sujeta a momentos flexionantes, la porción del alma en compresión puede sufrir inestabilidad debido al esfuerzo de compresión por flexión. Sin embargo, en el alma los esfuerzos de compresión no serán uniformes, sino que variarán linealmente a través del peralte, es decir, se presentará un gradiente de esfuerzos. Este tipo de distribución de esfuerzos contrasta con la distribución uniforme de esfuerzos de compresión que se presenta en los patines, por lo que el comportamiento al pandeo del alma será más complejo que el del patín. Antes de 1986, las especificaciones del AISI consideraban el diseño del alma de vigas basadas en el peralte total del alma y en los esfuerzos permisibles especificados en el AISI 1980 y versiones anteriores. Para efectos de uniformizar los criterios de diseño de almas y patines de compresión, el concepto de “peralte efectivo del alma” fue introducido por primera vez en el AISI 1986 y conservado en el AISI 1996. A continuación se presentan los conceptos fundamentales en los que se sustenta dicho concepto.

71 Pandeo del Alma Debido al Esfuerzos de Flexión. El pandeo de placas rectangulares aisladas bajo gradientes de esfuerzos debidos a flexión, con y sin cargas longitudinales, ha sido investigado por Timoshenko y otros. El esfuerzo crítico de pandeo teórico puede ser determinado mediante la siguiente expresión:

f cr =

kπ 2 E 2 12 1 − µ 2 (h t )

(

)

(4.42)

donde h es el peralte del alma y k el coeficiente de pandeo. Para placas de gran longitud se ha encontrado que k = 23.9 para apoyos simples y k = 41.8 para apoyos fijos (ver Tabla 4.1). La correlación entre el valor de k y la relación de aspecto a/h se ilustra en la Fig. 4.21. Cuando una placa con apoyos simples está sujeta a esfuerzos de compresión por flexión fc mayores que los esfuerzos de tensión por flexión ft, el valor de k se reduce de acuerdo a la relación fc/ft, tal como se ilustra en la Fig. 4.22.

Fig. 4.21 Correlación de coeficientes de pandeo por flexión de placas y la relación de aspecto a/h

(1)

Desde el punto de vista práctico, la resistencia del alma se ve afectada no solo por la relación de esbeltez h/t, la relación de aspecto a/h y la relación de esfuerzos por flexión fc/ft, sino también por las propiedades del material (E, Fy y µ) y la interacción entre los componentes del alma y patín. Además, el valor de k del alma se ve afectado por las restricciones reales de borde provistas por los patines. Debido a que la desarrollo de un procedimiento analítico para determinar la estabilidad y resistencia al postpandeo de almas es extremadamente complejo, los criterios de diseño del AISI han sido basados fundamentalmente en resultados experimentales. Cabe mencionar que la ecuaciones del AISI 1996 para determinar k [Ec. (4.46)] y el peralte efectivo del alma [Ecs. (4.43) a (4.45)] están en función de fc/ft solamente. Resistencia al Postpandeo y Peralte Efectivo de Almas. En 1986, Pekoz y Cohen, basados en información experimental generada por otros, desarrollaron ecuaciones de diseño prácticas para determinar el peralte efectivo de almas conectadas a patines de compresión atiesados, no atiesados y parcialmente atiesados. Estas ecuaciones fueron incorporadas al AISI 1986 y fueron conservadas en la Sección B2.3 del AISI 1996. A continuación se presenta dicha Sección:

72

Fig. 4.22 Coeficiente de pandeo k para placas simplemente apoyadas sujetas a gradiente de esfuerzos de (1) flexión longitudinales . B2.3 Almas y Elementos Atiesados Sujetos a Gradiente de Esfuerzo

(a) Determinación de la Capacidad de Carga Los anchos efectivos, b1 y b2, como se ilustran en la Fig. 4.23, se deberán determinar mediante las siguientes expresiones:

b1 = be /(3 − Ψ )

(4.43)

b2 se determina de la Ec. (4.44) o (4.45), dependiendo del valor de Ψ: Para Ψ ≤ -0.236,

b2 = be / 2

(4.44)

Donde b1 + b2 no deberá exceder la porción en compresión del alma calculada en base a la sección efectiva. Para Ψ > -0.236,

b2 = be − b1

donde: be = ancho efectivo calculado en base a la Sección B2.1 substituyendo f por f1 .

(4.45)

73 El valor de k se determina con la siguiente expresión:

donde

k = 4 + 2(1 − Ψ ) 3 + 2(1 − Ψ )

(4.46)

Ψ = f 2 / f1

(4.47)

y f1, f2 son los esfuerzos ilustrados en la Fig. 4.23, calculados en base a la sección efectiva. f1 es en compresión (+) y f2 puede ser en tensión (-) o compresión. Si f1 y f2 son ambos en compresión, entonces f1 ≥ f2.

Fig. 4.23 Elemento a compresión atiesado sujetos a gradiente de esfuerzos

(4)

b. Determinación de Deformaciones Los anchos efectivos usados en el cálculo de deformaciones deben ser determinados de acuerdo a la Sección B2.3(a), excepto que fd1 y fd2 substituyen a f1 y f2, donde fd1 y fd2 son los esfuerzos calculados f1 y f2, como se ilustra en la Fig. 4.23, basados en la sección efectiva bajo las cargas para las cuales se desean calcular las deformaciones.

74 Ejemplo 4.4 Para la sección cajón contemplada en el Ejemplo 4.3 se puede demostrar que la distancia de la fibra extrema a compresión al eje neutro es 73.863 mm si las almas de la viga son 100% efectivas. Revisar ambas almas y determinar si son realmente 100% efectivas de acuerdo al procedimiento de cálculo de la Sección B2.3 del AISI 1996 [Ecs. (4.43) a la (4.47)] para la 2 determinación de la capacidad de carga. Considere Fy = 2319 kg/cm .

(1)

Fig. 4.24 Ejemplo 4.4 (cotas en mm)

1. Cálculo de esfuerzos f2 y f1 (ver Fig. 4.24): 2

f1 = 2319(69.952/73.863) = 2196.210 kg/cm (compresión) 2 f2 = 2319(49.225/73.863) = -1545.473 kg/cm (tensión) 2. Cálculo de ψ y k Ec. (4.47): ψ = -1545.473/2196.210 = -0.703 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-0.703)] + 2[1 – (-0.703)] = 17.284 3. Cálculo de be [Ecs. (4.36) y (4.37)] De la Fig. 4.40, h = 119.202 mm h/t = 119.202/1.524 = 78.217 < 200, OK (ver Art. 4.2) 2 Para este caso, f = f1 = 2196.210 kg/cm . 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(17.284) [(78.217)(2196.210/2.073x10 ) ] = 0.644 Como λ < 0.673, entonces be = h = 119.202 mm 4. Cálculo de b1 y b2 [Ecs. (4.43) y (4.44) o (4.45)] Ec. (4.43): b1 = 119.202/[3 – (-0.703)] = 32.191 mm. Como ψ = -0.703 < -0.236, entonces usar Ec. (4.45): b2 = 119.202/2 = 59.601 mm. b1 + b2 = 32.191 + 59.601 = 91.792 mm > 73.863 mm, por lo que la porción del alma sujeta a compresión es 100% efectiva. Perfiles C con Almas Agujeradas Sujetas a Gradiente de Esfuerzos. Como se mencionó en el Art. 1.3.1 y se ilustró en la Fig. 1.2, los perfiles laminados en frío con agujeros en el alma son de uso común, ya que permiten el paso de instalaciones ocultas en muros y techos. Así mismo, la Fig. 1.4 ilustró el caso donde los agujeros se usan por motivos meramente arquitectónicos. El AISI define a un agujero como cualquier apertura plana, sin bordes atiesados. A continuación se presentan las consideraciones de diseño para dichos perfiles. Investigaciones desarrolladas en la Universidad de Missouri Rolla en 1994 y 1996 sobre el comportamiento de perfiles C con almas agujeradas han demostrado que la presencia de agujeros afecta al valor calculado del peralte efectivo del alma. Dichas investigaciones consideraron además

75

recomendaciones de diseño para flexión pura, cortante, aplastamiento del alma, combinación de flexión y cortante y combinación de flexión y aplastamiento del alma. Las recomendaciones para determinar el peralte efectivo de perfiles C con almas agujeradas fueron incorporadas por primera vez a las especificaciones del AISI en la Sección B2.4 del Suplemento 1999. Las especificaciones de la Sección B2.4 se basaron en pruebas de carga a escala real de vigas de sección C con relaciones h/t ≤ 200 y do/h ≤ 0.74, donde t es el espesor del alma, h es el peralte plano del alma y do es el peralte del agujero. Las pruebas de carga consideraron solo agujeros estándar con bordes fileteados fabricados durante el proceso de rolado del perfil. Dichos agujeros son típicos en perfiles C usados como puntales y travesaños en muros de tablaroca o en vigas tipo “joist” (vigas en forma de armadura usadas comúnmente en sistemas de piso y cubierta). Para agujeros no circulares, se consideraron esquinas redondeadas para evitar la posibilidad de concentración excesiva de esfuerzos en las esquinas. Las almas con agujeros circulares no fueron consideradas en las pruebas de carga, sin embargo, el AISI asume conservadoramente que la Sección B2.4 es aplicable también a este caso. Los agujeros con otras configuraciones podrán ser evaluados usando ya sea el concepto del agujero virtual que se describe mas adelante o mediante pruebas de carga u otras especificaciones incluidas en el AISI 1996. La Sección B2.4 no considera a las secciones con agujeros repetitivos de 0.5 plg (12.7 mm) de diámetro usadas típicamente en estructuras de estantería industrial (racks). En base a las investigaciones realizadas en la Universidad de Missouri Rolla en 1994, se determinó que la resistencia nominal de un perfil C con un agujero en el alma no se ve afectada cuando do/h < 0.38. Para los casos donde do/h > 0.38, el peralte efectivo del alma puede ser determinado considerando la porción plana bajo compresión del alma como un elemento a compresión no atiesado. Aunque la Sección B2.4 fue desarrollada en base a pruebas de carga de perfiles C con simetría simple con el agujero en el alma centrado a la mitad del peralte de la sección, la Sección B2.4 también puede ser aplicada a una sección para la cual la porción no reducida a compresión del alma es menor que la porción a tensión. Sin embargo, para secciones donde la porción a compresión es mayor que la porción a tensión, la resistencia del alma deberá ser determinada mediante pruebas de acuerdo a la Sección F1 del AISI 1996. Las especificaciones para agujeros circulares y no circulares también son aplicables a cualquier patrón de perforaciones que pueda inscribirse en un agujero virtual. Por ejemplo, la Fig. 4.25(a) ilustra como determinar los valores de b y do del agujero virtual no circular que circunscribe a un patrón de agujeros múltiples. La Fig. 4.25(b) ilustra como determinar el valor de do del agujero virtual circular que circunscribe un agujero rectangular cuyas dimensiones exceden los valores límites de 2.5 plg (64 mm) y 4.5 plg (114 mm) para do y b, respectivamente, establecidos en la Sección B2.4. Para ambos casos, las especificaciones de la Sección B2.4 aplican a las dimensiones del agujero virtual y no a las dimensiones de los agujeros reales. A continuación se presenta la Sección B2.4 del Suplemento 1999. Sección B2.4 Almas Agujeradas de Secciones C Sujetas a Gradiente de Esfuerzos

Las especificaciones aquí consideradas son aplicables si se cumplen las siguientes limitantes: (1) do/h < 0.70 (2) h/t ≤ 200 (3) Los agujeros están centrados a la mitad del peralte del alma. (4) La distancia libre entre agujeros es mayor o igual a 18 plg (457 mm). (5) Para agujeros no circulares el radio de curvatura de las esquinas deberá ser mayor o igual a 2t. (6) Para agujeros no circulares, do ≤ 2.5 plg (64 mm) y b ≤ 4.5 plg (114 mm). (7) Para agujeros circulares el diámetro no deberá exceder a 6 plg (152 mm). (8) do > 9/16 plg (14 mm).

76

(b) (5)

Fig. 4.25 Procedimiento del agujero virtual para almas agujeradas de perfiles C . (a) Para agujeros múltiples; (b) Para agujeros que exceden los límites dimensionales.

(a) Determinación de la Resistencia Cuando do/h < 0.38, los peraltes efectivos b1 y b2 deberán determinarse de acuerdo a la Sección B2.3(a), asumiendo que no existen agujeros en el alma. Cuando do/h ≥ 0.38, el peralte efectivo deberá determinarse de acuerdo con la Sección B3.1(a) (ver Art. 4.3.2), asumiendo que la porción a compresión del alma consiste en un elemento no atiesado adyacente al agujero con f = f1 como se ilustra en la Fig. 4.29. (b) Determinación de Deformaciones Los peraltes efectivos deberán determinarse de acuerdo con la Sección B2.3(b), asumiendo que no existen agujeros en el alma. Donde

do = peralte del agujero b = longitud del agujero b1, b2 = peraltes efectivos definidos en la Fig. 4.23. h = peralte de la porción plana del alma medida en el plano del alma.

4.3.2 Elementos a Compresión No Atiesados A continuación se discuten los diferentes tipos de resistencias que deben considerarse en el diseño de elementos a compresión no atiesados: Resistencia por Fluencia. Un elemento a compresión no atiesado puede fallar por fluencia, si la relación w/t es menor que cierto valor crítico, o puede fallar por pandeo bajo un esfuerzo crítico predecible, cuando w/t exceda dicho valor crítico. Resistencia por Pandeo Elástico. El esfuerzo crítico elástico de pandeo local para una placa sujeta a compresión uniforme esta dada por la Ec. (4.11).

77

f cr =

kπ 2 E 2 12 1 − µ 2 (w / t )

(

)

(4.11)

donde E, w/t, k y µ fueron definidos previamente. Para una placa rectangular de gran longitud con apoyos simples en tres de sus lados, con un extremo libre sin carga, k = 0.425, como lo ilustra la Fig. 4.26 [ver también el caso (c) de la Tabla 2.1]. Sin embargo, cuando se considera el efecto de restricción del alma, k puede ser considerado como 0.50 para el diseño del patín de compresión no atiesado.

Fig. 4.26 Correlación del coeficiente de pandeo y la relación de aspecto para placas rectangulares con apoyos simples en tres (1) lados y un lado libre sin carga .

Si el acero exhibe fluencia pronunciada y el elemento a compresión no atiesado es idealmente plano, el elemento se pandeará bajo un esfuerzo crítico fcr, determinado por la Ec. (4.11), con un esfuerzo límite máximo de Fy, como lo ilustra la curva D (incluyendo la porción punteada) dada en la Fig. 4.27. Sin embargo, éstas condiciones ideales podrían no existir en la práctica, por lo que el elemento con relaciones moderadas de w/t podría pandearse bajo esfuerzos menores al valor teórico del esfuerzo crítico de pandeo elástico.

Fig. 4.27 Comportamiento de elementos no atiesados a compresión

(1)

Se ha demostrado que para relaciones moderadas de w/t una porción del perfil puede alcanzar la fluencia al ocurrir el pandeo. Este pandeo es conocido como pandeo inelástico y el establecimiento del rango de valores de w/t para el cual dicho pandeo ocurre será de importancia

78

fundamental para efectos de diseño. En base a evidencia experimental, se ha establecido una línea recta B en la Fig 4.27, representando aquellos esfuerzos bajo los cuales ocurrió pandeo inelástico. El AISI 1980 consideró que el rango de valores de w/t para dicho pandeo está dado por:

63.3 Fy

≤

w 144 ≤ t Fy

La Fig. 4.27 permite también establecer el valor límite máximo de w/t para el cual la resistencia por fluencia gobierna el diseño. Dicho valor de w/t corresponde al límite inferior del rango (línea A de la Fig. 4.27). La Fig. 4.28 ilustra la correlación entre la información experimental y la predicción del esfuerzo máximo.

Fig. 4.28 Correlación entre la información experimental para elementos no atiesados a compresión y la predicción del esfuerzo (1) máximo .

Resistencia de Postpandeo. Cuando la relación w/t de un elemento no atiesado excede aproximadamente 25, la distorsión en el elemento se incrementa gradualmente bajo una magnitud de esfuerzo aproximadamente igual al esfuerzo teórico de pandeo local (curva D de la Fig. 4.27). Sin embargo, si se retira la carga, el elemento recuperará su configuración inicial, ya que el pandeo ocurre a magnitudes de esfuerzo considerablemente menores que el esfuerzo de fluencia. Grandes deformaciones por pandeo pueden ocurrir en el elemento sin que se presenten deformaciones permanentes en el elemento. Dichos elementos exhiben una resistencia al postpandeo considerable. Basado en resultados experimentales de perfiles laminados en frío con patines de compresión no atiesados, la siguiente expresión fue desarrollada por Winter para calcular el ancho efectivo de elementos a compresión no atiesados, considerando la resistencia la postpandeo:

b = 0.80t

E  t E 1 − 0.202   w  f max f max 

  

(4.48)

donde fmax es el esfuerzo en el borde de apoyo del patín de compresión no atiesado. La curva E de la Fig. 4.27 basada en la Ec. (4.48) define la resistencia última del elemento, la cual se observa considerablemente mayor que el esfuerzo elástico de pandeo (curva D de la Fig. 4.27).

79 La Ec. (4.48) está basada en k = 0.50, pero puede ser generalizada de la siguiente manera:

b = 113 . t

kE f max

  t  kE  1 − 0.286    w  f max  

(4.49)

La Ec. (4.48) también puede ser expresada en función de la relación fcr/fmax como:

fcr b = 119 . w f max

 f  1 − 0.30 cr f max 

  

(4.50)

donde fcr es el esfuerzo de pandeo elástico determinado por la Ec. (4.11) para k = 0.50. En base a la Ec. (4.50), el factor de reducción ρ requerido para determinar el ancho efectivo de elementos no atiesados puede ser calculado mediante la siguiente expresión:

ρ = 1.19(1 − 0.30 / λ ) / λ

(4.51)

donde λ está definido por la Ec. (4.37). Investigaciones realizadas en la década de 1970-80 sobre la aplicabilidad del concepto del ancho efectivo en elementos a compresión no atiesados concluyeron que la Ec. (4.36) representa un límite inferior conservador para el cálculo de ρ. Por consiguiente, el AISI considera la Ec. (4.36) en lugar que la Ec. (4.51) y especifica un valor de k = 0.43, de acuerdo con lo ilustrado en la Fig. 4.26. El AISI 1996 incluye en la Sección B3.1 las especificaciones para el cálculo del ancho efectivo de elementos no atiesados sujetos a compresión uniforme. A continuación se presenta dicha sección: Sección B3.1 Elementos No Atiesados Sujetos a Compresión Uniforme

(a) Determinación de la Capacidad de Carga El ancho efectivo, b, se determinará de acuerdo a la Sección B2.1(a), excepto que k = 0.43 y w ahora es definida como en la Fig 4.29.

(4)

Fig. 4.29 Elemento no atiesado sujeto a compresión uniforme . (a) Dimensiones reales; (b) Dimensiones efectivas.

(b) Determinación de Deformaciones El ancho efectivo, bd, se determina de acuerdo al Procedimiento I de la Sección B2.1(b), excepto que fd substituye a f y k = 0.43.

80 Ejemplo 4.5 Determine el esfuerzo y carga crítica de pandeo para la placa delgada con apoyos simples en tres de sus bordes y un borde libre ilustrada en la Fig. 4.30.

(1)

Fig. 4.30 Ejemplo 4.5 (cotas en mm)

1. Esfuerzo Crítico de Pandeo Para este caso: k = 0.425, w = 101.60 mm y t = 2.667 mm. 2 6 2 2 2 Ec. (4.11): fcr = [0.425π (2.073x10 )]/{12[1 – (0.3) ](101.60/2.667) } = 548.69 kg/cm 2. Carga Crítica de Pandeo Pcr = Afcr = [10.160(0.2667)]548.69 = 1487.76 kg. Ejemplo 4.6 Calcule el ancho efectivo de diseño del patín de compresión del perfil canal mostrado en la Fig. 4.31. Asuma que le perfil será usado como viga, que el alma es 100% efectiva y que el 2 patín de compresión tiene apoyo lateral adecuado. Considere Fy = 2319 kg/cm .

(1)

Fig. 4.31 Ejemplo 4.6 (cotas en mm)

Debido a que el patín de compresión del perfil canal es un elemento no atiesado sujeto a compresión uniforme, con apoyo en un solo extremo paralelo a la dirección del esfuerzo, el ancho efectivo de diseño b para la determinación de la capacidad de carga puede ser obtenido mediante el procedimiento de la Sección B3.1 del AISI 1996. Para este caso, k = 0.43, w = 50.8 – (2.381 + 1.524) = 46.895 mm, t = 1.524 mm. 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(46.895/1.524)(2319/2.073x10 ) ] = 1.651 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.651)/1.651 = 0.525 Por lo tanto, el ancho efectivo será: b = ρw = 0.525(46.895) = 24.620 mm = 2.46 cm. 4.3.2.1 Elementos No Atiesados a Compresión Sujetos a Gradiente de Esfuerzos En perfiles sujetos a compresión axial y a flexión, donde los elementos a compresión no atiesados son paralelos al eje neutro, la distribución de esfuerzos es uniforme antes del pandeo. Sin embargo, en algunos casos, como los labios atiesadores del perfil ilustrado en la Fig. 4.32, los elementos son perpendiculares al eje neutro, por lo que la distribución de esfuerzos a compresión

81

varía en proporción a la distancia al eje neutro. Esto es, existe un gradiente de esfuerzos en dichos elementos.

Fig. 4.32 Labio no atiesado sujeto a gradiente de esfuerzos

(1)

La determinación analítica de la condición de pandeo de dichos elementos es compleja. En la Sección B3.2 del AISI 1996, los anchos efectivos de elementos no atiesados y de atiesadores de borde sujetos a gradientes de esfuerzos son considerados sujetos a esfuerzos de compresión uniformes, donde el esfuerzo f es el esfuerzo máximo al que está sujeto el elemento. Esto se debe al hecho de que existe muy poca información experimental disponible sobre el comportamiento de elementos a compresión no atiesados sujetos a gradiente de esfuerzos. A continuación se presenta dicha sección. Sección B3.2 Elementos No Atiesados y Atiesadores de Borde Sujetos a Gradiente de Esfuerzos

a. Determinación de la Capacidad de Carga El ancho efectivo, b, se determinará de acuerdo a la Sección B2.1(a) con un esfuerzo f = f3 en el atiesador de borde, tal como lo ilustra la Fig. 4.36 y k = 0.43. b. Determinación de Deformaciones El ancho efectivo, bd, se determinará de acuerdo al Procedimiento I de la Sección B2.1(b), excepto que fd3 substituye a f y k = 0.43, donde fd3 es el esfuerzo f3 en el atiesador de borde ilustrado en la Fig. 4.36. Los cálculos deben ser basados en la sección efectiva al nivel de carga para la cual se desea determinar la deformación. 4.3.3 Elementos con Atiesadores Sujetos a Compresión Uniforme 4.3.3.1 Elementos Sujetos a Compresión Uniforme con un Atiesador Intermedio En el diseño de perfiles laminados en frío, cuando la relación w/t del patín atiesado a compresión es grande, la eficiencia estructural del perfil puede ser incrementada mediante el uso de un atiesador intermedio, aun cuando el área del atiesador sea pequeña. Por ejemplo, considere el perfil ilustrado en la Fig. 4.33. Si se considera primero el perfil sin el atiesador intermedio, entonces 2 w = bo. Asumiendo bo/t = 200 y f = 2319 kg/cm y haciendo uso de las Ecs. (4.36) y (4.37) [ver también AISI 1996 Sección B2.1(a)], se puede demostrar que ρ = 0.27. Sin embargo, si se considera un atiesador intermedio al centro del perfil, la relación w/t de cada subelemento puede tomarse como 95, lográndose para éste caso ρ = 0.52; esto representa un incremento aproximado del 50% en la eficiencia del patín de compresión, lo cual generalmente repercutirá en un diseño más económico.

Fig. 4.33 Perfil con patín de compresión con un atiesador (1) intermedio .

82

El AISI 1980 incluyó por primera vez requisitos del momento mínimo de inercia para los atiesadores intermedios para elementos a compresión con atiesadores múltiples. Si el atiesador intermedio no cumplía con el momento de inercia mínimo requerido, la capacidad de carga del perfil tendría que ser determinada ya sea ignorando la presencia del atiesador intermedio o a través de pruebas de carga. Para algunos casos éste enfoque puede resultar muy conservador. Las especificaciones del AISI fueron modificadas en 1986 en base a los resultados de investigaciones posteriores sobre el comportamiento a pandeo de elementos a compresión con atiesadores intermedios. Estas modificaciones fueron conservadas en la Sección B4.1 del AISI 1996. A continuación se presenta la Sección B4.1: Sección B4.1 Elementos Sujetos a Compresión Uniforme con un Atiesador Intermedio

a. Determinación de la Capacidad de Carga Caso I: para bo/t ≤ S Ia = 0 (no se requiere atiesador intermedio) b=w As = A´s Caso II: para S < bo/t < 3S

I a / t 4 = [50(bo / t ) / S ] − 50

(4.52)

b y As son calculados de acuerdo a la Sección B2.1(a) donde

k = 3( I s / I a )1 / 2 + 1 ≤ 4 As = As′ ( I s / I a ) ≤ As′

(4.53) (4.54)

Caso III: para bo/t > 3S

I a / t 4 = [128(bo / t ) / S ] − 285

(4.55)

b y As son calculados de acuerdo a la Sección B2.1(a) donde

k = 3( I s / I a )1 / 3 + 1 ≤ 4 As = As′ ( I s / I a ) ≤ As′

(4.56) (4.57)

Donde: 1/2 S = 1.28(E/Fy) (4.58) k = coeficiente de pandeo bo = ancho plano total tal como se ilustra en la Fig. 4.34 b = ancho efectivo de diseño Ia = momento de inercia adecuado del atiesador para que cada subelemento se comporte como un elemento atiesado Is = momento de inercia del atiesador con respecto a su propio eje centroidal paralelo al elemento a ser atiesado. As = área reducida del atiesador a ser usada en el cálculo de las propiedades seccionales efectivas. El centroide del atiesador debe considerarse localizado en el centroide del área total del atiesador. A´s = área efectiva del atiesador. w, t = ancho plano y espesor del elemento de compresión respectivamente.

83 b. Determinación de la Deformación El ancho efectivo, bd, usado para calcular deformaciones se deberá determinar de acuerdo a la Sección B4.1(a), excepto que fd substituye a f.

Fig. 4.34 Elementos a compresión con un atiesador intermedio

(1)

4.3.3.2 Elementos Sujetos a Compresión Uniforme con Atiesador de Borde Se usan los atiesadores de borde para generar un apoyo continuo al borde longitudinal del patín de compresión de un perfil para darle mayor estabilidad (incrementar el esfuerzo de pandeo). La mayoría de los atiesadores de borde tienen la forma de labio [ver Fig. 4.35(a)], aunque se han considerado otras configuraciones como las ilustradas en la Fig. 4.35(b). Para que el atiesador funcione apropiadamente debe tener suficiente rigidez. Si la rigidez es insuficiente, el atiesador puede pandearse en dirección perpendicular al plano del elemento que se desea atiesar. Las especificaciones del AISI 1996 están basadas en las investigaciones analíticas y experimentales de elementos debidamente atiesados, parcialmente atiesados y no atiesados. Las especificaciones del AISI fueron desarrolladas basadas en criterios de pandeo crítico y resistencia última. La Sección B4.2 del AISI 1996 contiene las especificaciones para el dimensionamiento de elementos sujetos a compresión uniforme con un atiesador de borde. A continuación se presenta la Sección B4.2:

84

(a)

(b) (1)

Fig. 4.35 Atiesadores de borde . (a) Atiesador de labio; (b) Otros tipos de atiesadores de borde

Sección B4.2 Elementos Sujetos a Compresión Uniforme con un Atiesador de Borde

a. Determinación de la Capacidad de Carga Caso I: para w/t ≤ S/3 Ia = 0 b=w ds = d´s As = A´s

(no requiere atiesador de borde) para un atiesador de labio para atiesadores con otra geometría

Caso II: para S/3 < w/t < S:

[

I a / t 4 = 399 ( w / t ) / S − k u / 4

]

3

(4.59)

n=½

C2 = I s / I a ≤ 1 C1 = 2 − C 2

(4.60) (4.61)

b deberá ser calculada de acuerdo a la Sección B2.1 donde: n

k = C 2 (k a − k u ) + k u

(4.62)

ku = 0.43 º º Para labios atiesadores simples con 140 ≥ θ ≥ 40 y D/w ≤ 0.80, donde θ se ilustra en la Fig. 4.36:

k a = 5.25 − 5( D / w) ≤ 4.0

(4.63)

ds = C2d´s Para atiesadores con otra geometría: ka = 4.0 As = C2A´s

(4.64)

(4.65)

Caso III: para w/t ≥ S:

I a / t 4 = [115( w / t ) / S ] + 5 C1, C2, b, k, ds, As se calculan acorde al Caso II con n = 1/3

(4.66)

85

Donde: As = área reducida del atiesador de borde a ser usada para calcular las propiedades efectivas de la sección. A´s = área efectiva del atiesador de borde; la esquina redondeada entre el atiesador y el elemento a ser atiesado no se considera como parte del atiesador. C1 = coeficiente definido en la Fig. 4.36. C2 = coeficiente definido en la Fig. 4.36. D = peralte total del atiesador de borde definido en la Fig. 4.36. d = ancho plano del atiesador de borde definido en la Fig. 4.36. ds = ancho efectivo reducido del atiesador de borde calculado acorde a ésta Sección; se deberá usar para calcular las propiedades efectivas del elemento. d´s = ancho efectivo del atiesador calculado acorde a la Sección B2.1 con k = 0.43 (ver Fig. 4.36). Ia = momento de inercia del atiesador de borde requerido para que el elemento a compresión se comporte como un elemento atiesado. Is = momento de inercia del atiesador de borde con respecto a su propio eje centroidal paralelo al plano del elemento que se desea atiesar; la esquina redondeada entre el atiesador y el elemento a ser atiesado, no se considera como parte del atiesador. B, k, S, t, y w mantienen la definición dada en la Sección B4.1. Para el atiesador ilustrado en la Fig. 4.36, Is y A´s están dadas por: 3

2

Is = (d tsen θ) /12 A´s = d´st

(4.67) (4.68)

Las distribuciones de esfuerzos longitudinales se ilustran en la Fig 4.37 para los Casos I, II y III. b. Determinación de Deformaciones El ancho efectivo, bd, usado para calcular deformaciones se deberá determinar de acuerdo a la Sección B4.1(a), excepto que fd substituye a f. Cabe mencionar que pruebas de laboratorio conducidas en 1989 proporcionaron resultados no conservadores para longitudes de labio con relaciones d/t > 14, por lo que la Sección B4.2 del Comentario del AISI 1996 considera un límite máximo de d/t ≤ 14 hasta tener información experimental y analítica adicional. Además, en la Sección B4.2 del AISI 1996 las ecuaciones de diseño para determinar el coeficiente de pandeo k se modificaron con respecto a las del AISI 1986 para dar mayor claridad al procedimiento. En el Caso II de la Sección B4.2 la ecuación ka = 5.25 – 5(D/w) ≤ 4.0 es aplicable solo a atiesadores de labio simples, ya que el término D/w no tiene significado para otros tipos de atiesadores de borde. Es importante mencionar que las especificaciones de la Sección B4.2 fueron desarrolladas en base a investigaciones que consideraban solo atiesadores de labio simples y su aplicación a otros tipos de atiesadores de borde es meramente intuitiva. El requisito 140° ≥ θ ≥ 40° para la aplicabilidad de las ecuaciones para ka y ds del Caso II también fue incluido en base a consideraciones intuitivas.

86

Fig. 4.36 Elementos a compresión con atiesadores de borde

(1)

87

Fig. 3.37 Ilustración de los criterios de diseño para atiesadores de borde

(1)

Ejemplo 4.7 Calcule el ancho efectivo del patín de compresión del perfil canal con atiesadores de borde ilustrado en la Fig. 4.38. Asuma que el canal será usado como viga y que existe apoyo lateral adecuado al patín de compresión. Calcule también el ancho efectivo reducido del atiesador 2 de borde. Considere Fy = 2319 kg/cm .

Fig. 4.38 Ejemplo (1) 4.7(cotas en mm)

88 1. Cálculo del Ancho Efectivo b del Patín de Compresión Como el patín de compresión es un elemento sujeto a compresión uniforme con un atiesador de borde, el ancho efectivo b deberá determinarse acorde a la Sección B4.2. 2 Asuma f = Fy = 2319 kg/cm w = 88.90 – 2(R + t) = 88.90 – 2(2.381 + 1.905) = 80.328 mm w/t = 80.328/1.905 = 42.167 1/2 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(E/f) = 1.28(2.073x10 /2319) = 38.70 Como w/t > S, aplica el Caso III [Ecs. (4.60) a (4.66)]: Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.38): D = 18.288 mm; θ = 90° d = D – (R + t) = 18.288 – (2.381 + 1.905) = 14.002 mm d/t = 14.002/1.905 = 7.350 < 14, OK 3 3 4 Is = d t/12 = (14.002) (1.905)/12 = 435.797 mm D/w = 18.288/80.328 = 0.228 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62) con n = 1/3]: Como D/w < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.228) = 4.11 > 4, por lo tanto, ka = 4.0 Según Caso II y III: ku = 0.43 4 Ec. (4.66): Ia/t = 115(42.167)/38.70 + 5 = 130.302 4 4 Ia = 130.302(1.905) = 1716.060 mm Ec. (4.60): C2 = 435.797/1716.060 = 0.254 1/3 Ec. (4.62): k = (0.254) (4.0 – 0.43) + 0.43 = 2.691 Ancho efectivo del patín de compresión: 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): λ = [1.052/(2.691) ](42.167)(2319/2.073x10 ) Como λ > 0.673, usar Ec. (4.37) para calcular ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.904)/0.904 = 0.837 b = ρw = 0.837(80.328) = 67.234 mm

= 0.904

2. Peralte Efectivo Reducido d’s del Labio Atiesador El labio atiesador es un atiesador de borde sujeto a gradiente de esfuerzos (ver Art. 4.3.2.1), por lo que la Sección B3.2 es aplicable. En este caso, k = 0.43 d/t = 7.350 2 Asuma que el labio alcanza fluencia, f = Fy = 2319 kg/cm Determinación del factor de reducción ρ [Ecs. (4.36) y (4.37)]: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = [1.052/(0.43) ](7.35)(2319/2.073x10 ) = 0.394 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 Ancho efectivo del labio atiesador, ds = ρd = 1.0(14.002) = 14.002 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: Ec. (4.64): d’s = 0.254(14.002) = 3.557 mm 4.3.3.3 Elementos con Atiesadores Múltiples con Más de Un Atiesador Intermedio y Elementos con Atiesadores de Borde e Intermedios. Las investigaciones que llevaron a la revisión de las ecuaciones de diseño del AISI 1986 y 1996 para atiesadores intermedios no consideraron el caso de elementos con atiesadores múltiples o de elementos con atiesadores de borde e intermedios. Al momento de publicar el AISI 1996

89

(incluyendo el Supplemento 1999), aun no existía información experimental y analítica suficiente en las cuales basar modificaciones subsecuentes a las ecuaciones de diseño, por lo que se retuvieron las mismas ecuaciones de la Sección B5 del AISI 1986 en el AISI 1996. La Sección B5 del AISI 1996 requiere el siguiente momento de inercia para un atiesador intermedio: 2  E I min   w   3 . 66 0 . 136 − =   F t t4     y 

   ≥ 18.4  

(4.69)

donde w/t es la relación ancho espesor del subelemento atiesado de mayor dimensión. Si el momento de inercia real del atiesador intermedio, Is, no cumple con el requisito mínimo establecido en la Ec. (4.69), el atiesador intermedio es ignorado para el cálculo del ancho efectivo de los elementos atiesados. La determinación de la capacidad de carga de perfiles que contengan atiesadores intermedios donde Is < Imin es un problema complejo, ya que la ondulación de pandeo tiende a pasar a través del atiesador intermedio en lugar de limitarse a ondulaciones individuales a ambos lados del atiesador. Una vez que la ondulación de pandeo pasa a través del atiesador intermedio, el elemento a compresión atiesado no exhibirá un comportamiento más eficiente que el de un elemento sin el atiesador intermedio. Por ésta razón, las propiedades de perfiles que contengan atiesadores intermedios inadecuados (Is < Imin) se calculan en base a elementos planos, despreciando los atiesadores intermedios. Atiesadores Efectivos. Si un número de atiesadores intermedios fuese colocado en un patín de compresión delimitado entre dos almas a separaciones tales que las relaciones w/t de los subelementos resultantes fuesen de magnitud considerable, existirá una pérdida acumulada de efectividad al incrementarse la distancia con respecto al alma. Esto se debe que los subelementos ligeramente deformados y los atiesadores intermedios no son tan efectivos como las almas. La Sección B5(a) del AISI 1996 especifica que cuando la separación de atiesadores intermedios entre dos almas es tal que los subelementos entre atiesadores tienen anchos efectivos menores que sus anchos planos (o sea, b < w), solo los atiesadores más cercanos a las almas serán considerados efectivos. Similarmente, la Sección B5(b) del AISI 1996 especifica que cuando la separación de atiesadores intermedios entre el alma y un atiesador de borde es tal que los subelementos entre atiesadores tienen anchos efectivos menores que sus anchos planos (o sea, b < w), solo el atiesador intermedio más cercano al alma será considerado efectivo. Si los atiesadores intermedios se colocan a separaciones tales que los subelementos resultantes entre atiesadores tienen anchos efectivos iguales a sus anchos planos (b = w), todos los atiesadores podrán ser considerados efectivos según la Sección B5(c) del AISI 1996. Al calcular w/t del elemento completo con atiesadores múltiples, dicho elemento deberá ser considerado substituido por un “elemento equivalente” sin atiesadores intermedios cuyo ancho bo, es el ancho completo entre almas o entre el alma y un atiesador de borde, y cuyo espesor equivalente ts está dado por la siguiente expresión:

ts = 3

12 I sf bo

(4.70)

donde Isf es el momento de inercia del área completa del elemento con atiesadores múltiples, incluyendo dichos atiesadores, con respecto a su propio eje centroidal. El momento de inercia del perfil completo deberá ser calculado asumiendo que el “elemento equivalente” está localizado en el

90

eje centroidal del elemento con atiesadores múltiples, incluyendo dichos atiesadores. La distancia a la fibra extrema real deberá ser usada al calcular el módulo de sección. Ancho Efectivo de Diseño. Los resultados de pruebas de laboratorio de perfiles laminados en frío con atiesadores intermedios han demostrado que el ancho efectivo de diseño de un subelemento de un elemento a compresión con atiesadores múltiples es menor que el de un elemento con solo un atiesador con la misma relación w/t. Esto es particularmente cierto si el w/t del subelemento excede aproximadamente 60. Este fenómeno se debe al hecho de que en vigas, los esfuerzos normales en los patines se generan a partir de la transferencia de esfuerzos cortantes entre el alma y patín. Las fibras más remotas del patín generan su esfuerzo normal a partir de la transferencia por cortante de las fibras más cercanas al alma. Esta es una de las diferencias más importantes entre el comportamiento del alma y el del atiesador intermedio. Este último no es un elemento que genere esfuerzos normales por transferencia de cortante. Cualquier esfuerzo normal en el atiesador debe ser transferido desde el alma a través del patín. Mientras que el subelemento entre el atiesador y el alma se mantenga plano o ligeramente pandeado, la transferencia de esfuerzos procede sin afectaciones significativas. En este caso, el esfuerzo en el atiesador es igual al del alma y el subelemento es tan efectivo como un elemento plano con el mismo valor de w/t. Sin embargo, para subelementos con valores grandes de w/t, las ondulaciones ligeras de pandeo interfieren con la transferencia completa del cortante y se genera un problema conocido como “desfasamiento por cortante” (shear lag), el cual genera la distribución de esfuerzos ilustrada en la Fig. 4.39.

Fig. 4.39 Distribución de esfuerzos en patines de (1) compresión con atiesadores múltiples .

La Sección B5(d) del AISI 1996 establece los anchos efectivos de elementos a compresión con atiesadores múltiples o elementos anchos con atiesadores de borde en base a las siguientes expresiones: Caso I: para w/t ≤ 60

be = b

(4.71)

be = b − 0.10t ( w / t − 60)

(4.72)

Caso II: para w/t > 60

donde: w/t = relación w/t del subelemento o elemento. be = ancho efectivo de diseño del subelemento o elemento. b = ancho efectivo de diseño determinado para un elemento a compresión con un solo atiesador de acuerdo a la Sección B2.1.

91 Area Efectiva del Atiesador. Debido a que el desfasamiento por cortante causa que el esfuerzo en el atiesador sea menor que el esfuerzo en el alma en subelementos con relaciones w/t grandes, la eficiencia del atiesador será menor al exceder w/t cierto valor crítico. La Sección B5(d) del AISI 1996 establece éste valor crítico en 60 y especifica que en éstos casos el área efectiva del atiesador sea calculada en base a lo siguiente: Caso I: 60 < w/t < 90

Aef = αAst donde

(4.73)

α = (3 − 2be / w) − 1 / 30(1 − be / w) w / t

(4.74)

Caso II: w/t ≥ 90

Aef = (be / w) Ast

(4.75)

En las ecuaciones anteriores, Aef y Ast se refieren solamente a las áreas de los atiesadores, sin considerar porción alguna de los elementos adyacentes. En el cálculo de las propiedades del perfil, el centroide del área completa del atiesador y el momento de inercia del atiesador con respecto a su propio eje centroidal deberán calcularse con respecto al área completa del atiesador. 4.4 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS UNIFORMES DE COMPRESION.

PERFORADOS

SUJETOS

A

ESFUERZOS

En perfiles laminados en frío hay veces que se requieren hacer perforaciones en las almas y/o patines de vigas y columnas para dar paso a instalaciones (ductos, tubería, etc.) o por razones arquitectónicas. En este artículo se considerarán agujeros sujetos a esfuerzos uniformes. El caso de perforaciones en el alma, donde los agujeros están sujetos a gradientes de esfuerzos, fue tratado en el Art. 4.3.1.2. Las estructuras de estantes requieren comúnmente varios tipos de agujeros para facilidad de ensamble. La presencia de dichos agujeros pueden afectar adversamente la resistencia de los elementos constitutivos o la resistencia del perfil completo dependiendo de la configuración y distribución de agujeros, la geometría del perfil y las propiedades mecánicas del material usado. El procedimiento analítico y de diseño de perfiles de acero con elementos perforados es complejo, en particular cuando la configuración y ensamble de los elementos es poco usual. Aun cuando existe información limitada sobre criterios de diseño de elementos perforados de espesores relativamente grandes, dichos criterios podrían no ser aplicables a perfiles laminados en frío debido a que el criterio de estabilidad local es generalmente de gran importancia en elementos estructurales de pared delgada. Para perfiles laminados en frío con elementos perforados sujetos a esfuerzos uniformes de compresión, la capacidad de carga del perfil estará normalmente gobernada por el comportamiento al pandeo y la resistencia al postpandeo de los elementos constitutivos. Las cargas críticas de pandeo para elementos y perfiles perforados han sido estudiadas por un considerable número de investigadores. El efecto de agujeros circulares sobre el valor de k para elementos a compresión se ilustra en la Fig. 4.40. La Fig. 4.41 ilustra el efecto sobre el valor de k para una placa cuadrada simplemente apoyada con un agujero cuadrado al centro de la placa, en donde la curva superior fue calculada por el método de elemento finito desarrollado por Yang. En estas figuras se observan también los resultados de pruebas de carga en vigas y columnas. En las Figs. (4.40) y (4.41), k es el coeficiente de pandeo para placas cuadradas sin agujeros, kc, el coeficiente de pandeo para placas cuadradas perforadas con agujeros circulares, ks, el coeficiente de pandeo para placas

92 cuadradas perforadas con agujeros cuadrados, d es el diámetro de los agujeros circulares, h el ancho de los agujeros cuadrados y w el ancho de las placas.

Fig. 4.40 Efecto de un agujero circular sobre el (1) coeficiente de pandeo en compresión .

La resistencia de postpandeo de elementos a compresión perforados también a sido investigada y se ha encontrado que la ecuación de Winter para calcular el ancho efectivo de una placa sólida [Ec. (4.31)] puede ser modificada para la determinación del ancho efectivo de elementos perforados atiesados. Aun cuando la carga crítica de pandeo para elementos perforados atiesados es más sensible a los agujeros cuadrados que a los circulares, se encontró que la resistencia de postpandeo de los elementos perforados es prácticamente independiente del tipo de agujero, si la dimensión del diámetro del agujero circular coincide con la del ancho del agujero cuadrado.

Fig. 4.41 Efecto de un agujero cuadrado sobre el (1) coeficiente de pandeo en compresión .

En base a las investigaciones realizadas en la Universidad de Cornell, la Sección B2.2 del AISI 1996 establece las siguientes especificaciones para determinar el ancho efectivo de elementos a compresión atiesados con agujeros circulares: a. Determinación de la Capacidad de Carga Para 0.50 ≥ dh/w ≥ 0, w/t ≤ 70, distancia centro a centro de agujeros ≥ 0.50w y ≥ 3dh, Caso I: λ ≤ 0.673

b = w − dh

(4.76)

93 Caso II: λ > 0.673

 0.22 0.8d h  − w1 − λ w   b= ≤ (w − d h ) λ

(4.77)

Donde: w = ancho plano. dh = diámetro de agujeros. λ = de acuerdo a la Sección B2.1. b. Determinación de la Deformación En ancho efectivo, bd, a ser usado para el cálculo de deformaciones deberá ser igual a b determinado de acuerdo al Procedimiento I de la Sección B2.1(b), excepto que fd substituye a f, donde fd es el esfuerzo a compresión calculado en el elemento considerado.

APENDICE A

CALCULO DE PROPIEDADES GEOMETRICAS DE PERFILES

A continuación se presentan las ecuaciones de propiedades geométricas de perfiles laminados en frío típicos derivadas a partir del Método Lineal. Dichas ecuaciones fueron tomadas del Manual del Diseño del AISI 1996, salvo ciertas modificaciones que se realizaron a algunas de las ecuaciones con el propósito de simplificar sus expresiones. A1 Método Lineal para Calcular las Propiedades Geométricas El cálculo de las propiedades geométricas de perfiles puede ser simplificado mediante el uso del método lineal. Dicho método considera que el material del perfil se concentra a través de la línea central de la lámina de acero, por lo que los elementos “área” que constituyen al perfil son reemplazados por elementos “línea” curvos y/o rectos. La dimensión de espesor, t, se introduce ya que se hayan determinado las propiedades geométricas de los elementos lineales. Por ejemplo, el área total del perfil se obtiene de la ecuación: A = L x t, donde L es la suma de longitudes de todos los elementos línea constitutivos del perfil. Así mismo, el momento de inercia del perfil, I, se obtiene de la ecuación: I = I’ x t, donde I’ es el momento de inercia de los elementos línea. Es importante aclarar que el módulo de sección se obtiene de dividir a I o a I’ x t entre la distancia existente del eje neutro a la fibra extrema y no a la línea central del elemento extremo. Las dimensiones en primera potencia, como x, y y r (radio de giro) se obtienen de manera exacta por el método lineal, ya que la dimensión t no está involucrada en los cálculos de dichas dimensiones. Cuando las especificaciones del AISI requieran reducir el ancho plano, w, para obtener el ancho efectivo de diseño, b, el valor de b debe usarse para obtener las propiedades geométricas efectivas de los elementos lineales. Los dos tipos de elementos constitutivos en que se puede subdividir un perfil para el uso del método lineal son las líneas rectas y los arcos circulares. Las Figs. A.1 a la A.6 muestran dichos elementos y las ecuaciones para calcular las propiedades geométricas relevantes se incluyen en el Art. A2. Las ecuaciones de propiedades geométricas para elementos lineales son exactas, ya que las líneas no tienen una dimensión de espesor; sin embargo, cuando se usan para calcular las propiedades del perfil real, que si tiene la dimensión de espesor, los resultados serán solo aproximaciones debido a las siguientes razones: 1. El momento de inercia con respecto al eje longitudinal de los elementos rectos del perfil se considera despreciable. El error es pequeño ya que dicho momento de inercia es directamente 3 proporcional a t y los valores de t típicamente considerados en perfiles laminados en frío son pequeños. 2. El momento de inercia de un elemento recto inclinado con respecto a los ejes de referencia es ligeramente mayor que el del elemento lineal correspondiente, pero para elementos de longitudes similares, el error introducido es aun menor al error involucrado en despreciar el momento de inercia del elemento con respecto a su eje longitudinal. 3. Se introducen pequeños errores al considerar las propiedades de un arco lineal para modelar las propiedades de las esquinas reales del perfil; sin embargo, debido a que los radios de curvatura de las esquinas son usualmente pequeños, el error en la determinación de la ubicación del centroide de la esquina es de poca importancia y su momento de inercia es en general despreciable. Cuando el radio de curvatura de un elemento circular es mayor que cuatro veces su espesor, como sucede en perfiles tubulares cilíndricos y en láminas con

417

corrugaciones circulares, los errores introducidos al usar las propiedades de arcos lineales prácticamente desaparecen. A2 Propiedades Geométricas de Elementos Lineales A2.1 Elementos Lineales Rectos Los momentos de inercia del elemento recto representado en la Fig. A.1 pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

l3 12 I2 = 0

I1 =

I 3 = la 2 +

(A.1) (A.2)

 l3 l2  = l  a 2 +  12  12 

(A.3)

Fig A.1 Elemento lineal vertical

(4)

Los momentos de inercia del elemento recto representado en la Fig. A.2 pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

I1 = 0

(A.4)

l 12 I 3 = la 2 I2 =

3

(A.5) (A.6)

Fig A.2 Elemento lineal horizontal

(4)

Los momentos de inercia del elemento recto representado en la Fig. A.3 pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

 cos 2 θ  3 l 2 I1 =  l = n 12  12 

(A.7)

 sen 2 θ  3 l 2 I2 =  l = m 12  12 

(A.8)

l  sen θ cosθ  3 I 12 =  l = mn  12 12  

(A.9)

I 3 = la 2 +

 l 2 n2  n = l a 2 +  12 12  

(A.10)

Fig. A.3 Elemento lineal inclinado

(4)

418 A2.2 Elementos Lineales Circulares Los momentos de inercia del elemento lineal circular mostrado en la Fig. A.4 con respecto a los ejes 1 y 2 pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

θ − θ 1 + sen θ 2 cosθ 2 − sen θ 1 cosθ 1 (sen θ 2 − sen θ 1 ) 2  3 − I1 =  2 r 2 θ 2 − θ1  

(A.11)

θ − θ 1 − sen θ 2 cosθ 2 + sen θ 1 cosθ 1 (cosθ 1 − cosθ 2 ) 2  3 I2 =  2 − r 2 θ − θ 2 1  

(A.12)

El producto de inercia con respecto a los ejes 1 y 2, los momentos de inercia y producto de inercia con respecto a los ejes 3 y 4, así como los momentos de inercia con respecto a los ejes 3 y 4 para el elemento lineal circular mostrado en la Fig. A.4 se dan a continuación:

 sen 2 θ 2 − sen 2 θ 1 (sen θ 2 − sen θ 1 )(cosθ 2 − cosθ 1 )  3 + I 12 =  r 2 − θ θ 2 1   θ − θ 1 + sen θ 2 cosθ 2 − sen θ 1 cosθ 1  3 I3 =  2 r 2   θ − θ 1 − sen θ 2 cosθ 2 + sen θ 1 cosθ 1  3 I4 =  2 r 2   2 2  sen θ 2 − sen θ 1  3 I 34 =  r 2  

(A.13)

(A.14)

(A.15)

(A.16) Fig. A.4 Elemento Circular Genérico

(4)

donde θ = ángulo interior (en radianes) de los radios en los extremos del elemento circular = πθ/180 = 0.01745θ, si θ está expresado en grados (ver Fig. A.4). R = distancia radial del centro de curvatura al paño interior de la esquina circular. r = distancia radial del centro de curvatura al centro de línea del elemento circular. = R + t/2 Los valores de l, C1 y C2 mostrados en la Fig. A.4 están dados por las siguientes expresiones:

l = (θ 2 − θ 1 )r

(A.17)

C1 =

(sen θ 2 − sen θ 1 )r θ 2 − θ1

(A.18)

C2 =

(cosθ 1 − cosθ 2 )r θ 2 − θ1

(A.19)

Las ecuaciones de propiedades geométricas de elementos circulares pueden simplificarse significativamente si se consideran los siguientes casos:

419 Caso I: θ1 = 0; θ2 = 90° (Ver Fig. A.5)

l = πr / 2 = 1.57 r C = 0.637 r

I 1 = I 2 = 0.149r 3 ; I 12 = −0.137 r 3 I 3 = I 4 = 0.785r 3 ; I 34 = 0.50r 3

Fig. A.5 Elemento Circular de 90°

(4)

Caso II; θ1 = 0; θ2 = θ (Ver Fig. A.6)

l = θr r sen θ r (1 − cosθ ) C1 = ; C2 = θ θ θ + sen θ cosθ sen 2 θ  3 I1 =  − r 2 θ  

θ − sen θ cosθ (1 − cosθ ) 2  3 − I2 =  r 2 θ   I 12

(A.20)

(A.21) (4)

Fig A.6 Elemento Circular de θ

 sen 2 θ sen θ (cosθ − 1)  3 = + r θ  2 

 sen 2 θ  3 θ + sen θ cosθ  3 θ − sen θ cosθ  3 = I3 =  r I r I ; ; = 4 34  r    2 2   2  A.3 Propiedades Geométricas de Perfiles Típicos A continuación se presentan las ecuaciones para calcular las propiedades geométricas de los perfiles laminados en frío mas comúnmente usados en la actualidad. Las ecuaciones están basadas en las siguientes consideraciones: 1. Se usan tres tipos diferentes de dimensiones: letras mayúsculas (A) para representar las dimensiones externas, letras minúsculas testadas ( a ) para representar dimensiones de centro de línea y letras minúsculas simples ( a ) para representar dimensiones planas o rectas. Las dimensiones planas se requieren para calcular propiedades como los momentos de inercia, donde las esquinas se asumen redondeadas. Las dimensiones de centro de línea se requieren para calcular las propiedades torsionantes como Cw, donde las esquinas se asumen en escuadra. Las dimensiones externas se usan debido a que son usualmente las dimensiones referenciadas en las tablas de perfiles. 2. Todas las ecuaciones consideran esquinas redondeadas, excepto las usadas para calcular las propiedades torsionantes (Cw, m y j). Estas ecuaciones consideran aproximaciones en escuadra de las esquinas con la excepción de las propiedades de momento de inercia y área usadas en dichas ecuaciones, cuyas ecuaciones correspondientes consideran esquinas redondeadas. El error introducido en el cálculo de las propiedades torsionantes debido a la aproximación en escuadra de las esquinas es insignificante para los usos requeridos en el

420

diseño estructural de perfiles con relación pequeña de radio de curvatura a espesor en esquinas. 3. Para los cálculos de momentos de inercia se desprecia el momento de inercia de los elementos rectos con respecto a su propio eje cuando dicho eje representa el eje débil. Se consideran los momentos de inercia de las esquinas redondeadas con respecto a sus propios ejes para tomar en cuenta el caso de perfiles con esquinas con radios de curvatura grandes. 4. Todas las ecuaciones son para calcular las propiedades geométricas de la sección completa, no reducida. A3.1 Perfiles Angulares de Lados Iguales (con Simetría Simple) Con y Sin Labios Atiesadores (Figs. A.7 y A.8).

Fig. A.7 Angular con labios atiesadores

(4)

Fig. A.8 Angular sin labios atiesadores

1. Parámetros Básicos

a = A′ − [r + t / 2 + α (r + t / 2)] a = A′ − [t / 2 + αt / 2] c = α [C ′ − (r + t / 2)] c = α [C ′ − t / 2] u = πr / 2 = 1.57 r α = 1.0 para perfiles con labios atiesadores α = 0 para perfiles sin labios atiesadores

(A.22) (A.23) (A.24) (A.25) (A.26)

2. Area de la Sección

A = t [2a + u + 2α (c + u )]

(A.27)

3. Distancias entre el Centroide y la Línea Central de Almas (Lados)

x=y=

   t  a c   a + r  + u (0.363r ) + α c a + + 3r  + u (a + 2r )  A 2 2     

(A.28)

(4)

421

Para obtener la distancia a las fibras extremas sumar t/2 a la expresión anterior. 4. Momentos de Inercia con Respecto a los Ejes x y y 2   a  a3  I x = I y = t a  + r  + + u (0.363r ) 2 + 0.149r 3 + αξ  − Ax 2   2   12

(A.29)

2

c3 c  donde ξ = c ( a + 2r ) + + c + r  + u (a + 1.637 r ) 2 + u (0.363r ) 2 + 2(0.149)r 3 12  2  2

5. Producto de Inercia con Respecto a los Ejes x y y

{

}

I xy = t u (0.363r ) 2 − 0.137 r 3 + 2αξ − Ax y donde

(A.30)

c  ξ = c(a + 2r ) + r  + 0.137 r 3 + u (a + 1.637 r )(0.363r ) 2 

6. Momento de Inercia con Respecto al Eje y2

I y2 = I x + I xy

(A.31)

7. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central de Esquina en Escuadra

m=

 a c 2 2  3a − 2c  3 3 2  2a − ( a − c ) 

(A.32)

8. Constante Torsionante de St. Venant

J=

t3 [2a + u + 2α (c + u )] 3

(A.33)

9. Constante de Alabeo

Cw =

 a 4 c 3 t  4a + 3c  3 3 6  2a − ( a − c ) 

(A.34)

10. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante

x o = − ( x 2 + m)

(A.35)

El signo negativo indica que xo se mide en la dirección negativa del eje x. 11. Parámetro Usado en la Determinación del Momento Elástico Crítico

j=

t 2 ( a 4 + 4a 3 c − 6a 2 c 2 + c 4 ) − x o 48I y2

(A.36)

422 A3.2 Perfiles Canal (con Simetría Simple) Con y Sin Labios Atiesadores y Perfiles Sombrero (con Simetría Simple) (ver Figs A.9 a A.11).

Fig. A.9 Perfil C con labios atiesadores

(4)

Fig. A.11 Perfil Sombrero con atiesadores

Fig. A.10 Perfil C sin labios atiesadores

(4)

1. Parámetros Básicos

a = A′ − (2r + t ) a = A′ − t b = B ′ − [r + t / 2 + α (r + t / 2)] b = B′ − (t / 2 + αt / 2) c = α [C ′ − (r + t / 2)] c = α (C ′ − t / 2) u = πr / 2 = 1.57 r

(A.37) (A.38) (A.39) (A.40) (A.41) (A.42) (A.43)

(4)

423

α = 1.0 para perfiles con labios atiesadores α = 0 para perfiles sin labios atiesadores 2. Area de la Sección

A = t [a + 2(b + u ) + 2α (c + u )]

(A.44)

3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x

[

]

I x = 2t 0.0417 a 3 + b(a / 2 + r ) 2 + u (a / 2 + 0.637 r ) 2 + 0.149r 3 + αξ (A.45) c 3 2 2 3 para perfil canal donde ξ = 0.0833c + ( a − c ) + u ( a / 2 + 0.637 r ) + 0.149r 4 c ξ = 0.0833c 3 + (a + c + 4r ) 2 + u (a / 2 + 1.363r ) 2 + 0.149r 3 para perfil sombrero 4 4. Distancia entre el Centroide y la Línea Central del Alma

x=

2t {b(b / 2 + r ) + u (0.363r ) + α [u (b + 1.637r ) + c(b + 2r )]} A

(A.46)

5. Momento de Inercia con Respecto al Eje y

[

]

I y = 2t b(b / 2 + r ) 2 + 0.0833b 3 + 0.356r 3 + αξ − Ax 2 donde

(A.47)

ξ = c(b + 2r ) 2 + u (b + 1.637 r ) 2 + 0.149r 3

6. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central del Alma Perfil Canal:

  3a 2 b + αc (6a 2 − 8c 2 ) m = b 3 2 2 2   a + 6a b + αc (8c − 12a c + 6a ) 

(A.48)

Perfil Sombrero:

  3a 2 b + αc (6a 2 − 8c 2 ) m = b 3 2 2 2   a + 6a b + αc (8c + 12a c + 6a ) 

(A.49)

7. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante

x o = −( x + m ) El signo negativo indica que xo se mide en la dirección negativa del eje x.

(A.50)

424

8. Constante Torsionante de St. Venant

J=

t3 [a + 2(b + u ) + 2α (c + u)] 3

(A.51)

9. Constante de Alabeo Perfil Canal:

Cw = donde

 a 2b 2t  2a 3 b + 3a 2 b 2 + αξ  2 3 2  12  6a b + (a + 2c α ) − 24a c α 

(A.52)

ξ = 48c 4 + 112b c 3 + 8a c 3 + 48a b c 2 + 12a 2 c 2 + 12a 2 b c + 6a 3 c

Perfil Sombrero:

a 2 b 2 t  2a 3 b + 3a 2 b 2 + αξ  Cw =   12  6a 2 b + (a + 2c α ) 3  donde

(A.53)

ξ = 48c 4 + 112b c 3 + 8a c 3 − 48a b c 2 − 12a 2 c 2 + 12a 2 b c + 6a 3 c

10. Parámetro βw

 tx a 3  β w = − + tx 3 a   12 

(A.54)

11. Parámetro βf

βf =

[

]

[

t ta 2 (b − x ) 4 − x 4 + (b − x ) 2 − x 2 2 4

]

(A.55)

12. Parámetro βl Perfil Canal: Perfil Sombrero:

[

]

2   β l = α 2c t (b − x ) 3 + t (b − x ) (a / 2) 3 − (a / 2 − c ) 3  3   2 β l = 2c t (b − x ) 3 + t (b − x ) (a / 2 + c ) 3 − (a / 2) 3 3

[

]

(A.56) (A.57)

13. Parámetro Usado para la Determinación del Momento Elástico Crítico

j=

1 (β w + β f + β l ) − xo 2I y

(A.58)

425 A3.3 Perfiles I con Patines Desiguales (con Simetría Simple) y Perfiles T (con Simetría Simple) (Figs. A.12 y A.13)

Fig. A.12 Perfil I con patines desiguales

(4)

(4)

Fig. A.13 Perfil T

1. Parámetros Básicos

a = A′ − [r + t / 2 + α (r + t / 2)] a = A′ − (t / 2 + αt / 2) b = B ′ − (r + t / 2) b = B′ − t / 2 c = α [C ′ − (r + t / 2)] c = α (C ′ − t / 2) u = πr / 2 = 1.57 r α = 1.0 para perfiles con labios atiesadores α = 0 para perfiles sin labios atiesadores

(A.59) (A.60) (A.61) (A.62) (A.63) (A.64) (A.65)

2. Area de la Sección

A = t [2(a + b) + 2u + 2α (c + u )]

(A.66)

3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x

[

I x = 2t b(b / 2 + r + t / 2) 2 + 0.0833b 3 + u (0.363r + t / 2) 2 + 0.149r 3 + αξ donde

]

(A.67)

ξ = c(c / 2 + r + t / 2) 2 + 0.0833b 3 + u (0.363r + t / 2) 2 + 0.149r 3

4. Distancia entre el Centroide y la Línea Central del Patín de Mayor Dimensión

x=

2t {0.363ru + a(a / 2 + r ) + α [u (a + 1.637 r ) + c(a + 2r )]} A

(A.68)

426 5. Momento de Inercia con Respecto al Eje y

[

]

I y = 2t 0.358r 3 + a(a / 2 + r ) 2 + 0.0833a 3 + αξ − Ax 2 donde

(A.69)

ξ = u (a + 1.637 r ) 2 + 0.149r 3 + c(a + 2r ) 2

6. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central del Patín de Mayor Dimensión

 b3   m = a 1 − 3 3  + b c  

(A.70)

7. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante

x o = −( x + m )

(A.71)

El signo negativo indica que xo se mide en la dirección negativa del eje x. 8. Constante Torsionante de St. Venant

J=

t3 [a + b + u + α (c + u )] 3

(A.72)

9. Constante de Alabeo Para perfiles I el valor de Cw es dos veces el valor dado para cada perfil canal si se atornillan al centro de las almas; sin embargo, si ambos perfiles canal son soldados en forma continua en ambos extremos del alma para formar el perfil I, las constantes de alabeo se calculan mediante las siguientes expresiones: Perfiles I y T sin Labios:

ta 2 Cw = 12

 8b 3 c 3   3  3  b +c 

(A.73)

Perfiles con Simetría Doble y con Labios Atiesadores:

(

tb 2 2 Cw = a b + 3a 2 c + 6a c 2 + 4c 3 3

)

(A.74)

10. Parámetro usado para la Determinación del Momento Elástico Crítico

j=

   2 b2  1 t  c2  2  + (a − x ) 4 − x 4  − xo 2c (a − x ) (a − x ) +  − 2 x b  x + 2I y  3 3  2   

[

]

(A.75)

427 A3.4 Perfiles Z (con Simetría con Respecto a un Punto) Con y Sin Labios Atiesadores (Figs. A.14 y A.15)

Fig. A.14 Perfil Z con labios atiesadores

(4)

Fig. A.15 Perfil Z sin labios atiesadores

(4)

1. Parámetros Básicos

a = A′ − (2r + t ) a = A′ − t b = B ′ − [r + t / 2 + α (r + t / 2)tan(γ / 2)] b = B ′ − [t / 2 + (αt / 2)tan(γ / 2)] c = α [C ′ − (r + t / 2)tan(γ / 2)] c = α [C ′ − (t / 2)tan(γ / 2)] u1 = πr / 2 = 1.57 r u 2 = γr , donde γ está dado en radianes α = 1.0 para perfiles con labios atiesadores α = 0 para perfiles sin labios atiesadores

(A.76) (A.77) (A.78) (A.79) (A.80) (A.81) (A.82) (A.83)

2. Area de la Sección

A = t [a + 2(b + u1 ) + 2α (c + u 2 )]

(A.84)

3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x

[

I x = 2t 0.0417 a 3 + b(a / 2 + r ) 2 + u1 (a / 2 + 0.637 r ) 2 + 0.149r 3 + αξ

]

(A.85)

428

donde

 γ + sen γ cos γ sen 2 γ ξ =  − 2 γ 

 3  a r sen γ r + u 2  + γ 2 

2

 c 3 sen 2 γ c a   + + c + r cos γ − sen γ  12 2 2  

4. Momento de Inercia con Respecto al Eje y

  b3 I y = 2t b(b / 2 + r ) 2 + + 0.356r 3 + αξ  12  

(A.86)

 c c 3 cos 2 γ r (1 − cos γ )    + u 2 b + r + donde ξ = c b + r (1 + sen γ ) + cos γ  +  2 12 γ     2

2

 γ − sen γ cos γ (1 − cos γ ) 2  3 + − r 2 γ   5. Producto de Inercia (ver nota abajo):

[

I xy = 2t b(a / 2 + r )(b / 2 + r ) + 0.50r 3 + 0.285ar 2 + αξ

]

(A.87)

donde 2 c c   sen γ sen γ (cos γ − 1)  3   a + ξ = c b + r (1 + sen γ ) + cos γ   + r cos γ − sen γ  +  r 2 2 γ   2   2  3  c sen γ cos γ r (1 − cos γ )   a r sen γ  − + u 2 b + r +  2 + γ  12 γ   

6. Angulo entre el Eje x y el Eje Principal Menor, en Radianes (ver nota abajo):

θ=

 2 I xy π + 0.50tan −1   Iy − Ix 2 

   

(A.88)

7. Momento de Inercia con Respecto al Eje x2

I x2 = I x cos 2 θ + I y sen 2 θ − 2 I xy sen θ cosθ

(A.89)

8. Momento de Inercia con Respecto al Eje y2

I y2 = I x sen 2 θ + I y cos 2 θ + 2 I xy sen θ cosθ

(A.90)

Nota: Los signos algebráicos en las Ecs. A.87 a A.90 son correctos para la sección orientada con respecto a los ejes como se muestra en las Figs. A.14 y A.15. 9. Radio de Giro con Respecto al Eje x2 (Radio de Giro Mínimo):

rx2 = I x2 / A

(A.91)

2

429

10. Constante Torsionante de St. Venant

J=

t3 [a + 2(b + u1 ) + 2α (c + u 2 )] 3

(A.92)

11. Constante de Alabeo

Cw =

t  a 2 b 3 (2a + b ) + αξ    12  a + 2(b + αc ) 

(A.93)

donde

ξ = b 2 (4c 4 + 16b c 3 + 6a 3 c + 4a 2 b c + 8a c 3 ) + 6a b c 2 (a + b )(2b sen γ + a cos γ ) + 4a b c 3 (2a + 4b + c ) sen γ cos γ + c 3 (2a 3 + 4a 2 b − 8a b 2 + a 2 c − 16b 3 − 4b 2 c ) cos 2 γ A3.5 Cálculo de Radios de Giro y Módulos de Sección Excluidas de las ecuaciones de propiedades geométricas dadas con anterioridad están las ecuaciones de radio de giro (excepto para el radio de giro mínimo de perfiles Z) y de módulos de sección. Dichas ecuaciones son de carácter general y están dadas por las siguientes expresiones: 1. Radio de Giro con Respecto al Eje i:

ri = I i / A

Donde Ii = Ix, Iy, Ix2 o Iy2, según sea el caso. 2. Módulo de Sección con Respecto al Eje i:

Si = I i / d

Donde d es la distancia del eje centroidal a la fibra extrema en la dirección perpendicular al eje i. Por ejemplo, si se requiere calcular el módulo de sección con respecto al eje x, Sx, (o sea, i = x), el valor de d se obtiene calculando la distancia desde el centroide hasta la fibra extrema en la dirección del eje y. De la misma manera, para calcular Sy (o sea, i = y), el valor de d se obtiene calculando la distancia desde el centroide a la fibra extrema en la dirección del eje x. Cuando la determinación de la distancia no pueda obtenerse por simple inspección, se pueden usar las ecuaciones para calcular las distancias desde el centroide hasta la línea central de elementos extremos que fueron dadas con anterioridad. Para obtener la distancia a la fibra extrema solo es necesario sumar la mitad del espesor del perfil al valor obtenido por dichas ecuaciones. Cabe mencionar que las ecuaciones dadas aquí pueden ser usadas para preparar tablas de las propiedades geométricas requeridas en diseño de los perfiles laminados en frío. El Manual de Diseño del AISI 1996 contiene tablas de propiedades para perfiles canal, sombrero, Z y angulares, con y sin labios atiesadores. Sin embargo, es importante aclarar que dichos perfiles no son perfiles estándar. Como se menciona en el Art.1.5, en la actualidad no se ha establecido la estandarización formal de perfiles estructurales de acero laminado en frío, como es el caso de los perfiles de acero laminado en caliente, donde existe un acuerdo formal entre diseñadores y fabricantes para definir los diferentes tipos de perfiles disponibles y las tablas de propiedades correspondientes se consignan en las Especificaciones del AISC. La falta de estandarización no necesariamente es un aspecto negativo, ya que una de las ventajas de los perfiles laminados en frío es la gran versatilidad de configuraciones geométricas que pueden formarse a partir de láminas delgadas de acero. La estandarización tiende a restringir dicha versatilidad. Por consiguiente, la preparación de tablas de propiedades y otras ayudas de diseño gráficas y/o tabulares se ha dejado bajo la responsabilidad de los fabricantes de perfiles, en función de sus propios diseños de configuraciones.

430 A4 Ejemplos de Aplicación Los ejemplos a continuación pretenden ilustrar el uso de las ecuaciones de propiedades geométricas para los diferentes tipos de perfiles laminados en frío dados anteriormente. Debido a que las dimensiones de espesor son pequeñas, se consideran las dimensiones iniciales de los perfiles en milímetros para mantener una precisión aceptable en los cálculos. Sin embargo por conveniencia práctica, las dimensiones finales calculadas, cuyos valores numéricos finales en milímetros son considerables, se expresan también en centímetros. Ejemplo A1. Calcular las propiedades geométricas del perfil canal con labios atiesadores dado en la Fig. EA1.

(4)

Fig. EA1 Ejemplo A1 (cotas en mm) .

De la Fig. EA1 se obtiene:

A’ = 228.60 mm B’ = 76.20 mm C’ = 12.70 mm R = 6.350 mm t = 1.524 mm

1. Parámetros Básicos (ver Ecs. A.37 a A.43): α r

a a b b c c u

= 1, ya que existen labios atiesadores. = R + t/2 = 6.35 + 1.524/2 = 7.112 mm = 228.60 – [2(7.112) + 1.524] = 212.852 mm = 228.60 – 1.524 = 227.076 mm = 76.20 – [7.112 + 1.524/2 + 1.0(7.112 + 1.524/2)] = 60.452 mm = 76.20 –[1.524/2 + 1.0(1.524/2)] = 74.658 mm = 1.0[12.7 – (7.112 + 1.524/2)] = 4.826 mm = 1.0[12.7 – 1.524/2] = 11.938 mm = π(7.112)/2 = 11.172 mm

2. Area de la Sección (ver Ec. A.44):

A = 1.524[212.852 + 2(60.452 + 11.172) + 2(1.0)(4.826 + 11.172)] = 591.458 mm2 2

= 5.914 cm

431 3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x (ver Ec. A.45):

ξ = 0.0833(4.826)3 + 4.826/4(212.852 – 4.826)2 + 11.172[212.852/2 + 0.637(7.112)]2 3

3

+ 0.149(7.112) = 189815.987 mm

I x = 2(1.524){0.0417(212.852)3 + 60.452(212.852/2 + 7.112)2 + 0.149(7.112)3 2

4

+ 11.172[212.852/2 + 0.637(7.112)] + 1.0(189815.987)} = 4598356.617 mm 4 = 459.836 cm 4. Distancia entre el Centroide y la Línea Central del Alma (ver Ec. A.46):

x = 2(1.524)/591.458{60.452(60.452/2 + 7.112) + 11.172(0.363)7.112 + 1.0[11.172(60.452 + 1.637(7.112)) + 4.826(60.452 + 2(7.112)]} = 17.789 mm = 1.779 cm 5. Momento de Inercia con Respecto al Eje y (ver Ec. A.47):

I y = 2(1.524){60.452(60.452/2 + 7.112)2 + (60.452)3/12 + 0.356(7.112)3 2

2

3

+ 1.0[4.826(60.452 + 2(7.112)) + 11.172(60.452 + 1.637(7.112)) + 0.149(7.112) ]} 2 4 4 - 591.458(17.789) = 385397.722 mm = 38.540 cm 6. Módulos de Sección con Respecto a los Ejes x y y:

Sx = Sy =

Ix I = x = 4598356.617/[0.5(228.6)] = 40230.592 mm3 = 40.231 cm3 d y 0.5 A′ Iy dx

=

Iy B ′ − ( x + t / 2)

3

= 385397.722/{76.2 – [17.789 + 0.5(1.524)]} = 6685.246 mm 3

= 6.685 cm 7. Radios de Giro con Respecto a los Ejes x y y:

rx =

ry =

Ix = A

4598356.617 = 88.174 mm = 8.817 cm 591.458

Iy

385397.722 = 25.527 mm = 2.553 cm 591.458

A

=

8. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central del Alma (ver Ec. A.48):

m = 74.658{3(227.076)2(74.658) + 1.0(11.938)[6(227.076)2 - 8(11.938)2]}/{(227.076)3 2

2

2

+ 6(227.076) (74.658) + 1.0(11.938)[8(11.938) – 12(227.076)(11.938) + 6(227.076) ]} = 74.658{15228665.78}/{38125265.4} = 29.821 mm = 2.982 cm 9. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante (ver Ec. A.50):

xo = - (17.789 + 29.821) = - 47.610 mm = - 4.761 cm 10. Constante Torsionante de St. Venant (ver Ec. A.51):

J = (1.524)3/3[212.852 + 2(60.452 + 11.172) + 2(1.0)(4.826 + 11.172)] = 457.902 mm4 4

= 0.0458 cm

432

11. Constante de Alabeo (ver Ec. A.52):

ξ = 48(11.938)4+112(74.658)(11.938)3+8(227.076)(11.938)3+48(227.076)(74.658)(11.938)2 2

2

2

3

+12(227.076) (11.938) +12(227.076) (74.658)(11.938)+6(227.076) (11.938) 4 = 1612609763 mm

C w = (227.076)2(74.658)2(1.524)/12{2(227.076)3(74.658) + 3(227.076)2(74.658)2 2

3

+ 1.0(1612609763)}/{6(227.076) (74.658) + [227.076 + 1.0(2)(11.938)] 2 - 1.0(24)(227.076)(11.938) } = 36500506.82{4223142948}/{38125265.4} 6 6 = 4043168129 mm = 4043.168 cm 12. Parámetro βw (ver Ec. A.54):

β w = -[1.524(17.789)(227.076)3/12 + 1.524(17.789)3(227.076)] = - 28400734.42 mm5 5

= - 284.007 cm 13. Parámetro βf (ver Ec. A.55):

β f = 1.524/2[(74.658 – 17.789)4 – (17.789)4] + (1.524)(227.076)2/4[(74.658 – 17.789)2 2

5

5

- (17.789) ] = 65212642.27 mm = 652.126 cm

14. Parámetro βl (ver Ec. A.56): β l = 1.0{2(11.938)(1.524)(74.658 – 17.789)3 + 2/3(1.524)(74.658 – 17.789)[(227.076/2)3 3

5

5

- (227.076/2 – 11.938) ]} = 30660826.17 mm = 306.608 cm

15. Parámetro para Determinar el Momento Crítico Elástico (ver Ec. A.57):

j = 1/[2(38.540)][-284.007 + 652.126 + 306.608] – (-4.761) = 13.514 cm

433 Ejemplo A2. Calcular las propiedades geométricas del perfil canal sin labios atiesadores dado en la Fig. EA2.

(4)

Fig. EA2 Ejemplo A2 (cotas en mm) .

De la Fig. EA2 se obtiene:

A’ = 139.70 mm B’ = 31.75 mm C’ = 0 R = 4.763 mm t = 1.448 mm

1. Parámetros Básicos (ver Ecs. A.37 a A.43): α r

a a b b c c u

= 0, ya que no existen labios atiesadores. = R + t/2 = 4.763 + 1.448/2 = 5.487 mm = 139.70 – [2(5.487) + 1.448] = 127.278 mm = 139.70 – 1.448 = 138.252 mm = 31.75 – [5.487 + 1.448/2 + 0] = 25.539 mm = 31.75 – (1.448/2 + 0) = 31.026 mm =0 =0 = π(5.487)/2 = 8.619 mm

2. Area de la Sección (ver Ec. A.44):

A = 1.448[127.278 + 2(25.539 + 8.619) + 0] = 283.220 mm2 = 2.832 cm2 3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x (ver Ec. A.45):

I x = 2(1.448){0.0417(127.278)3 + 25.539(127.278/2 + 5.487)2 + 0.149(5.487)3 2

4

4

+ 8.619[127.278/2 + 0.637(5.487)] + 0} = 714981.462 mm = 71.498 cm

434

4. Distancia entre el Centroide y la Línea Central del Alma (ver Ec. A.46):

x = 2(1.448)/283.220{25.539(25.539/2 + 5.487) + 8.619(0.363)5.487 + 0} = 4.943 mm = 0.494 cm 5. Momento de Inercia con Respecto al Eje y (ver Ec. A.47):

I y = 2(1.448){25.539(25.539/2 + 5.487)2 + (25.539)3/12 + 0.356(5.487)3 + 0} 2

4

4

- 283.220(4.943) = 21921.525 mm = 2.192 cm 6. Módulos de Sección con Respecto a los Ejes x y y:

Sx = Sy =

Ix I = x = 714981.462/[0.5(139.7)] = 10235.955 mm3 = 10.236 cm3 d y 0.5 A′ Iy dx

=

Iy B ′ − ( x + t / 2)

3

= 21921.525/{31.75 – [4.943 + 0.5(1.448)]} = 840.453 mm 3

= 0.840 cm 7. Radios de Giro con Respecto a los Ejes x y y:

rx =

ry =

Ix = A

714981.462 = 50.244 mm = 5.024 cm 283.22

Iy

21921.525 = 8.798 mm = 0.878 cm 283.22

A

=

8. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central del Alma (ver Ec. A.48):

m = 31.026{3(138.252)2(31.026) + 0}/{(138.252)3 + 6(138.252)2(31.026) + 0} = 8.902 mm = 0.890 cm 9. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante (ver Ec. A.50):

xo = - (4.943 + 8.902) = - 13.845 mm = - 1.385 cm 10. Constante Torsionante de St. Venant (ver Ec. A.51):

J = (1.448)3/3[127.278 + 2(25.539 + 8.619) + 0] = 197.943 mm4 = 0.0198 cm4 11. Constante de Alabeo (ver Ec. A.52):

C w = (138.252)2(31.026)2(1.448)/12{2(138.252)3(31.026) + 3(138.252)2(31.026)2 2

3

6

6

+ 0}/{6(138.252) (31.026) + [138.252 + 0] - 0} = 78474179.12 mm = 78.474 cm 12. Parámetro βw (ver Ec. A.54):

β w = -[1.448(4.943)(138.252)3/12 + 1.448(4.943)3(138.252)] = - 1600308.1 mm5 5

= - 16.003 cm

435 13. Parámetro βf (ver Ec. A.55):

β f = 1.448/2[(31.026 – 4.943)4 – (4.943)4] + (1.448)(138.252)2/4[(31.026 – 4.943)2 2

5

5

- (4.943) ] = 4872848.295 mm = 48.728 cm 14. Parámetro βl (ver Ec. A.56):

βl = 0 15. Parámetro para Determinar el Momento Crítico Elástico (ver Ec. A.57):

j = 1/[2(2.192)][-16.003 + 48.728 + 0] – (-1.385) = 8.850 cm Ejemplo A3. Calcular las propiedades geométricas del perfil zeta con labios atiesadores dado en la Fig. EA3.

(4)

Fig. EA3 Ejemplo A3 (cotas en mm) .

De la Fig. EA3 se obtiene:

A’ = 203.20 mm B’ = 63.50 mm C’ = 19.05 mm R = 4.763 mm t = 1.524 mm γ = 50°

1. Parámetros Básicos (ver Ecs. A.76 a A.83): γ (radianes) = 50(π/180) = 0.8727 α = 1, ya que existen labios atiesadores. r = R + t/2 = 4.763 + 1.524/2 = 5.525 mm a = 203.20 – [2(5.525) + 1.524] = 190.626 mm a = 203.20 – 1.524 = 201.676 mm b = 63.50 – [5.525 + 1.524/2 + 1.0(5.525 + 1.524/2)tan(0.8727/2)] = 54.281 mm

436

b c c u1 u2

= 63.50 –[1.524/2 + 1.0(1.524/2)tan(0.8727/2)] = 62.383 mm = 1.0[19.05 – (5.525 + 1.524/2)tan(0.8727/2)] = 16.118 mm = 1.0[19.05 – 1.524/2tan(0.8727/2)] = 18.695 mm = π(5.525)/2 = 8.679 mm = 0.8727(5.525) = 4.822 mm

2. Area de la Sección (ver Ec. A.84):

A = 1.524[190.626 + 2(54.281 + 8.679) + 2(1.0)(16.118 + 4.822)] = 546.241 mm2 2

= 5.462 cm

3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x (ver Ec. A.85):

ξ = {[(0.8727 + sen(0.8727)cos(0.8727)]/2 – sen2(0.8727)/0.8727}(5.525)3 2

3

2

+ 4.822[190.626/2 + (5.525)sen(0.8727)/0.8727] + (16.118) sen (0.8727)/12 2 3 + 16.118[190.626/2 + (5.525)cos(0.8727) – (16.118/2)sen(0.8727)] = 187062.034 mm

I x = 2(1.524){0.0417(190.626)3 + 54.281(190.626/2 + 5.525)2 + 0.149(5.525)3 2

4

+ 8.679[190.626/2 + 0.637(5.525)] + 1.0(187062.034)} = 3391401.829 mm 4 = 339.140 cm 4. Momento de Inercia con Respecto al Eje y (ver Ec. A.86):

ξ = 16.118{54.281 + 5.525[1 + sen(0.8727)] + (16.118/2)cos(0.8727)}2 3

2

+ (16.118) cos (0.8727)/12 + 4.822{54.281 + 5.525 + 5.525[1 – cos(0.8727)]/0.8727} 2 3 + {[0.8727 – sen(0.8727)cos(0.8727)]/2 – [1 – cos(0.8727)] /0.8727}(5.525) 3 = 95952.449 mm

2

I y = 2(1.524)[54.281(54.281/2 + 5.525)2 + (54.281)3/12 + 0.356(5.525)3 4

4

+ 1.0(95952.449)] = 509808.869 mm = 50.981 cm 5. Producto de Inercia (ver Ec. A.87):

ξ = 16.118{54.281 + 5.525[1 + sen(0.8727)] + (16.118/2)cos(0.8727)}[190.626/2 2

+ 5.525cos(0.8727) – (16.118/2)sen(0.8727)] + {sen (0.8727)/2 3 3 + sen(0.8727)[cos(0.8727) – 1]/0.8727}(5.525) – (16.118) sen(0.8727)cos(0.8727)/12 + 4.822{54.281 + 5.525 + 5.525[1 – cos(0.8727)]/0.8727}[190.626/2 3 + 5.525sen(0.8727)/0.8727)] = 133214.0596 mm

I xy = 2(1.524)[54.281(190.626/2 + 5.525)(54.281/2 + 5.525) + 0.50(5.525)3 2

4

4

+ 0.285(190.626)(5.525) + 1.0(133214.0596)] = 956323.006 mm = 95.632 cm 6. Módulos de Sección con Respecto a los Ejes x y y:

Sx = Sy =

Ix I = x = 3391401.829/[0.5(203.2)] = 33379.939 mm3 = 33.380 cm3 d y 0.5 A′ Iy dx

=

Iy B ′ − t / 2 + C ′ cos γ

= 509808.869/{63.50 – 0.5(1.524) + 19.05cos(0.8727)} 3

3

= 6799.030 mm = 6.799 cm

437 7. Radios de Giro con Respecto a los Ejes x y y:

rx =

ry =

Ix 3391401.829 = = 78.795 mm = 7.879 cm A 546.241 Iy A

=

509808.869 = 30.550 mm = 3.055 cm 546.241

8. Angulo entre el Eje x y el Eje Principal Menor, en Radianes (ver Ec. A.88):

θ = π/2 + 0.5tan-1[2(956323.006)/(509808.869 – 3391401.829)] = 1.278 rad = 73.21° 9. Momento de Inercia con Respecto al Eje x2 (ángulos en radianes) (ver Ec. A.89):

I x2 = 3391401.829cos2(1.278) + 509808.896sen2(1.278)

4

4

– 2(956323.006)sen(1.1278)cos(1.278) = 221314.263 mm = 22.131 cm

10. Momento de Inercia con Respecto al Eje y2 (ángulos en radianes) (ver Ec. A.90):

I y 2 = 3391401.829sen2(1.278) + 509808.896cos2(1.278)

4

4

+ 2(956323.006)sen(1.1278)cos(1.278) = 3679896.459 mm = 367.990 cm 11. Radio de Giro con Respecto al Eje x2 (Radio de Giro Mínimo) (ver Ec. A.91):

rmin =

221314.263 = 20.129 mm = 2.013 cm 546.241

12. Constante Torsionante de St. Venant (ver Ec. A.92):

J = (1.524)3/3[190.626 + 2(54.281 + 8.679) + 2(1.0)(4.822 + 16.118)] = 422.895 mm4 4

= 0.0423 cm 13. Constante de Alabeo (ver Ec. A.93):

ξ = (62.383)2[4(18.695)4 + 16(62.383)(18.695)3 + 6(201.676)3(18.695) 2

3

+ 4(201.676) (62.383)(18.695) + 8(201.676)(18.695) ] 2 + 6(201.676)(62.383)(18.695) (201.676 + 62.383)[2(62.383)sen(0.8727) 3 + 201.676cos(0.8727)] + 4(201.676)(62.383)(18.695) [2(201.676) + 4(62.383) 3 3 2 + 18.695]sen(0.8727)cos(0.8727) + (18.695) [2(201.676) + 4(201.676) (62.383) 2 2 3 - 8(201.676)(62.383) + (201.676) (18.695) – 16(62.383) 2 2 12 6 – 4(62.383) (18.695)]cos (0.8727) = 6.11064 x 10 mm

C w = 1.524/12{(201.676)2(62.383)3[2(201.676) + 62.383] + 1.0(6.11064 x 1012)}/[201.676 6

6

+ 2(62.383) + 1.0(2)18.695] = 3738266503 mm = 3738.267 cm

438 Ejemplo A4. Calcular las propiedades geométricas del perfil angular con labios atiesadores dado en la Fig. EA4.

(4)

Fig. EA4 Ejemplo A4 (cotas en mm) .

De la Fig. EA4 se obtiene:

A’ = 101.60 mm C’ = 12.70 mm R = 4.763 mm t = 1.524 mm

1. Parámetros Básicos (ver Ecs. A.22 a A.26): α r

a a c c u

= 1, ya que existen labios atiesadores. = R + t/2 = 4.763 + 1.524/2 = 5.525 mm = 101.60 – [5.525 + 1.524/2 + 1.0(5.525 + 1.524/2)] = 89.026 mm = 101.60 – [1.524/2 + 1.0(1.524/2)] = 100.076 mm = 1.0[12.7 – (5.525 + 1.524/2)] = 6.413 mm = 1.0[12.7 – 1.524/2] = 11.938 mm = π(5.525)/2 = 8.679 mm

2. Area de la Sección (ver Ec. A.27):

A = 1.524[2(89.026) + 8.679 + 2(1.0)(6.413 + 8.679)] = 330.578 mm2 = 3.306 cm2 3. Distancia entre el Centroide y la Línea Central de Almas (ver Ec. A.28):

x = y = 1.524/330.578{89.062(89.062/2 + 5.525) + 8.679[0.363(5.525)] + 1.0[6.413(89.062 + 6.413/2 + 3(5.525) + 8.679[89.062 + 2(5.525)]} = 27.856 mm = 2.786 cm

439 4. Momento de Inercia con Respecto al Eje x y y (ver Ec. A.29):

ξ = 6.413[89.026 + 2(5.525)]2 + (6.413)3/12 + 6.413(6.413/2 + 5.525)2 2

2

+ 8.679[89.026 + 1.637(5.525)] + 8.679[0.363(5.525)] + 2(0.149)(5.525) 3 = 148296.541 mm

3

I x = I y = 1.524{89.026(89.026/2 + 5.525)2 + (89.026)3/12 + 8.679[0.363(5.525)]2 3

2

4

+ 0.149(5.525) + 1.0(148296.541)} –330.578(27.856) = 399140.023 mm 4 = 39.914 cm 5. Producto de Inercia (ver Ec. A.30):

ξ = 6.413[89.062 + 2(5.525)](6.413/2 + 5.525) + 0.137(5.525)3 + 8.679[89.062 3

+ 1.637(5.525)][0.363(5.525)] = 7336.566 mm

I xy = 1.524{8.679[0.363(5.525)]2 – 0.137(5.525)3 + 2(1.0)(7336.566)} – 330.578(27.856)2 4

4

= - 234134.383 mm = -23.413 cm

6. Momento de Inercia con Respecto al Eje y2 (ver Ec. A.31):

I y 2 = 399140.023 + (-234134.383) = 165005.640 mm4 = 16.500 cm4 7. Módulos de Sección con Respecto a los Ejes x y y ( en este caso, Sx = Sy):

Sx =

Ix Ix 3 = = 399140.023/[101.60 – (27.856 + 1.524/2)] = 5469.020 mm d y A′ − ( y + t / 2) 3

= 5.469 cm 8. Radios de Giro con Respecto a los Ejes x y y2 (en este caso, rx = ry):

rx =

ry 2 =

Ix 399140.023 = = 34.748 mm = 3.475 cm A 330.578 I y2 A

=

165005.640 = 22.342 mm = 2.234 cm 330.578

9. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central de Esquina en Escuadra (ver Ec. A.32):

m = 100.076(11.938)2(2)1/2/2{[3(100.076) – 2(11.938)]/[2(100.076)3 – (100.076 – 11.938)3]} = 2.112 mm = 0.211 cm 10. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante (ver Ec. A.35):

xo = - [27.856(2)1/2 + 2.112) = - 41.506 mm = - 4.1506 cm 11. Constante Torsionante de St. Venant (ver Ec. A.33):

J = (1.524)3/3[2(89.026) + 8.679 + 2(1.0)(6.413 + 8.679)] = 255.931 mm4 = 0.0256 cm4

440

12. Constante de Alabeo (ver Ec. A.34):

C w = (100.076)4(11.938)3(1.524)/6{[4(100.076) + 3(11.938)]/[2(100.076)3 3

6

6

– (100.076 – 11.938) ]} = 14322460.05 mm = 14.322 cm

13. Parámetro para Determinar el Momento Crítico Elástico (ver Ec. A.35):

j = (2)1/2(1.524)/[48(165005.64)][(100.076)4 + 4(100.076)3(11.938) – 6(100.076)2(11.938)2 4

+ (11.938) ] – (-41.506) = 79.50 mm = 7.95 cm Ejemplo A5. Calcular las propiedades geométricas del perfil angular sin labios atiesadores dado en la Fig. EA5.

(4)

Fig. EA5 Ejemplo A5 (cotas en mm) .

De la Fig. EA5 se obtiene:

A’ = 50.80 mm C’ = 0 R = 4.763 mm t = 1.524 mm

1. Parámetros Básicos (ver Ecs. A.22 a A.26): α r

a a c c u

= 0, ya que no existen labios atiesadores. = R + t/2 = 4.763 + 1.524/2 = 5.525 mm = 50.80 – [5.525 + 1.524/2 + 0] = 44.513 mm = 50.80 – [1.524/2 + 0] = 49.838 mm =0 =0 = π(5.525)/2 = 8.679 mm

441

2. Area de la Sección (ver Ec. A.27):

A = 1.524[2(44.513) + 8.679 + 0] = 148.902 mm2 = 1.489 cm2 3. Distancia entre el Centroide y la Línea Central de Almas (ver Ec. A.28):

x = y = 1.524/148.902{44.513(44.513/2 + 5.525) + 8.679[0.363(5.525)] + 0} = 12.835 mm = 1.284 cm 4. Momento de Inercia con Respecto al Eje x y y (ver Ec. A.29):

I x = I y = 1.524{44.513(44.513/2 + 5.525)2 + (44.513)3/12 + 8.679[0.363(5.525)]2 3

2

4

4

+ 0.149(5.525) + 0} –148.902(12.835) = 39121.011 mm = 3.912 cm 5. Producto de Inercia (ver Ec. A.30):

I xy = 1.524{8.679[0.363(5.525)]2 – 0.137(5.525)3 + 0} – 148.902(12.835)2 = - 24511.713 mm4 4

= - 2.451 cm 6. Momento de Inercia con Respecto al Eje y2 (ver Ec. A.31):

I y 2 = 39121.011 + (-24511.713) = 14609.298 mm4 = 1.461 cm4 7. Módulos de Sección con Respecto a los Ejes x y y ( en este caso, Sx = Sy):

Sx =

Ix Ix 3 = = 39121.011/[50.80 – (12.835 + 1.524/2)] = 1051.555 mm d y A′ − ( y + t / 2) 3

= 1.052 cm 8. Radios de Giro con Respecto a los Ejes x y y2 (en este caso, rx = ry):

rx =

ry 2 =

Ix 39121.011 = = 16.209 mm = 1.621 cm A 148.902 I y2 A

=

14609.298 = 9.905 mm = 0.991 cm 148.902

9. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central de Esquina en Escuadra (ver Ec. A.32):

m = 0, ya que c = 0 10. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante (ver Ec. A.35):

xo = - [12.835(2)1/2 + 0) = - 18.151 mm = - 1.815 cm 11. Constante Torsionante de St. Venant (ver Ec. A.33):

J = (1.524)3/3[2(44.513) + 8.679 + 0] = 115.279 mm4 = 0.0115 cm4

442

12. Constante de Alabeo (ver Ec. A.34):

C w = 0, ya que c = 0 13. Parámetro para Determinar el Momento Crítico Elástico (ver Ec. A.35):

j = (2)1/2(1.524)/[48(14609.298)][(49.838)4 + 0 – 0 + 0] – (-18.151) = 37.112 mm = 3.711 cm Ejemplo A6. Calcular las propiedades geométricas del perfil sombrero dado en la Fig. EA6.

(4)

Fig. EA6 Ejemplo A6 (cotas en mm) .

De la Fig. EA6 se obtiene:

A’ = 114.30 mm B’ = 76.20 mm C’ = 42.418 mm R = 4.763 mm t = 3.429 mm

1. Parámetros Básicos (ver Ecs. A.37 a A.43): α r

a a b b c c u

= 1, ya que existen labios atiesadores. = R + t/2 = 4.763 + 3.429/2 = 6.478 mm = 114.30 – [2(6.478) + 3.429] = 97.915 mm = 114.30 – 3.429 = 110.831 mm = 76.20 – [6.478 + 3.429/2 + 1.0(6.478 + 3.429/2)] = 59.815 mm = 76.20 –[3.429/2 + 1.0(3.429/2)] = 72.771 mm = 1.0[42.418 – (6.478 + 3.429/2)] = 34.226 mm = 1.0[42.418 – 3.429/2] = 40.704 mm = π(6.478)/2 = 10.176 mm

2. Area de la Sección (ver Ec. A.44):

A = 3.429[97.915 + 2(59.815 + 10.176) + 2(1.0)(34.226 + 10.176)] = 1120.258 mm2 2

= 11.203 cm

443 3. Momento de Inercia con Respecto al Eje x (ver Ec. A.45):

ξ = 0.0833(34.226)3 + 34.226/4[97.915 + 34.226 + 4(6.478)]2 + 10.176[97.915/2 2

3

3

+ 1.363(6.478)] + 0.149(6.478) = 251109.159 mm

I x = 2(3.429){0.0417(97.915)3 + 59.815 (97.915/2 + 6.478)2 + 0.149(6.478)3 2

4

4

+ 10.176[97.915/2 + 0.637(6.478)] + 1.0(251109.159)} =3448116.948 mm = 344.812 cm 4. Distancia entre el Centroide y la Línea Central del Alma (ver Ec. A.46):

x = 2(3.429)/1120.258{59.815(59.815/2 + 6.478) + 10.176(0.363)6.478 + 1.0[10.176(59.815 + 1.637(6.478)) + 34.226(59.815 + 2(6.478)]} = 33.104 mm = 3.310 cm 5. Momento de Inercia con Respecto al Eje y (ver Ec. A.47):

I y = 2(3.429){59.815(59.815/2 + 6.478)2 + (59.815)3/12 + 0.356(6.478)3 2

2

3

+ 1.0[34.226(59.815 + 2(6.478)) + 10.176(59.815 + 1.637(6.478)) + 0.149(6.478) ]} 2 4 4 - 1120.258(33.104) = 1027729.942 mm = 102.773 cm 6. Módulos de Sección con Respecto a los Ejes x y y:

Sx =

Ix Ix 3 = = 3448116.948/(114.30/2 + 42.418 – 3.429) = 35865.954 mm d y A′ / 2 + C ′ − t 3

= 35.866 cm

Sy =

Iy dx

=

Iy B ′ − ( x + t / 2)

3

= 1027729.942/{76.2 – [33.104 + 0.5(3.429)]} = 24835.493 mm 3

= 24.835 cm 7. Radios de Giro con Respecto a los Ejes x y y:

rx =

ry =

Ix 3448116.948 = = 55.479 mm = 5.548 cm A 1120.258 Iy A

=

1027729.942 = 30.289 mm = 3.029 cm 1120.258

8. Distancia entre el Centro de Cortante y la Línea Central del Alma (ver Ec. A.49):

m = 72.771{3(110.831)2(72.771) + 1.0(40.704)[6(110.831)2 - 8(40.704)2]}/{(110.831)3 2

2

2

+ 6(110.831) (72.771) + 1.0(40.704)[8(40.704) + 12(110.831)(40.704) + 6(110.831) ]} = 72.771{5142065.942}/{12467652.490} = 30.013 mm = 3.001 cm 9. Distancia entre el Centroide y el Centro de Cortante (ver Ec. A.50):

xo = - (33.104 + 30.013) = - 63.117 mm = - 6.312 cm 10. Constante Torsionante de St. Venant (ver Ec. A.51):

J = (3.429)3/3[97.915 + 2(59.815 + 10.176) + 2(1.0)(34.226 + 10.176)] =4390.679 mm4 4

= 0.4391 cm

444

11. Constante de Alabeo (ver Ec. A.53):

ξ = 48(40.704)4+112(72.771)(40.704)3+8(110.831)(40.704)3-48(110.831)(72.771)(40.704)2 2

2

2

3

- 12(110.831) (40.704) + 12(110.831) (72.771)(40.704) + 6(110.831) (40.704) 4 = 624681746.1 mm

C w = (110.831)2(72.771)2(3.429)/12{2(110.831)3(72.771) + 3(110.831)2(72.771)2 2

3

+ 1.0(624681746.1)}/{6(110.831) (72.771) + [110.831 + 1.0(2)(40.704)] } 6 6 = 18587690.33{1017968072}/{12467652.49} = 1517661429 mm = 1517.66 cm 12. Parámetro βw (ver Ec. A.54):

β w = -[3.429(33.104)(110.831)3/12 + 3.429(33.104)3(110.831)] = - 26665072.8 mm5 5

= - 266.651 cm 13. Parámetro βf (ver Ec. A.55):

β f = 3.429/2[(72.711 – 33.104)4 – (33.104)4] + (3.429)(110.831)2/4[(72.771 – 33.104)2 2

5

5

- (33.104) ] = 7139158.666 mm = 71.392 cm 14. Parámetro βl (ver Ec. A.56):

β l = 2(40.704)(3.429)(72.711 – 33.104)3 + 2/3(3.429)(72.711 – 33.104)[(110.831/2 3

3

5

5

+ 40.704) – (110.831/2) ] = 82341130.44 mm = 823.411 cm

15. Parámetro para Determinar el Momento Crítico Elástico (ver Ec. A.57):

j = 1/[2(102.773)][-266.651 + 71.392 + 823.411] – (-6.312) = 9.368 cm

445 Ejemplo A7. Determinar las propiedades geométricas del panel de muro mostrado en la Fig. EA.7.

(4)

Fig. EA7 Ejemplo A7 (cotas en mm) .

En este caso no existen ecuaciones desarrolladas para calcular de manera directa las propiedades de la sección de panel. Por consiguiente, la sección será subdividida en elementos rectos, circulares o una combinación de ambos, y se usarán las ecuaciones dadas en el Art. A2.1 y A2.2 para obtener las propiedades de la sección total. Los paneles de muro trabajan a flexión debido a la presión horizontal de viento, por lo que solo se calculan las propiedades geométricas requeridas para determinar su resistencia a flexión (momentos de inercia, módulos de sección y área seccional). El panel se flexiona solo con respecto al eje x (eje centroidal horizontal), por lo que las propiedades se calculan con respecto a dicho eje. A continuación se determinan las propiedades de cada elemento de la sección: 1. Elementos de Esquina: Elementos 4 y 10. Para elementos circulares con θ1 = 0 y θ2 = 90° (Caso I, Art. A2.2): r = R + t/2 = 3.175 + 0.762/2 = 3.556 mm longitud del arco: u = 1.57r = 1.57(3.556) = 5.583 mm c = 0.637r = 0.637(3.556) = 2.265 mm distancia del centroide a la fibra extrema superior del panel: y = 3.175 + 0.762 – 2.265 = 1.672 mm 3 3 3 momento de inercia con respecto al eje x: Ix = 0.149r = 0.149(3.556) = 6.70 mm 2. Elementos en Corrugaciones: Elemento 7. Este elemento esta compuesto por dos elementos circulares con θ1 = 0 y θ2 = 45°, un elemento circular con θ1 = 0 y θ2 = 90° y dos elementos rectos inclinados (ver Fig. AE7.1). Para elementos circulares con θ1 = 0 y θ2 = 45° (Caso I, Art. A2.2): r = 3.556 mm, θ2 = 45° = 0.785 rad. c = rsenθ/θ = 3.556sen(0.785)/0.785 = 3.202 mm n = 8.89 – 2(3.556)[1 – cos(0.785)] = 6.809 mm longitud de elemento circular inferior: lb = n/senθ = 6.809/sen(0.785) = 9.633 mm longitud de elementos rectos inclinados: la = θr = 0.785(3.556) = 2.791 mm momento de inercia de elementos rectos inclinados con respecto a su eje x (ver Ec. A.7): 2 2 3 Ixx = 2[(1/12)lbn ] = 2(1/12)9.633(6.809) = 74.435 mm Momento de inercia de elementos circulares con respecto a su eje x (ver Ec. A.20): 2 3 3 Ixx = {[0.785 + sen(0.785)cos(0.785)]/2 – sen (0.785)/0.785}(3.556) = 0.273 mm ≈ 0

446

Una vez determinados los momentos de inercia de los elementos individuales se procede a determinar el momento de inercia del elemento compuesto usando la siguiente expresión:

I x = ΣLy 2 + ΣI xx − y cg ΣL 2

(A.94)

donde L = longitud de elementos individuales y = distancia del centroide de elementos individuales al eje de referencia Ixx = momento de inercia de los elementos individuales ycg = posición del centroide del elemento compuesto = ΣLy/ΣL

Fig. EA7.1 Elemento 7 (cotas en mm).

En este caso conviene establecer el eje de referencia a la mitad del peralte del elemento compuesto para efectos de simplificar los cálculos [= (8.89 + 0.762)/2 = 4.826 mm]. Se propone realizar los cálculos del momento de inercia en forma tabular de la siguiente manera: Elemento Circular Superior Rectos Inclinados Circular Inferior

Suma Σ

L (mm)

y (mm) 4.826 + [(3.175 + 2Ia = 2(2.791) = 5.582 0.762) - 3.202] = 4.091 2lb = 2(9.633) = 19.266 0.000 2Ia = 2(2.791) = 5.582 -4.091 30.43

2

2

3

3

Ly (mm )

Ly (mm )

Ixx (mm )

22.836

93.422

0.000

0.000 -22.836 0.000

0.000 93.422 186.844

74.435 0.000 74.435

Usando los resultados de la tabla se obtienen las propiedades del Elemento 7: ycg = 0.000/30.43 = 0.000 mm 2 3 Ix = 186.844 + 74.435 – (0.000) (30.43) = 261.279 mm distancia del centroide a la fibra superior del panel: y = (50.8 + 0.762) – 4.826 = 46.736 mm 3. Elemento de Unión: Elemento 1. Este elemento está compuesto por dos elementos rectos verticales y elementos circulares de 90° y 180° (ver Fig. AE7.2). 3 Para el elemento circular de 90°: Ixx = 6.70 mm (ver Elementos 4 y 10). 3 Para el elemento circular de 180°: Ixx = 2(6.70) = 13.40 mm .

Fig. AE7.2 Elemento 1 (cotas en mm) 3

3

3

Para los elementos rectos verticales (ver Ec. A.1): Ixx = 2(l /12) = 2[(6.35) /12] = 42.675 mm

447

Tomando como referencia la fibra superior del panel se obtiene: Elemento

L (mm)

Circular 90°

2(2.791) = 5.582

Rectos Verticales

2(6.35) = 12.700

Circular 180°

2(5.582) = 11.164

Suma Σ

29.446

y (mm) (3.175 + 0.762) - 2.265 = 1.672 6.35/2 + 3.175 + 0.762 = 7.112 (3.175 + 0.762) + 6.35 + 2.265 = 12.552

2

2

3

3

Ly (mm )

Ly (mm )

Ixx (mm )

9.333

15.605

6.700

90.322

642.373

42.675

140.130

1758.918

13.400

239.785

2416.896

62.775

Usando los resultados de la tabla se obtienen las propiedades del Elemento 7: ycg = 239.785/29.446 = 8.143 mm 2 3 Ix = 2416.896 + 62.775 – (8.143) (29.446) = 527.152 mm 4. Elementos Rectos: Elementos 2, 3, 5, 6, 8 y 9 Para los elementos rectos horizontales (Elementos 2, 3, 6 y 8): Ixx = 0, ya que el eje x coincide con su eje longitudinal. Para los elementos rectos verticales (ver Ec. A.1): Elemento 5: longitud, l5 = 50.8 + 0.762 – 2(3.175 + 0.762) = 43.688 mm. 3 3 Por lo tanto, Ixx = (43.688) /12 = 6978.727 mm . Elemento 9: longitud, l9 = 10.541 – (3.175 + 0.762) = 6.604 mm. 3 3 Por lo tanto, Ixx = (6.604) /12 = 24.002 mm . 5. Cálculo de Propiedades de la Sección Completa Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suma Σ

L (mm) 29.446 76.2 – 3(3.175) – 0.762 - 0.762/2 = 65.653 50.8 – 2(3.556) = 43.688 3(5.583) = 16.749 2(43.688) = 87.376

2

2

2

3

y (mm) 8.143 0.762/2 = 0.381

Ly (mm ) 239.779 25.014

Ly (mm ) 1952.519 9.530

Ixx (mm ) 527.152 0.000

0.762/2 = 0.381

16.645

6.342

0.000

28.004 2252.641

46.823 58075.329

20.100 13957.454

6224.377

318569.855

0.000

2844.353 2687.617 47.806

132933.680 137554.909 346.070

522.558 0.000 24.002

557.072

27792.309

13.400

14923.308

677287.366

15064.676

1.672 43.688/2 + 3.175 + 0.762 = 25.781 2[76.2 – 3.556 – 50.8 + 0.762/2 23.673/2] = 121.615 = 51.181 2(30.430) = 60.860 46.736 76.2 – 23.688 = 52.512 51.181 6.604 6.604/2 + 3.175 + 0.762 = 7.239 2(5.583) = 11.166 50.8 + 0.762 – 1.672 = 49.89 495.671

ycg = 14923.308/495.671 = 30.107 mm = 3.011 cm 2 4 4 Ix = 0.762[677287.366 + 15064.676 – (30.107) (495.671)] = 185211.918 mm = 18.521 cm 3 3 Sxs = Ix/ycg = 185211.918/30.107 = 6151.789 mm = 6.152 cm 3 3 Sxi = Ix/(d – ycg) = 185211.918/[(50.8 + 0.762) – 30.107] = 8632.576 mm = 8.633 cm 2 2 A = (ΣL)t = (495.671)0.762 = 377.701 mm = 3.777 cm . Donde Sxs y Sxi son los módulos de sección con respecto a la fibra superior e inferior del panel, respectivamente.

CAPITULO 5

MIEMBROS SUJETOS A FLEXION Y CORTANTE

5.1 COMENTARIOS GENERALES Los miembros sujetos a flexión y cortante son usados para soportar cargas transversales o momentos aplicados. Perfiles laminados en frío, como las secciones “I”, “C”, “Z”, “T”, sombrero, tubulares (ver Fig. 1.1), decks y paneles (ver Fig. 1.9) pueden ser usados como miembros sujetos a flexión y cortante. Los usos típicos más comunes de dichos miembros en edificios son en sistemas de piso, en sistemas de cubiertas ligeras, en sistemas de muro, entre otros. En sistemas de piso estos miembros son llamados generalmente vigas. En el caso de los sistemas de cubierta ligera y muros se les conoce por el nombre de polines. Por conveniencia, en este capítulo se usará el nombre genérico de viga para identificar a todos los miembros sujetos a flexión y/o cortante. Al diseñar vigas, se debe considerar la capacidad para resistir momento y la rigidez del miembro calculada a partir de las propiedades efectivas de la sección. Esto es, evaluando el momento de inercia y módulo de sección considerando el ancho efectivo del patín de compresión y el peralte efectivo del alma, usando los procedimientos expuestos en el Capítulo 4. Además, las almas de vigas deben ser revisadas por cortante, combinación de flexión y cortante, aplastamiento del alma y combinación de flexión y aplastamiento del alma. Además de las consideraciones de diseño expuestas anteriormente, la capacidad para resistir momento de un perfil puede estar limitada por pandeo lateral de la viga, particularmente cuando el perfil es fabricado de lámina de pared delgada y con apoyo lateral espaciado a intervalos relativamente grandes. Por ésta razón, las vigas deberán cumplir con los criterios de apoyo lateral adecuado determinados por el AISI, de lo contrario, la capacidad a flexión de la viga se verá significativamente mermada. Contrario a los perfiles laminados en caliente, en el diseño de vigas a base perfiles laminados en frio se deben considerar problemas tales como desfasamiento por cortante y rizados de patines. Además, si se desea aprovechar el incremento en las propiedades mecánicas debido al laminado en frío, el diseño de elementos a flexión puede complicarse. Basado en las consideraciones mencionadas anteriormente, los siguientes temas serán tratados en este Capítulo: 1. Resistencia a la Flexión y Deformaciones. 2. Diseño de Almas por Cortante, Combinación de Flexion y Cortante, Aplastamiento del Alma y Combinacion de Flexión y Aplastamiento. 3. Requisitos de Apoyo Lateral. 4. Desfasamiento por Cortante. 5. Rizado de Patines. En general, las vigas de claros grandes y con poco peralte son gobernadas por criterios de deformaciones máximas (flechas), las de claros medianos son gobernadas por criterios de resistencia a la flexión y en las de claros cortos, los criterios de resistencia por cortante pueden llegar a ser críticos.

95 5.2 RESISTENCIA A FLEXION Y CONTROL DE DEFORMACIONES 5.2.1 Introduccion En el diseño de elementos a flexion, se debe proveer suficiente resistencia por flexión para no exceder los estados límites de falla correspondientes y al mismo tiempo se deberá cuidar que los estados limites de servicio, como la deformacion maxima del elemento, no excedan de ciertos valores permisibles. De acuerdo con la Seccion C3.1 del AISI 1996, el momento de flexión de diseño se determina a partir de la resistencia nominal por flexión y un factor de seguridad o de resistencia, dependiendo de que el método de diseño considerado sea ASD o LRFD, respectivamente. Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño por flexion para ASD y LRFD:

Mn ≥ ∑Mi Ωb

1. Método ASD:

Ma =

2. Método LRFD:

φb M n ≥ ∑γ i M i

Donde

Ma Ωb ΣMi φb γi ΣγiMi Mn

(5.1a)

(5.1b)

= momento flexionante permisible = factor de seguridad para flexión = combinación aplicable de momentos debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) = factor de resistencia por flexión = factor de carga correspondiente al momento Mi = combinación aplicable de momentos factorizados (ver Art. 3.3.2) = resistencia nominal a flexión menor determinada a partir de las siguientes consideraciones de diseño: a. Resistencia de la sección o momento nominal de la sección calculada de acuerdo al Art. 5.2.2. b. Resistencia al pandeo latero-torsional calculada de acuerdo al Art. 5.2.3. c. Resistencia de la sección de vigas atornilladas a decks o cubiertas determinada de acuerdo al Art. 5.2.4. d. Resistencia de la sección de vigas unidas a cubiertas de lámina engargolada con costuras sobresalientes determinada de acuerdo al Art. 5.2.5.

Además de las consideraciones anteriores, se deben tomar en cuenta los problemas relacionados con el desfasamiento por cortante para vigas con claros muy cortos. 5.2.2. Resistencia de la Sección o Momento Nominal de la Sección La Seccion C3.1.1 del AISI 1996 considera dos procedimientos de diseño para el cálculo de la resistencia de elementos a flexión. El Procedimiento I está basado en el “Inicio de Fluencia” y el Procedimiento II está basado en la “Capacidad Inelástica de Reserva”. Ambos procedimientos se discuten en este artículo. 5.2.2.1 Inicio de Fluencia. En el Procedimiento I del AISI 1996, el momento nominal, Mn, de la seccion es igual al momento de fluencia efectivo, My, determinado a partir de las áreas efectivas de los patines y almas de las vigas. El ancho efectivo de los patines y el peralte efectivo de las almas pueden ser calculados de las ecuaciones de diseño presentadas en el Capitulo 4.

96 El momento de fluencia My de un perfil laminado en frío se define como el valor de momento que ocasiona que el esfuerzo en la fibra extrema (de tensión, de compresión o de ambas) alcance el esfuerzo de fluencia del acero. Esta es la máxima capacidad a flexión a ser usada en diseño elástico. La Figura 5.1 muestra diferentes tipos de distribuciones de esfuerzos para el momento de fluencia basadas en diferentes localizaciones del eje neutro. Para secciones balanceadas (Fig. 5.1a) la fibra extrema del patín de compresión y de tensión alcanza el esfuerzo de fluencia al mismo tiempo. Sin embargo, si el eje neutro presenta una localización excéntrica, como se muestra en las Fig. 5.1 b y c, la fluencia inicial se presenta en el patin de tensión en el caso b y en el patín de compresión en el caso c.

(1)

Fig. 5.1 Distribuciones de esfuerzos para momentos de fluencia . (a) Secciones balanceadas; (b) Secciones con eje neutro cerca del patín de compresión (inicio de fluencia en el patín de tensión); (c) Secciones con el eje neutro cerca del patín de tensión (inicio de fluencia en el patín de compresión).

En base a éstas consideraciones, la resistencia nominal de la sección para el inicio de fluencia se calcula a partir de la siguiente expresión:

M n = M y = S e Fy

(5.2)

donde Fy = Esfuerzo de fluencia de diseño. Se = Módulo de sección elástico de la sección efectiva calculada con la fibra extrema de compresión o de tensión bajo fluencia (Fy).

97 Para los perfiles laminados en frío, Se, se calcula usualmente mediante el uso de uno de los siguientes dos casos: 1. Si el eje neutro se localiza más cercano al patín de tensión que al patín de compresión, como se muestra en la Fig. 5.1c, el máximo esfuerzo ocurre en el patín de compresión, y por lo tanto, la relación de esbeltez del patín λ y el ancho efectivo, b, del patín de compresión se determinan a partir de la relación w/t y f = Fy y las Ecs. (4.36) y (4.37), respectivamente. Obviamente, este procedimiento se aplica también para aquellas vigas cuyo eje neutro se localiza a la mitad del peralte, como se muestra en la Fig. 5.1a. 2. Si el eje neutro se localiza más cercano al patín de compresión que al patín de tensión, como se muestra en la Fig. 5.1b, el máximo esfuerzo ocurre en el patín de tensión. El valor del esfuerzo en el patín de compresión dependerá de la localización del eje neutro, la cual se determina considerando el área efectiva de la sección. Esta última no puede ser determinada a menos que se conosca primero el esfuerzo en el patín de compresión. La solución analítica de este caso es posible pero involucra un procedimiento muy complejo. Es este caso, se acostumbra calcular las propiedades de la sección mediante procedimientos basados en aproximaciones sucesivas. La Sección C3.1.1 del AISI 1996 establece los siguientes valores del factor de seguridad y de resistencia, los cuales deberan ser aplicados a Mn dado por la Ec. (5.2) para obtener los momentos de diseño: 1. Para secciones con patines de compresión atiesados o parcialmente atiesados:

Ω b = 1.67 φ b = 0.95

(ASD) (LRFD)

2. Para secciones con patines de compresión no atiesados:

Ω b = 1.67 φ b = 0.90

(ASD) (LRFD)

El cálculo del momento nominal en base al inicio de fluencia y la determinación del momento de diseño para diferentes tipos de vigas laminadas en frío se ilustran en los Ejemplos 5.1 al 5.4. Ejemplo 5.1 Determine el momento de diseño según el Método ASD y LRFD con respecto al eje x para la sección “I” con un patín de compresión no atiesado mostrada en la Fig. 5.2. Asuma que Fy 2 = 3514 kg/cm y que existe apoyo lateral adecuado. Utilice el Procedimiento I “Inicio de Fluencia” para calcular el momento nominal.

(1)

Fig. 5.2 Ejemplo 5.1 (cotas en mm)

98 1. Cálculo de las Propiedades de la Sección A. Propiedades de las esquinas: •

Elemento circular lineal:

Ver Caso I, θ1 = 0; θ2 = 90° para elementos circulares dado en el Apéndice A. r = R + t/2 = 4.763 + 3.429/2 = 6.478 mm L = 1.57r = 1.57(6.478) = 10.170 mm c = 0.637r = 0.637(6.478) = 4.126 mm 3 3 3 I1 = I2 = 0.149r = 0.149(6.478) = 40.505 mm •

Elemento de esquina = (Elemento circular lineal) x t: 4

Ix = Iy = I1t = 40.505(3.429) = 138.892 mm ≈ 0 (Ix de las esquinas es despreciable comparado con el Ix de las almas) 2 Area para dos esquinas, ΣA = 2Lt = 2(10.170)(3.429) = 69.746 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (6.478 – 4.126) + 3.429/2 = 4.067 mm Esquinas inferiores, y = H – 4.067 = 203.20 – 4.067 = 199.133 mm B. Propiedades de los patines: w = B/2 – (R + t) = 101.600/2 – (4.763 + 3.429) = 42.608 mm w/t = 42.608/3.429 = 12.426 < 60, OK de acuerdo con el Art. 4.2 •

Patín de compresión:

Como el patín de compresión es un elemento no atiesado, k = 0.43. Asumiendo que el patín 2 está bajo fluencia f = Fy = 3514 kg/cm , entonces: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(12.426)(3514/2.073x10 ) ] = 0.821 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.821)/0.821 = 0.892 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.892(42.608) = 37.991 mm 2 Area para dos patines, ΣA = 2bt = 2(37.991)(3.429) = 260.542 mm Ix ≈ 0, ya que el eje x es el eje longitudinal (ver Apéndice A) Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 3.429/2 = 1.175 mm •

Patín de tensión:

Ancho efectivo de diseño, b = w = 42.608 mm, ya que es un elemento no sujeto a esfuerzos de compresión. 2 Area para dos patines, ΣA = 2bt = 2(42.608)(3.429) = 292.206 mm Ix ≈ 0, ya que el eje x es el eje longitudinal (ver Apéndice A) Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 203.20 – 1.175 = 202.025 mm Como el ancho efectivo del patín de tensión es mayor que el del patín de compresión, el eje neutro de la sección efectiva se desplaza desde su posición original en el centro de la sección “I” hacia el patín de tensión. Por consiguiente, la fluencia ocurrirá primero en el patín de compresión y se deberá calcular la nueva posición del eje neutro. Como una porción del alma estará sujeta a compresión, se deberá revisar la efectividad del alma. Sin embargo, la efectividad no puede revisarse sin conocer la nueva posición del eje

99

neutro y dicha posición puede verse afectada si el alma no resulta 100% efectiva. Por consiguiente, para poder obtener un valor inicial de la posición del eje neutro, se puede asumir que el alma es 100% efectiva y posteriormente corroborar dicha suposición. Si la suposición resulta falsa se deberá recalcular la posición del eje neutro y revisar la efectividad correspondiente a la nueva posición. Este proceso interativo deberá repetirse hasta lograr la convergencia del valor de la posición del eje neutro. C. Almas (suponiendo 100% efectivas): h = H – 2(R + t) = 203.20 – 2(4.763 + 3.429) = 186.816 mm h/t = 186.816/3.429 = 54.481 < 200, OK según Art. 4.2. 2 Area para par de almas, ΣA = 2(186.816)(3.429) = 1281.184 mm 3 3 4 Ix = 1/12(h t) = 1/12(186.816) (3.429) = 1863066.883 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = H/2 = 203.2/2 = 101.60 mm •

Cálculo de la posición del eje neutro considerando las almas 100% efectivas: Elemento Patines Superiores Esquinas Superiores Almas Esquinas Inferiores Patines Inferiores Suma, Σ

2

A (mm ) 260.542 69.746 1281.184 69.746 292.206 1973.424

y (mm) 1.175 4.067 101.600 199.133 202.025

3

Ay (mm ) 306.137 283.657 130168.294 13888.730 59032.917 203679.735

2

4

Ay (mm ) 359.711 1153.633 13225098.710 2765704.515 11926125.090 27918441.660

ycg = Σ(Ay)/ΣA = 203679.735/1973.424 = 103.211 mm

Fig 5.3 Distribución de esfuerzos en las almas

•

(1)

Revisión de la Efectividad del Alma (ver Fig. 5.3):

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 103.211 – (4.763 + 3.429) = 95.019 mm d2 = h – d1 = 186.816 – 95.019 = 91.797 mm

100

Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 3514(95.019/103.211) = 3235.089 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -3514(91.797/103.211) = -3125.390 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -3125.390/3235.089 = -0.966 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-0.966)] + 2[1 – (-0.966)] = 23.13 2 f = f1 = 3235.089 kg/cm ; h/t = 54.481 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(23.13) [(54.481)(3235.089/2.073x10 ) ] = 0.470 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 1.0(186.816) = 186.816 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 186.816/[3 – (-0.966)] = 47.104 mm Ec. (4.44): b2 = 186.816/2 = 93.408 mm b1 + b2 = 47.104 + 93.408 = 140.512 mm Como (b1 + b2) > d1, el alma es 100% efectiva y por lo tanto ycg = 103.211 mm es la posición correcta del eje neutro. •

Momento de inercia con respecto al eje x de la sección total: 2

2

Ix = ΣIxx + ΣAy – ycg ΣA (expresión similar a la Ec. A.94 del Apéndice A) 2 4 Ix = 2(1863066.883) + 27918441.66 – (103.211) (1973.424) = 10622655.5 mm 4 = 1062.266 cm Nota: ΣIxx solo considera la contribución del momento de inercia con respecto al eje x de las almas, ya que los momentos de inercia de las esquinas y los patines se consideraron despreciables. •

Módulo de sección efectivo en x con respecto a la fibra extrema superior: 3

Sex = Ix/ycg = 10622655.5/103.211 = 102921.738 mm 3 = 102.922 cm 2. Momento de Diseño con Respecto al Eje x

Momento nominal, Mnx = FySex = 3514(102.922) = 361667.908 kg-cm Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de compresión no atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 361667.908/1.67 = 216567.610 kg-cm = 216.57 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.90 para patines de compresión no atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.90(361667.908) = 325501.117 kg-cm = 325.50 Ton-cm Ejemplo 5.2 Determine el momento de diseño según el Método ASD y LRFD con respecto al eje x 2 de la sección canal con atiesadores de borde mostrada en la Fig. 5.4. Asuma que Fy = 3514 kg/cm y que existe apoyo lateral adecuado. Use el método lineal para calcular las propiedades geométricas. Utilice el Procedimiento I “Inicio de Fluencia” para calcular el momento nominal. 1. Cálculo de las Propiedades de la Sección Para efectos de usar el método lineal, la sección se transforma en elementos línea rectos y circulares (ver Fig. 5.5).

101

(1)

Fig 5.4 Ejemplo 5.2 (cotas en mm)

A. Propiedades de las esquinas: •

Elemento circular lineal (Elementos 2 y 4):

Ver Caso I, θ1 = 0; θ2 = 90° para elementos circulares dado en el Apéndice A. r = R + t/2 = 2.381 + 1.905/2 = 3.334 mm L = 1.57r = 1.57(3.334) = 5.234 mm c = 0.637r = 0.637(3.334) = 2.124 mm longitud total en esquinas superiores e inferiores, ΣL = 2(5.234) = 10.468 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (3.334 – 2.124) + 1.905/2 = 2.163 mm Esquinas inferiores, y = H – 2.163 = 254 – 2.163 = 251.837 mm B. Propiedades de los patines: w = B – 2(R + t) = 88.90 – 2(2.381 + 1.905) = 80.328 mm w/t = 80.328/1.905 = 42.167 < 60, OK de acuerdo con el Art. 4.2 •

Patín de compresión (Elemento 5):

Como el patín de compresión es un elemento sujeto a compresión uniforme con un atiesador de borde, el ancho efectivo b deberá determinarse acorde a la Sección B4.2. Asuma que el 2 patín de compresión alcanza la fluencia, o sea, f = Fy = 3514 kg/cm . 6

1/2

Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /3514) = 31.089 Como w/t > S, aplica el Caso III [Ecs. (4.60) a (4.66)]: Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 18.288 mm; θ = 90° d = D – (R + t) = 18.288 – (2.381 + 1.905) = 14.002 mm d/t = 14.002/1.905 = 7.350 < 14, OK 3 3 4 Is = d t/12 = (14.002) (1.905)/12 = 435.797 mm D/w = 18.288/80.328 = 0.228

102

Fig. 5.5 Elementos línea

(1)

Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62) con n = 1/3]: Como D/w < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.228) = 4.11 > 4, por lo tanto, ka = 4.0 Según Caso II y III: ku = 0.43 4 Ec. (4.66): Ia/t = 115(42.167)/31.089 + 5 = 160.978 4 4 Ia = 160.978(1.905) = 2120.052 mm Ec. (4.60): C2 = 435.797/2120.052 = 0.206 1/3 Ec. (4.62): k = (0.206) (4.0 – 0.43) + 0.43 = 2.537 Ancho efectivo del patín de compresión: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = [1.052/(2.537) ](42.167)(3514/2.073x10 ) = 1.147 Como λ > 0.673, usar Ec. (4.37) para calcular ρ: Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.147)/1.147 = 0.705 b = ρw = 0.705(80.328) = 56.600 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 1.905/2 = 0.953 mm •

Labio atiesador a compresión (Elemento 6):

Peralte efectivo reducido d’s del labio atiesador a compresión: El labio atiesador es un atiesador de borde sujeto a gradiente de esfuerzos (ver Art. 4.3.2.1), por lo que la Sección B3.2 es aplicable. En este caso, k = 0.43 d/t = 7.350 2 Asuma que el labio alcanza fluencia, f = Fy = 3514 kg/cm Determinación del factor de reducción ρ [Ecs. (4.36) y (4.37)]: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = [1.052/(0.43) ](7.35)(3514/2.073x10 ) = 0.485 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 Ancho efectivo del labio atiesador, d’s = ρd = 1.0(14.002) = 14.002 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: Ec. (4.64): d’s = 0.206(14.002) = 2.884 mm

103 Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = d’s/2 + (R + t) = 2.884/2 + (2.381 + 1.905) = 5.728 mm •

Labio atiesador a tensión (Elemento 1):

d’s = ds = d = 14.002 mm, ya que no se requiere calcular el ancho efectivo para elementos sujetos a esfuerzos de tensión. Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – [d’s/2 + (R + t)] = 254 – [14.002/2 + (2.381 + 1.905)] = 242.713 mm •

Patín de tensión (Elemento 3):

Ancho efectivo de diseño, b = w = 80.328 mm, ya que es un elemento no sujeto a esfuerzos de compresión. Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 254 – 1.905/2 = 253.048 mm Como el ancho efectivo del patín de tensión es mayor que el del patín de compresión, el eje neutro de la sección efectiva se desplaza desde su posición original en el centro de la sección “I” hacia el patín de tensión. Por consiguiente, la fluencia ocurrirá primero en el patín de compresión y se deberá calcular la nueva posición del eje neutro. Como se mencionó en el Ejemplo 5.1, la nueva posición del eje neutro se calcula suponiendo inicialmente que el alma es 100% efectiva. C. Propiedades del Alma (Elemento 7): Asumiendo que el alma es 100% efectiva: h = H – 2(R + t) = 254 – 2(2.381 + 1.905) = 245.428 mm h/t = 245.428/1.905 = 128.834 < 200, OK según Art. 4.2. Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = H/2 = 254/2 = 127.00 mm •

Cálculo de la posición del eje neutro considerando el alma 100% efectiva: Elemento 1 2 3 4 5 6 7 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 14.002 10.468 80.328 10.468 56.600 2.884 245.428

y (mm) 242.713 251.837 253.048 2.163 0.953 5.728 127.000

420.178

2

Ly (mm ) 3398.467 2636.230 20326.840 22.642 53.940 16.520 31169.356 57623.995

ycg = Σ(Ly)/ΣL = 57623.995/420.178 = 137.142 mm •

Revisión de la efectividad del alma (ver Fig. 5.6):

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 137.142 – (2.381 + 1.905) = 132.856 mm d2 = h – d1 = 245.428 – 132.856 = 112.572 mm

104

Fig. 5.6 Dimensiones efectivas y distribución de esfuerzos asumiendo (1) almas 100% efectivas .

Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 3514(132.856/137.142) = 3404.179 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -3514(112.572/137.142) = -2884.441 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2884.441/3404.179 = -0.847 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-0.847)] + 2[1 – (-0.847)] = 20.296 2 f = f1 = 3404.179 kg/cm ; h/t = 128.834 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(20.296) [(128.834)(3404.179/2.073x10 ) ] = 1.219 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.219)/1.219 = 0.672 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 0.672(245.428) = 164.928 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 164.928/[3 – (-0.847)] = 42.872 mm Ec. (4.44): b2 = 164.928/2 = 82.464 mm b1 + b2 = 42.872 + 82.464 = 125.336 mm Como (b1 + b2) < d1, el alma no es 100% efectiva y por lo tanto el valor de ycg deberá ajustarse considerando el alma parcialmente efectiva. Como una segunda interación puede considerarse que la porción no efectiva del alma es: dne = d1 – (b1 + b2) = 132.856 – 125.336 = 7.520 mm. Por consiguiente, el Elemento 7, que representa al alma 100% efectiva, perderá 7.520 mm de longitud en algún lugar del área de compresión del alma. Según la Sección B2.3 del AISI 1996, la porción no efectiva se encuentra justo entre b1 y b2 (ver Fig. 4.28). Esto implica que el alma quedará subdividida en dos elementos, uno de longitud b1 y otro de longitud h – (b1 + dne). •

Segunda Iteración:

•

Alma parcialmente efectiva (ver Fig. 5.7):

Elemento 8: Longitud efectiva, b1 = 42.872 mm

105 Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = b1/2 + (R + t) = 42.872/2 + (2.381 + 1.905) = 25.772 mm Elemento 7: Longitud efectiva, h – (b1 + dne) = 245.428 – (42.872 + 7.520) = 195.036 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = [h – (b1 + dne)]/2 + (b1 + dne) + (R + t) = 195.036/2 + (42.872 + 7.520) + (2.381 + 1.905) = 152.196 mm

Fig 5.7 Dimensiones efectivas y distribución de esfuerzos en el alma considerando al alma parcialmente efectiva (primera (1) interación) .

•

Cálculo de la posición del eje neutro considerando al alma parcialmente efectiva: Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 14.002 10.468 80.328 10.468 56.600 2.884 195.036 42.872 412.658

y (mm) 242.713 251.837 253.048 2.163 0.953 5.728 152.196 25.772

2

Ly (mm ) 3398.467 2636.230 20326.840 22.642 53.940 16.520 29683.699 1104.897 57243.235

ycg = Σ(Ly)/ΣL = 57243.235/412.658 = 138.718 mm •

Revisión de la efectividad del alma:

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 138.718 – (2.381 + 1.905) = 134.432 mm d2 = h – d1 = 245.428 – 134.432 = 110.996 mm

106

Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 3514(134.432/138.718) = 3405.427 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -3514(110.996/138.718) = -2811.747 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2811.747/3405.427 = -0.826 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-0.826)] + 2[1 – (-0.826)] = 19.829 2 f = f1 = 3405.427 kg/cm ; h/t = 128.834 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(19.829) [(128.834)(3405.427/2.073x10 ) ] = 1.234 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.234)/1.234 = 0.666 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 0.666(245.428) = 163.455 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 163.455/[3 – (-0.826)] = 42.722 mm Ec. (4.44): b2 = 163.455/2 = 81.728 mm b1 + b2 = 42.722 + 81.728 = 124.450 mm La diferencia en el valor de b1 + b2 entre la primera y segunda iteración es 125.336 – 124.450 = 0.886 mm, o sea aproximadamente un 7% de diferencia. Se recomienda continuar iterando hasta lograr reducir la diferencia a un valor de 1%. Por lo tanto, el valor de ycg deberá ajustarse nuevamente. Para la tercera interación la porción no efectiva del alma será: dne = d1 – (b1 + b2) = 134.432 – 124.450 = 9.982 mm. •

Tercera Iteración:

•

Alma parcialmente efectiva (ver Fig. 5.8):

Elemento 8: Longitud efectiva, b1 = 42.722 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = b1/2 + (R + t) = 42.722/2 + (2.381 + 1.905) = 25.647 mm Elemento 7: Longitud efectiva, h – (b1 + dne) = 245.428 – (42.722 + 9.982) = 192.724 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = [h – (b1 + dne)]/2 + (b1 + dne) + (R + t) = 192.724/2 + 42.722 + 9.982 + (2.381 + 1.905) = 153.352 mm •

Cálculo de la posición del eje neutro considerando al alma parcialmente efectiva: Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 14.002 10.468 80.328 10.468 56.600 2.884 192.724 42.722 410.196

y (mm) 242.713 251.837 253.048 2.163 0.953 5.728 153.352 25.647

ycg = Σ(Ly)/ΣL = 57104.941/410.196 = 139.214 mm

2

Ly (mm ) 3398.467 2636.230 20326.840 22.642 53.940 16.520 29554.611 1095.691 57104.941

2

3

Ly (mm ) 824852.224 663900.183 5143666.144 48.975 51.405 94.624 4532258.683 28101.191 111192973.430

107

Fig 5.8 Dimensiones efectivas y distribución de esfuerzos en el alma considerando al alma (1) parcialmente efectiva . (segunda interación).

•

Revisión de la efectividad del alma:

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 139.214 – (2.381 + 1.905) = 134.928 mm d2 = h – d1 = 245.428 – 134.928 = 110.500 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 3514(134.928/139.214) = 3405.814 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -3514(110.500/139.214) = -2789.209 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2789.209/3405.814 = -0.819 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-0.819)] + 2[1 – (-0.819)] = 19.675 2 f = f1 = 3405.814 kg/cm ; h/t = 128.834 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(19.675) [(128.834)(3405.814/2.073x10 ) ] = 1.239 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.239)/1.239 = 0.664 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 0.664(245.428) = 162.964 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 162.964/[3 – (-0.819)] = 42.672 mm Ec. (4.44): b2 = 162.964/2 = 81.482 mm b1 + b2 = 42.672 + 81.482 = 124.154 mm La diferencia en el valor de b1 + b2 entre la segunda y tercera iteración es 124.450 – 124.154 = 0.296 mm, o sea aproximadamente un 2% de diferencia. Una cuarta iteración logrará reducir la diferencia a 1%. Sin embargo, para efectos del cálculo del momento de diseño, el incremento en precisión será insignificante. •

Momento de inercia con respecto a x de la sección total:

Momento de inercia de la sección lineal: 3 3 Elemento 1: Ixx = 1/12(14.002) = 228.765 mm

108 3

3

Elemento 7: Ixx = 1/12(192.724) = 596521.576 mm 3 3 Elemento 8: Ixx = 1/12(42.722) = 6497.907 mm 3 ΣIxx = 603248.248 mm 2

2

2

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 603248.248 + 11192973.43 – (139.214) (410.196) 3 = 384640.595 mm Nota: Se considera que Ixx = 0 para los Elementos 2 al 6 ya que sus valores reales son insignificantes y su contribución a ΣIxx será despreciable. 4

Momento de inercia de la sección total, Ix = I’xt = (384640.595)1.905 = 7327396.944 mm 4 = 732.740 cm •

Módulo de sección en x con respecto a la fibra extrema superior: 3

3

Sex = Ix/ycg = 7327396.944/139.214 = 52634.052 mm = 52.634 cm 2. Momento de Diseño con Respecto al Eje x

Momento nominal, Mnx = FySex = 3514(52.634) = 184956.06 kg-cm Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 184956.06/1.67 = 110752.131 kg-cm = 110.75 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.95 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.95(184956.06) = 175708.257 kg-cm = 175.71 Ton-cm Ejemplo 5.3 Determine el momento de diseño según el Método ASD y LRFD con respecto al eje x de la sección sombrero con patín de compresión atiesado mostrada en la Fig. 5.9. Asuma que Fy = 2 3514 kg/cm y que existe apoyo lateral adecuado. Use el método lineal para calcular las propiedades geométricas. Utilice el Procedimiento I “Inicio de Fluencia” para calcular el momento nominal. 1. Cálculo de las Propiedades de la Sección Para efectos de usar el método lineal, la sección se transforma en elementos línea rectos y circulares (ver Fig. 5.10). A. Propiedades de las esquinas: •

Elemento circular lineal (Elementos 2 y 4):

Ver Caso I, θ1 = 0; θ2 = 90° para elementos circulares dado en el Apéndice A. r = R + t/2 = 4.763 + 2.667/2 = 6.097 mm L = 1.57r = 1.57(6.097) = 9.572 mm c = 0.637r = 0.637(6.097) = 3.884 mm longitud total en esquinas superiores e inferiores, ΣL = 2(9.572) = 19.144 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (6.097 – 3.884) + 2.667/2 = 3.547 mm Esquinas inferiores, y = H – 3.547 = 254 – 3.547 = 250.453 mm

109

(1)

Fig. 5.9 Ejemplo 5.3 (cotas en mm) .

B. Propiedades de los patines: •

Patín de compresión (Elemento 5):

w = B – 2(R + t) = 381 – 2(4.763 + 2.667) = 366.140 mm w/t = 366.140/2.667 = 137.285 < 500, OK de acuerdo con el Art. 4.2 Como el patín de compresión es un elemento atiesado sujeto a compresión uniforme, el ancho efectivo, b, se calcula de acuerdo con la Sección B2.1 [Ecs. (4.36) y (4.37)]. Asuma que el 2 patín está bajo fluencia, f = Fy = 3514 kg/cm . 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (137.285)(3514/2.073x10 ) = 2.973 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/2.973)/2.973 = 0.311 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.311(366.140) = 113.870 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 2.667/2 = 1.334 mm •

Patín de tensión (Elemento 1):

Ancho efectivo de diseño, b = w = 34.036 – (R + t) = 34.036 – (4.763 + 2.667) = 26.606 mm. Longitud total, ΣL = 2b = 2(26.606) = 53.212 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 254 – 2.667/2 = 252.667 mm Como el ancho efectivo del patín de compresión excede en magnitud a la suma total de anchos efectivos de los patines de tensión (113.87 mm > 53.212 mm), el eje neutro se desplazará en dirección al patín de compresión. Esto provocará que el esfuerzo de fluencia ocurra primero en los patines de tensión.

110

C. Propiedades de las Almas (Elemento 3): Asumiendo que las almas son 100% efectivas: h = H – 2(R + t) = 254 – 2(4.763 + 2.667) = 239.140 mm h/t = 239.140/2.667 = 89.666 < 200, OK Longitud total de almas, ΣL = 2(239.140) = 478.280 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H/2 = 254/2 = 127 mm

Fig 5.10 Elementos lineales

•

(1)

Cálculo de la posición del eje neutro considerando al alma 100% efectiva: Elemento 1 2 3 4 5 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 53.212 19.144 478.280 19.144 113.870 683.650

y (mm) 252.667 250.453 127.000 3.547 1.334

2

Ly (mm ) 13444.916 4794.672 60741.560 67.904 151.903 79200.955

ycg = ΣLy/ΣL = 79200.955/683.650 = 115.850 mm Como ycg < H/2 = 127 mm, entonces el eje neutro está mas cerca del patín de compresión que de los patines de tensión, tal como se había predicho con anterioridad. El valor del esfuerzo máximo a compresión correspondiente a ycg se obtiene mediante la siguiente expresión: 2 f = Fy[ycg/(H – ycg)] = 3514[115.850/(254 – 115.850)] = 2946.774 kg/cm Como f < Fy, debe asumirse otro valor para f. • •

Segunda Iteración Patín de compresión (Elemento 5): 2

Asuma ahora f = 2860 kg/cm . 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (137.285)(2860/2.073x10 ) = 2.682 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/2.682)/2.682 = 0.342 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.342(366.140) = 125.220 mm

111 •

Cálculo de la posición del eje neutro considerando al alma 100% efectiva: Longitud Efectiva L (mm) 53.212 19.144 478.280 19.144 125.220 695.000

Elemento 1 2 3 4 5 Suma, Σ

y (mm) 252.667 250.453 127.000 3.547 1.334

2

Ly (mm ) 13444.916 4794.672 60741.560 67.904 167.043 79216.095

2

3

Ly (mm ) 3397086.693 1200840.045 7714178.120 240.855 222.836 12312568.550

ycg = ΣLy/ΣL = 79216.095/695.000 = 113.980 mm 2 f = Fy[ycg/(H – ycg)] = 3514[113.980/(254 – 113.980)] = 2860.489 kg/cm 2 Como el valor calculado de f es muy similar al valor asumido de 2860 kg/cm , no se requieren iteraciones adicionales. •

Revisión de la efectividad de las almas (ver Fig. 5.11):

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 113.980 – (4.763 + 2.667) = 106.550 mm d2 = h – d1 = 239.140 – 106.550 = 132.590 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy[d1/(H - ycg)] = 3514[106.550/(254 – 113.980)] = 2674.023 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy[d2/(H- ycg)] = -3514[132.590/(254 – 113.980)] = - 3327.534 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -3327.534/2674.023 = -1.244 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-1.244)] + 2[1 – (-1.244)] = 31.087 2 f = f1 = 2674.023 kg/cm ; h/t = 89.666 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(31.087) [(89.666)(2674.023/2.073x10 ) ] = 0.608 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 1.0(239.140) = 239.140 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 239.140/[3 – (-1.244)] = 56.348 mm Ec. (4.44): b2 = 239.140/2 = 119.570 mm b1 + b2 = 56.348 + 119.570 = 175.918 mm Como b1 + b2 > d1, el alma es 100% efectiva. •

Momento de inercia con respecto a x de la sección total:

Momento de inercia de la sección lineal: 3 3 Elemento 3: Ixx = 1/12(478.280/2) = 1139660.323 mm 3 ΣIxx = 2(1139660.323) = 2279320.646 mm 2

2

2

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 2279320.646 + 12312568.550 – (113.980) (695.000) 3 = 5562838.118 mm Nota: Se considera que Ixx = 0 para los Elementos 1, 2, 5 y 4 ya que sus valores reales son insignificantes y su contribución a ΣIxx será despreciable. 4

Momento de inercia de la sección total, Ix = I’xt = (5562838.118)2.667 = 14836089.26 mm 4 = 1483.609 cm

112

Fig. 5.11 Longitudes efectivas y distribución de esfuerzos para almas 100% efectivas

•

(1)

Módulo de sección en x con respecto a la fibra extrema a tensión: 3

3

Sex = Ix/(H - ycg) = 14836089.26/(254 – 113.980) = 105956.929 mm = 105.957 cm 2. Momento de Diseño con Respecto al Eje x Momento nominal, Mnx = FySex = 3514(105.957) = 372332.898 kg-cm

Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de tensión no atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 372332.898/1.67 = 222953.831 kg-cm = 222.95 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.90 para patines de tensión no atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.90(372332.898) = 335099.608 kg-cm = 335.100 Ton-cm Ejemplo 5.4 Determine el momento de diseño según el Metodo ASD y LRFD con respecto al eje x 2 de la sección mostrada en la Fig. 5.12. Asuma que Fy = 2319 kg/cm y que existe apoyo lateral adecuado. Use el método lineal para calcular las propiedades geométricas. Utilice el Procedimiento I “Inicio de Fluencia” para calcular el momento nominal.

(1)

Fig. 5.12 Ejemplo 5.4 (cotas en mm)

113 1. Cálculo de las Propiedades de la Sección Para efectos de usar el método lineal, la sección se transforma en elementos línea rectos y circulares (ver Fig. 5.13). A. Propiedades de las esquinas: •

Elemento circular lineal (Elementos 2, 4, 6, 7 y 9):

Ver Caso I, θ1 = 0; θ2 = 90° para elementos circulares dado en el Apéndice A. r = R + t/2 = 2.381 + 1.905/2 = 3.334 mm L = 1.57r = 1.57(3.334) = 5.234 mm c = 0.637r = 0.637(3.334) = 2.124 mm longitud total en cada par de esquinas superiores e inferiores, ΣL = 2(5.234) = 10.468 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores (Elemento 6 y 7), y = (r – c) + t/2 = (3.334 – 2.124) + 1.905/2 = 2.163 mm Esquinas superiores (Elemento 9), y = (R + t) + c + 17.78 = (2.381 + 1.905) + 2.124 + 17.78 = 24.190 mm Esquinas inferiores (Elemento 2 y 4), y = H – 2.163 = 127 – 2.163 = 124.837 mm D. Propiedades de los patines: •

Patín de compresión (Elemento 5):

Como el patín de compresión es un elemento sujeto a compresión uniforme con un atiesador intermedio, el ancho efectivo, b, se calcula de acuerdo con la Sección B4.1 [Ecs. (4.52) a 2 (4.58)]. Asuma que el patín está bajo fluencia, f = Fy = 2319 kg/cm . bo = B – 2(R + t) = 304.80 – 2(2.381 + 1.905) = 296.228 mm bo/t = 296.228/1.905 = 155.500 mm 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /2319) = 38.270 Como bo/t > 3S = 3(38.270) = 114.810 aplica el Caso III [Ecs. (4.55) a (4.57)]: 4 Ec. (4.55): Ia/t = [128(155.500)/38.270] – 285 = 235.094 4 4 Ia = 235.094(1.905) = 3096.147 mm Determinación del momento de inercia del atiesador intermedio, Is. Is se calcula con respecto al eje centroidal paralelo al patín de compresión. Aunque la posición exacta del eje centroide del atiesador intermedio puede ser calculada de manera explícita, por mera inspección se puede determinar que dicho eje pasa por el centroide del Elemento 8. Por lo tanto: 3

3

Elemento 8: Ixx = 1/12(17.78) = 468.397 mm 3 ΣIxx = 2(468.397) = 936.794 mm Se asume que Ixx = 0 para los elementos circulares, ya que su valor real es insignificante y su contribución a ΣIxx es despreciable. La distancia centroidal de los elementos circulares será y = 17.78/2 + c = 17.78/2 + 2.124 = 11.014 mm, por lo tanto: 2 2 3 I’s = ΣIxx + ΣLy = 936.794 + 4(5.234)(11.014) = 3476.502 mm 4 Is = I’st = 3476.502(1.905) = 6622.737 mm Cálculos de anchos efectivos de diseño del Elemento 10 y 8: Elemento 10: w = bo/2 – 2r = 296.228/2 – 2(3.334) = 141.446 mm w/t = 141.446/1.905 = 74.250 1/3 Ec. (4.56): k = 3(6622.737/3096.147) + 1 = 4.865 > 4, por lo tanto usar k = 4.0

114

Fig. 5.13 Elementos lineales y distribución de esfuerzos en el (1) alma (cotas en mm) . 1/2

6 1/2

Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (74.250)(2319/2.073x10 ) = 1.306 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.306)/1.306 = 0.637 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.637(141.446) = 90.060 mm Para dos elementos, ΣL = 2b = 2(90.060) = 180.121 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 1.905/2 = 0.9525 mm Elemento 8: 2 Este elemento es atiesado, por lo que k = 4.0. Asumiendo que f = Fy = 2319 kg/cm : w = 17.780 mm w/t = 17.780/1.905 = 9.333 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (9.333)(2319/2.073x10 ) = 0.164 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 1.0(17.780) = 17.780 mm Para dos elementos, ΣL = 2b = 2(17.780) = 35.560 mm Area efectiva del atiesador intermedio: 2 A’s = [35.560 + 4(5.234)]1.905 = 107.625 mm Area efectiva reducida del atiesador intermedio: 2 2 Ec. (5.57): As = 107.625(6622.737/3095.147) = 230.287 mm > A’s, entonces As = 107.625 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = 17.78/2 + (R + t) = 17.780/2 + (2.381 + 1.905) = 13.176 mm •

Patín de tensión (Elemento 3):

Ancho efectivo de diseño, b = w = 88.90 – 2(R + t) = 88.90 – 2(2.381 + 1.905) = 80.328 mm. Para dos patines, ΣL = 2b = 2(80.328) = 160.656 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 127 – 1.905/2 = 126.048 mm •

Labio atiesador del patín de tensión (Elemento 1):

Ancho efectivo de diseño, b = w = 19.05 – (R + t) = 19.05 – (2.381 + 1.905) = 14.764 mm Para dos labios, ΣL = 2b = 2(14.764) = 29.528 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – [(R + t) + 14.764/2] = 127 – [(2.381 + 1.905) + 14.764/2] = 115.332 mm

115

C. Propiedades de las Almas (Elemento 5): Asumiendo que las almas son 100% efectivas: h = 127 – 2(R + t) = 127 – 2(2.381 + 1.905) = 118.428 mm h/t = 118.428/1.905 = 62.167 < 200, OK Longitud total de almas, ΣL = 2(118.428) = 236.856 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H/2 = 127/2 = 63.50 mm •

Cálculo de la posición del eje neutro considerando al alma 100% efectiva: Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 29.528 10.468 160.656 10.468 236.856 10.468 10.468 35.560 10.468 180.121 695.061

y (mm)

2

Ly (mm )

115.332 124.837 126.048 124.837 63.500 2.163 2.163 13.176 24.190 0.9525

3405.523 1306.794 20250.367 1306.794 15040.356 22.642 22.642 468.539 253.221 171.565 42248.443

ycg = ΣLy/ΣL = 42248.443/695.061 = 60.784 mm < H/2 = 127/2 = 63.500 mm, por lo tanto, el eje neutro se desplaza en dirección del patín de compresión y el esfuerzo de fluencia ocurrirá primero en el patín de tensión. El valor del esfuerzo de compresión en el patín de tensión correspondiente al valor de ycg será: 2

f = Fy[ycg/(H – ycg)] = 2319[60.784/(127 – 60.784)] = 2128.761 kg/cm

2

Como el valor calculado de f es considerablemente menor al valor asumido de 2319 kg/cm , se requieren iteraciones adicionales para definir el valor de f. Después de varias iteraciones se 2 obtuvo que el valor de f converge a f = 2085.844 kg/cm . Por consiguiente, se requiere calcular nuevamente los valores de los anchos efectivos de los Elementos 10 y 8: Elemento 10: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (74.250)(2085.844/2.073x10 ) = 1.239 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.239)/1.239 = 0.664 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.664(141.446) = 93.891 mm Para dos elementos, ΣL = 2b = 2(93.891) = 187.781 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 1.905/2 = 0.9525 mm Elemento 8: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (9.333)(2085.844/2.073x10 ) = 0.156 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0, por lo que no cambian los valores de b y y calculados con anterioridad.

116 •

Cálculo de la posición del eje neutro considerando al alma 100% efectiva: Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 29.528 10.468 160.656 10.468 236.856 10.468 10.468 35.560 10.468 187.781 702.721

2

y (mm)

2

Ly (mm )

115.332 124.837 126.048 124.837 63.500 2.163 2.163 13.176 24.190 0.9525

3

Ly (mm )

3405.523 1306.794 20250.367 1306.794 15040.356 22.642 22.642 468.539 253.221 178.861 42255.739

392765.813 163136.207 2552518.321 163136.207 955062.606 49.817 49.817 6173.464 6125.414 170.365 4239188.031

ycg = ΣLy/ΣL = 42255.739/702.721 = 60.132 mm 2 f = Fy[ycg/(H – ycg)] = 2319[60.132/(127 – 60.132)] = 2085.394 kg/cm 2

Como el valor calculado de f es muy similar al valor asumido de 2085.844 kg/cm , no se requieren iteraciones adicionales para definir el valor de f. •

Revisión de la efectividad de las almas (ver Fig. 5.13):

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 60.132 – (2.381 + 1.905) = 55.846 mm d2 = h – d1 = 118.428 – 55.846 = 62.582 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy[d1/(H - ycg)] = 2319[55.846/(127 – 60.132)] = 1936.754 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy[d2/(H- ycg)] = -2319[62.582/(127 – 60.132)] = - 2170.360 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2170.360/1936.754 = -1.121 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-1.121)] + 2[1 – (-1.121)] = 27.325 2 f = f1 = 1936.754 kg/cm ; h/t = 62.167 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(27.325) [(62.167)(1936.754/2.073x10 ) ] = 0.382 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 1.0(118.428) = 118.428 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 118.428/[3 – (-1.121)] = 28.738 mm Ec. (4.44): b2 = 118.428/2 = 59.214 mm b1 + b2 = 28.738 + 59.214 = 87.952 mm Como b1 + b2 > d1, el alma es 100% efectiva. •

Momento de inercia con respecto a x de la sección total:

Momento de inercia de la sección lineal: 3 Elemento 5: Ixx = 1/12(236.856/2) 3 Elemento 1: Ixx = 1/12(29.528/2) 3 Elemento 8: Ixx = 1/12(35.560/2) 3 Elementos 2, 4, 6, 7 y 9: Ixx = 0.149(3.334)

3

= 138414.612 mm 3 = 268.183 mm 3 = 468.397 mm 3 = 5.522 mm

3

ΣIxx = 2(138414.612) + 2(268.183) + 2(468.397) + 10(5.522) = 278357.604 mm

117 2

2

2

3

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 278357.604 + 4239188.031 – (60.132) (702.721) = 1976606.69 mm

Nota: Se considera que Ixx = 0 para los Elementos 10 y 3, ya que sus valores reales son insignificantes y su contribución a ΣIxx será despreciable. 4

Momento de inercia de la sección total, Ix = I’xt = (1976606.690)1.905 = 3765435.745 mm 4 = 376.544 cm •

Módulo de sección en x con respecto a la fibra extrema a tensión: 3

3

Sex = Ix/(H - ycg) = 3765435.745/(127 – 60.132) = 56311.476 mm = 56.311 cm 3. Momento de Diseño con Respecto al Eje x Momento nominal, Mnx = FySex = 2319(56.311) = 130585.209 kg-cm

Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de tensión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 130585.209/1.67 = 78194.736 kg-cm = 78.20 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.95 para patines de tensión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.95(130585.209) = 124055.949 kg-cm = 124.06 Ton-cm La resistencia a flexión de los perfiles laminados en frío calculada en los ejemplos anteriores esta basada en las propiedades mecánicas del acero vírgen. Los efectos del laminado en frío son totalmente despreciados. Si se desea considerar los efectos del laminado en frío en la resistencia a flexión y la sección cumple con las limitantes de la Sección A7 del AISI 1996 (ver Art. 2.5), el cálculo de la resistencia puede realizarse mediante uno de los siguientes procedimientos de diseño: 1. Considerar el incremento en el esfuerzo de fluencia en las esquinas debido al laminado en frío y despreciar los efectos del laminado en frío en todas las porciones planas del perfil. Como se discutió en el Capitulo 2, el incremento en el esfuerzo de fluencia puede ser calculado mediante el uso de la Ec. (2.3) o mediante pruebas experimentales. 2. Considerar el incremento en el esfuerzo de fluencia en todo el perfil mediante el uso de la Ec. (2.6) para calcular el valor promedio en todo el perfil. Para cualquier procedimiento de diseño, el siguiente algoritmo puede ser usado: 1. Subdividir a la sección en un número de elementos. Asumir una posición del eje neutro y la deformación unitaria de la fibra superior. Calcular la deformación unitaria en varios elementos basada en la posición asumida del eje neutro y el valor asumido de la deformación unitaria en la fibra superior. 2. Determinar el esfuerzo a partir de la relación esfuerzo deformación del material y del valor calculado de la deformación unitaria para varios elementos. 3. Calcular la posición del eje neutro mediante iteraciones sucesivas hasta que se cumpla la siguiente expresión:

∑ σ ∆A = 0

(5.3)

118

Posteriormente, el momento de flexión se puede aproximar mediante la siguiente expresión:

M = ∑ σy∆A donde

(5.4)

σ = esfuerzo ∆A = área del elemento y = distancia entre el centro de gravedad de cada elemento y el eje neutro.

Algunos resultados experimentales indican que para los aceros comunmente usados en perfiles laminados en frío, considerando los efectos del laminado en frío solo en las esquinas de los perfiles, la capacidad de momento se incrementa de 4 a 22% con respecto a las capacidades calculadas despreciando dichos efectos. Si los efectos del laminado en frío se consideran en todo el perfil, incluyendo las partes planas, el incremento de momento es del orden de 17 al 41%. Se observa claramente que representa una ventaja significativa el considerar el efecto del laminado en frío en el cálculo de la resistencia a flexión. La Fig. 5.14 muestra la resistencia a flexión para tres casos diferentes. Debe aclararse que los efectos del laminado en frío ilustrados en la Fig. 5.14 no pueden aplicarse directamente a otros perfiles debido a que la influencia relativa de las esquinas y las partes planas en el incremento de la resistencia a flexión depende principalmente en la configuración de la sección y del rango de valores del esfuerzo último y de fluencia del material vírgen.

Fig. 5.14 Comparación de momentos últimos calculados para tres (1) diferentes condiciones .

5.2.2.2 Capacidad Inelástica de Reserva. Como se mencionó en el Art. 1.6.9, la mayoría de los perfiles laminados en frío tienen relaciones w/t que exceden considerablemente los límites impuestos por el diseño plástico, por lo que carecen de la capacidad para desarrollar articulaciones plásticas antes de que ocurra el pandeo local. El desarrollo de una articulación plástica implica la plastificación total de la sección, es decir, que todas las fibras de la sección hayan alcanzado el esfuerzo de fluencia del material. Cuando se presenta el pandeo local, las regiones donde ocurre éste se ven impedidas a alcanzar el esfuerzo

119

de fluencia. Sin embargo, existen casos donde el perfil alcanza a plastificarse parcialmente antes de ocurrir el pandeo, por lo que existe la posibilidad de considerar la capacidad inelástica del perfil. Varias investigaciones desarrolladas en la década de 1970 demostraron que la capacidad inélastica de reserva de vigas laminadas en frío, debida a la plastificación parcial de la sección y la redistribución de momentos en vigas hiperestáticas, puede ser significativa en algunas secciones. Ejerciendo un cuidado apropiado, esta resistencia de reserva puede ser utilizada para generar diseños económicos de vigas. Estas investigaciones motivaron al AISI a incluir por primera vez especificaciones para aprovechar la capacidad inelástica de reserva en la edición 1980. Las mismas especificaciones fueron retenidas en el AISI 1996 con algunos ajustes menores. De acuerdo al Procedimiento II de la Sección C3.1.1 del AISI 1996, la resistencia nominal a flexión, Mn, de aquellas vigas que cumplen con las condiciones incluidas en dicha Sección, puede ser determinada en base a la capacidad inelástica de reserva con un valor límite máximo de 1.25My o 1.25SeFy. En la expresión anterior My es el momento de fluencia efectivo calculado de acuerdo al Art. 5.2.2.1. Se observa entonces que el AISI puede reconocer ahora hasta un 25% de incremento en la resistencia nominal por concepto de capacidad inelástica de reserva. Para poder calcular el momento nominal Mn considerando la resistencia inelástica de reserva deben establecerse primero distribuciones inelásticas de esfuerzos que consideren la plastificación parcial de la sección. Estas distribuciones dependen de la deformación unitaria máxima en el patín de compresión, εcu. En base a investigaciones sobre perfiles sombrero con patines de compresion atiesados, la Seccion C3.1.1 del AISI 1996, limita la deformación unitaria máxima a:

ε cu = C y ε y

(5.5)

donde εy = deformación unitaria de fluencia = Fy/E E = módulo de elasticidad del acero Fy = esfuerzo de fluencia del acero Cy = factor que se determina de la siguiente forma: 1. Elementos a compresión atiesados sin atiesadores intermedios: a. Cuando w/t ≤ λ1

C y = 3.0

(5.6)

b. Cuando λ1 ≤ w/t ≤ λ2

 w / t − λ1   C y = 3 − 2  λ 2 − λ1 

(5.7)

Cuando w/t ≥ λ2

C y = 1.0

(5.8)

donde

λ1 =

c.

1.11 1.28 ; λ2 = Fy / E Fy / E

La relación entre Cy y w/t del patín de compresión se muestra en la Fig. 5.15. 2. Para elementos a compresión no atiesados:

C y = 1.0

(5.9)

120

3. Para elementos a compresión con atiesadores múltiples y elementos a compresión con atiesadores de borde:

C y = 1.0

(5.10)

No se especifica límite en la deformación unitaria máxima en el AISI 1996.

Fig. 5.15 Factor Cy para elementos a compresión atiesados sin atiesadores intermedios

(1)

Para poder considerar la capacidad inelástica de reserva, la Sección C3.1.1 del AISI 1996 establece las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4. 5.

El miembro no esta sujeto a pandeo lateral, torsional o flexotorsionante. No se considera el efecto del laminado en frío en la determinación de Fy. La relación entre la porción a compresión del peralte del alma y su espesor no excede a λ1. La fuerza cortante no excede 0.35Fyht; donde ht es el área del alma. El ángulo entre cualquier alma del perfil y la vertical no excede a 30°.

En base a la máxima deformación unitaria a compresión dada por la Ec. (5.5), el eje neutro puede ser localizado mediante el uso de la Ec. (5.11) y el momento nominal puede ser determinado por la Ec. (5.12) de la siguiente manera:

∫ σdA = 0 ∫ σydA = M

(5.11) n

(5.12)

Donde σ es el esfuerzo en la sección. A continuación se presentan las ecuaciones para determinar Mn para los casos donde el patín de tensión alcanza y no alcanza Fy. Aunque las ecuaciones fueron desarrolladas para perfiles sombrero, pueden también aplicarse a otros perfiles. Secciones con Patín de Tensión en Fluencia bajo Momento Nominal. Para la distribución de esfuerzos mostrada en la Fig. 5.16, las Ecs. (5.13) a (5.18) pueden ser usadas para calcular los

121 valores de yc, yt, yp, ycp, ytp, y Mn. Para efectos de simplificar los cálculos, se usarán los dimensiones de línea central de los perfiles.

bt − bc + 2d 4 yt = d − yc yc =

(5.13) (5.14)

 εy   y p = y c   ε cu  y cp = y c − y p

(5.16)

y tp = y t − y p

(5.17)

  y cp  4 2 y     + y p + 2 y tp  y p + tp  + bt y t  M n = Fy t bc y c + 2 y cp  y p + 2  3 2     

(5.18)

(5.15)

Fig. 5.16 Distribuciones de esfuerzos en secciones con el patín de tensión bajo fluencia cuando el momento (1) nominal es aplicado .

Secciones con Patín de Tensión sin Fluir bajo Momento Nominal. Para la distribución de esfuerzos mostrada en la Fig. 5.17, yc se calcula a partir de la siguiente ecuación cuadrática:

  1 2 yc  2 − − C y  + y c (bc + 2C y d + C y bt ) − C y d 2 + C y bt d = 0   Cy  

(

)

(5.19)

Una vez obtenido el valor de yc, los valores de yt, yp y ycp pueden ser calculados a partir de las Ecs. (5.14) a (5.16). El momento nominal Mn se calcula mediante la siguiente expresión:

122

 y cp  M n = Fy t bc y c + 2 y cp  y p + 2   donde

σt =

σ  2 2 2 2σt   + y p + y t   + bt y t  t F 3  Fy   3  y

   

(5.20)

Fy C y y t yc

Debe mencionarse que cuando sea aplicable, se deberán usar los anchos y peraltes efectivos de diseño en los cálculos.

Fig. 5.17 Distribución de esfuerzos para secciones donde el patín de tensión no fluye cuando el momento (1) nominal es aplicado .

Ejemplo 5.5 Determine el momento de diseño según el Método ASD y LRFD de la sección sombrero mostrada en la Fig. 5.18. Considere la capacidad inelástica de reserva de acuerdo a la 2 Seccion C3.1.1 del AISI 1996. Use Fy = 2319 kg/cm y asuma que existen apoyos laterales adecuados.

(1)

Fig. 5.18 Ejemplo 5.5 (cotas en mm)

1. Determinación de las Dimensiones de la Sección (ver Fig. 5.19a). Determinación de anchos de los patines de compresión y tensión, así como el peralte de almas (usando las dimensiones de línea central y considerando esquinas rectas): Ancho del patín de compresión: bc = B – t = 76.20 – 2.667 = 73.533 mm Ancho del patín de tensión: bt = 2(D – t/2) = 2(34.036 – 2.667/2) = 65.405 mm Peralte de almas: d = H – t = 76.20 – 2.667 = 73.533 mm Determinación del ancho efectivo de diseño del patín de compresión, b. w = B – 2(R + t) = 76.20 – 2(4.763 + 2.667) = 61.340 mm w/t = 61.340/2.667 = 23.000

123 Como el patín es un elemento atiesado sujeto a compresión uniforme, k = 4.0. Asumiendo que 2 f = Fy = 2319 kg/cm : 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (23.000)(2319/2.073x10 ) = 0.405 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 1.0(61.340) = 61.340 mm 2. Determinación de la Deformación Unitaria Máxima, εcu 1/2

6 1/2

λ1 = 1.11/(Fy/E) = 1.11/(2319/2.073x10 ) = 33.187 Como w/t < λ1, entonces usar Ec. (5.6): Cy = 3.0 Ec. (5.5): εcu = 3.0εy (ver Fig. 5.19b). 3. Determinación de la Distribución Inelástica de Esfuerzos (ver Fig. 5.19c) Ec. (5.13): yc = 1/4[65.405 – 73.533 + 2(73.533)] = 34.735 mm Ec. (5.14): yt = 73.533 – 34.735 = 38.798 mm Ec. (5.15): yp = 34.735/3 = 11.578 mm Ec. (5.16): ycp = 34.735 – 11.578 = 23.157 mm Ec. (5.17): ytp = 38.798 – 11.578 = 27.220 mm

(1)

Fig. 5.19 Distribución de esfuerzos . (a) Elementos lineales; (b) Deformaciones unitarias; (c) Esfuerzos

4. Determinación de Mn Revisar si la sección cumple con las condiciones de la Sección C3.1.1 para poder utilizar la capacidad inelástica de reserva: 1. El miembro no estará sujeto a torsión o a pandeo lateral, torsional o flexotorsionante ya que se consideran apoyos laterales adecuados. OK 2. No se consideran los efectos del laminado en frío en la determinación de Fy. OK 3. La relación de la porción de compresión del alma y el espesor es yc = 34.735/2.667 = 13.024 y se calculó λ1 = 33.187. Por consiguiente yc/t < λ1. OK 4. El cortante máximo V no debe exceder a 0.35Fyht. En este caso no existen datos de la fuerza cortante. Asuma que la sección cumple. 5. En este caso las almas son verticales, entonces el ángulo entre la vertical y cualquier alma es cero. OK. Se observa que el perfil cumple con las condiciones requeridas por lo que se puede proceder a calcular Mn. Momento Nominal con Respecto al Eje x, Mnx: Ec. (5.18): Mnx = 2319/100(2.667)[(73.533)(34.735) + 2(23.157)(11.578 + 23.157/2) 2 + 4/3(11.578) + 2(27.220)(11.578 + 27.220/2) + (65.405)(39.798)] = 481150.307 kg-mm = 48115.031 kg-cm

124 5. Determinación de My Basado en el método ilustrado en el Ejemplo 4.3, el valor de Se para el perfil sombrero dado es 3 16.256 cm . Por lo tanto, My = SeFy = 16.256(2319) = 37697.587 kg-cm 1.25My = 1.25(37697.587) = 47121.984 kg-cm Como Mnx > 1.25My, entonces Mnx = 1.25My 6. Determinación del Momento de Diseño Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 47121.984/1.67 = 28216.757 kg-cm = 28.22 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.95 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.95(47121.984) = 44765.885 kg-cm = 44.77 Ton-cm Ejemplo 5.6 Determine el momento de diseño según el Método ASD y LRFD de la sección I con patines desiguales mostrada en la Fig. 5.20. Considere la capacidad inelástica de reserva de 2 acuerdo a la Sección C3.1.1 del AISI 1996. Use Fy = 3514 kg/cm y asuma que existen apoyos laterales adecuados.

(1)

Fig. 5.20 Ejemplo 5.6 (cotas en mm)

1. Determinación de las Dimensiones de la Sección (ver Fig. 5.21a). Determinación de anchos de los patines de compresión y tensión, así como el peralte de almas (usando las dimensiones de línea central y considerando esquinas rectas): Ancho del patín de compresión: bc = Bc – t = 127 – 3.429 = 123.571 mm Ancho del patín de tensión: bt = Bt – t = 50.8 – 3.429 = 47.371 mm Peralte de almas: d = H – t = 203.2 – 3.429 = 199.771 mm

125 Donde Bc y Bt son la suma de los anchos de patines de compresión y tensión, respectivamente. Determinación del ancho efectivo de diseño del patín de compresión, b. w = Bc/2 – (R + t) = 127/2 – (4.763 + 3.429) = 55.308 mm w/t = 55.308/3.429 = 16.129 Como el patín es un elemento no atiesado sujeto a compresión uniforme, k = 0.43. Asumiendo 2 que f = Fy = 3514 kg/cm : 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(0.43) (16.129)(3514/2.073x10 ) = 1.065 Como λ > 0.673, entonces calcular el factor de reducción Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.065)/1.065 = 0.745 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.745(55.308) = 41.204 mm Se requiere modificar el valor de bc calculado anteriormente para reflejar el valor del ancho efectivo. El nuevo valor será: bc = 2[b + (R + t/2)] = 2[41.204 + (4.763 + 3.429/2)] = 95.363 mm 2. Determinación de la Deformación Unitaria Máxima, εcu Para patines de compresión no atiesados usar Ec. (5.9): Cy = 1.0. Por lo tanto, Ec. (5.5): εcu = εy (ver Fig. 5.19b). 3. Determinación de la Distribución Inelástica de Esfuerzos (ver Fig. 5.19c) Ec. (5.13): yc = 1/4[47.371 – 95.363 + 2(199.771)] = 87.888 mm Ec. (5.14): yt = 199.771 – 87.888 = 111.883 mm Ec. (5.15): yp = 87.888/1.0 = 87.888 mm Ec. (5.16): ycp = 87.888 – 87.888 = 0.0 Ec. (5.17): ytp = 111.883 – 87.888 = 23.995 mm

(1)

Fig. 5.21 Distribución de esfuerzos . (a) Elementos lineales; (b) Deformaciones unitarias; (c) Esfuerzos

4. Determinación de Mn Revisar si la sección cumple con las condiciones de la Sección C3.1.1 para poder utilizar la capacidad inelástica de reserva: 1. El miembro no estará sujeto a torsión o a pandeo lateral, torsional o flexotorsionante ya que se consideran apoyos laterales adecuados. OK

126 2. No se consideran los efectos del laminado en frío en la determinación de Fy. OK 3. La relación de la porción de compresión del alma y el espesor es yc = 87.888/3.429 = 25.63 1/2 6 1/2 λ1 = 1.11/(Fy/E) = 1.11/(3514/2.073x10 ) = 26.96. Por consiguiente yc < λ1. OK 4. El cortante máximo V no debe exceder a 0.35Fyht. En este caso no existen datos de la fuerza cortante. Se puede asumir que la sección cumple. 5. En este caso las almas son verticales, entonces el ángulo entre la vertical y cualquier alma es cero. OK. Se observa que el perfil cumple con las condiciones requeridas por lo que se puede proceder a calcular Mn. Momento Nominal con Respecto al Eje x, Mnx: 2

Ec. (5.18): Mnx = 3514/100(3.429)[(95.363)(87.888) + 2(0.0)(87.888 + 0.0/2) + 4/3(87.888) + 2(23.995)(87.888 + 23.995/2) + (47.371)(111.883)] = 3467106.23 kg-mm = 346710.62 kg-cm 6. Determinación de My

Basado en el método ilustrado en el Ejemplo 4.1, el valor de Se para el perfil sombrero dado es 3 81.280 cm . Por lo tanto, My = SeFy = 81.280(3514) = 285617.92 kg-cm 1.25My = 1.25(285617.92) = 357022.40 kg-cm Como Mnx < 1.25My, entonces Mnx = 346710.62 kg-cm 7. Determinación del Momento de Diseño Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 346710.62/1.67 = 207611.15 kg-cm = 207.61 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.95 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.95(346710.62) = 329375.09 kg-cm = 329.38 Ton-cm 5.2.2.3 Diseño Económico por Flexión. La discusión anterior y los ejemplos de diseño estan basados en el hecho de que el momento de diseño se determina para un perfil cuyas dimensiones son conocidas. Sin embargo, cuando se requiere diseñar un miembro a flexión, las dimensiones del perfil son desconocidas al principio. En el Art. 1.7 se mencionó que este problema puede resolverse seleccionando de la lista de perfiles disponibles de un fabricante determinado. Si la lista no está disponible, la selección de las dimensiones más favorables puede lograrse mediante la aplicación de procedimientos de optimización de diseño. Estos procedimientos son muy complejos y solo pueden resolverse por computadora. Sin embargo, si se conocen el peralte y espesor del perfil, se puede demostrar que la relación de máxima capacidad de momento al peso propio se logra para un ancho de patín, cuya dimensión esté en la vecindad de valores dados por las Ecs. (5.21) y (5.22), según el caso aplicable. 1. Para patines de compresión no atiesados:

w = 0.43t

E f

(5.21)

127

2. Para patines de compresión atiesados por un alma en cada borde longitudinal:

w = 1.28t

E f

(5.22)

5.2.2.4 Deformaciones en Miembros a Flexión. Para una condición de carga dada, la deformación de un miembro a flexión depende de la magnitud, localización y tipo de carga aplicada, la magnitud del claro y de la rigidez de flexión EI, donde E es el módulo de elasticidad del material e I es el momento de inercia de la sección. La determinación del momento de inercia para calcular la deformación de vigas de acero se basa en las áreas efectivas del patín de compresión y del alma. Si el patín de compresión y el alma de la viga son 100% efectivos, entonces el momento de inercia se calcula en base a las dimensiones de la sección completa. En este caso, el valor del momento de inercia es constante en todo el claro de la viga. Si por el contrario, el patín de compresión y/o el alma no son 100% efectivos, el cálculo de los anchos y peraltes efectivos generará variaciones en el valor del momento de inercia a lo largo del claro, ya que el valor del esfuerzo f es directamente proporcional al momento flexionante, y dicho momento en general varia a lo largo del claro, como se muestra en la Fig. 5.22.

Fig. 5.22 Momentos flexionantes y variación del momento de inercia para vigas continuas de dos claros bajo carga (1) uniforme .

En el diseño de perfiles laminados en frío, el método a usarse en el cálculo de deformaciones depende de la precisión deseada. Si se requiere un valor de deformación preciso, se puede usar un programa de computadora o un método numérico donde la viga se subdivide en un numero relativamente grande de elementos de acuerdo a la variabilidad del momento de inercia. Los cálculos de deformaciones para dichas vigas son muy tediosos para hacerse a mano. Por otro lado, si se desea emplear un método aproximado, la deformación de una viga simplemente apoyada puede ser calculada basada en el momento máximo. El error de la aproximación es usualmente pequeño y conservador. Para vigas continuas, las deformaciones pueden ser calculadas a partir de un procedimiento analítico exacto o por un método usando formulas convencionales, donde un valor promedio del momento de inercia es derivado a partir de los valores de los momentos de inercia en las regiones de momento positivo y negativo. Una vez establecido el valor del momento de inercia a usarse, los procedimientos para el cálculo de deformaciones para perfiles laminados en frío son esencialmente idénticos a los usados para perfiles laminados en caliente. A continuación se presentan algunos ejemplos numéricos para el cálculo del momento de inercia.

128 Ejemplo 5.7 Determine el momento de inercia Ix del perfil I (ver Fig. 5.2) a ser usado en el cálculo de deformaciones de una viga sujeta al momento permisible Max calculado en el Ejemplo 5.1. 1. Esfuerzo en la Fibra Extrema a Compresión 3

Del Ejemplo 5.1 se obtiene Max = 216.57 Ton-cm y Sex = 102.922 cm . El esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido a Max es: 2 f = Max/Sex = 216.57(1000)/102.922 = 2104.215 kg/cm 2. Determinación de Ancho Efectivo del Patín de Compresión Del Ejemplo 5.1 se obtiene w = 42.608 mm, w/t = 12.426 y k = 0.43 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(0.43) (12.426)(2104.215/2.073x10 ) = 0.635 Como λ < 0.673, entonces calcular el factor de reducción ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, bd = ρw = 1.0(42.608) = 42.608 mm 3. Determinación del Peralte Efectivo del Alma Dado que el patín de compresión resultó 100% efectivo, asuma que las almas resultarán también 100% efectivas. Por consiguiente, el eje neutro quedará localizado a la mitad del peralte. O sea ycg = 101.60 mm. Se procede a revisar la efectividad del alma: Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 101.60 – (4.763 + 3.429) = 93.408 mm d2 = h – d1 = 186.816 – 93.408 = 93.408 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 2104.215(93.408/101.60) = 1934.552 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -2104.215(93.408/101.60) = -1934.552 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -3230.666/3230.666 = -1.00 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-1.0)] + 2[1 – (-1.0)] = 24.00 2 f = f1 = 1934.552 kg/cm ; h/t = 54.481 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(24.00) [(54.481)(1934.552/2.073x10 ) ] = 0.357 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 1.0(186.816) = 186.816 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 186.816/[3 – (-1.0)] = 46.704 mm Ec. (4.44): b2 = 186.816/2 = 93.408 mm b1 + b2 = 46.704 + 93.408 = 140.112 mm Como b1 + b2 > d1 el alma es 100% efectiva 4. Cálculo del Momento de Inercia con Respecto al Eje x Como tanto el patín de compresión y el alma son 100% efectivas, el momento de inercia se puede calcular con respecto al área total, no reducida del perfil. La distancia y es la distancia de los centroides de los elementos al centroide del perfil. Dicha distancia se calcula a continuación (ver Ejemplo 5.1 para los valores de t, c y r): Patines, y = ycg – t/2 = 101.60 – 3.429/2 = 99.886 mm Esquinas, y = ycg – [(r – c) + t/2] = 101.60 – [(6.478 – 4.126) + 3.429/2] = 97.534 mm Ver Ejemplo 5.1 para obtener los valores de A.

129 2

Area, A (mm ) 2(292.206) = 584.412 2(69.746) = 139.492 1281.184 2005.088

Elemento Patines Esquinas Almas Suma, Σ 2

2

y (mm) 99.886 97.534 0.000

4

Ay (mm ) 5830803.001 1326970.818 0.000 7157773.819

2

Ix = ΣIxx + ΣAy – ycg ΣA 2 4 4 Ix = 2(1863066.883) + 7157773.819 – (0) (2005.088) = 10883907.59 mm = 1088.391 cm Nota: En este caso, ycg = 0 para el cálculo de Ix, ya que la distancia y se toma con respecto al centroide del perfil. 3

3

Sex = Ix/ycg = 10883907.59/101.60 = 107125.075 mm = 107.125 cm

2

Esfuerzo en la fibra extrema a compresión: f = 216.57(1000)/107.125 = 2021.66 kg/cm . Como 2 el valor de f es menor al valor asumido inicial de 2104.215 kg/cm , el valor de Ix calculado puede ser usado para calcular las deformaciones. Ejemplo 5.8 Determine el momento de inercia Ix del perfil sombrero (ver Fig. 5.9) a ser usado en el cálculo de deformaciones de una viga sujeta al momento permisible Max calculado en el Ejemplo 5.3. 1. Esfuerzo en la Fibra Extrema a Compresión 4

Del Ejemplo 5.3 se obtiene Max = 222.95 Ton-cm, Ix = 1483.609 cm , ycg = 11.398 cm. El esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido a Max es: 2 f = Maxycg/Ix = 222.95(1000)11.398/1483.609 = 1712.840 kg/cm Nota: En este caso no se usa el valor de Sex calculado en el Ejemplo 5.3, ya que el perfil presenta fluencia primero en el patín de tensión, por lo cual Sex fue determinado con respecto a la fibra extrema a tensión. 2. Determinación de Ancho Efectivo del Patín de Compresión Del Ejemplo 5.1 se obtiene w = 366.140 mm, w/t = 137.285 y k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (137.285)(1712.840/2.073x10 ) = 2.076 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/2.076)/2.076 = 0.431 Ancho efectivo de diseño, bd = ρw = 0.431(366.140) = 157.806 mm Como bd < w, debe calcularse la posición del eje neutro ycg. Asuma inicialmente que las almas son 100% efectivas Cálculo de ycg (ver información de L y y dadas en el Ejemplo 5.3): Elemento 1 2 3 4 5 Suma, Σ

Longitud Efectiva L (mm) 53.212 19.144 478.280 19.144 157.806 727.586

y (mm) 252.667 250.453 127.000 3.547 1.334

ycg = ΣLy/ΣL = 79259.565/727.586 = 108.935 mm = 10.894 cm

2

Ly (mm ) 13444.916 4794.672 60741.560 67.904 210.513 79259.565

2

3

Ly (mm ) 3397086.693 1200840.045 7714178.120 240.855 280.825 12312626.540

130

Momento de inercia de la sección lineal: 3

3

Elemento 3: Ixx = 1/12(478.280/2) = 1139660.323 mm 3 ΣIxx = 2(1139660.323) = 2279320.646 mm 2

2

2

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 2279320.646 + 12312626.540 – (108.935) (727.586) 3 = 5957804.74 mm 4

Momento de inercia de la sección total, Ix = I’xt = (5957804.74)2.667 = 15889465.24 mm 4 = 1588.947 cm

Esfuerzo en la fibra extrema a compresión: 2 f = Maxycg/Ix = 222.95(1000)10.894/1588.947 = 1528.570 kg/cm 2 Como el valor de f es menor que el valor inicial asumido de 1712.84 kg/cm , debe realizarse una segunda iteración con un valor reducido de f. •

Segunda Iteración 2

Asuma f = 1475.00 kg/cm . Considerando los valores antes expuestos de w/t, w y k se obtiene: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): 1.052/(4.0) (137.285)(1475.00/2.073x10 ) = 1.926 Como λ > 0.673, calcular factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.926)/1.926 = 0.460 Ancho efectivo de diseño, bd = ρw = 0.460(366.140) = 168.424 mm Como bd < w, debe calcularse la nueva posición del eje neutro ycg. Asuma inicialmente que las almas son 100% efectivas. Cálculo de ycg: Longitud Efectiva L (mm) 53.212 19.144 478.280 19.144 168.424 738.204

Elemento 1 2 3 4 5 Suma, Σ

y (mm)

2

Ly (mm )

252.667 250.453 127.000 3.547 1.334

13444.916 4794.672 60741.560 67.904 224.678 79273.730

2

3

Ly (mm ) 3397086.693 1200840.045 7714178.120 240.855 299.720 12312645.43

ycg = ΣLy/ΣL = 79273.730/738.204 = 107.387 mm = 10.739 cm Momento de inercia de la sección lineal: 2

2

2

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 2279320.646 + 12312645.430 – (107.387) (738.204) 3 = 6079021.341 mm 4

Momento de inercia de la sección total, Ix = I’xt = (6079021.341)2.667 = 16212749.92 mm 4 = 1621.275 cm Esfuerzo en la fibra extrema a compresión: 2 f = Maxycg/Ix = 222.95(1000)10.739/1621.275 = 1476.776 kg/cm

2

Como el valor de f es aproximadamente igual al valor inicial asumido de 1475.00 kg/cm no se 4 requieren interaciones adicionales y el valor de Ix requerido será 1621.275 cm

131 5.2.3 Resistencia al Pandeo Lateral. Hasta este punto se han tratado miembros sujetos a flexión donde las fibras extremas de compresión y/o tensión de los perfiles alcanzan la fluencia antes de sufrir problemas de inestabilidad local o global. Sin embargo, si no se proveen apoyos laterales adecuados, los miembros laminados en frío sujetos a flexión y cargados en el plano del alma pueden sufrir pandeo latero-torsional. El pandeo latero-torsional ocurre normalmente al presentarse inestabilidad en el patín de compresión de la viga. Como el patín es relativamente estable en el plano del alma debido al arriostramiento que le provee el alma, la cual a su vez cuenta con la unión a la estabilidad del patín de tensión, el patín tiende a pandearse lateralmente en el plano perpendicular al alma. Cuando se presenta el pandeo lateral del patín, toda la viga “acompaña” al patín, ocurriendo el pandeo lateral global de la viga. Al mismo tiempo, la deformación lateral de la viga genera componentes del momento flexionante sobre el eje longitudinal de la viga (momentos torsionantes) que provocan que la sección gire. El resultado es el pandeo latero-torsional. Por otro lado, como ya se mencionó con anterioridad, la gran esbeltez de los perfiles laminados en frío los hace propensos al pandeo local. El pandeo local de alguno de los elementos del perfil sujetos a compresión puede impedir que las fibras extremas de compresión y/o tensión del perfil alcanzen la fluencia. De hecho, el pandeo local puede ocurrir antes o durante el pandeo laterotorsional. Este artículo presenta los procedimientos de diseño para determinar la resistencia al pandeo latero-torsional de secciones con simetría doble, sencilla y con respecto a un punto, de acuerdo al número y localización de apoyos laterales, tomando en cuenta la propensidad al pandeo local de los perfiles. El diseño de los apoyos laterales se presenta en el Art. 5.4. 5.2.3.1 Secciones con Simetría Doble y Sencilla. Las vigas I simplemente apoyadas, no sujetas a pandeo local y sometidas a momento puro (ver Fig. 5.23) pueden presentar pandeo latero-torsional. Las siguientes ecuaciones diferenciales describen su comportamiento bajo dicho pandeo:

EI y u iv + Mφ ′′ = 0 EC wφ iv − GJφ ′′ + Mu ′′ = 0

(5.23) (5.24)

donde M = momento de flexión puro. E = módulo de elasticidad G = módulo de cortante = E/2(1 + µ) Iy = momento de inercia con respecto al eje y Cw= constante de alabeo por torsión de la sección J = constante de torsión de St. Venant de la sección u = deformación del centro de cortante en la dirección x φ = ángulo de giro por torsión Las primas indican diferenciación con respecto a z.

Fig. 5.23 Viga simplemente apoyada sujeta a momentos (1) flexionantes en los extremos .

132

Bajo la condición de simple apoyo, los extremos no pueden deformarse o torcerse; poseen libertad de alabeo y el momento de extremo con respecto a y es cero. Por consiguiente, las condiciones de frontera son:

u (0) = u ( L) = φ (0) = φ ( L) = 0 u ′′(0) = u ′′( L) = φ ′′(0) = φ ′′( L) = 0

(5.25) (5.26)

La subsitución de estas condiciones de frontera dadas en las Ecs. (5.25) y (5.26) en las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas por las Ecs. (5.23) y (5.24) resulta en la siguiente expresión para el momento crítico de pandeo lateral:

 n 2π 2 EC w M cr = EI y GJ 1 + GJL2 

  

(5.27)

donde L es la longitud del claro y n = 1, 2, 3, .... El ángulo de giro debido a la torsión de la viga esta dado por:

 nπz  φ = C sen   L 

(5.28)

y la deformación lateral de la viga, u, esta dada por:

 nπz  CML2 sen  L   u= n 2π 2 EI y

(5.29)

El historial de deformación de la viga esta representado en la Fig. 5.24. Cuando M < Mcr y M = Mcr, pero sin que aun haya ocurrido el pandeo lateral, la viga se deforma en la dirección y. La deformación vertical v puede obtenerse de la Ec. (5.30) para flexión en el plano.

EI y v ′′ = − M

(5.30)

Fig. 5.24 Historial de desplazamientos para una viga sujeta a (1) pandeo latero-torsional .

133 Resolviendo la Ec. (5.30) y usando las condiciones de frontera v(0) = v(L) = 0 se obtiene la siguiente ecuación de deformación:

ML2 v= 2 EI x

 z  z 2   −    L  L  

(5.31)

Cuando la viga se pandea lateralmente, la sección gira con respecto al centro de rotación CLB. Este punto esta localizado a una distancia yLB bajo el centro de cortante de la sección, la cual está dada por la siguiente expresión:

y LB =

u ML2 = 2 2 φ n π EI y

(5.32)

De la Ec. (5.27) para n = 1, se obtiene el valor mínimo del momento crítico para pandeo lateral para una viga I:

M cr

 π 2 EC w  π  = EI y GJ 1 + L GJL2  

(5.33)

Para vigas I la constante de alabeo Cw y el momento de inercia con respecto a al eje y estan dadas por las siguiente expresiones:

Cw =

b 3 td 2 24

(5.34)

Iy =

b 3t 6

(5.35)

Los valores de d, b y t se ilustran en la Fig. 5.25.

Fig. 5.25 Viga I a base de dos perfiles C espalda con espalda con patines no atiesados

(1)

Substituyendo las Ecs. (5.34) y (5.35) en la Ec. (5.33) se obtiene:

2

M cr

E 2 I y d 2  π 2 π = EI y GJ +   L 4 L

(5.36)

Por consiguiente, el esfuerzo crítico para pandeo lateral de una viga I sujeta a momento puro esta dado por:

σ cr

M M d π 2E = cr = cr = 2 Sx 2I x 2(L / d )

 Iy   2I x

JI y    +  2    2(1 + µ )I x 2

 L  2    πd  

(5.37)

134 donde Sx es el módulo de sección y Ix el momento de inercia de la sección completa con respecto al eje x. Se ha demostrado que la Ec. (5.37) también se puede aplicar a perfiles laminados en frío con una precision aceptable. En la Ec. (5.37) el primer término bajo el radical representa la resistencia debida a la rigidez lateral de la viga y el segundo término representa la rigidez torsionante de St. Venant. Para los perfiles laminados en frío de pared delgada, el primer término usualmente excede considerablemente en magnitud al segundo. Para vigas I con patines desiguales, el esfuerzo crítico de pandeo lateral está dado por:

σ cr =

π 2 Ed 2 L2 S xc

2   I − I + I 1 + 4GJL yt y  yc π 2 I y Ed 2 

   

(5.38)

donde Sxc es el módulo de sección con respecto a la fibra de compresión, Iyc y Iyt, son los momentos de inercia de las porciones de compresión y tensión de la sección completa, respectivamente, con respecto al eje paralelo al alma. Los otros símbolos ya fueron definidos anteriormente. Para vigas con patines iguales, Iyc = Iyt = Iy/2, y al substituir dichos valores la Ec. (5.38) se obtiene la Ec. (5.37). Como se mencionó con anterioridad, el segundo término bajo el radical de la Ec. (5.38) representa la rigidez torsionante de St. Venant, el cual puede ser despreciado sin introducir un error considerable. Por consiguiente, la Ec. (5.38) puede ser simplificada como se muestra en la 2 2 2 Ec. (5.39), considerando Iy = Iyc + Iyt y despreciando el término 4GJL /π IyEd :

σ cr =

π 2 EdI yc L2 S xc

(5.39)

La Ec. (5.39) fue derivada para una viga sujeta a momento uniforme. Esta ecuación genera resultados conservadores para vigas con momentos desiguales en los extremos. Para evitar esto, dicha ecuación puede ser modificada incorporando el coeficiente de momento Cb resultando la siguiente expresión:

σ cr =

C bπ 2 EdI yc L2 S xc

(5.40)

donde Cb puede ser tomado conservadoramente igual a uno, o puede ser calculado mediante la siguiente expresión:

C b = 1.75 + 1.05( M 1 / M 2 ) + 0.3( M 1 / M 2 ) 2 ≤ 2.3

(5.41)

Donde M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos en los extremos de la longitud entre apoyos laterales, con respecto al eje fuerte de la seccion. La relación M1/M2 es positiva cuando M1 y M2 tienen el mismo signo (flexión en curvatura doble) y negativa cuando tienen signos contrarios (flexión en curvatura simple). Cuando el valor del momento en cualquier punto dentro de la longitud entre apoyos laterales es mayor que el valor del momento en los extremos de dicha longitud, Cb deberá tomarse igual a uno. La Ec. (5.41) se usó en las Especificaciones del AISI Edición 1968, 1980, 1986 y 1991.

135

Debido a que la Ec. (5.41) solo es válida para diagramas de momentos lineales, el AISI 1996 substituyó dicha ecuación por la siguiente expresión:

Cb = donde

2.5M max

12.5M max + 3M A + 4 M B + 3M C

(5.42)

Mmax = valor absoluto del momento máximo del segmento entre apoyos laterales. MA = valor absoluto del momento a un cuarto del segmento entre apoyos laterales. MB = valor absoluto del momento al centro del segmento entre apoyos laterales. MC = valor absoluto del momento a tres cuartos del segmento entre apoyos laterales.

La Ec. (5.42) puede ser usada para varias configuraciones del diagrama de momento dentro del segmento entre apoyos laterales. Proporciona valores mas precisos para vigas con extremos empotrados y para diagramas de momento no lineales. Cabe mencionar que esta ecuación es la misma usada por la Especificación LRFD del AISC 1993. La Fig. 5.26 muestra la diferencia entre las Ecs. (5.41) y (5.42).

Fig. 5.26 Comparativo entre las Ecs. (4) (5.41) y (5.42) .

La Sección C3.1.2 del AISI 1996 permite tomar Cb = 1 para vigas en voladizo cuyo extremo volado no tiene apoyo lateral y miembros sujetos a combinación de flexión y carga axial. Por consiguiente, el momento crítico simplificado para pandeo lateral de vigas con simetría doble puede ser calculado a partir del esfuerzo crítico de pandeo lateral dado por la Ec. (5.40) y el módulo de sección con respecto a la fibra de compresión de la siguiente manera:

( M cr ) e = σ cr S xc =

C bπ 2 EdI yc L2

(5.43)

La Ec. (5.43) es la fórmula de diseño usada en la Sección C3.1.2(b) del AISI 1996. La Sección C3.1.2.1(b) del Suplemento 1999 reconoce a la Ec. (5.40) como la ecuación de diseño, solo que σcr = Fe y Sxc = Sf, donde Fe y Sf se definen mas adelante.

136

Debe mencionarse que la Ec. (5.40) se aplica al pandeo elástico de perfiles laminados en frío cuando el esfuerzo crítico teórico de pandeo calculado es igual o menor que el límite de proporcionalidad σpr. Cuando el esfuerzo calculado excede al límite de proporcionalidad, el comportamiento de la viga será gobernado por pandeo inelástico. Para vigas de claros extremadamente cortos, la capacidad máxima de momento puede llegar a alcanzar el momento plástico Mp para secciones compactas. Se puede demostrar que para vigas de patín ancho la siguiente expresión es aplicable:

M p = 1.11M y = 1.11Fy S x donde

(5.44)

Mp = momento plástico My = momento de fluencia = SxFy

Esto quiere decir que el esfuerzo en la fibra extrema puede alcanzar el valor hipotético de 2 1.11SxFy cuando L Sxc/dIyc ≈ 0 si se usa el módulo de sección elástico para calcular el momento. Similar al enfoque de diseño usado en miembros sujetos a esfuerzos de compresión axial (Capitulo 6), el límite de proporcionalidad efectivo (o el valor máximo del esfuerzo elástico de pandeo) puede asumirse igual a la mitad del esfuerzo máximo. O sea:

σ pr =

1 (1.11Fy ) = 0.555Fy 2 2

(5.45) 2

Como se muestra en la Fig. 5.27, la relación L Sxc/dIyc correspondiente a σcr = σpr es 1.8π ECb/Fy. Si esfuerzo crítico teórico σcr excede a σpr, el esfuerzo crítico será gobernado por pandeo inelástico. La curva de pandeo inelástico puede ser representada por la siguiente ecuación parabólica:

(σ cr )I

 1  Fy = Fy  A −  B  σ cr 

  

(5.46)

Fig. 5.27 Comportamiento de vigas I sujetas a pandeo latero-torsional en función del esfuerzo (1) máximo .

donde A y B son constantes que pueden ser determinadas considerando las siguientes condiciones:

137

1. Cuando L = 0,

2. Cuando

L2 S xc 1.8π 2 EC b = , dI yc Fy

(σ cr )I

= 1.11Fy

(5.47)

(σ cr )I

= 0.555 Fy

(5.48)

Resolviendo la Ec. (5.46), se obtienen los siguientes valores para A y B: A = 1.11; B = 3.24. Por lo tanto, la Ec. (5.46) puede ser expresada de la siguiente manera:

(

(σ cr )I

2  1  Fy L S xc / dI yc = Fy 1.11 −  3.24  C bπ 2 E 

(σ cr )I

2 10  10  Fy L S xc / dI yc = Fy 1 −  9 C bπ 2 E  36 

(

)   

)    

(5.49)

La Ec. (5.49) representa el esfuerzo crítico de pandeo en el rango inelástico. Aun cuando el esfuerzo máximo calculado a partir de la Ec. (5.49) excede a Fy (ver Fig. 5.27), el AISI ha asumido una posicion conservadora y limita el esfuerzo máximo un valor igual a Fy. Mediante el uso del esfuerzo crítico de pandeo dado por la Ec. (5.49) y el módulo de sección con respecto a la fibra de compresión, el momento crítico para pandeo inelástico puede ser calculado mediante la siguiente expresión:

(M cr )I = (σ cr )I S xc

=

 10 M y  10 M y 1 −  9  36 (M cr ) e 

(5.50a)

donde My es el momento de fluencia y (Mcr)e es el momento crítico de pandeo elástico dado por la Ec. (5.43). La Ec. (5.50a) es la ecuación de diseño dada en la Sección 3.1.2 del AISI 1996. Esta ecuación es usada solo si (Mcr)e > 0.56My como se muestra en la Fig. 5.28. Se ha demostrado que las ecuaciones de diseño derivadas para perfiles I son igualmente aplicables a perfiles canal con un grado de precisión aceptable. La Sección C3.2.1.1 del Suplemento 1999 cambia el formato de la Ec. (5.50a) y expresa la ecuación en términos de esfuerzo:

Fc =

10  10 Fy  Fy 1 −  9  36 Fe 

(5.50b)

Donde Fc es el esfuerzo crítico elástico o inelástico de pandeo latero-torsional, el que sea aplicable según la Sección C3.2.1.1 y Fe es el esfuerzo crítico elástico de pandeo latero-torsional. La Ec. (5.50b) se obtiene directamente de la Ec. (5.50a) dividiendo todos los momentos flexionantes entre el módulo de sección Sxc. Las Ecs. (5.40) y (5.49) fueron la base del diseño para el pandeo lateral de perfiles I y canal en las especificaciones del AISI 1968 y 1980. A partir del AISI 1986, ademas del uso de las Ecs. (5.43) y (5.50a) para determinar el momento crítico de pandeo, se incluyeron nuevas fórmulas de diseño para calcular la resistencia de pandeo lateral derivadas de aplicaciones recientes de la teoria de pandeo flexotorsionante de secciones de pared delgada. Especificamente, la Sección C3.1.2 del AISI 1996 establece a la Ec. (5.51a) para calcular el momento crítico elástico de pandeo

138

en base a dicha teoría. Dicha ecuación se estableció para perfiles con simetría doble, sencilla y con respecto a un punto, flexionados con respecto al eje de simetría perpendicular al alma.

(M cr )e

= C b ro A σ eyσ t

(5.51a)

La Sección C3.2.1.1 del Suplemento 1999 divide a la Ec. (5.51a) entre Sf para que la ecuación quede en términos de esfuerzos:

Fe = donde

C b ro A σ eyσ t Sf

(5.51b)

A = área de la sección completa Sf = módulo de sección de la sección no reducida con respecto a la fibra extrema a compresión.

σ ey =

(K

σt =

1 Aro

π 2E

y L y / ry )

(5.52)

2

 π 2 EC w  GJ +   (K t Lt )2  

(5.53)

Ky, Kt = factores de longitud efectiva para flexión con respecto a y y para torsión. Ly, Lt = longitud entre apoyos laterales para flexión con respecto a y y para torsión.

ro = rx + r y + x o 2

2

2

rx, ry = radios de giro de la sección con respecto a los ejes principales. xo = distancia en x del centro de cortante al centroide, tomado como negativo. Los otros términos ya fueron definidos con anterioridad.

Fig. 5.28 Comportamiento de una viga I sujeta a pandeo (1) latero-torsional en función del momento flexionante .

Para perfiles con simetría simple, el eje x es el eje de simetría orientado de tal manera que el centro de cortante tiene una coordenada en x negativa. Una comparación de las Ecs. (5.43) y (5.51a) muestra que dichas ecuaciones dan resultados muy similares para perfiles canal cuando Ix > Iy. Sin embargo, para perfiles canal con Ix < Iy y con una relación de esbeltez KyLy/ry grande, la Ec. (5.43) da resultados muy conservadores comparada con la Ec. (5.51a).

139

Para secciones con simetría simple flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al eje de simetría, el momento crítico elástico basado en la teoría de pandeo flexotorsionante puede ser calculado usando la Ec. (5.54a):

(M cr )e

[

= C s Aσ ex j + C s

]

j 2 + ro (σ t / σ ex ) / CTF 2

(5.54a)

Expresando la Ec. (5.54a) en términos de esfuerzo se obtiene:

Fe = donde Cs =

j 2 + ro (σ t / σ ex ) 2

]

(5.54b)

+1 para cuando el momento genera compresión en la porción del perfil del lado del centro de cortante.

Cs =

-1 para cuando el momento genera tensión en la porción del perfil del lado del centro de cortante.

σ ex = CTF =

[

C s Aσ ex j + Cs CTF S f

π 2E (K x Lx / rx )2

(5.55)

0.60 – 0.40(M1/M2) . donde M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos en los extremos de la longitud entre apoyos laterales, con respecto al eje fuerte de la seccion. La relación M1/M2 es positiva cuando M1 y M2 tienen el mismo signo (flexión en curvatura doble) y negativa cuando tienen signos contrarios (flexión en curvatura simple). Cuando el valor del momento en cualquier punto dentro de la longitud entre apoyos laterales es mayor que el valor del momento en los extremos de dicha longitud, CTF deberá tomarse igual a uno. Para miembros sujetos a combinación de flexión y carga axial, CTF deberá tomarse igual a uno.

Kx = factor de longitud efectiva para flexión con respecto al eje x. Lx = longitud entre apoyos laterales para flexión con respecto al eje x.

j=

βy  1  3 2  ∫ x dA + ∫ xy dA − xo = 2I y  A 2  A

(5.56)

Ver Apendice A para el cálculo de βy. Los otros términos fueron definidos con anterioridad. La derivación de la Ec. (5.54a) se presenta en el Capitulo 7 para vigas-columnas. Ver Ecs. (7.41) y (7.45). Las Ecs. (5.51a) y (5.54a) están dadas en la Sección C3.1.2(a) del AISI 1996 como ecuaciones generales para calcular el momento crítico elástico de diseño para perfiles con simetría doble, sencilla y con respecto a un punto. La Sección C3.1.2.1(a) del Suplemento 1999 reconoce a las ecuaciones (5.51b) y (5.54b) como las ecuaciones generales. Con respecto al momento crítico inelástico, la siguiente expresión fue usada en la Sección C3.1.2 (a) del AISI 1986 y del Addendum 1989 para secciones con simetría doble, simple y con respecto a un punto:

140

(M cr )I

My   = M y 1 −   4(M cr )e 

(5.57)

La diferencia entre las Ecs. (5.50a) y (5.57) se muestra en la Fig. 5.29. Se puede observar que la diferencia mayor se da en la vecindad de My/(Mcr)e = 0.36 o (Mcr)e = 2.78My. En el AISI 1996 la Ec. (5.57) a sido eliminada y la Ec. (5.50a) a sido adoptada tanto para la Seccion 3.1.2(a) como para la 3.1.2(b). O sea, la curva básica de pandeo lateral inelástico dada por la Fig. 5.29(b) se redefinió para que sea consistente con la curva de pandeo lateral inelástico de secciones I y Z dada por la Fig. 5.29(a). Este mismo criterio se conserva en el Suplemento 1999, solo que las Ec. (5.50a) se cambió por la Ec. (5.50b).

Fig. 5.29 Momentos críticos elásticos e inelásticos (1) para la resistencia al pandeo latero-torsional .

Como se especifica en la Seccion C3.1.2 y se observa en la Fig. 5.29(a), el pandeo se considera elástico hasta un momento igual a 0.56My. La región inelástica es definida por una curva parabólica desde 0.56My hasta (10/9)My para una longitud no apoyada igual a cero. Estas consideraciones aplican también a la Sección C3.1.2.1 del Suplemento 1999, excepto que My es substituida por Fy. Como se mencionó anteriormente, el factor (10/9) se basa en la plastificación parcial de la sección bajo flexión. Se puede observar en la Fig. 5.29(a) que se genera un corte en la parábola al limitar al maximo momento al valor de My [Mcr/My = 1.0 en la Fig. 5.29(a)], lo cual permite el cálculo de la distancia no apoyada máxima para la cual no existe reducción del momento debida a la inestabilidad lateral. La distancia no apoyada máxima puede calcularse igualando la parábola a My.

141

Esta liberalización de la curva de pandeo lateral inelástico para secciones con simetría doble, simple y con respecto a un punto ha sido confirmada por investigaciones recientes en vigascolumnas (Pekoz y Sumer en 1992) y en puntales de muro (Pekoz y Kian en 1994). La discusión previa se centró en el tratamiento de la resistencia de pandeo lateral de vigas no sujetas a pandeo local. Para vigas sujetas a pandeo local, la interacción del pandeo local de los elementos a compresión con el pandeo lateral de toda la viga puede resultar en la reducción de la resistencia de pandeo lateral de la viga. El efecto del pandeo local sobre el momento crítico se considera en la Seccion C3.1.2 del AISI 1996, donde la resistencia nominal al pandeo se determina de la siguiente manera:

S M n = M cr  c S  f

   

(5.58a)

La Sección C3.1.2.1 del Suplemento 1999 usa el siguiente formato simplificado para expresar a la Ec. (5.58a):

M n = Fc S c

(5.58b)

donde Mcr = momento crítico elástico o inelástico, según el que sea aplicable. Sc = módulo de sección elástico de la sección efectiva calculada a un esfuerzo de Mcr/Sf en la fibra extrema a compresión. Sf = módulo de sección elástico de la sección completa, no reducida, con respecto a la fibra extrema de compresión. Fc = esfuerzo crítico elástico o inelástico de pandeo latero-torsional. En la Ec. (5.58a) la relación Sc/Sf se usa para tomar en cuenta el efecto del pandeo local sobre la resistencia al padeo lateral de vigas. Para el Método LRFD, la resistencia nominal al pandeo dada por las Ecs. (5.58a) y (5.58b) se usa con factor de resistencia φb = 0.90, lo que provee valores del índice de confiabilidad β de 2.4 a 3.8. Investigaciones realizadas en 1992 por Ellifritt, Sputo y Haynes han indicado que cuando la distancia entre apoyos laterales es definida como la separación entre apoyos laterales intermedios, las ecuaciones de diseño dadas en la Seccion C3.1.2 del AISI 1996 pueden arrojar resultados conservadores para casos donde se usa solo un apoyo lateral al centro del claro, pero pueden arrojar resultados no conservadores cuando mas de un apoyo lateral intermedio es usado. Dichas investigaciones y las investigaciones realizadas en 1993 y 1994 por Kavanagh y Ellifritt han indicado que una viga con apoyos laterales no unida a una lamina de cubierta o muro, puede fallar por pandeo laterotorsional en la longitud no apoyada lateralmente, o por pandeo distorsional en, o cerca del punto de apoyo lateral. La falla por pandeo distorsional se caracteriza por la distorsión de la sección mediante la rotación del patín de compresión con respecto a la unión con el alma. La rotación del patín normalmente ocurre en dirección de las manecillas del reloj mientras que el resto de los elementos de la sección se mantienen en su posición original. Aunque el pandeo distorsional de perfiles lamiandos en frío ha sido investigado extensivamente desde 1962, el AISI aun no ha desarrollado ecuaciones de diseño para prevenir dicho pandeo. Sin embargo, la Sección B4.2 (ver Art. 4.3.3.2) toma en cuenta implícitamente la incapacidad del labio atiesador para prevenir el pandeo distorsional del patín de compresión mediante la reducción del coeficiente de pandeo k a valores menores que 4.0 para patines parcialmente atiesados. Las ecuaciones de diseño desarrolladas anteriormente para distribución uniforme de momentos pueden ser usadas para otras condiciones de carga con una precisión aceptable.

142 5.2.3.2 Secciones con Simetría con Respecto a un Punto. Las secciones simétricas con respecto a un punto, como las secciones Z con patines iguales, tienen menor resistencia al pandeo que las secciones con simetría doble y sencilla. El AISI ha adoptado un criterio de diseño conservador para estas secciones y establece que el momento crítico elástico sea la mitad del momento crítico elástico de las secciones con simetría doble o sencilla. Por consiguiente, en lugar de usar la Ec. (5.51a), la siguiente ecuación se usa para determinar el momento crítico elástico de secciones Z con simetría con respecto a un punto y flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al alma:

(M cr )e

=

C b ro A σ eyσ t 2

(5.59a)

Expresando la Ec. (5.59a) en términos de esfuerzos se obtiene:

Fe =

C b ro A σ eyσ t 2S f

(5.59b)

En lugar de las Ecs. (5.59a) y (5.59b), las siguientes ecuaciones simplificadas pueden ser usadas para calcular el momento y esfuerzo crítico elástico de secciones Z:

(M cr )e Fe =

=

C bπ 2 EdI yc 2L

C bπ 2 EdI yc 2S f L

(5.60a)

(5.60b)

Todos los términos usados en las Ecs. (5.59) y (5.60) se definen en el Art. 5.2.3.1. 5.2.3.3 Criterios de Diseño del AISI 1996 para Establecer la Resistencia por Pandeo Lateral de Secciones con Simetría Doble, Simple y con Respecto a un Punto. La Sección C3.1.2.1 del Suplemento 1999 contiene los procedimientos de diseño para obtener el momento nominal Mn a ser usado en las ecuaciones generales de diseño para vigas sujetas a pandeo lateral. En el Suplemento 1999 se modificó la Sección C3.1.2 del AISI 1996 para incluir dos subsecciones: la Sección C3.2.1.1 y la Sección C3.2.1.2 para determinar la resistencia al pandeo latero-torsional de secciones abiertas y en cajón, respectivamente. La Sección C3.2.1.1 contiene las especificaciones de diseño dadas en la Sección C3.2.1 del AISI 1996 con las modificaciones en el formato de las ecuaciones de diseño discutidas anteriormente. La Sección C3.2.1.2 es una sección nueva (ver Art. 5.2.3.4). Algunas de las definiciones de parámetros y ecuaciones incluidas en las especificaciones ya fueron presentadas previamente, pero se repiten aquí para efectos de no perder la secuencia de la transcripción de la Sección C3.1.2.1. Estas especificaciones aplican a secciones I, Z, C y otras secciones con simetría simple (excepto decks con múltiples almas, secciones U y cajón, asi como secciones curvas y de arco). Estas especificaciones no aplican a secciones con patines de compresión sin apoyo lateral u otras secciones con estabilidad lateral. Estas especificaciones tampoco consideran efectos torsionantes como los que resultan de cargas cuya resultante no pasa por el centro de cortante de la sección. Consultar la Sección D3 del AISI 1996 (ver Art. 5.4) para el diseño de los apoyos laterales requeridos para restringir la torsión y/o la flexión lateral. Para

143

secciones C y Z con el patín de tensión unido a lámina, consultar la Sección C3.1.3 del AISI 1996 (ver Art. 5.2.4). A continuación se presenta la Sección C3.2.1.1. C3.1.2.1 Resistencia al Pandeo Latero-Torsional para Secciones Abiertas

La resistencia nominal, Mn, para los segmentos entre apoyos laterales de secciones con simetría doble, simple y con respecto a un punto, sujetas a pandeo lateral deberá calcularse con la siguiente expresión:

M n = S c Fc Ωb = φb =

(5.61)

1.67 (ASD) 0.90 (LRFD)

donde: Sc = Fc =

Módulo de sección elástico para la sección efectiva calculada para un esfuerzo f = Fc en la fibra extrema a compresión. Esfuerzo crítico elástico o inelástico de pandeo latero-torsional calculado de la siguiente manera: Para Fe ≥ 2.78Fy:

Fc = Fy

Para 2.78Fy > Fe > 0.56Fy:

Fc =

Para Fe ≤ 0.56Fy:

Fc = Fe

10  10 Fy Fy 1 − 9  36 Fe

(5.62)

  

(5.63)

(5.64)

donde: Fe =

Esfuerzo crítico elástico de pandeo latero-torsional calculado de acuerdo a los casos (a) o (b) de la siguiente manera:

Caso (a) Secciones con simetria doble, simple y con respecto a un punto: Para flexión con respecto al eje de simetría:

Fe =

C b ro A σ eyσ t Sf

(5.65)

donde: Sf =

Módulo de sección elástico para la sección completa no reducida con respecto a la fibra extrema a compresión.

Para secciones con simetría simple, el eje x es el eje de simetría orientado de tal manera que el centro de cortante tenga una coordenada en x negativa. Para secciones con simetría con respecto a un punto, multiplicar la Ec. (5.65) por 0.50. El eje x de las secciones Z es el eje perpendicular al alma. De manera alternativa, Fe puede ser calculada usando las ecuaciones para secciones con simetría doble y con respecto a un punto dadas en el Caso (b). Para secciones con simetría simple flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al eje de simetría:

144

Fe =

[

C s Aσ ex j + Cs CTF S f

j 2 + ro (σ t / σ ex ) 2

]

(5.66)

donde: Cs =

+1 para momento causando compresión del lado del eje centroidal coincidente con el centro de cortante. -1 para momento causando tensión del lado del eje centroidal coincidente con el centro de cortante.

Cs =

σ ex

π 2E = (K x Lx / rx )2

σ ey =

(K

π 2E

Cb =

L y / ry )

(5.68)

2

y

1 σt = 2 Aro A=

(5.67)

 π 2 EC w  GJ +  (K t Lt )2  

(5.69)

Area de la sección completa

2.5M max

12.5M max + 3M A + 4 M B + 3M C

(5.70)

donde: Mmax = MA = MB = MC =

E= CTF =

valor absoluto del máximo momento en el segmento entre apoyos laterales. valor absoluto del momento a un cuarto del claro del segmento entre apoyos laterales. valor absoluto del momento al centro del segmento entre apoyos laterales. valor absoluto del momento a tres cuartos del claro del segmento entre apoyos laterales. Cb puede ser tomado conservadoramente como igual a uno para todos los casos. Cb deberá ser tomado como igual a uno para segmentos en voladizo cuando el extremo libre no tiene apoyo lateral y para miembros sujetos a combinación de carga axial y flexión (Sección C5). Módulo de elasticidad. 0.60 – 0.40(M1/M2) (5.71) Donde M1 es el menor y M2 es el mayor de los momentos en los extremos de la longitud entre apoyos laterales en el plano de flexión, y donde M1/M2 es positivo cuando M1 y M2 tienen el mismo signo (flexión en curvatura doble) y negativo cuando tienen signo contrario (flexión en curvatura simple). Cuando el valor del momento en cualquier punto de la longitud entre apoyos laterales es mayor que el valor del momento en ambos extremos de dicha longitud, y para miembros sujetos a combinación de carga axial y flexión (Sección C5), CTF deberá ser igual a uno.

ro = rx + ry + x o 2

2

2

(5.72)

ro = Radio de giro polar de la sección completa con respecto al centro de cortante. rx, ry = Radios de giro de la sección completa con respecto a sus ejes centroidales. G= Módulo de cortante. Kx, Ky, Kt = Factores de longitud efectiva para flexión con respecto al eje x, eje y y para torsión. Lx, Ly, Lt = Longitud entre apoyos laterales para flexión con respecto al eje x, eje y y para torsión. xo = Distancia en dir. x desde el centro de cortante al centroide, tomada con signo negativo.

145 J= Cw =

j=

Constante torsionante de St. Venant para la sección completa. Constante torsionante de alabeo para la sección completa.

 1  3 2  ∫ x dA + ∫ xy dA − xo 2I y  A A 

(5.73)

El Apéndice A contiene expresiones algebráicas del parámetro j para los perfiles mas comunes. Caso (b) Para secciones I y Z flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al alma (eje x): En lugar del Caso (a), las siguientes ecuaciones pueden ser usadas para calcular Fe: Para secciones I con simetría doble:

Fe =

π 2 EC b dI yc S f L2

(5.74)

Para secciones Z con simetría con respecto a un punto:

Fe =

π 2 EC b dI yc 2 S f L2

(5.75)

donde: d= L= Iyc =

Peralte de la sección. Longitud entre apoyos laterales. Momento de inercia de la porción de la seccion sujeta a compresión con respecto al eje centroidal paralelo al alma, usando la sección completa no reducida.

Los otros términos se definen en el Caso (a). Ejemplo 5.9 Determinar la máxima distancia entre apoyos laterales para la viga I del Ejemplo 5.1 para poder usar el momento nominal, Mnx = 361.668 Ton-cm. Asuma que la viga esta simplemente apoyada, con tiene un claro de 3 metros y que soporta una carga uniformemente distribuida.

(1)

Fig. 5.30 Ejemplo 5.9 (cotas del perfil en mm) .

La solución del problema consiste en determinar la máxima distancia entre apoyos laterales requerida para que la resistencia de la sección sea alcanzada antes de alcanzar la resistencia de pandeo lateral. Por consiguiente, deben igualarse las ecuaciones del momento nominal, Mn, dadas por las Ecs. (5.2) y (5.61) y despejar el valor requerido de L. Cabe mencionar que a dicho valor de L se le conoce como Lu en el Manual de Diseño del AISI 1996.

146 1. Desarrollo de la Ecuación para Lu Igualando las Ecs. (5.2) y (5.61) se obtiene: SeFy = ScFc. Como se pretende que la resistencia de la sección sea alcanzada primero, asuma que aplica la Ec. (5.62): Fc = Fy. Asuma además que Fc = Fe; por lo tanto: Fe ≥ 2.78Fy Como la viga es una sección I flexionada con respecto al eje x, usar la Ec. (5.74) para Fe. Por lo tanto: 2 2 π ECbdIyc/SfL ≥ 2.78Fy Despejando la expresión anterior para L se obtiene el valor de Lu para secciones I:

Lu =

0.36C bπ 2 EdI yc Fy S f

Usando el mismo procedimiento, se puede también obtener el valor de Lu para secciones Z usando la Ec. (5.75) en lugar de la Ec. (5.74):

Lu =

0.18C bπ 2 EdI yc Fy S f

De hecho, se puede demostrar que la ecuación general de Lu para cualquier sección flexionada con respecto al eje centroidal perpendicular al alma esta dada por:

Lu =

2 GJ  C 2  GJ     + + 2C1  C1  2C1    

0.5

donde: (1) Para secciones con simetría simple y doble: 2

π 2 EC w 7.72  K y Fy S f  C1 =  ; C2 =  2 AE  C bπry  Kt (2) Para secciones con simetría con respecto a un punto: 2

π 2 EC w 30.9  K y Fy S f  C1 =   ; C2 = 2 AE  C bπry  Kt La utilidad práctica de conocer el valor de Lu de una sección es que se puede determinar de antemano el modo de falla por flexión, ya que si L ≤ Lu, la resistencia de la sección controla y la viga se diseña de acuerdo con la Sección C3.1.1 y si L > Lu, la resistencia al pandeo laterotorsional controla y la viga se diseña de acuerdo con la Sección C3.1.2. Además, se puede observar en las ecuaciones de Lu que, excepto por el término Cb, el valor de Lu depende de las propiedades geométricas del perfil. Por consiguiente, si se asume Cb = 1.0, se puede calcular un valor único de Lu para cada perfil, lo que permite prepara tablas o gráficas de diseño para los perfiles mas comúnmente usados por el diseñador.

147 2. Determinación del Valor Máximo de Lu Parámetros Básicos: 6 2 E = 2.073x10 kg/cm Cb = 1.0 (valor conservador permitido por la Sección C3.1.2) d = 203.20 mm = 20.320 cm 2 Fy = 3514 kg/cm •

Cálculo de Iyc

Iyc se define como el momento de inercia de la porción a compresión del perfil con respecto al eje centroidal paralelo al alma, usando la sección total, no reducida. En este caso el eje centroidal paralelo al alma es el eje y. Por consiguiente, las distancias centroidales de los elementos en la dirección x serán (ver Ejemplo 5.1 para los valores de w, R, t, r y c): Patines, x = w/2 + (R + t) = 42.608/2 + (4.763 + 3.429) = 29.496 mm Almas, x = t/2 = 3.429/2 = 1.715 mm Esquinas, x = (r – c) + t/2 = (6.478 – 4.126) + 3.429/2 = 4.067 mm Cálculo de Iy: 2

Area, A (mm ) 2(292.206) = 584.412 2(69.746) = 139.492 1281.184 2005.088

Elemento Patines Esquinas Almas Suma, Σ

3

2

x (mm) 29.496 4.067 1.715

4

Ax (mm ) 508446.631 2307.266 3768.250 514522.147

4

Patín, Iyy = 1/12(3.429)(42.608) = 22103.431 mm 4 Para 4 patines, ΣIyy = 4(22103.431) = 88413.723 mm 2 4 Sección total, Iy = ΣIyy + ΣAx = 88413.723 + 514522.147 = 602935.870 mm La porción a compresión del perfil representa el 50% del perfil. Por lo tanto, 4 4 Iyc = 0.50Iy = 301467.935 mm = 30.147 cm •

Cálculo de Sf

Sf se define como el módulo de sección de la sección total, no reducida, con respecto a la fibra 3 extrema a compresión. Del Ejemplo 5.7 se obtiene: Sf = Sex = 107.125 cm •

Cálculo de Lu

Substituyendo los parámetros básicos en la ecuación para Lu se obtiene: 2

6

Lu = {0.36)(1.0)π (2.073x10 )(20.32)(30.147)/[(107.125)(3514)]}

1/2

= 109.437 cm = 1.09 m

Como el claro total de la viga es de 3.0 m, se propone apoyos laterales a cada 1.0 m (a tercios del claro) como lo ilustra la Fig. 5.31. Esta disposición de apoyos laterales evitará el pandeo lateral de la viga y permitirá que la resistencia nominal de la viga quede en función de la resistencia de la sección.

Fig. 5.31 Distancia entre apoyos laterales

(1)

148 Ejemplo 5.10 Determinar la carga distribuida de diseño según el Método ASD y LRFD si la viga del Ejemplo 5.9 tiene apoyos laterales en los extremos y al centro del claro. Use la formula del AISI 2 para calcular Cb y considere Fy = 3514 kg/cm .

Fig. 5.32 Ejemplo 5.10

(1)

1. Determinación del Momento Nominal de Diseño, Mnx •

Momento Nominal para Resistencia de la Sección, (Mn)1

El momento nominal de la sección se calcula de acuerdo con la Ec. (5.2): (Mn)1 = SeFy Del Ejemplo 5.1 se obtuvo: (Mn)1 = 361.668 Ton-cm •

Momento Nominal para Resistencia por Pandeo Latero-Torsional, (Mn)2

Cálculo de Cb según la Ec. (5.70): La ecuación del diagrama de momentos de una viga en simple apoyo con carga uniforme es: M = 0.5Wz(Lc – z). Donde W es la carga distribuida, z es la coordenada longitudinal y Lc es el claro de la viga. La distancia entre apoyos laterales es L = Lc/2. Por lo tanto: 2 Para MA: z = L/4 = Lc/8, entonces, MA = 0.5W(Lc/8)(Lc – Lc/8) = (7/128)WLc 2 Para MB: z = L/2 = Lc/4, entonces, MB = 0.5W(Lc/4)(Lc – Lc/4) = (3/32)WLc 2 Para MC: z = 3L/4 = 3Lc/8, entonces, MC = 0.5W(3Lc/8)(Lc – 3Lc/8) = (15/128)WLc 2 Para Mmax: z = L = Lc/2, entonces, Mmax = 0.5W(Lc/2)(Lc – Lc/2) = (1/8)WLc 2 El término WLc se cancela en la Ec. (5.70), ya que multiplica al numerador y al denominador: Ec. (5.70): Cb = 12.5(1/8)/[2.5(1/8) + 3(7/128) + 4(3/32) + 3(15/128)] = 1.299 Cálculo de Fe: Para perfiles I flexionados con respecto al eje x, Fe se calcula mediante la Ec. (5.74). 2 Del Ejemplo 5.9 se obtuvo: Iyc = 30.147 cm 6 2 Además, E = 2.073x10 kg/cm Cb = 1.299 d = 20.320 cm 2 Fy = 3514 kg/cm L = 300/2 = 150 cm 3 Sf = 107.125 cm 2 6 2 2 Ec. (5.74): Fe = π (2.073x10 )(1.299)(20.32)(30.147)/[(107.125)(150) ] = 6754.647 kg/cm Cálculo de Fc: 2 0.56Fy = 0.56(3514) = 1967.840 kg/cm 2 2.78Fy = 2.78(3514) = 9768.920 kg/cm Como 0.56Fy < Fe < 2.78Fy, ocurrirá pandeo lateral inelástico. Por lo tanto, usar Ec. (5.63) para calcular Fc: 2 Ec. (5.63): Fc = (10/9)(3514)[1 – (10/36)(3514/6754.647)] = 3340.210 kg/cm

149 Cálculo de Sc: Sc se define como el módulo de sección de la sección efectiva calculada para un esfuerzo en la 2 fibra extrema a compresión de f = Fc = 3340.210 kg/cm . Utilizando el mismo procedimiento expuesto en el Ejemplo 5.1 se obtiene: 3 Sc = Sex = 103.571 cm Cálculo de (Mn)2: Ec. (5.61): (Mn)2 = 103.571(3340.210) = 345948.890 kg-cm = 345.949 Ton-cm Como (Mn)2 < (Mn)1, entonces Mnx = (Mn)2 = 345.949 Ton-cm 2. Carga Distribuida de Diseño Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de compresión no atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 345.949/1.67 = 207.155 Ton-cm = 2.07 Ton-m 2 Para las condiciones de carga y apoyo dadas, Mmax = (1/8)WLc = Max 2 2 Por lo tanto, la carga máxima permisible será: Wp = 8Max/Lc = 8(2.07)/(3) = 1.84 Ton/m Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.90 para patines de compresión no atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.90(345.949) = 311.354 Ton-cm = 3.11 Ton-m 2 Para las condiciones de carga y apoyo dadas, Mmax = (1/8)WLc = Mux 2 2 Por lo tanto, la carga máxima factorizada será: Wu = 8Mux/Lc = 8(3.11)/(3) = 2.76 Ton/m Ejemplo 5.11 Determinar el momento nominal de pandeo lateral, Mn, para la seccion C mostrada en la Fig. 4.30 de acuerdo a la Sección C3.1.2.1 del Suplemento 1999. Asuma que la seccion C se usará como viga simplemente apoyada y que soportará una carga concentrada al centro del claro. Asuma que los apoyos laterales están localizados en los extremos y a cuartos del claro. Considere 2 Fy = 2319 kg/cm y KxLx = KyLy = 75.0 cm. 1. Determinación de las Propiedades Geométricas de la Sección Total, No Reducida Usando las ecuaciones de propiedades geométricas dadas en la Sección A3.2 del Apéndice A para perfiles canal sin labios atiesadores se obtiene: 2

2

A = 455.483 mm = 4.555 cm 3 3 Sf = Sx = 25104.982 mm = 25.105 cm rx = 74.803 mm = 7.480 cm ry = 14.453 mm = 1.445 cm

xo = -23.597 mm = -2.360 cm ro = 79.756 mm = 7.976 cm [ver Ec. (5.72)] 4 4 J = 352.964 mm = 0.0353 cm 6 6 Cw = 714305405 mm = 714.305 cm

2. Determinación del Momento Nominal de Pandeo Lateral, Mn Cálculo de Cb según la Ec. (5.70): La ecuación del diagrama de momentos de una viga en simple apoyo con una carga puntual al centro del claro es: M = P/2(z). Donde P es la carga concentrada y z es la coordenada longitudinal. La distancia entre apoyos laterales es L = Lc/4 = 75 cm, donde Lc = 300 cm es el claro de la viga. En este caso, la distancia entre apoyos laterales define dos segmentos diferentes: Los dos segmentos extremos sujetos a un momento máximo de PL/8 y a un valor de (Cb)1 y los dos segmentos centrales sujetos a un momento máximo de PL/4 y a un valor de (Cb)2. Debe establecerse el segmento donde ocurrirá primero el pandeo lateral. En general, ocurrirá primero el pandeo en el segmento donde coincidan el valor máximo del momento en la viga, el valor máximo de la distancia entre apoyos laterales y el valor mínimo del parámetro Cb. Se procede a calcular Cb para ambos tipos de segmentos:

150

(1)

Fig. 5.33 Ejemplo 5.11 (cotas del perfil en mm)

Segmentos extremos: Para MA: z = L/4 = Lc/16 = 300/16, entonces, MA = P/2(300/16) = (300/32)P Para MB: z = L/2 = 2Lc/16 = 300/8, entonces, MB = P/2(300/8) = (300/16)P Para MC: z = 3L/4 = 3Lc/16 = 3(300)/16, entonces, MC = P/2[3(300)/16] = 3(300/32)P Para Mmax: z = L = 4Lc/16 = 300/4 , entonces, Mmax = P/2(300/4) = (300/8)P El término P se cancela en la Ec. (5.70), ya que multiplica al numerador y al denominador. Ec. (5.70): (Cb)1 = 12.5(300/8)/[2.5(300/8) + 3(300/32) + 4(300/16) + 3(3)(300/32)] = 1.67 Segmentos centrales: Para MA: z = L/4 = 5Lc/16 = 5(300)/16, entonces, MA = P/2[5(300)/16) = 5(300/32)P Para MB: z = L/2 = 6Lc/16 = 3(300)/8, entonces, MB = P/2[3(300)/8) = 3(300/16)P Para MC: z = 3L/4 = 7Lc/16 = 7(300)/16, entonces, MC = P/2[7(300)/16] = 7(300/32)P Para Mmax: z = L = 8Lc/16 = 300/2, entonces, Mmax = P/2(300/2) = (300/4)P El término P se cancela en la Ec. (5.70), ya que multiplica al numerador y al denominador. Ec. (5.70): (Cb)2 = 12.5(300/4)/[2.5(300/4) + 3(5)(300/32) + 4(3)(300/16) + 3(7)(300/32)] = 1.25 Como los segmentos centrales están sujetos al momento máximo (PL/4), a la distancia máxima entre apoyos laterales (L = 75 cm) y al valor mínimo de Cb (Cb = 1.25), el pandeo lateral ocurrirá primero en dichos segmentos. Por consiguiente, se usarán los datos de los segmentos centrales para calcular Fe. Cálculo de Fe: Para perfiles canal (perfil de simetría simple) flexionados con respecto al eje de simetría (eje x), Fe se puede calcular mediante la Ec. (5.65) o (5.74). Ambas ecuaciones son aceptables para este caso. Se procede a usar la Ec. (5.65). 2 6 2 2 Ec. (5.68): σey = π (2.073x10 )/(75/1.445) = 7594.728 kg/cm 2 5 2 6 2 Ec. (5.69): σt = {1/[(4.555)(7.976) }{7.941x10 (0.0353) + π (2.073x10 )(714.305)/(75) } 2 = 9062.795 kg/cm 1/2 2 Ec. (5.65): Fe = {1.25(7.976)(4.555)[(7594.728)(9062.796)] }/25.105 = 15007.575 kg/cm Cálculo de Fc: 2 2.78Fy = 2.78(2319) = 6446.820 kg/cm Como Fe > 2.78Fy, usar Ec. (5.62) para calcular Fc: 2 Ec. (5.62): Fc = Fy = 2319 kg/cm

151 Cálculo de Sc: Sc se define como el módulo de sección de la sección efectiva calculada para un esfuerzo en la 2 fibra extrema a compresión de f = Fc = 2319 kg/cm . Utilizando el mismo procedimiento expuesto en el Ejemplo 5.1 se obtiene: 3 Sc = Sex = 24.832 cm Cálculo de Mn: Ec. (5.61): Mn = 24.832(2319) = 57585.408 kg-cm = 57.849 Ton-cm 5.2.3.4 Resistencia al Pandeo Latero-Torsional de Secciones Cerradas. Las secciones cerradas con dos almas, como las secciones cajón, tienen una rigidez torsional relativamente grande comparada con las de las secciones I, C y Z. Desde el punto de vista de la estabilidad lateral, estas secciones cerradas con dos almas son mas eficientes que las secciones abiertas con un alma. Por consiguiente, el pandeo latero-torsional no será el modo de falla crítico para consideraciones de diseño típicas y el uso de secciones cajón resultará en un diseño economico si la estabilidad lateral de la viga es esencial. Se ha demostrado que la resistencia a flexión de las secciones cajón no se ve afectada por pandeo lateral aun para relaciones w/t de 100. El AISI 1996 consideraba en su Sección D3.3 una especificación de diseño conservadora que establecía que las vigas de sección cajón flexionadas con respecto a su eje mayor, sin apoyo lateral, pueden ser diseñadas sin reducción de esfuerzos por pandeo lateral si la relación de la longitud no apoyada a la distancia entre las almas de la seccion no excede 0.086E/Fy. Sin embargo, la Sección D3.3 fue eliminada en el Suplemento 1999 al introducirse la Sección C3.1.2.2. La necesidad de la creación de la Sección C3.1.2.2 fue establecida cuando se observó que las secciones cerradas pueden fallar por pandeo latero-torsional cuando la distancia entre apoyos laterales, L, excede a un valor crítico Lu dado por la siguiente expresión:

Lu =

0.36C bπ Fy S f

EGJI y

(5.76)

Se puede demostrar que el esfuerzo crítico elástico de pandeo latero-torsional de secciones cerradas tipo cajón está dado por la siguiente expresión:

Fe =

C bπ LS f

EGJI y

(5.77)

donde: L = distancia entre apoyos laterales Iy = momento de inercia de la sección no reducida con respecto al eje centroidal paralelo al alma. J = constante torsional de la sección cajón En el desarrollo de la Ec. (5.77) se despreció la contribución de la constante de alabeo Cw, ya que el efecto de alabeo no uniforme en secciones cajón es pequeño. La constante torsional, J, de secciones cajón, despreciando la curvatura de las esquinas, puede ser determinada de manera conservadora mediante la siguiente expresión:

152

J=

2(ab) 2 (a / t1 ) + (b / t 2 )

(5.78)

Donde: a = distancia entre centros de línea de almas b = distancia entre centros de línea de patines t1 = espesor de los patines t2 = espesor de las almas La Sección C3.1.2.2 del Suplemento 1999 establece que para secciones cerradas, la resistencia nominal a flexión, Mn, deberá determinarse de la siguiente manera: (a) Si L ≤ Lu determinar la resistencia nominal a flexión de acuerdo con la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.2). Donde L es la distancia entre apoyos laterales y Lu se determina de acuerdo con la Ec. (5.76). (b) Si L > Lu determinar la resistencia nominal a flexión de acuerdo con la Sección C3.1.2.1, donde el esfuerzo crítico elástico de pandeo latero-torsional, Fe, está dado por la Ec. (5.77). 5.2.3.5 Patines de Compresión sin Apoyos Laterales. Los problemas discutidos en los Arts. 5.2.3.1 y 5.2.3.2 trataron con el tipo de pandeo lateral de secciones I, C y Z, donde la sección completa se tuerce y se deforma lateralmente. Pero éste no es el caso para secciones U o los atiesadores de lamina mostrados en la Fig. 5.34. Cuando éstas secciones son sometidas a cargas que generan compresión en los patines, el patín de tensión permanece recto y no se deforma lateralmente; solo los patines de compresión tienden a pandearse lateralmente por separado, acompañados por flexion fuera del plano del alma, como se muestra en la Fig. 5.35, a menos que se proporcione apoyo lateral adecuado.

Fig. 5.34 Tres tipos de marcos elásticos de apoyo para la columna equivalente

(1)

El tratamiento analítico del pandeo lateral de secciones U es complejo. El patín de compresión y el alma actuan no solo como una columna en cimentación elástica, sino que el problema se complica por el debilitamiento generado por la accion torsionante del patín. Debido a lo anterior, el procedimiento de diseño para determinar la capacidad permisible de patines de compresión sin apoyo lateral esta basado en simplificaciones considerables de los tratamientos analíticos existentes.

Fig. 5.35 Configuración del pandeo lateral de vigas de sección C

(1)

153

El patín de compresión de una sección U se pandea al ser sometido a la fuerza flexionante crítica σcrAt (σcr es el esfuerzo crítico y At es el área del patín). La componente de ésta fuerza perpendicular al patín pandeado es (ver Fig. 5.36):

q f = σ cr At

d 2 xa dz 2

(5.79)

Fig. 5.36 Fuerza perpendicular al patín pandeado

(1)

De manera análoga, la componente en una franja unitaria del alma pandeada es (ver Fig. 5.37):

d 2x q w = σt w 2 dz

(5.80)

Por consiguiente, la fuerza lateral total Ra transmitida al patín de compresión por el alma pandeada esta dada por:

Ra =

d 2 xa σ cr Aalma 12C c / (3C c − C t ) dz 2

(5.81)

donde Aalma es el area del alma y Cc y Ct son las distancias con respecto al eje neutro de las fibras extremas a compresión y tensión, respectivamente (ver Fig. 5.37).

Fig. 5.37 Fuerza perpendicular al alma pandeada

(1)

154

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio del patín de compresión es:

EI t

  d 2 xa d 4 xa Aalma + σ A + =0 cr  f  12C c / (3C c − C t )  dz 2 dz 4 

(5.82)

y el eigenvalor no trivial correspondiente conlleva al siguiente resultado:

σ cr =

π 2E ( L / r )2

(5.83)

donde

r=

If

A f + Aalma / [12C c /(3C c − C t )]

(5.84)

el cual representa el radio de giro de la columna efectiva formada por el patín de compresión y una parte de la porción de compresión del alma con un peralte de [(3Cc – Ct)/12Cc]d, donde d es el peralte total de la viga. El análisis anterior es para el tipo de columna con cimentación elástica donde el apoyo elástico lo provee la porción remanente del alma y patín de tensión actuando en colaboración como un marco elástico. El efecto del debilitamiento torsional en la estabilidad flexotorsionante de la columna efectiva puede ser determinado por el teorema de energía potencial mínima:

U = V1 + V2 + U w U=

L

[

]

L

[

]

1 1 EI y (u ′′) 2 + EC w (φ ′′) 2 + GJ (φ ′) 2 dz + ∫ C1u 2 − 2C 2 uφ + C 3φ 2 dz ∫ 20 20 L Ip  P  − ∫ (u ′) 2 + 2 y o u ′φ ′ + (φ ′) 2 dz 2 0 A 

(5.85)

donde: U = cambio en la energía potencial total del sistema formado por la columna efectiva y el marco elástico de apoyo. V1 = energía de deformación acumulada en la columna torsida y flexionada. V2 = energía de deformación del marco elástico deformado. Uw = cambio en la energía potencial de fuerzas externas actuando sobre el sistema. Iy = momento de inercia de la columna con respecto al eje vertical y. u = desplazamiento horizontal del centro de cortante. φ = rotación de la columna. J = constante torsional de la columna. yo = distancia vertical entre el centro de cortante y el centroide de la columna. Ip = momento polar de inercia de la columna con respecto al centro de cortante. Cw = constante de alabeo. 2 C1 = δφ / (δuδφ - δ uφ) 2 C2 = δuφ / (δuδφ - δ uφ)

155 2

= δu / (δuδφ - δ uφ) = desplazamiento horizontal del centro de cortante debido a una carga unitaria. = desplazamiento horizontal del centro de cortante debido a un momento unitario. = rotación de la columna debida a un momento unitario.

C3 δu δuφ δφ

Resolviendo Ec. (5.85) y realizando simplificaciones considerables, las siguientes expresiones pueden establecerse para evaluar la estabilidad de la columna efectiva con cimentación elástica tomando en cuenta el debilitamiento por torsión del patín: 2

1. Cuando βL /Pe ≤ 30,

 βL2 Pcr = T 1 + 2  π Pe

2

2. Cuando βL /Pe > 30,

 2 Pcr = T  0.6 +  π  donde Pcr Pe β D L T

  Pe  βL2 Pe

(5.86)

  Pe  

(5.87)

= carga crítica de la columna efectiva. 2 = carga crítica de Euler = π EI/L = constante de resorte = 1/D = deformación lateral del centroide de la columna debida a una carga unitaria aplicada en el alma a la altura del centroide. = longitud no apoyada de la columna equivalente. = factor de reducción por torsión determinado de la siguiente manera: 1. Si L ≥ L’,

T = To =

h h + 3.4 y o

(5.88)

2. Si L < L’,

h L  T = To   =   L ′   h + 3.4 y o

donde

 L     L ′ 

(5.89)

L ′ = π 4 2 I (h / t ) = 3.7 4 I (h / t ) 3

3

yo = distancia desde el centroide de la columna equivalente con respecto a su centro de cortante h = distancia desde el patín de tensión al centroide de la columna equivalente. Para vigas con distancias considerables entre apoyos laterales, la siguiente expresión para Pcr puede ser usada:

Pcr = To 4 βEI

(5.90)

Del valor de Pcr dado por la Ec. (5.90), la relación de esbeltez equivalente (L/r)eq puede ser determinada de la siguiente manera:

156

π 2E L =   =k Pcr / Ac  r  eq

490 Pcr / Ac

(5.91)

donde k es un factor de corrección experimental para la resistencia al postpandeo y es igual a 1/1.11, y Ac es el área transversal de la columna equivalente. El esfuerzo permisible a compresion Fa puede ser calculado de la ecuación de columna (ver Capítulo 6) basado en la relación de esbeltez equivalente. Para obtener el esfuerzo permisible de compresión debido a flexión en la fibra extrema a compresión F’b, el esfuerzo axial Fa puede ser extrapolado linealmente del nivel centroidal y ajustado por los factores de seguridad usados para fluencia de vigas y pandeo de columnas, esto es,

Fb′ =

( FS ) c ( FS ) b

 Cc   yc

  Fa 

(5.92)

donde (FS)c = factor de seguridad usado para pandeo de columnas. (FS)b = factor de seguridad usado para fluencia de vigas. yc = distancia del eje neutro de la viga el centroide de la columna equivalente. Basado en el análisis y simplificaciones dadas anteriormente, el Manual de Diseño del AISI 1996 (Parte VII, Sección 2) proporciona el siguiente procedimiento de diseño: 1. Determine la ubicación del eje neutro y defina como la “columna equivalente” a la porción de la viga desde la fibra extrema a compresión hasta una distancia [(3Cc – Ct)/12Cc]d de dicha fibra. En esta expresión Cc y Ct son las distancia desde el eje neutro a las fibras extremas de compresión y tensión, respectivamente, y d es el peralte de la sección. 2. Determine la distancia yo medida paralela al alma desde el centroide de la columna equivalente a su centro de cortante. (Si la sección transversal de la columna equivalente es de forma angular o de T, su centro de cortante se ubica en la intersección del patín y alma; si es de forma de canal, la ubicación del centro de cortante se obtiene del Art. 5.4. Si los patines del canal son de anchos desiguales, se toma como una aproximación el ancho promedio de los patines, o se puede calcular la ubicación del centro de cortante por métodos analíticos). 3. Para determinar la constante de resorte β, aislar una porción unitaria del miembro de 1 plg. (25.4 mm) de longitud, aplicar una carga unitaria de 0.001 kip (1 kip = 454 kg) perpendicular al alma al nivel del centroide de la columna, y calcular la deformación lateral correspondiente D del centroide. Calcular la constante de resorte mediante la siguiente expresión:

β=

0.001 D

(5.93)

To =

h h + 3.4 y o

(5.94)

4. Calcular

donde h es la distancia del patín de tensión al centroide de la columna equivalente. 5. Caso (a). Si el patin tiene apoyos laterales en dos o mas puntos, calcular:

157

290,000 I L2 βL2 C= Pe Pe =

(5.95) (5.96)

L ′ = 3.7 4 I (h / t )

3

(5.97)

donde I = momento de inercia de la columna equivalente con respecto de su eje de gravedad 4 paralelo al alma en plg . L = longitud entre apoyos laterales de la columna, en plg. Si C ≤ 30 calcular

 βL2 Pcr = TPe 1 + 2  π Pe

Si C > 30 calcular

 βL2 Pcr = TPe  0.60 + 0.635  Pe 

  

(5.98)

   

(5.99)

En ambos casos, si L ≥ L’ entonces T = To y si L < L’ entonces T = ToL/L’. Caso (b). Si el patín tiene apoyos laterales en menos de dos puntos, calcular,

Pcr = To 4 βEI

(5.100)

6. Determine la relación de esbeltez equivalente mediante la siguiente expresión:

 KL   =   r  eq

490 Pcr / Ac

(5.101)

donde Ac es el área transversal de la columna equivalente. 7. Calcular Fn correspondiente a (KL/r)eq usando las Ecs. (6.54) y (6.55). 8. Calcular el esfuerzo de compresión por flexión de diseño mediante la siguiente expresión:

C Fb 2 = 1.15 Fn  c  yc

  ≤ Fy 

(5.102)

donde Cc = distancia del eje neutro de la viga a la fibra extrema a compresión. yc = distancia del eje neutro de la viga al centroide de la columna equivalente. 9. El momento crítico de diseño será entonces Mc = Fb2Sf. Algunas de las ecuaciones de diseño del procedimiento expuesto estan expresadas en unidades del sistema inglés. Esto hasta cierto punto contradice al criterio general de las Especificaciones del AISI 1996, donde la mayoría de las ecuaciones de diseño contenidas presentan en un formato adimensional. Se ha decidido no alterar la presentación de las ecuaciones del procedimiento para que correspondan exactamente a la presentación dada en el Manual del

158

AISI 1996. Por consiguiente, el ejemplo a continuación será resuelto en unidades del sistema inglés. Ejemplo 5.12 Determine el esfuerzo de compresión por flexión de diseño para los patines de compresión (patines superiores) de la sección U mostrada en la Fig 5.38. Asuma que los patines de compresión tienen apoyos laterales en tres puntos con distancias entre apoyos laterales de 48 2 plg (1.22 m). Considere Fy = 33 ksi (2319 kg/cm ).

Fig. 5.38 Ejemplo 5.12 (cotas en plg.)

1. Localización del Eje Neutro de la Sección Total, No Reducida •

Elemento circular (Elementos 2 y 4):

r = R + t/2 = 0.1875 + 0.105/2 = 0.2400 plg L = 1.57r = 1.57(0.2400) = 0.3768 plg c = 0.637r = 0.637(0.2400) = 0.1529 plg 2 Area para dos esquinas, ΣA = 2Lt = 2(0.3768)(0.105) = 0.0791 plg Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (0.2400 – 0.1529) + 0.105/2 = 0.1396 plg Esquinas inferiores, y = H – 4.067 = 8.0000 – 0.1396 = 7.8604 plg •

Patín de compresión (Elemento 1):

w = D – (R + t) = 1.34 – (0.1875 + 0.105) = 1.0475 plg 2 Area para dos patines, ΣA = 2wt = 2(1.0475)(0.105) = 0.2200 plg Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 0.105/2 = 0.0525 mm •

Patín de tensión (Elemento 5):

w = B – 2(R + t) = 8.0000 – 2(0.1875 + 0.105) = 7.4150 plg 2 Area del patín, A = wt = (7.4150)(0.105) = 0.7786 plg Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 8.0000 – 0.0525 = 7.9475 plg •

Almas (Elemento 3):

h = H – 2(R + t) = 8.0000 – 2(0.1875 + 0.105) = 7.4150 plg 2 Area para par de almas, ΣA = 2ht = 2(7.4150)(0.105) = 1.5572 plg Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = H/2 = 8.0000/2 = 4.0000 plg

(1)

159 •

Cálculo de la posición del eje neutro: Elemento 1 2 3 4 5 Suma, Σ

2

A (plg ) 0.2200 0.0791 1.5572 0.0791 0.7786 2.7140

y (plg) 0.0525 0.1396 4.0000 7.8604 7.9475

3

Ay (plg ) 0.0116 0.0110 6.2288 0.6218 6.1879 13.0611

Cc = ycg = Σ(Ay)/ΣA = 13.0611/2.7140 = 4.8125 plg Ct = H – Cc = 8.0000 – 4.8125 = 3.1875 plg 2. Determinación de la Columna Equivalente De acuerdo con el primer paso del procedimiento, la columna equivalente es una sección de forma angular (ver Fig. 5.39 y 5.42) cuyo peralte se determina mediante la siguiente expresión: [(3Cc – Ct)/12Cc]d = {[3(4.8125) – 3.1875]/[12(4.8125)]}(8.0000) = 1.5584 plg

Fig. 5.39 Columna equivalente

(1)

De acuerdo con el segundo paso del procedimiento, debe determinarse yo, la distancia entre el centroide de la columna equivalente y su centro de cortante. Se procede a calcular primero ycg, la ubicación del centroide con respecto a la fibra extrema a compresión. •

Cálculo de la ubicación del centroide de la columna equivalente

Ver la Fig. 5.39 para la identificación de elementos de la columna equivalente Elemento de Esquina (Elemento 2): 2 A = Lt = (0.3768)(0.105) = 0.0396 plg y = (r – c) + t/2 = (0.2400 – 0.1529) + 0.105/2 = 0.1396 plg Patín de compresión (Elemento 1): w = 1.0475 plg 2 A = wt = 1.0475(0.105) = 0.1100 plg y = t/2 = 0.105/2 = 0.0525 plg Alma (Elemento 6): w = 1.5584 – (R + t) = 1.5584 – (0.1875 + 0.105) = 1.2659 plg 2 A = wt = (1.2659)(0.105) = 0.1329 plg y = w/2 + (R + t) = 1.2659/2 + (0.1875 + 0.105) = 0.9255 plg

160

2

A (plg ) 0.1100 0.0396 0.1329 0.2825

Elemento 1 2 6 Suma, Σ

3

y (plg) 0.0525 0.1396 0.9255

Ay (plg ) 0.0058 0.0055 0.1230 0.1343

ycg = Σ(Ay)/ΣA = 0.1343/0.2825 = 0.4754 plg El Apéndice A establece que el centro de cortante de un perfil angular se ubica en la intersección de los dos patines. Por lo tanto, yo = ycg – t/2 = 0.4754 – 0.105/2 = 0.4229 plg 3. Establecimiento de la Constante de Resorte β La constante de resorte se calcula con la Ec. (5.93). Se procede a calcular primero la deformación lateral D del patín de compresión producto de una carga de 0.001 kip aplicada en el centroide de la columna equivalente (ver Fig. 5.40). Se observa en la Fig. 5.40 que se usan las dimensiones de centro de línea del perfil: Patín de tensión: w = B – t/2 = 8.0000 – 0.105 = 7.8950 plg Alma: h = H – t/2 = 8.0000 – 0.105 = 7.8950 plg

Fig. 5.40 Fuerza aplicada al alma para calcular la (1) constante de resorte .

Distancia del c.g. de la columna al patín de tensión: h – yo = 7.8950 – 0.4229 = 7.4721 plg Usando el método de área-momento (ver Fig. 5.41), la deformación D se calcula de la siguiente manera: 3

3

2

3

D = (7.4721) /(3EIx10 ) + (7.4721) (7.985)/(2EIx10 ) Donde

6

2

3

E = 2.073x10 kg/cm = 29.5x10 ksi 3 3 -6 4 I = (1/12)t = 1/12(0.105) = 96.5 x 10 plg 3

2

3

-6

3

Por lo tanto, D = [(7.4721) /3 + (7.4721) (7.895)/2]/[29.5x10 (96.5x10 )10 ] = 0.1263 plg Ec. (5.93): β = 0.001/0.1263 = 0.00792

Fig. 5.41 Deformaciones laterales de la columna (1) equivalente .

161 4. Determinación de la Carga Crítica de Pandeo de la Columna Equivalente Pcr Para determinar Pcr se debe calcular primero el momento de inercia de la columna equivalente con respecto al eje paralelo al alma, o sea el eje y (ver Fig. 5.42). Se procede entonces a calcular la posición del centroide de la columna equivalente, xcg, con respecto al paño exterior de la columna. A continuación se presentan los cálculos de las propiedades geométricas relevantes de los elementos que componen a la columna equivalente:

Fig. 5.42 Dimensiones de la columna equivalente

(1)

Elemento de Esquina (Elemento 2): 3 3 4 Iyy = 0.149r = 0.149(0.2400) = 0.0021 plg x = (r – c) + t/2 = (0.2400 – 0.1529) + 0.105/2 = 0.1396 plg Patín de compresión (Elemento 1): 3 3 4 Iyy = (1/12)w t = 1/12(1.0475) (0.105) = 0.0101 plg x = w/2 + (R + t) = 1.0475/2 + (0.1875 + 0.105) = 0.8163 plg Alma (Elemento 6): Iyy ≈ 0 y = t/2 = 0.105/2 = 0.0525 plg Cálculo de xcg: 2

A (mm ) 0.1100 0.0396 0.1329 0.2825

Elemento 1 2 6 Suma, Σ

x (mm) 0.8163 0.1393 0.0525

3

2

Ax (mm ) 0.0898 0.0055 0.0070 0.1023

4

Ax (mm ) 0.0733 0.0008 0.0004 0.0745

xcg = ΣAx/ΣA = 0.1023/0.2825 = 0.3621 plg 2

2

2

4

Iy = ΣIyy + ΣAx – xcg ΣA = (0.0021 + 0.0101) + 0.0745 – (0.3621) (0.2825) = 0.0496 plg

Como el patín de compresión tiene apoyos laterales en tres puntos, los valores de Pe, C y L’ se calculan con las Ecs. (5.95) a (5.97): 2 Ec. (5.95): Pe = 290000(0.0496)/(48) = 6.243 kips 2 Ec. (5.96): C = 0.00792(48) /6.243 = 2.923 3 1/4 Ec. (5.97): L’ = 3.7[0.0496(7.5246/0.105) ] = 43.0074 plg El valor de h en las Ecs. (5.95) y (5.97) es: h = H – ycg = 8.0000 – 0.4754 = 7.5246 plg Cálculo de To: Ec. (5.94): To = 7.5246/[7.5246 + 3.4(0.4754)] = 0.8232 Como L < L’, T = To. Además, como C > 30 y L < L’, usar la Ec. (5.98) para calcular Pcr: 2 2 Ec. (5.98): Pcr = 0.8232(6.243){1 + 0.00792(48) /[π (6.243)]} = 6.661 kips

162 5. Determinación de la Relación de Esbeltez de la Columna Equivalente Ec. (5.101): (KL/r)eq = 490/(6.661/0.2825)

1/2

= 100.91

6. Determinación de la Resistencia a Compresión de la Columna Equivalente Fn De acuerdo a la Sección C4 del AISI 1996 (ver Art. 6.7): Asumiendo que los apoyos laterales impiden el pandeo latero-torsional de la columna, usar la Ec. (6.57) para calcular Fe (esfuerzo crítico de pandeo): 2 3 2 Ec. (6.57): Fe = π (29.5x10 )/(100.91) = 28.593 ksi Cálculo del parámetro de esbeltez: 1/2 Ec. (6.56): λc = (33.000/28.593) = 1.074 Como λc ≤ 1.5, usar Ec. (6.54) para calcular Fn (resistencia nominal a compresión): 1.074 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]33.000 = 21.052 ksi 7. Determinación del Esfuerzo de Compresión por Flexión de Diseño Fb2 Cálculo de yc = Cc – ycg = 4.8125 – 0.4754 = 4.3371 plg Ec. (5.102): Fb2 = 1.15(21.052)(4.1825/4.3371) = 23.347 ksi < Fy, OK 5.2.4 Vigas con un Patin Conectado a Lamina de Cubierta o Muro. La acción del viento sobre las estructuras genera presiones negativas principalmente en cubiertas y muros. Dichas presiones generan fuerzas de succión que tienden a desprender las láminas y polines de cubiertas y muros de la estructura principal. Para evitar dicho desprendimiento, las cubiertas y muros deben sujetarse a los polines por medio de tornillos, pijas o clips como lo ilustra la Fig. 5.43. El Capítulo 9 trata el diseño de tornillos y pijas para resistir las fuerzas de succión.

(6)

Fig. 5.43 Sistemas de sujeción de láminas a polines . (a) Sujeción de lámina de cubierta por medio de clips; (b) Sujeción de lámina de cubierta o muro por medio de tornillos o pijas.

En cubiertas bajo condiciones normales de servicio, las cargas gravitacionales generalmente contrarestan a las fuerzas de succión, pero pueden existir condiciones meteorológicas extremas, como los vientos huracanados, donde sucede lo contrario. Bajo estas condiciones se invierte el sentido de los momentos flexionantes y el patín del polín unido a la lámina de cubierta será el patín de tensión. Por consiguiente, el patín de compresión del polín tendrá generalmente apoyos laterales solo en los extremos del claro, pero el patín de tensión estará fijo a la lámina de cubierta. En muros la condición de carga es diferente, ya que la carga gravitacional actua en un plano perpendicular a las fuerzas de succión, por lo que no se logran contrarestar dichas fuerzas. Independientemente de las diferencias en las condiciones carga entre polines de cubierta y muro, ambos casos presentan polines sujetos a tensión en el patín unido a la lámina. La capacidad a flexión de este tipo de miembro es menor que la de los miembros con apoyo lateral adecuado, pero

163

mayor a la de los miembros sin apoyo lateral, debido a la restricción rotacional provista por la conexión del polín a la lámina. Un sistema típico lámina-polín se ilustra en la Fig. 5.44. La rigidez rotacional se ha encontrado que está en función del espesor del miembro y de la lámina, el tipo de sujetador y su ubicación. También se ha observado que las colchonetas de fibra de vidrio para aislamiento térmico de cero a 6 plg. (152 mm) no tienen un efecto considerable en la restricción rotacional para vigas de mas de un claro. Para garantizar restricción rotacional adecuada de sistemas de cubierta y muro diseñados mediante las especificaciones del AISI, la Seccion C3.1.3 explícitamente expresa los tipos de paneles y sujetadores aceptables.

Fig. 5.44 Sistema típico de polín y lámina de (4) cubierta (cotas en mm) .

Las especificaciones de la Seccion C3.1.3 se aplican a vigas cuyo patín de tensión esta unido a lámina y el patín de compresión esta totalmente libre de apoyos laterales entre sus claros. Las vigas con apoyos laterales al patín de compresión en puntos aislados (ver Fig. 5.45) dentro del claro pueden tener una capacidad a flexión mayor que las vigas sin apoyos laterales. La información experimental disponible indica que los miembros que tienen labios atiesadores orientados con ángulos de 75° o mayores con respecto al plano del patín de compresión y apoyos laterales al patin de compresión a tercios del claro o a distancias menores, la capacidad a flexión puede incrementarse sobre aquella con apoyos laterales aislados. Esta capacidad adicional no es tomada en cuenta en el AISI 1996 ni en el Suplemento 1999. En base a investigaciones recientes realizadas para determinar la capacidad a flexión de miembros con el patín de tensión unido a una lámina, se desarrollaron factores de reducción del momento de fluencia efectivo para condiciones de apoyo simple y continuos. Estos factores están dados en la Sección C3.1.3. Debido a que estos factores de reducción se desarrollaron a partir de información experimental, su uso esta limitado a las condiciones impuestas por la Sección C3.1.3. En el Suplemento 1999 se incrementaron los valores de los factores de reducción para claros simples de secciones C y Z con peraltes de hasta 8.5 plg (216 mm) y se añadió la limitante de que 2 la resistencia por fluencia del miembro no exceda a 60 ksi (4216 kg/cm ). Dichas modificaciones se basan en las investigaciones realizadas en 1996 por Fisher. Así mismo, las limitantes en la geometría de la lámina presentan ligeras modificaciones en el Suplemento 1999 al reducir el espesor mínimo de 0.019 plg (0.48 mm) a 0.018 plg (0.46 mm) e incrementar el peralte mímino de las costillas de 1 plg (25.4 mm) a 1.25 plg (32 mm). Cabe mencionar que el Suplemento 1999 considera una reducción adicional en la capacidad de flexión de polines de sección C y Z con

164

claros simples debida a la presencia de aislamiento térmico comprimido entre la lámina y los polines. La reducción se establece a partir de un factor de corrección que depende del espesor nominal de la colchoneta de aislamiento y se aplica al factor de reducción.

Fig. 5.45. Sistema de apoyos laterales en puntos aislados en el claro de polines de cubierta a base de perfiles (6) angulares .

Por otro lado, en el caso de vigas bajo cargas gravitacionales, el patín unido a la lámina será el patín de compresión en las regiones del claro donde exista momento positivo. Si la lámina se encuentra debidamente unida mediante tornillos, pijas y/o soldadura se puede considerar para efectos de diseño que la lámina provee apoyo lateral adecuado al patín de compresión en dicha región. En las regiones del claro donde exista momento negativo, el patín unido a la lámina será el patín de tensión. En este caso, para efectos de diseño se puede considerar que existe apoyo lateral adecuado al patín de compresión en la región del claro comprendida entre el apoyo interior y el final del traslape de perfil. La región del claro comprendida entre el final del traslape y el punto de inflexión se puede considerar para efectos de diseño como un voladizo con el extremo libre sin apoyo lateral. Es importante mencionar que debido al papel esencial que desempeñan los traslapes como apoyo lateral del patín de compresión, el diseñador debe detallar cuidadosamente dicha unión. Es típico que se especifiquen traslapes de 30 cm a un metro a ambos lados del apoyo interior, donde las almas de los perfiles se atornillan en toda la longitud del traslape. Algunos diseñadores conservadoramente extienden el traslape mas allá del punto de inflexión para poder considerar que el patín de compresión tiene apoyo lateral adecuado en todo el claro. La viabilidad de dicha acción se puede establecer a partir de un análisis de costos. A continuación se presenta la Sección C3.1.3 del AISI 1996 considerando las modificaciones realizadas en el Suplemento 1999. C3.1.3 Vigas con un Patin Conectado a Lamina de Cubierta o Muro.

Esta sección no es aplicable a vigas continuas en la region entre los puntos de inflexión adyacentes a los apoyos o a vigas en voladizo. La resistencia nominal a flexión, Mn, de secciones canal y Z cargadas en el plano del alma, con el patín de tensión conectado a una lámina de cubierta o muro y con el patín de compresión sin apoyo lateral, se determinará mediante la siguiente expresión:

M n = RS e Fy Ωb = 1.67 (ASD) φb = 0.90 (LRFD) donde R = 0.60 para secciones C continuas. = 0.70 para secciones Z continuas. Se y Fy estan definidos en la Seccion C3.1.1.

(5.103)

165 El uso del factor de reducción R deberá ser limitado a sistemas de cubierta y muro que cumplan con las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

11.

12. 13. 14.

15.

El peralte del miembro es menor a 11.5 plg. (292 mm). Los patines son elementos a compresión con bordes atiesados. La relación peralte espesor d/t deberá estar dentro del rango 60 ≤ d/t ≤ 170. La relación peralte ancho de patín d/w deberá estar dentro del rango 2.8 ≤ d/w ≤ 4.5. La relación del ancho plano al espesor del patín w/t deberá estar dentro del rango 16 ≤ w/t ≤ 43. Para sistemas de claros continuos, la longitud de traslape en ambos lados de cada apoyo interior (la distancia desde el centro del apoyo a la orilla del traslape) no deberá ser menor que 1.5d. Claros del miembro no deberán ser mayores que 33 pies (10 metros). Para sistemas con claros continuos, el claro mayor no deberá ser 20% mayor que el claro mas corto. Ambos patines deberán estar impedidos contra el desplazamiento lateral en sus apoyos. Las láminas de cubierta o muro deberán ser de acero, con espesor mínimo (incluyendo el recubrimiento) de 0.018 plg. (0.46 mm), con peralte mínimo de costilla de 1.25 plg (32 mm) y espaciadas a un máximo de 12 plg. (305 mm) a centros y unida de tal manera que efectivamente inhiba el movimiento relativo entre la lámina el patín del polín. El aislamiento térmico deberá ser colchoneta de fibra de vidrio de 0 a 6 plg. (152 mm) de espesor comprimida entre el polín y la lámina de una manera consistente con el tipo de sujetador usado. Tipo de Sujetador: deberán ser tornillos con dimensión mínima del No. 12, autotaladrables y autosellables o remaches de 3/16” de diámetro, con rondanas de 1/2 plg. (12.7 mm). Los sujetadores no deberán ser del tipo que sobresalen con respecto a la superficie de la lámina. Los sujetadores deberán estar espaciados a distancias no mayores a 12 plg. (305 mm) a centros y deberán ser colocados en los valles de la lámina, cerca del centro del patin de la viga. 2 La resistencia por fluencia de diseño del miembro no deberá exceder a 60 ksi (4216 kg/cm ).

Si las variables no cumplen con las condiciones arriba mencionadas, la Sección C3.1.3 especifica que el diseñador deberá desarrollar pruebas de carga de acuerdo a la Sección F1 del AISI 1996, o aplicar algún procedimiento analítico racional. En cualquier caso, el AISI 1996 le permite al diseñador desarrollar pruebas de acuerdo a la Sección F1, como una alternativa al procedimiento descrito en esta sección. Para secciones C y Z con claros simples el valor del factor de reducción R se calcula mediante la siguiente Tabla: Tabla 5.1 Valores de R para Secciones C y Z con Claros Simples

Rango de Peraltes, plg (mm) d ≤ 6.5 (165) 6.5 (165) < d ≤ 8.5 (216) 8.5 (216) < d ≤ 11.5 (292) 8.5 (216) < d ≤ 11.5 (292)

Perfil CoZ CoZ Z C

(4)

R 0.70 0.65 0.50 0.40

Para miembros con claros simples, el valor de R deberá ser reducido para considerar el efecto del aislamiento comprimido entre la lámina y el miembro. La reducción deberá ser calculada multiplicando el valor de R consignado en la Tabla 5.1 por el siguiente factor de corrección: r = 1.00 – 0.01t1 cuando t1 está dado en plg. r = 1.00 – 0.0004t1 cuando t1 está dado en cm. t1 = espesor de la conchoneta de fibra de vidrio no comprimida.

166

Para el Método LRFD, el uso de la resistencia nominal reducida dada por la Ec. (5.103) con un factor de resistencia de φb = 0.90 provee valores del índice de confiabilidad β que varian de 1.5 a 1.6, los cuales son aceptables considerando el valor objetivo de 1.5. Este análisis fue basado en la combinación de carga 1.17W – 0.90D usando un factor de reducción de 0.90 aplicado al factor de carga para carga nominal de viento, donde W y D son las cargas nominales de viento y muerta, respectivamente. 5.2.5 Vigas con un Patin Conectado a un Sistema de Cubierta a base de Lamina Engargolada con Costuras Sobresalientes. En la actualidad existe un uso creciente de sistemas de cubierta a base de lámina engargolada, ya que su instalación es relativamente rápida, exhiben un buen comportamiento bajo cargas de viento y la ausencia de tornillos o pijas de conexión (excepto en los traslapes de los extremos de la lámina) permite minimizar los problemas de intrusión de humedad. El proceso de engargolado consiste en la unión por medios mecánicos de los extremos longitudinales de láminas adyacentes mediante dobleces, formando una costura longitudinal estandarizada que sobresale unos cuantos centímetros sobre el plano de la cubierta. Se integran a las láminas de cubierta, durante el proceso de engargolado, los angulares de conexión de la cubierta a los polines de apoyo, de tal manera que se evita el uso de tornillos o pijas. La especificación del tipo de perfil de la lámina, del tipo de engargolado y del tipo de angular de conexión varía dependiendo del fabricante. La Fig. 5.46 ilustra dos sistemas típicos de cubiertas engargoladas. La Fig. 5.47 ilustra dos tipos de angulares de conexión (también llamados clips). La Fig. 5.47(a) ilustra al clip fijo tradicional y la Fig. 5.47(b) ilustra el clip movible. Dicho clip permite movimientos relativos de la cubierta con respecto a los polines de apoyo para efectos de disipar las dilataciones de la lámina de cubierta debidas a gradientes de temperatura. Para polines que soportan dichos sistemas de cubierta bajo carga gravitacional, la unión del patín de compresión a la cubierta a través del angular de conexión en la costura puede generar un apoyo lateral. Sin embargo, no existe la certidumbre de que el apoyo lateral resultante sea adecuado para efectos de diseño. Esto ha motivado a algunos diseñadores ya sea a despreciar la participación de la cubierta como apoyo lateral o a considerarla como apoyo lateral adecuado, lo cual puede resultar en diseños excesivamente conservadores y no conservadores, respectivamente, de los polines de cubierta.

Fig. 5.46 Tipos de cubiertas engargoladas con costuras sobresalientes. (a) Cubierta a base de láminas planas; (6) (b) Cubierta a base de láminas corrugadas .

Se ha comprobado que los apoyos laterales provistos por cubiertas engargoladas son al menos parcialmente adecuados, por lo que la resistencia a flexión de las vigas de cubierta suele mayor a la obtenida al despreciar la participación de la cubierta. Se ha comprobado también que la resistencia a flexión depende de la naturaleza de la carga, ya sea gravitacional o por succión, y del tipo de sistema de cubierta engargolada. Sin embargo, debido a la disponibilidad de diferentes

167

tipos de sistemas de cubierta engargolada, aun no se ha desarrollado un procedimiento analítico para determinar la resistencia a flexión en regiones de momento positivo y negativo. Por consiguiente, la resistencia a flexión debe establecerse mediante pruebas de carga. La Sección C3.1.4 fue añadida al AISI 1996 originalmente para determinar la resistencia nominal de flexión de vigas sujetas a carga gravitacional con un patin conectado a un sistema de cubierta engargolada. Sin embargo, el Suplemento 1999 a ampliado la cobertura de dicha Sección para incluir también la carga de succión por viento. En la Sección C3.1.4, la ecuación de resistencia nominal a flexión es idéntica a la Ec. (5.103) dada en la Sección C3.1.3. Sin embargo, en este caso el factor de reducción, R, se determina por el procedimiento de prueba de carga incluido en la Parte VIII del Manual de Diseño 1996 del AISI.

(6)

Fig. 5.47 Tipos de clips de sujeción de cubiertas . (a) Clip fijo; (b) Clip movible

A continuación se presenta la Sección C3.1.4 del AISI 1996 considerando las modificaciones realizadas en el Suplemento 1999. C3.1.4 Vigas con un Patín Conectado a un Sistema de Cubierta Engargolado con Costuras Sobresalientes.

La resistencia nominal a flexion, Mn, de secciones C y Z, cargadas en el plano paralelo al alma con el patín superior soportando un sistema de cubierta engargolada con costuras sobresalientes deberá ser determinado usado apoyos laterales aislados y las especificaciones de la Sección C3.1.2.1, o deberá ser determinado de la siguiente manera:

M n = RS e Fy

(5.104)

Ωb = 1.67 (ASD) φb = 0.90 (LRFD) donde R = factor de reducción determinado por el “Método Base de Pruebas para Polines Soportando un Sistema de Cubierta Engargolada con Costuras Sobresalientes” de la Parte VIII del Manual de Diseño de Acero Laminado en Frio del AISI. Se y Fy se definen en la Seccion C3.1.1

168

Cabe mencionar que el Suplemento 1999 considera por primera vez la Sección C3.1.5 que incluye especificaciones para el diseño de sistemas cubiertas a base de láminas engargoladas con costuras sobresalientes. Al igual que el caso de vigas unidas a éstos sistemas de cubiertas, la resistencia también debe determinarse mediante pruebas de carga. La resistencia de dichas cubiertas se establece a traves del procedimiento de prueba del ASTM E1592-95. Clarificaciones y extensiones de dicho procedimiento se incluyen en “Procedimientos Estandarizados para Pruebas Estructurales de Paneles y Anclajes” en la Parte VIII del Manual de Diseño del AISI 1996. La Sección C3.1.5 provee el método para calcular los factores de seguridad o de resistencia que permitan determinar la carga de diseño aplicable sobre la cubierta. 5.2.6 Vigas con Patines Inusualmente Anchos y Vigas con Claros Inusualmente Cortos. Cuando los patines de vigas son inusualmente anchos, se debe dar consideración especial a efectos posibles de desfasamiento por cortante y rizado de patines, aun cuando los patines, como el caso de los patines de tensión, no sufran de inestabilidad. El desfasamiento por cortante depende del tipo de carga y la relación claro a ancho del patín y es independiente del espesor. El rizado de patines es independiente del claro pero depende del espesor y ancho de los patines, peralte de la sección y los esfuerzos de flexión en ambos patines. A continuación se describen ambos efectos. 5.2.6.1 Desfasamiento por Cortante. Para miembros estructurales con dimensiones ordinarias, el efecto de las deformaciones por cortante sobre la distribución de esfuerzos en los patines es despreciable. Sin embargo, si los patines de la viga son inusualmente anchos comparados con la longitud del claro, el efecto de la deformación por cortante sobre la distribución de esfuerzos de flexión puede ser considerable. Como resultado, los esfuerzos de flexión en los patines de compresion y tensión son no uniformes y se reducen con el incremento de la distancia desde el alma, como se muestra en la Fig. 5.48 para una viga cajón y una viga I. A este fenómeno se le conoce como desfasamiento por cortante.

Fig. 5.48 Distribución de esfuerzos en el patín de compresión y tensión de vigas (1) sujetas a desfasamiento por cortante . (a) Vigas de sección cajón; (b) Vigas de sección I.

Se han realizado varias investigaciones experimentales y analíticas del problema del desfasamiento por cortante. Entre las mas relevantes se encuentran las de Hildebrand, Reissner y Winter. Las investigaciones de Hildebrand y Winter concluyen que la cantidad de desfasamiento por cortante depende no solo del método de carga y apoyo y la relación claro a ancho de patin, sino también de la relación de G/E y de la relación m = (3Iw + Is)/(Iw + Is), donde Iw y Is son los momentos de inercia de almas y patines, respectivamente, con respecto al eje neutro de la viga. Basado en la teoría de esfuerzos planos, Winter analizó el problema del desfasamiento por cortante y desarrolló información tabular y gráfica, de donde el ancho efectivo de diseño de una sección dada de viga puede ser obtenido para su uso en diseño. Las relaciones de máximo y mínimo esfuerzo de flexión en vigas fueron calculadas y corroboradas en pruebas experimentales de vigas I. Se observó que el problema del desfasamiento por cortante es importante para vigas de patín ancho sujetas a cargas concentradas en claros relativamente cortos; entre mayor era la relacion claro a ancho de patín, mayor era el efecto. Para vigas soportando cargas uniformes, el

169 desfasamiento por cortante es despreciable a menos que la relacion L/wf sea menor que aproximadamente 10, como se muestra en la Fig. 4.49. Winter también concluyó que para una relación dada de claro a ancho de patín, el efecto del desfasamiento por cortante es prácticamente el mismo para secciones cajón, I, T y U.

Fig. 5.49 Curvas analíticas y de diseño para determinar el ancho efectivo de un patín de una (1) viga de claro corto .

La Tabla 5.2 es un resumen de las relaciones de ancho efectivo de diseño a ancho real basado en los resultados de varias investigaciones. En la Tabla 5.2, wf es el ancho de la proyección del patín con respecto al alma para vigas I y la mitad de la distancia entre almas para secciones con almas múltiples (Fig. 5.43); L es la longitud del claro. Debe notarse que los valores obtenidos por Hilderbrand y Reissner fueron para G/E = 0.375 y m = 2. Desde el punto de vista de los criterios de diseño, el concepto de ancho efectivo usado en el diseño de elementos a compresión (Art. 4.3) también puede ser aplicado al diseño de vigas siempre que el problema del desfasamiento por cortante sea crítico. Basado en las investigaciones de Winter, se desarrollaron especificaciones de diseño para el desfasamiento por cortante y se incluyen en la Sección B1.1(c) del AISI 1996. Se especifica que cuando el claro efectivo L de la viga es menor que 30wf y cuando dicho claro soporta una carga concentrada o varias cargas concentradas espaciadas a distancias mayores de 2wf, la relación de ancho efectivo de diseño a ancho real deberá limitarse a los valores dados en la Tabla 5.3 de acuerdo con la relación L/wf. Tabla 5.2 Relación del Ancho Efectivo de Diseño al Ancho Real para Patines Inusualmente Anchos L/wf Condición de Carga Investigador 6 8 10 12 16 20 30 Voladizo con carga concentrada en el extremo Voladizo con carga uniforme distribuida Voladizo con carga lineal distribuida Simplemente apoyado con carga concentrada al centro del claro Simplemente apoyado con carga concentrada en el claro Simplemente apoyado con carga uniforme distribuida

Hildebrand y Reissner

0.830

0.870

0.895

0.913

0.934

0.946

Hildebrand y Reissner

0.724

0.780

0.815

0.842

0.876

0.899

Hildebrand y Reissner

0.650

0.710

0.751

0.784

0.826

0.858

Hildebrand y Reissner

0.686

0.757

0.801

0.830

0.870

0.895

0.936

Winter

0.550

0.670

0.732

0.779

0.850

0.894

0.945

Hildebrand y Reissner

0.610

0.686

0.740

0.778

0.826

0.855

0.910

Hildebrand y Reissner

0.830

0.897

0.936

0.957

0.977

0.985

0.991

Winter

0.850

0.896

0.928

0.950

0.974

0.984

0.995

(1)

170 En la aplicación de la Tabla 5.3, L es el claro total para vigas simplemente apoyadas, la distancia entre puntos de inflexión para vigas continuas, o dos veces el claro para vigas en voladizo. Cuando las vigas I o similares son atiesadas por labios en las orillas, wf, deberá tomarse como el ancho de la proyección del patin a partir del alma mas la longitud del labio. Los valores tabulados de la Tabla 5.3 se muestran en la Fig. 5.49 para efectos comparativos con los valores analíticos. Los valores de diseño del AISI son ligeramente mayores que los valores analíticos para relaciones L/wf mayores de 16. Tabla 5.3 Relación Máxima Permisible del Ancho Efectivo de Diseño al Ancho Real Relación Relación L/wf L/wf 30 1.00 14 0.82 25 0.96 12 0.78 20 0.91 10 0.73 18 0.89 8 0.67 16 0.86 6 0.55

(4)

Aunque las especificaciones discutidas anteriormente relativas al desfasamiento por cortante son aplicables a patines de tensión y compresión, el pandeo local del patín de compresión, como se discutió en el Art. 4.3, puede ser un factor crítico y deberá ser investigado. En general, el pandeo latero-torsional (ver Art. 5.2.3) no será un factor crítico, ya que los claros de las vigas para los cuales el desfasamiento por cortante debe considerarse son lo suficientemente pequeños como para que la distancia entre apoyos laterales pueda considerarse adecuada. Por consiguiente, la resistencia a flexión será en general gobernada por la resistencia de la sección (ver Art. 5.2.2). El problema del desfasamiento por cortante es de importancia particular en el diseño de estructuras de barcos y aviones. Sin embargo, en las aplicaciones de los perfiles laminados en frío en estructuras de edificios es poco común que los patines de vigas sean tan anchos que requieran reducciones significativas de los anchos de patin. Ejemplo 5.13. Calcule el momento de diseño según el Método ASD y LRFD para la viga mostrada en la Fig. 5.50 si se usa para soportar una carga concentrada en un claro simplemente apoyado de 2 60 cms. Considere Fy = 2811 kg/cm . Como se pide determinar el momento de diseño, el algoritmo de solución del problema es en general la siguiente: a) Determine si se requiere considerar el desfasamiento por cortante b) Si el desfasamiento por cortante debe ser considerado, determine el módulo de sección efectivo, Sxdc, considerando la reducción del patín de compresión y tensión especificada por la Tabla 5.3. Si no se requiere considerar el desfasamiento por cortante, pasar al paso (c). c) Determine el módulo de sección efectivo, Sex, considerando la resistencia a flexión del perfil. Es decir, considerando el ancho y peralte efectivo del patín de compresión y alma, respectivamente, según lo expuesto en el Art. 4.3. d) Comparar Sxdc y Sex. Si Sxdc > Sex, entonces el desfasamiento por cortante controla el diseño, de lo contrario, controla la resistencia a flexión. Usar el valor menor de los módulos de sección calculados para determinar el momento de diseño, según lo expuesto en el Art. 5.2.2.

(1)

Fig. 5.50 Ejemplo 5.13 (cotas en mm)

171

A continuación se aplica el algoritmo de solución: 1. Determine si el Desfasamiento por Cortante deberá ser Considerado La viga tiene un perfil I, por lo que el valor de wf es igual al ancho de la proyección del patín con respecto al alma. De la Fig. 5.50 se obtiene: wf = B/2 – t = 101.600/2 – 3.429 = 47.371 mm 30wf = 30(47.371) = 1421.130 mm L = 60 cm = 600 mm Como L < 30wf y la viga está sujeta a una carga concentrada, el desfasamiento por cortante deberá ser considerado. 2. Determine el Módulo de Sección Efectivo Considerando el Desfasamiento por Cortante Sxdc •

Patines de Tensión y Compresión:

L/wf = 600/47.371 = 12.666. De la Tabla 5.3 se obtiene por interpolación lineal que la relación entre el ancho efectivo de diseño y el ancho real es 0.793. Por consiguiente, los anchos efectivos de diseño de los patines de compresión y tensión serán: b’ = 0.793wf = 0.793(47.371) = 37.575 mm (ver Fig. 5.51). 2 Area para dos patines, ΣA = 2b’t = 2(37.575)(3.429) = 257.689 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior del patín de compresión: y = t/2 = 3.429/2 = 1.175 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior del patín de tensión: y = H – t/2 = 203.20 – 1.175 = 202.025 mm

Fig. 5.51 Distribución de esfuerzos en el alma

•

Almas:

Asumiendo que las almas son 100% efectivas: h = H – 2(R + t) = 203.200 – 2(4.763 + 3.429) = 186.816 mm 2 Area para par de almas, ΣA = 2(186.816)(3.429) = 1281.184 mm 3 3 4 Ix = 1/12(h t) = 1/12(186.816) (3.429) = 1863066.883 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = H/2 = 203.2/2 = 101.60 mm

(1)

172

Como los anchos efectivos de los patines de tensión y compresión son iguales, se asume que el eje neutro se ubica a la mitad del peralte del perfil. Esto es, ycg = H/2 = 101.600 mm. A continuación se revisa la efectividad del alma para dicha ubicación (ver Fig. 5.51). Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 101.600 – (4.763 + 3.429) = 93.408 mm d2 = h – d1 = 186.816 – 93.408 = 93.408 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 2811(93.408/101.600) = 2584.349 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = - 2584.349 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2584.349/2584.349 = -1.000 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-1.000)] + 2[1 – (-1.000)] = 24.000 2 f = f1 = 2584.349 kg/cm ; h/t = 186.816/3.429 = 54.481 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(24.000) [(54.481)(2584.349/2.073x10 ) ] = 0.413 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 1.0(186.816) = 186.816 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 186.816/[3 – (-1.000)] = 46.704 mm Ec. (4.44): b2 = 186.816/2 = 93.408 mm b1 + b2 = 46.704 + 93.408 = 140.112 mm Como b1 + b2 > d1, el alma es 100% efectiva. •

Módulo de sección Sxdc: Elemento Patines Superiores Esquinas Superiores Almas Esquinas Inferiores Patines Inferiores Suma, Σ 2

2

A (mm ) 257.689 69.746 1281.184 69.746 257.689 1936.054

y (mm) 1.175 4.067 101.600 199.133 202.025

3

Ay (mm ) 302.785 283.657 130168.294 13888.730 52059.620 196703.086

2

4

Ay (mm ) 355.772 1153.633 13225098.710 2765704.515 10517344.780 26509657.410

2

Ix = ΣIxx + ΣAy – ycg ΣA 2 4 Ix = 2(1863066.883) + 26509657.410 – (101.600) (1936.054) = 10250757.60 mm 4 = 1025.076 cm 3 Sxdc = Ix/ycg = 10250757.600/101.600 = 100893.283 mm 3 = 100.893 cm 3. Determine el Módulo de Sección Efectivo Considerando la Resistencia a Flexión. 3

Del Ejemplo 5.1 se obtiene: Sex = 55.716 cm 4. Momentos de Diseño con Respecto al Eje x

Como Sxdc > Sex, controla la resistencia a flexión sobre el desfasamiento por cortante, por lo que los momentos de diseño son los mismos obtenidos en el Ejemplo 5.1. Ejemplo 5.14. Para la sección tubular mostrada en la Fig 5.52, determinar el momento de diseño según el Método ASD y LRFD si el miembro es usado como una viga simplemente apoyada soportando una carga concentrada en la mitad del claro. Asuma que la longitud del claro es de 2 1.50 metros y Fy = 3514 kg/cm .

173

(1)

Fig. 5.52 Ejemplo 5.14 (cotas en mm)

Aplicando el algoritmo de solución expuesto en el Ejemplo 5.13, se obtiene: 1. Determine si el Desfasamiento por Cortante deberá ser Considerado La viga tiene un perfil cajón, por lo que el valor de wf es igual a la mitad de la distancia entre almas. Por lo tanto: wf = (B – 2t)/2 = [203.200 –2(1.524)]/2 = 100.076 mm 30wf = 30(100.076) = 3002.280 mm L = 150 cm = 1500 mm Como L < 30wf y la viga está sujeta a una carga concentrada, el desfasamiento por cortante deberá ser considerado. 2. Determine el Módulo de Sección Efectivo Considerando el Desfasamiento por Cortante Sxdc •

Esquinas:

r = R + t/2 = 2.381 + 1.524/2 = 3.143 mm L = 1.57r = 1.57(3.143) = 4.935 mm c = 0.637r = 0.637(3.143) = 2.002 mm 2 Area para dos esquinas, ΣA = 2Lt = 2(4.935)(1.524) = 15.042 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (3.143 – 2.002) + 1.524/2 = 1.903 mm Esquinas inferiores, y = H – 4.067 = 127.000 – 1.903 = 125.097 mm •

Patines de Tensión y Compresión:

L/wf = 1500/100.076 = 14.989. De la Tabla 5.3 se obtiene por interpolación lineal que la relación entre el ancho efectivo de diseño y el ancho real es 0.840. Por consiguiente, los anchos efectivos de diseño de los patines de compresión y tensión serán: b’ = 0.84(2wf) = 0.84[2(100.076)] = 168.128 mm (ver Fig. 5.53). 2 Area de un patín, A = b’t = (168.128)(1.524) = 256.227 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior del patín de compresión: y = t/2 = 1.524/2 = 0.762 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior del patín de tensión: y = H – t/2 = 127.000 – 0.762 = 126.238 mm •

Almas:

Asumiendo que las almas son 100% efectivas: h = H – 2(R + t) = 127.000 – 2(2.381 + 1.524) = 119.190 mm

174 2

Area para par de almas, ΣA = 2ht = 2(119.190)(1.524) = 363.911 mm 3 3 4 Ix = 1/12(h t) = 1/12(119.190) (1.524) = 215041.945 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = H/2 = 127.000/2 = 63.500 mm

Fig. 5.53 Dimensiones efectivas de los patines de tensión y compresión debidas al efecto del (1) desfasamiento por cortante .

Como los anchos efectivos de los patines de tensión y compresión son iguales, se asume que el eje neutro se ubica a la mitad del peralte del perfil. Esto es, ycg = H/2 = 63.500 mm. A continuación se revisa la efectividad del alma para dicha ubicación. Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 63.500 – (2.381 + 1.524) = 59.595 mm d2 = h – d1 = 119.190 – 59.595 = 59.595 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 3514(59.595/63.500) = 3297.903 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = - 3297.903 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -3297.903/3297.903 = -1.000 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-1.000)] + 2[1 – (-1.000)] = 24.000 2 f = f1 = 3297.903 kg/cm ; h/t = 119.190/1.524 = 78.209 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(24.000) [(78.209)(3297.903/2.073x10 ) ] = 0.670 Como λ < 0.673, entonces ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 1.0(119.190) = 119.190 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 119.190/[3 – (-1.000)] = 29.798 mm Ec. (4.44): b2 = 119.190/2 = 59.595 mm b1 + b2 = 29.798 + 59.595 = 89.393 mm Como b1 + b2 > d1, el alma es 100% efectiva. •

Módulo de sección Sxdc: Elemento Patines Superiores Esquinas Superiores Almas Esquinas Inferiores Patines Inferiores Suma, Σ

2

A (mm ) 256.227 15.042 363.911 15.042 256.227 906.449

y (mm) 0.762 1.903 63.500 125.097 126.238

3

Ay (mm ) 195.245 28.625 23108.349 1881.709 32345.584 57559.512

2

4

Ay (mm ) 148.777 54.473 1467380.13 235396.160 4083241.836 5786221.376

175 ycg = ΣAy/ΣA = 57559.512/906.449 = 63.500 mm 2 2 Ix = ΣIxx + ΣAy – ycg ΣA 2 4 Ix = 2(215041.945) + 5786221.376 – (63.500) (906.449) = 2561276.286 mm 4 = 256.128 cm 3 Sxdc = Ix/ycg = 2561276.286/63.500 = 40335.060 mm 3 = 40.335 cm 3. Determine el Módulo de Sección Efectivo Considerando la Resistencia a Flexión Sex •

Patín de compresión:

w = B – 2(R + t) = 203.200 – 2(2.381 + 1.524) = 195.390 mm w/t = 195.390/1.524 = 128.209 Como el patín de compresión es un elemento atiesado, k = 4.00. Asumiendo que el patín está 2 bajo fluencia f = Fy = 3514 kg/cm , entonces: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.00) [(128.209)(3514/2.073x10 ) ] = 2.777 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/2.777)/2.777 = 0.332 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.332(195.390) = 64.869 mm (ver Fig. 5.54) 2 Area del patín, A = bt = (64.869)(1.524) = 98.860 mm

Fig. 5.54 Dimensiones efectivas de la sección para la (1) resistencia al postpandeo .

•

Patín de tensión: 2

Area del patín, A = wt = (195.390)(1.524) = 297.774 mm •

Almas

Asumiendo que las almas son 100% efectivas: h = H – 2(R + t) = 127.000 – 2(2.381 + 1.524) = 119.190 mm 2 Area para par de almas, ΣA = 2ht = 2(119.190)(1.524) = 363.911 mm 3 3 4 Ix = 1/12(h t) = 1/12(119.190) (1.524) = 215041.945 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra superior: y = H/2 = 127.000/2 = 63.500 mm Como los anchos efectivos de los patines de tensión y compresión no son iguales, se debe calcular la posición del eje neutro (asumiendo almas 100% efectivas).

176

Elemento Patines Superiores Esquinas Superiores Almas Esquinas Inferiores Patines Inferiores Suma, Σ

2

A (mm ) 98.860 15.042 363.911 15.042 297.774 790.629

y (mm) 0.762 1.903 63.500 125.097 126.238

3

Ay (mm ) 75.331 28.625 23108.349 1881.709 37590.394 62684.408

2

4

Ay (mm ) 57.402 54.473 1467380.130 235396.160 4745336.185 6448224.350

ycg = ΣAy/ΣA = 62684.408/790.629 = 79.284 mm

Fig. 5.55 Distribución de esfuerzos en el alma

(1)

Revisión de la efectividad del alma para el valor de ycg (ver Fig. 5.55): Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 79.284 – (2.381 + 1.524) = 75.379 mm d2 = h – d1 = 119.190 – 75.379 = 43.811 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 3514(75.379/79.284) = 3340.924 kg/cm (compresión) 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = 3514(43.811/79.284) = - 1941.777 kg/cm (tensión) Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -1941.777/3340.924 = -0.581 3 Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 – (-0.581)] + 2[1 – (-0.581)] = 15.066 2 f = f1 = 3340.924 kg/cm ; h/t = 119.190/1.524 = 78.209 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(15.066) [(78.209)(3340.924/2.073x10 ) ] = 0.851 Como λ > 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.851)/0.851 = 0.871 Ancho efectivo de diseño, be = ρh = 0.871(119.190) = 103.814 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 103.814/[3 – (-0.581)] = 28.990 mm Ec. (4.44): b2 = 103.814/2 = 51.907 mm b1 + b2 = 28.990 + 51.907 = 80.897 mm Como b1 + b2 > d1, el alma es 100% efectiva. Por lo tanto, no se requiere recalcular ycg. •

Módulo de sección Sex: 2

2

Ix = ΣIxx + ΣAy – ycg ΣA 2 4 Ix = 2(215041.945) + 6448224.350 – (79.284) (790.629) = 1908451.778 mm 4 = 190.845 cm

177 3

Sex = Ix/ycg = 1908451.778/79.284 = 24071.083 mm 3 = 24.071 cm 5. Momentos de Diseño con Respecto al Eje x

Como Sxdc > Sex, controla la resistencia a flexión sobre el desfasamiento por cortante, por lo que los momentos de diseño serán: Momento nominal, Mnx = FySex = 3514(24.071) = 84585.494 kg-cm = 84.585 Ton-m Método ASD: Max = Mnx/Ωb, donde Ωb = 1.67 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Max = 84.585/1.67 = 50.650 Ton-cm Método LRFD: Mux = φbMnx, donde φb = 0.95 para patines de compresión atiesados (ver Art. 5.2.2.1). Por lo tanto: Mux = 0.95(84.585) = 80.356 Ton-cm 5.2.6.2 Rizado de Patines en Vigas. Cuando una viga con patines inusualmente anchos es sujeta a flexión, la porción del patín mas alejada del alma tiende a deformarse en dirección al eje neutro, generando como resultado un especie de rizo en el extremo del patín. Esto se debe al efecto de la curvatura longitudinal de la viga y a los esfuerzos de flexión en ambos patines. Considérese una viga I sujeta a flexión pura como se muestra en la Fig. 5.56. La componente transversal q de la fuerza del patin favt por ancho unitario puede ser determinada por

f av tdφ f av t f av t 2 f 2 av t q= = = = dt rb EI / M Ed

(5.105)

donde fav = esfuerzo de flexión promedio. t = espesor del patín. dφ, dl, rb = como lo muestra la Fig. 5.49. E = módulo de elasticidad. I = momento de inercia de la viga. d = peralte de la viga. Si el valor de q es considerado como una carga uniformemente distribuida aplicada al patín, la deformación o rizado de la orilla extrema del patín puede ser calculada por el método convencional para una placa en voladizo, o sea, 4 2  f av   w f  ct = = 3 1− µ 2  2   8D E t d    

qw f

4

(

)

(5.106)

donde cf = deformación de la orilla exterior. wf = proyección del patín a partir del alma. 3 2 D = rigidez a flexión de la placa = Et /12(1 - µ ) Substituyendo µ = 0.30 en la Ec. (5.106) y despejando para wf, la siguiente fórmula para calcular el ancho máximo de patines a tensión y compresión inusualmente anchos puede obtenerse:

178

w f = 0.061tdE / f av 4 100c f / d

(5.107)

donde cf = cantidad permisible de rizado fav = esfuerzo promedio en el ancho no reducido del patín. wf, t y d fueron definidos previamente. Cuando los miembros son diseñados por el procedimiento del ancho efectivo de diseño, el esfuerzo promedio es igual al esfuerzo máximo multiplicado por la relación entre el ancho efectivo de diseño y el ancho real. La Ec. (5.107) se incluye en la Sección B1.1(b) del AISI 1996 para limitar el ancho de patines inusualmente anchos.

Fig. 5.56 Rizado de patines de una viga I sujeta a (1) flexión .

La Ec. (5.107) se derivó en base a una componente transversal q constante. Al desarrollarse el rizado en el patín, la distancia de la orilla extrema del patín con respecto al eje neutro se reduce. Esto resulta en una reducción de los esfuerzos a flexión. Por consiguiente, el valor de q varía a través del patín, como se ilustra en la Fig. 5.49. Debido a que el valor de cf se limita usualmente a un porcentaje pequeño del peralte, el error en la determinación de wf mediante el uso de la Ec. (5.107) es despreciable y del lado conservador. El análisis aproximado para vigas I discutido anteriormente también puede aplicarse al diseño de vigas cajón y de sección U, excepto que los patines de secciones cajón pueden ser considerados como placas simplemente apoyadas en las almas y wf puede ser considerado como la mitad de la distancia entre almas. Usando la misma analogía, se puede determinar el rizado del patín cf para secciones cajón de la siguiente manera:

cf =

5q ( 2 w f ) 4 384 D

2  f av   w f = 5  2  E   t d

4

 (1 − µ 2 )  

(5.108)

Una comparación entre las Ecs. (5.107) y (5.108) indica que el uso de la Ec. (5.107), la cual fue derivada para vigas I, para determinar wf para vigas cajón, puede resultar en un error potencial de 1/4 13%. Esto se debe a que (5/3) = 1.13. Sin embargo, esta discrepancia puede ser reducida si la restricción de las almas y los valores variables de la componente transversal q son tomados en consideración. La especificación del AISI no proporciona valores permisibles máximos para el rizado de patines. Sin embargo, se menciona en una nota a pie de página que la cantidad de rizado que puede ser tolerada varía dependiendo de la sección usada y deberá ser establecida por el diseñador. Como guia, puede establecerse que una cantidad de rizado de aproximadamente el 5% del peralte de la sección se considera aceptable. Por consiguiente, asumiendo que cf/d = 0.05, la Ec. (5.107) puede simplificarse como:

w f = 0.37

tdE f av

(5.109)

179

En general, el problema del rizado de patines no es un factor critico para determinar el ancho del patín. Sin embargo, cuando la apariencia estética de la sección es importante, las deformaciones fuera del plano deben ser cuidadosamente controladas. Ejemplo 5.15 Determine la cantidad de rizado del patín de compresión de la sección sombrero usada en el Ejemplo 5.3, cuando la seccion está sujeta al momento nominal. B = 381 mm H = 254 mm b = 125.22 mm

Del Ejemplo 5.3 se obtiene:

t = 2.667 mm w = 366.14 mm 2 f = 2860.489 kg/cm

Para secciones sombrero, el valor de wf puede ser tomado como la mitad de la distancia entre almas. Por lo tanto: wf = 0.5(B – 2t) = 0.5[381 – 2(2.667)] = 187.833 mm. El esfuerzo promedio en el patín de compresión se obtiene multiplicando el esfuerzo máximo en el patín de compresión debido al momento flexionante considerado, f, por la relación b/w. O sea, fav = f(b/w). En este caso, se considera el valor de f en función del momento nominal. Si se desea considerar el valor de f para momentos de diseño, entonces f deberá ser dividido entre el factor de seguridad o multiplicado por el factor de resistencia correspondiente, dependiendo del método 2 considerado (ASD o LRFD). Por lo tanto: fav = 2860.489(125.22/366.140) = 978.288 kg/cm Despejando la Ec. (5.107) para cf se obtiene: cf = d/100[wf(0.061tdE/fav)

-1/2 4

]

6

-1/2 4

cf = 25.4/100{18.783[0.061(0.267)(25.4)(2.073x10 )/978.288]

} = 0.041 cm

Como cf/d = 0.041/25.4 = 0.0016 < 0.05, la cantidad del rizado del patín se puede considerar aceptable cuando el perfil está sujeto al momento nominal. Cabe mencionar que el valor de cf se reducirá si se considera el momento de diseño en lugar del momento nominal. 5.3 DISEÑO DE ALMAS DE VIGAS 5.3.1 Introducción Los perfiles laminados en frío de pared delgada usados como miembros a flexión no solo deben ser diseñados por flexión y deformación como se discutió en el Art. 5.2, sino también las almas de dichos miembros deben ser diseñadas por cortante, flexión, combinación de cortante y flexion, aplastamiento del alma y combinación de flexión y aplastamiento del alma. Además, el peralte del alma no deberá exceder los valores máximos permisibles establecidos en la Sección B1.2 del AISI 1996. La máxima relación peralte espesor h/t de almas no reforzadas se limita a 200, donde h es el peralte de la porción plana del alma medida en el plano del alma y t es el espesor del alma. Cuando se proveen atiesadores transversales en los apoyos y bajo cargas concentradas, el valor máximo de h/t es 260. Cuando atiesadores de carga y transversales son usados simultaneamente, el valor máximo de h/t es 300. Si un alma consiste de dos o mas láminas, la relación individual h/t de cada lámina no debera exceder los valores máximos permisibles mencionados anteriormente. Se presentan a continuación los requisitos mínimos para atiesadores y las ecuaciones de diseño para almas sujetas a cortante puro, a combinación de cortante y flexión, a aplastamiento y a combinación de aplastamiento y flexión.

180 5.3.2 Requisitos de Atiesadores El AISI 1996 proporciona los requisitos de diseño para atiesadores de carga e intermedios en la Sección B6. Dichos requisitos fueron primero considerados en la especificación del AISI 1980 y se han mantenido sin cambio hasta el AISI 1996. La definición de los atiesados de carga e intermedios se dan en la Sección B6. A continuación se presentan las especificaciones de dicha sección: Sección B6 Atiesadores

De acuerdo con la Sección B6, los atiesadores se diseñan como elementos a compresión. Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño para atiesadores:

Pn ≥ ∑ Pi Ωc

1. Método ASD:

Pa =

2. Método LRFD:

φ c Pn ≥ ∑ γ i Pi

Donde

Pa = resistencia permisible a compresión axial Ωc = factor de seguridad para compresión axial ΣPi = combinación aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) φc = factor de resistencia por compresión axial γi = factor de carga correspondiente a la carga Pi ΣγiPi = combinación aplicable de cargas factorizadas (ver Art. 3.3.2) Pn = resistencia nominal de compresión axial determinada según la Sección B6.1

Sección B6.1 Atiesadores de Carga Los atiesadores de carga se unen al alma de vigas en los puntos de aplicación de cargas concentradas o reacciones. Dichas cargas concentradas o reacciones deberán ser aplicadas directamente a los atiesadores, o cada atiesador deberá habilitarse directamente en contacto con la cara interior del patín para proveer transmisión directa de la carga al extremo del atiesador. Deberán proporcionarse conexiones adecuadas para la transmisión del cortante entre el alma de la viga y el atiesador, de acuerdo a las especificaciones de la Sección E (ver Capítulo 9). Para cargas concentradas o reacciones, la resistencia nominal será igual a Pn, donde Pn es el valor menor de los Casos (a) y (b) dados a continuación: Caso (a): Caso (b):

Pn = FwyAc Pn = carga axial nominal evaluada de acuerdo al Art. 6.7 con Ae = Ab

(5.110) (5.111)

Ωc = 2.00 (ASD) φc = 0.85 (LRFD) donde:

2

Ac = 18t + As, para atiesadores de carga en apoyos interiores y bajo cargas concentradas. 2 Ac = 10t + As, para atiesadores de carga en apoyos extremos. As = área de la sección del atiesador de carga. Fwy = valor menor de fluencia del alma de la viga, Fy, o del atiesador, Fys. Ab = b1t + As, para atiesadores de carga en apoyos interiores y bajo cargas concentradas. Ab = b2t + As, para atiesadores carga en apoyos extremos. b1 = 25t[0.0024(Lst/t) + 0.72] ≤ 25t b2 = 12t[0.0044(Lst/t) + 0.83] ≤ 12t

181 Lst = longitud del atiesador de carga. t = espesor del atiesador de carga. Además, el AISI 1996 especifica que las relaciones w/ts para elementos atiesados y no atiesados 1/2 de los atiesadores de carga de acero laminado en frío no excedan a 1.28(E/Fys) ni a 1/2 0.42(E/Fys) , respectivamente. En las expresiones anteriores, Fys es el esfuerzo de fluencia y ts el 1/2 espesor del acero del atiesador. Cabe mencionar que la expresión 0.42(E/Fys) fue introducida por primera vez en el Suplemento 1999, ya que la expresión original considerada en la Sección B6.1 1/2 1/2 del AISI 1996 fue 0.37(E/Fys) . La razón del cambio se debe a que la expresión 0.37(E/Fys) está basada en el criterio de diseño por esfuerzos permisibles, mientras que la expresión modificada está basada en el criterio de área efectiva. Dicha modificación permite unificar los criterios para elementos atiesados y no atiesados de atiesadores transversales laminados en frío. Debe notarse que la Ec. (5.110) es para prevenir el aplastamiento de los extremos de atiesadores transversales, mientras que la Ec. (5.111) es para prevenir el pandeo como columna de la sección del atiesador en base a los criterios expuestos en el Capítulo 6. Las Figs. (5.57) y (5.58) ilustran las áreas Ac y As de atiesadores de carga. Las ecuaciones para calcular las áreas efectivas (Ac, Ab) y los anchos efectivos (b1 y b2) de atiesadores fueron derivadas a partir de investigaciones experimentales.

(1)

Fig. 5.57 Area efectiva Ac de atiesadores de carga . (a) En el apoyo extremo; (b) En apoyo intermedio y bajo carga concetrada.

Sección B6.2 Atiesadores Intermedios Los atiesadores intermedios se colocan en el claro de la viga entre los puntos de colocación de atiesadores de carga. Su función es reforzar el alma en regiones donde el cortante es considerable o en regiones donde existan agujeros en el alma. Todos los atiesadores intermedios deberán diseñarse para satisfacer los siguientes requisitos de espaciamiento, momento de inercia y área bruta:

(1)

Fig. 5.58 Area efectiva Ab de atiesador de carga . (a) En el apoyo extremo; (b) En apoyo intermedio y bajo carga concentrada.

1. El espaciamiento a entre atiesadores, será el menor valor calculado de las siguientes expresiones:

182

2

 260  a≤  h  h/t 

(5.112)

a ≤ 3h

(5.113)

2. El momento de inercia Is para atiesadores de cortante con referencia a un eje en el plano del alma, será el menor valor calculado de las siguientes expresiones:

 h 0.7a  I s ≥ 5ht 3  −  h  t  h  Is ≥    50 

(5.114)

4

(5.115)

3. El area bruta Ast de atiesadores de cortante se calcula mediante la siguiente expresión:

1 − Cv Ast ≥ 2

 a ( a / h) 2 YDht  − 2  h (a / h) + 1 + (a / h) 

(5.116)

donde

Cv =

45,000k v Fy ( h / t ) 2

Cv =

190 h/t

si Cv ≤ 0.80

(5.117)

kv Fy

si Cv > 0.80

(5.118)

k v = 4.00 +

5.34 ( a / h) 2

si a/h ≤ 1.0

(5.119)

k v = 5.34 +

4.00 ( a / h) 2

si a/h > 1.0

(5.120)

a = distancia entre atiesadores transversales en plg. Y = Fy/Fys D= 1.0 para atiesadores provistos en pares. 1.8 para atiesadores a base de ángulos simples. 2.4 para atiesadores a base de placas simples. Los requisitos de diseño para atiesadores intermedios fueron adoptados de la especificación del AISC 1978. Las Ecs. (5.114) a la (5.116) fueron desarrolladas a partir de investigaciones experimentales.

183

Para el Método de LRFD se evaluaron los resultados experimentales disponibles para atiesadores de carga e intermedios y se realizaron las calibraciones correspondientes para los factores de resistencia. Para los atiesadores de carga, el factor de resistencia de 0.85 se seleccionó basado en información estadística para índices de confiabilidad β que varían de 3.32 a 3.41. Para los atiesadores intermedios, el factor de resistencia de 0.90 se seleccionó también en base a la información estadística disponible para un índice de confiabilidad β de 4.10. 5.3.3 Cortante 5.3.3.1 Esfuerzo Cortante. En el diseño de vigas, el esfuerzo cortante en la sección de la viga puede calcularse con la siguiente ecuación:

fv =

VQ It

(5.121)

donde fv = esfuerzo cortante. V = fuerza cortante externa total en la sección. Q = momento estático del área entre la fibra extrema y la ubicación particular donde se desea calcular el cortante, tomado con respecto al eje neutro. I = momento de inercia de la sección total con respecto al eje neutro. t = espesor de la sección donde se desea calcular el cortante. Aun cuando la Ec. (5.121) proporciona valores exactos en cualquier ubicación, ha sido una practica generalizada calcular el esfuerzo cortante para propósitos de diseño usando la siguiente ecuación:

fv =

V ht w

(5.122)

donde h = peralte de la porción plana del alma medida en el plano del alma. tw = espesor de la sección donde se desea calcular el cortante. El uso de las Ecs. (5.121) y (5.122) se ilustra en el Ejemplo 5.16. Ejemplo 5.16. Determine la distribución de esfuerzos cortantes en los apoyos extremos para la seccion canal sujeta a carga uniforme mostrada en la Fig. 5.59. Asuma que la carga es aplicada en el centro de cortante de la sección por lo que no existe torsión. 1. Distribución Exacta de Esfuerzos Cortantes Según la Ec. (5.121) Por simplicidad se usarán esquinas rectas y dimensiones de centro de línea, como se muestra en la Fig. 5.53. Por lo tanto: w = B – t/2 = 38.100 – 3.429/2 = 36.386 mm h = H – t = 177.800 – 3.429 = 174.371 mm A continuación se calculan los esfuerzos cortantes en los puntos 1 al 5. a) Puntos 1 y 4: Q1 = Q4 = 0. Substituyendo estos valores en la Ec. (5.121) se obtiene: Ec. (5.121): fv1 = fv2 = 0

184

(1)

Fig. 5.59 Ejemplo 5.16 (cotas del perfil en mm)

b) Puntos 2 y 3: 3

3

Q2 = Q3 = wt(h/2) = 36.386(3.429)(174.371/2) = 10877.925 mm = 10.878 cm 4 Substituyendo V = R = 675 kg (ver Fig. 5.52) e Ix = 326.325 cm (calculado conforme a las ecuaciones incluidas en el Apéndice A) en la Ec. (5.121) se obtiene: 2 Ec. (5.121): fv2 = fv3 = 675(10.878)/[(326.325)(0.3429)] = 65.620 kg/cm c) Punto 5: 3

Q5 = Q2 + (h/2)t(h/4) = 10877.925 + (174.371/2)(3.429)(174.371/4) = 23910.373 mm 3 = 23.910 cm 2 Ec. (5.121): fv5 = 675(23.910)/[(326.325)(0.3429)] = 144.233 kg/cm 2. Esfuerzo Cortante Promedio Según la Ec. (5.122) En este caso,

h = H – 2t = 177.8 – 2(3.429) = 170.942 mm = 17.084 cm tw = t = 3.429 mm = 0.3429 cm

Substituyendo estos valores en la Ec. (5.122) se obtiene: 2 Ec. (5.122): fv = 675/[(17.084)(0.3429)] = 115.225 kg/cm 2

Se puede observar en este caso que el esfuerzo cortante promedio de 115.225 kg/cm es 2 aproximadamente 20% menor al valor del esfuerzo cortante máximo de 144.233 kg/cm . La distribución de esfuerzos cortantes exactos y el esfuerzo cortante promedio está dada en la Fig. 5.60. 5.3.3.2 Resistencia Nominal por Cortante de Almas sin Agujeros. Cuando un alma con una relacion h/t relativamente pequeña es sujeta a esfuerzo cortante, la resistencia a cortante de la viga será probablemente gobernada por fluencia, con un máximo 1/2 esfuerzo de Fy/(3) en el eje neutro. Por consiguiente, el esfuerzo nominal a cortante, τn, para dichas almas será:

τn =

Fy 3

≈ 0.60 Fy

(5.123)

185

Fig. 5.60 Distribución de esfuerzos de cortante (las líneas sólidas representan los valores exactos y las líneas (1) punteadas los valores promedio) .

La resistencia nominal a cortante por fluencia, Vn, se obtiene multiplicando al esfuerzo nominal cortante dado por la Ec. (5.123) por el área del alma ht, esto es,

Vn = 0.60 Fy ht

(5.124)

Para almas con relaciones h/t relativamente grandes, la resistencia a cortante del alma estará gobernada por pandeo por cortante. En base a estudios sobre el pandeo por cortante en placas infinitamente largas, se sabe que la placa desarrolla una serie de ondas inclinadas, como se muestra en la Fig. 5.61. El esfuerzo crítico de pandeo elástico por cortante esta dado por:

τ cr = donde kv E µ h t

k vπ 2 E 12(1 − µ 2 )(h / t ) 2

(5.125)

= coeficiente de pandeo por cortante. = módulo de elasticidad del acero. = relación de Poisson. = peralte del alma. = espesor del alma.

En la Ec. (5.125) el valor de kv depende de las condiciones de apoyo y la relación de aspecto a/h (ver Fig. 5.62). Para placas largas, kv = 5.34 para apoyos simples y kv = 8.98 para apoyos fijos, como se indica en la Tabla 4.1. Substituyendo µ = 0.30 en la Ec. (5.125) se obtiene:

τ cr =

0.905k v E (h / t ) 2

(5.126)

Por consiguiente, la resistencia nominal a cortante para pandeo elástico se puede determinar como,

Vn =

0.905k v E 0.905k v Et 3 ht = h (h / t ) 2

(5.127)

186

(1)

Fig. 5.61 Pandeo por cortante de una placa de longitud infinita . (a) orillas simplemente apoyadas; (b) orillas empotradas.

Fig. 5.62 Variación del coeficiente de pandeo por (1) cortante con respecto a la relación de aspecto a/h .

Para almas con relaciones h/t moderadas, el valor teórico calculado de τcr puede ser mayor que el limite de proporcionalidad. Por consiguiente, dicho valor debe ser reducido para reflejar el cambio en el módulo de elasticidad. Considerando la influencia del endurecimiento por deformacion observado en investigaciones de la resistencia de trabes de placas sujetas a cortante, se ha propuesto la siguiente formula:

τ cr = τ prτ cri

(5.128)

187 1/2

donde τpr = límite de proporcionalidad para cortante = 0.80τy = 0.80Fy/(3) . τcri = esfuerzo crítico de pandeo por cortante dado por la Ec. (5.125). Subtituyendo los valores de τpr y τcri en la Ec. (5.127), se obtiene la siguiente ecuación que representa el esfuerzo de cortante por pandeo en el rango inelástico:

τ cr =

0.64 k v Fy E h/t

(5.129)

Por consiguiente, la resistencia nominal a cortante para pandeo inelástico es:

Vn =

0.64 k v Fy E h/t

(ht ) = 0.64t 2 k v Fy E

(5.130)

Esta ecuacion es usada en la especificacion del AISC y también a sido adoptada por el AISI para efectos de uniformizar criterios. Las especificaciones de diseño por cortante del AISI 1996 se encuentran en la Sección C3.2. El Suplemento 1999 divide la Sección C3.2 en dos subsecciones: la Sección C3.2.1 y C3.2.2 que contienen las especificaciones para determinar la resistencia por cortante de almas sin agujeros y la resistencia por cortante de almas con agujeros de secciones C, respectivamente. La Sección C3.2.1 contiene las especificaciones originales de la Sección C3.2 y la Sección C3.2.2 se incluye por primera vez (ver Art. 5.3.3.3). A continuación se presenta la Sección C3.2.1: C3.2.1 Resistencia por Cortante de Almas Sin Agujeros.

De acuerdo con la Seccion C3.2.1 del AISI 1996, el cortante de diseño se determina a partir de la resistencia nominal por cortante y un factor de seguridad o de resistencia por cortante, dependiendo de que el método de diseño considerado sea ASD o LRFD, respectivamente. Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño por cortante para ASD y LRFD:

Vn ≤ ∑ Vi Ωv

1. Método ASD:

Va =

2. Método LRFD:

φ vVn ≤ ∑ γ iVi

Donde

(a) Para

Va Ωv ΣVi φv γi ΣγiVi Vn

= resistencia permisible a cortante = factor de seguridad para cortante = combinación aplicable de cortantes debidos a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) = factor de resistencia por cortante = factor de carga correspondiente al cortante Vi = combinación aplicable de cortantes factorizados (ver Art. 3.3.2) = resistencia nominal de cortante determinada a partir de las siguientes consideraciones de diseño:

h / t ≤ 0.96 Ek v / Fy , Vn = 0.60 Fy ht

(5.131)

188 Ωv = 1.50 (ASD) φv = 1.0 (LRFD)

(b) Para

0.96 Ek v / Fy ≤ h / t ≤ 1.415 Ek v / Fy , Vn = 0.64t 2 Ek v Fy

(5.132)

Ωv = 1.67 (ASD) φv = 0.90 (LRFD) (c) Para

h / t ≥ 1.415 Ek v / Fy , Vn =

π 2 Ek v t 3 = 0.905 Ek v t 3 / h 2 12(1 − µ )h

(5.133)

Ωv = 1.67 (ASD) φv = 0.90 (LRFD donde Vn = resistencia nominal a cortante E = módulo de elasticidad Fy = esfuerzo de fluencia del alma de la viga h = peralte de la porción plana del alma medida en el plano del alma t = espesor del alma kv = coeficiente de pandeo por cortante determinado de la siguiente manera: 1. Para vigas no reforzadas, kv = 5.34 2. Para vigas con atiesadores de carga que cumplen con los requisitos del Art. 5.3.2, kv se determinará usando la Ec. (5.119) o (5.120), la que sea aplicable. Cuando la viga tenga dos o mas almas, cada alma se deberá considerar como un elemento por separado, soportando su proporción correspondiente del cortante total. Las ediciones previas de la especificación del AISI del Método ASD consideraban tres factores de seguridad para evaluar la resistencia permisible a cortante para el alma no reforzada, ya que se pretendía usar los mismos valores de las especificaciones del AISC (o sea Ωv = 1.44 para fluencia, Ωv =1.67 para pandeo inelástico, y Ωv = 1.71 para pandeo elástico). Para simplificar el diseño de miembros a cortante por el Método ASD, el factor de seguridad para pandeo elástico e inelástico se toma ahora como Ωv = 1.67 en el AISI 1996. El AISI 1996 también considera ahora Ωv = 1.50 (en lugar de 1.44) para la condición de fluencia para eliminar la discontinuidad entre el cortante por fluencia y el cortante por pandeo inelástico. El uso de un factor de seguridad de 1.50 para fluencia por cortante se justifica por la experiencia acumulada y por las consecuencias mínimas de alcanzar la fluencia por cortante, comparada con aquellas asociadas con alcanzar la fluencia por tensión y compresión. Debido a que la información experimental apropiada sobre cortante no estaba disponible al momento de publicar el AISI 1996 y el Suplemento 1999, los factores de resistencia φv para el Método LRFD fueron derivados bajo la condición de que las resistencias nominales por cortante evaluadas por el Metodo ASD y LRFD fueran iguales. A continuación se presentan algunos ejemplos numericos ilustrando la aplicación de las Ecs. (5.131) y (5.133).

189 Ejemplo 5.17. Determine la fuerza cortante de diseño por el Método ASD y LRFD para la sección I 2 usada en el Ejemplo 5.1. Usar Fy = 3514 kg/cm . 1. Determine el Cortante Nominal Vn Del Ejemplo 5.1 se obtiene:

h = 18.682 cm h/t = 54.481

t = 0.343 cm

Según la Sección C3.2.1, kv = 5.34 para almas no reforzadas con atiesadores. Se procede a continuación a establecer la ecuación de cortante nominal aplicable. 1/2 6 1/2 0.96(Ekv/Fy) = 0.96[(2.073x10 )(5.34)/3514] = 53.882 1/2 6 1/2 1.415(Ekv/Fy) = 1.415[(2.073x10 )(5.34)/3514] = 79.419 Como 53.882 ≤ h/t ≤ 79.419 aplica la Ec. (5.132) para calcular Vn: 2 6 1/2 Ec. (5.132): Vn = 0.64(0.343) [(2.073x10 )(5.34)(3514)] = 14850.442 kg = 14.850 Ton 2. Determine el Cortante de Diseño Método ASD: Va = Vn/Ωv, donde para este caso, Ωv = 1.67. Por lo tanto: Va = 14.850/1.67 = 8.892 Ton. Método LRFD: Vu = φvVn, donde para este caso, φv = 0.90. Por lo tanto: Vu = 0.90(14.850) = 13.365 Ton. Ejemplo 5.18. Determine la fuerza cortante de diseño por el Método ASD y LRFD para la sección 2 canal usada en el Ejemplo 5.2. Usar Fy = 3514 kg/cm . 1. Determine el Cortante Nominal Vn h = 24.543 cm t = 0.1905 cm h/t = 128.834 kv = 5.34 para almas no reforzadas con atiesadores. Se procede a continuación a establecer la ecuación de cortante nominal aplicable. 1/2 6 1/2 0.96(Ekv/Fy) = 0.96[(2.073x10 )(5.34)/3514] = 53.882 1/2 6 1/2 1.415(Ekv/Fy) = 1.415[(2.073x10 )(5.34)/3514] = 79.419 Como h/t ≥ 79.419 aplica la Ec. (5.133) para calcular Vn: 6 3 Ec. (5.133): Vn = 0.905(2.073x10 )(5.34)(0.1905) /24.543 = 2821.931 kg = 2.822 Ton Del Ejemplo 5.2 se obtiene:

2. Determine el Cortante de Diseño Método ASD: Va = Vn/Ωv, donde para este caso, Ωv = 1.67. Por lo tanto: Va = 2.822/1.67 = 1.690 Ton. Método LRFD: Vu = φvVn, donde para este caso, φv = 0.90. Por lo tanto: Vu = 0.90(2.822) = 2.540 Ton. Ejemplo 5.19. Determine la fuerza cortante de diseño por el Método ASD y LRFD para la sección 2 sombrero usada en el Ejemplo 5.3. Usar Fy = 3514 kg/cm . 1. Determine el Cortante Nominal Vn Del Ejemplo 5.3 se obtiene:

h = 23.914 cm h/t = 89.666

t = 0.267 cm

190 kv = 5.34 para almas no reforzadas con atiesadores. Se procede a continuación a establecer la ecuación de cortante nominal aplicable. 1/2 6 1/2 0.96(Ekv/Fy) = 0.96[(2.073x10 )(5.34)/3514] = 53.882 1/2 6 1/2 1.415(Ekv/Fy) = 1.415[(2.073x10 )(5.34)/3514] = 79.419 Como h/t ≥ 79.419 aplica la Ec. (5.133) para calcular Vn: 6 3 Ec. (5.133): Vn = 0.905(2.073x10 )(5.34)(0.267) /23.914 = 7973.898 kg = 7.974 Ton 2. Determine el Cortante de Diseño Método ASD: Va = Vn/Ωv, donde para este caso, Ωv = 1.67. Por lo tanto: Va = 7.974/1.67 = 4.775 Ton. Método LRFD: Vu = φvVn, donde para este caso, φv = 0.90. Por lo tanto: Vu = 0.90(7.974) = 7.177 Ton. 5.3.3.3 Resistencia Nominal a Cortante de Almas con Agujeros de Secciones C En investigaciones realizadas en 1995 y 1994 por Schuster y Shan, respectivamente, se demostró la degradación de la resistencia a cortante del alma debida a la presencia de agujeros en el alma. Las pruebas de carga realizadas en dichas investigaciones consideraron una distribución uniforme del cortante a través del agujero y consideraron relaciones do/h entre 0.20 y 0.78 y relaciones h/t entre 91 y 168. Schuster desarrolló un factor de reducción, qs, que se aplica a las ecuaciones de resistencia por cortante del alma sin agujeros consideradas en la Sección C3.2.1 para tomar en cuenta la degradación de la resistencia. La ecuación de Schuster para evaluar qs considera los casos de agujeros realizados por punzonamiento o por corte. Las pruebas de carga consideraron tres geometrías de agujero: rectangulares con esquinas fileteadas, circulares y en forma de diamante. Investigaciones adicionales realizadas en 1997 por Eiler ampliaron el alcanze de las investigaciones de Schuster y Shan al considerar cortante constante a través del eje longitudinal del agujero y el caso de cortante con variación lineal, aunque éste caso no fue tomado en cuenta por el Suplemento 1999. La ecuación de Eiler para evaluar qs consideró además la información de las pruebas de carga realizadas por Schuster y Shan. Las investigaciones antes mencionadas se concentraron en el comportamiento bajo carga de 1/2 almas esbeltas con agujeros. Para el caso de almas menos esbeltas donde h/t ≤ 0.96(Ekv/Fy) (ver Sección C3.2.1) la resistencia calculada puede ser conservadora. El Suplemento 1999 no contempla incrementos de la resistencia para almas agujeradas poco esbeltas, por lo que la resistencia calculada podrá considerarse válida. Las especificaciones para determinar la resistencia nominal a cortante de almas con agujeros de secciones C se proveen en la Sección C3.2.2 del Suplemento 1999. Dichas especificaciones son aplicables a cualquier patrón de agujeros donde el concepto del agujero virtual pueda ser usado (ver Art. 4.3.1.2). A continuación se presenta la Sección C3.2.2. Sección C3.2.2 Resistencia a Cortante de Almas con Agujeros de Secciones C

Las especificaciones aquí consideradas son aplicables si se cumplen las siguientes limitantes: (1) do/h < 0.70 (2) h/t ≤ 200 (3) Los agujeros están centrados a la mitad del peralte del alma. (4) La distancia libre entre agujeros es mayor o igual a 18 plg (457 mm). (5) Para agujeros no circulares el radio de curvatura de las esquinas deberá ser mayor o igual a 2t. (6) Para agujeros no circulares, do ≤ 2.5 plg (64 mm) y b ≤ 4.5 plg (114 mm). (7) Para agujeros circulares el diámetro no deberá exceder a 6 plg (152 mm). (8) do > 9/16 plg (14 mm).

191 La resistencia nominal a cortante Vn, determinada según la Sección C3.2.1, deberá ser multiplicada por el factor de reducción qs según el siguiente criterio: Cuando c/t ≥ 54

q s = 1.0

Cuando 5 ≤ c/t < 54

q s = c /(54t )

Donde: c = h/2 – do/2.83 para agujeros circulares c = h/2 – do/2 para agujeros no circulares do = peralte del agujero b = longitud del agujero h = peralte de la porción plana del alma medida en el plano del alma. 5.3.4 Flexión de Almas Las almas de vigas no solo pueden pandearse por esfuerzos cortante, sino también por esfuerzos de compresión debidos a flexión. Las regiones mas vulnerables son aquellas donde ocurre el momento máximo. El esfuerzo de pandeo de almas debido a flexión y la resistencia de postpandeo de almas se discutió ya en el Art. 4.3.1.2. El mismo artículo también discute las ecuaciones de diseño del AISI para calcular el peralte efectivo de almas. Para vigas con relaciones peralte espesor relativamente grandes, el pandeo de elementos del alma puede ser crítico. La eficiencia estructural de dichos elementos puede ser mejorada incluyendo atiesadores longitudinales en la porción de compresión del alma, como se muestra en la Fig. 5.63.

Fig. 5.63 Secciones típicas para secciones de vigas con atiesadores longitudinales

(1)

5.3.5 Combinación de Cortante y Flexión en Almas Cuando coinciden esfuerzos elevados de cortante y flexión, como en el apoyo de vigas en voladizo o en apoyos interiores de vigas continuas, las almas pueden pandearse a esfuerzos menores que cuando el alma está sujeta a flexión o cortante puro. Dichas almas deben ser protegidas contra el pandeo debido a la combinación de cortante y flexión. La combinación crítica de esfuerzos de flexión y cortante en placas rectangulares aisladas fue inicialmente estudiada por Timoshenko. La Fig. 5.64 muestra la interacción entre fb/fcr y τ/τcr, donde fb es el esfuerzo actuante a flexión, fcr es el esfuerzo crítico de pandeo para flexión pura, τ es el esfuerzo actuante a cortante y τcr el esfuerzo crítico de pandeo para cortante puro. Se puede

192 observar en la Fig. 5.64 que para rangos de a/h de 0.50 a 1.0, la relación entre fb/fcr y τ/τcr puede aproximarse por la siguiente ecuación: 2

2

 fb   τ   +   = 1   f cr   τ cr 

Fig. 5.64 Relación de interacción entre fb/fcr y τcr/τ

(5.134)

(1)

Se ha demostrado en pruebas experimentales que la Ec. (5.134), desarrollada para placas rectangulares aisladas, resulta conservadora para almas de vigas con atiesadores transversales, ya que se pueden desarrollar campos de tensión diagonal en el alma entre atiesadores. En base a los resultados de pruebas experimentales mostrados en la Fig. 5.65, la siguiente ecuación de interacción fue desarrollada para el almas de vigas con atiesadores transversales que satisfacen los requisitos del Art. 5.3.2:

0.60 f b τ + = 1.3 f bmax τ max

(5.135)

donde fbmax = esfuerzo máximo de flexión calculado τmax = esfuerzo máximo de cortante calculado para el alma reforzada.

Fig. 5.65 Diagrama de interacción para (1) fb/fcr y τcr/τ

193

En lugar de usar relaciones de esfuerzos en las Ecs. (5.134) y (5.135), la especificación de AISI, desde la Edición 1986, usa relaciones de resistencias (o sea, relaciones de momentos y cortantes en lugar de relaciones de esfuerzos de flexión y cortante) para las ecuaciones de interacción. La Sección C3.3 del AISI 1996 incluye los criterios de diseño para determinar la resistencia de almas sujetas a combinación de esfuerzos de cortante y flexión: C3.3 Resistencia para Flexión y Cortante Combinados

Las ecuaciones de interacción de diseño del AISI tienen presentaciones diferentes, dependiendo del método de diseño considerado. A continuación se presentan las especificaciones para los Métodos ASD y LRFD. C3.3.1 Método ASD Para vigas con almas sin atiesadores, la resistencia a flexión requerida, M, y la resistencia a cortante requerida, V, deberán cumplir con la siguiente ecuación de interacción:

 Ωb M   M nxo

2

  Ω vV  +    Vn

2

  ≤ 1.0 

(5.136)

Para vigas con alma con atiesadores transversales, la resistencia a flexión requerida, M, y la resistencia a cortante requerida, V, no deberán exceder a Mn/Ωb y Vn/Ωv, respectivamente. Cuando ΩbM/Mnxo > 0.5 y ΩvV/Vn > 0.70, M y V deberán cumplir con la siguiente ecuación de interacción:

Ω M 0.6 b  M nxo

  Ω vV  +    Vn

  ≤ 1.3 

(5.137)

donde: Ωb = Factor de seguridad por flexión (ver Art. 5.2.1). Ωv = Factor de seguridad por cortante (ver Art. 5.3.4). Mn = Resistencia nominal a flexión para flexion pura. Mnxo = Resistencia nominal a flexión con respecto al eje centroidal x, determinada de acuerdo a la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.1). Vn = Resistencia nominal a cortante. C3.3.2 Método LRFD Para vigas con almas sin atiesadores, la resistencia nominal a flexión, Mu, y la resistencia nominal a cortante, Vu deberán cumplir con la siguiente ecuación de interacción:

 Mu   φ b M nxo

2

  Vu  +    φ vV n

2

  ≤ 1.0 

(5.138)

Para vigas con almas con atiesadores transversales, la resistencia a flexión requerida, Mu, y la resistencia requerida a cortante, Vu, no deberán exceder a φbMn y φvVn, respectivamente. Cuando Mu/(φbMnxo) > 0.5 y Vu/(φvVn) > 0.7, Mu y Vu deberán satisfacer a la siguiente ecuación de interacción:

 Mu 0.6  φ b M nxo

  Vu  +    φ vV n

  ≤ 1.3 

(5.139)

194 donde: φb = Factor de resistencia por flexión (ver Art. 5.2.1). φv = Factor de resistencia por cortante (ver Art. 5.3.4). 5.3.6 Aplastamiento del Alma Debido a que el uso de atiesadores de carga es frecuentemente impráctico en el diseño de perfiles laminados en frio de pared delgada, las almas de vigas pueden sufrir aplastamiento debido a la alta intensidad local de una carga concentrada o reacción. Cabe mencionar que el caso de aplastamiento del alma debido a reacciones en los apoyos puede ser evitado si se usan placas o angulares de conexión. Dichas conexiones fijan a la viga o polín a la viga principal, pero puede ser considerado como refuerzo del alma. Así mismo, los empalmes (traslapes) de vigas continuas de sección Z sobre los apoyos incrementan la resistencia al aplastamiento del alma, ya que en dichas regiones trabajarán las dos almas para resistir la reacción. Este incremento en resistencia es reconocido en el AISI 1996 como se verá mas adelante. La Fig. 6.66 muestra los tipos de falla causada por aplastamiento de almas sencillas no restringidas y de almas dobles restringidas.

Fig. 5.66 Aplastamiento del alma en vigas

(4)

5.3.6.1 Resistencia Nominal al Aplastamiento de Almas Sin Agujeros El problema del pandeo de placas rectangulares aisladas bajo la acción local de cargas distribuidas aplicadas en los bordes ha sido estudiado por múltiples investigadores. La carga crítica de pandeo para dichas placas puede ser calculada por la siguiente expresión:

Pcr =

kπ 2 Et 3 12(1 − µ 2 )h

(5.140)

donde k es el coeficiente de pandeo que depende de las relaciones N/h y a/h dadas en las Figs. 5.67 y 5.68. El análisis teórico del aplastamiento del alma de perfiles laminados en frío es complejo debido a que involucra los siguientes factores: 1. Distribución no uniforme de esfuerzos bajo la carga aplicada y en las porciones adyacentes del alma. 2. Estabilidad elástica e inelástica del alma. 3. Fluencia local en la región inmediata a la aplicación de carga. 4. Flexión producida por carga (o reacción) excéntrica, cuando es aplicada en el patín de carga, a una distancia mas alla de la transición curva del patín al alma. 5. Deformaciones iniciales fuera del plano de los elementos placa individuales de la viga. 6. Restricciones de borde provistas por los patines de la viga y la interacción entre los patines y el alma. 7. Almas inclinadas para decks y panels.

195

(1)

Fig. 6.67 Coeficiente de pandeo k para una placa simplemente apoyada sujeta a una carga distribuida local .

Fig. 6.68 Coeficiente de pandeo k para una placa simplemente apoyada sujeta a dos carga distribuidas locales (1) opuestas .

Por estas razones, las especificaciones actuales del AISI estan basadas en investigaciones experimentales extensivas conducidas en la Universidad de Cornell y Missouri Rolla. En estas investigaciones, las pruebas de aplastamiento del alma fueron conducidas bajo las siguientes cuatro condiciones de carga para vigas con almas sencillas no reforzadas y para vigas I: 1. 2. 3. 4.

Carga de extremo en un patín (EUP). Carga interior en un patín (IUP). Carga de extremo en dos patines (EDP). Carga interior en dos patines (IDP).

Todas las condiciones de carga se ilustran en la Fig. 6.69. En las Figs. 6.69(a) y 6.69(b) las distancias entre las placas de apoyo se restringen a no menos de 1.5 veces el peralte del alma para evitar la acción de carga de dos patines. En la Sección C3.4 del AISI 1996 se proveen las ecuaciones de diseño para determinar la resistencia de aplastamiento del alma de miembros a flexión con almas simples (secciones C, Z, sombrero, miembros tubulares, decks de cubierta y piso, etc.) y vigas I (formadas por dos secciones C conectadas espalda con espalda, soldando dos angulares a una sección C o conectando tres angulares). El Suplemento 1999 considera dos subsecciones: la Sección C3.4.1 provee las ecuaciones de diseño originalmente consideradas en la Sección C3.4 del AISI 1996, con las modificaciones que se mencionan mas adelante y la Sección C3.4.2 provee las

196

especificaciones para determinar la resistencia al aplastamiento de almas agujeradas de secciones C (ver Art. 5.3.6.2).

(1)

Fig. 5.69 Condiciones de carga para pruebas de aplastamiento del alma . (a) Condición EUP; (b) Condición IUP; (c) Condición EDP; (d) Condición IDP.

A continuación se presenta la Sección C3.4.1 del AISI 1996, considerando las modificaciones realizadas en el Suplemento 1999: C3.4.1 Resistencia para Aplastamiento de Almas No Agujeradas

Estas especificaciones aplican a almas o miembros a flexion sujetos a cargas concentradas o reacciones, o a los componentes correspondientes, actuando perpendicular con respecto al eje longitudinal del miembro, en el plano del alma bajo consideracion y causando esfuerzos de compresion en el alma. Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño para aplastamiento del alma:

Pn ≥ ∑ Pi Ωw

1. Método ASD:

Pa =

2. Método LRFD:

φ w Pn ≥ ∑ γ i Pi

Donde

Pa = resistencia permisible para aplastamiento del alma Ωw = factor de seguridad para aplastamiento del alma ΣPi = combinación aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) φw = factor de resistencia para aplastamiento del alma γi = factor de carga correspondiente a la carga Pi ΣγiPi = combinación aplicable de cargas factorizados (ver Art. 3.3.2) Pn = resistencia nominal al aplastamiento del alma determinada según la Tabla 5.4.

197

Para almas sencillas no reforzadas:

Ωw = 1.85 (ASD) φw = 0.75 (LRFD)

Para secciones I:

Ωw = 2.0 (ASD) φw = 0.80 (LRFD)

Para dos secciones Z empalmadas, cuando se evalua la resistencia al aplastamiento del alma para carga interior en un patín (IUP): Ωw = 1.80 (ASD) φw = 0.85 (LRFD) Las almas o miembros a flexión donde h/t es mayor que 200 deberán ser provistas con medios adecuados para transmitir cargas concentradas y/o reacciones directamente al alma. Las ecuaciones en la Tabla 5.4 aplican cuando N/t ≤ 210, N/h ≤ 3.5, R/t ≤ 6 para vigas y R/t ≤ 7 para decks. Para secciones Z con su patín atornillado al miembro de soporte extremo de la sección, la Ec. (5.141) puede ser multiplicada por 1.3. Esto es válido para secciones que cumplen con las siguientes limitaciones: 1. 2. 3. 4.

h/t ≤ 150 R/t ≤ 4 Espesor base de la sección ≥ 0.060 plg. (1.52 mm). Espesor del miembro de soporte ≥ 3/16 plg. (4.76 mm).

Tabla 5.4 Identificación de Ecuaciones para Determinar la Resistencia Nominal para Aplastamiento del (4) Alma, Pn, bajo Cargas Concentradas o Reacciones . Secciones I o Perfiles con un Alma Secciones (1) Similares Patines Atiesados, Patines Atiesados o Patines No Parcialmente Parcialmente Atiesados Atiesados y No Atiesados Atiesados (3) Cargas Opuestas Reacción Extrema Ec. (5.141) Ec. (5.142) Ec. (5.143) (2) (4) Separadas > 1.5h Reacción Interior Ec. (5.144) Ec. (5.144) Ec. (5.145) (3) Cargas Opuestas Reacción Extrema Ec. (5.146) Ec. (5.146) Ec. (5.147) (5) (4) Separadas ≤ 1.5h Reacción Interior Ec. (5.148) Ec. (5.148) Ec. (5.149)

Notas y Referencias de Ecuaciones de la Tabla 5.4: (1) Secciones I formadas de dos secciones C conectados espalda con espalda o secciones similares que proveen una restricción rotacional considerable al alma (como las secciones I formadas soldando dos secciones angulares a una sección C). (2) En las ubicaciones de una carga concentrada o reacción actuando ya sea en el patín superior o inferior, cuando la distancia libre entre las orillas del área de contacto de esta carga o reacción y las cargas concentradas o reacciones opuestas adyacentes es mayor que 1.5 h. (3) Para reacciones de extremo de vigas o cargas concentradas en el extremo de voladizos cuando la distancia de la orilla del área de contacto de la carga al extremo de la viga es menor que 1.5h. (4) Para reacciones y cargas concentradas cuando la distancia de la orilla del área de contacto de la carga al extremo de la viga es igual o mayor que 1.5h. (5) En las ubicaciones de dos cargas concentradas opuestas o de una carga concentrada y una reacción opuesta actuando simultáneamente en el patín superior e inferior, cuando la distancia libre entre sus áreas de contacto de carga adyacentes es igual o menor que 1.5h.

198

Pn = t 2 kC1C 4 C 9 Cθ [331 − 0.61(h / t )][1 + 0.01( N / t )]

Pn = t 2 kC1C 4 C 9 Cθ [217 − 0.28(h / t )][1 + 0.01( N / t )]

(5.141) (5.142)

para N/t > 60, el factor [1 + 0.01(N/t)] puede ser incrementado a [0.71 + 0.015(N/t)].

Pn = t 2 Fy C 6 (10.0 + 1.25 N / t )

Pn = t 2 kC1C 2 C 9 Cθ [538 − 0.74(h / t )][1 + 0.007( N / t )]

(5.143) (5.144)

para N/t > 60, el factor [1 + 0.007(N/t)] puede ser incrementado a [0.75 + 0.011(N/t)].

Pn = t 2 Fy C 5 (0.88 + 0.12m)(15.0 + 3.25 N / t )

(5.146)

Pn = t Fy C8 (0.64 + 0.31m)(10.0 + 1.25 N / t )

(5.147)

2

Pn = t kC1C 2 C 9 Cθ [771 − 2.26(h / t )][1 + 0.0013( N / t )]

(5.148)

Pn = t 2 Fy C 7 (0.82 + 0.15m)(15.0 + 3.25 N / t )

(5.149)

2

donde:

(5.145)

Pn = t kC1C 4 C 9 Cθ [244 − 0.57(h / t )][1 + 0.01( N / t )] 2

Pn = Resistencia nominal para la carga concentrada o reacción, kips o Ton. C1 = 1.22 – 0.22k C2 = 1.06 – 0.06(R/t) ≤ 1.0 C4 = 1.15 – 0.15(R/t) ≤ 1.0 pero no menor que 0.50 C5 = 1.49 – 0.53k ≥ 0.6 C6 = 1 + (h/t)/750 cuando h/t ≤ 150 = 1.20 cuando h/t > 150 C7 = 1/k cuando h/t ≤ 66.5 = [1.10 – (h/t)/665]/k cuando h/t > 66.5 C8 = [0.98 – (h/t)/865]/k C9 = 1.0 para unidades de kip y plg. = 0.000704 para unidades métricas de Ton y mm. 2 Cθ = 0.70 + 0.30(θ/90) Fy = esfuerzo de fluencia de diseño del alma según las Secciones A3.1 y A3.3.2, ksi o 2 kg/cm h = peralte de la porcion central del alma medido en el plano del alma, mm o plg. k = 894Fy/E t = espesor del alma, mm o plg. m = t/0.075, cuando t esta en plg. = t/1.91, cuando t esta en mm. N = longitud de contacto de la carga o reacción en mm o plg. Para el caso de dos cargas concentradas y opuestas distribuidas sobre longitudes de contacto desiguales, el valor menor de ambos deberá usarse en el diseño. R = radio interior de doblez θ = ángulo del plano del alma y el plano de la longitud de contacto, ≥ 45°, pero no mayor que 90°.

Las ecuaciones de diseño de la Sección C3.4.1 consideran diferentes condiciones de carga. Como se muestra en la Fig. 6.70, las Ecs. (5.141) a (5.143) son usadas para la condición de carga EUP; las Ecs. (5.144) y (5.145) para la condición de carga IUP; las Ecs. (5.146) y (5.147) para la condición de carga EDP; y las Ecs. (5.148) y (5.149) para la condición de carga IDP.

199

Fig. 5.70 Aplicación de las fórmulas de diseño de la Sección C3.4.1

(4)

200

Las distribuciones asumidas de cargas concentradas y reacciones se ilustran en la Fig. 6.71. Dichas distribuciones son independientes de la respuesta a flexión de la viga. Debido a la flexión, el punto de contacto de las cargas o reacciones varía con respecto al plano de contacto, resultando en una distribución no uniforme de la carga en el alma. El valor de Pn varía debido a la transición de la condición de carga IUP (Fig. 6.71b) a EUP (Fig. 6.71a). Estas condiciones representan la base experimental en la cual estan basadas las especificaciones de diseño. En el pasado, numerosos tipos de secciones de acero de alta resistencia han sido desarrolladas para diversas aplicaciones constructivas. Las vigas con éstos aceros estuvieron fuera de los alcances originales de la investigación de Cornell. Por esta razón, se realizaron pruebas adicionales de aplastamiento del alma en los Estados Unidos y otras naciones para refinar el criterio de diseño. Recientemente en el AISI 1996 se incluyeron aceros A653 y A715 de alta resistencia y baja aleacion (HSLA), Grados 70 y 80. Estos dos aceros tienen esfuerzos de fluencia 2 2 mínimos de 4920 kg/cm y 5622 kg/cm , respectivamente. Debido a que las especificaciones del AISI para determinar la resistencia de aplastamiento del alma fueron desarrolladas en base a 2 información experimental para aceros con Fy ≤ 3865 kg/cm , las Ecs. (5.141), (5.142) y (5.146) son 2 2 aplicables solo si Fy ≤ 4673 kg/cm . Por ésta razón, cuando Fy ≥ 4673 kg/cm , el valor de kC3 se toma como 1.34 en la Sección C3.4 del AISI 1996. Sin embargo, investigaciones recientes realizadas en 1997 en la Universidad de Missouri Rolla demostraron que la resistencia al 2 aplastamiento del alma se incrementa para vigas con Fy ≥ 4673 kg/cm . Por consiguiente, en el Suplemento 1999, la constante C3 es substituida por C1 en las Ecs. (5.141), (5.142) y (5.146). Para el Método ASD, las cargas concentradas y reacciones permisibles pueden ser determinadas usando un factor de seguridad de 1.85 para vigas con un alma no reforzada. El uso de un factor de seguridad pequeño contra la capacidad máxima obtenida de las pruebas de carga se debe a que los especimenes de pruebas representaban el valor menor de restricción rotacional del alma encontrado en la practica. Para secciones I y similares, la resistencia permisible se obtiene de la resistencia nominal y un factor de seguridad de 2.0. Esto se debe a que los resultados de pruebas de carga mostraron una dispersión considerable y a que los especímenes de prueba usados representaban la cantidad óptima de restricción rotacional del alma encontrada en la práctica. Para el Método LRFD, el uso de factores de resistencia de 0.75 para almas simples no reforzadas y 0.80 para secciones I provee valores del índice de confiabilidad β en el rango de 2.4 a 3.8. Por otro lado, investigaciones desarrolladas en 1992 y 1995 han indicado que las secciones Z atornilladas al miembro de soporte con dos tornillos de 1/2 plg. de diámetro experimentarán un incremento en su capacidad al aplastamiento del alma para el extremo del patín. El incremento en la capacidad de carga se observó en el orden de 27 a 55% para las secciones que cumplen con las limitaciones especificadas en el AISI 1996. Un valor de incremento del 30% se permite para esta condición en la Sección C3.4.1. Para dos secciones Z empalmadas, el AISI 1996 permite el uso de un factor de seguridad y de resistencia ligeramente diferente para condición de carga interior en un patín (IUP), ya que el comportamiento al aplastamiento del alma de miembros con almas empalmadas es mejorado debido a la interacción de las almas. Las investigaciones indican que la Ec. (5.144) de la Sección C3.4.1 adecuadamente predice la resistencia de aplastamiento del alma. Una evaluación estadística de la correlación de los valores de resistencia de aplastamiento del alma calculados y los obtenidos en pruebas de carga indican que un factor de seguridad de 1.80 es adecuado. Este factor de seguridad ligeramente menor es atribuido a la restricción rotacional mejorada exhibida por las secciones Z empalmadas y al rango reducido de parámetros de la sección que estan representados en las secciones estándar producidas por la industria.

201

Fig. 5.71 Distribución asumida de reacciones o cargas

(4)

202 5.3.6.2 Resistencia Nominal al Aplastamiento de Almas Agujeradas de Secciones C Investigaciones realizadas en 1994 por Langan y en 1996 por Uphoff y Deshmukh demostraron la degradación de la resistencia al aplastamiento cuando existe un agujero en el alma. Dichas investigaciones consideraron las condiciones de carga EUP e IUP para relaciones h/t y do/h menores que 200 y 0.81, respectivamente. Las investigaciones revelaron que la reducción en la resistencia al aplastamiento depende principalmente del tamaño del agujero, tomado en cuenta por la relación do/h y la ubicación del agujero, tomada en cuenta por una relación x/h, donde x es la distancia mas cercana del agujero en el alma y la orilla del plano de contacto de la carga que origina al aplastamiento. Las especificaciones para determinar la resistencia nominal a cortante de almas con agujeros de secciones C se proveen en la Sección C3.4.2 del Suplemento 1999. Dichas especificaciones son aplicables a cualquier patrón de agujeros donde el concepto del agujero virtual pueda ser usado (ver Art. 4.3.1.2). A continuación se presenta la Sección C3.4.2. Sección C3.4.2 Resistencia al Aplastamiento de Almas con Agujeros de Secciones C

Cuando exista un agujero en el alma dentro de la longitud de contacto de la carga que provoca el aplastamiento, se deberán usar atiesadores de carga para resistir la reacción o carga. Para vigas con almas agujeradas, la resistencia al aplastamiento del alma deberá ser calculada según la Sección C3.4.1, multiplicando el resultado por el factor de reducción Rc dado en esta sección. Las especificaciones aquí consideradas son aplicables si se cumplen las siguientes limitantes: 1. do/h < 0.70 2. h/t ≤ 200 3. Los agujeros están centrados a la mitad del peralte del alma. 4. La distancia libre entre agujeros es mayor o igual a 18 plg (457 mm). 5. Para agujeros no circulares el radio de curvatura de las esquinas deberá ser mayor o igual a 2t. 6. Para agujeros no circulares, do ≤ 2.5 plg (64 mm) y b ≤ 4.5 plg (114 mm). 7. Para agujeros circulares el diámetro no deberá exceder a 6 plg (152 mm). 8. do > 9/16 plg (14 mm). Si las Ecs. (5.141) y (5.142) son aplicables y no existen agujeros en el alma dentro de la longitud de contacto de la carga que provoca el aplastamiento, el factor Rc se calcula mediante la siguiente expresión:

Rc = 1.01 − 0.325(d o / h) + 0.083( x / h) ≤ 1.0

(5.150)

Si la Ec. (5.144) es aplicable y no existen agujeros en el alma dentro de la longitud de contacto de la carga que provoca el aplastamiento, el factor Rc se calcula mediante la siguiente expresión:

Rc = 0.90 − 0.047(d o / h) + 0.053( x / h) ≤ 1.0

(5.151)

donde: N ≥ 1 plg (25.4 mm) para las Ecs. (5.141) y (5.142). N ≥ 3 plg (76 mm) para la Ec. (5.146). do = peralte del agujero b = longitud del agujero h = peralte de la porción plana del alma medida en el plano del alma. d = peralte de la sección. x = distancia mas cercana entre el agujero en el alma y la orilla de contacto de la carga que provoca el aplastamiento. N = longitud de contacto de la carga que provoca el aplastamiento.

203 5.3.7 Combinación de Aplastamiento del Alma y Flexión En el Art. 5.3.6 se discutió a detalle el problema del aplastamiento del alma. Las ecuaciones de diseño de la Sección C3.4 pueden usadas para prevenir cualquier falla local del alma como resultado del esfuerzo de aplastamiento de cargas concentradas o reacciones sin considerar la presencia de otros tipos de esfuerzo. En aplicaciones prácticas, momentos de flexión considerables pueden ocurrir en la ubicación de cargas concentradas en vigas de un claro. En vigas continuas, las reacciones en los apoyos coinciden con momentos y/o cortantes considerables. Bajo estas condiciones, la resistencia al aplastamiento del alma, como se determinó en el Art. 5.3.6, puede reducirse significativamente debido al efecto de los momentos flexionantes. La relación de interacción para la combinación de esfuerzos de empuje y de flexión ha sido estudiada por muchos investigadores. En base a los resultados de pruebas de especímenes bajo combinación de aplastamiento del alma y flexión, se han desarrollados varias ecuaciones de interacción de diseño. Dichas ecuaciones se incluyen en la Sección C3.5 del AISI 1996. Las ecuaciones de interacción son diferentes para secciones con almas simples no reforzadas, para secciones con almas múltiples no reforzadas y para los puntos de apoyo en secciones Z empalmadas. 5.3.7.1 Perfiles con Almas Simples No Reforzadas Para determinar el comportamiento de secciones con almas simples no reforzadas se realizaron pruebas de especímenes de sección canal y las siguientes conclusiones fueron establecidas: 1. Para especímenes de vigas con un alma no reforzada sujeta a combinación de flexión y aplastamiento del alma, la presencia de los momentos flexionantes reducirá significativamente la resistencia al aplastamiento del alma cuando la relacion Mpr/Mn exceda a aproximadamente a 0.35. La Ec. (5.152) proporciona una buena correlación con los resultados de pruebas, como se muestra en la Fig. 5.72. También se muestra en la Fig. 5.72 la condición de aplastamiento del alma combinado con momento flexionantes pequeños.

1.07 Ppr Pn

+

M pr Mn

= 1.42

(5.152)

donde Ppr = reacción o carga concentrada máxima en la presencia de momentos flexionantes. Pn = reacción o carga concentrada máxima calculada en la ausencia de momentos flexionantes (Pn se obtiene de la Tabla 5.4; ver Art. 5.3.6). Mpr = momento flexionante coincidente con, o inmediatamente adyacente a, la carga concentrada o reacción. Mn = momento flexionante calculado para flexión pura. 2. Cuando el cortante actuante V en la viga es menor o igual al 40% de la capacidad nominal de cortante de la viga Vn, la presencia de la fuerza de cortante no reduce significativamente la capacidad al aplastamiento del alma. Se espera que aun para vigas que exhiban esfuerzos considerables por cortante, la resistencia al aplastamiento del alma no sea reducida significativamente. Las ecuaciones de diseño del AISI 1996 para perfiles con almas sencillas no reforzadas se incluyen en la Sección C3.5. Las ecuaciones se clasifican según el método de diseño considerado. Las ecuaciones para los Métodos ASD y LRFD se incluyen en las Secciones C3.5.1(a) y C3.5.2(a), respectivamente. A continuación se presentan dichas ecuaciones:

204

Fig. 5.72 Representación gráfica para aplastamiento del alma (condición IUP) y aplastamiento y flexión (1) combinada para especímenes con almas simples no reforzadas .

Las almas planas no reforzadas sujetas a combinación de flexión y carga concentrada o reacción deberán ser diseñadas para cumplir los siguientes requisitos:

Método ASD:

Ω P Ω M 1.2 w  +  b  Pn   M nxo

Método LFRD:

 P 1.07 u  φ w Pn

  ≤ 1.5 

  Mu  +    φ b M nxo

  ≤ 1.42 

(5.153)

(5.154)

Donde: Ωw Ωb φw φb P, Pu

= Factor de seguridad para aplastamiento del alma (ver Art. 5.3.6). = Factor de seguridad para flexión (ver Art. 5.2.1). = Factor de resistencia para aplastamiento del alma (ver Art. 5.3.6). = Factor de resistencia para flexión (ver Art. 5.2.1). = Resistencia requerida para la carga concentrada o reacción en la presencia de momento flexionante. Pn = Resistencia nominal para la carga concentrada o reacción en la ausencia de momento flexionante determinada de acuerdo a la Seccion C3.4 (ver Art. 5.3.6). M, Mu = Momento flexionante requerido en, o inmediatamente adyacente al punto de aplicación de la carga concentrada o reacción. Mnxo = Resistencia nominal a flexión con respecto al eje centroidal x determinado acuerdo a la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.1).

205

La Ec. (5.153) fue derivada a partir de la Ec. (5.152) aplicando los factores de seguridad requeridos para transformar la ecuación de resistencia última a una ecuación de resistencia permisible. La Ec. (5.154) es prácticamente idéntica a la Ec. (5.152), solo fue adecuada al formato del Método LRFD, ya que dicho método está basado en criterios de resistencia última. La Sección C3.5 establece la siguiente excepción para las Ecs. (5.153) y (5.154): En los apoyos interiores de claros continuos, las Ecs. (5.153) y (5.154) no son aplicables a decks o vigas con dos o mas almas, siempre que las orillas de compresión de las almas adyacentes esten apoyadas lateralmente en la región de momento negativo por patines conectados en forma continua o intermitente, o por apoyos laterales independientes, y que el espaciamiento entre almas adyacentes no exceda 10 plg. (254 mm). La Fig. 5.73 ilustra los casos en los que aplica la excepción. Dicha excepción fue incluida en las especificaciones ya que los resultados de pruebas de vigas continuas y decks continuos y varias pruebas independientes de fabricantes han indicado que para estos tipos de miembros, el comportamiento al postpandeo de las almas en apoyos interiores difiere del tipo del modo de falla exhibido bajo cargas concentradas en vigas o decks de un claro. La resistencia al postpandeo permite al miembro redistribuir los momentos en vigas y decks continuous. Por esta razón, las Ecs. (5.153) y (5.154) pueden dar resultados conservadores para la determinación de la capacidad de carga de claros continous si se consideran criterios convencionales de diseño elástico. Si se permiten distorsiones locales del alma, la capacidad inelástica de reserva debida a la plastificación parcial de la sección y redistribución de momentos puede ser usada como se discute en el Art. 5.3.8.

(1)

Fig. 5.73 Perfiles considerados en la cláusula de excepción del AISI . (a) Decks; (b) Vigas

5.3.7.2 Perfiles con Almas Múltiples No Reforzadas Para determinar el comportamiento de secciones con almas múltiples no reforzadas, como las secciones I formadas de dos secciones C conectadas espalda con espalda, o secciones similares, se desarrollaron pruebas de vigas para evaluar la interacción entre la flexión y el aplastamiento del alma en vigas con restricción rotacional considerable del alma. Se observó que cuando las vigas I 1/2 cumplen con h/t ≤ 2.33/(Fy/E) y ρ = 1, el momento flexionante tiene poco o nulo efecto en la capacidad al aplastamiento del alma, como se muestra en la Fig. 5.74. Para vigas I que no cumplen con las condiciones antes expuestas, la Ec. (5.155) puede proveer una buena correlación con la información experimental mostrada en la Fig. 5.75:

0.82 Ppr Pn

+

M pr Mn

= 1.32

(5.155)

206

Fig. 5.74 Interacción entre el aplastamiento del alma y la flexión para una sección I con almas no reforzadas 1/2 (1) (cuando h/t ≤ 2.33/(Fy/E) y ρ = 1.0) .

Fig. 5.75 Interacción entre aplastamiento del alma y flexión para vigas I con almas no reforzadas (cuando h/t ≤ 1/2 1/2 2.33/(Fy/E) combinado con ρ < 1.0, y 2.33/(Fy/E) < h/t ≤ 200 combinado con cualquier valor de w/t, para (1) carga IUP) .

207

Con respecto a la combinación de fuerza cortante y aplastamiento del alma, se puede demostrar que para V/Vn ≤ 0.80, la presencia de la fuerza cortante no afecta significativamente la resistencia al aplastamiento del alma. Las ecuaciones de diseño del AISI 1996 para perfiles con almas múltiples no reforzadas se incluyen en la Sección C3.5. Las ecuaciones se clasifican según el método de diseño considerado. Las ecuaciones para los Métodos ASD y LRFD se incluyen en las Secciones C3.5.1(b) y C3.5.2(b), respectivamente. A continuación se presentan dichas ecuaciones: Para perfiles con múltiples almas no reforzadas, tal como las secciones I formadas por dos canales C conectadas espalda con espalda, o secciones similares que provean una restricción rotacional considerable del alma (tal como las secciones I formadas soldando dos secciones angulares a una sección C): Método ASD:

Ω P Ω M 1.1 w  +  b  Pn   M nxo

Método LRFD:

 P 0.82 u  φ w Pn

  ≤ 1.5 

  Mu  +    φ b M nxo

  ≤ 1.32 

(5.156)

(5.157)

Donde todos los términos fueron ya definidos previamente. La Sección C3.5 establece la siguiente excepción para las Ecs. (5.156) y (5.157): En lugar de 1/2 las Ecs. (5.156) y (5.157), cuando h/t ≤ 2.33/(Fy/E) y λ ≤ 0.673, deberá permitirse determinar la carga concentrada o reacción de diseño según la Sección C3.4 (ver Art. 5.3.6), usando Pn/Ωw o φwPn, dependiendo del método de diseño empleado. 5.3.7.3 Perfiles Z con Almas Empalmadas En el AISI 1996 se incluyeron por primera vez especificaciones de diseño para secciones Z empalmadas. Varias investigaciones han demostrado que el comportamiento del alma bajo combinación de flexión y aplastamiento del alma es mejorado por la interacción entre las almas empalmadas. Las ecuaciones de diseño del AISI fueron desarrolladas en base esta información. Dichas ecuaciones se incluyen también en la Sección C3.5 y se clasifican según el método de diseño considerado. Las ecuaciones para los Métodos ASD y LRFD se incluyen en las Secciones C3.5.1(c) y C3.5.2(c), respectivamente. A continuación se presentan dichas ecuaciones: Para los puntos de apoyo de dos secciones Z empalmadas: Método ASD:

M P 1.67 + ≤ M no Pn Ω

(5.158)

Método LRFD:

M u Pu + ≤ 1.68φ M no Pn

(5.159)

Donde: M, Mu = Resistencia requerida a flexión de la sección bajo consideración. Mno = Resistencia nominal a flexión de las secciones Z empalmadas, o sea, la suma de las dos secciones calculadas individualmente, determinadas de acuerdo a la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.1). P, Pu = Resistencia requerida de la carga concentrada o reacción en la presencia de momento flexionante.

208 Pn Ω φ

= Resistencia nominal de aplastamiento del alma asumiendo condición de carga IUP en un alma para secciones Z empalmadas, o sea, la suma de las dos almas calculadas individualmente. = Factor de seguridad para combinación de flexión y aplastamiento del alma = 1.67 = 0.90

Las Ecs. (5.158) y (5.159) son válidas para perfiles que cumplen con las siguientes condiciones: 2

1. h/t ≤ 150; N/t ≤ 140; Fy ≤ 4920 kg/cm ; R/t ≤ 5.5. 2. Los extremos de cada sección estan conectados a través del alma a otras secciones con un mínimo de 2 tornillos A307 de 1/2 plg. (12.7 mm) de diámetro. 3. La sección empalmada deberá estar conectada al apoyo a través de los patines con un mínimo de 2 tornillos A307 de 1/2 plg. (12.7 mm) de diámetro. 4. Las almas de las dos secciones estan en contacto. 5. La relación del espesor mayor al menor de las partes no excede a 1.3. Para el Método ASD, los factores de seguridad usados en las ecuaciones de diseño para almas simples no reforzadas y para secciones I son los mismos establecidos en el Art. 5.3.6 para aplastamiento de almas (Ωw = 1.85 para secciones con almas simples no reforzadas y Ωw = 2.0 para secciones I). Para los factores de seguridad por flexión Ωb, se usan los mismos valores establecidos en el Art. 5.2.1 (Ωb = 1.67). Para el caso de secciones Z empalmadas, los resultados de diversas investigaciones permiten establecer un factor de seguridad único para combinación de aplastamiento del alma y flexion de Ω = 1.67. Similarmente, para el Método LRFD, los factores de resistencia usados en las ecuaciones de diseño para almas simples no reforzadas y para secciones I son los mismos establecidos en el Art. 5.3.6 para aplastamiento de almas (φw = 0.75 para almas sencillas no reforzadas y φw = 0.80 para secciones I). Para los factores de resistencia por flexión, φb, se usan los mismos factores establecidos en el Art. 5.2.1 (φb = 0.95 para secciones con patines de compresión atiesados o parcialmente atiesados y φb = 0.90 para secciones con patines de compresion no atiesados). Para el caso de secciones Z empalmadas, los resultados de diversas investigaciones permiten establecer un factor de resistencia único para combinación de aplastamiento del alma y flexión de φ = 0.90. Ejemplo 5.20. Para la sección canal mostrada en la Fig. 5.76 a ser usada como una viga en simple 2 apoyo y Fy = 3514 kg/cm se requiere: a. Determinar la reacción de diseño P por el Método ASD y LRFD para prevenir aplastamiento del alma considerando condición de carga de extremo en un patin (EUP) con N = 9.00 cm. b. Determinar la carga concentrada interior permisible P (Método ASD) considerando condición de carga EUP con N = 12.5 cm y asumiendo que el momento flexionante aplicado coincidente con el punto de aplicación de la carga concentrada es menor que el 30% del valor del momento permisible para flexión pura. Es decir, ΩbM/Mnxo < 0.30. c. Lo mismo que el punto 2, excepto que el momento flexionante aplicado es igual al momento permisible para flexión pura. Es decir, ΩbM/Mnxo < 1.00.

(1)

Fig. 5.76 Ejemplo 5.20 (cotas en mm)

209 1. Reacción de Diseño para la Condición de Carga EUP Como el momento en el apoyo es cero, no se requiere considerar combinación de aplastamiento del alma y flexión (Sección C3.5, ver Art. 5.3.7). Revisión de limitaciones de la Sección C3.4.1: h/t = [H –2(R + t)]/t = [254 – 2(4.763 + 2.667)]/2.667 = 239.140/2.667 = 89.666 < 200, OK N/t = 90.000/2.667 = 33.746 < 210, OK N/h = 90.000/239.140 = 0.376 < 3.5, OK R/t = 4.763/2.667 = 1.786 < 6, OK Todas las limitaciones son cumplidas, por lo que se pueden usar las ecuaciones de diseño de la Tabla 5.4. Ya que los patines son atiesados y existe la condición de carga EUP, la Tabla 1.3 establece el uso de la Ec. (5.141). 6 k = 894Fy/E = 894(3514)/2.073x10 = 1.515 C1 = 1.22 – 0.22k = 1.22 – 0.22(1.515) = 0.887 C4 = 1.15 – 0.15(R/t) = 1.15 – 0.15(1.786) = 0.882 ≤ 1.0 pero no menor que 0.50, OK C9 = 0.000704 2 2 Cθ = 0.70 + 0.30(θ/90) = 0.70 + 0.30(90/90) = 1.000 Ec. (5.141): 2 Pn = (2.667) (1.515)(0.887)(0.882)(0.000704)(1.0)[331 – 0.61(89.666)][1 + 0.01(33.746)] = 2.193 Ton. Para almas sencillas no reforzadas: Ωw = 1.85 y φw = 0.75. La carga de diseño será: Método ASD: Pa = Pn/Ωw = 2.193/1.85 = 1.185 Ton. Método LRFD: Pu = φwPn = 0.75(2.193) = 1.645 Ton. 2. Carga Interior Permisible para la Condición de Carga IUP si ΩbM/Mnxo < 0.30 Como la carga está aplicada en el claro, el momento flexionante es diferente de cero, por lo que se requiere considerar combinación del aplastamiento del alma y flexión. Como ΩbM/Mnxo < 0.30, la Ec. (5.153) de la Sección C3.5 no es aplicable. Es decir, se considera que el momento flexionante es pequeño y la interacción de la flexión con el aplastamiento del alma se considera despreciable. Por consiguiente, la carga permisible se establece usando la Sección C3.4. De la Tabla 5.4 para condición de carga IUP y patines atiesados se observa que la Ec. (5.144) aplica. C1 = 1.22 – 0.22k = 1.22 – 0.22(1.515) = 0.887 C2 = 1.06 – 0.06(R/t) = 1.06 – 0.06(1.786) = 0.953 ≤ 1.0, OK C9 = 0.000704 Cθ = 1.000 Ec. (5.144): 2 Pn = (2.667) (1.515)(0.887)(0.953)(0.000704)(1.0)[538 – 0.74(89.666)][1 + 0.007(33.746)] = 3.739 Ton. Para almas sencillas no reforzadas: Ωw = 1.85. Método ASD: Pa = Pn/Ωw = 3.739/1.85 = 2.021 Ton. 3. Carga Interior Permisible para la Condición de Carga IUP si ΩbM/Mnxo = 1.0 En este caso, como ΩbM/Mnxo = 1.0, la Ec. (5.153) de la Sección C3.5 si es aplicable: Ec. (5.153): 1.2(ΩwP/Pn) + 1.0 = 1.5 1.2(P/Pa) = 0.50 Por lo tanto, P = (0.50/1.2)2.021 = 0.842 Ton. Se puede observar entonces que la interacción con flexión reduce la carga permisible para aplastamiento del alma en un 60%.

210 Ejemplo 5.21. Determinar la reacción máxima de diseño P por el Método ASD y LRFD para prevenir aplastamiento del alma de una viga simplemente apoyada con el perfil sombrero usado en 2 el Ejemplo 5.3. Asuma que N = 9.0 cm y Fy = 3514 kg/cm . Como el momento en el apoyo es cero, no se requiere considerar combinación de aplastamiento del alma y flexión (Sección C3.5, ver Art. 5.3.7). Revisión de limitaciones de la Sección C3.4.1: h/t = [H –2(R + t)]/t = [254 – 2(4.763 + 2.667)]/2.667 = 239.140/2.667 = 89.666 < 200, OK N/t = 90.000/2.667 = 33.746 < 210, OK N/h = 90.000/239.140 = 0.376 < 3.5, OK R/t = 4.763/2.667 = 1.786 < 6, OK Todas las limitaciones son cumplidas, por lo que se pueden usar las ecuaciones de diseño de la Tabla 5.4. Ya que los patines del perfil en contacto con las placas de apoyo en ambos extremos son no atiesados y existe la condición de carga EUP, la Tabla 5.4 establece el uso de la Ec. (5.142). 6 k = 894Fy/E = 894(3514)/2.073x10 = 1.515 C1 = 1.22 – 0.22k = 1.22 – 0.22(1.515) = 0.887 C4 = 1.15 – 0.15(R/t) = 1.15 – 0.15(1.786) = 0.882 ≤ 1.0 pero no menor que 0.50, OK C9 = 0.000704 2 2 Cθ = 0.70 + 0.30(θ/90) = 0.70 + 0.30(90/90) = 1.000 Para cada alma: Ec. (5.142): 2 Pn = (2.667) (1.515)(0.887)(0.882)(0.000704)(1.0)[217 – 0.28(89.666)][1 + 0.01(33.746)] = 1.523 Ton. Por lo tanto, para dos almas, Pn = 2(1.523) = 3.046 Ton Para almas sencillas no reforzadas: Ωw = 1.85 y φw = 0.75. La carga de diseño será: Método ASD: Pa = Pn/Ωw = 3.045/1.85 = 1.646 Ton. Método LRFD: Pu = φwPn = 0.75(3.046) = 2.284 Ton. Ejemplo 5.22. Determinar la reacción máxima de diseño P por el Método ASD y LRFD para prevenir aplastamiento del alma de una viga simplemente apoyada con el perfil I usado en el 2 Ejemplo 5.1. Asuma que N = 9.0 cm y Fy = 3514 kg/cm . Como el momento en el apoyo es cero, no se requiere considerar combinación de aplastamiento del alma y flexión (Sección C3.5, ver Art. 5.3.7). Revisión de limitaciones de la Sección C3.4.1: h/t = [H –2(R + t)]/t = [203.200 – 2(4.763 + 3.429)]/3.429 = 186.816/3.429 = 54.481 < 200, OK N/t = 90.000/3.429 = 26.247 < 210, OK N/h = 90.000/186.816 = 0.482 < 3.5, OK R/t = 4.763/3.429 = 1.389 < 6, OK Todas las limitaciones son cumplidas, por lo que se pueden usar las ecuaciones de diseño de la Tabla 5.4. Ya que la viga tiene un perfil I y existe la condición de carga EUP, la Tabla 5.4 establece el uso de la Ec. (5.143). Como h/t ≤ 150, C6 = 1 + (h/t)/750 = 1 + 54.481/750 = 1.073 Para cada alma: 2 1/2 Ec. (5.143): Pn = (0.3429) (3514)(1.073)[10 + 1.25(26.247) ] = 7272.532 kg = 7.273 Ton Por lo tanto, para dos almas: Pn = 2(7.273) = 14.546 Ton Para perfiles I: Ωw = 2.00 y φw = 0.80. La carga de diseño será: Método ASD: Pa = Pn/Ωw = 14.546/2.0 = 7.273 Ton. Método LRFD: Pu = φwPn = 0.80(14.546) = 11.637 Ton.

211 5.3.8 Redistribución de Momentos en Vigas Continuas En el Art. 5.2.2.2 se discutió el incremento en la capacidad de momento flexionante debido a la plastificación de la sección. Varias investigaciones sobre vigas continuas y decks indican que la capacidad inelástica de reserva de vigas continuas debida a redistribución de momentos puede ser usada en el diseño de perfiles de acero laminado en frío, siempre y cuando las siguientes condiciones sean cumplidas: 1. 2. 3. 4.

El miembro no esta sujeto a torsión o pandeo lateral, torsional o flexotorsional. Los efectos del laminado en frío no se consideran al determinar el esfuerzo de fluencia Fy. Distorsiones locales causadas por aplastamiento del alma bajo los apoyos son permitidas. La reducción de la capacidad de momento negativo en apoyos interiores debida a rotación inelástica es considerada. 5. Almas planas no reforzadas sujetas a combinación de flexión y aplastamiento del alma son diseñadas para cumplir con los siguientes requisitos: a. Para vigas con un alma:

1.07 P M + ≤ 1.42 Pn Mn

(5.160)

0.82 P M + ≤ 1.32 Pn Mn

(5.161)

b. Para vigas I:

donde Pn se calcula de acuerdo al Art. 5.3.6 y Mn es el momento último calculado de acuerdo con el Art. 5.2.2.2. Los valores de P y M son las cargas y momentos flexionantes aplicados y no deberán exceder a Pn y Mn, respectivamente. La carga de diseño no deberá exceder de 60% del valor de la carga determinada por el analisis inelástico dado en esta sección. 5.4 REQUISITOS DE APOYOS LATERALES EN VIGAS 5.4.1 Vigas de Sección Canal 5.4.1.1 Ningun Patin Conectado a Lamina de Cubierta o Muro. Las secciones canal usadas como vigas para resistir cargas transversales aplicadas en el plano del alma tienden a rotar con respecto al centro de cortante (ver Fig. 5.77) y a deformarse lateralmente sino se proveen apoyos laterales adecuados.

Fig. 5.77 Rotación de un perfil C debida a carga Q aplicada en el plano del (4) alma .

212

Una sección canal cargada debe ser provista con apoyos laterales a intervalos para preventir la rotación ilustrada en la Fig. 5.77. Dos secciones canal unidas a través de apoyos laterales (ver Fig. 5.78) forman un sistema similar al de un perfil I formado por secciones canal unidas espalda con espalda mediante conectores (ver Art. 9.7), excepto que los apoyos laterales desempeñan el papel de los conectores. Sin embargo, las secciones unidas a través de apoyos laterales no están en contacto directo y la distancia entre apoyos laterales es usualmente mayor a la de los conectores. Por consiguiente, las secciones están en posibilidades de rotar levemente entre apoyos; esto generará esfuerzos adicionales que se sumarán a los ocasionados por flexión simple. Los apoyos laterales deberán proveerse para minimizar la rotación de la sección para que dichos esfuerzos no reduscan la capacidad de carga de la sección C (con respecto a la condición de apoyo lateral continuo).

Fig. 5.78 Dos perfiles C con apoyo (4) lateral mutuo .

El espaciamiento y resistencia de los apoyos laterales requeridos para contrarrestar la tendencia a rotar de las vigas de sección canal han sido estudiados por varios investigadores. La Fig. 5.79 muestra información experimental sobre la relación de la distancia entre apoyos laterales y la capacidad de carga de una viga de sección canal. Se puede observar en la figura que aun cuando la distancia entre apoyos laterales sea igual a 0.50 veces la longitud del claro, la capacidad de carga es practicamente la misma que para la condición de apoyo lateral continuo. Este hecho indica que el sobre esfuerzo local en las esquinas, producto de la rotación, no afecta a la resistencia de la sección canal, ya que la redistribución plástica permite que las porciones inicialmente sobre esforzadas soporten carga adicional. Además, el análisis de una gran variedad de condiciones de carga prácticas demuestran que no es necesario proveer mas de tres apoyos laterales entre los apoyos extremos para limitar el sobre esfuerzo a 15% del esfuerzo de flexión simple f’ = Mc/I. La capacidad a flexión de la sección, una vez definida la ubicación de apoyos laterales, puede obtenerse usando las ecuaciones de diseño para pandeo lateral dadas en la Sección C3.1.2 (ver Art. 5.2.3). Las ediciones del AISI anteriores a 1996 especificaban el uso de cuando menos tres apoyos laterales ubicados a cuartos del claro. Sin embargo, investigaciones recientes han demostrado que para secciones típicas, un solo apoyo lateral ubicado al centro del claro puede reducir las deformaciones y rotaciones hasta en un 80% con respecto a la condición del apoyo lateral continuo. Sin embargo, el efecto restrictivo del apoyo lateral puede cambiar el modo de falla de pandeo latero-torsional a pandeo distorsional del patín y labio en el punto de ubicación del apoyo lateral. Esto se debe a que la tendencia natural de disipar los esfuerzos a compresión en el labio, mediante la rotación y desplazamiento lateral de la sección, se ve afectada por el efecto restrictivo del apoyo lateral. En este caso, los esfuerzos de compresión no se disipan y pueden acumularse, lo cual puede generar pandeo distorsional a cargas menores a las predichas por las ecuaciones de pandeo lateral de la Sección C3.1.2.

213

Fig. 5.79 Efecto del uso de apoyos laterales. Ru es la relación de la carga última para a/l y la carga última (1) para apoyo lateral continuo .

Investigaciones recientes también han demostrado que las ecuaciones de pandeo lateral de la Sección C3.1.2 predicen resistencias a flexión conservadoras para vigas con un apoyo lateral al centro del claro, pero pueden predecir resistencias a flexión no conservadoras para vigas cuando mas de un apoyo lateral es usado. En base a estos resultados, el AISI 1996 eliminó el requisito de uso de apoyos laterales a cuartos del claro. El AISI 1996 ahora sugiere el uso de al menos un apoyo lateral al centro del claro para secciones canal y Z para controlar las rotaciones y deformaciones laterales. La resistencia a flexión de la viga debe determinarse usando las especificaciones de la Sección C3.1.2 considerando a la distancia entre centros de línea de apoyos laterales como la distancia L en las ecuaciones de diseño. La discusión anterior se refiere al número de apoyos laterales requeridos para limitar los esfuerzos adicionales generados por la rotación de la sección canal entre apoyos. Dicha rotación también genera cargas laterales que deberán ser resistidas por los apoyos laterales. Las cargas laterales pueden ser determinadas asumiendo que el sistema de carga originalmente considerado, consistente en la carga Q aplicada en el plano del alma (la cual causa un momento torsionante Qm, donde m es la distancia desde el centro de línea del alma al centro de cortante) puede ser substituido por un sistema de carga equivalente consistente en la misma carga Q aplicada en el centro de cortante (donde no causa momento torsionante) mas un par de fuerzas P = Qm/d que, juntas, producen el mismo momento Qm (ver la Fig. 5.80). Para calcular las cargas en los apoyos laterales, se asume que el perfil canal puede ser seccionado a la mitad del peralte y se considera a cada mitad como viga continua sujeta a la carga P. Los apoyos laterales se asumen como apoyos internos de la viga continua y la fuerza en cada apoyo lateral será equivalente a la reacción correspondiente de la viga.

Fig. 5.80 Fuerzas laterales consideradas para el diseño de apoyos laterales

(4)

214

Debido a la importancia de la ubicación del centro de cortante en la determinación de la carga en apoyos laterales, se procede a definir a continuación el concepto de centro de cortante y a proporcionar las ecuaciones para calcular su ubicación para secciones canal. El centro de cortante de un perfil es por donde debe pasar la línea de acción de una carga externa para producir flexión pura sin torsión. Para perfiles C se localiza en el eje de simetría a una distancia m del plano central del alma. El valor de m puede ser calculado usando las ecuaciones correspondientes dadas en el Apéndice A o por las siguientes ecuaciones: 1. Para secciones canal sin labios atiesadores:

m=

w2 f 2w f + d / 3

(5.162)

2. Para secciones canal con labios atiesadores:

m=

w f dt   4 D 2    w d + 2 D d −  f  4I x  3 d  

(5.163)

donde m = distancia desde el centro de corte al plano central del alma de una sección canal. wf = proyección de patines desde la cara interior del alma. (Para canales con patines desiguales, wf se tomará con respecto del patin mas ancho). d = peralte del perfil. D = peralte total del labio atiesador. Ix = momento de inercia del canal con respecto al eje centroidal perpendicular al alma. La Sección D3.2.2 del AISI 1996 incluye las especificaciones para calcular las fuerzas en apoyos laterales. Dichas especificaciones representan una aproximación conservadora para la determinación de las reacciones de la viga continua descritas anteriormente. A continuación se presentan las ecuaciones de diseño de la Sección D3.2.2: Cada apoyo lateral intermedio deberá diseñarse para resistir una carga lateral PL calculada de la siguiente manera: (a) Para carga uniforme,

PL = 1.5K ′W

(5.164)

(b) Para carga concentrada,

 x   PL = K ′ P + 1.4∑ 1 −  P ′  a  

(5.165)

donde

K´ = m/d para secciones canal. x = distancia desde la carga concentrada P´al apoyo lateral. a = distancia entre apoyos laterales. m = distancia del centro de cortante al plano central del alma de la sección canal. d = peralte de la sección canal. W = carga uniforme total aplicada a una distancia no menor de 0.5a de cada lado del apoyo lateral. P´ = cada carga concentrada ubicada a una distancia no menor de 0.3a ni mayor de a de cada lado del apoyo lateral. P = carga concentrada ubicada a una distancia no mayor de 0.3a de cada lado del apoyo lateral.

215 Las cargas W, P y P’ son cargas nominales para el Método ASD o cargas factorizadas para el Método LRFD. La carga PL debe ser descargada en los extremos de los miembros usados como apoyo lateral. Normalmente los miembros se alinean para acumular la carga y transmitirla a los extremos de la cubierta mediante un anclaje. Muchos diseñadores prefieren anclar dichos miembros mediante el balanceo de sus cargas en la cumbrera de la cubierta (ver Fig. 5.81). Esto requiere que la cubierta tenga la misma pendiente, la misma carga y la misma dimensión a cada lado de la cumbrera. Si estas condiciones no existen, entonces se deben considerar miembros adicionales de anclaje para resistir las cargas no balanceadas o se deben colocarse un número suficiente de polines frente a frente para eliminar las cargas no balanceadas. Dichas cargas se eliminan ya que dos polines frente a frente tienden a rotar en sentido contrario, por lo que las cargas transmitidas a los apoyos se cancelan. Para cubiertas con una sola pendiente, donde el balanceo de cargas no puede realizarse en la cumbrera, las cargas deberán ser transmitidas a un sistema estructural independiente (marcos o armaduras principales, sistemas de arriostramiento vertical, muros de cortante, etc.). Para transmitir dichas cargas a estos sistemas se pueden usar armaduras en el plano de la cubierta.

Fig. 5.81 Detalle de anclaje de apoyos laterales en cumbrera

(6)

La Sección D3.2.2 permite omitir, tanto para secciones canal como secciones Z, el uso de apoyos laterales (excepto para aquellos requeridos determinar la resistencia a flexión de acuerdo con la Sección C3.1.2) cuando todas las cargas y reacciones son transmitidas a la viga mediante miembros que se conectan a la sección de tal manera que impidan efectivamente la rotación y deformación lateral de la viga. Es decir, que dichos miembros pueden ser considerados apoyos laterales si cumplen con las condiciones correspondientes. Además, independientemente del tipo de sección de la viga, la Sección D3.2.2 establece que los apoyos laterales deberán ser diseñados para evitar el aplastamiento local en el punto de conexión del miembro fungiendo como apoyo lateral. Así mismo, dichos miembros deberán ser unidos de tal manera que restringan a la sección contra el desplazamiento lateral de ambos patines en los extremos y en cualquier punto intermedio donde se requiera el apoyo lateral. Como se mencionó anteriormente, en los sistemas de cubierta sujetas a cargas de succión por viento, el patín de tensión se encuentra unido a la cubierta y el patín de compresión generalmente queda sin apoyo lateral. En este caso, la resistencia a flexión de la viga se determina de acuerdo a la Sección C3.1.3. Sin embargo, como se mencionó en el Art. 5.2.4, se puede considerar el uso de apoyos laterales al patín de compresión para incrementar la capacidad de carga de la viga (aunque el AISI 1996 no reconoce dicho incremento). En este caso, las ecuaciones de la Sección D3.2.2 pueden ser usadas para diseñar los apoyos laterales a falta de ecuaciones de diseño mas aplicables. 5.4.1.2 Patín Superior Conectado a Lámina de Cubierta, Deck o Muro. Las secciones canales con el patín superior unido directamente mediante tornillos o pijas a lámina de cubierta, muro o deck se pueden considerar como secciones con apoyo lateral continuo en las regiones de momento gravitacional positivo. Por consiguiente, dichas secciones no presentan

216

pandeo lateral y la resistencia a flexión se calcula de acuerdo a la Sección C3.1.1 (ver Art. 3.2.2). Cabe recordar que la resistencia a flexión de vigas de sección C o Z unidas a cubiertas de lámina con costuras sobresalientes se calcula de acuerdo con la Sección C3.1.4 (ver Art. 5.2.5), ya que dichas cubiertas no garantizan la continuidad del apoyo lateral. Independientemente de que el patín superior esté unido a la lámina mediante tornillos, pijas o una costura, la Sección D3.2.1 del AISI 1996 establece que la lámina deberá restringir los patines de tal manera que la deformación máxima lateral del patín superior con respecto a los puntos de aplicación de las reacciones (apoyos extremos) no exceda al claro dividido entre 360. La fuerza a ser resistida por la lámina para efectos de poder considerar un apoyo lateral continuo se discute en el Art. 5.4.5. La capacidad de la lámina a restringir la rotación de las vigas depende de la resistencia a flexión y la rigidez de la lámina misma, por lo que no se generan cargas adicionales en el sistema de cubierta por dicha restricción. Sin embargo, la capacidad de la lámina a restringir la deformación lateral depende de la acción de diafragma de la lámina y de la presencia de apoyos laterales independientes. Un diafragma es un miembro estructural bidimensional con gran rigidez en el plano del miembro que tiene la capacidad de transmitir cargas en dicho plano. Las fuerzas generadas por la restricción a la deformación lateral son transmitidas a la cubierta y a los apoyos laterales. El diafragma de cubierta y los miembros que fungen como apoyos laterales acumularán dichas fuerzas a través de toda la cubierta por lo que deberán ser descargadas mediante anclas a sistemas estructurales independientes de la cubierta, de lo contrario, todo el sistema de cubierta se desplazará lateralmente. El anclaje de miembros que fungen como apoyos laterales independientes se discutió en el Art. 5.4.1.1. El anclaje del diafragma puede realizarme mediante el anclaje a una línea de polines en cada bahía de polines a un sistema estructural independiente. Otra solución del anclaje del diafragma consiste en la colocación de un clip antirotatorio en el polín del alero (orilla longitudinal) de la cubierta (ver Fig. 5.82). Esta solución tiene la ventaja de ser simple y puede usarse en cubiertas con una sola agua o para cubiertas con dos aguas con cargas y/o pendientes diferentes a ambos lados de la cumbrera.

Fig. 5.82 Uso de clip antirotatorio como anclaje de (6) cubierta .

La Sección D3.2.1(a) del AISI 1996 establecía que para sistemas de cubierta a base de polines de seccion canal, con todos los patines de compresión de los polines orientados en la misma dirección, se diseñara un sistema de restricción o anclaje capaz de resistir una carga de 0.05W, además de otras cargas aplicables, donde W era la carga de diseño (nominal para el Método ASD o factorizada para el Método LRFD) a ser resistida por todas las líneas de polines a ser ancladas. Sin embargo, para efectos de tener un procedimiento consistente para calcular la fuerza de anclaje para secciones C y Z, el Suplemento 1999 modifica la Sección D3.2.1(a) y establece la siguiente ecuación para calcular la fuerza de anclaje, PL, de secciones C:

PL = (0.05α cosθ − sen θ )W

(5.166)

217

donde: W = carga vertical total (carga nominal para el Método ASD y carga factorizada para el Método LRFD) soportada por todas las líneas de polines a ser ancladas. Cuando se use mas de un apoyo lateral en una línea de polines, la fuerza de anclaje PL deberá distribuirse equitativamente entre todos los apoyos laterales. α = +1 para polines orientados pendiente arriba (extremos de patines apuntando pendiente arriba). -1 para polines orientados pendiente abajo (extremos de patines apuntando pendiente abajo). θ = ángulo con respecto a la vertical del plano del alma de la sección C, en grados. Un valor positivo de PL significa que un sistema de anclaje es requerido para prevenir el movimiento de los patines de los polines en dirección pendiente arriba, y un valor negativo significa que un sistema de anclaje es requerido para prevenir el movimiento de los patines de los polines en dirección pendiente abajo. Si los patines superiores de líneas adyacentes de polines de sección C y Z están orientados de direcciones contrarias, el AISI 1996 establecía que la Sección D3.2.1 no es aplicable. Sin embargo, el Suplemento 1999 cambia la especificación y establece para ésta condición que se provea un sistema de anclaje que resista la componente de la carga gravitacional paralela a la pendiente de la cubierta. Para otros sistemas de anclaje no considerados en la Sección D3.2.1 se requiere la ejecución de pruebas de acuerdo con la Sección F del AISI 1996. 5.4.2 Vigas Z 5.4.2.1 Ningun Patín Conectado a Lamina de Cubierta, Deck o Muro. Las vigas Z cuando son cargadas en el plano del alma no se tuercen de la misma manera que las vigas canal debido a que el centro de cortante coincide con su centroide (o sea, m = 0). Sin embargo, debido a que los ejes principales de las secciones Z se encuentran girados con respecto a los eje ortogonales x y y, estas secciones se deformarán vertical y horizontalmente aun bajo cargas aplicadas en el plano del alma. Si la sección se deforma horizontalmente, la carga aplicada tambien se desplaza junto con la viga y no será ya coincidente con el plano de las reacciones en los extremos, por lo que la sección se torcerá además de que se deformará vertical y horizontalmente. Los esfuerzos adicionales inducidos por la torsión reducen la capacidad de carga de la viga. Se ha desarrollado un método aproximado para calcular los requisitos de apoyo lateral de vigas Z basado en el método establecido para vigas canal descrito en el Art. 5.4.1.1. Solo se requiere usar K’ = Ixy/Ix en las Ecs. (5.164) y (5.165) para carga ficticia PL en vigas Z. Para simplificar el diseño, se pueden calcular con respecto a los ejes ortogonales convencionales x y y las deformaciones verticales y horizontales y los esfuerzos generados por la suma de cargas reales y ficticias, usando los siguientes momentos de inercia modificados:

I mx =

I mx =

I x I y − I xy

2

(5.167)

Iy I x I y − I xy Ix

2

(5.168)

218

Por otro lado, según el Art. 5.4.1.1, la Sección D3.2.2 del AISI 1996 especifica al menos un apoyo lateral al centro del claro para vigas de sección Z. Sin embargo, investigaciones recientes basadas en pruebas de cargas a escala real han demostrado que las secciones Z con un apoyo lateral al centro del claro pueden tener resistencias a la flexión menores a las predichas por la Sección C3.1.2. Por consiguiente, la “Guía para el Diseño de Sistemas de Cubiertas Engargoladas” publicada por el AISI en 1997 recomienda usar cuando menos dos apoyos laterales a tercios del claro para secciones Z sujetas a carga gravitacional y de viento. Dicha recomendación no fue incluida en el Suplemento 1999. 5.4.2.2 Patín Superior Conectado a Lámina de Cubierta, Deck o Muro. Cuando las vigas Z son usadas en sistemas de cubierta, piso o muro para soportar directamente la lámina, se usa el mismo método expuesto en el Art. 5.4.1.2 para vigas canal, excepto que las siguientes especificaciones, dadas en la Sección D3.2.1(b) del AISI 1996, deberán cumplirse: En sistemas de cubierta con 4 a 20 líneas de polines con todos los patines superiores orientados en dirección pendiente arriba de la cubierta, con puntos de restricción en los apoyos extremos, a la mitad del claro o a tercios del claro, cada miembro que funga como restricción o anclaje deberá ser diseñado para resistir una fuerza determinada de la siguiente manera: 1. Para sistemas de un claro con puntos de restricción en los extremos:

 0.220b1.50  PL = 0.50 0.72 0.90 0.60 cosθ − sen θ W  n p d t 

(5.169)

2. Para sistemas de un claro con puntos de restricción a tercios del claro:

 0.474b1.22  PL = 0.50  0.57 0.89 0.33 cosθ − sen θ W  n p d t 

(5.170)

3. Para sistemas de un claro con puntos de restricción a la mitad del claro:

 0.224b1.32  PL =  0.65 0.83 0.50 cosθ − sen θ W  n p d t 

(5.171)

4. Para sistemas de claros múltiples con puntos de restricción en los apoyos:

 0.053b1.88 L0.13  PL = C tr  0.95 1.07 0.94 cosθ − sen θ W  n p d t 

con

(5.172)

Ctr = 0.63 para anclaje en los apoyos extremos de los claros. Ctr = 0.87 para anclaje en el primer apoyo interno. Ctr = 0.81 para todos los otros casos.

5. Para sistemas de claros múltiples con puntos de restricción a tercios del claro:

 0.181b1.15 L0.25  PL = C th  0.54 1.11 0.29 cosθ − sen θ W  n p d t 

(5.173)

219

con

Cth = 0.57 para anclaje en claros extremos. Cth = 0.48 para todos los otros casos.

6. Para sistemas de claros múltiples con puntos de restricción múltiples:

 0.116b1.32 L0.18  PL = C ms  0.70 1.00 0.50 cosθ − sen θ W  n p d t  con

(5.174)

Cms = 1.05 para anclaje en claros extremos. Cms = 0.90 para todos los otros apoyos laterales.

Donde: b = ancho del patin d = peralte de la sección t = espesor L = longitud del claro θ = ángulo con respecto a la vertical del plano del alma de la viga Z, en grados. np = número de líneas de polines. W = carga vertical total soportada por la línea de polines entre apoyos adyacentes (usar cargas de servicio para ASD y cargas factorizadas para LRFD). La carga PL es positiva cuando el anclaje es requerido para prevenir movimiento de los patines de los polines en dirección pendiente arriba de la cubierta. Para sistemas con menos de cuatro líneas de polines, la fuerza en el anclaje puede determinarse multiplicando por 1.1 a la carga calculada a partir de las Ecs. (5.169) a (5.174), con np = 4. Para sistemas con mas de 20 líneas de polines, la fuerza en el anclaje puede calcularse a partir de las Ecs. (5.169) a (5.174) con np = 20. Cabe mencionar que el Suplemento 1999 incorporó por primera vez el término “cosθ” en las Ecs. (5.169) a (5.174), ya que el AISI 1996 omitió dicho término debido a que en las investigaciones usadas para desarrollar dichas ecuaciones se asumió que la cubierta no tenía pendiente y que la carga aplicada era paralela al alma de los polines. Cuando el término “cosθ” multiplica a la carga vertical total W se obtiene la componente de la carga paralela al alma de los polines. Las recomendaciones emitidas en el Art. 5.4.1.2 para la transmisión de las fuerzas de anclaje de diafragmas en sistemas de cubierta a base de secciones canal aplican también a secciones Z. También aplican para secciones Z las especificaciones de la Sección D3.2.1 referentes a la capacidad de la lámina para restringir a los patines de tal manera que la deformación máxima lateral del patín superior con respecto a los puntos de aplicación de las reacciones no exceda al claro dividido entre 360. Cabe mencionar que antes de la Edición 1996, el AISI establecía un requisito de rigidez mínima del diafragma de cubierta de 2000 lbs/plg (357.5 kg/cm) para poder aplicar las Ecs. (5.164) a (5.169). Sin embargo, este requisito fue eliminado en el AISI 1996, ya que la restricción de la deformación máxima lateral mencionada anteriormente hace innecesario el requisito de rigidez mínima. 5.4.3 Vigas I Los apoyos laterales para vigas I deben unirse al patín superior e inferior en ambos extremos del claro. De acuerdo a la Sección C3.2.1.1 (ver Art. 5.2.3.3), si Fe ≥ 2.78Fy y Sc = Sf, no se requieren apoyos laterales intermedios, excepto a los requeridos en los puntos de aplicación de cargas concentradas. En el caso de que 0.56Fy < Fe < 2.78Fy y Fe ≤ 0.56Fy, la distancia entre apoyos laterales no deberá exceder la distancia requerida para Fc en la Sección C3.2.1.1(b).

220

El diseño de apoyos laterales para vigas I no esta considerado en el AISI 1996. Sin embargo, los miembros que fungen como apoyos laterales pueden ser diseñados para una resistir un 2% de la carga resistida por la porción a compresión de la viga. Esta disposición se usa frecuentemente, aunque ha demostrado ser conservadora. 5.4.4 Apoyo Lateral Continuo para Vigas Estudios previous de Winter han indicado que la resistencia requerida de la lámina para restringir efectivamente a los patines de compresión de vigas de acero contra la deformación lateral y la torsión puede ser calculada mediante la siguiente expresión:

 β id Freq = d1   1 − β id / β act

  

(5.175)

donde: Freq. = fuerza nominal lateral requerida por la lámina. d1 = deformación inicial de la lámina. βact = rigidez extensional del material de la lámina = AE/L’ , donde A es el área de la lámina, E el módulo de elasticidad y L’ su longitud. βid = constante de resorte de soporte elástico calculado de la siguiente manera: 2

1. Cuando βidL ≤ 30Pe,

2

2. Cuando βidL > 30Pe,

β id =

β id

π2 (Pcr − Pe ) L2

π 2 Pe = 4 L2

 Pcr   − 0.6   Pe 

(5.176) 2

(5.177)

donde L = longitud de la viga. 2 2 Pe = carga crítica de Euler = π EIyc/L Pcr = carga crítica de la porción a compresión de la viga para pandeo fuera del plano como columna. Iyc = momento de inercia de la porción a compresión de la viga con respecto al eje débil. No existe especificación alguna en el AISI 1996 o en el Suplemento 1999 para establecer el valor de la fuerza nominal de la lámina, calculada mediante la Ec. (5.175), como criterio para corroborar la existencia del apoyo lateral continuo. La Sección D3.2.1 solo establece criterios de medición de la capacidad restrictiva de la lámina para impedir la rotación y deformación lateral del patín de la viga unido a dicha lámina. Aparentemente se puede considerar implícitamente que las láminas que cumplen con dicha capacidad restrictiva serán capaces de desarrollar la fuerza dada por la Ec. (5.175). 5.5 EJEMPLOS DE DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS EN SISTEMAS DE CUBIERTA La gran mayoría de los polines de cubierta que cubren varios claros se diseñan como vigas continuas, ya que dicha condición permite considerar momentos flexionantes menores a los que se tienen para la condición de claros individuales simplemente apoyados. Las complicaciones analíticas que generan la necesidad de considerar regiones de momento positivo y negativo en el diseño de vigas continuas se justifican por los beneficios económicos que pueden lograrse con la posibilidad de especificar perfiles mas ligeros.

221

Se presentan a continuación dos ejemplos de diseño para polines continuos de cubierta considerando secciones C y Z. Se toman en cuenta las condiciones de diseño típicas como la consideración de las cargas muertas, vivas y de viento y sus combinaciones correspondientes, la revisión de la resistencia por flexión, cortante, combinación de cortante y flexión, aplastamiento del alma y combinación de flexión y aplastamiento del alma, así como el aprovechamiento de la unión de la cubierta al patín superior y el cálculo de las fuerzas de anclaje de los apoyos laterales, entre otras. Se considera también el diseño de los polines por el Método ASD y LRFD. Debido a que se hará uso en los ejemplos de diseño de la selección de perfiles laminados en frío dados en el Manual de Diseño del AISI 1996, se requiere establecer la convención para la nomenclatura usada por el AISI para dichos perfiles. La convención es la siguiente: DPABxt. donde: D = peralte nominal en plg. P = código del perfil (C = sección C, Z = sección Z, L = sección angular de lados iguales, H = para secciones sombrero). A = código de atiesadores (S = con labios atiesadores, U = sin labios atiesadores) B = ancho nominal del patín en plg. t = espesor nominal del perfil en milésimas de plg. Por ejemplo, un 9CS3x075 es una sección C con labios atiesadores, con peralte nominal de 9 plg, ancho nominal de patín de 3 plg y espesor nominal de 0.075 plg. Ejemplo 5.23. Diseñe por el Método LRFD un polín de sección C a ser usado en una cubierta con pendiente del 2% para las condiciones de apoyo y carga mostradas en la Fig. 5.84. Se requiere además considerar el diseño por viento y determinar las fuerzas de anclaje en apoyos laterales. Considere apoyos laterales en los extremos de cada claro y que las fuerzas acumuladas en dichos apoyos se transmiten (anclaje) a la estructura principal a cada quinto polín. Considere Fy = 3865 2 kg/cm .

Fig. 5.84 Ejemplo 5.23

(4)

222 1. Definición de los Criterios de Diseño Asuma las siguientes condiciones de análisis y diseño: a) Condición de continuidad de cuatro claros. Se consideran traslapes en los apoyos interiores para generar las condiciones de continuidad requeridas. Los traslapes de las secciones C se realizan espalda con espalda por lo que se invierten las orientaciones de los patines al cambiar de claro, pero todas las secciones exhiben la misma orientación para un claro dado. Las longitudes de traslape se indican en la Fig. 5.84. b) Las cargas nominales muertas, vivas y de viento se indican en la Fig. 5.84. Los diagramas de cortante y momento flexionante correspondientes a dichas cargas se ilustran en misma figura. Para el diseño del polín se consideran solo los primeros dos claros, ya que la simetría geométrica y de carga permiten establecen también simetría en el diagrama de momentos; es decir, los diagramas son simétricos con respecto al apoyo interior central. c) La pendiente de la cubierta del 2% representa un ángulo de inclinación de la cubierta de θ = -1 tan (2/100) = 1.146°. La componente de la carga vertical total, W, paralela a la dirección de la cubierta es Wsenθ = Wsen1.146° = 0.02W. Se asume que dicha carga genera un momento flexionante despreciable con respecto al eje y, por lo que se considera que no existe flexión biaxial y se diseñará la sección solo para el momento flexionante con respecto al eje x. La carga que genera dicho momento es la carga perpendicular a la cubierta, dada por Wcosθ = 0.98W ≈ W. d) Se asumen condiciones no prismáticas para el diseño de los polines. Es decir, dependiendo de los valores de los momentos máximos en claros extremos e interiores, se podrá cambiar el perfil a uno de menor espesor en las regiones de menor momento. Así mismo, en los traslapes, el valor del momento de inercia con respecto al eje x es la suma de las inercias de los perfiles individuales, mientras que fuera de los traslape es el de un perfil. Estas consideraciones permiten optimizar el diseño de la polinería. e) La cubierta se une con el patín superior del polín por medio de tornillería adecuada de tal manera que garantice la continuidad en apoyo lateral y torsional al patín superior. f) Para cargas gravitacionales, el patín de compresión (patín inferior en las regiones de momento negativo) se considera con apoyo lateral adecuado en la región comprendida desde los apoyos interiores hasta el final del traslape. La región de momento negativo comprendida desde el final del traslape hasta el punto de inflexión se diseñará como una viga en voladizo con apoyo lateral en el extremo empotrado solamente (o sea, al final del traslape). En las regiones de momento positivo, se considera que el patín de compresión (patín superior) tiene apoyo lateral continuo proporcionado por la cubierta. Las especificaciones del AISI no imponen el método de análisis a ser usado y deja bajo responsabilidad del diseñador los criterios a usar. Las condiciones de análisis y diseño antes descritas definen un criterio comúnmente aceptable pero pueden existir otros criterios igualmente aceptables. 2. Diseño por Flexión Pura •

Definición de los Momentos Requeridos, Mu

Se debe identificar primero las combinaciones de carga que controlan el diseño. Las combinaciones de carga que deben ser consideradas se especifican en la Sección A6.1.2 (ver Art. 3.3.2). Se debe considerar la combinación que controle el diseño por cargas gravitacionales y por viento. Por inspección, las siguientes combinaciones de carga serán las que controlen: a) Para diseño por cargas gravitacionales: 1.2D + 1.6(Lr o S o Rr) + (0.5L o 0.8W) b) Para diseño por viento: 1.2D – 1.3W o + 1.5E Donde todos los términos se definen en el Art. 3.3.2. Para el diseño por cargas gravitacionales de la cubierta se asume que W = 0, ya que el viento en este caso actúa en sentido contrario a las cargas D y Lr. Además, L = 0, ya que estas cargas no

223 se aplican en cubiertas. Se asume además que Lr es mayor que S y Rr. Por consiguiente, la combinación se reduce a 1.2D + 1.6Lr. Para el diseño por cargas de viento la combinación se reduce a 1.2D – 1.3W, ya que E = 0 debido a que la carga sísmica se considera despreciable en cubiertas metálicas ligeras comparada con la magnitud de la carga de viento. Debido a que las combinaciones de carga son igualmente válidas para combinaciones de “efectos de carga” y los momentos flexionantes son directamente proporcionales a las cargas, las combinaciones de momentos flexionantes serán: a) Para diseño por cargas gravitacionales: Mu = 1.2MD + 1.6MLr b) Para diseño por cargas de viento: Mu = 1.2MD – 1.3MW Los valores nominales de MD, MLr y MW se encuentran en los diagramas de momento dados en la Fig. 5.84. A continuación se presentan los cálculos de Mu: a) Mu debido a diseño por cargas gravitacionales. Claro extremo: M(+) máximo: Mu = 1.2(9.410) + 1.6(56.320) = 101.404 Ton-cm M(–) al final del traslape derecho: Mu = 1.2(9.548) + 1.6(56.874) = 102.456 Ton-cm M(–) bajo el apoyo interior: Mu = 1.2(15.498) + 1.6(92.991) = 167.383 Ton-cm Claro interior: M(–) al final del traslape izquierdo: Mu = 1.2(7.888) + 1.6(47.187) = 84.965 Ton-cm M(+) máximo: Mu = 1.2(4.151) + 1.6(24.631) = 44.391 Ton-cm M(–) al final del traslape derecho: Mu = 1.2(6.781) + 1.6(40.960) = 73.673 Ton-cm M(–) bajo el apoyo interior: Mu = 1.2(9.133) + 1.6(54.383) = 97.972 Ton-cm b) Mu para diseño por viento. Claro extremo: M cerca del centro del claro: Mu = 0.90(9.410) – 1.3(72.096) = -85.256 Ton-cm Claro interior: M cerca del centro del claro: Mu = 0.90(4.151) – 1.3(31.412) = -37.100 Ton-cm Los momentos Mu negativos indican que la carga de viento factorizada contrarresta a la carga muerta factorizada, por lo que se invierte el sentido del momento, convirtiendo al patín superior en el patín de tensión. Debido a que la resistencia a flexión se ve afectada por este hecho, se deberá revisar la resistencia de la sección según lo indicado en la Sección C3.1.3. •

Selección de Perfiles Iniciales en Función de su Resistencia a Flexión

Se propone seleccionar el perfil en base a su resistencia a flexión y revisar el perfil seleccionado para las otras resistencias pertinentes y para la condición de carga por viento. La selección del perfil inicial se realizará en base a los momentos máximos que ocurren en la región central del claro, ya que en dicha región la sección C simple deberá resistir el momento. Como el momento máximo gravitacional excede al de viento, el gravitacional controla. Cabe mencionar que el momento negativo máximo (bajo el apoyo interior) excede al máximo positivo (en la región central), pero bajo el apoyo existirá una sección I formada por dos secciones canal traslapadas espalda con espalda, la cual tendrá una mayor resistencia a la flexión que la sección C simple. Asuma que la resistencia de la sección se basa en el Inicio de Fluencia (Sección C3.1.1), por lo que la resistencia nominal Mn estará dada por la Ec. (5.2): Mn = SeFy. Para que la sección seleccionada sea aceptable se requiere que cumpla con la Ec. (5.1b): φbMn ≥ ΣγiMi = Mu. Por lo tanto, si φbMn = Mu es la condición mínima aceptable, entonces Mn = Mu/φb. Substituyendo ésta expresión en la Ec. (5.2) y despejando para Se se obtiene:

224

( S e ) min =

Mu φ b Fy

(5.178)

La Ec. (5.178) puede considerarse como la ecuación básica para la selección inicial del perfil en base al Método LRFD. Asumiendo que se seleccionará una sección C con labios atiesadores, la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.2.1) requiere que φb = 0.95. Por lo tanto: 3 3 Ec. (5.178): (Se)min = 101.404x10 /[(0.95)(3865)] = 27.617 cm para los claros extremos 3 3 (Se)min = 44.391x10 /[(0.95)(3865)] = 12.090 cm para los claros interiores 3

Se recomienda seleccionar una sección C con labios atiesadores con Se ≥ 27.617 cm en claros 3 extremos y Se ≥ 12.090 cm en claros internos. Es recomendable hacer una selección inicial conservadora y posteriormente optimizar el diseño. El diseñador tiene la opción de ordenar la fabricación de una sección específica cuyas propiedades geométricas no reducidas proporcionen un valor calculado de Se ligeramente mayor al requerido (ver Ejemplo 5.1 para el procedimiento de cálculo de Se). Sin embargo, la opción mas práctica suele ser el recurrir a tablas de perfiles elaboradas por un fabricante, donde el valor de Se se encuentre entre las propiedades geométricas tabuladas. En este ejemplo, se recurrirá a la Tabla II – 1 “Propiedades de Flexión para Secciones C con Labios Atiesadores” del Manual de Diseño del AISI 1996 para seleccionar el perfil. De la Tabla II – 1 se seleccionaron los siguientes perfiles: 3

9CS3x060; Se = 28.645 cm 3 9CS3x075; Se = 40.902 cm

El perfil 9CS3x060 tiene un valor de Se muy cercano al valor mínimo requerido para claros extremos, por lo que se seleccionará conservadoramente el perfil que le sigue en peso. Por lo tanto, se propone usar 9CS3x075 para los claros extremos. En los claros interiores se propone el perfil 9CS3x060. Se observa en primera instancia que dicho perfil está muy sobrado, ya que provee un valor de Se que excede en mas del 100% al valor requerido en claros interiores. Sin embargo, el 9CS3x060 es el perfil de menor espesor que ofrece el Manual del AISI para un peralte de 9 plg. Se recomienda mantener un peralte constante de los polines en todos los claros para evitar “escalones” o cambios abruptos en el nivel de la cubierta. De la Tabla I – 1 “Propiedades Geométricas No Reducidas para Secciones C con Labios Atiesadores” del Manual de Diseño del AISI 1996 se obtuvieron las siguientes propiedades geométricas relevantes: Perfil 9CS3x075: t = 0.191 cm R = 0.635 cm 2 A = 7.355 cm

ry = 2.532 cm ro = 10.287 cm 4 J = 0.08907 cm

Sf = 49.784 cm 4 Ix = 568.988 cm 4 Iy = 47.200 cm

Perfil 9CS3x060: t = 0.152 cm R = 0.635 cm 2 A = 5.916 cm

ry = 2.553 cm ro = 10.338 cm 4 J = 0.04579 cm

Sf = 40.230 cm 4 Ix = 459.936 cm 4 Iy = 38.543 cm

3

Cw = 4941.060 cm D = 22.860 mm

6

3

Cw = 4054.892 cm D = 228.600 mm

6

Cabe mencionar que los valores de las Tablas II – 1 y I – 1 están dados en plg, por lo que se realizaron las conversiones de unidad correspondientes. Así mismo, las ecuaciones para calcular cada propiedad geométrica se encuentran en el Apéndice A.

225 •

Definición de los Momentos de Diseño, φbMn

A. Claro Extremo: Región de Momento Positivo Máximo: Perfil considerado: 9CS3x075. En esta región se asume que la cubierta provee apoyo lateral continuo al patín de compresión. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a) [ver Art. 5.2.2.1, Ec. (5.2)]. Ec. (5.2): Mn = 40.902(3865) = 158086.23 kg-cm = 158.086 Ton-cm Ec. (5.1b): φbMn = 0.95(158.086) = 150.182 Ton-cm > Mu = 101.404 Ton-cm, OK Región de Momento Negativo Comprendida entre el Final del Traslape y el Punto de Inflexión: Perfil considerado: 9CS3x075. En esta región se asume que el polín es una viga en voladizo con el extremo libre sin apoyo lateral. Por consiguiente, el pandeo latero-torsional deberá ser investigado y la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento dado en la Sección C3.1.2.1(a) [ver Art. 5.2.3.3, Ecs. (5.61) a (5.73)]. Distancia del apoyo interior al punto de inflexión (ver Fig. 5.84), Li = 181.661 cm Longitud del traslape derecho con respecto al apoyo interior (ver Fig. 5.84), Ltr = 60.000 cm Distancia sin apoyo lateral, L = Li – Ltr = 181.661 – 60.000 = 121.661 cm Para vigas en voladizo con extremo libre sin apoyo lateral, Cb = 1.0 Para polines asuma Ky = Kt = 1.0 2 6 2 2 Ec. (5.68): σey = π (2.073x10 )/[(1.0)(121.661)/(2.532)] = 8861.836 kg/cm Ec. (5.69): 2 5 2 6 2 σt = {1/[(7.355)(10.287) ]}{(7.941x10 )(0.08907) + π (2.073x10 )(4941.060)/[(1.0)(121.667)] } 2 = 8865.194 kg/cm Para vigas flexionadas con respecto a su eje de simetría usar la Ec. (5.65) para determinar Fe 1/2 2 Ec. (5.65): Fe = [(1.0)(10.287)(7.355)/49.784][8861.836(8865.194)] = 13740.621 kg/cm 2 Fe > 2.78Fy = 2.78(3865) = 10628.750 kg/cm . Por lo tanto aplica la Ec. (5.62). 2 Ec. (5.62): Fc = Fy = 3865 kg/cm 3 Sc = Se = 40.902 cm cuando Fc = Fy. Aplicando la Ec. (5.61) se obtiene: Ec. (5.61): Mn = 40.902(3865) = 158086.230 kg-cm = 158.086 Ton-cm En este caso, las Ecs. (5.2) y (5.61) producen el mismo valor de Mn, ya que la resistencia de la sección controla sobre la resistencia al pandeo latero-torsional cuando Fe > 2.78Fy. Sin embargo, la Sección C3.1.2.1 especifica un valor de φb = 0.90, el cual es menor al requerido por la Sección C3.1.1. Por lo tanto: φbMn = 0.90(158.086) = 142.278 Ton-cm > Mu = 102.456 Ton-cm, OK Región de Momento Negativo Comprendida desde el Final del Traslape hasta el Apoyo Interior. Perfiles considerados: 9CS3x075 y 9CS3x060 traslapados. En esta región se asume que existe apoyo lateral adecuado. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a), sumando las resistencias de los polines traslapados 9CS3x075 y 9CS3x060. Resistencia del polín 9CS3x060: Ec. (5.2): Mn = 28.645(3865) = 110712.925 = 110.713 Ton-cm Resistencia total de los dos polines: Mn = 110.713 + 158.086 = 268.799 Ton-cm. Por lo tanto: φbMn = 0.95(268.799) = 255.359 Ton-cm > Mu = 167.383 Ton-cm, OK Eficiencia del Diseño: Mu/(φbMn). Región de M(+)max: 101.404/150.182 = 0.68 Región de M(–) entre Traslape y Pt. de Inflexión: 102.456/142.278 = 0.72 Región de M(–) entre Traslape y Apoyo Interno: 167.383/255.359 = 0.66 Esto equivale a una eficiencia máxima para la resistencia a flexión de 0.72 para el claro extremo, la cual es un poco baja y podría ser recomendable optimizar el diseño. Se propone no optimizar todavía, ya que falta la revisión del claro interior y las otras resistencias involucradas.

226

B. Claro Interior Región de Momento Positivo Máximo. Perfil considerado: 9CS3x060. En esta región se asume que la cubierta provee apoyo lateral continuo al patín de compresión. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a). Ec. (5.2): Mn = 110.713 Ton-cm Ec. (5.1b): φbMn = 0.95(110.713) = 105.177 Ton-cm > Mu = 44.391 Ton-cm, OK Región de Momento Negativo Comprendida entre el Final del Traslape y el Punto de Inflexión: Perfil considerado: 9CS3x060. En esta región se asume que el polín es una viga en voladizo con el extremo libre sin apoyo lateral. Por consiguiente, el pandeo latero-torsional deberá ser investigado y la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento dado en la Sección C3.1.2.1(a). Región comprendida entre el traslape izquierdo y el punto de inflexión: Distancia del apoyo interior al punto de inflexión (ver Fig. 5.83), Li = 227.076 cm Longitud del traslape izquierdo con respecto al apoyo interior (ver Fig. 5.83), Ltr = 90.000 cm Distancia sin apoyo lateral, L = Li – Ltr = 227.076 – 90.000 = 137.076 cm Para vigas en voladizo con extremo libre sin apoyo lateral, Cb = 1.0 Asuma Ky = Kt = 1.0 2 6 2 2 Ec. (5.68): σey = π (2.073x10 )/[(1.0)(137.076)/(2.553)] = 7097.049 kg/cm Ec. (5.69): 2 5 2 6 2 σt = {1/[(5.916)(10.338) ]}{(7.941x10 )(0.04579) + π (2.073x10 )(4054.892)/[(1.0)(137.076)] } 2 = 7040.707 kg/cm 1/2 2 Ec. (5.65): Fe = [(1.0)(10.338)(5.916)/40.230][7097.049(7040.707)] = 10746.368 kg/cm 2 Fe > 2.78Fy = 2.78(3865) = 10628.750 kg/cm . Por lo tanto aplica la Ec. (5.62). 2 Ec. (5.62): Fc = Fy = 3865 kg/cm 3 Sc = Se = 28.645 cm cuando Fc = Fy. Ec. (5.61): Mn = 28.645(3865) = 110.713 Ton-cm φbMn = 0.90(110.713) = 99.642 Ton-cm > Mu = 84.965 Ton-cm, OK Región comprendida entre el traslape derecho y el punto de inflexión: Distancia del apoyo interior al punto de inflexión (ver Fig. 5.83), Li = 151.790 cm Longitud del traslape derecho con respecto al apoyo interior (ver Fig. 5.83), Ltr = 30.000 cm Distancia sin apoyo lateral, L = Li – Ltr = 151.790 – 30.000 = 121.790 cm Como L = 121.790 cm < 137.076 cm, la resistencia en la región del traslape derecho φbMn será mayor que la del traslape izquierdo y como la resistencia requerida en el traslape derecho es menor (Mu = 73.673 Ton-cm), el perfil cumple. Región de Momento Negativo Comprendida desde el Final del Traslape hasta el Apoyo Interior. Perfiles considerados: Dos 9CS3x060 traslapados. En esta región se asume que existe apoyo lateral adecuado. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a), sumando las resistencias de los polines 9CS3x060 traslapados. Resistencia total de los dos polines: Mn = 2(110.713) = 221.426 Ton-cm. Por lo tanto: φbMn = 0.95(221.426) = 210.35 Ton-cm > Mu = 97.972 Ton-cm, OK Eficiencia del Diseño: Mu/(φbMn). Región de M(+)max: 44.391/105.177 = 0.42 Región de M(–) entre Traslape Izquierdo y Pt. de Inflexión: 84.965/99.642 = 0.85 Región de M(–) entre Traslape y Apoyo Interno: 97.972/210.350 = 0.47 Esto equivale a una eficiencia máxima para la resistencia a flexión de 0.85 para el claro interno, la cual puede considerarse aceptable. Se propone no optimizar.

227 3. Diseño por Cortante Puro •

Definición de los cortantes requeridos, Vu

Usando el mismo razonamiento expresado en la definición de Mu, las combinaciones críticas de cortante serán: a) Para diseño por cargas gravitacionales: Vu = 1.2VD + 1.6VLr b) Para diseño por cargas de viento: Vu = 1.2VD – 1.3VW Los valores nominales de VD, VLr y VW se encuentran en los diagramas de cortante dados en la Fig. 5.84. A continuación se presentan los cálculos de Vu: a) Vu debido a diseño por cargas gravitacionales. Claro extremo: V bajo el apoyo derecho: Vu = 1.2(63.560) + 1.6(390.440) V al final del traslape derecho: Vu = 1.2(90.800) + 1.6(549.340) V en lado izquierdo de apoyo interior: Vu = 1.2(104.420) + 1.6(631.06) Claro interior: V en lado derecho de apoyo interior: Vu = 1.2(95.340) + 1.6(562.960) V al final del traslape izquierdo: Vu = 1.2(72.640) + 1.6(440.380) V al final del traslape derecho: Vu = 1.2(68.100) + 1.6(417.68) V bajo el apoyo central: Vu = 1.2(77.180) + 1.6(458.540) b) Vu para diseño por viento. Claro extremo: V bajo el apoyo derecho: V al final del traslape derecho: V en lado izquierdo de apoyo interior: Claro interior: V en lado derecho de apoyo interior: V al final del traslape izquierdo: V al final del traslape derecho: V bajo el apoyo central:

= 700.976 kg = 987.904 kg = 1135.000 kg = 1015.144 kg = 791.776 kg = 750.008 kg = 826.280 kg

Vu = 0.90(63.560) – 1.3(494.860) = - 586.114 kg Vu = 0.90(90.800) – 1.3(703.700) = - 833.090 kg Vu = 0.90(104.420) – 1.3(808.120) = - 956.578 kg Vu = 0.90(95.340) – 1.3(717.320) Vu = 0.90(72.640) – 1.3(558.420) Vu = 0.90(68.100) – 1.3(535.720) Vu = 0.90(77.180) – 1.3(590.200)

= = = =

- 846.710 kg - 660.750 kg - 635.146 kg - 697.798 kg

Se observa que en todos los puntos calculados, los cortantes por cargas gravitacionales exceden a los cortantes por cargas de viento. Debido a que el sentido del cortante no afecta a la resistencia al cortante, el diseño por cortante se realizará para los cortantes por carga gravitacional. •

Definición de los Cortante de Diseño, φwVu

Los cortantes de diseño para almas sin agujeros se calculan según la Sección C3.2.1 (ver Art. 5.3.3.2). A. Claro Extremo: En el claro extremo se encuentra propuesto el perfil 9CS3x075. El cortante máximo requerido para este perfil se ubica en el traslape derecho: Vu = 987.904 kg. Ancho plano del alma: h = D – 2(R + t) = 22.860 – 2(0.635 + 0.191) = 21.208 cm. Relación h/t = 21.208/0.191 = 111.037 Coeficiente de pandeo para almas no reforzadas, kv = 5.34 Definición de los límites de h/t según según la Sección C3.2.1: 6 1/2 0.96[(2.073x10 )(5.34)/3865] = 51.377 6 1/2 1.415[(2.073x10 )(5.34)/3865] = 75.727 Como 111.037 > 75.727 usar la Ec. (5.133) para calcular Vn: 6 3 Ec. (5.133): Vn = 0.905(2.073x10 )(5.34)(0.191) /21.208 = 3291.467 kg

228 Para la Ec. (5.133) aplica el factor de reducción φw = 0.90. Por lo tanto: φwVn = 0.90(3291.467) = 2962.320 kg > Vu = 987.904 kg, OK En el primer apoyo interior se traslapan los perfiles 9CS3x075 y 9CS3x060. El cortante máximo al lado izquierdo de dicho punto es: Vu = 1135.000 kg. La resistencia de diseño por cortante será la suma de las resistencias individuales de ambos perfiles. Resistencia del 9CS3x060: Ancho plano del alma: h = D – 2(R + t) = 22.860 – 2(0.635 + 0.152) = 21.286 cm. Relación h/t = 21.286/0.152 = 140.039 Como 111.037 > 75.727 usar la Ec. (5.133) para calcular Vn: 6 3 Ec. (5.133): Vn = 0.905(2.073x10 )(5.34)(0.152) /21.286 = 1652.821 kg φwVn = 0.90(1652.821) = 1487.539 kg Suma de resistencias: 2962.320 + 1487.539 = 4449.859 kg > Vu = 1135.000 kg, OK B. Claro Interior: El cortante máximo en el lado derecho del primer apoyo intermedio es: Vu = 1015.144 kg. En este punto se traslapan los perfiles 9CS3x075 y 9CS3x060, cuya suma de resistencias es: 4449.859 kg > Vu = 1135.000 kg, OK. Comparando los valores del cortante en el traslape izquierdo y derecho se observa que controla el traslape derecho: Vu = 791.776 kg. Entre dichos traslapes se encuentra el perfil 9CS3x060, cuya resistencia es: 1487.539 kg > Vu = 791.776 kg, OK. Sobre el segundo apoyo interior se traslapan dos perfiles 9CS3x060. El cortante máximo al lado izquierdo de dicho punto es: Vu = 826.280 kg. La suma de resistencias será: 2(1487.539) = 2975.078 kg > Vu = 826.280 kg, OK. 4. Diseño por Combinación de Flexión y Cortante Las ecuaciones de interacción de diseño para combinación de flexión y cortante para LRFD están dadas en la Sección C3.3.2. La ecuación de diseño para perfiles con almas no reforzadas está dada por la Ec. (5.138). Se observa en los diagramas de momento y cortante de la Fig. 5.84 que la combinación crítica de flexión y cortante ocurre en el primer apoyo interior. Se revisarán el claro extremo e interior. En los puntos donde se traslapen los perfiles, los valores de Mnxo y Vn a usarse en la Ec. (5.138) corresponden a la suma de resistencias correspondiente. A. Claro Extremo: Los valores máximos de Mu y Vu para el perfil 9CS3x075 ocurren en el traslape derecho y están dados por: Mu = 102.456 Ton-cm y Vu = 987.904 kg. Para dicho perfil sus resistencias correspondientes son: Mnxo = 158.086 Ton-cm y Vn = 3291.467 kg. Los factores de resistencia a usar en la Ec. (5.138) están dados por: φb = 0.95 y φw = 0.90. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.138): {102.456/[(0.95)(158.086)]} + {987.904/[(0.90)(3291.467)} = 0.577 < 1.0, OK. Para el traslape de los perfiles 9CS3x075 y 9CS3x060 los valores máximos de Mu y Vu ocurren al lado izquierdo del primer apoyo interior y están dados por: Mu = 167.383 Ton-cm y Vu = 1135.000 kg. Para dichos perfiles las sumas de resistencias están dadas por: Mnxo = 158.086 + 110.713 = 268.799 Ton-cm y Vn = 3291.467 + 1652.821 = 4944.288 kg. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.138): {167.383/[(0.95)(268.799)]} + {1135.000/[(0.90)(4944.288)} = 0.495 < 1.0, OK.

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B. Claro Interior: Los valores máximos de Mu y Vu para el perfil 9CS3x060 ocurren en el traslape izquierdo y están dados por: Mu = 84.965 Ton-cm y Vu = 791.776 kg. Para dicho perfil sus resistencias correspondientes son: Mnxo = 110.713 Ton-cm y Vn = 1652.821 kg. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.138): {84.965/[(0.95)(110.713)]} + {791.776/[(0.90)(1652.821)} = 0.936 < 1.0, OK. Para el traslape de los dos perfiles 9CS3x060 los valores máximos de Mu y Vu ocurren al lado derecho del apoyo central y están dados por: Mu = 97.972 Ton-cm y Vu = 826.280 kg. Para dichos perfiles las sumas de resistencias están dadas por: Mnxo = 2(110.713) = 221.426 Ton-cm y Vn = 2(1652.821) = 3305.642 kg. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.138): {97.972/[(0.95)(221.426)]} + {826.280/[(0.90)(3305.642)} = 0.217 < 1.0, OK. 5. Diseño por Aplastamiento del Alma •

Determinación de los Aplastamientos Requeridos, Pu

Las combinaciones críticas de cortante serán: a) Para diseño por cargas gravitacionales: Pu = 1.2PD + 1.6PLr b) Para diseño por cargas de viento: Pu = 1.2PD – 1.3PW Las fuerzas de aplastamiento se obtienen directamente de los valores del diagrama de cortante en los apoyos y donde ocurren cargas concentradas. Por consiguiente, al igual que para el caso del cálculo de Vu, se puede demostrar que la combinación de fuerzas de aplastamiento debidas a cargas gravitacionales controla sobre las debidas a cargas de viento. La fuerzas de aplastamiento se obtienen sumando los valores de los cortantes a la derecha e izquierdo de los apoyos interiores y cargas concentradas y son iguales al cortante en los apoyos exteriores. Por lo tanto: En el apoyo izquierdo: En primer apoyo interior: En apoyo central: •

Pu = 1.2(63.560) + 1.6(390.440) = 700.976 kg Pu = 1.2(104.420 + 95.340) + 1.6(631.060 + 562.960) = 2150.144 kg Pu = 1.2(77.180 + 77.180) + 1.6(458.540 + 458.540) = 1652.560 kg

Determinación de los Aplastamientos de Diseño, φwPn

Las ecuaciones de diseño para almas no agujeradas están dadas en la Sección C3.4.1 (ver Art. 5.3.6.1). Para el cálculo de las resistencias nominales Pn se supondrá una longitud de contacto de las reacciones en los apoyos de N = 15.000 cm. A. Apoyos Exteriores En este punto la fuerza de aplastamiento esta dada por Pu = 700.976 kg. Al no existir cargas concentradas en el claro, la condición EUP se presenta en apoyos exteriores. Los perfiles seleccionados presentan patines atiesados, por lo que la Tabla 5.4 establece que la Ec. (5.141) debe usarse para calcular Pn. A continuación se realiza la revisión de limitantes para la aplicación de la Tabla 5.4 considerando el perfil 9CS3x075: h/t = 111.037 < 200, OK N/t = 15.000/0.191 = 78.534 < 210, OK N/h = 15.000/21.208 = 0.707 < 3.5, OK R/t = 0.635/0.191 = 3.325 < 6, OK Por lo tanto, la Tabla 5.4 es aplicable en este caso. En este caso, N/t > 60, por lo que la Sección C3.4.1 permite cambiar [1 + 0.01(N/t)] por [0.71 + 0.015(N/t)] en la Ec. (5.141).

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A continuación se calculan los parámetros de la Ec. (5.141): 6 k = 894(3865/2.073x10 ) = 1.667 C1 = 1.22 – 0.22(1.667) = 0.853 C4 = 1.15 – 0.15(0.635/0.191) = 0.651 C9 = 0.000704 Cθ = 0.70 + 0.30(90/90) = 1.000 Cálculo de la Ec. (5.141). El espesor debe usarse en milímetros: t = 0.191 cm = 1.905 mm. 2 Pn = (1.905) (1.667)(0.853)(0.651)(0.000704)(1.0)[331 – 0.61(111.037)][0.71 + 0.015(78.534)] = 1.1755 Ton = 1175.519 kg Según la Sección C3.4.1 para almas no reforzadas, φw = 0.75. Por lo tanto, φwPn = 0.75(1175.519) = 881.639 kg > 700.976 kg, OK. B. Apoyos Interiores En el primer apoyo interior la fuerza de aplastamiento esta dada por Pu = 2150.144 kg. En este punto coinciden los perfiles 9CS3x075 y 9CS3x060, por lo que la resistencia total será la suma de las resistencias individuales. En este punto se presenta la condición IUP, por lo que la Tabla 5.4 establece el uso de la Ec. (5.144) para calcular Pn. Perfil: 9CS3x075: La aplicabilidad de la Tabla 5.4 se estableció anteriormente para este perfil. Como N/t > 60, la Sección C3.4.1 permite cambiar [1 + 0.007(N/t)] por [0.75 + 0.011(N/t)] en la Ec. (5.144). C2 = 1.06 – 0.06(0.635/0.191) = 0.861 2 Pn = (1.905) (1.667)(0.853)(0.861)(0.000704)(1.0)[538 – 0.74(111.037)][0.75 + 0.011(78.534)] = 2.30105 Ton = 2301.047 kg Perfil 9CS3x060: Revisión de la aplicabilidad de la Tabla 5.4: h/t = 140.039 < 200, OK N/t = 15.000/0.152 = 98.684 < 210, OK N/h = 15.000/21.286 = 0.705 < 3.5, OK R/t = 0.635/0.152 = 4.178 < 6, OK Por lo tanto, la Tabla 5.4 es aplicable en este caso. C2 = 1.06 – 0.06(4.178) = 0.809 t = 0.152 cm = 1.524 mm 2 Pn = (1.524) (1.667)(0.853)(0.809)(0.000704)(1.0)[538 – 0.74(140.039)][0.75 + 0.011(98.684)] = 1.49967 Ton = 1499.674 kg Por lo tanto, la suma de resistencias será: Pn = 2301.047 + 1499.674 = 3800.721 kg φwPn = 0.75(3800.721) = 2850.541 kg > 2150.144 kg, OK. En el apoyo central la fuerza de aplastamiento está dada por: Pu = 1652.560 kg. Al igual que en el primer apoyo interior, en este punto existe la condición de carga IUP, por lo que la Ec. (5.144) es aplicable. En este punto coinciden dos perfiles 9CS3x060, por lo que la suma de resistencias será: Pn = 2(1499.674) = 2999.348 kg φwPn = 0.75(2999.348) = 2249.511 kg > 1652.560 kg, OK 6. Diseño por Combinación de Flexión y Aplastamiento del Alma Las ecuaciones de diseño para combinación de flexión y aplastamiento del alma se incluyen en la Sección C3.5 (ver Art. 5.3.7.1). Para ASD aplica la Ec. (5.153). Dicha combinación es crítica en los apoyos interiores. A. Primer Apoyo Interior Los valores máximos de las resistencias requeridas en este punto están dadas por: Mu = 167.383 Ton-cm y Pu = 2150.144 kg. En este punto aplica la condición IUP y la Ec. (5.144) y actua el

231

traslape de los perfiles 9CS3x075 y 9CS3x060. Las resistencias nominales totales están dadas por la suma de las resistencias nominales individuales: Mnxo = 268.799 Ton-cm y Pn = 3800.721 kg. Los factores de resistencia están dados por: φw = 0.75 y φb = 0.95. Ec. (5.153): 1.07{2150.144/[(0.75)(3800.721)]} + 167.383/[(0.95)(268.799)] = 1.463 > 1.420 Por lo tanto, existirá una sobrecarga del 1 – 1.463/1.42 = 3%, la cual podría considerarse como aceptable y no cambiar el diseño. Sin embargo, si se desea eliminar la sobrecarga se sugieren tres opciones: (a) especificar perfiles con mas peralte y/o mayor espesor, (b) especificar un incremento en la longitud de contacto N o (c) especificar atiesadores de cortante. B. Apoyo Central Los valores máximos de las resistencias requeridas en este punto están dadas por: Mu = 97.972 Ton-cm y Pu = 1652.560 kg. En este punto también aplica la condición IUP y la Ec. (5.144) y actua el traslape de dos perfiles 9CS3x060. Las resistencias nominales totales están dadas por la suma de las resistencias nominales individuales: Mnxo = 221.426 Ton-cm y Pn = 2999.348 kg. Ec. (5.153): 1.07{1652.560/[(0.75)(2999.358)]} + 97.972/[(0.95)(221.426)] = 1.252 > 1.420, OK. 7. Revisión de la Condición de Succión por Viento Debido a que durante el cálculo de Mu para la condición de succión por viento se presentaron cambios en el sentido del momento, el patín superior será el patín de tensión. Los valores máximos de Mu ocurrieron cerca del centro de los claros estan dados por: Mu = -85.256 Ton-cm y –37.100 Ton-cm para los claros extremos e interiores, respectivamente. La ecuación de diseño para cuando el patín de tensión se encuentra atornillado a la lámina de cubierta está dada en la Sección C3.1.3 (ver Art. 5.2.5). En este caso, para perfiles C continuos, R = 0.60. El factor de resistencia está dado por φb = 0.90 A. Cerca del Centro de Claros Extremos 3

Actua el perfil 9CS3x075 (Se = 40.902 cm ). Por lo tanto: Ec. (5.103): Mn = 0.60(3865)(40.902) = 94851.738 kg-cm = 94.852 Ton-cm φbMn = 0.90(94.852) = 85.367 Ton-cm > 85.256 Ton-cm, OK. B. Cerca del Centro de Claros Interiores 3 Actua el perfil 9CS3x060 (Se = 28.645 cm ). Por lo tanto: Ec. (5.103): Mn = 0.60(3865)(28.645) = 66427.755 kg-cm = 66.428 Ton-cm φbMn = 0.90(66.428) = 59.785 Ton-cm > 37.100 Ton-cm, OK. 8. Cálculo de Fuerzas de Anclaje Para polines C unidos a una lámina de cubierta con todos los patines orientados en la misma dirección (se asumen orientados pendiente arriba), la fuerza de anclaje requerida para mantener sin movimiento laterotorsional a los polines puede ser calculada por la Ec. (5.166) de la Sección D3.2.1(a) (ver Art. 5.4.1.2). Determinación de parámetros básicos: n = número de líneas de polines a anclar = 5 para la condición de carga gravitacional, ya que la fuerza de anclaje es en el plano de la cubierta. = 1 para la condición de succión por viento, ya que la fuerza de anclaje es vertical. L = longitud de los claros de polines = 7.62 m wcm = 22.34 kg/m wLr = 134.06 kg/m ww = 171.29 kg/m (succión) α = +1 para polines orientados pendiente arriba. θ = ángulo de inclinación del alma con respecto a la vertical = pendiente de la cubierta = 1.15°. W = fuerza total de anclaje = nL(w factorizada)

232

A. Condición de Carga Gravitacional W = nL(1.2wcm + 1.6wLr) = 5(7.62)[1.2(22.34) + 1.6(134.06)] = 9193.682 kg Para marcos interiores: Ec. (5.166): PL = [0.05(1)cos1.15° – sen1.15°]9193.682 = 275.075 kg Para marcos cabeceros (de extremo): PL = 275.075/2 = 137.537 kg B. Condición de Succión por Viento W = 1(7.62)[0.90(22.34) – 1.3(171.29)] = - 1543.591 kg En este caso, la componente de la carga de viento paralela a la cubierta es en el mismo sentido que el movimiento pendiente arriba de los patines de los polines, por lo que se debe sumar el término senθ en lugar de restarlo en la Ec. (5.166). Para marcos interiores: Ec. (5.166): PL = [0.05(1)cos1.15° + sen1.15°]1543.591 = 108.144 kg Para marcos cabeceros (de extremo): PL =108.144 /2 = 54.072 kg 9. Comentarios Finales Se observa que para las dos condiciones críticas de carga las fuerzas de anclaje son pequeñas, por lo que los clips de conexión de los polines pueden transmitir dichas fuerzas a la estructura principal sin necesidad de que exista una estructura independiente. Cabe mencionar que en este caso las fuerzas de anclaje calculadas por la Ec. (5.166) del Suplemento 1999 son un 70% menores a las fuerzas calculadas mediante la expresión PL = 0.05W dada en el AISI 1996 cuando los patines se orientan pendiente arriba, ya que la fuerza generada por el movimiento pendiente arriba de los patines es contrarrestada por la componente de la carga gravitacional paralela a la cubierta. Sin embargo, las fuerzas de anclaje por viento se ven incrementadas en un 40%, ya que la fuerza de succión por viento paralela a la cubierta actua en el mismo sentido que el movimiento de los patines. Para cubiertas con pendientes mayores con vientos regionales considerables, las fuerzas de anclaje por viento pueden incrementar considerablemente para polines con patines orientados pendiente arriba, por lo que deberá considerarse la posibilidad de cambiar la orientación de los polines, sobretodo si las cargas gravitacionales se reducen (wLr normalmente se reduce en proporción al incremento en pendiente en la mayoría de los códigos de diseño).

233 Ejemplo 5.24. Diseñe por el Método ASD un polín de sección Z a ser usado en una cubierta con pendiente del 4% para las condiciones de apoyo y carga mostradas en la Fig. 5.85. Se requiere además considerar el diseño por viento y determinar las fuerzas de anclaje en apoyos laterales. Considere apoyos laterales en los extremos de cada claro y que las fuerzas acumuladas en dichos apoyos se transmiten (anclaje) a la estructura principal a cada quinto polín. Considere Fy = 3865 2 kg/cm .

Fig. 5.85 Ejemplo 5.24

(4)

1. Criterios de Diseño Considerar los mismos criterios expuestos en el Ejemplo 5.23. 2. Diseño por Flexión Pura •

Definición de los Momentos Requeridos, M

Se debe identificar primero las combinaciones de carga que controlan el diseño. Las combinaciones de carga que deben ser consideradas se especifican en la Sección A5.1.2 (ver Art. 3.2.3). Se debe considerar la combinación que controle el diseño por cargas gravitacionales y por viento. Por inspección, las siguientes combinaciones de carga serán las que controlen: a) Para diseño por cargas gravitacionales: D + Lr b) Para diseño por viento: = 0.75(D – W). La Sección A5.1.3 (ver Art. 3.2.3) permite que las combinaciones de carga que incluyan cargas de viento o sismo sean multiplicadas por un factor de reducción de 0.75 Donde todos los términos se definen en el Art. 3.2.3.

234

Debido a que las combinaciones de carga son igualmente válidas para combinaciones de “efectos de carga” y los momentos flexionantes son directamente proporcionales a las cargas, las combinaciones de momentos flexionantes serán: a) Para diseño por cargas gravitacionales: M = MD + MLr b) Para diseño por cargas de viento: M = 0.75(MD – MW) Los valores nominales de MD, MLr y MW se encuentran en los diagramas de momento dados en la Fig. 5.85. A continuación se presentan los cálculos de M: a) M debido a diseño por cargas gravitacionales. Claro extremo: M(+) máximo: M = 9.410 + 62.686 = 72.096 Ton-cm M(–) al final del traslape derecho: M = 9.548 + 63.240 = 72.788 Ton-cm M(–) bajo el apoyo interior: M = 15.498 + 103.231 = 118.729 Ton-cm Claro interior: M(–) al final del traslape izquierdo: M = 7.888 + 52.446 = 60.334 Ton-cm M(+) máximo: M = 4.151 + 27.399 = 31.550 Ton-cm M(–) al final del traslape derecho: M = 6.781 + 45.527 = 52.308 Ton-cm M(–) bajo el apoyo interior: M = 9.133 + 60.472 = 69.605 Ton-cm b) Mu para diseño por viento. Claro extremo: M cerca del centro del claro: M = 0.75(9.410 – 72.096) = -47.015 Ton-cm Claro interior: M cerca del centro del claro: M = 0.75(4.151 – 31.412) = -20.446 Ton-cm Los momentos M negativos indican que la carga de viento factorizada contrarresta a la carga muerta factorizada, por lo que se invierte el sentido del momento, convirtiendo al patín superior en el patín de tensión. Debido a que la resistencia a flexión se ve afectada por este hecho, se deberá revisar la resistencia de la sección según lo indicado en la Sección C3.1.3. •

Selección de Perfiles Iniciales en Función de su Resistencia a Flexión

Se propone seleccionar el perfil en base a su resistencia a flexión y revisar el perfil seleccionado para las otras resistencias pertinentes y para la condición de carga por viento. La selección del perfil inicial se realizará en base a los momentos máximos que ocurren en la región central del claro, ya que en dicha región la sección Z simple deberá resistir el momento. Como el momento máximo gravitacional excede al de viento, el gravitacional controla. Cabe mencionar que el momento negativo máximo (bajo el apoyo interior) excede al máximo positivo (en la región central), pero bajo el apoyo existirá un empalme de dos secciones Z, el cual tendrá una mayor resistencia a la flexión que la sección Z simple. Asuma que la resistencia de la sección se basa en el Inicio de Fluencia (Sección C3.1.1), por lo que la resistencia nominal Mn estará dada por la Ec. (5.2): Mn = SeFy. Para que la sección seleccionada sea aceptable se requiere que cumpla con la Ec. (5.1a): Mn/Ωb ≥ ΣMi = M. Por lo tanto, si Mn/Ωb = M es la condición mínima aceptable, entonces Mn = ΩbM. Substituyendo ésta expresión en la Ec. (5.2) y despejando para Se se obtiene:

( S e ) min =

Ωb M Fy

(5.179)

La Ec. (5.179) puede considerarse como la ecuación básica para la selección inicial del perfil en base al Método ASD. Asumiendo que se seleccionará una sección Z con labios atiesadores, la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.2.1) requiere que Ωb = 1.67. Por lo tanto:

235

Ec. (5.178):

3

3

(Se)min = (1.67)72.096x10 /3865) = 31.151 cm para los claros extremos 3 3 (Se)min = (1.67)31.550x10 /3865 = 13.632 cm para los claros interiores 3

Se recomienda seleccionar una sección Z con labios atiesadores con Se ≥ 31.151 cm en claros 3 extremos y Se ≥ 13.632 cm en claros internos. Es recomendable hacer una selección inicial conservadora y posteriormente optimizar el diseño. Se recurrirá a la Tabla II – 3 “Propiedades de Flexión para Secciones Z con Labios Atiesadores” del Manual de Diseño del AISI 1996 para seleccionar el perfil. De la Tabla II – 3 se seleccionaron los siguientes perfiles: 3

8ZS2.5x060; Se = 27.989 cm 3 8ZS2.5x075; Se = 35.970 cm Se seleccionará el perfil 8ZS2.5x075 para los claros extremos. En los claros interiores se propone el perfil 8ZS2.5x060. De la Tabla I – 3 “Propiedades Geométricas No Reducidas para Secciones Z con Labios Atiesadores” del Manual de Diseño del AISI 1996 se obtuvieron las siguientes propiedades geométricas relevantes: Perfil 8ZS2.5x075: t = 0.191 cm R = 0.476 cm

Sf = 41.361 cm 4 Ix = 420.394 cm

Perfil 8ZS2.5x060: t = 0.152 cm R = 0.476 cm

Sf = 33.380 cm 4 Ix = 339.062 cm

3

D = 203.200 mm 4 Iy = 62.851 cm

3

D = 203.200 mm 4 Iy = 50.988 cm

Cabe mencionar que los valores de las Tablas II – 1 y I – 1 están dados en plg, por lo que se realizaron las conversiones de unidad correspondientes. Así mismo, las ecuaciones para calcular cada propiedad geométrica se encuentran en el Apéndice A. •

Definición de los Momentos de Diseño, Mn/Ωb

A. Claro Extremo: Región de Momento Positivo Máximo: Perfil considerado: 8ZS2.5x075. En esta región se asume que la cubierta provee apoyo lateral continuo al patín de compresión. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a) [ver Art. 5.2.2.1, Ec. (5.2)]. Ec. (5.2): Mn = 35.970(3865) = 139024.05 kg-cm = 139.024 Ton-cm Ec. (5.1a): Mn/Ωb = 139.024/1.67 = 83.248 Ton-cm > M = 72.096 Ton-cm, OK Región de Momento Negativo Comprendida entre el Final del Traslape y el Punto de Inflexión: Perfil considerado: 8ZS2.5x075. En esta región se asume que el polín es una viga en voladizo con el extremo libre sin apoyo lateral. Por consiguiente, el pandeo latero-torsional deberá ser investigado y la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento dado en la Sección C3.1.2.1(a) [ver Art. 5.2.3.3]. Distancia del apoyo interior al punto de inflexión (ver Fig. 5.85), Li = 181.661 cm Longitud del traslape derecho con respecto al apoyo interior (ver Fig. 5.85), Ltr = 60.000 cm Distancia sin apoyo lateral, L = Li – Ltr = 181.661 – 60.000 = 121.661 cm Para vigas en voladizo con extremo libre sin apoyo lateral, Cb = 1.0 Para vigas con simetría con respecto a un punto y flexionadas con respecto a al eje perpendicular al eje de simetría usar la Ec. (5.75) para determinar Fe. 4 Iyc = Iy/2 = 62.851/2 = 31.426 cm 2 6 2 2 Ec. (5.75): Fe = π (2.073x10 )(1.0)(20.32)(31.426)/[2(41.361)(121.661) ] = 10670.581 kg/cm

236 2

Fe > 2.78Fy = 2.78(3865) = 10628.750 kg/cm . Por lo tanto aplica la Ec. (5.62). 2 Ec. (5.62): Fc = Fy = 3865 kg/cm 3 Sc = Se = 35.970 cm cuando Fc = Fy. Aplicando la Ec. (5.61) se obtiene: Ec. (5.61): Mn = 35.970(3865) = 139024.050 kg-cm = 139.024 Ton-cm En este caso, las Ecs. (5.2) y (5.61) producen el mismo valor de Mn, ya que la resistencia de la sección controla sobre la resistencia al pandeo latero-torsional cuando Fe > 2.78Fy. La Sección C3.1.2.1 especifica un valor de Ωb = 1.67. Por lo tanto: Mn/Ωb = 83.248 Ton-cm > M = 72.788 Ton-cm, OK Región de Momento Negativo Comprendida desde el Final del Traslape hasta el Apoyo Interior. Perfiles considerados: 8ZS2.5x075 y 8ZS2.5x060 traslapados. En esta región se asume que existe apoyo lateral adecuado. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a), sumando las resistencias de los polines traslapados. Resistencia del polín 8ZS2.5x060: Ec. (5.2): Mn = 27.989(3865) = 108.177 Ton-cm Resistencia total de los dos polines: Mn = 139.024 + 108.177 = 247.201 Ton-cm. Por lo tanto: Mn/Ωb = 247.201/1.67 = 148.025 Ton-cm > M = 118.729 Ton-cm, OK Eficiencia del Diseño: ΩbM/Mn. Región de M(+)max: 1.67(72.096)/139.024 = 0.87 Región de M(–) entre Traslape y Pt. de Inflexión: 1.67(72.780)/139.024 = 0.87 Región de M(–) entre Traslape y Apoyo Interno: 1.67(118.729)/247.201 = 0.80 Esto equivale a una eficiencia máxima para la resistencia a flexión de 0.87 para el claro extremo, la cual puede considerarse aceptable. B. Claro Interior Región de Momento Positivo Máximo. Perfil considerado: 8ZS2.5x060. En esta región se asume que la cubierta provee apoyo lateral continuo al patín de compresión. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a). Ec. (5.2): Mn = 108.177 Ton-cm Ec. (5.1a): Mn/Ωb = 108.177/1.67 = 64.777 Ton-cm > M = 31.550 Ton-cm, OK Región de Momento Negativo Comprendida entre el Traslape Izquierdo y el Punto de Inflexión: Perfil considerado: 8ZS2.5x060. En esta región se asume que el polín es una viga en voladizo con el extremo libre sin apoyo lateral. Por consiguiente, el pandeo latero-torsional deberá ser investigado y la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento dado en la Sección C3.1.2.1(a). Para vigas con simetría con respecto a un punto y flexionadas con respecto a al eje perpendicular al eje de simetría usar la Ec. (5.75) para determinar Fe. Región comprendida entre el traslape izquierdo y el punto de inflexión: Distancia del apoyo interior al punto de inflexión (ver Fig. 5.85), Li = 227.076 cm Longitud del traslape izquierdo con respecto al apoyo interior (ver Fig. 5.85), Ltr = 90.000 cm Distancia sin apoyo lateral, L = Li – Ltr = 227.076 – 90.000 = 137.076 cm Para vigas en voladizo con extremo libre sin apoyo lateral, Cb = 1.0 4 Iyc = Iy/2 = 50.988/2 = 25.494 cm 2 6 2 2 Ec. (5.75): Fe = π (2.073x10 )(1.0)(20.32)(25.494)/[2(33.380)(137.076) ] = 8449.316 kg/cm 2 2.78Fy = 2.78(3865) = 10628.750 kg/cm . 2 0.56Fy = 0.56(3865) = 2164.400 kg/cm Como 0.56Fy < Fe < 2.76Fy, usar la Ec. (5.63) para calcular Fc 2 Ec. (5.63): Fc = (10/9)(3865)[1 – 10/36(3865/8449.316)] = 3748.771 kg/cm 3 Sc = Se para f = Fc . Aplicando el procedimiento del Ejemplo 5.1 se obtiene: Sc = 28.366 cm

237 Ec. (5.61): Mn = 28.366(3748.771) = 106.338 Ton-cm Mn/Ωb = 106.338/1.67 = 63.675 Ton-cm > M = 60.334 Ton-cm, OK Región comprendida entre el traslape derecho y el punto de inflexión: Distancia del apoyo interior al punto de inflexión (ver Fig. 5.85), Li = 151.790 cm Longitud del traslape derecho con respecto al apoyo interior (ver Fig. 5.85), Ltr = 30.000 cm Distancia sin apoyo lateral, L = Li – Ltr = 151.790 – 30.000 = 121.790 cm Como L = 121.790 cm < 137.076 cm, la resistencia en la región del traslape derecho Mn/Ωb será mayor que la del traslape izquierdo y como la resistencia requerida en el traslape derecho es menor (M = 52.308 Ton-cm), el perfil cumple. Región de Momento Negativo Comprendida desde el Final del Traslape hasta el Apoyo Interior. Perfiles considerados: Dos 8ZS2.5x060 traslapados. En esta región se asume que existe apoyo lateral adecuado. Por consiguiente, la resistencia a flexión se calculará por el procedimiento de inicio de fluencia dado en la Sección C3.1.1(a), sumando las resistencias de los polines. Resistencia total de los dos polines: Mn = 2(108.177) = 216.354 Ton-cm. Por lo tanto: Mn/Ωb = 216.354/1.67 = 129.553 Ton-cm > M = 69.605 Ton-cm, OK Eficiencia del Diseño: ΩbM/Mn. Región de M(+)max: 1.67(31.550)/108.177 = 0.49 Región de M(–) entre Traslape y Pt. de Inflexión: 1.67(60.334)/106.338 = 0.95 Región de M(–) entre Traslape y Apoyo Interno: 1.67(69.605)/216.354 = 0.54 Esto equivale a una eficiencia máxima para la resistencia a flexión de 0.95 para el claro interior, la cual puede considerarse aceptable. 3. Diseño por Cortante Puro •

Definición de los cortantes requeridos, V

Usando el mismo razonamiento expresado en la definición de M, las combinaciones críticas de cortante serán: c) Para diseño por cargas gravitacionales: V = VD + VLr d) Para diseño por cargas de viento: V = 0.75(VD – VW) Los valores nominales de VD, VLr y VW se encuentran en los diagramas de cortante dados en la Fig. 5.85. A continuación se presentan los cálculos de V: V debido a diseño por cargas gravitacionales. Claro extremo: V bajo el apoyo izquierdo: V = 63.560 + 431.300 = 494.860 kg V al final del traslape derecho: V = 90.800 + 612.900 = 703.700 kg V en lado izquierdo de apoyo interior: V = 104.420 + 703.700 = 808.120 kg Claro interior: V en lado derecho de apoyo interior: V = 95.340 + 621.980 = 717.320 kg V al final del traslape izquierdo: V = 72.640 + 485.780 = 558.420 kg V al final del traslape derecho: V = 68.100 + 467.620 = 535.720 kg V bajo el apoyo central: V = 77.180 + 513.020 = 590.200 kg Se puede demostrar que en todos los puntos calculados, los cortantes por cargas gravitacionales exceden a los cortantes por cargas de viento. Debido a que el sentido del cortante no afecta a la resistencia al cortante, el diseño por cortante se realizará para los cortantes por carga gravitacional.

238 •

Definición de los Cortante de Diseño, Vn/Ωw

Los cortantes de diseño para almas sin agujeros se calculan según la Sección C3.2.1 (ver Art. 5.3.3.2). A. Claro Extremo: En el claro extremo se encuentra propuesto el perfil 8ZS2.5x075. El cortante máximo requerido para este perfil se ubica en el traslape derecho: V = 703.700 kg. Ancho plano del alma: h = D – 2(R + t) = 20.320 – 2(0.476 + 0.191) = 18.986 cm. Relación h/t = 18.986/0.191 = 99.403 Coeficiente de pandeo para almas no reforzadas, kv = 5.34 Definición de los límites de h/t según según la Sección C3.2.1: 6 1/2 0.96[(2.073x10 )(5.34)/3865] = 51.377 6 1/2 1.415[(2.073x10 )(5.34)/3865] = 75.727 Como 99.403 > 75.727 usar la Ec. (5.133) para calcular Vn: 6 3 Ec. (5.133): Vn = 0.905(2.073x10 )(5.34)(0.191) /18.986 = 3676.679 kg Para la Ec. (5.133) aplica el factor de reducción . Por lo tanto: Vn/Ωw = 3676.679/1.67 = 2201.604 kg > V = 703.700 kg, OK En el primer apoyo interior se traslapan los perfiles 8ZS2.5x075 y 8ZS2.5x060. El cortante máximo al lado izquierdo de dicho punto es: V = 808.120 kg. La resistencia de diseño por cortante será la suma de las resistencias individuales de ambos perfiles. Resistencia del 8ZS2.5x060: Ancho plano del alma: h = D – 2(R + t) = 20.320 – 2(0.476 + 0.152) = 19.064 cm. Relación h/t = 21.286/0.152 = 125.421 Como 125.421 > 75.727 usar la Ec. (5.133) para calcular Vn: 6 3 Ec. (5.133): Vn = 0.905(2.073x10 )(5.34)(0.152) /19.064 = 1845.465 kg Vn/Ωw = 1845.465/1.67 = 1105.069 kg Suma de resistencias: 2201.604 + 1105.069 = 3306.673 kg > V = 808.120 kg, OK B. Claro Interior: El cortante máximo en el lado derecho del primer apoyo intermedio es: V = 717.320 kg. En este punto se traslapan los perfiles 8ZS2.5x075 y 8ZS2.5x060, cuya suma de resistencias es: 3306.673 kg > V = 717.320 kg, OK. Comparando los valores del cortante en el traslape izquierdo y derecho se observa que controla el traslape izquierdo: V = 558.420 kg. Entre dichos traslapes se encuentra el perfil 8ZS2.5x060, cuya resistencia es: 1105.069 kg > V = 791.776 kg, OK. Sobre el segundo apoyo interior se traslapan dos perfiles 8ZS2.5x060. El cortante máximo al lado izquierdo de dicho punto es: V = 590.200 kg. La suma de resistencias será: 2(1105.069) = 2210.138 kg > V = 590.200 kg, OK. 4. Diseño por Combinación de Flexión y Cortante Las ecuaciones de interacción de diseño para combinación de flexión y cortante para ASD están dadas en la Sección C3.3.1. La ecuación de diseño para perfiles con almas no reforzadas está dada por la Ec. (5.136). Se observa en los diagramas de momento y cortante de la Fig. 5.85 que la combinación crítica de flexión y cortante ocurre en el primer apoyo interior. Se revisarán el claro extremo e interior. En los puntos donde se traslapen los perfiles, los valores de Mnxo y Vn a usarse en la Ec. (5.136) corresponden a la suma de resistencias correspondiente.

239

A. Claro Extremo: Los valores máximos de M y V para el perfil 8ZS2.5x075 ocurren en el traslape derecho y están dados por: M = 72.788 Ton-cm y V = 703.700 kg. Para dicho perfil sus resistencias correspondientes son: Mnxo = 139.0240 Ton-cm y Vn = 3291.467 kg. Los factores de resistencia a usar en la Ec. (5.138) están dados por: Ωb = Ωw = 1.67. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.136): [1.67(72.788)/139.0240] + [1.67(703.700)/3291.467] = 0.892 < 1.0, OK. Para el traslape de los perfiles 8CZ2.5x075 y 8ZS2.5x060 los valores máximos de M y V ocurren al lado izquierdo del primer apoyo interior y están dados por: M = 118.729 Ton-cm y V = 808.120 kg. Para dichos perfiles las sumas de resistencias están dadas por: Mnxo = 247.201 Toncm y Vn = 3676.679 + 1845.465 = 5522.144 kg. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.136): [1.67(118.729)/247.201] + [1.67(808.120/5522.144] = 0.703 < 1.0, OK. B. Claro Interior: Los valores máximos de M y V para el perfil 8ZS2.5x060 ocurren en el traslape izquierdo y están dados por: M = 60.334 Ton-cm y V = 558.420 kg. Para dicho perfil sus resistencias correspondientes son: Mnxo = 108.177 Ton-cm y Vn = 1845.465 kg. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.136): [1.67(60.334)/108.177] + [1.67(558.420)/1845.465] = 1.12 > 1.0 El perfil no cumple en este punto. Se recomienda extender el traslape hasta alcanzar valores de V y M que permitan que cumpla la Ec. (5.136) o se puede cambiar el perfil en el claro interior. Para el traslape de los dos perfiles 8ZS2.5x060 los valores máximos de M y V ocurren al lado derecho del apoyo central y están dados por: M = 69.605 Ton-cm y V = 590.200 kg. Para dichos perfiles las sumas de resistencias están dadas por: Mnxo = 216.354 Ton-cm y Vn = 2(1845.465) = 3690.930 kg. Por lo tanto: 2 2 Ec. (5.136): [1.67(69.605)/216.354] + [1.67(590.200)/3690.930] = 0.360 < 1.0, OK. 5. Diseño por Aplastamiento del Alma •

Determinación de los Aplastamientos Requeridos, P

Las combinaciones críticas de cortante serán: a) Para diseño por cargas gravitacionales: P = PD + PLr b) Para diseño por cargas de viento: P = 0.75(PD – PW) Las fuerzas de aplastamiento se obtienen directamente de los valores del diagrama de cortante en los apoyos y donde ocurren cargas concentradas. Por consiguiente, al igual que para el caso del cálculo de V, se puede demostrar que la combinación de fuerzas de aplastamiento debidas a cargas gravitacionales controla sobre las debidas a cargas de viento. La fuerzas de aplastamiento se obtienen sumando los valores de los cortantes a la derecha e izquierdo de los apoyos interiores y cargas concentradas y son iguales al cortante en los apoyos exteriores. Por lo tanto: En el apoyo izquierdo: En primer apoyo interior: En apoyo central: •

P = 63.56 + 431.300 = 494.860 kg P = (95.340 + 104.420) + (703.700 + 621.980) = 1525.440 kg P = 2(77.180) + 2(513.020) = 1180.400 kg

Determinación de los Aplastamientos de Diseño, Pn/Ωw

Las ecuaciones de diseño para almas no agujeradas están dadas en la Sección C3.4.1 (ver Art. 5.3.6.1). Para el cálculo de las resistencias nominales Pn se supondrá una longitud de contacto de las reacciones en los apoyos de N = 15.000 cm.

240

A. Apoyos Exteriores En este punto la fuerza de aplastamiento esta dada por P = 494.860 kg. Al no existir cargas concentradas en el claro, la condición EUP se presenta en apoyos exteriores. Los perfiles seleccionados presentan patines atiesados, por lo que la Tabla 5.4 establece que la Ec. (5.141) debe usarse para calcular Pn. A continuación se realiza la revisión de limitantes para la aplicación de la Tabla 5.4 considerando el perfil 8ZS2.5x075: h/t = 99.403 < 200, OK N/t = 15.000/0.191 = 78.534 < 210, OK N/h = 15.000/18.986 = 0.790 < 3.5, OK R/t = 0.476/0.191 = 2.492 < 6, OK Por lo tanto, la Tabla 5.4 es aplicable en este caso. En este caso, N/t > 60, por lo que la Sección C3.4.1 permite cambiar [1 + 0.01(N/t)] por [0.71 + 0.015(N/t)] en la Ec. (5.141). A continuación se calculan los parámetros de la Ec. (5.141): 6 k = 894(3865/2.073x10 ) = 1.667 C1 = 1.22 – 0.22(1.667) = 0.853 C4 = 1.15 – 0.15(2.492) = 0.776 C9 = 0.000704 Cθ = 0.70 + 0.30(90/90) = 1.000 Cálculo de la Ec. (5.141). El espesor debe usarse en milímetros: t = 0.191 cm = 1.905 mm. 2 Pn = (1.905) (1.667)(0.853)(0.776)(0.000704)(1.0)[331 – 0.61(99.403)][0.71 + 0.015(78.534)] = 1.439009 Ton = 1439.009 kg Según la Sección C3.4.1 para almas no reforzadas, Ωw = 1.85. Por lo tanto, Pn/Ωw = 1439.009/1.85 = 777.843 kg > 494.860 kg, OK. B. Apoyos Interiores En el primer apoyo interior la fuerza de aplastamiento esta dada por P = 1525.440 kg. En este punto coinciden los perfiles 8ZS2.5x075 y 8ZS2.5x060, por lo que la resistencia total será la suma de las resistencias individuales. En este punto se presenta la condición IUP, por lo que la Tabla 5.4 establece el uso de la Ec. (5.144) para calcular Pn. Perfil: 8ZS2.5x075: La aplicabilidad de la Tabla 5.4 se estableció anteriormente para este perfil. Como N/t > 60, la Sección C3.4.1 permite cambiar [1 + 0.007(N/t)] por [0.75 + 0.011(N/t)] en la Ec. (5.144). C2 = 1.06 – 0.06(2.492) = 0.910 2 Pn = (1.905) (1.667)(0.853)(0.910)(0.000704)(1.0)[538 – 0.74(99.403)][0.75 + 0.011(78.534)] = 1.44154 Ton = 1441.541 kg Perfil 8ZS2.5x060: Revisión de la aplicabilidad de la Tabla 5.4: h/t = 125.421 < 200, OK N/t = 15.000/0.152 = 98.684 < 210, OK N/h = 15.000/19.064 = 0.787 < 3.5, OK R/t = 0.476/0.152 = 3.132 < 6, OK Por lo tanto, la Tabla 5.4 es aplicable en este caso. C2 = 1.06 – 0.06(3.132) = 0.872 t = 0.152 cm = 1.524 mm 2 Pn = (1.524) (1.667)(0.853)(0.872)(0.000704)(1.0)[538 – 0.74(125.421)][0.75 + 0.011(98.684)] = 1.65671 Ton = 1656.715 kg Por lo tanto, la suma de resistencias será: Pn = 1441.541 + 1656.715 = 3098.256 kg Para perfiles Z empalmados, la Sección C3.4.1 establece que Ωw = 1.80. Pn/Ωw = 3098.256/1.80 = 1721.253 kg > 1525.440 kg, OK.

241 En el apoyo central la fuerza de aplastamiento está dada por: Pu = 1180.400 kg. Al igual que en el primer apoyo interior, en este punto existe la condición de carga IUP, por lo que la Ec. (5.144) es aplicable. En este punto coinciden dos perfiles 8ZS2.5x060, por lo que la suma de resistencias será: Pn = 2(1656.715) = 3313.430 kg Pn/Ωw = 3313.430/1.80 = 1840.794 kg > 1180.400 kg, OK 6. Diseño por Combinación de Flexión y Aplastamiento del Alma Las ecuaciones de diseño para combinación de flexión y aplastamiento del alma se incluyen en la Sección C3.5 (ver Art. 5.3.7.1). Para perfiles Z empalmados y ASD aplica la Ec. (5.158). Dicha combinación es crítica en los apoyos interiores. A. Primer Apoyo Interior Los valores máximos de las resistencias requeridas en este punto están dadas por: M = 118.729 Ton-cm y P = 1525.440 kg. En este punto aplica la condición IUP y la Ec. (5.144) y actua el traslape de los perfiles 8ZS2.5x075 y 8ZS2.5x060. Las resistencias nominales totales están dadas por la suma de las resistencias nominales individuales: Mnxo = 247.201 Ton-cm y Pn = 3098.256 kg. El factor de seguridad está dado por Ω = 1.67. Ec. (5.158): 118.729/247.201 + 1525.440/3098.256 = 0.973 < 1.67/1.67 = 1.0, OK B. Apoyo Central Los valores máximos de las resistencias requeridas en este punto están dadas por: M = 69.605 Ton-cm y P = 1180.400 kg. En este punto también aplica la condición IUP y la Ec. (5.144) y actua el traslape de dos perfiles 8ZS2.5x060. Las resistencias nominales totales están dadas por la suma de las resistencias nominales individuales: Mnxo = 216.354 Ton-cm y Pn = 3313.430 kg. Ec. (5.158): 69.605/216.354 + 1180.400/3313.430 = 0.678 < 1.67/1.67 = 1.0, OK 7. Revisión de la Condición de Succión por Viento Debido a que durante el cálculo de M para la condición de succión por viento se presentaron cambios en el sentido del momento, el patín superior será el patín de tensión. Los valores máximos de M ocurrieron cerca del centro de los claros están dados por: M = -47.015 Ton-cm y –20.446 Ton-cm para los claros extremos e interiores, respectivamente. La ecuación de diseño para cuando el patín de tensión se encuentra atornillado a la lámina de cubierta está dada en la Sección C3.1.3 (ver Art. 5.2.5). En este caso, para perfiles Z continuos, R = 0.70. El factor de resistencia está dado por Ωb = 1.67 C. Cerca del Centro de Claros Extremos 3

Actua el perfil 8ZS2.5x075 (Se = 35.970 cm ). Por lo tanto: Ec. (5.103): Mn = 0.70(3865)(35.970) = 97.317 Ton-cm Mn/Ωb = 97.317/1.67 = 58.274 Ton-cm > 47.015 Ton-cm, OK. D. Cerca del Centro de Claros Interiores 3 Actua el perfil 8ZS2.5x060 (Se = 27.989 cm ). Por lo tanto: Ec. (5.103): Mn = 0.70(3865)(27.989) = 75.724 Ton-cm Mn/Ωb = 75.724/1.67 = 45.344 Ton-cm > 20.446 Ton-cm, OK.

242 8. Cálculo de Fuerzas de Anclaje Para polines Z con claros múltiples con puntos de restricción en los apoyos debe usarse la Ec. (5.172) dada en la Sección D3.2.1(b) (ver Art. 5.4.2.2). Se consideran anclajes en cada quinto polín. -1 θ = tan (4/100) = 2.291° b = 6.350 cm d = 20.320 cm L = 762 cm t = 0.191cm y 0.152cm W = nL(wD + wLr) = 5(7.62)(22.342 + 148.950) = 6526.225 A. Condición de Carga Gravitacional Claro extremo: t = 0.191cm Ec. (5.172):

 (0.053)(6.350)1.88 (762) 0.13  PL = C tr  0.95 cos 2.291 − sen 2.291 6526.225 = 822.514C tr 1.07 0.94  (5) (20.320) (0.191)  Claro interior: t = 0.152cm Ec. (5.172):

 (0.053)(6.350)1.88 (762) 0.13  PL = C tr  0.95 cos 2.291 − sen 2.291 6526.225 = 1081.962C tr 1.07 0.94  (5) (20.320) (0.152)  La Sección D3.2.1(b) establece los valores de Ctr es función de la ubicación de los apoyos: Para apoyos extremos: Ctr = 0.63. Por lo tanto: PL = 822.514(0.63) = 518.184 kg Para primer apoyo interno: Ctr = 0.87. Se promedia la contribución de polines adyacentes: PL = 0.87(822.514 + 1081.962)/2 = 828.447 kg Para apoyo central: Ctr = 0.81. Se promedia la contribución de polines adyacentes: PL = 0.81(1081.962 + 1081.962)/2 = 876.389 kg B. Condición de Succión por Viento: W = nL(wD – ww) = 5(7.62)(22.342 – 171.293) = -5675.0331 kg < 6526.225 kg, por lo que controla el anclaje para carga gravitacional.

CAPITULO 6

MIEMBROS SUJETOS A COMPRESION AXIAL

6.1 COMENTARIOS GENERALES Un miembro está sujeto a compresión axial pura si la resultante de cargas de compresión transmitidas a dicho miembro es coincidente con la ubicación y dirección de su eje centroidal. Si esta condición no se cumple se presentan excentricidades de carga que generan combinación de flexión y compresión axial. En estructuras de acero es difícil encontrar miembros sujetos a compresión axial pura, ya que aun las conexiones entre miembros diseñadas para transmitir solo cargas, sin momentos flexionantes, no se prestan normalmente a que la transmisión de carga sea a través sus centroides. Sin embargo, cuando las excentricidades son pequeñas, se puede asumir que la flexión es despreciable y diseñar el miembro asumiendo compresión axial pura. Es ya una costumbre generalizada el llamar columna a todos los miembros verticales de las estucturas, independientemente de que en muchos ocasiones dichos miembros estén en realidad sujetos a compresión axial en combinación con otros efectos de carga. Sin embargo, por razones prácticas, en este capítulo se le llamará columna a los miembros sujetos a cargas externas que generan solo compresión axial pura, independientemente de su orientación (vertical, horizontal o inclinada) en la estructura. Los perfiles laminados en frío de cualquier configuración pueden ser usados como columnas. Pueden formarse con elementos atiesados (Fig. 6.1a), elementos no atiesados (Fig. 6.1b), o una combinación de elementos atiesados y no atiesados (Fig. 6.1c). Otras configuraciones no usuales y las secciones cilíndricas también son usadas con frecuencia.

(1)

Fig. 6.1 Tipos de miembros a compresión . (a) Miembros compuestos de solo elementos atiesados; (b) Miembros compuestos de solo elementos no atiesados; (c) Miembros compuestos de elementos atiesados y no atiesados.

Cabe aclarar que aunque las cargas externas generen inicialmente solo compresión axial pura en la columna, si se presentan problemas de falla por inestabilidad debido al pandeo, se pueden generar esfuerzos adicionales de flexión debidos a la deformación de pandeo y de torsión si el centroide no coincide con el centro de cortante. Así mismo, debido a que las secciones laminadas en frío están compuestas de material delgado, también se puede presentar pandeo local. Por lo tanto, en el diseño de columnas, se deben considerar los siguientes estados límites de falla, dependiendo de la configuración de la sección, su espesor y la longitud de la columna: 1. Fluencia de la sección. 2. Pandeo global de la columna: a. Pandeo por flexión: flexión con respecto a un eje principal. b. Pandeo torsional: torsión con respecto al centro de cortante. c. Pandeo flexotorsionante: flexión y torsión simultánea. 3. Pandeo local de elementos individuales.

244

El AISI han incluido desde sus primeras publicaciones especificaciones de diseño para pandeo global por flexión y para pandeo local. Las especificaciones para pandeo flexotorsional fueron incorporadas por primera vez en 1968. Desde la Edición 1986 de las especificaciones del AISI, el diseño de columnas esta basado en el criterio conocido como “concepto unificado”. Este concepto consiste en los siguiente pasos para el diseño de columnas: 1. 2. 3. 4.

Calcular el esfuerzo elástico de pandeo (debido a flexión, torsión o flexotorsión). Determinar el esfuerzo nominal de falla (pandeo elástico, pandeo inelástico o fluencia). Calcular la carga nominal basada en el esfuerzo de falla gobernante y el área efectiva. Determinar la carga de diseño a partir de la carga nominal y el factor de seguridad o de resistencia especificado, dependiendo del método de diseño considerado (ASD o LRFD).

Las ecuaciones de diseño para columnas dependen del estado límite de falla gobernante. Por consiguiente, es de gran importancia el conocer en detalle la fundamentación teórica y experimental en que se basa cada estado límite. A continuación se presenta dicha fundamentación. 6.2 FLUENCIA Es un hecho plenamente conocido que las columnas cortas y compactas sujetas a carga axial pueden fallar por fluencia. Para este caso, la resistencia por fluencia es,

Py = Ag Fy

(6.1)

donde Ag = área bruta de la sección de la columna. Fy = fluencia del acero. 6.3 PANDEO POR FLEXION 6.3.1 Pandeo Elástico Una columna esbelta sujeta a compresión axial puede fallar por pandeo global a flexión si la sección de la columna es de simetría doble (sección I), de sección cerrada (tubular rectangular o cuadrado), de sección cilíndrica o de sección con simetría con respecto a un punto (sección Z o en cruz). Para secciones con simetría simple, el pandeo por flexión es solo uno de los posibles modos de pandeo como se discutirá en el Art. 6.4.2. Si la columna tiene una sección diferente a las mencionadas anteriormente, pero conectada a otras partes de la estructura, como a una lámina de muro o cubierta, la columna puede también fallar por pandeo a flexión (para otros posibles modos de pandeo consultar el Art. 6.4). La carga crítica de pandeo elástico para una columna esbelta puede ser determinada de la ecuación de Euler:

π 2 EI ( Pcr ) e = ( KL) 2 donde (Pcr)e = carga de pandeo elástico de Euler. E = módulo de elasticidad I = momento de inercia L = longitud de la columna K = factor de longitud efectiva

(6.2)

245 2

Substituyendo I = Ar en la Ec. (6.2), la siguiente ecuación del esfuerzo crítico de Euler puede ser obtenida para el pandeo elástico de la columna:

( Fcr ) e =

π 2E ( KL / r ) 2

(6.3)

donde KL/r es la relación de esbeltez efectiva y r es el radio de giro menor de la sección. La Ec. (6.3) se muestra gráficamente en la curva A de la Fig. 6.2, la cual es aplicable a una columna ideal hecha de acero con fluencia pronunciada con las características esfuerzodeformación ilustradas en la Fig, 2.1a, sin considerar los efectos de esfuerzos residuales y del laminado en frío. Debido a que una gran cantidad de elementos estructurales laminados en frío están formados con acero de fluencia gradual, como se muestra en la Fig. 2.1b, y el proceso del laminado en frío tiende a reducir el límite de proporcionalidad (ver Art. 2.7), la Ec. (6.3) no será apropiada para columnas hechas con acero de fluencia gradual con relaciones de esbeltez pequeñas y moderadas. Esto se debe a que cuando el esfuerzo es mayor que el límite de proporcionalidad, la columna generalmente se pandeará en el rango inelástico.

Fig. 6.2 Comportamiento al pandeo de columnas

(1)

6.3.2 Pandeo Inelástico Se han usado dos métodos en el pasado para determinar la resistencia nominal de columnas sujetas a pandeo inelástico por flexión. Estos son el método del módulo tangencial y el método del módulo reducido. El método del módulo tangencial fue propuesto por Engesser en 1889. En base en este método la carga crítica del módulo tangencial está dada por:

( Pcr ) T =

π 2 Et I ( KL) 2

(6.4)

( Fcr ) T =

π 2 Et ( KL / r ) 2

(6.5)

y el esfuerzo crítico de pandeo por:

donde Et es el módulo tangencial. En 1895 Jasinky encontró que el concepto del módulo tangencial no consideraba el efecto de descarga elástica. Este efecto se presenta al ocurrir el pandeo por flexión, ya que los esfuerzos de

246

tensión inducidos por dicha flexión reducen o contrarestan los esfuerzos de compresión debidos a la carga axial. Por consiguiente, aun cuando en la zona de compresión por flexión la suma de esfuerzos exceda al valor del límite de proporcionalidad y su comportamiento esté regido por Et, la zona de tensión por flexión podrá estar aun en el rango elástico y regida por E. Engesser posteriormente corrigió su teoría y desarrolló el concepto del módulo reducido o módulo doble, donde:

π 2 Er I ( Pcr ) R = ( KL) 2 y el esfuerzo crítico de pandeo es

( Fcr ) R =

π 2 Er ( KL / r ) 2

(6.6)

donde Er = módulo reducido = E(I1/I) + Et(I2/I) I1 = momento de inercia del área del lado de descarga después del pandeo. I2 = momento de inercia del área del lado de carga después del pandeo. Prevaleció por cerca de 50 años una confusión entre los investigadores e ingenieros con respecto a estos dos conceptos para la determinación de la resistencia de columnas, ya que predecían dos diferentes resistencias para una misma columna, hasta que Shanley concluyó que: 1. El concepto del módulo tangencial proporciona la carga máxima a partir de la cual una columna inicialmente recta permanece recta, es decir, sin deformación lateral que pueda generar esfuerzos por flexión. 2. La carga máxima real excede la carga del módulo tangencial, pero nunca excede a la carga del módulo reducido. Muchos otros investigadores han demostrado las conclusiones de Shanley y han indicado para los casos considerados en sus estudios que la carga máxima real es mayor en un 5% a la carga del módulo tangencial. En base al hecho de que la resistencia calculada por el concepto del módulo tangencial provee una excelente predicción (aunque ligeramente conservadora) de la resistencia real de la columna, el Consejo de Investigación de la Estabilidad Estructural (Structural Stability Research Council o SSRC) ha sugerido que las ecuaciones de diseño de columnas de acero sean basadas en dicho concepto. Por esta razón, siempre que el esfuerzo calculado de Euler exceda al límite de proporcionalidad, el módulo tangencial deberá usarse para calcular el esfuerzo de pandeo. El módulo tangencial puede determinarse a partir del Memorandum Técnico No. 2 del SSRC “Apuntes de las Pruebas a Compresión en Metales”. Sin embargo, es prácticamente imposible proveer curvas esfuerzo-deformación y valores del módulo tangente para todos los tipos de acero, en particular cuando los efectos del laminado en frío son considerados. Para el diseño de perfiles laminados en caliente, el SSRC ha concluido que la Ec. (6.5) puede ser aproximada conservadoramente por la siguiente expresión, si el efecto de los esfuerzos residuales es considerado y el límite de proporcionalidad efectivo es asumido igual al 50% del esfuerzo de fluencia:

Fy  ( Fcr ) I = Fy 1 −  4σ e

 F 2  KL  2   = Fy −  y2    4π E  r    

(6.7)

247 donde Fy es el esfuerzo de fluencia mínimo y (Fcr)I es el esfuerzo crítico de pandeo inelástico. La ecuación anterior también puede usarse para perfiles laminados en frío si los esfuerzos residuales inducidos por el laminado en frío de la sección y las características esfuerzo-deformación del acero de fluencia gradual son consideradas. La Ec. (6.7) también puede ser expresada de la siguiente manera:

 λ2 c ( Fcr ) I = 1 − 4 

  Fy 

(6.8)

donde λc es el parámetro de esbeltez de la columna dado por:

λc =

Fy σe 2

=

KL rπ

Fy E

(6.9)

1/2

Como se muestra en la Fig. 6.2, el valor de (2π E/Fy) es el valor límite de KL/r correspondiente a un esfuerzo de 0.50Fy. Cuando KL/r es mayor que este valor límite, se asume que la columna será gobernada por pandeo elástico y cuando KL/r es menor que dicho valor límite, se asume que la columna es gobernada por pandeo inelástico. Los factores de seguridad y de resistencia para el diseño de columnas se discuten en el Art. 6.7. 6.3.3 Resistencia Nominal Axial para Columnas Localmente Estables Si los componentes individuales de un miembro a compresión tienen relaciones w/t pequeñas, el pandeo local no ocurrirá antes de que el esfuerzo de compresión alcance el esfuerzo de pandeo global de la columna o el esfuerzo de fluencia. Por consiguiente, la resistencia nominal axial puede ser determinada por la siguiente ecuación:

Pn = Ag Fcr

(6.10)

donde Pn = resistencia nominal axial Fcr = esfuerzo crítico de pandeo Ag = área bruta de la sección 6.3.4 Resistencia Nominal Axial para Columna Localmente Inestables Para los miembros a compresión de acero laminado en frío con relaciones w/t grandes, el pandeo local de los componentes individuales puede ocurrir antes que la carga aplicada alcance la resistencia nominal axial dada por la Ec. (6.10). El efecto de interacción entre el pandeo local y global de la columna puede resultar en la reducción de la resistencia global de la columna. En las Ediciones 1946 a 1986 de las Especificaciones del AISI, el efecto del pandeo local sobre la resistencia de la columna fue considerado mediante el uso del factor de forma Q en la determinación del esfuerzo permisible. Aunque el factor de forma Q fue usado con éxito para el diseño de miembros a compresión de acero laminado en frío, diversas investigaciones realizadas han demostrado que este método puede ser mejorado. En base a los resultados de pruebas de carga y estudios analíticos y el desarrollo del concepto unificado de diseño para perfiles laminados en frío, el método del factor Q fue eliminado en la Edición 1986 del AISI. Para reflejar el efecto del pandeo local en la reducción de la resistencia de la columna, la resistencia nominal axial se determina con el esfuerzo crítico de pandeo de la columna y el área efectiva, Ae, en lugar del área total de la sección. Cuando Ae no puede ser calculada, como cuando el miembro a compresión tiene dimensiones o geometría fuera del rango aplicación de las Especificaciones del AISI, Ae puede ser determinada experimentalmente usando los procedimientos establecidos en la Parte VII

248

del Manual de Diseño del AISI 1996. Por consiguiente, la resistencia nominal axial de miembros a compresión de acero laminado en frío puede ser determinada mediante la siguiente ecuación:

Pn = Ae Fcr

(6.11)

donde Fcr es el esfuerzo de pandeo elástico o inelástico, el que sea aplicable, y Ae es el área efectiva bajo Fcr. El AISI 1986 estableció una excepción a la aplicación de la Ec. (6.11) para las secciones C, Z y angulares con patines no atiesados. Para estos casos, la resistencia nominal axial estaba también limitada por la resistencia nominal determinada por la siguiente ecuación, la cual esta basada en el esfuerzo de pandeo local de un elemento no atiesado y el área total de la sección:

Pn =

Aπ 2 E 25.7( w / t ) 2

(6.12)

La Ec. (6.12) fue incluida en la Sección C4(b) del AISI 1986 cuando el concepto unificado fue adoptado. Sin embargo, investigaciones realizadas en la década de 1980-90 indicaron que las especificaciones de la Sección C4(b) del AISI 1986 generaban resultados excesivamente conservadores. Esta conclusión, basada en estudios analíticos, fue confirmada por los resultados de pruebas experimentales. En consecuencia, la Sección C4(b) fue eliminada en el AISI 1996. En el AISI 1996 las ecuaciones de diseño para calcular los esfuerzos de pandeo elástico e inelástico fueron modificadas y se adoptaron las mismas ecuaciones de diseño usadas por las Especificaciones LRFD del AISC 1993. Dichas ecuaciones están incluidas en la Sección C4(a) del AISI 1996 y se expresan a continuación: 1. Para λc ≤ 1.5,

Fn = (0.658 λ c ) Fy

(6.13)

2. Para λc > 1.5,

 0.877  Fn =  2  Fy  λc 

(6.14)

2

donde Fn es el esfuerzo nominal de pandeo por flexión, el cual puede ser debido a pandeo elástico, 1/2 dependiendo del valor del parámetro de esbeltez de la columna λc = (Fy/Fe) , y Fe es el esfuerzo de pandeo elástico por flexión, torsión o flexotorsión, el que sea menor. Por consiguiente, la ecuación para determinar la resistencia nominal axial puede ser expresada como:

Pn = Ae Fn

(6.15)

Las ventajas principales del uso de las Ecs. (6.13) y (6.14) para el cálculo la resistencia nominal de compresión axial, Fn, son : 1. Las ecuaciones están basadas en un modelo de resistencia que se ha demostrado que es mas preciso por investigaciones recientes. 2. Las ecuaciones representan la resistencia nominal máxima considerando los efectos de deformaciones iniciales de la columna y se ajustan mejor a los resultados de pruebas de carga. Antes del AISI 1996, los efectos de las deformaciones iniciales se consideraban solo en el factor de seguridad, por lo que al ignorar el efecto en las ecuaciones de diseño, las ecuaciones de diseño predecían una resistencia nominal mayor a la obtenida en pruebas de carga. Por ejemplo, las

249

resistencias nominales predichas por las Ecs. (6.13) y (6.14) serán menores a las predichas por las Ecs. (6.3) y (6.7), respectivamente. Sin embargo, el factor de seguridad del AISI 1996 puede ser reducido para todos los valores de λc, ya que dicho factor no requiere considerar ya los efectos de las deformaciones iniciales. Usando los factores de seguridad y de resistencia adecuados, los resultados de los diseños obtenidos por los Métodos de ASD y LRFD serán aproximadamente los mismos para una relación de carga viva a carga muerta de 5.0. Las ecuaciones de diseño del AISI para el Método ASD (AISI 1986), para el Método LRFD (AISI 1991) y las especificaciones combinada ASD/LRFD (AISI 1996) se comparan en las Figs. 6.3 a 6.5. La Fig. 6.3 muestra que las ecuaciones de diseño del AISI 1996 predicen resistencias nominales menores a las del AISI 1986 y 1991. Debido al uso de un factor de seguridad relativamente menor en el AISI 1996, se puede observar en la Fig. 6.4 que la resistencia de diseño incrementa para columnas delgadas con un valor pequeño del parámetro de esbeltez y se reduce para valores grandes de dicho parámetro. Sin embargo, la diferencia será menor que 10%. Para el Método LRFD, la diferencia de la predicción de resistencia nominal axial dada por la ecuaciones de diseño del AISI 1991 y 1996 se muestra en la Fig. 6.5.

Fig 6.3 Comparativos entre ecuaciones de diseño para pandeo crítico

(4)

6.4 PANDEO TORSIONAL Y FLEXOTORSIONAL Usualmente las secciones cerradas no se pandean por torsión debido a su alta rigidez torsionante. Sin embargo, en el análisis de la estabilidad de secciones abiertas de pared delgada se deben contemplar tres modos de falla posibles (pandeo por flexión, por torsión y por flexotorsión). Cuando una columna de sección abierta se pandea por flexotorsión, la flexión y torsión de la sección ocurren simultáneamente [ver Fig. 6.6(a)]. Como consecuencia, la sección se desplaza un valor u y v en las direcciones x y y, respectivamente, y gira un ángulo φ con respecto al centro de cortante, como se muestra en la Fig. 6.6(b).

250

Fig. 6.4 Comparativo entre ecuaciones de diseño para el Método ASD

(4)

Fig. 6.5 Comparativo entre ecuaciones de diseño para el Método LRFD

(4)

251

(a)

(b) (4)

Fig. 6.6 Pandeo latero-torsional bajo compresión axial de un perfil de sección abierta. (a) Perfil C ; (b) (1) Historial de desplazamiento de una sección no simétrica durante el pandeo latero-torsional .

Las ecuaciones de equilibrio de una columna sujeta a una carga axial P conllevan a las siguientes ecuaciones diferenciales:

EI x v iv + Pv ′′ − Pxoφ ′′ = 0

(6.16)

EI y u + Pu ′′ + Py oφ ′′ = 0

(6.17)

EC wφ iv − (GJ − Pro )φ ′′ + Py o u ′′ − Pxo v ′′ = 0

(6.18)

iv

2

donde

Ix Iy u v φ xo yo E G

= momento de inercia con respecto al eje x = momento de inercia con respecto al eje y = desplazamiento lateral en la dirección x = desplazamiento lateral en la dirección y = ángulo de rotación = coordenada en x del centro de cortante. = coordenada en y del centro de cortante. = módulo de elasticidad = módulo de cortante

J

= constante de torsión de St. Venant dada por

Cw ECw GJ r0

= contante de alabeo por torsión de la sección = rigidez de alabeo = rigidez torsionante = radio de giro polar con respecto al centro de cortante, dado por

ro = rx + ry + xo + y o 2

rx, ry

2

2

J = ∑ I i ti

3

2

= radios de giro de la sección con respecto a los ejes x y y.

Todas las derivadas son con respecto a z, la dirección del eje longitudinal del miembro.

252 Considerando las condiciones de frontera de un miembro con extremos completamente fijos, en z = 0, L, se obtiene:

u =v =φ = 0 u ′ = v′ = φ ′ = 0

(6.19)

y para un miembro con extremos articulados, en z = 0, L, se obtiene:

u =v =φ = 0 u ′′ = v ′′ = φ ′′ = 0

(6.20)

Aplicando estas condiciones de frontera a las Ecs. (6.16) a (6.18) se obtiene la siguiente ecuación característica:

ro ( Pcr − Px )( Pcr − Py )( Pcr − Pz ) − Pcr y o ( Pcr − Px ) − Pcr xo ( Pcr − Py ) = 0

(6.21)

π 2 EI x donde Px = carga de pandeo por flexión de Euler con respecto al eje x = ( K x Lx ) 2

(6.22)

2

2

2

2

2

Py = carga de pandeo por flexión de Euler con respecto al eje y =

π 2 EI y (K y Ly ) 2

(6.23)

Pz = carga de pandeo por torsión con respecto al eje z =

 π 2 EC w  1 + GJ  2  2  ( K t Lt )  ro

   

(6.24)

KL = longitud efectiva de la columna; en teoría, para extremos articulados K = 1 y para extremos fijos K = 0.5. El modo de pandeo de la columna puede ser determinado por la Ec. (6.21). La carga crítica de pandeo es el valor menor de las tres raíces de Pcr. A continuación se presentan las ecuaciones para determinar la carga crítica de pandeo para varios tipos de secciones. 6.4.1 Secciones con Simetría Doble Para secciones con simetría doble, como las secciones I o en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la sección (ver Fig. 6.7), esto es xo = yo = 0. Para este caso, la ecuación característica [Ec. (6.21)] se reduce a:

( Pcr − Px )( Pcr − Py )( Pcr − Pz ) = 0

(6.25)

La carga crítica de pandeo es el valor menor de las siguientes tres soluciones:

( Pcr )1 = Px ( Pcr ) 2 = Py

(6.27)

( Pcr ) 3 = Pz

(6.28)

(6.26)

253

Fig. 6.7 Perfiles con simetría doble

(1)

Una inspección de estas soluciones posibles de la carga crítica de pandeo indica que para secciones con simetría doble, la columna falla ya sea por flexión pura o por torsión pura, dependiendo de la longitud de la columna y la configuración de la sección. Usualmente los miembros a compresión se dimensionan para que no estén sujetos a pandeo torsional. Sin embargo, si el diseñador desea evaluar el esfuerzo de pandeo torsional σt, la siguiente ecuación basada en la Ec. (6.18) puede ser usada:

π 2 EC w  1  σt = GJ +  2  ( K t Lt ) 2  Aro 

(6.29)

La carga crítica para pandeo por flexión fue ya discutida en el Art. 6.3. 6.4.2 Secciones con Simetría Simple Los perfiles angulares, sombrero, secciones T, C y U, así como las secciones I con patines desiguales (Fig. 6.8) son ejemplos de secciones con simetría simple. Si el eje x es el eje de simetría, yo = 0 por lo que la Ec. (6.21) se reduce entonces a:

[

]

( Pcr − Py ) ro ( Pcr − Px )( Pcr − Pz ) − ( Pcr xo ) 2 = 0 2

(6.30)

Para este caso, una de las soluciones esta dada por:

( Pcr )1 = Py =

π 2 EI y

(6.31)

(K y Ly ) 2

la cual es la ecuación de la carga crítica de pandeo por flexión con respecto al eje y. Las otras dos soluciones para la carga crítica de pandeo por flexotorsión puede obtenerse resolviendo la siguiente ecuación cuadrática:

ro ( Pcr − Px )( Pcr − Pz ) − ( Pcr xo ) 2 = 0 2

(6.32)

2

Si β = 1 – (xo/ro) , las raíces de la ecuación cuadrática son:

[

]

[

]

( Pcr ) 2 =

1 ( Px + Pz ) + ( Px + Pz ) 2 − 4 βPx Pz 2β

( Pcr ) 3 =

1 ( Px + Pz ) − ( Px + Pz ) 2 − 4 βPx Pz 2β

(6.33)

(6.34)

254

Fig. 6.8 Perfiles con simetría simple

(1)

Debido a que (Pcr)3 < (Pcr)2, la Ec. (6.34) puede usarse como la carga crítica para pandeo por flexotorsión, la cual siempre será menor que Px y Pz, pero podrá ser menor o mayor que Py [Ec. (6.23)] (ver Fig. 6.9). Dividiendo la Ec. (6.34) entre el área total de la sección, se obtiene la ecuación que representa el esfuerzo elástico de pandeo por flexotorsión:

σ TFO =

[

1 (σ ex + σ t ) − (σ ex + σ t ) 2 − 4 βσ exσ t 2β

]

(6.35)

donde σTFO es el esfuerzo elástico de pandeo por flexotorsión y σex = Px/A, σt = Pz/A.

Fig. 6.9 Comparación de Pcr con Px, Py y Pz para un perfil sombrero (KxLx = KyLy = KtLt = (1) L) .

En síntesis, una sección con simetría simple puede pandearse ya sea por flexión con respecto al eje y (asumiendo que el eje de simetría es el eje x) o por flexotorsión (flexión con respecto al eje x y torsión con respecto al centro de cortante), dependiendo de las dimensiones de la sección y la longitud efectiva de la columna. Por ejemplo, para la sección sombrero mostrada en la Fig. 6.9, la longitud crítica Lcr, que divide al modo de pandeo por flexión y al modo de pandeo por flexotorsión, puede obtenerse resolviendo para L de la ecuación Py = (Pcr)3. Esto significa que si L < Lcr, la carga de pandeo por flexotorsión, representada por la curva AB gobernará el diseño. Por el contrario, si L > Lcr, la capacidad de carga del miembro será limitada por la carga de pandeo por flexión Py, representada por la curva BC. Lo mismo se aplica a otros tipos de secciones con simetría simple, como las secciones angulares, T, canal e I con patines desiguales. Debido a que la evaluación de la carga crítica de pandeo por flexotorsión es mas compleja comparada con el cálculo de la carga de Euler, se han desarrollado curvas de diseño, basadas en resultados analíticos y experimentales, para diferentes tipos de secciones. El Manual de Diseño del AISI 1996 incluye ejemplares de dichas curvas. Una curva típica para una sección canal se muestra en la Fig. 6.10. Si la sección de la columna esta dimensionada de tal manera de que no ocurrirá el pandeo por flexotorsión para una longitud dada, el diseño de dicha columna puede

255

hacerse considerando solo pandeo por flexión y pandeo local. De lo contrario, se deberá considerar también el pandeo por flexotorsión.

Fig. 6.10 Modos de pandeo de un perfil C. (1 = solo pandeo latero2 torsional; 2 = el modo de pandeo depende del parámetro tL/a ; 3 = solo (1) pandeo por flexión) .

Como se indica en la Fig. 6.10, la posibilidad de pandeo global con respecto al eje x de una columna de sección con simetría simple puede considerarse para tres casos diferentes. El caso 1 es solo para pandeo por flexotorsión. Este caso en particular se caracteriza por secciones donde Iy > Ix. Cuando Ix > Iy, la sección falla conforme a los casos 2 o 3. Para el caso 2, el canal se pandea 2 ya sea por flexión o por flexotorsión, dependiendo de la relación b/a y el parámetro tL/a ; donde b es el ancho de patin, a es el peralte del alma, t es el espesor y L la longitud efectiva. Para una 2 2 sección canal y longitud de columna dada, si el valor de tL/a queda por arriba de la curva (tL/a )lim, la sección falla debido a pandeo por flexión. De lo contrario, la sección falla debido a pandeo por flexotorsión. En el caso 3, la sección siempre falla debido a pandeo por flexión, 2 independientemente del valor de tL/a . Las curvas de modos de pandeo para secciones angulares, canales y sombrero se muestran en las Fig. 6.11. Estas curvas se aplican solo a condiciones de extremo compatibles, esto es KxLx = KyLy = KtLt = L.

(a)

(b)

(c)

(1)

Fig. 6.11 Curvas de modos de pandeo . (a) Perfil angular; (b) Perfil C y (c) Perfil sombrero

La Parte V del Manual de Diseño del AISI 1996 incluye curvas de diseño como la mostrada en la Fig. 6.13 para determinar la longitud crítica de pandeo para perfiles C, angulares y sombrero. Usando estas curvas se puede determinar la longitud crítica de la columna directamente, dadas las dimensiones y configuración de la sección. Hasta este punto se ha discutido el pandeo por flexotorsión en el rango elástico, para el cual el valor del esfuerzo de compresión es menor que el límite de proporcionalidad. Los miembros de esbeltez pequeña o moderada se pandearán a un valor menor al dado por la teoría elástica si el valor calculado del esfuerzo de pandeo excede al límite de proporcionalidad. De manera análoga al caso de pandeo por flexión, el pandeo inelástico por flexotorsión puede obtenerse de las ecuaciones elásticas reemplazando a E por Et y a G por G(Et/E); donde Et es el

256

módulo tangencial, el cual depende de la relación efectiva esfuerzo-deformación de la sección total, o sea, para pandeo inelástico por flexotorsión se tiene que:

E ( Px ) T =  t E E ( Pz ) T =  t E

  Px    Pz  E  ( Pcr ) T =  t  Pcr E

(6.36)

(6.37)

(6.38)

Fig. 6.12 Curvas del AISI para determinar la longitud crítica de perfiles C (Si KL > Lcr, el modo de pandeo por (4) flexión será crítico; si KL < Lcr, el modo de pandeo por flexotorsión será crítico; Lcr en plg.) .

El valor de Et puede ser determinado mediante la siguiente expresión:

σ Et = CE   Fy

  1 − σ    F  y  

(6.39)

1 / Fy )(1 − σ pr / Fy )

(6.40)

donde

C=

(σ pr

257 y Fy y σpr son el esfuerzo de fluencia y el límite de proporcionalidad del acero, respectivamente. Los valores de C obtenidos de pruebas experimentales están dentro del rango de 3.7 a 5.1. Asumiendo σpr = 0.50Fy y subtituyendo en la Ec. (6.40) se obtiene C = 4. Substituyendo σ = σTFT y C = 4 en la Ec. (6.39) se obtiene:

Et = 4 E

σ TFT Fy

 σ TFT 1 −  Fy 

   

(6.41)

donde σTFT es el esfuerzo de pandeo inelástico por flexotorsión. Substituyendo la Ec. (6.41) en la (6.38), la siguiente expresión para σTFT puede ser obtenida:

Fy  σ TFT = Fy 1 −  4σ TFO

  

(6.42)

donde σTFO es el esfuerzo de pandeo elástico por flexotorsión dado por la Ec. (6.35). La Ec. (6.42) se ilustra gráficamente en la Fig. 6.13.

Fig. 6.13 Comportamiento estructural de columnas bajo pandeo flexotorsional

(1)

Para evaluar la precisión de la Ec. (6.42), se realizaron pruebas experimentales en columnas sujetas a pandeo elástico e inelástico por flexotorsión en la Universidad de Cornell. Los resultados de las pruebas inelásticas de columnas son comparados con la Ec. (6.42) en la Fig. 6.14. 6.4.3 Secciones con Simetría con Respecto a un Punto Para las secciones con simetría con respecto a un punto, como las secciones Z y en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la sección. Por consiguiente, xo = yo = 0. De manera análoga a secciones con simetría doble, la Ec. (6.21) se reduce a:

( Pcr − Px )( Pcr − Py )( Pcr − Pz ) = 0

(6.43)

258

Fig. 6.14 Correlación entre los resultados experimentales (1) y analíticos .

Por lo tanto, la sección falla ya sea por pandeo por flexión (Px o Py) o por pandeo por torsión (Pz), dependiendo de la configuración de la sección y de la longitud de la columna (los ejes x y y son ejes principales). Aunque aun no están disponibles las curvas para determinar el modo de pandeo para secciones Z, una investigación limitada realizada en la Universidad de Cornell demostró que las secciones Z simples con labios atiesadores fallan en pandeo simple de Euler, siempre y cuando la longitud efectiva para flexión con respecto al eje principal menor sea igual o mayor que la longitud efectiva por torsión (KLy ≥ KLt). 6.4.4 Secciones Asimétricas Si una sección abierta no tiene simetría con respecto a un eje o a un punto, las tres posibles cargas de pandeo Pcr son de flexotorsión. El valor menor de Pcr siempre es menor que el menor de los tres valores de Px, Py y Pz. En el diseño de secciones compactas asimétricas, el esfuerzo por pandeo elástico por flexotorsión, σTFO, puede ser calculado de la siguiente expresión mediante un procedimiento de aproximaciones sucesivas:

 σ TFO 3   σ exσ eyσ t 

2   α −  σ TFO   σ ey σ t  

  σ TFO 2 γ −    σ exσ t  

σ 2   β −  TFO   σ exσ ey  

 σ TFO σ TFO σ TFO + + + =1  σ ex σ σ ey t 

(6.44)

En los cálculos, la siguiente expresión puede ser usada para la primera aproximación:

[

]

σ TFO = (σ exσ ey + σ exσ t+σ ey σ t ) − (σ exσ ey + σ exσ t + σ eyσ t ) 2 − 4(σ exσ eyσ t )(γσ ex + βσ ey + σ t ) ξ (6.45) donde

ξ=

2(γσ ex

σ ex =

1 + βσ ey + σ t )

π 2E ( K x L x / rx ) 2

(6.46)

(6.47)

259

σ ey =

π 2E ( K y L y / ry ) 2

σt =

1 2 Aro

(6.48)

 π 2 EC w  + GJ   ( K t Lt ) 2   2

α = 1 – (xo/ro) – (yo/ro) 2 β = 1 – (xo/ro) 2 γ = 1 – (yo/ro)

(6.49)

2

Los términos E, KL, rx, ry, A, ro, G, xo, yo y Cw fueron previamente definidos. 6.5 EFECTO DEL LAMINADO EN FRIO SOBRE EL PANDEO DE COLUMNAS Los desarrollos expuestos en los Arts. 6.1 a 6.5 se basaron en la suposición de que los miembros a compresión tienen propiedades mecánicas uniformes en toda la sección. Sin embargo, como se ilustra en la Fig. 2.3, el esfuerzo de fluencia y la resistencia ultima del material varían según la ubicación considerada en la sección debido al efecto del laminado en frío. La resistencia de miembros sujetos a compresión axial con propiedades mecánicas variables en la sección puede ser calculada mediante la Ec. (6.52), si se subdivide a la sección en subáreas j, donde cada subárea tiene propiedades mecánicas constantes.

σT =

π2 A( KL) 2

j

∑E i =1

I

(6.52)

ti i

donde Eti = módulo tangente de la subárea i bajo un valor particular de deformación unitaria. Ii = momento de inercia de la subárea i con respecto al eje neutro de la sección total. Con el propósito de investigar la resistencia de miembros a compresión de acero laminado en frío sujetos a carga axial, se probaron en la Universidad de Cornell especímenes de secciones canal espalda con espalda y de vigas “joist”. Los resultados de las pruebas se comparan gráficamente con las Ecs. (6.5), (6.7) y (6.52) en la Fig. 6.16(a) y (b).

(a)

(b) (1)

Fig. 6.16 Comparación entre curvas de comportamiento de columnas . (a) Perfiles C; (b) Perfiles de cuerdas de joists.

260

Considerando los resultados de pruebas expuestos en la Fig. 6.16, puede concluirse que con la excepción de dos pruebas secciones canal, la Ec. (6.52) muestra una mejor correlación, ya que considera la variación de las propiedades mecánicas. Las Ecs. (6.5) y (6.7), basadas en el esfuerzo de fluencia promedio a tensión y compresión, también predicen satisfactoriamente el esfuerzo de pandeo inelástico con una precisión razonable, en particular para columnas con relaciones de esbeltez de aproximadamente 60. La Ec. (6.7) puede proveer un límite inferior del esfuerzo de pandeo de la columna si se usara el esfuerzo de fluencia de tensión. 6.6 MIEMBROS A COMPRESION CON UN PATIN CONECTADO A UNA LAMINA DE MURO O CUBIERTA Para secciones C y Z con un patín conectado a una lámina de muro o cubierta y el otro patín sin apoyo lateral, la capacidad bajo carga axial es menor que la de un miembro con apoyo lateral adecuado, pero es mayor que la de un miembro sin apoyos laterales. La restricción parcial contra el pandeo con respecto al eje menor está en función de la restricción rotacional provista por la conexión lámina-polín. La Ec. (6.61) incluida en la Sección C4.4 (ver Art. 6.7) puede usarse para calcular la resistencia con respecto al eje débil si la conexión lámina-polín cumple con todas las restricciones dadas en dicha Sección. La ecuación fue desarrollada en 1994 como resultado de diversas investigaciones realizadas en la década de 1980-90 y no es aplicable a secciones conectadas a cubiertas engargoladas con costuras sobresalientes. No se contempla en el AISI 1996 una limitación en el valor máximo de Fy de secciones C y Z ya que la Ec. (6.61) esta basada en criterios de pandeo elástico. Tampoco se establece una limitación en la longitud mínima, ya que la Ec. (6.61) es conservadora para claros menores que 4.6 metros. La resistencia con respecto al eje fuerte se determina asumiendo que el eje débil de la columna tiene apoyo lateral adecuado. La resistencia gobernante (el menor valor de la resistencia con respecto al eje fuerte y débil) puede usarse en las ecuaciones de diseño para determinar la capacidad bajo combinación de carga axial y momento flexionante de columnas. 6.7 ECUACIONES DE DISEÑO DEL AISI PARA MIEMBROS SUJETOS A COMPRESION AXIAL Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño de columnas:

Pn ≥ ∑ Pi Ωc

1. Método ASD:

Pa =

2. Método LRFD:

φ c Pn ≥ ∑ γ i Pi

Donde

Pa = resistencia permisible a compresión axial Ωc = factor de seguridad para compresión axial ΣPi = combinación aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) φc = factor de resistencia por compresión axial γi = factor de carga correspondiente a la carga Pi ΣγiPi = combinación aplicable de cargas factorizadas (ver Art. 3.3.2) Pn = resistencia nominal de compresión axial determinada según la Sección C4.

A continuación se presentan las especificaciones de diseño del AISI 1996 (Sección C4) para miembros sujetos a compresión axial.

261 C4 Miembros Sujetos a Compresión Axial.

Esta sección se aplica a miembros cuya resultante de cargas es una carga axial actuando sobre el centroide de la sección efectiva calculada bajo un esfuerzo Fn, definido en esta sección. (a) La resistencia nominal axial, Pn, deberá ser calculada de la siguiente manera:

Pn = Ae Fn

(6.53)

Ωc = 1.80 (ASD) φc = 0.85 (LRFD) donde: Ae = área efectiva bajo un esfuerzo Fn. Para secciones con agujeros circulares, Ae deberá determinarse de acuerdo a la Sección B2.2a (ver Art. 6.3.4) y sujeta a las limitantes de dicha sección. Si el número de agujeros en la longitud efectiva multiplicado por el diámetro del agujero dividido entre la longitud efectiva no excede a 0.015, Ae puede ser determinado ignorando los agujeros. Fn = Resistencia nominal a compresión axial determinada de la siguiente manera: Para λc ≤ 1.5

Fn = (0.658 λ c ) Fy

(6.54)

Para λc > 1.5

 0.877  Fn =  2  Fy  λc 

(6.55)

2

Donde:

λc =

Fy Fe

(6.56)

Fe = Valor menor de los esfuerzos de pandeo por flexión, torsión y flexotorsión calculados de acuerdo a como se indica a continuación en las Secciones C4.1 a C4.3. (b) Las secciones angulares deberán diseñarse para un momento flexionante adicional como se especifica en las definiciones de Mx, My (ASD) o Mux, Muy (LRFD) en la Sección C5.2 (ver Capítulo 7). (c) La relación de esbeltez KL/r para todos los miembros a compresión preferiblemente no deberá exceder 200, excepto solo durante la etapa constructiva, donde dicha relación preferiblemente no deberá exceder 300. C4.1 Secciones no Sujetas a Pandeo por Torsión o Flexotorsión

Para secciones con simetría doble, secciones cerradas y otras secciones, para las cuales se pueda demostrar que no están sujetas a pandeo por torsión o flexotorsión, el esfuerzo elástico de pandeo por flexión deberá determinarse de la siguiente manera (ver Art. 6.3.1):

Fe =

π 2E ( KL / r ) 2

(6.57)

262 Donde: E = módulo de sección. K = factor de longitud efectiva L = longitud no apoyada del miembro r = radio de giro de la sección total no reducida. Para marcos donde la estabilidad lateral es provista por contravientos diagonales, muros de cortante, por conexiones a otras estructuras con estabilidad lateral adecuada, por losas de piso o decks de cubierta unidas horizontalmente a muros o sistemas de contravientos paralelos al plano del marco y en armaduras, el factor de longitud efectiva K, para miembros a compresión que no dependen de su propia rigidez flexionante para la estabilidad lateral del marco o armadura, deberá tomarse como la unidad, a menos que se puede demostrar mediante un procedimiento analítico racional que un valor menor puede ser usado. Para marcos que dependen de su rigidez flexionante para su estabilidad lateral, la longitud efectiva KL de los miembros a compresión deberá determinarse mediante un método racional y no deberá ser menor que la longitud real no apoyada del miembro. Ver Art. 6.8 para mayor información en la determinación de los valores de diseño de la longitud efectiva KL. C4.2 Secciones con Simetría Doble y Simple Sujetas a Pandeo Torsional o Flexotorsionante

Para secciones sujetas a pandeo torsional o flexotorsional, Fe deberá tomarse como el valor menor calculado mediante la Sección C4.1 y Fe calculado de la siguiente manera (ver Art. 6.4.2):

Fe = Donde:

[

1 (σ ex + σ t ) − (σ ex + σ t ) 2 − 4 βσ exσ t 2β

]

β = 1 − ( xo / ro ) 2

(6.58)

(6.59)

De manera alternativa, una estimación conservadora de Fe puede ser obtenida mediante la siguiente expresión:

Fe =

σ t σ ex σ t + σ ex

(6.60)

donde σt y σex se definen en la Sección C3.1.2(a) (ver Art. 5.2.3.3). Para secciones con simetría simple, el eje x se asume que es el eje de simetría. C4.3 Secciones No Simétricas

Para secciones sin simetría, Fe deberá determinarse mediante un análisis racional (ver Art. 6.4.4). De manera alternativa, los miembros a compresión compuestos de dichas secciones pueden ser sometidos a las pruebas especificadas en el Capitulo F. C4.4 Miembros a Compresión con un Patín Conectado a Lámina de Muro y Cubierta

Estas especificaciones aplican a secciones C y Z sujetas a carga concéntrica con respecto a su eje longitudinal, con un solo patín conectado mediante tornillos o pijas a láminas de muro o cubierta (ver Art. 6.6). La resistencia nominal a compresión axial de secciones C y Z con claros simples y continuos deberá determinada de la siguiente manera: (a) Para resistencia nominal, Pn, con respecto al eje débil

Pn = C1C 2 C 3 AE / 29500 kip ( o kg)

(6.61)

263 Ωc = 1.80 (ASD) φc = 0.85 (LRFD) donde:

C1 = (0.79x – 0.54) C2 = (1.17t + 0.93) cuando t esta en plg. C2 = (0.0461t + 0.93) cuando t esta en mm. C3 = (2.5b – 0.63d + 22.8) cuando b y d están en plg. C3 = (0.0984b – 0.0642d + 22.8) cuando b y d están en mm. Para secciones Z: x = a/b Para secciones C: x = (b – a)/b a = distancia del centro de línea de sujetadores con respecto a la orilla externa del alma. b = ancho total de patín t = espesor de la sección C o Z b = ancho de patín de la sección C o Z d = peralte de la sección C o Z A = área total no reducida de la sección C o Z E = módulo de elasticidad del acero = 29,500 ksi para unidades inglesas 6 2 = 2.073 x 10 kg/cm para unidades métricas.

La Ec. (6.61) deberá estar limitada a sistemas de muro y cubierta que cumplen con las siguientes condiciones: t no excede a 0.125 plg. (3.22 mm). 6 plg. (152 mm) ≤ d ≤ 12 plg. (305 mm). Los patines son elementos con atiesadores de orilla. 70 ≤ d/t ≤ 170 2.8 ≤ d/b ≤ 5 16 ≤ w/t ≤ 50 Ambos patines están impedidos para desplazarse lateralmente en los apoyos. Láminas de muro o cubierta con sujetadores colocados a separaciones de 12 plg. (305 mm) o menos y con una rigidez lateral torsional de 0.0015 kip/plg./plg. (10,300 N/m/m), determinada con el procedimiento de prueba del AISI (ver “Método de Prueba de Rigidez Lateral Torsionante para Ensambles de Vigas y Láminas”, del Manual de Diseño del AISI 1996, Parte VII). 2 9. Secciones C y Z con valores mínimos de Fy de 2319 kg/cm . 10. Para resistencia nominal con respecto al eje fuerte, se deberán usar las ecuaciones contenidas en la Sección C4 y C4.1 del AISI 1996.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Además de las discusiones dadas en los Arts. 6.2 a 6.5, los siguientes comentarios se relacionan con algunas de las especificaciones de diseño del AISI: 1. Ecuación Simplificada para Pandeo Flexotorsional. La ecuación simplificada para pandeo flexotorsionante [Ec. (6.60)] esta basada en la siguiente ecuación desarrollada por Pekoz y Winter:

1 1 1 = + PTFO Px Pz

(6.65)

o

1 σ TFO

=

1 1 + σ ex σ t

(6.66)

264 2. Relación de Esbeltez Máxima. En la Sección C4(d) de la especificación del AISI, la relación de esbeltez máxima para miembros a compresión se limita a 200, excepto en la etapa constructiva, donde KL/r se limita a 300. Esta limitación es la misma usada por el AISC para el diseño de perfiles laminados en caliente. Aun cuando las formulas de diseño son aplicables a relaciones de esbeltez mayores que 200, el uso de columnas muy esbeltas resulta en un diseño antieconómico debido a su baja resistencia contra el pandeo. 6.8 FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K En el diseño de estructuras de acero los contravientos laterales son usados para resistir cargas laterales, tales como viento y sismo, o para incrementar la resistencia de miembros impidiendo su deformación en la dirección débil. El uso de dichos contravientos puede afectar el diseño de los miembros a compresión. En los Arts. 6.3 a 6.7, la longitud efectiva KL de columnas es requerida para determinar los esfuerzos de pandeo. El factor K (la relación entre la longitud efectiva de la columna y la longitud real no apoyada) representa la influencia de la restricción rotacional y translacional de los extremos de la columna. Los valores teóricos de K y los valores de diseño recomendados por el Consejo de Investigación de Estabilidad Estructural (SSRC) se muestran en la Tabla 6.1. En diseño, el valor de K = 1 puede ser usado en columnas o puntales con contraventeo en cruz, de diafragma, con muros de cortante, o cualquier otro sistema que impida desplazamiento horizontal relativo en ambos extremos de la columna. Si la translación es impedida y se provee restricción rotacional en uno o ambos extremos del miembro, un valor de K menor que la unidad puede ser usado. Tabla 6.1 Factor de Longitud Efectiva K para Columnas Cargadas Axialmente (1) con varias Condiciones de Extremo .

En el diseño de armaduras, se ha observado que una restricción rotacional considerable puede ser lograda por la continuidad de la cuerda de compresión mientras la cuerda de tensión no fluya. Al aproximarse la carga de colapso, los esfuerzos en los miembros se aproximan al esfuerzo de fluencia, lo cual reduce considerablemente la restricción rotacional que pueden proveer. Por lo

265

tanto, la restricción rotacional provista por los miembros a tensión no puede considerarse en el diseño, independientemente de que las conexiones sean atornilladas, soldadas o con pijas. Por esta razón, los miembros a compresión de las armaduras deben diseñarse considerando K = 1. Sin embargo, cuando el patín superior del miembro a compresión se conecta directamente a la lámina de cubierta, investigaciones recientes realizadas en la década de 1990 han indicado que el valor de K puede ser tomado como 0.75. Para marcos no contraventeados, la estructura depende de su propia rigidez flexionante para su estabilidad lateral. Si un marco portal no es contraventeado en su plano para impedir la translación, la longitud efectiva KL es mayor que la longitud real no apoyada (K > 1), como se ilustra en la Fig 6.17. Esto resulta en una reducción de la capacidad de carga de la columna si la translación no es impedida.

Fig. 6.17 Marco rígido con libertad de translación

(1)

Los valores de K para diseño de marcos con translación libre e impedida, con uno o varios niveles y con una o varias crujías pueden ser obtenidos gráficamente a través de los nomogramas mostrados en la Fig. 6.18. En los nomogramas, el valor de G esta dado por:

G=

∑ (I ∑ (I

c

/ Lc )

b

/ Lb )

donde Ic es el momento de inercia con respecto al eje perpendicular al plano de flexión de la columna (puede ser Ix o Iy, dependiendo de la orientación de la sección de la columna con respecto al plano de flexión), Lc es la longitud no apoyada de la columna, Ib es el momento de inercia con respecto al eje perpendicular al plano de flexión de la viga (en general para vigas es Ix) y Lb es la longitud no apoyada de la viga. En diseño, cuando la columna esta unida en conexión simple con la cimentación, el valor teórico de G es infinito, pero a menos que la conexión haya sido expresamente diseñada como una articulación libre de fricción, el valor puede considerarse como 10. Si la conexión columna a cimentación es rígida, el valor de G puede considerarse como 1. En el uso de los nomogramas, la rigidez de las vigas Ib/Lb debe multiplicarse por el siguiente factor cuando las condiciones en el extremo opuesto de la viga son desconocidas: 1. Translación Lateral Impedida: 1.5 si el extremo opuesto de la viga es articulado. 2.0 si el extremo opuesto de la viga es fijo.

266

2. Translación Lateral Libre: 0.50 si el extremo opuesto de la viga es articulado. 0.67 si el extremo opuesto de la viga es fijo. Después de determinar GA y GB para los extremos A y B de la columna, el valor de K se obtiene de los nomogramas, trazando una línea recta desde los puntos apropiados de las escalas de GA y GB, tomando como el valor de K al punto de intersección de la línea recta con la escala de K.

(1)

Fig. 6.18 Nomogramas para la determinación del factor de longitud efectiva K

6.9 EJEMPLOS DE DISEÑO Ejemplo 6.1 Calcule la carga axial de diseño por el Método ASD y LRFD para la columna de 2 sección tubular cuadrada mostrada en la Fig. 6.19. Asuma Fy = 2811 kg/cm y KxLx = KyLy = 3 metros.

(1)

Fig. 6.19. Ejemplo 6.1 (cotas del perfil en mm) .

1. Cálculo de las Propiedades de la Sección A. Propiedades de las Esquinas Para el Caso I del Apéndice A: r = R + t/2 = 4.763 + 2.667/2 = 6.097 mm L = 1.57r = 1.57(6.097) = 9.572 mm c = 0.637r = 0.637(6.097) = 3.884 mm 2 Area de una esquina, Aesq = Lt = 9.572(2.667) = 25.529 mm

267 3

3

4

Momentos de inercia, Ix = Iy = 0.149r t = 0.149(6.097) (2.667) = 90.065 mm ≈ 0 Coordenadas centroidales con respecto a la fibras exteriores: xe = ye = (r – c) + t/2 = (6.097 – 3.884) + 2.667/2 = 3.547 mm Coordenadas centroidales con respecto a los ejes principales x y y. x = y = B/2 – ye = 203.200/2 – 3.547 = 98.053 mm B. Propiedades de Patines y Almas w = B – 2(R + t) = 203.200 – 2(4.763 + 2.667) = 188.340 mm 3 Area de un patín y/o alma, A = wt = 188.340(2.667) = 502.303 mm 3 3 Momento de inercia con respecto a x: Almas: Ix = (1/12)w t = (1/12)(188.340) (2.667) 4 = 1484805.159 mm Patines: Ix ≈ 0 4 Momento de inercia total con respecto a x: ΣIxx = 2(1484805.159) = 2969610.318 mm Momento de inercia con respecto a y: Almas: Iy ≈ 0 3 3 Patines: Iy = (1/12)w t = (1/12)(188.340) (2.667) 4 = 1484805.159 mm 4 Momento de inercia total con respecto a y: ΣIyy = 2(1484805.159) = 2969610.318 mm Coordenadas centroidales con respecto a los eje principales x y y: Almas: x = B/2 – t/2 = (203.200 – 2.667)/2 = 100.267 mm; y = 0 Patines: x = 0; y = B/2 – t/2 = (203.200 – 2.667)/2 = 100.267 mm C. Propiedades de la Sección Tubular 2

2

Area total, ΣA = 4(wt + Aesq) = 4(502.303 + 25.529) = 2111.328 mm = 21.113 cm Momentos de inercia con respecto a x y y: 2 2 2 Ix = ΣIxx + ΣAy = 2969610.318 + 2(502.303)(100.267) + 4(25.529)(98.053) 4 4 Ix = 14051171.030 mm = 1405.117 cm En este caso Iy = Ix 1/2 1/2 Radios de giro: rx = ry = (Ix/A) = (1405.117/21.113) = 8.158 cm 2. Cálculo de la Resistencia Nominal para Compresión Axial

Debido a su alta rigidez a la torsión, las secciones cerradas solo están sujetas a pandeo por flexión. Según la Sección C4.1, la resistencia al pandeo elástico de secciones cerradas está dada por la Ec. (6.57). El factor de longitud efectiva de la columna está dada por Ky = Kx = 1.0. Por lo tanto, la relación de esbeltez de la columna será: (KL/r)x = (KL/r)y = 1.0(300)/8.158 = 36.774 < 200, OK 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(36.774) = 15129.247 kg/cm 1/2 Factor de esbeltez, λc: Ec. (6.56): λc = (2811/15129.247) = 0.431 Como λc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelástico dada por la Ec. (6.54). En este 2 2 caso λc = (0.431) = 0.186 (0.186) 2 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]2811 = 2600.464 kg/cm . 3. Cálculo del Area Efectiva, Ae Como la sección tubular está compuesta por cuatro elementos atiesados a compresión, el ancho efectivo de cada elemento puede ser calculado mediante las Ecs. (4.36) y (4.37) usando k = 4. 2 Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 2600.464 kg/cm 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4) [(188.340/2.667)(2600.464/2.073x10 ) ] = 1.316 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.316)/1.316 = 0.633 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.633(188.340) = 119.219 mm 2 El área efectiva será, Ae = A – 4(w – b)t = 2111.328 – 4(188.340 – 119.219)2.667 = 1373.945 mm 2 = 13.739 cm

268 4. Cálculo de la Carga Axial de Diseño La carga nominal de diseño está dada por la Ec. (6.53): Pn = 13.739(2600.464) = 35727.775 kg = 35.728 Ton. Método ASD: Pa = Pn/Ωc, donde Ωc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 35.728/1.80 = 19.489 Ton. Método LRFD: Pu = φcPn, donde φc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(35.728) = 30.369 Ton. Ejemplo 6.2 Revisar si la sección I mostrada en la Fig. 6.20 puede ser usada como un miembro a compresión para soportar una carga axial de 11.35 Ton. Asuma que la relación de cargas (D/L) es 2 1/5. Asuma también que Kx = Ky = 1.0, Lx = 3.66 m, Ly = 1.83 m, KtLt = 1.83 m y Fy = 2319 kg/cm .

(1)

Fig. 6.20 Ejemplo 6.2 (cotas en mm) .

1. Cálculo de las Propiedades Geométricas Usando las ecuaciones del Art. A3.3 del Apéndice A se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 14.452 cm 4 Ix = 919.871 cm 4 Iy = 174.817 cm

rx = 8.001 cm ry = 3.480 cm ro = 8.725 cm

xo = 0.0 cm 4 J = 0.174 cm 6 Cw = 18985.486 cm

Cabe mencionar que en el Art. A3.3 el eje y es el eje perpendicular al plano del alma, ya que dicho artículo considera una sección I con patines desiguales y el AISI considera al eje x como el eje de simetría. Por consiguiente, el valor de Ix calculado según el Apéndice A será el valor de Iy según la Fig. 6.20 y viceversa. Lo mismo aplica a los valores del radio de giro. Estos ajustes ya estan reflejados en los valores de las propiedades geométricas dadas arriba. 2. Cálculo de la Resistencia Nominal para Compresión Axial Las secciones con simetría doble no requieren ser revisadas por pandeo latero-torsional, solo por pandeo por flexión con respecto al eje débil. •

Resistencia debida a pandeo por flexión con respecto al eje débil.

La resistencia se calcula según la Sección C4.1, Ec. (6.57). El eje débil a flexión es el que genera la relación de esbeltez mayor: (KxLx/rx) = 1.0(366)/8.001 = 45.744 (KyLy/ry) = 1.0(183)/3.480 = 52.586 Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 52.586. 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(52.586) = 7398.757 kg/cm 1/2 Factor de esbeltez, λc = (2319/7398.757) = 0.560 Como λc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelástico dada por la Ec. (6.54). En este 2 2 caso λc = (0.560) = 0.314 (0.314) 2 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]2319 = 2033.404 kg/cm .

269 3. Cálculo del Area Efectiva, Ae A. Ancho Efectivo de Patines 2

Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 2033.404 kg/cm w2 = 152.400/2 – 2(2.381 + 1.905) = 67.628 mm w2/t = 67.628/1.905 = 35.500 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /2033.404) = 40.869; S/3 = 40.869/3 = 13.623 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 17.780 mm; θ = 90° d = w1 = D – (R + t) = 17.780 – (2.381 + 1.905) = 13.494 mm d/t = 13.494/1.905 = 7.083 < 14, OK 3 3 4 Is = d t/12 = (13.494) (1.905)/12 = 390.064 mm D/w2 = 17.780/67.628 = 0.263 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.263) = 3.935 < 4.0, OK Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 Ec. (4.59): Ia/t = 399[35.500/40.869 – (0.43/4) ] = 63.093 4 4 Ia = 63.093(1.905) = 830.921 mm Ec. (4.60): C2 = 390.064/830.921 = 0.469 < 1.0, OK 1/2 Ec. (4.62): k = (0.469) (3.935 – 0.43) + 0.43 = 2.830 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(2.830) [(35.500)(2033.404/2.073x10 ) ] = 0.695 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.695)/0.695 = 0.983 Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 0.983(67.628) = 66.504 mm B. Ancho Efectivo de Labios Atiesadores En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 7.083. 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(7.083)(2033.404/2.073x10 ) ] = 0.356 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(13.494) = 13.494 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.469(13.494) = 6.329 mm C. Ancho Efectivo de Almas En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. w3 = 203.200 – 2(2.381 + 1.905) = 194.628 mm w3/t = 194.628/1.905 = 102.166 < 500, OK Determinación del peralte efectivo, d Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(102.166)(2033.404/2.073x10 ) ] = 1.683 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.683)/1.683 = 0.517 Ancho efectivo de diseño, d = ρw3 = 0.517(194.628) = 100.623 mm

270 D. Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [4(ds’ – ds) + 4(w2 – b) + 2(w3 – d)]t Ae = 1445.2 – [4(13.494 – 6.329) + 4(67.504 – 66.505) + 2(194.628 – 100.623)]1.905 2 2 = 1024.831 mm = 10.248 cm 4. Cálculo de la Carga Axial de Diseño Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn = 10.248(2033.404) = 20838.324 kg = 20.838 Ton. Carga aplicada en la columna, P = 11.35 Ton. Método ASD: Pa = Pn/Ωc, donde Ωc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 20.838/1.80 = 11.577 Ton Pa = 11.577 Ton > 11.35 Ton, OK Método LRFD: Pu = φcPn, donde φc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(20.838) = 17.712 Ton Relación de cargas D/L = 1/5. Por lo tanto, L = 5D. Pu = 1.2PD + 1.6PL = 1.2PD + 1.6(5PD) = 9.2PD = 17.712 Ton. Por lo tanto: PD = 17.712/9.2 = 1.925 Ton PL = 5PD = 5(1.925) = 9.626 Ton PD + PL = 1.925 + 9.626 = 11.551 Ton > 11.35 Ton, OK Ejemplo 6.3 Para la sección canal mostrada en la Fig. 6.21 determinar lo siguiente: 1. La longitud crítica Lcr para que controle el pandeo flexotorsional. 2. La carga axial de diseño por el Método ASD y LRFD si la carga es aplicada a través del centroide de la sección efectiva. 2

Asuma que KxLx = KyLy = KtLt = 1.83 m y Fy = 3514 kg/cm

(1)

Fig. 6.21 Ejemplo 6.3 (cotas en mm)

1. Cálculo de las Propiedades Geométricas Usando las ecuaciones del Art. A3.2 del Apéndice A se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 11.768 cm 4 Ix = 718.415 cm 4 Iy = 63.642 cm

rx = 7.813 cm ry = 2.327 cm ro = 9.200 cm

xo = 4.260 cm 4 J = 0.461 cm 6 Cw = 4540.136 cm

m = 2.642 cm

271 2. Determinación de Lcr El valor de Lcr establece el valor de la longitud efectiva de la columna que divide el modo de pandeo por flexión del de flexotorsión. Dicho valor puede ser obtenido de manera gráfica o mediante una solución analítica. A. Solución Gráfica. Para una sección canal, el valor de Lcr puede ser obtenido de la Fig. 6.12. A continuación se presenta el cálculo de los parámetros básicos:

a = 203.200 – 3.429 = 199.771 mm b = 76.200 – 3.429/2 = 74.486 mm c = 0.0 cm b / a = 74.486/199.771 = 0.373 c /a =0 t / a 2 = 3.429/(199.771)2 = 0.0000859 mm-1 = 0.0022 plg-1 Se puede observar en la Fig. 6.12 que debido al valor pequeño de valor preciso de Lcr mediante la solución gráfica.

t / a 2 , no se puede obtener un

B. Solución Analítica Como se puede observar en la Fig. 6.9, el valor de Lcr se puede obtener de la Ec. (6.34), usando Py = (Pcr)3.

Py = ( Pcr ) 3 =

[

1 ( Px + Pz ) − ( Px + Pz ) 2 − 4 βPx Pz 2β

]

Al dividir la ecuación anterior entre el área se obtiene la Ec. (6.35):

σ ey = σ TFO =

[

1 (σ ex + σ t ) − (σ ex + σ t ) 2 − 4 βσ exσ t 2β

]

Asumiendo que KxLx = KyLy = KtLt = L y substituyendo en las Ecs. (5.67) a (5.69) se obtiene: 2

6

2

Ec. (5.67): σex = π (2.073x10 )/[L/7.813] 2 6 2 Ec. (5.68): σey = π (2.073x10 )/[L/2.327] 2 6 2 6 2 Ec. (5.69): σt = 1/[11.768(9.200) ][7.941x10 (0.461) + π (2.073x10 )(4540.136)/L ] Substituyendo estas expresiones en la Ec. (6.35) y resolviendo para L se obtiene Lcr = 231.140 cm. 3. Cálculo de la Resistencia Nominal para Compresión Axial Como L = 183 cm < Lcr y el perfil C es una sección abierta con simetría simple, controla la resistencia por pandeo latero-torsional sobre la resistencia por pandeo por flexión. En caso de que se desconozca el valor de Lcr se deben investigar ambas resistencias y seleccionar la menor como la resistencia nominal. Para efectos ilustrativos, se calcularán ambas resistencias para demostrar que la resistencia por pandeo latero-torsional controla.

272 •

Resistencia debida a pandeo latero-torsional.

La resistencia se calcula según la Sección C4.2, Ec. (6.58). Asuma Kx = Ky = Kt = 1.0. 2 Ec. (6.59): β = 1 – (4.260/9.200) = 0.786 2 6 2 2 Ec. (5.67): σex = π (2.073x10 )/[183.000/7.813] = 37293.446 kg/cm 2 5 2 6 2 Ec. (5.69): σt = 1/[11.768(9.200) ][7.941x10 (0.461) + π (2.073x10 )(4540.136)/(183) ] 2 = 3152.292 kg/cm Ec. (6.58): 2 Fe = 1/[2(0.786)]{(37293.446 + 3152.292) – [(37293.446 + 3152.292) 1/2 2 – 4(0.786)(37293.446)(3152.292)] } = 3092.453 kg/cm •

Resistencia debida a pandeo por flexión con respecto al eje débil.

La resistencia se calcula según la Sección C4.1, Ec. (6.57). El eje débil a flexión es el que genera la relación de esbeltez mayor: (KxLx/rx) = 1.0(183)/7.813 = 23.423 (KyLy/ry) = 1.0(183)/2.327 = 78.642 Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 78.642 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(78.642) = 3308.186 kg/cm 2 2 Como 3308.186 kg/cm > 3092.453 kg/cm , controla el pandeo latero-torsional, tal como lo predijo la condición Lcr > L. 1/2

Factor de esbeltez, λc = (3514/3092.453) = 1.066 Como λc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelástico dada por la Ec. (6.54). En este 2 2 caso λc = (1.066) = 1.136 (1.136) 2 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]3514 = 2184.270 kg/cm . 4. Cálculo del Area Efectiva, Ae A. Ancho Efectivo de Patines 2

Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 2184.270 kg/cm w1 = 76.200 – (4.763 + 3.429) = 68.008 mm w1/t = 68.008/3.429 = 19.833 < 60, OK Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(19.833)(2184.270/2.073x10 ) ] = 1.033 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.033)/1.033 = 0.762 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.762(68.008) = 51.822 mm B. Ancho Efectivo de Alma En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. w2 = 203.200 – 2(4.763 + 3.429) = 186.816 mm w2/t = 186.816/3.429 = 54.481 < 500, OK Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(54.481)(2184.270/2.073x10 ) ] = 0.930 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.930)/0.930 = 0.821 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.821(186.816) = 153.376 mm C. Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [2(w1 – b) + (w2 – d)]t 2 2 Ae = 1176.8 – [2(68.008 – 51.822) + (186.816 – 153.376)]3.429 = 951.131 mm = 9.511 cm

273 5. Cálculo de la Carga Axial de Diseño Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn = 9.511(2184.270) = 20774.592 kg = 20.775 Ton. Método ASD: Pa = Pn/Ωc, donde Ωc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 20.775/1.80 = 11.541 Ton Método LRFD: Pu = φcPn, donde φc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(20.775) = 17.658 Ton Ejemplo 6.4 Determinar la carga axial de diseño según el Método ASD y LRFD para el perfil C mostrado en la Fig. 6.22. Considere que la columna tiene apoyo lateral en los extremos contra el pandeo con respecto al eje x y apoyo lateral en los extremos y al centro del claro contra el pandeo 2 por torsión y con respecto al eje y. Considere Fy = 2319 kg/cm .

Fig. 6.22 Ejemplo 6.4 (cotas (4) en mm) .

1. Cálculo de las Propiedades Geométricas Usando las ecuaciones del Art. A3.2 del Apéndice A se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 2.277 cm 4 Ix = 32.882 cm 4 Iy = 2.023 cm

rx = 3.810 cm ry = 0.942 cm ro = 4.242 cm

xo = 1.623 cm 4 J = 0.0156 cm 6 Cw = 37.058 cm

m = 1.008 cm

2. Cálculo de la Resistencia Nominal para Compresión Axial El perfil C es una sección abierta con simetría simple, por lo que se deberá investigar la resistencia por pandeo latero-torsional y la resistencia por pandeo por flexión. •

Resistencia debida a pandeo latero-torsional.

La resistencia se calcula según la Sección C4.2, Ec. (6.58). Asuma Kx = Ky = Kt = 1.0. En este caso, Lx = 122.000 cm, Ly = Lt = 61.000 cm. 2 Ec. (6.59): β = 1 – (1.623/4.242) = 0.854 2 6 2 2 Ec. (5.67): σex = π (2.073x10 )/[122.000/3.810] = 19953.971 kg/cm

274 2

5

2

6

2

Ec. (5.69): σt = 1/[2.277(4.242) ][7.941x10 (0.0156) + π (2.073x10 )(37.058)/(61.000) ] 2 = 5275.323 kg/cm Ec. (6.58): 2 Fe = 1/[2(0.854)]{(19953.971 + 5275.323) – [(19953.971 + 5275.323) 1/2 2 – 4(0.854)(19953.971)(5275.323)] } = 5028.033 kg/cm •

Resistencia debida a pandeo por flexión con respecto al eje débil.

La resistencia se calcula según la Sección C4.1, Ec. (6.57). El eje débil a flexión es el que genera la relación de esbeltez mayor: (KxLx/rx) = 1.0(122)/3.810 = 32.021 (KyLy/ry) = 1.0(61)/0.942 = 64.756 Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 64.756 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(64.756) = 4879.092 kg/cm 2 2 Como 5028.033 kg/cm > 4879.092 kg/cm , controla el pandeo por flexión con respecto al eje y. 1/2 Factor de esbeltez, λc = (2319/4879.092) = 0.689 Como λc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelástico dada por la Ec. (6.54). En este 2 2 caso λc = (0.689) = 0.475 (0.475) 2 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]2319 = 1900.895 kg/cm . 3. Cálculo del Area Efectiva, Ae A. Ancho Efectivo de Patines 2

Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 1900.895 kg/cm w1 = 31.750 – (4.763 + 1.448) = 25.539 mm w1/t = 25.539/1.448 = 17.637 < 60, OK Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(17.637)(1900.895/2.073x10 ) ] = 0.857 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.857)/0.857 = 0.867 Ancho efectivo de diseño, b = ρw = 0.867(25.539) = 22.142 mm B. Ancho Efectivo de Alma En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. w2 = 101.600 – 2(4.763 + 1.448) = 89.178 mm w2/t = 89.178/1.448 = 61.587 < 500, OK Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(61.587)(1900.895/2.073x10 ) ] = 0.981 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.981)/0.981 = 0.791 Ancho efectivo de diseño, d = ρw = 0.791(89.178) = 70.540 mm (sin considerar agujeros). El efecto de agujeros en elementos sujetos a compresión uniforme se considera en la Sección B2.2 (ver Art. 4.4). La Sección B2.2 aplica si se cumplen las siguientes limitantes: dh/w = 38.100/89.178 = 0.427 < 0.50, OK 0.50w = 0.50(89.178) = 44.589 mm; 3dh = 3(38.100) = 114.300 mm Distancia centro a centro entre agujeros, s = 300 mm > 44.589 mm, > 114.300 mm, OK Por lo tanto, aplica la Sección B2.2. Como λ = 0.981 > 0.673, aplica la Ec. (4.77). Ec. (4.77): d = b = 89.178[1 – 0.22/0.981 – 0.8(38.100)/89.178]/0.981 = 39.448 mm Como 39.448 mm < 70.540 mm, controla d = 39.448 mm.

275 C. Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [2(w1 – b) + (w2 – d)]t 2 2 Ae = 227.7 – [2(25.539 – 22.142) + (89.178 – 39.448)]1.448 = 145.853 mm = 1.459 cm 4. Cálculo de la Carga Axial de Diseño Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn = 1.459(1900.895) = 2773.406 kg = 2.773 Ton. Método ASD: Pa = Pn/Ωc, donde Ωc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 2.773/1.80 = 1.541 Ton Método LRFD: Pu = φcPn, donde φc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(2.773) = 2.357 Ton Ejemplo 6.5 Determinar la carga axial de diseño según el Método ASD y LRFD para el perfil angular mostrado en la Fig. 6.23. Considere KxLx = KyLy = KtLt = 50 cm. Considere Fy = 3865 2 kg/cm .

(4)

Fig. 6.23 Ejemplo 6.5 (cotas en mm)

1. Cálculo de las Propiedades Geométricas Usando las ecuaciones del Art. A3.1 del Apéndice A se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 3.303 cm 4 Ix = 39.958 cm 4 Ixy = 23.392 cm

ry2 = 2.238 cm ro = 6.425 cm xo = 4.148 cm

4

J = 0.0256 cm 6 Cw = 14.313 cm

2. Cálculo de la Resistencia Nominal para Compresión Axial El perfil angular es una sección abierta con simetría simple, por lo que se deberá investigar la resistencia por pandeo latero-torsional y la resistencia por pandeo por flexión.

276 •

Resistencia debida a pandeo latero-torsional.

La resistencia se calcula según la Sección C4.2, Ec. (6.58). Según el AISI, el eje x es el eje de simetría del perfil (eje x2 de la Fig. A.7 del Apéndice A). Se debe calcular el radio de giro, rx2 para el cálculo de σex. 4 Ix2 = Ix + Ixy = 39.958 + 23.392 = 63.350 cm 1/2 1/2 rx2 = (Ix2/A) = (63.350/3.303) = 4.379 cm 2 Ec. (6.59): β = 1 – (4.148/6.425) = 0.583 2 6 2 2 Ec. (5.67): σex = π (2.073x10 )/[50.000/4.379] = 156931.068 kg/cm 2 5 2 6 2 Ec. (5.69): σt = 1/[3.303(6.425) ][7.941x10 (0.0256) + π (2.073x10 )(14.313)/(50.000) ] 2 = 1008.177 kg/cm Ec. (6.58): 2 Fe = 1/[2(0.583)]{(156931.068 + 1008.177) – [(156931.068 + 1008.177) 1/2 2 – 4(0.583)(156931.068)(1008.177)] } = 1005.473 kg/cm •

Resistencia debida a pandeo por flexión con respecto al eje débil.

La resistencia se calcula según la Sección C4.1, Ec. (6.57). El eje débil a flexión es el que genera la relación de esbeltez mayor: (KxLx/rx2) = 50.000/4.379 = 11.418 (KyLy/ry2) = 50.000/2.238 = 22.341 Por lo tanto, controla el eje y2 con KL/r = 22.341 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(22.341) = 40991.502 kg/cm 2 2 Como 40991.502 kg/cm > 1005.473 kg/cm , controla el pandeo latero-torsional. 1/2 Factor de esbeltez, λc = (3865/1005.473) = 1.961 Como λc > 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo elástico dada por la Ec. (6.55). 2 2 Ec. (6.55): Fn = [0.877/(1.961) ]3865 = 881.442 kg/cm . 3. Cálculo del Area Efectiva, Ae A. Ancho Efectivo de Patines 2

Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 881.442 kg/cm w2 = 101.600 – 2(4.763 + 1.524) = 89.026 mm w2/t = 89.026/1.524 = 58.416 Los patines del perfil angular son elementos a compresión con labios atiesadores. 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /881.442) = 62.074; S/3 = 62.074/3 = 20.691 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 12.700 mm; θ = 90° d = w1 = D – (R + t) = 12.700 – (4.763 + 1.524) = 6.413 mm d/t = 6.413/1.524 = 4.208 < 14, OK 3 3 4 Is = d t/12 = (6.413) (1.524)/12 = 33.496 mm D/w2 = 12.700/89.026 = 0.143 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.143) = 4.535 > 4.0, Por lo tanto, usar ka = 4.0 Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 Ec. (4.59): Ia/t = 399[58.416/62.074 – (0.43/4) ] = 91.997 4 4 Ia = 91.997(1.524) = 496.265 mm Ec. (4.60): C2 =33.496/496.265 = 0.067 < 1.0, OK 1/2 Ec. (4.62): k = (0.067) (4.00 – 0.43) + 0.43 = 1.354

277 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(1.354) [(58.416)(881.442/2.073x10 ) ] = 1.089 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.089)/1.089 = 0.733 Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 0.733(89.026) = 65.256 mm B. Ancho Efectivo de Labios Atiesadores En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 4.208 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(4.208)(881.442/2.073x10 ) ] = 0.139 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(6.413) = 6.413 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.067(6.413) = 0.430 mm C. Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – 2[(w2 – b) + (w1 – ds)]t 2 2 Ae = 330.3 – 2[(89.026 – 65.256) + (6.413 – 0.430)]1.524 = 239.613 mm = 2.396 cm 4. Cálculo de la Carga Axial de Diseño Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn = 2.396(881.442) = 2111.935 kg = 2.112 Ton. Método ASD: Pa = Pn/Ωc, donde Ωc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 2.112/1.80 = 1.173 Ton Método LRFD: Pu = φcPn, donde φc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(2.112) = 1.795 Ton Ejemplo 6.6 Determinar la carga axial de diseño según el Método ASD y LRFD para el perfil Z 2 mostrado en la Fig. 6.24. Considere KxLx = KyLy = KtLt = 762 cm. Considere Fy = 3865 kg/cm . Como se observa en la Fig. 6.24, la sección Z es un miembro a compresión axial con un patín conectado a una lámina mediante tornillos. En este caso podría aplicar la Sección C4.4 (ver Art. 6.7). A continuación se revisan las limitantes para la aplicación de dicha Sección: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

t = 1.524 mm < 3.220 mm, OK d = 203.200 mm. Por lo tanto, 152 mm < d < 305 mm, OK Los patines tienen atiesadores de borde, OK d/t = 203.200/1.524 = 133.333. Por lo tanto, 70 < d/t < 170, OK d/b = 203.200/63.500 = 3.200. Por lo tanto, 2.8 < d/b < 5 w = b – (R + t)[1 + tan(γ/2)] = 63.5 – (4.763 + 1.524)[1 + tan(0.8727/2)] = 54.281 mm w/t = 54.281/1.524 = 35.617. Por lo tanto, 16 < w/t < 50, OK Nota: la expresión para el cálculo de w se obtuvo de la Ec. A.78 del Apéndice A. El ángulo de 50° debe expresarse en radianes en la Ec. A.78. Esto es, 50(π/180) = 0.8727 rad. Se asume que ambos patines están impedidos para desplazarse en los apoyos. Los tornillos se encuentran separados a 300 mm < 305 mm, OK 2 2 Fy = 3865 kg/cm > 2319 kg/cm , OK La resistencia a compresión axial con respecto al eje fuerte (en este caso el eje x), se calcula según la Sección C4 y C4.1.

Como todas las limitantes se cumplen, se puede aplicar la Sección C4.4. En el caso de que un miembro no cumpla con dichas limitante, no se podrá considerar la restricción parcial de la lámina y se deberá usar la Sección C4 y C4.1 para determinar la resistencia de la columna, considerando a

278 la distancia entre apoyos laterales para determinar el valor de Lx, Ly y/o Lt de la columna. Si no existen apoyos laterales entre los apoyos extremos, entonces dichos valores serán iguales al claro.

(4)

Fig. 6.24 Ejemplo 6.6 (cotas en mm)

1. Cálculo de las Propiedades Geométricas Usando las ecuaciones del Art. A3.4 del Apéndice A se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 5.465 cm

rx = 7.874 cm

2. Cálculo de la Resistencia Nominal para Compresión Axial Según la Sección C4.4, la resistencia a compresión axial con respecto al eje fuerte (en este caso es el eje x) se calcula según la Sección C4 y C4.1 y la resistencia a compresión con respecto al eje débil (en este caso es el eje y) se calcula según la Sección C4.4. •

Resistencia a Compresión Axial con Respecto al Eje x, Pnx.

A. Cálculo de Fn KxLx/rx = 762/7.874 = 96.774 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(96.774) = 2184.649 kg/cm 1/2 Factor de esbeltez, λc = (3865/2184.649) = 1.330 Como λc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelástico dada por la Ec. (6.54). En este 2 2 caso λc = (1.330) = 1.769 (1.769) 2 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]3895 = 1843.279 kg/cm . B. Cálculo de Ae a) Ancho Efectivo de Patines 2

Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 1843.279 kg/cm w2 = b – (R + t)[1 + tan(γ/2)] = 63.5 – (4.763 + 1.524)[1 + tan(0.8727/2)] = 54.281 mm w2/t = 54.281/1.524 = 35.617

279 6

1/2

Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /1843.279) = 42.925; S/3 = 42.925/3 = 14.308 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 19.050 mm; θ = 50° d = w1 = D – (R + t)tan(γ/2) = 19.050 – (4.763 + 1.524)tan(0.8727/2) = 16.118 mm (La expresión para d es equivalente a la Ec. A.80 del Apéndice A) d/t = 16.118/1.524 = 10.576 < 14, OK 3 2 3 2 4 Is = d tsen θ/12 = (16.118) (1.524)sen (0.8727)/12 = 312.084 mm D/w2 = 19.050/54.281 = 0.351 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.351) = 3.495 < 4.0, OK Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 4 Ec. (4.59): Ia/t = 399[35.617/42.925 – (0.43/4) ] = 50.439 mm 4 4 Ia = 50.439(1.524) = 272.086 mm Ec. (4.60): C2 = 312.084/272.086 = 1.147 > 1.0. Por lo tanto, usar C2 = 1.0 1/2 Ec. (4.62): k = (1.00) (3.495 – 0.43) + 0.43 = 3.495 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(3.495) [(35.617)(1843.279/2.073x10 ) ] = 0.598 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 1.0(54.281) = 54.281 mm b) Ancho Efectivo de Labios Atiesadores En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 10.576 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(10.576)(1843.276/2.073x10 ) ] = 0.506 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(16.118) = 16.118 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 1.0(16.118) = 16.118 mm c) Ancho Efectivo de Almas En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexión. w3 = 203.200 – 2(4.763 + 1.524) = 190.626 mm w3/t = 190.626/1.524 = 125.083 < 500, OK Determinación del peralte efectivo, d Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(125.083)(1843.276/2.073x10 ) ] = 1.962 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.962)/1.962 = 0.453 Ancho efectivo de diseño, d = ρw3 = 0.453(190.626) = 86.354 mm d) Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [2(ds’ – ds) + 2(w2 – b) + (w3 – d)]t Ae = 546.5 – [2(16.118 – 16.118) + 2(54.281 – 54.281) + (190.626 – 86.354)]1.524 2 2 = 387.589 mm = 3.876 cm

280 C. Cálculo de Pnx Pnx = 3.876(1843.276) = 7144.538 kg = 7.145 Ton. •

Resistencia a Compresión Axial con Respecto al Eje y, Pny.

x = a/b = 31.750/63.500 = 0.500 C1 = 0.79(0.500) + 0.54 = 0.935 C2 = 0.0461(1.524) + 0.93 = 1.000 C3 = 0.0984(63.500) – 0.0642(203.200) + 22.8 = 16.003 6 Ec. (6.61): Pny = 0.935(1.000)(16.003)(5.465)(2.073x10 )/29500 = 5746.196 kg = 5.746 Ton Como 5.746 Ton < 7.145 Ton, entonces Pn = 5.746 Ton 3. Cálculo de la Carga Axial de Diseño Método ASD: Pa = Pn/Ωc, donde Ωc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 5.746/1.80 = 3.192 Ton Método LRFD: Pu = φcPn, donde φc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(5.746) = 4.884 Ton

BIBLIOGRAFIA

ª

1. Yu, W. W.: “Cold Formed Steel Design”. Editorial John Wiley and Sons. 2 Edición. 1991. 2. American Iron and Steel Institute: “The Design and Fabrication of Cold Formed Steel Structures”. 3. American Iron and Steel Institute: “ Preliminary Design Guide for Cold Formed C and Z Members”. 1993. 4. American Iron and Steel Institute: “Cold Formed Steel Design Manual”. 1996. 5. American Iron and Steel Institute: “ Specification for the Design of Cold Formed Steel Structural Members, 1996 Edition, Supplement No.1”. 1999. 6. American Iron and Steel Institute: “A Guide for Designing with Standing Seam Roof Panels”. 1997.

448

CAPITULO 7

MIEMBROS SUJETOS A FLEXOCOMPRESION

7.1 COMENTARIOS GENERALES Como se mencionó en el Capítulo 6, en las uniones de miembros en estructuras de acero se pueden generar excentricidades en la transmisión de cargas que pueden producir momentos flexionantes. Los momentos flexionantes también pueden ser producidos por cargas transversales o por momentos aplicados en los extremos o en el claro del miembro. Independientemente del origen de los momentos, si sus valores son significativos, estos no pueden ser despreciados y deberán considerarse actuando en combinación con los otros efectos de carga presentes en el miembro. En este Capítulo se tratan los miembros estructurales sujetos a combinación de esfuerzos de compresión axial y flexión (o flexocompresión). Dichos miembros son conocidos como vigas-columnas y se encuentran frecuentemente en marcos, armaduras y en puntales de muros exteriores. La Fig. 7.1 ilustra las condiciones típicas de carga que generan flexocompresión.

(1)

Fig. 7.1. Vigas-columnas . (a) Sujetas a carga excéntrica; (b) Sujetas a carga axial y transversal; (c) Sujetas a carga axial y momentos de extremo

El comportamiento estructural de las vigas-columnas depende principalmente de la configuración y dimensiones de la sección transversal, de la ubicación de la carga excéntrica aplicada, de la longitud de columna y de las condiciones de apoyo lateral. Por esta razón, el AISI 1980 clasificó a las vigas-columnas en las siguientes cuatro categorías, de acuerdo a la configuración de la sección transversal y el modo de pandeo: 1. Secciones con simetría doble y secciones no sujetas a pandeo por torsión o por flexotorsión. 2. Secciones con simetría simple o componentes de secciones armadas unidos intermitentemente, no sujetos a pandeo local y cargados en el plano de simetría, los cuales pueden estar sujetos a pandeo por flexotorsión. 3. Secciones simétricas o componentes de secciones armadas unidos intermitentemente, sujetos a pandeo local y cargados en el plano de simetría, los cuales pueden estar sujetos a pandeo por flexotorsión. 4. Secciones con simetría simple sujetas a carga asimétrica. Como resultado de la aplicación del concepto unificado de diseño, el AISI 1986 determinó que las vigas-columnas sujetas y no sujetas a pandeo local sean diseñadas usando la misma ecuación de diseño. El AISI 1996 mantiene el mismo concepto e incluye a las ecuaciones de diseño en la Sección C5. A continuación se presenta la fundamentación teórica en la que se basa las especificaciones de del AISI para el diseño de vigas-columnas.

282 7.2 SECCIONES CON SIMETRIA DOBLE Y SECCIONES NO SUJETAS A PANDEO POR TORSION O FLEXOTORSION Las secciones doblemente simétricas sujetas a compresión axial y flexión con respecto al eje menor pueden fallar por fluencia o por pandeo local por flexión en la ubicación del máximo momento. Sin embargo, cuando la sección es sujeta a carga excéntrica que produce momentos flexionantes con respecto al eje mayor, el miembro puede fallar por flexión o por flexotorsión debido a que la carga excéntrica no pasa por el centro de cortante. Las secciones torsionalmente estables, como las secciones tubulares rectangulares, sujetas a momentos flexionantes aplicados con respecto al eje menor, pueden fallar por flexión en la región del momento máximo, pero si el momento es aplicado con respecto al eje mayor, pueden fallar por flexión con respecto al eje mayor o menor, dependiendo de la magnitud de las excentricidades. Atendiendo a la dualidad ASD/LRFD presente en el AISI 1996, a continuación se presenta el desarrollo de las ecuaciones de diseño para vigas-columnas según los Métodos ASD y LRFD. 7.2.1 Método ASD Si una sección I con simetría doble es sujeta a una carga axial P y momentos de extremo M, como se muestra en la Fig. 7.2, la combinación de esfuerzos a compresión debidos a flexión y carga axial está dada por la Ec. (7.1), siempre y cuando el miembro se mantenga recto:

f = donde

P Mc P M + = + = f a + fb A I A S

(7.1)

f = esfuerzo combinado a compresión fa = esfuerzo debido compresión axial fb = esfuerzo a compresión debido a flexión P = carga axial aplicada A = área de la sección transversal M = momento flexionante c = distancia desde el eje neutro a la fibra extrema a compresión I = momento de inercia S = módulo de sección

Fig. 7.2 Viga-columna sujeta a carga axial y momentos de extremo

(1)

Debe notarse que en el diseño de dicha viga-columna, el esfuerzo combinado debe ser limitado a cierto esfuerzo permisible F, o sea,

fa + fb ≤ F o

fa fb + ≤ 1.0 F F

(7.2)

283

Como se mencionó en los Capítulos 5 y 6, el factor de seguridad por compresión axial es diferente al factor de seguridad por flexión. Por lo tanto, la Ec. (7.2) puede ser modificada de la siguiente manera:

fa f + b ≤ 1.0 Fa Fb donde

(7.3)

Fa = esfuerzo permisible de diseño para miembros sujetos a compresión axial Fb = esfuerzo permisible de diseño para miembros sujetos a flexión

Si se utiliza una relación de resistencias en lugar de una relación de esfuerzos, la Ec. (7.3) puede ser replanteada como:

P M + ≤ 1.0 Pa M a donde

(7.4)

P = carga axial aplicada Pa = resistencia permisible para compresión axial = AFa M = momento aplicado = Sfb Ma = resistencia permisible para flexión = SFb

Se acuerdo con los Capítulos 5 y 6, Pa = Pn/Ωc y Ma = Mn/Ωb. Substituyendo estas expresiones en la Ec. (7.4) se obtiene:

Ωc P Ωb M + ≤ 1.0 Pn Mn

(7.5)

La Ec. (7.4) es una ecuación de interacción de diseño que puede usarse con una precisión aceptable para miembros cortos o sujetos a una carga axial pequeña. Debe observarse que en aplicaciones prácticas, cuando existen momentos de extremo en el miembro, este se flexionará como se ilustra en la Fig. 7.2, debido al momento aplicado M y al momento secundario resultante de la carga aplicada P y la deformación del miembro. El momento flexionante máximo al centro del claro (punto C de la Fig. 7.2) puede ser representado por:

M max = ΦM donde

(7.6)

Mmax = momento flexionante máximo al centro del claro M = momento de extremo Φ = factor de amplificación

Puede demostrarse que el factor de amplificación Φ está dado por la siguiente expresión:

Φ=

1 1 − P / Pe 2

(7.7) 2

donde Pe = carga de pandeo elástico de Euler = π EI/(KLb) . Aplicando un factor de seguridad Ωc a Pe, la Ec. (7.7) puede replantearse como:

284

Φ=

1 1 − Ω c P / Pe

(7.8)

Si el momento flexionante máximo Mmax es usado en lugar de M, la siguiente ecuación de interacción puede ser obtenida a partir de las Ecs. (7.5) y (7.8):

Ωc P Ωb M + ≤ 1.0 Pn (1 − Ω c P / Pe ) M n

(7.9)

Se ha demostrado que la Ec. (7.9), desarrollada para miembros sujetos a compresión axial y a momentos de extremo iguales, puede ser usada con precisión aceptable en miembros con translación lateral impedida y extremos no restringidos al giro, sujetos a carga axial y carga transversal uniformemente distribuida. Sin embargo, la Ec. (7.9) puede ser conservadora para miembros a compresión en marcos con translación lateral libre y para miembros flexionados en curvatura doble. Por esta razón, la Ec. (7.9) debe ser modificada por el coeficiente Cm para tomar en cuenta el efecto de los momentos de extremo:

Ωc P Ωb Cm M ≤ 1.0 + Pn (1 − Ω c P / Pe ) M n

(7.10)

El valor de Cm para miembros a compresión en marcos con translación lateral impedida y no sujetos a cargas transversales puede calcularse mediante la siguiente expresión:

C m = 0.60 − 0.40

M1 M2

(7.11)

donde M1/M2 es la relación del mayor al menor momento de extremo. El AISI 1996 establece el parámetro α = 1 - ΩcP/Pe, el cual al usarse en la Ec. (7.10) se obtiene:

Ω c P ΩbCm M + ≤ 1.0 Pn αM n

(7.12)

Cuando el momento máximo ocurre en los puntos de apoyo lateral, la siguiente expresión debe usarse para revisar al miembro en dichos puntos:

Ωc P Ωb M + ≤ 1.0 Pn 0 Mn

(7.13)

donde Pn0 es la carga nominal para compresión axial cuando Fn = Fy. Donde Fn es la resistencia nominal a compresión axial definida según la Sección C4 (ver Art. 6.7). Para los casos donde la carga axial es pequeña, la influencia del término Cm/α es usualmente pequeña y puede ser despreciada. El AISI 1996 considera que cuando ΩcP ≤ 0.15Pn dicho término puede ser despreciado, por lo que la Ec. (7.5) puede ser usada para el diseño de viga-columnas. El AISI generaliza las Ecs. (7.5), (7.12), (7.13) para considerar el caso de flexión biaxial. Esto es, flexión simultánea con respecto al eje x y y. Las ecuaciones generalizadas son:

285

Para ΩcP ≤ 0.15Pn:

Ω c P Ω b C mx M x Ω b C my M y + + ≤ 1.0 Pn α x M nx α y M ny

(7.14)

Ωc P Ωb M x Ωb M y + + ≤ 1.0 Pn 0 M nx M ny

(7.15)

Ωc P Ωb M x Ωb M y + + ≤ 1.0 Pn M nx M ny

(7.16)

La definición de todos los términos de estas ecuaciones esta dada en el Art. 7.5. 7.2.2 Método LRFD El método LRFD usa las mismas ecuaciones de interacción que el método ASD, excepto que φcPn y φbMn son usadas como las resistencias de diseño a compresión axial y flexión, respectivamente. Además, la resistencia requerida para carga axial Pu y la resistencia requerida a flexión Mu deberán ser determinadas a partir de las cargas factorizadas de acuerdo a los requisitos de la Sección A6.1.2 (ver Art. 3.3.2). Debe mencionarse que, comparado con las primeras especificaciones de LRFD del AISI (1991), la definición del parámetro α fue modificada en el AISI 1996 al eliminar el factor de resistencia φc, ya que la variable Pe es determinista (no aleatoria) y por lo tanto no requiere un factor de resistencia. Las ecuaciones de interacción del AISI 1996 son las mismas que fueron usadas en las primeras especificaciones de LRFD del AISI pero son diferentes a las especificaciones de LRFD del AISC (1993), ya que la información disponible actualmente del comportamiento de columnas de acero laminado en frío no permite adoptar libremente los criterios de LRFD del AISC. A continuación se presentan las ecuaciones de interacción del AISI 1996:

C my M uy Pu C M + mx ux + ≤ 1.0 φ c Pn φ b M nxα x φ b M nyα y

(7.17)

M uy Pu M ux + + ≤ 1.0 φ c Pn 0 φ b M nx φ b M ny

(7.18)

M uy Pu M ux + + ≤ 1.0 φ c Pn φ b M nx φ b M ny

(7.19)

Para Pu ≤ 0.15φcPn:

La definición de todos los términos de estas ecuaciones esta dada en el Art. 7.5.

286 7.3 SECCIONES FLEXOTORSION

ABIERTAS

DE

PARED

DELGADA

SUJETAS

A

PANDEO

POR

Las secciones con simetría simple y las secciones abiertas asimétricas usadas como vigascolumnas pueden estar sujetas a pandeo por flexotorsión. Las ecuaciones diferenciales de equilibrio que gobiernas dichas secciones están dadas por las Ecs. (7.20) a (7.22).

EIv iv + Pv ′′ − Pxoφ ′′ + M yφ ′′ = 0

(7.20)

EIu iv + Pu ′′ + Py oφ ′′ − M xφ ′′ = 0

(7.21)

EC wφ iv − GJφ ′′ + (Pro + β x M x + β y M y )φ ′′ + Py o u ′′ − Px o v ′′ − M x u ′′ + M y v ′′ = 0 (7.22) 2

donde Ix = momento de inercia con respecto al eje x Iy = momento de inercia con respecto al eje y u = desplazamiento lateral en la dirección x v = desplazamiento lateral en la dirección y φ = ángulo de rotación xo = coordenada en x del centro de cortante yo = coordenada en y del centro de cortante E = módulo de elasticidad G = módulo de cortante J = constante torsional de St. Venant de la sección Cw = constante torsional de alabeo de la sección ro = radio de giro polar de la sección con respecto al centro de cortante =

Io / A = r 2 x + r 2 y + x2o + y 2o

P = carga axial aplicada Mx, My = momentos flexionantes con respecto a los ejes x y y, respectivamente

1 y ( x 2 + y 2 )dA − 2 y o ∫ Ix A 1 βy = x( x 2 + y 2 )dA − 2 xo ∫ Iy A

βx =

(7.23) (7.24)

Todas las primas representan diferenciación con respecto a z. Asumiendo que los momentos de extremo Mx y My se deben a cargas excéntricas aplicadas en ambos extremos a excentricidades ex y ey (ver Fig. 7.3), los momentos Mx y My pueden expresarse como: M x = Pe x (7.25)

M y = Pe y

(7.26)

Por consiguiente, las Ecs. (7.20) a (7.22) pueden replantearse de la siguiente manera:

EIv iv + Pv ′′ − Pa xφ ′′ = 0

(7.27)

EIu iv + Pu ′′ + Pa yφ ′′ = 0

(7.28)

EC wφ iv + (Pro − GJ )φ ′′ + Pa y u ′′ − Pa x v ′′ = 0

(7.29)

2

287

donde

a x = xo − e x a y = yo − e y ro = β x e y + β y e x + 2

(7.30) (7.31)

Io A

(7.32)

Fig. 7.3 Sección sombrero con carga asimétrica

(1)

Resolviendo las Ecs. (7.27) a (7.29) mediante la aplicación del método de Galerkin se obtiene:

 Pey − P  0  − Pa y K 31 ′ 

0 Pex − P ′ Pa x K 32

 P2  − e x K1 Pey  ′ − Pa y K 13  u o  P2     ′  v o  =  − Pa x K 23 ey K2 P 2 ex ro ( Pez − P) φ o    2  a y ex a x e y − − P  Pex   Pey

        K 3     

(7.33)

donde

Pey = K 11

π 2 EI y L2

Pex = K 22

π 2 EI x L2

1 Pez = 2 ro

  π2  K 33 EC w 2 + GJ  L  

(7.34)

(7.35)

(7.36)

uo, vo y φo son coeficientes para los componentes de deformación. Los coeficientes K para las diferentes condiciones de frontera se muestran en la Tabla 7.1.

288 (1)

Tabla 7.1 Coeficientes de K Condición de Frontera en z = 0, L K11 K22 1.000 1.000 u’’=v’’=φ’’=0 1.000 4.122 u’’=v’=φ’’=0 4.122 4.122 u’=v’=φ’’=0 1.000 4.122 u’’=v’=φ’=0 4.122 4.122 u’=v’=φ’=0 1.000 1.000 u’’=v’’=φ’=0

K33 1.000 1.000 1.000 4.122 4.122 4.122

K1 1.273 1.273

K2 1.273

1.273 1.273

1.273

K3 1.273 1.273 1.273 0.660 0.660 0.660

K’13 1.000 1.000 0.551 1.417 1.000 1.417

K’31 1.000 1.000 1.417 0.551 1.000 0.551

K’23 1.000 0.551 0.551 1.000 1.000 1.417

K’32 1.000 1.417 1.417 0.883 1.000 0.551

K23 1.000 0.883 0.883 1.000 1.000 0.883

7.4 SECCIONES ABIERTAS CON SIMETRIA SIMPLE Las secciones abiertas con simetría simple, como las secciones angulares, canal y sombrero, cuando son sujetas a momentos flexionantes en el plano de simetría, pueden fallar mediante uno de las siguientes de modos: 1. El miembro se deforma gradualmente en el plano de simetría sin torcerse y finalmente falla por fluencia o pandeo local en la ubicación del máximo momento. 2. El miembro empieza con flexión gradual en el plano de simetría, pero cuando la carga alcanza un valor critico, el miembro se pandea repentinamente debido a pandeo por flexotorsión. Debe mencionarse que si la tendencia a torcerse de la sección es impedida con apoyos laterales adecuados, el miembro fallará solo por fluencia o pandeo local. Si el momento flexionante es aplicado en cualquier plano diferente al plano de simetría, el miembro fallará debido a pandeo por flexotorsión. El modo de falla que gobernará la resistencia máxima del miembro depende de la configuración y dimensiones de la sección, la longitud de columna y la excentricidad de la carga aplicada. El comportamiento estructural discutido anteriormente puede ser explicado mediante la solución de las ecuaciones diferenciales [Ecs. (7.27) a (7.29)]. Cuando la carga excéntrica es aplicada en el plano de simetría, como se muestra en la Fig. 7.4, ey = yo = 0 y la Ec. (7.25) puede ser simplificada de la siguiente manera:

( Pey − P)u o = −  Pex − P  Pa K ′  x 32

P2 e x K1 Pey

′  v o  Pa x K 23  =0 ro ( Pez − P) φ o  2

(7.37)

(7.38)

Fig. 7.4 Sección sombrero sujeta a una carga excéntrica en el plano de (1) simetría .

donde la Ec. (7.37) representa el comportamiento de una viga-columna deformándose por flexión sin torsión y la Ec. (7.38) se relaciona con el pandeo por flexotorsión.

289

Si la falla por flexión gobierna la resistencia máxima de la viga-columna, el diseño de secciones con simetría simple deberá basarse en ecuaciones de interacción similares a las usadas en el Art. 7.2 para secciones con simetría doble. Sin embargo, si la sección con simetría simple falla debido a pandeo por flexotorsión, la siguiente ecuación para la carga critica de pandeo puede obtenerse al igualar a cero el determinante de los coeficientes de la Ec. (7.38):

PTF =

( Pex + Pez ) ± ( Pex + Pez ) 2 − 4 β Pex Pez

(7.39)

2β

donde:

β = 1−

( xo − e x ) 2 ro

2

k 23

2

(7.40)

Para miembros con extremos articulados y sujetos a carga concéntrica (o sea, ex = 0, K23 = 0), la Ec. (7.39) puede convertirse en la Ec. (7.41), la cual fue usada en el Art. 6.4.2 para miembros sujetos a compresión axial pura:

PTFO =

[

1 ( Px + Py ) − ( Px + Py ) 2 − 4 βPx Py 2β

]

(7.41)

2

donde β = 1 – (xo/ro) como se definió previamente en el Capítulo 6. De la Ec. (7.39) se observa que el cálculo de la carga critica de pandeo por flexotorsión es muy complicada para su uso práctico en diseño. Se ha demostrado que dicha carga critica puede ser calculada mediante la siguiente ecuación de interacción, si la carga es aplicada en el lado del centroide opuesto al del centro de cortante:

P e PTF + TF x = 1.0 PTFO MT

(7.42)

donde PTF = carga de pandeo por flexotorsión debido a carga excéntrica con excentricidad ex. PTFO = carga de pandeo por flexotorsión debido a carga concéntrica. MT = momento critico causando tensión en el lado del centroide coincidente con el centro de cortante. Si se aplica un factor de modificación dado por la siguiente expresión:

CTF 1− PTF / Pe

(7.43)

al momento PTFex, como se realizó previamente en el Art. 7.2, la ecuación de interacción se puede replantear de la siguiente manera:

CTF PTF e x PTF + = 1.0 PTFO (1 − PTF / Pe ) M T En la ecuación anterior, el factor CTF es igual al factor Cm usado en el Art. 7.2.

(7.44)

290

La Ec. (7.44) puede usarse para determinar la carga critica teórica de pandeo elástico por flexotorsión PTF para secciones con simetría simple bajo cargas excéntricas aplicadas en el lado del centroide opuesta al del centro de cortante. El momento critico MT usado en la Ec. (7.44) puede ser calculado mediante la siguiente expresión:

MT = −

1 2 2 K 23

 ′ Io  2 Pex Pez 2  β y Pex − ( β y Pex ) + 4 K 23  A  

(7.45)

 ex β y A   Pez′ = Pez 1 + I o  

(7.46)

′ K 32 ′ K 23 = K 23

(7.47)

donde

donde K’23 y K’32 están dados en la Tabla 7.1. Para condiciones de extremo de simple apoyo, la Ec. (7.45) puede ser simplificada de la siguiente manera:

 M T = − Pex  j − 

2 P j 2 + ro  ez  Pex

    

(7.48)

o

 M T = − Aσ ex  j − 

2 σ j 2 + ro  t  σ ex

    

(7.49)

donde

j=

βy 2

=

1 2I y

 3   ∫ x dA + ∫ xy 2 dA  − xo   A A 

(7.50)

σ ex =

π 2E ( K x L x / rx ) 2

(7.51)

σt =

π 2 EC w  1  GJ +  2  ( K t Lt ) 2  Aro 

(7.52)

Si la carga excéntrica es aplicada en el lado del centro de cortante opuesto al del centroide, el momento critico causando compresión en el lado del centroide coincidente con el centro de cortante, Mc, puede ser calculado de la siguiente manera:

 M c = Aσ ex  j + 

2 σ j 2 + ro  t  σ ex

    

(7.53)

291

Ambas Ecs. (7.49) y (7.53) fueron usadas en la Ec. (5.54) para determinar el momento critico elástico para la resistencia al pandeo lateral.

(1)

Fig. 7.5 Comportamiento estructural bajo carga excéntrica de una sección sombrero . (a) Carga vs. ex; (b) Esfuerzo vs. ex.

Hasta este punto se ha discutido los modos posibles de falla de una sección con simetría simple sujeta a carga excéntrica. Sin embargo, el modo de falla que gobernará la resistencia máxima de una viga-columna depende del modo de falla que genere el menor valor de la carga crítica para

292

una excentricidad dada. Este hecho puede observarse en la Fig. 7.5a. Para la sección sombrero mostrada, si L/rx = 90, la sección fallará por fluencia debida a flexión, si la carga se aplica en la Región I. Estudios previos han demostrado que las secciones angulares, canales y sombrero fallarán siempre por fluencia debido a flexión cuando la excentricidad coincide en la Región I (o sea, ex < -xo). Cuando la excentricidad coincide en la Región III (o sea, ex > 0), la sección puede fallar ya sea por fluencia debido a flexión o debido a pandeo por flexotorsión. Por lo tanto, ambos modos de falla deberán ser investigados. Para la sección sombrero dada en la Fig. 7.5a, cuando la carga es aplicada en el centro de gravedad, la sección fallará debido a pandeo por flexotorsión bajo una carga PTFO, la cual es menor que la carga de pandeo por flexión Pey. Para una excentricidad coincidente con la Región II (o sea, -xo < ex < 0), el modo de falla cambia de pandeo por flexotorsión a falla por flexión simple. También se puede observar que en esta región pequeños cambios en excentricidad resultan en grandes cambios en el valor de la carga de falla. Por consiguiente, la falta de precisión en la definición de la excentricidad puede resultar en un diseño no conservador. Para flexión con respecto al eje de simetría (o sea, cuando la carga excéntrica es aplicada sobre el eje y como se muestra en la Fig. 7.6), la siguiente ecuación para determinar el momento critico elástico puede ser derivada de la Ec. (7.25), si ex = 0, ey ≠ 0, P = 0 y Pey = Mx:

M x = ro Pey Pez = ro A σ ey σ t

(7.54)

Para el caso de momentos de extremo desiguales, la Ec. (7.54) puede ser modificada multiplicándola por el coeficiente de flexión Cb de la siguiente manera:

M x = C b ro A σ eyσ t

(7.55)

La Ec. (7.55) es idéntica a la Ec. (5.51) desarrollada para determinar la resistencia por pandeo lateral.

Fig. 7.6 Sección sombrero sujeta a una carga (1) excéntrica aplicada sobre el eje y .

293 7.5 CRITERIOS DE DISEÑO DEL AISI Las ecuaciones de interacción de diseño del AISI 1996 para vigas-columnas no consideran de manera explícita los efectos del pandeo por flexotorsión, debido a que dichos efectos ya son tomados en cuenta en el cálculo de momentos flexionantes nominales Mnx y/o Mny. A continuación se presentan las especificaciones incluidas en la Sección C5.2 del AISI 1996 para el diseño de vigas-columnas. Aunque las ecuaciones de la Sección C5.2 ya fueron presentadas en los Arts. 6.2.1 y 6.2.2, se presentan nuevamente aquí con todos sus términos definidos. C5.2 Combinación de Carga Axial a Compresión y Flexión C5.2.1 Método ASD Las resistencias requeridas P, Mx y My deberán cumplir con las siguientes ecuaciones de interacción:

Ω c P Ω b C mx M x Ω b C my M y + + ≤ 1.0 Pn α x M nx α y M ny

(7.14)

Ωc P Ωb M x Ωb M y + + ≤ 1.0 Pn 0 M nx M ny

(7.15)

Para ΩcP/Pn ≤ 0.15, la siguiente ecuación puede ser usada en lugar de las Ecs. (7.14) y (7.15):

Ωc P Ωb M x Ωb M y + + ≤ 1.0 Pn M nx M ny

(7.16)

donde P = resistencia requerida para compresión axial Mx, My = resistencia requerida a flexión con respecto a los ejes centroidales basada en la sección efectiva determinada en función de la resistencia requerida a compresión axial solamente. Para secciones angulares, My deberá tomarse ya sea como el momento aplicado o el momento aplicado mas PL/1000, dependiendo de cual momento resulta en el menor valor permisible de P. Pn = resistencia nominal bajo compresión axial determinada de acuerdo con la Sección C4 (ver Capítulo 6) Pn0 = resistencia nominal bajo compresión axial determinada de acuerdo con la Sección C4 con Fn = Fy. Mnx, Mny = resistencias nominales a flexión con respecto a los ejes centroidales de acuerdo con la Sección C3 (ver Capítulo 5).

Ωc P Pex Ω P α y = 1− c Pey

αx = 1−

π 2 EI x Pex = ( K x Lx ) 2

(7.56)

(7.57)

(7.58)

294

Pey = Ωc Ωb Ix Iy Lx Ly Kx Ky Cmx, Cmy

π 2 EI y

(7.59)

(K y Ly ) 2

= 1.80 = 1.67 para la resistencia a flexión (ver Art. 5.2.2) o para vigas sin apoyos laterales (ver Art. 5.2.3). = momento de inercia de la sección total, no reducida, con respecto al eje x = momento de inercia de la sección total, no reducida, con respecto al eje y = longitud real no apoyada para flexión con respecto al eje x = longitud real no apoyada para flexión con respecto al eje y = factor de longitud efectiva para pandeo con respecto al eje x = factor de longitud efectiva para pandeo con respecto al eje y = coeficientes cuyos valores se toman como a continuación se indica:

1. Para miembros a compresión en marcos con translación lateral libre: Cm = 0.85. 2. Para miembros a compresión en marcos con translación lateral impedida y no sujetos a carga transversal entre sus apoyos en el plano de flexión:

C m = 0.60 − 0.4( M 1 / M 2 )

(7.60)

donde M1/M2 es la relación del momento menor al mayor en los extremos de la longitud entre apoyos laterales. M1/M2 es positiva cuando el miembro es flexionado en curvatura doble y negativa cuando flexionado en curvatura simple. 3. Para miembros a compresión en marcos con translación lateral impedida y sujetos a carga transversal entre sus apoyos, el valor de Cm puede ser determinado por un análisis racional. Sin embargo, en lugar de dicho análisis, los siguientes valores pueden ser usados: (a) para miembros cuyos extremos están restringidos contra el giro, Cm = 0.85 (b) para miembros cuyos extremos no están restringidos contra el giro, Cm = 1.0 C5.2.2 Método LRFD Las resistencias requeridas Pu, Mux y Muy deberán satisfacer las siguientes ecuaciones de interacción:

C my M uy Pu C M + mx ux + ≤ 1.0 φ c Pn φ b M nxα x φ b M nyα y

(7.17)

M uy Pu M ux + + ≤ 1.0 φ c Pn 0 φ b M nx φ b M ny

(7.18)

Para Pu/φcPn ≤ 0.15, la siguiente ecuación puede ser usada en lugar de las Ecs. (7.17) y (7.18):

M uy Pu M ux + + ≤ 1.0 φ c Pn φ b M nx φ b M ny

(7.19)

donde Pu = resistencia requerida para compresión axial Mux, Muy = resistencia requerida a flexión con respecto a los ejes centroidales de la sección efectiva determinada en función de la resistencia requerida a compresión axial solamente. Para secciones angulares, My deberá tomarse ya sea como el momento aplicado o el momento aplicado mas PuL/1000, dependiendo de cual momento resulta en el menor valor de Pu.

295

Pu Pex P α y = 1− u Pey

αx = 1−

φc φb

(7.61)

(7.62)

= 0.85 = 0.90 o 0.95 para resistencia a flexión (ver Art. 5.2.2), o 0.90 para vigas sin apoyos laterales (ver Art. 5.2.3).

Todos los demás términos en las Ecs. (7.17) y (7.18) fueron previamente definidos en la Sección C5.2.1. Las Secciones C5.2.1 y C5.2.2 mencionan que para miembros a compresión en marcos con translación lateral impedida y sujetos a carga transversal entre sus apoyos, los valores de Cmx y Cmy pueden ser determinados mediante un análisis racional. Un procedimiento con aceptación general consiste en la determinación de los valores de Cmx y Cmy usando las siguientes ecuaciones:

donde

2

fa Fex′ f = 1 +ψ a Fey′

C mx = 1 + ψ

(7.63)

C my

(7.64)

2

Ψ = (π δoEI/MoL ) – 1 δo = deformación máxima debida a carga transversal Mo = momento máximo entre apoyos debido a carga transversal fa = esfuerzo debido a carga axial = P/A 2 2 F’ex = 12π E/[23(KxLx/rx) ] 2 2 F’ey = 12π E/[23(KyLy/ry) ] Los valores de Ψ están dados en la Tabla 7.2 para diferentes tipos de carga y apoyos. (1)

Tabla 7.2 Valores de Ψ y Cm

296 7.6 EJEMPLOS DE DISEÑO Ejemplo 7.1 Revisar como viga-columna la sección tubular considerada en el Ejemplo 6.1 considerando el Método ASD y LRFD. Considere una carga axial P = 10.0 Ton y momentos de extremo Mx = 0.70 Ton-m (ver Fig. 7.7). Asuma que el 20% de las cargas y momentos son debidos a carga muerta y resto a la carga viva. Asuma que el patín de compresión por flexión es el patín 2 superior. La fluencia del acero es Fy = 2811 kg/cm . La longitud no apoyada es 3 metros y Kx = Ky = 1.0. Se asume que el miembro se flexiona en curvatura simple.

(1)

Fig. 7.7 Ejemplo 7.1 (cotas en mm)

1. Cálculo de las Propiedades de la Sección Del Ejemplo 6.1 se obtiene: 2

A = 21.113 cm

4

Ix = Iy = 1405.117 cm

rx = ry = 8.158 cm

2. Elementos Mecánicos Aplicados Método ASD:

P = 10.0 Ton

Método LRFD: PD = 0.2(10) = 2.0 Ton MD = 0.2(0.7) = 0.14 Ton-m

Mx = 0.70 Ton-m

My = 0.0

PL = 0.8(10) = 8.0 Ton ML = 0.8(0.7) = 0.56 Ton-m

Pu = 1.2PD + 1.6PL = 1.2(2.0) + 1.6(8.0) = 15.20 Ton Mux = 1.2MD + 1.6ML = 1.2(0.14) + 1.6(0.56) = 1.064 Ton-m Muy = 0.0 3. Selección de las Ecuaciones de Diseño Del Ejemplo 6.1 se obtiene la resistencia nominal por compresión axial: Pn = 35.728 Ton Método ASD: ΩcP/Pn = 1.80(10.000)/35.728 = 0.504 > 0.15. Por lo tanto, aplican las Ecs. (7.14) y (7.15) de la Sección C5.2.1. Método LRFD: Pu/φcPn = 15.20/[0.85(35.728)] = 0.500 > 0.15. Por lo tanto, aplican las Ecs. (7.17) y (7.18) de la Sección C5.2.2. 4. Aplicación de las Ecs. (7.14) y (7.17) Las Ecs. (7.14) y (7.17) se usan para revisar los requisitos de estabilidad entre puntos de apoyo lateral de la viga-columna. A continuación se determinan los términos: A. Determinación de la Resistencia Nominal a Flexión Mnx La resistencia nominal a flexión se calcula según la Sección C3. Se deberá investigar la resistencia de la sección y la resistencia por pandeo latero-torsional y seleccionar el valor menor.

297

a) Resistencia de la Sección La resistencia de la sección puede calcularse por el Procedimiento de Inicio de Fluencia de la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.2.1). •

Cálculo de las Propiedades de la Sección:

Esquinas: r = R + t/2 = 4.763 + 2.667/2 = 6.097 mm L = 1.57r = 1.57(6.097) = 9.572 mm c = 0.637r = 0.637(6.097) = 3.884 mm Para dos esquinas, ΣL = 2(9.572) = 19.144 mm Coordenadas centroidales y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (6.097 – 3.884) + 2.667/2 = 3.547 mm Esquinas inferiores, y = H – 3.547 = 203.200 – 3.547 = 199.653 mm Patín de Compresión: w = B – 2(R + t) = 203.200 – 2(4.763 + 2.667) = 188.340 mm w/t = 188.340/2.667 = 70.619 < 500, OK Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 2 Asumiendo que el patín de compresión fluye, f = Fy = 2811 kg/cm 1/2 6 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) (70.619)(2811/2.073x10 ) = 1.368 Como λ > 1.368, calcular el factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.368)/1.368 = 0.613 Ancho efectivo, b = ρw = 0.613(188.340) = 115.452 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 2.667/2 = 1.334 mm Patín de Tensión: w = 188.340 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 203.200 – 2.667/2 = 201.867 mm Almas: h = H – 2(R + t) = 203.200 – 2(4.763 + 2.667) = 188.340 mm h/t = 188.340/2.667 = 70.619 < 200, OK Longitud de dos almas, ΣL = 2(188.340) = 376.680 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H/2 = 203.200/2 = 101.600 mm Cálculo ycg (asumiendo que las almas son 100% efectivas): Elemento Patín de Compresión Esquinas Superiores Almas Esquinas Inferiores Patín de Tensión Sumas

Longitud Efectiva L (mm) 115.452 19.144 376.680 19.144 188.340 718.760

y (mm) 1.334 3.547 101.600 199.653 201.867

2

Ly (mm ) 154.013 67.904 38270.688 3822.157 38019.631 80334.393

2

3

Ly (mm ) 205.453 240.855 3888301.901 763105.118 7674908.807 12326762.130

ycg = Σ(Ly)/ΣL = 80334.393/718.760 = 111.768 mm > H/2 = 101.600 mm. Por lo tanto, el eje neutro se desplaza hacia abajo, por lo que el inicio de fluencia ocurrirá primero en el patín de compresión. Revisión de la Efectividad del Alma (ver Fig. 7.8): Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 111.768 – (4.763 + 2.667) = 104.338 mm

298 d2 = h – d1 = 188.340 – 104.338 = 84.002 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 2811(104.338/111.768) = 2624.133 kg/cm 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -2811(84.002/111.768) = -2112.676 kg/cm Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2112.676/2624.133 = -0.805 3 Ec. (4.48): k = 4 + 2[1 – (-0.805)] + 2[1 – (-0.805)] = 19.371 2 f = f1 = 2624.133 kg/cm ; h/t = 70.619 1/2 6 Ec. (4.36): λ = 1.052/(19.371) (70.619)(2624.133/2.073x10 ) = 0.601 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 be = ρh = 1.0(188.340) = 188.340 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 188.340/[3 – (-0.805)] = 49.498 mm Ec. (4.44): b2 = 188.340/2 = 94.170 mm b1 + b2 = 49.498 + 94.170 = 143.668 > d1 = 104.338 mm. Por lo tanto el alma es 100% efectiva.

Fig. 7.8 Distribución de esfuerzos en almas 100% efectivas

(1)

Cálculo de las Propiedades Geométricas Efectivas: Cálculo de Ix: Patines: Esquinas: Almas:

Ixx ≈ 0 Ixx ≈ 0 3 3 3 Ixx = 2[(1/12)h ] = 2[(1/12)(188.340) ] = 1113464.686 mm 3 ΣIxx = 1113464.686 mm 2

2

2

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 1113464.686 + 12326762.130 – (111.768) (718.760) 3 = 4461415.209 mm 4 4 Ix = I’xt = 4461415.209(2.667) = 11898594.360 mm = 1189.859 cm Cálculo de Sex: 3 3 Sex = Ix/ycg = 11898594.360/111.768 = 106457.970 mm = 106.458 cm •

Cálculo del Momento Nominal

Mnx = SexFy =106.458(2811) = 299253.438 kg-cm = 299.253 Ton-cm b) Cálculo de la Resistencia Debida al Pandeo Latero-torsional La resistencia al pandeo latero-torsional de secciones cerradas se calcula según la Sección C3.1.2.2 (ver Art. 5.2.3.4).

299 Cálculo de J: Para secciones cajón, el valor de J puede ser aproximado por la Ec. (5.78). a = H – t = 203.200 – 2.667 = 200.533 mm b = B – t = 203.200 – 2.667 = 200.533 mm t1 = t2 = t = 2.667 mm 2 4 Ec. (5.78): J = 2[200.533(200.533)] /[200.533/2.667 + 200.533/2.667] = 21507036.320 mm 4 = 2150.704 cm Cálculo de Cb: En este caso, los momentos de extremo son iguales y flexionan a la viga-columna en curvatura simple. Por lo tanto, existe una distribución uniforme del momento y Cb = 1.0. Cálculo de Lu: El valor de Lu para secciones cajón se obtiene de la Ec. (5.76). 4 Ix = Iy = 1405.117 cm 3 Sf = Sx = Ix/(H/2) = 1405.117/(20.32/2) = 138.299 cm 6 5 1/2 Ec. (5.76): Lu = {0.36(1.0)π/[2811(138.299)]}[2.073x10 (7.941x10 )(2150.704)(1405.117)] = 6488.679 cm Distancia entre apoyos laterales, L = 3.0 m = 300 cm < Lu. Por lo tanto, la resistencia es controlada por el procedimiento de inicio de fluencia. Por lo tanto, la resistencia nominal a flexión es Mnx = 299.253 Ton-cm = 2.993 Ton-m B. Determinación de Cmx En este caso la viga-columna está impedida contra la translación lateral y no tiene cargas transversales entre sus apoyos, por lo que el valor de Cmx deberá determinarse con la Ec. (7.60). Como la viga-columna está flexionada en curvatura simple, la relación M1/M2 será negativa. Ec. (7.60): Cmx = 0.60 – 0.40(-0.70/0.70) = 1.00 C. Determinación de αx 2

6

2

Ec. (7.58): Pex = π (2.073x10 )(1405.117)/(300) =319425.090 kg = 319.425 Ton Método ASD: Ec. (7.56): Método LRFD: Ec. (7.61):

αx = 1 – 1.80(10)/319.425 = 0.944 αx = 1 – 15.20/319.425 = 0.952

D. Revisión mediante las Ecs. (7.14) y (7.17): Substituyendo los valores calculados previamente se obtiene: Método ASD: Ec. (7.14): 1.80(10)/35.728 + 1.67(1.0)(0.70)/[(0.944)2.993] = 0.918 < 1.0, OK Método LRFD: Ec. (7.17): 15.20/[0.85(35.728)] + 1.0(1.064)/[0.95(2.993)(0.952)] = 0.894 < 1.0, OK Nota: En este caso φb = 0.95, ya que controla la Sección C3.1.1 y el patín de compresión es atiesado. 5. Aplicación de las Ecs. (7.15) y (7.18) Las Ecs. (7.15) y (7.18) se usan para revisar los requisitos de fluencia en los puntos de apoyo lateral de la viga-columna. A. Determinación de Pn0 Pn0 se determina según la Sección C4 para Fn = Fy.

300 a) Cálculo del Area Efectiva, Ae Las almas y patines son elementos atiesados a compresión, k = 4.0 2 f = Fn = Fy = 2811 kg/cm Las almas y patines son de dimensiones iguales, w/t = h/t = 70.619 1/2 6 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) (70.619)(2811/2.073x10 ) = 1.368 Como λ > 0.673, calcular el factor de reducción ρ Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.368)/1.368 = 0.613 Ancho efectivo, b = ρw = 0.613(188.340) = 115.452 mm 2 2 Ae = A – 4(w – b)t = 2111.3 – 4(188.340 – 115.452)2.667 = 1333.731 mm = 13.337 cm b) Cálculo de Pn0 Pn0 = FnAe = 2811(13.337) = 37490.307 kg = 37.903 Ton B. Revisión mediante las Ecs. (7.15) y (7.18): Substituyendo los valores calculados previamente se obtiene: Método ASD: Ec. (7.15): 1.80(10)/37.903 + 1.67(0.70)/(2.993) = 0.865 < 1.0, OK Método LRFD: Ec. (7.18): 15.20/[0.85(37.903)] + 1.064/[0.95(2.993)] = 0.846 < 1.0, OK 6. Conclusiones El perfil cajón presenta en resumen los siguientes resultados: Ec. (7.14): 0.918 Ec. (7.15): 0.865

Método ASD:

Método LRFD: Ec. (7.17): 0.894 Ec. (7.18): 0.846 Se observa que los Métodos ASD y LRFD predicen eficiencias de diseño de 92% y 89%, respectivamente. Ambas eficiencias son semejantes y son aceptables. En conclusión, el perfil es aceptable para las cargas y momentos aplicados. Ejemplo 7.2 Determinar la máxima carga transversal máxima P’ que puede ser aplicada en el centro de los claros de la viga-columna mostrada en la Fig. 7.9. Considere la sección I dada en el Ejemplo 6.2. Asuma que la carga axial es de P = 9.0 Ton y que el miembro tiene apoyos laterales 2 en los puntos A, B, C, D y E. Considere el Método ASD y Fy = 2319 kg/cm .

Fig. 7.9 Ejemplo 7.2

(1)

1. Cálculo de las Propiedades de la Sección Del Ejemplo 6.2 se obtiene: 2

A = 14.452 cm 4 Ix = 919.871 cm 4 Iy = 174.817 cm

rx = 8.001 cm ry = 3.480 cm ro = 8.725 cm

xo = 0.0 cm 4 J = 0.174 cm 6 Cw = 18985.486 cm

3

Sx = 90.620 cm 3 Sy = 22.942 cm

301 2. Elementos Mecánicos Aplicados Como la viga continua está sujeta cargas simétricas P’ en claros iguales, el diagrama de momentos puede ser simplificado de la manera indicada en la Fig. 7.10. Los valores de los momentos máximos son: MB = (5/32)P’L = (5/32)P’(3) = 0.469P’ Ton-m MC = (3/16)P’L = (3/16)P’(3) = 0.563P’ Ton-m Carga Axial: P = 9.0 Ton

Fig. 7.10 Diagrama de momentos

(1)

3. Cálculo de la Resistencia Nominal de Diseño por Carga Axial, Pn Las condiciones de apoyo lateral del problema establecen que: Lx = 300 cm y Ly = Lt = 150 cm Asuma Kx = Ky = Kt = 1.0. •

Resistencia debida a pandeo por flexión con respecto al eje débil.

(KxLx/rx) = 1.0(300)/8.001 = 37.495 (KyLy/ry) = 1.0(150)/3.480 = 43.103 Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 43.103 < 200, OK 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(43.103) = 11012.453 kg/cm •

Resistencia debida a pandeo latero-torsional. 2

Ec. (6.59): β = 1 – (0.0/8.725) = 1.000 2 6 2 2 Ec. (5.67): σex = π (2.073x10 )/(37.495) = 14552.993 kg/cm 2 5 2 6 2 Ec. (5.69): σt = 1/[14.452(8.725) ][7.941x10 (0.174) + π (2.073x10 )(18985.486)/(150) ] 2 = 15817.634 kg/cm 2 Ec. (6.58): Fe = 1/[2(1)]{(14552.993 + 15817.634) – [(14552.993 + 15817.634) – 1/2 2 4(1)(14552.993)(15817.634)] } = 14537.993 kg/cm 2 2 Como 14537.993 kg/cm > 11012.453 kg/cm , controla la resistencia por pandeo por flexión. 1/2 Factor de esbeltez, λc = (2319/11012.453) = 0.459 Como λc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelástico dada por la Ec. (6.54). En este 2 2 caso λc = (0.459) = 0.211 (0.211) 2 Ec. (6.54): Fn = [(0.658) ]2319 = 2122.982 kg/cm . •

Cálculo del área efectiva, Ae

a) Ancho Efectivo de Patines: 2

f = Fn = 2122.982 kg/cm w2 = 152.400/2 – 2(2.381 + 1.905) = 67.628 mm w2/t = 67.628/1.905 = 35.500 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /2122.982) = 39.998; S/3 = 39.998/3 = 13.333 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 17.780 mm; θ = 90° d = w1 = D – (R + t) = 17.780 – (2.381 + 1.905) = 13.494 mm d/t = 13.494/1.905 = 7.083 < 14, OK 3 3 4 Is = d t/12 = (13.494) (1.905)/12 = 390.064 mm D/w2 = 17.780/67.628 = 0.263

302 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.263) = 3.935 < 4.0, OK Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 Ec. (4.59): Ia/t = 399[35.500/39.998 – (0.43/4) ] = 69.948 4 4 Ia = 69.948(1.905) = 921.203 mm Ec. (4.60): C2 = 390.064/921.203 = 0.423 < 1.0, OK 1/2 Ec. (4.62): k = (0.423) (3.935 – 0.43) + 0.43 = 2.710 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(2.710) [(35.500)(2122.982/2.073x10 ) ] = 0.726 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.726)/0.726 = 0.960 Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 0.960(67.628) = 64.923 mm b) Ancho Efectivo de Labios Atiesadores Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 7.083. 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(7.083)(2122.982/2.073x10 ) ] = 0.364 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(13.494) = 13.494 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.469(13.494) = 6.329 mm c) Ancho Efectivo de Almas w3 = 203.200 – 2(2.381 + 1.905) = 194.628 mm w3/t = 194.628/1.905 = 102.166 < 500, OK Determinación del peralte efectivo, d Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(102.166)(2122.982/2.073x10 ) ] = 1.720 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.720)/1.720 = 0.507 Ancho efectivo de diseño, d = ρw3 = 0.507(194.628) = 98.676 mm d) Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [4(ds’ – ds) + 4(w2 – b) + 2(w3 – d)]t Ae = 1445.2 – [4(13.494 – 6.329) + 4(67.504 – 64.923) + 2(194.628 – 98.676)]1.905 2 2 = 1005.358 mm = 10.054 cm •

Carga Axial Nominal

Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn = 10.054(2122.982) = 21344.461 kg = 21.344 Ton. 4. Selección de las Ecuaciones de Diseño Método ASD: ΩcP/Pn = 1.80(9.0)/21.344 = 0.759 > 0.15. Por lo tanto, aplican las Ecs. (7.14) y (7.15) de la Sección C5.2.1. 5. Aplicación de la Ec. (7.14) A. Determinación de la Resistencia Nominal a Flexión Mnx Se deberá investigar la resistencia de la sección y la resistencia por pandeo latero-torsional y seleccionar el valor menor.

303

a) Resistencia de la Sección La resistencia de la sección puede calcularse por el Procedimiento de Inicio de Fluencia de la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.2.1). •

Cálculo de las Propiedades de la Sección:

Esquinas: r = R + t/2 = 2.381 + 1.905/2 = 3.334 mm L = 1.57r = 1.57(3.334) = 5.234 mm c = 0.637r = 0.637(3.334) = 2.124 mm Para cuatro esquinas, ΣL = 4(5.234) = 20.936 mm Coordenadas centroidales y con respecto a la fibra extrema superior: Esquinas superiores, y = (r – c) + t/2 = (3.334 – 2.124) + 1.905/2 = 2.163 mm Esquinas inferiores, y = H – 2.163 = 203.200 – 2.163 = 201.037 mm Patines de Compresión: w2 = 67.628 mm w2/t = 35.500 2 Asumiendo que el patín de compresión fluye, f = Fy = 2319 kg/cm 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /2319) = 38.270; S/3 = 38.270/3 = 12.757 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 17.780 mm d = 13.494 mm d/t = 7.083 3 3 4 Is = d t/12 = (13.494) (1.905)/12 = 390.064 mm D/w2 = 17.780/67.628 = 0.263 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.263) = 3.935 < 4.0, OK Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 Ec. (4.59): Ia/t = 399[35.500/38.270 – (0.43/4) ] = 86.075 4 4 Ia = 86.075(1.905) = 1133.592 mm Ec. (4.60): C2 = 390.064/1133.592 = 0.344 < 1.0, OK 1/2 Ec. (4.62): k = (0.344) (3.935 – 0.43) + 0.43 = 2.486 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(2.486) [(35.500)(2319/2.073x10 ) ] = 0.792 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.792)/0.792 = 0.912 Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 0.912(67.628) = 61.677 mm Para dos patines, ΣL = 2(61.677) = 123.354 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = t/2 = 1.905/2 = 0.953 mm Labios Atiesadores de Compresión: Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 7.083. 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(7.083)(2319/2.073x10 ) ] = 0.380 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(13.494) = 13.494 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.344(13.494) = 4.642 mm Para dos labios, ΣL = 2(4.642) = 9.284 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = ds/2 + (R + t) = 4.642/2 + (2.381 + 1.905) = 6.607 mm

304

Labios Atiesadores de Tensión: d = 13.494 mm Para dos labios, ΣL = 2(13.494) = 26.988 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – [d/2 + (R + t)] = 203.200 – [13.494/2 + (2.381 + 1.905)] = 192.167 mm Patines de Tensión: w = 67.628 mm Para dos patines, ΣL = 2(67.628) = 135.256 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H – t/2 = 203.200 – 2.667/2 = 201.867 mm Almas (asumiendo 100% efectivas): h = w3 = 194.628 mm h/t = 102.166 Longitud de dos almas, ΣL = 2(194.628) = 389.256 mm Coordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior: y = H/2 = 203.200/2 = 101.600 mm Cálculo ycg (asumiendo que las almas son 100% efectivas): Longitud Efectiva y (mm) Elemento L (mm) 123.354 0.953 Patines de Compresión 20.936 2.163 Esquinas Superiores 9.284 6.607 Atiesadores de Compresión 389.256 101.600 Almas 26.988 192.167 Atiesadores de Tensión 20.936 201.037 Esquinas Inferiores 135.256 201.867 Patines de Tensión 726.010 Sumas

2

Ly (mm ) 117.556 45.285 61.338 39548.410 5186.203 4208.911 27303.723 76471.426

2

3

Ly (mm ) 112.031 97.951 405.269 4018118.415 996617.071 846146.767 5511720.641 11373218.150

ycg = Σ(Ly)/ΣL = 76471.426/726.010 = 105.331 mm > H/2 = 101.600 mm. Por lo tanto, el eje neutro se desplaza hacia abajo, por lo que el inicio de fluencia ocurrirá primero en el patín de compresión. Revisión de la Efectividad del Alma: Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente: d1 = ycg – (R + t) = 105.331 – (2.381 + 1.905) = 101.045 mm d2 = h – d1 = 194.628 – 101.045 = 93.583 mm Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(d1/ycg) = 2319(101.045/105.331) = 2224.638 kg/cm 2 f2 = -Fy(d2/ycg) = -2319(93.583/105.331) = -2060.352 kg/cm Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -2060.352/2224.638 = -0.926 3 Ec. (4.48): k = 4 + 2[1 – (-0.926)] + 2[1 – (-0.926)] = 22.141 2 f = f1 = 2224.638 kg/cm ; h/t = 102.166 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(22.141) (102.166)(2224.638/2.073x10 ) = 0.748 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.748)/0.748 = 0.944 be = ρh = 0.944(194.628) = 183.729 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 183.729/[3 – (-0.926)] = 46.798 mm Ec. (4.44): b2 = 183.729/2 = 91.865 mm b1 + b2 = 46.798 + 91.865 = 138.663 > d1 = 101.045 mm. Por lo tanto el alma es 100% efectiva

305

Fig. 7.11 Distribución de esfuerzos en el alma

(1)

Cálculo de las Propiedades Geométricas Efectivas: Cálculo de Ix: Patines: Esquinas: Almas: Atiesadores de Compresión: Atiesadores de Tensión: 2

Ixx ≈ 0 Ixx ≈ 0 3 3 3 Ixx = 2[(1/12)h ] = 2[(1/12)(194.628) ] = 1228753.334 mm 3 3 3 Ixx = 2[(1/12)ds ] = 2[(1/12)(4.642) ] = 16.671 mm 3 3 3 Ixx = 2[(1/12)d ] = 2[(1/12)(13.494) ] = 409.516 mm 3 ΣIxx = 1229179.512 mm

2

2

I’x = ΣIxx + ΣLy – ycg ΣL = 1229179.512 + 11373218.150 – (105.331) (726.010) 3 = 4547592.915 mm 4 4 Ix = I’xt = 4547592.915(1.905) = 8663164.502 mm = 866.316 cm Cálculo de Sex: 3 3 Sex = Ix/ycg = 8663164.502/105.331 = 82247.055 mm = 82.247 cm •

Cálculo del Momento Nominal

Mnx = SexFy = 82.247(2319) = 190730.793 kg-cm = 1.907 Ton-m b) Cálculo de la Resistencia Debida al Pandeo Latero-torsional •

Cálculo de Cb

En este caso se definen dos segmentos diferentes: el segmento AB y el BC (ver Fig. 7.10). Se procede a determinar el segmento donde ocurrirá primero el pandeo lateral. En general, ocurrirá primero el pandeo en el segmento donde coincidan el momento máximo, el valor máximo entre apoyos laterales y el valor mínimo de Cb. Se procede a calcular Cb para ambos segmentos: Segmento AB: Mmax = 0.469P’ MA = (0.469P’)/4 = 0.117P’ MB = (0.469P’)/2 = 0.235P’ MC = 3(0.469P’)/4 = 0.352P’ Cb = 12.5(0.469)/[2.5(0.469) + 3(0.117) + 4(0.235) + 3(0.352)] = 1.666 Segmento BC: Determinación del punto de inflexión del diagrama de momentos: Por triángulos semejantes se obtiene: 0.469P’/x = 0.563P’/(1.5 – x). Despejando para x se obtiene:

306 x = 0.682 m. Los valores del diagrama de momentos a cuartos del claro se obtiene también por triángulos semejantes: Mmax = 0.563P’ MA = (0.682 – 1.5/4)(0.469P’/0.682) = 0.211P’ MB = [(1.5 – 0.682) – 1.5/2][0.563P’/(1.5 – 0.682)] = 0.047P’ MC = [(1.5 – 0.682) – 1.5/4][0.563P’/(1.5 – 0.682)] = 0.305P’ Cb = 12.5(0.563)/[2.5(0.563) + 3(0.211) + 4(0.047) + 3(0.305)] = 2.239 En este caso, el valor mínimo de Cb ocurre en el segmento AB, el Mmax ocurre en el segmento BC y el valor de L es el mismo para ambos segmentos. Sin embargo, el segmento donde primero ocurrirá el pandeo lateral (segmento crítico) presentará, por lógica, el menor valor de Fe. El valor de Fe se calcula según la Sección C3.1.2.1 (ver Art. 5.2.3.3) y las ecuaciones para calcularlo son independientes del valor de Mmax (excepto por su influencia en la determinación de Cb). Se puede eliminar entonces al Mmax como criterio para establecer el segmento crítico. Por lo tanto, el segmento crítico será aquel donde coincida el menor valor de Cb y el mayor valor de L. Siguiendo dichos criterios, se establece que el segmento AB será el segmento crítico. •

Cálculo de Fc

Para perfiles I flexionados con respecto al eje x, Fe se calcula mediante la Ec. (5.74) incluida en la Sección C.3.1.2.1 (ver Art. 5.2.3.3). Parámetros básicos: d = 20.32 cm Cb = 1.666 4 Iyc = Iy/2 = 174.817/2 = 87.409 cm L = 150 cm 3 Sf = Sx = 90.620 cm 2 6 2 2 Ec. (5.74): Fe = π (2.073x10 )(1.666)(20.32)(87.409)/[90.620(150) ] = 29692.538 kg/cm 2 2.78Fy = 2.78(2319) = 6446.82 kg/cm 2 Como Fe > 2.78Fy, aplica la Ec. (5.62): Fc = Fy = 2319 kg/cm •

Cálculo de Sc

Sc representa el valor del módulo de sección efectivo Sex para f = Fc. Como en este caso Fc = Fy, 3 entonces Sex = 82.247 cm (ver cálculos previos de éste problema). •

Cálculo de Mnx

Ec. (5.61): Mnx = 82.247(2319) = 190730.793 kg-cm = 1.907 Ton-m c) Determinación del Momento Nominal de la Sección En este caso el Mnx es el mismo tanto para pandeo por flexión como para pandeo latero-torsional. Por lo tanto, Mnx = 1.907 Ton-m B. Determinación de Cmx En este caso, la viga-columna presenta translación lateral impedida y cargas transversales entre sus apoyos. Por consiguiente aplica el caso 3 de la Sección C5.2.1 y C5.2.2. Haciendo uso de la Ec. (7.63) y la Tabla 7.2 se obtiene: Para las condiciones de apoyo y carga ilustradas en la Fig. 7.10 aplica el caso 5 de la Tabla 7.2, por lo que Ψ = -0.30. 2 2 2 6 2 2 F’ex = 12π E/[23(KxLx/rx) ] = 12π (2.073x10 )/[23(37.495) ] = 7592.866 kg/cm 2 fa = P/A = 9000/14.452 = 622.751 kg/cm Ec. (7.63): Cmx = 1 – 0.3(622.751/7592.866) = 0.975

307 C. Determinación de αx Para el Método ASD, el valor de αx se determina por medio de la Ec. (7.56). 2 6 2 Ec. (7.58): Pex = π (2.073x10 )(919.871)/[1.0(300)] = 209114.171 kg Ec. (7.56): αx = 1 – 1.80(9000)/209114.171 = 0.923 D. Cálculo de la Carga Máxima Transversal P’ basada en la Ec. (7.14): Ec. (7.14): 1.80(9)/21.244 + 1.67(0.975)(0.563P’)/[0.923(1.907)] = 1.0 Despejando para P’ se obtiene: P’ = 0.456 Ton 6. Aplicación de la Ec. (7.15) A. Cálculo de Pn0 2

Para KL/r = 0, Fn = Fy = 2319 kg/cm •

Cálculo de Ae

a) Ancho Efectivo de Patines: 2

f = Fn = 2319 kg/cm w2 = 67.628 mm w2/t = 35.500 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /2319) = 38.270; S/3 = 38.270/3 = 12.757 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 17.780 mm; θ = 90° d = 13.494 mm d/t = 7.083 4 Is = 390.064 mm D/w2 = 0.263 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.263) = 3.935 < 4.0, OK Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 Ec. (4.59): Ia/t = 399[35.500/38.270 – (0.43/4) ] = 86.075 4 4 Ia = 86.075(1.905) = 1133.592 mm Ec. (4.60): C2 = 390.064/1133.592 = 0.344 < 1.0, OK 1/2 Ec. (4.62): k = (0.344) (3.935 – 0.43) + 0.43 = 2.486 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(2.486) [(35.500)(2319/2.073x10 ) ] = 0.792 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/0.792)/0.792 = 0.912 Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 0.912(67.628) = 61.677 mm b) Ancho Efectivo de Labios Atiesadores Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 7.083. 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(7.083)(2319/2.073x10 ) ] = 0.380 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(13.494) = 13.494 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.344(13.494) = 4.642 mm

308 c) Ancho Efectivo de Almas w3 = 194.628 mm w3/t = 102.166 Determinación del peralte efectivo, d Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(102.166)(2319/2.073x10 ) ] = 1.797 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.797)/1.797 = 0.488 Ancho efectivo de diseño, d = ρw3 = 0.488(194.628) = 94.978 mm d) Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [4(ds’ – ds) + 4(w2 – b) + 2(w3 – d)]t Ae = 1445.2 – [4(13.494 – 4.642) + 4(67.504 – 61.677) + 2(194.628 – 94.978)]1.905 2 2 = 953.680 mm = 9.537 cm •

Carga Axial Nominal Pn0

Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn0 = 9.537(2319) = 22116.303 kg = 22.116 Ton. B. Cálculo de la Carga Máxima Transversal P’ basada en la Ec. (7.15): Ec. (7.15): 1.80(9)/22.116 + 1.67(0.563P’)/1.907 = 1.0 Despejando para P’ se obtiene: P’ = 0.543 Ton 7. Conclusión En resumen los valores máximos de P’ aplicando las Ecs. (7.14) y (7.15) son: Ec. (7.14): P’ = 0.456 Ton Ec. (7.15): P’ = 0.543 Ton El menor valor controla. Por lo tanto, P’ = 0.456 Ton. Ejemplo 7.3 Para la sección canal mostrada en la Fig. 7.12, determine la carga de diseño según el Método ASD si las cargas en ambos extremos son excéntricamente aplicadas en el punto A (o sea, ex = +5.395 cm.) sobre el eje x (ver Fig. 7.12a). Asuma KxLx = KyLy = 4.5 m. Considere Fy = 3514 2 kg/cm . 1. Cálculo de las Propiedades de la Sección Del Art. A3.2 del Apéndice A se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 10.019 cm 4 Ix = 629.550 cm 4 Iy = 74.672 cm

rx = 7.925 cm ry = 2.731 cm ro = 10.084 cm

xo = 5.588 cm 4 J = 0.238 cm 6 Cw = 6471.714 cm

3

Sx = 61.959 cm 3 Sy = 13.831 cm j = 11.582 cm

2. Elementos Mecánicos Aplicados P = a ser determinada en el problema. Mx = 0.0 My = 0.054P Ton-m 3. Cálculo de la Resistencia Nominal de Diseño por Carga Axial, Pn Las condiciones de apoyo lateral del problema establecen que: KxLx = KyLy = KtLt = 450 cm.

309

(1)

Fig. 7.12 Ejemplo 7.3 (cotas en mm) . (a) Detalles del perfil; (b) Condiciones de carga de la viga-columna

•

Resistencia debida a pandeo por flexión con respecto al eje débil.

(KxLx/rx) = 450/7.925 = 56.782 (KyLy/ry) = 450/2.731 = 164.774 Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 164.774 < 200, OK 2 6 2 2 Ec. (6.57): Fe = π (2.073x10 )/(164.774) = 753.567 kg/cm •

Resistencia debida a pandeo latero-torsional. 2

Ec. (6.59): β = 1 – (5.588/10.084) = 0.693 2 6 2 2 Ec. (5.67): σex = π (2.073x10 )/(56.782) = 6345.673 kg/cm 2 5 2 6 2 Ec. (5.69): σt = 1/[10.019(10.084) ][7.941x10 (0.238) + π (2.073x10 )(6471.714)/(450) ] 2 = 827.313 kg/cm 2 Ec. (6.58): Fe = 1/[2(0.693)]{(6345.673 + 827.313) – [(6345.673 + 827.313) – 1/2 2 4(0.693)(6345.673)(827.313)] } = 792.584 kg/cm 2 2 Como 792.584 kg/cm > 753.567 kg/cm , controla la resistencia por pandeo por flexión. 1/2 Factor de esbeltez, λc = (3514/753.567) = 2.159 Como λc > 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo elástico dada por la Ec. (6.55). En este c 2 2 Ec. (6.55): Fn = [0.877/(2.159) ]3514 = 661.144 kg/cm . •

Cálculo del área efectiva, Ae

a) Ancho Efectivo de Patines: 2

f = Fn = 661.144 kg/cm w2 = 76.200 – 2(4.763 + 2.667) = 61.340 mm w2/t = 61.340/2.667 = 23.000 < 60, OK 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /661.144) = 71.674; S/3 = 71.674/3 = 23.913 Como w2/t < S/3, aplica el Caso I de la Sección B4.2. Por lo tanto: Is = 0.0 (el patín de compresión no requiere labio atiesador). b = w2 = 61.340 mm (los patines son 100% efectivo) ds = d’s

310

b) Ancho Efectivo de Labios Atiesadores D = 20.574 mm; θ = 90° d = w1 = D – (R + t) = 20.574 – (4.763 + 2.667) = 13.144 mm Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 13.144/2.667 = 4.928 < 14, OK 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(4.928)(661.144/2.073x10 ) ] = 0.141 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(13.144) = 13.144 mm Según Caso I de la Sección B4.2: ds = d’s = 13.144 mm Por lo tanto, en este caso los labios atiesadores son 100% efectivos. c) Ancho Efectivo de Almas w3 = 203.200 – 2(4.763 + 2.667) = 188.340 mm w3/t = 188.340/2.667 = 70.619 < 500, OK Determinación del peralte efectivo, d Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(70.619)(661.144/2.073x10 ) ] = 0.663 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo de diseño, d = ρw3 = 1.0(194.628) = 188.340 mm (alma 100% efectiva) d) Area Efectiva, Ae 2

Para este caso, Ae = A = 10.019 cm , ya que todos los elementos son 100% efectivos. •

Carga Axial Nominal

Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn = 10.019(661.144) = 6624.002 kg = 6.624 Ton. 4. Selección de las Ecuaciones de Diseño En este caso se desconoce el valor de P, por lo que el valor de ΩcP/Pn no puede ser calculado. Asuma que dicho valor excede a 0.15. Por lo tanto, aplican las Ecs. (7.14) y (7.15) para ASD. 5. Aplicación de la Ec. (7.14) A. Determinación de la Resistencia Nominal a Flexión Mny Como el perfil C tiene simetría simple, se deberá investigar la resistencia de la sección y la resistencia por pandeo latero-torsional y seleccionar el valor menor. a) Resistencia de la Sección La resistencia de la sección puede calcularse por el Procedimiento de Inicio de Fluencia de la Sección C3.1.1 (ver Art. 5.2.2.1). •

Cálculo de las Propiedades de la Sección:

Como se puede observar en la Fig. 7.12(a) el momento aplicado es con respecto al eje y y el sentido del momento genera los esfuerzos de compresión máximos por flexión en los labios atiesadores. Además, los patines estarán sujetos a gradiente de esfuerzos y el alma estará sujeta a tensión por flexión. En otras palabras, los labios trabajarán como patines de compresión, el alma como patín de tensión y los patines como almas.

311

Patines de Compresión (Labios Atiesadores): w1 = d = 13.144 mm w1/t = 4.928 2 Asumiendo que los patines de compresión fluyen, f = Fy = 3514 kg/cm Los labios son elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(4.928)(3514/2.073x10 ) ] = 0.326 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, b = ρd = 1.0(13.144) = 13.144 mm (100% efectivos) Almas (Patines): h = w2 = 61.340 mm h/t = 23.000 Asuma que las almas son 100% efectivas. En este caso, la posición del eje neutro (eje y) puede obtenerse de la Ec. (A.46) del Apéndice A. Como el valor de x se obtiene con respecto a la línea central del alma (ver Fig. A.9), se le debe sumar t/2 para obtener la distancia del eje neutro con respecto al paño exterior del alma (valor de c en la Fig. 7.13). Ec. (A.46): x = 20.917 mm c = x + t/2 = 20.917 + 2.667/2 = 22.251 mm a = B – c = 76.200 – 22.251 = 53.949 mm d = c – (R + t) = 22.251 – (4.763 + 2.667) = 14.821 mm b = a – (R + t) = 53.949 – (4.763 + 2.667) = 46.519 mm

Fig. 7.13 Distribución de esfuerzos en patines

(1)

Revisión de la efectividad de las almas: Esfuerzos de compresión y tensión máximos, respectivamente: 2 f1 = Fy(b/a) = 3514(46.519/53.949) = 3030.043 kg/cm 2 f2 = -Fy(d/a) = -3514(14.821/53.949) = - 965.375kg/cm Cálculo del peralte efectivo (b1 + b2): Ec. (4.47): Ψ = -965.375/3030.043 = -0.319 3 Ec. (4.48): k = 4 + 2[1 – (-0.319)] + 2[1 – (-0.319)] = 11.227 2 f = f1 = 3030.043 kg/cm ; h/t = 23.000 1/2 6 1/2 Ec. (4.36):λ = 1.052/(11.227) (23.000)(3030.043/2.073x10 ) = 0.276 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 be = ρh = 1.0(61.340) = 61.340 mm Como ψ < -0.236, usar Ecs. (4.43) y (4.44): Ec. (4.43): b1 = 61.340/[3 – (-0.319)] = 18.481 mm Ec. (4.44): b2 = 61.340/2 = 30.670 mm b1 + b2 = 18.481 + 30.670 = 49.151 > b = 46.519 mm. Por lo tanto el alma es 100% efectiva

312

Cálculo de Propiedades Geométricas Efectivas: En este caso, todos los elementos (patines, almas y atiesadores) son 100% efectivos. Por lo tanto: 3 Sey = Sy = 13.831 cm Cálculo de Mny: Mny = SeyFy = 13.831(3514) = 48602.134 kg-cm = 0.486 Ton-m b) Cálculo de la Resistencia Debida al Pandeo Latero-torsional •

Cálculo de Cb

En este caso, como los momentos aplicados en los extremos son iguales y flexionan a la vigacolumna en curvatura simple, Cb = 1.0. •

Cálculo de Fc

Para perfiles C flexionados con respecto al eje perpendicular al eje de simetría, Fe se calcula mediante la Ec. (5.66) incluida en la Sección C.3.1.2.1 (ver Art. 5.2.3.3). Parámetros básicos de la Ec. (5.66): Cs = -1 (momento causa tensión del lado del eje centroidal coincidente con el centro de cortante). CTF = 1 (para miembros sujetos a carga axial y flexión) 2 σex = 6345.673 kg/cm (valor calculado previamente en el problema) 2 σt = 827.313 kg/cm (valor calculado previamente en el problema) 3 Sf = Sy = 13.831 cm Ec. (5.66): 2 2 1/2 Fe = -1(10.019)(6345.673)/[1.0(13.831)]{11.582 –1[(11.582) + (10.084) (827.313/6345.673)] } 2 = 2568.855 kg/cm 2 2.78Fy = 2.78(3514) = 9768.920 kg/cm 2 0.56Fy = 0.56(3514) = 1967.840 kg/cm Como 0.56Fy < Fe < 2.78Fy, aplica la Ec. (5.63). 2 Ec. (5.63): Fc = (10/9)3514{1 – 10(3514)/[36(2568.855)]} = 2420.837 kg/cm •

Cálculo de Sc

Sc representa el valor del módulo de sección efectivo Sey para f = Fc. Como en este caso Fc = 2 2420.837 kg/cm . Sin embargo, se demostró previamente que el perfil es 100% efectivo (Sey = Sy) 2 para f = Fy. Por lo tanto, para f = 2420.837 kg/cm < Fy también lo será. Entonces: 3 Sc = Sy = 13.831 cm •

Cálculo de Mny

Ec. (5.61): Mny = 13.831(2420.837) = 33482.597 kg-cm = 0.335 Ton-m c) Determinación del Momento Nominal de la Sección En este caso el Mny para pandeo por flexión es mayor que el de pandeo latero-torsional. Por lo tanto, Mny = 0.335 Ton-m B. Determinación de Cmx En este caso, la viga-columna presenta translación lateral impedida sin cargas transversales entre sus apoyos. Por consiguiente aplica el caso 2 de la Sección C5.2.1 y C5.2.2. Haciendo uso de la Ec. (7.60) se obtiene: Ec. (7.60): Cmy = 0.60 – 0.4(-0.054P/0.054P) = 1.0

313 C. Determinación de αy Para el Método ASD, el valor de αy se determina por medio de la Ec. (7.56). 2 6 2 Ec. (7.57): Pey = π (2.073x10 )(74.672)/(450) = 7544.523 kg = 7.545 Ton Ec. (7.59): αy = 1 – 1.80P/7.545 = 1 – 0.239P D. Cálculo de la Carga Máxima P basada en la Ec. (7.14): Ec. (7.14): 1.80P/6.624 + 1.67(0.054P)/[0.335(1 – 0.239P)] = 1.0 0.272P + 0.090P/(0.355 – 0.080P) = 1.0 2 P – 12.136P + 16.136 = 0 Seleccionando la raíz menor de la ecuación cuadrática se obtiene: P = 1.520 Ton 8. Aplicación de la Ec. (7.15) A. Cálculo de Pn0 2

Para KL/r = 0, Fn = Fy = 3514 kg/cm •

Cálculo de Ae

a) Ancho Efectivo de Patines: 2

f = Fn = 3514 kg/cm w2 = 61.340 mm w2/t = 23.000 6 1/2 Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x10 /3514) = 31.089; S/3 = 31.089/3 = 10.363 Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Sección B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)] Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42): D = 20.574 mm; θ = 90° d = 13.144 mm d/t = 4.928 3 3 4 Is = d t/12 = (13.144) (2.667)/12 = 504.690 mm D/w2 = 20.574/61.340 = 0.335 Coeficiente de pandeo del patín de compresión, k [Ec. (4.62), n = ½ para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka: Ec. (4.63): ka = 5.25 – 5(0.335) = 3.575 < 4.0, OK Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43 4 1/2 3 Ec. (4.59): Ia/t = 399[23.000/31.089 – (0.43/4) ] = 27.892 4 4 Ia = 27.892(2.667) = 1411.145 mm Ec. (4.60): C2 = 504.690/1411.145 = 0.358 < 1.0, OK 1/2 Ec. (4.62): k = (0.358) (3.575 – 0.43) + 0.43 = 2.312 Determinación del ancho efectivo, b: 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(2.312) [(23.000)(3514/2.073x10 ) ] = 0.655 Como λ < 0.673, ρ = 1.0 Ancho efectivo de diseño, b = ρw2 = 1.0(61.340) = 61.340 mm b) Ancho Efectivo de Labios Atiesadores Para elementos a compresión no atiesados, k = 0.43 d/t = 4.928 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(0.43) [(4.928)(3514/2.073x10 ) ] = 0.326 Como λ < 0.673, ρ = 1.0. Ancho efectivo del labio atiesador, ds’ = ρd = 1.0(13.144) = 13.144 mm Ancho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.358(13.144) = 4.706 mm

314 c) Ancho Efectivo de Almas w3 = 188.340 mm w3/t = 70.619 Determinación del peralte efectivo, d Para elementos a compresión atiesados, k = 4.0 1/2 6 1/2 Ec. (4.36): λ = 1.052/(4.0) [(70.619)(3514/2.073x10 ) ] = 1.529 Como λ > 0.673, se procede a calcular el factor de reducción ρ. Ec. (4.37): ρ = (1 – 0.22/1.529)/1.529 = 0.560 Ancho efectivo de diseño, d = ρw3 = 0.560(188.340) = 105.470 mm d) Area Efectiva, Ae Para este caso, Ae = A – [2(ds’ – ds) + 2(w2 – b) + (w3 – d)]t Ae = 1001.9 – [2(13.144 – 4.706) + 2(61.340 – 61.340) + (188.340 – 105.470)]2.667 2 2 = 735.877 mm = 7.359 cm •

Carga Axial Nominal Pn0

Carga nominal de diseño, Ec. (6.53): Pn0 = 7.359(3514) = 25859.526 kg = 25.860 Ton. B. Cálculo de la Carga Máxima P basada en la Ec. (7.15): La excentricidad de carga inicialmente se establece con respecto a los ejes centroidales de la sección no reducida. Sin embargo, al calcular las propiedades efectivas, ya sea Ae, Sex y/o Sey, las posiciones de dichos ejes pueden verse afectadas. Por consiguiente, las excentricidades de carga deberán ser restablecidas con respecto a las nuevas posiciones de los ejes antes de proceder con la revisión de la viga-columna. Este ajuste no fue requerido para la Ec. (7.14), ya que el perfil resultó 100% efectivo para compresión axial y flexión. Sin embargo, se observa que el alma y los labios atiesadores resultaron parcialmente efectivos durante la determinación de Ae requerida para el cálculo de Pn0. Se procede entonces a calcular la nueva posición del eje y (el eje x no se ve afectado en este caso, ya que las “pérdidas” de área en los labios son simétricas con respecto al eje x y la “pérdida” de área en el alma se considera al centro de la misma). •

Cálculo de la Nueva Posición del Eje y

Esquinas: r = R + t/2 = 4.763 + 2.667/2 = 6.097 mm L = 1.57r = 1.57(6.097) = 9.572 mm c = 0.637r = 0.637(6.097) = 3.884 mm 2 Para dos esquinas, ΣA = 2Lt = 2(9.572)(2.667) = 51.057 mm Coordenadas centroidales x con respecto al paño exterior del alma: Esquinas en almas, x = (r – c) + t/2 = (6.097 – 3.884) + 2.667/2 = 3.547 mm Esquinas en labios, x = B – 3.547 = 76.200 – 3.547 = 72.653 mm Patines: En este caso los patines son 100% efectivos. w = 61.340 2 Para dos patines, ΣA = 2wt = 2(61.340)2.667 = 327.188 mm Coordenada centroidal x con respecto al paño exterior del alma: x = B/2 = 76.200/2 = 38.1 mm Almas: d = 105.470 mm 2 A = dt = 105.470(2.667 ) = 281.288 mm Coordenada centroidal x con respecto al paño exterior del alma: x = t/2 = 2.667/2 = 1.334 mm

315

Labios: ds = 4.706 mm 2 Para dos labios, ΣA = 2dst = 2(4.706)(2.667) = 25.102 mm Coordenada centroidal x con respecto al paño exterior del alma: x = B – t/2 = 76.200 – 2.667/2 = 74.867 mm Cálculo del xcg: xcg = ΣAx/ΣA = ΣAx/Ae = [51.057(3.547 + 72.653) + 327.188(38.100) + 281.288(1.334) + 25.102(74.867)]/735.877 = 25.291 mm Posición original de xcg (valor de c en la Fig. 7.13): xcg = 22.251 mm En este caso, el eje y se desplaza hacia la derecha un valor de 25.291 – 22.251 = 3.04 mm Por lo tanto, la excentricidad de carga se reduce a ex = 53.950 – 3.04 = 50.910 mm El valor del momento será ahora My = 0.051P Ec. (7.15): 1.80P/25.860 + 1.67(0.051P)/0.335 = 1.0 0.070P + 0.254P = 1.0 Despejando para P se obtiene: P = 3.09 Ton Nota: si se desprecia la reducción en excentricidad, entonces P = 2.95 Ton, lo que representa una subestimación de la carga máxima del orden 4.5%. 9. Conclusión En resumen los valores máximos de P aplicando las Ecs. (7.14) y (7.15) son: Ec. (7.14): P = 1.520 Ton Ec. (7.15): P = 3.09 Ton El menor valor controla. Por lo tanto, P = 1.520 Ton.

CAPITULO 8

MIEMBROS TUBULARES CILINDRICOS

8.1 COMENTARIOS GENERALES Las secciones tubulares cilíndricas laminadas en frío son económicas para miembros sujetos a flexión y torsión debido a que poseen un radio de giro considerable comparado con el área de la sección transversal, a que tienen el mismo radio de giro en todas las direcciones (no tienen eje débil) y a su gran rigidez torsionante. La eficiencia estructural de dichos miembros tubulares en las estructuras de acero es ampliamente reconocida. Comparaciones hechas en la capacidad de carga de columnas a base de miembros tubulares cilíndricos y cuadrados y miembros a base de angulares laminados en caliente, han indicado para el mismo tamaño y peso, los tubulares cilíndricos resisten 2.5 y 1.5 veces la carga de diseño de los angulares laminados en caliente, cuando la longitud de la columna es igual a 36 y 24 veces la dimensión de la sección, respectivamente. En este capítulo presenta la fundamentación teórica y experimental para determinar la resistencia nominal de miembros cilíndricos tubulares sujetos a flexión y compresión axial. Así mismo, se presentan las especificaciones correspondientes del AISI para del diseño de dichos miembros. 8.2 TIPOS DE TUBULARES CILINDRICOS El comportamiento al pandeo de los tubulares cilíndricos, el cual será discutido mas adelante, es considerablemente afectado por la configuración de la curva esfuerzo-deformación del material, las imperfecciones geométricas como la falta de redondez y los esfuerzos residuales. Por consiguiente, es recomendable clasificar a los tubulares cilíndricos en función de su comportamiento al pandeo. En general, los tubulares cilíndricos pueden agruparse en (1) tubos manufacturados y (2) tubos habilitados. Los tubos manufacturados son producidos en serie en plantas a través de diversos métodos como el soldado y la extrusión. Los tubos habilitados son producidos en talleres estructurales a partir de placas soldadas, atornilladas o remachadas. Como los tubos habilitados usualmente tienen mas imperfecciones geométricas, la resistencia al pandeo local de dichos tubos puede ser considerablemente menor que la de los tubos manufacturados. Los tubos manufacturados pueden clasificarse en tres tipos: 1. Tubos sin costuras 2. Tubos soldados 3. Tubos expandidos o formados en frío Para los tubos sin costuras, la curva esfuerzo-deformación es afectada por los esfuerzos residuales causados por el proceso de enfriamiento de los tubos. El límite de proporcionalidad de los tubos es aproximadamente el 75% del esfuerzo de fluencia. Este tipo de tubo tiene las mismas propiedades en toda la sección. Los tubos soldados producidos a partir de placas soldadas laminadas en frío tienen curvas esfuerzo-deformación con fluencia gradual, como se muestra en la Fig. 2.2, debido al efecto de Bauschinger y a los esfuerzos residuales causados por el proceso de manufactura. El límite de proporcionalidad de tubos soldados mediante resistencia eléctrica puede llegar a asumir valores tan bajos como el 50% del esfuerzo de fluencia.

317

Los tubos formados en frío también tienen curvas esfuerzo-deformación con fluencia gradual debido al efecto Bauschinger y al efecto del laminado en frío. 8.3 PANDEO POR FLEXION Las ecuaciones básicas para columnas sujetas pandeo elástico e inelástico por flexión discutidas en el Capítulo 6 [Ecs. (6.3) y (6.7)] son usualmente aplicables a miembros tubulares sujetos a compresión con límites de proporcionalidad no menores al 70% del esfuerzo de fluencia. Para tubulares soldados mediante resistencia eléctrica con límites de proporcionalidad relativamente pequeños, las siguientes ecuaciones pueden ser usadas para determinar la resistencia por pandeo 2 por flexión en tubos de acero al carbono con Fy de 3162 y 3865 kg/cm : 1. Para

KL / r ≤ 3π 2 E / Fy  Fy  KL  2 σ T = Fy 1 −   2  3 3 π E  r 

2. Para

(8.1)

KL / r ≥ 3π 2 E / Fy σe =

π 2E ( KL / r ) 2

(8.2)

donde Fy, E, K y L fueron definidas en el Capítulo 6. El radio de giro de tubulares cilíndricos puede calcularse mediante la siguiente expresión:

Do + Di 2

r=

4

2

≈

R 2

(8.3)

donde Do = diámetro externo Di = diámetro interior R = radio promedio del tubo 8.4 PANDEO LOCAL 8.4.1 Pandeo Local bajo Carga Axial Cuando un tubular cilíndrico es sujeto a compresión axial (ver Fig. 8.1), la estabilidad elástica del tubo es mas complicada que en el caso de una placa plana. Basado en la teoría de deformaciones pequeñas, el comportamiento estructural de un tubular cilíndrico puede ser expresado por la siguiente ecuación diferencial:

∇ 8ω +

1 4 ∂ 2ω  Et ∂ 4ω ∇  N x 2  + =0 D  ∂x  DR 2 ∂x 4

donde

∇ 8ω = ∇ 4 (∇ 4ω )

(8.4)

318

∇ 4ω =

∂ 4ω ∂ 4ω ∂ 4ω + 2 + ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

(8.5)

y x = coordenada en la dirección x y = coordenada en la dirección y ω = desplazamiento en la dirección radial Nx = carga axial aplicada t = espesor del tubo R = radio del tubo E = módulo de elasticidad 3 2 D = Et /[12(1-µ )] µ = relación de Poisson = 0.30

Fig. 8.1 Tubular cilíndrico sujeto a compresión axial

(1)

Para un tubular cilíndrico dado, el comportamiento por pandeo varía con la longitud del miembro. Por esta razón, desde el punto de vista de la estabilidad estructural, se distinguen tres categorías: 1. Tubos cortos, Z < 2.85 2. Tubos de longitud moderada, 2.85 < Z < 50 3. Tubos largos, Z > 50 Donde Z es un parámetro de esbeltez dado por la siguiente expresión:

L2 L2 2 Z= 1 − µ = 0.954 Rt Rt

(8.6)

Para tubos cortos (o sea, donde el radio del tubo es grande comparado con su longitud), el esfuerzo de pandeo local crítico es:

f cr =

π 2 E (t 2 / 12) (1 − µ 2 ) L2

(8.7)

el cual es idéntico al esfuerzo de Euler para una placa de ancho unitario. Para tubos largos, el tubo se pandeará como columna. La carga crítica de pandeo está dada por:

π 2 EI P= 2 L

(8.8)

donde I es el momento de inercia de la sección del tubo dado por la siguiente expresión:

I = πR 3 t

(8.9)

319

Por lo tanto, para tubos largos el esfuerzo crítico de pandeo está dado por:

π 2E  R  f cr =   2 L

2

(8.10)

Los tubos de longitud moderada pueden pandearse localmente en un patrón de diamante como se muestra en la Fig. 8.2. El esfuerzo crítico de pandeo local está dado por:

f cr = CE

Fig. 8.2 Pandeo local de tubo de longitud moderada

t R

(8.11)

(1)

De acuerdo con la teoría clásica (teoría de deformaciones pequeñas), el valor de C puede ser calculado mediante la siguiente expresión:

C=

1 3(1 − µ 2 )

= 0.605

(8.12)

por lo tanto

f cr =

t  t  = 0.605 E     R 3(1 − µ 2 )  R  E

(8.13)

Cuando el esfuerzo de pandeo excede al límite de proporcionalidad, el esfuerzo teórico de pandeo se encuentra en el rango inelástico. Dicho esfuerzo puede ser calculado por

t  f cr = aCE   R

(8.14)

donde a es el factor de reducción por plastificación y esta dado por la siguiente expresión:

 1− µ 2 a= 1− µ 2 p 

   

1/ 2

 E s  Et      E  E 

donde µ = relación de Poisson para el rango elástico = 0.30 µp = relación del Poisson para el rango plástico = 0.50 Es = módulo secante Et = módulo tangente E = módulo de elasticidad

1/ 2

(8.15)

320 Los resultados de numerosas pruebas indican que el valor real de C puede ser mucho menor que el valor teórico de 0.605 debido al comportamiento de postpandeo de los tubulares cilíndricos, el cual se ve considerablemente afectado por las imperfecciones iniciales de la sección. El comportamiento al postpandeo de los tubulares cilíndricos tridimensionales es muy diferente que el de las placas bidimensionales y columnas unidimensionales. Como se muestra en la Fig. 8.3(a), la placa plana desarrolla esfuerzos de membrana a tensión transversales considerables después del pandeo debido a la restricción provista por las dos orillas verticales. Los esfuerzos de membrana actúan para restringir la deformación lateral y por lo tanto, la placa puede resistir cargas adicionales después del pandeo. La columna exhibe resistencia al postpandeo, la cual puede ser incrementar considerablemente la resistencia a compresión axial de la columna.

(1)

Fig. 8.3 Patrones de pandeo local para varios componentes estructurales . (a) Pandeo de placas en columna tubular rectangular; (b) Pandeo global de columna; (c) Pandeo de tubular cilíndrico

En columnas, después de que ocurre el pandeo global por flexión, no pueden desarrollarse esfuerzos de membrana a tensión transversales considerables para restringir las deformaciones laterales y por lo tanto, la columna es libre de deformarse lateralmente bajo carga crítica. En tubulares cilíndricos, el pandeo de las caras del tubular ocurre hacia adentro [ver Fig. 8.3(c)], lo cual causa esfuerzos de membrana a compresión que se suman a los de compresión axial, por lo que esta forma de pandeo es inestable. Por consiguiente, los tubulares cilíndricos no exhiben resistencia al postpandeo y suelen fallar repentinamente al alcanzar la carga crítica de pandeo. 8.4.2 Pandeo Local bajo Flexión El comportamiento bajo pandeo local en la porción a compresión de un miembro tubular sujeto a flexión es diferente a la del mismo miembro sujeto a compresión axial. En base a investigaciones teóricas y experimentales, se ha sugerido que el esfuerzo de pandeo local elástico por flexión sea tomado como 1.3 veces el esfuerzo de pandeo local para carga axial. El valor mayor del esfuerzo de pandeo local por flexión resulta de los efectos benéficos del gradiente de esfuerzos que existe en flexión. Sin embargo, algunos investigadores han indicado que no existe una diferencia significativa entre los esfuerzos críticos a flexión y los de compresión axial. 8.4.3 Pandeo Local bajo Torsión El esfuerzo teórico de pandeo de tubos de longitud moderada sujetos a torsión puede ser calculado mediante la siguiente expresión:

τ cr =

0.596a t  E  2 5/8 (1 − µ ) R

5/ 4

R   L

1/ 2

t  = 0.632aE   R

5/4

R   L

1/ 2

(8.16)

321 donde τcr es el esfuerzo crítico de pandeo por cortante debido a torsión y el factor a esta dado por:

 1− µ 2 a= 1− µ 2 p 

   

3/ 4

E  Es    = 1.16 s E  E 

(8.17)

Estudios previos han indicado que el efecto de las imperfecciones sobre el postpandeo por torsión es mucho menor que el efecto sobre el postpandeo bajo compresión axial. Los resultados de pruebas indican que debido al efecto de las imperfecciones, la resistencia real del miembro es menor que los resultados teóricos. 8.4.4 Pandeo Local bajo Cortante Transversal Resultados de diversas investigaciones han sugerido que el valor del esfuerzo crítico de pandeo bajo cortante transversal en el rango elástico sea tomado como 1.25 veces el esfuerzo crítico de pandeo por torsión, o sea,

τ cr

t  = (1.25)0.632aE   R

5/ 4

R   L

1/ 2

t  = 0.79aE   R

5/ 4

R   L

1/ 2

(8.18)

8.4.5 Pandeo Local bajo Combinación de Cargas La siguiente ecuación de interacción puede ser usada para cualquier combinación de cargas: 2

 f   τ    +   ≤ 1 f τ  cr   cr 

(8.19)

donde f = esfuerzo normal real fcr = esfuerzo crítico de pandeo bajo esfuerzos normales solamente τ = esfuerzo cortante real τcr = esfuerzo crítico de pandeo bajo esfuerzos cortantes solamente 8.5 CRITERIOS DE DISEÑO DEL AISI 8.5.1 Esfuerzo de Pandeo Local Considerando el comportamiento al postpandeo de miembros tubulares cilíndricos y el efecto considerable de las imperfecciones iniciales en la sección, las especificaciones de diseño del AISI fueron originalmente basadas en las investigaciones de Plantema y en las pruebas de carga de miembros cilíndricos desarrolladas por Wilson y Newmark en la Universidad de Illinois. De las pruebas de carga a compresión, Plantema encontró que la relación Fult/Fy depende del parámetro (E/Fy)(t/D), donde t es el espesor, D es diámetro promedio del tubo y Fult el esfuerzo último o de colapso. Como se muestra en la Fig. 8.4, la línea 1 corresponde al esfuerzo de colapso para un valor menor al límite de proporcionalidad, la línea 2 corresponde al esfuerzo de colapso para un valor el límite de proporcionalidad y el esfuerzo de fluencia (el límite de proporcionalidad aproximado es tomado como el 83% de Fy en el punto B) y la línea 3 corresponde al esfuerzo de colapso coincidente con el esfuerzo de fluencia. En el rango de la línea 3, el pandeo local no ocurrirá antes que la fluencia. En el rango de las líneas 1 y 2, el pandeo local ocurrirá antes de la fluencia. En estos casos, el esfuerzo permisible debe reducirse para evitar el pandeo local.

322

Fig. 8.4 Resistencia última de tubulares cilíndricos sujetos a pandeo local

(1)

Como se muestra en la Fig. 8.4, el punto A representa el valor de (E/Fy)(t/D) = 8, el cual define 6 2 el límite entre la fluencia y el pandeo local. Usando E = 2.073 x 10 kg/cm , se puede observar que los tubos con una relación D/t no mayor que 0.125E/Fy están exentos de fallar por pandeo local. La discusión anterior se puede resumir en las siguientes ecuaciones de Plantema: 1. Para D/t ≤ 0.125E/Fy (criterio de falla por fluencia representado por la línea 3):

Fult =1 Fy

(8.20)

2. Para 0.125E/Fy < D/t ≤ 0.4E/Fy (criterio de pandeo inelástico representado por la línea 2):

 E Fult = 0.031  Fy Fy 

 t    + 0.75  D  

(8.21)

3. Para D/t > 0.4E/Fy (criterio de pandeo elástico, representado por la línea 1):

 E Fult = 0.33 F Fy  y

 t     D  

(8.22)

El AISI basa sus especificaciones de pandeo local en las ecuaciones de Plantema, utilizando un enfoque conservador. Especifica que los tubos con D/t ≤ 0.112E/Fy deben diseñarse por fluencia. Esta especificación se basa en el punto A1 de la Fig. 8.4, donde (E/Fy)(t/D) = 8.93.

323 Para 0.112E/Fy < D/t < 0.441E/Fy, el AISI especifica que el diseño de tubos debe basarse en el criterio de pandeo local. Con el propósito de desarrollar una ecuación de diseño para pandeo inelástico, el punto B1 fue seleccionado por el AISI para representar el límite de proporcionalidad. Para el punto B1,

 E  F  y

 t    = 2.27  D  

Fult = 0.75 Fy

y

(8.23)

Usando la línea A1B1, el máximo esfuerzo para tubos puede ser expresado por:

 E Fult = 0.037 F Fy  y

 t    + 0.667  D  

(8.24)

La correlación de la información experimental disponible y la Ec. (8.24) se muestra en la Fig. 8.5.

Fig. 8.5 Correlación entre la información experimental y los criterios de diseño del AISI para el pandeo local de (1) tubulares cilíndricos sujetos a compresión axial .

Si A es el área de la sección no reducida de la sección y A0 el área reducida debido a pandeo local, entonces, AFult = A0 Fy (8.25) o

F A0 =  ult  Fy 

 A  

(8.26)

Substituyendo la Ec. (8.24) en la Ec. (8.26), la siguiente ecuación puede ser obtenida para D/t ≤ 0.441E/Fy:

324

  0.037 A0 =  + 0.667  A ≤ A  ( D / t )( Fy / E ) 

(8.27)

donde D es el diámetro exterior del miembro tubular cilíndrico. 8.5.2 Resistencia a Compresión Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño de columnas tubulares cilíndricas:

Pn ≥ ∑ Pi Ωc

1. Método ASD:

Pa =

2. Método LRFD:

φ c Pn ≥ ∑ γ i Pi

Donde

Pa = resistencia permisible a compresión axial Ωc = factor de seguridad para compresión axial ΣPi = combinación aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) φc = factor de resistencia por compresión axial γi = factor de carga correspondiente a la carga Pi ΣγiPi = combinación aplicable de cargas factorizadas (ver Art. 3.3.2) Pn = resistencia nominal de compresión axial determinada según la Sección C6.2.

El AISI 1996, Sección C6.2, incluye las especificaciones de diseño para miembros tubulares cilíndricos sujetos a compresión axial. La ecuación para determinar la resistencia nominal a compresión Pn para miembros tubulares cilíndricos con D/t ≤ 0.441E/Fy esta dada por:

Pn = Fn Ae

(8.28)

Ωc = 1.80 (ASD) φc = 0.85 (LRFD) donde Pn = carga axial nominal del miembro Fn = esfuerzo de pandeo por flexión determinado de la siguiente manera: 1. Para λc ≤ 1.5,

Fn = (0.658 λc ) Fy

(8.29)

 0.877  Fn =  2  Fy  λ c 

(8.30)

2

2. Para λc > 1.5,

donde:

λ c = Fy / Fe 2

Fe = esfuerzo elástico de pandeo por flexión = π E/(KL/r)

[

]

Ae = 1 − (1 − R 2 )(1 − A0 / A) A

2

(8.31) (8.32)

325

R = Fy / 2 Fe

(8.33)

  0.037 A0 =  + 0.667  A ≤ A  ( D / t )( Fy / E ) 

(8.27)

8.5.3 Resistencia a Flexión En el Art. 8.4.2 se mencionó que para los miembros tubulares cilíndricos, el esfuerzo elástico para pandeo local por flexión es mayor que el esfuerzo elástico de pandeo local por compresión axial. Además, para miembros cilíndricos con pared gruesa sujetos a flexión, el inicio de fluencia no representa una condición de falla, como se asume generalmente en miembros sujetos a carga axial. Para miembros relativamente compactos con D/t ≤ 0.070E/Fy, la resistencia a flexión puede alcanzar la capacidad de momento plástico, el cual es por lo menos igual a 1.29 veces la capacidad de momento al inicio de fluencia. Con respecto al pandeo local, las condiciones de pandeo inelástico no son tan severas como en los miembros sujetos a compresión axial debido al efecto del gradiente de esfuerzos. El AISI 1996 en la Sección C6.1 incluye las siguientes especificaciones para determinar la resistencia nominal de flexión de columnas tubulares cilíndricas:

Mn ≥ ∑Mi Ωb

1. Método ASD:

Ma =

2. Método LRFD:

φb M n ≥ ∑γ i M i

Donde

Ma Ωb ΣMi φb γi ΣγiMi Mn

= momento de flexión permisible = factor de seguridad para flexión = combinación aplicable de momentos debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) = factor de resistencia por flexión = factor de carga correspondiente al momento Mi = combinación aplicable de momentos factorizados (ver Art. 3.3.2) = resistencia nominal a flexión calculado de la siguiente manera:

1. Cuando D/t ≤ 0.070E/Fy,

M n = 1.25 Fy S f

(8.34)

2. Cuando 0.070E/Fy < D/t ≤ 0.319E/Fy,

E / Fy   M n = 0.970 + 0.020  Fy S f D / t  

(8.35)

3. Cuando 0.319E/Fy < D/t ≤ 0.441E/Fy,

M n = [0.328E /( D / t )]S f

(8.36)

326 Ωb = 1.67 (ASD) φb = 0.95 (LRFD) donde Sf = módulo de sección elástico para la sección no reducida Las Ecs. (8.34) a (8.36) se muestran gráficamente en la Fig. 8.6.

Fig. 8.6 Resistencia nominal a flexión de tubulares cilíndricos

(1)

8.5.4 Combinación de Flexión y Compresión Las ecuaciones de interacción presentadas en el Capitulo 7 también pueden ser usadas para el diseño de vigas-columnas a base de miembros tubulares cilíndricos. Las resistencias nominales para cargas axial y flexión pueden ser obtenidas de las ecuaciones presentadas en los Arts. 8.5.2 y 8.5.3, respectivamente. 8.6 EJEMPLOS DE DISEÑO Ejemplo 8.1 Determine la carga de diseño por el Método ASD y LRFD para una sección tubular cilíndrica con un diámetro exterior de 25 cm a ser usada como un miembro simplemente apoyado sujeto a compresión axial. Asuma que la longitud efectiva de la columna es de 4.5 metros y que el 2 espesor del tubo es de 2.667 mm. Considere Fy = 2319 kg/cm . 1. Revisión del Valor Máximo de D/t Usando el criterio de diseño del AISI 1996, el valor límite de D/t está dado por: 6 (D/t)lim = 0.441E/Fy = 0.441(2.073x10 )/2319 = 394.219 Para la columna se tiene D/t = 250/2.667 = 93.738 < 394.219, OK

327

2. Determinación de las Propiedades Geométricas El área de la sección de un perfil tubular cilíndrico puede ser determinada por la siguiente expresión:

π ( Do − Di ) A= 4 2

2

(8.37)

donde Do y Di es el diámetro exterior e interior, respectivamente. En este caso: Do = 250.000 mm y Di = Do – 2t = 250.000 – 2(2.667) = 244.666 mm. 2 2 2 2 Ec. (8.37): A = (π/4)[(250.000) – (244.666) ] = 2072.311 mm = 20.723 cm El radio de giro se obtiene con la Ec. (8.3). 2 2 1/2 Ec. (8.3): r = [(250.000) + (244.666) ] /4 = 87.451 mm = 8.745 cm 3. Determinación de la Resistencia Nominal a Compresión Axial, Pn •

Cálculo de Fn

KL/r = 450/8.745 = 51.458 2 6 2 2 Ec. (8.31): Fe = π (2.073x10 )/(51.458) = 7726.686 kg/cm 1/2 Parámetro de esbeltez: λc = (2319/7726.686) = 0.548 Como λc < 1.5, controla el pandeo inelástico y aplica la Ec. (8.29). 2 2 λc = (0.548) = 0.300 0.300 2 Ec. (8.29): Fn = (0.658 )2319 = 2045.354 kg/cm •

Cálculo de Ae 1/2

Ec. (8.33): R = {2319/[2(7726.686)]} = 0.387 6 2 Ec. (8.17): Ao= {0.037/[93.738(2319/2.073x10 )] + 0.667}20.723 = 21.134 cm 2 Como Ao > A, usar Ao = A = 20.723 cm 2 2 Ec. (8.32): Ae = {1 – [1 – (0.387) ](1 – 20.723/20.723)}20.723 = 20.723 cm En general, si Ao = A, entonces Ae = A •

Cálculo de Pn

Ec. (8.28): Pn = 20.723(2045.354) = 42385.871 kg = 42.386 Ton 4. Determinación de la Carga de Diseño Método ASD: Pa = Pn/Ωc = 42.386/1.80 = 23.548 Ton Método LRFD: Pu = φcPn = 0.85(42.386) = 36.028 Ton Ejemplo 8.2 Determine el momento de diseño según el Método ASD y LRFD para el tubular cilíndrico del Ejemplo 8.1. 1. Revisión del Valor Máximo de D/t Del Ejemplo 8.1: 6 (D/t)lim = 0.441E/Fy = 0.441(2.073x10 )/2319 = 394.219 D/t = 93.738 < 394.219, OK

328

2. Determinación de las Propiedades Geométricas El módulo de sección de un perfil tubular cilíndrico puede ser determinada por la siguiente expresión:

π ( Do − Di ) Sf = 32 Do 4

4

(8.38)

Del Ejemplo 8.1: Do = 250.000 mm Di = 244.666 mm. 4 4 3 3 Ec. (8.38): Sf = π[(250.000) – (244.666) ]/[32(250.000)] = 126785.497 mm = 126.785 cm 3. Determinación de la Resistencia Nominal a Flexión, Mn 6

0.070E/Fy = 0.070(2.073x10 )/2319 = 62.574 6 0.319E/Fy = 0.319(2.073x10 )/2319 = 285.160 D/t = 93.738 Como 0.070E/Fy < D/t < 0.319E/Fy, aplica la Ec. (8.35) 6 Ec. (8.35): Mn = {0.970 + 0.020[(2.073x10 /2319)/93.738]}2319(126.785) = 341270.559 kg-cm = 3.413 Ton-m 4. Determinación de la Carga de Diseño Método ASD: Ma = Mn/Ωb = 3.413/1.67 = 2.044 Ton-m Método LRFD: Mu = φbMn = 0.95(3.413) = 3.242 Ton-m Ejemplo 8.3 Revisar por el Método ASD y LRFD para una sección tubular cilíndrica con un diámetro exterior de 20 cm a ser usada como un miembro simplemente apoyado sujeto a flexocompresión. Asuma que la longitud efectiva de la columna es de 3.0 metros, con apoyos simples en los extremos y que el espesor del tubo es de 3.175 mm. Considere las siguientes condiciones de compresión axial: carga muerta de 4.50 Ton y carga viva de 9.0 Ton. Así mismo, 2 considere una carga viva transversal al centro del claro de 1.60 Ton. Asuma Fy = 3514 kg/cm . 1. Revisión del Valor Máximo de D/t Usando el criterio de diseño del AISI 1996, el valor límite de D/t está dado por: 6 (D/t)lim = 0.441E/Fy = 0.441(2.073x10 )/3514 = 260.157 Para la columna se tiene D/t = 200/3.175 = 62.992 < 260.157, OK 2. Determinación de las Propiedades Geométricas Do = 200.000 mm Di = Do – 2t = 200.000 – 2(3.175) = 193.650 mm. 2 2 2 2 Ec. (8.37): A = (π/4)[(200.000) – (193.650) ] = 1963.242 mm = 19.632 cm El radio de giro se obtiene con la Ec. (8.3). 2 2 1/2 Ec. (8.3): r = [(200.000) + (193.650) ] /4 = 69.597 mm = 6.960 cm 4 4 3 3 Ec. (8.38): Sf = π[(200.000) – (193.650) ]/[32(200.000)] = 95094.936 mm = 95.095 cm El momento de inercia de un perfil tubular cilíndrico puede ser calculado por la siguiente expresión:

I=

(

π 4 4 Do − Di 64

)

(8.39)

329 4

4

4

4

Ec. (8.39): I = (π/64)[(200) – (193.650) ] = 9509493.58 mm = 950.949 cm 3. Determinación de la Resistencia Nominal a Compresión Axial, Pn •

Cálculo de Fn

KL/r = 300/6.960 = 43.103 2 6 2 2 Ec. (8.31): Fe = π (2.073x10 )/(43.103) = 11012.453 kg/cm 1/2 Parámetro de esbeltez: λc = (3514/11012.453) = 0.565 Como λc < 1.5, controla el pandeo inelástico y aplica la Ec. (8.29). 2 2 λc = (0.565) = 0.319 0.319 2 Ec. (8.29): Fn = (0.658 )3514 = 3074.793 kg/cm •

Cálculo de Ae 1/2

Ec. (8.33): R = {3514/[2(11012.453)]} = 0.399 6 2 Ec. (8.17): Ao= {0.037/[62.991(3514/2.073x10 )] + 0.667}19.632 = 19.897 cm 2 Como Ao > A, usar Ao = A = 19.897 cm Como Ao = A, entonces Ae = A •

Cálculo de Pn

Ec. (8.28): Pn = 19.897(3074.783) = 61178.957 kg = 61.179 Ton 4. Determinación de la Resistencia Nominal a Flexión, Mn 6

0.070E/Fy = 0.070(2.073x10 )/3514 = 41.295 6 0.319E/Fy = 0.319(2.073x10 )/3514 = 188.186 D/t = 62.991 Como 0.070E/Fy < D/t < 0.319E/Fy, aplica la Ec. (8.35) 6 Ec. (8.35): Mn = {0.970 + 0.020[(2.073x10 /3514)/62.991]}3514(95.095) = 386729.423 kg-cm = 3.867 Ton-m 5. Determinación de la Resistencia por Combinación de Compresión Axial y Flexión •

Momento flexionante requerido

Para las condiciones de apoyo dados, el momento de carga viva es: MCV = PL/4 = 1.6(3)/4 = 1.20 Ton-m •

Determinación de la resistencia requerida

ASD:

P = PCM + PCV = 4.50 + 9.00 = 13.50 Ton M = MCV = 1.20 Ton-m

LRFD: Pu = 1.2PCM + 1.6PCV = 1.2(4.5) + 1.6(9.0) = 19.80 Ton Pu = 1.4PCM + PCV = 1.4(4.5) + 9.0 = 15.30 Ton Por lo tanto, Pu = 19.80 Ton Mu = 1.6MCV = 1.6(1.20) = 1.92 Ton-m • ASD:

Selección de las ecuaciones de diseño Ωb = 1.67 Ωc = 1.80

330 ΩcP/Pn = 1.80(13.50)/61.179 = 0.397 > 0.15. Por lo tanto, aplican las Ecs. (7.14) y (7.15) de la Sección C5.2.1. LRFD: φb = 0.95 φc = 0.85 Pu/(φcPn) = 19.80/[0.85(61.179)] = 0.380 > 0.15. Por lo tanto, aplican las Ecs. (7.17) y (7.18) de la Sección C5.2.2. Determinación de Cmx: En este caso, la viga-columna presenta translación lateral impedida y cargas transversales entre sus apoyos. Por consiguiente, aplica el caso 3 de la Sección C5.2.1 y C5.2.2. Haciendo uso de la Ec. (7.63) y la Tabla 7.2 se obtiene: Para apoyos simples y una carga concentrada al centro del claro aplica el caso 4 de la Tabla 7.2, por lo que Ψ = -0.20 2 2 2 6 2 2 F’ex = 12π E/[23(KxLx/rx) ] = 12π (2.073x10 )/[23(43.103) ] = 5745.627 kg/cm 2 fa = P/A = 13500/19.897 = 678.494 kg/cm Ec. (7.63): Cmx = 1 – 0.2(678.494/5745.627) = 0.976 Determinación de αx: Para el Método ASD, el valor de αx se determina por medio de la Ec. (7.56). 2 6 2 Ec. (7.58): Pex = π (2.073x10 )(950.949)/[1.0(300)] = 216179.130 kg Ec. (7.56): αx = 1 – 1.80(13500)/216179.130 = 0.888 Determinación de Pno Pno = AeFy = 19.897(3514) = 70234.318 kg = 70.234 kg Aplicación de las ecuaciones de interacción ASD:

Ec. (7.14): 0.397 + 1.67(1.20)0.976/[0.888(3.867)] = 0.967 < 1.0, OK Ec. (7.15): 1.80(13.5)/70.234 + 1.67(1.20)/3.867 = 0.864 < 1.0, OK

LRFD: Ec. (7.17): 0.380 + 0.976(1.92)/[0.85(3.867)0.888] = 1.022 ≈ 1.0, OK Ec. (7.18): 19.80/[0.85(70.234)] + 1.92/[0.95(3.867)] = 0.854 < 1.0, OK

CAPITULO 9

DISEÑO DE CONEXIONES

9.1 COMENTARIOS GENERALES En los Capítulos 5 al 8 se presentaron los procedimientos de análisis y diseño de estructurales individuales, tales como vigas, columnas, vigas-columas y miembros cilíndricos. Estos miembros deberán ser posteriormente ensamblados para formar una totalidad de una estructura, requiriendo para ello de la formación de conexiones miembros.

miembros tubulares parte o la entre los

En este capítulo se presentarán los diversos tipos de conexiones generalmente usados y sus criterios de diseño correspondientes. Se incluyen también los requisitos de fabricación de vigas I o de cajón a partir de secciones canal y los criterios de espaciamiento de conectores en elementos a compresión. Las especificaciones de diseño para conexiones se incluyen en la Sección E del AISI 1996. Las especificaciones del Método ASD del AISI 1996 están basadas en las especificaciones del AISI 1986, con algunas modificaciones que serán discutidas mas adelante. Las especificaciones del Método LRFD del AISI 1996 están basadas en las especificaciones del AISI 1991. El Suplemento 1999 incluye actualizaciones significativas a las Secciones E3.2, E3.3 y E5 y del AISI 1996 la nueva Sección E2.7. Estos cambios son incluidos en este capítulo. Como una criterio general de las especificaciones del AISI, todas las conexiones deberán diseñarse para transmitir la carga máxima en el miembro conectado considerando debidamente la excentricidad de carga. 9.2 TIPOS DE CONEXIONES En las conexiones de acero laminado en frío se usa generalmente la soldadura, los tornillos, los remaches fríos, las pijas, la costura de metal y los adhesivos. La Sección E del AISI 1996 solo considera conexiones a base de soldadura, tornillos y pijas. Tradicionalmente se han usado las conexiones atornilladas y soldadas para unir miembros estructurales de acero. Las conexiones atornilladas requieren del habilitado previo de agujeros en los miembros a conectar para la colocación de tornillos. El tornillo estructural típico es el tornillo de alta resistencia que consiste normalmente de una cabeza hexagonal con vástago roscado para recibir una tuerca. Las conexiones soldadas requieren de procedimientos estandarizados de aplicación de calor para fundir los extremos de los miembros a conectar, formando una unión homogénea. La fuente de calor normalmente la origina la resistencia del metal al paso de la corriente eléctrica. Las pijas son similares a los tornillos, excepto que son mas pequeñas y no requieren de tuerca para apretar la conexión. Algunas pijas son autotaladrantes, por lo que no requieren de la fabricación previa del agujero, ya que dicho agujero lo fabrica la misma pija durante su instalación. Las pijas se usan con frecuencia para conectar las lámina de cubierta y muro a los polines correspondientes. Cabe mencionar que las especificaciones para pijas fueron incluidas por primera vez en el AISI 1996. Aunque los remaches calientes tienen muy poca aplicación en conexiones de perfiles laminados en frío, los remaches fríos son de uso común en los países desarrollados. En el caso particular de

332

México, los remaches fríos no ha logrado desplazar a las alternativas tradicionales de la soldadura, tornillos y pijas, por lo que son prácticamente desconocidos. El remache caliente requiere de la aplicación de calor para facilitar la fabricación de una cabeza durante el proceso de instalación. Se usaron comúnmente en conexiones de perfiles laminados en caliente pero se uso se hizo obsoleto con el advenimiento de los tornillos de alta resistencia. Los remaches fríos no requieren de calor y el proceso de instalación depende del tipo de remache. Las especificaciones del AISI para conexiones atornilladas pueden ser usadas como guía general para el diseño de conexiones usando remaches fríos. Sin embargo, la resistencia al cortante de los remaches puede ser significativamente diferente que la de los tornillos. Por consiguiente, los fabricantes de remaches han realizado pruebas de carga para determinar la resistencia al cortante y las especificaciones correspondientes se encuentran publicada en su literatura técnica. En el Articulo 9.5 se presenta una discusión de la aplicación de remaches fríos. Las conexiones a base de costura de metal se presentan en dos modalidades. Las conexiones de grapas, donde los extremos de las láminas se conectan usando engrapadoras especiales y las conexiones engargoladas, donde las láminas se conectan por herramientas dobladoras que unen los extremos empalmándolos en patrones de dobleces estandarizados. Estos tipos de conexiones no fueron considerados en las especificaciones del AISI 1996 y su resistencia depende del patrón de grapas o de dobleces usado en la conexión. Los fabricantes de cubiertas han desarrollado pruebas de resistencia para sus propios patrones de doblado y los resultados se encuentran publicados en su literatura técnica. La Sección F del AISI 1996 contiene los lineamientos a usarse para dichas pruebas. El Suplemento 1999 reconoce por primera vez un procedimiento estandarizado para la evaluación de la resistencia de sistemas de cubierta a base de láminas engargoladas con costuras sobresalientes. Sin embargo, dicho procedimiento no establece procedimientos de evaluación de la resistencia de la unión engargolada, sino del sistema en su totalidad. 9.3 CONEXIONES SOLDADAS Las soldaduras usadas en la construcción de estructuras pueden ser clasificadas en soldadura de fusión o de resistencia. La soldadura de fusión (o de arco) es un grupo de procesos donde los extremos de los miembros (metal base) son unidos mediante la aplicación de un metal aportado durante el proceso (electrodo) a gran temperatura (en estado de fusión), sin la aplicación de presión o golpes. La unión soldada consistirá en la aleación de los metales base y de aportación. La soldadura de resistencia es un grupo de procesos donde la unión soldada se produce mediante el calor generado a partir de la resistencia al paso de la corriente eléctrica de los metales a unirse, sujetados bajo presión mediante electrodos sólidos. En este caso los electrodos no se funden en el proceso. 9.3.1 Soldadura de Fusión Las soldaduras de fusión se usan comúnmente durante el montaje de la estructura para conectar a los perfiles laminados en frío entre si o para conectar a los perfiles laminados en frío a perfiles laminados en caliente. Los tipos principales de soldadura de fusión usados en estructuras de acero laminado en frío son (ver Fig. 9.1): 1. 2. 3. 4. 5.

Soldaduras de penetración Soldaduras de punto Soldaduras de costura Soldaduras de filete Soldaduras de penetración abierta

333

(1)

Fig. 9.1 Tipos de soldaduras de arco . (a) Soldaduras de penetración en juntas de frente; (b) soldaduras de punto; (c) Soldaduras de costura; (d) Soldaduras de filete; (e) Soldaduras de penetración abierta de bisel en “J”; (f) Soldaduras de penetración abierta en “V”.

Las soldaduras de punto se usan para unir placas delgadas y son similares a las soldaduras de tapón usadas para unir placas mas gruesas. La diferencia es que las soldaduras de tapón requieren la fabricación del agujero previo a la aplicación de la soldadura, mientras que la soldadura de punto no requiere dicho agujero, ya que el agujero se produce quemando con la soldadura la placa superior, posteriormente rellenando con metal de electrodo el agujero resultante para unirlo a la placa inferior. De manera similar, las soldaduras de costura son parecidas a las soldaduras de ranura, excepto que no requieren la fabricación previa de la ranura. La Sociedad Americana de la Soldadura (AWS, del ingles: “American Welding Society”) ha establecido cierta simbología para auxiliar en la comunicación entre el diseñador y el fabricante de la conexión. La Fig. 9.2 muestra la convención general para el uso de dicha simbología en estructuras de acero. Las especificaciones de diseño del AISI para las soldaduras de fusión están basadas principalmente en evidencia experimental obtenida de un programa de pruebas realizado en la Universidad de Cornell en la década de 1950-60. En la década de 1970-80 pruebas adicionales en conexiones a base de soldaduras de filete, de penetración abierta, de punto y de costura fueron realizadas en la misma Universidad. El comportamiento estructural de los tipos mas comunes de soldaduras de fusión usadas en láminas de acero se estudiaron en detalle. En base a los resultados de las investigaciones realizadas en la Universidad de Cornell y una investigación realizada por Blodgett en la Compañía Lincoln Electric, la primera edición de la “Especificación para el Soldado de Láminas de Acero en Estructuras” fue desarrollada por el Subcomité de

334

Láminas de Acero del Comité de Soldadura Estructural del AWS en 1978. La segunda edición de este documento intitulado “Código de Soldadura Estructural para Láminas de Acero” fue publicado por el AWS en 1989. En base a la misma información, el AISI 1980 modificó substancialmente sus especificaciones para reflejar los resultados de las investigaciones mas recientes. Las mismas especificaciones fueron retenidas en el AISI 1986. En el AISI 1996 se realizaron algunas modificaciones en las especificaciones del diseño de soldaduras de punto y penetración, las cuales se discutirán mas adelante.

Fig. 9.2 Símbolos estándar para conexiones soldadas

(1)

A continuación se presenta el comportamiento bajo resistencia última de varios tipos de soldaduras de fusión en base a los resultados de investigaciones realizadas en la Universidad de Cornell. Se observó durante las pruebas de carga en dichas investigaciones que el esfuerzo de fluencia estaba pobremente definido o muy cercano al esfuerzo de falla. Por lo tanto, el modo de falla de ruptura es considerado mas confiable que el de fluencia, lo cual es reflejado en las especificaciones de diseño del AISI. Cabe mencionar que las pruebas realizadas en la Universidad de Cornell fueron realizadas sobre láminas de acero con espesores entre 0.019 y 0.138 plg. (0.48 a 2 3.5 mm) y esfuerzos de fluencia entre 2319 y 5763 kg/cm . Todos los especímenes de prueba fueron soldados con electrodos E6010.

335 9.3.1.1 Soldaduras de Punto. En base a cientos de pruebas en soldaduras de punto, se encontró que los modos de falla de soldaduras de punto incluyen falla por cortante del área de fusión, desgarre de la placa siguiendo el contorno de la soldadura con el desgarre propagándose a través de la placa a partir del extremo frontal de la soldadura, desgarre de la lámina combinada con pandeo cerca del extremo opuesto de la soldadura y rebanado de la lámina atrás de la soldadura. Además, algunas soldaduras fallaron en parte por desprendimiento de la soldadura mientras que el material de la lámina se desgarraba y se deformaba fuera de su propio plano. Una evaluación de los resultados de pruebas indica que las siguientes ecuaciones pueden ser usadas para predecir la resistencia última de conexiones a base de soldaduras de punto. Resistencia de Cortante de Soldaduras de Punto. La resistencia última al cortante de una soldadura de punto puede ser determinada mediante la siguiente expresión:

 π 2  3  πd Pus = Asτ u =  d e  Fxx  = e 0.75 Fxx 4 4  4  2

(9.1)

donde Pus = resistencia última a cortante por soldadura As = área de fusión de la soldadura de punto τu = resistencia última del metal de soldadura = 0.75Fxx Fxx = resistencia a la tensión del metal de soldadura de acuerdo al nivel de resistencia asignado por el AWS. de = diámetro efectivo del área de fusión Las pruebas de falla por cortante realizadas en soldaduras de punto han indicado que el diámetro efectivo del área de fusión puede ser calculado como:

d e = 0.70d − 1.5t ≤ 0.55d

(9.2)

donde d = diámetro visible de la superficie externa de la soldadura de punto t = espesor de las láminas de acero (sin incluir recubrimientos) involucradas en la transferencia del cortante. La correlación entre las relaciones calculadas de de/d y los resultados de pruebas se demuestra en la Fig. 9.3. La Fig. 9.4 muestra la definición del diámetro visible d y el diámetro efectivo de. Resistencia de Láminas Conectadas Mediante Soldaduras de Punto. Considerando el análisis de las condiciones de esfuerzos alrededor de la circunferencia de las soldaduras de punto de las láminas conectadas, Blodgett indicó que el esfuerzo en el extremo frontal es un esfuerzo de tensión, transformándose en un esfuerzo cortante en los lados y eventualmente transformándose en un esfuerzo a compresión en el extremo opuesto de la soldadura (ver Fig. 9.5). Si la resistencia de la conexión soldada esta gobernada por desgarre transversal de la lámina conectada en lugar de la falla de la soldadura, la carga última por soldadura está dada por:

Pu1 = 2.2td a Fu

(9.3)

donde da = diámetro promedio de la soldadura de punto a la mitad del espesor t. Donde t = d – t para una sola lámina y t = d – 2t para láminas múltiples (ver Fig. 9.4). t = espesor total combinado de la lámina involucrada en la transferencia del cortante Fu = resistencia a tensión mínima especificada de las láminas conectadas 1/2

El mismo estudio indicó que la Ec. (9.3) solo es válida si da/t ≤ 0.815/(E/Fu) .

336

Fig. 9.3 Correlación entre las relaciones de/d y los resultados de pruebas de carga en función del espesor de (1) la placa .

Fig. 9.4 Definición de d, da y de para soldaduras de punto. (a) Lámina de espesor simple; (b) Lámina de (1) espesor doble .

Para láminas delgadas, la falla ocurrirá inicialmente por tensión en el extremo frontal, desgarre por cortante en las orillas laterales y posteriormente pandeo cerca del extremo opuesto a la carga de la soldadura de punto. Mediante el uso de la condición de esfuerzo ilustrada en la Fig. 9.6, Blodgett desarrolló la siguiente ecuación para determinar la carga última por soldadura:

Pu 2 = 1.4td a Fu 1/2

La Ec. (9.4) es aplicable solo si da/t ≥ 1.396/(E/Fu) .

(9.4)

337

Fig. 9.5 Esfuerzos de tensión, compresión y cortante en soldaduras de punto 1/2

(1)

1/2

Para 0.815/(E/Fu) ≤ da/t ≤ 1.396/(E/Fu) , la carga última por soldadura puede ser determinada mediante la siguiente ecuación de transición:

 E / Fu Pu 3 = 0.281 + 5.59  da / t 

 td a Fu  

Fig. 9.6 Esfuerzos de tensión y cortante en soldaduras de punto

(9.5)

(1)

La Fig. 9.7 provee una comparación gráfica de la carga última observada Puo y la carga última predicha Pup de acuerdo a las Ecs. (9.1), (9.3), (9.4) o (9.5), según el caso aplicable. La Fig. 9.8 ilustra a las Ecs. (9.3) a (9.5), las cuales gobiernan la falla de las láminas conectadas. Se ha demostrado en pruebas que es conveniente establece limitantes a la distancia emin. Donde emin es la distancia en la dirección de la fuerza desde el centro de la soldadura a la orilla mas cercana de una soldadura adyacente o a la orilla de la lámina a conectarse (ver Fig. 9.21). El valor de emin está dado por:

emin =

P Fu t

(9.6)

Donde P es la carga nominal transmitida por la soldadura y Fu y t fueron definidos previamente en este artículo.

338

Fig. 9.7 Comparativo entre la carga última observada y predicha para soldaduras de punto

Fig. 9.8 Comportamiento a la falla de soldaduras de punto

(1)

(1)

Resistencia a Tensión de Soldaduras de Punto. Las soldaduras de punto han sido usadas en estructuras para conectar las láminas de cubierta a los miembros de soporte como son los polines de acero. Este tipo de soldadura puede estar sujeta a tensión debido a la aplicación de fuerzas de succión por viento.

339

Las especificaciones de diseño para determinar la resistencia a tensión de soldaduras de punto incluidas en el Addendum 1989 del AISI 1986 fueron modificadas en el AISI 1996, ya que los resultados de pruebas mas recientes han mostrado que dos estados límites potenciales pueden ocurrir. El tipo de falla mas común es el desgarre de la lámina alrededor del perímetro de la soldadura. Esta condición de falla se encontró que es influenciada por el espesor de la lámina, el diámetro promedio de la soldadura y la resistencia a tensión del acero. En algunos casos, se encontró que la falla a tensión de la soldadura puede ocurrir. Se determinó que la resistencia a tensión de la soldadura esta en función del área de fusión y la resistencia a tensión del metal de aportación (electrodo); esto es,

πd e Fxx 4 2

Put1 =

(9.7)

donde Put1 es la capacidad última a tensión por soldadura. Los términos t, de y Fxx fueron definidos previamente en este articulo. Sin embargo, los resultados de pruebas también indicaron que cuando las conexiones de láminas delgadas son reforzadas con plantillas para soldadura, la resistencia a tensión dada por la Ec. (9.7) se modifica en base a los siguientes criterios: Para Fu/E < 0.00187

Put 2 = [6.59 − 3150( Fu / E )]td a Fu ≤ 1.46td a Fu

(9.8)

Para Fu/E ≥ 0.00187

Put 3 = 0.70td a Fu

(9.9)

Donde todos los parámetros fueron definidos previamente en este artículo. Cabe mencionar que la Ec. (9.9) fue la única ecuación de diseño contemplada en el Addendum 1989 del AISI 1986. Las Ecs. (9.7) a (9.9) fueron derivadas a partir de pruebas donde la carga de tensión fue concéntrica sobre la soldadura, como sería el caso, por ejemplo, de soldadura internas en un sistema de cubierta sujeta a succión por viento. Las soldaduras en el perímetro de sistemas de cubierta experimentarán una carga excéntrica debida a succión por viento. Las pruebas han demostrado que la resistencia nominal de soldaduras sujetas a carga excéntrica se reduce hasta en un 50% comparada con la resistencia bajo carga concéntrica. El AISI 1996 reconoce esta condición e impone una reducción del 50% a los valores calculados por las Ecs. (9.7) a (9.9) si la soldadura esta sujeta a carga excéntrica. También puede ocurrir excentricidad de carga en conexiones de traslape de láminas. En este caso, la longitud del patín no atiesado y la extensión de la invasión de la soldadura dentro del patín no atiesado afecta a la resistencia de la soldadura. La Fig. 9.9 ilustra los casos de soldaduras internas, externas y traslapes que ocurren usualmente en sistemas de cubiertas. El AISI 1996 reconoce la reducción de la capacidad de esta conexión imponiendo una reducción del 30% a las resistencias calculadas por las Ecs. (9.7) a (9.9). El AISI 2 impone las siguientes limitantes a la aplicación de las Ecs. (9.7) a (9.9): emin ≥ d, Fxx ≥ 4217 kg/cm , 2 Fu ≤ 4217 kg/cm y Fxx ≥ Fu . 9.3.1.2 Soldaduras de Costura. Como se muestra en la Fig. 9.10, una soldadura de costura consiste en dos extremos semicirculares y una soldadura longitudinal. El comportamiento general de la soldadura de costura es similar a la de punto. La carga última de este tipo de conexión se determina a partir de la resistencia a cortante de la soldadura de costura y la resistencia de las láminas conectadas. A continuación se describen ambas resistencias.

340

Fig. 9.9 Soldaduras interiores, exteriores y traslapes

(4)

Resistencia de Cortante de Soldaduras de Costura. Debido a que las pruebas de carga realizadas en la Universidad de Cornell demostraron que las soldaduras de costura no fallan por cortante, el AISI ha adoptado la ecuación de falla por cortante de soldadura desarrollada por el AWS. Dicha ecuación considera que la resistencia última de cortante de la soldadura es una resistencia combinada de los dos extremos semicirculares y la soldadura longitudinal y está dada por la siguiente expresión:

πd 2  Pus =  e + Ld e  0.75 Fxx  4 

(9.10)

donde L es la longitud de la soldadura de costura, sin incluir los extremos circulares. Para efectos de cálculo, L no deberá exceder a 3d. Los otros términos fueron definidos previamente.

Fig. 9.10 Soldadura de costura conectando una lámina a un miembro de soporte

(1)

Resistencia de las Láminas Conectadas Usando Soldaduras de Costura: En la Universidad de Cornell se realizaron varias pruebas de carga de conexiones a base de soldaduras de costura. Considerando los estudios de Blodgett y estudios adicionales de regresión lineal, la siguiente ecuación fue desarrollada para determinar la resistencia de las láminas conectadas:

Pu1 = 2.5tFu (0.25 L + 0.96d a )

(9.11)

La Ec. (9.11) pretende prevenir la falla por combinación de desgarre por tensión y cortante de las láminas y es valida para todos los valores de da/t. La Fig. 9.11 muestra una comparación de las cargas observadas y las cargas últimas predichas por el uso de la Ec. (9.11).

341

Fig. 9.11 Comparativo entre cargas últimas observadas y predichas para soldaduras de costura

(1)

9.3.1.3 Soldaduras de Filete. Las soldaduras de filete se usan normalmente para juntas traslapadas o en T. Dependiendo de la orientación de las soldaduras, estas pueden ser clasificadas como soldaduras longitudinales o transversales. En las soldaduras longitudinales, la carga es aplicada paralela a la longitud de la soldadura y en las transversales, la carga es aplicada perpendicular a la longitud de la soldadura. En los especímenes de conexiones de traslape a base de soldaduras de filete probados en la Universidad de Cornell, la dimensión w1, del lado del filete sobre la orilla de la lámina fue igual al espesor de la lámina; la otra dimensión w2 en muchas ocasiones fue de 2 a 3 veces mas grande que w1 (ver Fig. 9.12). En este tipo de conexiones la garganta del filete es normalmente mas grande que la de los filetes convencionales del mismo tamaño, por lo que son mas resistentes. En consecuencia, la falla de la conexión estará normalmente gobernada por desgarre de las láminas (ver Fig. 9.13). Esta condición se ve reflejada en las ecuaciones de diseño del AISI 1996.

(4)

Fig. 9.12 Soldaduras de filete en traslapes y juntas T

342

Desde el punto de vista de la eficiencia estructural, los filetes transversales presentan un mejor desempeño, ya que dichos filetes están sujetos a esfuerzos relativamente uniformes. Sin embargo, los filetes longitudinales no presentan esta condición, ya que variaciones en las deformaciones longitudinales introducen esfuerzos no uniformes en los filetes. Como resultado, para una misma longitud de soldadura, los filetes transversales son mas resistentes que los longitudinales. La siguiente discusión versa sobre la resistencia de conexiones soldadas usando ambos tipos de soldaduras de filete.

(5)

Fig. 9.13 Modos de falla de soldaduras de filete . (a) Soldaduras transversales; (b) Soldaduras longitudinales

Resistencia de Cortante de Soldaduras de Filete. En las pruebas realizadas en la Universidad de Cornell las láminas usadas en las conexiones de traslape tenían espesores máximos de 0.15 plg. (3.8 mm). Las soldaduras de filete aplicadas en las orillas de estas láminas suelen cumplir con la relación dimensional de w1 y w2 mencionada con anterioridad y el modo de falla suele ser por desgarre de las láminas. Sin embargo, para láminas con espesores mayores a 0.15 plg. (3.8 mm) la probabilidad de falla por cortante de la soldadura es mayor y deberá ser investigada. Por consiguiente, si la resistencia de la conexión esta gobernada por la capacidad a cortante de la soldadura de filete, la carga última por soldadura estará dada por:

Pus = 0.75t w LFxx

(9.12)

donde tw = dimensión de garganta efectiva L = longitud de la soldadura de filete Fxx fue definida previamente. Como se consideró en las Ecs. (9.1) y (9.10), la resistencia a cortante del metal de soldadura se asume como el 75% de la resistencia a tensión. Resistencia de Láminas Conectadas Usando Soldaduras de Filete. 1. Soldaduras Longitudinales. Varias soldaduras de filete fueron probadas en la Universidad de Cornell. Una evaluación de la información de dichas pruebas indica que la siguiente ecuación puede ser usada para predecir la carga última de las láminas conectadas, si la falla se da por desgarre siguiendo el contorno de la soldadura, por cortante de la soldadura y por combinación de ambos tipos de falla: (a) Para L/t < 25,

L  Pu1 = 1 − 0.01 tLFu t 

(9.13)

343

(b) Para L/t ≥ 25,

Pu 2 = 0.75tLFu

(9.14)

donde Pu1 y Pu2 son las cargas últimas para soldaduras de filete. Los otros términos fueron definidos previamente. 2. Soldaduras Transversales. Basado en las pruebas de filetes transversales, se encontró que la falla principal fue el desgarre de la lámina cercano a, o siguiendo el contorno de las soldaduras. La falla secundaria fue cortante en la soldadura. La carga última de falla por soldadura de filete puede ser calculada por:

Pu 3 = tLFu

(9.15)

Las Figs. 9.14 y 9.15 muestran comparaciones de las cargas últimas observadas y las predchas para soldaduras de filete longitudinales y transversales, respectivamente.

Fig. 9.14 Comparativo de cargas últimas observadas y predichas para soldaduras longitudinales

(1)

9.3.1.4 Soldaduras de Preparación Abiertas. Normalmente, las soldaduras de preparación requieren de la preparación previa de los bordes que se pretenden soldar. Por ejemplo, las soldaduras de bisel normalmente requieren de la fabricación previa del bisel sobre uno de los bordes. Sin embargo, en perfiles laminados en frío existen casos donde dicha preparación no es necesaria, ya que las esquinas redondeadas en contacto con una superficie plana forman una cavidad en forma de “J” (ver Fig. 9.16) que permite la aplicación directa de la soldadura. Así mismo, cuando se desea unir dos perfiles con esquinas redondeadas se forma una cavidad en forma de “J” doble o “V” (ver Fig. 9.17). Dichas soldaduras se conocen como soldaduras de preparación abiertas.

344

Fig. 9.15 Comparativo de cargas últimas observadas y predichas para soldaduras transversales

(1)

(a) (b) (4) Fig. 9.16 Soldadura de penetración abierta con bisel en “J” . (a) Soldadura transversal; (b) Soldadura longitudinal.

Fig. 9.17 Soldadura de penetración abierta longitudinal en “V”

(4)

345

En la investigación realizada en la Universidad de Cornell, se probaron varias soldaduras de penetración abiertas de transversales y longitudinales. En estas soldaduras, al igual que en las soldaduras de filete, se encontró que el modo principal de falla es por desgarre de las láminas (ver Fig. 9.18). A continuación se presentan las ecuaciones de resistencia última derivadas de las investigaciones.

(5)

Fig. 9.18 Modos de falla en soldaduras de penetración abierta . (a) Soldadura transversal; (b) Soldadura longitudinal

Resistencia a Cortante de Soldaduras de Preparación Abiertas. Al igual que para las soldaduras de filete, para láminas con espesores mayores que 0.15 plg. (3.8 mm), la probabilidad de falla por cortante de la soldadura se incrementa y deberá ser investigada. Para este caso, la resistencia última a cortante de soldaduras de preparación abiertas estará dada por:

Pus = 0.75t w LFxx

(9.16)

Esta ecuación es similar a la Ec. (9.12) usada para soldaduras de filete. Resistencia de Láminas Conectadas Usando Soldaduras de Preparación Abiertas. Si la resistencia de la conexión soldada esta gobernada por las láminas conectadas, la carga última por soldadura puede ser determinada de la siguiente manera: 1. Soldaduras Transversales:

Pu1 = 0.833tLFu

(9.17)

2. Soldaduras Longitudinales. Si t ≤ tw < 2t o si la altura del labio es menor que la longitud de la soldadura L, entonces:

Pu 2 = 0.75tLFu

(9.18)

Si tw ≥ 2t y la altura del labio es igual o mayor que L, entonces:

Pu 3 = 1.5tLFu

(9.19)

Las Figs. 9.18 y 9.19 muestran la comparación entre las cargas últimas observadas y predichas para soldaduras abiertas transversales y longitudinales, respectivamente.

346

Fig. 9.18 Comparativo entre cargas últimas observadas y predichas para soldaduras de penetración abierta (1) transversales con bisel en “J” .

Fig. 9.19 Comparativo entre cargas últimas observadas y predichas para soldaduras de penetración abierta (1) longitudinales con bisel en “J” .

347 9.3.2 Criterios de Diseño del AISI para Soldaduras de Fusión 9.3.2.1 Limitaciones del Espesor. En las ediciones anteriores de las especificaciones del AISI se estableció el espesor máximo de los perfiles laminados en frío como 0.50 plg. (12.7 mm). En el AISI 1996 el espesor máximo fue incrementado a 1.0 plg. (25.4 mm). Sin embargo, debido a que el comportamiento estructural de las conexiones formadas por perfiles laminados en frío de pared relativamente gruesa es similar al de los perfiles laminados en caliente, la Sección E2 del AISI 1996 aplica solo a los miembros estructurales donde el espesor máximo del elemento mas delgado es de 0.18 plg. (4.572 mm). Cuando los miembros a conectarse exceden dicho espesor máximo, las soldaduras de arco pueden diseñarse de acuerdo a las especificaciones del AISC. 9.3.2.2 Ecuaciones Generales de Diseño. En el Articulo 9.3.1 se discutió la resistencia última de varios tipos de soldaduras. La carga última, Pu, determinada en el Articulo 9.3.1 es considerada como la resistencia nominal de soldaduras, Pn, en la Sección E2 del AISI 1996. Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño de conexiones a base de soldadura de fusión:

Pn ≥ ∑ Pi Ω

1. Método ASD:

Pa =

2. Método LRFD:

φPn ≥ ∑ γ i Pi

Donde

(9.20)

(9.21)

Pa = resistencia permisible de la soldadura Ω = factor de seguridad de la conexión soldada ΣPi = combinación aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) φ = factor de resistencia de la conexión soldada γi = factor de carga correspondiente a la carga Pi ΣγiPi = combinación aplicable de cargas factorizadas (ver Art. 3.3.2) Pn = resistencia nominal de compresión axial determinada según la Sección E2.

9.3.2.3 Especificaciones de Diseño del AISI para Soldaduras de Fusión La Sección E2 del AISI 1996 contempla las especificaciones de diseño para soldaduras de fusión. A continuación se presentan dichas especificaciones. Sección E2.1 Soldaduras de Penetración en Juntas de Frente

La resistencia nominal Pn de soldaduras de penetración de juntas de frente [ver Fig. 9.1(a)] soldadas desde un extremo o de ambos deberá determinarse de la siguiente manera: (a) Tensión y compresión perpendicular al área efectiva o paralela al eje de la soldadura:

Pn = Lt e Fy Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.90 (LRFD)

(9.22)

348

(b) Cortante sobre el área efectiva, la menor de las Ecs. (9.23) y (9.24):

Pn = Lt e 0.6 Fxx

(9.23)

Pn = Lt e Fy / 3

(9.24)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.80 (LRFD)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.90 (LRFD) donde Fxx = resistencia del material de aportación (electrodo) según el AWS Fy = esfuerzo de fluencia mínimo del metal base (lámina) de menor resistencia L = longitud de la soldadura te = dimensión de garganta efectiva para la soldadura de penetración Sección E2.2 Soldaduras de Punto

La Sección E2.2 incluye los siguientes requisitos para el uso de soldaduras de punto: 1. Las soldaduras de punto no deberán realizarse sobre láminas de acero donde la lámina de menor espesor exceda a 0.15 plg. (3.8 mm). Tampoco deberá usarse para una combinación de láminas de acero cuyo espesor total exceda a 0.15 plg. (3.8 mm). 2. Plantillas para soldadura deberán usarse cuando el espesor de las láminas a soldarse sea menor que 0.028 plg.(0.70 mm). Dichas plantillas deberán tener espesores entre 0.05 plg. (1.3 mm) y 0.08 plg. (2.0 mm) con un agujero central de cuando menos 3/8 plg. (9.5 mm) de diámetro. La Fig. 9.20 muestra un detalle de una soldadura con plantilla.

Fig. 9.20 Uso de plantillas en soldaduras de punto

(4)

3. El valor mínimo permisible del diámetro efectivo, de es 3/8 plg. (9.5 mm). 4. La distancia medida en la línea de acción de la fuerza desde el centro de línea de una soldadura a la orilla mas cercana de una soldadura adyacente o al extremo de la parte conectada hacia donde la fuerza es dirigida no deberá ser menor que el valor de emin dado a continuación: Método ASD:

emin =

PΩ Fu t

(9.25)

349

emin =

Método LRFD:

donde

P φFu t

(9.26)

P = fuerza transmitida por una soldadura de punto t = espesor de la lámina mas delgada a conectarse

Cuando Fu/Fsy ≥ 1.08

Ω = 2.0 (ASD) φ = 0.70 (LRFD)

Cuando Fu/Fsy < 1.08

Ω = 2.22 (ASD) φ = 0.60 (LRFD)

La Fig. 9.21 muestra la distancia emin para soldaduras de punto.

Fig. 9.21 Distancias de extremo para soldaduras de punto

(4)

5. La distancia de la línea central de cualquier soldadura al extremo o límite del miembro conectado no deberá ser menor que 1.5d. En ningún caso deberá la distancia libre entre soldaduras y el extremo del miembro ser menor que 1.0d. Sección E2.2.1 Cortante

La resistencia nominal por cortante, Pn, para cada soldadura de punto entre láminas o entre láminas y miembros de soporte no deberá exceder al valor menor de las cargas calculadas mediante las siguientes ecuaciones: (a) Resistencia nominal por cortante basada en la capacidad a cortante de la soldadura:

πd Pn = e 0.75 Fxx 4 2

(9.27)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD) (b) Resistencia nominal por cortante basada en la capacidad de las láminas conectadas:

350

i. Para

d a / t ≤ 0.815 E / Fu : Pn = 2.20td a Fu

(9.28)

Ω = 2.20 (ASD) φ = 0.60 (LRFD) ii. Para

0.815 E / Fu ≤ d a / t ≤ 1.397 E / Fu :  5.59 E / Fu Pn = 0.2801 +  da / t 

 td a Fu  

(9.29)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.50 (LRFD) iii. Para

d a / t ≥ 1.397 E / Fu : Pn = 1.40td a Fu

(9.30)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.50 (LRFD) donde d = diámetro visible de la superficie externa de la soldadura de punto da = diámetro promedio de la soldadura de punto a la mitad del espesor t (Fig. 9.4); t = d – t para láminas sencillas y t = d – 2t para láminas múltiples (sin exceder a 4 láminas empalmadas sobre un miembro de soporte). de = diámetro efectivo del área de fusión (Fig. 9.4), = 0.7d – 1.5t, pero ≤ 0.55d t = espesor total combinado de láminas (excluyendo recubrimientos) involucradas en la transmisión de cortante. Fxx = nivel de resistencia asignada en la clasificación de electrodos del AWS Fy = esfuerzo de fluencia mínimo especificado del acero Fu = resistencia a tensión mínima especificada del acero Sección E2.2.2 Tensión

La resistencia nominal a tensión debida succión, Pn, de cada soldadura de punto bajo carga concéntrica, conectando láminas o láminas y miembros de soporte, deberá calcularse con el menor de los siguientes valores:

πd e Fxx 4 2

Pn = Para Fu/E < 0.00187

(9.31)

Pn = [6.59 − 3150( Fu / E )]td a Fu ≤ 1.46td a Fu

(9.32)

Pn = 0.70td a Fu

(9.33)

Para Fu/E ≥ 0.00187

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD)

351

Las siguientes limitaciones adicionales también deberán aplicarse: 2 2 emin ≥ d, Fxx ≥ 4217 kg/cm , Fu ≤ 4217 kg/cm y Fxx ≥ Fu . Todos los parámetros en esta sección se encuentran definidos en la Sección E2.2.1. Para soldaduras de punto sujetas a carga excéntrica de tensión debida a succión, la resistencia nominal a tensión deberá tomarse como el 50% de los valores calculados por las Ecs. (9.31) a (9.32). Para conexiones con láminas múltiples, la resistencia deberá calcularse usando la suma de espesores como el valor de t en las Ecs. (9.32) y (9.33). En las conexiones de empalme en láminas de sistemas de cubierta o piso, la resistencia nominal a tensión deberá tomarse como el 70% de los valores calculados por las Ecs. (9.31) a (9.33). Se puede mostrar midiendo la soldadura que un procedimiento de soldado dado consistentemente proveerá un mayor diámetro efectivo, de, o un mayor diámetro promedio, da, el que sea aplicable. Este diámetro mayor podrá ser usado en las Ecs. (9.31) a (9.33) siempre y cuando el procedimiento particular para realizar la soldadura sea debidamente seguido. Sección E2.3 Soldaduras de Costura

Las soldaduras de costura (Fig. 9.9) consideradas en esta sección aplican solo a juntas de láminas conectadas en posición plana a miembros de soporte y a juntas de láminas conectadas a láminas en posición horizontal plana. La resistencia nominal por cortante, Pn, para soldaduras de costura deberá calcularse usando el menor valor dado por las siguientes expresiones: (a) Resistencia nominal basada en la capacidad a cortante de la soldadura

 πd e 2  Pn =  Ld e 0.75 Fxx +  4   

(9.34)

(b) Resistencia nominal basada en la capacidad de las láminas conectadas

Pn = 2.5tFu (0.25 L + 0.96d a )

(9.35)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD) donde d = ancho de la soldadura de costura L = longitud de la soldadura de costura excluyendo los extremos circulares. (para efectos de calculo, L no deberá exceder 3d). da = ancho promedio de la soldadura de costura; da = d – t para una lámina sencilla y da = d – 2t para láminas dobles. de = ancho efectivo de la soldadura de costura en las superficies fusionadas = 0.7d – 1.5t y Fu y Fxx y los requisitos de emin son los mismos que para las soldaduras de punto. La Fig. 9.22 ilustra la distancia emin para soldaduras de constura.

352

Fig. 9.22 Distancias de extremo para soldaduras de costura

(4)

Sección E2.4 Soldaduras de Filete

Las soldaduras de filete consideradas en esta sección se aplican a juntas soldadas, en cualquier posición, de lámina a lámina o de lámina a miembro de acero de mayor espesor. La resistencia nominal a cortante, Pn, de una soldadura de filete será determinada de la siguiente manera: (a) Resistencia nominal basada en la capacidad a cortante de la soldadura. Para t > 0.15 plg. (3.8 mm):

Pn = 0.75t w LFxx

(9.36)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD) (b) Resistencia nominal basada en la capacidad de las láminas conectadas: i. Carga Longitudinal. Cuando L/t < 25, Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD) Cuando L/t ≥ 25,

L  Pn = 1 − 0.01 tLFu t 

(9.37)

Pn = 0.75tLFu

(9.38)

Pn = 0.75tLFu

(9.39)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.55 (LRFD) ii. Carga Transversal.

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD)

353 donde L = longitud de la soldadura de filete t = menor valor de t1 y t2 [ver Fig. (9.12)] tw = garganta efectiva, = 0.707w1 o 0.707w2, el que sea menor. w1, w2 = dimensión de los catetos de las soldaduras de filete [ver Fig. (9.12)], w1 ≤ t1 en juntas de traslape. Fu y Fxx se definen en la Sección E2.2.1 Sección E2.5 Soldaduras de Penetración Abiertas

Las soldaduras de penetración abiertas consideradas en esta sección aplican a juntas soldadas, en cualquier posición, de lámina a lámina para soldaduras “V” de penetración abierta, de lámina a lámina para soldaduras de bisel “J” de penetración abierta o de lámina a miembro de acero de mayor espesor. La resistencia nominal a cortante, Pn, para soldaduras de penetración abiertas se deberá determinar de la siguiente manera: (a) Resistencia nominal basada en la capacidad a cortante de la soldadura. Para t > 0.15 plg. (3.8 mm). Pn = 0.75t w LFxx (9.40) Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.60 (LRFD) (b) Resistencia nominal basada en la capacidad de las láminas conectadas i. Carga Transversal.

Pn = 0.833tLFu

(9.41)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.55 (LRFD) ii. Carga Longitudinal. (1) Si t ≤ tw < 2t o si la altura del labio es menor que la longitud de la soldadura L,

Pn = 0.75tLFu

(9.42)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.55 (LRFD) (2) Si tw ≥ 2t y la altura del labio es igual o mayor que L,

Pn = 1.50tLFu

(9.43)

Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.55 (LRFD) donde h = altura del labio L = longitud de la soldadura tw = garganta efectiva de la soldadura de penetración con soldadura colocada al paño de la superficie [ver Figs. 9.23(a) y 9.23(b)] Para soldaduras de penetración en J, tw = (5/16)R Para soldaduras de penetración en V, tw = (1/2)R [(3/8)R cuando R > ½ plg (12.7 mm)] = garganta efectiva de la soldadura de penetración con soldadura no colocada al paño de la superficie [ver Figs. 9.23(c) y 9.23(d)] = 0.707w1 o 0.707w2, el que sea menor.

354 Se podrá usar un valor mayor de tw si las medidas muestran que el proceso de soldadura usado consistentemente proporciona mayores valores de tw. R = radio exterior de la superficie curva w1, w2 = dimensiones de los lados de la soldadura [ver Figs. 9.23(a) a (d)] Fu y Fxx se definen en la Sección E2.2.1.

(4)

Fig. 9.23 Detalles de soldaduras de penetración abierta con bisel en “J” . (a) Soldadura sujeta a cortante sencillo para tw ≥ 2t colocada a paño de superficie, w1 = R; (b) Soldadura sujeta a cortante doble con t ≤ tw < 2t colocada a paño de superficie, w1 = R; (c) Soldadura no colocada a paño de superficie, w1 > R; (d) Soldadura no colocada a paño de superficie, w1 < R.

9.3.3 Soldaduras de Resistencia Las soldaduras de resistencia (incluyendo la soldadura de punto y de proyección) se usan predominantemente para conexiones soldadas fabricadas en taller (Fig. 9.24). La resistencia nominal a cortante para soldadura de punto se obtenía directamente de la Tabla 9.1 incluida en la Sección E2.6 del AISI 1996. Dicha Tabla fue desarrollada por el AWS en la década de 1960-70.

355

Fig. 9.24 Soldaduras de resistencia

(1)

(1)

Tabla 9.1 Resistencia Nominal a Cortante de Soldaduras de Punto Espesor de la Resistencia Espesor de la Resistencia Lámina Externa Nominal por Punto Lámina Externa Nominal por Punto mas Liviana de Soldadura mas Liviana de Soldadura mm kg mm kg 0.25 59.02 2.03 1511.82 0.51 217.92 2.29 1816.00 0.76 454.00 2.54 2265.46 1.02 644.68 2.79 2755.78 1.27 749.10 3.17 3309.66 1.52 1035.12 4.83 4612.64 1.78 1284.82 6.35 6810.00

En el Sección E2.6 del Suplemento 1999 la Tabla 9.1 es eliminada y es substituida por las siguientes ecuaciones: (a) Para 0.254 mm ≤ t ≤ 3.556 mm: (b) Para 3.556 mm ≤ t ≤ 4.572 mm:

Pn = 562.7t 1.47 Pn = 776t + 875

(9.44) (9.45)

Donde: Pn = Resistencia nominal a cortante en kg. t = espesor menor de la lámina exterior en mm. Ω = 2.50 (ASD) φ = 0.65 (LRFD) Comparando los valores de la Tabla 9.1 con los valores obtenidos por la Ec. (9.44) se observa que la Ec. (9.44) predice valores mayores de Pn para t < 2.54 mm. Para 2.540 mm ≤ t ≤ 3.556 mm la Ec. (9.44) predice valores menores de Pn. No hay manera de comparar la Tabla 9.1 con la Ec. (9.45), ya que la Tabla 9.1 no proporciona valores de Pn para 3.556 mm ≤ t ≤ 4.572 mm. El límite de t ≤ 4.572 mm establecido para la Ec. (9.45) esta acorde al espesor máximo permitido por la Sección E2. Las Ecs. (9.44) y (9.45) se desarrollaron para reflejar las actualizaciones de la resistencia nominal realizadas por el AWS. Las Ecs. (9.44) y (9.45) solo predicen la resistencia nominal a cortante de soldaduras de punto. Si se requiere la resistencia a tensión de las soldaduras de punto, esta puede obtenerse ya sea mediante pruebas o por medio de las siguientes ecuaciones empíricas para determinar la resistencia a tensión y cortante propuestas por Henschkel: 1. Resistencia a Tensión

 a  N = tFu D  + c − ( fC + gMn)  Fu − b 

(9.46)

356

2. Resistencia a Cortante

 Mn   S = tFu D α − β  C +  20   

(9.47)

donde N = resistencia a tensión de la soldadura de punto S = resistencia a cortante de la soldadura de punto t = espesor de la lámina Fu = resistencia a tensión de la lámina C = contenido de carbono del acero Mn = contenido de magnesio del acero D = diámetro de la soldadura de punto a, b, c, f, g, α, y β son coeficientes determinados de resultados de pruebas, según el procedimiento establecido por Henschkel. Debe mencionarse que la investigación de Henschkel fue basada en los siguientes rangos del material: 1. 2. 3. 4.

Espesor de la lámina de acero: 0.008 a 0.500 plg. (0.2 a 12.7 mm). 2 Resistencia a tensión del material: 37,500 a 163,800 psi (2,635 a 11,511 kg/cm ). Contenido de carbono del acero: 0.01 a 1.09% Contenido de magnecio: 0.03 a 1.37%

De las Ecs. (9.46) y (9.47), la relación entre la resistencia a tensión y cortante de soldaduras de punto puede expresarse de la siguiente manera:

N a c − fC − gMn = + S ( Fu − b)(α − βC − 0.05 βMn) α − βC − 0.05 βMn

(9.48)

Usando las constantes dadas en la investigación de Henschkel, se puede demostrar que para los acero especificados en el AISI, la resistencia a tensión de soldaduras de punto es 25% mayor que la resistencia a cortante. Sin embargo, ni el AISI 1996 ni el Suplemento 1999 contemplan especificaciones para la resistencia a tensión para soldaduras de resistencia. 9.4 CONEXIONES ATORNILLADAS El comportamiento estructural de las conexiones atornilladas en perfiles de acero laminado en frío es diferente que el de los perfiles laminados en caliente, debido principalmente a la diferencia en espesores de las partes conectadas. Antes de 1980, las especificaciones incluidas en el AISI para el diseño de conexiones atornilladas estaban basadas en los resultados de las investigaciones realizadas por Winter en la Universidad de Cornell. Estas especificaciones fueron actualizadas en 1980 para reflejar los resultados de investigaciones adicionales realizadas en Estados Unidos y para proveer una mejor coordinación con las especificaciones del Consejo de Investigaciones de Conexiones Estructurales y el AISC. El AISI 1986 incluye especificaciones para el máximo tamaño de agujeros para tornillos y para los esfuerzos permisibles a tensión en tornillos. En el AISI 1996 se contemplaron cambios ligeros en los factores de seguridad para calcular la tensión nominal y la resistencia a cortante de tornillos. 9.4.1 Comportamiento de Conexiones Atornilladas Desde 1950 se han probado una gran cantidad de conexiones atornilladas usando láminas delgadas de acero A307 y tornillos de alta resistencia A325 en la Universidad de Cornell y otras

357

universidades. El objetivo de dichas pruebas fue estudiar el comportamiento estructural de conexiones atornilladas y el de proveer la información necesaria para desarrollar métodos de diseño confiables. En todos los programas de pruebas, los tornillos fueron apretados con los valores de torque dados en las Tabla 9.2 de acuerdo con el tipo de tornillo usado. Las conexiones fueron probadas con y sin rondanas colocadas bajo las cabezas y tuercas de los tornillos. Tabla 9.2 Torques Usados Para Instalar Tornillos A307 y A325 Diámetro del Tornillo Tornillo A307 Tornillo A325 Torque (kg-cm) Torque (kg-cm) plg. mm. 0.250 6.350 70 155 0.375 9.525 195 520 0.500 12.700 555 1315 0.625 15.875 695 2630 0.750 15.050 1525 4635 1.000 25.400 3460 10380

(1)

Los resultados de las pruebas indicaron que los siguientes cuatro tipos de falla ocurren usualmente en las conexiones atornilladas de perfiles laminados en frío: 1. 2. 3. 4.

Tipo I: Corte longitudinal de la lámina a través de dos líneas paralelas (Fig. 9.25a). Tipo II: Aplastamiento o acumulación de material enfrente del tornillo (Fig. 9.25b). Tipo III: Desgarre de la lámina en la sección neta (Fig. 9.25c). Tipo IV: Corte del tornillo (Fig. 9.25d).

Fig. 9.25 Tipos de falla en conexiones (1) atornilladas . (a) Falla longitudinal por cortante de la lámina; (b) Falla por aplastamiento de la lámina; (c) Falla por tensión de la lámina; (d) Falla por cortante del tornillo.

358

A continuación se describe en mas detalle cada tipo de falla: 9.4.1.1 Corte Longitudinal de las Láminas de Acero ( Falla Tipo I). Cuando la distancia e mostrada en la Fig. 9.25a y 9.26 es relativamente pequeña, las conexiones usualmente fallan por corte longitudinal de la lámina a través de dos líneas paralelas. La información de las pruebas mostradas en las Figs. 9.27 a 9.33 indican que para conexiones atornilladas con relaciones e/d pequeñas, el esfuerzo de falla al aplastamiento puede ser predicho por la siguiente expresión:

σb e = Fu d

(9.49)

donde σb = esfuerzo último al aplastamiento entre el tornillo y la pieza conectada. Fu = resistencia a tensión de las piezas conectadas. e = distancia de extremo. d = diámetro del tornillo.

Fig. 9.26 Dimensiones de s y e usadas en conexiones atornilladas

(1)

La Ec. (9.49) esta basada en los resultados de conexiones atornilladas con los siguientes parámetros: Diámetro del tornillo d: 3/16 a 1 plg. (4.8 a 25.4 mm). Espesor de las piezas conectadas t: 0.036 a 0.261 plg. (0.9 a 6.6 mm). Distancia de extremo e: 0.375 a 2.5 plg. (9.5 a 63.5 mm). 2 Esfuerzo de fluencia del acero Fy: 25.6 a 87.6 ksi. (1799 a 6156 kg/cm ) 2 Resistencia a tensión del acero Fu: 41.15 a 91.30 ksi. (2892 a 6416 kg/cm ) Relación e/d: 0.833 a 3.37. Relación d/t: 2.61 a 20.83. Relación Fu/Fy: 1.00 a 1.63. Substituyendo σb = Pu/dt en la Ec. (9.49), se obtiene la siguiente expresión para la distancia de extremo e:

e=

Pu Fu t

(9.50)

Esta ecuación también es usada por el Consejo de Investigaciones sobre Conexiones Estructurales y el AISC.

359

Fig. 9.27 Comportamiento bajo esfuerzos de cortante y aplastamiento de conexiones atornilladas con (1) rondanas sujetas a cortante simple, Fu/Fy ≥ 1.5.

Fig. 9.28 Comportamiento bajo esfuerzos de cortante y aplastamiento de conexiones atornilladas con (1) rondanas sujetas a cortante doble, Fu/Fy ≥ 1.5.

360

Fig. 9.29 Comportamiento bajo esfuerzos de cortante y aplastamiento de conexiones atornilladas con (1) rondanas sujetas a cortante simple, Fu/Fy < 1.5.

Fig. 9.30 Comportamiento bajo esfuerzos de cortante y aplastamiento de conexiones atornilladas con (1) rondanas sujetas a cortante doble, Fu/Fy < 1.5.

9.4.1.2 Aplastamiento o Acumulación de Lámina de Acero (Falla Tipo II). Cuando la distancia de extremo es lo suficientemente grande (o sea, para relaciones e/d grandes), la conexión puede fallar por aplastamiento o acumulación de la lámina de acero frente al tornillo, como se muestra en la Fig. 9.25b. Diversos estudios han demostrado que la resistencia al aplastamiento de conexiones atornilladas depende de varios parámetros, incluyendo la resistencia a tensión, el espesor de las piezas conectadas, el tipo de junta (junta de traslape o de frente), la relación Fu/Fy de las piezas conectadas, el uso de rondanas, la acción catenaria de las piezas conectadas y la rotación de los tornillos.

361

Fig. 9.31 Comportamiento bajo esfuerzos de cortante y aplastamiento de conexiones atornilladas sin rondanas (1) sujetas a cortante simple, Fu/Fy ≥ 1.5.

Fig. 9.32 Comportamiento bajo esfuerzos de cortante y aplastamiento de conexiones atornilladas sin rondanas (1) sujetas a cortante simple, Fu/Fy < 1.5.

Las Tablas 9.3 y 9.4 contienen varias ecuaciones para determinar el esfuerzo último al aplastamiento σb en base a las condiciones expresas en dichas tablas. Estas ecuaciones fueron desarrolladas de la información de pruebas ilustrada en las Figs. 9.26 a 9.33 considerando las siguiente variables: Diámetro del tornillo d: 3/16 a 1 plg. (4.8 a 25.4 mm). Espesor de las piezas conectadas t: 0.024 a 0.260 plg. (0.9 a 6.6 mm). Distancia de extremo e: 0.50 a 4.5 plg. (12.7 a 114 mm). 2 Esfuerzo de fluencia del acero Fy: 28.1 a 82.6 ksi. (1975 a 5805 kg/cm ) 2 Resistencia a tensión del acero Fu: 41.83 a 82.6 ksi. (2940 a 5805 kg/cm ) Relación e/d: 1.02 a 6.62. Relación d/t: 3.42 a 13.50. Relación Fu/Fy: 1.00 a 1.63.

362 Tabla 9.3 Resistencia al (4) Tuerca del Tornillo . Espesor de la Lámina de Acero < 3/16 plg. (4.76 mm) pero ≥ 0.024 plg. (0.61 mm)

Tabla 9.4 Resistencia al (4) Tuerca del Tornillo . Espesor de la Lámina de Acero (plg). < 3/16 plg. (4.76 mm) pero ≥ 0.024 plg. (0.61 mm)

Aplastamiento de Conexiones Atornilladas con Rondanas Bajo la Cabeza y Relación Fu/Fy de la Lámina de Acero

Esfuerzo Último de 2 Aplastamiento σb (kg/cm ).

Lámina interior de conexiones sujetas a cortante doble

≥ 1.15

3.5Fu

< 1.15

3.0Fu

Conexiones de una sola lámina y láminas exteriores de conexiones sujetas a cortante doble

≥ 1.15

3.0Fu

< 1.15

3.0Fu

Tipo de Junta

Aplastamiento de Conexiones Atornilladas sin Rondanas Bajo la Cabeza y Tipo de Junta Lámina interior de conexiones sujetas a cortante doble Conexiones de una sola lámina y láminas exteriores de conexiones sujetas a cortante doble

Relación Fu/Fy de la Lámina de Acero

Esfuerzo Ultimo de 2 Aplastamiento σb (kg/cm ).

≥ 1.15

3.0Fu

≥ 1.15

2.2Fu

Fig. 9.33 Comportamiento bajo esfuerzos de aplastamiento de conexiones sujetas a cortante doble sin (1) rondanas, Fu/Fy ≥ 1.15.

9.4.1.3 Desgarre de la Lámina en la Sección Neta (Falla Tipo III) En conexiones atornilladas, el tipo de falla por desgarre de la lámina en la sección neta (ver Fig. 9.25c) esta relacionada con la concentración de esfuerzos causados por la presencia de agujeros y la fuerza concentrada local transmitida por los tornillos a la lámina. Diversas pruebas realizadas en la Universidad de Cornell para conexiones con rondanas bajo las cabezas y tuercas de tornillos han indicado que la redistribución plástica es capaz de eliminar las concentraciones de esfuerzos causadas por la presencia de agujeros, aun para aceros de baja ductilidad. Sin embargo, si la concentración de esfuerzos causada por la fuerza local transmitida por el tornillo a la lámina es severa, se observó que la resistencia de la lámina en la sección neta se reduce para conexiones con separaciones entre tornillos relativamente grandes en dirección

363 perpendicular a la de la fuerza transmitida. El efecto de la relación d/s en la resistencia a tensión de conexiones atornilladas con rondanas se muestran en las Figs. 9.34 y 9.35.

Fig 9.34 Efecto de la relación d/s en la resistencia a tensión de conexiones atornilladas con rondanas (cortante (1) doble, un tornillo) .

Fig 9.35 Efecto de la relación d/s en la resistencia a tensión de conexiones atornilladas con rondanas (cortante (1) sencillo, un tornillo) .

Un estudio adicional realizado en la Universidad de Cornell para conexiones con múltiples tornillos ha demostrado que las concentraciones de esfuerzos severas se disipan cuando mas de un tornillos en línea es usado. Como se muestra en la Fig. 9.36, la falla en la sección neta en las pruebas con dos tornillos (r = 1/2) y tres tornillos (r = 1/3) en línea ocurrieron a esfuerzos mucho mayores que en conexiones con un solo tornillo (r = 1). Las siguientes ecuaciones han sido desarrolladas para predecir el esfuerzo de falla en la sección neta:

364 1. Cuando d/s ≤ 0.30,

  d  σ neto = 1 − 0.9r + 3r   Fu ≤ Fu  s  

(9.51)

σ neto = Fu

(9.52)

2. Cuando d/s > 0.30,

donde σneto = esfuerzo de falla en la sección neta r = fuerza transmitida por el tornillo o tornillos en la sección considerada, dividida entre la fuerza en el miembro en dicha sección. d = diámetro del tornillo. s = espaciamiento de los tornillos perpendicular a la línea de esfuerzo. Fu = esfuerzo último a tensión de las láminas de acero. La correlación entre la Ec. (9.51) y los resultados de pruebas se muestran en las Figs. 9.34 a 9.36. Los resultados de pruebas fueron obtenidos con los siguientes parámetros: Diámetro del tornillo d: 1/4 a 1.125 plg. (6.4 a 28.6 mm). Espesor de las piezas conectadas t: 0.0335 a 0.191 plg. (0.9 a 4.9 mm). Distancia de extremo e: 0.872 a 4.23 plg. (22 a 107 mm). 2 Esfuerzo de fluencia del acero Fy: 26 a 99.4 ksi. (1827 a 6985 kg/cm ) 2 Resistencia a tensión del acero Fu: 41.15 a 99.8 ksi. (2892 a 7013 kg/cm ) Relación d/s: 0.063 a 0.50. Relación d/t: 3.40 a 21.13.

Fig. 9.36 Efecto de la relación d/s en la resistencia a tensión de conexiones atornilladas con rondanas (1) (cortante sencillo, tornillo múltiples) .

Cuando no se usan rondanas y cuando solo una rondana es usada en conexiones atornilladas, el esfuerzo de falla en la sección neta puede ser determinado por la siguiente expresión:

  d  σ neto = 1.0 − r + 2.5r   Fu ≤ Fu  s  

(9.53)

365

La Fig. 9.37 muestra la correlación entre la Ec. (9.53) y los resultados de las pruebas.

Fig. 9.37 Efecto de la relación d/s en la resistencia a tensión de conexiones atornilladas sin rondanas (cortante (1) sencillo, tornillos múltiples) .

9.4.1.4 Corte del Tornillo (Tipo de Falla IV). Pruebas de tornillos sujetos a cortante doble y sencillo fueron desarrolladas en la Universidad de Cornell en la década de 1950-60 para establecer el tipo de falla causada por cortante en tornillos (ver Fig. 9.25d). Se demostró que la relación de resistencia cortante-tensión es independiente del diámetro del tornillo y que dichas relaciones son iguales a 0.62 y 0.72 para cortante doble y sencillo, respectivamente. Debido al hecho de que la falla por cortante de tornillos es mas repentina que la de las láminas conectadas, se ha establecido una relación de resistencia cortantetensión conservadora de 0.60 para condiciones de cortante doble y sencillo en el desarrollo de especificaciones de diseño, aun cuando el rango de valores de pruebas es 0.52 a 1.0; o sea, se asume que el tipo de falla de corte del tornillo ocurre a una resistencia igual a 0.60 veces la resistencia a tensión del tornillo. 9.4.2 Criterios de Diseño del AISI para Conexiones Atornilladas Considerando las pruebas descritas en el Art. 9.4.1 y la experiencia previa de diseño, la Sección E3 del AISI 1996 incluye las especificaciones para el diseño de conexiones atornilladas. La Sección E3 no considera especificaciones para el diseño de conexiones de deslizamiento crítico (también conocidas como conexiones a fricción) debido a la falta de evidencia experimental apropiada y a la existencia de múltiples condiciones superficiales (múltiples coeficientes de fricción) en el plano de contacto de las conexiones. Cuando dichas conexiones sean usadas en miembros laminados en frío, donde el espesor de la pieza mas delgada a conectarse es menor que 3/16 plg. (4.76 mm), se recomienda realizar pruebas de carga para determinar su resistencia de diseño. La información obtenida de las pruebas deberá confirmar que la resistencia especificada de diseño para la conexión provee un factor de seguridad adecuado contra el deslizamiento (cuando menos igual al estipulado en las especificaciones del AISC). Además, la seguridad contra la falla deberá ser cuando menos igual a la estipulada por el AISI 1996 para conexiones al aplastamiento.

366

La Sección E3 solo aplica a conexiones donde no existe espacio entre las dos láminas conectadas. El diseñador debe reconocer que la resistencia de la conexión a un perfil tubular rectangular, donde el tornillo atraviesa totalmente al perfil, podrá tener menos resistencia de la que tendría si el espacio no existiese. El desempeño estructural de conexiones que contengan espacios inevitables entre las láminas deberá evaluarse de acuerdo a la Sección F1 del AISI 1996. 9.4.2.1 Limitaciones del Espesor. Considerando las mismas razones presentadas en el Art. 9.3.2.1, la Sección E3 es solo aplicable para el diseño de conexiones atornilladas de miembros de acero laminado en frío con espesores menores de 3/16 plg. (4.8 mm). Para miembros con espesores mayores que 3/16 plg., la especificación del AISC debe ser usada para el diseño de conexiones atornilladas de estructuras de acero laminado en frío. 9.4.2.2 Materiales. Antes de 1980, las especificaciones del AISI para determinar el esfuerzo cortante permisible de tornillos consideraban solo tornillos A307 y A325. Debido a que el espesor máximo de los miembros de acero laminado en frío fue incrementado en 1977 de 0.50 a 1.0 plg. (12.7 a 25.4 mm), otros tipos de tornillos, como los tornillos A354, A449 y A490 fueron incluidos en el AISI 1980. Debido a que los tornillos A325 y A490 solo estaban disponibles en diámetros de 0.50 plg. (12.7 mm) y mayores, siempre que se requieran en diseño diámetros menores a 0.50 plg. (12.7 mm), los tornillos A449 y A354 Grado BD deberán de usarse como equivalentes de los tornillos A325 y A490, respectivamente. La Sección E3 del AISI 1996 reconoce los siguientes tipos de tornillos, tuercas y rondanas: ASTM A194/A194M, Tuercas de Acero al Carbono y de Aleación para Tornillos bajo Condiciones de Presión y Temperatura Elevada. ASTM A307 (Tipo A), Tornillos y Pernos de Acero al Carbono. Resistencia a Tensión de 60 ksi 2 (4216 kg/cm ). ASTM A325, Tornillos Estructurales de Acero Tratado. Resistencia a Tensión de 120/105 ksi 2 (8433/7379 kg/cm ). ASTM A325M, Tornillos de Alta Resistencia para Uso en Joists Estructurales de Acero (Dimensiones Métricas). ASTM A354 (Grado BD), Tornillos, Pernos u Otros Sujetadores con Rosca Externa de Acero Templado [para diámetros de tornillos menores de 0.50 plg (12.7 mm)]. ASTM A449, Tornillos y Pernos de Acero Templado [para diámetros de tornillos menores de 0.50 plg (12.7 mm)]. ASTM A490, Tornillos Estructurales de Acero Tratado con Calor. Resistencia a Tensión de 150 ksi 2 (10,542 kg/cm ). ASTM 490M, Tornillos Estructurales, Clases 10.9 y 10.9.3 para Joists Estructurales de Acero (Dimensiones Métricas). ASTM A563, Tuercas de Acero al Carbono y de Aleación. ASTM A563M, Tuercas de Acero al Carbono y de Aleación (Dimensiones Métricas). ASTM F436, Rondanas de Acero Endurecido. ASTM F436M, Rondanas de Acero Endurecido (Dimensiones Métricas). ASTM F844, Rondanas Planas de Acero No Endurecido para Uso General. ASTM F959, Indicadores Compresibles de Tensión Directa Tipo Rondana para Uso en Tornillos Estructurales. ASTM F959M, Indicadores Compresibles de Tensión Directa Tipo Rondana para Uso en Tornillos Estructurales (Dimensiones Métricas). Para otros tipos de tornillos no incluidos en la Sección E3 del AISI 1996, los planos estructurales deberán indicar claramente el tipo y tamaño del tornillo a usarse, asi como la

367

resistencia considerada en diseño. La determinación de la resistencia del tornillo deberá conformarse a las disposiciones del Capítulo F del AISI 1996. 9.4.2.3 Instalación de Tornillos. En las conexiones atornilladas de estructuras de acero laminado en frío se usan tornillos estándar y de alta resistencia y se diseñan como conexiones al aplastamiento. No se requiere aplicar tensión inicial a los tornillos, ya que la resistencia última de la conexión es independiente del nivel de tensión inicial aplicada a los tornillos. La instalación de los tornillos deberá garantizar la integridad de la conexión bajo condiciones de servicio. La experiencia a demostrado que los tornillos apretados con herramientas convencionales no se aflojan bajo condiciones normales de servicio, cuando no están sujetos a vibración y/o fatiga. Sin embargo, para conexiones de deslizamiento crítico, los tornillos deberán ser apretados de tal manera que garantice el desarrollo de la fuerza de tensión en el tornillo requerida por el Consejo de Investigación de Conexiones Estructurales (RCSC por sus siglas del ingles: “Research Council of Structural Conections”, ediciones 1985 y 1988) para el tipo y tamaño del tornillo considerado. El método de giro de tuerca estipulado por el RCSC puede no ser aplicable, ya que la rotación requerida esta basada en anchos de conexión grandes (las anchos de conexión son iguales a la suma de espesores de las piezas a conectarse), las cuales no se presentan en conexiones típicas de estructuras de acero laminado en frío. Valores reducidos de los considerados por el método de giro de tuerca deberán ser determinados para la combinación existente de ancho de conexión y tornillo. Un programa de pruebas similar (RCSC 1985 y 1988) podría establecer un valor de referencia para método de llaves calibradas. Los indicadores de tensión directa tipo rondana (ASTM F959), donde fuerza requerida para aplanar las corrugaciones del indicador es independiente del agarre, pueden ser usados para determinar el apriete adecuado de tornillos en conexiones de deslizamiento crítico. 9.4.2.4 Tamaño Máximo de Agujeros para Tornillos. La Sección E3 incluye los tamaños máximos de agujeros estándar, agujeros sobre dimensionados, agujeros alargados cortos y largos en la Tabla E3 (ver Tabla 9.5). Los agujeros estándar deben ser usados en conexiones atornilladas. Los agujeros alargados y sobre dimensionados solo podrán usarse mediante autorización expresa del diseñador. La longitud de agujeros alargados deberá ser perpendicular a la dirección de la fuerza cortante en el tornillo. Se deberán usar rondanas o placas de respaldo sobre agujeros sobre dimensionados o alargados a menos que se demuestre un desempeño adecuado de la conexión mediante la realización de pruebas de carga, según los lineamientos del Capítulo F del AISI 1996. Los agujeros alargados o sobre dimensionados son usualmente recomendados por los diseñadores para cumplir las tolerancias dimensionales requeridas durante el montaje de la estructura. Se recomienda que el diseñador especifique pretensionar a los tornillos para evitar deformaciones excesivas debidas a deslizamiento de la conexión bajo cargas de servicio. (4)

Tabla 9.5 Tamaños Máximos de Agujeros para Tornillos Diámetro Nominal Diámetro del Diámetro del del Tornillo, d (mm) Agujero Estándar, d Agujero Sobre Dimensiónado, d (mm). (mm) d + 0.8 d + 1.6 < 12.7 d + 1.6 d + 3.2 ≥ 12.7

Diámetro del Agujero Alargado Corto, d (mm)

Diámetro del Agujero Alargado Largo, d (mm)

D + 0.8 x d + 6.4 D + 1.6 x d + 6.4

d + 0.8 x 2.5d d + 1.6 x 2.5d

368 9.4.2.5 Espaciamiento y Distancia de Extremo Mínima en la Línea de Esfuerzo. De acuerdo con la Sección E3.1, la distancia e (ver Fig. 9.26) medida en la línea de la fuerza desde el centro de un agujero estándar a la orilla mas cercana de un agujero adyacente o al extremo de la parte conectada hacia donde se dirige la fuerza no deberá ser menor que el valor de emin dado por las siguientes expresiones:

PΩ Fu t P = φFu t

Método ASD:

emin =

(9.54)

Método LRFD:

emin

(9.55)

donde

P = fuerza transmitida por el tornillo t = espesor de la lámina mas delgada a conectarse

Cuando Fu/Fsy ≥ 1.08

Ω = 2.0 (ASD) φ = 0.70 (LRFD)

Cuando Fu/Fsy < 1.08

Ω = 2.22 (ASD) φ = 0.60 (LRFD)

Donde Fsy es el esfuerzo mímino especificado del acero. Las Ecs. (9.54) y (9.55) fueron derivadas a partir de la Ec. (9.50) y son similares a las Ecs. (9.25) y (9.26), respectivamente, usadas en la Sección E2.2.1 (ver Art. 9.3.2.3). La Sección E3.1 incluye además los siguientes requisitos con respecto a la separación y distancia de borde mínima en la línea del esfuerzo: 1. La separación mínima centro a centro de agujeros no deberá ser menor que 3d, donde d es el diámetro nominal del tornillo. 2. La distancia desde el centro de un agujero estándar al extremo u otra orilla del miembro conectado no deberá ser menor que 1.5d. 3. La distancia libre entre orillas de dos agujeros adyacentes no deberá ser menor que 2d. 4. La distancia entre la orilla del agujero y el extremo del miembro no deberá ser menor que d. 5. Para agujeros sobre dimensionados y alargados, la distancia entre las orillas de dos agujeros adyacentes y la distancia medida desde la orilla del agujero al extremo u otra orilla del miembro conectado en la línea del esfuerzo no deberá ser menor que el valor de emin – 0.50dh, donde emin es la distancia requerida calculada con las Ecs. (9.54) y (9.55), y dh es el diámetro de un agujero estándar definido según la Tabla 9.5. 9.4.2.6 Ecuaciones de Diseño de Conexiones Atornilladas Según el AISI En el Articulo 9.4.1 se discutió la resistencia última de conexiones atornilladas. La carga última, Pu, determinada en el Articulo 9.4.1 es considerada como la resistencia nominal de soldaduras, Pn, en la Sección E3 del AISI 1996. Debido a que el AISI 1996 ya no considera el concepto de esfuerzo, el esfuerzo σneto dado por la Ec. (9.51) o (9.53) debe convertirse en una ecuación de fuerza multiplicándolo por el área neta An; esto es Pu = σnetoAn. Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseño de conexiones atornilladas:

Pn ≥ ∑ Pi Ω

1. Método ASD:

Pa =

2. Método LRFD:

φPn ≥ ∑ γ i Pi

(9.56)

(9.57)

369

Donde

Pa = resistencia permisible de la soldadura Ω = factor de seguridad de la conexión atornillada ΣPi = combinación aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3) φ = factor de resistencia de la conexión atornillada γi = factor de carga correspondiente a la carga Pi ΣγiPi = combinación aplicable de cargas factorizadas (ver Art. 3.3.2) Pn = resistencia nominal de compresión axial determinada según la Sección E3.

A continuación se presentan las ecuaciones para determinar Pn: Sección E3.1 Cortante

La resistencia nominal por cortante, Pn, de la lámina conectada según el espaciamiento y distancias de extremo existente en la dirección de la carga aplicada deberá calcularse de la siguiente manera:

Pn = teFu (a) Cuando Fu/Fsy ≥ 1.08:

Ω = 2.0 (ASD) φ = 0.70 (LRFD)

(b) Cuando Fu/Fsy < 1.08:

Ω = 2.22 (ASD) φ = 0.60 (LRFD)

(9.58)

La Ec. (9.58) se obtiene despejando para Pu de la Ec. (9.50), donde Pu = Pn. Para los requisitos de espaciamiento y distancia de extremo ver Art. 9.4.2.5. Sección E3.2 Tensión en Cada Parte Conectada

La Sección E3.2 fue actualizada en el Suplemento 1999. Las especificaciones actualizadas se presentan en el Art. 9.10. Sección E3.3 Aplastamiento

La resistencia nominal al aplastamiento, Pn, y los valores aplicables de Ω y φ están dados en las Tablas 9.6 y 9.7, dependiendo del espesor, la relación Fu/Fsy de la parte conectada y el tipo de junta usada en la conexión. Los parámetros Ω, φ, Pn, d, Fu y t usados en las Tablas 9.6 y 9.7 fueron definidos previamente. Para otras condiciones no consideradas en dichas tablas, la resistencia de diseño al aplastamiento de la conexión deberá ser determinada mediante pruebas de carga. Tabla 9.6 Resistencia Nominal al Aplastamiento para Conexiones Atornilladas con Rondanas bajo la (4) Cabeza y Tuerca del Tornillo . Relación Fu/Fsy Espesor de la Resistencia Ω φ Tipo de Junta Parte Conectada, de la Parte Nominal, Pn (ASD) (LRFD) t (mm) Conectada Lámina interior de una 2.22 0.55 3.33Fudt ≥ 1.08 conexión sujeta a cortante 2.22 0.65 3.00Fudt < 1.08 doble 0.91 ≤ t < 4.76 Lámina simple y lámina 2.22 0.60 3.00Fudt exterior de una conexión No existe límite sujeta a cortante doble Consultar la Especificación ASD o LRFD del AISC t ≥ 4.76

370 Tabla 9.7 Resistencia Nominal al Aplastamiento para Conexiones Atornilladas sin Rondanas bajo la (4) Cabeza y Tuerca del Tornillo, o con Solo Una Rondana . Relación Fu/Fsy Espesor de la Resistencia Ω φ Parte Conectada, Tipo de Junta de la Parte Nominal, Pn (ASD) (LRFD) t (mm) Conectada Lámina interior de una 2.22 0.65 3.00Fudt conexión sujeta a cortante ≥ 1.08 doble 0.91 ≤ t < 4.76 Lámina simple y lámina 2.22 0.70 2.22Fudt exterior de una conexión ≥ 1.08 sujeta a cortante doble Consultar la Especificación ASD o LRFD del AISC t ≥ 4.76

Cuando la deformación en el agujero deba limitarse por consideraciones del diseño, la resistencia nominal al aplastamiento deberá limitarse mediante la siguiente expresión:

Pn = (0.183t + 1.53)dtFu

(9.59)

Ω = 2.22 (ASD) φ = 0.65 (LRFD2) Donde todos los términos de la Ec. (9.59) fueron previamente definidos en las Secciones E3.1 y E3.2. Cabe mencionar que la Ec. (9.59) fue por primera vez incluida en el Suplemento 1999. Dicha ecuación está basada en investigaciones realizadas en la Universidad de Missouri-Rolla en 1995. La investigación consideró una deformación máxima permisible de 0.25 plg (6.4 mm) para el agujero, la cual es consistente con los criterios de deformación dados para perfiles laminados en caliente. Considerando investigaciones realizadas en la Universidad de Sidney en 1998, donde se demostró que los coeficientes de aplastamiento para aceros con espesores menores a 0.036 plg (0.91 mm) pueden ser significativamente menores a 3.0, el Suplemento 1999 incrementó el límite inferior del espesor de 0.61 a 0.91 mm en las Tablas 9.6 y 9.7. Sección E3.4 Cortante y Tensión en Tornillos

La resistencia nominal de un tornillo, Pn, como resultado de cortante, tensión, o una combinación de cortante y tensión deberá calcularse mediante la siguiente expresión:

Pn = Ab F

(9.60)

donde Ab = área bruta de la sección del tornillo F = Esfuerzo nominal Fnv o Fnt según la Tabla 9.8 Los valores correspondientes de Ω y φ están dados en la Tabla 9.8 La resistencia de láminas conectadas por extracción sobre la cabeza o tuerca del tornillo o sobre rondanas (ver Art. 9.5.2.3) deberá considerarse cuando exista tensión en los tornillos. Para tornillos sujetos a combinación de cortante y tensión: ASD: F = Esfuerzo nominal F’nt y Ω según la Tabla 9.9 LRFD: F = Esfuerzo nominal F’nt y φ según la Tabla 9.10 Los esfuerzos nominales a tensión, Fnt, para los tornillos A307 (d > 12.7 mm), A325 y A490 son los mismos especificados por el AISC (Tabla J3.2 de la Especificación ASD del AISC 1989). Para tornillos A307, A449 y A354 con d < 12.7 mm, los valores de Fnt fueron reducidos en 10% en comparación con los mismos tornillos con d ≥ 12.7 mm (la Tabla 9.8 solo muestra dicha reducción

371

para tornillos A307), ya que la relación de área de tensión al área bruta para tornillos con diámetros de 6.35 mm y 9.53 mm es de 0.68, la cual es aproximadamente 10% menor a la relación promedio de área de 0.75 para tornillos con diámetros de 12.7 mm y 25.4 mm. Los esfuerzos nominales a cortante, Fnv, son ligeramente menores para los tornillos A449 y A354 Grado BD con la rosca no excluida en el plano de corte en comparación con los tornillos A325 y A490, respectivamente. Esto es debido a que la relación promedio del área de la raíz al área bruta de los tornillos de diámetros de 6.4 mm y 9.5 mm es 0.585, la cual es menor que la relación promedio de 0.670 para los tornillos de diámetros de 12.7 mm y 25.4 mm. (4)

Tabla 9.8 Resistencia Nominal a Tensión y Cortante de Tornillos Descripción del Tornillo Resistencia Nominal a Tensión 2 (d en mm) Ω (ASD) φ (LRFD) Fnt (kg/cm ) A307, Grado A, 2.25 0.75 2846 6.4 ≤ d < 12.7 mm A307, Grado B 2.25 0.75 3162 d ≥ 12.7 mm A325, rosca no excluida de los 2.0 0.75 6325 planos de corte A325, rosca excluida de los 2.0 0.75 6325 planos de corte A354 Grado BD 2.0 0.75 7098 6.4 ≤ d < 12.7 mm, rosca no excluida de los planos de corte A354 Grado BD 2.0 0.75 7098 6.4 ≤ d < 12.7 mm, rosca excluida de los planos de corte A449, 6.4 ≤ d < 12.7 mm, rosca 2.0 0.75 5692 no excluida de los planos de corte A449, 6.4 ≤ d < 12.7 mm, rosca 2.0 0.75 5692 excluida de los planos de corte A490, rosca no excluida de los 2.0 0.75 7906 planos de corte A490, rosca excluida de los 2.0 0.75 7906 planos de corte

a

Resistencia Nominal a Cortante 2 Ω (ASD) φ (LRFD) Fnv (kg/cm ) 2.4

0.65

1686

2.4

0.65

1897

2.4

0.65

3795

2.4

0.65

5060

2.4

0.65

4146

2.4

0.65

6325

2.4

0.65

3303

2.4

0.65

5060

2.4

0.65

4743

2.4

0.65

6325

a

Aplica a tornillos en agujeros como lo limita la Tabla 9.6. Rondanas o placas de respaldo deberán instalarse sobre agujeros ovalados largos y la capacidad de las conexiones con agujeros ovalados largos deberá determinarse mediante pruebas de carga de acuerdo a las especificaciones del AISI. 2

Tabla 9.9 Resistencia Nominal de Tensión F’nt (kg/cm ) para Tornillos Sujetos a Combinación de (4) Cortante y Tensión (LRFD) Descripción del Tornillo Rosca No Excluida de los Rosca Excluida de los Factor de Resistencia φ (d en mm) Planos de Corte Planos de Corte 0.75 A325 7941 – 2.4fv ≤ 6325 7941 – 1.9fv ≤ 6325 0.75 A354 Grado BD 8925 – 2.4fv ≤ 7098 8925 – 1.9fv ≤ 7098 0.75 A449 7098 – 2.4fv ≤ 5692 7098 – 1.9fv ≤ 5692 0.75 A490 9909 – 2.4fv ≤ 7906 9909 – 1.9fv ≤ 7905 A307 Grado A, cuando: 0.75 6.4 ≤ d < 12.7 3303 – 2.4fv ≤ 2846 d ≥ 12.7 0.75 3654 – 2.4fv ≤ 3162 El esfuerzo cortante, fv, deberá satisfacer la Tabla 9.9

Las ecuaciones de diseño para tornillos sujetos a combinación y cortante dadas en las Tablas 9.9 y 9.10 están basadas en la siguiente ecuación general usada por el AISC:

372

Fnt′ = CFnt − Af v ≤ Fnt

(9.61)

donde F’nt = esfuerzo nominal reducido a tensión para tornillos sujetos a combinación de tensión y cortante. Fnt = esfuerzo nominal para tornillos sujetos a tensión pura C = constante que depende del tipo de conexión A = constante que depende de la posición de la rosca con respecto al plano de cortante fv = esfuerzo cortante en el tornillo. El AISC especifica C = 1.25 para conexiones al aplastamiento y A = 1.4 y 1.8 para roscas excluidas y no excluidas de los planos de corte, respectivamente. Se puede observar en las Tablas 9.9 y 9.10 que los valores de A y C son diferentes a los usados por el AISC y varían dependiendo del método de diseño (ASD o LRFD). 2

Tabla 9.10 Resistencia Nominal de Tensión F’nt (kg/cm ) para Tornillos Sujetos a Combinación de (4) Cortante y Tensión (ASD) Descripción del Tornillo Rosca No Excluida de los Rosca Excluida de los Factor de Seguridad Ω (d en mm) Planos de Corte Planos de Corte 2.00 A325 7730 – 3.6fv ≤ 6325 7730 – 2.8fv ≤ 6325 2.00 A354 Grado BD 8573 – 3.6fv ≤ 7098 8573 – 2.8fv ≤ 7098 2.00 A449 7027 – 3.6fv ≤ 5692 7027 – 2.8fv ≤ 5692 2.00 A490 9557 – 3.6fv ≤ 7906 9557 – 2.8fv ≤ 7905 A307 Grado A, cuando: 2.25 6.4 ≤ d < 12.7 3654 – 4fv ≤ 2846 d ≥ 12.7 2.25 4111 – 4fv ≤ 3162 El esfuerzo cortante, fv, deberá satisfacer la Tabla 9.9 Sección E5 Desgarre por Cortante, Tensión y Bloque de Cortante

El Suplemento 1999 subdivide esta Sección en tres partes: E5.1 Desgarre por Cortante, E5.2 Desgarre por Tensión y E5.3 Desgarre por Bloque de Cortante. La Sección E5.1 contiene las especificaciones consideradas en la Sección E5 del AISI 1996 con las modificaciones que se mencionan a continuación. Sección E5.1 Desgarre por Cortante

En las conexiones en los extremos de vigas, donde uno o mas patines son recortados y la falla puede ocurrir a través de un plano que pase por la línea de sujetadores, la resistencia nominal por cortante deberá calcularse mediante la siguiente expresión:

Vn = 0.6 Fu Awn

(9.62)

Ω = 2.0 (ASD) φ = 0.75 (LRFD) donde Awn = (hwc – ndh)t hwc = peralte de la viga con patín recortado dh = diámetro del agujero n = numero de agujeros en el plano critico Fu = resistencia a tensión del acero t = espesor de la viga con patín recortado Las pruebas de conexiones realizadas han mostrado que en vigas con patín recortado puede presentarse un modo de falla de desgarre por cortante alrededor del perímetro de los agujeros [ver

373

Fig. 9.39(a)]. Las especificaciones para desgarre de la Sección E5.1 fueron tomadas de la Especificación del AISC 1978. Se considera que dichas especificaciones proveen una estimación conservadora de la capacidad de desgarre del extremo de la viga con patín recortado, ya que desprecia la contribución del área de tensión. El Suplemento 1999 cambia el parámetro “dwc” usado en el AISI 1996 por “hwc” en la expresión para Awn. El valor de hwc se ilustra en la Fig. 9.38.

Fig. 9.38 Peralte de la viga con patín recortado

(5)

Sección E5.2 Desgarre por Tensión

La resistencia nominal a debido a desgarre por tensión del elemento afectado de miembros conectados con soldadura o tornillos se deberá determinar según las Secciones E2.7 y E3.2, respectivamente (ver Art. 9.10). El modo de falla de desgarre por tensión en las conexiones de miembros sujetos a tensión se ilustra en la Fig. 9.39(b).

(4)

Fig. 9.39 Modos de falla por desgarre . (a) Desgarre por cortante; (b) Desgarre por tensión

Sección E5.3 Desgarre por Bloque de Cortante

La resistencia nominal por desgarre por bloque de cortante, Rn, deberá determinarse de la siguiente manera: (a) Cuando FuAnt ≥ 0.60FuAnv:

Rn = 0.6 Fy Agv + Fu Ant

(9.63)

(b) Cuando FuAnt < 0.60FuAnv:

Rn = 0.6 Fu Anv + Fy Agt

(9.64)

Para conexiones atornilladas:

Ω = 2.22 φ = 0.65

Para conexiones soldadas:

Ω = 2.50 φ = 0.60

374 Donde: Agv = Area bruta sujeta a cortante Agt = Area bruta sujeta a tensión Anv = Area neta sujeta a cortante Ant = Area neta sujeta a tensión La Sección E5.3 fue incluida por primera vez en el Suplemento 1999. Anteriormente, el Comentario de la Sección E5 del AISI 1996 refería al lector a las especificaciones del AISC 1989 y 1993 para determinar la resistencia por bloque de cortante. La falla por bloque de cortante es un estado límite donde la resistencia del miembro en la conexión se obtiene de la suma de la resistencia de cortante en las trayectorias de falla paralelas a la dirección de la carga y la resistencia a tensión de los segmentos perpendiculares a la carga (ver Fig. 9.40). Existe poca información experimental de fallas por bloque de cortante en perfiles laminados en frío. Sin embargo, una investigación realizada en la Universidad de Missouri-Rolla indica que las ecuaciones de la especificación LRFD del AISI 1993 pueden ser aplicadas a perfiles laminados en frío. Las Ecs. (9.63) y (9.64) fueron tomadas de dicha especificación.

Fig. 9.40 Fallas de bloque de cortante

(4)

Cabe mencionar que los factores de resistencia φ para LRFD requeridos para el diseño de conexiones atornilladas y soldadas fueron derivados para un índice de confiabilidad objetivo de βo = 3.5 para conexiones sujetas a cargas gravitacionales. Para la determinación de la resistencia a tensión de sujetadores usados para unir las láminas de muro y cubierta a la polinería correspondiente, se consideraron dos combinaciones de carga para la determinación de los factores φ: (1) 1.2D + 1.6L con βo = 3.5 y (2) 1.17W – 0.90D con βo = 2.5. La combinación (2) representa a la combinación de carga (6) de la Sección A6.1.2, excepto que el factor de carga por viento es multiplicado por 0.90, haciendo uso de la cláusula de excepción (3) de dicha Sección. Las pijas sujetas a succión por viento también pueden ser diseñadas para βo = 2.5. 9.5 CONEXIONES PIJEADAS Y REMACHADAS Además de los tornillos, existen otros tipos de sujetadores que se usan frecuentemente en la construcción de estructuras de acero laminado en frío. A continuación se presenta una discusión del uso de pijas y remaches.

375 9.5.1 Conexiones a Base de Pijas Las pijas pueden proveer un medio rápido y efectivo para unir láminas de acero de muros y cubiertas a los miembros estructurales principales, como se muestra en la Fig. 9.41. También pueden ser usados en sistemas de marcos metálicos y para unir paneles de tablaroca a polínes metálicos. La Fig. 9.42 muestra algunos tipos de pijas autosellables usadas generalmente en la construcción.

Fig. 9.41 Aplicaciones de las pijas autosellables

(1)

9.5.2 Criterios del AISI para el Diseño de Conexiones a Base de Pijas Las especificaciones de diseño para conexiones a base de pijas de miembros de acero laminado en frío fueron incluidas por primera vez en la Sección E4 del AISI 1996. Dichas especificaciones son el resultado de mas de 3500 pruebas realizadas en todo el mundo. Se tomaron en cuenta también las Recomendaciones Europeas para el Diseño de Miembros de Acero de Pared Delgada y el Estándar Británico: Uso Estructural del Acero en Edificios y se modificaron donde se consideró apropiado. Como las especificaciones se aplican a muchos tipos diferentes de conexiones con pijas y detalles de sujeción, se consideró un enfoque mas conservador que en el resto de la Especificación del AISI. El AISI recomienda el uso de las pruebas incluidas en la Sección F para obtener una mayor precisión para aplicaciones particulares y estipula el uso de la Sección E4 solo si no están disponibles una suficiente cantidad de dichas pruebas. Las especificaciones de la Sección E4 aplican a pijas autosellables con diámetros entre 0.08 plg. (2.03 mm) y 0.25 plg. (6.35 mm) con o sin punta autotaladrante. Si las pijas serán usadas en sistemas de diafragmas, las especificaciones de la Sección D5 deberán considerarse. La Tabla 9.11 muestra la convención de designación por numero generalmente usada para pijas y su correspondiente diámetro nominal. El AISI 1996 no incluye recomendaciones particulares para la instalación de pijas, se remite solo al seguimiento de las recomendaciones de instalación del fabricante. Para el caso de los miembros conectados a base de pijas, el AISI especifica que la resistencia a tensión de la sección neta no deberá exceder la resistencia nominal a tensión estipulada en la Sección C2 o la resistencia nominal a tensión de la conexión estipulada en la Sección E3.2.

376

(4)

Tabla 9.11 Diámetros Nominales de Pijas Designación de Diámetro Diámetro Numero Nominal (plg.) Nominal (mm) 0 0.060 1.52 1 0.073 1.85 2 0.086 2.18 3 0.099 2.51 4 0.112 2.84 5 0.125 3.18 6 0.138 3.51 7 0.151 3.84 8 0.164 4.17 10 0.190 4.83 12 0.216 5.49 1/4 0.250 6.35

9.5.2.1 Espaciamiento y Distancia de Extremo Mínima. De acuerdo a la Sección E4.1 del AISI 1996, el espaciamiento entre pijas no deberá ser menor que 3d, el cual es el mismo especificado para tornillos (Sección E3.1). Los resultados de pruebas han indicado que las conexiones a base de pijas sujetas a cortante exhibirán casi siempre falla por desgarre de la orilla cuando la distancia desde el centro de la pija al extremo libre es menor que tres veces el diámetro de la pija. Por consiguiente, la Sección E4.2 establece una distancia de extremo mínima desde el centro de la pija a la orilla de cualquier parte de la conexión de 3d. Además, si la conexión esta sujeta a una fuerza cortante en una sola dirección, la distancia mínima se reduce a 1.5d en la dirección perpendicular a dicha fuerza.

Fig. 9.42 Tipos de pijas autosellables

(1)

9.5.2.2 Capacidad a Cortante de Conexiones a Base de Pijas. Las especificaciones para determinar la capacidad a cortante de las conexiones a base de pijas se incluyen en la Sección E4.3. Las conexiones a base de pijas sujetas a cortante pueden tener un solo modo de falla o pueden fallar por una combinación de varios modos. Los modos de falla pueden ser corte de la pija, desgarre de la orilla de la lámina, ladeo y la subsecuente extracción de la pija y aplastamiento de la lámina.

377

El ladeo de la pija seguido del desgarre por la rosca de la lámina inferior reduce la capacidad a cortante de la conexión comparada con la resistencia típica de la conexión al aplastamiento (ver Fig. 9.43). La Sección E4.3.1 se enfocan en los modos de falla por ladeo y aplastamiento. Se consideran dos casos dependiendo de la relación de espesores de las partes conectadas. Normalmente la cabeza de la pija estará en contacto con la lámina mas delgada como se muestra en la Fig. 9.44a, por lo que la conexión estará mas propensa al modo de falla por aplastamiento. Sin embargo, cuando ambas láminas son del mismo espesor, o cuando la cabeza de la pija esta en contacto con la lámina mas gruesa (Fig. 9.44b), el modo de falla por ladeo debe ser considerado. En este caso, será necesario determinar la capacidad al aplastamiento menor de las dos láminas basado en el producto de sus respectivas resistencias a tensión y espesores.

Fig. 9.43 Comparativo entre el comportamiento de (4) pijas bajos aplastamiento y ladeo .

(a)

(b) (4)

Fig. 9.44 Pijas conectando dos láminas de espesores diferentes . (a) Lámina de menor espesor en contacto con la cabeza de la pija; (b) Lámina de mayor espesor en contacto con la cabeza de la pija.

A continuación se presentan las ecuaciones de diseño para determinar la resistencia a cortante incluidas en la Sección E4.3: Sección E 4.3.1 Cortante en la Conexión

La resistencia nominal de cortante por pija, Pns, deberá determinarse como se indica a continuación: 1. Cuando t2/t1 ≤ 1.0, Pns deberá tomarse como el menor de:

Pns = 4.2 t 2 d Fu 2

(9.65)

Pns = 2.7t1 dFu1

(9.66)

Pns = 2.7t 2 dFu 2

(9.67)

3

378 2. Cuando t2/t1 ≥ 2.5, Pns deberá tomarse como el menor de:

Pns = 2.7t1 dFu1

(9.68)

Pns = 2.7t 2 dFu 2

(9.69)

3. Cuando 1.0 < t2/t1 < 2.5, Pns deberá terminarse por interpolación lineal entre los casos 1 y 2. donde d = diámetro nominal de la pija t1 = espesor de la lámina en contacto con la cabeza de la pija t2 = espesor de la lámina que no esta en contacto con la cabeza de la pija Fu1 = resistencia a tensión de la lámina en contacto con la cabeza de la pija. Fu2 = resistencia a tensión de la lámina que no esta en contacto con la cabeza de la pija. Ω = 3.0 (ASD) φ = 0.50 (LRFD) Sección E4.3.2 Cortante en Pijas

La resistencia nominal a cortante de pijas deberá determinarse mediante pruebas de carga de acuerdo con la Sección F1(a). La resistencia nominal a cortante no deberá ser menor que 1.25Pns, donde Pns se determina mediante las Ecs. (9.65) a (9.69), la que sea aplicable. El factor de seguridad Ω y el factor de resistencia φ deberá determinarse mediante las pruebas estipuladas en la Sección F1(a). Las pruebas de carga para determinar la capacidad a cortante de las pijas normalmente son realizadas por el fabricante y son publicadas en su literatura técnica. 9.5.2.3 Capacidad a Tensión de Conexiones a Base de Pijas. Las especificaciones para determinar la capacidad a tensión de conexiones a base de pijas se incluyen en la Sección E4.4. Diversas investigaciones han demostrado que dichas conexiones pueden exhibir los siguientes modos de falla: 1. Extracción de las pijas de las láminas conectadas. 2. Extracción de las láminas sobre la cabeza de la pija y rondana, si la rondana esta presente. 3. Falla a tensión de la pija. Se ha encontrado que el diámetro y rigidez de la cabeza de la pija, así como el espesor y resistencia a tensión de las láminas tienen un efecto considerable en la carga de falla por extracción de la conexión. Existe una gran variedad en estilos de cabezas y rondanas en uso. Las cabezas o rondanas deberán tener un diámetro mínimo de 5/16 plg. (7.94 mm) y el espesor de las rondanas no deberá ser menor que 0.05 plg. (1.27 mm) para poder resistir las fuerzas de flexión sin presentar deformaciones de consideración. A continuación se presentan las ecuaciones de diseño para determinar la resistencia a tensión incluidas en la Sección E4.4: Sección E4.4 Tensión

Para las pijas que resistan cargas de tensión, la cabeza de las pijas o rondanas, si estas son consideradas, deberán tener un diámetro dw no menor que 7.94 mm. Las rondanas deberán tener

379 un espesor de cuando menos 1.27mm. Los factores de seguridad Ω y de resistencia φ deberán ser determinados de acuerdo con la Sección F1(a). Sección E4.4.1 Extracción de Pijas

La resistencia nominal contra la extracción de pijas, Pnot, se calcula mediante la siguiente expresión:

Pnot = 0.85t c dFu 2

(9.70)

Ω = 3.0 (ASD) φ = 0.50 (LRFD) donde tc es el valor menor de la penetración y el espesor t2. La Ec. (9.70) fue derivada a partir de las Recomendaciones Europeas y de una gran cantidad de pruebas de carga. Sección E4.4.2 Extracción de Lámina

La resistencia nominal contra la extracción de láminas conectadas, Pnov, se calcula mediante la siguiente expresión:

Pnov = 1.5t1 d w Fu1

(9.71)

Ω = 3.0 (ASD) φ = 0.50 (LRFD) donde dw es el diámetro mayor de la cabeza de la pija y la rondana, y no deberá ser mayor que 1/2 plg. (12.7). La Ec.(9.71) también fue derivada a partir de las Recomendaciones Europeas y pruebas experimentales. Sección E4.4.3 Tensión en Pijas

La resistencia nominal a tensión, Pnt por pija deberá ser determinada mediante pruebas de acuerdo con la Sección F1(a). El valor de Pnt no deberá ser menor que 1.25 veces el valor menor calculado mediante las Ecs. (9.70) y (9.71). Los factores de seguridad Ω y de resistencia φ deberán ser determinados de acuerdo con la Sección F1(a). Las pruebas de carga para determinar la capacidad a tensión de las pijas normalmente son realizadas por el fabricante y son publicadas en su literatura técnica. El valor de Pnt es limitado a 1.25 veces el valor menor de los valores de las Ecs. (9.70) y (9.71) ya que se ha observado en pruebas de carga que el modo de falla a tensión es frágil y repentino. Debe mencionarse que dichas ecuaciones no consideran el efecto sobre las condiciones de servicio, como la distorsión excesiva de las láminas conectadas. 9.5.2 Conexiones Remachadas Los remaches ciegos y tubulares se usan comúnmente en los países desarrollados para la construcción de estructuras de acero laminado en frío. Estos son usados para simplificar el ensamble, mejorar la apariencia y reducir el costo de la conexión. Una probable razón por lo cual dichos remaches no han logrado convertirse en una opción viable en países como México se debe a que no son aun competitivos en costo, ya que la mano de obra es barata y está ya capacitada en la fabricación de conexiones soldadas, atornilladas o de pijas.

380 9.5.2.1 Remaches Ciegos. Basado en el método de instalación, los remaches ciegos pueden clasificarse en remaches con pistón extraible, remaches explosivos y remaches con pasador (ver Fig. 9.45).

Fig. 9.45 Tipos de remaches y métodos de instalación. (a) Remaches con pistón extraible; (b) Remaches explosivos; (c) Remaches con pasador.

1. Remaches con Pistón Extraible. Los remaches con pistón extraible pueden ser subdivididos en tres tipos:

381

a. Remaches autosellables: El pistón es extraido del cuerpo del remache pero no totalmente y el extremo saliente del pistón es removido en una operación por separado. b. Remaches con pistón de extracción total: El piston es totalmente extraido dejando un remache hueco. c. Remaches con pistón desprendible: Una parte del pistón se queda dentro del remache como tapón. 2. Remaches Explosivos. Los remaches explosivos tienen un explosivo químico en el cuerpo. El extremo ciego se expande mediante la aplicación de calor a la cabeza del remache. 3. Remaches con Pasador. Los remaches con pasador se componen de dos piezas; el cuerpo del remache y un pasador que se inserta desde la cabeza del remache. El pasador, el cual puede ser insertado en el cuerpo del remache con un martillo, “florea” el extremo opuesto ciego. Aunque el AISI 1996 no incluye especificaciones para el diseño de conexiones remachadas, los siguientes recomendaciones generales pueden ser usadas para el diseño de conexiones a base de remaches ciegos: 1. Distancia de Extremo. La distancia de extremo promedio se toma como dos veces el diámetro del remache. Para conexiones con cargas ligeras, la distancia puede ser reducida a 1.5 veces el diámetro; sin embargo, para conexiones con cargas considerables, una distancia de 3 veces el diámetro puede ser requerida. 2. Espaciamiento. El espaciamiento centro a centro entre remaches debe ser 3 veces el diámetro del remache. Puede ser deseable incrementar o reducir el espaciamiento dependiendo de la naturaleza de la carga. 3. Esfuerzos de Tensión y Aplastamiento. Los esfuerzos de tensión en la sección neta y los esfuerzos de aplastamiento pueden ser determinados por el método usado para conexiones atornilladas. 4. Esfuerzos de Cortante. La resistencia a cortante de los remaches deberá ser obtenida del fabricante. 9.5.2.2 Remaches Tubulares. Los remaches tubulares son usados frecuentemente para conectar láminas de acero. La resistencia a cortante y compresión es comparable a la de los remaches sólidos. Los diámetros varían de 0.032 a 0.310 plg. (0.8 a 7.9 mm). Las longitudes mínimas varían de 1/32 a 1/4 plg. (0.8 a 6.4 mm). Cuando se usan remaches tubulares para conectar láminas gruesas y delgadas, la cabeza del remache deberá estar en contacto con la lámina delgada. 9.6 MIEMBROS A COMPRESIÓN DE SECCIÓN I O CAJON FORMADOS CON SECCIONES CANAL. Las secciones I fabricadas a partir de dos canales conectadas espalda con espalda son usadas frecuentemente como miembros a compresión en construcción de estructuras de acero laminado en frío. Para que los dos canales funcionen como un solo miembro a compresión, los canales deberán tener conexiones con un espaciamiento lo suficientemente pequeño como para prevenir el pandeo de los canales individuales con respecto a sus propios ejes paralelos al alma, bajo una carga igual o menor que la carga de pandeo de la sección completa. Por esta razón, la Sección D1.1(a) del AISI 1996 limita el espaciamiento longitudinal máximo de conexiones a:

382

s max =

Lrcy 2r1

(9.72)

donde smax = espaciamiento longitudinal máximo permisible de conexiones L = longitud del miembro a compresión r1 = radio de giro de la sección I con respecto al eje perpendicular a la dirección en que ocurriría el pandeo para la condición dada de apoyos en los extremos y apoyo lateral, de existir este. rcy = radio de giro de una sección canal con respecto al eje centroidal paralelo al alma. Este requisito garantiza que la relación de esbeltez de los canales individuales entre conexiones sea igual o menor que la mitad de la relación de esbeltez del miembro a compresión completo, previendo el caso de que una de las conexiones se aflojara o fuese defectuosa. Las secciones cajón fabricadas de canales conectados en las puntas de los patines se usan frecuentemente en estructuras de acero laminado en frío debido a su rigidez torsional considerable y su radio de giro favorable con respecto a sus dos ejes principales. Los requisitos para secciones I también son aplicables a las secciones cajón a base de canales conectados en las puntas de los patines, aunque no se especifica así en el AISI 1996. 9.7 VIGAS FORMADAS MEDIANTE LA CONEXIÓN DE DOS CANALES En construcción de estructuras de acero laminado en frío, las vigas I se fabrican frecuentemente de dos canales conectados espalda con espalda por medio de dos líneas de conectores localizadas cerca de ambos patines. Para este tipo de vigas I, la Sección D1.1(b) del AISI 1996 incluye las siguientes limitaciones en el espaciamiento longitudinal de conectores:

s max =

L 6

(9.73)

s max =

2 gTs mq

(9.74)

donde L = claro de la viga g = distancia vertical entre dos líneas de conectores Ts = resistencia a tensión de los conectores q = intensidad de carga m = distancia entre el centro de cortante y el plano central del alma Para canales simples sin labios atiesadores en los extremos,

m=

w2 f 2w f + d / 3

(9.75)

Para canales de sección C con labios atiesadores en los extremos,

w f dt   4 D 2    m=  w f d + 2 D d − 4I x  3 d  

(9.76)

383 donde wf = proyección de patines con respecto a la cara interna del alma d = peralte del canal t = espesor del canal D = peralte total del labio atiesador Ix = momento de inercia de un canal con respecto al eje centroidal paralelo al alma El espaciamiento máximo de conectores requerido por la Ec. (9.74) esta basado en los siguientes hechos: 1. El centro de cortante no coincide ni este localizado en el plano del alma. 2. Cuando una carga Q es aplicada en el plano del alma, produce un momento torsionante Qm con respecto al centro de cortante, como lo muestra la Fig 9.46. La fuerza de tensión en la conexión superior Ts puede ser calculada aprovechando el equilibrio entre el momento torsionante Qm y el momento resistente Tsg, o sea,

Qm = Ts g Despejando para Ts:

Ts =

(9.77)

Qm g

(9.78)

Fig. 9.46 Fuerza de tensión desarrollada en el conector superior para un perfil C

(1)

Considerando que q es la intensidad de carga y que s es el espaciamiento entre conectores, entonces la carga aplicada es Q = qs/2. El espaciamiento máximo smax dado por la Ec. (9.74) puede ser obtenido con facilidad mediante la substitución del valor de Q = qs/2 en la Ec. (9.77). La determinación de la intensidad de carga q esta basada en el tipo de carga aplicada a la viga: 1. Para carga uniformemente distribuida y considerando la posibilidad de cargas no niveladas,

q = 3w′

(9.79)

2. Para cargas concentradas y reacciones,

q=

P N

(9.80)

donde w’ = carga de diseño uniforme distribuida P = carga concentrada o reacción N = longitud de contacto de la reacción y carga concentrada Si la longitud de contacto de la reacción y carga concentrada es menor que el espaciamiento entre conectores (N < s), la resistencia requerida de los conectores mas cercanos a la carga concentrada o reacción P es:

384

Ts =

Pm 2g

(9.81)

Debe notarse que el espaciamiento máximo requerido de conectores smax depende de la intensidad de carga aplicada en la conexión. Si un espaciamiento uniforme de conectores es usado en todo claro de la viga, smax debe determinarse en el punto de máxima intensidad de carga. Si el procedimiento resulta en un espaciamiento muy cerrado y antieconómico, una de las siguientes dos alternativas pueden ser usadas: 1. El espaciamiento de conectores puede variarse a través del claro de la viga en función de la variación de la intensidad de carga. 2. Se pueden soldar cubreplacas de refuerzo en los puntos donde ocurren las cargas concentradas. La resistencia de cortante de las conexiones de las cubreplacas a los patines puede ahora ser usada como Ts y el peralte de la viga puede ser usado como g. Además de las consideraciones arriba mencionadas sobre la resistencia requerida de conexiones, el espaciamiento de conectores no deberá ser tan grande como para causar distorsiones excesivas entre conectores mediante la separación del patín superior. Debido al hecho de que los canales se conectan espalda con espalda y están en contacto continuo en el patín inferior, un espaciamiento máximo de L/3 puede ser usado. Considerando la posibilidad de que una conexión pueda resultar defectuosa, un espaciamiento máximo de smax = L/6 es requerido por el AISI 1996. 9.8 ESPACIAMIENTO DE CONECTORES EN ELEMENTOS A COMPRESIÓN Cuando los elementos a compresión son unidos a otras secciones mediante conexiones como las mostradas en la Fig. 9.47, los conectores se deberán espaciar los suficientemente cerca como para garantizar la integridad estructural de la sección armada. Si los conectores son espaciados apropiadamente, la porción del elemento a compresión entre líneas de conectores puede ser considerado como un elemento a compresión atiesado.

Fig. 9.47 Espaciamiento de conectores en sección compuesta

(1)

En el diseño de conexiones en elementos a compresión, se deberán considerar los siguientes puntos: 1. La resistencia requerida a cortante. 2. Comportamiento al pandeo de los elementos a compresión entre las conexiones. 3. Pandeo potencial de elementos no atiesados entre el centro de la línea de conectores y el borde libre. Por esta razón, la Sección D1.2 del AISI 1996 contiene los siguientes criterios de diseño:

385 El espaciamiento s, en pulgadas, en la línea de esfuerzo de soldaduras, remaches o tornillos conectando una cubreplaca, lámina o un atiesador no integrado a compresión a otro elemento no deberá exceder: 1. A aquel que sea requerido para transmitir el cortante entre las partes conectadas en base a la resistencia de diseño por conexión especificada en el AISI 1996; ni 1/2

2. 1.16t(E/fc) , donde t es el espesor de la cubreplaca o lámina y fc es el esfuerzo bajo carga de diseño en la cubreplaca o lámina; ni 3. Tres veces el ancho plano, w, del elemento a compresión no atiesado con la tributárea mas 1/2 angosta con respecto a la conexión, pero no requiere que sea menor que 1.11t(E/Fy) si w/t < 1/2 1/2 1/2 0.50(E/Fy) , ni que 1.33t(E/Fy) si w/t ≥ 0.50(E/Fy) , a menos que un espaciamiento menor sea requerido por los puntos 1 y 2 arriba mencionados. En el caso de cordones intermitentes de soldadura de filete paralelos a la dirección del esfuerzo, el espaciamiento deberá tomarse como la distancia libre entre cordones mas 0.50 plg (12.7 mm). En todos los otros casos, el espaciamiento deberá ser tomado como la distancia centro a centro entre conectores. Debe mencionarse que la Sección D1.2 no se aplica a cubreplacas usadas solo como material de recubrimiento, y no considerado como elemento sujeto a carga. De acuerdo al requisito 1, el espaciamiento de conectores para la resistencia a cortante requerida esta dada por

s=

Vc I VQ

(9.82)

donde Vc = resistencia total a cortante de los conectores s = espaciamiento entre conectores V = fuerza cortante total Q = momento estático del elemento a compresión conectado con respecto al eje neutro I = momento de inercia del elemento a compresión conectado con respecto al eje neutro El requisito 2 esta basado en la siguiente ecuación de Euler para pandeo de columnas:

σ cr =

π 2E ( KL / r ) 2

(9.83) 1/2

substituyendo σcr = 1.67fc, K = 0.6, L = s y r = t/(12) . Este requisito es conservador porque considera la longitud como la distancia centro o centro entre conectores en lugar que la distancia libre entre conectores y el coeficiente K es tomado como 0.6 en lugar de 0.5, el cual es el valor teórico de una columna con extremos empotrados. El requisito 3 se establece para garantizar un espaciamiento entre conectores lo suficientemente cercano para prevenir el pandeo de elementos no atiesados. 9.9 CONEXIONES A OTROS MATERIALES Las conexiones de puntales de muro a láminas de tablaroca y de polines de cubierta a vigas o columnas de concreto son casos típicos de conexiones de miembros de acero laminado en frío a

386

componentes compuestos de material diferente. A continuación se presenta la Sección E6 del AISI 1996 que considera especificaciones para este tipo de conexiones: Sección E6.1 Aplastamiento o Empuje

Se deberán tomar las medidas adecuadas para transferir las fuerzas de aplastamiento o empuje que resultan de cargas axiales y momentos de componentes de acero laminado en frío a componentes estructurales adyacentes compuestos de diferente material. En la ausencia de otros reglamentos de diseño, la resistencia nominal de empuje en el área de contacto deberá determinarse de la siguiente manera: (1) Cuando el área de contacto es igual al área total del soporte de concreto:

Pp = 0.85 f c′A1

(9.84)

(2) Cuando el área de contacto es menor al área del soporte de concreto:

Pp = 0.85 f c′A1 A2 / A1

(9.85)

donde Ωc = 2.50 (ASD) φc = 0.60 (LRFD) f’c = resistencia de diseño a compresión del concreto A1 = área de empuje (área de contacto) A2 = área total del apoyo de concreto 1/2 El valor de (A2/A1) no deberá exceder a 2 Cabe mencionar que la Sección E6.1 del Suplemento 1999 no incluye ya las Ecs. (9.84) y (9.85), las cuales fueron tomadas de la especificación del AISC. Dicha Sección se remite ahora a la recomendación “Se deberán proveer medios adecuados para transmitir las fuerzas de aplastamiento de los miembros de acero tratados en esta especificación a los miembros estructurales adyacentes hechos de otros materiales”. Sección E6.2 Tensión

Las fuerzas de extracción de tensión y/o cortante en la lámina de acero alrededor de la cabeza del sujetador deberá ser considerada, así como las fuerzas de extracción resultantes de cargas axiales y momentos flexionantes transmitidos al sujetador de varios componentes estructurales adyacentes en la estructura, ya sean de acero u de otros materiales. La resistencia nominal a tensión del sujetador y la resistencia nominal de extracción del sujetador con respecto al material en que se encuentra embebido deberá determinarse mediante las especificaciones del fabricante de dicho material. Sección E6.3 Cortante

Se deberán tomar las medidas adecuadas para transferir las fuerzas cortantes de los componentes de acero laminado en frío a los componentes estructurales adyacentes compuestos de diferente material. La resistencia requerida a cortante y/o al aplastamiento en el componente de acero no deberá exceder los valores estipulados en las especificaciones del AISI. La resistencia a cortante de diseño en los sujetadores y otros materiales no deberán ser excedida. Los requisitos de embebido de los sujetadores deberán ser cumplidos. También deberán tomarse las medidas adecuadas para transmitir las fuerzas cortantes en combinación con otras fuerzas.

387

Las especificaciones de las Secciones E6.2 y E6.3 del AISI 1996 son mas bien recomendaciones generales para crear conciencia en el diseñador de las fuerzas cortantes y de tensión en sujetadores en conexiones de acero a otros materiales. 9.10 MIEMBROS ATORNILLADAS

SUJETOS

A

TENSION

AXIAL

CON

CONEXIONES

SOLDADAS

Y

Esta plenamente demostrado que los miembros sujetos a tensión axial pueden fallar ya sea por fluencia o fractura de la sección alejada de conexiones o por fractura de la sección en las conexiones. La falla por fractura se define como la falla local bajo esfuerzo último (Fu) de secciones del miembro que coinciden con agujeros o con conexiones debida a la alta concentración de esfuerzos que se presentan en dichas secciones. El AISC reconoce desde hace mas de 20 años estos tres tipos de falla en sus especificaciones. Sin embargo, el AISI hasta 1996 solo reconocía la falla por fluencia. No es hasta la edición del Suplemento 1999 que el AISI reconoce los tres tipos de falla, retomando donde es aplicable las especificaciones del AISC 1993. A continuación se presenta la fundamentación teórica, así como las especificaciones correspondientes del Suplemento 1999, para la determinación de la resistencia de diseño de miembros sujetos a tensión axial. 9.10.1 Resistencia Nominal de Miembros Sujetos a Tensión Axial Según la Sección C2 del Suplemento 1999 la resistencia nominal a tensión, Tn, será la resistencia menor obtenida en función de los siguientes estados límites: (1) Fluencia de la sección bruta (Ag):

Tn = Fy Ag

(9.86)

Ωt = 1.67 (ASD) φt = 0.90 (LRFD) (2) Fractura de la sección neta (An) alejada de conexiones:

Tn = Fu An

(9.87)

Ωt = 2.00 (ASD) φt = 0.75 (LRFD) (3) Fractura de la sección neta efectiva (Ae) en la conexión:

Tn = Fu Ae

(9.88)

Donde Fy y Fy son los esfuerzos de fluencia y último del miembro y Ae está dada por la siguiente expresión:

Ae = UAn donde

x U = 1 − C   ≤ 0.90 L

C = Constante definida en la Sección E2.7 y E3.2(3) del Suplemento 1999 x = Distancia del plano de corte al centroide del perfil. L = Longitud de la conexión en la dirección de la carga An = Area neta calculada según la Sección E2.7 y E3.2 del Suplemento 1999

(9.89)

(9.90)

388

Como se mencionó anteriormente, las Ecs. (9.86) a (9.97) fueron incluidas por primera vez en el Suplemento 1999, ya que el AISI 1996 solo considerada el estado límite de falla por fluencia en la sección neta (Tn = FyAn). Dichas ecuaciones asumen una distribución uniforme de esfuerzos. Sin embargo, un miembro a tensión con un perfil que contiene elementos que no coinciden en un mismo plano, donde la carga es transmitida en el extremo del miembro mediante conexiones a algunos pero no a todos los elementos, presentan distribución no uniforme de esfuerzos en la sección debido a que la transmisión de la carga es excéntrica con respecto a los elementos que transmiten dicha carga. Un ejemplo típico de esta condición es un perfil C con conexiones en sus extremos hechas solo en el alma. En este caso como los patines no participan directamente en la transmisión de la carga, la distribución de esfuerzos a tensión será no uniforme. Siempre que una carga de tensión es transmitida excéntricamente a una placa ancha la distribución de esfuerzos a tensión a través del ancho de la placa es no uniforme. Esto se debe a que la transmisión de esfuerzos desde el punto de aplicación de la carga hasta las regiones mas alejadas de la sección se da por medio de esfuerzos cortantes actuando en el plano de la placa. Sin embargo, la transmisión de esfuerzos de tensión por medio de esfuerzos cortantes no es muy eficiente, por lo que se presenta una “pérdida” de esfuerzo de tensión, que se acentúa con la distancia al punto de aplicación de la carga. A este efecto se le conoce también como desfasamiento por cortante. El resultado del desfasamiento por cortante es una distribución no uniforme de esfuerzos de tensión, donde dichos esfuerzos son mínimos en los puntos de la sección mas alejados del punto de aplicación de la carga y máximos en el punto de aplicación. Debido a que el desarrollo de una ecuación de diseño basada en una distribución no uniforme de esfuerzos resulta compleja y poco práctica, el AISI ha decidido mantener la suposición de la distribución uniforme de esfuerzos, estableciendo el concepto de área neta efectiva [Ec. (9.92)] para tomar en cuenta el efecto del desfasamiento por cortante sobre los esfuerzos a tensión. 9.10.2 Resistencia Nominal a Tensión de Miembros con Conexiones Soldadas La resistencia nominal a tensión de miembros con conexiones soldadas se obtiene mediante la Ec. (9.88) y el área neta efectiva se obtiene mediante la Ec. (9.89). Sin embargo, el área neta depende de la presencia de soldaduras longitudinales y transversales. Si la carga es transmitida por ambos tipos de soldadura o solo por soldaduras longitudinales, el AISI permite tomar el valor del área bruta como el área neta. Si la carga es transmitida solo por soldaduras transversales, el AISI establece que el área neta sea igual al área de los elementos del perfil participando directamente en la transmisión de la carga. Las ecuaciones de diseño para la determinación de la resistencia a tensión de miembros en la sección coincidente con conexiones soldadas están incluidas en la Sección E2.7 del Suplemento 1999. A continuación se presenta dicha Sección. Sección E2.7 Resistencia a Tensión de Miembros en la Sección Coincidente con una Conexión Soldada.

La resistencia nominal a tensión de miembros soldados se determinará de acuerdo con la Sección C2. Para fractura y/o fluencia de la sección neta efectiva de la parte conectada, la resistencia nominal a tensión, Pn, se determinará de acuerdo con la siguiente expresión:

Pn = Fu Ae Ωt = 2.50 (ASD) φt = 0.60 (LRFD) Donde: Fu = Resistencia última de la parte conectada

(9.91)

389 Ae = UAn, donde U y An se calculan de la siguiente manera: (1) Cuando la carga es transmitida solo por soldaduras transversales: An = Area de los elementos del perfil participando directamente en la transmisión de la carga. U = 1.0 (2) Cuando la carga es transmitida por soldaduras longitudinales o por una combinación de soldaduras longitudinales y transversales: An = Area bruta del perfil U = 1.0 si la carga es transmitida por la totalidad de los elementos del perfil. De lo contrario U deberá determinarse de la siguiente manera: (a) Para perfiles angulares: (9.92) U = 1.0 − 1.20( x / L) ≤ 0.90 donde U ≥ 0.40. (b) Para perfiles C:

U = 1.0 − 0.36( x / L) ≤ 0.90

(9.93)

donde U ≥ 0.50 x = Distancia del plano de corte al centroide del perfil. L = Longitud de soldaduras longitudinales. Los valores de

x y L se ilustran en la Fig. 9.48

Fig. 9.48 Definición de

x y L para soldaduras(5)

El valor de L en la Sección E2.7 solo considera la longitud de las soldaduras longitudinales, ya que se ha observado que las soldaduras transversales prácticamente no influyen en el efecto de desfasamiento por cortante. 9.10.3 Resistencia Nominal a Tensión de Miembros con Conexiones Atornilladas Para el caso de las conexiones atornilladas no solo debe considerarse el efecto de desfasamiento por cortante, sino que la presencia de agujeros requeridos para los tornillos, su distribución en la conexión, así como la presencia de rondanas bajo la tuerca y cabeza del tornillo afectan a la resistencia a tensión del miembro. La presencia de los tornillos, así como su distribución son tomadas en cuenta en el cálculo del área neta de la sección. Cuando se coloca una sola línea de tornillos en dirección de la carga o cuando se colocan mas de dos líneas, donde los tornillos se encuentran alineados verticalmente, el área neta puede ser calculada mediante la siguiente expresión:

An = Ag − nb d h t

(9.94)

390 donde nb = Número de tornillos en la sección de la conexión analizada dh = Diámetro del agujero estándar según la Tabla 9.5 t = Valor menor del espesor de las láminas conectadas Cuando se coloca dos hileras o mas de tornillos alternados, existe la posibilidad de que la línea de fractura sigan una trayectoria diagonal. En este caso, se generarán componentes del esfuerzo de tensión perpendiculares y paralelos a la porción diagonal de la fractura, complicando la distribución de esfuerzos de tensión. Sin embargo, el ancho total del área neta se incrementará debido a la porción diagonal de la fractura, por lo que la resistencia nominal aumenta. Para mantener la suposición inicial de esfuerzos a tensión uniforme, Cochrane propuso originalmente en 1922 el siguiente factor de corrección para An:

 s′2  t  ∑  4g 

(9.95)

Donde s’ es el espaciamiento longitudinal centro a centro entre dos agujeros consecutivos y g es el espaciamiento transveral centro a centro entre líneas de tornillos. La expresión del área neta considerada por el AISI para este caso es:

  s′ 2   t  An = 0.90 Ag − nb d h t +  ∑ 4 g   

(9.96)

Debido a la poca disponibilidad de resultados de investigaciones sobre el comportamiento de conexiones atornilladas en perfiles laminados en frío, el AISI considera el factor de reducción de 0.90 para la Ec. (9.96). Dicho factor no es considerado por el AISC. Las ecuaciones de diseño para la determinación de la resistencia a tensión de miembros en la sección coincidente con conexiones atornilladas están incluidas en la Sección E3.2 del Suplemento 1999. A continuación se presenta dicha Sección. Sección E3.2 Resistencia a Tensión de Miembros en la Sección Coincidente con una Conexión Atornillada.

La resistencia nominal a tensión de miembros soldados se determinará de acuerdo con la Sección C2. Para fractura y/o fluencia de la sección neta efectiva de la parte conectada, la resistencia nominal a tensión, Pn, se determinará de acuerdo con las siguientes condiciones: (1) Para conexiones de placas planas sin agujeros alternados:

Pn = An Ft

(9.97)

(a) Cuando existen rondanas bajo la tuerca y cabeza del tornillo:

Ft = (1.0 − 0.90r + 3rd / s ) Fu ≤ Fu Para cortante doble:

Ωt = 2.0 (ASD) φt = 0.65 (LRFD)

Para cortante simple:

Ωt = 2.22 (ASD) φt = 0.55 (LRFD)

(9.98)

391

(b) Cuando no existen rondanas o cuando una sola rondana es provista bajo la tuerca o cabeza del tornillo:

Ft = (1.0 − r + 2.5rd / s ) Fu ≤ Fu

(9.99)

Ωt = 2.22 (ASD) φt = 0.65 (LRFD) Donde: An = Area neta dada por la Ec. (9.94) r = Fuerza transmitida por el tornillo o tornillos en la sección analizada, divida entre la carga a tensión del miembro en dicha sección. Si r < 0.20, asuma r = 0. s = Espaciamiento de tornillos perpendicular a la dirección del esfuerzo; o ancho bruto de la lámina para una sola línea de tornillos. d = Diámetro nominal del tornillo. (2) Para conexiones de placas planas con agujeros alternados:

Pn = An Ft

(9.100)

Ωt = 2.22 (ASD) φt = 0.65 (LRFD) (a) Cuando existen rondanas bajo la tuerca y cabeza del tornillo, Ft se calcula según la Ec. (9.98). (b) Cuando no existen rondanas o cuando una sola rondana es provista bajo la tuerca o cabeza del tornillo, Ft se calcula según la Ec. (9.99). Donde: An = Area neta dada por la Ec. (9.96) s = Ancho de la lámina divida entre el número de tornillos en la sección analizada (3) Para otros perfiles diferentes a placas planas:

Pn = Fu Ae

(9.101)

Ωt = 2.50 (ASD) φt = 0.60 (LRFD) Donde: Ae = UAn, donde U y An se calculan de la siguiente manera: An = Area neta dada por la Ec. (9.94) o (9.96), dependiendo si los tornillos se encuentran no alternados o alternados, respectivamente, en la sección analizada. U = 1.0 si la carga es transmitida por la totalidad de los elementos del perfil. De lo contrario U deberá determinarse de la siguiente manera: (a) Para perfiles angulares: U = 1.0 − 1.20( x / L) ≤ 0.90 (9.102) donde U ≥ 0.40. (b) Para perfiles C:

U = 1.0 − 0.36( x / L) ≤ 0.90

donde U ≥ 0.50 x = Distancia del plano de corte al centroide del perfil. L = Longitud de la conexión.

(9.103)

392

Los valores de

x y L se ilustran en la Fig. 9.49

Fig. 9.49 Definición de

x y L para conexiones atornilladas(5)

Las Ecs. (9.98) y (9.99) fueron derivadas a partir de las Ecs. (9.51) y (9.53), respectivamente. 9.11 EJEMPLOS DE DISEÑO DE CONEXIONES A continuación se presentan ejemplos numéricos para el análisis y diseño de conexiones atornilladas y soldadas. Todos los ejemplos consideran láminas con espesores menores a 4.763 mm, por lo que las especificaciones del AISI serán aplicables. Ejemplo 9.1 Determine la carga de diseño por el Método ASD y LRFD de la conexión a base de 2 2 soldaduras de punto mostrada en la Fig. 9.50. Considere Fy = 3514 kg/cm , Fu = 4568 kg/cm y electrodos E60.

Fig. 9.50 Ejemplo 9.1 (4) (dimensiones en mm)

393 1. Determinación de la Resistencia a Cortante de la Soldadura de Punto •

Cálculo de diámetros de diseño:

Diámetro visible: d = 15.875 mm Diámetro efectivo: de = 0.70d – 1.5t ≤ 0.55d de = 0.70(15.875) – 1.5(1.524) = 8.827 mm < 0.55(15.875) = 10.381 mm Según la Sección E2.2, el valor mínimo de de es 9.5 mm, por lo tanto usar de = 9.5 mm. Se deberá cuidar durante el proceso de soldado que se logren diámetros efectivos de cuando menos 9.5 mm. Diámetro promedio: da = d – t para lámina sencilla. da = 15.875 – 1.524 = 14.351 mm •

Cálculo de la resistencia a cortante de la soldadura de punto 2

Capacidad de electrodo: E60, por lo tanto Fxx = 60 ksi = 4216 kg/cm 2 Ec. (9.27): Pn = π/4(0.95) (0.75)4216 = 2242.890 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 2242.89/2.50 = 897.156 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(2242.89) = 1345.734 kg

Como t = 1.524 mm < 3.8 mm se puede usar la soldadura de punto. Como t = 1.524 mm > 0.70 mm no se requiere usar plantilla para la colocación de la soldadura. 2. Determinación de la Resistencia a Cortante de las Láminas da/t = 14.351/1.524 = 9.417 1/2 6 1/2 0.815(E/Fu) =0.815(2.073x10 /4568) = 17.362 1/2 Como da/t < 0.815(E/Fu) aplica la Ec. (9.28). Ec. (9.28): Pn = 2.20(0.1524)(1.4351)(4568) = 2197.940 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 2197.940/2.50 = 879.176 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(2197.940) = 1318.764 kg 3. Determinación de la Resistencia a Cortante de las Láminas en Función de la Distancia de Extremo. ASD: Despejando para P en la Ec. (9.25): Pa = eminFut/Ω = eFut/Ω Fu/Fsy = 4568/3514 = 1.30 > 1.08. Por lo tanto Ω = 2.0; e = 32 mm (ver Fig. 9.50). Por lo tanto: Pa = 3.2(4568)(0.1524)/2.0 = 1113.861 kg para cada soldadura de punto. Como la conexión tiene dos soldaduras: Pa = 2(1113.861) = 2227.722 kg LRFD: Despejando para P en la Ec. (9.26): Pu = eminφFut = eφFut Fu/Fsy = 1.30 > 1.08. Por lo tanto φ = 0.70; e = 32 mm (ver Fig. 9.50). Por lo tanto: Pu = 3.2(0.70)4568(0.1524) = 1559.406 kg para cada soldadura de punto. Para la conexión: Pu = 2(1559.406) = 3118.812 kg 4. Determinación de la Resistencia a Tensión de las Láminas •

Fluencia de la sección bruta:

Ec. (9.86): Pn = 3514(0.1524)9.6 = 5141.123 kg ASD: Ω = 1.67; Pa = 5141.123/1.67 = 3078.517 kg LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(5141.123) = 4627.011 kg

394 •

Fractura de la sección neta alejada de la conexión:

No aplica, ya que no hay agujeros en la placa alejados de la conexión. •

Fractura de la sección neta efectiva en la conexión:

U = 1.0, ya que no existen elementos fuera del plano de carga. Por lo tanto el área neta efectiva es igual al área neta. Sin embargo, como no existen agujeros en la conexión (el agujero formado por la soldadura de punto no se considera agujero, ya que es rellenado con soldadura), el área neta será igual al area bruta. Cabe mencionar que la Sección E2.7 no contiene especificaciones para el cálculo del área neta en secciones con las soldaduras de punto. 2 Ae = Ag = 0.1524(9.6) = 1.463 cm Ec. (9.91): Pn = 4568(1.463) = 6682.984 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 6682.984/2.50 = 2673.194 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(6682.984) = 4009.791 kg 5. Determinación de la Resistencia de Diseño de la Conexión La resistencia de la conexión estará gobernada por el mas crítico de los estados límites de falla por cortante de la soldadura y láminas y falla por tensión de las láminas. •

Resistencia por cortante

Se puede observar que la falla por cortante será controlada por la resistencia a cortante de las láminas, ya que proporciona los valores menores de Pa y Pu, los cuales están dados por: ASD: Pa = 2197.940/2.50 = 879.176 kg LRFD: Pu = 0.60(2197.940) = 1318.764 kg •

Resistencia a tensión

Se puede observar que la falla por tensión será controlada por la resistencia a la fractura de la sección en la conexión, ya que proporciona los valores menores de Pa y Pu, los cuales están dados por: ASD: Pa = 2673.194 kg LRFD: Pu = 4009.791 kg Como la resistencia a cortante es menor que la resistencia a tensión, las láminas fallarán primero por cortante antes de alcanzar su resistencia a tensión. Por lo tanto la capacidad de la conexión será: ASD: Pa = 2197.940/2.50 = 879.176 kg LRFD: Pu = 0.60(2197.940) = 1318.764 kg 6. Revisión de las Distancias entre Soldaduras y la Distancia de Soldaduras a Orillas de Lámina •

La distancia de la línea central de la soldadura al extremo no deberá ser menor que 1.5d. La distancia dada es de 32 mm > 1.5(15.875) = 23.813 mm, OK

•

La distancia libre entre soldaduras no deberá ser menor que 1.0d. La distancia dada es de 32.00 – 15.875 = 16.125 mm > 15.875 mm, OK

•

La distancia libre entre soldaduras y la orilla de la lámina no deberá ser menor que 1.0d. La distancia dada es de 32.00 – 15.875/2 = 24.063 mm > 15.875 mm, OK

395 Ejemplo 9.2 Revisar por los Métodos ASD y LRFD si la conexión a base de soldaduras de filete mostrada en la Fig. 9.51 es adecuada para la resistencia requerida. Asuma que la resistencia requerida por carga muerta es de 0.50 Ton y por carga viva es de 1.40 Ton. Considere Fy = 3514 2 2 kg/cm y Fu = 4568 kg/cm y electrodos E60.

(4)

Fig. 9.51 Ejemplo 9.2 (dimensiones en mm)

1. Determinación de la Resistencia Requerida para Diseño ASD:

P = PCM + PCV = 0.50 + 1.40 = 1.90 Ton

LRFD: Pu = 1.2PCM + 1.6PCV = 1.2(0.50) + 1.6(1.40) = 2.84 Ton Pu = 1.4PCM + 1.0PCV = 1.4(0.50) + 1.0(1.40) = 2.10 Ton Por lo tanto, controla Pu = 2.84 Ton 2. Determinación de la Resistencia a Cortante de la Soldadura de Filete •

Determinación de la dimensión de diseño de los catetos:

En este caso la soldadura de filete tiene catetos iguales. Por lo tanto, w = w1 = w2 = 1.588 mm. El tamaño máximo de cateto a ser considerado en diseño está limitado por w1 ≤ t1. Donde t1 es el espesor menor de las láminas conectadas. En este caso las láminas son del mismo espesor, t = t1 = t2 = 1.524 mm. Entonces en este caso, w1 > t1, por lo que se deberá usar w1 = t1 = 1.524 mm •

Determinación de la garganta efectiva, tw = 0.707w = 0.707(1.524) = 1.077 mm = 0.108 cm

•

Determinación de la resistencia a cortante de la soldadura:

Longitud total de cordones, L = 2(50.00) = 100.00 mm = 10.00 cm 2 Capacidad del electrodo E60, Fxx = 4216 kg/cm Ec. (9.36): Pn = 0.75(0.108)(10.00)4216 = 3414.960 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 3414.960/2.50 = 1365.984 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(3414.960) = 2048.976 kg 3. Determinación de la Resistencia a Cortante de las Láminas Para cada cordón, L/t = 50/1.524 = 32.808 > 25, por lo que aplica la Ec. (9.38). Ec. (9.38): Pn = 0.75(0.1524)(5.00)4568 = 2610.612 kg para cada cordón. ASD: Ω = 2.50; Pa = 2610.612/2.50 = 1044.245 kg LRFD: φ = 0.55; Pu = 0.55(2610.612) = 1435.837 kg Para dos cordones: ASD: Pa = 2(1044.245) = 2088.49 kg LRFD: Pu = 2(1435.837) = 2871.674 kg

396 4. Determinación de la Resistencia a Tensión de las Láminas •

Fluencia de la sección bruta:

Ec. (9.86): Pn = 3514(0.1524)6.5 = 3480.968 kg ASD: Ω = 1.67; Pa = 3480.968/1.67 = 2084.412 kg LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(3480.968) = 3132.872 kg •

Fractura de la sección neta alejada de la conexión:

No aplica, ya que no hay agujeros en la placa alejados de la conexión. •

Fractura de la sección neta efectiva en la conexión:

U = 1.0, ya que no existen elementos fuera del plano de carga. Por lo tanto el área neta efectiva es igual al área neta. Sin embargo, según la Sección E2.7, el área neta será igual al área bruta para conexiones con soldaduras longitudinales. 2 Ae = Ag = 0.1524(6.5) = 0.991 cm Ec. (9.91): Pn = 4568(0.991) = 4526.888 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 4526.888/2.50 = 1810.755 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(4526.888) = 2716.133 kg 5. Revisión de la Conexión. •

Resistencia a cortante

La Sección E2.4 establece que si t < 3.8 mm, la resistencia a cortante de la conexión será gobernada por la resistencia de las láminas. En nuestro caso, t = 1.524 mm < 3.8 mm; por lo tanto, la resistencia de diseño por cortante será: ASD: Pa = 2088.49 kg = 2.088 Ton LRFD: Pu = 2871.674 kg = 2.872 Ton •

Resistencia a tensión

Se observa que la resistencia a tensión estará gobernada por fractura de la sección en la conexión. Por lo tanto: ASD: Pa = 1810.755 kg = 1.811 Ton LRFD: Pu = 2716.133 kg = 2.716 Ton. Finalmente, se observa que la resistencia de la conexión estará gobernada por la resistencia a tensión de las láminas. Por lo tanto, la resistencia de diseño de la conexión será: ASD: Pa = 1810.755 kg = 1.811 Ton < 1.90 Ton LRFD: Pu = 2716.133 kg = 2.716 Ton < 2.84 Ton Por lo tanto la conexión es no adecuada para la resistencia requerida para ASD y LRFD.

397 Ejemplo 9.3 Diseñe la conexión soldada mostrada en la Fig. 9.52 por el Método ASD y LRFD para una resistencia requerida de P = 6.8 Ton. Asuma que el 20% de la carga P es carga muerta y el resto es carga viva. Considere la excentricidad indicada de la carga. Use acero A606 Grado 50 (Fy 2 2 = 3514 kg/cm , Fu = 4919 kg/cm ) y electrodos E70.

Fig. 9.52 Ejemplo 9.3 (1) (dimensiones en mm) .

Dado que el miembro tensor es un perfil angular y se asume que la carga P se aplica en el centroide del perfil, se presentará excentricidad de carga en la conexión. Siempre que sea práctico es preferible eliminar dicha excentricidad colocando los cordones de soldadura de manera que el centroide de la configuración de cordones coincida con el del perfil. 1. Determinación de la Resistencia Requerida ASD:

P = 6.80 Ton

LRFD: PCM = 0.20(6.80) = 1.36 Ton; PCV = 6.80 – 1.36 = 5.44 Ton Pu = 1.2PCM + 1.6PCV = 1.2(1.36) + 1.6(5.44) = 10.37 Ton Pu = 1.4PCM + 1.0PCV = 1.4(1.36) + 1.0(5.44) = 7.34 Ton Por lo tanto, controla Pu = 10.37 Ton 2. Determinación de la Resistencia a Cortante de Soldaduras y la Longitud Requerida de Cordones. Debido a que el perfil angular es laminado en frío, la soldadura L1 será de penetración abierta en bisel “J”. Así mismo, la soldadura L2 será una soladura de filete transversal y la soldadura L3 será una soldadura de filete longitudinal. Como la única dimensión de cordón establecida es la de L2 se procede a calcular primero su resistencia. •

Cálculo de la resistencia a cortante de la soldadura de filete transversal.

Como t = 3.429 mm < 3.8 mm, la resistencia a cortante será controlada por la resistencia de láminas. Para soldaduras transversales aplica la Ec. (9.39). Ec. (9.39): Pn = 0.75(0.3429)(5.08)4919 = 6426.423 kg ASD: Ω = 2.50; Pa2 = 6426.423/2.50 = 2570.569 kg LRFD: φ = 0.60; Pu2 = 0.60(6426.423) = 3855.850 kg •

Cálculo de la resistencia a cortante de la soldadura de penetración abierta en bisel “J”

Tomando momentos con respecto al punto A de la Fig. 9.52 se obtiene la resistencia requerida para la soldadura L1. P(38.151) – P1(50.8) – P2(25.4) = 0 P1 = [P(38.151) – P2(25.4)]/50.8 ASD: Pa1 = [6800(38.151) – 2570.569(25.4)]/50.8 = 3821.542 kg LRFD: Pu1 = [10370(38.151) – 3855.850(25.4)]/50.8 = 5859.986 kg

398 Como t = 3.429 mm < 3.8 mm, la resistencia a cortante será controlada por la resistencia de láminas. Para soldaduras longitudinales aplican las Ec. (9.42) y (9.43). Asumiendo que la altura del labio (en este caso el peralte del perfil angular) será menor que L1, aplica la Ec. (9.42). Como se desea determinar la longitud L1, se determinará la resistencia de la soldadura para una longitud unitaria (L = 1.0 cm). Ec. (9.42): Pn = 0.75(0.3429)(1.0)4919 = 1265.044 kg/cm ASD: Ω = 2.50; Pa = 1265.044/2.50 = 506.018 kg/cm LRFD: φ = 0.55; Pu = 0.55(1265.044) = 695.774 kg/cm La longitud requerida de L1 será entonces: ASD: L1 = Pa1/Pa = 3821.542/506.018 = 7.552 cm. Usar L1 = 7.62 cm (3 plg) LRFD: L1 = Pu1/Pu = 5859.986/695.774 = 8.422 cm. Usar L1 = 8.89 cm (3.5 plg) Como la altura del labio de 50.8 mm será menor que L1, se cumple con la suposición hecha anteriormente. Recalculando los valores de Pa1 y Pu1 para los valores seleccionados de L1 se obtiene: ASD: Pa1 = 506.018(7.62) = 3855.857 kg LRFD: Pu1 = 695.774(8.89) = 6185.431 kg •

Cálculo de la resistencia de la soldadura de filete longitudinal

La resistencia requerida P3 para la soldadura longitudinal se obtiene por equilibrio horizontal de fuerzas en los cordones: ASD: Pa3 = P – Pa1 – Pa2 = 6800 – 3855.857 – 2570.569 = 416.574 kg LRFD: Pu3 = Pu – Pu1 – Pu2 = 10370 – 6185.431 – 3855.850 = 328.719 kg Como t = 3.429 mm < 3.8 mm, la resistencia a cortante será controlada por la resistencia de láminas. Para soldaduras longitudinales aplican las Ecs. (9.37) y (9.38). Asumiendo longitud unitaria L3 = 1.0 cm, entonces L/t = 10/3.429 = 6.571 < 25 por lo que aplica la Ec. (9.37). Ec. (9.37): Pn = [1.0 – 0.01(6.571)]0.3429(1.0)4919 = 1575.874 kg/cm ASD: Ω = 2.50; Pa = 1575.874/2.50 = 630.350 kg/cm LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(1575.874) = 945.524 kg/cm La longitud requerida de L3 será entonces: ASD: L1 = Pa1/Pa = 416.574/630.350 = 0.66 cm. Usar L3 = 1.905 cm (3/4 plg) LRFD: L1 = Pu1/Pu = 328.719/945.524 = 0.348 cm. Usar L3 = 1.905 cm (3/4 plg) El AWS, Sección 3.5 establece una longitud mínima de soldadura de filete de ¾ plg. 3. Diseño Final ASD:

L1 = 7.62 cm (3 plg) L2 = 5.08 cm (2 plg) L3 = 1.905 cm (3/4 plg)

LRFD: L1 = 8.89 cm (3.5 plg) L2 = 5.08 cm (2 plg) L3 = 1.905 cm (3/4 plg)

4. Revisión de la Resistencia a Tensión de la Lámina •

Fluencia de la sección bruta: 2

Area bruta del perfil angular, Ag = 3.271 cm Ec. (9.86): Pn = 3514(3.271) = 11494.294 kg Método ASD: Ω = 1.67; Pa = 11494.294/1.67 = 6882.811 kg Método LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(11494.294) = 10344.865 kg •

Fractura de la sección neta alejada de la conexión:

No aplica, ya que no hay agujeros en la placa alejados de la conexión.

399 •

Fractura de la sección neta efectiva en la conexión:

El área neta será igual al área bruta para conexiones con soldaduras longitudinales. 2 An = Ag = 3.271 cm Para perfil angular, aplica la Ec. (9.92) para calcular U: Posición del centroide del perfil angular, x = 1.438 cm Se asume que L = L1 ASD: Ec. (9.92): U = 1.0 – 1.20(1.438/7.62) = 0.774 > 0.40, < 0.90, OK LRFD: Ec. (9.92): U = 1.0 – 1.20(1.438/8.89) = 0.806 > 0.40, < 0.90, OK El área neta efectiva, Ae, se calcula con la Ec. (9.89) 2 ASD: Ae = 0.774(3.271) = 2.532 cm 2 LRFD: Ae = 0.806(3.271) = 2.636 cm ASD: Ec. (9.91): Pn = 4568(2.532) = 11566.176 kg LRFD: Ec. (9.91): Pn = 4568(2.636) = 12041.248 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 11566.176/2.50 = 4626.470 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(12041.248) = 7224.749 kg Se puede observar que la resistencia a tensión axial de la conexión será gobernada por la fractura de la sección en la conexión. Por lo tanto: ASD: Pa = 4626.470 kg = 4.626 Ton < 6.80 Ton, No Pasa LRFD: Pu = 7224.749 kg = 7.225 Ton < 10.37 Ton, No Pasa Se propone cambiar el perfil angular. El área neta efectiva requerida se obtiene usando las siguientes ecuaciones: 2 ASD: (Ae)req = ΩP/Fu = (2.5)6800/4568 = 3.722 cm 2 LRFD: (Ae)req = Pu/φFu = 10370/[0.60(4568)] = 3.784 cm Asuma U = 0.70. Por lo tanto: 2 ASD: (Ag)req = (Ae)req/U = 3.722/0.70 = 5.317 cm 2 LRFD: (Ag)req = 3.784/0.70 = 5.406 cm Se propone L 101.6 mm x 101.6 mm x 3.429 mm con el mismo diseño de cordones de soldadura (para poder mantener el mismo diseño de cordones no debe cambiar el valor de t). 2 Ag = 6.755 cm ; x = 2.705 cm ASD: Ec. (9.92): U = 1.0 – 1.20(2.705/7.62) = 0.574 > 0.40, < 0.90, OK LRFD: Ec. (9.92): U = 1.0 – 1.20(2.705/8.89) = 0.635 > 0.40, < 0.90, OK 2 ASD: Ae = 0.574(6.755) = 3.877 cm 2 LRFD: Ae = 0.635(6.755) = 4.289 cm ASD: Ec. (9.91): Pn = 4568(3.877) = 17710.136 kg LRFD: Ec. (9.91): Pn = 4568(4.289) = 19592.152 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 17710.136/2.50 = 7084.054 kg = 7.08 Ton > 6.80 Ton, OK LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(19592.152) = 11755.291 kg = 11.76 Ton > 10.37 Ton, OK Usar L 101.6 mm x 101.6 mm x 3.429 mm Observando la resistencia a tensión axial por fluencia en el área bruta se puede concluir que el perfil angular original fue propuesto en función de dicha resistencia. Sin embargo, al controlar la resistencia por fractura de la sección en la conexión, el perfil requerido incrementó las dimensiones originales al doble. Las dimensiones del perfil pueden reducirse si se incrementan los valores de Fu y/o Fsy o si se libera la restricción de cambio en t. Cambiar t implicaría rediseñar los cordones.

400 Ejemplo 9.4 Revisar por el Método ASD y LRFD que la conexión a base de soldadura de costura mostrada en la Fig. 9.53 cumple con la resistencia requerida. Asuma que la resistencia requerida 2 2 es P = 1.3 Ton (ASD) y Pu = 1.9 Ton (LRFD). Considere Fy = 3514 kg/cm y Fu = 4568 kg/cm y electrodos E60. Asuma que la resistencia a tensión de la lámina no controla el diseño.

Fig. 9.53 Ejemplo 9.4 (4) (dimensiones en mm)

1. Determinar la Resistencia a Cortante de la Soldadura de Costura Para determinar la resistencia nominal a cortante aplica la Ec. (9.34). Diámetro efectivo, de = 0.7d – 1.5t = 0.7(12.7) – 1.5(1.524) = 6.604 mm = 0.6604 cm Longitud de la soldadura, L = 38 mm = 3.800 cm < 3d = 3(1.27) = 3.81 cm, OK 2 Resistencia del electrodo E60, Fxx = 4216 kg/cm 2 Ec. (9.34): Pn = [π/4(0.6604) + (3.8)(0.6604)]0.75(4216) = 9018.195 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 9018.195/2.50 = 3607.278 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(9018.195) = 5410.917 kg 2. Determinar la Resistencia a Cortante de las Láminas Para determinar la resistencia nominal a cortante aplica la Ec. (9.35). Ancho promedio, da = d – t = 12.7 – 1.524 = 11.176 mm = 1.118 cm Ec. (9.35): Pn = 2.5(0.1524)4568[0.25(3.8) + 0.96(1.118)] = 3521.333 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 3521.333/2.50 = 1408.533 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(3521.333) = 2112.800 kg 3. Revisión de la Conexión Se observa que la resistencia a cortante de la conexión será gobernada por la resistencia de las láminas. Por lo tanto: ASD: Pa = 1408.533 kg = 1.409 Ton > 1.30 Ton, OK LRFD: Pu = 2112.800 kg = 2.113 Ton > 1.90 Ton, OK Por lo tanto, la conexión cumple con la resistencia requerida para los Métodos ASD y LRFD. 4. Revisión de Distancias de Extremo Fu/Fsy = 4568/3514 = 1.300 > 1.08. Por lo tanto: Ω = 2.00; φ = 0.70 ASD: Ec. (9.25): emin = [1300(2.00)]/[4568(0.1524)] = 3.73 cm < 3.80 cm, OK LRFD: Ec. (9.26): emin = 1900/[0.70(4568)0.1524] = 3.90 cm ≈ 3.80 cm, OK

401

La distancia de extremo a la orilla con respecto al centro de la soldadura no deberá ser menor que 1.5d = 1.5(1.27) = 1.905 cm < 3.80 cm, OK La distancia libre entre la orilla y la soldadura no deberá ser menor que 1.0d = 1.27 cm. Distancia libre disponible, 3.80 – 1.27/2 = 3.165 cm > 1.27 cm, OK Ejemplo 9.5 Diseñe la conexión a base de soldadura de penetración abierta con bisel en “J” mostrada en la Fig. 9.54 por el Método ASD y LRFD. Asuma que la resistencia requerida por carga 2 muerta es de 0.50 Ton y por carga viva es de 1.40 Ton. Considere Fy = 3514 kg/cm y Fu = 4568 2 kg/cm y electrodos E60.

Fig. 9.54 Ejemplo 9.5 (4) (dimensiones en mm)

1. Determinación de la Resistencia Requerida ASD:

Pr = PCM + PCV = 0.50 + 1.40 = 1.90 Ton

LRFD: Pur = 1.2PCM + 1.6PCV = 1.2(0.50) + 1.6(1.40) = 2.84 Ton Pur = 1.4PCM + 1.0PCV = 1.4(0.50) + 1.0(1.40) = 2.10 Ton Por lo tanto, controla Pu = 2.84 Ton 2. Determinación de la Resistencia a Cortante de la Soldadura Como t = 1.524 mm < 3.8 mm, la resistencia a cortante será controlada por la resistencia de láminas. La soldadura es transversal por lo que aplica la Ec. (9.41). Longitud del cordón. Asuma longitud unitaria L = 1.0 cm Ec. (9.41): Pn = 0.833(0.1524)(1.0)4568 = 579.904 kg/cm ASD: Ω = 2.50; Pa = 579.904/2.50 = 231.962 kg/cm LRFD: φ = 0.55; Pu = 0.55(579.904) = 318.947 kg/cm 3. Determinación de la Longitud Requerida ASD: Lreq = Pr/Pa = 1900/231.962 = 8.191 cm LRFD: Lreq = Pur/Pu = 2840/318.947 = 8.904 cm Usar L = 9.00 cm Se puede observar que el cálculo de Lreq es independiente del tamaño de la soldadura. En este se propuso un tamaño de 3.175 mm (1/8 plg). El tamaño de la soldadura podría afectar a Lreq si t > 3.8 mm. El valor propuesto del tamaño debe considerar las dimensiones de garganta efectiva requerida, la cual está en función del radio externo de doblez del perfil (ver Sección E2.5).

402 Ejemplo 9.6 Determine la resistencia de diseño de tensión y cortante por el Método ASD y LRFD de la conexión a base de soldaduras de penetración en junta de frente mostrada en la Fig. 9.55. 2 2 Considere Fy = 3514 kg/cm , Fu = 4568 kg/cm y electrodos E60. Asuma que la resistencia a tensión de las láminas no controla el diseño.

Fig. 9.55 Ejemplo 9.6 (4) (dimensiones en mm)

1. Determinación de la Resistencia a Tensión de la Soldadura La resistencia nominal a tensión se determina con la Ec. (9.22) Garganta efectiva, te = t = 3.429 mm = 0.3429 cm Longitud de la soldadura, L = 205 mm = 20.5 cm Ec. (9.22): Pn = 20.5(0.3429)3514 = 24701.487 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 24701.487/2.50 = 9880.595 kg LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(24701.487) = 22231.339 kg 2. Determinación de la Resistencia a Cortante de la Soldadura La resistencia a cortante se obtiene del valor menor calculado mediante las Ecs. (9.23) y (9.24). 2 Resistencia del electrodo E60, Fxx = 4216 kg/cm Ec. (9.23): Pn = (20.5)(0.3429)(0.6)4216 = 17781.697 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 17781.697/2.50 = 7112.679 kg LRFD: φ = 0.80; Pu = 0.80(17781.697) = 14225.358 kg 1/2 Ec. (9.24): Pn = (20.5)(0.3429)(3514)/(3) = 14261.410 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 24701.487/2.50 = 9880.595 kg LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(24701.487) = 22231.339 kg Por lo tanto controla la Ec. (9.23)

403 Ejemplo 9.7 Determine la resistencia de diseño por el Método ASD y LRFD para la conexión atornillada mostrada en la Fig. 9.56. Considere 2 tornillos A307 de 1/2” (12.7 mm) de diámetro con 2 rondanas bajo la cabeza y tuerca. Considere láminas de acero con Fy = 2319 kg/cm y Fu = 3162 2 kg/cm y agujeros estándar.

Fig. 9.56 Ejemplo 9.7 (4) (dimensiones en mm)

1. Determinación de la Resistencia a Cortante •

Resistencia al cortante de las láminas basada en la distancia de extremo e.

La resistencia nominal a cortante de las láminas se obtiene mediante la Ec. (9.58). Distancia de extremo de los tornillos en la dirección del esfuerzo, e = 25.4 mm = 2.54 cm Ec. (9.58): Pn = 0.2667(2.54)3162 = 2141.996 kg Fu/Fsy = 3162/2319 = 1.364 > 1.08, por lo tanto: Ω = 2.0; φ = 0.70 ASD: Pa = 2141.996/2.0 = 1070.998 kg/agujero LRFD: Pu = 0.70(2141.996) = 1499.397 kg/agujero Para dos agujeros, ASD: Pa = 2(1070.998) = 2141.996 kg LRFD: Pu = 2(1499.397) = 2998.794 kg Revisión de distancias de diseño: Distancia centro a centro entre tornillos debe ser mayor que 3d. 50.8 mm > 3d = 3(12.7) = 38.1 mm, OK Distancia entre el centro del tornillo y la orilla de la lámina deber ser mayor que 1.5d. 25.4 mm > 1.5d = 1.5(12.7) =19.05 mm, OK •

Resistencia al cortante de los tornillos

La resistencia nominal a cortante se obtiene mediante la Ec. (9.60). 2 2 Area bruta del tornillo, Ab = π/4(1.27) = 1.267 cm 2 Esfuerzo nominal a cortante, Fnv = 1897 kg/cm (se obtuvo de la Tabla 9.8 para tornillo A307 con d = 12.7 mm). Ec. (9.60): Pn = 1.267(1897) = 2403.499 kg De la Tabla 9.8 para cortante: Ω = 2.4; φ = 0.65. ASD: Pa = 2403.499/2.4 = 1001.458 kg/tornillo LRFD: Pu = 0.65(2403.499) = 1562.274 kg/tornillo

404

Para dos tornillos,

ASD: Pa = 2(1001.458) = 2002.916 kg LRFD: Pu = 2(1562.274) = 3124.548 kg

Por consiguiente, la resistencia de diseño a cortante será controlada por las láminas para LRFD y por los tornillos para ASD. La resistencia de diseño a cortante será: ASD: Pa = 2002.916 kg LRFD: Pu = 2998.794. kg 2. Determinación de la Resistencia a Tensión de las Láminas •

Fluencia de la sección bruta:

Ec. (9.86): Pn = 2319(0.2667)10.16 = 6283.729 kg ASD: Ω = 1.67; Pa = 6283.729/1.67 = 3762.712 kg LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(6283.729) = 5665.356 kg •

Fractura de la sección neta alejada de la conexión:

No aplica, ya que no hay agujeros en la placa alejados de la conexión. •

Fractura de la sección neta efectiva en la conexión:

La resistencia nominal a tensión para la sección neta efectiva está dada por la Ec. (9.97). El esfuerzo nominal, Ft para tornillos con rondanas bajo tuercas y cabeza está dado por la Ec. (9.98). Determinación de Ae U = 1.0, ya que no existen elementos fuera del plano de carga. Por lo tanto el área neta efectiva es igual al área neta. El área neta se calcula mediante la Ec. (9.94). 2 Ag = 0.2667(10.16) = 2.710 cm dh = d + 1.6 = 12.7 + 1.60 = 14.3 mm = 1.43 cm (ver la Tabla 9.5) nb = 2 2 Ec. (9.94): An = 2.710 – 2(1.43)0.2667 = 1.947 cm 2 Ae = 1.0(1.947) = 1.947 cm Determinación de r (ver definición de r en la Sección E3.2). Para dos tornillos en la conexión, la fuerza por tornillo será P/2. La sección bajo consideración tiene dos tornillos. Por consiguiente, la fuerza transmitida por los tornillos en dicha sección será 2(P/2) = P. Asi mismo, como existe solo una sección con tornillos, la tensión transmitida por las láminas en dicha sección es también P. Por lo tanto, r = 2(P/2)/P = 1.0. Determinación de Pn. Espaciamiento de los tornillos perpendicular a la dirección del esfuerzo, s = 50.8 mm = 5.08 cm. 2 Ec. (9.98): Ft = [1.0 – 0.90(1.0) + 3(1.0)(1.27)/5.08]3216 = 2733.600 kg/cm < Fu, OK Ec. (9.97): Pn = (1.947)2733.600 = 5322.970 kg Para cortante simple, Ω = 2.22; φ = 0.55 ASD: Ω = 2.22; Pa =5322.970 /2.22 = 2397.734 kg LRFD: φ = 0.55; Pu = 0.55(5322.970) = 2927.630 kg Por consiguiente, la resistencia a tensión de diseño será controlada por la sección neta efectiva en la conexión. La resistencia a tensión de diseño será: ASD: Pa = 2397.734 kg LRFD: Pu = 2927.630 kg

405 3. Determinación de la Resistencia al Aplastamiento de las Láminas Se asume que no se requiere controlar la deformación de agujeros, por lo que se puede despreciar el uso de la Ec. (9.59). La resistencia al aplastamiento de láminas que contengan tornillos con rondanas bajo la cabeza y tuerza se determina de acuerdo con la Tabla 9.6. Como t = 2.667 mm, entonces, 0.91 mm < t < 4.76 mm. Por consiguiente, para láminas sujetas a cortante simple (lámina simple), la resistencia nominal a aplastamiento estará dada por: Pn = 3.00Fudt = 3(3162)1.27(0.2667) = 3212.994 kg De la Tabla 9.6 se obtiene: Ω = 2.22; φ = 0.60 ASD: Pa = 3212.994/2.22 = 1447.294 kg/agujero LRFD: Pu = 0.60(3212.994) = 1927.796 kg/agujero Para dos agujeros, ASD: Pa = 2(1447.294) = 2894.588 kg LRFD: Pu = 2(1927.796) = 3855.592 kg 4. Determinación de la Resistencia de la Conexión La resistencia de la conexión será controlada por la menor de las resistencias calculadas. Por lo tanto, la resistencia de la conexión será controlada por la resistencia a cortante para ASD y por la resistencia a tensión para LRFD. ASD: Pa = 2002.916 kg LRFD: Pu = 2927.630 kg Ejemplo 9.8 Revisar por el Método ASD y LRFD si la conexión al aplastamiento mostrada en la Fig. 9.57 es adecuada para la resistencia requerida. Asuma que el 20% de la resistencia requerida es carga muerta y el resto carga viva. Considere cuatro tornillos A325 de 1/2” (12.7 mm) de 2 2 diámetro y láminas de acero A606 Grado 50 (Fy = 3514 kg/cm y Fu = 4919 kg/cm ). Asuma que rondanas serán usadas bajo la cabeza y tuerca de tornillos y que la rosca será excluida del plano de corte. Considere agujeros estándar.

Fig. 9.57 Ejemplo 9.8 (1) (dimensiones en cm)

1. Determinación de la Resistencia Requerida ASD:

P = 8.20 Ton

LRFD: PCM = 0.20(8.20) = 1.64 Ton; PCV = 8.20 – 1.64 = 6.56 Ton Pu = 1.2PCM + 1.6PCV = 1.2(1.64) + 1.6(6.56) = 12.464 Ton Pu = 1.4PCM + 1.0PCV = 1.4(1.64) + 1.0(6.56) = 8.856 Ton Por lo tanto, controla Pu = 12.46 Ton

406 2. Determinación de la Resistencia a Cortante •

Resistencia al cortante de las láminas basada en la distancia de extremo e.

La resistencia nominal a cortante de las láminas se obtiene mediante la Ec. (9.58). Distancia de extremo de los tornillos en la dirección del esfuerzo, e = 2.50 cm Ec. (9.58): Pn = 0.267(2.50)4919 = 3283.433 kg Fu/Fsy = 4919/3514 = 1.40 > 1.08, por lo tanto: Ω = 2.0; φ = 0.70 ASD: Pa = 3283.433/2.0 = 1641.717 kg/agujero LRFD: Pu = 0.70(3283.433) = 2298.403 kg/agujero Para cuatro agujeros, ASD: Pa = 4(1641.717) = 6566.868 kg LRFD: Pu = 4(2298.403) = 9193.612 kg Revisión de distancias de diseño: Determinación de emin. Para Fu/Fsy = 1.4 > 1.08, por lo tanto: Ω = 2.0; φ = 0.70 Se calcula emin para la lámina de menor espesor que en este caso es la lámina exterior. Carga por tornillo en lámina exterior, P = 4100/4 = 1025 kg Espesor de lámina exterior, t = 0.267 cm ASD: Ec. (9.54): emin = [1025(2.0)]/[4919(0.267)] = 1.56 cm < 2.5 cm, OK LRFD: Ec. (9.55): emin = 1025/[0.70(4919)(0.267)] = 1.115 cm < 2.5 cm, OK Distancia centro a centro entre tornillos debe ser mayor que 3d. 5.00 cm > 3d = 3(1.27) = 3.81 cm, OK Distancia entre el centro del tornillo y la orilla de la lámina deber ser mayor que 1.5d. 2.50 cm > 1.5d = 1.5(1.27) =1.905 mm, OK Distancia del centro del agujero a la orilla del agujero adyacente no deberá ser menor que emin. En el cálculo de las distancias entre agujeros se deberá usar la dimensión del diámetro estándar, dh dada en la Tabla 9.5. Para d ≥ 1.27 cm, dh = d + 1.6 mm = 1.27 + 0.16 = 1.43 cm. Distancia calculada: 5 – 1.43/2 = 4.285 cm > emin, OK Distancia libre entre orillas de agujeros adyacentes no deberá ser menor que 2d. Distancia calculada: 5 – 1.43 = 3.57 cm > 2d = 2(1.27) = 2.54 cm, OK Distancia entre la orilla del agujero y la orilla de la lámina no deberá ser menor que 1.0d. Distancia calculada: 2.5 – 1.43/2 = 1.785 cm > 1.0d = 1.27 cm, OK •

Resistencia al cortante de los tornillos

La resistencia nominal a cortante se obtiene mediante la Ec. (9.60). 2 2 Area bruta del tornillo, Ab = π/4(1.27) = 1.267 cm 2 Esfuerzo nominal a cortante, Fnv = 5060 kg/cm (se obtuvo de la Tabla 9.8 para tornillo A325 con rosca excluida de los planos de corte). Ec. (9.60): Pn = 1.267(5060) = 6411.02 kg De la Tabla 9.8 para cortante: Ω = 2.4; φ = 0.65. ASD: Pa = 6411.02/2.4 = 2671.258 kg/tornillo LRFD: Pu = 0.65(6411.02) = 4167.163 kg/tornillo Para cuatro tornillos, ASD: Pa = 4(2671.258) = 10685.033 kg LRFD: Pu = 4(4167.163) = 16668.652 kg Por consiguiente, la resistencia de diseño a cortante será controlada por las láminas para LRFD y por los tornillos para ASD. La resistencia de diseño a cortante será:

407 ASD: Pa = 6566.868 kg LRFD: Pu = 9193.612 kg 3. Determinación de la Resistencia a Tensión de las Láminas 2

Esfuerzo de tensión en láminas externas, ft = (P/2)/A = 4100/[0.267(10.0)] = 1535.581 kg/cm 2 Esfuerzo de tensión en lámina central, ft = P/A = 8200/[0.635(10.0)] = 1291.339 kg/cm Como el esfuerzo a tensión en las láminas externas es mayor que la lámina central y todas las láminas están hechas con el mismo acero, las láminas externas fallarán primero. Por lo tanto, la resistencia de tensión de dichas láminas controlará el diseño por tensión. •

Fluencia de la sección bruta:

Ec. (9.86): Pn = 3514(0.267)10.00 = 9382.380 kg ASD: Ω = 1.67; Pa = 9382.380/1.67 = 5618.192 kg LRFD: φ = 0.90; Pu = 0.90(9382.380) = 8444.142 kg •

Fractura de la sección neta alejada de la conexión:

No aplica, ya que no hay agujeros en la placa alejados de la conexión. •

Fractura de la sección neta efectiva en la conexión:

La resistencia nominal a tensión para la sección neta efectiva está dada por la Ec. (9.97). El esfuerzo nominal, Ft para tornillos con rondanas bajo tuercas y cabeza está dado por la Ec. (9.98). Determinación de Ae U = 1.0, ya que no existen elementos fuera del plano de carga. Por lo tanto el área neta efectiva es igual al área neta. El área neta se calcula mediante la Ec. (9.94). 2 Ag = 0.267(10.00) = 2.670 cm dh = 1.43 cm nb = 2 2 Ec. (9.94): An = 2.670 – 2(1.43)0.267 = 1.906 cm 2 Ae = 1.0(1.906) = 1.906 cm Determinación de r (ver definición de r en la Sección E3.2). Para cuatro tornillos en la conexión, la fuerza por tornillo será P/4. Las secciones bajo consideración tienen dos tornillos cada una (secciones a-a y b-b de la Fig. 9.57). Por consiguiente, la fuerza transmitida por los tornillos en dichas secciones será 2(P/4) = P/2. Si se asume que la carga en la conexión se transmite de izquierda a derecha, la sección a-a estará sujeta a toda la carga P y la sección b-b a P/2, ya que los tornillos en la sección a-a tomaron ya su porción de carga. Por lo tanto: Sección a-a: r = (P/2)/P = 0.50 Sección b-b: r = (P/2)/(P/2) = 1.0 Determinación de Pn Sección a-a: r = 0.50 Espaciamiento de los tornillos perpendicular a la dirección del esfuerzo, s = 5.00 cm. 2 Ec. (9.97): Ft = [1.0 – 0.90(0.50) + 3(0.50)(1.27)/5.00]4919 = 4579.589 kg/cm < Fu, OK Ec. (9.98): Pn = (1.906)4579.589 = 8728.697 kg Para cortante doble, Ω = 2.0; φ = 0.65 ASD: Ω = 2.22; Pa = 8728.697/2.00 = 4364.348 kg LRFD: φ = 0.55; Pu = 0.65(8728.697) = 5673.653 kg

408

Sección b-b: r = 1.0 s = 5.0 cm 2 Ec. (9.98): Ft = [1.0 – 0.90(1.0) + 3(1.0)(1.27)/5.00]4919 = 4240.178 kg/cm < Fu, OK Ec. (9.97): Pn = (1.906)4240.178 = 8081.779 kg Para cortante doble, Ω = 2.0; φ = 0.65 ASD: Ω = 2.22; Pa = 8081.779/2.00 = 4040.890 kg LRFD: φ = 0.55; Pu = 0.65(8081.779) = 5253.157 kg Por consiguiente, la resistencia a tensión de diseño será controlada por la sección neta efectiva b-b en la conexión. La resistencia a tensión de diseño será: ASD: Pa = 4040.890 kg LRFD: Pu = 5253.157 kg 4. Determinación de la Resistencia al Aplastamiento de las Láminas Se asume que no se requiere controlar la deformación de agujeros, por lo que se puede despreciar el uso de la Ec. (9.59). La resistencia al aplastamiento de láminas que contengan tornillos con rondanas bajo la cabeza y tuerza se determina de acuerdo con la Tabla 9.6. Como t = 2.67 mm, entonces, 0.91 mm < t < 4.76 mm. Para láminas sujetas a cortante doble, la resistencia nominal a aplastamiento de la lámina central estará dada por: Pn = 3.3Fudt = 3.3(4919)1.27(0.635) = 13090.861 kg Considerando la Tabla 9.6 y como Fu/Fsy = 1.4 > 1.08, entonces: Ω = 2.22; φ = 0.55 ASD: Pa = 13090.861/2.22 = 5896.784 kg/agujero LRFD: Pu = 0.55(13090.861) = 7199.974 kg/agujero Para cuatro agujeros, ASD: Pa = 4(5896.784) = 23587.136 kg LRFD: Pu = 4(7199.974) = 28799.894 kg Para láminas externas, la Tabla 9.6 establece que: Pn = 3.0Fudt = 3.0(4919)1.27(0.267) = 5003.951 kg De la Tabla 9.5, Ω = 2.22; φ = 0.60 ASD: Pa = 5003.951/2.22 = 2254.032 kg/agujero LRFD: Pu = 0.60(5003.951) = 3002.371 kg/agujero Para cuatro agujeros, ASD: Pa = 4(2254.032) = 9016.128 kg LRFD: Pu = 4(3002.371) = 12009.482 kg Por consiguiente, la resistencia al aplastamiento es controlada por las láminas externas. 5. Determinación de la Resistencia de la Conexión La resistencia de la conexión será controlada por la menor de las resistencias calculadas. Por lo tanto, la resistencia de la conexión será controlada por la resistencia a tensión de las láminas externas para ASD y LRFD. ASD: Pa = 4040.890 kg ≈ 8200/2 = 4100 kg, OK LRFD: Pu = 5253.157 kg < 12460/2 = 6230 kg, No Cumple

409 Ejemplo 9.9 Determine la resistencia de diseño por el Método ASD y LRFD para la conexión a base de pijas mostrada en la Fig. 9.58. Considere pija No.10 autotaladrable con diámetro de 2 cabeza de dw = 8.065 mm. Considere lámina de espesor 0.914 mm con Fy = 3865 kg/cm y Fu = 2 2 4568 kg/cm y metal base de apoyo de espesor 1.524 mm con Fy = 2530 kg/cm y Fu = 3162 2 kg/cm . Las pruebas carga del fabricante de la pija resultan en las siguientes resistencias nominales: (a) Tensión: Pn = 1100 kg; Ω = 3.1; φ = 0.48 y (b) Cortante: Pn = 635 kg; Ω = 3.2; φ = 0.47.

Fig. 9.58 Ejemplo 9.9

(4)

1. Determinación de la Resistencia a Cortante de la Pija •

Resistencia a cortante de láminas

La resistencia nominal a cortante de pijas se obtiene del valor menor dado por Caso (1): Ecs. (9.65) a (9.67) si t2/t1 ≤ 1.0 o por Caso (2): Ecs (9.68) a (9.69) si t2/t1 ≥ 2.5. En este caso, t2/t1 = 0.1524/0.0924 = 1.649. Por lo tanto, 1.0 < t2/t1 < 2.5 y se deberá interpolar entre los dos casos. Para pija No. 10 la Tabla 9.11 establece d = 4.83 mm = 0.483 cm Espesor de la lámina en contacto con la cabeza de la pija, t1 = 0.914 mm = 0.0914 cm Espesor de la lámina que no está en contacto con la cabeza, t2 = 1.524 mm = 0.1524 cm 2 Resistencia a tensión de la lámina en contacto con la cabeza de la pija, Fu1 = 4568kg/cm 2 Resistencia a tensión de la lámina que no está en contacto con la cabeza, Fu2 = 3162 kg/cm Caso (1): 3 1/2 Ec. (9.65): Pns = 4.2[(0.1524) (0.483)] (3162) = 549.114 kg Ec. (9.66): Pns = 2.7(0.0914)(0.483)4568 = 544.482 kg Ec. (9.67): Pns = 2.7(0.1524)(0.483)3162 = 628.431 kg Por lo tanto, Pns = 544.482 kg Caso (2): Ec. (9.68): Pns = 2.7(0.0914)(0.483)4568 = 544.482 kg Ec. (9.69): Pns = 2.7(0.1524)(0.483)3162 = 628.431 kg Por lo tanto, Pns = 544.482 kg En este caso, la interpolación no cambiará el resultado, ya que ambos casos generan el mismo resultado. ASD: Ω = 3.0; Pa = 544.482/3.0 = 181.494 kg LRFD: φ = 0.50; Pu = 0.50(544.482) = 272.241 kg •

Resistencia a cortante de pijas

Según la Sección E4.3.2, la resistencia a cortante de las pijas no deberá ser menor que 1.25Pns. Según información del fabricante, Pn = 635 kg, Ω = 3.2; φ = 0.47 1.25Pns = 1.25(544.482) = 680 kg > 635 kg, OK ASD: Pa = 635/3.2 = 198.438 kg LRFD: Pu = 0.47(635) = 298.450 kg En este caso, la resistencia a cortante es controlada por las láminas.

410 2. Determinación de Resistencia a Tensión La resistencia nominal a tensión se determina con el valor menor dado por la resistencia a la extracción de las pijas [Ec. (9.70)], la resistencia a extracción de la lámina [Ec. (9.71)] y la resistencia a tensión axial de la pija según el fabricante. •

Resistencia a extracción de pijas

La penetración de la pija en láminas, tc se asume en este caso igual a t2, tc = 0.1524 cm Ec. (9.70): Pnot = 0.85(0.1524)(0.483)3162 = 197.839 kg •

Resistencia a extracción de lámina

Ec. (9.71): Pnov = 1.5(0.0914)(08065)4568 = 505.089 kg En este caso el estado límite de extracción es controlado por las pijas. La resistencia de diseño por extracción será: ASD: Ω = 3.0; Pa = 197.839/3.0 = 65.946 kg LRFD: φ = 0.50; Pu = 0.50(197.839) = 98.920 kg •

Resistencia a tensión axial de pijas

Según la Sección E4.4.2 la resistencia a tensión axial de pijas no deberá ser menor que 1.25 veces el valor menor de Pnot y Pnov. Según información del fabricante, Pn = 1100 kg; Ω = 3.1; φ = 0.48 1.25Pnot = 1.25(197.839) = 247.30 kg < 1100 kg, OK ASD: Pa = 1100/3.1 = 354.839 kg LRFD: Pu = 0.48(1100) = 528.00 kg Por lo tanto, la resistencia a tensión de la conexión estará controlado por la resistencia a extracción de las pijas. La pija analizada está sujeta a combinación de cortante y tensión. Sin embargo, el AISI no considera ecuaciones de diseño para dicha combinación. Por consiguiente, se asume que no existe interacción entre el cortante y tensión y solo se requiere revisar las resistencias a cortante y tensión de manera individual. Ejemplo 9.10 Determine el espaciamiento longitudinal máximo permisible de soldaduras para unir dos canales 6 x 2.5 x 0.105 plg. (152.4 x 63.6 x 2.67 mm) en los extremos de sus patines para formar la sección canal mostrada en la Fig. 9.59 para su uso como un miembro a compresión simplemente apoyado. Asuma que la longitud es de 3 m. 1. Determinación de Radios de Giro. Usando las ecuaciones dadas en el Apéndice A, se puede demostrar que el radio de giro del perfil C considerado con respecto al eje y rcy está dado rcy = 2.286 cm. Asi mismo, se puede demostrar que los radios de giro del perfil tubular formado por los dos perfiles C están dados por rx = 5.969 cm y ry = 4.953 cm. Como ry < rx, controla el ry. Por lo tanto, r = ry = 4.953 cm 2. Determinación del Espaciamiento entre Cordones de Soldadura. El espaciamiento máximo entre soldaduras se obtiene de la Ec. (9.72). Longitud de la columna, L = 3.0 m = 300 cm Ec. (9.72): smax = 300(2.286)/[2(4.953)] = 69.23 cm. Usar s = 65 cm

411

(1)

Fig. 9.59 Ejemplo 9.10 (dimensiones en cm)

Ejemplo 9.11 Determine el espaciamiento longitudinal máximo permisible de tornillos A307 de 1/4 plg. (0.635 cm) de diámetro para unir dos canales 6 x 1.5 x 0.105 plg. (152.4 x 38.1 x 2.67 mm) para formar la viga I mostrada en la Fig. 9.60. Asuma que el claro de la viga es de 3.65 m, que la carga uniforme es de 596 kg/m y que la longitud del área de contacto de la reacción de la viga es de 9.0 cm.

Fig. 9.60 Ejemplo 9.11 (Dimensiones en (1) cm)

1. Espaciamiento de Tornillos entre Apoyos Extremos La separación máxima longitudinal entre tornillos se obtiene del valor menor calculado mediante la Ecs. (9.73) y (9.74). Considere que los tornillos se colocarán a una distancia d del extremo del ancho plano del alma. Por consiguiente, la separación vertical entre líneas de tornillos estará dada por la siguiente expresión: g = d – 2(R + t) – 2t = 15.24 – 2(0.476 + 0.267) –2(0.635) = 12.484 cm. Resistencia a tensión de diseño de tornillos, Ts La resistencia nominal a tensión axial de tornillos está dada por la Ec. (9.60). 2 2 Area del tornillo, Ab = π/4(0.635) = 0.317 cm 2 De la Tabla 9.8, A307 con d = 0.635 cm < 1.27 cm, Fnt = 2846 kg/cm ; Ω = 2.25; φ = 0.75 Ec. (9.60): Pn = 0.317(2846) = 902.182 kg ASD: Ts = Pa = 902.182/2.25 = 400.970 kg LRFD: Ts = Pu = 0.75(902.182) = 676.637 kg Distancia entre el centro de cortante y el plano central del alma, m El valor de m para perfiles C sin labios puede ser calculada mediante la Ec. (9.75). Proyección del patín con respecto a la cara interna del alma, wf = 3.78 – 0.267 = 3.513 cm 2 Ec. (9.75): m = (3.513) /[2(3.513) + 15.24/3] = 1.019 cm

412 Intensidad de carga, q El valor de q se puede obtener mediante la Ec. (9.79). w = 596 kg/m = 5.96 kg/cm Ec. (9.79): q = 3(5.96) = 17.88 kg/cm Ec. (9.73): smax = 360/6 = 60 cm ASD: Ec. (9.74): smax = 2(12.484)(400.97)/[1.019(17.88)] = 549.48 cm LRFD: Ec. (9.74): smax = 2(12.484)(676.637)/[1.019(17.88)] = 927.252 cm Por lo tanto controla smax = 60 cm 2. Espaciamiento de Tornillos en los Apoyos Extremos El espaciamiento de tornillos en los extremos puede calcularse mediante la Ec. (9.74). Para cargas concentradas, q está dado por la Ec. (9.80). Longitud del plano de contacto de la reacción, N = 9.0 cm Reacción, P = (1/2)wL = 0.50(5.96)360 = 1072.80 kg Ec. (9.80): q = 1072.80/9 = 119.2 kg/cm ASD: Ec. (9.74): smax = 2(12.484)(400.97)/[1.019(119.2)] = 82.422 cm LRFD: Ec. (9.74): smax = 2(12.484)(676.637)/[1.019(119.2)] = 139.088 cm Como para ASD N < smax, la resistencia de diseño por tensión axial requerida por los tornillos mas cercano a los apoyos está dada por la Ec. (9.81): Ec. (9.81): Ts = 1072.80(1.019)/[2(12.484)] = 43.783 kg < 400.97 kg, OK 3. Distribución de Tornillos. Colocar primer par de tornillos a 10.0 cm de la orilla del alma, colocar segundo par a 50.0 cm del primer par y el resto con separaciones de 60.0 cm a centros (ver Fig. 9.60). Ejemplo 9.12 Determine el espaciamiento requerido entre soldaduras de punto para el miembro a compresión formado por dos canales y dos láminas de 0.105 plg. (2.67 mm) de espesor mostrado en la Fig. 9.61 (Ejemplo 8.8). Considere un diámetro visible de la soldadura de de punto de d = 2 1.93 cm. Asuma que el miembro esta sujeto a una carga axial de 20.0 Ton, con Fy = 2319 kg/cm , 2 Fu = 3162 kg/cm y que la longitud no apoyada de 4.3 metros. Considere electrodos E60.

(1)

Fig. 9.61 Ejemplo 9.12 (dimensiones en cm)

1. Determinación de las Propiedades Geométricas de la Sección Usando los procedimientos para el cálculo de propiedades geométricas no reducidas ilustrados en el Capítulo 5, se obtienen las siguientes propiedades: 2

A = 23.781 cm rx = 6.731 cm

4

Ix = 1083.867 cm ry = 7.518 cm

4

Iy = 1344.428 cm

413 2. Espaciamiento de Soldaduras de Punto en Base a la Resistencia a Cortante •

Determinación de la fuerza cortante, V

Aun cuando la función principal de un miembro a compresión es la de transmitir carga axial, dichos miembros también deben resistir fuerzas cortantes generadas por la deformación lateral producida por carga axial. La fuerza cortante puede ser calculada por la siguiente expresión:

V = P sen α

(9.104)

donde α es el ángulo de giro del eje longitudinal producto de la deformación lateral del miembro y P la carga axial en el miembro. Como el giro es en general pequeño, es práctica generalizada aproximar el término senα a 0.02. O sea, se considera que la fuerza cortante como el 2% de la carga axial. Por consiguiente, V = 0.02(20) = 0.40 Ton = 400 kg. •

Determinación de la separación de soldaduras s debido al cortante en la dirección y

Si la fuerza cortante es aplicada en la dirección y, entonces el esfuerzo unitario longitudinal a cortante en la sección a-a (ver Fig. 9.61) será:

vt =

VQ x Ix

(9.105)

Por lo tanto, el cortante total desarrollado entre puntos de soldadura será:

 VQ s (vt ) = s x  Ix

  = 2 Pn 

Donde Pn es la resistencia de la conexión a base de soldadura de punto según la Sección E2.2. Como se consideran dos líneas de soldaduras, Pn debe multiplicarse por dos. Despejando para s la expresión anterior se obtiene:

s=

2 Pn I x VQ x

(9.106)

Determinación de Pn Diámetro visible: d = 1.93 cm Diámetro efectivo: de = 0.70d – 1.5t ≤ 0.55d de = 0.70(1.93) – 1.5(0.267) = 0.951 cm < 0.55(1.93) = 1.062 cm, OK Según la Sección E2.2, el valor mínimo de de es 9.5 mm, por lo tanto usar de = 0.95 cm. Se deberá cuidar durante el proceso de soldado que se logren diámetros efectivos de cuando menos 0.95 cm. Diámetro promedio: da = d – t para lámina sencilla. da = 1.93 – 0.267 = 1.663 cm Cálculo de la resistencia a cortante de la soldadura de punto: 2 Capacidad de electrodo: E60, por lo tanto Fxx = 60 ksi = 4216 kg/cm 2 Ec. (9.27): Pn = π/4(0.95) (0.75)3162 = 1680.971 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 1680.971/2.50 = 672.388 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(1680.971) = 1008.583 kg

414 Como t = 2.67 mm < 3.8 mm se puede usar la soldadura de punto. Como t = 2.67 mm > 0.70 mm no se requiere usar plantilla para la colocación de la soldadura. Cálculo de la resistencia a cortante de la lámina: da/t = 1.663/0.267 = 6.228 1/2 6 1/2 0.815(E/Fu) =0.815(2.073x10 /3162) = 20.868 1/2 Como da/t < 0.815(E/Fu) aplica la Ec. (9.28). Ec. (9.28): Pn = 2.20(0.267)(1.663)(3162) = 3088.788 kg ASD: Ω = 2.50; Pa = 3088.788/2.50 = 1235.515 kg LRFD: φ = 0.60; Pu = 0.60(3088.788) = 1853.273 kg Cálculo de la resistencia a cortante de la lámina en función de la distancia de extremo: ASD: Despejando para P en la Ec. (9.25): Pa = eminFut/Ω = eFut/Ω Fu/Fsy = 3162/2319 = 1.364 > 1.08. Por lo tanto Ω = 2.0; φ = 0.70 e = 1.91 cm (ver Fig. 9.61). Por lo tanto: Pa = 1.91(3162)(0.267)/2.0 = 806.263 kg LRFD: Despejando para P en la Ec. (9.26): Pu = eminφFut = eφFut Pu = 1.91(0.70)3162(0.267) = 1128.768 kg Por lo tanto, la resistencia a cortante de la conexión será controlada por la soldadura de punto: ASD: Pa = 672.388 kg LRFD: Pu = 1008.583 kg Cálculo de Qx Determinación del área, A: Se considera el área del miembro en la sección donde se desea evaluar el cortante (sección a-a). En este caso en dicha sección actúa la cubreplaca, por lo que A = 2 22.86(0.267) = 6.104 cm . Distancia centroidal vertical de A con respecto al eje x, y = 15.24/2 – 0.267/2 = 7.487 cm 3 Qx = ΣAy = 6.104(7.487) = 45.700 cm Cálculo de s ASD: Ec. (9.106): s = 2(672.388)(1083.867)/[400(45.700)] = 79.735 cm LRFD: Ec. (9.106): s = 2(1008.583)(1083.867)/[400(45.700)] = 119.603 cm •

Determinación de la separación de soldaduras s debido al cortante en la dirección x

Realizando un análisis similar al expuesto para el cortante aplicado en la dirección y, la separación requerida de la soldadura para cortante aplicado en la dirección x será:

s=

2 Pn I y VQ y

Determinación de Qy Cálculo de A Se asume que los perfiles C están compuestos de elementos rectos, sin curvatura. 2 Patines: 2Ap = 2(3.78 – 0.267)0.267 = 3.513 cm 2 Alma: Aa = 15.24(0.267) = 4.069 cm Distancia centroidal horizontal de A con respecto al eje y: Patines: x = 22.86/2 – (3.78 – 0.267)/2 = 9.674 cm Almas: x = 22.86/2 – 3.78 + 0.267/2 = 7.784 cm 3 Qy = ΣAy = 3.513(9.674) + 4.069(7.784) = 65.658 cm

(9.107)

415 Cálculo de s ASD: Ec. (9.107): s = 2(672.388)(1344.428)/[400(65.658)] = 68.840 cm LRFD: Ec. (9.107): s = 2(1008.583)(1344.428)/[400(65.658)] = 103.260 cm 3. Espaciamiento de Soldaduras de Punto en Base al Pandeo de Elementos Individuales La expresión para calcular s para evitar el pandeo de elementos individuales se incluye en la Sección D1.2 (ver Art. 9.8) y está dada por la siguiente expresión:

s = 1.16t E / f c donde fc es el esfuerzo a compresión bajo cargas de diseño del miembro. 2 ASD: fc = P/A = 20000/23.781 = 841.008 kg/cm LRFD: Asumiendo que el 20% de la carga es carga muerta y el resto es carga viva, entonces: PCM = 0.20(20) = 4.0 Ton; PCV = 20 – 4 = 16.0 Ton Pu = 1.2PCM + 1.6PCV = 1.2(4) + 1.6(16) = 30.40 Ton Pu = 1.4PCM + 1.0PCV = 1.4(4) + 1.0(16) = 21.6 Ton Por lo tanto, controla Pu = 30.40 Ton 2 fc = Pu/A = 30400/23.781 = 1278.331 kg/cm 6 1/2 ASD: s = 1.16(0.267)(2.073x10 /841.008) = 15.377 cm 6 1/2 LRFD: s = 1.16(0.267)(2.073x10 /1278.331) = 12.472 cm 4. Espaciamiento de Soldaduras de Punto en Base al Posible Pandeo de Elementos No Atiesados La expresión para calcular s para evitar el posible pandeo de elementos no atiesados se incluye en la Sección D1.2 y está dada por la siguiente expresión:

s = 3w donde w es el ancho del elemento no atiesado que en este caso el la proyección externa de la cubreplaca, mas allá de la línea de soldaduras. En este caso, w = 1.91 cm (ver Fig. 9.61). Por lo tanto, s = 3(1.91) = 5.73 cm. Sin embargo, este valor puede ser incrementado en función del valor de w/t siguiendo el procedimiento establecido en la Sección D1.2 (ver Art. 9.8). w/t = 1.91/0.267 = 7.154 1/2 6 1/2 0.50(E/Fy) = 0.50(2.073x10 /2319) =14.949 1/2 Como w/t < 0.50(E/Fy) , el valor de s no requiere ser menor que:

s = 1.11t E / Fy 6

Por lo tanto, s = 1.11(0.267)(2.073x10 /2319)

1/2

= 8.855 cm

Se observa entonces que el espaciamiento será controlado por el posible pandeo de elementos no atiesados, s = 8.855 cm. Por lo tanto, usar s = 9.0 cm.