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UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UNIDAD CULIACAN

CURSO DE ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRIA PARA INGENIERÍA

Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante Ing. José Antonio Castro Inzunza JUNIO DE 2012

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.

ÍNDICE INDICE PRESENTACIÓN UNIDAD I LOS NÙMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPOENETES ACTIVIDAD 1 NUMEROS NATURALES Y ENTEROS ACTIVIDAD 2 NUMEROS RACIONALES ACTIVIDAD 3 NUMEROS IRRACIONALES ACTIVIDAD 4 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES ACTIVIDAD 5 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD ACTIVIDAD 6 DE LA ARITMETICA AL ALGEBRA ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES

UNIDAD II OPERACIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN ACTIVIDAD 9 ACTIVIDAD 10 ACTIVIDAD 11 ACTIVIDAD 12 ACTIVIDAD 13 ACTIVIDAD 14 ACTIVIDAD 15 ACTIVIDAD 16 ACTIVIDAD 17 ACTIVIDAD 18

Página: 1 2 5 6 8 10 12 14 16 18 20

22

EXPERSIONES ALGEBRAICAS PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO DE NEWTON PRODUCTOS DE BINOMIOS FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS FACTORIZACION DE TRINOMIOS FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIASD DE CUBOS ACTIVIDAD 19 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

23 26 28 29 31 32 34 37 39 42

UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES ACTIVIDAD 20 EXPRESIONES RACIONALES ACTIVIDAD 21 MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES ACTIVIDAD 22 SUMA DE FRACCIONES Y FRACCIONES COMPLEJAS ACTIVIDAD 23 SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES IRRACIONALES ACTIVIDAD 24 SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES ACTIVIDAD 25 PRODUCTOS Y DIVISIONES DE EXPRESIONES RADICALES ACTIVIDAD 26 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACION ACTIVIDAD 27 LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO ACTIVIDAD 28 OPERACIONES EN EL CALCULO MISCELANEA DE EJERCICIOS UNIDAD IV TRIGONOMETRIA ACTIVIDAD 29 ANGULOS Y SUS MEDIDAS ACTIVIDAD 30 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ACTIVIDAD 31 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS ACTIVIDAD 32 LEY DE SENOS ACTIVIDAD 33 LEY DE COSENOS ACTIVIDAD 34 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

45 46 49 51 54 57 58 60 62 66 69 73 74 76 79 80 81 83

BIBLIOGRAFÍA

85

1

44

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. PRESENTACIÓN La enseñanza basada en competencias establece que hay que dotar al alumno de un conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan su realización y desarrollo en el ámbito personal como profesional. Dentro de las competencias básicas se encuentran las competencias matemáticas, las cuales se relacionan con el desarrollo de habilidades para usar diferentes tipos de pensamiento matemático, como son el lógico, espacial, el de representación por medio de modelos, fórmulas, gráficos, que tienen aplicación universal para la explicar y describir la realidad. En definitiva, la competencia Matemática supone: aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad. Se deben desarrollar las siguientes competencias básicas:

Organización, comprensión e interpretación la información. Identificación de los elementos matemáticos que se presentan en una situación real. Aplicación de técnicas adecuadas de selección, ordenación y representación de los datos. Utilización de procedimientos matemáticos que permitan su análisis y la extracción de conclusiones.

Expresión matemática oral y escrita. Uso del vocabulario y los símbolos matemáticos básicos. Utilización de formas adecuadas de representación según el propósito y la naturaleza de la situación. Expresión correcta de los resultados obtenidos al resolver problemas. Justificación de resultados con argumentos y expresiones de base matemática. Capacidad para seguir una demostración sencilla de un resultado matemático, identificando las ideas fundamentales y enjuiciando la lógica y validez de las argumentaciones e informaciones.

Planteamiento y resolución de problemas. Reconocimiento y planteamiento de situaciones reales susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos. Traducción a esquemas o estructuras matemáticas. Valoración de distintas vías para resolver problemas. Selección de los datos y estrategias apropiadas para resolver un problema. Utilización con precisión de procedimientos de cálculo (exacto, aproximado, mental, con calculadora, …), fórmulas y algoritmos. Expresión correcta de los resultados y su interpretación en términos de la situación inicial. Uso de medios tecnológicos en el tratamiento de la información.

2


El Álgebra es una de las ramas más importante de la Matemática, permite el manejo de expresiones en forma general, permite simplificarlas y transformarlas en otras formas equivalentes más simples, por este motivo se deben desarrollar las habilidades algebraicas por medio del entendimiento y practica de sus principios fúndateles. El presente curso consta de una serie de actividades donde se desarrollan los conceptos fundamentales y se proponen ejercicios los cuales deben ser resueltos para adquirir la habilidad en el manejo de expresiones algebraicas, las cuales son la base para el entendimiento de otras áreas como el Cálculo, Estadística, Investigación de Operaciones, matemáticas financieras.

Una de las preguntas que nos hacemos con cierta frecuencia es ¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA? Podríamos decir que la Matemática es una expresión de la mente humana, que refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y el deseo de una perfección estética. Sus elementos básicos son: Lógica e intuición, análisis y construcción, generalidad y particularidad. Sin duda alguna, todo el desarrollo matemático ha tenido sus raíces psicológicas en necesidades más o menos prácticas, mediante un largo proceso de abstracción. La historia de las Matemáticas comienza en Oriente, donde hacia el año 2 000 a. C. los babilonios poseían ya una gran cantidad de conocimientos que podrían ser clasificados como Álgebra Elemental. Pero como ciencia en sentido moderno, donde aparece más tarde es en Grecia entre los Siglos V y IV a. C. donde se origina un desarrollo axiomático-deductivo, con Eudoxio y culmina con los elementos de Euclides, concepción que actualmente se conserva. Durante casi 2000 años el peso de la tradición geométrica de los griegos retrasó la inevitable evolución del concepto de número y del desarrollo del Cálculo Algebraico, después de un periodo de preparación lenta, la Matemática comenzó su vigorosa evolución en el Siglo XVII, con la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral. En este proceso hubo grandes aportaciones de personajes, tales como Vieta, Descartes, Newton, Leibnitz, Euler, Gauss y muchos otros. Los conocimientos matemáticos fueron construidos de una manera progresiva, donde han sido pulidos hasta llegar al grado de desarrollo actual. Las Matemáticas, son la llave para la comprensión del mundo físico; nos dan el poder sobre la naturaleza y le han dado al hombre la convicción de que se puede seguir profundizando en los secretos de la misma. Además, las Matemáticas, han permitido a los pintores, pintar en forma realista, así como la comprensión de los sonidos musicales, el análisis de tales sonidos fueron la base para la construcción del teléfono, fonógrafo, la radio e instrumentos de grabación y reproducción. Las Matemáticas cada vez son más importantes para la investigación biológica y médica, el desarrollo de la electrónica, la computación y otras ciencias, también juega un papel importante en la planificación de la economía, la dirección de la producción, el diagnóstico y tratamiento de enfermedades, el estudio del rendimiento de los atletas, invadiendo así, todos los campos del saber de la humanidad.

3


Actualmente los estudiantes tienen la idea de que se les enseñan las Matemáticas para fastidiarlos y causarles problemas. Este enfoque ha causado un bajo nivel de aprovechamiento de la materia por lo que se aprenden los contenidos en forma memorizada y los procedimientos en forma mecanizada, sin tener un claro entendimiento de los mismos o la forma de utilizarlos en la vida diaria o en su profesión. Es necesario que los estudiantes tengan una participación activa en la construcción del conocimiento matemático, no ser simples repetidores, la enseñanza constructiva no es fácil, pero no hay caminos fáciles, para disfrutar la vista de lo alto de una montaña hay que escalarla, en las Matemáticas no hay teleféricos, los cables se rompen en la mente de los jóvenes, el arte de enseñar reside en la habilidad para la utilización de los procesos de descubrimiento, con esto se puede estimular y desarrollar el poder creativo de los estudiantes y de darles el placer del descubrimiento. La Ciencia está más activa que nunca, cada vez más se usa a las Matemáticas para presentar y predecir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, por esta razón es necesario que los nuevos profesionistas tengan un conocimiento más amplio para poder entender los modelos matemáticos y formular nuevos, además de que son un lenguaje universal. El aprendizaje de las Matemáticas requiere de un esfuerzo significativo por parte de los alumnos, el desarrollo de las habilidades y la adquisición de conocimientos matemáticos es gradual y solo es posible a través de la constancia en el estudio. También el aprendizaje de las Matemáticas en la escuela está fundamentado en tres elementos básicos: • El reconocido valor de los conocimientos matemáticos para la solución de problemas que enfrenta nuestra sociedad. • La potencialidad del aprendizaje de las matemáticas para el desarrollo del pensamiento. • La contribución de las matemáticas al desarrollo de la conciencia y educación de las nuevas generaciones.

¡NO TEMAS IR DESPACIO, TEME NO AVANZAR !

4


UNIDAD I LOS NUMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

5


ACTIVIDAD 1 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

OBJETIVO.- Realizar operaciones con números naturales y enteros. Los números reales están formado por los números que se pueden escribir en notación decimal, para estudiar sus propiedades y operaciones, se dividen en: Números naturales: Son los números que se usan para contar y se representan: 1,2,3,4, … Números enteros: Se forman de los naturales, sus inversos aditivos y el cero … , 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4, … OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA a) Si los números tiene el mismo signo se suman sus valores y al resultado se les asigna el signo de los números. 3 4 7 2 5 7 b) Si los números tienen diferentes signos, se restan sus valores y al resultado se le asigna el signo del número mayor. 6 4 2 6 4 2 PRODUCTO: a) El producto de dos números enteros del mismo signo da como resultado un número entero positivo. 3 4 12 4 2 8 b) El Producto de dos números enteros de diferente signo da como resultado un número entero de signo negativo. 5 2 10 3 5 15 Para indicar operaciones más complicadas es necesario usar símbolos de agrupamiento, en estos casos debemos respetar la jerarquía de las operaciones, por ejemplo la operación 5 + 3(4 + 6) , primero se realiza la suma dentro de los paréntesis 5 + 3(10) , enseguida la multiplicación 5 + 30 y por último la suma, el resultado final es 35 , esto lo representamos: 5 + 3(4 + 6) = 5 + 3(10) = 5 + 30 = 35 En el siguiente ejemplo observa el orden en que se realizaron las operaciones

4 − 2{4 − 3[8 − 2(3 − 5)] } = 4 − 2{4 − 3[8 − 2(− 2)] } = 4 − 2{4 − 3[8 + 4]} = 4 − 2{4 − 3[12]} = 4 − 2{4 − 36} = 4 − 2{− 32} = 4 + 64 = 68 Otra operación importantes es la potencia, la cual es una simplificación de la multiplicación, esta se presenta cuando una cantidad se multiplica por si mimo varias veces, 4 por ejemplo si multiplicamos (3)(3)(3)(3) lo podemos escribir como 3 , una potencia tiene dos elementos, la base que en este caso es el número 3 y el exponente que indica el número de veces que se toma la base como factor, en general una potencia se puede escribir como: a n = ( a )( a )( a )....( a ) = aaa....a Al estudiar los números enteros se encontró que cualquier entero positivo se puede expresar como el producto de números primos, a esto se le conoce como “El principio Fundamental de la Aritmética”. Los números primos los tienen la característica que sólo se pueden dividir exactamente entre ellos mismos y la unidad, algunos de estos números son los siguientes:

6


1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, .. El proceso para factorizar un número en factores primos se realiza consecutivamente el número en factores primos, bajo el siguiente esquema:

dividiendo

Por ejemplo el número 48 lo podemos expresar en números primos de la siguiente manera 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 48=(24)(3) Ejercicios: 1.- Realiza las operaciones siguientes: a).-

8 + 6(3 − 6) =

b).- −2[3 − (3 + 4)] = c).-

−{3(3 − 2) + 4(−3 − 6)} =

d).-

4 − 3 3 − 3(3 − 6) 2 =

e).-

3 3 + 6[2 − (− 2 − 3)] 2 =

{

}

{

}

f).-

[− 2 − 4(3 − (3 − 6)] + [5 + 2(− 3 + 4(2 − 1)] =

g).-

[(3 − 4)

3

+ 3(3 − 5) 2

]= 2

2.- Descomponer en factores primos los siguientes números usando el principio fundamental de la aritmética.

a).- 192

b).- 525

c).- 1500

7


ACTIVIDAD 2 NUMEROS RACIONALES

OBJETIVO.- Simplificar y realizar operaciones con números fraccionarios. Estos números se originan por la división de dos enteros, por ejemplo al dividir 4/2=2, el cual es un entero, pero si hacemos la división: 2 = 0.66666 .... 3 El resultado no es un entero, es posible desarrollar operaciones con estos números sin expresarlos en su forma decimal, a estos se les conoce como fracciones. Una característica de estos números es que al realizar la división sus decimales presentan periodicidad. Los números racionales se definen como el cociente de dos números enteros , donde 0, se representan por la letra De acuerdo a esta definición los números enteros son racionales, por ejemplo el número 2

2 lo podemos escribir como 1 . Otro concepto importante es el de fracciones equivalentes, las cuales tienen la propiedad de que su valor numérico es el mismo, si consideramos las fracciones: 3 6 3 6 = 0.75 = 0.75 entonces = 4 8 4 8 Las fracciones equivalentes se obtienen al multiplicar o dividir el numerador o denominador por el mismo número, excepto el cero.

OPERACIONES Para sumar fracciones deben tener el mismo denominador, las fracciones

3 y 5

6 se pueden 5

3 6 9 + = , observe que solo se suman los numeradores y queda el mismo 5 5 5 denominador. Si las fracciones tiene diferente denominador, se deben llevar a un denominador común, esto lo podemos hacer usando el principio de las fracciones equivalentes. Si queremos 3 2 9 10 19 + las transformamos en las fracciones equivalentes: + = sumar las fracciones: 5 3 15 15 15 Observe que el común denominador es el producto de los denominadores, en algunos casos el común denominador se puede obtener por observación, este tiene la propiedad de 2 5 + poderse dividirse entre cada denominado. Por ejemplo, la operación , el común 3 12 denominador pueden ser los números 12,24,36,… utilizando cualquiera de ellos debemos obtener el mismo resultado, por facilidad se utiliza el Mínimo común denominador.. Para obtener el MCD se dividen los denominadores entre factores primos y el MCD es el producto de los factores: 3 7 4 + + Sumar al descomponer cada denominador en factores primos se obtiene: 15 60 45 15 60 45 5 3 12 9 3 1 4 3 3 4 1 4 1 El MCD=(5)(3)(3)(4)=180

sumar directamente:

8

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. 3 7 4 3(12 ) + 7 (3) + 4( 4) 36 + 21 + 16 73 + + = = = 15 60 45 180 180 180

Realizando la suma

PRODUCTO El producto entre fracciones se realiza multiplicando los numeradores y denominadores, las reglas de los signos para los enteros también se aplican para los racionales. 3 15  4  2  (4)(2) 8  1  3   3  5   2   2  2  4 a)    = = b)   −  = − c)  −   = − d ) (2)  =    = 20 4  3  5  (3)(5) 15  4  5   2  2   5   1  5  5 Se observa que el resultado anterior se puede obtener multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda se obtiene el numerador de la fracción resultante y al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda se obtiene el denominador del resultado: 3 4 = 15 2 8 5

1.- Realiza las operaciones siguientes: a).-

2 5 1 + − = 4 3 12

b).-

3 5 7 − + = 64 28 32 2

c).-

d).-

2+

2 2  +3 = 3  5 

4 2 2  1  +  − 5 + 1 −   = 5 5 3  5  2

e).-

3  2   2 +  3 −  = 2  5 

3 5 = 2 2− 3 3+

f).-

9


ACTIVIDAD 3 NUMEROS IRRACIONALES

OBJETIVO.- Realizar operaciones con números irracionales. Son aquellos que no se pueden escribir como una fracción, las raíces de números que no son exactas son irracionales 2 , 3 5 así como el valor de pi 3.1416 …, la característica principal es que los decimales no son periódicos, se representan por . Los números con radical se pueden sumar si tienen el mismo orden de su radical y el mismo subradical, por ejemplo:

2 3 + 4 3 = (2 + 4) 3 5 − 3 3 5 = −2 3 5 Para multiplicación solo es necesario que tengan el mismo orden del radical: 3

2 6 = 12 4 3 3 = 3 12 En la división se tiene la misma característica anterior: 3

6 3

=

6 = 2 3

Para algunas multiplicaciones de números irracionales es necesario utilizar una propiedad llamada distributiva, por ejemplo, consideremos el producto:

(2)(1 + 2 3 ) = 2(1) + 2(2 2 ) = 2 + 4 2 Al realizar la operación se observa que el número 2 se multiplica por cada número dentro del paréntesis, esto lo podemos generalizar para cualquier número:

a(b + c) = ab + ac

Esta propiedad es una de las más importantes para el desarrollo del álgebra. Usando esta propiedad es posible desarrollar los productos:

(2 + 3 )(−3 + 3 5 ) = (2 + 3 )(−3) + (2 + 3 )(3 5 ) = −6 − 3 3 + 6 5 + 3 15 En este ejercicio no es posible simplificar, puesto que hay radicales del mismo tipo. Es posible simplificar los radicales expresando el subradical en dos factores, de tal manera que uno de ello tenga la raíz exacta, consideremos el radical escribir

12 , este lo podemos

(4)(3) = 4 3 = 2 3 , para números más grandes se usa el principio fundamental de la

aritmética. Simplifiquemos 128 = 64 2 = 8 2 . Otra operación importante con los radicales es la racionalización, la cual consiste en quitar el radical o radicales del numerador o denominador de un cociente donde hay radicales. 2 Supongamos que se quiere racionalizar el denominador del número , para esto se multiplica 2 el numerador y denominador por

2 , la operación es:

2 2

⋅

2 2

=

2 2 4

10

=

2 2 = 2 2


Ejercicos: 1.- Simplifica los siguientes radicales: a).-

32 =

b).-

720 =

c).-

3

54 =

2.- Realizas las operaciones indicadas: a).-

80 + 45 − 5 =

b).-

3

c).-

d).-

(

(2

)

3+2 =

2+ 5 160 75

)

2

=

=

3.- Racionalizar el denominador 5 a).= 3

b).-

c).-

3 6

2 2

=

=

Si reunimos a todos los números que hemos tratado en un solo conjunto formaremos el conjunto llamado NÚMEROS REALES, los cuales tienen la característica de poderse expresar mediante una notación decimal. Así tenemos el siguiente esquema: Enteros Z Racionales Fracciones Números reales Irracionales

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ACTIVIDAD 4 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

OBJETIVO.- Aplicar las propiedades de campo para desarrollar una operación. Al estudiar las operaciones con los números se pueden obtener propiedades básicas a las cuales se les conoce como propiedades de campo de los números reales, que son: Sean a, b, c números reales: 1.- Existe un elemento identidad en la suma y multiplicación: a+0=a a(1) = a 2.- Existe un inverso multiplicativo y aditivo para cada número (excepto el cero en la multiplicación) 1 a  = 1 a + (−a ) = 0 a 3.- Propiedad Asociativa: abc = (ab)c = a (bc)

a + b + c = ( a + b) + c = a + (b + c) 4.- Propiedad conmutativa: a+b =b+a ab = ba 5.- Propiedad Distributiva: a(b + c) = ab + ac

6.- Propiedad de cerradura: a + b es un número real y ab es un número real El buen manejo y entendimiento de las propiedades de campo de los números reales es requisito indispensable para poder desarrollar el álgebra. En las operaciones anteriores aparecen literales y números, a estas se les llama expresiones algebraicas A continuación se muestran algunas operaciones donde se utilizan las propiedades de campo de los números reales. Ejemplo: Multiplicar 2(a + 1) usemos la propiedad distributiva: 2( a + 1) = 2a + 2(1) = 2a + 2 usando la propiedad del elemneto identidad

Ejemplo: Multiplicar (2a + 3)(3a + 4) (2a + 3)(3a + 4) = (2a + 3)(3a) + (2a + 3)(4)

propiedad distributiva

= (2a)(3a) + (3)(3a) + (2a)(4) + (3)(4)


= 6a + 9a + 8a + 12

propiedad asociatia

2

= 6a + 17a + 12 2

Multiplicar (3a + 1)(3a − 1) (3a + 1)(3a − 1) = (3a + 1)(3a) + (3a + 1)(−1) = (3a)(3a + 1) + (−1)(3a + 1)

propiedad distributiva propiedad conmutativa

= (3a)(3a ) + (3a )(1) + (−1)(3a ) + (−1)(1)


= 9a + 3a + (−3a ) + (−1)

Elemento identidad

= 9a − 1

inverso aditivo

2 2

12


Ejercicio.- realizar las siguientes operaciones, indicando la propiedad de campo utilizada a).- 3(2 + a ) =

b).- ( x + 1)( x + 2) =

c).- (a + 3) 2 =

d).- (2 x + 3)(3x − 2) =

e).-

(a + 1) 3 =

g) ( x 2 + 1)(3 x − 2) =

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ACTIVIDAD 5 PROPIEDADES DE LA IGULADAD

OBJETIVO. - Aplicar las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones de primer grado. El signo igual se usa en aritmética para indicar el resultado de una operación: 4+3=7 4(5-2(3+1)) = 4(5-2(4)) = 4(-3) =-2 Es decir lo usamos en la lectura de expresiones matemáticas siempre de izquierda a derecha, o también para relacionar procesos que nos el mismo resultado: (4)(3)=(2+2)(3)=(5-1)+(6-3) En todos los casos anteriores los supuestos que establecen son siempre verdaderos, pero en el caso de que en las expresiones existan literales, el sentido del signo igual es diferente, por ejemplo:

a +5= 7 Esta igualdad no se cumple para cualquier valor de a , se observa que solo el número 2 la hace verdadera, en este sentido el signo igual indica restricción, en este caso se le llama una ecuación, tomemos ahora el siguiente ejemplo: ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Esta igualdad se cumple para cualquier valor de a y b.

Si a = 2 y

b=3

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2(2)(3) + 32

5 2 = 4 + 12 + 9 25 = 25 El signo igual relaciona dos expresiones que numéricamente son iguales, pero están escritas de forma diferente. Se dice que las expresiones son equivalentes (en este caso fue una identidad). En álgebra el signo igual en estas expresiones debe verse en forma bidireccional, es decir, debemos verlo actuar tanto de izquierda a derecha, como de derecha a izquierda. Otro uso de signo igual es para relacionar valores de una variable con los valores de otra, esto da origen al concepto de función, si tenemos la expresión: y = 2x + 5 Nos dice que al valor de la variable y le corresponde el valor que impone la variable x : Si x = 2 y = 2( 2) + 5 = 4 + 5 = 9

Si x = 1 y = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7 1 Si x = y = 2( 1 2 ) + 5 = 1 + 5 = 6 2 Como vez el signo igual tiene varias interpretaciones que es importante distinguirlas claramente. Podemos mencionar que la igualdad tiene las siguientes propiedades. Reflexiva

a=a

Simetrica

a=b

Transitiva Aditiva

Si a = b y b = c Si a = b entonces

entonces a=c a+c =b+c

Multiplica tiva

Si a = b entonces

ac = bc

14

entonces

b=a


Las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad son de suma importancia para un manejo de las propiedades algebraicas. Determinar el valor de a de la siguiente expresión:

2a + 4 = 10 Para obtener el valor de a debemos aplicar las propiedades de la igualdad y las propiedades de campo: 2a + 4 − 4 = 10 − 4 Propiedad aditiva 2a + 0 = 6 Inverso aditivo 2a = 6 Elemento identidad 2a 6 = Propiedad multiplica tiva 2 2 a=3 Elemento identidad Podemos decir que una cantidad pasa de un miembro a otro efectuando la operación contraria pues existen propiedades de las operaciones que permiten hacerlo así, es decir, si está sumando se pasa restando, si está multiplicando se pasa dividiendo y viceversa, a esto se le conoce como TRANSPOSICION DE TERMINOS. Hay que tener mucho cuidado al aplicar estos atajos, puesto que su aplicación incorrecta puede conducir a errores, resolvamos el ejemplo anterior usando transposición de términos: 2x + 8 = 16 Pasamos el 8 restando al segundo miembro 2x = 16 -8 2x = 8 Pasamos dividiendo el 2 al segundo miembro y luego reducimos 8/2 a 4 x=4 Ejercicio. 1.- Calcular el valor de la incógnita usando las propiedades de la igualdad a) 4 x + 6 = 15 b) 3b − 5 = 8b + 3

c)

1 2 a+ a=a+2 3 5

 2 x − 1   1 - 2x  e) 3  + 4  = 1 - 3x  3   2  2.- Despejar la literal que se indica en cada fórmula: a)

!"

b) %

&

c)

-) .

'() *

#$ +,

despejar $ despejar despejar /

15

d)

x −1 5 x − 2 + = +5 4 3 7

f)

2 x + 3 = 5x


ACTIVIDAD 6 DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA

OBJETIVO.- Plantear y resolver problemas que dan origen a ecuaciones de primer grado. Es de primordial importancia, contar con una buena base en Álgebra para los cursos avanzados de Matemáticas. También es útil en problemas de la Industria, los Negocios, la Estadística y muchas otras. El Algebra se ha desarrollado a partir de la generalización de las reglas y operaciones de la Aritmética. Las siguientes operaciones con números: 4+7, (37)(681), 79 – 22, 40 / 5 Se pueden representar de manera general si se introducen símbolos o letras para denotar números arbitrarios obteniendo “Expresiones Algebraicas”, en las cuales aparecen números y letras realizando diferentes operaciones, las operaciones anteriores se pueden representar con símbolos: a+b, cd, x – y, x/a Este lenguaje del Algebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas y segundo, es un modo adecuado de generalizar muchas expresiones específicas. Algunas fórmulas usadas en la ciencia y en la industria nos pueden ayudar a ilustrar la generalidad del Algebra. Por ejemplo si un avión vuela a razón constante de 300 mph (millas por hora) durante 2 horas, entonces la distancia recorrida es (300)(2) o 600 millas Si la velocidad es de 250 mph y el tiempo transcurrido es de 3 horas, entonces la distancia recorrida es de (250)(3) o 750 millas Si ahora introducimos símbolos y denotamos con 0 la velocidad, $ el tiempo transcurrido y d la distancia recorrida, entonces se puede representar 1 0$, a estas expresiones se les conoce como fórmulas. Otro tipo de expresiones que se obtienen son los procesos de simbolización de problemas son las ecuaciones de primer grado, en la cuales existen una o más cantidades desconocidas las cuales se representan por una literal, consideremos la siguiente situación. La suma de las edades de Pedro y Juan suman 75 años, pero Pedro es mayor 15 años que Juan, ¿Cuáles son las edades de cada una? En este caso la solución la podríamos obtener por prueba y error, usando un procedimiento matemático el planteamiento es el siguiente: Edad de Pedro + Edad de Juan = 75 Edad de Pedro= Edad de Juan + 15 Se tomamos la edad de Juan = x, entonces Edad de Pedro = x + 15 Sustituyendo en la suma de las edades: x + 15 + x = 75 Resolviendo la ecuación se x= 30, entonces la edad de Juan es 30 años y la de Pedro es 45 años.

16


Una persona tiene dos tipo de café, uno nacional que cuesta $ 120 el kilogramo y otro importado que tiene un costo de $ 180 el kilogramo, quiere forma una mezcla la cual la pueda vender a $150 el kilogramo, determine cuantos kilogramos de cada café debe utilizar: Se debe cumplir que: Cantidad de café nacional + Cantidad de café importado=100 En cuanto a los ingresos se tiene: Ingresos por la venta del café nacional + Ingresos por el café importado = 100(160) Si consideramos Cantidad de café nacional = x , entonces Cantidad de café importado= 100-x Sustituyendo en la segunda condición: 120 x + 180 (100-x)=16000 Despejando se obtiene que x= 33.33 kg de café nacional, por lo tanto 100-x= 66.37 kg de café importado. Ejercicios: 1.- Determine tres números enteros positivos consecutivos cuya suma sea 93. 2.- Una persona pagó por un par de zapatos $760. La tienda tenía una oferta de descuento del 15%. ¿Cuál era el precio original de los zapatos? 3.- El Depto. de recursos humanos de Kuroda le informa a uno de sus empleado que su sueldo se incrementará un 4.85%. Si recibirá $6250 mensuales. ¿Cuál era su salario anterior? 4.- Una persona quiere invertir $15000, tiene dos opciones: la primera una cuenta que le paga el 8% de interés anual y la otra que le paga el 12% de interés anual. Al final de un año quiere reunir $1700 por concepto de intereses, ¿Cuánto debe invertir en cada cuenta? 5.- Se tiene un terreno cuyo perímetro es de 500m, si se sabe que el largo es 25% más grande que el ancho, ¿Cuales son las dimensiones del terreno? 6.- Una persona tiene $120 en monedas de $5 y de $2, si hay tres veces más monedas de $2 que las de $5, ¿Cuantas monedas hay de cada denominación?

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ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

OBJETIVO.- Realizar operaciones usando las propiedades de los exponentes. Una potencia con exponente entero positivo, indica el número de veces que una cantidad se toma como factor, por ejemplo a 3 = aaa , se pueden obtener propiedades generales para realizar operaciones con los exponentes de potencias, el valor de / se llama base y 2 expoenente. Sean a, b números reales y m, n números enteros positivos

1. − a m a n = a m + n 2. −

am = a m−n an

a≠0

3. − (a m ) n = a mn 4. − a 0 = 1

a≠0

5. − (ab) = a b m

m m

m

am a 6. −   = m b ≠ 0 b b Si se tienen exponentes negativos se utiliza la propiedad: 1 a −n = n a Ejemplos.- Se aplican las propiedades de los exponentes para simplificar las siguientes expresiones sin exponentes negativos.

a ) ( x 6 )( x 3 ) = x 9 b) ( a 2b − 3 ) − 2 = a − 4b 6 = c) (8 x) − 2 =

d)

e) (3 x 2 y )(4 xy 3 ) = 12 x 3 y 4 b6 a4

1 1 = (8 x) 2 64 x 2

1 1 = a −1 + b −1 1 + 1 a b

f) (b 2 ) − 3 = b − 6 =  2x 2  g)  − 3  y 

1 b6

−2

= (2 x 2 y 3 ) − 2 = 3

1 1 = (2 x 2 y 3 ) 2 4 x 4 y 6 3

3

24 6  6 0 x 6 y   x 6 x 2 yy   x 8 y 2   =  = x y h)  − 2 −1  =     27  3x y   3   3 

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Ejercicio: 1.-Usando las propiedades de los exponentes simplifique cada expresión sin exponente negativo (suponga que las cantidades en el denominador son diferentes de cero). a).-

(2x3 y 2 )(3xy3 ) =

b).-

c). - (2a 2b 3 ) 2 (3ab) =

(32 y3 x)(3 yx3 ) =

d). - (4 xy ) 0 =

e). -

16a 2 x 3 = 8ax 3

f). -

3xy 3 = 6 −2 x −1 y −2

g). -

( a + b) 2 = ( a + b) − 2

 3−1 y 2 a 0  h). -  2 −2 3  = 3 y a 

3

2

 −3 4  −3  x y j). -  −5 −1   =  2 x y    

2

 4 x 2 y −1  3xy −2  i). -  −1 2  2 −1  =  x y  x y 

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ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES

OBJETIVO.- Realizar operaciones usando exponentes fraccionarios. En las operaciones anteriores solo se trabajaron exponentes enteros positivos, en general el exponente puede ser un número real, a continuación trataremos los exponentes racionales. Ya se estudiaron los números irracionales algunos de los cuales los podemos representar por medio de un radical, por ejemplo 2 y definimos que la raíz de un número es otro número que al elevarlo al orden del radical da como resultado el subradical, por ejemplo.

4 =2

puesto que 2 2 = 4

2 en este caso debemos encontrar un númro que elevado al caudrado se 2 Si recordamos las propiedades de los exponentes entonces es válida la siguiente operación:

( a n ) m = a nm ,

*

tenemos 3√25

1

2

1 2  1 ( 2) 2= puesto que  2 2  = 2 2 = 2 2 = 21 = 2     Que es el resultado que buscábamos. Se concluye que cualquier radical lo podemos transformar a una potencia con exponente racional: 1 22

1

Sea

n

a , con a >0 si n es par, entonces

n

a = a n siempre y cuando n sea diferente de

cero. Ejemplos.- escribir los siguientes radicales con exponente racional 1

1

x = x2 1 a

=

1 1 a2

3

=a

−

1 2

1

3 = 33

5

− 5 = (−5) 5

1 4

a + b = ( a + b) 4

( a + b) ≥ 0

Si el subradical es una potencia se razona de la misma manera, por ejemplo

5

a 3 lo

5

 3 podemos escribir como a puesto que  a 5  = a 3 , en forma más general podemos decir que:     3 5

m

Sea

n

a m , con a m ≥ 0 si n es par, entonces

n

a m = a n , con n ≠ 0

Estos exponentes racionales cumplen con todas las propiedades de los exponentes enteros, para su buen manejo es necesario recordar las operaciones con los números racionales, hagamos algunos ejemplos: 1 a)3 2

1 + 32

 1 = 2 3 2     

1 1 7  1  1  + b)  a 3  a 4  = a 3 4 = a 12      

1 21 2  −2  3 − ⋅ − 1 d)  b 5  = b 5 3 = b 15 = 2     b 15

20

2

c)

x3 1

x2

2 1 − 2

= x3

1

= x6


Ejercicios: 1.- Usando las propiedades de los exponentes simplifique cada expresión, de tal manera que en el resultado no aparezcan exponentes negativos: 1

2

a) x 2 ( x 3 + 2 x 3 ) =

1 2 1 b) a 3  2a 3 − a 3  =    

1 2  − 2 c)  2 x 2 y 3  =    

 1 d)  4 x 4     

1

e)

4x 3 y 2x

−2

−

2

1 5

1 y5

 1  2x 3  =    

=

2

 1 1  2x n y m     = f)  2  1 n −m   x y  4 

21


UNIDAD II OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

22


ACTIVIDAD 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OBJETIVO.- Clasificar y realizar operaciones con expresiones algebraicas. Una expresión algebraica está formada por la suma, diferencia o cociente de números y literales elevadas a diferentes potencias, por ejemplo: 1 2x x+ y 6ab 2 + 3ab xy + 2 + w − 2 x 2 + 3x − 1 x− y x+ y y En los ejemplos anteriores las expresiones las podemos dividir en expresiones más pequeñas llamadas términos, por ejemplo 5 x 2 + 3 x tiene dos términos 5x 2 y 3 x , esto tiene por objeto hacer una clasificación de las expresiones de acuerdo al número de términos, por ejemplo:

10 x 2 + 50 x

Tiene dos términos

2ab + 3b a + 5

Tiene tres términos

2

2

a +b a −5 + Tiene dos términos o cuatro 2 3 El concepto de término es relativo y depende del sentido que se le dé a la expresión. A las expresiones que involucran sumas y restas de términos que son productos de números o variables elevadas a exponentes enteros les llamaremos MULTINOMIOS, por ejemplo: 6a 2b 3 + 7 ab 2

x 2 + 3 xy + 5

x 3 + 3x 2 + x − 6

En particular si existe una sola variable, le llamaremos POLINOMIOS, la expresión x +3x +x-6 es un polinomio con respecto a x, otros ejemplos: 3

2

6 x 4 + 3x 2 − 6 − 2 x 2 + 3x − 3 x 2 + bx + c De lo anterior podemos decir que un término está formado por el producto de un coeficiente numérico y variables elevadas a diferentes potencias positivas. Los Multinomios se pueden clasificar de acuerdo a su número de términos o a su grado, el segundo se obtiene como la suma de los exponentes de la parte literal de cada término, el grado del multinomio será el mayor de los términos. Multinomio

Tipo

grado

2 x 2 + 3x + 6

Trinomio

2

ab x + cx

Binomio

4

Monomio

6

2

3 2

- 5 xy z

2

8 Monomio 0 Como los términos involucrados en los multinomios son números reales, las propiedades de estos son aplicables para las operaciones algebraicas. Uno de los objetivos básicos del álgebra es la simplificación de las expresiones algebraicas, es decir, llevarlas a una forma donde se use la menor cantidad posible de términos y operaciones, así como realizar las operaciones básicas con estas expresiones.

23


La simplificación se basa en el concepto de agrupación de términos semejantes, los cuales tienen la característica de tener la misma parte literal elevada a los mismos exponentes, por ejemplo: Términos semejantes

5x 2 y , ab

,

−4ax 2 ,

− 2x 2 y 3ab − ax 2

Hagamos algunos ejemplos: 1.- Simplificar las siguientes expresiones 6x2y+ 3x2+ 2x2y-3x2 = 6x2y+ 2x2y + 3x2-3x2 = (6+2)x2y+(3-3)x2 = 8x2+0(x2)=8x2 Podemos omitir algunos pasos para simplificar las operaciones, se observa que al agrupar sólo se suman los coeficientes de los términos y podemos marcar los términos semejantes para no cambiarlos de lugar:

6 x 2 y + 3x 2 + 2 x 2 y − 3 x 2 = 8 x 2

−−−−−

−−−−−−

En conclusión al sumar o restar dos o más expresiones algebraicas debemos agrupar los términos semejantes, (en el caso de la resta debemos cambiar de signo al sustraendo), algunos ejemplos: Sumar 6x2 + 3x + 5 a 8x2 - 5x + 6 (6x2 + 3x+5)+(8x2-5x+6)= 6x2+ 3x+ 5 + 8x2-5x+6 = 14x2-2x+11 Restar

5xz + 3x2z a 8xz-4x2z-10

(8xz-4x2z-10)-(5xz + 3x2z) = 8xz-4x2z-10-5xz-3x2z = 3xz-7x2z-10

Sumar

2 2 2 1 x y + 3ab 3 a − x 2 y − ab 3 + 3 3 5 5 2 2 2 1 2 2 1 ( x y + 3ab 3 ) + (− x 2 y − ab 3 + 3) = x 2 y + 3ab 3 − x 2 y − ab 3 + 3 3 5 5 3 5 5 4 2 14 3 = x y + ab + 3 15 5

Ejercicios. 1.-Indicar en los siguientes ejercicios el tipo y grado de los multinomios: a).- x3-6x ____

b).- -3cb3z2 ____

c).-

a 3b3-6 a 2bc4+8 a b____

2.- Sumar los Multinomios siguientes a).-

3x2+2x-5 y -2x2+5

b).- -8x3+2x2-1 y 5x3+x-5

24


c).- -7c2b2-3cb+2 y 4c2b2 + 8cb-5

d).- 3xnym +8xn y -6xnym-6xn

2.- Restar los polinomios siguientes: a).- -2x2+ 3x-4 de 6x2-4x+1

b).- 8x3+ 4x-5 de -9x3+ x2+9

c).- 4 a 4b-6 a b4+2 de 2 a 4b+ a b4-7

d).- 8x2nyn+5xn de -9xn-3x2n-5

4.- Realizar las operaciones indicadas a).- (b2+3b-4)+(b3-b2-b+4)

b).- 3(x3+4x4-2)-2(x4-x3-x+1)

c)- 2(5c4b2-7c2b4+3)-3(2c2b2+cb-7)-4(-c2b2-cb-6)

25


ACTIVIDAD 10 PRODUCTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OBJETIVO.- Realizar productos con expresiones algebraicas. Para multiplicar expresiones algebraicas se utiliza la propiedad distributiva. Por ejemplo al multiplicar 2x2+ 3x +6 por 2x-x2 . (2x+ x2)(2x2+ 3x +6) Si tomamos a 2x-x2 como un número, podemos distribuir entre los términos de 2x2+3x+6 = (2x-x2)(2x2)+(2x-x2)(3x)+(2x-x2)(6)

Aplicamos de nuevo la propiedad distributiva 2 2 2 2 2 = (2x)(2x )+(-x (2x )+(2x)(3x)+(-x )(3x)+(2x)(6)+(-x )(6) = 4x3-2x4+ 6x2-3x3+ 12x-6x2

Agrupamos términos semejantes

= x3-2x4+ 12x Multiplicar

1 1 2 a )( a + b 2 ) 3 3 3 1 1 1 2 2 = (ab + a )( a ) + (ab 2 + a )( b 2 ) 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2 = (ab )( a ) + ( a )( a ) + ( ab )( b ) + ( a )( b 2 ) 3 3 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 4 2 2 = a b + a + ab + ab no hay terminos semejantes 3 9 3 9 (ab 3 +

La operación anterior se puede simplificar si multiplicamos cada término de la primera expresión por cada término de la segunda:

(2x-x2)( 2x2+ 3x+6)=4x3+ 6x2+ 12x-2x4-3x3-6x = x3-2x4+ 12x

La operación anterior la podemos realizar en la siguiente forma. 2x2+3x+6 -x2+2x 4x3+6x2+12x -2x4-3x3-6x2 -2x4+ x3 +12x

26


Ejercicio 1.- Realizar los productos indicados: a).-(-6x2y3)(-3x4y) = b).- (5b2c)(-7b3c3) = c).- -6x2y(2xy-8x3)= d).-(5xy+3)(2xy-7)= e).- (7x+2y)(7x-2y)= f).- (6x-7y+2)(2x-3y)= g).- (3 a -7b)(4 a 2-2 a b+7b2)= h).- (4x+5y)(8x2+xy-3y2)= i).- {(x-2y)+5} {(x-2y)-5}= j).- (xn-yn)(xn+yn)= k).- (x2-3xy+ 2y2)(2x2+ 4xy-3y2) =

27


ACTIVIDAD 11 DIVISIONES DE MULTINOMIOS

OBJETIVO.- Aplicar el algoritmo de la división entre Multinomios. Para dividir dos expresiones dos Multinomios se aplica el siguiente algoritmo: 1. 2. 3. 4.

- Ordenar las expresiones en forma descendente. - Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. - Multiplicar el resultado por los términos del divisor y restar el producto al dividendo. - Determinar si el grado del primer término del residuo es menor al grado del primer término del divisor, si lo es, se termina el proceso, si no lo es, se repite el paso 2 en adelante.

EJEMPLOS Dividir x2-x3+1 entre x-2 Ordenamos los polinomios -x3+x2+0x+1 y x-2 , en el lugar que ocupa la potencia x se deja un espacio:

− x2 − x − 2 x − 2 − x3 + x 2 + 0 x + 1 + x3 − 2 x 2 − x2 + 0x + 1 + x2 − 2x − 2x + 1 + 2x − 4 -3 El resultado se escribe

− x3 + x 2 +1 −3 = −x 2 − x − + x−2 x−2

Realiza las siguientes divisiones a).- (2x2+5xy-3y2)/(2x-y)

b).- (x5-x4-2x3+4x2-15x+5)/(x2-5)

c).- (6c3+5bc2+4b2c+b3)/(b+3c)

d).- (y5-y4+y2+3y+2)/(y2+y+1)

28


ACTIVIDAD 12 PRODUCTOS NOTABLES

OBJETIVO.- Desarrollar binomios usando las reglas de los productos notables. En la búsqueda de racionalizar el trabajo algebraico, es posible encontrar reglas que nos permitan hacer algunas operaciones sin necesidad de desarrollar todo el proceso, esto principalmente en el producto y división, en el presente sección se estudiarán algunas de estas reglas. Como los productos notables y factorización son dos procesos esencialmente inversos, iniciaremos con los productos notables. Una de las operaciones básicas que se pueden desarrollar como una regla es la potencia de binomios, el primer caso es un binomio al cuadrado, la regla la obtenemos a partir de la propiedad distributiva: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a (a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 2 2 2 Omitiendo los pasos intermedios tenemos que ( a + b) = a + 2ab + b , traduciendo literalmente tenemos la regla:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Al resultado de elevar un binomio al cuadrado se le denomina trinomio cuadrado perfecto. Ejemplos: Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado usando la regla. ( a +3)2 = a 2+2( a )(3)+32 = a 2+6 a +9 (2b-1)2 =(2b)2+2(2b)(-1)+(-1)2 =4b2-4b+1 (x2+5)2 =(x2)2+2(x2)(5)+52 = x4+10x2+25 (3xy2+2y)2 =(3xy2)2+2(3xy2)(2y)+(2y)2= 9x2y4+ 12xy3+ 4y2 (b2n+ 5n)2 =b4 n + 2b2n5 n +52n 2

2

1 8 1  1  1   x + 4  =  x  + 2 x (4) + 4 2 = x 2 + x + 16 3 3 3 9 3       2

1    x − x = 2  

(( x − 1) + ( y + 2

( x ) + 2( x ) − 12 x  +  − 12 x  = x − x 2 ) ) = ( x − 1) + 2( x − 1)( y + 2 ) + ( y + 2

2

2

2

2

2

x+ 2 )2

1 2 5  1  1  1  1   1   a 3 + a 2  =  a 3  + 2 a 3  a 2  +  a 2  = a 3 + 2a 6 + a                  

29

1 2 x 4


Ejercicios: 1.- Desarrolla cada expresión usando la regla del binomio al cuadrado: a).- (c-3)2

b).- (3-b)2

c).- (5 a +6)2

d).- (x2+y2)2

e).- (6 a b2+3b a )2

f).- (xm+yn)2

g).- (2n+1+2n)2

h).- ( 13 cb+b2)2

1  i). -  y 2 − 3 y  4 

2

j). -

3 1 2 k). -  x +  y 2 5  3 m). -  x 3 − x  3  5

( 3x + 3)

2

l). - (x + ( y − 1) )2

(

2

n). - 3 + 2

)

2

De la misma forma podemos obtener una regla para elevar un binomio al cubo: ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Ejercicios.1.- Desarrollar los binomios al cubo, usando la regla: a).- (x + 2) 3 = b).- (2 x − 5) 3 = c).- ( x 2 + 2 x) 3 = d).- (a 2 b + 13 a ) 3 = 2.- Realizar las operaciones y simplificar a).- (2 x + 1) + 2( x + 1) = 3

2

b).- ( x + 2) − ( x − 2) = 2

3

3

d).- ( x + h) + ( x + h) − ( x − h) − ( x − h) = 3

2

3

2

30


ACTIVIDAD 13 BINOMIO DE NEWTON

OBJETIVO.- Aplicar la fórmula de Newton para desarrollar un binomio a diferentes potencias. Esta fórmula permite desarrollar un binomio a una potencia positiva, su forma es la siguiente:

(a + b )n = a n + na n −1b + n(n − 1) a n − 2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n − 3b3 + ... + n(n − 1)(n − 2) ⋅ ⋅(n − k + 1) a n − k b k + .. + b n 2!

3!

k!

La operación k ! se le conoce como el factorial de un número, y se calcula:

k! = k (k − 1)(k − 2)(k − 3) ⋅ ⋅ ⋅1

ejemplo

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120

Al desarrollar el binomio ( x + 2) usando la fórmula del binomio de Newton se obtiene: 5( 4) 3 2 5( 4)(3) 2 3 5( 4)(3)( 2) 5( 4)(3)( 2)(1) ( x + 2) 5 = x 5 + 5 x 4 ( 2) + x ( 2) + x ( 2) + x ( 2) 4 + ( 2) 5 2! 3! 4! 5! 5

= x 5 + 10 x 4 + 40 x 3 + 80 x 2 + 80 x + 32 Una forma de obtener los coeficientes del desarrollo de Newton es usar el triangulo de pascal

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1

Por ejemplo "

2

6

"6

4 "7 2

6 " * 2*

4 " 27

26

"6

8" 7

1.- Desarrolla los siguientes binomios usando la fórmula de Newton: a).- ( x + h) 4 =

b).- (x − 3) 5 =

c).- (2 x + 1) 6 =

31

24" *

32"

16


ACTIVIDAD 14 PRODUCTOS DE BINOMIOS

OBJETIVO.- Multiplicar binomios usando la regla correspondiente. Al multiplicar dos binomios usamos la propiedad distributiva, por ejemplo: (x+3)(x+2)=x(x+2)+3(x+2)=x2+ 2x +3x+ 6= x2+ 5x+6 (2x+5)(3x-2)=2x(3x-2)+5(3x-2)=6x2-4x+15x-10=6x2+11x-10 (x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x2-xy+xy-y2=x2-y2 Para algunos productos se pueden establecer reglas que permiten realizarlos más rápidamente. Al primer producto se le denomina producto de binomios con un término común, una condición que se pide es que el coeficiente de los términos comunes sea uno, por ejemplo: (b+5)(b+6)=b(b+6)+5(b+6)=b2+6b+5b+30=b2+11b+30 (c-3)(c+4)=c(c+4)-3(c+4)=c2+4c-3c-12=c2+c-12 (x-5)(x-3)=x(x-3)-5(x-3)=x2-3x-5x+15=x2-8x+15 De los ejemplos se puede observar que el coeficiente del término central del trinomio, es la suma de los términos no comunes y el tercer miembro es el producto de éstos, si lo hacemos en general: ( x + a )( x + b) = x ( x + b) + a ( x + b) = x 2 + xb + ax + ab = x 2 + (a + b) x + ab

Lo anterior corrobora nuestra afirmación, hagamos unos ejemplos: (x+8)(x-3)=x2+(8-3)x+(8)(-3)=x2+5x-24 (y-3)(y-2)=y2-5x+6 (x2+5)(x2+2)=x4+7x2+10 (ab + 7)(ab + 3) = a 2b 2 + 10ab + 21 En el segundo caso no es mucho lo que se puede simplificar, a lo sumo algunas operaciones. (2x+6)(3x-2)=2x(3x-2)+6(3x-2)=6x2-4x+18x-12=6x2+14x-12 (y+5)(3y+4)=y(3y+4)+5(3y+4)=3y2+4y+15y+20=3y2+19y+20 La operación anterior la podemos hacer bajo el siguiente esquema: 4y 15y (y +5 ) · ( 3y + 4)=3y2 +19 y + 20 3y2 20 En forma general: (ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc ) x + bd

La utilidad de la expresión anterior es más que nada en la factorización. Ejemplos: (4x+7)(5x-6)=20x+ 11x-42 (2b-8)(4b-6)=8b2-34b+48 (3x-2y)(2x+ y)=6x2 -y-2y2

32


Otra operación muy común es el producto de dos binomios conjugados, los cuales tienen la característica de solo diferir en un signo, por ejemplo: (x+y)(x-y) (-3b+6)(3b+6) (x2y2-b2)(x2y2+ b2) Desarrollemos estos productos tratando de encontrar una regla: (x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x2- xy + yx-y2= x2-y2 (-3b+6)(3b+6)=-3b(3b+6)+6(3b+6)=-9b2-18b+18b+36=-9b2+36 (x2y2-b2)(x2y2+ b2)=x2y2(x2y2+ b2)-b2(x2y2+ b2)=x4y4+ b2x2y2-b2x2y2-b4= x4y4-b4 Se concluye que al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene como resultado el término del mismo sigo elevado al cuadrado menos el término de signo diferente elevado al cuadrado, hagámoslo en forma general: ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2

A este resultado se la conoce como una diferencia de cuadrados. Ejemplos: (2x+y)(2x-y)=(2x)2-y2=4x2-y2 (c2+b2)(-c2+b2)=-c4+b4=b4-c4 (-x2-y2)(x2-y2)=-x4+y4 =y4-x4 (b2n-yn)(b2n+yn)= b4n-y2n Ejercicios.1.- Realiza los siguientes productos usando la regla: a).- (x+7)(x-10)

e).- (xy-10)(2xy+10)

b).- (2x+1)(2x-3)

f).- (4x-2y)(x-y)

c).- (y2-8)(y2+5)

g).- (yn+7)(yn-8)

d).- (3x+9)(2x-5)

h).- ( a b+c)(6 a b-c)

2.- Realiza los siguientes productos entre binomios: a).- (x+5)(x-5)

b).-(y-10)(y+10)

c).- (2c+6)(-2c+6)

d).- (-3y2+5)(-3y2-5)

e).- {(x+y)-c}{(x+y)+c}

f).- (x2y6-16x)(16x+x2y6)

g).- (bx+1-yx)(bx+1+yx)

h.-) (6x-2+5)(6x-2-5)

33


ACTIVIDAD 15 FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN

OBJETIVO.- Factorizar una expresión determinando un factor común. La factorización es el proceso de descomponer una expresión matemática como el producto de factores, todas las expresiones se pueden factorizar. El primer tipo de factorización es por factor común. Por ejemplo: 8c3b2+16c2b Factorizando cada término, el factor común está formado por los factores repetidos en cada término: 2·2·2cccbb + 2·2·2·2ccb =2·2·2ccb(cb+2) =23c2b(cb+2 =8c2b(cb+2) Se puede obtener el segundo factor dividiendo la expresión original entre el factor común:

8c 3b 2 + 16c 2 b

=

8c 3b 2

+

16c 2 b

= cb + 2 8c 2 b 8c 2 b 8c 2 b Factorizar 10x2y+6xy2+8xyz Factorizando cada término: 5·2xxy+3·2xyy+2·2·2xzy =2xy(5x+3y+4z) Podemos observar que el factor común tiene las siguientes características: 1. -Contiene los factores comunes de los coeficientes numéricos (en el caso de números enteros se expresan en factores primos y se toman los de menor exponente) 2.- Aparecen las letras comunes a todos los términos elevadas al menor exponente. 3.- El segundo factor se puede obtener al dividir la expresión original entre el factor común. Ejemplos: Factorizar: -6x3y2+ 12x3y6-4x2y2 Por simple inspección tenemos que el factor común es 2x2y2, para obtener la segunda expresión dividimos cada término entre el factor común. -6x3y2+ 12x3y6-4x2y2= 2x2y(-3xy+ 6xy4-2) Factorizar:

720b6c5+ 180b4c3-300b4c2

Expresamos cada coeficiente en factores primos 720 2 360 2 180 2 90 2 45 5 9 3 3 3 1 720=24·32·4

180 90 45 9 3 1

2 2 5 3 3

300 150 75 15 3 1

180=22·32·5

34

2 2 5 5 3

300=22·52·3

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. Factor común de los coeficientes: 22·3·5=60 Factorizar:

x2 y 3

xy

+

4z 8z numerador y denominador:

2

−

xy 2 12 xz x2 y

60b4c2(12b2c3+ 3c-5)

en este ejemplo podemos tomar los el factor común del

+

xy

−

xy 2 xy  x 1 y  = + −   12 xz 4 z  z 2 2 z 3x 

4 z 3 8z 2 En algunos casos es necesario factorizar alguna cantidad que no se encuentra en todos los términos, por ejemplos: Factorizar c 2 de la siguiente expresión c 2 + v 2 , tomamos como factor c 2 , por lo  v2 tanto la factorizac ión es c 2 1 + 2  c 

  , para demostrar que el resultado es correcto se  

efectua el producto y se obtiene c 2 + v 2

b c  Facoriza a de la expresión ax 2 + bx + c el reusltado es a x 2 + x +  a a  Este tipo de factorizaciones son importantes en la solución de ecuaciones cuadráticas. 1.- Factorizar cada expresión: a).- 16+24 2 4 b).- x + x 2 3 9 c).- -bc2+b2c d).- 7x3y-3xy2+2xy e).-

4 3 2 7 1 b c d + bcd − b 4 c 3 d 3 3 2 3

2a 2 x b 8b 2 2.- Factorizar de cada expresión la cantidad que se te indique: f). -

ax 2

+

a) 2 x 2 − 6 x + 4

factor x 2

b) ax + b

factor x

c) 4 x 2 + 3 x − 2

factor 4

d) abx + 3a + 2b factor ab e) 5 x 4 + 3 x

factor 5 x 3

35


Existen otras expresiones que se pueden factorizar por medio de factor común, por ejemplo: cx+by+cy+bx No existe un factor común a todos los términos, pero si observamos el primero y cuarto tienen en común x y el segundo y tercero y, podemos agruparlos y factorizar: cx+bx+cy+by =x(b+c)+y(b+c) Tenemos un factor común que no es un monomio, sino un binomio, usando la propiedad distributiva. (b+c)(x+y) A este tipo de factorización se le conoce por agrupamiento. Factorizar: 2cx+bx+2cy2+by2 Los dos primeros términos tienen como factor x y los restantes y2. 2cx+bx+2cy2+by2 = x(2c+b)+y2(2c+b) = (2c+b)(x+y2) Ejercicios.1.- Factorizar cada expresión. a).- 4tc+2bc-4tb-4b2 b).- 3x+2-12x2-8 c).- x4+2x2+tx3+2tx d).- em+1+bem+e+b e).- x2+bxy+cx+xy+by2+cy

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ACTIVIDAD 16 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

OBJETIVO.- Identificar un trinomio cuadrado perfecto y factorizarlo como un binomio al cuadrado. A continuación trataremos como factorizar un trinomio cuadrado perfecto, para esto primero debemos saber cómo identificarlo como tal, por ejemplo el trinomio: x2+ 4x +4 Si hacemos el proceso inverso, los términos de los extremos deben provenir del cuadrado de dos números, en este caso de x y 2, el termino central debe ser el doble del producto de estos, 2(x)(2)=4x, por tanto si es un trinomio cuadrado perfecto, su factorización es simplemente un binomio al cuadrado cuyos términos son x y 2: x2+ 4x+4=(x + 2)2 2 Otro ejemplo 4b -12b+9 Debemos buscar dos números cuyos cuadrados sean respectivamente 4b2 y 9, estos son 2b y 3, ahora debemos probar que el doble de su productos es el término central 2(2b)(3)=12b , no coincide puesto que debe ser -12b, para que se cumpla podemos hacer negativo cualquiera de los números: 2(-2b)(3)=-12b o 2(2b)(-3)=-12b, la factorización es: 4b2-12b+9=(-2b+3)2 o 4b2-12b+9=(2b-3)2 Podemos concluir los siguientes pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto: 1.- Identificar que se trate de un trinomio cuadrado perfecto, para esto se buscan números cuyos cuadrados sean los términos de los extremos y el doble producto el término central. 2.- Formar el binomio al cuadrado, si el término central es negativo se le asigna un signo negativo a cualquiera de los dos términos del binomio. Ejemplos: factorizar los siguientes trinomios: a) x2-10x+25

Los números que elevados al cuadrado dan los extremos son x y 5, como 2(x)(5)=10x si es un trinomio cuadrado perfecto: x2-10x+25=(x-5)2

El proceso anterior se puede simplificar bajo el siguiente esquema b)

9b2 +12bc + 4c2= (3b+2c)2 3b

2c

2(3b)(2c)=12bc

37

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. c) x4-6x3+9x2

Primero factorizamos por factor común: x2(x2- 6x+ 9)=x2(x-3)2 x

3

2(x)(3)=6x Con un poca de práctica la verificación se puede hacer mentalmente. d) x2n+2xnyn+1+y2n+2= (xn+yn+1)2

(

e) x 2 + 2 2 x + 2 = x + 2 f)

g)

)

2

1 2 1 1 1 1 x + x+ =  x+  9 3 4 3 2 1 1 a + 2a 2 b 3

2 + b3

2

1  1 = a 2 + b3     

2

Ejercicios.1.- Factorizar cada trinomio: a) x2-4x+4 b) m2-8m+16 c) x4+2x2+4 d) b3-2b2+b e) c2m+2cm+1 f)x2-2x-3 g)(x+2)2+10(x+2)+25

h)

1 4 2 1 3 1 x y − x y + x2 16 6 9

i) 4 x 2 + 4 3 x + 3

38


ACTIVIDAD 17 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

OBJETIVO.- Factorizar o descomponer trinomios como un producto de dos binomios. Ahora trataremos los trinomios donde el coeficiente del primer término es uno y se puede escribir como x2+cx+d. Recordemos que estos provienen del producto de dos binomios de la forma ( x + a)( x + b) de tal manera que: ( x + a )( x + b) = ( x + a ) x + ( x + a )b = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + ( a + b) x + ab Entonces debe cumplirse que c= a +b y d= a b es decir, debemos buscar dos números cuyo producto sea d y su suma sea c, por ejemplo: x2+ 3x+2 Los únicos números que multiplicados su resultado es 2, son (2)(1) y (-2)(-1) y sumados 3 son los primeros (2+1)=3, la factorización es: x2+ 3x+2=(x +1)(x +2) Factoricemos x2-x-2 Los factores de -2 son (-1)(2) ó (1)(-2) de estos, el segundo cumple que su suma es el término central -2+1=-1, por lo tanto: x2-x-2=(x-2)(x +1) Otro ejemplo: x2-3x+2 los factores del número 2 son (-2)(-1) y (2)(1), los primeros cumplen que su suma es -3: x2-3x+2=(x-2)(x-1) El proceso es por tanteos y lo podemos resumir : 1.- Buscar los posibles factores del tercer término 2.- Determinar cuáles de los factores anteriores su suma es el coeficiente del término central. 3.- Formar el producto de los binomios. En cuanto al signo de los factores podemos concluir: 1.- Si el segundo y tercer término son positivos, los factores son positivos. 2.- Si son de diferente signo o negativos ambos, los factores tiene signo diferente. 3.- Si el segundo es negativo y el tercero positivo, ambos factores son negativos. Ejemplos: a) x2+10x+16

Los factores del 16 son:(16)(1), (8)(2), (4)(4) como el segundo y tercer término son positivos, los factores deben ser positivos y son 8x2

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2

b) x -x-6

x2+10x+16=(x+8)(x+2) Los factores son (6)(1)y(3)(2),como el segundo y tercer término son negativos, los factores deben tener diferente signo, tomamos -3 y 2 puesto que -3+2=-1 2 x -x-6=(x-3)(x+2)

Existen otros ejemplos que se pueden ajustar a este caso, como x4+6x2+8 y x2+8bx+12b2 , en el primero podemos hacer c=x2, entonces el trinomio tomaría la forma c2+6c+8 que factorizado es (c+2)(c+4), sustituyendo c=x2 el resultado es (x2+2)(x2+4), para hacer este cambio la raíz cuadrada del primer término debe aparecer como la parte literal del segundo. Ejemplo: factorizar y6+4y3-21 es resultado es (y3+7)(y3-3). En el segundo caso x2+8bx+12b2 se puede resolver por analogía, si observamos la raíz cuadrado de la parte literal del primero y tercer término aparecen como producto en el término central, entonces solo buscamos dos números que multiplicados sean 12 y sumados 8, estos son 6 y 2, la factorización es: x2+8bx+12b2=(x+2b)(x+6b) Factorizar x6-2x3b2-8b4 el resultado es (x3+2b2)(x3-4b2) El caso más general es donde el coeficiente del primer término del trinomio sea diferente de uno, estos trinomios son de la forma ex2+fx+d y deben provenir del producto de dos binomios de la forma (ax + b)(cx + d ) : ( ax + b)(cx + d ) = acx 2 + ( ad + bc ) x + bd = ex 2 + fx + g

Se debe cumplir que : e= a c , f= a d+bc , g=bd Esto significa que debemos buscar los factores de e y g , y combinarlos adecuadamente para obtener f. Factorizar 6x2-7x-5 Los factores de 6 son (6)(1)y(8)(2), los factores de 5 son (5)(1) Probamos combinaciones hasta obtener -7, como el tercer término del trinomio es negativo los factores del 5 deben tener diferente signo: (6x+5)(x-1)=6x2-x-5 (3x-5)(2x+1)=6x2-7x-5

no cumplen si cumplen

Factorizar 4x2+ 9x-9

Factores de 4, (4)(1) y (2)(2) Factores de 9, (9)(1) y (3)(3) Con un poco de ingenio podemos darnos cuenta que la factorización es: 4x2+ 9x-9=(4x-3)(x+3)

40


Ejercicios.1.- Factorizar cada trinomio: a).- x2-8x+15 b).- y2-y-30 c).- c2+5c-14 d).- 2x2-4x-6 e).- 3x2-15x+18 f).- 6b2+b-1 g).- x4+3x2-18 h).- 30z2-34z+8 i).- 9x2-15x-24 j).- 12c2+50c+48 k).- 4x2n+14xn+6 l).-16b2x+64bx+60 m).- x2+30x+224 n).- x2+3x-504 ñ).- bx3+6bx2-7bx o).- 5b2-3bc-2c2 p).-12x2+5xy-2y2 q).- x2+30x+200

41


ACTIVIDAD 18 FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS

OBJETIVO.- Factorizar expresiones donde se tienen diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos Otro tipo de factorización es la de una diferencia de cuadrados la cual da como resultado el producto de dos binomios conjugados, cuyos términos son la raíz cuadrado de los términos de la diferencia de cuadrados, por ejemplo: x2-64 = (x+8)(x-8)

y4-100=(y2+10)(y2-10)

b2x4-y6= (bx2-y3)(bx2+y3)

x2n-y2n=(xn+yn)(xn-yn)

(

)(

x2 − 2 = x + 2 x − 2 ( x + 1) 2 −

)

9  3 = ( x + 1) −  4  2

( x + 3) 2 − 4 = [( x + 3) − 2][( x + 3) + 2]  ( x + 1) + 

3 2 

2

    1 1 1   x +  − 3 =  x +  + 3   x +  − 3  2 2 2         Las cuatro últimas factorizaciones son de suma importancia en la solución de ecuaciones cuadráticas. Ejercicios.1.- Factorice cada expresión: a).- b2-16

b).- 4c2-36

c).- 36x2-64

d).- (x-y)2-81

e).- x2y6-16x2

f).- c2m-b4m

2

1  g). -  x −  − 3 2 

Una

diferencia

h). - ( x + 5 )2 − 9

de

cubos

se

puede

factorizar

usando

a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) este resultado se obtiene al realizar la división

resultado es a 2 + ab + b 2 . Ejemplos: x3-8=x3-(2)3=(x-2)(x2+2x+4)

42

la

identidad

a − b3 cuyo a−b 3

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. c6-b9=(c2)3-(b3)3=(c2-b3)(c4+c2b3+b6) x3y6-b12=(xy2)3-(b4)3=(xy2-b4)(x2y4+b4xy2+b8)

x3 − 5 = ( x − 3 5 )( x2 + x3 5 + 3 25) Una suma de cubos se factoriza con la identidad a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 ) . El trinomio a 2- a b+b2 no se puede factorizar. Ejemplos: x3+8=x3+(2)3=(x+2)(x2-2x+4) b6+c9=(b2)3+(c3)3=(b2+c3)(b4-b2c3+c6) 8x3b6+1=(2xb2+1)(4x2b4-2xb2+1)

x3 + 3 = ( x + 3 3 )( x 2 − x3 3 + 3 9 )

Ejercicios.1.- Factorice las siguientes expresiones a) b6+27

d)

1 1 6 − x 8 64

b) c12-x6

e) x3nb6n+1

43

c) x3y9+64

f)(x+6)3+(1+x)3


ACTIVIDAD 19 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

OBJETIVO.-Poner en práctica la identificación y solución de diferentes tipos de expresiones algebraicas. Donde los productos notables y las factorizaciones son operaciones inversas. No hay que perder de vista que las regles son tan solo vías más practicas, en algunas ocasiones, para obtener un resultado. Pero estas pueden olvidarse o confundirse fácilmente lo que puede ocasionar una aplicación incorrecta de las mismas. Lo más recomendable aprenderse una regla a través de la realización repetida de las operaciones algebraicas correspondientes y hacer uso de las reglas solo cuando se está seguro de que el resultado es correcto. 1.- Desarrolla cada expresión usando las reglas de los productos notables: a).- (x+5)(x-3) b).-(2x+3)2

e).-(y-6)3

d).- (3b+4)(2b-6)

e).-(x2+6)(x2-6)

f).-(6t3-2t)2

g).- (2x+3x)(2x-3x)(22x-32x)

h).-(cm-4m)3

i).-(d3c2-c3)2

j).- (8x2+y3)(6x2+4y3)

k).-(x2m - b3n)(x2m + b3n)

l).-(ex-e-x)2

2.- Factoriza cada una de las siguientes expresiones: a) 3 a 3b+6 a 2b2+3 a 2b3 b) 6x2-9x-6 c) 16x6-9x2

d) x2-x-6

e) c3b6+c9

f)x3+3x2y+2xy2

g) 9x2+3x-30

h) 27x6-216b6

y) x4+7x2+16

j) c4+4c2b+4b2

k) 6x+1-6x+2

l) cx+bx+5c+5b

m) e2x-e4x

n)(x+y)3-27

ñ) c2+c + 1/4

o)6w8+17w4+12

p) x16 + 1

r) 5ru+10vr+2ut+4vt

s) x4+25

t)

u) 3x3+2x2-12x-8

v) 22m+2m+n+1+22n

w)4z+3-4z+2

x) 2x2+7x-15+x4+5x3

44

a 3- a 2b+ a b2-b3


UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES

45


ACTIVIDAD 20 EXPRESIONES RACIONALES

OBJETIVO.-Simplificar expresiones numéricas y algebraicas, racionales. Los números racionales están formados por el cociente de dos números enteros, por ejemplo: 1/3 -4/5 6/7 -5/9 En general estos números se pueden expresar como

a con b ≠ 0 , ahora, si b

consideramos el numerador y denominador son multinomios o polinomios, entonces tendremos una expresión racional, por ejemplo:

2 x+5 x 2 + 5x − 2 a 2b 2 − a 2 x x−3 x−4 2a 2 En todos los casos anteriores el denominador debe ser diferente de cero; a continuación se desarrollan métodos para simplificar y realizar operaciones con expresiones racionales. En primer lugar se tratará la simplificación de expresiones racionales, para esto recordemos que un número racional se puede simplificar expresando el numerador y 81 denominador en factores primos, por ejemplo la fracción se puede simplificar: 54 81 (3)(3)(3)(3)  3  3  3  3   3  3 = =      =  (1)(1)(1) = 54 (2)(3)(3)(3)  2  3  3  3   2  2 Lo anterior también se puede hacer cancelando los factores comunes, recordando que al hacer esto se multiplica por la unidad: 81 (3)(3/ )(3/ )(3/ ) 3 = = 54 ( 2)(3/ )(3/ )(3/ ) 2 Cuando se tienen expresiones racionales podemos proceder de la misma manera, es decir expresar el numerador y denominador en factores y cancelar los comunes. Ejemplo:

4x2 , Expresamos el numerador y denominador en factores Simplificar 6x 3 ( 2)(2) x 2 (3)( 2) x 2 x Cancelamos factores comunes:

(2)( 2/ ) x/ 2 (3)( 2/ ) x/ x 2

x −4 x 2 + 2x

=

2 3x

2

Simplificar

el numerador es una diferencia de cuadrados y en el denominador

podemos factorizar por factor común:

( x + 2)( x − 2) x − 2 = x ( x + 2) x

Se elimino el factor común en el numerador y denominador x + 2 . Un error muy común es tratar de cancelar antes de expresar en factores:

46


x/ 2 − 4 −4 2 = =− 2 x x/ + 2 x 2 x Una manera de comprobar si tenemos un error es sustituir un valor en la variable, como los resultados son equivalentes excepto para x=-2* , el resultado de la operación deben coincidir, tomemos x=3: x2 − 4 32 − 4 5 1 = = = 2 2 x + 2 x 3 + 2(3) 15 3

−

2 2 =− x 3

Como se observa los resultas no coinciden Para simplificar expresiones racionales hay que tener muy buen manejo de la factorización, hagamos otros ejemplos: Simplificar

x 2 + 5x + 6 x2 + 2x − 3

factorizando el numerador y denominador como producto de dos

binomios:

( x + 3)( x + 2) x + 2 = ( x + 3)( x − 1) x − 1

x3 − 8

en este caso el numerador es una diferencia de cubos y el denominador una x2 − 4 diferencia de cuadrados: Simplificar

( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2 x + 4 = ( x + 2)( x − 2) x−2

x 2 + xy − 2 x − 2 y factorizando el numerador por agrupamiento −x+2 x ( x + y ) − 2( x + y ) ( x + y )( x − 2) = −x+2 −x+2 Aparentemente no podemos cancelar ningún factor, si observamos la expresión del denominador solo tiene cambiados los signos, para cambiarle de signo la anteponemos un signo negativo: ( x + y )( x − 2) = −( x + y ) − ( x − 2) Simplificar

*

En la expresión original x=-2 hace que el denominador sea cero, pero en el resultado simplificado para este valor si existe la expresión.

47


Ejercicios.1.- Simplificar cada una de las siguientes expresiones racionales

a) b) c) d) e)

8x 2 y 3 2 xy 4 4x 2 + 8x 2x x 2 − 3x + 2 x2 + x − 2 2x 2 + x −1 2x 2 + 5x − 3 3 x 2 − 11x + 6

3x 2 + 4 x − 4 ax + 2bx − 2by − ay f) 2ax − ay + 4bx − 2by g) h) i)

x3 + y3 x2 − y2 a 2 + ab + b 2 a3 − b3 ( 2 x − 5) x − 3

x 2 − 4x + 3 x −3 j) (2 x − 5) x − 3 ( x + 2)( x + 3) k) x( x + 2) + ( x + 3) x + 2

l)

k 3 −1

2k 2 + 2k − 4 m) − ( x 2 − 9) −1 (6 x − 2)

n)

( x − y ) −3

( y − x) −5 (a − b)(b − c)(a − c) ñ) (b − a )(c − b)(c − a )

48


ACTIVIDAD 21 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

OBJETIVO.- Realizar operaciones con fracciones y simplificación de resultados. Al multiplicar dos números racionales, se multiplica el numerador y denominador de cada expresión, por ejemplo: 3  2  3  6 =    = 5 4 20 10    En el caso de expresiones racionales se proceda de la misma manera: x 2 − 9 x 2 + 7 x + 10 ( x 2 − 9)( x 2 + 7 x + 10) ⋅ = x+5 x−3 ( x + 5)( x − 3)

Para simplificar se procede de la misma manera que en la sección anterior, factorizando cada expresión para cancelar factores comunes: ( x + 3)( x − 3)( x + 5)( x + 2) = ( x + 3)( x + 2) ( x + 5)( x − 3) En general para multiplicar expresiones racionales se factoriza el numerador y denominador en cada expresión y enseguida se cancelan factores comunes: x 2 − x − 6 x 2 − 9 ( x + 2)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x − 3) 2 ⋅ = ⋅ = x( x + 3) x+2 x x 2 + 3x x + 2

1.- Realiza cada uno de los siguientes productos 2

3a b 5a 3b 2 ⋅ = 2ab 2 3a 2b3 b) (2a 2 )(3b) −1 (15b 3 )(2a) − 2 =

a)

−1

24m 6 n  9n 4   = ⋅ c) 18m3  2m  d)

a − 2b a + 3b ⋅ = 2a + 6b 3a − 6b

e)

y 2 + 6 y − 16 ( y − 2) −1 = 2 y − 64

f)

x 2 + 3x x + 1 ⋅ = x2 + 2x − 3 x

g)

6x2 − 5x + 1 x2 + 5x + 6 ⋅ = 3 x 2 − 10 x + 3 2 x 2 + 3 x − 2

h)

x 2 + xy − 6 y 2 x 2 − 2 xy − 3 y 2 x + y ⋅ ⋅ x 2 − 2 xy − 3 y 2 x 2 − 3xy + 2 y 2 x + 3 y

49


Para dividir expresiones racionales se usa el mismo criterio que para los números racionales:

2 3 = 2 ÷ 5 = 2 ⋅ 7 = 14 5 3 7 3 5 15 7 Se observa que la división la podemos transformar en una multiplicación, simplemente tomando el reciproco de divisor, en las expresiones racionales el procedimiento es el mismo:

x3 − 27 x2 − 3x Factorizando cada expresión:

÷

x 2 + 3x + 9 x 3 − 27 x = 2 ⋅ 2 x x − 3 x x + 3x + 9

( x − 3)( x 2 + 3 x + 9) x ⋅ 2 =1 x( x − 3) x + 3x + 9

Otro ejemplo:

 x + y  x 2 + xy + 2 x + 2 y x +1 ÷ ⋅ 2 2 x + 2 y  x+2 x + 3 xy + 2 y 

Primero efectuamos la operación entre paréntesis:

 x+ y x + y  ( x + 2)( x + y) x +1 x +1 x + y x + 2y x + y ÷ ⋅ ÷ = ⋅ = = x + 2y  x+2 ( x + y)( x + 2 y)  x + 2 y x + 2 y x + 2 y x + 1 x +1 1.- Realiza las operaciones siguientes 2

a) b) c) d) e) f) g) h)

5a a2 ÷ = 2 3 7 a 2 x 2 14a 3 x ÷ = 3ax 2 9ax 3 x3 − 8 x ÷ = x2 − 4 x3 + 8 x2 − 9 ÷ ( 2 x − 6) = x+4 2 z − 14 6z3 ÷ = z 2 − 2 z − 35 z 2 − 25 x 2 + 3x x ÷ = x2 + 2x − 3 x + 1 a 2 + ab − 6b 2 4a 2 − 4ab + b 2 a+b ⋅ 2 ÷ = 2 2 2 2a − b a + 4ab + 3b 2a − 5ab + 2b ( 2 x − 1) x − 1 ( x − 3) x + 2 ÷ = 4( x − 1) x − 3 (2 x − 1) x − 3

50


ACTIVIDAD 22 SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS

OBJETIVO.-Efectuar operaciones de suma y su aplicación en la simplificación de fracciones complejas. Al sumar números racionales es necesario primero obtener el mínimo común denominador, el cual es el resultado de la factorización de cada denominador en sus factores primos y se toman los factores diferentes elevados a la potencia mayor: 4 3 1 + + 75 100 36 Factorizando cada denominador en factores primos: 75 3 100 2 36 2 25 5 50 2 18 2 5 5 25 5 9 3 1 5 5 3 3 1 1 75=3(52) 100=(22)(52) 36=(22)(32) El M.C.D. es (32)(22)(52)=900 , usemos el algoritmo para la suma de racionales: 5 3 1 12( 4) + 9(3) + 25(1) 48 + 27 + 25 100 1 + + = = = = 75 100 36 900 900 900 9 En el caso de expresiones racionales el procedimiento es análogo, es decir cada denominador se expresa en factores y se toman los factores diferentes elevados a la potencia mayor, por ejemplo: 2 5 + x 2 3x3 Los denominadores están expresados en factores, el M.C.D. es 3x3, ahora dividimos el M.C.D. entre cada denominador y el resultado se multiplica por su numerador correspondiente: 2 5 x( 2) + 1(5) 2 x + 5 + 3 = = 2 x 3x 3x3 3x3 Enseguida se simplifica la expresión resultante, en este ejemplo no es posible. Ejemplo:

x2

+

x+2

factorizamos cada denominador: 2 x − 18 x x + 4 x + 3 x2 x+2 la primera expresión podemos simplificarla + 2 2 x( x − 9) ( x + 1)( x + 3) 3

2

x x+2 x( x + 1) + ( x + 2)(2)( x + 3) x 2 + x + 2 x 2 + 10 x + 12 3x 2 + 11x + 12 + = = = 2( x + 3)( x − 3) ( x + 1)( x + 3) 2( x + 3)( x − 3)( x + 1) 2( x + 3)( x − 3)( x + 1) 2( x + 3)( x − 3)( x + 1) La expresión resultante no se puede simplificar. x−3 x 2 Otro ejemplo factorizando cada + 2 − 2 2 x + 10 x + 25 x + 7 x + 10 x − 25 x−3 x 2 ( x − 3)( x + 2)( x − 5) + x( x + 5) 2 − 2( x + 5)( x + 2) + − = ( x + 5) 2 ( x + 2)( x + 5) ( x + 5)( x − 5) ( x + 5) 2 ( x + 2)( x − 5) La simplificación se deja al lector.

51

denominador:


1.- Efectúa las operaciones indicadas, simplificando a su mínima expresión el resultado:

2x 3y 5z + − 3 yz 5 xz 7 xy 2 1 2r − 3t − − 3t 2r 12rs 1 3 1 + − 2 4a 2 a 2n + 1 2 − 3n 1 − + 2 3n 4n 2n 2 3t + 1 + 3t − 1

a) b) c) d) e)

f)

r−s r − 2s − 3r + 6s 4r + 8s

g)

5 8 3 + − x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3

h)

3s 6 − s 2 + 1 2s − 1

x x x +1 + − 2 x − 1 2x − 2 m+n m−n j) 2 − m + 4mn + 4n 2 2n + m

i) −

k)

l)

1 3 − 2x 1 + + x 1 − 2x 2x2 − x 10 5 2 − 2 − 2 2 2 3 x − 4 xy + y 6 x − 5 xy + y 2 x − 3 xy + y 2 2

Por último estudiaremos las expresiones racionales complejas, en las cuales tenemos expresiones racionales en el numerador y denominador, para simplificarlas recordemos como se trabaja con las fracciones complejas: 4 2+ 5 3 1 − 2 4 Primero reducimos el numerador y denominador a una fracción: 10 + 4 14 5 = 5 = 56 = 2 6 25 6 −1 5 25 4 4

52


En las expresiones racionales complejas se trabaja de la misma manera: 1 x+ 2 x 2 1 + x x2 Expresando el numerador y denominador como una sola fracción:

x3 + 1 2 3 3 x 2 = x ( x + 1) = x + 1 2 x + 1 x 2 (2 x + 1) 2 x + 1 x2 Si existen mayor número de fracciones, se reduce primero las más alejadas de la división principal: 3 3 3 3 3 3( x + 1) = = = = = 2 2 2x x + 1 + 2 x 3x + 1 3x + 1 1+ 1+ 1+ x +1 1 x + 1 x + 1 x + 1 1+ x x

1.- Simplifica cada una de las siguientes fracciones compuestas

3 x a) 1 2+ x

b)

1 x + 5 c) 11 x−7+ x+5

a b − b a d) 1 1 + a b

1−

2−

3−

x +3+

5 + x e) + 1 x + x +1 1+ g)

a−

2x x+3 7 x+3

f)

4 x2

4 4 − x x2

b

a a+b b 1+ a−b 1−

1 1+

1 x −1

h)

1 1 1− x +1

53

a −1 b a 2 −2+ b b 1+ a


ACTIVIDAD 23 SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES CON RADICALES OBJETIVO.- Simplificar diferentes tipos de expresiones con radicales . En las expresiones con radicales podemos tener por ejemplo:

3x 6x - 2 El objetivo de esta sección es desarrollar métodos que nos permitan simplificar y realizar operaciones con expresiones de este tipo. Primero trataremos como simplificarlas, recordemos que un radical se puede escribir como un exponente racional: 3

x

x2 + 6

x3 + 6 x − 3

a =a

1

4

2

1

a =a n Este resultado lo podemos utilizar para establecer las siguientes propiedades: n

n

ab = ( ab)

n

a a =  b b

mn

a = (a

1

1

n

n

=a =

a b

1

1 n) m

1

1 1

1 nb n

n

=

n

=a

1

= n a n b − − − −(1)

n

a

n

b

mn

− − − − − − − − ( 2)

= m n a − − − − − −(3)

Las cuales son una aplicación de las propiedades de los exponentes enteros, ahora la pregunte es ¿Cómo podemos utilizar las propiedades anteriores para simplificar una expresión racional? ,consideremos el siguiente ejemplo 2

que es a , si tenemos

a 4 , tenemos que a 4 tiene raíz cuadrada exacta

a 5 , no tiene raíz exacta, pero podemos expresarla en dos factores de

tal manera que uno tenga raíz exacta

a 5 = a 4 a aplicamos la propiedad (1) y obtenemos

a 4 a = a 4 a = a 2 a , en general este procedimiento lo podemos aplicar en cualquier radical. Simplificar tengan raíz exacta:

3

a 4 b 5 descomponiendo en factores de tal manera que algunos de ellos

a 3 ab3b 2 = a 3b 3ab 2 = a 3b 3 ab 2 = ab ab 2 Si existen coeficiente numéricos enteros, se descomponen en factores primos y se toman 3

3

3

3

tantos factores como el orden del radical, simplificar

3

3

32x 4 y 5 descomponemos el número 32

en sus factores primos se obtiene 28 : Tenemos entonces Simplificar

3

32x 4 y 5 = 3 25 x 4 y 5 = 3 23 x3 y 3 (22 xy2 ) = 2xy

3

4 xy2

2800a3by2 factorizando en factores primos tenemos que 2800=24527

2800a3by2 = 24527a3by2 = 2452 a 2 y 2 (7ab) = 225ay 7ab = 20ay 7ab Simplificar

3

− 8( x + y)4 lo podemos escribir en factores de la siguiente forma: 3

− 8( x + y)3 = 3 (−2)3 ( x + y)3 ( x + y) = −2( x + y)

3

x+ y

Si tenemos un Multinomios en el radical, debemos tratar de expresarlo en factores, buscando que tengan raíz exacta para extráelos del radica:

54


a 3b 2 − 4a 2b 2 factorizando usando factor común:

Simplificar

a3b2 − 4a 2b2 = a 2b2 (a − 4) = ab a − 4 x 2 + 2 x + 4 la expresión es un trinomio cuadrado perfecto:

Simplificar

x 2 + 2 x + 4 = ( x + 2) 2 = x + 2 En algunos casos se hacen factorizaciones especiales, con el fin de escribir la expresión de una manera equivalente y poder interpretarla mejor, en la teoría de la Relatividad aparece la expresión: m0 c m= c2 − v2 2 Se puede factorizar c en el denominador para cancelarla con la del numerador: m0 c m0 c m0 m= = = 2 2  v  v v2 1− 2 c 2 1 − 2  c 1 − 2 c c  c  Esta expresión nos dice que la masa de un cuerpo aumenta conforme aumenta su velocidad y que la velocidad limite es la velocidad de la luz c (300000 Km/s). A continuación trataremos expresiones irracionales que contengan expresiones racionales, para simplificarlas se utiliza la segunda propiedad.

8a 3 x el radical lo aplicamos sobre el numerador y denominador 9 y3

Simplificar

8a 3 x 9y

Simplificar

3

3

=

8a 3 x 9y

3

=

4a 2 ( 2 x ) 2

9 y ( y)

=

2a 2 x 3y y

=

2a 3y

2x y

54x 6 y 75a 4 3

54 x 6 y 75a 4

=3

33 x 6 (2 y ) 53 a 3 ( a )

=

3x 2 5x

3

2y a

Los ejemplos anteriores son los más comunes, pero existen otros donde se debe hacer un trabajo algebraico previo antes de simplificar, por ejemplo: Simplificar

1 1 + 2 2 a b b2 + a2 a 2b 2

a −2 + b −2 primero aplicamos la propiedad de los exponentes

2

sumando las fracciones, el M.C.D. es a b aplicando la propiedad de los radicales

a −n =

1 an

2

b2 + a2

=

b2 + a 2 ab

a 2b 2 Un error muy común es aplicar las propiedades de los radicales a una suma

b 2 + a 2 = b 2 + a 2 = b + a , esta operación en general es incorrecta. Como te habrás dado cuenta en la operación anterior es necesario utilizar varios conocimientos para llegar al resultado, en realidad las operaciones algebraicas requieren una integración de los conocimientos, esto se adquiere con la práctica y teniendo una visión clara de lo que podemos hacer para simplificar una expresión.

55


6x 2 x2 + 2 y 4y

Simplificar

6x 2 x2 + 2 = y 4y

procediendo de la misma manera que en el ejemplo anterior:

24 x 2 y + x 2 = 4y2

x 2 (24 y + 1) = 4y2

x 2 24 y + 1 4y2

=

x 24 y + 1 2y

Otro operación es la simplificación de un radical dentro de otro radical, por ejemplo 3

7 9

para esta operación usamos la tercera propiedad de los radicales:

192 x y

192 x 7 y 9 = 6 192 x 7 y 9 = 6 64 x 6 y 6 (3 xy 3 ) = 2 xy

3

3 xy 3

6

En algunas ocasiones es posible reducir el orden de un radical, por ejemplo en el radical 6

8x3 y 3 no podemos extraer ningún factor, si lo escribimos

6

(2 3 ) x 3 y 3

se observa que los

exponentes tienen un factor común, usando las propiedades de los exponentes y radicales 3 6

1

( 2 xy) 3 = (2 xy) 6 = (2 xy) 2 = 2 xy , lo anterior solo se puede hacer si los exponentes tienen un

factor común y que el orden del radical sea múltiplo de este. 1.- Simplificar cada uno de los siguientes radicales:

a)

18

b)

108

d)

4

3125

4 2

5x y

f)

3

2a 9b 3

243a 0b 7

h)

5

486 x 7 y11

2a 9b 2

j)

6 x3 8 y9

l)

m) 5

486 x 6 y 9 32a 7

n)

( x + y )( x 2 − y 2 )

ñ)

( x 2 + 4 x + 3)(3 x 2 + 2 x − 1)

o)

a 2nb5n

a 3n b 4 n

q)

c)

3

e) g)

4

i) k)

p) r)

3

3

3 3

363

5a 5 16b 6 4

2 x3 81a12

3

x6

64 x 6 y 5

2.- Reduzca el orden de los siguientes radicales s, simplifandolos lo más posible

a)

6

4

b)

9

64

c)

10

32 x 6

d)

8

25 x12 y 6

e)

4

( x − 1) 216

f)

10

56

243(2 x + 5) 5


ACTIVIDAD 24 SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES

OBJETIVO.- Realizar sumas con expresiones radicales, aplicando propiedades de las operaciones y simplificar los resultados. Ahora trataremos la suma de radicales, para esto recordemos el concepto de radicales comunes, los cuales tienen el mismo orden y el mismo subradical: 2 3 ,

3

xy ,

5 xy

3

( x + y) 2

, − 23 ( x + y ) 3

Para sumar se procede de la misma manera que en los términos semejantes, sumar 2 3 + 5 3 usamos la propiedad distributiva:

2 3 + 5 3 = (2 + 3) 3 = 5 3 2 3 xy + 5 3 xy − 4 3 xy = 3

Hagamos otros ejemplos:

3

xy

8 + 18 − 50 aparentemente no hay radicales comunes, simplifiquemos los

Ejemplo

4(2) + 9(2) − 25(2) = 2 2 + 3 2 − 5 2 = 0

radicales

Los radicales son comunes y el resultado es cero. Al sumar radicales debemos llevarlos a la mínima expresión para determinar si hay radicales comunes. 3

Ejemplo

x7 y + 3 8x7 y + 5 3 xy podemos simplificar los dos primeros radicales:

x 6 ( xy ) + 3 8 x 6 ( xy ) + 5 3 xy = x 2 3 xy + 2 x 2 3 xy + 5 3 xy = ( x 2 + 2 x 2 + 5)3 xy

3

= (3 x 2 + 5)3 xy 3

Ejemplo 3

2560x6 y3 − 3 135x6 y3 + 3 192xy3 − 3 24xy3 simplificando cada radical

83 (5) x 6 y 3 − 3 33 (5) x 6 y 3 + 3 43 (3) xy 3 − 3 23 (3) xy 3

= 8x2 y

3

5 − 3x 2 y

3

5 + 4y

3

3x − 2 y

2

= (8 x y − 3x y )

3

5 + (4 y − 2 y )

= 5x y

5 + 2y

3

3x

2

2

3

3

3

3x

3x

1.- Efectúe las siguientes adiciones y sustracciones con radicales. a)

c)

3

b)

6 − 24 − 150 + 216

2 − 3 54 + 3 250

d)

2a 3b 5 + 8a 5b − 50a 7 b 3

3 xy + 4 9 x 2 y 2 + 6 27 x 3 y 3

e)

g)

2 − 8 + 50

3

f)

p 2q 4 − 3 p 4q5 + 3 8 p5q − 3 8 p7 q 2

57

32h 3 + 9k 5

k 1 50h + + h 3 k

4h 25h


ACTIVIDAD 25 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES

OBJETIVO.- Efectuar operaciones con expresiones radicales y simplificación de resultados. Al multiplicar radicales del mismo orden se usa la propiedad (1) en sentido inverso, enseguida el resultado se simplifica:

2 xy 8xy2 = (2xy)(8xy2 ) = 16x 2 y3 = 4 xy y Se observa que se uso la propiedad en los sentidos. Ejemplo

3

4 x 2 y 3 3xy4 procediendo de la misma manera 3

4x 2 y

3

3xy4 = 3 12x3 y 5 = xy 3 12 y 2

2xy 4xy2 + 8x2 y al multiplicar se usa la propiedad distributiva

Ejemplo

2 xy 4 xy 2 + 8 xy 2 = 2 xy(4 xy 2 + 8 x 2 y ) = 8 x 2 y 3 + 16 x 3 y 2 = 4 x 2 y 2 (2 y + 2 x) = 2 xy 2 y + 2 x

Ejemplo

3

3 3 9 x2 x 3

multiplicamos las dos fracciones

3 x

3

2

9 3 3 9 3 27 3 = ⋅ = = x x2 x x3 x

1.- Realiza las siguientes operaciones: a)

2x 8x

b)

6 32 x x

c)

3

x + 2 x2 − 4

d)

e) f)

54 x 2 3 2 x 2

4

24 x 3 y 2 4 12 x 2 y 3 2 x − 1 ( 2 x − 1)( x − 2)

58


Para dividir radicales del mismo orden se usa la propiedad número (2) , de la misma manera que en la multiplicación y el resultado se lleva a la mínima expresión: 6 xy 2 3 xy 3

Ejemplo

3x 2 y 3

escribimos la operación con un solo radical 3

27 x y

x2 − x − 6

Ejemplo

6 xy 2 = 2 xy 3 xy 3

3 2

3

=

x2 − x − 6 ( x − 3)( x + 2) = = 2 ( x + 2)( x + 5) x + 7 x + 10

=

x + 7 x + 10 2

x−3 x+5

1.- Realiza las siguientes operaciones

3x 3 y

a)

18 xy 2 3

b)

c)

36ab 2

4

12 xb3

4

75 x 3b 50a − 4 y 5

d)

e)

243a 2b 4 3

3ay − 2 ( x + y) x − y x2 − y2 7 x 2 z 3 yz 3

f)

42 xz 2 3

g) 3

3 2

27 x y

=3

y 9x

escribimos en un solo radical y factorizamos cada expresión:

x 2 + 7 x + 10

x2 − x − 6

3x 2 y 3

a+b

(c + d )(c − d ) 2 2

 6 x 3 yz   2 xy 5 z 3         h)  8x 7 y 3 z 5

3

59


ACTIVIDAD 26 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACIÓN

OBJETIVO.- Realizar diferentes tipos de operaciones con expresiones radicales y aplicar el proceso de racionalización. Ahora podemos realizar operaciones que involucren varias propiedades a la vez: 2 xy 5 xy 2 xy 2

=

10 x 2 y 2 2 xy 2

=

10 x 2 y 2 = 5x 2 xy 2

Ejemplo (2 + x ) 2 usamos los productos notables

(2 + x ) 2 = 22 + 2(2)( x ) + ( x ) 2 = 4 + 4 x + x Ejemplo ( x + y )(3 x + 2 y ) multiplicamos usando la propiedad distributiva ( x + y )(3 x + 2 y ) = ( x )(3 x ) + ( x )(2 y ) + ( y )(3 x ) + ( y )(2 y ) = 3 x 2 + 2 xy + 3 xy + 2 y 2 = 3 x + 5 xy + 2 y

Ejemplo ( x + h − x )( x + h + x ) tenemos el producto de binomios conjugados

( x + h − x )( x + h + x ) = ( x + h ) 2 − ( x ) 2 = x + h − x = h Ejemplo

(3 x + h − 3 x )(3 ( x + h) 2 + 3 x( x + h) + x 2 ) 3

multiplicamos

usando

la

propiedad

distributiva:

(3 x + h − 3 x )(3 ( x + h) 2 + 3 x( x + h) + 3 x 2 ) = 3

( x + h) 3 + 3 x ( x + h) 2 + 3 x 2 ( x + h) − 3 x ( x + h) 2 − 3 x 2 ( x + h) 2 − 3 x 3

= x+h−x=h Las dos operaciones anteriores son utilizadas en cálculo 1.- Efectúe las operaciones siguientes reduciendo el resultado a su mínima expresión

( ) b) ( x + 2 y ) c) (2 + x ) (2 − x ) d) ( a + b ) (a + ab + b ) e) (a − a + 2a ) (a + a −

a) 1 + 2

2

2

2a

)

Por último trataremos otra operación con expresiones racionales, la racionalización, esta consiste en que por algún procedimiento algebraico quitar el radical o radicales del numerador o denominador de una expresión racional, supongamos que se quiere quitar el radical de ala 1 expresión , para esto multiplicamos el numerador y denominador por a a 1 a

⋅

a a

Al hacer esto se multiplica por la unidad, por lo que no se altera el valor de la expresión, usando las propiedades de los radicales:

60


a a

x

Ejemplo

2

a a

=

para racionalizar tenemos que multiplicar por

2x

x

2x

2x

2x

=

x 2x

=

2

2 x el numerador y denominador

x 2x 2x = 2x 2

4x En general este procedimiento se realiza multiplicando numerador y denominador por un radical de tal manera que el radical resultante tenga raíz exacta 3

Ejemplo 3

4x 2 y xy

racionalizar el numerador, en este ejemplo tenemos que multiplicar por

42 xy2 3

4x2 y

3

xy

3

4 2 xy 2 2

4 xy

2

43 x 3 y 3

3

=

xy

3

16 xy

2

4 xy

= xy

3

16 xy

=

2

4 3

16 xy 2

En el numerador y denominador de la expresión pueden aparecer binomios o trinomios que contengan radicales, por ejemplo: x +6 x −3

Para racionalizar el denominador se multiplica por su conjugado para formar una diferencia de cuadrados: x +6 x −3

⋅

x +3 x +3

=

( x + 6)( x + 3) ( x) − 3 2

2

h

Ejemplo: Racionalizar el denominador de

x+h − x

=

x + 9 x + 18 x−9

multiplicamos por el conjugado del

denominador:

h x+h − x

⋅

x+h + x x+h + x

=

h( x + h + x ) ( x + h )2 − ( x )2

=

h( x + h + x ) h( x + h + x ) = = x+h + x x+h−x h

1.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones

x

a)

3x 1

c) 3

e)

b)

4 xy

2

3+ 3 3 −1

d)

f)

2x 2 x3 3 7 +1

1 x+2 +2

61


ACTIVIDAD 27 LA ECUACIÒN DE SEGUNDO GRADO

OBJETIVO.- Conocer la forma general de una ecuación de segundo grado y sus métodos de solución, identificando los tipos de raíces. Una ecuación del tipo ax + bx + c = 0 , en la cual a, b, y c son constantes arbitrarias y a ≠ 0 , se llama ecuación de segundo grado. Existen tres métodos de solución para las ecuaciones de segundo grado: El de factorización, Completando cuadrados y Aplicando la Fórmula General. El primer método se aplica en trinomios que se pueden factorizar como el producto de dos binomios, a partir de los factores se obtienen las raíces de la ecuación, es decir, los valores de la variable que la satisfacen. 2

Ejemplo: Resuelva factorizando la ecuación : x 2 − 2 x − 3 = 0. Como la ecuación ya tiene los términos en el lado izquierdo, nos concretamos a factorizar dicho miembro ( x − 3)( x + 1) = 0 . Si se iguala con cero cada factor, entonces tenemos: x−3 = 0

x +1 = 0 .

y

Lo que nos lleva a que x1 = 3

y

x2 = −1 . Estos valores con las raíces de la ecuación

original y a su vez, son la solución. Podemos concluir que una ecuación de segundo grado tendrá como solución siempre a dos valores de su variable. Para comprobar la solución, basta con sustituir cada uno de ellos en la ecuación planteada y ésta se convertirá en una identidad. Ejemplo: Resolver la ecuación 4 x 2 − 49 = 0 .(ecuación simple o incompleta). Su factorización es (2 x + 7)(2 x − 7) = 0 Por lo que 2 x + 7 = 0 raíces x1 = −

7 2

y

x2 =

y

2 x − 7 = 0 generan las

7 . 2

Ejercicios: 1.- Factorice las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1) x 2 − 2 x = 8 = 0

2) 10 x 2 + 21x + 9 = 0

3) 30x 2 − x − 20 = 0

4) 6 x 2 + 4 x = 0

5) 4x 2 − 9 = 9 x

6) 3x 2 + 12 = 0

Ya se vio en los Productos Notables que el resultado de elevar al cuadrado un binomio, es un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo ( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 , la cual es una forma del trinomio cuadrático general. En el se observa que primer término es x, que el segundo término contiene la primera potencia de x y que el último término es positivo e igual al cuadrado de la mitad del coeficiente de x. Dado un trinomio como éste, puede factorizársele fácilmente. Por ejemplo x 2 − 6 x + 9 , es un cuadrado perfecto, ya que el primer término es

62

x 2 , el segundo


término contiene sólo la primera potencia de x el tercer término, 9, es igual al cuadrado de la 6 mitad del coeficiente de x , o sea = 3. 2 Con lo anterior se puede formar un trinomio cuadrado perfecto al sumarle a ambos - *

miembros de la igualdad la cantidad & *+ lo cual se usa para resolver una ecuación cuadrática, analicemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Resolver la ecuación 4 x 2 = 4 x + 11 . Trasponiendo términos: 4 x 2 − 4 x = 11 . Dividiendo por 4 cada miembro: x 2 − x =

11 . 4

1 1 11 1 Se suma [ (−1)]2 en ambos miembros: x 2 − x + ( − ) 2 = + (− ) 2 . 2 2 4 2 1 11 1 2 Por lo tanto: x − x + = + 4 4 4 1 1 Que es lo mismo que: x 2 − x + = 3 por lo tanto ( x − ) 2 = 3 4 2 1 Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro: x − = ± 3 2 1 1 Se producen las ecuaciones de primer grado: x − = 3 y x− = − 3 . 2 2 1 1 x2 = − 3 + . Que son las dos raíces. Al resolverlas, se obtiene: x1 = 3 + y 2 2 Ejercicios: I.- Resolver las ecuaciones de segundo grado siguientes, completando cuadrados:

1) x 2 − 2 x − 15 = 0

2) x 2 − 3 = − x

3) 4 x 2 + 4 x = 5

4) 6 x + 3 = 2 x 2

5) 9x 2 − 2 = 18 x

6) 1 + 12 x − 4 x 2 = 0

7) 3 x 2 = 9 x − 7 La fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado, se deduce o se obtiene a partir de la forma general ax 2 + bx + c = 0 , usando el método de completar cuadrados. Trasponiendo términos: ax + bx b c Dividiendo por a: x 2 + x = − a a 2

Sumando (

= −c

1b 2 b b2 c b2 ) en cada miembro: x 2 + x + 2 = − + 2 a a 4a 2a 4a

Simplificando: ( x +

b 2 b 2 − 4ac ) = 2a 4a 2

63


Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x +

Resolviendo para x: x = −

Por lo que: x =

b = 2a

b 2 − 4ac 2a

b b 2 − 4ac ± 2a 2a

− b ± b 2 − 4ac . Esta expresión recibe el nombre de Fórmula General 2a

Cuyas raíces son: x1 = −

b b 2 − 4ac + 2a 2a

y

x2 = −

b b 2 − 4ac − 2a 2a

Para la aplicación de dicha fórmula es necesario identificar los valores de a, b y c. Esto se logra una vez que se le da la forma

ax 2 + bx + c = 0.

Por ejemplo. Para resolver 6 x 2 = 12 + x. Lo primero que debemos hacer es trasponer términos igualando con cero: 6 x 2 − x − 12 = 0 . De donde se obtiene a=6, b=-1 y c=-12. Sustituyendo estos valores en la fórmula general:

− (−1) ± (−1) 2 − 4(6)(−12) 1± 17 1 ± 1 + 288 se tiene que x = 9 x= 12 2(6) 12 1 + 17 18 3 1 − 17 −16 4 Resolviendo para x: x1 = y x2 = = = = = − . Que son las raíces 12 12 2 12 12 3 de la ecuación. En este caso, dos números racionales. La naturaleza o el tipo de raíces que se obtienen al resolver una ecuación de segundo x=

grado, depende directamente de la expresión

b 2 − 4ac , la cual recibe el nombre de

Discriminante. En el siguiente cuadro, se sintetizan los casos: VALOR DEL DISCRIMINANTE

b 2 − 4ac > o y cuadrado perfecto

Racionales y diferentes

b 2 − 4ac > 0 y no es cuadrado perfecto

Irracionales y diferentes

Si

b 2 − 4ac = 0

Racionales e iguales

Si

b 2 − 4ac < 0

Imaginarias y diferentes

Si Si

TIPO DE RAICES

64


Ejercicios: 1.- Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifique el tipo de raíces que se obtendrán al resolverlas:

1) 9 x 2 − 24 x + 16 = 0. 2) 2 x 2 + 3 x − 20 = 0. 3) 3 x 2 − 2 x − 7 = 0. 4) 5 x 2 − 6 x + 8 = 0. 2.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado, usando la fórmula general:

1) x 2 = 2 x − 5

2) 4x 2 + 1 = 3 x

3) 3 + 6 x 2 − 7 x = 0

4) 9 x 2 + 12 x = −5

5) 2 x 2 + 10 x + 13 = 0

6) x 2 − ab − a 2 = bx

7) (a − b) x 2 = 2bx + 4a 9) sí las raíces de una ecuación son x1 = −3 y

8) a 2 x 2 + (ab − a ) x = 2 + 2b x2 =

1 . ¿ Quién es la ecuación ? . 2

65


ACTIVIDAD 28 OPERACIONES EN EL CÁLCULO

OBJETIVO.- Aplicar los conocimientos adquiridos en todos los temas del álgebra, a situaciones que se presentan en el desarrollo del cálculo. En esta sección realizaremos operaciones donde se necesiten usar los conocimientos del álgebra de manera integrada, esto con el objeto de prepararnos para los cursos de cálculo, donde se requiere un buen manejo del álgebra en un sentido amplio e integrado. Generalmente el problema que más se presenta es la simplificación de expresiones, para realizar este proceso es necesario tener una visión amplia de las operaciones algebraicas que podemos realizar para hacer la simplificación, así como el momento en que debemos detenernos, puesto que en la búsqueda de una mayor simplificación podemos cometer errores. Con los ejemplos que se presentan, no significa que se traten todas las posibilidades, más bien es una introducción a este tipo de procesos, por último estos ejemplos presentan una posibilidad para tener un mejor entendimiento y manejo de los procedimientos algebraicos. ( x + 2) 2 + 3( x + 2) − 8 en este ejemplo desarrollamos la expresión y

Ejemplo: Simplificar

simplificamos términos semejantes: ( x + 2) 2 + 3( x + 2) − 8 = x 2 + 4 x + 4 + 3 x + 6 − 8 = x 2 + 7 x − 4 Ejemplo: simplificar

( x + h) 2 + 5( x + h) − x 2 − 5 x desarrollamos el numerador h

( x + h) 2 + 5( x + h) − x 2 − 5 x x 2 + 2 xh + h 2 + 5 x + 5h − x 2 − 5 x 2 xh + h 2 + 5h = = h h h Factorizamos h en el numerador: h ( 2 x + h + 5) = 2x + h + 5 h 1 1 − ( x + h) 2 x 2 Ejemplo: Simplificar el M.C.D. en el numerador en ( x + h ) 2 x 2 h 1 1 x 2 − ( x + h) 2 x 2 − x 2 − 2 xh − h 2 − 2 xh − h 2 − ( x + h) 2 x 2 ( x + h) 2 x 2 ( x + h) 2 x 2 ( x + h) 2 x 2 = = = h h h h 2 − 2 xh − h − 2x − h h(−2 x − h) = = = 2 2 2 2 h( x + h) x h( x + h) x ( x + h) 2 x 2 1 2 −1 ( x + 1) 2 (2 x 3 ) Primero pasamos los exponentes negativos 2 1 1 2x3 ( x 2 + 1) 2 (2 x) + el M.C.D. es 2( x 2 + 1) 2 1 2( x 2 + 1) 2

Ejemplo: simplificar ( x 2 + 1) al denominador

=

2( x 2 + 1)

1

+ 1)

1

2( x 2 + 1)

1

2 (x2

1

2 (2 x) +

2 (2 x) + 2

2x3

=

2( x 2 + 1)(2 x) + 2 x 3 2( x 2 + 1)

1

2

66

=

4 x3 + 4 x + 2x3 2( x 2 + 1)

1

2

=

6 x3 + 4x 2( x 2 + 1)

1

= 2

3x3 + 2 x ( x 2 + 1)

1

2


1 −2 1  (2 x 3 + 5) 3 (3x 2 ) − x 3  (2 x 3 + 5) 3 (6 x 2 )  3   quitamos el exponente negativo Ejemplo: simplificar 2 1   3 3 (2 x + 5) 

2x5

1

(2 x 3 + 5) 3 (3x 2 ) − del numerador:

( 2 x + 5) 3

2

(2 x 3 + 5) 2

(2 x 3 + 5) 3 (2 x 3 + 5) 3 (3x 2 ) − 2 x 5 (2 x 3 + 5) (2 x 3 + 5)

2

3

3

el M.C.D. en el numerador es

(2 x 3 + 5)

2

3

3

1

2

2

(2 x 3 + 5)(3 x 2 ) − 2 x 5 (2 x 3 + 5)

=

(2 x 3 + 5)

3

[

2 2

3

6 x 5 + 15 x 2 − 2 x 5 =

( 2 x 3 + 5)

3

]

( 2 x 3 + 5)

2 2

[

Ejemplo: simplificar ( x 3 + 2) 3 2(1 − x 2 )(−2 x ) + (1 − x 2 ) 3( x 3 + 2) 2 (3 x 2 )

3 3

4 x 5 + 15 x 2 =

( 2 x 3 + 5) ( 2 x 3 + 5)

2 2

3 3

=

4 x 5 + 15 x 2 (2 x 3 + 5)

4

3

]

realizamos operaciones para quitar los corchetes: − 4 x ( x 3 + 2) 3 (1 − x 2 ) + 9 x 2 (1 − x 2 ) 2 ( x 3 + 2) 2 factorizamos para simplificar la operación

[

x( x 3 + 2) 2 (1 − x 2 ) − 4( x 3 + 2) + 9 x(1 − x) 2

[

= x( x + 2) (1 − x ) − 4 x − 8 + 9 x − 9 x 3

2

2

3

2

]

]

= x( x + 2) (1 − x )(−13 x + 9 x − 8) 3

2

2

3

Este resultado lo podemos dejar hasta aquí puesto que al desarrollarlo no se simplificaría más.

a) (2 x 2 − 3 x + 1)(4)(3 x + 2)3 (3) + (3 x + 2) 4 (4 x − 1) b) (6 x − 5) 3 (2)( x 2 + 4)(2 x) + ( x 2 + 4) 2 (3)(6 x − 5) 2 (6) 1 −1 1 c) ( x 2 − 4) 2 (3)(2 x + 1) 2 ( 2) + (2 x + 1) 3 ( )( x 2 − 4) 2 ( 2 x) 2 1 −2 1   2 d) (3 x + 2) 3 ( 2)(4 x − 5)(4) + ( 4 x − 5)  (3 x + 2) 3 (3) 3 −4 −1  1 e) ( x 2 + 9) 4  − ( x + 6) 3 + ( x + 6) 3 ( 4)( x 2 + 9) 2 (2 x)  3

f)

(6 x + 1) 3 (27 x 2 + 2) − (9 x 3 + 2 x)(3)(6 x + 1) 2 (6) (6 x + 1) 6

g)

( x 2 − 4) 4 (2 x) − x 2 (4)( x 2 − 1) 3 (2 x) ( x 2 − 1)8 1

h)

( x 2 + 4) 3 (3) − (3 x)( 13 )( x 2 + 4)

i)

(1 − x 2 ) 2 (2 x) − x 2 ( 1 2 )(1 − x 2 )

1   2 3 ( x + 4) 

3 (2 x)

2

1

1  2 2 (1 − x ) 

−2

−1

2 ( −2 x )

2

67


2.- Realiza las siguientes operaciones a)

( x + h ) 2 − 7 ( x + h) − ( x 2 − 7 x ) h

b)

( x + h) 3 + 4( x + h) − ( x 3 + 4 x) h

1 ( x + h) h

3

c)

−

1 x3

1 1 − 2 x + 2 h + 3 2 x +3 d) h

68


MISCELANEA DE EJERCICIOS El propósito de este último ejercicio es valorar los conocimientos adquiridos durante el curso, realiza el ejercicio como una evaluación y a partir de los resultados tomes medidas para corregir los puntos débiles. 1.- En la siguiente tabla coloca una x de acuerdo al tipo de sistema numérico al que pertenece cada número u operación (puede pertenecer a más de uno): Número -3

Natural

Entero

racional

Irracional

Real

3 (1-2)3 2/3 12+ 2 4/2

6−2 3-3

1− 5 2.- Realiza las operaciones siguientes mencionando que tipo de número es el resultado obtenido: 1. − 3 + 5 − 9 + 12 − 3 = 2. − 3(4 − 3) + 5(3 − 6) =

3. - 6 + 5[2 + 4(3 − 4)] =

5 1 4. − (4 − 3) 2 + (3 + ) = 3 4 4−5 6. −4= 3

1 5. - (2 − ) 2 − (3 + 5 − 1) = 3 1 −3 +5 −6 7. − 2 + 4 = 3 3 9. -

2 2

8. - 2 + 2 − 3 + 4 2 = 1 +7 10. − 5 = 2 4 − 3 6 −

+3=

3 − 6 2  11. -  − 6 =   4 − 5 4  3.- Realiza cada una de las siguientes operaciones indicando en cada paso la propiedad de los números reales usada

a) (2 − 3)(−5)

b) 2a 2 (a + 1)

c) (2 − 2 )(5 + 2 )

(

d) 3 + 3

)

2

4.- Realiza las siguientes operaciones, sustituye el valor que toma la literal antes y después de efectuar la operación, por ejemplo:

69

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. a) 4(b − 5)

tomando b = 2

b) (2a − 3)(a − 1)

c)

c + 2c 3

tomado a =

1 3

tomando c = 2

4 2 d) 8( − ) a a

tomando a = −

2 5

5.- Efectúe las operaciones y simplifique el resultado

a) (3a 2b) 2 (2ab 3 )  23 32 a b c)   a 2b 

   

3 

 2  i)  (a 3 b − 2 ) 3    r −1 + s −1 (rs) −1

m)

3

ñ) p)

r)

4

d)

6r 3 y 2 2r 5 y

2

1 4  xy −1   x 3 y 2    g)    ÷  z   z 

k)

(3 x 2 y −3 ) −2 x−5 y

6

p  e) (−2 p q )  2   4q  2

b)

f) c 2

−4

3 1 3 c 2c 6

 − 64 x 3  h)  6 9   z y 

− .1

j)

2

3

(3u 2 v 5 w − 4 )3 (2uv − 3 w 2 ) 4

l) (u + v) 3 (u + v) − 2

( x 4 y −1 ) 6

n)

3

8 x5 y 3 z 4

a 2b 3 c

o)

3

4x2 y 3 2x5 y 2

(−4a 3b 2 c) 2

q)

12 x 4 y

 1  1  − 1 t t 

s) ( x + x + 1) 2

2 5

3x y

6.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones

a)

1− x

b)

1+ x 7.- Efectúa las operaciones indicadas

70

1 a + a+2


a) (3 x 2 − 4 x 2 + x − 7) + ( x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 + 5) b) (4 z 4 − 3 z 2 + 1) − z ( z 3 + 4 z 2 − 4) c) ( x + 4)( x + 3) − (2 x − 1)( x − 5) d) ( 4 x − 5)(2 x 2 + 3 x − 7) e) (3 y 3 − 2 y 2 + y + 4)( y 2 − 3) f) (3 x + 2)( x − 5)(5 x + 4) g) ( a − b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 )

h)

i)

x 4 + 3x 2 + 6 x − 6 x2 + 2 9 p 4 − 6 p 2 q 4 + 5 p 3q 2 3 p 2q 2

8.- Realiza las siguientes operaciones a) (3a − 5b)(2a + 7b) b) (13a 2 + 4b)(13a 2 − 4b) c) ( 4r 2 − 3s ) 2 1 d) (2a + b) 3 3 e) ( a + b + c ) 3

f) ( 2 x

1

2

+

1 2 ) 5

g) (a 3 − a −3 ) 2 h) ( x −1 + xy 2 )( x −1 − xy 2 )

9.- Factorice cada una de las siguientes expresiones

71


a) 2 x 2 y + 8 xy 2

b) 28 x 2 + 4 x − 9

c) 8 x 3 + 64 y 3

d) x 4 − 8 x 3 + 16 x 2

e) 2wy + 3 yx − 8wz − 12 zx

f) x 2 − 5

g) 2c 3 − 12c 2 + 3c − 18

h) x 2 + 4 x + 4 − 16 y 2

i) x 2 +

2 1 x+ 5 25

j) 9 y 4 − 64 x 8

16.- Simplifique las siguientes expresiones

a)

6x 2 − 7 x − 5 4x 2 + 4x + 1

b)

6 x 2 − 5x − 6 2 x 2 − 3x ÷ x+2 x2 − 4

c)

2 5 − 4 x − 5 10 x + 1

d)

7 3x 5 + − x + 2 ( x + 2) 2 x

e)

x + x−2 1 + x−2

f)

1 2 3 − 2 − x x + x x+3

3

1

g) ( x 2 + 1) 2 (4)( x + 5) 3 + ( x + 5) 4 ( 3 2 )( x 2 + 1) 2 (2 x)

h)

(4 − x 2 )( 13 )(6 x + 1)

−2

3 (6) − (6 x

1

+ 1) 3 (−2 x)

(4 − x 2 ) 2

72

Curso de Algebra y Trigonometría tría para Ingeniería.

UNIDAD IV

TRIGONOMETRIA

73


ACTIVIDAD 29 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. OBJETIVO.- Definir ángulo y manejar las diferentes formas de expresar sus medidas. Entre los egipcios y los chinos, más de un milenio antes de Jesucristo, pueden hallarse los primeros albores de la Trigonometría; sin embargo, esta ciencia propiamente hace su aparición con Hiparco, cerca de 150 años antes de nuestra era. Este sabio justamente considerado como la máxima autoridad entre los astrónomos griegos y el astrónomo más grande de la antigüedad. Conoció la fórmula Sen2x+Cos2x=1. Etimológicamente, la palabra Trigonometría significa medida de los triángulos, es decir el cálculo de alguno o algunos de sus elementos. Puede definirse de la siguiente manera: Es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo de los elementos desconocidos en el triángulo. Un ángulo es la abertura comprendida entre la posición inicial y la posición final de una recta que ha girado alrededor de uno de sus puntos, permaneciendo siempre en el mismo plano. lado terminal

+

lado inicial

Existen básicamente dos formas de expresar la medida de un ángulo: La primera corresponde al sistema sexagesimal y la segunda al sistema cíclico. En el sistema sexagesimal, el ángulo unidad es el ángulo de un grado, es decir, es el ángulo que : correspondes a ;<= del perímetro de la circunferencia, de tal manera que un ángulo puede medir ente 0º y 360º, asimismo se tiene que 1º=60’ (minutos) y que 1’=60’’ (segundos) Mientras que en el sistema cíclico, el ángulo unidad, llamado unidad cíclica o unidad de medida circular, es el ángulo central de una circunferencia cualquiera, cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a la del radio. De ahí el nombre de radiante o radián. En una circunferencia tenemos que su perímetro es > 2 #, si se divide el perímetro entre el radio se tiene en número de radianes en la circunferencia GHI ? A*B .-CD-E 360F entonces #/1 57.29. . K#/1LM @ B

Lo cual se puede escribir 180º = π rad, esta equivalencia la podemos usar para hacer conversiones de ángulos, por ejemplo, convertir 60º a radianes #/1 60F #/1 180F 3 7 Si se quiere transformar #/1 a grados: * 3 180F #/1 270F 2 #/1

De acuerdo a lo anterior podemos expresar la circunferencia de la siguiente forma

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Ejercicio 1: Expresar en medida cíclica los siguientes ángulos: a) 75° b) 37.24° c) 58° 25' d) 71° 27' 56'' Ejercicio 2: Expresar en grados los ángulos dados en unidades cíclicas: a).-

7 8

#/1

b).- 3.5 #/1 c).- 1.234 rad Ejercicio 3: Hallar el número de grados de los siguientes ángulos dados en funciones de π radianes: a).- 3π/7

b).- 15π/8

c).- 51π/19

Ejercicio 4: Expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: a).- 59.25°

b).- 12.2358°

c).- 50.798°

Ejercicio 5: Expresar en función de π radianes los siguientes ángulos: a).- 72°

b).- 330°

c).- 18°

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d).- 22.5°


ACTIVIDAD 30 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

OBJETIVO.-Definir las funciones trigonométricas de diferentes ángulos, a partir de un triángulo dado. Las razones o funciones trigonométricas son expresiones matemáticas que contienen razones entre los lados de un triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. A c b

C a B En el triángulo dado, A B y C son los ángulos y a, b y c son los lados .Por lo cual las funciones trigonométricas del ángulo B, son: Seno es la razón del cateto opuesto al ángulo, a la hipotenusa: cateto opuesto b sen B = = hipotenusa c Coseno es la razón del cateto adyacente al ángulo, a la hipotenusa: cateto adyacente a cos B = = hipotenusa c Tangente es la razón del cateto opuesto al ángulo, al cateto adyacente. cateto opuesto b tan B = = cateto adyacente a Cotangente es la razón del cateto adyacente al ángulo, al cateto opuesto: cateto adyacente a cot B = = cateto opuesto b Secante es la razón de la hipotenusa, al cateto adyacente: hipotenusa c sec B = = cateto adyacente a Cosecante es la razón de la hipotenusa, al cateto opuesto: hipotenusa c csc B = = cateto opuesto b Otra relación entre los lados de un triangulo rectángulo la establece el teorema de Pitágoras, * el cual se escribe N * /* . Los ángulos interiores de cualquier triángulo cumplen que su suma es igual a 180ª Si se conoce una función trigonométrica es posible obtener las otras, por ejemplo si 7 MO2 % , obtener las funciones restantes par el ángulo A. Formando el triángulo: 8

c=5 a=3 b

A

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Usando el teorema de Pitágoras calculamos el lado b, entonces: 6 7 8 cos % tan % sec % csc % 8

6

6

√N *

/*

8

√25 cot %

7

9

√16

4

6 7

Ejercicio 1.-Dada una función trigonométrica de un ángulo, calcular el valor de las otras funciones con los datos siguientes: 20 3 1) senB = 2) cos B = 29 10

3) csc B =

37 12

4) tan B =

17 9

5) cot B =

5 14

6) sec B = 10 .

Si se tiene el valor de la función trigonométrica es posible obtener el ángulo que le corresponde, esta operación se representa si MO2 % W entonces % /#N MO2 W, generalmente esta operación se realiza en una calculadora, por ejemplo si MO2 % 0.5 se tiene que % /#N MO2 0.5 30F Ejercicio: 1.- Determine el valor del ángulo que le corresponde a los valores de las funciones trigonométricas del ejercicio anterior. Para ángulos mayores de 90º, debemos considerar un círculo unitario en el cual " Y MO2 X

cos X y

Se observa que los signos de las funciones trigonométricas corresponden a las coordenadas del punto > ", Y ,

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Algunos valores de ángulos

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ACTIVIDAD 31 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.

OBJETIVO.- Aplicar las funciones trigonométricas para obtener elementos que se desconocen en un triángulo rectángulo. Resolver un triangulo rectángulo es obtener los elementos faltantes partiendo de que se conocen algunos de ellos, dependiendo de los datos se pueden usar las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Consideremos que se tiene un triángulo donde a=10 y c=15, se debe calcular el valor de b y los ángulos A y B, dibujando el triángulo B c=15 a=10 b

A

El lado b se calcula usando el teorema de Pitágoras √N * /* √15* de un ángulo se obtiene con una función trigonométrica, usando MO2 % tanto %

/#N MO2 0.666

41.76F el valor del otro ángulo se calcula [

90F

10* Z

GI G8

%

√125 , el valor 0.666 por lo 48.24F

Ejercicios: 1.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos si se conoce la siguiente información: a) a=12, b=10 b) a=25 B=35º c) b=20 c=40 d) c=50 B=45º 2.- Resuelva los siguientes problemas: a).- Una escalera de 9 m está apoyada contra una pared. ¿Qué altura alcanza si forma con el o

suelo, un ángulo de 72 ?

b).- Un árbol de 17 m de altura proyecta una sombra de 25 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte del lugar?

c).- El pie de una escalera de 10 m, apoyada contra una pared queda a 3 m de ésta. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

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ACTIVIDAD 32 LEY DE SENOS

OBJETIVO.- Conocer el enunciado de la Ley de Senos y su aplicación en el cálculo de elementos desconocidos de un triángulo. Ahora analicemos expresiones trigonométricas más generales que el Teorema de Pitágoras, que nos permiten conocer las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos. La ley de senos establece que. "En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos

de los ángulos opuestos, o sea"

a b c = = senA senB senC B

c

a

A

C b

Pueden presentarse diferentes casos: 1) Se conoce un lado y dos ángulos. 2) Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados. Ejemplo 1.- Si conocemos que a=23 , A=37° y

B=104°. Encontrar el valor del lado b.

a b c a b De la expresión general = = , tomaremos = senA senB senC senA senB Despejando

b=

asenB (23)(0.9980) 22.954 = = = 41.81 senA 0.5490 0.5490

Ejemplo 2.- Dados c=14 , b=17

y

C =35° .Calcular el ángulo B

b c = , y despejando primero sen B senB senC bsenC 17( sen35°) 17(0.5735) 9.7507 obtenemos senB = = = = = 0.6964 c 14 14 14

Tomando de la expresión general solamente

Por lo tanto B=arc Sen (0.6964)=44.13°=44°7´ Ejercicio 1.- Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, en que se da: a) a=12.30, b) c=95, c) b=81,

B=38°20´, A=27°33´, A=80° ,

C=77°10´ C=59°58´ B=2° 15´

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ACTIVIDAD 33 LEY DE COSENOS.

OBJETIVO.- Conocer el enunciado de la ley de Cosenos, manejar su deducción y aplicarla a situaciones de carácter práctico. La ley de cosenos establece que En todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual: a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto, dividido entre el doble producto de los lados que forman dicho ángulo. Consideremos el siguiente triángulo:

B c

a

A

C b

b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 ..........(1) CosB = CosC = 2bc 2ac 2ab Simplificando las fórmulas anteriores podemos obtener nuevas expresiones: CosA =

a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB c 2 = a 2 + b 2 2abCosC ....(2) Las expresiones anteriores se pueden generalizar de la siguiente manera:

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman. Ejemplo 1.- Resolver el triángulo ABC, dados : a=31 m, b=42 m y c=53 m. Incógnitas A,B y C. Primero podemos obtener el valor del ángulo A, usando la expresión CosA =

b2 + c2 − a 2 2bc

.

42 2 + 53 2 − 312 3612 = = 0.8113 . 2(42)(53) 4452 −1 Por lo tanto: A = cos (0.8113) = 35.77° = 35°48´ Sustituyendo valores se obtiene

CosA =

El ángulo B se puede conocer de: CosB

=

a 2 + c 2 − b 2 312 + 53 2 − 42 2 2006 = = = 0.6104 2ac 2(31)(53) 3286

B = cos −1 (0.6104) = 52.38° = 52°22´ Para obtener el ángulo C, usemos el Teorema A+B+C=180° y despejemos C=180°-(A+B)=180°-88.15°=91.85° Para casos similares, se pueden utilizar las expresiones en (1). Ejemplo 2.- Encontrar el valor del lado a, sabiendo que b=23, c=14 y A=46°.

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Para este caso usaremos la expresión

a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA

a 2 = 232 + 14 2 − 2(23)(14)Cos(46°) = 529 + 196 - 644(0.7501) = 725 - 483.07 = 241.92 Extrayendo la raíz cuadrada obtenemos a = 241.92 = 15.5537 De manera similar se pueden usar las otras expresiones para los cuadrados de los lados. Ejercicios: 1.- Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, en que se da: a) a=4, b=5, c=6. b) a=26.64, b=37.40 , c=50.22. c) a=310, b=276, c=187 d) b=30.72, c=22.25, A=56° 28´ e) a=89, c=67, B=37° f) a=76, b=90, C=23° 56´ 2.- En la siguiente figura calcular la altura de la torre:

30ª 35ª 40m 3.- Calcular los ángulos A y B, así como la longitud de los cables c y d

c

d 20m

A

B 25 m

15 m

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ACTIVIDAD 34 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS. OBJETIVO.-Definir que es una identidad trigonométrica y poner en práctica su demostración. En trigonometría, además de las funciones trigonométricas se usan con mucha frecuencia las identidades trigonométricas, las cuáles se pueden definir como una igualdad

entre expresiones que contienen funciones trigonométricas de un mismo ángulo, que se verifica o se cumple para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Algunas de las identidades básicas más importantes son:

Tomando como base las identidades anteriores se pueden demostrar otras, para esto hay que efectuar en el primer miembro todas las operaciones que sean necesarias, sin efectuar cambio ninguno en el segundo, hasta que los dos miembros sean idénticos. Por ejemplo: Comprobar la siguiente identidad (tan α + cot α ) sen α cos α = 1.

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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería. senα cos α + ) senα cos α = 1 cos α senα sen 2α + cos 2 α senα cos α = 1 senα cos α 1 senα cos α = 1 senα cos α 1=1 I.- Comprobar las siguientes identidades trigonométricas: (

1) cos 2α − sen 2α = 2 cos 2 α − 1

2) sen 2α = (1 + cos α )(1 − cosα ).

3) secα sen(90o − α ) = 1.

4) (1 + cot 2 α ) cos 2 α = cot 2 α .

5)

tan 2 α − sen 2α cot 2 α − cos 2 α

= tan 6 α

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V.- BIBLIOGRAFIA.

1.- ALGEBRA. Rees y Sparks Editorial Reverté. 2.- PRECALCULO James Stewart Mc Gra-Hill 3.- ALGEBRA CON TRIGONOMETRIA Swokowski Grupo Editorial Iberoamérica. 4.- ALGEBRA UNIVERSITARIA Gordon Fuller CECSA. 5.- FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS BASICAS Aponte Adisson Wesley. 6.- TRIGONOMETRIA RECTILINEA Agustín Anfossi Editorial Progreso. 7.- TRIGONOMETRIA PLANA Ayres Serie Schaum. 8.- FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS Silva y Lazo 9.- SOFTWARE Derive 10.- CONSULTA DE PAGINAS DE INTERNE Applets de Algebra y Trigonometría

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curso-de-algebra-y-trigonometria3.pdf

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