Zanoschi Adrian
Ilie Gheorghe
Sava Radu
Nechita Vasile
Ionesei Silviana
Cianga Mihaela
Precupanu Codrin
Nechita Remus
Miron Smaranda
Nistor Gheorghiţă
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ PENTRU CLASELE a III-a şi a IV-a
LECŢII, TESTE, SUBIECTE DE CONCURS
Coordonatori: Ilie Gheorghe şi Zanoschi Adrian Cianga Mihaela:
metoda falsei ipoteze, probleme de perspicacitate, teorema împărţirii cu rest, testele 26-30.
Ilie Gheorghe:
metoda mersului invers, principiul cutiei
Ionesei Silviana:
metoda comparaţiei, testele 31-35.
Miron Smaranda:
teorema împărţirii cu rest.
Nechita Remus:
operaţii aritmetice, testele 1-5.
Nechita Vasile:
metoda reducerii la absurd, operaţi aritmetice, testele 21-30.
Nistor Gheorghiţă:
testele 1-5.
Precupanu Codrin:
metoda reducerii la absurd, testele 16-20.
Sava Radu:
metoda figurativă, probleme de geometrie, probleme de numărare, testele 6-10.
Zanoschi Adrian:
metoda mersului invers, probleme de numărare, principiul cutiei, testele 11-16.
Tehnoredactare: Zaharia Mariana, Sava Radu Coperta: ISBN:
3
CUPRINS Metoda comparaţiei ...........................................................................
4
Metoda figurativă ...............................................................................
7
Metoda falsei ipoteze .........................................................................
12
Metoda mersului invers .....................................................................
14
Metoda reducerii la absurd ................................................................
17
Probleme de numărare .......................................................................
19
Principiul cutiei ..................................................................................
24
Probleme de perspicacitate ................................................................
27
Probleme de geometrie ......................................................................
31
Operaţii aritmetice .............................................................................
37
Teorema împărţirii cu rest .................................................................
47
Teste ..................................................................................................
51
Probleme de concurs ..........................................................................
96
Indicaţii şi răspunsuri .........................................................................
107
4
LECŢII METODA COMPARAŢIEI 1. Radu cumpără cu 14 lei trei caiete de matematică şi două de desen. Dacă ar fi cumpărat trei caiete de matematică şi patru de desen ar fi plătit 22 lei. Cât costă un caiet de fiecare fel? Soluţie: Notăm preţul unui caiet de matematică cu m şi cu d cel al unui caiet de desen. Avem relaţiile: 3m + 2d = 14 lei 3m + 4d = 22 lei Scăzând membru cu membru cele două relaţii obţinem că 2d = 8 lei. Deci un caiet de desen costă 4 lei şi urmează că preţul unui caiet de matematică este (14 − 8 ) : 3 = 2 lei. 2. Dacă 2 kg de mere şi 3 kg de portocale costă 23 lei, cât costă 6 kg de mere şi 9 kg de portocale de aceeaşi calitate? Soluţie: Dacă 2m + 3 p = 23 ⇒ 3 ⋅ ( 2m + 3 p ) = 23 ⋅ 3 = 69 lei, unde m este preţul unui kg de mere, iar p, cel al unui kg de portocale. 3. Într-o zi din vacanţa de vară 12 băieţi şi 6 fete din clasa a IV-a au cules 150 kg cireşe. A doua zi, 24 băieţi şi 13 fete au cules 305 kg cireşe. Câte kg de cireşe culege zilnic, în medie, o fată şi câte un băiat? Soluţie: Fie f numărul de kg pe care îl culege zilnic o fată şi b, un băiat. Atunci: 6 f + 12b = 150 kg ⇒ 13 f + 24 ⋅ b = 305 kg ⇒ 12 f + 24b = 300 kg 13 f + 24b = 305 kg 1 f = 5 kg Se obţine apoi că 1b = 10 kg.
5 4. Dacă preţul unei cărţi este cât preţul unui stilou şi a două caiete la un loc, iar 3 stilouri costă cât 7 caiete, aflaţi câte cărţi se pot cumpăra în locul unui stilou şi 15 caiete la un loc. Soluţie: Fie ct = preţul unei cărţi, st = preţul unui stilou, iar c = preţul unui caiet. Atunci: 1ct = 1st + 2c / ⋅3 ⇒ 3ct = 3st + 6c Dar 3st = 7c şi obţinem că 3ct = 13c . Din prima relaţie obţinem adunând membru cu membru că 4ct = 1st + 15c . Răspunsul este: 4 cărţi. 5. Se ştie că 8 pixuri şi 20 CD-uri costă 36 lei. Cât vor costa 2 pixuri şi 5 CD-uri? 6. Suma a două numere este 65, iar suma dintre dublul primului număr şi triplul celui de-al doilea este 170. Care sunt cele două numere? 7. La o cofetărie 1kg de tort costă cât 3 kg de fursecuri. Maria cumpără 4 kg de fursecuri şi un tort de 2 kg, plătind în total 70 lei. Cât costă un kilogram de fursecuri? Dar un tort de 3 kg ? 8. 5 cărţi şi 3 albume foto costă 195 lei, iar 3 cărţi şi 5 albume costă 165 lei. Aflaţi cât costă o carte şi cât costă un album. 9. 11 bile albe şi 7 bile negre cântăresc 166 g, iar 15 bile albe şi 10 bile negre cântăresc 230 g. Cât cântăreşte o cutie cu 5 bile albe şi 5 bile negre, dacă cutia goală are 200 g ? 10. Pentru 5 kg de roşii şi 7 kg de castraveţi s-au plătit 58 lei, iar pentru 3 kg de roşii şi 8 kg de castraveţi s-au plătit 50 lei. Ştiind că pentru 16 kg de roşii şi castraveţi la un loc s-au plătit în total 78 lei, să se afle câte kilograme de fiecare fel s-au cumpărat. 11. Numerele naturale a, b, c îndeplinesc condiţiile: 2a + b + 5c = 305 , a + 2b + +10c = 550 . Dacă 10b = 3c , care sunt cele trei numere? 12. 4 kg de mere costă cu 16 lei mai puţin decât 6 kg de portocale. Ştiind că pentru 2 kg de mere şi 5 kg de portocale s-au plătit 24 lei, aflaţi cât costă un kilogram din fiecare. 13. Nişte fetiţe au două acadele şi patru pere fiecare, iar băieţii au cinci acadele şi trei pere fiecare. Toţi copii au 12 acadele. Câte pere au în total copiii?
6 14. Trei stilouri costă cât cinci creioane, iar preţul unei cărţi este cât preţul unui stilou şi a unui creion la un loc. Aflaţi câte cărţi pot fi cumpărate cu preţul unui stilou şi a nouă creioane la un loc. 15. Determinaţi valoarea expresiei E = a + 2b + 3c + 4d ştiind că a + b + c + d = = 36, b + c + d = 20, c + d = 15, iar d = a : 2 + b : 5 . 16. Simona are 7 bomboane, o ciocolată şi 5 napolitane care cântăresc 235 g, iar Robert are o bomboană, 7 ciocolate şi 3 napolitane în greutate de 445 g. Cât cântăresc împreună 3 ciocolate şi o napolitană? 17. 2 perechi de pantofi şi 3 cămăşi costă 230 lei, iar 3 perechi de pantofi şi 2 cămăşi costă 270 lei. Cât costă 7 perechi de pantofi şi o cămaşă? 18. Pentru confecţionarea unui pardesiu se folosesc tot atâţia metri de stofă cât pentru un sarafan şi două fuste la un loc. La confecţionarea unei fuste se foloseşte jumătate din numărul de metri necesari pentru un sarafan. Câte pardesie se pot obţine din stofa destinată pentru 6 sarafane şi 12 fuste? 19. Pentru o bibliotecă s-au cumpărat 9 dulapuri, 16 mese şi 64 scaune. O masă, un scaun şi un dulap costă 2808 lei. Ştiind că o masă costă cât trei scaune, iar un dulap costă cât trei mese, aflaţi valoarea mobilierului achiziţionat. 20. Doi trandafiri costă cât trei crizanteme sau cât cinci garoafe, iar şase trandafiri şi cinci crizanteme costă 56 lei. Cât a plătit Radu pentru 5 crizanteme, 5 trandafiri şi 5 garoafe?
7
METODA FIGURATIVĂ
1. Suma a două numere naturale impare este 24, iar diferenţa lor este o cifră. Să se afle numerele. Soluţie: Notăm cu a şi b cele două numere şi cu d diferenţa lor. O reprezentare grafică este:
Din enunţ rezultă: a + b = 24, b = a + d a = ( 24 − d ) : 2 .
şi ca urmare 2 ⋅ a + d = 24
⇒
Diferenţa a două numere impare este un număr par. Deci d este o cifră pară, adică d poate lua valorile 0, 2, 4, 6 sau 8. Distingem următoarele situaţii: I. d = 0 ⇒ a = 12, b = 12 , soluţie care nu convine (a şi b trebuie să fie impare!). II. d = 2 ⇒ a = 11,b = 13 o primă soluţie. III. d = 4 ⇒ a = 10, b = 14 , soluţie care nu convine. IV. d = 6 ⇒ a = 9, b = 15 , a doua soluţie. V. d = 8 ⇒ a = 8, b = 16 , soluţie care nu convine. 2. Într-un coş se află 24 fructe: mere şi pere. Ştiind că numărul merelor este de trei ori mai mare decât numărul perelor, să se afle în câte moduri putem lua din coş, o pară şi un măr? Soluţie: Notăm cu m numărul merelor şi cu p numărul perelor. Din enunţ rezultă că m + p = 24 şi m = 3 ⋅ p . O reprezentare grafică este:
Obţinem: 4 ⋅ p = 24 ⇒ p = 24 : 4 = 6 pere şi 18 mere. Un măr se poate alege în 18 moduri, iar o pară în 6 moduri. Ca urmare un măr şi o pară se pot lua din coş în 6 ⋅18 = 108 moduri.
8 3. Perimetrul unui dreptunghi este de 96 cm. Dacă lăţimea se micşorează cu 8 cm ea devine de trei ori mai mică decât lungimea. Să se afle dimensiunile dreptunghiului. Soluţie: Notăm cu L lungimea şi cu l lăţimea. Din datele problemei rezultă L + l = 48 şi L = 3 ⋅ ( l − 8 ) . Cum L + ( l − 8 ) = 40 sugerăm reprezentarea grafică.
Obţinem: 4 ⋅ ( l − 8 ) = 40 ⇒ l − 8 = 40 : 4 ⇒ l = 10 + 8 = 18 cm şi L = 48 − 18 = 30 cm. 4. Un vas plin cu apă cântăreşte 32 kg. Vasul umplut cu apă doar la jumătate din capacitate sa cântăreşte 17 kg. Cât cântăreşte vasul gol? Soluţie: Notăm cu v greutatea vasului gol şi cu a jumătate din greutatea apei ce încape în vas. Din enunţ rezultă: v + 2a = 32, v + a = 17 . O reprezentare grafică poate fi:
⇒ a = 15 ⇒ v = 32 − 2 ⋅15 = 2 kg . 5. Un zugrav stă pe o scară şi observă că sub treapta pe care stă sunt tot atâtea trepte câte sunt deasupra sa. Zugravul coboară trei trepte şi constată că, acum, deasupra treptei pe care stă sunt de trei ori mai multe trepte decât sub aceasta. Câte trepte are scara? Soluţie: Iniţial zugravul are un număr egal de trepte sub el şi deasupra sa. Notăm cu a acest număr. Scara are deci 2 ⋅ a + 1 trepte. După ce coboară trei trepte, din datele problemei rezultă că a + 3 = 3 ⋅ ( a − 3) .
9
Rezultă că a + 12 = 3 ⋅ a .
Deci 2 ⋅ a = 12 ⇒ a = 6 , deci scara are 13 trepte. 6. Suma unor numere naturale consecutive este 15. Aflaţi numerele. Câte soluţii are problema? 7. Într-o vază sunt cu trei trandafiri roşii mai mulţi decât trandafiri galbeni. De asemenea numărul trandafirilor roşii este de două ori mai mare decât numărul trandafirilor galbeni. În câte moduri se poate face un buchet format din doi trandafiri galbeni şi unul roşu cu florile din această vază? 8. Tatăl are acum de trei ori mai mulţi ani decât fiul său Andrei, dar peste 12 ani tatăl va avea doar de două ori vârsta fiului. Ce vârstă are fiecare? 9. Dan a cheltuit la librărie 125 de lei, cumpărând un creion mecanic, ultimul volum din seria Harry Potter şi un memory stick de 2 Gb. El observă că stick-ul este de şapte ori mai scump decât creionul şi cu 5 lei mai ieftin decât cartea. Cât costă fiecare din produsele cumpărate de Dan? 10. Gheorghiţă are 142 timbre, iar Codrin are 56 timbre. Câte timbre trebuie să-i dea Gheorghiţă lui Codrin pentru a avea de două ori mai multe timbre decât acesta ? 11. Patru copii au avut iniţial fiecare aceeaşi sumă de bani. După ce primul a cheltuit 90 de lei, al doilea 120 de lei, al treilea 150 de lei, al patrulea 153 de lei, le-au rămas la un loc tot atâţia bani cât avusese fiecare dintre ei la început. Câţi lei a avut fiecare copil?
10 12. Un elev are de rezolvat un număr de probleme într-un anumit număr de zile. Dacă ar rezolva 6 probleme pe zi, i-ar rămâne nerezolvate 4 probleme, iar dacă ar rezolva 8 probleme pe zi, pentru ultima zi i-ar rămâne de rezolvat doar două probleme. Câte probleme a avut de rezolvat elevul? 13. Suma dinte un număr par şi unul impar este 101, iar diferenţa lor este o cifră. Aflaţi cele două numere. 14. Într-un acvariu sunt 17 peşti exotici: zebre şi sanitari. Numărul peştilor zebră este cu trei mai mare decât numărul peştilor sanitari. Să se afle câte posibilităţi sunt să luăm doi peşti diferiţi din acvariu. 15. O frânghie de 86 m a fost tăiată astfel încât una din ele să fie cu 24 m mai mare decât cealaltă. Câţi metri are fiecare parte? 16. Într-o parcare sunt oameni şi maşini cu câte cinci sau patru locuri. În total, numărul maşinilor şi al oamenilor este 21 iar oamenii au ocupat toate maşinile cu cinci locuri la capacitate maximă, cele cu patru locuri rămânând goale. Care este numărul maxim de oameni aflaţi în parcare ? Dar numărul maxim de maşini? 17. Suma a trei numere consecutive este cuprinsă între 40 şi 45. Să se afle numerele. 18. În care lună a anului 2008 dacă adunăm numerele ce reprezintă data ultimelor cinci zile obţinem 135 ? 19. Suma unor numere impare consecutive este 32. Să se afle numerele. Câte soluţii are problema? 20. Raluca are de două ori mai multe bomboane decât Corina. Dacă Raluca mănâncă 4 bomboane, iar Cristina mănâncă trei bomboane, Raluca va avea de trei ori mai multe bomboane decât Corina. Câte bomboane are Raluca şi câte bomboane are Corina? 21. Mirela întocmeşte tabelul cu elevii care pleacă în excursie în Maramureş. Ea observă că, iniţial, numărul fetelor era egal cu dublul numărului băieţilor. Între timp s-au mai înscris 7 fete, iar 4 dintre băieţi au renunţat la excursie, numărul fetelor fiind, în final, triplul numărului băieţilor. Câţi elevi au plecat în excursie în Maramureş?
11 22. Dacă într-o sală de clasă se aşează câte 2 elevi într-o bancă, rămân 3 elevi în picioare, iar dacă se aşează câte trei rămân 4 bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci sunt în clasă? 23. Anica, florăreasa, vinde azi lalele albe şi roşii, în total 78 de flori. Ea face buchete din 3 lalele albe şi 4 lalele roşii şi buchete din câte trei lalele roşii, folosind astfel toate florile. Ştiind că Anica a obţinut 14 buchete de flori, să se afle câte lalele albe şi câte lalele roşii a avut la dispoziţie. 24. Un excursionist se află la jumătatea traseului pe care îl are de parcurs. Pentru ziua următoare îşi propune să parcurgă 12 km şi constată asfel că mai are de parcurs din traseu un sfert din lungimea traseului pe care şi l-a propus. Să se afle lungimea întregului traseu. 25. Un tată în vârstă de 41 de ani are 4 fii: de 8 ani, de 6 ani, de 4 ani şi de 2 ani. Peste câţi ani tata va avea vârsta egală cu suma vârstelor fiilor lui? 26. La petrecerea de Crăciun au fost 30 de copii băieţi şi fete. Primul dintre băieţi a adus cadouri pentru 5 fete, al doilea băiat a adus cadouri pentru 6 fete, şi aşa mai departe, ultimul băiat a adus cadouri pentru toate fetele. Care este numărul de fete şi de băieţi? 27. La un restaurant, pentru masa festivă de Revelion s-au cumpărat portocale şi mere, în total 244 de bucăţi. După ce s-au aşezat pe mese 40 de mere şi 24 de portocale, au rămas de două ori mai multe mere decât portocale. Câte mere şi câte portocale s-au cumpărat? 28. O maşină a parcurs distanţa dintre două oraşe în 4 ore. Dacă viteza maşinii ar fi fost cu 25km/h mai mică, atunci ea ar fi parcurs aceeaşi distanţă în 6 ore. Aflaţi viteza maşinii şi distanţa dintre oraşe. 29. Din două localităţi A şi B situate la 160 km distanţă se deplasează unul spre celălalt: un autoturism din A spre B cu viteza de 70 km/h şi după o oră de la plecarea sa un biciclist cu viteza de 20 km/h din B spre A. După cât timp autoturismul şi biciclistul se întâlnesc? 30. O persoană se angajează la o lucrare în următoarele condiţii: pentru fiecare zi lucrată primeşte 5€ şi pentru ficare zi absentată primeşte amendă de 7€. După 24 de zile constată că nu a câştigat nici un euro, dar nici nu este dator. Câte zile a absentat de la lucru persoana?
12
METODA FALSEI IPOTEZE
Problemele care se rezolvă cu metoda falsei ipoteze constau în împărţirea aceleiaşi cantităţi într-un număr constant de grupe, iar cantităţile aflate în fiecare grupă sunt de două categorii. Problemele sunt de două tipuri: 1) Cele în care se dau: cantitatea totală, numărul total de grupe şi cele două categorii de cantităţi din fiecare grupă şi se cere să aflăm câte grupe sunt din fiecare categorie. 2) Problemele numite de redistribuire, în care cunoaştem cantităţile pe grupe din cele două categorii, se descriu două feluri de distribuire şi se cer cantitatea totală şi numărul total de grupe. În ambele cazuri numărul de grupe va fi câtul a două diferenţe: dintre două cantităţi totale şi dintre cantităţile din fiecare grupă. 1. Ana a făcut 10 depuneri la bancă, unele de 40 de lei altele de 70 de lei, în total 610 lei. De câte ori a depus 40 de lei? Soluţie: Dacă ar fi depus de fiecare dată câte 70 lei ar fi avut 70 ⋅10 = 700 lei, deci cu 90 lei mai mult. Diferenţa a apărut deoarece unele depuneri au fost cu 70 − 40 = 30 lei mai mici. Câte astfel de diferenţe compensează diferenţa totală? 90 : 30 = 3. Deci trei depuneri au fost de 40 lei. 2. Într-un amfiteatru se află un număr de bănci şi la cursul de logică participă un număr de studenţi. Dacă s-ar aşeza câte 5 studenţi pe o bancă ar rămâne 7 în picioare, iar dacă s-ar aşeza câte 7 ar rămâne 4 bănci neocupate şi una cu doar 2 studenţi. Câte bănci sunt în amfiteatru şi câţi studenţi participă la cursul de logică? Soluţie: Presupunem că am completa amfiteatrul cu studenţi aşezaţi câte 7 în bancă. Diferenţa dintre numărul de studenţi care ar încăpea aşezaţi câte 7 şi câte 5 respectiv este de: 7 (care stau în picioare aşezaţi câte 5) + 4 ⋅ 7 (care ar încăpea în băncile neocupate câte 7) + 5 (care ar completa banca în care sunt doar doi studenţi) = 40. Această diferenţă este egală cu diferenţa dintre numărul de elevi aşezaţi în fiecare bancă în cele două situaţii şi numărul de bănci. Deci sunt 40 : ( 7 − 5 ) = 20 de bănci şi 20 ⋅ 5 + 7 = 107 studenţi.
13 3. Un grup de 10 prieteni cumpără un cort pentru a-l folosi toţi. Dacă în grup ar mai veni 5 persoane, pe fiecare l-ar costa cu 100 lei mai puţin. Care este preţul cortului? Soluţie: O astfel de problemă este tot una de redistribuire, căci costul cortului se împarte întâi la 10, apoi la 15 persoane, iar diferenţa de bani care s-ar strânge în cele două cazuri plătind fiecare aceeeaşi sumă iniţială ar fi 100 ⋅15 = 150 lei. Aceasta acoperă diferenţa de (15 − 10 ) = 5 persoane. Deci fiecare din cei 10 are de contribuit cu 150 : 5 = 300 lei. Aşadar cortul costă 300 ⋅10 = 3000 lei. 4. Un copil are în insectar păianjeni (cu 8 picioare) şi cărăbuşi (cu 6 picioare). Ştiind că sunt 8 insecte având împreună 54 de picioare, aflaţi câţi păianjeni şi câţi cărăbuşi sunt în insectar. 5. De ziua sa Dan oferă bomboane colegilor de clasă. Dacă le dă câte două îi rămân lui 17 bomboane, iar dacă le dă câte trei, rămân 15 elevi cu câte 2 bomboane. Câţi elevi sunt în clasă şi câte bomboane a adus Dan? 6. Membrii grupei I a cercului de matematică rezolvă câte 7 probleme pe zi şi cei ai grupei a II-a câte 10 probleme pe zi. O echipă formată din 14 elevi a petrecut 8 zile într-o tabără de matematică; ei au rezolvat 1000 de probleme. Câţi elevi au fost din fiecare grupă? 7. La un aprozar s-au adus 30 kg de mere şi struguri. 1 kg de mere costă 5 lei, 1 kg de struguri costă 6 lei iar cantitatea totală valorează 160 lei. Ce cantitate din fiecare fel s-a adus? 8. Un sătean are în curte găini, raţe, oi şi capre, în total 50 capete şi 130 picioare. Dacă raţe sunt cu 5 mai puţine decât găini, iar oi cu 5 mai multe decât capre, aflaţi câte animale sunt de fiecare fel. 9. Într-un cămin, dacă se cazează câte doi elevi în cameră rămân 5 camere libere şi o cameră cu un singur elev. Dacă mai vin 39 de elevi şi sunt cazaţi toţi câte 3 în cameră, un elev nu are loc. Câţi elevi au fost iniţial şi câte camere are căminul? 10. Un turist şi-a propus să parcurgă traseul până la o cabană într-un anumit timp. Dacă va merge cu 4 km/h, ar întârzia cu o oră, iar dacă va merge cu 6 km/h va ajunge cu o oră mai devreme. Ce lungime are traseul şi în câte ore şi-a propus să-l parcurgă?
14
METODA MERSULUI INVERS 1. Determinaţi numărul , ştiind că:
. Soluţie: Vom folosi metoda mersului invers. Avem:
. 2. Elena are o sumă de bani. După ce dublează aceasta sumă, ea cheltuieşte 200 lei. Dublează restul şi apoi dă unei prietene 400 lei. Dublează noul rest, cleltuieşte 600 lei, dupa care constată că îi mai rămân 1000 lei. Ce sumă a avut Elena la început? Soluţie : Rezolvăm problema prin metoda mersului invers. a) După ce Elena a dublat cel de-al doilea rest, a avut 1000 + 600 = 1600lei, iar înainte de dublare, 1600 : 2 = 800 lei. După ce a dublat primul rest, ea a avut 800 + 400 = 1200 lei, iar înainte de dublare, 1200 : 2 = 600 lei. După ce a dublat suma iniţială, Elena a avut 600 + 200 = 800 lei. Aşadar, suma iniţială era 800 : 2 = 400 lei. b) Notând cu
suma iniţială, avem:
15
. 3. La un examen s-au susţinut trei probe. După prima teză, au fost eliminaţi o treime din participanţi şi un elev a renunţat. După a doua teză, au fost eliminaţi o cincime din cei ramaşi şi alţi 4 elevi s-au retras. La ultima probă au fost eliminaţi o pătrime din cei ramaşi. Câţi elevi s-au înscris iniţial la examen, dacă numai 48 de elevi au fost promovaţi la sfârşit? Soluţie: Cei 48 de elevi promovaţi reprezintă trei pătrimi din elevii care au susţinut ultima probă, deci numărul acestora din urmă este 64. Cum din numărul elevilor rămaşi după prima teză este egal cu 64 + 4 = 68, înseamnă că, după prima probă, au trecut ( 68 : 4 ) ⋅ 5 = 85 de elevi. În sfârşit, deoarece din numărul elevilor înscrişi reprezintă 85 + 1 = 86, rezultă că, iniţial, au fost 129 de elevi. 4. Ioana a plecat la cumpărături cu o sumă de bani. Ea a cumparat un palton, pe care a dat jumătate din sumă, iar cu un sfert din banii rămaşi si-a cumpărat o rochie. Câţi bani a avut Ioana la început, ştiind că a rămas cu 675 lei. 5. Dintr-un număr scadem 20. Dacă adunăm 30 la un sfert din diferenţa precedentă obţinem 50. Aflaţi numărul . 6. Un călător parcurge un drum în trei zile. În prima zi parcurge iar în a doua zi
din drum,
din drumul rămas. În a treia zi face ultimii 18 km. Ce
lungime are drumul? 7. Un număr de nuci au fost împărţite la trei copii astfel: primul copil a primit din numărul total de nuci şi încă 20 de nuci, al doilea din rest şi încă 35 de nuci, iar al treilea
din ce a mai rămas şi ultimele 84 de nuci. Câte
nuci au primit cei trei copii? 8. O femeie are un coş plin cu mere de vânzare. Primului client îi vinde jumătate din mere şi încă un măr, celui de-al doilea îi dă jumătate din
16 merele rămase şi încă 1 măr şi aşa mai departe. Câte mere au fost în coş, dacă au ajuns doar pentru exact 6 clienţi? 9. O persoană cheltuieşte o sumă de bani în patru zile, după cum urmează: în prima zi, jumătate din sumă, a doua zi, jumătate din rest, a treia zi, jumătate din noul rest, care era 200 lei. Aflaţi suma cheltuită de respectiva persoană. 10. Cu cele 48 de beţe ale unei cutii de chibrituri, un copil formează două grămezi, astfel încât prima gramadă să conţină mai multe chibrituri decât a doua. După aceasta, el ia din prima gramadă tot atâtea beţe câte erau în a doua şi le adaugă la aceasta. Apoi el ia din a doua gramadă tot atâtea chibrituri câte se aflau în prima şi le pune în aceasta. În final, copilul ia din prima gramadă tot atatea beţe câte erau în a doua şi le adaugă la aceasta. În urma modificărilor făcute de copil, cele două gramezi au acelaşi număr de chibrituri. Aflaţi câte chibrituri erau la început în fiecare din cele două grămezi.
17
METODA REDUCERII LA ABSURD
Metoda reducerii la absurd este un tip de raţionament prin care justificăm că o propoziţie este adevărată, indirect, arătând că negaţia ei este falsă. 1. Există 4 numere astfel încât a < b, b < c, c < d şi d < a . Soluţie: Presupunem, prin reducere la absurd, că există 4 numere cu proprietatea dată. Din a < b, b < c ⇒ a < c . Din c < d , d < a ⇒ c < a . Relaţiile obţinute nu pot avea loc simultan. Aşadar, presupunerea făcută este falsă. Prin urmare, nu există 4 numere, care să îndeplinească aceste condiţii ale problemei. 2. Într-un aprozar sunt 19 lăzi de mere de două calităţi. Să se arate că există cel puţin 10 lăzi de mere de aceeaşi calitate. Soluţie: Presupunem, prin absurd că nu există 10 lăzi de mere de aceeaşi calitate. Deci vor fi cel mult 9 lăzi de mere din fiecare calitate, adică în aprozar vor fi în total cel mult 9 ⋅ 2 = 18 lăzi de mere. Contradicţie cu enunţul problemei. Deci presupunerea este falsă, rezultând că există cel puţin 10 lăzi de mere de o calitate. 3. Într-o şcoală sunt 731de elevi. Arătaţi că există cel puţin 3 elevi care îşi serbează ziua de naştere în aceeaşi zi a anului (se consideră anul de 365 de zile). 4. La etapa locală a Olimpiadei de matematică, dintr-o clasă de 40 de elevi, 25 de elevi au rezolvat prima problemă, 30 de elevi au rezolvat problema a doua, 35 de elevi au rezolvat problema a treia şi 33 de elevi au rezolvat problema a patra. Să se arate că cel puţin 3 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme. 5. Fie 17 bile colorate. Să se arate că există 5 bile colorate la fel sau 5 bile de culori diferite. 6. Într-o cofetărie s-au primit 3 sortimente diferite de ciocolată în 16 lăzi, în fiecare ladă un singur sortiment. Să se arate că s-au primit dintr-un sortiment cel puţin 6 lăzi.
18 7. Din cei 40 de elevi ai unei clase, 25 joacă baschet, 30 joacă volei şi 35 joacă fotbal. Să se afle minimum de elevi care practică toate cele 3 sporturi. 8. Din cei 28 de elevi ai unei clase, care au intrat în cofetărie, 25 au cumpărat câte o prăjitură, 24 câte o îngheţată, 14 câte o oranjadă, 27 câte o ciocolată. Există un elev care a cumpărat din fiecare? 9. Suma a 3 numere naturale este 166. Demonstraţi că cel puţin unul dintre ele este mai mare sau egal cu 56. 10. Arătaţi că nu există niciun număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3. 11. Suma a 10 numere naturale nenule distincte este 103. Demonstraţi că printre ele există cel puţin un număr impar. 12. Demonstraţi că nu există numere naturale m şi n astfel încât ( m − n ) ⋅ ( m + n + 1) = 1999 . 13. Arătaţi că dacă suma a 101 numere naturale nenule este 5150, atunci cel puţin 2 dintre ele sunt egale. 14. Suma a 50 de numere naturale nenule distincte este 2548. Arătaţi că printre ele există cel puţin 2 numere impare. 15. Arătaţi că nu există numere naturale care împărţite la 12 dau restul 5 şi împărţite la 9 dau restul 3. 16. Arătaţi că nu există niciun număr care împărţit la 16 să dea restul 4, iar împărţit la 20 să dea restul 5. 17. În 72 de ferme sunt 2627 de păsări. Arătaţi că în cel puţin două ferme există un număr egal de păsări. 18. Pot fi împărţite 116 bomboane la 10 copii astfel încât fiecare să primească cel puţin 7 bomboane şi să nu existe doi copii cu acelaşi număr de bomboane? 19. Putem pune 209 bomboane în 20 de cutii şi să nu existe 2 cutii cu acelaşi număr de bomboane? 20. Se pot transporta 50 de buşteni, de 370kg, 372kg, 374kg, ..., 468kg cu 7 camioane de câte 3 tone fiecare, făcând un singur transport?
19
PROBLEME DE NUMĂRARE
1. Câţi termeni au şirurile: a) 25, 26, 27,…, 152; b) 6, 12, 18, …, 252; c) 2, 5, 8, …,98 ? Soluţie: a) Completăm şirul cu primele douăzeci şi patru de numere naturale: 24 de numere
1, 2,3,..., 24, 25, 26, 27,...,152 . Astfel, deducem că şirul 25, 26, 27,…,152 152 de numere
are 128 de termeni (152 – 24 = 128). b) Scriem şirul în forma: 1 ⋅ 6, 2 ⋅ 6,3 ⋅ 6,..., 42 ⋅ 6 şi observăm că are 42 de termeni. c) Remarcăm faptul că termenii şirului sunt numere naturale care se succed din trei în trei şi îi scriem astfel: 0 ⋅ 3 + 2, 1 ⋅ 3 + 2, 2 ⋅ 3 + 2, 3 ⋅ 3 + 2,..., 32 ⋅ 3 + 2, de aici rezultă că şirul are 33 de termeni. 2. Scriem numerele naturale nenule pe mai multe rânduri în felul urmator: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………………………………. a) Câte numere sunt pe primele 19 rânduri? b) Care este suma numerelor de pe al douăzecilea rând? c) Pe ce rând se afla numarul 75? Soluţie: a) Deoarece primul rând are 1 termen, al doilea rând are 2 termeni, al treilea rând are 3 termeni, etc. , rezultă că primele 19 rânduri vor avea un număr de termeni egal cu 1 + 2 + 3 +…+ 19 = 190. b) Având în vedere rezultatul de la punctul a), deducem că primul termen din al douăzecilea rând este 191, iar ultimul este 191 + 19 = 210. Aşadar, suma cerută este 191 + 192 +…+ 210 = 4010. c) Trebuie să aflăm câte numere sunt pe rândurile dinaintea rândului cerut. Pentru aceasta, căutam cel mai mare numar n cu prorietatea
20 1 + 2 + ... + n < 75 . Cum 1 + 2 + ... + 11 = 66 şi 1 + 2 + ... + 11 + 12 = 78 , rezultă că 11, deci 75 se află pe rândul al doisprezecelea.
3. a) Domnul Voicu are cinci copii şi fiecare dintre copii săi are la rândul său câte trei copii. Câţi nepoţi are domnul Voicu? b) Patru oraşe, A, B, C, D sunt legate de mai multe drumuri: între A şi B sunt 4, de la B la C sunt 5, iar intre C si D sunt 3 . În câte moduri se poate ajunge de la A la D, mergând în sensul indicat de săgeţi ?
Soluţie: a) Domnul Voicu are, din partea fiecărui copil, câte 3 nepoţi, deci în total are 5 ⋅ 3 = 15 nepoţi. b) Pentru fiecare drum de la A la B există 5 continuări posibile până la C. Deci în total sunt 4 ⋅ 5 = 20 de drumuri de la A la C. Aceste 20 de drumuri au fiecare câte 3 variante de legatura cu D. Prin urmare, avem 4 ⋅ 5 ⋅ 3 = 60 de drumuri de la A la D. Observaţie: În rezolvarea acestei probleme am folosit regula produsului. 4. a) Câte numere de forma b) Câte numere de forma Soluţie: a) Cifrele
au toate cifrele impare? au toate cifrele impare şi distincte?
, b, c pot lua fiecare câte 5 valori, deci, conform regulii
produsului, abc poate lua 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 valori. b) Cifra a poate lua 5 valori. După ce l-am ales pe a, b poate fi ales în 4 moduri ( a ≠ b ) , iar apoi, c în 3 moduri ( a ≠ b ≠ c ≠ a ) . Prin urmare, conform regulii produsului, există 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 de numere cu proprietatea considerată. 5. Câte pătrate sunt în figura următoare?
1cm
21 Soluţie: Vom afla, pe rând, numărul pătratelor cu laturile de 1 cm, 2 cm, 3 cm şi 4 cm. Adunând aceste rezultate obţinem răspunsul căutat (regula sumei). Evident, sunt 16 pătrate cu latura de 1 cm, 9 patrate cu latura de 2 cm, 4 patrate cu latura de 3 cm şi 1 pătrat cu latura de 4 cm. Deci în total sunt 30 de pătrate. 6. Câţi termeni au şirurile: a) 15, 16, 17,…, 173; b) 7, 14, 21, …, 287; c) 19, 21, 23, …, 155; d) 3, 7, 11, …, 59? 7. La un fast - food se pot comanda 7 sortimente de pizza, 4 feluri de băuturi răcoritoare şi 3 feluri de îngheţate. În câte moduri se poate alege un meniu format dintr-o pizza, o bautură răcoritoare şi o îngheţată? 8. Bunica are 5 ceşti diferite de ceai şi 4 farfurioare diferite. În câte moduri poate alege bunica un set format dintr-o ceaşcă şi o farfurioară, pentru a-l servi pe nepotul ei cu un ceai? 9. Tudor îşi păstrează colecţia de monede vechi în cutii. El are 5 cutii verzi, mari. În fiecare dintre aceste cutii sunt câte 6 cutii albastre, iar în fiecare cutie albastră sunt câte 3 cutii galbene. Câte cutii foloseşte, în total, Tudor pentru colecţia sa? 10. La un club de dans s-au înscris, în prima zi, 3 băieţi şi 10 fete. În câte moduri poate face profesoara 3 perechi (fată - băiat) pentru un dans? 11. La o reprezentanţă auto, există 5 modele ale unei maşini, fiecare model fiind disponibil în 3 versiuni de motorizare şi în 5 culori diferite. În câte moduri îşi poate alege un client maşina? 12. a) b) c) d)
Câte numere de trei cifre pot fi scrise cu cifrele 0, 2, 4, 6, 8 ? Câte numere de trei cifre distincte pot fi scrise cu cifrele 0, 2, 4, 6, 8 ? Câte numere de trei cifre sunt pare? Câte numere de trei cifre distincte sunt pare?
13. a) Câte numere de patru cifre pot fi scrise cu cifrele 1, 2, 3, 4 ? b) Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu 1, 2, 3, 4 ? 14. Câte numere de forma abcd au proprietatea abcd = dcba ? 15. Câte numere mai mari decat 10, cu cifre distincte, se pot scrie cu cifrele 0, 3, 6, 9 ?
22 16. a) În câte moduri putem împărţi 5 bomboane identice la doi copii? b) În câte moduri putem împărţi 5 bomboane diferite la doi copii? (este posibil ca unul dintre copii să nu primească nici o bomboană) 17. a) Câte numere ab au proprietatea a + b = 9 ? b) Câte numere ab verifică egalitatea a + 3 ⋅ b = 15 ? 18. Câte numere abc au proprietatea a + b + c = 7 ? 19. Câte rezultate putem obţine când aruncăm două zaruri (unul alb şi unul negru)? Dar dacă aruncăm trei zaruri? 20. Aruncăm de patru ori o monedă. Câte secvenţe diferite ale celor două feţe (stema, banul) putem obţine? 21. Fiecare pătrat al unei table de 2 x 2 trebuie colorat cu galben sau roşu. În câte moduri se poate face aceasta? Dar dacă se folosesc trei culori: galben, roşu şi albastru? 22. Un formular la pronosport trebuie completat cu rezultatele a 6 meciuri. Rezultatul poate fi victoria uneia dintre echipe sau egalitatea. În câte moduri poate fi completat formularul? 23. În câte moduri se pot aşeza pe o tablă de şah o tură albă şi una neagră astfel încât acestea să nu se atace? 24. La un concurs de tenis, care se desfaşoară în sistem eliminatoriu, participă 128 de jucători. Câte partide se joacă până la desemnarea câştigătorului? 25. La Olimpiada din 2004, proba de atletism pe distanţa de 100m a necesitat 15 de curse: 30 în calificări şi finală. Se ştie că la fiecare cursă au participat 8 atleţi, dintre care primii 4 s-au calificat în faza următoare. Aflaţi numărurul sportivilor care au participat la această probă. 26. La o petrecere au venit 10 copii. a) Dacă toţi au dat mâna între ei, câte strângeri de mână au fost? b) Dacă fiecare copil oferă tuturor celorlalţi câte un mic cadou, câte cadouri s-au schimbat? 27. Un dreptunghi (L = 6m, l =1m) trebuie pavat cu dale în formă de pătrat cu latura de 1m. Avem la dispoziţie dale de 5 culori, iar dalele alăturate trebuie să aibă culori diferite. În câte moduri putem realiza pavarea?
23 28. Care este a o suta literă a şirului PASCALPASCALPA... ? 29. Se consideră numărul n = 12345…20072008, obţinut prin alăturarea tuturor numerelor naturale de la 1 la 2008. a) Câte cifre are numărul n? b) Care este a doua mii opta cifra a numarului n (socotind de la stânga spre dreapta)? 30. În câte moduri se pot repartiza 13 calculatoare identice la trei şcoli, dacă fiecare şcoală trebuie să primească cel puţin 3 calculatoare?
24
PRINCIPIUL CUTIEI
Să presupunem că vrem să punem 3 bile în 2 cutii. Evident, oricum am proceda, una dintre cutii va conţine (cel puţin) 2 bile. La fel, dacă punem 4 bile în 3 cutii, există o cutie în care sunt 2 bile. Concluzia rămâne valabilă în cazul general (n + 1 bile şi n cutii). Această observaţie simplă este numită, de obicei, principiul cutiei sau principiul lui Dirichlet. În continuare, vom prezenta câteva probleme care se rezolvă cu ajutorul principiului cutiei. 1. Arătaţi că, oricum am alege trei numere naturale, există întotdeauna două dintre ele astfel încât suma lor să fie număr par. Soluţie: Considerăm două cutii: una pentru numere pare şi cealaltă pentru numere impare. Dacă alegem în mod arbitrar trei numere naturale şi le punem în cele două cutii, atunci, conform principiului cutiei, există o cutie care conţine (cel puţin) două numere. Cu alte cuvinte, există două numere care au aceeaşi paritate. Evident, suma acestor două numere este număr par. 2. Într-un laborator, în care sunt 10 mese, intră 31 de elevi. Demonstraţi că, atunci când toţi elevii se aşează la mese, există cel puţin o masă la care stau 4 elevi. Solutie: Împarţim elevii în 11 grupe astfel: 10 grupe de câte 3 elevi şi o grupă cu un singur elev. Conform principiului cutiei, dacă repartizăm cele 11 grupe la 10 mese, trebuie să existe cel puţin o masă la care să fie 2 grupe (grupele sunt “bilele”, iar mesele sunt “cutiile”). Acea masă va avea cel puţin 4 elevi. 3. La un turneu de fotbal, care se desfaşoară pe parcursul mai multor zile, participă 7 echipe. Demonstraţi că la sfârşitul fiecărei zile, există două echipe cu acelaşi număr de meciuri disputate. Solutie: Analizăm două cazuri. a) Dacă la sfârşitul unei zile, există o echipă care nu a jucat nici o partidă, atunci sigur celelalte echipe au cel mult 5 jocuri disputate. Aşadar, la sfârşitul zilei, cele 7 echipe pot avea zero, una, două, trei, patru, sau cinci
25 meciuri jucate. De aici rezultă, conform principiului cutiei, că există două echipe cu acelaşi număr de meciuri disputate (echipele sunt “bilele”,7 în total, iar numerele care reprezintă meciurile jucate sunt “cutiile”, 6 în acest caz). b) Dacă la sfârşitul unei zile, toate echipele au cel puţin câte o partidă disputată, atunci, ele pot avea una, două, trei, patru, cinci, sau şase meciuri jucate. Deci, conform principiului cutiei, există două echipe cu acelaşi număr de partide disputate. 4. În programa clasei a IV-a sunt prevăzute 3 ore de matematică şi 3 ore de română. Este posibil ca, în orar, să fie zilnic maxim o oră din cele două materii de studiu? 5. Într-o clasă cu 15 elevi sunt 12 calculatoare. Nu este permis ca la un calculator să lucreze 3 elevi şi nici să ramână vreo-unul nefolosit. La câte calculatoare lucreaza 2 elevi? 6. Nimeni nu are mai mult de 300000 de fire de păr pe cap. În Iaşi sunt 300001 de locuitori. Puteţi afirma cu siguranţă că există doi ieşeni cu acelaşi număr de fire de păr pe cap? 7. Într-un penar sunt 12 creioane colorate: 4 galbene, 4 verzi si 4 albastre. Care este numărul minim de creioane care trebuie să le scoatem din penar, fără a privi înăuntru, pentru a fi siguri că am scos cel puţin 2 creioane de aceeaşi culoare? 8. Într-un sertar sunt 5 perechi de ciorapi de culori diferite. Care este numărul minim de ciorapi pe care trebuie să-i scoatem din sertar, fără a privi înăuntru, pentru a fi siguri că am scos o pereche de ciorapi cu care să ne putem încălţa (aceştia trebuie să fie de aceeaşi culoare). 9. Arătaţi că, oricum am alege patru numere naturale, există printre ele două numere care dau acelaşi rest la împărţirea cu 3. 10. Demonstraţi că, din oricare cinci numere naturale, se pot alege două a căror diferenţă se împarte exact la 4. 11. Putem vopsi feţele unui cub cu două culori astfel încât oricare două feţe care au o muchie comună să fie colorate diferit? 12. Arătaţi că, într-o clasă cu 25 de copii, există cel puţin 3 copii care îşi serbează ziua de naştere în aceeaşi lună.
26 13. Într-o şcoală sunt 367 de elevi. Demonstraţi că există cel puţin 2 elevi care îţi serbează ziua de naştere în aceeaşi zi a anului. 14. Care este numărul minim de elevi care trebuie să fie într-o şcoală, pentru ca în şcoala respectivă să existe, cu siguranţă, trei elevi născuţi în aceeaşi zi a anului (de 365 de zile)? 15. La teza de matematică din primul semestru, cei 26 de elevi ai clasei a V-a au luat note mai mari sau egale cu 6. Demonstraţi că există cel puţin 6 elevi cu aceeaţi notă. . Arătaţi că, oricum am alege 6 16. Fie mulţimea A = numere din mulţimea A, există printre ele două numere a căror suma este egală cu 11. . Demonstraţi că, oricum am 17. Considerăm mulţimea B = alege trei numere din mulţimea B, produsul lor este număr par. 18. Demonstraţi că, oricum am alege 10 numere naturale de două cifre, există printre ele două numere a căror diferenţă este mai mică sau cel mult egală cu 9. 19. Elena a mers în luna aprilie la sala de gimnastică de 21 de ori. Arătaţi că, Elena a fost la sală în trei zile consecutive. 20. Care este numărul maxim de regi care pot fi aşezaţi pe o tablă de şah redusă, de 4 × 4 , astfel încât oricare doi dintre ei să nu se ameninţe?
27
PROBLEME DE PERSPICACITATE Problemele de perspicacitate pot fi foarte variate. Rezolvarea lor nu presupune decât cunoştinţe minime de matematică, dar multă agilitate în gândire şi logică riguroasă. Problemele 1, 2 şi 3 reprezintă fiecare câte un tip de problemă întâlnit mai des: de aranjare, de analiză logică a unor propoziţii şi de optimizare (adică de aflare a celui mai scurt drum, în cazul nostru).
1. Patru cutii: una albastră, una albă, una roşie şi una verde sunt aliniate. Fiecare conţine câte 2 obiecte diferite. Una conţine un ceas şi o brăţară; alta un inel şi un colier; alta un colier şi o brăţară; cea albă conţine un ceas şi un inel. Cutia albastră se află între cea roşie şi cea albă. Cutia roşie este la stânga cutiei verzi. Cele două cutii din dreapta conţin fiecare câte un colier şi cele două din stânga fiecare câte un ceas. Ce obiecte se găsesc în cutia albastră? Soluţii:
Din informaţiile despre poziţiile cutiilor putem deduce uşor că sunt aranjate, de la dreapta la stânga astfel: verde, roşie, albastră, albă. Apoi „aranjăm” bijuteriile: în cea albă un ceas şi un inel, în cea roşie şi cea verde câte un colier şi în cea albastră un ceas. Deci cutia cu un ceas şi o brăţară este cea albastră. 2. Un călător a ajuns pe o insulă unde trăiau două triburi: Alan şi Fala. Oamenii din primul trib spun doar adevărul iar cei din al doilea mint întotdeauna. Întâlnind un grup de oameni a vrut să ştie dacă este vreunul om din tribul Fala pe care voia să-l viziteze. A întrebat pe unul din oameni din ce trib este, dar nu a înţeles răspunsul său. Atunci l-a întrebat pe al doilea ce a spus primul. Acesta a răspuns că primul a spus că e din tribul Fala. Oare călătorul nostru poate fi sigur că a găsit un om din tribul pe care îl căuta?
28 Soluţie: Vom examina cele două posibilităţi. Dacă primul om este din Alan, atunci el va spune că este din Alan. Dacă primul om este din Fala, atunci va minţi şi va spune că este din Alan. Deci al doilea a minţit, aşadar al doilea om este cu siguranţă din Fala. 3. În punctul A se găseşte o furnică şi în punctul B nişte firimituri de pâine. Andrei ştie că furnica, din instinct, va urma cel mai scurt drum până la hrană. Ştiind că desenul reprezintă un labirint format din 8 pătrate şi că furnica nu se poate deplasa decât pe laturi spuneţi care a fost drumul furnicii până la firimiturile de pâine? Soluţie: Formularea problemei ne poate înşela. De fapt, furnica va trebui să parcurgă patru laturi pe orizontală şi două pe verticală, deci lungimea drumului este aceeaşi şi anume de 6 ori latura pătratului, sau semiperimetrul dreptunghiului. Totuşi, dacă mereu va fi cel mai aproape de B cu putinţă, înseamnă că va urma unul din drumurile: ACDEJKB, ACDEJQB, ACDIJKB, ACDIJQB. 4. Persoanele A, B, C, D fac următoarele afirmaţii: 1) A spune că B minte; 2) B spune că C minte; 3) D spune că A, B şi C mint. Ştiind că numai o persoană spune adevărul, spuneţi cine minte şi cine spune adevărul. 5. Doi copii au o pungă cu 40 de bomboane. Fiecare mănâncă pe rând de la 1 la 6 bomboane. Cine mănâncă ultima bomboană câştigă o ciocolată. Cum îşi poate asigura unul dintre copii câştigul? 6. Într-un pachet de cărţi de joc sunt 26 de cărţi roşii şi 26 negre. Doi copii bat bine cărţile şi le împart între ei în mod egal. Primul îi spune celuilalt: „Eu am mai multe cărţi roşii decât ai tu negre”. Celălalt îi răspunde: „Eu am mai multe cărţi negre decât ai tu roşii”. Care dintre ei are dreptate? 7. Trei membri din redacţia unei reviste şcolare: Ana, Dan şi Ştefan s-au aşezat unul lângă altul. Să se afle cine este reporterul ştiind că: a) Ana nu este reporter; b) Caricaturistul stă lângă Ştefan; c) Epigramistul nu stă lângă Ana.
29 8. Se poate ca într-un grup de 10 fete şi 9 băieţi toate fetele să cunoască un număr diferit de băieţi, iar băieţii să cunoască acelaşi număr de fete? Dar dacă sunt 11 fete şi 10 băieţi? 9. Pentru a deschide un seif, trebuie să apăsăm cele patru butoane de mai jos într-o anumită ordine:
Care este această ordine ştiind că: a) Nici una dintre cifrele de pe butoane nu indică pasul la care acel buton trebuie apăsat; b) Prima şi ultima apăsare nu se face pe butoane vecine; c) Ultima apăsare nu se face pe un buton de la capetele şirului. 10. Într-un sertar sunt două perechi de ciorapi albaştri, 3 perechi de ciorapi verzi şi 4 perechi de ciorapi negri, de aceeaşi mărime şi din acelaşi material. Câţi ciorapi trebuie luaţi pe întuneric pentru a avea: a) Cel puţin o pereche de ciorapi de aceeaşi culoare? b) O pereche albastră? 11. Rezolvaţi aceeaşi problemă pentru o cutie cu mănuşi. 12. Se consideră platourile:
Ştiind că A, B şi C sunt în ordinea descrescătoare a greutăţii lor, unde trebuie plasat D pentru a păstra aceeaşi ordine? 13. Avem trei vase: cu 11ℓ, 7ℓ şi respectiv 6ℓ de apă. În fiecare vas se adaugă atâţia litri de apă câţi conţine el, luând din alt vas. După 3 operaţii în toate vasele avem aceeaşi cantitate de apă. Cum am procedat? 14. Avem două clepsidre: una de 7 minute şi alta de 11 minute. O tartă se coace în 15 minute. Cum putem să o facem întorcând clepsidrele de un număr minim de ori? 15. Se dau numerele 3044, 2056, 17, 3075 şi 15, în această ordine. Introduceţi semnele operaţiilor aritmetice şi eventual paranteze astfel încât rezultatul să fie cât mai mic posibil.
30 16. Paul, George, Andrei, Ion, Bogdan, Marcel, Nicu, Radu şi Sandu sunt aşezaţi în jurul unei mese rotunde. Paul are la dreapta pe Ion şi la stânga pe Andrei. Bogdan are la dreapta pe Radu şi la stânga pe Sandu. Marcel are la dreapta pe Andrei şi la stânga pe George. Radu şi George stau alături. Cine este la stânga lui Nicu? 17. Dan învaţă să schieze. El face câte o coborâre la fiecare 15 minute cu 10m/s şi urcă la deal cu teleschiul cu 2m/s. Ştiind că aşteaptă 3 minute la teleschi, aflaţi lungimea pârtiei. 18. La un cerc de matematică 8 eleve stau câte două în bancă: 1) Violeta stă în spatele Ruxandrei; 2) Cristina stă în ultima bancă; 3) Amelia nu stă în banca a doua; 4) Ruxandra stă în banca a treia; 5) Dana stă în spatele Mihaelei; 6) Elena stă în faţa Mihaelei. Unde stă Nicoleta şi cine e colega ei de bancă? 19. Avem 3 bile: una galbenă, una roşie şi una verde, şi 3 cutii având aceleaşi culori. Aflaţi în câte moduri putem pune câte o bilă în fiecare cutie astfel încât culorile bilei şi cutiei în care se află să fie diferite. 20. Pe masă sunt aşezate trei obiecte: un creion, un cuţit şi o riglă. Ele sunt aşezate în ordinea mărimii, cel mai mic fiind aşezat la stnga. Cuţitul este la dreapta riglei. Creionul este cel mai lung. Care este obiectul cel mai scurt?
31
PROBLEME CU CARACTER GEOMETRIC
1. Un pătrat şi un dreptunghi au aceeaşi arie, iar dimensiunile dreptunghiului sunt 32 m, respectiv 50 m. Aflaţi perimetrul pătratului. Soluţie: Aria dreptunghiului este L ⋅ l = 32 ⋅ 50 = 1600 m 2 . Notăm cu x latura pătratului. Rezultă că x ⋅ x = 1600 = 40 ⋅ 40 ⇒ x = 40 m . 2. Un teren dreptunghiular este străbătut de două alei ca în figură. Ştiind că perimetrul terenului este de 500 m şi că lăţimea aleilor este de 2 m, să se afle ce suprafaţă ocupă aleile.
Soluţie: Notăm cu L lungimea şi cu l lăţimea terenului. Rezultă 2 ⋅ ( L + l ) = 500 . Suprafaţa aleilor este diferenţa dintre suma ariei aleii orizontale şi a ariei aleii verticale şi aria pătratului cu latura de 2 m ce reprezintă porţiunea comună a aleilor. Obţinem: 2 ⋅ L + 2 ⋅ l − 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ ( L + l ) − 4 = 500 − 4 = 496 m2. 3. Figurile I, II, III şi IV sunt pătrate. Perimetrul pătratului II este 24 cm, iar perimetrul pătratului IV este 80 cm. Calculaţi aria pătratului I.
32 Soluţie: Latura pătratului II este 6 cm, iar cea a pătratului IV este 20 cm. Rezultă că latura pătratului III este 20 – 6 =14 cm, iar latura pătratului I este 14 – 6 = 8 cm, deci aria sa este 64 cm2. 4. Două laturi alăturate ale unui pătrat se micşorează cu 20 cm, respectiv 15 cm, pentru a obţine un dreptunghi cu perimetrul de 330 cm. Aflaţi aria acestui dreptunghi. Soluţie: Notăm a latura pătratului, cu L lungimea şi cu l lăţimea dreptunghiului obţinut prin micşorarea laturilor pătratului. Perimetul dreptunghiului este 2 ⋅ ( L + l ) = 330 . Rezultă L + l = 165 . Pe de altă parte L = a − 15 şi l = a − 20 . Obţinem: 2 ⋅ a = 165 + 15 + 20 ⇒ a = 100 , de unde L = 85 şi l = 80 , deci aria dreptunghiului este L ⋅ l = 85 ⋅ 80 = 6800 cm2.
5. Grădina bunicii are forma din figură.
Calculaţi perimetrul şi aria grădinii. Soluţie: Completăm figura la un dreptunghi. Perimetrul grădinii este egal cu perimetrul dreptunghiului obţinut, adică 2 ( 25 + 35 ) = 120 m . Aria grădinii este egală cu diferenţa dintre aria dreptunghiului anterior şi
33 suma ariilor celor trei dreptunghiuri adăugate pentru a completa figura dată la acest dreptunghi. Notăm cu a şi b lungimile laturilor grădinii ale căror dimensiuni nu se dau. Analizând desenul obţinem: a + 10 + 10 = 15 + 10 ⇒ a = 5 m , b + 5 + 20 = 15 + 20 ⇒ b = 10 m . Rezultă că aria grădinii este egală cu: 35 ⋅ 25 − ( 5 ⋅ 20 + 10 ⋅10 + 15 ⋅ 5 ) = = 875 − 275 = 600 cm 2 .
6. Pe marginea unei şosele sunt plantaţi 100 de plopi la distanţă egală unul faţă de altul. Între al 26 - lea şi al 51 – lea plop distanţa este de 350 metri. Ce distanţă este între primul şi ultimul plop? 7. Un dreptunghi are lăţimea de şase ori mai mică decât lungimea şi perimetrul 322 m. Aflaţi aria dreptunghiului. 8. Perimetrul unui dreptunghi este 172 m. Aflaţi dimensiunile lui ştiind că, dacă mărim cu 5 m jumătate din lăţime, obţinem cu 2 m mai puţin decât jumătate din lungime. 9. Doi fraţi au despărţit grădina dreptunghiulară moştenită de la părinţi cu un gard, ca în figură.
Perimetrul celor două grădini este 320 m, respectiv 480 m, iar perimetrul grădinii iniţiale era de 650 m. Aflaţi lungimea gardului. 10. Aflaţi lungimile laturilor unui triunghi, ştiind că sunt exprimate în centimetri prin trei numere naturale pare consecutive, iar perimetrul triunghiului este 78 cm. 11. Dintr-o bucată de sârmă cu lungimea de 20 cm se modelează, pe rând, dreptunghiuri care au lungimile laturilor exprimate în centimetri prin numere naturale. În care caz se obţine un dreptunghi de arie maximă? 12. Un dreptunghi are lungimile laturilor exprimate în metri prin numere naturale. Dacă aria dreptunghiului este 24 m2, să se afle care este perimetrul minim pe care îl poate avea dreptunghiul?
34 13. O grădină are forma unui dreptunghi. Dacă se măreşte lăţimea cu 6 dam, se obţine un pătrat, iar dacă se micşorează lăţimea cu 6 dam, grădina se poate descompune în două suprafeţe, fiecare dintre ele având formă de pătrat. Aflaţi perimetrul grădinii. 14. Dacă mărim lungimea şi lăţimea unui dreptunghi cu câte 3 cm, aria dreptunghiului creşte cu 81 cm2. Să se calculeze perimetrul dreptunghiului iniţial. 15. Schiţa unui teren este cea din figura alăturată. Ştiind că perimetrul terenului este 1140 m, să se afle aria acestuia.
16. O grădină de zarzavat are lăţimea de 60 m şi lungimea de 100 m. Grădina este străbătută de alei cu lăţimea de 2 m care duc la un bazin de formă pătrată cu latura de 15 m, ca în figură.
Să se afle aria suprafeţei cultivate a grădinii. 17. Care este cel mai mic număr de piese de forma
necesare pentru a alcătui un pătrat ? Dar dacă piesele ar avea forma
35
care ar fi numărul minim de piese? 18. Cunoscând că pătrăţelele au latura de 1 cm, să se afle ariile suprafeţelor haşurate.
19. Printr-o singură tăietură, în linie dreaptă, obţineţi din figura alăturată două figuri, astfel încât cu ele să compuneţi un pătrat.
36 20. Cu două tăieturi, în linie dreaptă, obţineţi din figura alăturată trei figuri, astfel încât cu ele să compuneţi un pătrat.
37
OPERAŢII ARITMETICE Adunarea şi scăderea numerelor naturale
Proprietăţile adunării: ▪ comutativitatea: a + b = b + a , oricare ar fi numerele a şi b; ▪ asociativitatea: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , oricare ar fi a, b şi c; ▪ numărul 0 este element neutru: a + 0 = 0 + a = a , oricare ar fi a. 1. În câte moduri se poate scrie 3 ca suma a două numere naturale? Câte numere naturale de două cifre, se pot forma cu termenii sumei? Soluţie: Cum 3 = 3 + 0 = 0 + 3 = 2 + 1 = 1 + 2 , rezultă că există patru moduri de scriere. Cu perechile ( 3, 0 ) ; ( 0,3) ; ( 2,1) ; (1, 2 ) se pot forma numerele: 30, 21 şi 12, adică in total 3 numere (cu perechea ( 0, 3) nu se poate forma un număr natural de două cifre). 2. Câte numere de forma ab există, ştiind că a − b = 3 ? Soluţie: Există şapte numere cu proprietaţile cerute: 30, 41, 52, 63, 74, 85 şi 96. 3. Determinaţi numărul natural x, astfel încât x + 3 < 7 ? Câte soluţii sunt? Soluţie: Observăm că: 0 + 3 < 7 , 1 + 3 < 7 , 2 + 3 < 7, 3 + 3 < 7 şi 4 + 3 > 7 . Deci, x poate lua patru valori: 0, 1, 2 şi 3. 4. În câte moduri se poate scrie 5 ca suma a trei numere naturale ? Câte numere de trei cifre se pot forma cu termenii sumei? 5. Câte numere naturale de forma ab există, ştiind că a − b = 7 ? 6. Deteminaţi numărul natural x, astfel încât x − 3 < 5 ?
38 7. Calculaţi: a) 3385 + 1396 ; b) 3385 − 1396 ; c) 845 + 341 + 155 + 639 ; d) 285 + 463 − 185 − 163 . 8. Calculaţi: a) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99; b) 99 − 98 + 97 − 96 + 95 − 94 + ... + 3 − 2 + 1; c) 1 + 3 + 5 + ... + 99; d) 99 − 97 + 95 − 93 + ... + 3 − 1. 9. Fie şirul: 3, 8, 13, 18, … a) Completaţi şirul cu încă 4 termeni; b) Aflaţi termenul de pe locul 2009; c) Calculaţi suma primilor 100 de termeni. 10. Calculaţi suma: 9 + 99 + 999 +...+ 99...9 . 10
11. Suma a 5 numere naturale consecutive este 40. Aflaţi numerele. 12. a) Aflaţi suma şi diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic numar de 6 cifre. b) Aflaţi suma si diferenţa dintre cel mai mare si cel mai mic numar de 6 cifre distincte. 13. Determinaţi x. ştiind că: a) x − 3021 = 5079; b) x + 2048 = 4048; c) 3437 − x = 2998; d) 2035 + x − 35 = 2009; e) 5136 − ( 318 − x ) = 4828. 14. Determinaţi valorile lui x care satisfac relaţiile: a) 18 ≤ x + 3 ≤ 51; b) 29 ≤ x − 7 ≤ 48; c) 36 ≤ 53 − x ≤ 46. 15. Aflaţi numerele a, b, c care verifică simultan egalităţile: a + b = 34 , b + c = 43, c + a = 55.
39 16. Aflaţi x din egalitatea: 2 + 4 + 6 + ...+ 98 + x = 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 99. 17. Suma unor numere naturale consecutive este 30. Să se afle numerele. Câte soluţii are problema? 18. Aflaţi numerele naturale x, y care verifică egalitatea x + y = 10 .Câte soluţii are problema? 19. Aflaţi numerele naturale x, y, z care verifică egalitatea x + y + z = 10 . Câte soluţii are problema? 20. Calculaţi: a) 4 + 93 + 15 + 896 + 17 + 2085; b) 523 + 418 − 323 − 318; c) 302 + 3293 + 5237 + 448 + 217 + 3763; d) 42380 − 180 − 2000 + 5000 − 200 . 21. Calculaţi: a) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 199; b) 2 + 8 + 14 + 20 + ... + 398; c) 10 + 11 +12 + 13 + ... + 2009; d) 11 + 13 + 15 + 17 + ... + 2009 . 22. Determinaţi numărul x, ştiind că: a) ( 57 − 8 − x ) − 23 = 6; b) 57 − ( 8 + x ) − 23 = 6; c) 57 − ( 8 + x − 23) = 6; d) ( 57 − 8 ) − ( x − 23) = 6 .
Înmulţirea şi împărţirea numerelor naturale
Proprietăţile înmulţirii: ▪ comutativitatea: a ⋅ b = b ⋅ a , oricare ar fi a şi b; ▪ 1 este element neutru: a ⋅1 = 1 ⋅ a = a , oricare ar fi a; ▪ asociativitatea: ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) , oricare ar fi a, b şi c; ▪ distributivitatea înmulţirii faţă de adunare: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c , oricare ar fi a, b şi c;
40 ▪ distributivitatea înmulţirii faţă de scădere: a ⋅ ( b − c ) = a ⋅ b − a ⋅ c , oricare ar fi a, b şi c; Teorema împărţirii cu rest. Oricare ar fi două numere naturale D şi I , I ≠ 0, există numerele naturale C şi R astfel încât: D = I ⋅ C + R, 0 ≤ R < I . Numerele C şi R, cu aceste proprietaţi, sunt unice. 23. Descompuneţi numărul 8 într-un produs de două numere naturale. Câte posibilităţi există? Soluţie: Se observă că 8 = 8 ⋅1 = 4 ⋅ 2 = 2 ⋅ 4 = 1 ⋅ 8 . Deci, sunt 4 variante. 24. Găsiţi numerele naturale a şi b care verifică egalitatea: (a + 3) ⋅ (b − 2) = 12 . Soluţie: Deoarece 12 = 12 ⋅1 = 6 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 = 3 ⋅ 4 = 2 ⋅ 6 = 1 ⋅12 , şi a + 3 > 2, rezultă că ( a + 3, b − 2 ) ∈ {(12,1) , ( 6, 2 ) , ( 4,3) , ( 3, 4 )} .
Deci, ( a, b ) ∈ {( 9,3) , ( 3, 4 ) , (1,5 ) , ( 0, 6 )} .
25. Câte numere naturale de două cifre mai mici sau egale ca 50, împărţite la 7 dau restul mai mic sau egal ca 3 ? Soluţie: Avem: ab = 7 ⋅ c + r , r ∈ {0, 1, 2, 3}. Cazul 1: dacă r = 0 ⇒ ab = 7 ⋅ c + 0 ⇒ ab poate fi: 14, 21, 28, 35, 42 şi 49; Cazul 2: dacă r = 1 ⇒ ab = 7 ⋅ c + 1 ⇒ ab poate fi: 15, 22, 29, 36, 43 şi 50; Cazul 3: dacă r = 2 ⇒ ab = 7 ⋅ c + 2 ⇒ ab poate fi: 16, 23, 30, 37 şi 44; Cazul 4: dacă r = 3 ⇒ ab = 7 ⋅ c + 3 ⇒ ab poate fi: 17, 24, 31, 38 şi 45. Deci, sunt 22 de numere. 26. Reconstituiţi înmulţirea abc ⋅ 3 = bcc . 27. Câte numere de forma abc au proprietatea a ⋅ b ⋅ c = 4 ? 28. Câte numere naturale de două cifre, mai mici sau egale ca 70, împărţite la 8 dau restul mai mic sau egal ca 3 ?
41 29. Calculaţi: a) 27 ⋅10; c) 2009 ⋅1000; e) 324 ⋅ 25; g) 575 ⋅1001; i) 999 ⋅ 99; 30. Calculaţi: a) 280:10;
b) 302 ⋅100; d) 37 ⋅ 9; f) 909 ⋅ 88; h) 1234 ⋅ 56; j) 7 ⋅11 ⋅13.
c) 30450:50; e) 9627:231; g) 22220:55;
b) 1025:5; d) 304:16; f) 22914:38; h) 23115:67;
i) 10878:98;
j) 24975:25 .
31. Calculaţi: a) 23 ⋅ 46 - 32 ⋅19; b) 308 + 192 ⋅ 5; c) 343 + 57 - 576; d) 16 + 22 + 5 ⋅ [ 214 + 86 - (109 - 19 ⋅ 5) ⋅ 20];
e) 55 ⋅ 57 - 54 ⋅ 58; f) 376 + 48 ⋅13; g) 516 - 44 ⋅11 - 22; h) 34 + 19 + 7 ⋅ [86 + 409 - (399 - 26 ⋅15) ⋅ 45].
32. Calculaţi: a) 48 :12 − 120 : 30; b) 214 − 214 :107; c) ⎡⎣( 800 : 2 ) : 2 : 2 ⎤⎦ :100; d) 38 :19 + 44 :11 − 2 ⎡⎣( 300 :100 + 15 : 3) − 25 : 5⎤⎦ ;
e) 660 :12 + 1395 : 31; f) 1344 :14 − 14; g) ⎡⎣( 2187 : 3) : 3 : 3 ( 9 : 3) ⎤⎦ : 3 ; h) 616 :11 + 105 : 35 − 29 ⋅ ⎡⎣( 408 :102 + 58 : 29 ) − 52 :13⎤⎦ .
42 33. a) Fie x, y, z trei numere naturale, astfel incat x + y = 38 şi z = 25 . Calculaţi x⋅ z+ y⋅z . b) Dacă x ⋅ z + y ⋅ z = 303 şi z = 101 , calculaţi x + y . c) Calculaţi x ⋅ z - y ⋅ z , ştiind că x - y = 53 şi z = 35 . d) Calculaţi x - y , ştiind că x ⋅ z - y ⋅ z = 2010 şi z = 402 . 34. a) Calculaţi x + y + z , ştiind că x + 2y + 3z = 14 şi 3x + 2y + z = 10 . b) Calculaţi x + y + z , ştiind că 3x + 4y + 5z = 50 şi 6 x + 5y + 4z = 58 . 35.
a) Calculaţi ( x + z ) ⋅ (2 x + y + 2 z ) , dacă x + y + z = 22 şi 3x + y + 3 z = 52 . b) Calculaţi ( x + z ) ⋅ (6x + y + 6 z ) , dacă x - y + z = 9 şi 5 x + 2y + 5z = 108 .
36. Aflaţi x din egalităţile: a) x + 2x + 3x + ... + 50 x = 2550 b) x + 3x + 5x + ... + 99 x = 10000 c) 2 x + 4x + 6x + ... + 96 x = 4704 d) 5 x + 10x + 15x + ... + 245 x = 49000. 37. Dacă x + y = 9 şi y + 3 z = 10 , calculaţi: a) 4 x + 9 y + 15 z b) 4 y - 3x + 21z . 38. Se ştie că 8 x + 3 y = 14 şi 2 x + 5 y = 12 . Aflaţi x si y . 39. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ⎡⎣( x + 180 ⋅ 3) :11 − 5⎤⎦ ⋅ 43 = 1935
{
}
b) 6000 − 123 ⋅ 8 − ⎡⎣( x : 3 + 542 ) − 6 ⋅12 ⎤⎦ + 125 ⋅ 24 = 2486 . 40. Determinaţi pe x din relaţiile: a) ⎡⎣( x + 480 :12 ) ⋅ 3 − 10 ⎤⎦ : 7 ≤ 20 b) ⎡⎣12 ⋅ ( 26 ⋅ x + 10 ⋅ x ) ⎤⎦ : 36 ≤ 100 .
43 Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor
▪ într-un exerciţiu se efectuează mai întâi înmulţirile şi împărţirile (operaţii de ordinul II), iar apoi adunările şi scăderile (operaţii de ordinul I); ▪ dacă avem paranteze se efctuează mai întâi calculele din parantezele rotunde, apoi calculele din parantezele drepte şi în final claculele din acolade. 41. Se consideră exerciţiul 5 ⋅ 4 : 2 + 8 − 2 . Aşezaţi paranteze pentru a obţine rezultatele a) 0; b) 40; c) 16; d) 48. Soluţie: a) 5 ⋅ 4 : (2 + 8) − 2 = 0 ; b) 5 ⋅ (4 : 2 + 8 − 2) = 40 ; c) 5 ⋅ (4 : 2) + 8 − 2 = 16 ; d) 5 ⋅ (4 : 2 + 8) − 2 = 48 . 42. Fie numerele 12, 4 şi 3 în această ordine. Punând între ele semnele „+” şi/sau „·” în câte moduri se pot efectua calcule cu aceste numere? Soluţie: Avem: 12 + 4 ⋅ 3 = 24;12 ⋅ 4 + 3 = 51;12 + 4 + 3 = 19;12 ⋅ 4 ⋅ 3 = 144. Deci sunt patru soluţii. 43. Fie numerele 24, 4 şi 3 în această ordine. Punând între ele semnele „-” şi/sau „·”, în câte moduri se pot efectua calcule cu numerele date? 44. Fiind date numerele 8, 4 şi 2 în această ordine, se pot pune între ele semnele „+” şi/sau „-”. În câte moduri se pot efectua calcule cu aceste numere? 45. Fiind date în această ordine numerele 20, 5 şi 4, în câte moduri se pot efectua calcule cu aceste numere folosind semnele „+” şi/sau „·” ? 46. Fie date numerele 24, 8 şi 2 în această ordine. Punând între ele semnele „-” şi/sau „:” şi folosind paranteza rotundă, în câte moduri se pot efectua calcule cu numerele date? 47. Efectuaţi: a) 384 + 216 + 47 ⋅ (14 + 22 ⋅13) ; b) 875 + 125 + 32 ⋅ (16 + 73 ⋅ 3) .
44 48. Efectuaţi: a) 538 − 149 + 1995 : ( 214 − 19 ⋅11) ; b) 50760 : 36 + 36 ⋅ 63 − ( 315 : 45 + 51: 3) ⋅ 25 . 49. Efectuaţi: a) 345 + 27 ⋅ ⎡⎣ 29 ⋅120 − 10 ⋅ ( 362 − 360 : 24 ) ⎤⎦ ; b) 435 + 141 ⋅ ⎡⎣ 42 ⋅110 − 83 ⋅ ( 340 − 19 ⋅15 ) ⎤⎦ . 50. Efectuaţi: a) 15686 : 62 − 25 ⋅ ⎡⎣ 411 − ( 453 − 2080 : 40 ) ⎤⎦ ; b) 35972 : 23 − 37 ⋅ ⎡⎣ 247 − ( 225 − 225 :15 ) ⎤⎦ . 51. Efectuaţi: a) 124 ⋅ 36 + 10 ⋅ ⎡⎣37 − 10 ⋅ (18 − 675 : 45 ) ⎤⎦ − 3535 ⋅10 ;
{ } b) {32 ⋅ 98 + 50 ⋅ ⎡⎣915 − 59 ⋅ ( 28 − 351: 27 ) ⎤⎦ − 4427} ⋅10 .
52. Efectuaţi: a) 2 + 10 ⋅ 2 + 10 ⋅ ⎡⎣ 2 + 10 ⋅ ( 2 + 10 ⋅ 2 − 2 ) − 2 ⎤⎦ − 2 − 2 ;
{ } b) 147 + 3 ⋅ {147 + 3 ⋅ ⎡⎣147 + 3 ⋅ (147 + 3 ⋅147 − 147 ) − 147 ⎤⎦ − 147} −147 .
53. Efectuaţi: a) ( 4 + 8 + 12 + 16 + 20 ) : (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) ; b) ( 2008 + 2008 ⋅ 3 + 2008 ⋅ 5 + 2008 ⋅ 7 ) : ( 4 + 12 + 20 + 28 ) . 54. Efectuaţi: a) ⎡⎣( 9 + 1) ⋅ 9 + 10 ⎤⎦ ⋅ 9 + 100 ⋅ 9 :1000 ;
{ } b) {⎡⎣( 9 + 9 ⋅ 9 ) ⋅ 9 + 90 ⎤⎦ ⋅ 90 + 9000} : 90000 .
55. Efectuaţi: a) 2009 + 2009 ⋅ 9 ; b) 13436 + 13436 ⋅ 2 + 13436 ⋅ 3 + 13436 ⋅ 4 .
45 56. Efectuaţi: a) 2009 + 2009 ⋅ 2999 + 3000 ; b) 201 ⋅ 9 − 201 ⋅ 4 + 201 ⋅ 8 − 201 ⋅ 3 + 201 ⋅ 7 − 201 ⋅ 2 + 201 ⋅ 6 − 201 . 57. Efectuaţi: a) 2009 ⋅ 35 + 65 ⋅ ( 6009 − 4000 ) ; b) 5285 ⋅ 67 − 57 ⋅ ( 3173 + 2112 ) . 58. Efectuaţi: a) 2009 + 2009 ⋅ 2010 − 2011 ⋅ 2008 ; b) 6789 − 6791 ⋅ 6788 + 6789 ⋅ 6790 . 59. Efectuaţi: a) (1111 + 2222 + 3333 + ... + 9999 ) :1111 + 55 ; b) ( 22 + 44 + 66 + 88 + 2 + 4 + 6 + 8 ) : ( 21 + 42 + 63 + 84 + 6 + 7 + 8 + 9 ) . 60. Efectuaţi: a) 153 ⋅ 6 + 153 ⋅ 8 + 153 ⋅12 + 153 ⋅14 ; b) 37 ⋅ 62 + 43 ⋅ 58 + 37 ⋅ 38 + 43 ⋅ 42 . 61. Efectuaţi: a) 307 ⋅101 − 307 ⋅ 49 + 307 ⋅ 48 ; b) 123 ⋅ 202 − 123 ⋅ 37 + 165 ⋅ 27 . 62. Aflaţi x din egalităţile: a) 495 : ⎡⎣120 : ( 6 ⋅ 8 − 18 ⋅ x ) ⎤⎦ − 100 + 678 : 6 − 972 : 54 − 275 : 55 = 94
{ } b) 175 : {⎡⎣ 4800 : (11 ⋅12 + 14 ⋅ x ) ⎤⎦ − 108 : 36 + 72 : 9} + 495 : 99 = 10 .
63. Aflaţi x din egalităţile: a) 93 ⋅ ⎡⎣( 82 ⋅ 5 + 190 : x ) + 33 ⋅ 4 ⎤⎦ − 9 ⋅14 : 421 − 3 ⋅ 31 = 0
{ } b) 5 ⋅ {⎡⎣( 4 ⋅ 37 − 280 : x ) + 135 : 27 ⎤⎦ − 1485 : 33} :100 + 528 : 88 = 10 .
64. Aflaţi x din egalităţile: a) ⎡⎣100 − ( 32 + x ⋅ 6 + 11) ⎤⎦ ⋅ (150 − 24 ⋅ 6 + 13 ⋅15 − 9 ⋅15 ) = 2970 b) ⎡⎣ 2009 + ( 324 + x :10 − 325 ) ⎤⎦ ⋅ ( 3100 − 25 ⋅ 36 + 53 ⋅17 − 5460 : 5 ) = 1 .
46 65. Aflaţi x din egalităţile: a) ⎡⎣ 418 − ( 2 ⋅ 200 + x ) ⎤⎦ : ⎡⎣ 29 − ( 40 : 4 + 4 ) ⎤⎦ = 1 b) ⎡⎣ 2015 − (13 ⋅ 87 − x ) ⎤⎦ : ⎡⎣ 46 + ( 2500 : 50 + 5 ) ⎤⎦ = 9 . 66. Aflaţi x din egalităţile: a) ⎡⎣(160 ⋅ 22 ⋅ 6 : 24 − 625 ) : 3 + 25 ⋅ x ⎤⎦ − 24 ⋅15 + 4440 : 8 = 305
{
}
b) ⎡⎣(15 ⋅ 32 : 40 ⋅17 + 96 ) : 25 + 18 : x ⎤⎦ − 8 ⋅ 2009 − 2009 = 24108 .
47
TEOREMA ÎMPĂRŢIRII CU REST
Atunci când se face o împărţire exactă se dau două numere D şi I, I ≠ 0 pentru care găsim un al treilea număr C astfel încât D = I ⋅ C . Dar nu e posibil acest lucru pentru orice două numere naturale D şi I cu I ≠ 0 . Astfel, după ce am cuprins pe I în D de un număr maxim de ori, C, rămâne un rest R, care este mai mic decât I, căci altfel I s-ar mai cuprinde o dată în D. Deci D = I ⋅ C + R şi R < I . Totodată, urmând algoritmul de împărţire, avem o singură posibilitate de a obţine numerele C şi R, dacă sunt date D şi I, I ≠ 0 . ▪ Acum putem da un enunţ exact unuia dintre rezultatele cele mai importante din aritmetică: Teorema împărţirii cu rest: Dacă sunt date două numere naturale D şi I, cu I ≠ 0 , atunci există alte două numere C şi R astfel încât: 1) D = I ⋅ C + R ; 2) R < I ; 3) Numerele C şi R sunt determinate în mod unic de condiţiile 1) şi 2). Termenii împărţirii cu rest se numesc: D = deîmpărţit, I = împărţitor (care e întotdeauna diferit de zero), C = cât şi R = rest. Unele probleme utilizează doar condiţia 1) şi ele se pot rezolva de obicei cu metoda grafică. Alte probleme, însă, nu se unesc, ori nu sunt determinate, dacă nu ţinem cont şi de condiţia 2). În sfârşit, problemele care cer să ne gândim mai mult (dar nu presupun neapărat şi o rezolvare mai complicată), utilizează unicitatea scrierii D = I ⋅ C + R , cu R < I . Să observăm că dând de exemplu numerele D = 70 şi I = 6 , putem scrie: 70 = 6 ⋅ 0 + 70 70 = 6 ⋅1 + 64 ....................... 70 = 6 ⋅10 + 10 70 = 6 ⋅11 + 4 Deci există mai multe perechi de numere care verifică relaţia 1) din teoremă, dar numai cele care verifică şi 2) sunt câtul şi restul împărţirii. În cazul nostru, doar ultima relaţie în care 4 < 6 ( R < I ) reprezintă relaţia din teorema împărţirii cu rest. Celelalte egalităţi sunt corecte, dar numerele determinate nu sunt câtul şi restul împărţirii lui 70 la 6. Vom ilustra în trei probleme utilizarea celor trei condiţii din teoremă:
48 1. Câtul împărţirii a două numere naturale este jumătate din împărţitor iar restul este egal cu un sfert din cât. Suma dintre cât şi rest este 5. Aflaţi cele două numere. Soluţii: Scriem condiţiile din teoremă: 1) D = I ⋅ C + R , 2) R < I ; apoi, celelalte relaţii din enunţ C = I : 2 ⇒ I = 2C , R = C : 4 ⇒ C = 4 R ⇒ I = 8 R . Dacă C + R = 5 şi C = 4 R , atunci: ⇒ R = 1 şi C = 4 ⇒ I = 8 şi D = 8 ⋅ 4 + 1 = 33 .
2. Să se determine cel mai mare număr natural care împărţit la 103 dă restul mai mare decât câtul. Soluţii: D = I ⋅ C + R, R < I ; I = 103 ⇒ R ≤ 102. Deci cel mai mare rest este 102 şi atunci cel mai mare cât este 101. Astfel cel mai mare deîmpărţit este D = 103 ⋅101+ 102. 3. La două împărţiri diferite se obţin aceleaşi câturi şi aceleaşi resturi. Arătaţi că, dacă împărţim suma deîmpărţiţilor la suma împărţitorilor obţinem acelaşi cât şi restul egal cu dublul primului rest. Soluţii: Scriem cele două relaţii pentru ambele împărţiri: D1 = I1 ⋅ C + R, R < I1 D2 = I 2 ⋅ C + R, R < I 2 .
Adunăm şi egalităţile şi inegalităţile: D1 + D2 = ( I1 + I 2 ) ⋅ C + 2 R şi 2 R < I1 + I 2 . Noul deîmpărţit este D = D1 + D2 şi noul împărţitor este I = I1 + I 2 . Am găsit: D = I ⋅ C + 2 R şi 2 R < I . Din condiţia 3) a teoremei (unicitatea câtului şi restului dacă au loc condiţiile 1) şi 2)), deducem că C este câtul şi r = 2 R este restul împărţirii lui D = D1 + D2 la I = I1 + I 2 . 4. Într-o împărţire câtul este 11 şi restul 7. Suma dintre deîmpărţit şi împărţitor este egală cu 43. Reconstituiţi împărţirea. 5. Difernţa a două numere este 35. Împărţind numărul mai mare la cel mai mic, obţinem câtul 4 şi restul 2. Să se găsească cele două numere.
49 6. Un număr este cu 280 mai mare decât altul. Împărţinând suma lor la diferenţa lor obţinem câtul 5 şi restul 4. Care sunt numerele? 7. Suma dintre câtul şi restul unei împărţiri de numere naturale nenule este 30. Restul este cu 2 mai mare decât triplul câtului. Determinaţi deîmpărţitul ştiind că suma dintre acesta şi împărţitor este 2023. 8. Împărţinând 490 la diferenţa dintre numărul 203 şi numărul „a” obţinem câtul 4 şi restul 66. Aflaţi numărul „a”. 9. Aflaţi două numere naturale ştiind că suma lor este 2008 iar dacă împărţim triplul unuia dintre ele la 4016, obţinem câtul cel mai mic număr natural nenul, iar ca rest celălalt număr. 10. La o împărţire de numere naturale se ştie că deîmpărţitul este 39 şi restul 1. Aflaţi împărţitorul şi câtul ştiind că sunt mai mari ca 1 şi împărţitorul este mai mare decât câtul. 11. Diferenţa a două numere naturale este 4493. Împărţind numărul mai mare la cel mai mic obţinem câtul 57, iar restul depăşeşte câtul cu suma cifrelor acestuia. Aflaţi numerele. 12. Suma dintre câtul şi restul unei împărţiri între numere naturale este 53. Restul depăşeşte cu 1 triplul câtului. Aflaţi deîmpărţitul ştiind că este un număr cuprins între 740 şi 750. 13. Să se afle cel mai mare număr natural care împărţit la 2008 dă restul mai mare decât câtul. 14. Să se afle numerele a, b, c ştiind că împărţind pe a la b obţinem câtul 3 şi restul 2, împărţind pe a la c obţinem câtul 2 şi restul 3, iar suma dintre a şi c este 24. 15. Determinaţi cel mai mare număr natural pe care dacă-l împărţim la 207 dă câtul şi restul cel mult 702. 16. Împărţind pe a la b se obţine câtul 1 şi restul c. Suma numerelor a, b, c este 100 şi b este mai mare cu 10 decât c. Determinaţi cele trei numere a, b şi c. 17. Aflaţi cel mai mare număr mai mic decât 5000 care împărţit la 173 dă restul 56. 18. Suma a două numere naturale este 80, iar câtul împărţirii celui mai mare la cel mai mic este 3. Să se afle cele două numere. Câte soluţii are problema?
50 19. Determinaţi numerele a şi b ştiind că a : b = 3 , iar dacă înjumătăţim deîmpărţitul şi împărţitorul rămâne neschimbat, se obţine câtul 1 şi restul 49. 20. Împărţind a la b obţinem câtul 5 şi un rest. Aflaţi a şi b ştiind că a − 2b este cuprins între 79 şi 89, iar restul este cel mai mare posibil. 21. Găsiţi două numere naturale care împărţite dau câtul 57, iar restul este mai mare decât 5 şi cu 406 mai mic decât suma dintre deîmpărţit şi împărţitor. 22. Să se afle numărul care împărţit la 11 dă câtul 5 şi un rest de două cifre. 23. Aflaţi numerele naturale mai mici decât 2500 care împărţite la 71 dau restul de trei ori mai mic decât câtul. 24. Găsiţi toate numerele naturale care împărţite la 21 dau câtul şi restul egale. Câte astfel de numere există? Aflaţi suma lor. 25. Câte numere naturale de trei cifre împărţite la 67 dau restul 43 ? 26. Determinaţi numărul natural n ştiind că, împărţindu-l la 11 se obţine câtul egal cu restul împărţirii sale la 13, iar dacă-l împărţim la 13, obţinem câtul egal cu restul împărţirii sale la 11. 27. Un număr natural împărţit cu 8 dă restul 3. Dacă împărţim acelaşi număr la 6, restul este 3. Ce paritate are câtul în acest caz? 28. Restul împărţirii lui a la b este 98. Ştiind că a este număr natural de 4 cifre care se termină cu 1 şi primele două cifre sunt egale, iar b este număr natural de 2 cifre, găsiţi a şi b şi reconstituiţi împărţirea. 29. Numerele ab, bc, ca împărţite la un număr natural x dau câturile b, c, a şi resturile c, a respectiv b. Să se determine x şi să se arate că a = b = c. 30. a) Care este câtul şi care este restul împărţirii lui a la b dacă 0 < a < b ? b) Două numere naturale pare consecutive dau prin împărţire unul la celălalt două resturi numere pare consecutive. Aflaţi numerele şi reconstituiţi împărţirile. c) Aceleaşi cerinţe înlocuind „pare” cu „impare” în b).
51
TESTE TESTUL 1
1. Calculaţi: 401 + 3 ⋅ ⎡⎣15 + 3 ⋅ 7 + 2 ⋅ ( 7 ⋅ 6 − 12 ) ⎤⎦ − 354 . 2. Determinaţi câte numere de trei cifre au cifra zecilor şi cifra sutelor egale. 3. Determinaţi x din egalitatea: 300 + ⎡⎣340 + 50 ⋅ 8 − ( 300 ⋅ x + 70 ) ⎤⎦ − 5 = 365 . 4. Diferenţa a două numere naturale este 100, iar suma lor este 200. Aflaţi numerele. 5. Determinaţi numerele naturale de forma ab 4 ştiind că a : b şi b : 4 sunt împărţiri exacte. 6. Câte dreptunghiuri cu perimetrul 14 se pot forma? 7. Corina şi Cristina sunt două gemene care au împreună 34 ani. Câţi ani avea Corina în urmă cu 5 ani? 8. De câţi stâlpi are nevoie Tudor pentru a împrejmui o grădină în formă de pătrat cu latura de 10 metri, ştiind că stâlpii sunt plasaţi din 2 în 2 metri? 9. Câte drumuri trebuie făcute peste un râu pentru a trece toţi excursioniştii ştiind că este o singură barcă, 19 excursionişti şi în barcă încap 4 oameni? 10. Mama are 30 ani, iar fiica 9 ani. Peste câţi ani vârsta mamei va fi dublul vârstei fiicei? 11. Determinaţi numărul abc ştiind că abc + ab + a = 151 . 12. Suma a două numere este 32. Determinaţi numerele ştiind că prin împărţirea primului număr la al doilea se obţine câtul 3 şi restul 4. 13. Într-un bol se află bile roşii, galbene şi albastre. Aflaţi câte bile de fiecare fel sunt dacă 34 nu sunt galbene, 32 nu sunt roşii şi 38 nu sunt albastre.
52 14. Suma a două numere este 101. Aflaţi cea mai mare valoare posibilă a produsului lor. 15. Aflaţi numerele ab ştiind că aaaa : a + bb : b + a + b = 1124 .
TESTUL 2
1. Suma a patru numere pare consecutive este 252. Aflaţi numerele. 2. Determinaţi numărul natural x din: 207 − ( x + 2 ) ⋅ 7 + 33 = 100 . 3. Ştiind că a + b + c = 16 calculaţi abc + bca + cab . 4. Calculaţi: 578 + ( 5 ⋅ 6 + 7 ⋅ 8 + 5 ⋅ 9 − 4 ⋅ 7 ) ⋅ 3 . 5. Perimetrul unui dreptunghi este 40. Ce lungime are latura unui pătrat care are acelaţi perimetru cu dreptunghiul? 6. Găsiţi numerele de trei cifre abc astfel încât abc = 5bc . 7. De câte bucăţi de carton de lungime 5 şi lăţime 3 sunt necesare pentru a acoperi un dreptunghi cu lungimea de 100 şi lăţimea de 6? 8. Aflaţi două numere a şi b ştiind că suma lor este 44 şi a împărţit la b dă câtul 2 şi restul 8. 9. Victor şi cei doi fraţi gemeni ai săi au împreună 39 ani. Câţi ani au fiecare dacă acum cinci ani suma vârstelor celor doi gemeni era egală cu vârsta lui Victor? 10. Se dau trei numere a, b şi c. Aflaţi numerele ştiind că suma primelor două este 28, suma ultimelor două este 46,iar suma dintre primul număr şi al treilea este 40. 11. Calculaţi suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr ce se obţine din 3798214 eliminând 3 cifre de fiecare dată.
53 12. Diferenţa a două numere este 38. Aflaţi numerele ştiind că împărţind primul număr la al doilea se obţine câtul 5 şi restul 2. 13. De câte ori s-a folosit cifra 7 pentru numerotarea paginilor unei cărţi cu 177 pagini? 14. Ştiind că a ⋅ ( b + c ) = 640 şi a ⋅ b = 240 , calculaţi a ⋅ c . 15. Cristina a primit de ziua ei trandafiri. Dacă îi aşează câte 3 în vază, îi rămân 10 trandafiri, iar dacă îi aşează câte 5, în ultima vază va fi doar unul. Câţi trandafiri a primit Cristina?
TESTUL 3
1. Determinaţi numărul natural a astfel încât: 35 + 7 ⋅ ⎣⎡( x + 10 ) ⋅ 3 + 4 ⋅ 5⎦⎤ − 300 = 85 . 2. Suma dintre suma şi diferenţa a două numere este 64. Determinaţi numerele ştiind că diferenţa lor este 11. 3. Determinaţi numărul abcd ştiind că produsul oricăror 3 cifre ale sale este egal cu a patra cifră. 4. Calculaţi: 2001 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) : 7 − 1004 . 5. Ştiind că a + b = 7 , calculaţi ab + ba . 6. Mama, tata şi fiica au împreună 69 ani. Mama este cu trei ani mai mică decât tatăl şi de 5 ori mai mare decât fiica. Câţi ani are fiecare? 7. Aflaţi aria unui dreptunghi cu lungimea de două ori mai mare decât lăţimea şi perimetrul 30. 8. Suma a două numere este 190. Primul număr este cu 25 mai mare decât jumătatea celui de-al doilea număr. Care sunt cele două numere? 9. Ştiind că x + 2 y = 17 şi 2 y + 3z = 40 , calculaţi 2 x + 8 y + 6 z .
54 10. Suma a trei numere este 58. Dacă adunăm la fiecare acelaşi număr obţin numerele 27, 31 şi 36. Aflaţi cele 3 numere. 11. Care este cel mai mare număr natural de câte 6 cifre, în care cifrele nu se repetă? Dar cel mai mic? 12. Suma a trei numere este 65. Aflaţi numerele ştiind că împărţind primul la al doilea se obţine câtul 2 şi restul 6, iar împărţind pe al treilea la al doilea se obţine câtul 3 şi restul 5. 13. Câte numere cuprinse între 207 şi 503 dau restul 5 la împărţirea cu 7? 14. Fie şirul: 2; 4 + 6; 8 + 10 + 12; .... Calculaţi al cincilea termen. 15. Într-o curte sunt raţe şi iepuri. Ştiind că sunt 33 de capete şi 92 de picioare, aflaţi câte raţe şi câţi iepuri sunt în curte.
TESTUL 4
1. O veveriţă strânge alune pentru iarnă. Dacă în fiecare zi strânge dublul alunelor din ziua precedentă şi în prima zi a strâns 50, câte alune va strânge în patru zile? 2. Ştiind că a + b − c = 10 şi b + 2c − d = 11 , calculaţi 3a + 5b + c − 2d . 3. Aflaţi lungimea unui dreptunghi ştiind că este triplul lăţimii, iar perimetrul dreptunghiului este 40. 4. Calculaţi
abc − bca − cab
ştiind
că:
a = 100 − ⎡⎣7 ⋅ ( 40 : 8 + 5 ) + 21⎤⎦ ,
10 − b = b + 6 şi c = 2b .
5. Suma a trei numere impare consecutive este 69. Aflaţi numerele. 6. Dan şi Andrei au împreună 21 ani. Câţi ani are fiecare dacă acum 3 ani vârsta lui Dan era de două ori mai mare? 7. Calculaţi: 1509 + 27 ⋅ 3 − 3 ⋅ ⎡⎣72 + 2 ⋅ (15 − 3 ⋅ 4 ) − 36 ⎤⎦ .
55 8. Care sunt numerele naturale ab care verifică egalitatea ab + bc = 45 ? 9. Determinaţi numărul natural x din: 2 + 4 ⋅ ⎡⎣3 − ( x + 2 ) ⎤⎦ = 6 . 10. Determinaţi ab ştiind că ab = 5 ⋅ b . 11. Aflaţi diferenţa dintre cel mai mic număr format din patru cifre distincte şi cel mai mare număr format din trei cifre distincte. 12. Ştiind că a ⋅ b = 92 şi a ⋅ c = 210 calculaţi a ⋅ ( b + c ) . 13. Grigore a dus la piaţă 19 lădiţe cu struguri, unele de 7 kg, iar altele de 8 kg. Câte lădiţe de fiecare fel au fost dacă s-au transportat 142 kg struguri? 14. Virgil a constatat că suma paginilor filei din mijloc a cărţii este 59. Câte cifre s-au folosit la numerotarea paginilor cărţii? 15. Aflaţi cel mai mare număr natural ştiind că împărţit la 98 dă câtul cu 3 mai mic decât restul.
TESTUL 5
1. Determinaţi numerele abcd cu proprietatea că: c = a ⋅ b şi d = b ⋅ c . 2. Suma a două numere este 60, iar diferenţa 20. Aflaţi numerele. 3. Suma a trei numere este 84. Aflaţi numerele ştiind că jumătatea primului şi dublului celui de-al doilea sunt egale cu al treilea. 4. În grădina bunicului sunt meri, peri şi pruni. Meri sunt cu 3 mai mult decât pruni şi de 3 ori mai mulţi decât peri. Câţi meri, peri şi pruni sunt dacă în total sunt 18 pomi fructiferi? 5. Prâslea cel Voinic merge la mărul fermecat şi constată că mărul are mere de aur şi de argint. Câte mere de aur şi câte de argint sunt ştiind că dacă culege 10 de aur şi 10 de argint rămân de două ori mai mult de aur şi cu 30 mai puţine de argint?
56
{
}
6. Determinaţi a din: 2008 + 7 − 3 ⋅ ⎡⎣100 ⋅ 3 − ( a + 2 ) : 67 − 268⎤⎦ = 2009 . 7. Aflaţi numerele ab + ba = 187 .
naturale
abcd
astfel
{
încât
a + b + c ⋅ d = 18
şi
}
8. Calculaţi: 307 + 2 ⋅ 15 ⋅ 6 − 3 ⋅ ⎡⎣ 4 ⋅ 7 − 2 ⋅ ( 7 ⋅ 8 − 26 ⋅ 2 ) ⎤⎦ . 9. Dacă 3a + 4b = 15 şi 2b − c = 3 , calculaţi: 6a + 14b − 3c . 10. Determinaţi numerele de forma abc astfel încât ab + bc = 186 . 11. Se dă numărul 347864385. Eliminaţi 3 cifre astfel încât să obţineţi cel mai mare şi cel mai mic număr. 12. Determinaţi numărul natural care împărţit la un număr de două cifre dă câtul 3 şi restul 98. 13. Aflaţi suma numerelor care împărţite la un număr de o cifră dau restul 7 şi câtul 5. 14. Dana a terminat de citit o carte în 6 zile citind acelaşi număr de pagini în fiecare zi. Câte file are cartea dacă citind cu 3 pagini mai mult pe zi ar fi terminat-o în 5 zile? 15. Fie numărul 347853478534785.... Care este cifra de pe locul 702?
TESTUL 6
1. Calculaţi: 18 + 18 : 6 ⋅ ⎡⎣75 − 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ) ⎤⎦ . 2. Aflaţi x din egalitatea: ⎡⎣ 2008 : ( x + 7 ) − 12 ⋅ 9 ⎤⎦ ⋅ 7 = 1001 . 3. Suma a trei numere naturale impare consecutive este 105. Aflaţi termenul din mijloc al acestei sume. 4. a, b, c sunt trei numere naturale. Ştiind că a + b = 7 şi b + c + 10 , calculaţi 3⋅ a + 5⋅b + 2 ⋅ c .
57 5. Aflaţi cel mai mic număr natural de trei cifre care împărţit la 13 dă restul 11. 6. Kilometrajul maşinii mele indică 6059 km. Care este numărul minim de kilometri pe care trebuie să–i parcurg pentru ca kilometrajul maşinii să indice un alt număr care are suma cifrelor tot 20 ? 7. Câte numere abc cu proprietatea că abc + 495 = cba sunt ? 8. Care este diferenţa dintre numărul de triunghiuri şi numărul de pătrate care apar în figura alăturată ?
9. Bogdan primeşte o ciocolată formată din pătrăţele cu latura de 1 cm. El mănâncă câteva pătrăţele dintr-un colţ al ciocolatei, ca în figură. Câte pătrăţele de ciocolată îi rămân lui Bogdan? 10. Magda completează următorul şir de numere după o anumită regulă: 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6, 9, 11, 12, 10, … . Ce număr este pe locul 110 în acest şir ? 11. Ana are 5 ani, iar Dan este cu 13 ani mai mare decât Ana. Peste câţi ani Dan va avea dublul vârstei Anei ? 12. În două cutii sunt creioane. În prima cutie sunt 75 creioane, iar în a doua cutie sunt 45 creioane. Câte creioane trebuie luate din a doua cutie şi puse în prima cutie pentru ca numărul creioanelor din prima cutie să fie de trei ori mai mare decât al celor din a doua cutie ? 13. Un vas plin cu lapte cântăreşte 1200 grame. Dacă se umple vasul doar pe un sfert cu lapte, atunci acesta cântăreşte 525 de grame. Care este greutatea vasului ? 14. a, b, c sunt trei numere naturale astfel încât 3 ⋅ a + 5 ⋅ b + c = 160 , b împărţit la a dă câtul egal cu 3 şi restul egal cu 4, iar c este dublul lui a. Aflaţi numerele a, b şi c. 15. Albă-ca-Zăpada a făcut prăjituri pentru cei 7 pitici. Fiecare pitic a primit acelaşi număr de prăjituri şi au rămas 5 prăjituri. Mutulică, cel mai bun la matematică dintre pitici, a observat că, dacă Albă-ca-Zăpada ar mai fi făcut 16 prăjituri, atunci fiecare dintre pitici ar fi primit un număr dublu de
58 prăjituri şi nu ar mai fi rămas nicio prăjitură. Câte prăjituri a făcut Albă-caZăpada?
TESTUL 7
1. Determinaţi numărul natural a care face posibilă egalitatea: ( a : 5 − 2 ) ⋅ 5 + 2 = 107 . 2. Calculaţi: (2008 + 2008 + 2008 + 2008) : (2007 + 2009) . 3.
Care este cel mai mare număr natural cu cifre diferite şi cu suma cifrelor 13 ?
4.
Într-un şir de 15 de numere consecutive termenul din mijloc este 20. Care este suma numerelor din şir?
5.
Notăm cu S suma cifrelor numărului N. Aflaţi N, ştiind că S + N = 111.
6.
De câte ori se foloseşte cifra 8 pentru numerotarea paginilor unei cărţi cu 180 de pagini?
7.
Într-o cutie sunt bomboane de câte 5 grame şi bomboane de câte 3 grame. În total bomboanele cântăresc 47 grame. Care este numărul maxim al bomboanelor din cutie ?
8.
Locurile cu numerele 5 şi 13 ale unui carusel sunt în părţi opuse. Câte locuri are caruselul? c
9.
Tabelul alăturat se completează cu literele a, b, c şi d astfel încât pe fiecare linie şi pe fiecare coloană să apară toate literele. Ce literă trebuie pusă în locul lui * ?
d a * c
b
10. Aflaţi cel mai mare număr natural care împărţit la 5 dă câtul a şi restul b, iar împărţit la 3 dă câtul b şi restul a. 11. Ionel are cu 60 de timbre mai multe decât Adrian, Adrian are de trei ori mai puţine timbre decât Victor, iar Victor cu 20 de timbre mai puţine decât Ionel. Câte timbre au împreună cei trei copii?
59 12. Un excursionist parcurge un traseu în 4 zile. În fiecare zi el parcurge jumătate din drumul rămas, plus 1 km. Ce lungime are întregul traseu? 13. Mircea stă la rând la bilete şi constată că numărul persoanelor din faţa sa este egal cu cel al persoanelor din spatele său. Apoi, 5 persoane cumpără bilete iar alte două se aşează la rând şi Mircea constată că în spatele său sunt de două ori mai multe persoane decât în faţa sa. Câte persoane erau la rând iniţial? 14. Unui număr de 4 cifre îi şterg ultima cifră şi obţin un număr de 12 ori mai mare decât cifra ştearsă. Care este numărul iniţial? 15. La un concurs de matematică s-au propus spre rezolvare 20 de probleme. Pentru fiecare problemă corect rezolvată se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare problemă nerezolvată se scad 3 puncte. Câte probleme a rezolvat corect un elev care a obţinut 68 de puncte?
TESTUL 8
1. Scrieţi cel mai mare număr care nu nicio o cifră de 1 şi produsul cifrelor 60. 2. Care este numărul a din şirul de numere: 2, 3, 5, 9, 17, 33, a, 129, … ? 3. Aflaţi cifra sutelor numărului: A = 21 · 22 · 23 · 24 · 25 · 26 · 27 · 28 · 29? 4. Calculaţi: (103 ⋅103 − 103) − (101 ⋅101 + 101) . 5. Numerele naturale a şi b verifică egalitatea: 23 + 9 ⋅ (101 − 14 ⋅ a ⋅ b ) = 50 . Determinaţi a + b . 6. Aflaţi cfra x, ştiind că ab + ba = 18 x . 7. Câte numere cu trei cifre distincte şi suma cifrelor 6 sunt? 8. Am uitat codul PIN al telefonului meu. Îmi amintesc totuşi că are patru cifre în odine crescătoare şi cele din mijloc sunt 4 şi 6. Care este numărul minim de încercări pe care trebuie să le fac pentru a nimeri codul corect?
60
9. Descoperind regula de completare , aflaţi-l pe x.
10. Pentru a vopsi un cub cu muchia de 20 cm am folosit 500 g de vopsea. Tai cubul în cuburi cu muchia de 10 cm. De câtă vopsea mai am nevoie pentru a vopsi aceste cuburi pe feţele rămase nevopsite? 11. Într-o împărţire împărţitorul este egal cu câtul , are două cifre şi are suma cifrelor 9. Dacă restul acestei împărţiri este 89, cu cât este egal deîmpărţitul? 12. Dan are 40 de bile albe şi roşii. Jumătate din numărul bilelor albe este cu 7 mai mic decât numărul bilelor roşii. Câte bile roşii are Dan? 13. Tatăl lui Dan are de trei ori vârsta sa. Peste 15 ani tatăl va avea dublul vârstei lui Dan? Ce vârstă are Dan? 14. Într-o cutie am avut 32 de bomboane cu fructe şi 18 bomboane cu ciocolată. În fiecare zi am mâncat 3 bomboane cu fructe şi o bomboană cu ciocolată până când numărul bomboanelor cu fructe a devenit egal cu numărul bomboanelor cu ciocolată. Câte bomboane mi-au rămas? 15. Din cauza unei erori a tipografului, la numerotarea paginilor unei cărţi, în locul cifrei 8 s-a scris peste tot cifra 3. Astfel apare de 66 de ori cifra 3. Câte pagini are cartea?
TESTUL 9
1. Scrieţi cel mai mic număr natural cu suma cifrelor 51. 2. Calculaţi B – A, unde A = 1 + 3 + 5 + ... + 25 şi B = 2 + 6 + 10 + ... + 50 .
(
)
3. Determinaţi cifra a din egalitatea: 4 ⋅ 4 ⋅17 − 7 a : 4 = 196 .
61 4. Suma dintre jumătatea şi treimea unui număr natural este egală cu 145. Aflaţi numărul. 5. Câte numere abc cu proprietatea că a ⋅ b + c = 3 sunt? 6. Într-un sertar sunt trei perechi de ciorapi verzi, două perechi de ciorapi galbeni şi patru perechi de ciorapi roşii. Care este numărul minim de ciorapi 7. pe care trebuie să-i scot din sertar, fără a vedea culoarea lor, pentru a fi sigur că am scos o pereche de ciorapi galbeni? 8. Dan are tot atâţia fraţi câte surori, dar Ana, sora lui, are de două ori mai mulţi fraţi decât surori. Câţi copii sunt în familia lui Dan? 9. Pătratul mare din figura alăturată e format cu patru dreptunghiuri identice. Aria pătratului mare este 100 cm2, iar aria pătratului din interior este 36 cm2. Aflaţi lăţimea şi lungimea fiecărui dreptunghi. 10. Pe marginea unei şosele sunt plantaţi 100 de plopi la distanţă egală unul faţă de altul. Între al 13 - lea şi al 41 – lea plop distanţa este de 420 metri. Ce distanţă este între al 4 – lea şi al 60 –lea plop? 11. Medicul mi-a prescris 25 pastile pe care să le iau din şase în şase ore. Prima pastilă am luat-o marţi 13, la ora 13. În ce zi şi la ce oră voi lua ultima pastilă? 12. O sală de teatru are 25 de rânduri cu 15 locuri fiecare. Locurile sunt numerotate de la 1 la 375 începând de la primul rând spre ultimul. Ce număr are locul din mijlocul sălii? 13. Ionuţ şi tatăl său pleacă în acelaşi moment din două localităţi, unul spre celălalt, pe biciclete. Ionuţ parcurge distanţa dintre cele două localităţi în două ore, iar tatăl său în 40 de minute. Să se afle după cât timp de la plecare Ionuţ se va întâlni cu tatăl său. 14. În trei coşuri sunt 324 de mere. Se iau 80 de mere din primul coş şi se pun în al doilea, apoi se ia un sfert din numărul merelor din al doilea coş şi se pun în al treilea. Astfel, în cele trei coşuri vom avea acelaşi număr de mere. Câte mere erau iniţial în fiecare coş ? 15. Pe o tabla am scris de 11 ori numărul 13 şi de 13 ori numărul 11. Câte numere trebuie să şterg de pe tablă pentru ca suma numerelor rămase să fie 190?
62 16. Numerele naturale a şi b verifică egalităţile: a : 3 + b : 2 = 34 şi a : 2 + b : 3 = = 41. Aflaţi a + b .
TESTUL 10
1. Calculaţi: 2000 + 200 · 8 - 200 : 8 . 2. Bogdan are 48 de bancnote. O treime din ele sunt de un leu, un sfert din cele care nu sunt de un leu sunt de cinci lei, iar restul bancnotelor sunt de 10 lei. Ce sumă de bani are Bogdan?
{
}
3. Aflaţi numărul natural a din egalitatea: 13 + 4 ⋅ ⎡⎣ 28 + ( a + 2 ) : 6 ⎤⎦ − 5 : 5 = 36 . 4. Aflaţi numerele xy cu proprietatea că ( x − y ) :y = y.
<
>
>
7 > 4 > B
>
<
>
> A > >
5. Cifrele de la 1 la 9 se scriu în căsuţele alăturate astfel încât să fie adevărate toate inegalităţile indicate. Aflaţi suma A + B.
>
6. Care dintre numerele: a = 100 ⋅ (1 + 2 + ... + 101) şi b = 101 ⋅ (1 + 2 + ... + 100 ) este mai mare? 7. Câte numere de cinci cifre egale cu răsturnatele lor sunt ? 8. Ce loc ocupă numărul 1001 în şirul: 6, 11, 16, 21, 26, … ? 9. Ditr-un cub alcătuit din mai multe cubuleţe se scot câteva pentru a rezulta nişte canale ca în figură. Câte cubuleţe rămân? 10. Grădina bunicii are forma din figură. Aflaţi aria grădinii.
63 11. Căsuţele de mai jos se completează cu numere astfel încât suma numerelor din oricare trei căsuţe alăturate să fie 13. Cât este x? 5 x 6 12. Ionel are cu 60 de timbre mai multe decât Adrian, Adrian are de trei ori mai puţine timbre decât Victor, iar Victor cu 20 de timbre mai puţine decât Ionel. Câte timbre au împreună cei trei copii? 13. Dan, Ana şi Ion hotărăsc să-şi cumpere fiecare aceeaşi carte. Ei constată că Dan are jumătate din banii necesari, Anei îi mai trebuie 20 de lei, iar lui Ion i-ar mai trebui 16 lei, dar că împreună au exact suma necesară achiziţionării unei cărţi. Care este preţul cărţii? 14. În vârfurile unui triunghi plasez numerele 1, 2 şi 3. La fiecare pas înlocuiesc fiecare număr din vârfurile triunghiului cu suma numerelor din celelalte două vârfuri. Care este suma numerelor din vârfurile triunghiului după 10 paşi? 15. Un elev are de rezolvat un număr de probleme într-un anumit număr de zile. Dacă ar rezolva 6 probleme pe zi, i-ar rămâne nerezolvate 4 probleme, iar dacă ar rezolva 8 probleme pe zi, pentru ultima zi i-ar rămâne de rezolvat doar două probleme. Câte probleme a avut de rezolvat elevul ?
TESTUL 11
1. Comparaţi numerele x = ( 625 : 5 − 5 ) : 6 şi y = ( 6 ⋅ 7 + 12 ) : 2 − 6 . 2. Calculaţi: ( 8 + 88 + 888 ) : ( 4 + 44 + 444 ) . 3. Calculaţi a ⋅ b + a ⋅ c , ştiind că a = 12 şi b + c = 15 . 4. Ce număr se obţine împărţind prin 3 sfertul lui 1248? 5. Mihai şterge zece cifre din numărul 123451234512345 astfel încât să rămână un număr cât mai mare. Aflaţi rezultatul obţinut. 6. Determinaţi numărul xy , ştiind că xy + yx = 99 şi x − y = 3 . 7. Produsul a şapte numere naturale este 7. Determinaţi suma acestor numere.
64 8. Cifrele 1, 4, 5, 7 pot fi aranjate astfel încât să formeze 24 de numere de patru cifre distincte. Câte din acestea sunt impare? 9. Calculaţi suma tuturor numerelor care împărţite la 5 dau câtul de două ori mai mare decât restul. 10. Un număr n, de patru cifre, are suma cifrelor 36. Care este suma cifrelor lui n + 1? 11. Patru copii aveau acelaşi număr de timbre. După ce fiecare a pierdut câte 36 de timbre, le-au rămas, în total, atâtea timbre câte avea fiecare copil la început. Câte timbre a avut un copil la început? 12. O mamă cu 8 copii gemeni are acum 28 de ani, iar suma vârstelor copiilor este 56 de ani. Cu câţi ani în urmă vârsta mamei era egală cu suma vârstelor copiilor? 13. Andrei s-a gândit la un număr. Aflaţi numărul, ştiind că dacă Andrei îl înmulţeşte cu 100 şi adaugă la rezultat 999, obţine cel mai mare număr de patru cifre. 14. Se consideră următorul şir de perechi: (1,1000 ) , ( 2,999 ) , ( 3,998) ,..., ( 999, 2 ) , (1000,1) . Câte perechi, ( x, y ) din şir au proprietatea x > 6 y ? 15. O echipă de hockey, cu 6 jucători şi 9 rezerve, a disputat o partidă timp de o oră. Câte minute a jucat fiecare din cei 15 componenţi ai echipei, dacă toţi au jucat aceeaşi perioadă de timp?
TESTUL 12
1. Calculaţi: 1000 − 2 − 4 − 6 − ... − 50 . 2. Determinaţi numărul 237 + a + 103 + b + c − 312 + d , ştiind că a + b + c + + d = 60 . 3. Câţi termeni are şirul: 3, 7, 11, 15, ..., 119, 123?
65 4. Fie x şi y două numere naturale astfel încât x împărţit la y să dea câtul 12 şi restul 9. Aflaţi valoarea minimă a lui x. 5. Care este produsul dintre cel mai mic număr scris cu trei cifre diferite şi cel mai mare număr de două cifre care se împarte exact la 8? 6. O fetiţă are acum 8 ani, iar mama sa are 38 de ani.. Peste câţi ani mama va avea o vârstă de două ori mai mare decât fetiţa? 7. Calculaţi produsul a ⋅ b ⋅ c , ştiind că b este dublul lui a, a este dublul lui c, iar a + b + c = 21 . 8. Suma a două numere este 75. Dacă din primul scădem 45 şi la al doilea adunăm 10, obţinem numere egale. Aflaţi cele două numere. 9. Determinaţi numărul ab , ştiind că ( a + 8 ) ⋅ ( b − 2 ) = 24 . 10. Dacă a* b = a · b +1 (de exemplu, 2 * 5 = 2 ·5 + 1 =11), calculaţi: (0 * 1) + (1 * 2) + (2 * 3) + (3 * 4). 11. Un om sapă o grădină în formă de pătrat, cu latura de 2m, într-o oră. În cât timp va săpa, acelaşi om, o grădină în formă de pătrat cu latura de 6m ? 12. Numerele de telefon dintr-un orăşel au două cifre. Ele sunt cuprinse între 00 şi 99, dar nu toate sunt folosite. Dacă cele două cifre ale unui număr folosit sunt inversate, numărul obţinut ori aparţine aceleaiaşi persoane, ori devine unul dintre numerele nefolosite. Care este numărul maxim de persoane care au telefon? 13. Într-o cutie sunt numai bile de trei culori: roşii, galbene şi negre. Numai 27 din ele nu sunt negre şi numai 39 nu sunt roşii. Numărul bilelor roşii este de două ori mai mic decât numărul bilelor negre. Câte bile de fiecare culoare sunt în cutie? 14. Aflaţi suma tuturor numerelor de forma xyz , care au proprietatea 6< x< y≤ z. 15. Făt – Frumos a găsit cheile de la porţile castelului în care era închisă prinţesa lui. El a calculat că ar avea nevoie de cel mult 28 de încercări pentru a deschide toate porţile. Câte porţi avea castelul?
66
TESTUL 13
1. Se consideră numerele a = 1 + 2 + 3 + ... + 10 şi b = 10 − 9 + 8 − 7 + ... + 2 − 1 . Calculaţi ( a − b ) :10 . 2. Care este a cincea parte din triplul lui 75 ? 3. Un iepure face 6 sărituri în 9 secunde. În cât timp face iepurele 14 sărituri? 4. Cât este diferenţa dintre cel mai mic număr de 10 cifre şi cel mai mare număr de 9 cifre? 5. Determinaţi suma cifrelor numărului p = 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 , ştiind că produsul are zece factori. 6. Calculaţi xyzxyz : xyz : 7 . 7. Aflaţi suma următorilor doi termeni ai şirului 1, 3, 7, 15, 31, .... . 8. Diferenţa dintre două numere este 90. Aflaţi numerele ştiind că unul este de trei ori mai mare decât celălalt. 9. Determinaţi cifra x, astfel încât 2 x + x3 = 89 . 10. Aflaţi numerele x, y şi z, ştiind că x + y = 13 , x + z = 7 , x + t = 16 , y + z + t = 33 . 11. Determinaţi toate numerele naturale x care verifică inegalitatea: ( 22 + 33 + ... + 99 ) ⋅ x ≤ 4840 . 12. Elena are de nouă ori mai multe casete decât Ştefan. Dacă Elena i-ar împrumuta lui Ştefan 6 casete, acesta ar avea o pătrime din numărul casetelor Elenei. Câte casete are fiecare? 13. Aflaţi cel mai mic număr x cu proprietăţile: suma cifrelor lui x este egală cu suma cifrelor lui 199 şi x > 199 .
67 14. Un zugrav, aşezat pe o scară, observă că sub treapta pe care stă sunt de două ori mai multe trepte decât deasupra. După ce coboară 8 trepte, constată deasupra şi dedesubtul său sunt la fel de multe trepte. Câte trepte are scara? 15. Un număr de două cifre are cifra unităţilor de trei ori mai mare decât cifra zecilor. Aflaţi numărul, ştiind că răsturnatul său este cu 36 mai mare ca numărul iniţial.
TESTUL 14
{
}
1. Calculaţi: 20 + 250 : 5 + 15 : 3 ⋅ ⎡⎣10 − ( 20 : 4 − 2 ) ⋅ 3⎤⎦ ⋅ 2 . 2. Calculaţi 2 x + 3 y , ştiind că x şi y verifică egalităţile
( 2 x + 3) ⋅ 4 = 36
şi
( 20 − y ) : 4 + 6 = 10 . 3. Determinaţi toate numerele naturale x cu proprietatea: 15 ≤ 2 x + 3 ≤ 21 . 4. Aflaţi numerele a şi b, astfel încât a + b = 42 şi a = 2b . 5. Ilie are 100 de lei. Paul are o pătrime din suma lui, iar Nicu are două cincimi din suma lui Paul. Câţi lei are Nicu? 6. Suma dintre pătrimea unui număr şi dublul său este 36. Aflaţi numărul. 7. Fie patru numere a, b, c, d
(a < b < c < d )
astfel încât a + d = b + c .
Calculaţi ( d − c ) − ( b − a ) . 8. Determinaţi suma tuturor numerelor de forma ab , cu a < b ≤ 4 . 9. Într-un sertar sunt şapte perechi de ciorapi de culori diferite. Să presupunem că suntem nevoiţi să alegem ciorapii pe întuneric. Care este numărul minim de ciorapi care trebuie scoşi din sertar, pentru a fi siguri că vom putea încălţa doi ciorapi de aceeaşi culoare?
68 10. O cameră în formă de dreptunghi cu lungimea de 3 metri şi lăţimea de 2 metri se pavează cu dale în formă de pătrat cu latura de jumătate de metru. Câte dale sunt necesare? 11. Perimetrul unui pătrat este egal cu latura altui pătrat, iar suma laturilor celor două pătrate este 25 m. Aflaţi ariile pătratelor. 12. Suma a cinci numere naturale nenule este 14. Calculaţi produsul diferenţelor tuturor perechilor care se pot forma cu cele cinci numere. 13. Câte numere de trei cifre abc verifică condiţiile abc şi a = b + c ? 14. Determinaţi numărul abc , ştiind că ab împărţit la c dă câtul 9 şi restul 8. 15. Dacă Andrei ar rezolva câte n probleme pe zi ar termina o carte în 20 de zile, iar dacă ar rezolva câte n + 3 probleme pe zi ar termina cartea în 15 zile. Câte probleme sunt în carte?
TESTUL 15
1. Calculaţi (101 + 202 + ... + 909 ) : 9 : 5 . 2. Ordonaţi crescător următoarele numere: a = (102 − (10 − 4 ) ) : 2 , b = ( 3 + 4 ) ⋅ ( 5 + 2 ) , c = 85 − 117 : 3 , d = 20 + 5 ⋅ 5 . 3. Determinaţi numărul x astfel încât 1 + 2 + ... + x = 66 . 4. Determinaţi a + b + c , ştiind că a − 30 = b + c şi 200 : ( b + c ) = 5 . 5. Bursa lunară a unui elev este mai mică de 450 lei cu tot atâţia lei cât ar primi peste 450 lei dacă i s-ar dubla suma. Care este bursa elevului? 6. Câte numere de trei cifre au cifra zecilor egală cu 2 ? 7. La un turneu de şah s-au înscris 32 de copii. Câte partide de şah s-au jucat în total, dacă după fiecare partidă cel care a pierdut a fost eliminat?
69 8. Suma a trei numere nenule diferite este 24. Dacă unul dintre ele se măreşte de 2 ori, atunci suma lor devine 44. Găsiţi cele 3 numere. 9. Calculaţi suma resturilor obţinute prin împărţirea la 7 a numerelor 84, 85, 86, ..., 94. 10. Perimetrul unui dreptunghi este de 1000 m. Aflaţi dimensiunile dreptunghiului dacă un sfert din lungime este cu 34 m mai mare decât a treia parte din lăţime. 11. Trei kilograme de banane costă cât 5 kilograme de portocale. Un bucătar a cumpărat 30kg banane şi 45kg portocale plătind pentru acestea 285 lei. Care este preţul unui kilogram de banane? 12. Câte numere de 4 cifre se împart exact la 9 ? 13. Din cei 36 elevi ai unei clase 20 participă la olimpiada de română şi 28 la olimpiada de matematică. Câţi elevi participă la ambele olimpiade? 14. Determinaţi numerele abc ştiind că: a < b < c, a + 2b + 3c = 50, 3a + 2b + + c = 46 . 15. Dorin ia în fiecare zi dintr-un coş cu nuci o treime din numărul lor dimineaţa, şi încă 8 nuci seara. După 3 zile coşul se goleşte. Câte nuci au fost la început în coş?
TESTUL 16
1. Scriem numărul N = 1234....99100 prin alăturarea tuturor numerelor naturale dintre 1 şi 100. Care este cifra milioanelor lui N ? 2. Triunghiul şi pătratul din figură au aceleaşi perimetre. Care este perimetrul întregii figuri? 4 3. Pisicile dorm două treimi din timp. Câte ore dorm ele în 24 de ore? 4. Un vapor pleacă într-o zi de luni la prânz pentru o traversare care durează exact 100h. Care este ziua şi ora sosirii sale?
70 5. Într-o clasă, 50% din elevi joacă baschet, 40% tenis şi 10% joacă şi baschet şi tenis. Câţi elevi nu joacă nici baschet, nici tenis? 6. În vacanţă, am primit câte 11 lei pe zi, 20 de zile pe lună, timp de 6 luni. Câţi lei am primit în total? 7. Paul cântăreşte o dată şi jumătate cât Andrei, care cântăreşte de 2 ori cât Giulia. Ei cântăresc împreună 60kg. Cât cântăreşte Giulia? 8. Calculaţi: 99 − 97 + 95 − 93 + 91 − 89 + ... + 7 − 5 + 3 − 1 . 9. O populaţie de bacterii se dublează la fiecare oră. De câte ori s-a multiplicat în 10 ore? 10. În grădina mea, 3 pisici pândesc 6 păsări. Câte picioare sunt în total? 11. Ceasul meu întârzie câte 2 minute la fiecare oră. La amiază (ora 12), ceasul indică ora exactă. După cât timp va fi în întârziere cu o oră? 12. Timp de 12 ore, 50 de becuri de 100 waţi fiecare rămân aprinse. La preţul unui kilowatt-oră de 0,50 lei, cât va costa lumina? 13. Câte dreptunghiuri se disting în figura alăturată?
14.. Ce numere lipsesc în căsuţe? căsuţe? 1, 3, 6, 10, 15, 21,
,
, 45.
15. Un patron depune la bancă 10000 lei. Pentru fiecare 100 lei, banca îi adaugă 40 lei pe an. După 2 ani, câţi lei va avea în cont?
TESTUL 17
1. Determinaţi valoarea lui a din egalitatea: 3 + 4 + 2 ⋅ ⎡⎣ 2 + ( 6 + a ) : 3⎤⎦ − 17 = 24 .
{
}
2. Mircea are 2 ani. Peste 4 ani va fi de 6 ori mai mic decât tatăl său, iar bunicul de 2 ori mai mare decât fiul său. Ce vârstă are tatăl? Dar bunicul?
71 3. Aflaţi 5 numere ştiind că primul este dublul celui de al doilea, al doilea cu 25 mai mare decât al treilea, al treilea este cu 40 mai mic decât al patrulea, al patrulea este de 3 ori mai mare decât al cincilea, iar suma ultimelor două este 800. 4. Aflaţi necunoscuta x din egalitatea: 6 − 5 : ⎡⎣ 4 − 3 : ( 2 − 2 : x ) ⎤⎦ = 1 . 5. Un pix, o carte şi un joc costă împreună 63 lei. Pixul costă cu 5 lei mai mult decât cartea, iar cartea împreună cu pixul costă cu 7 lei mai mult decât jocul. Aflaţi preţul fiecăruia. 6. Câtul împărţirii a 2 numere naturale este 3, iar restul 79. Diferenţa aceloraşi numere este 691. Care sunt ele? 7. La un turneu de şah au participat 10 jucători. Câte partide s-au jucat, dacă procedeul de desfăşurare era eliminatoriu? Dar dacă fiecare jucător ar fi jucat cu fiecare concurent o singura partidă? 8. La o împărţire cu rest a două numere naturale, suma dintre rest şi împărţitor este 20, suma dintre cât şi împărţitor este 33, iar suma dintre împărţitor, cât şi rest este 36. Aflaţi deîmpărţitul. 9. Dacă elevii unei clase stau câte 2 în bancă, rămân 6 elevi în picioare, iar dacă se aşează câte 3 în bancă rămân 3 bănci libere. Câţi elevi şi câte bănci sunt în clasă? 10. Pentru numerotarea paginilor unei cărţi s-au folosit 597 de cifre. Câte pagini are cartea? 11. Zece numere pare consecutive adunate dau un sfert din sfertul numărului 801440. Aflaţi cele 10 numere. 12. Să se afle cu cât este mai mare suma decât diferenţa dintre cel mai mare număr de 5 cifre distincte şi cel mai mic număr de 5 cifre identice. 13. Care este suma tuturor numerelor impare cel puţin egale cu 9 şi cel mult egale cu 25 ? 14. Semne identice indică cifre identice în „cifrul” de mai jos: 3+
=
·
=
:
=
·3 =
72 Descoperiţi secretul cifrului. 15. Calculaţi, grupând convenabil: 2000 + 1999 − 1998 − 1997 + 1996 + 1995 − 1994 − 1993 + ... + 4 + 3 − 2 − 1 .
TESTUL 18
{
}
1. Calculaţi: 564 : 90 + 96 : ⎡⎣6 − (125 : 25 + 7 ) : 3⎤⎦ ⋅ 4 . 2. Diferenţa a două numere este 2. Mărind numărul mai mare cu 5 şi micşorându-l pe cel mic cu 5, numărul mai mare devine dublul celuilalt. Aflaţi numerele iniţiale. 3. La o fermă 6 vaci şi 15 oi consumă zilnic 270 kg fân, iar 2 vaci şi 15 oi consumă zilnic 150 kg fân. Câte kg de fân consumă fiecare? 4. Mama are 33 ani, iar fiica 12 ani. Peste câţi ani vârsta mamei va fi dublul vârstei fiicei? 5. Perimetrul unui pătrat este egal cu lungimea laturii altui pătrat. Aflaţi laturile celor două pătrate ştiind că suma lor este 30 cm. 6. Câtul împărţirii a două numere este 17, iar restul 111. Dacă adunăm deîmpărţitul, împărţitorul, câtul şi restul obţinem 2417. Aflaţi cele două numere. 7. Aflaţi x din egalitatea: ⎡⎣( 45 : 5 + 10 ⋅ 2 − 14 ) ⋅ 3⎤⎦ : ⎡⎣( 7 ⋅ 4 − 14 : 7 ) :13 + 3⎤⎦ ⋅ x = 63 . 8. Completaţi numerele din şirul: 17, 23, 13, 11, ?, 15, ?. 9. Un tren lung de 350m intră pe pod cu o viteză de 600m/min. După 7 minute iese de pe pod. Ce lungime are podul? 10. Diferenţa a 2 numere naturale este 795. Împărţind numărul mai mare la cel mai mic obţinem câtul 7 şi restul 15. Aflaţi numerele.
73 11. Înscrieţi în cerculeţe cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 astfel încât suma de pe fiecare segment să fie aceeaşi.
12. Un melc urcă în timpul zilei 4 m dintr-o fântână, iar noaptea coboară 3 m. În câte zile ajunge afară, dacă adâncimea fântânii este de 7 m? 13. Într-o clasă sunt 30 elevi. 18 învaţă franceza, iar 21 engleza. Fiecare elev învaţă engleza sau franceza. Câţi elevi învaţă franceza şi engleza? Dar numai una din cele două limbi? 14. Reconstituiţi adunarea: 1a5b+ 41c7 6d86 15. O casieră a vândut la spectacolul cu Julio Iglesias 33 de bilete de 200 lei biletul şi respectiv de 500 lei biletul. S-au obţinut 10500 lei. Câte bilete de 500 lei a vândut?
TESTUL 19
1. Un ceas electronic indică ora, minutele şi secundele. Este fixat la ora 12 duminică la amiază, dar are un avans de 2 minute şi 48 secunde pe săptămână. Ce oră va indica joi la ora 16? 2. Câte pătrate sunt în figură?
3. Găsiţi litera care lipseşte: A B D G ? P V. 4. Aflaţi numărul care lipseşte: 1, 2, 4, 8, 16, ?, 64. 5. Care este diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr format din trei cifre?
74 6. Maşina A produce 2000 de piese în 2 minute, în timp ce maşina B produce acelaşi număr de piese în 3 minute. Câte piese produc împreună cele două maşini în 6 minute? 7. Sala teatrului are 26 de rânduri cu căte 24 de locuri fiecare. În ce rând se găseşte locul 375? 8. Alături de un număr de două cifre, scriem acelaşi număr. Ce cât obţinem dacă împărţim numărul obţinut la numărul iniţial? 9. Un student a dat 31 de examene în 5 ani. În fiecare an a avut mai multe decât în anul precedent. În ultimul an, a susţinut de trei ori mai multe examene ca în primul. Câte examene a dat studentul în anul II, dacă numărul lor este impar? 10. Un ceas electronic afişează ora 19:57:33. După câte secunde se vor schimba pentru prima dată toate cifrele de pe cadran? 11. Un automobil merge 10 km cu viteza de 40 km/h, 100 km cu viteza de 100 km/h şi ultimii 30 km cu viteza de 60 km/h. Care este viteza medie? 12. La o loterie iese câştigător un număr din 32 posibile. Jucătorii cumpără bilete pe care marchează câte 5 numere. Câte bilete trebuie cumpărate pentru a fi siguri că cel puţin un bilet conţine numărul căştigător? 13. O jumătate de pâine costă cu 600 cenţi mai mult decât un sfert. Cât costă o pâine? 14. Ioana a încercat să împartă maxim 20 de prăjituri, în mod egal, la doi prieteni, apoi la trei prieteni, apoi la patru prieteni, dar a rămas mereu cu câte o prăjitură. Câte prăjituri are Ioana? 15. Ana scrie numărul 43786·8· , dar două cifre s-au şters. Ea mai ştie că numărul se împarte exact la 6. Câte numere cu această condiţie există?
TESTUL 20
1. În expresia 8 ⋅ 30 + 48 : 8 + 4 puneţi paranteze astfel încât să se obţină: a) cel mai mic număr natural posibil; b) cel mai mare număr natural posibil.
75 2. Câte numere naturale de 4 cifre pot fi scrise folosind numai cifrele 1, 2, 3 şi 4 ? Dar numai cifrele 1, 2, 3, 4 şi 5 ? 3. Aflaţi toate numerele naturale de 4 cifre, ştiind că fiecare are cifrele distincte scrise crescător, iar suma cifrelor este 18. 4. Care este cel mai mic număr natural cu suma cifrelor sale egală cu 2001 ? 5. Un elev numerotează paginile unui dicţionar, ultima pagină fiind 985. De câte ori a scris cifra 8 ? 6. Suma a 3 numere naturale este 186. Dacă se împarte primul la al doilea se obţine câtul 3 şi restul 4, iar dacă se împarte al doilea la al treilea se obţine câtul 4 şi restul 3. Aflaţi numerele. 7. Calculaţi suma tuturor numerelor naturale care dau câtul 10 la împărţirea cu 99. 8. Completaţi căsuţele libere din pătrat cu una din cifrele 1, 2, 3, 4 sau 5, astfel încât pe fiecare linie, coloană şi diagonală să apară fiecare din aceste numere. 1 2 2 5 3 2 3 3 1 9. Exact 5 numere din şirul: 73, 28, 56, 19, 46, 55 respectă regula de alcătuire a şirului. Care este „intrusul”? 10. Fără a schimba ordinea cifrelor, puneţi semnele +, -, ·, : şi, eventual, paranteze pentru a obţine următoarele egalităţi: a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1.
11. Găsiţi numărul care lipseşte:
15
5
12
30
6
20
42
7
?
12. Un elev merge la şcoală şi se întoarce acasă cu autobuzul având nevoie de 40 minute. Dacă se duce la şcoală cu autobuzul şi se întoarce pe jos are nevoie de o oră şi jumătate. Cât ar dura drumul pe jos în ambele sensuri?
76 13. Dacă se aşează câte o cioară pe un par, rămâne o cioară fără par, iar dacă se aşează câte două ciori pe un par, rămâne un par fără cioară. Câte ciori şi câţi pari sunt? 14. La un concurs de ciclism, primul concurent a mers cu 60 km/h şi s-a întors cu 40 km/h, al doilea a rulat constant cu 50 km/h. Cine a câştigat? 15. La un turneu de tenis participă 128 de jucători. Câte partide s-au jucat, dacă se joacă în sistem eliminatoriu?
TESTUL 21
1. Calculaţi: 3672 :18 − ⎡⎣ 4 ⋅ (139 ⋅18 − 45 ⋅ 34 ) : 243⎤⎦ + 8905 : 65 = . 2. Să se afle x din egalitatea: ( x + 2 ) + ( x + 4 ) + ( x + 6 ) + ... + ( x + 16 ) = 96 . 3. Să se afle trei numere ştiind că produsul primelor două este 180, produsul ultimelor două este 60 şi suma dintre primul şi ultimul este 20. 4. Suma numerelor cu care sunt numerotate paginile de la mijlocul unei cărţi este 113. De câte ori s-a folosit cifra 5 pentru numerotarea acestei cărţi? 5. Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 10 dau câtul egal cu restul. 6. Câte cărţi şi câte caiete are un elev, ştiind că dacă le grupează câte o carte şi un caiet rămân 6 caiete, iar dacă le grupează câte o carte şi 2 caiete rămân 2 cărţi? 7. Dacă aşezăm câte 2 elevi într-o bancă rămân 3 bănci goale, iar dacă aşezăm câte 3 elevi într-o bancă rămân 7 bănci goale. Câţi elevi şi câte bănci sunt? 8. Un elev începe să citească o carte cu 620 de pagini luni şi o termină vineri. În fiecare zi citeşte un număr dublu de pagini faţă de ziua precedentă. Câte pagini citise până joi?
77 9. Să se afle un număr de patru cifre, ştiind că dacă îi aşezăm în faţă cifra 8 obţinem un număr de trei ori mai mare decât numărul ce s-ar obţine din numărul iniţial cu cifra 6 aşezată la sfârşit. 10. Cu cât trebuie să se mărească lungimea unui dreptunghi care are perimetrul de 250m şi lăţimea de 25m, ca să se obţină un alt dreptunghi cu perimetrul de 280m. 11. Suma a trei numere este 552. Ştiind că primul număr este cât media aritmetică a ultimilor două, iar dacă împart numărul al doilea la al treilea obţin câtul 4 şi restul 48, află cele trei numere. 12. Într-o zi 13 băieţi şi 9 fete au plantat 92 brăduţi. A doua zi 5 băieţi şi 9 fete au plantat 52 brăduţi. Aflaţi câţi brăduţi a plantat un băiat şi câţi o fată? 13. Un câine fuge după o pisică, care se află la o distanţă de 40m de el. După cât timp o va ajunge, dacă pisica fuge cu 85m/minut, iar câinele cu 105m/minut? 14. Cineva vindea frigidere la .... Polul Nord. Dorind mai ales să-şi facă reclamă, a pus următorul anunţ: „Un frigider costă 180$. Două frigidere costă 280$. Sau vând unul sau vând două câştigul meu este acelaşi”. Cât îl costă în realitate pe comerciant un frigider? 15. Trei membri din redacţia gazetei „Semafor” s-au aşezat unul lângă altul. Să se afle cine este reporterul, ştiind că sunt îndeplinite simultan următoarele condiţii: a) Caricaturistul stă lângă Andrei; b) Epigramistul nu stă lângă Bogdan; c) Codrin nu este reporter.
TESTUL 22
{
}
1. Calculaţi: 9984 : 39 + 4992 : ⎡⎣1011 − (179 + 1728 : 27 ) ⋅ 4 ⎤⎦ : 48 . 2. Aflaţi x din egalitatea: x + 2 x + 3 x + ... + 65 x = 10725 . 3. Un număr este cu 46 mai mare decât altul. Împărţind suma numerelor la diferenţa lor se obţine câtul 14 şi restul 8. Care sunt numerele?
78 4. Diferenţa dintre un număr de trei cifre şi răsturnatul său este 297. Câte numere de trei cifre îndeplinesc această condiţie? 5. Să se afle cel mai mic şi cel mai mare număr natural de două cifre care împărţit la un număr de o singură cifră dă restul 7. 6. Suma dintre un număr natural de două cifre identice şi triplul unei cifre oarecare este un număr natural de trei cifre identice. Aflaţi numerele şi cifra. 7. Dublul sumei a două numere naturale distincte reprezintă produsul numerelor. Care sunt numerele? 8. Avem 7 bile de aceeaşi formă. Una dintre ele este mai uşoară. Câte câtăriri sunt necesare pentru a depista bila mai uşoară? 9. Tăind o sârmă lungă de 165m în două bucăţi, doi elevi constată că numărul decimetrilor primei bucăţi este egal cu numărul metrilor celei de a doua bucăţi. Aflaţi care dintre cele două bucăţi este mai mare şi cu cât? 10. O echipă de zidari poate termina o lucrare în 6 zile, a doua în 10 zile, iar a treia în 15 zile. În câte zile ar putea termina împreună aceeaşi lucrare? 11. Diferenţa a două numere este 5864. Dacă mărim primul număr cu suma lor, obţinem de 7 ori al doilea număr. Aflaţi cele două numere. 12. 6 cărţi şi 8 caiete costă 122 lei, iar 2 cărţi şi 4 caiete costă 46 lei. Câţi lei plăteşte Laura, dacă ea cumpără 4 cărţi de acelaşi fel şi 7 caiete (de acelaşi fel)? 13. Un tren accelerat pleacă după un personal care se află la 80 km distanţă. Ştiind că viteza acceleratului este cu 20 km/h mai mare decât viteza personalului, aflaţi după cât timp se întâlnesc. 14. Patru fete, Ana, Mia, Gina şi Dana au participat la un festival. Fiecare cântec a fost interpretat de exact trei fete. Ana este singura care a câtat cel mult 8 cântece. Mia este singura care a cântat cel puţin 5 cântece. Câte cântece diferite s-au interpretat? 15. Împărţiţi 20 de nuci între 2 copii, astfel ca unul să primescă de atâtea ori câte 3 nuci, de câte ori celălalt va primi câte 2 nuci.
79
TESTUL 23
1. Calculaţi: ⎡⎣( 2500 − 2436 : 609 ) :156 + 988⎤⎦ : (10 ⋅100 − 749 ) . 2. Aflaţi x din egalitatea: 1000 − 135 + ⎡⎣36 + 32 ⋅ ( 25 − x ) : 8 − 25⎤⎦ : 5 ⋅ 3 = 550 .
{
}
3. Suma a patru numere este 503. Dacă din fiecare se scade acelaşi număr se obţin numerele 53, 79, 91 şi 80. Care sunt cele patru numere? 4. Să se afle numărul natural n ştiind că între numerele 2 ⋅ n + 1 şi 4 ⋅ n + 1 sunt 100 numere naturale pare. 5. Aflaţi toate numerele diferite de zero care împărţite la 5 dau câtul egal cu restul. 6. Într-o urnă sunt 200 bile albe şi negre. Dacă am scoate din urnă două bile negre, atunci numărul bilelor albe ar fi de două ori mai mare decât al celor negre. Câte bile albe şi câte bile negre sunt în urnă? 7. Mai mulţi elevi vor să cumpere un obiect. Dacă fiecare dă câte 10 lei nu ajung 20 lei, iar dacă fiecare dă câte 16 lei sunt în plus 28 lei. Câţi elevi sunt şi cât costă obiectul? 8. Doi copii au nuci. După ce mănâncă 20 de nuci, mai rămân cu 5 nuci mai puţin decât au mâncat. Câte nuci au avut cei doi copii? 9. Pe un lac sunt 100 de gâşte şi raţe sălbatice. Dacă mai vin raţe de trei ori mai multe decât erau şi zboară 10 gâşte, atunci pe lac sunt tot atâtea raţe cât şi gâşte. Câte raţe şi câte gâşte au fost la început? 10. La un turneu de şah de mari maeştri au participat 10 jucători. Câte partide sau jucat dacă: a) procedeul de desfăşurare ar fi obligatoriu? b) fiecare jucător ar fi jucat cu fiecare dintre concurenţi o singură dată? 11. La un aprozar s-au adus într-o zi 425 kg de cireşe. Ele s-au aşezat în lădiţe de 10 kg şi 15 kg. De câte lădiţe de fiecare fel a fost nevoie?
80 12. O portocală, o banană şi un măr costă 6 lei. Aflaţi câţi lei costă fiecare, ştiind că o portocală costă cât două mere, iar o banană cât 3 mere. 13. Două avioane au decolat în acelaşi timp. Primul a zburat cu o viteză de 240 km/h, iar al doilea cu 210 km/h. Câte ore au zburat, dacă primul a parcurs cu 150 km mai mult decât celălalt? 14. 48 de mere se împart în două grămezi. Se iau din prima câte sunt în a doua şi se adaugă la a doua. Se iau din a doua câte au rămas în prima şi se adaugă la prima. În urma acestor operaţii, grămezile au acelaşi număr de mere. Câte mere au fost la început în fiecare grămadă? 15. Din cei 20 de băieţi ai unei clase, 18 joacă fotbal, 16 handbal, 15 tenis şi 13 volei. Care este numărul minim de elevi care practică toate sporturile?
TESTUL 24
{
}
1. Calculaţi: 2000 − ⎡⎣100 − ( 486 + 56 ⋅128 + 346 ) :1000 ⎤⎦ ⋅17 + 564 :125 .
{
}
2. Aflaţi x din egalitatea: ⎡⎣72 + 53 ⋅ (12 + x ) ⎤⎦ − 27 ⋅15 : 761 + 8 = 10 . 3. Aflaţi produsul numerelor a, b şi c, ştiind că: a + b = 145; b + c = 173; a + c = 122 . 4. Care sunt numerele naturale de trei cifre care adunate cu răsturnatele lor dau suma 888? 5. Găsiţi două numere care împărţite dau câtul 7 şi restul 6 şi a căror diferenţă este egală cu 54. 6. Câte beţe de chibrituri pot fi într-o cutie, dacă scoţînd un număr de beţe egal cu suma dintre cifra unităţilor şi cifra zecilor numărului, rămân 36? 7. Doi elevi au efectuat la tablă o împărţire la 7 cu rest. Primul elev a obţinut restul 6, iar celălat restul 8. Care elev nu a efectuat împărţirea corect? Justifică răspunsul.
81 8. Dintr-o fântână trebuiau pompate 300 găleţi de apă. Pompa scoate 180 găleţi de apă pe oră din care 30 găleţi se scurg înapoi în fântână. În câte ore se scot cele 300 găleţi de apă? 9. Dintr-o carte a căzut o parte din ea. Prima pagină a acestei părţi avea numărul 387, iar numărul ultimei pagini era format din aceleaşi cifre, dar în altă ordine. Câte pagini are partea care a căzut? 10. Mama primeşte 7 garoafe şi 3 lalele; 4 flori sunt roşii. Care este numărul maxim de garoafe care pot avea altă culoare? Dar cel minim? 11. La un concurs de călărie sunt amplasate pe traseu 13 obstacole. Pentru fiecare reuşită se acordă 10 puncte, iar eşecul se penalizează cu un punct. Câte obstacole a trecut un concurent, dacă a totalizat 108 puncte? 12. Ruxandra cumpără o carte, un caiet şi o gumă şi plăteşte 18 lei. Caietul şi două gume costă cât cartea, iar 3 gume costă cât un caiet. Câţi lei costă fiecare? 13. Două autocare au plecat în acelaşi timp din Iaşi spre Ploieşti. Primul autocar avea o viteză de 60 km/h, iar al doilea 90 km/h. Al doilea autocar a ajuns la destinaţie cu 2 ore înaintea primului. Care este distanţa dintre Iaşi şi Ploieşti? 14. La aniversarea zilei de naştere, un elev şi-a invitat jumătate din colegi. Atât invitaţilor cât şi sărbătoritului li s-au pus de pe un platou câte 3 fursecuri şi 7 bomboane, după care pe platou au rămas 20 de fursecuri şi 90 de bomboane. La început, pe platou se găseau de 3 ori mai multe bomboane decât fursecuri. Câţi elevi sunt în clasă? 15. A spune că B minte, B spune că C minte, C spune că A sau B minte. Cine minte şi cine spune adevărul?
TESTUL 25
1. Calculaţi: 2011 − ⎣⎡( 38 ⋅14 + 432 : 36 + 56 ) :100 ⋅ ( 8294 : 58 − 4230 : 94 ) ⎦⎤ : 49 . 2. Aflaţi x din egalitatea:
82
{100 + 5 ⋅ ⎡⎣( x − 4836 :12 + 6 ) : 40 − 217 : 7 ⎤⎦ + 2155} : 230 − 9 + 1 = 2 . 3. Ştiind că a ⋅ b = 1768, b ⋅ c = 832, a − c = 9, să se afle numerele a, b şi c. 4. Un tată cu vârsta de 42 ani are trei fii cu vârstele de 3 ani, 12 ani şi 15 ani. Peste câţi ani vârsta tatălui va fi egală cu suma vârstelor celor trei fii? 5. Numerele 100 şi 85 au fost împărţite pe rând la un număr natural n obţinându-se respectiv resturile 5 şi 9. Determinaţi numărul n. 6. Produsul a două numere este 72. Dacă primul dintre ele se micşorează cu 8, iar al doilea se măreşte de trei ori, atunci produsul rămâne neschimbat. Să se afle numerele. 7. Ştiind că pentru numerotarea paginilor unei cărţi au fost folosite 237 cifre, aflaţi câte pagini are cartea. 8. Suma a 13 numere naturale nenule şi distincte este 92. Care sunt aceste numere? 9. Roata din faţă a unei trăsuri are circumferinţa de 20 dm, iar roata din spate de 30 dm. Pe distanţa de la A la B, roata din faţă a făcut cu 20 de rotaţii mai mult decât roata din spate. Să se afle distanţa de la A la B. 10. O cantină asigură hrana pentru 25 persoane timp de 30 de zile. Pentru cât timp va ajunge hrana, dacă mai vin 5 persoane? 11. La un spectacol s-au vândut 60 bilete la preţul de 15 lei şi respectiv 20 lei biletul, încasându-se în total 1100 lei. Câte bilete de fiecare categorie au fost vîndute? 12. 7 lăzi cu mere şi 5 lăzi cu pere cântăresc 600 kg, iar 7 lăzi cu mere şi 12 lăzi cu pere cântăresc 901 kg. Cât cântăreşte o ladă cu pere şi una cu mere? 13. Un pieton pleacă din Iaşi spre Leţcani la ora 10, deplasându-se cu o viteză de 7 km/h. La ce oră îl va ajunge un biciclist, care are o viteză de două ori mai mare, care pleacă tot din Iaşi după două ore şi la ce distanţă de Iaşi? 14. Produsul a două numere este egal cu 96. Să se afle numerele, ştiind că dacă unul dintre ele se micşorează cu 9, iar celălalt se măreşte de 4 ori, produsul nu se schimbă. Aflaţi numerele.
83 15. Se dau trei cutii pe care sunt prinse etichetele AA, NN, AN, corespunzătoare conţinutului cutiilor: două bile albe, două bile negre, respectiv o bilă albă şi una neagră. Cineva a schimbat etichetele de pe cutii astfel încât nici o etichetă să nu mai indice conţinutul cutiei pe care se află. Determinaţi culorile bilelor din fiecare cutie prin extragerea unei singure bile.
TESTUL 26
{
}
1. Calculaţi: 10 ⋅ 1 + 2 ⋅ ⎡⎣1 + 2 ⋅ ( 2 + 4 : 2 ) ⎤⎦ . 2. Aflaţi numărul x ştiind că: ⎡⎣( x + 270 : 3) ⋅ 5 + 100 ⎤⎦ : 600 = 1 . 3. Suma a trei numere este 620. Al doilea număr este de două ori mai mare decât primul, iar al treilea este cu 50 mai mare decât al doilea. Aflaţi cele trei numere. 4. Determinaţi cifrele a şi b din egalitatea: a 4 ⋅ (10 − b ) = 8b . 5. Suma a şase numere este 158. Dacă scădem 14, 11 şi 3 din primele trei numere şi adunăm 17, 18 şi 21 la următoarele trei obţinem de fiecare dată acelaşi număr. Aflaţi cele 6 numere. 6. Produsul dintre suma a două numere pare consecutive şi 8 este egal cu 624. Să se afle numerele. 7. Determinaţi trei numere naturale consecutive ştiind că suma lor este egală cu unul din ele plus 2008. 8. Aflaţi valorile lui a, b, c, d ştiind că: a + a = b; b + b = c; c + c = d şi a + b + c + d = 360 . 9. Determinaţi cel mai mare număr de zile de joi pe care le poate conţine un an calendaristic. 10. Un elev scrie în ordine crescătoare numerele naturale de la 1 la 20 inclusiv, iar între ele pune semnul plus; apoi observă că, dacă în locul unui semn „+”
84 pune semnul „=” se stabileşte o egalitate adevărată. Între care numere a pus elevul semnul egal? 11. Dacă mărim lungimile laturilor unui pătrat cu 4 perimetrul său se măreşte de trei ori. Să se afle lungimea laturii pătratului iniţial. 12. O familie de albine este de trei ori mai numeroasă decât ar fi fost dacă ar fi avut cu 100 de albine mai puţin. Aflaţi câte albine erau în stup. 13. Aflaţi cel de-al 100-lea termen al şirului de numere: 1, 2, 4, 7, 11, 16, ... . 14. Ana calculează suma cifrelor pe care le afişează ceasul ei digital (de ex. la ora 19:21 ea obţine 13). Care este suma maximă pe care o poate obţine? 15. Dintr-un grup de 5 copii unii mint întotdeauna şi alţii spun mereu adevărul. La întrebarea „câţi mincinoşi sunt în grup?”, fiecare dintre ei a dat un singur răspuns; răspunsurile au fost: „1”, „2”, „3”, „4” şi „5”. Câţi mincinoşi sunt în grup?
TESTUL 27
1. Calculaţi: 3 ⋅ 5 − ⎡⎣39 ⋅ 5 − ( 2 ⋅ 49 + 6 ⋅16 ) : 2 ⎤⎦ : 7 . 2. Aflaţi numărul x din egalitatea ⎡⎣( 6 ⋅ 2 :12 − x :12 ) :1 + 9 : 3⎤⎦ ⋅ 6 = 24 . 3. Pe o şosea, la distanţe egale unul de altul se găsesc 9 copaci. Câţi metri sunt între primul şi ultimul copac ştiind că între al treilea şi al şaselea sunt 18m. 4. Într-o florărie sunt garoafe, trandafiri şi crizanteme, în total 547 de fire. Garoafe şi trandafiri sunt cu 80 mai mult decât trandafiri şi crizanteme, care sunt 319. Câte flori de fiecare fel sunt în florărie? 5. Un număr adunat cu jumătatea lui este cu 5 mai mic decât dublul numărului iniţial. Care este numărul? 6. Cu cifrele 5, 8 şi 7 formaţi un număr de trei cifre care prin împărţire la 9 să dea restul 2.
85 7. Dacă elevii unei clase ar fi aşezaţi câte doi în bancă un elev ar sta singur şi toate băncile ocupate, iar dacă ar fi aşezaţi câte trei în bancă un elev ar sta singur şi ar rămâne patru bănci goale. Câţi elevi şi câte bănci sunt în clasă? 8. Tata are de 7 ori vârsta fiului său, dar peste 10 ani tata va fi de 3 ori mai mare decât fiul. Ce vârstă are fiecare? 9. Reconstituiţi scăderea: 385 − 2ab = ab9 . 10. Aşezaţi convenabil paranteze pentru a obţine o egalitate adevărată: 7 + 3 ⋅ 21: 7 − 2 ⋅ 4 + 9 = 4 . 11. Presupunând că la o festivitate vor veni 90 de copii, au fost cumpărate 450 de prăjituri. Au venit însă mai mulţi copii şi fiecare a primit cu 2 prăjituri mai puţin decât s-a propus iniţial. Câţi copii au venit? 12. Se dau 20 de numere naturale nenule a căror sumă este 209. Să se arate că printre ele există cel puţin două egale. 13. a) Aflaţi suma tuturor numerelor naturale n pentru care: 2008 − n ≥ 1907 . b) Determinaţi produsul tuturor numerelor naturale n pentru care 1907 < 2008 − n . 14. Un turist, mergând trei ore pe jos şi două ore pe bicicletă, a parcurs 55 km. Dacă în 6 ore, mergând atât pe jos cât şi pe bicicletă, a parcurs 90 km, cât timp a mers pe jos şi cât pe bicicletă? (vitezele şi timpii sunt exprimate prin numere întregi). 15. O şcoală a plătit 100 lei pentru înscrierea la un concurs a unui număr de elevi. Întrucât taxa pentru un elev s-a micşorat cu 5 lei, încă 10 elevi au mai putut participa la concurs. Câţi elevi ai şcolii au participat la concurs ştiind că taxa în lei este reprezentată de un număr întreg?
TESTUL 28
1. Calculaţi: 8 ⋅ ⎡⎣ 4 ⋅ 67 − ( 85 − 14 ⋅ 6 + 38 ⋅ 7 ) + ( 424 : 8 − 477 : 9 ) :100 ⎤⎦ : 4 .
{
}
2. Găsiţi x din egalitatea: 4 ⋅ 3 + 2 ⎡⎣ x + 4 ( x : 2 − 1) ⎤⎦ : 5 :11 + 4 = 8 .
86 3. Aflaţi suma tuturor numerelor naturale de două cifre care se pot forma, ştiind că diferenţa dintre cifra zecilor şi a unităţilor este 5. 4. Diferenţa a două numere naturale este 27. Împărţind numărul mai mic la 5 şi numărul mai mare la 11 se obţine acelaşi rest 3 egal cu diferenţa câturilor. Să se afle numerele. 5. Suma a trei numere este 240. Primul număr este cu 40 mai mic decât al doilea, iar al treilea este de două ori mai mare decât al doilea. Să se afle cele trei numere. 6. Într-un coş sunt de trei ori mai multe banane decât mandarine. Dacă adăugăm 4 fructe de acelaşi fel, atunci numărul bananelor va fi de cinci ori mai mare decât al mandarinelor. Câte fructe de fiecare fel au fost iniţial în coş? 7. Un calculator are nevoie de 3 secunde pentru efectuarea unei înmulţiri şi de o secundă pentru efectuarea unei adunări. Care este numărul minim de secunde pentru a efectua: 55 ⋅ 384 + 116 ⋅ 55 ? 8. Ştiind că 2a + 5b = 29 şi 3b + 7c = 85 , să se calculeze: 4a + 13b + 7c . 9. Ana, Ştefan şi Dan au sume diferite de bani. Pentru a avea sume egale, Ana îi dă lui Dan 320 lei, iar Dan îi dă lui Ştefan 240 lei. Care dintre copii a avut mai mult la început? 10. 4 pixuri costă cât 10 creioane, iar 8 pixuri costă cât 5 stilouri. Dacă un stilou şi un pix costă împreună 13 lei, aflaţi care este preţul unui creion, al unui pix şi al unui stilou. 11. Aflaţi numerele a şi b pentru care: 4b + a = 16 şi 24 : b + a = 12 . 12. Bunica Anei pune în fiecare zi câte 10 bomboane în bombonieră, dar Ana mănâncă noaptea câte 5 bomboane. După cât timp vor fi în cutie 60 de bomboane? 13. În câte zerouri se termină numărul: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 74 ⋅ 75 ? 14. Care este litera de pe poziţia 100: ABCDEDCBABCDEDCBA... ? 15. Dacă aş avea de trei ori mai mulţi bani decât am, aş avea cu 180 lei mai mulţi decât trei sferturi din suma pe care o am. Câţi lei am?
87
TESTUL 29
1. Calculaţi: 150 − 150 : 3 + 15 : 3 + 265 − ( 50 : 5 + 5 ) ⋅100 :10 .
{
}
2. Determinaţi x din egalitatea 10 + 9 : 8 + 7 : ⎡⎣6 + 5 : ( 4 + 3 : ( 2 + x ) ) ⎤⎦ = 11 . 3. Câţi lei costă 60 de caiete dacă 10 caiete costă cu 4 lei mai mult decât 8 caiete? 4. De câte ori trebuie să fie mai mare lungimea unui dreptunghi decât lăţimea pentru ca perimetrul lui să fie de două ori mai mare decât perimetrul pătratului cu latura egală cu lăţimea dreptunghiului. 5. Aflaţi trei numere naturale ştiind că produsul primelor două este 84, produsul ultimelor două este 192, iar suma dintre primul şi ultimul este 46. 6. Un copil are 36 mere şi nuci. Numărul merelor micşorat cu 3 este egal cu dublul numărului nucilor. Arătaţi că el poate da mere în părţi egale celor 5 prieteni ai săi. 7. Să se afle trei numere naturale ştiind că, dacă scădem din ele respectiv 18, 13, 5 obţinem diferenţe egale a căror sumă este 2007. 8. Suma a trei numere naturale este 3047. Dacă împărţim pe cel de-al doilea la primul obţinem câtul 2 şi restul 5, iar al treilea împărţit la primul dă câtul 3 şi restul 18. Aflaţi numerele. 9. Să se afle 5 numere pare consecutive ştiind că adunate cu dublul sumei lor obţinem 180. 10. Se ştie că 6 x + 3 y + z = a şi 2 x + y = 8 . a) Calculaţi 2xz + yz în funcţie de a; b) Dacă 5 z − 9 = 16 , să se afle a. 11. Dacă la un număr natural adăugăm la sfârşit cifra 0 şi din numărul obţinut scădem numărul dat, obţinem 9027. Care a fost numărul iniţial? 12. Într-o ladă sunt 305 portocale şi lămâi. După ce s-au vândut 16 portocale şi 14 lămâi au rămas de patru ori mai puţine portocale decât lămâi. Câte portocale şi câte lămâi au fost la început în ladă?
88 13. Suma a trei numere este 117. Ştiind că produsul lor este mai mare de 20 de ori decât produsul primelor două şi că primul este cu 17 mai mic decât dublul celui de-al doilea, să se afle numerele. 14. La sfârşitul anului şcolar 262 elevi ai unei şcoli au medii generale de cel mult 7; 783 de elevi au cel puţin 8, iar 385 de elevi au medii generale între 7 şi 8. Aflaţi câţi elevi: a) au medii generale sub 8; b) au medii generale peste 7; c) sunt în total în şcoală. 15. La o masă circulară stau 4 persoane. Fiecare din cei 4 afirmă că la dreapta şi la stânga lui stă un mincinos. Câţi mincinoşi stau la masă?
TESTUL 30
1. Calculaţi: 682 − 9 ⋅ 9 + 8 ⋅ 7 − 63 : 7 + 9 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 81: 9 − 329 .
{
}
2. Să se determine x din egalitatea: 7 ⋅ 31 − ⎡⎣( x + 3)( x + 4 ) + 8⎤⎦ : 5 − 5 = 100 . 3. La un concurs au participat între 13 şi 37 de elevi. Copiii au fost încolonaţi la deschidere pe rânduri a câte 5 şi la închidere pe rânduri a câte 6. Câţi elevi au participat la concurs? 4. La cursa de 200 m plat au avut loc 21 de alergări: 20 în calificări şi finala. Ştiind că la fiecare alergare au participat 8 sportivi din care primii doi s-au calificat în faza următoare, aflaţi câţi sportivi au participat la cursă. 5. Un student a susţinut pe parcursul a 5 ani de studii 31 de examene. În fiecare an numărul examenelor era mai mare decât în anul precedent. În anul 5 a susţinut de 3 ori mai multe examene decât în anul I. Câte examene a susţinut în anul IV? 6. 7 pixuri şi 3 stilouri costă 873 de lei, iar un stilou costă cât 30 de pixuri. Câţi lei costă 2 pixuri şi 2 stilouri? 7. Suma a două numere este 1024. Înmulţind primul număr cu 7 şi scăzând din rezultat 15, obţinem suma dintre al doilea număr şi 9. Aflaţi numerele. 8. O elevă citeşte o carte. În prima zi citeşte a 14-a parte din numărul total de pagini, iar în fiecare din zilele următoare citeşte dublul faţă de ziua
89 precedentă; în ultima zi citeşte ceea ce a rămas. În câte zile termină cartea şi a câta parte a citit în ultima zi? 9. O fermă are 1375 vaci. Toate cele 535 vaci cu peste 3 ani sunt albe, ca şi 532 din cele care au vârsta de cel mult 3 ani. Aflaţi câte vaci au: a) culoarea albă; b) altă culoare; c) vârsta de cel mult 3 ani. 10. Ana, Dan, Ionuţ şi Ştefan împart 10 mere, fiecare primind cel puţin un măr, dar un număr diferit de mere. În câte feluri pot împărţi toate merele? 11. Diferenţa a două numere naturale este 4493. Împărţim numerele şi obţinem câtul 57, iar restul depăşeşte câtul cu suma cifreelor acestuia. Aflaţi numerele. 12. Dacă îi dau lui Dan 2 ciocolate, el îmi împrumută bicicleta lui 3 ore. Dacă îi dau 12 bomboane îmi împrumută bicicleta pe 2 ore. Mâine îi voi da o ciocolată şi 3 bomboane. Pentru cât timp îmi va împrumuta bicicleta? 13. Într-un departament al unei firme se află 9 persoane, vârsta lor medie fiind de 25 de ani. În alt departament sunt 11 persoane cu vârsta medie de 45 de ani. Care este vârsta medie a angajaţilor celor două departamente? 14. Completaţi tabelul de mai jos astfel încât suma numerelor din oricare trei căsuţe vecine să fie 21. 9 5 15. Împărţiţi tabelul următor în 4 sectoare egale ca mărime, astfel încât suma numerelor din fiecare sector să fie 34. 1 9 16 7 12 5 8 15 10 2 13 6
4 11 3 14
TESTUL 31
1. Calculaţi: ( 3 ⋅ 29 + 91: 7 − 90 ) :10 . 2. Aflaţi x din: 8 ⋅ ⎡⎣5 x + (14 ⋅17 − 2 ⋅ 29 ) : 5⎤⎦ = 2008 .
90 3. Suma a două numere este cu 30 mai mare ca diferenţa lor. Dacă dublul sumei este de cinci ori mai mare ca diferenţa, aflaţi cele două numere. 4. Câte numere naturale de trei cifre au cifra zecilor cu două unităţi mai mare ca cifra sutelor? 5. Scrieţi cel mai mare număr natural de zece cifre cu suma cifrelor 13. 6. Dacă x, y, z sunt trei numere naturale astfel încât 3x + y = 14 şi 2 y + 3 z = 76 , aflaţi x + y + z . 7. Determinaţi cel mai mic număr natural de patru cifre, ştiind că dă restul 7 la împărţirea prin 9. 8. Fie şirul de cifre: 2, 0, 0, 8, 2, 0, 0, 8, ... Ce cifră se află pe locul 2008? 9. Luni, într-un birou se aflau un număr de topuri de hârtie. În fiecare zi s-au folosit o jumătate din numărul de topuri existente şi încă un top. Vineri seara nu a mai rămas nici un top. Câte topuri de hărtie au fost iniţial la birou? 10. Scrieţi toate numerele naturale de forma 4n + 3 (n fiind tot număr natural) cuprinse între 20 şi 70; calculaţi suma acestora. 11. Un biciclist pleacă din Iaşi spre Bacău cu viteza de 20 km/h. După 4 ore pleacă tot din Iaşi spre Bacău un şofer cu viteza de 60 km/h. La ce distanţă de Iaşi biciclistul este ajuns de şofer? 12. Aflaţi perimetrul figurii alăturate: 1 cm
2 cm
5 cm 13. Numerele a, b, c au următoarele proprietăţi: a este cu 3 mai mare decât jumătatea lui b, c este cu 3 mai mic decât triplul lui a, iar de 5 ori numărul b este egal cu dublul lui c. Aflaţi numerele.
91 14. Vârsta bunicului se exprimă printr-un număr natural de două cifre, iar vârsta nepotului reprezintă cifra unităţilor acelui număr. Ce vârstă au cei doi dacă peste 3 ani vârsta nepotului va fi o şeptime din vârsta bunicului? 15. Găsiţi valoarea maximă a sumei a + b, ştiind că 5a + 4b = 68 , a şi b fiind numere naturale.
TESTUL 32
1. Efectuaţi: aaa : a + bb0 : b + c0c : c . 2. Aflaţi perechile de numere naturale x şi y ştiind că: ( x + 2 ) ⋅ ( y − 3) = 9 . 3. Dacă a + 2b = 60 şi b + 3d + 2c = 100 , calculaţi 4a + 11b + 6c + 9d . 4. Scrieţi cel mai mic şi cel mai mare număr natural de 2008 cifre care conţine 2000 cifre de 1. 5. Pe un birou se află de patru ori mai multe CD-uri decât cărţi. Dacă se iau 3 CD-uri şi 3 cărţi rămân de cinci ori mai multe CD-uri decât cărţi. Câte CDuri şi căte cărţi s-au aflat la început pe birou? 6. Câte numere naturale de trei cifre au cifra unităţilor jumătate din cea a zecilor? 7. Un maratonist aleargă zilnic la antrenament cu 3 km mai mult decât în ziua precedentă. Dacă în 4 zile consecutive aleargă în total 58 km, aflaţi câţi km sunt parcurşi în fiecare zi. 8. Suma dintre vârsta mamei şi a celor doi fii este 60 ani. În prezent, fiul mai mare are dublul vârstei celui mai mic. Peste 18 ani vârsta mamei va fi cât suma vârstelor fiilor. Ce vârste au acum cei trei? 9. Ce număr se află pe locul 100 în şirul 3, 13, 23, 33,... ? 10. Să se afle produsul a şapte numere naturale consecutive a căror sumă este 21.
92 11. Un număr natural se împarte la 3 şi dă restul 2. Câtul se împarte la 4, dă un nou cât şi restul 3. Noul cât se împarte la 5, dă câtul 6 şi restul 4. Care a fost numărul iniţial? 12. Găsiţi toate numerele de două cifre ab a + ab + ba + b = 60 .
care îndeplinesc relaţia:
13. Micşorând cu 10 triplul unui număr natural, obţinem un alt număr natural mai mare cu 100 decât numărul iniţial. Care a fost acest număr? 14. Aflaţi abc ştiind că 99 ⋅ a + b ⋅ c = 100 . 15. În clasele I şi a IV-a ale unei şcoli sunt numai elevi de 7 ani şi respectiv, 10 ani. Ştiind că în total sunt 58 elevi, iar suma vârstelor lor este 490, aflaţi câţi elevi sunt în fiecare clasă.
TESTUL 33
1. Calculaţi: 35 ⋅ 7 − 4 ⋅ ⎡⎣89 − ( 300 − 12 ⋅ 7 ) : 3⎤⎦ . 2. Aflaţi x din: ⎡⎣ 220 − ( 2 ⋅ x − 277 ) + 13⎤⎦ : 20 + 996 = 1001 . 3. Cincimea sfertului treimii unui număr este 7. Aflaţi numărul. 4. Determinaţi câte numere între 200 şi 400 au proprietatea că împărţite la 9 dau restul 8. 5. Utilizând doar cifrele 0, 2, 3, 7, 9 calculaţi diferenţa dintre cel mai mare număr cu cifre distincte şi cel mai mic număr cu cifre distincte. 6. Grupând convenabil termenii, calculaţi suma: 40 − 39 − 38 + 37 + 36 − 35 − 34 + 33 + ... + 4 − 3 − 2 + 1 . 7. Roxana pune mere în mod egal în 5 coşuri, iar apoi în 6 coşuri. În prima situaţie rămân neaşezate 3 mere, iar în a doua situaţie unui coş îi mai lipsesc 3 mere. Câte mere are Roxana dacă numărul merelor din fiecare coş în primul caz este cu 8 mai mare decât numărul merelor din fiecare coş în al doilea caz?
93 8. Media aritmetică a două numere este 100. Împărţind unul din numere la celălalt obţinem câtul 6 şi restul 4. Aflaţi numerele. 9. Ce numere naturale satisfac simultan relaţiile: 9 + b < 8 + a şi 20 > 3a + 11 ? 10. Scrieţi în două moduri posibile numărul 105 ca sumă de numere impare consecutive. 11. Ştefan merge pe o potecă în şir indian cu colegii lui. În faţa lui sunt de două ori mai puţini copii decât în spate. La un moment dat, Ştefan este depăşit de 3 copii şi astfel el se află exact la mijlocul şirului. Câţi copii sunt? 12. Determinaţi numerele naturale x, y, z care îndeplinesc condiţiile: x − y + 2 z = 15, x + z = 17 şi 3 y + z = 14 . 13. O parcelă dreptunghiulară are lungimea exprimată în metri printr-un număr natural între 150 şi 155. Perimetrul parcelei este de zece ori mai mare ca lăţimea. Aflaţi dimensiunile parcelei. 14. Aflaţi numerele de două cifre ab , dacă aba = 9 ⋅ ab + 16 ⋅ a . 15. Răzvan parcurge o distanţă cu maşina în 3 ore, iar la întors parcurge jumătate cu maşina şi jumătate cu bicicleta, timp de 7 ore şi jumătate. De câte ori este mai mică viteza bicicletei faţă de cea a maşinii ?
TESTUL 34
1. Calculaţi a ⋅ b + 5 ⋅ c , unde a = 10 + 10 ⋅11 , b = 525 : 5 − 75 , c = 6 ⋅ ⎡⎣7 + 8 ⋅ ( 9 + 10 ) ⎤⎦ . 2. Aflaţi x din: 8 + 8 ⋅ ⎡⎣8 + 8 ⋅ ( x + 8 ) : 8⎤⎦ = 160 . 3. Scrieţi cel mai mic număr de zece cifre cu suma cifrelor 5. 4. Tata are 7 cămăşi, 5 cravate şi 6 perechi de pantaloni. Câte ţinute diferite poate îmbrăca tata?
94 5. Media aritmetică a trei numere este 90. Dacă primul număr este jumătatea din al doilea şi al doilea o treime din al treilea, să se afle numerele. 6. Şapte plăcuţe identice de gresie sub formă de pătrat formează un dreptunghi cu perimetrul 320 cm. Ce lungime are latura unei plăcuţe? 7. Câte numere de patru cifre încep şi termină cu cifra 1 ? 8. Produsul dintre un număr şi triplul său este 300. Aflaţi numărul. 9. Scrieţi toate numerele naturale de două şi de trei cifre folosind numai cifrele 9 şi 0. 10. Aflaţi numărul xyz ştiind că xyz + yz + z = 786 . 11. Din 52 m de stofă s-au confecţionat 8 rochii şi 10 fuste. Cât material este necesar pentru a confecţiona 3 rochii şi 5 fuste, dacă pentru o rochie şi respectiv o fustă s-a folosit un număr întreg de metri? 12. 20 de furnici cară 40 de grăunţe în 60 minute. În câte minute pot căra 10 furnici 20 de grăunţe? 13. Diferenţa a două numere este mai mică decât 505, iar cel mai mare împărţit la cel mai mic dă câtul 5 şi restul 100. Aflaţi numerele. 14. O camionetă transportă apă minerală în cutii de 24 kg fiecare la o cabană. Camioneta cântăreşte 2 t, iar încărcătura 3 t. În drum trebuie să traverseze un pod care nu rezistă la o greutate mai mare de 4 t. La câte cutii trebuie să renunţe şoferul pentru a putea trece podul? 15. Dacă mama i-ar da lui Andrei dublul sumei care-i lipseşte până la 300 lei, atunci Andrei ar avea de două ori mai mulţi bani. Ce sumă are Andrei?
TESTUL 35
1. Efectuaţi: 10 + 9 ⋅ ⎡⎣8 − 7 : ( 6 − 5 ) + 4 ⎤⎦ : 3 − 2 + 1 ⋅ 0 .
{
}
2. Determinaţi x din: 10 + 10 : ⎡⎣10 + 10 ⋅ ( x − 10 ) ⎤⎦ :10 − 10 = 11 .
95 3. Aflaţi a ştiind că: a + b = 8, a + c = 12, a + d = 16 şi b + c + d = 12 . 4. Calculaţi suma a 100 numere naturale care au produsul egal cu 23. 5. Scrieţi toate numerele de două cifre care se împart exact la 7 şi au suma cifrelor 10. 6. Suma a trei numere naturale consecutive este de patru ori mai mare decât numărul cel mai mic. Care sunt aceste numere? 7. Unchiul Costel a plecat pe 25 februarie 2008 într-o călătorie de afaceri şi a lipsit o săptămână. Pe ce dată s-a întors? 8. Câte numere naturale n satisfac relaţia: n ( n + 2 ) ≤ 120 ? 9. Cinci franzele costă cât două sticle de limonadă, iar o cutie de bomboane costă cât o franzelă şi o limonadă la un loc. Câte cutii de bomboane se pot cumpăra cu 14 franzele? Dar cu 21 sticle de limonadă? 10. Ce relaţie de rudenie există între Bogdan şi Ana dacă mama soacrei Anei este bunica lui Bogdan? 11. Suma a două numere naturale este un număr impar n. Aflaţi n ştiind că fiecare din cele două numere nu este mai mic ca 7 şi nici mai mare ca 10. 12. Găsiţi cifra potrivită din: 9 ⋅ aa = 4aa + 40 . 13. Cele 34 de camere ale unui bloc de locuinţe aflat în curs de proiectare trebuie grupate în 12 apartamente de 2, 3 şi 5 camere. Câte apartamente de fiecare fel sunt în bloc, ştiind că cele cu 5 camere trebuie să fie cele mai puţine, iar cele cu 2 camere cele mai multe? 14. Două companii au în cont 37 milioane de euro şi, respectiv, 7 milioane de euro. Ele au un profit zilnic de x milioane euro ( x ≤ 20 , x număr natural). Peste câte zile prima companie are în cont o sumă de două ori mai mare ca a doua? 15. Calculaţi suma numerelor naturale mai mici ca 500 care conţin cifra 3 de exact două ori.
96
CONCURSUL „TRAIAN LALESCU” ORGANIZAT DE COLEGIUL „C. NEGRUZZI” - IAŞI EDIŢIA I 13 mai 2000
1. Să se determine numerele naturale a, b, c, d cu proprietatea că a + b + c + + d = 60 în fiecare din cazurile: 1) d : a = d : b = d : c = 3 2) a : d = b : d = c : d = 3 . 2. Dacă 3 ⋅ a + 2 ⋅ b + 4 ⋅ c = 494 şi b + 2 ⋅ c = 160 , să se calculeze a ⋅ b + 2 ⋅ a ⋅ c . 3. Fie x un număr natural cu cinci cifre şi y răsturnatul său. Să se arate că x + y are cel puţin o cifră pară. (Răsturnatul numărului abcde este numărul edcba ). 4. Patru fete: Camelia, Carmen, Smaranda şi Ruxandra au participat la un festival de interpretare de cântece. Fiecare cântec a fost interpretat de exact trei fete. Camelia este singura care a cântat cel mai mult: 8 cântece iar Carmen este singura care a cântat cel mai puţin: 5 cântece. Câte cântece diferite s-au interpretat ? Justificaţi răspunsul.
EDIŢIA a II – a 19 mai 2001
1. Să se afle x din egalitatea: 10 ⋅ x − 10 ⎡⎣36 + 10 ⋅ ( 24 + 24 : 4 ) ⎤⎦ = 100.
{
}
2. Fie numărul a = 122333444455555…2020…20. 1) Câte cifre are numărul a? 2) Care este cifra de pe locul 50 ?
97 3. Alina are de rezolvat un anumit număr de probleme. Dacă ar rezolva câte 10 probleme pe zi ar termina cu trei zile mai devreme decât în cazul în care ar rezolva câte 8 probleme pe zi. Câte probleme a avut de rezolvat Alina? 4. Un om urcă un şir de trepte ale unei scări după următoarea regulă: urcă trei trepte, apoi coboară două trepte, urcă din nou cinci trepte şi coboară o treaptă. 1) Pe ce treaptă se află omul după 736 de paşi? 2) După câţi paşi ajunge omul pe treapta 736? (Un pas înseamnă urcarea sau coborârea unei trepte). 5. Să se determine toate numerele de forma xy ştiind că: 48 ⋅ xy = 3ab 4 .
EDIŢIA a III - a 11 mai 2002
1. Determinaţi valoarea lui a din egalitatea: 5 − 2 ⋅ ⎡⎣( 6 + a ) : 3 − 2 ⎤⎦ ⋅ 7 + 3 = 24.
{
}
2. a) Să se calculeze suma: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. b) Suma a o sută de numere naturale, distincte, diferite de zero este 5051. Să se afle numerele. 3. Într-o clasă 28 de elevi stau câte doi în 14 bănci. La începutul fiecărei luni învăţătorul îi redistribuie astfel încât în fiecare bancă să stea doi elevi care nu au mai stat până atunci împreună. Cum îi poate aranja învăţătorul pe elevi? Care este numărul maxim de luni în care învăţătorul poate efectua aceste schimbări? 4. Să se arate că într - un grup de 2002 persoane există două persoane au acelaşi număr de cunoscuţi printre ceilalţi. (Se admite că dacă X cunoaşte pe Y atunci şi Y cunoaşte pe X).
EDIŢIA a IV - a 9 mai 2003
1. Să se calculeze: 1 − (6 + 12 : 3) : 10.
98 2. Suma a două numere este 60. Dacă unul dintre ele este de trei ori mai mare decât celălalt, să se afle diferenţa lor. 3. Să se afle x din egalitatea: 33 + 3 ⋅ ⎡⎣( 3 + 99 : x ) ⋅ 9 − 33⎦⎤ = 96. 4. Să se afle restul împărţirii numărului:a = 1903 + 1904 + 1905 + …+ 2103 la 2003. 5. Să se calculeze: (900 − 1 −2 − … − 40) ⋅ 80 − 80 ⋅ 80. 6. Să se determine numerele naturale nenule a, b, c ştiind că: a ⋅ ⎡⎣ 7 + 4 ⋅ ( 3 ⋅ b + 2 ⋅ c ) ⎤⎦ = 35. 7. Să se determine câte numere de trei cifre abc au proprietatea: abc = cba . 8. Elevii unei clase, în număr de 30, au participat la un concurs de rezolvat probleme. Ştiind că 25 de elevi au rezolvat corect prima problemă, 24 pe a doua, 23 pe a treia şi 22 pe a patra, să se determine numărul minim de elevi care au rezolvat corect toate problemele. 9. Într-o sală de spectacole scaunele sunt aşezate 25 pe un rând. Dacă Ioana ocupă locul 630 pe rândul din mijloc, ce loc ocupă Cristina, care este pe ultimul rând în dreptul Ioanei? 10. Ana şi Maria au împreună 63 de ani. Ana are în prezent de două ori mai mulţi ani decât a avut Maria atunci când Ana avea cât are Maria acum. Să se afle ce vârstă are acum Ana şi ce vârstă are acum Maria. 11. Într-o clasă fiecare băiat este prieten cu trei fete şi fiecare fată este prietenă cu doi băieţi. Dacă în clasă sunt 19 bănci (de câte două locuri) şi 31 de elevi sunt pasionaţi de matematică, câţi elevi sunt în clasă? 12. Elevii prezenţi la Concursul de matematică „Traian Lalescu” au fost repartizaţi în mod egal în 18 săli de clasă, astfel încât în fiecare sală numărul elevilor să fie mai mare decât 11 şi mai mic decât 17. Dacă numărul băieţilor este de patru ori mai mic decât numărul fetelor, să se afle numărul concurenţilor.
99 13. În pătratul alăturat suma numerelor de pe fiecare linie, de pe fiecare coloană şi de pe fiecare din cele două diagonale este aceeaşi. Să se determine numerele a, b, c, d ,e.
14. Fiecare număr înscris într-un pătrat din figura alăturată este egal cu suma numerelor din pătratele pe care se sprijină. Să se afle numerele a, b, c.
a
b
8
5
c
d
22 1
12
21 b 3
c a
8
EDIŢIA a V - a 8 mai 2004
1. Calculaţi: ⎡⎣ 62 + 8 ⋅ ( 24 − 24 : 4 ⋅ 3) ⎤⎦ : 5. 2. Aflaţi valoarea lui x din egalitatea: 1500 − ⎡⎣( 409 − 307 ) ⋅ 4 + 315 :15 ⋅ x ⎤⎦ : 3 = 1322. 3. Determinaţi cel mai mic număr natural n astfel încât: n + 3 ⋅ n + 5 ⋅ n + 7 ⋅ n + 9 ⋅ n > 2004. 4. Câte numere de trei cifre au suma cifrelor mai mare sau egală cu 25 ? 5. Pe tablă s-a scris de douăzeci şi trei de ori numărul 13 şi de treisprezece ori numărul 23. Câte numere trebuie şterse de pe tablă pentru ca suma numerelor rămase să fie 464 ? 6. Găsiţi cel mai mic număr natural care are suma cifrelor 102. 7. Mulţimea numerelor naturale diferite de zero se împarte în grupe astfel: (1); (2,3); (4,5,6); (7,8,9,10) … .Cu ce număr începe grupa cu numărul 51 ? 8. Suma anilor de naştere ai Ralucăi şi Elenei este 3961. Ştiind că la data de 8 mai 1998 Raluca era de şase ori mai mare decât Elena, câţi ani are astăzi Raluca?
100 9. De-a lungul unui gard sunt opt tufe de zmeură. Numărul fructelor de pe două tufe vecine diferă cu 1. Numărul fructelor de pe toate tufele poate fi: A. 101; B. 213; C. 225; D. 229; E. alt număr. 10. Într-o clasă, elevii politicoşi sunt de două ori mai mulţi decât cei nepoliticoşi. Numărul fetelor politicoase şi al băieţilor nepoliticoşi este de două ori mai mare decât cel al băieţilor politicoşi şi al fetelor nepoliticoase, iar numărul fetelor politicoase este egal cu numărul tuturor băieţilor. Câţi băieţi sunt în clasă, dacă aceasta are între 20 şi 30 de elevi? 11. Împăratul Roşu lasă moştenire celor patru fii herghelia de cai astfel: cel mai mare ia o treime din herghelie, al doilea ia trei optimi din rest, al treilea trei cincimi din noul rest, iar mezinul a primit cei 10 cai rămaşi. Câţi cai are herghelia? 12. Pe distanţa de 124 de metri s-au instalat 18 conducte de apă. Ştiind că în depozit se găseau 15 conducte de 6 m şi 10 conducte de 8 m , determinaţi câţi metri măsoară împreună conductele care au mai rămas în depozit?
EDIŢIA a VI - a mai 2005
1. Calculaţi: 25 : ⎡⎣19 − 2 ⋅ ( 3 + 4 ) ⎤⎦ . 2. Aflaţi numărul a ştiind că: ⎡⎣5 ⋅ ( 5 ⋅ 5 + 5 : 5 ) − a ⎤⎦ :10 = 3 . 3. Suma a două numere naturale este 33. Aflaţi diferenţa numerelor, ştiind că unul dintre ele este de două ori mai mare decât celălalt. 4. Câte triunghiuri sunt în figura alăturată? 5. Calculaţi suma tuturor numerelor mai mici decât 20 care se pot scrie ca suma a două numere naturale consecutive. 6. Dacă a şi b sunt numere naturale, atunci a♥b = a + b + 2. Calculaţi: [(2♥0)♥0]♥5.
101 7. Să se afle ultima cifră a numărului: 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ... + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 2005. 8. Doi fraţi au împreună 43 de ani. Când primul avea 16 ani, al doilea avea 11 ani. Câţi ani are fratele mai mare? 9. Unui număr n îi ştergem ultima cifră şi apoi adunăm la numărul rezultat de cinci ori cifra ştearsă, obţinând astfel numărul iniţial. Care este numărul n? 10. Calculaţi suma numerelor naturale de patru cifre cu suma cifrelor 3. 11. Aflaţi câte numere de forma a8bc există, ştiind că: a : 8, 8 : b şi b : c sunt împărţiri exacte. 12. Suma dintre un număr natural şi suma cifrelor sale este 60. Aflaţi numărul. 13. Într-o cutie sunt 10 bile roşii, 12 bile galbene şi 14 bile albastre. Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să-l scoatem din cutie pentru a fi siguri că am extras trei bile de culori diferite? 14. Un pătrat se numeşte “magic” dacă suma numerelor înscrise în căsuţe pe fiecare linie, fiecare coloană şi fiecare diagonală este aceeaşi. Găsiţi numărul x din pătratul magic alăturat.
x 2 52
28 26
15. Dan îşi vizitează bunica la fiecare sfârşit de săptămână. Într-o sâmbătă a parcurs drumul dus-întors cu bicicleta şi a făcut 20 de minute. În sâmbăta următoare s-a dus cu bicicleta dar s-a întors pe jos şi i-au trebuit în total 60 de minute. În cât timp va face drumul dus-întors pe jos? 16. Patru elevi au împreună 138 dischete. Dacă primul ar primi de la ceilalţi trei câte două dischete, atunci numărul dischetelor pe care le-ar avea cei 4 copii ar fi 4 numere naturale consecutive. Câte dischete are fiecare elev? 17. Câte numere naturale n, mai mici decât 1001, au proprietatea că n-1 şi n+1 sunt egale, fiecare, cu răsturnatele lor? 18. Kilometrajul maşinii mele indică 12935km. Care este numărul minim de kilometri pe care trebuie să-i parcurg astfel încât suma cifrelor numărului indicat de kilometraj să se înjumătăţească? 19. Ştiind că 4 ⋅ abcde4 = 4abcde , să se afle numărul abcde .
102 20. Avem 30 de grinzi de lungimi 3m şi respectiv 4m a căror sumă a lungimilor este 100m. Cu câte tăieturi se pot realiza din aceste grinzi butuci cu lungimea de 1m? (O tăietură acţionează asupra unei singure grinzi.)
EDIŢIA a VII -a 29 aprilie 2006
1. Calculaţi: 32 − 5 ⋅ ( 20 : 4 − 1) + 17. 2. Aflaţi x din egalitatea 606 + (128 : 8 − 2 ) ⋅ x = 2006 . 3. Câte triunghiuri sunt în figura alăturată? 4. Câte numere de patru cifre au produsul cifrelor egal cu 7 ? 5. Determinaţi numerele naturale de forma xy , ştiind că xy + yx =99 şi x− y =3. 6. Calculaţi
abc - bca - cab ,
ştiind că
a = 5 ⋅ 7 − ⎡⎣ 40 : 8 + 3 ⋅ ( 42 + 14 ) : 8⎤⎦ ,
15 + b = 27 − b şi 3 ⋅ c = b.
7. Găsiţi numerele naturale a şi b astfel încât ( a + 3) ⋅ ( b + 4 ) = 18. 8. Aflaţi cifra a, ştiind că numărul a ⋅ a + a are toate cifrele mai mari sau egale ca a. 9. Aflaţi în câte zile pot căra 20 de furnici 2000 boabe de grâu, ştiind că 40 de furnici pot căra 4000 boabe de grâu în 10 zile. 10. Suma a patru numere este1800. Dacă pe primul număr îl mărim cu 5, pe al doilea îl micşorăm cu 5, pe al treilea îl înmulţim cu 5 şi pe al patrulea îl împărţim la 5, obţinem numere egale. Care este diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic dintre aceste numere? 11. Pentru a forma o firmă este nevoie de capital iniţial. Dacă participă 15 persoane, fiecare trebuie să contribuie cu 1000 lei mai puţin decât dacă
103 participă 10 persoane (toţi dau sume egale). Câţi bani sunt necesari pentru a forma firma? 12. În figura alăturată suma numerelor de pe fiecare linie, coloană şi diagonală este aceeaşi. Calculaţi A + B + C.
B C 16
4 10 2
A
13. Bunica împarte nuci şi mere nepoţilor săi. Numărul nucilor este de trei ori mai mare decât cel al merelor. După ce a dat fiecărui nepot câte 3 mere şi câte 8 nuci, bunicii i-au rămas două mere şi 14 nuci. Aflaţi numărul nepoţilor. 14. Aflaţi numerele de două cifre, cu una dintre cifre 8, care împărţite la un număr mai mic decât 10 dau restul 8. 15. Câte numere de trei cifre xyz au proprietatea x + 10 ⋅ y + z = 105 ? 16. În urmă cu trei ani vârsta lui Ionuţ era de cinci ori mai mică decât vârsta mamei sale, iar peste doi ani vârsta mamei va fi triplul vârstei lui. Aflaţi vârsta lui Ionuţ. 17. Determinaţi cel mai mare număr abc , ştiind că 20 ⋅ b + 11 ⋅ c = 17 ⋅ a. 18. Se consideră şirul: 2 + 4 + 6, 6 + 7 +8, 8 + 10 + 12, 12 + 13 +14, … . Al câtelea termen este 2001 în acest şir ? 19. Se numeşte număr “norocos” un număr de trei cifre cu proprietatea că suma dintre el şi răsturnatul său este tot un număr de trei cifre cu suma cifrelor 13. Care este cel mai mare număr “norocos” ? 20. Scriem şapte numere naturale oarecare pe un rând. Următoarele rânduri le formăm astfel: sub fiecare număr x, dintr-un rând, scriem numărul ce desemnează câte numere strict mai mari decât x sunt la dreapta lui (pe rândul lui x). Aflaţi suma numerelor din rândul al optulea.
EDIŢIA a VIII - a 6 mai 2007
1. Determinaţi numărul x = 400 : 8 − ( 3 + 4 ) ⋅ ⎡⎣ 42 : 2 : (1 + 2 ) ⎤⎦ .
104 2. Aflaţi numărul a din egalitatea: 1000 : ⎡⎣(11a + 238 ) : 2 − 5⎤⎦ = 8. 3. Fie numerele aaaa, abab, bbbb şi baba , unde b = a + 3. Aflaţi diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic dintre numerele considerate. 4. Calculaţi 2⋅a + 5⋅b + 3⋅c, ştiind că a + b =3 şi b + c = 5. 5. Care dintre numerele: 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 16,17 trebuie eliminat pentru ca suma celor zece numere rămase să fie 100 ? 6. Suma a şase numere consecutive este 159. Aflaţi cel mai mic dintre ele. 7. Aflaţi toate numerele xyz cu proprietăţile: a) xyz se împarte exact la 5; b) x, y, z sunt cifre consecutive şi x ⋅ y ⋅ z =60. 8. Aflaţi cifra a, ştiind că 101 + 202 + ... + a 0a = 2828 . 9. Câte numere naturale de trei cifre se pot scrie folosind numai cifrele 0, 2 sau 7 ? 10. Un dreptunghi cu lăţimea de 2cm este împărţit în 25 de pătrate egale între ele, fiecare cu perimetrul de 8 cm. Aflaţi perimetrul dreptunghiului. 11. Doi saci cu zahăr cântăresc împreună 90 kg. Dacă primul sac costă 80 lei, iar al doilea 100 lei, aflaţi cu cât este mai greu un sac decât celălalt. 12. Numărul a are cifra unităţilor 0. Dacă ştergem ultima cifră a lui a şi notăm numărul astfel obţinut cu b, atunci a + b = 308. Determinaţi numerele a şi b. 13. Aflaţi trei numere naturale a căror sumă este 71, ştiind că primul este de două ori mai mare decât al doilea, iar al treilea împărţit la primul dă câtul 2 şi restul 1. 14. La o cofetărie toate prăjiturile costă 8 lei. De 1 Iunie, s-a anunţat că fiecare copil care intră în cofetărie primeşte, din partea patronului, pentru a cumpăra prăjituri o sumă de bani egală cu cea pe care o deţine copilul la intrare. Ionuţ a intrat de patru ori în cofetărie şi a mâncate de fiecare dată câte o prăjitură, iar în final a rămas fără bani. Câţi bani a avut Ionuţ la început?
105 15. Aflaţi cel mai mic număr natural de 4 cifre care împărţit la un număr de două cifre dă restul 89.
EDIŢIA a IX - a 10 mai 2008
{
}
1. Calculaţi: ⎡⎣( 7 − 3) ⋅ 5 − 2 + 3⎤⎦ : 7 + 9 : 3 . 2. Determinaţi valoarea lui x, ştiind că: ⎡⎣( x + 260 : 2 ) ⋅ 3 + 4 ⎤⎦ ⋅ 5 = 2000 .
(
)
3. Calculaţi: 100 − 5 ⋅ ⎡9 + ab + ba : ( a + b ) ⎤ . ⎣ ⎦ 4. Perimetrul unui dreptunghi este de 130 cm. Dacă micşorăm lungimea cu 5 cm şi mărim lăţimea cu 10 cm, dreptunghiul devine pătrat. Aflaţi lungimea laturii pătratului. 5. Suma a două numere este cu 24 mai mare decât diferenţa lor şi de 4 ori mai mare decât această diferenţă. Aflaţi cele două numere. 6. Calculaţi suma numerelor care împărţite la 4 dau câtul 6. 7. Suma numerelor a, b, c, d, e este 91. Aflaţi numerele, ştiind că a − 8, b − 3, c − 7, d − 2 şi e − 6 sunt numere impare consecutive, în ordine crescătoare. 8. Determinaţi termenul din mijloc al următorului şir: 10, 11, 12, … , 2008. 9. Câte numere naturale de trei cifre au produsul cifrelor egal cu 8 ? 10. Aflaţi diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic număr ce se poate obţine din 7345862, eliminând exact două cifre de fiecare dată. 11. Mai mulţi colegi vor să îi cumpere lui Andrei de ziua lui un DVD-player. Ei au pus iniţial fiecare câte 20 de lei, dar apoi trei dintre ei s-au retras şi atunci ceilalţi au contribuit cu câte 25 de lei. Cât a costat DVD-player-ul?
106
12. Câte triunghiuri sunt în figura alăturată?
13. Şapte jucători s-au înţeles ca cel care va pierde o partidă să plătească fiecăruia din ceilalţi o sumă de bani egală cu cea pe care o are persoana respectivă (cu alte cuvinte să dubleze banii fiecărui partener). Au jucat şapte partide şi fiecare a pierdut exact una. După terminarea jocului toţi aveau aceeaşi sumă, 128 lei. Câţi bani au avut la început toţi cei 7 jucători împreună şi câţi bani a avut cel care a pierdut prima partidă. 14. Ca să o salveze pe Ileana Cosânzeana, Făt-Frumos trebuie sa doboare balaurul cu 20 de capete, care o ţine prizonieră. Cu sabia fermecată, FătFrumos poate taia dintr-o lovitură un cap, sau 3 capete deodată. Când balaurului i se taie un singur cap, îi cresc la loc alte două. Aflaţi de câte ori a reuşit Făt-Frumos să taie câte 3 capete, ştiind că a omorât balaurul din 16 lovituri. 15. În Neverland, există 3 corăbii cu piraţi. Dacă un călător care ajunge pe o corabie are la el un număr par de galbeni, căpitanul îi mai dă 3 galbeni, iar dacă are un număr impar de galbeni, căpitanul îi ia 1 galben şi incă jumătate din cei rămaşi. După ce Peter Pan trece pe la fiecare din cele 3 corăbii, rămâne cu 502 galbeni. Aflaţi câţi galbeni a avut la început, ştiind că numărul acestora era par.
107
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI METODA COMPARAŢIEI 5. 9 lei. 6. a + b = 65, 2a + 3b = 170 ⇒ 2a + 2b = 130 şi 2a + 3b = 170 . Se obţine b = 40 şi a = 25 . 7. 4 kg fursecuri + 2 kg tort = 70 lei ⇒ 4 kg fursecuri + 2 ⋅ 3 kg fursecuri = 70 lei ⇒ 1 kg fursecuri costă 7 lei, iar un tort de 3 kg costă 63 lei. 8. 5 cărţi + 3 albume = 195 lei, 3 cărţi + 5 albume = 165 lei. Prin adunare membru cu membru şi apoi împărţire la 8 se obţine 45 lei. 9. Din 11 albe + 7 negre = 166 g ⋅10
şi 15 albe + 10 negre = 230 g ⋅7 se obţine că 5 bile albe cântăresc 50 g ⇒ o bilă albă cântăreşte 10 g, iar una neagră 8 g. Cutia câtăreşte 290 g. 10. Din 5 kg roşii + 7 kg castraveţi = 58 lei şi 3 kg roşii + 8 kg castraveţi = 50 lei ⇒ 1 kg roşii costă 6 lei, iar unul de castraveţi costă 4 lei. Dacă notăm cu x numărul kg de roşii şi cu y numărul kg de castraveţi, obţinem x + y = 78 şi rezultă x = 7, y = 9. 11. 2a + b + 5c = 305 ⋅10 20a + 10b + 50c = 3050 ⇒ ⇒ 5a + 10b + 50c = 2750 a + 2b + 10c = 550 ⋅5 ⇒ 15a = 300 ⇒ a = 20. Din b + 5c = 265 şi 10b = 3c ⇒ 10b + 50c = 2650 şi 10b = = 3c ⇒ c = 50, b = 15. 12. 4 kg m + 16 lei = 6 kg p, 2 kg m + 5 kg p = 24 lei ⋅2 ⇒ 4
kg m + 10 kg p = 48 lei +16 lei ⇒ 6 kg p + 10 kg p = 64 lei ⇒ 1 kg portocale costă 4 lei, iar unul de mere costă 2 lei. 13. Dacă f = numărul fetelor şi b = numărul băieţilor ⇒ 2 f + 5b = 12 ⇒ f = 3 şi b = 2. Atunci numărul perelor este: 4 ⋅ 3 + +3 ⋅ 2 = 18 . 14. 3s = 5c, iar o carte = 1s + 1c ⋅3 ⇒ 3 cărţi = 3s + 3c = 8c . Din 1 carte = 1s + 1c şi 3 cărţi = 8c ⇒ 4 cărţi = 1s + 9c. 15. Din a + b + c + d = 36 şi b + c + d = = 20 ⇒ a = 16 , iar b + c + d = 20 şi c + d = 15 ⇒ b = 5. Urmează d = 9 şi c = 6 . Răspunsul este: E = 80. 16. 7b + 1c + 5n = 235 g, 1b + 7c + 3n = 445 g ⋅7 ⇒ 7b + +49c + 21n = 3115 g. Deci 48c + 16n = 2880 g :16 ⇒ 3c + 1n = 180 g. 17. 2 p + +3c = 230 lei, 3 p + 2c = 270 lei ⇒ 5 p + 5c = 500 lei ⇒ p + c = 100 lei ⇒ 2 p + +2c = 200 lei şi obţinem că o pereche de pantofi costă 70 lei, iar o cămaşă costă 30 lei. 18. 1 p = 1s + 2 f , iar 1 f = 1s : 2 ⇒ 1s = 2 f . Atunci 1 p = 4 f şi 6s + 12 f = 12 f + +12 f = 24 f = 6 ⋅ 4 f = 6 p. Răspunsul este 6 pardesie. 19. 1m + 1s + 1d = 2808 lei, 1m = 3s , 1d = 3m = 9 s. Din prima relaţie obţinem că 13s = 2808 lei ⇒ un scaun costă 216 lei, o masă 648 lei, iar un dulap 1944 lei. Valoarea mobilierului
108 achiziţionat este 41.688 lei. 20. Dacă 2t = 3c şi 6t + 5c = 56 lei ⇒ 3 ⋅ 3c + 5c = 56 lei, deci o crizantemă costă 4 lei. Urmează că un trandafir costă 6 lei, iar o garoafă costă 18 : 5 lei. Atunci 5 flori din fiecare fel costă în total 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + 18 = 68 lei. METODA FIGURATIVĂ 6. Notăm cu a cel mai mic dintre numere. Nu cunoaştem câte numere consecutive sunt. Cum suma a şapte numere naturale consecutive este cel puţin 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 avem cel mult şase numere. Dacă observăm şi că suma a patru numere consecutive este un număr par, avem de analizat următoarele variante: I. Două numere: a, a+ 1. O reprezentare grafică este:
Obţinem 2 ⋅ a + 1 = 15 ⇒ a = (15 − 1) : 2 = 7 ,deci numerele sunt 7 şi 8. II. Trei numere: a, a + 1, a + 2. O reprezentare grafică este:
Obţinem 3 ⋅ a + 3 = 15 ⇒ a = (15 − 3) : 3 = 4 ,deci numerele sunt 4, 5 şi 6. III. Cinci numere: a, a+ 1, a + 2, a + 3, a + 4. . O reprezentare grafică este:
Obţinem 5 ⋅ a + 10 = 15 ⇒ a = (15 − 10 ) : 5 = 1 ,deci numerele sunt1,2,3, 4 şi 5. IV. Şase numere: a, a+ 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5. Cu o reprezentare grafică similară obţinem 6 ⋅ a + 15 = 15 ⇒ a = 0 , deci numerele sunt0,1,2,3, 4 şi 5. În concluzie problema are patru soluţii: 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 . 7. Notăm cu r numărul trandafirilor roşii şi cu numărul trandafirilor galbeni. Din enunţ rezultă că r = g + 3 şi r = 2 ⋅ g . O reprezentare grafică este:
109
Obţinem g = 3 trandafiri galbeni şi r = 6 trandafiri roşii. Putem alege în trei moduri doi trandafiri galbeni din cei trei şi în 6 moduri un trandafir roşu dintre florile pe care le avem la dispoziţie. Rezultă 3 ⋅ 9 = 27 moduri de a forma buchete. 8. Notăm cu t vârsta tatălui şi cu a vârsta lui Andrei. O reprezentare grafică poate fi:
Obţinem: t = 3a, t + 12 = 2(a + 12) ⇒ 3a + 12 = 2a + 24 ⇒ a = 12 ani, t = 36 ani. 9. Notăm cu c preţul creionului, cu s preţul stick-ului şi cu h preţul cărţii. O reprezentare grafică este:
Obţinem 15 ⋅ c + 5 = 125 ⇒ c = (125 − 5 ) :15 = 8 . Creionul costă 8 lei, memory stick-ul 56 lei, iar cartea 61 lei. 10. Notăm cu x numărul de timbre pe care Gheorghiţă i le dă lui Codrin. Din enunţ rezultă: 142 − x = 2 ( 56 + x ) ⇒ 142 = 112 + 3 x ⇒ 3 x = 30 ⇒ x = 10 . O reprezentare grafică poate fi:
11. Notăm cu x suma avută iniţial de fiecare copil. Din enunţ rezultă: ( x − 90 ) + ( x − 120 ) + ( x − 150 ) + ( x − 153) = x ⇒ 4 x = x + 90 + 120 + 150 + 153 . O reprezentare grafică poate fi:
110 Obţinem 3 x = 513 ⇒ x = 171 lei. 12. Notăm cu p numărul de probleme de rezolvat şi cu z numărul de zile în care trebuie rezolvate. Din enunţ rezultă: p = 6 ⋅ z + 4 = 8 ⋅ z − 6 O reprezentare grafică poate fi:
Obţinem 2 ⋅ z=10 ⇒ z=5 ⇒ p = 34 probleme. 13. Cinci soluţii: 51 şi 50, 52 şi 49, 53 şi 48, 54 şi 47, 55 şi 46. 14. 10 zebre şi 7 sanitari, deci 70 de posibilităţi. 15. 55 m şi 31 m.16. Maxim 15 oameni (caz în care sunt 3 maşini cu cinci locuri şi 3 maşini cu patru locuri) şi maxim 16 maşini (una cu cinci locuri şi 11 cu patru locuri). 17. 13, 14, 15. 18. Februarie. 19. Două soluţii: 15 şi 17 sau 5, 7, 9 şi 11. 20. Raluca are 10 bomboane, iar Corina are 5 bomboane. 21. 60 (45 fete şi 15 băieţi). 22. 33 elevi şi 15 bănci. 23. 27 lalele albe şi 51 lalele roşii. 24. 48 km. 25. 7 ani. 26. 13 băieţi şi 17 fete. 27. 140 mere şi 84 portocale. 28. 75 km/h, 300 km. 29. Două ore. 30. 10 zile. METODA FALSEI IPOTEZE 4. 8 ⋅ 8 − 54 = 10;10 : ( 8 − 6 ) = 5 cărăbuşi ⇒ 8 − 5 = 3 păianjeni. 5. Diferenţa de
bomboane: 17 + 15 = 32, 32 :1 = 32. Deci sunt 32 + 1 (Dan) = 33 elevi şi 2 ⋅ 32 + +17 = 81 bomboane. 6. 1000 : 8 = 125 probleme/zi. 10 ⋅14 = 140 probleme dacă ar fi toţi din grupa a doua ⇒ (140 −125 ) : (10 − 7 ) = 15 : 3 = 5 elevi din grupa I ⇒ 12 − 5 = 7 elevi din grupa a II-a. 7. 6 ⋅ 30 − 160 = 20 kg de mere şi 30 − 20 = 10 kg de strunguri. 8. Aflăm câte animale au 4 picioare şi câte au 2 picioare. 50 ⋅ 2 = 100 ar fi doar cu 2 picioare. 130 − 100 = 30, 4 − 2 = 2 sunt 30 : 2 = 15 cu 4 picioare (capre şi oi) şi 50 − 15 = 35 găini şi raţe. Din r + g = 35, g − r = 5 , obţinem 20 găini şi 15 raţe. Apoi o + c = 15 şi o − c = 5 ⇒ 10 oi şi 5 capre. 9. 38 de elevi completează cele 5 camere cu câte 3 elevi, 2 elevi în cea în care era 1 elev şi câte unul în celelalte camere. Deci 38 − 3 ⋅ 5 − 2 = 21 elevi completează camerele cu 2 elevi. Sunt 21 + 6 = 27 de camere şi la început au fost 2 ⋅ ( 27 − 5 − 1) + 1 = 43 elevi. 10. În primul caz într-o oră a parcurs 4 km, iar în al doilea ar fi parcurs 6 km; ( 6 + 4 ) : ( 6 − 4 ) = 10 : 2 = 5 ore. Traseul are 4 ⋅ ( 5 + 1) = 24 km.
111
METODA MERSULUI INVERS 4. 1800. 5. 100. 6. 36 km. 7. 660 nuci. 8. 126 mere. 9. 1600 lei. 10. 33, 15. METODA REDUCERII LA ABSURD 3. Presupunem, prin reducere la absurd, că în fiecare zi îşi vor serba ziua de naştere doi elevi, atunci, într-un an îşi vor serba ziua 365 ⋅ 2 = 730 de elevi – fals. Prin urmare, al 731-lea elev îşi va serba ziua împreună cu alţi doi. 4. Presupunem că niciun elev nu a rezolvat toate cele 4 probleme, deci fiecare a rezolvat cel mult 3, adică 40 ⋅ 3 = 120 probleme. Numărul total de probleme fiind 25 + 30 + 35 + 33 = 123, rămân 3 probleme rezolvate, de unde rezultă că cel puţin 3 elevi au rezolvat toate problemele. 5. Dacă nu există 5 bile colorate la fel, vor fi cel mult 4 bile de aceeaşi culoare şi cel puţin 4 culori pentru a colora 16 bile. A 17-a va avea o culoare diferită şi luând o bilă de fiecare culoare vor fi 5 bile de culori diferite. Dacă nu există 5 bile de culori diferite, ele vor fi colorate cu cel mult 4 culori şi, deci în cel mai rău caz vor fi 4 bile de aceeaşi culoare. A 17-a bilă va fi colorată cu una din cele 4 culori, deci vor fi 5 bile de aceeaşi culoare. 6. Presupunem că nu există 6 lăzi dintr-un sortiment. Dacă din cele 3 sortimente ar fi câte 5 lăzi din fiecare, am avea 5 ⋅ 3 = 15 lăzi. Prin urmare, s-au primit dintr-un sortiment cel puţin 6 lăzi. 7. Cel puţin 10 elevi practică toate cele 3 sporturi. 8. Cel puţin 6 elevi au cumpărat din fiecare. 9. Presupunem că fiecare este mai mic decât 56, deci suma lor va fi mai mică sau egală cu 165, absurd. 10. Presupunem că există n = 8q + 6 = 4q + 3 , adică par = impar, absurd. 11. Presupunem că cele 10 numere naturale sunt pare ⇒ 2 + 4 + 6 + ... + 20 = 110 , absurd, suma din ipoteză fiind impară. 12. Presupunem că ( m − n ) ⋅ ( m + n + 1) = 1999 . Cazul I: m şi n au aceeaşi
paritate ⇒ par · impar = 1999, fals. Cazul II: m şi n de parităţi diferite ⇒ impar · par = 1999, fals. Deci nu există astfel de numere. 13. Presupunem că toate sunt distincte, cele mai mici posibile ⇒ 1 + 2 + 3 + ... + 101 = 5151 , fals. Prin urmare, două din numere coincid. 14. Dacă toate sunt pare ⇒ 2 + 4 + ... + 100 = 2550 . Absurd. Dacă unul ar fi impar, suma ar deveni impară. Fals. Deci există două numere impare. 15. Presupunem că există n astfel încât n = 12c1 + 5 = 9c2 + 3 ⇒ M 3 + 5 = M 3 . Fals. Presupunerea fiind falsă, nu există numere care să satisfacă cerinţele problemei. 16. Presupunem că există n astfel încât: n = 16c1 + 4 = 20c2 + 5 ⇒ par = impar. Fals. Presupunerea fiind falsă, nu există numere care să satisfacă datele problemei. 17. Dacă în fiecare fermă ar fi un număr diferit de păsări, obţinem că sunt cel puţin 1 + 2 + 3 + ... + 72 = 2628 păsări. Contradicţie. 18. Le putem împărţi câte 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 şi respectiv 17 bomboane. 19. Nu, pentru că 1 + 2 + 3 + ... + 20 = 210 . 20. Nu, pentru că într-unul dintre camioane vor fi mai mult
112
de 7 buşteni. Cei mai uşori 8 buşteni cântăresc: 370 + 372 + ... + 384 = 3016kg, care depăşeşte capacitatea fiecărui camion. PROBLEME DE NUMĂRARE 6. a) 173 − 14 = 159 ; b) 287 : 7 = 41 ; c) (155 − 19 ) : 2 + 1 = 69 ; d) ( 59 − 3) : 4 +1 = = 15 . 7. 7 ⋅ 4 ⋅ 3 = 84 . 8. 5 ⋅ 4 = 20 . 9. 5 + 5 ⋅ 6 + 5 ⋅ 6 ⋅ 3 = 125 . 10. 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 . 11. 5 ⋅ 3 ⋅ 5 = 75 . 12. a) Cifra sutelor poate fi aleasă în 4 moduri, iar cifra zecilor şi cea a unităţilor pot fi alese în câte 5 moduri. Deci, există 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 de numere cu proprietăţile cerute. b) Fie abc unul dintre numerele căutate. Cifra a poate lua 4 valori (2, 4, 6, 8). După ce am fixat valoarea lui a, putem alege valoarea lui b în 4 moduri ( a ≠ b ) şi apoi valoarea lui c în 3 moduri ( c ≠ b, c ≠ a ) . Prin urmare
răspunsul cerut este 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 48 . c) 9 ⋅10 ⋅ 5 = 450 . d) Fie abc unul dintre numerele căutate. Daca c = 0, atunci a poate lua 9 valori, iar b poate lua 8 valori. Deci, în acest caz există 9 ⋅ 8 = 72 de numere. Dacă c ≠ 0 atunci lui c îi rămân 4 valori, iar după ce am fixat pe a, b poate avea 8 valori ( a ≠ c, a ≠ 0 ) . Odată alese c şi a, b poate fi ales în 8 moduri ( b ≠ c, b ≠ a ) . Aşadar, în acest caz sunt 4 ⋅ 8 ⋅ 8 = 256 de numere. Răspunsul este 72 + 256 = 328 . 13. a) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256 ; b) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24 . 14. Din enunţ rezultă că a = d şi b = c , deci sunt 9 ⋅10 = 90 de numere cu proprietăţile considerate. 15. Vom determina câte numere de două, trei şi patru cifre satisfac condiţiile impuse. Avem 3 ⋅ 3 = 9 numere de două cifre, 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 numere de trei cifre şi 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 18 numere de patru cifre. Deci răspunsul este 45. 16. a) Observăm că 5 = 5 + 0 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 3 = 1 + 4 = 0 + 5 şi fiecare din aceste descompuneri sub formă de sumă a lui 5 reprezintă un mod de a împărţi bomboanele între cei doi copii ( 5 = 5 + 0 înseamnă că primul copil primeşte 5 bomboane, iar al doilea 0). Răspunsul este 6. b) Dacă bomboanele sunt diferite, atunci sunt mai multe posibilitaţi. Fiecare dintre bomboane poate fi repartizată în două moduri: primului copil sau celui de-al doilea. Prin urmare, conform regulii produsului, există 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 de moduri de împarţire a bomboanelor. 17. a) Deoarece 9 = 9 + 0 = 8 + 1 = ... = 1 + 8 , înseamnă că sunt 9 numere cu proprietatea considerată. b) 3. 18. Dacă a = 1 , atunci b + c = 6 şi avem 7 soluţii. Pentru a = 2 , obţinem b + c = 5 , cu 6 soluţii. Analizând analog şi cazurile a = 3, 4,..., 7 găsim în total 7 + 6 + ... + 1 = 28 de numere care verifică condiţiile impuse. 19. 36 şi 216. 20. 16. 21. 16; 81. 22. 729. 23. Dacă aşezăm o tură albă pe un pătrat al tablei de şah acesta atacă 15 pătrate (socotim şi pătratul pe care stă) şi atunci tura neagră poate fi aşezată pe oricare din celelate 49 de pătrate rămase. Deci sunt 64 ⋅ 49 = 3136 de posibilităţi. 24. 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 . 25. Să calculăm câţi atleţi participă
113 la cele 15 curse în ordinea inversă derularii lor: finală - 1 cursă cu 8 atleţi; semifinalele - 2 curse cu 16 atleţi , dintre care 8 nu s-au calificat în finală; sferturile de finală - 4 curse cu 32 de atleţi, dintre care 16 nu s-au calificat în semifinale; optimile de finală - 8 curse cu 64 de atleţi, dintre care 32 nu s-au calificat. Deci, au fost 8 + 8 + 16 + 32 = 64 de atleţi. 26. a) 45; b) 90. 27. 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 5120 . 28. C. 29. a) 9 + 90 ⋅ 2 + 900 ⋅ 3 + 1009 ⋅ 4 = 6925 ; b) 7. 30. 15. PRINCIPIUL CUTIEI 4. Nu. Dacă repartizăm 6 ore în 5 zile , atunci măcar într-o zi vor fi 2 ore. 5. 3 calculatoare. 6. Da. 7. 4. 8. 6. 9. Există numai 3 resturi diferite la împărţirea cu 3: 0, 1, 2. 10. Deoarece sunt numai patru resturi diferite la împărţirea cu 4, rezultă că din cele 5 numere alese există două care dau acelaşi rest la împărţirea cu 4. Diferenţa acestor două numere se împarte exact la 4. 11. Nu. Pentru că trei feţe care au un vârf comun au două câte două o muchie în comun. 14. 731. 16. Împărţim elementele mulţimii A în 5 grupe: Conform principiului cutiei, dacă alegem 6 numere din A, atunci trebuie să existe două în aceeaşi grupă. Evident, suma lor este 11. 17. Se observă că, oricum am alege trei numere din mulţimea B, unul dintre ele este par. Aşadar produsul celor trei numere este par. 18. Împărţim numerele de două cifre în 9 grupe: {10,11,...,19} ,
{21, 22,..., 29} ,..., {91,92,...,99} .
Din 10 numere de două cifre, există două care aparţin aceleaşi grupe. Diferenţa acestor două numere este mai mică sau cel mult egală cu 9. 19. Împărţim zilele din aprilie în 10 grupe astfel: {1, 2,3} ,
{4,5, 6} ,..., {28, 29,30} .
Cum Elena a fost la sală în 21 de zile, rezultă, conform
principiului cutiei, că cel puţin una din grupele anterioare trebuie să conţină trei dintre zilele în care Elena a făcut gimnastică, adică tocmai ceaa ce trebuia demonstrat. 20. Dacă aşezăm câte un rege în fiecare colţ al tablei sunt îndeplinite condiţiile din problemă. Vom arăta acum că nu putem aşeza 5 regi astfel încât oricare doi dintre ei să nu se ameninţe. Pentru aceasta, împărţim tabla de 4 × 4 în 4 pătrate de 2 × 2 . Când aşezăm 5 regi pe tabla de 4 × 4 , conform principiului cutiei, găsim cel puţin un pătrat de 2 × 2 în care se află doi regi şi atunci ei se ameninţă reciproc. Prin urmare, numărul maxim de regi care satisfac cerinţele impuse este 4. PROBLEME DE PERSPICACITATE 4. I. Dacă A spune adevărul ⇒ B minte ⇒ C spune adevărul şi nu e posibil căci ar fi doi care spun adevărul. II. Dacă A minte ⇒ B spune adevărul ⇒ C minte şi D minte . Deci B spune adevărul. 5. Pentru ca un copil să fie sigur că ia ultima bomboană, trebuie să-l oblige pe adversar să ia înainte 1-6 bomboane din 14, 21, 28
114 sau 35. Primul poate câştiga luând la început 5 bomboane, apoi (7- a) bomboană de fiecare dată, unde a este numărul bomboanelor luate de adversar. 6. r1 + n1 = 26; r1 + r2 = 26; r2 + n2 = 26; n1 + n2 = 26. Dacă r1 > n2 ⇒ 26 = r1 + r2 > r2 + n2 = 26. Dacă n1 > r2 ⇒ 26 = n1 + n2 > r2 + n2 = 26. Deci amândoi s-au înşelat. 7. Ana este caricaturist; Ştefan este reporter; Dan este epigramist. 8. În primul caz răspunsul este DA. F1 - 0 F2 - 1 F3 - 2 F4 - 3 F5 - 4 F6 -5 F7 - 6 F8 - 7 F9 - 8 F10 - 9
B1: F10, F9, F8, B2: F10, F9, F8, B3: F10, F9, F8, B4: F10, F9, F8, B5: F10, F9, F8, B6: F10, F9, F8, B7: F10, F9, F8, B8: F10, F9, F3, B9: F10, F2, F3, (1+2+...+9 = 45 se exact la 9)
F7, F6 F7, F6 F7, F6 F7, F6 F7, F6 F7, F5 F4, F5 F4, F5 F4, F5 împarte
În al doilea caz răspunsul este NU. Procedând ca mai sus observăm că 1 + 2 + ... + 10 = 55 ar trebui să se împartă exact la 10, dar nu este adevărat. 9. Ultima apăsare – butonul 1, prima apăsare – butonul 2, a treia apăsare – butonul 4, a doua apăsare – butonul 3. 10. a) Sunt trei culori, deci e suficient să extragem 4 perechi pentru a avea o pereche de aceeaşi culoare; b) În cel mai rău caz la primele 14 extrageri nimerim toţi ciorapii verzi şi negri. Deci trebuie să facem 16 extrageri pentru a fi siguri că avem o pereche albaştri. 11. Spre deosebire de problema precedentă, o pereche de mănuşi e formată dintr-o mănuşă dreaptă şi o mănuşă stângă. a) Dacă la primele 9 extrageri obţinem doar mănuşi pe aceeaşi mână din fiecare culoare, la a 10 extragere vom reuşi să facem o pereche; b) Dacă la primele 14 extrageri obţinem toate mănuşile negre şi verzi, e posibil ca la următoarele două să nimerim două albastre pe aceeaşi mână. Deci trebuie să extragem 15 mănuşi. 12. Observăm comparând A cu B că un este mai greu decât un . Dacă în A înlocuim un cu un , obţinem un platou mai uşor (pe D). Tot platoul D se cu un şi astfel D e mai greu decât B. Deci ordinea este: obţine înlocuind un A, D, B, C. 13. La sfârşit fiecare vas va conţine (11 + 7 + 6 ) : 3 = 8 ℓ de apă. I. Din vasul A (de 11ℓ) turnăm în vasul B (cel de 7ℓ) dublându-i cantitatea de apă, A:4ℓ, B:14ℓ, C:6ℓ. II. Din vasul B turnăm 6ℓ în vasul C, A:4ℓ, B:8ℓ, C:12ℓ. III. Din C turnăm 4ℓ în A, A:8ℓ, B:8ℓ, C:8ℓ. 14. Întoarcem ambele clepsidre. Aprindem cuptorul după ce s-a scurs nisipul din cea de 7 minute. Lăsăm să se termine cea de
115 11 minute şi apoi o punem din nou. Când se termină au trecut (11 − 7 ) + 11 = 15 minute şi scoatem tarta din cuptor. 15. ( 3044 + 2056 ) :17 − 3075 :15 = 5100 :17 −
−205 = 300 − 205 = 95 . 16. Ion stă în stânga lui Nicu. 17. Fără aşteptare, o urcare şi o coborâre durează 15 − 3 = 12 minute. Timpul de urcare este
de 10 : 2 = 5 ori mai mare decât cel de coborâre. 12 min = 2 min + 5 ⋅ 2 min ⇒ Timpul de urcare este 10 minute = 600 secunde. Deci lungimea pârtiei este de 2 ⋅ 600 = 1200 m. 18. Amelia stă cu Elena în prima bancă; Nicoleta stă cu Mihaela în banca a doua; Ruxandra stă cu Dana în banca a treia; Violeta stă cu Cristina în banca a patra. Deci Nicoleta stă în banca a doua, iar colega ei de bancă este Mihaela. . 20. Rigla, cuţitul, creionul.
19.
PROBLEME CU CARACTER GEOMETRIC 6. 1386 m.7. A = 23 ⋅138 = 3174 m2. 8. L = 50 m, l = 36 m. 9. Adunând perimetrele celor două grădini se obţine suma dintre perimetrul grădinii iniţiale şi de două ori lungimea gardului. Rezultă că lungimea gardului este 75 m. 10. 24 m, 26 m, 28 m. 11. Aria maximă se obţine când dreptunghiul este un pătrat cu latura de 10 cm. 12. 24 = 1 ⋅ 24 = 2 ⋅12 = 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6 . Perimetrul minim este 10 cm. 13. Notăm cu L lungimea şi cu l lăţimea dreptunghiului. Datele problemei ne conduc la relaţiile: l + 6 = L şi L = 2 ⋅ ( l − 6 ) . Se obţine l = 18 m şi L = 24 m. 14. Dreptunghiul obţinut
se descompune ca în figură:
Prin egalarea ariilor se obţine: L ⋅ l + 81 = L ⋅ l + 3 ⋅ L + 3 ⋅ l + 3 ⋅ 3 . Se obţine 3 ⋅ ( L + l ) = 72 , de unde L + l = 24 , deci perimetrul dreptunghiului iniţial este 48 m.
116 15. Perimetrul figurii este în funcţie de x egal cu 2 ⋅ (10 x + 9 x ) = 38 x . Rezultă 38 x = 1140 ⇒ x = 30 m. Procedând ca la problema 5. se obţine aria egală cu 56700 m2.
16. Aria suprafeţei cultivate este diferenţa dintre aria grădinii şi suma ariei bazinului şi ariile aleilor, adică 100 ⋅ 60 − ⎡⎣15 ⋅15 + 2 (100 − 15 ) + 2 ⋅ ( 60 − 15 ) ⎤⎦ =
= 5515 m2. 17. O piesă se poate descompune în patru pătrate mici. Notăm cu n numărul de piese necesare pentru formarea unui pătrat. Din egalitatea ariilor rezultă că 4 ⋅ n se poate scrie ca produsul a două numere naturale egale (Un astfel de număr se numeşte pătrat perfect. Exemple: 1 = 1⋅1, 4 = 2 ⋅ 2,9 = 3 ⋅ 3,16 = 4 ⋅ 4 , ş.a.m.d.). Cel mai mic număr n care verifică condiţia ar fi 1, dar cu o singură piesă nu putem forma un pătrat. Urmează 4, care ne dă soluţia, căci cu 4 piese putem alcătui un pătrat ca în figură.
În cazul celelalte piese, gândind similar, se obţine un număr minim de 12 piese, obţinând un pătrat ca în figură.
18. a) Descompunem triunghiul în două triunghiuri, I şi II, ca în figură.
Aria triunghiului I este jumătate din aria unui dreptunghi cu dimensiuniele de 4 cm şi 6 cm, iar aria triunghiului II este jumătate din aria unui dreptunghi cu
dimensiuniele de 2 cm ( 6 ⋅ 4 ) : 2 + ( 6 ⋅ 2 ) : 2 = 18 cm2.
şi
6
cm.
Aria
triunghiului
iniţial
117 este
b) Figura este echivalentă cu două dreptunghiuri cu dimensiuni 2 × 3 , respectiv 3 × 4 . Deci aria figurii este 18 cm2.
Cu judecăţi similare ar trebui să obţineţi: 1 c) 27 cm2. d) 24 cm2. e) 25 cm2. f) 10 + cm2. 2 19. Efectuăm tăietura de-a lungul liniei punctate şi cu figurile obţinute alcătuim un pătrat.
20. Un mod de efectuare a tăieturilor este indicat în figură.
OPERAŢII ARITMETICE
118 4. a) 0 + 0 + 5, 0 + 5 + 0, 5 + 0 + 0, /0 + 1 + 4, 0 + 4 + 1, 1 + 0 + 4, 4 + 0 + 1, 4 + 1 + 0, / 0 + 2 + 3, 0 + 3 + 2, 2 + 0 + 3, 2 + 3 + 0, 3 + 0 + 2, 3 + 2 + 0, / 1 + 1 + 3, 1 + 3 + 1, 3 + 1 + 1, / 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1/ ⇒ 21 moduri; b) numerele de 3 cifre 500, 104, 140,
401, 410, 203, 230, 302, 320, 113, 131, 311, 122, 212, 221 ⇒ 15 numere. 5. ab ∈ {70,81,92} . 6. x ∈ {3, 4,5, 6, 7} . 7. a) 4781, b) 1989, c) 1980, d) 400. 8. a) 4950, b) 50, c) 2500, d) 100. 9. a) 3, 18, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43; b) Termenul de pe locul 1 este 3 + 5 ⋅ 0 , cel de pe locul 2 este 3 + 5 ⋅1 , ş.a.m.d. obţinem termenul de pe locul 2009 care este 3 + 5 ⋅ 2008 = 10043 ; c) suma este ( 3 + 5 ⋅ 0 ) + ( 3 + 5 ⋅1) + ... + + ( 3 + 5 ⋅ 99 ) = 3 ⋅100 + 5 ⋅ ( 0 + 1 + ... + 99 ) = 25050 . 10. 9 + 99 + ... + 99...9 = ( 9 + 1) + 10
⎛
⎞
( 99 + 1) + ... + ⎜ 99...0 + 1⎟ − 10 = 10 + 100 + ... + 100...0 − 10 = 11...10 − 10 = 11...10 .
10 10 9 ⎝ 109 ⎠ 11. 6, 7, 8, 9, 10. 12. a) suma = 1099999, diferenţa = 899999; b) suma = 1089999,
diferenţa = 885309. 13. a) 8100; b) 2000; c) 439; d) 9; e) 10. 14. a) 15, 16, 17,..., 48; b) 36, 37, 38, ..., 55; c) 7, 8, 9, ..., 17. 15. Adunând egalităţile obţinem 2 ⋅ ( a + b + c ) = 132 ⇒ a + b + c = 66 ⇒ a = 23, b = 11, c = 32 . 16. x = 1 + ( 3 − 2 ) + + ( 5 − 4 ) + ( 7 − 6 ) +... + ( 98 − 99 ) ⇒ x = 50 . 17. Fie numerele x + 1, x + 2,..., x + n, n ≥ 3 atunci n ⋅ x + n ( n + 1) : 2 = 30 . Dându-i-se valori lui n obţinem: 9 + 10 + 11 = 30,
6 + 7 + 8 + 9 = 30, 4 + 5 + 6 + 7 + 8 . 18. 11 soluţii. 19. 1 + 2 + 3 + ... + 11 = 66 de soluţii. 20. a) 3110; b) 300; c) 13260; d) 45000. 21. a) (1 + 3 ⋅ 0 ) + (1 + 3 ⋅1) + (1 + 3 ⋅ 2 ) + +... + (1 + 3 ⋅ 66 ) = 67 + 3 ⋅ ( 0 + 1 + ... + 66 ) = 6700 ; b) 13400; c) 2019000; d) 1010000.
22. a) 20; b) 20; c) 66; d) 66. 26. abc = 285. 27. Sunt 6 numere: abc ∈ {114, 141, 411, 122, 212, 221} 28. 21 numere. 29. a) 270; b) 30200; c)
2009000; d) 333; e) 8100; f) 7992; g) 575575; h) 69104; i) 1001. 30. a) 28; b) 205; c)609; d) 19; e) 417; f) 603; g) 404; h) 345; i) 111; j) 999. 31. a) 450; b) 1268; c) 58; d) 138; e) 3; f) 1000; g) 10; h) 683. 32. a) 0; b) 212; c) 1; d) 0; e) 100; f) 82; g) 9; h) 1. 33. a) 950; b) 3; c) 1855; d) 5. 34. a) 6; b) 12. 35. a) 555; b) 2106. 36. a) 2; b) 4; c) 2; d) 8. 37. a) 86; b) 43. 38. x = 1 şi y = 2 . 39. a) 10; b) 0. 40. a) 0, 1, 2, ..., 10; b) 0, 1, 2, ..., 8. 43. Avem: 24 − 4 ⋅ 3, 24 − 4 − 3, 24 ⋅ 4 − 3, 24 ⋅ 4 ⋅ 3, deci sunt 4 soluţii. 44. Sunt 4 soluţii. 45. Sunt 4 soluţii. 46. Avem următoarele situaţii: 24 : 8 : 2, 24 : ( 8 : 2 ) , ( 24 − 8 ) : 2, 24 − 8 : 2, 24 − 8 − 2, 24 − ( 8 − 2 ) , 24 : 8 − 2, 24 : ( 8 − 2 ) . Sunt 8 soluţii. 47. a) 14700; b) 8520. 48. a) 788; b) 3078. 49. a) 615; b) 8190. 50. a) 3; b) 195. 51. a) 9990; b) 2090. 52. a) 20000; b) 11907. 53. a) 4; b) 502. 54. a) 9; b) 1. 55. a) 20090; b) 134360. 56. a) 6030000; b) 4020. 57. a) 200900; b) 52850. 58. a)
119 2011; b) 6791. 59. a) 100; b) 1. 60. a) 6120; b) 8000. 61. a) 30700; b) 24750. 62. a) 2; b) 2. 63. a) 38; b) 10. 64. a) 2; b) 10. 65. a) 3; b) 25. 66. a) 1; b) 2.
TEOREMA ÎMPĂRŢIRII CU REST 4. D = I ⋅ C + R, R < I , 43 = D + I = 12 I + 7 ⇒ I = 3, D = 40 . 5. b − a = 35 şi b = = 4a + 2 ⇒ 3a + 2 = 35 , 3a = 33 ⇒ a = 11 . 6. a = b + 280, a + b = 280 ⋅ 5 + 4 = 1404, 2b = 1124 ⇒ b = 562, a = 842 . 7. D = I ⋅ C + R, R < I , C + R = 30, R = 3C + 2 ⇒ C = 7, R = 23, D + I = 2023, D = 7 ⋅ I + 23 ⇒ 8I + 23 = 2023 ⇒ I = 250 şi D = =1773. 8. 490 = ( 203 − a ) ⋅ 4 + 66 ⇒ 106 = 203 − a ⇒ a = 97. 9. a + b = 2008 , 3a =
= 4016 ⋅1 + 2008 − a ⇒ a = 1506, b = 502. 10. D = I ⋅ C + R, R < I , 39 = I ⋅ C + 1 ⇒ I ⋅ C = 38 ⇒ I = 19, C = 2 . 11. a − b = 4493, c = 57, r = 57 + 12 = 69 ⇒ a − b = = 56b + 69 ⇒ b = 79, a = 4572 . 12. C + R = 53, R = 3C + 1 ⇒ 4C = 52 ⇒ C = 13, R = 40 . D = 13 ⋅ I + 40, I > 40; 740 < 13 ⋅ I + 40 < 750 ⇒ 700 < 13 ⋅ I < 710 ⇒ I = 42 ⇒ D = 746 . 13. D = 2008C + R, R < 2008 ⇒ R = 2007, C = 2006, D = 2008 ⋅ ⋅2006 + 2007 . 14. a = 3b + 2, b > 2, a = 2c + 3, c > 3,… , a + c = 24 ⇒ c = 7, a = 17, b = 5 . 15. n = 207c + r , r < 207, r = 206, c = 702 ⇒ n = 145520 . 16. a + b + c = = 100 şi a = b + c ⇒ a = 50, b + c = 50; b = c + 10 ⇒ c = 20, b = 30 . 17. 5000 = = 173 ⋅ 27 + 129 ,│-73 ⇒ 4927 = 173 ⋅ 27 + 56 . Deci este 4927. 18. a + b = 80 , a = 3b + r , r < b, 4b + 12 = 80 ⇒ r = 0, b = 20; r = 4, b = 19; r = 8, b = 18; r = 12, b = = 17 apoi nu mai verifică r < b ; deci sunt 4 soluţii. 19. a : b = 3 ⇒ a = 3b; a : 2 = = b ⋅1 + 49, b > 49 , a = 2b + 98 ⇒ b = 98, a = 294 . 20. a = 5b + r , r < b, a − 2b = = 3b + r ⇒ 79 < 3b + r < 89 ⇒ r ≤ 22 şi b ≥ 20 ; dacă r = 22 ⇒ 57 < 3b < 67 ⇒ 18 ≤ b ≤ 22 ⇒ b ≤ r fals! Dacă r = 21 ⇒ 58 < 3b < 68 ⇒ 19 ≤ b ≤ 22 ⇒ b = 22 ⇒ a = 131 . 21. a = 57b + r , r < b, 5 < r = a + b − 406 ⇒ a = 57b + a + b − 406 ⇒ 58b = = 406 ⇒ b = 7 ⇒ r = 6 ⇒ a = 405 . 22. n = 11⋅ 5 + r , r < 11 ⇒ r = 10 ⇒ n = 65 . 23. n = 71c + r , r < 71, c = 3r , n = 71c + r = 214r , r = 70 ⇒ n = 14980. 24. n = 21c + r , r < 21; 21 de numere; n = 22r ⇒ n = 0; 22 ⋅1; 22 ⋅ 2;...; 22 ⋅ 20; S = 22(1 + 2 + ... + +20) = 22 ⋅ 20 ⋅ 21: 2 = 220 ⋅ 21 = 4620 . 25. 100 = 67 ⋅1 + 33 ⇒ 110 = 67 ⋅1 + 43 ; 1000 = 67 ⋅14 + 72 ⇒ 971 = 67 ⋅14 + 43 . 26. n = 11c + r , r < 11; n = 13r + c, c < 13; 11c + r = 13r + c ⇒ 10c = 12r ⇒ 5c = 6r ⇒ c = 6, r = 5 ⇒ n = 71 sau c = 12, r = 10 ⇒ n = 142 . 27. n = 8a + 3, n = 6b + 5 ⇒ 8a + 3 = 6b + 5 ⇒ 4a = 3b + 1 . Deci b este
impar. 28. a = xxy1 , a = b ⋅ c + 98, b > 98, b de 2 cifre ⇒ b = 99 ; xxy1 = 99c + 98 ⇒ 99c se termină cu 3 ⇒ ultima cifră a lui c este 7. Singura soluţie este c = 77 şi
120
a = 7721; 7721 = 99 ⋅ 77 + 98. 29. ab = xb + c, bc = xc + a, ca = xa + b ⇒ ab + bc + +ca = x ( b + c + a ) + c + a + b ⇒ 11( a + b + c ) = ( x + 1)( a + b + c ) ⇒ x = 10; ab = 10b + + c = bc ⇒ a = b şi b = c ⇒ a = b = c . 30. a) a = b ⋅ 0 + a ; b) 2n + 2 = 2n ⋅ c + r , r < 2n; 2n = ( 2n + 2 ) ⋅ 0 + 2n ⇒ r = 2n − 2 ⇒ 2n + 2 = 2n ⋅ c + 2n − 2 ⇒ nc = 2; n = 1,
c = 2 ⇒ 4 = 2 ⋅1⋅ 2 + 0 ⇒ 4 = 2 ⋅ 2 + 0 ; n = 2, c = 1 ⇒ 6 = 2 ⋅ 2 ⋅1 + 2 ⇒ 6 = 4 ⋅1 + 2 ; c) 2n + 3 = ( 2n + 1) ⋅ c + +2n − 1 , 2n + 1 = ( 2n + 3) ⋅ 0 + 2n + 1, ( 2n + 1) ⋅ c = 4 ⇒ c = 4; 2n + 1 = 1 ⇒ n = 0 ⇒ 3 = 1 ⋅ 4 − 1 . Dar r ≥ 0 , deci nu există altfel de numere.
TESTUL 1 1. 335. 2. 90. 3. x = 2. 4. 150 şi 50. 5. 444,884. 6. P = 14 deci L + l = 7 de unde obţinem ( L, l ) ∈ {( 6;1) ; ( 5; 2 ) ; ( 4;3)} deci există 3 dreptunghiuri. 7. 12 ani. 8. 18 stâlpi. 9. 11 drumuri. 10. Notăm x = numărul de ani, atunci avem ( 9 + x ) ⋅ 2 = 30 + x de
unde se obţine x + 12 . 11. abc + ab + a = 151 ⇒ 111a + 11b + c = 151 ⇒ a = 1 ⇒ 11b + c = 40 ⇒ b = 3 şi c = 7 ⇒ abc = 137 . 12. a + b = 32, a = 3b + 4 ⇒ 4b + 4 = 32 ⇒ b = 7 ⇒ a = 25 . 13. r = bile roşii, g = bile galbene, a = bile albastre, r + a = 34 , g + a = 32, r + g = 38 , adunând relaţiile ⇒ 2r + 2a + 2 g = 104
⇒ r + a + g = 52 ⇒ g = 18 ⇒ a = 14 ⇒ r = 20 . 14. 50 ⋅ 51 = 2550. 15. ab = 11 .
TESTUL 2 1. a + ( a + 2 ) + ( a + 4 ) + ( a + 6 ) = 252 ⇒ a = 60 , deci numerele sunt 60, 62, 64, 66. 2. x = 18 . 3. abc + bca + cab = 111( a + b + c ) = 111⋅16 = 1776 . 4. 887. 5. 40 : 4 = 10 . 6. abc = 5 ⋅ bc ⇒ 100a + bc = 5 ⋅ bc ⇒ 100a = 4bc ⇒ 25a = bc ⇒ abc ∈ {125, 250,375} . 7. (100 ⋅ 6 ) : ( 5 ⋅ 3) = 40 . 8. 32 şi 12. 9. x = vârsta lui Victor, y =
vârsta gemenilor, x + 2 y = 39 şi x − 5 = 2 ( y − 5 ) ⇒ x = 17, y = 11 . 10. 11, 17 şi 29. 11. 9824 + 3214 = 13038 . 12. a − b = 38, a = 5b + 2 ⇒ a = 47, b = 9 . 13. 36 de ori. 14. a ⋅ c = 640 − 240 ⇒ a ⋅ c = 400 . 15. Notăm cu x = numărul de trandafiri, n = numărul de vaze, atunci x = 3n + 10, x = 5 ( n − 1) + 1 ⇒ n = 7 ⇒ x = 3 .
TESTUL 3 1. x = 0 . 2. ( a + b ) + ( a − b ) = 64 şi a − b = 11 ⇒ a = 32 şi b = 21 . 3. a ⋅ b ⋅ c = d ,
a ⋅ b ⋅ d = c, a ⋅ c ⋅ d = b ⇒ înmulţind relaţiile a 3 ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 1 ⇒ abcd = 1111 . 4.
121 1000.
5. ab + ba = 11( a + b ) = 77 . 6. m + t + f = 69, m + 3 = t , m = 5 ⋅ f ⇒ 5 f +
+5 f + 3 + f = 69 ⇒ f = 6 ⇒ m = 30 ⇒ t = 33 . 7. L = 2 ⋅ l , ( L + l ) ⋅ 2 = 30 ⇒ l = 5, L = 10 ⇒ A = 50 . 8. Notăm cu x primul număr şi cu y cel de-al doilea număr ⇒ x + y = 190; ( x − 25 ) ⋅ 2 + x = 190 ⇒ x = 80 ⇒ y = 110 . 9. 2 x + 8 y + 6 z =
⎡⎣( x + 2 y ) + ( 2 y + 3z ) ⎤⎦ ⋅ 2 = 57 ⋅ 2 = 114 . 10. x + y + z = 58, x + a = 27, y + a = 31, z + a = 36 ⇒ x + y + z + 3a = 94 ⇒ 3a = 36 ⇒ a = 12 ⇒ x = 15, y = 19, z = 24 . 11. 987.654, 102.345. 12. x + y + z = 65, x = 2 y + 6, z = 3 y + 5 ⇒ ( 2 y + 6 ) + y + 3 y + +5 = 65 ⇒ y = 9 ⇒ x = 24, z = 32 .
13. x = 7c + 5 ⇒ 207 < 7c + 5 < 503 / −5 ⇒ ⇒ 202 < 7c < 408 ⇒ c ∈ {29,30,… ,58} ⇒ 30 numere. 14. 22 + 24 + 26 + 28 + 30 = = 130 . 15. 20 raţe şi 13 iepuri.
TESTUL 4 1. 50 + 100 + 200 + 400 = 750 alune. 2. 3a + 5b + c − 2d = 3 ( a + b − c ) + 2 ( b + 2c − d )
= 3 ⋅10 + 2 ⋅11 = 52 . 3. L = 3l , 2 ( L + l ) = 40 ⋅ l = 5, L = 15 . 4. a = 9, b = 2, c = 4 ⇒ abc − bca − cab = 924 − 249 − 492 = 183 . 5. a + ( a + 2 ) + ( a + 4 ) = 69 ⇒ a = 21
numerele sunt 21, 23, 25. 6. d + a = 21, d − 3 = 2 ( a − 3) ⇒ a = 8, d = 13 . 7. 1464. 8. d + a = 21, d − 3 = 2 ( a − 3) ⇒ a = 8, d = 13 . 9. x = 0 . 10. ab = 5 ⋅ b ⇒ 10 ⋅ a = 4b
⇒ 5a = 2b ⇒ a = 2, b = 5 ⇒ ab = 25 . 11. 1023 − 987 = 36 . 12. a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c = 92 + 210 = 302 . 13. 7 x + 8 y = 142, x + y = 19 ⇒ x = 10, y = 9 . 14. Numerele de pe pagina din mijloc sunt 29 şi 30, ea este a 15-a filă de carte, deci cartea are 14 + 1 + 14 = 29 de file ⇒ numerotarea s-a făcut de la 1 la 58 ⇒ s-au folosit 9 ⋅1 + ( 58 − 9 ) ⋅ 2 = 107 de cifre. 15. n = 98 ⋅ c + r , c = r − 3, 0 < r < 98 ⇒ n = = 98 ⋅ ( 97 − 3) + 97 ⇒ n = 9309 .
TESTUL 5 1. 1000, 1111, 1224, 1339, 2000, 2122, 2248, 3000, 3133, 4000, 4144, 5000, 5155, 6000, 6166, 7000, 7177, 8000, 8188, 9000, 9199 . 2. 40 şi 20. 3. a + b + c = 84, a : 2 = 2 ⋅ b = c ⇒ 4b + b + 2b = 84 ⇒ b = 12 ⇒ a = 28, c = 24 . 4. x = meri, y = peri, z = pruni ⇒ x = z + 3, x = 3 ⋅ y, x + y + z = 18 ⇒ 3 y + y + 3 y − 3 = 18 ⇒ y = 3 ⇒ x = 9 ⇒ z = 6 . 5. x = numărul merelor de aur, y = numărul merelor de argint ⇒
122 x − 10 = ( y − 10 ) ⋅ 2 şi x − 10 = 30 + ( y − 10 ) ⇒ y = 40 ⇒ x = 70 . 6. a = 2008 . 7.
8911 şi 9811. 8. 367. 9. 39. 10. 897 şi 988. 11. 864385 şi 344385. 12. x = 99 ⋅ 3 + 98 ⇒ x = 395 . 13. x = a ⋅ 5 + 7 şi 7 < a ≤ 9 ⇒ a ∈ {8,9} ⇒ 47 + 52 = 99 . 14. x = numărul paginilor cărţii, y = numărul paginilor citite pe zi ⇒ x = 6 y şi x = 5 ( y + 3) ⇒ y = 15 şi x = 90 . 15. cifrele se repetă din 5 în 5 ⇒ 702 = 5 ⋅ 40 + 2
⇒ cifra 4 este cifra căutată.
TESTUL 6 1. 75. 2. x = 1 . 3. 35. 4. 41. 5. 102. 6. 9 km. 7. c − a = 5 , b poate fi orice cifră. Rezultă 40 numere. 8. 15 triunghiuri şi 13 pătrate, deci diferenţa este 2. 9. 51 pătrăţele. 10. 112. 11. 8 ani. 12. 15 creioane. 13. 300 grame. 14. a = 7, b = 25, c = 14 . 15. 26 prăjituri.
TESTUL 7 1. 115. 2. 2. 3. 73210. 4. 160. 5. 96 sau 105. 6. 20 ori. 7. 15. 8. 16. 9. d. 10. 14. 11. Ionel are 80 timbre, Adrian are 20 timbre, iar Victor are 60 timbre. 12. 30. 13. 25. 14. 1089. 15. 16. TESTUL 8 1. 5332. 2. 65. 3. 8. 4. 204. 5. 8. 6. 7. 7. 18. 8. 9. 9. 87. 10. 500g. 11. 8189. 12. 18. 13. 15 ani. 14. 22. 15. 178. TESTUL 9 1. 699999. 2. 325. 3. 6. 4. 174. 5. 5 numere. 6. 16 ciorapi. 7. 7 copii. 8. L = 8 cm, l = 6 cm. 9. 840 CM. 10. Luni, ora 1. 11. 187. 12. 30minute. 13. 188, 144, respectiv 72. 14. 9 numere. 15. 90. TESTUL 10 1. 3575. 2. 296 lei. 3. 10. 4. 21 şi 62. 5. A + B = 8. 6. a. 7. 900. 8. 200. 9. 20. 10. 650 m2. 11. 2. 12. 160. 13. 24 lei. 14. 3072. 15. 34. TESTUL 11
123 1. x = 20, y = 21, x < y. 2. 2. 3. 180. 4. 104. 5. 55345. 6. Deoarece xy + yx = 11⋅ ( x + y ) , rezultă că x + y = 9. Aşadar, x = 6 şi y = 3. 7. Suma cerută este 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 = 13 . 8. Dintre cele 24 numere, 6 sunt pare, deci 18 sunt impare. 9. Restul împărţirii unui număr natural la 5 poate fi 0, 1, 2, 3, sau 4. Prin urmare, suma căutată este: ( 5 ⋅ 2 + 1) + ( 5 ⋅ 4 + 2 ) + ( 5 ⋅ 6 + 3) + ( 5 ⋅ 8 + 4 ) = 110. 10. Suma a patru cifre este 36 dacă şi numai dacă toate cifrele sunt egale cu 9, deci n = 9999. Suma cifrelor lui n + 1 este 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1. 11. Dacă notăm cu x numărul de timbre pe care le-a avut iniţial un copil, atunci 4 ⋅ ( x − 36 ) = x , de unde
obţinem x = 48. 12. Fiecare dintre copii are acum 7 ani. Fie x numărul (de ani) căutat. Întrucât 28 − x = 8 ⋅ ( 7 − x ) , rezultă că x = 4. 13. Notăm cu x numărul la care s-a gândit Andrei. Din enunţ, deducem că 100 ⋅ x + 999 = 9999 , deci x = 90. 14. Observăm că orice pereche (x, y) din şir are proprietatea x + y = 1001. Aşadar, relaţia x > 6 ⋅ y este echivalentă cu 1001 − y > 6 y , de unde obţinem 7 y < 1001 . Deci, y ∈ {1, 2,3,...,143} , ceea ce înseamnă că sunt 143 perechi cu proprietăţile cerute. 15. Dacă timp de 60 de minute 6 jucători sunt pe gheaţă, înseamnă că timpul petrecut în teren de toţi jucătorii este de 360 de minute. Cum fiecare dintre cei 15 membri ai echipei joacă acelaşi timp, rezultă că acesta este agal cu 360 : 15 + 24 minute. TESTUL 12 1. 350. 2. 88. 3. 31. 4. Din relaţiile x = 12 ⋅ y + 9 şi y > 9 , rezultă că valoarea minimă a lui y este 10, deci valoarea minimă a lui x este 129. 5. 102 ⋅ 96 = 9792 . 6.
Fie x numărul (de ani) cerut. Avem 38 + x = 2 ⋅ ( 8 + x ) , deci x = 22. 7. a = 6, b =12,
c = 3, a ⋅ b ⋅ c = 216. 8. Notăm cu a şi b cele două numere. Din relaţiile a + b = 75 şi a − 45 = b + 10 , obţinem a = 65 şi b = 10. 9. ab = 44 . 10. 24. 11. 9 ore. 12. Există doar zece numere de două cifre care sunt egale cu răsturnatele lor (00, 11,..., 99). Dintre celelalte 90 de numere rămase, cel mult 45 pot fi alocate unor persoane diferite. Prin urmare, numărul maxim de persoane cu telefon este 55. 13. Notând cu r, g, n numărul bilelor roşii, galbene, respectiv negre, avem r + g = 27, g + n = 39 şi 2 ⋅ r = n , de unde rezultă că r = 12, g = 15, n = 24. 14. 788 + 789 + 899 = 2476. 15. Dacă presupunem că fiecare poartă se deschide la ultima încercare, atunci pentru ultima poartă Făt-Frumos face o încercare, pentru penultima, două, pentru antipenultima trei, etc. Deoarece 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28, rezultă că sunt 7 porţi. TESTUL 13
124 1. a = 55, b = 5, (a – b): 10 = 5. 2. 45. 3. 21 secunde. 4. 1. 5. 1 + 0 + 2 + 4 = 7. 6. 143. 7. 63 + 127 = 190. 8. 45 şi 135. 9. x = 6. 10. x = 1, y = 12, z = 6, t = 15. 11. x ∈ {0,1, 2,...,9,10} . 12. Fie a numărul casetelor Elenei şi b numărul casetelor lui Ştefan. Din relaţiile a = 9b şi a − b = 4 ( b + 6 ) , rezultă că a = 54 şi b = 6. 13. 289. 14. Notăm cu x numărul treptelor situate deasupra şi cu y numărul treptelor
situate dedesubt (în primul caz). Din egalităţile 2 x = y şi x + 8 = y − 8 , deducem că x = 16 şi y = 32. deci, scara are 49 de trepte (16 + 1 +32). 15. 26. TESTUL 14 1. 130. 2. x = 3, y = 4, 2x + 3y =18. 3. x ∈ {6, 7,8,9} . 4. a = 28, b = 14. 5. 10. 6. 16. 7. 0. 8. 120. 9. 8 ciorapi. 10. 24. 11. 25m2, 400m2. 12. Suma celor mai mici cinci
numere distincte şi nenule este 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 14 . Deci, printre cele 5 numere cu suma 14 sunt cel puţin două egale. Diferenţa acestora este zero. Prin urmare, produsul cerut este zero. 13. Numerele căutate sunt: 101, 110, 202, 211, 220, 303, 312, 321, 330, ... . În total sunt 54 de numere. 14. Deoarece ab = 9 ⋅ c + 8 şi c > 8, rezultă că c = 9 şi ab = 89 , deci abc = 899 . 15. În al doilea caz, Andrei rezolvă în primele 15 zile cu 45 de probleme mai mult. Aceste 45 de probleme sunt rezolvate, în primul caz, în ultimele 5 zile, lucrând câte 9 probleme pe zi. Prin urmare, cartea are 20 ⋅ 9 = 180 de probleme. TESTUL 15 1. 101. 2. a = 48, d = 45, d < c < a < b. 3. x = 11. 4. 110. 5. Fie x (lei) valoarea bursei elevului. Cum 450 – x = 2x – 450, rezultă că x = 300. 6. 90. 7. 31. 8. 1, 3, 20. 9. Suma cerută este 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0 + 1 + 2 + 3 = 27. 10. L = 344m, l = 156m. 11. 5 lei. 12. Numerele de 4 cifre care se împart exact la 9 sunt: 112 ⋅ 9,113 ⋅ 9,114 ⋅ 9,...,1111 ⋅ 9 . Numărul acestora este 1000. 13. 12. 14. abc = 789 . 15. 57 de nuci. TESTUL 16 1. Cifra căutată este 9. 2. 24cm. 3. 16h. 4. vineri, ora 16,00. 5. 20%. 6. 1320 lei. 7. 10kg. 8. 50. 9. 1024 de ori. 10. 24 de picioare. 11. După 30 de ore. 12. 30 lei. 13. 9 dreptunghiuri. 14. 28 şi 36. 15. 19600 lei. TESTUL 17
125 1. 39. 2. 32 ani, respectiv 68 ani. 3. 1170, 585, 560, 600, 200. 4. x = 2. 5. 20 lei, 15 lei, 28 lei. 6. 306, 997. 7. 9 partide, respectiv 45 partide. 8. 275. 9. 36 elevi, 15 bănci. 10. 235 pagini. 11. 5000, 5002, ..., 5018. 12. 22222. 13. 153. 14.
= 8,
= 1,
= 2,
= 6,
= 5,
= 7. 15. 2000.
TESTUL 18 0kg, respe ctiv 6kg. 4. 9 ani. 5. 6cm, respectiv 24cm.6. 2168 şi 1. 2. 2. 17, 19. 3. 3 121. 7. x = 7. 8. 23 = 3 ⋅ 7 + 2 ⋅1 ; 13 = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ; 11 = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅1 urmează 3 ⋅1 + 2 ⋅1 = 5 şi 3 ⋅ 5 + 2 ⋅1 = 17 . 9. 3850m. 10. 925, 130. 4 1 5 6 11. 7 3 2. 12. 3 zile. 13. a) 9 elevi, b) 9 elevi numai franceza, iar 12 elevi numai engleza. 14. a = 9, b = 9, c = 2, d = 0. 15. 13 bilete. TESTUL 19 1. 16h 1’. 2. 14 pătrate. 3. litera K. 4. 32. 5. 899. 6. 10000 piese. 7. rândul 16. 8. 101. 9. 5 examene, 31 = 3 + 5 + 6 + 8 + 9. 10. 147 secunde. 11. D = v · t, v = 80km/h. 12. 7 bilete. 13. 2400 cenţi. 14. 13 prăjituri. 15. 17 numere. TESTUL 20 1. a) ( 8 ⋅ 30 + 48 ) : ( 8 + 4 ) = 288 :12 = 24 , b) 8 ⋅ ( 30 + 48 : 8 + 4 ) = 8 ⋅ 40 = 380 . 2. a)
24 numere; b) 120 numere. 3. 1269, 1278, 1359, 1368, 1458, 1467, 2349, 2358, 2457, 3456. 4. 399...9 . 5. 294 ori. 6. 133, 43, 10. 7. S = 990 + 991 + ... + 1088 = 222 cifre
102861. 8.
1 3 5 2 4
5 2 4 1 3
4 1 3 5 2
3 5 2 4 1
2 4 1 3 5
9. intrusul este 56, deoarece nu are suma cifrelor 10.
10. a)
(1 + 2 ) : 3 ,
b) 1 ⋅ 2 + 3 − 4 , c) ⎡⎣(1 + 2 ) ⋅ 3 − 4 ⎤⎦ : 5 . 11. 42 : 7 ⋅ 4 = 24 . 12. 2h şi 20 minute. 13. 3 pari şi 4 ciori. 14. D = v · t ⇒ t = D : v, D : 60 +D : 40 > D : 50 + D : 50. Prin urmare a câştigat al doilea concurent. 15. 2 ⋅ ( L + l ) = 60 m ⇒ L + l = 30 m şi L = 4 ⋅ l . Deci 4l + l = 30 m ⇒ 5l = 30 m ⇒ l = 6 m ⇒ L = 24 m.
126 TESTUL 21 1. 325. 2. x = 3. 3. 15, 12, 5. 4. 21. 5. 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. 6. 10 cărţi, 16 caiete. 7. 24 elevi, 15 bănci. 8. 140 pagini. 9. 2758. 10. 2 ⋅ ( L + l ) = 250m ⇒ L + l = 125 m ⇒ L + 25m = 125 m ⇒ L = 100 m. Dacă x = cu cât trebuie mărită lungimea ⇒ 2 ⋅ ( L + x + l ) = 280 m ⇒ 2 ⋅ (100m + x + 25m ) = 280 m ⇒ 125m + x = = 140m ⇒ x = 15m sau x cu cât trebuie mărită ⇒ 2 ⋅ x = 280m − 250m ⇒ 2 x = = 30m ⇒ x = 15m . 11. 184, 304, 64. 12. 1 băiat = 5 brăduţi, 1 fată = 3 brăduţi. 13. p c 280 – 180 = 100 2 minute. 14.
p
p
c
2p – 1p = 1p; 1p = 100$ (preţul real al frigiderului), adausul comercial în primul caz este 80$ pentru un frigider, iar în al doilea caz 40$ pentru un frigider. 15. Andrei.
TESTUL 22 1. 8. 2. x = 5. 3. 349, 303. 4. 70 numere. 5. 16, 97. 6. 99, 4. 7. 3, 6. 8. 2. 9. a doua, 150m. 10. 3 zile. 11. 8796, 2932. 12. 88lei. 13. 4h. 14. Mia a cântat cel puţin 9 cântece (dacă ar fi cântat mai puţine ar fi fost a doua fată, alături de Ana, cu cel mult 8 cântece, fapt ce contrazice concluzia. Să presupunem că s-au cântat cel puţin 10 cântece. Atunci există cel puţin o melodie cântată de toate fetele, fapt ce contrazice ipoteza. Deci s-au cântat 9 cântece. 15. Se fac grupe de 5 nuci. Sunt 4 grupe şi deci un copil va primi 8 nuci şi celălalt 12 nuci. TESTUL 23 1. 4. 2. x = 9. 3. 103, 129, 141, 130. 4. 100. 5. 6, 12, 18, 24. 6. 132 bile albe şi 68 bile negre. 7. 8 elevi, 100lei. 8. 35 nuci. 9. 18 raţe, 82 gâşte. 10. a) 9 partide, b) 45 partide. 11. 15 lădiţe de 15kg, 20 lădiţe de 10kg. 12. 1leu, 2lei, 3lei. 13. 5h. 14. 30, 18. 15. Sunt 2 elevi care nu joacă fotbal, 4 elevi care nu joacă handbal, 5 elevi care nu joacă tenis şi 7 elevi care nu joacă volei. Presupunând că cele 4 mulţimi sunt disjuncte, rezultă că numărul elevilor care nu practică cel puţin un sport este 2 + 4 + 5 + 7 = 18. Deci, rămân 2 elevi care practică toate sporturile. TESTUL 24 1. 8. 2. x = 23. 3. 345450. 4. 147, 246, 345, 444, 543, 642, 741. 5. 62, 8. 6. 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. 7. Elevul care a obţinut restul 8. Restul trebuie să fie mai mic decât împărţitorul. 8. 2 ore. 9. 352 pagini. 10. 6 garoafe, 3 garoafe. 11. 11 obstacole. 12. 2lei, 6lei, 10lei. 13. 360km. 14. 31 elevi. 15. Din propoziţie: „A spune ca B minte”, deducem: dacă A spune adevărul, atunci B minte; dacă A
127 minte, atunci B spune adevărul. În aceste condiţii propoziţia „A sau B minte” este adevărată. Deci, C spune adevărul, B minte şi A spune adevărul. TESTUL 25 1. 1999. 2. x = 1997. 3. a = 17, b = 104, c = 8. 4. 6 ani. 5. 19. 6. 12, 6. 7. 205 pagini. 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14. 9. 120m. 10. 25 zile. 11. 20 bilete de 15lei, 40 bilete de 20 lei. 12. 43kg, 55kg. 13. h = 14; 28km. 14. 12, 8. 15. Cutia cu etichete AN conţine bile de aceeaşi culoare şi dacă extragem o bilă din ea îi determinăm conţinutul. Dacă bila extrasă este albă, această cutie conţine două bile albe. Cutia cu eticheta NN conţine atunci o bilă neagră şi una albă, iar a treia cutie două bile negre. Cazul în care bila extrasă din cutia cu eticheta AN este neagră se tratează analog. TESTUL 26 1. 190. 2. 10. 3. a + b + c = 620, b = 2a, c = b + 50 = 2a + 50 ⇒ a = 114, b = 228, c = 278 . 4. b < 10, b − par; 10 − b = 2 ⇒ b = 8, a 4 ⋅ 2 = 88 ⇒ a = 4 ; 10 − b = 4 ⇒ a 4 ⋅ 4 = 86 nu e soluţie; 10 − b = 6 ⇒ b = 4, a 4 ⋅ 6 = 84 ⇒ a = 1 ; 10 − b = 8 ⇒ b = 2, a 4 ⋅ 8 = 82 nu e soluţie; deci a = 4, b = 8 şi a = 1, b = 4 . 5. a + b + c + d + e + f = 158; a − 14 = b − 11 = c − 3 = d + 17 = e + 18 = f + 21 = x ; a = x + 14, b = x + 11, c = x + 3, d = x − 17, e = x − 18, f = x − 21 ⇒ x = 31 deci a = 45, b = 42, c = 34, d = 14, e = 13, f = 10 . 6. ( n + n + 2 ) ⋅ 8 = 624 ⇒ n = 38 , numerele reale sunt 38; 40. 7.
Suma celorlate două este 2008 şi ele nu pot fi consecutive, căci ar avea suma impară ⇒ n + n + 2 = 2008 ⇒ n = 1003 , numerele sunt 1003; 1004; 1005. 8. b = 2a, c = 4a, d = 8a ⇒ 15a = 360 ⇒ a = 24, b = 48, c = 96, d = 192 . 9. Un an are 52 de săptămâni şi o zi. Deci putem avea 53 de zile de joi dacă anul începe şi se termină cu o joi; într-un an bisect prima sau ultima zi din an trebuie să fie joi. 10. 1 + 2 + 3 + ... + 20 = 20 ⋅ 21: 2 = 210; 210 : 2 = 105; 20 + 19 + ... + n = 105 ⇒ n = 15 deci 1 + 2 + ... + 14 = 15 + 16 + ... + 20 . 11. 3 ⋅ 4l = 4 ( l + 4 ) ⇒ l = 2 . 12. 3 ( n − 100 ) = n 13. Observăm că 2 − 1 = 1, 4 − 2 = 2, 7 − 4 = 3, 11 − 7 = 4, 16 − 11 = 5...a100 − a99 = 995 ⇒ a100 = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 1 + 99 ⋅100 : 2 = 4951 . 14. ora 19:59 suma cifrelor este 24. 15. Nu pot fi 5 mincinoşi căci al cincilea ar spune adevărul. Nu poate fi mai mult de unul care spune adevărul, căci sunt 4 mincinoşi, iar copilul care dă acest răspuns spune adevărul. TESTUL 27
128 1. 1. 2. 0. 3. Distanţa dintre doi copaci alăturaţi este 18 : 3 = 6 m. Sunt 8 intervale, deci 6 ⋅ 8 = 48 m distanţa între primul şi ultimul copac. 4. G + T + C = 547, G + T = T + C + 80, T + C = 319 ⇒ G + T = 399 ⇒ C = 148, T = 171, G = 228 .5. n + n : 2 + 5 = 2n ⇒ 2n + n + 10 = 4n ⇒ n = 10 . 6. Toate numerele care se formează dau restul 1 la împărţirea prin 9. Deci nu există. 7. x = numărul elevilor şi y = numărul băncilor 2 ⋅ ( y − 1) + 1 = x şi 3 ⋅ ( y − 5 ) + 1 = x ⇒ 3 ⋅ ( y − 5 ) + 1 = 2 ⋅ ( y − 1) + 1 ⇒ 3 ⋅ ( y − 5 ) = = 2 ⋅ ( y − 1) ⇒ 3 y − 15 = 2 y − 2 ⇒ 3 y − 2 y = 15 − 2 ⇒ y = 13 ⇒ x = 2 ⋅ (13 − 1) + 1
⇒ x = 25. 8. T = 7 ⋅ F , T + 10 = 3 ⋅ ( F + 10 ) ⇒ F = 5, T = 35 . 9. b = 6 ⇒ 385 − − 2a 6 = a 69 ⇒ a = 1 deci 385 − 216 = 169 . 10. ( 7 + 3) ⋅ 21: 7 − 2 ⋅ ( 4 + 9 ) = 4 . 11.
450 : 90 = 5, 5 − 2 = 3, 450 : 3 = 150 copii. 12. 1 + 2 + ... + 20 = 210 şi sunt cele mai mici numere naturale nenule diferite. Pentru ca suma să fie mai mică trebuie să avem două numere egale. 13. a) n ≤ 101; 0 + 1 + 2 + ... + 101 = 5151. b) n < 101; 0 ⋅1⋅ 2 ⋅ ... ⋅101 = 0 . 14. 3v1 + 5v2 = 55; t1 + t2 = 6; t1v1 + t2 v2 = 90 . Dăm
perechii ( t1 , t2 ) pe rând valorile (1,5 ) , ( 2, 4 ) , ( 3,3) , ( 4, 2 ) , ( 5,1) şi obţinem valorile întregi
pentru
viteze
( n + 10 )( t − 5) = 100 ,
doar
în
cazul
t1 = 2, t2 = 4 .
15.
n ⋅ t = 100,
100 = 1 ⋅100 = 2 ⋅ 50 = 4 ⋅ 25 = 10 ⋅10 = 25 ⋅ 4 = 50 ⋅ 2 = 100 ⋅1 .
Verificând, găsim n = 10 . TESTUL 28 1. 2. 2. 8. 3. a − b = 5, S = 50 + 61 + 72 + 83 + 94 = 360 . 4. a − b = 27, a = 11x + 3, b = 5 y + 3, y − x = 3, 11x − 5 y = 27 ⇒ x = 7, y = 0 deci a = 80, b = 53 . 5. a + b + c = 240, a = b − 40, c = 2b ⇒ b = 70, a = 30, c = 140 . 6. b = 3m, b + 4 = 5m ⇒ m = 2, b = 6 . 7. 55 ⋅ ( 384 + 116 ) ;1 + 3 = 4
secunde. 8. 2a + 5b = 29, 3b + 7c = 85 ⇒
4a + 10b = 58 . Deci 4a + 13b + 17c = 143 . 9. A − 320 = S + 240 = D + 80; A = S + 56 = D + 400 deci Ana a avut cel mai mult. 10. 4 p = 10c, 8 p = 5s ⇒ 8 p = 5s = 20c ⇒ s = 4c ⇒ 2 s = 8c şi 2 p = 5c; s + p = 13 ⇒ 2s + 2 p = 26 ⇒ c = 2, s = 8,
p = 5 . 11. 4b + a = 16, 24 : b + a = 12 ⇒ 4b − 24 : b = 4 ⇒ b − 6 : b = 1 ⇒ b ( b − 1) = 6
⇒ b = 3, a = 4 . 12. 10 − 5 = 5, 60 : 5 = 12 . În a 11-a zi vor f i 60 de bomboane. 13. Căutăm numărul de 2 ⋅ 5 şi deci de 5 (sunt mai puţini); 75 : 5 = 15, 25 = 5 ⋅ 5, 50 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5, 75 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5, 15 + 3 = 18 zerouri. 14. ABCDEDCB se repetă. Sunt 8 litere 100 = 8 ⋅12 + 4, deci a 4-a literă este D. 15.
129 180 180 : 9 = 20 180 : 9 = 20 (un sfert) ⇒ 9 = 4 ⋅ 20 = 80 . TESTUL 29 1. 220. 2. 1. 3. 10c = 8c + 4 ⇒ c = 2 ⇒ 60c = 120 . 4. L = nl , 2 ( L + l ) = 2 ⋅ 4l ⇒ 2nl + 2l = 4l ⇒ n = 4 . 5. ab = 84, bc = 192, a + c = 46, ab + bc = b ( a + c ) = 276 ⇒
b = 6 ⇒ a = 14, c = 32 . 6. m + n = 36, m − 3 = 2n ⇒ n = 11, m = 25 ⇒ Numărul merelor se împarte exact la 5. 7. a − 18 = b − 13 = c − 5 = 2007 : 3 = 669 ⇒ a = 687, b = 682, c = 674 . 8. a + b + c = 3047, b = 2a + 5, c = 3a + 18 ⇒ a = 504, b = 1013, c = 1530 . 9. S + 2 S = 180 ⇒ S = 60, n + ( n + 2 ) + ( n + 4 ) + ( n + 6 ) + ( n + 8 ) = 60 ⇒ n = 8 deci numerele sunt 8, 10, 12, 14, 16 . 10. 3 ( 2 x + y ) + z = a, 2 x + y = 8 ⇒ z = a − 24 ; a) 2 xz + yz − z ( 2 x + y ) = 8 ( a − 24 ) ; b) 5 ( a − 24 ) − 9 = 16 ⇒ a = 29 .
11.
10 x − x = 9027 ⇒ x = 1009 .
12.
p + l = 305, 4 ( p − 16 ) = l − 14 ⇒ p = 71,
l = 234 . 13. a + b + c = 117, abc = 20ab ⇒ c = 20; a = 2b − 17 ⇒ b = 38, a = 59 . 14. a) 262 + 385 = 647; b) 783 + 385 = 1168; c) 262 + 385 + 783 = 1430 . 15. 2 mincinoşi.
TESTUL 30 1. 430. 2. x = 5 . 3. 5 ⋅ 6 = 30 . 4. 4 semifinale, 16 sferturi, 32 elevi în optimi deci 16 ⋅ 8 = 128 sportivi. 5. a + b + c + d + e = 31, a < b < c < d < e; e = 3a, e − a ≥ 4; a = 2, e = 6, a + b + c + d + e = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 ≠ 31; a = 3, e = 9 ⇒ b + c + d = 19 ⇒ d = 8; a = 4, e = 12 ⇒ b + c + d = 15 nu are soluţie ⇒ d = 8 . 6. 7 p + 3s = 873, s = 30 p ⇒ p = 9, s = 270, 2 p + 2 s = 2 ⋅ 279 = 558 . 7. a + b = 1024, 7 a − 15 = b + 9 ⇒ 8a = 1048 ⇒ a = 231, b = 793 . 8. I
II
III
IV
Termină cartea în 4 zile şi în ultima zi citeşte jumătate din carte. 9. a) 535 + 532 = 1067; b) 1375 − 1067 = 308 ; c) 1375 − 535 = 840 . 10. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 , într-un singur mod. 11. a − b = 4493, a = 57b + r , r = 57 + 12 = 69 ⇒ b = 79, a = 4572 . 12. 2c …3h = 180 min, 12b … 2h = 120 min, 90 + 30 = 120 min = 2 h. 13. S1 = 9 ⋅ 25 = 225, S 2 = 11⋅ 45 = 495, S = 225 + 495 = 720, 9 + 11 = 20, vm = 720 : 20 = 36 ani.
130 14. 9 a b C d 5 e f g c = 9, b = 5, g = 5; a = 7, c = 9, e = 9, d = 7, f = 7. c = 9, b = 5, g = 5; a = 7, c = 9, e = 9, d = 7, f = 7. 15.
TESTUL 31 1. 1. 2. x = 43. 3. Notând cu S şi D suma, respectiv diferenţa numerelor avem relaţiile: S = 30 + D, 5 · D = 2 · S. Obţinem S = 50, D = 20, iar numerele sunt 35 şi 15. 4. Numerele sunt de forma abc, b = a + 2, a ≠ 0 . Cifra a poate lua valorile 1, 2, ..., 7, iar c poate fi 0, 1, ..., 9. În total sunt 7 · 10 = 70 numere. 5. 9.400.000.000.000. 6. Adunând membru cu membru cele două relaţii şi împărţind la 3, obţinem că x + y + z = 30 . 7. Deoarece 1000 împărţit la 9 dă restul 1,
înseamnă că numărul căutat este 1000 + ( 7 − 1) = 1006 . 8. Cifrele sunt grupate câte patru, 2008 se împarte exact la 4, deci cifra căutată este 8. 9. Cu metoda mersului invers, se constată că vineri s-au consumat două topuri, joi existau iniţial ( 2 + 1) ⋅ 2 = 6 topuri, miercuri ( 6 + 1) ⋅ 2 = 14 topuri ş.a.m.d. Iniţial au existat 62 topuri. 10. Numerele sunt: 23, 27, 31, ..., 67. Suma lor este: ( 4 ⋅ 5 + 3) + ( 4 ⋅ 6 + 3) + ... + ( 4 ⋅16 + 3) = 4 ⋅ ( 5 + 6 + ... + 16 ) + 3 ⋅12 = 540 . 11. Dacă D este distanţa cerută,
avem relaţiile D = 20 · t = 60 · (t – 4), unde t este timpul în care biciclistul parcurge distanţa. Se obţine t = 6 ore şi D = 120km. 12. Perimetrul = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅1 = 16 (cm). 13. Din relaţiile a = 3 + b : 2 (sau 2a = 6 + b ), c = 3a − 3 , 5b = 2c se obţin numerele a = b = 6, c = 15 . 14. Fie ab vârsta bunicului şi b cea a nepotului. Din
ab + 3 = 7 ⋅ ( b + 3) ⇒ 5a = 3b + 9 . Se obţin soluţiile a = 3 şi b = 2 (nu convine!) sau a = 6 şi b = 7. Deci bunicul are 67 ani şi nepotul 7 ani. 15. Relaţia din enunţ se mai scrie a + 4 ( a + b ) = 68 . Suma a + b este maximă dacă a este minim, adică 0. Se obţine a + b = 17. TESTUL 32 1. 111 + 110 + 101 = 322 . 2. 9 = 9 ⋅1 = 3 ⋅ 3 , deci x = 7 şi y = 4 sau x = 1 şi y = 6. 3. 4a + 11b + 6c + 9d = 4 ( a + 2b ) + 3 ( b + 2c + 3d ) = 540 . 4. Cel mai mic număr este
100000000 11...1 , iar cel mai mare este 99999999 11...1 . 5. Fie x numărul CDde 1999 ori
de 2000 ori
131 urilor şi y numărul cărţilor. Din x = 4 y şi x − 3 = 5 ⋅ ( y − 3) obţinem 48 CD-uri şi 12 cărţi. 6. Numerele căutate au forma abc, a ≠ 0, b = 2c . Cifra b poate lua valorile 0, 2, 4, 6, 8, iar a poate fi 1, 2, ..., 9. Sunt 5 · 9 = 45 numere. 7. Dacă x reprezintă distanţa parcursă în prima zi, în cele 4 zile obţinem x + ( x + 3) + ( x + 6 ) + ( x + 9 ) = 58 km. În prima zi parcurge 10km, în a doua 13km, în a treia 16km, iar în a patra 19km. 8. Fie a vârsta mamei şi x, 2x vârstele celor doi fii. Din a + 3 x = 60 şi a + 18 = 3 x + 2 − 18 obţinem vârsta mamei 39 ani, iar vârstele fiilor 7 ani şi 14 ani. 9. Observăm că 3 = 10 ⋅ 0 ⋅ 3, 13 = 10 ⋅1 + 3, 23 = 10 ⋅ 2 + 3 ş.a.m.d. Numărul căutat este 10 ⋅ 99 + 3 = 993 . 10. a + ( a + 1) +
... + ( a + 6 ) = 21 ⇒ a = 0 . Unul din factori fiind nul, produsul este 0. 11.
Penultimul cât este 5 ⋅ 6 + 4 = 34 , anteriorul este 4 ⋅ 34 + 3 = 139 , iar numărul iniţial este 3 ⋅139 + 2 = 419 . 12. a + ab + ba + b = 60 ⇔ 12 ( a + b ) = 60 ⇔ a + b = 5 . Cum
a şi b sunt nenule obţinem că ab poate fi 14, 23, 32 sau 41. 13. Cu metoda grafică sau din 3 x − 10 = x + 100 se află x = 55. 14. Cum a este cifră nenulă, ea nu poate fi decât 1. De aici b ⋅ c = 1 ⇒ b = c = 1 . Numărul căutat este 111. 15. Cu metoda falsei ipoteze se obţine că în clasa a IV-a sunt ( 490 − 58 ⋅ 7 ) : 3 = 28 elevi, iar în clasa I sunt 30 elevi. TESTUL 33 1. 177. 2. x = 205. 3. Sfertul treimii este 7 ⋅ 5 = 35 , treimea este 140, deci numărul este 420. 4. Numerele căutate sunt de forma 9n + 8, n număr natural. Din 200 < 9n + 8 < 400 ⇒ n ∈ {22, 23,..., 43} şi prin urmare sunt 22 de numere. 5. 97320 − 20379 = 76941 . 6. Suma primilor patru termeni este 0, a următorilor patru este tot 0 etc. Cum sunt 10 grupe a câte astfel de termeni, suma căutată are valoarea 0. 7. Dacă a este numărul merelor aşezate în fiecare coş în al doilea caz şi a + 8 numărul merelor aşezate în primul caz în fiecare coş, avem 5 ( a + 8 ) + 3 = 6a − 3 . Se obţine a = 46 şi numărul total al merelor este 273. 8.
a + b = 200, a = 6b + 4 . Numerele sunt 28 şi 172. 9. Din 20 > 3a + 11 ⇒ a ∈ {0,1, 2} . Numai pentru a = 2 găsim b = 0. 10. Numărul termenilor trebuie să fie impar. Obţinem, de exemplu: 105 = 33 + 35 + 37 sau 105 = 17 + 19 + 21 + 23 + 25 . 11. Fie x numărul copiilor aflaţi în faţa lui Ştefan şi 2x cei din spatele lui. În momentul depăşirii sunt tot atâţia copii în spate ca şi în faţa lui Ştefan, adică x + 3 = 2 x − 3 . Se află x = 6 şi sunt în total 6 + 12 + 1 = 19 copii. 12. Din x − y + 2 z = 15, x + z = 7 ⇒ y − z = 2 sau y = 2 + z . Cu ultima relaţie ob ţinem
132 y = 4, z = 2 şi în final x = 15. 13. P = 10l, P = 2L +2l ⇒ L = 4l. Singurul număr convenabil este L = 152, l = 38. 14. 101a + 10b = 9 ⋅ (10a + b ) + 16a ⇒ b = 5a cu unica soluţie a =1 şi b = 5. Numărul căutat este 15. 15. La întoarcere, jumătate de distanţă este parcursă într-o oră şi jumătate, iar cealaltă în 6 ore. Timpul este de patru ori mai mare, deci viteza bicicletei este de patru ori mai mică decât cea a maşinii.
TESTUL 34 1. a = 120, b = 30, c = 954, ab + 5c = 8370 . 2. x = 3. 3. 1000000004. 4. 7 ⋅ 5 ⋅ 6 = 210 ţinute diferite. 5. a + b + c = 270, a = b : 2, b = c : 3 (sau b = 2a, c = 6a). Numerele căutate sunt 30, 60, 180. 6. Dreptunghiul are dimensiunile l şi 7l; 16l = 320 ⇒ l = 20cm . 7. Numerele sunt de forma 1ab1 , unde a şi b pot lua oricare din valorile 0,1,2,... sau 9. Sunt 10 ⋅1a = 100 numere. 8. a ⋅ 3a = 300 ⇒ a ⋅ a = 100 ⇒ a = 10 . 9. 90,99,900,990,909,999. 10. Din 100 x + 20 y + 3 z = 786 obţinem x = 7, y = 4, z = 2. Numărul căutat este 742. 11. Fie x numărul metrilor folosiţi pentru o rochie şi y pentru o fustă. Atunci 52 = 8 x + 10 y , din care obţinem x = 4 şi y = 2. Pentru 3 rochii şi 5 fuste s-au folosit 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 = 22 m stofă. 12. Numărul furnicilor a scăzut de două ori, dar şi cel al grăunţelor. Timpul rămâne neschimbat, adică 60 minute. 13. a − b < 505 şi a = 5b + 100, b > 100 . Obţinem 4b < 405 , cu
singura soluţie convenabilă 101. Numerele căutate sunt a = 605 şi b = 101. 14. Camioneta transportă 3000 : 24 = 125 cutii. Încărcătura nu trebuie să depăşească 2000kg, adică maximum egal cu câtul împărţirii 2000:24. Trebuie să renunţe la 125 − 83 = 42 cutii. 15. Fie x suma care-i lipseşte lui Andrei. 300 + x = 2 ⋅ ( 300 − x ) ⇒ x = 100 . Deci Andrei are 200 lei.
TESTUL 35 1. 23. 2. x = 29. 3. Adunăm membru cu membru primele trei relaţii şi scădem ultima. Se află a = 8. 4. Numerele sunt 23, 1, 1, ..., 1 (1 se repetă de 99 ori). Suma căutată este 122. 5. 28, 91. 6. Din a + ( a + 1) + ( a + 2 ) = 4a ⇒ a = 3 . Numerele sunt
3, 4 şi 5. 7. 2 martie 2008. 8. n poate fi 0, 1, 2, ..., 10, deci sunt 11 numere. 9. Două cutii de bomboane costă cât 7 franzele, deci 14 franzele costă cât 4 cutii bomboane. Analog, 21 sticle de limonadă costă cât 15 cutii bomboane. 10. Soţ şi soţie. 11. Numerele pot fi 7, 8, 9 sau 10. Cum suma lor este impară
133 ⇒ n ∈ {15,17,19} . 12. 9 ⋅ aa = 400 + aa + 40 ⇒ 8 ⋅ aa = 440 ⇒ a = 5 . 13. Dacă x, y,
z reprezintă numărul apartamentelor cu 2, 3 şi 5 camere avem x + y + z = 12 şi 2 x + 3 y + 5 z = 34 sau 2 ( x + y + z ) + y + 3 z = 34 ⇒ y + 3 z = 10 . Din x > y > z aflăm că x = 6, y = 4 şi z = 2. 14. Dacă n este numărul de zile, obţinem relaţia 37 + n ⋅ x = 2 ⋅ ( 7 + n ⋅ x ) ⇒ n ⋅ x = 23, x ≤ 20 . Deci x = 1 şi urmează n = 23 zile. 15. Numerele de trei cifre sunt 133, 233, 433 cu suma 799 sau de forma 3a3, a ≠ 3 cu suma 303 ⋅10 + 10 ⋅ (1 + ... + 9 ) − 333 . Mai ţinem cont de numărul 33 şi în final suma este 6991.
SOLUŢIILE SUBIECTELOR DATE LA CONCURSUL “TRAIAN LALESCU”, EDIŢIILE 2000 - 2008 EDIŢIA I 1. Răspuns: 1) a = b = c = 10, d = 30 2) a = b = c = 18; d = 6
1) d : a = d : b = d : c = 3 ⇒ d = 3 ⋅ a =3 ⋅ b = 3 ⋅ c ⇒ a = b = c = 3 , d = 3 ⋅ a a + b + c + d = 60 ⇒ a + a + a + 3 ⋅ a = 60 ⇒ 6 ⋅ a = 10 ⇒ a = b = c = 10, d = 30. 2) a : d = b : d = c : d = 3 ⇒ a = b = c = 3 ⋅ d. a + b + c + d = 60 ⇒ 3 ⋅ d + 3 ⋅ d + 3 ⋅ d + d = 60 ⇒ 10 ⋅ d = 60 ⇒ d = 6 ⇒ a = b = c = 18. 2. Răspuns: 9280
b + 2 ⋅ c = 160 ⇒ 2 ⋅ b + 4 ⋅ c = 320 3 ⋅ a + 2 ⋅ b + 4 ⋅ c = 494 ⇒ 3 ⋅ a + 320 = 494 ⇒ 3 ⋅ a = 174 ⇒ a = 58. a ⋅ b + 2 ⋅ a ⋅ c = a ⋅ (b + 2 ⋅ c ) = 58 ⋅ 160 = 9280. 3. Dacă a + e este un număr par atunci cifra unităţilor este pară. Dacă a + e este un număr impar, analizăm cazurile:
134 1) d + b < 9. Atunci cifra sutelor este ultima cifră a lui 2 ⋅ c, deci o cifră pară. 2) d + b = 9 şi e + a < 10. Atunci cifra sutelor este ultima cifră a lui 2 ⋅ c, deci o cifră pară. 3) d + b = 9 şi e + a > 10. Atunci cifra zecilor este 0, deci pară. 4) d + b ≥ 10. Atunci cifra zecilor de mii este ultima cifră a lui a + e + 1, deci o cifră pară. Se constată că am analizat toate cazurile posibile şi că de fiecare dată s – a obţinut cel puţin o cifră pară. 4. Răspuns: 9
Din datele problemei rezultă: 1) Smaranda şi Ruxandra cântă, fiecare 6 sau 7 cântece; 2) Smaranda şi Ruxandra cântă doar cântecele interpretate de Carmen sau Camelia; 3) Fiecare cântec cântat doar de Camelia sau doar de Carmen trebuie interpretat atât de Smaranda cât şi de Ruxandra; 4) Fiecare cântec cântat şi de Camelia şi de Carmen trebuie interpretat doar de Smaranda sau doar de Ruxandra. Este suficient să aflăm numărul cântecelor interpretate atât de Camelia cât şi de Carmen. Dacă acest număr ar fi mai mic sau egal decât 3, Smaranda sau Ruxandra ar trebui să cânte cel puţin 8 cântece; imposibil. Dacă acest număr ar fi 5, Smaranda sau Ruxandra ar trebui să cânte cel mult 5 cântece; imposibil. Deci numărul cântecelor interpretate atât de Camelia cât şi de Carmen este 4 (caz în care Smaranda şi Ruxandra interpretează fiecare exact câte 7 cântece). Numărul total de cântece este: 8 + 5 − 4 = 9.
EDIŢIA a II- a 1. Răspuns: 3370
10 ⋅ {x − 10 ⋅ [36 + 10 ⋅ (24 + 24 : 4)]} = 100 ⇔ 10 ⋅ {x − 10 ⋅ [36 + 10 ⋅ (24 + 6)]} = 100 ⇔ 10 ⋅ [x − 10 ⋅ (36 + 10 ⋅ 30)] = 100 ⇔ 10 ⋅ [x − 10 ⋅ (36 + 300)] = 100 ⇔ 10 ⋅ (x − 10 ⋅ 336) = 100 ⇔ 10 ⋅ (x − 3360) = 100 ⇔ x − 3360 = 10 ⇔ x = 10 + 3360
135 ⇔ x = 3370. 2. Răspuns: 1) 375; 2) 50
1) Numărul 122333…999…9 are 1+ 2 +…+ 9 = 45 cifre, iar numărul cifrelor numărului 1010…1011…20…20 este 2 ⋅ (10 + 11 +…+ 20) = 330. Deci numărul total de cifre este 375. 2) Avem: a = 122333...99...910101 …, deci 1 este cifra de pe locul 50. 45 cifre
5cifre
3. Răspuns: 120 probleme
Dacă notăm cu p numărul de probleme şi cu z numărul de zile în care ar termina problemele dacă ar rezolva câte 8 probleme pe zi, atunci avem 8 ⋅ z = p şi 10 ⋅ ( z − 3 ) = p . De aici , obţinem z = 15 şi p = 120. 4. Răspuns: 1) 336 trepte; 2) 1516 paşi
1) Se observă că după 11 paşi omul urcă 5 trepte. Deoarece 736 = 66 ⋅ 11 + 10, rezultă că, după 736 paşi , au fost urcate 5 ⋅ 66 + 3 − 2 + 5 = 336 trepte. 2) Avem 736 = 5 ⋅ 147 + 1. După 146 ⋅ 11 = 1506 paşi omul este pe treapta 730, apoi după încă 5 paşi ajunge pe treapta 731 şi după încă 5 este pe treapta 736. Deci, numărul total de paşi este 1506 + 5 + + 5 = 1516. 5. Răspuns: 63, 68, 73, 78, 83
Deoarece 3ab 4 are ultima cifră 4 rezultă că y ∈ {3,8} . Cum xy trebuie să fie cuprins între 3004 : 48 şi 3994 : 48 , deducem că x ∈ {6, 7,8} . În fine, egalitatea este verificată numai pentru xy ∈{63, 68, 73, 78, 83}.
EDIŢIA a III - a 1. Răspuns: 3
136 {5 − 2 ⋅ [(6 + a) : 3 − 2]} ⋅ 7 + 3 = 24 ⇔ {5 − 2 ⋅ [(6 + a) : 3 − 2]} ⋅ 7 = 21 ⇔ 5 − 2 ⋅ [(6 + a) : 3 − 2] = 3 ⇔ 2 ⋅ [(6 + a) : 3 − 2] = 2 ⇔ (6 + a) : 3 − 2 = 1 ⇔ (6 + a) : 3 = 3 ⇔ 6 + a = 9 ⇔ a = 3. 2. Răspuns: 1) 5050; 2) Numerele sunt: 1, 2, 3, …, 98, 99, 101.
1) S = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 50 ⋅ 101 = 5050. 2) Dacă cel mai mare număr este 100 numerele sunt 1, 2, …, 100, cu suma S = 5050 < 5051. Dacă cel mai mare număr este mai mare sau egal cu 102 suma numerelor este cel puţin 1 + 2 + 3 + … + 99 + 102 = = 5052 > 5051. Dacă cel mai mare număr este 101 suma numerelor este cel puţin 5051 şi se obţine minimul doar pentru 1, 2, …, 98, 99, 101. Aceste numere sunt soluţia problemei. 3. Răspuns: 27 de luni
Fiecare elev are 27 de colegi. La începutul celei de a 28 – a luni unui anumit elev nu i se mai poate repartiza un coleg cu care nu a mai stat în lunile anterioare. Deci numărul maxim de luni în care elevii pot fi schimbaţi după regula dată este cel mult 27. Faptul că maximul este chiar 27 se justifică printr – un exemplu de aranjare a elevilor în bănci timp de 27 de luni, astfel încât să fie respectată regula din enunţ. Numerotăm elevii cu numere de la 1 la 28. În primele 14 luni formăm perechi dintr-un elev numerotat de la 1 la 14 şi un elev numerotat de la 15 la 28. Un exemplu de distribuire este următorul ( pe fiecare linie în dreptul numărului elevului este trecut numărul colegului):
1 L1 15 L2 16 L3 17 L4 18 L5 19 L6 20 L7 21 L8 22 L9 23 L10 24 L11 25
2 28 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
3 27 28 15 16 17 18 19 20 21 22 23
4 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 22
5 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21
6 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20
7 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19
8 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18
9 21 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17
10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 15 16
11 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 15
12 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
13 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
137 L12 26 L13 27 L14 28
25 26 27
24 25 26
23 24 25
22 23 24
21 22 23
20 21 22
19 20 21
18 19 20
17 18 19
16 17 18
15 16 17
28 15 16
27 28 15
În următoarele 13 luni formăm perechi cu elevii numerotaţi de la 1 la 14 între ei, respectiv de la 15 la 28 între ei. Dăm un exemplu de distribuire al primilor 14 elevi, pentru următorii 14 distribuirea făcându- se similar.
1 2 3 4 5 1 13 12 11 L15 2 14 1 13 12 L16 3 3 2 1 13 L17 4 4 14 2 1 L18 5 5 4 3 2 L19 6 6 5 14 3 L20 7 7 6 5 4 L21 8 8 7 6 14 L22 9 8 7 6 L23 10 9 8 7 L24 11 10 9 8 L25 12 11 10 9 L26 13 12 11 10 9 L27 14 13 12 11 10 Remarcă: Completarea tabelelor din mai multe posibile.
6 7 10 9 11 10 12 11 13 12 1 13 2 1 3 2 4 3 5 4 14 5 7 6 8 14 9 8 s-a făcut
8 9 10 11 12 13 14 14 7 6 5 4 3 8 9 8 7 6 5 4 2 10 14 8 7 6 5 9 11 10 9 8 7 6 3 12 11 14 9 8 7 10 13 12 11 10 9 8 4 1 13 12 14 10 9 11 2 1 13 12 11 10 5 3 2 1 13 14 11 12 4 3 2 1 13 12 6 5 4 3 2 1 14 13 6 5 4 3 2 1 7 7 6 5 4 3 2 1 pe coloane şi reprezintă doar o variantă
4. Răspuns:
Dacă nici o persoană nu are cunoscuţi printre ceilalţi, afirmaţia din enunţ este adevărată (toate persoanele au zero cunoscuţi). Considerăm cazul în care există persoane ce au cunoscuţi printre ceilalţi. Eliminând persoanele ce nu au cunoscuţi rămân n persoane, n ≥ 1. Numărul de cunoscuţi poate lua valorile: 1, 2, 3, …, n − 1 . Cum sunt n persoane şi n − 1 valori posibile pentru numărul de cunoscuţi, deducem că există cel puţin două persoane cu acelaşi număr de cunoscuţi printre ceilalţi.
138 EDIŢIA a IV- a 1. Răspuns: 0 1 − ( 6 + 12 : 3) :10 = 1 − ( 6 + 4 ) :10 = 1 − 10 :10 = 1 − 1 = 0 .
2. Răspuns: 30
a + b = 60, a = 3 ⋅ b ⇒ 4 ⋅ b = 60 ⇒ b = 15 ⇒ a = 45 ⇒ a − b = 30. 3. Răspuns: 33
33 + 3 ⋅ [(3 + 99 : x) ⋅ 9 −33] = 96 ⇒ 3 ⋅ [(3 + 99 : x) ⋅ 9 −33] = 96 −33 = 63 ⇒ (3 + 99 : x) ⋅ 9 −33 = 63 : 3 = 21 ⇒ (3 + 99 : x) ⋅ 9 = 21 + 33 = 54 ⇒ 3 + 99 : x = 54 : 9 = 6 ⇒ 99 : x = 6 − 3 = 3 ⇒ x = 99 : 3 ⇒ x = 33. 4. Răspuns: 0
a = (2003 − 100) + (2003 − 99) + … + (2003 − 1) + 2003 + (2003 + 1) + … + (2003 + 99) + (2003 + 100) = 2003 ⋅ 201 ⇒ restul împărţirii lui a la 2003 este 201 este 0. 5. Răspuns: 0
(900 − 1 − 2 − … − 40) ⋅ 80 − 80 ⋅ 80 = [900 − (1 + 2 + … + 40)] ⋅ 80 − 80 ⋅80 = [900 − (1 + 40) ⋅ 40 : 2] ⋅ 80 − 80 ⋅ 80 = (900 − 41 ⋅ 20) ⋅ 80 − 80 ⋅ 80 = (900 − 820) ⋅80 − 80 ⋅ 80 = 80 ⋅ 80 − 80 ⋅ 80 = 0. 6. Răspuns: a = 1, b = 1, c = 2
b, c ≥ 1 ⇒ 7 + 4 ⋅ (3 ⋅ b + 2 ⋅ c) ≥ 27 ⇒ a = 1 şi 7 + 4 ⋅ (3 ⋅ b + 2 ⋅ c) = 35. 7 + 4 ⋅ (3 ⋅ b + 2 ⋅ c) = 35 ⇒ 4 ⋅ (3 ⋅ b + 2 ⋅ c) = 28 ⇒ 3 ⋅ b + 2 ⋅ c = 7 ⇒ b = 1 şi c = 2.
139 7. Răspuns: 90 abc = cba ⇒ a = c. Cum a, c ∈ {1, 2, …9} şi b∈{0,1,…,9} ⇒ 9 ⋅ 10 = 90 numere cu proprietatea cerută.
8. Răspuns: 4 elevi
În total s-au rezolvat un număr de 25 + 24 + 23 + 22 = 94 probleme. Deoarece 94 = 30 ⋅ 3 + 4 , deducem că cel puţin 4 elevi au rezolvat corect toate cele patru probleme. 9. Răspuns: 1255
630 = 25 ⋅ 25 + 5 ⇒ Ioana se află pe locul 5 din rândul 26 ⇒ rândul din mijloc este cel cu numărul 26 ⇒ ultimul rând din sală are numărul 51 ⇒ Cristina ocupă locul 50 ⋅ 25 + 5 = 1255 . 10. Răspuns: Ana are 36 de ani iar Maria 27 de ani
Notăm cu x numărul de ani trecuţi de când Ana avea vârsta Mariei de acum, a vârsta Anei şi m vârsta Mariei în urmă cu x ani. Vârsta Anei în prezent este a + x, iar a Mariei m + x. Din datele problemei rezultă: a = m + x (vârsta Anei în urmă cu x ani este egală cu vârsta Mariei în prezent) şi că a + x = 2 ⋅ m (vârsta Anei în prezent este egală cu dublul vârstei Mariei în urmă cu x ani). Deducem că m + x + x = 2 ⋅ m , deci m = 2 ⋅ x ⇒ vârsta Anei în prezent este 4 ⋅ x , iar a Mariei este 3 ⋅ x . Cum 4 ⋅ x + 3 ⋅ x = 63 ⇒ x = 9 ⇒ Ana are 36 de ani iar Maria 27 de ani. 11. Răspuns: 35 de elevi
Notăm cu b numărul băieţilor şi cu a numărul fetelor din clasă. Deducem că: 31 ≤ b + f ≤ 38 şi 3 ⋅ b = 2 ⋅ f (numărul relaţiilor de prietenie dintre fete şi băieţi este egal şi cu 3 ⋅ b şi cu 2 ⋅ f ). Obţinem că: 62 ≤ 2 ⋅ b + 2 ⋅ f ≤ 76 ⇒ b ∈ {13,14,15} ⇒ 62 ≤ 5 ⋅ b ≤ 76 ⇒ b ∈ ∈ {13,14,15} . Cum 3 ⋅ b = 2 ⋅ f ⇒ b = 14 şi f = 21 ⇒ în clasă sunt 35 de elevi.
12. Răspuns: 270 de elevi
Notăm cu x numărul elevilor din fiecare clasă, n numărul participanţilor, b numărul total al băieţilor şi cu f numărul total al fetelor (n = b + f).
140 Deducem că: n = 18 ⋅ x, 11 ≤ x ≤ 17, f = 4 ⋅ b ⇒ n = 5 ⋅ b ⇒ 5 ⋅ b = 18 ⋅ x ⇒ x se împarte exact la 5 ⇒ x = 15 ⇒ n = 18⋅15 = 270. 13. Răspuns: a = 18, b = 19, c = 15, d = 25, e = 11
5 + c + d = 8 + d + 12 ⇒ c = 15 Suma numerelor de pe fiecare linie, coloană şi de pe diagonale este 22 + 15 + 8 = 45. Rezultă: a + 5 + 22 = 45 ⇒ a = 18, 18 + b + 8 = 45 ⇒ b = 19, 8 + d + 12 = 45 ⇒ d = 25, 22 + e + 12 = 45 ⇒ e = 11.
14. Răspuns: a = 5, b = 8, c = 13
b + c = 21, b = 3 + a, c = 8 + a ⇒ 11 + 2⋅ a = 21 ⇒ a = 5 ⇒ b = 8 şi c = 13. EDIŢIA a V- a 1. Răspuns: 22 [62 + 8 ⋅ (24 − 24 : 4 ⋅ 3)] : 5 = [62 + 8 ⋅ (24 − 6 ⋅ 3)] : 5 = [62 + 8 ⋅ (24 − 18)] : 5 = (62 + 8 ⋅ 6) : 5 = (62 + 48) : 5 = 110 : 5 = 22. 2. Răspuns: x = 6
1500 − (102 ⋅ 4 + 21 ⋅ x) : 3 = 1322 ⇒ (408 + 21 ⋅ x) : 3 = 1500 − 1322 = 178 ⇒ 408 + 21 ⋅ x = 178 ⋅3 = 534 ⇒ 21 ⋅ x = 534 − 408 ⇒ 21 ⋅ x = 126 ⇒ x = 126 : 21 ⇒ x = 6. 3. Răspuns: n = 81
n ⋅(1+ 3 + 5 + 7 + 9 ) > 2004 ⇔ n ⋅ 25 > 2004 2004 = 80 ⋅ 25 + 4 ⇒ Valoarea minimă a lui n este 81. 4. Răspuns: 10 numere Numerele sunt de forma xyz , cu x + y + z ≥ 25. Cum 8 + 8 + 9 = 25, 7 + 9 + 9 = 25, 8 + 9 + 9 = 26, 9 + 9 + 9 = 27 ⇒ 10 numere (889, 898, 988, 799, 979, 997, 899, 989, 998, 999).
141 5. Răspuns: 8 numere
Dacă se şterg a numere de 23 şi b numere de 13 ⇒ 23a + 13b = 2 ⋅ 13 ⋅ 23 − 464 = 134 ⇒ a ≤ 5. Analizând cazurile posibile ⇒ a =3 şi b = 5 ⇒ a + b = 8. 6. Răspuns: 3 99...9 de11ori
Numărul trebuie să aibă cât mai puţine cifre şi cea de ordin cel mai mare să fie cât mai mică. Cum 102 = 9⋅11 3 ⇒ numărul căutat este 3 99...9 . de11ori
7. Răspuns: 1276
Grupa a n − a este formată din n numere. Primele n grupe au împreună un număr de elemente egal cu 1 + 2 + 3 + … + n = n⋅( n + 1) : 2. Pentru n = 50 ⇒ primele 50 de grupe au 25⋅ 51 = 1275 elemente. Grupa cu numărul 51 începe cu numărul 1275 + 1 = 1276. 8. Răspuns: 36 de ani
Notăm cu x vârsta Elenei la 8 mai 1988 ⇒ vârsta Ralucăi este 6⋅x (la 8 mai 1988). Suma vârstelor celor două fete la 8 mai 1998 era egală cu 2⋅1998 − 3961 = 35 ⇒ x + 6⋅x = 35 ⇒ x = 5 ⇒ Raluca avea la 8 mai 1998 vârsta de 30 de ani, deci are în prezent 36 de ani. 9. Răspuns: E
Numerele fructelor de pe două tufe vecine au parităţi diferite ⇒ sunt 4 tufe cu număr par şi 4 tufe cu număr impar de fructe ⇒ numărul fructelor de pe toate tufele este par ⇒ răspunsul corect este E. 10. Răspuns: 12
Notăm cu a numărul fetelor politicoase, cu b numărul fetelor nepoliticoase, cu x numărul băieţilor politicoşi, cu y numărul băieţilor nepoliticoşi şi cu n numărul elevilor clasei (n = a + b + x + y). Deducem că: a + x = 2 ⋅ (b + y) (1) a + y = 2 ⋅ (b + x) (2)
142 a = x + y (3) Din (1) şi (2) ⇒ 2 ⋅ a + x + y = 4 ⋅ b + 2⋅ (x +y) ⇒ (folosind şi 3) 2⋅ a + a = 4⋅b + 2⋅ a ⇒ a = x + y = 4⋅b ⇒ n = 4⋅b + b + 4⋅b = 9⋅b . Cum 20 ≤ n ≤ 30 şi n = 9⋅b ⇒ n = 27 ⇒ b = 3 ⇒ numărul băieţilor clasei este x + y = = 4 ⋅ b = 12 . 11. Răspuns: 60 de cai
Mezinul ia două cincimi din al doilea rest, adică 10 cai ⇒ al doilea rest este 25. Al treilea fiu ia trei cincimi din 25, deci 15 cai ⇒ Cinci optimi din primul rest este 25. Primul rest este 40 şi este egal cu două treimi din numărul total de cai ⇒ herghelia are 60 de cai. 12. Răspuns: 46 m Conductele din depozit măsurau în total 15⋅6 + 8⋅10 = 170 m. Cum s-au folosit 124 m de conducte ⇒ lungimea totală a conductelor rămase este 170 − 124 = 46m. EDIŢIA a VI- a 1. Răspuns: 5
25 : [19 – 2ּ(3 + 4)] = 25:(19 – 2 ⋅ 7) = 25 :(1 – 14) = 25 : 5 = 5. 2. Răspuns: 100
[5 · (5 · 5 + 5 : 5) - a] : 10 = 3 ⇒ 5 · (5 · 5 + 5 : 5) – a = 30 ⇒ 5 ⋅ (25 + 1) – a = 30 ⇒ 5 ⋅ 26 – a = 30 ⇒ a = 130 – 30 ⇒ a = 100. 3. Răspuns: 11
a + b = 33, a = 2 ⋅ b ⇒ 2 ⋅ b + b = 33 ⇒ 3 ⋅ b = 33 ⇒ b = 11 ⇒ a = 22 ⇒ a – b = 11. 4. Răspuns: 8 triunghiuri 5. Răspuns: 100
Numerele care se pot scrie ca suma a două numere naturale consecutive sunt cele impare. Suma de calculat este egală cu: 1 + 3 + 5 + …+ 19 = (1 + 19)⋅10 : 2 =100.
143 6. Răspuns: 13
2♥0 = 2 + 0 + 2 = 4 ⇒ (2♥0)♥0 = 4 ♥ 0 = 4 + 0 + 2 = 6 ⇒ [(2♥0)♥0]♥5 = 6 ♥5 = 6 + 5 + 2 = 13. 7. Răspuns: 3
Cu excepţia primilor patru termeni, toţi au ultima cifră 0. Deci ultima cifră a numărului este ultima cifră a sumei 1 + 2 + 6 + 24, adică 3. 8. Răspuns: 24
Notăm cu a şi b vârstele celor doi fraţi ⇒ a + b = 43, a – b = 5 ⇒ 2 ⋅ a = 48 ⇒ a = 24. 9. Răspuns: 49
N este numărul obţinut prin ştergerea cifrei unităţilor, a cifra ştearsă. N + 5 ⋅ a = 10 ⋅ N + a ⇒ 9 ⋅ N = 4 ⋅ a ⇒ a = 9 ⇒ N = 4 ⇒ numărul iniţial este 49. 10. Răspuns: 15555
Numerele cu patru cifre cu suma cifrelor 3 sunt: 1002, 1020, 1200, 1011, 1101, 1110, 2001, 2010, 2100 şi 3000. Suma lor este 15555. 11. Răspuns: 10 numere
Cifra a = 8, iar cifra b poate fi: 8, 4, 2 sau 1. Pentru b = 8, c poate lua valorile 8, 4, 2 sau 1. Pentru b = 4, c poate lua valorile 4, 2 sau 1. Pentru b = 2, c poate lua valorile 2 sau 1. Pentru b = 1 ⇒ c = 1. În total sunt 10 numere. 12. Răspuns: 48
xy + x + y = 60 ⇒ 11 ⋅ x +2 ⋅ y = 60 ⇒ x = 4 ⇒ y = 8 ⇒ numărul căutat este 48. 13. Răspuns: 27
14 + 12 + 1 = 27 14. Răspuns: x = 4
2 + 28 + a = x + a + 26 ⇒ x = 4
x 2 28 a 52 26
144
15. Răspuns: 100 minute
b timpul parcurs de Dan cu bicicleta între casa sa şi casa bunicii. j timpul parcurs de Dan pe jos între casa sa şi casa bunicii. 2 ⋅ b + 2 ⋅ j = 120, 2 ⋅ b = 20 ⇒ 2 ⋅ j = 100 de minute. 16. Răspuns: 27, 36, 37, 38
x, x + 1, x + 2, x + 3 numărul de dischete pe care le- ar avea dacă primul elev ar primi de la ceilaţi trei câte două dischete ⇒ x + (x +1) + (x + 2) + (x + 3) = 138 ⇒ x = 33 ⇒ iniţial cei patru elevi au : 27, 36, 37, respectiv 38 dischete. 17. Răspuns: 11
Numerele de o cifră cu proprietatea cerută sunt: 1, 2, 3, …, 8. Există un singur număr de două cifre (10), un singur număr de trei cifre (100) şi un singur număr de patru cifre(1000) cu proprietatea cerută. În total sunt 11 numere. 18. Răspuns: 71 km
Suma cifrelor numărului 12935 este 20. Numărul cerut va trebui să aibă suma cifrelor 10. Cel mai mic număr, mai mare decât 12935, cu suma cifrelor 10 este 13006. Distanţa parcursă este: 13006 – 12935 = 71 km. 19. Răspuns: 10256 4 ⋅ abcde4 = 4abcde , N = abcde ⇒ 4 ⋅ (10 ⋅ N + 4) = 400000 + N ⇒ 39 ⋅ N = 400000 – 16 ⇒ 39 ⋅ N = 399984 ⇒ N = 10256.
20. Răspuns: 70 tăieturi
Alăturăm toate grinzile. Rezultă o grindă cu lungimea de 100m. Pentru a obţine butucii de 1m sunt necesare 99 de tăieturi, din care 29 sunt deja efectuate ⇒ 99 – 29 = 70 tăieturi. EDIŢIA a VII- a 1. Răspuns: 29
145 32 − 5 ⋅ ( 20 : 4 − 1) + 17 = 32 − 5 ⋅ ( 5 − 1) + 17 = 32 − 5 ⋅ 4 + 17 = 32 − 20 + 17 = 12 + 17 = 29.
2. Răspuns: 100
606 + (128 : 8 − 2)⋅x = 2006 ⇒ (16 − 2)⋅x = 2006 − 606⇒ 14 ⋅ x = 1400 ⇒ x = 100. 3. Răspuns: 8 triunghiuri 4. Răspuns: 4
Numerele de patru cifre cu produsul cifrelor 7 sunt: 1117, 1171, 1711, 7111. 5. Răspuns: 63
xy + yx = 99 ⇒ 10 ⋅ x + y + 10 ⋅ y + x = 99 ⇒ 11 ⋅ ( x + y ) = 99 ⇒ x + y = 9 x + y = 9 şi x −y = 3 ⇒ x = 6 şi y = 3 ⇒ xy = 63. 6. Răspuns: 37
a = 5 ⋅ 7 −[40 : 8 + 3 ⋅ (42 +14) : 8] =35 − (5 + 3 ⋅ 56 : 8) = 35 − (5 + 3 ⋅ 7) = = 35 − (5 + 21) = 35 −26 = 9. 15 + b = 27 −b ⇒ b + b = 27 − 15 ⇒ 2⋅b = 12 ⇒ b = 6. 3⋅ c = b = 6 ⇒ c = 2. abc - bca - cab = 962 − 629 − 296 = 37. 7. Răspuns: a = 0, b = 2
a + 3 ≥ 3, b + 4 ≥ 4, 18 = 3⋅6 ⇒ a + 3 = 3 şi b + 4 = 6 ⇒ a = 0 şi b = 2. 8. Răspuns: a = 0, 1 sau 2 a ⋅ a + a = a ⋅ ( a + 1) . Obţinem produsul a două cifre consecutive. 0⋅1 =0, 1⋅2 = 2,
2⋅3 = 6 îndeplinesc condiţia cerută. Pentru a ≥ 3 cifra unităţilor numărului a ⋅ ( a + 1) este mai mică decât a ⇒ a = 0, 1 sau 2. 9. Răspuns: 10 zile
Numărul furnicilor este de două ori mai mic, dar şi numărul boabelor este de două ori mai mic. Deci în cele două situaţii numărul zilelor este acelaşi. 10. Răspuns: 1200
146 Fie a, b, c, d cele patru numere. a + 5 = b − 5 = 5 ⋅ c = d : 5 ⇒ a = 5 ⋅ c − 5 , b = 5 ⋅ c + 5 , d = 25 ⋅ c a + b + c + d = 1800 ⇒ 5 ⋅ c − 5 + 5 ⋅ c + 5 + c + 25 ⋅ c = 1800 ⇒ 36 ⋅ c = 1800 ⇒ c = 50 ⇒ d = 1250 ⇒ d − c = 1200. 11. Răspuns: 30000 lei
Fie x suma pe care o dă fiecare persoană ⇒15 ⋅ ( x − 1000) = 10 ⋅ x ⇒ 15 ⋅ x − 15000 = 10 ⋅ x ⇒ 5 ⋅ x = 15000 ⇒ x = 3000 lei ⇒ pentru a forma firma sunt necesari 10 ⋅ 3000 = 30000 lei. 12. Răspuns: 26
Se cunoaşte suma numerelor de pe o diagonală 16 + 4 + 10 = 30. Din condiţiile cerute obţinem: x +10 + 2 = 30 ⇒ x = 18, B + 18 + 4 = 30 ⇒ B = 8, 8 + C + 16 = 30 ⇒ C = 6, y +10 + 6 = 30 ⇒ y = 14, A + 14 + 4 = 30 ⇒ A = 12 ⇒ A + B + C = 12 + 8 +6 = 26. 13. Răspuns: 8 nepoţi
Notăm cu m numărul merelor, cu n numărul nucilor şi cu x numărul nepoţilor ⇒ n = 3 ⋅ m, m = 3 ⋅ x+2, n = 8 ⋅ x + 14 ⇒ 8 ⋅ x + 14 = 9 ⋅ x + 6 ⇒ x = 8. 14. Răspuns: 80, 89 sau 98
Fie ab numărul căutat. Cum restul este 8, împărţitorul mai mare decât restul şi mai mic decât 10 ⇒ că împărţitorul este 9 ⇒ = 9 ⋅ c +8. Cum a = 8 sau b = 8 ⇒ ab = 80, 89 sau 98. 15. Răspuns: 4 numere
y ≤ 8 ⇒ x + 10 ⋅ y + z ≤ 80 +18 = 98 < 105 ⇒ y = 9 ⇒ x + z = 15 ⇒ 1) x = 6, y = 9; 2) x = 9, y = 6; 3) x = 7, y = 8; 4) x = 8, y = 7 ⇒ 4 numere. 16. Răspuns: 8 ani
Fie v vârsta lui Ionuţ şi m vârsta mamei sale ⇒ 5 ⋅ (v−3) = m − 3 şi 3 ⋅ (v + 2) = m + 2 ⇒ 5 ⋅ v − 15 = m −3 şi 3 ⋅ v + 6 = m + 2 ⇒ m = 5 ⋅ v −12 = 3 ⋅ v + 4 ⇒ 2 ⋅ v = 16 ⇒ v = 8 ani. 17. Răspuns: 963
147 Pentru ca abc să fie cât mai mare aleg a = 9 ⇒ 20 ⋅ b + 11 ⋅ c = 17 ⋅ 19 = 153 ⇒ b ≤ 6. Aleg b = 6 ⇒ 11⋅c =33 ⇒ c = 3 ⇒ abc = 963 . 18. Răspuns: 222
Termenii de pe locuri impare sunt sume de numere pare consecutive, iar termenii de pe locuri pare sunt sume de numere consecutive. 2001 este impar, deci nu se poate scrie ca sumă de numere pare consecutive, deci el ocupă un loc par. Observăm că primul termen al sumei ce reprezintă numerele de pe locurile pare este de forma 3⋅ n , unde n este locul ocupat de număr în şir. Scriem pe 2001 ca o sumă de trei numere consecutive: 2001 = x + (x + 1) + (x +2) ⇒ 3 ⋅ x + 3 = 2001 ⇒ x = 666 ⇒ 3 ⋅ n = x = 666 ⇒ n = 222 ⇒ 2001 ocupă al 222 – lea loc în şir. 19. Răspuns: 551 abc + cba număr de 3 cifre ⇒ a + c este cifră. Dacă 2 ⋅ b este cifră ⇒ abc + cba = (a + c)(2 ⋅ b )(a + c) , care are suma cifrelor 2 ⋅ ( a + b + c ) , un număr par , deci diferită de 13.
Obţinem că 2 ⋅ b ≥ 10. Dacă x este ultima cifră a lui 2 ⋅ b ⇒ abc + cba = (a + c + 1) x(a + c) , cu suma cifrelor 2 ⋅ a + 2 ⋅ c + x + 1 = 13. Se observă că, deoarece c ≠ 0 , valoarea maximă a lui a este 5 ⇒ 2 ⋅ c + x = 2 ⇒ c = 1 şi x =0 ⇒ b = 5 ⇒ abc = 551 . 20. Răspuns: 0
Pe rândul al doilea ultimul număr este 0, pe rândul al treilea ultimele două numere sunt 0, pe rândul al patrulea ultimele trei numere sunt 0, ş.a.m.d. Pe rândul al optulea toate numerele sunt 0, deci suma lor este 0. EDIŢIA a VIII- a 1. Răspuns: 1
x = 50 – 7 ⋅ (42 : 2 : 3) = 50 – 7 ⋅ 7 = 1. 2. Răspuns: a = 2
(11a + 238) : 2 − 5 = 1000 : 8, (11a + 238) : 2 = 130, 11a + 238 = 260, 11a = 22, a = 2. 3. Răspuns: 3333
148 Deoarece a < b, rezultă că cel mai mare dintre numerele considerate este bbbb , iar cel mai mic este aaaa . Diferenţa lor este 1111 ⋅ (b - a)= 3333. 4. Răspuns: 21
Din relaţiile a + b = 3 şi b + c = 5, obţinem că 2a+2b = 6 şi 3b+3c = 15, deci 2a + 5b + 3c = 21. 5. Răspuns: 8
Observăm că suma numerelor considerate este 108. Prin urmare, trebuie eliminat numărul 8.. 6. Răspuns: 24
Fie x cel mai mic dintre numere. Deoarece x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ( x + 4 ) + + ( x + 5 ) = 159 , rezultă că 6 x + 15 = 159 , de unde obţinem x = 24.
7. Răspuns: 345, 435
Din condiţia b., deducem că {x, y, z}={3, 4, 5}. De aici, având în vedere că xyz se împarte exact la 5, obţinem xyz ∈ {345, 435}. 8. Răspuns: a = 7 Avem: 101 ⋅ (1 + 2 + … + a ) = 2828, 1 + 2 + … + a = 28, a ⋅ ( a + 1) = 56, a = 7. 9. Răspuns: 18
Prima cifră poate fi aleasă în două moduri, iar următoarele două cifre pot fi alese fiecare în câte trei moduri. Deci, numărul căutat este 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18. 10. Răspuns: 104 cm
Latura pătratului este 2cm, iar perimetrul dreptunghiului este 104cm. 11. Răspuns: 10 kg
Preţul celor doi saci este 180 lei, deci un kg de zahăr costă 2 lei. Aşadar, primul sac cântăreşte 80 : 2 = 40 kg, iar al doilea cântăreşte 100 : 2 = 50 kg. Al doilea sac este cu 10 kg mai greu decât primul.
149 12. Răspuns: a = 280, b = 28
Cum a = 10b, rezultă că b + 10b = 308, deci b = 28, iar a = 280. 13. Răspuns: 20, 10, 41
Dacă notăm cu a, b, c cele trei numere, avem a = 2b, c = 2a+1 şi a + b + c = 71, de unde obţinem 2b + b + 4b + 1=71. Aşadar, b = 10, a = 20 şi c = 41. 14. Răspuns: 7 lei şi 50 de bani
Când a intrat în cofetărie, pentru a mânca a patra prăjitură, Ionuţ a avut la el 4 lei, restul fiind oferit de patron. Deci, când a intrat pentru a treia prăjitură a avut (4 + 8): 2 = 6 lei. Judecând la fel, deducem că pentru a doua prăjitură a avut (6+ 8): 2 = 7 lei, iar la început a avut jumătate din 7 + 8 = 15 lei, adică 7 lei şi 50 de bani. 15. Răspuns: 1009
Fie x numărul căutat. Deoarece x = i ⋅ c + 89 şi 89 < i, avem i ∈ { 90, 91, .... ,99}. Observăm că pentru c = 9 şi i = 99, avem x = 99 ⋅ 9 + 89 = 980, deci trebuie să luăm c ≥ 10. Deoarece 92 ⋅ 10 + 89 = 1009, iar 91 ⋅ 10 + 89 = 999 şi 90 ⋅ 11 + 89 = 1079, rezultă că 1009 este cel mai mic număr cu proprietăţile cerute. EDIŢIA a IX – a 1. Răspuns: 4
{⎣⎡( 7 − 3) ⋅ 5 − 2 + 3⎦⎤ : 7 + 9} : 3 = ⎡⎣( 4 ⋅ 5 − 2 + 3) : 7 + 9⎤⎦ : 3 = ( 21: 7 + 9) : 3 = 12 : 3 = 4 . 2. Răspuns: x = 2 ⎡⎣( x + 260 : 2 ) ⋅ 3 + 4 ⎤⎦ ⋅ 5 = 2000 ⇒ ( x + 260 : 2 ) ⋅ 3 + 4 = 400 ⇒ ( x + 260 : 2 ) ⋅ 3 = 396 ⇒ x + 130 = 132 ⇒ x = 2 .
3. Răspuns: 0
(
)
100 − 5 ⋅ ⎡9 + ab + ba : ( a + b ) ⎤ = 100 − 5 ⋅ ⎡⎣9 + 11 ⋅ ( a + b ) : ( a + b ) ⎤⎦ = 100 − 5 ⋅ ( 9 + 11) = ⎣ ⎦ = 100 − 5 ⋅ 20 = 100 − 100 = 0 .
4. Răspuns: 35 cm
150 Fie a latura pătratului, L lungimea dreptunghiului şi l lăţimea dreptunghiului ⇒ L = a + 5, l = a − 10 ⇒ 2 ( a + 5 + a − 10 ) = 130 ⇒ 2a − 5 = 65 ⇒ 2a = 70 ⇒ a = 35 . 5. Răspuns: 12 şi 20
Fie a şi b cele două numere. a + b = 24 + ( a − b ) = 4 ⋅ ( a − b )
a + b = 24 + ( a − b ) ⇒ 2b = 24 ⇒ b = 12 24 + ( a − b ) = 4 ⋅ ( a − b ) ⇒ 3 ⋅ ( a − b ) = 24 ⇒ a − b = 8 ⇒ a = 12 + 8 ⇒ a = 20 6. Răspuns: 102
Numerele sunt: 4 ⋅ 6, 4 ⋅ 6 + 1, 4 ⋅ 6 + 2 şi 4 ⋅ 6 + 3 . ⇒ S = 4 ⋅ 4 ⋅ 6 + (1 + 2 + 3) = 102 . 7. Răspuns: 17, 14, 20, 17, 23
Deoarece numerele a − 8, b − 3, c − 7, d − 2 şi e − 6 sunt impare consecutive rezultă că suma lor este x + ( x + 2 ) + ( x + 4 ) + ( x + 6 ) + ( x + 8 ) = 5 x + 20 , unde x este numărul cel mai mic. Pe de altă parte suma lor este 91 − 8 − 3 − 7 − 2 − 6 = 65 , deci 5 x + 20 = 65 , de unde obţinem x = 9 . a = 9 + 8 = 17, b = 9 + 2 + 3 = 14, c = 9 + 4 + 7 = 20, d = 9 + 6 + 2 = 17, Aşadar, e = 9 + 8 + 6 = 23. 8. Răspuns: 1009
Şirul are 2008 - 9 = 1999 termeni. Rezultă că termenul din mijloc este al 1000-lea termen al şirului, adică 10 + 999 = 1009. 9. Răspuns: 10 numere
Deoarece 8 = 1 ⋅1 ⋅ 8 = 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 , numerele căutate sunt: 118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421 şi 222. 10. Răspuns: 41300
Cel mai mare număr care satisface condiţia din enunţ este 75862, iar cel mai mic este 34562. Deci, diferenţa lor este 41300.
151 11. Răspuns: 300 lei
Notăm cu x numărul iniţial al colegilor lui Andrei şi cu P preţul DVD – playerului. Obţinem: P = 20 ⋅ x = 25 ⋅ ( x − 3) ⇒ x = 15 ⇒ P = 300 lei. 12. Răspuns: 8 triunghiuri 13. Răspuns: 896 şi 449 lei
Se observă că suma de bani pe care o au cei 7 jucători împreună este aceeaşi după fiecare partidă. Deci, suma iniţială pe care o au cei 7 jucători împreună este 7 ⋅128 = 896 lei . Notăm cu S suma avută iniţial de jucătorul care a pierdut primul. Acesta. îşi va dubla suma la fiecare joc, începând cu a doua partidă. Cum, în final, el are 128 de lei rezultă că după partida pierdută va avea 128:2:2:2:2:2:2 = 2 lei. Pe de altă parte, după partida pierdută el a oferit celorlalţi jucători (896 − S) lei. Obţinem că S = (896 − S ) + 2 ⇒ 2 S = 898 ⇒ S = 498 . 14. Răspuns: 9
Notăm cu a numărul loviturilor care taie un câte un cap şi cu b numărul loviturilor care taie câte 3 capete. În urma fiecărei lovituri care taie câte un cap balaurului îi creşte de fapt un cap. Deci, după a astfel de lovituri, numărul de capete ale balaurului creşte cu a capete. Cum, în final, balaurul îşi pierde toate capetele rezultă că 20 + a = 3b . Ştiind că numărul total al loviturilor este 16, adică a + b = 16 , rezultă: a = 16 − b ⇒ 20 + 16 − b = 3b ⇒ 4b = 36 ⇒ b = 9 . 15. Răspuns: 2008
Notăm cu N numărul de galbeni pe care îi avea la început Peter Pan. Cum N este par, rezultă că după ce a părăsit prima corabie Peter Pan va avea N + 3 galbeni, deci un număr impar de galbeni. Ca urmare după ce a părăsit a doua corabie Peter Pan va avea (N + 3 −1) : 2 galbeni. Cum, în final, Peter Pan are 502 galbeni, rezultă că înainte de a se urca pe ultima corabie avea un număr impar de galbeni. Deci, înainte de a urca pe ultima corabie Peter Pan are 2 ⋅ 502 + 1 = 1005 galbeni.
152
