F´ısica Cu´ antica pod Septiembre - Octubre del 2001
1
´Indice general 1. Propiedades corpusculares de la 1.1. Radiaci´on del cuerpo negro . . 1.2. Efecto fotoel´ectrico . . . . . . . 1.2.1. Efecto Compton . . . .
radiaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 5 5
2. Primeros modelos at´ omicos 2.1. Modelo at´ omico . . . . . . . . 2.2. Modelo de Rutherford . . . . 2.3. Modelo de Borh . . . . . . . . 2.4. Experimento de Franck-Hertz 2.5. Espectro de rayos X . . . . . 2.6. Sommerfeld . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
6 6 6 7 8 8 9
3. Propiedades ondulatorias de la materia 3.1. Hip´otesis de Luis de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Principio de incertidumbre de Heisemberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 10 10
4. Ecuaci´ on de Sch¨ odinger 4.1. Introducci´ on a la Ecuaci´on de 4.2. Espectro de energ´ıa . . . . . . 4.3. Pozo de potencial . . . . . . . 4.3.1. Oscilador arm´ onico . . 4.4. Estados no ligados . . . . . . 4.5. Barrera de potencial . . . . .
. . . . . .
12 12 13 13 15 15 16
´ 5. Atomos con un electr´ on 5.1. Ecuaci´on de Sch¨ odinger en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Potenciales radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.3. Atomos con un electr´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 17 19
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Sch¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Introducci´ on Los apuntes recogidos en el presente documento corresponden al temario de la asignatura de tercer curso (finales del primer ciclo) F´ısica Qu` antica de la Facultad de F´ısica de la Universidad de Barcelona. Se tratan en primer lugar los grandes hechos experimentales que llevaron a la revoluci´ on que la mec´ anica cu´ antica supuso en la concepci´on de nuestro universo, pasando posteriormente a exponer brevemente los principales m´etodos de c´alculo en que se basa la f´ısica cu´ antica, sin entrar en detalles abstractos sobre los espacios de Hilbert y la notaci´ on de Dirac. Por u ´ltimo, se resuelven algunos ejemplos simples de sistemas cu´ anticos, como son el caso de pozos unidimensionales y el ´atomo de hidr´ogeno. En general, los resultados se incluyen sin demostraci´on.
3
Cap´ıtulo 1
Propiedades corpusculares de la radiaci´ on 1.1.
Radiaci´ on del cuerpo negro
Un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la radiaci´ on electromagn´etica que incide en su superficie. El teorema de Kirchoff, que afirma que todo buen emisor es buen un buen absorbente y viceversa, nos asegura que el cuerpo negro es tambi´en un emisor perfecto. Se observa que el espectro de emisi´ on del cuerpo negro depende de la temperatura, seg´ un una densidad espectral de energ´ıa ρT (ν), donde ρT (ν)dν representa la energ´ıa por unidad de volumen correspondiente a radiaci´ on electromagn´etica con frecuencia entre ν y ν + dν. R∞ La densidad total de energ´ıa viene dada por ρT = 0 ρT (ν)dν. La radiancia RT , flujo por unidad de tiempo de energ´ıa emitida, se relaciona con la densidad total de energ´ıa por RT = 4c ρT . La mismas relaciones son ciertas para la densidad espectral de energ´ıa i la radiancia espectral. Stefan dedujo que la radiancia se relaciona con la temperatura seg´ un RT = σT 4 , donde σ = −8 −2 −4 5,67051 × 10 Wm K es la constante de Stefan-Boltzmann. Wien dedujo tambi´en que ρT (ν) = ν 3 f (ν/T ), de donde se deduce la ley del desplazamiento, que afirma que la frecuencia donde se emite el m´ aximo de potencia es proporcional a la temperatura. Max Plank dedujo experimentalmente la expresi´ on definitiva ρT (ν) =
8πν 2 hν hν c3 e kT −1
donde h = 6,626 × 10−34 Js es la constante de Plank. Esta expresi´ on se puede justificar suponiendo que 8πν 2 c−3 representa el n´ umero de modos en la cavidad con frecuencia entre ν y ν + dν. Si se supone que la energ´ıa de los modos sigue la distribuci´ on −E/kT de Boltzmann discreta P (E) = Ce donde E = ǫ, 2ǫ, 3ǫ, . . . y C es una constante de normalizaci´on C = 1 − e−ǫ/kT . La energ´ıa media de cada modo viene dada por X ǫ hEi = C nǫe−ǫ/kT = ǫ/kT e −1
Comparando con la ley de Plank, vemos que ǫ = hν, y la radiaci´ on electromagn´etica se comporta como si estuviera formada por part´ıculas de energ´ıa hν. El l´ımite ǫ → 0 da que la energ´ıa media de los modos es kT (teorema de equipartici´ on), resultado que resulta muy err´ onea a frecuencias altas (cat´astrofe ultravioleta). Los experimentos confirman la ley de Plank con ǫ = hν y la discretizaci´on de la energ´ıa.
4
1.2.
Efecto fotoel´ ectrico
Basado en la emisi´ on de electrones sobre un metal (c´atodo). En 1905 A. Einstein predijo que en este proceso, la luz se comporta como compuesta por part´ıculas (fotones) de energ´ıa E = hν, cada una de las cuales puede interaccionar con un solo electr´ on, y cada electr´ on puede interaccionar con un solo fot´on. Si para desprender el electr´ on del ´ atomo se necesita una energ´ıa φ (funci´on de trabajo), la energ´ıa cin´etica del electr´ on vendr´a dada por T = hν − φ. Esto indica que existe una frecuencia m´ınima para la cual la energ´ıa del fot´on no es suficiente para desprender el electr´ on, ν0 = φ/h. Si entre el ´ anodo y el c´ atodo se establece un potencial tal que repele los electrones salientes, llegar´ a un momento que tan solo los electrones m´ as r´ apidos podr´ an llegar al c´atodo, se tendr´a T = eV0 . El potencial de corte ser´ a, pues φ h V0 = ν0 − e e
1.2.1.
Efecto Compton
El experimento de Compton consiste en la dispersi´ on de rayos X por una l´amina fina de granito. Se observa que seg´ un el ´ angulo de dispersi´ on, la longitud de onda de parte de la luz cambia, mientras que parte de la luz permanece con la misma frecuencia. Al aumentar el ´angulo de desviaci´on, la diferencia entre ambas partes de la luz aumenta. Supongamos que el electr´ on incidente λ interacciona con un electr´ on en reposo, produciendo un ′ nuevo fot´on λ = λ + ∆λ formando un ´ angulo θ, mientras que el electr´ on retrocede con una energ´ıa cin´etica K en un ´ angulo ϕ respecto la direcci´ on de incidencia. La conservaci´ on de la energ´ıa relativista, y las dos componentes del momento lineal, obtenemos las ecuaciones mc2 +
Donde
hc hc = mc2 + K + ′ λ λ h h = ′ cos θ + p cos ϕ λ λ h 0 = −p sin ϕ + ′ sin θ λ
mc2 − mc2 , K=q 2 1 − vc2
La soluci´ on a estas ecuaciones es
p~ = q
m~v 1−
v2 c2
h (1 − cos θ) mc (hc/λ)2
λ′ = λ + K = cotg ϕ =
hc λ
+
mc2 1−cos θ
h 1+ mλc
tg
θ 2
Los dos picos se producen por que no solo los electrones desv´ıan los fotones, tambi´en los n´ ucleos lo hacen. Como la diferencia de longitud de onda es inversamente proporcional a la masa de la part´ıcula que produce la desviaci´ on, y los n´ ucleos son miles de veces mas pesados que los electrones, la diferencia de longitud de onda producida por los n´ ucleos no se aprecia en comparaci´on a la producida por los electrones.
Cap´ıtulo 2
Primeros modelos at´ omicos 2.1.
Modelo at´ omico
La materia se considera formada por entes m´ınimos que forman los diferentes elementos de la tabla per´ıodo: a ´tomos, que, conmin´andose, dan lugar a todas las substancias conocidas. Constituyen pruebas a favor de este modelo la pila de Volta (1745-1827) i la electr´ olisis del NaCl (Faraday, 1791-1867). Se consideraba que los ´ atomos estaban formada por una nube cargada positivamente, en la cual se incrustan electrones, haciendo neutro el ´atomo (modelo pastel de pasas).
2.2.
Modelo de Rutherford
Rutherford realiz´ o un experimento de dispersi´ on de part´ıculas α (n´ ucleo de helio) sobre una l´amina muy fina de pan de oro. Seg´ un el modelo del pastel de pasas, esperaba que las part´ıculas α no se dispersaran al pasar por el ´ atomo esencialmente neutro. Sin embargo, encontr´ o dispersi´ on en todos los ´angulos. Rutherford supuso, entonces, que las part´ıculas α eran dispersadas por otras part´ıculas positivas, un la mec´ anica, la trayectoria debe ser una hip´erbola, siguiendo la ley de Coulom F = K qQ r 2 . Seg´ recorrida de forma que la energ´ıa y el momento angular se mantienen constantes. Si b es el par´ ametro de impacto, el momento angular se puede escribir como L = mbv0 donde v0 es la velocidad en el infinito. Igualmente, la energ´ıa se puede escribir E = 21 mv02 . Se puede demostrar que el ´angulo β de dispersi´ on (´angulo entre las dos as´ıntotas) viene dado por tg
β qQ = 2 2bE
Sea N el n´ umero de part´ıculas α que inciden por cm2 , dn(β, ϕ) el n´ umero de part´ıculas que salen dispersadas por cada ´ atomo por ´ angulo s´ olido. El ´angulo s´ olido que ocupa el detector de part´ıculas α a la salida, se traduce en que recoge las part´ıculas que vienen con un intervalo de par´ ametros de impacto al rededor de b. Por tanto dn(β, ϕ) ser´ a el n´ umero de part´ıculas que pasan en ese intervalo, es decir, que pasan por la superficie bdφ. Por tanto dn(β, ϕ) = N bdb dϕ Si aplicamos la expresi´ on del ´ angulo de dispersi´ on, tenemos ! qQ q 2 Q2 dΩ qQ d dβdϕ = −N = N σ(β)dΩ dn(β, ϕ) = N 8E 2 sin4 β 2E tg β dβ 2E tg β 2
2
2
6
2 qQ sin−4 (β/2) se conoce como secci´ on eficaz. donde σ(β) = 4E Ajustando los par´ ametros de la secci´ on eficaz, Rutherford pod´ıa saber la carga del n´ ucleo. Encontr´ o que la carga era siempre un m´ ultiplo entero de la carga del electr´ on, Q = Z · e, donde Z coincid´ıa con el n´ umero del elemento en la tabla de Mendeleiev, dando significado al n´ umero at´omico. Rutherford encontr´ o que su modelo explicaba muy bien los resultados para diversos materiales. Por lo tanto, los ´ atomos deb´ıan estar compuestos de un n´ ucleo positivo, y los electrones al rededor de ´el. Para medir el tama˜ no del n´ ucleo, aument´o la energ´ıa hasta que pudieran traspasar totalmente la barrera repulsiva del n´ ucleo, qQ qQ V =K = E −→ rm´ın = K rm´ıin E Obtuvo que los n´ ucleos eran cuatro ordenes de magnitud m´ as peque˜ nos que el ´atomo en si. Como el modelo funciona correctamente, el electr´ on ha de estar lejos del n´ ucleo, a la distancia del radio at´omico. Para que no colapse a la atracci´ on del n´ ucleo, el electr´ on por tanto ha de estar girando. Sin embargo, seg´ un la electrodin´ amica, un electr´ on girando ha de perder energ´ıa por radiaci´ on y caer sobre el n´ ucleo.
2.3.
Modelo de Borh
Para arreglar los problemas del modelo de Rutherford, Borh (1885-1962) introdujo los siguientes postulados: 1.
Los electrones circulan en ´ orbitas circulares estables.
2.
No hay radiaci´ on electromagn´etica mientras el electr´ on no cambia de ´orbita.
3.
Las ´orbitas son tales que L = n~, siendo n un n´ umero natural.
4.
La radiaci´ on se produce cuando el electr´ on salta de ´orbita, su frecuencia es ν = es la diferencia de energ´ıa entre ambas ´orbitas.
∆E h
donde ∆E
Del tercer postulado se deducen los radios de las orbitas posibles r=
(n~)2 n2 a0 L2 = = µZe2 mZe2 Z
−1 −1 ≈ m es la masa reducida donde a0 = ~2 /me2 = 0,529˚ A es el radio de Borh, y µ = (m−1 e e + mn´ ucleo ) del ´atomo. Seg´ un la mec´ anica, la energ´ıa de una o´rbita de este tipo es
En = −
mZ 2 e4 E1 Ze2 =− 2 2 = 2 2r 2n ~ n
donde E1 = −13,6Z 2 eV. En realizar una transici´on de orbita, se emite un fot´on de frecuencia 1 1 1 1 µZ 2 e4 2 − − νn,m = = RZ 2h~ m2 n 2 m2 n 2 donde R = 109677, 576 cm −1 es la constante de Rydberg, conocida experimentalmente anteriormente a Borh. Este hecho, que concordaba con los conocimientos experimentales acerca de los espectros de emisi´ on, fue una de las principales pruebas a favor del modelo de Borh.
2.4.
Experimento de Franck-Hertz
En el experimento de Franck-Hertz se lanzan electrones desde un c´atodo a una cavidad, llena de vapor de Hg (la cantidad de Hg se controla a partir de la temperatura). A partir de cierto punto, se establece un potencial de frenado entre el ´anodo y un electrodo en forma de rejilla. Si el potencial acelerador de los electrones (entre el c´ atodo y la rejilla) es suficientemente grande, ´estos llegaran al ´anodo y establecer´an cierta corriente. Sin embargo, si los electrones van demasiado r´ apidos, provocaran colisiones con los ´atomos de mercurio, siendo frenados y excitando los electrones del Hg. Si continuamos aumentando el potencial acelerador, aunque se los electrones se frenen por los ´atomos de mercurio, volver´ an a acelerarse y de nuevo podr´ an provocar corriente entre la rejilla y el ´anodo. De esta forma, conforme aumentamos el potencial acelerador, la corriente va aumentando, disminuyendo bruscamente en el momento que los electrones son capaces de excitar el mercurio. Por otra parte, los ´ atomos de mercurio excitados realizaran la transici´on de relajaci´on en un tiempo t ≈ 10−8 s, emitiendo luz de acuerdo con el modelo de Borh. Esta radiaci´ on, efectivamente observada, confirma los postulados de Borh. En el caso del mercurio, los saltos de corriente bruscos se producen a intervalos de 4, 9 eV, energ´ıa que corresponde a la de ionizaci´ on del mercurio. Por otra parte, la luz emitida tiene una longitud de ˚ onda de λ = 2536A.
2.5.
Espectro de rayos X
R¨ ontgen descubri´ o los rayos X en 1895, cuando aceleraba electrones emitidos por un c´atodo mediante un potencial del orden de 104 V. Von Laue (1912) descubri´o que los rayos X eran ondas difract´andolos sobre un solido cristalino. El espectro de los rayos X tiene un fondo, causado por la radiaci´ on de frenado, conocida de la electrodin´ amica, que se genera cuando los electrones son frenados bruscamente al llegar al ´anodo. El espectro se termina el una longitud de onda λ0 , que se corresponde con la energ´ıa cin´etica m´ axima de los electrones, que no depende del material. Sin embargo, aparecen dos l´ıneas de emisi´ on muy pronunciadas Kβ i Kα , que no parec´ıan tener explicaci´on. Por otra parte, si se hace incidir el rayo X sobre el mismo material del ´anodo que lo ha generado, se observa un espectro de absorci´on que crece seg´ un la longitud de onda, dando un salto en dos posiciones que, adem´ as, no coinciden con las l´ıneas de emisi´ on. Se cree que los electrones que inciden sobre el ´atomo ionizan los electrones de las ´orbitas mas profundas. Los siguientes electrones del ´ atomo van r´ apidamente a ocupar los espacios libres. La l´ınea Kα se origina por los electrones del segundo nivel que van a ocupar el lugar perdido en el nivel fundamental, mientras que la l´ınea Kβ se origina cuando son los del segundo nivel los que bajan. Por otra parte, no se pueden absorber los fotones de estas l´ıneas ya que, cuando inciden a un ´atomo en reposo, este tiene el segundo y el tercer nivel completamente llenos. Moseley encontr´ o una ley que predice la longitud de onda de la l´ınea Kα 1 1 1 2 2 = 0, 75R(Z − 1) = R(Z − 1) − λK α 12 22 Esta ecuaci´ on recuerda la f´ormula de Borh, donde se ha apantallado una carga e a la carga del n´ ucleo. Este hecho indica que, cuando el primer nivel est´ a excitado, a´ un queda un electr´ on en ´el. Por lo tanto, en el primer nivel, caben dos electrones.
2.6.
Sommerfeld
Observando que las l´ıneas de los espectros est´ an desdobladas, Sommerfeld decidi´ o extender el modelo de Borh incluyendo ´ orbitas el´ıpticas. Aplicando las bien conocidas leyes de la mec´ anica cl´ asica, obtuvo ya tres de los n´ umeros cu´ anticos: uno relaciona con la energ´ıa n (el de Borh), uno relacionado ~ y otro relacionado con la componente en el eje Z del momento con el m´ odulo del momento angular |L| angular Lz . Las ecuaciones de cuantificaci´ on de Sommerfeld son E=
µe4 , 2~n2
Lz = m~ ,
~ = l~ |L|
donde m = −l, . . . , l, k ≤ n y n > 0. La cuantizaci´ on de una componente del momento angular se traduce en la cuantizaci´on de la orientaci´on de las ´ orbitas: no pueden orientarse en cualquier direcci´ on. Puesto que la elecci´on de el eje Z es propia del observador, debe introducirse en el ´atomo externamente, por ejemplo mediante un campo magn´etico. Los electrones, si fueran libres, se colocar´ıan en ´orbitas perpendiculares al campo, pero dada la cuantificaci´ on de Sommerfeld no todos pueden conseguirlo. Por lo tanto, seg´ un la orientaci´ on, los niveles se desdoblan. Esto se conoce como efecto Zeeman, y est´ a comprobado experimentalmente. Las predicciones cuantitativas del modelo de Sommerfeld funcionaban parcialmente tan solo en el ´atomo de hidr´ogeno.
Cap´ıtulo 3
Propiedades ondulatorias de la materia 3.1.
Hip´ otesis de Luis de Broglie
Hasta ahora, hemos visto propiedades corpusculares de la radiaci´ on. V´ıtor Luis de Broglie se atrevi´o a formular la hip´ otesis complementaria: las part´ıculas deben comportarse tambi´en como ondas. De Broglie supuso que las mismas relaciones entre la energ´ıa, momento, longitud de onda y frecuencia v´alidas para los fotones deber´ıan valer tambi´en para otro tipo de part´ıculas, es decir λ=
h , p
ν=
E h
Seg´ un esta hip´ otesis, la u ´nica manera de confinar una onda sin que esta desaparezca es que se sit´ ue en una onda estacionaria. Por lo tanto, cuando un electr´ on ligado a un ´atomo, debe formar una onda estacionaria, en la cual la longitud de la ´ orbita ha de ser un m´ ultiplo de la longitud de onda l = nλ −→ 2πr = n
nh h −→ p = p 2πr
~ = rp y, por tanto Si la ´orbita es circular se cumple |L| ~ =n |L|
h = n~ 2π
ecuaci´ on que coincide con la hip´ otesis cu´ antica de Borh.
3.2.
Principio de incertidumbre de Heisemberg
Recordemos la definici´on de la transformada de Fourier, directa e inversa Z ∞ Z ∞ iωt dω y(t)e−iωt dω , y˜(ω) = y˜(ω)e y(t) = 2π −∞ −∞ Dado que una onda no puede ser de infinita longitud (como suponemos idealmente), no puede nunca ser realmente monocrom´ atica. Supongamos una onda del tipo cos ω0 t si |t| ≤ T /2 y(t) = 0 si |t| > T /2 El espectro de frecuencias vendr´a dado por la transformada de Fourier " # sin(ω + ω0 ) T2 T sin(ω − ω0 ) T2 + y˜(ω) = 2 (ω − ω0 ) T2 (ω + ω0 ) T2 10
El espectro de frecuencias presenta dos picos (sim´etricos respecto del origen) al rededor de ω0 cuyo ancho (medido respecto las dos ra´ıces que lo rodean) es ∆ω =
2π ∆T /2
donde ∆T es la duraci´on temporal del pulso, que tomaremos igual al periodo de oscilaci´ on. Se obtiene la relaci´ on ∆ω∆T = 4π Seg´ un la hip´ otesis de Plank y Einstein E = ~ω, es decir ∆E∆t = 4π~ Este tipo de relaciones es habitual cuando se trabaja con variables conjugadas seg´ un una transformada de Fourier. En general, el producto de las desviaciones tendr´a siempre un valor m´ınimo. Esto se conoce como principio de incertidumbre de Heisemberg, e implica que el valor de dos cantidades conjugadas seg´ un una transformaci´on de Fourier no pueden conocerse con precisi´on arbitraria simult´ aneamente. Los ejemplos m´ as habituales son ∆E∆t ≥
~ , 2
∆x∆p ≥
~ 2
El principio de indeterminaci´ on de energ´ıa y tiempo implica que, como los fotones emitidos en una transici´on no pueden ser indefinidos, su duraci´on temporal ser´ a finita (los niveles se desexcitan en 10−8 s) y la indeterminaci´on en la energ´ıa no ser´ a nula. Si la energ´ıa de los fotones no esta determinada, tampoco lo estar´ a la energ´ıa de los niveles. Dicho de otra manera, si la energ´ıa de los niveles no esta perfectamente determinada, no pueden ser estables.
Cap´ıtulo 4
Ecuaci´ on de Sch¨ odinger 4.1.
Introducci´ on a la Ecuaci´ on de Sch¨ odinger
De acuerdo con De Broglie, si los electrones se comportan como ondas estacionarias, debe existir una ecuaci´ on de ondas de modos normales. Suponiendo que los modos normales son an´ alogos a los de una cuerda, la ecuaci´ on debe ser del tipo X ′′ + k2 X = 0 Donde el n´ umero de ondas cumple k=
2π p 2π = = λ h/p ~
Por otra parte, podemos escribir el momento lineal p en funci´on de la energ´ıa total del electr´ on seg´ un E =T +V =
p2 + V (x) −→ p2 = 2µ E − V (x) 2µ
Con lo que nos queda la ecuaci´ on de Sch¨ odinger independiente del tiempo: −
~2 d2 X(x) + V (x)X(x) = EX(x) 2µ dx2
Del mismo modo que en el caso de la cuerda, la ecuaci´ on de modos deber´ıa poder deducirse por separaci´on de variables de una ecuaci´ on general, que no contuviera las cantidades de separaci´on cuantizadas (en este caso, la energ´ıa). Si suponemos que las ondas de electrones vienen definidas por una funci´on de onda del tipo ψ(x, t) = X(x)T (t), la ecuaci´ on general hallada por Sch¨ odinger (y cuya validez viene tan solo justificada experimentalmente, ya que no es la u ´nica ecuaci´ on que da lugar a la ecuaci´ on de modos separada) es i~
~2 ∂ 2 ψ(x, t) ∂ψ(x, t) =− + V (x)ψ(x, t) ∂t 2m ∂x2
El significado de la funci´ on de onda ha sido cuestionado por muchos f´ısicos. La interpretaci´on 2 ortodoxa m´ as com´ unmente aceptada es que la cantidad ψ(x, t) dx representa la probabilidad de encontrar la part´ıcula entre la posici´ on x y x + dx en el instante t. Es decir, la magnitud ρ(x, t) = 2 ua como una densidad de probabilidad, y por tanto deber´ a cumplir la condici´ on de ψ(x, t) act´ normalizaci´on Z ∞ 2 ψ(x, t) dx = 1 −∞
12
Para obtener de nuevo la ecuaci´ on de modos, podemos suponer que la dependencia del tiempo es oscilatoria, es decir Et ψ(x, t) = X(x)e−i ~ con lo que la distribuci´ on de probabilidad queda como 2 Et 2 ρ(x, t) = X(x)e−i ~ = X(x)
4.2.
Espectro de energ´ıa
Podemos entender la ecuaci´ on de Sch¨ odinger como una ecuaci´ on de valores propios para un operador diferencial. En este caso, los valores propios son los diferentes niveles de energ´ıa permitidos, por lo que el operador diferencial est´ a asociado a la magnitud observable “energ´ıa”. Seg´ un esta filosof´ıa, cada magnitud f´ısica m tendr´a asociada un operador diferencial M tal que sus valores propios son los valores permitidos de la magnitud, M ψ = mn ψ Dado que el momento lineal de una part´ıcula se puede escribir p = h/λ = ~k, debemos hallar un operador que al ser aplicado a una funci´ on de onda nos de un valor propio Mk = ~k. El operador encontrado por Sch¨ odinger (avalado por la experimentaci´ on) es p ↔ −i~
∂ ∂x
con lo que el operador asociado a la energ´ıa ser´ a E=
~2 ∂ 2 p2 +V ↔ − +V 2µ 2µ ∂x2
Adem´as, seg´ un los teoremas generales para ecuaciones de valores propios, si tenemos dos funciones de onda X(x)i i X(x)j asociadas a energ´ıas (valores propios) diferentes, se tiene la condici´ on de ortogonalidad Z X(x)∗i X(x)j dx = δij
4.3.
Pozo de potencial
Un pozo de potencial esta caracterizado por una funci´on potencial del tipo V0 si |x| ≥ a/2 V (x) = 0 si |x| ≤ a/2 El espacio queda dividido en tres zonas, (I) izquierda del pozo, (II) interior del pozo y (III) derecha del pozo. La soluci´ on a la ecuaci´ on de Sch¨ odinger en cada zona, si consideramos estados ligados con E < V0 , vienen dadas por αx Ae + A′ e−αx si x ≤ −a/2 X(x) = Ceikx + De−ikx si |x| ≤ a/2 ′ αx B e + Be−αx si x ≥ a/2
donde
k2 =
2µ E, ~2
α2 =
2µ (V0 − E) ~2
En un estado ligado, si la part´ıcula no debe poder escapar totalmente del pozo, por lo que las condiciones de contorno son X(x → ∞) → 0 , X(x → −∞) → 0
Estas condiciones nos fijan A′ = B ′ = 0. Adem´as, como en la ecuaci´ on de modos normales aparecen derivadas segundas y el potencial tan solo presenta singularidades de salto, las soluciones y sus derivadas deben ser continuas X(±a+ /2) = X(±a− /2) ,
X ′ (±a+ /2) = X ′ (±a− /2)
Como tanto el potencial como la ecuaci´ on tienen simetr´ıa de paridad, tambi´en la tendr´an las soluciones, X(x) = ±X(−x), y existir´ an soluciones pares y impares. Las soluciones pares ser´ an A cos k|x| si |x| ≤ a/2 X(|x|) = ka −α|x−a/2| si |x| ≥ a/2 A cos 2 e donde la constante de normalizaci´on A depende de la energ´ıa p 2/a A= q 2 1 + sinkaka + αa cos2
ka 2
Las condiciones de continuidad exigen
ka α = 2 k ecuaci´ on que determinar´ a los valores posibles de la energ´ıa. Por otra parte, las soluciones impares ser´ an C sin k|x| si |x| ≤ a/2 ka −α(x−a/2) X(x) = C sin 2 e si |x| ≥ a/2 −X(−x) si x < 0 tg
donde la constante de normalizaci´on C depende de la energ´ıa a trav´es de k y α seg´ un p 2/a C=q 2 sin2 ka 1 − sinkaka + αa 2
Las condiciones de suavidad ahora nos imponen la ley de cuantizaci´on
ka k =− 2 α Se puede ver que siempre existe al menos una soluci´ on (par). Adem´as, las soluciones est´ an ordenadas, de menor a mayor energ´ıa, siguiendo siempre la secuencia par, impar, par... Si definimos los par´ ametros del pozo r µV0 a2 ka , θ0 = θ= 2 2~2 podemos escribir el potencial y la energ´ıa de cada modo seg´ un 2 2~ 2 θ 2~2 2 θ0 , E= θ = V0 V0 = 2 2 µa µa θ0 tg
mientras que las condiciones de cuantizaci´on, que nos permitir´an conocer los valores posibles de θ son s s θ0 2 θ0 2 (pares) tg θ = −1 , (impares) cotg θ = − −1 θ θ
4.3.1.
Oscilador arm´ onico
El potencial de oscilador arm´ onico se puede escribir V (x) =
1 2 1 2 2 kx = µω x 2 2
con lo que la ecuaci´ on de Sch¨ odinger independiente del tiempo es −
~2 ′′ 1 2 2 X + µω x X = EX 2µ 2
Para poder escribir la ecuaci´ on de forma adimensional, definimos los par´ ametros r 1 2µω α= , E = λ+ ~ω ~ 2 si hacemos el cambio de variables ξ = αx (sin dimensiones), podemos escribir la ecuaci´ on como 2 d 1 1 + λ + − ξ2 X = 0 2 dξ 2 4 De nuevo, las condiciones de contorno son X(±∞) = 0. Las soluciones de esta ecuaci´ on solo pueden ser normalizadas si λ es igual a un n´ umero entero λ = n = 0, 1, 2, . . .. La soluci´ on, una vez normalizada, resulta ser !−1/2 √ 2π n ξ − 14 ξ 2 Hn √ Xn (x) = 2 n! e 2µ 2 donde Hn son los polinomios de Hermite, definidos por la formula de Rodr´ıgues Hn (z) = (−1)n ez
2
dn −z 2 e dz n
y los niveles de energ´ıa permitidos son En =
4.4.
1 n+ 2
~ω
Estados no ligados
Volviendo al potencial de pozo, que ocurre si la energ´ıa es mayor que la barrera de potencial? En este caso, la soluci´ on puede escribirse como ik′ x ′ + Be−ik x si x ≤ −a/2 Ae ikx −ikx X(x) = Ce + De si −a/2 ≤ x ≤ a/2 ik′ x ′ Fe + Ge−ik x si x ≥ a/2
donde
2µ 2µ (V0 − E) , k2 = 2 E 2 ~ ~ Si todas las part´ıculas son emitidas desde la izquierda, no existe ninguna fuente en el lugar positivo de donde pueden venir part´ıculas en direcci´ on regresiva, es decir G = 0. Las condiciones de suavidad nos permiten hallar las constantes las dem´ as constantes en funci´on del flujo de part´ıculas incidentes A. En realidad, tan solo nos interesan las constantes B i F , que resultan ser k′2 =
B=A
k′2 − k2 , k2 + k′2 + 2ik′ k cotg ka
F =A
2ikk′ / sin ka k2 + k′2 + 2ikk′ cotg ka
El coeficiente de transmisi´ on de part´ıculas viene dado por 2 F 4k2 k′2 T = = 2 A (k − k′2 ) sin2 ka + 4k2 k′2
Mientras que el coeficiente de reflexi´ on resulta ser 2 B (k2 − k′2 ) sin2 ka R = = 1 − T = 2 A (k − k′2 ) sin2 ka + 4k2 k′2
El coeficiente de reflexi´ on se anula si
sin ka = nπ −→ ka = nπ es decir, si la longitud del pozo es un m´ ultiplo de la longitud de onda der la part´ıcula en cuesti´ on.
4.5.
Barrera de potencial
Podemos modelizar una barrera de potencial cuadrada por la funci´on V (x) = V0 θ(a/2 − x) θ(a/2 + x) donde θ(x) es la funci´ on paso de Heaviside. Si suponemos E ≤ V0 y procediendo de manera similar al apartado anterior, obtenemos el coeficiente de transmisi´ on 4β 2 k2 T = 2 (β + k2 )2 sinh2 βa + 4β 2 k2 donde
2µ 2µ (V0 − E) , k2 = E ~ ~ Vemos que en ning´ un caso podemos obtener T = 0, por lo que, aun teniendo energ´ıas inferiores a la barrera, las part´ıculas tienen cierta probabilidad de atravesar la barrera. En el caso que E ≥ V0 , obtenemos β 2 = −k′2 =
T =
4k2 k′2 (k2 − k′2 )2 sin2 k′ a + 4k′2 k2
Cap´ıtulo 5
´ Atomos con un electr´ on 5.1.
Ecuaci´ on de Sch¨ odinger en tres dimensiones
Recordemos que, en una dimensi´on, el operador asociado a la energ´ıa se define a partir del operador del momento lineal, para poder escribir la ecuaci´ on de Sch¨ odinger debemos extender la definici´on del operador de momento lineal a tres dimensiones. Puesto que en una dimensi´on, el operador del momento lineal se define como una derivaci´ on respecto la variable, resulta l´ ogico escribir el momento lineal en tres dimensiones como ~ p~ ←→ −i~∇ y, por lo tanto, la ecuaci´ on de Sch¨ odinger en varias dimensiones se escribe como 2 ~ 2 − ∇ + V (~r) X(~r) = EX(~r) 2µ ~ = ~r ×~ Por otra parte, en tres dimensiones tambi´en cabe definir el momento angular L p. De la misma forma que anteriormente, podemos encontrar los operadores asociados a cada una de sus componentes, que en coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ) se escriben ∂ ∂ − cotg θ cos ϕ Lx = i~ sin ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ ∂ Ly = i~ − cos ϕ + cotg θ sin ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ Lz = −i~ ∂ϕ ~ no depende de la coordenada radial r. El cuadrado del vector vendr´a dado por observemos que L 1 ∂ ∂ 1 ∂2 L2 = −~ sin θ + ∂θ sin2 θ ∂θ sin2 θ ∂θ 2
5.2.
Potenciales radiales
Entendemos por potencial radial aqu´el que tan solo depende de la distancia r a un centro de fuerzas. En estos caso, podemos aprovechar la simetr´ıa esf´erica del potencial nos permite utilizar coordenadas esf´ericas para estudiarlo (r, θ, ϕ). En estas circunstancias, el operador laplaciano se escribe 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂2 2 r+ 2 sin θ + ∇ = r ∂r 2 r sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 17
Vemos que la expresi´ on anterior es la misma que la del momento angular, por lo que podemos escribir ∇2 =
1 L2 1 ∂2 r − r 2 ∂r 2 r 2 ~2
Si suponemos una separaci´on de variables de la ecuaci´ on de Sch¨ odinger del tipo X(~r) = f (r)Y (θ, ϕ) obtenemos la ecuaci´ on separada para los a´ngulos L2 (θ, ϕ)Y = C~2 Y (θ, ϕ) que nos indica la cuantizaci´ on de L2 de un modo similar al modelo de Borh. Si suponemos otra separaci´on del tipo Y = Θ(θ)Φ(ϕ), obtenemos las ecuaciones separadas d2 Φ 1 d d m2 Θ(θ) = 0 , = −m2 Φ sin + C − dθ dϕ2 sin2 θ dθ sin2 θ La u ´ltima de estas ecuaciones tiene por soluci´ on general Φ = Aeimϕ + Be−imϕ Aplicando el operador Lz a esta soluci´ on obtenemos Lz Φ = m~Φ es decir, la componente Lz est´ a cuantizada con valores m~. Las soluciones a estas ecuaciones para Y (θ, ϕ) se conocen como arm´ onicos esf´ericos, que tan solo tienen sentido para los valores C = l(l + 1), con l = 0, 1, 2, . . . entero, i para m = −l, 1− l, . . . , 0, . . . , l − 1, l. Los arm´ onicos esf´ericos se pueden escribir como s 2l + 1 (l − m)! m ∗ P (cos θ)eimϕ , Yl,−m = (−1)m Yl,m Ylm (θ, ϕ) = 4π (l + m)! l donde Plm (z) son los polinomios asociados de Legendre, definidos por la formula de Rodr´ıges Plm (z) =
l+m (−1)m 2 m/2 d (1 − z ) (z 2 − 1)l 2l l! dz l+m
La condici´ on de ortogonalidad de los arm´ onicos esf´ericos es Z Yl∗′ m′ (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin θdθdϕ = δl′ l δm′ m Por lo tanto, para todos los los potenciales radiales, tenemos cuantizado el modulo del momento angular y tambi´en una de sus componentes, L2 Y (θ, ϕ) = l(l + 1)~2 Y (θ, ϕ) , p
Lz Y (θ, ϕ) = m~Y (θ, ϕ)
a ir en la direcci´ on del eje Z. Esto es una como |m| ≤ l < l(l + 1), el momento angular nunca podr´ consecuencia de un principio de indeterminaci´on existente entre dos componentes diferentes componentes del momento angular, por lo que la m´ınima componente en la direcci´ on perpendicular al eje Z es consecuencia del principio de incertidumbre.
5.3.
´ Atomos con un electr´ on
En un ´atomo con un solo electr´ on, no existe apantallamiento de la carga del n´ ucleo y el potencial viene dado por Ze2 V (r) = − r Si suponemos una separaci´on de variables del tipo X(~r) = la ecuaci´ on radial es
R(r) Y (θ, ϕ) r
~2 d2 l(l + 1) − + V (R) + R(r) = ER(r) 2µ dr 2 2µr 2
Para escribir la ecuaci´ on en forma adimensional, definimos a=
~ , µZe2
E=−
µZ 2 e4 1 2~2 λ2
y realizamos el cambio de variable ξ = r/a, con lo que la ecuaci´ on resulta 2 d l(l + 1) 2 1 − + − 2 R(r) = 0 2 2 dξ ξ ξ λ Las condiciones de contorno deben ser R(r → 0) = R(r → ∞) = 0. Las soluciones de esta ecuaci´ on resultan tener solamente significado si λ es un entero que podemos llamar n = 1, 2, . . ., por lo tanto, los niveles energ´eticos resultan ser los de Borh E=−
µZ 2 e4 1 2~2 n2
La soluci´ on, normalizada, resulta ser s 2l+3 2 (n − l − 1)! −ξ/n ξ l+1 L2l+1 Rnl (r) = n+l e 3 2na[(n + l)!] n donde Lqp (z) es un polinomio asociado de Laguerre, definidos por la formula de Rodrigues Lqp (z) =
dq Lp (z) , dz q
Lp (x) = ez
dp p −z (z e ) dz p
mientras que la condici´ on de ortogonalidad resulta ser la acostumbrada Z ∞ ∗ Rnl (r)Rn′ l′ (r)dr = δn′ n δl′ l 0
En resumen, hemos encontrado tres numeros cu´ anticos: el n´ umero cu´ antico principal (de Borh) n = 1, 2, . . ., que influye a la energ´ıa; el n´ umero cu´ antico secundario l = 0, 1, . . . , n − 1, que influye en el modulo del momento angular; y el tercer n´ umero cu´ antico m = −l, . . . , 0, . . . , l, que influye a la componente z del momento angular. Como tan solo el n´ umero cu´ antico principal influye en la energ´ıa, varios cada nivel energ´etico constar´a de diversos subniveles, es decir, la energ´ıa est´ a degenerada. La degeneraci´on vendr´a dada por n−1 X
(2l + 1) = n2
l=0
