Elvis Brown Ticona Apaza
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TEMARIO y y y y y y y
Introducción Definición Clasificación Propiedades Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Conclusión
TEMARIO y y y y y y y
Introducción Definición Clasificación Propiedades Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Conclusión
INTRODUCCIÓN y
El tratado de los cuadriláteros es de suma importancia en el aprendizaje de la geom omet etrí ríaa pla lan na, con onst stit itu uye pi pila larr fundamental para el aprendizaje de las propiedades de los polígonos, segm se gmen enttos y án ángu gullos os;; trat atar arem emos os as asíí la defi fin nición ón,, cla lassifi ficcaci ción ón y pr priincipales propiedades que nos ayudaran a comprender la importancia de los cuad cu adri rilá látter eros os tan antto en el de dessar arrrol ollo lo del currso com cu omo o en la vida cotidiana.
DEFINICIÓN y
Dados cuatro puntos coplanares A, B, C y D, tal que tres de ellos no son colineales, se denomina cuadrilátero a la unión de segmentos AB, BC, CD y DA, los cuales son los lados del cuadrilátero y los puntos A, B, C y D son los vértices.
CLASIFICACIÓN y
Cuadriláteros convexos y
y
y
y
Trapezoide Trapecio Paralelogramo
Cuadriláteros no convexos
TRAPEZOIDE Ningún par de lados opuestos son paralelos.
Trapezoide Escaleno o Asimétrico.
Trapezoide Bisósceles o Simétrico
TRAPECIO Dos lados opuestos son paralelos.
Trapecio escaleno
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
PARALELOGRAMO y
Los lados opuestos son paralelos.
Paralelogramo o romboide
Rectángulo o Cuadrángulo
Cuadrado
Rombo o Losan.
PROPIEDADES Teorema de los ángulos internos. y
La suma de los
ángulos internos de un cuadrilátero es
360º.
E F U K ! 360º
Teorema de los ángulos internos de un cuadrilátero no convexo y
La
suma de los ángulos interiores agudos es igual al ángulo externo del ángulo sobrante.
x
! E F K
Teorema de las diagonales. y
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su
punto medio:
AO
!
OC
BO
!
OD
Teorema de los puntos medios. y
Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de un trapezoide se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del trapezoide.
a b c d ! AC BD
Teorema de las bisectrices adyacentes. y
La
medida del Angulo formado por los bisectrices de los ángulos adyacentes a un lado del trapezoide, es igual a la semisuma de las medidas de los otros dos ángulos.
x !
U K
2
Teorema de las bisectrices opuestas. y
Las
medidas del menor ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos opuestos de un trapezoide es igual a la semidiferencia de las medidas de los dos ángulos de las que no se han trazado las bisectrices.
x !
K U
2
Teorema de los puntos medios. y
Los
segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se cortan en su punto medio. NO ! OQ
MO ! OP
Teorema de la mediana y
La
longitud del segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio (mediana) es igual a la semisuma de las longitudes de las dos bases.
NM
B !
2
b
Teorema de la distancia del centro del trapezoide a una recta exterior. y
La distancia del centro de un trapezoide a una recta
exterior, es igual al promedio de las distancias de sus vértices a dicha recta.
GR
!
a b c d 4
Teorema de las diagonales y la mediana. y
La
longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio, es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases del trapecio.
PQ
B !
2
b
Teorema de las bisectrices adyacentes de los lados no paralelos de un trapecio y
Las isectrices e l s á
e l s la s á l rect .
l s a yace tes a c al aralel s e tra eci , f r a
U ! 90º
iera
Teorema de las distancias de los vértices a una recta y
La suma de las distancias de dos vértices opuestos de
un paralelogramo a una recta exterior, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices opuestos a la misma recta.
ac
!
b d
Teorema de Paralelogramos 1.
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su
punto medio.
Teorema de Paralelogramos 2.
Las
diagonales de un rectángulo son de una misma longitud y se cortan en su punto medio.
Teorema de Paralelogramos 3.
Las diagonales de un cuadrado son de la misma
longitud y se cortan en su punto medio formando un ángulo de 90º.
Teorema de Paralelogramos 4. Las diagonales de un rombo son perpendiculares
entre si y se cortan en su punto medio y son de diferente longitud.
Ejercicios Resueltos En el cuadrilátero ABCD. Hallar la medida de x; si a + b = 160° y
De la figura: a+b+2+2 =360º «««.. (I) Por dato: a+b =160º R eemplazando en (I): 160º+2(+) =360º R esolviendo: + =100º Por ángulo exterior: + = x De donde : x=100º
Ejercicios Resueltos y
En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica el punto P, tal que medida del ángulo APC es igual a 105º, calcular la medida del ángulo determinado por AC y DM; siendo M el punto medio de AP. Al trazar MH perpendicular a AD, si AB = 2ª => MH = a En el triangulo AMD; si MH = AD/2 y medida del ángulo MAD=75º; => se cumple que =30º En consecuencia: x=45+30 => x=75º
Ejercicios Resueltos y
En el grafico ABCD es un cuadrado de centro O, además PIQ equidistan del vértice D. Calcular x si la medida del ángulo BOQ = 70º En el triangulo AOQ; por el teorema del ángulo exterior: angulo OPD=45º+20º=65º En el triangulo PQD isósceles QD=PD y ángulo PQD = 65º El cuadriláter o PQHD es inscriptible, => la medida del ángulo PHD = 65º En el triangulo rectángulo PHD: medida del ángulo HPD=25º En consecuencia: x+25º=65º => x=40º
Ejercicios Propuestos 2.
En el trapecio ABCD. Hallar AD si AB = 6 y BC = 4.
Ejercicios Propuestos y
En la figura hallar el valor de x.
