CTARIT-2S-IIIP

MATEMÁTICAS

I.E.P. “DOS CIENTAS MILLAS PERUANAS”

3.1. DIVISIBILIDAD POR 2

3.9 DIVISIBILIDAD POR POR 11 Cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par; es 0 o múltiplo de 11.

Cuando termina en cero o cifra.

IV. DIVISIVILIDAD DE UN NÚMERO 1. DEFINICIÓN: Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta. A B

donde : K  Z

0 K  A = BK Se lee :  A “es divisible por” B  B “es divisible de“ A  B “divide a“ A



N = abc  2  c = cero o par.

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; . .. ; 100 

3.2 DIVISIBILIDAD POR POR 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 

Solución :

7 : 7; 14; 21; 28; 35; . . . 98



N = a b c d e f  11

7k : 1; 2; 3; 4; 5 , . . . 14

- + - + - + Existen 14 números



N = abc  3  a + b + c = 3

PROBLEMAS RESUELTOS

3.3 DIVISIBILIDAD POR POR 4 Cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 





4. Si : 1a2a3a4a = 11 ; halla “a”

1. En la siguiente siguiente sucesión cuantos cuantos números múltiplos de 5 existen.

Solución : Se sabe que :

2; 5; 7; 10; 12; 15; 25; . . . 50

N = abcd  4  cd  oo  4



3.4 DIVISIBILIDAD POR POR 5 Cuando la última cifra es cero o cinco.

4a – (4 + 3 + 2 + 1) = 11

Solución :



4a – 10 = 11

5; 10; 15; 20; 25; . . . 50



4a = 11 + 10



También :

N = abcd  5  d = 0 v 5

A “es múltiplo de” B B “es factor de” A 

Notación : A = B

2. OBSERVACIONES : a) El cero es múltiplo múltiplo de cualquier número entero positivo. b) El cero no es divisor a la unidad de ningún número. c) Todo número es divisor de la unidad. d) Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros. e) Un número negativo negativo puede ser múltiple de otro positivo.

3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son condiciones que consiste en analizar las cifras de un número, para determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de no serlo nos dará a conocer el residuo.

Factorizando 5

3.5 DIVISIBILIDAD POR POR 6 Cuando es divisible por 2 y también por 3. 





3.6 DIVISIBILIDAD POR POR 7

2. Sea : A = {3436; ab48 ; 3128 ; 32a50 } Cuantos múltiplos de 4 existen.



7

Solución :

3 1-2 -3-1 2 3 1



 ab48 = 4 porque 48 = 4







 3128 = 4 porque 28 = 4

N = abcd  8  bcd  000  8 3.8 DIVISIBILIDAD POR POR 9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 



N = abcd  9  a + b + c = 9

1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . 198; 199; 199; 200

4k = 1; 2; 3; 4; 5; . . . 50 



Solución :



 3436 = 4

h + 3g + 2f – e – 3d – 2c + b + 3a = 7 3.7 DIVISIBILIDAD POR POR 8 Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo de 8.

5. Cuántos números múltiplo múltiplo de 4 existen en los 200 primeros números naturales.

4 : 4; 8; 12; 16; 20; . . . 200





a=8

5(1; 2; 3; 4; 5; . . ; 10) Existen 10 números.

N = abcd  6  2  3

a b c d e f g h



a = 11 + 8

 32a50





4 porque 50 4

Existen 3 números

Existen 50 números.

6. Del siguiente siguiente conjunto : A = ab0; abc; ab5; a25; a48 Cuántos múltiplos de 5 existen. Solución :

3. De los 100 primeros números naturales cuantos múltiplos de 7 existen.



ab0  5 porque termina en 0.

MATEMÁTICAS

I.E.P. “DOS CIENTAS MILLAS PERUANAS” 

19).- Halla “b” máximo



abc  5

3259b  4

6).- Halla “b” máximo



ab5  5 porque termina en 5

a) 10 d) 13



354ab8  4



354ab8  4

b) 11 e) 14

c) 12 a) 2 d) 8



a25  5 porque termina en 5

a) 2 d) 8



a48  5

b) 4 e) 9

c) 6

12).- Cuántos números múltiplos de 13 existen en la siguiente sucesión :



7).- El residuo de dividir :

Existen 3 números.

534(a - b)3b(5 - a)2

PROBLEMAS PROPUESTOS 

1).- Halla el valor valor de “a”max en 456a7  3 b) 4 e) 9



b) 4 e) 9

c) 7

3).- Halla el mínimo valor de “b”

c) 3

123123004123124313  11 es : a) 0 d) 3

b) 1 e) 7

c) 2

13).- ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 12? a) 71 b) 72 c) 73 d) 74 e) 75 14).- ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 35? a) 26 b) 28 c) 31 d) 29 e) 27

a) 15 d) 18

55555555554545454  9

c) 6 a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

3



a) 9 d) 7

b) 3 e) 1

c) 5



a) 1 d) 6

5).- Halla el valor de “a”max

b) 2 e) 12

32a1437  3



b) 4 e) 8

c) 3

a) 1 d) 7

c) 7

3a251  9

b) 3 e) 9

c) 5

21).- Halla (a mínimo + bmáximo) 

3a251  9

a) 10 d) 13



3259b  4

b) 11 e) 14

c) 12

22).- Un comerciante cuenta las botellas que tiene de 12 en 12; de 10 en 10; y de 15 en 15, sobrando siempre 7 botellas. Calcular la cantidad de botellas, si es mayor que 400 y menor que 440. Dar como respuesta la suma de sus cifras. b) 13 e)16

a) 61 d) 64

c) 14

b) 62 e) 65



c) 63

24).- El número de vacantes de cierta universidad está comprendida entre 3500 y 3700. Halla el número sabiendo que si se cuenta de 8 en 8, de 6 en 6 de 5 en 5, siempre sobran 2. a) 3609 d) 360


11).- Halla (a mínimo + bmáximo)



a) 1 d) 9

354b876 = 11

2317b4  9

c) 3

23).- Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 14?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 17).- Halla el mínimo valor de “b”



a3542

16).- Halla el mínimo valor de “b”

2317b4  9

b) 2 e) 12

a) 12 d) 15

32b378 = 9

10).- Halla (a+b) mínimo: 

c) 13



4).- Halla el mínimo valor de “b” 354b876 = 11

b) 17 e) 16

2ab



3

a) 1 d) 6

c) 14

15).- ¿Cuántos números de la forma º existen que sean 6 4 ?




b) 4 e) 9

b) 2 e) 5

b) 16 e) 23



32b378 = 9

a) 2 d) 8

 9 es


c) 7

2).- Halla el valor valor de “a”max en 55a909  7 a) 1 d) 8

a) 1 d) 4

a) 18 d) 20

c) 6

20).- Halla (a+b) mínimo : a3542

38; 39; 40; 41, . . .; 260

a) 1 d) 8

b) 4 e) 9

b) 3501 e) 3700

c) 3602

32a1437  3

25).- Si: a) 1 d) 9

b) 4 e) 8

c) 7

4aa8  m7 .

tomar “a”?

a) 4 d) 3

b) 5 e) 1

¿Cuántos valores puede c) 2

MATEMÁTICAS


26).- ¿Qué residuo se obtiene al dividir el siguiente número: 222333444555666777888999 entre 9? a) 6 d) 3

b) 1 e) 7

c) 2


en



503a56  11

a) 1 d) 8

b) 4 e) 9

1. DEFINICIÓN

c) 7 

34).- Halla el valor valor de “a”max en a1927a  6 27).- Si el costo de 12 manzanas es de tres soles calcule el menor costo de cierto numero de manzanas que agrupadas de 24, 15 y 18 siempre sobran 12. a) 61 d) 93

b) 92 e) 95

c) 63

b) 4 e) 9

c) 7


28).- Tenemos que: c875b  36 . Halla la suma de todos los valores de “b”

b) 6 e) 5

a) 1 d) 8

b) 4 e) 5

c) 7

c) 9

2.2. NÚMERO COMPUESTO.- Es el que tiene mas de dos divisores, la siguiente es la sucesión de los números compuestos:

valores puede tomar “b”?

b) 2 e) 5 

a) 5 d) 8

c) 4

CLAVES DE RESPUESTAS c) 6

31).- Halla el mínimo valor de a : 3a451  7

a) 1 d) 4

4

b) 2 e) 5

c) 3

32).- Halla el mínimo valor de “a + b” 

53267a3b  9

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica. Ejemplo : 144 = 2 4 . 32 En general : Sea :

N = A  . B . C

Donde : A, B y C son números primos Se cumple lo siguiente : 2.4.1 CANTIDAD DE DIVISORES [D (N)] D(N) = ( + 1) (  + 1) ( +1) 2.4.2 SUMA DE DIVISORES [SD (N)]

 A  1  1   B 1  1   C 1  1  . .  SD(N) =   A  1   B  1   C  1       

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; . . .



y 3b58  11

b) 7 e) 10 

2. CLASIFICACIÓN 2.1. NÚMERO SIMPLE .- Un número simple es el que tiene no más de dos divisores. Son números simples la unidad y los números primos.



30).- Si : a532  9 Halla : a+b

2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19; 23; 29; . . .

en



29).- Si se sabe : ab5(7  a)  6 . ¿Cuántos a) 1 d) 3

Número primo o primo absoluto, es aquel que solamente tiene 2 divisores, la unidad y si mismo. El menor y único número par primo es el 2, lo únicos números consecutivos que son primos absolutos son el 2 y el 3. La siguiente es la sucesión de los números primos.

a048a6  11 

a) 1 d) 8

a) 1 d) 8

V. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

c) 3

1) d 2) e

3) b

4) a

5) c

6) d

7) d

8) a

9) a

10) b

11) d 12) a

13) e

14) a

15) b

16) b 17) e

18) c

19) d

20) b

21) d

22) b

23) d

24) c

25) c

26) a 27)d

28) d

29) d

30) d

31) d

33) c

34) b

35) e

32)a

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ, COPRIMOS O PRIMOS RELATIVOS (PESI)

2.3.

Dos o más números son primos entre si (PESI). Cuando no tienen otro divisor común que la unidad, aunque cada uno separadamente no sea primo. Ejemplo : a. 11; 12 y 15 b. 10; 8 y 9 2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE

LA ARITMÉTICA ARITMÉTICA Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de

2.4.3 SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES [SID(N)] SID(N) =

SD(N) N

2.4.4 PRODUCTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO [PD(N)] D(N)

PD(N) =

N

2

MATEMÁTICAS


2.4.5 INDICADOR DE UN NÚMERO O 2.4.5 FUNCIÓN DE EULER [ (N)] Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él.

Elaborando la tabla de divisores

D( N )

PD(N) = (152 . 213)

5.- Descompón canónicamente:

2

PD(N) = (152 . 213)36 = 1572. 21108

Sea : “N” un número compuesto.

N = A . B . C . . . . . . (D.C)

3) Si : 12 2n tiene 63 divisores más que 12 n. Halla “n”

Se calcula :

(N) = A-1 (A-1) . B -1(B-1) . C-1(C-1)

122n = 24n . 32n 2n

n

12 = 2 . 3

1) Si : 25 x 15 tiene 24 divisores. Halla el valor de .

D(N) = (4n+1) (2n+1) n

D(12 ) = (2n+1)(n+1)

Restando : D(122n) – D(12n) = (2n + 1) (3n) = 63 (2n+1)n = 7 . 3

Solución :

D(N) = ( +1)( +2+1)=( +1)( +3) Dato :

4) Halla el valor de “x” si N = 6 . 8 x tiene 16 divisores. Solución : N = (2 . 3) . (2 3)x

( +1)( +3) = 24 ( +1)( +3) = 4 x 6 Por identificación de factores.

8

3

6

12

24

7

14

28

56

B.- 352x45n

21

42

84

168

C.- 204x8n+1

49

98

196

392

Los divisores de 1176 que tiene 2 cifras son 10.

PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 16 d) 10

b) 26 e) 15

c) 17

2.- La suma de los cinco cinco primeros números compuestos es: a) 40 d) 38

N = 2 . 3 . 2 3x

D(N) = 24

4

1.- La suma de los 4 primeros números primos es:

n=3

N = 25 . 15 = 52 . (3 . 5) = 5 . 3 . 5 N = 3 . 5 +2

2

Solución :

n

PROBLEMAS RESUELTOS

1

b) 36 e) 37

c) 39

N = 23x+1 . 3

Dato : D(N) = 16

A.- 1024

(3x+2)(2) = 16

N = (3 . 5) 2 . (3.7)3 2

2

x=2

5) Cuántos divisores de 1176 tienen 2 cifras.

3

3

N = 3 . 5 . 3 . 7 N = 35 . 52 . 73

(D.C)

D(N) = (5+1) (2+1) (43+1) = 72

1176 588 294 147 49 7 1

2 2 2 3 7 7

a) 4 d) 5

b) 7 e) 6

c) 3

7.- ¿Cuál es la suma de los factores primos de 20328 ? a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

8.- ¿Cuántos y cuáles son los divisores de: A.- 12 B.- 42

1176 = 23 x 3 x 7 2 1 2 4 8

1 3

1 7 49

9.- ¿Cuántos divisores tiene:

B.- 7744

A.- 120

C.- 297000

B.- 1800

D.- 66600

C.- 1650

Solución :

N = 152 . 213

6.- ¿Cuántos son los factores primos de 3960?

3.- Descompon canónicamente :

3x+2=8

Solución :

D.- 14n-2x563

C.- 56

D(N) = (3x+2) (1+1) = (3x+2) (2)

= 3

2) Halla el producto producto de divisores del número: 152 x 213

A.- 12nx44

4.- Descompón canónicamente :

10.- ¿Cuántos divisores tiene:

A.- 15x60

A.- 92x124

B.- 223x121

B.- 18x2792

C.- 562x215

C.- 33x423

D.- 244x392

MATEMÁTICAS


11).- La edad del señor Javier es igual a la suma de los primeros 5 números primos. ¿Qué edad tiene el señor Javier? a) 17 d) 27

b) 18 e) 28

b) 2 e) 6

b) 2 e) 5

c) 4

c) 3

b) 5 e) 10

¿Cuántos divisores tiene N? c) 18

N = 24x3x55 ¿Cuántos divisores tiene N? b) 60 e) 54

c) 40

17.- Si : A = Cantidad de divisores de 8. B = Cantidad de divisores de 18.

b) 7 e) 9

a) 124 d) 127

c) 18

b) 125 e) 118

c) 128

c) 40

c) 8

Donde la cantidad de divisores de M es 72. Calcula “n”.

a) 14 d) 17

26).-Si : 25 x 15  tiene 24 divisores. Halla el valor de .

b) 16 e) 18

b) 4 e) 6

c) 8

27).-Halla el valor de “x” si N = 6 . 8 x tiene 16 divisores.

a) 6 d) 9

b) 4 e) 10

c) 8

b) 8 e) 3

tiene 60

a) 2 d) 6

c) 4

c) 15

b) 4 e) 10

c) 8

34).- ¿Cuántos ceros debe tener? N = 2000 . . . 00 Para que el resultado tenga 56 divisores? a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6

35).- ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 6930? a) 40 d) 43

b) 41 e) 44

c) 42

36).- Si : N = 13 k+2 – 13k tiene 75 divisores compuestos. Halla “k”

c) 7

29).- Si P = 21 n-3 tiene 169 divisores. Halla

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

“n”

b)16 e) 15

c) 11

CLAVES DE RESPUESTAS

Donde la cantidad de divisores de M es 30. Calcula “n”.

a) 2 d) 5

23) .- Sea el número: M = 2nx53x72

b) 3 e) 6

c) 8

33).-Halla el valor de “x” si N = 6 . 8 x tiene 28 divisores.

30) .- Sea el número: M = 2nx52x7

¿Cuántos divisores tiene N? b) 48 e) 54

b) 4 e) 6

a) 14 d) 17

22) .- Sea el número: N = 23x3x55

a) 2 d) 5

a) 5 d) 3

28).- Halla “n”, si M = 77x9 n divisores.

¿Cuántos divisores tiene N? b) 9 e) 48

35 divisores.

Halla “n”.

a) 2 d) 6

24).-¿Cuántos divisores compuestos tiene 3872?

Halla: ( A + B ) a) 6 d) 10

b) II c) III e) Los tres tienen por igual.

20) .- Sea el número:

a) 12 d) 35

16.- Sea el número :

a) 12 d) 35

a) I d) I y II

25) .- Si : N =

a) 5 d) 3

21).- ¿cuantos divisores posee 231000?

N= 32x5x7x112

b) 9 e) 48

I. 225 II. 196 III. 441

a) 4 d) 36

c) 7

15.- Sea el número :

a) 4 d) 36

c) 21

N = 33x5x7x112

14).- Halla la suma de los divisores primos de 60. a) 2 d) 8

b) 18 e) 30

19.- ¿Cuál de los siguientes números tiene mayor cantidad de divisores?

13).- ¿Cuántos divisores primos tiene el número 12? a) 1 d) 4

a) 10 d) 24

c) 25

12).- ¿Cuántos divisores tiene el número 16? a) 1 d) 5

18.- Halla la cantidad de divisores de 62500.

2nx34 tiene

b) 3 e) 6

c) 4

31).- Si : 12 2n tiene 63 divisores más que 12 n. Halla “n”

a) 6 d) 2

b) 3 e) 4

c) 5

32).- Halla “x” si : N = 6 x 162 x tiene 40 divisores. a) 2 d) 5

b) 3 e) 1

c) 4

1) c

2) e

3)

4)

5)

6) a

7) c

8)

9)

10)

11) e 12) d

13) b

14) e

15) d

16) b 17) d

18) c

19) e

20) e

21) c 22) b

23) d

24) c

25) e

26) d 27)a

28) c

29) e

30) c

31) b 32) a

33) b

34) c

35)c

36)c

MATEMÁTICAS


PROBLEMAS RESUELTOS

V. BINOMIO DE NEWTON

Descomponemos los factoriales. n(n  1)!(n  1)(n )(n  1)! R= n(n  1)!2(n  1)!

1.- Simplifica: 10! 9!

1. FACTORIAL



10x9! 9!

 10

R=

2.- Simplifica: 3!.6!.8!

DEFINICIÓN: Se define el factorial de un número entero positivo “n” como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta “n”

inclusive. Así:

2!.4!.5!.7!.



3!.6.5!.8.7! 2.4.3!.5!.7!



6.8 2.4

 6

3.- Simplifica: 4!1 

25

1! = 1

( x  4)!  ( x  3)!

Solución:

2! = 1 x 2

( x  4)( x  3)!

3! = 1 x 2 x 3

( x  3)!

4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! = 6! = 7! = 8! = 9! = 10!=

120 ...................................................... 720 ........................................................ 5040 ...................................................... 40320 ...................................................... 362880 ...................................................... 3628800 ......................................................

Por convención: 0 ! = 0 = 1

x+4=7 x = 7 – 4 x=3

OBSERVACIONES:

 a = 1

P

ó

a=0



(n  3)(n  4)! (n  4)!

P = n - 3 – n + 4 II. Sabemos que:

7!=7x

6x5x4x3x2x 1    

P=1

6!

7!=7x6! n ! =n x (n-1) !

6.- Reduce: n!(n  1)! R n!2(n  1)!



A 

a) 6 d) 9

c) 4

E

a) 7 d) 8

 99 (n  2)!

c) 8

 32! 24!   11    23! 33! 

b) 10 e) 11

E 

8 5

c) 6

 35!  87!  3  4!  15!   17! 87  86  36! 84! 

a) 1 d) 4

n2 =100

5! 3! 2!

7).- Simplifica:

(n+1)(n-1) =99 n2 – 1 = 99

c) 4

b) 7 e)10

6).-Simplifica:

 99 (n  2)!

b) 2 e) 5

c) 3

8).-Simplifica:

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1).- Halla el resultado de: 15!16!14! P 16!15! a) 255/221 c) 225/256 e) 256/125

18! x18!

b) 3 e) 6

5).-Calcula:

n = 10 (n  4) (n  5)! (n  5)!

18(6x 17! )

b) 2 e) 8

a) 2 d) 5

(n  1)(n )(n  1)(n  2)! n

5.- Simplifica: (n  3)! (n  4)! P  n  4! (n  5)!

E

n! –24n = 48-(n+1)!

n2

(n  1)! n

e) 10303

4).- Halla “n” de:

n( n  2)

(n  1)! n! = 99(n-2)! (n  1)n!  n!

Solución:

I. Si: a ! =1

n2

Solución:

7

b) 10304 d) 10404

a) 1 d) 6

2

7.- Halla el valor de “n” en: (n  1)! n!  99 (n  2)! (n  1)!n!

7

a) 10403 c) 10203 3).- Reduce:

n2 2n  n

100!

2

n

R=n 4.- Simplifica:

Ejemplos:

n  n2

5



n ! = n =1x2x3x4x…. x(n -1)xn n ! ; n =Se lee “factorial de n” o “n factorial”.

R= R=

24  1 

2).- Halla el equivalente de: 101!102! E

Solución:

b) 256/225 d) 125/256

E



(n

n! (n  2)!  3)! (n  1)!

a)

n 1 n  2

b)

c)

n 1 n  2

d)

n2 n 1 n n

1 2

e)

n 1 n  2

MATEMÁTICAS


9).- Halla: Q

a) 3 d) 6

2) .- Simplifica :

 (1! 1)  1! b) 2 e) 1

c) 5

10).- Halla “M” en:

 64! M= 2  32!  63! b) 64 e) N.A.

c) 1/2

11).- Simplifica: E  729  ( 6 ! 1)( 6!  1)  1

a) 2 d) 5

b) 3 e) 9 0!

c) 4

a) -26 d) -22 13) .- Efectúa: a) 840 d) 680 14) .- Efectúa: a) 120 d) 5040 15) .- Efectúa: a) 1/2 d) 8

b) –28 e) -24 6! + 5! b) 120 e) 1200 7! – 5! b) 720 e) N.A.  3!  3! b) 1 e) 3/8

1 !

c) –20

c) 720

c) 4920

4!

c) 3/5

 n!  ( n  1)!     ( n  1) !  b) 2 e) n+1

5).- Simplifica :

c) 1

c) 3

3 x 4 x 5 x X! = 5!

b) 2 e) 1

c) 4

( X  2)!( X  2)! ( X  3)!( X  1)!

c) 4

 12

9).- Simplifica :

b) 1 e) 7

b) 33 e) 31

c) 3

a) 600 d) 602

25! 23!



A=

(6 ! ) 4!

Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos

tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento. n

13).- Calcula el valor de A.

C  k

2

n! (n  k )! k!

24! ( 4 ! )!

b) 601 e) 603

a) 9 d) 5

c) 34



(1! ) ! (0 ! ) !

; donde n, k  N n≥k≥0

 5!

a) 3500 d) 4200

b) 3620 e) N.A.

c) 3600

NOTACIÓN: Cnk ;

(x+1)! = 30(x-1)!

b) 7 e) 2

c) 8

n

1) b

2) a

3) b

4) c

5) e

6) d

7) a

8) b

9) d

10)d

11)b

12)b

13)a

14)c

15)c

1) e

2) d

3) a

4) d

5) b

6) d

7) c

8) c

9) d

10)b

11)c

12)b

13)c

14)d

;

n

Ck



n(n  1)(n  2).....( n  k  1) 1x2x3x..... xk

Ejemplos: C93

NIVEL I

n Ck

Regla Práctica: C

NIVEL II

10).- Determina el valor de :



c) 290


c) 4

b) 2 e) 2

(5! )! 120!

b) 620 e) 225

DEFINICIÓN: 20! 40!   18! 39!

k

7).- .- Simplifica : ( X  2)!  2 ( X  3)! a) 5 b) 2 d) 3 e) 1

E=

a) 700 d) 500

14).- Hallar “x”en:

35!  34!  33 ! E= 33!  34 !

1) .- Simplifica :  9!  8!  7!    x 9  9!  8!  7! 

200! E= 199!

c) 21

2. NÚMERO COMBINATORIO

c) 4

3!

a) 32 d) 35

b) 84 e) 60

12).- Calcula :

6).- Simplifica : 4  5  6  X!  5! a) 5 d) 3

a) 62 d) 65

1

b) 2 e) 1

a) 4 d) 3

4!

c) 3

4) .- Simplifica :   2! ! 2!!!! a) 1 b) 2 d) 4 e) 24

8).- .- Simplifica :

NIVEL II

a) 7/9 d) 9

a) n d) n2

a) 5 d) 3

12).- Efectúa: 3 ! 2!  2! 3!

(3! )! 11).- Calcula: E = 18!19!20!  18!19! 6!

4!  3!

b) 2 e) N.A.

3) .- Simplifica :

31!

a) 32 d) 1

a) 1 d) 4

3! (3!  2! )x 3



9x8x7 1x2x3

 84

C72



7x6 1x 2

 21

PROPIEDADES: a) COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS: C

n k

C

n nk

Teorema : Si : Cnk  Cpn  k  p v k  p  n

b) DEGRADACIÓN DE ÍNDICES: ambos índices: n

Ck

n

 Cnk 11 k

c) 599 Sólo el superior:

MATEMÁTICAS


Cn k



n nk

1 Cn k



n k 1 n Ck 1 k

c) SUMA DE COMBINATORIOS: Cnk



Cnk 1

E

E 

1).- Reduce:

Sólo el inferior: Cnk

PROBLEMAS RESUELTOS:



E=

E = 24  8 33

t k 1 = C nk X n k a k

12

Pero :

C12 5



b) Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).

17

12

12

17

2 C 5  C9

12 17 17 3C12 5  3C 7  4C9  C8 17 2C12 5  C9

C12 7



C17 9



C

n 0

E=



C n3



C 5n

..

t4 = C n3 (x)n-3 (2)3 = 80xm 8 C n3 xn-3 = 80xm Luego : 8 Cn3 = 80  Cn3 = 10 xn-3 = xm n-3 = m  n – m = 3 Luego :

2



6 x 5 x 4 2 x3



nm

6x5x 4x 3

valor de “n”.

1 

Solución: tk+1 = C15 k

3).- Reduce:

E

tk+1 = (x2)12-k (-x -1) k Luego : 2(12 – k) – k = 0

E

E

22 22 22 22 C12  C13  C13  C14

C721  C821  23 C13 C 822

23  C14  C 922

C821  C21 9

Por lo tanto:

= 495

6).- Halla el valor de “n” si el término de lugar 25 en el desarrollo de: (x2 + 13 )n contiene a x 12. x

Solución : t25 =

Cn24 (x2)n-24 (x-3)24 = x12

 2n – 48 – 72 = 12 n = 66

( x4 )15-k( x-3 )k

x60-4k-3k = nx32

60 – 7k = 32 k=4

12 Ck

C12 8

C15 k

12



x 

Solución:

22  C14 21  C9

3

3

8).- Uno de los términos de la expresión de (x4 + x-3)15 es de la forma nx 32. Calcula el

Luego:

k=8 22 22 C 12  2C 13 21 21 C 7  2C 8

3

2 x 3x4

S = 50

 2  x  

12 17 6C 5  3C 9 17 2C12 5  C9

 1 10  1 9   

Cn3

5).- Halla el término independiente en el desarrollo de:

C17 8

E=3

 C 1n  Cn2 ..... C nn = 2n

*Si x=-1  C n0  C n2  C n4 .. = C 1n

S=

6 x 5

1

nm

Solución :

 C36  C64

C6 2

C n3

10 x 9! x 23!

S = 15 + 20 + 15

Solución :

C n0  XC 1n  X 2 Cn2  X 3 Cn3 ..... X n Cnn

24 x 23! x 9!



17

3 C 5  4C 9  3 C 7  C 8

Además: (1 x )n =

Calcula :

Solución:

2).- Reduce:

E

7).- El 4to término del desarrollo de: (x+2) n es 80xm.

4).- Determina el valor de:

11

Luego :

Nota: La expansión del Binomio (x+a) n a) Presenta n + 1 términos.

* Si x = 1

24! . 9! 10! . 23!

S=

E

24! 10! . 14! 23! 14! . 9!

E = 2,4

Solución:

FÓRMULA GENERAL DEL TÉRMINO DE POSICIÓN: k+1 ( t k 1 )



32! . 24 .23! 23! . 33 . 32!

3. BINOMIO DE NEWTON:

C nn an

23 C9

E

Solución:

Cnk 11

Expansión general del binomio de Newton: Se pueden desarrollar binomios para exponente natural con ayuda de los combinatorios. (x+a)n= C no x n + C 1n x n1a + C n2 Xn2 a 2 +....+

32! . 24! 23! . 33!

24 C14

15

Ck

= n

n = 1365

PROBLEMAS PROPUESTOS 1).- Sabiendo: Calcula: K ! a) 3 d) 11 2).- Reduce:

77

3 C 7k

 11C76 7k1

b) 6 e) N.A. X

E  C7

c) 9

X 2  2 C 8X  C 9X  C10

X3 a) C10

b)

d) C 9X2

e) N.A.

X2 C 10

X c) C10

MATEMÁTICAS


3).- Reduce :

10

E

a) 12/7 d) 5/7

11).- Halla el valor de la expresión: n2 + 2n – 1, si n2 =28

10  2 C10 6  C7

C5

9 C4



9 2 C5



b) 11/7 e) 2/7

c) 9/7

4).- Halla “n” si: n n n 2 n1 n 3 C 4  C 5  C5  C 6  C5 a) 2 d) 10

b) 3 e) 18

5).- Reduce : a) 2 d) 3

c) 8

8 C5 8 C2

E

9

E

c) 1/2 8

C 6 C6

b) 62 e) 47

12).- Halla el valor de si :

c) 98 n 1 n 1

19).- En la expansión de: B (x,y)=(x2+y3)20 Determine el grado absoluto del 9no término a) 24 b) 48 c) 60 d) 32 e) 44

,

2( n5 ) = 3( n3 ) ; n  Z+

a) 5/4 d) 6/5

b) 9/7 e) 4/3

n

 1   x  2   x  a) 20 d) 35

8

C5

a) 1 d) -2

a) 79 d) 34

c) 11/9

13).- Halla “n” si el octavo término del desarrollo de:

b) -2 e) 1/3

6).- Reduce:

18).- Halla el T.I del desarrollo de (x3-x-3)10 a) 252 b) 16 c) 168 d) 206 e) 300



9 C6

b) -1 e) 1/2

c) 2

contiene

a “ x12 ”

b) 25 e) 40

c) 33

14).- Calcula el lugar que ocupa el término que contiene a “x5 “ en el desarrollo de:

n

E

2C 2 n

n



C1

a) 3n-6 d) 3n-3

3 C3 n

n



C2

b) 3n-5 e) N.A.

4C4 n

C3

c) 3n-4

8).- Reduce y determina el valor de n en: M  C n4

 C n5  C n61  C 7n 2

n 3 resulta igual a: C10

a) 14

b) 12

c) 10

d) 18

e) 20

x

15).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x + 3y) n el exponente de “x” es 3 a) 30 b) 28 c) 25 d) 15 e) 12 n

lugar 25 en el desarrollo de   x2  1  3 x   contiene a

4 C6

b) 12 e) N.A.

c) 12

16).- Halla el valor de “n” si el término de

9).- Calcula “X” en : 4 C 5  2 / 3 x a) 11 d) 14

a) 10 d) 15

 5 1   x   x   b) 11 e) 20

c) 13

10).- Dada la igualdad: C32n1  Cn2n81 Determina el valor de (n 2 + n) a) 10 b) 110 c) 120 d) 130 e) 132

a) 30 d) 70

“x12”.

b) 40 e) 78

c) 66 (x+x -3)n

17).- El noveno término del binomio es de grado 8, halla el grado del quinto término. a) 6 d) 24

b) 14 e) 28

c) 18

21).- Calcula el coeficiente del quinto término de: 7    x 1  4   x   a) 30 b) 35 c) 33 d) 40 e) 1 22).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x+3y) n el exponente de “x” es 3. a)30 b)28 c)25 d)15 e)12

13

7).- Reduce:

20).- Halla el grado absoluto del 7mo término del desarrollo de: (3x3y + 2z2)15 a) 48 b) 51 c) 52 d) 24 e) 96

23).- ¿Qué lugar ocupa el término de grado absoluto 48 en el desarrollo de: (x2 + y3)18 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 24).- Hallar “p” si t 16 de (x5+yp)30 contiene a x75 y60 a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

VI. RADICACION DEFINICIÓN: Es la operación que tiene por objeto calcular una expresión llamada RAÍZ conociendo otras llamadas ÍNDICE y RADICANDO; tal que dicha raíz elevada al índice, reproduzca el radicando. n

Índice

PROPIEDADES: 2.1)

na

2.2)

n

2.3)

n

2.4)

mn

.b  na . na

a

2) a 5) a 8) a 11)a 14)b 17)d 20)a 23)d

3) a 6) a 9) d 12)a 15)a 18)a 21)b 24)b

na



b

bm

na

.

 m

 nb

 mxnb

b

1. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se descompone el radicando en factores de modo que los exponentes sean divisibles entre el índice del radical, se extrae la raíz y se deja indicado el factor que no tiene raíz exacta. Ejemplo : Simplifica : 108 2


Raíz

Radicando

2

108  2 x 3 x 3

1) b 4) c 7) a 10)b 13)c 16)c 19)b 22)a

A = R



2

2

2 x 3 x 3



2x3 3



6 3

2. RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo : 3

2

; -5

2

;

3 2

2

;

2

MATEMÁTICAS


3. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES: Fórmula general: A  B



3) Efectúa:

(2 3 ) (5 2 ) (4 6 )

Solución:

21 6 10

2x5x4 A  C  A  C 2 2

40

3 x 2 x 6

36

(a  b)  2 a.b

21  2 x 3 10

4) Resuelve: (2 5 )4

 a b

donde a > b

Solución :

14  4 6

1) Simplifica: 2 500 + 3

16 x 52 = 16 x 25 - 3

245

-

180

 15  6

882

= 21 2

6.

1875

= 25 3

5

7.

4

810

= 3

8.

7

1920

= 2

4

10

15

2 3

4

PROBLEMAS RESUELTOS

II.

Solución : 14  2 24

Efectúa las siguientes sustracciones de radicales:

adiciones

2 3

1. 12 2  5 2  2 = 16 2

400 12  2  2 3

Solución : 2 100 x 5  3 4 x 5

 3 49 x 5  36 x 5

 3 4 5  3 49 5  36 5 2 x

10 5 + 3 x 2 5 - 3 x 7 5 - 6 5

3

 2  5) Simplifica:  7 3   5  Solución :  2     5 

 -

3

2 3

9) Simplifica:

 3

3

7

5

5

6) Transforma en radical simple:

2) Reduce: 6 1575  16807  2 2268  63

84  2 243

Solución :

Solución :  2401 x 7  2 324 x 7  9 x 7 6

84  2 81 x 3

 100

7

 9-

5

2

2.

8

 2  32 = 7 2

3. 17 3  2  19 3  7 2 =-2 3 -6 2

192

4. 5 8  7 18  2 50 = 21 2

192  5 32 x 6

5

 2 6


5. 6 28  5 63  2 112 = -11 7

6. 73 54  23 16  53 128 = 5 3 2

I. Simplifica los r adicales:

x 15 7 + 49 7 - 2 x 18 7 - 3 7 90 7 + 49 7 - 36 7 - 3 7

 2  2 3 =

Solución :

8 7 27 125

20 5 + 6 5 - 21 5 - 6 5

6 225 x 7

 21  2 9 x 10

8) Reduce :

24

5

5.

Solución :

21  2 15 x 6

Regla práctica:

2 100

= 2 5 15

40 x 6 = 240

C = A 2 B

20

5

480

4.

7) Transforma en radical simple:

3

 81  3

54

= 332

2.

300

= 10 3

3.

450

= 15 2

1.

3

7. 4 32  4 162  4 2  4 1250 = 5 4 2

8. 5 6  294  8 24  10 54 = -2 6

y

MATEMÁTICAS


III. Efectúa las multiplicaciones divisiones de radicales: 1. (3

2

) (2

2. (-5

2

3. (-3

11

7

10.

2

)(

3

) = 80 3

) (4

5

2

 

    5.  1 2    3 7   7   11 

 5 =

3 77

5 5 5 5

5

2)

= 128

2. 3.

(-1/2

4.

(-3/4

5.

(½

8.

9.

3

1-

52 6

6

)2

7

  

=

=

3  2

2-

8  2 15

=

5  3

3-

82 7

b) 2 e) N.A.

3).- Simplifica: a) -1 d) -4 4).- Simplifica: a) 1 d) 5

c) 3

17  4 9  4 5

 5

b) -2 e) -5

c) -3

12  8 2

2 2

b) 2 e) N.A.

5).- Reduce:

c) 3

525 4

32 700 = 5 -

14  52

=

6- 13  88 =

9 3 7 16

3 3

3

  

4.2. FACTOR RACIONALIZANTE: Llamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional.

a) 1 d) 5

7

b) 15 + 3 e) N.A

13

+ 1

11 +

9  2 20

1° 2°

 a  b 

b) 0 e) 6

c)

3°

3



a  3 b

7  5

4°

3

a  3 b

8-

6  4 2 = 2 +

9-

7  4 3 = 2 +

a) 3 d) 1

3

b) 0 e) 6

c)

7

 5

Solución:

a-b a+b

 3 a 2  3 ab  3 b 2     

a-b

4 5

3

1).- Efectúa: A = 28  6 3  3 3 2 e) N..A.



 3 2 3   a  ab  3 b 2   

3

VI . Resuelve :

a) 1 d) 3

a b

A

PROBLEMAS RESUELTOS

=7

= 49

;n>k

Expres. Racional

7).- Efectúa: 12  140

2

1.-

=4

n

A K

10- 10  2 21 = 7 + 3

2128

A nK

n

= 25

 7 7  54

Factor Racionalizante

 12  140  8  28

a) 3 d) 1

2

Expresión Irracional

c) 3

7- 11 2 30 = 6 + 5

1 5 16 2 )4 = 16

7

Es el proceso que transforma a uno de los términos de una fracción (numerador y denominador) escrito en forma irracional, en otro racional.

18  6 5

12

3

4.1. DEFINICIÓN:

4.3. CASOS:

6).- Efectúa: 3

4. RACIONALIZACION

= 7 + 1

2

81

5 )2 =

532

6. 7.

5

)3 =

=9

3

V. Transforma a radicales simples:

4(-3 3 3

1250

70

IV. Efectúa las potencias y raíces de radicales: (2

2).- Reduce: M = 7  2 12  8  2 15  5

= 11

) =  12 110

4  2   2  30 4.  3    5  3 2 =  5  5   3 

1.

1184

a) 1 d) 4 11.

)(

3

) = 12

2

) (-8

y

4 5

3

CLAVE DE RESPUESTAS 1) a 5) b

2) b 6) a

3) b 7) c

4) b

2.-



1 5

8a

4

Solución:

5 5



3 5

 2

4 5



3 5 20

MATEMÁTICAS

I.E.P. “DOS CIENTAS MILLAS PERUANAS” 5

1 5

3

2 a

4



5

2

2 a 2

2 a



5 5

4a



5 5

2 a

5

Solución:

4a 2a

2 11 120

5 2

3.-

12  10

7 2 6 3

62

 52

3



2



( 6  5)

( 6  5 ) ( 6  5)

 12  10

c) =

(7

=

4.-

2 6 3)



(7

6

2

(7

35 4  30 6 98  108

3)

2  6 3)







5 2 7 2 6 3

    2

7 2

70  30 6  10



5)

2

6 3

 7  3 6


3

a)

5 7  4 11

c)

(

7  3 11) 7  4 11)



(5

7  4 11)

(5

7  4 11)



3

d)

3

b) 1/3 3

2

c)

35  4 77 15 77 132

6)

e) N.A.

3

3

d)

5.- Racionaliza: 5 2 7

b)

c)

5

10

e) N.A.

5

3a

c)

4

3

3

b) d)

7)

2ax

x 2ax

d)

62  11 35 17

2ax

a)

4)

a

b) 2x

c) 2ax

3

4a

2

a)

2 6 5

2a

3

b)

a) 5  4 2

b) 4 2  5

c) 5 + 4 2 e) N.A

d)  5  4 2

52 3

a) 2  3

b) 2  3

c)  2  3

d)  2  3

e) N.A

6

a)

6 a2x 2 5ax 63 5

4 3

2

3).-

3

a)

8)

3

5 2a

2

a

3

b)

6 ax 5ax

3

ax

d)

c)

2

2 10

2a 5

27 x 4

 7  2 10 3

a)

3x 3

d)

7  2 10 3 2 5 10 3

ax

2

a) 4

b)

b)

e) N.A.

2

4).-

2

7

3

3x 3x

2

c)

3 5  5

2 2

x 4

 5  5

a2x 2

e) N.A.

5

6.- Racionaliza:

3 9a

5 ax

c)

e) N.A.

a

e) N.A.

3

Solución:  5  2 7   4 5  3 7  20 11 35  42    =  4 5 3 7  4 5 3 7   80  63    

9a 3

4

2

3a

2

2a

3)

4 5 3 7

3 9a

4

2

1 2

2) .-

4 9a

2 2

3 2

1).-

9x

d)

4

175 176

= 97 - 11 77

11  120 

2

3x

2

3

a)

5 2

3x

3x

3

5

2) a)

11  12 0

3x

b)

3x

Solución:

(5

3

3x 3x

3

a)

3

4

d)

II.- Racionaliza el denominador de:

e) N.A.

7  3 11

x 3x 2

1

3

1)

4

c)

e) N.A.

3 9x

I.- Racionaliza: 1

d) 53 4a 2

e) N.A.

Solución: 5 2

4a 2a

19  7 10 3 21  7 3 3

e) N.A.

b) d)

19  7 10 3 17  5 10

3

MATEMÁTICAS


a) c)

10).- Racionaliza:

19

5) .-

4 3

5 2

b)

2 95 2  76 3

76 3  95 2 2

d) No se puede

2

e) N.A.

a) c)

a) 5- 4 2 c) 4 2 - 5 e) N.A.

b) 5 +4 d) 20

b)

5 21  9 6

d)

 10 e) N.A.

a)1 d) 10

18  9 6

b) 13 e) N.A.

9 6  21

 10

3 7 2

b)

7

7

c)

7

4

a)

b) 7 e) -3

7

13).- Racionaliza:

1 a

a3

a) 17  3

a

c) a e) N.A.

3

c)

a3 a2

d)

 b2

9).- Racionaliza e indicar el denominador:

7

2 5  5

35

17  3 35 2

x2

10

2 11  120

b) 2 e) 2

10

+

10

c) 2

2

3

BLOQUE I: 1) d 2) a

3) a

7

6) b

8) a

3 35

d)

2 5

 17

 y2

a) 3 d) –10

6 3

b) –3 e) N.A.

7) a

4) a

5) b

BLOQUE II:

3

3 2 7 2

c)

c)

2

b)

14).- Racionaliza e indica el denominador :

x y

b) x +y e) N.A.

b) 6 e) N.A.

CLAVES DE RESPUESTAS:

e) N.A.

1

a)x –y d) xy

5 12

c) 3

2

b)

a) d)

a) 11 d) 3 2

 5  5

8).- Racionaliza: 4

c) -5

-2

e) N.A.

7

b) –3 e) N.A.

 2 2   6 16).- Racionaliza:   8  60   

12).- Racionaliza e indica el denominador:

a) 5 d) 4 +2

a) 3 d) –10

17).- Racionaliza:

2

7).- Racionaliza:

6 3

c) -1

5

2

d) 2+

2

6 3

 21 9 6

a)

7 2

11).- Racionaliza e indica el denominador: 52 3 4 3

3 2 7 2

3 2

1 2

95 2  76 3

6).-

15).- Racionaliza e indica el denominador: 3 2

c) -5

1) b

2) a

3) a

4) b

5) c

6) a

7) c

8) a

9) a

10)c

11)b

12)e

13)a

14)c

15)c

16)c

17)e

MATEMÁTICAS


4=K

a2 + b 2 = c 2

VII. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos que conociendo sus ángulos, sus lados están en una determinada relación. Existen varios triángulos notables pero en este año sólo estudiaremos a tres de ellos. Los cuales son:

Ejemplo: - Calcula “x”.

x

9

C

B

12

C

Uno de los teoremas más importantes de la geometría es el Teorema de Pitágoras, llamado así en honor al matemático griego Pitágoras. El teorema dice: Si ABC es un triángulo rectángulo,

por la longitud de un cateto. Los catetos son de igual medida. A

catetos”.

2k

a (Cateto)

b (Cateto)

Se cumple:

Ejemplo:

1k

C

B

Ejemplo: - Calcula “x” A

4

C

Solución: *Por ser triángulo notable de 37° y 53°: 24 = 4k 6=k x = 5k  x = 30 IMPORTANTE: “En todo triángulo se cumple que a mayor

ángulo se le opone mayor lado y a menor

60°

ángulo se le opone menor lado “.

x

12

La relación de sus lados de un triángulo rectángulo de 37° - 90° -53° es como de 3, 5 y 4.

x 45° C

Solución: *Por ser triángulo notable de 45°: 4 = 1k

B

24

PROBLEMAS RESUELTOS A

1).- Calcula “x”.

A B 53°

5k

x

3

4. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 37° Y 53° :

A 45°

c

A

45°

- Calcula “x”

B

B

B C Solución: *Por ser triángulo notable de 30° y 60°: 12 = 1k 12 = k x = 2k  x = 24

45°

entonces “El cuadrado de la longitud de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus

3k

30°

1k

x

37°

30°

2

53°

C

2k

1k

92 + 122 = x2 81 + 144 = x2 225 = x2 15 = x

Ejemplo: - Calcula “x” A

La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30° - 90° - 60° es el doble del cateto opuesto de 30°. A 60°

Solución:

La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo 45° - 90°- 45° es el producto de

1. TEOREMA DE PITÁGORAS

k x=4 2

3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 30° Y 60°

A

2. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45 Y 45°

*T. Rectángulo de 45° y 45°. *T. Rectángulo de 30° y 60°. *T. Rectángulo de 37° y 53°.

2

x =

II. LA

B

*Aplicando Pitágoras: 32 + 32 = x2 9 + 9 = x2 18 = x2 3 2=x

3k


A

3

C

MATEMÁTICAS


Por ser triángulo notable de 45°: * Como en el triángulo de 37° y 53° a la hipotenusa se le opone 5k lo igualamos a 25. 5k = 25 K=5 m = 3k n = 4k m = 3(5) n = 4(5) m = 15 n = 20

*Aplicando Pitágoras: x2 + (x+1) 2 = (x+2)2 x2 – 2x – 3 = 0 x = 3 y x = -1

5).-Calcula “x” x

*Por ser un triángulo notable de 45° “x”

es: 4 2 = 1k 53°



x =(4 2 ) 2

x = 1k 2 x=8



30°



Una longitud nunca puede ser negativa, por lo tanto: x=3 3).- Calcula “ A

x=8 2

m

m n



15 20



3 4

10

7).- Calcula “x”

3

x

4).-Calcula “x”.

x

B

”

y 37°

53°

n

53° m

y

25 A

37° n

C

x

16

53°

30°

30°

45°

Por ser triángulo rectángulo notable de 10

C

3

37° y 53° a “x” se le opone 3k y a “y” se le

opone 4k.

B

Por lo tanto:

x y



3k 4k



3 4

* “y” por ser lado que se le opone al

ángulo de 30° es : y = 5 3

* Trazamos la altura BH .

A

Por lo tanto: como “x” es el lado que se opone a 53° es igual a:

B 53° m

25 = 5K

x=4 3

16

x

8 37° C

n

B

A

30°

6).- Calcula “x” A 45°

H

8

C

45°

4

2

x

8).- Calcula “x”, si su perímetro del triángulo es 48. 37° 5a

MATEMÁTICAS


*Por ser triángulo rectángulo notable de 37° y 53° se cumple:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 7).-Halla el valor de “x”. A

37° 5a

4a

60°

5).- Calcula “x”. a) 10 d) 13

3a

b) 11 e) 14

c) 12

8

A

30°

16

*El perímetro es la suma de sus lados del triángulo por lo tanto: 3a + 4a + 5a = 48 12a = 48

16

2

C

C

B

x

x

15 C

PROBLEMAS PROPUESTOS 1).- Calcula “x”

a) 8 d) 8

c) 4 3

B

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

8).- Calcula “x” A 53°

a) 26 d) 29

x

C

8

b) 11 e) 14

2).- Calcula “x”. A

x

20

b) 16 e) 16

3

A

6

a) 10 d) 13

B

3).- Calcula “x”. A

a=4

NIVEL I

x

B

c) 12

b) 27 e) 210

6).- Halla el valor de “a”.

37°

45°

45°

x+1

x

B

C

a

10

x-1

20

x

A

4).- Calcula A “x”.

C

61

c) 25

B

C

a) 16 d) 10

B

b) 14 e) 8

c) 12

9).- Calcula “a + b” A a) 10 2 d) 5 2

b) 4 e) 5

c) 10

53° b

a

MATEMÁTICAS


14).- Halla “ m ” n A a) 48 d) 56

b) 50 e) 58

c) 52

60° m

12).- Calcula “y” A a) 26 d) 32

b) 28 e) 34

C

c) 30

a) 4 2 d) 16

30° B

n

b) 4 e) 16

c) 8

45°

10).- Halla “ x ”

8

y

y

2).- Halla “ x”

2

A

a) d)

45° C

60°

b) 2 e) 1

3 3

/3

x

c) 1/2

B

x

y

2

2

30°

15).-Del gráfico, calcula “ x – y”.

53° 40

30° C

8

a) 14 d) 20

B 3

b) 16 e) 22

c) 18 y

13).- Halla “x” A

36

37°

53° x

a) 6 d) 3

b) 5 e) 2

60°

c) 4

11).- Calcula “m.n” A 53°

a) 4 d) 10

n

c) 8

45°

NIVEL II

B

a) 4 d) 16

c) 18

b) 8 e) 4

c) 8 3


x

m

C

b) 6 e) 12

B

4

10

37°

b) 16 e) 22

x

30° C

a) 14 d) 20

3

/3

1).-Halla “BC”, si AB = 8

B

6

30°

MATEMÁTICAS


a) 6 d) 3

b) 12 e) 8

2

c) 3 6).- En el triángulo ABC , calcula “HC”. Si AB = 32.

B

4).- Halla “x”. B

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

x

15

30°

A

53°

30°

A

H

C

C

a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

9).- Calcula “BP”, si AC = 8

c) 16

11).- Calcula “x”. B

2

20

a) 12 d) 5

b) 9 e) 15

a) 24 d) 48

c) 24

b) 12 e) 42

c) 36

A 45° 8°

7).-Calcula “BC”, si AD = 10 B

5).- En el triángulo ABC, calcula

37°

A

C

x

“BC”. Si AC = 42.

45° B A

C

37°

45°

B

P

C D 45°

37°

A

b) 24 e) 30

c) 26

12).-Calcula “x”. A a)2 d) 5

C

a) 22 d) 28

b) 3 e) 6

c) 4

53° x

10).- En el triángulo ABC , calcula

50

“EC”. Si AC = 20.

a) 8 d) 8 a) 21 d) 40

b) 42 e) 50

2

b) 6 e) 6

2

c) 3

B

2

37° C

c) 30 8).-Calcula “x”

E 45°

37°

B

MATEMÁTICAS


a) 20 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

15).- Calcula “AD”, si CD =10. A

2. CRITERIOS DE CONGRUENCIA

13).-Calcula “x”. 20

23°

3

x 37°

53°

a) 32 d) 35

60°

b) 33 e) 36

c) 34

B

a) 6 d) 12

D

C

b) 8 e) 14

c) 10

VIII. CONGRIENCIA DE TRIÁNGULOS

“El enemigo no es tan grande


como parece, lo que sucede es que lo vemos así porque 8

estamos de rodillas”.

x

2

45°

30°

CLAVES

1. DEFINICIÓN Se dice que un triángulo es congruente con otro, si sus lados respectivos son congruentes y sus ángulos respectivos también lo son. Ejemplo: Consideremos los triángulos de la figura. Dado que estos triángulos tienen lados respectivamente congruentes , que son: AB  DF, AC  ED, BC  EF; y que también tienen ángulos respectivamente congruentes, es decir: A  D, C  E, B  F, Entonces afirmamos: ABC  EDF

Se llaman criterios de congruencia a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes. Estos son: Congruencia de sus ángulos. Congruencia de sus lados. Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Los postulados básicos de congruencia de triángulos son: a) POSTULADO L – A – L Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. * LAL  Significa: Lado-ángulo-lado. Si: * BC  QR * AC  PR * BCA  QRP C

B

DE

°

RESPUESTAS:

a) 8 d) 8

3

b) 16

3

R

°



c) 16

e) 12

A

1) a 4) d 7) b 10) e 13) c

2) b 5) e 8) c 11) a 14) d

3) c 6) a 9) d 12) b 15) e

A

E

C

D

B

ABC

P

Q

PQR

b) POSTULADO A – L – A

MATEMÁTICAS


Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente congruentes. * ALASignifica: ángulo-lado-ángulo. Si: * F  M * G  N * FG  MN

FGH

MNP

DEF

RST

Son los siguientes: Todo punto perteneciente a la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados de dicho ángulo.

EF // AC

F

E

a) TEOREMA DE LA BISECTRIZ :

Además 2

C

A

B

EF = AC

b



°

°

°

Además:

° °

N O

X

20°

20° a A

b

a 40° N

20° a

C

d) TEOREMA DE LA MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO :

P

G M

F

M

PA = PB

A

B

OA = OB

c) POSTULADO L – L – L

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de dicha hipotenusa. B

 Haciendo trazos auxiliares se llega a que : BMA   BCN

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados, respectivamente congruentes.  LLL  Significa: lado-lado-lado.

BE = AC

b) TEOREMA DE LA MEDIATRIZ : Todo punto perteneciente a la recta mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento.

Caso: (LAL)

2

x = 20°

A

C

E

P

Si: * DE  RS * EF  ST * DF  RT F

2).- Halla “AB” , si CD =5 B

PA = PB

T A

 D

B

3. TEOREMAS FUINDAMENTALES

P

H

°

determinado es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo.

E

B

PROBLEMAS RESUELTOS

2

D

1).- Halla ”x”, si AB = NC B

c) TEOREMA DE LA BASE MEDIA : R

S



A

E

x

Llamado también “Teorema de los puntos medios”; si por un punto medio de un

lado se traza una paralela a otro de sus lados, ésta cortará al tercer lado en su punto medio y además el segmento

A

40°

20° N

C

:

C

MATEMÁTICAS

I.E.P. “DOS CIENTAS MILLAS PERUANAS” B 2

2

* Haciendo un trazo auxiliar se llega  DBC = Isósceles

D

Mediatriz M

5

 = 40°

5

5 

4).- Del gráfico , calcula “ ”





A





* Haciendo un trazo auxiliar se llega a que :

L

B

2

3 3

8

n

B

M

2

 ACD : Isósceles AB = AD A

2n





B





E A 

20° D

C

2

3 3

D

C

* T. Mediatriz AM = MC = 2n Trig. Rect. ABM (30° - 60°) 2 = 60°

BE = EL = 8 A


ABE   BCD (LLL)  ABE : 6 +  + 2 = 180°

20°

40° D



x2 + 4 P

 = 30°

A



*Por teorema de la bisectriz. AP = PB x2 + 4 = 20 x2 = 16 x=4

 = 20° C

5).- Del gráfico, calcula “”. Si: MC = 2(BM)

B

E

53° 10

C

20

° °

6).- Del gráfico, calcula “BE”

B

20°

C

C

O

A

53° 10

2 E

E

E

Triángulo. Rect. (53° - 37°) EL = 8 T. Bisectriz

B

3).- Calcula “”

x

2n

AB = 5

A

A

C

C

E

A

B

B

MATEMÁTICAS


E

A

d) 12 e) 9

B


F

4x

a) 1 d) 4 C

48

b) 2 e) 5

6).- Calcula “”, si AP = 7, PB = 3 y AC = 11. P

c) 3



A

a) 20° b) 40° c) 30° d) 50° e) 80°

*Por teorema de la base media: 48/2 = 4x

A

A


80°

2

4).- Halla “AB”, si NC = 15. B N 2

b) 60° e) 45°

c) 37° c) 7

10).- Calcula “”, si BM es mediana. B

2x + 1

4

14

A

15

M

C

a) 6 d) 4

c) 5

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 5).- Calcula “PB”, si AM = 6 y “L” mediatriz de “AB”.

2).- Calcula “x”. P

A

b) 6 e) 9



b) 4 e) 7

16

a) 5 d) 8


B

a) 3 d) 6

C

L

B

a) 30° d) 53°

P

O

LC =

 

A

3 +2x

° °

c) 8

9).- Calcula “AB”, si AC = 12 y 7. B

C

6=x


b) 12 e) 10

B

P

3).- Halla “”.

a) 6 d) 7

L

b) 2 e) 7

B

a) 6 b) 8 c) 10

P

n M

C

M

8).- Calcula “m”, si m + n = 24

60° A

 A

es

m x2 + 7

c) 3

B

a) 15° d) 18°

b) 16° e) 19°

c) 17°

11).- Calcula “x”, si BM es mediana. B x

MATEMÁTICAS


a) 20° d) 60°

a) 5 d) 6,5 a) 54° d) 15°

b) 36° e) 30°

b) 4 e) 7,5

b) 40° e) 80°

c) 30°

3).- Del gráfico, calcula “MN”. Si CM =10 y AB =12 C

NIVEL I

c) 3

M

1).- Calcula “”, si BD=1; DC= 2 y

c) 45°

AD : Bisectriz. B

A

14).- Calcula “OH”, si AB = 16, si: AM = MC y BO = OM. B H



A

C

a)

O

b) 2 2

2

d) 4 2 53°

x+1

N

B

D


A

45°

C

M

a) 37° d) 30°

b) 45° e) 36°

c) 53°

c) 3 2

e) 5 2


B D

2).- En la Fig, AG = E C, si AF = 2. Calcula “ED”

3x - 3

a) 12 b) 8 d) 2 e) 6 15).- Calcula “”.

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° A e) 50°

B

c) 4 G

E

x 40° 40°

E

C

B

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

A E

F

C

D

13).- Calcula “BM”. B A

5

12



30° D

C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5).- Calcula ”BC”, si AB = 8 y CD = 4 A a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

D

B

E

C

MATEMÁTICAS


d) 8 6).- Calcula “AB” , si CD = 8 B 2

e) 10



D x 20°



A

a) 3 b) 5 d) 4 e) 8 7).- Calcula “x”.

20°

C

a) 15 d) 25

c) 2

b) 10 e) 35

c) 20

10

A

20

13).- Calcula “MN”, si AC = 20. B a) 6 d) 15

10).- Calcula “AB”, si :CD = 4. B D 2

8x

x

a) 8 b) 9 c) 10 d) 15 e) 5

C

E

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 5

M

b) 9 e) 18

N

A

C

S

“Mi amigo es aquel que al

conocerme, me acepta tal como soy”.

a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

a) 3 b) 5 d) 4 e) 6 11).- Calcula “”

14).- Calcula “HM”, si AB =12. B

b H

a

8).- En la figura : AG = EC, si AF = 8. Calcula “ED”. B 

G

c) 2

E

 



A

CLAVES DE RESPUESTAS BLOQUE I :

 M

C

a+b A

F

C

D

a) 45° d) 60° a) 2

b) 4

c) 6

b) 30° e) 37°

c) 35°

a) 5 d) 8

c) 12

b) 6 e) 12

15).- Calcula “EH”, si AE = 15. A

1) d 4) c 7) c 10) d 13) d

2) c 5) d 8) c 11) a 14) c

3) b 6) c 9) a 12) e 15) d

1) b 4) d 7) a 10) d

2) b 5) b 8) d 11) a

3) b 6) e 9) c 12) e

c) 7

MATEMÁTICAS


I X. CUADRILÁTEROS BIOPSICO-SOCIAL

1. DEFINICIÓN Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados y dos diagonales. B A x°

* Ángulos Interiores, son los que se encuentran dentro del cuadrilátero. - Un ángulo interior es “a”. * Ángulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior del cuadrilátero. - Un ángulo exterior es “x°. d) , son los segmentos que unen los vértices no consecutivos. - Una diagonal es: AC . e) , es la suma de las longitudes de todos sus lados.

* En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a uno de sus lados son suplementarios.

a.2) Clasificación: Se clasifican en:

x + y + z + w = 360°

Se clasifican en dos: Convexos y no convexos (cóncavos) 

3. PROPIEDADES a) La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 360°.

b

4. CLASIFICACIÓN

2P = AB + BC + CD + DA C

Convexos

2. ELEMENTOS a) , son cada uno de los segmentos que forman un cuadrilátero. Los lados son: AB , BC, CD, DA . b) , son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas. Los vértices son: A, B, C, D. c) clases de ángulos:

, hay dos

a°

Cóncavos

b b

c° aa

d°

5. CUADRILÁTEROS CONVEXOS Se clasifican en :

a + b + c + d = 360° b) La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°. y°



a

Rombo.- También llamado losange, es aquel paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus diagonales se bisecan, se cortan perpendicularmente y vienen a ser bisectrices de sus ángulos.

Se lee: El cuadrilátero ABCD b°

a



a°

D

Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho.

z°

Rectángulo.- También llamado cuadrilongo, es el paralelogramo cuyos ángulos interiores miden 90°, sus lados opuestos son iguales en longitud; sus diagonales son iguales en longitud y se bisecan. B A

Son aquellos cuadriláteros, cuyos lados opuestos son paralelos.

a.1) Propiedades:

* En todo paralelogramo sus diagonales se bisecan. * En todo paralelogramo sus ángulos opuestos son iguales.

D

a b

Se cumple:

b

a C

MATEMÁTICAS


- AB // DC

- AD // BC

Cuadrado.- Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus ángulos interiores miden 90°, sus diagonales son iguales en longitud, se bisecan y vienen a ser bisectrices de sus ángulos y se cortan perpendicularmente. A B 45° 45°

D

45° 45°

b.2) Propiedades : - En todo trapecio, la mediana siempre es paralela a las base.

- Trapecio rectángulo .- Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos viene a ser la altura del trapecio. B A 

C

Se cumple: - AB // DC

- AD // BC

Son aquellos cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos y dos lados no paralelos. A los lados no paralelos se les llama base. C B M

N h

A



D

Se cumple: - AM  MB - DN  NC

Q

P

C

D - En todo trapecio, la mediana biseca a las diagonales. B C Q

M

a Se cumple: - AB  CD

N

A b

x

a  b 2

- En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, mide la semidiferencia de sus bases. B A b

PQ =

- Trapecio Isóceles.- Es aquel cuyos lados no paralelos son iguales en longitud.

D



D

Se cumple: - AM  MB - DN  NC

B

Los trapezoides son los cuadriláteros convexos que no tienen lados paralelos.

BQ = QD

a

x

C

- En todo trapecio, la mediana mide la semisuma de sus bases. A

Se cumple: - AB // DC - h es altura

M

x = a  b

a  b 2

D

h

B b

A

 +  = 180°

A

- Trapecio Escaleno .- Tiene sus lados no paralelos de diferente longitud.

MN =

N

MN // BC // AD

Se cumple: - AB // DC - AD es altura

Se cumple: - BC // AD - MEDIANA : MN - ALTURA : h - BASES : BC, AD

A

M

- AM  MA - CN  NB

C

D

b.1) Clasificación :

C

B

a + b =  +  = 180°

Se cumple: - AB  MN  CD

b

A B

B N

D

C

MATEMÁTICAS


Son aquellos cuadriláteros que uno de sus ángulos interiores es mayor que 180°, pero menor que 360°.

c.1.) Clasificación: Se clasifican en :

3) Las bases de un trapecio están en relación de 12 a 8. Calcula la base mayor, si el segmento formado por los puntos medios de las diagonales es 40m.

x = A  B

B tiene dos lados consecutivos congruentes y las diagonales se bisecan en forma perpendicular.

Reemplazando (1) en (2) 2(180° - x) + A +B = 360° 360 – 2x + A + B = 360° A + B = 2x

2

2) Demuestra que: n = a° + b° + c°, en la figura. b°

8k

D 

A

40

A D

C

c°

°

12k

n°

B

*Por propiedad: 40 = 12k  8k 2

 k = 20 Base mayor = 12k = 12(20)

PROBLEMAS RESUELTOS

C

Formamos un triángulo y = a + b, por ángulo exterior. También : n = y + c , por ángulo exterior. Reemplazando (2) en (3)

1) Halla “x”

Es aquel cuadrilátero que sus cuatro lados son diferentes. A

B°

A°





x





 n = a  b   c  y

B

 Base mayor es

240m.

4) Los ángulos adyacentes a la base mayor de un trapecio miden 30° y 75°. Si la base menor es excedida por la base en 8m. Halla uno de los lados no paralelos.

b°

Trazamos CE // AB y° a°

D

C

6. CUADRILÁTEROS CONCAVOS

 +  + x = 180°   +  = 180° - x .....(1) 2 + 2 + A + B = 360° 2( + ) + A + B = 360° .........(2)

n

B

c°

C 75°

n=a+b+c

A

75°

75° E

30°

D

MATEMÁTICAS



50°

Del gráfico: m  A = m CED = 75° mECD = 180°-30°-75° = 75° luego :  ECD isósceles (CD = ED) pero : ED = AD - AE ......() ABCE : Paralelogramo (BC = AE) Reemplazando en ( ) CD = AD – BC 

* m  BAD = mBCD = 4 pero : EC  bisectriz  mBCE = mECD = 2

CD = 8m

a) 18° d) 72°

mBCE = mCED = 2 * AFE = mFAE =   AFE isósceles  AE = EF = x

b) 36° e) 65°

: 50°

Luego : x + 6 = 8 8

30°

También :

5).- Si ABCD es un paralelogramo. Calcula EF . B

x°

40°

40°

C

a°

60°


x°

20°

x°

c) 54°

40°

30°

x=2 6 F

3



A

a) 40° d) 70° 5).- Calcula “x”. D

E

B

A B

8

2

x° 150°

70°

30°

D

3).- Las bases y la mediana de un trapecio suman 18. Halla la mediana. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

También: x + a = 180°

4).- Calcula el complemento de “x”.

x = 60°

C

c) 50°

3x°

4x

2

6


3 A

*Por propiedad: 40° + 50° + 30° = a° 120° = a°

C

b) 60° e) 90°

 x E



F 2 6

D

*Por ser un cuadrilátero, la suma de sus ángulos interiores es 360°. 150° + 70° + 30° + x = 360°

2x°

NIVEL I 1).-Calcula “x”.

C 100°

x = 110°

B

2x°

90°

a) 40° d) 70°

b) 60° e) 90°

c) 50°

MATEMÁTICAS


5).-Calcula “x”

8).- Calcula el menor lado del romboide si un lado es el triple del otro y el perímetro es igual a 48cm.

x°

a) 5 d) 8

56°

b) 6 e) 9

c) 7

a) 20° d) 25°

b) 15° e) 36°

c) 48°

13).- Calcula “BD”, si ABCD es un paralelogramo. C B

9).- Calcula el perímetro de un rombo si un lado mide 6cm. a) 52° d) 58°

b) 54° e) 60°

a) 23 d) 26

6).- Si BC // DA. Halla “x”. C B 13x

b) 24 e) 27

c) 25

5x A

a) 10° b) 20° d) 40° e) 50° 7).-En el romboide ABCD, B



a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 A e) 7

D

Calcula “x”

C

5x D

b) 15° e) 30°

b) 26 e) 22

c) 28

14).- Calcula la mediana del trapecio. b D

E

53°

b) 30 e) 25

2).- El perímetro de un trapecio isósceles es 240. Calcula la medida de la mediana si cada lado no paralelo mide 50. a) 35 b) 60 c) 50 d) 65 e) 70

12 - a

b) 8 e) 11

c) 9

2x - 3 A

D

“x”,

C

a+1 a D

15).- Calcula “x”. x

c) 20° 12).- Si ABCD es un trapezoide tal que: mA = mB = 3mD = 6mC Calcula mD.

de

B

C

a) 7 d) 10

E

c) 40

3).- Halla el valor AD // BC ; AB // CD .

11

un perímetro de 48cm. Calcula “AE”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 20 d) 15

b+3

11).-Si ABCD es un cuadrado que tiene

A

a) 10° d) 25°



a) 24 d) 10

c) 30°

B

A

D

10).- Si AB = 5 y BC = 8. C

c) 3

NIVEL II 1).- Calcula el perímetro de un rombo si sus diagonales miden 6cm y 8cm.

3x + 2

A

B

7x

9

Calcula “AE”.

b) 2 e) 5

x2 O

c) 56°

a) 1 d) 4

P

x+1

Q

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

si

MATEMÁTICAS


4).- En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente, si un lado no paralelo determina un ángulo de 53° con la base. ¿Cuánto mide dicho lado? a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

150°

x

12).- En un rectángulo ABCD la medida del ACD = 68°.Calcula el menor ángulo formado por sus diagonales.

120°





c) 10

a) 30 d) 110

b) 90 e) 80

c) 100

b) 120° e) 25°

a) 45° d) 53

b) 4m e) 2m

8).- Del gráfico, halla “x”

b) 60° e) 37

c) 30°

14).- Las bases de un trapecio están en relación de 8 a 10. Calcula la base menor, si el segmento formado por los puntos medios de las diagonales es 54m.

80°



c) 155°

7).- Las bases y la mediana de un trapecio suman 6m. Halla la mediana. a) 3m d) 1m

13).- En un trapecio isósceles de 20cm de perímetro y de bases 2cm y 8cm, calcula la medida del menor ángulo interno.

c) 15cm

6).- En un cuadrilátero convexo ABCD, mÂ=60º, mC=110º calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y D. a) 90° d) 14°

c) 22°

9).- Del gráfico, halla “x” x

a) 25cm b) 20cm d) 10 2 cm e) 10cm

b) 44° e) 68°





5).- La base mayor de un trapecio rectángulo mide 30cm, su altura 10cm y el ángulo agudo de la base 45°. La mediana mide:

a) 34° d) 50°

c) 1,5m

a) 10° d) 40°



140°

b) 20° e) 50°





c) 30°

a) 216 d) 214

b) 412 e) 215

c) 432

10).- Las bases y la mediana de un trapecio suman doce. Halla la mediana. a) 4 d) 10

b) 8 e) 5

c) 6 “Cada

11).- Calcula el menor ángulo interno de un rombo si una de sus diagonales es igual a la longitud de un lado. a) 80° d) 50

b) 90° e) 60

c) 30°

momento de nuestra vida puede ser el principio de un gran suceso”.

CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 4) b 7) b 10) a 13) e

2) b 5) c 8) b 11) c 14) b

3) c 6) a 9) b 12) c 15) e

1) a 4) c 7) e 10) a 13) d

2) e 5) a 8) b 11) e 14) c

3) d 6) e 9) b 12) b

MATEMÁTICAS


VIII. OPERADORES MATEMÁTICO Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, sujetas a una estructura o una ley de formación.

3  7 = 2(3)+ 5(7) 3  7 = 6+ 35 3  7 = 41 2).- Definimos :

OPERACIÓN

x

Multiplicación

Halla : (1  2)  (2  1)



División



Radicación

Grilla

*

Asterisco



Triángulo



Tetha



Nabla

Para realizar los ejercicios de este tipo se debe tener presente lo siguiente: Todas las operaciones están definidas dentro del campo de los números Reales. ejercicio consta de tres partes bien establecidas:

 La Incógnita.

b = 2a  b

x

8 = 12

2

5

a) –3 d) –12

x + x

2

Solución :

x

(1 2) (2 1) (22 + 1) (22 + 1) 5 5 52 + 5

6).-Si

x=8 5

2 2 2

8 2(5)  8 2

Solución: 5 = 22 + 6 x 5 5 = 4 + 30 5 = 34

+

8

2

2(8)  2 2 9+9

PROBLEMAS PROPUESTOS Halla : 3 8 9

+ 8 4 12

a) 18 d) 16

b) 32 e) -2

m  mn, el

, el valor de b) 1/4 e) 4/3

b) 35 e) -35

mn = 14-mn, (105)(13) es:

a) –396 d) –395

a) 4100 d) 4600

18

1).-Si mn  n m  es:

c) -6 42 3 3

es:

c) 1/3

b) –39 e) -319

c) -75 el

valor

de

c) -394

7).-Si ab = (a3 – a2 - a)b, el resultado de 4100 es:



34

4) Si : A B C = A. B - C

xy xy

a) –66 d) –77

2x = 16

3).- Si : x  y = x2 + 6y Halla: 2  5

c)1/a

5).-Si mn = m – 3mn y p q = pq – q, al calcular (45)-(83) resulta:

8 = 12

2x  8 =12 2 2x + 8 = 24

30

4).-Si xy =

b) 8 e) –9

a) 2/3 d) 3/2

Solución :

 Cada

 Datos Auxiliares.

a

b) –a/2 e) –1/2a

3).-Si se define la operación  como : pq = 3p-2q, el valor de (1 2) 3 es:

5) Si :

b2 + 2 ............ si a  Halla :

b

OPERACIÓN

a) a/2 d) –1/2

35

a b

Adición

m1 , al calcula n m

(1 - a)  (a + 1) resulta:

24 - 9 + 32 – 12

a2 + b ............ si a > b

Sustracción

 Ley de Formación.

2).- Si m n =

3 x 8 – 9 + 8x 4 – 12

Solución:

-

OPERADOR NO CONVENCIONAL #



a  b = 2a+ 5b 3  7

1).- Si: Halla:

Solución :

15 + 20

1. CONCEPTO

OPERADOR CONVENCIONAL +

PROBLEMAS RESUELTOS

valor de 16 2 c) 4

b) 1400 e) 4400

c) 44000

8).- Si mn = 4m + 2n, al simplificar (p q)+ (qp) - (p+q) resulta: a) 5(p + q) c) 3p + 2q e) 4p + 3q 9).-Si mn = resulta:

b) 2p + 3q d) p + q

1 mn

, al calcular ab (abab)

MATEMÁTICAS


a) d)

1 ab 1

c) a2b2

b) ab

16).-Si ab = e) N.A

2 2

10).-Si mn = 3m + 2n – 3, al simplificar

a*b b*a1 ,se obtiene: b)

a b 1 2

c) a + b – 3

d)

a b 1 3

17).-Si

e) 2a + b –1 11).-Si pq = pq + qp + 2p-q, al calcula 3 2 resulta: b) 14 e) 21

12).-Si xy = a) 320 d) 300

yx,

c) 19

entonces (2 2) 2 es:

b) 256 e) 120 a

13).-Si ab =

ab b

a) 2 d) 2 2

mn = m-n + n n y m  n = m3 al calcula 42 resulta: a) 2 d) 2

3*2

a) a + b –1

xy +

m%n = m + mn + n mn = m2 + mn – n2 calcula : (2%4)%(32)

b – a2b, además 1

a b

a) 17 d) 12

1 2a

c) 64

b) 1 2 e) 2 2

c) 2

n

,

a) 124 d) 179

2

3

resulta:

ab =

a) 381 b) 33 c) 327 d) 39 e) 371 1

18).-Si n = n 2 al calcular 3

b) n e) N.A

a) 7 d) 28

resultará :

n

c)

4

n

b) 3 2 e) N.A

c) 8

b) 3

20).- Si:

c) 1

b) 14 e) 36

24).-Si: f(3x - 5) = halla :

19).- Si: a # b = 7a – 13b :

a) 2

5a  3b, si aa  b   2a  b, si a  b 

calcula: (21) (46)

d) 4

e) 5

5

14).-Si a%b = b ab  80b  a  16 , entonces

2

a) d)

3

b) 2 e) 2 4 2

2 2 2 2

15).-Si a b =

a b

1

c) 3

q p

1 1

a

, calcula

mn, sabiendo que mn = mn + m&n, resulta: a) m d) 1

c) m2 + n2

b) n e)

2

m

n2

mn

b) 5

+

3

c) 4

d) 3



c) 12

6 6 5 7

7 5 7 6

Calcula : P = (7  6)  ( 5  7) e) 1

a) 5

b) 6

21).- Si:

, p & q =

1

a) 6

5 7 6 5

 5 6 7

calcula

24%3 es:

5x  9  x 1

25) Si :

x = 2x – 3 ;

3


b) 11 e) 9

x = 3x – 5 a

c) 21

f (19)

a) 10 d) 13

calcula (4 # 2) # (2 # 1)

, al calcular 2 8 resulta:

c) 168

23).-Se define :

m = mm, al calcula

a) n d) n

b) 160 e) 180

4a3,si a es impar    a13,si si a es par 

26) Se define :

Calcula:

c) 7 a b

d) 14 c d

e) 1

= ad – bc

Halla : “y” en : 

A =   2   1   a) 63 d) 65 22).-Se define:

b) 68 e) 67

c) 70

4 6

1 5 a) 7

+ b) 8

3 1

x y

c) 9

=

5 x

1 y

d) 10 e) 11

1) b

2) d

3) e

4) c

5) d

6) a

7) e

8) a

9) b

10) b

11) c

12) a

13) d

14) b

15) e

16) c

17) a

18) c

19) c

20) a

21) c

22) d

23) d

24) a

25) a

26) a

MATEMÁTICAS


2.6. DOS

FRACCIONES SON INVERSAS, si el numerador de uno

X. FRACCIONES

4

Fracción es un par ordenado de números enteros.

4 3 2

;

5 6 7 3

; ;

2 9 5 4

; y

7 11

4

;

6 11

3

6

4

cruzados de sus términos son iguales.

b

3



6 9

2.3. UNA FRACCIÓN NEGATIVA

a b

,

se puede escribir. a a a   b b b 2.4. Una fracción cuyo numerador y denominador son iguales, representa la UNIDAD. 3 5  1, 1 3 5

4

son primos entre sí. 3 4 5 11 , , , , etc. 5 7 9 10

2.5. DOS O MÁS FRACCIONES, que tiene igual denominador se llaman HOMOGÉNEAS y si tienen distinto denominador se llaman HETEROGÉNEAS. 5 1 3 , y son Fracc. homogéneas 6 6 6 2 3 1 , y son Fracc. heterogéneas 3 4 2

3

2

3

40

5

60

 ;



2

y escribimos

Ejem

a b

a b



es equivalente a c

3

d

5

9

9

d

, si : ad > bc

6





2 3







1 2

, porque 4 x 2 > 3 x 1

a

c

y

b

d

La suma de fracciones se define : Si las fracciones son homogéneas, se suman los numeradores y se escribe el denominador común, si las fracciones son heterogéneas , se transforman en otras

a b

 2 x 10 = 5 x 4

DESIGUALDAD DE FRACCIONES, se establece con las relaciones “menor que” y “mayor que”.



c d



8 2



3 4

=

 

5 8



8

5

9

9

Se define :



3 9



bd

1 3

(6 : 3)2 6

8 5 3 1     9

9

9

3

a b

.

c d



ac bd

a b

:

c d

a

d

b

c

 x



ad bc

c  0

Una división de fracciones puede expresarse como una fracción de fracción. a a c : b d

8 8

1



b c



ad bc

d

3.5. POTENCIACIÓN DE FRACCIONES Se define :

 a  n a a a a an    . . .  n . b bb b b  b  

3 .4

12





ad  bc

3.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES

(12  3)2  (12  4).3

89

9



d

Para multiplicar fracciones se recomienda simplificar previamente.

bd



5



9

6 8

Se define :

ad  bc

35

8

c



b

3.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Ejem :

3

a



d

(6 : 6)5

=

3.1. ADICIÓN DE FRACCIONES

3

2.11. LA

Así :



c

3. OPERACIONES CON FRACCIONES

ad = bc

:

2 4  5 10

Ejem : 8

, porque 3 x 6 < 4 x 5

mcm a los denominadores.

3

equivalencia. Así d

6

equivalentes de igual denominador “dando” el

3

2.10. LA IGUALDAD DE FRACCIONES generalmente se usa para expresar la

c



5

Sean las fracciones

2.9. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES, es el proceso de transformación de una fracción reductible a irreductible mediante la divisibilidad.

5

d

c



b

Ejem :

FRACCIÓN ES IRREDUCTIBLE , si sus términos

25

, si : ad < bc

5

2.8. UNA

15

a

c

porque 2 x 9 = 3 x 6

, son fracciones propias

son fracciones impropias



Ejem :

11

y

a

:

2.2. Si a > b, la fracción se llama IMPROPIA. ;

7

FRACCIONES SON EQUIVALENTES, si los productos 2

2.1. Si a < b, la fracción se llama PROPIA.

3

,y

2.7. DOS

Denominador

2. PROPIEDADES b

7

Numerador

a b

Dada la fracción

b

es denominador de la otra y viceversa.

1. CONCEPTO

a

a

n factores



17

a

12

b

3.2. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES Para restar fracciones se procede de manera semejante que en la suma.

. es la base de la potencia y “n” es el

exponente. 1

 a  a1 a Si n = 1, entonces    1  b  b  b

MATEMÁTICAS

I.E.P. “DOS CIENTAS MILLAS PERUANAS” 0

 a  a0 a Si n = 0, entonces    0  = 1 b  b  b Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso de la base con exponente positivo.

cesta. ¿Cuántos huevos habían en la cesta? Solución : 1 3

3.6. RADICACIÓN DE FRACCIONES

n

a b



n

a

n

b

 r  r n 

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Simplifica : 12 1

2 3

1

1 2

Solución : 12 1

3

2

= 2 3

x

1

1

= 2 1

1

2

2) Se venden

1

1 3

1 x1 3 1

12 6

2 x 3 3 x1

=

2 ovillos

3





15

30



36

a) 330 d) 210

b) 840 e) 240

c) 630 B

4).- Pedro gana A soles y ahorra

4

soles al

a) 9A – 36B soles B   b) 12  3 A   soles 4   c) 36A – 9B soles d) 12(3A - 3b) soles  B  e) 12  A   4   5).-

2 3

de los profesores de un colegio son

mujeres. 12 de los profesores varones son



1 6

4) Los 5/7 de 3/2 de 2/5 de 7/9, que parte representan los 5/8 de 7/9 de 6/7 de los 4/7 de 5/2.

recorrido equivale a los

3 5

1 5

de lo

de lo que le falta

recorrer. ¿Cuántas horas habrá viajado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? a) 9 2).- Los

Solución : 5

 22  0

7

de una cesta de huevos. Si

se quiebran 3 y quedan todavía



1).- Un automovilista observa que

8

de lo que

4

solteros, mientras que los

3 5

de los mismos

son casados. ¿Cuál es el número de mujeres? a) 10 d) 60

b) 20 e) N.A

c) 30

6 días

12 1 3 1 3

2

x=

Si los dos trabajan juntos demoran:

2

33

x

Luego los dos en un día avanzan :

10

1

2

2/3 ovillo para 1/3 chompa


32

3

mes. En tres años ha gastado:

2

1

de S/. 960 y me pagan los

me deben. ¿Cuánto me deben aún?

* Pablo demora 15 días  En un día avanza 1/15.

1 2

8

Por regla de tres simple.

3) José puede hacer una obra en 10 días y Pablo podrá hacerlo en 15 días, si trabajan juntos. En qué tiempo lo podrán hacer?

1

2

2

7

15

Solución :

x = 72

1

3

12 1

2-

x

12

= 2  1

1

8

* José demora 10 días.  En un día avanza = 1/10

1

14

5) Si una señora usa 2/3 de un ovillo de lana en tejer la tercera parte de una chompa. ¿Cuántos ovillo necesitará para tejer la chompa completa?

Solución :

2

2

x3

5

a b



14

8x + 72 + 15x =24x

Se define :

3).- Si me deben una cantidad igual a los

1 3 1

5 8

de la

3 8

x

x

3 2 7 9

x

x

2 5 6 7

x

x

7 9



c) 5

d) 4

e) 2

de las aves de una granja son 5 6

5 14

a) 320 d) 240

6).- Se retiran de un depósito los

del resto son gallinas y las 8

b) 560 e) 244

c) 420

2 3

de su

contenido menos 40 litros. En una segunda operación se saca

restantes son gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

3



4 5

palomas, los

1

4 5 x 7 2

b) 7

2 5

del resto y por último

los 84 litros restantes. Determina la capacidad del depósito. a) 300 d) 450

b) 250 e) 550

c) 600

7).- En un ómnibus parten 50 pasajeros, en el primer paradero se quedan las

2 5

partes y

suben 15 pasajeros, en el segundo

MATEMÁTICAS


paradero se quedan los

2 3

y suben 35.

¿Cuántos pasajeros tenía el ómnibus para llegar al tercer paradero? a) 25 d) 50

b) 30 e) 54

c) 40

8).- Se ha vendido un anteojo astronómico en S/. 540. Se desea saber lo que costó, sabiendo que si se hubiera querido ganar los

4 9

del precio de compra hubiese sido

necesario aumentar en S/.110 el precio de venta. a) 430 d) 480

b) 440 e) 500

c) 450

4

C= 4

a) 17/48 c) 15/23

1 2 1 2

 

1 3 1 3

 

2

E= 4

a) 4/35 d) 1/25

2 1 4

3 6

4

e) 24/39

3 1

a) 15/4 d) 4/15

b) 20/3 e) 19/20

c) 3/20

12).- El cociente de la diferencia de los números 3/4 5/8 entre la suma de los mismos es : a) 2/11 d) 1/11

b) 3/22 e) 11

x

b)

5

c) 11/2

3

trabajan juntos. En cuántos días harán la obra

e) N.A

( x  z)

de una obra en 6 días.

5

¿Qué parte de la obra hizo en un día? a) d)

5

5

b)

2 6

2

c)

5

d)

1

b)

x z 2

a)

x

a) d)

3x

c)

10

10 x 3

a)

2 6 7x

b) e)

17 x

c)

3 3x

y

xz

y

b)

a)

yz x

c)

a) d)

x

35

b)

105 44

c)

48 35

e) N.A p q

de una obra

 b  b

xp q xq p

b) e)

xq p

c)

p xq

p qx

25).- Si 4 hombres en 10 días hacen a b

de

c)

a 5b

a

22).- Ricardo puede hacer una obra en “x” días y Carlos podrá hacerlo en “y” días. Si

10 17

de

una obra. ¿Cuánto hacen en un día?

d)

xap

44 105 8

yz

e) N.A

e)

de una

de una obra en z días.

b)  9  b

4 7

en un día, cuánto hace un hombre en un día?

 a 

a

e) N.A

24).- Si x hombres hacen los

a)

b

xy xy

5

una obra en un día. ¿Cuántos días demorarán para hacer toda la obra?

d)

(zx  z)

xz

c)

7

17 x

xy

¿Cuántos días emplearán?

d)

6x

21).- Cinco personas pueden hacer los

Carlos podría hacerlo en “x” días. ¿Qué parte de la obra harían en “z” días los dos

xa

17 x

d) xy

a)

b)

de una obra en 2 días

8

( x  y)

obra, pero Roberto en tres días podrá hacer 2 de la misma. Si trabajan juntos.

¿Cuántos días demorará para hacer toda la obra.?

17).- Raúl puede hacer una obra en “a” días y juntos? ( zx  a) a)

3

xy (x  y)

b)

23).- Juan en dos días podrá hacer

de día. ¿Qué parte de la obra puede

20).- Pablo hizo los

e) N.A

10

1 8

c) xz

z

e) N.A

b)

5 x

y

e) N.A

16).- Roberto puede hacer una obra e n 5 días y Eduardo podría hacerlo en 10 días. ¿Qué parte de la obra harían en x días los dos juntos? x

19).- Carlos hizo los

xy ( x  y)

10

e) N.A

5

a)

hacer en x días?

x

d) 5 – x

z

d) x -

d)

11).- ¿Qué parte de 3/4 es 1/5?

z

d)

xa

18).- Luis hizo los

c) 3

14).- José puede hacer una obra en 5 días. ¿Qué parte de la obra pueden hacer en x días?

6

c) 1/30

z( x  a)

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

a)

1

b) 7/20 e) 4/15

b) 9/2 e) 1/3

15).- Pedro puede hacer una obra en x días. ¿Qué parte de la obra puede hacer en z días?

4 1

10).- ¿Cuánto le falta a “E” para ser ig ual a 3/5, si : 1

a) 2/9 d) 1

c) 5x

1

b) 61/35 d) 18/37

 1  1  1  1  1  1  5 1  6 1  7 1  8 1  9       E =   1  1  1  1  1  1  1  1  1  1    5  6  7  8  9 

a)

9).- Calcula el valor de “C” si :

c)

13).- Simplifica :

1 17 1

170

b)

4 17

c)

10 17

e) N.A

26).- Si 5 hombres en 10 días hacen

15 17

de

una obra. ¿Cuánto hace un hombre en un día? a)

1 170

b) 5

17

c)

3 170


d)

15

e) N.A

20

27).- Si x hombre s en “a” días hacen

b p

de

una obra, ¿Cuánto hace un hombre en un día? a) d)

xab p b xap

b)

xap

c)

b

xab pa

e) N.A

28).- Un obrero haría un trabajo en 2 días, al paso que otro emplear 4. Si trabajan ambos juntos. ¿Cuánto tiempo emplearían en hacer el trabajo? a) d)

4 3 7 2

d

b) 2d

d

e) N.A

c)

3 4

CLAVES DE RESPUESTAS 01) a 02) d

03) d

04) c

05) d

06) a 07) d

08) c

09) b

10) d

11) d 12) d

13) b

14) a

15) a

16) b 17) c

18) c

19) e

20) b

21) e 22) c

23) b

24) c

25) a

26) c 27) d

28) a

d

MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS


XV. CONTEO DE FIGURAS 1. MÉTODOS DE CONTEO DE FIGURAS

I. Determina cuántos triángulos como máximo hay en las siguientes figuras. 1).a) 15 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

b

a

e



E

f

Se pueden efectuar de dos formas:

a) M. CONTEO DIRECTO :

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

1

Solución:

s=

b

2

a

d

De una letra a, b, c, d ................ 4 + De dos letras (ad), (bc) .............. 2 De tres letras (------) ................... 0 De cuatro letras (abcd) .............. 1 Total: 7

(sólo para algunos tipos de figuras) Se utilizan relaciones matemáticas.

L

4

E

5

6

G

I

7

O

28 Rpta: .............

7 x8 = 28 2

1).- ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? 





















R A Z O N A M I E N T O b) 66

c) 11

d) 22



e) 33

2).- ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? 

PROBLEMAS RESUELTOS

S



T



U



D



I



A



R

a) 81 b) 56 c) 42 d) 21 e) 58

8)¿Cuántos ángulos hay en la siguiente figura? a) 21 b) 28 c) 36 d) 45 e) 55 9).- ¿Cuántos cuadriláteros se distinguen en la figura? a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 5 10).- Halla el número total de cuadriláteros

5).- ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura ? a) 6 b) 8 c) 4 d) 3 6) ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 21 b) 35 c) 56 d) 36 e) 72 NIVEL II 1).- Halla el número de cuadriláteros

NIVEL I

a) 55

b) M. POR INDUCCIÓN :

3

O


c



4).- ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

2) Indica cuántos segmentos hay como máximo en cada una de las siguientes figuras:

C

e) 14

a) S/.2 b) S/.5 c) S/.7 d) S/.9 e) S/.12

1R (a, b, c, d, e, f) 6 2R (be, bf, de) 3 3R (ade, def, abc, abf) 4 4R ( ___ ) -6R (abcdef) 1 14

1)

c) 20

Si César recibe S/.140, ¿Cuánto le ofreció el papá por cada segmento ?

Solución :

El conteo directo se realiza visualmente o por simple inspección y enumerando las figuras simples que conforman la figura principal; en este caso se dice que estamos contando por combinación.

b) 18 e) 23

3).- El papá de César ofreció a éste cierta cantidad de dinero por cada segmento que encontrara en la siguiente figura:

d

c

a) 16 d) 21

T



R



I



U



N



F



A

a) 15 b) 30 c) 21 d) 60 e) 48 7).- ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

a) 1980 d) 990

b) 2100 e) 1100

c) 3960

MATEMÁTICAS


2).- Halla el número de cuadrados a) 720 b) 240 c) 360 d) 180 e) 390 3).- Halla el número de cuadrados a) 36 b) 72 c) 144 d) 288 e) 91 4)¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 5).- ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura? a) 28 b) 21 c) 35 d) 29 e) 27 6).- ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 42 b) 43 c) 44 d) 48 e) 56 7).- ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 11

b) 17 c) 13 d) 9 e) 6

2).- ¿Cuántos cubitos hay en total en el siguiente sólido?

8).- La estrella que se muestra está formada por 5 rectas que se intersectan en 10 puntos. ¿Cuántos segmentos cuyos extremos sean estos puntos se pueden observar? a) 10 b) 15 c) 30 d) 45 e) 60


3).- ¿Cuántos cubos tocan por lo menos en una de las esquinas a los cubos 1 y 2 respectivamente, de la figura mostrada?

9).- La siguiente figura fue dibujada en el suelo y una persona camina sobre la línea desde “A” hasta “B” ¿Cuántas veces debe

girar a su derecha? A

a) 12 b) 14

a) 50 b) 61 c) 59 d) 52 e) 56

B

c) 11

d) 10

e) 13

10).- ¿Cuántos cubitos (los mas pequeños) se pueden contar en total, en la siguiente figura? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 16 BLOQUE III 1).- Cuántos cubitos están en contacto con el cubito que esta inmediatamente debajo del cubito sombreado? a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 13

a) 8;12 b) 13;9 c) 10;6 d) 12;7 e) 10;4

1

NIVEL I 1) b

2) d

3) b

4) d

5) b

6) d

7) d

8) b

9) d

1) a

2) b

3) e

4) e

5) e

6) c

7) d

8) c

9) b

1) c

2) d

3) c

4) c

5) d

6) c

10)d NIVEL II

2

4).- La parte exterior de este conjunto de bloques está pintada. ¿Cuántas caras de cubitos se han pintado?

10)e

a) 15 b) 17 c) 18 d) 21 e) 19

NIVEL III

5).- Cuántos cubitos como mínimo habrá que agregar al sólido mostrado, para formar un cubo compacto? a) 17 b) 90 c) 15 d) 115 e) 26 6).- Si la rueda dentada 1 gira en el sentido horario. Indicar cuáles se mueven en sentido antihorario. a) 2, 5 b) 3, 4, 7 c) 2, 5, 6 d) 2, 7

e) 2, 5, 6, 7

1 2 4

3 5

MATEMÁTICAS

I.E.P. “DOS CIENTAS MILLAS PERUANAS” Solución:

1).- Si un bloque de 30N de peso está apoyado en el suelo. Determina la fuerza con que el bloque comprime al suelo sabiendo que está en equilibrio.

Fg = 2,5x10 = 25 N

D.C.L. (esfera)

II. ESTÁTICA (continuación) Solución:

5. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que obran sobre este, debe valer R = 0

 Rx  0  Fx  0 R y  0  Fy  0

PROBLEMAS RESUELTOS

Por Equilibrio: F = F N = Fg

N = 25N

3.- En el siguiente gráfico el bloque es

Por Equilibrio:

comprimido con una fuerza “F” igual a 20N.

F = F

Sabiendo que el bloque está en equilibrio. Determina la reacción del suelo sobre el bloque si su masa es de 4kg. (g=10m/s 2) F

g

N + F = Fg

a) 20N b) 60N c) 40N d) 30N e) N.A.

N + 40N = 90N N = 50N 5.- Halla la reacción del techo sobre el bloque de masa 5kg, si se le sostiene con una fuerza de 80N.

Solución:

D.C.L. (bloque) F Solución:

N

Por Equilibrio: F = F

Por Equilibrio:

D.C.L. (bloque)

N

N

F = F N = Fg + F

N = Fg

F = 80 N Fg = 5 x10 = 50 N

N = 40+20 = 60N

N = 60N

Por Equilibrio: 2.- Si la masa de una esfera es de 2,5kg. Sabiendo que se encuentra en equilibrio. Determina la normal del suelo sobre la esfera. (g=10m/s2)

4.- En el gráfico el bloque está en equilibrio y se le trata de levantar con una fuerza “F” igual a 40N. Si su masa es de 9kg. Determina la reacción normal del piso sobre el bloque. (g=10m/s 2)

g

g

F

F

g

3).- En el gráfico si el bloque está en equilibrio y la reacción normal del piso sobre el bloque es de 55N. Determina la (g=10m/s2)

g

F = 20N

Fg = 6 x10 = 60N

D.C.L.(bloque)

g

masa del bloque si “F” es igual a 20N

Fg = 4x10=40N Solución:

a) 20N b) 30N c) 90N d) 15N e) 60N

2).- Halla el valor de “F” si se sabe que el bloque está en equilibrio y además el piso ejerce ejerce una fuerza de 60N sobre el bloque, demás la masa del bloque es de 2kg. (g=10m/s2)

N

1.- Si un bloque está en equilibrio según como se muestra. Determina la reacción normal del piso sobre el bloque si su masa es de 6kg. (g=10m/s 2) g

Fg = 9 x10 = 90 N F=40N

N

F = F F = N + Fg 80N = N + 50N N = 30N


a) 35kg b) 2,5 kg c) 25 kg d) 3,5 kg e) N.A.

g

F

4).- Halla el valor de “F” si se sabe que el bloque posee una masa de 8kg. Si además el piso ejerce una fuerza sobre el bloque de 55N. (g=10m/s2) a) 15N b) 25N c) 35N d) 80N e) N.A.

g

F

5).- Si el bloque está en equilibrio y se le aplica una fuerza de 60N tratando de levantar al bloque. Determina la masa del

MATEMÁTICAS


bloque si el bloque está a punto de perder contacto con el piso. (g=10m/s 2) a) 5Kg b) 3 Kg F g c) 6 Kg d) 9 Kg e) N.A. 6).- Si el bloque de masa 7Kg está siendo apoyado contra el techo al cual se le ejerce una fuerza de 35N. Determina la fuerza aplicada sobre el bloque. (g=10m/s 2) a) 70N b) 45N c) 35N d) 105N e) N.A.

g F

fuerza “F” que sostiene a la esfera es 120N.

(g=10m/s2)

a) 20N b) 15N c) 50N d) 25N e) N.A.

g

a) 60N b) 40N c) 80N d) 160N e) N.A.

g F

90N

9).- Un muchacho empuja un baúl de 100N contra una pared con una fuerza de 80N. Determina la normal del piso con el baúl. a) 20N b) 50N c) 130N 100N d) 40N

a) 6kg b) 8 kg c) 7 kg d) 9 kg e) N.A.

g

Dinamómetro

13).- Halla la fuerza que ejerce el bloque contra el piso. Si la masa del bloque es de 4kg y la lectura del dinamómetro es de 28N. a) 40N b) 68 N c) 22 N d) 12 N e) 28 N

g

14).- Halla el peso del bloque si la reacción del piso sobre el bloque es de 36N y además la lectura del dinamómetro es de 24N. a) 12N b) 36N c) 24N d) 60N e) 48N

Dinamómetro

Dinamómetro

g

15).- Un niño de 20kg está parado en una balanza tal como se muestra. Determina la lectura de la balanza en Newton. (g=10m/s2) a) 100N b) 50N c) 150N d) 200N e) N.A

g

12).- Si la lectura del dinamómetro es de 90N en el cable. Determina la masa del bloque. (g=10m/s2)

8).- Un niño aplica una fuerza de 40N a un baúl según como se muestra. Determina la reacción en la pared si el baúl pes a 90N. a) 20N b) 50N c) 130N d) 40N e) N.A

10).- Si un bloque de 25N se encuentra suspendido por un hilo al techo. Determina la tensión que aparece en el hilo. (g=10m/s2)

11).- Si la esfera de 8kg se encuentra suspendida por un cable desde el techo. Determina la tensión en el cable. (g=10m/s2)

7).- Si la esfera de 4,5kg está siendo apretada contra el techo. Determina la reacción del techo hacia la esfera si la

a) 45N b) 120N c) 65N d) 75N e) N.A.

e) 100N

g

a) 100N b) 60N c) 40N d) 10N e) 20N

1 g 2

19).- Para que un bloque de cierta masa se encuentre en equilibrio se ejerce una fuerza de 80N en el extremo de la cuerda “1”. ¿Cuál será la masa del bloque si la tensión en el cable “2” es de 35N. 1 g 2

20).- Un muchacho jala un cable con una fuerza de 32N. Determina el peso del bloque si este sube a velocidad constante. a) 16N b) 8N c) 40N d) 32N e) 64N 21).- Un bloque es elevado con una velocidad

17).- Halla la tensión en el cable “A”, si el bloque de 40N está sostenido por el cable “B” por una tensión de 70N.

a) 10N b) 20N c) 40N d) 15N e) 30N

fuerza de 60N en la cuerda “1”. ¿Cuánto es la tensión en la cuerda ”2”?

a) 2,5kg b) 3,5kg c) 6,5kg d) 5,5kg e) 4,5kg

g

16).- Una joven de 55kg está parada en una balanza tal como se muestra. Determina la lectura de la balanza en Newton. a) 50N b) 450N c) 275N d) 250N e) 550N

18).- Para que un bloque de 40N se encuentre en equilibrio se ejerce una

B g A

constante por medio de las fuerzas “F1” que es igual a 21N y “F2” es igual a 29N tal

como se muestra. Determina el peso del bloque. a) 50N b) 40N c) 8N d) 39N e) 50N

F2

F1

MATEMÁTICAS


22).- Una persona tira la cuerda a través de la polea para levantar un bloque de 80N. Determina la fuerza del hombre si logra que el bloque ascienda a velocidad constante. a) 60N b) 20N c) 40N d) 80N e) 90N

26).- Un muchacho jala un cable con una fuerza de 52N. Determina el peso del bloque si este sube a velocidad constante. a) 16N b) 8N c) 40N d) 52N e) 64N

g

23).- Determina la tensión en la cuerda “1”. Si la esfera de 30N está en reposo.

a) 40N b) 140N c) 70N d) 280N e) 100N

constante por medio de las fuerzas “F1” que es igual a 41N y “F2” es igual a 59N tal

F2

a) 100N b) 40N c) 8N d) 39N e) 50N

F1

28).- Una persona tira la cuerda a través de la polea para levantar un bloque de 120N. Determina la fuerza del hombre si logra que el bloque ascienda a velocidad constante.

T

T

180N

27).- Un bloque es elevado con una velocidad

1

24).- Determina la tensión “T” en la cuerda si el bloque es de 140N.

a) POLEA FIJAS : Cambio de dirección.

a) 40N b) 140N c) 90N d) 280N e) 100N

como se muestra. Determina el peso del bloque.

a) 10N b) 15N c) 20N d) 30N e) 60N

30).- Determina la tensión “T” en la cuerda si el bloque es de 180N.

CLAVES DE RESPUESTAS 1) b

2) c

3) d

4) b

5) c

6) d

7) d

8) d

9) e

10) d

11) c

12) d

13) d

14) d

15) d

16) e

17) e

18) e

19) e

20) d

21) a

22) d

23) d

24) c

25) e

26) d

27) a

28) d

29) d

30) c

descender mientras alrededor de su eje.

ARREGLO POLIPASTO:

está

girando

POTENCIAL

O

140N

6. POLEAS 25).- Para que un bloque de cierta masa se encuentre en equilibrio se ejerce una fuerza de 100N en el extremo de la cuerda “1”. ¿Cuál será la masa del bloque si la tensión en el cable “2” es de 45N.

a) 2,5kg b) 3,5kg c) 6,5kg d) 4,5kg e) 5,5kg

b) POLEA MÓVIL : Puede ascender o

a) 60N b) 20N c) 40N d) 120N e) 90N

6.1. POLEAS : g

29).- Determina la tensión en la cuerda “1”. Si la esfera de 50N está en reposo.

Es una rueda que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. En su superficie tiene una garganta o canal sobre la que se coloca una correa, cuerda, faja o cadena y que se utiliza para multiplicar los esfuerzos aplicados y para cambiar la dirección de las fuerzas.

1 g 2

a) 10N b) 15N c) 20N d) 50N e) 60N

Combinación de poleas móviles con poleas fijas.

1

6.2. CLASES DE POLEAS :

Se asumen todas las poleas lisas y de peso despreciable.

MATEMÁTICAS


PROBLEMAS RESUELTOS 1) Halla el valor de la fuerza necesaria para levantar un peso de 200N con el polipasto siguiente:

T

D.C.L. Sol:


T

T

2T

2T

T

Luego: T + T = 600 T = 300Lb

4T

3).- Se tiene un bloque de 400N y las poleas pesan 20N. Determina la tensión, si existe equilibrio:

400N

 T+4T=

a) 10N b) 30N c) 40N d) 60N e) 50N

T 80N

400 2).- Si la barra está en equilibrio. Determina

T = 800N

el peso de la barra si la tensión “T” es de

F

35N. 5. Halla “T” en el sistema si es W=3200N

200

Sol: Hacemos D.C.L., e indicamos las fuerzas.

400N

Sol:

P1 2F

1

T F

F 3

Aplicamos la primera condición de equilibrio en la polea 3.

P2

8200N

F+2F+F=200 F= 50N

Sol: D.C.L.

T

T T T T T T T

2T

2T

8200N

T

400N

 T+2T+2T+2T+T=3200

T=400N Sol:

T

100kg 20 kg 10 kg 30 kg 50 kg

4).- Halla “T”, si el bloque está en equilibrio.

2T

T

a) b) c) d) e)

2T

T= 95N 4) Halla la tensión “T” si el bloque está en equilibrio, además el peso del bloque es: 400N.

2).- Calcula la tensión T necesaria para sostener una carga de 600Lb en:

15N 70N 17,5N 105N 35N

3).- Si la esfera es tá en equilibrio. Determina la masa de la esfera, si la lectura del dinamómetro es de 50N.

T T P3

Luego: T+2T+T+P1+P2+P3= 400 4T+20= 400

200

a) b) c) d) e)

T

2

2F

F

1).- Si el bloque está en equilibrio. Determina “T” (g=10m/s2)

a) 30N b) 40N c) 50N d) 70N e) 60N

T 120N

5).- Determina el peso de la barra. Si la tensión es de 45N. a) 45N b) 80N c) 180N d) 90N e) 22,5N

T

MATEMÁTICAS


6).- Si la esfera está en equilibrio. Determina

e) 400N 15).- Halla el W B. Si el sistema está en equilibrio.

la masa de la esfera si la “T” es de 16N.

a) 8kg b) 1,6 c) 3,2 d) 64 e) 4

T

11).- Si el hombre aplica una fuerza de 10N. Determine la masa del bloque si el sistema está en equilibrio.

7).- Halla “T”, si el sistema está en equilibrio. a) 50N b) 75N c) 100N d) 25N e) 5N

T

a) 6kg b) 4 kg c) 8 kg d) 16 kg e) 2 kg

T

a) 45N b) 90N c) 180N d) 360N e) 22,5N 9).- Halla “M”, si la barra está enWequilibrio y además “T” es igual a 15N.

a) 10kg b) 20 kg c) 36 kg d) 48 kg e) N.A.

160N

a) 4N b) 20N c) 40N d) 80N e) N.A.

g

16).- El siguiente sistema está en equilibrio. Halla: W B. (WA – 5N) a) 10N b) 20N c) 30N d) 40N e) 50N

A

20).- Determine la tensión (1). Si el bloque pesa 160N. a) 30N b) 50 c) 60 d) 40 e) N.A.

T (1)

B B

17).13).- Si el sistema se encuentra en equilibrio. Determinar la fuerza que aplica el hombre para sostener el bloque de 20kg.

En

este

sistema

en

equilibrio.

Determina la masa del bloque “B”. Si el bloque “A” posee una masa de 80kg.

(g=10m/s2) a) 20Kg b) 25 kg c) 2 kg d) 2,5 kg e) 1,5 kg

a) 100N b) 200N c)150N d) 400N e) 800N

T

B

T

120N

12).- Si el bloque de 80N está en equilibrio. Determina la fuerza que ejerce el hombre.

8).- Halla “T” si el sistema está en equilibrio, W=360N.

a) 60N b) 50N c) 40N d) 30N e) 20N

g

M

100N

a) 40N b) 20 c) 10 d) 80 e) 160

19).- Halla “T” , si el sistema está en equilibrio.

21).- Hallar la tensión “T”, si el bloque está en equilibrio. Además el bloque pesa 250N. a) 10N b) 20N c) 30N d) 40N e) 50N

T

B B A

M

10).- Determine la fuerza que debe aplicar el hombre a la cuerda si el sistema está en equilibrio. M = 20kg. a) 200N b) 100N c) 50N d) 150N

g

14).- Halla el W A. Si el sistema está en equilibrio. a) 70N b) 15N c) 25N d) 45N e) 35N

A 70N

18).- Determina la tensión “T” en el cable. a) 10N b) 20N c) 40N d) 15N e) 30N

22).- Halla la masa del bloque si la lectura del dinamómetro es de 15N. Si el sistema está en equilibrio. (g=10m/s 2) a) 6kg b) 60 kg c) 45 kg d) 75 kg e) 7,5 kg

T 90N

CTARIT-2S-IIIP

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