Se define el factorial de un número entero positivo “n” como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta “n” inclusive. Así:
R=
n ! ; n =Se lee “factorial de n” o “n factorial”. Ejemplos:
2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 5! = ...................................................... 6! = ........................................................ 7! = ...................................................... 8! = ...................................................... 9! = ...................................................... 10!= ......................................................
a ! =1
25 =
⇒
II. Sabemos que:
a=1
4.- Simplifica:
a=0 7 ! = 7 x
6x5x4x3x2x 1 6!
7!=7x6! n ! =n x (n-1) !
R=
n( n + 2 ) n +2
E=
E=
a) 1 d) 6
18(6x 17! ) 18! x18!
b) 2 e) 8
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
A =
5).-Calcula: a) 6 d) 9
32! 24! E = 11 23! 33!
6).-Simplifica: a) 7
b) 10 e) 11
E
=
2
n – 1 = 99
( n − 3) (n − 4)! ( n − 4) (n − 5)! n2 =100 − ( n − 4)! ( n − 5) ! n = 10
a) 1 d) 4
8 5
35! × 87! × 3 17! ×87 × 86
b) 2 e) 5
8).-Simplifica:
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº06 NIVEL I
65
c) 8
c) 6
7).- Simplifica:
(n+1)(n-1) =99
P=1
c) 4
5! 3! 2!
b) 7 e)10
d) 8 ( n +1)(n )(n −1)(n − 2)! = 99 ( n − 2)! n
P=n-3–n+4
c) 4
n! –24n = 48-(n+1)!
( n +1)! =99 ( n − 2)! n
Solución:
e) 10303
4).- Halla “n” de:
(n +1)! n! = 99(n-2)! (n +1)n! −n!
x=3
100!
b) 10304 d) 10404
Solución:
x=7–4
101!+102!
2
( n +1)! n! = 99 ( n − 2)! ( n +1)!−n!
x+4=7
16!−15!
a) 255/221 b) 256/225 c) 225/256 d) 125/256 e) 256/125 2).- Halla el equivalente de:
3).- Reduce:
7.- Halla el valor de “n” en:
( x + 4)( x + 3)! =7 ( x + 3)!
P =
2n + n 2 n +2
15!+16!+14!
a) 10403 c) 10203
R=n
( n − 3)! ( n − 4)! P= − ( n − 4) ! (n − 5)! ó
R= 5
5.- Simplifica:
0! = 0=1
OBSERVACIONES: I. Si:
24 +1 =
Solución:
4! = 1 x 2 x 3 x 4
Por convención:
4!+1 =
( x + 4)! =7 ( x + 3)!
1! = 1
n(n −1)!+(n +1)(n )(n −1)! n(n −1)!+2(n −1)!
3!. 6!. 8! 3!. 6.5!. 8.7! 6.8 n + n2 + n = = = R 6= n+2 2!. 4!. 5!. 7!. 2.4.3!. 5!. 7! 2 .4 3.- Simplifica:
n ! = n =1x2x3x4x…. x(n-1)xn
P=
Descomponemos los factoriales.
2.- Simplifica:
DEFINICIÓN:
n!+(n +1)! n!+2(n −1)!
Solución:
10! 10 x 9! = = 10 9! 9!
1. FACTORIAL
1).- Halla el resultado de:
2º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008
× 4! × 15! × 36! ×84!
c) 3
ÁLGEBRA
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
E =
n! (n − 2)! (n − 3)! (n + 1)!
n+1 a) n− 2 n−1 c) n− 2
9).- Halla:
b) d)
NIVEL II
n−2 n +1
n−1 n+ 2
e)
n+1 n+ 2
b) 2 e) 1
a) 32 d) 1
a) 7/9 d) 9
31! × 64!
a) n d) n2
2 × 32! × 63!
c) 1/2
4) .- Simplifica : a) 1 d) 4
E = 729 − ( 6 !+1)( 6 !−1) +1
a) -26 d) -22
b) 3 e) 9 3!
2!0 !
c) 4
−2 !
a) 5 d) 3
3 !1!
b) –28 e) -24
c) –20
6! + 5! b) 120 e) 1200
c) 720
14) .- Efectúa: a) 120 d) 5040
7! – 5! b) 720 e) N.A.
c) 4920
a) 1/2 d) 8
4! − 3! 4! + 3! b) 1 e) 3/8
6).- Simplifica :
a) 5 d) 3 8).-
c) 3/5
a) 62 d) 65
[ ( 2!) ! ]
2!!!!
c) 3 a) 700 d) 500
200! 20! 40! + + E= 199 ! 18 ! 39! b) 620 e) 225
c) 290
c) 4
14).- Hallar “x”en:
( X − 2)! =2 ( X − 3 )! b) 2 e) 1
a) 9 d) 5
c) 4 Simplifica
b) 3620 e) N.A.
9) d
10)d
11)b
12)b
13)a
14)c
15)c
1) e
2) d
3) a
4) d
5) b
6) d
7) c
8) c
9) d
10)b
11)c
12)b
13)c
14)d
2. NÚMERO COMBINATORIO DEFINICIÓN: Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento.
C
(6 ! ) A= 4! + 5! a) 3500 d) 4200
8) b
=
c) 21
2
4 × 5 × 6 × X! = 5! 3!
b) 2 e) ±2
E
13).- Calcula el valor de A.
c) 4
:
c) 3600
b) 7 e) 2
c) 8
NIVEL I
66
k
=
n! (n − k )! k!
; donde n, k∈ N
NOTACIÓN: Cnk ;
(x+1)! = 30(x-1)!
CLAVES DE RESPUESTAS
c) ±4
n
n≥k≥0
1) b
2) a
3) b
4) c
5) e
6) d
n Ck
;
nC k
Regla Práctica:
C
( X − 2)! ( X + 2)! = 12 ( X − 3)! ( X + 1)! a) 4 d) ±3
b) 84 e) 60
12).- Calcula :
3 x 4 x 5 x X! = 5!
.-
c) 599
18!+19!+20! + (3! )! 18!+19! 6!
n! +( n −1)! ( n +1) ! b) 2 c) 1 e) n+1
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” a) Presenta n + 1 términos.
PROPIEDADES:
Luego :
a) COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS: C
n
=C
k
n n− k
b) Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a). Además:
v k +p = n
b) DEGRADACIÓN DE ÍNDICES: ambos índices:
n n −1 C k k −1
Cn k = Sólo el superior:
Cn k =
n C n −1 n −k k
c) SUMA DE COMBINATORIOS: 1 C nk + C nk +1 = C nk + +1
3. BINOMIO DE NEWTON: Expansión general del binomio de Newton: Se pueden desarrollar binomios para exponente natural con ayuda de los combinatorios. n n n −1 a + (x+a)n= C o x n + C 1 x Cn X n −2 a 2 +....+ C n an 2 n
FÓRMULA GENERAL DEL TÉRMINO DE POSICIÓN: k+1 ( t k +1 ) t k +1 = C
n k
X n −k a k
Nota: La expansión del Binomio (x+a)n
Solución:
(1+x ) n =
* Si x = 1 C =2
n +C 1n +C n 0 2
+..... +C n n
22
22
22
21
21
21
2 12-k tk+1 = C12 (-x -1) k k (x ) Luego : 2(12 – k) – k = 0
C 12 + 2C 13 + C 14
n n Cn +XC 1n +X 2 C n +X 3 C n +..... +X3).CReduce: E= 0 2 3 n
t4 = C n3 (x)n-3 (2)3 = 80xm 8 C n3 xn-3 = 80xm Luego : 8 C n3 = 80 → C n3 = 10
S= 6 x 5 6 x 5 x 4 6 x 5 x 4 x 3 + + 2 2 x3 2 x 3x4 S = 15 + 20 + 15
Solución:
12 Pero : C12 5 = C7
(x2 +
24! . 9! 24 x 23! x 9!7).- El 4to término del desarrollo de: (x+2)n es = m 10! . 23! 10 x 9! x 23! 80x .
24 = 8 33 11
2).- Reduce:
E=
= 495 C12 8
xn-3 = xm n-3 = m → n – m = 3 Luego :
C n3 − 1 10 − 1 9 = = = n −m 3 3
2º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008
3
ÁLGEBRA
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” d) 10 8).- Uno de los términos de la expresión de (x4 + x-3)15 es de la forma nx32. Calcula el valor de “n”.
4 15-k tk+1 = C15 ( x-3 )k k (x )
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº07 77
76
3 C 7k = 11C 7k −1 b) 6 e) N.A.
d) C X +2 9
e) N.A.
a) 12/7 d) 5/7 n
n
b) 3n-5 e) N.A.
a) 14
b) 12
c) 10
d) 18
e) 20
9).- Calcula “X” en : a) 11 d) 14
4 C5 x 4 C6
b) 12 e) N.A.
b) 25 e) 40
9
Determina el valor de (n2 + n) a) 10 b) 110 c) 120 d) 130 e) 132 11).- Halla el valor de la expresión: n2 + 2n – 1, si n =28 2
n+ 3
= C5
c) 8
( )
a) 79 d) 34
b) 62 e) 47
e) 44
20).- Halla el grado absoluto del 7mo término del desarrollo de: (3x3y + 2z2)15 a) 48 b) 51 c) 52 d) 24 e) 96
5 1 x + x b) 11 e) 20
x + 1 4 x
c) 33 a) 30 b) 35
c) 33
7
d) 40
e) 1
22).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x+3y)n el exponente de “x” es 3. a)30
c) 12
15).- Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x + 3y)n el exponente de “x” es 3 a) 30 b) 28 c) 25 d) 15 e) 12
1 lugar 25 en el desarrollo de x 2 + x3 contiene a “x12”.
c) 13
9
n+ 1
d) 32
b)28 c)25
d)15
e)12
23).- ¿Qué lugar ocupa el término de grado absoluto 48 en el desarrollo de: (x2 + y3)18 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 24).- Hallar “p” si t16 de (x5+yp)30 contiene a x75 y60
n
9
+ C6
a) 10 d) 15
=2/3
2n +1 = C2n +1 10).- Dada la igualdad: C3 n +8
c) 9/7
c) 60
21).- Calcula el coeficiente del quinto término de:
a “ x12 ”
16).- Halla el valor de “n” si el término de
10
n+ 2
a) 20 d) 35
c) 3n-4
10
C4 + 2 C5 + C6
b) 3
a) 3n-6 d) 3n-3
10
C5 + 2 C6 + C7
C4 + C5 + C5 a) 2
c) 2
x
X c) C 10
b) 11/7 e) 2/7
4).- Halla “n” si:
1 x + contiene 2 x
Reduce:
X +2
X
b) C X +2 10
E=
b) -1 e) 1/2
n+3 resulta igual a: C 10
E = C 7 + 2 C 8 + C 9 + C 10 a) C X +3 10
c) 11/9
b) 48
n
8
C5
M = C n4 + C n5 + C n6+1 + C n7 +2
Reduce: X
b) 9/7 e) 4/3
a) 24
13).- Halla “n” si el octavo término del desarrollo de:
C9 −C 8 6 6
8).- Reduce y determina el valor de n en:
c) 9
2).-
3).- Reduce :
E=
n + 2( n 5 ) = 3( 3 ) ; n ∈ Z
a) 5/4 d) 6/5
c) 1/2
19).- En la expansión de: B(x,y)=(x2+y3)20 Determine el grado absoluto del 9no término
n +1 , n −1
n n 3Cn 2C 2 4 C 4 14).- Calcula el lugar que ocupa el término 3 E= + + n que contiene a “x5 “ en el desarrollo de: C1 Cn Cn 2 3 13
n = 1365
X
si :
8 C2
7).-
Luego: C15 =n k
a) 3 d) 11
C5
b) -2 e) 1/3
a) 1 d) -2
60 – 7k = 32 k=4
Calcula: K !
5).- Reduce : E =
6).- Reduce:
x60-4k-3k = nx32 C15 k
12).- Halla el valor de
8
a) 2 d) 3
Solución:
1).- Sabiendo:
e) 18
c) 98
a) 30 d) 70
b) 40 e) 78
c) 66
17).- El noveno término del binomio (x+x-3)n es de grado 8, halla el grado del quinto término. a) 6 b) 14 c) 18 d) 24 e) 28 18).- Halla el T.I del desarrollo de (x3-x-3)10 a) 252 b) 16 c) 168 d) 206 e) 300
68
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
CLAVES DE RESPUESTAS 1) b 4) c 7) a 10)b 13)c 16)c 19)b 22)a
2) a 5) a 8) a 11)a 14)b 17)d 20)a 23)d
VII. RADICACION DEFINICIÓN:
2º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008
3) a 6) a 9) d 12)a 15)a 18)a 21)b 24)b
ÁLGEBRA
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” Es la operación que tiene por objeto calcular una expresión llamada RAÍZ conociendo otras llamadas ÍNDICE y RADICANDO; tal que dicha raíz elevada al índice, reproduzca el radicando. n Índice
A =R
Solución :
C=
2.2) n 2.3) 2.4)
1.
n
n
a.b = n
a = b b
m
mn
=
n
a a
a .
n
a
1) Simplifica: 2 500 + 3
( b)
mxn
108 = 2
2.
x 3
b
x3 = 2
2
x
3
2
x
3.
2
;
10 20
5 +6
5 - 21
2) Reduce:
2
;
2
5 − 36
3 =6
5 -6
5 -6
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES:
5
3
2 5
5
2
5
5
243
Solución :
7 + 49
7 - 2 x 18 7 - 36
∴ 100 (2
324 x 7 − 9 x 7
7 -3
7 -3
84 −2
∴ 9-
7
2 ) (4
I. Simplifica los radicales: 1. 3 54
= 332
2.
300
= 10
3
3.
450
= 15
2
81 x 3 = 81 − 3
3
4. 5 480
= 2 5 15
5.
882
= 21
6.
1875
7
7 3 ) (5
192 = 5 32 x 6 = 2
6 )
2
7) Transforma en radical simple: 21+6 10
Solución:
69
5
6
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08
6) Transforma en radical simple: 84 −2
192
Solución :
( 3) 7
5
3
8 7 27 125
∴
5
9) Simplifica:
Solución :
3
7 + 49
3) Efectúa:
2 7 5 3
49 x 5 − 5) 36Simplifica: x5
225 x 7 + 2401 x 7 −2
90
24 −2 3
2 3 + 2 −2 3 =
Solución :
3 2
14 +2
3
12 + 2 −2 3
∴ 400
6 1575 + 16807 −2 2268 − 63
6 x 15
6 −2
16 x 5 = 16 x 25
180
5 −3 49
5 -3x7
∴ -
6
14 +4
3
5 +3x2
3 =2 x 3
9 x 10
2
2 x
Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo : 2 ; -5
245 -
4 x 5 −3
5 +3 4
2 100
RADICALES SEMEJANTES:
3
20 - 3
2 100 x 5 +3
Se descompone el radicando en factores de modo que los exponentes sean divisibles entre el índice del radical, se extrae la raíz y se deja indicado el factor que no tiene raíz exacta. Ejemplo : Simplifica : 108 2
III. Efectúa las multiplicaciones divisiones de radicales:
3 + 2
c) 3
16
7.
10.
=
6
) = 81
9 3 (-3/4 6 7 )2 = 7
32 − 4 162 + 4 2 + 4 1250 = 5 4 2
5 +2
b) 2 e) N.A.
3
4.
6.
6. 73 54 + 23 16 − 53 128 = 5 3 2
4
70
1-
2
2
7.
3 5 = 77
2
2. 3.
7
30
IV. Efectúa las potencias y raíces de radicales: 1.
2.
4 5 3 2 = − 5
15
Efectúa las siguientes sustracciones de radicales:
1. 12
( )
4.
a) 1 d) 5
2 ) = −12 110
4).- Simplifica:
70
b) 2 e) N.A.
c) 3
17 − 4 9 + 4 5
b) -2 e) -5
− 5
c) -3
12 + 8 2 − 2 2
4.
2) b 6) a
3) b 7) c
4) b
RACIONALIZACION
4.1. DEFINICIÓN: Es el proceso que transforma a uno de los términos de una fracción (numerador y denominador) escrito en forma irracional, en otro racional. 4.2. FACTOR RACIONALIZANTE: Llamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional.
2º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008
ÁLGEBRA
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” =
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº09
4.3. CASOS:
Expresión Irracional 1°
n
(
2°
a ± b
3°
3
a +3 b
4°
3
−3
Expres. Racional
A n−K ; n > k
n
AK
a
Factor Racionalizante
) (
a b
A
)
a-b
3 2 −3 ab +3 b 2 a a 3 2 +3 ab +3 b 2 a
