Pendugaan Parameter Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UI FMIPA-UI I
April 13, !1"
Pendugaan
1
3
Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga etahui menaksir hu&ungan parameter populasi yg tidak dik etahui
%
Penduga ' suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu parameter parameter (stimasi' Pengukuran terhadap nilai parameternya #populasi$ dari etahui data sampel yang dik etahui
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
Si)at-si)at Penduga
1
3
* merupakan penduga p enduga tak &ias dari * +ika (#*,$- * *, merupakan penduga p enduga konsisten &agi * apa&ila nilai *, .enderung mendekati nilai parameter * untuk n yang semakin &esar mendek ati ati tak terhingga *, merupakan penduga yang e)isien &agi * +ika penduga *, memiliki /arians tau standar de/iasi yang le&ih ke.il di&andingkan dengan penduga lainnya0 *, merupakan penduga p enduga yang .ukup &agi * apa&ila *, men.akup seluruh in)ormasi tentang * yang terkandung di dalam sampel0
%
3!
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
3
%
2enis-+enis pendugaan &erdasarkan .ara penya+ianny a+iannya a
1
Pendugaan itik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menye&utkan penduga satu nilai0 idak idak mem&erikan selisih selisih atau +arak antara nilai penduga dengan nilai se&enarnya #parameter$ Pendugaan Inter/al Pendugaan yg memp dua nilai s&g pem&atasan% daerah pem&atasan 4igunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai se&enarnya%parameternya akan &erada0 5ilai #1-6$ dise&ut koe)isien k ep eper.ay er.ayaan Selang keper.ayaan ' #1-6$ 7 1!!
3!
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
2enis-+enis pendugaan &erdasarkan parameternya
1
Pendugaan rata-rata
Pendugaan proporsi
3
Pendugaan /arians
%
3!
Pendugaan Parameter
Ayundyah #UII$
April 13, !1"
"
%
3!
Pendugaan inter/al untuk rata-rata
1
Untuk sampel &esar #n 8 3!$ a0 Utk populasi tdk ter&atas% populasi ter&atas yg pengam&ilan sampelnya dgn pengem&alian dan 9 dik etahui :
9
9
; < 0 = > ? > : @ < 0 = 6
6
n
n
Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan inter/al nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, +ika dipakai distri&usi pro&a&ilitas normal, .on)eden.e inter/al untuk rata-rata ditentuk
#1$
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
%
3!
Sehingga didapat dua &atas k eper.ayaan 9 , 6 * -7;< 0
=
#$
=
9 , 6 dan * - 7 @ < 0
n
n
Bontoh' Cata-rata IP sampel a.ak 3 mahasiswa tingkat S-1 adalah ,A0 Ditung selang keper.ayaan E" F dan EE F untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-1G Anggap &ahwa standar de/iasi populasinya !,30 Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
H
%
3!
&0 Untuk populasi ter&atas, pengam&ilan sampel tanpa pengem&alian dan 9 dik etahui r
5 ; n
9 r
9
5
; :n ; < = 0 6% n
5
;1
5
;1
> ? > : @ <6% = 0 n
#3$
Pendugaan Parameter
Ayundyah #UII$
April 13, !1"
0 Untuk sampel ke.il #n J 3!$ s
:; t 0= n #$ 6
dengan s
Kn s
-
i -1
n;
:i ; 1
>?>:@
s t 0= 6
n
%
3!
i
#n :i $ n#n ; 1$
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
E
%
3!
Latihan Soal
1
Se&uah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang diperlukan oleh se&uah mesin yang digunakan untuk memproduksi satu +enis kain0 4iam&il se.ara a.ak 3 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 1" menit0 2ik a diasumsikan standar de/iasi populasi 3 menit, tentukan estimasi inter/al rata-rata dengan tingkat .on)iden.e #tingkat keper.ayaan$ E" F Lima karyawan P (LII dipilih se.ara a.ak, kemudian diukur &eratnya0 4atanya adalah , H, H!, " dan ! kg0 Nuatlah pendugaan inter/al rata-ratanya dgn tingkat keyakinan EEF
Pendugaan Parameter
Ayundyah #UII$
April 13, !1"
1!
%
3!
Pendugaan Inter/al Untuk Proporsi
10 Untuk sampel &esar #n 8 3!$ a0 Untuk populasi tidak ter&atas r
p #1
r
p #1 n
; p$
; p$
p ; <6%
> P > p @ <6%
#"$
n
&0 Untuk populasi ter&atas dan pengam&ilan sampel tanpa pengem&alian r
r
r
p #1
r
n ; p $ p 5 <6% ;;
n
5 ; 1 5
> P > p @ <6%
n
; 1 #A$
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
11
%
3!
0 Untuk sampel ke.il #n J 3!$ r
p #1 r
; p$
; p $ p ; t6% > P > p @ t6%
p #1 n n
#H$
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
1
%
3!
Latihan Soal 10 Se&uah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase &arang rusak0 Untuk keperluan terse&ut, diam&il ! &uah &arang yang ada dalam peti dan diperoleh E &uah rusak0 4ugalah persentase &arang yang rusak0 4igunakan inter/al keyakinan EE 0 0 Se&uah Sampel se&anyak " &uah apel, diantaranya apel kualitas rusak0 4engan inter/al keyakinan E"F, tentukan proporsi apel yang rusak 30 Se&uah perusahaan memproduksi &aut, menggunakan mesin otomatis dengan diameter menye&ar mengikuti distri&usi normal yang standar de/iasinya #populasi$ !,! milimeter0 4iam&il sampel a.ak empat &uah &aut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameterny a se&esar ,Emm0 Nuatlah selang keper.ayaan dengan tingk at keper.ayaan E persen &agi rata-rata &aut0
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
13
%
3!
0 Lima karyawan P (LII dipilih se.ara a.ak, kemudian diukur &eratnya0 4atanya adalah , H, H!, " dan ! kg0 Nuatlah pendugaan inter/al rata-ratanya dgn tingkat keyakinan EE F "0 4ari sampel random !! orang yg makan siang di restoran 5IKMA selama &e&erapa hari Sa&tu, diperoleh data 1" org yg menyukai makanan tradisional0 entukan pendugaan inter/al &agi proporsi se&enarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk mak an siangnya pd hari Sa&tu di restoran terse&ut dgn menggunakan inter/al keyakinan E F
Pendugaan Parameter 4ua Populasi
4alam materi ini akan di&ahas metode in)erensi #pendugaan$ statistik untuk mem&andingkan dua perlakuan atau dua populasi &erdasark an sampel-sampel yang independen0 1
Nila ada populasi masing-masing dengan rata-rata ? 1 dan ? , /arians 9
dan 9 , maka estimasi dari selisih ? 1 dan ? adalah 7 1 dan 7 , sehingga #7 1 1
9
@
9
;
7 $
; #?1 ;
? $
<
-
s
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
1"
%
3!
Pendugaan Inter/al Neda 4ua Cata-Cata
10 Untuk sampel &esar dan 9 dan 9 dik etahui
:1
; : ; < 6 09: 1
1
;:
> #?1 ; 1
? $
>
:1
; : @ < 6 09:
;:
dengan
9 s
1
9
n1
@
9: ; : 1 n
-
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
1
%
3!
Bontoh Soal
4iketahui nilai u+ian kimia yang di&erikan pada "! siswa putri dan H" siswa putra mempunyai rata-rata se.ara &erurutan adalah H dan 0 Bari selang keper.ayaan E F untuk selisih ? 1 -? 0 Anggap standar de/iasi populasi untuk masing-masing putri dan putra adalah dan
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
1H
%
3!
Misal ' : 1 - adalah nilai siswa putra, n1 H" dan 91 -A : 1 - H adalah nilai siswa putri, n1 "! dan 91 -I 6 - !, ! O !,! - , !"0 Sehingga Selang keper.ayaan E F &agi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah
:1 1
:
; < 6 09:
;:
> #?1 ; ? $ > 1
;
:1
;
;:
r
#
:
@ < 6 09:
r
H$
#, !"$
1
; @
"!
;
H"
> #?
? $
> #
H$
@ #, !"$ @ H"
sehingga diperoleh 0000
Ayundyah #UII$
"!
> #?1 ; ? $ > 0000
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
1
%
Interpretasi
10 4apat diper.aya E F &ahwa selisih rata-rata nilai u+ian kimia semua siswa putra dengan siswa putri &erkisar antara 3,3 hingga ,"H0
3!
0 4engan tingkat signi)ikansi F, rata-rata nilai u+ian kimia semua siswa putra le&ih tinggi antara 303 hingga 0"H dari nilai u+ian kimia semua siswa putri0
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
1E
%
3!
0 Untuk sampel ke.il, 9 1 dan 9 tidak diketahui, selang k eper.ayaan #1-6$ 1!!F untuk ? 1 ; ?
:1 1
:
; t 6 0s:
;:
> #?1 ; 1
;
? $
>
:1
;
:
@ t 6 0s:
;:
dengan s
s
1 1
#n1
;
1$s
@ #n ;
1$s
1
@ n ;
n1
0 n1
@
n
dan 1
:
s
n
#:1 $
;1
;
1
1
n1 #n1
;
1$
n
-
#K: $
s
K:
-
;1
;
n #n
; 1$ Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
!
%
3!
Bontoh Suatu sampel random se&anyak 1 &uah, dari +enis produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai &erat rata-rata 3011 gr dengan standar de/iasi !0HH1 gr0 Sedangkan sampel yang lain dari +enis produk yang dihasilkan perusahaan lainnya &er+umlah 1" &uah dengan &erat r ata-rata 0! grdan standar de/iasi !00 4istri&usi &erat produk diasumsikan &erdistri&usi normal, estimasilah per&edaan rata-rata terse&ut dengan tingkat keper.ayaan E! persen0
0 Selang keper.ayaan #1-6$1!! F untuk ? 1 dan 9 tidak dik etahui0 1
;
? Q dimana 9
- 9, 9
1 s
s
1
@ /
6
s n1
6
n
1
n1 dengan
@
n
/
1
S
@
S
/
S
n1
-
n1
1
S
n1
@
n
#n1
#n ; 1$
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
; 1$
%
3!
Soal Latihan 4alam se&uah penelitian kadar kimia-Rrto)os)or, a" sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 1 sampel diukur dari stasion 0 ke 1" sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar orto)os)or 30 mg%l dan standar de/iasi 30!H mg%l, sedangkan 1 sampel dari stasion mempunyai rata-rata kadar 10E mg%l dengan standar de/iasi !0! mg%l0 Bari selang keper.ayaan E"F untuk selisih rata-rata kadar orto)os)or sesungguhnya pada kedua stasion terse&ut, anggap &ahwa pengamatan &erasal dari populasi normal dengan /arians yang &er&eda
Pendugaan inter/al &eda dua proporsi #P1
; P $ ; <6% 0s#p1 ; p $ > p1 ; p > #P1 ; P $ @ <6% 0s#p1 ; p $
dengan
S p1 ;p
s
p1 #1 ; p1 $ n1
@
p #1 ; p $ n
-
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
%
3!
Bontoh Suatu peru&ahan dalam .ara pem&uatan suku .adang sedang diren.anakan0 Sampel diam&il dari .ara lama maupun yang &aru untuk melihat apakah .ara &aru terse&ut mem&erikan per&aiikan0 Nila H" dari 1"!! suku .adang yang &erasal dari .ara lama ternyata .a.at0 4an ! dari !!! yang &erasal dari .ara &aru ternyata .a.at0 Barilah selang keper.ayaan E! F untuk selisih sesungguhnya proporsi yang &aik dalam kedua .ara terse&utG
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
"
%
3!
(stimasi arians Populasi
Sangat diperlukan untuk mengetahui se+auh mana se&aran nilai parameter sehingga dapat di+adikan untuk mengam&il langkah-langkah dalam mengendalikannya Misalnya' yang &erkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan agar &ukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu persyaratan tetapi +uga konsistensi dari nilai terse&ut harus &isa ter+amin
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
(stimasi arians Populasi
(stimasi inter/al /arians populasi &er&entuk'
k eterangan'
T T
6%Q/ 7
> 9 > #n ; 1$s
#n
;
1$s
April 13, !1"
%
3!
T
1;6%Q/
6%Q/
- 5ilai kritis yang tergantung tingkat keper.ayaan dan
dera+at
ke&e&asan / 6 - 1 - tingkat k eper.ayaan / - dera+at ke&e&asan - n - 1
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
H
%
3!
Bontoh Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan diran.ang untuk &ek er+a mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata se&anyak " kg0 Suatu pemeriksaan terhadap 1" kotak menun+ukkan &ahwa de/iasi standard pengisian gandum itu adalah !,!E kg0 (stimasikan de/iasi standard populasi dg tingkat keper.ayaan E" F
Latihan Soal
10 4ua +enis tam&ang ingin di&andingkan kekuatannya0 Untuk itu, "! potong tam&ang dr setiap +enis diu+i dlm kondisi yg sama0 2enis A memiliki kekuatan rata-rata H, kg dgn simpangan &aku ,3 kg, sedangkan +enis N memiliki kekuatan rata-rata H,3 kg dgn simpangan &aku ", kg0 Nuatlah pendugaan inter/al &eda dua rata-rata dgn inter/al keyakinan E F 0 Suatu sampel random se&anyak 3!! org dewasa dan !! rema+a yg pernah menyaksikan se&uah a.ara di CBI diketahui &ahwa 1" org dewasa dan "! rema+a menyatakan suka pd a.ara ts&0 Nerapa &eda proporsi dr seluruh org dewasa dan rema+a yg menyukai a.ara ts& &l digunakan tingkat keyakinan E!F
Ayundyah #UII$
Pendugaan Parameter
April 13, !1"
E
%
3!
