Cours3eme

CHAPITRE 4

C OURS : T RIGONOMÉTRIE Extr Extrai aitt du prog progra ramm mmee de la clas classe se de troi troisi sièm èmee : C ONTENU

C OMPÉTENCES EXIGIBLES

C OMMENTAIRES

Triangle rectangle : relations trigonométriques

Connaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle. Utiliser Utiliser la calculatric calculatrice e pour détermidéterminer des valeurs approchées :

La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à partir du quart de cercle trigonométrique. On établira les formule muless : sin x cos2 x + sin2 x = 1 et tan x = cos . x On n’utilisera pas d’autre unité que le degré décimal.

– du sinus, sinus, du cosinus cosinus et de la tangente d’un d’un angle aigu donné – de l’angle l’angle aigu dont dont on connaît connaît le sinus, le cosinus ou la tangente

1 Relat Relation ionss trigon trigonom ométr étriqu iques es

 

Définitio Défin ition n : Soit ABC AB C un triangl triangle e recta rectangl ngle e en A ; A ; on notera α l’angle ACB AC B . Alors on a :



cos α =

Côté adjacent Hypoténuse

=

AC BC



sin α =



Côté Côté opposé opposé AB = Hypoténuse B C

tan α =

Côté opposé opposé AB = Côté adjacent AC

Illustrati Illustration on : A



Côté opposé opposé à α

B



Côté adjacent à α

Hypoténuse

3ème



α

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C

Cours Trigonométrie

2 Pour quoi faire ire ?... 2.1 2.1 ... ... Pour our calc calcul uler er des des long longue ueur urss Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un des côtés ainsi que la mesure de l’un des angles aigus, aigus, on peut calculer calculer les longueurs longueurs des deux autres autres côtés. côtés.

Par exemple exemple, supp suppos oson onss que que dans dans le trian triangl gle e ABC AB C rectangl rectangle e en A , on on ait ait AB = 12 cm et α = 30 . Alor Alorss on peut calculer la longueur du côté [ AC [ AC ]] en utilisa utilisant nt la formule formule de la tangente :





tan α = d’où

◦

AB AC

AB 12 = ≃ 20.8 cm tan α tan30◦ De même on peut calculer la longueur du côté [ BC ], BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en utilisa utilisant nt la formule formule du sinus : AB sin α = BC d’où AB 12 BC = = = 24 cm sin α sin30◦ AC =







2.2 ...P ...Pou ourr calc calcul uler er des des me mesu sure ress d’ang ’angle less Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on peut calculer les mesures des deux angles aigus du triangle. triangle.

Par exemple, supposons que dans le triangle ABC AB C rectangle en A , on ait AB = 12 cm et et AC = 16 cm. Alors on peut calculer la mesure de l’angle ACB AC B en utilisan utilisantt la formul formule e de la tangente :

 

tan ACB AC B =

d’où, à l’aide de la calculatrice et de sa touche

AB 12 = = 0,75 AC 16

tan−1

tan ,



ACB AC B ≃ 36,9◦

Comme les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure approchée de l’angle ABC AB C par :



3ème





ABC AB C = 90◦ − ACB AC B ≃ 90 − 36,9 = 53,1◦

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3 Formule ormuless trigon trigonom ométr étriqu iques es x la mesure, mesure, en degrés, d’un d’un angle aigu α quelconque. Prop Pr oprié riété té n° n°11 : Soit x la



Alors on a, pour toute valeur de x : x : 0 < cos x < 1

et

0 < sin x < 1

Preu Preuve ve : Cela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long : supposons sons que x so x soit it la la mesur mesure e en degr degrés és d’un d’un angle angle α = ACB AC B dans dans un trian triangl gle e ABC AB C rectangl rectangle e en A (voir A (voir figure figure page 1). AC On a alors cos x = cos α = avec AC < B C (car [BC [BC ]] est l’hypoténuse), et donc il vient cos x < 1. BC De plus, comme AC et BC sont des longueur longueurs, s, on a AC > 0 et BC > 0 ; AC par conséquent cos x = cos α = >0 B C

 





x la mesure, mesure, en degrés, d’un d’un angle aigu α quelconque. Prop Pr oprié riété té n° n°22 : Soit x la Alors on a, pour toute valeur de x : x : cos2 x + sin2 x = 1



Remarq Remarques ues : On écrit cos2 x pour (cos x )2 , et ceci dans le but d’éviter toute confusion avec cos x 2 , dans le cas où l’on oublierait d’écrire les parenthèses... parenthèses...  Cette formule peut permettre d’obtenir le sinus d’un angle aigu lorsque l’on connaît son cosinus, et vice-versa. 

Preu Preuve ve :

 

Supposon Supposonss que x soit x soit la mesure en degrés d’un angle α = ACB AC B dans un triangle ABC AB C rectangle en A (voir A (voir figure page 1). AC AB On a alo alors rs cos cos x = cos α = et sin x = sin α = . BC BC Ainsi on peut écrire que AC 2 AB 2 AC 2 AB 2 AC 2 + AB 2 2 2 cos x + sin x = + = + = BC B C BC 2 BC 2 BC 2 Or, Or, le triangle triangle ABC AB C étant rectan rectangle gle en A , le théorème théorème de Pythagor Pythagore e nous dit dit que AB 2 + AC 2 = BC 2 . On peut donc concl conclure ure : 2 AC + AB 2 BC 2 2 2 cos x + sin x = = =1 B C 2 BC 2

    



x la mesure, mesure, en degrés, d’un d’un angle aigu α quelconque. Prop Pr oprié riété té n° n°33 : Soit x la Alors on a, pour toute valeur de x : x : tanx tan x =

sin x cos x



Preu Preuve ve :

 

Supposon Supposonss que x soit x soit la mesure en degrés d’un angle α = ACB AC B dans un triangle ABC AB C rectangle en A (voir A (voir figure page 1). AC AB On a alo alors rs cos cos x = cos α = et sin x = sin α = . BC BC Ainsi on peut écrire que AB ¨ sin x B C AB BC AB ¨ BC AB = = × = × = = tan x ¨ cos x AC BC AC ¨ BC AC AC B C



3ème



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4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi ?

Hippar Hipparque que de Nicée Nicée -190/-120

Celu Celuii que que l’on l’on peut peut cons consid idér érer er comm comme e le père père hist histor oriq ique ue de la trigo trigono nomé métr trie ie (triHIPPARQUE ARQUE DE NIgonos = gonos = triangle triangle,, et metron = metron = mesure en grec) est sans doute HIPP CEE, brillant astronome grec de l’antiquité (né dans l’actuelle Turquie au IIème siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (donnant des valeurs de ce que l’on appelle aujourd’hui des sinus d’angles), et qui s’en ’en servi servitt pour pour rece recens nser er les les posi positio tions ns exac exacte tess de plus plus de 1000 1000 étoi étoile less au moye moyen n de l’une de ses inventions, l’astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres sur l’horizon). Ces mesures d’angles permirent l’essor de la navigation, qui nécessite cessite de connaître connaître préciséme précisément nt la positio position n des étoile étoiless sur la la voûte céleste céleste.. Il est est à noter que c’est c’est lui qui a le premier premier utilisé la division du cercle cercle en 360 degrés, degrés, empruntée empruntée aux Babylonie Babyloniens, ns, toujours toujours d’actualité d’actualité aujourd aujourd’hui. ’hui.

PTOLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et compléta l’oeuvre d’HIPPARQUE, d’HIPPARQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, intitulé l’ Almageste Almageste , traité complet d’astronomie, compilant le savoir scientifique des Grecs de l’antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques extrêmement précises.

Ptolémée 90/168

Al Khwarizmi

Les calculs calculs seront encore encore affinés affinés par les mathématiciens mathématiciens Indiens Indiens et surtout surtout Arabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien indien ARYABHATA, mais surtout les mathématiciens arabes AL KHWARIZMI et AL WAFA ("inventeur" de la tangente) à Bagdad. AL KHWARIZMI est un immense mathématicien, né dans l’actuel Ouzbékistan au IXème siècle, et considéré comme le père de l’algèbre (al-jabr ( al-jabr en arabe, terme repris du titre de son oeuvre majeure, intitulée Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’al-Muqàbala , traitant traitant de la résolution résolution des équations équations))

780/850

L’astronome et mathématicien allemand REGIOMONTANUS , au XVème siècle, est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. Après avoir pris connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie comme branche à part entière des mathématiques (aujourd’hui on dirait même "pilie "pilier" r" des mathéma mathématiq tiques ues !), indépe indépenda ndante nte de l’astr l’astrono onomie mie,, dans dans un traité traité fonfondateur intitulé De trian triangu guli liss plan planis is etsp etsphe heri rici ci libri libri quin quinqu que, e, una una cum cum tabu tabuli li sisinuus , publié de façon façon posthume posthume en 1561. 1561.

Regiomontanus 1436/1476

Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus et cosinus sont certainement certainement celles les les plus rencontrées dans les sciences ! En astronomie (depuis (depuis l’Anl’Antiquité), tiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfractio réfraction), n), en électricité (courant alternatif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hertziennes ziennes ?), en en mécanique, etc...

3ème

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C HAPITRE 4

F ICHE D ’ EXERCICES : TRIGONOMÉTRIE QUOTIDIENNE

E XER X ER C I C E 1

Un pann pannea eau u routi routier er Le panneau routier représenté ci-contre avertit le conducteur d’une descente dangereuse dangereuse en annonçant une déclivité déclivité de 10 %.

1. D’après vous, que signifie concrètement ce panneau ? situation n suivan suivante te : 2. On a la situatio

100 m 10 m

α



a) Combien Combien vaut l’angle l’angle α ? 

b) Sachant que la descente descente est longue longue de 3700 mètres, mètres, quelle sera sera la dénivellatio dénivellation n totale totale ?


Le théodo théodolit lite e

L’instrument ’instrumentrepr représen ésenté té ci-contr ci-contre, e, utilisé en topographi topographie, e, est un théodolite ; c’est ’est un appareil posé sur un trépied que le géomètre expert utilise pour mesurer des angles et des distances sur un terrain, terrain, une parcelle. parcelle.

L’opérateur ’opérateur peut peut utiliser utiliser cet appar appareil eil pour mesurer mesurer l’altitude l’altitude d’un point donné ; par exemple exemple,, on a schéschématisé la situation suivante, où O est O est l’emplac l’emplacement ement de l’oeil l’oeil de l’observa l’observateur teur (lunette (lunette du théodolite) théodolite) : On connaît l’altitude du point A : la distance H A vaut 1,85 m. Le théodo théodolite lite permet permet de mesur mesurer er les mesur mesures es des angles angles α et β : on a ainsi α 12 et β 37 . ...... ...... 1. Compléter Compléter : tan α et tan β ...... ...... AH B H 2. Démontre Démontrerr que l’on l’on a tan α tan β

B





=

◦





A H

=

◦

=









=

=

β

α



O



déduire la valeur valeur de B H . 3. En déduire Combien vaut la distance distance O H ? H ? 4. Combien

3ème

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Fiche d’exercices trigonométrie


Goooo Goooooo oooo oooo oooa oaaaa aaaaaa aaaal al ! ! ! !

Sur un stade de football, le point de penalty est situé à 11 m de la ligne de but. Les buts ont une largeur de 7,32 m.

1. Faire un dessin pour représenter la situation. On appellera P le point de penalty, A et B les deux poteaux poteaux de but, et I le point situé au milieu des deux poteaux. poteaux. est l’angle l’angle de tir d’un d’un footballeu footballeurr lorsqu lorsqu’il ’il tire un penalty penalty ? 2. Quel est


La pyr pyramid amidee de Kh Kheo eops ps

La pyramide de Kheops, en Egypte, est une pyramide dont la base est un carré BCDE de BCDE de 230 mètres de côté, de centre H . Le sommet A de A de la pyramide culmine à 137 mètres mètres d’altitude. Faire un dessin en perspective cavalière. cavalière. 1. Faire Calculer les longueurs B H (demi-diag (demi-diagonale onale de la base) et B A (lon A (longueur gueur d’une d’une arète). arète). 2. Calculer près de l’angle AB H 3. Calculer la mesure au degré près



3ème

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Fiche d’exercices trigonométrie

C HAPITRE 5

C OURS : E CRITURES LITTÉRALES ; IDENTITÉS REMARQUABLES

Extr Extrai aitt du prog progra ramme mme de la clas classe se de Troisi roisième ème : C ONTENU C OMPÉTENCES OMPÉTENCES EXIGIBLES Écritur Écritures es littéra littérales les ; Facto actori rise serr des des expr expres essi sion onss identité ités remar- telles telles que : quables (x + 1)(x + 2) − 5(x + 2) ; (2x + 1)2 + (2x + 1)(x + 3) Connaî Connaître tre les égalité égalitéss : (a + b )( )(a − b ) = a 2 − b 2 ; (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 . et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales littérales simples telles que : 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 200 + 1; (x + 5)2 − 4 = (x + 5)2 − 22 = (x + 5 + 2)(x + 5 − 2)

COMMENTAIRES La reconnaissance de la forme d’une expression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travaux s’articuleront sur deux axes : – utilisation d’expressions littérales pour des calculs calculs numériques numériques ; – utilisation du calcul littéral dans la mise en équa équati tion on et la réso résolu luti tion on de proproblèmes. Les activités viseront à assurer la maîtrise du développemen développementt d’expres d’expressions sions simples ; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développe lopperr l’au l’auto tono nomie mie des des élè élève vess que que dans dans des des situations situations très simples. simples. On consoli consolider deraa les compét compétenc ences es en matièr matièree de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 10.

1 Dév Dévelop elopp per un produi oduitt Définition : Développer un produit algébrique produit signifie signifie le transformer transformer en une une somme algébrique Rappel : une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions, impliquant des nombres et/ou des lettres

Nous Nous avons, pour réaliser cela, cela, plusieurs moyens moyens à disposition :

1.1 Distri Distribut butivi ivité té simple simple

3ème

Produit

→

Somme algébrique algébrique

k (a + b )

→

k a + k b

k (a − b )

→

k a − k b

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Cours calcul littéral

Applications et exemples : Calcul ul me ment ntal al : – Calc = 13 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1300 − 13 = 1287  13 × 99 = 25 × (100 + 4) = 25 × 100 + 25 × 4 = 2500 + 100 = 2600  25 × 104 Développem ppement ent d’une d’une exp expres ression sion littér littérale ale : – Dévelo = 3 × 5a + 3 × 7 = 15a + 21  3(5 a + 7) = −2 × 5 − (−2) × 4x = −10 + 8x  −2(5 − 4 x )

1.2 Distri Distribut butivi ivité té double double Produit (a + b )( )(c + d )

→

Somme Somme algébr algébriqu iquee

→

a c + a d + bc + bd

Applications et exemples : Dévelop Développem pement ent d’une d’une exp expre ressio ssion n littér littérale ale : )(4a + 2) = 3 × 4a + 3 × 2 − a × 4a − a × 2 = 12a + 6 − 4a 2 − 2a = −4a 2 + 10a + 6  (3 − a )(4 = 3x × 1 + 3x × (−4x ) − 2 × 1 − 2 × (−4x ) = 3x − 12x 2 − 2 + 8x = −12x 2 + 11x − 2  (3 x − 2)(1 − 4 x )  : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir souvenir que, par exemple, exemple, 3 x − 2 est la somme de 3x et de −2, et que 1 − 4x est la somme de 1 et de −4x . Ainsi, pour le calcul précédent, on a : (3x − 2)(1 − 4x ) = (3x + (−2)) 2)) (1 + (−4x )) = (3x ) × 1 + (3x ) × (−4x ) + (−2) × 1 + (−2) × (−4x ) = . . . 

1.3 Identit dentités és remar remarqua quable bless Produit

Somme Somme algébr algébriqu iquee Carré d’une somme a 2 + 2a b + b 2 (a + b )2 → Carré d’une différence a 2 − 2a b + b 2 (a − b )2 → Produit d’une somme par une différence a 2 − b 2 (a − b )( )(a + b ) → →

Applications et exemples : Calcul ul me ment ntal al : – Calc 2 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 × 100 + 12 = 10000 0000 + 200 + 1 = 10201  101 2 2 2 2 = (20 − 1) = 20 − 2 × 20 + 1 = 400 − 40 + 1 = 361  19 = (40 − 1)(40 + 1) = 402 − 12 = 1600 − 1 = 1599  39 × 41 Développem ppement ent d’une d’une exp expres ression sion littér littérale ale : – Dévelo 2 2 = y + 2 × y × 7 + 72 = y 2 + 14 y + 49  ( y + 7) 2 = 12 − 2 × 1 × 3x + (3x )2 = 1 − 6x + 9x 2  (1 − 3 x ) )(20 + 8x ) = 202 − (8x )2 = 400 − 64x 2  (20 − 8 x )(20

2 Facto actori rise serr une une somm sommee algé algébr briq ique ue Définition : Factoriser une somme algébriqu algébriquee signifie signifie la transform transformer er en produit Développer En fait, pour résumer :

Produit

Somme algébrique Factoriser

3ème

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2.1 2.1 Avec un fact facteu eurr comm commun un On utilise utilise la propriét propriétéé de simple simple distribu distributivi tivité, té, mais "à l’envers l’envers"" :

Somme algébrique

→

Produit

k a + k b

→

k (a + b )

k a − k b

→

k (a − b )

Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deux termes, chacun étant un produit de deux facteurs. Comme k se retrouve dans les deux termes, on dit que c’est un facteur commun aux deux termes. On facteurr". dit également que l’on a " mis k en facteu

Applications et exemples : – Calc Calcul ul me ment ntal al : = 13 × (62 + 38) = 13 × 100 = 1300  13 × 62 + 13 × 38 = (18.1 − 8.1) × 34.8 = 10 × 34.8 = 348  18.1 × 34.8 − 8.1 × 34.8 actorisat sation ion d’une d’une expressi expression on littér littérale ale grâce grâce à un facteu facteurr commun commun : – Factori 2 = 4 × a × a + 3 × a = a (4 (4a + 3)  4 a + 3 a = (5 − 4x ) × (x + 7 − 2) = (5 − 4x )( )(x + 5)  ( x + 7)(5 − 4 x ) − 2(5 − 4 x ) 2 = (x + 3) × (x + 3 − 5) = (x + 3)(x − 2)  ( x + 3) − 5( x + 3)

2.2 Ave vecc les les iden identit tités és rema remarq rqua uabl bles es Là aussi, on utilise utilise les identités identités remarquable remarquabless vues au paragrap paragraphe he 1.3, mais "dans "dans l’autre l’autre sens" sens" :

Somme algébrique

→

Produit

a 2 + 2a b + b 2

→

(a + b )2

a 2 − 2a b + b 2

→

(a − b )2

a 2 − b 2

→

(a − b )( )(a + b )

Applications à la factorisation d’expressions d’expressions littérales : 2 2 = y + 2 × y × 2 + 22 = ( y + 2)2  y + 4 y + 4 2 = (3x )2 − 2 × 3x × 1 + 12 = (3x − 1)2  9 x − 6 x + 1 2 = (x + 5)2 − 32 = [(x + 5) − 3] × [(x + 5) + 3]  ( x + 5) − 9 = (x + 2) × (x + 8)

3ème

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C HAPITRE 5

F ICHE D ’ EXERCICES : FACTORISATION

E XE RC IC E 1

Factori Factoriser ser les expressio expressions ns suivantes suivantes en mettant mettant x en facteur : A =3 x − 8x 2 B =5 x − 12x C =x (x − 2) − 3x =4x 2 − x (1 (1 − 3x ) D =4 3 E =6 x − x E XE RC IC E 2

Factoriser actoriser les expressio expressions ns suivantes suivantes en mettant mettant x − 3 en facteur : A =3( x − 3) + 8( x − 3) 2 B =5( x − 3) − x (x − 3) C =(x + 2)(x − 3) + 3 x (x − 3) =(x − 3)2 − 2x (x − 3) D =( (4x − 6) − 2(x − 3) E = x (4 2 F =(x − 3) − (x − 3) E XE RC IC E 3

Factoriser actoriser les expres expressions sions suivantes suivantes en utilisant utilisant un facteur facteur commu commun n: A =3( x − 2) + (x + 3)(x − 2) (2x + 1) B =5 x (x − 3) − x (2 2 C =(x + 5) + (x − 5)(x + 5) D =(7 =(7x + 1) − 2x (7 (7x + 1)2 E =(x + 9)(x − 5) + 2(6x − 30) E XE RC IC E 4

Compléter Compléter les identités identités remarqu remarquables ables suivantes suivantes : (x − 7)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2x − ...)2 = ...... − 4x + 1 (... + 8)2 = 25 x 2 + . . . . . . + . . . . . . (x + ...)(x − .. .) = ... − 81 (... + ...)2 = 4 x 2 + 12x + 9 (... − ...)2 = x 2 − 8x + 16 (... − ...)(... + .. .) = 9x 2 − 36 E XE RC IC E 5

Factoriser actoriser en utilisant utilisant une identité identité remarqu remarquable able : 2 A = x + 10x + 25 2 B =100 − 25x 2 C =1 − 12x + 36x =(x + 7)2 − 1 D =( 2 E =16x − 8x + 1 2 F =49 − (2 x + 3) 3ème

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Fiche d’exercices: factorisation

C HAPITRE 5

AC C TOR TO R I S ATI AT I O N ( NIVEAU 2 ) F ICHE D ’ EXERCICES : F A E XE RC IC E 1 Factori Factoriser ser les expressio expressions ns suivantes suivantes : A =(3x − 1)2 − 9

B =4x 2 − (x − 5)2

C =4x 2 − 20x + 25

D = x 2 + x + 1

E =(2x + 3)2 − (5x − 1)2

F =81 + 4x 2 + 36x

1 4

2

2

 3 1

2 x + 3 3

2



G =100 − (3x + 10)

H = x +

I =9(x + 1)2 − 36

J =

K =x 2 − 9 + (x − 3)(2 x + 5)

L =5x (4 (4x − 1) + 16x 2 − 1

M =x 2 − 25 + x − 5

N =4x 2 + 4x + 1 − (2x + 1)(1 − 5x )

X ER C I C E 2 E XER

2

−

4 1 2 − (2 x + ) 9 2

Comme Comme au brev brevet. et... ..

Antilles 2004 On donne l’expression l’expression D = (3x + 5)(6 x − 1) + (3x + 5)2 .

Amérique du sud novembre novembre 2002 On considère l’expression l’expression : D = (3x − 5) (5 − 2x ) − (3x − 5)2 .

réduire. 1. Développer D , puis réduire.

1. Développer puis réduire D .

2. Factoriser D . 3. Calculer

2. Factoriser D .

D pour x = − 13 .

3. Calculer D pour x = −1.

Martini Martinique que septemb septembre re 2002 On donne D = (5x − 3)2 − 81.

Nouvelle-Calédoni Nouvelle-Calédonie e décembre décembre 2002 Soit l’expression l’expression A = 9x 2 − 49 + (3x + 7) (2x + 3).

1. Développer et réduire D .

1. Développer l’expression A .

2. Factoriser D . 3. Calculer

Factoriser er 9x 2 − 49, puis l’expres l’expression sion A . 2. Factoris

D pour x = − 23

Ouest Ouest 2002 2002

Amiens 97 1. Développer et réduire D = (a + 5)2 − (a − 5)2 . 2. On pose D = 100052 − 99952 .

Sans ans util utilis iser er la calc calcul ulat atric rice, e, en se serva servant nt de la questi question on 1, trouve trouverr la valeu valeurr de D (indiquer (indiquer les étapes du calcul).

3ème

1. Développer et réduire P = (x + 12)( x + 2).

Factoriser l’expression l’expression : Q = (x + 7)2 − 25. 2. Factoriser un triangl triangle e recta rectangl ngle e en A ; x désigne 3. AB C est un un nombre nombre positif ; BC = x + 7 ; AB = 5. Faire Faire un schéma et montrer que AC 2 = x 2 + 14x + 24.

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Fiche d’exercices factorisation 2

C HAPITRE 5

F ICHE D ’ EXERCICES : F A AC C TOR TO R I S ATI AT I O N ( NIVEAU 3 ) Quelq Quelques ues facto factorisa risatio tions ns plus plus subtile subtiles.. s.... Premier Premier exemple exemple On se donne l’express l’expression ion A = x 2 − 6x + 5

Montrerr que l’on l’on a, pour tout nombre nombre x , 1. Montre

2 A = (x − 3) − 4.

déduire e une facto factorisatio risation n de A 2. En déduir Deuxième Deuxième exemple exemple On se donne l’express l’expression ion B = 9x 2 + 12x − 7

Montrerr que l’on l’on a, pour tout nombre nombre x , B = (2x + 3)2 − 16. 1. Montre déduire e une facto factorisatio risation n de B 2. En déduir Troisième exemple On se donne l’express l’expression ion C = 4x 2 + 20x + 9

Compléterr : 4x 2 + 20x + . . . . . . = (...... + ...)2 1. Compléte déduire que l’on peut écrire écrire C sous la forme C = (...... + ...)2 − . . . 2. En déduire déduire e une facto factorisatio risation n de C . 3. En déduir

Classe

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Fiche d’exercices

C HAPITRE 6

C OURS : GÉOMÉTRIE DANS L’ ESPACE Extr Extrai aitt du prog progra ramm mmee de la clas classe se de 3ème : C ONTENU Sphère

C OMPÉTENCES EXIGIBLES - Savoir que la section d’une sphère par un plan est un cercle. cercle. - Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. sphère. - Représenter Représenter une sphère et certains de ses grands cercles. cercles.

COMMENTAIRES On mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralem diamétralement ent opposés. opposés. On exam examin iner eraa le cas cas part partic iculi ulier er où le plan est tangent tangent à la sphère. sphère. On fera le rapprochement avec les connai connaissa ssance ncess que les élèves élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment ment pour pour les questi questions ons relati relatives ves aux méridiens et aux parallèles.

Problèmes de sections - Conn Connaît aître rela la natu nature re des des sect section ionss du planes de solides cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. - Conn Connaî aîtr tree la natu nature rede dess sect section ionss de cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. - Représenter et déterminer les section tionss d’un d’un cône cône de révo révolu lutio tion n et d’une pyramide par un plan parallèle à la base.

Des manipulations préalables (sections de solides en polystyrène par exemple) exemple) permettent permettent de conjectur conjecturer er ou d’illustrer la nature des sections planes étudiées. Ce sera une occasion de faire des calculs de longueur et d’utiliser les propriétés rencontrées dans d’autre rubriques ou au cours des années antérieures. À propos de pyramides, pyramides, les activités se limite limitero ront nt à celle celless dont dont la haut hauteu eurr est une arête latérale et aux pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs.

3ème

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Cours Géométrie Espace

1 Sphère ère et boule ; secti ectio on d’une sphère ère par un plan Définitions : Si O est un point de l’espac l’espacee et R est un nombre nombre positif donné : • La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O exactement égale à R . • La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O inférieure inférieure ou égale à R . • Un grand grand cercle cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R . N A , B , C sont des points de la sphère, et O est

le centre de cette sphère, qui a pour rayon R = O A = OB = OC . Le segm segmen ents ts [N S ] est est un diam diamèt ètrre de la sphère. Deux grands cercles de la sphère sont tracés ici, dont dont l’un d’eux d’eux a pour diamètre diamètre [N S ]

A R O

B

R R C

S

Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, terrestre, alors les points N et S seraient les pôles Nord Nord et Sud ; le grand cercle cercle qui passe par les deux pôles serait un méridien, méridien, et l’autre grand cercle (situé dans un plan perpendiculaire à l’axe des pôles) serait l’équateur l’équateur.. Tout point de la surface du globe terrestre est repéré par deux nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien particulier, celui de Greenwich) Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l’équateur) : voir par ailleurs. Propriétés : Aire d’une sphère, volume d’une boule Si R est un nombre nombre positif positif donné : • L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR 2 . 4 • Le volume Le volume d’une d’une boule de rayon rayon R est égal à πR 3 . 3 Exempl Exemples es : – L’aire d’une sphère sphère de rayon 7 cm est égale à : 4 × π × 72 = 196π ≃ 616 616 cm2 3 – le volume volume de la boule de même même rayon rayon 7 cm est est égal égal à : 43 × π × 73 = 1372 3 × π ≃ 1437 cm Propriété : La section d’une sphère par un plan est un cercle. cercle. Plus précisément, considérons une sphère de centre O et de rayon R . On se donne un plan P , et on appelle [N S ] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P . Enfin, soit H le point d’interse d’intersection ction de (N S ) et de P . distance ce du centr centree O au plan plan P . Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de la On dit que O H est la distan distance O H :

3ème

Page 2/5


 lorsque 0 < O H < R , la section de la sphère

de centre O et de rayon R par le plan P est un cercle de centre H . Pour tout point M de ce cercle, le triangle H O M est recta rectangle ngle en H .

Calculons le rayon r de ce cercle en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle H O M rectangle en H : O M 2 = H O 2 + H M 2 soit R 2 = H O 2 + r 2 donc r = R 2 − O H 2 Exempl Exemplee : Soit S la sphère de centre O et de rayon R = 5 cm coupée par un plan P tel que O H = 3 cm. La section obtenue est le cercle r = 4 cm, car de  centr centree H et  de ray rayon 2 2 2 2 r = R − O H = 5 − 3 = 16 = 4.

Fig. 1 : cas où 0 < O H < R

 lorsque O H = 0 ,

le cer cercle cle de de secti section on a même même centr centree O et même rayon que la sphère : c’est alors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deux hémisphères (voir voir Fig. Fig. 2 )  lorsque O H = R , le cercle cercle de section section a pour rayon rayon 0 : il est réduit réduit à un point. point. On dit dit que le voir Fig. Fig. 3 ). plan P est tangent à la sphère en S (voir ).  lorsque O H > R , le pla plan P ne coupe pas la sphère.

Fig. 2 : cas où O H = 0

3ème

Fig. 3 : cas où O H = R

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2 Secti ction d’un cube, d’un pavé, avé, d’un cylindre par un plan La section d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré :

La section d’un cube par un plan parallèle à une arète est un rectangle :

La section d’un pavé par un plan parallèle à une face est un rectangle :

La section d’un pavé par un plan parallèle à une arète est un rectangle :

3ème

Page 4/5


La section d’un cylindre par un plan parallèle à la base est un cercle de même rayon que le cercle de base :

La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe est un rectangle :

3 Secti ction d’une pyramide, d’un côn cône par un plan La section section d’un d’un cône cône par par un pla plan n parallè parallèle le à la base est un cercle :

Voici Voici la section d’une pyramide par un plan parallèle parallèle à la base base :

Ce cercle de section est une réduction du cercle de base; le coefficient de réduction k est égal à AO ′ k = AO . Le rayon de ce cercle de section est alors égal à

Le polygone de section A ′ B ′C ′D ′ est une réduction du polygone de base ABCD ; le coefficient ′ ′ de réduct réduction ion k est égal à k = EEA A = EB = .... E B Les longueurs des côtés de ce polygone de section sont alors égales à celles des côtés du polygone de base, multipliées par k : A ′ B ′ = k × AB , etc.

k × R

3ème

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C HAPITRE 5

D ÉCOUVERTE : LE GLOBE TERRESTRE Figure 1 : N

C

W

O B

E A

S

La Terre est assimilable à une boule d’environ 6400 km de rayon. Appelons O le O le centre centre de la Terre Terre.. Le point N représente le pôle Nord, le point S le S le pôle Sud. Sur la sphère représentant la surface terrestre, un grand cercle de centre O passant par N et S est appelé méridien. Le grand cercle de centre O et tracé dans un plan perpendiculaire au diamètre [N [ N S ] est, lui, lui, appelé appelé l’équaest trac tracé é le mérid méridie ien n qui qui sert sert de référ référenc ence, e, appel appelé é teur. Ici est méridien de Greenwich Greenwich (car il passe par Greenwich, petite tite ville ville situé situéee non non lion lion de Lond Londre res s ) Chaque point à la surface de la Terre peut être repéré grâce à deux nombres : la longitude et la latitude. La long longitu itude de est est calc calculé ulée e par rappo rapport rt au mérid méridie ien n de Gree Greenn wich, la latitude par rapport à l’équateur ; par exemple, le point C sur cette figure, qui représente représente la position position de la ville de Chicago, a pour longitude AOB = 87◦ , et pour latitude B OC = 41◦ 



Figure 2 : N

C

O ′ I

O

W

E A

S Figure 3 :

Voici Voici ce dont vous avez besoin pour répondre à ces questions :

N

C

W

Le cercle de centre O ′ et passant par C , C , parallèle au plan de l’équateur, est appelé parallèle , justement. Ce n’est pas ce que l’on appelle un grand cercle (car il n’a pas O pour centre). La situation d’Istanbul, ville située sur le même parallèle que Chicago (et qui a donc la même latitude, mais pas la même longitude), est représentée par le point I . I . Les question question à traiter sont les suivantes suivantes : 1. Connaissant les coordonnées (longitude et latitude) des deux villes, quel quel est est le chem chemin in le plus plus court court pour pour les les joindre en avion ? en suivant le parallèle passant par I et C ? C ? (voir figure 2 ), ), ou en suivant le grand cercle passant par I et C ? C ? (vo (voir ir figur figuree 3 ) terrestre ? 2. Quelle est l’aire totale, en km2 , de la surface terrestre 3 Quel est le volume total, en km , de la Terre Terre?? (donner (donner les réponse réponsess sous sous forme forme scienti scientifiqu fique e )

I

O

E A



Coord Coordonn onnées ées géogr géographi aphique quess de Chicag Chicago o : Latitud Latitude e 41◦ Nord, longitude 87◦ Ouest.



Coordonnées géographiques d’Istanbul : Latitude 41 ◦ Nord, longitude 28◦ Est.



OO ′ = 4200 km, C O I = 79◦



Formule pour calculer la longueur d’un arc de cercle défini par un angle de mesure α : L = 2 × π × R × 360



α



Aire d’une sphère de rayon R : A = 4 × π × R 2 .



Volume d’une boule de rayon R : V = 43 × π × R 3

S 3ème

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Activité de découv ouverte rte: le globe terre rrestre

C HAPITRE 6

F ICHE D ’ EXERCICES : S ECTIONS PLANES E X ER C I C E 1

L’unité de longueur est le centimètre. On considère le pavé droit A B C D E F G H ci-contre, dans lequel AB = 6, AD = 3 et AE = 4 ; de plus, plus, M est un point de l’arête [ AB ] tel que B M = BC . 1.

Quelques calculs :

H

a) Calculer Calculer le volum volume, e, en cm cm 3 , de ce pavé droit.

G

E

b) Calculer Calculer les longueurs longueurs AC , E C et MC .

F

c) Calc Calcul ule e une une mesu mesure re,, au degr degré é près près,, des des angl angles es MG C et AC E . 



2.

Quelques sections :

D

a) Dessi Dessine nerr en vrai vraie e gran grande deur ur la sect sectio ion n de ce pa pavé vé pa parr le plan plan parallèle parallèle à la face C B F G et passant par M .

A

C B

M

b) Dess Dessine inerr en vrai vraie e gran grande deur ur la sect sectio ion n de ce pa pavé vé pa parr le plan plan parall parallèle èle à l’arê l’arête te [B F ] et passan passantt par A et C . c) Dess Dessine inerr en vraie vraie gran grande deur ur la sect sectio ion n de ce pa pavé vé pa parr le plan plan pa para rall llèl èle e à l’ar l’arêt ête e [B F ] et pa pass ssan antt pa parr M et C .

E X ER C I C E 2

L’unité est le centimètre. On considère le cylindre C cicontre, contre, dont la base a pour rayon R = 5 et dont la hauteur est h = 8. Les points M et N sont sur la circonférence du disque formant la base supérieure, et MO N est un angle droit. 

1.

Calculer la longueur OO M au degré près.

M N ,

M N

O

puis la mesure de l’angle

′



2.

P

Tracer en vraie vraie grandeur : a) la sect sectio ion n de ce cyli cylind ndrre pa parr le plan plan pa pass ssan antt pa parr P et parallèle parallèle à la base. b) la section section de ce cylindre cylindre par le plan passant passant par et N , et parallèle à l’axe du cylindre. cylindre.

3ème

Page 1/2

′

O

M

Fiche d’exercices: sections planes

E X ER C I C E 3

On considère une pyramide de hauteur SB = 10 cm et dont la base est un triangle AB C tel que AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm et AC = 6 cm. AB C

1.

Montrer que son aire.

2.

Calc Calcule ulerr la valeur valeur exacte exacte du volume volume de cette cette pyram pyramide ide..

3.

Soit B le point de l’arête [SB ] tel que SB = 8 cm. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et passant par ce point B . On obtient les points A sur [S A ] et C sur [SC ].

S

est un triangle triangle rectangle rectangle ; calculer

′

′

′

′

′

′

′

′

a) Dessiner Dessiner en vraie grandeur le triangle A B C , en donnant ses dimensions précises. De quelle nature est ce ce triangle triangle ? Quelle Quelle est est son aire ? ′

′

A

B

′

b) La pyram pyramide ide S A B C est une réduction de la pyramide SABC ; quel quel est est le rap appo port rt de cett cette e rédu réduct ctio ion n? ′

′

′

c) Calc Calcul uler er le volu volume me de la pyra pyrami mide de S A B C .Ondonnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm3 .

C

E X ER C I C E 4

On cons considè idère re un cône cône de révo révolu luti tion on de ha haut uteu eurr SO = 8 cm et dont dont la base base est un dis disque que de 3 cm de rayo ayon. A et B sont deux deux points points diamétr diamétrale alemen mentt opposé opposéss sur la circo circonfé nfére rence nce du disque de base. 1.

S

De quelle nature est le triangle S AB ? Calculer la mesure au degré près de l’angle S AB . 

2. 3.

Calculer Calculer la valeur valeur exacte exacte du volume de ce cône. cône.

′

O

′

Soit O le milieu de [ SO ]. On considère la section du cône par le plan parallèle à la base et passant par ce point O . ′

a) Dessiner Dessiner en en vraie grande grandeur ur cette sectio section. n.

A O B

b) Le petit petit cône cône est est une une rédu réduct ctio ion n du gran grand d cône cône ; donner le rapport de cette réduction, et en déduire la valeur exacte du volume du petit cône. cône.

3ème

Page 2/2

Fiche d’exercices: sections planes

C HAPITRE 6

F ICHE D ’ EXERCICES : LES SOLIDES 1. Voici plusieurs plusieurs solides, solides, représenté représentéss en perspective perspective cavalièr cavalière e: A

A

H

G

E

F E

z

y D

x

C

A

D

B

B

C

H

A

G

B

F

E F

{

C

D D

B

C

|

}

E A

D

A C

B

F G

H E

D

E

F

C

~ B

 C

D A

A



B

a) Donner le nom de chacun chacun d’entre d’entre eux. b) En ce qui qui concerne concerne les polyèdres (solides de l’espace délimité par des faces polygonales), compléter le tableau suivant : Solide Solide

Nombr Nombre e de sommets sommets S

Nombre d’arêtes A

Nombre de faces F

Voyez-vous Voyez-vous une relation entre entre le nombre d’arêtes, d’arêtes, le nombre des sommets et le nombre de faces faces ? ................................................................ ........................................... relation d’Euler d’Euler,, valable pour tous les polyèdres "sans trous". C’est ce que l’on l’on appelle appelle la relation 3ème

Page 1/2

Fiche d’exercices: les solides

2. Calculez le volume de chacun des solides ci-dessous, en vous souvenant de cette "règle" simple :  Pour tous les solides "droits" (prismes, cubes, pavés, cylindres), le volume est égal à l’aire de la base multiplié multipliée e par la hauteur hauteur du solide solide : V = B × h 

Pour tous les solides "pointus" (cônes, pyramides, tétraèdres), le volume est égal au tiers 1 de l’aire l’aire de la base multiplié multipliée e par la hauteur hauteur du solide : V = B × h 3 G

H E

F

h

C

D

R A

B

AB = 4, AE = 3, AD = 2, 5 V =

....................................

R = 3cm , h = 5c m V =

.................................... D

E

h C C

D

A

A

B

AB C D est un carré de côté 8 cm, h = 11 cm V =

.................................... B

B

AB C est rectan rectangle gle en C , C B = 5 cm, C A = 4 cm, AD = 7 cm V =

.................................... A

F

h C

E

A

D

x

AB C est rectangle et isocèle en B , B A = B C = B F = 5 cm V =

3ème

....................................

R

R = 6 cm, h = 8 cm. V =

Page 2/2

....................................

Fiche d’exercices: les solides

C HAPITRE 6

F ICHE D ’ EXERCICES : AIRE ET VOLUME DE LA SPHÈRE Rapp Rappel el de cours cours : Aire d’une sphère et volume d’une boule • L’aire d’une sphère de rayon R est égale à 4πR 2 . 4 • Le volume d’une boule de rayon R est égal à πR 3 . 3 Volume d’un cylindre et d’un cône • Le volume d’un cône de rayon R et de hauteur h est égal à

2 h

πR

3

• Le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est égal à πR 2 h .

E XERC XE RCIC IC E 1 Calculer l’aire et le volume de chacun des solides suivants : Cas n°1 : O A 25 cm =

Cas n°2 :

AB

=

Cas n°3 : O M

3476 km

=

1,2 m

M O

O A

E XERC XE RCIC IC E 2 Calculer le volume de chacun des solides suivants : Cas n°1 :

AB

=

12 cm

Cas n°2 : O A

=

OB B

=

Cas n°3 : OP

5 cm

B

=

5 mm, O N

=

2 mm

N A O

P

A O

E XERC XE RCIC IC E 3 1. Quel est le rayon d’une sphère dont l’aire est égale à 200 cm 2 ? Quel est le volume que peut contenir cette sphère sphère ?

2. Puis-je verser le contenu (liquide) d’une sphère de 5 cm de rayon dans un cylindre creux de 5 cm de rayon et de 7 cm de hauteur hauteur ?

3. Un verre parallélépipédique (longueur 3cm, largeur 3 cm, hauteur 8 cm) contient 63 ml d’eau. Quelle est la hauteur d’eau d’eau dans ce récipient récipient ? On y plonge deux glaçons glaçons sphériques de 2 cm de diamètre. diamètre. L’eau L’eau va-t-elle va-t-elle déborder déborder du verre ? 3ème

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Fich iche d’exe ’exerc rcic ices es:: aire aire et volu volume me de la sphè sphère re

C HAPITRE 6

E XE X E R C I C E : SECTIONS SECTION S PL ANES DE LA

SPHÈRE SPH ÈRE

Ici on voit voit que que le plan plan vien vientt sect sectio ionn nner er la sphèr sphère e de centr centre e O de rayon rayon R selo selon n un cerc cercle le ; 1. Calculer le rayon de ce cercle cercle de section :

a) dansle dansle cas où O H

=

12cmet R

b) danslecasoù N H

=

12cmet R 10 cm, cm,

c) dans le cas où R

5 cm et H OM

=

=

15 cm, cm,

=



=

26 , ◦

2. Quel Quelle le est est la dista distanc nce e du plan plan de sect sectio ion n au

centre de la sphère : a) dans le cas cas où r

=

b) dans le cas cas où R

5 cm et R

=

7 cm,

12 cm et H OM

=



=

35

◦

C HAPITRE 6

X E R C I C E : SECTIONS SECTION S PL ANES DE LA E XE

SPHÈRE SPH ÈRE

Ici on voit voit que que le plan plan vien vientt sect sectio ionn nner er la sphèr sphère e de centr centre e O de rayon rayon R selo selon n un cerc cercle le ; 1. Calculer le rayon de ce cercle cercle de section :

a) dansle dansle cas où O H

=

12cmet R

b) danslecasoù N H

=

12cmet R 10 cm, cm,

c) dans le cas où R

5 cm et H OM

=

=

15 cm, cm,

=



=

26 , ◦

Quelle le est est la dista distanc nce e du plan plan de sect sectio ion n au 2. Quel centre de la sphère : a) dans le cas cas où r

=

b) dans le cas cas où R

5 cm et R

=

=

7 cm,

12 cm et H OM 

=

35

◦

Annexe : réduction réduction et agrandiss agrandissemen ementt d’une d’une figure, figure, d’un solide solide Définition :  Appliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c’est multiplier les dimensions de cette figure (ou de ce solide) par un nombre nombre k supérieur supérieur à 1. 1. une fig figur ure e ou à un soli solide de,, c’est ’est mult multip ipli lier er les les dime dimens nsio ions ns de cett cette e fig figur ure e (ou (ou  Appliquer une réduction à une de ce solide) par un nombre k compris compris entre entre 0 et 1. Par exemp exemple le : C

D ′

′

′

AB C D

est une réduction de rapport k = 0,5 d’un rectangle ABCD de dimensions 6 cm et 8 cm ; toutes les dimensions dimensions du rectangle rectangle AB C D sont multipliée multipliéess par 0,5 : ′

′

On remarque que, si les dimensions du rectangle sont divisées par 2 (c’est-à-dire multipliées par 0,5), l’aire du rectangle est, elle, divisée par 4 (c’est-à-dire (c’est-à-dire multipliée par 0,25).

D

C

A

B

′

B

′

′

G

H

Le cube cube AB ′C ′ D ′ E ′ F ′G ′ H ′ est est un agra agranndisse disseme ment nt de rapp rappor ortt k = 2 d’un ’un cube ube AB C D E F G H de côté 2 cm : toutes les dimendimensions de ce cube sont multipliées par 2.

′

D

′

C

G

H D C

On remarque que, si les dimensions du cube sont multipliées par 2, le volume du cube est, lui, multiplié multiplié par 8.

E A

′

F

′

E

F ′

B

B

Propriété : agrandit une figure d’un rapport k ,  Lorsque l’on réduit ou agrandit alors alors l’aire l’aire de cette figure figure est multipliée multipliée par k 2 . Lorsque l’on réduit ou agrandit agrandit un solide d’un rapport rapport k ,  Lorsque 3 alors alors le volume volume de ce solide solide est multiplié multiplié par k . Par exem exempl ple e: rapport 3, alors l’aire l’aire de cette figure est multipliée multipliée par 3 2 = 9.  Si on agrandit une figure d’un rapport  Si on réduit un solide solide d’un rapport rapport 0,2, 0,2, alors le volume volume de ce solide est multiplié multiplié par 0,2 3 = 0,008 3ème

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Annexe Cours Géométrie Espace

C HAPITRE 7

QUATIONS TION S ET E T INÉQU IN ÉQUA ATIONS TIO NS C OURS : E QUA Extr Extrai aitt du prog progra ramme mme de la clas classe se de Troisi roisième ème : C ONTENU Équations et inéquation tionss du 1er 1er degr degréé


COMMENTAIRES

Ordr Ordre e et mult multip ipli lica ca-tion

Utiliser Utiliser le fait fait que que des nombr nombres es relarelatifs tifs de la form forme e ab et ac sont sont dans dans le même ordre que b et b et c si a est a est strictement positif, dans l’ordre inverse si a est a est strictement strictement négatif. négatif.

On pour pourra ra s’app ’appuy uyer er dans dans tout toute e cette cette partie partie sur des activi activités tés déjà déjà pratiq pratiquée uéess dans dans les classe classess antéantérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres. lettres.

Inéquatio Inéquation n du premier premier degré à une inconnue

Résoud Résoudre re une inéqua inéquatio tion n du prepremier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une droite droite graduée. graduée.

Résol ésolut utio ion n de pro problèm blèmes es du prem premie ierr degré ou s’y ramenant

Résoudre une équation mise sous la forme A .B = 0, où A et B désignent deux expressions du premier degré de la même variable. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation [ou [ ou un système de deux équations ] du premier degré.

L’étude ’étude du signe signe d’un d’un produi produitt ou d’un quotient de deux expressions du premier ordre de la même variable est, elle, hors programme. programme. Les problè problèmes mes sont sont issus issus des difdiffére férent ntes es pa parti rties es du prog progra ramm mme. e. comme en classe de 4e, 4e, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du trav travai aill : mise mise en équa équati tion on,, réso résolu lu-tion de l’équation et interprétation du résultat.

1 Equat quatio ion ns du prem premie ierr de degr gréé Définitions : Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté représenté par une lettre, appelée inconnue de l’équation. Une solution de cette équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie. vraie. Résoudre une équation, c’est en trouver toutes les solutions. Par exemple 3x − 7 = 5 est une équation, équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe = ) est 3x − 7, et dont le second membre donc ) est 5. membre (ce qui est à droite du signe =, donc ) 

4 est une solution de l’équation l’équation 3x 3 x − 7 = 5 car, car, lorsque lorsque je remplac remplace e l’inconnue l’inconnue x pa x parr 4 dans dans l’éq l’équa uatio tion, n, l’ég l’égal alit ité é est est vérifi vérifiée ée : 3×4−7 = 12−7 = 5



2 n’est n’est pas une solution de l’équation 3x 3x − 7 = 5  5!! car, car, lorsque je remplace remplace x par x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : 3 × 2 − 7 = 6 − 7 = −1 =

3ème

Page 1/3

Cours Equations Inéquations

Règles Règ les de man manipu ipulat lation ion des éga égalit lités és : Pour Pour résoud résoudre re une équatio équation, n, nous nous aurons aurons besoin besoin de la transf transform ormer er,, tout tout en s’assur ’assurant ant que la nouvel nouvelle le équati équation on obtenu obtenue e après après transf transform ormatio ation n possèd possède e exacte exactemen mentt les mêmes mêmes soluti solutions ons que l’équa l’équatio tion n initiale. tiale. Pour Pour ce faire, faire, nous avons avons deux règles règles à notre disposition disposition : change ge pa pass l’en l’ense semb mble le des des solu solutio tions ns d’un d’une e équa équatio tion n en ajoutant Règle Règle n°1 : On ne chan ajoutant (ou retrancha retranchant) nt) un mêm mêmee nomb nombre re aux aux deux deux mem membr bres es de l’équation. change pas l’ensembl l’ensemble e des solutions solutions d’une d’une équation équation en multipliant Règle Règle n°2 : On ne change multipliant (ou divisant) divisant) les deux deux membre membress de l’équation par par un mê même me nomb nombrre non non nul nul. Nous Nous traiteron traiteronss ici des équations du premier premier degré à une inconnue x (ou s’y ramenant). Ce sont des équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s’écrire sous la forme a x = b , avec a =  0. b Cette équatio équation n a alors une unique unique solution, solution, qui est a .

Par Par exe exempl mplee, l’équation 3x 3x − 5 = 7 est une équation du premier degré : résolvons-la utilisant la règl règlee 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’équation :  En utilisant 3x − 5+5 = 7+5, c’est-à-dire 3x 3x = 12. utilisant la règl chaque membre de l’équation : règlee 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque  En utilisant 3x 12 , c’est à dire x = 4. =

3

3

 on conclut par une phrase : l’équation 3x 3x − 7 = 5 admet admet une unique unique solution, solution, qui est 4. 4.

2 Equatio Equationsns-pro produi duits ts Définition : Une équation-produit est une équation qui s’écrit sous la forme ( a x + b )(c )(c x + d ) = 0 (il ( il peut y avoir plus de deux facteurs ) cette e équa équati tion on (a x +b )(c )(c x +d ) d ) = 0 est est une une équa équati tiondu ondu seconddegré effet, t, si on déve dévelo loppRemarque : cett second degré ; en effe pait le membre membre de gauche, gauche, l’inconnue l’inconnue x appar x apparaîtra aîtrait it avec une puissance puissance 2. Pren Prenons ons par exemple exemple l’équal’équation (x (x + 1)(3x 1)(3x − 6) = 0 ; si on développe développe le membre membre de gauche, gauche, on aboutit à l’équation l’équation 3x 3 x 2 − 3x − 6 = 0. Mais nous ne savons pas encore, encore, en Troisième, Troisième, résoudre ce type type d’équation... Comment Comment faire ?

Propriété : Un produit produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Autrement dit, dire que " A " A × B = 0" équivaut à dire que " A " A = 0 ou B = 0". (a x + b )(c )(c x + d ) sera nul si, et seulement si, l’un des facteurs (( a x + b ) ou Méthode : Ainsi, le produit (a (c x + d )) )) est nul : (a x + b )( )(c x + d ) = 0 si et seulement si a x + b = 0 ou c x + d = 0. On se ramène ramène ainsi ainsi à la résolution résolution de deux équatio équations ns du premier premier degré degré ! !

Propriété : Les solut solution ionss de l’équa l’équatio tion n ( a x + b )(c )(c x + d ) d ) = 0 sont sont les soluti solutions ons de chacun chacune e des équati équations ons a x + b = 0 et c x + d = 0

Par Par exe exempl mplee : résolvons résolvons l’équation l’équation (3x (3x − 7)(2x 7)(2x + 5) = 0 Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. 3x − 7 = 0 ou 2x 2 x + 5 = 0 3x = 7 ou 2 x = −5 7 x = 3 ou x = − 52 Ainsi, l’équation (3x (3x − 7)(2x 7)(2x + 5) = 0 admet deux solutions solutions,, qui sont 73 et − 52 3ème

Page 2/3


3 Inéqu équatio ation ns du prem premie ierr degré egré Définitions : Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, lettre, appelée appelée inconnue de l’inéquation. Une solution de cette inéquation est une valeur de l’inconnue pour pour laquelle l’inégalité l’inégalité est vraie. Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions. > ) est Par Par exe exempl mplee 3x − 7 > 5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) 3x − 7, et dont le second membre donc ) est 5. membre (ce qui est à droite du signe >, donc ) 

6 est une une solution solution de l’inéqua l’inéquation tion 3 x − 7 > 5 car, car, lorsque je remplace l’inconnue l’inconnue x par 6 dans l’inéqua l’inéquation, tion, l’inégalit l’inégalité é est vérifiée vérifiée : 3 × 6 − 7 = 18 − 7 = 11 > 5



10 est une autre autre solution de l’inéquation 3x 3x − 7 > 5 car, car, lorsque je remplace l’inconnue l’inconnue x par 10 dans l’inéquation, l’inégalité l’inégalité est vérifiée : 3 × 10 − 7 = 30 − 7 = 23 > 5



2 n’est n’est pas une solution solution de l’inéquatio l’inéquation n 3 x − 7 > 5 car, car, lorsque je remplace remplace x par x par 2, l’inégalité n’est pas vérifiée : 3 × 2 − 7 = 6 − 7 = −1 ≯ 5 ! !

Règles Règ les de man manipu ipulat lation ion des inég inégal alités ités : Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’inéquation initiale. Pour ce faire, faire, nous avons trois règles règles à notre disposition :

Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en ajoutant (ou retranchan chant) t) un mêm mêmee nomb nombre re aux aux deux deux me memb mbre ress de l’inéquation. Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divisant sant)) les deux deux mem membr bres es de l’inéquation par par un mêm mêmee nomb nombre re stri strict cteme ement nt posi positif tif . Règle n°3 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement négatif , à condition de chan change gerr le sens sens de l’in l’inég égal alit itéé. Par Par exe exempl mplee, l’inéquation 3x 3 x − 5 > 7 est une équation du premier degré : résolvons-la règlee 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’inéquation :  En utilisant utilisant la règl 3x − 5+5 > 7+5 3x > 12. utilisant la règl chaque membre de l’inéquation : règlee 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque  En utilisant 3x 12

3

>

3

x > 4.  On conclut par une phrase : l’inéquation 3 x − 7 > 5 admet pour solutions les nombres strictement supérieurs supérieurs à 4. 4.  On peut représenter l’ensemble des solutions sur un axe, en hachurant la partie de la droite graduée duée const constitu ituée ée des des nomb nombrres qui qui ne sont sont pas pas solu solutio tions ns : |

|

|

|

O

I

|

|

O

1

solutions |

|

|

|

|

|

|

4

 Attention au sens du crochet ! Le crochet n’est pas tourné vers les solutions, car 4 n’est pas solu-

tion de l’inéquation 3x 3 x − 7 > 5.

3ème

Page 3/3


C HAPITRE 7

F ICHE D ’ EXERCICES : R ÉSOLUTIONS D ’ INÉQUATIONS E XER X ERC CICE 1

Inégalités larges

Notat No tation ion : : Les symboles  et  signifient signifient respectiv respectivemen ementt "supérieur "supérieur ou égal à" et "inférieur ou égal à". Les inégalité inégalitéss suivan suivantes tes sont-e sont-elle lless vraie vraiess ou fausses fausses ? . 3<5

Ì V Ì F

3<3

Ì V Ì F

−

35

Ì V Ì F

−

33

Ì V Ì F

−

8  −8

Ì V Ì F

8  −7

Ì V Ì F

−

8 < −8

Ì V Ì F

8 < −7

Ì V Ì F

−

80

Ì V Ì F

E XER X ERC CICE 2 Pour chacune chacune des inéquations suivantes, cochez cochez la ou les solutions éventuelles parmi les nombres nombres proposés : x + 7 < 3

Ì x = 7

Ì x = 4

Ì x = 2

Ì x = 0

Ì x = −2

Ì x = −5

3x < −5

Ì x = 7

Ì x = 4

Ì x = 2

Ì x = 0

Ì x = −2

Ì x = −5

−

2x  4

Ì x = 7

Ì x = 4

Ì x = 2

Ì x = 0

Ì x = −2

Ì x = −5

2x + 1  1

Ì x = 7

Ì x = 4

Ì x = 2

Ì x = 0

Ì x = −2

Ì x = −5

−

Ì x = 7

Ì x = 4

Ì x = 2

Ì x = 0

Ì x = −2

Ì x = −5

x − 15  −2x + 9

Ì x = 7

Ì x = 4

Ì x = 2

Ì x = 0

Ì x = −2

Ì x = −5

x − 6 > −4

E XER X ERC CICE 3 Repas Repasser ser en rouge rouge l’ens l’ensemb emble le des solut solution ionss desinéq des inéqua uatio tions ns suivan suivantes tes,, et hachur hachurer er l’ens l’ensemb emble le des nombr nombres es qui ne sont sont pas solutions, solutions, comme dans l’exemple ci-dessous : O solutions I | | | | | | | | | | | | | x < 2 1 O 2 O I | | | | | | | | | | | | | x > 1 1 O O I | | | | | | | | | | | | | x  −2 1 O O I | | | | | | | | | | | | | x  3 1 O O I | | | | | | | | | | | | | x < 0 1 O O I | | | | | | | | | | | | | x  −3 1 O

3ème

Page 1/2

Fiche d’exercices: inéquations

E XER X ERC CICE 4

Résolutions d’inéquations

Pour Po ur réso résoudr udree une iné inéqua quatio tion n : Premier Premier exemple exemple 2x − 7 < −3 2x − 7+7 < −3+7

On élimine élimine le "-7" "-7" du premier premier membre membre en ajoutant ajoutant

2x < 4 2x

2

<

7 à chaque membre

4

On isol isole e x en x en divisant chaque chaque membre membre par 2.

2

x < 2 |

solutions |

O | O

|

Comme 2 > 0, on ne change pas le sens de l’inégalité

I | 1

|

|

|

2

On représent représente e graphiquem graphiquement ent l’ensembl l’ensemble e des solutions

Deuxième Deuxième exemple exemple 5x + 1  −4

−

5x + 1−1  −4−1

On élimine élimine le "+1" "+1" du du premier premier membre membre en

−

5x  −5

retranchant 1 à chaque membre

−

5x

−

5

−

5

− 

On isol isole e x en x en divisant chaque chaque membre membre par −5.

5

−

x  1 |

solutions |

O

|

|

O

Comme −5 < 0, on change le sens de l’inégalité. I |

|

|

1

|

On représent représente e graphiquem graphiquement ent l’ensembl l’ensemble e des solutions

Sur le même modèle, résolvez les inéquations suivantes (on présentera les ensembles de solutions à l’aide d’une phrase, puis à l’aide l’aide d’une représentation représentation graphique) :

a. b. c. d. e. f. g.

3x + 1  7

− −

x + 7 < 6

2x + 3  −6x − 5 3(x 3(x − 1) < −9 5x − 4  2x − 4 2 x 8 3 >−

E XER X ERC CICE 5

h. 45 x + 2  38 i. 3(x 3(x − 2) − (2x (2x − 7) < 2x + 11 j. 3(x 3(x − 1) − 3(−3x + 5)  0 k. 2x − 1 > 2 − (7 + x ) l. 4x + 9  3(3 + 2x ) 3(x − 1) < 5x − (4 + 2x ) m.  3(x 3(x − 1)  5x − (4 + 2x ) n.  3(x −

2x + 7 > −5

Mise en inéquation

La société ALO propose un abonnement téléphonique de 15 ¤ par mois et 0,20 ¤ par minute de communication. La société LAO propose un abonnement téléphonique de 14 ¤ par mois et 0,25 ¤ par minute de communication. On désigne par x le x le nombre nombre de minutes de communicatio communication n par mois. mois. Exprimerr en fonctio fonction n de x le x le montant d’une facture de ALO, ALO, puis le montant d’une facture de LAO. LAO. 1. Exprime durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ? 2. Pour quelles durées

3ème

Page 2/2

Fiche d’exercices: inéquations

      −3 63 + 5 49 + 7 112 = . . .............................................................. ................... −3 18 + 7 72 − 5 121 + 4 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 24 − 54 + 2 150 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X ERC CICE 5 E XER Ecrire les nombres nombres suivants avec un dénominateur entier : 10 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 2 3 5 14  = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 3

X ERC C I C E 6  E XER

E XE RC IC E 7



 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +1 2 3   = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3− 2

On pose x = 1 + 3 et y = 1 − 2 3.  On mettra les résultats sous la forme a + b 3, où a et b sont des entiers.

On donn donne e A = x 2 − 2x − 7  On mettra les résultats sous la forme a + b 2, où a et b sont des entiers. entiers.

1. Calculer x + y et x − y . 2. Calculer x 2 et y 2 . manières différen différentes. tes. 3. Calculer x 2 − y 2 de deux manières

A pour x = 2 1. Calculer A pour  A pour x = 5 − 2 2. Calculer A pour  A pour x = 2 2 + 1 3. Calculer A pour

X ERC CICE 8 E XER



Résoudre Résoudre les équation équationss suivantes suivantes : x 2 = 1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x 2 = −4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3x 2 = 2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4x 2 = 4 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−5x 2 = −25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5x 2 = 3x 2 + 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x 2 + 2 = 2(x 2(x 2 + 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 − 94 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 x 2 2 x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 − x 2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x 2 − 25 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 + 2x 2 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 8 = ................................................................ ....................................... 2 x X ERC CICE 9 E XER Quelques problèmes à résoudre... résoudre...

Problème Problème n°1

Probl Problème ème n°3

Déterminer Déterminer trois nombres nombres entiers entiers consécutif consécutifss dont la somme des carrés est égale à 13 874.

Une sphère a pour aire 628 cm 2 . Quel est son rayon ? (On prendra prendra π = 3,14).

Problème Problème n°2

Probl Problème ème n°4

Une pyramide à base carrée a une hauteur de 10 cm, et un volume de 480 cm 3. Quel est le côté du carré carré de base base ?

X ERC CICE 10 E XER



Est-il vrai que les nombres nombres A = 2 + 3 et B = 3ème

Un carré carré ABCD de ABCD de centr centre e O es O estt tel tel que que O A =3 = 3 cm. cm. Calculer le côté du carré ABCD , puis calculer l’aire exacte de ce carré.

 7 + 4 3 sont sont égaux égaux ? Justifier Justifier votre votre réponse. réponse. Page 2/2

Fiche d’exercices

C HAPITRE 9

C OURS : TRANSLATIONS ET VECTEURS Extr Extrai aitt du prog progra ramme mme de la clas classe se de Troisi roisième ème : C ONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES Vecteurs Vecteurs et transla-  Conn Connaî aîtr tree et util utilis iser er tions l’éc ’écritu riturre vecto ectori rieelle lle AB = C D pour Égalité vectorielle pour expr expriimer mer que que la tran transl slat atio ion n qui qui tran transf sfor orme me A en B transforme aussi C en D.

COMMENTAIRES

Cette Cette rubri rubriqu quee pren prend d en comp compte te les les acqu acquis is du cycl cyclee central central sur les parallélogram parallélogrammes mes et sur la translatranslation. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans les couples ( A , A ), (B , B ), (C , C ).. . de poin points ts homologues par une même translation, d’un même objet nommé vecteur. v ecteur. On écrira u = A A = B B = C C = . . . . L’un des objectifs est que les élèves se représentent un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et d’une longueur. cette écriture Onmettraenévidencelacaractérisationd’uneéga Lier vectorie oriellle au paral- lité vectorielle à l’aide de milieux de [ AD ] et [B C ] : ABCD Si AB = C D alors les segments [ AD ] et [BC ] ont le lélogramme éventuellem éventuellement ent aplati. même milieu. Si les segments [ AD ] et [B C ] ont le même milieu, alors on a AB = C D et AC = B D . ′

′

′

Composition de deux  Utiliser Utiliser l’égalité l’égalité transl translatio ations ns ; somme somme AB + BC = AC et la relier de deux vecteurs. à la composée de deux translations. Construireun un représen représen- Construire tant tant du vect vecteu eurr somm sommee à l’ai l’aide de d’un d’un para parallé llélologramme.

Composition de deux  Savoir que l’image symétries centrales. d’un ’une fig figur uree pa parr deux deux symétries symétries centrales centrales successi cessives ves de centr centres es difdifférents est aussi l’image de cette figure par une translation.  Connaître le vecteur de la translation translation composée composée de deux deux symé symétri tries es cencentrales.

3ème

′

′

′

Des activités de construction conduiront à l’idée que que la comp compos osée ée de deux deux tran transl slat atio ions ns est est une translation. À partir de ce résultat, à établir ou admettre, on dédéfinira la somme de deux vecteurs. On introduira le vecteur nul 0 = A A = B B = . . . ainsi ainsi que l’oppos l’opposéé d’unvecteur d’un vecteur.. Aucune Aucune compétence compétence n’est exigible exigible des élèves sur l’égalité l’égalité vectorielle vectorielle AC − AB = BC ni, ni, plus plus généralement, sur la soustraction vectorielle. Des Des acti activi vités tés de cons constru truct ctio ion n perme permettr ttron ontt de conjecturer le résultat de composition de deux symétriescentr métries centrales ales.. La démonstrati démonstration on sera l’occasio l’occasion n de revoir la configuration configuration des milieux milieux dans un triangle. On pourra utiliser, pour sa commodité, la notation 2 AB pour désigner AB + AB . Tout commentaire sur le produit d’un vecteur par un enti entier er est est hors hors prog progra ramme mme,, ains ainsii que que la nota notati tion on "o" pour désigner la composée.

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Cours translations et vecteurs

1 Notio tion de vecteu cteurr Définition : Si, par une translation donnée, les points A , B , C ont pour images respectives les points A , B et C , alors alors on dit que que les couple coupless de points points ( A , A ), (B , B ), (C , C ) définissent un vecteur un vecteur.. Si on note u ce vecteur, vecteur, alors on peut écrire écrire u = A A = B B = C C , et on dit que A A , B B et C C sont des représentants du vecteur u . ′

′

′

′

′

′

′

′

′

B′

′

′

B

 u A′ C ′ A

′

C

Caractéristiques Caractéris tiques d’u d’un n vecteu vecteurr : Si A et B sont deux points points distincts, distincts, alors on peut entièrement entièrement détermine déterminerr le vecteur AB par : – sa direction (celle de la droite ( AB )), – son sens (de A vers B ) – et sa longueur, longueur, ou norme (celle du segment [ AB ]). Vocabulaire Vocabulaire : Dans ce cas, le point A est appelé origine du vecteur, et le point B en est l’extrémité l’extrémité..

2 Vecte ecteu urs égau égaux x Définition : égaux s’ils On dit dit que que deux deux vect vecteu eurs rs u et v sont égaux s ’ils ont ont la même direction, direction, le mêm mêmee sens sens et la mêm mêmee longue longueur ur..

 u

B

Définition : Si A et B sont deux points distincts du plan, alors le vecteur B A a la même direction et la même longueur que le vecteur AB ,maisiln’apaslemêmesens.Onditque B A estlevecteur opposé au vecteur AB , et on note B A = − AB . Propriétés : Soient A , B , C et D quatre quatre points du plan.  Si les vecteurs AB et C D sont égaux, alors ABDC est un parallé parallélog logram ramme me (évent (éventuell uelleme ement nt aplati). parallélogramme amme (éventuellem (éventuellement ent aplati), aplati),  Si ABDC est un parallélogr alors les vecteurs AB et C D sont égaux (tout comme comme les vecvecteurs AC et B D ). ). Propriétés : Soient A , B , C et D quatre quatre points du plan.  Si les vecteurs AB et C D sont égaux, alors les segments segments [ AD ] et [BC ] ont le même milieu. segments [ AD ] et [BC ] ont le même milieu,  Si les segments alors les vecteurs AB et C D sont égaux (tout comme comme les vecvecteurs AC et B D ). ). 3ème

Page 2/4

 v

B

A A

D B ou

B

D

C C A

A

D B I

C A


Comm Comment ent plac placer er un poin pointt défin définii par par une une égal égalité ité vect vector oriel ielle le : A , B et C sont trois points du plan. On veut placer le point D tel que AB = C D . Sur Sur un quad quadril rilla lage ge : On commence par repérer, à peu près, la zone dans laquelle sera situé le point D (étape 1). Puis on utilise le quadrillage pour construire le quatrième sommet du parallélogramme ABDC (étape 2) ; ici, on décale de deux carreaux vers vers la droite et de cinq carreaux vers le bas.

Sur du papi papier er blan blancc : On commence par repérer, à peu près, la zone dans laquelle sera situé le point D (étape 1). Puis Puis on utili utilise se le comp compas as pour pour cons constru truir iree le quatrième sommet du parallélogramme ABDC (étape 2) ; ici, on trace un arc de cercle cercle de centre C de rayon AB , puis un second arc de cercle de centre B de rayon AC .

A A

C

C

B B

A A

C

C

B B

D

D

Propriété : Soient A , I et B trois points distincts distincts du plan. plan. Dire que AI = I B revient à dire que I est le milieu de [ AB ]

B I A

3 Somme de deux eux vecteu cteurrs Propriété : La composée de deux translations de vecteurs u et v est elle-même une translation, dont le vecteur vecteur est appelé somme somme des vecteur vecteurss u et v , et est noté u + v . B

 v

u

C

  u + v

A

 v

u    u + v

3ème

Page 3/4


Relation Relati on de Cha Chasle sless : Si, avec avec les notatio notations ns précéd précédent entes, es, AB est un repré représen sentan tantt de u , et BC est un repré représen sentan tantt de v ,alors relation ion de Chasles Chasles.. on peut écrire la relation AB + BC = AC , connue sous le nom de relat Remarque : On peut retenir que "faire la translation de vecteur AB , puis faire la translation de vecteur B C , cela revient à faire directement directement la translation de vecteur AC ." ." Définition : Si A et B sont sont deux deux points points distin distincts cts,, on a, d’apr d’après ès la relati relation on de Chasle Chasles, s, AB +B A = A A , qui corre correspo spond nd à un déplacement nul. Le vecteur A A est par conséquent appelé vecteur appelé vecteur nul, nul, et on note 0 = A A . Comm Comment ent cons constr trui uire re la somme somme de deux deux vect vecteur eurss : A est un point du plan, u et v sont deux vecteurs. On veut placer le point B tel que AB = u + v . En me mett ttan antt les les vect vecteu eurs rs "bou "boutt à bout bout"" : On construit construit le point M tel que AM = u , puis on construit le représentant du vecteur v ayant ce point M pour origine ; un représent représentant ant du vecteur u + v est le vecteur AB .

 v

M

B

En prena prenant nt des repré représent sentant antss de même origin originee : On construit des représentants des vecteurs u et v d’origine A , et on appelle M et N les extrémités de ces deux représentants. représentants. On construit le point B comme quatrième sommet du parallélogramme AMBN ; un repré représen sentan tantt du vecteu vecteurr u + v est le vecteur AB . B M

u 

v 

+

 u

u 

v 

+

u 

u 

u 

A

N

v 

 v

A

 v

4 Compo ompossée de deux eux symé symétr trie iess cent centra rale less Propriété : Soient A et B deux points distincts distincts du plan. plan. La compos composée ée de la symét symétri riee de cent centre re A et de la symé symétr trie ie de cent centrre B est est une une l’on noter notera a 2 AB par anatranslation translationde de vecteur vecteur AB + AB (que l’on logie avec le calcul numérique )

A

B

2 A B

3ème

Page 4/4


C HAPITRE 9

F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS ( 1 ) X ER CI CE 1 E XER

Construire e les points A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , images respecti respectives ves de A , B , C , D par la translation translation de vecteur u . 1. Construir 2. Construire les points A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , images respectives des points A , B , C , D par la translation de

vecteur

v .

3. Construire le point A 3 image de A par la translation de vecteur D B , le point B 3 image de B par la

translation de vecteur C D , le point C 3 image de C par la translation de vecteur D 3 image de D par la translation translation de vecteur C A .

D A et enfin le point

figure, écrire un un maximum d’égalités de vecteurs. vecteurs. 4. Au vu de la figure,

 v

A

D

 u C

B

X ER CI CE 2 E XER

E

Construire Construire : ′  le point A image de A par la translation translation de vecteur u , ′  le point B image de B par la translation translation de vecteur AC , ′  le point C image de C par la translation translation de vecteur E A . ′ ′  le point D tel que D D = C A , ′ ′  le point E tel que E E = BC

B

C A  u

D

3ème

Page 1/1

Fiche d’exercices

C HAPITRE 9

F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS ( 2 ) X ER CI CE 1 E XER Sur la figure ci-dessous :

translation de vecteur AB . 1. construis l’image de la figure F par la translation 2. construis l’image de la figure G par la translation translation de vecteur C D . 3. construis l’image de la figure H par la translation translation de vecteur F E . 4. construis l’image de la figure I par la translation translation de vecteur G H .

translation de vecteur AD . 5. construis l’image de la figure H par la translation translation de vecteur D E . 6. construis l’image de la figure J par la translation

I

E

G

J F

H D

H

B A

C

G

F

3ème

Page 1/2

Fiche d’exercices

X ER CI CE 2 E XER Sur la figure ci-dessous :

carré par la translation de vecteur E B . 1. construis l’image du carré construis l’image l’image du triangle triangle par la translation translation de vecteur AB . 2. construis cercle par la translation translation de vecteur B D . 3. construis l’image du cercle 4. construis l’image de la droite par la translation de vecteur DC .

A

E

B

C

D

3ème

Page 2/2

Fiche d’exercices

C HAPITRE 9

F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS ( 3 ) Placer les points M et N dans chacun des cas suivants : 1. AM = u et A N = u + v

2. A M = v et AN = u + v

 v

 u

v 

A

A  u

3. AM = C B et AN = AB + AC

4. B M = C B et B N = B A + BC

B

C

A B

A

C

5. D M = BC et D N = BC + E A

6. E M = AB + C D et B N = AE + C D B

B

A

A C D D

E

C E

3ème

Page 1/1

Fiche d’exercices

C HAPITRE 9

F ICHE D ’ EXERCICES : D ÉMONTRER AVEC LES VE V ECTEURS


DNB Guadelo Guadeloupe upe 2003

Construire un parallélogram parallélogramme me EFGH et EFGH et I , I , milieu de [E [E F ]. F ]. 1. Faire une figure.

considère la translation de vecteur E H . 2. On considère a) Quelle Quelle est l’imag l’image e de E ? E ? b) Quelle est l’image l’image de F ? F ? Justifier. 3. Construir Construire e le point J , J , translaté translaté du point point I par la translation de vecteur E H .

Que représen représente te le point J pour le segment [G [G H ] ? Justifie Justifierr la réponse réponse.. Construire e le point K tel que E K = E G + E H . 4. Construir Montrer que J est le milieu de [E [ E K ]. K ].


DNB Centres Centres étrangers (Bordeaux) 2006

1. Tracer un triangle isocèle ABC AB C de sommet principal B tel que AC = 4 cm et AB = 5 cm.

Placer les points R et R et M tels que 2. a) Placer C R = AB et B M = B A + BC . BC . b) Quelle Quelle est la nature nature du quadrilat quadrilatère ère ABRC ? ABRC ? Justifier. c) Préciser Préciser la la nature nature du quadrila quadrilatère tère ABCM . Justifier. 3. Démontrer que le point C est le milieu du segment [M [ M R ]. ].


DNB Lyon 2005

Pour cet exercice, exercice, compléter la figure donnée ci-dessous. ci-dessous.

B

A C

On a placé trois points A , B et C . C . 1. Construir Construire e le point E tel que ABEC est ABEC est un parallélogramme. parallélogramme.

Construire e le point point F tel que B F = B A + BC . BC . 2. a) Construir b) Quelle Quelle est la nature nature du quadrilat quadrilatère ère ABCF ? ABCF ? On ne demande pas de justificatio justification. n. 3. Démontrer que F C = C E . Que peut-on en déduire pour le point C ? C ?

3ème

Page 1/1

Fiche d’exercices

C HAPITRE 9

F ICHE D ’ EXERCICES : VECTEURS ( 3 ) Placer les points M et N dans chacun des cas suivants : 1. AM = u et A N = u + v

2. A M = v et AN = u + v

 v

 u

v 

A

A  u

3. AM = C B et AN = AB + AC

4. B M = C B et B N = B A + BC

B

C

A B

A

C

5. D M = BC et D N = BC + E A

6. E M = AB + C D et B N = AE + C D B

B

A

A C D D

E

C E

3ème

Page 1/1

Fiche d’exercices

C HAPITRE 1 0

C OURS : V ECTEURS E CTEURS & REPÈRES Extr Extrai aitt du prog progra ramm mmee de la clas classe se de Trois roisiè ième me : C ONTENU


COMMENTAIRES

Coordo ordonn nnée éess d’un ’un vect vecteu eurr dans dans le plan plan muni d’un repère

Lire sur un graphique les coordonnées d’un vecteur. Repré Représen senter ter,, dans dans le plan plan muni muni d’un d’un repè repère re,, un vect vecteu eurr dont dont on donn donne e les les coordonnées. Calculer les coordonnées d’un vecteur connaissa connaissant nt les coordon coordonnées nées des extrémités de l’un quelconque de ses représentants. représentants. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.

Les coordon coordonnées nées d’un vecteur vecteur seront introduites à partir de la composition de deux translations selon les axes.

Distance de deux Le plan étant muni d’un repère orpoints dans un repère thonor thonormé, mé, calcul calculer er la distan distance ce de orthonormé orthonormé du plan deux deux poin points ts dont dont on donne donne les les coor coor-données.

Le calc calcul ul de la dist distan ance ce de deux deux points se fera en référence au théorème rème de Pytha thagor gore, de faço açon à visualiser ce que représentent différence rence des abscisses abscisses et différ différence ence des ordonnées.

1 Repères du plan Il existe différentes sortes de repères repères du plan : y

1

1 O

y

1

1

O

1

x

O

1

x

M

M M

Les repères quelconques

Les repères orthogonaux , dans lesquels lesquels les axes sont perpendiperpendiculaires.

Les repères orthonormés , dans lesquels lesquels les axes sont perpendiperpendiculaires, et les unités sur chaque axe sont égales.

Dans chacun des cas ici représentés, le point M a pour coordonnées coordonnées (3; −2). 3ème

Page 1/3

Cours vecteurs et repères

2 Coor oordonn donnée éess d’un ’un vecte ecteur ur dans dans un rep epèr èree Dans chacun des cas suivants, u est un vecteur, vecteur, dont un représentant est AB dans un repère du plan. Pour passer de A à A à B , on effectue deux deux translations successives : – La première première parallèlem parallèlement ent à l’axe l’axe des abscisses abscisses,, de a carreaux dans le sens de l’axe (alors comptés positiveme positivement) nt) ou dans le sens opposé à l’axe (alors comptés comptés négativemen négativement) t) ; – la seconde parallèl parallèlement ement à l’axe des ordonnée ordonnéess de b carreaux dans le sens de l’axe (alors comptés positiveme positivement) nt) ou dans le sens opposé à l’axe (alors comptés comptés négativemen négativement) t) ;

coordonn onnées ées du vecteur vecteur u . Le couple (a ( a ; b ) sont les coord

y

y

−4

A

1

B

O

+3

x

1

1

−7

O

1

x

A

−5

B

Le vecteur u u a pour coordonnées (−5;3)

Le vecteur u u a pour coordonnées (−4; −7)





Calcul Cal cul des coo coord rdonn onnées ées d’ d’un un vec vecteur teur : Si, dans dans un repèr epère e du plan plan,, les les coor coordo donn nnée éess des des poin points ts A et A et B sont respect respectivemen ivementt (x A (x B A ; y A A ) e t (x B ; y B B ), alors les coordonnées coordonnées du vecteur vecteur AB sont (x ( x B B − x A A ; y B B − y A A ).

Exemp Exemple le : Si on a A (−1, −3) et B (4,3) (4,3) alors le vecteur AB a pour coordonnées coordonnées (4 − (−1);3 − (−3)) 3)), c’est-à-dire (5;6).

Rema Remarq rque ue n°1 n°1 :  Attention à l’ordre des lettres ! ! On fait :

(abscisse de l’extrémité − abscisse de l’origine ; l’origine ; ordonnée ordonnée de l’extrémi l’extrémité té − ordonnée ordonnée de l’origine l’origine )

Rema Remarq rque ue n°2 n°2 : Les coordonnées du vecteur u sont les coordo coordonnées nnées de l’extrémit l’extrémité é du représent représentant ant de ce vecteur, vecteur, ayant l’origine l’origine du repère repère comme origine : y

6

B

1

O

+6 5

1

x

+5

A

Le vecteur u coordonnées (5;6) u a pour coordonnées 

Vecteurs V ecteurs égaux : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. 3ème

Page 2/3


3 Milie ilieu u d’un ’un segm segmen entt Calc Ca lcul ul de dess co coor ordo donn nnées ées du mil milieu ieu d’ d’un un seg segme ment nt : Si, dans dans un repèr epère e du plan plan,, les les coor coordo donn nnée éess des des poin points ts A et A et B sont respect respectivemen ivementt (x A (x B A ; y A A ) e t (x B ; y B B ), + + x A x y y A B B A A B B alors les coordonnées coordonnées du point I milieu de [ AB [ AB ]] sont ; . 2 2





Preuve Preuve : y B

1

x A A +x B B 2

O y A A + y B B 2

x

1

I

Dire que I est le milieu de [ AB [ AB ]] revient à dire que les vecteurs AI et I B sont égaux. Or les coordonnées du vecteur AI dans le repère sont (x I I − x A A ; y I I − y A A ) Les coordonnées du vecteur I B dans le repère sont (x B B − x I I ; y B B − y I I ) Ces Ces deux deux vecteur vecteurss étant étant égaux, égaux, leurs leurs coor coordon donnée néess sont sont égales égales entre entre elles, elles, et il vient : x I I − x A A = x B B − x I I x I I + x I I = x A A + x B B 2x I I = x A A + x B B x A A +x B B x I I = 2

A

y I I − y A A = y B B − y I I y I I + y I I = y A A + y B B 2 y I I = y A A + y B B y A A + y B B y I I = 2

  Exemple : Si on a A (−1, −3) et B (4,3) (4,3) alors le point I milieu de [ AB [ AB ]] a pour coordonnées −12+4 ; −32+3 ,

c’est-à-dire (1,5;0).

4 Dista istanc ncee entr entree deux deux poin points ts dans dans un rep epèr èree orth orthon onor ormé mé Calcul Calc ul de la di dist stanc ancee ent entrre deu deuxx po poin ints ts : Dans un repère orthonormé, si les coordonnées des points A et B sont (x A A ; y A A ) et  respectivement (x

(x B A et B est donnée par : AB = B ; y B B ), alors la distance entre les points A et y y B B

B

x A A − x B B

Preuve Preuve : théorèmee de Pythagor Pythagoree L’idée est d’utiliser le théorèm dans le triangle AH B . Pour que AH B soit rectangle en H , il faut bien que le repère soit orthogon thogonal. al. De plus, plus, pour pour exprim exprimer er les distan distances ces AH et B H dans la même unité, il faut que les unités portées par les deux axes soient égales, et donc que le repère soit orthonormé . Une fois cette condition remplie, on a donc AH B rectangle en H , et AB 2 = AH 2 + B H 2 .

H A

y

− B

y

y A A

O

2 2 (x B B − x A A ) + ( y B B − y A A )

A

x A A x

x B B

Or la dista distanc nce e AH est est égal égale e soit soit à x B cela dépe dépend nd de savo savoir ir lequ lequel el est est le plus plus "à droi droite te" " ). ). B − x A A ,soità x A A − x B B (cela 2 2 Quoi Quoi qu’i qu’ill en soit soit,, on a A H = (x B (car,, de toute toutess faço façons ns,, deux deux nomb nombre ress oppo opposé séss ont ont le même même carr carré é: B −x A A ) (car 2 2 (x B B − x A A ) = (x A A − x B B ) ...). De même, la distance B H est égale soit à y B B − y A A , soit à y A A − y B B (cela dépend de savoir lequel est le plus 2 2 2 "haut" ). ). Quoi qu’il en soit, on a B H 2 = ( y B (car, de toutes façons, ( y ( y B B − y A A ) (car, B − y A A ) = ( y A A − y B B ) ...). 2 2 On a donc bien AB 2 = AH 2 + B H 2 = (x B formule annoncée annoncée.. B − x A A ) + ( y B B − y A A ) , et donc la formule

Exemp Exemple le : Si dans un repère orthonormé orthonormé 1, −3) et B (4,3) (4,3) alors la distance AB vaut   on a A (− 2 2 2 2 (4 − (−1))

3ème

+ (3 − (−3)) =

5

+6 =

25 + 36 =

61 ≈ 7,8 7, 8 unités. unités.

Page 3/3


C HAPITRE 1 1

C OURS : FONCTIONS LINÉAIRES & AFFINES Extr Extrai aitt du prog progra ramme mme de la clas classe se de trois troisièm ièmee : C ONTENU Fonction linéaire.

C OMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES Connaî Connaîtr tree la notatio notation n x − La définition d’une fonction linéaire, de coefficient a , s’appuie  → a x , pour une valeur numérique de sur l’étude des situations de proportionnalité rencontrées dans a fixée. les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspondance est "je multiplie par a ". ". Pour des pourcentages d’augmentation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être faite; faite ; par exemple, exemple, augmenter de 5 % c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 % c’est multiplier multiplier par 0,95.

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire à pa part rtir ir de la donn donnée ée d’un ’un nom nombre bre non non nul nul et de son image.

L’étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d’utiliser la notion d’image. d’image. On introduira introduira la notation notation x −  → a x , pour la fonction. À propos de la notation des images f (2), (2), f (−0,25), ..., on remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu’en calcul algébrique.

Repré Représen senter ter graph graphiqu iqueme ement nt une fonction linéaire. linéaire. Lire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire l’imag l’imagee d’un d’un nombr nombree donné donné et le nombre ayant une image donnée. Fonction affine. Fonction affine et fonction linéaire associée.

3ème

L’énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine; cette droite a une équation de la forme y = ax . On interprétera graphiquement le nombre a , coefficient directeur de la droite. C’est une occasion de prendre conscience de l’existence de fonctions dont la représentation graphique n’est pas une droite droite (par (par exemp exemple le,, en examin examinant ant comme comment nt varie varie l’aire l’aire d’un d’un carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3). Connaître la notation Pour des valeurs de a et b numériquement fixée, le processus de x − pour des des vava- correspondance sera aussi explicité sous la forme "je multiplie  → a x + b pour leurs leurs numériq numériques ues de a et b par a , puis j’ajoute b ". ". La représentation graphique de la foncfixées. tion affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. associée. C’est une droite, qui a une équaDéter éterm miner iner une une fonc foncti tion on tion de la forme y = a x + b . On interprétera graphiquement le affine par la donnée de deux coefficient coefficient directeur directeur a et l’ord l’ordonn onnée ée à l’orig l’origine ine b ; on remarq remarquer ueraa nombres nombres et de de leurs leurs images. images. la proportionnalité des accroissements de x et y . Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée Repré Représen senter ter graph graphiqu iqueme ement nt dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de une fonction fonction affine. affine. deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphiqu phique. e. On fera fera remarq remarquer uer qu’un qu’unee foncti fonction on linéai linéaire re est une foncfoncLire ire sur sur la représ présen enta tati tion on tion affine. grap graphi hiqu quee d’une ’une fonc foncti tion on Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives affin affinee l’im l’imag agee d’un d’un nomb nombre re de fonctions fonctions non non affines affines peuvent peuvent servir servir de support support à la construcconstrucdonné et le nombre ayant une tion de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités image donnée. donnée. d’une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance spécifique n’est n’est exigible sur ce sujet.

Page 1/6

Cours fonctions

1 Fonct onctio ion n liné linéai airre 1.1 Défin Définiti ition onss L’unité de longueur est le centimètre. Notons x la longueur du côté d’un carré et y le périmètre de ce carré. carré. On trouve trouve : 1 4

x y

0,8 3,2

3 12

4

×

On obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre périmètre d’un carré carré est proportionnel à son côté côté et 4 est le coefficient coefficient de proportionnalit proportionnalité. é. On peut écrire écrire y = 4 × x ou y = 4x . Définition : Soit a un nombr nombree quelco quelconqu nquee « fixe ». Si, à chaque nombre x , on peut associer son produit par a (c’est à dire y = a × x ), ), alors on définit la fonction fonction linéaire linéaire de coefficient a , que l’on notera f : x −  → a x . Fonction Fonction linéaire linéaire de coeffic coefficient ient a : Nombre − Image  →

Vocabulaire et notation : Vocabulaire La fonction qui, à chaque nombre x , associe le périmètre du carré de côté x est une fonction linéaire de coefficient 4, que nous pouvons noter f : x −  → 4x . L’image de 0,8 par cette fonction est 3,2, ce que l’on peut noter f (0,8) (0,8) = 3,2 (et qui se lit lit " f de 0,8 est égal à 3,2") 3, 2")

x

−  → ×

a x

a

Remarque : Une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité (dans laquelle laquelle le coefficien coefficientt de proportionna proportionnalité lité est égal à a ). ) . Pou Pourr pass passer er d’un d’un nomb nombre re à son imag image, e, on multiplie plie par par a .

1.2 Repré Représen sentat tation ion graphi graphique que d’une d’une foncti fonction on linéai linéaire re Propriété : Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droite passan passantt par l’ori l’origin ginee du repèr repèree. 

Représ Représent enter er graphi graphiquem quement ent une foncti fonction on linéai linéaire re y 3

2

1

3

−2

−1

O

−1

1

2

3

4

x

Ci-contre est représentée graphiquement la fonction linéaire f de coef coeffic ficie ient nt 0,6, que que l’on l’on peut peut note noterr f : x → 0,6 0, 6x Comme f est une foncti fonction on linéair linéaire, e, sa repré représen sen-tati tation on grap graph hique ique est est une une droi droite te qui pa passse pa parr l’origine l’origine du repèr repèree . De plus, pour trouver un second point de cette droite, on peut calculer l’image de 3 : f (3) (3) = 0,6 0, 6 × 3 = 1,8. Je place le point point de coordonnée coordonnéess (3;1, 8) . tableau u de valeu valeurs rs de cette fonction : En fait, voici un tablea

−2

3ème

x y

Page 2/6

0 0

3 1,8

Cours fonctions

Lire Lire surla sur la représ représent entati ation on graphi graphique que d’une d’une foncti fonction on linéai linéaire re l’ima l’image ge d’un d’un nombr nombree donné donné et le nombr nombree ayan ayantt une une imag imagee donn donnée. ée. 

Ci-contre est représentée graphiquement une fonction linéaire f de coefficient a , que l’on peut noter f : x → ax exemple ) du nombre 4 sur Pour lire l’image (par exemple cette représentation graphique, on commence par repérer repérer le point de la droite dont l’abscisse l’abscisse est 4 , puis on lit l’ordonnée l’ordonnée de ce point. Ici, on peut lire que l’image de 4 est 3 , c’est-à-dire que f (4) (4) = 3 De plus, pour trouver le nombre dont l’im l’imag agee est −1,2 par cette fonction linéaire, on commence par repérer le point de la droite dont l’ordonnée l’ordonnée est −1,2 , puis on lit l’abscisse l’abscisse de ce point. Ici, on peut lire que que le nomb nombrre dont dont l’im l’imag agee est est −1,2 est −1,6 , c’est-à-dire que f (−1,6) = −1,2.

y 3

2

1

3

−2

−1

O

1

2

3

4

x

−1 −2 −3 −4 

Déterm Détermin iner er le coef coeffic ficien ientt d’une ’une fonc foncti tion on liné linéai aire re,, lors lorsqu qu’o ’on n conn connaî aîtt un nomb nombre re et son son image image

Dans l’exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefficient a inconnu, que l’on note f : x − nous avon avonss vu que que l’im l’imag agee de 4 pa parr cett cettee fonc foncti tion on est est égal égalee à 3 ; cela cela sign signifi ifiee que que 3 = a × 4,  → a x . Or nous 3 ce qui nous permet permet de déterminer déterminer le coefficient coefficient de de la fonction fonction : a = 4 = 0,75. Remar Remarque que : ce nombre a n’est autre que le coefficient coefficient de proportionnalité du tableau suivant : x y

4 3

1,6 1,2

−

×

a

Définitions : Soit (d ) la droite qui représe représente nte graphiquem graphiquement ent la fonction fonction linéaire linéaire de coefficien coefficientt a . On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite (d ) et que y = a x est une équation de la droite (d ). ). y +1

−1.2

Interprétation graphique du coefficient directeur directeur : 

Soit (d ) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficoefficient directeur directeur de la cient −1,2 1,2 ; le coefficient droite (d ) est donc −1,2 , et son équation est y = −1,2 x . Graphiquement, voici comment lire le coefficient coefficient directeur directeur :

3

2

1 +1 3

−2

−1

O

1

−1 . 2

2

3

4

x

−1 −2 −3

+1

−1.2

−4

3ème

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Cours fonctions

1.3 Fonct onctio ion n liné linéai aire re et pour pource cent ntage age Calcu Ca lculer ler av avec ec des pou pourc rcenta entages ges : Prendre t % d’un nombre, nombre, c’est c’est multiplier ce nombre par

t

. 100 t c’est multiplier ce nombre par 1 + .  Augmenter un nombre de t %, c’est 100 







Diminuer Diminuer un nombre nombre de t %, c’est c’est multiplier ce nombre par 1 −



t

100



.

Exemples

15 . A cette action, action, on associe associe la fonction linéaire x → 0,15 × x . 100 12 c’est effectuer effectuer x × 1 −  Diminuer un nombre x de 12 % c’est = x × 0,88. A cette action, on associe la 100 fonction linéaire x → 0,88 × x . 3 c’est effectuer effectuer x × 1 + 1, 03. A cette action, on associe associe la  Augmenter un nombre x de 3 % c’est = x × 1,03. 100 fonction linéaire x → 1,03 × x . 

Prend Prendre re 15 % de x c’est effectuer x ×

 

 

2 Fonct onctio ion n affin affinee 2.1 Défin Définiti ition onss Définition : Soient a et b deux nombres nombres quelcon quelconques ques « fixes ». Si, à chaque chaque nomb nombre re x , on peut peut associ associer er le le nombr nombree a × x + b , alors alors on défin définit it une foncti fonction on affine affine,que ,que l’on notera f : x −  → a x + b . On dit que x → ax est la fontio fontion n linéai linéaire re associ associée ée à la fonction fonction affine x → a x + b . Vocabulaire et notation : Vocabulaire La foncti fonction on qui, qui, à chaque chaquenom nombr bree x ,associelenombre2 , associelenombre2 x +3est une fonction fonction affine (où a = 2,et b = 3), 3), que que nous nous pouv pouvon onss note noterr f : x − parr cett cettee fonc foncti tion on est est 2 × 5 + 3 = 13,  → 2 x + 3. L’image de 5 pa ce que l’on peut noter f (5) (5) = 13 .

Fonction Fonction affine Nombre

−  →

x

−  → ×

a x

−  →

Image

−  →

a x + b

a

b

+

Remar Remarque que 1 : Pour passer d’un nombre à son image, i mage, on multip multiplie lie par a , puis on ajoute ajoute b . Remar Remarque que 2 : Lorsque b = 0 On obtient f : x → a x , c’est à dire une fonction linéaire. linéaire.

2.2 Repré Représen sentat tation ion graphi graphique que d’une d’une foncti fonction on linéai linéaire re Propriété : Dans Dans un repère repère,, la représentati représentation on graphique graphique d’une d’une fonction fonction affine affine est une droite : – passant par le point de coordonnées coordonnées (0;b ) – qui est est parallèle parallèle à la droite droite représe représentant ntant la fonction fonction linéaire linéaire associée associée 3ème

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