Cours_334_Serie_4.pdf

REMÉD RE MÉDIA IATIO TION N MA MATH THÉMA ÉMATIQ TIQUE UE INTÉGRALES, FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Module 334 . 4

6

y

5 exponentielle base 1/2)

exponentielle base 2

4

3

2 (-1; 2)

(1; 2) 1 x

(0; 1) 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

Enseignement à distance

Administration générale générale de l'Enseignemen l'Enseignementt et de la Recherche Recherche scientifique Direction de l'Enseignement à distance

Intégrales, fonctions exponentielles exponentielles et logarithmes

334 – 04 – Module 334 – Série 04 – Leçon 1

L.1 : L.1 : LES FONCTIONS EXPONENTIELLES

1. La fonction fonction exponentielle exponentielle de de base base a ........................ ............................. ............................ ...1 ... 1 2. Règles de calcul calcul des fonctions exponentielles exponentielles ........................... ............................ ............. 3 2.1

Exponentielle d'une somme ........................... ............................. .............................. ..3 .. 3

2.2

Exponentielle d'une différence ........................ ............................ ............................. ...3 ... 3

2.3

Exponentielle d'un produit...........................................................................................3

3. Équations exponentielles.....................................................................................................4 4. Dérivée d’une fonction exponentielle...................................................................................5 5. Graphiques des fonctions exponentielles............................................................................7 6. Primitives des fonctions exponentielles...............................................................................8 Devoir à envoyer ........................... .............................. ............................. .............................. 10 Corrigé des TAC.....................................................................................................................11

© Enseignement à distance – Communauté française de Belgique

Intégrales, fonctions exponentielles exponentielles et logarithmes

334 – 04 – Module 334 – Série 04 – Leçon 1 1

LES FONCTIONS EXPONENTIELLES OBJECTIF Après cette leçon, vous vous serez capable: capable: -

de définir la fonction exponentielle exponentielle de base a,

-

d'énoncer, de démontrer et utiliser ses propriétés,

-

de résoudre des équations avec exponentielles, exponentielles,

-

de calculer calculer des dérivées et des des primitives primitives de fonctions fonctions comportant des exponentielles exponentielles de base a,

-

d'établir le graphe d'une fonction comportant des exponentielles exponentielles de base a

Nous avons vu que toute t oute bijection possède une bijection réciproque. réciproque. Cette propriété va nous permettre de définir les fonctions exponentielles à partir des fonctions logarithmes.

1. LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE a La fonction logarithme de base a, log a, est une bijection de donc aussi une bijection de

R

+

R0

vers

R

. Sa réciproque est

vers R0+ , appelée fonction exponentielle de base a, a, et notée

expa. loga y=

x=

expax

logay expa

+

R0

expa est la réciproque de loga

Par définition :

R

( a ∈ R+0 \ {1})

expa : R → R0+ : x → expa x ∀

Exemples

:

x ∈ , ∀ y ∈  +0 : y = expa x ⇔ x = loga y

exp2 3 = 8 car log2 8 = 3 exp 1 ( −2 ) = 9 3

car log 1 9 = 2 3


Module 334 – Série 04 – Leçon 1

Intégrales, fonctions exponentielles et logarithmes

2 3

Remarque :

2 =8

Généralisons :

∀

et

 1 3  

-2

=9

x ∈  : expa x = ax , car loga ( ax ) = x ⋅ loga a = x

On écrira dès lors, en étendant cette propriété aux exposants réels : ∀x ∈ R : expa

x = ax

On utilisera donc la notation ax pour désigner l’image de a par la fonction exponentielle de base a. La définition peut s’écrire : ∀

x ∈ , ∀ y ∈  +0 : ax = y ⇔ loga y = x

Remarquez que la fonction exponentielle et la fonction logarithme sont dans la même base a ∈ R0+ \ {1} . x

Ainsi ( −3 ) n’est pas une fonction exponentielle ! De la dernière équivalence, on déduit les deux propriétés suivantes : ∀

et ∀ y ∈ R0+ : aloga

x ∈ R : loga ax = x Exemple :

y

=

y

3log3 2 = 2 ; 10log16 = 16

Si nous utilisons la base e = 2,71…, on peut écrire : ∀

x ∈ , ∀ y ∈  +0 : e x = y ⇔ ln y = x Exemple :

e2 ln

5

2 = eln 5 = 52 =

25

TAC 1 Calculez : 1) e− ln3 2)

ln4 e2

4) 2log4 5 5) 52−log5 7

3) 4log2 3 TAC 2 Simplifiez l’expression suivante : eln x + e − ln x − 2ln ex



Module 334 – Série 04 – Leçon 1 3

2. RÈGLES DE CALCUL DES FONCTIONS EXPONENTIELLES On les déduit des règles de calcul des fonctions logarithmes :

2.1 Exponentielle d'une somme ∀

x, y ∈ R :

loga ( a x + y ) = x + y

(propriété : loga ax = x )

=

ˆ loga ax + loga ay ( meme propriété)

=

loga ( ax ⋅ a y )

a

D’où :

x +y

=

(log arithme d 'un produit )

ax ⋅ ay

2.2 Exponentielle d'une différence ∀

x, y ∈ R :

loga ( a x − y ) = x − y =

(propriété : loga ax = x )

ˆ loga a x − loga ay ( meme propriété)

 ax = loga   ay 

D’où :

a

x−y

  

(log arithme d'un quotient)

ax = y a

2.3 Exponentielle d'un produit ∀

x, y ∈ R :

a x ⋅ y = ( a x )

y

TAC 3 Résolvez les équations suivantes : 1) 2x = 16

4) 10 x = 0,01

7) e 2x = e

2) 5x = 1

5) 2 x = 3 4

8) e x = 2

3) 3x = 3

6) 8 x = 2

9) e − x =

1 3




3. ÉQUATIONS EXPONENTIELLES Ce sont des équations dans lesquelles l’inconnue apparaît comme exposant dans une fonction exponentielle. Le TAC 3 propose des exemples d’équations exponentielles élémentaires. En voici d’autres : 1) 2x − 3 = 22 − x Le but est de transformer l’équation pour tout exprimer en fonction d’une seule exponentielle (ici 2x). En vertu des règles de calcul, l’équation peut s’écrire : 22 2 −3 = x 2 4 x ⇔ 2 −3 = 2x x

En posant 2x = y, l’équation devient : y−3=

4 y

y 2 − 3y = 4

⇔

y 2 − 3y − 4 = 0 ⇔ y = −1 ou y = 4 ⇔

2x = -1 ou 2x = 4

⇔

2x = –1 n’a pas de solution, puisqu’une exponentielle est toujours positive (fonction de vers

+

R0

R

):

2x = 4 ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 2

Donc : Sol = { 2 } Remarque

:

L’équation 2x − 3 = 22 − x est exponentielle. 2

Ne pas confondre avec x 2 − 3 = ( 2 − x ) qui n’est pas exponentielle car l’inconnue n’apparaît pas comme exposant.




5 2) 2e2x + 3 = 7ex 2

On sait que e2x = ( e x ) ; en posant ex = y, l’équation devient : 2y 2 + 3 = 7y 2y 2 − 7y + 3 = 0 1 ⇔ y = 3 ou y = 2 1 ⇔ e x = 3 ou e x = 2 ⇔

⇔

x = ln 3 ou x = ln

D’où :

1 2

 

Sol = ln 3, ln

(ln est la réciproque le l' exponentielle de base e )

1  2

TAC 4 Résolvez les équations suivantes : 1) 3 x + 3x + 1 = 4 2) 5 x + 3 − 5x + 1 = 3000 3) e4x − 13e 2x + 36 = 0 4) e2x − 15e −2x = 2 5) 9x + 2 = 3x + 1

4. DÉRIVÉE D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE La fonction exponentielle de base a étant définie comme la fonction réciproque de la fonction logarithme de base a, il est possible de calculer la dérivée de l’exponentielle, connaissant la dérivée du logarithme. Nous savons que :

∀

x ∈  +0 : (loga x )′ = 1

(1)

et ∀ x ∈ , ∀ y ∈  +0 : y = ax ⇔ x = loga y

(2)




On a donc : y = a x ⇔ x = loga y

(2)

x ′ = (loga y )′ (en dérivant les deux membres) 1 ⇔ 1= ⋅ y ′ ((1) et dérivation d'une fonction composée ) y ⋅ ln a ⇔ y ′ = y ln a ⇔

Ce qui s’écrit, en vertu de (2) :

(a x )′ = a x ⋅ lna

Généralisation : ′

Si l’exposant est une fonction de x :  af ( x )  = a f ( x ) ⋅ lna ⋅ f ′ ( x ) 



Cette formule fournit la dérivée de la fonction exponentielle de base a.

En particulier, si a = e :

et puisque ln e = 1,

( ex )′ = e x ⋅ ln e ( ex )′ = ex

Généralisation :  ef ( x ) ′ = e f ( x ) ⋅ f ′ ( x )  

La fonction exponentielle de base e est donc égale à sa dérivée ! TAC 5 Calculez les dérivées des fonctions suivantes : 1) e2x 2) e

x

3) e x

2

4) ( e x )

5) 2− x 2

1

6) 3 x




7

5. GRAPHIQUES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES Nous avons vu dans le leçon sur les fonctions réciproques que les graphiques de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes (dans un repère orthonormé). Le graphique de la fonction exponentielle de base a est donc le symétrique du graphique de la fonction logarithme de base a. Deux cas sont à envisager, selon que a ∈ ] 0,1 [ ou a ∈ ]1, +∞[ , puisque a ∈ R0+ \ {1} . 0 < a <1

a >1

(par exemple a = 5

1 ) 2

(par exemple a = 2 )

6

y

5

4

1   2

x

y

2x

4

3

3

2

2 1 1 0 -3

-2

-1

0 -1

1

2

x 4

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

log 1 x 2

-2

x

0

-2

log2 x

-3

-3

Retenons que : si 0 < a < 1 : la fonction ax est décroissante lim ( a x ) = 0 +∞

si a > 1 :

et

lim ( a x ) = +∞ −∞

la fonction ax est croissante lim ( a x ) = +∞ et +∞

lim ( a x ) = 0 -∞

(C’est le cas de la fonction e x, puisque e = 2,7…) © Enseignement à distance – Communauté française de Belgique



8

TAC 6 Résolvez les inéquations suivantes : x

1) e > 1

3)

 1 2 > 4  

1 3

4)

e−2x ≤ 1

x

2) 3x <

6. PRIMITIVES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES De la formule de dérivation :

( ax )′ = a x ⋅ ln a on déduit :  a x ′ x   = a  ln a 

donc

ax est une primitive de ax. ln a

et l’on peut écrire :

∫

ax +C a dx = ln a x

En particulier, si a = e : ∫ ex dx = e x + C puisque ( e x )′ = e x TAC 7 Calculez : 3x

1)

∫e

2)

x ∫ ( e − 1) dx

3)

dx 2

1

∫0 ( e

x

)

+ 2 ⋅ ex

dx




TAC 8 Déterminez les dérivées des fonctions suivantes : 1) x ⋅ e x ex + 1 2) x e −1 3) x 2 ⋅ e− x 2

ex 4) x

.




DEVOIR À ENVOYER 1. Calculez : 1) e4ln2

3) 100log10 3

2) ln 3 e2

4) 3 − log3 2

2. Résolvez les équations suivantes : 1) 9 x − 2 ⋅ 3 x +1 = 27 2) 2x

2 − 5x +1

=

3) e x − e − x =

1 32

15 4

4) 5 ⋅ 3 x −1 − 2 ⋅ 31− x = 3

3. Faites le graphique de la fonction exponentielle de base 3 : 3 x . 4. Résolvez l’inéquation : 3 x

2 + x +1

< 27

5. Calculez les dérivées des fonctions suivantes : 1)

x e

x2

2)

1 x ⋅ ex

e x − e− x 3) x e + e− x

6. Calculez les intégrales : 1) ∫ 32x dx

2)

1 ∫ 2x dx

3) ∫ (e x + 1)3 ⋅ e x dx




11

CORRIGÉ DES TAC TAC 1 1) e

− ln3

ln

e

=

1 3 =

1 3

 1

2)

ln 4 e2 =

ln 4 2   

e

 

= eln 4 = eln2 = 2

log2 3

3) 4log2 3 = ( 22 ) log4 5

4) 2

=

2

=

2

22log2 3 = 2log2 3 = 2log2 9 = 9  log2 5 log2 5 log2 5  = =  car log4 5 =  2 log 4 2 log 2 2 2  

1 log 5 2 2

1

=

5) 5

2−log5 7

log2 52

2

log2 5

=2

log5 52 −log5 7

=5

5

=

l og5 25 −log5 7

=5

log5

=5

25 7 =

25 7

TAC 2 e

ln x

+e

− ln

x

x

− 2ln e = =

e

ln x

x+

+e

ln

1 x − 2ln e x

1 − 2x x

1 −x x 1 − x2 = x =

TAC 3 1) 2x = 16 ⇔ 2x = 2 4 ⇔ x = 4 Sol = { 4 } ou bien : 2x = 16 ⇔ x = log2 16 ⇔ x = log2 2 4 ⇔ x = 4 2) 5 x = 1 ⇔ 5 x = 50 ⇔ x = 0 Sol = { 0 }




x

3) 3 = 3 ⇔ 3

x

1 = 32

⇔

1 2

x=

1 Sol =   2

4) 10 x = 0,01 ⇔ 10 x =

1 ⇔ 10 x = 10 −2 ⇔ x = −2 100

Sol = { –2 } x

x

3

3

5) 2 = 4 ⇔ 3 = 2

2

⇔

2

x

2 = 23

⇔

x=

2 3

2 Sol =   3 

6) 8 x = 2 ⇔ x = log8 2 ⇔ x =

ln 2 ln 2 ln 2 1 ⇔ x= ⇔ x= ⇔ x= 3 ln 8 3 ln 2 3 ln 2

 1 Sol =    3

Remarquons que ce type d’équation peut se résoudre de deux manières : soit en transformant l’équation pour la mettre sous forme d’une égalité entre deux fonctions exponentielles de même base : ax = ab ⇔ x = b. soit en utilisant la propriété de réciprocité des fonctions exponentielles et logarithmes : a x = k ⇔ x = loga k (C’est cette deuxième méthode qui a été utilisée dans l’équation 8x = 2 , où il n’était pas évident que 2

1 3 = 8 !).

7) e2x = e ⇔ e2x = e1 ⇔ 2x = 1 ⇔ x =

1 2

1 Sol =   2

8) ex = 2

⇔

x = loge 2 ⇔ x = ln 2

Sol = {ln 2} 9) e− x =

1 1 ⇔ -x = ln ⇔ -x = − ln3 ⇔ x = ln3 3 3

Sol = {ln 3}




TAC 4 Remarquons que la présence d’une fonction exponentielle dans une équation n’entraîne pas une restriction sur le domaine de la variable, puisque la fonction exponentielle est définie dans

R

(contrairement à la fonction logarithme, qui est définie dans

+

Ro

, ce qui implique une

restriction du domaine !) 1)

3 x + 3 x +1 = 4

(le domaine de cette équation est R)

⇔

3 x + 3 x ⋅ 31 = 4

⇔

3x + 3 ⋅ 3x = 4

⇔

4 ⋅ 3x = 4

⇔

3x = 1 x = log3 1 x=0

⇔ ⇔

2)

Sol = {2}

5 x +3 − 5 x +1 = 3000 ⇔

5 x ⋅ 53 − 5 x ⋅ 51 = 3000

⇔

5 x ⋅ 125 − 5 x ⋅ 5 = 3000

⇔

120 ⋅ 5 x = 3000

⇔

5 x = 25

⇔

5 x = 52 x=2

⇔

Sol = {2}

e 4x − 13e 2x + 36 = 0

3) ⇔

( e2x )

2

− 13 ⋅ e

2x

+ 36 = 0

En posant 22x = y ,l'équation s'écrit : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y 2 − 13y + 36 = 0 y=4 ou y = 9 e2x = 4 ou e 2x = 9 2x = ln 4 ou 2x = ln9 1 1 x = ln 4 ou x = ln9 2 2 x = ln2 ou x = ln3

Sol = {ln2, ln3}




e2x − 15e −2x = 2 15 e2x − 2x = 2 e

4) ⇔

1   −2x 2x −1 = = e e ( )   e2x  

En posant e2x = y , l'équation s'écrit : 15 =2 y y 2 − 15 = 2y y 2 − 2y − 15 = 0 y = −3 ou y =5 e2x = −3 ou e 2x = 5 = −3 n'a pas de solution (e 2x ∈  +0 ) 1 = 5 ⇔ 2x = ln5 ⇔ x = ln5 ⇔ x = ln 5 2 y−

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

e2x e2x

Sol = {ln 5 }

9 x + 2 = 3 x +1

5) ⇔

9 x + 2 = 3 x +1

⇔

( 32 )

⇔

(3x ) + 2 = 3 ⋅ 3x

x

x

+ 2 = 3 ⋅3

2

En posant 3 x = y , l'équation s'écrit : y 2 + 2 = 3y y 2 − 3y + 2 = 0 y =1 ou 3x = 1 ou x = log3 1 ou x=0 ou

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y =2 3x = 2 x = log3 2 x = log3 2

Sol = {0, log3 2}

TAC 5 1)

( e2x )′

x ′

2)

(e )

3)

( ) ex

2

′

= e2x ⋅ ( 2x )′ = 2 e 2x

=

e

x

2

′

( x)

= ex ⋅

e x = 2 x

( x 2 )′ = 2x e x

2




2 ′ 4) ( ex )  = 2 ⋅ e x ⋅ ( e x )′



2−1 2 ′ car f ( x )  = 2 ⋅ f ( x ) ⋅ f ′ ( x )







= 2 ⋅ ex ⋅ e x

( ex )

=2

5)

( 2− x )′

 

1 x

′

 remarquons que e x 2 = e 2x  ( )    

2

= 2− x ⋅ ln2 ⋅ ( −x)′ = −2 − x ⋅ ln2

 1 ′

1 x

1 x

6)  3  = 3 ⋅ ln3 ⋅   = 3 ⋅ ln3 ⋅ x 

 

−1

x

2

1 x

=

−3 ⋅ ln3

x2

TAC 6 ex > 1

1) ⇔

e x > e0

⇔

x>0 Sol = ]−∞, −1[

3x <

2)

( car 1 = e0 ) (car e > 1 ⇒ fonction croissante)

1 3

⇔

3x < 3−1

⇔

x < −1

1  −1   car 3 = 3    ( 3 > 1 ⇒ fonction croissante)

Sol = ]− ∞ , −1[ x

 1 2 > 4  

3)

x

−2

⇔

 1 1 > 2 2    

⇔

x < −2

 −2   car 4 = 1 = 1 =  1   2  1  1 2    4 ( ) 2   1   2 < 1 ⇒ fonction décroissante   

Sol = ]−∞, −2[




e −2x ≤ 1

4) ⇔

e −2x ≤ e0

( car 1 = e0 )

⇔

−2x ≤

( e > 1 ⇒ fonction croissante )

⇔

x≥0

0

Sol = [0, +∞[ = R +

TAC 7 3x

e3x +C dx = 3

 3x ′ 3x 3x  ′  car ( e ) = e ⋅ ( 3x ) = 3 ⋅ e   

1)

∫ (e )

2)

 x  x x 2x x ∫ ( e − 1) dx = ∫  ( e ) − 2e + 1 dx = ∫ ( e − 2e + 1) dx 2

2





e2x = − 2e x + x + C 2 3)

1

∫0

1 x 2 x x x + ⋅ = e 2 e dx ( ) ∫ ( e ) + 2e  dx 0

1



∫0 ( e

=

2x

+ 2ex

) dx

1

 e2x  = + 2ex   2  0

e2 e0 = + 2e − − 2e0 2 2 e2 5 = + 2e − 2 2

(car e0 = 1)

TAC 8 1) ( x ⋅ e x )′ = x ′ ⋅ e x

+

′

x ⋅ ( ex )

= 1⋅ e x + x ⋅ e x =

(1 + x ) e x ′

x x x x  ex + 1′ ( e + 1) ( e − 1) − ( e + 1)( e − 1) 2)  x  = 2 x  e − 1 e 1 − ( )

=

ex ( e x − 1) − ( e x + 1) ⋅ e x

(e

x

)

−1

2

=

′

−2ex

( ex − 1)

2




3) ( x 2 ⋅ e − x )′ = ( x 2 )′ ⋅ e− x

 e x2 4)   x 

( e − x )′

=

2x ⋅ e − x + x 2 ⋅ e − x ⋅ ( − x )′

=

x ⋅ e− x ( 2 − x )

=

x ( 2 − x ) e− x

2

′

( ) ⋅x−e

ex ′  =  

x2

⋅ x′

x2 ′

2

=

+ x2 ⋅

ex ⋅ ( x2 ) ⋅ x − ex

2

x2 2

=

e x ⋅ ( 2x2 − 1) x2

=

( 2x2 − 1) ex

2

x2




L.2 : SYNTHÈSE ET APPLICATIONS RÉCAPITULATIVES

1. Synthèse..............................................................................................................................1 1.1

Fonctions logarithmes ..............................................................................................1

1.2

Fonctions exponentielles ..........................................................................................2

2. Primitives .............................................................................................................................4 3. Intégrale d’une fonction rationnelle......................................................................................5 4. Une application courante des fonctions log. et exp. ............................................................7 4.1

Les placements à intérêts composés ....................................................................... 7

4.2

Les phénomènes à taux d’accroissement constant..................................................8

5. Exercices récapitulatifs........................................................................................................9

Devoir à envoyer ......................................................... ........................................................... 11 Corrigé des TAC.....................................................................................................................12




1

SYNTHÈSE ET APPLICATIONS RÉCAPITULATIVES OBJECTIF Après cette leçon, vous serez capable :

-

de faire une synthèse des propriétés des fonctions logarithmes et exponentielles,

-

de formuler et d'utiliser les relations entre ces fonctions,

-

d'appliquer ces propriétés au calcul de primitives,

-

de résoudre des problèmes pratiques utilisant ces fonctions.

1. SYNTHÈSE 1.1

Fonctions logarithmes

Définitions :

∀x ∈  +0 :

ln x =

∫

x

1 dt t

1

( e = 2,718...)

ln e = 1 loga x =

Règles de calcul :

ln x lna

loga 1 = 0 et

∀ x, y ∈ R0+ :

( a ∈ R0+ \ {1} )

loga a = 1

loga (x ⋅ y) = loga x + loga y

x loga   = loga x − loga y y

( )

loga xr = r ⋅ loga x

Formule du changement de base :

∀x ∈ R+0 :

loga x =

logb x logb a

a et b ∈ R0+ \ {1}




2

Dérivées et primitives : ∀x ∈ R0+ :

1 x

(ln x )′ =

( loga x )′ =

∫

1 xlna

1 dx = ln x + C x

Limites : si 0 < a < 1

si a > 1

lim (loga x ) = +∞

lim (loga x ) = −∞

lim (loga x ) = −∞

lim (loga x ) = +∞

0+

0+

+∞

4

+∞

4

y

3

3

2

2

1

1

0

1.2

x

x

0 1

2

3

4

5

6

7

y

0 8

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

1

2

3

4

5

6

7

8

Fonctions exponentielles

Définitions :

∀ x ∈ R0+ et ∀ y ∈ R :

ay = x ⇔ loga x = y

En particulier :

ey = x ⇔ ln x = y

Règles de calcul :

a0 = 1 et a1 = a ∀ x, y ∈ R :

ax + y = a x ⋅ a y ax − y =

ax ay

( )

a x ⋅y = a x

y




3

Dérivées et primitives : ∀x ∈  :

( ax )′ = ax ⋅ ln a ( ex )′ = ex ∫

a x dx =

∫e

x

ax +C lna

dx = e x + C

af ( x ) ′ = af ( x ) ⋅ ln a ⋅ f ′ ( x )    e f ( x ) ′ = e f ( x ) ⋅ f ′ ( x )  

Limites :

si 0 < a < 1

si a > 1

( ) −∞

lim a x = +∞

−∞

( ) +∞

lim a x = 0 6

-2

+∞

6

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

-1

1

2

3

4

y

x

x 0

-1

( )

lim a x = +∞

0 -3

( )

lim a x = 0

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1




4

2. PRIMITIVES Nous pouvons reprendre et compléter notre tableau des primitives élémentaires ( c et k ∈

R

):

∫

k dx = kx + C

∫ cos x dx = sin x + C 1

∫ cos ∫

2

1

dx = Arc sin x + C

1 − x2

∫ ∫

1 x

x

dx = tg x + C

dx = ln x + C

x

a dx =

ax lna

xn+1

∫ x dx = n + 1 (n ≠ −1) ∫ sin x dx = − cos x + C n

1

∫ sin

2

x

dx = − cotg x + C

1

∫ 1+ x

∫

f '(x) f (x)

∫

+C

2

dx = Arctg x + C

dx = ln f ( x ) + C

e x dx = e x + C

Appliquons ces dernières formules au calcul d’intégrales : I=

∫

1

2x + 3

−1

2

x + 3x + 4

dx

En remarquant que 2x + 3 est la dérivée de x2 + 3x + 4, on a :

I =

1

( x2 + 3x + 4)′

−1

x 2 + 3x + 4

∫

dx

1

= ln x 2 + 3x + 4    −1 = ln 8 − ln 2 8 2 = ln 4

= ln

I =

=

∫

2

x ⋅ ex dx =

1 x2 e +C 2

∫

2 1 ′ e x ⋅ x 2 dx 2

( )

  2 ′  car ( x ) = 2x     x2 2 ′ x2  car e x est la dérivée de e ⋅ ( )    




5

TAC 1 Calculez les intégrales suivantes : 1)

2)

∫ ∫ ∫

4)

tgx dx 1

x3

2

x ⋅ e dx

5)

0

3)

∫ ∫ ∫

x +1 x 2 + 2x − 3 3

2

ex x

e +1

dx

6)

1 2x − 3

e

dx

dx

x

x

dx

Attachons-nous plus spécialement à un type particulier d’intégrales :

3. INTÉGRALE D’UNE FONCTION RATIONNELLE Considérons une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) dont le dénominateur

est factorisable en produit de facteurs du premier degré : x3 + x2 − 1 x 2 + 5x + 6 Le degré du numérateur (3) étant supérieur ou égal au degré du dénominateur (2), on peut effectuer la division : x³

+

x²

+ 0x

– (x³ + 5x – –

– 1

+ 6x)

4x² – 6x

x²

+ 5x + 6

x

– 4

– 1

(– 4x² – 20x – 24) 14x + 23

On a donc :

(

)

x3 + x 2 − 1 = x2 + 5x + 6 ⋅ ( x − 4 ) + 14x + 23 D’où : x3 + x 2 − 1 x 2 + 5x + 6

= x−4+

14x + 23 x 2 + 5x + 6

Il est donc possible d’écrire la fraction 14x + 23 x 2 + 5x + 6

=

A x+2

+

B x +3

14x + 23 x 2 + 5x + 6

sous la forme :

(*)

A et B étant deux réels à déterminer.




6 Réduisons (*) au même dénominateur, et identifions les deux numérateurs ; il vient : 14x + 23 = A ( x + 3 ) + B ( x + 2 ) Cette relation doit être vérifiée pour toute valeur de x, donc : Si x = –2 :

–5 = A

⇒

A = –5

Si x = –3 :

–19 = –B

⇒

B = 19

On peut donc finalement écrire : x3 + x2 − 1 x 2 + 5x + 6

= x−4−

5 x+2

+

19 x +3

Dès lors :

∫

x3 + x2 − 1 x 2 + 5x + 6

dx

= = =

∫ ∫(

5 19    x − 4 − x + 2 + x + 3  dx   x − 4 ) dx − 5

∫

1 x+2

dx + 19

∫

1 x+3

dx

x2 − 4x − 5 ln x + 2 + 19 ln x + 3 + C 2

En décomposant la fraction donnée en somme de fractions rationnelles simples, on peut donc calculer sa primitive.

TAC 2 Calculez : 1)

∫ ∫ ∫

4

3

2)

3)

3x 2 − 7x + 1 dx x−2

x 2 − 3x − 1 x2 − 1 x2 + 1 x3 − 4x

dx

dx




7

4. UNE APPLICATION COURANTE DES FONCTIONS LOG. ET EXP. Examinons quelques situations concrètes :

4.1

Les placements à intérêts composés

Imaginons un placement à intérêts composés au taux de 8% l’an. Cela signifie qu’un capital placé pendant un an rapporte 8% d’intérêts, qui s’additionnent au capital pour rapporter eux-mêmes des intérêts durant la deuxième année, et ainsi de suite au cours des années suivantes. Mathématisons cette situation : soit C0 le capital de départ : après 1 an, ce capital s’est accru de 8% d’intérêts, et devient donc : C1 = C0 + 0,08 ⋅ C0 = C0 ⋅ (1 + 0,08 ) A l’issue de la deuxième année, ce capital C 1 s’est accru de 8% d’intérêts, et devient donc : 2

C2 = C1 + 0,08 ⋅ C1 = C1 ⋅ (1 + 0,08 ) = C0 ⋅ (1 + 0,08 ) Et ainsi de suite …

A l’issue de la nième année, le capital accumulé est donc : n

Cn = C0 ⋅ (1 + 0,08 )

Retenons la formule suivante : Le capital Cn accumulé après n années de placement à intérêts composés au taux T d’un capital de départ C0 est donné par : n

Cn = C0 ⋅ (1 + T )

Quelques calculs concrets :

1) Quel est le capital accumulé après 10 ans d’un tel placement à 8% d’un capital de 10 000 € ? 10

C10 = C0 ⋅ (1 + T )

C0 = 10 000, et T = 0,08, d’où : C10

10

= 10 000 ⋅ (1,08 ) = 21 589 €

( en arrondissant à l'unité inférieure ) © Enseignement à distance – Communauté française de Belgique



8 2) Après combien d’années (entières) un capital placé à 6% aura-t-il doublé ? On recherche donc le nombre n d’années tel que : Cn = 2 ⋅ C0 n

n

Or Cn = C0 ⋅ (1 + T ) = C0 ⋅ (1,06 ) D’où : n

C0 ⋅ (1,06 ) = 2 ⋅ C0 n

⇔ (1,06 ) = 2 ⇔ n = log1,06 2 ⇔ n=

ln 2 ln 1,06

( fonction exp onentielle de base 1,06 )

( fonction réciproque

: log1,06 )

( définition de la fonction loga )

⇔ n = 11, 89...

On en conclut que le capital aura doublé après 12 ans. Remarquons que cette durée est indépendante du capital placé.

TAC 3 Dans un placement à intérêts composés au taux annuel de 7%, 1) Quel capital de départ vaudra 50 000 € après 5 ans ? 2) Après combien d’années un capital donné aura-t-il triplé ?

4.2

Les phénomènes à taux d’accroissement constant

Le placement d’un capital à intérêts composés n’est qu’un cas particulier d’un type de situations où une grandeur y varie dans le temps selon un taux de variation constant. Exemples :

1) Une population de bactéries augmente suivant un taux d’accroissement par heure de 12% : Si

P0 est la population initiale, Pn est la population après n heures, n

on a : Pn = P0 ⋅ (1 + 0,12 )

2) Une voiture se déprécie de 20% chaque année : Si

V0 est le prix initial de la voiture, Vn est le prix après n années, n

on a : Vn = V0 ⋅ (1 − 0,20 )

Le taux est dans ce cas négatif , puisqu’il y a diminution. © Enseignement à distance – Communauté française de Belgique



Tous ces problèmes conduisent donc à des fonctions exponentielles, et les propriétés vues dans les leçons précédentes permettent de résoudre les questions s’y rapportant.

TAC 4 1) La population d’une ville croît de manières exponentielle : elle était de 100 000 h en 1970 et de 180.000 h en 1980. Quelle population avait-on prévue en 1995 ?

2) La monnaie d’un certain pays se déprécie de 5% par an. Dans combien de temps la valeur de l’unité monétaire de ce pays ne vaudra-t-elle plus que le dixième de sa valeur actuelle ?

5. EXERCICES RÉCAPITULATIFS TAC 5 x

 1 Calculez l’aire de la surface limitée par les graphiques des fonctions 2 ,   et les  2 x

droites d’équations x = 0 et x = 2.

TAC 6 Résolvez les équations suivantes : 1) logx −1 ( 5x − 9 ) = 2 2) e3x +1 − 2 e4x +2 + e x +1 = 0

TAC 7 Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

(

1) ln x + 1 + x

2)

ex

2

)

3

x2

TAC 8 Calculez l’intégrale : I=

∫

2

0

x2 + x + 2 2

x +x−2

dx




TAC 9 Une population bactérienne augmente de manière exponentielle. Quel est le taux d’accroissement par heure, sachant que cette population a été décuplée en trois heures ?




DEVOIR À ENVOYER 1. Calculez les intégrales suivantes : 2

x2

0

x3 + 1

∫

∫ 3x . e

-x2

dx dx

2x + 3

∫

2

x - 3x + 2 1

x3

-2

x2 + x - 6

∫

dx

dx

2. Un capital de 100.000 FB est placé à intérêts composés au taux annuel de 6%. Dans combien de temps ce capital : 1) aura-t-il décuplé ? 2) vaudra-t-il 580.000 FB ?

3. La population d’une ville double tous les 15 ans. Si cette ville comptait un million d’habitants en 1989 : 1) combien en compte-t-elle en 2000 ? 2) combien en comptait-elle en 1950 ?

4. 1) Calculez la dérivée de f : x → x ln x - x 2) Calculez la mesure de la surface comprise entre le graphique de la fonction ln x, l’axe 0x, et les droites x =

1 et x = e. (Faites le graphique). e

5. Calculez (avec graphique) le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe 0x de la surface du plan 0xy limitée par le graphique de la fonction 3 x, l’axe 0x, et les droites x = 0, x = 1.




CORRIGÉ DES TAC TAC 1 1) I =

=

∫ ∫

tg x dx =

∫

− ( cosx )′ cosx

sinx cosx

dx

(car (cos x )′ = − sin x )

dx

= − ln cos x + C

2) I =

∫

1

 3 ′ 2  on a : ( x ) = 3x   

3

x 2 ⋅ ex dx

0

1 = 3 1 = 3

=

3) I =

=

1

∫ ∫(

3

3x 2 ⋅ e x dx

0

1

x3

)′ ⋅ ex

3

dx

0

1  x3 1 1 1 1 e = e − e0 = ( e − 1)  0 3 3  3

(

∫ ∫

ex x

e +1

)

dx

( ex + 1)′ ex + 1

 ′ x x  car ( e + 1) = e   

dx

= ln e x + 1 + C

4) I =

=

= =

∫

x 2 + 2x − 3

1

2 ( x + 1)

2 1 2 1 2

x +1

∫ ∫

2

dx

x + 2x − 3

  ′ 2  car ( x + 2x − 3 ) = 2 ( x + 1)   

dx

( x2 + 2x − 3)′ x 2 + 2x − 3

dx

ln x 2 + 2x − 3 + C




13

5) I =

3

∫

1

2

3

∫ ( ∫

1 = 2

= =

2 dx 2x − 3

2

3

1 2

dx

2x − 3

2x − 3 )′

2

2x − 3

(car (2x − 3)′ = 2) dx

1 ln 2x − 3 + C 2

6) I =

∫ ∫ ∫(

x

e

e

=2

dx

x x

2 x

=2

= 2e

x

x

  car 

dx

)′ ⋅ e

x

( x )′ = 2

1 



x

dx

+C

TAC 2 1) I =

∫

4

3

3x 2 − 7x + 1 dx x−2

Effectuons tout d'abord la division : 3x² –

– 7x

+ 1

x

(3x² – 6x) – x

– 2

3x – 1

D'où : 3x 2 − 7x + 1 = (x − 2) ⋅ (3x − 1) − 1 3x 2 − 7x + 1 1 = 3x − 1 − x−2 x−2

+ 1

– (–x + 2) – 1

Et l'intégrale s'écrit : I =

∫

4

3

1    3x − 1 − x − 2  dx   4

 3x 2  = − x − ln x − 2   2 3 = 3⋅

16 9 − 4 − ln 2 − 3 ⋅ + 3 + ln1 2 2

= 23 −

27 19 − ln 2 = − ln 2 2 2




14 2) I =

∫

x 2 − 3x − 1

dx

2

x −1

Effectuons tout d'abord la division : x² –

– 3x

(x²

– 1

x²

– 1)

1

– 1 D'où : x 2 − 3x − 1 = (x 2 − 1) − 3x x 2 − 3x − 1

– 3x

x2 − 1

= 1−

3x x2 − 1

Et l'intégrale s'écrit : I =

∫

3x   1 − 2  dx  x − 1

x² – 1 se décompose en ( x − 1) ⋅ ( x + 1) . Recherchons les réels A et B tels que : 3x x2 − 1

=

A x −1

+

B x +1

En identifiant les deux numérateurs, après réduction de la somme au même dénominateur, on a : 3x = A(x + 1) + B(x – 1) si x = 1 :

⇒

3 = 2A

si x = –1 :

–3 = –2B

A =

⇒

3 2 B=

3 2

L'intégrale s'écrit donc finalement : 3 3   2 I = 1 − − 2  dx  x − 1 x + 1  

∫

= x−

3) I =

∫

3 2

ln x − 1 −

x 2 +1 x 3 -4x

3 2

ln x + 1 + C

dx

La division n'est pas possible ici (degré de N



On pourra donc écrire la fraction sous la forme : x2 + 1

=

x3 − 4x

A x

B

+

x−2

+

C x+2

Par identification des deux membres, on a : x 2 + 1 = A(x − 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 2) si x = 0 :

1 = – 4A

⇒

A = −

si x = 2 :

5 = 8B

⇒

B=

5 8

si x = – 2 :

5 = 8C

⇒

C=

5 8

1 3

On a donc : 5 5  − 41  8 8 I =  + +  dx  x x − 2 x + 2  

∫

=−

1 4

1

∫x

dx +

5

1

∫x−2

8

dx +

5 8

1

∫ x + 2 dx

1 5 5 = − ln x + ln x − 2 + ln x + 2 + C 4 8 8

TAC 3 Le taux est de 7% l’an : T = 0,07 On recherche le capital C 0 tel que C5 = 50 000 : 5

C5 = C0 ⋅ (1 + T )

5

⇔ 50 000 = C0 ⋅ (1,07 ) 50 000 ⇔ C0 = ⇔ C0 = 35 649,30897.. 5 1,07 ( ) Il faut donc placer un capital de 35 649 €.

2) Si C0 est le capital de départ, on recherche le nombre n d'années tel que C n = 3 . C0. n

Cn = C0 ⋅ (1 + T )

On a donc :

n

⇔

3 ⋅ C0 = C0 ⋅ (1,07 )

⇔

(1,07 ) = 3

⇔

n = log1,07 3

⇔

n=

⇔

n = 16, 237...

n

ln 3 ln1,07




La capitalisation se faisant par années entières, il faut donc 17 ans pour qu’un capital triple !

TAC 4 1) Si P0 désigne la population en 1970, on a : P0 et P10

= 100 000 = 180 000 ( population 10 ans plus tard, donc en 1980 )

Le taux d’accroissement T est inconnu, mais on peut le déterminer puisque : 10

P10 = P0 ⋅ (1 + T ) 10

⇔ (1 + T )

=

P10 P0 1

 P 10 ⇔ 1 + T =  10   P0  1

 18 10 ⇔ 1+ T =    10  ⇔ 1 + T = 1,0605... ⇔ T = 0, 0605...

Le taux d’accroissement de la population est donc d’environ 6%. Calculons maintenant la population prévue en 1995, c’est-à-dire 25 ans après 1970 : P25 = P0 ⋅ ( 1+ T )

25

⇔ P25 = 100 000 ⋅ (1,0605... ) ⇔ P25 = 434 691, 6...

25

La population en 1995 serait donc de 434 692 habitants.

2) Le taux d’accroissement est négatif dans ce cas-ci, puisqu’il y a dépréciation de la monnaie : T = −0,05

On recherche le nombre n d’années après lesquelles la valeur de la monnaie ne sera plus que le dixième de sa valeur actuelle. On a donc : C0 = 1 et Cn =

1 10




17 D’où : n

Cn = C0 . (1 + T ) 1 n = 1⋅ (1 − 0,05 ) 10 1 n ⇔ = ( 0,95 ) 10  1 ⇔ n = log0,95    10 

⇔

⇔ n = − log0,95 10 − ln10 ⇔ n= ln0,95 ⇔ n = 44,89...

La réponse est donc : 45 ans.

TAC 5 x

Représentons graphiquement les fonctions 2

x

6

 1  2 .  

et

y

5

 1 2  

2x

x

4

3

2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

x




S =

∫

2

0

 1 2 −    2  x

x

  dx 

2

x   1   x    2  2  = −  ln 2 ln 1  2    0

2

 2x 1  = + x   ln 2 2 ⋅ ln 2 0

1    car ln 2 = − ln 2   

4 1 1 1 + − − ln 2 4 ln 2 ln 2 ln 2 1  1  4 + − 1 − 1 =  ln 2  4 

=

=

9 4ln2

TAC 6 1) logx −1 ( 5x − 9 ) = 2

    dom éq. =  x ∈  ξ 5x − 9 > 0 et x − 1 > 0 et x − 1 ≠ 1     + car la base a ∈ R \ {1}  0  9   =  x ∈  ξ x > et x > 1 et x ≠ 2 5   9  =  , +∞  {2} 5  Transformons l'équation en exprimant logx − 1(5x − 9) en fonction de ln : 9  ∀ x ∈  , +∞  \ {2} :logx −1 ( 5x − 9 ) = 2 5  ln(5x − 9) ⇔ =2 ln(x − 1) ⇔ ln(5x − 9) = 2 ⋅ ln(x − 1) ⇔ ln(5x − 9) = ln(x − 1)2 ⇔ (5x − 9) = (x − 1)2 ⇔

x 2 − 7x + 10 = 0

⇔ x = 2 ou x = 5 2 n’appartient pas au domaine de l'équation, d’où : Sol = {5} .




2)

e3x +1 − 2 e4x + 2 + ex + 1 = 0

⇔

e3x +1 − 2e2x + 1 + ex + 1 = 0

⇔

( ex )

⇔

e x ⋅ e ⋅  ex

⇔

e x ⋅ e ⋅ ex − 1

⇔

ex = 0

3

2

⋅ e − 2 ( ex ) ⋅ e + ex ⋅ e = 0

(

)

− 2ex + 1 = 0 

2

(

)

2

=0 ex = 1

ou

 ex = 0 est impossible : une exponentielle est    toujours positive  

x

⇔

e =1

⇔

x=0 Sol = {0}

TAC 7

1)

ln x + 1 + x 2 

(

)

(

x + 1 + x2

′ =  x + 1 + x2

′

)

 ′ 1+ x2 )  (  = ⋅ 1 +  2 x + 1+ x  2 1 + x2      1 2x = ⋅ 1 +   x + 1 + x2  2 1 + x2   1 + x2 + x  1  = ⋅ 2  2  x + 1+ x  1+ x  1

=

′

( )

x  e ′ e 2)  2  =  x    x3

3

1 1 + x2

3 ′ ⋅ x 2 − ex ⋅ (x 2 )

( x2 )

2

3

=

=

=

3

e x ⋅ 3x 2 ⋅ x 2 − ex ⋅ 2x x4 x ⋅ ex

3

(3x3 − 2) x4

ex

3

(3x3 − 2) x3




TAC 8 I=

∫

x2 + x + 2

2

dx

2

x +x−2

0

Divisons car : degré du numérateur = degré du dénominateur. x2 + x + 2 2

x +x−2

=

x2 + x − 2 + 4 2

x +x−2

= 1+

4 2

x +x−2

x² + x – 2 se décompose en (x – 1)(x – 2), d'où : 4

=

x2 + x − 2

A x −1

+

B x+2

En identifiant les deux membres, il vient : 4 = A(x + 2) + B(x − 1) 4 3

si x = 1 :

4 = 3A

⇒

A =

si x = –2 :

4 = –3B

⇒

B=−

4 3

On a donc : I =

∫

2

0

 −  1 +  dx x 1 x 2 − +   4 3

4 3

2

4 4   =  x + ln x − 1 − ln x + 2  3 3  0

4 4 4 4 4 4 ln1 − ln 4 − ln1 + ln 2 = 2 − ln 4 + ln 2 3 3 3 3 3 3 8 4 = 2 − ln 2 + ln 2 (car ln 4 = 2ln 2 ) 3 3

= 2+

= 2−

4 ln 2 3

TAC 9 Si P0 est la population initiale, on a, après 3 heures, P3 =10 ⋅ P0 D’où : 3

P0 ⋅ (1 + T ) = 10 ⋅ P0 3

⇔ (1 + T ) = 10 1

⇔ 1+ T =

10 3

⇔ 1 + T = 2,154... ⇔ T = 1,154... Le taux d’accroissement de cette population est donc de 115% par heure.


Module 334 – Série 04 – Corrigé 1


1

LES FONCTIONS EXPONENTIELLES 1) e4ln2

1.

=

3

2) ln e2

eln2

24

2

 

=

log10 3

=

=

log10 3

(

)

10 2

log3

3

1 2

16

2 3

ln  e 3  =

3) 100 4) 3

=

 

=

− log3 2

4

=

= 10

2log10 3

log10 3 2

= 10

=

32

=

9

1 2

2. 9x

1)

− 2⋅3

⇔

( )

x

⇔

( 3x )

2

32

x +1

27

x

1

− 2⋅3 ⋅3 = − 6⋅3

En posant 3 x y2

=

x

− 27 =

=

y

⇔

3x

3x

= −3

3x

=

=

9 ou y

=

9

0

y:

− 6y − 27 =

⇔

27

0

= −3

9 ou 3 x

= −3

(

n'a pas de solution 3 x ⇔

3x

=

32

⇔

+

∈ R0

)

x=2

D ' où : Sol = {2}

2x

2

−5x +1

=

1 32

⇔

2x

2

−5x +1

=

2 −5

⇔

x2

− 5x + 1 = −5

⇔

x2

− 5x +

⇔

x

2)

=

6=0

2 ou x

=

3

Sol = {2,3}



Module 334 – Série 04 – Corrigé 1 2

3) ⇔

ex

−e

ex

−

−x

1

=

=

ex

15 4 15 4

En posant ex 1

y−

=

=

y, l'équation devient :

15

y

4

15 y −1= 0 4 1 ⇔ y=− ou y = 4 4 1 x ⇔e =− ou e x = 4 4 1 e x = − n'a pas de solution e x 4 ⇔

y2

−

(

ex

=

4⇔x

3x ⇔ 5⋅ 3

3

− 2⋅

=

3x

=

3

3

En posant 3 x

=

y, l'équation s'écrit :

y 3 − 2⋅ 3 y

=

3

⇔

5⋅

⇔

5y 2

− 18 =

⇔

5y 2

− 9y − 18 =

0

⇔

y

=−

6 5

⇔

3x

3x

=3 ⇔

3x

=−

=

9y

3 ou y

=

3 ou 3 x

6 5

3x

)

ln 4, d'ou Sol = {ln 4}

=

5 ⋅ 3 x −1 − 2 ⋅ 31− x

4)

+

∈ R0

=

31

=−

6 5

⇔

x

=1

n'a pas de solution

d'où : Sol={1}




3

3. f : x → 3x 10

y

9

8 7

6

5

4 3

2 1

x

0 -3

3x

2

+ x +1

<

27

⇔

3x

2

+ x +1

<

33

⇔

x2

+

x +1< 3

⇔

x2

+

x−2< 0

⇔

−2 <

4.

-2

-1

0

1

2

3

4

car la fonction exponentielle de base 3 est croissante

x<1

Donc : Sol = ]−2,1[

5.

 x 1)  2  x e

x ′ ⋅ ex

′

  

2

−

=

(e ) x2

ex =

2

2

(1 − 2x 2 ) e

2x 2

′

( )

x ⋅ ex

2

ex

2

−

x ⋅ ex

=

e2x

=

2

⋅

( x 2 )′

2

1 − 2x 2 ex

2




4 1 ′ 1  2)  x ⋅ e x  = x ′ ⋅ e x     1

 1 ′ + x ⋅ e x      1

= ex +

 1 ′ x ⋅ ex ⋅   x

1

=

1

ex

+

1

=

 ex 3)  x e 

−e

−x

+e

−x

x ⋅ ex

 

e x ⋅ 1 −

′  

−1

⋅

x2

1  x

( ex − e x )′ ⋅ ( ex + e x ) − ( e x − e x ) ⋅ ( e x + e x )′ = 2 x x e e + ( ) ( ex + e x ) ⋅ ( e x + e x ) − ( e x − e x ) ⋅ ( e x − e x ) = 2 ( ex + e x ) −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

(

ex

+e

−x

( =

e2x

2

) (

ex

−

+e

x

+ 2e ⋅ e

ex

−x

−x

)

−e

−x

)

2

2

+e

−2x

−e

2x

( ex + e x ) −

+

2e x ⋅ e − x

−e

−2x

2

4e x ⋅ e − x

=

( ex + e x ) −

2

4

=

(

e

x

+e

( en effet : ex ⋅ e x = ex −

−x

)

2

−x

=

e0

)

=1




5

6. 1)

∫3

2x

dx

(

=

car : 32x

32x 2ln3

+C

)′ = 32x ⋅ ln 3 ⋅ ( 2x )′ = 2ln 3 ⋅ 3 2x  1 2  

x

x

 1 2) ∫ x dx = ∫   dx = 1 2  2 ln 1

+C=

−1

ln 2 ⋅ 2 x

+

C

1    car ln 2 = − ln 2   

2

∫

3) (e x

3

+ 1) ⋅ e

x

3x 2x x x ∫ ( e + 3e + 3e + 1) ⋅ e dx 4x 3x 2x x = ∫ (e + 3e + 3e + e ) dx

dx =

=

e4x 4

+e

3x

+3

e2x 2

+

ex

+

C

On pourrait aussi écrire :

∫ (e

x

3

+ 1) ⋅ e

x

∫

dx = (e x =

(e x

3

+ 1) ⋅

+ 1)

4 En développant (e x

+ 1)

4

( e x + 1)′

dx

4

+C

(primitive d'une puissance )

, on retrouve l'expression précédenteà une constante près.




1

SYNTHÈSE ET APPLICATIONS RÉCAPITULATIVES

1. 1)

∫

2

0

x x

2

3

dx =

+1

=

2)

∫

2

3x ⋅ e − x dx

3) I =

∫x

1 3

∫

3x x

0

3

(

3 2

=−

∫

2

dx

+1

1 ln x 3  3

2x + 3 2

2

=

2

) 0

+1

=

1 3

∫

2

( x3 + 1)′ x3

0

1

dx

+1

1

(ln 9 − ln1) =

3 2

( −2x ) ⋅ e − x dx = −

3 2

∫(

−x

3

2 ′

)

ln 9

⋅e

=

2 3

−x

2

ln 3

dx =

−

3 − x2 e 2

+

C

dx

− 3x + 2

Décomposons le dénominateur : x 2

− 3x + 2 =

2x + 3

Recherchons A et B tels que

x2

( x − 1) ( x − 2 )

A

=

x−1

− 3x + 2

+

B x−2

2x + 3 = A ⋅ ( x − 2) ) + B ⋅ (x − 1)

On a donc :

si x

= 1:

5 = −A

⇔

A

si x

=

7=B

⇔

B=7

2:

= −5

D'où: I=

4) I =

∫

x3

1

−2

x2

+

∫

7   −5  x − 1 + x − 2  dx =  

x3 −(x

x − 1 + 7 ln x − 2

+

C

dx

x−6

Division :

−5 ln

x2

3

2

+ x −6x)

+

x−6

x−1

2

− x +6x −

( −x 2

−

x + 6)

7x D'où :

x3 x2

+

x−6

=

x − 1+

−6

7x − 6 x2

+

x−6

x 2 + x − 6 se décompose en ( x − 2 ) ( x + 3 ) .




7x − 6

On peut donc écrire :

x

2

+

A

=

x−2

x−6

B

+

x

+3

On en déduit : 7x − 6 = A ( x + 3 ) + B ( x − 2 ) si x

=

2:

si x

=

2:

=

8

⇔

5A

A

−27 = −5B ⇔

=

B=

8 5 27 5

L'intégrale devient donc : I

8 27   5 5 +  x − 1+  dx  − 2 x + 3 x −2   1

=

∫

=

 x2   2

=

−

x+

1

8 ln x − 2 5

+

 27 ln x + 3  5 

−2

8 27 8 27 1  4   2 − 1 + 5 ln1 + 5 ln 4  −  2 + 2 + 5 ln 4 + 5 ln1    

=−

1

+

2

27 5

ln 4 − 4 −

8

ln 4 =

5

2. Capital de départ :

C0

2

19 5

ln 4

=

= 10

C0

n

⋅ (1 + T )

10 C0

⇔

(1,06 )

⇔

n = log1,06 10

⇔

n=

C0

n

⋅ (1,06 )

⇔

n

+

T = 0,06

1) On recherche n tel que Cn =

9

C0 = 100 000

Taux annuel :

Cn

−

= 10

ln10 ln1,06

=

39,51...

Le capital aura donc décuplé en 40 ans.




=

2) On recherche n tel que Cn =

Cn ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

580 000

n

⋅ (1 + T )

C0

= 100

580 000

n

000 ⋅ (1, 06 )

58 10 n = log1,06 ( 5,8 ) n

(1,06 )

=

ln5,8

n=

30,168...

=

ln1,06

Le capital vaudra 580 000 € après 31 ans. 3. Recherchons d'abord le taux d'accroissement. Si la population double tous les 15 ans, on a : C15

=

2 ⋅ C0 15

⋅ (1 + T )

⇔

C0

⇔

(1 + T )

⇔

1+ T

=

⇔

1+ T

= 1,04729...

15

=

=

2 ⋅ C0

2

1

⇔

T

=

215

0, 04729...

1) On connaît le nombre d'habitants en 1989 : C 0 = 106. On recherche le nombre d'habitants en 2000, c'est-à-dire 11ans plus tard : C11

=

?

⇔

C11

=

C0

⇔

C11

= 10 ⋅ (1,04729... )

⇔

C11

= 1 662

⋅ (1 +

11

T)

11

6

475,8...

Cette ville comptait donc 1 662 476 habitants en 2000. 3) Si C0 est le nombre d'habitants en 1950, on a : 6

C39

= 10

D'où

106

=

C0

⋅ (1 + T )

⇔

106

=

C0

⋅ (1,04729... )

⇔

⇔

(1 million d'habitants en 1989) 39 39

106

C0

=

C0

= 164

(1,04729...)

39

938, 49...

Cette ville comptait donc 164 938 habitants en 1950.


Cours_334_Serie_4.pdf

Recommend Documents