Correntes Transitórias de Magnetização Em Transformadores de Potência

Correntes Transitórias de Magnetização em Transformadores de Potência Francisco das Chagas F. Guerra, Leandro de Luna Araújo e Luydi Dandgelo C. de Medeiros Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Rua Aprígio Veloso, 882 – Bairro Universitário – CEP 58.429-900 – Campina Grande - PB

 Resumo           Este artigo apresenta um estudo das correntes transitórias de magnetização em transformadores de potência (correntes de inrush ). O efeito de histerese no núcleo magnético é considerado através de um modelo simples, de fácil compreensão e baixo esforço computacional, o qual pode ser incorporado ao processo de cálculo de correntes de inrush em transformadores monofásicos e trifásicos.  Palavras-chaves  Palavras-chaves

          Transformadores, correntes de

▪ características magnéticas e geométricas do núcleo; ▪ valor da resistência de pré-inserção do disjuntor; ▪ impedância da carga ligada ao secundário; ▪ velocidade de fechamento dos contatos do disjuntor; ▪ nos transformadores trifásicos, existência de enrolamentos terciários ligados em delta. II. E NERGIZAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR MONOFÁSICO

inrush,

histerese, saturação.

 A.

I. I NTRODUÇÃO Os transformadores usados nos sistemas elétricos de  potência requerem, em regime permanente, correntes de excitação da ordem de 0,5% a 2% da corrente nominal. Entretanto, durante o processo de energização, podem ocorrer surtos de corrente com as seguintes características: ▪ valor de pico inicial que pode superar vinte vezes o valor de pico da corrente nominal, no minal, nas condições mais severas; ▪ duração de vários ciclos; ▪ amplo espectro de harmônicos que inclui componentes de ordem par, predominando a segunda harmônica. Este efeito é conhecido como inrush. Os principais efeitos das correntes de inrush são descritos a seguir: ▪ atuação indevida de fusíveis e relés de proteção; ▪ afundamentos temporários de tensão, com deterioração da qualidade de energia; ▪ solicitações de natureza eletromecânica e térmica no transformador e nos demais componentes do sistema, o que incorre em redução de vida útil; ▪ sobretensões causadas por fenômenos de ressonância harmônica em sistemas que contêm filtros elétricos (sistemas industriais e linhas de transmissão em corrente corr ente contínua). A intensidade e a duração das correntes de inrush dependem dos seguintes fatores: ▪ valor instantâneo da tensão aplicada ao transformador no instante da energização; ▪ magnitude e sinal do fluxo residual no núcleo magnético; ▪ resistência e indutância equivalentes em série do circuito alimentador; ▪ resistência e indutância de dispersão do enrolamento primário do transformador; F. C. F. Guerra, [email protected], L. L. Araújo, leandrolun@ gmail.com, L. D. C. Medeiros, [email protected] , Tel. +55-83-33101322, Fax +55-83-3310-1418. +55-83-3310-1418. Este trabalho foi parcialmente financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPQ, através do Projeto No. 470175/2008-7 470175/2008-7 e pela Fundação de Apoio à Pesquisa do E stado da Paraíba – FAPESQ, através do Projeto No. 216/08 – PPP.

Comportamento em regime não-saturado

O circuito  RL da Fig. 1 destina-se ao estudo do transitório de corrente durante a energização de um transformador monofásico por fonte de tensão senoidal, com o secundário em aberto. O indutor não-linear indicado possui característica de magnetização i =  f  (λ), onde λ  é o fluxo de enlace no  primário. Inicialmente, são desprezadas as perdas no núcleo magnético.

Fig. 1. Circuito não-linear para representação de um transformador com secundário em vazio.

Após o fechamento da chave, tem-se: d λ + R i = U m  sen ω t   

(1)

dt  i =  f  (λ)

Como a relação é não-linear, (1) só poderá ser resolvida numericamente. Entretanto, se for assumido que o núcleo magnético não atinge a saturação, pode-se fazer i =  f (λ) = λ / Lm, onde  Lm  é a indutância de magnetização do transformador, que corresponde à inclinação da reta que  passa pela origem e pelo ponto de joelho da curva λ - i; assim, (1) pode ser escrita como: d λ  R + λ = U m  sen ω t    (2) dt 

 L m

Para simplificar, supõe-se que λ(0) = 0; assim, esta equação tem por solução: ω L2m U m −( R / Lm ) t  λ ( t ) = 2 + e 2 + ( ω )  R  L m   (3)  ω L2m U m   R  sen ωt − cos ωt   2 2   R + ( ω Lm )  ω L m 

  Considerando  R << ω Lm e fazendo λm = U m / ω, resulta: − ( R / Lm ) t  (4) λ ( t ) = λ m e − cos ωt    A equação (4) é composta por um termo com decaimento exponencial, relacionado ao comportamento transitório de λ logo após a aplicação da tensão, e por um termo senoidal relacionado ao regime permanente. A Fig. 2 mostra a variação de λ logo após a energização do transformador. Vêse que é estabelecido um sobrefluxo no núcleo magnético.

Fig. 2. Fluxo de enlace em função do tempo logo após a energização do transformador.

Um fator de importância fundamental no grau de assimetria da onda de fluxo é o valor da tensão da fonte no momento da energização do transformador. Na análise anterior, fez-se u = U m sen ωt , de modo que u(0) = 0. Porém, o caso mais comum ocorre quando u(0) ≠ 0. A seguir, será considerado u = U m  sen (ωt  + θ ), o que implica em se ter u(0) = U m sen θ, onde θ, denominado “ângulo de chaveamento”, determina o valor inicial da tensão. Caso haja interesse em apenas avaliar o valor de pico inicial de λ, o amortecimento nos instantes subseqüentes pode ser ignorado. Fazendo  R = 0 no circuito da Fig. 1, obtém-se: d λ = U m  sen ( ωt + θ )   (5) dt 

Considerando λ(0) = λ R e λm = U m / ω, resulta: λ = λ R + λ m [ cos θ − cos (ωt + θ )]   (6) A onda de fluxo no núcleo apresenta valor máximo quando ωt  = k π (k  = 1, 3,.5,...) e θ = 0, caso em que a tensão da fonte é nula no instante da energização. Assim, o máximo valor de λ é λ R + 2 λm. Por outro lado, não ocorre assimetria para na forma de onda de λ para λ R = 0 e θ = π/2, situação em que a tensão assume o valor de pico U m em t  = 0. Esta é a condição mais favorável, pois são evitados sobrefluxos que poderiam levar o núcleo à saturação.  B.

Comportamento em regime saturado

Durante os primeiros instantes da energização de um transformador, os elevados valores de fluxo atingem a região de saturação do laço de histerese do núcleo. Assim, para  pequenas variações de λ, podem ocorrer variações muito elevadas de i, de modo a se estabelecer um surto de corrente. Isto pode ser entendido mediante análise da Fig. 3.  No caso anterior, a característica λ versus i  do núcleo foi representada pela curva de saturação (relação biunívoca correspondente a uma curva que passa pela origem), o que não permite considerar a existência de fluxo residual ou remanescente. Para avaliar a influência do fluxo residual λ R nos valores de i, considera-se o núcleo com histerese.

Fig. 3. Fluxo de enlace e corrente de inrush  em um transformador.

Como a excitação é assimétrica, a trajetória descrita no  plano λ - i  apresenta laços menores também assimétricos. Como λ acha-se limitado pelo nível de saturação, λS , o valor λm  não é alcançado. Observa-se que, se o fluxo residual no núcleo apresentar mesmo sinal do fluxo imposto pela fonte, a região de saturação pode ser atingida mais rapidamente, com maior intensidade, resultando em maior assimetria da onda de fluxo e em valores de pico de corrente de inrush  mais elevados. Por outro lado, se os citados fluxos apresentarem sinais contrários, a corrente de inrush será atenuada. As correntes de inrush  podem fazer com que relés de  proteção de operação rápida atuem de modo indevido durante a energização do transformador. Para evitar que isto ocorra, os relés diferenciais utilizam um critério capaz de distinguir uma corrente de inrush de uma corrente de curto-circuito. O critério tradicionalmente utilizado se baseia na avaliação do conteúdo de harmônicos da corrente. Uma corrente de inrush típica apresenta uma composição de harmônicas onde  predomina a harmônica de segunda ordem, que pode representar mais de 60% do valor da componente fundamental. Assim, quando o transformador é energizado em condições normais, essas harmônicas são filtradas, exercendo uma ação de bloqueio que evita a operação do relé. Por outro lado, as correntes de curto-circuito típicas são normalmente compostas por uma componente fundamental acrescida de uma componente contínua com decremento exponencial, sendo o conteúdo de harmônicos insignificante em comparação com os observados nas correntes de inrush. Assim, não se verifica a ação de bloqueio no sentido de impedir a operação do relé. III. MODELO DE TRANSFORMADOR MONOFÁSICO O circuito da Fig. 4 ilustra o processo de chaveamento de um transformador monofásico com o secundário em aberto. Para este circuito, pode-se escrever: d λ di (7) + L +  R i = u   dt 

d λ dt 

+ L

dt 

di d λ d λ d t 

+  R i = u  

(8)

▪ uma família de curvas com valores decrescentes de fluxo, as quais convergem para o ponto de saturação negativa. Devido às condições de simetria do laço maior, tem-se:

Fig. 4. Circuito considerado para o cálculo da corrente de inrush.

Fazendo i =  f (λ) (função que descreve o processo de magnetização do núcleo) e  Lm = d λ/di  (indutância de magnetização), tem-se a seguinte equação diferencial nãolinear: d λ u − R  f ( λ )   (9) = 1 + L / L m dt  A condição inicial é λ(0) = λ R  (fluxo residual no núcleo antes da energização). IV. R EPRESENTAÇÃO DA HISTERESE Há determinados estudos relacionados a transformadores onde o efeito de histerese no núcleo magnético pode ser desprezado, sendo suficiente representar a relação i = f  (λ) do material pela curva de saturação. Isto ocorre em estudos de fenômenos transitórios, onde são alcançados graus de saturação elevados (como é o caso do fenômeno de inrush) e a remanência é pequena ou não constitui objeto de interesse da análise. Tal simplificação se respalda no fato de que as ligas ferro-silício de grãos orientados mais recentes apresentam laços de histerese estreitos (pequena coercitividade), verificando-se um afunilamento à medida que a saturação torna-se mais intensa, de modo a haver uma tendência em se confundirem com a curva de saturação. Porém, ao se representar a característica de magnetização do núcleo em termos da curva de saturação, não é possível se considerar valores de fluxo residual diferentes de zero no instante da energização. Isto se deve ao fato de que o lugar geométrico descrito no plano λ - i  consiste em uma curva singular que passa pela origem. O problema pode ser resolvido mediante consideração do efeito de histerese. Entretanto, a representação precisa deste efeito em condições transitórias não é uma tarefa simples. Diversos modelos de histerese foram desenvolvidos, alguns fundamentados em leis físicas [1], [2] outros baseados em observações experimentais [3]. Como não é necessário representar o efeito de histerese com grau de precisão muito elevado no cálculo das correntes de inrush, o impasse pode ser resolvido através da utilização de modelos com formulação simples, os quais permitam que o fluxo residual seja levado em consideração. Um modelo que serve ao citado propósito foi proposto por Talukdar e Bailey [4]. O mesmo considera que todas as trajetórias assimétricas estão contidas no laço maior (laço simétrico obtido levando-se o núcleo à saturação, com variações lentas da excitação). Como mostra Fig. 5, além dos  pontos S+ e S-, a característica de magnetização é definida por relações biunívocas. As trajetórias no interior do laço são classificadas em duas famílias: ▪ uma família de curvas com valores crescentes de fluxo, as quais convergem para o ponto de saturação positiva;

Fig. 5. Famílias de trajetórias ascendentes e descendentes.

λ a =  f  ( i ) = − g  ( − i )  

(10)

λ d  = g  ( i ) = − f  ( − i )  

(11)

As funções  f  e  g   aproximam os ramos ascendente e descendente do laço de histerese, respectivamente. Logo, conhecendo apenas o ramo ascendente, pode-se obter o ramo descendente.  Na Fig. 6 é considerado o caso em que d λ /dt   > 0. O  problema consiste em determinar a trajetória assimétrica i =  f (λ) para o fluxo decrescente, a partir do último ponto de reversão de λ , denominado T .

Fig. 6. Trajetória assimétrica com fluxo decrescente.

Seja  P (im, λ) um ponto qualquer da trajetória e T (iT  , λT  ) o último ponto de reversão. As distâncias verticais desses  pontos em relação ao ramo ascendente do laço maior são respectivamente:

 x = λG - λ 

(12) (13)  xT  = λGT  - λT  É estabelecido que a trajetória assimétrica apresente um distanciamento do ramo descendente do laço maior que varia linearmente com λ; assim, para λS  > 0: λ + λ S    (14)  x =  xT  λ T  + λ S  Combinando (12), (13) e (14), tem-se:

 λ + λ S    λ + λ   T  S  

λ G = λ+ ( λ GT  −λ T  ) 

V. R EPRESENTAÇÃO DAS PERDAS DINÂMICAS O fenômeno de histerese diz respeito a variações lentas ou quase-estáticas da excitação. À medida que a freqüência é elevada, intensifica-se o efeito das correntes parasitas induzidas no material (correntes de Foucault), o que acarreta em aumento das perdas magnéticas. Tal aumento corresponde às chamadas “perdas dinâmicas”, as quais podem ser consideradas mediante um resistor linear ligado em paralelo ao indutor não-linear [5], como é indicado na Fig. 7.

(15)

A trajetória assimétrica correspondente à função i =  g (λ)  pode ser determinada fazendo-se: (16) i = g ( λ ) = G ( λ + x ) = G ( λ G )   Assim, para d λ/dt  < 0 e λ  > 0, tem-se: S 

i = G ( λG )  

[

λ G = λ + G −1 ( i T  ) − λ T 

(17)

]   λλ  

+ λ S  

 

T 

+ λ S  

(18)

Analogamente, para as trajetórias ascendentes, com d λ/dt  ≥ 0 e λS  > 0: (19) i = F ( λ F  )  

− λ S      (20) − λ   T  S   Desta forma, se forem conhecidas as coordenadas do último  ponto de reversão e a função que aproxima o ramo ascendente ou o ramo descendente do laço maior de histerese, é possível determinar as trajetórias no interior deste último. Este modelo apresenta algumas imprecisões. A principal consiste na suposição de que todas as trajetórias ascendentes convergem para o ponto de saturação positiva e que todas as trajetórias descendentes convergem para o ponto de saturação negativa. Em decorrência, não são reproduzidas algumas  propriedades importantes do efeito de histerese, como as de fechamento e remoção de laços menores. Porém, tal fato não é importante no cálculo de correntes de inrush, pois as formas das trajetórias no interior do laço maior são irrelevantes se comparadas com as extensas excursões nas regiões de saturação positiva ou negativa. Além do problema citado, quando ocorre saturação intensa, os laços maiores às vezes cruzam o laço maior, contrariando a premissa de que todas as trajetórias estejam contidas neste último [3]. Uma forma de evitar que isto ocorra é efetuar a seguinte modificação em (18) e em (20):

[

1 λ F  = λ +  F − ( i T  ) − λ T 

]   λλ

β

 λ + λ S      λ G = λ + [ G ( i T  ) − λ T  ]   λ T  + λ S   β     λ λ − S     λ F  = λ + [ F −1 ( i T  ) − λ T  ]  λ λ −   T  S   −1

(21) (22)

O parâmetro β  > 1 deve ser estabelecido mediante simulações, de modo tal que os citados cruzamentos não ocorram em casos de saturação pronunciada.

Fig. 7. Representação das perdas dinâmicas através de resistor não-linear [ 5].

Considerando uma tensão de excitação de forma senoidal, a elipse indicada corresponde às perdas dinâmicas. Neste caso, o laço λ - ie apresenta-se mais largo que o laço λ - im, uma vez que, para um mesmo valor de λ, tem-se ie’= im’ + i p’. Sendo U e o valor eficaz da tensão de excitação secundária, a resistência de perdas no núcleo,  Re, é dada através de: 2 (23)  P  = U e / R p   Para as ligas ferro-silício usuais, as perdas dinâmicas são significativamente maiores que as produzidas pelo efeito de histerese [5]. Medindo-se  P e, em função de U e2 e traçando-se a reta dada por (23), obtém-se  R p, que corresponde ao inverso do coeficiente angular da referida reta. Tal procedimento  proporciona uma estimativa razoavelmente precisa da resistência de perdas dinâmicas. Assim, tem-se a corrente de excitação, ie, dada pela soma da corrente de magnetização com a corrente associada às perdas dinâmicas, ou seja: ie = im + u e / R p   (24) Para correntes de inrush  de elevados valores de pico, as  perdas dinâmicas podem ser desprezadas sem que haja erro apreciável, uma vez que o efeito de alargamento do laço na região não-saturada é insignificante se comparada com as extensas trajetórias magnéticas nas regiões de saturação. VI. APRESENTAÇÃO DE R ESULTADOS Inicialmente, realizou-se o levantamento das características de um transformador de núcleo toroidal com os seguintes dados: ▪ Material: ferro-silício de grãos orientados.

▪ Área de seção reta: (2,5 x 4,0) cm2. ▪ Diâmetro médio: 12,5 cm. ▪ Número de espiras do enrolamento primário: 60. ▪ Número de espiras do enrolamento secundário: 60. • Resistência dos enrolamentos: 0,5 Ω. ▪ Reatância dos enrolamentos: desprezível. O laço de histerese foi registrado na frequência de 4 Hz, de modo a se obter um laço praticamente igual ao obtido em corrente contínua, como é indicado na Fig. 8. 0.20

4.00

3.00

   )    A    (    i  ,   e    t   n   e   r   r   o    C

Experimental Teórica 2.00

1.00

0.00

   )   s  .    V    (

0.10

-1.00

       λ

 ,   e   c   a    l   n    E   e    d   o   x   u    l    F

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Tempo, t ( s )

Fig. 9. Correntes de inrush obtidas em laboratório e por simulação.

0.00

0.15

-0.10 0.10

   )   s  .    V    (        λ

-0.20 -2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

Corrente de Magnetização, im ( A )

Fig. 8. Laço de histerese obtido na freqüência de 4 Hz.

A resistência de perdas dinâmicas foi determinada através do procedimento anteriormente descrito, obtendo-se 136 Ω.  Na montagem da Fig. 4, foram estabelecidos  R = 8,1 Ω e  L = 0,3 mH (valores totais no primário), bem como uma tensão eficaz de 24 V fornecida pela fonte. O fluxo residual no núcleo magnético foi anulado da seguinte forma: elevou-se a tensão até ocorrer saturação; em seguida, reduziu-se lentamente a mesma para 0 V. Com uma chave síncrona ( triac  comandado por microcontrolador PIC16F877), efetuou-se o chaveamento do transformador no instante de passagem da tensão por zero (caso mais desfavorável). A corrente de inrush foi registrada mediante um osciloscópio digital, sendo mostrada na Fig. 9,  juntamente com o resultado obtido por simulação, com β  = 1. As trajetórias fluxo de enlace versus corrente de magnetização e fluxo de enlace versus corrente de excitação acham se mostradas na Fig. 10 e na Fig. 11. Observa-se que os laços assimétricos correspondentes à Fig. 11 apresentamse mais largos, pois eles incorporam as perdas dinâmicas. A variação do fluxo de enlace em relação ao tempo é mostrada na Fig. 12. Vê-se que ocorre pronunciado sobrefluxo logo após a energização, sendo o valor de λ limitado pelo efeito da saturação do núcleo magnético. A Fig. 13 indica que ocorre uma significativa queda de tensão nos terminais do enrolamento primário do transformador durante a ocorrência do primeiro pico de corrente, fato este que contribui para a deterioração da qualidade de energia.

 ,   e   c   a    l   n    E   e    d   o   x   u    l    F

0.05

0.00

-0.05

-0.10 -1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

Corrente de Magnetização, im ( A ) Fig. 10. Trajetórias assimétricas λ - im. 0.15

0.10

   )   s  .    V    (        λ

 ,   e   c   a    l   n    E   e    d   o   x   u    l    F

0.05

0.00

-0.05

-0.10 -1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

Corrente de Excitação, i e ( A ) Fig. 11. Trajetórias assimétricas λ - ie.

4.00

A mitigação do fenômeno de inrush tem sido feita através de técnicas de chaveamento controlado [6]-[7]. Para a realização deste trabalho, foi desenvolvida uma chave síncrona com funcionamento baseado em microcontrolador, a qual se acha em fase de aperfeiçoamento para aplicações de laboratório mais complexas como o chaveamento de transformadores trifásicos, com operação de religamento automático. Os desenvolvimentos apresentados são extensivos à modelagem do efeito de inrush em transformadores trifásicos com diferentes tipos de geometria de núcleo, bem como a estudos de outros fenômenos, como ferroressonância, chopping currents e distorções em correntes no secundário de transformadores de corrente.

0.15

0.10

   )   s  .    V    (

0.05

       λ

 ,   e   c   a    l   n    E   e    d   o   x   u    l    F

0.00

-0.05

REFERÊNCIAS

-0.10 0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Tempo, t ( s )

Fig. 12. Fluxo de enlace versus tempo. 40.00

20.00

   )    V    (   e

  u  ,   o    ã   s   n   e    T

0.00

-20.00

-40.00 0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Tempo, t ( s )

Fig. 13. Tensão nos terminais do transformador versus tempo.

VII. CONCLUSÃO Foram discutidos aspectos relacionados ao fenômeno de o qual ocorre durante a energização de transformadores de potência. O estudo deste efeito é de extrema importância para a preservação dos requisitos de qualidade de energia em redes elétricas. Também foi apresentada uma forma já existente de representação núcleo magnético [4]-[5], de fácil entendimento e aplicação, que se destina à descrição dos efeitos de histerese (incluindo laços menores e remanência) e das perdas dinâmicas. Uma contribuição deste trabalho consiste na proposição de um fator de correção para o modelo de histerese, uma vez que, na formulação original, o mesmo não reproduz de modo fiel o comportamento do núcleo magnético (foi afirmado em [3] que, em alguns tipos de núcleo, laços menores podem às vezes cruzar o laço maior, o que não é permitido). Tal correção consiste na introdução do  parâmetro β nas equações do modelo. inrush,

[1] D. C. Jiles and D. L. Atherton, “Theory of ferromagnetic hysteresis”,  Journal of Magnetic Materials, vol. 61, pp. 48-60, 1986. [2] S. R. Naidu, “Simulation of the hysteresis phenomenon using Preisach’s theory”, IEE Proceedings, vol. 137A, no. 2, pp. 321-329, 1990. [3] J. R. Frame, N. Mohan and T. Liu, “Modeling in an Electromagnetic Transients Program,”,  IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 101, no. 9, pp. 3403-3412, 1982. [4] S. R. Talukdar and J. R. Bailey, “Hysteresis models for system studies”,  IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 95, no. 4, pp. 1429-1434, 1976. [5] G. W. Swift, “Power transformer core behavior under transient conditions”,  IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 90, no. 5, pp. 2206-2210, 1971. [6] J. H. Brunke, K. J. Frölich, “Elimination of transformer inrush currents  by controlled switching – Part I: Theoretical Considerations”,  IEEE Transactions on Power Delivery , vol. 16, no. 2, pp. 276-280, 2001. [7] J. H. Brunke, K. J. Frölich, “Elimination of transformer inrush currents  by controlled switching – Part II: Application and Performance Considerations”,  IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 16, no. 2,  pp. 281-285, 2001.