Correlation

 Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08)

Corrélation (covariance et coefficient de corrélation) Définition proposée La covariance et le coefficient de corrélation sont des mesures quantitatives du lien qui peut exister entre deux variables aléatoires X et Y. Le coefficient de corrélation donne une idée de l’intensité de la liaison entre X et Y indépendamment des variances de X et de Y. Il est compris entre 1 (corrélation) et -1 (anticorrélation). Un coefficient de corrélation proche de 0 indique que les deux variables aléatoires sont faiblements liées (faiblement corrélées). Définition de la covariance Considérons rons un nuag nuagee de n poin points ts  M  i ( i ∈[ 1..n ] ) de coor coordo donn nnées  x i et  y i correspondant à deux variables aléatoires X et Y. La covariance des variables X et Y est donnée par les formules suivantes :

Covariance d'une population

Covariance d'un é chantillon

n

n

∑  x i−  X   yi – Y  où

   y  – Y   ∑  x − X  i

cov  X , Y =

i =1

 X 

sont les moyennes de X et de Y.

et

Y 

cov  X , Y =

n où

  X 

 Y 

et

i

i =1

 n −1 

sont les moyennes de X et de Y.

Coefficient de corrélation de Pearson Le coefficient de corrélation est donné par

r =

cov   X ,Y  où s x⋅s y

s X 

s Y 

et

sont les écart types de X

et Y. Qualité d'une modélisation linéaire du nuage de points Le calcul de la pente a d'une droite de régression (régression simple) se fait covariance des variables X et Y :

a=

à

partir de la

cov   X ,Y  s X  et r = a⋅  2 s X  s Y  n

∑  x Un calcul plus rapide de la pente se fait en utilisant la formule

a=

i

 ⋅Y   y i – n⋅ X 

i =1

n

∑  x

i

²

² – n⋅ X 

i= 1

La qualité d'une régression linéaire, c'est à dire sa capacité à modéliser le nuage de points peut être quantifiée en utilisant le calcul du coefficient de détermination termination obtenu à partir du calcul du coefficient de corrélation r  entre X et Y. Le coefficient de détermination donne une idée du pourcentage de variance expliquée (PVE) par le modèle.

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 Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08)

Coefficient de d é  t  ermination étermination

cd = r ² ² 

Pourcentage de variance expliqu é e

²  PVE =100⋅r ² 

Par exemple un PVE de 10% (cd=0,1) indique que le modèle linéaire n'explique que 10% de la variance du nuage de points. Tests statistiques associés : test de corrélation Le test d’indépendance entre deux variables X et Y à partie d’un échantillon de n couples de valeurs est basé sur le calcul de r qui est la valeur de la pente en coordonnées réduites1. Le risque  correspondant au coefficient de corrélation r peut être obtenu : ● soit par la table du coefficient de corrélation pour un nombre de degrés de liberté égal à n-2 ●

soit lorsque celle-ci est insuffisante en formant t =

r 

⋅  n − 2    1− r   2

et en cherchant le risque

correspondant dans la table du t de Student pour (n-2) degrés de liberté. Si

 0.05

alors la liaison n’est pas significative et si

 ≤0.05

la liaison est significative.

Statut de la fiche :  fiche provisoire à revoir 

1 Coordonnées r éduites : chacune des données se voit retrancher sa moyenne et est divis ée par son écart type... Sauf mention contraire, le contenu du site est plac é sous la protection de cette licence Creative Commons.

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