Sondag Sondages es Aléatoires Aléatoires Simples Exercices
Exercice Exercice 1 Dans une entreprise, un PDG souhaite offrir des chèques-vacances à ses employés. Il s’intéresse donc au budget ‘vacances’ moyen de ceux-ci. Il dispose d’une liste de tous ses employés. Il décide d’interroger 150 employés au hasard parmi les 2500 employés. Il obtient un budget total pour les 150 employés de 127 500 euros. La somme des carrés des budgets vaut 200 450 000. 1. Quel est le taux taux de sondage sondage ? Que signifie signifie un taux de sondage sondage égal à 1 ? Recensemen Recensementt 2. Estimer Estimer le budget moyen d’un employé. employé. 850 e ˆ (¯ 617953 d’où V (x¯) = 3872. 3872.506 et 850 ± 121. 121.96 3. Donner un interv intervalle de confiance à 95%. s2 = 617953 d’où avec un niveau de 95% 4. Toujours pour un intervalle intervalle de confiance à 95%, on voudrait une précision précision à ± 100 euros. (a) Avant d’effectuer les calculs, pouvez-vous dire, en justifiant votre réponse, si la taille d’échant d’échantillon illon cherchée cherchée sera supérieure supérieure ou inférieure à 150 ? la taille taille de l’echantill l’echantillon on sera plus grande que 150, car la precision DEMANDEE est plus GRANDE (demi longueur qui passe de 122 à 100) (b) Calculer alors la taille d’échantillon (on négligera le taux de sondage). n = 238
Exercice Exercice 2 On s’intéresse à l’estimation de la proportion p proportion p de de personnes atteintes par une maladie professionnelle dans une entrepris entreprisee de 10 000 personnes. On sélectionne sélectionne un échantillo échantillon n de 500 d’entre elles au moyen d’un sondage aléatoire simple sans remise. Parmi celles-ci, 50 sont atteints de la maladie en question. 1. Donner un interv intervalle alle de confiance de niveau 90% pour p. [0.079 ;0.125] ;0.125] avec un niveau niveau 90%. 2. En négligeant négligeant le taux de sondage, quelle quelle taille taille d’échantillon d’échantillon devrait-on devrait-on prendre pour obtenir une estimation à plus ou moins 2% (on pourra utiliser l’estimation pˆ obtenue en question 1681 (pire des cas) ou n 606 (plug-in) précédente précédente ou bien raisonner au pire des cas) ? n = 1681 (pire ou n = 606 (plug-in)
Exercice Exercice 3 On souhaite estimer la quantité moyenne de fruits (exprimée en kg) consommée annuellement par les habitants d’une ville de 100 000 habitants. On sélectionne par un plan simple un échantillon de 200 habitants. Les résultats obtenus sont les suivants :
n
i=1
n
xi = 18 700
i=1
x2i = 1 766 500. 500.
Sondages
Master Stat. Appliquées
1. Donner un intervalle de confiance à 95% pour la quantité de fruits moyenne consommée annuellement par les habitants de cette ville. ˆ (¯ x¯ = 93.5, s2 = 90.70352, V x) = 0.4526106 [94.82; 92.18] avec un niveau de 95% 2. On s’intéresse maintenant à la quantité totale consommée annuellement par l’ensemble des habitants de la ville. Donner une estimation, puis un intervalle de confiance à 95% pour cette quantité totale. [9218138; 9481862] avec un niveau de 95% 3. On souhaite dans cette question donner un intervalle de confiance à 95% pour la quantité de fruits moyenne consommée annuellement par les habitants de cette ville ayant une demilongueur d’au plus 1 kg. On cherche une taille d’échantillon n qui permette de construire un tel intervalle. (a) Pour trouver cette taille n, on néglige le taux de sondage f . Pouvez-vous donner une interprétation "concrète" de cette hypothèse et expliquer pourquoi elle est raisonnable ? La taille d’échantillon est faible comparée à celle de la population (ici n/N = 0.002 ce qui est le cas). A l’inverse, que signifie un taux de sondage égal à 1 ? Recensement. (b) Un premier expert estime en se basant sur des enquêtes précédentes que l’on peut considérer que la variance corrigée S 2 calculée sur l’ensemble de la population est égale à 100. Un autre expert estime que la variance corrigée S 2 est un peu plus élevée, égale à 125. i. Si vous souhaitez être prudent et vous placer dans le pire des cas possibles, de quel expert allez-vous suivre l’avis ? Le second s2 = 125 car c’est celui qui va me donner l’IC le plus large (plus grande variance). ii. Calculer n (dans ce pire des cas). n = 481
Exercice 4 On souhaite estimer la distance moyenne µ (exprimée en kilomètres) parcourue en vélo par les habitants d’une ville de N = 50000 habitants en mai 2005. On sélectionne par un plan de sondage aléatoire simple un échantillon de taille n = 250. On note xi la distance (exprimée en kilomètres) parcourue en mai 2005 par le i individu de l’échantillon. Les résultats sont : e
250
250
xi = 15 150,
i=1
x2i = 1155400.
i=1
1. Traduire en quelques mots l’information contenue dans la formule des distances parcourues PAR les personnes de l’echantillon
250
xi = 15 150. Somme
i=1
2. Calculer la variance corrigée s2 (notations du cours). s2 = 953 3. On souhaite donner un intervalle de confiance de niveau 90%, puis 95% pour µ. (a) Avant d’effectuer les calculs, pouvez-vous dire, en justifiant votre réponse, quel sera l’intervalle le plus large ? On requiert une confiance plus grande à 95 % donc on prend moins de risque en prenant un IC plus large à 95 %. (b) Donner ces intervalles de confiance (pour la loi normale centrée réduite, on rappelle que le quantile d’ordre 0.95 vaut 1.64, celui d’ordre 0.975 vaut 1.96). [56.78; 64.42] avec un niveau de 95% et [57.41; 63.79] avec un niveau de 90%
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Sondages
Master Stat. Appliquées
4. On souhaite dans cette question donner un intervalle de confiance de niveau 95% pour µ ayant une demi-longueur d’au plus 2 kilomètres. On considère que la variance corrigée S 2 calculée sur l’ensemble de la population est la même que la variance corrigée s2 calculée sur l’échantillon (elle a été calculée à la question 2). (a) Avant d’effectuer les calculs, pouvez-vous dire, en justifiant votre réponse, si la taille d’échantillon cherchée sera supérieure ou inférieure à 250 ? La taille sera plus grande que 250 car l’IC à 95% doit avoir une demi-longueur plus petite que celui deja calcule (ie 3.82 km calcule en 3b) (b) Calculer cette taille d’échantillon (on négligera le taux de sondage f = n/N pour simplifier les calculs). n = 916
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