Universi niversité té Moham ohamed premier Faculté pluridisciplinaire Nador
Programmation linéaire Présenté par: Encadré par: EL OSROUTI MOHAMMED MR.SAADI ZOUGAGH SOUFYANE DALALI ADELMA!ID
A nne nneé uni universi versita taiire:2015 re:2015/2016 /2016
L’objectif de cet éxposé est de: Apprendre comment modéliser un
problème linéaire. Savoir résoudre un problème simple
d'optimisation d'optimisati on linéaire sous contraintes.
p"an . ntroduction . !istor !istori"u i"uee et évoluti évolution on de Progra Programm mmati ation on linéai linéaire re #. $otions de base %& odélisation (& Les ét étapes de de mo modél délisation ) )les variables de decision ) )Les contraintes ) )La fonction objectif*économi"ue obj ectif*économi"ue&& #. #. Les différ différent entes es mét+o mét+odes des pour pour resoud resoudre re un proble probleme me lineai lineaire re %& ét+od ét+odee des facteu facteurs rs rares rares (& ét+ ét+od odee grap grap+i +i"u "uee ,& ét+ ét+od odee sim simplex plexee #. -évelo -éveloppe ppeme ment nt de de mét+ mét+ode ode grap+i grap+i"ue "ue ) Principe de mét+ode grap+i"ue ) exemple #. Applic Applicati ation on #.onclusion
.
$/01-2/1$:
2ne partie importante de problèmes de décision "ue rencontrent les dirigeants dans la prati"ue sont sans aucun doute les problèmes d’optimisation linéaire ou programmes linéaires. La résolution d’un problème de la programmation linéaire ne pose incontestablement aucune difficulté car il 3 a des mét+odes prati"ues pour le résoudre 4plus cela on peut utiliser des logiciels très efficaces pour la résolution tel "ue A/LA5 4 E!E"
#$"%E& #$"%E& '"(N)$ '*etc+
. !istori"ue et évolution évolution de Programmation Programmation linéaire linéaire )
Les premiers premiers mat+ématicie mat+ématiciens ns "ui se sont occupés de problèmes4 "ue l’on ne nommait pas encore 6 l’épo"ue 7 programmes linéaires 8 *P.L.&4 sont : LAPLA9 *%;<)%=(& et le baron >12090. ) le russe ?A$/101#/! en %<,< a imaginé une mét+ode inspirée
des multiplicateurs de LA@0A$@94 classi"ues en mécani"ue4 pour résoudre des 7 programmes de transport 8. )La contribution décisive a été l’invention de l’algorit+me du
SPL994 développé 6 partir de %<; notamment par @.5. -A$/B@ et le mat+ématicien mat+ématicien #1$ $92A$$ )
Au milieu des années =C4 l’indien ?A0A0?A0 a proposé une nouvelle mét+ode créée aux 5ell Laboratories "ui permettait de résoudre de très gros problèmes linéaires4 par une démarc+e 7 intérieure 8 au pol3èdre des solutions admissibles.
Définition de programmation linéaire(PL):
Selon Dilliam E. 5A2A2L4 la programmation linéaire est une tec+ni"ue mat+émati"ue d'optimisation *maximisation ou minimisation& de fonction 6 objectif linéaire sous des contraintes a3ant la forme d'iné"uations linéaires. 9lle vise v ise 6 sélectionner parmi différentes actions celle "ui atteindra le plus probablement prob ablement l'objectif visé.
0obert -10>A$ -10>A$ et Paul Samuelson4 ajoutent "ue la programmation linéaire est une mét+ode de détermination du meilleur plan d'action pour réaliser des objectifs donnés dans une situation oF les ressources sont limitées. 'est donc une mét+ode de résolution du problème prob lème économi"ue4 soit dans le cadre d'une économie globale4 soit dans celui du secteur public4 soit dans une entreprise particulière .
. . $otions $otions de base base %& odélisation La modélisation d’un problème linéaire consiste a identifier: les variables. Les différentes contraintes au"uelles sont soumises ces
variables. L’objectif visé*optimisation&.
%& Les Les éta étape pess de de mod modél élis isat atio ion n ) )La détermination des variables de décision
les variables x%4x(4G.. n n sont appelées des variables de décision ou variables réelles du problème.
)La détermination des contraintes :
La contrainte peut Htre assimilée 6 un obstacle.tel "ue les limitations tec+ni"ues scientifi"ues4 économi"ues4 les lois de la nature4 les délais4 etc. exemple: x1+2x2 ≤ 10 2x1+x2 ≤ 5 domaine des contraintes 3x1+2x2 ≤ 12 avec: x1 ≥ 0 ;x2 ≥ 0
La détermination de la fonction objectif *économi"ue&
La fonction objectif *économi"ue& est une fonction "ui permet de determiner l’optimum *max de profit Imin des oJt& . Le but du problème d'optimisation est alors de minimiser ou de maximiser cette fonction jus"u'6 l'optimum4 par différents procédés comme la mét+ode grap+i"ue. La fonction objectif est une forme linéaire en fonction des variables de décision de t3pe:
x N Max(ou min)z = c1 x1 + c 2 x 2 +....+c N x oF les coefficients c1,…,cN doivent avoir une valeur bien déterminée et peuvent Htre positifs4 négatifs ou nuls.
#. #. Les different differentes es mét+odes pour résoudre résoudre un problème linéaire l existe plusieurs mét+odes pour la résolution d’un problème linéaire . -ans notre éxposé on va s’interesser juste au trois mét+odes tel "ue: la méthode des acteurs rares
!a méthode "raphi#ue
Les mét+odes pour la résolution d’un problème linéaire
!a méthode simplexe
%& ét+ode ét+ode des des facte facteurs urs rare raress -éfinition du facteur rare:
2n facteur rare est un mo3en mo3en de production production *matiére premiére 4 main main d’oeuvre 4 +eure mac+ine&dans la "uelle on est limité . 9xemple:
1n a une entreprise "ui fabri"ue deux produit produ it A et 5 a l’aide d’une seul mac+ine . Alors pour fabri"uer A il faut (! de mac+ine et pour fabri"uer 5 il faut , +eure . La mac+ine ne peut tourner plus de %CC +eure . -onc pour c+oisir entre ces deux produits sous contrainte de capacité4 les décideurs doivent privilégier le produit pour le"uel la marge par unité de facteur rare est maximale
(& ét+ode grap+i"ue "ue l'utilisation de cette mét+ode est restreinte aux *PL& a3ant un nombre de variables au plus égal 6 ,. l existe ( faKon pour résoudre un PL a partir de la mét+ode grap+i"ue: la mét+ode d’énumeration des sommets la mét+ode des droits paralléles
,& ét+ode simple plexe -ans la plupart des problèmes réels4 on a plus "ue deux variables 6 déterminer. déterminer. 2ne procédure algébri"ue pour résoudre les programmes linéaires avec plus "ue deux variables. 'est la mét+ode de simplexe. 2ne application de cette procédure 6 permis de résoudre des programmes avec un peu plus de "uel"ues milliers de variables. Le programme Lindo supporte au plus (CC variables et %CC contraintes. La mise sous forme standard consiste 6 introduire des variables supplémentaires*une supplémentaires*une pour c+a"ue contrainte& de manière a réécrire les inégalités *≤ & sous la forme d'égalités. +acune de ces variables représente le nombre de ressources non utilisés. 1n les appelle variable d'écart. La forme standard s'écrit donc : A*$& B%CM(CN
SI :
(M,N ≤ OC M;N ≤ C MN ≤ %CC
A*$& B%CM(CN SI:
(M,NMe1OC M;NMe2C MNMe3%CC
#. -éveloppement de mét+ode mét+ode grap+i"ue Principe de mét+ode grap+i"ue :
le principe de cette mét+ode se base sur la représentation des données*contraintes M fonction objectif&d’une maniére grap+i"uement.
Les 3 étapes de $ésolution %raphi#ue : 1
$eprésentation "raphi#ue des contraintes et de la ré"ion réalisa&le
2
$eprésentation de la onction o&'ecti
,
(étermination le point optimum
# la méthode d)énumeration des sommets : -ans la mét+ode d’énumeration des sommets4on se bornera seulement 6 : $ représenter grap+i"uement les droites Q limites *é"uations provenant des iné"uations de départ& .
$ délimiter la frontière de l'enveloppe pol3gonale4 c'est c'est 6 dire 6 construire le domaine d'acceptabilité .
$ remplacer successivement les coordonnées de c+a"ue sommet du pol3gone dans la fonction économi"ue afin d'obtenir la combinaison optimale c+erc+ée*minimum ou maximum&.
# mét+ode des droits paralléles: 9n général4 pour c+erc+er le le minimum4 minimum4 on optera pour le point le plus voisin de l'origine4 alors "ue pour le maximum ce sera le point le plus éloigné. 1n pourra utiliser4 6 la place de l'énumération de tous les points du pol3gone d'acceptabilité4 le procédé "ui consiste 6 déplacer la droite de la fonction économi"ue parallèlement 6 son inclinaison 6 l'origine et en c+acun des sommets du domaine d'acceptabilité. Pour le coJt4 coJ t4 on retiendra la droite la plus voisine de l'origine et pour le maximum4 la plus éloignée. Le premier sommet sera le minimum et le dernier atteint le maximum c+erc+é.
,orme "énérale d)un pro&l-me linéaire:
A *ou $&:
c%% M c(( M G M cnn a%%% a%%% M a%(( M G M a%nn R b% S. a(%% M a((( M G M a(nn R b( GGGGGGGGGGGG.. am1*1 + am2*2 + + amn*n = &m x% C 4 x( C 4 .........4 xn C
9xemple: 1n va maximiser la fonction suivante:
Ma-. 1200 -1 1000 -2 sous les contraintes économiques et les contraintes de signe x( C
, x% M ; x( R %C x% M , x( R %=C x% C T
2n problème linéaire peut Htre résolu de manière grap+i"ue en suivant le processus en trois étapes :
1$eprésentation
2$eprésentation
3 (étermination le
"raphi#ue des contraintes et de la ré"ion réalisa&le
de la onction o&'ecti
point optimum
60
50
%&' $ (&)* '+,
40
8oint optimal
,0
20
10
&éion des solutions admissi7l es
, 1 42 160
0 10
20
,0
40
50
60
0
1
/. pplication: 2ne entreprise fabri"ue ( produits et N. N. Pour sa conception4 c+a"ue produit fini nécessite , produits intermédiaires A4 5 et . Pour fabri"uer un produit 4 on a besoin de ( produits A4 de ( produits 5 et de % produit . -e mHme4 pour fabri"uer un produit N4 on a besoin de ; produits A4 de % produit 5 et de , produits . 9n outre4 l’entreprise dispose d’une "uantité limitée de produits A4 5 et . 9lle a <( produits A4 C produits 5 et ;O produits . Sac+ant "ue le prix de revient de est (C -! -! et "ue celui de N est de ;C -! .
..,: com&ien de produits * et aut4il aut4i l a&ri#uer pour maximiser le proit
Solution: *
678$8 9
A
2
4
92
2
1
60
! 1 , 45 l faut formaliser le probléme sous forme d’un programme linéaire. soient:
x:la "uantité de produit fabri"ué 3:la "uantité de N produit fabri"ué on doit définir les contraintes: 2-,;<
-éfinir la fonction objectif:
La fonction objectif de ce probléme est: BaxMb3 Avec a(C -! et b;C -! Alors4 on veut maximiser le profit 1n note: A B(CxM;C3 Pour conclure on trouve :
A B(C xM;C3 (xM;3 ≤ <( (xM3 ≤ C xM,3 ≤ ;O
0ésolution par la mét+ode grap+i"ue: 1ere:la mét+ode des sommets:
$n a : 2-4; ≤ 92 - ≤ 46=2; : 1ere contrainte 2-; ≤60 ; ≤60=2:2eme contrainte Alors on donne - la valeur 0 et on calcule ; et vice -,; :,eme ≤ 45 ≤ 45=,; 8our la 1ere contrainte-on o7tient le ta7leau versa contrainte x 0 : suivant ;
0
2,
8our la 2eme contrainte on o7tient le x 0 30 ta7leau suivant: ;
60
0
8our 8our le ,eme contrainte on o7tient le ta7leau x 0 5 : suivant ;
15
0
$n o7tient le raphi>ue suivant:
!
(
La solution est dans la pol3gone . Pour "u’on trouve la solution optimal 1n prend c+a"ue sommet et on le calcule dans la fonction objectif B. Pour le sommet 5 on a x,C et 3C -onc B (CU,CM;CUCCC Pour le sommet on a x( et 3 -onc B(CU(M;CU=;C Pour le sommet - on a xC 9/ 3%O -onc B(CUCM;CU%OCC -'oF la solution optimal est la combinaisons:*(T& .a.d fabri"uer ( produit et produit N
(eme)La mét+ode des droites parallèles: 1n résoudre la fonction BC Alors B(C x M;C 3 (C xM;C 3C c.a.d "ue (C x);C3 x)( 3
x
0
42
;
0
1
=2
1n trace la droite BC 1n trace les parallèles de cette droite passant par les sommets les plus éloignés correspond au A
1n trace ces points et on obtient le grap+e suivant: 60 2-; 60 55 50 45 40 ,5 ,0 25 20 15 10 5 0 5
=10 =5 =5 = 10 = 15
10
15
20
8oint optimal 2-4; 92 25
,0
,5
40
45
-,; 45
?0
#.onclusion:
= e r c i p o u r v o t r e a t t e n t i o n
