Conversaciones Matematicas Con Maria Antonia Canals

Conversaciones matemáticas con Maria Antònica Canals

O como hacer de las matemáticas un aprendizaje apasionante Purificación Biniés Lanceta

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Conversaciones matemáticas con María Antonia Canals O cómo hacer de las matemáticas un aprendizaje apasionante Purificación Biniés Lanceta

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Biblioteca de Aula

I 247

Biblioteca de Aula Serie Didáctica de las matemáticas

* Purificación Biniés Lanceta * de esta edición: Editorial GRAO, de IR1F, S.L C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona

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I.1 1edición: septiembre 2008 ISBN: 978-84-7827-652-3 OL: 8-36.709-2008

Diseño de cubierta: Xavier Aguiló Fotografías [de cubierta e interior): Rafael Bosch Impresión: Imprimeix Impreso en España

Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o almacenamiento total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la por­ tada, asi como la transmisión de la misma por cualquier medio, tanto si es eléctrico como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización escrita de los titulares de! c o p y rig h t.

Los m aestros han de ser felices haciendo m atem áticas, de ese m odo los alum nos tam bién lo serón. {M.;i Antonia Canals) ¿o

educación no es lle n a r n i acum ular, la educación es encender. (Jo rg e W a g e n s b e rg )

Indice Prólogo, Claudi Alsina

Introducción

I 7

j 9

Hablemos de «mates» ! 9

El personaje

| 11

1.

Aquello que es fundam ental

2.

El problema de los problemas

3.

Aproximación didáctica a los cuatro grandes bloques de las m atemáticas

[ 23

| 33

4.

Algunos puntos débiles

5.

Escuela y educación

Epílogo

[1 3

{ 47

I 55

1 61

Opiniones sobre las matemáticas y su enseñanza en la escuela [ 63

Anexos

| 73

!.

Decálogo para trabajar con materiales manipulables, por M.; Antonia Canals j 75

I!.

Decálogo de la Didáctica de la Matemática, por Pedro Puig Adam | 77

III. A los niños y niñas, por M.3 Antonia Canals | 79 IV. Extracto del discurso de M.a Antonia Canals en la entrega del Premio Sánchez Vázquez, 2007 [ 81 V.

Extractos de la conferencia de M.3 Antonia Canals, organizada por el CREAMAT | 83

VI. Testimonios de maestros en torno a las ideas sobre didáctica de la matemática de la profesora M.3 Antonia Canals I 85 Vil. Algunos recursos para el área de matemáticas | 89

Agradecimientos | 93

5

Claucli Alsina j Caíala Éste es un libro muy especia! que nos presenta, en formato periodísti­ co ele entrevista, el testimonio pedagógico de una maestra de maestros: la estimada profesora M.s Antonia Canals. Al margen de unos interesantes ane­ xos recopílatenos e informativos, el eje vertebrador de este pequeño volu­ men es ia expresión contundente y consecuente de alguien como M.;í Antonia Canals que, por su trayectoria profesional, se ha convertido en un referente para la educación matemática escolar de nuestro país. Muchas personas del mundo educativo han tenido ocasión de escu­ charla en directo, en los cursos y conferencias que ha impartido en tantos lugares y desde siempre. Ahora, leyendo esta larga entrevista, tenemos la oportunidad de reflexionar sobre io que nos dice y, además, de reconocer el discurso coherente que sigue haciendo y que mantiene desde hace ya varias décadas. A lo largo del texto, leyendo lo que dice (y observando también lo que no dice] se van descubriendo las diversas facetas de su visión pedagó­ gica. He aquí algunas de las que me gustaría resaltar en este prólogo: En primer lugar, ¡a claridad de las originales y personales ideas de M.;¡ Antonia Canals, Realizando una labor que es fruto de una larga expe­ riencia como maestra y como formadora de maestros, ha llegado a una serie de principios para la mejora de la educación matemática, principios que aquí expone de forma precisa, con la inequívoca voluntad de invitarnos a seguir­ los. Sabe ¡o que hay que hacer y lo dice. Todo dicho con sencillez, pero con contundencia, partiendo desde el ejemplo personal y no como resultado de una selva de bibliografías consultadas. Hoy, cuando el mundo de la didácti­ ca de la matemática se convierte, a menudo, en una ingeniería de papel ava­ lada por investigaciones anglosajonas, testimonios claros y directos como los de M.a Antonia Canals tienen el valor añadido de ser accesibles y educativa­ mente impiementables. En segundo lugar, la visión critica de M.a Antonia Canals, resaltando todo lo que no hay que hacer, o lo que se hace mal, o lo que es francamen­ te mejorable, al basarse en el aval de su propia experiencia educativa, se convierte también en una guía para introducir cambios. Leyendo algunas de sus críticas generales, sutilmente presentadas a través de ejemplos con ere-

tos, me ha venido a la memoria aquel dicho que dice «si haces siempre lo que ya hacías, obtendrás siempre lo que ya obtenías». Lo bueno de todo esto es que ¡VL:i Antonia Canals une a la crítica la mejor alternativa positiva, desde ei uso de sus apreciados materiales manipuladles a la capacidad de observa­ ción, logrando así fomentar la creatividad. En tercer lugar, quiero destacar la esperanza de M.n Antonia Canals en un mundo mejor a través de una mejor escuela. A pesar de todos los pro­ blemas que ve, ella continúa animándonos a hacerlo mejor, a romper ruti­ nas de cálculo, a probar cosas nuevas, a no perder nunca en las clases el buen oficio de enseñar, de comprender y de sorprender. Y toda esta fuerza se nos pide teniendo muy en cuenta a los niños y niñas, que son quienes me­ recen todo el esfuerzo. Más allá de asociaciones, pactos, leyes, infraestruc­ turas y un largo etcétera, Canals piensa en todo momento en estos niños y niñas que han de poder disfrutar de una matemática más viva, más útil para todos y más motiva dora. Durante años, no es ningún secreto, M.;1Antonia Canals se ha dedica­ do, por afición, a la escalada. Esta afición la ha seguido acompañando, pero ha cambiado las montañas catalanas por una cumbre más ambiciosa, la de la buena formación matemática de las nuevas generaciones. Cuando se al­ canza una cumbre geológica, al orgullo de la meta conseguida sólo es razo­ nable añadir e! sentido común de volver hacia abajo. Cuando la cumbre es educativa, no se consigue nunca llegar a la cumbre, pero es la emoción de hacer ei camino en buena compañía lo que motiva a ir hacia arriba. La periodista Purificación Biniés ha llevado a cabo un buen trabajo, ha­ ciendo posible esta minuciosa entrevista, sabiendo extraer y transcribir las muchas ideas de M.a Antonia Canals. Desearía enormemente que los lectores de esta obra disfruten de su lectura, de la reflexión sobre la misma y que, si pertenecen al mundo edu­ cativo, lleguen a hacer suyas las ideas que aquí defiende una mujer que ama profundamente lo que ha hecho siempre y aún hoy continúa haciendo.

8

Introducción ¿Son Inexorablemente difíciles las matemáticas? ¿Qué está pasando en las escuelas y en los institutos para que ésta sea una de las asignaturas más suspendidas? ¿Hay que revisar currículos y didácticas? ¿Es posible disfrutar aprendiendo matemáticas? ¿Existen claves didácticas que ayuden a que esta asignatura deje de ser la pesadilla de la mayoría de alumnos y de muchos maestros? ¿Cuál es la situación actual y qué es necesario cambiar en la en­ señanza de las matemáticas? Desde las Conversaciones matemáticos con M " Antonia Canals iremos desgranando todas estas preguntas y apuntando respuestas que puedan orientar a los maestros en su práctica educativa. Entre las diferentes respuestas y aspectos, abordaremos uno funda­ mental: para ayudar a los alumnos a entender los conceptos matemáticos hay que llevar el aprendizaje por ei camino de una comprensión que procu­ re el propio descubrimiento, y no por los caminos, tan fáciles como débiles y falsos, de la mecánica. Ir por el camino de la comprensión, un requisito fundamental en el pensamiento matemático, es tener en cuenta los con­ dicionantes de cada alumno (etapa de desarrollo, conocimientos previos...) y crear, como maestros, las condiciones (didácticas, materiales, metodoló­ gicas...) que antepongan la comprensión a la respuesta dictada o ía mecánica aprendida.

Hablemos de «mates» La primera entrevista con la profesora M.a Antonia Canals, para hablar de matemáticas, la tuvimos cerca de Breda (Girona), entre un Montseny pró­ ximo y sereno y un Montnegre que guarda, detrás de él, la inmensidad del mar. Quiso situarse geográficamente mirando las montañas y recordó cuan­ do iba con sus alumnos de la escuela Ton i Guida’, en Barcelona, a ver, tocar y pisar... montañas y ríos, porque ése era el tema que estaban trabajando en

1. Escuela fundada por M.-1 Antonia Canals, en 1962, símbolo de la renovación pedagógica y en estrecho contacto con un contexto socioeconómico desfavorable.

9

clase. «Aquel mismo curso vino un alumno nuevo que se sabia todos los ríos de España, era impresionante)), me dijo en tono confidencial. «Yo le pregun­ té si había visto algunos de esos ríos y me dijo que no. Entonces le pregun­ té que cómo se imaginaba él que debía ser de grande uno de esos ríos del mapa, si como desde la escuela hasta la plaza Cataluña, o más pequeño, o más grande aún. Él, dudoso, acabó representando con sus dedos la distancia que aquel río ocupaba en el mapa... Qué triste, ¿verdad? Esto es lo que nunca debería ser la enseñanza, en ninguna materia. En matemáticas, esta tendencia a alejar el máximo posible los conocimientos de la realidad de los alumnos es muy preocupante, es uno de los errores más grandes». Así es como empezamos a hablar de la enseñanza de las matemáticas, sin demasiado optimismo, por cierto. Porque desde los errores del pasado pasamos a los errores del presente. De todas formas, e! optimismo requiere siempre partir de lo imperfecto, de aquello que se puede mejorar, pero, sobre todo, de aquello que creemos que se puede mejorar con esfuerzo y trabajo. En este sentido, el optimismo fue ocupando poco a poco su lugar en nues­ tra conversación, día tras día, entrevista tras entrevista. Desgranando ios errores, lo que hay que mejorar, fuimos llegando a lo que pensamos que hay que hacer. Y esto es, sin duda, el verdadero optimismo, todo un motor de cambio. Os invitamos a participar de estos diálogos, de estas reflexiones sobre las maneras de enseñar bien las matemáticas, fundamentalmente en la edu­ cación primaria, que es el lugar donde se levantan los fundamentos del pen­ samiento

lógico (aunque,

inevitablemente, hablaremos también de la

educación secundaria). Como nos dice la profesora M.a Antonia Canals, «es imprescindible en­ señar bien las matemáticas para que los alumnos las aprendan de verdad». Con este objetivo iniciamos estas Conversaciones. Deseamos que sean una herramienta útil y provechosa para el profesorado.

10

Maria Antonia Canals (Barcelona, 1930), licenciada en Ciencias Exactas ~ Matemáticas- por la Universidad de Barcelona. Trabajó como maestra de edu­ cación infantil en la escuela Thalita y creó la escuela Ton i Guíela, de la que fue directora (1962-1979), escuelas comprometidas a nivel social y pedagógico. Pro­ fesora de didáctica de las matemáticas en la Universidad Autónoma de Barce­ lona, en la Universidad de Vic y en la Universidad de Girona. Como formadora de maestros, ha impartido cursos de didáctica de las matemáticas en 41 escue­ las de verano de Cataluña, y en otras a nivel estatal. Cofundadora de la Asocia­ ción de Maestros Rosa Sensat (1965), y de diversos Grupos de maestros sobre didáctica de la matemáticas, entre ellos el Grupo Petimetre de Girona. Impulsó la creación y fue la primera presidenta de ia FEEMCAT (Federación de Entidades para la Educación Matemática). Con la dotación dei Premio Jaume Vicens Vives, concedido por la Generalitat de Catalunya (2006), ha creado el GAMAR (Gabinet de Materials i Recerca per la Matemática a ¡'escola) que actualmente dirige. Du­ rante el curso escolar imparte cursos de formación permanente, sobre didáctica de las matemáticas, a nivel de Cataluña y de todo el Estado.

11

Premios recibidos ■ Medalla President Maciá (medalla del trabajo, Barcelona, 13 de abril de 1984). -

Premio «Mestres 68», por ¡a renovación aportada al campo de la di­ dáctica de la matemáticas y al concepto de educación infantil (Giroña, 17 de diciembre de 1994).

-

Insignia de plata de la FEEMCAT (julio del 2000), Insignia de oro de la Universidad de Vic (17 de octubre de! 2000).

«

Profesora emérita de ia Universidad de Girona (4 de octubre de 2001).

*

Distinción Ja time Vicens Vives «a la calidad en la docencia universitaria» de la Generalitat de Catalunya (4 de octubre del 2001).

-

Cruz de Sant Jordi de la Generalitat de Catalunya (25 de septiembre del 2006), por su trabajo en la formación de maestros, sus publica­ ciones matemáticas y su acción en la escuela Ton i Guida.

.

Premio Gonzalo Sánchez Vázquez, de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM, julio de 2007).

Aquello que es fundamental Dotar de significatividad a la matemática es el gran reto que debemos afrontar para una innovación didáctica que permita a todos hallar gozo y satisfacción en su aprendizaje. V" esto se consigue cuando uno mismo descubre la necesidad de su uso para entender y comprender ¡os hechos de la vida; pero, también, para hacerse comprender o para poder explicarse. Es a partir de esta intercomunicación, que requiere el dominio de su simbologta específica pero arbitraría, que se podrá conquistar la comprensión semántica de las matemáticas y por lo tanto se podrá hallar el sentido de lo que son y para lo que sirven. (Josep Cal lis)

Como m aestra de niños y niñas de prim aría, como maestra de m aes­ tros, ¿cu á l diría que es ef pilar fundam ental de la enseñanza de las m ate­ m áticas? Hay dos pilares fundamentales y uno de ellos es el conocimiento de !a materia. Quizá en otras profesiones no sería necesario decir esto porque sería una obviedad, es obvio que no se puede enseñar aquello que no se sabe, o que no se sabe en profundidad. Pero yo me he encontrado con muchos maestros, en los cursos que hago, con un conocimiento muy deficiente de la lógica matemática, de los números..., y sobre todo de la geo­ metría.

Uno de los pilares funckimcnrales de la enseñanza cíe las matemáticas es el conocí mien­ to de la materia. Otro, una buena didáctica, elemento irnprescmawie para tine el saber de una persona se convierta en ei descubrimiento o hallazgo de otros.

Por lo tanto, aquella anécdota del maestro que decía «expliqué el pro­ blema una vez y no lo entendieron, lo volví a explicar y tampoco ¡o enten­ dieron, lo expliqué una tercera vez y entonces quien lo entendió fui yo», es bastante real... Sí, lamentablemente. Y cuando no se domina la materia lo que se hace es enseñar la mecánica, porque un maestro que no conoce suficientemente los razonamientos matemáticos no puede ayudar a su desarrollo. En con­ secuencia, los alumnos no practican la auténtica matemática, sólo hacen mecánica de la suma, de la resta, de la división... sin acabar de entender el concepto matemático en sí. Hay falta de competencia en la materia entre los maestros de matemáticas, incluso muchas veces imparten esta asignatu­ ra maestros de especialidades que prácticamente no han hecho nada de matemáticas en la carrera de Magisterio. Y también hay maestros que saben muchas matemáticas pero no fas saben explicar a Jos alumnos... Efectivam ente, y éste es el otro pilar, una buena didáctica. Hay ma­ estros, y muchos licenciados, que saben matemáticas pero a les que les falta pedagogía, saber explicar. No dominan la didáctica, que es la inte­ rrelación entre el dominio del propio saber, del contenido, y la capaci­ dad de explicarlo a otros, de modo que esos otros hagan «su propio descubrimiento» del concepto. Asi que soy un poco pesimista porque a menudo veo que en la enseñanza de las matemáticas se juntan estos dos disparates: ¡a falta de dominio de la materia y la falta ele una buena pe­ dagogía, de una didáctica que lleve a una firme adquisición de concep­ tos. De todas maneras, también puedo ser un poco optimista porque últim am ente en muchas escuelas de magisterio se están enseñando mejor las matemáticas, hay buenos expertos en su didáctica, y también me encuentro con más maestros interesados en ir mejorando su manera de enseñarlas. ¿Cuáles serían las bases de una buena didáctica de las m atem áticas? El objetivo de la didáctica, en general, no es enseñar a los alumnos sino conseguir que los alumnos aprendan. Enseñar es un concepto insufi­ ciente, no garantiza el aprendizaje, que es un proceso sobre todo perso­ nal en el que el verdadero protagonista es el propio alumno. La base de toda buena didáctica que ayuda a aprender es partir de la propia experiencia del alumno e introducir un interrogante. Como

14

decía la doctora Montessori, «el niño tiene la inteligencia en la mano», es decir, todo lo que se palpa a nivel sensorial llega al cerebro. La experi­ mentación de los niños es fundamental, por lo tanto, para el aprendizaje. El pen-

La

nuuupula clora

el movi-

objetos, ele la experiencia, de la propia

miemo y ía cay. a a, .■:/&■/ ím son las bases que nos permiten ir haría la construcción y e¡>¡ruciara-;óa ha 1 m ■..>mi -.no tópico, que es básico m l m m u -

rea 1idad cotidiana2. Los materiales nía-

temáticas.

samiento lógico se va estructurando, se va

consolidando,

m adurando,

hasta

hacer posible la construcción de conceptos, a partir de la acción sobre los

nipulables son, por lo tanto, fundam en­ tales en la enseñanza de las matemáticas. Es muy diferente aprender a contar haciendo una ficha con dibujos que hacerlo con objetos reales que el niño toca, mueve, junta, separa... No podemos tener a los alum ­ nos sentados en las mesas, delante de un papel, la mayor parte del tiem ­ po. Así aprenderán muy poco. El movimiento global -caminar, correr, subir, deslizarse... en espacios amplios-, el entorno que nos rodea como referente, como experiencia próxima, y la experimentación, con la mani­ pulación de objetos concretos, son las herramientas básicas que ayudan a la estructuración del pensamiento. La percepción interna que procuran los propios sentidos es la base que permitirá al niño, más adelante, elaborar con buenos fundamentos los conceptos3. Pero no debemos olvidar el in­ terrogante.

2. «La enseñanza de las matemáticas es la capacitación en unos aspectos que no son solamente matemáticos, aspectos relacionados con las cantidades y el espacio que son importantes para vivir. Esta capacitación arranca de la vida misma. Por eso será tanto más auténtica cuanto más se vaya desarrollando sin separaría de la vida. La verdadera actividad matemática es continua y glo­ bal, y forma parte del crecimiento harmónico de cada persona. Como tal, abarca todos los ámbi­ tos, y no solamente el ámbito escolar». (M.1 Antonia Canals: «Visión general de las matemáticas en la escuela». Jornadas del Grupo Perímetro, 16 de abril de 2005) 3. «En el camino de lo concreto a lo abstracto, el primer paso es la manipulación, es decir, la acción sobre los objetos, y conviene, a pesar de las dificultades que pueda suponer para el ma­ estro o la maestra, no olvidar este aspecto [...] puesto que son las acciones las que desencade­ nan el pensamiento y sobre las que se pueden construir las representaciones [...] El material que ponemos al alcance del alumno tiene un papel fundamental [...] Pero la verdadera actividad matemática es mental, aun teniendo su punto cíe partida en la manipulación

Algunos as­

pectos en matemáticas, como ia geometría, además de la manipulación requieren una vivencia motriz de todo el cuerpo, que a menudo se concreta en desplazamientos». [D isse n y C u rh c u fo r p e r a l'E n s e n y a m e n t de ¡es M a te rn o tiq u e s a P rim a ria . Departament d'Educació, Generalitat de Catalunya, 2000)

15

¿Qué quiere decir con «el interrogante»? Pues que la experimentación no es suficiente. La experimentación es la base que nos conduce hacia el pensamiento lógico, que nos ayuda a estruc­ turarlo. Pero la experimentación por sí La

-/■'/,.

sola no nos lleva al aprendizaje, es nece­

sito, no nos lleva ai aprenánti-

sario también, cuando experimentamos,

je. dar. \h car iv

-y. o cíe -u-

introducir un interrogante. Un interro-

. -trdadav

gante relacionado, además, con la expe-

aro. q\:e e. aprc. e¡ o d a

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ciencia y e! entorno de vida del propio

. : ¡.¡i

: -fin

alumno. Esto es básico para que haya

i. vé#- ■tu hr

V--.,. qy ■ha

aprendizaje. Que el mismo niño sienta la

meado..., y busque respuestas.

necesidad de encontrar la respuesta a un

La matemática, y en general

problema, a una cuestión que no sabe

toda ciencia, i;. -.er pee períenda.

mt

se sí arte de

cómo resolver, que sea su propio interés

1 s -de ís ex-

lo que le lleve a querer descubrir cómo es tai cosa, cómo puedo resolver aquello otro. Si no hay interrogante no hay eviden­

cia del problema con el que nos encontramos, y por lo tanto no se produce descubrimiento alguno. El verdadero aprendizaje es el propio descubrimien­ to, ya lo decía Freinet. Desde la escuela hay que apostar por el deseo y la ca­ pacidad de descubrir. Hay que trabajar, en definitiva, para favorecer entre los alumnos un espíritu científico, que ellos mismos se hagan preguntas e in­ tenten hallar respuestas. Naturalmente para el maestro es más complicado trabajar así. Es mucho más fácil decir «mirad, niños, para resolver tal cosa debéis hacer esto...», pero eso no es educación, eso es adiestramiento, eso no permite descubrir por uno mismo ni, por lo tanto, aprender de verdad. Dic­ tar conocimientos no es construir aprendizajes. El interrogante, además, nos hace ir más allá de la experiencia, porque la experiencia es el punto de par­ tida pero resulta insuficiente, por sí sola, para estructurar el pensamiento ló­ gico de los niños y construir aprendizaje. En este sentido, la matemática, y en general toda ciencia, es el arte de hacer pensar a partir de la experiencia. ¿Hacia dónde vamos, en definitiva, introduciendo el interrogante? Con el interrogante provocamos un diálogo sobre aquello que hemos visto, o tocado, o sentido... Pensamos, dialogamos internamente sobre ello, y este diálogo, este «hacernos pensar», nos lleva a establecer relaciones. Y así ya tenemos lo que es fundamental: hemos implicado el pensamiento lógico en la experiencia, es decir, empezamos a establecer relaciones -ordenar, cía-

sificar, diferenciar...-. Es muy importante el hecho de favorecer que los alum­ nos establezcan relaciones mentales porque, como decía Maria Montessori, es así, relacionando, como los alumnos van «ordenando su pensamiento». Las re­ laciones mentales desarrollan la lógica, que es la base del pensamiento y, muy especialmente, del pensamiento matemático. Estableciendo relaciones desde la experiencia, se va estructurando el pensamiento lógico que, en un proce­ so de progresiva complejidad, poco a poco, permitirá a los niños entender, ir construyendo, conceptos básicos como son la cantidad, el conocimiento de los números, las propiedades geométricas, etcétera. El desarrollo del pensamiento lógico seria, por lo tanto, un proceso, con unas etopos que no nos deberíamos saltar... Yo creo que sí. Y conocer este proceso y saber en qué etapa del desarro­ llo del pensamiento lógico se encuentra el alumno es fundamental en la prác­ tica docente. Porque un niño, dependiendo de la etapa de desarrollo lógico en que se

bar na ¡

encuentre, podrá o no podrá entender, por

■ - m cus-a a ¡a etapa

ejemplo, el concepto de medida, de número -natural, fraccionario, decimal..,™, de

v ; ana

v;

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•.<;•••• •• ; ?

línea recta, de poliedro o de cualquier otra

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de las nociones fundamentales de las nía-

ríd>..- r íes en •

temáticas. El buen horticultor se acerca al

■auihríuuica

rían- aámü-

árbol muchas veces para ver como está la fruta, pero sólo la coge cuando está madura. No sucede igual, lamentable­ mente, muchas veces en la enseñanza. Y así se van dictando conocimientos, uno detrás de otro y cada vez más complejos, sin una plena adquisición de los anteriores, sin una verdadera comprensión lógica, sin un descubrimiento pro­ pio del concepto anterior. En los institutos de Secundaria, donde la falta de preparación en ia didáctica de la materia es muy preocupante, se imparten conceptos que es imposible entender si no se entienden otros conceptos pre­ vios. Pero hay profesores que sólo se preocupan de «acabar el programa» y con ello abocan a muchos alumnos al fracaso escolar, evidentemente. En una buena escuela, los niños están por encima de los programas, y aquello que es importante para los alumnos ha de ser prioritario. ¿ Y qué lugar ocupa en la didáctica el alumno -niño o joven-? Debería ocupar un lugar central. Ninguna didáctica tendrá éxito sin un conocimiento particular de cada alumno. La conexión personal con el niño,

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la comprensión de sus necesidades y características ps también el punto de partida imprescindible a partir del cual se pueden probar diferentes estrate­ gias didácticas que le ayuden a jnteresar•

-

.,,; V. . i

se y a adquirir nuevos aprendizajes. Las ;. / /dddi■/:v/ = .: i, -

recetas para todos no funcionan nunca. EI

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aprendizaje es un proceso personal, in-

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transferible, que depende también de las características, circunstancias personales,

etc., de cada niño. La maduración de cada alumno, respecto a su capacidad de adquirir o no determinados conceptos o capacidades de razonamiento ló­ gico, tiene un tiempo absolutamente personal, es un proceso vital propio. En la escuela, como ya he dicho, nos empeñamos a menudo en enseñar con­ ceptos a los alumnos cuando aún no han adquirido plenamente el concep­ to

previo

necesario

para

llegar al siguiente.

Los niños saben sumar

fracciones, hacen el común denominador sin quizá haber comprendido re­ almente el concepto de fracción. Incapaces de ver, a primera vista, que 2/4 es igual que 6/12. Y es así como arrastramos a los niños al callejón sin sali­ da que es la mecánica. Hay que entender la educación como un fenómeno vital, con unos ciclos propios que se suceden los unos a los otros, que se van ampliando, en el que el ciclo posterior necesita del anterior para poder rea­ lizarse y en el que ei ritmo lo marca el propio sujeto. Cuando tenemos prisa por enseñar nuevos conceptos, sin que se hayan entendido bien los anterio­ res, elejamos de lado la comprensión. ¿Y qué sucede cuando abandonamos ici comprensión y vamos por el comino de ia m ecánica? Pues que muchos niños, cuando llegan a ia mitad o a finales de la pri­ maria, se cierran a las matemáticas porque no las entienden. No han hecho un buen aprendizaje de los números, ni ■u.í; *

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la fv ;am en-dra.

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de las categorías geométricas de las figuras, y les falta mucha práctica en razona-

i„» v r u

miento lógico, estrategias, simbolismo...

ios alumnos ai fracaso escolar.

En consecuencia, les cuesta mucho en­ tender el lenguaje algebraico y se estre­

llan contra el álgebra al llegar a secundaria. Dicen que Pitágoras no resolvía nunca una raíz cuadrada, que las resoluciones de las operaciones las hací­ an los esclavos. Pues en la escuela tenemos a Sos alumnos, mayoritariamente, haciendo este «trabajo de esclavos», resolviendo mecánicamente

operaciones cuyo sentido, además, no comprenden. Yendo a la mecánica, sin asegurarnos de que hay una comprensión previa del concepto que se está trabajando, es ir directamente hacia el fracaso escolar en matemáticas. La mecánica, sin comprensión, como camino es un falso camino y como re­ sultado no es nada. Por lo tanto, si conseguimos llegar a la comprensión estamos en el final del proceso, entendemos los conceptos matemáticos y los podemos aplicar a fa realidad... No del todo, porque la comprensión no es aún el último paso. Nin­ gún conocimiento es completo si no lo sabemos expresar. La expresión nos ayuda a concretar el pensamiento, a interiorizar el

concepto y, en conse-

es

cuencia, a poderlo aplicar a la realidad.

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Es muy importante que el alumno sepa

•.•••

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explicar lo que pasa, qué problema hay, cómo lo ha conseguido resolver... prime­ ro con la expresión verbal, después con la expresión escrita -dibujo o texto- y, finalmente, mediante el lenguaje matemático -números y sig­ nos™ que ha de ser el final ele todo el proceso. Es una barbaridad iniciar el aprendizaje de las matemáticas directam ente con el lenguaje numéri­ co pero, lamentablemente, es So que se hace en muchas escuelas. Después, en la Secundaria obligatoria, a estos déficits en los fundamentos se añade un curriculo y unas didácticas inadecuadas. Y, naturalmente, el fracaso es sonado. Efectivamente, el número de suspensos en matemáticas en secunda­ ria aumenta significativamente respecto a la primaria. ¿Qué debería hacer un maestro de secundaria cuando más de la mitad de la clase suspende m atem áticas? Todo menos suicidarse. Los maestros nos deberíamos aliar más con los alumnos en lugar de enfrentarnos, porque el enfrentamiento es un fracaso para ¡a acción educativa. En primaria no hay este enfrentamiento y tampo­ co debería de haberlo en secundaria. También es cierto, como ya he dicho, que los alumnos, en general, llegan mal preparados a la ESO, lo que aumen­ ta las dificultades. Pero esto no debería ser nunca una excusa para dejar de intentar desele un principio conectar con los alumnos porque, ele lo contra­ rio, en vez de progresar se irán hundiendo.

¿Po r qué a la mayoría de alumnos normalmente no les gustan las m a­ tem áticas? Porque los niños se interesan por aquello que les es útil, por lo que tiene relación con su propia vicia. Las matemáticas que se hacen en la es­ cuela son, mayoritariamente, un listado de ejercicios mecánicos que no tie­ nen nada que ver con la vida de los alumnos y, claro, los niños se aburren. Se trata de una defensa psicológica de ios niños. ¿Son difíciles, por ellas mismas, las m atem áticas? Sí que lo son. Aunque todas la ramas del saber son difíciles para unos y fáciles y atractivas para otros. Lo que sucede con las m atemáticas es que tienen un lenguaje propio que no se en,4. mucho--: y

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tas matemáticas porqa . mi y ■'oíy:- . v .. :nre a d y

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"en útiles para su vida.

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tiende de manera espontánea y que, por lo tanto, es necesario dominar. Los conce píos matemáticos son, además, conceptos

abstractos

que

resulta

difícil

enseñar. Esta singularidad de las mate­ máticas supone una mayor dificultad en

su proceso de enseñanza-aprendizaje. El lenguaje oral o escrito se puede enseñar, pero el lenguaje matemático, para ser entendido, ha de ser des­ cubierto por uno mismo. Para hacer m atemáticas hay que hacer abstrac­ ciones, sino estaríamos haciendo conocimiento del medio. La didáctica de la matemática es acompañar en este paso de lo concreto a lo abstracto y en el aprendizaje de su lenguaje. Que sean difíciles no quiere decir, no obs­ tante, que no sean preciosas, también es difícil interpretar el lenguaje mu­ sical o subir ai Everest. La enseñanza de las matemáticas, como la educación, es un arte. Esta actitud de rechazo de los alumnos hacia las matemáticas, o hacia cualquier ciencia, tiene, ahora y siempre, un sentido clarísimo de rechazo a unas clases poco adecuadas, apenas basadas en la experiencia y el deseo de conocer la realidad, y nada interesantes para los alumnos. Por el con­ trario, he visto algunas escuelas excelentes en estos aspectos. Sus alumnos además de seguir bien los contenidos, lo hacen con esfuerzo, están orgu­ llosos de aprender y son felices, jLástima que escuelas así haya tan pocas en nuestro país! Para mí son un testimonio de esperanza que me permite creer que una buena educación no escatima esfuerzo a los alumnos, que nuestros niños y niñas son personas sanas, con ganas de crecer, de descu­ brir y ele avanzar.

20

¿C u ál seria d objetivo fundam ental que un maestro se ha de plantear cuando enseña matemáticas, cuando propone alguna actividad a sus alum nos? El primer objetivo de un maestro de matemáticas debería ser interesar a sus alumnos y conseguir que disfruten descubriendo los secretos de (os nú­ meros y de las formas, y que quieran avanzar, aprender más. Y el segundo objetivo, ayudar a los alumnos a descubrir las relaciones matemáticas que hay en distintos ámbitos de la realidad, en el mundo que nos rodea y en todos los fenómenos -física, música, etc.- y a continuación aplicarlas. De­ bería de llegarse a trabajar las matemáticas junto con las otras materias, porque están en ellas. Es muy importante que aquello que se está enseñan­ do o proponiendo haga pensar a los alumnos, que les lleve a querer investi­ gar, buscar respuestas, resolver. Y para que esto sea posible el alumno ha de ver que lo que le proponen tiene una estrecha relación con la vida y con el progreso del mundo.

El problema de los problemas Cuando los alumnos vean que acogemos y valoramos su esfuerzo en intentar resolver un problema, lo que han pensado (a menudo tan diferente de lo que nosotros hablamos previsto), nuestros alumnos se adherirán con gusto a la nueva manera de «hacer problemas». (M.;i Antonia Canals)

Si las matemáticas son la pesadilla de muchos alumnos, los problemas son el peor de los enemigos... ¿Qué pasa con los problemas? Los problemas requieren ingenio, hacer funcionar la lógica, imagina­ ción, búsqueda de estrategias... Los problemas son siempre situaciones ines­ peradas, no hay adiestramiento posible para resolver un problema. Por muy claro que tengan los conceptos, sin todo lo an-

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terior no 1ó' podrán resolver. Y como esta­ mos haciendo una enseñanza mecánica, como entrenamos poco a los alumnos para pensar ante situaciones nuevas, delante de un problema tiem­ blan ya ele entrada. Y el drama es que los problemas son, naturalmente, un eje transversal, deberán enfrentarse a ellos desde diferentes conceptos ma­ temáticos, desde diferentes asignaturas a lo largo de toda la escolaridad. Y lo que es más importante, a lo largo ele tocia su vicia. El error, de entrada, es que muchos alumnos, inseguros delante de un problema, intentan «adivinar» cuál es la operación que tienen que realizar, suma, resta, división... Y son muchas veces los propios maestros quienes les llevan a este error inicial de actitud con preguntas como «¿qué tienes que hacer, una suma o una resta?». Éste es el camino contrario al razonamiento.

Cuando yo era joven teníamos unas charlas semanales con el pedagogo Ale­ xandre Gal i4 y me quedó grabada una idea fundamenta! que dijo: los pro­ blemas primero hay que pensarlos, hemos de pedir al niño que haga un trabajo mental, que nos explique qué pasa, qué pasará, cómo cree que se podrá resolver la situación... antes ele darle papel y lápiz para que haga ope­ raciones, de lo contrario podríamos caer en el error de pensar que resolver un problema es hacer una operación o aplicar un fórmula adecuada y ya está, A partir de tercero de primaria, decía Galí, es una edad prudente para que los niños empiecen a expresar con operaciones aquello que antes han pensado y calculado mentalmente. Esto es, por lo tanto, lo más importante que deberíamos tener en cuenta como docentes en nuestra didáctica, que los problemas son para pensar y descubrir alguna manera de resolverlos, no para calcular. Yo aconsejo a los maestros que, al plantear un problema, no pregunten a los niños «qué operación hay que hacer», y no siempre lo consiguen. Además, aunque no lo digan, si lo piensan, si en realidad lo que esperan es que los alumnos apliquen la operación adecuada, sin más, los niños lo captan y únicamente intentan hacer eso. Lo que más capta un niño del adulto son sus intenciones. ¿En qué sentido dice esto? En el sentido de que las intenciones del adulto, lo que en realidad, en el fondo, quiere el adulto, tiene un peso importantísimo a nivel afectivo, emocional, en los niños. Nos quieren complacer porque necesitan nuestra aprobación -siempre y cuando nos vean de su parte, tanto cuando los apo­ yamos como cuando ¡es regañamos-. Explicaré un caso particular. Mi sobri­ na, entonces tenía ocho años, llegó a casa con un problema que hablaba de la altura de tres montañas y ie pedían, en la pregunta deí problema, que dijera la altura de las tres m ontañas juntas. Los mayores, al ver que el problema se «esforzaba» en alejarse todo lo posible de la realidad, se inter­ cambiaron miradas riendo. La niña se dio cuenta, se quedó pensativa unos momentos y de pronto dijo: «¡Ah! Ya sé por qué os reís, porque es imposible juntar las tres montañas una encima de la otra». Su padre, contento por el razonamiento absolutamente lógico de su hija la animó a escribir esta res­ puesta en su cuaderno. Al cabo de un momento, la niña se puso seria y em­

4. Alexandre Galí i Col! (Camprodon, 1886. Barcelona, 1969}, pedagogo catalán impulsor de la escuela activa.

pezó a llorar diciendo: «No puedo escribir eso, no me podéis pedir que es­ criba eso». «¿Por qué no?», preguntó ei padre. Y ésta fue la respuesta de la niña: «Porque yo creo que lo que quiere la señorita es que yo sume». Es tris­ te porque, para complacer a la señorita, la niña no se sentía líbre de dar su propia respuesta, a pesar de ser tan correcta como la ele la suma, aun sien­ do más lógica que la de la suma, aun siendo una respuesta correctamente pensada. Pero mi sobrina había captado perfectamente que la maestra no les estaba pidiendo que pensaran, sino que hicieran sumas. E intuía que su respuesta razonada no le gustaría nada a la maestra, que no le contaría «bien» el problema. Este curricula oculto de las intenciones deja muy clara una norma establecida que dice «No pienses, haz lo que se te pide». Y esto no educa ¡as capacidades de los alumnos. No era pues, aquél, un problema para hacer pensar, era un problema para aplicar una operación, cuando son los problemas para pensar los que ejercitan el razonamiento. Además, hay una gran variedad de problemas para hacer pensar, pero en la escuela se dejan mayoritariamente de lado. Y ¿cómo son, cómo han de ser, fos verdaderos problemas que hacen pensar? Los verdaderos problemas son aquellos que no te señalan un camino que te lleva de la mano hacia el concepto matemático que estás estudiando en aquel momento, sin necesidad de pen­ sar demasiado, convirtiéndose en mera

L

aplicación. Son aquellos problemas que te

a?, -ituaoi-ee. ■ ■

presentan una situación nueva, para la que no has estado previamente adiestrado y que te hacen pensar, imaginar, com-

'men

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v ¡na =■■-

■■m e pr . mas a la realidad del alumno, e implican un cero que re hace pei.-.-.e.r, ::nmdnue,., Se ede-

problemas que se adecúan al nivel evolu-

cuan al nivel evolutivo del alumno y pueden admitir nale

tivo del alumno y a los conceptos que

de una solución.

parar, buscar estrategias... Son aquellos

están ya adquiridos y que se proponen ir, cuando es posible y como todo un reto, un poco más allá. Son los problemas que tienen que ver con la vida, con la experiencia, con el día a día del alum­ no, de modo que sea evidente su utilidad, su aplicación en situaciones pró­ ximas que debemos resolver. Son problemas que admiten, a menudo, más de una solución, o estrategias ele solución, porque el ingenio, el razonamiento, es, como todos nosotros, también diverso. Sobre este aspecto de las diversas soluciones son muy interesantes los problemas abiertos.

25 I

¿En qué consisten ios problemas abiertos? Son problemas planteados con la intención de que surjan diferentes soluciones. Tengo una anécdota muy ilustrativa del trabajo desde la es­ cuela con Droblemas abiertos. En una ;

va

er.

.

clase de niños y niñas de 5 años, la ma-

ñun a ios niños que,

ame una estra les presentó un problema en forma

misma situación

resolver. de viñetas. Les explicó que la mamá de

puex'

a

uai t;r diver :■. solm i ■ -

nes válidas.

Pau quería hacer un pastel para celebrar su cumpleaños y envió a su hijo a com­ prar 6 huevos. En la primera viñeta se

veía al niño con los 6 huevos que acababa de comprar. En la segunda vi­ ñeta se veía que el niño se caía y se le rompían 2 huevos. La tercera viñe­ ta estaba en blanco y los alumnos tenían que hacer un dibujo explicando «qué pasaba al final». La maestra se comprometió a no preguntar a los niños «cuántos hue­ vos le quedaban a Pau». La respuestas fueron las siguientes: 17 de los 22 niños y niñas de la clase dibujaron en la última viñeta a la madre dándole a Pau un cachete en e! culo por haber roto los huevos... Otro niño dibujó una sartén con algo dentro y explicó que era una tortilla que la madre hizo para aprovechar los dos huevos rotos. Una niña dibujó a Pau con sets hue­ vos diciendo que había vuelto a la tienda y compró de nuevo los huevos que le habían encargado. Una niña dibujó muchas personas de pie. Cuando la ma­ estra le preguntó por el significado del dibujo, explicó que como la madre ya no podía hacer el paste!, celebró el cumpleaños haciendo un baile. Otro alumno dibujó en la viñeta muchos cuadraditos pequeños y explicó que como se habían roto dos huevos la torta saldría más pequeña y la madre tendría que cortar trozos muy pequeños para que hubiera para tocios los invitados. Con tanto ingenio desconcertante, la maestra, que había enseñado ya la resta, no pudo reprimirse más y rompió su compromiso. De modo que, con la última niña, que aún no había dibujado nada, se le escapó un «¿Cuán­ tos huevos Se quedarán a Pau? La niña, para desesperación de la maestra, dijo que le quedaban seis. La maestra, paciente, le dio una «segunda oportu­ nidad»: «¿Estás segura?, antes tenía seis, pero se han roto elos..., ¿cuántos tiene ahora?». La niña, impertérrita, seguía diciendo «seis». La maestra, ya un poco nerviosa, insistió: «Pero, ¿cómo puede tener los mismos si se han roto dos?». Y la niña, un poco harta ya, concluyó por fin: «¡Claro que tiene seis, cuatro enteros y dos rotos!».

Es evidente que en más ele una ocasión desde la escuda se valora poco el potencial de los alumnos... Si, demasiado a menudo, por eso los problemas abiertos deberían estar más presentes en el aula. Ofrecen la posibilidad de expresar razo­ namientos, estrategias, soluciones diversas e imprevistas. Los niños y niñas las legitim an. Y tam bién dan a ios maestros más elementos para conocer las capacidades de sus alumnos. Hay muchos tipos de problemas que permiten una mayor diversidad en la expresión del pensamiento, pero la escuela los ignora m ayoritariam ente.-la escuela se centra, sobre todo, en los problemas de cálculo y además con una metodología ú nica­ mente api (cativa. ¿Cuáles serian estos otros tipos de problemas? Hay los problemas abiertos, de los que ya hemos hablado. Es intere­ sante también trabajarlos en grupo. Primero cada uno, o cada grupo, piensa su estrategia y su solución. Después se ponen en común las explica­ ciones sobre las diferentes soluciones, con una actitud respetuosa hacia las diferentes aportaciones. Este tipo de problemas potencian una gran apertu­ ra de pensamiento. Se presentan, con los alumnos más pequeños, de forma visual, a través de imágenes (encadenamiento de imágenes con una casilla final o intercalada que hay que completar; presentación de una imagen con una pregunta, oral o escrita, etc.). Otro tipo de problemas serían los de enigmas y juegos, que son situa­ ciones planteada con materiales, imágenes o texto y sin elementos numéri­ cos o geométricos relevantes. La solución, que a menudo es única, depende del establecimiento de relaciones correctas entre ios datos y ia incógnita o enigma. A menudo requieren un pensamiento abierto, lleno de creatividad, imaginación, iniciativa, que permite descubrir un punto de vista o un cami­ no diferente, no habitual. Se les denomina también problemas de ingenio. También están los problemas de comprensión del texto, con preguntas sobre !o que sucede en la situación que presenta el enunciado del problema. Es importante trabajar este aspecto, porque si el alumno no comprende bien lo que el texto dice, o lo que le pide, no podrá pensar correctamente ni de forma útil. Otro formato serían los problemas de comprensión de la estruc­ tura, o problemas «con trampa», con datos que faltan o sobran para su re­ solución y que trabajan la capacidad de reconocer cuáles son los datos esenciales y los datos complementarios o insignificantes. Estos formatos ayu­ dan a ejercitar la comprensión, la atención, ei análisis de la situación que se

presenta, y todo ello es fundamental para la resolución de todo tipo de pro­ blemas. Es lo que podríamos denominar el nudo o centro lógico del problema. Y los problemas «tradicionales», ¿qué papel juegan en la enseñanza de ¡as m atem áticas? Los problemas «tradicionales» deben intentar ir más allá de la pura aplicación y de los resultados, anteponiendo el razonamiento creativo. Los problemas de cálculo, por ejemplo,

Los ■ : rr^ u isy . -.'o.v matemá: ?■■■■■ ■: ■■.■■■/toó ': : el pensanü r-.' T ■■ v e: 'eeenio, la a ■ . quer- ■resolvim situaciones interesantes y ¡a capa. \ ee' '■asear ‘ra:■’ír/VfV/í.'/í-

he

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pueden ser un buen ejercicio mental si se plantean para pensar y no para la aplicación de una operación después de un adiestramiento. Son problemas de cantidades que, para ser resueltos, requieren que se establezcan relaciones u operaciones entre ellas. En estos problemas es im portante recordar que la comprensión

lógica de la situación ha de estar por encima del aspecto numérico. Entre los problemas de cálculo, se deberían ele potenciar los de cálculo mental -para su resolución ios alumnos han de resolver alguna operación sin ningún material (lápiz y papel o calculadora), sólo con su propia capacidad de imaginarse las cantidades-; los de intercambios y equivalencias, un con­ cepto importantísimo en las m atem áticas (medidas con unidades dife­ rentes pero convertibles, superficies de diferentes figuras, etc.); los que parten de pistas -intentar hallar un número que cumpla determinadas condiciones...-, etc. Respecto a los problemas de geometría, cuyo objeto son los elementos, relaciones o fenómenos del espacio y que permiten el desarrollo de estrate­ gias propias, no sólo del cálculo, sino también del conocimiento y compren­ sión del

espacio, es recomendable

trabajarlos, mayoritariamente, con

material m anipulate. Todos los problemas, siempre que sea posible, deberí­ an partir del uso y la manipulación de objetos o materiales. Aunque es difícil dividir con exactitud las diferentes tipologías de pro­ blemas, la mayoría son de dos o tres tipos, es muy importante combinarlas en e! aula de modo que se puedan ejercitar las diferentes habilidades men­ tales de los alumnos. Hablando globalmente, los buenos problemas y juegos matemáticos son aquellos que ayudan a desarrollar el pensamiento lógico, el ingenio, la actitud de querer resolver situaciones interesantes y la capaci­ dad de buscar estrategias adecuadas para hacerlo.

¿Cómo podemos ir h ad o una buena didáctica en el planteam iento y la resolución de problemas? Primero hemos de ser conscientes de que nuestra manera de ver y en­ focar los problemas es una de las causas más importantes del déficit de re­ sultados que obtenemos y que, por lo tanto, hemos de cambiarla si queremos que nuestros alumnos tengan otro concepto de lo que es un pro­ blema y los aborden con una actitud que les permita ir hacia respuestas ra­ zonadas y no únicamente aprendidas. Muchos maestros ven los problemas como actividades de cálculo, de aplicación de unas nociones aprendidas y que requieren hacer, necesariamente, unas operaciones aritméticas para lle­ gar a «la» solución, «buena y única posible». La base del cambio está en que nuestro deseo como maestros, sea, no tanto que los alumnos hagan y apli­ quen operaciones, sino que piensen, que puedan ir desarrollando las dife­ rentes habilidades mentales, que ejerciten la resolución de problemas para ir mejorando sus competencias, para hacerlos competentes. ¿Cuál es la razón de que, mayoritariamente, en la escuela sólo se plan­ teen problemas «tradicionales« y de manera aplicativa? Es la forma en que la mayoría de maestros han aprendido, y arrastramos unas inercias. También es más fácil y cómodo para el maestro hacerlo asi, hay muchos manuales, muchos libros de texto que nos llevan hada aquí... A mi misma me ha costado muchos años descubrir el objetivo fundamental del planteamiento de un problema, saber que hay otras maneras de hacer. Ma­ neras que ya se practicaban en las instituciones más avanzadas de la escuela activa en el Estado español, y sobre todo en Cataluña, durante la República. ¿Cuáles serian las normas básicas a tener en cuenta por parte de los maestros a la hora de plantear un pro­ blema a sus alum nos? En primer lugar, que el punto de particla sea la vida cotidiana o los intereses de los niños, teniendo en cuenta muchas posibilidades y situaciones a resolver y que tengan una fuertecarga de significa-

do para el alumno. Que haya una divers idad

de

tipología

de

problemas

para

fomentar el desarrollo de diferentes capacidades. En la resolución del problema,

Cuando en el aula pían ream os im problema , hemos de partir de la realidad o intereses de los alumno:-. hese::: de ese. me dij'erentes tipologías. con la finulidad de. ■ \ bs s mr di v ■ asa­ habilidades me males, y hemos de valorar la búsqueda de estraregias por encima de ios resudados.

hay que valorar la búsqueda ele estrategias, el razonamiento lógico, por en­ cima del resultado que se obtenga. También es básico aceptar todas las res­ puestas de los niños que sean razonadas, aunque sean diferentes a la que el maestro esperaba. ¿S e podría decir que h ay estrategias p ara hacer pensar a ¡os alum nos, estrategias que favorecen un trabajo m enta! en ¡a resolución de proble­ m as? Si, hay muchas. Por ejemplo, hacer que sean los propios alumnos los que inventen el enunciado del problema, lo que ayuda a consolidar ios aprendi­ zajes que se han hecho. Los problemas «en forma inversa», en los que se da la situación final y el alumno ha de buscar la situación inicial, practicando la re­ versibilidad de! pensamiento, una de las capacidades básicas del pensamien­ to lógico. También es muy importante pedir al alumno que explique verbal­ mente, o con un dibujo, qué pasa, qué piensa él al respecto, cómo ha de­ cidido que se puede resolver..., pero hablando de los objetos o elementos del problema, sin hablar de los números o las cantidades; así se les prepa­ ra para el álgebra. En ios problemas numéricos, con cantidades grandes, es im portante recurrir a cantidades menores que permiten un mayor control de la situación, lo que ayuda a la comprensión y, por lo tanto, a hallar una respuesta razonada. La diversidad en la presentación y resolución de problemas también ayuda a realizar un trabajo mental: uso de materiales manipulables, tanto para situaciones cuantitativas como geométricas; cálculo mental, y no siem­ pre con papel, lápiz y cálculo escrito; realizar presentaciones conjuntas de un determinado problema a toda la clase para ser discutido en pequeños grupos, y no siempre individualmente, puesto que el intercambio de reflexiones entre los alumnos es una fuente segura ele aprendizajes. Tengo tres problem as que me gu staría que resolviera o que com enta­ ra. ¿Se siente nerviosa? No, intrigada. Desanimada si no los resuelvo y contenta si me salen. El prim ero le fue planteado a un niño de 9 años. Dice así: «Te com pran una raqueta por ¡5 euros y la vendes por 20, ¿g anas o pierdes?». El niño contestó: «Pierdo porque me quedo sin raqueta». En la escuela le pusieron un cero, usted, ¿qué le d iría?

Lo encontraría perfecto porque el niño ha contestado con una buena lógica, y la lógica es matemática. Es, por lo tanto, una buena respuesta. Claro que el problema podría tener otras respuestas. Por eso, además, es un buen problema. Los buenos problemas han de tener diferentes posibilidades. Res­ pecto al 0 de la escuela, me abstengo de opinar. Vamos ai segundo problem a. A un niño de cuatro años le dan un chi­ cle y empieza a p ro testar porque quiere dos. Su prim o, m ás mayor, para acabar con sus protestas se levanta, le parte el chicle y le dice: toma, uno y dos. El niño, bien contento, para de protestar. ¿Su diagnóstico? Es muy normal la reacción del niño pequeño, él piensa que tiene dos porque los puede contar diciendo uno y dos. Así es la noción de cantidad a esta edad. El primo supo bailar una buena estrategia para resolver «el pro­ blema». Y el tercero. A una niña de cinco años la m aestra le plantea el si­ guiente problem a: «Tienes cuatro cerezas y M ariona [su m ejor am iga) te da dos más, ¿cu án tas tendrás? La alum na, im pertérrita, contesta: «A m i no me gustan fas cerezas». ¿Algún com entario? Esta respuesta es la demostración de que las respuestas de los niños, cuando no son condicionadas sino espontáneas, y en consecuencia reflejan lo que realmente piensan, suelen ser geniales. La niña sabe, probablemente, que ahora tiene seis cerezas, o por lo menos que tiene más cerezas que antes, pero para ella esto es irrelevante. Lo que quiere precisar, !o que nos quiere decir, es que no nos engañemos pensando que ese cambio sea para ella ninguna ganancia. Como no le gustan las cerezas no ha ganado nada, más bien ha perdido porque le costará más, ahora, deshacerse de las cere­ zas. Creo que la maestra debería acoger este mensaje y replantear el pro­ blema diciendo, por ejemplo, «Como no te gustan las cerezas, ¿qué harás con ellas?, ¿las repartirás?». Un nuevo planteamiento supone una mejora del problema. La situación se personaliza y se hace más cercana gracias a la res­ puesta ele la niña y a ia acogida de! adulto.

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Aproximación didáctica a los cuatro grandes bloques de las

matemáticas

Conviene cultivar los interrogantes, hacer surgir la necesidad, formular el deseo de querer saber «cuán to mide» o acuánto pesa», npor qué cambio», «cómo es»... alguna cosa nuestra, de las que hacemos servir en nuestro entorno. Y cultivar también la conciencia ele que hacemos algo útil, y no como táctica de aprendizaje, sino como fidelidad a la realidad de nuestra vida. (M.:i Antonia Canals)

Las m atem áticas se estructuran en campos m uy diversos que se refle­ ja n en los diversos apartados de los libros, de los currículos... Sí, se acostumbra a dividir esta área del conocimiento en cuatro gran­ des bloques o apartados. El cálculo, con el conocimiento de! concepto de cantidad, de los diferentes tipos de números, las relaciones que se pueden establecer entre ellos y los cambios de cantidades u operaciones. La medida, aplicada a diferentes magnitudes, como la longitud, la capacidad, la masa o peso, el tiempo, la superficie, el volumen y los ángulos. La geometría, que es el conocimiento de las formas, de las transformaciones y de las relaciones de posición en el espacio. Y, finalmente, la probabilidad como ciencia que in­ cluye la estadística, la combinatoria y el estudio del azar. Pero no podemos olvidar los problemas, la lógica y el pensamiento algebraico, aspectos fun­ damentales de la matemática que hay que trabajar como ejes transversales en todos y cada uno de los cuatro graneles bloques que hemos descrito.

¿Qué es lo fundamental que un maestro debería tener en cuenta a ¡a hora de trabajar cada bloque concreto? Es imposible responder de manera genérica, tendríamos que tratarlos uno por uno porque cada uno de estos bloques tiene una complejidad y unas características específicas.

,

Empecemos pues por el cálculo ¿cuáles son los aspectos fundamen­ tales del cálculo en la etapa infantil y primaria? En la etapa infantil, creo que no existe aún propiam ente cálculo, pero hay toda la preparación que, como sucede con los fundam entos de un edificio, constituye la base por lo

La noción de cantidad es ww abstracción que se construye a

que, en cierto sentido, podemos decir que

p a; 7 /." ;K iu =-.v í ■ . r.':. :•r /;; / ./;

ración es, en general, todo el trabajo de

ia manipulación de objetos. A. iu noción de cantidad no se liega a partir de! número escrito, se Ucea compara,hi>> crup : dife reñir r.inm.w - de ; ..jeto:-..

es la parte más im portante. Esta prepalógica, y, de manera más específica, contar objetos, establecer correspondencias y relaciones entre cantidades de objetos, y la ordenación y clasificación de grupos de objetos teniendo en cuenta su núm e­ ro de elementos. La práctica en estas ac­

tividades, y muchas otras prácticas que niños y niñas hacen por su cuenta en la vida diaria, les lleva, de form a natural y arm ónica, a la cons­ trucción ele la noción de cantidad, aproxim adam ente hacia los seis o siete años. Es fundamenta! tener en cuenta que a la noción de cantidad no se llega a partir del número escrito, se llega comparando grupos con diferente nú­ mero de objetos. La noción de cantidad es

La uíquisi .-r

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cantidad y kt realización c operaciones han de ir jumas.. son sima (raneas.

una abstracción que se construye a partir de la experiencia, de la manipulación de objetos, no de la identificación con un número escrito o con una expresión cul­ tura! determinada. La noción de cantidad,

tai y como acabamos de definirla, está estrechamente ligada a la ele opera­ ción. En efecto, según define Piaget, la noción de cantidad es el convenci­ miento de que ésta no cambia cuando los elementos cambian de aspecto, de forma o de posición, sino sólo cuando añadimos o quitamos objetos. Por eso la noción de cantidad aparece al mismo tiempo, es inseparable, de la noción de operación, que no es otra cosa que un cambio de cantidad (aña-

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dir, quitar, etc.). El hecho de tener adquirida una primera noción de canti­ dad es lo que, en referencia al cálculo, marca el paso de la etapa infantil a la primaria. Otro aspecto importante, y que debería mejorarse, es ayudar al alumno a descubrir que hay diferentes tipos de números. Los niños se encuentran cotidianamente con números negativos y de estos números no se habla en primaria. En este mismo bloque del cálculo, m ás allá de los núm eros y las can ­ tidades están las operaciones entre ¡os núm eros. ¿Cóm o se tendrían que trab ajar en el a u la ? Para poder operar entre diferentes números -de manera comprensiva, no sólo mecánica- hay que tener adquirida, como ya he dicho, la noción de cantidad. La adquisición ele la noción de cantidad y la realización de operaciones van juntas, son simultáneas. Esto es básico para que los alumnos hagan las operaclones entendiendo su significado, no sólo

Los alum nos han de hacer las operaciones entendiendo su rhinijieado, no única m a n e su m ecánica,

su mecánica. Respecto a cómo deberían trabajarse las operaciones en el aula, que­ rría decir que las operaciones entre núm eros deberían hacerse de tal manera que permitieran trabajar con los alumnos tres aspectos fundam en­ tales. El primero, la lógica ele las operaciones: se han ele hacer operaciones entendiendo su significado, como ya he dicho, no sólo su ejecución mecá­ nica, reconociendo la operación inversa y descubriendo las leyes funda­ mentales de aquella operación concreta que se está realizando, es decir, las propiedades de las operaciones. Todo ello sienta las bases ele muchos con­ ceptos matemáticos posteriores como, por ejemplo, la resolución de ecua­ ciones, El segundo aspecto que debería estar presente en toda operación es el aspecto funcional, o de relación con la vicia. Es decir, el alumno ha de ver que aquella operación sirve para resolver situaciones concretas y ha de re­ conocer la operación en estas situaciones concretas y saber aplicarla para poder

Tocia operación ha de tener su

resolverlas. El tercer aspecto es la resolu-

: : cccfc íu a ck :ad y debe relu­

cida práctica de la operación, propia-

donarse con ¡a vida.

mente

dicha,

es decir,

saber

hacerla,

primero mentalmente y cuando llaga falta con los instrumentos, entre ellos la calculadora, y las técnicas necesarias, entre ellas los algoritmos escritos.

35

¿P o rq u é primero m entalm ente? E! primer cálculo ha c!e ser experimental, concretándose en e! uso de muchos y diversos materiales m anipulates. Después viene el cálculo men­ tal, exacto o aproximado, que es el objetivo prioritario del cálculo. El cálculo mental te lleva a un mejor conocimiento de las relaciones que hay entre los números y las operaciones, es imposible calcular mental­ mente si no hay una buena comprensión de la operación que haces y de las características de los números. El cálculo mental te lleva a trabajar las ope­ raciones sin dejar de lado el significado de las mismas, y los alumnos que aprenden a calcular incorporando al cálculo el significado de la operación están realizando un aprendizaje que les será válido siempre y especialmen­ te valioso en su futuro académico. Por eso, el cálculo mental, exacto o apro­ ximado, debería ser siempre la base de las operaciones, el primer contacto con ellas. Hay que tener muy presente que, en el camino de aprendizaje de las operaciones, el primer paso es la manipulación de objetos -juntar, qui­ tar, contar...-. El segundo paso, más adelante, es calcular sin tocar ni ver los objetos. La calculadora, si se aprovecha como herramienta para hacer ejercicios adecuados, puede servir también para practicar e! cálculo mental. ¿Y cómo llegan los alum nos al eáfeulo escrito? El cálculo escrito debería ser, en primer lugar, la expresión escrita de aquello que primero hemos pensado o descubierto. Por ejemplo, si con las regletas han descubierto que la de valor

El edículo escrito debería ser

4 y la de valor 8 juntas valen más que la

la expresión cscnm de m e ¡ 7 que primero hemos pensado o descnbierm,

del 6 y la del 5 juntas, deberían saberlo expresar por escrito con lenguaje matemático poniendo 4+8 > 6+5. Esto es cál­ culo escrito. Se trata de aprender a usar

correctamente los símbolos de los números y las operaciones, de forma verídica, que cumplan las leyes matemáticas. Ésta es la forma previa del cálculo escrito. Otra forma de cálculo escrito es la de los algoritmos, que son unas for­ mas mecánicas, o rutinas, que facilitan la ejecución de operaciones de cál­ culo con números más grandes de lo que una persona es capaz de imaginar. Para que no haya un corte, una separación, entre la comprensión lógica de la operación y la ejecución mecánica del algoritmo, en las primeras etapas

í 36

educativas, es importante tener en cuenta, por ejemplo, que resulta mucho menos mecánico, por ejemplo, el algoritm o de la suma escrito en línea ho­ rizontal que escrito en vertical, como se escribe mayoritariamente, de modo que se pueda fa cilita r técnicam ente la realización de la operación. Hay maestros que no quieren que los alum nos pongan la suma en hori­ zontal, cuando es conveniente com binar los algoritm os más mecánicos con los que lo son menos, para que no se queden, precisamente, en la simple mecánica. Hablemos ahora de otro gran bloque, la geom etría. ¿C uáles serian las ¡deas básicas con respecto a conceptos y d id áctica? La geometría se ocupa de tres tipos de conocimientos, todos ellos rela­ cionados con el espacio. Son ios siguientes: Las relaciones de posición en el espacio, entre las que habría que des­ tacar la relación ele orden entre diferentes objetos. Responde a la necesidad de la humanidad de ubicarse en el espacio que se inicia con conceptos bá­ sicos como primero, segundo, último, delante, detrás, direccíonalidad, dere­ cha, izquierda, norte, sur, este, oeste... Las form as que hay en la vida, tanto en la naturaleza (espiral en el caparazón de un caracol, por ejemplo}, como entre los objetos cotidianos, a partir de las que se han ido estructurando las categorías de figuras, que niños y niñas irán aprendiendo a lo largo de la escolaridad, reconociendo progresivamente sus características y regularidades. Los cam bios de posición, o de forma, o de ambas cosas, que se llevan a cabo siempre en el espacio. Estos cambios se llaman «transformaciones geométricas», y corresponden en geometría a lo que en cálculo son las ope­ raciones. Hay transformaciones de diferentes tipos, pondré algunos ejem­ plos. Cuando nos desplazamos de un lugar a otro lo hacemos con una serie de movimientos combinados, unos en línea recta, alternados con giros o ro­ taciones hacia la izquierda o la derecha. Los cambios de posición, siguiendo una recta con una determ inada longitud, son una transform ación que se llama «traslación». Los m ovi­ mientos de rotación, respecto a un punto fijo, es otra transform ación que denom inam os «giro». Cuando nos miramos en un espejo plano, el paso ele nuestra figura a la imagen que vemos es otra transform ación que se llama «simetría». Cuando proyectam os diapositivas, e! paso de la imagen inicial, pequeña, en este caso, a la imagen más grande ele la pan­ talla es otro cambio de posición y medidas que se llama «proyección». Si

nos miramos en un espejo cu rvilín eo, que m odifica la figura, tam bién es otra tran sfo rm ación , que se llama «deform ación», porque es el paso de una figura inicial a otra figura y, en este caso, cam biando to ta lm en te su form a.

Antes de hablar de los cambios de posición o transformaciones, ha ha­ blado de las relaciones de posición en el espacio, ¿sería éste el primer con­ cepto a trabajar con los alumnos? Efectivamente. De la misma manera que en el cálculo hay que empezar por trabajar las relaciones entre cantidades, en geometría hay que empe­ zar por relacionar la posición de los objetos.

Las nociones de orden, ¿mea y separación i continuidad son ;.,vr ek..rs... . o : de Ac topologia, que podríamos consL d e m r i; • base de ¡a geometría.

Niños y niñas relacionan, en primer lugar, los objetos respecto a ellos mismos y despues los propios objetos entre sí. Como maestros, se trata de acompañar esa ca­ pad dad de posicionarse que ya llevan en sí mismos. Cuando hablamos de posición

estamos hablando de posición en el espacio, de orden en el espacio, de orden lineal, es decir, en una línea. En primer lugar hay que trabajar con los alum­ nos eí orden lineal y, a continuación, introducir ia noción de direccionalidad. La relación de orden en el espacio, en sus inicios, va siempre asociada a la noción de línea. A continuación podemos trabajar el concepto de separación/continuidad que nos lleva a distinguir entre línea abierta o cerrada, frontera y región, etc. Estas nociones, orden, línea, separación/continuidad, son los elementos básicos de la topología, que podríamos considerar como base de la geome­ tría. Se han de empezar a trabajar desde pequeños para que las bases de esta área de las matemáticas queden bien asentadas.

Y respecto a las formas, el segundo gran bloque de la geometría, ¿qué cabría destacar a nivel conceptual? Que lo primero de todo es observar las formas y diferenciarlas. Y hay que tener muy claro que las formas fundamentales son la linea, con una sola dimensión, la superficie, con dos dimensiones, y el volumen, con tres di­ mensiones, y no el triángulo, el cuadrado y el círculo, como se enseña en parvulario. Lo fundamental que tiene que hacer el maestro es ayudar a los alumnos a descubrir estos conceptos básicos y sus diferencias, a distinguir vivencia!m ente entre línea, superficie y volumen, así como entre los con-

38

ceptos de cerrado, abierto y separación/continuidad. Sobre estas nociones se edificarán progresivamente otras corno la de línea recta o curva, que tienen evidentemente formas diferentes, y tam ­ bién las primeras categorías de figuras de dos dimensiones, entre ellas los polígonos, y los cuerpos tridimensionales, entre ellos los poliedros. Los alum nos deben ir adquiriendo

Uu; gormas fundam entales son la línea , con una cola dimes ■■ sidra la su pe melca con dos Pi­ menciones y el volumen, con

¿res dimensiones.

el conocim iento de las figuras poco a poco y arm ónicam ente. Como conjunción de estas diversas nociones de form a y de posición y tam bién de sus transform aciones, y viendo las di­ ferentes formas, no como algo estático, sino intrínsecam ente unidas al m ovim iento. ¿Cóm o se adquiere la noción de transform ación y por qué es básico en ei conocim iento de la geom etría? ¿Qué cómo se adquiere? Pues como siempre, practicando. La dase de geometría debería de ser eminentemente práctica. Primero hay que hacer giros, simetrías, etc., con el propio cuerpo y el propio movimiento. Después se pasa a hacerlo con diversos materiales. Las proyecciones, por ejemplo, las

om k ¿.■ve. ■stems-:

don,

•••„>,: ■

' ■ : manipula-

exige una

vivencia

trabajamos a través de las sombras: con

mt mi- -h . v

-_vo. gas a

un foco de luz y un papel de embalar que

menudo se concreía en ei pro­

haga de pantalla en la que se dibujan di-

W

■>.! une

versas sombras obtenidas de una figura plana. Sombras que son diferentes según la posición de la figura respecto a la pantalla... Todo ello permite observar las características comunes entre las distintas sombras de una misma figura y es una manera eficaz ele estudiarpolígonos y otras categorías de figuras planas. Otro ejemplo: podemos conocer muchos aspectos de los cuerpos de tres dimensiones analizando cuántos ejes de rotación y cuántos planos ele sime­ tría tienen. Es curioso, e interesante, ir descubriendo hasta qué punto la mayor parte de las nociones geométricas, sobre todo el estudio ele cuerpos y figuras, se pueden trabajar a partir de las transformaciones. Lo mismo sucede con los números. La práctica de las operaciones ele­ mentales nos permite profundizar en el conocimiento de los números, lo que nos lleva a poderlos utilizar con mayor seguridad y confianza.

39

La m etodología que se utiliza en las actividades de aprendizaje pare­ ce m uy im portante... Ciertamente, la metodología es importante siempre, pero cuando tra­ bajamos la geometría es fundamental e imprescindible. No iremos a ningu­ na parte si no tenemos en cuenta que la geometría se aprende con el movimiento. El conocimiento deí espacio es inseparable del m ovim iento del propio cuerpo. Aun así, todavía hay maestros que «enseñan» las formas con los niños sentados en una silla ante una papel plano... jes inconcebible! El aprendizaje de la geometría además de la manipulación requiere de una vi­ vencia motriz de todo el cuerpo, que a menudo se concreta en desplaza­ mientos. Así, antes de hablar a los alumnos del nombre de las figuras, conviene haber «experimentado» sus formas caminando, por ejemplo, sobre la silueta de un polígono dibujado en el suelo y haber observado cuántas veces nos obliga a girar esa figura concreta (y los puntos en los que giramos son los «vértices»). Del mismo modo, antes de hablar a los más pequeños de línea, superficie y volumen es imprescindible que cada alumno palpe, por él mismo y mejor con todo su cuerpo, la diferencia entre cada una de estas realidades. En ¡a tercera gran área de las m atem áticas, la medida, ¿qué han de tener en cuenta ios educadores en su trabajo en el a u la? Lo primero y fundamental es relacionar la medida, y la necesidad de la medida, con el entorno próximo, la medida ha de ser vivida por los niños como una necesidad en las relaciones que '' fu; /í ¡u m: .o c / .• - ->j : ; tk -.y /•i •

!a

esta bleee irnos con nuestro entorno co ti -

- . ó;■/ ■; *- ai.

d ia ti a ni e nte. Asi, quizá necesitemos sabe r

"• 'Oo-u-i•;•.•••' . .

lo que mide un trozo de pared para cor­ tar el mismo trozo cíe papel de embalar

para el mural que queremos hacer juntos... Naturalmente, para poder tra­ bajar con los alumnos «cuánto mide», «cómo es de largo o qué longitud» tiene un objeto, o «cuánto pesa», es imprescindible conocer, previa y expe­ rimenta! mente, la magnitud que medimos. No podemos hablar a un alum­ no de longitud si antes no ha experimentado esta magnitud tocando, estirando, comparando objetos: una cuerda, colocada en espiral o hacien­ do curvas, y la misma cuerda estirada; un zapato del maestro y un zapato de un niño; el árbol más alto y el árbol más bajo... Y exactamente lo mismo con el peso: hay objetos más grandes que pesan menos que objetos que son más pequeños, y esto lo tienen que experimentar ellos mismos cogiéndolos,

40

haciendo fuerza con su propio cuerpo y comparando... Para trabajar con ios alumnos una determinada magnitud, tienen que haberla experimentado previamente, han de tener una noción previa de dicha magnitud. A partir de aquí podremos avanzar en su conocimiento y medida. Una vez experim entada la m agnitud, ya podemos ir pues hacia su me­ dida... Sí, pero con un paso previo que consolide aún más el conocimiento de dicha magnitud. Y este paso, simultáneo a la experimentación, es el de la re­ lación, que ya he apuntado. Es impor­

que este otro pero más largo que aquél-

poder trabajar con loe alum nos una determinado magnitud, éstos tienen que hahería espennumwcin ¡ir mia­ m ente, han de tener una noción previa de dir-ha ¡nap¡idrud. A partir de aquí podremos

o clasificarlos -tocias las pajitas cortas

•....... •••

aquí, las largas allá-. El conocimiento de

medida.

tante

que

los

alum nos

establezcan

relaciones entre los objetos en función de la medida de la magnitud que estudian y, relacionando, pasen a clasificar, a óreleñar: si trabajan la longitud pueden ordenar diversos objetos -éste es más corto

.,,

las diversas magnitudes ha de ser viven­ cia!, experimental y ha de Nevar a los alumnos a establecer relaciones, a or­ denar y clasificar, aspectos que serán básicos para el dominio de la medida. La capacidad de ordenar, connatural, por otro lado, a la noción de número, se revela esencial en el aprendizaje de la medida. Una vez adquirido el concepto de longitud, relacionando, clasificando, ordenando las diferentes longitudes de diferentes objetos, nos disponemos ya a m ed irla pared donde tiene que ir el mural. ¿Qué es lo primero que debe tener en cuenta el m aestro o ¡a m aestra? Cuando empezamos a medir, lo pri­ mero a tener en cuenta es que para medir utilizamos una unidad determinada de ri n f

medida y ía idea de unidad es una prime­

h ü (10

stable-

ra abstracción que los niños van constru­ yendo a lo largo de! parvulario pero que

■’

rc iliciones.

no se consolida, mayoritariamente, hasta el inicio de la primaria. Hay una anécdota muy interesante al respecto: en una es-

yas ic­

io ae

cuela quisieron medir la distancia entre dos de las paredes del aula de cinco años. Decidieron hacerlo con los pies, dando pasos, de manera que los pies se tocaran cada vez. El niño que lo hada iba contando cada vez que ponía un pie delante del otro y contó hasta 20. Cuando acabó, la maestra le pre­ guntó al niño «¿Cuántos pies hay pues de una pared a la otra? Y la respues­ ta del niño fue «Hay dos». El niño tenía muy claro que de pies únicamente había dos. Y era así, ele pies sólo había dos en realidad. Esta respuesta es reveladora porque demuestra que los niños, en una etapa determinada, no tienen adquirido el concepto de unidad de medida. Para nosotros tos adultos, preguntar cuando medimos «¿cuántos pies hay?» significa preguntar «¿cuántas veces cabe el pie?», porque hablamos de «pie» como unidad de medida. Pero para los alumnos más pequeños «¿cuántos pies hay?» quiere decir literalmente eso «¿cuántos hay?». Y ciertamente, por aquel camino únicamente circulaban dos pies. Al siguiente día la maestra hizo descalzar a todos los alumnos y comprobaron que en aquella distan­ cia cabían 20 zapatos. Una cosa es contar y otra muy distinta medir, no debemos confundirnos. Los niños de cinco años pueden contar objetos, pero aún no comprenden el concepto de unidad en la medida. Un concep­ to abstracto que los alumnos irán construyendo y comprendiendo paula­ tina y personalmente. Uno vez adquirido el concepto de unidad, llego el sistem a m étrico y los alum nos empiezan a perderse entre el metro, el kilómetro, el decagram o, el m iligram o... Una vez adquirido el concepto de unidad no deberíamos llevar directa­ mente a los alumnos a las unidades oficialm ente establecidas. Aquí ten­ drían que llegar por necesidad, pasando U na p-h

cora ■

coima-

aíra

;0'

antes por el uso de unidades no unificadas -como los pies, los palmos, etc.- que

se. J.jj.s niños y niñas de cinco

les permitirían descubrir que, con estas

años pueden contar objetos pero todavía no comprenden el r-}nuep;o e. aniden d ■medida.

unidades no unificadas, los objetos no miden lo mismo, que según quien ponga los pies o los palmos la longitud de un mismo objeto resulta diferente... Cuando

se llega a ía unidad unificada por necesidad, como algo útil que nos ayuda a resolver una situación real con que nos encontramos, la comprensión de dicha unidad es más firme y, por io tanto, más fácil también la comprensión de los múltiplos y divisores de esta unidad. En este sentido, resulta muy útil

también la práctica previa de ordenar objetos según una magnitud crecien­ te o decreciente, aquella que más adelante mediremos. Y d últim o gran bloque, la probabilidad, con la estadística, la com bi­ natoria y el estudio del azar, ¿cóm o se trabaja en la escuela? Éste es otro gran bloque en general mal atendido en la escuela primaria. La estadística sí que se trabaja bastante, quizá porque es relativamen­ te fácil: se practican unas técnicas senci­ llas de recogida de información y ele representación mediante diferentes tipos de gráficos. Resulta interesante, es algo muy práctico, ligado por definición a la vida real, y sin grandes dificultades o complejidad conceptual. A los alumnos les

La combinatoria es un tipo de lógica diferente de ía lógica bi­ nana «del si y del no»; trabajándola se abre una ventana diferente en la mentalidad de las personas.

suele gustar y a los maestros también. La combinatoria, en cambio, se ha dejado de lacio. A diferencia de la es­ tadística, es una materia esencialmente teórica. En realidad la combinatoria es el estudio teórico de todas las posibilidades resultantes de la relación entre diversos datos y condiciones. Por eso es un tipo de lógica diferente a la lógica binaria «del sí y del no»; trabajando la com binatoria se abre una ventana diferente en la mentalidad de las personas. Por eso creo que es una herramienta muy útil para estructurar el pensamiento y que valdría la pena aprovecharla. No quiero decir que sea un aspecto esencial, pero sería interesante que los alumnos de primaria, y más mayores, hicieran prácticas de combinacio­ nes con materiales, cumpliendo todas las normas -«ninguna combinación repetida» y otras-, y que aprendan a expresar los resultados con esquemas, o diagramas, que no dejan de ser lenguajes matemáticos entre los que des­ taca el «diagrama del árbol», estrechamente ligado a la comprensión de la multiplicación. Respecto a fa probabilidad y el azar, ¿qué se debería tener en cu en ta? La probabilidad es el conjunto de las tres ramas, estadística, combina­ toria y estudio del azar. Pero cuando utilizamos el lenguaje corriente, al ha­ blar, solemos denominar «probabilidad» a la última. También es verdad que a menucio es sinónimo de «suerte». Hay personas que a las actividades de combinatoria y de probabilidad en la escuela las denomina, en general, «los juegos ele la suerte». Y ya me gusta este nombre, porque lo cierto es que,

tanto unas como otras, tienen un gran com [Donen te I úclico, que hace posi­ ble plantearlas en clase como un juego, pero se trata de un juego que hay cjue pensar bien para no extraer conclu;/• ¡irohíibílhltul. h

••• v/A.ó- .

siones equivocadas. Un juego que algunas

la combinatoria y el esrudio del azar tienen un gran campo -

veces requiere algún cálculo y otras no,

neme lúdico. E n la escuela a

hace crecer,

menudo se habla de ha ■ t v ^ / . v de la suerte *■>, ponqué pueden

nace y se comprende a partir de dos fuen-

.¥£.• ñwn>ad‘-s C--.C.

tes simultáneas: a partir de la ex pe ríen -

un y

un juego que hay que pensar muy bien para no extraer con~ alusiones equivocadas.

un juego que siempre es un reto que nos El estudio del azar, y la probabilidad,

cía de aquello que pasa, de aquello que «es real», controlado por la estadística, y a partir del cálculo de aquello que podría pasar, de aquello que «es posible», que no

vemos pero que sabemos por la reflexión, por la combinatoria. De la con­ junción de estos dos aspectos, nace el estudio de aquello que «sería más fácil o más probable» que pasara. Lo que no significa que pase. Esto es la proba­ bilidad. ¿ Y cómo trabajan todo esto los alum nos en la escu d a? Pues, como decía antes, con juegos y actividades preparadas, que aquí no podemos explicar con detalle, que empiezan por hacer distinguir aquello que es posible de aquello que no ¡o es. Después pasan a imaginar, e incluso a calcular, en qué proporción sería más probable un hecho u otro. Cuando hablamos de operaciones aritméticas todos sabemos de qué hablamos. Cuando hablamos de juegos de probabilidad, como mayoritariamente no los hemos hecho en la escuela, nos cuesta imaginarlos. Asi que pondré algunos ejemplos de actividades posibles: Tenemos dos dados normales, uno azul y otro rojo. Tiramos el ciado rojo y discutimos con los alumnos preguntas como: ¿Es posible que alguna vez salga 7?, ¿es más fácil que salga 6 o que salga 1?, ¿por qué no? Después tiramos los dos dados al mismo tiempo, decimos que sumen los puntos y preguntamos: ¿puede salimos 13?, ¿puede salimos 10?, ¿puede sa­ limos 7? Y cada vez nos tienen que explicar el porqué. También podemos hacerles pensar: ¿qué es más fácil, que salga 9 o que salga 7? Y analizando todos los casos posibles (lo que se facilita con los ciados de diferente color) deduciremos que lo más probable es que salga 7. Esta actividad es un ejercicio de reflexión. Ahora bien, si al día s¡~

44

guíente proponemos un juego en el que tengan que hacer apuestas tocios quieren el 7, y si no ganan se enfadan. Porque los niños y las niñas de pri­ maria aún no tienen la madurez suficiente para comprender que, aunque sea el resultado más probable, no significa que sea el resultado seguro. Como puedes comprobar, como siempre que se hacen matemáticas, se trata de ir reflexionando, contando, extrayendo conclusiones que nos sir­ van para ía propia vida. Y, en no pocos aspectos de las matemáticas, lo po­ demos hacer jugando.

5e necesita gente que investigue en didáctica, en el sentido de probar, corregir, reintentar... No se puede ir con un Formulario estudiado, un libro de texto... pienso que no es bueno. Yo los quitarla, los libros de texto; hay maestros que los ven muy útiles. Adelante, pues, si los encuentran útiles, siempre que sepan prescindir de ellos cuando sea necesario. Pero acaban siendo victimas del libro de texto, hoy toca esto... (M.a Antonia Canals) Yo pregunto si es natural, si es incluso prudente, fastidiarte a ti mismo y aburrir a los estudiantes. (Johann Wolfgang Goethe)

El curricula, los contenidos, la didáctica y la m etodología que se u tili­ za favorece o dificulta, como hemos visto, el aprendizaje de las m atem á­ ticas. ¿Cuáles serían, en estos momentos, los principales puntos débiles en la enseñanza de esta m ateria? Lamentablemente, tenemos más de un punto débil, como ya hemos ido viendo. Querría insistir, hablando de conceptos y concretamente de los nú­ meros, en la importancia de construir el concepto ele cantidad, o conserva­ ción de la cantidad, sin someterlo al número escrito. Uno de los disparates que se hacen en la etapa infantil de muchas es­ cuelas es enseñar a los niños la grafía de los números y su relación con las cantidades, antes de que tengan capacidad de entender el concepto de can­ tidad. Los niños, hasta los 6-7 años, como nos demuestra Piaget, no adquie­ ren e! concepto de conservación de cantidad. Y a pesar de ello, les han

machacado en la escuela, desde los cuatro años, para que aprendan que la grafía del 6 se corresponde con 6 objetos. Así sucede que, coges a estos niños y les pones seis objetos bien jun-

üro - c!. !■

.-.'■ ■ ■ res .nás >-m :n ir- . infa-nn! de muchas escuelas es enroñar n los nine-: ¡aye /to zo s números y su relación con neo que

to s

.t o

ctir-íi

tro-,,an captu'uf..- • de el concepto de cantidad.

tos alineados y, debajo, otros seis objetos pero espaciados, de manera que ocupan más espacio. Les preguntas dónde hay más objetos y te dicen que abajo... Hay ma­ estros que creen que al concepto de can­ tidacl se llega desde el número escrito,

■ -

cuando el número escrito no es más que el aspecto cultural, una convención, la ex­ presión de la cantidad en una cultura de­

terminada. A la noción de cantidad no se liega a partir del número escrito, se llega comparando grupos con cantidades diferentes de objetos. La noción de cantidad es una abstracción construida a partir de la experiencia, no de una expresión cultural determinada. A la expresión cultural, escrita u oraí, de! con­ cepto de cantidad, en una sociedad concreta, llega el niño después, o simul­ táneamente, pero una vez adquirido el concepto de cantidad. E! niño puede conocer la grafía de un número y no tener adquirida aún la noción de canti­ dad. De ahí que no se pueda ayudar a desarrollar la capacidad de conserva­ ción de la cantidad a partir de trabajar con los alumnos con números escritos exclusivamente. De la misma manera, para operar entre diferentes números no sólo mecánicamente- hay que tener adquirido el concepto de cantidad. La adquisición del concepto de cantidad y la realización de operaciones han de ir juntas, son simultáneas, ya lo he dicho antes. Pero muchas veces, siguiendo el currículo o eí libro de texto, se pide a los alumnos que hagan operaciones que aún no pueden hacer de manera comprensiva, porque no tienen adquirido este concepto. Respecto al conocimiento de los números también hay otros aspectos a mejorar. ¿Po r ejem plo? Pues, un aspecto importante a mejorar es que los maestros ayuden a los alumnos de primaria a descubrir que hay diferentes tipos ele números. En primaria parece que esté prohibido hablar a los niños de los números nega­ tivos, y resulta paradójico porque se los encuentran a menudo, cada vez que van a un centro comercial y bajan con el ascensor a la planta -3 , por ejem­ plo. Es importante no olvidar en la primaria los números negativos, podemos trabajarlos a partir de la experiencia de vida de los alumnos.

De la misma manera, el concepto de fracción, de números raciona­ les, se presenta a los alumnos, demasiado a menudo y erróneam ente, como si una fracción fuese un número, cuando una fracción no es un número sino

v-vo- - •: . - >.rn ' ,• a

una relación entre dos números. El traba-

¡n*,. •:/* ■ ■ ■ Jz v\?f .ir

jo con las fracciones en la escuela se limi-

mr- U J

av

ta, a menudo, a su escritura, cuando el

ros.

' ■J e

lJ

concepto de fracción requiere un trata-

v'V..'.:-

miento mucho más significativo. Se debe-

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uúme;?

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• Y hPn■a v - v

ría trabajar mucho más este concepto como «parte de», aplicable a una cantidad, a un objeto o conjunto de obje­ tos, o a una magnitud. Y con los números decimales pasa lo mismo, se olvida trabajar el as­ pecto fundamental que diferencia los números decimales de los enteros, y es que los decimales tienen un orden diferente a! de los enteros. El 1,3 no tiene como anterior al 1,2 ni como posterior al 1,4 como muchos niños creen. Entre el 1,3 y el 1,4 hay infinitos números decimales: el 1,31, el 1,311, el 1,312, el 1,3978... no acabaríamos nunca, podríamos continuar hasta el infinito que en matemáticas se escribe con el signo 00. Tiene sentido, por

.

lo tanto, hablar de anterior y posterior

#••• ¡>v:

entre los números enteros pero no entre

Je ¡ 1ff¡ v

los números decimales. Los números de-

¡7";:.7.

cima les han nacido de un proceso de sucesivas e infinitas subdivisiones de la uniciad, son unos números diferentes de los enteros, que son los primeros números

. v/Y-

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Je lee Jeíar, ./ .. a, -•«#

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que conocen los niños. A este hecho se le presta poca atención y es fuente de errores y dificultades en el aprendiza­ je, más adelante, de nuevos conceptos matemáticos. ¿Q ué cambios deberían introducirse ante ios puntos débiles que se de­ tecto/! en el área de cálcu lo? Lo primero que los maestros deberían de tener muy claro es que un aprendizaje, para que sea verdadero, real, ha de empezar por la acción de los alumnos m anipulando objetos, como ya he dicho. En el área de cálculo se ha de dar aún, a! uso de materiales maní pula bles, el lugar que se merece.

Hay que insistir también en la expresión verbal, por parte de los alumnos, de todo aquello que creen, descubren o piensan sobre lo que están haciendo en matemáticas. Han de

En el área ■ calculo aun ce de liar ai uso de materiales mampulabíes e¡ lugar míe s e merece. to

saber expresar lo que hacen con nú me­ ros, es fundam ental para el aprendizaje, ya lo he dicho antes. Por último, los maestros no han de tener miedo de la calcu­ ladora, hay muchos juegos de operaciones

con calculadora, y con ordenador, que ayudan a los alumnos a conocer mejor los números, las operaciones y sus propiedades. Naturalmente, la re­ solución escrita con algoritmos de las operaciones se puede seguir trabajan­ do también, es ele sentido común. Pero es más que evidente que, hoy por hoy, sobran operaciones escritas en la escuela, operaciones que no se debe­ rían empezar a hacer hasta cierta edad, cuando los niños las puedan enten­ der fácilmente, y sin necesidad de complicarlas demasiado. Respecto a las operaciones entre números, ¿h a y algún craso error de concepto generalizado? Pues sí, hay un craso error, concretam ente en la explicación de lo que es una división. Muchos maestros enseñan a sus alumnos que d ivi­ dir es repartir en partes iguales y esto sólo es cierto cuando divides entre un número entero, porque cuando divides un número, entero o decimal, por un número decimal, ya no estás repartiendo en partes iguales, sim plem ente estás buscando el número que m ultiplicado por el divisor te da el número anterior. Es decir, si divides 6 entre 0,5 el resul­ tado es 12 (que m ultiplicado por 0,5, efectivam ente da 6 ). V 12 es mucho más que 6 , no es, en absoluto, una parte de 6 . Y es que, corno ya hemos dicho, los números decimales son muy diferentes a los números enteros. Y otro craso error, ai que más de una vez se ha referido, es, sin duda, ia introducción de la resta llevando... Efectivamente. Es un error notable, no tanto por errar en un concepto, como los errores anteriores, como por fallar en un principio esencial de toda buena pedagogía. Me explico: en ia mayoría de escudas del país, se está en­ señando la «resta llevando» en segundo cié primaria, o sea, a niños y niñas de 7 y 8 años. Y a estas edades éste es un obstáculo demasiado difícil de supe­ rar porque los niños aún no tienen ningún interrogante sobre este asunto.

Ellos creen que si no pueden decir, por ejemplo, de 9 a 2 pues se dice de 2 a

9 y seguramente será igual. Quiero decir que cuando una persona -en este caso el alumno- no tiene ningún interro­ gante en su cabeza respecto a un de term inado

asunto,

es

inútil

intentar

que

aprenda alguna cosa sobre dicho asunto. Éste es pues el dram a de la «resta llevando». La primera consecuencia negativa es que se tiene que dedicar a la resta demaslado tiempo, en detrimento de otras activid a des interesantes como la geometría,

Hoy por hoy sobran opera d o ­ nes escritas en la escuela, operadones que no se deberían em pezara hacer ames de d a r­ m edad, cuando ios niños las dar. .-tie .* 'deiime.d.. ai­ s/v ne ■ oda ' rm p ik-rm demasiado.

los juegos de lógica, etc. Y esto no es lo peor. Es un dram a para muchos educadores que se sienten frustrados porque, en el mejor de los casos, cuando los niños y niñas vuelven a la escuela des­ pués del verano es nuiy fácil comprobar que un 9 0 % ha olvidado aquello que «parecía» que habían aprendido sobre la «resta llevando». Pero la peor parte es para las criaturas, como siempre. Además de perder el tiempo, que ya es bastante lamentable, se producen distintos tipos de reacciones, entre las que quiero destacar dos: Hay niños y niñas que, ante un problema que «la seño» se empeña en ponerles delante, y que ellos no ven, ejercen su capacidad de desconectar mentalmente, cosa que otras veces les ha funcionado bastante bien y que, sin ellos saberlo, les ha salvado. Hay otros niños, de muy buena fe, que se esfuerzan por aprender una manera de hacer las restas que, aun­ que no comprendan del todo, sirva para ir a favor de lo que dice la maestra y contentarla. Y de esta manera van entrando en el mundo de los números y las operaciones por un camino resbaladizo, cada vez más lejano de la com­ prensión y de la maduración del pensamiento lógico que, en definitiva, es la única cosa importante a adquirir en la escuela primaria. La resta llevando no deberla introducirse hasta 3.a de primaria y con propuestas y de manera que los niños vean que es necesaria, consiguiendo captar su interés. En mi pro­ puesta de actividades didácticas para el área de matemáticas, los libros D iverm ats, se plantean actividades en este sentido. Vayam os a l área de geom etría, ¿qué puntos débiles encontram os? El primero, y bastante generalizado lamentablemente en la etapa ¡n-

5. CANALS, NI A

(2000): D ive rm a t. Barcelona. Onda.

51

fan til, ya lo he dicho, es la insistencia en presentar como figuras geométri­ cas fundamentales, y sobre el papel, el círculo, el cuadrado, y el triángulo... cuando las formas fundamentales son la -í ■ ■'i- ■

línea, con una sola dimensión, la superfí-

qu.e es un cuadrado-, un d re n -

cié, con dos dimensiones, y el volumen,

io o un triángulo a los íres

con tres dimensiones. Así que me permito

a ro . ...

recordar que no es obligatorio aprender

■ ■-'.uuhi;:;.. .u a íe s ■u.e

io.

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oponte. ;er en .

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lo que es un cuadrado, un círculo o un triángulo a los tres años... Lo fundamental es que los niños experimenten y conozcan, con el propio cuerpo, cómo son

¿un

las formas básicas que encontramos en el

; jigüe-

espacio, así como las nociones de cerra-

¿res {tururnslones.

do, abierto y continuidad, como ya he dicho. Que los niños adquieran éstos, y

muchos otros conceptos de geometría, en base al propio movimiento, ha­ ciendo representaciones plásticas de los mismos, sin olvidar la expresión verbal de todo aquello que van descubriendo, de sus duelas y de sus con­ clusiones. La enseñanza de las nociones básicas de la geometría puede aca­ bar con la representación de la imagen en un papel, pero nunca debería comenzar asi. Empezar por la imagen di­ ña e

-nunca ./< /:•. ¡ u - e h bujada, para ayudar a los niños a conocer

d'jde.i-; id - ia

nu n i o

■

a -OU-U-

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(k f, dturna; ,.. . -pupea

.

las diferentes figuras y cuerpos, yo digo que es como enseñar un objeto sólo en

-

nunca debería empezar así.

fotografía, sin poderlo ver en la realidad, ni poder tocarlo ni moverlo... La calidad de su conocimiento será absolutamente

diferente que si tenemos la oportunidad de estar delante de él, nos acerca­ mos, nos alejamos, lo tocamos... Hablemos de la lógica. En el curricula escolar actu al no hay conteni­ dos para trab ajar este aspecto, fundam ental y transversal, de form a espe­ cífica. ¿Es innecesario que los h aya? No creo que sea innecesario, al contrarío. Es cierto que el trabajo o la ejercitación de la lógica está subyacente en las diversas áreas, pero yo opino que debería estar presente también de forma específica en el currículo, para así ejercitarla más. Todo el trabajo específico en torno a la lógica matemá­ tica se suprimió, hace ya unos cuantos años, del currículo escolar.

Y ¿p o r qué se tomó esta decisión? Hubo una época, la de la llamada m atem ática moc/emo, en la que se trabajó específicamente lo que se denominaba lógica de conjuntos. En in­ fantil y primaria se trabajó muy bien, con sentido

común, y

reaImente

fue

una

buena práctica en diversos aspectos de la lógica, como el hecho de establecer reía-

' v .ín , hi;¡ m; /?■<'i f.- • .

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¡míticas.

dones, el reconocimiento de categorías diferentes, la clasificación y ordenación, las transformaciones de cualida­ des... Pero en el bachillerato, o en los últimos cursos de lo que entonces era la EGB, se trabajó de manera tan abstracta que se acabó cuestionando su utilidad y cayó en descrédito, arrastrando también al trabajo de lógica que se hada con los más pequeños, que se hacía bien. Fue una decisión acerta­ da para los mayores y equivocada para los pequeños. Las personas que ha­ cían los currículos sabían muy poco del trabajo que se hacía en infantil y primaria. En estas etapas se había trabajado mucho la lógica con los bloques lógicos de Dienes. Ahora se han desterrado de la primaria, lamentablemen­ te, sólo se trabajan en infantil. Se trabaja con ellos, lo que ya no sé es si se trabaja bien. ¿P o r qué cree que es tan im portante hacer un trabajo especifico en torno a la lógica m atem ática? Porque es fundamental cultivar la lógica, con los pequeños y con los mayores, para poder entender las matemáticas y, por ello, se ha de trabajar de manera específica. Se puede trabajar muy fácilmente con lo que yo llamo juegos de lógica. Los bloques lógicos de Dienes comportan actividades que son verdaderos juegos. Creo que es importante hacer con los alumnos jue­ gos específicamente lógicos, descontextua (izados, aunque trabajemos la lógica de manera subyacente en las diferentes áreas o actividades matemá­ ticas. Muchos juegos y problemas de ingenio, o el mismo ajedrez, ejercitan la lógica, el pensamiento, el ingenio, y a los niños les gustan mucho los jue­ gos. Una buena práctica de la lógica, del razonamiento, es imprescindible en el aprendizaje de las matemáticas, en cualquier aprendizaje. Y estos juegos o actividades especificas de lógica, ¿qué habilidades ayudan a desarrollar? Dependiendo del tipo de actividad o juego lógico, ayudaremos al alum­ no a descubrir relaciones entre diferentes objetos y, por lo tanto, a clasifi-

53 i

car y ordenar. La clasificación y la ordenación son la base de los números na­ turales. Clasificando y ordenando ayudamos, por lo tanto, a adquirir la no­ ción de cantidad. Con otros juegos lógicos

A la lógica se ¡e ha negado su eniddaá j-cn. s. e :eahcjudü explícitam enie, ahora sólo se íraie-ja a, .¡¡ao ¡nu'uciia y

práctica de la lógica binaria del «sí» y dei

creo que es un error.

«no». Otros juegos, como los bloques lógi­

ejercitamos el reconocimiento de categorías diferentes, como redondo, cuadrado, colores, nombres..., que se adquiere con la

cos de Dienes, nos introducen en los cam­ bios o transformaciones de cualidades. Los niños experimentan que dos palos de un mismo color hacen la misma medida que otros de color dife­ rente, que tienen, por lo tanto, el mismo valor que este último..., una pre­ paración fantástica para las operaciones matemáticas, que no son otra cosa que cambios. Si ejercitásemos más a nuestros alumnos en la lógica tendrían otra actitud ante los problemas y mejores resultados. Se le ha negado a la lógica su entidad para ser trabajada explícitamente, ahora sólo se trabaja de manera implícita y creo que es un error. Yendo más allá de ¡os contenidos, en lo referente o ¡a didáctica, ¿qué puntos débiles destacaría de la educación a ctu a l? Uno de ellos, la excesiva dependencia de los maestros hacia los libros de texto. Yo los quitaría todos o, como mínimo, pediría que respondieran a criterios pedagógicos y que fueran coherentes con los criterios que dicta el Ministerio o el Departamento de Educación. Por otro lado, vivimos en una sociedad muy diversificada; queremos enseñarlo todo y por eso car­ gamos con demasiados contenidos los programas y no llegamos a nada en profundidad. Y la ciencia avanza muy rápidamente, multiplicando aún más el número de contenidos a «aprender». Para hacer frente a esta situación creo que deberíamos renunciar a programar conocimientos y centrarnos en potenciar las capacidades y competencias de nuestros alumnos. Éstas les servirán siempre y para todo, para conocer el mundo y un día poder in­ cidir en él. Pero esto requiere un gran cambio en la manera de actuar de los ma­ estros. No hay nada más difícil para cualquiera de nosotros que cambiar nuestra manera de hacer, de vivir. Pienso que el gran problema -el único verdadero problema- de la educación es la voluntad o no voluntad de los maestros de adecuar su manera de enseñar, de vivir ta escuela, en función de una auténtica educación de niños y niñas.

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Escuela y educación No se puede enseñar nada a nadie... Sólo se puede ayudara encontrar la respuesta en uno mismo, (Galileo Galilei)

Es evidente que las m atem áticas, su d id áctica, su aprendizaje, for­ man parte de un contexto com plejo y am plio que es la institución esco­ lar, la Educación en m ayúsculas. ¿Q ué le diria M .° A ntonia Canals a un profesor que acaba de empezar a ejercer? Básicamente que se prepare bien las actividades de aprendizaje para poder ayudar a los alumnos a aprender, pero sobre todo, y por encima de todo, que no pierda la capacidad de observar a los alumnos y de cambiar cualquier cosa programada en función de lo que niños y niñas, con su acti­ tud y reacciones, necesitan o piden. ¿Cuáles serían ios valores fundam entales del hecho educativo? Para mí, el valor fundamental de educar es ayudar a desarrollar todas las capacidades humanas de la persona, a nivel cognitivo, artístico, ético, de convivencia. Y esta responsabilidad no es sólo de la escuela, es también respon-

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sabilidad de la familia, del tiempo de

todas ¡as capacidades a nivel cognitivo, a .níarico, ético . cíe convivencia...

ocio, de la sociedad, de las políticas de cohesión e igualdad de oportunidades...

Después de tantos años en el mundo de la educación, ¿qué balance hace de la situación, hoy en día, de la educación en nuestro p ais? No me atrevo a decir que el balance sea negativo, en todo caso diría

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que es muy escaso, demasiado lento, creo que el sistema ha de mejorar mucho y confío en que mejorará. Y, ¿qué hace falta para que m ejore? Sobre todo sentido común. Harían falta, no tantas leyes y más ac­ ciones, más soluciones para las necesidades concretas de niños y niñas concretas, de aquella escuela concreta. ;••••■

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las políticas educativas, y la acción de sus responsables (autoridades educa tivas, inspectores, sindicatos...) hacia aquí. Sería necesario que pensaran más, todos aquellos que inciden de alguna manera

en el sector educativo, en la mejora de la educación que se ofrece, en los propios niños y niñas como sujetos, en su derecho a recibir una educación que permita el desarrollo de sus capacidades..., y ya cuesta que piensen en ello los maestros... Los criterios pedagógicos de los curriculos oficiales, las norm as de ini­ cio de curso de las adm inistraciones educativas, contemplan unos objetivos pedagógicos, unas bases y m etodologías didácticas que, a menudo, en el momento del trabajo directo de los m aestros en el aula, quedan absolu­ tam ente eclipsados por prácticas incluso contrarias... ¿p o r qué? Es que una cosa es leer y otra digerir. Y digerir es todo un proceso, más lento, más profundo. Y lo imprescindible para digerir algo es la intención, querer hacerlo. ¿Por qué unos maestros la tienen y otros no? Pues no ío sé. Como decía Bob Dylan, la respuesta está en et viento. A veces no es sólo que­ rer sino también poder. Todos tenemos una historia, hemos recibido una educación con unos parámetros muy diferentes, y eso también pasa factu­ ra. También nos cuesta cambiar... La escuela que tenemos, ¿es realmente una escuela para todos los niños y niñas? No podemos hablar en singular, no tenemos un solo modelo de escue­ la, tenemos una pluralidad y en esta pluralidad yo creo que si hay lugar para todos los niños.

En este sentido sí que creo que se ha mejorado mucho. Todos íos niños y niñas, sea cual sea la situación socioeconómica de sus familias, tienen un lugar en la escuela. Hoy en día se había mucho de la necesidad de atender ía diversidad, pero fe encuentras con que en muchos institutos se separa a l alum nado en clases diferentes en función de su rendim iento cognitivo. Incluso hay es­ cuelas especiales para los niños y niñas con alguna discapacidad, sobre íoc/o intelectual. ¿Qué opina al respecto? Esta decisión de agrupar a los alumnos en función de su capacidad a mí no me gusta. Creo que la diversidad la hemos de asumir tanto los maestros como íos alumnos. El hecho de estar jun ­ tos es muy positivo para todos, para los

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que van más atrasados y para los que van

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misma sociedad y vivimos juntos. Puedes

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tener un niño con discapacidad en tu casa,

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en la casa de al lado, o en cualquier sitio.

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Si la vida nos pone juntos, ¿por qué nos

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tendríamos que separar? Es la misma pre­ gunta que me hice cuando empecé a trabajar la coeducación en la escuela, pensé que no era natural separar a niños y niñas en función de su sexo. También debe ser difícil atender la diversidad de capacidades del alum ­ nado partiendo de un libro de texto igual para todos. Usted ya ha dicho que los quitaría, pero los m aestros los utilizan y ios padres íos pagan... Las editoriales son empresas que quieren vender su producto. E! tema de los libros de texto en las escuelas es un aspecto más del liberalismo ca­ pitalista de nuestra sociedad. Pedagógicamente, ya lo he dicho, una edu­ cación de calidad ha de partir ele la experiencia vital del niño, el saber no es compartimentado, como aparece en los libros de texto. Además, hay otro factor, la motivación. Las cosas v i­ vidas son más auténticas, siempre motivarán más a ios alumnos que aquello que encuentran escrito en la página de un libro de texto. Es una mala entrada hacia los aprendizajes y cuanto más peqlíenos, peor.

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57

Desde la escuela actual, ¿se defiende el «derecho a tener experiencias educativas apropiados»? Este derecho, que es eí derecho a una educación de calidad, se recono­ ce en la Convención de los Derechos del Niño y todos los grandes pedago­ gos han trabajado en defensa de este derecho y muchos maestros trabajan. Pero también hay mucha gente que no lo tiene en cuenta. En la entrada de un instituto de secundaría, los alum nos escribieron el siguiente g rafiti: «No entres, lee y vive». ¿C u ál es su valoración ? Hombre, tendría que conocer el lugar, la situación. Pero por lo que dice el grafiti, puedo suponer que estos alumnos pensaban que, para lo que se les ex­ plicaba en ese instituto, tenían suficiente con leer, y que, ahí dentro, no debían vivir demasiado bien. La escuela, como institución, tiene aspectos cuestionables. Incluso, a la larga, es probable que tenga menos protagonismo en lo referente a la iniciación en el conocimiento de las ciencias y las artes, lo digo por internet, porque quizá se creen otras estructuras... Lo que no es cuestionable es la nece­ sidad y el derecho de ios niños a crecer y desarrollarse ayudados por los adultos. Me gu staría acabar con una canción (mirada de sorpresa ele la entre­ vistada). 5e trata de una canción actual, de Adolfo Cóbrales, del grupo Fito & Fit ipaid is, dice asi: El colegio poco me enseñó, si es por esos libros nunca aprendo... A coger el cielo con las manos a reír y a llorar lo que te canto a coser mi alma rota a perder el miedo a quedar como un idiota y a empezar la casa por eí tejado a poder dormir cuando tú no estás a mi lado. Menos mal que fui un poco granuja. Todo lo que sé me lo enseñó una bruja. [...] El colegio poco me enseñó Si es por el maestro nunca aprendo... ¿Qué le parece? Me parece catastrófica, exterioriza un gran fracaso de la escuela. Me da pena porque seguro que quien la ha escrito ha ido muchos años a

la escuela y no la ha disfrutado, no la puede recordar con afecto ni con la sensación de haber aprendido en ella nada importante. Conozco jóvenes a los que les gustaría mucho esta canción, independientemente ele haber vivi­ do buenas o malas escuelas. Es menos probable que tengas esta opinión si has vivido una buena escuela, pero también es posible porque al niño le in­ fluyen muchas cosas a lo largo de su escolaridad, algunas ajenas a la escue­ la, que pueden influir en su vivencia escolar. No es automático que una buena enseñanza eduque, no hay nada automático en un proceso de vida y la educación es un gran proceso vital. Siempre hay algo que no podemos controlar en un proceso vital, algo que no se puede controlar. Pero s i podemos saber ei porqué de una actitu d, podemos encontrar claves que nos orienten... El porqué... yo a mi edad ya no aspiro a saber el porqué de las cosas, hay demasiadas cosas de las que no podemos saber el porqué y si trabajas con personas, con niños, aún menos. Yo sé muy pocas cosas, la única cosa que sé segura es que pienso trabajar, mientras pueda, para que la escuela mejore. Ni tan sólo estoy segura de que lo que hago sea siempre correcto y eficaz. Has ele saber cuestionarte tu propio trabajo y ios mejores indicadores son siem­ pre los propios niños y niñas, por eso es tan importante saberlos escuchar. Finalizamos estas Conversaciones en el GAMAR («He tenido la suerte de jubilarme y poder continuar en !a Universidad y crear el GAMAR») un cen­ tro de recursos y materiales para la enseñanza de las matemáticas. Nos ro­ dean

más de

novecientos

materiales

clasificados

para

trabajar

las

matemáticas partiendo de la manipulación y la experiencia de vida de los niños. Maestros de muchas escuelas vienen a este centro para conocer tocios estos materiales -la mayoría de elaboración muy sencilla-, recibir asesoramientos, hacer consultas... El GAMAR es también la sede del Grupo Perímetro, con M.;i Antonia Ca­ nals como cabeza visible, desde el que se investiga, se organizan jornadas sobre las matemáticas, etc. De vez en cuando suena el teléfono, ella misma contesta y coge una agenda minúscula y artesanal. Confirma fechas de un curso en Toledo, otro en Murcia, en Santander... Es la maestra de matemá­ ticas viajera, cada trimestre da diversos cursos sobre didáctica de las mate­ máticas por toda la geografía estatal («y mira que mi sobrina, con 8 años, ahora ya tiene 14, ya me decía "Tía, ya sé que no te lo podemos prohibir pero eso las señoras mayores no lo hacen"»).

Me Antonia Canals, una «señora mayor» de 78 años, apasionada de las matemáticas pero, sobre tocio, enamorada del camino de vida -y didáctica— que permite acompañar a niños y niñas en su propio descubrimiento del conocimiento matemático, de las matemáticas que nos encontramos en la vida.

Pon todo lo que eres en lo mínimo que hagas. (F e rn a n d o Pesso a)

Que todo está por hacer y todo es posible. (M ic ju e l M a r t í i P o i)

Han sido muchas las horas c!e diálogo, correcciones, explicaciones, re­ solución de dudas, ánimos y desánimos... que han hecho falta para elaborar este pequeño libro. Ha sido un proceso complejo, de la misma manera que lo son las propias matemáticas, pero también apasionante y alentador. Ha­ blar de matemáticas con M.:i Antonia Canals es, en primer lugar, aprender matemáticas y darse cuenta de que hemos crecido con errores matemáticos importantes y con una manera de aprender las matemáticas que no ha fa­ vorecido, precisamente, ni su comprensión ni el menor interés o pasión por acercarte a los misterios de esta ciencia... Y descubrir, lamentablemente, que aún hoy las cosas han cambiado muy poco en demasiados sitios... Pero también hemos podido recordar que otra matemática es posible. Que, de hecho, en la Institución Libre de Enseñanza, con Francisco Giner de los Ríos, o en el Instituí Escola y FEscola Nova, con pedagogos y maestros como Alexandre Galí, Artur Martorell, Rosa Sensat, Eladi Homs..., la mate­ mática partía de la vida de los niños, de su entorno, de sus necesidades y nunca de un libro de texto exclusivamente. Un camino que se debería recu­ perar, con las renovaciones oportunas que implican siempre los nuevos tiempos, con el fin de llevar a cabo una didáctica que ayude a ¡os alum ­ nos a comprender los conceptos matemáticos y aplicarlos a su realidad coti­ diana, a sus necesidades, a la vida misma. De este camino nos ha estado hablando, a lo largo de este libro, M.n Antonia Canals, cofundadora de la Asociación de Maestros Rosa Sensat y maestra de maestros. En uno ele los capítulos dei libro se hacía referencia a las actitudes de los maestros, a la resistencia al cambio que hay en la escuela, a la impor­ tancia de que los maestros «adecúen su manera de actuar, de vivir la escue­ la, en función de una auténtica educación de los niños y niñas». Quiero acabar este libro dando la palabra a los niños, su voz siempre es una importante lección de vida para los adultos que saben y quieren escucharla.

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Opiniones sobre las matemáticas y su enseñanza en la escuela Niños y niñas de 7 y 8 años

«Las mates me gustan porque son fáciles y sé hacer todas las sumas, restas y multiplicaciones y aprendo mucho. Las matemáticas son di­ vertidas, Cada día descubrimos cosas.» «No me gustan las matemáticas porque no me gustan los números, ni las restas, ni las líneas curvas ni muchas otras cosas que no sé hacer,» «Me gustan porque hay muchos tipos de actividades. Son muy entretenidas, se aprenden muchos trucos.» «Me gustan porque hay muchas cosas que sé hacer. » «Me gustan porque aprendo a contar deprisa y a sumar con la cabeza.» «De las matemáticas algunas cosas me gustan y otras no. Los problemas es lo que inás me gusta. No me gusta hacer divisiones ni multiplicaciones. No es que no me gusten, es que no me hacen gracia, » «Me gustan las matemáticas porque son divertidas y me sirven para el día de mañana. La maestra nos pi ‘ep a iV a cti vidad es d ive 17idas, ha cent os trucos de magia . adivinanzas y resolvemos problemas.» «En matemáticas aprendemos a multiplicar y dividir, y a saber cuántos céntimos nos tienen que devolver en la tienda, o cuántos kilómetros faltan para llegar a un sitio. Me gusta aprender todo esto, y también cuando hacemos trucos de magia, o cuando jugamos al dominó de las operaciones.»

Niños y niñas de 9 años

«Me gusta mucho hacer matemáticas porque en la clase la maestra nos explica ¡o que haremos y después nosotros lo probamos con diferentes juegos y materiales. Ai fatal, cuando falta poco para acabar la clase,' cada uno explica lo que ha hecho y cómo lo ha hecho. A veces cuando los otros niños explican también aprendo cosas. Siempre tenemos que escribir lo que hemos hecho en un papel . » «Me gustan porque hacemos actividades divertidas que nos hacen pensar. A veces no nos salen, pero vamos probando hasta que llegamos al resultado co­ rrecto. Aunque me equivoque no pasa nada, lo repi­ to y cuando me sale ya lo entiendo. » Me gustan un poco. Pero encuentro muy pesado aprender las tablas, ate cuesta y muchas veces hago mal las multiplicaciones y me pongo nervioso. Sólo te equivocas en un número y ya lo tienes todo mal.» «Me gustan porque hace titos muchos problemas, ¡a maes­ tra nos hace bromas y hacemos juegos en ios que tenemos que pensar mucho. Me sirven para ir a comprar, leer etiquetas y para poder hablar con ios demás de otra ma­ nera que se entienda mejor.» «Siempre me han gustado. Los números sot! muy “guais " y a veces son mágicos. Las mates me ¡tacen pensar y sirven para muchas casas..» «Me gusta hacer matetnáticas porque me servirán para toda la vida y encontrar ¡a solución de ¡os p robiem as es em oci onat ne .»

64

Niños y niñas de 10 años

«En matemáticas no paras de descubrir cosas y cuando las descubres te diviertes mucho. H acer operaciones ya no me gusta tanto. Cuando escribes números, en algunos ejercicios o problemas, es como si las matemáticas te hablaran a través de los números.» «'Mi maestra se esfuerza en hacerlas matemáti­ cas de manera que lo emendamos todo mejor. » •vMe gustan a medias. Las matemáticas me cuestan

un poco y por eso no me gustan mucho. » «A mí las matemáticas no me gustan, las encuentro pesadas, com­ plicadas y monótonas. Lo que me gusta menos es el cálculo men­ ta! porque me pongo nerviosa y no se me da bien. Y lo que más me gusta es la geometría porque no se tienen que hacer operaciones . Tampoco me gustan porque hay cosas que no sé por qué tenemos que estudiar, por ejemplo los decimales: ¿para qué sirve saber qué es un decímetro y cosas así?» «Me gustan porque creo que son muy interesantes y pienso que casi todo funciona con ellas. » «La lección que más me ha gustado ha sido la de los tantos por ciento. Me gusta porque cuando yo iba a la tienda y veía, p o r ejemplo, “ Ultimas botas, 70% de descuento'’, yo pensaba 11¿cuánto será eso?", Y claro, ahora que lo he estudiado lo entiendo perfec­ tamente.» «Me gusta cuando hacemos problemas o cuaderno porque puedo ira mi ritmo. Cuando la maestra explica cosas a toda la clase, lo explica muy bien, pero a veces lo tiene que repetir porque hay gente que no lo en­ tiende, y yo me aburro. Me gustaría que hiciéramos grupos pequeños los días de explicaciones y ejercicios, no únicamente los días de problemas. »

«A mí ios incites me gustan mucha porque es divertido hacer operaciones para saber su resultado. Se parecen un paco a ¡os experimentos porque te preguntas “¿qué pasará si mez­ clamos dos elementos? ” , pues lo mismo te preguntas cuan­ do haces una operación “¿cuál será el resultado?'?» «Antes me encantaban las mates, era mi asignatura preferida. Pero este año las cosas han cambiado un poco , me gustan pero no tanto. Me gustaban porque se me daban bien, también las encuentro muy útiles, sobre todo me gustan ¡os problemas, o me gustaban. Bueno, me gustan, porque soy así y nadie me cambiará.» «Las matemáticas me gustan aunque a veces se me hacen un poco pesadas y difíciles, pero yo me esfuerzo. Lo que más me gusta es el cálculo mentid porque lo puedo poner en práctica cada día. cuando voy a comprar una barra de pan, o cuando voy al restaurante para saber cuánto va a costar la comida. También me gustan los problemas porque los miro por el lado positivo y pienso que son como un libro de misterio o de detec­ tives y tienes que resolver el final. A mí no me gusta la geom e­ tría, pero creo que es necesaria para la vida.» Niños y niñas ele 11 y 12 años

«Me gustan las matemáticas porque me sirven para la vida real: para ir a comprar y para otras cosas. Además, me gusta mucho el cálculo mental. Citando algún niño no las entiende, la maestra se lo explica hasta que las entiende. » «A mí me gustan las matemáticas porque desarrollan tu cerebro mucho, con ellas piensas, haces grandes tus ideas y por supuesto son divertidas. /\ mí me cuestan bas­ tante, pero me supero a mí mismo cada segundo que paso en el colegio. »

«Me gustan las matemáticas porque son divertidas, en esp ec ial los problem as d if idles y /as j) rice io nes, también las medidas, bueno, todo. Fo cra> í/ííc /m' gustan porque las entiendo y se me dan bien. El mejor momento es cuando sólo tú sabes la respuesta y cuando escribes algo en el cua­ derno de los descubrimientos que tenemos en la clase. El lihm de los descubrimientos es un sitio do tide anotamos formas más ja d íe s de hacer las operaciones o cosas que pasan con los poliedros, etc.»
tender. Sólo que te equivoques en una pequeña cosa el resulta­ do ya no es correcto .» «Me gustan un poco. Sirven para todo, son muy necesarias para la vida. Las necesitamos para muchas cosas, por ejemplo . para hacer recetas de cocina, para ir a comprar, para contar el dinero... » «Con las matemáticas aprendes cosas importantes y cómo las ha­ cemos divertidas, porque hacemos juegos, cosas que parecían muy difíciles al fi nal son muy jadíes. El año pasado teníamos una maestra que no las explicaba muy bien. Este año se ha hecho uti cambio y la maestra que nos ha tocado las explica super bien. » «Me gustan porque me enseñan y me entretienen un poco. Entre otras muchas cosas, aprendemos cálculo mental que nos ayudará a hacer cuentas rápidas. Cuando vaya­ mos a comprar nos permitirá hacer cálculos aproxima­ dos del precio de la compra, de las cantidades que necesitamos y muchas cosas más. La vida está llena de si­ tuaciones en las que hay que utilizar las matemáticas.» «A mí, sí que me gustan las matemáticas, porque sale de todo: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y otras cosas. También me gusta cómo las explican los maestros, aunque a mí me cuestan bastante, pero los maestros me ayudan un poco.»

" Yo en cu en tro que las matemáticas son divertidas y difí­ ciles. Y por eso me gustan.»

«A mí me gustan bastante Jas matemáticas, pero no iodo depende de si estás atento y pones interés porque hay profesores que no las explican muy bien y hay otros que fas explican mucho mejor. Además, también me gustan porque creo que los números son muy divertidos, que sir­ ven mucho para fas personas que tienen una enfermedad, que ya no tienen memoria, como el alzheinter. También creo que en esta asigna­ tura un profesor te aprueba o te suspende si lo has hecho bien o no. En naturales, sociales, catalán, etc., no pones las cosas exactamente, pones lo que tú crees que es, y el profesor te valora todo lo que pones y ve si lo entiendes o no. En cambio en. matemáticas no es así, el re­ sultado es un número que todo el mundo pone y si está mal te ponen mala nota y si te sale el número que es, te ponen muy buena nota. Ade­ más, también me gustan las matemáticas porque al haber diferentes temas, como geometría, no las aburrimos demasiado. Ah, y también me gustan porque creo que es una asignatura importante, porque sin las mates nuestra evolución no sería igual, no sabríamos, por ejemplo, cómo llamar por teléfono, no sabríamos contar los años, no habría tantos trabajos porque en la mayoría de ellos, por ejemplo contable, la persona del tiempo, etc., hay que tener un mínimo conocimiento de las matemáticas. En general, con este escrito quiero decir que las ma­ temáticas son muy importantes para el desarrollo del cerebro y que sin ellas no podríamos vivir igual y no habríamos llegado ni llegaríamos tan lejos con nuestro cerebro. » «A mí no me gustan las mates porque hay demasiados nú­ meros y te tienes que estudiar muchos nombres y ponen muchos ejercicios de deberes. Aunque, a veces, hay tetras muy divertidos.» •'Las mates me gustan por­ que me gusta eso de bascar respuestas entre los núme­ ros y los problemas.»

G8

-M e lo pasé muy bien en 3.° trabajando con las regletas duran­ te todo el trimestre que tuvimos una maestra sustituía. Me ayu­ daron a entender las multiplicaciones. Cuando volvió nuestra maestra ya no hicimos más regletas, a mí me hubiera gustado decirle que las utilizásemos con ella también, le podríamos haber explicado cómo funcionaban, pero pensé que ella prefe­ ría trabajar con las operaciones que se hacían sobre el papel. Ella iba por otro camino.» - Me gustan las matemáticas porque ya desde pequeño me gusta­ ba contar cosas, sumarlas... De las matemáticas, lo que más me gusta es la geometría porque me parece muy divertido calcular o hacer polígonos. También me gustan las raíces cuadradas, o mul­ tiplicar al cubo, al cuadrado.,. De momento, los profesores de matemáticas que he tenido me han gustado mucho. A mí. de mayor, me gustaría estudiar la carrera de matemáticas y ser un buen contable. Mi madre dice que eso es muy difícil, pero yo lo quiero intentar.» "Desde pequeño que me gustan las matemáticas. Recuerdo cuando sumaba, restaba y aprendía a multiplicar con mi abue­ la. que me enseñaba. ,4 veces con mis padres y mi hermana nos reúnas de cuando era más pequeño porque, para aprender a nuil tip Hear, comía una cucharada de sopa y decía, por ejemplo, «2 x 2 = 4», y todo el rato así, hasta acabarme la sopa, A mí me gustan las matemáticas ¡torque creo que el mundo sin números no sería nada, y cuanto más sabes titas puedes saber, jáhricar, inventar,.. Es tota¡mente imposible imaginar un mundo sin nú­ meros. Las matemáticas para mí serían como un segundo idio­ ma con el que te puedes comunicar. Son como todo un mundo, en el que es imposible saberlo todo, cada día aprendes algo nuevo. Pero también, a veces, las matemáticas son un mundo que cuesta aprenderlo, recordarlo y también saberlo. Las ma­ temáticas están divididas en muchos temas y creo que es total­ mente imposible saberlos todos. Se te puede dar muy bien algún tema, pero no puede ser que una persona se los sepa todos. Son demasiado complicadas pero , cuando lo entiendes, entonces son muy y muy fáciles.»

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«No me gustan las matemáticas porque no se me clan bien (a veces, dependiendo del tema, me gustan, pero muy poco). Intento esforzarme todo lo que puedo. Ahora esta­ mos haciendo un nuevo tema que se llama " Las figuras g e­ ométricas ” Este tema no me cuesta tanto„pero ya veremos cómo va el control. Creo que si me esfuerzo y estoy atenta lo aprobaré. Este tema lo entiendo más. Las operaciones no me cuestan, pero a veces me equivoco. » Jóvenes de 14 y 15 años

«Yo opino como un profesor que tuve: las matemáticas existen para saber contar, para organ izaríe mejor, pero también para hacer cosas bellas, cernió las esculturas de los griegos. A mí las matemáticas me van bien , pero a mucha gente le cuestan, quizá debería analizarse cómo se explican las cosas y cambiar el temario.» «Yo le diría a la proje de matemáticas que explica bien, pero que de­ bería explicar de otra manera porque, cuando no sabanas alguna cosa se enfada y grita, y cuando salimos a la pizarra, si no bucemos rápido el ejercicio también nos grita y a mí, cuando salgo a la pizarra, el co­ razón me va a cien.» « Tuve una profe de matemáticas que explicaba fatal, casi nadie de la clase entendía nada, suspendíamos la mayoría. Mi padre, y otros padres, protestaron pero nadie les hizo caso. Acabamos el curso como pudimos. Yo creo que alguien debería pedir cuentas a un maestro si no hace bien su trabajo. Creo que es muy injusto para los alumnos que no sea así, el director debe­ ría decirle alguna cosa, o el inspector. Si nosotros protestamos entonces nos cogen manía y aún es peor.» «Creo que los profesores deberían dar un enfoque más práctico, visual, lógico, y no tan teórico, a esta asignatura. La profesora que yo tengo me ha hecho aburrir las matemáticas de lo mal que lo hace y de lo mal que explica. »

«Las matemáticas podrían ser may di­ vertidas, pero depende de la manera en que las enseña el profesor. Las mates serían muy divertidas si se enseñasen como si fueran un juego y no de la ma­ nera tan teórica como se enseñan ahora .* «Para mí las matemáticas deberían ser diverti­ das y de mucha lógica. Ahora las matemáticas las enseñan tal y como están en el libro de texto. Se tendría que aprovechar que las matemáticas son muy importantes y enseñarlas con diversión. A mí me gustan mucho pero me cuesta la parte de los cálculos y las fracciones y, sobre todo, los problemas.» Jóvenes de 16 y 17 años

«Me gustan las matemáticas porque te hacen pensar. Te tienes que es­ forzar para encontrar las razones lógicas de las soluciones. Lo mejor es aplicar todo lo que has aprendido a los problemas, porque aplicas lo aprendido a ejemplos de la vida.» «Yo siempre he encontrado muy difíciles las mate­ máticas, sobre todo en la ESO. La maestra nos ex­ plicaba muchas cosas y muy rápido y después nos ponía a hacer un montón de ejercicios, si lo enten­ días bien y si no también. Los ejercicios de matemá­ ticas, tanto en primaria como en la ESO, me parecían, además, nuiy repetitivos y aburridos «Cuando estudiaba, en la ESO, me gustaban las matemáticas por cómo las explicaba mi profesora. Si no entendías alguna cosa, te cogía y te lo volvía a explicar hasta que lo entendías.»

«Las matemáticas están bien , te muestran que todo tiene su ló­ gica. Pero también es una asignatura dura porque a menudo cuesta encontrar esta lógica, no es fácil. Lo mejor de las mate­ máticas es cuando se pueden relacionar con hechos cotidianos de la vida.» Y para acabar, un testimonio muy especia!, esta vez con nombre y ape­ llidos porque se trata ele una sobrina de la profesora M.a Antonia Canals. Anna Canals Lahoz, primero de bachillerato,17 años

<«£/? todos los años de escuela en que he hecho mates, sólo me he

encontrado un profesor que me hiciera reír con ellas. Era genial, nos enseñaba las matemáticas de una manera que nunca antes, con ningún otro profesor, había podido descubrir. Fue entonces atando las matemáticas me empezaron a gustar y cuando empecé a entender a mi tía. Ahora estoy en el instituto y sé que no volve­ ré a tener un profe como aquél, un projé que me esplique unas ¡notes fáciles y divertidas. »

72

Sé

I.

Decálogo para trabajar con materiales manipulabas, por M.a Antonia Canals No debemos confundir la realidad virtual con la realidad material, infinitamente más rica y más directa para nuestros niños y niñas. [Anton Albaneíi) @

Presentar una propuesta de trabajo, a poder ser en forma de una «pe­ queña investigación».

H I Invitar a la acción, dejando bien claro qué es lo que vamos a hacer. H J Observar a niños y niñas, sus reacciones, sus intereses, y acoger las po­ sibles ¡deas o iniciativas. ©

Estar dispuesto a cambiar el camino previsto para seguirlas, aceptan­ do lo imprevisto.

H I Pedir la estimación de resultados en las medidas y cálculos (base del cálculo mental) y la anticipación de fenómenos geométricos en el es­ pacio. f ] | Provocar y acompañar el descubrimiento de alguna cosa nueva. Cuan­ do lo han hecho, maravillarse y felicitarles calurosamente. @

Potenciar el diálogo, invitando a los alumnos a que expresen aquello que han hecho y que han visto. Pedirles una explicación oral cohe­ rente.

P

Resumir aquello que se ha hecho, se ha dicho y t sobre todo, aquello que se ha aprendido. Ayudar a formular conclusiones.

P

Relacionarlo con conceptos que se han trabajado con anterioridad y, en ocasiones, con otras actividades (calculadora, estadística...).

]§) De manera opcional pasar alguna cosa a lenguaje escrito, primero co­ loquial y después matemático (con cifras y signos).

Girona, 17 de diciembre de 2003

. Decálogo de la Didáctica de la Matemática, por Pedro Puig Adam Q

@

No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alum­ no, observándole constantemente. No olvidar el origen de las matemáticas ni los procesos históricos de su evolución.

i j j Presentar las matemáticas como una unidad en relación con la vida natural y social. @

Graduar cuidadosamente los niveles de abstracción.

Q

Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.

| ¡ | Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento. Promover en todo lo posible la autocorrección. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarías. Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensa­ miento. Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.

Pedro Puig Adam, 1955 {Matemático y profesor, Barcelona, 1900 - Madrid, 1960)

III. A los niños y niñas, por M.a Antonia Canals Necesitamos que confien en nosotros mientras aprendemos. (Paco Hernán, SUMA, 1)

HAZ: experimenta, manipula, toca, mira, dibuja !o que pasa, y que a menudo llamamos problema, construye. FÍJA TE: observa qué pasa, qué ha pasado, qué ha cambiado, cómo es, qué hace, pon mucha atención. PIE N S A : compara, adivina, relaciona, hazte preguntas, busca explicaciones... DATE CUENTA de si has descubierto alguna cosa que antes no sabías. M A R A V ÍLLA T E con cada nuevo descubrimiento que haces, porque es tu propio descu­ brimiento. EXPLÍCALO a los demás, diles lo que has hecho, lo que crees que ha pasado o io que has descubierto, responde las preguntas de los demás y escúchalos. C O M P R U E B A CON IN ST RU M EN T O S si vuelve a pasar lo mismo, si es verdad. ESC R ÍBELO con lenguaje verbal, con un dibujo, con lenguaje matemático. IN VEN TA alguna cosa parecida o nueva. PLANTÉATE a quién, o para qué puede servir.

Girona, 2001 (revisado en el 2008) 79

IV. Extracto del discurso de M.a Antonia Canals en la recepción del Premio Sánchez Vázquez, 20076 El verdadero trabajo educativo no tiene nada que ver con seguir un programa. (M.-1 A n to n ia C a n a ls)

Todos estamos convencidos de que las matemáticas no son algo que se sabe o que se enseña, o que se utiliza... Son mucho más: Nuestro interés, lo que hoy y aquí nos mueve, lo que movió a Gonzalo Sánchez Vázquez, ha em­ pezado en las matemáticas, pero se ha concretado y ha tomado cuerpo en su didáctica, que yo prefiero nombrar como la Educación matemática que, para todos nosotras y nosotros siempre es y será: UN ARTE que surge de nuestro interior y se proyecta en los demás. UNA VIDA, es decir, algo que llevamos en nosotros, inseparable de la vida misma. Por eso hoy, en esta ocasión para mí muy señalada, he pensado com­ partir lo que ha sido a lo largo de mi camino y sigue siendo para mí este ARTE DE VIVIR LAS MATEMÁTICAS. ¿Por qué creo que la educación matemática es un arte? Ésta es una idea que siempre he tenido, pero que me resulta difícil de concretan Si comparo la educación matemática con un arte, quizá es porque con ella siempre me suceden cosas que creo que les suceden a los artistas: .

Nos enamoramos de nuestro trabajo, no por motivos lógicos, como podría suponerse, sino emocionales, es decir no con la mente sino con el corazón.

,

La realidadr nos crea un interrogante, que es éste: ¿cómo lograr que los niños y niñas, también se enamoren de las matemáticas?... Y

6. González Sánchez Vázquez (Sevilla, 1997-1996). Catedrático de matemáticas. Director del ins­ tituto Fernando de Herrera, importante centro experimental educativo y cultural. Medalla de la Universidad de Sevilla. Fundador y presidente cié la Sociedad Andaluza de Educación M ate ­ mática «Thales».

vamos pensando, rumiando, y no paramos hasta que un día se nos enciende la luz de la solución... Vamos a empujones en lo búsqueda de soluciones. Es como la ins­ piración del artista, que éste no llega a dominar; como mucho llega a aprender a seguirla. Cada artista tiene su estilo. Se forma mirando y aprendiendo e ins­ pirándose en otros artistas, pero en definitiva realiza su arte a su manera, como puede, como le sale, con tanteos y correcciones, y siempre mejorando y recreándolo de nuevo. El verdadero trabajo educativo no tiene nada que ver con seguir un program a. La verdad es que es como un arte que se va desarrollan­ do en su momento oportuno, nunca previsto y que requiere de no­ sotros... Pero para decirlo mejor, voy a citar una frase de Marta Mata, que descubrí recientemente, y que expresa muy bien esta idea: [...] dejar sentado el carácter de arte, de creación que tiene la ac­ ción educativa, sino también la necesaria capacidad de romper con prejuicios, y de echar mano de la comprensión más arriesgada y de la im aginación más creativa, por parte de quienes ejercen el papel de educador. (Prólogo al libro La educación infantil A. Makarenko. 1978. Madrid. Nueva Cultura.) La educación m atem ática, como el arte, no es para beneficio del ar­ tista. Por su misma naturaleza o razón de ser, es para comunicarse, para los demás, para que gocen y progresen en este goce. Finalmente, tiene momentos duros, pero nos hace felices. Incluso tiene algunos momentos en los que se piensa en tirar la toalla, pero la fuerza interior es mayor y la inspiración siempre vuelve y supera todos los resultados. Porque, ai mismo tiempo, sabemos por expe­ riencia que la educación matemática es precisamente aquello que nos corresponde hacer en este mundo, y por ello es el único queha­ cer que puede darnos y nos da una auténtica felicidad, la que tiene el artista con su obra.

Granada, 7 de julio de 2007

V. Extractos de la conferencia de M,3 Antonia Canals, organizada por el CREAMAT7 Nuestra responsabilidad profesional quizá consista en buscar siempre aquello que es mejor para que cada niño o niña aprenda. (M.3Antonia Canals) La mejora de la educación matemática no depende básicamente de los cambios administrativos, ni del aumen to de las dotaciones económicas, ni de la supuesta eficacia de los nuevos curriculos. Todos estos factores influyen, sin duda alguna, pero los verdaderos cambios dependen sobre todo del cam­ bio de mentalidades y de las actitudes profundas de las personas. [...] Estos son los cambios más profundos, y por ello son también los más difíciles. Per­ sonalmente creo que son los únicos realmente interesantes.

u Los niños tienen derecho a una buena educación matemática... Pero no hay sindicatos que defiendan este derecho. Pero sí que está la Convención de Ginebra ele los Derechos del Niño (1998).

Y nuestra responsabilidad profesional, ¿en qué consiste? Quizá consis­ ta en buscar siempre aquello que es mejor para que cada niño o niña apren­ da.

Hay

mucha

gente

en

el

mundo

enseñando

en

condiciones

infrahumanas... pero quizá buscando aquello que necesitan sus alumnos... El día en que en ningún sitio sea así, creo que el mundo se paralizará. [-J

Sólo se aprende aquello que se descubre. Esto nos obliga a tener un gran respeto por la manera de aprender de cada persona, como intuyeron tocios los grandes pedagogos que nos han precedido.

7, CREAMAT: Centro de Rercursos para Enseñar y Aprender Matemáticas del Departamento de Educación de la Generalitat de Catalunya.

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Los maestros tenemos tendencia a creer, sin estar bien informados, que hay siempre una ley que nos impone una manera y una distribución tempo­ ral para enseñar los contenidos de matemáticas. ¿Nos asustaría demasiado saber que la responsabilidad es nuestra? ¿Hemos pensado si por encima de la ley oficial no está la ley natural, la de! sentido común, la de los Derechos de! niño? Los maestros hemos de informarnos de lo que nos dicen todas las leyes y hemos de ser lo suficientemente responsables para querer defender los derechos de niños y niñas. [...] Cada maestro o maestra ha de conocer unas técnicas y utilizarlas según su propia inspiración, con una gran capacidad no de obedecer sino de crear, siguiendo el camino de cada niño.

Barcelona, 12 de diciembre de 2007

i 84

VI. Testimonios de maestros en torno a las ideas sobre didáctica de la matemática de la profesora M.a Antonia Canals «Después del largo franquismo, intuía que había, y buscaba, otra ma­ nera de enseñar las matemáticos. No podía ser que fueran tan mecá­ nicas v con los algoritmos siempre omnipresentes. Pero nadie nos había enseñado nada más. Fue en la primera Escuela de Verano del Alto Ampurdán donde pude conocer la metodología de la profesora M f Antonia Canals y, con sus inmejorables libros Matematitzem. nunca, mejor dicho, “¡vi la luz! "■ Las matemáticas se abrían a la lógi­ ca, a la estadística al azar, al juego, a la investigación, al entorno... Después vinieron sus asesoramientos directos. Su presencia en la es­ cuela, fue un revulsivo para los maestros y para los alumnos era un re­ ferente ..» «MF Antonia Canals fue profesora mía en la facultad, cuando yo aún no daba clases. Trastocó todos mis esquemas, cambió mi manera de ver las matemáticas, descubrí aspectos desconocidos; aquellas mate­ máticas vivencia-íes, aquella importancia de sentir, primero, con el propio cuerpo, de tocar materiales y de pasar, en última instancia, al papel Todo cuanto me transmitió va, además, más allá de las mate­ máticas.» «Conocí a MF Antonia Canals cuando estudiaba en la Normal de Gi­ rona para parvulista. Entonces yo era muy jovéncita y ella una mujer madura, con mucha vitalidad, energía, ilusión y experiencia en el mundo educativo. Ahora, muchos años después, aún mantiene y culti­ va este espíritu, creo que es su temperamento, su manera de vivir y transmitir lo que lleva dentro. Era una profesora de matemáticas en­ tregada, convencida de que se podía disfrutar haciendo y aprendien­ do matemáticas. Muy preocupada por la didáctica y los materiales o recursos, por hacer pensar a los alumnos, plantearles dudas, dándo­ les la posibilidad de experimentar y descubrir a través de la manipulación de materiales. Favoreciendo, en definitiva, la realización de aprendizajes significativos cuando aún nadie hablaba de este tipo de aprendizajes. Recuerdo cuando era alumno suya que, en alguna

85

ocasión que llegaba tarde por problemas con el ascensor, toda la clase salíanlos a buscarla por los pasillos. Cargábamos su maleta, que aquel día iba más llena que nunca, y hacíamos una clase práctica en la que nosotros, alumnos de 20 años, hacíamos de “ niños’' y ella de "maestra'’.» «Hace algo más de 16 años conocimos a la profesora M.° Antonia Ca­ nals. Vino al colegio a impartir un curso: "La geometría en primaria". El curso fue todo un éxito, al igual que todo el trabajo realizado con ella a lo largo de todos estos años. Nos ha mostrado cómo la matemá­ tica es un recurso para, adquirir capacidades básicas. Nos ha conven­ cido de que es el niño el que aprende si le vamos presentando los contextos adecuados, de manera adecuada. Nos ha hecho “vivir las matemáticas" junto a nuestros alumnos, haciéndolas agradables, po­ tenciando en ellos el entusiasmo por esta área, y creando una interac­ ción en el aula que sin duda, facilita de manera clara el aprendizaje.» «La linea pedagógica y didáctica de M.a Antonia Canals me ha ayu­ dado a entender, con mayor profundidad, diversos conceptos mate­ máticos y, sobre todo, me ha hecho cambiar la manera de transmitir a mis alumnos, pasando del "yo, maestra, te enseño/tú, alumno, aprendes" a intentar acompañar a los alumnos en sus descubrimien­ tos. Esta otra manera de hacer me ha supuesto una mayor satisfac­ ción a nivel pro fesional. Los alumnos se lo pasan mejor y, aunque tengan que trabajar más, les gusta y se lo pasan bien haciendo matemáti­ cas. Para mí ha sido todo un logro el conseguir que digan que las mates les gustan.» «Con la profesora M.a Antonia Canals descubrí que las matemáticas pueden ser divertidas. Ahora, siempre que tengo la oportunidad, in­ tento trabajarlas partiendo de esta premisa.» raíz de entrar en contacto con la didáctica de las matemáticas que nos ha transmitido MC Antonia Canals, introduje los materiales mani­ pula bles y los alumnos pudieron entender mejor los conceptos: escu­ ché los intereses de los alumnos y pudimos hacer unas matemáticas más abiertas a su realidad cercana. K los alumnos disfrutan haciendo matemáticas..»

86

«El cambio más importante que introduje, siguiendo lo que había aprendido con la profesora Canals, fue a nivel metodológico. Y este cambio significó mucho para mí a nivel profesional. Las matemáticas pasaron a ser manipulativas, a tener sentido, a ser visibles, palpa­ bles... en definitiva, era toda otra dimensión. Cambió mi manera de entender la enseñanza ¿le las matemáticas. Y ello tuvo también una gran repercusión en mis alumnos, las matemáticas pasaron a ser vivenciales, experimentales, comprendidas y aplicables. »

Vil. Algunos recursos para el área de matemáticas Webs de interés h ttp:/¡gomar, udg. edu¡ Web del GAMAR: Cabinet de Materials i de Recerca per a la Matemáti­ ca a l'Escola. Esta web muestra un completo fondo de materiales di­ dácticos, clasificados por las diferentes ramas de las matemáticas, y explica cómo utilizarlos en las actividades didácticas a realizar con los alumnos. También se informa de las actividades y asesoramientos, diri­ gidos a maestros de matemáticas, que se realizan periódicamente. ES GAMAR está situado en la Universidad de Girona, Facultad de Educación y Psicología. C/ Emili Grahit, 77, Girona 17071. Tfno. 972 418 743. Correo electrónico: . Web en catalán. http://scm Jec.cat Web de la Societat Catalana de Matemátiques. Publicaciones, activida­ des, recursos, jornadas, etc. Web en catalán. www.fespm.org Web de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Mate­ máticas (FESPM). Recursos, bibliografía, enlaces cíe interés, jornadas y congresos, actividades, etc. www.sinewton.org Web de la Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemá­ ticas. Jornadas, concursos, biblioteca, exposiciones, enlaces de inte­ rés, etc. www. m a tem aticas.p ro fes. n e t Web de la Editorial SM. Recursos y noticias sobre la didáctica de la ma­ temática. www. recu rsosm a tem a ticos, com/reciem a t h tml Recursos, noticias, actividades y links de interés. http://www.ce~mat.org Web del Comité Español de Matemáticas (CEMAT). Es el organismo que coordina todas las actividades del Estado español de ámbito nacional e internacional. Asesora al MEC en temas relacionados con las matemá­ ticas. En esta web está la Comisión Especial para la Educación: h ttp://www.rs me. es Web de la Real Sociedad Matemática Española. Publicaciones, activida­ des, olimpiadas, enlaces.

89 I

http://divuigamotehu.es Web del Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas de la Real Sociedad Matemática

Española. Retos matemáticos, publicaciones,

eventos, cultura, exposiciones, recursos, ocio matemático. http://www.agapema.com Web de la Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática. Recursos, links y propuestas interesantes como el concurso de Fotogra­ fía Matemática. http://xtec.es/recursos/mates/index.htm Recursos y materiales para la enseñanza y aprendizaje de las matemá­ ticas. Primaria, secundaria y bachillerato. Web en catalán. http://www.xtec.cat/entitats/feemcat/ Web de la FEEMCAT, Federado d'Entitats per a l'Ensenyament de les Matemátiques a Catalunya. Incluye muchas actividades y recursos para primaria y secundaria, así como links de acceso a diversas Asociaciones de profesores de matemáticas de Catalunya. Web en catalán. http://phobos.xtee.cat/edumatcat/ Web del Departament d’Educació de la Generalitat de Catalunya, la FE­ EMCAT y la Societat Catalana de Matemátiques. La Educación Mate­ mática en Catalunya: investigación educativa, formación permanente del profesorado, apoyo a la docencia, promoción del interés y el gusto por las matemáticas del alumnado. Web en catalán. http://www.auiamatematica.com/ Web con propuestas didácticas, autoformación, ejercicios, enlaces, cur­ sos, ocio matemático {juegos, chistes, cine, literatura...), etc. h t tp ://phobos.xtec.ca t/cream a t¡ Web del CREAMAT, Centro cié Recursos para Enseñar y Aprender Mate­ máticas. Web del Departament d'Educació. Generalitat de Catalunya. Noticias, actividades, recursos y media teca (cine, libros, música, jue­ gos...) en torno a las matemáticas. Web en catalán. h ttp ://w iv tv. ma tem a tica lio. n e t/ Matematicalia, Revista digital de divulgación matemática. h ttp ://w w w. fisem.org/paginas/un ion/revista.php Union, revista digital iberoamericana de educación matemática. Edita Fisem. h ttp ://www.x tec. net/en ti ta ts/biaix/ Biaix, revista digital de la FEEMCAT. Artículos y actividades en torno a la didáctica de las matemáticas en primaria y secundaria. Web en catalán.

; 90

h ttp://www.aulam a tema tica.comj Aula matemática digital, revista electrónica de la web Aulamatemática.

Recursos sobre didáctica de las matemáticas Libros ALSINA, Ä. (2004): Desarrollo de competencias m atem áticas con recursos lúdico-manipulativos para niños y niñas de 6 a 12 años. Madrid. Narcea. — (2006): Cómo desarrollar el pensamiento m atem ático de 0 a 6 años. Bar­ celona. Octaedro. ALSINA, C. (2008): Vitaminas matemáticas. Barcelona. Ariel. ALSINA, Ä., PLANAS, N. (2008): M atem ática inclusiva: propuestas para una educación m atem ática accesible. Madrid. Narcea. CALDERERO, J.F. (2005): ¿Qué me pasa con las m atem áticas? Madrid. El rom­ pecabezas. CANALS, M.A. (1989); Didáctica de la m atem ática al parvulari. Barcelona. Rosa Sensat. ~ (1989): Per una didáctica de la m atem ática a I'escola. I Parvulari. Barce­ lona. Eumo. - (2000): Viure les m atemátiques de 3 a 6 anys. Barcelona. Rosa Sensat. CANALS, M.A.; ALSINA, Ä. (2000): La enseñanza de las m atem áticas en edu­ cación primaria. Editorial Onda. GARDNER, M. (2007): M atem áticas para divertirse. RBA. Revistas Uno, Revista de Didáctica de las M atem áticas. Barcelona. Grao Suma. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESMP). Sigma. Dirigida a profesores de matemáticas de primaria y secundaria. Edita: Departamento de Educación del Gobierno Vasco. NÚMEROS. Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas. Cine y matemáticas .

Contract (Robert Zemeckis, 1997).

.

Cube (Vincenzo Natali, 1997).

.

Cube 2 Hipercube (Andrej Sekula, 2002).

.

Cube zero (Ernie Barba rash, 2004).

91

j

■

El indomable W ill Hunting (Gus Van Sant, 1998).

»

El pequeño Tate (Jodie Foster, 1991).

.

Enigma (Michael Apted, 2001).

.

Esfera (Barry Levinson, 1998).

.

Galileo, Galilei {Joseph Losey, 1974).

.

La habitación de Ferm at (Luis Piedrahita; Rodrigo Sopeña, 2007).

,

La verdad oculta (John Madden, 2006).

.

Los crímenes de Oxford (Áíex de la Iglesia, 2008).

.

Los fisgones (Sneakers) (Phil Alden Robinson, 1992). Moebius (Gustavo Mosquera, 1995).

.

Perros de paja (Sam Peckinpah, 1971).

.

Pi, fe en el caos (Darren Aronofsky, 1998).

.

Una mente m aravillosa (Ron Howard, 2001).

Literatura y matemáticas CERASOLI, A. (2004): Los diez magníficos. Madrid. Mae va. ENZENSBERGER, H.M. (1999): El diablo de los números. Madrid. Siruela. FAWER, A. (2002): El teorema. Barcelona. Planeta Internacional. FRABETT!, C. (2000) : M alditas matemáticas, Alicia en el país de los núme­ ros. Madrid. Alfaguara. GUEDJ, D. (2000): El teorema del loro. Barcelona. Anagrama. MARTÍNEZ, G. (2007): La muerte lenta de Luciana B. Barcelona. Planeta. - (2004): Los crímenes de Oxford. Barcelona. Destino. - (2007): Borges y las m atem áticas. Barcelona. Destino. SIERRA I FABRA, J. (2004): El asesinato del profesor de m atem áticas. M a­ drid. Anaya. SHAW, C. (2006): La incógnita Newton. Barcelona. Roca Editorial del libro. STEWART, I. (2006): Cartas a una joven matemática. Barcelona. Crítica.

92

Agradecimientos A M.a Antonia Canals, por la paciencia que ha tenido ante mi poco ma­ temática mente. A Josep Sucarrats que, como maestro de matemáticas, me ha ayudado a darme cuenta de que el azar también se puede analizar, in­ terpretar e incluso transformar matemáticamente (exagerando un poco, claro). A Cinta Vidal, responsable de Ediciones de la Editorial Grao, que llenó de ilusión el proyecto de publicación de este libro. A todos los maestros que han aportado su voz y han hecho posible que la voz de los alumnos lle­ gue hasta estas páginas. A los propios alumnos, niños y niñas de diferentes edades que «evalúan» con sinceridad la enseñanza de las matemáticas en las aulas. A las escuelas que han colaborado con nosotros, CEIP Montseny, de Breda; CEIP Guillem, de Montgri; CEIP El Roure Gros, de Sta. Eulalia de Riuprimer; CEIP Torres Conama, de Mont-Ras; CEIP El Sagrer, de Barcelona; Es­ cola Maristes, de Girona; CEIP La Constitución, de lllescas (Toledo); CEIP La Monjoia, de Sant Bartomeu del Grau; CEIP La Torreta, de La Roca del Valles. A los chicos y chicas de diversos institutos, o que han acabado dejando el sistema educativo reglado, y que nos han querido aportar también su opi­ nión personal. Y, finalmente, recordando mi adolescencia escolar, al señor Joan Arti­ gues, que fue director de la escuela Tecnos de Terrassa, y que con una sen­ cilla demostración sobre las «leyes lógicas que regulan el traspaso de números de un lado a otro del igual», pudo ayudarme a sobrevivir entre las ecuaciones del bachillerato. ¡Que no fue fácil! Can Cadell, Gaserans Abril de 2008

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BIBLIOTECA DE AULA. ÚLTIMOS TÍTULOS:

Motivación y creatividad en clase K. Thorne

Pedagogía de la convivencia X.R. Jares

La gestión m ental Otramforma de ver y escuchar en pedagogía Ch. Évano

Vivencias de maestros y maestras. Compartir desde ¡a práctica educativa F. imbernón (coord.) Los derechos del niño en la escuda. Una educación para la ciudadanía

J. Le Gal Criterios psícopedagógicos y recursos para atender la diversidad en secundaría J. Onriibia (coord.), M X RSIat, M.D. Martínez No, M.

Diez nuevas competencias para enseñar Ph. Perrenoud

Ciudadanía, poder y educación J. Martínez Bonafé (coord.)

Planificación y análisis de la práctica educativa. La secuencia fo rm a tm : fundamentos y aplicación N. Giné, A. Parcerísa (coords.)

OTROS TITULOS DE LA SERIE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS:

Educación matemática y exclusión j. Giménez, J. Diez-Palomar, M. Civil (coords.)

Matemáticas de la vida misma F. Corbaíán

Matemáticas e interculturalídad j.M. Gañí (coord.)

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Conexiones matemáticas. Motivación d d alumnado y competencia matemática T. Ortega Repensar el aprendizaje de ias matemáticas.

Matemáticas para convivir commprendiendo d mundo C Gallego, M. Pons, C. Aiemany, M. Barceió, M. Guerra y ota

La actividad matemática en d aula . Homenaje a Paulo Abranles J. Giménez, L Santos, J.P. da Ponte (coords.)