•
1
• r
1
. . , 11.
agn neo:
n le tr
fotones
9.1
TEORÍA DE FOTONES
De acuerdo con la interpretación cuántica, la radiación electromagnética consta de discretos paquetes de energía como partículas, llamados fotones o cuantos. Cada fotón tiene una energía E que depende sólo de la frecuencia v de la radiación, y , está dada por e
E= hv = h-.,l
donde h = 6.626 X 10-34 J · s es la constante de Planck. Como los fotones viajan a la velocidad de la luz deben, de acuerdo con la teoría de la relatividad, tener una masa en reposo igual a cero; de aquí que su energía sea completamente cinética. Si un fotón existe, entonces se mueve a la velocidad de la luz, e; si deja de moverse a velocidad e, deja de existir. Para m¿ = O, la relación relativista momentum-energía (sección 8.5) se convierte en E = pe. De esta forma, cada fotón tiene un momentum de E c
hv e
p=-·=-=--
h
2
Desde el punto de vista cuántico, un haz de energía electromagnética se compone de fotones que se desplazan a velocidad c. La intensidad del haz será proporcional al número de fotones que cruza un área unitaria por unidad de tiempo. Entonces, si el haz es monocromático (de una frecuencia), la intensidad I se obtendrá de
I
= (energía
de un fotón) X
número de fotones área X tiempo
69
CAPÍTULO 9
11 Radiación electromagnética: fotones Es conveniente usar las expresiones siguientes en unidades no estándares, al hacer el cálculo: h
= 4.136
x 10-15 eV. s
he= 12.4keV · A donde 1 eV = 10-3 keV = 1.602
9.2
X
10-9 J y 1
A = 10-10 m.
EFECTO FOTOELÉCTRICO
En un experimento fotoeléctrico, incide luz sobre una superficie metálica en un tubo vacío y se emiten electrones desde esta superficie, como se muestra en la figura 9-1. La frecuencia v, la intensidad 1 de la luz, el voltaje retardador V y el material del emisor se pueden variar. Si los electrones son suficientemente energéticos serán capaces de vencer el potencial retardador V para después llegar al · colector y registrarse como corriente i en el amperímetro A. Para que esto sea posible, los electrones deben tener una energía cinética igual o mayor que la energía potencial eléctrica, la cual obtendrán al ir entre el emisor y el colector, es decir, lm v2 > eV 2 e Si su energía es menor que este valor, serán regresados antes de llegar al colector
y no se registrarán como corriente,
Los resultados experimentales son: 1.
2.
-La corriente inicia casi instantáneamente, incluso si es luz de muy baja intensidad. El retraso entre el momento cuando la luz incidente golpea la superficie y cuando se observan los electrones es del orden de 10-9 s, y es independiente de la intensidad. Cuando la frecuencia y el potencial retardador se mantienen fijos, la corriente es directamente proporcional a la intensidad de la luz incidente.
FIGURA 9-1
Colector
Efecto fotoeléctrico
71
Cuando la frecuencia y la intensidad de la luz se mantienen fijas, la corriente disminuye a medida que el voltaje retardador se incrementa llegando a cero para cierto voltaje de paro, V Éste es independiente de la intensidad. Para cierto material del emisor, el voltaje de paro varía linealmente con la frecuencia, de acuerdo con la relación
3.
5•
4.
eVs
= hv -· eW0
El valor del término constante eW0 varía de material a material, pero la pendiente hes la misma, siendo numéricamente igual a la constante de Planck (véase el problema 9.10). Para un material dado existe una frecuencia umbral, vth, debajo de la cual no se emitirán electrones, sin importar qué tan grande pueda ser la intensidad de la luz.
5.
Un esquema ondulatorio de la luz (véase el problema 9.9), puede explicar el resultado 2, es decir, el incremento de la corriente con la intensidad, puesto que entre más intensa sea la luz, la onda transmitirá más energía y se deberán emitir más electrones. En el esquema, los otros resultados son completamente inexplicables. Sin embargo, la interpretación cuántica de la luz esclarece todos los resultados experimentales. En el esquema cuántico, la energía transportada por un fotón se absorbe por un solo electrón. Si éste se expulsa del material, la diferencia entre la energía que absorbe y aquélla con la cual estaba unido a la superficie es su energía cinética. Los electrones se unen a la superficie con energías variables, pero la energía de los electrones menos unidos depende del material del emisor. La energía que se requiere para remover estos electrones se llama función de trabajo,
(energía transportada por el fotón) - (energía del electrón metj~runido1,
lo que explica el resultado 3. Como transforma en
Kmáx
eV~·; la relación energía-máxima se
donde
= eW0
Abajo de esta frecuencia, los fotones incidentes no tendrán energía suficiente para liberar ni siquiera los electrones menos unidos, sin importar la intensidad de la luz. También se explica el breve tiempo de retraso del resultado experimental 1, porque la absorción de un fotón ocurre casi instantáneamente. Por último, entre más intensa sea la luz, mayor será la densidad del fotón, por lo que se expulsarán más electrones; con esto queda esclarecido el resultado 2.
72
CAPÍTULO 9 11 Radiación electromagnética: fotones
9.3
EFECTO COMPTON
En la interpretación ondulatoria se dice que al dispersarse la radiación electromagnética de una partícula, dicha radiación tendrá la misma frecuencia que la incidente en todas direcciones. En 1922, Arthur H. Compton demostró, a partir de la interpretación cuántica de la radiación electromagnética, que la radiación dispersa tendrá una frecuencia menor que la de la incidente, y que también depende del ángulo de dispersión. El análisis de Compton involucraba observar la dispersión de la radiación electromagnética de una partícula cargada en un choque similar al de las bolas de billar, perfectamente elástico, entre un fotón y la partícula libre cargada efectivamente, como se muestra en la figura 9-2. Aunque los detalles de la interacción no se conocen, se puede aplicar la conservación de la energía y la cantidad de movimiento. Se ha determinado que el fotón disperso experimenta un desplazamiento en la longitud de onda, LlA, dado por
(véase el problema 9.27). Usualmente, la cantidad h f m.«: se llama longitud de onda de Compton; para un electrón, su valor es 0.0243 Á. Obsérvese que el desplazamiento en la longitud de onda depende sólo del ángulo de dispersión e y es independiente de la energía incidente del fotón. Compton verificó experimentalmente su relación teórica dispersando rayos X (A = 0.7 A) provenientes del grafito. La energía de los rayos X (1.8 X 104 eV) es de varios órdenes de magnitud mayores que la energía de unión de los electrones exteriores del carbono, por lo que tratar estos electrones como partículas libres es una buena aproximación.
FIGURA 9-2
y¡
J
E' =hv' p' = h/:L'
I I
-------- o --1
m0
---~ x
I
/ e .......
<,
......
'Q,
E,=mc2 "<:":" :á.
a) Antes de la dispersión
b) Después de la dispersión
mv
Producción y aniquilación de pares
E= M0c2
+
73
K
Núcleo pesado, M0 a) Antes de la producción del par
b) Después de la producción del par
r---------------,---- ---------·
9.4
PRODUCCIÓN Y ANIQUILACIÓN DE PARES
En el proceso de producción de pares, la energía transportada por un fotón se convierte completamente en materia, dando como resultado la creación de un par electrón-positrón, como se indica en la figura 9-3 ( excepto por su carga, un positrón es idéntico a un electrón). Como la carga del sistema era cero inicialmente, para conservarla se deben producir dos partículas cargadas opuestamente. Para crear un par, el fotón incidente debe tener una energía al menos igual a la energía en reposo del par; cualquier energía en exceso del fotón aparece como energía cinética de las partículas. La producción de pares no puede ocurrir en el espacio vacío (véase el problema 9.38), de aquí que en la figura 9-3 se indique la presencia de un núcleo pesado. El núcleo transporta una cantidad considerable de momentum del fotón incidente; pero, debido a su gran masa, su energía cinética de retroceso K = p2 /2M0 usualmente es ignorada en comparación con las energías cinéticas del par electrónpositrón. De esta forma, la conservación de la energía (pero no del momentum) se puede aplicar en los núcleos pesados ignorados, produciendo h v -- m+c.2
+ m_c 2 --K .
+
+ K_ + 2 m0c 2
como el positrón y el electrón tienen la misma masa en reposo, m¿ = 9.11 X 10-31 kg. Por otro lado, también puede ocurrir lo inverso a la producción de pares. En la aniquilación de pares se elimina un positrón-electrón, dando como resultado la creación de dos ( o más) fotones, como se muestra en la figura 9-4. Se deben formar al menos dos fotones para que se conserven la energía y la cantidad de movimiento.
¡
8a) Antes de la aniquilación del par
~v,
hv,
b) Después de la aniquilación del par
74
CAPÍTULO 9
11
Radiación electromagnética:
fotones
En contraste con la producción de pares, su aniquilación puede tener lugar en el espacio vacío, y se aplican tanto los principios de energía como de momentum, de manera que Einicial
Pinicial
=
Efínal
o
=
Pfinal
o
2m0c2
+ K+ + K_.
= hv ;
+ hv2
lkl
donde k es el vector de propagación del fotón, = 2n/ íl. Tanto la producción como la aniquilación de pares puede ocurrir con otras partículas y anti partículas, tal como un protón y un antiprotón ( véase el problema 9.92).
9.5
ABSORCIÓN DE FOTONES
La intensidad de un haz de radiación se reduce cuando pasa a través de un material, porque los fotones son removidos o dispersados de la dirección delantera por alguna combinación del efecto fotoeléctrico, efecto Compton y de la producción de pares. La reducción en intensidad obedece a la ley de amortiguamiento exponencial (9.1) Aquí, /0 es la intensidad de la radiación incidente sobre el absorbedor, y µ ( el coeficiente de absorción lineal) es, para una energía del fotón dada, una constante que depende del material absorbente particular. Para cualquier material dado,µ variará con la energía ( o longitud de onda) de la radiación porque predominan interacciones diferentes sobre energías diferentes.
Problemas resueltos TEORÍA DE FOTONES 9.1
Encuentre la longitud de onda y frecuencia de un fotón de 1.0 ke V Respuesta:
9.2
Determine Respuesta:
). = ~ = .12.4keV ·A= E
l.OkeV
I2.AA
el mornentum de un fotón de 12.0 Me V E p =-
e
= 12 Me V/ e
Problemas resueltos 9 .3
75
Calcule la frecuencia del fotón que se produce cuando un electrón de 20 ke V queda en reposo después de un choque con un núcleo pesado. Respuesta:
Suponiendo que toda la energía cinética del electrón se usa para producir el fotón, se tiene
= Efinal K+4=hv+~ Einicial
20 x 103 eV = (4.136 x 10-15 eV · s)v v = 4.84 x 1018 Hz
9.4
Demuestre que no se conserva el momentum en el problema 9.3. Respuesta:
El momentum inicial del electrón se determina a partir de
(K o
+ Eo)2 = (pec)2 + E/
= (pec)2 + (0.511 MeV)2
(0.02 MeV+ 0.511 MeV)2
así Pe= 0.144 Me V /c. Pero Pfina!
= Pfotón
0.02 Me V e
Efina1
= -- = ---· e
El momentum en exceso es absorbido por el núcleo, que detiene al electrón. Como el núcleo es más masivo que el electrón, se podría ignorar el cambio de energía de éste en el problema 9.3.
9.5
Encuentre la longitud de onda máxima del fotón que separará. una molécula cuya energía de enlace es de 15 e V Respuesta:
De E
= he/ A. l5eV=·
9.6
12 .4 x 103 eV · J.
A
). = 827 A
o
¿Cuál es la energía que tiene un fotón si su momentum es igual al de u electrón de 3 Me V? Respuesta:
El momentum y la energía de un electrón están relacionados por
E2 o
(3 MeV
+ 0-.511
= (pec)2 + Eo 2
MeV)2 = (pec)2 + (0.511 MeV)2
asÍ,Pe = 3.47 Me V [c. La energía del fotón es E= pe= Pee= (3A7MeV/c)c
9.7
= 3.47 MeV
Una luz monocromática de longitud de onda de 3 000 Á incide normalmente en una superficie de 4 cm2 de área. Si la intensidad de la luz es de 15 X 10-2, determine la relación a la cual los fotones golpean la superficie. Respuesta: · En este caso, la energía por fotón equivale a r
t:
he
(6.63 x 10-34 J · s)(3 x 3 x 1 o- 7 m
=T=-
__m/s~ =
6_63
x
10
__ ¡9 J
CAPÍTULO 9
11
Radiación electromagnética: fotones El flux de energía total es de !A= (15 x 10-2 W/m2)(4 x 10-4 m2) = 6 x 10-5 W
=6
x 10-5 J/s
Así, los fotones golpean la superficie a una relación de 6 X 10-s J / s ----------= 9.0)~ X 1013 f otones II s 6.63
9.8
X
10-19 J /fotón
Una estación de radio opera con una frecuencia de 103.7 MHz y una potencia de salida de 200 kW. Determine la de emisión de los cuantos provenientes de la estación. Respuesta:
La energía de cada cuanto es de E= hv
= (6.63 x 10-34 J · s)(l03.7 x l 06 s·-1) = 6.88 x 10-26 J
por lo que número de cuantos = 200 tiempo
103
X
J
-
S
1 cuanto 6.88 x J
X ----------
= 2.91 X 1030 cuant~~
s
EFECTO FOTOELÉCTRICO 9.9
Considere una superficie de potasio que se encuentra a 75 cm de un foco de 100 W. Suponga que la energía radiada por el foco es 5% de la potencia de entrada. Imaginando cada átomo de potasio como un disco circular con diámetro de 1 Á, determine el tiempo que requiere cada uno en absorber una cantidad de energía igual a su función de trabajo de 2.0 e V, de acuerdo con la interpretación ondulatoria de la luz. Respuesta:
Tratando el foco como la fuente puntual, la intensidad en la localización de la superficie de potasio es de
º·-º1
Intensidad = __ _E~~~~~-~--- = ~Ji)O W X área de la esfera 4n(0.75 m)2
= 0.707 W /m2
La potencia incidente sobre cada átomo de potasio se traduce en Potencia por átomo
= intensidad =
X
(área por átomo)
(0.701. ,., mW) n(I
m)2
X 10-IO 2 . ----··--4----
.
..?¡
:= 5.56 >< 10 - W
Entonces, el intervalo para absorber 2.0 e V de energía se determina a partir de . . . P otencia 1 o
Tiempo =
energía = --
tiempo
energía _ (2.0 e V)(1.6 X 10-19 J / e V) · = 57.6 s potencia 5.56 X 10-21 J /s
En este cálculo se ha supuesto que toda la energía incidente fue absorbida. Puesto que, como en un esquema de onda, la mayoría de la energía incidente sería reflejada, el tiempo real calculado en exceso sería de 57.6 s. De esta forma, un esquema de la radiación electromagnética de la onda predice un tiempo de emisión de muchas magnitudes mayores que el tiempo observado experimentalmente de 10-9 s.
,~-''''""~
-
.
.
. . - -·.
-
.
---------''---·-~------ - ----·----- . --.---=~---"'·'-·- ---..:-.. -._ - -----
~--,".:':':-~~"'~~~~-s"~~"'s'::t~!:'?..? .. - ~;:s::~"'?00S7:.0L->00..?.00.=.,,::f.'-
.. C"t\_: __ /.:.cii:2±.::--:.cc:=:t;.,0.0S:>:.Jm:.::c.<'c'c.)i;0
:S''"'c-c-'<'',\~ (C'
Problemas resueltos
2
~V= 1.66V
o'--~~~~~~---~~~~~~ 0.5 o
. . . . . ~~~~~~~--~~~~~-.· 1.0
1.5
v, Hz X 1015
9.1 O
Cuando un experimento fotoeléctrico se realiza usando calcio como emisor, se determinan los potenciales de paro siguientes:
2 536
3 132
3 650
4 047
v, Hz X 1015
1.18
0.958
0.822
0.741
Vi,V
1.95
0.98
0.50
0.14
1, A
Encuentre la constante de Planck a partir de esta información. Respuesta: La información se grafica en la figura 9-5. En la ecuación fotoeléctrica, la pendiente de la gráfica es h/ e, por lo que h = e(pendiente)
(1 C ·V=
9.11
= (1.6
X
10-19 C)
= 6.6 X 10-34 J · s
1 J).
Las energías cinéticas de los fotoelectrones varían de cero a 4.0 X 10-19 J cuando una luz de longitud de onda de 3 000 Á cae sobre una superficie. ¿ Cuál es el potencial de paro de esta luz? K.
Respuesta:
rnax
=4.0xl0-19Jx
Entonces, el potencial es de e Vs
9.12
1.66 ~5 _1 0.40 X 10 s
--~=2.5eV 1.6 X 10-19 J
= Kmáx, Vs = 2.5
V.
¿Cuál es la longitud de onda de umbral para el material del problema 9J1? he he e V = hv - e W0 = - - -
Respuesta:
s
o
2.5 eV
Resolviendo,
=
12. 4 x 103 eV · Á 3 000
:lu = 7 590 k
).
).n
12 .4 x 103 e V . Á
An
18
CAPÍTULO 9 fl
Radiación electromagnética: fotones 9. 1 J
El emisor en un tubo fotoeléctrico tiene una longitud de onda de umbral de 6 000 Á. Determine la longitud de onda de la luz incidente sobre el tubo, si su potencial de paro es de 2.5 V. Respuesta:
La función de trabajo es de 12.4 x 103 eV · 6-00_0_A __
A _
= 2.07
eV
Entonces, la ecuación fotoeléctrica da eVs =hv--eW0
9.14
2.5 eV =
Resolviendo, A
= 2 713 Á.
A
--2.07 eV
Encuentre la función de trabajo para el potasio si la longitud de onda más larga para la emisión de electrones en un experimento fotoeléctrico es de 5 620 Á.
= eWo =
he
211
= _12.4 x
3
K ,
max
12.4 x 103 eV · A = h-Ae -· eW0 = -----· --- 2 500Á
2.21 eV
= 2.75 eV
En el problema 9.15 la luz ultravioleta tiene una intensidad de 2 W /m2• Calcule la relación de emisión de los electrones por unidad de á.rea. Respuesta:
En dicho problema, cada fotón tiene una energía de 4.96 e V = 7.94 X 10-19 J, suponiendo que cada uno libera un electrón, sé tiene número de electrones m2 • s
número de fotones m2 s 2 J/m2 _·s 7.94 X 10-·19 J /fotón
9.17
o
10 i!_~ = 2.21 eV 5620Á
Se ilumina potasio con luz ultravioleta de longitud de onda de 2 500 Á. Si la función de trabajo del potasio es de 2.21 eV, ¿cuál es la máxima energía cinética de los electrones emitidos? Respuesta:
9.16
12 A x 103 e V ·
o
Respuesta:
9.15
he
=2-eW0
= 2_52 x 1018 .!9-_~nes m2 • s
Demuestre que el efecto fotoeléctrico no puede ocurrir para electrones libres. Respuesta.'
Observe el proceso hipotético en el centro de masa que se muestra en la figura 9-6, el cual se define como el sistema cuya cantidad de movimiento inicial es cero. A partir de la conservación de la energía, Einícial
= E final
o
hv + mc2 = m0c2
lo cual implica m¿ > m. Como esto no puede ser cierto, el proceso no puede ocurrir. Los electrones que participan en el efecto fotoeléctrico no son libres. La materia pesada presente toma un momentum, pero absorbe una cantidad de energía sin importancia. Véase el problema 8.16.
Problemas resueltos p = h/}.
v'
p = mv
-8
~
=
O
G
a) Antes de la absorción
m¿
b) Después de la absorción
EFECTO COMPTON 9.18
Un fotón de un rayo X de 0.3 Me V choca "de frente" con un electrón inicialmente en reposo. De acuerdo con la conservación de la energía y la cantidad de movimiento, encuentre la velocidad de retroceso del electrón. Respuesta:
En la notación de la figura 9-2, la conservación de la energía se expresa por E+m0c
o
0.3 MeV
2
moc2
,
. . ---·
=E+~==== jl - (v2 /c2)
+ 0.511 MeV = E + .
0.511MeV
rr=:
1
v 1 - (v2/c2)
El momentum de un fotón es hv/c = E/c,por lo que la conservación del momentum es válida: (8 = 180º, =O) E
- + O = - E' --- + e
-E' e
0.3 MeV
e
v
0.511 MeV
---=-+
o
mo v
Jl-~2/2)
e
JI-~2/2)2
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones de la energía y del momentum da v = 0.65c.
9.19
En el problema 9.18 verifique que la velccidañ concuerda con el valor que se determinó a partir de la ecuación de Compton. ,,
Respuesta:
A -
, = - h (1 M0c
A
COS
()) = - h ( l m0c
,, _,
o
1\.
COS
180 º)
= -m2h0c
2h
-1,+-
moc
Multiplicando este resultado por 1/hc, se obtiene
X
J.
2
1
2
1
-=-+--=-+--=----+ he he m0c2 hv m0c2 0.3 MeV
2 0.511 MeV
=7.24-
1 MeV
Si se sustituyen E' = (1/7.24) MeV en la ecuación de la energía del problema 9J8 y se despeja u, se obtiene nuevamente u = 0.65c.
9.20
Calcule el cambio fracciona! en la longitud de onda de un rayo X de 0.400 Á, que experimenta una dispersión Compton de 90º de un electrón. Respuesta:
h
.
.
, ·.
X - 2 = --( 1 -- cos 8) = (0.0243 A)(l -- cos 90º) = 0.0243 A 0
M0c'
,r - ). l
=
0.0243 Á 0.400
A
= O . O 608
•
:
80
CAPÍTULO 9
~
Radiación electromagnética: fotones 9.21
Un rayo X de longitud de onda de 0.300 Á experimenta una dispersión Compton de 60º. Encuentre la longitud de onda del fotón y la energía del electrón, después de la dispersión. ,t
Respuesta:
A.
'
=
!e
+ -h
lYÍoC
(1 -
COS
Ll'
u)
= o.3o ,X,_+ co.0243 Á)O -
= o.312
cos 60º)
Á
De acuerdo con el principio de conservación de la energía,
~~4keV 0.3Á
o Resolviendo, K,
9.22
=:
·A=
12.4keY,· Á + K 0.312A e
l.59 ke V
En un experimento Compton, un electrón alcanza una energía cinética de 0.100 Me V cuando un rayo X de energía 0.500 Me V lo golpea. Determine la longitud de onda del fotón una vez dispersado, si el electrón estaba inicialmente en reposo. Respuesta:
Einícial
=
Efinal
E+ J1Yr!:1 =E'+ iK, + JIYr!:1) 0.500MeV =E'+ O.lOOMeV
E'= OAOOMeV así 1,
A
9.23
_he_ 12.4
-
-
E'
-· -
x 10-·3 MeV
·A_
· --
0.400MeV
31. x 10
.. 3
e-
A
En el problema 9.22 encuentre el ángulo que forma el fotón jispersad9 con la dirección incidente. Respuesta:
La longitud de onda incidente es
). =he= 12.4 x 10- MeV· A= 24_8 x 10_3 A E 0.500MeV 3
o
Al aplicar la ecuación de Compton, se obtiene ,,
A -
31 x 10-3 Resolviendo,()=
9 .24
A--
24.8 x 10-3
' = - h ( 1 - cos ())
11.
A=
m0c
(24.3 x 10-3 A~)(l - cos {))
42º.
Si la energía máxima impartida a un electrón en la dispersión Cornpton es de 45 keV, ¿cuál es la longitud de onda del fotón incidente? Respuesta:
Si el electrón logra su energía máxima de retroceso, entonces el fotón debe ser dispersado de regreso. Por la conservación de la energía resulta
E+ m0c2 =E'+ 45 keV
+
o
E
E = 45keV 1
(1)
81
Problemas resueltos Por la conservación del momentum, E E' -=---+pe e e
(2)
Relacionando el momentum y la energía del electrón en + Ea2 se tiene (0.511 MeV+· 0.045 MeV)2 o
E/
= (pec)2
= (pec)2 + (0.5 l l MeV)2
Pe= 0.219MeV/c
Si después se sustituye esto en la ecuación 2, se encuentra que E+ E'= 219 keV Ai resolver las ecuaciones 1 y 3, resulta: E 1 A-
9.25
.t«: -
E
-
=
(3) 132 ke V, de lo cual,
12.4keV ·A_ _2 o 9 . 39 x 10 A 132keV
Demuestre que un electrón libre en reposo no puede absorber un fotón (de aquí que la dispersión Compton debe ocurrir con electrones libres). Respuesta:
P fotón = P electrón
hv
O
--¡; = Pe
Dividiendo la expresión de energía entre e, da
-hve = v~-Pe 2 + mo 2 c2
> Pe
lo cual contradice la expresión de la cantidad de movimiento. Esencialmente, el mismo problema se ha resuelto en una forma diferente en conexión con el efecto fotoeléctrico (problema 9 .17). :(ij
9 .26
Determine el ángulo de dispersión máximo en un experimento Compton donde el fotón disperso puede producir un par positrón-electrón. Respuesta:
La longitud de onda de umbral para un par positrón-electrón es (véase el problema 9.31) o
h
--=!}
moc
-
·n
Sustituyendo este resultado en la ecuación de Compton se tiene
X = ,l + 2ln
(1 - cos 8)
La expresión de la derecha es la suma de dos términos positivos definidos. De aquí, si entonces, ;t' > ílu, y la producción de pares no puede ocurrir. Tomando la igualdad, para en se determina: 22n (1 - cosen) = ).n
Q
cosen=
1
o
(Jn
= 60º
Observe que este resultado es independiente de la energía del fotón incidente.
82
CAPÍTULO 9
ti
Radiación electromagnética:
9.27
fotones
Deduzca la ecuación de Compton, Respuesta:
;v - )., =
(h/m0c)(l -- cos 8).
De acuerdo con la figura 9-7, el fotón es tratado como una partícula de energía E = hv = hci): y el momentum p = h/ íL Sí se considera la conservación de la energía: he
he
T+m0c 2 = y+me 2 Elevando al cuadrado y reacomodando términos resulta ( me
2)2 = h2c2 ( ,2 ).2t2
/\.
.,2) - ~h2c2
+A
,U'
~hmoc3 ( ,, - 1)
+ ).)'
J\,
+
J\,
(
2)2
moc .
(1)
A partir de la conservación del momentum, se obtiene el diagrama vectorial que se muestra en la figura 9-7. Como Pe = p ·- p ', P e . pe
= p e 2 = p2 +p"
-- 2p. p'.
Sustituyendo las ecuaciones + (m0c2)2, se obtiene h2c2 ( •2 A. 2 ,r2 il.
+
).'2) _
h2e2 =,2- 2(X2 ). ). .
2h2c2 ).2'
= _!f__(X A.2 ).12 · 2 + J2
1
(2)
1 y 2 en la relación (mc2)2 = (pec)2 _ 2hmoc!_ (X _ A) ,U' .
+
+ ),,2 -
2.U' cose)
_!:_(l ·-
A= ~.. 'l =
m0c
+
(
2 2
moe )
+ (m0e2)2
Resolviendo, se obtiene la relación de Compton
X-
211). cos 8)·
-
iJ
cos 8)
PRODUCCIÓN Y ANIQUILACIÓN DE PARES . 9.28
Un fotón de longitud de onda de 0.0030 Á en vecindad con un núcleo pesado, produce un par electrón-positrón. Determine la energía cinética de cada una de las partículas si la energía cinética del positrón es el doble de la del electrón. Respuesta:
De
Eínicia1
=
Efina1,
he
= 2m0c
7
12.4 x 10-3 MeV · Á -----0-.0-0--30-----= 2(0.511 -·
2
+K+ +K_ = 2m0c +3K_ MeV)3K_
K_ = 1.04MeV y K+
=
2K_
=
2.08 Me V
9.29
Encuentre las energías de dos fotones que se producen aniquilación entre un electrón y un positrón que reposo.
L,-.u~u.,u.ULC-H
Respuesta:
Como el momentum inicial del par positrón-electrón fotones deben viajar en direcciones opuestas con tonces, aplicando el principio de conservación de la 2m0c2 = 2E:-
9.30
o
E:.=
MeV
La aniquilación de un par tiene lugar cuando un electrón y un ~,,J:sirr,-,-n chocan de frente, produciendo dos fotones de 2.0 Me V que viajan recciones opuestas. Encuentre las energías cinéticas del electrón y el trón antes del choque. Respuesta:
Como la cantidad de movimiento final de los fotones es cero, el elec:trón y el positrón tendrían energías cinéticas iguales antes del choque. De acuerdo con la conservación de la energía, 2m0c2 2(0.511
+ 2K
MeV)-+- 2K K
9 .31
m0c2=0.511
= 2Ei'
= 2(2.0 Me V) = 1.49 Me V
Determine la longitud de onda de umbral para la producción de pares. Respuesta:
La longitud de onda de umbral es aquella en la cual el positrón y el electrón tienen cero energía cinética. La conservación de la energía en esta situación (ignorando la energía de retroceso del núcleo) da he 7"""
= 2m0e 2
An
o
9.32
. An
=
12.4 x 10-3 MeV · Á · 2(0.511 MeV) - = O.Ol2l A
he
2m-0-e=2
Ocurre una aniquilación entre un electrón y un positrón en reposo, produciendo tres fotones. Calcule la energía del tercer fotón si las de los otros dos son 0.20 y 0.30 Me V. Respuesta:
A partir de la conservación de la energía, 2(0.51 l MeV) = 0.20_
:O
o
.a le
1
9.33
¡
¿ Cuántos positrones puede producir un fotón de 200 Me V? Respuesta:
La energía que se necesita para crear un par electrón-positrón en reposo es el doble de la energía de un electrón, o 1.022 Me V Por lo tanto,
1 1
I
1 par -) ( positrón)' Número máximo de positrones= (200 Me V) ( -----1--1.022 MeV par
=
195 positrones
1
f
-----=---~-- - -:-:-:-:====------=::-:--::-:-- ...................... ~ ..........._. . . . "."""'."_."""'
"."""'<" .. __ "."""'
...
"."""'
....
"."""'
...
111111
--~
•_I
111111 --~-----~------·... ·----------------_._ ._., ·------·------·----·-------·-------·-----··-·---·---·---•---~-•--
84
CAPÍTULO 9
WI
Radiación electromagnética: fotones 9 .34
Un electrón de 5 Me V experimenta aniquilación con un positrón en reposo, produciendo dos fotones; uno de éstos viaja en dirección del electrón incidente. Calcule la energía de cada fotón. Respuesta:
El segundo fotón debe viajar paralelo (t = + 1) o antiparalelo (l = -1) al primer fotón si se ha de conservar el momentum en dirección transversal. De acuerdo con la conservación del momentum, o Sustituyendo p :c en
+
(K_ se obtiene
= j(K_
E1 +tE2
=
=
(p __ c)2
+
+-~~-=-~
2
Fs".s11
MeV/--(0.511
MeV)2
=
5.49MeV
Para la conservación de la energía se requiere ¿}~~-...-
E¡+ E2 = K __
+ fl;oc2
+
= 5 Me V+ 2(0 ..511 Me V)=
6.02 MeV
Si se sustituye E1 en la ecuación 'del momentµm, da -0.53 MéV
= (l
- l)E2
Por lo tanto, E se debe considerar igual a -1, de manera que el segundo fotón viaje en dirección opuesta al primero. Entonces, las energías se determinan de
E2 = 0.27MeV
9.35
E1 = 5.75MeV
Un electrón y un positrón que viajan juntos, como se muestraen la figura 9-8, se aniquilan. Encuentre las longitudes de onda de los dos fotones que se producen si ambos se desplazan a lo largo de la línea de movimiento del par original. Respuesta:
Si el proceso se observa en el sistema centro de masa, los fotones se
alejan en direcciones opuestas, Transformando esto de regreso al marco de referencia del laboratorio, aún se deben encontrar los fotones que se mueven en direcciones opuestas, porque la velocidad de laboratorio respecto al centro de masa es menor que c. La conservación de la cantidad de movimiento da 2mv == p1
----
h h p4,_ = -A¡ -
con 2mv
=
G 8
2(m0c2)(v/c)
cJl - (v2/c2)
= ~(0.511 MeV)(a/3/2)
cjl _ (v'3/2)2
:¡,,,
~
11
=
1.no~eV e
Por lo tanto, l
I
-;-
-
=;':
Jc2
'"1
L770MeV = 142. 7 lo- Me V. A
= --- = -----}----... he
12.4
X
(i)
Tomando en cuenta la conservación de la energía, 2mc2
he
= hv ; +
=-+ A¡
he
con 2mc
11 MeV)
2mocl
2
-;:.::==== = 2. 044 Me V
=- /1--==== ( v2 / c2)
- ( v13/2)2
Entonces, 1
,{ 1
2.044MeV . . =l64.8A 12.4 x 10-3 MeV · A
2mc2 he
-· • .L 1
Resolviendo simultáneamente = 6.50 x 10-3
),1
9.36
(2)
las ecuaciones 1 y 2 se obtiene
A
).2 = 9.05
x 10-2 Á.
Un electrón y un positrón que se mueven como en el problema 9.35, se aniquilan, y los fotones que se producen tienen ángulos de dispersión iguales. Determine la energía y los ángulos de dispersión de los fotones. Respuesta:
Como el momentum inicial en la dirección transversal era cero, los fotones deben tener la misma energía E; De acuerdo con la conservación de energía y con los resultados del problema 9.35, 2Ey
=
2m0c2
= 2.044MeV
¡,---¡-=
v1
- (v2 /c2)
o
E1,
=
1.022 Me V
A partir de la conservación del momenturn en la dirección longitudinal, 2mv = 2mo
V
9.37
v/c
= -/3/2
y
e=
__.!..
e
cos ()
E.,
+ ...
L
e
2m~ ~(1i/c2)
/1 - (u2/c2) así,()=
E..
cos (-8) COS (J
30º.
La producción de pares que ocurre en un campo magnético de 0.1 T da como resultado un positrón y un electrón con. radios de curvatura de 120 mm y 40 mm, respectivamente. Determine la energía del fotón incidente. Respuesta:
Aplicando la segunda ley de Newton a una partícula cargada en un campo magnético el problema 8.25), se obtiene quB
=
m
o
u2
JI - (u2 /c2) R
o
De aquí que la energía total de una partícula cargada sea
86
CAPÍTULO 9
111 Radiación electromagnética:
fotones
Evaluando la energía del positrón y el electrón:
_ ~
. Í
+[(1.6x 10-19C)(0.1T)(l20x 10-3m)J2 1 E+ - (Ü.) 11 MeV)y ' (9.11 x 10-31 kg)(3 x 108 m/s) = 3.63 MeV r
. _ ~ "'' E_ - (Ü.) 11 M.., \
=
.
/ -+·[(l.6xI0-19C)(O.lT)(40xl0·-3m)J2 (9.11 x 10·-31 kg)(3 x 108 m/s)
)y1 '
l.30MeV
Entonces, por conservación de la energía (ignorando al núcleo pesado), hv == E+
9 .38
+ E_ = 4.93
MeV
Pruebe que la producción de pares no puede ocurrir en el espacio vacío ( de aquí que sólo ocurra la producción de pares si está presente un núcleo). Respuesta:
La producción de un par de partículas es un hecho invariante si un observador determina que se produce un par, entonces cualquier otro observador que se mueve respecto a él también debe determinar lo mismo. Sin embargo, la frecuencia de un fotón variará de un observador a otro debido al desplazamiento Doppler ( capítulo 7) .. Siempre es posible encontrar a un observador que se mueve con una rapidez tal que para una frecuencia dada del fotón, su desplazamiento Doppler está por debajo de la frecuencia del umbral que se requiere para la producción de pares (problema 9.31), Como este observador determinará que la producción de pares es imposible en el espacio vacío, se deriva que todos los observaderes también lo encontrarán imposible.
ABSORCIÓN DE FOTONES 9.39
¿Qué porcentaje de la radiación incidente de los rayos X pasa a través de 5.0 mm de material cuyo coeficiente de absorción lineal es de 0.07 mm "? Respuesta:
9.40
t
= C""' =
= 0.705 = 70.5%
Un haz monocromático de fotones incide sobre un material absorbente. Si la intensidad incidente se reduce en un factor de dos por 8 mm de material, ¿cuál es el coeficiente de absorción?
!2. ==
Respuesta:
2
Resolviendo,µ.=
9.41
e-(0.07mm-')(50mm)
loe-µ(&mm)
0.0866 mm ".
Encuentre el semiespesor del aluminio siµ= Respuesta:
0.070 mm",
El serniespesor es el que reduce la intensidad de un haz de fotones a la mitad de su valor incidente. De esta forma, ¡ z=e'
-i0.070 mm- 1
JX'
o
X=
9.9mm
Problemas resueltos 9.42
¿Cuál es la razón de la intensidad de un haz de fotones a su intensidad original después de que pasa a través de un material cuyo espesor es igual a dos semiespesores? Respuesta:
9.43
87
A través de cada semiespesor, la intensidad se reduce a la mitad de su valor original; por lo que siendo de dos semiespesores la intensidad incidente (10) disminuye a un cuarto de su valor inicial (10/ 4).
¿Cuál espesor del aluminio (µo = 0.44 mm-1) equivale a 6.0 mm de plomo (µ1 = 5.8 mm ")? Respuesta:
Un espesor equivalente de aluminio reducirá la radiación incidente en la- misma cantidad que disminuye al pasar a través de 6.0 mm de plomo.
de lo cual µ1x1
= µ .x Así 11
11•
µ1 5,8 mm " . . ~ .. x = -x1 =-------(6.0mm)= 791 mm ª µa 0.044mm-l
9 .44
El material A tiene un coeficiente de absorción de 0.044 mm " y el B, de 0.056 mm". Si la intensidad incidente es 10 y la intensidad final será 10/5, calcule los espesores de A y B, si A tendrá el doble del espesor de B y el haz pasa a través de ambos materiales. Respuesta:
Si el espesor de A es 2x, la intensidad incidente sobre B es I0e·-µa<2x)_ Por lo tanto, aplicando la ley exponencial a B,
o 5 =
e(0.144mm-'Jx
.
Resolviendo, x = 11.18 mm, 2x
9.45
. 4 = 22.36 mm.
Derive la formula l = l0e-µx. Respuesta:
Para una energía de fotón dada, el flujo de fotones se reduce en un material debido al efecto fotoeléctrico, a la producción de pares y a la dispersión Compton. El número o reacciones, dN, en el espesor dx es directamente proporcional a la magnitud del flujo de fotones, N, y al número de átomos encontrados cuando los fotones pasan a través del pequeño espesor del material. A su vez, el número de átomos en dx es proporcional a dx. Por lo tanto, ··-dN -
dx
Integrando esta ecuación se obtiene dN
N
f 'o
x
dx
Pero la intensidad l de un haz monocromático es proporcional En consecuencia, l=
a N.
88
CAPÍTULO 9 13 Radiación electromagnética: fotones
Problemas DE
rcroneaes •
•
111
ES
9.46
Encuentre la longitud de onda y frecuencia de un fotón de 1 Me V Respuesta: 1.24 X 10-2 A; 2.42 X 102º Hz
9.47
Determine la longitud de onda y frecuencia de un fotón cuyo momentum es de 0.02 Me V/ c. Respuesta: 6.20 X 10-1 A; 4.84 X 1018 Hz
9.48
Calcule el momentum de un fotón de 4 ke V.
9.49
¿Cuál será la energía de un fotón cuyo momentum es de 10 Me V /e? Respuesta: 10 Me V
9.50
Encuentre la energía de un fotón cuya longitud de onda es de 4 000 Á. Respuesta: 3.1 eV
9.51
¿Cuál es la energía y el momentum de un fotón si su frecuencia es de 106 Hz. Respuesta: 4.14 X 103 Me V; 4.14 X 103 Me V/e
9.52
Encuentre el momentum de un fotón cuya longitud de onda es 10 Respuesta: 1.24 Me V/ e
9.53
Un electrón de 1 Me V queda en reposo después de un choque y produce un fotón. Encuentre la longitud de onda del fotón. Respuesta: 12.4 X 10-3 Á
9.54
Si la longitud de onda máxima de un fotón que se necesita para separar una molé .. cula biatómica es 3 000 Á, ¿a cuánto asciende su energía de enlace? Respuesta: 4.13 eV
9.55
¿Cuál es el momentum de un fotón si tiene la misma energía que una partícula alfa de 10 Me V? Respuesta: 10 Me V/ e
9.56
Una estación de radio tiene una potencia de salida de 150 kW a 101.1 MHz. Encuentre el número de fotones que cruzan un área unitaria por unidad de tiempo, a una milla de la estación. Suponga que ésta radia uniformemente en todas direcciones. Respuesta: 6.39 X 1021 fotones/(pies2 • s)
9.57
Una onda electromagnética plana de 300 MHz incide normalmente sobre una superficie con área de 50 cm2. Si la intensidad de la onda es 9 X 10·5 , determine la relación a la cual los fotones golpean la superficie. Respuesta: 2.26 X 1018 fotones/s
Respuesta:
4 ke V/ e
Á,
Problemas adicionales
89
Una fuente de luz de frecuencia 6 X 1014 Hz produce 10 W. ¿Cuántos fotones se producen en 1 s? Respuesta: 2.52 X 1019 fotones
9.59
Considere el problema 9.8. Tratando la estación de radio como una fuente puntual que radia uniformemente en todas direcciones, encuentre el número de fotones dentro de un radio cúbico de 20 cm por lado, localizado a 15 km de la estación. Respuesta: 2.75 X 1010 fotones
EFECTO FOTOELÉCTRICO 9.60
La longitud de onda de umbral fotoeléctrico para un material es 5 000 A. Encuentre la función de trabajo. Respuesta: 2.48 e V
9.61
Para el material en el problema 9.60, ¿cuál es el potencial de paro en el caso de fotones de 3 500 Á? Respuesta: l.06 V
9.62
La energía máxima de los electr9nes emitidos cuando un material se ilumina con luz de 3 000 Á es 1.2 eV. Encuentre la función de trabajo. Respuesta: 2.93 eV
9.63
En el problema 9.62, la luz tiene una intensidad de 3 W /m2• ¿Cuál es la relación de la emisión de electrones por m2 si es 50% eficiente? Respuesta: 2.27 X 1018 electrones/(s · m2)
9 .64
Encuentre la energía cinética máxima de los electrones emitidos desde una superficie con una longitud de onda de umbralde ,6 000 Á, cuando una luz de 4 000 Á pega en la superficie. Respuesta: eV
:tg3
9.65
Determine la longitud de onda máxima de la luz que causa una emisión de electrones de un material cuya función de trabajo es 3.0 e V. Respuesta: 4 133 Á
9.66
Encuentre la energía de los electrones más rápidos que se emiten cuando una luz de longitud de onda de 5 000 Á incide sobre litio (función de trabajo = 2.13 e V). Respuesta: 0.35 e V
9 .61
Cuando una luz de longitud de onda de 4 500 Á cae sobre una superficie, el potencial de paro para los electrones emitidos que se encontró fue de (l75 V. ¿Cuál es el potencial de paro de los fotoelectrones si una luz de longitud de onda de 3 000 Á cae sobre la superficie? Respuesta: 2.13 V
9 .68
Los electrones más energéticos emitidos por fotones de 3 500 Á desde una superficie, se desvían en un círculo de 18 cm por un campo magnético de 1.5 X 10·-5 T Encuentre la función de trabajo para el material. Respuesta: 2.90 e V
90
CAPÍTULO 9 11 Radiación electromagnética: fotones Una luz de longitud de onda de 4 500 Á incide sobre dos tubos fotoeléctricos. El emisor en el primer tubo tiene una longitud de onda de umbral de 6 000 Á, y el del segundo tiene una función de trabajo del doble del primer tubo. Encuentre el potencial de paro en cada uno de los tubos. Respuesta: Vs1 = 0.69 V; no hay emisión fotoeléctrica desde el segundo tubo ./-;r<: \
,9.1~) ·- . . .
...... ,,.
Suponga que un fotón de longitud de onda de 6 000 Á se absorbe por un átomo de hidrógeno cuya energía de ionización es de 13.6 e V. ¿ Cuál es la energía cinética del electrón expulsado? Respuesta: 7.1 eV
Encuentre la intensidad del campo magnético transversal que se requiere para desviar todos los fotoelectrones en un círculo con un radio de 20 cm, cuando una luz de longitud de onda de 4 000 Á incide sobreun emisor de bario. La función de trabajo del bario es de 2.5 e V. Respuesta: l.32 X 10-5 T
Imagine que la longitud de onda de la luz incidente en un experimento fotoeléctrico se incrementa de 3 000 Á a 3 010 Á. Calcule el cambio correspondiente en el potencial de paro. Respuesta: --0.0138 V
EFECTO COMPTON = 938.3
9.73
Encuentre la longitud de onda Compton para un protón (masa en reposo Me V). Respuesta: 1.32 X 10-5 Á
9.74
Repita el problema 9.20, considerando ahora la luz visible de longitud de onda 5 000 Á Respuesta: 4.86 X 10··6
9.75
Un fotón de 100 keV se dispersa de un electrón libre inicialmente en reposo. Determine la velocidad de retroceso del electrón si el ángulo de dispersión del fotón es de 180º (aplique la conservación de energía y el momentum). Respuesta: 0.3J.9c
9.76
En el problema 9.75, calcule la longitud de onda del fotón disperso a partir de la ecuación Compton. Respuesta: 0.1762 Á.
9.11
Si el fotón del problema 9.75 es dispersado a un ángulo de 65º respecto al haz de llegada, encuentre su longitud de onda final. Respuesta: 0.138 Á
9.78
Retomando el problema 9.77, calcule la cantidad de movimiento final del electrón. Respuesta: 102.4 ke V/ e
9.19
Repita los problemas 9.77 y 9.78, en este caso con un ángulo de dispersión de 144º. Respuesta: 0.168 Á; 166 ke V/ e
9 .80
En la dispersión Compton se detectan el fotón el electrón dispersos. Se ha determinado que el electrón tiene una energía cinética de 75 keVy el fotón de 200 ke V ¿Cuál fue la longitud de onda inicial del fotón? Respuesta: 0.045 A
9,81
Para el r>-r,,ntPrn electrón.
en~llP.ntrf" !ns: ns0; 41.7º
9.82 ""'""'""'''r'"
en la de onda de un fotón de de 120º de un electrón.
9.83
Encuentre la longitud de onda final de un fotón que una Compton de 90º de un si su energía es de 12 protón, = 938.3 1.05 X 10--3 Á
9.84
¿Cuál es la energía máxima, en electrón-volt, que se puede transferir a un electrón en un si los cuantos incidentes son rayos X de longitud de onda de 0.50 Respuesta: 4.7 e V
9.85
Repita el problema 9.84, a partir de fotones de la luz visible de longitud de onda de 5 000 Á. Respuesta: 2.41 X 10-5 e V
9.86
Para la dispersión Compton, ¿cuál es la relación entre los ángulos de dispersión del fotón y el electrón? Respuesta:
9.81
cot q> = ( 1 - ~::2) cot~
Un electrón que experimenta un choque frontal con un fotón de un rayo X tiene un potencial de paro de 70 kV Si el electrón estaba inicialmente en reposo, ¿cuáles son las longitudes de onda de los fotones del rayo X antes y después de la colisión? Respuesta: 0.0716 Á; 0.1201 Á
PRODUCCIÓN Y ANIQUILACIÓN DE PARES 9.88
Determine la energía de umbral de un fotón para la producción de pares, Respuesta: l.022 Me V
9.89
Un fotón de 0.0005 Á produce un par electrón-positrón en vecindad con un núcleo pesado. Si tienen las mismas encuentre la de cada partícula. Respuesta: 1L9 Me V
9.90
Para el problema trón, encuentre la
la del elec3.96 Me V
de la de un par, dos fotones de ciones opuestas. Si el electrón el tenían la misma cuentre su valor. 0.49
9,92 tón. La masa en reposo de un X
938
CAPÍTULO 9
Radiación electromagnética: fotones 9.93
Un electrón que se desplaza a velocidad de O.Se se aniquila con un positrón en reposo produciendo dos fotones; uno de ellos viaja en dirección del electrón incidente. Calcule la energía de cada fotón Respuesta: 1.02 Me V; 0.34 Me V
9.94
Si en el problema 9.93 el fotón se mueve perpendicular al electrón incidente, encuentre la energía de cada fotón. Respuesta: 0.51 Me V; 0.85 Me V
9.95
La producción de un par ocurre en un campo magnético de 0.05 T y tanto el electrón como el positrón tienen un radio de curvatura de 90 mm. Encuentre la energía del fotón incidente. Respuesta: 2.88 Me V
ABSORCIÓN DE FOTONES 9.96
El coeficiente d~ absorción para un material es de 0.061 mm". Si la intensidad incidente es 10, calcule el espesor del material necesario para reducir el haz a /0/3. Respuesta: 18 mm
9.97
El coeficiente de absorción lineal para un material es 0.055 mm". ¿Qué porcentaje de un haz monocromático pasará a través de 10 mm de material? Respuesta: 57.7%
9.98
A través de 8.5 mm de material, un haz monocromático se reduce en un factor de tres. Encuentre el coeficiente de absorción lineal. Respuesta: 0.129 mm "
9.99
Para un materialµ= 0.035 mm". Encuentre el semiespesor, Respuesta: 19.8 mm
9.100
¿ Qué espesor de material A (µ0 = 0.060 mm") es equivalente a 8 mm de material B (j1b = 0.131 mm ")? Respuesta: 17.5 mm
9.101
Los materiales del problema 9.100 tendrán espesores iguales y juntos reducirán un haz monocromático incidente en un factor de 5. Encuentre sus espesores. Respuesta: 8.4 mm
9.102
Radiaciones de igual intensidad de 0.3 Á de rayos X de(µ.11 = 0.3 mm ") y 0.5 Á de rayos X de (µ0 = 0.72 mm ") inciden sobre un material. Encuentre el espesor del material si, en la radiación emitida, los rayos X de 0.3 Á tienen el doble de intensidad que los rayos X de 0.5 Á Respuesta: 1.7 mm
9.103
Un haz pasa una hoja de 20 mm y se atenúa a la mitad de su intensidad original. Ahora la hoja se gira en un ángulo de 40º. Encuentre la intensidad del haz que ahora se emite a través de la hoja. Respuesta: li/ lo = 0.404
